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ケルスターバッハ 歴史
ヘッセン＝ダルムシュタット方伯へのアムト・ケルスターバッハの密かな売却は、帝室裁判所での長期にわたる権利闘争をもたらした。1601年から1711年まで争われた結果、最終的にはイーゼンブルク＝ビューディンゲン家の完全な敗北で終わった。その間にケルスターバッハ城は三十年戦争でスウェーデン軍によって破壊された。エルンスト・ルートヴィヒ方伯はケルスターバッハを、交通の便の良い土地にあるにもかかわらず、手工業都市として拡充させる計画を立てていた。1699年から1712年に現在も存在しているノイケルスターバッヒャー通りが造られた。通りに面して 3階建ての住居や作業場が設けられ、ここにカルヴァン派の難民を住まわせる計画であった。しかし多くの問題が起こり、この計画は頓挫した。
ケルスターバッハ 歴史
18世紀中頃、ルートヴィヒ8世は、民営のファヤンス焼きの工場を引き取り、陶磁器業を興した。マイセンで修行した絵付師クリスティアン・ダニエル・ブッシュにその運営が託された。ケルスターバッハで働いた最も有名な陶工がカール・フォーゲルマンである。その工場（ケルスターバッヒャー・ポルツェラン）は、1761年から1768年までしか操業しなかった。その製品はダルムシュタットのヘッセン大公陶磁器コレクションに収蔵されており、オンラインカタログで見ることもできる。2011年に、ケルスターバッハの陶磁器業250年を記念して、ダルムシュタットのプリンツ・ゲオルク宮殿でケルスターバッハ磁器のコレクション展が開催された。1756年にアムトの役場はメルフェルデンに移されたが、アムト・ケルスターバッハの名前はそのまま残された。
ケルスターバッハ 歴史
1821年に創設されたグロース＝ゲーラウ行政管区は、新たに設けられた行政区分で、旧アムト・ケルスターバッハはこれに編入された。役所はランゲンに置かれた。この行政管区は、早くも1832年にグロース＝ゲーラウ郡に改編された。これ以後今日に至るまで、ケルスターバッハはグロース＝ゲーラウ郡の歴史と郡域に組み込まれている。1900年にヘルフマン通り労働者住宅地が建設された。1899年に設立された自動車工場が1904年にフェアアイニヒテ・クンストザイデンファブリーク（＝合同人絹工場）、後のフェアアイニヒテ・グランツシュトフ AG へ転換したことは重要である。この工場はその後、2000年にグローバル化の犠牲となるまでの100年間、当時人口 3,000 人だった街の発展に寄与した。
第二次世界大戦中、ケルスターバッハには、多くは東ヨーロッパから連行された外国人強制労働者の通過収容所があった。このため、「ルッセンラーガー」（直訳すると「ロシア人収容所」）とも呼ばれた。収容所は現在のアウトバーン近くの変電所の場所にあった。
20世紀後半には、南に境を接するフランクフルト空港の拡張によって市の面積はかなり削られた。ケルスターバッハはヘッセン州の行政改革に伴って、空港に接する 733 ヘクタールの土地をフランクフルト市に割譲した（1975年10月14日のフランクフルト・アム・マインとの市境変更および討議事項示談書）。重要な経済基盤が失われる危惧に対して、利益分配制度が締結された。こうして発展は持続されたが、自治体の独立性に対して疑問が起こり、ケルスターバッハは徐々にグロース＝ゲーラウ郡の他の自治体から分離して考えられるようになっていった。1974年、ヘッセン州の地域再編に伴うフランクフルト周辺自治体連合への加盟により、フランクフルトへの合併を一旦は逃れた。
ケルスターバッハは、1952年にラウンハイムとともに都市権を与えられた。
人口推移は以下の通り。
ケルスターバッハ 宗教
ケルスターバッハには、ヘッセン＝ナッサウ福音派教会に属す3つのプロテスタント教会組織がある。キリスト教会、平和教会、聖マルティン教会である。マインツ司教区リュッセルスハイム首席司祭区に属すカトリック教会がヘルツ＝イェズ教会組織で、ヘルツ＝イェズ教会や聖マルクス教会で祭事を行っている。
ケルスターバッハ 行政
ケルスターバッハ市の市議会は、37議席からなる。
ケルスターバッハ市の市長は、2008年からマンフレート・オッケル (SPD) が務めている。
ケルスターバッハ 経済と社会資本
ケルスターバッハにはアウトバーン A3号線のインターチェンジがあり、連邦道 B40a号線とアウトバーン誘導路を使って、迅速に A66号線にアクセス可能である。連邦道 B43号線は、ケルスターバッハ市内を通っている。2010年春以降、ケルスターバッハを通る連邦道 B43号線は一般道に格下げされ、市の管理下に置かれている。市の管理責任者は、総重量 3.5 t 以上の車輌を B40号線、空港環状線、オクリフテラー通りに迂回させ安全性を確保する新たな交通規制を設けた。これにより、旧B43号線を通る通過交通量が抑制されるとともに、ケルスターバッハの産業地区にとっては、アウトバーン A3号線のケルスタバッハ南インターチェンジを経由してケルスターバッハに至るルートが確保された。
ケルスターバッハ市内をマイン鉄道が通っており、ケルスターバッハ駅でフランクフルト空港へ向かう空港線が分岐している。
Sバーンの S8号線、S9号線が通っている。この路線を使うと、3分弱でフランクフルト空港へ、約 15分でフランクフルト中央駅へ、約 30分で州都のヴィースバーデンにアクセスできる。
ケルスターバッハ 経済と社会資本
ケルスターバッハでは LNVG GG が 4系統、traffiQ が 1系統のバス路線を運営している。これらの路線の運行はクールヘッセン地方交通 (RKH) およびアウトブス・ジッペル社である。
ノルト＝ジュート＝ライトゥング（ドイツ西部を南北に結ぶ送電網）の建設に伴い、1926年にケルスター近郊に大きな変電所が建設された。現在は、RWE AG 傘下のこの変電所では、380, 220, 110 kV の電圧が扱われている。フランクフルト空港の拡張のため、南側からの高圧送電線は何度も張り直された。計画された着陸用滑走路建設のために変電所は2006年から2007年にかけて移転され、近代化がなされた。
ケルスターバッハには大きな室内レジャープール施設があったが2008年3月に閉鎖され、新しい小振りのスポーツ・レジャープールに改装された。また、グロース＝ゲーラウ郡で最も大きく、最も近代的な市立図書館（2008年ヘッセン図書館賞受賞）、工学総合学校、多くの基礎課程学校、1校の特別学校がある。ケルスターバッハ市は、自らが学校経営を行っているヘッセン州唯一の郡所属市（ただし、人口5万人以上の特別市を除く）である。教会が経営する 7園の幼稚園は市の補助を受けている。かつての城館は青年センターとして利用されている。
ケルスターバッハ 経済と社会資本
日用品以外の買い物をする店は市内にはほとんどないが、ショッピングセンターが建設中（2008年現在）である。
近郊のレジャースポットには、すぐ近くのマイン川の岸辺、夏にはかなり混み合うジュートパーク（南公園）、湖や鳥獣保護区もある広大なシュタットヴァルトがある。マイン川の岸辺を除き、これらの場所は、2007年末に計画監査局が許可したフランクフルト空港拡張計画に基づき、かなりの部分がフラポート AG（フランクフルト空港の管理運営会社）の管理下に置かれることになっている。
マイン川沿いには多くの自転車道が通っている。
ケルスターバッハは、すぐ近くに位置するフランクフルト空港の恩恵を受けると同時に制約も受けている。ケルスターバッハ南産業地区は空港に接する位置にある。数多くの流通会社がここに支社を置いている。
かつて精油所があったマイン川沿いの広さ 110 ha のメインヒホーフ・ゲレンデにフラポートAGは新しい工業・産業地区を開発した。ここに、主に小口、個人向けを対象とした流通業者が最初の企業として立地した。ここは計 6,000人が働く産業地区となる予定である。
ケルスターバッハ 経済と社会資本
スポーツ施設や市の文化施設では活発なサークル活動（約 90 のサークルやグループがある）が行われている。ケルスターバッハは「サークルの街」を自称している。多くの文化活動の他、ケルスターバッハは9月の第1日曜日に開催される伝統的な教会開基祭で市外にも知られている。この「ケルヴェボルシュ」と呼ばれる祭は、現在も多くの人を集めている。その1週間後に開かれる旧市街祭は、市内のサークルが参加して開催されている。
ケルスターバッハのサークル、協会、連盟などは、この他にも、スポーツ、音楽、歌謡イベントや啓発教育、研鑽教育、趣味の芸術、様々な分野の公益・社会活動を行っている。また、水難救命分野で最も貢献の高いサークルの一つである DLRGケルスターバッハは、この街に本部を置いている。
劉禕 (南朝宋)
劉 禕（りゅう い、436年 - 470年）は、南朝宋の皇族。東海王。文帝劉義隆の八男。字は休秀。
劉禕 (南朝宋) 経歴
文帝と陳修容のあいだの子として生まれた。文帝の諸子のうちでは最も凡劣と評された。元嘉22年（445年）2月、東海王に封じられた。元嘉26年（449年）、侍中・後軍将軍となり、領石頭戍事をつとめた。後に冠軍将軍・南彭城下邳二郡太守・散騎常侍に転じた。さらに会稽郡太守に転じた。元嘉29年（452年）、使持節・都督広交二州荊州之始興臨安二郡諸軍事・車騎将軍・平越中郎将・広州刺史に任じられた。
元嘉30年（453年）、劉劭が文帝を殺害して帝を称すると、劉禕は安南将軍の号を受けたが、まだ広州に赴任していなかった。孝武帝が即位すると、再び会稽郡太守となり、撫軍将軍の号を加えられた。孝建元年（454年）、建康に召還されて秘書監となり、散騎常侍の位を加えられた。10月、撫軍将軍・江州刺史として出向した。孝建3年（456年）10月、平南将軍の号を受けた。大明2年（458年）、建康に召還されて散騎常侍・中書令となり、驍騎将軍を兼ねた。大明3年（459年）3月、衛将軍・護軍将軍の号を受けた。7月、南豫州刺史に任じられた。開府儀同三司の位を加えられ、国子祭酒を兼ねた。大明7年（463年）、司空に上った。泰始元年（465年）12月、明帝が即位すると、劉禕は太尉となり、侍中・中書監の任を加えられた。泰始4年（468年）4月、廬江王に改封された。
劉禕 (南朝宋) 経歴
泰始5年（469年）、柳欣慰が杜幼文・宋祖珍・王隆伯らと結んで劉禕を擁立しようと計画したが、失敗した。劉禕は車騎将軍・開府儀同三司・南豫州刺史となり、宣城に身柄を移された。泰始6年（470年）6月、自殺を強いられた。享年は35。遺体は宣城に葬られた。
子に劉充明（451年 - 478年）があり、輔国将軍・南彭城東莞二郡太守であったが、新安郡歙県に流された。
1958年アルペンスキー世界選手権
1958年アルペンスキー世界選手権は、オーストリアのバート・ガスタインで1958年2月2日から9日までの日程で開催された。男女の滑降、大回転、回転、アルペン複合の計8種目が実施された。
ビショップストーン (バッキンガムシャー)
ビショップストーン (Bishopstone) は、イングランド南部バッキンガムシャー州アイルズベリー・ヴァーレ (Aylesbury Vale) の行政パリッシュ (civil parish) であるストーン・ウィズ・ビショップストーン・アンド・ハートウェル (Stone with Bishopstone and Hartwell) にある農村集落。
ビショップストーン (バッキンガムシャー) 歴史
この村の名は、イングランドではありふれたもので、「主教の領地 (Bishop's Estate)」という意味である。地名で言及されている主教が誰なのかは分からなくなっているが、村周辺はかつてのリンカン教区 (diocese of Lincoln) に属しており、おそらくはリンカン司教 (Bishop of Lincoln) が所有する領地であることを表した名だったのであろう。この村の名は、1227年の荘園（マナー）文書に「Bissopeston」という綴りで記されたのが最初に記録である。
ビショップストーン (バッキンガムシャー) 位置
ビショップストーンは、ストーン (Stone) の東1マイル、アイルズベリーの南2マイルほどの農地が広がる一帯に位置している。村はチルターン丘陵 (Chiltern Hills) から見下ろすことができ、特に、有名なバッキンガムシャーのランドマークで、展望が開けた場所である、クーム・ヒル (Coombe Hill) のボーア戦争記念碑 (Boer War memorial) からの眺めは特筆される。村へは、アイルズベリーからオックスフォードシャー州テイム (Thame) へ至るA418から、容易にアクセスすることができる。
ビショップストーン (バッキンガムシャー) 施設
ビショップストーンは、都市から比較的離れた位置にあり、村を通るバス路線はなく、最も近い鉄道駅はアイルズベリー駅 (Aylesbury railway station) か、南方2.5マイルのリトル・キンブル駅 (Little Kimble railway station) となる。メイン・ロード (Main Road) のパブ「The Harrow」は酒類販売免許をもち、食事も提供している。村の中には商店はないが、隣村のストーンには、パブ2軒とインド料理レストラン、ガソリンスタンド、骨董品店、グロサリー（食料品店）、郵便局がある。
夜をあける
『夜をあける』（よるをあける）は、nothingmanの3枚目のミニアルバム（自主制作を含めると4枚目）。2011年12月7日にONE BY ONE RECORDSから発売。
夜をあける 収録曲
（全曲作詞: 宮下浩 / 作曲: nothingman）
IXiGO.com
iXiGO.com (発音:"ik-si-go")とは、インドの旅行メタ検索エンジンである。
IXiGO.com 概要
運営会社をグルガーオンに置いており、2006年にアロク・バジパイ、ダルメーンドラ・ヤショーヴァルダン、ラジニーシ・クマルが設立した。航空情報、ホテル、バスに関する100の異なるウェブサイトを検索しその結果を収集することで価格の比較や複数の検索条件に渡る情報を提供するといった情報仲介を行なっている。オンライン上の旅行代理店とは異なりチケットの予約は受け付けないが代わりに予約を受け付ける旅行会社のサイトを手配する。旅行業界において25年以上の経験を持つ旅行検索の愛好家やベテランによるLe Travenues Technology Pvt Ltdが立ち上げた。「インド旅行版Google」を目指すとしている。
収益モデルはインドの大手ホテル・航空会社と提携で自社ウェブサイト上に掲載されたクリック型広告である。Travelguru.com、hostelworld.comといった40以上のホテル情報収集サイトやジェットエアウェイズ、キングフィッシャー航空、インディゴ航空といったインド国内の全大手航空会社と共に業務にあたっている。
会社のスローガンは、"your travel search begins here"。
IXiGO.com 受賞
立ちあげに先立ち、インドにおけるインターネット関連トップクラススタートアップ6社の1社に選出され、Proto.inという国内唯一のスタートアップ展示イベントにも出展した。2008年、BAFスペクトラムから金額非公開ながら投資を受けた。レッドヘリング誌でも2007年Global 100とRed Herring Asia 100というアジアと世界それぞれの一流革新的企業一覧でファイナリストに選出された。またNASSCOMによるIndia's National Association of Software & Services Companies)の100 IT Innovators 2007や、ビジネス・トゥデー（インド）の2008年注目すべき最も熱いスタートアップ10社にもそれぞれ選出された。
IXiGO.com 投資
2011年8月、インドでのオンライン旅行取引のための顕著な取引としてSAIFパートナーズとメイクマイトリップが1850万ドル投資した。
岳南電車
岳南電車株式会社（がくなんでんしゃ、英: Gakunan Electric Train Co.,Ltd.）は、静岡県富士市で鉄道路線（岳南鉄道線）を運営する富士急グループの鉄道事業者。岳南鉄道の鉄道部門を2013年に分社化して設立された。
岳南電車 概要
岳南鉄道線は、開業以来岳南鉄道によって経営されていた。しかし同社経営時代末期には旅客収入・貨物収入とも減少傾向にあり、主に旅客運送の面でイベント列車の運行や多客時の増結運行によるサービス向上などに努めたものの、毎年数千万円の営業赤字（営業損失）を計上していた。2011年3月期の有価証券報告書によれば、2010年度の営業赤字は6263万8千円となっていた。また2011年度には主力事業であった貨物輸送が廃止され、更なる経営悪化を招いた。こうした事情を踏まえ、2013年度より岳南電車が発足し、鉄道事業が移管された。
厳しい経営状況の一方、沿線の景色を生かした活性化の試みもなされており、「懐かしい駅の明かりや工場夜景など貴重な夜景が沿線全体に存在する」として2014年度（第10回）の日本夜景遺産に認定された。鉄道領域では初の認定で、2014年からはこれを生かした予約制の「夜景電車」も運行している。
2019年の利用者数は86万人と1960年代の年間500万人には遠く及ばないが、通勤・通学以外の利用者が2割を占めている。
岳南電車 車両
ここでは、岳南鉄道時代の保有車両についても取り扱う。
なお岳南鉄道時代より、保有車両は電車・電気機関車共に他社からの譲受車両で占められている。輸送量の急激な減少に伴い、1981年当時は電車12両・電気機関車7両在籍していた保有車両が、2015年4月には電車5両・電気機関車1両（休車）まで減少した。
いずれも元京王帝都電鉄車である。
かつては木造車の鋼体化車や元小田急車などの雑多な旧型車で占められていた。老朽車を1両単位で置き換えていたこと、その置き換えの際に場当たり的に形式車号が決定されていたため、形式車号と実車の相関性が希薄であること、台車などの振り替えも頻繁に行われていたことから、その内容や変遷は極めて複雑である。なお、鋼体化車や小田急車入線以前は木造車が大勢を占め、富岩鉄道からの買収国電払い下げ車なども在籍していた。
以下は既存の木造車の機器を流用して車体を新製したものと、小田急から車体・台車を譲受して一部を電装したものに大別される。小田急から譲受した電動車の本来の主電動機は4000形に転用されたため、主電動機は国鉄の中古品などを装備していた。これらは5000系導入まで使用された。
岳南電車 乗車券
有人駅である吉原駅・吉原本町駅・岳南富士岡駅の窓口において硬券を販売しているほか、吉原駅には自動券売機が設置されている。TOICA、Suica などの交通系ICカードは岳南電車ではIC乗車券としては利用できないが、吉原駅の自動券売機で電子マネーとしては利用でき、片道乗車券と一日乗車券を購入できる。
一日乗車券として、平日・休日とも利用できる「全線1日フリー乗車券」を大人750円・小人310円（2025年10月時点）で発売している。2015年6月までは平日用と休日用で分かれており、2012年時点で平日700円・休日用400円、2014年の消費税増税後は平日用720円・休日用410円で発売されていた。また、一日乗車券とは別に、期間中の任意の一日に乗り放題の「こどもフリーパス」が児童の春・夏・冬季休暇中に小人210円（2025年10月時点）で販売されている。
寺田緑郎
寺田 緑郎（てらだ ろくろう、1963年5月6日 - 2016年3月2日）は、日本の撮影監督。日本映画撮影監督協会（J.S.C.）所属。
寺田緑郎 経歴
千葉県出身。1990年、日本映画学校卒業。2012年『終の信託』で第56回三浦賞（新人賞）を受賞。
森戸川
森戸川（もりどがわ）は、日本全国各地を流れる河川名称。
安田亘宏
安田 亘宏（やすだ のぶひろ、1953年 - ）は、日本の観光学者。旅の創造研究所（旅創研）所長。
青山学院大学経済学部卒業、法政大学大学院政策創造研究科博士後期課程修了、博士(政策学)。
1977年株式会社日本交通公社（現、株式会社JTB）に入社、2006年JTBグループ旅の販促研究所所長。2010年西武文理大学サービス経営学部教授(-2019)を経て現職。
東京福祉大学・東京立正短期大学・新潟青陵大学非常勤講師、JTBツーリズムビジネスカレッジ専門講師。
日本語教師、日本酒学講師・唎酒師。
ホールズギャップ
ホールズギャップ  (Halls Gap) はオーストラリア・ビクトリア州の西地域の人口430人（2016年）の小さな町で、グランピアンズ国立公園の観光拠点である。州都メルボルンの256キロメートル西にあり、車で約3時間かかる。
ホールズギャップ 歴史
オーストラリアの原住民であるアボリジニはオーストラリアの各地に約5,000年前から住んでいた。
1830年代に最初の欧州人がこの地を探検する。
1841年、欧州人のチャールズ・ホール（Charles Browning Hall）が、牛の牧草地を求めて最初にこの地に定住し、大きな農場を設けた。その場所は、グランピアンズのすぐ東、原住民（Tjapwurong族）が "Mokepilli"と呼ぶ場所だった。
ある日、チャールズ・ホールは、アボリジニの歩く道をたどり、山と山のすき間（gap、ギャップ）のような土地を見つけた。そこは、現在、ホールズギャップの街がある土地だが、そこで、アボリジニの部族（Jardwa族かBuandik族）に出会い、大牧場にした
ホールズギャップは一時期、牛泥棒の牛置き場に使われたが、その後、羊の牧場になった。1860年代に、近くの街・スタウェル（Stawell）で金が見つかり、人々が集まりはじめ、周辺の街ホールズギャップにも人が来るようになった。
1876年、ホールズギャップに最初の商店がオープンし、1890年代に労働者の宿舎や学校が設けられた。1893年2月3日に郵便局が開設され、1896年に閉鎖されたが、1902年、再開された。
ホールズギャップ 現在
現在のホールズギャップは、グランピアンズ国立公園の観光拠点として観光産業の街である。約20軒の宿泊施設があり、パブ、レストラン、カフェ、スーパーマーケット、商店がある。
宿泊施設はホテルだけでなく、キャラバンパークやユースホステル（Halls Gap Grampians YHA）など多様である。国立公園インフォメーションセンターとアボリジニ文化センターを兼ねた施設・ブランバク（Brambuk）もある。
ホールズギャップ動物園（Halls Gap Zoo）は、街の中心から7㎞離れている。ゴルフ場（ホールズギャップ・ゴルフクラブ、Halls Gap Golf Club）も近郊にある。
ホールズギャップ 交通
ホールズギャップは、グランピアンズロード（Grampians Road）にある。ビクトリア州都のメルボルンの256キロメートル西にあり、道路は舗装されており、約3時間の快適なドライブで到着できる。
公共の乗り物だと、電車とバスがある。参考までに、メルボルンからV/Line Coachを利用する例をあげる（2013年4月7日時点）。メルボルンからアララット駅（Ararat Station）まで電車で約2時間10分。乗り換えて、バスでスタウェル駅（Stawell Station）まで約25分。乗り換えて、バスでホールズギャップまで約34分。待ち時間を含め、合計3時間半である。
ウォーナンブール (ビクトリア州)から、クリスチャンズ（Christian's Bus Company）のバスもある。
ホールズギャップに飛行場はない。最短の飛行場は90㎞離れたハミルトンの飛行場になる。
松の木峠
松の木峠（まつのきとうげ）は、山口県岩国市と広島県廿日市市を結ぶ峠である。標高776m。
松の木峠 概要
国道434号が通っている。山口県側は狭隘でヘアピンカーブが連続しているが、広島県側は離合可能で比較的通行しやすい。
中国自動車道の冠山トンネルはこの峠のやや北側を通過しているが、峠の付近にICは設置されていない。
黒宮ニイナ
黒宮 ニイナ（くろみや にいな、1985年8月27日 - ）は、日本のタレント、モデル。血液型B型。
ビルマ（現ミャンマー）・ラングーン（現ヤンゴン）生まれ。愛知県名古屋市育ち。名古屋外国語大学卒業。
黒宮ニイナ 略歴・人物
両親がともにミャンマー人（ビルマ族）。母が日本人男性と再婚したため、11歳の時に来日。「黒宮 ニイナ」は本名であり、「黒宮」は再婚した父の姓、「ニイナ」はビルマ語の名前「ニィ イン ナンダー」の頭文字をとったものである。
2014年7月14日に日本人の一般男性との結婚および妊娠を発表。同年12月3日に男児を出産。
特性類
特性類 (とくせいるい、英: Characteristic class) は、位相群を構造群とするファイバーバンドルの不変量であり、（十分性質がよい）位相空間Xを底空間とするファイバーバンドル
に対し、Xのコホモロジー群の元を対応させる対応関係
で、「自然な」ものである。
原理的には任意のファイバーバンドルに対して特性類を定義できるが、研究が進んでいるのは主にベクトルバンドルに対する特性類である。ベクトルバンドルの特性類は以下の数学の分野に応用がある：
またXが可微分多様体であれば、Xの接バンドルTXの特性類をX自身の不変量とみなす事ができる。接バンドルTXはXの可微分構造に依存しているので、ミルナーはTXの特性類を利用する事により、7次元球面と位相同型だが微分位相同型ではない可微分多様体の存在を示した。
1935年の多様体上のベクトル場についてのエドゥアルト・シュティーフェル (Eduard Stiefel) とハスラー・ホイットニー (Hassler Whitney) の仕事より、特性類の考え方が発生した。
特性類 定義と基本的な性質
以下、Fをファイバーに持つファイバーバンドルの事をF-バンドルと呼ぶこととし、全空間E、底空間Xおよび射影からなるF-バンドルをと表記する。特性類の概念を厳密に定義するには圏論の概念を使う必要があるので、まずは若干厳密性を犠牲にした定義を以下に述べる：
定義 (特性類) ― Gを位相群とし、FをGが作用する位相空間とし、Aをアーベル群とし、さらにqを非負整数とする。このとき次数qのA係数特異コホモロジー群におけるGに関する特性類とは、CW複体を底空間とし構造群Gを持つF-バンドルにコホモロジー群の元を対応させる「対応関係」
で、任意のCW複体X、Y、構造群Gを持つY上の任意のF-バンドル、および任意の連続写像
に対し、
が成立するものの事をいう。またF-バンドルのcによる像の事をξの(cに関する)特性類と呼ぶ。
上の定義における記号の意味を説明すると、における左辺のは、fがコホモロジーに誘導する写像
の事であり、右辺のはX上のF-バンドルのfによる引き戻しによって定義されるY上のF-バンドルの事である。
特性類 定義と基本的な性質
上の定義に関して２つの注意点を述べる。第一に、上の定義におけるバンドル写像fは構造群GのFへの作用と両立するもののみを考えている。したがって例えばn次元実ベクトルバンドルをを構造群として持つ-バンドルとみなしたとき、各点のファイバー上にバンドル写像fを制限したは線型同型写像でなければならず、行列式が0になってはならない。逆に言えば、いずれかの点で行列式が0になるfに対してはが成立する必要はないし、次元が異なるベクトルバンドル間の写像に関してもこの性質が成立する必要はない。
第二に、本項では多くの教科書と同様、ファイバーバンドルの底空間BがCW複体である場合に限定して特性類を定義したが、より一般の空間、例えばパラコンパクトな位相空間に対しても特性類を定義できる。ただしこの場合本項で述べる性質のいくつかは成立しない。なお幾何学における多くの用途ではCW複体を対象にすれば十分である。実際、任意の可微分多様体は単体的複体、したがってCW複体と位相同型になる事が知られており、（可微分とは限らない）位相多様体もコンパクトな場合はCW複体とホモトピー同型になる事が知られている。さらにいえば任意の位相空間はCW複体と弱ホモトピー同型である。
また本項では底空間Bに対してはCW複体である事を要求したものの、構造群G、ファイバーF、全空間Eは（CW複体とは限らない）任意の位相群、位相空間でよい。
特性類 定義と基本的な性質
構造群を持つファイバーバンドルの性質として以下が知られている：
定理 ― X、Yを位相空間とし、を位相群Gを構造群として持つF-バンドルとし、さらに2つの連続写像
がホモトープであるとする。このときf、gによる引き戻し、は自然に同型である。
よって特に任意の特性類cに対し、
すなわち特性類を考える上では、底空間の間の写像はホモトピークラスのみを考慮すればよい。
以上では特性類の定義に「対応関係」という未定義の言葉を使ったが、圏論の概念を使えばこうした未定義の語に頼らずに特性類の概念を定義できる：
定義 (特性類の厳密な定義) ― G、A、qを上の定義と同様に取る。対象をCW複体、射を連続写像のホモトピークラスとする圏CWをとし、さらにSetを集合の圏とし、
反変関手
を以下のように定義する：
このとき、次数qのA係数コホモロジー群における構造群Gを持つF-バンドルに関する特性類とは、反変関手から反変関手
への自然変換の事である。また構造群Gを持つF-バンドル（の同型類）のcによる像の事をξの(cに関する)特性類と呼ぶ。
なお、上述の特性類の定義において圏CWの射は連続写像としたが、下記の定理より、これを胞体写像に変えても定義は同値になる：
特性類 定義と基本的な性質
定理 (胞体近似定理（英: cellular approximation theorem）) ― X、YをCW複体とすると、
任意の連続写像は胞体写像(英: cellular map)とホモトープである。
特性類に登場するコホモロジーとして、特異コホモロジーより簡便な（だが特異コホモロジーと同値である）胞体コホモロジーを用いる場合は議論に胞体写像を用いる必要があるのでこの定理は有用である。
以下の事実は特性類を具体的に定義する上で鍵となる重要な性質である：
定理 ― 構造群GのファイバーFへの作用が効果的であれば、構造群Gを持つF-バンドルと、構造群G を持つ主G-バンドルと1対1対応する。
この定理と特例類の定義からファイバーバンドルの特性類と主バンドルの特性類が1対1対応するという重要な事実が明らかに従う：
定理 ― GがFに効果的に作用しているとき、以下が成立する
この事実からファイバーバンドルに対して特性類を定義するには主バンドルに対して特性類が定義できる事が必要十分である事がわかる。そこで以下、おもに主バンドルにフォーカスして特性類の議論をすすめる事とする。
なお上の定理ではGがFに効果的に作用している事を仮定しているが、多くの場合この仮定は必須ではない。実際、Fが十分性質の良い空間、たとえはCW複体であれば、GのFへの作用が連続である必要十分条件は、GのFへ作用のから定まる写像が（にコンパクト開位相を入れたとき）連続になる事である。よってGの作用が忠実ではない場合であっても、写像のカーネルで割った位相群はFへ忠実かつ連続に作用するので、F-バンドルの特性類を定義するには主-バンドルの特性類を定義すれば良い。
特性類 分類空間
本節では位相群の分類空間のいう概念を導入し、分類空間の概念を用いて主バンドルの特性類の概念を全く別の角度から特徴づける。この分類空間を用いた特性類の定義は、後の節で特性類の具体例を構築する上で非常に有益である。
分類空間の概念を定義するため、まず以下の概念を定義する。
定義 ― 位相空間Xが弱可縮であるとは、任意の自然数nに対し、n次のホモトピー群が0になる事である。
弱可縮の概念を用いて、分類空間の概念は以下のように定義される：
定義 ― Gを位相群とする。を主G-バンドルでPが弱可縮なものとするとき、Bの事をGの分類空間（英: classifying space）といい、を（あるいは単にPを）普遍G-バンドル（英: universal G-bundle）という。
「分類空間」という名称の由来は次節に回すが、分類空間は必ず存在し、本質的に一意である：
定理 (普遍G-バンドルの存在性と本質的な一意性) ― 任意の位相群Gに対し、分類空間とその上の普遍G-バンドルが存在する。しかも分類空間はcanonicalなホモトピー同型を除いて一意であり、普遍G-バンドルもG-ホモトピー同型を除いて一意である。さらに分類空間としてCW複体を取る事が可能である。
記号の定義 ― Gの（ホモトピー同型を除いて）一意に存在する分類空間、普遍G-バンドルをそれぞれBG、PGと表記する。
特性類 分類空間
上述したように、分類空間はホモトピー同型を除いて一意ではあるものの、同一の位相群に対し位相同型ではない複数の分類空間が存在しうる。このため位相群に対する個々の分類空間の事を分類空間のモデル（英: model）という。
分類空間はその名称が示す通り、与えられた底空間上のG-バンドルは、底空間から普遍G-バンドルへの写像のホモトピークラスにより完全に分類される：
定理 (分類定理) ― Gを位相群とし、を主G-バンドルとする。
さらにXを任意のCW複体とし、をXからBへの連続写像のホモトピークラス全体の集合とし、をX上の主G-バンドルの同型類の集合とする。
このときが普遍G-バンドルである必要十分条件は任意のCW複体Xに対し、
が全単射な事である。ここではによるPのXへの引き戻しである。
なお、上の定理において写像がwell-definedな事は、ホモトープな２つの写像が引き戻したバンドルは互いに同型な事だというすでに見た事実から従う。
上記の定理から、X上の任意の主G-バンドルξに対し、写像がホモトピー同値を除いて一意に定まる。このfの事をξの分類写像（英: classifying map）という。
構造群Gを持つファイバーバンドルと主G-バンドルは1対1対応するので、上記の定理から一般のファイバーバンドルに対する分類定理が系として従う：
特性類 分類空間
系 (ファイバーバンドルに対する分類定理) ― Gを位相群とし、を普遍G-バンドルとし、FをGが忠実に作用する位相空間とし、をに随伴するF-バンドルとする。さらにCW複体Xに対し、構造群Gを持つX上のF-バンドル全体の集合をとする。
このとき、任意のCW複体Xに対し、
が全単射である。
分類定理の場合と同様、X上のF-バンドルξに対応する写像をξの分類写像（英: classifying map）という。
Gが離散群である場合は、定義より明らかに次が成立する：
定理 ― 離散群Gに対し、Gのアイレンベルグ・マックレーン空間(英: Eilenberg-Maclane space)、およびその普遍被覆空間はGの分類空間、普遍Gバンドルである。
この意味において、分類空間とは離散群におけるアイレンベルグ・マックレーン空間の概念を位相群に拡張したものである。
2つの位相群G、Hの間の連続な準同型写像が与えられたとき、φから分類空間の間の写像を定義できる。
この事を見るために主バンドルの一般論を簡単に復習する。を主G-バンドルとし、を連続準同型写像とするとき、
をを同値関係
で割った空間とする事で、バランス積（balanced product）と呼ばれるX上の主H-バンドル
を構成できる。そこでを次のように定義する：
特性類 分類空間
記号の定義 ― 
G、Hを位相群とし、を連続準同型写像とする。
普遍G-バンドルから主H-バンドルを構成すると、分類定理よりこの主H-バンドルに対応する（ホモトピー同値を除いて一意に定まる）分類写像を
と表記する。
実はこの対応関係は関手になっている：
定理 ― 以下のようにBを定義すると、Bは位相群の圏からCW空間のホモトピー同値類の圏への関手である：
本節では、後で特性類を計算するとき必要となる分類空間の性質を述べる。
分類空間の関手Bは直積に関して以下のように振る舞う。
定理 (直積の分類空間) ― G、Hを位相群とするとき、
が成立する。
ここで「」は位相空間としての直積であり、「」はBGとBHの位相空間としての直積から誘導されるコンパクト生成位相を入れた位相空間である。「」は自然なホモトピー同値であり、「」は自然な弱ホモトピー同値である。
ここで弱ホモトピー同値とは、任意のnに対しホモトピー群πnが同型になる事を指す。
なお圏論的に言えば、「」はコンパクト生成位相空間の圏における圏論的な直積になっている。
定理 (部分群の分類空間) ― Gを位相群とし、Hをその部分位相群とする。このときBG、BHのモデルを適切に選ぶと、包含写像が誘導する写像は各ファイバーがと位相同型なファイバーバンドルになる。特にHがGの正規部分群であれば、は-主バンドルになる。
特性類 分類空間
一般にG-主バンドルには、Pに対するGの自然な作用があり、この作用でPを割った空間はXと位相同型であるので、普遍GバンドルをこのGの作用で割るとが成立する。
HはGの部分群なので、Hの作用でPを割ったを考える事ができる。このときはH-主バンドルであり、しかもPGの定義からPGは弱可縮なので、はH-普遍バンドルである。よってはBHのモデルの１つであり、PGは対応するH-普遍バンドルである。
そこで以下、とみなすと、可換図式
が考えられ、この可換図式にバランス積を取ることで、
と書ける。の定義からはバランス積の分類写像であったので、上述の議論からは商写像
に一致する。はをファイバーとするバンドルであり、特にHが正規部分群であれば-主バンドルであるので定理が示された。
分類空間の概念を用いる事により、主バンドルに対する特性類の概念を以下のように特徴づける事ができる：
定理 (分類空間による特性類の特徴づけ) ― を位相群Gの分類空間とし、FをGが効果的に作用する位相空間とし、さらにAをアーベル群とする。
このとき構造群Gを持つF-バンドルの特性類とBGのコホモロジー群の元は1対1対応する。
特性類 分類空間
上述の定理の1対1関係は具体的に以下のようにかける。すでに述べたように構造群Gの忠実な作用を持つ任意のF-バンドルの特性類は主G-バンドルの特性類と主G-バンドルの1対1対応するのでこの場合に話を限定する。
まず主G-バンドルの任意の特性類cに対し、
が対応する。逆にを任意に選ぶと、主G-バンドルに対し、分類定理により分類写像がホモトピーを除いて一意に定まるので、Xのcに対する特性類を
により定義できる。
上の定理から、の元を普遍特性類(英: universal characteristic class)という事がある。上の定理は普遍特性類と特性類が1対1対応する事を意味している。
定理の証明は以下の通りである：
まずコホモロジーの元はホモトピーに依存せずに定まるので、はwell-definedである。
次に、が前の節で述べた特性類の定義を満たす事を示す。CW複体X、Yの間の任意の連続写像とY上の任意の主G-バンドルに対し、ηの分類写像をとし、X上のバンドルの分類写像をとすると、とは同型なバンドルを定めるので、分類定理よりとはホモトープである。よって
が成立する。
定理の対応関係が1対1である事は明らかである。
特性類 ベクトルバンドルの構造群の分類空間
特性類の概念は原理的には任意の位相群の主バンドルに対して定義できるが、研究が進んでいるのはベクトルバンドル（の主バンドル）に対する特性類である。
そこでベクトルバンドルの特性類について記述するための準備として、本節ではベクトルバンドルの構造群の分類空間を具体的に記述する。
すなわち本節ではに対し、一般線型群の分類空間を記述する。さらにの場合にはベクトルバンドルに向き付けが定義可能なので、向き付け可能な上ベクトルバンドルの構造群であるの分類空間についても記述する。ここでは行列式が正の上可逆行列のなす群である。
本節ではさらに、ユニタリ群、直交群、回転群の分類空間についても記述する。後述するように、、の分類空間は、実はそれぞれ、、の分類空間と等しい。
GLn(K)の分類空間を記述する為、本節ではスティーフェル多様体とグラスマン多様体を定義する。
後述するようにこれらはそれぞれ普遍GLn(K)-バンドルの全空間、分類空間になる。
定義 (スティーフェル多様体) ― とし、をK上計量ベクトル空間とする。
のn個の一次独立なベクトルの組を上のn-フレームという。さらにn個のベクトルがすべて長さ1で互いに直交しているものをn-正規直交フレームという。
特性類 ベクトルバンドルの構造群の分類空間
上n-のフレーム
とし、さらに
上のn-正規直交フレーム
を（の場合）、もしくは（の場合）と書く事にする。
、、の事をW上のn次元スティーフェル多様体（英: Stiefel manifold）という。
Wが次元mの有限次元ベクトル空間の場合は、、、は集合として自然に
という同一視ができ、上式右辺には多様体としての構造が入る事がリー群の一般論から従うので、スティーフェル「多様体」と呼ぶ。Wが無限次元の場合は、、は有限次元多様体にはならないが、言葉を混用してこの場合もスティーフェル「多様体」と呼ぶ。
定義 (グラスマン多様体) ― 、を上と同様に取り、Wのn次元部分ベクトル空間全体の集合をW上のn次元グラスマン多様体（英: Grassmannian）という。
また、のとき、Wの向きづけられたn次元部分ベクトル空間全体の集合をW上のn次元向きづけられたグラスマン多様体（英: oriented Grassmannian）という。
スティーフェル多様体と同様、Wが次元mの有限次元ベクトル空間であれば、
および
という同一視ができ、この同一視により、、に多様体としての構造が入る。
特性類 ベクトルバンドルの構造群の分類空間
スティーフェル多様体の元であるn-フレームにそのフレームの貼る部分空間を対応させる事で商写像
を定義できる。、、も同様に定義できる。
定理 (GLn(K)、U(n)、O(n)、SO(n)の分類空間) ― とし、をK上の任意の計量ベクトル空間とする。このとき、
、、、
はそれぞれ主GLn(K)-バンドル、主U(n)-バンドル、主O(n)-バンドル、主SO(n)-バンドルである。
さらに包含写像
の帰納的極限を
とし、WがK∞の場合を考えると、これらはそれぞれ普遍GLn(K)-バンドル、普遍U(n)-バンドル、普遍O(n)-バンドル、普遍SO(n)-バンドル（のモデルの1つ）である。
上記の定理に関する留意点を述べる。に対するGLn(K)の分類空間はU(n)、O(n)の分類空間と同一な空間である。
これはCW複体上の任意のベクトルバンドルには必ず内積が定義でき、グラム・シュミットの正規直交化法によりGLn(K)がU(n)、O(n)に可縮である事が理由である。
分類定理で述べたように、GnK∞上の主GLn(K)-バンドルVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルは、任意のCW複体X上のn次元ベクトルバンドルを分類する上で有益である。このためVnK∞に随伴するn次元ベクトルバンドルの事を普遍n-平面バンドル（英: universal n-plane bundle）と呼ぶ。
特性類 ベクトルバンドルの構造群の分類空間
バンドルの一般論から、普遍n-平面バンドルはと表記できるが、より具体的に表記する事も可能である。
グラスマン多様体GnKmはKmのn次元部分ベクトル空間全体のなす多様体なので、グラスマン多様体の元V＝ベクトル空間上のファイバーとして、V自身を取ったベクトルバンドルを定義でき、これをグラスマン多様体のトートロジカル・バンドルと呼ぶが、GnK∞のトートロジカル・バンドルが普遍n-平面バンドルになっている。
具体的には
とし、第一成分への射影によりをGnKm上のベクトルバンドルとみなしたものがGnKmのトートロジカル・バンドルであり、m→∞に関する帰納的極限をとった
が普遍n-平面バンドルになっている。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
本章では、複素ベクトルバンドルの特性類であるチャーン類について述べる。これまでの議論からわかるように、複素ベクトルバンドルの整数係数の特性類とは分類空間
のコホモロジーの元と1対1対応するので、の具体的構成を調べる事で複素ベクトルバンドルの特性類を決定できる。チャーン類は、の生成元である。
チャーン類について記述するため、まずの具体的構成を調べる。に対しては以下が成立する：
補題 ― 
をカップ積に関して次数付き環とみなしたとき、あるが存在し、
が成立する。ここでは変数に関するに関する多項式環である。
なお、上の補題においては偶数次のコホモロジーの元なので、上カップ積は可換であるため、が可換環であるという事実と矛盾しない。
一般のnに対しての具体的構造を求めるため、連続準同型写像
を考える。ここではをn×n行列の対角成分に配置したの元である。（なおリー群の観点からは、の極大トーラスである）。このとき以下が成立する。
補題 (Splitting Principle) ― 
が誘導する写像
は単射環準同型である。ここでαiはi番目のの生成元である。
なお、上式においてコホモロジー環における積はカップ積である。また上式の値域における同型は直積に対する分類空間の振る舞いとKünnethの公式、および上記の補題から従う。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
以上の事実から、後はのによる像がのどのような部分集合に落ちるかを決定すれば、を具体的に書きあらわす事ができる。
の像を決定するため、主バンドル一般に対して成立する以下の事実を利用する：
命題 ― 
任意の位相群G、および任意のに対し、G上の内部自己同型がBGに誘導する写像
は恒等写像とホモトープである。
命題を示すため、まず任意のu ∈ Gに対し、バランス積はG-主バンドルとしてPと同型である事を示す。実際、はP × Gを同値関係で割ったものとして定義されるので、写像をにより定義すると、任意のはを満たすのでμは全射である。また明らかになので、μは単射でもある。μとμ-1の連続性の証明は省略する。
以上の事実を用いて命題を示す。定義よりは主バンドルに対応する分類写像であり、上記の議論によりこの主バンドルは自身に等しいので、分類定理よりは恒等写像とホモトープである。
に対しを上の内部自己同型とすると、上述の命題より、がコホモロジー群に誘導する写像
は恒等写像である。単射によりをの部分群とみなし、の正規化群
をの中心化群
で割ったを考え、
と定義するとこの定義はWell-definedである。ここでは同値類を表す。
Zの元Aによる内部自己同型写像は上の恒等写像なので条件式はの代表元の取り方によらない。
また図式
が可換である事から、の像は確かに
に落ちる事がわかる。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
このとき次の事実が従う事が知られている：
定理 ― 写像
は環同型である。
一般に連結なコンパクトリー群Gに対し、Gの極大トーラスをTとするとき、Tの正規化群を中心化群で割った群
の事をGのワイル群という。なお極大トーラスは共役を除いて一意に定まる事が知られているので、ワイル群は極大トーラスの取り方によらず同型になる。またTの極大性から中心化群Z(G)は実はT自身に等しい。
明らかに前述のWはのワイル群に相当する。後はのワイル群を決定しさえすれば、の構造が決定できる。
を第i成分と第j成分を入れ替える行列とすると、明らかにである。この事実を利用すると、以下の事実が示せる：
定理 ― のワイル群は置換群と群同型であり、Wはの成分の入れ替えとしてに作用する。
定理を示すためにのにおける正規化群Nからを任意に選び、Aの形を決定する。
そのためにをを満たす相異なる複素数とし、をを対角成分に置いた行列とする。e1、...、enをの標準的な基底とし、eiが張る複素1次元部分空間をEiとすると、Uが対角行列である事から、EiはUの固有値uiに関する固有空間である。
Aが正規化群Nの元である事から、である。すなわちを満たすが存在し、とすると、が成立する。Cも対角行列である事から、としてviが張る複素1次元部分空間をViとすると、ViはCの固有値viに関する固有空間である。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
固有値分解の一意性より、ある置換が存在し、かつが成立する。Vi、Eσ(i)はそれぞれvi、eσ(i)が張る複素1次元部分空間なので、あるが存在し、が成立する。
よってを置換行列とする（はクロネッカーのデルタ）とき、viの定義より
が成立する。
はユニタリ行列なので、が成立する。すなわちである。よってワイル群においては、
が成立する。
AはNの任意の元だったので、Σnをn次の置換群とするとき、以上の議論から
は全射である。
またこの写像は単射でもある。実際をn次の単位行列とする時、であれば、が成立する必要がある。しかしの元は各eiを定数倍する行列なので、そのような形のは明らかにのケースに限る。
以上のことからワイル群Wが置換群に群同型な事が示せた。定理の後半も以上の議論から明らかに従う。
位相群に分類空間を対応させる関手Bと位相空間にコホモロジー環を対応させる関手H*が直積を保つので、上述の定理からWはのを入れ替える形でに作用する。よって
は対称多項式全体の集合に一致する。よく知られているように、任意の対称多項式は基本対称式の多項式として書けるので、以上の事実からチャーン類を以下のように定義する：
定義 (チャーン類) ― 
上の第i基本多項式
の
による逆像
を第iチャーン類（英: i-th Chern class）と呼ぶ。
紛れがなければ添字を省略し、を単にと書く。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
分類空間の元と特性類は1対1でするので、第iチャーン類に対応する特性類
をベクトルバンドルξの第iチャーン類という。分類空間の元をと区別したいときは、を第i普遍チャーン類（英: i-th universal Chern class）という。
なお、を「0次の基本対象式」とみなし、を第0チャーン類と呼ぶ。また次以上の基本対称式は存在しないので、に対しては、第mチャーン類をと定義する。
またチャーン類は埋め込みを使って定義されており、この埋め込みはの正規直交基底の取り方に依存している。しかし正規直交基底の取り替えにより、はの内部自己同型との合成に置き換わるだけなので、前述した命題から、チャーン類は正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。
以上で見たように各α1,...,αnは対称多項式の根に相当するものなので、α1,...,αnの事をチャーン根（Chern root）という。
これまでの議論とチャーン類の定義から明らかに以下の事実が従う：
定理 ― :
チャーン類の定義において、α1,...,αnの代わりに単元をこれらに掛けたをチャーン根とするようにチャーン類を定義する事もできるため、チャーン類の定義には単元uの選び方だけ自由度がある事になる。
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
そこで何らかの規約を置くことでこの自由度を消す必要があるが、どのような規約を置くかは分野による。代数的位相幾何学では普遍1-平面バンドルに対し、がのcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多いが、代数幾何学ではの双対ベクトルバンドルに対してがのcanonicalな生成元になるという規約を置く事が多い。
区別のため代数幾何学の方のチャーン類をと書くことにすると、代数的位相幾何学のチャーン類とは
という関係を満たす。本稿では以下、特に断りがない限り、代数的位相幾何学の規約を採用するものとする。
定理・定義 (チャーン類の公理的特徴づけ) ― 特性類の組でn次元複素ベクトルバンドルにの元を対応させるもの
で以下の性質を満たすものが一意に存在する。をn次元ベクトルバンドルの第iチャーン類と呼ぶ。
以下でXは任意のCW複体、ξ、ηはX上の任意の複素ベクトルバンドル、n、mはそれぞれξ、ηのファイバー（であるベクトル空間）の次元であり、「」はベクトルバンドルのホイットニー和である：
前節で定義したチャーン類が次元公理と正規化公理を満たすのは明らかである。ホイットニー和の公式の証明は下記のとおりである。
写像、が分類空間に誘導する写像を考えると、の構造とKünnethの公式から
が成立する。よってをチャーン根とすると、
特性類 複素ベクトルバンドルの特性類：チャーン類
が成立する。なお上式の２つ目の等号は、対称多項式に関する簡単な計算により従う。
ホイットニー和の公式は上式を、ξ、ηに関する分類写像で引き戻す事で従う。
一方、上記の公理を満たす特性類の一意性は数学的帰納法により容易に示せる。
チャーン類を取り扱う上で、下記のチャーン多項式を考えると便利である：
定義 (チャーン多項式、全チャーン類) ― 上と同様に記号を定義するとき、変数tに対し、
をξのチャーン多項式（英: Chern polynomial）といい、特に
を全チャーン類（英: total Chern class）という。
なお、チャーン類の定義より、チャーン多項式はチャーン根を使って形式的に
と因数分解できる。
チャーン多項式を用いると、ホイットニー和の公式は以下のように言い換えられる：
定義 ― 上と同様に記号を定義するとき、以下が成立する：
チャーン多項式は以下の性質を満たす。なお文献によっては以下の性質をチャーン類の公理として入れているものもあるが、実は他の公理から従うので、公理に入れる必要はない。
命題 ― CW複体X上の自明な直線バンドルεと任意のベクトルバンドルηに対して以下が成立する：
後者の性質は前者の性質とホイットニー和の公式から従う。また前者に関しては次元公理からとかけるので、のみ示せば良い。
を任意の一点集合とし、をへの唯一の写像とし、εxを上の自明な直線バンドルとし、さらにをの分類写像とする。明らかになので、分類定理より、εの分類写像はとホモトープである。なので、の引き戻しである。
特性類 実ベクトルバンドルの特性類
本節以降、実ベクトルバンドルの特性類を記述していくが、その記述は複素ベクトルバンドルのそれと比べかなり複雑であるので、詳細は次節以降に譲り、本節では実ベクトルバンドルの特性類の概要を述べる。
実ベクトルバンドルの特性類が複雑になる理由は２つある：
1つ目の問題を回避するために、以下ではを直接考察するのを諦め、との２つを別々に考察することにする。ここでΛは2の逆元を持つ任意の可換環である。ボックシュタインスペクトル系列を使う事でとからを計算できるので、実用上はこの２つに対する特性類が把握できていれば十分である。
2つ目の問題に関しては、ととは環構造が異なるので、この２つを両方とも考察する必要がある。
係数環がの場合の特性類の記述は比較的簡単であり、との差はさほど大きくなく、
という形で両者を記述できる。ここではスティーフェル・ホイットニー類と呼ばれる特性類で、このようなの存在はチャーン類の場合と類似した方法で証明できる。ただし第iチャーン類が2i次のコホモロジー群に属するのに対し、第iスティーフェル・ホイットニー類はi次のコホモロジー群に属するので注意が必要である。
特性類 実ベクトルバンドルの特性類
それに対し係数環がを満たすΛの場合はより複雑である。に関しては、
の形で記述でき、をポントリャーギン類という。（は4i次のコホモロジー群に属する）。ここでは床関数である。
具体的にはポントリャーギン類は実ベクトルバンドルを複素化する事で得られる複素ベクトルバンドルのチャーン類を使って
と書ける。（なお、実ベクトルバンドルの複素化の場合、奇数次のチャーン類はを満たし、よって係数環がΛの場合は必ずになる）。
一方、はnが偶数か奇数で形が異なり、
と書ける。ここでは前述のポントリャーギン類であり、χはオイラー類と呼ばれる特性類である。または多項式環においてχ2をpnと同一視して得られる環を表す。すなわちを単項イデアルで割った環である。
以上をまとめると、実ベクトルバンドルの分類空間のコホモロジーは以下のように記述できる：