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カダヤシ目 分類
Cyprinodontinae 亜科  2族8属102種。頭頂骨をもたない。
Orestiini 族  3属57種。チチカカ湖など南アメリカの高標高地域に分布するOrestias 属、地中海周辺に生息する Aphanius 属、およびトルコの固有種である Kosswigichthys 属など、地理的に不連続な分布を示す一群である。歯骨が延長し、下顎が頑健となっている。Orestias 属の仲間は腹鰭・鋤骨・第一後擬鎖骨をもたず、鱗を欠く種類もいる。
Aphanius 属
Kosswigichthys 属
Orestias 属
Cyprinodontini 族  5属45種。アメリカ合衆国南東部から中央アメリカ・西インド諸島に分布する。Floridichthys carpio など汽水域・海水域に進出する種類もいる。第一椎骨には神経棘がない。一部の種類は腹鰭を欠く。
Cyprinodontis 属
他4属
カダヤシ上科 Poecilioidea は2科40属319種で構成される。
ヨツメウオ科 Anablepidae は2亜科3属15種を含み、メキシコ南部から南アメリカにかけて分布する。上耳骨・上後頭骨は頑健。腹鰭は胸鰭の後端よりも後ろに位置する。背鰭の起始部は臀鰭よりも後方にある。
カダヤシ目 分類
Anablepinae 亜科  2属14種。卵胎生で、雄は精管と連続した交接器をもつ。交接器が左にのみ動く「左利き」と、右にしか動かない「右利き」の雄が存在する。雌の生殖孔も同様で、左に開口するものと右に開くものとがいる。左利きの雄は右に開口した雌と交尾し、右利きはその逆と考えられている。
Anableps 属  ヨツメウオと総称されるグループで、メキシコ南部から南アメリカ北部にかけて3種が知られる。眼球が上部に突き出し、瞳孔が水面に対して水平に分割されていることが特徴。分割線と水面を合わせるように泳ぐことで、水上と水中の両方に、同時に焦点を合わせることができる。椎骨の数はカダヤシ目中で最も多く、45-54個に達する。全長32cmに達し（本目で最大）、雌が雄よりも大きい。
Jenynsia 属  南アメリカ南部の低地に11種が分布する。眼は通常の形態。雌は最大12cmに成長するのに対し、雄は4cm程度である。
カダヤシ科 Poeciliidae は3亜科37属304種で構成され、アメリカ東部から南アメリカ、およびアフリカの低地に分布する。交接器の有無はさまざま。胸鰭の位置は高い。本科内部の構成は、Ghedotti（2000）の見解に基づいた変更が近年加えられている。
カダヤシ目 分類
カダヤシ亜科 Poeciliinae  9族27属225種で構成され、南北アメリカ大陸および西インド諸島に分布する。1属（Tomeurus）を除き卵胎生で、雄は臀鰭の鰭条が長く伸びた交接器をもつ。カダヤシ・セイルフィン・モーリー・グッピー・ソードテール・サザンプラティフィッシュなど、観賞魚として人気の高い魚種が数多く所属する。セイルフィン・モーリーなど汽水域・沿岸海域に進出する種類もある。
Alfarini 族  1属2種。
Alfaro 属
Priapellini 族  1属4種。
Priapella 属
Gambusini 族  3属57種。
Gambusia カダヤシ属
他2属
Heterandrini 族  6属45種。
Heterandria 属
他5属
Girardini 族  3属11種。
Girardinus 属
他2属
Poeciliini 族  6属88種。Limia 属の仲間はそのほとんどが西インド諸島の固有種で、それぞれが分布する島の淡水域で重要な地位を占める魚類である。
Limia 属
Poecilia グッピー属
Xiphophorus ソードテール属
他3属
Cnesterodontini 族  5属15種。本亜科で唯一の卵生魚類である Tomeurus 属（1種）は独立の族 Tomeurini として扱われることもある。
Cnesterodon 属
Tomeurus 属
他3属
Scolichthyini 族  1属2種。
Scolichthys 属
Xenodexini 族  1属1種。
Xenodexia 属
スズキ亜目
スズキ亜目（スズキあもく、学名：Percoidei）は、スズキ目に所属する魚類の分類群の一つ。魚類で最多の約10,000種を抱えるスズキ目の中でも最大のグループで、3上科79科の下に少なくとも549属3,176種が含まれる。
スズキ亜目 概要
スズキ亜目はスズキ目に所属する20亜目の中で最も大きな一群であり、スズキ目全体の3割以上の魚類が記載される。スズキ目に含まれる160科のうち、約半数に当たる79科が本亜目に所属する。3上科に細分されるが、アカタチ上科（Cepoloidea）はアカタチ科のみ、Cirrhitoidea 上科はタカノハダイ科・ゴンベ科など5科だけを含み、残る73科はすべてスズキ上科（Percoidea）に分類される。
最も多くの魚種を含むのはハタ科（450種超）で、テンジクダイ科（約270種）がこれに続き、以下ニベ科・ペルカ科・イサキ科・アジ科・チョウチョウウオ科・メギス科・タイ科・フエダイ科の順に大きなグループとなっている。これらの上位10科はいずれも100種以上を含み、合計1,965種はスズキ亜目全体の62%を占める。その一方で26科は1属のみで構成され、そのうちスギ科・ギンカガミ科などの10科は、1属1種の単型となっている。
スズキ亜目の魚類はその多くが海水魚で、純粋な淡水魚はおよそ380種（全体の1割強）に過ぎず、その半数はペルカ科に所属する。
スズキ亜目 形態
スズキ亜目の魚類は形態の多様性が著しく、すべてのグループに共通する点を示すことはできない。原棘鰭上目や骨鰾上目など、下位の真骨類と比較した場合には、概ね以下の表に示すような形態学的特徴を挙げることができる。これらの特徴の多くは、棘鰭上目の他のグループにも共通するもので、本亜目に限られた形質ではない。また、あくまでも一般的な傾向であり、例外も多数存在する。
スズキ亜目 分類
スズキ目をいくつかの目に細分する分類法もあり、その場合にはここに挙げたスズキ亜目か、それに近い形のものが「スズキ目」となる。「スズキ類」という表現も使われるが、これはスズキ属・スズキ科・スズキ亜目、あるいはスズキ目全般と、様々な範囲に対して用いられる。
本稿では、Nelson（2006）によりまとめられたスズキ亜目の体系を扱う。スズキ亜目の分類基準となる形質には二次的な変異や退化が多く入り混じり、下位分類は不確定なものが多い。それぞれの科をどの亜目に含めるか、またスズキ亜目内部における科同士の分離・統合が盛んに検討されており、以下に示す体系は暫定的なものに過ぎない。
スズキ上科 Percoidea は73科524属3,084種で構成される。
スズキ亜目 分類
ペルキクティス科 Percichthyidae - 11属34種。
分類学的位置付けに多くの問題を抱える一群。スズキ（L. japonicus）を本科に含め、和名をスズキ科とする見解もある。また、Nelson（2006）の体系では、オヤニラミ（Coreoperca）およびケツギョ類（Siniperca）を本科あるいは Centropomidae 科に含めるか、ケツギョ科 Sinipercidae として分離するかは不確定とされている。さらに、クシスミクイウオ属（Howella）を独立のクシスミクイウオ科 Hoewllidae として扱う場合もある。
キツネアマダイ科 Malacanthidae - キツネアマダイ・アカアマダイなど2亜科5属40種。
ほとんどすべてが海水魚で、水深 50-200m 程度のやや深い海底に生息する。砂地の海底にトンネルを掘って生活する。背鰭は前後に長く連なり、臀鰭もやや長い。アマダイ亜科とキツネアマダイ亜科に分けられるが、前者をアマダイ科 Branchiostegidae として分割する場合もある。
Cirrhitoidea 上科は5科21属73種で構成される。
アカタチ上科 Cepoloidea にはアカタチ科のみ、1科4属19種が所属する。
ニシン目
ニシン目（学名: Clupeiformes）は、硬骨魚類の分類群の一つ。2亜目に約7科90属400種が属する。イワシ・ニシン・サッパ・コノシロなど、漁業資源として重要な魚種を多数含んでいる。
ニシン目 概要
ニシン目魚類には熱帯から温帯にかけての沿岸域に分布する種類が多く含まれるが、寒帯の海や汽水域に分布するニシン、産卵のため河川を遡上するエツなど遡河性の魚類もいる。また、日本産ではないが一生を淡水で過ごす種類もいる。日本の近海には26種が分布し、いずれも漁獲対象として重要である。体長10 - 30センチメートルほどのものが多いが、オキイワシは全長1メートルほどになる。
体型は細長い円筒形のものや、植物の葉のように左右に平たいものがいる。胸鰭は腹側に偏り、背鰭は1つだけである。鰭は全て軟条からなり、棘条（とげ）は発達しない。各鰭は体に対して小さく、遊泳力が高い。速く泳ぐ時は体の後半部を激しく振って泳ぐ。アジ科魚類と同様に、稜鱗（りょうりん）と呼ばれる硬い突起をもつ独特な鱗を腹部にもつ種類が多い。体色は背面が青や灰色、体側から腹部にかけては銀白色になっているものが多く、これは光が差す水中で保護色となる。第四脳室外側陥凹（Recessus lateralis）と呼ばれる部位をもち、これは他の魚類にはみられないニシン目の解剖学的な特徴である。
ニシン目 概要
群れを作って環境や季節に応じた回遊をしながら生活するものが多い。特にマイワシやニシンなどは海面が黒く染まるほどの大群を作ることがある。
おもな食べ物はプランクトンで、口を開けて海水ごと吸い込み、鰓にある鰓耙（さいは）でプランクトンを濾過摂食する。ニシン目魚類の歯はあまり発達していないが、プランクトンを捕捉する鰓耙は櫛状によく発達する。ただしオキイワシは犬歯状の鋭い歯を持ち、他の魚を捕食する。
天敵はイカ、サメ、アジ、カマス、マグロ、クジラ、イルカ、人間など多岐にわたり、海の食物連鎖で重要な位置を占める。これらの天敵に遭うと密集隊形を作り、一斉に同調して泳いで敵の攻撃をかわす。この時に他の個体とぶつかることはない。
多くが重要な食用魚となっており、巻き網や定置網、刺し網などで多量に漁獲される。食用の他にも釣り餌、飼料、肥料などに利用される。
ニシン目 分類
デンティケプス亜目とニシン亜目の2亜目に分けられる。現生種は1種を除きすべてニシン亜目に所属している。
デンティケプス亜目 Denticipitoidei は1科のみからなる単型亜目である。デンティケプス科 Denticipitidae は1属1種。現生種としては Denticeps clupeoides のみで構成される。本種はナイジェリア・カメルーンの河川に分布し、体長6センチメートル程度の小型の淡水魚である。頭蓋骨の表面は微細な突起で覆われる。完全な側線をもち、尾鰭の鰭条は16本。第四脳室外側陥凹の構造は、他のニシン目魚類と比べて原始的である。タンザニアの中新世の地層からは Palaeodenticeps tanganikae の化石が見つかっており、本科に属する絶滅種と考えられている。
ニシン亜目 Clupeoidei は約6科90属400種で構成される。デンティケプス亜目とは異なり側線はあまり発達せず、側線鱗ももたない。尾鰭を構成する鰭条は19本。本亜目の魚類は浮き袋の形態に多様性がみられ、細い管を介して内耳とつながるなど特殊な構造をもつ場合もある。
ニシン目 分類
ヒラ科 Pristigasteridae は9属38種からなる。世界の熱帯・亜熱帯海域に分布し、一部に淡水産種を含む。多くは上向きの口をもち、顎の歯は小さい。腹鰭をもたない種類がある。第三下尾骨に切れ込みをもつなど、他のニシン目魚類にはみられない骨格上の特徴がいくつかある。
ヒラはハモのように小骨が非常に多く、骨切りをしないと食べられないが、肉は美味であり、瀬戸内地方（特に岡山県）や九州北部で珍重される。
約17属150種で構成される。ほとんどは三大洋に広く分布する海水魚で、ペルーアンチョビ・カタクチイワシ等重要な食用魚種を多数含んでいる。17種の淡水産種が知られ、南アメリカを中心に分布する。ニシン科とは異なり、本科魚類の化石種は極めて少数しか知られていない。上顎骨の後端は眼の位置よりもずっと後ろまで伸びている。吻（口先）はややとがり、下顎よりも前に突き出ていることが多い。
ウルメイワシ科 Dussumieriidae は2属14種からなる。かつてはニシン科に含まれていた。鰓条骨は11 - 18本で、腹部稜鱗はW字型で腹鰭を支える。前上顎骨は四角形。
ニシン目 分類
キビナゴ科 Spratelloididae は2属8種からなる。かつてはニシン科やウルメイワシ科に含まれていた。鰓条骨は6 - 7本で、腹部稜鱗はW字型で腹鰭を支える。前上顎骨は三角形。
オキイワシ科 Chirocentridae は1属1 - 2種。体長1メートルに達することもある大型の捕食魚で、インド洋と西部太平洋に生息する。体は細長く、左右に平べったい。顎には牙のような鋭い歯を備える。腹鰭はごく小さく、腹部稜鱗は成魚ではほとんどみられない。
約50属200種で構成される。世界のほとんどの海域に分布し、水産資源として極めて重要な存在である。口は体の先端にあるか、やや上向きについている。歯の発達は悪く、プランクトン食性。少数の例外を除き、腹部に稜鱗をもつ。多くの種類は体長25センチメートル未満。
ジョイスティック
ジョイスティック（英: Joystick）は、スティック（レバー）を傾けることで方向入力が行える入力機器の総称。航空機などの機械への入力機器として利用されるほか、コンピュータへの入力機器としても使用される。
後述のとおり航空機を起源とした用語であり、ゲームの入力デバイスとしてはそれから応用されたものである（ゲーム用語を用いた比喩や冗談ではない。）。
ジョイスティック 概要
航空機、産業機械、コンピュータ、自動車などの入力機器として使用される。
スティックを操作することによって片手で2軸あるいはそれ以上の操作ができるのが利点である。スティックは力を緩めたり手を離すと中立位置に戻る。上下左右あるいは前後左右に動く2軸式のスティックが多いが、1軸でもジョイスティックと呼ぶことがある。両手で1本ずつあるいはそれ以上のジョイスティックを操作する事もある。クレーン、ショベルカー等の産業機械においては、複数の単純なレバーで構成される入力機器を代替するためにジョイスティックが採用されることが多い。スティックはどれだけ傾いたか（アナログ量）をある程度の分解能で入力できるものと、単に傾いた方向を入力できるものの2つが存在するが、後者は特定のジャンルのゲーム用に採用されることが多い。
ゲーム用のジョイスティックは形状・用途により「フライトスティック」と「アーケードコントローラー（アケコン）」および「アナログスティック」に大別される。フライトスティックとアケコンはやや大型の本体を机上に置くか吸盤を吸着させるなどして固定しスティック部分を手で動かして操作する。アナログスティックは非常に小型で、スティック部分は指先だけで操作する。
ジョイスティック 歴史
ジョイスティックは航空機の操縦桿を起源とした入力機器である。ジョイスティックという単語が最初に使用されたのは20世紀初頭、フランスの飛行家ロベール・エスノー＝ペルトリによると考えられているが、ロバート・ロレーヌ、ジェームズ・ヘンリー・ジョイス、およびA. E. ジョージらとする主張もある。
電気式のジョイスティックはアメリカ海軍調査研究所のC. B. Mirickによって発明され、1926年に特許が取得されている。
ドイツでは1944年頃に電気式の2軸ジョイスティックが開発され、FuG 203 Kehl送信機に組み込まれてHs293やフリッツXの制御に使用された。これは母機の壁面などに設置され、水平に出ているスティックを上下左右に動かして操作した。Hs293用は航空機と同様にロール・ピッチを操作するものだったが、フリッツX用は単純に上下左右を指示するものだった。アメリカでは同じく1944年頃にAZONが開発され、制御装置にジョイスティックが使用された。ただしAZONはラダー操作による左右の制御のみ可能で、ピッチ方向の制御はジョイスティックではなく正確な投弾タイミングによって行われた。
1960年台に航空機の無線操縦用の装置としてジョイスティックは広く使用され、NASAのミッションでも使用されるようになる。
ジョイスティック 歴史
1962年に完成したコンピューターゲーム「スペースウォー!」にて、前後1軸・左右1軸の2つのレバー型スイッチを備えたジョイスティックのようなコントロールボックスが自作された。1969年に稼働したセガのエレメカ「ミサイル」では、スティック上にボタンの付いたジョイスティックが搭載されていた。1977年に発売されたゲーム機Atari 2600には、4方向のスティックと1つのボタンを備えたジョイスティックが同梱されていた。1978年に稼働したスペースインベーダーでは、最初は左右の移動に2つのボタンが使用されていたが、すぐに2方向のジョイスティックになった。1980年に稼働したパックマンでは4方向のジョイスティックが搭載された。コンピュータゲームにおける黎明期のジョイスティックは単純にスイッチやボタンや十字キーの操作をスティック（レバー）の操作に置き換えたものだった。
ゲームのコントローラとして主に使用されるため、「ゲーム用コントローラ」を意味する語として「ジョイスティック」が使われる場合も多く、パソコンでゲーム用コントローラを接続する部分は「ジョイスティック端子」と呼ばれた。ジョイスティック端子には、Atari 2600で使われた、俗に言う「アタリ規格（D-sub 9ピン）」や、のちにIBMが開発した「ゲームポート（D-sub 15ピン）」が用いられていたが、より手軽なUSBの普及によって代わられることになった。
ジョイスティック フライトスティック
フライトシミュレータやアクションゲームなどで使用される形式。レバー・ボタン一体型とも呼ばれる。ただしスティック（レバー）と一体化していないボタンも持つ製品が大半である。片手全体で握り込んで把持する大型のスティックと、1個から10個程度のボタンを持つ。通常は右手でスティックを持ち、右手の指でスティック上のスイッチ類を操作し、左手は土台上のスイッチ類を操作する。
スティックは主に操縦桿としての使用が想定されており、左右および上下に倒すことでx軸・y軸の変位（どれだけ傾けたか）が入力可能。繊細な操作に向いている。ボタンは特定の動作の実行（武器の発射など）、項目の選択に用いる（画像も参照のこと）。追加のスイッチ類としてスロットルやハットスイッチを備えた製品も多い。なお大型機の操舵輪を模した入力機器はフライトヨークと呼ばれ、フライトスティックやジョイスティックとは区別される。ゲーム用途ではヘリコプターのサイクリック・スティックの操作をジョイスティックで代用することが多い。
上位製品にはより実際の航空機に近づくよう、スロットルを分離し、スティックおよびスイッチ類を備えた独立の機器として用意した製品も存在する。このような上位製品のスロットルは追加操作用のパドルコントローラを備えたものも少なくない。スロットルのみ個別に販売している製品も存在する。
ジョイスティック フライトスティック
スティックをひねることによりz軸（ヨー軸）の入力が可能な3軸のスティックの製品も存在する。より実際の航空機に近づくよう、足でヨー軸を操作するペダル型の独立した入力機器も存在するが、これはジョイスティックに含まれず、実際の航空機の場合と同様にラダーペダルと呼ばれる。
スティックの傾きを検知するセンサとしては可変抵抗器（リニア型あるいはロータリー型のポテンショメータ）、光学式センサ、ホール効果を利用した磁気センサがある。可変抵抗器は経年劣化や摩耗によりセンタリングが狂ってしまうため、調整用のノブを備えていたりソフトウェア側で補正できるようになっていることがある。かつては可変抵抗式が主流だったが接触部の摩耗が問題となっており、1995年発売のMicrosoft製「Sidewinder Precision Pro」では非接触式の光学式センサが採用された。その後も非接触式センサの流れは続き、2021年現在では磁気センサが主流である。
ジョイスティック アーケードコントローラー（アケコン）
アーケードゲームなどで、特にシューティングゲーム、アクションゲーム（格闘ゲーム）、パズルゲームなどで使用されている形式。アーケードスティック、レバー・ボタン分離型とも呼ばれる。レバーにはボタンが付かないため、細長い金属のレバー軸のてっぺんに持ち手（日本では球型が多い）が付いただけのシンプルな構造である。通常は左手でレバーを持ち、右手でボタンを操作する。　　　　　　　　　　　　　　　日本で球型の形状が多いのは、テンキーの方向入力をレバー操作に簡略化するための「自作コントローラー」の設計図を記載した雑誌があり、それがゲーム会社に採用されその形のまま普及したためである。
ゲームパッドの方向キーをレバーに置き換えた構造といえ、レバーとボタンは分離され横長の平面上に置かれる。レバーは基本的に8方向（上下左右およびその中間）の方角が入力可能で、レバーの傾きの変位は入力できない。素早い操作に向いている。各方向へ確実に入力するためレバーガイドを備えたものが多い。ゲームパッドと区別するため「レバーコントローラ」と呼称されることもある。
ジョイスティック アーケードコントローラー（アケコン）
「フライトスティック」と比べて小型のレバーであるため、指先で包むように持つ形になる。持ち方には大きく分けて以下の5種類があるとされる。
ワイン持ち
軸を人差し指と中指の間に挟み、持ち手を下から包み込むように持つ。ワイングラスを持った手（正確にはこれはブランデーグラスの持ち方である）を連想させるためこう呼ばれる。
ぶっさし
ワイン持ちとほぼ同義だが、軸を中指と薬指の間に挟む。
かぶせ持ち
ワイン持ちとは逆に、持ち手を上からすっぽりと握りこむ形。
つまみ持ち
持ち手を握らずに指先だけで持つ。操作方向が固定されているゲームには向いている。
ウメハラ持ち
ゲームスティックのレバーを薬指と小指で軸を挟みこんで、レバーの玉を左から包み込む様に持つ。有名ゲーマー梅原大吾の持ち方。
ジョイスティック アナログスティック
入力機器というより非常に小型の部品であり、スティックは指先だけ（主に親指）で操作する。スティックを傾けるのではなく滑らせて（スライドさせて）操作する方式の製品も存在する。「アナログスティック」という名称はコンシューマーゲーム（家庭用ゲーム機）の業界で主に使われる。他の業界ではサムスティック、フィンガージョイスティック、フィンガーチップジョイスティック、指操作ジョイスティック、あるいは単にジョイスティックやスティックなどと呼ばれる。
ジョイスティック アナログスティック
1986年に発売されたファミリーコンピュータ向けコントローラBPS-MAXにはサイクロイドパッドというスライド可能なアナログスティック状の操作部があったが、十字キーの操作感を向上させるためのものであり電気信号としてはアナログ入力ではなかった。1989年に発売された各種PCおよびメガドライブ向けのゲームパッドXE-1APにはアナログ入力が可能で親指で操作するアナログスティックと言える操作部が搭載されていたが、当時は「アナログスティック」とは呼ばれていなかった。1996年発売のNINTENDO 64には、標準コントローラにアナログスティックが搭載されており、多くの消費者が初めてアナログスティックに触れた。ただし3Dスティック（サンディスティック）と呼ばれていた。なおアナログスティックとしては異例の光学式センサが使用されていた。プレイステーションは1997年発売モデル(SCPH-7000)から、従来のコントローラにアナログスティックと振動機能を追加したDUALSHOCKを標準コントローラとして同梱し、このスティックは公式に「アナログスティック」と呼ばれた。以降販売された家庭用ゲーム機の標準コントローラの多くにはアナログスティックが標準装備されていることが多い。
センサとしては2023年現在まで可変抵抗式のセンサが主流であるが、近年は過去にドリームキャストで採用されていた磁気ホール式を採用し、摩耗による故障を無いことを謳う製品も登場している。
ムジャーヒディーン
ムジャーヒディーン（アラビア語: مجاهدين、mujāhidīn）は、アラビア語で「ジハードを遂行する者」を意味するムジャーヒド（アラビア語: مجاهد、mujāhid）の複数形で属格ならびに対格語形。一般的には、イスラームの大義に則りジハードに参加する戦士達（ジハード戦士）を指す。今日では、イスラームにより連携した民兵やゲリラ兵を指すことが多い。
ムジャーヒディーン 歴史
歴史的には、個々のムスリム（イスラム教徒）たちがジハードに対する意識を常に持っていたわけではなく、むしろ近代に至ってイスラム世界に対する侵略に対抗する民衆の抵抗運動において、ムジャーヒド意識が発揮されてきた。19世紀にインドで起こった対英ジハード「ムジャーヒディーン運動」は、その代表的なものである。
中世
近代
19世紀
ムジャーヒディーン 現代
アフガニスタンで1978年にアフガニスタン人民民主党による共産政権が成立すると、各地で組織された反政府ゲリラが蜂起した。彼らは自分たちの闘争をアフガニスタンのイスラームを防衛するジハードと位置付け、自らムジャーヒディーンと名乗った組織にはブルハーヌッディーン・ラッバーニーが組織し、アフマド・シャー・マスードが軍事的に率いた「イスラーム協会」や、グルブッディーン・ヘクマティヤールが率いる「ヒズビ・イスラーミー（イスラーム党）」、毛沢東主義を掲げるアフガニスタン・ムジャーヒディーン自由の戦士戦線などがあった。1979年にソ連軍が軍事介入すると、ムジャーヒディーンはこれにも対抗した。彼らはパキスタン軍統合情報局などからの支援を受け、ソ連軍に激しく抵抗した。アフガニスタンのムジャーヒディーンには、アフガニスタンのみならずイスラム世界の各地から志願兵として若者が集まってきたが、その中心人物がアブドゥッラー・アッザームで、ウサーマ・ビン＝ラーディンもその志願兵の1人だったということが知られている。
ムジャーヒディーン 現代
アメリカもCIAを通じてこのようなゲリラ組織に武器や装備を提供していた（サイクロン作戦）。アフガニスタンのムジャーヒディーンは中国からも武器や訓練で援助されていた。ソ連軍の撤退以降、ムジャーヒディーン各派はアフガニスタンでの主導権をめぐり対立、軍閥化していった。後にパキスタン軍統合情報局が支援するターリバーンが台頭すると、ムジャーヒディーンの諸派は連合し北部同盟としてこれに対抗した。
アーベル賞
アーベル賞（ノルウェー語: Abelprisen、アーベルしょう）は、顕著な業績を上げた数学者に対して贈られる賞である。
アーベル賞 概要
2001年、ノルウェー政府は同国出身である数学者ニールス・アーベルの生誕200年（2002年）を記念して、アーベルの名を冠した新しい数学の賞を創設することを公表し、そのためにニールス・ヘンリック・アーベル基金を創設した。
毎年、ノルウェー科学文学アカデミーによって任命された5人の数学者からなる委員会が、受賞する人物を決定する。賞金額はスウェーデンのノーベル賞に匹敵し、数学の賞としては最高額である。この賞の主な目的は、数学の分野における傑出した業績に国際的な賞を与えることであり、社会における数学の地位を上げることや、子供たちや若者の興味を刺激することも企図している。
2003年4月、初めての受賞者が公表され、ジャン＝ピエール・セールに送られることに決まった（賞金は600万ノルウェー・クローネ、約1億円）。
1936年から実施されているフィールズ賞も数学に関する賞であるが、フィールズ賞が4年に1度しか授与されず、しかも受賞までの業績に加え今後の活躍への期待も込めて40歳以下の若い数学者にのみ贈られる賞であるのに対し、アーベル賞はノーベル賞と同じく1年に1度で、受賞の対象は年齢を問わず、数学全般に関わる重要な業績を残した数学者に対して贈られる賞であり、賞金額もアーベル賞の方が非常に高額で、その性格はフィールズ賞よりもノーベル賞に近いものとなっている。
ポアンカレ予想
（3次元）ポアンカレ予想（ポアンカレよそう、英: Poincaré conjecture）とは、数学の位相幾何学（トポロジー）における定理の一つである。
3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は
単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である
というものである。7つのミレニアム懸賞問題のうち2024年時点で解決されている唯一の問題である。
ポアンカレ予想は各次元で3種類（位相、PL、微分）があり、かなり解けているが「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。これらは非常に重要な問題である。
ポアンカレ予想 概説
ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。ポアンカレ予想は現在では「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である」と表現される。すなわち、境界を持たない連結かつコンパクトな3次元多様体は、任意のループを1点に収縮できるならば、3次元球面 S3 と同相であるというものである。
ポアンカレ自身、デーン、ホワイトヘッド、古関健一、コリン・ルーケ (Colin Rourke)、イアン・スチュアート、ビング、などの数学者達がこの問題に挑戦した。初めに1932年ヘルベルト・ザイフェルトがザイフェルトファイバー空間の場合の証明をした。パパキリアコプロスは同値の予想を作ったがその度にマスキットなどに反証された。そしてロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは2002年から2003年にかけてこれを証明したとする一連の論文をプレプリントサーバarXivに投稿した。これらの論文について2006年の夏頃まで複数の数学者チームによる検証が行われた結果、証明に誤りのないことが明らかになった。ペレルマンはこの業績によって2006年のフィールズ賞が贈られたが、本人は受賞を辞退し、世間からは疑問の声が上がった。
ポアンカレ予想 概説
3次元閉多様体の分類については1970年代に提唱されたウィリアム・サーストンの幾何化予想があり、これは3次元ポアンカレ予想を含意するものである。
次元の一般化
ポアンカレ予想は上の形のまま一般化しても成り立たないが、ポアンカレ予想の同値な言い換えには次のようなものがある。
3次元ホモトピー球面は S3 と同相である。
ここで n 次元ホモトピー球面とは、n 次元球面とホモトピー同値な n 次元閉多様体のことである。一般の位相空間においてはホモトピー同値は同相よりも弱い概念であるが、その逆が3次元球面の場合には成り立つということである。そこで高次元には次のようにして一般化できる。
n 次元ホモトピー球面は Sn と同相である。
歴史と背景
ポアンカレ予想 概説
このようにポアンカレ予想を n 次元に一般化すると n = 2 での成立は古典的な事実であり、n ≥ 4 の場合は20世紀後半に証明が得られていた。n ≥ 5 の時はスティーヴン・スメイルによって (Smale 1960)、n = 4 の時はマイケル・フリードマンによって (Freedman 1982) 証明された。2人とも、その業績からフィールズ賞を受賞している。スメイルの証明は微分位相幾何学的なものであったが、フリードマンの証明は純粋に位相幾何学的なものである。実際、フリードマンの結果はその直後にドナルドソンによる異種4次元ユークリッド空間（位相的には通常の4次元空間だが、微分構造が異なるもの）の発見へとつながった。以上よりオリジナルである3次元ポアンカレ予想のみを残し、高次元ポアンカレ予想は先に決着してしまった（微分同相については4次元ポアンカレ予想も未解決である）。
ポアンカレ予想 一般向けの説明
三次元球面（一般には三次元多様体）の「三次元」とは、異なる3つの方向（左右・上下・前後（あるいは奥行））に広がりをもつ、点の集まり（集合）を意味する。また、「球面」とは、「中心」に当たる点との超距離を一定に保った点の集まりである。2つを併せると、直観的には、3次元の小さなパーツを組み合わせて球面の形（ただしもちろん3次元）にしたものということができる。目に見える範囲で実存しイメージしやすいものとして我々のいる物理宇宙が挙げられ、たとえ話に用いられることがしばしばあるが、実際の宇宙は何次元なのかははっきりと判ってはいない。
NHKスペシャル『100年の難問はなぜ解けたのか 〜天才数学者 失踪の謎〜』では、ポエナル博士の説明を取材し「宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻って来たとする。ロケットがどんな軌道を描いた場合でもロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できるようであれば、宇宙の形は概ね球体である（ドーナツ型のような穴のある形、ではない）といえるのではないか、というのが（3次元）ポアンカレ予想の主張である」と説明している。ただしこれは直観的な説明の一つではあるが厳密性には欠ける。もし球体形（円板形）であれば閉多様体でない。また3次元空間内の真部分集合で3次元多様体は閉多様体でない。
ポアンカレ予想 一般向けの説明
3次元球面と同相な多様体とは、きれいに「丸い」必要はなく、（「3次元」として）ヒョウタン、馬の鞍のように「くびれて」いたりしてもかまわない（例えば、2次元では「コーヒーカップ」と「ドーナツ」は同相である）。2次元の閉曲面の分類定理から類推されるように、球であるか否かは「穴」がないか・あるかにかかっている（「穴」の個数を種数という）。
「穴」があるかどうかは、例えば地球のような2次元球面の場合、我々は宇宙から3次元空間を通して目視することで確認することができる。しかし3次元球面の場合、外から目視して確認したくても、宇宙の外にはたどり着けていないから行うことはできず、「外因的な情報」ではなく「内在的な情報」のみから「穴」がないかあるかを確認することしかできない。そこで、判断したい場所にロープ（3次元球面上の（1次元）閉曲線）を這わせ、引っかからずに引き寄せることができるかどうかで「穴」がないかどうかを判断するという手法を採る。ポアンカレ予想は、3次元球面の任意の場所にロープを這わせても引っかかることが決してないという主張をしているのである（それ以外のものをさらに区別するには、別な方法を用いて、より詳しい情報を得なければいけない）。
ポアンカレ予想 幾何化予想とペレルマン
2002年から2003年にかけて、当時ステクロフ数学研究所に勤務していたロシア人数学者グリゴリー・ペレルマンはポアンカレ予想を証明したと主張し、2002年11月11日に論文をプレプリント投稿サイトとして有名なプレプリントサーバarXivて公表した。そのなかで彼はリチャード・ストレイト・ハミルトンが創始したリッチフローの理論に「手術」と呼ぶ新たな手法を付け加えて拡張し、サーストンの幾何化予想を解決して、それに付随してポアンカレ予想を解決したと宣言した。サーストンの幾何化予想とは、任意の素な3次元多様体はいくつかの非圧縮トーラスにより、幾何構造をもつピース（閉領域）に分解されるというものである。さらに、幾何構造をもつ3次元多様体のモデルは8つあるというものである。また、サーストンの幾何化予想は、任意の素な3次元多様体は、いくつかのグラフ多様体と双曲多様体を非圧縮トーラスにより張り合わせて得られると言い換えることもできる。
ポアンカレ予想 幾何化予想とペレルマン
ペレルマンは、特異点が発生する3次元多様体に対して、3次元手術つきリッチフロー (Ricci flow with surgery) を適用することによって幾何化予想を解決した。手術とは、有限時間で生成する特異点の直前でシリンダー状の部分の切り口 S2 に沿って球面状のキャップをかぶせてそこに標準解と呼ばれるものを貼ることである。ペレルマンは、この手術を特異点が生成する時空の点に限りなく近づける極限をとることにより、3次元リッチフローが有限時間での特異点を超えて標準的に延長することを証明した。
それ以来ペレルマン論文に対する検証が複数の数学者チームによって試みられた。原論文が理論的に難解でありかつ細部を省略していたため検証作業は難航したが、2006年5–7月にかけて3つの数学者チームによる報告論文が出揃った。
朱熹平と曹懐東、A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures - application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow（2006年7月、改訂版2006年12月）
ペレルマン論文で省略されている細部の解明・補足
ポアンカレ予想 幾何化予想とペレルマン
3つのチームはどれもペレルマン論文は基本的に正しく致命的誤りはなかったこと、また細部のギャップについてもペレルマンの手法によって修正可能であったという結論で一致した。これらのことから、現在では少なくともポアンカレ予想についてはペレルマンにより解決されたと考えられている。
ペレルマンは解法の説明を求められて多くの数学者達の前で壇上に立った。しかし、ほとんどの数学者がトポロジーを使ってポアンカレ予想を解こうとしており、聴講した数学者たちもほとんどがトポロジーの専門家であったため、微分幾何学を使ったペレルマンの解説を聞いた時、「まず、ポアンカレ予想を解かれたことに落胆し、それがトポロジーではなく（トポロジーの研究者にとっては古い数学と思われていた）微分幾何学を使って解かれたことに落胆し、そして、その解説がまったく理解できないことに落胆した」という。なお、ペレルマンの証明には熱量・エントロピーなどの物理的な用語が登場する。
2006年8月22日、スペインのマドリードで催された国際数学者会議の開会式においてペレルマンに対しフィールズ賞が授与された。しかしペレルマンはこれに出席せず、受賞を辞退した。
2006年12月22日、アメリカの科学誌「サイエンス」で科学的成果の年間トップ10が発表され、その第1位に「ポアンカレ予想の解決」が選ばれた。
ポアンカレ予想 賞金100万ドル
アメリカにあるクレイ数学研究所 (CMI) はポアンカレ予想をミレニアム懸賞問題の一つに指定し、証明した者に100万ドル（約1億円）の賞金を与えると発表している。ここでペレルマンが本賞を受賞するのかどうかが一部の関心を呼んでいた。彼は賞金を受け取る条件である「査読つき専門雑誌への掲載」をしておらず、コーネル大学（サーストンが在籍していた）の運営している科学系論文投稿サイトarXivに投稿したのみであり、また彼の証明はあくまでも要領を発表したに過ぎないという説もあった。
この件に関し、CMI代表のジェームズ・カールソンは次のように述べている。
CMIの規定では受賞資格者は必ずしも専門誌に掲載された論文の直接的な執筆者に限られるわけではない。ペレルマンが変則的な発表手段を採り、arXivへの掲載のみに留めて専門誌に投稿していないというそのこと自体は、彼が受賞する上での障害とはならない。CMIは、いずれにしてもあらゆる素材を吟味して証明の成否を判定し、しかるのち初めて授賞を検討するようである。
ポアンカレ予想 賞金100万ドル
2010年3月18日、クレイ数学研究所はペレルマンへのミレニアム賞授賞を発表した。これに関してペレルマンは以前、同賞を「受けるかどうかは、授賞を伝えられてから考える」と述べていたが、結局授賞式には出席しなかった。研究所の所長は「選択を尊重する」と声明を発表し、賞金と賞品は保管されるという。
2010年7月1日、ペレルマンは賞金の受け取りを最終的に断ったと報じられた。断った理由は複数あり、数学界の決定には不公平があることに対する異議や、ポアンカレ予想の解決に貢献したリチャード・S・ハミルトンに対する評価が十分ではないことなどを挙げている。さらに、このことについて本人は「理由はいろいろある」と答えた。
モノイド
抽象代数学における単系（たんけい）またはモノイド（英: monoid）とは、結合法則と単位元を有するマグマである。モノイドは単位元を有する半群（単位的半群）であるため、半群論の研究対象の範疇に属する。
モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。
モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。
モノイド 定義
集合 S とその上の二項演算 •: S × S → S が与えられ、以下の条件
結合律
S の任意の元 a, b, c に対して、(a • b) • c = a • (b • c).
単位元の存在
S の元 e が存在して、S の任意の元 a に対して e • a = a • e = a.
を満たすならば、組 (S, •, e) をモノイドという。まぎれのおそれのない場合、対 (S, •) あるいは単に S のみでも表す。
二項演算の結果 a • b を a と b の積と呼ぶ。手短に述べれば、モノイドとは単位元を持つ半群のことである。モノイドに各元の可逆性を課せば、群が得られる。逆に任意の群はモノイドである。
二項演算の記号は省略されることが多く、たとえば先ほどの公理に現れる等式は (ab)c = a(bc), ea = ae = a と書かれる。本項でも明示する理由がない限り二項演算の記号を省略する。
モノイド モノイドの構造
モノイド M の部分集合 N が M の部分モノイド (submonoid) とは、M の単位元を含み、閉性質: x, y ∈ N ならば xy ∈ N となるようなものをいう。これは M のモノイド演算の制限 •|N: N × N → M の像が im(•|N) ⊂ N を満たすということであり、従って •|N は N 上の二項演算を定め、部分モノイド N は明らかにそれ自身が一つのモノイドとなる。
部分集合 S がモノイド M の生成系 (generator) であるとは M の任意の元が S の元だけから二項演算を繰り返して得られることをいう（生成系に属する元を生成元という）。モノイド M がその部分集合 S で生成されるとき M = ⟨S⟩ などと書く。
M の各元 x に対し x0 = 1M を M の単位元とする規約を設けるならば、⟨S⟩ における S の元の冪が零となることも許し、⟨S⟩ は S を含む最小の部分モノイドを表す。
モノイド モノイドの構造
M が有限個の元からなる生成系をもつとき、有限生成 (finitely generated) あるいは有限型 (finite type) であるという。特に、M のただ一つの元 f で生成されるモノイド ⟨f⟩ は単項生成モノイドあるいは巡回モノイド (cyclic monoid) と呼び、集合としては f の冪全体の成す集合 {f0, f1, …} に一致する。
演算が可換であるようなモノイドは、可換モノイド (commutative monoid) という（稀にアーベルモノイド (abelian monoid) ともいう）。可換モノイドはしばしば二項演算の記号を "+" として加法的に書かれる。任意の可換モノイド M は
として定まる代数的前順序 "≤" を持つ。可換モノイド M の順序単位 (order-unit) u ∈ M とは、M の各元 x に対して適当な正の整数 n をとれば x ≤ nu (右辺は n 個の u の和を表す)とできるようなものをいう。これは M が半順序可換群 G の正錐である場合にもよく用いられ、この場合には u を G の順序単位と呼ぶ。
いくつかの元については可換だが、必ずしもすべての元が可換でないようなモノイドはトレースモノイドという。トレースモノイドは並列計算の理論によく現れる。
モノイド 例
閉曲面の同相類の全体は連結和 "#" に関して可換モノイドを成す。単位元は通常の球面（2-球面）の属する同相類である。さらにいえば、トーラスの属する同相類 a と射影平面の属する同相類 b に対して、このモノイドの任意の元 c は c = na # mb の形に一意的に表される。ここで n は非負の整数で、m は 0, 1, 2 の何れか（実は 3b = a # b が成り立つ）である。
モノイド モノイドの構成法
与えられた代数系をモノイドにする操作や、既知のモノイドから新たなモノイドを作り出す操作がいくつか存在する。
固定された字母集合 Σ 上の有限文字列全体(空文字列を含む)は、連接を二項演算とし単位元を空文字列としてモノイドとなる。このモノイドを Σ* で表すと、これは Σ を生成系としてもち、公理の等式以外に元の間の関係式をもたないので Σ 上の自由モノイドと呼ぶ。自由モノイドはモノイドの圏 Mon における自由対象であり、その普遍性はモノイドの表示として理解することができる（後述）。
任意の半群 S は、S に属さない新たな元 e を（新たな）単位元として添加してモノイドにすることができる。すなわち、Se ≔ S ∪ {e} とし、S の任意の元 s に対して e • s = s = s • e と定めるとき Se はモノイドである。
S 上の左零半群に単位元 e を添加したものは（find-first としても知られる）冪等モノイドであり、S 上の右零半群に単位元 e を添加したものは（find-last とも呼ばれる）反モノイドとなる。
二つの元 {<, >} を持つ左零半群に単位元 "=" を添加して得られる冪等モノイド {<, =, >} は順序の与えられた集合の元の列に対する辞書式順序のモデルを与える。
モノイド モノイドの構成法
任意のモノイド (M, •) に対し、その反モノイド (opposite monoid) (Mop, •op) とは、台集合と単位元は M と同じものとし、その演算を
と定めて得られるモノイドである（逆モノイド、逆転モノイド、反対モノイドなどともいう）。任意の可換モノイドは自分自身を反モノイドとして持つ。
二つのモノイド M, N に対して（より一般に、有限個のモノイド M1, …, Mk に対して、あるいは無限族 {Mi}i∈I に対して）、それらの直積集合 M × N（あるいは M1 × ⋯ × Mk, ∏i∈I Mi）もまたモノイドとなる。モノイド演算および単位元は、成分ごとの積および成分ごとの単位元の組として与えられる。
与えられたモノイド M に対し、与えられた集合 S から M への写像の全体 Map(S, M) は再びモノイドとなる。単位元は任意の元を M の単位元へ写す定値写像で、演算は M の積から導かれる点ごとの積で、それぞれ与えられる。これは S で添字付けられたモノイドの族 {M}i∈S の直積モノイドと本質的に同じものである。
モノイド モノイドの構成法
モノイド (M, •, 1M) 上の合同関係（モノイド合同）∼ とは、モノイド構造と両立する（すなわち、a ∼ b かつ c ∼ d ならば ac ∼ bd を満たす）同値関係を言う。モノイド M のモノイド合同 ∼ による剰余モノイドあるいは商モノイドは、各元 x ∈ M の属する同値類を [x] と書くとき、商集合 M/∼ に
で定まるモノイド演算を入れて得られるモノイド (M/∼, ∘, [1M]) を言う。
モノイド (M, •) を固定して、M の冪集合 P(M) を考える。P(M) の 部分集合  の間の二項演算 "∗" を
で定めれば、P(M) は自明モノイド {e} を単位元とするモノイドとなる。同じ方法で、群 G の冪集合は群の部分集合の積に関するモノイドとなる。
モノイド 性質
モノイドにおいて、元 x の自然数冪を
と定義することができる。このとき、指数法則 xn+p = xn • xp の成立は明らかである。定義から直接従うこととして、単位元 e が一意に存在するので、任意の x に対して x0 := e と定義すると、指数法則は任意の非負整数冪に対してなお有効である。
モノイドにおいては、可逆元（あるいは単元）の概念を定義することができる。モノイドの元 x が可逆であるとは  xy = e かつ yx = e を満たす元 y が存在するときにいう。y は x の逆元と呼ばれる。y および z が x の逆元ならば、結合律により y = (zx)y = z(xy) = z となるから、逆元は存在すればただひとつである。
元 x が逆元 y を持つ場合には、x の負の整数冪を x−1 := y および x−n := y • … • y（n 個の y の積、n > 1）と定義することができて、先ほどの指数法則が n, p を任意の整数として成立する。このことが x の逆元がふつう x−1 と書かれることの理由である。モノイド M の単元の全体は M の演算 • に関して単元群と呼ばれる群を成す。この意味で任意のモノイドは必ず少なくとも一つの群を含む（ただし、それが単位元のみからなる自明な群である場合もある）。
モノイド 性質
しかしながら、任意のモノイドが必ず何らかの群に含まれるとは限らない。例えば、b が単位元ではない場合にも a • b = a を満たすような二つの元 a, b をとることができるモノイドというものを矛盾なく考えることができるが、このようなモノイドを群に埋め込むことはできない。なぜなら、埋め込んだ群において必ず存在する a の逆元を両辺に掛けることにより b = e が導かれ、b が単位元でないことに矛盾するからである。モノイド (M, •) が消約律 (cancellation property) を満たす、あるいは消約的 (cancellative) であるとは
M の任意の元 a, b, c に対し、a • b = a • c が成り立つならば、常に b = c を帰結することができる
という条件を満たすときにいう。消約的可換モノイドは常にグロタンディーク構成によって群に埋め込むことができる。これは、整数全体の成す加法群（加法演算 "+" に関する群）を自然数全体の成す加法モノイド（加法演算 "+" に関する消約的可換モノイド）から構成する方法の一般化である。しかし、非可換消約的モノイドは必ずしも群に埋め込み可能でない。
モノイド 性質
消約的モノイドが有限ならば、実は群になる。実際、モノイドの元 x を一つ選べば、有限性より適当な m > n > 0 をとって xn = xm とすることができるが、これは消約律により xm−n = e（e はモノイドの単位元）となり、xm−n−1 が x の逆元となる。
巡回モノイドの位数が有限な n であるとき、0 ≤ k ≤ n − 1 をみたす適当な k に対して fn = fk が成り立つ。実は、そのような k を定めるごとに位数 n の相異なるモノイドが得られ、逆に任意の巡回モノイドはそれらのモノイドのうちの何れか一つに同型となる。特に k = 0 の場合は、全ての f i が逆元を持ち、（ただひとつの位数 n の）巡回群を定める。このとき f は巡回置換として
と表すことができ、モノイドの積と置換の積が対応する。
モノイドの右消約元の全体あるいは左消約元の全体は部分モノイドを成す（単位元を含むのは明らかだが、演算が閉じていることはそれほど明らかではない）。これは、任意の可換モノイドの消約元の全体はかならず群に延長することができるということを意味している。
モノイド M は、M の各元 a がそれぞれ
a = a • a−1 • a かつ a−1 = a−1 • a • a−1
となる M の元 a−1 をただひとつ持つとき、M を逆モノイド (inverse monoid) あるいは山田モノイドという。逆モノイドが消約的ならばそれは群を成す。
モノイド モノイド作用と作用素モノイド
(M, •) をモノイドとする。集合 X への（左）M-作用 (M-act) あるいは M による左作用とは、集合 X と外部演算 .: M × X → X の組で、外部演算 "." が
という二つの条件を満たす（ただし e は M の単位元）という意味でモノイド構造と両立することをいう。これは群作用のモノイド論における類似物である。右 M-作用も同様に定義される。ある作用に関するモノイドは作用素モノイドとも呼ばれる。重要な例として、オートマトンに現れる状態遷移系が挙げられる。ある集合上の自分自身への写像から成る半群(変換半群)は、恒等変換を付け加えることで作用素モノイドにすることができる。
モノイド モノイド準同型
ふたつのモノイド (M, •), (M′, •′) の間のモノイド準同型 (monoid homomorphism) とは、写像 f: M → M′ であって、
を満たすものをいう。ここで、e および e′ はそれぞれ M および M′ の単位元である。モノイド準同型は簡単にモノイド射 (monoid morphisms) と呼ばれることもある。
半群準同型は単位元を保つことを要しないため、必ずしもモノイド準同型とはならない。これは群準同型の場合とは対照的な事実で、群の間の半群準同型はかならず単位元を保ち、したがって群準同型となることを、群の公理から示すことができる。モノイドではそのようなことは一般には望めないので、モノイド準同型の定義では「単位元を保つ」ことを改めて別に要請する必要がある。
全単射なモノイド準同型はモノイド同型と呼ばれる。ふたつのモノイドが同型であるとは、それらの間にモノイド同型が存在するときにいう。
モノイド 生成元と基本関係
モノイドは、群が生成系と基本関係による表示によって特定できるというのと同じ意味で、表示 (presentation) を持つ。すなわち、モノイドは生成系 Σ と Σ が生成する自由モノイド Σ∗ 上の基本関係の集合を特定することによって決まる。任意のモノイドは、適当な自由モノイド Σ∗ をその上のモノイド合同で割って得られる商モノイドになっていると言っても同じである。
実際、二項関係 R ⊂ Σ∗ × Σ∗ が与えられたとき、R の対称閉包 R ∪ R−1 を
で定義される対称的関係  E ⊂ Σ∗ × Σ∗ に拡張できる。この E は
(x, y) ∈ E かつ (x′, y′) ∈ E ならば (xx′, yy′) ∈ E
をみたし、さらに反射閉包および推移閉包をとることにより、モノイド合同が得られる。
典型的な状況では、関係 R は単に関係式の集合 R = {u1 = v1, ..., un = vn} として与えられ、例えば
は双巡回モノイドの生成元と基本関係式による表示であり、また
は次数 2 のプラクティックモノイドとなる（位数は無限大である）。基本関係式は ba が a および b とそれぞれ可換になることを示すものとみることができるので、このプラクティックモノイドの任意の元は適当な整数 i, j, k を用いて aibj(ba)k の形に表される。
モノイド 圏論との関係
モノイドは圏の特別なクラスとみなせる。実際、モノイドにおいて二項演算に課される公理は、圏において（与えられたただ一つの対象を始域および終域とする射の集合だけで考えれば）射の合成に課される公理と同じである。すなわち、
モノイドはただひとつの対象をもつ圏（単一対象圏）と本質的に同じものである。
もっとはっきり述べれば、モノイド (M, •) はただひとつの対象をもち、M の元を射として小さい圏を成す（射の合成はモノイド演算 • で与えられる）。
これと平行して、モノイド準同型は単一対象圏の間の函手とみなされる。ゆえに、今考えている圏の構成は（小さい）モノイドの圏 Mon と（小さい）圏の圏 Cat のある充満部分圏との間の圏同値を与えるものになっている。同様に、（小さい）群の圏は、Cat の（モノイドの圏とは別の）ある充満部分圏に同値である。
モノイド 圏論との関係
この意味では、圏論をモノイドの概念の一般化であると考えることができ、モノイドに関する定義や定理の多くを（ひとつまたはそれ以上の対象を持つ）小さい圏に対して一般化することができる。例えば、単一対象圏の商圏とは、剰余モノイドのことである。
モノイドの全体は（他の代数的構造がそうであるのと同様に）、モノイドを対象としモノイド準同型を射とする圏 Mon を成す。
また、抽象的な定義によって、各圏における「モノイド」としてモノイド対象の概念が定まる。通常のモノイドは（小さい）集合の圏 Set におけるモノイド対象である。