hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
ホッジ予想 一般化
同値なことではあるが、H2k(X, Z) ∩ Hk, k(X) をトーション類で割ると、全ての類は整係数代数的サイクルのコホモロジー群の像 (image) となる。しかしこれも誤っている。Kollár (1992) は非代数的ではあるが代数的なサイクルの整数倍となっているホッジ類 α の例を見つけた。
ホッジ予想を自然に一般化すると次のように言うことができるであろう。
ホッジ予想のケーラー多様体のナイーブなバージョン X を複素ケーラー多様体とすると、すべての X 上のホッジ類は、X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合であろう。
この予想も楽観的すぎる。何故ならば、これを行うための豊富に部分多様体が存在するとは言えないからである。次の一つか二つの問題を問うことができる状況になっている。
ケーラー多様体のホッジ予想のベクトルバンドルのバージョン X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上のベクトルバンドルのチャーン類の有理係数の線形結合である。
ケーラー多様体のホッジ予想の連接層のバージョン X を複素ケーラー多様体とする。すべての X のホッジ類は X 上の連接層のチャーン類の有理係数の線形結合である。
ホッジ予想 一般化
クレール・ヴォワザン（Voisin (2002)）は、連接層のチャーン類がベクトルバンドルのチャーン類よりもより厳密なホッジ類を与えることと、連接層のチャーン類であってもすべてのホッジ類を生成するには不十分であることを証明した。結局、ケーラー多様体についてのホッジ予想で現在知られている定式化は、皆、誤りであることが判明している。
ホッジはさらに整数ホッジ予想よりも強い予想を立てた。X 上のコホモロジーが、余次元が c である部分多様体上のコホモロジーから来たコホモロジーであるときに、レベル c と呼ぶことにする。少なくともレベルが c であるコホモロジー類は X のコホモロジー類をフィルターにかけると、c 番目のフィルトレーション Nc Hk(X, Z) が次の式を満たすことが容易に分かる。
ホッジの元来のステートメントは以下であった。
一般化されたホッジ予想、ホッジのバージョン　次の式は等号が成立するであろう。
Grothendieck (1969) では、たとえ有理数係数の場合でも、これが正しくないことが認識されていた。何故ならば、右辺がいつもホッジ構造であるとは限らないからである。グロタンディークがホッジ予想を修正した形は、次の形である。
一般化されたホッジ予想 Nc Hk(X, Q) は、

に含まれる Hk(X, Z) の最も大きな部分ホッジ構造であろう。
このバージョンは未解決である。
ホッジ予想 ホッジ軌跡の代数性
ホッジ予想を支持する最も強い証拠は、Cattani, Deligne & Kaplan (1995) の示している代数性である。単連結な基底の上の X の複素構造を変形すると仮定すると、X のトポロジカルなコホモロジーは変わらないが、ホッジ分解は変化する。もしホッジ予想が正しければ、ファイバーのコホモロジーがホッジ類となっている基底上のすべての点の軌跡は、実際、代数的な部分集合、つまり多項式でカットした部分集合となっている。カッターニ (Cattani) とドリーニュ (Deligne) とカプラン (Kaplan) は1995年にホッジ予想を仮定することなしに、これらが正しいことを証明した。
菊地かまろ
菊地 かまろ（きくち かまろ、4月27日 - ）は日本の漫画家。岩手県出身。血液型A型。主に少女漫画を執筆している。
菊地かまろ 概要
1999年、小学館の少女誌『別冊少女コミック』の増刊号である『デラックス別冊少女コミック初秋の超!特大号』にて、「ブギースクール」でデビュー。以降、同誌およびその増刊号である『デラックスベツコミ』などを中心に読み切り中心の執筆活動を行っている。連載作品としては2005年から2006年にかけて『別冊少女コミック』に連載された『悩殺ロック少年』などがある。2009年10月に最新作となる単行本『東京ロック少年』が発売された。
2010年現在、『デラックスベツコミ』にて「悩殺ダンス少年」が読み切りにて2号連続で掲載されている。
菊地かまろ 作品リスト
※単行本はすべて小学館発行で巻数表示のない作品は単巻です。
湯殿山インターチェンジ
湯殿山インターチェンジ（ゆどのさんインターチェンジ）は、山形県鶴岡市田麦俣にある山形自動車道のインターチェンジである。
開通前は「田麦俣インターチェンジ」（たむぎまたインターチェンジ）と仮称されていた。
湯殿山インターチェンジ 料金所
当ICでは、庄内あさひIC迄の通行料金の精算を行う。
湯殿山インターチェンジ 隣
E48 山形自動車道
(9)月山IC - （月山道路経由） - (10)湯殿山IC - 庄内あさひBS - (11)庄内あさひIC
内村月子
内村 月子（うちむら つきこ、1949年5月18日 - ）は、日本の漫画家。岩手県紫波郡紫波町出身。主に成人女性向けの漫画雑誌などで執筆していた。
本名千嶋月子。
内村月子 概要
1971年、講談社の少女向け雑誌『別冊少女フレンド』にて「美しいいつわり」でデビュー。
『少女フレンド』やその増刊誌などでいくつかの作品を執筆した後、1970年代後半より主に同社の成人女性向け漫画雑誌である『ヤングレディ』や『BE・LOVE』、秋田書店のボニータなどにて1990年頃まで執筆していた。レディースコミックの先駆者の1人。
2008年、約20年ぶりとなる単行本『ライラックが薫るとき』（ジョーン・ホール原作）がハーレクインより発行された。
漫画家になったきっかけは、高校生の頃に友人に勧められてとのこと。
福留ハム
福留ハム株式会社（ふくとめハム、英: FUKUTOME MEAT PACKERS, LTD.）は、広島県広島市西区に本社を持つ中堅ハム・ソーセージメーカー。食肉も扱う。1919年創業。
近年は、慢性的な赤字経営が続いており、2019年3月期以来、営業赤字を計上し続けている。配当についても、2019年を最後に実施しておらず、無配が続いている。
2025年10月1日、株主優待制度を廃止し、2026年3月31日を基準日とする株主優待は行わないことが発表された。従来は、ソーセージなど5000円分の｢自社製品詰め合わせ｣を、3月末に200株以上保有の株主に贈呈していた。
2026年2月に広島工場内に本社を移転する予定。移転先は、広島県広島市安佐北区三入南1-7-20である。
「福」の字は正確には「しめすへん」を「示」のように書く。
福留ハム 提供番組
※:新型コロナウイルスの影響で提供自粛。終息次第スポンサー復帰。広島テレビのみ、テレビアニメの提供番組としては『トミカ絆合体 アースグランナー』や『マジカパーティ』の間はCMを穴埋めする形で放映されていた。
奥友志津子
奥友 志津子（おくとも しづこ、1956年4月1日 - ）は、日本の女性漫画家。岩手県遠野市出身。
現在は自らのブログ上で作品を発表している。
奥友志津子 来歴
1975年、集英社の少女誌『りぼん』増刊夏の号にて「ねじれた時間」でデビュー。初期は主に『りぼん』や『りぼん』増刊号などで読み切りを掲載後、秋田書店の少女雑誌である『ボニータ』や『ひとみ』を中心に連載していた。代表作は通巻5冊の単行本が発行された「ドリーマー」シリーズ。
奥友志津子 単行本リスト
※出版社の明記がない作品は秋田書店発行。巻数表示のないものは単巻。
ドリーマー ※シリーズ通巻5巻
パンサー ISBN 4-253-08096-0（1982年5月）
サニー・サイド ISBN 4-253-08097-9（1983年9月）
ミッドナイト・カーニバル ISBN 4-253-08098-7（1983年12月）
ドリーマー 全2巻
ISBN 4-253-08099-5（1984年12月）
ISBN 4-253-08100-2（1985年6月）
佐香厚子
佐香 厚子（さこう あつこ、1956年〈昭和31年〉11月23日 - ）は、日本の漫画家。岩手県宮古市出身、盛岡市在住。1977年、神奈川県立外語短期大学卒業。1977年、『週刊少女コミック』（小学館）の4月24日号に『いちごパフェでデート』が掲載されデビューする。
佐香厚子 概要
1977年、『ちゃお』（小学館）創刊号にて『雲にのったら』を発表し、以降『ちゃお』で読み切りを多数発表。小学館では『プチセブン』『プチコミック』『Judy』『フォアレディ』で長いことレディスコミックで描き続けた。小学館のマタニティ雑誌『P-and』『幼児と保育』、学年誌、『ミニレディ百科』シリーズ等、をはじめ、実用育児書　まで多岐にわたる。
その後　あおば出版、竹書房、ぶんか社、双葉社、秋田書店、で執筆。その後も『本当に泣ける話』『愛情物語スペシャル』等の再録雑誌で再録を繰り返している。
代表作は『はまぎく』、『よい子の味方スーパーシッター』、『同居なんて聞いてない!～大婆・小婆 三世代嫁物語～』、『もう怒鳴りたくない、ボクらの落書き』。
『3・11あの日を忘れない』シリーズの第5巻『ステップ!～3.11 宮古田老～』で、同級生の津波体験談を再現。『ばってん生きとっと！』等、障がいのあるお子さんを抱える家族のドキュメントも描いている。
佐香厚子 概要
2004年、安達祐実主演でTBS「愛の劇場」で『よいこの味方スーパーシッター』がドラマ化された。
45年間描き続け、作品数は多い。最新作はネット配信連載『太っちょ妊婦　移住する　シングルマザーの町』（2021年時点）。デジタル配信書店では、初期作品も配信されている。
作者本人の公式ホームページはアーカイブ閲覧のみとなっているが、漫画作品の掲載などの告知はブログやInstagram等のSNSから不定期に発信中（2024年7月時点）。
2024年1月1日、「これが最後の作品になると思います」と作者本人より予告があり、同年4月・小学館のWeb配信レーベル『フラコミlike!』に於いて、長崎県で遺伝子疾患・ヤコブセン症候群患者として生まれた少女・沙里の実話を元に、新たな患者仲間を得ながら生きる家族の物語『ばってん今！！生きとっと』（原案：福山敦子）を描き、全4話の短期連載が配信された。
佐藤智一
佐藤 智一（さとう ともかず、1958年12月17日 - ）は、日本の漫画家。岩手県東磐井郡川崎村（現：一関市）出身。
佐藤智一 来歴
川崎村立薄衣小学校、川崎村立川崎中学校（現：一関市立）、岩手県立千厩高等学校を卒業後、平松伸二とコンタロウの下で4年間のアシスタントをしたのち、1978年『一狂はん』で第9回赤塚賞佳作を受賞。同年、『週刊少年ジャンプ』8月21日号（集英社）に掲載されてデビュー。
代表作である『壁ぎわ税務官』は、フジテレビ系列金曜エンタテイメント枠にてテレビドラマ化された。『ゴーストママ捜査線』は、2012年7月期に日本テレビ系列で連続ドラマ化された。
公安
公安（こうあん）
公安を冠する機関
公安警察 - 警察庁や各都道府県警察におかれる警備警察部門
警察庁警備局公安課
警視庁公安部
公安機動捜査隊
各道府県警察本部警備部公安課
国家公安委員会 - 日本の内閣府の外局（行政委員会）
都道府県公安委員会 - 日本の各都道府県の行政委員会
公安調査庁 - 日本国法務省の外局
公安検察 - 検察庁公安部
公安審査委員会 - 日本国法務省の外局
鉄道公安 - 日本国有鉄道におかれた組織（現鉄道警察隊）
海上公安局 - 海上保安庁を改組して設置する予定だったが実現せず
中華人民共和国公安部 - 中華人民共和国の治安官庁
中国公安辺防海警部隊 - 現中国海警局
公安局 - 中国でいう役所
公安委員会 (フランス革命)
ニール・バレット
ニール・バレット（Neil Barrett、1965年 - ）はイギリス・デヴォン生まれのファッションクリエイター。また、彼の持つファッションブランドである。現在「NeilBarrett」、「NeilBarrett Shirts」、「NeilBarrett Indigo-Collection」、「BlackBarrett By NeilBarrett」を手がける他、
Pumaの「96hours」も手がけている。
ニール・バレット 略歴
1965年にイギリスのデヴォンにて3代に渡りテーラー業を営んできた家庭に生まれる。
1986年にセントラル・セント・マーチンズを卒業し、メンズファッションデザインの学位を取得。
1989年にロイヤル・カレッジ・オブ・アートを卒業し、メンズファッションデザインの修士号を取得。この時の卒業コレクションがグッチの目に留まり、同年に同社のメンズウェアのシニアメンズデザイナーに就任し、以後5年間務める。この間、トム・フォードのメンズデザインチームで経験を積む。
1994年にグッチからプラダに移籍。同社が立ち上げたメンズウェアコレクションのデザインディレクターに就任。4年間務める。
1998年にはサムソナイトのアクティヴウェアデザイナー就任。また、同年にミラノにて自身の会社「White srl」設立。
1999年には自身の名を冠したシグニチャーブランド「Neil Barrett」をミラノメンズコレクションで発表。
ニール・バレット 略歴
2000年には「NeilBarrett」にてレディースウェアを発表。
2001年には世界初となるフラッグショップを東京都青山にオープン。
2002年にはミラノのメンズコレクションにおいてランウェイデビュー。また、同年にはプーマ社に参加し、スポーツシューズ「プーマ・バイ・ニール・バレット」を展開。翌2003年には同社テクニカルコレクションのクリエイティブディレクターに就任。「96hours」のデザイナーも務める。
2006 FIFAワールドカップではサッカーイタリア代表チームのユニフォームデザインを手がけ、また、映画「スパイダーマン2」への衣装協力も行った。
2007年の秋に、ニール・バレットのセカンドライン「ブラックバレット・バイ・ニール・バレット」を立ち上げる。
ニール・バレット デザインの特徴
トラッドをベースにスポーティや機能性を付随させたデザインが得意である。また、作品のテーマとして、相反する要素の融合をテーマにしていることが多い。彼自身も公言するようにフィット感や着心地をとても重視しているブランドである。
香川県立丸亀城西高等学校
香川県立丸亀城西高等学校 （かがわけんりつ まるかめじょうせいこうとうがっこう）は、香川県丸亀市津森町に所在する公立の高等学校。通称は「城西」。丸亀城に程近い南南西に位置する。前身は、香川県立丸亀商業高等学校。2005年度より普通科のみの募集となり、総合選択制（人文社会、人間科学、国際教養、商業、理数科学）の普通科高校として再編された。現在はコース選択制(普通科(文理クラス、理数クラス、文系クラス)、商業クラス)　校歌は山田耕筰が作曲している。
香川県立丸亀城西高等学校 設置課程
文理クラス(特進) 　理数クラス　文系クラス　
商業クラス
香川県立丸亀城西高等学校 部活動
選抜高等学校野球大会 出場9回
全国高校野球選手権大会出場5回
全国高等学校バスケットボール選抜優勝大会　女子出場2回
全日本マーチングコンテスト-R5年四国大会出場
全国高等学校総合文化祭-R6年岐阜総文マーチング・バトントワリング部門-R7年かがわ総文マーチング・バトントワリング部門出場
インターハイR5年男子団体ベスト32・個人5位　
紫灘旗全国遠的大会R5年男子団体2位、女子団体3位など
全国高等学校ビジネス計算競技大会R5年出場
1999年 - 全国高等学校クイズ選手権全国大会出場
ファイサル (サウジアラビア王)
ファイサル・ビン・アブドゥルアズィーズ・アール・サウード（アラビア語: فيصل بن عبد العزيز آل سعود, ラテン文字転写: Faisal bin Abdulaziz Al Saud、アラビア語発音: [fajsˤal ben ˈʕabd alʕaˈziːz ʔaːl saˈʕuːd]、1906年4月14日 - 1975年3月25日）は、第3代サウジアラビア国王（在位：1964年 - 1975年）。ワッハーブ派イマームとしてはファイサル2世と呼ばれる。
ファイサル (サウジアラビア王) 生涯
初代国王アブドゥルアズィーズ・イブン・サウードの3番目の息子として、リヤドで生まれた。母はムハンマド・イブン・アブドゥルワッハーブの子孫。1925年に、軍隊を指揮してヒジャーズ王国侵攻で決定的勝利を得、翌年ヒジャーズの知事に就任する。サウジアラビア王国が正式に建国された後、1932年に外務大臣に就任した。
パレスチナを国連が分割した後に、父王にアメリカとの国交断絶を呼びかけたが却下された。兄サウード国王の健康が衰えたとき、1964年3月4日に摂政に任命された。同年11月2日に即位した。
首相時代の1962年11月26日に、内政の基本政策として次の10カ条からなる布告を発表した、この理念は後に実質的な憲法となる基本統治法に受け継がれている。
即位後は女性が教育を受けることを許可して女学校を設立したり、1965年からテレビ放送を開始するなど近代化改革を導入したが、これらの改革は多くのサウジアラビア人の反対に遭った。
1966年に甥にあたるハーリド王子が仲間を引き連れてテレビ放送を止めさせるためにテレビ局を襲撃するという事件が発生すると、保安部隊に追い詰められてテレビ塔に登ったハーリド王子の射殺命令を出した。1967年には右腕で弟のファハド・ビン=アブドゥルアズィーズを初代第二副首相に任命した。
ファイサル (サウジアラビア王) 生涯
1969年にファイサル国王はイスラム諸国会議機構を結成して事実上のイスラム世界の盟主となり、1973年の第四次中東戦争ではアラブ石油輸出国機構や石油輸出国機構を主導して価格を4倍にして、世界市場からサウジアラビアの石油を引っ込めた。この結果、世界的な石油危機が発生した。同年12月10日、日本から中東特使としてサウジアラビアに派遣された三木武夫を迎え入れてファハド第二副首相とともに会談し、日本を友好国扱いにして対日石油供給制限を解除した。また、1974年にはサウジアラビアを訪問したアメリカ合衆国大統領のリチャード・ニクソンやヘンリー・キッシンジャー国務長官と会談してサウジアラビアがドル建て決済で原油を安定的に供給することと引き換えにアメリカ合衆国が安全保障を提供する協定（ワシントン・リヤド密約）を結んでオイルダラーを確立した。
その宗教的・経済的な影響力から、1974年にはタイム誌のマン・オブ・ザ・イヤーに選ばれた。
ファイサル (サウジアラビア王) 生涯
1975年3月25日、甥のファイサル・ビン・ムサーイド王子によって射殺された。
ムサーイド王子は、ファイサル国王に会うのを待っていたクウェートの代表団と共にいた。ファイサル国王が彼らに挨拶するために前屈みになったとき、ムサーイド王子はピストルを抜き、ファイサル国王の顔面を3回撃った。直後にムサーイド王子は捕らえられ、精神疾患だったと公式に発表された。彼は後に大逆罪で有罪を宣告され、1975年6月18日にリヤドの公共広場で斬首刑に処された。
ムサーイド王子は、1965年に保安部隊との衝突で死んだ兄のハーリド王子の敵を討ちたがっていた、と推測された。陰謀説もいくつかあったが、調査によって、ムサーイド王子の単独行動だと断定された。
ファイサル国王のあとの王位は、ファイサル国王の弟のハーリドが継いだ。
ファイサル (サウジアラビア王) 逸話
パキスタンのライアルプール市は1979年にファイサラーバードに改名された。また、首都イスラマバードにある近代的なモスクは、ファイサルにちなんでファイサル・モスクと名付けられている。カラチの主要高速道路はファイサルに改名され、ジンナー国際空港の近くの住宅地域はシャー・ファイサル・コロニーに改名された。
第二次世界大戦終結から間もない1953年にイギリスで開催されたエリザベス2世の戴冠式において、日本から出席した皇太子明仁親王には末席が用意されていた。王子として同じく式に出席していたファイサルはそれを見かねて最前列の自分の席の近くに呼び寄せた。ファイサルは国王即位後の1971年に日本に国賓として招かれている。
岡山県立備前緑陽高等学校
岡山県立備前緑陽高等学校（おかやまけんりつびぜんりょくようこうとうがっこう）は、岡山県備前市西片上にある公立の高等学校である。通称は「緑陽（りょくよう）」。
岡山県立備前緑陽高等学校 概観
当校は、2003年（平成15年）に岡山県東部の東備地域において少子化の影響で生徒数が減少していた岡山県立備前高等学校と岡山県立備前東高等学校を統合し誕生した、県立の総合学科高校である。
2学期制・単位制を採用し、総合学科として普通科科目から商業科・工業科・家庭科などの実業系科目まで幅広い講座を設けている。「人文社会系列」・「自然科学系列」・「総合技術系列」・「健康福祉系列」・「伝統工芸系列」の5系列に分かれており、生徒は2年次進級時までに選択する。また、国公立大学や医療系専門学校への進学を目指す生徒のために特別進学コースを設置している。その他、生徒に対し、部活動への積極的加入を促している。
なお、当校の敷地は岡山県立備前高等学校のものを継承しており、備前市立片上高等学校（定時制課程・夜間部）が併設されている。
岡山県立備前緑陽高等学校 概観
教育方針として、以下を掲げている。
生徒向けのスローガンとして「自己発見・自己実現（Individual path&goals）」を掲げている。
社会人として身につけておくべき規律や態度を育てるため、「緑陽スタンダード」と称した校内ガイドラインが策定されている。また、国公立大学・医療系専門学校への進学に対応した「特別進学コース」を設け、2年次から数学・英語の授業において特別クラスを編成している。さらに、土曜日補習授業や放課後特別補習、外部講師による特別授業などの取り組みを行っている。備前焼で有名な備前市の地域性を踏まえた「伝統工芸系列」が設けられているなど、特徴的な教育が実施されている。
岡山県立備前緑陽高等学校 沿革
ここでは、当校創立にあたり母体となった岡山県立備前高等学校および岡山県立備前東高等学校の沿革を含めて記す。
岡山県立備前緑陽高等学校 部活動
アーチェリー部やボート部、レスリング部などが中国地区大会・全国高等学校総合体育大会をはじめとした全国大会に出場を果たしている。また、溶接部も中国地区大会に出場している。
運動部
文化部
同好会
関川代二郎
関川 代二郎（せきかわ だいじろう、天保9年（1838年） - 明治42年（1909年）は、幕末の武士（桑名藩士）、新選組隊士、明治時代の警察官（警視庁抜刀隊・新撰旅団員）。代次郎、代治郎とも。
関川代二郎 経歴
戊辰戦争時、桑名藩士・森常吉などと共に、同藩主・松平定敬を護衛して蝦夷地へ渡り、土方歳三配下の新選組に入隊して箱館戦争に参戦した。なお、蝦夷地へ渡航するためには新選組隊士とならなければならなかった。
敗戦後、警視庁に就職。西南戦争の際には、藤田五郎（斎藤一）らと同じく警視隊に所属して奮戦した。その後、三重県警察部尾鷲警察署の巡査となり、退職後も商社などの警備員を引き受けていた。背に髑髏の刺繍が施された陣羽織を着ていたらしい。
酒好きで、酔っぱらうと箱館戦争のことをよく話した。最後には必ず「土方歳三は本当にええ男やった」としみじみ語ったと言う。
明治42年（1909年）、三重県桑名市の自宅で死去。享年71。墓所は桑名市の善西寺。
濱野美奈子
濱野 美奈子（はまの みなこ、1969年6月28日 - ）は、主にゲームミュージックを手掛ける日本の作曲家。任天堂企画開発本部企画開発部所属。京都府生まれ。
主に山本健誌らとのメトロイドシリーズや脳トレシリーズなどの作曲を手掛ける。
牧野忠精
牧野 忠精（まきの ただきよ）は、越後長岡藩の第9代藩主。長岡藩系牧野家宗家10代。第8代藩主・牧野忠寛の長男。老中を務めた、寛政の遺老の一人。
牧野忠精 生涯
宝暦10年10月19日（1760年11月26日）に生まれる。明和3年（1766年）、父の死去により6歳で家督を相続する。高野余慶に学問を学び、家老・山本精義が補佐する。治世当初、新潟明和騒動が起こる。明和6年（1769年）に長岡城内にあった牧野忠辰を祭神する蒼柴神社の移転工事を決定して城東の山林の開拓を行い、天明元年（1781年）に完成し、社地の三官山を悠久山と改名する。
長男の忠鎮が松平定信の縁戚に当たることから、奏者番、寺社奉行、大坂城代、京都所司代、老中など要職を歴任した。また京都所司代時代は伊藤東所に学ぶ。
宝暦3年（1753年）に失っていた長岡船道の信濃川運送特権を川筋の諸藩と協議した末、天明8年（1788年）に回復する。
文化5年（1808年）藩校崇徳館を開校し、文化12年（1815年）に古文辞学を修めた秋山景山や古義学者で藩に招いた伊藤東岸を藩校の校長職である都講に任命する。
文化15年（1818年）2月から村上藩と共同で三潟付近の排水工事と新水路掘削工事を行い、出雲崎代官の異議を押さえて文政3年（1820年）に完成させて、238町歩の水腐地の良田化と2,600石余りの新田開発に成功する。
牧野忠精 生涯
しかし一方で、先代に引き続き災害に見舞われ、長岡藩政史上でも損害が大きい洪水が天明元年と寛政元年（1789年）に起こり、2度とも長岡城が浸水し、天明期には藩内の流家・潰家840件、寛政期の洪水では流家・潰家585件及び6万6,000石以上という、表高の9割、実高の半分以上の米穀損害高を出し、天明4年（1784年）の大飢饉（天明の大飢饉）、文政11年（1828年）11月12日の三条地震では長岡城の施設の大破、城下潰家220件、郷中潰家3,522件、田畑荒廃955町歩余り、死者442人などの被害が出、その翌年には大風で城内破損35箇所、家屋倒壊162戸などの被害を受けている。
また、治世中の藩邸の所在が変更されることが多く、文政年中に3つあった江戸藩邸下屋敷のうち1つを手放し、家督相続当初は西之窪にあった上屋敷を西の丸下、小川町、日比谷御門下、大名小路の順に移転している。
天保2年7月10日（1831年8月17日）に死去した。享年72。
牧野忠精 家臣
《老中辞任中の文政8年刊行の武鑑での掲載内容》
【家老など】
稲垣平助、山本勘右衛門、牧野市右衛門、牧野平左衛門、稲垣太郎左衛門（定府）、牧野頼母、牧野隼之助
【中老】
倉沢又右衛門、槇内蔵助、毛利幾右衛門（定府）、今泉主悦、名児那寛左衛門（定府、城使兼務）
【用人】
長尾五郎太夫、深沢三郎兵衛、菅沼助八郎（定府、附兼務）、安田渡、九里隼人、柿本庄右衛門
【城使】（兼務者除く）
能勢記内
【添役】
倉沢主鈴
【附】
（菅沼助八郎以外の掲載者なし）
《老中再任時の文政11年刊行の武鑑での掲載内容》
【家老など】
稲垣平助、山本帯刀、牧野市右衛門、牧野平左衛門、稲垣太郎左衛門（定府）、牧野頼母、牧野隼之進
【中老】
柿本五左衛門、倉沢又右衛門、槇内蔵助、毛利幾右衛門（定府）、今泉岡右衛門、安田多膳（定府）、深沢三郎兵衛（定府）、萩原要人
【用人】
九里孫左衛門、根岸弥次右衛門、倉沢仁輔（定府、公用人兼務）、池田小左衛門（定府、公用人兼務）、菅沼助八郎（定府、附兼務）、小林儀右衛門（定府）、柿本庄右衛門
【附】
（用人の菅沼助八郎以外の掲載者なし）
【公用人】
（用人と兼務している者を除く）
長尾五郎大夫（定府）、毛利沖之進（定府）
バティニョールおじさん
『バティニョールおじさん』(Monsieur Batignole)は、2002年公開されたフランス映画。製作・脚本・監督・主演：ジェラール・ジュニョ、出演：ジュール・シトリュック他。
独軍占領下のフランスの微妙な立場を、平凡な市民である主人公に重ね合わせて、ナチ・仏当局・レジスタンス・ユダヤ人迫害などの政治状況の間で翻弄される様を描く。
バティニョールおじさん あらすじ
舞台は1942年ナチ占領下のフランス。お人好しの中年男バティニョールは惣菜屋を営んでいたが、ナチに協力的な娘婿の策謀で、隣家のユダヤ人のバーンスタイン一家の摘発に関わってしまう。それがきっかけとなり、ドイツ軍とも親密になり、ユダヤ人家族の豪華なアパートまで手に入れたパティニョールだったが、それを場違いと感じる彼は、他の家族と違い新しい生活に馴染めないでいた。そんな中、ドイツ将校を招いたパーティーの最中、バーンスタイン家の息子のシモンが1人逃げ帰ってきた。バティニョールは彼を屋根裏部屋にかくまうことにしたのだったが…。
ジョージ・ワシントン・ゲイル・フェリス・ジュニア
ジョージ・ワシントン・ゲイル・フェリス・ジュニア（George Washington Gale Ferris, Jr.、1859年2月14日 - 1896年11月22日）は、アメリカ合衆国の技師であり、現在普及している機械式の観覧車の発明者である。
イリノイ州ゲイルズバーグ生まれ。彼は1881年にレンセラー工科大学で、土木工学の学位を取った。その後、彼は鉄道業界に進む。橋梁の建設に興味を持ったためで、後にペンシルベニア州ピッツバーグでレールと橋、そして建築資材用金属の調査・検査を行うための企業であるG.W.G.Ferris社を設立した。
ジョージ・ワシントン・ゲイル・フェリス・ジュニア 観覧車の発明者として
彼は現代の観覧車の発明者として、とても有名である。世界初の機械式の観覧車「フェリス・ホイール」は、1893年のシカゴ万国博覧会で建設された。1889年に行われたパリ万国博覧会のために建設されたエッフェル塔に対抗する試みだった。
観覧車は英語ではFerris Wheelというが、Ferrisは彼の名前に由来している。
Ubuntu
Ubuntu（ウブンツ、ウブントゥ、[ʊˈbʊntuː] ( 音声ファイル); oo-BOON-too）はDebian GNU/Linuxを母体としたオペレーティングシステム（OS）である。Linuxディストリビューションの1つであり、自由ソフトウェアとして提供されている。カノニカルから支援を受けて開発されている。開発目標は「誰にでも使いやすい最新かつ安定したOS」を提供することである。
Ubuntu 特徴
Ubuntuは使いやすさを重要視している。例えばアプリケーションの観点では、標準的なシステムツールに加えて写真編集ツールのShotwell、オフィススイートのLibreOffice、インターネットブラウザであるMozilla Firefox、メッセンジャEmpathy等が標準で組込まれている。数独やチェスなどのカードゲームやパズルゲームも同梱されている。
セキュリティの観点では、特にLinux入門者を考慮し全権限を持つrootでのログインは標準では無効になっておりsudoを利用する。また最初からすべてのポートを閉じている。アクセシビリティと国際化にも力をいれており、5.04からはUTF-8が標準の文字コードとなった。
Ubuntu 特徴
名称は南アフリカのズールー語の言葉で「他者への思いやり」を意味するウブントゥに由来する。カノニカルの創業者は南アフリカ生まれでイギリス市民権を持つマーク・シャトルワースである。
現在のユーザインタフェースは橙色を基調としたYaruと呼ばれる。ロゴのフォントはイギリスのフォント制作会社Dalton Maag Ltd.の Ubuntu Font Family である。最初のリリースから9.10（Karmic Koala）までは、Andy Fitzsimonが作成したフォントUbuntu-Titleが使われていたが、10.04（Lucid Lynx）からUbuntu Font Familyが使われている。
Ubuntu デスクトップ環境
現在の標準デスクトップ環境はGNOMEである。以前はGNOME パネルが利用されていたが、GNOME 3のリリースと同時期の2011年4月に独自のUnity (ユーザインタフェース)に変更された。その後、Ubuntu 18.04（2018年4月26日公開）からGNOMEに戻ることが発表され、Ubuntu 17.10から再びGNOMEが採用されている。
他のデスクトップ環境を採用した派生ディストリビューションとして、Kubuntu、Xubuntu、Lubuntuなどがある（Unity時代はUbuntu GNOMEも存在した）。
Ubuntu Serverでデスクトップ環境を利用したい場合、APTのメタパッケージ機能を利用して"ubuntu-desktop"を導入することで実現できる。
Ubuntu 評価
ユーザーエージェントによるとインターネットトラフィックの0.5%から0.65%の割合を占めており、Webクライアントの中で最も人気のあるLinuxディストリビューションである。マーク・シャトルワースによると、2006年末までに少なくとも800万人のユーザがいる。カノニカルのChris Kenyonによると2010年4月時点で1200万を超えるユーザーがいた。
サーバー版に関しても、WikipediaをホスティングするWikimedia財団が採用するなど、大規模な採用者も増えている。W3Techsの調査では、2011年6月トラフィックの多いサーバー間のシェアではRHEL(Red Hat Enterprise Linux)を超えた。日本では、北海道夕張市や大阪府箕面市などが、Ubuntuおよびその派生ディストリビューションを導入した。
Ubuntu 評価
DistroWatchはオープンソースのOSを紹介しているサイトである。各OSのページ閲覧数を掲載しており、2010年までの数年連続でランキング1位を獲得したが、2018年8月現在は3位である。順位がLinux Mintに抜かれた原因は、11.04から標準採用されたUnityがユーザーに不評だったためだという見解もある。その一方で、Google Trendsの変化は大きくなく、占有率が減少したと決めつけられないという見方もある。Distrowatchの閲覧数ランキングは導入媒体のISOファイルのダウンロード数や実稼動マシン数とは相関性がない。2019年現在、MX Linux、Manjaro Linux、Linux Mint、および Debian GNU/Linux の後塵を拝した状況である。
フリーソフトウェア財団の元会長のリチャード・ストールマンは、Ubuntu 12.10からUnity Lens検索に標準導入されたAmazonの商品検索を使うことにより、検索クエリやIPアドレスがCanonicalのサーバーを通ってしまうことを指摘し、「まるでスパイウェアである」などと批判、利用を控えるように主張した（自由やプライバシを侵害する事柄へのストールマンの批判はUbuntuに限らない）。マーク・シャトルワースは自身のブログで反論した。16.04のUnity Lens検索からは、標準では無効になった。
Ubuntu Debianとの関係
UbuntuはDebian GNU/Linux を母体に開発されている。Debian派生ディストリビューションの中にはプロプライエタリソフトウェアやクローズドソースを追加しているものもあるが、Ubuntuは以前、なるべくフリーなソフトウェアを使うことを方針としていたため、Debian の思想に近い位置に立つように努めていた。しかしながら、現在は利便性を考慮してかプロプライエタリなドライバやソフトウェアを標準で組込んでいる。
パッケージは基本的にDebianの不安定版(Sid)を元に作られている。Debianと同様にパッケージファイル形式としてdebを、管理システムとしてAPT/Synapticを使うことができる。ただし両者の「バイナリ互換性」は保証されていない。Ubuntuによる変更点は、Debianのソースパッケージに対するパッチとしてアーカイブする仕様になっている⁠。
Ubuntu 歴史
Ubuntuは、2004年10月20日にDebian GNU/Linuxから派生したOSである。
現在、Ubuntuコミュニティはカノニカルから資金提供を受けている。2005年7月8日、マーク・シャトルワースとカノニカルはUbuntu財団を創設し、初期投資として1000万USドルを提供したと発表した。財団の目的は今後公開されるバージョンも含めたUbuntuのサポートと開発を保証することである。2006年現在財団は休眠状態にある。この不透明な状況をマーク・シャトルワースは、財団はCanonicalに不測の事態が起きたときの緊急財源であると説明している。
Grumpy Groundhog（気難しいウッドチャック）というコードネームを持ったブランチが計画されている。これは常に不安定な開発・テスト版であり、Ubuntuの一部として含まれる予定のプログラムやアプリケーションをバージョン管理システムから直接ソースコードを取得、修正できる。パワーユーザや上流開発者はパッケージを実際にビルドすることなく最新版プログラムをパッケージ化されたような状態でテストでき、各アーキテクチャ向けのパッケージ化の問題を早期に得られる。Grumpy Groundhogは6か月ごとにDebian Unstableにマージされることになっている。Grumpy Groundhog はまだ公には利用可能とはなっていない。
Ubuntu 歴史
2008年9月5日、DELLが発表したミニノートPC「Inspiron Mini 9」はUbuntuを選択できた。2009年8月27日にシャープが発表したスマートブック「NetWalker」には、Ubuntu 9.04が組込まれ発売されていた。
2022年5月11日、Microsoft StoreにおいてWindowsのWSL用の開発版Ubuntuの提供を開始した。
Ubuntu 公開
公開ごとにバージョン番号とコードネームが存在する。バージョン番号は公開時の年と月から作られる。2004年の10月20日に公開されたWarty Warthogのバージョン番号は4.10である。近年のコードネームは動物の名前がアルファベット順で付けられている。
半年ごとに公開が行われる。OSとしては比較的頻繁である。公開月は通常4月、10月である。GNOMEの公開からおよそ1か月後になるように設定されている。これにより最新版のGNOMEを同梱できるようになる。Ubuntu開発者サミット（UDS）が新版開発前に開催され、世界中の開発者が機能や改善すべき点の大まかな検討をする。
バザール方式という開発方針を採用している。中心となるシステムはLaunchpadである。Ubuntu行動規範に従う限り、全ての人が翻訳や開発に貢献することができる。
暫定リリース版と長期サポート版があり、サポート期間が異なる。有償サポートはUbuntu Proの名称で提供されている。長期サポート版は標準サポート（5年）、拡張セキュリティメンテナンス（次の5年）、レガシー・サポート（その次の2年）と続く。
暫定リリース版
Ubuntu 公開
暫定リリース版（interim release）のサポート期間は公開から9ヶ月である。半年ごとに更新しなければならないが、新しい機能を望むユーザーに向いている。13.04以前は暫定リリース版のサポート期間は18ヶ月であったが、管理コストを削減するために現在の9ヶ月に短縮された。
長期サポート版（LTS）
長期サポート版（Long-term Support＝LTS）は2年間隔で最新版を公開しており標準サポート期間は公開から5年間。サポート期間も長いため安定を望むユーザーに向いており、Ubuntuの調査では95%のマシンがLTS版を使用している。12.04以前はLTSのサポート期間はデスクトップ向けのみ3年であったが、現在はデスクトップ向けもサーバー向けも5年となっている。
拡張セキュリティメンテナンス（ESM）
Ubuntu 公開
Ubuntu Proの名称（旧称Ubuntu Advantage）でカノニカルが有償でサポートを提供している。電話やウェブを通じた問合せ窓口の提供と、標準サポート期間が終了したLTS版に対する拡張セキュリティメンテナンス (Extended Security Maintenance＝ESM) を提供している。個人ユーザーの場合は5台まではUbuntu Proを無償で利用可能で（公式Ubuntuコミュニティ・メンバーの場合は50台）、拡張セキュリティメンテナンス（ESM）も無償で利用可能。各種パブリック・クラウドでもインスタンス代金に上乗せする形でUbuntu Proが利用可能。通常のサポート終了後の拡張セキュリティメンテナンス期間は12.04は2年間だったが、14.04以降のLTS版は5年間となったため標準サポート期間・拡張セキュリティメンテナンス期間・レガシーサポート期間を合わせて合計15年間となる。
レガシー・サポート
拡張セキュリティメンテナンス（ESM）が終了後の5年間は、レガシー・サポート（Ubuntu Pro with Legacy Support add-on）が続く。Ubuntu 14.04からの長期サポート版で利用可能。価格はUbuntu Proに50%の上乗せになる。
公開日、サポート期限の状況は、wiki.ubuntu.comに掲載されている。
LTSの公開後から一定期間内に提供されたパッケージの更新をLTS導入媒体に適用する。Windowsのサービスパック適用済み媒体に似ている。LTSの場合は安定性の面でポイントリリース1から順次適用するのが推奨されている。
Ubuntu 導入
2024年現在、CPUはx86_x64、ARM、RISC-V、IBM Power、IBM Zに対応している。サーバー版では8.04より前のバージョンでSPARCも対応していた。非公式なPowerPC版（7.04以前ではPowerPCに公式対応していた）やIA-64（Itanium）版、プレイステーション3版もある。Ubuntu 18.04以前はx86に対応していたが、18.10以降は非対応となった。
デスクトップ版
良いパフォーマンスが得られる「推奨最低環境」は以下の通り。これ以下の低スペックでもXubuntuやLubuntuを利用すれば、必要なメモリやディスク容量は少なくて済む。
サーバー版
標準的な導入で必要機能全てが揃うように設計されている。導入媒体はLive DVDとなっており、HDD等への導入と試用の両方ができる。導入前に使用予定の機種が適合しているかを確認できる。Windows環境からの移行に対応されており、お気に入り、壁紙、設定などを簡単に移行できる。
Ubuntu 導入
isoイメージは公式サイトからダウンロードする。イメージ書き込みツールを用いてDVD/USBに書き込む事でLive DVD/USBを作成できる。Live USBはUnetbootinやUbuntuにプリインストールされている「スタートアップ・ディスクの作成」で作成できる。オープンソースカンファレンスなどの会場に行くことでDVDを入手することが可能なこともある。
また、DISCなどから起動できるため、何らかの理由でwindowsが起動できなくなった際、（ただし、HDDなどが壊れていないことが条件）ファイルを救出するなどの用途で使われることがあり、その方法を記した本の付録としてUbuntuのISOイメージがDVD付録として付いてくることがある。
複数PCへの一斉導入や低スペック環境も考慮し、PXEなどのネットワーク起動での導入にも対応している。標準ではTUIでの導入が可能であり、導入時には必要な環境構成を選べる。
ShipItと呼ぶインストールCDを無償送付するサービスを2005年から提供していた。メールで送付先を送るだけで注文することができた⁠。2009年10月に採算上の理由から初めて注文する場合に限り無料となり、それ以降は5枚1組、税抜き送料別で5ポンドで販売することとなった。2011年4月、ShipItは利用できなくなった。
デスクトップ版
Ubuntu 導入
デスクトップ版では、一般的にx64の導入用DVDが提供される（Ubuntu 18.04以前はx86用も提供していた）。GUIによる導入が行われる。特殊用途向けに Alternate CD 版もあったが、デスクトップイメージの利便性を向上する目的で12.10から廃止となった。
Wubi (Windows-based Ubuntu Installer) と呼ばれるWindowsと共存する環境構築を行うソフトウェアがあり、バージョン8.04から標準搭載されていた。Windowsファイルシステム内に導入できるので、パーティションの切り分けやフォーマットの必要がなく、既存環境を損なうことなくUbuntuを導入/消去できた。バージョン11.10日本語Remix以降には、Localized CD Image toolsの都合により収録がされていない。14.04を最後にWindows 8との整合性に欠ける事、UEFIに対応できていない事などから公式対応が打ち切られた。非公式に開発が続けられている。
サーバー版
サーバー版にはLive機能はなくTUIによる導入のみとなっている。導入後はCUI上でsudo apt-get install ubuntu-desktopを使用してGUIも導入できる。
Windows Subsystem for Linux
2016年4月、Windows 10 Fall Creators UpdateよりLinuxサブシステムとしてUbuntuが動作することが発表された。
Ubuntu パッケージ・ソフトウエア
全てのパッケージ・ソフトウェアをライセンスやサポートレベルによってコンポーネントと呼ばれる以下の4種類に分けている。
自由ソフトウェアにはUbuntuライセンスポリシーに適合したソフトウェアのみが含まれる。これはほぼDebianフリーソフトウェアガイドラインに沿っている。Mainにはいくつかの警告がある。それは「作者の許諾を得ることなく修正のできないバイナリファームウェアや特定フォント」が「再配布を妨害されない限り、Mainの中に含まれてしまうかもしれない」というものである。フリーでないソフトウェアは基本的にサポートされない（Multiverse）。ただしビデオカードドライバのようなバイナリでのみ配布されるデバイスドライバなどは別である（Restricted）。これらは開発者がソースコードを読むことができないので、Mainに比べるとサポートのレベルは落ちる。
MainとRestrictedパッケージは一般的なLinuxの利用に必要なソフトウェアが全て揃うように選ばれている。同じような機能を持ったプログラムやそれほど重要でない特定の用途のプログラム等はUniverseやMultiverseに配置される。
Ubuntu パッケージ・ソフトウエア
Ubuntu Backportsという公式のリポジトリがある。これは特定のソフトウェアに対して不安定版でのみ利用可能な最新版をバックポートするための公式プロジェクトである。これは大局的に管理されているわけではなく、利用者からの要求に対して一定の品質を満たしさえすれば、そのパッケージがバックポートされる。
スクリーンショットを見れば一目瞭然だが、公式ブラウザはFirefox、公式メールクライアントはThunderbirdということになっている。
サードパーティーのソフトウェアを認証するシステムがある。認証を受けたプロプライエタリソフトウェアは動作保証がされる。Ubuntu 21.10以前は、再配布が禁止されているプロプライエタリソフトウェアでもカノニカルとの契約によってpartnerリポジトリからダウンロードできるものがあった。例えばアドビのFlashプラグインや、マイクロソフト（旧：Skype Technologies）のSkypeである。しかし、含まれるパッケージ数の減少から22.04以降ではこのリポジトリは削除された。
Ubuntu 派生品
主なものは、Ubuntuの派生品一覧に掲載される。
これらはUbuntuと異なるパッケージを導入するだけであるが、それらのリポジトリはUbuntuと同じである。お互いに全く同じパッケージを使え、それぞれのデスクトップ環境を共存させられる。
Ubuntuの派生品一覧に載っているものの一部は、カノニカルのコントロールを離れ、独自の目的をもった別プロジェクトである。
公式から外れた派生品一覧に掲載。
次のような複数の非公式な派生物がある。これらのプロジェクトの中には、Ubuntuと密接に関わり、Ubuntuと同時に開発・公開され、パッケージはUbuntuと同じ公式リポジトリを利用しているものもある。
非公式派生品一覧に掲載。
※原則、DistroWatchのほかSourceforgeやOSDN、雑誌、他言語版を含めWikipediaに記事が存在しないものは掲載しない。
Anonymous-OS
匿名のハッカー集団・Anonymousと名乗る人物が開発したディストリビューション。マルウェアであるとの指摘もある。
Aurora OS
eeeUbuntuの後継。カノニカルからの公式サポートから離脱したため改名した。
ChaletOS
Windowsに似た操作性で、Wineを標準搭載しWindowsアプリも動作する。Xubuntuから派生。
Clonezilla
Ubuntu 派生品
ディスクまたはパーティションの複製（クローニング）ならびにイメージ作成（イメージング）用。
Elbuntu
ウィンドウマネージャとして Enlightenment を採用している。
Fluxbuntu
デスクトップ環境としてFluxboxを採用した「最も軽い」ディストリビューション。開発停止。
Freespire
Linspireから派生したディストリビューション。ver.2.0からUbuntu派生となっている。
ChromeOS
GoogleがUbuntuを母体に、当初オープンソースで開発していた。2010年2月に、母体となるOSを「Gentoo Linux」に変更した。
nUbuntu
保安ツールを多数含んでいる。
Pear Linux
macOS風に構成されたディストリビューション。
Puppy Linux
軽量Linuxディストリビューション。ver.5 以降からUbuntu母体の派生版が開発されている。
Ubuntu Christian Edition
標準的な Ubuntu に聖書全文と URL フィルタリングを搭載したクリスチャン向けのディストリビューション。
Ubuntu Lite（U-Lite）
旧式機器を備えた古いコンピュータ用のディストリビューション。
Voyager
Ubuntu 派生品
Xubuntuから派生したフランス産のOS。Xfce採用である。32ビット版と64ビット版のほか、Debian (安定版) 母体の配布版もある。
Ecolinux
ロースペックマシン向けのOS。11.04.3を最後に開発終了。
Ecolinux-ez
Ecolinuxのデスクトップ環境をXfceに置き換え、初心者向けにカスタマイズされたディストリビューション。開発終了。
Ecolinux-light
デスクトップ環境にFluxboxを採用したディストリビューション。比較的軽量だがあまりにも使いづらいため開発が終了した。現在は、Ecolinux-lxに引き継がれている。
Ecolinux-lx
Ecolinux-lightの後継版。Ecolinuxと何一つ変わらない。開発終了。
Ubuntu Desktop日本語Remix
日本のローカルコミュニティ「Ubuntu Japanese Team」によって日本語環境に改善が加えられたもの。なお、Japanese Teamによる追加パッケージをオリジナルのUbuntuに導入すると、日本語Remix相当になる。追加パッケージはUbuntuをベースにした派生ディストリビューションにも適用可能。開発停止。追加パッケージは引き続き利用可能。
巫女 GNYO/Linux
openMosixとSCoreを利用したPCクラスタが構築可能。CD起動/HDD導入共可能。当初はDebianを母体とした。開発停止。
合同数
合同数（ごうどうすう）とは、辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積となるような自然数のことである。例えば、辺の長さが (3, 4, 5) の直角三角形の面積 6 や、(3/2, 20/3, 41/6) の面積 5 は合同数である。しかし、1, 2, 3, 4 は合同数ではない。
合同数 合同数の問題
合同数の問題とは、どのような数が合同数になるかという問題である。これは数学上の未解決問題の一つである。定義より明らかに、合同数は正の有理数である。また、辺の長さが (a, b, c) である直角三角形の面積が S であるとき、(k a, k b, k c) の面積は k2 S であることから、合同数問題においては、平方因子をもたない自然数のみ考慮すればよい。
合同数 基本的な事実
定義を数式化すると、 合同数とは
を満たす有理数 a , b , c が存在するような n のことである。
n が合同数であるための必要十分条件は楕円曲線
が正の階数を持つことである。実際、 a,b,c が上述した方程式を満たすとき、 x , y を x = n(a+c)/b , y = 2n2(a+c)/b2 とおくと、
で、 y は 0 ではない（ y が 0 ならば、 a = -c より b = 0 だが (1/2)ab = n ≠ 0 に矛盾する）。
逆に、 x , y ( y ≠ 0)を上の楕円曲線上の点とするとき、 a = (x2 - n2)/y, b = 2nx/y, c = (x2 + n2)/y は上記の方程式の解となる。
上の楕円曲線の有限位数の点は y = 0 を満たすことが知られている。それで、 n が合同数であるかどうかは、上記の楕円曲線が無限位数の点をもつかどうかという問題に帰着する。
合同数 タネルの定理
1983年、タネル(en:Jerrold B. Tunnell)は完全な解決ではないにしても、合同数問題における革新的な定理を発表した。その内容は次の通りである。n は平方因子をもたない自然数とし、整数 An、Bn、Cn、Dn を以下で定義する。
このとき、n が奇数の合同数ならば 2An = Bn を、偶数の合同数ならば 2Cn = Dn を満たす。さらに、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想が正しければ、合同数はそのような数に限る。
与えられた n に対して、上記の条件を満たすか否か判定するのは易しい。したがって、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想が肯定的に解決されれば、合同数問題も自動的に解けたとみなせる。
さて、n を 8 で割ったあまりが 5 または 7 の場合、An = Bn = 0 であり、n を 8 で割ったあまりが 6 の場合、Cn = Dn = 0 である。したがって、これらの場合は上記の条件を満たすため、以下の事実が期待される。
これは合同数問題の一部であるが、これさえも未だ証明されていない。なお、この命題の逆は成り立たない。n = 34 がその最初の反例であり、8 で割ったあまりは 2 であるが、これは合同数である。実際、直角三角形 (24,17/6,145/6) の面積が 34 である。
合同数 近年の進展
部分的な解決として、以下の事実が証明されている。ここに、p は奇素数とする。
高木貞作
高木 貞作（たかぎ ていさく、嘉永元年11月23日（1848年12月18日） - 昭和8年（1933年）1月14日）は、幕末の桑名藩士で、新選組隊士。商法講習所（現・一橋大学）で日本人初の助教として教鞭をとり、銀行家となる。通称、剛次郎。変名は神戸四郎。
高木貞作 経歴
桑名郡元赤須賀で桑名藩士・高木登波の次男として生まれる。戊辰戦争時、藩主・松平定敬の命を受けて、山脇隼太郎と共に恭順派の家老・吉村権左衛門を殺害。北越戦争、秋田戦争に参戦するも相次いで敗れ、定敬の後を追って蝦夷地へ渡る。渡航後は土方歳三配下の新選組に所属し、箱館戦争に参戦。降伏後、桑名藩で謹慎となったが、なぜか明治3年（1870年）からサンフランシスコで1年間英語を学んだ。
明治5年（1872年）に釈放され、吉田清成大蔵少輔の従僕となり、家老殺害の罪を避けて同年大蔵省派遣留学生として横浜港から渡米した。吉田の申し入れを受けた渋沢栄一大蔵省三等出仕らの同意を得て、留学のため墨銀が給付されニューヨーク州で英語を学び、次いで富田鉄之助ニューヨーク副領事の紹介で、ニューアークの連鎖商業学校（Chain of Commercial Colleges）であったブライアント&ストラットン商業学校（Bryant, Stratton & Whitney Business College、現・ブライアント&ストラットン大学）で、同校の経営者であったウィリアム・コグスウェル・ホイットニーに師事して、運上所事務を学び、第1回生として卒業し明治8年（1875年）に帰国。