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フランキ 社史
1980年代前半には、H&Kと業務提携を結び、ショットガンをOEM供給した。
1987年、業績不振からイタリアの重工業メーカーであるソシミの傘下に入った。この際、H＆Kとの提携も解消されたとみられる。さらに、1993年にはソシミ社が倒産したためベレッタの傘下に入り、現在に至っている。ベレッタは自社でもショットガンの開発能力があり、さらにフランキより先に、同じくショットガンメーカーであるベネリを傘下に入れていたこともあって、フランキの戦闘用ショットガンは不要と判断され、資料や製造機器などはすべて廃棄されたといわれる。現在のフランキは、主に狩猟分野の民生用銃器の製造を行っている。
日本で入手できるフランキブランドの製品には、散弾銃や空気銃などがある。
丸山楽雲
丸山 楽雲（まるやま らくうん、1948年 - ）は篆刻家。
長野県安曇野市生まれ。同県中信地方を拠点とし、書画、篆刻の世界では数々の実績を残し本場中国では三絶と称される。安曇野市内はもとより、同県の中野市、松本市、及び各町村に散在する寺院に収蔵されている書画、篆刻、印などの制作を手掛けている。また、木額、石碑、山号額、幟旗などの揮毫、更には、会社名や商品タイトル、ロゴマーク、パッケージや包装紙の書画、書籍の題字などにも活躍の場を広げている。
ブライス・スパルタンズAFC
ブライス・スパルタンズ・アソシエイション・フットボールクラブ（Blyth Spartans Association Football Club）は、イングランド、ノーサンバーランド、ブライスを本拠地とするサッカークラブチーム。2021-2022シーズンはナショナルリーグ・ノース（6部相当）に所属。
ブライス・スパルタンズAFC タイトル
1903-1904, 1905-1906, 1906-1907
1908-1909, 1912-1913
1972-1973, 1974-1975, 1975-1976, 1979-1980, 1980-1981
1981-1982, 1982-1983, 1983-1984, 1986-1987, 1987-1988
2005-2006
1994-1995
1972-1973, 1977-1978, 1978-1979, 1984-1985, 1991-1992
1994-1995
第49回グラミー賞
第49回グラミー賞 (49th Annual Grammy Awards) は2007年2月11日にロサンゼルスのステイプルズ・センターで開催された。
第49回グラミー賞 概要
前年の第48回グラミー賞はFOXのアメリカン・アイドルに押され、視聴率が伸びなかったため、2007年は日曜日に行なわれることが決まった。
第49回グラミー賞 主要部門受賞者
当節の記述のうち、特記していない項目の出典はである。
年間最優秀レコード賞
年間最優秀アルバム賞
年間最優秀楽曲賞
最優秀新人賞
最優秀女性ポップ・ボーカル・パフォーマンス
最優秀男性ポップ・ボーカル・パフォーマンス
最優秀ポップ・パフォーマンス（デュオもしくはグループ）
最優秀ポップ・コラボレーション
最優秀ポップ・インストゥルメンタル・パフォーマンス
最優秀ポップ・インストゥメンタル・アルバム
最優秀ポップ・ボーカル・アルバム
最優秀トラディッショナル・ポップ・ボーカル・アルバム
最優秀ダンス・レコーディング
最優秀エレクトリック／ダンス・アルバム
最優秀ソロ・ロック・ボーカル・パフォーマンス
最優秀ロック・パフォーマンス（デュオもしくはグループ）
最優秀ハードロック・パフォーマンス
最優秀メタル・パフォーマンス
最優秀ロック・インストゥルメンタル・パフォーマンス
最優秀ロック・ソング
最優秀ロック・アルバム
最優秀オルタナティヴ・ミュージック・アルバム
最優秀女性R&Bボーカル・パフォーマンス
最優秀男性R&Bボーカル・パフォーマンス
最優秀R&Bパフォーマンス（デュオもしくはグループ）
最優秀トラディッショナルR&Bボーカル・パフォーマンス
第49回グラミー賞 主要部門受賞者
最優秀アーバン／オルタナティヴ・パフォーマンス
最優秀R&Bソング
最優秀R&Bアルバム
最優秀コンテンポラリーR&Bアルバム
最優秀ソロ・ラップ・パフォーマンス
最優秀ラップ・パフォーマンス（デュオもしくはグループ）
最優秀ラップ・コラボレーション
最優秀ラップ・ソング
最優秀ラップ・アルバム
最優秀女性カントリー・ボーカル・パフォーマンス
最優秀男性カントリー・ボーカル・パフォーマンス
最優秀カントリー・パフォーマンス（デュオもしくはグループ）
最優秀カントリー・コラボレーション（ボーカルあり）
最優秀カントリー・インストゥルメンタル・パフォーマンス
最優秀カントリー・ソング
最優秀カントリー・アルバム
最優秀ブルーグラス・アルバム
最優秀ニューエイジ・アルバム
最優秀コンテンポラリー・ジャズ・アルバム
最優秀ジャズ・ボーカル・アルバム
最優秀ジャズ・インストゥメンタル・ソロ
最優秀ジャズ・インストゥメンタル・アルバム（個人もしくはグループ）
最優秀ラージ・ジャズ・アンサンブル・アルバム
最優秀ラテン・ジャズ・アルバム
最優秀ゴスペル・パフォーマンス
最優秀ゴスペル・ソング
最優秀サザン、カントリーもしくはブルーグラス・ゴスペル。アルバム
第49回グラミー賞 主要部門受賞者
最優秀トラディショナル・ゴスペル・アルバム
最優秀コンテンポラリーR&Bゴスペル・アルバム
最優秀ラテン・ポップ・アルバム
最優秀ラテン・ロック、オルタナティヴもしくはアーバン・アルバム
最優秀トロピカル・ラテン・ポップ・アルバム
最優秀メキシカン／メキシカン－アメリカン・アルバム
最優秀テハーノ・アルバム
『Sigue El Taconazo』 - Chente Barrera y Taconazo
最優秀ノルテーニョ・アルバム
最優秀バンダ・アルバム
最優秀トラディショナル・ブルース・アルバム
最優秀コンテンポラリー・ブルース・アルバム
最優秀トラディショナル・フォーク・アルバム
最優秀コンテンポラリー・フォーク／アメリカン・アルバム
最優秀ネイティブ・アメリカン・ミュージック・アルバム
最優秀ハワイアン・ミュージック・アルバム
最優秀レゲエ・アルバム
最優秀ポルカ・アルバム
最優秀トラディッショナル・ワールドミュージック・アルバム
最優秀コンテンポラリー・ワールドミュージック・アルバム
最優秀ミュージカル・アルバム（子供向け）
最優秀スポークン・ワード・アルバム（子供向け）
最優秀スポークン・ワード・アルバム
第49回グラミー賞 主要部門受賞者
最優秀コメディ・アルバム
最優秀コンピレーション・サウンドトラック・アルバム（映画、テレビ、その他ビジュアルメディア向け）
最優秀インストゥルメンタル作曲
最優秀インストゥルメンタル編曲
最優秀インストゥルメンタル編曲（ボーカリストあり）
最優秀録音パッケージ
最優秀ボックスドもしくは特別限定版パッケージ
最優秀アルバム・ノーツ
最優秀ヒストリカル・アルバム
『Lost Sounds: Blacks and the Birth of the Recording Industry, 1891–1922』 - Meagan Hennessey、Richard Martin（コンピレーション・プロデューサー）。Tim Brooks、David Giovannoni、Richard Martin（マスタリング・エンジニア）。
プロデューサー・オブ・ザ・イヤー（非クラシカル）
プロデューサー・オブ・ザ・イヤー（クラシカル）
最優秀短編ミュージック・ビデオ
最優秀長編ミュージック・ビデオ
ミュージケアーズ・パーソン・オブ・ザ・イヤー
特別功労賞生涯業績賞
オグロヌー
オグロヌー( 尾黒ヌー Connochaetes taurinus )は、哺乳綱偶蹄目（鯨偶蹄目とする説もあり）ウシ科ヌー属に分類される偶蹄類。
オグロヌー 分布
ケニア、アンゴラ、エスワティニ、ザンビア、ジンバブエ、タンザニア、ナミビア、ボツワナ、南アフリカ共和国、モザンビーク。マラウイでは絶滅。
オグロヌー 形態
頭胴長（体長）170 - 240センチメートル。尾長60 - 100センチメートル。体高115 - 145センチメートル。体重120 - 290キログラム。顔を被う体毛は下方へ向かう。胴体には、黒い横縞が入る個体が多い。
雌雄共に下方外側へ湾曲し、先端が上方内側へ向かう角を持つ。角長40 - 73センチメートル。
オグロヌー 分類
分類・英名はIUCN(2016)に、和名は今泉(1988)に従う。
Connochaetes taurinus taurinus (Burchell, 1823) ケープオグロヌー、クロヒゲオグロヌー Blue wildebeest
アンゴラ南部からナミビア・オレンジ川以北の南アフリカ共和国・ザンベジ川以南のモザンビークにかけて
顔や喉の体毛が黒い。胴体の体色は青灰色。
Connochaetes taurinus albojubatus Thomas, 1892 シロヒゲオグロヌー Eastern White-bearded Wildebeest
ケニア中部からタンザニア北部
喉が黄白色。胴体の体色は淡灰褐色。
Connochaetes taurinus cooksoni Blaine, 1914 ザンビアオグロヌー Cookson's wildebeest
オグロヌー 分類
ザンビア（ルアングワ渓谷）
顔は赤褐色、喉が黄白色。眼下部に白い横縞が入らない。胴体は赤みがかった淡灰褐色。
Connochaetes taurinus johnstoni Sclater, 1896 シロオビオグロヌー Nyassa Wildebeest
タンザニア中東部、ザンベジ川以北のモザンビーク
顔は赤褐色、喉が黄白色。眼下部に白い横縞が入る。胴体は灰褐色。
Connochaetes taurinus mearnsi Heller, 1913 タンザニアオグロヌー Western White-bearded Wildebeest
ケニア南部からタンザニア北部
オグロヌー 生態
草本の丈が短い草原や、その周囲にあるサバンナ・乾燥した藪地・開けた森林などに生息する。乾季になると、降雨量が多く草本の丈が長い草原へ移動する。
野火などにより、丈が短くなった草本を好む。
繁殖様式は胎生。妊娠期間は8 - 8か月半。
天敵として ライオン、ブチハイエナ、リカオン、ナイルワニがいる。
トゥドハリヤ2世
トゥドハリヤ2世（Tudhaliya II, ? - 紀元前1355年頃）は、ヒッタイトの大王。
トゥドハリヤ2世 事績
紀元前1375年頃に先王アルヌワンダ1世を継いで大王に即位。しかし先王は多くの問題を残していた。外敵の侵入である。
北方のカシュカ族はヒッタイト領内への侵入を繰り返していたが、組織的でないその行動（ゲリラ戦？）に逆に惑わされて有効な手を打てなかった。カシュカ族はマラシャンタ（クズルウルマク）の南のネナッサまで侵入し、首都ハットゥシャまで破壊され、王宮は一時東方のサムハに移転した。病身のトゥドハリヤは優れた軍人であった息子のシュッピルリウマに北方征伐を行わせたが、長らく成果は得られなかった。ハットゥシャ東方のアッジ（あるいはハヤサ）もヒッタイトの中核地を攻撃した。こちらは二度にわたる遠征で降伏させることが出来た。南方のキズワトナは従来のような属国ではなく、よく直接統治が行き届いた。タルフンタラドゥ王が治める西方のアルザワ国はカッパドキア地方のティワヌワ（ティアナ）まで侵入し、エジプト王アメンホテプ3世に娘を差し出して接近を図った。
トゥドハリヤ2世 事績
トゥドハリヤ2世の死期が迫ると、貴族たちは息子のトゥドハリヤ3世に忠誠を誓い次代の大王と認めた。紀元前1355年頃にトゥドハリヤ2世は死んだ。なお以前はトゥドハリヤ1世の前に別の「トゥドハリヤ」という大王がいたとされていたので、この2世が「3世」と呼ばれ、次代の3世と混同されていたが、現在はトゥドハリヤ1世以前の大王「トゥドハリヤ」の存在は否定され、2世と3世も別人とされている。
トゥドハリヤ2世 ハットゥシリ2世？
以前はトゥドハリヤ2世と3世の間にハットゥシリ2世がいるとされていた。ムワタリ2世とアレッポ王タルミ・シャムッラの間の条約文書で大王「ハットゥシリ」が言及されているが、現在これは実際は何者かの別名あるいは別の時代のハットゥシリ1世のことではないかと言われ、存在が疑問視されている。さらにはハットゥシリ2世をトゥドハリヤ2世の共同統治者とする意見もあり、結論をみていない。
バースコーFC
バースコー・フットボールクラブ（Burscough Football Club）はイングランド、ランカシャー州、バースコーを本拠地とするサッカークラブチームである。2010-2011シーズンはノーザンプレミアリーグ・プレミアディヴィジョン（7部相当）に所属。
バースコーFC タイトル
2003
1955-1956, 1969-1970
1982-1983
2006-2007
1952
市場分析
市場分析 (英: market analysis)とは、特別な産業内の特別な市場の魅力とダイナミクスを研究すること。これは業界分析の一部であり、グローバル環境分析の一部である。これらすべての分析を通じて、企業の長所、短所、機会、脅威（SWOT）を特定できる。最後に、 SWOT分析の助けを借りて、企業の適切なビジネス戦略が定義される。 市場分析は、企業の計画活動、特に在庫、購入、労働力の拡大/契約、施設の拡張、資本設備の購入、販促活動などの様々な会社の活動の決定に使用される文書化された市場調査でもある。
ユーロスポーツ
ユーロスポーツ（英: Eurosport）は、アメリカ合衆国のメディア関連企業、ワーナー・ブラザース・ディスカバリーの傘下にあるスポーツ専門放送局。衛星放送やケーブルテレビなどでヨーロッパを中心に世界59か国、20か国語で放送されており、アジア地域でも韓国やトルコなどで一部のコンテンツが供給されている。
ユーロスポーツ 概要
1989年に、欧州放送連合（EBU）と英スカイ・テレビジョンの合弁事業として、ヨーロッパ初のスポーツ専門チャンネルとして開局。その後、1991年スカイはイギリス衛星放送（BSB）との合併（合併後会社名をＢスカイBに変更、2014年にスカイに変更）で、競合のSky Sportsに集中する関係上、ユーロスポーツを抜け、替わりにフランスのTF1が親会社となった。2012年にディスカバリー社が株式の20％を取得したのを皮切りに、2014年には51％の株式を取得した後、2015年に残り49％の株式をTF1がディスカバリー社側に売却する事で合意した。2015年6月、国際オリンピック委員会は2018年冬季オリンピックから2024年夏季オリンピックまでのオリンピック大会の欧州における独占放映権を親会社のディスカバリー社及びユーロスポーツに売却したと発表した。
牧野惟成
牧野 惟成（まきの これしげ）は、丹後国田辺藩の第5代藩主。丹後田辺藩牧野家6代。
牧野惟成 経歴
享保13年（1728年）11月28日、第4代藩主・牧野明成の三男として江戸で生まれる。長兄の八重之丞や次兄が早世したために世子となり、寛延3年（1750年）に父が死去したため家督を継いだ。宝暦6年（1756年）3月には領内で百姓一揆が起こっている。明和4年（1767年）に牧野家が田辺藩に入って100年を祝った記念祭を行なっている。明和5年（1768年）7月に奏者番に任じられた。安永6年（1777年）9月に寺社奉行に任じられた。
天明3年（1783年）6月12日（江戸幕府の記録では7月23日）に死去。享年56。跡を五男の宣成が継いだ。
何武
何 武（か ぶ、生年不詳 - 3年）は、前漢の政治家。字は君公。蜀郡郫県の人。
何武 略歴
宣帝の時代、14歳の時に漢の徳を称揚するための詩を宣帝の前で歌った。のち、博士の下で易経を学び、郎となり、翟方進と友人となった。光禄勲の推挙で鄠県県令となったが、違法行為があって罷免された。
太僕王音が何武を賢良方正に推挙し、諌大夫となり、揚州刺史となった。弾劾すべき太守がいた場合、先にそのことを発表し、罪に服した者は罷免するにとどめたが、服さない者は弾劾して死罪にまで至らしめた。罪があった太守は弾劾したが、それ以外は太守の能力に関係なく敬ったことから、各地では太守を重んじるようになり、州内が清らかになった。また、州内を視察する際にはまず学生に会い、そこで政治上の問題点を質問してから宿舎に入り、田畑の面積や作物の出来を質問し、それから太守に会うようにした。
儒学者の九江太守戴聖は彼を軽んじたが何武は戴聖の罪を探し当てたので戴聖は自分から免官した。のちに戴聖は朝廷で博士となり、何武を中傷したが何武は戴聖の罪のことを言わなかった。さらに、戴聖の子が罪を得た際、何武が公平な裁きを行い子を殺さなかったので、戴聖は感服した。
何武 略歴
刺史を5年勤めたあと、丞相司直となり、丞相薛宣に大変重んじられた。その後清河太守となったが、郡中に災害が多発したことから罷免された。しばらくして大司馬驃騎将軍王根により推薦されて諌大夫となり、兗州刺史に移り、司隷校尉に昇進し、京兆尹になった。その後楚内史に左遷され、沛郡太守に移り、廷尉になった。
綏和元年（紀元前8年）、御史大夫孔光の左遷に伴い何武が御史大夫となった。何武は九卿の時に三公を置くよう進言していたが、このとき成帝は三公の官を置き直そうと考え、何武を御史大夫から大司空に改め、氾郷侯に封じた。
何武は丞相翟方進と共に、諸侯王国の内史を中尉に統合することや、刺史を廃止して州牧を置くことを進言し、裁可された。ただし、州牧や三公についてはまた元に戻されている。
宰相としてはわずらわしいとされ、また継母に対して孝行ではないと言われたため、哀帝の代になると大司空を罷免された。しかし諌大夫鮑宣による弁護や丞相王嘉の発言、董賢の推薦があり、元寿元年（紀元前2年）に再び御史大夫となり、すぐに前将軍に移った。
何武は王莽から自分を推挙してほしいという願いをはねつけていたが、哀帝が死に董賢が失脚すると、皇太后（王政君）から大司馬にするべき者について大臣に諮問があった。大司徒孔光ら多くの者は王莽を挙げたが、何武と左将軍の公孫禄は相談の上、お互いを推薦した。大司馬となった王莽はこのときの何武らの行動を弾劾させ、何武は罷免された。
元始3年（3年）、呂寛・王宇らの事件が起こると、何武も誣告され、何武は取り調べを受ける前に自殺した。冤罪だと言う者が多かったため、王莽は子の何況に列侯を継ぐのを許し、何武には剌侯と諡した。何況は王莽が簒奪すると位を失った。
ゲインズバラ・トリニティFC
ゲインズバラ・トリニティ・フットボールクラブ（Gainsborough Trinity Football Club）はイングランド、リンカンシャー州、ゲインズバラを本拠地とするサッカークラブチームである。2012-2013シーズンはカンファレンス・ノース（6部相当）に所属。
1896-97シーズンに当時2部制だったフットボールリーグに初参入。しかし、ファーストディヴィジョンへの昇格は無くセカンドディヴィジョンで低迷する日々が続いた。1911-12シーズンに最下位となり地域リーグに降格、以降はフットボールリーグへの復帰は果たせておらず、今日に至るまでノンプロリーグに所属する年が続いている。
ゲインズバラ・トリニティFC タイトル
1890-1891, 1927-1928, 1948-1949
1966-1967
1982, 1997
最前線
最前線（さいぜんせん）とは、戦争において敵と接触する陣地を前線と呼ぶが、敵に最も近い戦場一帯を指し示す言葉である。転じて、進行している事象の最先端を指し、経済用語、ビジネス用語などでも使われる。
最前線 概要
軍事的に最前線は戦闘線の味方第一線を指し、敵の直接砲火の下にあることを意味する。さらに後方の第二線は最前線が崩れると第一線となるため戦術的には前線である。これに対して戦略的に後方に該当する区分を第三線、軍中央を第四線、銃後国民を第五線と称することがある。しかし、戦略ミサイル技術の発達とともに前線の概念は戦術的なもの、または、低強度紛争地域においてのみ使用される限定的なものとなっている。
原型 (雄型)
原型（げんがた）は、鋳造やプレス加工などで、製品とほぼ同形の、最初に用意される雄型。正確には原型模型と呼ばれる。フィギュアについては「げんけい」とも読む。
原型から、原型や製品と凹凸が逆の雌型（鋳型、金型、あるいは単に型などと呼ばれる）が作られ、雌型から製品が作られる。なお、原型→雌型→製品ではなく、原型→雌型→雄型→雌型→製品という工程をとる製法もある（レコードなど）。
原型は製品とほぼ同形ではあるが、鋳造の場合、製品（鋳造品）の素材によっては固化時に収縮するため、鋳造品が原型より少しだけ小さくなるので、伸尺（のびじゃく）といって、収縮分を見越して大きくした物指しを昔は使用した。
通常、1つの原型から1つないし少数の雌型が作られ、それから製品が大量生産される。ただし、原型と雌型を1回のみの使用で破壊し、製品を1つしか作らない製法（砂型）もある（大仏など）。
原型 (雄型) 原型素材の例
原型は、最終製品と違い耐久性は必要ないので、柔らかく加工しやすい素材で作られる。また必要に応じて、複数の素材が併用される。
原型を作るのではなく、人体、生物などすでにあるものを原型として利用することもある。その場合には、現型（げんがた）という漢字を用いる。
海潮音 (1980年の映画)
『海潮音』（かいちょうおん）は、1980年9月20日公開の日本映画。橋浦方人脚本・監督。荻野目慶子、池部良主演。シネマハウト、ATG製作。ATG配給。1979年2月1日付で長くATG社長を務めた井関種雄に代わり、ATG二代目社長に就任した佐々木史朗のプロデュース第一作。
北陸の海沿いの町のとある旧家を舞台に、行き倒れて記憶を失った女をめぐる大人たちの葛藤を、思春期の少女の視線で描く。石川県の海辺の町でオールロケを行い、舞台となる旧家は重要文化財指定の建物を使用して撮影された。
海潮音 (1980年の映画) 作品の評価
おすぎは「橋浦方人監督は、人間の何を描こうとしたのか。オーソドックスという意味で演出力がしっかりしているだけに白々しい思いでいっぱいになった。山口果林の乳くびの大きさにビックリして何もかも解らなくなってしまったのではないか」などと、田中千世子は「無垢であることの誇りと気品を備えた荻野目慶子は一つの詩になった」などと、松田政男は「自称評論家どもは『純』と同様に星一つの汚辱にまみれさせるのであろうが、このテの連中には『海潮音』の〈反復〉構造など見えてきやしない。裏日本の旧家を舞台にしながら、これほど血の臭いがしない映画も珍しい。したたかなモダニズムの土着に乾杯！」などと評している。
再帰理論
再帰理論（さいきりろん、英：Recursion theory）は、数理論理学の一分野で、1930年代の計算可能関数とチューリング次数の研究が源となっている。
発展の過程で、この分野は計算可能性や定義可能性全般を対象に含むようになった。これらの領域においては、再帰理論は証明論や エフェクティブ記述集合論(en)とも密接に関係する。
再帰理論の根本的疑問は「自然数から自然数への関数が計算可能であるとはどういう意味か?」と、「計算不能関数は、その計算不能性のレベルに基づいて階層分けできるか?」である。これらの疑問への答えを探す過程で豊かな理論が生まれ、現在でも活発な研究が行われている。
数理論理学における再帰理論の研究者がよく扱うのは、この記事で触れる相対的な計算可能性、還元性の概念、次数構造などである。これらは、計算機科学における計算可能性理論が、計算複雑性理論、形式手法、形式言語などを主な研究対象とすることと対照を成す。これら二つの研究コミュニティには知識と手法の面で重なる部分が多々あり、はっきりした境界を引くことは出来ない。
再帰理論 計算可能集合と計算不可能集合
再帰理論は、1930年代のクルト・ゲーデル、アロンゾ・チャーチ、アラン・チューリング、スティーヴン・コール・クリーネ、エミール・ポストらの研究に端を発している。
彼らの基本的な成果を通じて、チューリング計算可能性という概念が樹立された。これは計算の実効性という非形式的な概念に正しい形式化を与えるものである。そこからスティーヴン・クリーネ（1952年）は、「チャーチのテーゼ」（Kleene 1952:300）と「チューリングのテーゼ」（p.376）という2つの用語を作った。現在では、これらはしばしばチャーチ＝チューリングのテーゼという一つの仮説と看做されているが、これはアルゴリズムで計算可能な関数は如何なるものであろうと計算可能関数だ、と述べるものである。当初は懐疑的だったゲーデルも、1946年には賛同を示した。
「タルスキは彼の講義において、一般再帰性（またはチューリング計算可能性）が大変重要だと強調したが、これは正しいと思う。これが何故重要かと言えば、この考え方によって人が初めて、ある興味深い認識論的観念について、（特定の形式主義に囚われない様な）絶対的な観念を与えることに成功したから、という理由が大だと私には思える」（Gödel 1946 in Davis 1965: 84）
再帰理論 計算可能集合と計算不可能集合
実効的な計算というものの定義に伴い、数学には実効的に決定できない問題があることを示す最初の一連の証明が得られた。チャーチ（1936a、1936b）とチューリング（1936）はゲーデルの不完全性定理の証明（1931）で用いられた技法に触発され、それぞれ独立に、ダフィット・ヒルベルトが1928年に提示した Entscheidungsproblem（決定問題）(en)が実効的に決定できないことを示した。この結果は、任意の数学的命題が真か偽かを正しく判定するアルゴリズムが存在しないことを明らかにした。
再帰理論 計算可能集合と計算不可能集合
これらの初期の例に続いて、多くの数学問題が決定不能であることが示された。1947年、Markov とポストはそれぞれ独立に半群の word problem が実効的に決定できないことを示す論文を発表した。その結果に基づき、1950年代、Pyotr Sergeyevich Novikov (en)と William Boone はそれぞれ独立に群の word problem (en)が実効的に解けないことを示した。これは有限に表現された群におけるある語（word）が与えられたとき、その語が指す元がその群の単位元かどうかを実効的に決定する手続きが存在しないということである。1970年、ユーリ・マチャセビッチはマチャセビッチの定理(en)を証明し、その系としてヒルベルトの第10問題が実効的な解法を持たないことを示した。この問題は整数上で定義されたディオファントス方程式が整数解を持つかどうかを判定する手続きを求めるものであった。
何らかの数学的行為が実効的に実行できるかを問う研究は、ときに再帰数学と呼ばれることがある。Handbook of Recursive Mathematics (Ershov他、1998)はこの分野の成果を多数紹介している。
再帰理論 チューリング計算可能性
再帰理論における計算可能性の研究はチューリング（1936）に端を発している。自然数の集合と自然数 n を考える。n がその集合の元なら 1 を返して停止し、そうでないなら 0 を返して停止するチューリングマシンが存在するなら、その集合は帰納的集合（または、決定可能集合、計算可能集合、チューリング計算可能集合とも）と呼ばれる。自然数から自然数への関数 f があるとする。任意の自然数 n を入力されたときに f(n) を出力して停止するチューリングマシンが存在するとき、その関数を再帰関数あるいは（チューリング）計算可能関数と呼ぶ。ここでは定義に必ずしもチューリングマシンを持ち出す必要はない。チューリングマシンと同等の能力を持つ計算模型は他にも存在する（例えば、原始再帰関数とμ作用素からなるμ再帰関数）。
再帰理論 チューリング計算可能性
再帰関数と集合に関する用語は完全に一定しているわけではない。μ再帰関数による定義や、ゲーデルによる rekursiv（再帰）関数の定義から、伝統的に「再帰的; recursive」という言葉でチューリングマシンで計算可能な集合や関数を意味するようになった。「決定可能; decidable」という用語はチューリングらが論文で使っていたドイツ語 Entscheidungsproblem に由来する。現在では「計算可能関数; computable function」という用語には様々な定義がある。Cutland（1980）によればそれは部分再帰関数（入力値によっては動作が未定義となる関数）を意味し、Soare（1987）によれば、それは全域再帰関数（一般再帰関数）を意味する。この記事では後者の意味で用いる。Soare（1996）には、他にも用語についてのコメントがある。
自然数の集合は常に計算可能という訳ではない。チューリングマシンの停止問題は、0を入力したとき停止するチューリングマシン（についての記述）の集合だが、計算不可能な集合のよく知られた例である。計算不可能な集合が多数存在することは、次の事実から明らかである。つまり、チューリングマシンは枚挙可能（可算）な個数しか存在しないから、計算可能集合も枚挙可能な個数しか存在しないが、自然数から作る集合は枚挙不可能（非可算）な数だけ存在する。
停止問題は計算可能ではないが、プログラムの実行をシミュレートし、実際に停止するプログラムの無限のリストを作成することは可能である。すなわち、停止問題は帰納的可算集合（計算枚挙可能、半決定可能などとも）の例であり、チューリングマシンによって枚挙可能な集合である。同様に、ある集合が帰納的可算であることの必要十分条件は、それが空であるか、または何らかの計算可能関数の値域に等しいことである。帰納的可算集合は一般には決定不能だが、再帰理論が最も詳しく研究してきた領域である。
再帰理論 再帰理論の研究領域
上述のような再帰的な集合や関数の理論を出発点として、再帰理論は関連する主題を巻き込んで成長してきた。以下に挙げるのはそれぞれ独立した研究分野というわけではない。各分野は結果や考え方を相互に応用しており、再帰理論の研究者であればこれらの大半に親しんでいる。
数理論理学における再帰理論は、伝統的に相対計算可能性（relative computability）に注目してきた。これは、チューリングが1939年に神託機械を使って定義したチューリング計算可能性を一般化したものである。神託機械は、普通のチューリングマシンにオラクルへの質問機能を加えた仮説的な機械である。オラクルは自然数の特別な集合であり、「n はオラクル集合の中にあるか?」という形式の問いにだけ答えることができる。その回答は、たとえそのオラクル集合が計算不可能であっても即座に行われる。従って、計算不可能なオラクルを持った神託機械は、オラクルなしでは計算不可能な集合を計算することができる。
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非形式的に言えば、自然数の集合 A が集合 B にチューリング還元可能であるとは、B をオラクル集合として持つ神託機械を用いれば、ある数が A に属するかどうかを正しく示せることを意味する（この例では、集合 A は B から（相対的に）計算可能、 B について再帰的とも称する）。集合 A が集合 B にチューリング還元可能であり、かつ、B が A にチューリング還元可能であるとき、これらの集合は同じチューリング次数（「決定不能性の次数」とも）を持つと言う。ある集合のチューリング次数は、その集合の計算不能な度合いの正確な尺度となる。
計算不能な集合の自然な例として、さまざまな形の停止問題を符号化して得られる互いに異なる集合たちがあるが、それらには次のような共通点がある。
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多対一還元はチューリング還元より強い。計算不能集合の自然な例は全て多対一同値だが、A を B にチューリング還元可能だが多対一還元不可能な帰納的可算集合 A と B を構築することもできる。すべての帰納的可算集合は停止問題に多対一還元可能であることが判っているので、多対一還元とチューリング還元の観点で、停止問題は最も複雑な帰納的可算集合である。1944年、ポストは、すべての帰納的可算集合は計算可能かあるいは停止問題にチューリング同値かのいずれかだろうか、という疑問を投げかけた。つまり、チューリング次数がこの2つの間になるような帰納的可算集合は存在するか、という問いである。
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その問題を考える過程で、ポストは帰納的可算集合の分類として単純集合/超単純集合/超々単純集合といった自然な型を定義した。ポストはこれらの集合が、多対一還元の観点から見たとき、計算可能集合と停止問題の厳密に中間に位置することを示した。ポストはまた、チューリング還元よりも強い意味の還元（真理値表還元）を用いた場合においても、それらの一部が厳密に中間に位置することを示した。しかし、結局ポストは中間のチューリング次数を持つ帰納的可算集合が存在するかという主問題は未解決のまま残し、これはポストの問題(en)と呼ばれるようになった。10年後の1954年、クリーネとポストは計算可能集合と停止問題の間のチューリング次数が存在することは示せたが、そのチューリング次数に属する帰納的可算集合が存在するかは示せなかった。その直後、Friedberg と Muchnik がそれぞれ独立に中間次数の帰納的可算集合が存在することを示し、ポストの問題を解決した。この画期的な成果により、帰納的可算集合のチューリング次数に関する広範な研究が始まり、非常に複雑かつ自明でない構造の存在が明らかになった。
帰納的可算でない集合は非可算個存在しており、一般の集合のチューリング次数に関する研究も、帰納的可算なチューリング次数に関する研究と同様に、再帰理論における主要な研究対象である。様々な特定の次数が構成されている。
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任意のチューリング次数（帰納的可算とは限らない）の研究では、チューリングジャンプの研究が関係してくる。ある集合 A のチューリングジャンプとは、オラクル集合 A を持つ神託機械の停止問題を符号化した自然数の集合である。任意の集合のチューリングジャンプは、元の集合よりチューリング次数が常に高く、Friedberg の定理によって、停止問題を計算する任意の集合は別の集合のチューリングジャンプとなることが示されている。ポストの定理は、チューリングジャンプと算術的階層（算術における定義可能性に基づいて自然数の部分集合を分類したもの）との密接な関係を示している。
チューリング次数に関する近年の研究は、チューリング次数の集合の全体構造と、帰納的可算集合のチューリング次数の集合に注目してきた。Shore と Slaman (1999)の深い定理によれば、次数 x をそのチューリングジャンプの次数に変換するような関数は、チューリング次数のなす半順序の中で定義できる。Ambos-Spies and Fejer (2006) にそのような研究の歴史が概観されている。
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チューリング還元可能性以外の還元可能性（reducibility）の研究も盛んである。ポスト（1944）は、真理値表還元可能性を含む強い還元可能性をいくつか提唱した。強い還元可能性を定義する神託付きチューリング機械は、付加されたオラクルがどういうものであろうと全域関数を計算する。弱い還元可能性とは、還元過程が必ずしも全てのオラクルで停止しない（つまり全域関数を計算しない）可能性があるものである。チューリング還元可能性は弱い還元可能性の一種である。
強い還元可能性には、次のものが含まれる。
一対一還元可能性
A が B に一対一還元可能であるとは、全域計算可能な単射 f があり、n が A に属すことと f(n) が B に属すこととが同値になることをいう。
多対一還元可能性
一対一還元可能性とほぼ同じだが、f の単射性を仮定しない。
真理値表還元可能性
A が B に真理値表還元可能であるとは、どんなオラクルに対しても全域関数を計算するような神託機械によってA が B にチューリング還元可能である場合を指す。神託の使用回数を制限したり、神託機械に条件を課すことで、様々な変種が得られる。それらも研究されている。
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強い還元可能性に関する主要な研究においては、帰納的可算集合のクラスに対する理論と自然数からなる集合のクラスに対する理論との比較が行われてきた。さらに、各種還元可能性間の関係も研究されている。例えば、チューリング次数は真理値表次数であるか、または無限個の真理値表次数の和集合のどちらかであることが知られている。
チューリング還元可能性よりも弱い還元可能性（つまり、チューリング還元可能性を内包する還元可能性）も研究されている。よく知られている例として、算術的還元可能性と超算術的還元可能性がある。これらの還元可能性は、算術の標準モデルにおける定義可能性と密接に関連している。
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ライスの定理は、すべての自明でないクラス C（帰納的可算集合からなるクラスであって空でも全体でもないもの）において、インデックス集合 E = {e: e番目の帰納的可算集合 We が C に含まれる} を考えると、停止問題かその補問題が E に多対一還元可能という属性を持つことを示す。しかし、このようなインデックス集合の多くは停止問題以上に複雑である。このような集合は算術的階層によって分類される。例えば、すべての有限集合のクラスのインデックス集合 FIN の階層レベルは Σ2、すべての帰納的集合のクラスのインデックス集合 REC の階層レベルは Σ3、すべての補有限集合のクラスのインデックス集合 COFIN の階層レベルは Σ3、すべてのチューリング完全な集合のクラスのインデックス集合 COMP の階層レベルは Σ4 である。
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逆数学のプログラムは、二階算術の中の部分体系において、ある定理を証明するのにどの程度の集合存在公理が必要かを問うものである。この研究は Harvey Friedman が創始し、Stephen Simpson らが進めた。Simpson（1999）で、これに関する詳細が議論されている。対象となる集合存在公理は、自然数のべき集合が様々な還元可能性の概念の下で閉じていることを言う公理群とほぼ対応している。逆数学で研究されているそのような公理の中で最も弱いものは「再帰的内包公理; Recursive Comprehension Axiom」であり、これは自然数のべき集合はチューリング還元可能性の下で閉じているとするものである。
ナンバリングとは関数や集合に対する番号付けである。より一般には自然数の集合から集合  への全射を  のナンバリングという。
が関数や集合からなる集合である場合には、 のナンバリングの計算可能性・実効性を考えることができる。例えば  が帰納的可算集合からなる集合のとき、 のナンバリング  が計算可能であるとは、述語  が帰納的可算であることをいう。また  が計算可能（部分）関数からなる集合のとき、 のナンバリング  が計算可能であるとは、部分関数  が計算可能であることをいう。
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ナンバリングの間には「計算可能関数によって変換できるか」によって擬順序を定めることができる。正確には、ナンバリング  が  に還元可能であるということを、計算可能関数  が存在して  が成り立つことと定める。この還元可能性に関してナンバリングの全体は擬順序集合を成す。とくに計算可能ナンバリングの全体について半順序反映を取ったものをRogers半束という。名前の通りRogers半束は（空でなければ）上半束の構造を成す。
ある計算可能なナンバリングが存在し、そのナンバリングを他のあらゆる計算可能なナンバリングへ変換できる（計算可能ナンバリングの中で還元可能性の意味で最大元となっている）とき、これを acceptable ナンバリングまたはゲーデル数化と言う。Friedberg ナンバリング（発見者の名に因む）は計算可能な一対一ナンバリングである。Friedberg ナンバリングは極小元である（Pour-El: 1964）。したがって、ロジャース半束が自明な場合を除けば、Friedberg ナンバリングは acceptable ナンバリングではない。
Goncharov はある帰納的可算集合のクラスを発見し、そのナンバリングの全体が再帰同型の観点から見て正確に二つのクラスに分類されることを示した。すなわち、そのクラスのRogers半束の濃度が2であることを証明した。
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ポストの問題は優先度法という技法を用いて解決された。この技法を用いる証明は優先度論法と呼ばれる。これは第一義的には特別な性質を備えた帰納的可算集合を構成することを目的とする。やり方としては、まずその帰納的可算集合が備えるべき性質を無限個の「要件」に分解し、全ての要件を満足すれば目的の集合は自ずと所期の性質を獲得する、という形を作る。個々の要件には優先度を表す自然数を付与しておく。0 を付与された要件が最優先で、以下 1、2 …という具合である。以後、目的の集合を「段階」を踏んで構築して行く。個々の段階は、一つ以上の要件を満たすように、目的の集合に対して数を追加または削除することから成る。一つの要件を満たすと他の要件に反してしまう場合が有り得るが、その際は優先度を参照して処理方法を決定する。
これまで優先度論法を用いて再帰理論の様々な問題が解決されてきており、それらは複雑さの観点から階層状に分類されている(Soare 1987)。複雑な優先度論法はテクニカルかつ難解になりがちなので、伝統的に出来れば優先度論法は使わずに証明することが望ましいとされ、また優先度論法を用いた証明があればそれ抜きの別証明が模索されてきた。例えば Kummer は Friedberg ナンバリングの存在証明について優先度法を用いない証明を発表した（Kummer 1989, 1990）。
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ポストは単純集合（「無限帰納的可算集合を一つも含まないような無限補集合」を持つ帰納的可算集合）を定義し、そこから帰納的可算集合同士の包含関係を研究し始めた。この束 (lattice) は今日では詳細に研究された構造となっている。ある集合が帰納的である必要十分条件は、集合とその補集合が共に帰納的可算であることである。この基本的な結果を用いて、この構造内に帰納的集合を定義できる。無限帰納的可算集合は常に無限帰納的集合を部分集合として持つのに対し、単純集合は余無限 (coinfinite) な帰納的集合を上位集合として持たない。ポスト(1944)は既に超単純集合と超々単純集合を導入していた。後に極大集合 (maximal set) が構成されたが、これは帰納的可算である全ての上位集合が所与の極大集合の有限な変種かまたは余有限 (co-finite) であるような帰納的可算集合である。ポストがこの束を研究した元々の動機は、この性質を満たす全ての集合のチューリング次数が、帰納的集合と停止問題の何れのチューリング次数とも異なるということを構造的に示せないかという点にあった。ポストはそのような性質を見出すことはできず、彼の問題は代わりに優先度法を用いて解決されたが、Harrington と Soare (1991) はそのような性質をついに発見した。
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もう一つの重要な問題は再帰理論の構造物における保型性の存在である。このような構造の一つとして、有限な差を除いて包含関係が成り立つような帰納的可算集合同士の関係がある。この構造においては、A が B に含まれる必要十分条件は差集合 B - A が有限であることである。（前節で定義したような）極大集合は、非極大集合に対して保型的にはなれないという性質がある。つまり、今しがた述べたような構造の下で帰納的可算集合に保型性が存在するのなら、如何なる極大集合も他の極大集合に写像できる。Soare (1974) はこの逆も成り立つこと、即ち任意の二つの極大集合は保型的であることを示した。従って極大集合は軌道を成す。つまり全ての保型性は自ずと極大性を保ち、如何なる二つの極大集合も何らかの保型性によって互いに変換し合うことができる。その他の例として、Harrington が得た停止問題に多対一同値な creative 集合(en)も、保型的な性質を有する。
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帰納的可算集合の束論の傍らで、全ての集合のチューリング次数の構造や或いは帰納的可算集合のチューリング次数の構造についても、保型性は研究されている。何れについても、Cooper は幾つかの次数を他の次数に写像するような自明でない保型性を構成したと主張している。しかしながらこの構成法は確かめられておらず、一部の研究者によると誤りがあり、従ってチューリング次数に自明でない保型性が存在するか否かは依然としてこの分野の主たる未解決問題の一つだという (Slaman and Woodin 1986, Ambos-Spies and Fejer 2006)。
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コルモゴロフ複雑性とアルゴリズム的無作為性の分野は、1960年代から1970年代にかけてチャイティン、コルモゴロフ、Levin、Martin-Löf、Solomonof らが開拓した。中心となる考え方は、万能チューリング機械 U があるとき、数（あるいは文字列）x の複雑性を x が出力となるような U(p) の最短の入力 p の長さで表すというものである。これにより、無限の数列（自然数の部分集合を与える特性関数と等価）が無作為か否かの判定を、有限のオブジェクト群の無作為性から導くことができるようになった。コルモゴロフ複雑性は独立した研究分野というだけでなく、他の分野での証明に応用されるようになっている。未解決の問題も多く残されている。最近でも、2007年1月にこの分野に関する国際会議が開催され、未解決の問題の一覧が Joseph Miller と Andre Nies によって示された。
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再帰理論のこの分野が扱ったのは、次の問題である。0 < m < n であるような定数 m,n があるとする。関数の集合 A があるとして、n 個の任意の異なる入力 x1,x2,...,xn について、少なくとも m 個の等式 A(xk) = yk が真となるように、n 組の数字 y1,y2,...,yn を計算できるだろうか？　そのような集合は (m,n)-再帰集合と呼ばれる。再帰理論のこの方面における最初の主要な成果は Trakhtenbrot が得た結果で、それによればある集合が 2m > n であるような m,n について (m,n)-再帰的であるとき、その集合は計算可能である。その一方で、Jockusch の semirecursive 集合（Jockusch が1968年に導入する以前から非形式的には知られていた）は、(m,n)-再帰的である必要十分条件が 2m < n+1 であるような集合の例である。このような集合は非可算個存在し、また帰納的可算だが計算不可能な集合でこの性質を持つものも存在する。後に Degtev は (1,n+1)-再帰的だが (1,n)-再帰的ではないような帰納的可算集合を階層状に分類した。ロシア人の科学者達による研究が長年続いた後、この話題は Beigel の限定付きクエリ (bounded queries) に関する命題によって再び注目を集めた。Beigel の命題は頻度計算と上に述べた限定付き還元可能性や他の関連概念を結び付けた。主な結果の一つとして Kummer の濃度理論がある。それによれば集合 A が計算可能となる必要十分条件は次の性質を満たす n が存在することである。即ち何らかのアルゴリズムを用いて、n 個の異なる数字から成る組について、この n 個の数字の集合と A との積集合が取り得る濃度の候補を n 種類まで数え上げることができる（これらの候補は正しい濃度を必ず含むが、少なくとも一つは間違った濃度が混ざる）。
ここでは学習理論の再帰理論版について触れる。これは Gold が1967年に提出した極限学習モデルを基礎としており(訳注：アルゴリズム的学習理論(en)参照)、以来様々な学習モデルを開発してきた。一般的なシナリオは次の通り。計算可能関数のクラス S があるとする。学習者（と呼ばれる再帰関数）が存在し、(f(0),f(1),...,f(n)) という形をした如何なる入力に対しても結果（仮説と呼ぶ）を一つ出力する。（全ての計算可能関数についての予め取り決めた acceptable ナンバリングに照らして）殆ど全ての仮説が f を指す同じインデクス e であるならば、学習者 M は関数 f を学習したと言い、また M が S 中の全ての f を学習したなら、M は S を学習したと言う。基本的な結果として、全ての帰納的可算な関数のクラスは学習可能だが、全ての計算可能関数のクラス REC は学習不可能である。これまで関連するモデルが数多く考察されてきており、また帰納的可算集合の様々なクラスにおける正例からの学習については Gold の1967年の論文以来研究が続いている。
Sacks (1990) が述べたように、再帰理論ではこの分野の一般化である算術的還元可能性、超算術的還元可能性、α-再帰理論なども研究されている。これらの一般化された概念の中には、チューリングマシンでは実行不能にもかかわらず、それでもなおチューリング還元可能性の自然な一般化と看做せるような還元可能性が存在する。これらの研究には解析的階層を調べるためのアプローチが各種含まれる。解析的階層と算術的階層の違いは、個々の数の量化に加えて自然数の集合の量化を認める点にある。これらの領域は整列順序や木の理論と関係している。例えば再帰的な（二分木でない）木が無限の分岐を持たない場合、その全てのインデクスの集合は解析的階層のレベル  について完全である。effective 記述集合論の分野ではチューリング還元可能性と超算術的還元可能性は共に重要である。集合論では構成可能性の次数という更に強力な概念についても研究されている。
自然数の集合のチューリング次数と、一階述語論理を用いてその集合を定義する（算術的階層から見た）困難さの間には、密接な関係がある。そのような関係性を正確に示す一例がポストの定理である。より弱い関係性として、例えばクルト・ゲーデルが不完全性定理の証明の中で示した例がある。ゲーデルの証明は、実効的な一階理論の論理的結果の集合は帰納的可算集合を成すこと、そしてもしその理論が十分強いならこの集合は計算不可能になることを示している。同様に、タルスキの定義不可能性定理(en)は定義可能性と計算可能性の両方の言葉で解釈することができる。
再帰理論は二階算術（自然数と自然数の集合に関する形式的理論）とも関係している。特定の集合が計算可能だったり相対的に計算可能だったりする場合、それらの集合は二階算術の中の弱い体系内で定義できることがよくある。逆数学の研究プログラムは、よく知られた数学的定理に内在する計算不可能性を測る尺度としてこれらの体系を用いる。Simpson (1999) は二階算術と逆数学に関する様々な話題を取り上げている。
証明論の分野の研究対象には、二階算術とペアノ算術の他にも、ペアノ算術よりも弱い自然数に関する形式的体系などがある。これらの弱い体系の強さを分類する一つの方法として、それらの体系の中で「どの計算可能関数が全域関数であると証明できるか」による特徴付けがある (Fairtlough and Wainer (1998)を参照されたい)。例えば、原始帰納的算術において全域関数であることが証明可能な計算可能関数は原始帰納的なものに限られるが、ペアノ算術ではアッカーマン関数のような原始帰納的でない関数が全域関数であることを証明できる。とはいえペアノ算術でも全ての計算可能関数が全域関数と証明できる訳ではない。そのような関数としてはグッドスタインの定理から得られる例がある。
再帰理論 名称問題
数理論理学において、計算可能性とその一般化を研究する分野は、「再帰理論」と呼ばれてきた。Robert I. Soare は1996年、これを「計算可能性理論; computability theory」と呼ぶことを提案した。彼は、クリーネの「再帰; recursive」という用語よりもチューリングの「計算可能; computable」という用語の方が自然で判り易いと主張している。そのため、近年では計算可能性理論と呼ぶ研究者が増えている。同時に「部分計算可能関数」や「計算可枚挙」といった用語が、「部分再帰関数」や「帰納的可算」といった用語の代わりとして使われるようになっている。しかし、Fortnow や Simpson のようにまだ納得していない研究者もいる。また、「再帰理論」にしても「計算可能性理論」にしても、研究対象のほとんどが計算可能でないことを表せていない点を指摘する人もいる。さらに、Osherson は帰納的推論における「学習者; learner」という用語を「科学者; scientist」に代えることを提案し、著書 Systems that learn を改版するときに、そのように用語を変更した。
再帰理論 名称問題
Rogers (1967) は、再帰理論の鍵となる特性は、その結果や構造が自然数への計算可能な全単射において不変である点だとした。すなわち、計算可能な全単射では集合の各要素を単に改名するだけで、その構造は変化させない。ユークリッド平面での回転が幾何学的形状を変化させないのと同じである。2つの無限の計算可能集合は計算可能な全単射でリンクされるので、これは全ての無限な計算可能集合に当てはまる（有限の計算可能集合については自明である）。Rogers によれば、再帰理論が対象とする集合は、計算可能な全単射で自然数と対応できるような計算不可能集合である。
再帰理論 学術団体
再帰理論を扱う国際的学術団体として記号論理学会（Association for Symbolic Logic）がある。同学会は毎年、学術会議をいくつか開催している。
牧野宣成
牧野 宣成（まきの ふさしげ）は、丹後国田辺藩の第6代藩主。丹後田辺藩牧野家7代。
牧野宣成 生涯
明和2年（1765年）7月8日、第5代藩主・牧野惟成の五男として江戸で生まれる。長兄の則成は病弱で廃嫡され、次兄の武成と三兄の福成は早世し、四兄の満成も病弱だったために世子に選ばれ、天明3年（1783年）に父が死去すると家督を継いだ。
寛政の改革では老中首座・松平定信のブレーンとして幕政に参与した。藩政では田辺城三の丸に藩校・明倫斎を創設して学問を奨励し、藩士子弟の教育振興に努めた。寛政4年（1792年）には80歳以上の百姓・町人に褒美を与え、凶作に備えて備蓄制度を整備している。文化元年（1804年）8月22日、病気を理由に家督を長男の以成に譲って隠居する。
文化8年（1811年）3月19日（幕府の記録では3月29日）に江戸で死去した。享年47。
細川碧
細川 碧（ほそかわ みどり、1906年5月15日 - 1950年8月21日）は、日本の作曲家。東京府出身。男性。
細川碧 来歴
東京牛込に生まれる。「さるやんごとない方の落とし子」「さる帝(明治天皇ではない)のご落胤」（ごらくいん）であったとされる。
東京府立第一中学校（現・東京都立日比谷高等学校）在学中、梁田貞に作曲を学んだ。1922年4月、東京音楽学校予科に入学。同校本科声楽部（バリトン）に進学し、ハンカ・ペツォールト、マルガレーテ・ネトケ＝レーヴェに声楽を、信時潔に作曲を師事し、1926年3月に卒業。進んで同校研究科作曲部で引き続き信時に師事し、1929年3月に修了した。
1929年、同校研究科卒業と同時に文部省在外研究員としてウィーン市国立音楽芸術単科大学に5年間留学する。そこでは主にフランツ・シュミットに師事し、1934年4月、同学優等賞を受けて学課を修了した。在外生活後半の2年にウィーンおよびブダペスト放送局の委嘱により自作品の演奏と日本音楽の講演などを行うも、ウィーン・フィルハーモニー管弦楽団演奏による交響詩《法の夕》の演奏と日本への中継放送計画は中断している。この作品は恩師フランツ・シュミットより「日本のストラヴィンスキー」と激賞されたという。
細川碧 来歴
1936年帰国、以後1946年まで東京音楽学校教授として作曲理論の教鞭をとり、後進の指導にあたった。1938年と1944年には自作交響作品の発表会を開催して世に問うた。敗戦後、戦争責任を問われると橋本國彦、平井康三郎と共に音楽学校教授を辞職。1950年、若くして亡くなった。
没後、多くの自筆譜は弟子の竹内昭一が預かったが、その後行方不明になっている。そのうえ、本領としたオーケストラ作品には出版されたものや録音の残るものがひとつもない。そのため、再評価が実質的には不可能になっている。