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エミー・ネーター 生涯
ファン・デル・ヴェルデンによるエミー・ネーターの obituary によれば、彼女は彼女の講義の授業計画に従わず、そのことでイライラした生徒もいた。代わりに彼女は彼女の講義を数学の重要な最先端の問題をじっくり考え明確にするために彼女の生徒との自発的な議論の時間として使った。彼女の最も重要な結果のいくつかはこれらの講義において進展され、彼女の学生の講義ノートはいくつかの重要な教科書、例えばヴァン・デル・ヴェルデンやドイリングのもの、の基本をなした。
彼女の同僚の何人かは彼女の講義に出席し、彼女は彼女のアイデアのいくつか、例えば結合的多元環のcrossed product (ドイツ語で verschränktes Produkt)、を他の人によって出版されることを許した。ネーターはゲッチンゲンで少なくとも5つのセメスターを通じての講義を与えられたと記録されている：
これらの講義はしばしばこれらの分野の主要な出版物に先行した。
エミー・ネーター 生涯
ネーターは早口で話し――彼女の考える速さを反映していると多くの人が言った――多大な集中力を彼女の生徒に要求した。彼女のスタイルを嫌った学生はしばしば遠ざけられていると感じた。生徒の中には彼女は自発的な議論にあまりに頼りすぎていると感じる人もいた。彼女の最も身を捧げた生徒は、しかしながら、彼女の数学への熱意を、特に彼女の講義はしばしば彼らが共にした早期の仕事を建て増したから、享受した。
彼女は似た思考を持つ同僚や学生の輪を強固にし、そうでない人たちを除外する傾向にあった。時折ネーターの講義を訪れた「部外者」は通常教室で30分だけ過ごすと苛立ったり混乱したりして去った。ある正規生は1つのそのような例を言った："The enemy has been defeated; he has cleared out."（敵は敗れた、彼は出て行った。）
ネーターは大学の無い日まで伸びる彼女の主題と彼女の学生への献身を示した。一度、建物が州の祝日で閉まっていた時、彼女は外側の階段にクラスの生徒たちを集め、彼らを森に導き、地元の喫茶店で講義した。後に、彼女が第三帝国によって解雇された後、彼女は学生を彼女の家に将来の計画と数学の概念を議論するために招いた。
エミー・ネーター 生涯
1928年から29年の冬、ネーターはモスクワ大学への招待を受諾した。そこで彼女はP・S・アレクサンドロフ (P. S. Alexandrov) との共同研究を続けた。彼女の研究を続けることに加えて、彼女は抽象代数学と代数幾何学のクラスを教えた。彼女は位相幾何学者のレフ・ポントリャーギン (Lev Pontryagin) とニコライ・チェボタリョフ (Nikolai Chebotaryov) とともに仕事をした。彼らは後にガロワ理論の発展への彼女の貢献を称賛した。
政治はネーターの人生に中心的ではなかったが、彼女は政治的な事柄に鋭い興味を持ち、アレクサンドロフによれば、ロシア革命 (1917) にかなりの支援を示した。彼女は科学や数学の分野でのソビエトの発展を見るのが特に嬉しかった。彼女はそれをボリシェヴィキ計画によって可能になった新しい機会の指標と考えていた。この態度はドイツで彼女の問題を引き起こし、学生のリーダーたちが「マルクス主義趣向のユダヤ人」と同居することに不満を言った後に、ついには彼女はペンションから立ち退くこととなった。
エミー・ネーター 生涯
ネーターはモスクワに帰ることを計画し、アレクサンドロフから支援を受けた。1933年に彼女がドイツを去った後彼は Soviet Education Ministry を通して Moscow State University で彼女が職を得られるよう手伝った。この努力は実らなかったが、彼らは1930年代の間頻繁に文通し、1935年に彼女はソヴィエト連邦に帰る計画を立てた。その間彼女の弟フリッツは、ドイツで職を失った後、ロシアの Siberian Federal District のトムスクの Research Institute for Mathematics and Mechanics で職を得た。
1932年、エミー・ネーターとエミル・アルチン (Emil Artin) は数学への貢献でアッケルマン・トイブナー記念賞を受賞した。賞は 500 ライヒスマルクの金銭的報酬があり、彼女の相当な仕事の長年の懸案だった公式の承認として見られた。それにもかかわらず、彼女の同僚は彼女がゲッチンゲン科学アカデミー (Gesellschaft der Wissenschaften) に選ばれず Ordentlicher Professor (full professor) の職に決して昇進されなかった事実にいらだちを表した。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
抽象代数学とトポロジーにおけるネーターの仕事は数学に大きな影響を与え、また物理においては、ネーターの定理が理論物理学と力学系を広範囲に渡る結果を持つ。彼女は抽象的思考に非常に長けており、数学の問題に新しく独自の方法で取り組むことができた。彼女の友人であり同僚であるヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl) は彼女の業績を次のように三つの時代に分けて記述した。
エミー・ネーターの科学的業績は次の3つの明確に異なる時代に分かれる。
(1) the period of relative dependence, 1907–1919;
(2) イデアルの一般論の周辺の研究 1920–1926;
(3) 非可換多元環、線型変換によるそれらの表現、可換数体やその数論の研究へのその応用、の研究。—Weyl 1935
第一の時代 (1907–19) には、ネーターは、微分的・代数的不変量を主に研究しており、これは Paul Gordan の下での学位論文に始まっていた。ゴルダンの後継であるエルンスト・シグムント・フィッシャーとの緊密なやりとりを通じて、ダフィット・ヒルベルトの功績に触れていくにつれて、彼女の数学的地平線は広がり、研究はより一般かつ抽象的になっていった。1915年にゲッティンゲンに移ってから、彼女は物理学に影響の大きい仕事、2つのネーターの定理を成し遂げた。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
第二の時代 (1920–26) には、ネーターは数学の環の理論の発展に身を捧げた。
第三の時代 (1927–35) には、ネーターは非可換環論、線型変換、可換数体に焦点を当てた。
1832年から1935年のネーターの死までの時代、数学の分野、特に代数学、は格段に進歩し、その残響は今なお感じられる。その前の時代の数学は、特定の型の方程式、例えば三次、四次、五次方程式、を解くための実際的な手法や、それに関連した、コンパスと定規を用いて正多角形を作図する問題を研究していた。5 のような素数はガウスの整数で分解できるというカール・フリードリッヒ・ガウスの1832年の証明、エヴァリスト・ガロワの1832年の置換群の導入（彼の死のために彼の論文は1846年になってリューヴィルによって出版されたのであるが）、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの1843年の四元数の発見、アーサー・ケイリーの1854年の群のより現代的な定義、に始まり、研究はより普遍的な規則によって定義されたより抽象的な対象の性質を決定するようになった。ネーターの数学への最も重要な貢献はこの新しい分野、抽象代数学の発展への貢献であった。
抽象代数学における最も基本的な対象のうちの2つは群と環である。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
群は元の集合と1つの演算からなる。演算は第一の元と第二の元から第三の元を与える。演算は群となるためにある条件を満たさねばならない。その条件は、演算が閉じていること（集合の任意の2元に対し、それらから得られる元も集合の元でなければならない）、結合的であること、単位元（任意の元と演算したときにもとのままである（例えば数に 0 を足したり 1 を掛けたりしたときのように）ような元）を持つこと、そして、任意の元に対し逆元があること、である。
環は同様に元の集合と、今度は2つの演算からなる。1つめの演算により集合は群になり、2つ目の演算は結合的かつ1つ目の演算に対し分配的である。2つ目の可換であってもなくてもよい。可換であるとは、第一の元と第二の元に演算を施しても第二の元と第一の元に演算を施しても同じ結果になる、つまり元の順序が問題にならないということである。0 でないすべての元 a が乗法逆元（ax = xa = 1 なる元 x）をもつとき、環は可除環と呼ばれる。（可換）体は可換な可除環として定義される。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
群はしばしば群の表現を通して研究される。最も一般的な形では、それは1つの群、1つの集合、そしてその群の集合への作用からなる。作用とは、群の元と集合の元から集合の元を得る演算である。ほとんどの場合、集合はベクトル空間で、群はベクトル空間の対称性を表す。例えば、空間の rigid な回転を表す群がある。これは空間の対称性の一種である、なぜならば空間は回転されたとき空間の中の物体の位置は変わるかもしれないが空間自身は変わらないからである。ネーターは物理学における不変量に関する彼女の研究においてこの種の対称性を用いた。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
環を研究する強力な方法の1つはその加群を用いることである。加群は、1つの環と、1つの集合、これは環の台集合とは異なることが多く加群の台集合と呼ばれる、と、加群の台集合の元の対に対する演算と、環の元と加群の元から加群の元を得る演算からなる。加群の台集合とその演算は群をなす。加群は群の表現の環論版である：第二の環の演算と加群の元の対の演算を無視すれば群の表現が決定される。加群の真の有用性は存在する加群の種類と相互作用が環自身からは明白ではない方法で環の構造を明らかにすることにある。これの重要な特別な場合は多元環（代数）である。（代数という単語は数学の主題である代数学とその代数学で研究されるある対象の両方を意味する。）多元環は、2つの環と、各環の1つずつの元から第二の環の元を得る演算からなる。この演算により第二の環は第一の環上の加群となる。しばしば第一の環は体である。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
「元」や「結合算法」などの術語は極めて一般なものなのであって、多くの現実世界や抽象的な状況に対して適用可能である。ひとつ（あるいはふたつ）の算法に対する上記の規則全てを満足するモノからなる任意の集合が、定義により、群（あるいは環）であって、群（あるいは環）に関する全ての定理を満足する。整数の全体、そして加法と乗法というふたつの算法は単に一つの例でしかない。例えば、元として計算機データ型の語を考え、第一の算法として排他的論理和、第二の算法として論理積をとることもできる。抽象代数学における定理は、一般に示され、多くの系を支配するものであるがゆえに、強力である。極めて少ない性質によって定義された対象について分かることは少ないのではないかと想像するかもしれないが、正確にはそこにはネーターのギフト「性質からなる集合が与えられたところから最大限のものを発見すること、あるいは逆に、特定の観測状況に対してそれを合理化する本質的な性質からなる最小限の集合を発見すること」が根底に存在していた。大半の数学者がそうであったのと異なり、ネーターは既知の例を一般化することによる抽象化を行うのでなく、それよりは、抽象化そのものに対して直接に取り組んだ。ファン・デル・ヴェルデンは自身の記したネーターの死亡記事において以下のように振り返る:
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
The maxim by which Emmy Noether was guided throughout her work might be formulated as follows: "Any relationships between numbers, functions, and operations become transparent, generally applicable, and fully productive only after they have been isolated from their particular objects and been formulated as universally valid concepts."（訳文: エミー・ネーターが彼女の仕事を通じて従った格言を以下のようにまとめることができるだろう：「数や函数および算法の間に成り立つ任意の関係性は、それら特定の対象から離れて、普遍的に有効な概念として定式化されてさえしまえば、透過的で一般に適用可能であって完全に生産的である。」）
これがネータに特徴的であったところの begriffliche Mathematik（「純粋概念の数学」）である。この数学様式は、結果的にほかの（特に抽象代数学という新たな分野の）数学者たちにも受け入れられて行った。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
整数の全体は可換環をなす。元は整数で、演算は通常の加法と乗法である。任意の2つの整数を足したり掛けたりでき、その結果は整数である。第一の演算、加法は、可換である、すなわち、環の任意の元 a, b に対し、a + b = b + a である。第二の演算、乗法も、可換である。しかしこれは他の環では正しい必要はない、つまり、a に b を掛けたものは b に a を掛けたものと異なるかもしれない。非可換環の例には行列や四元数がある。整数は可除環をなさない、なぜならば第二の演算は必ずしも逆にできないからであり、例えば、3 × a = 1 なる整数 a は存在しない。
整数の全体はすべての可換環では成り立たない性質を持っている。重要な例は算術の基本定理で、任意の正整数は素数の積に一意的に分解できる。一意的な分解は他の環では必ずしも存在しないが、ネーターは多くの環のイデアルに対して、今ではラスカー・ネーターの定理と呼ばれる一意分解の定理を発見した。ネーターの仕事の多くは、どの性質がすべての環に対しても成り立つかを決定し、古い整数の定理の新種の類似を考案し、環がある性質を持つために必要な最小の仮定を決定することにあった。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターの経歴の第一の時代における研究の多くは不変式論、主に代数的不変式論、と関係している。不変式論は変換の群の下で変わらないままの（不変な）式に関心がある。日常的な例としては、固いものさしを回転すると、その端点の座標 (x1, y1, z1) と (x2, y2, z2) は変わるが、公式 L2 = Δx2 + Δy2 + Δz2 によって与えられるその長さ L は同じままである。不変式論は19世紀後半の研究の活発な領域であり、1つにはフェリックス・クライン (Felix Klein) のエルランゲン・プログラムによって駆り立てられた。それによると、異なるタイプの幾何学は変換の下での不変量、例えば射影幾何学の複比、によって特徴づけられるべきである。不変量のarchetypalな例は二変数に次形式 Ax2 + Bxy + Cy2 の判別式 B2 − 4AC である。これが不変量と呼ばれるのは、線型な置き換え x→ax + by, y→cx + dy で行列式 ad − bc が 1 であるものによって変わらないからである。このような変換の全体は特殊線型群 SL2 をなす。（すべての可逆な線型変換からなる一般線型群のもとで不変な量は（0 を除いて）存在しない、なぜならばこれらの変換はスケール因子を掛けることを含むからである。救済策として、古典的な不変式論はスケール因子の違いを除いて不変な形式である相対不変量も考えた。）SL2 の作用によって変わらない A, B, C のすべての多項式を求めることができる。これらは二変数二次形式の不変量と呼ばれ、判別式の多項式であることが分かる。より一般に、高次の斉次多項式 A0xry0 + ... + Arx0yr の不変量を求めることができる。それは A0, ..., Ar を係数とするある多項式である。さらに一般に、2つよりも多い変数の斉次多項式に対して同様の問いをたてることができる。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
不変式論の主な目標の1つは "finite basis problem" を解くことだった。任意の2つの不変量の和や積は不変量であり、finite basis problem はすべての不変量は生成元と呼ばれる有限個の不変量のリストから始めて得ることができるかどうかを問うた。例えば、判別式は二元二次形式の不変量の（1つの元からなる） finite basis を与える。ネーターの指導教官パウル・ゴルダン (Paul Gordan) は「不変式論の王」("king of invariant theory") として知られていて、彼の数学への主要な貢献は1870年に2変数の斉次多項式の不変式に対して finite basis problem を解いたことだった。彼はこれをすべての不変式とそれらの生成元を見つける構成的な方法を与えることによって証明したが、3変数あるいはそれより多い変数のときにこの構成的なアプローチを遂行することは出来なかった。1890年、ダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) は任意個の変数の斉次多項式の不変式に対する同様の主張を証明した。さらに、彼の手法は、特殊線型群だけでなく、特殊直交群のような部分群のいくつかに対しても有効なものであった。彼の最初の証明はいくらか論争を引き起こした、なぜならば生成元を構成する手法を与えていなかったからである、しかしながら後の研究によって彼は彼の手法を構成的にした。ネーターは学位論文でゴルダンの計算的証明を3変数の斉次多項式に拡張した。ネーターの構成的なアプローチにより不変式の間の関係を研究することができるようになった。後に、彼女がより抽象的な手法に転換した後、ネーターは彼女の論文を Mist (がらくた) and Formelngestrüpp (方程式のジャングル) と呼んだ。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ガロワ理論は方程式の根を置換する数体の変換と関係する。変数 x の n 次の多項式方程式を考えよう。係数はある基礎体からとられる。例えば、実数体とか、有理数体、7 を法とした整数、など。この多項式の値が 0 になるような x はあるかもしれないしないかもしれない。もし存在すれば、それは根と呼ばれる。多項式が x2 + 1 で体が実数体ならば、多項式は根を持たない、なぜならば x をどのようにとっても多項式の値は 1 以上になるからである。しかしながら、体が拡大されると、多項式は根を持ち得、十分に拡大されれば、必ず次数に等しい個数の根を持つ。前の例を続ければ、体が複素数体に拡大されれば、多項式は 2 つの根 i と −i を得る。ここに i は虚数単位、すなわち、i 2 = −1 を満たす数である。より一般に、多項式が根に分解するような拡大体を多項式の分解体と呼ぶ。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
多項式のガロワ群は分解体の変換であって基礎体と多項式の根を保つようなものすべてからなる集合である。（数学用語ではこれらの変換は自己同型と呼ばれる。）x2 + 1 のガロワ群は2つの元からなる。すべての複素数を自分自身に送る恒等変換と、i を −i に送る複素共役写像である。ガロワ群は基礎体を変えないから、多項式の係数は変わらないままであり、したがってすべての根の集合も変わらないままである。しかしながら各根が別の根に動くことは出来、したがって変換は n 個の根のその中での入れ替わりを決定する。ガロワ理論の重要性はガロワ理論の基本定理から生ずる。これは基礎体と分解体の間にある体たちはガロワ群の部分群たちと一対一に対応しているというものである。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
1918年、ネーターは逆ガロワ問題に関する影響力の大きい論文を出版した。与えられた体とその拡大の変換のガロワ群を決定する代わりに、ネーターは、体と群が与えられたとき、その体の拡大であって与えられた群をガロワ群として持つものを見つけることが常に可能かどうかを問うた。彼女はこれを「ネーターの問題」に帰着した。これは体 k(x1, ... , xn) に作用する置換群 Sn の部分群 G の固定体が常に体 k の純超越拡大になるかを問うものである。（彼女は1913年の論文で最初にこの問題を述べた。彼女はその問題を同僚のフィッシャーによるものとしている。）彼女はこれが n = 2, 3, 4 に対し正しいことを示した。1969年、R. G. Swan は n = 47 と G が位数 47 の巡回群のときにネーターの問題の反例を見つけた（この群は他の方法で有理数体上のガロワ群として実現できるのであるが）。逆ガロワ問題は今なお解かれていない。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターはダフィット・ヒルベルトとフェリックス・クラインによりゲッチンゲンに招聘された。主にアルベルト・アインシュタインが発展させた重力の幾何学的理論である一般相対論を理解する助けとなるために彼らは彼女の不変式論の知識を欲していた。ヒルベルトは一般相対論ではエネルギー保存則は成り立たないようだと観察していた、なぜならば重力エネルギーはそれ自身重力に引かれるからである。ネーターはこのパラドックスの解決法と現代理論物理学の基本的な道具を1915年に証明したが1918年まで出版しなかったネーターの第一定理とともに提案した。彼女は一般相対論の問題を解いただけでなく連続対称性を有する物理法則のすべての系に対する保存量の決定もした。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
彼女の仕事を受けてアインシュタインはヒルベルトに書いた："Yesterday I received from Miss Noether a very interesting paper on invariants. I'm impressed that such things can be understood in such a general way. The old guard at Göttingen should take some lessons from Miss Noether! She seems to know her stuff."（訳：昨日私はネーター氏から不変量に関する非常に興味深い論文を受け取りました。私はそのようなことがそのように一般的な方法で理解できるということに感銘を受けています。ゲッチンゲンの保守派はネーター氏の講義を受けるべきです！ 彼女は自分の素質を分かっているようです。）
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
説明のため、ある物理系が、空間にどのように入っているかによらずに同じように振る舞うならば、それを統制する物理法則は回転対称性を持つ。この対称性から、ネーターの定理は形の角運動量が保存されなければならないことを示している。物理系自身は対称である必要はない。宇宙を漂っているぎざぎざの小惑星はその非対称性にもかかわらず角運動量を保存する。むしろ、系を統制する物理法則の対称性は保存則の原因である。別の例として、ある物理実験がどんな場所でもどんな時間でも同じ結果になるならば、その法則は空間と時間の連続変換の下で対称性を持つ。ネーターの定理により、これらの対称性はこの系においてそれぞれ線型運動量とエネルギーの保存則を説明する。
ネーターの定理は現代理論物理学の基本的な道具となっている。それはそれが保存則に与える洞察のためでもあるし、また実際的な計算の道具としてでもある彼女の定理によって研究者は物理系の観察された対称性から保存量を決定することができる。逆に、それは仮説的物理法則のクラスに基づいた物理系の記述を容易にする。説明のため、新しい物理現象が発見されたとしよう。ネーターの定理は現象の理論的モデルの判定法を提供する。理論が連続的対称性を持つならば、ネーターの定理は保存量を持つことを保証する。そして理論が正しいためには、この保存が実験で観測できなければならない。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターの第一の時代の結果は印象的かつ有用ではあるものの、彼女の数学者としての名声は、ヘルマン・ヴァイルとファン・デル・ヴェルデンによって彼女の obituary において書かれているように、彼女の第二・第三時代に彼女がしたパイオニア的仕事により基づいている。
これらの時代において、彼女は単にそれ以前の数学者のアイデアや手法を適用しただけではない。むしろ、彼女は将来の数学者によって使われる新しい数学の定義を作っていた。特に、彼女は先のリヒャルト・デデキント (Ricahrd Dedekind) の仕事を一般化して、環のイデアルの全く新しい理論を展開した。彼女はまた昇鎖条件を展開したことでも名高い。これは単純な有限性の条件で、彼女の手により強力な結果が得られた。そのような条件とイデアルの理論によってネーターは多くの以前の結果を一般化し、彼女の父によって研究されていた除去理論や代数多様体のような、古い問題を新しい観点から扱うことができた。
この時代、ネーターは昇鎖条件 (Teilerkettensatz) や降鎖条件 (Vielfachenkettensatz) を巧みに用いたことで有名になった。集合 S の空でない部分集合の列 A1, A2, A3, ... は、各部分集合が次の部分集合の部分集合になっている
ときに通常 ascending と言われる。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
逆に、S の部分集合の列が descending とは、各部分集合が次の部分集合を含む
ことをいう。
鎖はある n が存在してすべての m ≥ n に対して An = Am となるようなとき有限個のステップの後停留的になるという。与えられた集合の部分集合の集まりが昇鎖条件を満たすとは、任意の昇鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。降鎖条件を満たすとは任意の降鎖列が有限個のステップの後停留的になることをいう。
昇鎖条件や降鎖条件は、多くの種類の数学的対象に適用できるという意味で、一般的であり、一見すると、それほど強力には思われないかもしれない。しかしながら、ネーターはそのような条件を最大限に生かす方法を示した。例えば、それらを使って部分対象のすべての集合は極大/極小元を持つこととか複雑な対象が少ない個数の元によって生成できることとかを示す方法である。これらの結論はしばしば証明の重要なステップである。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
抽象代数学の対象の多くの種類は鎖条件を満たすことができ、通常それらが昇鎖条件を満たすときそれらは彼女に敬意を表してネーター（的）と呼ばれる。定義により、ネーター環はその左と右イデアルに対し昇鎖条件を満たし、ネーター群は部分群の任意の真の昇鎖が有限である群である。ネーター加群は部分加群の任意の真の昇鎖が有限個のステップでとまる加群である。ネーター空間は開部分空間の任意の真の昇鎖が有限個のステップの後にとまる位相空間であり、この定義によりネーター環のスペクトルはネーター位相空間となる。
鎖条件はしばしば部分対象にも「引き継がれる」。例えば、ネーター空間のすべての部分空間はそれ自身ネーターであり、ネーター群のすべての部分群や商群もネーターであり、必要な変更を加えて同じことがネーター加群の部分加群と商加群に対して成り立つ。ネーター環のすべての商環はネーターであるが、部分環は必ずしもそうでない。鎖条件はまたネーター的対象の組み合わせや拡大に対しても引き継がれることがある。例えば、ネーター環の有限直和はネーターであり、ネーター環上の形式冪級数環もネーターである。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
そのような鎖条件の別の応用は、数学的帰納法の一般化であるネーター帰納法（整礎帰納法とも呼ばれる）にある。それはしばしば対象の集まりについての一般的なステートメントをその集まりの特定の対象についてのステートメントに帰着するために使われる。S を半順序集合としよう。S の対象についての主張を証明する1つの方法は反例の存在を仮定し矛盾を導くことによってもとの主張の対偶を証明することである。ネーター帰納法の基本的な前提は S の任意の空でない部分集合は極小元を持つことである。特に、すべての反例の集合は極小元、極小の反例を含む。したがって、もとの主張を証明するためには、表面上はるかに弱い何か：任意の反例に対してより小さい反例が存在することを証明すれば十分である。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターの論文 Idealtheorie in Ringbereichen (Theory of Ideals in Ring Domains, 1921), は一般の可換環論の基礎であり、可換環の最初の一般的な定義の1つを与えている。彼女の論文以前は、可換代数のほとんどの結果は体上の多項式環や代数的整数の環のような可換環の特別な例に制限されていた。ネーターはイデアルの昇鎖条件を満たす環ではすべてのイデアルが有限生成であることを証明した。1943年、フランス人数学者クロード・シュヴァレー (Claude Chevalley) はこの性質を記述するためにネーター環という用語を提唱した。ネーターの1921年の主要な結果はラスカー・ネーターの定理である。これは多項式環のイデアルの準素分解に関するラスカーの定理をすべてのネーター環に拡張するものである。ラスカー・ネーターの定理は任意の正整数は素数の積として表すことができその分解は一意的であるという算術の基本定理の一般化と見ることができる。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターの仕事 Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern (代数的数におけるイデアル論の抽象的構造と関数体, 1927)は任意のイデアルが素イデアルへの一意的な分解を持つような環をデデキント整域、すなわちネーターかつ 0 または 1 次元かつ商体において整閉であるような整域として特徴づけた。この論文はまた今では同型定理と呼ばれるもの、これはある基本的な自然同型を記述するものである、やネーター加群やアルティン加群に関するいくつかの他の基本的な結果も含んでいる。
1923年から24年、ネーターは彼女のイデアル論を除去理論に適用し（彼女が彼女の学生 Kurt Hentzelt に帰した定式化において）、多項式の因数分解についての基本定理を直接持ち越すことができることを示した。伝統的に、除去理論は多項式方程式の系から1つあるいはそれ以上の変数を、通常は終結式の手法によって、除去することに関心がある。説明のため、方程式系はしばしば（変数 x を忘れた）行列 M 掛ける（x の異なる冪のみを持つ）ベクトル v イコール零ベクトル、M•v = 0, の形に書ける。したがって、行列 M の行列式は 0 でなければならず、変数 x が除去される新しい方程式を得る。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
finite basis problem のヒルベルトのもともとの非構成的解法のようなテクニックは群作用の不変量についての量的な情報を得るために使うことは出来ず、さらに、それらはすべての群作用には適用しなかった。ネーターは1915年の論文において、標数 0 の体上の有限次元ベクトル空間に作用する有限変換群 G に対して finite basis problem の解法を見つけた。彼女の解法は不変式環は斉次不変式であってその次数が有限群の位数以下であるようなもの（の一部）によって生成されることを示している。これは Noether's bound（ネーターの上界）と呼ばれる。彼女の論文は Noether's bound の2つの証明を与え、どちらの証明も体の標数が |G|!, 群 G の位数 |G| の階乗、と互いに素なときにも有効である。生成元の次数は体の標数が |G| を割り切るときには Noether's bound を満たす必要はないが、ネーターはこの bound が体の標数が |G| ではなく |G|! を割り切るときに正しいかどうかを決定することはできなかった。長年の間この特定の場合に対するこの bound の真偽を決定することは "Noether's gap" と呼ばれる未解決問題であった。最終的に2000年に Fleischmann と 2001 年に Fogarty によって独立に解かれた。両者とも bound は正しいままであることを示した。
エミー・ネーター 数学と物理への貢献
ネーターは1926年の論文においてヒルベルトの定理を任意の体上の有限群の表現に拡張した。ヒルベルトの仕事から従わない新しい場合は体の標数が群の位数を割り切るときである。ネーターの結果は後に William Haboush によってマンフォード予想の彼の証明によってすべての簡約群へと拡張された。この論文においてネーターはネーターの正規化定理の導入もした。これは体 k 上の有限生成整域 A は代数的に独立な元の集合 x1, ... , xn であって A が k[x1, ... , xn] 上整であるものをもつというものである。
パヴェル・アレクサンドロフとヘルマン・ヴァイルが死亡記事に書いたように、ネーターの位相幾何学への貢献は彼女のアイデアの惜しみなさと彼女の洞察がいかに数学の全分野を変えたかを例証する。位相幾何学では数学者は変形のもとでも不変なままな対象の性質、例えば連結性、を研究する。よくあるジョークは、位相幾何学者はドーナツとコーヒーカップを区別できないというものである。互いに連続的に変形できるからである。
ネーターは初期の組合せ位相幾何学からの代数的位相幾何学の発展を導く基本的アイデア、特にホモロジー群の概念の草分けであるとされる。アレクサンドロフの記すところによれば、1926年と1927年の夏にネーターはハインツ・ホップとアレクサンドロフの開いた講義に出席し、そこで "she continually made observations which were often deep and subtle"（「彼女は続けざまにしばしば深くまた絶妙であった観察を成した」）という。またアレクサンドロフはこう続ける:
When... she first became acquainted with a systematic construction of combinatorial topology, she immediately observed that it would be worthwhile to study directly the group of algebraic complexes and cycles of a given polyhedron and the subgroup of the cycle group consisting of cycles homologous to zero; instead of the usual definition of Betti numbers, she suggested immediately defining the Betti group as the complementary (quotient) group of the group of all cycles by the subgroup of cycles homologous to zero. This observation now seems self-evident. But in those years (1925–28) this was a completely new point of view.（訳: 彼女が組合せ位相幾何学の体系的構成に初めて触れることになったとき…、代数的複体および与えられた多面体の輪体の成す群、および零ホモローグな輪体からなる輪体群の部分群を、直接的に調べることに価値があるだろうことを、彼女は直ちに見抜いた。ベッチ数の通常の定義の代わりに、ベッチ群をすべての輪体の成す群を零ホモローグな輪体の成す部分群による補群（商群）として定義することを直ちに示唆したのである。この視座は現在では自明のことだが、1925–28年当時にしてみればこれは完全に新たな観点であった。）
位相幾何学を代数的に研究するというネーターの示唆は、ホップやアレクサンドロフらによって直ちに受け入れられ、ゲッチンゲンの数学者たちの間の議題として頻繁に挙がるようになっていった。ネーターは、自身の考えたベッチ群の概念が、オイラー–ポワンカレの公式の理解をより容易にすることを見、ホップはこの主題についての自身の仕事を "bears the imprint of these remarks of Emmy Noether"（「エミー・ネーターのこれらの注意の刷り込みに負う」）としている。ネーターが自身の位相幾何学のアイデアについて言及したのは、1926年の出版物の中で余談として、群論の応用の一つとしてそれを引用したのみである。
位相幾何学に対するこの代数的アプローチはオーストリアにおいても独立に発展した。1926–27年にウィーンで開かれた講座において、レオポルト・ヴィートリスはホモロジー群を定義し、それをヴァルター・マイヤーが発展させて、1928年には公理的定義に到達した。
超複素数と群の表現の多くの研究は19世紀と20世紀初頭になされたが、共通点は無かった。ネーターはこれらの結果を統合し、群と多元環の初めての一般的な表現論を与えた。手短に言えば、ネーターは結合多元環の構造論と群の表現論を包摂して、昇鎖条件を満たす環の加群とイデアルの1つの数学的理論にした。ネーターのこの1つの仕事は現代代数学の発展に基本的で重要なものであった。
ネーターはまた代数学の分野の他のいくつかの進展にも貢献している。エミール・アルティン (Emil Artin)、リチャード・ブラウアー (Richard Brauer)、ヘルムート・ハッセ (Helmut Hasse) とともに、ネーターは中心的単純多元環の理論を構築した。
ネーター、ヘルムート・ハッセ、リチャード・ブラウアーによる影響力の大きい論文に、除法が可能な代数系である可除多元環を扱ったものがある。彼らは次の2つの重要な定理を証明した。局所大域定理――数体上の有限次元中心可除代数がいたるところ局所的に分解するならば大域的にも分解する（したがって自明である）――を証明し、これから次の Hauptsatz（「主定理」）を演繹した：代数体 F 上の任意の有限次元中心可除代数は巡回円分拡大上分解する。これらの定理によって与えられた数体上のすべての有限次元中心可除代数を分類することができる。それに続くネーターの論文は、より一般的な定理の特別な場合として、可除代数 D のすべての極大部分体は分解体であることを示した。この論文はスコレム・ネーターの定理も含んでいる。この定理は、体 k の拡大の k 上の有限次元中心単純代数への任意の2つの埋め込みは共役であるというものである。ブラウアー・ネーターの定理は体上の中心可除代数の分解体の特徴づけを与える。
エミー・ネーター 評価
ネーターの功績は現在の理論物理学や数学の発展とも関係しており、依然として20世紀最大の数学者の一人に位置づけられている。
ネーターの死亡記事で、仲間の代数学者ファン・デル・ヴェルデンは、ネーターの数学的独創性は「比較にならないほど絶対的(absolute beyond comparison)」だったと述べた。また同記事で、ヘルマン・ワイルは、ネーターは「彼女は(抽象)代数学の顔を変えた(changed the face of (abstract) algebra by her work)」と言った。パヴェル・アレクサンドロフ、ヘルマン・ヴァイル、ジャン・ディュドネといった数学者によって、ネーターは有史以来最も偉大な女性数学者だとみなされている。
ニューヨーク・タイムズに記載された弔文で、アルベルト・アインシュタインは次のように書いた。
エミー・ネーター 評価
In the judgment of the most competent living mathematicians, Fräulein Noether was the most significant creative mathematical genius thus far produced since the higher education of women began. In the realm of algebra, in which the most gifted mathematicians have been busy for centuries, she discovered methods which have proved of enormous importance in the development of the present-day younger generation of mathematicians.
存命中の最も著名な数学者たちの判断によれば、フロイライン・ネーターは、女性への高度な教育が始まって以来、最も偉大で、創造力に富んだ数学の天才だ。数世紀の間数学の天才たちが苦しめられた代数学という分野において、彼女は現在の若い世代の数学者の発展のために非常に重要であると証明された方法を発見したのである。
エミー・ネーター 評価
1935年1月2日、ネーターの死の数か月前、数学者ノーバート・ウィーナーは次のように書いた。
Miss Noether is... the greatest woman mathematician who has ever lived; and the greatest woman scientist of any sort now living, and a scholar at least on the plane of Madame Curie.
ネーター氏は……今までにない最も偉大な女性の数学者だ。今存命中の女性科学者の内でも最も偉大であり、少なくともキュリー夫人の水準の学者であろう。
1964年にニューヨークで開催された万国博覧会の現代の数学者に関する展示で、ネーターは唯一の女性として世界の著名な数学者の中の一人に紹介された。
また数学を学ぶ女子のための協会は、数学を学び活躍する女性に栄誉を授けるために、ネーター・レクチャーを毎年開催している。この2005年のパンフレットでは、ネーターのことを「彼女の時代の偉大な数学者の一人であり、愛し信念を持ったもののために働き取り組んだ人。彼女の人生と功績は、とてつもない刺激のまま残っている」と述べた。
エミー・ネーター エミー・ネーターにちなむもの
1992年にバル＝イラン大学とドイツ政府とミネルヴァ基金は、代数幾何、群論、複素関数論等分野の研究を活発化させ、またドイツとイスラエルの協力を強めることを目的として、バル＝イラン大学数理・コンピューター科学科にエミー・ネーター数学研究所を設立した。エミー・ネーター数学研究所は、ヨーロッパ数学研究センター(European Research Centers of Mathematics)のメンバーでもある。
エミー・ネーター 博士学生一覧
以下はネーターが指導した学生の一覧である。
モントルー条約
1936年にスイスのモントルーで調印された海峡制度に関する条約（かいきょうせいどにかんするじょうやく、仏: Convention concernant le régime des Détroits、英: Convention Regarding the Regime of the Straits）は、トルコ領内のボスポラス海峡・マルマラ海・ダーダネルス海峡の通航制度を定めた条約である。通称モントルー条約（モントルーじょうやく、英: Montreux Convention）。
モントルー条約 経緯
ボスポラス海峡・マルマラ海・ダーダネルス海峡とその沿岸部は「海峡地帯」と総称され、地中海と黒海をつなぐ場所であるため、その通航制度をどうするのかが18世紀に結ばれたキュチュク・カイナルジ条約以来、長く国際問題となっていた。オスマン帝国は第一次世界大戦の講和条約であるセーヴル条約で海峡地帯の主権を放棄させられ、海峡地帯は強い権限を持つ「海峡委員会」による国際管理下におかれることとなった。
その後オスマン帝国が倒れ、1923年のローザンヌ条約では新たに成立したトルコ共和国の海峡地帯への主権が確認・回復された。しかし海峡地帯は非武装とされ、またセーヴル条約での海峡委員会ほどの権限は持たなかったが、やはり海峡地帯を監視する組織としての海峡委員会も置かれた。1930年代に入ると、イタリアがエーゲ海のドデカネス諸島の軍備を増強したことがトルコの危機感をあおり、海峡地帯沿岸の再武装を要求するようになった。
1936年4月、トルコはローザンヌ条約の締結国に対し条約改正を求める通告を行い、これを受けて1936年6月22日から7月20日にかけてモントルーにおいて海峡の新通航制度を定めるための国際会議が開かれた。こうしてローザンヌ条約で定められた通航制度を改定し、トルコの再武装要求を認めるモントルー条約が結ばれた。またモントルー条約の締結と同時にローザンヌ条約の通航制度に関する部分は失効した。
モントルー条約 トルコの態度
第二次世界大戦後の国際法の取扱いでは、自然に出来た海峡等を航行する艦船に対し、海峡に面する国は制限を加えることができないという概念が成立しており、かかる慣習は国連海洋法条約第3部に法典化されている。ボスポラス海峡等も同条約上の国際海峡に該当し、通過通航権の行使として軍艦等も含めた自由航行ができてしかるべき考えに至るが、トルコ政府は、ボスポラス海峡等は海洋法条約第35条(c)により通過通航権の対象外となる旨主張して、一貫してモントルー条約の緩和には否定的な態度を取っている。
これは、トルコにとっては一度喪失した主権を長年の交渉で自国に有利な形で取り戻したという経緯から、緩和することで再び海峡地帯に他国が干渉してくることへの警戒感があること。海峡が地政学上の要衝であり、東西冷戦時には海峡の出入り口付近に米ソの艦艇が対峙し、一触即発状態にあったこと。また、1980年代以降、タンカーなどの船舶の大型化と航行量が急増したことにより海難事故が頻発、海峡の過密化が深刻な問題となっているからである。
モントルー条約 トルコの態度
特に、冷戦終結後は後者が問題となっている。海峡に面した大都市イスタンブール近辺で、海難事故に起因するアンモニア流出事故が発生。風向きによっては、甚大な人的被害が発生してもおかしくない大事故となった。このためトルコ政府は、有害物質を積載した船舶の航行に非常に神経質となっており、自国法により廃棄物等を載せた船舶の航行を制限するなど、むしろ強化を図りたい意向を持っていると推測される。
未成のウクライナ空母ヴァリャーグが中国へ回航される際には、トルコは、空母の海峡通過禁止を主張しており、また大型無動力艦の曳航となるため、通行許可を出さなかった。結局、中国側がトルコへの観光客増加を約束するという政治的折衝で妥協し、2001年に通過を許可した。
2022年2月のロシアのウクライナ侵攻を機に、黒海の沿岸国かどうかを問わず、すべての国に対して軍艦の海峡通過を認めないとする通告をトルコ政府は2月28日に発表した。ただし、条約により沿岸国の船舶が母港に帰港することは例外的に認められているとしている。また、戦争の当事国であるか否か、また黒海沿岸国であるか否かを問わず適用されるとしている。
モントルー条約 条約における艦船の通航制限
商船については、自由航行が原則とされている（条約第2条）。戦時においても同様であるが（条約第4条）、トルコが危機に迫った場合や交戦国の場合は、一部に制限が生じる（条約第5条・第6条）。
海峡を航行する軍艦については、詳細な制限が設けられている（条約第2部および付属文書2・3）。平時と戦時の区別や、艦種・トン数による区別、黒海沿岸諸国に関する規定がある。さらには日本海軍の旧式艦となっていた浅間等への個別規定もある。
平時には、一定の制限の下、小規模な艦船は自由航行ができるが、大規模艦船には様々な制限がある。また、戦時にはトルコ政府の裁量により、航行制限が行える。
条約上の艦種
条約の付録IIによる。
全般
黒海沿岸諸国
非黒海沿岸国
戦時であって、トルコが交戦国でない場合は、交戦国を除く軍艦は平時と同様の条件で航行できるが、トルコを含む国際機関・国際条約等に基づく侵略の被害国への援助の場合を除いて、交戦国の軍艦は航行できない（条約第19条）。
戦時であって、トルコが交戦国の場合や、トルコが危機に迫った場合には、軍艦の航行はトルコの裁量による（条約第20条・第21条）。ただし、母港への帰還のための航行は許される（条約第19条・第21条）。
モントルー条約 締結国
条約締結当初の締結国は、トルコ・ソ連・ルーマニア・ブルガリアといった黒海沿岸の諸国のほか、イギリス・フランス・ギリシア・ユーゴスラヴィア・日本の合計9カ国であった。ローザンヌ条約の締結国であったイタリアは条約の改定に否定的な態度を取っていたこともあり、当初モントルー条約に参加していなかったが、1938年になって加入した。後にキプロス・ウクライナが承継により当事国となっている。
締約国以外に属する船舶についても実態上はモントルー条約の規定の範囲内で通航が認められている。
一見海峡地帯への直接的利害が少ないと思われる日本がモントルー条約に名を連ねているのは、ローザンヌ条約による海峡委員会が設置された際、国際連盟の常任理事国として日本も海峡委員会に委員を出したことと関係している。モントルー条約が結ばれた1936年には日本は既に国際連盟を脱退していたが、脱退後も引き続き海峡委員会のメンバーであったため、モントルー条約にも締結国として名を連ねることとなった。
モントルー条約 締結国
条約の素案の段階では、トルコが軍艦の海峡通過について定期的に連盟事務局に通告する内容であったが、日本は通過するごとに締結各国に通知することなどを要求して認めさせた。この要求は、日本にとってソビエト連邦の黒海艦隊の動静をチェックできるという有意義なものとなった。
日本はモントルー条約中の国際連盟規約に関する条項に関しては留保した上で批准した。その後サンフランシスコ平和条約の発効に伴い、日本は本条約上の一切の権利および利益を放棄することとなった（同条約8条(b)）。
岡山県道165号藤戸早島線
岡山県道165号藤戸早島線（おかやまけんどう165ごう ふじとはやしません）は、岡山県倉敷市から都窪郡早島町に至る一般県道である。
岡山県道165号藤戸早島線 路線状況
藤戸 - 茶屋町間には離合困難な箇所がある。
起点は倉敷市林であるが、そこは藤戸とは一切関係がない。1982年（昭和57年）の主要地方道再編の際、もともと倉敷市藤戸町天城 - 都窪郡早島町早島間の路線だった本路線が岡山県道62号玉野福田線認定で廃止された岡山県道268号白尾藤戸線のうちの倉敷市林 - 倉敷市藤戸町藤戸間を編入し、現行路線になった。
広島大学附属小学校
広島大学附属小学校（ひろしまだいがくふぞくしょうがっこう, Elementary School Attached to Hiroshima University）は、広島県広島市南区にある国立の小学校。広島大学の附属学校であり、同じ敷地内に広島大学附属中学校・高等学校がある。
広島大学附属小学校 概要
東京高等師範学校（1886年設立）に次ぐ、西日本の中等教育研究の拠点として設立された広島高等師範学校の附属中学校（旧制）として1905年（明治38年）に設立された。
1964年4月に東千田から現在地に移転し、1978年（昭和53年）に現校名となった。2005年（平成17年）に創立100周年を迎えた。
広島大学の附属学校として、全学の中学教員免許取得希望者を主対象とした教育実習を行っている。
学級数は各学年2学級（1部・2部）、計12学級である。
香南市
香南市（こうなんし）は、高知県東部にある市。南は土佐湾に面する。
香南市 地理
北部は四国山地の一部で標高が300～600メートルあり、南に下るにつれ里山、高知平野と低くなる。南側は、土佐湾中央部の高知海岸の、物部川河口以東を占め、海水浴場として住吉海水浴場と、夜須川河口近くに「ヤ・シィパーク」がある。
今後発生が予見されている南海トラフ巨大地震の際には、市内の海岸に最大13mの津波が到達することが予想されている。
高知県
2010年の国勢調査では、高知県内の市町村で唯一人口が増加した。2015年の国勢調査では0.87%の減少となり、高知県第2位（1位は高知市で0.68%の減少）の人口減少率の低さを記録した。
高知県内では高知市、南国市、四万十市に次ぐ高知県内で第4位の人口となっていたが、近年は四万十市の方が人口減少が激しいため、繰り上がって3位になっている。
香南市 歴史
2006年（平成18年）3月1日、香美郡の赤岡町、香我美町、野市町、夜須町、吉川村が対等合併して誕生した。市名の由来は市域が旧香美郡南部を占めていることによる。なお、隣接している香美市も同時に誕生したため、香美郡は消滅した。
香南市 施設
駐在所
主な病院
主な図書館
主な郵便局
体育館
競艇
ゴルフ
香南市 教育
香南市では、「香南市奨学資金貸与条例」という奨学金制度がある。
県立
市立
市立
香南市 交通
土佐くろしお鉄道ごめん・なはり線が市域を東西に結ぶ。西から順に下記の各駅があり、市役所などの最寄りで、西隣の南国市内にある高知空港にも近い中心駅はのいち駅である。
自動車専用道路
一般国道
路線バス
香美市
香美市（かみし）は、高知県の東部に位置する市。市域は物部川や国分川の源流域から高知平野に及ぶ。高知県の市では唯一、海に面していない。
香美市 地理
香美市街地（自治体域南西部）は高知平野の北東部にあたる。自治体域の70%を山林が占めている。
中心地は美良布（びらふ）であり、式内社の大川上美良布神社や道の駅に併設された香美市立やなせたかし記念館（アンパンマンミュージアム）などがある。物部川沿いを走る国道195号の沿線にはアジサイが植えられている。
面積の約95%を山林が占め、林業や柚子の栽培などの農業、それを使った加工業が主な産業である。
剣山国定公園のエリア内にあるべふ峡など自然豊かな地区である。また、陰陽道や古神道の1つといわれるいざなぎ流が伝わる地域であり、平家の落人伝説も残っている。
香美市 経済
米・野菜・果樹等を生産。
主にスギ・ヒノキ。
香美市 地域
また、香美市には「香美市高等学校等奨学金の給付に関する規則」（大学・短大等含む）という給付型奨学金制度がある。
香美市 文化施設
以下は市有の文化施設
香美市立図書館かみーる
香美市立図書館物部分館
香美市立図書館香北分館（移転） - 旧建物は1930年（昭和5年）に旧美良布村信用販売購買利用組合の事務所として建設された鉄筋コンクリート造りでアールデコ調の2階建て。戦後、農協事務所となった後、1992年から旧香北町中央公民館別館図書室となる。やなせたかしの出身地であり1997年に分館2階に「アンパンマン図書館」が開設された。老朽化のため2021年8月末で休館し、2021年11月からは香美市基幹集落センター内に移転オープンすることになった。旧建物の活用や将来の分館新築は未定。
イセリアカイガラムシ
イセリアカイガラムシ （ Icerya 介殻虫、学名 Icerya purchasi ）は、オーストラリア原産のカイガラムシの一種。柑橘類栽培における農業害虫として甚大な被害を与えたことで知られるが、有力な天敵であるベダリアテントウの導入によって制圧され、農業上の被害はほとんどなくなった。ただし本種は非常な多食性で極めて多数の種の樹木に寄生するため、公園など天敵の少ない農地以外の場所では時に大発生することがある。和名はイセリヤカイガラムシと表記されることもあり、別名としてワタフキカイガラムシの名もある。
イセリアカイガラムシ 概説
雌成虫は樹木の枝に付着し、その姿は一見ではとても昆虫とは思えないものであるが、注意して観察すれば肉眼でも確認できる程度に発達した機能的な脚や触角を有しており、カイガラムシ上科に含まれる昆虫としてはまだ昆虫らしい方である。楕円形の形は赤っぽい前半部と白いロウ物質からなる後半部に分かれるが、真の虫体は前半部であり、後半部の白いロウ物質のほとんどは卵嚢である。そのため卵嚢を分泌しない幼虫では、後方のロウ物質がほとんどない。
ミカンなど柑橘類によくつくほか、ナンテンやモッコクなど寄生する樹木は300種にのぼる。原産地はオーストラリアであるが、世界的に広がっている。日本には明治40年代（1907年-1912年）に苗木について侵入したとされる。