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フリードリヒ・エンゲルス 生涯
マルクスとエンゲルスは、ドイツの領土拡張戦争はフランスの復讐心を煽り、国際的孤立の中でドイツを再び大戦争に巻き込んでいくであろうと予測した。二人は将来のヨーロッパ史で第一次世界大戦が勃発すると予言したのである。
パリ包囲戦中の1871年1月、ビスマルクは、ヴェルサイユ宮殿で南ドイツ諸国の北ドイツ連邦へと加盟させる形式でドイツ統一を取り決めた。ヴィルヘルム1世がドイツ皇帝に戴冠され、これによりドイツ帝国が樹立された。その10日後には、フランスに多額の賠償金の支払いを要求、アルザス=ロレーヌの割譲、パリ占領という懲罰的な条件を盛り込んだ休戦協定を結ばせて普仏戦争を終結させた。これを聞いたエンゲルスは対仏強硬論を主張していた弟ルドルフに宛て、「現実には、人は目先のことしか見えないものだ」、「この先、多年にわたってフランスが間違いなく敵国であり続けるようにしたわけだ」と語った。
エンゲルスの懸念以上に歴史は急展開を見せた。
国民衛兵は依然としてプロイセン軍のパリ入城への抵抗呼びかけていた。国民衛兵は武装解除を拒み、プロイセンに武器が押収されるのを防ぐため大砲を女子供も含んだ多数のパリ民衆と共にモンマルトル、ベルヴィールのなどの労働者地区へと移設していた。1871年3月1日、プロイセン軍は祝勝パレードのためにパリに入城した。弔旗が掲げられて静まり返るパリをプロイセン軍が3日にわたり占領した。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
3月18日、フランス共和国の行政長官に就任したアドルフ・ティエールは、武装解除のためパリ防衛の重要な堡塁モンマルトル陣地から国民衛兵が守備する大砲の撤去を命じた。 ルコント将軍とパチュレル将軍の指揮で大砲400門余の撤去を実施するが、これを偶然目撃した国民衛兵の女性兵士の一群が撤去に抵抗した。将軍は配下の兵に発砲を命じたが命令は空しく無視され、 ルコント将軍は離反した軍と国民衛兵により捕虜となった。捕えられた将軍のなかに1848年のフランス革命の六月蜂起で労働者の弾圧を行ったクレマン・トマ将軍がいたため、クロウド・ルコント将軍ともども猛る群集によって両将が殺害された。
この事件を機にパリでは「コミューン万歳！」の声が高まっていた。国民衛兵とコミューンに合流してパリの実権を奪取、ついにパリ・コミューン革命が成就した。休戦協定に反発したパリ市民が武装蜂起した。一報を受けたアドルフ・ティエールは、1848年のフランス革命で果たせなかった計略を実行に移し、軍と政府関係者をひきつれてパリを放棄してヴェルサイユに逃走した。3月28日にはコミューン選挙が実施されて、コミューン92名が普通選挙で選出されたが、そのうち17人は第一インターナショナルフランス連合評議会のメンバーだった。こうして世界初のプロレタリア政府パリ・コミューンが樹立された。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
マルクスはパリは無謀な蜂起するべきではないという立場をとっていたが、いざパリ・コミューン誕生の報に接すると、「なんという回復力、なんという歴史的前衛性、なんという犠牲の許容性をパリジャンは持っていることか！」「歴史上これに類する偉大な実例はかつて存在したことはない！」とルートヴィヒ・クーゲルマンへの手紙で支持を表明した。
3月28日、パリ市庁舎前でコミューン政府の樹立が宣言され、以後5月20日まで二か月ほどの期間パリを統治することとなる。
老シャルル・ベレーを議長に、コミューン執行委員会を頂点として執行部、財務、軍事、司法、保安、食糧供給、労働・工業・交換、外務、公共事業、教育の１０の各部実務機関が組織された。フランスという国家機構から放棄されたパリ市民は、国民衛兵の補佐を受けつつ各執行部を通じて自発的に行政組織を再稼動させ、このときからコミューンは「代議體ではなく、執行権であって同時に立法権を兼ねた行動體」として活動をはじめた革命政府となった。その間、教育改革、行政の民主化、集会の自由、労働組合をはじめとする結社の自由、婦人参政権、言論の自由、信教の自由、政教分離、常備軍の廃止、失業や破産などによる生活困難者を対象とした生活保護、各種の社会保障など民主的な政策が打ち出され、暦も共和暦が用いられた。
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しかし、結局このパリ・コミューンは2カ月強しか持たなかった。ヴェルサイユに移ったティエール政府による「血の週間」という激しい攻撃を受けて5月終わり頃には滅亡したのである。エンゲルスは「敗者は榴弾によって数百人単位で撃ち殺された」、「最後の大虐殺が実行されたペール・ラシェーズ墓地の〈フェデレの塀〉は、今日でも立っている。労働者階級が己の権利のために敢えて立ちあがった途端に支配階級が陥る狂気を、沈黙のなかで最も雄弁に語る証拠である」と描写した。
パリ・コミューンはマルクスとエンゲルスの革命理論に大きな影響を与えた。
マルクスは5月30日にもインターナショナルからパリ・コミューンに関する声明を出した。この声明を後に公刊したのが『フランスの内乱』（独: Der Bürgerkrieg in Frankreich）である。その中でマルクスは「パリ・コミューンこそが真のプロレタリア政府である。収奪者に対する創造階級の闘争の成果であり、ついに発見された政治形態である」と絶賛した。
一方、その崩壊原因の分析も重要となった。二十年後の1891年、エンゲルスは『フランスの内乱』第三版の序文を執筆し、歴史的総括を試みている。エンゲルスはパリ・コミューンを「労働者と労働者代表からなる政府」として位置づけ、断固たるプロレタリアート的性質を持っていた」と断言し、コミューンが布告された諸政策の先進性を評価した。
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しかし、「コミューン議員は、多数派―国民衛兵中央委でもまた牛耳っていたあのブランキストと、少数派―プルードン社会主義学派の門弟からなる、国際労働者協会の会員とに分裂して」おり、マルクスの科学的社会主義に基づいて政策決定できるものは少なかった。とりわけ、顕著に表れているのが、フランス銀行に蓄えられた金融資産の差し押さえを実行しなかったことである。エンゲルスは、ヴェルサイユ政府に対して軍事的経済的手段の両面で断固たる措置を取らなかったブランキ派とプルードン派の過失を批判した。
また、エンゲルスは工業を再編して労働者の生産組合を組織して、工業生産全体に連携させていくべきであったと語り、組織化された労働ではなく自由な労働を謳うプルードン流の経済運営は死んだことが明らかになったと主張した。同様に、ブランキ派は各地のコミューンの自由な連合を説いていたが、パリ・コミューンに全国的な権力を集中させるべきであった。軍隊、国家警察、官僚政治を打倒して古い国家権力を一掃し、公職の地位を一般投票で任命する任免権を人民に返還して、国家権力が支配者ではなく奉仕者となるよう、公職者の賃金を労働者の賃金と同水準に抑える措置をとることが肝要だと語った。まさにこうした試みが実践されたのが、パリ・コミューンである。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
エンゲルスは「パリ・コミューンを見よ。それこそは、 プロレタリアートの独裁だったのだ」と言葉を発して結論とした。プロレタリアは国家の運営に参加し、通常の社会的事務と管理業務と同様に行政活動に加わり、国家の廃止という偉業を果たす歴史の局面に準備しなければならないと訴えた。マルクスとエンゲルスは、富裕層だけが利益を享受する旧来のブルジョア民主主義（ブルジョア独裁）を乗り超え、生産者・労働者が恩恵を受けられる大衆民主主義（プロレタリアート独裁）が導入されなければならず、プロレタリアートの独裁によって大衆の政治参加を拡大しながら人民を訓練していくことが来るべき社会主義革命の役割だと説いた。二人はその後も積極的にコミューンを擁護する見解を発信し続け、革命へと至る歴史的潮流に人民を指導する前衛党の樹立が急務であると説き続けた。こうしたコミューン擁護活動を通じ、ティエール政府に弾圧された活動家たちは革命運動のネットワークを拠点にマルクスと緊密に連携するようになった。マルクスとエンゲルスが一時亡命を余儀なくされた活動家たちに資金援助を働きかけた結果、娘婿ポール・ラファルグやジュール・ゲードをはじめ二人の支援を受けた革命家は後に大成して、フランス労働党の一翼を形成することになった。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
しかし、このときマルクスとエンゲルス、そして新しい労働者政党が目指す革命と社会主義国家の樹立を妨害しようとする偽りの兄弟がいた。革命の理想に対する最大の障害物はアナーキズムである。
1871年9月17日から23日、ロンドンにおいて、17名の中央評議会の委員とマルクス、エンゲルスらをはじめとする23人の主席者で臨時会議が開かれた。ロンドン協議会での主たる討議内容は、IWA内部のバクーニン派勢力とアナーキズムの思想―とりわけ、「政治不参加主義」の駆逐であった。労働者政党の組織化を前提とした政治運動の必要性が再度唱えられた。
エンゲルスはロンドン協議会で、政治不参加主義がインターナショナル内部に浸透して運動を分裂させ、組織を内部崩壊させようとしていると指摘した。
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エンゲルスは、全ドイツ労働者協会の党首ヨハン・シュヴァイツァーがビスマルクと提携して労働者を政府の政策に同調させようと試みて労働者運動を分断させてしまっていると告発した。また、「政治不参加主義の結果、9月4日にはジュール・ファーヴル（国防仮政府の外相）、エルンスト・ピカール（国防仮政府の財務相、パリ・コミューンの弾圧者）その他が政権を横領した。3月18日には、この政治不参加のため、……、革命の強化のために充てなければならない革命後最初の数日を、わざとなにもしないで空費してしまった」ように、革命が勝利を収める機会を無駄にしたことを指摘した。一方、「イギリスでは労働者が国会に出ることはそう簡単ではない。国会議員には歳費が全然出ないし、労働者は自分で働いて生活を立てるほかないからである。だから国会は労働者の手には届かない。ブルジョアジーは、国会議員に手当を出すことを頑なに拒んでいるが、こうすれば労働者階級の代表は出られなくなることを知りぬいている」ため、運動には困難が伴っていた。
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しかし、エンゲルスは「労働者を国家に送ることをどうでもよいこと思ってはならない」と語って労働者を励ましている。「アメリカでは、最近開かれた労働者の大会が、政治問題に携わること、自分たちの代表として、職業的な政治家ではなく、自分たちと同じ労働者を送り、自分たちの階級の利益の擁護にあたらせることを決議し」、ドイツでは国会議員となった「ベーベルやリープクネヒトのようにこの演壇から発言できるなら、彼らの発言を全世界の人が聞く」のだと述べた。また、「普仏戦争に反対して…闘争を始めたとき、全ドイツが揺さぶられ、ビールの値段のためにしか革命をやらないようなミュンヘンでさえ、戦争の終結を求める大示威運動が起こった」ことに触れ、政治運動への参加の意義を説いた。加えて、エンゲルスはスペイン連合評議会に対して、こうも語っている。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
「政治問題への絶対的な不参加というのは不可能である。不参加主義の新聞もみな政治に関わっている。問題はただ、どういう仕方で政治に携わるか、どういう政治に携わるか、ということである。

それに、我々の場合には、政治不参加というのは不可能である。たいていの国では、労働者党がすでに政党として存在している。政治不参加を説いてこの党をつぶすようなことは、我々のなすべきことではない。実生活の経験や、現存の政府があるいは政治的な、あるいは社会的な目的から労働者に加える政治的抑圧によって、労働者はいやおうなしに政治に携わざるをえなくなっている。労働者に政治不参加を説くことは、労働者をブルジョア政治の抱擁のなかへ押しやることになるだろう。とりわけ今は、プロレタリアートの政治活動を日程にのせたパリ・コミューンの直後であるだけに、政治不参加はまったく不可能である。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
われわれは階級を廃止したいと思っている。その手段はなにか？プロレタリアートの政治的支配である。この点では誰も異存はないのに、なおかつ、政治に口を出すなという人がいる！不参加主義者はみな革命家を自称している。……。しかし、革命とは政治の最高の行為である。革命を欲するものは、その手段をも欲しなければならない。すなわち、革命を準備し、革命のために労働者を教育する政治活動をも欲しなければならない。それがないかぎり、労働者の闘いの翌日には……たぶらかされてしまうだろう。……。労働者党は、なんらかのブルジョワ政党のしっぽとしてではなく、独自の目標と政策をもつ独立の政党として建設せねばならない。

もろもろの政治的自由、集会、結社の権利、出版の自由、こうしたものはわれわれの武器である。……あらゆる政治的行為は現状を承認することを意味する、と言う。しかし、この現状がそれに抗議する手段をわれわれに与えている場合に、その手段を利用としたからといって、現状を承認することにはならないのである。」
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バクーニン主義者はエンゲルスの演説に反抗し、政治運動の推進を擁護するという案件で評決を下さないように抵抗した。マルクスとコミューン戦士たちによる反駁によって、インターナショナルが革命的な政治運動を主導すること、そのために「労働者階級を政党に組織することが不可欠である」ことが確認された。しかし、パリ・コミューンの反乱は全ヨーロッパの保守的なマスコミや世論を震え上がらせており、各メディアから、マルクスたちが黒幕とするインターナショナル陰謀論、マルクス陰謀論、ユダヤ陰謀論が出回るようになった。
こうした中、ジョージ・オッジャーらイギリス人メンバーはインターナショナルとの関係をブルジョワ新聞からも自分たちの穏健な同志たちからも糾弾された。ついにオッジャーは1871年6月をもってインターナショナルから脱退してしまう。これによりマルクスのイギリス人メンバーに対する求心力は大きく低下した。マルクスの独裁にうんざりしたイギリス人メンバーは自分たちの事柄を処理できるブリテン連合評議会の設置を要求するようになった。自分の指導下から離脱しようという意図だと察知したマルクスは、当初これに反対したものの、もはや阻止できるだけの影響力はなく、最終的には彼らの主張を認めざるを得なかった。マルクスは少しでも自らの敗北を隠すべく、自分が提起者となってブリテン連合評議会を創設させた。
フリードリヒ・エンゲルス 生涯
マルクスの権威が低下していく中、追い打ちをかけるようにバクーニンとの闘争が熾烈を極め、いよいよインターナショナルは崩壊へと向かっていく。
パリ・コミューン崩壊後、IWAに対する逆風は強まっていった。IWAは各国政府からテロ組織として見なされ、会員となった個人・団体は監視の対象となっていく。1871年、フランス政府はIWA加入を犯罪とする法令を発布した。加えて、この法律はコミューンの亡命戦士たちの引き渡しを要求していた。ドイツではベーベルとリープクネヒトが逮捕され、二年の禁固刑を宣告された。このようにマルクス派指導者が逮捕されて指導部を失ったため、IWA内部での対立も高まっていく。各国でも状況は悪化を辿り、アメリカでは全国労働総同盟が勢力を失い、イギリスでは分派が著しい状況に陥っていた。
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バクーニン一派はパリ・コミューン革命に関する独自の見解を提示し、マルクス主義に対抗しようとしていた。すなわち、革命とは自然発生するもので、下層の民衆による蜂起による権力の転覆と廃止が本来の姿であると見なしたのである。パリ・コミューンはマルクスに社会主義国家像の形成を促す一方で、その闘争はアナーキズムの宣伝に活用されたのである。フランスのプルードン主義やブランキ主義が勢力を失うのにしたがってバクーニン主義は勢いを強めていった。バクーニンとその支持者であるスイスのジュラ連合に関する報告がなされたほか、選挙でのドイツ社会民主労働者党の勝利が祝された。バクーニン一派の追放が会議の眼目になっていた。これに対して、1871年12月、バクーニンもマルクス派に応酬すべく大会の即時招集を要求し、マルクスが牛耳る中央評議会の専制を非難する『ソンヴィリエ通達』という文書をあらゆる国の支部会に送った。バクーニンは自由な政治組織による緩い連合を提案し、マルクスはその意図を疑い権威と規律を主張したが、この両雄の組織論はIWA大会ハーグ大会で討議されることとなった。
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1872年9月2日、「IWAにとって生死の問題と化した」ハーグ大会が開催された。さっそく大会では中央評議会に対する信任をめぐって対立し、40名のマルクス派代議員とその他24名の反対派に分裂した。イギリス代表はバクーニンの思想に反対していたが、マルクスの理論や中央統制とも相容れなかったため、中央評議会に対する信任に反対票を投じた。
続いて、政治権力の問題についてはマルクス派29票対バクーニン派5票、棄権9票で、政治権力の破壊を主張するバクーニン派に対して政治権力の奪取を提唱するマルクス派の勝利に終わった。かくして、第7条付則として『規約』に「政党結成」と「政治権力奪取」が明記され、平和的な手段もありうるとして議会進出に意欲を示す文言が盛り込まれた。さらに、これに終わらずマルクスは『インターナショナルのいわゆる分裂』という報告書において中央評議会に反対して無政府主義を掲げたバクーニンとその一派を除名するよう大会に対して勧告した。マルクスの動議を受けて、バクーニン、ジェーム・ギヨーム、シュウィッツギューベル、ブーケ、マロン、マルシャンらがIWAから追放された。9月6日に中央評議会をロンドンからニューヨークに移転するという決議を採択した。同決議はIWAの運命を未来に切り開くことが期待されたが、皮肉にもIWAを衰弱させるものとなった。
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ハーグ大会終了後、アムステルダムで公開集会が開催された。マルクスは人々を前に演説をおこない、「労働者階級は、政治の分野でも社会の分野でも、滅びつつある旧社会を攻撃する必要がある、と宣言した」と表明している。また、続けてこうも語った。
「労働者は、新しい労働の組織を打ち立てるために、やがては政治権力を握らなければならない。労働者は、古い制度を支える古い政治を覆さなければならない。（ただし）それぞれの国の制度や習慣や伝統に特別な考慮をはらわなければならない。また、われわれはアメリカやイギリスのように、労働者が平和的手段でその目的を達成できると思われる国があることを、否定しない。……。が、たとえそうだとしても、たいていのヨーロッパ大陸諸国では、実力が革命の梃子とならねばならなぬだろうということを、認識すべきである。（）内筆者補足。」
この演説は階級闘争の戦術面での相違や社会主義運動の多様性を示唆するものであった。各国市民の政治的自由度によって「改革」と「革命」の適宜性が左右され、労働者の階級闘争の方向性も、労働者党の戦術や政治的な役割も定まっていくということを指摘した。
その後、最初の国際的政治団体にして労働者組織であるIWAはアナーキストによる執拗な解散運動に直面する。
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バクーニン派は、中央評議会の「政治活動への積極参加」条項に猛反発して独自見解を提唱し、分裂運動を画策したため、ハーグ大会で除名処分を受けたが、彼らは当然処分を承服したりはしなかった。そこで、彼らはIWA本部のニューヨーク移転を機に、中央決定による組織運営を否認し、連絡と統計に基づく自由な連合体を作ろうと試み、独自のインターナショナル組織を作り始める。1872年9月15日バクーニン派は15名ほどの代表者がIWAの名を流用してスイスのサン・ティミエで大会を開催した。そして「社会民主同盟」から継承した「連合」の原理と政治活動の拒絶が新組織の綱領として掲げて新組織を樹立する。ここではこのとき発足したバクーニン派の新組織をアナーキスト・インターナショナルと呼称する。この新組織は加盟団体を募ったが、参加を表明した連合はベルギーとオランダとイギリスの一部支部に留まった。大半の地方支部は元のIWAに残留を表明した。
無政府主義は社会主義の双子の兄弟と言える。アナーキズムは、革命の自然発生性を強調し、組織の中央統制に反対し、集団よりも個人の自由を価値として、暴力革命による急激な社会変革を求め、緩やかな「連合」による社会の統合を目指していた。その理想像はマルクスが目指した共産主義社会と何一つ変わるところはない。
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しかし、理想を共有していたものの無政府主義と社会主義には方法論において決定的な違いがあった。マルクスの社会主義は階級闘争が長引くこと、革命の機会は容易には訪れないという現実感覚、大衆の支持を背景に権力を革命あるいは選挙で政権を掌握して「プロレタリアート独裁」を確立すること、議席を得て社会立法を進め階級格差を是正し、工業および農業、そして商業の均衡発展の道を模索するという国家ヴィジョンがあった。こうした段階を追って共産主義の理念を実現させるという現実的な立場をとっていた。
バクーニンらの無政府主義は反権力思想と自己完結型の共同体思想がもつ魅力によって、南欧の下層労働者やロシア、南米の貧農層を取り込んでいった。
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19世紀当時は重税、貧困、疫病、言論統制、官憲の取り締まり、医療・福祉・教育の欠如といった苦痛と圧政が是とされた反動的な専制国家の時代であった。とりわけ、工業化は遅れた諸地域では無政府主義とその暴力的方法論が受け入れられていった。例外的に農業国でもあり個人を重んじ自由を尊重するアメリカやフランスでも支持を集めた。一方、先発工業国のドイツ、これに遅れてフランスが、そして、大不況期を経験したイギリスなど労働運動の歴史的中核国ではマルクス主義の影響力が次第に強まっていった。「アナーキスト・インターナショナル」は数度の年次大会を開催し、スペインの革命やイタリアで多くの暴動を画策したが失敗に終わる。また、バクーニンが世を去ってその後の発展の糸口と反乱工作の機会を失ってしまう。19世紀末にイギリス、フランス、ドイツ、アメリカをはじめ各国が社会立法に力を注いで圧政を捨てていくにつれて、無政府主義はしだいに個人革命家のテロリズムの世界へと追いやられて衰退していく。現実路線に即して、内部統制が強い組織を持った社会主義党を作り上げ、国家権力の掌握に力を注ぐ道を選んだことにより、マルクス主義は時代の選別に耐えて生き残ったのである。
一方、アメリカに目を転じるとここでも新しい局面があった。要となる人物はIWAのアメリカ支部書記長フリードリヒ・ゾルゲである。
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IWAのマルクス派指導者は社会主義の分派勢力とのせめぎあいの中で巻き返しを図ろうとフィラデルフィアで大会を開催した。そこではアメリカ支部を中央評議会の直轄とする方針を定めて、中央評議会の権威で部内の刷新を図ることが決まった。しかし、無政府主義者の排斥とイギリス支部の脱落によって生じたIWAの空洞化によって、この決定はIWAを欧州の労働者協会からアメリカ合衆国の労働者協会へと変質させるものにつながった。また、無政府主義やラッサール主義政党の影響力を払拭するのは容易ではなく、アメリカにおける各支部の内部分裂がさらに激しくなっていった。1864年から65年の内紛の結果、ニューヨークの二つの支部が排斥されボルテなど主要メンバーが追放された。こうした情勢の中、内紛に疲れたゾルゲが書記長を辞任、すでに中核を失いって混乱をきたしたIWAは組織の命脈を保つことができなくなっていた。世界的にもIWAはもはや求心力を急速に失いつつあったのである。各国で社会主義政党の樹立と独自の政治運動が活発化し、国際的連帯を協議する局面ではなくなっていた。
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1876年、中央評議会は時勢の困難さを鑑みて解散を内定したうえで、フィラデルフィアで最期の年次大会を開く決定をする。ドイツ社会主義労働者党の代表とアメリカ支部評議会の10名の委員会が解散手続きをすすめた。7月15日、「国際労働者協会中央評議会は解散する」との決議のもと、IWAは正式に解散する。
第一インターナショナルの誕生と崩壊の後、社会主義は新たな発展期に入っていった。
ドイツでは1867年ヴィルヘルム・リープクネヒト、アウグスト・ベーベルがザクセン人民党を組織し、1869年8月にはドイツ統一の加速と歩調を合わせるかたちでリッティングハウゼン、ベルンヘルト・ベッカー、ヘスといった人物らとともにアイゼナハ綱領を採択、社会民主労働者党（独: Sozialdemokratische Arbeiterpartei (SDAP) 。通称「アイゼナハ派」と呼ばれる。後のドイツ社会民主党の母体となる）を組織した。ラッサール主義に対峙する本格的なマルクス派の社会主義政党が発足したのである。
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この時期の各国政府は労働者が選挙権を獲得していた。北ドイツ連邦では連邦議会が設置され、25歳以上で公的支援を受けていない男性有権者からなる成人男子選挙権が導入され、1867年8月の連邦議会総選挙が実施された。そのため、北ドイツ連邦では新たな有権者の票数確保の必要が生じ、政府が熱心に社会政策に取り組んだ。その一つが労働者の住宅問題の解決である。
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エンゲルスは、ミュールベルガーが住宅問題を論じたことを受けて反論記事「住宅問題」を、ドイツ社会民主労働党の機関紙『フォルクスシュタット』(独: Der Volksstaat)に掲載した。労働者の住宅問題を政府が解決策を提示して、社会主義者もこれに協力して、共に住宅問題を解決させよよいう見解であったが、エンゲルスは政府の社会改良政策への迎合に反対の立場を採った。労働者階級の住宅事情が良くないのは住宅がないからではなく、快適な住宅に居住できないような階級的地位の低さに起因することであり、住宅を安価に低金利で販売したとしても抜本的な解決策には至らない。対症療法として効果が出れば一時的に労働者の懐柔につながるが、増加し続ける労働者の旺盛な住宅需要を満たす必要が依然として残され、一時しのぎの政策を採用しても住宅問題がつねに課題となっていくことに変化はないと語った。住宅問題解決に政府が積極的な姿勢を見せても、労働者の階級的抑圧状態が解消されることはなく、社会改良主義的な政策は労働者の目暗ましにしかなっていないと指摘した。
一方、ドイツ社会主義運動の大きな転機が生じた。その転機はドイツの二つの労働者党（アイゼナハ派とラッサール派）の1875年の合同に求められる。
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両派の合同は1871年の普仏戦争の勝利を受けてドイツ統一が実現したということが契機となっている。ラッサール派はプロイセン王国を基軸に労働運動を展開するのが有利であるとする政治戦術を採用していた。一方、アイゼナハ派はマルクスの指導によって反戦と国際主義の立場をとり、反プロイセン王国の立場に立ってオーストリアを含む全ドイツ語圏の労働者の結集によって革命を起こして共和制の統一民族国家（大ドイツ民主共和国）を実現させるという構想を持っていた。ドイツの統一によって党派的分立の根拠が一つ解消されたため、ようやく両派は合同したのである。
かくして、アウグスト・ベーベル、ウィルヘルム・リープクネヒトが率いるドイツ社会民主労働党とフェルディナント・ラッサールが設立してドイツ内の労働者党の最大会派となっていた全ドイツ労働者協会が合同を果たす。1875年、ザクセン＝コーブルク＝ゴータ公国のゴータにて統一綱領「ゴータ綱領」を採択してドイツ社会主義労働者党（Sozialistische Arbeiterpartei Deutschlands, SAPD）が結成された。
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だが、マルクスとエンゲルスは、ヴィルヘルム・リープクネヒトとアウグスト・ベーベルの政治的妥協を痛切に批判していく。帝国主義、軍国主義のドイツ帝国をいかに近代化させるかという問題が依然として残されていたのである。成人男子選挙制度はあったが、復古的な三級選挙による議会制度を革新して、民主国家の道筋を開いていくことが課題であった。マルクスは『ゴータ綱領批判（ドイツ語: Kritik des Gothaer Programms）』を執筆して、賃金が上昇すると経済停滞を招いて労働者の生活水準が低下するという「賃金鉄則」なるラッサール派の誤謬と共存することはできないと主張した。また、政治的・社会的不平等の是正といった目標はブルジョワ政党の理念であって、革命的プロレタリアートによる社会主義運動の路線ではないと指摘した。マルクスは、革命によって資本主義を打倒して国家を廃止するという理念を提示できないラッサール主義との合流をプロレタリアートに対する背信行為だと厳しく糾弾した。
マルクスは党幹部に対してドイツ帝国下でのブルジョア国家権力との消極的共存に甘んじるのではなく、暴力革命によって全権力を帝国政府から奪取してプロレタリアート独裁を確立し、社会主義国家の建設を目指すように言明した。
エンゲルスもベーベルに次のように警告した。
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「マルクスと私はそのような根拠による新党の結成は認めることはできないし、それに対してどんな態度を―公的にも私的にも―とるべきか、きわめて真剣に検討しなければならないであろう。国外ではわれわれが、ドイツ社会民主労働党のありとあらゆる声明と活動に責任をもたされていることを忘れないでくれ。」
マルクスとエンゲルスの怒りの矛先は、党の運営や指導に関して理論創始者に事前に相談しなかったリープクネヒトに集中していった。だが、内輪の争いに長く拘ってはいられない状況となっていく。
1866年に社会民主労働党が結成されていたちょうどその頃、ドイツでは資本主義の成長とプロレタリアート階級の形成が本格化しはじめ、党は得票数を順調に伸ばしていた。1871年のドイツ帝国議会選挙で得票数12万４千票から1877年のドイツ帝国議会選挙では49万3千票を獲得、票数を5倍近く伸ばすことに成功した。
ドイツ帝国宰相ビスマルクは統一した労働者党に強い警戒感を抱くようになる。
フジ
フジ
植物
フジ (植物) - マメ科の植物。藤。
企業・団体名
フジ (チェーンストア) - 中国地方・四国地方・兵庫県でスーパーマーケット事業を展開する企業、および同社が展開する店舗ブランドの名称。現在はイオングループ。
フジ・コーポレーション - カー用品店。
フジ - 富士フイルムホールディングス（富士フイルム、富士フイルムビジネスイノベーションなど）の略称。
フジ - フジテレビジョン（通称：フジテレビ）などを代表する複合企業のフジサンケイグループの略称。
商標など
フジ (エンジン) - かつて利用されていたオートレース競走車専用エンジン。
人名
フジ (ゲーム実況者) - ニコニコ動画およびYouTubeで活動する4人組グループ「最終兵器俺達」のメンバー。また、ロックバンド「ゲーム実況者わくわくバンド」のベーシスト。
著名な動物の名
フジ
フジ - 長崎水族館で飼育されていたコウテイペンギン（1964年ごろ - 1992年）。同館の後身・長崎ペンギン水族館に剥製として残る。絵本『ひとりぼっちのペンギン』（作・鶴見正夫、絵・椎野利一、出版・チャイルド本社）、『まいごのペンギン フジのはなし』（作・鶴見正夫、絵・赤岩保元、出版・金の星社）で知られる。
フジ - 沖縄美ら海水族館で飼育されていたバンドウイルカ（1969年頃 - 2015年）。病気で尾びれの4分の3を失ったが人工尾びれを提供され、『ドルフィンブルー フジ、もういちど宙へ』など書籍化・映画化の題材となった。
フィクションの事物
フジ・アキコ - 特撮テレビ番組『ウルトラマン』の登場人物。
フジ老人 - ゲーム『ポケットモンスター』の登場人物。
フジ級輸送艦 - かつて富士急ハイランドにあったアトラクション『GUNDAM THE RIDE』に登場する架空の宇宙船。
フジ（610） - アニメ『銀河鉄道物語』に登場する架空の列車。
公差
公差（こうさ、tolerance）とは、機械工学に代表される工学において許容される差のこと。
基準値と許容される範囲の最大値および最小値の差を許容差、最大値と最小値の差を公差と呼ぶ。
公差 概要
次のような値の範囲を公差または許容差と呼ぶ。
寸法や特性や条件は、装置やプロセスの機能に大きく影響することなく一定の実用的範囲内で変化する可能性がある。性能を損なわずに固有の変動性と不完全さに対する妥当な余裕を許すべく、公差が指定される。
公差は、標準値への係数やパーセンテージ、標準値からの最大偏差、許容される値の明示的範囲などで指定され、標準規格書などに記される。あるいは、標準値の数値的正確さで暗に示される場合もある（有効数字）。公差は対称的に 40±0.1 などとされることもあるが、非対称に 40+0.2/−0.1 などとされることもある。
機能を正しく保つには、可能な範囲で最大の公差を指定することが望ましい。「狭い」あるいは「きつい」公差では達成が難しく、コストがかかる場合がある。逆に「大きい」あるいは「ゆるい」公差差では、装置などの運用に問題を生じる可能性がある。
公差は安全率とは異なるが、適正な安全率は他と同様に適切な公差を考慮する。
公差 寸法の許容限界
精密加工は、費用および時間がかさむ。製品の生産において、機能上さしつかえない限り、できるだけ大きな許し得る寸法の範囲を考えなければならない。
実寸
製品のできあがりの寸法。
許容限界
あらかじめ許された誤差の限界の範囲内。
許容限界寸法
大小二つの限界を示す寸法。大きい方を最大許容寸法、小さい方を最小許容寸法といい、その差を寸法公差という。
公差 はめあい
穴と軸が互いにはまりあう関係をはめあいという。
穴と軸のはめあいにおいて、軸の直径が穴の直径より小さい場合の両方の直径の差をすきまという。逆に、軸の直径が穴の直径より大きい場合の両方の直径の差をしめしろという。この二つの関係から、はめあいには次の三つの種類がある。
すきまばめ
穴の最小許容寸法より軸の最大許容寸法が小さい場合のはめあい。
しまりばめ
穴の最大許容寸法より軸の最小許容寸法が大きい場合のはめあい。
中間ばめ
穴の最小許容寸法より軸の最大許容寸法が大きく、かつ穴の最大許容寸法より軸の最小許容寸法が小さい場合のはめあい。
公差 公差の種類
JIS B 0021 で規定されている幾何公差は次の通り。
公差 公差設計
複数の部品からなる製品において、すべての部品の公差が最悪の状態（最大・最小）で組みつけられた場合を計算する方法。
統計的ばらつきを考慮した公差の計算法。
公差 動的公差線図
寸法公差と幾何公差の関係を見るために用いられる。
ポアソン比
ポアソン比（ポアソンひ、英語: Poisson's ratio, Poisson coefficient）とは、物体に弾性限界内で応力を加えたとき、応力に直角方向に発生するひずみと応力方向に沿って発生するひずみの比のことである。ヤング率などと同じく弾性限界内では材料固有の定数と見なされる。
名称はフランスの物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに由来する。
ポアソン比 定義
ある物体に z 軸方向に単軸応力(一方向のみに働く応力)が働くとき、物体の弾性に基づき z 軸方向の寸法が伸びて、縦ひずみ εz が発生する。このとき付随的に、z 軸直角方向の x 軸と y 軸にも横ひずみ εx と εy が発生する。この現象をポアソン効果(Poisson effect)とも呼ぶ。
この横ひずみを縦ひずみで除し、−1 を掛けたものがポアソン比 ν である。
方向によらずポアソン比一定の材料の場合は、単に ν とも表す。
ポアソン比の逆数をポアソン数といい、m で表される。
ポアソン比 ポアソン比と応力・ひずみの関係式
例として、最も単純な2次元板に1方向のみに応力 σx（単軸応力）が負荷する場合を挙げると、この板中の応力とひずみの関係は、ポアソン比 ν とヤング率 E より以下のようになる。
上記の関係をフックの法則と呼ぶ。
材料が等方均質の場合の、3次元一般状態での関係式については、
を参照。
ポアソン比 ポアソン比の範囲
材料が等方性の場合、単位体積当たりのひずみエネルギーであるひずみエネルギ関数 U0 は以下のように示される。
ここで、E:ヤング率、G:剛性率、ε:垂直ひずみ、γ:せん断ひずみである。なお、この式は、ヤング率やポアソン比に方位依存性があるような異方性材料には適用できない。
ひずみエネルギ関数は正値形式を取るので、 を満たすにはポアソン比 ν の取り得る範囲は以下のように決まる。
下限の −1 は、形状一定（縦ひずみ ＝ 横ひずみ：つまり荷重方向に直角な方向にも伸びが生じ，立方体の形状が保たれるような変化を表す）を意味する。上限の 1/2 は、下記のように微小ひずみの範囲で体積一定を意味する。
変形による体積変化を考察する。縦方向に引張・圧縮の単軸荷重を受けるとき、縦方向方向の寸法変化は (1 + ε) 倍となる。一方、横方向の寸法は (1 − νε) 倍となり、断面積変化は (1 − νε)2 倍となる。よって体積変化は (1 + ε)(1 − νε)2 = (1 - 2νε + ε − 2νε2 + ν2ε2 + ν2ε3) 倍となる。ひずみ ε が微小範囲とすれば、ε の高次の項を無視できるので、体積変化は (1 − 2νε + ε) 倍となる。このとき、ν が 1/2 であれば、ε の値にかかわらず体積変化は常に1倍となり体積変化無し・体積一定となる。
ポアソン比 ポアソン比の範囲
エネルギーの式上では、ポアソン比は負の値を取り得るが、すべての方向でヤング率やポアソン比が等しいという、等方性弾性が仮定できる材料では、ポアソン比がマイナスとなる材料は実在しない。仮にポアソン比がマイナスと言う事は、棒材であれば引張ったら引張るほど太くなる材料ということになる。異方性材料であれば、方位によってポアソン比率はマイナスになり得るが全方位でそのような挙動を示すわけではなく、あくまで特定の方位で引っ張ったら太くなる方位があり得るということであり、全体のひずみエネルギーのバランスは取れている。負のポアソン比を示す例として、シリコンウエハーなどのシリコン単結晶などの、大型の単結晶全般やクリストバライト（SiO2からなる結晶）がある。また、ペンタグラフェン（五角形のグラフェン）、内部にハニカム構造を持つ材料には方向によっては負のポアソン比を示すものがあるが、これはどれも方位ごとにヤング率やポアソン比が異なる弾性異方性を示す材料で、等方性弾性体ではない。
ポアソン比 弾性率の相関関係
等方均質弾性体では、ヤング率、ポアソン比、体積弾性率、剛性率、ラメの第一定数の五つの弾性率はそれぞれ、二つを用いて残りの三つを表すことができる。
ポアソン比 主な物質のポアソン比
注：以下に載せる値は目安であり、必ずしも保証されるものではない。
数列
数学において数列（すうれつ、英: numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。
例えば正の奇数を小さい順に並べた
1, 3, 5, 7, …
のような数の“並び”が数列である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、英: term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、 “最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列
1, 2, 3, 4, …
ということになる（これは自然数が順序数であることによる）。
数列
考える数列に端が存在する場合がある。数列の端に存在する項は、その数列の最初の項、または最後の項であると考えることができる。数列の最初の項をその数列の初項（しょこう、英: first term）といい、最後の項を数列の末項（まっこう、英: last term）と呼ぶ。
数列に対して必ずしも初項と末項を定めることはできない。たとえば「すべての自然数」を表す数列の項の数は「自然数の個数」に等しいが、自然数は無限に存在するため、その末項は存在しない。このように末項が定まらないような数列は、無限数列（むげんすうれつ、英: infinite sequence）と呼ばれ、末項を持つ数列は有限数列（ゆうげんすうれつ、英: finite sequence）と呼ばれる。
初項を表す添字は自由に与えることができ、議論や計算を簡単にするように選ばれるが、慣習的に 0 または 1 が与えられることも多い。たとえば有限数列の初項の添字を 1 から始めた場合、末項は項数に等しい添字 n が与えられるため、記述が簡単になる。
特別な数列には、項の並びに規則性のあるものがある。代表的なものは、等差数列や等比数列あるいは漸化式で定義される数列である。
数列 定義
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, …, n} とするとき、S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列（すうれつ、英: sequence）と呼び、順序付けられた数の並びとして
a0, a1, a2, …, an, …
のように記す。各数 ai をこの数列の項という。すなわち、関数 a の n における値を an と書き、列のn 番目の項と考える。また、(ak)k=0,1,2,…,n,… あるいは、慣習的に {ak}k=0,1,2,…,n,…（または単に {an}）とも表す。
各項を表すために添えられる n を数列 a の添字 (index) という。添字が 0 からでなくてもよいことは既述のとおりであるが、その場合にも（特に n が自然数以外の値をとる場合でも）形式的に「an は n 番目の項である」と言うことがある。
数列 定義
任意の添字 n に対応する項 an を一般項 (general term) という。一般項は必ずしも n の明示的な式として定まっているわけではないし、一般にその必要もないが、n を勝手に指定したときに対応する項 an がきちんと定まることが言える必要はある。
関数 a の定義域を整数全体の集合 Z に変え、初項や末項のない両側無限列 (an)n∈Z を考えることもある。両側無限列は実質的に 2 つの片側無限列の合成であり、n = 0 などを基準に番号の付け替えを行えば、1 つの片側無限列に直すことができる。
数列 (an) の各項 an がそれ以前の項 (a0, …, an) を用いて帰納的に定められるならば、その帰納的関係式をその数列が満たす漸化式と呼び、数列 (an) はその漸化式（と初期値）によって定められるという。
数列 特殊な形の数列
任意の自然数 n に対して、隣り合う 2 項 an と an+1 の差が一定のものを等差数列または算術数列という。また、その一定である二項間の差を公差という。
1, 2, 3, 4, 5, 6, …（初項 1、公差 1）
3, 5, 7, 9, 11, 13, …（初項 3、公差 2）
など
任意の自然数 n に対して、隣り合う 2 項 an と an+1 の比が一定のものを等比数列または幾何数列という。また、その任意の 2 項間で一定となる比を公比という。
1, 2, 4, 8, 16, 32, … （初項 1、公比 2）
5, 15, 45, 135, 405, … （初項 5、公比 3）
1, −1, 1, −1, 1, −1, … （初項 1、公比 −1）
など
最初の 2 項から始めて、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
のように連続した 2 項の和を次の項とするフィボナッチ数列に代表される、漸化式が成り立つ数列。
ある種の級数を母関数とし、その係数の列として数列を定義することもある。ベルヌーイ数・オイラー数などはテイラー数として定義されるものの例であり、母関数の微積分を通して計算したり、漸化式を取り出したりすることができる。フーリエ数は理論的には関数の球関数による展開の一種から得られる数列だが、具体的な個々の係数は積分によって定められる。
数列 漸化式
数列 (an) の各項 an がある定まった関数 f を用いて
an+1 = f (a1, a2, …, an)
となるように（もちろん f の取りうる引数の数は一定であるから、右辺に現れる項はある一定の規則に従い落とされるものとして）帰納的に定められているとき、関数 f を数列 (an) の漸化式とよび、あるいは、数列 (an) は漸化式 f により定められているという。
漸化式を解くとは、漸化式で与えられている数列 (an) の一般項 an を n の陽な式で表すことである。
等差数列や等比数列は、その定義から極めて単純な漸化式を持つ。一般の等差数列に対する漸化式は
an+1 = an + d
という形に表される。定数 d はその等差数列の公差である。この漸化式は簡単に解けて、一般項は an = a1 + (n − 1)d となる。同様に、一般の等比数列に対する漸化式は
an+1 = ran
という形に表される。定数 r はその等比数列の公比である。この漸化式を解けば、一般項は an = rn−1 ⋅ a1 となる。これらは後述する隣接二項間漸化式の最も単純なものである。
特定の形の漸化式が成立する場合など、いくつかの場合には、一般項 an は n の明示的な形の式で表される。
数列 (an) が漸化式によって定められ、漸化式が 1 変数関数 f (x) によって
数列 漸化式
an+1 = f (an)
と表されているとき、この漸化式は隣接二項間の漸化式であるという。特に、p(n), q(n) を n の関数として、f が p, q を用いた一次式
an+1 = p(n) ⋅ an + q(n)
となっているとき、線型であるという。特に関数 p(n), q(n) が定数関数である場合、定数係数線型隣接二項間漸化式と呼ばれる。定数係数線型隣接二項間漸化式
an+1 = pan + q
は等差数列あるいは等比数列に帰着され、一般項が n の式として明示的に記述できる：
p = 1 のとき、漸化式は an+1 = an + q であるから、これは等差数列である。
p ≠ 1 のとき、漸化式 an+1 = pan + q の特性方程式と呼ばれる方程式 x = px + q の根を α とすると、漸化式は
an+1 − α = p(an − α)
と変形できる。これは、一般項が bn = an − α で定義される数列 {bn} が公比 p である等比数列となることを表しているから、bn が n の式として得られる。an = bn + α だから、これも n の式として書くことができる。
数列 (an) が漸化式によって定められ、漸化式が 2 変数関数 f (x, y) によって
an+2 = f (an+1, an)
数列 漸化式
と表されているとき、この漸化式は隣接三項間の漸化式であるという。特に、f が関数 p(n), q(n) を用いた斉一次式
an+2 = p(n)⋅an+1 + q(n)⋅an
となっているとき、線型であるという。特に関数 p(n), q(n) が定数である場合、定数係数線型隣接三項間漸化式と呼ばれる。定数係数線型隣接三項間漸化式
an+2 = pan+1 + qan
は特性方程式 x2 = px + q の根を用いて解くことができる。すなわち、特性方程式の根が実数、複素数であるにかかわらず異なる 2 つの根 α, β を持つとき、αn 及び βn はそれぞれ漸化式を満たす。特性方程式が重根 α を持つ場合は、αn 及び nαn がそれぞれ漸化式を満たすこととなる。言わば漸化式の “基底解” となっているわけである。一般項は漸化式の線形性のおかげでこれら 2 組の“基底解”の線型結合で表すことができ、2 つの未定係数は任意の 2 項（初項と第二項である必要はないのはもちろん、隣接している必要すらない）の情報から決定することができる。
フィボナッチ数列はこのタイプの漸化式を持つので、手順にしたがって一般項 an が
なる明示式として得られる。
2つの数列 (xn), (yn) が連立漸化式
を満たしているとする。これを二元の定数係数連立線型漸化式という。漸化式を
数列 漸化式
とおけば、連立漸化式を平面上の点列の一次変換による移動の様子として捉えることができる。A をこの連立線型漸化式の係数行列と呼ぶ。また、
となることも明らかであるから、係数行列 A の冪乗が計算できるならば、連立漸化式を解くことができる。
ゆえに、定数係数連立線型漸化式は係数行列 A を三角化あるいは対角化するような基底に関する表示、あるいは同じことだが、P−1AP が三角行列か対角行列となる正則行列 P をとって、座標変換 P−1x'n = y'n を行うことで得られる連立漸化式
の問題に帰着される。
また、yn = xn−1 や yn ≡ 1 となる場合を考えると c や d を適当に選んで
や、
のように、隣接二項間および三項間の定数係数線型漸化式が得られる。先に述べたこれらの漸化式の解法は、係数行列の冪を求める方法に対応している。特に、定数係数連接三項間漸化式の特性多項式は係数行列の特性多項式に一致する。
もう少し一般に、
の形の点列の変換（アフィン写像）は、変換の不動点、つまり
を満たす点 y∞ をとれば、x′n ≔ y′n − y∞ とおくことにより、線型漸化式
に帰着される。
これらのことは、さらに高次化することができる。
漸化式自体が帰納的に数列を定義するものであり、一般項 an がどのような形であるかを述べることが自然数に関する命題とみなすことができることから、漸化式を持つ数列の一般項を求める際に数学的帰納法は有用な手法である。
数列 数列の和
数列の和はしばしば級数（きゅうすう、英: series）と呼ばれる。はじめの n 項までの和を第 n 部分和（ぶぶんわ、英: patial sum）と呼び、何らかの自然数 n に対して第 n 部分和となるようなものを有限級数と総称する。
（ただし、f = a1 は初項、l = an は末項である）
階乗冪函数の差分商を計算すれば Δx(n)/Δx = nx(n−1) であり、この意味で階乗冪は冪函数 xn の離散版である。
与えられた数列 (an) に対し、階差数列が (an) となるような数列 (sn) をしばしば数列 (an) の不定和分と呼び、(Δ−1an) などで表す:
このような数列が与えられたとき、ak ≔ sk+1 − sk を k = 0, ..., n について片々加えることにより
が成立する。すなわち、不定和分 sn は（定数列を加える差を除き）実質的に数列の第 n 部分和 Sn を与えるものである。もっと一般に、函数 f(x) の不定和分 Δ−1f(x) が
となるものとして定義され、
が成り立ち（微分積分学の基本定理の離散版）、これを和分差分学の基本定理などと呼ぶことがある。このような函数 Δ−1f(x) は周期 1 の周期関数を加える違いを除いて一意である。
数列の和分法について、階乗冪 kn は基本的である。
数列 数列の極限
有限級数の極限は、すべての可算無限個の項についての和と見ることができ、無限級数と呼ばれる。
双無限数列 (an)n∈Z の和は、2 つの無限級数
が収束するならば、それらの和である。
数列の有限和や絶対収束に対する自然な意味での「和」の概念を、それ以外の特に発散級数に対して延長する試みを総和法という。素朴な和の概念からはしばしば奇異に映る性質を有する。
与えられた数列 (an) に対して、それを係数に持つような冪級数を
などで与えることにより、数列の性質を関数の性質として調べることができるようになる。これを数列の母関数という。母関数の満たす微分方程式から係数列の漸化式を構成したり、係数列の漸化式から母関数の満たす微分方程式を作ったりすることができる。もし、微分方程式を解いて母関数の閉じた式を手に入れることができるならば、級数の収束する限り、テイラーの定理によって数列の各項の値を、母関数の特殊値として計算することができる。
また、冪級数のコーシー積は数列の畳み込みに対応する。
数列 数列とベクトル
項数 n の有限数列はしばしば n 組と呼ばれる。有限数列は数ベクトルから線型構造を落としたものとみることができ、逆に項数の等しい数列同士の和や数列の定数倍を
によって定めることができるので、これらはしばしば適当な意味で同一視される。この同一視によって有限数列の集合がベクトル空間を成すとき、このベクトル空間の構造は有限集合上の関数空間の構造と見なされる。無限数列も同様にしてベクトル空間と考えたとき、その部分線型空間として得られるようなベクトル空間は一般に数列空間と呼ばれる。無限数列からは、有界数列の空間や収束数列の空間、コンパクト台付き数列（実質有限列）の空間など様々な数列空間を組み立てることができる。
数列 一般化
添字を 2 つ持つような数列 (am,n)m,n∈N は格子 Λ ≔ {(m, n) ∈ N × N} 上で定義される関数である。
二重数列 (am,n) が極限
を持つとは、任意に与えられた ε > 0 に対し十分大きな番号 N をとれば、m, n > N のとき常に |am,n − α| < ε とできるような定数 α が存在することである。これは二重極限
などと一般には異なる。フビニの定理も参照。
二重級数
は格子点の全体 Λ = N × N に整列順序を入れることによって通常の単純級数（一重級数）に書き直せる。とくに Λ を可算個の有限または無限集合の非交和（直和）
に分解するとき、各 Ki 上で和
が有限和または絶対収束級数であるならば、
の収束性についての考察に帰着される。Λ の整列順序の入れ方あるいは分解の仕方に依らず一定の和を持つならば、二重級数は無条件収束するという。たとえばこのとき
が成立する（フビニの定理を参照）。
投了
投了（とうりょう、英語: Resignation, Surrender）とは、ボードゲームなどのゲームの途中において、一方が負けの意思表示をすること。また、それにより、本来の対戦終了となる条件が成立するよりも前にゲームを終わること。
投了 概説
投了が行われる時機としては、通常は、勝利の見込みがなくなった、戦意を喪失してしまったという場合に行う。
単なる時間や労力の無駄をなくすためだけでなく、勝負にならない対局を継続することは対局相手に失礼になるとする考えがある。また、実力の高い者ほど、形勢判断が正確である為、だらだらとしたゲームを続けるようなことはしない傾向がある。
例外的な投了のケースとして、体調不良や急用等によりゲームを継続する状態でなくなった、あるいは勝勢なのに敗勢と勘違いしての投了などといったケースもある。
一般に、投了優先の原則があり、反則等があっても指摘せずに投了した場合は投了を優先する。
投了 オセロ
オセロでは石数によって勝敗を決定する場合が多く（先後二番打ち）、そうでない場合でも最終局面まで打って石差をはっきりさせるのが一般である。
投了 バックギャモン
バックギャモンは勝ち方、負け方で得点が異なるため、終了間際までプレイする。「これは何点の勝ちになるのが確実」と判断されたとき、双方の合意で終局となる。
投了 囲碁
囲碁では、自分の手番で「ありません」「負けました」「参りました」等と発して頭を下げることで、投了の意思表示をすることが一般的である。またアゲハマを盤上に置くことも投了の意思表示となる（アゲハマを持っていない場合に、自らの石を盤上に置くこともある。ただしこの場合は着手と紛らわしいため、2個以上の石を盤上に転がすように置くのが一般的である）。
投了により勝敗の決着がついた場合、「中押し（ちゅうおし）勝ち」「中押し負け」と呼ばれる。日本囲碁規約では、第十一条において『対局の途中でも、自らの負けを申し出て対局を終えることができる。これを「投了」という。その相手方を「中押勝」という。』と定められている。「中押し」とは「途中押し切り(勝ち/負け)」の略である。
プロやアマ高段者などの対局では、逆転不可能な差となっている場合は投了することが多い。一方で力量が拮抗した者同士の対局では、複雑な局面になった半目勝負では整地しなければ勝敗が判明しないことがあるため、プロでも最後まで打ち切ることがある。そういった、「投了せずに最後まで打ち切った碁」を指す、「作り碁」、「数え碁」という語も存在する。