hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
プランク定数
プランク定数（プランクていすう、プランクじょうすう、英語: Planck constant）は、光子のもつエネルギーと振動数の比例関係をあらわす比例定数のことで、量子論を特徴付ける物理定数である。
量子力学の創始者の一人であるマックス・プランクにちなんで命名された。
作用の次元を持ち、作用量子とも呼ばれている。
SIにおける単位はジュール秒（記号: J⋅s または J s）である。プランク定数は2019年5月に定義定数となり、正確に6.62607015×10−34 J⋅sと定義された。
プランク定数 概要
光子の持つエネルギー（エネルギー量子）ε は振動数 ν に比例し、その比例定数がプランク定数と定義される。
光のエネルギー E は光子の持つエネルギーの倍数の値のみを取り得る。
プランク定数の値は
正確に
である（2018年CODATA推奨値）。
また、プランク定数 h を 円周率 π の2倍で割った量 h/2π もよく使われるため、「換算プランク定数」、または「ディラック定数」と呼ばれる。
ディラック定数の値は
である（2018年CODATA推奨値）。
プランク定数 記号
プランク定数は、記号 h で表される。この記号はプランクの輻射公式を説明する定数としてプランク自身の論文の中で導入されている。Hilfsgröße（Hilfs＝補助、größe＝大きさ、量）の頭文字に由来する。また専用の記号として ℎ (PLANCK CONSTANT, Unicode U+210E) も用意されている。
ディラック定数の記号は、 h にストローク符号を付けた記号 ħ（H WITH STROKE, LATIN SMALL LETTER、Unicode U+0127、JIS X 0213 1-10-93）が使われる。量の記号にイタリック体を用いる約束に従って、専用の記号として ℏ (PLANCK CONSTANT OVER TWO PI, Unicode U+210F, JIS X 0213 1-3-61) も用意されている。またTeX には数式記号 （\hbar）が用意されている。ħ は「エイチバー」または「クロストエイチ」と発音される。
プランク定数 歴史
1896年にヴィルヘルム・ヴィーンが黒体放射におけるエネルギー分布に関するヴィーンの放射法則を提案した。この式はそれ以前の実験で得られていた高振動数領域では測定値をよく説明したが、新たに得られた低振動数の領域では合わなかった。1900年にプランクが低振動数領域でも測定値と一致するようにヴィーンの理論式を修正する形でプランクの法則を提案した。プランクの理論式は、高振動数の領域ではヴィーンの理論式に移行する。レイリー卿は古典的なエネルギー等分配則から低振動数極限における近似式の形を提案し、1905年にジェームズ・ジーンズがその係数を正しく与えた。レイリー・ジーンズの法則と呼ばれるこの式は、プランクの理論式から導かれる低振動数極限の形と係数を含めて一致した。
プランクは彼の公式の理論的な説明を与える過程で、振動数 ν の光のエネルギーの受け渡しは大きさ hν を単位としてのみ起こり得る、という仮定をした。この h が後にプランク定数と呼ばれるようになった普遍定数である。実験結果と彼の理論式を比較してプランクは、
プランク定数 歴史
h = 6.55×10−34 J s
と定めた。
アルベルト・アインシュタインはプランクの理論の影響を受け、1905年、光が粒子のような性質を持つという光量子仮説を提唱し光電効果を説明した。光量子仮説では、プランクとは別の方法でエネルギー量子の存在を説明した。アインシュタインの光電効果の考えはともかくとして彼が導いた式の正しさは、ロバート・ミリカンによって10年かけて行われた実験にて確かめられた。1916年にミリカンが報告したプランク定数の値は、
h = 6.57×10−34 J s
であり、プランクが黒体放射から得た値とよく一致した。
プランク定数 理論
プランク定数は量子論的な不確定性関係と関わる定数であり、h → 0 の極限で量子力学が古典力学に一致するなど、量子論を特徴付ける定数である。
軌道角運動量やスピンは常に換算プランク定数の整数倍か半整数倍になっている。例えば、電子のスピンは ±ħ/2 である。なお、量子力学の分野では ħ = 1 とするプランク単位系や原子単位系を用いる場合が多く、その場合の電子のスピンは ±1/2 となる。
プランク定数は位置と運動量の積の次元を持ち、不確定性関係から位相空間での面積の最小単位であるとも考えられているが、最近では Zurek らの研究で、量子カオス系においてはプランク定数以下のミクロ構造が現れる事がわかった。
プランク定数 キログラムの定義
質量のSI単位であるキログラムは、従来の定義では国際キログラム原器（IPK）が用いられていたが、プランク定数を用いた新しい定義に改定され、2019年5月に発効した。
新しい定義においてプランク定数はSIを定義する定義定数として位置付けられ、SI単位による値は実験的に決定される測定値ではなく、固定された定義値となった。
プランク定数（h = 6.62607015×10−34 J s）とともに値が固定された定数である光速度 c、及びセシウム133の超微細遷移周波数 ΔνCs とを組み合わせることで、キログラムが導かれるという仕組みになっている。
国際度量衡委員会の下部組織である質量関連量諮問委員会による2013年の勧告では、新たな質量の定義を採用する条件として、
プランク定数 キログラムの定義
等が要求されていたが、2017年5月の 16th CCM meeting 時点までにこの条件は達成された。
NISTの D. Haddad らは、2015年から2017年にかけて NIST-4 キブル天秤による計測を繰り返した結果として 6.626069934(89)×10−34 J s の値を得ており、相対標準不確かさでは 13×10−9 を達成している。その他の実験結果については「モルプランク定数#実験値から定義値へ」を参照のこと。
2018年11月の第26回国際度量衡総会 (CGPM) で決議され、2019年5月20日に施行された新しいSIの定義では、プランク定数は定義定数となった。
量子化
量子化（りょうしか、英: quantization）
水素原子
水素原子（すいそげんし、英: Hydrogen atom）は、水素の原子である。1つの陽子と1つの電子により構成されている。水素原子は宇宙の全質量の約75%を占める。
水素は地球上では他の原子との化合物（例えば、水）を作るか、水素分子(H2)の状態で存在していることが多く、単に水素と言えば一般的には水素分子のことを指す。
電気分解などにより単離した水素原子や、酸素や窒素などと結びついた水素原子は、反応性が高く、その還元作用のため活性水素 (Active hydrogen) と呼ばれる。
水素原子 生成と反応
H-H結合は、298 Kでの結合解離エンタルピーが435.88 kJ/molと最も強い結合の1つである。この強い結合のため、水素分子は高温になるまでほとんど解離しない。3,000 Kで解離度は7.85%である。
H2 ⇌ 2 H
水素原子は反応性が非常に高く、ほぼ全ての元素と結合できる。
水素原子 同位体
最も豊富な同位体である水素1、プロティウム、軽水素は中性子を含まない。一方、重水素や三重水素等の他の水素の同位体は1つかそれ以上の中性子を含む。下記の式は3つ全ての同位体に対して適用できるが、同位体ごとに若干異なるリュードベリ定数を用いる必要がある。
水素原子 量子理論的分析
水素原子は単純な二体問題の系として多くの分析的な単純解を生成してきたことから、量子力学や量子場理論において特別に重要な意味を持つ。
1913年、ニールス・ボーアは多くの仮定を置いて単純化することで、水素原子のエネルギー準位及びスペクトル周波数を得た。ボーアの原子模型の基礎であるこれらの仮定は完全に正しくはないが、かなり正しいエネルギー値が得られた。ボーアの原子模型では、それぞれのエネルギー準位は整数値の量子数 n  で識別され、
で与えられるエネルギーを持つ。ここで、me は電子の静止質量、c は光速、α は微細構造定数である。周波数とエネルギー値に関するボーアの結論は、1925年から26年にかけてのシュレーディンガー方程式の解と同値のものである。水素についてのシュレーディンガー方程式の解は解析解であり、水素のエネルギー準位とスペクトル線の周波数についての簡単な表現を与える。シュレーディンガー方程式の解は他に2つの量子数と様々な量子状態での電子の波動関数の形を与えるためボーアの原子模型よりもさらに詳細な情報が得られ、これにより原子結合の異方的な性質が説明できる。
シュレーディンガー方程式はもっと複雑な原子や分子にも適用できる。電子か核子の数が1つを超えると解は解析的には求められず、コンピュータ計算か仮定の単純化が必要となる。
水素原子 量子理論的分析
シュレーディンガー方程式は非相対性理論的な量子力学にしか適用できないため、水素原子に関して得られる解は完全に正確なものではない。このことは相対論的量子力学に基づくディラック方程式によって改善される。
水素原子のシュレーディンガー方程式の解は、核子によるクーロンポテンシャルは等方的であるという事実を用いる。結果として得られた基底状態の固有関数（軌道）自体は等方的である必要はないものの、それらの角座標への依存はこのポテンシャルの等方性から得られるものである。ハミルトニアンの固有状態（即ちエネルギー固有状態）は、角運動量演算子の同時固有状態として選ぶことができる。これは、核子の周りでの電子の軌道運動において角運動量が保存されるという事実と合致する。従って、エネルギー固有状態は2つの角運動量量子数 l と m （どちらも整数）により分類することができる。角運動量量子数 l (= 0,1,2,...) は角運動量の大きさを決定し、磁気量子数 m (= -l, ..., +l) は任意に選んだz軸への角運動量の射影を決定する。
水素原子 量子理論的分析
波動関数の全角運動量と角運動量射影の数学的な表現に加え、波動関数の放射方向依存の表現も見出す必要がある。これは 1/r クーロンポテンシャル（ラゲールの陪多項式）から導ける。ここから3つ目の量子数 n (= 1,2,3, ...) が得られる。水素のこの量子数は原子の全エネルギーと関連している。
角運動量の保存のため、l が同じで m が異なる状態は同じエネルギーを持つ。さらに水素原子の場合は、n が同じで l が異なる状態は縮退している（即ち同じエネルギーを持つ）。しかしこれは水素に特有の性質で、1/r とは異なるポテンシャルを持つ、より複雑な原子に対しては当てはまらない。
電子のスピン角運動量を考慮に入れると、2つの値を取りうる最後の量子数（z軸に沿った電子の角運動量の射影）が得られる。従って、水素中の電子のあらゆる固有状態は4つの量子数で完全に記述することができる。量子力学の規則によると、電子の実際の状態はこれらの状態の重ね合わせである。このことは、z軸の方向の取り方が任意であることも説明できる。
水素原子 量子理論的分析
ヴェルナー・ハイゼンベルクの行列力学においては、水素原子は角運動量とラプラス・ルンゲ・レンツベクトルから生み出される四次元回転対称性（O(4)-対称性）を用いて、ウォルフガング・パウリによって初めて解かれた。O(4)-対称性をO(4,2)に拡張することによって、全体のスペクトルと全ての遷移状態が1つの既約群表現に内包される。
1979年（非相対論的な）水素原子について、リチャード・P・ファインマンの経路積分の範囲で初めて解かれた。この成果はファインマンの方法の適用範囲を大きく広げた。
1928年、ポール・ディラックは特殊相対性理論と完全に両立できる方程式（ディラック方程式）を発見し、その結果として波動関数を正負のエネルギー（物質と反物質）および両方向のスピンからなる4成分のディラック・スピノルで表した。この方程式の解はシュレーディンガー方程式の解よりも正確な以下の結果を与える。
微細構造を含みラムシフトや超微細構造を含まない水素原子のエネルギー準位はディラックの微細構造表現により与えられる。
水素原子 量子理論的分析
ここで α は微細構造定数、j は |l ± 1/2| に等しくスピンの方向に依存する全角運動量量子数である。この式は、ニールス・ボーアとシュレーディンガーによって得られた下記のエネルギーを補正している。角括弧で囲まれた値は相対論的効果に由来する因子であり，ほぼ1に近い。n = 1 における角括弧の前の因子  はリュードベリ定数と呼ばれ、ボーアの原子模型
から最初に発見された。ここで、me は電子の静止質量、e は電気素量、h はプランク定数、ε0 は真空の誘電率である。この定数はエネルギーのリュードベリ単位という形で原子物理学においてよく用いられる。
上記のリュードベリ定数の正確な値は、核子は電子と比べて無限に重いことを仮定する。軽水素、重水素、三重水素では、この定数は系の換算質量を用いることで単純な電子の質量を用いるのと比べて若干改善される。しかし核子が電子よりも遥かに重いため値はほぼ同じになる。電子1つの水素のリュードベリ定数を RM とすると、R は
で与えられる。ここで M は原子核の質量である。軽水素では、me/M の値は約1/1836である。重水素、三重水素ではこの値はそれぞれ約1/3670、1/5497である。これらの値を分母の1に加えるとR の値の補正値となる。
球面座標系において、標準位置での波動関数は
で与えられる。ここで、
量子数は以下の値を取る：
さらに、これらの波動関数は規格化され、直交関数列化される。
ここで |n, l, m⟩ はブラ-ケット記法で表した波動関数 ψnlm、δ はクロネッカーのデルタである。
角運動量演算子の固有値は
右図は水素原子の最初のいくつかの軌道（エネルギー固有関数）を示している。これらは確率振幅の断面図を表している（黒色は密度0、白色は最大密度である）。角運動量量子数 l はそれぞれの列に示されている（s は l = 0 、p は l = 1、d は l = 2 を意味する）。主量子数 n はそれぞれの行の右に示されている。全ての図において磁気量子数 m は 0 としており、断面図はxz平面である。基底状態、即ち最もエネルギーの低い状態では、電子は常に 1s の状態にある（n = 1, l =0）。
図中で最初の軌道以外に現れる黒い線は、波動関数の節、即ち確率密度が 0 になる地点である（より正確には、節は極座標でシュレーディンガー方程式を解いた時に得られる球面調和関数で表される）。
量子数がこれらの節の形を決める。
不確定性原理
不確定性原理（ふかくていせいげんり、独: Unschärferelation、英: Uncertainty principle）は、量子力学に従う系の物理量を観測したときの不確定性と、同じ系で別の物理量を観測したときの不確定性が適切な条件下では同時に0になる事はないとする一連の定理の総称である。特に重要なのは、がそれぞれ位置と運動量のときであり、狭義にはこの場合のものを不確定性原理という。
このような限界が存在するはずだという元々の発見的議論がハイゼンベルクによって与えられたため、これはハイゼンベルクの原理という名前が付けられることもある。しかし後述するようにハイゼンベルク自身による不確定性原理の物理的説明は、今日の量子力学の知識からは正しいものではない。
今日の量子力学において、不確定性原理でいう観測は日常語のそれとは意味が異なる用語であり、測定装置のような古典的物体と量子系との間の任意の相互作用を意味する。したがって例えば、実験者が測定装置に表示された値を実際に見たかどうかといった事とは無関係に定義される。また不確定性とは、物理量を観測した時に得られる測定値の標準偏差を表す。
不確定性原理が顕在化する現象の例としては、原子（格子）の零点振動（このためヘリウムは、常圧下では絶対零度まで冷却しても固化しない）、その他量子的なゆらぎ（例：遍歴電子系におけるスピン揺らぎ）などが挙げられる。
不確定性原理 観察者効果との混同
歴史的に、不確定性原理は観察者効果と呼ばれる物理学におけるいくらか似た効果と混同されてきた。観察者効果とは、系を測定する行為それ自身が系に影響を与えてしまうというものである。
量子力学が成立するミクロな世界が測定による観測者効果で「揺動」してしまうという説明は、ハイゼンベルク自身が当初不確定性原理に対して与えたものであり、今日において繰り返し出てくるものの、根本的に誤解を招くおそれのあることが現在は知られている。
「不確定性原理は実際には量子系の基本的特性を述べており、現代のテクノロジーにおける測定精度の到達点について述べたものではない」。不確定性原理は全ての波のような系にもともと備わっている特性であること、不確定性は単純に全ての量子物体の物質波の性質によって現われることが今日の量子力学ではわかっている。
測定器の誤差と測定による反作用との不確定性とは区別して考えなければならない。量子論での時間発展や測定についての基本的要請をすべて使って展開できる量子測定理論を用いて、ハイゼンベルクの考察した「測定精度と反作用に関する不確定性原理」ははじめて導けるが、その結果得られる不等式の下限はケースバイケースで変わることが判っている。後述する小澤の不等式などがその１つである。
不確定性原理 不確定性原理の概要
不確定性原理で特に重要になるのは、物理量と物理量がそれぞれ(j軸方向の)位置と運動量である場合である。系が状態ψにあるときのこれらの不確定性をそれぞれ、とするとき、以下が成立する：
ここでは換算プランク定数である。なお本項ではH13に従い、不確定性をと表記したが、多くの物理の教科書では系の状態ψを省略しと表記する。
上式右辺は0より真に大きいので、位置の不確定性が0に近い値であればは極端に大きくなり、逆にが0に近い値であればは極端に大きくなる。両方共0に近い値にする事はできない。
一般の物理量、に対する不確定性原理として、以下のロバートソンの不等式がある：
ここではとの交換子
であり、は系の状態がψであるときにを観測したときの観測値の期待値である。
これまでψについて詳しく書いてこなかったが、実はψが適切な定義域に属している場合にしか不確定性原理は成り立たず、そうでない場合には反例がある事が知られているので注意が必要である。そこで次節でこの点を考慮して不確定性原理を厳密に定式化する。
不確定性原理 厳密な定式化
不確定性原理を定式化する為の予備知識を説明する。量子力学において（純粋）量子状態は状態空間という複素内積ベクトル空間（ヒルベルト空間）における長さ1のベクトル（状態ベクトル）として記述され、物理量（オブザーバブルと呼ぶ）は上の自己共役作用素として定式化される。
粒子がn個ある系の場合は、3n次元空間上の複素数値の自乗可積分函数全体の空間と同一視でき、このようにみなした場合、状態ベクトルのことを波動関数と呼ぶ。
定義 ― 
軸方向の位置作用素と運動量作用素はそれぞれ
により定義される。
ここでは換算プランク定数である。
不確定性原理を定式化する準備として、オブザーバブルの定義域に関して述べる。後でみるように、不確定性原理を厳密に定式化する際、オブザーバブルの定義域に関して細心の注意を払わないと、反例がつくれてしまうからである。
まず運動量作用素と位置作用素の定義域に関して調べる。定義から分かるように、運動量作用素は波動関数が微分可能な場合しか定義できないが、自乗可積分関数の中には微分可能でないものもあるので、運動量作用素は状態空間の全域では定義できず、の部分空間でのみ定義された作用素である。
不確定性原理 厳密な定式化
また位置作用素に関しても、が常に自乗可積分関数になるわけではないので、が自乗可積分関数になるようなに対してしか位置作用素を定義できない（そうしないとの値域がからはみ出してしまうので、が上の自己共役作用素にならない）。
こうした事情から量子力学では、オブザーバブルがの部分空間でのみでしか定義されていないケースをも許容し、代わりに定義域がで稠密になる事を要請する。
オブザーバブルがの部分空間でのみでしか定義されない事を許容した事が原因で、2つのオブザーバブル、の交換子
も常に定義できるとは限らない。実際、積は
かつ
のときしか意味を持たないし、にも同様の制約が課せられる。結局が意味を持つのは、
、、
が全て成り立つときのみである。
状態空間上２つの元ψ、χに対し、ψとχの内積をと書き表し、ノルムを
とする。
定義 ― 
オブザーバブルと状態ベクトルに対し、
と定義しH13(p53)、さらにのに対する不確定性を
により定義するH13(p241)。
ここでIは単位行列である。とは物理的にはそれぞれ、状態にある系でを観測した時に得られる観測値の平均値と標準偏差である。
定理 (ロバートソンの不等式) ― 
、を状態空間上のオブザーバブルとし、が
不確定性原理 厳密な定式化
、、
を満たしているとする。このとき、が定義可能であり、以下の不等式（ロバートソンの不等式）が成立するH13(p241,242)：
この証明は引用文献H13p243を参考にした。ψが定理の条件を満たす時が定義可能であることは既に見たので、以下不等式が成り立つことの証明のみに注力する。記法を簡単にするため
とする。単位行列Iがの全域で定義されている事を利用すると、ψの条件、、より、
、、、
がいずれも定義可能である事が簡単な議論で分る。
コーシー・シュワルツの不等式により、
、が定義可能であったので、
単位行列Iは全ての作用素と可換なので、
よってロバートソンの不等式が証明された。
d次元空間Rd上の自乗可積分関数全体の空間におけるj番目の位置作用素と運動量作用素
に関しては、ψの定義域に関する条件を弱めることができる事が知られている。
定理 ― 
状態空間がであるとき、
であれば、以下が成立するH13(p246,248)：
なお、
の偏微分が定義可能
である。ここで「偏微分可能」は通常の意味の偏微分が可能である事を含むのはもちろん、弱微分の意味での偏微分が可能であるものも許容する。
証明は引用文献H13のp246~248を参照されたい。
不確定性原理 反例
1次元空間上の自乗可積分関数に対する通常の位置作用素、運動量作用素と区別するため、[−1, 1]上の自乗可積分関数に対する位置作用素と運動量作用素をそれぞれ、と書くことにする。すなわち
である事は通常の、と変わらないが、、の場合と違い、ψはR全体で定義された関数ではなく、区間[−1, 1]でのみ定義された関数である。このとき次が成立する：
一方、以下も示すことができる：
よって不確定性原理が成り立っていない。
なおこの反例は引用文献H13p245~246によった。
上記の作用素が不確定性原理を満たさないのは、ロバートソンの不等式が成立するための定義域に関する条件を満たしていないからである。
このことを見るため、まずの定義域を見る。（詳細は略すが、の定義域は通常通りとしてよい）。
がオブザーバブルであるには対称性
を満たす必要があった。
ψ、χが周期性、を満たせばが対称性を満たす事を容易に示せる。
よって
を満たす[−1, 1]区間上の可微分関数
としてよい。（なお、の自己共役性を示すには、「可微分」を弱微分の意味に解釈する必要があるが、本項の範囲を超えるので詳細は省略する）。
ロバートソンの不等式が成り立つためには、
、
でなければならなかった。しかし上述したψ0は
は
であるので、の周期性の条件を満たさない。よって
であり、ロバートソンの不等式の条件が満たされない。
不確定性原理 小澤の関係式
小澤正直は、（当初のハイゼンベルクの思考実験では混同されており、ボーアが指摘している）測定限界や測定することによる対象の擾乱や測定誤差と、量子自体の性質（不確定性関係）による量子ゆらぎを厳密に区別した式（小澤の不等式）を提案した。式の形は、ハイゼンベルクの式に補正項を付け加えた形になる。さらに、その式に従えば（従来のハイゼンベルクの式に従って信じられていた）「ハイゼンベルクの不確定性原理による測定の限界」を超えて、量子に対する精度の良い測定が可能であると、2003年1月に発表した（この結果につながった論争は、1980年代に、重力波検出装置の可能性と限界を巡って始まったものである）。オブサーバブル  の測定の誤差（すなわち精度）を 、測定過程による擾乱を 、量子ゆらぎを  とすると以下の不等式が成り立つ。
位置と運動量の測定の関係を小澤の不等式に当てはめると、
となる。この改良された不等式から見ると、1927年に発表されたハイゼンベルクの不確定性原理は上式の第1項についてのみ述べていたということになる。
不確定性原理 小澤の関係式
小澤の不等式が示す測定誤差（左辺の第1項）の下限は、ハイゼンベルクの不等式が示していた測定誤差下限よりも第2項、第3項の分だけ小さい。このことは、ハイゼンベルクの不等式が示した限界よりも精度の良い測定ができる可能性を示唆しており、実際にそのような小澤の不等式を実証する実験結果が2012年に発表された。この実験では原子炉から出る中性子のスピン角度を2台の装置によってはかり、ハイゼンベルクの不等式の限界を超えて精度よく測定することに成功したと発表された。
また位置のゆらぎが十分に大きければ、位置を正確に測定したときの運動量の擾乱を限りなく小さくすることが原理的には可能である。
2つの物理量を同時に測定するときの小澤の不等式は
位置と運動量を同時測定する場合は
これより位置のゆらぎが十分に大きければ、位置と運動量を同時に正確に測定することが原理的には可能である（2粒子のEPR状態がその例）。
不確定性原理 時間とエネルギーの不確定性関係
時間とエネルギーに関しては、観測量の分散に対するロバートソン不等式を論じることは一般にできない。それはエネルギー固有値が連続でかつ上限および下限を持たない量子系でなければ、ハミルトニアン ˆH に正準共役な時間演算子 ˆT は定義できないためである。もし考えている量子系においてエルミートな ˆT が存在して
を満たすならば、任意の実数 k に対して
というユニタリ変換が存在する。これをあるエネルギー固有値 E に対応する固有状態 |E⟩ に作用させると、得られる状態は
という関係を満たすため、エネルギー固有値が E + k のエネルギー固有状態を得たことになる。しかし k は負の無限大から正の無限大の間の任意の実数値をとれるため、エネルギー固有値も連続的となり下限も上限もなくなる。安定した基底状態をもつ量子系ではエネルギー固有値は下限をもつため、エルミートな時間演算子は存在しないことが証明される。従って安定な基底状態をもつ通常の量子系では、時間とエネルギーに関するロバートソン不等式は意味を持たない。同様に、時間とエネルギーに関しては小澤の不等式も意味を持たない。
不確定性原理 時間とエネルギーの不確定性関係
なお未知の時間パラメータに依存する量子状態 |ψ(t)⟩ を量子測定して、その測定結果から t の値を推定する場合には、その推定誤差 δt とハミルトニアンの標準偏差との間に不等式  が成立することは知られている。しかしこれはロバートソン不等式や小澤の不等式ではなく、量子推定理論のクラメール・ラオ不等式からの帰結である。
ハミルトニアン ˆH によって時間発展した状態が初期状態に比べて有意に変化するには、以上の経過時間が必要である。この関係を時間とエネルギーの不確定性関係の一種とみなす場合もある。しかしエネルギーの標準偏差と、状態差が生まれるための経過時間 t との積の下限は ħ / 2 という普遍的な値を持たず、使用する状態差の指標等の詳細に依存する。
不確定性原理 時間とエネルギーの不確定性関係
一方、エネルギーの測定誤差とエネルギーの測定にかかる時間との間には原理的な不確定性関係は存在しない。1930年のソルヴェイ会議でのアインシュタインとの不確定性原理の論争において、ボーアが測定時間とエネルギーの誤差の不確定性関係を破る光子箱の思考実験を論破したと言われているが、この時のボーアの議論は正確ではない。例えば重力場を電場に、光子を電子に置き換えることによって、光子箱と同様のエネルギー測定の思考実験が作れる。しかしこの場合は一般相対性理論を必要とせず、重力ポテンシャルと時間の遅れの関係式も不必要となるため、ボーアが考えた測定時間とエネルギーの測定誤差の不確定性関係は成立しないことが示される。他の物理量と同様に、エネルギーは任意の時刻で正確に測定できる。例えば一定外部磁場 B 中のスピン S が持つエネルギー H ∝ B·S の精密測定は、スピンの磁場方向成分の精密測定で実現できる。スピンの特定方向成分の理想測定はその測定時間に原理的制約を持たないため、いくらでも短い測定時間の間に磁場方向のスピンの精密測定はできる。従ってそのエネルギーも測定時間に関係なく精密測定ができる。
時間とエネルギーの不確定性関係のために短時間ではエネルギー保存則が破れるという説も流布しているが、それに根拠はない。フェルミの黄金律等の摂動論において議論されている有限時間でのエネルギー保存則の破れは、相互作用項を無視した自由ハミルトニアン ˆHo のみに対する議論にすぎない。相互作用があると ˆHo は時間的に保存しないが、相互作用項  ˆV  まで取り入れた全ハミルトニアン ˆHo + ˆV 自体は任意の時刻で保存しており、エネルギー保存則は量子力学でも破れることはない。場の量子論では、エネルギー運動量テンソル演算子 ˆTμν を用いて
という局所的表現でエネルギー保存則は与えられる。他の量子系と同様に、短時間でもエネルギー保存則が破れることはない。ファインマンダイアグラムを用いた摂動論において、仮想粒子が実粒子の間を媒介して力を伝達する事象をエネルギー保存則の破れで簡易に説明する場合があるが、厳密に言うとその破れは相互作用項を無視した自由ハミルトニアンの保存則の破れを指す。場の量子論においても相互作用項まで取り入れたエネルギー保存則は破れることはない。
不確定性原理 歴史
1927年にヴェルナー・ハイゼンベルクは、ある粒子の位置をより正確に決定する程、その運動量を正確に知ることができなくなり、逆もまた同様である、と述べた。（小澤正直によれば、「ハイゼンベルクは、標準偏差の関係(3)と誤差の関係(1)を混同していたのではなく、測定直後の状態が関係(3)をみたすことから、誤差の関係(1)が帰結すると主張したのであるが、その推論は不十分であった」）
位置の標準偏差 σx と運動量の標準偏差 σp を結び付ける不等式は1927年にアール・ヘッセ・ケナードによって、1928年にヘルマン・ワイルによって導出された。
不確定性原理 文献
石井茂『ハイゼンベルクの顕微鏡　不確定性原理は超えられるか』日経BP社、2006年1月。ISBN 4-8222-8233-3。オリジナルの2007年8月16日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20070816222657/http://ec.nikkeibp.co.jp/item/books/P82330.html。
並木美喜雄『不確定性原理　量子力学を語る』共立出版〈物理学one point 18〉、1982年5月。ISBN 4-320-03172-5。オリジナルの2006年8月13日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20060813134128/http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookhtml/0409/001075.html。
不確定性原理 文献
ハーバート, ニック『量子と実在　不確定性原理からベルの定理へ』はやしはじめ訳、白揚社、1990年11月。ISBN 4-8269-0045-7。オリジナルの2016年3月4日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20160304102456/http://www.hakuyo-sha.co.jp/cgi-bin/search.cgi?mode=detail&mode2=search&id=246。
宮下精二『量子スピン系　不確定性原理と秩序』岩波書店〈岩波講座 物理の世界 物質科学の展開 7〉、2006年10月。ISBN 4-00-011130-2。オリジナルの2009年5月25日時点におけるアーカイブ。https://web.archive.org/web/20090525070920/http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/01/2/0111300.html。
サモトラケのニケ
『サモトラケのニケ』（フランス語: Victoire de Samothrace, 英語: Winged Victory, ギリシア語: Νίκη της Σαμοθράκης）は、
ヘレニズム期の大理石彫刻。翼のはえた勝利の女神ニケ（ニーケー）が空から船のへさきへと降り立った様子を表現した彫像である。1863年にエーゲ海北東部にあるサモトラケ島で発見された。頭部と両腕は失われている。フランスのルーブル美術館が所蔵している。
サモトラケのニケ 概要
動的な姿態と、巧みな「ひだ」の表現で知られており、ギリシャ彫刻の傑作とされる。
大理石製で、高さは244cmである。
最初の発見は1863年で、フランス領事シャルル・シャンポワゾによって、胴体部分と総数1118点の片翼の断片が発見され復元された。像は1884年にルーヴル美術館の『ダリュの階段踊り場』に展示され、現在に至る。
1950年に右手が発見され、ルーヴル美術館に保管されている。その手は大きく広げられている。
紀元前190年頃の制作とも推定され、ロードス島の人々が、シリアのアンティオコス3世との戦いで勝利できたので、ニケに感謝して、サモスラキ島のカベイロス神域の近くに立てた像とも推定されているがそのいわれや制作年に関しては諸説ある。→#年代と作者の推測
サモトラケのニケ 年代と作者の推測
この彫像について記述した古文書は発見されていないため、様式および傍証から年代を推定することしかできない。まず、デメトリオス1世ポリオルケテスの貨幣が、この像を表しているのではないかと考えられ、デメトリオス1世が海戦の勝利を祝って建造したと推測する説があった。この説によれば、彫像は紀元前4世紀終わりから紀元前3世紀初頭の作ということになり、サモトラケ島で活動していたスコパスの弟子などが該当する可能性がある。しかしながら、サモトラケ島は当時デメトリオスと敵対関係にあったリシマクス（リュシマコス）の支配下にあり、ここにデメトリオスが像を建立したとは考えにくい。
次に、ロードス島のリンドスで発見された船を象った浮き彫りの形態と台座の大理石の由来から、彫像がロードス島のものであり、コス島、シデ、あるいはミヨニソスでの勝利を祝したものと考える説がある。年代はそれぞれ紀元前261年頃、紀元前190年、おなじく紀元前190年である。
サモトラケのニケ 年代と作者の推測
この時期は大プリニウスにも言及されている チモカリスの息子ピトクリトスが彫刻家として活動していた時期に符合する。ピトクリトスはリンドスのアクロポリスの彫像を手がけたことでも知られている。そしてシャンポワゾは1892年、彫像の直近からロードス島ラルトス産の大理石の断片を発見したが、これには「…Σ ΡΟΔΙΟΣ / …S RHODIOS」という表記があり、「ロードスのピトクリトス」に符合する可能性を示すものとして注目された。しかしながら、この断片とニケの彫像が置かれていたエクセドラ（半円状に突出した建築部位）の関係は明らかではなく、とりわけ、この断片の小さな凹部はそれが小像の台座であることを物語っている。
他に、この彫像がアンティゴノス2世ゴナタスの奉納物であるとする説がある。すなわち紀元前250年代のコス島でのプトレマイオス2世に対する勝利の記念物である。アンティゴノス2世はデロス島に彫像を建立していることから、アンティゴノス朝が伝統的に守ってきた聖域であるサモトラケ島にも同様なことを行っていたと考えることは可能である。
他の検討の可能性として、ニケの彫像をペルガモンの大祭壇のフリーズに彫られた人物像と比較する研究者もいた。
サモトラケのニケ レプリカ
世界中に、ほとんど無数ともいえるほどのレプリカやコピーや模倣品がある。
アメリカ最高権威の医学賞であるラスカー賞においては、サモトラケのニケをトロフィーにしたものが受賞者に贈られる。同賞は医学研究においてノーベル賞の次に権威があるとされ、また、受賞者のおよそ半数がノーベル医学賞を受賞している。
フェニックス
フェニックスまたはフェニクス（古代ギリシア語: φοῖνιξ(phoînix)、〈古: ポイニクス、中世: フィニクス〉、ラテン語、英語: phoenix〈教会ラテン:フェニックス、英:フィーニクス〉）は、死んでも蘇ることで永遠の時を生きるといわれる伝説上の鳥である。
寿命を迎えると、自ら薪から燃え上がる炎に飛び込んで死ぬが、再び蘇るとされており、不死鳥、もしくは見た目または伝承から火の鳥ともいわれる。
フェニックスとはラテン語での呼び方であり、ギリシア語ではポイニクスと呼ばれ、他にもフェネクス、フェニキス等、様々な呼び方がある。この名前は、ギリシア語の赤を意味する単語（赤はすなわち炎の色）に由来するとも、同じく紫を意味する単語（フェニックスの羽の色を紫色とする説がある）に由来するともいわれている。
フェニックス 概要
フェニックスは、古代エジプトの神話に登場する、聖なる鳥ベンヌがその原型だと考えられている。当時のエジプト人は、太陽神ラーに従うベンヌはヘリオポリスのラーの神殿で燃やされている炎へ毎夜飛び込んで死に、毎朝その炎から生まれると信じていた。ベンヌはすなわち、毎夕に沈み毎朝昇る太陽を象徴していた。
この話が、古代ギリシアの歴史家ヘロドトス（紀元前485年頃 - 紀元前420年頃）の元に伝えられると、彼はその著作『歴史』において、エジプトの東方に位置するアラビアに住む鳥フェニックスとして紹介した。そこでのフェニックスは、鷲に似た体型の、金色と赤で彩られた羽毛を持つ鳥で、父親の鳥が死ぬとその遺骸を雛鳥が没薬で出来た入れ物に入れてヘリオポリスに運ぶ習性があるとされた。
初期キリスト教の司教であった聖クレメンス（? - 101年?）が記したところでは、フェニックスは寿命を迎えると、自分で香料や没薬などを集めて棺を準備してその中に入り、間もなく死ぬと、その遺骸から虫が生まれて遺骸を食べ尽くし、やがて虫に羽毛が生えて飛んでいくとされた。同様の記述はプリニウス（22年頃 - 79年）の『博物誌』にもすでにみられている。
フェニックス 概要
なお、古代ローマの歴史家タキトゥス（55年頃 - 120年頃）の『年代記』によると、34年にフェニックスが現れたという。
フェニックスの伝承は、古代ギリシアや古代ローマの著述家によって次第に変化していった。ローマの地理学者メラは43年頃に、その著作『地誌』において、フェニックスは500年たつと自分で積み上げた香料を薪として炎の中で死ぬが、その炎から再び生まれてきて、自分の遺骨をエジプトに運んで埋葬する旨を記した。
ローマの著述家ソリヌス（3世紀）は、フェニックスが住むのはアラビアだとし、その羽毛や羽根の色合いの豪華さを記述している。またソリヌスは、エジプトでフェニックスの1羽が捕まり、クラウディウス皇帝時代のローマに運ばれて多くの人が見物した旨を記述している。
2世紀から4世紀にかけて成立した『フィシオロゴス』でのフェニックスは、500年ごとに、芳香を羽根いっぱいに持ってヘリオポリスの神官の元へ行き、祭壇の炎の中で焼死する。そして翌日その場所に生じた虫が、3日目には元のフェニックスの姿にまで育ち、神官に挨拶をしてから故郷へ飛んでいく、とされている。その外観は、羽根や頭部や脚に宝石や装飾具が着いているとされている。
フェニックス 概要
フェニックスの寿命については『フィシオロゴス』をはじめ多くの人が500年だとしているが、プリニウスやソリヌスは540年だとし、タキトゥスは1461年だとした。タキトゥスの意見は、恒星シリウスが日の出の直前に昇る日とエジプトで新年の始まる日とが同じになる周期に基づいている。
自ら焼死したのちに蘇るという伝説は、エジプト神話をルーツとしながらもギリシア・ローマの著述家によって作られたものである。しかし、ローマ帝国では繁栄の象徴となり、フェニックスの姿がコインやモザイク画にあしらわれるようになった。また、キリスト教徒にとっても、死んだ後に復活するフェニックスはキリストの復活を象徴するものとなった。『フィシオロゴス』では、創造主を崇めることもないこの鳥さえ死から蘇るならば神を崇める我々が復活しないはずがない、といった内容の文言が書かれた。キリスト教徒はこの鳥を再生のシンボルとみなした。10世紀成立の『エクセター写本』に収録された、8世紀に作られた詩「フェニックス」の中では、フェニックスの復活とキリストの復活とが関連づけられている。こうしたこともあって、こんにちに至るまで、不死鳥＝フェニックスのイメージが多くの人々に受け入れられている（#現代におけるフェニックスも参照）。
フェニックス 概要
フェニックスは中世や近世の旅行記にもたびたび登場している。ジョン・マンデヴィルによる『マンデヴィルの旅行記』でも、自らを焼死させて3日後に蘇ることや、姿を見た人に幸せをもたらすことなどが記録されている。また中世の聖務日課祈祷書や『動物寓話集』でもしばしば言及された。
錬金術においては「賢者の石」を象徴するものだとされた。すなわち、第一質料（マテリア・プリマ）が消失し賢者の石として再生される様子がフェニックスになぞらえられた。
フェニックスの起源については、アジアに生息する錦鶏鳥だとする説もある。
フェニックス 悪魔としてのフェニックス
ヨーハン・ヴァイヤーの著した『悪魔の偽王国』や、作者不明のグリモワール『レメゲトン』の第1部「ゴエティア」には、フェニックスという名の悪魔が記載されている。「ゴエティア」ではソロモン王が使役したといわれる72人の悪魔の一角を担う序列37番の大いなる侯爵とされる。アレイスター・クロウリーの出版した『ゴエティア』では「Phenex（フェネクス）」 の綴りになっている。
不死鳥の姿で現れ子供の声で話すといわれる。エクソシストの前に現れる際は、その声の響きを旋律的にしてくれるが、人間に化ける様に頼む際は逆に耳を塞がねばならなくなるという。あらゆる学問について答え、あらゆる要求に韻文で応じる優れた詩人だとされる。また、千年後には座天使の第七階級に戻る事を期待しており、20の軍団を従えるという。
フェニックス 現代におけるフェニックス
今日でもフェニックスの意匠は家屋の紋章、特に火災保険に関連する建物の紋章にあしらわれている。
また、大災害などからの復興事業などに、何度もよみがえる不死鳥にあやかって「フェニックス」という名称をつけることがある。以下に日本での事例を挙げる。
新潟県長岡市の市章は「長」の字と不死鳥を併せたものを図案化した形となっており、市内の多数の公共施設にフェニックスの名称が取り入れられている。近年では、平成16年の一年間に3度も発生した自然災害（新潟県中越地震・7・13水害・豪雪）からの復興の願いを込めた「復興祈願花火フェニックス」が毎年8月2日・3日に開催される長岡まつりで打ち上げられている。この花火は、噴火による被害を受けた三宅島や東日本大震災の被災地である宮城県石巻市などでも打ち上げられた。
このほか、海上自衛隊のヘリコプター搭載護衛艦ひゅうがは、艦名の由来となった宮崎県における県木フェニックス（カナリーヤシ）にちなみ、不死鳥フェニックスをあしらった意匠を艦および搭載ヘリコプターのエンブレムとして採用している。
フェニックス フェニックスに類似した幻獣
中世アラビアでは炎の中に生きる伝説の動物サラマンダーとフェニックスが混同され、サラマンダーが鳥となったものがフェニックスだとされていたという。
中国の伝説にある鳳凰はフェニックスに似た存在だと考えられ、混同されることも多い（鳳凰#フェニックスとの関係を参照）。なお、星座のPhoenixがほうおう座と訳されるがこれは東西で訳語的に対応するものという意味で、誤認に基づいたものではない。
トルコに伝わる伝説の鳥Konrulは、一日一回生死を繰り返す不死の緋色の鳥である。
テティス
テティス（古希: Θέτις, Thetis）は、ギリシア神話に登場する海の女神である。海神ネーレウスとドーリスの娘たち（ネーレーイス）の1人。一説にはケンタウロス族の賢者ケイローンの娘。テッサリアー地方のプティーアの王ペーレウスと結婚し、トロイア戦争最大の英雄アキレウスの母となった。
テティス
ホメーロスとヘーシオドスからは「銀の足のテティス」と呼ばれている。ギリシア神話の他の水域の神々と同様にあらゆるものに変身する能力を持ち、予言の才能に長けていた。神話では古い海神ネーレウスの娘でありながらオリュムポスの神々と密接に結びついている。ホメーロスの叙事詩『イーリアス』などによるとテティスを養育したのはヘーラーとされ、テティスもヘーラーに恩を感じていた。またテティスは苦難に陥った神々の救済者・保護者として語られ、ゼウスとポセイドーンから求婚されたことも伝えられている。『イーリアス』ではアキレウスの運命を悲嘆しながらも、息子に尽力する母として大きく取り上げられており、物語が展開するうえでの重要人物として描かれている。テティスとペーレウスの結婚は『イーリアス』でもしばしば言及されており、また前日譚である失われた叙事詩『キュプリア』では2人の結婚がトロイア戦争のきっかけとなったことが語られていた。紀元前7世紀ごろのスパルタ出身の抒情詩人アルクマーンはテティスに関する詩を作った。アルクマーンの詩は現存するわずかな断片から宇宙論的な性格のものであったと推測されている。
ヘーロドトス、パウサニアースの著作によってマグネーシア地方、およびラコーニア地方とメッセニア地方で崇拝されたことが知られている。
テティス 神話
『イーリアス』におけるテティスは困難に直面した神々の救済者として語られている。かつてオリュムポスでヘーラー、ポセイドーン、アテーナーが反乱を起こし、ゼウスを拘束するという事件が起きた。このとき神々の中でただ1人テティスだけがゼウスの味方をした。テティスはヘカトンケイルの1人ブリアレオース（別名アイガイオーン）に知らせ、ゼウスの味方として馳せ参じさせた。すると神々はブリアレオースを恐れるあまりゼウスに近づくことさえ出来なかった。テティスはそのすきに縄を解いてゼウスを解放した。
またテティスは鍛冶神ヘーパイストスや酒神ディオニューソスを苦難から助け出した。ヘーパイストスは生まれてまもなく母のヘーラーによって天から海に捨てられた。これはヘーラーがヘーパイストスの不自由な足を嫌ったためと語られている。しかしテティスとエウリュノメーはヘーパイストスを助け9年の間海底で匿った。その間ヘーパイストスは2人のために様々な宝飾を制作した。
テティスがディオニューソスを救ったのはトラーキアの残忍な王リュクールゴスに襲われたときである。リュクールゴスはニューセイオンの山でディオニューソスの乳母を追い回し、女たちを撲殺しただけでなくディオニューソスを脅喝した。ディオニューソスは命からがら海に逃げ込み、恐怖で震えていたところをテティスに助けられた。
テティス 神話
こうした経緯からゼウス、ヘーパイストス、ディオニュソースはいずれもテティスとアキレウスに親切であった。トロイア戦争においてゼウスはテティスを通じて届けられたアキレウスの願いを聞き入れ、ヘーパイストスはテティスの依頼に応じてアキレウスのために見事な武具を作り上げた。またディオニュソースは黄金の骨壷を授けた。
テティスが英雄ペーレウスと結婚した経緯についてはいくつかの説がある。ピンダロスによるとテティスはゼウスとポセイドーンから結婚を望まれた。しかしテミスが「テティスは父親よりも偉大な子供を生む定めにあり、子供は長じてゼウスの雷撃やポセイドーンの三叉戟を越える武器を振るうだろう」と予言した。それだけでなく、むしろ人間に与えて生まれた子供は戦場で戦死させるのが良いと助言し、イオールコスで最も敬虔な英雄ペーレウスと結婚させることを勧めた。この物語ではテティスと結婚することは、ゼウスあるいはポセイドーンの息子から王権を簒奪するライバルが出現することを意味している。そのため彼らはテティスとの結婚を諦めざるを得ない。またテティスから生まれてくる子供の運命についても示唆されている。
テティス 神話
アイスキュロスの悲劇『縛られたプロメーテウス』はこの物語を下敷きとしている。プロメーテウスは母テミスから教えられたとして、ゼウスと結婚する女性が強い子供を生み、王位を簒奪すると予言する。アイスキュロスはどの女性から簒奪者が生まれるかについては明言していないが、アポロドーロスとヒュギーヌスはプロメーテウスの予言した女性をテティスとしている。特にアポロドーロスは予言者をテミスとする説に加えてプロメーテウスの名を挙げて「生まれてきた子が天の支配者となる」と述べている。これに対してオウィディウスは予言者を海の老人プローテウスとしている。
テティスの系図（ヘーシオドス『神統記』他より）
叙事詩『キュプリア』によると、モーモスがトロイア戦争を起こすためテティスを人間と結婚させることをゼウスに助言した。ヘーラーに好意的であったテティスはゼウスの求婚を避けたため、怒ったゼウスは彼女を人間に娶すことを誓った。
一方、これらの説と異なる伝承をやはりピンダロスが伝えている。それによるとテティスはケイローンの助言を受けたペーレウスに取り抑えられ、炎やライオンなど様々なものに変身して逃れようとしたが、とうとう観念して妻になることを認めたという。
テティス 神話
こうして2人は結婚することになった。結婚式はペーリオン山で行われた。結婚式には神々も祝福に訪れ、さまざまな贈り物をした。このときケイローンはとねりこの槍を贈り、ポセイドーンは馬のクサントスとバリオスを贈った（『イーリアス』ではアキレウスがこれらを用いている）。
結婚式にはすべての神が招かれたが、争いの神エリスだけは招かれなかった。エリスは怒って宴席に乗り込み、「最も美しい女神に贈る」として黄金の林檎を投げ入れた。この林檎をめぐって3人の女神ヘーラー、アテーナー、アプロディーテーが争った。ゼウスは仲裁するためにイーリオス王プリアモスの息子で、現在はイーデー山で羊飼いをしているパリス（アレクサンドロス）に判定させることとした（パリスの審判）。女神たちは様々な約束をしてパリスを買収しようとしたが、結局「最も美しい女を与える」としたアプロディーテーが勝ちを得た。「最も美しい女」とはすでにスパルタ王メネラーオスの妻となっていたヘレネーのことで、これがギリシアのトロイア戦争の原因となった。
結婚後、テティスはペーレウスとの間に多くの子供を産んだと伝えられている。ところがテティスは子供の不死性を確かめるため赤子を水の満ちた大釜に投じては溺死させた。こうして多くの赤子が死んだため、ペーレウスは怒ってテティスの行動を阻んだ。このとき助かった赤子が後のアキレウスである。
テティス 神話
テティスがアキレウスを不死にしようと試みたことも伝えられている。テティスがアキレウスの踵を掴んでステュクスの流れに浸すと身体の大部分は不死となった。しかし踵はステュクスに浸からなかったため、アキレウスの唯一の弱点となった。エレウシスのデーメーテール神話とよく似た伝承によると、テティスは毎晩のようにアキレウスを火にくべて人間の部分を焼き、昼間はアムブロシアを塗り、不死を与えようとした。しかしテティスはこの行いを秘密にしていたため、夜にその光景を目撃したペーレウスは驚いてテティスを止めた。目的を阻まれたテティスはアキレウスと夫を捨てて海に去った。その後アキレウスはケイローンのもとで養育された。
しかしテティスは夫や子供のことを忘れたわけではなかった。ペーレウスがアルゴー船の冒険に参加したとき、ヘーラーに説得されてアルゴナウタイがパイアーケス人の国にたどり着くまでの間、荒波とプランクタイの岩礁から船を救った。すなわちテティスは岩礁を避けるため船の舵を取り、またネーレーイデスは船の周りを廻り、船が岩礁に近づくたびに船を持ち上げて空中に投じ、岩礁から遠ざけた。
テティス 神話
またアキレウスが9歳のとき、ミュケーナイ王アガメムノーンらはトロイアに遠征する準備を進めており、カルカースの予言によってトロイア攻略にどうしてもアキレウスの力が必要とされた。しかしテティスはアキレウスが戦争に参加したら必ず死ぬことを予知し、アキレウスに女装させてスキューロス島のリュコメーデース王に女として育てるよう預けた。しかしアキレウスはオデュッセウスによって女装を見破られ、戦争に参加することになった。
テティスはトロイア戦争では息子のために献身的に行動し、またアキレウスの死に関して多くの予言をしている。海を渡ったギリシア軍がテネドス島を攻撃したとき、テティスがテネース王（アポローンの子キュクノスの子）を殺せばアポローンの報復を受けて死ぬことになると予言した。しかしそれにもかかわらずアキレウスはテネースを殺してしまう。またテティスはトロイアに最初に上陸した者は必ず命を落とすと予言したため、誰も船から降りようとしなかった。このときピュラケーの武将プローテシラーオスが勇敢にも真っ先に上陸し、トロイア軍との最初の戦闘でヘクトールに討たれた。
『イーリアス』ではアキレウスの言葉によると「戦場に留まれば生きて帰国できないが、すぐに帰国したならば天寿を全うできる」と予言し、トロイアの城壁の下でアポローンの矢を受けて命を落とすこと、またパトロクロスが死ぬことも予言していた。
テティス 神話
『イーリアス』第1巻でアガメムノーンの要求に激怒したアキレウスはアガメムノーンが謝罪するまで戦うことを拒否した。このときアキレウスの嘆きを聞いたテティスは海底から現れ、アキレウスの望みをかなえるためにオリュムポスのゼウスの王宮に行き、アガメムノーンがアキレウスに謝罪して復帰を要請するまで、トロイアの味方をしてギリシア軍を苦しめてほしいと懇願する。テティスがゼウスの前に座り、左手で膝に触れ、右手でゼウスのあごに触れながら懇願するとゼウスは沈黙していたが、再度の懇願でしぶしぶ承諾した。これ以降ギリシア人は連日苦戦を強いられることとなった。
テティス 神話
アキレウスの代わりに出陣したパトロクロスがヘクトールに討たれたときも、テティスは海底で息子の悲痛な叫びを聞き、悲しみに囚われる。慰めようとする姉妹たちにテティスは漏らす。「私は成長した息子をトロイアに送り出しましたが、再び彼をペーレウスの王宮で迎えることは出来ないでしょう。息子はまだ生きていますが、私が行っても彼の抱える悩みには何の助けにもならないのです。それでも戦場から遠ざかっている間にどんな悲しいことがあったのか聞くために参りましょう」。そう言って姉妹たちを引き連れて海から現れたテティスは、親友の仇を取ろうとはやるアキレウスに、ヘクトールを討った後でアキレウス自身も死ぬことになると予言し、戦場に出るのを止めようとした。しかしこの言葉はアキレウスを苛立たせただけであり、アキレウスの意志を変えられないと分かると、オリュムポスのヘーパイストスの工房に行き、武具を失った息子のために新たな武具の制作を依頼した。またアキレウスがパトロクロスの遺体の腐敗を心配するので、遺体の鼻孔からアムブロシアーとネクタルを体内に滴らせ、腐敗から保護した。
テティス 神話
24巻ではアキレウスがヘクトールを討ち、その遺体を戦車に結びつけてパトロクロスの墳墓の周囲を引き回したため、ヘクトールを憐れんだ神々からヘルメースを遣わして遺体を盗み出すという意見が出た。しかしテティスから恨まれることを嫌ったゼウスはアキレウスの面目を立てることを第一に考え、イーリスにテティスを呼びに行かせた。テティスがオリュムポスに現れると、ゼウスは彼女にアキレウスがヘクトールの遺体を返還するよう働きかけることを依頼する。そこでテティスがゼウスの意志を伝えるとアキレウスはその要請に応じ、密かにギリシア陣営を訪れた老王プリアモスを招き入れる。
叙事詩『アイティオピス』ではアキレウスが女神エーオースの子メムノーンを打ち倒してアンティロコスの仇をとったこと、テティスがゼウスにアキレウスの不死を願ったが、パリスとアポローンに殺されたことが語られていた。パウサニアスは『キュプセロスの箱』にアキレウスとメムノーンの戦いおよび2人を見守るテティスとエーオースが彫刻されていたと述べており、その様子を描いた壷絵も多く発見されている。アイスキュロスは現存しない悲劇『魂の重さ比べ』において、ゼウスがアキレウスとメムノーンの魂を秤にかけて死すべき者を決定し、その両脇でテティスとエーオースが自分の息子を勝者とするよう嘆願する様を描いたと伝えられている。