hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
加瀬信行 芸名改名への経緯
デビュー当時から加瀬尊朗名義で活躍していたが、2011年7月に本名の加瀬信行へと改名した。
理由は第一に、読めない人が多いためである。営業努力で覚えていただけばいいのかなとも考えていたのだが、ここ数年、映像の仕事で初めてのスタッフ達と、短期間の仕事というのが多く、名前を紹介してもらう際、よく名前をタカアキなどと間違えられてしまい、訂正すると監督が紹介してくれたADを叱ったりするために、空気が悪くなってしまうからである。
第二に、所属事務所から荷物が届いた時に尊朗名義で来るのだが、不在票を持って郵便局に取りに行くときに、身分証を提示して「ご家族の方ですか？」と訊かれ、「はい」と小さな嘘をつくのも心苦しくなってしまうため。
芸名は芸名で楽な部分も多かったらしいが、何故かプロフィールに本名が載っており、ウィキペディアにも堂々と書いていたため、もういいかと思い、改名に至った。
加瀬信行 出演
加瀬尊朗 名義
加瀬信行 名義
加瀬尊朗 名義
加瀬信行 名義
加瀬尊朗 名義
加瀬尊朗 名義
加瀬信行 名義
川久保拓司
川久保 拓司（かわくぼ たくじ、1981年12月17日 - ）は、日本の俳優、タレントである。東京都大田区出身。2021年6月よりフリー。立教大学経済学部経営学科卒業。
川久保拓司 略歴
高校時代に原宿でスカウトされ、「コカコーラ」のCMでデビュー。大学在学中に「ミスター立教」に選ばれている。
2003年に俳優デビュー。同年3月には美輪明宏演出の舞台『黒蜥蜴』に出演し、9月にはテレビドラマ『仮面ライダー555』に太田信吾役でゲスト出演する。
2004年10月から2005年6月まで放送された、『ウルトラマンネクサス』で最終回になるまで1回もウルトラマンに変身しない主人公・孤門一輝役を演じた。また、『ネクサス』の総集編DVDや『ウルトラマン列伝』の『ネクサス』総集編ではナレーションを、PSPソフト『HEROES' VS』ではネクサスの声を担当している。
2010年4月から同年12月まで、中京テレビ『news every.』内の「ペットボトルのキャップを集め、発展途上国の子供たちにワクチンを送ろう」という趣旨の企画「キャップforスマイル」のレポーターとして、東海3県を巡回した。また、同企画内でラオスに赴いている。
2011年3月からお笑いコンビ・カラテカとの月1回のトークライブを行う。
2015年10月10日、一般女性と入籍。2016年3月23日、第一子となる男児誕生。38歳の誕生日を迎えた2019年12月17日、第二子が誕生。
2021年5月31日、この日をもってスターダストプロモーションを退所。6月1日からフリーとして活動。
川久保拓司 出演
鉄道紀行 ニッポンぶらり鉄道旅（NHK BSプレミアム） - 旅人
第12回 京王井の頭線（2014年7月10日）
第27回 京成本線（2015年1月15日）
第33回 京王線（2015年4月2日）
第43回 秩父鉄道秩父本線（2015年7月9日）
第48回 JR東日本仙石線（2015年9月17日）
第52回 都営地下鉄大江戸線（2015年11月5日）
第57回 東京メトロ日比谷線（2016年1月7日）
第67・68回 JR東日本東北新幹線（2016年5月5日・12日）
第95回 西鉄天神大牟田線（2017年4月13日）
茂木勇
茂木 勇（もぎ いさむ、1919年10月19日 - 2009年8月28日）は、日本の数学者。筑波大学名誉教授。理学博士。専門は微分幾何学。
茂木勇 来歴
1947年東京文理科大学理学部数学科卒、理学博士の学位を取得し、その後、東京高等師範学校助教授、東京教育大学助教授、教授、カナダ国サスカチュワン大学客員教授、筑波大学教授、同副学長を勤める。その後文教大学教授、同大学学長を歴任、後、同大学名誉教授を務める。日本数学教育学会名誉会長。
1993年、勲三等旭日中綬章を受章。2009年8月28日、悪性リンパ腫のため死去。
茂木勇 著書
著書に『微分幾何学とゲージ理論』(共著，共立出版)などがある。
高校向け教科書、参考書の執筆者としても著名で、科学新興社の矢野健太郎の『解法のテクニック』の改訂版を執筆を担当した。
等多数
桐島優介
桐島 優介（きりしま ゆうすけ、1977年1月7日 - ）は、日本の俳優、ミュージシャンである。宮崎県都城市出身。体重60kg。
桐島優介 略歴
2002年から俳優として活動し、多くのテレビドラマ、映画、CMなどに出演。フェイスネットワーク離籍後、プチスマイルに移籍した。
2004年〜2005年、『ウルトラマンネクサス』に姫矢准役で出演した。
2005年からは音楽活動も行い、KILLY HENDERSON名義でアルバムを1枚、桐島優介名義でシングルを1枚出した。
2007年12月に芸能活動を休止し、2008年に復帰したものの2009年頃に引退。
2022年10月、Twitterを開設。2024年1月に舞台で復帰。以降、イベントにも出演している。
桐島優介 ディスコグラフィ
※桐島優介名義
※KILLY HENDERSON名義
藤原高経
藤原 高経（ふじわら の たかつね）は、平安時代前期の貴族・歌人。藤原北家、権中納言・藤原長良の四男。官位は正四位下・右兵衛督。
藤原高経 経歴
右衛門大尉・蔵人を経て、貞観13年（871年）従五位下に叙爵し、翌貞観14年（872年）相模権介に任ぜられ地方官に転じる。甥の陽成天皇が即位した翌年の元慶元年（877年）従五位上に叙せられ、陽成朝では右衛門権佐・左兵衛権佐と武官を歴任。
光孝朝でも左衛門佐と引き続き武官を務め、仁和2年12月（887年1月）には高経の別荘に光孝天皇の行幸があり、まもなく正五位下に叙せられている。仁和3年（887年）宇多天皇の即位に伴い蔵人頭に任ぜられるが、寛平2年（890年）病により蔵人頭を辞任。同年従四位下・右兵衛督に叙任。寛平5年（893年）5月19日卒去。
勅撰歌人として『後撰和歌集』に和歌作品が1首採録されている。
藤原高経 官歴
注記のないものは『古今和歌集目録』による。
ヒッチン汎函数
ヒッチン汎函数（英: Hitchin fuctional）は、イギリスの数学者のナイジェル・ヒッチンが導入した概念で、弦理論にも応用を持つ。 Hitchin (2000) と Hitchin (2001) がヒッチン汎函数の元々の論文である。
ヒッチンの導入した一般化された複素構造は、有用に数理物理へ応用される。そのときに中心となる考え方が、ヒッチン汎函数である。
ヒッチン汎函数 定義
6次元多様体に対しての定義は、以下の通りである。ヒッチンの論文の定義はより抽象的で、より一般的である。
を自明な標準バンドルを持つコンパクトな向き付けられたな 6次元多様体とすると、ヒッチン汎函数 は、次の式の 3-形式上の汎函数と定義する。
ここに  は 3-形式であり、 * はホッジスター作用素を表す。
ヒッチン汎函数 性質
この定理の証明は、ヒッチンの論文 Hitchin (2000) とHitchin (2001) の中に比較的ストレートに書かれている。この定理の素晴らしいところは、逆のステートメントが成り立つことである：もし完全形式  が決定していると、可能な複素構造の見つける臨界点を探すことで、複素構造を決定する 0 にならない正則 3-形式が一意に決まることである。
ヒッチン汎函数 安定な（微分）形式
作用汎函数は、しばしば  の上の幾何学構造を決定し、幾何学構造はある可積分条件に従う  上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。
もし m-形式  が局所座標で記述されるとし、
さらに
とすると、 はシンプレクティック構造を決定する。
p-形式  が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所  作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動  は、局所  作用により元に戻せる場合を言う。従って、任意の 1-形式は、（定数なので）どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。
では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、, , の次元の増加の仕方が、,  の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり  の場合で、その場合は dim  であり、dim  である。次元 6 での安定な実 3-形式を  とすると、 の  の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、  もしくは  のいずれかになる。
ヒッチン汎函数 安定な（微分）形式
の場合に焦点を絞り、 が 内にスタビライザーを持つとすると、局所座標では次のように書くことができる：
ここに、 であり、 は  の基底である。従って、 は  上の概複素構造を決定する。さらに局所座標  が存在して  と満たすとすると、 は、さいわいにも  上の複素構造を決定する。
安定な形式 が与えられると：
と取ることができ、もうひとつ別な実 3-形式
を取ることができる。
そうすると  は  により決定される概複素構造の中の正則な 3-形式となる。さらに、複素構造となるためには、ちょうど 、すなわち、 であり、かつ、 の場合である. この  はヒッチン汎函数の定義での 3-形式  に一致する。これらの考えは、一般化された複素構造を導くこととなった。
ヒッチン汎函数 弦理論での使用
ヒッチン汎函数は弦理論の多くの分野で用いられる。例えば、対合 を使った結果できる射影  を持つ10-次元弦理論のコンパクト化である。この場合には、 は内部の 6 (実)次元カラビ-ヤウ空間である。 この複素化されたケーラー多様体の計量は
で与えられる。ポテンシャル函数は汎函数  で、ここに J は概複素構造を決定する. 両方ともヒッチンの汎函数である。Grimm & Louis (2004)
弦理論への応用として、有名な OSV 予想 Ooguri, Strominger & Vafa (2004) では、ヒッチン汎函数を位相的弦と 4-次元ブラックホールのエントロピーを関連付けるために使用された。同じようなテクニックを  ホロノミーの中で使い、Dijkgraaf et al. (2004) では、位相的なM-理論が議論されているし、 ホロノミーでは、位相的 F-理論が議論できるかもしれない。
さらに最近、エドワード・ウィッテンは、6次元 (2,0)-超共形場理論と呼ばれる 6次元の中にミステリアスな超共形場理論があることを主張している。Witten (2007) ヒッチン汎函数は、それへひとつの基礎を与えている。
装飾体 (文体)
装飾体（そうしょくたい、ornate style）とは、文章の類型の一種である。修辞学においては、描写や叙述性の面からみて技巧的な文体を広く指す用語である。美文体（figurative style）、荘重体（grand style）などと呼ばれることもある。多彩な修飾語や比喩表現を効果的に用いることによって一般に華やかな印象をもたせることのできる文体である。一方で文の構造が複雑になりがちであり、しばしば意味がわかりにくいという一面もある。反対に修飾語の使用を控え文章のわかりやすさを重視した文体を平明体（transparent style）と呼ぶ。
装飾体 (文体) 三島由紀夫の例
三島由紀夫は華麗な装飾体を用いた作品が多いことで特に有名である。以下にその例を挙げる。
まだ朝は寒かった。〔中略〕その間に空気はいよいよ澄明に磨かれ、今は危うく崩壊の兆しもみせて繊細に張りつめていた。弾けば気高く鳴りひびく絃（いと）のような大気であった。いわば音楽へあと数瞬間で達しようとしている豊かな虚しさにみちた静寂を思わせた — 三島由紀夫、仮面の告白
装飾体 (文体) 屈折体
装飾体をさらに徹底させた文体を屈折体と呼ぶ。一例として大江健三郎の文章を挙げる。文の構造はきわめて複雑で、文脈をたどるのは慣れていないと難しい。
いま僕自身が野間宏の仕事に、喚起力のこもった契機をあたえられつつ考えることは、作家みなが全体小説の企画によってかれの仕事の現場にも明瞭にもちこみうるところの、この現実世界を、その全体において経験しよう、とする態度をとることなしには、かれの職業の、外部からあたえられたぬるま湯のなかでの特殊性を克服することはできぬであろうということ〔後略〕 — 大江健三郎、職業としての作家
装飾体 (文体) 階層的文章
長い文章をおこす際、最初におおまかな構成を決めた上で細部の記述を順次追加していくという技法は有用な手段の一つである。この技法はコンピュータにおけるアウトラインプロセッサと親和性が高く、究極的には単語のひとつひとつに注釈をつけたり、注釈にまた別の注釈をつけたりという文章をつくることすらも容易に可能である。小田嶋隆はパソコンを用いて次のような文を考案している。丸括弧を多用しているが、蛇足な修飾部分をのぞけば「オレはたまねぎが嫌いだ」という骨格が残る。小田嶋自身、このような文章を表現技法として好んで使用しているという。
オレ（という一人称を使う時、オレは嘘をつかない）は、たまねぎ（そう、あの臭くて、いやな歯ざわり（半生のやつを噛むと、「カオッ」っていう音がするんだが、オレはその音（「かおっ」のことだ）をもたらすような歯ざわりが嫌いなのだ）を持った再帰的無限構造野菜（ラッキョと猿の寓話 - 猿のせんずりを想起せよ））が嫌い（「嫌い」は「好き」に比べて純粋だ。なぜなら「嫌い」が生理であるのに対して、「好き」は感情に過ぎないからだ）だ」 — 小田嶋隆、パソコンによる“玉ねぎ文章”のすすめ
ケルスティン・ティエレ
ケルスティン・ティエレ（Kerstin Thiele  1986年8月26日- ）はドイツのザクセン州出身の柔道選手。階級は70kg級。身長168cm。
ケルスティン・ティエレ 人物
2008年の世界柔道団体選手権大会では3位となった。2009年の世界選手権では2回戦で敗れた。2010年の世界選手権では初戦で敗れた。2011年の世界選手権には出場できなかった。2012年のロンドンオリンピックではハンガリーのアネット・メサロシュやオランダのエディス・ボッシュといった強豪を破って決勝まで進むものの、フランスのリュシ・ドコスに敗れはしたが銀メダルを獲得した。
ジェマ・ギボンズ
ジェマ・ギボンズ（Gemma Gibbons  1987年1月6日- ）は、イギリスのグリニッジ・ロンドン特別区出身の柔道選手。階級は78kg級。身長173cm。元世界チャンピオンのケイト・ホーウェイを個人コーチに持つ
。 さらにイギリス女子ナショナルチームのコーチを務める中野裕子の指導も受けていた。
ジェマ・ギボンズ 人物
ギボンズは70kg級の選手として活躍していたが、2010年の世界選手権では78kg級に出場して初戦で敗れた。その後も70kg級で国際大会に出場していたが、2011年の世界選手権には出場しなかった。2012年になって階級を78kg級に上げると、地元で開催されたロンドンオリンピックでは伏兵ながら勝ち進み、準決勝では世界チャンピオンであるフランスのオドレー・チュメオを破る健闘を見せたが、決勝ではアメリカのケイラ・ハリソンの前に敗れて銀メダルにとどまった。2013年5月には世界選手権の81kg級で2度3位になったことのあるイアン・バートンと結婚した。8月の世界選手権では3回戦で敗れた。
ジェマ・ギボンズ 主な戦績
70kg級での戦績
78kg級での戦績
(出典、JudoInside.com)。
アカデミック・ロモノソフ
アカデミック・ロモノソフ(露: Академик Ломоносов)は、ロシアで建造された水上原子力発電所。アカデミシアン・ロモノソフとも呼ばれる。ロシア科学アカデミー会員のミハイル・ロモノーソフに因んで名づけられている。
アカデミック・ロモノソフ 歴史
アカデミック・ロモノソフは2007年4月15日に、セヴェロドヴィンスクのセヴマシュ潜水艦造船所で建設が始まった。祝賀行事にはロシアの第1副首相であったセルゲイ・イワノフとロスアトム社長のセルゲイ・キリエンコが出席した 。
元々、アカデミック・ロモノソフはセヴェロドヴィンスクとセヴマシュに電力を供給する予定であったが、2008年8月、ロシア政府はセヴマシュからサンクトペテルブルクのバルチック造船所に建造の移動を承認した。
アカデミック・ロモノソフ 歴史
1基目の原子炉は2009年5月、2基目は8月に納入された。アカデミック・ロモノソフは2010年6月30日に進水した。アカデミック・ロモノソフはロシアの極東カムチャッカ地方ヴィリュチンスクに展開される予定であったが、老朽化したビリビノ原子力発電所の代替としてチュクチ自治管区ペヴェクに展開されることになった。2011年に突如として造船所の親会社が破綻し、それに連鎖して造船所も破綻したため、債権者による差し押さえを予防する目的で、サンクトペテルブルクの裁判所に差し押さえられた。2013年の終わりに建造を終え引き渡されることが期待されていたが、破産手続きの遅れなどにより、2016年9月の予定と報じられていた。2017年10月30日の時点では、2018年5月にムルマンスクに曳航して10月に核燃料を装荷した上で、同年11月に運転開始が予定されていた。2018年4月28日にムルマンスクに曳航するため造船所を出発し、5月17日に到着した。原子炉への燃料装荷は7月24日に始まり、10月2日に完了した。
11月2日には2基の原子炉のうち1基が初臨界を達成した。2019年6月27日には許認可を担当する連邦環境・技術・原子力監督局から10年間の運転認可が下りたことから、8月下旬にペヴェクへの回航を行い、同年末から試運転を始める予定と発表された。回航は8月23日に始まり、9月14日にペヴェクに到着した。運転が始まれば同地で稼働する鉱山などに電力および熱を供給する予定である。
2019年12月19日には送電網に同期し、電力の供給が始まった。2020年5月22日営業運転開始。熱供給は2020年に開始される見込みである。
アカデミック・ロモノソフ 詳細
アカデミック・ロモノソフは長さ144m、幅30mほどの船であり、排水量が21,500トンで、69人の乗員を予定している。発電のために、2基の改修型KLT-40Sを積んでおり、70MWの電力と300MWの熱を供給可能である。原子炉はアトムエネルゴプロムの子会社のOKBMアフリカントフによって設計され、同じくアトムエネルゴプロムの子会社のアトムエネルゴプロエクト(Atomenergoproekt)のニジニノヴゴロド研究開発所で製造された。原子炉容器はイジョルスキェ・ザボーディが製造した。蒸気タービン発電機はカルーガタービンプラントが提供した。
アカデミック・ロモノソフ 原子炉
耐用期間は40年を想定している。4年おきに核燃料として低濃縮ウランを補給し、12年おきに使用済み核燃料の船外搬出が必要とされる。
ディミトリ・ペータース
ディミトリ・ペータース（Dimitri Peters  1985年11月23日- ）は、ドイツの柔道選手。
ロシアのクラスノヤルスク地方出身。階級は100kg級。身長188cm。寝技の名手として知られている。
ディミトリ・ペータース 人物
2011年の世界選手権では3回戦でロシアのタギル・ハイブラエフに敗れた。2012年のロンドンオリンピックでは中堅選手ながら準決勝まで進むもハイブラエフに判定で敗れるが、その後の3位決定戦でウズベキスタンのラムジディン・サイードフに合技で一本勝ちして銅メダルを獲得した。2013年の世界選手権でも3位となった。2015年の世界選手権では準々決勝で日本の羽賀龍之介に敗れるも、その後敗者復活戦を勝ち上がって3位になった。2016年のグランプリ・デュッセルドルフでは全試合を得意の寝技で一本勝ちして優勝を飾った。2016年リオデジャネイロオリンピックにはライバルのカール＝リヒャルト・フライとの代表争いに敗れて出場できなかった。
ワハテベーケ
ワハテベーケ（オランダ語: Wachtebeke [ˈʋɑxtəbeːkə]）は、ベルギーのオースト＝フランデレン州にある基礎自治体である。ヘント行政区に属し、州都であるヘントの北20kmほどのところに位置する。北にはオランダとの国境を控えている。
この基礎自治体は、ワハテベーケ町自体と、もうひとつの町であるオーヴェルスラッハ（Overslag）からなる。人口7,068人（2010年1月1日現在）。総面積 34.53 km²、人口密度 199人/km²。
2004年から2012年8月現在まで、町長はウィリー・デ・ヴリーヘル（Willy De Vliegher）である。
一般化された複素構造
数学の微分幾何学において、一般化された複素構造（いっぱんかされたふくそこうぞう、英: generalized complex structure）とは、可微分多様体の持つある種の性質をいう。その特別な場合として複素構造やシンプレクティック構造が現れることがある。一般化された複素構造は、2002年ナイジェル・ヒッチンにより導入され、さらに彼の学生であったマルコ･グァルティエリとギル･カバルカントにより発展した。
最初は、この構造は微分形式の汎函数による特徴付けというヒッチンのプログラムから発生した。この構造は、2004年のロベルト・ダイクラーフ、セルゲイ･グーコフ、アンドリュー･ナイツケとカムラン・ヴァッファの位相弦の理論は位相的M-理論の特別な場合ではないかという提案の基礎となった。今日、一般化された複素構造は、物理的な弦理論で超対称性をもつフラックスコンパクト化で主要な役目を果たしている。フラックスコンパクト化は、10次元の物理を4-次元の我々のような世界へ関連付けるのであるが、（ツイストする必要がある）一般化された複素構造を必要とする。
一般化された複素構造 定義
N-次元多様体 M を考える。 M の接バンドルT とは、ファイバーが M のすべての接ベクトルからなるような M 上のベクトルバンドルのことである。このとき、T の切断は M 上のベクトル場である。M の余接バンドルをT*と書く。これは、その切断が M 上の1-形式となるような M 上のベクトルバンドルである。
複素幾何学では多様体の接バンドルの上の構造を考える。シンプレクティック幾何学では、代わりに、余接バンドルの外冪に注目する。一般化された複素構造では、これらの2つの分野を複素数の上で接バンドルと余接バンドルの直和 (T T*) の切断として扱うことで、2つの分野を統一して表す。それらは複素ベクトル場と複素1-形式との形式的な和である。接バンドルと余接の直和のことを、一般化された接バンドルと言う。
ファイバーは複素符号を持つ内積 (N, N) が与えられていて、X と Y がベクトル場で、ξ と η が 1-形式であれば、X+ξ と Y+ηの内積は次のように定義される。
一般化された概複素構造 は、まさに次の自然な内積を保つ一般化された接バンドルの概複素構造である。自然な内積とは、
で
を満たすものを言う。
通常の概複素構造の場合のように、一般化された概複素構造は、一意に -固有バンドルであり、複素化した一般化接バンドル 
の部分バンドルとなる。これは、
一般化された複素構造 定義
で与えられる。この部分バンドル L は次の性質を持つ。
(i) 複素共役との交叉はゼロセクション：  である。
(ii) L は 最大イソトロピック、つまり、複素ランクが N に等しく、全ての  に対し  となる。
逆に、(i)と(ii)を満たす L は一意な一般化された複素構造の -固有バンドルであり、したがって性質 (i)と(ii) は一般化された概複素構造のもう一つの定義と考えることもできる。
通常の複素幾何学では、概複素構造が複素構造となる条件である可積分性は、正則な部分バンドルの切断と他の正則な部分バンドルの切断とのリーブラケットとなっていることと同値である。
一般化された複素幾何学では、ベクトル場というよりも、ベクトル場と1-形式との直和に注目している。そのような形式的な和のリーブラケットは1990年に導入され、次の式で定義され、クーランブラケットと呼ばれる。
ここに  はベクトル場 X にそったリー微分で、d は外微分で、i は内積である。
一般化された複素構造は、滑らかな L の切断の空間が、クーランブラケットの下に閉じているような 一般化された概複素構造のことを言う。
一般化された複素構造 最大イソトロピック部分バンドル
T  T* の最大イソトロピック部分バンドルと、Eが T の部分バンドルで ε が、2-形式であるようなペア (E,ε) の間には1:1の対応関係がある。この対応は直接、複素構造の場合へも拡張される。
ペア (E, ε) が与えられると、次のように、T  T* の最大イソトロピック部分バンドル L(E,ε) を構成することができる。部分バンドルの元は、形式和 X + ξ で、ここにベクトル場 X は E の切断であり、双対空間 E* へ限定された 1-形式 ξ は、1-形式 ε(X) に同値である。
L(E, ε) がイソトロピックであることを調べるためには、Y が E の切断であることと、E* へ制限された ξ が ε(X) であることに注意すると、E*に垂直な ξ の部分が Y をゼロにすることから、ξ(Y) = ε(X, Y)である。従って、X + ξ と Y + η が T  T* の切断であれば、
一般化された複素構造 最大イソトロピック部分バンドル
が成立するので、L(E, ε) はイソトロピックになる。さらに L(E, ε) は最大となる。なぜならば、E の選択する複素次元は dim(E) であり、ε は E* の補空間の上に限定されないからである。この空間の複素次元は、n − dim(E) である。このようにして、全複素次元は n となる.  グァルティエリはすべての最大イソトロピック部分バンドルが、ある E と ε が存在し L (E,ε) となることを証明した。
最大イソトロピック部分バンドル L(E,ε) の type とは、E をゼロにする部分バンドルの実次元のことを言う。同じことではあるが、タイプは 2N 接バンドルから T の上への L(E,ε) の射影の実次元である。言い換えると、最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、接バンドル上への部分バンドルの余次元である。複素多様体の場合は、複素次元を使い 複素タイプ という時もある。原理的に、部分バンドルのタイプは 0 and 2N の間の任意の整数となることが可能ではあるが、一般化された概複素構造では N よりも大きなタイプを持つことができない。理由は、部分バンドルと部分バンドルの複素共役の和が (T
T*)C の全体の次元である必要があるからである。
一般化された複素構造 最大イソトロピック部分バンドル
最大イソトロピック部分バンドルのタイプは、微分同相の下に不変で、また B-場（カルブ-ラモン場ともいう）のシフトの下にも不変である。B-場は、次の形式 TT* の等長写像である。
ここに B は任意の閉 2-形式である。この形式で表されるので、弦理論の脈絡では、B-場と呼ばれてきた。
一般化された概複素構造のタイプは、一般には定数ではなく、偶数の整数の間をジャンプすることができるが、上半連続となっている。これは各々の点は、タイプが減少することができない開近傍を持っていることを意味する。実際には、このことは、正の余次元を持つ部分多様体上では、周りのタイプよりも大きな部分集合が発生することを意味している。
最大イソトロピック部分空間 L の実インデックス r は、 L と L の複素共役との交叉の複素次元である。(T T*)  C の最大イソトロピック部分空間が一般化された概複素構造であることと、r = 0 とは同値である。
一般化された複素構造 標準バンドル
通常の複素幾何学では、一般化された概複素構造と複素ラインバンドルの間に対応関係がある。特別な一般化された概複素構造に対応する複素ラインバンドルは、しばしば 標準バンドル と言われる。通常の場合の標準バンドルを一般化したからである。その切断がピュアスピノルであることから、ピュアスピノルバンドルと呼ばれることもある。
標準バンドルは M 上の複素微分形式のバンドル Λ*TC の複素次元1の部分バンドルである。ガンマ行列が微分形式とスピノルの間の同型を定義することを思い起こすと、特に偶数と奇数の微分形式は、ワイルスピノルの2つのカイラリティの間の写像である。ベクトルは内積により与えられる微分形式の上へ作用する。1-形式はウェッジ積により微分形式に作用する。このように、バンドル (T  T*)  C の切断は、微分形式の上へ作用する。この作用は、スピノルのクリフォード代数の表現である。
一般化された複素構造 標準バンドル
スピノルがクリフォード代数の生成の半分によりゼロとなるときに、ピュアスピノルと言う。スピノルはバンドル Λ*T の切断で、クリフォード代数の生成子はバンドル (T  T*)  C のファイバーである。従って、ピュアスピノルが与えられると、半分の次元の部分バンドル E of (T  T*)  C をゼロにする。そのような部分バンドルは、いつでもイソトロピックであるので、概複素構造を定義するためには、E と E の複素共役の和が (T  T*)  C のすべてとなるようにすればよいだけである。これはピュアスピノルのウェッジ積についてはいつでも正しく、ピュアスピノルの複素共役は最上位の次元の成分をもっている。従って、そのようなピュアスピノルは、一般化された概複素構造を決定する。
一般化された概複素構造が与えられると、ピュアスピノルを任意の複素函数による掛け算による差異を無視すると一意に決定することができる。これらのピュアスピノルの選択は標準バンドルの切断で定義される。
特別な複素構造を決定するピュアスピノルが完全形式で閉じている、もしくはより一般的に、ピュアスピノルの外微分がガンマ行列の作用に等価であるとすると、概複素構造は可積分になり、そのようなピュアスピノルは一般化された複素構造に対応する。
さらに、標準バンドルが正則で自明であれば（閉形式である大域的な切断であることを意味する）、一般化されたカラビ-ヤウ構造を決定し、M を一般化されたカラビ-ヤウ多様体と言う。
一般化された複素構造 局所分類
局所的にすべてのピュアスピノルは、整数 k、B-場 2-形式 B、非退化シンプレクティック形式 ω と k-形式 Ω に依存するが、同じ形で書くことができる。任意の点の局所近傍で、標準バンドルを生成するピュアスピノル Φ は、いつでも次の形でとることができる。
ここに Ω は1-形式のウェッジ積として、分解可能である。
複素化された接バンドル TC の部分バンドル E を正則部分バンドル L of (TT*)
C の  TC 上への射影として定義する。一般化された概複素構造の定義の中では、L と L の複素共役の交叉が唯一原点となる。なぜならば、そうでないとすると、それらは、 (TT*)C を完全に張ることができなくなるからである。しかし、これらの射影の交叉は自明であるとは限らない。従って一般には、ある部分バンドル Δ が存在して、この交叉は次の形をしている。
Δ のファイバーの次元の中に開近傍が定数となるような点を、正則点(regular point) と言う。
一般化された複素構造 局所分類
一般化された複素多様体のすべての正則な点は、微分同相や B-場でのシフトの後でも、開近傍が複素ベクトル空間のデカルト積として Ck および、標準のシンプレクティック形式を持つシンプレクティック空間 R2n-2k と同じ一般化された複素構造を持つ。この空間は、対角要素が 1 と -1 のみの2つの値からなる2行2列の行列の直和である。
非正則点の近くでは、上の分類定理は適用できない。しかし、任意の点で、一般化された複素多様体は、微分同相と B-場の差異を無視すると、シンプレクティック多様体とその点では複素タイプである一般化された複素多様体の積となる。ポアソン多様体の局所構造のワインシュタインの予想に非常によく似ている。局所構造の残っている問題は複素タイプの点の近くでは一般化された複素構造はどのように見えるのかである。実際、正則ポアソン構造によって、引き起こされると考えられる。
一般化された複素構造 例
複素微分形式 Λ*TC の空間は、C の中の複素共役によって複素共役作用素を持つ。このことにより、正則と反正則である 1-形式と (m, n)-形式を定義する。これらの微分形式は、m 個の正則成分と n 個の反正則成分をもっている、同次多項式である。特に、すべての (n,0)-形式は、複素函数との積に局所的に関連しており、従ってそれらは複素直線バンドルを形成する。
(n,0)-形式は反正則接ベクトルや正則1-形式でゼロとなるので、ピュアスピノルである。このようにこのラインバンドルは、一般複素構造を定義する標準バンドルとして使うことができる。消滅因子(annihilator)を (T
T*)C から複素化された接バンドルへ限定すると、反正則ベクトルバンドルの部分空間を得る。従って、(T
T*)C の上の一般化された複素構造は、通常の接バンドル上の複素構造を定義する。
ベクトル場の基底のちょうど半分は正則なので、これらの複素構造はタイプ N である。実際、複素多様体と、複素数と -閉 (2,0)-形式により定義される複素多様体のピュアスピノルをかけて得られる複素多様体は、タイプ N の一般化された複素多様体となる。
一般化された複素構造 例
非退化 2-形式 ω に対し、
で生成されるスピノルバンドルは、接空間上のシンプレクティック構造を定義する。これより、シンプレクティック多様体も一般化された複素構造である。
上記のピュアスピノル  は大域的に定義されているので、標準バンドルは自明である。このことはシンプレクティック多様体は一般化された複素多様体であるのみならず、さらに一般化されたカラビ-ヤウ多様体であることを意味する。
ピュアスピノル  は、B-場のシフトの虚部の数に一致するピュアスピノルに関係している。B-場はケーラー形式のシフトでもある。従って、これらの一般化された複素構造のタイプは、対応するスカラーピュアスピノルのタイプと一致する。スカラーは全接空間によってゼロとなるので、これらの構造はタイプ 0 である。
B-場のシフトは、閉じた実2-形式の指数にピュアスピノルをかけたものであるが、このB-場のシフトによる差異を無視した場合、シンプレクティック多様体は、タイプ 0 の一般化された複素多様体となる。B-場のシフトによる差異を無視したシンプレクティックである多様体は B-シンプレクティック と呼ばれることもある。
一般化された複素構造 G-構造との関係
一般化された複素構造幾何学の概に当たる構造のいくつかは、G-構造のことばで言い換えることができる。｢概｣という単語は、可積分性を持つと付かない。
上記の内積を持つバンドル (TT*)  C は、 O(2n, 2n) 構造をもっている。一般化された概複素構造は、この構造を U(n, n) 構造へ退化させたものである。従って、一般化された複素構造の空間は、コセット
となる。
一般化された概ケーラー構造は、対応するテンソルの積のマイナスが (T
T*)C の上の正定値計量であるような可換な作用をもつ一般化された複素構造のペアである。
一般化された概ケーラー構造は、構造群を U(n)U(n) まで退化させた構造である。一般化されたケーラー多様体と、そのツイストした相手は、双エルミートな多様体に同値である。これは1984年に、シルベスター・ジェームズ・ゲーツ, クリス・ハル と (Martin Roček)により、2-次元超対称な量子場の理論の脈絡で発見された。
最後に、一般化された概カラビヤウ計量構造は、さらに構造群が SU(n)SU(n) へ退化する。
グァルティエリが導入した一般化されたカラビ計量は、ヒッチンにより導入された一般化されたカラビ-ヤウ計量構造よりも強い条件になっている。特に、一般化されたカラビ-ヤウ計量構造は、2つの可換な一般化された概複素構造の存在を意味する。
カラビ・ヤウ多様体
カラビ・ヤウ多様体（カラビ・ヤウたようたい、英:Calabi-Yau manifold）は、代数幾何および微分幾何学などの数学の諸分野における特別なタイプの多様体である。特に超弦理論では、時空の余剰次元が6次元（実次元）のカラビ・ヤウ多様体の形をしていると予想されている。この余剰次元の予想が、ミラー対称性の着想を導くことになった。
カラビ・ヤウ多様体は、K3曲面を任意の複素次元へと一般化した複素多様体であり、元々は第一チャーン類がゼロでリッチ平坦な計量を持つコンパクト・ケーラー多様体として定義されていた。ただし、他にも類似の（しかし互いに同値ではない）いくつかの定義がある。その名称は、「第一チャーン類がゼロとなるケーラー型のコンパクト複素多様体は、常にリッチ平坦な計量を持つ」と最初に予想したエウジェニオ・カラビE. Calabi (1954, 1957)と、そのカラビ予想を証明したシン＝トゥン・ヤウの名にちなみ、Candelas et al. (1985)によって命名されたものである。
カラビ・ヤウ多様体 定義
カラビ・ヤウ多様体には、いくつかの異なる定義がある。ここでは、そのうち一般的なものをいくつか挙げ、それらの関係を述べる。
n次元のカラビ・ヤウ多様体とは、次の等価な条件のうちの一つを満たすコンパクトな n次元ケーラー多様体 M である。
これらの条件から、M の整係数第一チャーン類 c1(M) がゼロになることが導かれるが、この逆は成立しない。その最も簡単な例は超楕円曲面（複素2次元の複素トーラスの有限商）である。超楕円曲面では、整数係数の第一チャーン類はゼロであるが、標準バンドルは自明ではない。
コンパクトな n次元ケーラー多様体 M に対して、次の条件は互いに同値になるが、上記の条件よりは弱い条件となる。しかし、この条件をカラビ・ヤウ多様体の定義として使うこともある。
特に、コンパクトなケーラー多様体が単連結であれば、上記の弱い定義と強い定義は一致する。エンリケス曲面は、リッチ平坦な複素多様体の例になる。エンリケス曲面の標準バンドルは自明ではないが、第二の条件に従うと、カラビ・ヤウ多様体の例となる。しかし第一の条件ではカラビ・ヤウ多様体の例にはならない。 エンリケス曲面の二重被覆は、どちらの定義も満たすカラビ・ヤウ多様体である(事実、K3曲面がその例となる)。
カラビ・ヤウ多様体 定義
上記の様々な条件の同値性を証明するときに最も難しい箇所は、リッチ計量の存在を証明する部分である。このことはカラビ予想のヤウによる証明から従う。つまり、第一実チャーン類がゼロとなるコンパクトなケーラー多様体は、リッチ計量がゼロである同じ類のケーラー計量を持つことを意味する(ケーラー計量の類はケーラー計量に結び付いている2-形式のコホモロジー類である)。 カラビはそのような計量が唯一であることを示した。
カラビ・ヤウ多様体の定義には、他にも等価ではない多くのものがある。以下に、それらの間の主な差異を示す:
定義の中には、ホロノミーをSU(n)の部分群ではなくSU(n)そのものとするものもあり、これはホッジ数  が 0 < i < dim(M) に対してゼロとなることを意味する。アーベル曲面は、ホロノミーが SU(2) よりも（ SU(2) 自体は含まない）小さいホロノミーであるリッチ計量を持つ（実際に、自明）ので、厳密に SU(2) にホロノミーが一致するという定義の下ではカラビ・ヤウ多様体にはならない。
カラビ・ヤウ多様体 例
最も重要な基本的事実として、一般に射影空間に埋め込まれた滑らかな代数多様体はケーラー多様体であるということがある。このことを示すには、射影空間に自然に入るフビニ・スタディ計量をその代数多様体に制限すればよいからである。X をカラビ・ヤウ多様体、ωを X 上のケーラー計量とすると、定義から標準バンドル KX は自明であり、[ω0]=[ω]∈H2(X,R)となるようなリッチ平坦なケーラー計量 ω0 が一意的に定まる。これはエウゲニオ・カラビにより予想され、ヤウ(S. T. Yau)により証明された定理である（カラビ予想を参照）。
複素次元が 1 の場合、コンパクトな唯一の例はトーラスであり、これは1-パラメーター族をなす。 トーラスのリッチ計量は実際、平坦計量であるので、ホロノミーは自明な群SU(1)である。 1次元カラビ・ヤウ多様体は複素楕円曲線であり、代数多様体である。
カラビ・ヤウ多様体 例
複素次元が 2 の場合は、K3曲面が唯一のコンパクトで単連結なカラビ・ヤウ多様体である。非単連結な例は、アーベル多様体により与えられる。エンリケス曲面と超楕円曲面は、第一チャーン類が実係数コホモロジー群の元としてはゼロになるが、整係数コホモロジー群の元としてはゼロにならず、リッチ計量の存在についてのヤウの定理を適用することはできるものの、カラビ・ヤウ多様体とは見なされないことが多い。アーベル曲面はカラビ・ヤウ多様体には分類しないことも多い。その理由は、ホロノミーが自明であり、SU(2)自体に同型となるのではなく、SU(2)の固有部分群となるからである。
カラビ・ヤウ多様体 例
複素次元が 3 の場合は、カラビ・ヤウ多様体の分類問題は未解決だが、有限個の族が存在するとヤウにより予想されている。ただし、その数は20年前に彼が見積もった数より遥かに大きくなる。さらには、マイルス・リード(Miles Reid)は、3次元カラビ・ヤウ多様体の位相的な種類が無限個あることを予想し、それらすべてを（たとえば、コニフォールド(conifold)のような）マイルドな特異性を通して、リーマン面で可能なように、連続的に変換することが可能なことも予想している 3次元カラビ・ヤウ多様体の一つの例として、CP4の中の非特異なクインティックスリーフォールドは、CP4 の同次座標での同次 5次多項式のゼロ点からなる代数多様体がある。もう一つの例は、バース・ニエトの5次多様体(Barth–Nieto quintic)のスムースなモデルである。クインティックスリーフォールドの Z5 作用による離散的な商もカラビ・ヤウ多様体となり、多くの文献で注目を集めている。これらうちの一つが、ミラー対称性 (弦理論)により、元々のクインティックスリーフォールドと関連付けられている。
すべての正の整数 n に対して、複素射影空間 CPn+1 の同次座標における同次 n+2 多項式の非特異なゼロ点集合は、コンパクトなカラビ-ヤウ多様体となる。その n = 1 の場合が楕円曲線、n = 2 の場合がK3曲面である。
すべての超ケーラー多様体は、カラビ・ヤウ多様体である。
カラビ・ヤウ多様体 超弦理論への応用
カラビ・ヤウ多様体は超弦理論で重要となる。ほとんどの伝統的な超弦モデルで、弦理論で予想される次元 10 は、認識可能な4次元が6次元のファイブレーションの一種を持つと提起されている。カラビ・ヤウ n 次元多様体でのコンパクト化は、元の超対称性のいくつかを保存するので、重要である。詳しくいうと、ラモン・ラモン場（フラックス）のないところでは、カラビ・ヤウ3次元多様体（実次元は 6）は、ホロノミーが完全に SU(3) に一致している場合は、コンパクト化する前の超対称性の1/4を保存する。
さらに一般的には、ホロノミーSU(n) をもつ n-多様体でのフラックスのないコンパクト化では、もとの超対称性の 21−n を破ることはなく、これがタイプ II のコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 26−n に対応し、タイプIのコンパクト化の場合にはスーパーチャージの 25−n に対応する。フラックスを持っている場合は、超対称性条件はコンパクト化する多様体が一般化されたカラビ・ヤウ多様体となる。この考え方はHitchin (2003) で導入され、これらのモデルはフラックスコンパクト化として知られている。
カラビ・ヤウ多様体 超弦理論への応用
本質的には、カラビ・ヤウ多様体が弦理論の「見えない」6次元（空間次元）の空間を形成する。現在観測可能である長さよりも小さいために、それらを検知することが出来ない。大きな余剰次元として良く知られているモデルは、ブレーンワールドモデルで、カラビ・ヤウ多様体は大きいが、Dブレーンを横切り交叉する部分の上に、私たちが閉じ込められていることを意味している。
F-理論の様々なカラビ・ヤウ4次元多様体でのコンパクト化は、いわゆる弦理論ランドスケープの中で、様々な古典解を見つけ出す方法を物理学者に提供する。
低エネルギーの弦の振動パターンは、カラビ・ヤウ空間の各々の穴に関係している。弦理論では我々の慣れ親しんでいる基本粒子が低エネルギーの弦の振動に対応しているので、多重化した穴の存在は、弦のパターンを多重なグループや世代に振り分けることになる。次のステートメントは単純化されているが、理論のロジックを含んでいる：
「カラビ・ヤウ空間が 3つの穴を持っていると、3つの振動パターンの世代ができ、粒子の 3世代は実験的に観察されるであろう。」
カラビ・ヤウ多様体 超弦理論への応用
論理的には、弦の振動はすべての次元を通して巻き付く数を変化させるので、それらの振動数や、従って観察される基本粒子の性質に影響を与えるであろう。例えば、アンドリュー・ストロミンジャーとエドワード・ウィッテンは、粒子の質量がカラビ・ヤウ空間の中の様々な穴の交叉のしかたに依存していることを示した。言い換えると、穴のたがいの相対位置とカラビ・ヤウ空間の物質との相対的位置は、ストロミンジャーとウィッテンによって発見され、ある方法によって粒子の質量に影響する。もちろん、これはすべての粒子について正しい。
フレアーホモロジー
数学において、フレアーホモロジー(Floer homology)は、シンプレクティック幾何学や低次元トポロジーの研究に使用される有用なツールである。フレアーホモロジーは、有限次元のモース理論の無限次元の類似として発生した高級な不変量である。アンドレアス・フレアー(Andreas Floer)は、現在はハミルトニアンフレアーホモロジーと呼ばれているフレアーホモロジーの最初のバージョンを導入し、シンプレクティック幾何学のアーノルド予想の証明に使った。フレアーは、これと密接に関連するシンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体の理論を開発した。フレアーは、また、シンプレクティック多様体のラグランジアン部分多様体に密接に関連する理論も開発した。フレアーが第三番目に構成したことは、ヤン・ミルズ汎函数を使い、ホモロジー群を閉 3次元多様体へ関連付けた。これらの理論とそれの適用は、3次元や 4次元トポロジーと同様に、シンプレクティック多様体や接触多様体の現在の研究で、基本的な役割を果たしている。
フレアーホモロジー
フレアーホモロジーは、無限次元多様体とその上の実数値函数をある興味深い対象へ結び付けることにより定義される。例えば、シンプレクティック幾何学のバージョンでは、フレアーホモロジーは、シンプレクティック作用汎函数をシンプレクティック多様体の自由ループ空間へ結び付ける。3次元多様体の（インスタントン(instanton)）バージョンでは、3次元多様体上のSU(2)-接続の空間へ結び付ける。おまかに言うと、フレアーホモロジーは、無限次元多様体の上の自然な函数から計算されるモースホモロジーである。この自然な函数は、シンプレクティックな場合は、シンプレクティック作用を持つシンプレクティック多様体の自由ループ空間であり、3次元多様体の場合は、チャーン-サイモンズ汎函数を持つ 3次元多様体上の SU(2)-接続の空間である。大まかには、フレアーホモロジーは、無限次元多様体上の函数のモースホモロジーである。フレアーチェーン複体は、函数の臨界点(critical point)（もしくは、臨界点のある集まりでもよい）で張られるアーベル群から構成される。チェーン複体の微分は、臨界点と臨界点と（従って、臨界点の集まり）を結ぶ函数の勾配の力線の数を数えることにより定義される。このベクトル空間の線型な自己準同型は、2つの臨界点を結ぶ函数の勾配の力線を数えることで定義される。フレアーホモロジーは、このチェーン複体のホモロジーである。
フレアーホモロジー
フレアーのアイデアをうまく適用できる状況では、勾配の力線の方程式が、幾何学的解析的に扱いやすい典型的な方程式である。シンプレクティックフレアーホモロジーに対し、ループ空間の中の経路の勾配の力線の方程式は、注目しているシンプレクティック多様体への円筒形(cylinder)（ループの経路の全空間）からの写像のコーシー・リーマンの方程式（の摂動バージョン）であり、解は擬正則曲線(pseudoholomorphic curves)として知られている。従って、グロモフのコンパクト性定理(Gromov compactness theorem)は、微分が well-defined で、二乗が 0 となるので、フレアーホモロジーを定義することができることを示した。インスタントンフレアーホモロジーに対し、勾配の力線の方程式はまさに、実直線と交差する 3次元多様体上のヤン・ミルズ方程式である。
フレアーホモロジー シンプレクティックフレアーホモロジー
シンプレクティックフレアーホモロジー (SFHと略記する) は、シンプレクティック多様体とその上の非退化なシンプレクティック写像と結びついたホモロジー論である。シンプレクティック写像がハミルトニアンであれば、ホモロジーはシンプレクティック多様体のループ空間（の普遍被覆）の上のシンプレクティック作用の研究から出て来る。SFH はシンプレクティック写像のハミルトニアンイソトピーでは不変である。
ここで、非退化とは、どの固定点でもシンプレクティック写像の微分の固有値には1がないことを意味し、この条件は固定点が孤立していないことを意味する。SFH はそのようなシンプレクティック写像の固定点によって生成される鎖複体のホモロジーである。そこでは微分（写像）が、実直線とシンプレクティック写像のトーラス写像(mapping torus)の直積の中のある擬正則曲線を数え上げる。これ自体は元の多様体よりも2次元大きな次元のシンプレクティック多様体で、概複素構造を適当に選ぶと、その中の穴のあいた（有限エネルギーの）正則曲線は、シンプレクティック写像の固定点に対応する写像トーラスの中のループに漸近的に近づく円筒形の端点を持っている。相対インデックスは固定点のペア毎に定義され、微分（写像）は相対インデックス 1 を持つ正則シリンダーの数を数える。
フレアーホモロジー シンプレクティックフレアーホモロジー
コンパクト多様体のハミルトニアンシンプレクティック写像のシンプレクティック フレアーホモロジーは、基礎となっている多様体の特異ホモロジーと同型である。このようにして、その多様体のベッチ数の和が、非退化なシンプレクティック写像の固定点の数に対するアーノルド予想の一つのバージョンで予想される下界を意味する。ハミルトニアンシンプレクティック写像の SFH もまた、量子コホモロジーと同値な変形されたカップ積であるパンツペアの積を持っている。積のバージョンでは、完全でないハミルトニアンシンプレクティック写像に対しても存在する。
多様体 M の余接バンドルについて、フレアーホモロジーは非コンパクトであるために、ハミルトニアンの選択に依存している。無限遠点で二乗になっているハミルトニアンに対して、フレアーホモロジーは M の自由ループ空間の特異ホモロジーになっている(このステートメントに対しては、様々なバージョンの証明がある。Viterboによるもの、Salamon-Weberによるもの、Abbondandolo-Schwarzによるもの、Cohenによるもの)。基礎となる多様体のループ空間のホモロジー上の位相的弦理論に対応する余接バンドルのフレアーホモロジーの上の作用素は、さらに複雑になっている。
フレアーホモロジー シンプレクティックフレアーホモロジー
フレアーホモロジーのシンプレクティックバージョンは、ホモロジカルミラー対称性予想の定式化の中で決定的な方法となっている。
1996年、S. Piunikhin、D. Salamon、M. Schwarzは、フレアーホモロジーと量子コホモロジー環との間の関係についての結果をまとめ、次のように定式化した。Piunikhin, Salamon & Schwarz (1996)
半正なシンプレクティック多様体 (M,ω) のループ空間のフレアーコホモロジー群は、M の通常のコホモロジーと自然に同型となる。ただし、被覆変換に関する適当なノビコフ環とのテンソル積を取るものとする。
この同型は、フレアーホモロジー上のパンツペアの積を持つ M のコホモロジーの量子カップ積構造と密接に関連する。
上記の半正という条件とシンプレクティック多様体 M がコンパクトであるという条件は、ノビコフ環と、フレアーホモロジーと量子コホモロジーの定義の双方を得るために必要となる。半正という条件は次の3点のことを言う。
フレアーホモロジー シンプレクティックフレアーホモロジー
すべてのπ2(M)に属する A と λ ≥ 0 に対して  が成立する (M は単調という)。
すべてのπ2(M)に属する A に対し、 が成立する。
<c1,π2(M)>=NZにより定義される最小チャーン数 N ≥ 0 が n - 2 に等しいかまたは大きい.
シンプレクティック多様体 M の量子コホモロジー群は、通常のコホモロジーとノビコフ環 Λ のテンソル積、つまり、
.
と定義できる。このフレアーホモロジーの構成は、M 上の概複素構造の選択とは独立であることも説明するし、モース理論や擬正則曲線の考え方から得られたフレアーホモロジーとの同型も説明できる。ここで、背景としてホモロジーとコホモロジーの間のポアンカレ双対があることに注意が必要である。
フレアーホモロジー 3次元多様体のフレアーホモロジー
閉じた3次元多様体についての複数のフレアーホモロジーの間には、同値関係があると予想されている。3つのタイプのホモロジー群が互いに同値であり、完全三角性を形成すると予想されている。3次元多様体の結び目は、それぞれの理論のチェイン複体のフィルトレーションを引き起こし、チェインのホモトピータイプが結び目不変量となる。（それらのホモロジーは、組み合わせ的に定義されたコバノフホモロジーと同じような公式の性質を満たす。）
これらのホモロジーは、4次元シンプレクティック多様体のタウベスによるグロモフ不変量と同じように、4次元多様体のドナルドソン不変量やサイバーグ不変量と密接に関連している。3次元ホモロジーをこれらの理論に対応させる微分（写像）は、3次元多様体の交叉 R 上の微分方程式であるヤン・ミルズ理論やサイバーグ・ウィッテン理論やコーシー-リーマン方程式、をそれぞれの解を考えることであることが分かる。3次元多様体のフレアーホモロジーも境界を持つ 4次元多様体の相対的な不変量の対象となるべきで、3次元多様体を境界として張り合わせることで得られる閉 4次元多様体の不変量と、張り合わせる構成により関連付けられる。(これは位相的場の理論の概念と密接に関連する。) ヒーガードフレアーホモロジーに対し、3次元多様体のホモロジーが最初に定義され、後日、閉 4次元多様体の不変量がこの方法で定義された。
フレアーホモロジー 3次元多様体のフレアーホモロジー
3次元多様体のホモロジーの境界を持った 3次元多様体への拡張も存在していて：縫い合わせフレアーホモロジー(Juhasz 2008) や境界を持つフレアーホモロジー(Lipshitz, Ozsvath & Thurston 2008)がある. これらは 2つの境界を持つ3次元多様体の境界に沿った併合として記述される 3次元多様体のフレアーホモロジーの張り合わせ公式により、閉3次元多様体の不変量に関連していると期待されている。
3次元多様体がサイバーグ-ウィッテンの場合に、クロンハイマー(Kronheimer)とムロフカ(Mrowka)の始めた接触構造を持っているとき、3次元多様体のフレアーホモロジーは別なホモロジーの要素を持つことになる。(一つの接触構造を選択すると、埋め込まれた接触ホモロジー(embedded contact homology)（ECHと省略する）が定義される。埋め込まれた接触ホモロジーは、Hutchings (2009)に解説されているので、参照）
これらの理論はすべて、もともと相対的次数を持っていることになり；これらは、SWFについては（2-平面の場のホモトピークラスを割り当てることで）絶対的次数へ持ち上げられ、また ECH については SWF-ECH の同型を使い持ち上げる。