hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
ハフニウム 特徴
灰色の金属（遷移金属）。常温、常圧で安定な結晶構造は六方最密充填構造 (HCP) で、1760℃〜2230℃の間では体心立方格子。比重は13.31、融点は2222 °C、沸点は4450 °C（融点、沸点とも異なる実験値あり）。展性、延性に富む。酸化力のある酸に溶けるが、アルカリには溶けない。高温で酸素、水素、窒素、ハロゲンと反応する。原子価は+2価、+3価、+4価（+4価が最も安定）。化学的、物理的性質はジルコニウムに似る。
ハフニウム 存在
天然ではハフニウムはジルコニウムの鉱物（ジルコン）にジルコニウムを置換して存在する。知られているハフニウムの鉱物（ハフニウムがジルコニウムよりも多い鉱物）はハフノンのみであるが、ジルコンに比べ非常に珍しい。苗木石（岐阜県苗木地方で見出されたもの）は最大7%程度のハフニウムを含む。
ジルコニウムとの分離は極めて難しく、有機溶媒でチオシアン酸ジルコニウムおよびハフニウムを抽出して分離するヘキソン（メチルイソブチルケトン）法と呼ばれる手法が開発された。
ハフニウム 用途
熱中性子の吸収断面積が大きく（これはジルコニウムとは逆の性質）、機械的強度、融点が高く、化学的にも安定で耐食性に優れることから、原子炉の制御棒の材料に利用される。また、酸化ハフニウムは、MOSFETのゲートからのリーク電流対策のための高誘電率 (High-k) 材料として注目されている。
その他、酸化物の沸点がタングステンよりも高いことから、酸化雰囲気下でのプラズマ電極やプラズマアークノズルなどにも用いられる。
また陽極酸化によって鮮やかな発色が得られることから宝飾品にも用いられる。
ハフニウム 歴史
1922年、デンマークのニールス・ボーアは、当時未発見だった72番元素はランタノイドではなくジルコニウムに類似したものだと予言してニールス・ボーア研究所のディルク・コスターとゲオルク・ド・ヘヴェシーにジルコンの分析を提唱。エックス線分析と分別結晶を繰り返すことにより1923年に発見。ハフニウムとジルコニウムは性質がよく似ているため、ジルコニウムとの分離が難しく発見が遅れ、天然元素としては最後から三番目に発見された（二番目はレニウム、最後はフランシウムであり、その後発見された元素は全て合成されたものである）。
桓武天皇
桓武天皇（かんむてんのう、737年〈天平9年〉- 806年4月9日〈延暦25年3月17日〉）は、日本の第50代天皇（在位:781年4月30日〈天応元年4月3日〉 - 806年4月9日〈延暦25年3月17日〉）。諱は山部（やまべ）。
平城京から長岡京および平安京への遷都を行った。また、践祚と日を隔てて即位した初めての天皇である。現代の皇室及び桓武平氏の祖。
桓武天皇 略歴
白壁王（後の光仁天皇）の長男（第一皇子）として天平9年（737年）に産まれた。生母は百済系諸蕃氏族の和氏の出身である和新笠（のちに高野新笠）。当初は皇族としてではなく官僚としての出世が望まれて、大学頭や侍従に任じられた（光仁天皇即位以前は山部王と称された）。その状況が大きく変化するのは34歳の時に称徳天皇の崩御によって父の白壁王が急遽皇位を継承することになってからである。
父王の即位後は親王宣下と共に四品が授けられ、後に中務卿に任じられたものの、生母の出自が低かったため立太子は予想されていなかった。しかし、藤原氏などを巻き込んだ政争により、異母弟の皇太子の他戸親王の母である皇后の井上内親王が宝亀3年3月2日（772年4月9日）に、他戸親王が同年5月27日（7月2日）に相次いで突如廃されたために、宝亀4年1月2日（773年1月29日）に皇太子とされた。その影には式家の藤原百川による擁立があったとされる。なお井上内親王と他戸親王は同日に同じ幽閉先で逝去したが、他戸親王の実姉（桓武天皇の異母妹にあたる）の酒人内親王を妃として、朝原内親王を儲けた。
桓武天皇 略歴
天応元年4月3日（781年4月30日）には父から譲位されて天皇に即き、翌日の4日（5月1日）には早くも同母弟の早良親王を皇太子と定め、11日後の15日（5月12日）に即位の詔を宣した。延暦2年4月18日（783年5月23日）に百川の兄の藤原良継の娘の藤原乙牟漏を皇后とし、彼女との間に安殿親王（後の平城天皇）と神野親王（後の嵯峨天皇）を儲けた。また、百川の娘で良継の外孫でもあった夫人の藤原旅子との間には大伴親王（後の淳和天皇）がいる。
右大臣に藤原是公を、中納言に藤原種継を抜擢し、これに大納言の藤原継縄（是公没後に右大臣）を加えた3名が特に重用され、前期の治世を支えた。
延暦4年（785年）9月24～28日に早良親王を内裏に幽閉し藤原種継暗殺の廉により廃太子の上で流罪に処し、早良親王が桓武天皇のいかなる逆鱗にも怯えないと決意し絶食して配流中に薨去するという事件が起こった。これを受け、同年11月25日（785年12月31日）に安殿親王を皇太子とした。また、同年11月10日、交野柏原（現在の大阪府枚方市）において、日本で初めて、天を祀る郊祀を行った。
延暦6年（787年）11月5日に、交野柏原において、2度目の郊祀を行った。
延暦10年（791年）、藤原乙牟漏の亡きあとに神野親王（嵯峨天皇）の乳母を務めた大秦公忌寸浜刀自女に賀美能宿禰の姓を贈る（続日本紀）。
在位中の延暦25年3月17日（806年4月9日）に崩御。宝算70。安殿親王が平城天皇として即位した。
桓武天皇 治世
平城京における肥大化した奈良仏教各寺の影響力を厭い、天武天皇流が自壊して天智天皇流に皇統が戻ったこともあって、当時秦氏が開拓していたものの、ほとんど未開の山城国への遷都を行う。初め延暦3年（784年）に長岡京を造営するが、天災や後述する近親者の不幸・祟りが起こり、その原因を天皇の徳がなく天子の資格がないことにあると民衆に判断されるのを恐れて、わずか10年後の延暦13年（794年）、側近の和気清麻呂・藤原小黒麻呂（北家）らの提言もあり、気学における四神相応の土地相より長岡京から艮方位（東北）に当たる場所の平安京へ改めて遷都した。
また、蝦夷を服属させ東北地方を平定するため、3度にわたる蝦夷征討を敢行、延暦8年（789年）に紀古佐美を征東大使とする最初の軍は惨敗したが、延暦13年の2度目の遠征で征夷大将軍の大伴弟麻呂の補佐役として活躍した坂上田村麻呂を抜擢して、延暦20年（801年）の3度目の遠征で彼を征夷大将軍とする軍を送り、田村麻呂がアテルイら500人の蝦夷を京都へ護送した延暦21年（802年）に蝦夷の脅威は減退、延暦22年（803年）に田村麻呂が志波城を築いた時点でほぼ平定された。
桓武天皇 治世
しかし晩年の延暦24年（805年）には、平安京の造作と東北への軍事遠征がともに百姓を苦しめているとの藤原緒嗣（百川の長男）の建言を容れて、いずれも中断している（緒嗣と菅野真道とのいわゆる徳政相論）。
また、軍隊に対する差別意識と農民救済の意識から、健児制を導入したことで百姓らの兵役の負担は解消されたが、この制度も間もなく機能しなくなり、9世紀を通じて朝廷は軍事力がない状態になった。ただし、健児導入の目的について、紀古佐美の遠征軍が騎馬を巧みとする蝦夷に太刀打ちできなかったために、従来の中国大陸・朝鮮半島からの沿岸防備を念頭に置いて編成された農民を徴集した歩兵に代わって対蝦夷戦争に対応した騎兵の確保を目指した軍制改革であったとする新説も出されている。
文化面では『続日本紀』の編纂を発案したとされる。また最澄を還学生（短期留学生）として唐で天台宗を学ばせ、日本の仏教に新たな動きをもたらしたのも桓武天皇治下で、いわゆる「南都六宗」と呼ばれた既存仏教に対しては封戸の没収など圧迫を加えている。また後宮の紊乱ぶりも言われており、それが後の薬子の変へとつながる温床となったともされる。
桓武天皇 治世
その他、即位前の宝亀3年には井上内親王と他戸親王の、在位中の延暦4年には早良親王の不自然な薨去といった暗い事件が多々あった。井上内親王や早良親王の怨霊を恐れて延暦19年7月23日（800年8月16日）に後者に「崇道天皇」と追号し、前者は皇后位を復すと共にその墓を山陵と追称したりしている。
治世中は2度の遷都や東北への軍事遠征を主導し、地方行政を監査する勘解由使の設置など、歴代天皇の中でもまれに見る積極的な親政を実施したが、青年期に官僚としての教育を受けていたことや壮年期に達してからの即位がこれらの大規模な政策の実行を可能にしたと思われる。
桓武天皇 后妃・皇子女
ほか、多数（宮人、女嬬が数10人との説あり）
桓武天皇には多くの皇子女がいたが、皇位継承については過去の皇統断絶の反省を踏まえつつ、特定の皇子に皇位継承権を限定しようとしていたとする見解がある（薬子の変#桓武天皇の皇位継承構想を参照のこと）。
桓武天皇 諱・諡号・追号・異名
諱は山部（やまべ）。崩御の後に和風諡号として日本根子皇統弥照尊（やまとねこあまつひつぎいやてりのみこと）が贈られた。また山陵の名をもって柏原（かしわばら）天皇（帝）、天国押撥御宇（あめくにおしひらきあめのしたしらす）柏原天皇とも呼ばれた。
桓武天皇 陵・霊廟
陵（みささぎ）は、宮内庁により桃山陵墓地内にある柏原陵（かしわばらのみささぎ）に治定（京都府京都市伏見区桃山町永井久太郎）されている。宮内庁上の形式は円丘。
上記とは別に、伏見区深草大亀谷古御香町にある宮内庁の大亀谷陵墓参考地（おおかめだにりょうぼさんこうち）では、桓武天皇が被葬候補者に想定されている。
在世中に宇多野（うたの）への埋葬を希望したとされるが、不審な事件が相次ぎ、卜占によって賀茂神社の祟りであるとする結果が出され、改めて山城国紀伊郡の地が選ばれて『柏原山陵』が営まれた。大同元年4月7日に埋葬、翌8日には二十一日の法要が行われた（『日本後紀』）。次いで10月11日『柏原陵』に改葬された（『日本後紀』、『類聚国史』巻35引用大同元年10月2日条及び『日本紀略』大同元年10月11日条）と記録に見え、天皇が崩御したその年のうちに最初の陵とは別の陵が築かれて改葬されたと考えられる。これについて同年起きた水害による影響とする説（『大日本史』平城本紀）、山陵とは別に殯宮が設けられていた説、記事の誤りもしくは埋葬の延期があったとして改葬自体を否定する説、桓武天皇との関係が思わしくなかった平城天皇が亡き父の祟りを恐れて完成した山陵を放棄して改葬を実施した説、『柏原山稜』は二十一日法要のための緊急的で仮設的なものだったとする説がある。
桓武天皇 陵・霊廟
『延喜式』に記された永世不除の近陵として、古代から中世前期にかけて朝廷の厚い崇敬を集めた。柏原陵の在所は中世の動乱期において不明となり、以後、深草・伏見の間とのみ知られていた。元禄年間の修陵で深草鞍ヶ谷町浄蓮華院境内の谷口古墳が考定され、その後幕末に改めて桃山町の現陵の場所に定められた。もっともその根拠は乏しいと見られ、別に桃山丘陵の頂き付近に真陵の位置を求める説、稲荷山南方の山中に求めるものなどなど、諸説がある。このうち桃山丘陵に求める説は、永久元年（1113）『玄番寮牒案』に記す柏原陵の「陵戸田」の分布や、諸文献に見える「稲荷山南野」の記述（『西宮記』、『江家次第』、『拾芥抄』など）から候補地とするには問題があるとする指摘がある。また深草谷口町付近にはかつて「柏原」という地名があったことが『拾遺都名所図会』に見える。以上から近年では稲荷山南方に桓武天皇柏原陵を求める説が盛んである。
桓武天皇 陵・霊廟
『中右記』保安元年（1120）12月25日条には、筆者藤原宗忠が、「荷前使」として「深草（仁明天皇陵のこと）」と「柏原（桓武天皇陵のこと）」とに行ったことが記されるが、それによると両陵は近接していたことが分かる（仁明陵の南を東へ向かっている）。仁明天皇陵は陵寺「嘉祥寺」の中に設けられたが、伏見区深草瓦町の善福寺境内に遺る礎石群がその遺構だと考えられている。『三代実録』貞観8年（866）12月22日条には、仁明陵が「大墓」の西に接していたことが記される。この「大墓」を東西・南北とも11町あった桓武天皇陵のこととする主張があり、とすれば桓武天皇陵は深草瓦町の東方の山中、「深草中ノ郷山町」付近にあったことになる。
桓武陵については鎌倉時代に大規模な盗掘に遭ったことが記録によって知られる。日野資宣の日記『仁部記』文永12年（1275）2月27日条に山陵使の報告書を引用する形で「柏原山稜掘発せらるること、実検言上す。御在所の嶺東西一丈三尺ばかり、南北一丈六尺余掘発する所なり」とあり、またここに「山稜に登ること十許丈、壇の廻り八十余丈」と墳丘の大きさも記される。
皇居では、皇霊殿（宮中三殿の一つ）において、他の歴代天皇・皇族とともに天皇の霊が祀られている。なお、後述するように平安京への遷都を行い、かつ同京最初の天皇となったことにちなんで、明治28年（1895年）に平安遷都1100年を記念して桓武天皇を祀る平安神宮が創祀されている。
桓武天皇 百済との関係
桓武天皇の生母である和新笠の出自は、百済系諸蕃氏族で史姓の和氏であり、中央政権に顕官を出す氏族ではなく、また新笠の母方の土師氏も有力な氏族ではなかった。光仁天皇の皇后の井上内親王が廃され、山部親王（桓武天皇）が皇太子となっても、新笠は皇后にはなれず、従三位・夫人の位までであった。
桓武天皇は即位間もなく、天応元年（781年）4月に母・新笠を皇太夫人とし、従兄弟にあたる和家麻呂は異例の出世を遂げ、祖母方の土師氏も、大枝（大江）朝臣・菅原朝臣などの姓を賜った。延暦8年12月28日（790年1月）に母・新笠が薨ずると皇太后位を贈り、延暦9年（790年）1月に新笠を葬る前日、和氏は百済武寧王の子孫であり、百済王族の遠祖である都慕王（東明王）は河伯の娘が日光により身籠ったものであるとして、これにちなんで新笠に「天高知日之子姫尊」の諡号を贈った。さらに、同年2月に「百済王氏は朕の外戚である」と詔を発し、百済王氏の位階を進めた。百済王氏を外戚と称することで、母・新笠の出身氏族を名目上高貴なものにし、その結果母の身分を上昇させようとしたと考えられる。在位中、百済王氏が本拠としていた交野にたびたび狩猟のため行幸し、百済王氏を重用した。また、後宮に百済王氏の教法・教仁・貞香を召しいれ、百済王明信を尚侍としている。
桓武天皇 百済との関係
平成13年（2001年）12月18日、天皇誕生日前に恒例となっている記者会見において、天皇明仁（桓武天皇の男系子孫）は翌年に予定されていたサッカーワールドカップ日韓共催に関する「おことば」の中で、「私自身としては、桓武天皇の生母が百済の武寧王の子孫であると、『続日本紀』に記されていることに、韓国とのゆかりを感じています。武寧王は日本との関係が深く、この時以来、日本に五経博士が代々招へいされるようになりました。また、武寧王の子、聖明王は、日本に仏教を伝えたことで知られております。」との発言を行った。
この発言は、テレビ各社のニュースでは重ねて報じられたが、日本の新聞各紙の報道は簡素だった。韓国では大きな反響を呼び、「皇室は韓国人の血筋を引いている」、「皇室百済起源論」「日王が秘められた事実を暴露」などの発言意図から逸脱した報道も多く行われたほか、当時の金大中大統領が年頭記者会見で歓迎の意を表するほどだった。なお、天皇明仁は平城遷都1300年記念祝典の挨拶でも、百済とのゆかりについて同様の趣旨を発言している。
単体
単体（たんたい、simple substance）とは、単一の元素からできている純物質のことである。
水素 (H2)、酸素 (O2) などの等核二原子分子や、ナトリウム (Na)、金 (Au) などの純金属が含まれる。
これに対して、水 (H2O) など2種類以上の元素からできている純物質は化合物という。
酸素 (O2) とオゾン (O3)、あるいは赤リンと白リンのように、同じ元素からできた単体であっても、異なる性質を示す場合がある。
このような単体同士の関係を同素体という。
また、その同素体を混ぜ合わせたもの（たとえばダイヤモンドとグラファイトを混ぜ合わせたもの）は、単一の炭素原子からできているが、密度・融点・沸点などの物理的性質が一定にさだまらないので純物質ではなく（したがって単体でもなく）、2種類の単体（炭素の同素体）の混合物である。
化合物
化合物（かごうぶつ、英: chemical compound）とは、さまざまな化学元素の原子が化学結合によって結合した分子（または分子実体）が、多数集まって構成された化学物質である。したがって、1種類の元素の原子だけで構成された分子は化合物とは見なされない。化合物は、他の物質との相互作用を伴う化学反応によって、別の物質に変化することがある。この過程で、原子間の結合が切れたり、新たな結合が形成されることがある。
化合物は主に4種類あり、構成する原子がどのように結合しているかによって区別される。分子性化合物は共有結合で、イオン性化合物はイオン結合で、金属間化合物は金属結合で、配位化合物は配位共有結合で結合する。ただし非化学量論的化合物は例外的で、議論の余地がある境界事例となっている。
化学式とは、化合物分子に含まれる各元素の原子を標準的な元素記号で、下付きの原子数とともに指定する記述方法である。多くの化合物には Chemical Abstracts Service（CAS）によって固有のCAS登録番号が割り当てられている。世界中で、350,000以上の化合物（化学物質の混合物を含む）が製造や使用のために登録されている。
化合物 化合物の定義
2種類以上の原子（化学元素）が一定の化学量論的な比率で結合した物質を化合物（chemical compound）と呼ぶ。この概念は、純物質（純粋な化学物質）を考えると最も理解しやすい:15。化合物には、2種類以上の原子が一定の比率で含まれるため、化学反応によってより原子数の少ない化合物や物質に変換することができる。化学式とは、ある化合物を構成する原子の比率に関する情報を表わす方法で、化学元素を表す化学記号と、原子数を表す添字を使用する。たとえば、水は2個の水素原子と1個の酸素原子が結合した化合物で、化学式は H2O である。非化学量論的化合物の場合、その割合は調合に関して再現性があり、構成元素の定比率を得ることができるが、その割合は整数比ではない（たとえば、水素化パラジウムの化学式は PdHx (0.02 < x < 0.58)）。
化合物 化合物の定義
化合物は、固有の定義された化学構造を持ち、化学結合によって定義された空間的配置のもとで一緒に保持されている。化合物の種類には、共有結合で結合した分子化合物、イオン結合で結合した塩、金属結合で結合した金属間化合物、または配位共有結合で結合した一部の化学錯体がある。純粋な化学元素は、しばしば複数の原子からなる分子を構成しているが（例: 二原子分子 H2 や多原子分子 S8 など）、二原子以上の要件を満たさないため一般に化合物とはみなされない。多くの化合物は、Chemical Abstracts Service（CAS）によって固有の数値識別子、すなわちCAS登録番号が割り当てられている。
真に非化学量論的な物質と、一定の比率を要する化合物とを区別する命名法はさまざまで、ときには一貫しないこともある。多くの固体化学物質（たとえば多くのケイ酸塩鉱物）は、化学物質ではありながら、元素の化学結合を一定の比率で反映する単純な式を持たず、このような結晶性物質は、しばしば非化学量論的化合物（あるいは不定比化合物）と呼ばれる。このような非化学量論的物質は、地球の地殻やマントルの大部分を形成しているが、その組成の多様性は、既知の「真の化合物」の結晶構造内に外来元素が混入していたり、既知の化合物の構造中に構成元素の過不足が起こって構造が乱れることが多いことから、化合物というよりは化合物に類似しているものという主張もある。また、化学的に同一と考えられる化合物でも、構成元素の重同位体や軽同位体の量が異なり、元素の質量比がわずかに変化することがある。
化合物を、有機化合物と無機化合物のいずれかに分類することもあるが、その境界は不明瞭である。基本的には炭素化合物はすべて有機化合物とされるが、炭素の酸化物はその例外として無機化合物とされる。
化合物 種類
分子（molecule）とは、2つ以上の原子が化学結合で結合した、電気的に中性な集合である。分子は、酸素分子（O2）のように1つの化学元素の原子からなる等核分子と、水（H2O、2つの水素原子と1つの酸素原子）のように2つ以上の元素からなる異核分子に分けられる。分子とは、物質のすべての物理的および化学的特性を備えた最小の単位である。
イオン性化合物（ionic compound）とは、イオン結合と呼ばれる静電気力によって結合したイオンからなる化合物である。この化合物は全体として中性であるが、陽イオンと呼ばれる正に帯電したイオンと陰イオンと呼ばれる負に帯電したイオンで構成されている。これらには、塩化ナトリウム中のナトリウム（Na+）や塩化物（Cl−）のような単原子イオンもあれば、炭酸アンモニウム中のアンモニウム（NH+4）と炭酸イオン（CO2−3）のような多原子種もある。イオン性化合物内の個々のイオンは通常、複数の最近接イオンを持つため分子の一部とはみなされず、連続した三次元ネットワーク（通常は結晶構造）の一部とみなされる。
化合物 種類
塩基性イオンである水酸化物（OH−）や酸化物（O2−）を含むイオン性化合物は、塩基に分類される。これらのイオンを含まないイオン性化合物は塩（または塩類）とも呼ばれ、酸塩基反応によって生成することができる。また、イオン性化合物は、溶媒の蒸発、沈殿、凍結、固相反応、または反応性金属とハロゲンガスなどの反応性非金属との電子移動反応により、その構成イオンから生成することもある。イオン性化合物は一般に融点と沸点が高く、硬くて脆（もろ）い。これらは固体ではほとんど絶縁体だが、融解または溶解するとイオンが移動するため導電性を持つようになる。
金属間化合物（intermetallic compound）とは、2種類以上の金属元素の間で秩序のある固体の化合物を形成する金属合金の一種である。金属間化合物は一般に硬くて脆く、高温での機械的性質が優れている。これらは、化学量論的金属間化合物と、非化学量論的金属間化合物とに分類される。
配位化合物（coordination complex、錯化合物とも呼ぶ）とは、配位中心と呼ばれる（通常は金属の）中心原子またはイオンと、配位子または錯化剤と呼ばれる周囲の結合分子またはイオンの配列から構成される化合物である。金属含有化合物、特に遷移金属化合物の多くのは配位化合物である。金属原子を配位中心とする配位化合物を、dブロック元素の金属錯体と呼ぶ。
化合物 結合と力
化合物は、さまざまな種類の結合や力によってつなぎ合っている。化合物内における結合の種類の違いは、その化合物に含まれる元素の種類に依存する。
ロンドン分散力は、分子間力の中で最も弱い力である。これは、隣接する2つの原子の電子が一時的に双極子を形成するように配置されたときに生じる一時的な引力である。また、ロンドン分散力は、非極性物質を凝縮して液体にしたり、さらに環境の温度によって凍結した固体状態にする役割も担っている。
共有結合は、分子結合とも呼ばれ、2つの原子の間で電子が共有されるものである。この形式の結合は、主に元素周期表で近い位置にある元素の間で起こるほか、一部の金属と非金属の間でも見られる。こうした現象は、この結合の機構に起因するものである。周期表で近い位置にある元素は、電子に対する親和力が似ている、すなわち電気陰性度が似ている傾向がある。どちらの元素も電子を供与したり獲得したりする親和性が強くないため、電子を共有することになり、両方の元素がより安定したオクテットを持つようになる。
化合物 結合と力
イオン結合は、元素間で価電子が完全に移動することで起こる結合である。共有結合とは反対に、この化学結合は互いに逆荷電した2つのイオンを生成する。イオン結合をする金属元素は通常、価電子を失って、正電荷を持つ陽イオンとなる。一方、非金属元素は金属から電子を獲得して、負電荷を持つ陰イオンとなる。前記のようにイオン結合は、電子供与体（通常は金属）と電子受容体（通常は非金属）の間で起こる。
水素結合は、電気陰性度が大きな原子に結合した水素原子が、相互作用する双極子または電荷を通じて、別の陰性原子と静電的な結合を形成することで起こる。
化合物 化学反応
ある化合物が、化学反応によって別の化合物と相互作用することで、その化学組成を変換することができる。この過程では、相互作用するそれぞれの化合物で原子間の結合が切断され、その後、原子間に新しい結合が再形成される。概念的にこの反応は、AB + CD → AD + CB と記述することができる。ここで、A、B、C および D は、それぞれ固有の原子であり、AB、AD、CD および CB は、それぞれ固有の化合物である。
四色定理
四色定理（よんしょくていり／ししょくていり、英: Four color theorem）とは、厳密ではないが日常的な直感で説明すると「平面上のいかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗り分けるには4色あれば十分だ」という定理である。
四色定理 定理の正確な定式化
四色定理の直観的な記述、「平面を連続した領域に分割したとき、隣接する2つの領域が同じ色を持たないように、領域は最大でも4つの色を使えば着色できる」を正しく解釈する必要がある。
四色定理を「地図の塗り分け」と解釈すると、例えば飛び地を所属地と常に同じ色で塗らなければならないとした場合、何色あっても足りないといった問題が生じる。具体的には、以下のような簡略化した地図を考えてみる：
この地図では、Aと書かれた二つの地域は同じ国に属している。もしこれらの領域に同じ色を与えたいならば、5つの色が必要になる。なぜなら、2つのA領域は一緒になって他の4つの領域に隣接し、それぞれの領域は他のすべての領域に隣接しているからである。なお別々の領域に同じ色を持たせることは、平面の外側にそれらをつなぐ'ハンドル'を追加することでモデル化できる。
このような構成によって、この問題はトーラス（種数1の曲面）上の地図の色付け問題と等価になる。
よって、直感から離れた表現で記述し直すと「境界線によって囲まれたいくつかの領域からなる平面図形があり、境界線の一部を共有する（隣り合った）領域は異なった色で塗らなければならないとしたとき、4色あれば十分である」となる。
四色定理 定理の正確な定式化
なお、境界線ではなく、点のみを共有する領域は隣り合っているとはみなされず、互いに同色で塗ってもよい（飛び地の場合と同じく、この条件なしではやはり何色あっても足りなくなる。現実の地図では稀だが、有名なものでは米国に1点に4州が接する「フォー・コーナーズ」という地点がある）。また平面だけでなく、球面の場合も同様である（平面の地図に、全周囲となる領域を加え、それを反対側の1点に集めるようにして球にすればよい。逆も同様）。しかし、ドーナツや「繋がったドーナツ」のような、穴がある形状の表面については異なる。
1976年に証明されるまで四色問題と呼ばれていた。未証明の期間が長かったため、現在でも四色問題と呼ばれることがある。
3つの境界線が1点に集まっている場所を考えれば、塗り分けには少なくとも3色必要であることは明らかである。続いて、ある領域の周囲にいくつかの領域がある場合（たとえば、日本地図における長野県のような場合）を考える。周囲の領域の個数が偶数であれば3色で塗り分けできるが（長野県の場合は偶数である）、奇数個の領域で囲まれている場合は3色での塗り分けは不可能で、4色必要である。そこで、4色あればどんな場合でも塗り分け可能なのか？　ということが問題となる。
四色定理 定理の正確な定式化
なお逆に色数が多いほうからは、6色あれば十分である、ということの証明は簡単である。
グラフ理論的に言えば、この定理はループのない平面グラフに対して次のことを述べている。平面グラフに対して、その彩色数はである。
参考例を図に示すが、まず、地図の境界線をグラフの辺、境界線が接続する点をグラフの頂点としたグラフを作る。その双対グラフにおける頂点の彩色が、元の地図の塗分けと同じ問題となる。
また、このような領域の塗り分けが有限の色数で必ず可能となるのは平面（二次元）以下の次元までであり、三次元以上では領域の取り方次第でいくらでも色数が必要な例を作ることが可能である。
四色定理 歴史
1852年に法科学生のフランシス・ガスリーが数学専攻である弟のフレデリック・ガスリーに質問したのを発端に問題として定式化され、19世紀後半になって数学者がその話を聞いて証明を試みたが、多くの数学者の挑戦をはねのけ続けていた。
1879年、アルフレッド・ケンプによる証明が『アメリカ数学ジャーナル』誌上で発表された。この証明は妥当と見なされていたが、1890年になってパーシー・ヒーウッドにより不備が指摘された。しかし、ケンプの証明で使われた論理に沿って、地図を塗り分けるには5色で十分であることが証明された。これは五色定理と呼ばれている。4色で十分かどうかは、グラフ理論における最も有名な未解決問題として残った。
1976年にケネス・アッペルとヴォルフガング・ハーケンは、ハインリヒ・ヘーシュにより考案された「放電法」と呼ばれる手続きを改良し、コンピュータを利用して約2000個の（後に1400個あまりに整理された）可約な配置からなる不可避集合を見出し、四色定理を「証明」するに至った。
四色定理 歴史
これは一応は認められたが、人手による実行が（事実上）不可能なほどの複雑なプログラムの実行によるものであることから、ハードウェアやソフトウェア（コンピュータやそのプログラム）のバグの可能性などの懸念から、その確実さについて疑問視する向きもあった。たとえば、東京女子大の小西善二郎講師は、元のSystem/370は現在入手不可能だが、等価回路で元のアセンブラによるプログラムの欠陥がないとは言えない、としている。
しかしその後、1996年にニール・ロバートソンらによりアルゴリズムやプログラムの改良が行われ、より簡易な手法（従来の放電手続きよりシンプルな放電手続きを考案し、不可避集合の数を1405個から633個に抑えた）による再証明が行われるなど、第三者による複数の改良された証明が行われ、証明は確実視されるようになっていった。2004年にはジョルジュ・ゴンティエが定理証明系Coqを用いて、よりシンプルな証明を行うなど、コンピュータの応用手法の洗練により、より確かな手続きで証明が行われるなどしているため、現在では四色問題は解決していると捉えられている。
四色定理 コンピュータによる証明
四色定理の証明法は次の2段階に分けられる。
実際、もしも塗り分けに5色以上が必要な四色問題の反例となるグラフがあったとしたならば、その中で頂点の個数が最小のものを考える。すると、1.よりこのグラフは不可避集合に属する部分グラフを含む。2.により、この部分グラフを除いた、より頂点数の少ないグラフが既に四色問題の反例を与えることになる。しかし、それは最小の反例をとってきたという仮定に反する。
アッペルとハーケンはコンピュータによる実験を繰り返し、プログラムを何度も書き換えながら、可約なグラフから成る約2,000個のグラフからなる不可避集合を求めた。当時の大型汎用コンピュータであるIBM System/370を1,200時間以上使用したといわれている。
四色定理 コンピュータによる証明
複雑に思える問題に対して簡潔にまとまった比較的短い証明（解答）を、エレガントな証明（解答）と言うことがある。四色定理に対するある種「力業による証明」は、これとは対極にあるものとして揶揄を込めて「エレファント（象）」な証明とも言われた。5色による塗り分けが可能であることの証明が簡潔なものであるのとは対照的である。
その後アルゴリズムは改良されたが、現在でもコンピュータを利用せずに済ませられる証明は得られていない。それどころか完全に自然言語を離れて、プログラムにバグがないことも含めた四色定理の証明全体をコンピュータ上の証明検証系システム（ソフトウェア）Coqによってチェックさせた仕事がある。
四色定理 証明のアイディアの概要
以下の議論はEvery Planar Map is Four Colorable (Appel & Haken 1989)の序論に基づく要約である。欠点はあるが、ケンペの4色定理の最初の証明とされるものは、後に4色定理の証明に使われる基本的なツールの一部を提供した。ここでの説明は、上記の現代グラフ理論の定式化の観点から言い直したものである。
ケンペの議論は次のようなものである。まず，グラフで区切られた平面領域が三角分割されていない場合，つまり，境界にちょうど3つの辺がない場合，境界のない外側の領域も含めてすべての領域を三角形にするために，新しい頂点を導入することなく辺を追加することができる．この三角化グラフが4色以下で着色可能であれば，辺を削除しても同じ着色法が成り立つので，元のグラフも同様である．したがって，三角形化されたグラフの4色定理を証明するには，すべての平面グラフについて証明すれば十分であり，一般性を損なうことなくグラフが三角形化されていると仮定する．
頂点、辺、領域（面）の数を v, e, f とする。各領域は三角形であり、各辺は2つの領域で共有されるので、2e=3fとなる。これはオイラーの多面体定理v- e + f = 2 を使えば、6v- 2e = 12.さて、頂点の次数とは、その頂点に接する辺の数である。v_nを次数nの頂点の数、Dを任意の頂点の最大次数とする、
四色定理 証明のアイディアの概要
.
しかし、12 > 0であり、すべてのi≥ 6に対して6 - i ≤ 0なので、これは次数5以下の頂点が少なくとも1つあることを示している。
もし5色を必要とするグラフがあるとすれば、そのようなグラフは最小であり、どの頂点を取り除いても4色になる。このグラフをGと呼ぶ。もしd(v) ≤ 3 ならば，Gからvを取り除き，小さいグラフを4色化した後，vを再び加え，隣と異なる色を選んで4色化を拡張することができるからである．
先ほどと同様に、頂点vを取り除き、残った頂点を4色に着色する。もしvの4つの隣がすべて異なる色、例えば時計回りの順序で赤、緑、青、黄であれば、赤と青の隣を結ぶ赤と青の頂点の交互のパスを探す。このような経路はケンプ鎖と呼ばれる。赤と青の隣同士を結ぶケンペ鎖があるかもしれないし，緑と黄の隣同士を結ぶケンペ鎖があるかもしれない．連鎖していないのは赤と青の隣同士だとする。赤と青の交互のパスで赤の隣の頂点に接続されているすべての頂点を探索し、これらのすべての頂点で赤と青の色を逆にする。その結果、やはり4色使いになり、vを戻して赤に着色することができる。
四色定理 証明のアイディアの概要
これで残るのは次数5の頂点がGにある場合だけであるが、ケンペの議論にはこの場合の欠陥があった。HeawoodはKempeの間違いに気付くと同時に、5色しか必要でないことを証明することで満足するのであれば、（最小反例が6色を必要とすることだけを変えて）上記の議論を実行し、次数5の状況でKempeの鎖を使って五色定理を証明することができることに気付いた。
いずれにせよ、この次数5の頂点のケースを扱うには、頂点を取り除くよりも複雑な概念を必要とする。むしろ、（Gの）各頂点の次数が指定されたGの連結部分グラフである構成を考えることに議論の形式が一般化される。例えば、次数4の頂点の状況で説明されるケースは、Gにおいて次数4であるとラベル付けされた1つの頂点からなる構成である。上記と同様に、構成を削除して残りのグラフを4色化した場合、構成を再び追加したときに4色化も拡張できるように色付けを修正できることを示せば十分である。これが可能な構成を還元可能な構成と呼ぶ．ある構成の集合のうち少なくとも1つがGのどこかに必ず出現する場合、その集合を不可避な構成と呼ぶ。上の議論は、まず5つの構成（次数1の頂点、次数2の頂点、...、次数5の頂点）からなる不可避的な集合を与え、最初の4つが還元可能であることを示した。
四色定理 証明のアイディアの概要
Gは三角形であり、構成中の各頂点の次数は既知であり、構成内部の辺はすべて既知であるため、与えられた構成に隣接するGの頂点の数は決まっており、それらはサイクルで結ばれる。これらの頂点は配置の環を形成する。環にk個の頂点を持つ配置はk環構成であり、環を持つ配置は環構成と呼ばれる。上記の単純な場合と同様に、リングのすべての異なる4つのカラーリングを列挙することができる。構成のカラーリングに変更することなく拡張できるカラーリングは、最初は良いと呼ばれる。例えば、3つ以下の近傍を持つ上記の単一頂点の配置は、最初は良い配置であった。一般に、リングのカラーリングを良いものに変えるためには、上の4つの近傍がある場合のように、周囲のグラフを系統的に再カラーリングする必要がある。リングの4つのカラーリングの数が多いので、これはコンピュータの支援を必要とする主要なステップである。
最後に、この手順で漸化できる構成の不可避集合を特定することが残る。このような集合を発見するために使われる主要な方法は、放電法である。放電法の根底にある直感的な考え方は、平面グラフを電気的なネットワークとして考えることである。最初に正負の「電荷」が頂点に分配され、合計が正になるようにする。
上の式を思い出してほしい：
四色定理 証明のアイディアの概要
各頂点には6-deg(v)の初期電荷が割り当てられる。次に、ある頂点から隣接する頂点へ、規則に従って電荷を系統的に再分配することで電荷を「流す」（discharging procedure）。電荷は保存されるので、一部の頂点はまだ正の電荷を持っている。規則によって正電荷を持つ頂点の配置の可能性が制限されるので、そのような配置の可能性をすべて列挙すると、避けられない集合が得られる。
やむを得ない集合の中に還元可能でないものがある限り、（他の配置を導入しながら）それを取り除くように放電の手順を修正する。アペルとハーケンの最終的な排出手順は非常に複雑で、結果として得られる不可避的な構成集合の説明と合わせて400ページのボリュームを満たしたが、生成された構成が還元可能であることは機械的に確認することができた。不可避的コンフィギュレーションを記述した本そのものの検証は、数年にわたる査読によって行われた。
ここでは説明しないが、証明を完成させるために必要な技術的な詳細は、はめ込み 可約性'である。
一般に種数 g ≥ 0 の閉曲面（わかりやすく言えば、穴が g 個あるドーナツ）を塗り分けるのに最低限必要な色の数は、1890年にヒーウッドによって
（はフロア関数）
と予想された。この予測が g ≥ 1 に対して正しいことは、リンゲルとヤングスにより1968年に証明された。この式に形式的に平面の場合である g = 0 を代入すれば、4 となる（ただしこれをもって四色問題の証明とすることはできない）。
トーラス（円環、いわゆるドーナツの形、g=1の場合）上のグラフは、7色で彩色可能である。
四色定理 3彩色問題
「与えられた地図Gに対し、Gを3色で塗り分けできるかどうかを決定せよ」という問題を3彩色問題という。四色問題のときと同じく隣り合う土地を同じ色で塗ってはならない。
3彩色問題はNP完全問題の一つであることが知られている。
四色定理 四色問題とジョーク
解決される少し前の1975年に一つのハプニングがあった。数学パズル（en:Recreational mathematics）で有名なマーティン・ガードナーが『サイエンティフィック・アメリカン』の連載コラム「Mathematical Games」において、これが四色問題の反例であるという（五色が必要だと主張する）境界の図を載せたのである。
「なぜか世間の注意をひかなかった6つの衝撃の発見」と題する4月号のこの記事は、実のところエイプリルフールの冗談であり、他の内容もやはりラマヌジャンの定数（ほとんど整数#ラマヌジャンの定数を参照）など、一見びっくりする数学ジョークというものであった。そして「四色問題の反例」は、実はマクレガーによる数学パズル問題で、四色での塗り分けは一見不可能に見えるが、実際に塗り分けを試みればあまり難航することもなく解ける（かもしれない）というものである。そのため、塗り分けができたぞという手紙が千通以上も寄せられることになったという。
純物質
純物質（じゅんぶっしつ、英: pure substance）とは、一定の性質を持つ化学物質のこと。教科書などには純粋な物質や純粋物質と記されていることがある。純物質のうち、特に水素や酸素など単一の元素（厳密には同素体）からのみ構成されるものを単体、水など複数の元素が化合してできたものを化合物という。
純物質を構成しているそれぞれの元素の組成や密度・融点・沸点は一定であり、それらの物理的性質から物質の種類を判別することができる。複数の純物質が混合してできた物質は混合物という。
純物質は物理的方法（濾過・蒸留・再結晶・クロマトグラフィーなど）ではこれ以上分離しない。しかし、化学的方法（電気分解など）を用いれば単体にまで分解することができる。
離散数学
離散数学（りさんすうがく、英: discrete mathematics）とは、原則として離散的な（言い換えると連続でない、とびとびの）対象を扱う数学のことである。有限数学または離散数理と呼ばれることもある。
グラフ理論、組み合わせ理論、最適化問題、計算幾何学、プログラミング、アルゴリズム論が絡む応用分野で、その領域を包括的・抽象的に表現する際に用いられることが多い。また、もちろん離散数学には整数論が含まれるが、初等整数論を超えると解析学などとも関係し（解析的整数論）、離散数学の範疇を超える。
離散数学 離散数学の内容
離散数学の中核を成す分野として次の2つが挙げられる。
組合せ論とは「ひたすら数える」数学である。より一般的にいって、それは有限の数（とはいっても、星の数よりもはるかに大きな数のときもあるが）について考えるということである。その考え方の基本は
ということである。
グラフ理論は（大まかに言うと）点と線の数学である。頂点（点）とそれらの接続（辺）を調べるという単純な考え方が基本となるが、現在、とても勢いのある分野へとなった。グラフ理論の中の多くの問題は、組合せ論に関係がある。例えば、グラフで２頂点の間の路に関する問題がある。この問題は、
ということになる。他にもグラフの彩色に関する問題など組合せ論との関りは深い。
他に、学校教育の領域で教えられているものには行列、集合、順列・組合せ、論理と証明、帰納法と漸化式、数列などがある。それら以外で、金融経済や産業経済の領域で科学技術として利用されているものにはゲーム理論、マルコフ連鎖、社会選択理論、投票理論、ビンパッキング問題、記号論などがある。
離散数学 離散数学で使われる解決方法
離散数学でよく使われる共通の問題解決法がある。それはアルゴリズムによる解決法である。問題の構造をアルゴリズムに置換え、分析することで問題を解決する。アルゴリズムの理論は帰納的な考えを含む。つまり、アルゴリズムの理論自体も離散数学の一角を成しているといえる。アルゴリズムの理論の対照を成すのが実証論である。実証論は整数論やトポロジーなどの伝統的な数学の顕著な特徴を持っている。数学的には実証論的な証明の方が綺麗だといわれる。
離散数学 分野
主要な分野には以下がある。
他の数学の分野の離散版に以下がある。
関連分野に以下がある。
混合物
混合物（こんごうぶつ、英: mixture）とは、単体の複数の種類のものが混じり合ってできたもののこと。化学的には複数の物質が混じり合ってできた物質のことであり、例えば空気は窒素・酸素・アルゴン・二酸化炭素などの混合物である。化学物質の混合物であることを示す場合は、特に化学混合物 (chemical mixture) とも呼ぶ。
また、混合物は海水や空気のように均一に見える均一混合物（homogeneous mixture）と、泥水や岩石のようにそうでないように見える不均一混合物（heterogeneous mixture）にも分けることができる。
混合物の密度・融点・沸点などの物理的性質は、各成分の量比によって変化し、一定である。一般に、混合物の融点は純物質の融点よりも低くなるため、物質の純度を簡単に確かめる方法として用いられている。
混合物を成分ごとに分離・精製し、純物質にする方法としては、濾過・蒸留・抽出・昇華・再結晶・クロマトグラフィーなどの手法が状況に応じて用いられる。例えば、「泥の混じった塩水」から純粋な水を得るためには、まず濾過によって泥を取り除く、蒸留によって水だけを取り出す、などがあげられる。
P≠NP予想
P≠NP予想（ピーエヌピー予想、英語: P is not NP）は、計算複雑性理論（計算量理論）における予想 (未解決問題) の1つであり、「クラスPとクラスNPが等しくない」すなわち「クラスNPの元だがクラスPの元でないような決定問題（判定問題）が存在する」というものである。P対NP問題（PたいNPもんだい、英: P versus NP）と呼ばれることもある。
理論計算機科学と現代数学上の未解決問題の中でも最も重要な問題の一つであり、2000年にクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の一つとして、この問題に対して100万ドルの懸賞金が賭けられた。
P≠NP予想 概要
クラスPとは、決定性チューリングマシンにおいて、多項式時間で判定可能な問題のクラスであり、クラスNPは、Yesとなる証拠（Witnessという）が与えられたとき、多項式時間でWitnessの正当性の判定（これを検証という）が可能な問題のクラスである。多項式時間で判定可能な問題は、多項式時間で検証可能であるので、P⊆NPであることは明らかであるが、PがNPの真部分集合であるか否かについては明確ではない。証明はまだないが、多くの研究者はP≠NPだと信じている。そして、このクラスPとクラスNPが等しくないという予想を「P≠NP予想」という。
P≠NP予想 概要
仮にP＝NPであると示された場合、多項式時間で検証可能な問題は全て多項式時間で判定可能であることを意味し、未だ効率の悪い指数時間アルゴリズムしかないさまざまな分野の問題に効率的な計算アルゴリズムが与えられる可能性が示される。しかし、多くの研究者が長年にわたって多項式時間オーダーのアルゴリズムの開発に取り組んでいるにもかかわらず、そのような効率的なアルゴリズムは見つかっていない。NP問題は数千種類が知られているが、P＝NPが示された途端にそれらが全て多項式時間で解けるとは俄かに信じ難いことである。更に、P≠NPだと仮定して、何らかのNP完全問題の入力nビットについての既知の最良の計算量がO(kn・poly(n,))であるようなときに、せめて基底のkを改善しよう（例えばk=2を1.9や1.8等に）という試みでさえ、ある程度進展した後に行き詰ることが経験的に知られている。これらの観察がP≠NP予想の重要な根拠の一つとなっている。
一方、P＝NPと予想する研究者も皆無ではない。ドナルド・クヌースはその一人であり、次のような論拠を挙げている。
但し彼は同時に次のようにも述べている。
「だが私が最も言いたいのは、たとえP＝NPが証明できたとしても、それが実用上役に立つとは思えないということだ。何故ならそうした証明はまず間違いなく非構成的だろうからだ。Mは存在すると思うが、人類がその値を知ることは決してないだろうとも思う。それどころかMの上界を求めることすら出来ないのではないか」
彼は存在が証明されているが実装は現実的に不可能と考えられているアルゴリズムを例として複数列挙している。
P≠NP予想 歴史
P≠NP問題が定式化されたのは1971年だが、関連する問題やその難しさ、潜在的な影響などについて先駆的な考察があった。
ジョン・ナッシュは、1955年に書いたNSA宛の手紙の中で、十分複雑な暗号を破るには鍵長の指数時間を要するだろうと述べた。もしこれを証明できれば（ナッシュは証明不能と考えていたが）、今日でいうP≠NPを意味することになる。何故なら鍵候補の検証自体は多項式時間で終わるからである。
1956年、クルト・ゲーデルは癌で入院していたジョン・フォン・ノイマン宛に手紙を書いた。その中で彼は定理の証明（今日ではcoNP完全であると判っている）を2次または線形時間で解けるだろうかと意見を求め、もしそれが可能なら数学の新定理の発見を自動化できるだろうと指摘した。
これに対するノイマンの返事は伝わっておらず、ノイマンは翌1957年に死去した。ハルトマニスは、この手紙がノイマンが健康だった間に出されていれば、この問題は既に解けるか研究史がもっと短縮されていたのではないかと嘆いている。
P≠NP予想 歴史
P≠NP予想の面白さと難しさは、複雑性クラスを分離するために利用・考案されてきた様々な証明手法が、証明手法自体の本質的な限界によりP≠NPを証明できないという、不可能性の証明がこれまで幾度も得られてきた点にある。つまり、時代が進めば進むほど証明の可能性が原理的に狭められてきた。だからと言ってP＝NPの方が確からしいと傾いた訳でもなく、新たな証明手法が必要だと考えられてきた点がまた特徴的である。以下、試みられた証明手法と、その手法では証明できない理由。
P≠NP予想 歴史
複雑性クラスを分離するために最初期から主に1970年代末まで利用された証明手法として、集合論の創始者カントールが1891年に考案した対角線論法がある。これは一方のクラスの万能関数であって他方のクラスに属するものを構成し、その対角線部分に着目することで複雑性クラスを分離するもので、P≠EXPTIME(Hartmanis & Stearns (1965))を示す際などに適用された。このような証明手法の特徴として「相対化」と呼ばれる性質の保存がある。複雑性クラス C をオラクル A で相対化するとは、クラスCに属する計算機にオラクル A を付与した新しい複雑性クラス CA を作ることである。ここで、複雑性クラス C,D について対角線論法によって C≠D が示されたとすると、その証明はオラクル A を持つ計算モデルに対しても通用するので、CA≠DA が同時に成り立つ。同様に、対角線論法によって C＝D が示された場合は CA＝DA がどのような A についても成り立つ。
ところが、Baker, Gill & Solovay (1975)は次のことを示した。
この結果により、対角線論法のように相対化が可能な証明手法では P≠NP を原理的に証明できないことが判明した。
P≠NP予想 歴史
1980年代に入り、集合論的手法ではない回路計算量に着目する新しい証明手法が開発された。これは今日「自然な証明」と呼ばれるもので、AC0≠NC1（Furst, Saxe & Sipser (1984)）やmP/poly≠NP（Razborov (1985))などの成果を挙げた。この手法からP≠NPを見る場合は、Pを包含するクラスP/polyに着目してP/poly≠NPを証明することが問題となる（そこから直ちにP≠NPが従う）。
ところが、当初の期待にもかかわらず、P/poly≠NPに向けた進展はぱったり止まってしまい、やがて研究者の間で何か原因があるのではないかと議論されるようになった。そんな中、Razborov & Rudich (1997)はその原因を突き止め、次のことを示した。
「自然な証明」は名前の通り自然な発想に基づく証明戦略であり、それまで得られた複雑性クラスの分離に関する殆ど全ての証明で利用されていた。ところが、そうした証明手法ではP≠NPを原理的に証明できないことが判明したのである。RazborovとRudichはこの成果により2007年のゲーデル賞を受賞した。但し彼らが定義した「自然な証明」には幾つか技術的な条件があることから、この条件を巧妙に回避することで障害を乗り越えようとする研究方向も存在する。
P≠NP予想 歴史
集合論的でも自然な証明でもない証明手法として「算術化」と呼ばれるものがある。これは論理式を有限体または有限環上の多項式に置き換えて考察するもので、IP＝PSPACE（Lund,Fortnow,Karloff,Nisan,Shamir(1989)）やMAEXP  P/poly(Buhrman, Fortnow & Thierauf (1998))、PP  Size(nk)(Vinodchandran (2005))などの成果を挙げた。ここで、複雑性クラスの分離に用いる際は「算術化された対角線論法」を用いることになる。
ところが、こうした証明方法ではP≠NPを証明不可能であることがAaronson & Wigderson (2009)により示された。彼らは「代数化」という概念を導入し、算術化された集合論的方法によって得られた従来の結果は全て代数化できることを示した。一方、P＝NPとP≠NPは何れも代数化できないことを示した。このため、算術化された集合論的手法による結果は全て代数化できるとすると、この方法ではP＝NPとP≠NPは原理的に証明できないことになる。
以上の経緯から現在では、P≠NPを証明するためには、相対化されず、自然な証明ではなく、代数化できない証明手法が必要だと考えられている。そのような証明手法の候補は幾つかあるが、それらもまた何らかの限界が潜在しているかも知れず、証明手法に関する本質的な理解が今後に求められている。
その他の方向性として、P≠NPがそもそもZFCから独立なのではないかと疑う向きがあるが、こちらについても現状では否定的な結果が得られている。例えば、強制法によってP≠NPの独立性を示すことはできないというのがシェーンフィールドの絶対性定理からの帰結である。
P≠NP予想 重要性
NP完全
1971年にスティーブン・クックが定式化した概念で、クラスNPに属し、クラスNPに属する他の全問題が多項式時間帰着される問題をNP完全という。充足可能性問題をはじめとして、数千個以上の問題がNP完全であることが示されている。これらのNP完全問題の一つでもクラスPに属することを示せれば、P＝NPとなる。
NP完全には含まれない問題
NP-(P∪NP完全)となる問題のクラスをNPIとする。P≠NPであれば、NPIは空集合ではないことが示されている。そのような問題の候補としてグラフ同型問題がある。
coNP
NP問題の補問題からなるクラスをcoNPという。NP≠coNPならば、P≠NPとなることが示されている。
P
Pは、ラテン文字（アルファベット）の 16 番目の文字。小文字は p 。ギリシャ文字のΠ（パイ）に由来し、キリル文字のПに相当する。
ギリシャ文字のΡ（ロー）、キリル文字のРは別字であり、どちらもラテン文字のRに相当する文字である。
また、アイスランド語におけるÞ（小文字：þ）も別字であり、これは英語に於ける"th"（ただし、無声子音の方）に相当する。
P 字形
小文字はミーンラインより下に書かれるが、ベースラインを越えて下に突き出す。このため、実質的な大きさは大文字と同等である。半円は円で書かれることが多く、棒は接線となる。筆記体では縦棒を先に書き、折り返して丸を時計回りに書く。このため、棒の上部に前の字からの接続線が、円の下部に次の字への接続線が付く。このとき、丸の下部を棒まで戻さず、丸の下が空いたままにすることがある。
亀甲文字では、となる。
P 音素
この文字が表す音素は、/p/ないしその類似音である。
P 歴史
ギリシア文字・Π（パイ）の右足を曲げた形に由来する。この結果、現在のラテン文字のRに相当するΡと同形になってしまったため、そちらの文字には中央から右下にヒゲを付け加えて区別するようになった。
P P の意味
二十五を意味する数字。三十六進法など、二十六進法以上（参照: 位取り記数法#Nが十を超過）において二十五（十進法の25）を一桁で表すために用いられる。ただし、アルファベットの I と数字の 1 、およびアルファベットの O と数字の 0 が混同し易いために、アルファベットの I と O を用いないことがあり、この場合、J が十八、K が十九、…、N が二十二、P が二十三を意味する。
例：
mph（Miles per hour = マイル毎時 = 時速。アメリカやイギリスで用いられる）
kph（Kilometres per hour = キロメートル毎時 = 時速 = km/h）
dpi（dots per inch = ドッツパーインチ = 1 インチあたりのドット数）
rpm（revolutions per minute = 1 分あたりの回転数。例えばレコード、ハードディスク、エンジンなどの回転速度の単位として使われる。）