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Emacs 歴史
ストールマンは長らくGNU Emacsの主要な管理者を務めていたが、時代と共にその役目から退いていった。2008年から2015年まで管理はStephan MonnierとChong Yidongに引き継がれている。2015年にMITにおけるストールマンとの会合の後、John Wiegleyがメンテナとして指名された。2014年の時点で、GNU Emacsはその歴史を通じて579人によりコミットされてきた。
GNU Emacs のバージョンは 1985年のうちに 17 まであがったが、それ以降は更新は落ち着いた速度で行われている。
1991年初頭、GNU Emacs 19の初期α版をベースとしてジェイミー・ザウィンスキーとLucid社の人たちによりLucid Emacsが開発された。コードベースはすぐに2つに分割され、開発チームは単一プログラムとして併合しようとすることをあきらめた 。これはフォークした自由ソフトウェアのうち初期の最も有名な例の1つである。Lucid EmacsはXEmacsと名前を変え、Emacsの中でGNU Emacsに次いで2番目に有名な派生となった。XEmacsの開発は2009年1月に最新の安定版であるバージョン21.4.22がリリースされてから遅くなっていき、その一方でGNU Emacsは以前はXEmacsにしかなかった機能の多くを実装していった。このため一部のユーザーはXEmacsの死を宣言するようになった。
XEmacsほど有名ではないGNU Emacsのフォークには以下のものがある:
過去においては、各Emacsプロジェクトの目的は肥大化したEmacsの小規模なバージョン作成であった。GNU Emacsは当初、当時のハイエンドであった32ビットフラットアドレス空間と少なくとも1MiBのRAMを搭載するコンピュータを想定していたが、1980年代ではそのようなコンピュータはハイエンドなワークステーションやミニコンピュータであったので、一般的なパーソナルコンピュータのハードウェアで動作するようより小規模に再実装する必要があった。近年では小規模なEmacsクローンはソフトウェアインストールディスクに収まるよう設計されている。
小規模バージョン作成以外のプロジェクトの目的は、Emacs Lisp以外のLISP方言やLISPとは全く異なるプログラミング言語によるEmacsの実装である。Emacsクローンを以下に示す。ただし現在その全てが保守されているわけではない:
mg - 当初はMicroGNUEmacsといわれていたが後にmg2aといわれるようになった。MicroEMACSのパブリックドメインなフォークでありより密接にGNU Emacsを似ていることを意図された。OpenBSDでは既定でインストールされる。また、macOSにプリインストールされていたEmacsは、2018年にリリースされたmacOS Mojave (v10.14)の時点でさえ11年も前にリリースされたemacs22であったが、macOS Catalina (v10.15)よりmgに変更されている。
Hemlock - 元々Spice Lispで書かれていたが、後にCommon Lispとなった。CMU Common Lispの一部。Zmacsに影響された。後に（Helixとして）Lucid Common Lisp、LispWorksおよびClozure CLプロジェクトによりフォークされた。Hemlockを提供することを狙いとした、Portable Hemlockプロジェクトも存在する。HemlockはいくつかのCommon Lisp実装で動作する。
Emacs 機能
Emacsは主にテキストエディタでありテキスト要素を操作するよう設計されているが、LaTeX、Ghostscript、ウェブブラウザといった外部のプログラムと通信することで、ワードプロセッサのように文書を整形したり印刷することができる。Emacsは語、文、そして段落といった異なるセマンティック要素や、関数のようなソースコードの構成要素を処理したり様々な色を付けるためのコマンドを提供する。さらにEmacsは編集コマンドのユーザー定義バッチ用にキーボードマクロも提供する。
GNU Emacsはリアルタイム表示エディタであるので、編集する度にその編集がオンスクリーンで表示される。これは現在のテキストエディタの標準的振る舞いであるが、EMACSは初期の段階でこの機能を実装していたため、viのように既存のテキストに新しい編集を挿入するために個別のコマンドを実行する必要がなかった。
viが編集のための基本的な機能のみを搭載していたのに対し、Emacsはインクリメンタルサーチ・無制限のアンドゥ・ヤンク（ペースト）用のスタック・複数のバッファ・バッファ上でシェルを実行・補完・言語ごとのモードなど、エディタとして考えられる限りの機能を詰め込んでいる。VimではEmacsと同等のことができるようになっているが、バッファの使い方はEmacsより控えめである。
Emacs 機能
文書への文字列挿入などの基本的な編集操作を含むEmacsの機能はほとんど全て、LISPの方言で書かれた関数で行える。GNU Emacsで使われるLISP方言はEmacs Lispとして知られている。Emacs Lisp層はCで書かれた基本的なサービスとプラットフォームを抽象化した概念の、安定したコアの頂点に位置している。LISP環境の変数と関数は、Emacsのリコンパイルや再起動をせずとも一時的に修正できる。
Emacsは追加属性を持つテキストを含んだバッファと呼ばれるデータ構造上で動作する。全てのバッファはその固有のポイント（カーソル位置）とマーク（ポイントと併せて、選択されたリージョンを区切るためのもう1つの位置）、（適用可能な場合）バッファが訪問しているファイル名、そして変数で編集や振る舞いを制御する現在のモードのセット（正確には1つの「主モード」と複数の「副モード」からなる）を保存している。対話的に実行可能なEmacs Lispコードをコマンドという。コマンドはキープレスなどのイベントにバインドでき、さらに名前でアクセスすることもできる。コマンドの中にはバッファから任意のEmacs Lispコードを評価するもの（例としてはeval-regionやeval-bufferなど）もある。
Emacs 機能
バッファはウィンドウ内に表示される。ウィンドウは端末画面やGUIウィンドウのタイリングされた部分である（その部分はEmacs用語でフレームと呼ばれ、複数のフレームが可能）。特に設定されていない場合、ウィンドウにはスクロールバー、行番号、一番上にあるヘッダ行（通常この行にはバッファタイトルやファイル名が表示される）、そして一番下にあるモード行（通常この行には現在のモードとバッファにおけるポイントの位置のリストが表示される）が含まれる。
同じバッファ上で複数ウィンドウを開くことができるため、例えば1つの長いテキストから異なるパートを見ることができる。さらに複数バッファで同じテキストを共有できるので、例えば言語が混在したファイルで異なる主モードを利用することができる。M-x <mode name>により必要に応じてモードを手動で変更することもできる。
ふつう最下行にあるミニバッファは、Emacsが情報を受け取る場所である。検索対象のテキストや読んだり保存したりするファイルの名前などの情報をミニバッファに入力する。一部の入力ではタブキーを用いて入力を補完することができる。ミニバッファは通常1行しかないが、ここでも通常のバッファと同じ移動・編集コマンドを使うことができる。
Emacs 機能
起動時にEmacsは~/.emacsと名付けられたEmacs Lispスクリプト（近年のバージョンでは~/.emacs.elや~/.emacs.d/init.elでもよい。Emacsは最初に見つけたスクリプトを実行し、それ以外のスクリプトは無視する）を実行する。個人的なカスタマイズファイルは任意の長さや組み合わせでよいが、通常は以下のものが含まれる:
Emacsの振る舞いをカスタマイズするための、グローバル変数や関数呼び出しの設定。例としては(set-default-coding-systems 'utf-8)など。
標準的なキーバインディングを上書きしたり、ユーザーにとって便利なのにデフォルトでバインドされていないキーを持つコマンド用ショートカットを追加するためのキーバインディング。例 : (global-set-key (kbd "C-x C-b") 'ibuffer)
Emacsの拡張の読み込み、有効化、および初期化（Emacsには多くの拡張が付属しているが、デフォルトでは極少数しか読み込まれない）。
指定された時間に任意のコードを実行するイベントフックの設定。例としてはバッファの保存後に自動でソースコードをリコンパイルするafter-save-hookなど。
Emacs 機能
任意の複数ファイル実行。通常は長すぎる設定ファイルを管理できるように均等な部分に分割するためのもの（これらの個人的スクリプト用の伝統的な場所は~/.emacs.d/と~/elisp/である）。
「カスタマイズ」拡張により、ユーザーは~/.emacsに変数を設定するよりもユーザーフレンドリーな方法で、Emacs内部からインタラクティブなカラースキームのような設定プロパティを設定できる。これは検索、説明やヘルプ文、複数選択の入力、デフォルトへのリバート、再起動を必要としない起動中のEmacsインスタンス修正や、他のプログラムにおける好みの機能と類似した他の機能を提供する。カスタマイズされた値は~/.emacs（または他の指定ファイル）に自動で保存される。
Emacsは、プログラマが単一インターフェースでコードを編集、コンパイル、デバッグするような統合開発環境 (IDE) としても使うことができる。
Emacs 機能
このような編集機能にとどまらず、Emacs LispはTCP/IP通信や外部プロセスの起動などの機能を持っており、テキストエディタとしては一般的でない機能も多くEmacs Lispで記述されている。これらの機能を利用した様々なアプリケーションソフトウェアが書かれてきた。Emacsはこれらのアプリケーションソフトウェアを動作させる実行環境となっている。外部プロセスとして、UNIXのプロセスを起動する場合、Emacs はプロセスのフロントエンドプロセッサとして動作する。例えば、LISP を Emacs から起動すると、閉じカッコ")"がキーボードから入力された時それに対応する開きカッコ"("をハイライトするようなマクロを組んでおくことで、カッコの確認をしながら入力が可能である。
ライブラリーは、インターネットで見付けることができる。
新しいライブラリーを投稿するためのUsenetニュースグループgnu.emacs.sourcesまである。一部のライブラリーは、最終的にEmacsに取り込まれて、「標準」ライブラリーとなる。
GNU Emacs 24では、パッケージマネージャが内蔵された。公式のパッケージアーカイブであるGNU ELPA(Emacs Lisp Package Archive)のほか、いくつかのアーカイブを扱うことができる。
Emacs 機能
Emacsには最初から各個別のコマンド、変数、内部関数の説明文字列を表示する、強力なhelpライブラリが付属していた。このため通常の機能や現在の状態の情報をユーザーに提供するので、Emacsは自己説明的だと評される。各関数には説明文字列が含まれていて、要求に応じてユーザーに表示される。その後関数に説明文字列をつける習慣は、LISP、Java、Perl、およびPythonといったさまざまなプログラミング言語に広まった。このヘルプシステムにより、ユーザーは組込みのライブラリや追加されたサードパーティーのライブラリのどちらからも各関数用の実際のヘルプコードを取得できる。
Emacsには組み込みのチュートリアルもある。編集ファイルを指定せずEmacsを起動すると、簡単な編集コマンドの実行方法とチュートリアルを呼出す方法についての説明が表示される。このチュートリアルはStuart Cracraftとストールマンによって作られたものである。
GNU Emacsには組込みの説明文字列のほかにも、ストールマンの執筆したGNU Emacs Manualの電子コピーがついており、組込みのInfoブラウザで閲覧することができる。電子版のほかに、3種のマニュアルがフリーソフトウェア財団から書籍のかたちで刊行されている。
XEmacsの場合、ソフトウェア本体と同時にGNU Emacs Manualからフォークした同様のマニュアルがある他、Bill Lewis、ストールマン、Dan Laliberte共著のEmacs Lisp Reference Manual、Robert Chassel著のProgramming in Emacs Lispも含まれている。
TexinfoはGNU Emacsの標準ドキュメントシステムであり、EmacsのマニュアルはTexinfoでドキュメント化されている。TexinfoはTeXをベースにしたマークアップ言語を使って記述し、ハイパーテキスト的なブラウジング・検索が可能なオンラインドキュメントinfoとして使用することも、TeXを経由して組版されたペーパドキュメントとしても利用することができる。
Emacs 文化
Emacs教会 (英語: Church of Emacs) とはEmacsユーザーによって作られたパロディ宗教である。Emacs教会はviを「獣の数字」である（ローマ数字ではvi-vi-viは666を表すため）としているが、viのユーザーに反対しているわけではない。むしろプロプライエタリソフトウェアをアナテマと呼んでいる（「viの自由ソフトウェア版を使うことは罪というより苦行である」）。このパロディ宗教をサポートするためのEmacs教会のニュースグループとしてalt.religion.emacs,が存在する。Emacsユーザーの中には「よりよいものを真似る」ことを試みたとして、viの支持者は対抗としてviカルト (英語: Cult of vi) を作成した。
ストールマンは冗談で自身をEmacs教会の聖人 (英語: saint) であるSt IGNUciusとしている。
Emacsの修飾キーへの強い依存が反復性過労障害となるというフォークロアはEmacs小指 (英語: Emacs pinky) と呼ばれる。
ユーザーは様々なアプローチでEmacs小指に対処してきた。ソフトウェア側の手段には以下のようなものがある:
Emacs 文化
スペースキーのようなより快適にアクセスできるキーへのもう1つの役割の付与。もう1つの役割を割り当てられたキーは、他のキーと組み合わせて押すことでコントロールキーとして機能する。エルゴノミクスキーボードや、日本語キーボードのようにスペースキーに隣接するより多くのキーを持つキーボードを使う。日本語キーボードはメタキーやシフトキー以外の修飾キーの親指操作が可能である。
ハードウェアによる解決法としては、修飾キーを親指で簡単に操作できるKinesis Contoured Keyboardや、手の平で押せるようキーボードの両側に対称的に手の平で押すことができる巨大な修飾キーを配置したMicrosoft_ergonomic_keyboardsがある。フットペダルも利用できる。
Emacsが開発されたスペースカデットキーボードは、スペースキーに隣接したコントロールキーが巨大で親指が届き易かった。
英語においてboxenやVAXenのように、emacsという単語の複数形をemacsenと綴ることもある。
Emacs 問題点
EmacsのLispベースの設計の欠点は、Lispコードの読込み、解釈 に伴う性能への負荷である。
Emacsが最初に実装されたシステムでは大抵、競合するテキストエディタよりかなり遅かった。このことをジョークにした、頭文字による略語がEMACSになる文がいくつか存在する（このようなジョークは他にも存在し、例えばユーザー・インターフェースをネタにした (Escape Meta Alt Control Shift) などがある）。
ただし、最近のコンピュータは十分速くなり、以前言われていたほどEmacsを遅いと感じることはめったになくなった。実際、Emacsは最近のワードプロセッサよりも素速く立ち上がる。
さらに、GNU Emacs 23以降はEmacsをサーバープログラムとして立ち上げておくデーモンモードが追加された。この場合、Emacs本体はOS起動時に自動的に一度起動するだけなので、速度は問題にならない。
直交行列
直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり n×n の行列 M の転置行列を MT と表すときに、 MTM = M MT = E を満たすような M のこと。ただし、 E は n 次の単位行列であり、 E 自身も直交行列である。
有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 V において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 f のことである。すなわち、
v, w を V の任意のベクトルとするときに、(f(v), f(w)) = (v, w)
が成り立つ。ただし、(•, •) は内積を表す。
直交行列 定義
n 次正方行列 M の 転置行列 MT が Mの逆行列になっているとき、すなわち MT = M-1 を満たすとき、M は直交行列であるという。
直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 V の任意のベクトル v, w に対し、内積を (v, w) = vTw とする。v, w が行列 M により Mv, Mw に変換されたとき、内積は
となるので、行列 M が直交行列であるのは計量ベクトル空間 V の内積を変えないとき、かつそのときに限る。
直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。n 次直交行列全体の集合を n 次直交群といい、O(n) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、SO(n) と書く。
直交行列 例
2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 θ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。
2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。
単位ベクトル u に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列）H は、以下の式で与えられ、直交行列となる（I は単位行列）。
コンピュータ略語一覧
コンピュータ略語一覧（コンピュータりゃくごいちらん）は、コンピュータの略語を一覧にしたものである。
コンピュータ略語一覧 目次
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 数字
あ行 か行 さ行 た行 な行
は行 ま行 や行 ら行 わ行
コンピュータ略語一覧 P
Personal Computer パーソナルコンピュータ
Program Counter プログラムカウンタ
Programmable Counter プログラマブル・カウンタ
キリストの墓
キリストの墓（キリストのはか）は、キリスト教において、イエス・キリストが埋葬された後に復活したと信じられている墳墓。ここではそれ以外の、キリストの埋葬や遺骸に関する世界各地の諸説・伝承についてや創作も取り上げる。
キリストの墓 定説
『ヨハネによる福音書』（新共同訳 19:41-42）には、「イエスが十字架につけられた所には園があり、そこには、だれもまだ葬られたことのない新しい墓があった。その日はユダヤ人の準備の日であり、この墓が近かったので、そこにイエスを納めた」とある。聖書上の記述を信用する限り、イエスはゴルゴタの丘で刑死したのち、3日後に復活するまでの間、刑場の近辺にある墓所に埋葬されていたようである。
エルサレムの聖墳墓教会は、伝統的にイエスの墓所の上に立てられたものであると信じられている。文献上、同地がイエスの墓地であると主張されはじめるのはローマ帝国がキリスト教を公認・国教化した4世紀以降のことである。ユダヤ戦争に際しておこった70年のエルサレム攻囲戦ののち、エルサレムは廃墟となり、130年にはハドリアヌスが同地に新都市であるアエリア・カピトリナを建設した。ユーピテルやウェヌスの神殿を建設するための土台とすべく、市内にあった岩窟墓は埋め立てられた。
キリストの墓 定説
ローマ皇帝であったコンスタンティヌス1世はキリスト教を支持しはじめ、キリスト教を公認した。エルサレム司教であったマカリウスは記念碑を建てるべく、皇帝にキリストの墓地を発掘する許可をもとめ、コンスタンティヌス1世はこれを認めた。この地点がイエスの墓所であることを立証する、決定的な文献学的・考古学的根拠は存在しないものの、エウセビウスの『オノマスティコン』によれば、ゴルゴダの丘の大まかな位置は4世紀当時においてよく知られていたといい、キリストの墓の位置についても大まかな見当はついていた可能性がある。エウゼビウスとマカリウスにより、墓の比定地より3つの十字架が発見された。そのうちのひとつが、実際に人を癒やす効果を有していたことから、磔刑に用いられた聖十字架であるとみなされ、ローマ人もこの場所がキリストの墓所であることを確信した。326年ごろ、同地に建っていた神殿は取り壊され、その地下から墓所が発見された。マカリウスは、これをキリストの墓であると認めた。墓所の発見後、ただちに聖墳墓教会の建設がおこなわれた。幾度かの破壊と再建を経たものの、聖墳墓教会はキリスト教における重要な聖地のひとつとなっている。
キリストの墓 諸説
聖墳墓教会が城壁の内側にあることが、聖書の記述と食い違うことを根拠に、ダマスカス門の北に位置する園の墓をキリストの墓所に比定する意見もある。聖書学者であるエドワード・ロビンソンが1841年に刊行した『パレスチナの聖書学的研究』は、19世紀当時、聖地の地形学と考古学に関する標準的著作とみなされていたが、同書には聖墳墓教会が実際のキリストの墓であるとみなす根拠は薄いと記されていた。ロビンソンは代替地を提案しようとせず、実際のキリストの墓の位置を特定することは不可能であると結論付けたが、磔刑は、ヤッファないしダマスカスへの街道近くでおこなわれたのではないかと示唆した。ドイツの神学者・聖書学者であるオットー・テニウス（Otto Thenius）は、1842年、ロビンソンの考えに依拠しつつ、ダマスカス門の北にある岩山こそがゴルゴダの丘であると論じた。また、アメリカの実業家であり、ユニオン神学校の創設者のひとりであるフィッシャー・ハウ（Fisher Howe）も、同じ結論にたどり着いたほか、王立工兵連隊の中尉であり、西パレスチナを測量したクロード・コンドルも、この場所がゴルゴダであることの論証を行った。イギリス陸軍の軍人であり、太平天国の乱を鎮圧したことで知られるチャールズ・ゴードンは、同説を強く支持したことで知られている。
キリストの墓 諸説
1867年、ゴルゴダの丘の比定地の近くで、現地の農民が、のちに「園の墓」として知られるようになる墓所の遺構を発見した。1874年、エルサレムに在住しており、現地の様子を科学雑誌に投稿していたコンラッド・シックが、西洋にこの発見を紹介した。1883年、ゴードンはコンドルとともにパレスチナを調査し、この際にこの墓所こそがキリストの墓であると特定した。1892年には、イギリスのキリスト教関係者はこの土地を購入すべく、資金提供を呼びかけた。カンタベリー大主教やソールズベリー主教などがこの支援者に名を連ね、1984年には The Garden Tomb Association がこの用地を購入した。
しかし、墓地の様式が紀元前8世紀ごろのものであること、聖墳墓教会の立地もローマ帝国時代には城壁の外側であったことなどから、園の墓がキリストの墓である可能性は、おおむね退けられている。園の墓を管理する The Garden Tomb Association もまた、「ここが実際に救い主の埋葬された墓地であるかどうかは究極的には問題ではなく、重要なのはここを訪れる人びとが、今も生きておられる救い主と巡り合うことである」と述べている。
キリストの墓 諸説
タルピオットの墓は、1980年に、東エルサレム・旧市街から南に5 km離れた、東タルピオット近郊で発見された岩窟墓である。集合住宅の建設工事の際に発見されたこの墓所には、骨棺が10個納められており、そのうちの6つに碑文が残されていた。ここには「ヨセフの子イエス（Yeshua bar Yehosef）」と解読できる文字が存在したものの、判読しがたい箇所もあり、その翻訳および解釈については広く論争がある。1996年に発掘調査の報告書がまとめられたものの、広く注目を浴びることはなく、2004年に映画監督・ジャーナリストであるシンハ・ヤコボビッチが再調査をおこなったこと、同調査にジェームズ・キャメロンが参画したことによりメディアの取り上げるところとなった。
多くの学者は、この墓所の被葬者であった「タルピオットのイエス」は、ナザレのイエスとは同名の別人であると考えている。当時のユダヤ人にとってこの名前はごく一般的なものであったほか、タルピオットのイエスの隣には、彼の子供である「ユダ」が埋葬されていた。これらの墓は裕福なユダヤ人家族のものであり、イエスの一族が貧しいガリラヤ人であったという記録と反している。
キリストの墓 諸説
ローザ・バルは、カシミール地方の都市であるシュリーナガル中心部に位置する廟である。roza は「墓」を意味し、 bal は地名である。地元の住民は、この廟は中世イスラムのスーフィー聖者である「Yuz Asaf」のものであると考えている。
アフマディーヤの創始者である、ミルザ・グラーム・アハマドは、1899年にこの廟こそがキリストの墓であると主張した。アフマディーヤの信者はこの考えを維持しているほか、『ロンリープラネット』にこの場所が掲載されたことにより、多くの西洋人観光客が同地を訪れた。廟を管理する、イスラム教スンニ派の地元住民らはこの説を否定しており、この墓地がキリストの墓であるという説は、観光のために捏造された嘘に過ぎないと述べている。
ニューヨーク在住の作家であるスザンヌ・オルソンは廟に納められる遺体をDNA検査にかけようとしたが、廟の管理者はこの試みを「イスラム教に対する冒涜である」とジャンムー・カシミール州警察に訴え、オルソンは州から強制退去させられた。2010年、この廟への観光客の立ち入りは禁止された。
キリストの墓 諸説
フランスの作家、ジェラール・ド・セードは、南フランスの小さな村レンヌ＝ル＝シャトーに謎の財宝の秘密が隠されているとする一連の著作を発表した。『アルカディアの牧人たち』と題するニコラ・プッサンの有名な絵がある。
この絵に描かれた風景と墓石にそっくりなものが、レンヌ＝ル＝シャトーの近くに存在した。1970年代セードの著作以降、この地は財宝目当ての人間が引きも切らなかった。
中にはダイナマイトを持ち込むぶっそうな者もいたので、けっきょくこの墓石は持ち主が取り壊してしまった。
英国のテレビ作家ヘンリー・リンカーンらは、これを追って、BBCのテレビ番組で放映したほか、『レンヌ＝ル＝シャトーの謎』を著した。
墓石の碑文には「ET IN ARCADIA EGO」とある。この碑文はプッサンに先行して1621-1623年のグェルチーノの絵にもあり、「われアルカディアにもあり」とか、いろいろに解釈されている（→ニコラ・プッサン）。リンカーンらは、これはアナグラムであり、「I TEGO ARCANA DEI」（立ち去れ! 私は神の秘密を隠した）と読めるとした。「神の秘密」としてリンカーンらは、イエスの血脈を想定し、シオン修道会がそれを守っているとするのだが、イエスの墓がある可能性も示した。
キリストの墓 諸説
リチャード・アンドルーズとポール・シェレンバーガーもこれを追って、問題の絵はイエスの墓の位置を示しているとして、近くの山中にその位置を推定した。
この地域は古くキリスト教の異端カタリ派の拠点であったという歴史を持っている。カタリ派は13世紀前半にアルビジョア十字軍によって壊滅させられているが、彼らがその秘密を残したのではないかというものである。
青森県三戸郡戸来村（現：新郷村）の「キリストの墓」は、1935年（昭和10年）、皇祖皇太神宮天津教の教主である竹内巨麿らによって「発見」された。
その契機となったのは、当時の戸来村村長である佐々木伝次郎が、観光振興の一環として、日本画家の鳥谷幡山を招いたことである。竹内の信奉者であった鳥谷は、日本における超古代文明の存在を信じており、戸来村を視察したのちここが古代の神都であったと結論づけた。彼の「発見」をうけた竹内ら天津教の関係者は戸来村を訪れ、同地に古くから存在した塚がキリストの墓であると主張した。彼らの論じるところによれば、ゴルゴダの丘で処刑されたのはキリスト本人ではなく、実際にはその弟であるイスキリであり、キリストは実際には日本まで逃れ、当時神都として栄えていた戸来で余生を過ごした。同説は、昭和期に突然現れた、歴史的な文脈を有さない湧説（ようせつ）であったものの、特に戦前・戦中期においては、竹内の信奉者を中心として、一定の支持者を集めた。1970年代のオカルトブーム以降、同地は観光地として注目されるところとなり、毎年6月に開催される「キリスト祭り」には多くの観光客が集まる。
キリストの墓 キリストの遺骸をめぐる作品
1968年、エルサレムの北ギヴアット・ハ・ミヴタルで、磔刑の痕のある人骨が発見された。ユダヤ戦争前の1世紀ごろのものと見られる。片方の足には曲がった釘と、木片がくっついていた。骨壷にはその名をイエホカナンと記されていた。3-4歳と見られる彼の息子と、他の一人の成人の骨もいっしょに入っていた。
実際にあったこの事件にヒントを得て、アメリカ合衆国の作家リチャード・ベン・サピアが、ミステリー小説 The Body を1983年に発表した。小説の中でイスラエルで発見された遺骨にはアラム語で「ユダヤの王」と記された粘土板が掛かっていた。これがイエス・キリストの遺骨とすれば、復活と昇天の教義が覆ることになると恐れたバチカン。それにイスラエルやソヴィエト連邦の政治的思惑とが錯綜し、物語は展開する。人間イエスの秘密をバチカンが恐れ、陰謀が渦巻くという筋書きは、同じアメリカ合衆国の作家ダン・ブラウンによる『ダ・ヴィンチ・コード』にも影響を与えている。The Body は、2000年にアメリカ合衆国とイスラエルの共同制作で映画化された。日本公開時の邦題は『抹殺者』。小説の日本語訳は2002年に邦題『遺骨』（新谷寿美香[訳]）として青山出版社から、2006年に『キリストの遺骸』上下巻が扶桑社ミステリー文庫として再出版された。
キリストの墓 キリストの遺骸をめぐる作品
アメリカのダニエル・イースターマンの「墓の結社 Brotherhood of the tomb(二見書房 1992)」も、1968年の発見がヒントになっていると思われる。こちらは信仰の内容にはあまり踏み込んでおらず、カトリック教会の歴史の暗部とバチカン内部の権力闘争を描いている。このほかマイクル・コーディが、キリストの治癒能力の再現にまつわる小説『メサイア・コード』（旧邦題『イエスの遺伝子』）を発表している。
ISO 3166
ISO 3166は、国際標準化機構 (ISO) が国名およびそれに準ずる区域名、都道府県名や州名といった地域名のために割り振った地理情報の符号化である。3部構成。
ISO 3166 内容
ISO 3166-2は、都道府県名や州名といった、地域名コード（JISではJIS X 0401の都道府県コードなどに対応）
ISO 3166-2:2000-06-21 Newsletter I-1
ISO 3166-2:2002-05-21 Newsletter I-2
ISO 3166-2:2002-08-20 Newsletter I-3
ISO 3166-2:2002-12-10 Newsletter I-4
ISO 3166-2:2003-09-05 Newsletter I-5
ISO 3166-2:2004-03-08 Newsletter I-6
ISO 3166-2:2005-09-13 Newsletter I-7
ISO 3166-2:2007-04-17 Newsletter I-8
ISO 3166-2:2007-11-28 Newsletter I-9
ISO 3166-2:2007-12-13 II
ISO 3166-2:2010-02-03 Newsletter II-1
ISO 3166-2:2010-06-30 Newsletter II-2
ISO 3166-2:2011-12-13 Newsletter II-3
DoJaプロファイル
DoJaプロファイル（ドゥージャプロファイル）はNTTドコモグループの携帯電話（フィーチャーフォン）であるmovaシリーズ及びFOMAシリーズに搭載されるJava実行環境の仕様である。後継のStarプロファイル（スタープロファイル）も本項で記載する。DoJaは開発者向けの用語であり、エンドユーザー向けには「iアプリ」「iアプリDX」「メガiアプリ」などの名称となっている。
DoJaプロファイル 特徴
DoJaはサン・マイクロシステムズ （以下「サン」と略）のJavaプラットフォーム構想において、Java MEにおける、CLDC上の1プロファイルとして位置づけられる。
携帯電話は一般に大画面のディスプレイやマルチウィンドウシステム、マウスなどのポインティングデバイスを持たない上、ハードウェアスペック（CPUスピード、メモリ容量）がデスクトップ・サーバに比べて比較的貧弱であるなど、デスクトップのJava環境と比べて大きな差がある。そのため、DoJaのJava APIもJava SEと比べてかなりの違いがある。
ただ、Java MEのCLDCの仕様は、デスクトップのJava SEのサブセットであるが、マルチスレッド処理を含めて、本当のJavaプログラミングを行うことが可能である。ただし、DoJa 3.5まではCLDC 1.0のため、浮動小数点数処理がない、ファイナライザが動作しないなどの制約があった。
DoJaが動作する携帯電話上においては、ファイルシステムを持たず、データの保存には「スクラッチパッド」と呼ばれる領域を用いる。また、iアプリをダウンロードしたホストとのみ、ネットワーク通信を行うことができる。
DoJaプロファイル 実行形態
DoJaでは、コンパイルしたJavaクラスファイル、および実行に必要な画像や音楽データを含めて、Jar形式でパッケージ化しておく。このように準備されたiアプリはHTTPあるいはHTTPS通信を通じて、携帯電話にダウンロードされ実行される。メモリースティックやSDカードなどの外部記憶媒体を使ってインストールする方法は公式に発表されていない。セキュリティに関しては厳しく、他のアプリとスクラッチパッド上のデータを共有したり、電話帳やメールデータにアクセスするには、iアプリDX仕様を使う必要がある。
尚、DoJaで実行するClassファイルは、パッケージする前に通常のコンパイルのほかに、preverifyというツールを使って前処理（事前検証）を行っておく必要がある。これはCLDCの制限（というより特徴）であり、実行時・ロード時のバイトコードベリファイの負荷を減らすために、あらかじめ型情報を調査し、その情報をJavaクラスファイル内に添付しておく必要があるためである。
DoJaプロファイル API
CLDCは、組み込み向けの一般的な共通機能を絞り込んだAPI仕様を持っており、GUIなどを定義していない。Java MEの枠組みでは、それらはプロファイルで定義される。
DoJa APIにはiアプリ基本API、iアプリオプションAPI、iアプリ拡張APIの3種類がある。
iアプリオプションAPI及びiアプリ拡張APIについては、対応している携帯電話でないと実行できない。
DoJaにおいてUI処理には、com.nttdocomo.ui.*パッケージに含まれる独自のUIクラス群を使用する。入出力においては、CLDCのジェネリックIOフレームワークに基づき、ネットワーク入出力処理(HTTP, HTTPS)、スクラッチパッドアクセス処理、Jarリソースに含まれたデータの入力処理などを行うことができる。
DoJa 2.0 (504i, 2051, 2701, 2102V)以降は、待ち受け画面のように常に常駐して動作する「待ち受けiアプリ」の機能や赤外線通信機能が追加された。また、DoJaオプション機能としてゲーム向けの機能（スプライト、3Dのポリゴンなど）、カメラ機能などが定義された。
DoJaプロファイル API
DoJa 3.0 (505i, 506i, 900i)では、ゲーム向け機能の一部が標準機能になった。また、「iアプリDX」として、携帯電話の電話帳にアクセスしたり、メールなどと連携できるような機能が追加された。これらのiアプリDX機能の詳細については一般には公開されていない（公式コンテンツプロバイダ向けにのみ提示されているものと思われる）。またオプション機能としてバーコードの読み取り機能、指紋認証機能などが追加されている。
DoJa 4.0では基本APIにマスコットカプセル4.0を制御する3Dグラフィックス描画機能と3Dサウンド制御機能が追加され、またDoJa 2.0以降と同じくマスコットカプセル3.0を制御する拡張APIも削除されずに残された。つまり、マスコットカプセル3.0及び4.0が使用でき、それぞれの特徴として3.0は値として整数を使用するため高速で動作するが4.0は値として浮動小数点を使用するため3.0より描画が遅い。ただし、4.0LEではマスコットカプセル4.0を制御する3Dグラフィックス描画機能と3Dサウンド制御機能は標準APIは使用することはできない。
DoJaプロファイル API
DoJa 4.1では基本APIにセキュリティ機能（デジタル署名）およびSDカードを制御するAPIが追加された。
DoJa 5.0では基本APIにメモリ管理、GPS制御、オプションAPIにハードウェアを使用するOpenGL ES 1.0相当の3D描画、Bluetooth制御のAPIが追加された。
DoJa 5.1ではOpenGL ES 1.1対応。
Star 1.0では、ウィジェットアプリ（iWidget）機能、iアプリオンライン機能、iアプリコール機能、iアプリ-Flash連携機能などが追加になった。
Star 1.1では、タッチパネル対応など。
Star 1.5では、オーディオ出力先イベント、各種デバイス（コンパス・加速度センサ・歩数計など）対応。
Star 2.0では、内部ストレージへのアクセス、1ドット単位でのフォントサイズの指定、PNG対応、iアプリ自動起動、MyFACEからのiアプリ起動、マナーモード中の音声出力、HTTPで受信可能なレスポンスボディを1MBに拡大などが追加・変更になった。
DoJaプロファイル 歴史
※DoJa 1.0から3.5まではCLDC 1.0である。DoJa 4.0以降はCLDC 1.1であり浮動小数点が使用できる。
DoJaは携帯電話が新しいデバイスを装備することにそれに対応する制御APIとして拡張されてきた。携帯電話自身の性能もハードウェア技術の進歩により、503i登場当初に比べ飛躍的にその実行速度、容量（一回で送受できる通信量や、スクラッチパッドの容量）、画面サイズなどを増やしているため、登場当初と比較してはるかに高機能なアプリケーションを書くことができるようになって来ている。
特に、アプリケーションサイズの制約は当初10KB（Jar圧縮後（FOMAは30KB）、スクラッチパッド10KB）という極めて厳しいものであったが、DoJa 2.0以降は30KB（スクラッチパッド100KB（505i以降及びFOMAは200KB））まで拡張されている。DoJa 3.5以降は100KB（スクラッチパッド400KB）まで拡張された。ただし、DoJa 4.0LEはJARファイルが30KBまで、スクラッチパッドサイズが200KBまでに制限されている。DoJa 5.0ではプログラムとスクラッチパッドの境界がなくなり、あわせて1MBになった。Starプロファイル1.xは合計2MB。Starプロファイル2.xは合計10MB。
DoJaプロファイル 互換性
同様の携帯電話向けJava実行環境のプロファイルには、サン自身によるMIDPがあるが、開発時期の違いからか、NTTドコモグループ（以下「ドコモ」と略）の携帯電話には採用されるには至らなかった。
au、ソフトバンクモバイル、ウィルコムの携帯電話もJava実行環境を搭載しているが、いずれも世界中で広く採用されているMIDPを採用しており、DoJaとの互換性はない。厳密には、CLDCの範囲内では同様に動作するプログラムを作ることはできるかもしれないが、アプリケーションのパッケージングなどの方法も異なる。いずれにせよ、画面表示などの機能に互換性はないのでそのまま同じものが動作するという意味での互換性は無いといってよい。同じCLDCに基づくJava環境ではあるのでコードの一部もしくは多くを共通化できる可能性はある。
もうひとつ考える必要があるのは、機種間の互換性の問題である。DoJaはJava実行環境の仕様であるため、下位層としてのJava VMの実装やあるいはハードウェアに関して統一がなされていない。このことはJavaの思想からは正しいのだが、Javaアプリケーションの振る舞いに関して携帯電話各メーカ間の実装差異は決して小さくない。
DoJaプロファイル 互換性
特に商用コンテンツとしてiアプリを開発する場合、機種間の差異は深刻な問題である。版を重ねるにつれて仕様の詳細度も増し、実装差異は一般には解決されていく方向ではあるといえるものの、開発期間の短さや、次々と採用される新機能、新メーカーの参入、そして過去の機種との互換性などを考慮とすると今後とも非常に深刻な問題であるといえる。なお、auの携帯電話ではベースとなるクアルコム社製のアプリケーションプロセッサチップおよび採用されるJava VMが統一されているため、メーカ間互換性の問題は原理的にはおき得ない。
DoJaプロファイル Starプロファイル
FOMA2008年秋冬モデル（X-0XA）のうち、iWdgt(iウィジェット)・iアプリオンライン対応機種については、新たにドコモとサン・マイクロシステムズによって共同開発されたStarプロファイルが定義された。ただし、DoJaとはAPIの互換性がないため、Star環境によって動作させるためには別途移植作業が必要となる。待ち受けiアプリなど、Starでは廃止される機能が存在する（iWdgtにて代替させる）。今後の仕様拡張はStarでのみ行われる予定。端末には当面の間はDoJa実行環境も並行して搭載される予定。
DoJaプロファイル 開発
ドコモにより無料で提供されているDoJaエミュレータを使用してパーソナルコンピュータ上で開発し、携帯電話にダウンロードさせて実行するというクロスプラットフォームでの開発形態である。DoJaエミュレータは Forte (Sun ONE Studio)などとの連動機能や、自由ソフトウェアを使用し、Eclipseとの連携を行うことができる。
正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、英: regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列
が正則行列であるのは ad − bc ≠ 0 が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は
で与えられる。
ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。
正則行列 定義
n 次単位行列を En や E で表す。 
環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、
を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。
これを A の逆行列（ぎゃくぎょうれつ、英: inverse matrix）と呼び、A−1 と表す。
正則行列 例
次の複素数体の元を成分にもつ行列 A, B を考える。
このとき AB = E = BA を満たすので、A は正則行列で、B は A の逆行列である。
一方、B に注目すれば B も正則行列で、A は B の逆行列である。
また次の行列 N は逆行列をもたないので、正則ではない。
正則行列 特徴づけ
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して次は同値である。
正則行列 性質
n 次正則行列 A、B について次が成り立つ。
正則行列 判定法
行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる。
具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。
一方で、理論的には行列式を使ったクラメルの公式も重要である。
しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かない。
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、英: linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、英: linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー倍を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。
線型写像 概要
抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。
「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、英: linear operator）と呼ぶことも多い。線型写像のうち、スカラー値へマップするものはしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、英: linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる。
線型写像 定義
V と W とを同じ体 𝔽 の上のベクトル空間とする。V から W への写像 f が、任意のベクトル x, y ∈ V と任意のスカラー c ∈ 𝔽 に対し、
をともに満たすとき、f を 𝔽 上の線型写像 または簡単に 𝔽-線型写像という。考えているベクトル空間および線型写像がどの体上のものであるかが明らかなときには、省略して単に「 f は V から W への線型写像である」などということもある。
上記の二性質を合わせて線型性と呼び、また有限個のスカラー λi とベクトル vi に対して
線型性:
のような形で言及することもある。
線型写像 核・像と全射性・単射性
線型写像 f: V → W に対して
をそれぞれ、f の像 (image), 核 (kernel) という。これらはそれぞれの空間の線型部分空間であり、またこれらの次元
は f のそれぞれ階数 (rank), 退化次数 (nullity) と呼ばれ、有限次元のときには
なる等式を満足する（階数退化次数定理）。
は f の余核と呼ばれる。核および余核は線型写像 f のそれぞれ単射性および全射性からの「ずれ」を測るものと考えることができる。即ち、
線型写像 f ∈ Hom𝔽(V, W) が全単射であるとき、 f は V から W への 𝔽-線型同型写像あるいは 𝔽 上の同型、𝔽-同型であるという。また、ベクトル空間 V, W の間に線型同型が存在するとき、V と W はベクトル空間として同型であるという。
線型写像 線型写像の演算
線型写像がいくつか与えられたとき、それらから新たな線型写像を作り出す操作がいくつか存在する。
線型演算
線型写像 f, f1, f2: V → W および係数体の元 a に対して、スカラー倍 af および和 f1 + f2 を
で定めると、これらはまた V から W への線型写像を定める。
積
f: V → W および g: W → X が線型ならば、その合成 g ∘ f は V から X への線型写像を定める。
反転
線型写像 f: V → W が全単射（したがって同型）であるとき、逆写像 f−1: W → V もまた線型同型になる。
双線型写像 f: V × W → X が与えられたとき、テンソル積空間 V ⊗ W から X への線型写像 φ が
によって誘導される（テンソル積の普遍性）。
線型写像 線型写像の空間
ベクトル空間 V から W への 𝔽-線型写像の全体の作る集合を
などで表す。この集合 L(V, W) は上記の和とスカラー倍によって、それ自身一つのベクトル空間になる。特に W ≔ 𝔽 としたとき、つまりベクトル空間 V 上の線型汎函数の空間
は V の（代数的）双対空間と呼ばれる。特にまた
なる同型が成り立つ。
ベクトル空間 V から V 自身への 𝔽-線型写像 f を V における 𝔽 上の線型変換または 𝔽-自己準同型 (endomorphism) などという。V における 𝔽-線型変換全体の成す集合
は和と合成に関して V 上の 𝔽-自己準同型環と呼ばれる 𝔽 上の結合多元環の構造を持つ。V 上の線型変換 f: V → V が同型であるとき、線型変換 f を V 上の正則線型変換あるいは 𝔽-自己同型 (automorphism) という。V における正則 𝔽-線型変換の全体の成す集合
や GL(V) などと表す。GL(V) は写像の合成を積として V 上の一般線型群と呼ばれる群を成す（単位元は恒等写像、逆元は逆写像で与えられる）。
線型写像 行列表現
成分を体 𝕂 にもつ m 行 n 列の行列をA とするとき、f(x) = Ax (x ∈ 𝕂n) は数ベクトル空間 𝕂n から 𝕂m への 𝕂-線型写像を定める。これとは逆に、V と W が有限次元のベクトル空間で、それぞれの空間の基底が選ばれているならば、各ベクトルをそれらの基底に関する成分表示と同一視できるから、V から W への任意の線型写像は行列として表すことができる。このことは、具体的な計算を可能にするという点で便利である。
V の基底を  、 W の基底をとおく。
Vの要素の線型写像 f: V → W について、線形性の定義から
が成り立つ。各基底の行き先 f(vj) が分かれば、この写像は一つに決まる。このとき
となるスカラー aij を (i,j)-成分にもつ行列を Af とすれば、この写像は、
線型写像 行列表現
と書くことができる。基底の変換
を行うとき、P, Q は正則行列で (v′1, …, v′n) = (v1, …, vn)P, (w′1, …, w′m) = (w1, …, wm)Q であり、
が成立するから、表現行列は Q−1AfP に置き換わる。
適当な基底を固定して各線型写像 f: V → W に対応する行列を Af と書けば、
が成り立つから、特に 𝕂 上のベクトル空間 V, W の 𝕂 上次元がそれぞれ n, m であるとき、
というベクトル空間の同型が成り立つ。また、合成に関しても
（右辺は行列の積）となるから、特に V = W のとき
は結合多元環の同型になる。これらの同型が成り立つことをもって、線型写像が行列によって表現されるという。
線型写像 線型写像の連続性
一般に無限次元のベクトル空間を扱うとき、空間には付加的な構造として位相が定められているのが普通であり、そのような空間では線型写像の連続性を考察することができる。有限次元空間上の線型写像は必ず連続であり、したがって不連続線型作用素の概念は特に無限次元の場合において意味を持つ。
バナッハ空間のようなノルム線型空間では、線型写像がノルムの定める距離に関して連続となることと、そのノルムに関して有界となることとが同値である。
ノルム空間 X 上の可微分函数全体の成す空間 C1(X) に上限ノルムを入れて考えるとき、函数の微分は作用素として有界でない（つまり、0-値函数の微分が常に 0 であるにもかかわらず、値の十分小さい函数でも導函数の値が非常に大きくなるということが起こりうる）。また、可微分函数の微分は必ずしも微分可能ではないから、始域よりも終域のほうが大きく、ゆえに函数の微分は連続にならない。
線型写像 脚注
加法性から斉一次性が従うベクトル空間もあるが、一般にはそのようなことは期待できない。例えば、実数の全体 ℝ は無限次元 ℚ-線型空間とも一次元 ℝ-線型空間とも見做すことができるが、ℝ 上の加法的函数は必ず ℚ-線型写像となり、しかし必ずしも ℝ-線型でない（この場合はさらに連続性を仮定すれば ℝ-線型になる）ことが示される（コーシーの函数方程式の項を参照）。つまり一般には「加法性」と「斉一次性」は独立した制約条件である。
行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、英: determinant）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。
行列式 概要
X を実2次正方行列
とするとき、これは
という平面上の線型変換を定めている。一方で、2つの平面ベクトル u = (u0, u1), v = (v0, v1) に対して、これらが張る平行四辺形の「向きも込めた」面積は
により指定されると考えることができる。このとき A(Xu, Xv) = (ad − bc)A(u, v) が成り立っているが、これは X の定める線型変換によって平面内の図形の面積が (ad − bc) 倍される、と解釈できる。
したがって、実2次正方行列 X に対して（上の記号の下で）det X ≔ ad − bc を対応させると、det(XY) = (det X)(det Y) であることや、det X > 0 であるとき X の定める変換は図形の向きを保ち、反対に det X < 0 であるとき図形の向きは反転させられることが分かる。det の乗法性から X が可逆ならば det X は逆数を持つ数であることが従うが、反対に X が退化した行列（つまり X の定める変換の像が一次元の部分空間）になる場合にはすべての図形の変換後の面積が 0 になることから det X = 0 となることがいえる。こうして、正方行列 X が正則であることと X の行列式が可逆であることは同値であることが分かる。
行列式 概要
3次正方行列  が定める線型変換は、空間内の図形（例えば単位立方体）を平行六面体に写す。このとき、  の行列式  は、その平行六面体の符号付き体積（元の単位立方体から向きが変わっていれば負）に等しい。概要の図に示されるベクトル  を列ベクトルとする行列の行列式（の絶対値）が、それらの張る平行六面体の体積である。
同様にして一般の次数のN次正方行列 X に対し、X の定める線型変換が超立体（N次図形）の超体積を何倍にしているかという符号付き拡大率を X の行列式として定義することができる。これは行列の成分を変数とする多項式の形で書け、二次の場合と同様にこれは正則性など正方行列の重要な性質に対する指標を与えている。一次方程式系が与えられるとき、方程式の係数行列に対してその行列式の値を調べることにより、方程式系の根の状態をある程度知ることができる。特にクラメルの公式により、根が一組である線型方程式系の根の公式が行列式を用いて表示される。