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リゴンアー砦の戦い 歴史的背景
これらの襲撃に応戦するため、ブーケットはジェームズ・グラントに750人の兵をつけてデュケーヌの威力偵察を命じた。グラントは明らかに、早く勝利をものにして栄誉を受けようとしており、9月14日に砦を攻撃した（デュケーヌ砦の戦い）。デュケーヌ砦の指揮官であるフランソワ＝マリー・ル・マルシャン・ド・リニェリはグラントを罠にはめ、彼を捕囚して、兵たちの半分近くを殺し、または負傷させた。リニェリの砦は物資が不足しつつあり、補給線はイギリスによるフロンテナック砦の戦いによって切断されていた。イギリス軍の前進を阻むため、そして物資を奪うという望みを持って、リニェリはリゴンアー砦に攻撃を仕掛け、デュケーヌ砦の、実質すべての軍勢である440人のトゥループ・ド・ラ・マリンと150人のレナペ族を、シャルル・フィリップ・オーブリ の指揮のもとリゴンアー砦に向かわせた。
リゴンアー砦の戦い 戦闘
その当時のリゴンアー砦の指揮官は、ペンシルベニア植民地大佐のジェームズ・バードで、ブーケットが、遠征経路にある砦に出向いている間、留守をゆだねた人物だった。バードは物資を守るため、砦の外に多くの兵を警護に立たせ、それ以外の者を、遠征用の馬を守るため、砦から約1.5キロの、馬たちが草を食んでいる場所へやった。彼ら警備兵は分散配置されていて、フランス軍とインディアン兵の攻撃の対象となった。砦に砲撃の音が聞こえてきて、バードは約200人のメリーランドの大隊を外へ出したが、フランス軍が大規模であったためすぐさま砦に引き返した。この時までに、すべての駐屯兵約2000人は、いつでも戦場に出られるように準備を整えていた。バードは、メリーランドの大隊の援護のために、ペンシルベニアの第一部隊をやったが、フランスとインディアン軍が前進してきたため、砦の中に退いた。
リゴンアー砦の戦い 戦闘
イギリスの大砲からは勢いよく砲弾が飛び出し、フランス軍とインディアン兵はそれに圧されて撤退し、攻撃を建て直す前に夜が来るのを待った。フランス軍は、道を封鎖するということは明らかに考えていないようだった。バードはその日の午後を、兵の到着の報告についやした。夜の9時ごろ、角面堡のひとつでフランス軍の攻撃が行われようとしたが、それを上回る砲撃で撃退された。フランス軍とインディアン軍は夜を通して砦の近くにとどまり、歩哨を狙撃したり、防御の様子を調べたり、デュケーヌ砦に撤退する前に、200頭の馬を殺したり盗んだりした。
リゴンアー砦の戦い 戦闘後とその後のリゴンアー砦
フランス側の死傷者の数は比較的少なかった。オーブリの上官であるルイ＝ジョゼフ・ド・モンカルム将軍は、2人が戦死して7人が負傷したと報告している。しかしバードは、それに加えて4人のフランス兵を埋葬したと報告している。イギリス側の死傷者はそれよりも多かった。フランスの報告では、100人の頭皮を剥ぎ、7人を捕囚したとあるが、イギリス側では12人が戦死、18人が負傷、そして31人が不明としている。ブーケットはこの戦いでのイギリス軍の戦いに不満を持ち、フォーブスにこういう手紙を送っている。「この冒険では、フランス軍相手にかなりの経費が掛かり、我々は大いに恥をかいた。森の中での、我が軍の戦法に沿った部隊の動きはこれ以上ないほどによかった」
その後フォーブスが到着して、デュケーヌ砦を攻撃したが。11月24日、リニェリ指揮下のフランス軍はデュケーヌ砦を破壊して去って行った。その4日後、11月28日よりこの地はピッツバーグと呼ばれるようになった。
リゴンアー砦はポンティアック戦争にも使用された。その後改修されて、今はアメリカ合衆国国家歴史登録財に登録されている。現在の砦の内側は、元の砦より200平方フィート(18.58平方メートル)、外の囲いは1600フィート（487.7メートル）縮小されていて、中には兵舎、火薬庫、士官室などが再現されている。
大塚 (三木市)
大塚（おおつか）は、兵庫県三木市にある大字。旧美嚢郡三木町大字大塚町。郵便番号は673-0413。
大塚 (三木市) 地理
三木地区の東側の丘陵部、美嚢川の北側に半円を描いて曲がる場所に位置している。中世は久留美庄に属していた。三木の城下町の東側の入り口であり、神戸電鉄粟生線恵比須駅駅前と豊臣秀吉が整備した湯の山街道の街道筋に古い住宅地が存在している地内である。現在は湯の山街道の古い住宅は減少しているが、街道の風景を維持する運動の結果、街道筋に古い住宅が残されており面影を残している。地内の一部は君が峰町に分割されており、一時期は「大塚町侍屋敷」と呼ばれていた。由来は多くの古墳があったことから名付けられたとされている。住居表示実施済みの大塚一丁目と二丁目・住居表示未実施の地域がある。東経135度線の子午線が通過している。東側と南側は宿原、君が峰町・西側は上の丸町、本町、芝町・北側は岩宮と接する。
大塚 (三木市) 地理
三木地区の東側の丘陵部、美嚢川の北側に半円を描いて曲がる場所に位置している。近隣には美嚢川と志染川と合流している地帯である。古くから、湯の山街道の東側の三木城の城下町出入り口として機能しており、第二次世界大戦後の1970年代からは三木市東側の緑が丘町と自由が丘の新興住宅地、1980年代は南側の三木山周辺の開発が進められ、それ以降は新興住宅地と古くからある三木市中心部との接点に位置している。また、東経135度線の子午線が通過しており、それを記念して兵庫県道38号三木三田線の沿道に石柱が建立されている。東側と南側は宿原、君が峰町・西側は上の丸町、本町、芝町・北側は岩宮と接する。
1965年に三木地区で道路等を境界して、住居表示が実施され、当地内の一部が当初大塚一丁目から三丁目になる予定であったが、大塚三丁目の予定であった君が峰地区が入植当時に移り住んだ住民の「馴染んできた君が峰に愛着がある」と出された要望により、大塚一丁目の一部を編入し、君が峰町に分割され、大塚三丁目は実現しなかった。この住居表示実施は大塚は一つの地内として既に形成されていたので不評であり、現在も町内会では大塚町で活動しているが、戸籍上では分けられている。
かつては20小字が存在していたが、現在は区画整理により、大塚一丁目と二丁目・住居表示未実施区域・君が峰町に分けられ、存在しない。但し、君が峰は第二次世界大戦後の兵庫県の開発により、入植当時に移り住んだ住民の「馴染んできた君が峰に愛着がある」と出された要望により、君が峰町として残されている。古くから居住している住民の間では会話の中など場所の表現として通常、用いられている
大塚 (三木市) 歴史
中世は久留美庄に属していた。室町時代中期には成立していたと文書に記載されており、戦国時代には三木城の城下町として機能し、有馬温泉への通路であった。江戸時代には三木町の町方町の一町であり、上五ヶ町に属していた。
大塚 (三木市) 交通
この駅前の整備によって三木地区の東側の玄関口となっている。
ブキャナン郡 (アイオワ州)
ブキャナン郡（英: Buchanan County）は、アメリカ合衆国アイオワ州の北東部に位置する郡である。2010年国勢調査での人口は20,958人であり、2000年の21,093人から0.6％減少した。郡庁所在地はインディペンデンス市（人口5,966人）であり、同郡で人口最大の都市でもある。ブキャナン郡は1837年に設立され、郡名は当時アメリカ合衆国上院議員を務めており、後に第15代アメリカ合衆国大統領になったジェームズ・ブキャナンに因んで名付けられた。
ブキャナン郡 (アイオワ州) 歴史
ブキャナン郡は1837年12月21日にダビューク郡から分離して設立され、郡名は当時ペンシルベニア州選出アメリカ合衆国上院議員を務めており、後に第15代アメリカ合衆国大統領になったジェームズ・ブキャナンに因んで名付けられた。
ブキャナン郡 (アイオワ州) 地理
アメリカ合衆国国勢調査局に拠れば、郡域全面積は573.35平方マイル (1,485.0 km2)であり、このうち陸地571.26平方マイル (1,479.6 km2)、水域は2.09平方マイル (5.4 km2)で水域率は0.36％である。
ブキャナン郡 (アイオワ州) 人口動態
以下は2010年国勢調査による人口統計データである。
基礎データ
以下は2000年国勢調査による人口統計データである。
ブキャナン郡 (アイオワ州) 都市と町
一度は州の地図に載ったブキャナン郡内の歴史的な町の多くが現在は存在していない。ハマービルは州道150号線の交差点、ブランドンの東にあった。今日その場所には3軒の農家がある。ビスタはブランドンとインディペンデンスの間にあり、1950年代までは地図にも載っていた。現在この場所は舗装道路も無い。キーアはフェアバンクとリトルトンの間にあり、19世紀後半から20世紀初期の地図に載っていた。この地域には現在アーミッシュが入っている。ウィンスロップの南東にミドルフィールドという町が幾つか存在したが、現在は誰も住んでいない。ニュートンビルはモンティの南数マイルにあった。キャッスルビルにあった家屋は後にオーロラに移転された。ワイズはインディペンデンスとジェサップの間、州道99号線の北にあり、1920年代から1950年代は鉄道停車駅があった。この場所にはほとんど何も残っていない。キーンは1911年にカスケトンとモンティの間に設立されたが、1955年には誰も居なくなった。これらの場所には、家屋が数戸残っているか、あるいは何も無い。
ブキャナン郡は16の郡区に分割されている。
ハインリヒ・シュマウザー
エルンスト＝ハインリヒ･シュマウザー（Ernst-Heinrich Schmauser、1890年1月18日 - 1945年12月31日）は、ナチス・ドイツの親衛隊（SS）の将軍。最終階級は親衛隊大将、警察大将及び武装親衛隊大将。
ハインリヒ・シュマウザー 略歴
ホーフ・アン・デア・ザーレで実業家の息子として生まれる。1911年10月に陸軍に入りし、バイエルン第11歩兵連隊に入隊し、その後ハノーヴァーの陸運士官学校に入学した。第一次世界大戦が始まると西部戦線で戦い、3回負傷した。1919年2月に中尉の階級で軍を去り、その後は銀行員として1933年まで働いた。
ハインリヒ・シュマウザー 略歴
1930年3月1日に国家社会主義ドイツ労働者党に入党（党員番号215,704）し、同時に突撃隊にも入隊した。10月14日に親衛隊入隊（隊員番号3,359）し、15日に親衛隊大佐となる。12月15日には第7親衛隊連隊の指揮官となる。1932年7月に選挙区20区（ライプツィヒ）の選出の国会議員となるが、1932年11月の選挙で落選した。1932年8月27日に第16親衛隊地区の地区指導者となり、10月6日に親衛隊上級大佐に昇進する。1933年7月3日に親衛隊少将に昇進する。1933年11月に選挙区24区（オーバーバイエルン・シュヴァーベン）選出の国会議員となる。1933年7月15日にフリードリヒ・イェッケルンの後任として親衛隊上級地区「南」(本部ミュンヘン)の地区指導者となり、9月15日に親衛隊中将に昇進している。1934年6月に起きた長いナイフの夜事件においては親衛隊対国防軍連絡将校となり、7月1日にエルンスト・レームの処刑を命じられたテオドール・アイケとミヒャエル・リッペルトに同行して、レームが監禁されていたミュンヘンのシュタンデルハイム刑務所を訪れている。1936年3月29日に選挙区26区 (フランケン). 選出の国会議員となる。4月1日には新設された親衛隊上級地区「マイン川」(本部ニュルンベルク)の地区指導者となり、1937年4月20日に親衛隊大将に昇進する。1940年の3月から4月の間、髑髏師団に入り訓練を受けた。1941年4月10日に警察大将に昇進、5月20日にエーリヒ・フォン・デム・バッハの後任として「南東」親衛隊及び警察高級指導者と親衛隊上級地区「南東」地区指導者に就任した。1944年7月1日には武装親衛隊大将へと昇進している。
1945年2月10日以後消息不明。
デラウェア郡 (アイオワ州)
デラウェア郡（英: Delaware County）は、アメリカ合衆国アイオワ州の北東部に位置する郡である。2010年国勢調査での人口は17,764人であり、2000年の18,404人から3.5％減少した。郡庁所在地はマンチェスター市（人口5,179人）であり、同郡で人口最大の都市でもある。デラウェア郡は1837年に設立され、郡名はデラウェア州にちなんで名付けられた。デラウェア州はアイオワ州の州昇格を推進したアメリカ合衆国上院議員ジョン・クレイトンの出身地だった。
デラウェア郡 (アイオワ州) 地理
アメリカ合衆国国勢調査局に拠れば、郡域全面積は579.05平方マイル (1,499.7 km2)であり、このうち陸地577.85平方マイル (1,496.6 km2)、水域は1.19平方マイル (3.1 km2)で水域率は0.21％である。
デラウェア郡 (アイオワ州) 人口動態
以下は2010年国勢調査による人口統計データである。
基礎データ
以下は2000年国勢調査による人口統計データである。
石井里沙
石井 里沙（いしい りさ、1990年5月19日 - ）は、日本の元女子バレーボール選手。
石井里沙 来歴
山梨県都留市出身。小学5年次に友人に誘われてバレーボールを始め、八王子実践中学に進学。八王子実践高校時代は、2007年インターハイ準優勝、第39回春高バレーベスト8などで、センタープレイヤーとして活躍した。
2009年、Vプレミアリーグのデンソーエアリービーズに入団。2009/10シーズンは2枚替えでの起用が多かった。平成22年度全日本バレーボール選手権大会で初優勝を果たす。2011/12シーズンからアウトサイドヒッターとしてレギュラーに定着する。
2012年9月、第3回アジアカップ女子大会の日本代表メンバーに選出され、2013年5月のモントルーバレーマスターズに出場した。
デンソーでのポジションが2015/16シーズンよりミドルブロッカーに変更された。
2018年5月の黒鷲旗大会をもって現役引退。
石井里沙 個人成績
Vプレミアリーグレギュラーラウンドにおける個人成績は下記の通り。
ゆうばりホテルシューパロ
ゆうばりホテルシューパロは北海道夕張市にある、夕張リゾートが運営していたホテル。現在は休業している。
ゆうばりホテルシューパロ 概要
8階建ての鉄骨鉄筋コンクリート造りの建物である。夕張唯一の百貨店であった丸丹おかむらの跡に建てられている。ゆうばり国際ファンタスティック映画祭の会場の一つともなっている。
夕張リゾートが運営するマウントレースイスキー場、マウントレースイからは、1.3kmほど離れている。スキー場営業期間は送迎がある。
2020年（令和2年）3月からは新型コロナウイルスの感染拡大に伴い休業に入った。同年夏にはレストランでのイベント開催や期間限定オープンなどを実施したが、当施設を運営する夕張リゾートが今後の事業継続は困難になったとして、同年12月24日付けで破産申し立てを行うことを発表した。所有会社の代理人は、施設の痛みが激しいため2021年（令和3年）冬季の営業再開は困難としている。
世良正利
世良 正利（せら まさとし、1918年2月8日 - 2008年7月31日）は、日本の心理学者、中央大学名誉教授。人格心理学、社会心理学専攻。ソビエト心理学、日本人論などを研究した。
世良正利 略歴
広島県生まれ。1942年東京帝国大学文学部心理学科卒業。海軍技術研究所、東京女子経済専門学校勤務を経て、中央大学文学部助教授、教授。1979年度から1984年度まで同大学人文科学研究所長。1989年定年退任、名誉教授。2008年7月31日没。
小西孝実
小西 孝実（こにし たかみ、男性、1963年4月8日 - ）は日本の起業家・政治活動家。自由民主党所属。慶應義塾大学日本論語研究会幹事長。
DOOR II TOKYO DIARY
『DOOR II TOKYO DIARY』（ドア ツー）は、1991年に製作されたオリジナルビデオ作品である。監督は高橋伴明。「DOOR」シリーズ第2弾で第1弾は映画『DOOR』（監督：高橋伴明）。第3弾、映画『DOOR III』（監督：黒沢清）。
Hello! (梶裕貴の曲)
「Hello!」（ハロー）は、梶裕貴の楽曲。彼の2枚目のシングルとして2012年9月5日にLantisから発売された。
Hello! (梶裕貴の曲) 概要
前作「sense of wonder」から半年ぶりのリリースとなる2012年2作目のシングル。表題曲「Hello!」は、テレビ東京『アニソンぷらす』の2012年9月度オープニングテーマに起用された。なお本作のリリースは『声優グランプリ』2012年6月号で発表された。ちなみに本作の発売は梶の誕生日の2日後であり、このことは前作の3曲目に収録されている「HOME」との類似性が窺える。
販売形態は前作同様CD+DVDであり、DVDには表題曲「Hello!」のPVとメイキング映像が収録されている。PVの内容は、梶の想いを代弁した中学生の男の子が好きな女の子に片想いする甘酸っぱい内容になっており、プロデュースも梶自身が行なっている。2012年8月10日にYouTubeのLantis公式チャンネル『Lantisちゃんねる』からPVのショートバージョンが配信された。
本作の発売記念イベント『Lantisゼミナール 秋の特別講習[科目：梶 裕貴]」』が2012年9月8日、9月9日に東京と大阪で開催された。内容は、前半で筆記試験を行い、後半で梶による特別講習（トークイベント）が実施された。
Hello! (梶裕貴の曲) チャート成績
2012年9月17日付のオリコン週間シングルチャートで14位を獲得。初動売上は8,654枚を記録し前作から約0.2万枚減少した。デイリーチャートでは、9月5日付で最高位の11位を獲得した。また、2012年9月度のオリコン月間シングルチャートで43位を獲得。推定売上枚数は1.0万枚を記録した。
2012年9月17日付のBillboard JAPAN HOT 100で68位、Billboard JAPAN Hot Singles Salesで13位、Billboard JAPAN Hot Animationで4位を獲得した。自身のシングル作品がBillboard JAPAN Hot AnimationでTOP5入りするのは初。
2012年9月3日から9月9日調査分のサウンドスキャンの週間シングルCDソフトTOP20で15位、2012年9月15日放送分のCOUNT DOWN TV内のThis Week's TOP 100で25位を獲得した。
トグロコウイカ
トグロコウイカ (塒甲烏賊、学名：Spirula spirula) は深海性のイカの一種。トグロコウイカ目唯一の現生種である。体内にアンモナイトのような殻を持つことが特徴である。
深海性のため生体の発見は稀である。だが体内の殻は軽くて頑丈であり、死後に軟体部が腐ると殻だけが海面に浮上することになる。そのため熱帯・温帯の海岸で、打ち上げられた殻がよく観察される。
トグロコウイカ 形態・生態
外套長は35-45 mm。8本の足と2本の触腕を持ち、これらは全て外套膜内に収納することができる。
歯舌はほぼ退化する:110:26。
外套膜の端に緑色の発光器を持つ。
浸透圧調節によって殻内部の液体を出し入れし、浮力を制御する。この殻は他のイカ類には見られないもので、内部に空洞があり、腹側に巻く。螺層は外れ、連室細管はその内側を走る。殻壁は2層の角柱層から構成される。また、殻が浮力を持つため、通常は頭を下にした姿勢を取ると考えられていた。
しかし、オーストラリア北東岸のサンゴ礁地帯「グレートバリアリーフ」で海底の地形図を作成しているアメリカのシュミット海洋研究所が2020年10月26日、遠隔操作型無人潜水機（ROV）「スー・バスチアン」で深さ850〜860メートル地点で7センチのトグロコウイカが泳ぐ様子を撮影することに世界で初めて成功した。その結果、殻を下にして頭は上にして泳ぐという事が判明した。
海面に浮遊する殻は、Jellyella属のコケムシなどの付着基盤となる。
トグロコウイカ 分布
日中は深度1,000 mまでの深海に潜むが、夜間は100-300 mに浮上する。水温は10℃程度を好み、海洋島・大陸棚周辺に出現する。
ほとんどの文献では熱帯性とされており、カナリア諸島などでよく観察される。だが殻は海流に乗って遠くまで運ばれ、南アフリカ・ニュージーランドなどの温帯にも打ち揚げられる。
生活史はよく分かっていない。放卵・放精は直接観察されていないが、おそらく冬に深海で行われる。アホウドリの胃から発見されたことから、海面下10 m程度まで浮上することもあると考えられる。
トグロコウイカ 分類
トグロコウイカ目には本種の他に、絶滅した2亜目が属する。
トグロコウイカ目はベレムナイト目やオーラコセラス目と近縁である可能性がある。また、これらの群とコウイカが単系統群を構成するかもしれない。
寿都駅
寿都駅（すつえき）は、かつて北海道寿都郡寿都町に存在した寿都鉄道の駅（廃駅）である。
寿都駅 駅構造
南東の黒松内方面から北西方向へ伸びる構内で、駅舎は東側（海側）の北寄りに有り、駅舎に接する単式ホーム1面1線を有し、その本線は北側で引き上げ線となって構内端の踏切を超え、北側に隣接する土場の中央へ伸びていた。駅舎横の南側（黒松内方面）は切欠きの貨物ホームとなっていて、2本の貨物線が本線南側から引き込まれていた。駅裏側には2本の留置線とその外側に機回し線があり、その裏には南側端から炭水所と機関車庫、中央やや南に転車台、その北に気動車庫が設置され、それぞれへの多くの側線を有していた。また、駅裏北側には三菱鉱業寿都鉱山の積込みホッパーと引込線があり、北西方向の裏山にあった竪坑からのベルトコンベアがホッパーへ引き込まれて、当鉱山が閉山した1962年（昭和37年）まで稼働した。
一休さん (2012年のテレビドラマ)
『一休さん』（いっきゅうさん）は、2012年6月30日にフジテレビの『土曜プレミアム』で放送されたテレビドラマ。視聴率11.9%。
ここでは、2013年5月5日に放送された続編『一休さん2』についても記述する。
一休さん (2012年のテレビドラマ) 概要
名作『一休さん』4回目のスペシャルドラマ化。『一休さん』のSPドラマは2004年1月8日に同局で放送した『えなりかずきの一休さん』（主演：えなりかずき）以来8年半ぶりだが、これは一休が室町時代から現代（2004年）にタイムスリップするという設定のため、一貫して室町時代が舞台だったのは、1986年11月17日に同局の『月曜ドラマランド』で放送した『一休さんII』（主演：浅香唯）以来、実に約26年ぶり。
主演は同局の『マルモのおきて』で人気を上げた鈴木福で、彼にとっては初のゴールデンタイムでの主演作となる。また鈴木は当時8歳であり、1985年8月12日に『月曜ドラマランド』で放送した『一休さん』の主演者・富田靖子（当時16歳）をはるかに下回る最年少記録である。さらに、かつてテレビ朝日系列で放送されたアニメ『一休さん』で一休を演じた藤田淑子が、ナレーターを担当している。
なお本作の原作名義は、前述のアニメを製作した「東映アニメーション」（当時：東映動画）となっている。
2013年5月5日に続編『一休さん2』が放送された。視聴率8.7％。これに先立ち、前日の5月4日15:00 - 17:00（『土曜ワイド』）で本作が再放送された。
一休さん (2012年のテレビドラマ) 補足
『一休さん2』が放送される前、直前番組『サザエさん』の提供コメントが終了後、一休が「パー」の札を持って登場し、「一休です。負けました。とんち勝負なら負けません。『一休さん2』はこの後すぐ。ウフフフ…」と、『サザエさん』エンディングのパロディで告知していた。当時『サザエさん』終了後の直後番組へのジャンクションは原則として行わなかったため、これは珍しいケースだった。
武仲麗依
武仲 麗依（たけなか れい、1992年5月18日 - ）は、兵庫県加古郡稲美町出身の女子サッカー選手。INAC神戸レオネッサ所属。日ノ本学園高等学校出身。ポジションはゴールキーパー。
武仲麗依 経歴
兄の影響でサッカーを始めた。日ノ本学園高校に進学し、2010年、全日本高等学校女子サッカー選手権大会で優勝を果たした。
2011年、INAC神戸レオネッサに入団した。
2015年、ベガルタ仙台レディースに移籍。
2016年、INAC神戸レオネッサに1年ぶりに復帰。
2023年5月18日、2022-23シーズン限りで引退することを発表した。
望月ありさ
望月 ありさ（もちづき ありさ、1994年4月15日 - ）は、東京都東久留米市出身の女子サッカー選手。ジェフユナイテッド市原・千葉レディース所属。ポジションはゴールキーパー。
望月ありさ 経歴
2013年、日テレ・メニーナからトップチームの日テレ・ベレーザに昇格し、駒沢女子大学に入学した。
2017年、大学を卒業し、日テレ・ベレーザからAC長野パルセイロ・レディースに移籍。
2019年、ニッパツ横浜FCシーガルズに移籍した。
2021年、WEリーグ・大宮アルディージャVENTUSに完全移籍した。
2024年5月23日、2023-24シーズンをもって大宮を退団することが発表された。同年6月24日、ジェフユナイテッド市原・千葉レディースへの加入が発表された。
2011年、ベトナムで開催されたAFC U-19女子選手権では5試合中3試合に出場し、日本の優勝に貢献した。
ナバス・デ・トロサ
ナバス・デ・トロサ（Navas de Tolosa）はスペイン、アンダルシア州ハエン県の自治体ラ・カロリナに属する集落。定冠詞を付加したラス・ナバス・デ・トロサ（Las Navas de Tolosa）や、単に定冠詞を付加したラス・ナバス（Las Navas）とも呼ばれる。シエラ・モレーナ地区の東部に位置する。デスペニャペーロス自然公園を隔てて、シウダー・レアル県境まで15kmの距離にあり、県内の自治体サンタ・エレーナとカルボネーロスにほど近い。
ナバス・デ・トロサ 歴史
18世紀カルロス3世によって、ヌエバス・ポブラショーネスと命名された別の集落が創設された。1212年にナバス・デ・トロサの戦いが戦われた場所にあるイスラム教徒の城跡の近くに、ベンタ・デ・リナーレス（リナーレス宿屋）が建てられて以来、集落として発展し、その戦いを記念するために、この新集落にナバス・デ・トロサという名称がつけられた。
球函数に対するプランシュレルの定理
数学における球函数に対するプランシュレルの定理（プランシュレンのていり、英: Plancherel theorem for spherical functions）は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はハリッシュ＝チャンドラによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびフーリエ変転公式の、非可換調和解析における自然な一般化であり、微分方程式論とも同様に近しい相互関係を持つ。
「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理（これもハリッシュ＝チャンドラが示した）の、帯球函数に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた対称空間 X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(X) 上の正則表現の、既約表現への直積分分解をも与えるものである。双曲空間の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックによる既知の結果として知られていた。
主要な参考文献として、網羅的な教科書 Helgason (1984) にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。
球函数に対するプランシュレルの定理 歴史
単模な局所コンパクト群 G に対する抽象的なプランシュレルの公式の最初の版は、ジーゲルとモートナーによる。同じころ、ハリッシュ＝チャンドラ、ゲルファントとナイマークは、実二次特殊線型群 SL(2 R) および複素半単純リー群、特にローレンツ群に対する明示公式を導いた。またモートナーは、極大コンパクト部分群 K に対応する「位相的」対称空間 G/K に対する、より単純な抽象公式を導いている。ゴドマンはより具体的で申し分のない形で、G/K 上の球函数のクラスである正定値帯球函数に対する公式を与えている。G が半単純リー群のとき、それら球函数 φλ は、ユークリッド空間の有限鏡映群の作用による商に値をとる径数 λ で添字付けられるから、問題はこの径数付けのもとでプランシュレル測度を明示的に決定することが中心課題となる。常微分方程式のスペクトル論からワイルの考え方を一般化して、ハリッシュ＝チャンドラは、 彼に名高い c-函数 c(λ) を球函数 φλ の漸近挙動を記述するために導入して、c(λ)−2dλ をプランシュレル測度として提唱した。彼が示したのは、公式の G が複素または実階数 1 である特別の場合であり、これは特に G/K が双曲空間である場合をカバーしている。一般の場合については、c-函数およびいわゆる球フーリエ変換の性質に関する二つの予想に還元される。c-函数に対する明示公式は、後にバーニュ＝マーシーが古典的半単純リー群の広範なクラスに対するものを得ている。それからこれらの公式に促されて Gindikin と Karpelevič は、c-函数に対する蹟公式を導出した。これは階数 1 の場合にはハリッシュ＝チャンドラの公式の計算に帰着される。これらの仕事は、最終的にハリッシュ＝チャンドラによってまとめられ、1966年に球函数に対するプランシュレルの定理の証明が完成した。
球函数に対するプランシュレルの定理 歴史
多くの特別の場合、例えば複素半単純群やローレンツ群において、その理論を直接的に推し進める単純な方法が存在する。これらの群のある種の部分群は、よく知られたアダマールの「降下法」を一般化した手法によって扱うことができる。特に Flensted-Jensen (1978) は、実半単純群に対する球変換の性質をその複素化から還元する一般手法を与えた。
球函数に対するプランシュレルの定理 歴史
球変換に対する主要な応用および動機の一つはセルバーグ蹟公式であった。古典的なポワソン和公式は、ベクトル群上のフーリエ反転公式を余コンパクト格子上の総和に結び付けるが、この和公式の類似物としてのセルバーグ蹟公式は、ベクトル群を G/K で、フーリエ変換を球変換で、格子を余コンパクト（あるいは補有限）離散部分群で、それぞれ取り替えたものである。セルバーグのオリジナルの論文 (Selberg 1956) は球変換を暗黙の裡に用いており、球変換を前面に持ち出すのは Godement (1957) で、これには特にセルバーグのスケッチに沿ってSL(2,R) に対する初等的な取り扱いが示されている。
球函数に対するプランシュレルの定理 球函数
G を半単純リー群、K を G の極大コンパクト部分群とする。G 上のコンパクト台付き両側 K-不変函数からなるヘッケ環 Cc(K\G/K) はヒルベルト空間 H=L2(G / K) に畳み込みで作用する。G ⁄ K は対称空間ゆえ、この ∗-代数は可換である。その像の、作用素ノルムに関する閉包は、単位的でない可換 C∗-環  であり、ゲルファント同型によってそのスペクトル X 上の連続函数で無限遠で消えているものの全体と同一することができる。このスペクトルの点は、 から C への連続 ∗-準同型、即ち  の指標で与えられる。
S′ で H 上の作用素の集合 S の交換団を表すならば、 は H 上の G の正則表現の交換団と同一視することができる。そうして、 は H における K-不変ベクトル全体の成す部分空間 H0 を変えない。さらに言えば、それが H0 上で生成する可換フォンノイマン環は極大可換部分環である。スペクトル論により、局所コンパクト空間 X 上の測度 μ と、H0 と L2(X, μ) の間のユニタリ変換 U で  に属する作用素の全体を対応する乗算作用素の全体の上へ写すものとが、本質的にただ一つ存在する。
球函数に対するプランシュレルの定理 球函数
この変換 U を球フーリエ変換あるいは単に球変換と呼び、μ をプランシュレル測度と呼ぶ。ヒルベルト空間 H0 は G 上の両側 K-不変自乗可積分函数全体の成す空間 L2(K\G/K) と同一視することができる。
の指標 χλ（即ち X の点）は、Cc(K\G/K) に属する f に対する等式
を通じて G 上の正定値球函数 φλ によって記述することができる。ただし、π(f) は  における畳み込み作用素であり、積分は G のハール測度に関するものである。
G 上の球函数 φλ はハリッシュ＝チャンドラの公式
で与えられる。この式に関して：
ここから、
ことがわかる。
球函数に対するプランシュレルの定理 球主系列
球函数 φλ は G の球主系列の行列要素と同一視することができる。M が K における A の中心化群のとき、これは MAN の A の上への準同型と指標 λ との合成によって与えられる B = MAN の指標から誘導される G のユニタリ表現 πλ として定義される。この誘導表現は、G 上の函数 f で
を満たすものに対し、
で作用が定義されるものである。ただし、
とする。このような函数 f は L2(K / M) に属する函数と同一視され、指標は
となる。
Kostant (1969) の示すところによれば、球主系列表現は既約で、そのような二つの表現 πλ, πμ がユニタリ同値となることと、A のワイル群の適当な元 σ に対して μ = σ(λ) となることとが同値になる。
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,C)
複素特殊線型群 G = SL(2,C) は四元的上半平面
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち、二次の複素正方行列が
として作用する。一点 j の固定部分群は極大コンパクト部分群 K = SU(2) であり、故に   が成り立つ。この上半平面には G-不変リーマン計量
が入り、対応する体積要素 dV とラプラス作用素 Δ が
と定まる。上辺平面  の各点は、SU(2) の元 k を用いて k(etj) と書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。またこのラプラス作用素 Δ は、SU(2)-不変函数の上で
なる形に書くことができて、実数値助変数 t の函数と見做すことができる。SU(2)-不変函数の積分は
で与えられる。自乗可積分 SU(2)-不変函数の空間と L2(R) とを、ユニタリ変換 Uf(t) = f(t) sinh t で同一視すると、Δ は作用素
に写される。ここで R に対するプランシュレルの定理およびフーリエ反転公式を用いれば、任意の SU(2)-不変函数 f は球函数
を使った球変換および球反転公式
によって表すことができる。
fi ∈ Cc(G/K) として  および  と置き、i での値を評価することにより、プランシュレルの公式
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,C)
が導かれる。これを両側不変函数に対して用いれば、
球函数に対するプランシュレルの定理
写像 はユニタリで、f ∈ L1(K\G/K) による畳み込み作用素を  による乗算作用素へ写す。
球函数 Φλ はラプラス作用素
の固有函数であり、また R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ＝チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
に属する函数 f の球変換として表せられる。ペイリー・ウィーナーの定理により、コンパクト台付き滑らかな SU(2)-不変函数の球変換はちょうど、指数的増加条件
を満足する C 上の正則函数の制限であるような R 上の函数である。G 上の函数として Φλ は L2(C) において定義される球主系列の行列要素になっている。ただし、C は  の境界と同一視するものとする。表現は等式
で与えられる。また函数
は SU(2) で固定され、
が成り立つ。この表現 πλ は既約であり、これとユニタリ同値なものは λ の符号を変えたものに限る。
で与えられる  から L2([0,∞) × C)（最初の因子には測度 λ2dλ を入れる）の上への写像 W はユニタリであり、かつ  の球主系列への直積分分解を与える。
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
実特殊線型群 G = SL(2,R) はポワンカレ上半平面
にメビウス変換として推移的に作用する。即ち実行列は
なる変換を定める。一点 i の安定化部分群は極大コンパクト部分群 K = SO(2) であり、 　が成立する。上半平面には G-不変リーマン計量
が入り、対応する面素 dA とラプラス作用素 Δ がそれぞれ
で与えられる。 の各点は k ∈ SO(2) を用いて k(eti) の形に書くことができて、t は符号の違いを除いて決まる。ラプラス作用素は SO(2)-不変函数の上で
の形に書くことができて、実径数 t の函数と見ることができる。SO(2)-不変函数の積分は
で与えられる。この常微分方程式に対して、対応する固有函数展開を導出する方法はいくつかあるが、例えば：
二つ目と三つ目の手法は後述する。降下法については二種類の異なるものを記述する。アダマールによる古典的な降下法は、双曲空間上の熱方程式および波動方程式の取り扱いに適している。また、フレンステッド-イェンゼンの降下法は双曲面 (hyperboloid) 上のものである。
f(x,r) が  上の函数で
とすれば、 上のラプラス作用素 Δn に関して
が成立する。SL(2,C) の作用は Δ3 と可換であるから、SO(2)-不変函数上の作用素 M0 が SU(2) の作用による M1f の平均化として得られて、
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
を満足する。また、随伴作用素 M1∗ が
で定義されて
を満足する。同じく随伴作用素 M0∗ が M∗f の SO(2) 上の平均化として定義されて、
が SU(2)-不変函数 F と SO(2)-不変函数 f に対して成立する。ここから
となることがわかる。函数
は SO(2)-不変で
を満足する。一方、
は ±R, ±R + πi を頂点とする矩形の周りで  を積分することによって計算できる。このとき固有函数
は正規化条件 φλ(i) = 1 を満足する。このような解は、常微分方程式のロンスキ行列式が消えるか、さもなくば sinh r を不定元とする冪級数に展開されるかの何れかでなければならない。これにより、
がわかる。同様にして
が得られる。 上の SO(2)-不変函数の球変換が
で定義されるならば、
が成り立つ。f = M1∗F と取れば、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに、 上の SO(2)-不変函数に対する球反転公式
が導かれる。
SL(2,C) の場合と同じく、ここから直ちに Cc(SL(2,R)/SO(2)) に属する fi に対するプランシュレルの公式
が得られる。球函数 φλ はラプラス作用素
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
の固有函数である。R 上のシュヴァルツ函数はハリッシュ＝チャンドラ・シュヴァルツ函数の空間
に属する函数 f の球変換である。コンパクト台付きの滑らかな SO(2)-不変函数の球変換は、ちょうど R 上の函数で指数的増加条件
を満足する  C 上の正則函数の制限となっているものになる。これらの結果はともに、球函数がこの増加条件を満足することを直接確かめることと、関係式  を用いることにより、SL(2,C) における対応する結果から降下法によって演繹することができる。
G 上の函数として φλ は、 の境界を R と同一視すれば、L2(R) 上で定義される球主系列表現の行列要素に一致する。この表現は公式
で与えられる。函数
は SO(2) で固定され、
を満たす。表現 πλ は既約であり、また λ の符号を変えて得られる表現のみがこれとユニタリ同値になる。 を
第一因子上の測度を
で定めた L2([0,∞) × R) の上へ写す写像
はユニタリであり、 の球主系列への直積分分解を与える。
アダマールの降下法は  における径数 y に関する平行移動全体の成す一径数部分群の作用のもと不変な函数に依拠するものである。フレンステッド-イェンゼンの方法は、SO(2) の SL(2,C) における中心化群を用いるもので、これは SL(2.C) を SO(2) と
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
なる形の行列全体の成す一径数部分群 K1 との直積に分解する。対称空間 SL(2,C)/SU(2) は、行列式の値が 1 の正値な二次正方行列 A 全体の成す空間 H3 と同一視することができる。そのような行列
に群作用は
で与えられる。従って
が成り立つ。故に双曲面  の上で gt は y-座標および a しか動かさない。同様に、SO(2) の作用を、a と y を変えずに座標 (b, x) の上の回転として入れる。y = 0 の正値実行列全体の成す空間 H2 は単位行列の SL(2,R)-軌道と同一視することができる。座標 (b,x,y) ∈ H3 および (b,x) ∈ H2 を取れば、体積要素および面素がそれぞれ
で与えられる。ただし各式の r2 はそれぞれ b2 + x2 + y2 あるいは b2 + x2 と等しいものとする。この r は r = sinh t と置くことにより、原点からの双曲距離と関係する。
また、ラプラス作用素は
によって与えられる。ただし、
および
とする。H3 上の SU(2)-不変函数および H2 上の SO(2)-不変函数は r または t の函数
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
と見做すことができる。f(b,x) が H2 上の函数で、Ef が
で定義されるものとすると、
が成り立つ。f が SO(2)-不変ならば、f を r または t の函数と見做して
が成り立つ。他方、
であるから、Sf(t) = f(2t) と置いて
であり、M0 = ES に対するフレンステッド-イェンゼンの基本降下関係式
が導かれる。Mf が M0f の SU(2) 上の平均化で得られるとすると、同じ関係式が M0 を M に代えて成立する。
拡大 Ef は変数 y に関して定数で、従って変換 gs で不変である。一方 H3 上の適当な函数 F に対して、
で定義される函数 QF は変数 y に依存しない。変数変換によって直截に
が示される。K1 は SO(2) と可換であるから、F が SO(2)-不変ならば QF もそうである、特に F SU(2)-不変ならばそうなり、この場合 QF は r または t の函数で、故に M∗F は
で定義することができる。従って、上記積分公式から
を得、それから SO(2)-不変な f に対して
球函数に対するプランシュレルの定理 例: SL(2,R)
となるから以下の随伴公式
が得られる。この帰結として
が成り立つ。従って
とすれば、アダマールの降下法と同様に
が成り立ち、
が従う。f = M∗F と取って、F に対する SL(2,C)-反転公式から直ちに
を得る。
球函数 φλ は
で与えられるから、球変換
を
と書くことができて、ここで F を
と定めれば、球変換は
なる形に書くことができる。F と f との間の関係性をアーベルの積分等式
によって入れ替えるのは古典的である。実は
が成り立つ。F と  との間の関係性はフーリエ反転公式:
によって逆転するから、結果として点 i に対する球反転
が得られる。いま、g ∈ SL(2,R) を固定して考えれば、新たに  上回転不変で f1(i) = f(g(i)) を満たす函数
を定義することができる。他方、両側不変函数 f に対して
従って、w = g(i) として
が成立する。これと上の f1 に対する反転公式とを組み合わせれば、一般の球反転公式
が導かれる。
球函数に対するプランシュレルの定理 そのほか特別の場合
任意の複素半単純リー群あるいは奇数 N に対するローレンツ群 SO0(N, 1) は通常のフーリエ変換に帰着して直接的に扱うことができる。それ以外の実ローレンツ群は、フレンステッド-イェンゼンの降下法により、他の実階数 1 の半単純リー群と同様に演繹することができる。フレンステッド-イェンゼンの降下法は、実半単純リー環が複素半単純リー環の正規実型である場合を扱う際にも適用できる。SL(N,  C) の正規実型でもある SL(N, R) に対する特別の場合は Jorgenson & Lang (2001) が詳しく扱っている。
Flensted-Jensen (1978) のやり方は、勝手な実階数を持つ実半単純リー群の広汎なクラスに対して適用できて、 上のプランシュレル測度の明示的な積公式を、後述するようなハリッシュ＝チャンドラの c-函数による球函数 φλ の展開を用いることなしに導出することができる。
これは一般性という点では（ハリッシュ＝チャンドラよりは）弱いけれども、このクラスの群に対するプランシュレルの定理へのより簡明な手法を与えてくれる。
G が複素半単純リー群で、それがコンパクト半単純リー群である極大コンパクト部分群 U の複素化に一致するとする。G および U のリー環をそれぞれ  および  とすれば
球函数に対するプランシュレルの定理 そのほか特別の場合
が成り立つ。U の極大トーラスを T, そのリー環を  とするとき、
と置けば、カルタン分解
が得られる。U の有限次元既約表現 πλ は適当な λ ∈  添字付けられる。対応する指標公式とワイルの次元公式から、明示的に
が与えられる。これらの公式は、もともと  および  の上で定義され、それをその複素化まで正則に拡張したものである。さらに言えば、
が成り立つ。ただし、W はワイル群 W = NU(T)/T で δ(eX) は  の複素化へ正則に拡張した積公式（ワイルの分母公式）で与えられる。同様の積公式が λ に関する多項式である d(λ) にも存在する。
複素群 G 上で両側 U-不変函数 F の積分は、 として
で評価することができる。G の球函数は  に属する λ でラベル付けられ、ハリッシュ＝チャンドラ-ベレツィンの公式
で与えられる。これは λ に対応する G のボレル部分群の指標から誘導される G の既約球主系列表現の行列要素である。このような表現は既約であり、かつ何れも L2(U / T) 上で実現することができる。
両側 U-不変函数 F の球変換は
球函数に対するプランシュレルの定理 そのほか特別の場合
で与えられ、球反転公式は
となる。ただし、 はワイルの小部屋である。実はこの結果は  上のフーリエ反転公式から従う。というのも、
だから  は  のフーリエ変換に他ならないからである。
注意すべきは、対角部分群 U に対して対称空間 G/U はコンパクト双対としてコンパクト対称空間 U &rimes; U ⁄ U を持つことである。後者の空間（これを U 自身と同一視することができる）に対する球函数は、 の内部に含まれる格子点で添字付けられた、正規化された指標 χλ/d(λ) で、A の役割を T が果たす。U 上の類函数 f の球変換は
で与えられ。今の場合、球反転公式は、T 上のフーリエ級数論から
となることがわかる。これらの公式と非コンパクト双対における同等の公式の間には明白な双対性が存在する。
球函数に対するプランシュレルの定理 そのほか特別の場合
G0 を複素半単純リー群 G の正規実型で、G のリー環上で共軛線型な対合 &sigmma; の不動点全体に一致するものとする。また τ を G0 のカルタン対合を G の対合へ拡張したもので、G のリー環上複素線型かつ、σ と可換となるように選ぶ。τσ の不動点全体の成す部分群は G のコンパクト実型 U of G であり、その G0 との交わりは極大コンパクト部分群 K0 になる。また τ の不動点部分群 K は K0 の複素化である。G0 = K0P0 を対応する G0 のカルタン分解とし、A を P0 の極大可換部分群とする。Flensted-Jensen (1978) は
が成り立つことを示した。ここで A+ は、ワイルの小部屋の  における閉包の指数写像による像である。さらに言えば
が成り立つ。
であるから、これにより K\G/U と K0\G0/K0 および A+ の間に標準的な同一視が存在することが従う。従って G0 上の両側 K0-不変函数は、G 上の左 K-不変かつ右 U-不変函数ともども、A+ 上の函数と同一視することができる。
 に属する函数 f に対し
 の元 Mf を
で定義する。ここで、第三のカルタン分解 G = UAU は U\G/U を A+ と同一視するのに用いられた。
球函数に対するプランシュレルの定理 そのほか特別の場合
Δ を G0/K0 上のラプラス作用素、Δc を G/U のラプラス作用素とすると、
が成り立つ。 の元 F に対し、 に属する函数 M∗F を
で定義すれば、M と M∗ とは
なる双対関係を満たす。特に
である。G0 の普遍包絡環の中心に属する他の作用素に対しても同様の両立性条件が存在する。これは G0 上で  が φλ に比例するという球函数の固有函数による特徴付けから従う。比例定数は
で与えられる。さらに今の場合には
である。f = M∗F が成り立つならば、G 上の F の球反転公式は G0 上の f に対して
が成り立つことを含意する。実際、
である。SL(2, R) に対する Godement (1957) の計算を一般化する、b(λ) の積分の直接計算は、Flensted-Jensen (1978) では未解決問題のまま残されていた。b(λ) に対する明示的な積公式の一つは、先の Harish-Chandra (1966) によるプランシュレル測度の決定から知られており、
で与えられる。
ただし α は  のルート系の正ルートすべてを亘るものとし、C は正規化定数でガンマ函数の積の商として与えられる。
球函数に対するプランシュレルの定理 ハリッシュ＝チャンドラによるプランシュレルの定理
G は中心が有限な非コンパクト連結実編単純リー群で、そのリー環を  とする。また、極大コンパクト部分群 K がカルタン対合 σ の不動点部分群として与えられるものとする。 を  における σ の ±1-固有空間とすると、 は K のリー環であり、and  と合わせてカルタン分解
が与えられる。 を  の極大可換部分環とし、 の元 α に対し
とする。α ≠ 0 かつ  ならば α は制限ルートであるといい、
 をその重複度と呼ぶ。 と置けば G = KAK が成り立つ。キリング形式を制限したものは  上の（従って  上の）内積を定めるので、 を  と同一視することができるようになる。この内積に関して、制限ルートの全体 Σ はルート系となり、そのワイル群は W = NK(A)/CK(A) と同一視することができる。正ルート系を一つ選べばワイルの小部屋  が定まる。制限ルート系 Σ0 は α/2 がルートとならないようなルート α からなる。
球函数に対するプランシュレルの定理 ハリッシュ＝チャンドラによるプランシュレルの定理
の元 λ に対して、上で述べたように球函数 φ λ を定めると、Cc∞(K\G/K) に属する函数 f の球変換は
で定義され、球反転公式は
であることを述べる。ここで、ハリッシュ＝チャンドラの c-函数 c(λ) は
で定義される。ただし、 であり、定数 c0 は
に対して、c(–iρ) = 1 が成り立つように選ぶものとする。
球函数に対するプランシュレルの定理は、写像
がユニタリであり、 による畳み込みを  による乗算へ写すことを述べるものである。
球函数に対するプランシュレルの定理 ハリッシュ＝チャンドラの球函数展開
G = KAK ゆえ、G/K 上の K-不変函数は A 上の函数と同一視することができて、従ってワイル群 W の作用で不変な  上の函数と同一視することができる。特に、G/K 上のラプラス作用素 Δ は G の作用と可換であるから、Δ は   上の W-不変な二階微分作用素 L を定める。この作用素 L はラプラス作用素の球対称成分 (radial part) と呼ばれる。一般に、X が  の元ならば、
により、一般微分作用素（あるいはベクトル場）を定める。これらの作用素を用いて L は
という式に表すことができる。ただし、 の元 Aα は
で定義されるものとし、また
は任意に選んだ正規直交基底 (Xi) に対応する  上のラプラス作用素である。
以上より、
となるから、L を定数係数作用素 L0 の摂動と見做すことができる。
いま、球函数 φλ はラプラス作用素
の固有函数、従って  上の W-不変函数と見るとき L の固有函数である。
eiλ–ρ およびその W による変換は L0 の同じ固有値に属する固有函数であるから、φλ に対する公式は、正ルートの非負整数係数線型結合全体の成す錐 Λ に関する摂動級数
を用いて自然に見ることができ、fλ の W による変換として書ける。表式
球函数に対するプランシュレルの定理 ハリッシュ＝チャンドラの球函数展開
から係数 aμ(λ) に対する漸化式が導かれる。特に係数は一意的に決まり、級数及びその導函数は W の基本領域  上で絶対収斂する。注目すべきは、fλ が G/K 上の別の G-不変微分作用素の固有函数でもあり、何れも  上の W-不変微分作用素を導くことがわかることである。
ここから、φλ が fλ とその W による変換との線型結合
として表すことができることが従う。ここで c(λ) はハリッシュ＝チャンドラの c-函数である。これは、 の元 X と十分大きな t < 0 に対して
なる形で φλ の  における漸近挙動を記述する。ハリッシュ＝チャンドラは G のブリュア分解
を用いて φλ に、従って c(λ) に、対する二次の積分公式を得た。ただし、B = MAN で合併は非交和である。W のコクセター元、即ち  を  の上へ写す唯一の元 s0 を取ると、σ(N) が稠密開軌道 G/B = K/M でその成分が次元が真に小さく従って測度零であるような胞体の和となるようなものを持つことがわかる。これにより、もともと K/M 上で定義される φλ の積分公式
を σ(N) 上の積分公式
に引き移すことができる。
の元 X に対して
が成り立つから、φλ の漸近挙動はこの積分から読み取ることができて、公式
が導かれる。
球函数に対するプランシュレルの定理 ハリッシュ＝チャンドラの c-函数
非可換調和解析においてハリッシュ＝チャンドラの c-函数が果たすことになる多くの役割は Helgason (2000) にまとめられている。もともとは、前節に述べたとおりハリッシュ＝チャンドラが球函数の漸近展開を行うために導入したものであったけれども、すぐに誘導表現の間の経絡作用素（表現の準同型）とも緊密な関係にあることが理解されるようになった。そのような意味でこれを研究するのは Bruhat (1957) が最初である。ここでいう経絡作用素は、ワイル群の元 s に対して πλ と πsλ とがユニタリ同値であることを示すもので、そのような作用素にc-函数 cs(λ) を割り当てることができる。具体的には、経絡作用素を定数函数 1 である ξ0 ∈ L2(K/M) に施したものの 1 における値である。あるいは同じことだが、ξ0 はスカラー倍を除いて K の固定する唯一のベクトルであるから、これは経絡作用素の固有値 cs(λ) に属する固有ベクトルである。これらの経絡作用素は全て同じ空間 L2(K/M) に作用し、この空間は MAN 上の λ が定める一次元表現からの誘導表現と同一視することができる。A を一つ決めたならば、コンパクト部分群 M は A の K における中心化群として一意的に決定されるが、冪零部分群 N は  におけるワイルの小部屋の選び方に依存し、その選び方はワイル群 W = M′/ M による置換の分だけある。ただし、M′ は A の K における正規化群とする。対 (s, λ) に対応する標準経絡作用素とは、