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在日韓国・朝鮮人 諸論点
日本国憲法第25条第1項では「すべて国民は、健康で文化的な最低限度の生活を営む権利を有する」と規定され、1950年以降の生活保護法第一条では「この法律は、日本国憲法第二十五条に規定する理念に基き、国が生活に困窮するすべての国民に対し、その困窮の程度に応じ、必要な保護を行い、その最低限度の生活を保障するとともに、その自立を助長することを目的とする」と「国民」との用語が加えられ、生活保護法による権利保障は日本国民に限定されている。中国籍の在日外国人による永住外国人生活保護訴訟では大分地方裁判所は「憲法の要請する社会権の保障は、国家による国民の保護の義務を本来の形態とするため、外国人を保護する義務はその国籍国にある」とする判決を出した。また1965年6月の日韓基本条約批准書交換に際し、朴正煕韓国大統領も「在日同胞の苦労」の原因を「韓国政府の責任」と認め、韓国政府による在日同胞の安全と自由についてより積極的に努力し可能な最大限の保護を行うことを約束した。
生活保護受給者は帰化申請が下りにくい（比較的帰化条件が緩い特別永住者であっても収入の主たる部分が生活保護である場合は帰化は難しい）とも言われる。
在日韓国・朝鮮人 諸論点
1981年の日本の難民条約批准を受けて1982年、国民年金法から国籍要件を撤廃するなどの法整備が行われ在日韓国・朝鮮人も日本の国民年金に加入することができるようになった。さらに1986年の制度改正により国民年金受給に必要であった60歳までの最低25年間の加入期間を、平和条約国籍離脱者は20歳以上60歳未満のうち1961年4月から1981年12月まで在日していた期間も遡って老齢基礎年金の加入期間（通称「カラ期間」）として追加。2017年に施行された「公的年金制度の財政基盤及び最低保障機能の強化等のための国民年金法等の 一部を改正する法律の一部を改正する法律」により加入期間が最低25年から10年に短縮された。
一方、1986年以降の「カラ期間」による救済措置後も加入率は低水準で推移し、年々無年金者が増えている。2004年に大阪府立大学などが行った70歳以上の在日韓国・朝鮮人300人を対象にした生活実態調査では、1926年（大正15年）以前に出生し1986年に既に60歳を超えており加入資格を満たせなかった人は116人、救済対象だった139人も大半が加入しておらず、救済措置の告知不足や低い受給額への不満などに加え、将来帰国することを考え加入しなかったケースもあるとみられている。
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長く2国間で年金の加入期間を相互に通算できる社会保障協定を結んでこなかった政府への批判があり、2004年にようやく「社会保障に関する日本国と大韓民国との間の協定」（日韓社会保障協定）が締結されたが、韓国の国民年金制度（1988年創設、1999年から皆保険）は施行から歴史が浅く平均加入期間が短いことから、当分の間日本の最低加入期間25年の受給要件を満たすことは困難であり、韓国は協定に年金加入期間の通算措置を設けない立場を強く主張、その結果、日英協定と同様に年金加入期間の相互通算措置を取り入れず、二重加入防止に限定した協定を締結している。
他方、救済措置から外れた者や、また告知も不十分であったとして、一部の在日韓国・朝鮮人により訴訟がおこされたが、国民年金が当初日本人だけを対象としていたことについては、「立法府の裁量権の範囲内で、憲法や国際人権規約に反するとは言えない」とする1、2審判決が2009年に最高裁で確定するなど在日韓国・朝鮮人側の敗訴で終わった。
在日韓国・朝鮮人 諸論点
現在、日本政府は「年金など社会保障の責任は国籍の属する本国が行うべき」という立場から、年金を払い込んでいなかった在日韓国・朝鮮人に対して年金支給を行っていない。この日本政府の見解に対して「海外在住の日本人に日本政府は年金を支払っていない」と糾弾し、在日韓国・朝鮮人に対しても年金を支給するように要求している日本の年金については現況届を提出すれば金融機関に振り込まれる）。「日本国籍を有する者で海外に居住する20歳以上65歳未満の者」は日本の国民年金に任意加入することができる。いくつかの地方自治体では法律上年金に加入できなかった在日外国人（低所得高齢者に限る）の申請者に対して福祉給付金を支給する制度を設けている。
また、生活保護を受給する者のなかで（65歳の生活保護受給者では住宅扶助も含めて月額12万1530円）国民年金加入者よりも多額の受給を得ている無年金者も存在する（詳細は#社会保障問題参照）。
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2010年から大きく取り上げられた高齢者所在不明問題では再入国許可を得て日本から出国し故郷で死去したケースも多いのではないかとされる。北朝鮮は、日本で年金生活を送る在日本朝鮮人総連合会（朝鮮総連）系の高齢者に「月3万円あれば、北で豊かに暮らせる」などと宣伝して永住帰国を求め、帰国後は死亡しても日本側に伝えない手法で一人当たり12万円ずつの年金を「着服」していると、消息筋が伝えている。所在不明高齢者に対して厚生労働省は年金差止めの措置を行った。
在日韓国人・朝鮮人は本国参政権を有している。過去韓国人にその権利はなく議論が行われていた。北朝鮮人は在外選挙権・被選挙権双方を有する。韓国においては、兵役、納税義務などが免除される在外国民に住民登録要件不備を理由に参政権を与えないことの違憲性についての議論が行われてきた。また日本における地方参政権論争も存在する。
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韓国民短期滞留者はたまたま海外に在住している自国民であり、国民の権利として不在者投票権を要求することに国民的合意が得られやすいことに対し、永住権保有者は、兵役、納税義務などが免除されており、住民登録要件不備を理由に参政権を付与することには慎重だった（在日永住権者は37歳まで徴兵が延期され、37歳になると兵役の義務はなくなる。1962年10月、「在外国民の兵役免除」の項目が兵役法に法律第1163として追加された）。一方、大韓民国憲法#第二章 国民の権利および義務第24条は「すべての国民は選挙権を持つ」としており、これに準拠して永住権保有者にも参政権を保障するべきとの議論が続いていた。
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これに対し、韓国憲法裁判所は2007年5月、海外の駐在員や留学生はもちろん、外国での永住権者も韓国の国籍を持ってさえいれば、韓国国内に住民登録がなくても選挙権と国民投票権を与えるべきという決定を下し、1999年3月の決定を覆した。また、憲法裁判所は2008年12月31日までに国会で必要な法改正を行うよう命じた。この決定の理由として「情報通信技術の発達」や「経済力の伸張」など10項目を挙げた。また、納税や国防の義務が免除されていることを問題とする考えについても、大韓民国憲法は参政権や平等権などの国民の基本権行使を、納税と国防の義務に対する反対給付として想定していない上、在外国民であっても兵役の義務を果たすことができ、また兵役が義務付けられていない女性も投票権を有しているとする原告の訴えを認めこれを退けた。
これらの動きを受けて、海外短期滞留者をモデルとした不在者投票の準備作業が行われた。2006年12月には外交通商部と共同で50以上の海外公館で模擬投票を実施し、参加者の80%は「投票権を行使する」と回答した。この場合、実際の日本地域の短期滞留者は82000人になり、そのうち21000人が投票すると推算された。
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与野党とも在外韓国人に参政権を付与する方向では一致しており、2007年2月末までに中央選挙管理委員会や与野党から5つの選挙法改正案が韓国国会に上程された。しかし、在外投票の導入方法をめぐって紛糾し、当初目指していた2007年の大統領選挙からの在外投票導入は困難となった。海外永住者は一般的に保守傾向が強いとされており、これを取り込みたい保守派であるハンナラ党と、若年層にも支持基盤を持ち留学生や、外交官などの一時滞留者たちを取り込みたいウリ党の党争によるものと指摘された。
2009年2月の韓国国会は法案を可決して2012年の国政選挙から投票できる見通しとなったが、祖国での参政権に対する在日社会の関心は低く、そのメリットを知ってもらおうと、原告団（李健雨）を起源とした兵庫と大阪の在日韓国人で「在日韓国人本国参政権連絡準備会」を設立されPR活動が行われた。
また、海外に主な居住地を定めていても韓国内の居住地を法務部に登録していれば投票できるように法改正されたため、2010年6月2日の第5回韓国全国同時地方選挙では、在日韓国人1世も含む「母国に住む在日韓国人」も、一足早く生まれて初めて祖国での選挙を体験した。
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2012年大韓民国大統領選挙では、在日有権者462,509人の内、37,342人が選挙人登録し、25,312人が投票を行い、投票率は67.8%であり、投票率は2012年4月の第19代総選挙 (大韓民国)の52.6%から15.2%上昇したものの、在外投票率平均の71.2%を下回った。大阪、ロサンゼルス、北京の在外韓国人に対して行われた調査では、在外選挙の公正性については10点満点で平均7.1点に対し日本では6.6点、「在外選挙が韓国の政治発展に役立つか」との質問には平均8.1点に対し日本では6.7点に留まった。在外投票全体では朴氏の得票率は文氏より13.9ポイント低い42.8%だったが、日本では回答者の大多数が20-40代であったにもかかわらず朴氏の支持率(70.0%)が文氏(30.0%)より大幅に上回った。この調査結果について「在日韓国人は韓国人として差別を経験したのに加え、朝鮮総連に警戒心を持っており、母国の政治的な安定を望む気持ちから米国と中国に比べ、保守色が強い」と説明された。
2017年大韓民国大統領選挙では登録・申請数が3万8009人、投票者数2万1384人で投票率56.3％であった。
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17歳以上の在日朝鮮人公民は海外にいる者も北朝鮮国政への選挙権、被選挙権ともに有しているため、2009年3月の北朝鮮最高人民会議代議員選挙では、在日朝鮮人からは徐萬述朝鮮総聯中央本部議長をはじめとする朝鮮総連幹部や朝鮮大学校校長などの6名が代議員(国会議員)に選出されている。
長年、在日韓国・朝鮮人を日本社会の構成員として取り扱おうという主張があった。この場合「日本社会の構成員」という語は、立場によって様々に意味を変える。「社会の構成員」と言うかぎりならば、これには単なる実態の反映でしかないという見方もある。しかしこれが、地方参政権の付与に至ると、議論が分かれる（外国人参政権を参照）。
これは単に保守的な自由民主党系支持層と左派的な日本社会党系・日本共産党それぞれの支持層で別れているわけではなく、それぞれ、民族の出自を重視するグループと、近現代国家における法定国籍主義に基づき民族的出自と政治思想を切り離すべきと考えているグループに分かれる。
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在日本大韓民国民団は、2009年8月30日投票の第45回衆議院議員総選挙から外国人参政権付与を掲げている候補者を支援しており、集会を通じて、民団の構成員に選挙への支援を指導している。一方、朝鮮総連では在日朝鮮人はれっきとした独立国である北朝鮮の海外公民であるので、民団の外国人参政権獲得運動は韓国政府の棄民政策や、日本政府による同化政策に追随するものだとしてこれに反対している。
李鍾元立教大学法学部教授は、日本の右傾化に対処する方法の一つとして、在日韓国人の地方参政権獲得とともに日本社会を内側から変化させる方法を指摘し、韓国が先に永住外国人に地方参政権を付与した措置を高く評価した。
在日韓国人地方参政権獲得運動の支援の一環として韓国で外国人参政権付与が行われるなど、韓国においてもこの運動は支持されている。また、地方参政権問題は今まで抑圧されてきた在日韓国人同胞の恨をはらす契機とも見ることができ、日本政府の歴史問題解決への前向きの姿勢の表明として歓迎する意見もある。
民団の主導による、在日韓国人参政権付与を求める活動があり、千葉県市川市では、民団市川支部の組織的な「巻き返し工作」により、2010年1月29日の市議会総務委員会で可決されていた永住外国人への地方参政権の付与に反対する意見書を、翌20日の本会議で否決させることに成功した。
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パチンコ産業に携わっている就業者の在日韓国・朝鮮人比率は他産業より高く、2007年12月27日の中央日報の記事によると、業界経営の90%ほどを在日韓国人と朝鮮総連系が掌握している。ただし、パチンコ業界に占める在日韓国・朝鮮系の割合については諸説あり、2008年1月10日のハンギョレの記事ではパチンコ業界の6割が在日韓国・朝鮮系とされ、また、別冊宝島『嫌韓流の真実』の野村旗守の記事によると、1949年に全国で5千店しかなかったホールが、3年後に4万店以上に激増し凄まじいブームが起き、はじめの頃は日本人経営者のほうが多かったが、「射幸心を煽る」との理由で業界に規制を受けてから、日本人業者の多くが撤退してしまい、規制後は7割を在日が占めるようになり、この比率は現在も変わっていないという。民団傘下の「在日韓国商工会議所」では、所属する1万社のうち約7割がパチンコ業に係わっている。パチンコ最大手のマルハンの創業者が元在日韓国人1世の韓昌祐であることからもパチンコ業界内の在日韓国・朝鮮人の立場の強さがうかがえる。このため「パチンコはその実体が賭博であるにもかかわらず賭博として規制されておらず、事業で生まれた収益が北朝鮮へ送金され独裁体制やミサイル・核開発を支えている」という指摘がある。2008年、在日本大韓民国民団顧問のチョン・ドンファは、「朝鮮総連はパチンコ事業で資金を集めたが、民団はどのようにしたのか?」と記者に問われると「民団の主な事業もパチンコだ。朝鮮総連は収入の全てを組職化して北に送った。」と証言している。ランド研究所上級経済顧問のチャールズ・ウォルフ・ジュニアによると、日本から北朝鮮への送金は年200億円以上で、その主な資金源はパチンコであり、30兆円産業から朝鮮人事業主が手にした純収入分の2%が合法、非合法を問わず送金されたとするとそれだけで200億円を超えると推定している。また、日本国内では在日韓国人のパチンコ店経営者から菅直人内閣総理大臣への政治資金が提供されていることが報じられた。
在日韓国・朝鮮人 諸論点
ただし、『朝日新聞』2011年6月7日朝刊15面記事によると、90年代半ばに売り上げ30兆円・店舗数1万8000店は、2010年までに売り上げ20兆円・店舗数1万2000店の3分の2に激減しており、現在のパチンコ店経営者の国籍は、大韓民国が5割、日本が3割、中華人民共和国・台湾が1割、朝鮮（北朝鮮）籍が1割で、パチンコ＝北朝鮮というのは正しい批判ではないとしている。
在日大韓民国民団は李明博韓国大統領にパチンコ産業への規制強化により、在日同胞への影響が出ているので小沢一郎に働きかけるようロビー活動を行い、李は小沢に取り組むよう求めた。
警察庁統計において、「定着居住者（永住者、永住者の配偶者等、特別永住者）・在日米軍関係者・在留資格不明の者」以外の外国人を来日外国人、それ以外はその他の外国人と定義している。
2023年の全外国人の刑法犯・特別法犯の検挙人員数は 1位：ベトナム（4333人）、2位：中国（3464人）、3位：韓国・朝鮮(2246人)、4位：フィリピン(1046人) 、4位：ブラジル(1046人) となっている。
以下は警察庁統計に基づく。
在日韓国・朝鮮人 諸論点
森田芳夫「数字からみた在日朝鮮人」（『外務省調査月報』第1巻第9号 1960年12月）によると、当時の在日朝鮮人の犯罪率は日本人と比較して5倍とされている。また、若槻泰雄「韓国・朝鮮と日本人」では10倍前後と高い水準とされている。1959年の帰国事業に関連する公式文書『北朝鮮関連領事事務』（アジア局北東アジア課、1959年1月30日 - 8月8日）に、政府・世論共に在日韓国朝鮮人の犯罪率を問題視している旨が記されており（日本人の6倍）、帰国事業に対する日本政府の姿勢に影響を与えていたとする指摘がなされ、この点を問題視する立場がある。
1965年、日韓基本条約締結に伴い締結された在日韓国人の法的地位（協定永住）について定めた日韓法的地位協定第三条は、以下の事由に該当しない限り日本国からの退去を強制されないとされた。
その後、約35万人もの在日朝鮮人が在留資格を獲得するために韓国籍へと切り替え、民団側は大きく勢力を伸ばした。
1991年、入管特例法により韓国人のみが対象となっていた協定永住が朝鮮籍、台湾籍の永住者も合わせて特別永住許可として一本化された。特別永住者は退去強制となる条件が他の外国人よりも限定される（入管特例法第22条）。具体的条件は次のとおり。
在日韓国・朝鮮人 諸論点
1970年代後半、日本で犯罪を犯した在日韓国人20人を韓国に強制退去させようとしたが、韓国政府は受け入れを拒否した。一方、法務省入国管理局によれば、1978年、初めて韓国・朝鮮籍2人が退去強制により送還され、その後1988年までにさらに17人が送還されたとの記録がある。国交のない北朝鮮への送還は考えにくく、韓国に送還されていた可能性が高いという。
2025年1月1日時点での韓国人不法残留者数は10,600人（男 4,202人、女 6,398人）で全体（7万4,863人）の14.2%であり3番目に多かった。このうちビザが免除される短期滞在の後不法滞在者となった者は10,105人で全体の90%以上を占めた。2024年の韓国人上陸拒否者数は382人で、構成比では総数7,879人中4.8%で8番目。
日本の暴力団には韓国人が多数存在する。住吉会の元暴力団員によれば、日本全国で数百人の韓国人暴力団員が活動しており、主に韓国籍が運営するパチンコ店やマッサージ店からみかじめ料を徴収している。組織で足場を固めると、韓国から人員を連れてきて配下に置くこともあり、日本で暴力団組織支部のトップに上り詰めることもある。また、韓国で指名手配され、日本に密入国して活動する暴力団員もいる。日本で活動する韓国人暴力団員の数は2016年より今後は増えないとされる。聯合ニュースの取材に答えた元暴力団員は、最近は日本に比べると治安が悪く物価は安くて儲けやすい中国や東南アジアなどでカジノに関わる仕事に行く暴力団員が増える傾向にあるとしている。
また朴正煕政権およびKCIAは柳川次郎など韓国系暴力団幹部と懇意にして、金大中事件など数々の秘密工作に関わらせていた。
1986年にカプランとデュブロは、日本最大の広域暴力団である山口組の構成員のうち、約10%の者が在日朝鮮人であると書籍に記した。指定暴力団会津小鉄会四代目会長で在日韓国人だった高山登久太郎は「ヤクザの世界に占める在日韓国・朝鮮人は三割程度ではないか、しかし自分のところは約二割だ」と発言している。元公安調査庁調査第二部長の菅沼光弘が、2006年10月19日に外国特派員協会で行った講演で、六代目山口組若頭の髙山清司から聞いた話として、暴力団構成員のうち6割が同和（被差別部落）、3割が在日韓国・朝鮮人、1割が同和でない日本人であり、右翼活動により収益を上げているという見解を示した。暴力団系右翼団体の構成員である在日韓国・朝鮮人が実行犯として逮捕された事件では村井秀夫刺殺事件が有名である。
元山口組顧問弁護士の山之内幸夫は「ヤクザには在日朝鮮人や同和地区出身者が多いのも事実である」「山口組は部落差別や在日朝鮮人差別の問題をなしにしては語れない」と述べた。
一方猪野健治は、『やくざと日本人』の中で、昭和中期の関西や北部九州の部落の悲惨な現状を取り上げ、日本社会に「やくざとなるか土方になるか」しか、選択肢の無い若者が多く存在する事がやくざの温床であるという見解を示した。また自身の取材から得た印象として、もとより体系的な統計があるわけではないが、と断りながらも、現在の暴力団員の半数は部落も在日朝鮮人も出自に持たない「市民社会からのドロップアウト組」だろうと推測している。事実、2023年の矯正統計によれば、その年に刑務所に入った受刑者のうち暴力団加入者の国籍別比率は、日本国籍641人で約98.1%、韓国・朝鮮籍9人で約1.3%となっている。
2008年（平成20年）の警察庁による発表では22の指定暴力団の内、七代目酒梅組の金山耕三朗こと金在鶴、極東会の松山眞一こと曺圭化、松葉会の牧野国泰こと李春星、三代目福博会の長岡寅夫こと金寅純、九州誠道会の村神長二郎こと朴植晩が代表者として紹介されている。また2010年7月20日、東京都公安委員会は4,800人の構成員を擁する指定暴力団稲川会の代表者として清田次郎こと辛炳圭を指定した。
男性の韓国国民には兵役があるが、海外で出生・6歳未満で出国し海外で生活するもの・満17歳まで両親と共に海外で暮らし国籍、市民権、永住権を取得したもの、韓国国内での小中高の在学合計が3年未満の韓国国民は兵役が免除される在外国民2世制度がある。
本人が永住帰国申請した場合は在外国民2世の地位喪失と兵役義務付けとなる。本人の父または母が永住帰国申請した場合、2018年5月29日以降本人が合計3年を超えて滞在した場合も在外国民2世の地位喪失と一般国外移住者として管理される。
一般国外移住者の場合本人が永住帰国申請した場合、1年間の内6ヶ月以上滞在した場合、韓国で就職などの営利活動を行った場合は兵役延期が取り消され兵役義務が発生する。
大韓民国では、国民に兵役を付与する徴兵制が施行されている一方、国外を往き来する船舶の船員と国外に滞在または居住している人、犯罪によって拘束されている人や刑の執行中の人、高等学校以上の学校に在学中の学生、研修機関で所定の過程を履修中の人、国威発揚のための体育分野優秀者は、徴兵検査を延期することができる。また、大韓民国軍の兵役義務は40歳で終了する。よって、海外に居住する韓国人は徴兵検査を受けなくてもよく、40歳以降に韓国に帰国しても徴兵義務は課されない。特段に在日韓国人が区別されているわけではない。
北朝鮮問題への注目（拉致事件、核保有問題など）に伴って、在日韓国・朝鮮人、とりわけ朝鮮籍の者への圧力が高まったことに対し、在日韓国・朝鮮人の立場を『親族を北朝鮮政府に人質同然にされ、不本意ながら北朝鮮政府の意のままに操られている人たち』として同情視する向きもある。
一方で「在日朝鮮人は北朝鮮国政の選挙権・被選挙権ともに有しており、在日朝鮮人からは朝鮮総連議長や朝鮮大学校校長などの6名が北朝鮮の国会議員に選ばれており、日本からの送金もかなりの額に上るため、在日朝鮮人側の責任が皆無とは言い難い」との批判もある。また、朝鮮総連は本国の見解に乗っ取り、拉致問題を「解決済み」、「日本側にこそ問題がある」との立場を固守している。北朝鮮のミサイル発射に関連してチマチョゴリ切り裂き事件なども起きた。
在日韓国・朝鮮人は北朝鮮の核兵器や生物兵器などの大量破壊兵器開発のために輸出規制されている物品を北朝鮮に不法に輸出する北朝鮮タンクローリー不正輸出事件や凍結乾燥機不正輸出事件などの事件を引き起こしている。中には、北朝鮮のスパイに協力をした「土台人」として検挙された者もいる。
東京大学大学院で博士号を取得したロケット開発権威の在日朝鮮人は在日本朝鮮人科学技術協会の顧問として日本の技術を不法に入手し、頻繁に北朝鮮に渡り技術指導を行い、ミサイル発射時には現地で立ち会っている。
多項式時間
多項式時間（たこうしきじかん）とは計算理論において多項式で表される計算時間。
多項式時間のアルゴリズムとは、解くべき問題の入力サイズに対して、処理時間の上界としての多項式で表現できるものが存在するアルゴリズムを指す。問題入力サイズの増大に対する、処理時間の増大を表すものであることに注意されたい。
たとえばバブルソートの処理時間は要素数に対して要素の比較・交換を行う回数は高々  である。したがって、この場合の最悪計算量のオーダーは''O''記法を用いてと表される。 またクイックソートの期待計算量のオーダーは、最悪計算量のオーダーはである。
多項式時間 定義
多項式時間アルゴリズムと多項式時間アルゴリズムが存在する問題クラスについて、簡単に記す。
Aをアルゴリズムとする。Aが以下の性質を満たす時、Aは多項式時間アルゴリズムであるという
ある多項式l(k)があって、任意のkと任意のkビットのデータxに対し、Aにxを入力した時にAが停止するまでのステップ数はl(k)以下である。
なお「多項式時間アルゴリズム」と言った場合、決定的アルゴリズムのみを多項式時間アルゴリズムとして認める場合と、確率的アルゴリズムをも許す場合とがある。
決定的な多項式時間アルゴリズム（上で定義した）で解ける判定問題の集合をクラスPと呼ぶ（判定問題以外の問題はクラスPに含まれないことに注意）。
多項式
数学において、多項式（たこうしき、英: poly­nomial）とは、数と不定元（変数とも呼ばれる）をもとにして、和と積によってつくられる式のことである。たとえば、3x3 − 7x2 + 2x − 23 は x を不定元とする多項式である。多項式は不定元を複数もつ場合もある。
本記事では多項式とその基本的な演算について述べ、関連して代数方程式、因数分解、多項式関数といった事項に触れる。関連事項についての詳細は個別記事に譲る。なお、一部の記述は1変数多項式（不定元を1個だけもつ多項式）に特有の内容である。
代数方程式とは多項式によって表される方程式であり、これは特に1変数の場合には因数分解と密接に関係している。また、代数方程式は数学における最古の問題のひとつで、その解法の追究は複素数や群といった概念の発見をもたらした。
多項式関数とは多項式によって与えられる関数のことである。多項式は数学や他の科学にさまざまな形で現れるが、その背景には、複雑な関数の特徴をとらえる際に多項式関数による近似が頻繁に用いられることがあるといえるだろう。
多項式 基本用語
不定元 x に関する（1変数の）多項式とは、
という形の式のことをいう。これを
とも書く。ただし、n は非負整数で、an, an − 1, …, a0 は数である。各々の akxk (k = 0, …, n) のことを項（より詳しくは k 次の項）とよび、ak をその項の係数という。特に、0次の項 a0 は定数項といわれる。たとえば、多項式 3x3 − 7x2 + 2x − 23 の項とは 3x3, −7x2, 2x, −23 のことで、−7x2 の係数は −7 であり、またこの多項式の定数項は −23 である。
項を並べる順番は変更してよい。たとえば −7x2 − 23 + 2x + 3x3 は 3x3 − 7x2 + 2x − 23 と同じ多項式である。また、0 を係数とする項は省略してもよい。たとえば x2 + 0x − 1  と x2 − 1  は同じ多項式であり、0x2 + 4x − 2  と 4x − 2  も同じ多項式である。
−3x や 2x5 のような、唯一の項によって表される多項式のことを単項式という。また、数 a0 を多項式とみなすこともできる（定数多項式）。
多項式 基本用語
定数多項式 0 を除くすべての多項式 f は、anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0（ただし an ≠ 0）という形に表すことができる。このように表したとき、n のことを多項式 f の次数とよび、また f は n 次多項式であるという。さらにこのとき、n 次の項 anxn は最高次の項ともいわれる。
定数多項式 a0 の次数は a0 = 0 の場合を除き 0 である。0 の次数は、定義しないか、あるいは −∞ と定めることが多い（零多項式）。
なお、多項式の係数としてはさまざまな範囲の数を用いることができる。どういった範囲の数を採用しているか明示するために、「実数を係数とする多項式」のような表現が用いられることがある。集合 K に属する数を係数とする多項式のことを「K 上の多項式」ともいう。係数の集合 K としては体または可換環を選ぶことが多いが、必ずしもそれらに限定されない。
高々 n 次の多項式（たかだかえぬじのたこうしき）は次数が高々 n の多項式である。
n 次多項式は n 次の係数 an が an ≠ 0 に制約されている。この制約を外したものが「高々 n 次の多項式」である。応用数学では「上限 n 次の多項式で近似する」といった問題設定がしばしばなされるため、n 次多項式とは区別してこの概念が用いられる場合がある。
多項式 基本用語
不定元 x, y に関する2変数の多項式とは、たとえば −2x3y2 + x4 − 17xy2 − 4 のように、有限個の axkyl（k, l は非負整数、a は数）の和として表される式のことをいう。同様にして、任意の正整数 m について m 変数の多項式の概念を考えることができる。2変数以上の多項式は、一般に多変数の多項式とよばれる。
K を数の集合とする。m 個の不定元 x1, x2, …, xm に関する K 上の多項式 f は、m 個の非負整数の組全体の集合を ℤ≥0m で表すとき、ℤ≥0m のある有限部分集合 I を用いて
と表すことができる。ただし各 ak1k2…km は K の元である。同じことを、多重指数記法を用いて
と書くこともできる（ここで x = (x1, x2, …, xm) ）。各々の ak1k2…kmx1k1x2k2…xmkm （多重指数記法では akxk）を多項式 f の項とよぶ。なお、1変数多項式の場合と同様に、0 を係数とする項は省略して書いてもよい。
多項式 基本用語
m 変数の多項式 f を上記のように表したとき、項 ak1k2…kmx1k1x2k2…xmkm の次数とは、通常 k1 + k2 + … + km のことである。また、0 を係数とする項をすべて省略した形で f を書き表したときに、現れる項の次数のうち最大のものを f の次数とよぶ。たとえば、（不定元 x, y に関する）多項式 −2x3y2 + x4 − 17xy2 − 4 の次数は 5 である。
「多項式」と「整式」は、数学の文献では同じ意味で使われることが多い。しかし一般にはそうでない流儀もある。たとえば、「整式」を本記事でいう多項式の意味で用い、「多項式」は単項式でない整式の意味で用いることがある。
また、現在の日本の中等教育課程では、本記事でいう多項式を「整式」とよび、「多項式」の語は副次的に用いる習慣がみられる。たとえば、中学校学習指導要領では「多項式」の語は「単項式」との対比においてのみ使われている。高等学校学習指導要領には「多項式」は現れず、もっぱら「整式」の語が使われている。
多項式については、「不定元」と「変数」という二つの言葉は基本的に同じ意味で使われる。
不定元（変数）x に関する多項式 f があるとき、この f を多項式とみなす限りにおいては、x は単なる形式的な記号にすぎず、値を持ったりはしない。その意味で、x を「変数」とよぶのは不適切だと考えることもできる。一方で、f を多項式関数（後述）とみなした場合は x は変数となる。多項式と多項式関数は異なる概念ではあるけれども、両者には密接な関係があることから、多項式についても「不定元」でなく「変数」という言葉を使う人も少なくない。不定元も参照すること。
多項式を記号で表す際の記法には、たとえば f と f(x) のように、不定元を表す文字を添えるものと添えないものがある。これらは両方とも広く用いられる。
多項式 多項式の演算
同じ不定元を持つ二つの多項式 f, g について、それらの和 f + g および積 fg とは、それぞれ、形式的な和や積を、加法・乗法の交換法則および分配法則が成り立つものとして整理して得られる多項式のことである。1変数の場合について式で表すと次のようになる。不定元を x として、 および  とおく。さらに、am + 1 = am + 2 = … = 0, bn + 1 = bn + 2 = … = 0 と定めておく。そのとき、和は
となり、積は
となる。
多項式 f と数 c に対し、f の c 倍（一般には定数倍ないしスカラー倍という）とは、f の各項の係数を c 倍して得られる多項式である。これも1変数の場合について式で表すと、 に対して
である。
これらの演算は、多項式 f, g を多項式関数（後述）とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍と対応している。また、多項式の乗法は、数列に対する畳み込みとみることもできる。
可換環 R 上の不定元 x1, x2, …, xm に関する多項式全体の集合は、上述の演算によって R 上の多元環になる。これを（x1, x2, …, xm を不定元とする）R 上の m 変数多項式環といい、記号 R[x1, x2, …, xm] で表す。
多項式 多項式の演算
多項式の除法とは、体 K 上の（1変数）多項式 f, g（ただし g ≠ 0）に対して、次の2条件をみたす多項式 Q, R を求める手続きである。
これらの条件をみたす多項式 Q, R の組は必ず存在し、しかも一意的である。Q のことを f を g で割った商、R のことを余り（または剰余）という。f を g で割った余りが 0 のとき、すなわち f = gQ をみたす Q が存在するとき、f は g で割り切れるという。
より一般に、単位元をもつ可換環 R 上の多項式 f, g についても、g がモニック多項式（最高次の項の係数が 1）ならば、同様にして f を g で割った商および余りを定めることができる。
多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理、ユークリッド環も参照せよ。
なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式としての商 f/g を考えることもできる。両者は異なるものである。
多項式 多項式の演算
1変数多項式  に対して、その微分とは、
で定められる多項式 f′ をつくる演算である。f′ のことを f の導多項式という。同様にして、多変数多項式についても、各々の不定元に関する微分を考えることができる。
実数または複素数を係数とする多項式 f については、それを多項式関数（後述）とみなして微分することもできるが、上述の多項式としての微分は、この関数としての微分（多変数多項式の場合には偏微分）と対応している。関数としての微分と区別するため、多項式としての微分を形式的微分とよぶことがある。形式的微分には、多項式の係数が実数や複素数でなくても問題なく定義できるという利点がある。
多項式 f に対して、導多項式が f に一致するような多項式 F を求める操作のことを（形式的）積分という。
多項式 代数方程式
多項式の不定元を数に置き換えることを代入という。たとえば、多項式 f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 の不定元 x に数 c を代入することで
という数が得られる。
m 変数多項式 f(x1, …, xm) を用いて f(x1, …, xm) = 0 という形に表される方程式のことを代数方程式という。またその解、すなわち f(c1, …, cm) = 0 を満たす数の組 (c1, …, cm) のことを、多項式 f(x1, …, xm) の零点という。
1変数多項式 f(x) の零点のことを f(x) の根ともいう。数 c が  f(x) の根であることは、f(x) が1次式 x − c で割り切れるための必要十分条件である（因数定理）。f(x) が (x − c)k で割り切れ、かつ (x − c)k + 1 では割り切れないとき、c は f(x) の重複度 k の根であるという。2以上の重複度をもつ根は重根とよばれる。
体 K 上の1変数多項式 f が K の代数閉包において重根をもつことは、f と導多項式 f′ が定数でない共通因子をもつことと同値である（関連して、判別式を参照せよ）。f が K の代数閉包において重根をもたないとき、f は分離多項式であるという。
多項式 因数分解
与えられた多項式 f をいくつかの多項式の積として表すことを、多項式 f の因数分解という。
因数分解を行うためのもっとも単純な方法は、因数分解の結果として現れる多項式の係数を未知数とみなし、それらに関する方程式を立てて解を探すことである。たとえば、2次式 Ax2 + Bx + C を1次式の積に因数分解するには、(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd だから、A = ac, B = ad + bc, C = bd が満たされるような数 a, b, c, d を探せばよい。また、特に1変数の多項式を因数分解する場合には、因数定理も重要な道具となる。
因数分解に関連して、1変数の場合における既約多項式の概念がある。ここでは説明を簡単にするため係数の集合は体 K であるとする。1次以上の多項式 f ∈ K[x] が、同じく K に係数をもつ二つの1次以上の多項式の積として表されないとき、f は K 上で既約であるという。既約でない多項式は可約であるといわれる。多項式の因数分解は、通常、与えられた多項式を既約多項式の積として表すことが目標となる。
多項式の既約性は、係数体 K の選び方に依存する。たとえば、x2 − 2 は有理数体  上で既約だが、実数体  上では可約である。x2 + 1 は  上で既約だが、複素数体  上で可約である。
多項式 多項式関数
1変数多項式 f(x) が与えられたとき、数 c に対し、不定元 x に c を代入して得られる数 f(c) を対応させることにより関数が得られる。これを多項式 f(x) が定める多項式関数とよぶ。多変数多項式についても同様にして（多変数の）多項式関数が得られる。n 次多項式の定める多項式関数は n 次関数とよばれる。
多項式 f の定める多項式関数は、同じ文字 f で表されることが多い。多項式関数の変数を表す文字にも、しばしば、もとの多項式の不定元を表す文字が流用される。
しかしながら、多項式と多項式関数は異なる概念である。f, g が「多項式として一致する」というのは対応する係数がすべて一致するという意味だが、f, g の定める多項式関数が一致するにもかかわらず、両者が多項式として一致しない場合もある。たとえば、有限体  上の多項式 f(x) = x2 + x は多項式として 0 とは異なるが、f(x) の定める多項式関数は零関数 0 である。係数の集合が実数体  や複素数体  などの無限体であれば、このような現象は起きず、異なる多項式は異なる関数を定めることが知られている。
実数を係数とする m 変数多項式関数は、 全体で連続微分可能である。複素数係数の m 変数多項式関数は  全体で正則である。
多項式 一般化
行列多項式は行列変数の多項式である。通常はスカラー値の多項式 P(x) = ∑ni=0 aixi = a0 + a1x + a2x2 + ⋯ + anxn が与えられたとき、これを行列 A で評価した値というものを
のこととして定義する。ここで、定数項は単位行列 I のスカラー倍に置き換わることに注意。
行列多項式方程式は行列多項式の間の等式であって、考えている範囲の行列のうち特定のもののみがそれを満足するものを言う。同様に、考えている行列環 Mn(R) に属する任意の行列について成り立つ行列多項式の間の等式は行列多項式恒等式と呼ぶ。
多項式 一般化
形式冪級数 ∑∞n=0 anxn は多項式とよく似ているが、非零項が（可算）無限個あってもよい（つまり有限次とは限らない）点が異なる。ゆえに多項式と違って、一般には全ての項を陽に書き下すことは（無理数の小数表示が全て書ききれないことと同様の意味で）できない。しかし、各項に対する扱いや演算における項の操作ルールは多項式に対するものとまったく同じくすることができる。形式冪級数ではなく収束冪級数を考えることでも多項式を一般化することができるが、積は必ずしも収束するとは限らないので、環構造の埋め込みにはならないことに注意。形式冪級数は一般に次数に関して最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つから、多項式の次数に対応する概念として形式冪級数の位数 (order) は最小の非零項の次数として定まる。
冪級数に対して、さらに有限個の負冪の項も許した一般化として形式ローラン級数が定義される。形式ローラン級数もまた最大の非零項を持つとは限らないが、必ず最小の非零項を持つ（が、略式的には両側無限和として ∑+∞n=−∞ anxn のようにも書く）。
多項式 一般化
形式冪級数の特別の場合が多項式であったことの（形式）ローラン級数において対応する概念として、（形式）ローラン多項式は不定元の負冪の項を有限個含む多項式の類似物である。すなわち、ローラン多項式は正負の次数の項を含む有限和  であり、最小の非零項および最大の非零項を持つ。
通常の多変数多項式環は、変数と係数および変数同士の可換性が仮定されている。この変数の間の可換性を仮定からはずすことで、非可換多項式環が定義される。可換性をはずしたために、非可換多項式を一般に書き表すのは困難であるが、非可換多項式環はテンソル代数として記述することができる。X = {x1, x2, ..., xn}を基底とする有限次元 K ベクトル空間あるいは可換環 K 上の階数有限な自由加群 V 上のテンソル代数 T(V) を
などと記してK 上の非可換多項式環と呼ぶ。ここで術語「自由」(free) は、この環が必ずしも乗法が可換でないような多元環としての普遍性を持つということを意味している。K 上で有限生成な（非可換）環 A
は K⟨X⟩ の代入による準同型像として得られる。つまり、適当な K 多元環の全射準同型で
なるものが必ず取れ、またしたがって A は K⟨X⟩ のある商多元環に同型である。この準同型の V への制限は V から A への K 線型写像であるが、逆に V から A への任意の K 線型写像はかならずこのような形の多元環の準同型に延長可能である。これはテンソル代数の普遍性と呼ばれる性質の一部である。
また、非可換多項式環 K⟨x1, x2, …, xn⟩ をテンソル代数とみるとき、対応する対称代数 S(V) (xy − yx の形の元全体で生成される両側イデアルで割った代数) は多項式環 K[x1, x2, …, xn] であり、多項式環が有限生成可換多元環に対する普遍性を持っていることに対応している。
有理式は、二つの多項式 P, Q の商（代数的分数式）P(x)/Q(x)  のことを言い、有理式として書き直すことのできる任意の代数式の定める函数を有理函数と呼ぶ。
多項式函数は変数に対する任意の代入に対して値が定義されるが、有理函数は分母が零にならないような変数の値に対してしか定義されない。
有理函数はローラン多項式を分母が不定元の冪であるような特別の場合として含む。
ワープロソフト
ワープロソフトとは、コンピュータ上で動作するワードプロセッサの機能を実現したアプリケーションソフトウェア（プログラム）である。
ワープロソフト 名称
世界的には「ワープロ専用機」も「ワープロソフト」も、タイプライターとの対比として、「ワードプロセッサ」(Word processor)と呼ばれる事が多い。しかし日本ではワープロ専用機と区別して「ワープロソフト」と呼ばれる場合が多い。
ワープロソフトや表計算ソフトなどは「オフィスソフト」とも呼ばれる。また、これらをセットにした商品パッケージはオフィススイートと呼ばれる。
なお、文章の装飾機能を持たないテキスト編集機能中心のソフトウェアはテキストエディタと呼ぶ。
ワープロソフト 歴史
Xerox PARCにて、1974年〜1976年に、WYSIWYGを初めて実現したBravo, Gypsyといったドキュメント作成システムが開発された。後に、Bravoの開発者チャールズ・シモニーはマイクロソフトへ転職しMicrosoft Wordを、Gypsyの開発者Tom Malloy, ラリー・テスラーはAppleへ転職しLisaWrtite(後のMacWriteの元となる)を開発した。
英文ワープロソフトでは、1976年にMichael ShrayerによるElectric PencilのMITS Altair版が家庭用コンピュータで動く最初のワープロソフトとして発売され、1978年にはCP/M上で動くWordStar、1986年にはMS-DOS上で動くWordPerfectが登場し、それぞれベストセラーとなった。
日本では1979年に、Apple IIに九十九電機が独自のカナROMを搭載させたローマ字カナ変換ソフト（カセットテープ媒体）付きのモデルが発売された（なお、ソフトとROMの単独販売もApple IIユーザー向けに、この時行われている）。
1983年にはPC-9801用の松や、一太郎の前身であるPC-100用のJS-WORDが登場した。松と一太郎はそれぞれベストセラーとなった。
ワープロソフト 歴史
1990年代にはMicrosoft Windowsが普及し、ワープロソフトもWindows版が主力となった。海外ではWordPerfect（Windows版）、Lotus WordPro、Microsoft Wordが、それぞれ単体およびオフィススイートの形で、激しく競争した。
日本でも1995年よりWindows 95が普及すると、専用ワープロやMS-DOS版から、Windows版の日本語ワープロソフトが主力となり、一太郎（Windows版）、Microsoft Word、WordPro、OASYS（Windows版）などが競った。Microsoft Officeに対抗すべく「一太郎 + Lotus 1-2-3」など、メーカー間で提携したパッケージも販売されたが、1990年代後半から2000年代前半にかけてMicrosoft Wordがほぼ事実上の標準となった。
Microsoft Wordが高額かつ寡占状態であることから、2000年代後半以降、無料のOpen Office Writerやその派生のLibreOffice Writerを導入する動きも出た。2010年代にはクラウドサービス等の発達により、インターネット上で無料で動くGoogle社のGoogle ドキュメントが登場し、シェアを拡大した。
ワープロソフト 機能
ワープロソフトは、手書きやタイプライタと異なり、文書をコンピュータ上で作成してデータの形で保存するため、後からの修正や再利用、電子メールなどでの添付、文書内の文字検索などが容易であり、印刷せずに画面で表示すればペーパーレス化も可能である。また、文字の装飾や文字間隔の調整、図表の挿入などの編集機能を備えている。主流といわれるワープロソフトには、DTPで使用できるほどの高度な編集機能や、グループで使う事を考慮した世代管理機能や校正機能を持つものもある。
日本語ワープロソフトの場合は、専用の日本語入力システム（漢字変換ソフト、FEP、IMEとも呼ばれるもの）を含むものもあり、この性能（操作性、変換効率など）も差別化要因となる。松に含まれる松茸、一太郎に含まれるATOK、OASYSに含まれるOAK（オアシスかな漢字変換）などがあり、単体販売されるものもある。
指数関数時間
指数関数時間（しすうかんすうじかん）あるいは指数時間（しすうじかん）とは、計算理論において指数関数を用いてあらわされる計算時間。計算複雑性理論では指数関数時間で解ける判定問題のクラスのことをクラス EXPTIME（あるいは EXP）という。
一般に指数関数時間やそれ以上のアルゴリズムは時間がかかりすぎるので実用には適さない。そのようなアルゴリズムは特殊な場合にしか使われない。
指数関数時間 定義
計算量の問題で指数関数時間のアルゴリズムという場合には、解くべき問題のサイズ n に対して処理時間が多項式時間では収まらず指数関数的に増加してしまう計算方法を指す。
ある問題について、その問題を解くためのあるアルゴリズムが計算を終えるまでの時間が、問題のサイズ n に対して m (n ) であったとしよう。
この2つが存在するとき、このアルゴリズムは指数関数時間のアルゴリズムであるという。
ただし、ΩやOはO記法である。
クイックソート
クイックソート（英: quicksort）は、1960年にアントニー・ホーアが開発したソートのアルゴリズム。分割統治法の一種。
個のデータをソートする際の最良計算量および平均計算量は （ランダウの記号）である。他のソート法と比べて一般的に最も高速だと言われているが、対象のデータの並びやデータの数によっては必ずしも速いわけではなく、最悪の計算量はである。安定ソートではない。
クイックソート アルゴリズム
クイックソートは以下の手順で行われる。
配列の分割方法の一例として、以下のようなものが考えられる：
分割後の要素数が一定の閾値を下回ったら挿入ソートのような「少数の要素に対してより効率的なソート」に切り替える、という手法がある。また、配列の分割方法自体にも様々な変種がある（同時に2つのピボットを選択して3分割する Dual-pivot Quicksort など）。
確定した部分は太文字で表す。ピボットには下線を引く。
初期データ: 8 4 3 7 6 5 2 1
クイックソート 最悪計算量の回避
クイックソートの効率は配列の分割の効率に左右される。再帰の各段階で常に均等に分割される場合が最良であり、時間計算量は  となる。一方で、常に「1要素と残り全部」のように偏って分割された場合が最悪のケースで、時間計算量が  に悪化する。
最悪ケースを避けるにはピボットの選択に注意を払う必要がある。たとえば、既にソートされた配列に対して先頭や末尾の要素をピボットとすると最悪ケースとなる。なるべく配列の中央値をピボットとして選べるようにすれば、このようなケースを回避できる。
代表的なピボット選択の戦略として、以下のようなものが挙げられる：
また、ピボットを選ぶ前に配列をランダムに並べ替えるなどの手法によっても、ソートに最悪計算時間を要する可能性を抑えられる。
ただし、いずれの場合も最悪ケースの可能性を完全に排除できるものではない。これに対する根本的な改良として、一定の閾値よりも再帰が深くなったらヒープソートのような  時間が保証されるアルゴリズムに切り替える方法がある（イントロソート）。
クイックソート 最悪計算量の回避
分割の操作自体は追加の領域を必要としないが、再帰によるコールスタックの消費が空間計算量となる。スタックの消費は平均的には  となるが、最悪ケースでは  に増大するため、大きなサイズの配列の場合スタックオーバーフローを起こす危険性がある。
対策として、「分割された配列のうち、要素数が少ない方を常に先に処理する」ことで、空間計算量を最悪  に抑えられる。このようにすると、常に均等に分割される（最良時間の）場合に  スタックとなる一方で、1要素ずつしか分割されない（最悪時間の）場合には定数スタックで済む。
これを実装するには、明示的なスタックを用いて非再帰（ループ）構造とするか、（末尾再帰の最適化機能があれば）要素数が多い方を末尾再帰で処理すればよい。
また、イントロソートによっても最悪  空間を保証できる（再帰深さの閾値が  となるように設定すればよい）。
クイックソート 実装例
C言語による実装例を以下に示す：
cmp(x, y) は x  < y なら負、x = y ならゼロ、x  > y なら正の整数を返す関数とする。
Schemeによるクイックソートの実装例を示す：
Pythonによるクイックソートの実装例を示す：
インデックス・ホールディングス
株式会社インデックス・ホールディングス（英: Index Holdings Corporation）は、かつて存在した日本の持株会社。
1997年9月から2006年5月と2010年10月から2016年8月の会社破産・法人格消滅までの事業会社だった時期の社名は「株式会社インデックス」であった。本項では、持株会社のインデックス・ホールディングスと事業会社の（旧）インデックスの両方について通時的に解説する。
（旧）インデックスは2014年7月31日に破産手続開始決定を受け、2016年8月3日に破産手続が結了し、法人格が消滅した。事業を譲受したセガサミーグループの企業である株式会社アトラス（旧社名：株式会社セガドリーム）、アトラス（新社）から新設分割により（新）株式会社インデックスの社名で設立されたエキサイト株式会社の子会社であるiXIT株式会社（2016年7月1日に社名変更）の2社とは、資本関係などの繋がりは全くない別会社である。
インデックス・ホールディングス 概要
1995年9月に株式会社ノザーク・ビーエヌエスの社名で創業。日商岩井（後の双日）の社長人事をめぐる抗争で日商岩井を退社に追い込まれた落合正美が社長に就任した1997年に株式会社インデックスへ社名変更。日商岩井時代の落合の部下で、後に社長となる小川善美も落合の後を追うようにインデックスに入社した。以降はインターネットや携帯電話向けコンテンツの製作・提供を中心に行い、ゲームやアミューズメントの各事業を行う企業を傘下に持っていた。
かつては企業買収や第三者増資割り当てなどによる資本参加を積極的に行っていたが、同業他社の台頭や、取引銀行であった日本振興銀行が破綻した2010年以降は経営難に陥り、経済誌などの「倒産危険ランキング」では常に上位にランクインし、かつ現金前払い取引以外はインデックスと取引停止にする企業も増えていた。
このため買収した企業の売却・解散を重ね、持株会社であったものを合併によって事業会社に移行したものの、株式売却などによって民事再生法申請前のグループ会社はインデックス・アミューズメントとインデックス・デジタルメディアの2社にまで減少していた。
インデックス・ホールディングス 概要
2012年8月期まで5期連続で最終赤字を計上した。2013年8月期に、貸倒引当金の計上や繰延税金資産の取り崩しもあり、第2四半期末で多額の純損失を計上し連結で14億9000万円の債務超過となったことや、有利子負債は2013年2月末時点で193億円に膨らんでいたことや、循環取引を用いた粉飾決算の疑いで、証券取引等監視委員会から強制調査を受けた事から、2013年6月27日に民事再生手続を申し立て、同年7月4日に民事再生手続開始決定を受けた。尚、タカラトミーは、インデックスが2013年6月12日に「金融商品取引法違反容疑による証券取引等監視委員会の調査について」を公表したことを受けて保有するインデックス全株式を売却した他、フジ・メディア・ホールディングスも、派遣していた社外取締役を民事再生法申請3日前である2013年6月24日に引き上げている。
負債総額246億200万円は、国内ゲームメーカーの大型倒産としては2001年に破産したSNK（民事再生法申請時点で約380億円）に次いで2番目の規模となった。
インデックス・ホールディングス 概要
民事再生手続に伴うスポンサー選定の結果、2013年9月18日にセガを再生スポンサーに選定したと同時に、セガが2013年9月5日に設立した100%子会社である株式会社セガドリームに2013年11月1日付でアトラスを始めとするデジタルゲーム事業（家庭用ゲーム、ソーシャルゲーム）、コンテンツ&ソリューション事業（コンテンツ配信、システム開発、遊技機関連開発受託、インターネット広告など）、アミューズメント事業（業務用アミューズメント機器の開発・販売）など事業の大半並びに上記に関連する有形固定資産・無形固定資産・知的財産を譲渡する契約を締結した。持分法適用会社であったアーデント・ウィッシュは、事業譲渡直前の2013年10月にインデックスが保有していた株式がアーデント・ウィッシュに買い戻された。
インデックス・ホールディングス 概要
2013年11月1日に新旧分離を実施。同日付でアトラスを始めとする事業並びに、海外子会社である Index Digital Media,Inc.（後のAtlus U.S.A., Inc. ）、Index Digital Media,Inc.の親会社であるAtlus Holding, Inc.、Tiger Mob Limited.、Index Corp（Thailand）（後のIndex Asia Ltd.）、Mobi Town Ltd.の株式を、同日にセガドリームから商号変更された株式会社インデックス（以下「新社」）へ譲渡した。また、新社は分離元の同名企業であったインデックス（以下「旧社」）の有利子負債などの負債、旧社が保有していた株式は新社が譲受した前述の株式以外継承しない。以降、旧社が行ってきた事業はセガ100%子会社である新社（2014年4月1日付でアトラスに社名変更、また後にiXITとなる2代目インデックスに会社分割）で再建が図られると同時に、セガはネット関連事業に参入した。新社へ譲渡された事業に従事していた社員は旧社を一旦退職の上、一部を除き新社に再雇用された。