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ブレア派 ブラウンのためのブレア派
2007年の労働党党首選挙を控えた2006年秋、チャールズ・クラークやアラン・ミルバーンからブラウンの党首就任に反対する声があがった。これに対し、党の分裂を避けるために、ブラウンの党首継承で合意し、結束を呼びかけたブレア派議員達のことをブラウンのためのブレア派（Blairites for Brown）と呼ぶ。妥協的なブラウン支持であり、積極的なブラウン派とは一線を画す。この中にはブレア派の中でも若い議員が多く、主な議員に、デイヴィッド・ミリバンド、アンディ・バーナム、ジェームズ・パーネル、リーアム・バーンがあげられる。このうち、ミリバンド、バーナム、パーネルの3名はブラウン内閣で入閣を果たした。
その中でもデイヴィッド・ミリバンドは若手のホープでもあり、ブラウンはミリバンドの立候補を恐れていたといわれる。ミリバンドは党首選の際、立候補を控え、ブラウンへの支持を打ち出すことによって同世代の議員の中でブレア派とブラウン派の対立が激化しないように努めた。
ブレア派 主なブレア派の人々
*はブラウン内閣で入閣を果たした議員。
ブラウンのためのブレア派
ニューズ・コープ会長・CEO。1997年以来、総選挙でブレア労働党を支援した。
クニドスのソストラトス
クニドスのソストラトス（ギリシャ語：Σώστρατος Κνίδιος、紀元前3世紀 - ?）は、ギリシャの建築家、技術者。エジプトのアレクサンドリアのファロス島に建っていたとされる世界の七不思議の内の一つアレクサンドリアの大灯台を設計した人物。
クニドスのソストラトス 概要
アレクサンダー大王が遠征中に倒れた後、エジプトを得たプトレマイオスに仕えた。プトレマイオスに八角形の45階建て灯台建設を提言し認められたことから、長年、建設工事に従事したが完成を見る前に死亡した。ソストラス自身は裏方であり、名が知られる存在では無かったが、後年、灯台に刻み込まれていた「クニドスのデクシファスの息子ソストラトス、あらゆる海を行く人々の守る神に捧ぐ」の銘文が発見され、灯台の設計者として知られるようになった。
国鉄1350形蒸気機関車
国鉄1350形蒸気機関車（こくてつ1350がたじょうききかんしゃ）は、かつて日本国有鉄道の前身である鉄道省に在籍したタンク式蒸気機関車である。
国鉄1350形蒸気機関車 概要
元は、阪鶴鉄道が開業用として用意した、1897年（明治30年）、アメリカのピッツバーグ・ロコモティブ・アンド・カー・ワークス製の車軸配置0-6-0(C)で2気筒単式の飽和式機関車（製造番号1702 - 1704）で、同鉄道のA1形(1 - 3)のうちの1両(2)である。
1904年（明治37年）、1と3は高野鉄道の1，3（後の鉄道院3350形）と交換で同社に移り、鉄道国有法によって1907年（明治40年）に国有化されたのは、2のみであった。1909年（明治42年）に制定された鉄道院の車両形式称号規程では、1350形（1350）に改番された。
1350形は、国有化後も旧所属線で使用されたが、1917年（大正6年）に秩父鉄道に譲渡され、同社の4となった。しかし、1922年（大正11年）の電化により用途を失い、同年、三河鉄道に譲渡され、B形（4）となっている。
高野鉄道に譲渡された2両は、1907年に高野山登山鉄道への譲渡、1915年（大正4年）の大阪高野鉄道への改称を経て、1は1922年の南海鉄道への合併を前に三河鉄道に譲渡され、これもB形（1）に編入された。1926年に三河鉄道が電化されたため用途を失い、1934年（昭和9年）に廃車された。
国鉄1350形蒸気機関車 概要
残る3は南海鉄道に引き取られたが、1925年（大正14年）に庄川水力電気が購入し、1と改称して同社の専用線で小牧ダム建設の資材運搬用として使用した。工事終了後の1933年（昭和8年）には、新宮鉄道に譲渡され、同社の7となった。新宮鉄道は1934年に国有化され、1255形（1255）となった。国有化後も紀勢中線の紀伊勝浦に留まったが、1938年（昭和13年）11月に流山鉄道に払い下げられ、国有化後の形式番号のまま、1955年（昭和30年）まで使用された。この頃には、どういう訳か1894年ボールドウィン製という履歴となっており、高野鉄道の5（鉄道院1180形と同形）と形式図が入れ替わっていたものらしい。
官司
官司（かんし）とは、日本の律令制における官庁（および官人の組織）を指す。
官司 概説
日本の官司の原型はヤマト王権（大和朝廷）の行政事務を複数の伴造が分掌して部民を動員・管理して業務を遂行した組織体であったと考えられている。その後、部民を管理して行政事務の実務を遂行する官人組織が伴部の下に形成された（人制）。
大化の改新以後、律令制に基づく官司が形成された（部民制に代わって四等官制度など）。大宝律令の制定によりほぼ完成した。
ただし、唐のような高度に体系化された官司間の統属関係は形成されず、一応は各省の下にあるものの独立した権限を有した品官や律令制の枠外に新たに設置された令外官などが存在した。
童貞ソー・ヤング
『童貞ソー・ヤング』（どうていソー・ヤング）は、日本のバンド、GOING STEADYが2002年6月12日にリリースした、5枚目のシングルである。
川西高等学校
川西高等学校（かわにしこうとうがっこう）は、日本にかつて存在した県立高等学校である。
若者たち/夜王子と月の姫
『若者たち/夜王子と月の姫』（わかものたち/よるおうじとつきのひめ）は、日本のバンド、GOING STEADYが2002年12月11日にリリースした、6枚目のシングルである。
飯野愛
飯野 愛（いいの あい、1986年11月17日 - ）は、日本将棋連盟所属の女流棋士。女流棋士番号は48。飯野健二八段門下。東京都世田谷区出身。東京都立千歳丘高等学校卒。将棋棋士の飯野健二は実父。
飯野愛 棋歴
実父の飯野健二が棋士であり、身近に将棋がある環境で育つ。そのため、将棋に馴染みがあったもの、本格的に女流プロを目指し始めたのは高校2年と女流棋士の中でもだいぶ遅い。父と仕事をするのが一つと夢だったと話している。
2005年に女流棋士の育成機関である女流育成会に入会。2009年より女流棋士になるための制度が変わったため、同年4月に関西研修会のD2クラスに移った（C1クラス昇級で女流3級になる）。
研修会入会から4年3ヶ月、2013年6月23日にC1クラスに昇級して女流3級資格を取得。資格申請を行ない10月1日付で女流3級に昇級することになった。その後の同年8月17日、アマチュア枠で出場した第7期マイナビ女子オープン予選を突破し同棋戦の本戦入りを決めた。この「マイナビ女子オープン本戦入り」が女流3級から女流2級への昇級規定「『女流棋士昇段級規定』の女流1級に該当した場合」を満たしたため、当初「女流3級」として昇級する予定だった10月1日付で「女流2級」として昇級、プロ入りすることになった。
飯野愛 棋歴
2014年5月9日、第36期女流王将戦予選で大庭美樹を降して本戦入り。それにより、女流棋士昇段級規定の1級の条件を満たし、女流1級に昇級した。
2015年8月1日、第9期マイナビ女子オープン予選決勝で、女流育成会時代に何度も対局した戦友である高浜愛子と対局。当時3級だった高浜にとって悲願の女流2級（正式なプロ入り）がかかっていた対局であり、敗れた高浜の悲痛な姿を見て飯野も目に涙を浮かべた。
2017年度は年度成績を8勝6敗とし、昇段規定「年度指し分け以上（7勝以上）」を満たしたことにより、2018年4月1日付で女流初段に昇段。
2024年7月3日、出産・育児のために2024年7月9日から2025年3月31日まで休場することを、日本将棋連盟が公表した。
2025年4月10日の第33期倉敷藤花戦（対石高澄恵女流二段 戦）で公式戦に復帰。
肉Q一家
『肉Q一家』（にくきゅういっか）は、たじまタジ子による日本の漫画作品。
肉Q一家 作品
『ねこぱんち』（少年画報社）2008年の春満開号で第一回猫漫グランプリを受賞。
肉Q一家 登場キャラクター
チロ
目の色がライムグリーンの子猫。上頭部にブチ、しっぽの部分にトラ柄。食いしん坊でプライドがある。
たま
チロの母親。猫崎家で一番強い（所謂かかあ天下）が、ゴキブリが苦手。
にけ
チロとゴンの父親。妻のたまに尻に敷かれており、気が小さい。釣りは好きだが、うまくはない。
ゴン
チロの兄。チロが生まれる前に家出したが、戻って来ており、大食い。太っている。
チロ（同名）
ゴンの彼女。広島出身。
新通町公園
新通町公園（しんとおりちょうこうえん）は、静岡県富士市中央町2丁目8番地に位置する、新幹線0系電車が展示された公園であり、日本で最初に新幹線を展示した公園である。
新通町公園 概要
富士市役所の近くに位置する公園で、初代（0系）東海道新幹線の展示された公園として親しまれている。展示されている新幹線は、現存数が非常に少ない0系0番台と呼ばれる開業当時の初期型モデルである。
新幹線の中は、土曜日・日曜日・祝日の10時から15時まで開放され入ることができる。新幹線の中の客室部分のうち、後ろ半分は座席が置かれたままで当時の面影が残っている。前半分は座席は取り除かれ鉄道模型の展示場となっており、月に1度の割合で走行デモが開催される。客室から運転席へ入ることができ、ハンドルなどの操作器具は当時のまま残っており、自由に操作（遊ぶ）ことができる。
公園は新幹線展示エリアと、多目的エリアと分かれており、その間を八の字を描くようにミニSL用の線路が引かれている。ミニSLも月に1度の割合で、隣接する沼津市の方々の好意により走行・乗車会が行われている。
新通町公園 新幹線
展示されている新幹線は、主に東京、新大阪間の運転に用いられた16両編成の1号車。新幹線の1号車は常に大阪方面（西向き）で、16号車は東京方面（東向き）を向いて運転されており、また新幹線の車両の製造から組立時も（当時）運転方向に合わせて造られた。つまり廃車、解体されるまで生涯向きを変えることはなかったが、この公園では東向きに設置されており、この公園にて初めて東を向いたことになる。
マハルベク・ハダルツェフ
マハルベク・ハダルツェフ（ロシア語:Махарбек Хазбиевич Хадарцев、ローマ字:Makharbek Khadartsev、オセット語: Хæдарцаты Хазбийы фырт Махарбег、1964年10月2日 - ）は、ロシアのレスリング選手。ロシア共和国北オセチア共和国出身。
マハルベク・ハダルツェフ 経歴
1988年ソウルオリンピックから4大会連続でオリンピックに出場。ソウルでは、ソ連代表としてフリースタイル90kg級に出場。決勝では日本の太田章を下し金メダルを獲得。1992年バルセロナオリンピックではEUN（独立国家共同体）代表として同90kg級に出場。2大会連続で決勝に進出し、トルコのケナン・シムシェクを下し、金メダルを獲得した。1996年アトランタオリンピックでは、ロシア代表として同90kg級に出場。3大会連続の決勝進出を果たしたが、イランのラスール・ハデムに敗れ、銀メダルに終わった。2000年シドニーオリンピックでは、ウズベキスタン代表として同85kg級に出場。しかし、予選リーグで敗退した。
烈海王
烈 海王（れつ かいおう）は、板垣恵介の漫画作品『グラップラー刃牙』シリーズに登場する架空の人物である。
烈海王 人物
香港出身。色黒で髪を辮髪に編んだ中国人。中国武術界における高位の称号「海王」（洋王の上で、最高位である海皇の下）を受け継ぐ中国拳法の達人である。その海王の中でも群を抜いて優秀な人物であり、修行した黒竜江省の白林寺では「魔拳」と呼ばれている。アニメ版オリジナルシナリオでは、海王認定は怒李庵（ドリアン）海王の推薦となっている。
身長176センチと、劇中に登場する格闘家と比べ特に大きな体格ではないが、バキが初めて烈の体を見た時、「どう造ったのか」と関心を寄せるほどの肉体の持ち主。己の拳足のみを用いて、巨大な黒曜石を直径約2mものほぼ真球にしてしまうほか、200坦（約1.8トン）の釣鐘を叩き壊すほどの功夫を持つ。劇中の登場人物の中でも、自己鍛錬や強敵との戦いに対する執念の度合いは屈指のレベルを有し、傍目には無謀な挑戦を持ちかけられても「わたしは一向に構わん!」と全てを受け入れる。
烈海王 人物
中国拳法の歴史に大きな誇りを持ち、当初は傲慢な態度でほかの格闘家を見下していたが、刃牙に敗れて以降は態度を改め温和な性格になった。自分が認めた相手には礼をもって尽くし、範馬刃牙や愚地克巳とは友情を育む。ただし、中国拳法への絶対的な矜持や、思ったことは躊躇わず主張するなど根の激しさは変わっておらず、自我が勝って空気を読まない言動も多々見られ、相手の逆鱗に触れることが多い。その反面、感謝されると照れたり満面の笑みを浮かべたりし、怒らせた相手にも非を認めればあっさりと頭を垂れる一面も見せている。
なお強者達の闘い編でカイザーと会話した際に「この世にはホンモノというだけの三流品がいくらでもあるのだよ」と説かれた際に「伝統だけを継承した粗悪武術が夥しく存在する」と同調し、如何に中国拳法だろうと「『本物』の武術」というだけの流派は評価しないという方針を示している。
『刃牙』シリーズの翻訳版が台湾で発売された際に当地の編集者から「中国系キャラを出さないか」と提案されたことが烈海王登場のきっかけ。台湾では「烈」という文字に強い美意識があると感じて調べたところ「激しい」「甚だしい」「道にはずれない」という意味があり、そこから烈海王のイメージができあがったという。
烈海王 ファイトスタイル
海王の名に恥じぬ高度な中国武術の技量は、刃牙をして「世界を探した所で、彼に勝ちうる人間など見つかるか分からない」と賞賛せしめるほどで、武器術にも長ける。水面を走るほどの超人的脚力は驚異である他、闘いにおいても過信や油断はせず不意打ちも辞さない。
転蓮華
相手に肩車のような体勢で組み付き、胡坐のように両足で首を固定しつつ回転し首を破壊する技。
見えない目潰し
「空気砲」とも称される。ガイアの「鼓膜破り」のように特殊な呼吸で大量の空気を吸い込んだ後、拳で圧縮しつつ鋭く相手の目に吹き付け視界を奪う。
寸勁
拳を相手の身体にほぼ密着させて叩き込む発勁。別名「1インチパンチ」。
驚愕の足技
手のように自在に動く足と足指を用いる技術。足指で相手を掴んで投げる、足指を握りこんで拳を作り打突する（足拳）など様々な技がある。このため、烈が功夫靴を脱ぐことはボクサーがグローブを外す行為に例えられる。
打顎六連撃
顎部のみに集中させた打撃の六連撃。これにより数千回の脳震盪が襲う。
烈海王 ファイトスタイル
グルグルパンチ
対ピクル戦でまったく中国拳法が通用しなかったため、4000年の威厳を護るために「負けたのは自分であって中国拳法ではない」と取った苦肉の攻撃手段。両腕を回転させて標的を殴打する。当のピクルにはまったく効かなかった。
崩拳
中国拳法を代表する武器（中段突き）。ピクルに対して放ったが全力の頭突きに押し負けた。
無寸勁
「ノーインチパンチ」とも。僅かな隙間も開けず、完全密着した状態からの発勁。烈はこれでボクシンググローブを填めたままグローブを貫通させたり、元ヘビー級チャンピオンのアンドレイ・ワーレフを一撃で沈めた。その速さたるやカメラにも映らない。
武器術
作中では飛鏢、流星錘、七節棍、柳葉刀、九節鞭を使用している。イメージによれば槍も得手とのこと。
消力（シャオリー）
極限の脱力によって五体を羽毛と化す技術。郭海皇直伝であり、ある程度のレベルまでなら刃物による斬撃すらも無効化することが可能。
烈海王 作中での活躍
最凶死刑囚編でドリアンと対峙した折、烈は己の過去を回想する。まだ烈が白林寺で修行を積んでいたころ、彼は屈指の実力を誇っていたが、海王の称号を頂くための試験への挑戦を師事する劉海王に禁じられていた。その憤りから、劉海王の前で修行僧たちが水の満たされた水槽に一発の打撃だけでどこまで波を作れるかという試験（おそらくは海王試験の一部）に乱入し、「なぜ私に海王試験の機会を認めないのか」と詰め寄った。そんな烈を劉海王は白林寺の地下に連れて行き、そこで山の岩盤を貫く大穴を見せ、これは昔とある男が、武器も道具も一切使わずたった一晩の内に己の拳足だけで掘ってのけたものだと説明。驚く烈に劉海王は海王の称号を与えない理由として、人間性の問題ではなく、技量が低いからと明かした。劉海王が語るある男とは、欧米人で初めて海王の称号を頂いた「怒李庵（ドリアン）海王」だった。
最大トーナメント編
最大トーナメントでは、1回戦の相手セルゲイ・タクタロフを手玉に取り、2回戦でもマウント斗羽を1分足らずで撃破。3回戦では空手界の最終兵器と称される愚地克巳の音速拳に驚愕するも実際の対戦では、培った戦術を駆使し、克巳を一撃の元に下した。
烈海王 作中での活躍
準決勝では刃牙と激突。刃牙はあらかじめ烈の戦法をシミュレーションし、リアルシャドーの模擬戦で「勝った」と宣言していたが、本物の烈は刃牙の想定を上回っており、激戦となる。最終的には「範馬の血」に目覚めた刃牙の潜在能力の前に敗退となる。
最凶死刑囚編
最大トーナメント後は愚地克巳から神心会に招待された。突如現れたドリアンに克巳が倒され、ドリアンと対峙したが、ほとんど戦わずに逃げられ、激昂する。その後、ドリアンによって死亡寸前の加藤を発見し、遊園地にて神心会メンバーと共に対峙した。この時、ドリアンが海王であることを知り、一時は同門対決を禁ずる掟に従ったが、愚地独歩を火薬で倒したドリアンに対し、「敗北を知りたい」というその主義の矛盾を明らかにした上で、彼を完全に敗北させた。鎬昂昇を破った最凶死刑囚のドイルに対しても、飛鏢、流星錘、多節棍、柳葉刀を使い彼を追い詰めたが、ジャックに薬を打たれて気絶したため、決着はつかなかった。
手負いで瀕死の状態ながらも無防備な彼を暴漢から守って、立ちながら気絶しカラスに啄まれそうになったドイルを助け手厚く看護している。
中国大擂台賽編
柳龍光の毒により瀕死になった刃牙を中国へつれてゆき、復活の手助けをした。
烈海王 作中での活躍
大擂台賽には白林寺代表の1人として参加。一回戦で孫海王を軽くあしらい、5VS5マッチになってからは高い人間力を持つ寂海王をてこずりながらも撃破し、中国連合軍唯一の白星をあげた。
野人戦争編
ピクルに興味を抱き、彼のいる在日米軍基地に「夜這い」を行うなどの執着の末、ピクルの「餌」として戦うことを光成に志願する。ピクルを相手に武術を駆使して戦うが、武術が想定している「人間」の範疇を逸脱した身体能力の前に不利となり、ついには敗北によって中国武術がこれ以上汚れることのないよう、武術も海王の称号も捨ててただの1人の男として、もはや技とはいえないグルグルパンチを繰り出す。しかし、ピクルの反撃に対し、無意識に武術の技でガードし、さらには「烈海王」としての自らの幻影を見たことで、武術に身を置いて戦うことを決意し、なおかつ「人間」の範疇を超えるピクルとの戦いで、中国武術の新たな1ページを記そうと覚悟し望む。しかし、ピクルの超速タックルにカウンターを当てるも打ち負けて吹き飛ばされ、右脚を食われ失う。
烈海王 作中での活躍
烈が右脚を食われたとの報は、克巳を含めた多くの面々に衝撃を与えるが、彼自身は右脚を失ったことよりも、食べられたのが右脚だけで終わった結果を前に、光成に自分を餌にと志願したのが、本当に負けて餌となる覚悟ができていたのかどうかを己の心に深く問い掛ける。そんな烈を見舞った刃牙は、そうした姿勢が姓である「烈」という語が持つ「道に外れない」という意味そのままであると評した。その後、義足を装着しながらも克巳へ協力を申し出、マッハ突きの改良に寄与した。片脚が義足となった後も、巧みな身体操作によって、そのハンディを感じさせない強さを見せる。
強者達の闘い編
片脚を失おうとも戦士として戦いを諦めず、ボクシング界へ挑戦した。プロモーターのカイザーと出会い、彼が用意する強敵に惹かれ、アメリカへ渡る。アメリカデビュー戦で元世界ヘヴィ級チャンピオンのアンドレイ・ワーレフを一蹴。続くジョー・クレーザー戦ではグローブの利を活かした相手に苦戦するものの、最後は一本拳でKO勝ちを収めた。その直後、ボクシング4団体統一王者ウィルバー・ボルトに挑戦を受ける。本編は以降、刃牙と勇次郎の親子喧嘩が始まったため描かれずに終了したが、続編『刃牙道』にて烈がボルトに勝利したことが明かされる。
烈海王 作中での活躍
新たな強敵宮本武蔵が現れたことを知り、ボクシング界に留まることなく日本へ行く。自ら希望し、地下闘技場で武器使用可のルールで武蔵と対決。前夜に本部以蔵が乱入するハプニングがあったものの、試合は武器術と徒手の技量と執念で「剣なき時代に拳こそ剣」と武蔵に言わしめるなど善戦。郭海皇に伝授された消力を駆使し、一度は唐竹割りを凌ぐものの、続く本気の胴斬りには消力も通じず、背骨と腸を切断され死亡した。試合後は武蔵から「関ケ原並みの戦力」と称賛を受けるも、実際には武蔵は全力を出しきってはいなかった。
作者の板垣は2015年11月放送のトーク番組『漫道コバヤシ』に出演した際、この件に触れ「これで烈が生きていたら、もう俺は何を描いても信用されないだろう」と語り、改めて烈海王が死亡したことを明言している。
烈の死後、右腕だけは火葬せずに残していたことが、続編『バキ道』で明かされた。右腕のみを保存していた理由は、ピクルとの戦いで右腕を失った愚地克巳のためであり、独歩と光成が烈の右腕の移植を提案し、思慮の末克巳がその提案を受諾。烈の右腕は新たに、克巳の右腕へとなった。
バキ外伝 烈海王は異世界転生しても一向にかまわんッッ
2020年10月1日発売の『月刊少年チャンピオン』の次号予告にてスピンオフ『バキ外伝 烈海王は異世界転生しても一向にかまわんッッ』の連載が予告された。なお、本作について同月時点で板垣からの公認は得られていない。
宮本武蔵に敗死した後、意識を取り戻すと五体満足な状態であった。そこで烈を知るナカムラと出会い、自分が異世界に転生したことを知る。
数学の哲学
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。
数理哲学（すうりてつがく、英: mathematical philosophy）という用語が、しばしば「数学の哲学」と同義語として使われる。しかしながら、「数理哲学」は、別の意味を少なくとも二つ持っている。一つは、例えばスコラ学の神学者の仕事やライプニッツやスピノザの体系が目標にしていたような、美学、倫理学、論理学、形而上学、神学といった哲学的主題を、その主張するところでは、より正確かつ厳密な形へと形式化するプロジェクトを意味する。さらに、個々の数学の実践者や、考えかたの似た現場の数学者の共同体が日頃抱いているものの考え方（＝哲学）を意味する。
数学の哲学 テーマ
数学の哲学で繰り返し検討されているテーマには以下のようなものがある。
数学の哲学 数学の哲学の歴史概略
歴史上、多くの思想家が、数学とは何かに関して彼らの考えを明らかにしてきた。今日でも数学の哲学者たちの中には、この種の問いとその成果をあるがまま説明しようとする人々もいるが、他方で、単純な解説に飽きたらず、批判的分析へと進む役割をもって任じる人々もいる。
数学の哲学 数学の哲学の歴史概略
西洋哲学と東洋哲学の両方に、数学的哲学の伝統がある。西洋の数学の哲学は、ピタゴラス教団の教祖ピタゴラスを源流として、数学的対象の存在論的地位を研究したプラトンと、論理学や無限（実無限と可能無限）に関する諸問題を研究したアリストテレスにまで遡る。数学に関するギリシア哲学は、彼らの幾何学の研究の強い影響の下にあった。かつてギリシア人は、1は数ではなく、むしろ任意の長さの単位であるという意見を持っていた。数は、多であると定義された。それゆえ、例えば、3は、単位長の多を表しており、本当の意味の数では決してなかった。また同様の理由で、2は数ではなく、1対（つい）という基本概念であるとする議論が行われた。この理解は、「直線・辺・コンパス」という、たぶんに幾何学的なギリシアの視点に由来している。その視点とは、幾何学的問題において描かれたいくつかの線が最初に描いた任意の長さの線との比で測定されるのと同様に、数からなる線上に置かれたそれぞれの数は、任意の初めの「数」つまり1との比で測定される、というものである。これらの初期のギリシアの数の概念は、後になって、2の平方根が無理数であるという発見によって、打ち倒された。ピタゴラスの門人であるヒッパソスは、単位正方形の対角線は、その辺と通約不能であることを示した。換言すると、彼は、単位正方形の対角線とその辺の比を正確にあらわす（有理）数が存在しないことを証明した。これが原因となり、ギリシアの数学の哲学は再検討されることとなった。伝承によれば、この発見によって傷つけられたピタゴラス教団の教徒達は、ヒッパソスが彼の異端な考えを広めるのを防ぐために、彼を殺害した。
ライプニッツとともに、焦点は数学と論理学の関係へと、強力に移動した。この見方はフレーゲとラッセルの時代を通して数学の哲学を支配したが、19世紀終期と20世紀初頭における発展によって疑問を付されるようになった。
数学の哲学 20世紀における数学の哲学
数学の哲学のかわらない課題の一つは、論理学と数学の双方の基礎につながる、相互の関係に関わっている。20世紀の哲学者が本記事の冒頭に掲げたような様々な問いを立てていく中で、20世紀の数学の哲学は形式論理学、集合論、基礎付けの問題への目立った関心によって特徴付けられる。
一方で数学的真理が避けがたく必然的であるように思えるのに、他方でその「真理性」の源泉がとらえどころがないままなのは、なかなか理解しがたい謎と言える。この問題の研究は、数学の基礎付けのプログラムとして知られる。
20世紀の初め、数学の哲学者たちはすでに、これら全ての問題に関して、数学の認識論と存在論をどのように思い描くかをめぐって、多様な学派に分かれていた。3つの学派すなわち形式主義、直観主義、論理主義がこのとき現れたのは、部分的には、それまで当然のことと考えられていた確実性と厳密性の基準を当時の数学、とくに解析学が満たしていないのではないかという当時広がりつつあった懸念への応答であった。当時この問題は焦眉の課題であり、問題の解決を試みるのであれ、数学には我々の最も信頼できる知識という地位を授かる資格がないと主張するのであれ、どの学派もこの問題に取り組んだ。
数学の哲学 20世紀における数学の哲学
20世紀の初めに形式論理学と集合論が驚くべき、そして反直感的な発展を遂げた結果、「数学の基礎」と伝統的に呼ばれてきたものに関係する新たな疑問が生じた。紀元前300年前後のユークリッドの時代以来、公理に基づく手法は、数学の自然な基点だと受け止められていたが、20世紀が進むにつれ、当初の関心の焦点が拡張され、数学の基礎的な公理に対する制限のない探求へと至るようになった。公理、命題、そして証明といった観念、そしてまた数学的対象の命題の真理についての観念が、形式化され、数学的に扱うことが許されるようになった。ツェルメロ＝フレンケルの公理系は、多くの数学的議論を解釈する概念的枠組みを提供するものとして集合論を定式化した。物理学におけるのと同様に数学においても、新しい、予期しないアイデアが登場し、特筆すべき変化が訪れた。ゲーデル数によって、数学理論の無矛盾性の研究が可能となった。検討されている数学的理論が「それ自体、数学的研究の対象となる」という反省的批判を、ヒルベルトは「超数学」（メタ数学）（英: metamathematics）又は「証明論」（英: proof theory）と呼んだ。
数学の哲学 20世紀における数学の哲学
20世紀の中ごろ、圏論として知られる新たな数学理論が、自然言語による数学的思考に対する新たな競争者として登場した（Mac Lane 1998）。しかしながら、20世紀が進むにつれ、まさに当初提起された基礎付けに関する疑問自体が如何によく基礎付けられるのか、というところへ哲学的関心は広がっていった。ヒラリー・パトナムは、20世紀後半の35年間の状況についての一つの共通見解を、次のように要約した。
哲学が科学における誤りを発見したときは、しばしば、科学は変わらざるを得ない。例えばラッセルのパラドックスがあるし、バークリーの現実的無限小への批判も思い浮かぶ。しかし、それよりも変らなければならないのは哲学であることのほうが多い。私には、哲学が今日の古典的数学に見出している困難が、真の困難とは思えない。そして、私は、我々が四方八方から提案されている数学についての数々の哲学的解釈は誤っており、「哲学的解釈」はまさに数学が必要としていないものだ、と考えている。 — Putnam, 169-170.
今日、数学の哲学は、数学の哲学研究者、論理学者、数学者によっていくつもの異なる研究の方向に進んでおり、この主題に関する多くの学派が存在する。次の節で、これらの学派を個別に取り上げ、彼らの仮説を説明する。
数学の哲学 現代の学派
実在論が一般にそうであるように、数学的実在論もまた、数学的実体が人間の心とは離れたところに実在していると考えている。それゆえ、人間が数学を発明したのではなく、数学を発見したのだ、ということになる。宇宙に別に知的生命がいるとすれば、それがどんな存在であっても同じように数学を発見するであろう。この観点から言えば、発見されうる数学はたった一種類だけである。例えば、三角形は真の実体であり、人間の心が生みだしたものではない。
現場の多くの数学者は数学的実在論者であった。彼らは、彼ら自身を自然に発生する対象の発見者だとみなしている。数学的実在論者の例には、ポール・エルデシュやクルト・ゲーデルも含まれる。ゲーデルは、ある意味で感覚的知覚と同様に知覚されうる客観的な数学的実在を信じていた。彼らによれば、無媒介に真であると考えられる確実な原理（例えば、任意の二つの対象について、正確にその二つの対象によって構成される対象のコレクションが存在する）というものがいくつかある。しかし、連続体仮説のように、そのような原理だけをもとにしては決定的に証明することができない仮説もある。ゲーデルによれば、このような仮説を合理的に仮定するのに十分な証拠を提供するために、準経験的な方法論を用いることができる。
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どんな存在が数学的実体であるのか、また、どうすれば我々はそれらを知るのかをめぐって、実在論の内部にいくつもの異なる立場がある。
実在論の一形態としてのプラトニズムは、数学的実体が抽象的であり、空間的時間的ないし因果的な性質をもたず、永遠不変のものであると考えている。数というものについて、多くの人々がこのような見解を抱いているとしばしば主張される。プラトニズムという用語が使われる理由は、このような観点が、不変かつ究極的な実在に対して日常的世界がその不完全な近似であるに過ぎないとする、プラトンの（「プラトンの洞窟」のたとえで表される）「イデア界」の教説とパラレルであるように見えることに由来する。「プラトンの洞窟」とか「プラトニズム」という言い方には表面的というにとどまらない深い意味がある。なぜなら、古代ギリシアではピタゴラス教団が広範な人気を誇っていたが、この学派によれば世界は文字通り数から生まれたのであり、そしてこの学派は時間的にプラトンの思想に先行しており、おそらくプラトンの考えはこれに影響を受けているからである。
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数学的プラトニズムの主要な問題は、次のようなものである。数学的実体は、正確にどこに、またどのように存在するのか？ また、我々はそれをどのように知りうるのか？ 我々の物理的世界と完全に分離され、数学的実体によって占有された世界があるのか？ どうすれば我々はその分離された世界に接近でき、数学的実体についての真理を発見できるのか？ 一つの答えは数学的宇宙仮説（究極集合）の理論であろう。この理論に従えば、数学的に存在するすべての構造は、それ固有の世界において物理的にも存在するものとされる。
ゲーデルのプラトニズムは、我々を数学的対象の直接的な知覚へと導く、特別な種類の数学的直観を前提にしている。この考えかたは、フッサールが数学について語った多くのことと類似しており、数学的知識は総合的かつアプリオリであるとするカントの考えを支持している。フィリップ・J・デイヴィスとルーベン・ハーシュは共著『数学的経験』The Mathematical Experienceにおいて、多くの数学者は日頃はまるでプラトニストであるかのように振舞っているのに、慎重にその立場を表明せざるをえないときには形式主義（後述）に後退することがある、と指摘した。
数学者の中には、さらに微妙に異なるバージョンのプラトニズムに帰着する見解を抱く者もいる。こういう考え方は、ネオ・プラトニズムと呼ばれることもある。
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論理主義は、数学は論理学に還元可能で、ゆえに数学は論理学の一部以外の何者でもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。論理主義者の考えでは、数学はアプリオリに知ることができるが、我々の数学の知識は我々が論理学全般についてもっている知識の一部分にすぎない。そのためわれわれの数学知識にとって、いかなる数学的直観の特別な能力も不要で、命題の分析をすればよい。論理主義に従えば、論理学が数学の固有の基礎であり、全ての数学的言明は必然的な論理的真理である。
ルドルフ・カルナップ（1931年）は、論理主義の論点を2点提示している。
ゴットロープ・フレーゲが論理主義の創始者であった。独創的な論文『算術の基本法則』Die Grundgesetze der Arithmetik の中で、彼は内包性の一般原理を用いて、一つの論理学体系から数学を作りあげている。この内包性の一般原理を彼は「基本ルールV」と呼んでいる（概念 F と G において、全ての対象 a について Ga のときかつそのときに限り Fa であるならば、そのときに限って、F の外延と G の外延は等しい）。彼はこの原理を論理学の一部として受け入れることができると考えた。
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しかし、フレーゲの構成には欠陥があった。ラッセルが「基本ルールV」に矛盾があることを発見したのである。これがラッセルのパラドックスである。この後すぐフレーゲは彼の論理主義のプログラムを捨てたが、ラッセルとホワイトヘッドが後継者となった。彼らは、このパラドックスを「悪循環」に由来するものとし、これを扱うために「分岐タイプ理論」（英: ramified type theory）なるものを作り上げた。この理論を用いれば最終的に近代数学の多くの部分を作り上げることができるが、しかしその数学は部分的に変更されており、また非常に複雑な形式となる（例えば、それぞれのタイプに異なる自然数があり、無限に多くのタイプが存在する）。彼らはまた、数学の大部分を構築するために、「還元公理」（英: axiom of reducibility）をはじめとするいくつかの妥協をしなくてはならなかった。ラッセルでさえ、この公理は実際には論理学に属するものではない、と述べたほどであった。
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現代の論理主義者は（ボブ・ヘイル（Bob Hale）やクリスピン・ライト（Crispin Wright）、おそらくは他の人々も）、フレーゲのものに近いプログラムに回帰している。彼らは基本法則Vを捨ててしまって、ヒュームの原理（概念 F に帰属する対象の数は、概念 G に帰属する対象の数と、F の外延と G の外延が一対一対応させられるとき、かつそのときに限り、等しい。）のような抽象原理を支持している。フレーゲは数の明示的な定義のために基本法則Vを必要としたが、数の全ての性質はヒュームの原理から導き出せる。これはフレーゲにとって不満の残る原理であっただろう。（彼の言葉を換言すれば）実際のところ、数3がジュリアス・シーザーと同一である可能性を排除しないからである。加えて、彼らが基本法則Vを置き換えるために採用せざるをえなかった弱められた原理の多くは、もほやそれほど明白に命題分析的ではなく、したがって純粋に論理学的でもないように思える。
もし数学が論理学の一部分であるならば、数学的対象に関する疑問は、論理学的対象への疑問へと還元される。しかしそれでは、論理的概念の対象とは何なのか？ この視点からは、論理主義は、完全な回答を与えることなく、数学の哲学に関する疑問を論理学に関する疑問に移動させたようにみえるかもしれない。
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経験主義は実在論の一種であるが、数学がアプリオリに知られうるということを全く否定するものである。経験主義は、ちょうどすべての他の科学の事実がそうであるように、我々は経験的な探求によって数学的事実を発見する、とする。経験主義は、20世紀初頭に唱導された古典的な3つの立場とは別に、同世紀中葉に最初に成立した。ただし同様の見解は先駆的にはジョン・スチュワート・ミルが提起していた。ミルの見解は広く批判された。なぜなら、その見解に従えば、「2 + 2 = 4」のような言明でも不確実で偶然的な真理にすぎず、2個の事物が2組合わさると4つとなることを観察することによってしか学ぶことができないものとされてしまうからである。
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クワインとパトナムによって定式化された現代の数学的経験主義の主な論拠は、不可欠性論法（英: indispensability argument）である。これは、数学は全ての経験科学にとって不可欠であり、もし我々がその科学によって記述される現象の実在性を信じたいのであれば、我々はその記述のために必要とされるそれらの事物の実在性もまた信じなくてはならない。つまり、電球があのように振舞うのは何故なのか述べるために物理学は電子に言及しなければならないのだから、電子は実在しているはずである。科学がその説明を提供するのに数について語る必要があるのだから、数は実在しているはずである。クワインとパトナムの哲学全体からは、これは自然主義的な議論である。この立場は数学的対象の存在を経験の最善の説明として論じ、そのようにして、数学からそれを他の科学から区別しているものを剥ぎ取る。
パトナムは「プラトニスト」という言葉を、いかなる本当のいみでの数学的実践にも必要とされない特定の存在論を示唆する言葉として、強く拒否した。彼は一種の「純粋な実在論」（英: pure realism）を擁護した。それは、真理についての神秘的な考え方を拒否し、数学における準経験主義を大いに受け入れるものであった。彼は、「純粋な実在論」という言葉を生み出すことにかかわった（後述）。
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数学についての経験主義的な見解へのもっとも重要な批判は、ミルに対して提起されたものとおおよそ同じである。もし数学が他の科学と同じだけ経験的ならば、そのことは数学の結果も他の科学の結果と同じだけ誤りやすく、同じだけ偶然的であることを意味している。ミルの場合は経験的正当化は無媒介的になされたが、クワインの場合は間接的で、科学理論全体の整合性（エドワード・オズボーン・ウィルソンのいうところのコンシリエンス）を通してなされる。クワインが指摘するところでは、数学が完全に確実なようにみえるのは、数学が演じている役割が我々の信念の網の非常に中央にあるからであり、それを修正することは我々にとって不可能ではないまでもとてつもなく困難だからである。

クワインとゲーデルのアプローチの欠点をそれぞれの面から克服しようと試みる数学の哲学については、ペネロプ・マディー (Penelope Maddy) の著書『数学における実在論』Realism in Mathematicsを参照せよ。
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形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。例えば、ユークリッド幾何学という「ゲーム」（つまり、「公理」という名のいくつかの記号列と、与えられた記号列から新しい記号列を生成する「推理規則」からなるものとみなすということ）において、ピタゴラスの定理が成立する（すなわち、ピタゴラスの定理に対応する記号列を生成できる）ということは証明可能である。形式主義によるなら、数学的真理とは、数とか集合とか三角形といったものについての真理ではない。実のところ、なにものかに「ついての」真理などでは全くない。
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別の種類の形式主義はしばしば演繹主義（英: deductivism）という名前で知られている。演繹主義によれば、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、相対的な真理である。「もし」ゲームの規則が真になるような仕方で文字列に意味が与えられるなら、「そのとき」定理を真と認めなくてはいけない。あるいはむしろ、それに与えられた解釈が真なる言明であるとしなければならない。他のすべての数学的言明についても同じことが真とされる。それゆえ、形式主義では、数学は意味のない記号ゲームにすぎないと考える必要はない。ゲームの規則が妥当するなんらかの解釈が存在するということが通常期待されているからである（この立場を構造主義 (数学の哲学)と比較せよ）。しかし、形式主義によって現場の数学者たちは仕事を続けることができるし、いくつかの問題を哲学者や自然科学者に委ねることができる。多くの形式主義者は、どんな公理系を研究すべきかは、実際上、自然科学や他の数学領域の要求によって示唆されると言うであろう。
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形式主義を唱えた初期の最も有名な人物はダフィット・ヒルベルトであった。ヒルベルトのプログラムとは、数学全体を完全かつ無矛盾な仕方で公理化しようとするものであった。ここで無矛盾とは、体系上いかなる矛盾も生じないということである。ヒルベルトは、「有限算術」（通常の算術の下位体系で、自然数について哲学的に議論しようもないよう選ばれたもの）は無矛盾であるという仮定条件のもとで、数学の体系的無矛盾性を示そうとしたのである。しかし、完全かつ無矛盾な数学体系を作りだそうというヒルベルトの目標は、ゲーデルの第2不完全性定理によって完全に潰えた。不完全性定理によれば、十分な表現力を持つ無矛盾な公理体系は自身の無矛盾性を決して証明できないからである。このような公理体系はかならず有限算術を下位体系として含むことになるから、ゲーデルの定理は、有限算術に関する体系の無矛盾性が証明不可能であることも含意している（自己の無矛盾性を証明することになるが、ゲーデルによってそれが不可能であることが証明されている）。それゆえ、無矛盾であると証明しようとしている体系よりもある意味で強力な無矛盾性を数学体系が備えているのだということをまず前提しておかなければ、数学のどんな公理体系も実際に無矛盾であることを示すことはできないことになる。
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初期のヒルベルトは演繹主義者であったが、上記のように、メタ数学的方法が本質的に有意味な結果を生み出すと考え、有限算術に関して実在論の立場に立っていた。後年には、どんな解釈を取ろうとも有意味な数学は他に一切ありえないという見解をもつようになった。
ルドルフ・カルナップ、アルフレト・タルスキ、ハスケル・カリーら他の形式主義者たちは、数学とは形式公理系の研究のことであると考えた。数理論理学者は形式体系を研究しているが、形式主義の立場に立つ研究者も実在論の立場に立つ研究者も同程度にいる。
形式主義の信奉者は、論理学や非標準的数系、新しい集合論などといった新たなアプローチに対して比較的寛容であり、これらのアプローチを推進している。われわれが研究するゲームが多ければ多くほどよい。もっとも、例に挙げたこの3つのアプローチの動機づけになっているのは、すべて現在の数学的ないし哲学的関心である。「ゲーム」は通常恣意的なものではないのである。
形式主義に対する主要な批判は、数学者たちの念頭にある現在の数学的概念は、前述した記号列操作ゲームとは縁もゆかりもないということである。例えば形式主義はどんな公理系を研究すべきかという問いに対しては沈黙する。形式主義的観点からはどの公理系も同等に有意味だからである。
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近年では、形式主義の立場に立つ数学者たちの中には、われわれの「形式的」な数学知識のすべてをコンピュータ読み取り可能な形態で体系的にコード化することを提案した者たちもいる。これによって数学的証明の自動検証が容易に行えるようになり、数学理論とコンピュータ・ソフトウェアの発展のために双方向定理証明を用いることができるようになるというのである。 この考え方はコンピュータサイエンスと密接に結びついているので、「計算可能性」研究の流れのもとで数学的直観主義と数学的構築主義を擁護することにもなった（後述）。概略はQEDプロジェクトを参照。
数学における直観主義とは、「非経験的な数学的真理はありえない」（L・E・J・ブラウワー）をモットーとする方法論的改革のプログラムである。直観主義の信奉者はこのモットーを出発点に、彼らが矯正可能であると考えた数学の一部分について、存在、生成、直観、知識といったカント的概念に従って再構築しようとした。運動の創始者であるブラウワーは、数学的対象は「アプリオリ」な形式の意思作用から生じるのであり、この意思作用が経験的対象の知覚を活気づけるのだとした（CDP, 542）。
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レオポルト・クロネッカーは「自然数は神に由来し、他のすべては人間の産物である」と述べている。直観主義擁護派の主要人物は、いかなる種類の形式化された論理学も数学にとって有益でないとしたブラウワーであった。彼の学生であったアレン・ハイティングは直観論理を定式化した。これは、古典的なアリストテレス論理学とは異なるものである。直観論理は排中律を含まず、従って背理法を認めない。また直観主義的集合論の多くにおいては、若干の例外を除いて選択公理も斥けられている。直観主義に基づいて後年行われた重要な研究としてはエレット・ビショップによるものがある。ビショップは実解析の主要公理を直観主義的観点から定義し直し、その証明を行おうとした。
直観主義の「明白な構成」という用語の定義は曖昧であり、批判を浴びた。この欠陥を補うため チューリングマシーンや計算可能関数といった概念を用いることが試みられ、有限なアルゴリズムのふるまいに関する問題だけが有意味であり、数学的研究の対象であるべきであるといった主張がなされた。アラン・チューリングによって提案された計算可能数の研究も行われた。従って、直観主義のアプローチがしばしばコンピュータサイエンスの理論と結びついているのも不思議なことではない。
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直観主義と同様、構成主義もまた、一定の意味で明白に構成することのできる数学的なものだけが数学的言説において認められるべきであるという規制原理を主張する。この考え方によれば、数学とは人間の直観の営みであって、有意味な記号を用いたゲームなどではない。そうではなく、数学とは、われわれが心的活動を通じて直接作り出せるものに関係している。また、構成主義の支持者たちの中には、非構成的証明（背理法など）を拒否する者もいる。
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数学におけるフィクショナリズム（英: Fictionalism）は、1980年にハートリー・フィールドが『数を用いない科学』Science Without Numbersを出版し、その中でクワインの不可欠性論法を退け、実際に覆したときに有名となった。クワインは、数学は私たちのもっとも優れた科学的な諸理論のために不可欠であり、したがって独立に存在する事物について言及する真理の主要部として受け入れなくてはならないとしたが、フィールドは不可欠ではなく、したがって実在的な何者にも言及することのない虚偽であると指摘した。彼はこれを、まったく数と関数を用いることのないニュートン力学の完全な公理系を提供することによって行った。ヒルベルトの公理系（英: Hilbert's axioms）の「間にある」（英: betweenness）という概念を使って座標を付けることなく空間を特徴づけることをはじめ、それまではベクトル場によって行われていたことをするために点の間のさらなる関係を加える。ヒルベルトの幾何学は、それが抽象的な点について述べるため、数学的である。しかし、フィールドの理論においては、これらの点は物理的空間における具体的な点であって、そのため特別な数学的対象はまったく必要ない。
数学の哲学 現代の学派
どのように数学を使うことなく科学を行うかを明らかにして、彼は、数学を役に立つフィクションという地位に復権させた。彼の示したところによれば、数学的物理学は、彼の非数学的物理学の保守的な拡大（英: conservative extension）の一つであり（つまり、数学的物理学で証明可能なすべての物理的事実は、彼の非数学的物理学体系ですでに証明可能であり）、数学はその物理的現象への応用がすべて真であるような信頼できるプロセスではあるが、それ自体の言明は偽なのである。したがって、私たちが数学を行うとき、万が一、数が存在するならばと、私たちは自分たちがある種の物語を語っているにすぎない。フィールドにとって、ちょうど「シャーロック・ホームズはベーカー街221Bに住んでいる」という言明が偽なのと同じように、「2 + 2 = 4」といった言明は偽なのである —もっとも、これらの両方の言明とも、適切なフィクションにもとづけば真ではあるが。
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この説明によれば、数学だけに特有の形而上学的または認識論的な問題は存在しない。残された問題は、非数学的物理学についての一般的な問題と、フィクション一般についての問題だけなのである。フィールドのアプローチは非常に影響力があったが、今日では広く拒絶されている。これは、一つには、フィールドの還元を行うために二階の論理の強い断片（英: strong fragments）が必要とされるからであり、また彼の保守的な理論の言明は抽象的なモデルや演繹に対して量化を必要とするように思えるからである。他の異議としては、量子論や周期表のようないくつかの科学の成果を、数学なしでどのように得ることができるのかはっきりしない、というものがある。もし、ある元素を他の元素と区別するものが電子や中性子、陽子の数に他ならないならば、どのようにして数の概念なしに元素を区別すればよいのだろうか？
身体化理論（英: Embodied mind theories）によれば、数学的思考は我々の物理的世界に存する認知器官の自然な派生物である。例えば、数という抽象的な概念は、離散的な対象を数えるという経験に源を持つ。数学は普遍的ではないし、いかなる本当の意味でも人間の脳の中以外には存在するわけではない、とする。数学は、人間によって発見されたのではなく、人間によって構築されたのである。
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したがって、この観点においては、物理的宇宙はまた数学の究極的な基礎と見なされる。それは、脳の進化を導き、脳がどのような問題について調査する価値を見出すのかを決定した。しかし、人間の心には殊さら実在性を要求する傾向も、数学をもとにして作り出された実在性への特別な接近法も持ってはいない。オイラーの等式のような構成物が真であるとすれば、それらは人間の心と認識の写像として真なのである。
したがって、身体化理論は、数学の有効性を、数学は脳によってこの宇宙で有効であるようにと構築されたからであると説明する。
この視点による有名な論述は、ジョージ・レイコフとラファエル・ヌニェス（Rafael E. Núñez）の『数学の認知科学』Where Mathematics Comes Fromである。加えて、数学者キース・デヴリン（Keith Devlin）も、著書『数学的本能』The Math Instinctにおいて、似たようなコンセプトを検討した。この視点から喚起されたさらなる哲学的なアイデアについては、数学の認知科学（英: cognitive science of mathematics）を参照のこと。
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社会構築主義や社会的実在論の理論では、数学をなによりまず社会的構築物として見る。つまり、文化によって変化や変更が行われる生産物と見る。自然科学の他の部門と同じく、数学もまたひとつの経験的試みであり、その成果は絶えず検証され、場合によっては放棄されるかもしれないとされる。とはいえ、経験主義的には検証とは「現実」とある種の比較を行うことであるのに対して、社会構築主義が強調するのは、社会集団における研究上の流行や研究に資金供給する社会の必要に応じて数学研究の方針が決定されるこということである。ただし、こうした外部的な力によってある種の数学研究が変えられてしまうということがあるにせよ、数学的な伝統、方法、問題、意味や価値といった数学者たちが文化適応しているさまざまな内的制約もまた、数学という歴史的に決定された学問分野を保持していく上で、強力に働いている。
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以上の考え方は、現場の数学者たちが従来感じてきた、数学とはいずれにせよ純粋ないし客観的なものであるという信念とは相容れない。しかし、社会構築主義の立場からすれば、数学の基礎には実際にはかなり不確実なものがある。数学的実践 (mathematical practice) が変化すると、かつての数学の地位に疑問が投げかけられ、現在の数学者たちの共同体によって要求ないし要望される水準に変更される。解析学の発達がライプニッツやニュートンの微積分法の再検討から生まれたとき、こういう変化が起こったと言える。社会構築主義の立場からは、さらに、完成された数学が大きすぎる地位を与えられていることが多いのに対して、まだしっかりとした証明をされていないいわゆるフォーク数学 (folk mathematics) の方は、公理的証明や数学的実践におけるピア・レビューに重きを置きすぎているせいで、十分に評価されない。しかしそれでは、厳密に証明された成果が強調されすぎていると言っているだけに思えるかもしれない。残りはすべて混乱して不確実だ、というわけである。
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数学が社会的なものであるということが最も明白なのは、数学のサブカルチャーに当たる分野である。主要な発見がある数学部門で行われ、他の数学部門にも関連しているということがありうる。それでも、数学者たちの間に社会的繋がりがなければ、関係は発見されないままになる。社会構築主義の立場からは、それぞれの部門はそれぞれ認識共同体 (epistemic community) を形成しており、コミュニケーションをしたり数学の様々な分野を横断する統一理論 (unifying theories) を研究しようと考えたりするのは大変難しいと言える。社会構築主義の立場からは「数学をする」というプロセスは現実に意味を作りだすことなのである。他方、社会実在論の立場からは、人間の抽象化能力や人間の認知バイアスや数学者たちの集団的知性の不足によって、数学的対象という実在世界の理解が妨げられているとされる。社会構築主義では、数学の基礎の探求は失敗せざるを得ないし、無駄かつ無意味であるとして拒絶されることもある。社会科学者によっては、人種差別やエスノセントリズムの影響を受けているとする説もある。これらの考え方の中にはポストモダニズムに近いものもある。