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デノン ブランド名および事業遷移
2005年（平成17年）4月1日 - 株式会社ディーアンドエムホールディングスと合併し、民生機の販売会社である株式会社デノンコンシューマーマーケティングを分割する。D&Mホールディングス傘下のブランドカンパニーにはマランツ・マッキントッシュ・ラボ・D&Mプロフェッショナル・SNELL・ボストンアコースティックなどがあるが、合併後も各々の設計部や販売網は独立して現在は管理部門のみを統合しており、マランツ等との差別化はできている。
1934年（昭和9年）、坪田耕一が「日本電気音響研究所」を設立。坪田は前年に早稲田大学理工学部を卒業したばかりだったが、在学中より円盤録音機のカッターの研究をしており、1938年（昭和13年）には日本フィルモンに入社し、国産初の円盤録音機を完成させる（日本フィルモンは1940年（昭和15年）に解散）。
デノン ブランド名および事業遷移
当時はまだ磁気テープ録音機の音質が実用にならないほど悪く、録音／再生は円盤録音機やオプティカル・サウンドで行われていた。円盤録音機はレコード会社などで使用されていたが大形のもので移動できなかった。オプティカル・サウンドはトーキーに使われるもので映像も一緒に撮れるが、現像を済ませないと再生できなかった。そのような時代の中、1936年（昭和11年）に行われたベルリンオリンピックの放送にテレフンケン製の小形円盤録音機が使用され、録音して直ちに再生できる即時性が放送に貢献した。その威力を知った日本放送協会 (NHK)は1940年（昭和15年）に開催が予定されていた東京オリンピックに向けてテレフンケン製円盤録音機を導入するとともに、国内企業による国産化を目論んだ。その中には国産初の円盤録音機を完成させた坪田も当然含まれていた。ただし東京オリンピックは1938年（昭和13年）7月に実施の返上が決定された。
1939年（昭和14年）5月、研究所を会社組織に改め、出資者の加瀬林之助を社長に迎え「株式会社日本電音機製作所」とする。このときから DENON ブランドを使い始める。同年9月には NHK 仕様の円盤録音機 DENON TPR-14-C を完成させ、テレフンケン製を使う東京・大阪を除く NHK 中央放送局向けの 7 台を受注。
デノン ブランド名および事業遷移
1944年（昭和19年）1月に社名を「日本電気音響株式会社」とする。
1963年（昭和38年）、放送機器を製作していた日本電気音響が日本コロムビアに吸収合併されたことにより、日本コロムビアが放送機器を取り扱うことになった。当時の日本コロムビア音響設計部門には、旧電音の三鷹事業所と、1910年（明治43年）10月1日に発足した日本蓄音機商会として続いてきた川崎事業所が存在していた。三鷹事業所は業務用回転機器のダイレクトドライブターンテーブルやオープンリールテープレコーダーを担当し、川崎事業所ではテレビ、電蓄、ステレオのほかに、ウクレレ、エレキギター、マリンバなど楽器類、家庭用クーラーや冷蔵庫などの白物家電を1970年代初頭まで製造販売していた。
1970年代に日本でHi-Fi市場が隆盛し、三鷹事業所はデンオン製放送業務用機器のMCカートリッジDL-103や業務用回転機器技術を応用した民生用オーディオ機器を、プロフェッショナルオーディオブランドとして訴求した。この時代で最も有名なモデルはDP-3000ダイレクトドライブターンテーブルやDH-710オープンリールテープレコーダーなどである。川崎事業所はハイファイオーディオアンプやチューナー、スピーカーなどをデンオンブランドで発売した。
デノン ブランド名および事業遷移
合併から20年目を迎えた1983年、三鷹事業所は福島県白河市に拠点を移し「白河事業所」として稼働開始。また分社化の際、「デノン白河工場」→「D&M白河ワークス」に名称変更し、現在もデノンの主要製品がこの工場で製造されている。
1970年代から1980年代にかけてポータブルレコードプレーヤーやカラオケ機器、モジュラーステレオなどのゼネラルオーディオ機器は、OEMで供給した日立製作所では HITACHI ブランドやLo-Dブランドで、三菱電機では DIATONE ブランドやJEAGAM（ジーガム）ブランドでそれぞれ販売された。カラーテレビや家庭用ビデオデッキは日立からOEM供給を受けてコロムビアのブランドで、90年代からは大型テレビのみDENONブランドで1995年頃まで販売した。
また、1995年頃から1998年頃までシャープからカラーテレビ、CDラジカセとポータブルMDプレーヤーのOEM供給を受け、前者はコロムビアブランド、後者はDENONブランドでそれぞれ販売していたことがある。
デノン ブランド名および事業遷移
乳幼児の情操教育向上を目的として1974年に発売されたポータブルレコードプレーヤー「てんとう虫」（SE-8）を皮切りに電子オルガン内蔵型ポータブルレコードプレーヤー「ラララ」、カセットデッキ・ラジオ内蔵型ポータブルレコードプレーヤー「コンビ」、そして1979年発売の「うたうパンダ」(SE-7M)と言った後世に残る製品が次々と生まれた。その中でも1980年3月に発売されたポータブルレコードプレーヤー「フリースタイル」（GP-3）はアナログレコードからCDに世代交代していく中でも細々と生産が続けられていたが、1995年にリリースされたスピッツのシングル「ロビンソン」のMVやジャケットの小道具として使用されたのがきっかけで派生モデルが生産されるほどの絶大な人気を呼び、デノンへの分社化以降も2005年頃まで製造された。2019年12月に太知ホールディングスより本機の復刻版「GP-N3R」として、ディーアンドエムホールディングスの了承のもと、カートリッジをオーディオテクニカ製のVM型に、ターンテーブルの駆動部をオリジナルのアイドラードライブから音質面でかなり有利なベルトドライブにそれぞれ変更し、イヤホン端子にステレオヘッドホンを繋げばステレオ再生が可能とするなど一部の仕様を変更した上で製造および販売を開始、また2021年4月には一部の仕様とステレオ対応に変更したDJプレイ用ポータブルミキサーの復刻版「GMX-N3」の製造販売を開始している。
デノン ブランド名および事業遷移
DENONで特長的な製品は、1972年（昭和47年）に世界で初めて実用化したPCMレコーダー「DN-023R」である。NHKが1960年代後半にPCMレコーダーを試作をしており、NHK放送技術研究所で試作機を見た日本コロムビア録音部の幹部は自社開発を企図した。標本化周波数 47.25kHz、量子化ビット数 13bit で誤り検出訂正を実用化したPCMプロセッサーを開発し、芝電気株式会社製のヘリカルスキャン方式2インチVTRを改造したテープレコーダ部分に実装した。画面を見ながらカミソリでテープ切断する「手切り編集」が可能だった。
1980年代は、栃木県真岡市で子会社のコロムビアマグネプロダクツ株式会社がオーディオカセットテープ（コンパクトカセット・DATカートリッジ）を製造していたが、1990年代末に撤退し子会社は解散した。
日本電音が日本コロムビアに合併されてからは、音楽レーベルの名称にも『DENON』が用いられている。
デノン ブランド名および事業遷移
1968年（昭和43年）から1973年（昭和48年）までは同社において旧来の歌謡曲（シングルの規格番号『SAS-』）を担当していた文芸部や、洋楽部による邦楽制作グループ（CBSレーベルを1965年（昭和40年）1月から1968年（昭和43年）6月まで使用、シングルの規格番号『LL-10000番台』）に次いで設けられた第3の制作部門によるポップス系のレーベル（シングルの規格番号『CD-』）として存在した。なお、学芸部担当の作品（当時物品税非課税扱いだったアニメソングや童謡と、学芸部所属歌手による歌謡曲の一部）は『SCS-』が用いられていた。
デノン ブランド名および事業遷移
これまで、老舗のレコード会社では、歌手、作家ともに専属制を敷いていたが、昭和40年代（1960年代中頃）から続々と設立された外部の音楽出版社（例・パシフィック音楽出版〈現・フジパシフィックミュージック〉など）がフリーの作家や歌手を育成し、出版社側が制作した原盤をレコード会社に売り込む動きが出て、この頃設立された外資系のレコード会社がそうした人材を積極的に起用したことに対応し、専属の作家から抵抗があった日本コロムビア社内においても、フリーの人材を起用するために設立された部署だったという。相前後して、文芸部内でも専属外の作家を起用して歌謡ポップスを製作するために「Pグループ」（シングルの規格番号『P-』）が立ち上げられ、3つのグループが競争しながら邦楽歌謡ポップスを製作した。
その後、DENONレーベル内の洋楽部門として『デノン・インターナショナル』（規格番号：CD-1000番台）も発足し、ジミー・オズモンドやベッツィ&クリスなどの楽曲をリリースしていた。
同時に、演歌・歌謡曲などでも商標権の関係で『コロムビア』が使用できない海外への輸出盤や現地生産盤でも代替レーベルとして使われるようになり、それらのジャケットやレーベルには『DENON』のシールが貼られることが多かったが、輸出用にまとまった数が国内生産された場合や現地生産盤では『DENON』レーベルに改版したものも見られた。
デノン ブランド名および事業遷移
1975年（昭和50年）以降はクラシックやジャズ等高音質を期待されるジャンルの音楽のためのレーベルとしてリニューアルした。同時に旧DENONレーベルは『BLOW UP』レーベルにリニューアルし、規格番号も1975年までは引き続き「CD-」を使用し、1976年から1980年11月まで「LK-」への変更を経て1980年12月よりコロムビアレーベルと同一の「AH-」に再度変更し、最終的にはコロムビアレーベルに統合された。レーベル移行後も、コンパクト・ディスク（CD）の発売初期に演歌・歌謡曲・邦楽ポップス系でもCDのみDENONレーベルで発売されたものがあった（例：美空ひばり『EVER GREEN☆HIBARI』。LPレコード・カセットテープと2021年のボーナストラック付再発売CD『EVER GREEN☆HIBAR DeluxeI』はコロムビアレコードのレーベルで発売）。また、前者の時代に引き続いて『コロムビア』レーベルで発売された楽曲の輸出盤での代替レーベルとしても使われた。
「DENON」ロゴマークには、戦前に用いられていたものと、1955年（昭和30年）に採用されたロゴマークもあったが、1963年以降は現在のロゴマークになっている。
なお、企業としてのデノンがリップルウッド・ホールディングス→ディーアンドエムホールディングスの傘下（後述）に入ってからは、同社が『DENON』のロゴおよび名称の商標権を音楽ソフトに関わるものまで引き継がれている。古巣である日本コロムビアに対しては同社に貸与という形で引き続きDENONレーベルの商標利用を許諾、それ以降に出荷されたDENONレーベルの作品ジャケットにも引き続き先の商標であることの旨が記述されている。
リップルウッド・ホールディングス主導による日本コロムビアの経営再建に際して、2001年（平成13年）10月1日に音響機器事業を分離独立させた新設会社。日本コロムビアの100%子会社として設立し、同社のAV・メディア関連機器部門およびブランド名「デンオン」が譲渡された。新会社は設立時に、日本語ブランド名「デンオン」を譲渡はされたものの使用を止め、DENONの読みを日本国外での発声である「デノン」とし、これを社名および日本国内の新たな商標とした。この時点で永きに渡り親しまれた片仮名書きのオーディオ機器ブランド「デンオン」は消滅した。
分社化に当たっては、リップルウッドによる日本コロムビアの財務面での救済と、リップルウッド側のバイアウト・ファンドとしての利益確保という側面が色濃いことで知られている。まず、事業譲渡後直ちに日本コロムビアが100%保有するデノン株式を、リップルウッドが組成したペーパーカンパニーの「ニュー・デノン」が持株98%を59億円で、日立製作所が持株2%を1億円で買い取り、デノンはリップルウッドの実質的な連結子会社となった。この結果、同日中に日本コロムビアへ60億円の譲渡益がもたらされ、日本コロムビアの子会社では無くなった。
2002年（平成14年）3月に株式会社デノンはフィリップスの連結対象外となった同業の日本マランツと、株式移転により新設持株会社ディーアンドエムホールディングスの傘下に入る形での経営統合を発表した。移転比率は【デノン=0.4416 対 日本マランツ=1】で、日本マランツが一見有利に見えるが、デノンの発行済み株式数が日本マランツより過多な点【デノン120,000,000株 対 日本マランツ22,709,280株】に注意を要する。株式移転の結果、デノンの大株主であるニューデノンを保有するリップルウッドがディーアンドエムの筆頭株主になる計算である事から、リップルウッドによるデノンと日本マランツ両社の実質的買収という結果になった。
デノン 事業領域
日本に拠点を置き、現存する大手音響機器メーカーの中では一番長い歴史（2025年〈令和7年〉現在の時点において、旧日本コロムビア音響機器機事業部の源流となる日本蓄音器商会時代から通算して創業115年）を有しており、アンプ等のピュアオーディオ製品において非常に強いブランド力を持つ。主にホームシアター向けの音響機器、ハイコンポ（高級ミニコンポ）、Hi-Fiコンポーネント、デスクトップオーディオ（主にPC対応のUSB-DACが中心）、電子楽器等を幅広く製造販売している。日本ではピュアオーディオ分野において同胞のマランツ・コンシューマー・マーケティング（マランツ）と共にラックスマン、ティアック、ヤマハミュージックジャパン（ヤマハ）、アキュフェーズなどと競合している。かつてはオンキヨーホームエンターテイメント（後述するパイオニアブランドの製品含む。2022年5月13日経営破綻。旧・オンキヨー〈2代目法人〉、現・プレミアムオーディオカンパニーテクノロジーセンター）やパイオニア（ホームAV機器事業部、後のパイオニアホームエレクトロニクス→オンキヨー&パイオニア→オンキヨーホームエンターテイメント→オンキヨーテクノロジー→プレミアムオーディオカンパニーテクノロジーセンター）、日本ビクター（現・JVCケンウッド）、ケンウッド（現・JVCケンウッド）、山水電気（サンスイ）、ナカミチ、赤井電機（アカイ、およびA&D、現・AKAI Professional）なども競合していた。
デノン 事業領域
アンプはホームシアター向けのAVアンプからピュアオーディオ向け2chプリメインアンプまで、低価格機から高級機まで幅広い機種を生産する。DVD-Audio／SACD対応機を含むDVDプレーヤー、DVD-Audio／SACD対応機を含むBDプレーヤーも、低価格機から高級機まで生産する。コロムビアブランドで発売されていた、家庭用カラオケシステム、レコードプレーヤーを内蔵したレトロ調卓上型オールインワンステレオ、レトロ調卓上型FM/AMラジオの「音聴箱」（おとぎばこ）シリーズもごく一部を除きデノンブランドで2012年頃まで引き続き発売していた。
代表的な製品
デノン 玉音放送
1945年（昭和20年）8月15日正午（日本標準時）に、NHKラジオで終戦を伝えた昭和天皇の肉声は、DENON製の機器でアセテート盤に録音されたものである（玉音放送#録音と放送）。
ホモトピー
数学におけるホモトピー (homotopy) とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。
考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。
このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。
ホモトピー 基本群
単純な場合として、1 次元の位相空間からの連続写像のホモトピーを説明しよう。
まず、線分の厳密な抽象化である、道（みち、path）という概念を定義する。I を R の閉区間 [0, 1] とし、X を位相空間とする。I から X への連続写像 α を X 内の道といい、α(0) を始点、α(1) を終点という。
写像 α の像は X 上の連続曲線となるが、道という用語が表すのは写像 α のことであり、その像である曲線のことではない。道の定義では α の単射性は求められていないため、像である曲線が同じ点を 2 回以上通ってもよい。極端な話、閉区間 I の各点を 1 点に写したものも「道」であり、これは定値道と呼ばれる。始点と終点が一致する道は閉道（へいどう、closed path）あるいはループ (loop) という。閉道の始点のことを（それは終点といっても同じものだが）基点 (base point) という。基点以外に自分自身と交わる点を持たない閉道はサイクルと呼ばれることがある。
連続関数 H: [0, 1] × [0, 1] → X が、X  内の 2 つの道 α, β に対して
ホモトピー 基本群
H(0, t) = α(t) かつ H(1, t) = β(t)
を満たすとき、写像 H を道 α, β の間のホモトピー (homotopy) あるいはホモトピー写像という。また 2 つの道 α, β の間にホモトピーが存在するとき、α と β は互いにホモトープ (homotop)、ホモトピック (homotopic) である、または、同じホモトピー型であるといい、
と表す。また特に、始点と終点をそれぞれ共有する 2 つの道が与えられたとき、その始点と終点を固定するようなホモトピーを道ホモトピーあるいは端点を固定するホモトピーという。直観的には、ホモトピックな 2 つの道は片方を X 内で動かして他方に変形できる。「ホモトピー型が同じである」という関係  は同値関係であり、同値類が定義できる。この同値関係に関して道 α が属する同値類のことを α のホモトピー類といい、[α] などで表す。
2 つの道を端点で「つなぐ」ことで次のように積 * を定義することができる: 道 α, β に対して、α(1) = β(0) が成り立つとき、
ホモトピー 基本群
また、向きを逆にすることで道の逆あるいは逆道が定まる: 道 α に対し、α の逆道 α−1 とは、
α−1(t) = α(1 − t)
で定められる。
位相空間 X 内の 1 点 p を固定し、p を基点とする閉道の全体 Ω(X, p) を考えると、これは道の積に関して閉じている。これを道ホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 π1(X, p) には演算
[α][β] := [αβ], [α]−1 := [α−1]
が定義できる。π1(X, p) はこの演算によって群をなし、X の p を基点とする基本群（きほんぐん、fundamental group）あるいは 1 次元ホモトピー群もしくは Poincaré 群とよばれる。
位相空間の間の連続写像 f: X → Y は道の間の対応 α → fα によって基本群の間の準同形写像 f*: π1(X, p) → π1(Y, fp) を導く。この誘導された準同形写像は f のホモトピー型にしかよらない。
ホモトピー 定義
位相空間 X , Y の間の連続写像の族  を考える。写像
が連続であるとき、これをホモトピーと呼び、連続写像 f0 と f1 はホモトピックである、あるいは同じホモトピー型をもつという。
位相空間における閉道とは基点を持つ 1 次元球面 S1 からの連続像であるということができる。これは以下のように高次元に拡張される。位相空間 X とその 1 点 p を固定し、p を基点とする n 次元球面 Sn（の X への連続像）の全体 Ωn(X, p) を考え、これをホモトピー型が同じという関係で割って得られる商集合 πn(X, p) は群を成す。この πn(X, p) を n 次元ホモトピー群と呼ぶ。基本群の場合と同様に、位相空間の間の連続写像は高次ホモトピー群の間にも準同形写像をみちびく。
位相空間 X, Y が与えられたとき、
であるような連続写像 f: X → Y, g: Y → X が存在するとき、 X と Y はホモトピー同値 (homotopy equivalent) であるという。ホモトピー同値は位相同型よりも粗い同値関係を与える。例えば 1 点とユークリッド空間 Rn は同じホモトピー型をもつ。一方、n 次元球面 Sn はすべて互いに異なったホモトピー型をもつ。
ホモトピー 歴史
「連続的変形」概念の歴史は古く、ラグランジュによる変分法の研究にまで遡ることができる。ホモトピーという言葉は
Dehn & Heegaard (1907)
で導入された
。現代と潜在的には同じホモトピーの定義はブラウワーによる1911年の論文でなされた。直積空間はチコノフによって1926年に定義されたので、完全に現代と同じ定義がなされるのはそれ以降である。
気分爽快!ラジオDEゴー!
気分爽快！ラジオDEゴー！（きぶんそうかい らじおでごー）は、栃木放送の朝の情報生ワイド番組。
2001年4月から2005年9月まで月曜日 - 金曜日 6:00 - 9:00に放送していた。
現行犯
現行犯（げんこうはん）とは、犯罪を行っているところ、またはその直後を現認された状況を指す概念。また、現行犯人のことを現行犯ということもある。
現行犯 概説
日本では刑事訴訟法第212条から第217条において、現行犯逮捕に関する条文が書かれている。現に罪を行い、または現に罪を行い終った者を現行犯人という（刑事訴訟法212条1項）。現行犯ということもある。
刑事訴訟法第213条より、下段の例外に該当しておらずかつ現行犯の要件（後述）を満たしていれば、何人（なんぴと）でも現行犯を逮捕することができる。ただし、逮捕後に強制的に警察署などに連行することは許されていない。また、逮捕後はただちに検察官や警察官等司法警察職員に引き渡さなければならない（刑事訴訟法第214条）。
なお、以下の場合には現行犯逮捕が認められていない。
現行犯逮捕に際して逮捕状は不要である（憲法33条、令状主義の例外）。その理由は、犯罪と犯人の明白性（誤認逮捕のおそれが少ないこと）及び逮捕の必要性、緊急性（逮捕の必要性が高く逮捕の機会を逃すと被疑者を保全できるかわからなくなること）による。刑事訴訟法213条が、現行犯人は、何人でも逮捕状なくしてこれを逮捕することができるとしているのも、犯罪と犯人が明白であるからである。
現行犯 概説
現行犯を逮捕できることは旧々刑事訴訟法でも旧刑事訴訟法でも認められていた。ただし、旧刑事訴訟法での現行犯は「現ニ罪ヲ行ヒ又ハ現ニ罪ヲ行ヒ終リタル際ニ発覚シタルモノ」（旧刑事訴訟法130条1項）であり発覚の時期を要素とするもので、犯人がその場所にいる場合といない場合が別々に定められており、犯人の身分についての実体的概念であった。
戦後の刑事訴訟法212条では「現に罪を行い、又は現に罪を行い終った者」とされており犯行後時間が経過すると現行犯人性は失われる。現行犯は時間的段階についての観念で場所的観念とは直接的な関係がない。時間的な接着性は逮捕着手直前の時間を標準とする。
現行犯 要件
現行犯は「現に罪を行い、又は現に罪を行い終った者」（刑事訴訟法212条1項）であるから犯罪が特定されていることを要する。ただし、現行犯人は一般私人でも逮捕できることから（刑事訴訟法213条）、正確な擬律判断（いかなる刑罰法規の構成要件に該当するかの判断）まで求められるわけではない。
なお、逮捕の必要性は、本来は逮捕状による逮捕を可能とする要件（刑事訴訟規則143条の3参照）であるが、現行犯逮捕にもこの要件が必要であると考えるのが学説の多数である（裁判例には、必要とするものと不要とするものとがある）。
刑事訴訟法212条2項は、一定の条件に当てはまる者が罪を行い終わってから間がないと明らかに認められる場合に定める場合には現行犯人とみなすとしているが、同条1項の現行犯と区別するために準現行犯と呼ばれている。
具体的には以下の事由に該当する者が、特定の罪を行い終わってから間がないと明らかに認められる場合である。
なお、現行犯の場合と同じく「罪」は特定されていることを要する（何らかの犯罪に関係していると疑われることで足りる警察官職務執行法2条とは異なる）。
現行犯人は、何人でも、逮捕状なくしてこれを逮捕することができる（刑事訴訟法213条）。現行犯では捜査機関以外の一般私人にも逮捕権がある。「現行犯人」には準現行犯人を含む。
現行犯 軽微事件の現行犯逮捕
30万円（刑法 、暴力行為等処罰に関する法律及び経済関係罰則の整備に関する法律の罪以外の罪については、当分の間、2万円）以下の罰金、拘留又は科料に当たる罪の現行犯については、犯人の住居若しくは氏名が明らかでない場合又は犯人が逃亡するおそれがある場合に限り、現行犯逮捕（準現行犯逮捕）の規定が適用される（刑事訴訟法217条）。現行犯であっても軽微な事件について無条件に逮捕を認めることは人権尊重の趣旨から言って適当ではないとの趣旨による。
刑事訴訟法217条の軽微事件とは「30万円（刑法、暴力行為等処罰に関する法律及び経済関係罰則の整備に関する法律の罪以外の罪については、当分の間、2万円）以下の罰金、拘留又は科料に当たる罪」に関する事件である。
以下に例を挙げる。
刑法で法定刑が30万円以下の罰金、拘留又は科料に当たる罪
騒乱罪における付和随行の罪（刑法106条3号）
首謀者以外の多衆不解散罪（刑法107条）
過失建造物等浸害罪（刑法122条）
業務従事者以外の過失往来危険罪（刑法129条1項）
10万円以下の偽貨収得後知情行使罪（刑法152条）
発売・取次ぎ以外の富くじ授受罪（刑法187条3項）
変死者密葬罪（刑法192条）
過失致傷罪（刑法209条1項）
軽微事件の現行犯逮捕の場合には以下の場合に限って許されている（刑事訴訟法217条）。
現行犯 日本以外での刑事手続き
アメリカでも講学上または一般用語として現行犯逮捕が用いられることもあるが、一般にはarrest with warrant（令状逮捕）とarrest without warrant（無令状逮捕）という区別で議論されることのほうが多いとされる。
そもそもアメリカの刑事手続では重罪（felony）とされる犯罪については広い範囲で無令状逮捕（arrest without warrant）が認められており、例えば強盗事件では相当の理由（probable cause）があれば事件から1週間を経過していても無令状で逮捕できる。しかし、アメリカの刑事手続では逮捕後24時間以内（州によっては最大72時間以内）に捜査を終了させ身柄を裁判所に引き渡す必要がある。
アメリカの刑事手続では逮捕に関しては比較的緩やかな基準で許容される一方、逮捕後には直ちに裁判所が関与してその正当性が審査されている。
いずれの場合も、ミランダ警告を行なうことは必須であり、欠けると不当逮捕で釈放させられる。
現行犯 日本以外での刑事手続き
中国では、中華人民共和国刑事訴訟法第82条第1項において現行犯の扱いが定められている。それにより、全ての人は現行犯人を捕らえて警察などに引き渡すことができる。
台湾では、中華民国刑事訴訟法第88条から第92条にかけて現行犯の扱いが定められている。まず第88条において、一定の条件を満たした場合には現行犯逮捕が可能である旨が記されている。第88条ではその逮捕主体は検察官や警察官などに限定されているが、第92条において犯罪捜査の権限がない者による逮捕も可能としている。
イタリアの現行犯逮捕には一定の重大犯罪に対する必要的現行犯逮捕とそれ以外の場合の犯罪に対する任意的現行犯逮捕がある。
被疑者が現行犯逮捕された場合、予備捜査を事実上省略して、予備審理を経ずに直ちに公判を行うことが相当と認めるときに逮捕から48時間以内に裁判官の面前に出頭させ直ちに公判審理に移行する直行公判の手続の対象となる。
基本群
数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、英: fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。
基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。
基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素関数のモノドロミー的性質の記述もする。
基本群 直感的説明
空間（例えば、曲面）とその中の点があり、この点を始点と終点とするすべてのループ — この点を始点とし周囲を巡り最終的に始点に戻ってくる道 — を考える。2つのループは明らかな方法でつなげることができる、すなわち第一のループに沿って移動してから、第二のループに沿って移動する。2つのループは、ループを壊すことなく一方から他方へ変形できるときに同値であると考える。すべてのそのようなループの集合にこの方法で合成と同値関係を入れたものがその空間の基本群である。
基本群 定義
X を位相空間、x0 を X の点とする。x0 を基点とするループと呼ばれる連続写像

の集合に注目する。基点 x0 を持つ X の基本群は、この集合をホモトピー h で割った集合

に、群の乗法を次のように与えたものである。

したがってループ f ∗ g はまずループ f を「2倍の速度」で回り、次にループ g を 2倍の速度で回る。2つのループのホモトピー類 [f] と [g] の積は、[f ∗ g] と定義され、この積は代表元の取り方に依らないことを示すことができる。
x0 を基点とするループのすべてのホモトピー類の集合に上記の積を考えたものが、点 x0 における X の基本群をなし、この基本群を

あるいは、単に π(X, x0) と書く。単位元は基点に留まる定数写像で、ループ f の逆元は g(t) = f(1 − t) で定義されるループ g である。すなわち、g は f の逆向きのループである。
基本群は一般的には基点の選択に依存しているが、空間 X が弧状連結である限り、同型を除いて（実は内部自己同型の違いを除いて）、この選択は何の差異ももたらさない。したがって弧状連結空間に対し、群の同型類だけに興味がある場合にはいつでも、曖昧さなしで π1(X, x0) の代わりに π1(X) と書くことができる。
基本群 例
自明な基本群
n次元ユークリッド空間 Rnや Rn 内の任意の凸集合に対して、ループのホモトピー類が唯一つあり、したがって基本群はひとつの元からなる自明な群である。自明な基本群を持つ弧状連結な空間を単連結空間と呼ぶ。
無限巡回群になる基本群
例は円であり、各々のホモトピー類はある与えられた回数（周る方向によって正にも負にもなりうる）円の周りを周ったすべてのループからなる。m 回巻き付いているループと n 回巻き付いているループの積は、m + n 回巻き付いているループとなる。従って、円の基本群は整数の加法群 (Z, +) に同型である。この事実は、 2次元のブラウアーの不動点定理やボルスク・ウラムの定理の証明に使うことができる。
基本群はホモトピー不変量であるので、複素平面から一点を除いた空間の回転数の理論は、円（の基本群）と同じとなる。
基本群 例
高次ランクの自由群
位相空間に付帯するホモロジー群や高次ホモトピー群とは異なり、基本群は可換である必要はない。例えば、8の字の基本群は、2つの生成元から生成される自由群である。より一般的に、任意のグラフの基本群は、自由群である。グラフ G が連結であれば、自由群のランクは全域木に入っていない辺の数に等しい。
n 個の穴のあいた平面の基本群も、n 個の生成子を持つ自由群で、i 番目の生成子は i 番目の穴の周りを回り他のどの穴の周りも回らないループの類である。
結び目理論
非可換基本群を持つもう少し複雑な空間の例は、R3 の中の三葉結び目の補空間であり、この場合はブレイド群  であることが知られている。
基本群 関手性
f : X → Y を連続写像とし、x0 ∈ X と y0 ∈ Y は f(x0) = y0 とすると、基点 を x0 とする X の任意のループは、f と 組み合わせて y0 を基点とする Y のループを構成することができる。この操作は、ホモトピー同値関係およびループの合成と整合性を持っている。得られる群準同型は、誘導された準同型写像と呼ばれ、π(f) と書く。あるいはより一般的には、
とも書かれる。この連続写像から群準同型への写像は、恒等写像および写像の結合と整合性を持っている。言い換えると、（この準同型は、）点付き空間の圏から群の圏への関手である。
この関手は、基点と相対的にホモトピックである写像を区別することはできないことが分かる。f, g : X → Y が連続写像で、f(x0) = g(x0) = y0 であり、f と g は {x0} と相対的にホモトピックであれば、f∗ = g∗ となる。結局、2つのホモトピー同値な弧状連結空間は同型な基本群を持つ。
基本群 関手性
重要で特別な場合として、X が弧状連結であれば、いかなる 2つの異なる基点も同型な基本群を与え、同型は与えられた 2つの基点の間の経路を選択することで与えられる。
基本群の関手は、積を群の直積へ、余積を余積へ写像する。すなわち、X と Y が弧状連結であれば、
と
が成り立つ。（後者の公式では、 は位相空間のウェッジ和を表し、* は群の自由積を表す。）双方の公式は任意の積に対して一般化することができる。さらに後者の式は、ザイフェルト–ファン・カンペンの定理の特別な場合になっている。ここでザイフェルト–ファン・カンペンの定理は、基本群の関手が包含写像に沿った押し出しを押し出しに写すという定理である。
基本群 ファイブレーション
空間の積の一般化は、ファイブレーションにより与えられる。
ここに全空間 E は、底空間 B とファイバー F の｢ツイストした積」の一種である。一般に、B, E, F の基本群は、高次ホモトピー群を含むファイブレーションの長完全系列の項である。空間がすべて連結のとき、この系列は次の基本群についての結果をもたらす。
後者の式は、しばしば次のような状況へ応用される。E を B の道 (位相空間論)の空間、F を B のループ空間とするか、もしくは、B を 位相群 G の分類空間 BG とし、E を普遍 G-バンドル EG とする。
基本群 1次のホモロジー群との関係
位相空間 X の基本群は、ループは特異 1-サイクルでもあるので、1次の特異ホモロジー群と関連している。基点を x0 とする各々のループのホモトピー類をループのホモロジー類へ写像することは、基本群 π1(X, x0) からホモロジー群 H1(X) への準同型を与える。X が弧状連結であれば、この準同型は全射で、その核は、π1(X, x0) の交換子部分群であり、従って H1(X) は π1(X, x0) のアーベル化に同型である。これは代数トポロジーのフレヴィッツの定理の特別な場合である。
基本群 普遍被覆空間
X が弧状連結な位相空間であり、局所弧状連結で局所単連結であれば、X は単連結な普遍被覆空間を持ち、その上で基本群 π(X,x0) は商空間 X に、被覆変換により自由に作用する。この空間は、ペア (x, γ) をとることで、基本群と同様に構成することができる。ここに x は X の点であり、γ は x0 から x への道のホモトピー類で、π(X, x0) の作用は経路を足すことによる。この空間は一意な被覆空間として決まる。
円
円 S1 の普遍被覆は、直線 R で、S1 = R/Z を得る。よって、任意の基点 x について、π1(S1,x) = Z となる。
トーラス
前の例である 2つの円のカルテシアン積をとることにより、トーラス T = S1 × S1 の普遍被覆は平面 R2 である。T = R2/Z2 を得る。このようにして、π1(T,x) = Z2 が基点 x について成り立つ。
同様にして、n-次元のトーラスの基本群は、 Zn となる。
実射影空間
n ≥ 1 に対し、n-次元実射影空間 Pn(R) は、n-次元球面 Sn を中心対称性で割って Pn(R) = Sn/Z2 求められる。n-球面 Sn は n ≥ 2 では単連結なので、実射影空間の普遍被覆であることが結論づけられる。このようにして、Pn(R) の基本群は、 n ≥ 2 に対して Z2 である。
リー群
基本群 普遍被覆空間
G が連結かつ単連結なコンパクトリー群とする。例えば、G を特殊ユニタリ群 SU(n) とし、Γ を G の有限部分群としよう。すると、等質空間 X = G/Γ は基本群 Γ を持つ。Γ は右から乗法的に普遍被覆空間 G の上に作用する。この構成には多くの種類があるが、最も重要な構成は局所対称空間  である。ここでは、
が成り立つ。
この場合には、基本群は Γ であり、普遍被覆空間 G/K は可縮である（リー群のカルタン分解による）。
例では、G = SL(2, R), K = SO(2) で、Γ はモジュラー群 SL(2, Z) の任意のねじれのない合同部分群である。
明らかにわかるように、弧状連結な位相空間である普遍被覆空間 H が、再び、弧状連結な位相群 G である。さらに、被覆写像は G から H の上への連続で開準同型であり、核は Γ で、G の閉じた離散正規部分群である。
G は連結群で離散群 Γ 上の共役により連続作用を持っているので、自明に作用するはずで、従って、Γ は G の中心の部分群となっているはずである。特に、π1(H) =  Γ は可換群で、このことも被覆空間を使うことなしに容易に直接わかる。群 G は H の普遍被覆群と呼ばれる。
普遍被覆群が示唆しているように、位相群の基本群と群の中心とは類似関係にあり、このことは被覆群の束に詳しく記載されている。
基本群 単体複体の辺ループ群
連結な単体複体 X の辺道は、X の辺で繋がれた頂点の鎖として定義される。ふたつの辺道が辺同値とは、一方の辺道が他方の辺道から、その適当な辺を X 内の三角形の二つの対辺で置き換える操作を連続的に行って得られるときに言う。X の固定した頂点 v における辺ループとは、v を始点かつ終点とする辺道を言う。辺ループ群 E(X, v) は、v における辺ループの辺同値類全体の成す集合として定義され、積や逆元は辺ループの連接と逆転により定義される。
辺ループ群は X の幾何学的実現 |X| の基本群 π1(|X|, v) に自然同型となる。辺ループの各同値類は、X の2-スケルトン X2（つまり、X の頂点、辺、三角形）にしか依らないから、二つの群 π1(|X|, v) と π1(|X2|, v) は同型である。
基本群 単体複体の辺ループ群
辺ループ群は生成元と基本関係を用いて陽に書き表せる。T が X の1-スケルトンにおける極大全域木ならば、T に現れない X の有向辺道を生成元とし、X 内の三角形に対応する辺同値を基本関係とする群に E(X, v) は自然同型になる。同様な結果は、T を X の任意の単連結—特に可縮な—部分複体に取り換えても成立する。これはしばしば、基本群を計算する実用的な方法を与え、また、任意の有限表示群が有限単体複体の基本群として生じることを示すための利用できる。これは（その基本群によって分類される）位相的曲面に対して用いられる古典的方法のひとつでもある。
有限連結単体複体 X の普遍被覆空間は、辺道を用いて単体複体として直接に記述できる。その頂点は X の頂点 w と v から w への辺道の辺同値類 γ との順序対 (w, γ) である。(w, γ) を含む k-単体は自然に w を含む k-単体に対応する。k-単体の別の頂点 u は辺 wu を、従って連接により v から u への新しい道 γu を与える。点 (w, γ) および (u, γu) は、普遍被覆空間へ「送られた」単体の頂点である。辺ループ群は連接により普遍被覆空間に自然に作用して、その作用は普遍被覆空間の単体構造を保ち、かつその作用による普遍被覆空間の商は X にちょうど一致する。
基本群 単体複体の辺ループ群
よく知られているように、この方法は任意の位相空間の基本群を計算することにも使われる。このことは疑いなく、エデュアール・チェックとジャン・ルレイにより知られていて、明らかには論文 Weil (1960) の中に注意として記載されていて、L. Calabi, W-T. Wu や N. Berikashvili といった多くの著者により証明が与えられている。被覆の中の有限個の開集合の空でない共通部分がいつでも可縮となるような有限な開被覆を持つコンパクト空間 X の最も単純なケースでは、基本群は開被覆の脈体(nerve of the covering)に対応する単体複体の辺ループ群と同一視することができる。
基本群 実現性
すべての有限表示された群は、4 次元（もしくは、それ以上の高次元の）コンパクトな連結微分可能多様体の基本群として実現できる。（一方でコンパクトな位相多様体の基本群は有限表示されることが証明できる。）しかし、低次元の多様体の基本群として実現されるには、厳しい制限がある。例えば、ランク 4 もしくはそれ以上の自由アーベル群は、次元が 3 以下の多様体の基本群としては実現できない。
ホモトピー群
ホモトピー群（ホモトピーぐん、homotopy group）は、数学の代数トポロジーにおいて位相空間を分類するために使われる。1次の最も簡単なホモトピー群は基本群であり、空間のループについての情報がわかる。直感的には、ホモトピー群は位相空間の基本的な形、穴、についての情報を持っている。
n 次ホモトピー群を定義するために、（基点付き）n 次元球面から与えられた（基点付き）空間の中への基点を保つ写像はホモトピー類と呼ばれる同値類へと集められる。2つの写像がホモトープ (homotopic) とは、一方から他方へ連続的に変形できることをいう。これらのホモトピー類たちが基点付きの与えられた空間 X の n 次ホモトピー群 (n-th homotopy group) と呼ばれる群 πn(X) をなす。異なるホモトピー群を持つ位相空間は決して同じ（同相）ではないが、逆は正しくない。
道のホモトピーの概念はカミーユ・ジョルダン (Camille Jordan) によって導入された。
ホモトピー群 導入
現代数学においては圏を、その各対象に、問題の対象についての十分な量の情報が残っているより単純な対象を割り当てることによって研究するのが一般的である。ホモトピー群は群を位相空間に割り当てるそのような方法である。
トポロジーと群の間のつながりによって数学者は群論の見識をトポロジーに適用することができる。例えば、2つの位相的な対象が異なるホモトピー群を持てば、それらは同じ位相的構造を持っていない（このことは位相的な手法のみを用いて証明することは難しいかもしれない）。例えば、トーラスは球面とは異なる。トーラスには「穴」があるが球面にはないからである。しかしながら、連続性（トポロジーの基本的な概念）は局所的な構造しか扱わないから、明らかな大域的な差異をフォーマルに定義することは難しくあり得る。しかしながら、ホモトピー群は、大域的な構造についての情報を持っているのである。
ホモトピー群 導入
例えば、トーラス T の1次ホモトピー群は
π1(T) = Z2
である、なぜならばトーラスの普遍被覆は複素平面 C で、トーラス T ≅ C / Z2 に写るからである。ここで商は群や環の圏ではなく位相空間の圏におけるものである。一方で球面 S2 は
π1(S2) = 0
を満たす、なぜならばすべてのループは定値写像に収縮できるからである（このことおよびより複雑なホモトピー群の例は球面のホモトピー群を参照）。
したがってトーラスは球面と同相ではない。
ホモトピー群 定義
n 次元球面 Sn において、基点 a を選ぶ。基点 b を持つ空間 X に対し、πn(X) を、基点 a を基点 b に写す写像
f : Sn → X
のホモトピー類全体の集合と定義する。とくに、同値類は球面の基点上定数なホモトピーによって与えられる。同値なことだが、πn(X) を n 次元立方体から X への、n 次元立方体の境界を b へ写す写像 g: [0,1]n → X のホモトピー類の群として定義できる。
n ≥ 1 に対して、ホモトピー類全体は群をなす。群演算を定義するために、次のことを思い出そう：基本群において、2つのループ f と g の積 f ∗ g は次のように定義される：
基本群における合成のアイデアは、1つめの道を辿り引き続いて2つめの道を辿るというもの、あるいは同じことだが、それら2つの定義域を一緒にするというものである。n 次ホモトピー群に対して欲しい合成の概念は次の点を除いて同じである：今定義域は立方体であり、面に沿って貼りあわせなければならない。したがって写像 f, g: [0,1]n → X の和を次の式で定義する。
ホモトピー群 定義
(f + g)(t1, t2, ..., tn) = f(2t1, t2, ..., tn) for t1 in [0,1/2]
(f + g)(t1, t2, ..., tn) = g(2t1 − 1, t2, ..., tn) for t1 in [1/2,1].
球面の場合の対応する定義は、次のようになる。写像 f, g: Sn → X の和 f + g を、Ψ を h と合成したものと定義する。ここで Ψ は赤道を潰す Sn から2つの n 次元球面のウェッジ和への写像で、h は1つ目の球面上では f, 2つ目の球面上では g と定義された、2つの n 次元球面のウェッジ和から X への写像である。
n ≥ 2 であれば、πn はアーベル群である。（このことの証明には、2次元以上では、2つのホモトピーを互いの周りに「回転」させることができることに注意しよう。Eckmann–Hilton argumentを参照。）さらに、基本群と同様、弧状連結な空間に対しては基点をどこに取ろうとも同型な πn が生じる（Allen Hatcher Algebraic topology section 4.1 参照）。
ホモトピー群 定義
基点を省略することでホモトピー群の定義を単純化しようとすることは心をそそるが、これは単連結でない空間に対しては、弧状連結空間に対してさえも、通常うまくいかない。球面から弧状連結空間への写像のホモトピー類全体の集合は、ホモトピー群ではなく、本質的にはホモトピー群上の基本群の軌道の集合であり、一般には自然な群構造を持たない。
空間の n 次元立方体とフィルター付き空間の高次ホモトピー亜群を定義することによって解決策は見つかっている。これらはそれぞれ相対ホモトピー群と n 進ホモトピー群に関係している。すると高次のホモトピーのファン・カンペンの定理によってホモトピー群やさらにはホモトピー型についても新しい情報を手に入れることができる。さらなる背景や文献は、"Higher dimensional group theory" および下の参考文献を参照。
ホモトピー群 ファイブレーションの長完全列
p: E → B をファイバーを F とする基点を保つセール・ファイブレーションとする、つまり、CW複体に関してホモトピーリフトの性質を持つ写像とする。B は弧状連結であるとする。このときホモトピー群の長完全列
... → πn(F) → πn(E) → πn(B) → πn−1(F) →... → π0(E) → 0
が存在する。ここで π0 に関する写像は π0 が群でないから群準同型ではないが、像は核に等しいという意味で完全である。
例： ホップ・ファイブレーション。B を S2 とし E を S3 とする。p をホップ・ファイブレーションとする。ファイバーは S1 である。長完全列
⋯ → πn(S1) → πn(S3) → πn(S2) → πn−1(S1) → ⋯
と、n ≥ 2 のとき πn(S1) = 0 であることから、n ≥ 3 のとき πn(S3) = πn(S2) であることが分かる。とくに、π3(S2) = π3(S3) = Z である。
被覆空間の場合には、ファイバーが離散的なとき、次のことが成り立つ。すべての n > 1 に対して、πn(E) は πn(B) に同型であり、すべての n > 0 に対して πn(E) は πn(B) に単射に埋め込まれ、π1(E) の埋め込みに対応する π1(B) の部分群はファイバーの元たちと全単射に対応する剰余集合を持つ。
ホモトピー群 計算の手法
ホモトピー群の計算は代数トポロジーで学ぶ他のホモトピー不変量のいくつかよりも一般にはるかに難しい。基本群に対するザイフェルト–ファン・カンペンの定理や特異ホモロジーおよびコホモロジーに対する切除定理とは異なり、空間をより小さい空間へ分解することによりホモトピー群を計算する単純な方法は知られていない。しかしながら、高次ホモトピー亜群に対するファン・カンペン型の定理に関する1980年代に発展した手法によって、ホモトピー型したがってホモトピー群についての新しい計算ができるようになった。結果については例えば以下にリストされている Ellis と Mikhailov による2008年の論文を参照。
トーラスなどのいくつかの空間では、すべての高次ホモトピー群（すなわち2次以上のホモトピー群）は自明である。これらはいわゆるaspherical spaceである。しかしながら、球面のホモトピー群を計算する熱烈な研究にもかかわらず、2次元においてさえ、完全なリストは分かっていない。S2 の4次ホモトピー群の計算でさえ定義から思いつくような技術よりもはるかに進んだものが必要なのである。とくにセールのスペクトル系列はまさにこの目的のために構成されたのである。
n連結空間のあるホモトピー群はフレヴィッツの定理を用いてホモロジー群と比較して計算できる。
ホモトピー群 相対ホモトピー群
A を X の部分空間として、対 (X, A) に対し、相対ホモトピー群 πn(X, A) もある。そのような群の元は境界 Sn−1 を A の中に写す based map Dn → X のホモトピー類である。2つの写像 f, g が homotopic relative to A とは、各 p ∈ Sn−1 と t ∈ [0, 1] に対して元 F(p, t) が A に入るような基点を保つホモトピー F: Dn × [0,1] → X によってホモトープであることをいう。通常のホモトピー群は A が基点という特別な場合である。
これらの群は n ≥ 3 に対して可換であるが、n = 2 に対して bottom group π1(A) の crossed moduleの top group をなす。
相対ホモトピー群の長完全列がある。
ベルケ
ベルケ（Berke、? - 1266年）は、ジョチ・ウルスの第5代宗主（ハン、在位：1257年 - 1266年）。バトゥの弟で、ジョチの三男。母はスルターン・ハトゥン（エミン部族）。漢語表記では別児哥、ペルシア語資料では بركاى (Barkāy) または بركه (Barka) と綴られる。
ベルケ 即位以前
1229年春のオゴデイ即位のクリルタイに参集したジョチ家の諸子のうちに、オルダ、バトゥ、シバン、タングト、トカ・テムルらと並んで、ベルケもその名を列ねている。1236年に始まるバトゥを総司令とする西方遠征にも従軍しており、キプチャク族征討に戦功を収めている。1249年のバトゥによるモンケ擁立に際しては、トカ・テムルとともにジョチ家の諸軍を率いてケルレン河畔を渡り、ソルコクタニのオルドを守護し、モンケの近くに侍してバトゥとの連絡役を果たしている。モンケ擁立の中心人物のひとりであり、後年のフレグとのアゼルバイジャンを巡る境域紛争では、イルハン朝側の対応が後手に回り勝ちであったことの原因のひとつに、そのことが少なからず影響していたようである。
1256年にバトゥが没すると、モンケはこの年のクリルタイに参列していたバトゥの長男のサルタクを後継者として認めたが、サルタクはジョチ・ウルスへの帰還途中で病没した。これに伴いモンケは、再びサルタクの弟でバトゥの四男のウラクチ（サルタクの息子との説もあり）を後継者に命じたが、いまだ幼年であったため、バトゥの后妃筆頭であったボラクチン・ハトゥンに、成人になるまでの間その摂政に任命した。しかしウラクチはその後わずか数カ月で夭折したため、ジョチ家の年長者であったベルケが1257年に即位することとなった。
ベルケ 即位以前
ベルケが没した時、サルタクの次弟のトクカンの遺児（次男）のモンケ・テムルはすでに成人に達していたために、ベルケの家系に家督が移らず、再びバトゥの末裔がジョチ家の宗主を継いでいくこととなった。ベルケ自身に息子がいたかどうかは不明である。
ベルケ 治世・モンゴル本土の後継闘争と対外政策
1259年、モンケが合州親征中に陣没し、次代のモンゴル帝国の皇帝（カアン）の位をめぐり、弟のクビライとアリクブケとの間に後継闘争が始まった。ベルケはいちはやくクビライ、アリクブケ双方に使者を派遣し、中立の立場をとった。しかし、アリクブケの意を汲んで中央アジアへ派遣されて来たチャガタイ家のアルグは、アムダリヤ川境域を守護して、ジョチ・ウルスとフレグ西征軍がクビライ側へ物資の供給がされないように監視を命じられていた。ベルケは基本的にアリクブケの帝位継承を認めていたものの、実際にはクビライ、アリクブケ双方に中立的立場を守っていたようで、アリクブケ側からはクビライとの紛争中は少なからず警戒されていたようである。
一方、ジョチ・ウルスはバトゥの主導によってフレグの西方遠征にも親族を幾人か派遣していた。すなわち長兄のオルダの次男のクリを1万戸ともに派遣し、弟であるシバンの四男のバラカン、同じくボアルの次男のミンカダルの子のトカル（ノガイの従兄弟）などであった。
ベルケ 治世・モンゴル本土の後継闘争と対外政策
モンケ没後の混乱でベルケは、西征軍に参加していたジョチ家王族の回収を行っている。1256年にフレグの遠征に従軍中のバラカンがフレグを呪詛したらしいという事件が起った。バラカンは捕縛されベルケのもとに送還されたが、この時の査問でバラカンは呪詛した罪を認めたため、裁定をフレグに一任して彼をフレグのもとに送り返した。このためバラカンは処刑されたが、さらにこの直後にクリとトカルまで急死した。2人の不審死は毒殺だという噂が流れたため、フレグとジョチ・ウルスとの間に深刻な対立が根付いてしまった。あるいはアイン・ジャールートの戦いの敗北の後の宴席でバラカンが急死し、これを毒殺と疑ったトカルがフレグを呪詛したためベルケのもとに送られ、再度フレグによって1260年2月2日に処刑され、クリも急死したともいわれる。
そして1262年9月に、ベルケがトカルの従兄弟のノガイを指揮官とする3万騎をアゼルバイジャン経由で侵攻させると、3人の王族たちの家族と軍民はカフカスやホラーサーン方面からキプチャク草原へ逃走し、ネグデル率いる一部はアフガニスタンとインドの境域地域を占領した。
この混乱期に彼は、アゼルバイジャン地方の帰属を巡ってフレグ西征軍と対立し、カスピ海東南方面において盛んに軍を派遣してフレグおよびアバカの指揮する西征軍との戦闘をくり返した（ベルケ・フレグ戦争）。