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ロジスティック方程式 ロジスティック方程式
まず、N = 0 と N = K のとき、dN/dt = 0 となる。すなわち、いくら時間が経過しても個体数は増加も減少もしない状態となる。このような状態を定常状態や平衡状態と呼ぶ。N の値が 0 < N < K の範囲にあるとき、 dN/dt の値は様々だが、値が正なのか負なのかで言えば、正の値であることがわかる。N の値が K < N となると、dN/dt は同じように負の値である。言い換えれば、個体数が環境収容力内では常に個体数は増加するが、環境収容力を超えると個体数は減少へ転ずる、ということである。
個体数増加率 dN/dt の変化をさらに細かく見てみる。N が 0 から K/2 まで増えると、その間 dN/dt の値も増加し続ける。N = K/2 は放物線の頂点であり、ここで dN/dt は極大値を迎える。極大値は、N = K/2 を式に代入して dN/dt = rK/4 である。N = K/2 を超えると dN/dt は減少し始め、N = K で 0 となる。このような数値の変化から読み取れることの一つは、個体数が環境収容力のちょうど半分になったときに個体増加率は最大となる点である。したがって、もし個体数の変化がロジスティック方程式に従うとしたら、増加率が最大になるときの個体数に注目することで環境収容力、すなわち最大個体数を予測できることになる。
ロジスティック方程式 式の解
ロジスティック方程式は非線形の微分方程式だが、標準的な微分方程式の解法である変数分離法を利用して解くことができる。時間 t = 0 における初期個体数を N0 とすると、t の関数として以下の解が得られる。
ここで e はネイピア数である。分母・分子を N0ert で割り、次のような形でも示される。
この解の関数をロジスティック関数（英語：logistic function）、この解によって描かれる曲線をロジスティック曲線（英語：logistic curve）と呼ぶ。この曲線に従う個体群成長は、ロジスティック成長やロジスティック増殖とも呼ばれる。関数は t → ∞ の極限で N → K となり、マルサスモデルと異なり発散しないことが確認できる。
横軸を t、縦軸を N とした平面上にロジスティック関数のグラフを描くと、曲線が描かれる。この曲線は前述のとおりにロジスティック曲線と呼ばれる。初期個体数が3つの範囲 N0 < 0, 0 < N0 < K, K < N0 のどれに該当するかによって、曲線の形状は大きく異なってくる。ただし、N0 < 0 の範囲は負の個体数というものを意味するので、生物のモデルとしてはあまり意味がない。時間 t = 0 から t → ∞ の極限までのロジスティック曲線の様相は、それぞれの N0 の値ごとに、以下のようになっている。
ロジスティック方程式 式の解
まず N0 が環境収容力の半分以下（0 < N0 < K/2 ）の場合、初期状態の点 (t = 0, N = N0) から始まる曲線は、ゆっくりと右肩上がりに登っていく。t が増加するにつれて、曲線の傾き（個体数増加率）は増加していき、曲線は加速度的に立ち上がっていく。しかし、ある時点で曲線は変曲点を迎え、傾きの増加は止む。その後は、傾きは減少しだし、曲線は横倒しになっていく。そして最終的には、傾きは0になり、曲線は水平な直線となる。結局、曲線は、変曲点前では下に凸の曲線、変曲点後では上に凸の曲線となっており、全体としてアルファベットのSのような形を描く。このため、S字型曲線やシグモイド曲線という名称でも呼ばれる。間にある変曲点は個体数増加率が最大となる点で、前述の dN/dt と N のグラフの頂点に相当する。変曲点における個体数は前述のとおり N = K/2 で、このときの時間は t = ln (K/N0 - 1)/r である。ここで ln は自然対数である。最終的に t → ∞ で漸近する水平な直線は N = K の直線であり、時間が経過すると最終的には、個体数は環境収容力の値に収束するということである。
ロジスティック方程式 式の解
初期個体数が N0 = K/2 の場合は、曲線は最初から変曲点から始まる。K/2 < N0 < K のときは最初から変曲点を過ぎた曲線になる。 初期個体数が環境収容力に一致している場合、N0 = K のときは、その値のまま一定となる。N0 = 0 のときも同様に、N = 0 のままである。
次に、初期個体数が環境収容力を上回っているとき、すなわち N0 > K の場合は、この場合の曲線はS字型ではなく、全体として下に凸の曲線となる。N は  N0 から単調に減少しつづけ、この場合も、時間経過に従って K に収束していく。
以上をまとめると、N0 > 0 であれば（個体が存在してさえいれば）、どんな初期個体数であっても、個体数は最終的に常に環境収容力の値に収束していくということである。あるいは、N0 = 0 であれば（個体が存在してなければ）、個体数は 0 のままということである。
最後に、生物個体数のモデルとしては無意味であるが N0 < 0 の場合も見てみると、この場合 N は時間発展に従って減少し続け、有限時間内で −∞ へ発散する曲線を描く。
ロジスティック方程式 式の解
上記で、N = 0 および N = K のときはいくら時間が経過しても個体数 N は増加も減少もしないことから、これらの状態を平衡状態や定常状態と呼ぶことを説明した。平衡状態では、N = 0 または N = K という一点に留まり続ける。数学の力学系分野では、このような点を不動点や平衡点と呼ぶ。平衡状態には安定な平衡状態と不安定な平衡状態がある。安定な平衡状態とは、 その平衡状態の点から少しずれたとしても、時間が経過すれば平衡状態へ戻り、収束することを意味している。また、不安定な平衡状態とは、平衡状態の点から少しずれたとき、時間経過すると平衡状態とのズレはどんどん大きくなっていき、平衡状態に戻らないことを意味している。ロジスティック方程式の場合は、N = K 時の平衡状態が安定、N = 0 時の平衡状態が不安定となっている。すなわち、初期個体数 N0 が K または 0 であれば、時間経過によらず常に同じ値を取り続けることは同じだが、N0 が平衡状態から少しずれたときの挙動は正反対となる。
ロジスティック方程式 式の解
この安定・不安定の様子は、ロジスティック曲線の傾きをベクトル場として表すことで読み取ることができる。時間経過に従って、全ての解は、これらのベクトルの矢印に沿って動いていく。初期個体数が N0 > 0 であれば、t → ∞ で N は K に収束し、N0 < 0 であれば、t → ∞ で N は −∞ に発散することが分かる。
あるいは、上記で説明した個体数 N と増加率 dN/dt の関係曲線からも、安定か不安定かの判別が可能である。N = K の点の右側に点があるとき、dN/dt の値は負なので、N は減少していき、K に近づくことになる。N = K の点の左側に点があるときは、dN/dt は正なので、N は増加していき、同じく K に近づくことになる。N = 0 の点についても、左右にずれたときの dN/dt の値の正負から、0 の点から離れていくことが理解できる。
あるいは、安定性理論における線形安定性解析の考えにもとづいて、より一般的に安定性を判別することもできる。dN/dt = f(N) 、その N による微分を d(f(N))/dN = f ′(N)、平衡状態の点を Ne と置くとする。このとき、f ′(Ne) < 0 ならば Ne は安定な平衡点で、f ′(Ne) > 0 ならば Ne は不安定な平衡点であると判別できる。ロジスティック方程式の場合は、
なので、
となり、f ′(K) = −r < 0, f ′(0) = r > 0 となることが確認できる。
ロジスティック方程式 生物学的前提条件
実際の生物の個体数増殖においてロジスティック方程式が成り立ち、ロジスティック曲線がその増殖データに上手く当てはまるには、次のような生物学的条件が前提として挙げられる。
ショウジョウバエや真正細菌といった、微生物や単純な生物を一定環境で増殖させた場合は、上記の条件に近く、ロジスティック方程式によって個体数変化の正確な予測ができる。しかし、例えば鹿や鳥類などのような、一定環境のもとで増殖する設定が成立しない個体群成長には、ロジスティック方程式を適用することはできない。
環境を整えた飼育実験によって、ロジスティック曲線に当てはまる個体数増殖のデータを得ることはできるが、上記の生物学的条件を実験上で整えることはいつも簡単というわけではない。増殖を抑える原因となる老廃物を定期的に取り除く、といった配慮も必要となる。
ロジスティック方程式 実際のデータへの適用例
いくつかの微生物や小型の昆虫の飼育実験で、ロジスティック曲線がよく当てはまる個体数増加や個体密度増加実験のデータが得られている。例として以下のようなものがある。特に、ゾウリムシや酵母菌は条件さえ整えればロジスティック曲線に沿った増加をほとんどの場合で示し、高校レベルの教科書にも載る定番でもある。
一方、ロジスティック曲線に当てはまるデータは得られなかったものとしては、次のような生物の実験がある。これらの実験では、時間経過後も個体数は一定に収束せず、周期的変動が繰り返されたり、大きなゆらぎが続く個体群変動となった。
ロジスティック曲線を普及させたことで知られるレイモンド・パールは、ローウェル・リードと共にキイロショウジョウバエの飼育実験を行い、この曲線を実証した。ロジスティック曲線が上手く適合する実験の具体的様子の例として、内田俊郎の著作をもとにしてパールらの実験を簡単に説明する。
パールの元へ留学していた寺尾新もこのハエの個体群成長研究を行った。それによれば、ロジスティック成長の特徴である個体群密度上昇にともなう個体数増加率の低下は、死亡率の上昇よりも出生率の低下によって起こっていた。
ロジスティック方程式 実際のデータへの適用例
野外環境では、前提条件となるような環境が保持されることはほぼ無いため、ある個体群がロジスティック曲線が当てはまるような増加の仕方を示すことは少ない。自然界では環境条件は常に変化し、個体群変動のパターンも様々となる。
ロジスティック曲線によく当てはまる個体数増加が確認できた例として、パナマ熱帯雨林でのハキリアリの1つの巣における個体数増加結果がある。理由としては、天敵がいないこと、雨量・温度の気象条件が安定していることなどにより、ロジスティックモデルの前提条件に近い環境であったことによるものと考えられている。他の野外生物でロジスティック曲線に合致した例としては、アメリカ・アラスカ州のセントポール島におけるキタオットセイ（Callorhinus ursinus）の個体数増加の結果がある。植物の場合では、アイルランドのスルツェイ島で観測されたコケの成長の例がある。新規に露出した岩表面上へのコケの定着・広がり方が、ロジスティック曲線に当てはまる観測データを見せた。
ロジスティック方程式 実際のデータへの適用例
式を発案したフェルフルストは人口の成長の様子を表すためにロジスティック方程式を発案した。式を普及させたパールとリードも、ロジスティック方程式を使った最初の個体群成長研究は人口成長に対するものであった。彼らは共に、当時までの人口統計をもとにしてアメリカ合衆国の将来の人口を予測したが、どちらの予測も実際の人口成長を言い当てることはできなかった。パールとリードの結果では、1700年から1940年までの値は曲線によく合致していた。彼らが当てはめたロジスティック曲線では人口はその後飽和に向かうはずだったが、実際にはそれを裏切り、1940年以後もアメリカの人口は急増状態が続いた。
さらにパールは、当時の推定世界人口をもとに世界人口の上限値（環境収容力 K）の推定を行った。1924年と1936年、パールはそれぞれ別の研究者とともに推定を行い、その値を発表した。それらの上限推定値は、前者では20億人、後者では26億人という値で、どちらも実際とはかけ離れたものとなった。
ロジスティック関数とゴンペルツ関数はともに飽和を持つS字型の成長曲線であるが、増加の制御機構が異なる。ロジスティック方程式では個体数に依存して相対成長率が線形に減衰するのに対し、ゴンペルツ関数では時間の経過とともに相対成長率が指数関数的に減少するため、左右非対称な形状になる。したがって、初期増加の鋭さや上限への接近の仕方が異なり、実際のデータに対してどちらを用いるかは現象の生物学的・工学的背景によって決まる。
ロジスティック方程式 生物学的・人口学的位置付け
ロジスティック方程式は、非常に簡単な生物学的意味からモデルを導くことができる。r と K の2つのパラメータに種の特性に関わる議論を集約して、とても簡明なモデルを構成している。また、式の特徴である個体数密度の上昇が増加率を抑えるロジスティック効果は、個体群生態学における基本原理ともいわれる。個体数が少ない内は指数関数的に増殖し、個体数が増えてくると増加が止むという現象自体は、正確に前提条件に当てはまらないような個体群成長であっても、広く認められる現象であり、この一般的傾向をロジスティック方程式は上手く表しているとも評される。
ただし、一見してロジスティック曲線のような個体群成長を示すデータであっても、そのデータに上手く曲線あてはめできる数理モデルは数多く存在する。ロジスティック方程式のみが唯一当てはまるということはまずない。この式が個体群成長の「普遍則」のように受け止められるのは誤解であると、数理生物学者のジェイムズ・D・マレーや応用数学者のスティーヴン・ストロガッツは指摘している。
ロジスティック方程式 生物学的・人口学的位置付け
人口予測に関しても、人口学者のジョエル・E・コーエンは「ロジスティック曲線は短期的な予測に関しては、他の連続でなめらかな曲線と比べて特に劣っていることもないが、長期的な予測に関しても格別に秀でているわけでもない」と評している。式を普及させたレイモンド・パールは、ある期間の人口成長にロジステック曲線が適用できる条件として、人口成長に影響を与える新しい要素がその期間中に現れないことを挙げている。しかし、このような前提条件を人口という複雑な現象に課すのは困難である点を経済学者のアルバート・B・ウルフや人口学者のジョージ・ハンドリー・ニブスなどから批判されている。2010年代現在、将来人口推計にはコーホート要因法の使用が主流となっている。ロジスティック曲線のような関数を過去の人口データに重ねて将来の人口を予測するという単純な方法は、現在ではほとんど行われていない。
以上のように、ロジスティック方程式が個体群成長の「普遍則」というわけではないが、個体群成長モデルにおける基礎的なアイデアを有しており、より複雑な現象に対応する様々なモデルへ拡張されたり、その考え方が取り入れられたりする。個体群成長のモデルの中で「出発点」として位置づけされる。
ロジスティック方程式 名称の由来
フェルフルストは、1845年の論文で、"Nous donnerons le nom de logistique à la courbe"（参考訳：私たちはその曲線にロジスティック "logistique" という名前を与える）と述べ、ロジスティック方程式の解による曲線を logistique と名付けた。これが、式が"ロジスティック"方程式、その解曲線が"ロジスティック"曲線と呼ばれる由来である。しかし、フェルフルストは logistique という語を使った理由を説明しなかったので、それ以上の由来は分かっていない。
logistique と名付けられた理由のいくつかの推測は存在する。ベルギー王国陸軍士官学校の数学教授のHugo Pastijnは、実際の理由は不明と断った上で、
と、ありえそうな理由を2点ほど推測している。また、19世紀当時のフランスでは、logistique には「計算に巧みな」「計算の技巧」といった意味での用例があった点も指摘されている。
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
既に述べたとおり、ロジスティック方程式を基本にすえて、様々なモデルが提案されてきた。以下では、そのようなモデルの拡張・応用の例を説明する。
人間が資源として利用するための捕獲や収穫は、その種を絶滅させる可能性もあるほどの大きな影響を持っている。漁業分野では、水産資源を獲りつくさないように資源・漁業管理する必要性が認識されている。持続可能な漁業のためには、人間による漁獲量が漁獲対象の自然増加量を上回らないようにする必要がある。漁獲量と自然増加量が一致するとき資源は一定に保たれるので、このときの漁獲量を持続生産量と呼ぶ。さらに、可能な持続生産量の中でも最大のものを最大持続生産量（MSY）と呼び、漁獲基準の一つの目安とされている。
この最大持続生産量の値をロジスティック方程式を利用して定量化するモデルを、ジェーファーのプロダクションモデルなどと呼ぶ。漁獲量（漁獲速度）を Y とすれば、次のように、ロジスティック方程式で表される個体数増加率（自然増加率）から Y を差し引いた値が実際の増加率となる。
dN/dt が 0 のときが資源一定状態なので、このときの漁獲量が持続生産量を示している。Y を含まないときの dN/dt の最大値は前述のとおり rK/4 である。これに釣り合う漁獲量が最大持続生産量であるから、このモデルでは最大持続生産量を rK/4 と得ることができる。
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
漁獲量 Y を単純な一定値とせずに、個体数に比例するようなモデルも考えられる。例えば、出漁する漁船の数が一定とすれば、捕獲の成果は生息している個体数に比例すると考える方が適当である。q と E を定数として q と E と N を掛け合わせたもので漁獲量を表せば、個体数増加率は
となる。q は漁具効率、E は漁獲努力量と呼ばれる。このモデルの場合は、qE を内的自然増加率の半分 r/2 となるようにすれば、漁獲量を最大持続生産量にすることができる。ただし、以上のモデルは現実をかなり単純化したモデルである。環境の変化や他の生物との相互作用など、現実には様々な要因が関係しているため、多数の相互作用がある実際の生態系では成り立たない。実際の最大持続生産量の決定にはより高度な手法も使用されている。
ロジスティック方程式は環境内に1種のみが存在するときの（あるいは1種とみなせるときの）モデルだが、実際の環境では複数以上の種が生息している。複数の種が存在するとき、それぞれの種の間には競争や相利共生、捕食-被食などの関係が存在して、それぞれの個体数が互いの個体数増加率に影響を与える。その中でも特に、環境内に競争関係にある2種が存在する場合にロジスティック方程式を拡張させたものとして、以下のロトカ・ヴォルテラの競争方程式が知られる。
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
係数の N1, r1, K1 は種1の個体数、内的自然増加率、環境収容力である。同様に、N2, r2, K2 は種2の個体数、内的自然増加率、環境収容力である。さらに、a12 が種2が種1に与える影響を、a21 が種1が種2に与える影響を表し、競争係数と呼ばれる。この式はアメリカの数学者アルフレッド・ロトカとイタリアの数学者ヴィト・ヴォルテラによって独立に考案された。
ロトカ・ヴォルテラの競争式では、それぞれの係数の値がある範囲内のときのみ2種が共存するが、それ以外の場合にはどちらかの種が絶滅する結果に至る。この結果はゲオルギー・ガウゼの競争排除則を裏付ける一例となっている。
ロジスティック方程式では、ある時刻の個体数 N(t) が同時刻の個体数増加率 dN(t)/dt に瞬間的に影響を与えるというモデルになっている。しかし、妊娠期間や性成熟までの期間などが存在するため瞬間的に影響が出るというのは非現実的でもある。よって、モデルの中に影響の時間遅れを含ませることが考えられる。遅延時間を T とすると、ロジスティック方程式に時間遅れの効果を取り込んだモデルとして
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
がよく用いられる。この式はジョージ・イヴリン・ハッチンソンが発案したためHutchinson方程式とも呼ばれる。このモデルでは、ロジスティック方程式におけるブレーキ効果の部分に、現時点での個体数 N(t) ではなく、時間 T だけ前の時点での個体数 N(t − T) が入力されている。
時間遅れを持つロジスティック方程式でも N = 0 または N = K が平衡状態であることに変わりはない。しかし個体数が環境収容力 K に達しても、T 時間前における個体数は K よりも小さいか大きいので、増加率は0とならない。そのため、個体数は環境収容力を通り過ぎてしまう。環境収容力を上回った（下回った）個体数が継続すると、増加率は個体数を環境収容力に収束させる方向に働く。しかし、それによって個体数が環境収容力に戻っても、再度同じ現象が起き、また環境収容力を通り過ぎる。このように平衡状態を行き過ぎたり戻り過ぎたりしながら個体数が振動する現象が、このモデルでは起こり得る。より詳細にいえば、解の振る舞いは rT の値によって変化する。rT が π/2 を超えるとホップ分岐を起こし、解は平衡状態を回るリミットサイクルとなる。周期変動を実際に起こすヒツジキンバエの実験データに対して、ロバート・メイがこの式の当てはめを行って良好な結果を得ている。
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
ロジスティック方程式では、時間 t を連続な実数として個体数変動をモデル化した。しかし、世代の交代が同期的に起こり、世代の重なりがないようなときには、時間を飛び飛びの時間間隔（離散時間）でモデル化する方が妥当である。ロジスティック方程式型の離散時間モデルにはいくつかの種類があるが、一例として次のような差分方程式がある。
ここで、n は世代で、n = 1世代, 2世代, 3世代,... といったような飛び飛びの時間間隔を意味している。Nn は、n 世代における個体数 N を意味している。上式と数学的には等価だが、ロジスティック写像と呼ばれる、次の形式での差分方程式もよく知られている。
これらの差分方程式はロジスティック方程式と一見似ているが、解の様相は全く異なり、個体数の変動はロジスティック方程式よりも遥かに複雑な振る舞いを見せるようになる。r（または a）が小さい内は、これらの解はロジスティック方程式と同じように安定な平衡状態に収束する。r が大きくなってくると、個体数は多くなったり少なくなったりを交互に繰り返すようになる。さらに r が大きくなると、カオスと呼ばれる非周期的で極めて複雑な振る舞いを起こすようになる。
また、京都大学の森下正明が発案した次のような差分方程式がある。
ロジスティック方程式 モデルの拡張・応用
ここで、Δt を差分時間間隔として、a と b は
である。通常、差分化を行うと元の方程式の解と誤差が生じる。しかしこの方程式では誤差を全く生じさせない。得られる解は離散的だが、その解はロジスティック方程式の解と一致し、解を N-t 平面上に描けば、ロジスティック曲線上に正確にプロットされる。
本来の導入目的であった生物の個体数の変動以外にも、ロジスティックモデルがしばし使用される。興味対象の何かの変量が時間発展とともにS字型の曲線を描くようなときに、この式がよく当てはまる。水産資源管理の例では、生物の体の大きさの成長曲線にロジスティック曲線を当てはめることがある。また、人間の集団の中で無形なものが広まる様子を表すのにもロジスティックモデルが使われることがある。例えば、新技術の社会・産業全体への普及、ある集団の中での噂の拡散がある。
また、時間変化ではないが、統計学においてはロジスティック関数と同形式の累積分布関数 f(x) を持つ連続確率分布が用いられている。これをロジスティック分布と呼ぶ。人工ニューラルネットワークの研究で使われるシグモイド関数の一つとしてもロジステック関数が利用されている。
ロジスティック方程式 他形式
上記ではロジスティック方程式を
と表したが、これ以外の表現もある。いずれも数学的には等価だが、その導出過程における生態学的意味づけは様々である。 k = r / K と置いて、ロジスティック方程式は
とも表される。k はVerhulst-Pearl係数や種内競争係数と呼ばれる。個体群密度が増加率を減少させる影響の強さを k が表しているといえる。
他には、変数を N = N/K と置きなおして、すなわち個体数ではなく環境収容力に対する個体数の割合を変数として
という形式もある。
非線形のロジスティック関数を扱いやすくするために線形の対数関数に変換する、フィッシャ・プライ変換（英語：Fisher-Pry transform）と呼ばれる次のような変換もある。
ここで FP = N とすると、ロジスティック関数のパラメータとの関係は K = 1, r = b, N0 = ea/(1 + ea) である。
ロジスティック方程式 歴史
ベルギー・ブリュッセルの陸軍大学の数学者であったピエール＝フランソワ・フェルフルストによって、ロジスティック方程式は発表された。18世紀になると、トマス・ロバート・マルサスが出版した『人口論』に関心が高まっていた。マルサスモデルの説明で述べたように、マルサスは人口が指数関数的に成長していくモデルを発表し、その帰結として社会が飢饉の発生など破滅的状況を迎えることを予測した。このセンセーショナルな予測は衝撃を与え、当時およびマルサス死後も長く続く論争を引き起こした。「近代統計学の父」と呼ばれるアドルフ・ケトレーも、マルサスのモデルに関心を持ち、人口増減モデルについて論じた。ケトレーは流体の抵抗をヒントにして、人口増加率への抵抗は人口増加率自体の二乗に比例すると考えた。
ロジスティック方程式 歴史
ケトレーから教えを受けたこともあり、友人でもあったフェルフルストは、ケトレー自身からケトレーのモデルに関する研究を勧められた。ケトレーの考えをもとにして、人口が人口自体によって増加する一方で、人口増加を抑制する何らかの機構が働く数学的なモデルを思案した。1838年、フェルフルストは、"Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement"という題で研究成果を発表し、この論文の中でロジスティック方程式が提案された。この論文の中でフェルフルストが実際に提案した式は、
という形であった。p は人口を意味する。フェルフルストは人口自体の二乗によって人口増加率の減少効果を表現し、上記の φ(p) を導入した。当時はこの式の価値を認めるものはほとんどなく、彼の死亡時の告知にも、彼の業績として取り上げられなかった。
ロジスティック方程式 歴史
フェルフルスト発表の後、生物の個体群成長に関する実験などで、同じ式が独自にあちこちで使われ始めたが、フェルフルストの名が挙がることはなかった。1908年には生理学者のブレイルスフォード・ロバートソンが、動物、植物、人間といった生物の個体成長を同形式の曲線で記述した。ロバートソンはフェルフルストの発表を知らなかったが、同じ曲線を用い、さらに偶然にもケトレーのデータを使用している。この時点で同じ曲線が化学物質における自己触媒反応の過程を表すのに使われていたので、ロバートソンは曲線のことを自己触媒的曲線（autocatalytic curve）と呼んでいた。
1920年、ジョンズ・ホプキンス大学のレイモンド・パールとローウェル・リードが、ロジスティック方程式と同形式のモデルを用いてアメリカ合衆国の人口増加について論じた。この研究も、フェルフルストにより先に発表されていたことを知らずに行われた。翌年の1921年には、これがすでに80年近く前にフェルフルストによって発見されたことをパールらも認めた。これによってパールらもロジスティック曲線という名称を使うようになり、やっとフェルフルストの名がこの式に結びつくことになる。これ以降、生物学ではロジスティック曲線という名称が定着した。
ロジスティック方程式 歴史
パールはショウジョウバエの個体群成長の実験を行い、この式を実証した。1924年と1925年にも、アメリカ、スウェーデン、フランスなどの様々な国勢調査の人口統計にロジスティック曲線のあてはめを行い、よく一致することを示した。このような積み重ねた証拠をもとに、パールは個体群全般がロジステック曲線に沿って成長することを強く確信し、ロジステック曲線が「法則」であると主張した。当時、パールとリードはこの式の価値を「控え目にいっても、それはケプラーの惑星の楕円運動法則に匹敵するものであるといってもよいように思われる」と自身らで評価している。ロジスティック曲線は、経験的なものというよりも、個体群成長全般において普遍性を持つ法則であり、成長の長期的傾向の予測も可能にするとパールは考えていた。パールは、この式が個体群成長における普遍則であるという持論を広め、ロジスティック方程式の普及に大きく貢献することになる。このため、ロジスティック曲線にはパールの名が題されることもある。
ロジスティック方程式 歴史
一方で、パールの自説の展開には多くの批判も呼び、1940年にパールが死去するまで論争が続いた。経済学者のA. B. ウルフ、人口学者のジョージ・ハンドリー・ニブス、統計学者のエドウィン・ウィルソンなどがパールの主張に批判を加えている。動物学者のジェームズ・グレイ、ランスロット・ホグベン、遺伝学者のシューアル・ライトからは、他のS字型曲線を使っても個体群成長のデータに当てはめができるので、ロジスティック曲線を使う必然性が欠けていることについて指摘を受けている。
ロジスティック方程式 歴史
ロジスティック曲線の有効性を支持し、その普及を担った人たちもいる。イギリスの統計学者ウドニー・ユールは、パールの理論を1924年のイギリスの学会で発表している。ユールはロジスティック曲線は長期予測には適用できないと考えており、その点を強調したが、基本的にはパールの研究を支持していた。アルフレッド・ロトカも、ロジスティック曲線の有効性を理解し、ロジスティック方程式について1925年の自書の中で一章を与えて説明した。ただしロトカは、ロジスティック方程式は実現象の近似の一種であるという考えを保っていた。ロシアのゲオルギー・ガウゼも、近似の一種と受け止めながらも、ロジスティック方程式が同種の集団の中での生存競争を定量的に表すことができると述べている。1934年、ガウゼは微生物の実験によってロジスティック方程式の検証を行い、この検証はロジスティックモデルを個体群動態論における古典的理論の一つとして確固たるものとした。モデルの限界には注意が払われながらもロジスティック方程式の受容は広まっていき、1940年代後半には個体群解析における一般的な道具として確立した。
その後は、より現実的な個体群変動を表すことができるように、ロジスティック方程式を修正したモデルが提案されてきた。1948年には、ジョージ・イヴリン・ハッチンソンが時間遅れの影響をロジスティック方程式に導入した研究を行った。ロジスティック方程式の前提条件を満たすような環境であっても、個体数が一定に収束せず、多くなったり少なくなったりをいつまでも繰り返すような生物実験の結果も得られた。京都大学の内田俊郎と藤井宏一がヨツモンマメゾウムシの培養実験でそのような結果を得たことを1953年に発表している。内田らは、ロジスティック方程式をもとにした差分方程式でこの結果を分析し、個体数の振動を再現した。
ロジスティック方程式における r は個体群密度がとても低いときの増加率で表しており、密度が低いときにどれだけ素早く繁殖できるかを意味している。また、K はその環境下で生存できる個体数あるいは個体群密度の上限を示す。1967年、ロバート・マッカーサーとエドワード・オズボーン・ウィルソンは、この r と K に着目して、島における生物個体群の定着と絶滅に関する理論を発案した。彼らの理論によれば、ある生物の島への定着が成功するには大きな r を持つことが重要であり、絶滅の回避には大きな K を持つことが重要であるとし、それぞれの方向へ淘汰されることを r淘汰、K淘汰と呼んだ。この説はr-K戦略説と呼ばれ、生物の生活史の進化に種内競争の観点から説明を与えた。
物理学から数理生態学へ転向してきたロバート・メイも個体群変動の問題に取り組んだ。メイはロジスティック方程式の離散化を行い、その式の解は、通常のロジスティック方程式の解とは全く異なる、現在ではカオスと呼ばれる非常に複雑な振る舞いを起こすことを示した。この結果は1974年と1975年に発表され、大きな反響を得ると共に、その後のカオス理論の隆盛に大きく寄与することになる。
塹壕
塹壕（ざんごう、仏: tranchée、英: trench、独: Graben）は、戦争において敵の銃砲撃から身を守るために陣地の周りに掘る穴または溝である。
野戦においては南北戦争から本格的に使用され始め、現代でも使用されている。日本陸軍では散兵壕（さんぺいごう）と呼んだ。個人用の小さなものは蛸壺（タコツボ）、蛸壺壕、フォックスホール（英語: foxhole）と呼ばれる。
戦闘陣地の一種と位置付けられる。簡素な手掘りの穴から、柵や有刺鉄線、土塁、土嚢、木材、コンクリートなどで補強された野戦築城まで、様々な様式が存在する。
塹壕 歴史
外敵の侵入を難しくするために、集落や城砦、軍営などに堀や壕、濠（水を湛えたもの）を設けることは古来行われてきた。日本では環濠集落の遺構が各地で出土している。古代ローマでは野営地（カストラ）の周囲に堀を掘ることがあった。
本格的な塹壕戦は、627年に中東で行われたハンダクの戦いが嚆矢と言われている。イスラム教の開祖ムハンマドは、メディナへ侵攻するメッカ連合軍の騎兵部隊を妨害するため、ペルシア人技術者のサルマーン・アル＝ファーリスィーに命じマディーナの周囲に塹壕（ハンダク خندق Ḫandaq/Khandaq）を掘らせて、攻撃に備えた。当時の中東では、騎兵による一騎打ちが伝統的な戦いであり、攻城戦の概念がない連合軍は攻略に手間取った。連合軍はメディナ周囲の砂漠で野営を続けたことにより消耗し、最終的に攻略は断念された。このためサルマーンは、アラブ諸国の軍隊で世界初の工兵とされている。なお、塹壕を掘るための金属製シャベルを発明したのもサルマーンで、世界初の塹壕戦からシャベルは武器としても使用されていた。サルマーンが使用していたシャベルは現在でもエジプトにあるモスク（サルマーンの墓でもある）に聖遺物として安置されている。
塹壕 歴史
このように、初期の塹壕は防御側が攻城側の進攻を防ぐ目的で掘られたが、火縄銃などの火器の普及以降は、攻城側が防御側からの射撃を避けるために利用するなど、共に塹壕を掘るようになった。ヨーロッパにおいては、野戦でも使われるようになった。イタリア半島で行われたチェリニョーラの戦い（1503年）では、塹壕から射撃したスペイン軍の火縄銃兵が、フランス軍騎兵とスイス傭兵槍部隊の突撃に勝利した。また、日本の戦国時代における長篠の戦い（1575年）においても、織田信長・徳川家康の連合軍は、火縄銃兵の隊列前面に「乾堀（かわきぼり）」と呼ばれる身を隠す土居を築いたと『三州長篠合戦記』に記されており、名和弓雄は、有名な馬防柵より武田勝頼軍の突撃阻止には効果的だったとの見解を示している。大坂冬の陣図屏風にも真田丸からの銃撃に対して塹壕戦で対抗する徳川方が描かれている。
大砲の発達と築城術の向上で巨大な要塞が生まれ、それに対抗する攻城術も生まれた。17世紀後半の代表的な攻城術は次のようなものである。
塹壕は要塞からの縦射を避けるためにジグザグに掘る事が多かった。ある程度要塞に近づいたら第2、第3の平行壕を掘り、再び斜壕を掘って要塞へとにじり寄る方法がとられた。
塹壕 歴史
中世に発明された銃は改良を続け、近世には銃剣の発明により、歩兵の武器は小銃に統一された。その一方で、刀剣や銃剣を利用しての白兵戦も盛んに行われていた。この当時の銃はまだライフリングがないマスケット銃であり、命中精度が低かった。また、前装式のため装填に時間がかかり、歩兵同士での撃ち合いでは決着が付けにくかった。近代においても、隊列を組んだ戦列歩兵が「敵の白目が見える」ような至近距離まで伏せることもなくそのまま行進し、一斉射撃を交した後に着剣小銃で突撃し、決着は白兵戦で付けられた。
このため、塹壕は限定的にしか使われず、攻城戦において防衛側から一方的に浴びせられる銃砲撃から、攻め手側を守る時以外では使われなかった。
既に19世紀の南北戦争やクリミア戦争では銃弾の射程が増し、兵士は塹壕や掩蔽壕に隠れる必要性に迫られた。連続射撃では黒色火薬が無煙火薬に代替された。
後装銃の普及と武器・弾薬の生産力補給力の増強で火力の密度が増し、普及したライフル銃で狙撃されるようになった。20世紀にさしかかる頃には、ボルトアクション方式が普及。
第一次世界大戦においては、機関銃の大規模運用により、歩兵や騎兵による正面突撃を確実に撃退しうる火線が完成したこと、発達した鉄道網による迅速な増援・補給が行われたことによって、従来の戦術で塹壕地帯の突破は困難になった。
塹壕 歴史
しかも、敵軍に塹壕を迂回されるのを阻止するために、拡張を続けたフランス・ドイツ両軍の塹壕線は次々と横に延び、特に西部戦線では、北はベルギー国境近くの北海から南は永世中立国であったスイス国境地帯までの長大な塹壕地帯が形成され（いわゆる「海への競争」）、塹壕地帯を迂回して進軍することは不可能になった。開戦2か月ほどでほぼこの距離、長さ700kmに達している。
防御優位の戦況は、前線の膠着をもたらし、お互いに塹壕を築いて長期間にわたり睨み合う国家総力戦となった。この過程で戦争の中心は従来の会戦から、敵の塹壕を制圧する事を目指す塹壕戦へと変わっていた。これは戦争初期、ドイツ陸軍が迅速な機動戦によりフランスを攻略しようとした、初期のシュリーフェン・プランが失敗した結果である。大砲の砲弾で相手側塹壕を攻撃、頃合いを見て突撃するという方法である。幾度もの攻防で、数千-数十万人の犠牲を積み上げるも、双方とも塹壕地帯を突破しきれず、終戦までの約4年間にわたり塹壕戦が続いた。塹壕戦での突撃による総攻撃のタイミングを合わせるため、兵士らの間に時計が普及するようになったという。
塹壕戦が始まると、塹壕を掘る作業が歩兵の最も重要な仕事の一つとなった。第二次世界大戦の頃には「歩兵の仕事は8割が塹壕掘り」と言われるまでになった。
塹壕 構造
塹壕に篭る歩兵にとっての脅威は、敵歩兵の突撃以上に、砲弾や手榴弾が炸裂した際に飛散する弾片や石である。これらの被害を最小限に食い止めるために、塹壕をジグザグに掘ったり、投げ込まれた手榴弾を処理するための穴や溝が塹壕内に設けられたりした。なお、手榴弾の威力は爆散する破片による負傷が主であり、数十センチメートル-1メートル程度の穴に落とし込めば、周囲の人間が負傷することは無いとされている。
前述のように、第一次世界大戦の西部戦線では、両軍とも敵に背後に回り込まれないよう、両翼に向けて塹壕を掘り進めて行くうちに、スイス国境からイギリス海峡までの広大な塹壕が到達した。
塹壕の壁面は、砲撃による振動で崩れないよう、ドイツ軍は深く掘って鉄筋やコンクリート、煉瓦で補強した一方、連合国側は木材で補強しただけで掘り具合も浅く、土が剥き出しの部分も多く泥だらけのままだった。また、地下水に対応するため、底部には排水用の溝が掘られ、通路面には簀子が敷かれることもあった。この違いには、両軍の配置転換方針の違いの他、ドイツは日露戦争の戦訓を研究して、塹壕強化の重要性を理解していたという説もある。
塹壕 構造
それでも、降雨などの増水時には塹壕にはしばしば水が溜まったため、兵士たちは汚水まみれのぬかるんだ泥に足を突っ込んだまま、いつ攻めて来るか判らない相手を待ち続けなければならなかった。あるイギリス兵の手記では、この様子が克明に記されている。
泥、泥、泥…。僕は毎日泥の塹壕の中にいます…。塹壕は思っていたのとは全く違うところです。最悪の敵は雨です。何日も、何週間も、濡れた粘土の上に蹲り、敵の砲弾の中で暮らすのはどんなものか想像もつかないでしょう。厚いブーツを履いていますが、冷たい泥で足は氷の塊のようです。何本かの指は動かなくなりました…。
このような特殊かつ不衛生な環境による伝染病は元より、塹壕口内炎や塹壕足（重篤な水虫や凍傷によって循環器系障害を起こし、酷い場合は足を切断した）などの特有の病気も発生した。特に寒冷地においてはその被害は甚大なものとなり、戦後復興に大きな暗い影を落とした。また、塹壕内にはネズミやゴキブリの衛生害虫が大量に発生し、これによる伝染病や食糧の食害も多発した。
大日本帝国陸軍の塹壕には、立射用の他に、膝射用、伏射用などがあった。形式上は自然地を堀拡するもの、自然地上に土嚢などで掩体を設けるもの、断崖その他の自然地を利用するものなどがあり、一般的に利用される堀拡式立射用塹壕について述べれば、胸墻、壕および背墻から構成されていた。
塹壕 構造
壕は自然土を掘り下げ、胸墻および背墻は壕を堀拡した除土で構築され、作業には小円匙あるいは円匙を使用し、土質が堅固な場合あるいは樹木の株、岩石地などでは小十字鍬、十字鍬または鶴嘴を使用していた。火線のための射撃設備は、照準高、臂座、内斜面、頂斜面および踏垜の形状を能率的に経始する必要があった。照準高は立射のためには1m30cm、膝射のためには80cm、伏射のためには25cmとされ、臂座は照準の時に臂をもたせて銃身を安定させ、その上に弾薬を置くもので、内頂の下方25cmに設け、幅は30cmとされていた。
内斜面、すなわち散兵の胸腹部が接する斜面は、射撃を容易にし、射手の掩護を良好にするためになるべく急峻にするが、地形が前方に降下する時はむしろ緩やかにするのがよいとされており、頂斜面の傾度は前地を自由に射撃し得るように適宜に決められていた。踏垜は積土であるため敵に発見されやすいのでなるべく低くし、表面は偽装で掩し、内頂から頂斜面の起部までは少なくとも1mとするとされ、背墻は塹壕の後方における弾丸の爆発の危害から射手を掩護するもので、敵に発見されないように胸墻より低くし、厚さは砲弾の弾子および破片に対しては40cm、小銃弾に対しては1mとされた。
塹壕には、壕外への進出に便利ならしめるために足掛り、梯子または階段を設け、あるいは壕上の通過を容易にするために、短橋が架された。
塹壕 塹壕突破戦術
大規模な塹壕戦が展開された日露戦争では、塹壕に潜む敵兵を殺傷する手段として小型爆弾を塹壕に投げ込む戦法がとられ、特に日本軍は多大な被害を出した。さらに遠距離の塹壕へ砲弾を投げ込むために、日露双方で迫撃砲が作られた。迫撃砲を英語で「トレンチ・モーター（trench mortar、『塹壕の臼砲』を意味する）」と呼ぶようになったのは、これに由来する。
重機関銃による掃射が発達した第一次世界大戦では、防御側の塹壕をいかに突破するかという戦術に両軍とも頭を悩ませた。
砲撃
第一次世界大戦の戦死者で最も多かったのは、塹壕内で砲撃を受けたことによるものであった。しかし、次第に砲撃をやり過ごすための退避壕が併設されるようになったため、不意打ちの時を除いて、砲撃のみで殺傷するのが難しくなっていった。そして、いざ攻撃側の兵士が塹壕を攻撃する段になると、誤射を防ぐため準備砲撃を止めざるをえず、その間に退避壕に隠れていた兵士が塹壕に戻って迎え撃たれてしまう。それでも、大量の準備砲撃で攻撃を容易にしようという試みがなされた。しかし、長時間の準備砲撃を行うことは、準備段階で敵に攻勢を知らせることとなり、奇襲効果が薄れてしまい、逆に奇襲を優先すれば十分な砲撃ができないというジレンマに陥ってしまう。結局、砲撃だけでは塹壕の防御機能を十分に破壊することは困難だった。
歩兵による突撃
塹壕 塹壕突破戦術
歩兵による突撃を反復して行えば、いつかは防御側の第一線塹壕を占領できるものの、防御側の塹壕は二重、三重のラインで築かれているのが通常であり、悪戯に兵力を消耗させることになりかねず、また第一塹壕線は元の敵陣であるため、防御側の砲兵の照準は完璧であり、攻撃側がその場に留まっていれば砲撃の餌食となってしまう。また、このような犠牲の大きな攻撃を繰り返せば、将兵の損失だけでなく、士気の低下も甚大なものとなる。事実、第一次世界大戦中のニヴェル攻勢の失敗以降、フランス軍では大規模な抗命や反乱が続発した。
毒ガス
毒ガスは、第一次大戦中のイーペルの戦いでドイツ軍が西部戦線において初めて使用した（イペリット）。使われた毒ガスは比重が空気より重いため、塹壕や地下壕の底に溜まり、歩兵に被害を与えることができる。だが、初期の毒ガスは呼吸器系統に作用する塩素系ガスであったことから、防御側の歩兵が防毒マスクを適切に着用すれば、さほど効果をあげることはできなかった。そのため、皮膚に触れただけで作用する糜爛性のマスタードガスや、ガスマスク着用でも防ぐのが難しい催涙剤との併用戦術などが登場した。しかし、これらのガス類は、一度散布するとコントロールすることは不可能であり、進撃する自軍兵士のみならず、風向きによっては自陣にまで被害を及ぼす恐れがあったため却って使い勝手が悪く、やがて大規模に使われることはなくなった。
塹壕 塹壕突破戦術
坑道戦
坑道戦は、防御側の塹壕の地下にトンネルを掘り進み、地下で爆弾を爆発させて塹壕を破壊するものである。イギリス軍はメシヌの戦いで坑道戦を実施し、地下に仕掛けた600トンの爆弾で1万人以上のドイツ兵を殺傷した。だが、この時のトンネルの掘削には2年半の作業期間を要するなど、あまりにも時間がかかりすぎるため、特殊なケースを除けば実用的ではない。
戦車
戦車は元来歩兵の突撃を支援する目的で開発され、ソンムの戦いでイギリス軍が初めて使用した。戦車は、装甲が施され、無限軌道を装着しており、無人地帯の荒れ地や、有刺鉄線のバリケード、機関銃弾をものともせず前進することができた。しかし、防御側が幅の広い対戦車壕を設けると、戦車でも突破しきれず、塹壕突破の決定的手段とはならなかった。また、対戦車銃や野砲により戦車の装甲を破ることが可能であるため、砲兵の一部を対戦車戦闘に従事させることで撃破することは可能であった。
空爆
当初は偵察任務が主だった航空機も、膠着する塹壕戦への突破策として乗員による塹壕への爆発物の投下が試みられるようになり、さらに大量の爆弾を装備・投下できる爆撃機の開発へと繋がっていった。
浸透戦術
塹壕 塹壕突破戦術
浸透戦術は、ドイツ軍がリガ攻勢やカポレットの戦い、1918年春季攻勢で実施した戦術である。長い塹壕線には、部分的に手薄な地点や防御上の死角がどこかにあり、分隊単位で編成された軽装備の突撃部隊（Stoßtrupp）が、現場の判断でそうした地点を探して突破し、防御側との交戦を避けつつ第二、第三線の塹壕も突破する。複数地点で同時にこの攻撃を実施することで防御側を混乱させ、その間に司令部や砲兵陣地を衝く。指揮系統との連絡や砲兵の支援を失った防御側の前線部隊は無力化されることになる。ドイツ軍は浸透戦術を採用してカポレットの戦いに圧勝し、西部戦線でも前進に成功した。だが突撃歩兵はあくまで軽歩兵であり、限られた装備・補給しか持たないので、防御側が十分な予備兵力を持ち、迅速に戦線の穴を塞ぐと、それ以上の突破を続けることは困難であった。
電撃戦
第一次世界大戦で敗れたドイツ軍は、第二次世界大戦では戦車の集中使用による電撃戦を創始した。まず歩兵部隊が浸透戦術をもって防御側の戦線に穴を開け、防御側の予備兵力がこれを塞ぐ前に戦車部隊が穴から突出し、一挙に敵の背後に回り込む。1939年のポーランド戦（厳密には電撃戦ではなく殲滅戦理論に基づいたものである）や1940年のフランス戦では、ドイツ軍は電撃戦により連合軍をわずか数週間で崩壊させた。しかしその後も、1943年以降のイタリア戦線や、大戦後の朝鮮戦争など、戦車の集中運用が困難な山岳地帯が戦場となった場合は、引き続き塹壕戦が展開された。
塹壕 現代の歩兵と塹壕
現代戦でも、歩兵は拠点の制圧や防衛に欠かせない兵科として運用されている。拠点を精密に攻撃する兵器の登場により、格好の標的とされやすい要塞やトーチカは、歩兵の防御戦闘ではかつてに比べ意義を大きく減じている。逆にそうした兵器は、広範囲に分散して塹壕に潜む歩兵部隊に大きな損害を与え難いとされる。
戦車の生みの親でもある英国のチャーチルが開発させた、130トンにも達する巨体で鈍重な塹壕掘削機カルチベーター No.6は、恐竜的な時代遅れの存在とみなされ実戦運用されることは無かったが、大戦以後に長足の発展普及を遂げた土木重機の技術、あるいはそのものを応用（陸上自衛隊の掩体掘削機など）することで、機械化部隊の来寇にも対応しうる速さで塹壕や掩体壕を含む陣地等の構築が可能になり、各国の工兵はこれらの重機械を広く装備するようになった。中にはあらためて塹壕掘削専用の機材も、1970年代のソ連でBTM-3などが開発され、2020年代現在のロシア軍でも保有運用が続けられている。
塹壕 現代の歩兵と塹壕
核爆発ですら、防護服に身を包んで広範囲の塹壕に散らばる歩兵を、完全に一掃するには至らない。そもそも、分散した歩兵大隊を倒すのに、戦術核兵器を幾つも使用することは、費用対効果の面で非常に無駄が多く、仮に制圧できたとしても、使用後に放射能汚染を残すため、その地点は使用不可能となる。また、核兵器を実戦で使用すれば、国際社会から激しい非難を受けることは免れず、戦争を継続する大義が失われてしまう。
その一方で、高威力で放射能汚染が無く、戦術核と比較しても安価な燃料気化爆弾の登場は、次第にこれら塹壕の存在意義を脅かしつつある。この爆弾は、広範囲に大幅な気圧の変化を伴う衝撃波を発生させ、塹壕内の兵士を圧死させてしまう。近距離では莫大な熱量を瞬間的に発生させるため、これによる被害も大きいとされる。
なお1990年代の湾岸戦争において、援護されたドーザーブレードを装着した戦車により、イラク軍の塹壕をそのまま埋め立ててしまう作戦が行われた。この作戦は塹壕戦における新しい脅威とも言えるが、逃げ遅れたイラク兵の一部が生き埋めとなったという報告があることから、人道上において忌み嫌われる「戦争行為を逸脱した残虐な殺害」に当たるのではないか、とアメリカ合衆国で議論となった。
2022年ロシアのウクライナ侵攻では、ロシア軍とウクライナ軍双方がドローンを積極的に使用。塹壕内の兵士の位置をドローンにより把握して爆発物を投下、もしくはドローン自体を突入させるなどの作戦行動が取られた結果、塹壕の有効性に影響が生じた。
ジアゾニウム化合物
ジアゾニウム化合物（ジアゾニウムかごうぶつ、diazonium compound）は分子内に置換基 −N+≡N を含む有機窒素化合物である。一価のモノカチオン性置換基 −N+≡N をジアゾニオ基 (diazonio)、R−N+≡N と表されるカチオンをジアゾニウムイオン (diazonium ion)、ジアゾニウムイオンを含む塩のことをジアゾニウム塩と呼ぶ。
ジアゾ化（ジアゾか、diazotization）とは、一級アミンに亜硝酸 (HNO2) または亜硝酸エステル (RONO) などを作用させ、対応するジアゾニウム化合物を得る反応である。広義には、ジアゾニウム化合物を経由する各種合成反応も含む。
一般にジアゾニウム塩は反応活性が高く、反応中間体としてさまざまな用途に用いられる。
ジアゾニウム化合物 調製と性質
一級アミンを酸性水溶液中で亜硝酸塩（おもに亜硝酸ナトリウム）に作用させると、速やかにジアゾニウム塩を生成する。この反応は1858年に J. P. Griess により発見された。Griess反応とも呼ばれるこの反応は、脂肪族アミンでも芳香族アミンでも同様に進行するが、脂肪族アミンの場合は氷冷下でもジアゾニウム塩が速やかに分解する。
亜硝酸による反応の活性種は N2O3 で、アミンと付加してできる中間体 R−N+H2−N=O から脱水してジアゾニウムイオンに変わるものと考えられている。
ジアゾニウム化合物 調製と性質
共鳴効果による安定化の寄与を持つ芳香族ジアゾニウム塩はある程度安定で、カウンターアニオンを適切に選択すれば固体として単離することも可能である。一般には HSO4− < Cl− < NO3− < ClO4− の順に安定であると言われている。しかし、芳香族ジアゾニウム塩であっても乾燥、加熱、日光下では N2 ガスを放出して分解し、大量の場合は爆発することもある（図ではイオン機構で分解するように表現したが、ラジカル機構による場合もある）。テトラフルオロホウ酸塩やヘキサフルオロリン酸塩は比較的安定で単離して取り扱うことができ、後者は市販品が入手可能である。ヘキサクロロ白金(IV)酸アニオンとは塩 [PtCl6](ArN2)2 を形成する。しかし通常はジアゾニウム化合物を保存して用いる手法はとられず、もっぱら上記のジアゾ化反応により系中で発生させる。
芳香環が単純なジアゾニウム塩は水に溶けやすく、アルコールに難溶、エーテルにはほとんど溶けない。芳香族ジアゾニウムイオンは酸性水溶液ではジアゾニウムとして存在するが、水酸化アルカリ MOH とはジアゾタート M+[Ar−N=N−O−] を形成する。芳香族ジアゾタートは2つの異性体を持ち、加温により n-体（ノルマル体、直鎖状）から iso-体（イソ体、枝分かれ構造の一種）へと変化する。 芳香族ジアゾタートは無機酸により芳香族ジアゾニウム塩へ戻る。
芳香族ジアゾニウムイオンはまた、シアン化カリウムと反応するとジアゾシアニド ArN=NCN を生成し、亜硫酸水素カリウムと反応するとジアゾスルホナート ArN=NSO3− K+を生成する。ジアゾシアニドもジアゾスルホナートも n-体と iso-体との異性体が存在する。
脂肪族のジアゾニウム塩は容易に置換反応や脱離反応を起こすため、単離されることはほとんどない。デミヤノフ転位や、ジアゾメタンによるカルボン酸のメチル化などにおいて、活性の高い反応中間体として現れる。
ジアゾニウム化合物 ジアゾニオ基の性質
ジアゾニオ基は電子求引性と求核置換反応における脱離性が非常に強い。電子求引性を評価するハメットのρ値は ρm = 1.76、ρp = 1.91 と求められており、この値はニトロ基などの代表的な電子求引基よりもはるかに高い。脱離性が高いのは脱離後に生じる窒素分子 (N2) の生成がエントロピー的にもエンタルピー的にも非常に有利なためである。これらの性質により、ジアゾニウム化合物は以下のようなさまざまな合成反応に利用される。
ジアゾニウム化合物 ジアゾニウム塩の反応
芳香族ジアゾニウム塩は有機溶媒に難溶な場合が多く、もっぱら水溶液中でジアゾ化反応が実施される。その場合不安定なジアゾニウム塩が分解すると速やかに溶媒の水と反応し、元のアミノ基の位置で置換したフェノール化合物が得られる場合が多い。この反応はSN1的であり、他のジアゾニウム塩を用いた反応の副反応となる場合が多い。これを防ぐため、濃硫酸中でジアゾ化を行うことがある。脂肪族ジアゾニウム塩は水に対してきわめて不安定で、SN2的な求核置換反応により直ちにアルコールと窒素に分解する。
以下に、ジアゾニウム塩を用いる各種合成反応を挙げる。
芳香族ジアゾニウム塩をフッ素を除くハロゲン化銅(I)あるいはシアン化銅(I)、チオシアン化銅(I)の存在下に生成させ、加温分解すると、元のアミノ基の位置が対応するハロゲンあるいはシアノ基・チオシアノ基で置き換えられた置換アリール体が得られる。この反応は1884年に発見した T. Sandmeyer に因んでザンドマイヤー反応と呼ばれる。この反応は一電子移動を含むラジカル的な機構を経て進行し、中間体としてアリール銅化合物を経由すると考えられている。
(X = Cl, Br, CN, SCN)
ハロゲンがフッ素の場合はフッ化銅(II)がフッ化銅(I)に比べて安定なため反応が進行しない（フッ化銅(I) は放置すると不均化を起こしてフッ化銅(II)と金属銅となる）。