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日本の硬貨 根拠法
日本の硬貨は主に以下の法律等を根拠に発行・運用されてきた。1890年 （明治 23年）に帝国議会が設置されるまでは太政官布告により、以後は法律ならびに勅令・政令による。
明治4年5月太政官布告第267号。
明治4年5月10日（1871年6月27日）制定。
通貨単位を円・銭・厘とし、金本位制を定めて円単位の本位金貨幣、開港場で使用する貿易銀としての一円銀貨、銭・厘単位の補助貨幣を定めた。本位貨幣は自由鋳造を定めた。額面・素材・品位・量目・直径・図柄を定めた。江戸時代の銭貨も厘単位で通用させた。
貨幣法の制定に伴い廃止。
明治11年5月27日太政官布告第12号。
一圓銀貨・貿易銀につき国内でも納税や公私の取引にも無制限通用を認めた。これにより実質的に銀本位制となった。
一円銀貨・貿易銀は貨幣法で通用停止。
明治30年法律第16号。
1897年（明治30年）3月29日公布、同年10月1日施行。
金平価を変更して金本位制を定めて円単位の本位貨幣と銭・厘単位の補助貨幣を定めた。新貨条例で制定した本位金貨幣は倍位通用とした。本位金貨幣は自由鋳造を定めた。額面・素材・品位・量目を定め、直径・図柄は別途勅令によって定めた。
通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律の制定に伴い廃止。
日本の硬貨 根拠法
昭和13年法律第86号。
1938年（昭和13年）6月1日公布・施行。
戦時の時限立法で、小額政府紙幣（50銭）と、臨時補助貨幣の額面（10銭、5銭、1銭）を定め、素材・品位・量目・直径・図柄は別途勅令（戦後は政令）で定めた。後に期限を撤廃し、戦後には貨種を500円まで追加して一般流通する硬貨の根拠となった。
通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律の制定に伴い廃止。
昭和28年法律第60号。
1953年（昭和28年）7月15日公布・施行。
戦後インフレにより、決済単位として小さくなりすぎた銭・厘の通貨（補助貨幣・小額政府紙幣・小額の日本銀行券、江戸時代の銭貨）の流通を禁止した。併せて一円黄銅貨を廃止した。
昭和62年法律第42号。
1987年（昭和62年）6月1日公布、1988年（昭和63年）4月1日施行。
現行法。
従前より流通してきた臨時通貨法による臨時補助貨幣を「貨幣」と位置づけ引き続き流通させる。一般流通用の貨幣の額面として1, 5, 10, 50, 100, 500円を定め、素材・品位・量目・直径・図柄は別途政令で定める。記念貨幣については1,000円, 5,000円,  10,000円の額面を定め、閣議決定をもって発行できる。
日本の硬貨 歴史
新貨条例が施行された明治以降の近代社会において、それまでの小判や分金、穴銭などといった手工芸的な硬貨に代えて、本格的な洋式硬貨を1871年（明治4年）（硬貨上の年号は明治3年銘もある）から発行した。
が発行され、事実上の金銀複本位制（のちに事実上の銀本位制）として流通した。
江戸時代に鋳造された銭貨は、天保通宝8厘、寛永通宝真鍮四文銭2厘、文久永宝1厘5毛、寛永通宝銅一文銭1厘、寛永通宝鉄四文銭1/8厘、寛永通宝鉄一文銭1/16厘として通用が認められたが、天保通宝・寛永通宝鉄銭については明治時代のうちに通用停止となった。
以降、度々法改正があり、様々な材質・規格でこれらの額面の多様な硬貨が製造された。
1897年（明治30年）には貨幣法施行により、金本位制による貨幣制度が整えられた。これに伴い、金平価が半減されたため、新貨条例による金貨は額面表示の新貨条例で発行された旧金貨は全て額面の2倍の通用力を有することとなった。また、一円銀貨は1898年（明治31年）4月1日限りで失効となった。
日本の硬貨 歴史
貨幣法を根拠として、
が発行されていた。
1938年（昭和13年）には臨時通貨法が施行され、アルミニウム青銅、黄銅、アルミニウムなどを材料とした硬貨に置き換えられた。そのとき50銭については硬貨にするのに適当な金属がなかったため小額政府紙幣として発行された。第二次世界大戦開戦後には、これらの貨幣用材料は軍需用資材として転用させられ、戦況の悪化に伴い直径や量目についても度重なる縮小・削減が行われ、果ては貨幣用として適当な素材とは言い難い錫や錫・亜鉛の合金を材料とした硬貨も発行された。1945年（昭和20年）3月には航空機の材料を捻出するために、10銭、5銭、1銭のアルミニウム硬貨も回収して小額の日本銀行券と交換された。終戦時に造幣局で製造されていたのは一銭錫・亜鉛貨のみで、実際の発行には至らなかったものの非金属製の陶貨の製造が行われる状況となっていた。
臨時通貨法を根拠に、第二次世界大戦中には臨時補助貨幣として
日本の硬貨 歴史
終戦直後には同じく臨時補助貨幣として
がそれぞれ発行された。
戦後、小額通貨の整理及び支払金の端数計算に関する法律により、銭・厘単位の法定通貨が1953年（昭和28年）末に流通を禁止され、このとき1円以下の補助貨幣が失効した。その中には円単位でありながら鋳潰しの恐れがあるとされた一円黄銅貨や、江戸時代に鋳造された寛永通宝銅一文銭・寛永通宝真鍮四文銭・文久永宝も含まれていた。また、1931年（昭和6年）12月17日の金貨兌換停止に関する緊急勅令により金兌換が停止されたことに伴い、以降は金本位制が有名無実化していたが、本位金貨も通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律により1988年（昭和63年）3月31日限りで名実ともに失効し、現在は名実ともに管理通貨制度に移行した。
記念貨幣を除く現在有効な硬貨に関する年表を以下に示す。太字は製造発行中の貨種である。
日本の硬貨 一覧
日本の市中の街角に置かれる一般的な自動販売機や鉄道駅の券売機では、五百円硬貨・百円硬貨・五十円硬貨・十円硬貨は使用可能であるが、五円硬貨や一円硬貨は使用できない。コイン式コピー機では十円以上の硬貨に加え、五円硬貨が使用できる機器も存在する。銀行店舗内のATM、商店の自動釣銭機、現金対応のセルフレジ、ガソリンスタンドの給油機などでは五円硬貨や一円硬貨も含めて6種類全て使用可能である。
五百円バイカラー・クラッド貨については、銀行店舗内のATMや商店のセルフレジは概ね対応済みだが、半導体不足の影響もあり、飲料等の自動販売機やバスの運賃箱・両替機等の各種機器の改修の遅れから、2024年2月現在、対応している自動販売機の割合は、日本全国の3割程度に留まっているとされる。
十円硬貨・五円硬貨・一円硬貨の3種類に関しては、素材金属の価値は額面より低いが、1枚製造するのにかかるコストは額面より高く（すなわち、「地金価値＜額面（通用価値）＜製造コスト」）、製造すればするほど赤字となる。なお、五円硬貨に関しては、ウクライナ情勢や円安などの影響で、金属原価が高騰して額面に接近し、2024年（令和6年）5月には金属原価が額面の90%を超えたこともあり、近い将来額面を超える可能性が出てきている。
日本の硬貨 一覧
これに対し、五百円硬貨・百円硬貨・五十円硬貨の3種類は、「地金価値＜製造コスト＜額面（通用価値）」なので、製造すれば黒字となり貨幣発行益が出ることになる。
2024年現在、五十円白銅貨、五円黄銅貨、一円アルミニウム貨はミントセット用のみの製造となっている。
現在発行中の日本の硬貨6種類を手触りだけで判別する方法は次の通り。
五百円については、現在のところ全ての自販機、セルフレジ、ATM等の各種機器で概ね五百円ニッケル黄銅貨が使用できる。五百円バイカラー・クラッド貨への対応の遅れから、五百円ニッケル黄銅貨しか対応していない各種機器も多い。五円硬貨（有孔楷書体）についても五円硬貨対応の機器で概ね使用できる。
その他の旧硬貨は以下の理由で自販機、セルフレジ、銀行店舗内のATM等の各種機器で使えないことが多い。
五百円硬貨（白銅貨）：素材が1世代前のもの（ニッケル黄銅貨）及び現行のもの（バイカラー・クラッド貨）と異なるため。ごく一部に五百円白銅貨対応のものも残存しているが、自販機等の各種機器の精度の向上・更新により、五百円白銅貨非対応のものが多くなっている。五百円バイカラー・クラッド貨に対応させる場合、ニッケル黄銅貨には引き続き対応させるが、五百円白銅貨には非対応とするのが一般的である。質量や電気伝導率の違いにより判別している。
日本の硬貨 一覧
これら発行を終了した硬貨は現在も法的には有効であるが、五百円ニッケル黄銅貨が市中で流通しているのと、五百円白銅貨・十円青銅貨（ギザ有）・五円黄銅貨（有孔楷書体）の3種が稀に市中で流通しているのを見かけることがある以外は、市中ではほとんど流通していない。2024年（令和6年）時点で、鳳凰・稲穂の百円銀貨については銀地金としての価値が額面を明らかに超えているので古銭商が買取することもあるが、それ以外の旧硬貨については金属としての価値が額面を下回るものが多く（五円黄銅貨（無孔）は金属原価が額面をわずかに上回る計算になることもあるが）、かつ大量に現存しているので古銭商が古銭的価値を認めてプレミアをつけて買取することはほぼなく、額面での買取となる。ただし、発行枚数の少ない年銘の未使用品や、エラーなどの場合はこの限りではない。
これらの旧硬貨は、市中に通貨として流通している場合、それが日本銀行に戻った時点で、極端に摩耗・変形・変色した硬貨と同様に再使用不可能な流通不便貨という扱いで回収される。ただし現実的な処理方法としては、十円青銅貨（ギザ有）及び五円黄銅貨（有孔楷書体）は現行硬貨と混合整理され、現行硬貨と同様に扱われる。
日本の硬貨 一覧
記念硬貨については、全て現在有効である。
以上のような古い硬貨、特に百円銀貨（稲穂）・百円銀貨（鳳凰）・五十円ニッケル貨（有孔）・五十円ニッケル貨（無孔）・五円黄銅貨（無孔）や記念硬貨は、前述のように各種機器で受け付けられない他、市中の対面取引で見慣れぬ硬貨で真贋が判断できないとして受け取りを拒否される場合がある。日本銀行の窓口へ持ち込むと鑑定のうえで現行の紙幣・硬貨に引換えできる。市中の銀行の窓口に持ち込むと口座への預け入れや現行の紙幣・硬貨への交換ができるが、場合によっては日本銀行での鑑定に回され日数を要する他、銀行によっては取り扱い手数料が要求されることがある。
日銀の勘定店における受入時の現金の整理においては、貨幣（硬貨）にあっては、10円・5円の旧貨（現在発行されていない有効貨）は同額面の現行貨と混合整理して構わないものとされ、それ以外の旧貨または記念貨のうち受入単位に取り纏めることに支障のあるものは引換依頼を行って差し支えないものとされている。その場合、百円銀貨（鳳凰）と百円銀貨（稲穂）、五十円ニッケル貨（無孔）と五十円ニッケル貨（有孔）はそれぞれ混合整理される。またこの他、損貨のうち額面通りの引換効力に疑義があるものは無条件で引換依頼の対象とされている。
日本の硬貨 一覧
戦前に発行された全ての硬貨、戦後発行の銭単位の硬貨、及び一円黄銅貨については、以下の法令により通用停止となっている。
それぞれの硬貨についての詳細は「日本の金貨」・「日本の銀貨」・「日本の補助貨幣」・「臨時補助貨幣」を参照のこと。
これら失効した日本の硬貨のうち、新貨条例及び貨幣法で制定された本位金貨や各銀貨などについては、素材の貴金属価値や古銭的価値が評価され取引されており、古銭商による買取の対象となっている。一方、金貨・銀貨以外の各種近代硬貨（白銅貨・ニッケル貨・銅貨・青銅貨・黄銅貨・アルミニウム青銅貨・アルミニウム貨・錫貨）の多くは金属価値も古銭的価値もほとんどないため、古銭商に引き取りを拒否されるか、あるいは大量にまとめての安い値段での買取となるのが一般的である。希少性に欠ける銀貨でも引き取りを拒否される場合がある。
日本の硬貨 記念貨幣
日本では1964年（昭和39年）に発行された、東京オリンピック記念の1000円銀貨幣および100円銀貨幣を初めとして、2021年（令和3年）末時点で220種類もの記念貨幣が発行されている。日本の記念貨幣の額面には、100円・500円・1000円・5000円・1万円・5万円・10万円がある。
日本の硬貨 硬貨の年銘
日本の硬貨には、製造年が刻印されているが、全て西暦ではなく元号表記となっている。百円白銅貨・五十円白銅貨のみ年次がアラビア数字で表記され、その他は一般流通用貨幣、記念貨幣とも漢数字で表記されている。
1989年（昭和64年/平成元年）は昭和が7日間しかなかったが、同年製造の硬貨については、一円貨、五円貨、十円貨、五百円貨は少数ながら「昭和六十四年」銘で製造され、同年3月頃に「平成元年」銘の金型が完成して以降、「平成元年」銘で製造された。百円貨及び五十円貨は「平成元年」銘のもののみ製造され、「昭和64年」銘の硬貨は存在しない。
2019年（平成31年/令和元年）製造の硬貨については、「令和元年」表記の硬貨の金型が完成するまでは「平成三十一年」「平成31年」表記として製造され、「令和元年」表記の硬貨はまず五百円硬貨と百円硬貨が7月11日から製造開始され、残りの4種類も10月頃から製造開始された。
日本の硬貨 硬貨の年銘
硬貨の発行枚数は、年によってばらつきがある。現行の硬貨のうち、比較的発行枚数の少ないものは、以下の通り。ここでは現在発行中の6種に、1949年（昭和24年） - 1958年（昭和33年）に発行された五円黄銅貨（有孔楷書体）、1951年（昭和26年） - 1958年（昭和33年）に発行された十円青銅貨（ギザ有）、五百円白銅貨及び五百円ニッケル黄銅貨を加えた10種を対象とする。カッコ内は、概略発行枚数。
なお、このほか、「ミントセット」と呼ばれる硬貨のセットが1969年（昭和44年）から、プルーフ仕上げという特殊加工が施された硬貨も1987年（昭和62年）から造幣局から販売されている(1973年（昭和48年）・1974年（昭和49年）・1989年（昭和64年）は除く)。下表のうち※を付けたものは、全て造幣局販売の貨幣セット（ミントセット）に組み込まれており、一般流通用は存在しない。
一円硬貨
平成12年（1202.6万枚）
平成13年（802.4万枚）
平成14年（966.7万枚）
平成22年（790.5万枚）
※平成23年（45.6万枚）
※平成24年（65.9万枚）
※平成25年（55.4万枚）
※平成28年（57.4万枚）
※平成29年（47.7万枚）
※平成30年（44.0万枚）
※平成31年（56.6万枚）
※令和元年（50.2万枚）
※令和2年（52.8万枚）
日本の硬貨 硬貨の年銘
※令和3年（84.5万枚）
※令和4年（57.4万枚）
※令和5年（46.3万枚）
※令和6年（51.1万枚）
五円硬貨
昭和28年（4500万枚）
昭和32年（1000万枚）
昭和34年（3300万枚）
昭和35年（3480万枚）
昭和42年（2600万枚）
平成12年（903万枚）
平成17年（1602.9万枚）
平成18年（959.4万枚）
平成19年（990.4万枚）
平成20年（981.1万枚）
平成21年（400.3万枚）
※平成22年（51.0万枚）
※平成23年（45.6万枚）
※平成24年（65.9万枚）
※平成25年（55.4万枚）
令和3年（1013.3万枚）
※令和4年（57.4万枚）
※令和5年（46.3万枚）
※令和6年（51.1万枚）
十円硬貨
昭和32年（5000万枚）
昭和33年（2500万枚）
昭和34年（6240万枚）
昭和61年（6896万枚）
昭和64年（7469.2万枚）
令和5年（2792.7万枚）
五十円硬貨
昭和60年（1015万枚）
昭和61年（996万枚）
※昭和62年（77.5万枚）
平成12年（702.6万枚）
平成13年（802.4万枚）
平成14年（1166.7万枚）
平成15年（1040.6万枚）
平成16年（990.3万枚）
平成17年（1002.9万枚）
平成18年（1059.4万枚）
平成19年（990.4万枚）
日本の硬貨 硬貨の年銘
平成20年（881.1万枚）
平成21年（500.3万枚）
※平成22年（51.0万枚）
※平成23年（45.6万枚）
※平成24年（65.9万枚）
※平成25年（52.5万枚）
平成26年（753.8万枚）
平成31年（111.8万枚）
令和3年（913.3万枚）
※令和4年（57.4万枚）
※令和5年（46.3万枚）
※令和6年（51.1万枚）
百円硬貨
平成13年（802.4万枚）
平成14年（1066.7万枚）
五百円硬貨
昭和62年（277.5万枚）
昭和64年（1604.2万枚）
近年では電子マネー等のキャッシュレス取引普及の影響もあり、一円硬貨・五円硬貨・五十円硬貨の製造枚数が少なくなっており、流通用として製造されない年も現れる一方、十円硬貨・百円硬貨・五百円硬貨には強い需要があり、毎年安定して製造される傾向にある。
生産過剰等の理由により、1枚も製造されなかった年銘が発生した例もある。現行の硬貨の発行期間中に製造されなかった（存在しない）年銘は以下の通り。ここでも現在発行中の6種に、五円黄銅貨（有孔楷書体）・十円青銅貨（ギザ有）・五百円白銅貨及び五百円ニッケル黄銅貨を加えた10種の発行期間を対象とする。
一円硬貨
昭和43年
五円硬貨
昭和29年
昭和30年
昭和31年
十円硬貨
昭和31年
五十円硬貨
昭和64年
百円硬貨
昭和64年
五百円硬貨
（なし）
厳密な意味で製造枚数が0枚となった例は、昭和64年銘の五十円硬貨・百円硬貨が最後であり、平成以降では全ての硬貨が造幣されている。ただし、平成20年代以降では、上述のようにミントセット用に限られ、一般流通用分が造幣されなかった例は多数存在する。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
硬貨のデザイン（素材・品位・量目・直径・図柄）は以下の条例・法律で定められる。
新貨条例では、硬貨の額面・素材・品位・量目・直径・図柄（表裏明示）を条文中に定めた。量目・直径については尺貫法で表記し、量目はグレイン単位も併記した。
貨幣法では、硬貨の額面・素材・品位・量目を法文中で定め、直径・図案を別途勅令で定めた。量目・直径については尺貫法で表記し、量目はグラム単位も併記した。昭和8年の改正でニッケル貨を制定以降は量目・直径をメートル法で表記した。
臨時通貨法では、硬貨の額面のみを定め、素材・品位・量目・直径・図柄は別途勅令（戦後は政令）で定めた。量目・直径はメートル法で表記した。
通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律では、硬貨の額面のみを定め、素材・品位・量目・直径・図柄は別途政令で定める。量目・直径はメートル法で定める。
硬貨の厚さは定義されていない。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
江戸時代の貨幣が手工業的に製造され、楕円様（例：小判、天保通宝）や矩形（例：二分金）、円形（例：寛永通宝、中央に方形の孔が穿たれている）、不定形（例：丁銀）などがあったが、新貨条例制定に併せて最新式の鋳造機を導入し、洋式の近代的な貨幣鋳造が開始された。以降は法律・勅令・政令で直径・量目を定めて一定品質の円形の硬貨が造幣されている。一部の硬貨は中央に円形の孔が穿たれている（例：五銭白銅貨幣、五円黄銅貨、五十円白銅貨など）。世界では正多角形の硬貨など円形ではない硬貨も存在するが、日本では新貨条例以降全て円形であり、それ以外の形状の硬貨は発行されていない。
新貨条例ならびに貨幣法では貨幣の直径は尺貫法（曲尺）で記述されていた。例えば旧二十圓金貨では法文中では一寸一分五釐七毛（メートル法では35.0606mm）で、新二十圓金貨では九分五厘（メートル法では28.7878mm）など。1921年（大正10年）にメートル法を基本とする度量衡法の改正（メートル法度量衡法）が行われ、1933年（昭和8年）に貨幣法を改正してニッケル貨を制定して以降、硬貨の直径はメートル法に則って記述されている。例えば十銭ニッケル貨は直径22mm、孔径6mmである。
江戸時代の貨幣において小判や銭貨は一定の量目で鋳造され計数貨幣である一方で、丁銀は43匁を目安としているがある程度の増減がある秤量貨幣であった。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
新貨条例以降では個々の硬貨について量目を厳密に定め、造幣した硬貨は貨幣大試験で品位と量目を検証している。
新貨条例では、量目は尺貫法（曲尺）とグレイン（往時の表記ではゲレイン）単位で併記されていた。例えば旧二十圓金貨は八匁八分七釐三毛六、514.41グレインとされ、メートル法では33.3333gである。純金量では30g（1圓=1.5g の20倍）である。また、尺貫法、グレイン、メートル法の換算表も添えられていた。
貨幣法では、量目は尺貫法（曲尺）とグラム単位（往時の表記ではメトリックガラムまたはガラム）で併記されていた。例えば新二十圓金貨は四匁四分四釐四毛四（16.6665g）である。純金量では15g（1圓=0.75g の20倍）である。1933年（昭和8年）制定のニッケル貨より、グラム単位で表記された。例えば十銭ニッケル貨は4gである。
所定の金を含む（新貨条例では1圓あたり1.5g、貨幣法では1圓あたり0.75g）量目としている。
一圓銀貨の量目は国際的に流通していた墨銀（417グレイン）を参考に七匁一分七釐六毛、416グレイン（メートル法で26.96g）と定められた。1875年より1878年までアメリカが発行した1ドル銀貨に合わせて420グレインに増量している（貿易銀）。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
新貨条例では、額面と量目が比例していた。例えば五銭銀貨の三分三釐二毛九二五（19.3グレイン）に対し十銭銀貨は倍の六分六釐五毛八五（38.6グレイン）、五十銭銀貨は十倍の三匁三分二釐九毛二五（193グレイン）である。日常の使用では五銭銀貨は小さすぎ、後に白銅貨に置き換えられた。
本位貨幣である一円銀貨の品位に対して、銀量で見れば凡そ82.4%に相当する。
新貨条例では、銅貨も額面と量目が比例していたが、一厘硬貨のみは比例関係にない。
臨時通貨法以降は、メートル法に基づき、グラム単位で量目が定められた。勅令・政令で量目が定められているが、必ずしも額面と量目の関係は一定ではない。
新貨条例制定以降、2000年代初頭まで、硬貨全体が均質の金属素材であった。2008年（平成20年）よりバイカラー・クラッド貨が発行されている。2015年（平成27年）にクラッド貨が発行されている。これらは素材の金属の色を呈している。また、2003年（平成15年）以降、額面1000円の記念銀貨は全て彩色を施したカラーコインとなっている。
なお、海外の硬貨に見られる、中央部と外縁部がそれぞれ均質な材料であるバイメタル貨（例：1・2ユーロ硬貨）、メッキを施した硬貨（例：1982年より発行されているアメリカの1セント硬貨）は発行されたことがない。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
新貨条例・貨幣法では素材が金90%、銅10%であり、所定の量の金を含む。
新貨条例では銀90%、銅10%の合金である。
新貨条例・貨幣法では銀80%・銅20%の合金である。後に銀72%（流通したものとしては、旭日十銭銀貨・小型五十銭銀貨が該当）となった。銀価格の高騰の際には量目の削減が行われたことがあったが、第一次世界大戦中の一時期には小額政府紙幣に置き換えられたこともあった。
新貨条例では当初銅貨を銅98%、錫1%・亜鉛1%の合金として発行した。
1889年（明治22年）に貨幣条例（1875年（明治8年）に新貨条例より改称）の枠組みの中で日本初の白銅貨として発行された菊五銭白銅貨は、銅75%・ニッケル25%の合金として発行された。
白銅貨については、貨幣条例における菊五銭白銅貨の銅75%・ニッケル25%の組成が、貨幣法における稲五銭白銅貨・大型五銭白銅貨・小型五銭白銅貨・十銭白銅貨の素材として引き継がれた。
貨幣法では、新貨条例（貨幣条例）における銅貨を青銅貨に改め、銅95%、錫4%・亜鉛1%の合金としている。
この他、軍需物資の備蓄の隠れ蓑としてニッケルを選定することもあり、1933年（昭和8年）に貨幣法を改正してニッケル貨（純ニッケル）を定めた。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
銀貨も含めて、補助貨幣では素材金属の価値が額面を下回る様に選ばれるが、青銅貨においても、素材価格の高騰には、量目の削減で対応していたことがあった。
臨時通貨法以後はアルミニウム青銅、アルミニウム、錫、錫・亜鉛合金が戦時中に定められ、ニッケル貨・銀貨・銅貨を回収した。更に航空機材料とするためにアルミニウム貨の量目を減らしたり錫貨で置き換え、遂には金属材料が枯渇して銭単位の小額紙幣に置き換えられて陶貨が準備された。
終戦時には造幣局の手持ちの金属材料は錫やアルミニウムを僅かに残しており、鳩五銭錫貨と稲十銭アルミ貨が発行された。
軍が本土決戦に備えて備蓄していた薬莢、弾帯、装弾子、信管、黄銅棒などの黄銅製品が大量に残っていることがわかり、その払い下げをうけて硬貨の材料とした。スクラップ故に雑多な素材の組成が一定にならず、銅60-70%、亜鉛40-30%と広い幅が許容されている。戦後に発行された五十銭黄銅貨幣（鳳凰）、五十銭黄銅貨（桜）、一円黄銅貨、五円黄銅貨（無孔）、五円黄銅貨（有孔楷書体）を経て、現行の五円黄銅貨（有孔ゴシック体）もこの組成を引き継いでいる。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
造幣局に残されたアルミニウムを使って稲十銭アルミ貨が発行されたが、GHQの命令でアルミニウムの精錬が禁じられており、素材を調達できず製造を中止した。代用としてA拾錢券が発行された。アルミニウム貨が復活したのは1955年（昭和30年）に一圓アルミニウム貨の発行を開始したときである。日本のアルミニウム貨は、戦時中から一貫して純アルミニウムである。
以後、臨時補助貨幣は、十円貨は青銅貨（銅95%・亜鉛4-3%・錫1-2%）として、五十円貨はニッケル貨（純ニッケル）を経て白銅貨（銅75%・ニッケル25%）として、百円貨は銀貨（銀60%・銅30%・亜鉛10%）を経て白銅貨（銅75%・ニッケル25%）として、五百円貨は白銅貨（銅75%・ニッケル25%）として発行された。その後、臨時通貨法の廃止と通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律の施行に伴い、それまで有効であった臨時補助貨幣は「貨幣」と見なされることになり、その後、当初から「貨幣」として発行された新たな五百円貨が、ニッケル黄銅貨（銅72%・亜鉛20%・ニッケル8%）を経て、現在はバイカラー・クラッド貨（銅75%・亜鉛12.5%・ニッケル12.5%）となっている。
戦後、現在まで、金貨は本位金貨や一般流通用としてではなく、記念貨幣として発行されているが、記念金貨の品位はかつての本位金貨とは異なり、全種類純金(金 99.99%)となっている。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
戦後、記念貨幣として発行された銀貨は、東京オリンピック記念100円銀貨が当時の通常100円銀貨と同じ銀60%・銅30%・亜鉛10%の組成、東京オリンピック記念1000円銀貨をはじめ、1998年（平成10年）までに発行された銀貨が一部（天皇陛下御在位60年記念1万円銀貨・皇太子殿下御成婚記念5000円銀貨：純銀）を除き銀92.5%・銅7.5%の組成、21世紀に入ってから現在まで発行されているプレミアム銀貨（主に額面1000円、例外は中部国際空港開港記念500円銀貨）は全種類純銀となっている。
金貨・銀貨以外の記念貨幣の素材としては、1999年（平成11年）まで銅75%・ニッケル25%の組成の白銅のみが使用されてきたが、21世紀に入ってからは、通常の2代目500円硬貨と同じ組成のニッケル黄銅貨（銅72%・亜鉛20%・ニッケル8%）が登場し、更に後述のバイカラー・クラッド貨およびクラッド貨が登場している。
2008年（平成20年）以降発行が開始された地方自治法施行60周年記念貨幣では、バイカラー・クラッド貨が発行された。また、2021年（令和3年）より一般流通用の3代目500円硬貨もバイカラー・クラッド貨となっている。中央部は銅を白銅で挟みこみ（クラッド）、外縁部のニッケル黄銅に嵌め合わせて（バイカラー）作成している。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
2015年（平成27年）から2016年（平成28年）にかけて発行された新幹線鉄道開業50周年記念貨幣の額面100円の硬貨は銅の両面に白銅を貼り合わせたクラッド貨である。
2003年（平成15年）に第5回アジア冬季競技大会記念で発行された1000円銀貨以降、額面1000円の記念銀貨はパッド印刷による彩色が施されている。
1871年（明治4年）の新貨条例では法文中に図柄が描かれ表・裏を明示していた。
1897年（明治30年）の貨幣法では素材・品位・量目を定め、直径や図柄については形式を定める勅令（貨幣法ニ拠ル貨幣）によっていた。1938年（昭和13年）の臨時通貨法では、臨時補助通貨の額面のみを定め、素材・品位・量目・直径・図柄については別途形式を定める勅令によっていた。これら勅令において図柄は硬貨の両面が上下に並べて図示されているが表・裏は明示されていなかった。但し上の図柄には概ね菊紋があり便宜上に菊紋のある上の図柄を表として扱っていた。
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戦後GHQにより菊紋の使用が禁じられると表裏の判別基準が失われた。そこで表裏の判別を大蔵省内で協議した際、貨幣法制定後に発行された貨幣は年銘がすべて裏側（菊紋の反対側）に表示されていたことから、年銘が表示されている方を「裏」、その逆側を「表」という扱いをすることになった。このような経緯により、造幣局では、建物や植物などの表示がある面を「表」、年銘のある面を「裏」と呼んでおり、この用法は一般にも浸透している。これによれば、現在有効な通常貨幣に限れば、結果的に「表」には全種類に「一円」「五円」「五百円」などの漢数字による額面が表記されていることになるが、記念貨幣では例外もある。政令「通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律施行令」の別表に硬貨の形式が図柄入りで表示されているが、その記載の順序に従って最初に示されるのが表、次に示されるのが裏にあたる。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
1871年（明治4年）制定の新貨条例の下では表面には元首たる天皇の象徴として龍が刻まれた。本位金貨は表面に阿龍（口を開いた龍）、裏面に菊花紋章、桐紋、日章、菊枝と桐枝、錦の御旗（日月旗）、八稜鏡が刻まれた。なお、一円金貨は小型で龍をうまく刻印できず表面は漢数字で「一圓」とした。一円銀貨・貿易銀も表面は阿龍が刻まれた。補助貨幣のうち銀貨は表面に阿龍、裏面に菊花紋章、菊枝と桐枝が、銅貨は吽龍（口を閉じた龍）、裏面に菊花紋章、菊枝と桐枝が刻まれた。一厘青銅貨のみ表面を菊花紋章、裏面を漢数字で「一厘」とした。
1897年（明治30年）制定の貨幣法の下では、本位金貨は表面に菊花紋章、菊枝と桐枝、裏面に桐紋、日章、八稜鏡が刻まれた。補助貨幣のうち銀貨は新貨条例下のデザインを裏表反対にして定めた。龍を尊ぶのは清国の思想であるとして、龍図を裏にまわし、菊花紋章を表にした。以後改鋳の際に龍を別の図案にしている。
記念硬貨を除く現在有効な一般流通用の硬貨については、稲穂や菊花、桜花など、日本を象徴する動植物や建築物などが図案として採用されている。特に、植物の図案については、各硬貨の表面、裏面の少なくともいずれか一方（または両方）に必ず採用されていることが特徴である。
太字は、該当の題材が表面の主たる図案として採用された硬貨を示す。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
日本では欧米や韓国、台湾などとは異なり、偉人や国家元首など特定の著名人の肖像をあしらった硬貨が発行されたことは長らくなかった。新貨条例の時も、当初天皇の肖像も検討されたが畏れ多いとして、代わりに元首の象徴とされた竜の図が採用された。欧米諸国の硬貨と同様な大きく人物の肖像を図案とした最初の硬貨は、1990年（平成2年）に発行された国際花と緑の博覧会記念5000円銀貨幣であるが、これは実在の人物ではなく、花の女神フローラになぞらえた花冠の少女の肖像であった。実在の人物の肖像を図案とした最初の硬貨は、2010年（平成22年）に発行された地方自治法施行60周年記念貨幣（高知県）であり、坂本龍馬の肖像が刻まれた。
以降、日本の硬貨の図案に採用されたことがある人物は以下の通り。
なお、これまでに実在の人物の肖像を図案としたのはいずれも記念貨幣（記念硬貨）であり、2021年（令和3年）現在でも一般に流通する硬貨の図案として実在の人物の肖像が採用されたことはない。
新貨条例下の硬貨では「大日本」が表面に主に龍と共に刻まれた。貨幣法・臨時通貨法下の硬貨のうち1945年（昭和20年）9月以前製造分では「大日本」が裏側に刻まれた。いずれも往時の表記に沿い右横書きであった。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
現在有効な一般流通用の硬貨については、五円硬貨を除いて表面に発行国名が「日本国」と表示されている。五円硬貨については裏面に表示されており、このうち1949年（昭和24年）発行開始の黄銅貨（有孔楷書体）と1948年（昭和23年）発行開始の黄銅貨（無孔）については旧字体により「日本國」と表示されている。
なお、過去に発行されていた現在無効となっている硬貨では、「日本國」（1947年（昭和22年）7月以降製造分）の他に、「日本政府」（1945年（昭和20年）11月 - 1947年（昭和22年）5月製造分）であった。
記念硬貨を除く現在有効な一般流通用の硬貨については、五円硬貨を除いて表面に漢数字表記、裏面にアラビア数字表記で額面金額が表示されている。ただし、五円硬貨については1959年（昭和34年）から発行されている現行の黄銅貨（有孔ゴシック体）も含め、額面金額の数字は表面の漢数字のみの表記となっており、過去も含めてアラビア数字で額面金額が表記された硬貨が発行されたことはない。また、かつて発行されていた硬貨（現在では失効しているものも含む）のうち一部のものには、アラビア数字による額面金額表示について、英語表記の単位「YEN」「SEN」「RIN」が付いているものも存在していた（現在有効なものでは、1957年（昭和32年）発行開始の鳳凰百円銀貨が該当する）。
日本の硬貨 硬貨のデザイン
現在有効な一般流通用の硬貨については、裏面に製造年の年銘が元号表記で表示されている。詳細は#硬貨の年銘を参照。
記念硬貨においては、記念となる事柄が基本的に文言として記される。例えば天皇陛下御即位記念500円バイカラー・クラッド貨においては「御即位記念」と記される。ただしオリンピックの場合は文言として開催年度（西暦）と開催地のみ示され、「オリンピック」自体は五輪マークで示される。例えば東京オリンピック記念貨幣では文言として「1964 TOKYO」と記される他に五輪マークが示される。
現在有効な日本の硬貨にはないが、明治期の貨幣においては、1円未満の貨幣において「何枚で1円」という円との比率が表示されているものが存在した。発行されたものとしては、1873年（明治6年）発行の二銭銅貨・竜一銭銅貨・半銭銅貨の3種のみが該当し、それぞれ竜図と反対側の面（当時裏面と呼ばれていた）に「五十枚換一圓」・「以百枚換一圓」・「二百枚換一圓」と記されていた。
1949年（昭和24年）以降に発行された五円硬貨と1959年（昭和34年）以降に発行された五十円硬貨の中心には穴があけられているのが大きな特徴である。これは、特に視覚障害者にとって硬貨の判別を容易にすることと、硬貨の材料を節約することなどを目的としたものである。日本で戦前に発行され現在では失効している硬貨では、五銭硬貨と十銭硬貨の一部に穴あき硬貨が存在した。
なお、世界的にみれば穴あき硬貨は比較的珍しい存在ではあるが、ノルウェー、デンマーク、パプアニューギニアなどの国々でも日本同様に一般流通用の硬貨で穴あき硬貨が発行されており、日本独自のものではない。
金貨や銀貨などの硬貨の周囲を数ミリ削り取り、それを溶解して新たな偽造硬貨を作ることが横行したため、これを防ぐために貨幣の周囲（側面）にギザギザ状の溝を付けたのが本来の目的であった。実際に、明治の造幣局創業以降に日本で発行された全ての金貨やほとんどの銀貨においては周囲にギザが刻まれていた。
金貨・銀貨が一般流通用として発行されなくなった現代ではその意味合いは薄れ、特に視覚障害者にとって硬貨の判別を容易にすることを目的に、原則として高額面の硬貨の周囲にギザが刻まれている。第二次世界大戦中から終戦直後の混乱期にかけてはギザの有無と額面金額の関係性が崩れていた時期もあったが、1959年（昭和34年）発行の十円青銅貨がギザ有りからギザ無しに変更されたことにより、これ以降は硬貨のギザの有無に加え、前述の硬貨の中心の穴の有無、そして重さの3要素により視覚に頼らなくとも硬貨の識別が可能となっている。
なお、1982年（昭和57年)に発行された五百円白銅貨ではギザに代わって文字（レタリング）が刻まれたほか、2000年（平成12年）に発行された五百円ニッケル黄銅貨では偽造防止力向上を目的として、側面の溝の角度を硬貨面に対して斜めにした「斜めギザ」という特殊なギザが用いられている。更に、2021年（令和3年）発行の五百円バイカラー・クラッド貨では、これまた偽造防止力向上のため、斜めギザの一部分の間隔・勾配を他のギザとは異なる形状にした「異形斜めギザ」と呼ばれるタイプの更に特殊なギザが採用されている。
明治以降の日本の硬貨で、デザインが一般公募によって決定された硬貨は次の通りである。
以下は実際には流通しなかったものである。
日本の硬貨は、造幣局で製造されてから日本銀行に納入される際、麻袋に詰められた形で納入される。通常貨幣の場合は、五百円硬貨は2000枚、一円硬貨は5000枚、それ以外の4種については同種4000枚が麻袋1袋に詰められる。
日銀用語としては、これらの麻袋を「大袋」と呼び、日銀の勘定店における現金の受入単位は、通常貨幣（通常硬貨）にあっては大袋または大袋包装封単位としている。大袋包装封は、25大袋または50大袋（ただし一円硬貨の場合のみそれに加えて100大袋も可）を取り纏めたものと規定されている。
日本の硬貨 通用制限
硬貨は貨種によって以下の表の通用制限がある。補助貨幣は金額ないし枚数で制限される。新貨条例下の一円銀貨・貿易銀（以下「一円銀貨」で代表）は貿易の決済を想定して使用場所が開港場に制限されており、国内での支払いや、納税等の公納には使用できないこととした。尚、取引当事者双方の合意で、制限金額ないし制限枚数を越えて授受したり、一円銀貨を国内で授受することは差し支えなかった。一円銀貨は後に国内における強制通用力が付与され、国内での取引や公納にも使用できるようになった。補助貨幣の代用として発行された小額政府紙幣や小額の日本銀行券も、この制限を引き継いだ。
現行の硬貨については、強制通用力は各額面の硬貨20枚に限られることが通貨の単位及び貨幣の発行等に関する法律第七条に規定されている。取引における支払い代金の受け取りや、釣銭の受け取りに際して1額面につき21枚以上の受け取りを拒否することができ、その場合には他方は受け取ることを強いることはできない。尚、双方の合意の上で使用するには差し支えない。また、納税等公金の納入に硬貨を使用するに際しては枚数の制限はない。
各額面毎に最大20枚であり、1・5・10・50・100・500円それぞれ20枚の合計である13,320円迄は強制通用力を持つ。
日本の硬貨 偽造・変造事件、及び類似の仕様の海外硬貨
大規模な硬貨の偽造・変造として、十万円金貨の偽造事件、500円白銅貨の変造事件がある。数は少ないが一万円記念銀貨の偽造事件もある。100円以下の硬貨については大規模な事件ではないが、百円白銅貨の偽造事件や類似硬貨による詐欺事件がある。また、量目・直径・デザインが類似した外国硬貨を日本の硬貨に擬して通用させる事例がある。
1986年（昭和61年）に天皇在位60周年を記念して発行された記念硬貨のうち10万円金貨について大規模な偽造事件が起きた。この金貨は20gの金（品位は 99.99%）を素材としたが、往時の金単価が1g=1,800円前後であり、素材価値は約36,000円であった。10万円で引換えた金貨は概ね退蔵されると見込まれ、1枚あたり約64,000円、発行数全体で5500憶円の差額が国庫に入ると期待された。だが、1990年（平成2年）に国外から持ち込まれた金貨に偽造品が見つかったのをきっかけに調査したところ、10万7946枚の偽造貨幣が見つかり、107億9460万円の被害が出た。また8万5647枚が日本銀行に還流していたと判明した。額面に対して地金価値が相当低く、差額を狙われたものである。
以後の金貨は、金地金より額面を低くし、販売時には地金価値を上回るプレミアム価格で販売する収集型金貨の形式で発行されている。
日本の硬貨 偽造・変造事件、及び類似の仕様の海外硬貨
1986年（昭和61年）天皇在位60周年を記念して発行された記念硬貨のうち一万円銀貨につき、2016年（平成28年）に偽造硬貨が発見された。
日本の一般流通用の硬貨で最高額である五百円硬貨については、1999年（平成11年）まで発行されていた五百円白銅貨（初代五百円硬貨）の大量変造事件を受け、2000年（平成12年）発行の2代目五百円硬貨は材質をニッケル黄銅とし、潜像・斜めギザ・微細線・微細点などの偽造防止技術を施している。更に、2021年（令和3年）発行の3代目五百円硬貨には、バイカラー・クラッド、異形斜めギザ、表面の縁の内側の微細文字加工が採用された。
五百円白銅貨に関する変造事件で用いられた類似の仕様の海外硬貨には、韓国の500ウォン硬貨を中心として、イランの1リヤル硬貨やハンガリーの20フォリント硬貨および50フォリント硬貨、ポルトガルの旧25エスクード硬貨などが挙げられる。特に五百ウォン硬貨については、大規模に日本へ「密輸」し組織的に変造して、自動販売機に投入して500円硬貨であると認識させて、返却レバーを押して真正な五百円白銅貨に「換金」したり、商品や切符に併せて釣銭を窃取する事例が相次いだ。1999年（平成11年）には最多の82万1654枚の変造500ウォンが発見されている。また、五百円白銅貨と2代目の五百円ニッケル黄銅貨は、偽造貨も発見されている。
日本の硬貨 偽造・変造事件、及び類似の仕様の海外硬貨
また、対面取引で見かけの似ている五百ウォン硬貨を五百円白銅貨に見せかけて商品を詐取する事例がしばしば見られる。混雑時に確認が疎かになるのを狙い、手渡す小銭に紛れさせる、上に別の硬貨を載せて判別しにくくする、五百円硬貨で五百ウォン硬貨を挟んで手渡す、カウンターやカルトンに釣銭の無いよう所定額の紙幣・小銭を置き、その中に、五百円硬貨に代えて五百ウォンを潜ませてそそくさと立ち去るなどの手口の詐欺は根絶されていない。
百円硬貨が偽造された事件が報道された例が存在する。また、直径と量目が類似した海外の硬貨として、香港の50セント硬貨が挙げられ、カプセルトイで誤認識させている事例が散見される。また、対面取引で見た目が似ている百ウォン硬貨を小銭に紛れ込ませる詐欺の手口もある。
甚だしくは、外国人の店員に、500ウォン硬貨と100ウォン硬貨をそれぞれ日本の昔の500円硬貨や100円硬貨であると説明して渡し、物品を詐取した事例もある。
百円以下の硬貨は、小額ということもあり、偽造防止として目立った技術は施されていない。百円硬貨・五十円硬貨のギザや五十円硬貨・五円硬貨の穴は偽造防止と言えなくもないが、ギザや穴の主な目的は目の不自由な人が手触りで判別できるようにすることにある。十円硬貨の平等院鳳凰堂の細かなデザインは、当初高額硬貨であったため偽造防止の意味も含めて決められたものである。
日本の硬貨 小額硬貨の廃止について
現在、銭・厘単位（1円未満）の硬貨については小額通貨整理法により既に通用停止となっている。
現在発行中の通常硬貨のうち、一円硬貨及び五円硬貨については、現在でも市中では不自由なく流通しているものの、これらの廃止に関する議論もないわけではない。特に一円硬貨に関しては、近年ではキャッシュレス化の進展などで新規製造が貨幣セット用のみに限られる状態が続いており、流通量も漸減傾向にある。他にも製造コストや金融機関での手数料の事情、先進諸国の小額硬貨の廃止の状況などから、廃止論もしばしば取りざたされることがある（1セント硬貨 (アメリカ合衆国)#硬貨存廃を巡る議論およびユーロ硬貨#小額硬貨も参照）。2021年（令和3年）2月25日には予算委員会分科会で、泉健太立憲民主党政調会長が、一円硬貨と五円硬貨の廃止を麻生太郎財務大臣に提案したが、この時点では麻生太郎は「小額の取引を中心に需要はあるので直ちに廃止する考えはない」とした。
日本の硬貨 損傷時の交換
日本銀行の本支店において、破損（曲がり、変形等の損傷や汚染など）や磨損（すり減りなど）により通用や使用に支障が出た日本の硬貨（以下単に硬貨）について交換業務（引換え）を行っている。損傷していなくても、現在発行されていない旧硬貨は同様にこの交換業務（引換え）の対象となる。なお、その時点で日本国内での通用力が停止されていない全ての硬貨、記念硬貨や貨幣（通用や使用に支障が出ていないもの）は、通常の銀行の窓口で、一般的な硬貨と同様に預金などが可能である。
破損等の事由には過失など理由を問わないが、故意の硬貨の損傷は貨幣損傷等取締法により処罰される。なお、有害物質（放射性物質、毒劇物、化学兵器や生物兵器その他）により汚染された硬貨については、日本銀行への届け出前に、当該有害物質の所管官庁等に相談する必要がある。
窓口に出向き届け出る事が必要であり、郵送などの対応は行わない。また、日本銀行本支店では、引き換えに要する時間その他の事務上の理由から、来店前に事前に電話等をする事を推奨している。
日本の硬貨 損傷時の交換
また、これらの損傷時交換対応などは、少量・損傷判定が明確であれば、銀行法上の銀行窓口においても対応する場合がある。ただし銀行法上の銀行における交換業務は義務対応ではないので、銀行によって対応が異なる（大量であったり損傷判定が明確でない場合に、銀行が日銀鑑定に回付までしてもらえる場合がある。ただしこれも義務対応ではない）。ゆうちょ銀行窓口においては両替業務を行っていない関係上、損傷硬貨の交換も行っていない。
硬貨の刻印（模様）が確認できることが条件となる。また、欠損のある場合は以下の基準により交換を行う。
ただし、損傷等の原因が災害その他やむを得ない事由による場合は、上記にかかわらず、硬貨の刻印（模様）が確認できることが条件として、全額（100%）の硬貨と交換するとしている。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理
ポアンカレ・ベンディクソンの定理（ポアンカレ・ベンディクソンのていり、Poincaré–Bendixsonの定理）とは、平面上の連続力学系あるいは自励的常微分方程式系では、有界な軌道が時間経過後に最終的に落ち着く先は、平衡点を含まなければ周期軌道であることを述べる数学の定理である。19世紀末にアンリ・ポアンカレが発表し、後の20世紀初頭にイーヴァル・オット・ベンディクソンがより厳密・一般化した形で証明して発表した。
与えられた系の周期軌道の存在を明確にすることは一般的に難しいが、ポアンカレ・ベンディクソンの定理はその手法を与える希少なものの一つである。また、定理の帰結として、このような平面の系で状態変数が収束する先は、本質的に平面上の1点（平衡点）または閉曲線（周期軌道）のいずれかに限られ、より複雑な振る舞いはないことを意味する。極限集合の概念を使うと、平面上の極限集合は(1)平衡点、(2)周期軌道、(3)複数の平衡点とそれらを繋ぐ軌道の3種に限られることが言える。ただし、定理が成立する根本的理由の一つが、平面上ではジョルダンの閉曲線定理が成立し、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあるので、トーラスや3次元の系で定理は成立しない。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 前提とする主な定義
独立変数を t ∈ ℝ とし、従属変数を x = (x, y)T ∈ M ⊂ ℝ2 とする。未知関数 x(t) = (x(t), y(t))T に対して次のような一般的な自励的2元連立1階常微分方程式系を考える。
または
ここで、ℝ は実数を、上付き ˙ は微分 d/dt を、右肩 T は転置を表す。独立変数 t は時間とみなし、時間の経過に連れて x の値も変わるという風に微分方程式の意味をとらえる。従属変数の定義域 M は ℝ2 の部分開集合で、M を相空間ともいう（M = ℝ2 全体としても定理は成立する）。f = (f, g)T は C1 級関数 f: M → ℝ2 とする。f は M 上にベクトル場を定める。
t = t0 に対して与えられる x の値 (x(t0), y(t0))T = x0 を初期値という。以下、簡単のために t0 = 0 で固定する。初期値 x0 を満たし、時間 t のときの x の値を返す写像 ϕ(t, x0): ℝ × M → M を微分方程式の定める流れや連続力学系という。f が C1 級であることから、上記の微分方程式系は解の存在と一意性を満たし、流れ ϕ(t, x0) は
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 前提とする主な定義
を満たす。
初期値 x0 を決めて、t を −∞ から ∞ まで動かしながら ϕ(t, x0) が返す値を相空間 M 上に描くと、それは M 上の一つの曲線となる。この曲線を x0 を通る軌道という。 x0 を通る軌道を O(x0) で表すとする。微分方程式の解の一意性により、ある x0 を通る O(x0) はただ一つだけに限られる。特に t が非負のときの軌道
を正の半軌道といい、O+ で表すとする。ϕ(t, x0) が C1 級であることから軌道は（以下の平衡点である場合を除いて）滑らかな曲線で、曲線上の各点の接ベクトルが微分方程式の f(x) に対応する。
初期値 x0 に対して f(x0) = 0 となる場合、微分方程式の解は定数となる。このときの軌道は O(x0) = {x0} となり、相空間上の1点である。このような f(x) = 0 を満たす x を平衡点という。
また、x0 に対して、ϕ(T, x0) = x0 かつ ϕ(t < T, x0) ≠ x0 を満たすような T > 0 が存在するとき、これを満たすときの x0 の軌道を周期軌道という。相空間上の周期軌道は、円のように自分自身と交わらない閉曲線となる。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 前提とする主な定義
時間が無限大に発散するときの軌道 O(x0) の漸近的な振る舞いを調べるために、x0 の極限集合が重要となる。ある点 x0 ∈ M に対して時刻 t の列 t1, t2, … → ∞ を一つ適当に選ぶと
となるとき、y を x0 のω極限点という。そして、x0 のω極限点全てから成る集合を x0 のω極限集合といい、ω(x0) で表すとする。時間を逆向き t1, t2, … → −∞ にした方はα極限集合といい、α(x0) で表すとする。ω極限集合またはα極限集合を総称して極限集合という。
O(x0) が平衡点または周期軌道ならば、ω(x0) と α(x0) はその O(x0) 自体と同じとなる。極限集合 ω(x0) または α(x0) が周期軌道で、それでいて x0 自体はそれら ω(x0) または α(x0) に含まれないとき、そのような極限集合をリミットサイクルという。リミットサイクルに対して、軌道は巻きつくようにして収束する。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 定理の主張
ポアンカレ・ベンディクソンの定理とは、次のような主張である。
定理では O+(x) ではなく、ω(x) がコンパクトと仮定してもよい。また、ℝ2 ではなく、球面 𝕊2 や円筒 𝕊1 × ℝ1 上の流れと仮定してもよい。定理は x のα極限集合についても同様に成り立つ。すなわち、ω(x) または α(x) がコンパクトで平衡点を含まなければ、ω(x) または α(x) は周期軌道である。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理は、相空間が平面、球面、円筒である流れ（ベクトル場）では成立するが、同じ2次元多様体でも トーラス 𝕋2 のような種数が正の曲面では成立しない。また、相空間が3次元以上でも成立しない。2次元ベクトル場が非自励系で与えられるときにも、実質的に相空間は3次元なので成立しない。定理が成立する根本的な理由は、ジョルダンの閉曲線定理として知られる、自己交差しない連続な閉曲線は平面を2つの領域に分けるという事実にあり、トーラスや3次元の相空間ではこれが成立しないため、ポアンカレ・ベンディクソンの定理もまた成立しない。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 定理の主張
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の主張を直感的に言い換えると、次のようにも説明できる。平面上の限られた領域内に軌道があって、軌道はそこから出て行かないとする。もし軌道が1点（平衡点）に落ち着かないとすると、軌道はその領域内を永久に動き続けなければならない。軌道の曲線が自己交差をせず、なおかつ滑らかであるような条件下において、平面上でそのようなことが可能なのは軌道が閉曲線（周期軌道）に落ち着く場合だけというのがポアンカレ・ベンディクソンの定理である。
もう一つポアンカレ・ベンディクソンの定理と呼ばれる別の形として、あるいは上の定理から導くことができる別の定理として、次の主張がある。
平衡点が有限個しか存在しないという仮定は平面上の理論を構成する上で必ずしも必要ではないが、議論を簡単にするために導入される。例えば ·x = 0, ·y = −y という系は、平衡点が y = 0 の直線上の全ての点として存在する。しかし、大抵の場合で扱われる微分方程式は平衡点が有限という条件を満たす。
定理の3番目の極限集合には、ヘテロクリニック軌道やホモクリニック軌道が相当する。大雑把に言うと、ヘテロクリニック軌道とはある2つの平衡点 a, b を繋ぐ曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ で b に収束する性質を持つ。ホモクリニック軌道とは1つの平衡点 a から出て a に戻る曲線で、その上の点は t → ∞ で a に収束し、t → −∞ でも a に収束する性質を持つ。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 証明の概略
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明は、平面の特性を活かして幾何学的なアプローチでなされる。以下では、主に (坂井 2015) に沿いながらおおまかな証明の概略を記す。
まず、平面に限らない ℝn 上の自励系ベクトル場で一般的に成り立つ極限集合の性質として以下のものがあり、これらはポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明にも使われる：
ポアンカレ・ベンディクソンの定理の証明上の道具として、ポアンカレ写像の考え方が役立つ。定理の仮定のもとで、平面上の非平衡点 η ∈ ℝ2 に対して、η を通る直線 l を平面上に引く。η の近傍 U を取って、l との共通部分 U ∩ l でできる線分を Σ とする。このとき、Σ 上の任意の点も非平衡点であるようにでき、さらに、Σ を通る任意の軌道は Σ に接することなく Σ を通り過ぎるようにできる。このような Σ は横断線や切断線と呼ばれる（Σ は弧でもよく、その場合は横断弧などと呼ばれる）。また、U に含まれる η の近傍 V ⊂ U を十分小さくとれば、V 上の任意の点から出発する軌道はある有限時間後に Σ を通過するようにできる。
ポアンカレ・ベンディクソンの定理 証明の概略
次に、ある点 x の極限集合 ω(x) を考える。ω(x) は定理の仮定のように平衡点を含まないとし、その上のある非平衡点 η ∈ ω(x) について上のような横断線 Σ を引く。また、x から出発する軌道 O+(x) がもし周期軌道ならば、O+(x) = ω(x) となり、明らかに定理が成り立つ。よって以下では O+(x) は周期軌道ではないとする。
この η は極限点なので、その定義より η に収束する無限点列が選び出せる。よって、O+(x) は U を無限回通過し、Σ を通過した後には再び U に戻って来て Σ を通過しなければならない。O+(x) が Σ を通過するときの1つの交点を  ζ1 とし、次に Σ を通過する交点を ζ2 とする。このとき、平面上には線分 ζ1ζ2 と O+(x) に沿って ζ1 から ζ2 まで引かれる弧 γ で構成される閉曲線ができる。この閉曲線を Γ とする。ジョルダンの閉曲線定理からℝ2 は Γ の内側の領域 Gi と Γ の外側の領域 Go に分けられる。上述のように、この定理が平面では成立するという点が、ポアンカレ・ベンディクソンの定理の成立の本質的理由といえる。