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射影作用素 ノルム空間上の射影作用素
考えるベクトル空間 X が（有限次元とは限らない）ノルム空間のとき、（有限次元の場合には関係ないが）解析学的なことも考えないといけないので、ここでは X はバナッハ空間であることを仮定する。
先に述べた代数的な概念の多くはこの文脈においても有効である。例えば、互いに補空間となるような部分空間への X の直和分解が与えられればやはり射影が定まるし、逆に射影からそのような直和分解が得られる。実際、X が直和分解 X = U ⊕ V を持つとき、P(u + v) = u で定義される作用素はやはり値域 U および核 V の射影である（P2 = P は明らかである）。一方 P が X 上の射影、即ち P2 = P を満たすならば (I − P)2 = (I − P) は容易に確かめられ、即ち (I − P) もまた射影となる。関係式 I = P + (I − P) から X が Ran(P) ⊕ Ran(I − P) なる直和に分解されることが従う。
射影作用素 ノルム空間上の射影作用素
しかし、有限次元の場合とは対照的に、射影は一般に連続とは限らない。実際、X の部分空間 U がノルムの定める位相に関して閉でないときは U の上への射影は連続でない。同じことだが、連続な射影 P の値域は必ず閉部分空間でなければならない。更には、連続射影の（実は一般の連続線型作用素の）核は閉部分空間である。従って、連続射影 P は X の互いに補空間となる閉部分空間の直和への分解 X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P) を与える。
逆は、適当な仮定を追加すれば成り立つ。U を X の閉部分空間とすると、X = U ⊕ V となる閉部分空間 V が存在する場合に限り、値域が U, 核が V となる射影 P は連続である。これは閉グラフ定理から従う。即ち、xn → x かつ Pxn → y とするとき、Px = y が示されればよい。U が閉で、{Pxn} ⊂ U だから y は U に属し、Py = y が成り立つ。また、xn − Pxn = (I − P)xn → x − y である。このとき、V は閉で {(I − P)xn} ⊂ V だったから、x − y ∈ V 即ち P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0 を得て、主張が示される。
射影作用素 ノルム空間上の射影作用素
今の議論では U, V がともに閉であるという仮定が効いているが、閉部分空間 U が与えられたときにその閉補空間 V の存在は一般には保証されない。ただし、ヒルベルト空間では直交補空間をとることで常にそれができる。バナッハ空間の場合には、一次元部分空間が常に閉補空間を持つことが、ハーン・バナッハの定理から直ちに従う。実際、U を u が張る一次元部分空間とすると、ハーン・バナッハから、有界線型汎函数 φ で φ(u) = 1 なるものがとれる。このとき、作用素 P(x) := φ(x)u は P2 = P を満足し、射影となる。φ の有界性から P の連続性が出るから、従って Ker(P) = Ran(I − P) が U の閉補空間となる。
そうは言うものの、開写像定理により、バナッハ空間上の任意の連続射影は開写像であることが言える。
射影作用素 応用およびさらに進んだ議論
射影（直交射影とその他）は、線形代数の問題でのいくつかの計算アルゴリズムにおいて、重要な役割を果たす。
上で述べたように、射影というのは冪等作用素の特別なものであり、解析学的には直交射影は特性函数の非可換な一般化になっている。可測集合の特性函数を考えることから測度論が始まったように、冪等作用素は（例えば半単純多元環などの）分類にも用いられ、それゆえ想像のつくとおり、射影作用素も作用素環論の文脈で極めて頻繁に用いられる。特に、フォン・ノイマン環はその射影の成す完備束によって生成される。
射影作用素 物理への応用
量子論では，ある条件を満たす状態の全体は状態空間の部分空間と考えることができるので，量子力学的な命題と部分空間，すなわち射影演算子とを対応させることができる(量子論理)．
統計力学では、運動の粗視化を射影演算子を使って定式化する方法(射影演算子の方法)がある．
分子対称性、分子振動、格子振動、結晶の波動関数では、任意の関数からある対称性に従う関数のみを作りたい時に、射影演算子が用いられる。たとえば射影演算子を用いれば、既約表現の表現行列からその基底関数（基準振動、基準モードなど）を求めることができる。
射影作用素 一般化
より一般に、ノルム空間の間の写像 T: V → W が与えられたとき、同じようにこれが核の直交補空間上の等距写像となることを要求することができる。その  は等距であり、特に全射でなければならない。直交射影の場合というのは W が V の部分空間であるときである。リーマン幾何学においてこのことはリーマン沈め込みの定義に使われている。
菊池氏
菊池氏（きくち し）は、武家・華族だった日本の氏族。平安時代より九州肥後国菊池郡（熊本県菊池市）を本拠とした豪族で南北朝時代には歴代当主が南朝方武将として活躍したが、南北朝合同後に衰退し、戦国時代に大友氏に滅ぼされた。支流が米良氏として残り、江戸時代には交代寄合、明治維新後は菊池に復姓して華族の男爵家に列した。
菊池氏 概要
中関白藤原道隆の子大宰権帥藤原隆家の子孫と伝承されるが、実際には刀伊の入寇の際に隆家とともに奮戦した大宰府官で、その戦功により大宰少弐、対馬守となった藤原政則の子孫であると見られる。11世紀後半から肥後国菊池郡（熊本県菊池市）の在地領主として勢力を拡大。平安時代末の治承・寿永の乱の頃の当主菊池隆直は、一国棟梁的存在として菊池権守と呼ばれ、鎌倉時代には鎌倉幕府御家人に列した。鎌倉中期の当主菊池武房は蒙古襲来時に奮戦した。1333年には菊池武時が鎮西探題館に討ち入って戦死したが、その子菊池武重は後醍醐天皇の建武新政下において肥後守に叙せられ、以降南北朝時代において菊池武重、菊池武敏、菊池武光が九州の南朝方武将として活躍した。両朝の和合後には菊池武朝が肥後の守護になり、菊池能運まで続いた。戦国時代には阿蘇惟長(菊池武経)や大友重治(菊池義武)などが菊池の名跡を継いだが、義武の時代に大友義鎮に滅ぼされた。能運の子孫は日向国米良（宮崎県児湯郡西米良村）へ逃れ、以後米良氏を名乗るようになったという。米良氏は江戸時代には交代寄合（参勤交代をするが、5000石格の無高で肥後国人吉藩相良氏の扶養という特殊な交代寄合家だった）として続き、明治になり、菊池姓に復し、南朝忠臣菊池氏の末裔の由緒から華族の男爵に叙された。
菊池氏 肥後菊池氏
中国の歴史書『三国志』中の「魏志」第30巻烏丸鮮卑東夷伝倭人条（魏志倭人伝）に登場する狗奴国の官・狗古智卑狗（くこちひく）を、その名前より「菊池彦」に通じるとし、熊本県菊池郡や菊池氏との関連を指摘する説がある。平安時代初期に編纂された勅撰史書『続日本紀』には、文武天皇二年五月甲申（698年7月8日）の條に「令大宰府繕治大野基肄鞠智三城」（太宰府をして大野・基肄・鞠智の三城を繕い治めせしむ）の記述がある。また奈良時代の天平勝宝元年十一月三日（749年12月16日）に奈良東大寺が大宅可是麻呂から進上された61名の奴婢を記録した『奴婢帖』の中には「右京四條四坊戸主鞠智足人」の名が見える。平安時代中期の承平年間（931年 – 938年）に編纂された辞書『和名類聚抄』ではこの地名を「久々知」と註していることから、上代から古代にかけてはこの地域は「くくち」と呼ばれ「鞠智」と表記していたことがわかる。康保4年（967年）に施行された『延喜式』によるとすでに「菊池」の記載があることから、この頃までには「鞠智」に「菊池」の佳字を当てていたものと考えられる。
菊池氏 肥後菊池氏
菊池氏は、1019年（寛仁3年）の刀伊の入寇に戦功のあった大宰権帥藤原隆家の孫とされる藤原則隆が肥後国に下向して土着したとして藤原姓（藤原北家）を自称し、各種系図もこれに沿った内容となっているが、1959年（昭和34年）志方正和は公家が残した日記や『源氏物語』を研究した結果、藤原隆家の後裔とするのは仮冒であり、藤原隆家の下で大宰少弐であった則隆の父藤原政則について、肥後国住人と記述されていることをもって、政則と則隆の代1070年ごろ菊池周辺に土着したとする説を発表、この説が現在まで有力とされている。その出自については、太田亮による代々大宰府官を務めた紀姓の地方豪族とする説、さらには、狗奴国の官・狗古智卑狗（菊池彦） 後裔説、古代鞠智（くくち:山の麓の谷から平野へ出る口）族後裔説、源経基の後裔とする源姓説、など多様な説がある。
近年、政則の初名に「基定」と記された系図と由緒が公表され、これを隆家の五男・基定 (肥前守従五位下) であるとする新説と共に、則隆には、従五位下右近将監「則忠」、従五位下武部少輔「則宗」、従五位下肥前守「武重」という3人の弟がいたことが分かった。
菊池氏 肥後菊池氏
院政時代全国の在地支配層は、こぞって中央の有力者に荘園を寄進してその庇護を受け、院の武者として勢力を拡大しようとした。4代菊池経宗・5代菊池経直が鳥羽院武者と記録されていることからも、菊池氏がその例に漏れなかったことが推定される。このころまでに菊池氏一族の中に在地名を名乗る者が現れ、菊池氏一族が肥後国の在地勢力として定着拡散して行ったことが分かる。
平家台頭後は日宋貿易に熱心だった平清盛が肥後守に就任するなど、平家による肥後国統制が強化されると菊池氏は平家の家人と化したが、1180年（治承4年）源頼朝が兵を挙げると翌1181年（養和元年）6代菊池隆直は養和の乱を起こして平家に反抗した。隆直は翌年平貞能の率いる追討軍に降伏し、以後、平家の家人として治承・寿永の乱（源平合戦）に従軍したものの、壇ノ浦の戦いにおよんで源氏方に寝返り御家人に名を連ねた。源平の間を揺れ動いたことで頼朝の疑念を招き、隆直への恩賞は守護に任じられた少弐氏や大友氏・島津氏に遠く及ばず、逆に多くの関東系御家人を本拠地周囲に配置され、その牽制を受けた。
8代菊池能隆は承久の乱において後鳥羽上皇方にくみしたため、北条義時によって所領を減らされた。乱後、鎌倉幕府は鎮西探題を設置して、西国の押さえとした。10代菊池武房は元寇に際して、鎌倉幕府から博多に召集され、一族郎党を率いて元軍と戦闘を交え敵を討ち取った。
菊池氏 肥後菊池氏
菊池氏は、伝統的に源平勢力と一定の距離を保ち在地勢力の勇としての意地を見せてきたが、鎌倉幕府に衰えが見られるようになると朝廷とのつながりを深めた。12代菊池武時は後醍醐天皇の綸旨に応じ、1333年（元弘3年、正慶2年）阿蘇惟直・少弐貞経・大友貞宗をさそって鎮西探題北条英時を博多に襲ったが、貞経・貞宗の裏切りによって善戦むなしく鎮西探題館内で戦死した。
武時の遺志は嫡男13代菊池武重に引き継がれ、建武の新政成立後、楠木正成の推薦もあって肥後守に任じられた。武時の武功は高く評価され、その庶子菊池武茂・菊池武澄・菊池武敏らも叙任を受けた。
足利尊氏が建武の新政から離脱し反旗を翻すと、武重は後醍醐天皇の近くに仕え日本各地を転戦した。武重が関東で戦っているころ、京都を追われた尊氏が九州に逃れ少弐貞経の子の少弐頼尚が尊氏を赤間関に迎えに出た隙に、武重の弟菊池武敏は大宰府の貞経を攻めて滅ぼした。
1335年（建武2年）勢いづいた武敏は阿蘇惟直・秋月種道・蒲池武久・星野家能らを誘って多々良浜の戦いで足利方と戦ったが敗北し、菊池に逃げ帰った。尊氏が京都に攻め上ると、武敏は再度蜂起して足利方に反抗した。また、京都を脱出していた武重は1337年（南朝：延元2年、北朝：建武4年）帰国して武敏と合流し、足利方の一色範氏・少弐頼尚と戦った。以後、九州も南北朝の争乱に巻き込まれていくことになる。
菊池氏 肥後菊池氏
武重・武敏兄弟の死後、菊池氏勢力は沈滞の時期を迎えたが、南朝・後醍醐天皇の皇子懐良親王が、1339年（南朝：延元4年、北朝：暦応2年）征西将軍として九州に下向した。途中伊予国に滞在した懐良親王は、宇都宮貞泰を連れて1341年（南朝：興国2年、北朝：暦応4年）薩摩谷山に上陸、1343年（南朝：興国4年、北朝：康永2年）肥後国宇土において15代菊池武光に迎えられた。懐良親王は阿蘇惟澄の本拠地御船を経由して隈府城に入城した。
このころ中央では尊氏と弟足利直義の間に対立が深まり、1349年（南朝：正平4年、北朝：貞和5年）直義の養子足利直冬が九州に下向してきたため、九州は三勢力に分断された。しばらく三すくみの状態が続いたが、1351年（南朝：正平6年、北朝：観応2年）直義の失脚により直冬が九州を去ると、勢力を伸ばした懐良親王は1358年（南朝：正平13年、北朝：延文3年）武光やその兄弟武義・武澄らの働きによって大宰府を攻略した。以後、大宰府に征西府が置かれ九州における公的機関の様を呈していた。
菊池氏 肥後菊池氏
一方、業を煮やした幕府は1371年（南朝：建徳2年、北朝：応安4年）に新たに今川貞世を九州探題に任じた。武光は貞世と戦ったが敵わず、翌年には大宰府を失った。このような中で武光と16代菊池武政が相次いで没し、17代菊池武朝が後を継いだが、1377年（南朝：天授3年、北朝：永和3年）の蜷打の戦いで北朝方に大敗するなどさらなる敗戦を重ね、1381年（南朝：弘和元年、北朝：永徳元年）には本拠地をも追われてしまった。
そして、1392年（明徳3年）の南北朝合一を機に武朝は阿蘇惟政とともに了俊と和睦することになった。
18代菊池兼朝は必ずしも室町幕府に忠実ではなかったが、これまで守護であった阿蘇氏が阿蘇郡にしか勢力が及んでいない実情をみた室町幕府は兼朝を肥後守護職に任じた。次の19代菊池持朝の時代には大内氏とともに室町幕府に反抗的な少弐氏・大友氏と戦い、大友氏が持っていた筑後守護職を与えられた。ところが、20代菊池為邦の代に大友氏が幕府から罪を許されて筑後を大友氏と菊池氏の半国守護にすることになると、これに反発した為邦は大友氏と戦い、今度は幕府の怒りを買った菊池氏が筑後守護職を奪われてしまった。
菊池氏 肥後菊池氏
一方、菊池氏の本国である肥後でも阿蘇郡は前守護である阿蘇氏が阿蘇大宮司の立場を利用して同郡を掌握しており、菊池氏の勢力は小国地方に浸透したのみであった。球磨郡と芦北郡も鎌倉初期からの領主である相良氏が掌握しており、内乱時に菊池氏の安堵を得ることはあっても原則的には自立した存在であった。そして、八代郡を支配していた名和氏も菊池氏とは長年南朝方としてともに闘ってきた間柄で菊池氏とともに室町幕府に従った後も自立した存在であり続けた（宇土郡を支配する宇土氏が滅亡すると、同郡も併合している）。菊池氏が守護として確実に支配できた地域は天草郡と「国中」と称された7郡（玉名・山本・山鹿・菊池・飽田・託磨・益城各郡）および筑後守護時代に影響下に入った筑後の一部地域に限られており、それも後述の内紛によって縮小していくことになる。
菊池氏 肥後菊池氏
父である18代菊池兼朝を追って当主に就いた19代菊池持朝のころから菊池氏一族の間で家督をめぐる争いが持ち上がるようになっていたが、20代菊池為邦の弟で宇土氏の養子になっていた宇土為光が、甥である21代菊池重朝に対して1484年（文明16年）挙兵、敗れたものの重朝没後1501年（文亀元年）再度挙兵した。為光に追われた22代菊池能運は有馬氏を頼って玉名を経由して島原に逃れ、翌1502年（文亀2年）城重岑・隈部運治らと呼応して為光を自刃させた。能運は戦いに勝利したものの、戦傷がもとで1504年（永正元年）わずか23歳で死亡し、以後菊池氏の家督は庶流から輩出されるようになり、菊池氏家督は阿蘇氏や大友氏に横取りされ、こうして菊池氏は滅亡した。
能運の死後肥後国では下克上が進み戦国時代に突入したとされるが、菊池氏の遺領は菊池三家老と言われた赤星氏・城氏・隈部氏らが領するところとなった。
南北朝時代に菊池一族は後醍醐天皇の南朝方にあった。吉野の山中にて南朝を開き、京都朝廷(北朝)と吉野朝廷（南朝）が並立する南北朝時代に後醍醐天皇は、尊良親王や恒良親王らを新田義貞に命じて北陸へ向かわせたほか、懐良親王を征西将軍に任じて九州へ、宗良親王を東国へ、義良親王を陸奥国へと、各地に自分の皇子を送って北朝方に対抗させようとした。
菊池氏滅亡後、肥後国豪族米良が菊池能運の子米良重次の末裔を名乗り江戸時代に交代寄合に列せられた。米良氏は参勤交代をするが、5000石格の無高で肥後国人吉藩相良氏の扶養という特殊な交代寄合家だった。
明治時代になって菊池姓に復姓し、男爵に列せられた。昭和初期に、中島久万吉商工大臣と美濃部達吉貴族院議員を、それぞれ皇室へ不忠として糾弾し辞職に追い込んだ菊池武夫はこの菊池家の男爵である。また、八代氏の12代当主隆屋は一族郎党を連れて日向国の大名である北原氏を頼り、新しい本拠となった真幸院の地名・大河平をとって大河平氏に改姓、北原氏が滅亡後は薩摩島津氏の家臣となり、薩摩藩士として存続した。
他に庶流として西郷氏があり、将軍徳川秀忠生母の西郷局、会津藩家老西郷頼母、薩摩藩下級藩士西郷隆盛は菊池氏の出とされる。
そのほか宮崎県児湯郡西米良村、群馬県伊勢崎市北千木町、南千木町などにも菊池姓が見られる。
赤星親家
赤星統家 - 親家の子。大友義統より「統」の1字を賜う。
隈部親永
隈部親泰
城親冬
城親賢
城親基
鹿子木親員(寂心)
鹿子木鎮有 - 親員の孫。大友義鎮（宗麟）より「鎮」の1字を賜う。
宇土為光 - 菊池持朝の子、為邦の実弟。
竹崎季長
菊池氏 陸奥菊池氏
陸奥菊池氏も肥後菊池氏と同族で、建武の新政に関った人々の中に菊池一族も名前を連ねていることから後醍醐天皇の多くの皇子に伴って全国各地に散らばったとされる。
遠野菊池氏もその一族で、海路より青森県八戸に上陸し岩手県遠野にたどり着いたとされ、家紋にいわれが残っている。菊池氏は「丸に並び鷹の羽」もしくは「丸に違い鷹の羽」を用いることが多く、遠野菊池氏は通常の家紋に海路から入ったことを表す波紋が加えられ「丸に並び鷹の羽に波紋」で表す方が多いようである。人口の二割を菊池姓で占めている岩手県遠野市は1998年（平成10年）8月1日菊池市と友好都市宣言を結んだ。
この他にも岩手県では菊池姓、菊地姓を名乗る人が多く、遠野菊池氏の他にも宮城県石巻から北上川を北上してきた一族がいたなどの言い伝えが残っており、岩手県奥州市（江刺地域）に多い。末裔に中央大学初代総長の菊池武夫や盛岡の実業家菊池金吾などがいる。
菊池氏 常陸菊池氏
常陸国にも菊池氏がある。肥後菊池氏の流れをひく陸奥菊池氏と同族という。遠祖は関白藤原道隆。また、茨城郡谷田村にも菊池氏が見える。
多賀谷重経の家臣にも菊池氏の名が見える。他、久慈郡稲村神社の由来書には鎮守府将軍源義家が藤原広重の娘に産ませた、藤原義広に従属する武士として松浦氏、菊池氏、原田氏があったという。
なお、常陸国から佐竹氏の秋田転封に随行した菊池氏が数流見える。以下、菊池と名乗る家と菊地と名乗る家があるのでそれぞれ区別して掲載した。
菊池忠政はその子 政勝の代に秋田に随行した。知行高は200石という。
菊地武直は筑紫の生まれであるという。本姓 藤原氏。流離して出羽国に移住する。新田開発大番となる。
十左衛門の代に佐竹義宣に従い秋田に転封に随行し、出羽国仙北郡六郷に住み、隠居 佐竹義重に仕えるという。義重卒後は同郡刈和野に移り、後に秋田城下に移り住むという。
本姓は藤原氏。菊池正国の代に佐竹義宣に従い秋田に転封に随行するという。子孫は平鹿郡横手に住む。知行30石。 家紋は薄。
本姓は藤原氏。菊地金信の代に佐竹義宣に従い秋田に転封に随行するという。秋田郡十二所に住むという。
仙北郡角館に住まうという。十二所に45石を有する。
菊池氏 常陸菊池氏
はじめ常陸国宍戸藩主となった、秋田実季に仕えるという。その後、秋田藩 佐竹氏の一門 蘆名義勝に仕え、蘆名氏断絶後は佐竹一門の佐竹北家の義隣に仕えて仙北郡角館に住まうという。
武久の代に佐竹義宣に従い秋田に転封、平鹿郡横手に住まうという。
秀長の代に佐竹義宣に従い秋田に転封、子孫は雄勝郡湯沢に住むという。
佐竹義宣に従い秋田に転封、子孫は雄勝郡湯沢に住むという。知行50石であるという。
佐竹義宣に従い秋田に転封、子孫は雄勝郡湯沢に住むという。 知行16石という。
水戸藩に残留した菊池氏は献金により郷士の格式を得た者、帰農した者らが見え、江戸時代初期、献金郷士となった者に菊池小左衛門の名が見える。また、幕末・維新期において尊王志士や義民として活動する者も多く以下にその姓名を記す。
菊地忠衛門 … 久慈郡冥賀村の郷士。諱は隆英。水戸藩小十人組。安政2年（1855年）に編纂された『御領内義民賞典姓名録』に、9月4日付け、9月5日申し渡しとして志格別の趣につき、出格の儀、一代小十人列を許されるという。その後、安政5、6年（1858年、59年）、天狗党に加わり国事に奔走し、松平頼徳に従うも下国、10月、降伏する。慶応元年（1866年）7月3日、武蔵国川越で獄死。享年67。水戸市常磐墓地に墓。靖国神社合祀する。
菊池氏 下野菊池氏
また、下野国那須郡鍋掛にも菊地氏がある。肥後菊池氏の庶流である。
もともとは那須氏の家臣であるという。武行の代に佐竹義宣に従い秋田に転封に随行する。家紋は三本杉。
国譲り
国譲り（くにゆずり）は、日本神話において、天津神が国津神から葦原中国の国譲りを受ける説話。葦原中国平定（あしはらのなかつくにへいてい）ともいう。
国譲り あらすじ
高天原に住む天照大御神は、「葦原中国は私の子、正勝吾勝勝速日天忍穂耳命（まさかつあかつかちはやひあめのおしほみみ）が治めるべき国である」と命に天降りを命じたが、命は天の浮橋から下界を覗き、「葦原中国は大変騒がしく、手に負えない」と高天原の天照大御神に報告した。
高御産巣日神と天照大御神は天の安の河の河原に八百万の神々を集め、どの神を葦原中国に派遣すべきか問うた。思金神と神々が相談して「天菩比命（あめのほひ）を派遣するのが良い」という結論になった。高木神と天照大御神は天菩比命に葦原中国を統べる大国主神の元へ行くよう命じた。しかし、天菩比命は大国主神の家来となり、3年経っても高天原に戻らなかった。
高御産巣日神と天照大御神が八百万の神々に今度はどの神を派遣すべきかと問うと、八百万の神々と思金神が相談して「天津国玉神の子である天若日子（あめのわかひこ）を遣わすべき」と答えた。そこで、天若日子に天之麻迦古弓（あめのまかこゆみ）と天之羽々矢（あめのははや）と与えて葦原中国に遣わした。しかし、天若日子は大国主神の娘の下照比売（したてるひめ）と結婚し、自分が葦原中国の王になろうと企み8年たっても高天原に戻らなかった。これを不審に思った天照大御神と高御産巣日神は八百万の神々と思金神の勧めで雉名鳴女（きぎしのななきめ）を派遣して使命を果たさない理由を天若日子に尋ねさせた。
国譲り あらすじ
鳴女が天若日子の家の前で大きな鳴き声をあげると、天佐具売（あめのさぐめ）が「この鳥は鳴き声が不吉なので射殺してしまいなさい」と天若日子をそそのかした。そこで彼は高木神から与えられた天之波士弓（あめのはじゆみ）と天之加久矢（あめのかくや）で鳴女の胸を射抜き、その矢は天照大御神と高木神の所まで飛んで行った。高木神は血が付いていたその矢を、天若日子に与えた天羽々矢であると諸神に示して、「天若日子は命令に背かないで、悪い神の射た矢が飛んで来たのなら、この矢は天若日子に当たるな。もし天若日子に邪心あれば、この矢に当たれ」と言って矢を下界に投げ返した。矢は朝の寝床に寝ていた天若日子の胸を射抜き、彼は死んでしまった。
天若日子の死を嘆く下照比売の泣き声を、天にいる天若日子の父・天津国玉神や母が聞き、下界に降りて悲しみ喪屋（もや）を作った。天若日子によく似ていた阿遅志貴高日子根神（あじしきたかひこね）が弔いに訪れた時、天若日子の父と妻が「我が子は死なないで生きていた」「私の夫は死なずに生きていた」と言って阿遅志貴高日子根神に抱きついた。すると阿遅志貴高日子根神は「友人だからこそ弔問に来た。どうして穢らわしい死人と見間違えるのか」と怒り、大量（おおはかり）という剣で喪屋を切り倒し、蹴り飛ばしてしまった。この喪屋が美濃国の喪山であるという。阿遅志貴高日子根神の妹の高比売命は、以下の歌を詠んだ。
国譲り あらすじ
阿米那流夜 淤登多那婆多能 宇那賀世流 多麻能美須麻流 美須麻流邇 阿那陀麻波夜 美多邇 布多和多良須 阿治志貴多迦 比古泥能迦微曽也
天（あめ）なるや 弟棚機（おとたなばた）の うながせる 玉の御統（みすまる） 御統に 穴玉はや み谷 二（ふた）渡らす 阿治志貴高日子根の神ぞや
（天上の若い織姫が首に掛けている玉飾り、その玉飾りの大きい玉のような方は、谷を二つも渡られた阿遅志貴高日子根神です）
天照大御神が八百万の神々に今度はどの神を派遣すべきかと問うと、思金神と八百万の神々は「伊都尾羽張神（いつのおはばり、天尾羽張神）か、その子の建御雷之男神（たけみかづちのお）を遣わすべき」と答えた。天尾羽張神は「建御雷神を遣わすべき」と答えたので、建御雷神に天鳥船神（あめのとりふね）を副えて葦原中国に遣わした。
国譲り あらすじ
建御雷神と天鳥船神は、出雲国の伊那佐之小浜（いなさのおはま）に降り至って、十掬剣（とつかのつるぎ）を抜いて逆さまに立て、その切先にあぐらをかいて座り、大国主神に「この国は我が御子が治めるべきであると天照大御神は仰せられた。それをどう思うか」と訊ねた。大国主神は、自分の前に息子の八重事代主神（やえことしろぬし）に訊ねるよう言った。事代主神はその時、鳥や魚を獲りに出かけていたため、天鳥船神が事代主神を連れて帰り、国譲りを迫った。これに対して事代主神が「恐れ多いことです。言葉通りこの国を差し上げましょう」と答えると、船をひっくり返し、逆手を打って船の上に青柴垣（あおふしがき）を作って、その中に隠れた。
国譲り あらすじ
建御雷神が「事代主神は承知したが、他に意見を言う子はいるか」と大国主神に訊ねると、大国主神はもう一人の息子の建御名方神（たけみなかた）にも訊くよう言った。その時、建御名方神が千引石（ちびきのいわ）を手の先で持ち上げながらやって来て、「ここでひそひそ話すのは誰だ。それならば力競べをしようではないか」と建御雷神の手を掴んだ。建御雷神は手をつららに変えて、さらに剣に変化させた。逆に建御雷神が建御名方神の手を掴むと、若い葦を摘むように握りつぶして放り投げたので、建御名方神は逃げ出した。建御雷神は建御名方神を追いかけ、科野国の州羽の海まで追い詰めて殺そうとした。すると、建御名方神は「恐れ入りました。どうか殺さないでください。この土地以外のほかの場所には行きません。私の父・大国主神や、事代主神の言葉には背きません。天津神の御子の仰せの通りに、この葦原中国を譲ります」と言い、建御雷神に降参した。
国譲り あらすじ
建御雷神は出雲に戻り、大国主神に再度訊ねた。大国主神は「二人の息子が天津神に従うのなら、私もこの国を天津神に差し上げます。その代わり、私の住む所として、天津神の御子が住むのと同じくらい大きな宮殿を建てて下さい。そうすれば私は百（もも）足らず八十坰手（やそくまで）へ隠れましょう。私の180柱の子神たちは、長男の事代主神に従って天津神に背かないでしょう」と言った。すると、大国主神のために出雲国の多芸志（たぎし）の小浜に宮殿が建てられ、水戸神の孫・櫛八玉神（くしやたま）が沢山の料理を奉った。
建御雷神は葦原中国の平定をなし終えると、高天原に復命した。
国譲り あらすじ
天照大神の子の正哉吾勝勝速日天忍穂耳尊（まさかあかつかちはやひあめのおしほみみ)は、高皇産霊尊の娘である幡千千姫 （たくはたちぢひめ）を娶り、天津彦彦火瓊々杵尊(あまつひこひこほのににぎ)が生まれた。高天原に住む高皇産霊尊（高御産巣日神）は、自分の孫をよく可愛がり崇めていたので、天津彦彦火瓊々杵尊を葦原中国の君主にしようと考えた。しかし、地上には蛍火のように勝手に光る神や、ハエのように騒がしい邪神が多くいて、草や木さえも言葉を話せる状態であった。そのため、八十諸神（やそもろかみたち）を集めて、「私は、葦原中国の邪神達を平定したいと思っている。誰を派遣すべきか」と問うた。すると神々は「天穂日命（あめのほひ）は立派な神です。試してみてはどうでしょう」と進言した。しかし、遣わされた天穂日命は国津神の長・大己貴神（おおあなむち、『古事記』の大国主神）に媚びてしまい、3年になっても報告に戻らなかった。次に天穂日命の子の大背飯三熊之大人（おおそびのみくまのうし、武三熊之大人（たけみくまのうし）とも）が遣わされたが、父と同じく報告に戻らなかった。
国譲り あらすじ
高皇産霊尊はふたたび神々を集めて遣わすべき者を尋ねると、皆は「天国玉の子・天稚彦（あめわかひこ）を遣わすべき」と答えた。天稚彦は、高皇産霊尊から授かった天鹿児弓（あめのかごゆみ）と天羽々矢（あめのははや）を持って葦原中国へ向かった。ところが任務を果たさずに顕国玉（うつしくにたま、大己貴神のこと）の娘・下照姫（高姫（たかひめ）または稚国玉（わかくにたま）ともいう）を娶って、葦原中国を支配しようとまで企んだ。
高皇産霊尊は長く報告が来ないことを怪しみ、無名雉（ななしきぎし）を遣わした。雉が天稚彦の門前にある湯津杜木（ゆつかつら）の梢に止まるのを目撃した天探女（あめのさぐめ）は天稚彦に「奇妙な鳥がカツラの木にいます」と告げた。すると天稚彦は高皇産霊尊から与えられた天鹿児弓と天羽々矢で雉を射抜いて、その矢は高皇産霊尊の所まで飛んで行った。高皇産霊尊は矢を見て、「この矢は昔、天稚彦に授けたもので、血に染まっている。国津神と戦っていたのだろうか」と言って、矢を投げ返した。その矢は新嘗祭の後に休んで寝ていた天稚彦の胸に命中して、彼は死んでしまった。
国譲り あらすじ
天にいる天稚彦の父・天国玉が夫の死を嘆く下照姫の泣き声を聞き、疾風（はやて）を遣わして死体を天に運ばせ、喪屋を作って殯（もがり）を行った。天稚彦の親友で、彼によく似ていた味耜高彦根神（あじすきたかひこね）は天に昇って弔いに訪れた時、天稚彦の親族や妻子は皆、「我が君は生きていた」と言って衣服にすがりついて喜びに沸いた。すると味耜高彦根神は「友達を弔うために穢を受けるのを覚悟してここへ来た。どうして死人と間違うのか」と怒り、大葉刈（おおはがり、神戸剣ともいう）で喪屋を切り倒した。これが落ちて、美濃国の藍見川（あいみのかわ）にある喪山になったという。
高皇産霊尊は神々に今度はどの神を派遣すべきかと問うと、皆は磐裂・根裂神の子である磐筒男・磐筒女の子・経津主神（ふつぬし）を薦めた。その時、天石窟（あまのいわや）に住む神、稜威雄走神（いつのおはしり）の子・甕速日神（みかはやひ）、甕速日神の子・熯速日神（ひのはやひ）、樋速日神の子・武甕槌神（たけみかづち）がいた。武甕槌神は進み出て「経津主神だけが丈夫（ますらお）で、私は丈夫ではないというのか」と抗議した。大変熱心に語るので、経津主神に副えて葦原中国を平定させることにした。
国譲り あらすじ
経津主神と武甕槌神は出雲国の五十田狹之小汀（いたさのおはま）に降り到って、十握剣（とつかのつるぎ）を抜いて逆さに地面に突き立て、その剣先にあぐらをかいて座り、大己貴神に「高皇産霊尊は皇孫（すめみま）を天から降してこの地に君臨しようと思っているため、地上を平定するために我々を派遣された。ご意向はどうだ」と問い詰めた。すると大己貴神は、息子に尋ねてから答えを出すと言った。
その時、その子の事代主神は出雲国の三穂之碕（みほのさき）に魚釣り（あるいは鳥の狩り）をしていた。そこで、2柱の使者は熊野諸手船（くまののもろたふね、天鴿船（あまのはとふね）とも）に使者の稲背脛（いなせはぎ）を乗せて事代主神の元へ遣わした。事代主神は使者に、「父は去るべきでしょう。私もそれに違反しません」と答えて、海の中に八重蒼柴籬（やえあおふしかき）を作り、船の端を踏んで姿を消した。
稲背脛が帰って報告すると、大己貴神は2柱の神に「頼りの息子は去ってしまったので、私も去ることにします。もしも抵抗すれば、国中の神々も同じように戦います。しかし、私が身を引けば、従わない者はいないでしょう」と言った。そして国を平定した時に用いた広矛（ひろほこ）を2柱の神に授けて、「天孫がこの矛を以て国を治めれば、必ず平安になるでしょう。私は今、百（もも）足らず八十隈（やそくまで）へ隠れます」と言い終えて、姿を消した。
国譲り あらすじ
すると、経津主神と武甕槌神の2柱は服従しない鬼神を処罰して、地上を平定した。 一書によると、2柱の神は邪神と草木・石を征伐した時、星の神・香々背男（ほしのかがせお）だけは最後まで抵抗した。そこで倭文神（しとりがみ）である建葉槌命を遣わせて服従させた。それで2柱の神は天に復命した。
一書によると、天照大神が天稚彦に「豊葦原中国は、私の子が治めるべき地である。しかし、強暴な悪い神々がいるので、先に行ってこれを平定せよ」と命じて、彼に天鹿児弓（あまのかごゆみ）・天真鹿児矢（あまのまかごや）を授けて地上へ遣わした。しかし天稚彦は多くの国神（国津神）の娘を娶って、8年経っても報告に戻らなかった。
国譲り あらすじ
そこで天照大神は思兼神を召して、来ない理由を尋ねた。思兼神は、雉（きぎし）を遣わして天稚彦に聞かせよう、と進言した。派遣された雉は天稚彦の門の前の湯津杜樹（ゆつかつら）の梢に止まって、「天稚彦は何故、8年もの間、復命をしないのか」と鳴き問う。その時、国神の天探女が雉を見て「鳴き声の悪い鳥はこの木の上にいます。射殺しましょう」と言った。天稚彦は天鹿児弓・天真鹿児矢で雉を射抜いて、その矢は雉の胸を貫き遂に天神（天津神）の所にまで届いた。その矢を見た天神は「天稚彦に与えた矢が、何故ここにあるのか」と言った後、矢を手に取って「もしも邪な心で矢を射ったのなら、天稚彦は必ず害に遭うだろう。だがもし正しい心を以て射ったのなら、何も悪いことは起きないだろう」と呪いを掛けて矢を投げ返した。その矢は天稚彦の胸に命中して、彼は即死した。
天稚彦の妻子たちが天から降りて、棺を持ち帰り、天に喪屋を作って殯を行った。天稚彦の親友の味耜高彦根神も天に昇って友を弔い、大いに泣いた。ところが、天稚彦とよく似ていたため、天稚彦の妻子たちは「我が君は生きていた」と言って、その衣服にすがりついていた。すると味耜高彦根神は怒り「亡くなった友を弔うためにここへ来た。どうして死人と間違うのか」と言って、十握剣で喪屋を切り倒した。その小屋が落ちて美濃国の喪山となった。
国譲り あらすじ
ここでは、「天なるや 弟たなばたの うながせる 玉のみすまるの 穴玉はや み谷 ニ渡らす 味耜高彦根」という歌は葬式の参加者、あるいは味耜高彦根神の妹の下照媛が作ったものとされる。更にもう一つの歌を歌ったという。
阿磨佐箇屢 避奈菟謎廼 以和多邏素西渡 以嗣箇播箇柁輔智 箇多輔智爾 阿弥播利和柁嗣 妹慮予嗣爾 予嗣予利拠祢 以嗣箇播箇柁輔智
天（あま）離（さか）る 夷（ひな）つ女（め）の い渡らす迫門（せと） 石川（いしかは）片淵（かたふち） 片淵に 網張り渡し 女ろよしに よし寄り来（こ）ね 石川片淵
（田舎の女が瀬戸を渡って石川の片淵に魚をとる。その淵に張り渡した網を引き寄せるように寄っておいで、石川の片淵よ）
その時、天照大神は思兼神の妹・万幡豊秋津媛命（よろずはたとよあきつしひめ）を正哉吾勝勝速日天忍穂耳尊に娶せた。天照大神は彼に天降りを命じたが、天の浮橋に立った天忍穂耳尊は地上を見て、「未だに平定されていないこの醜い国は嫌だ」と言って、すぐに天に戻った。そのため、天照大神は武甕槌神と経津主神を派遣した。
国譲り あらすじ
2柱の神は出雲に降りて、大己貴神に「この国を天の神に譲るか」と問うた。大己貴神は「私の子の事代主は鳥を狩りをしに三津之碕（みつのさき）にいます。彼を尋ねてからご返事致します」と答え、使者を遣わして訪ねさせた。事代主神は「天神の要求されるところであれば、奉りましょう」と返事して、大己貴神はその言葉を報告した。2柱の神は葦原中国が平定されたことを復命すると、天照大神は天忍穂耳尊にふたたび天降りを命じた。しかし、この時には既に皇孫（瓊々杵尊）が生まれていたため、天忍穂耳尊は「私の代わりにこの皇孫を降臨させようと思います」と申し上げた。その結果、皇孫が地上へ降ることになった。
天神は経津主神と武甕槌神を遣して葦原中国を平定させようとした時、2柱の神は「天には天津甕星（あまつみかほし）、またの名を天香々背男（あまのかかせお）という悪い神がいるので、まずこの神を征服してから葦原中国を平定しよう」と告げた。天津甕星を征するための斎主神（いわいぬしのかみ）は斎之大人（いわいのうし）とも言い、東国の檝取（かとり）の地に鎮座する。
国譲り あらすじ
2柱の神は出雲の五十田狹の小汀に降りると、大己貴神に「この国を天の神に譲るか」と問い詰めた。大己貴神は天津神を騙って我が国を奪いに来たのかと疑い同意しなかったので、経津主神は一旦天に戻って報告した。そこで高皇産霊尊は再び2柱の神を大己貴神に遣わして、「現世の政治は我が孫が治めるべきものなので、代わりに幽世の神事を掌れ。お前の住むべき天日隅宮（あまのみすみのみや）を造ろう。お前の祭祀を掌るのは天穂日命である」と言った。すると大己貴神は「天神の仰せは行き届いております。従わない訳にはいきません」とようやく交換条件を受諾する。岐神（ふなとのかみ）を2柱の神に自分の代わりとして推薦してから、大己貴神は永久に隠れた。
経津主神は岐神を先導役として、葦原中国を平定した。服従しなかった者を斬り殺して、従った者には褒美を与えた。この時に帰順した首長は、大物主神（おおものぬし）と事代主神であった。そして大物主神と事代主神は八十万神を天高市（あまのたけち）に集めて、それらを率いて天に昇って忠誠心を示した。高皇産霊尊は大物主神に「もし国神を娶れば、お前には謀反の心があると思ってしまう。だから、私の娘の三穂津姫（みほつひめ）をお前の妻とさせたい。八十万の神々を率いて、永遠に皇孫（すめみま）を守護し奉れ」と勅して、下界に帰り降らせた。
高皇産霊尊が皇孫の瓊々杵尊を葦原中国に降臨させようとした時、八十諸神に「葦原中国は大きな岩や、木の株、草の葉もよく言葉を話す。夜は火の粉のように喧しく、昼はハエのように沸きあがっている」、と云々。
高皇産霊尊は、「昔、天稚彦を葦原中国に遣わした。今でも報告に来ないのは、国神には抵抗する者があるからだろうか」と言い、無名雄雉（ななしおのきぎし）を遣わした。この雉が飛び下って、粟や豆の畑に留って帰らなかったので、高皇産霊尊は今度無名雌雉（ななしめのきぎし）を送り出した。この鳥は天稚彦の矢に当たって、天に戻って報告した。
ここからは天孫降臨に繋がる。その項も異伝であり、要所要所で略すのは他の書と酷似するからと思われる。
『出雲国造神賀詞』では記紀と少し異なる国譲り神話が語られている。
高天原を治める高御魂命（高御産巣日神）が出雲国造の遠祖・天穂日命を国土の視察に派遣した。天穂日命は地上をくまなく視察した後、「豊葦原水穂国は、昼はハエのように喧しく、夜は炎のように光り輝く荒々しい神々が蔓延り、岩も木も青い水の泡までもが物言う荒れ狂う国である」と報告し、自分の子である天夷鳥命（あめのひなとり）に布都怒志命（経津主神）を副えて地上へ派遣した。荒ぶる神々は平定され、地上を開拓経営した大穴持大神は国譲りに同意した。すると大穴持命は自分の和魂（大物主神）を大御和社に、更に子たち（阿遅須伎高孫根命・事代主命・賀夜奈流美命）をそれぞれ葛木の鴨、宇奈提（うなせ）、そして飛鳥に鎮座させて、皇室の守護神とした。そうした後に、大穴持命自身は八百丹杵築宮に鎮まり留まったという。
『古語拾遺』には『日本書紀』と同様の国譲り神話が含まれている。
天照大神と高皇産霊尊は天津彦尊（皇孫命）を葦原中国の君主にしようと欲して、地上を平定するために経津主神（磐筒女神の子、下総国香取の神）と武甕槌神（甕速日神の子、常陸国鹿島の神）を遣わす。大己貴神とその子の事代主神は身を引くのに同意して、2柱の神に矛を授けてから姿を消した。経津主神と武甕槌神は帰順しない鬼神を討伐して、天に復命した。
『先代旧事本紀』に見られる国譲り神話は『古事記』と『日本書紀』の記述を組み合わせたと思われるものでそれらとほぼ同様だが、大きな違いのいくつかは以下の通りである。
天照大神は「葦原中国を我が子・正哉吾勝勝速日天押穂耳尊が治めるべき国である」と天降りを命じたが、栲幡千千姫命との間の子・天照国照彦天火明櫛玉饒速日尊（あまてるくにてるひこあまのほのあかりくしたまにぎはやひ）が生まれると天押穂耳尊は「準備している間に生まれた子を先に送り出そうと思います」と申し上げた。天照大神がこれを許可して、天神の御祖から十種の神宝を授かった饒速日尊は大勢の神々と共に天磐船（あめのいわふね）に乗って河内国の河上の哮峰に天降り、大倭国の鳥見（とみ）の白庭山（しらにわのやま）に移る。饒速日尊は後に長髄彦の妹の御炊屋姫（みかしきやひめ）を娶るが、子供が生まれる前に復命せず亡くなってしまう。速飄神（はやてのかみ）から饒速日尊の死を聞いた高皇産霊尊は悲しみ、その遺体を天上に上げさせて7日7夜の葬儀を行った。
この後には『古事記』と同様、天押穂耳尊が下界を視察して、葦原中国は騒がしい国だと判断して天降りを拒否する。
『出雲国風土記』では記紀所載の国譲り神話のような話は見られないが、意宇郡母理郷の条では大穴持命（大国主神）が自主的に出雲国以外を譲るという伝承が語られている。
天（あめ）の下造らしし大神・大穴持（おほなもち）命、越の八口（やぐち）を平（む）け賜（たま）ひて還り坐（ま）しし時、長江（ながえ）の山に来（き）坐（ま）して詔（の）りたまひけらく、「我が造り坐して命（し）らす国は、皇御孫（すめみま）命、平世（とこよ）に知らせと依さし奉り。但（ただ）、八雲立つ出雲の国は我が静まり坐す国と、青垣山（あをがきやま）廻（めぐ）らし賜ひて、玉珍（たま）置き賜ひて守る」と詔りたまひき。故（かれ）、文理（もり）と云ふ。
国譲り 考証
日本の初期の稲作は陸稲が主流だったとされ、日向では、近畿や九州北部などで頻繁に出土する弥生時代の青銅器がほとんど出土しない。よって日向の文化はそれらよりも遅れて伝わったと考えられる。宮崎県埋葬文化センター所長の北郷秦道によれば、このことから、陸稲の生産効率の低さへの不満に、高天原の勢力が大国主に国譲りを迫った理由があると考えられるという。
記紀では天穂日命は国譲りの使者として天降って3年間も復命しなかった裏切り者のような存在として描かれているのに対して、『出雲国造神賀詞』では地上の様子をくまなく視察し、更に自分の子・天夷鳥命を布都怒志命（経津主神）とともに地上の平定のために天降りさせた神となっている。
武光誠は、『神賀詞』に見られる国譲り神話のほうがその原形に近いとしている。この説によると、この神話は元々出雲氏の祖・天穂日命が大国主神を鎮めるという形で伝えられたが、朝廷による支配が強まると、天穂日命の手柄が軽んじられるようになってしまった。一方、瀧音能之（2012年）は『神賀詞』では天穂日命が復命を怠った神とされていないと同時に、国譲りの交渉にも直接関わっていないことを指摘して、このことから『神賀詞』に見られる伝承は記紀の神話を意識して整えられたものであると主張している。
国譲り 考証
天若日子の矢が天に届く話は、ユダヤ教圏やイスラム教圏に見られる『創世記』（旧約聖書の一書）の登場人物・ニムロドにまつわる伝承と似ている。この伝承によると、ニムロドが天に矢を射た時、それが血に染まった状態で帰ってきた。傲慢であったニムロドは矢に付いていた血を見て神を射殺したと思ったが、彼が射たのはただの鳥であったという。
インドや中国にも同型の伝承が見られており、中東からインド・中国・東南アジアを経て日本に伝わったと考えられている。
『古事記』と『日本書紀』によると、天若日子の葬儀は鳥が執行した。
この話は、古代人が鳥を魂を運ぶ使者とみていたことから来ていると考えられている。アヂスキタカヒコネが弔問した時、天若日子の遺族が彼を天若日子と間違えたというのは、古代の葬式には鎮魂の意味があり、いわば復活儀礼の一種であるからとも考えられている。死者の魂は死の国に向かうのは死体が腐敗し始めてからと考えられ、それ以前は蘇る可能性があると信じられていたようである。天若日子の葬式には、死体が腐らないうちに魂を呼び寄せて復活させようとする意味が込められていると推定される。従って、鎮魂儀礼によって天若日子は生き返ったとその遺族が誤認したという解釈ができる。
国譲り 考証
『古事記』では国譲りの交渉に成功したのは建御雷神とされる一方、『日本書紀』ではこの場面に主に活躍するのが経津主神で、建御雷神（武甕槌神）が脇役となっている。（『古事記』では経津主神の事にはふれていないが、建御雷神が神武天皇に授けた剣・布都御魂が出てくる。また、建御雷神の異名には「建布都神（たけふつのかみ）」と「豊布都神（とよふつのかみ）」がある。）『出雲国造神賀詞』や『出雲国風土記』にも布都怒志命（経津主神）が登場する一方、建御雷神は見られない。このため、国譲り神話の原形には経津主神が主役として登場していたという説が挙げられている。経津主神は布都御魂の神格化で、それを祀った物部氏とは関係があるという見解もある。
国譲り 考証
丸山二郎（1947年）は建御雷神と経津主神をヤマト王権の発展と拡大に重要な役割を持った物部氏が奉斎していた神々とし、鹿島神宮と香取神宮は朝廷の祭祀を司る中臣氏と関係する以前に物部氏が東国へ進出した際に成立したものとしていた。いっぽう寺村光晴（1980年）は鹿島神宮がヤマト政権・物部氏との関係の下に成立していた香取神宮とは異なり在地性が強いため、本来は土着豪族の勢力下にあったという説を唱えていた。この説においては、物部氏の没落後に香取神宮とは別に新たな軍事と祭祀の基地が要求された結果、鹿島神宮がヤマト王権の勢力下に入った。この過程によって『古事記』や『日本書紀』には建御雷神と経津主神が混同されたような形になったという。
大和岩雄（1989年）は、『古事記』において大物主神の後裔とされる「建甕槌命」（三輪氏の始祖・意富多々泥古命の父）が建御雷神の原形で、国譲り神話に見られる天津神の「建御雷神」は中臣氏（後の藤原氏）の氏神とされるようになってから成立したものとしている。この説によると鹿島に祀られている神は元々は多氏が奉斎していた大物主系の建甕槌命で、道祖神的な性格を持った甕の神であったが、中臣氏が「雷」の神として剣神・武神という性格を持たせて、国譲り神話に挿入した。
国譲り 考証
宝賀寿男は、『古事記』の建甕槌命は『古事記』や『旧事本紀』に見られるその系図や他氏族との比較から、三輪氏の祖神で意富多々泥古命の曾祖父に位置づけた。また三輪氏と多氏はそれぞれ海神族と天孫族の出身であるとし、系図、習俗・祭祀体系からもこの二氏は全くの別族であり、建御雷神は最初から中臣氏（山祇族）の氏神であるとする。この説によると山祇族は火神・陸蛇（竜、オカミ）・雷に縁由があり、紀国造の系譜に見るように、迦具土神を始祖としており、また中臣氏上祖に「伊都、市」や「速」とあるように、祖系に複数の雷神が見えることから、建御雷神は天児屋命の父・興台産霊命と同一神であり、物部氏が奉斎した剣神たる経津主神（ここでは天目一箇命と比定）と、中臣氏が奉斎した雷神たる武甕槌神とは別の神とする。なお『神道大辞典』には「武甕槌神と経津主神とは同神とする説があるが、なほ別々の二神の名と見る方が妥当であらう」と記載されている。
国譲り 考証
建御名方神は『古事記』では国譲り神話のみに登場している。大国主神の子でありながらその系譜には名前が見られず、国譲りの場面にも唐突に出てくる。（前述の通り『旧事本紀』ではちゃんと大己貴神の系譜には記述があり、大己貴神と高志沼河姫の子となっている。）そればかりでなく、『出雲国風土記』や『出雲国造神賀詞』にある出雲国の伝承にも一切登場しない。この理由から、建御名方神を国譲り神話に挿入された諏訪地方の土着神、または『古事記』の編纂者もしくは朝廷側が造作した神とする説が挙げられている。なお、過去には建御名方神が伊勢津彦、御穂須々美命、天津甕星等のような神話が似ている神々と比定されることがあった。近年では長髄彦・天八現津彦命と同一視する見解もある。
国譲り 考証
『古事記』や『旧事本紀』に見られる建御名方神の敗走の話が諏訪大社の起源譚として認識されるようになったのは『諏方大明神画詞』（1356年）成立以降で、諏訪ではこれと異なる神話が伝えられている（諏訪明神こと建御名方神の洩矢神との覇権争いの話など）。この神話は古墳時代に起こった出来事を反映しており、『古事記』の説話のモデルともなったと考えられていたが、この伝承自体があまりにも聖徳太子と物部守屋の争い（丁未の乱）にまつわる伝承と似ていることから、中世の聖徳太子伝承の影響を色濃く受けた、あるいは聖徳伝承を基にして創作された神話であるという意見も近年になって出て来ている。
『古事記』では建御名方神が無様な負け方をした神として描かれているが、中世伝承では神功皇后や坂上田村麻呂に力を貸した立派な神とされ、平安時代末期から香取神宮や鹿島神宮に並ぶ軍神として広く信仰された。中世前期の諏訪大社の縁起は当時広く読まれていなかった『古事記』や『日本書紀』の影響なしに成立したものと考えられている。
諏訪大社は諏訪湖の南にある上社（かみしゃ）と、その北にある下社（しもしゃ）の2社から成る。建御名方神（諏訪明神）を祀る上社ではかつて大祝（おおほうり）と呼ばれる神官が神の神体とされ、現人神して崇められていた。この大祝は神の身代わりであるがゆえに在職中に穢れに触れてはならず、諏訪郡から出てはならないとされた。『古事記』では建御名方神が「この地を除（お）きては他処（あだしところ）に行かじ」と誓う場面は、この掟に関係するという説はある。ただし、大祝を権威や権力から超越した現人神とする信仰はそう古くなく、鎌倉時代に起こったもので、大祝の郡外不出の掟も『古事記』とは直接関係がないという説も挙げられている。
宝賀寿男は、本来の高天原（所謂邪馬台国）は北九州の筑後川中・下流域にあり、天孫降臨の地は現在の怡土郡・早良郡（現糸島市、旧伊都国）辺りで、葦原中国とは海神信仰の強い那珂郡（奴国）のことであって、現在でいう出雲国ではないとする説を提唱した。実際に奴国と想定される博多地域では志賀海神社や安曇氏など海神族の色合いが濃く、出土した金印の鈕も海神族のトーテムである蛇である。また事代主神と建御名方神の国譲りは、『日本書紀』の神婚譚にも見えるように、実際には現在の奈良県（旧大和国、大神・磯城周辺）であったとされる。実際に『出雲国風土記』には事代主神も建御名方神も登場しない。
ほかには、記紀神話における「出雲」を現実の出雲国だけではなく、ヤマト王権に帰順しなかったと思われる地域・部族の総称とする説もある。
臭気判定士
臭気判定士（しゅうきはんていし）とは、悪臭防止法に基づき創設された国家資格。
公益社団法人におい・かおり環境協会が実施する臭気判定士試験に合格した後や試験前に、各検査機関で実施する嗅覚検査に合格すれば免状が交付される。
臭気判定士 職務
1996年（平成8年）の悪臭防止法の改正により臭気測定法による臭気指数規制が導入され、 測定値（臭気指数）により、悪臭の発生源である事業者に対し、市町村が改善勧告・改善命令を行うことができ、測定値は罰則適用にも結びつくようになった。臭気判定士は、この測定法による測定を管理・統括する責任者で、臭気の濃さの正しい測定、評価により、環境保全に貢献する臭気環境分野で初めての国家資格である。
次のような仕事も行っている。
試料（サンプル）の採取
排出口の高さ（下向き・横向きダクトの場合はダクトの下部を排出口の高さとする）・断面積・臭質を確認する
現場で試料（サンプル）を採取する
排出口高さが15m以上の場合は、JIS Z 8808を基に排ガス流量の測定等を行い、2号規制の基準値(第6条の2による計算法で許容臭気指数)を求めるための情報を得る(排出口高さが15m未満の場合を除く)
臭気判定士 職務
判定試験の実施
においの感じられない室内（会議室及び臭気試験室等）で臭気指数を測定
各パネルに試料の入った袋1つと無臭の袋2つをセットにして渡し、臭いの感じる袋を選んでもらう。袋に無臭空気を導入してにおいを徐々に薄めていき、試料の入った袋を当てることができなくなるまで、試験を続ける。
環境中臭気（1号規制）による場合、各希釈濃度で11人未満となるまで試験を続ける。
排出口（2号規制）・排出水（3号規制）による場合、2名以上のパネラーが残った場合に限り、正解者が1名のみになった時点で終了となる。6人のうち最も早くに無臭と感じた人及び最後まで臭気を感じた人を除外することによるもの
臭気判定士 臭気指数
においの付いた空気や水をにおいが感じなくなるまで、薄め（無臭空気、無臭水）、その希釈倍率（臭気濃度）を求める。その常用対数値を10乗した値。以下のような式になる。
臭気指数は、10～21までの範囲となっている。
臭気指数＝10×Log（臭気濃度）
敷地境界線上（敷地境界線から10m以内においては敷地境界線上と同等とみなす）においては次の通り。
臭気指数＝10×Log｛M×10exp（r1－0.58/r1-r0）｝
臭気濃度＝10^(臭気指数/10)
Mは当初希釈倍数、r1は当初希釈倍数における平均正解率、r0は当初希釈倍数を10倍したときの平均正解率。
気体排出口及び排出水においては次の通り。
臭気指数＝10X
Xはパネル全体の閾値（パネルの最大値と最小値それぞれ1つずつ除き、その他のパネルの平均値）、
Xi＝（LogM1i＋LogM0i）/2
Xiはパネルiの閾値(常用対数表示)、M1iはパネルiの回答が正解である最大の希釈倍数、M0iはパネルiの回答が不正解又は不明である希釈倍数
臭気判定士 試験
嗅覚検査は、臭気指数等の測定に係わる嗅覚の適格性について行うもので、1～5までの番号が書かれた5本のにおい紙のうち、基準臭によりにおいの付いた2本を嗅ぎ当てる。所要時間は10から15分位である。受験時期は、臭気判定士試験前後で可能だが、合格後の有効期間は1年間となっている。全国各地の委託検査機関で受験できる。嗅覚検査では、特別鼻が利く必要はなく、ほとんどの人（約95％）が合格している。
※「におい紙」は、紙の繊維のにおいすら残らないように精製された特殊なろ紙のこと。
ルジャンドル記号
数論において、ルジャンドル記号（るじゃんどるきごう、英: Legendre symbol）は数 a が奇素数（すなわち 3 以上の素数）p を法とするゼロでない平方剰余かを分類する乗法的関数である。ルジャンドル記号の値はそれぞれ、p を法として a がゼロでない平方剰余なら 1、非平方剰余なら −1、ゼロなら 0 となる。
名称はこの関数を導入した数学者、アドリアン＝マリ・ルジャンドルに因む。
ルジャンドル記号は、1798年に平方剰余の法則を証明しようとしたアドリアン＝マリ・ルジャンドルにより導入された。この記号の一般化には高次のヤコビ記号やディリクレ指標が含まれる。ルジャンドル記号の表記上の便利さは、ヒルベルト記号やアルティン記号などの代数的整数論で使用される他のいくつかの「記号」の導入に影響を与えた。
ルジャンドル記号 定義
を奇数の素数とする。整数  が  を法とする完全平方と合同である場合は、 は  を法とする平方剰余であり、そうでない場合は  を法とする平方非剰余である。ルジャンドル記号は次のように定義される  と  の関数である。
ルジャンドルによる最初の定義は、次のように式を明示したものだった。
先に発見されルジャンドルにも知られていたオイラーの規準によると、これら2つの定義は同等である。よって、ルジャンルドルが貢献したのは、mod pでのaの平方剰余性を記録する便利な表記法を導入したことにあった。比較の目的で、ガウスはaがpを法とする剰余であるか非剰余であるかに応じて、aRpとaNpという表記を使用した。印刷の都合上、ルジャンドル記号は(a | p) または (a/p) と表記されることがある。a が0, 1, 2,...であるときの数列 (a | p) は周期pで周期的であり、ルジャンドル数列と呼ばれることがある。{0,1,−1}という値は{1,0,1}または{0,1,0}であることがある。次の表の各行は、説明したように周期性を示していることが分かる。
ルジャンドル記号 値の表
ルジャンドル記号  の表 (p ≤ 127, a ≤ 30, p は奇素数)
ルジャンドル記号 ルジャンドル記号の性質
ルジャンドル記号には平方剰余の法則とともに効率的に計算するために使うことのできる便利な性質がいくつかある。
例えば
ルジャンドル記号 ルジャンドル記号と平方剰余
p と q を別々の奇素数とする。ルジャンドル記号を使用すると、平方剰余の法則を次のように簡潔に表すことができる。
多くの平方剰余の証明(en:proofs of quadratic reciprocity)はルジャンドルの式に基づく。
さらに、平方剰余の法則の様々な証明を作るために、ルジャンドル記号の代わりとなる表現がいくつか考案された。
正弦関数ではなく特定の楕円関数を使用することで、エイゼンシュタインは3次および4次の相互作用も証明することができた。