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ベクトル空間 基本的な構成法
部分空間に相対する概念として、商空間がある。任意の部分空間 W ⊂ V に対して、（「V を W で割った」）商空間 V/W は以下のように定義される。
まず集合として V/W は、v を V の任意のベクトルとして 
v + W = {v + w  |  w ∈ W} なる形の集合全てからなる。その二つの元 v1 + W および v2 + W の和は (v1 + v2) + W で、またスカラー倍の積は 
a(v + W) = (av) + W で与えられる。この定義の鍵は 
v1 + W = v2 + W となる同値が v1 と v2 との差が W に入ることである。この方法で商空間は、部分空間 W に含まれる情報を「忘却」したものとなる。
線型写像 f: V → W の核 ker(f) は W の零ベクトル 0 へ写されるベクトル v からなる。核および像 im(f) = {f(v)  |  v ∈ V} はともにそれぞれ V および W の部分空間である。核と像の存在は（固定した体 F）上の加群の圏がアーベル圏（つまり、数学的対象とそれらの間の構造を保つ写像の集まり、即ち圏、であってアーベル群の圏と非常によく似た振る舞いをするもの）を成すことの要件の一部である。これにより、同型定理（線型代数学的な言い方をすれば階数・退化次数の定理）
ベクトル空間 基本的な構成法
や第二、第三の同型定理が群論における相当の定理と同様な仕方できちんと定式化と証明をすることができる。
重要な例は、適当に固定した行列 A に対する線型写像 x ↦ Ax の核である。この写像の核は Ax = 0 を満たすベクトル x 全体の成す部分空間であり、これは A に属する斉次線型方程式系の解空間に他ならない。この考え方は線型微分方程式
（各係数 ai も x の函数）に対しても拡張できる。対応する線型写像
は函数 f の導函数が（例えば f′′(x)2 のような項が現れないという意味で）線型に現れている。微分は線型である（即ち 
(f + g)′ = f′ + g′ および定数 c について 
(cf)′ = cf′ が成り立つ）から、上記作用素の値も線型である（線型微分作用素と言う）。特に、この微分方程式 
D(f) = 0 の解の全体は（R または C 上の）ベクトル空間となる。
で添字付けられたベクトル空間の族  の直積 とは、順序組   全体の成す集合に、加法とスカラー乗法を成分ごとの演算によって定めたものである。この構成の変種として、直和 （あるいは余積 ）は先の順序組において有限個の例外を除く全ての成分が零ベクトルであるようなものだけを許して得られるものである。添字集合  が有限ならばこの二つの構成は一致するが、そうでないならば違うものを与える。
ベクトル空間 基本的な構成法
同じ体 F 上の二つのベクトル空間 V と W のテンソル積 (英: tensor product ) V ⊗F W あるいは単に V ⊗ W は、線型写像を多変数にするような概念の拡張を扱う多重線型代数における中心的な概念のひとつである。写像 g: V × W → X; (v, w) ↦ g(v, w) が双線型写像であるとは、g が両変数 v, w の何れについても線型であることを言う。これはつまり、w を固定したとき写像 v ↦ g(v, w) が線型であり、かつ v を固定した時も同様であることを意味する。
テンソル積は以下のような意味で、双線型写像を普遍的に受け入れる特別のベクトル空間である。それはテンソルと呼ばれる記号の（形式的な）有限和
の全体からなる線型空間で、これらの元は a をスカラーとして
なる規則で縛られている。
これらの規則は、写像 f: V × W → V ⊗ W; (v, w) ↦ v ⊗ w が双線型となることを保証するものである。テンソル積の普遍性とは
任意のベクトル空間 X と任意の双線型写像 g: V × W → X が与えられたとき、写像 u: V ⊗ W → X が一意的に存在して、上記の写像 f との合成 u ◦ f が g に等しくなるようにすることができる (  u(v ⊗ w) = g(v, w)  )
というものである。テンソル積の普遍性は対象を、その対象からの、あるいはその対象への写像によって間接的に定義するという（進んだ抽象代数学ではよく用いられる）手法の一例である。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
線型代数学の観点からは、任意のベクトル空間が（同型を除いて）その次元によって特徴づけられるという意味で、ベクトル空間については完全に分かっている。しかしベクトル空間というものは「本質的に」、函数列が別の函数に収束するか否かという（解析学では重要な）問題について取り扱う枠組みを提供していないし、同様に加法演算が有限項の和のみを許す線型代数学では無限級数を扱うのには適当でない。従って、函数解析学ではベクトル空間に更なる構造を考える必要が求められる。ほとんど同様に、付加的な情報を持つベクトル空間が有効に働く部分を抽象的に見つけだすことで、公理的取扱いからベクトル空間の持つ代数学的に本質的な特徴を浮き彫りにすることができる。
付加構造の一つの例は、順序集合 ≤ で、これによりベクトルの比較が行えるようになる。例えば、実 n-次元空間 Rn は、ベクトルを成分ごとに比較することで順序づけることができる。また、ルベーグ積分は函数を二つの正値函数の差
として（f+ は f の正部分で f− は負部分）表すことができることに依拠しているから、順序線型空間（例えばリース空間）はルベーグ積分において基本的である。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
ベクトルの「測度」は、ベクトルの長さを測るノルムや、ベクトルの間の角を測る内積を決めることによって与えられる。ノルムが定義されたベクトル空間をノルム空間とよび、ノルムを |v| のように表す。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼び、 内積は⟨v, w⟩ のように表す。内積空間は付随するノルム
を持つ。
数ベクトル空間 Fn は標準内積
を備えている。これは R2 においてよくある二つのベクトル x, y の成す角 θ の概念を余弦定理
によって反映するものである。これにより、x · y = 0 を満たす二つのベクトル x, y は互いに直交すると言われる。この標準内積の重要な変形版として、ミンコフスキー空間 R4 = R3,1 はローレンツ積
を備える。標準内積との大きな違いは、ローレンツ積が正定値でないこと、つまり ⟨x|x⟩ は負の値を取り得る（例えば x = (0,0,0,1) のとき）ことである。（三つの空間的な座標とは異なり、時間に対応する）第四の座標を考えることは特殊相対性理論の数学的取扱いにおいて有効である。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
収束性の問題は、ベクトル空間 V に両立する位相（近さを記述することを可能にする構造）を入れることによって扱われる。。 ここでいう「両立」とは、加法とスカラー乗法がともに連続写像となるという意味で、大雑把に言えば、x, y ∈ V と a ∈ F が限られた範囲の中にあれば、x + y と ax も限られた範囲に留まるということである。スカラーについてこの議論がきちんと意味を持つようにするためには、この文脈において体 F にも位相が定められていなければならない。よく用いられるのが実数体や複素数体である。
このような線型位相空間ではベクトル項級数を考えることができて、V の元からなる列 (fi)i ∈ N の無限和
とは、対応する有限部分和の極限を表すものである。例えば fi が、ある（実または複素）函数空間に属する函数であるとすると、この場合の級数は函数項級数と呼ばれる。函数項級数の収束の様態は、函数空間に課された位相に依存する。そのような様態の中でも各点収束と一様収束の二つは特に際立った例である。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
ある種の無限級数の極限の存在を保証する方法の一つは、考える空間を任意のコーシー列が収束するようなものに限って考えることである。そのようなベクトル空間は完備距離空間であるという。大まかに言えば、ベクトル空間が完備というのは必要な極限をすべて含むということである。例えば単位区間 [0, 1] 上の多項式函数全体の成すベクトル空間に一様収束位相を入れたものは完備でない。これは [0, 1] 上の任意の連続函数が、多項式函数列で一様に近似することができるというストーン＝ワイエルシュトラスの定理による。対照的に、区間 [0, 1] 上の連続函数全体の成す空間に同じ位相を入れたものは完備になる。ノルムからは、ベクトル列 vn が v に収束する必要十分条件を
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
で定めることによって、空間に位相が入る。バナッハ空間およびヒルベルト空間は、それぞれノルムおよび内積から定まる位相に関して完備な位相空間である。函数解析学で重要になるそれらの研究は、有限次元位相線型空間上のノルムはどれも同じ収束性の概念を定めるから、無限次元ベクトル空間に焦点があてられる。図は R2 上の 1 ノルムと ∞ ノルムとの同値性を示すものである。単位「球体」は互いに他に囲まれているから、列が 1 ノルムに関して 0 に収束することと、その列が ∞ ノルムに関して収束することとが同値になる。しかし無限次元空間の場合には、一般には互いに同値でないような位相が存在しおり、そのことが位相線型空間の研究を、付加構造を持たない純代数的なベクトル空間の理論よりも豊かなものとしているのである。
概念的な観点では、位相線型空間に関する全ての概念は位相とうまく合うものでなければならない。例えば、位相線型空間の間の線型写像（あるいは線型汎函数）V → W は連続であるものと仮定される。特に、（位相的）双対空間 V∗ は連続汎函数 V → R (or C) からなるものとする。基礎を成すハーン-バナッハの定理は、適当な位相線型空間を連続汎函数によって部分空間に分けることに関係するものである。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
ステファン・バナフの導入したバナッハ空間とは、完備ノルム空間のことである。一つの例として、 (1 ≤ p ≤ ∞) は、実数を成分とする無限次元ベクトル x = (x1, x2, ...) であって、p < ∞ に対して
または p = ∞ に対して
で定義される p-ノルムが有限となるようなもの全体の成すベクトル空間である。無限次元空間  の位相は、異なる p に対しては同値でない。例えばベクトルの列 xn = (2−n, 2−n, ..., 2−n, 0, 0, ...), つまり各項が最初の 2n-個の成分が 2−n で残りはすべて 0 となるような無限次元ベクトルとなるようなベクトル列は p = ∞ のときは零ベクトルに収束するが、p = 1 のときはそうならない。式にすれば
だが
である。
実数列よりも一般の函数 f : Ω → R は、上記の和のところをルベーグ積分に置き換えた
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
をノルムとして備えている。与えられた領域 Ω（例えば区間）上の |f|p < ∞ を満足する可積分函数の空間に、このノルムを入れたものはルベーグ空間 Lp(Ω) と呼ばれる。ルベーグ空間は何れも完備になる（が、もし上記の積分をリーマン積分としたならば、空間は完備にならない。これがルベーグ積分論を考えることの正当性の一つとして挙げられる理由の一つである）。具体的に書けば、任意の可積分函数列 f1, f2, ... で 
|fn|p < ∞ となるものが、条件
を満足するならば、適当な函数 f(x) でベクトル空間 Lp(Ω) に属するものが存在して
を満たすようにすることができる。
函数自体だけでなくその導函数にも有界性条件を課すことでソボレフ空間の概念が導かれる。
完備な内積空間はダフィット・ヒルベルトに因んでヒルベルト空間 (英: Hilbert space) と呼ばれる。自乗可積分函数の空間 L2(Ω) に
で定義される内積（ただし g(x) は g(x) の複素共役とする）を入れたものは主要なヒルベルト空間の例である。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
定義によりヒルベルト空間における任意のコーシー列は極限を持つから、逆に与えられた極限函数を近似するという適当な性質を持つ函数列 fn を求めることが重要になる。初期の解析学では、テイラー近似の形で可微分函数 f の多項式列による近似が確立された。ストーン＝ヴァイアシュトラスの定理により、[a, b] 上の任意の連続函数は適当な多項式列によりいくらでも近く近似できる。三角関数を用いた同様の近似法は一般にフーリエ展開と呼ばれ、工学において広く応用される（#フーリエ変換節を参照）。より一般に、またより概念的に言えば、これらの定理は「基本函数族」とは何であるかということを端的に記述するものになっている。あるいは抽象ヒルベルト空間においてどのような基本ベクトル族が、ヒルベルト空間 H を位相的に生成するに十分であるかをいうものである。ここで、位相的に生成する（あるいは単に生成する）とは、それらの位相的線型包と呼ばれる、線型包の閉包（即ち、有限線型結合およびその極限）が、全体空間に一致することである。そのような函数の集合は H の基底（あるいはヒルベルト基底）と呼ばれ、基底の濃度はヒルベルト空間 H のヒルベルト次元と呼ばれる。これらの定理は適当な基底函数族が近似の目的で十分性を示すことのみならず、グラム・シュミットの正規直交化法を用いて正規直交基底が得られることも意味している。そのような直交基底は、有限次元ユークリッド空間における座標軸をヒルベルト空間に対して一般化したものと考えることができる。
ベクトル空間 付加構造を備えたベクトル空間
様々な微分方程式に対して、その解をヒルベルト空間の言葉で解釈することができる。例えば物理学や工学におけるかなり多くの分野でそのような方程式が導かれ、特定の物理的性質を持つ解が（しばしば直交する）基底函数族としてよく扱われる。物理学からの例として、量子力学における時間依存シュレーディンガー方程式は、その解が波動関数と呼ばれる偏微分方程式として、物理的性質の時間的な変化を記述する。。エネルギーやモーメントのような物理的性質に対する明確な値は、ある種の線型微分作用素の固有値とそれに属する固有状態と呼ばれる波動函数に対応する。スペクトル定理は、函数に作用する線型コンパクト作用素を、それらの固有値と固有函数を用いて分解することを述べるものである。
一般のベクトル空間は、ベクトルの間の乗法を持たない。二つのベクトルの乗法を定める双線型写像を付加的に備えたベクトル空間は、体上の多元環と言う。主な多元環は、何らかの幾何学的な対象の上の函数の空間から生じる。体に値をとる函数は、点ごとの乗法を持ち、それら函数の全体が多元環を成すのである。例えば、ストーン＝ヴァイアシュトラスの定理は、バナッハ空間にも多元環にもなっているバナッハ環において成立する。
可換多元環は一変数または多変数の多項式環を使ってたくさん作れる。可換多元環の乗法は可換かつ結合的である。これらの環およびその剰余環は、それが代数幾何的対象上の函数の環となることから、代数幾何学の基礎を成している。
別の重要な例はリー環である。リー環の乗法（x, y の積を [x, y] と書く）は可換でも結合的でもないが、そうなることは制約条件
によって制限されている。リー環の例には、n-次正方行列全体の成すベクトル空間に、行列の交換子 
[x, y] = xy − yx を積としたものや、R3 にクロス積を入れたものなどが含まれる。
テンソル代数 T(V) は任意のベクトル空間に積を導入して多元環を得るための形式的な方法である。T(V) はベクトル空間としては、単純テンソルあるいは分解可能型テンソルと呼ばれる記号
によって生成される（ただし、テンソルの階数 n は任意に動かすものとする）。乗法は二つのベクトル空間に対してテンソル積を定義するときとほとんど同じで、基底元についてはそれらの記号をテンソル積 ⊗ で結合することで与え、一般には加法に対する分配法則を以って基底元に対する積を延長する。スカラー倍の積は ⊗ と可換であるものとする。こうして得られる T(V) においては、一般に v1 ⊗ v2 と v2 ⊗ v1 との間には何の関係も成立しない。この二つの元を強制的に等しいものと定めると対称代数 S(V) が、あるいは強制的に 
v1 ⊗ v2 = − v2 ⊗ v1 と置けば外積代数  がそれぞれ得られる。
基礎とする体 F を明示したい場合には、F-多元環あるいは F-代数という言葉がよく用いられる。
ベクトル空間 応用
ベクトル空間の多様体に対する応用は様々な状況で生じてくる。つまり多様体上で定義され、ある体に値をとる函数を考えれば、そこにはベクトル空間が生じるのである。そのようなベクトル空間を考えれば、解析学や幾何学における問題を取り扱う枠組みが提供される。またそういったベクトル空間はフーリエ変換などにおいても利用される。ここで挙げた例は網羅的なものではなく、例えば数理最適化など、ほかにももっと多くの応用が存在する。ゲーム理論のミニマックス法は全てのプレイヤーが最適な試行を行うことができるならば一意的なペイが得られることを述べるもので、これはベクトル空間法を用いて証明できる。表現論は、よく分かっている線型代数学およびベクトル空間に関する内容を、群論など他の領域に実り豊かに引き写すものである。
シュヴァルツ超函数 (英: distribution) は、各「試験」函数（典型的には、関数の台を持つ滑らかな関数）に数を連続的な仕方で割り当てる線型写像をいう。即ち、シュヴァルツ超函数の空間は、試験函数の空間の（連続的）双対である。後者の空間には、試験函数 f それ自体のみならずその高階導函数までを考慮するような位相が入っている。シュヴァルツ超函数の典型的な例はある領域 Ω 上で試験函数 f を積分する作用素
ベクトル空間 応用
である。Ω が一点集合{p}のとき、これは試験函数 f に点 p における値を割り当てるディラックのデルタ関数 δ を定める（δ(f) = f(p)）。
シュヴァルツ超函数は微分方程式を解くための強力な道具である。微分は線型であるといったような、解析学の標準的な概念は、自然にシュヴァルツ超函数の空間へ延長することができるから、従って問題の方程式をシュヴァルツ超函数の空間へ引き写すことができて、しかもシュヴァルツ超函数の空間はもとの函数空間よりも大きいから、方程式を解くためにより柔軟な方法が利用できる（例えば、グリーン関数法）。
また、基本解は真の函数でなくシュヴァルツ超函数解（弱解）となるのがふつうであり、弱解から所期の境界条件を満たす方程式の真の解を求めるには、見つかった弱解が実際に真の函数となることを確かめればよく、証明できた場合にはそれがもとの方程式の真の解である（例えばリースの表現定理の帰結である弱形式が利用できる）。
周期関数をフーリエ級数を成す三角関数の和に分解することは物理学や工学においてよく用いられる手法である。台となるベクトル空間は、ふつうはヒルベルト空間 L2(0, 2π) であり、函数族 sin mx および cos mx (m は整数) が正規直交基底を与える。L2-函数 f のフーリエ展開は
ベクトル空間 応用
である。係数 am, bm は f のフーリエ係数と呼ばれ、公式
で求められる。
物理学の言葉で言えば、函数は正弦波の重ね合せとして表され、その係数は函数の周波数スペクトルについての情報を与えるということになる。複素型のフーリエ級数も広く用いられる。
上記の具体的な公式は、より一般のポントリャーギン双対と呼ばれる双対からの帰結である。加法群 R にこの双対性を適用すれば古典的なフーリエ変換が得られる。また物理学では逆格子に応用される。これは有限次元実線型空間に付加的なデータとして原子や結晶の位置を符号化した束を与えたものを基礎の群として双対性を適用したものである。
ベクトル空間 応用
フーリエ級数は偏微分方程式の境界値問題を解くのにも利用される。1822年にジョゼフ・フーリエが初めてこの方法を熱方程式を解くために用いた。フーリエ級数の離散版は標本化において、函数値が等間隔に並んだ有限個の点でしかわかっていないところで用いられる。この場合、フーリエ級数は有限項で、その値は全ての点で標本値に等しい。また、係数全体の成す集合は、与えられた標本列の離散フーリエ変換 (英: DFT : Discrete Fourier Transformation) と呼ばれる。この DFT は（レーダーや音声符号化や画像圧縮などに応用を持つ）デジタル信号処理の重要な道具の一つである。画像フォーマットJPEGは、近しい関係にある離散コサイン変換の応用である。
高速フーリエ変換は離散フーリエ変換を高速に計算するアルゴリズムである。これはフーリエ係数の計算だけでなく、畳み込みを用いて、二つの有限列の畳み込みを計算するのにも利用できる。また、ディジタルフィルタや、巨大な整数や多項式の高速な掛け算アルゴリズム（ショーンハーゲ・ストラッセン法）にも応用できる。
曲面のある点における接平面は、自然に接点を原点と同一視したベクトル空間になる。接平面は接点における曲面の最適線型近似あるいは線型性である。三次元ユークリッド空間の場合でさえ、接平面の基底を指定する自然な方法は点綴的には存在せず、またそれゆえに接平面は、実数ベクトル空間というよりはむしろ抽象ベクトル空間として考えられる。接空間はより高次元の可微分多様体への一般化である。
リーマン多様体はその接空間が適当な内積を備えた多様体である。そこから得られるリーマン曲率テンソルは、それ一つでその多様体の全ての曲率を表すことができるもので、一般相対性理論では例えば時空の質量とエネルギー定数を記述するアインシュタインテンソルなどに応用がある。リー群の接空間は自然にリー環の構造を持ち、コンパクト群の分類に用いることができる。
ベクトル空間 一般化
ベクトル束は位相空間 X によって連続的に径数付けられたベクトル空間の族である。より明確に言えば、X 上のベクトル束とは、位相空間 E であって、連続写像
を持ち、X の各点 x においてファイバー V = π−1(x) がベクトル空間を成すようなものを言う。dim V = 1 ならば直線束という。任意のベクトル空間 V に対し、射影 X × V → X は直積 X × V をファイバー束にする。X 上のベクトル束は、局所性のある（固定された）ベクトル空間 V と X との直積でなければならない。つまり、X の各点 x に対して x の適当な近傍 U を選んで、π の π−1(U) への制限が自明束 U × V → U に同型となるようにすることができる。これらの局所自明性にもかかわらず、ベクトル束は巨視的には（台となる位相空間 X の形に依存して）「捻じれ」ているのである。つまり、ベクトル束は自明束 X × V （と大域的に同型）である必要はない。例えば、メビウスの帯は（円周を実数直線上の半開区間と同一視することによって）円周 S1 上の線束と見做すことができるが、しかしこれは円筒 S1 × R とは異なる。後者は向き付け可能性だが、前者はそうではない。
ベクトル空間 一般化
ある種のベクトル束の性質は、台となる位相空間についての情報を提供する。例えば、接空間の集まりからなる接束は可微分多様体の点によって径数付けられる。円周 S1 の接束は、S1 上に大域的な非零ベクトル場が存在するから、大域的に S1 × R に同型である。対照的に、毛玉の定理により、二次元球面 S2 上の接ベクトル場で至る所消えていない者は存在しない。K-理論は同じ位相空間上の全てのベクトル束の同型類について研究するものである。深い位相的かつ幾何学的な観察に加えて、この理論には実有限次元多元体の分類（そのようなものは R, C のほかは四元数体 H と八元数体 O しかない）というような純代数学的な帰結も存在する（フルヴィッツの定理を参照）。
可微分多様多の余接束は、多様体の各点において接空間の双対である余接空間が対応するベクトル束である。余接束の切断は1-形式 (1-form) と呼ばれる。
ベクトル空間 一般化
ベクトル空間が体に対するものであるように、加群 (英: modules) の概念は環に対するものである。これはベクトル空間の公理において体 F とするところを環 R で置き換えることで得られる。加群の理論はベクトル空間のそれと比べて（環の元に必ずしも逆元が存在しないことで）より複雑なものになっている。例えば加群は、Z-加群（つまりアーベル群）としての Z/2Z のように、必ずしも基底を持たない。基底を持つような加群（ベクトル空間もそう）は自由加群と呼ばれる。にも拘わらずベクトル空間は、係数環が体であるような加群として簡単に定義することができて、その元をベクトルと呼ぶ。可換環の代数幾何学的解釈は、それらの環のスペクトルを通じて、ベクトル束の代数的な対応物である局所自由加群の概念などを展開することを可能にする。
大雑把に言うと、アフィン空間 (英: affine space ) というのはベクトル空間からその原点をわからなくしたものである。より正確には、アフィン空間とは自由かつ推移的なベクトル空間の群作用を備えた集合を言う。特にベクトル空間は、写像
ベクトル空間 一般化
を考えることによって、自身の上のアフィン空間となる。W をベクトル空間とするとき、W のアフィン部分空間とは、固定したベクトル x ∈ W によって線型部分空間 V を平行移動することによって得られるものを言う。この空間は x + V（V による W の剰余類）であり、v ∈ V に対する x + v の形のベクトル全てからなる。重要な例は、非斉次の線型方程式系
の解空間である。これは斉次の場合、つまり 
b = 0 の場合を一般化するものである。この解空間は、方程式の特殊解 x と、付随する斉次方程式の解空間（つまり A の核空間）V に対するアフィン部分空間 x + V である。
固定された有限次元ベクトル空間 V の一次元線型部分空間全体の成す集合は射影空間と呼ばれる。これは平行線が無限遠において交わるという概念の定式化に用いられる。グラスマン多様体および旗多様体はそれぞれ、決まった次元 k の線型部分空間および旗と呼ばれる線型部分空間の包含列を径数付けることによる、射影空間の概念の一般化である。
ベクトル空間 一般化
順序体（特に実数体）上で、凸解析の概念を考えることができる。最も基本的なものは、非負線型結合全体からなる錐、および和が 1 となる非負線型結合全体からなる凸集合である。凸集合はアフィン空間の公理と錐体の公理を組み合わせたものとして見ることができ、これは凸集合の標準空間である n-単体が超平面と象限との交わりであることを反映したものになっている。このような空間は特に線型計画問題において用いられる。
普遍代数学の言葉で言えば、ベクトル空間はベクトルの有限和に対応する係数の有限列全体の成す普遍ベクトル空間 K∞ 上の代数であるが、一方アフィン空間はここでいう（和が 1 の有限列全体の成す）普遍アフィン超平面上の代数であり、また錐体は普遍象限上の代数、凸集合は普遍単体上の代数である。これは、「座標に対する（可能な）制限和」を用いて公理を幾何化したものである。
線型代数学における多くの概念は凸解析における対応する概念があって、基本的なものとしては基底や（凸包のような形での）生成概念など、また重要なものとしては（双対多角形、双対錐と極錐、双対問題のような）双対性などが含まれる。しかし線型代数学において任意のベクトル空間やアフィン空間が標準空間に同型となるのとは異なり、任意の凸集合や錐体が単体や象限に同型となるわけではない。むしろ単体から多面体の上への写像が一般化された重心座標系によって常に存在し、またその双対写像として多面体から（面の数と等しい次元の）象限の中への写像がスラック変数によって存在するが、これらが同型となることは稀である（ほとんどの多面体は単体でも象限でもない）。
アーベル群
数学、特に抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）とは、交換法則を有する群である。マグマの分類の一つである。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。
アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。
一般に可換群は非可換群に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。
アーベル群 定義
集合 G に二項演算（"*" と書くことにする）が定義されていて、以下の条件
（ただし、a, b, c は G の任意の元）を全て満たすとき、G と演算 "*" の組 (G, *) をアーベル群という。考えている演算があきらかなときは省略して単に G をアーベル群と呼ぶ。
アーベル群ではしばしば演算子を "+" と記す。このとき単位元を零元と呼んで 0 などで表し、逆元も −a のように負符号を用いて表してマイナス元あるいは反数ともよぶ。また、a + (−b) は a − b と書かれ、a から b を引くという減法が定義される。このような記法を加法的な記法と呼び、対して先に述べたような通常の群でよく使われる記法を乗法的な記法ということがある。アーベル群の定義を加法的に記せば
のようになる。
アーベル群 例と反例
乗法に関し、有理数全体の集合 Q は 0 の逆元が無いので群にならないが、Q から 0 を除いた集合（これを慣習的に Q* と書く）で乗法を考えたものは群になり（乗法群と言われる）、これもアーベル群の例である。同様に、0 以外の実数全体 R* や 0 以外の複素数全体 C* も乗法に関してアーベル群となる。また例えば 0 以外の整数の全体 Z* は乗法に関して群にはならないが、その部分集合 {±1} は乗法に関するアーベル群である。
アーベル群 性質
自然数 n と加法的に書かれたアーベル群 G の元 x に対して、x の n-重累加（n 個の和）を nx = x + x + ⋯ + x とし、(−n)x = −(nx) と定めれば、これにより、 G を  "整数全体の成す可換環 Z 上の加群" とみなすことができる。実は Z-加群の概念をアーベル群の概念と同じものと考えることができる。
（主イデアル整域たる Z 上の加群としての）アーベル群に関する諸定理は、しばしば任意の主イデアル整域上の加群に関する定理にまで一般化することができる。その典型が有限生成アーベル群の分類定理であり、これをPID上有限生成加群の構造定理の特別の場合とみることができる。有限生成アーベル群の場合、この定理によりそのような任意のアーベル群がねじれ群と自由アーベル群の直和に分解できることが保証される。そのときのねじれ群は、適当な素数 p に対する素冪位数巡回群 Z/pkZ の形の群の有限個の直和であり、自由アーベル群は無限巡回群 Z の有限個のコピーの直和になっている。
アーベル群 性質
アーベル群の間の二つの群準同型 f, g: G → H に対し、それらの和 f + g は (f + g) (x) = f(x) + g(x) (∀x ∈ G) で定義され、これもまた一つの群準同型を与える（これが準同型となるために H の可換性は必要である）。これにより、G から H への群準同型全体の成す集合 Hom(G, H) はそれ自身ひとつのアーベル群となる。
ベクトル空間の次元のようなものとして、任意のアーベル群は階数と呼ばれるものを持つ。整数の加法群 Z および有理数の加法群 Q は階数 1 であり、Q の任意の部分群についても同様である。
一般の群 G の中心 Z(G) は G の任意の元と交換する G の元全体の成す部分群であった。明らかに群 G が可換であるための必要十分条件は G が中心 Z(G) に一致することである。中心 Z(G) は必ず G の特性部分アーベル群となる。中心で割った剰余群 G/Z(G) が巡回群ならば G はアーベルである。
アーベル群 有限アーベル群
整数全体のなす加法群の法 n に関する剰余類の成す巡回群 Z/nZ は有限アーベル群のもっとも単純な例として挙げることができるが、逆に任意の有限アーベル群は適当な素数冪に対するこの形の有限巡回群の直和に同型であり、そのときそれら直和因子の位数は全体として一意に決定され、与えられた有限アーベル群の不変系 (complete system of invariants) と呼ばれる。有限アーベル群の自己同型群はその不変系によって直接的に記述することができる。有限アーベル群の理論はフロベニウスとシュティッケルベルガーの1879年の論文に始まり、のちに整理され主イデアル整域上の有限生成加群にまで一般化されて、線型代数学の重要な章を成すものとなった（単因子論）。
素数位数の任意の群は巡回群に同型であり、ゆえにアーベル群である。また、位数が素数の平方であるような任意の群はアーベル群となる。実は任意の素数 p に対して位数 p2 の群は、同型を除いて Z/p2Z と Z/pZ × Z/pZ のちょうど二種類しかない。
アーベル群 有限アーベル群
有限アーベル群の基本定理
任意の有限アーベル群 G は素冪位数の巡回群の直和に表される。
これは有限生成アーベル群の基本定理の特別の場合（階数 0 の場合）である。位数 mn の巡回群 Z/mnZ が Z/mZ と Z/nZ の直和に同型となるための必要十分条件は m と n が互いに素となることである（中国の剰余定理）。これにより任意の有限アーベル群 G が
なるかたちの直和に同型となることが従うが、位数 ki に関しては標準的に二種類：
の仮定のうちの何れかを課すことで一意に定まる。
アーベル群 無限アーベル群
もっとも単純な無限アーベル群は無限巡回群 Z である。任意の有限生成アーベル群 A は Z の適当な r 個のコピーと有限個の素冪位数巡回群の直和に分解可能なアーベル群との直和に同型である。この場合、分解は一意ではないけれども、上記の定数 r は一意に定まり（A の階数と呼ばれる）、分解に現れる素数冪は全体として有限巡回直和因子すべての位数を一意的に決定する。
アーベル群 無限アーベル群
これと対照に、一般の無限生成アーベル群の分類は完全とは程遠いものしか知られていないことを理解しなければならない。可除群（任意の自然数 n と a ∈ A に対し方程式 nx = a が常に解 x ∈ A を持つような群 A）は完全な特徴づけが知られている無限アーベル群の重要なクラスの一つである。任意の可除群は、有理数の加法群 Q といくつか適当な素数 p に対するプリューファー群 Qp/Zp を直和因子に持つ直和に同型で、それぞれの種類の直和因子の数は濃度の意味で一意に決定される。さらに言えば、可除群 A が何らかのアーベル群 G の部分群となるとき、A は G における直和補因子を持つ（すなわち、G の適当な部分群 C で G = A ⊕ C なるものがとれる）。したがって、可除群はアーベル群の圏における入射対象であり、逆に任意の入射アーベル群は可除である（ベーアの判定法）。非零可除部分群を持たないアーベル群は被約 (reduced) であるという。
対極的な性質を持つ無限アーベル群の重要な二つのクラスに、ねじれ群とねじれのない群がある。例えば、加法群の商 Q/Z はねじれアーベル群の、加法群 Q はねじれのないアーベル群のそれぞれ例になっている。
ねじれ群でもねじれのない群でもないアーベル群は混合群 (mixed group) という。アーベル群 A とその（最大）ねじれ部分群 T(A) に対して、剰余群 A/T(A) はねじれがない。しかし一般に、ねじれ部分群は A の直和因子とは限らない（つまり A は T(A) ⊕ A/T(A) に同型でない）から、混合群の理論はねじれ群とねじれのない群の理論を単純に合わせればよいという話にはならない。
ニールス・アーベル
ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel ノルウェー語: [ˈɑ̀ːbl̩]、1802年8月5日 - 1829年4月6日）は、ノルウェーの数学者。
ニールス・アーベル 業績
1818年に、数学教師ベルント・ミハエル・ホルンボエに出会ってから、数学に興味を抱くようになった。友人達とヨーロッパ中を回って長く遊学し、オーガスト・レオポルト・クレレと知遇を得て、クレレの雑誌に多数の研究論文を掲載した。ヤコビやルジャンドルはアーベルの業績を認めていたが、ガウスはアーベルの研究論文に不快感を示し、コーシーは彼の論文をまともに審査しないまま放置するなど、アーベルには正当な評価が与えられなかった。帰国後はクリスチャニア大学に臨時講師を勤めたが、病気（結核及び併発した肝機能障害）のために26歳で死去した。死去する数か月前にパリ科学アカデミーへ提出した「超越関数の中の非常に拡張されたものの一般的な性質に関する論文」は、死後に高く評価された。
5次以上の代数方程式には、冪根 n√ と四則演算だけで書けるような一般的な解の公式が存在しないことに、初めて正確な証明を与えた。この業績についてはアーベル以前にもパオロ・ルフィニの重要な貢献があるが、ルフィニによる証明は必ずしも完全ではなかったとされている。
ニールス・アーベル 業績
アーベルが中心的に扱ったのは楕円関数とアーベル関数に関する研究である。アーベルはガウスの著作にある、レムニスケートの等分問題から楕円積分の逆関数の研究に取り組み、ガウスの研究（完璧主義のため、生前には公表されなかった）を独自に発見することになった。楕円関数論のアーベルの定理とは、楕円関数の極と零点に関する合同式である。研究上のライバルであったヤコビはアーベルの論文を目にして「私には批評もできない、大論文」と最大限の賛辞をおくったといわれる。ヤコビはアーベルの定理を利用してヤコビの逆問題を示して、その後の研究の目標を新たに与えることになる。
可換な群を指す「アーベル群」など数学用語にも名を残している。無限級数の収束に関するアーベルの定理も著名だが、他にも無限級数の一様収束を初めて注意したことで知られる。
その他にも、アーベル方程式、アーベル積分、アーベル関数、アーベル多様体、遠アーベル幾何学などアーベルの名を冠している数学用語は多い。
方程式が可解であるための条件を明らかにしたガロアとともに、若くして悲劇的な死をとげた19世紀の数学者として広く知られている。
死後の1830年には、フランス学士院数学部門大賞を受賞した。
彼の名を冠する賞として、アーベル賞が2001年に創設された。またアーベルの肖像は長期にわたってノルウェーの500クローネ紙幣に描かれていた。
ジャン＝ピエール・セール
ジャン＝ピエール・セール（フランス語: Jean-Pierre Serre, フランス語: [sɛʁ]、1926年9月15日 - ）は、フランスの数学者。ブルバキのメンバー。
ジャン＝ピエール・セール 略歴
1948年、パリ高等師範学校卒業。1951年にパリ第4大学パリ・ソルボンヌで博士号を取得。アンリ・カルタンに学び、はじめは複素解析や代数トポロジーを研究した。
28歳（最年少）でフィールズ賞を受賞。その後代数幾何学に傾倒していき、グロタンディークに多くの示唆を与え、SGA4&5で作成された道具がヴェイユ予想に大きく貢献した。1956年にコレージュ・ド・フランス代数と幾何学講座教授就任。1994年にコレージュ・ド・フランス名誉教授。
ジャン＝ピエール・セール 略歴
業績として代数トポロジーにおけるスペクトル系列を発展させた（Leray–Serreのスペクトル系列）。SerreのC理論による球面のホモトピー群の研究。GAGA (Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique) で代数幾何において複素解析幾何学的手法を導入し、大きな成功を収めた。FAC (Faisceaux algébriques cohérents)を発表し、代数的連接層を構築。層の言葉とホモロジーを用いて代数幾何学、可換環論の書き直し、層係数コホモロジーを構成した。整数論における l 進表現論において、楕円曲線、L関数、モジュラー形式、アーベル多様体などに応用し多くの成果をあげた。p 進モジュラー形式の理論の構成、類体論への貢献、代数的K-理論への貢献。アーベル多様体に関するSerre–Tate理論。その他にリー群などにも業績がある。
サン・マイクロシステムズ
サン・マイクロシステムズ（英: Sun Microsystems）は、アメリカ合衆国カリフォルニア州サンタクララに本社を置いていたコンピュータの製造・ソフトウェア開発・ITサービス企業である。2010年1月27日にオラクルにより吸収合併され、独立企業・法人としては消滅した。
サン・マイクロシステムズ 概要
サンの名前は、Stanford University Networkの頭文字 SUN から来ており、スタンフォード大学で校内のネットワーク用のワークステーションを独自に開発したアンディ・ベクトルシャイムが、スコット・マクネリ、ビノッド・コースラらとともに会社を創立したのが始まり。創立に際してカリフォルニア大学バークレー校でBSD UNIXを開発していたビル・ジョイを創立メンバーに招いた。創立した1982年から数年で世界企業へと成長した。以下、その中心的製品であった、Sunワークステーションについて少し述べる。
マイクロプロセッサには、当初は68000系を使っていた（これは同時代に他にも多数あらわれた「JAWS」と呼ばれるワークステーションと同様で、手堅い選択と言える）。後に自社開発のSPARCに切り換え、高い性能対価格比で他社製品に対し強い競争力を確保した。
サン・マイクロシステムズ 概要
やはり同時代の他の多くのワークステーションと同様に主要オペレーティングシステム (OS) としてUnix系を採用したが、サンは特にBSDに強いメーカとして、BSDの著名な開発者の一人であったビル・ジョイを特別待遇で雇ったことなどが知られる。そのSunOSは、後に、UNIX戦争でUNIX InternationalとしてAT&Tと共同したため「System Vベースに変更されたSolaris」というように市場向けには宣伝されたが、実際のところはOS添付のGUIなどを含めたシステム全体の商品名が「Solaris」で、そのベース部分はSunOSそのものである。psコマンドのオプションなどわかりやすい部分において、デフォルトではSystem V風に改修された動作をするが、実際の所はBSDであった（コマンドなどは両方が実際には用意されていて、PATHでそちらを先に指定するだけで切り換えられた）。SunOSもまた、Sunワークステーションの魅力であった。
自社の技術を公開したりライセンスしたりすることが多く、それ以前の（あるいは一部のメーカには今も蔓延る）閉鎖主義を打ち破った「オープンシステム」の旗手であった。
日本では富士通が提携メーカとして知られ、特にSPARCに関しては製造の請負のみならず、独自の拡張ISAとマイクロアーキテクチャによる製品までもを作っており、「京」のプロセッサコア等が著名である。
Javaはビル・ジョイを中心としたチームにより開発された。
2000年9月には、インテル系のCPUとLinuxの組合せのサーバを販売していたコバルトシステムを買収し、インテル系のCPUとLinuxを組み合わせたサーバが2001年からサンから販売された。2005年にはStorageTek （STK）、2008年1月にはMySQLの買収を発表した。
サン・マイクロシステムズ 歴史
UNIX戦争に伴う各ベンダとの競合状態において、ビル・ジョイなどのUNIX神話に名を残したスーパーエンジニアの功績やいち早いインターネットに向けたサーバ群の取り組みによりアメリカ合衆国を中心とする世界市場において、1990年代前半、サンは一人勝ちの様相を呈した。
日本市場では富士通・東芝・CTCなどと提携し、通信系や企業基幹系に浸透しつつあったUNIX市場において、その価格性能比と知名度で進出した。その結果、日本市場では競合するHP・日本電気陣営や、IBM・日立陣営などと並び、有力な商用UNIX系ベンダーとなった。
90年代後半までの一人勝ちの状況以降、元々の企業規模がそれほど大きくなく、先進性で売り上げを上げるにも研究開発費の大規模な調達ができない点、 Javaなどの別技術への投資を集中した点などもあり、その後のUNIXによるエンタープライズ系への対応や処理速度改善において、幾つか決定的な後れを取ってしまう。
インテル製CPUの動作周波数の向上や開発資源への大規模な投資により高性能化したPCにUNIX陣営は追い込まれつつあった。特に、RISC陣営でもMIPSテクノロジーと同様に自社でのCPU製造を行わないサンは、急速な開発期間の短縮や新規テクノロジーの適用において、後れを取り始める。
サン・マイクロシステムズ 歴史
その結果、UltraSPARC IIが主力であった頃、IBMやHP、DECといったRISC陣営の競合CPUと比較して、UltraSPARC IIが著しく遅く、他社のメインストリームサーバとの比較による受注の大量減少をさけるため、業界標準ベンチマークとなっていたTCPベンチマーク値の公開を取りやめている。
また、基本比較値として残さざるを得なかったSPECといった基本ベンチマークにおいても、インテルのXeonと比較された際に同等レベルを維持するのがやっとの状態にまで追い込まれていた。
UNIXのエンタープライズ分野においては、唯一対応の早かったサーバの仮想化技術の延長線上にある論理区分による同一筐体内複数パーティションの機能も、HPやIBMは1年もせずに同等以上の機能を提供してきたため、基幹系における導入シェアを大きく上げる要因にはならなかった。
これにより、大規模なエンタープライズ市場において、当初はHPに、近年はIBMに巻き返され、他商用UNIXとの横並び若しくはそれ以下となっている（詳しくは、CIRCUS・Solaris・論理ボリュームマネージャの項目を参照）。
サン・マイクロシステムズ 歴史
また、オープンソースOSであるGNU/Linuxによるネットワーク系サーバの置き換え、および比較的安価な基幹用サーバの置き換え需要にさらされ、商用UNIXで最もダメージを受けたOSと評されており、火急の対処が必要とされていた。
一旦、後れを取ったCPUの高性能化やエンタープライズ分野への新たな訴求としてSolaris自体のオープンソース化が進められている。また、CPUに関しても、NiagaraというSPARC III相当のCoreを複数搭載したCPUが登場してきている。
この2点において、現状、次のように評価されている。
このような状況の上、新規CPUのUltraSPARC Vの開発を中止し、多くのエンジニアをレイオフしており、英語版WikipediaにおけるSUNの項目の記載にあるように、ITバブル崩壊後の動きにおいて非常に曖昧模糊とした状態と言える。この状態を抜け出すため、NECからSI・HPC分野のアライアンスを取り付け、富士通との関係もさらに深めようとしている。しかし、グリッドに対するスタンスの違いや汎用京速計算機など国内プロジェクトへの国産ベンダの方向性は明らかにサンと袂を分かつ方向に向けられており、多くの識者からは非常に厳しい見方をされている。
サン・マイクロシステムズ 歴史
サンの革新性は、IT業界のビジネスモデルの変更を迫る内容も多いことから常に風当たりが強いが、多くの革新的エンドユーザーやITの本質を追究する研究者や技術者からは高い評価を受けており、IT業界において新たなテクノロジーの創作によりIT業界や市場や社会に大きな変革や影響をもたらした企業として認識されている。サンという企業自体のファンがいることも、他のITベンダーとは異なるところである。
2004年4月には長年の宿敵とされたマイクロソフトとの和解と提携を発表し、以後は相互運用性の向上を図っている 。更に2004年6月には富士通との提携を拡大し、次期SPARC/Solarisサーバの共同開発を発表した。今後のハードウェア開発は富士通、ソフトウェア開発はサンという役割分担とされる。
サン・マイクロシステムズ 歴史
2009年3月18日にはIBMによるサンの買収が交渉中と報道されたが、2009年4月20日には、オラクルによる74億ドルでの買収が発表された。同年9月、オラクルはSPARCやSolarisについて「より一層の投資を確約」する広告を出した。当買収によるデータベース市場などへの独占禁止法上の調査が行われたが、米司法省は8月、欧州委員会は2010年1月21日に、当買収を承認し同月27日に買収が完了した。買収後、オラクルの完全子会社としてわずかの間存在したが、同年2月にオラクルの子会社であるオラクルUSA （Oracle USA, Inc.） と合併しオラクル・アメリカ （Oracle America, Inc.） となった。
そもそもサンは数あるITベンダーの中でも、多額の投資によって開発した先進的な技術を独占的に使用しようとするのではなく「業界全体の進歩のため」という理由で惜しげもなく公開してしまうという極めてオープンなスタンスを取っていた。また、オープンソース系のコミュニティに対する支援にも極めて積極的であり、そのような姿勢が多くの技術者から支持を受けていたことが同社の経営上の資産でもあった。しかしながらそれらの技術者たちは、比較的クローズドな戦略が目立つ合併先のオラクルに対して決していい印象を持っている者ばかりとは言えない。実際に、OSであるSolaris本体、パッチの有償化などの大きな方針転換が行われたことや、競合となったヒューレット・パッカード社のハイエンドサーバー向けのCPU、Itaniumに対する全てのソフトウェアの開発中止が発表されるなど、IT企業として決して非常識ではないものの、従来のサンではまず考えられないような戦略が次々と展開されていることから、従来からのファンの「サン離れ」が懸念される状況となっている。
また一方で、サンの強力なハードウェア上にそのアーキテクチャに高度にチューニングされたOracleデータベースをすでにインストールした状態で出荷されるデータベース専用ハードウェア、Exadataシリーズが発表され、極めて好調な売り上げを記録しているなど、合併による相乗効果も着実に上がっており、市場関係者からはこの合併を高く評価する声も多い。
サン・マイクロシステムズ 自由ソフトウェアとの関係
SunOSは、BSD版UNIXを基にしたもので、このBSD版UNIXのライセンスはGPLの基になった自由ソフトウェアライセンスであった。
当初のBSD UNIXはAT&Tのライセンスを必要としたが、独自のコードと実装を進め、その後のAT&Tとのライセンス交渉において、AT&TのUNIXライセンスに縛られないものとなった。その際にカリフォルニア大学バークレー校で拡張互換UNIX開発チームが書いたコードは、多くのUNIXの実装に影響を与えている。
この開発チームにて実装やソースのレビューとレベルチェックやリポジトリを管理していたのが、Cshの開発やUNIXの実装に大きな影響を与え、スーパーエンジニアとしても有名なビル・ジョイであった。
つまり、自由ソフトウェアを中心としたLinuxやGNUの思想は、サンの遺伝子を色濃く残したもので、サンと自由ソフトウェアの親和性の高さは、こういった歴史的な経緯から来ている。
また、NFSはサンにより作られたネットワーク・ファイルシステムの規格であるが、サンからNFSのライセンスを受けるとSunOSのソースコードが送られて来ていた。現在のLinuxなどで使われているNFSは独自のフリーな実装が使われている。
サン・マイクロシステムズ 自由ソフトウェアとの関係
NISもサンにより開発され、アカウントなどの集中管理用として他社UNIXやLinuxにも採用されている。
Solarisのデスクトップ環境として 以前から利用していたCDEからGNUプロジェクトの自由ソフトウェアであるGNOMEに変更するなど、既存のオープンソースソフトウェアと連携した動きも多い。GNOMEの開発の中心にいる企業Ximianに出資していた。また、以前はLinuxに対して非協力的であったが、最近は自社製品にLinuxを搭載している。
OpenOffice.orgを、自由ソフトウェアかつコピーレフトのGNU LGPLで公開している。OpenOffice.orgは豊富な機能を持ったオフィススイートで、多くのプラットフォーム （OS） をサポートしオープンソース運動を加速している。サンはOpenOffice.orgの成果をもとに、ソース非公開の StarOffice（日本ではNECが既に商標をとっていたためStarSuite）を開発し販売している。なお、StarOfficeは教育機関などに向けての無料ライセンスもある。
サン・マイクロシステムズ 自由ソフトウェアとの関係
OpenOffice.orgのベースとなったStarOfficeは当初、ドイツのソフトウェア会社StarDivisionで開発されていたソフトウェアで、サンは同社を買収した後すぐにオープンソースプロジェクトとして公開し注目を集めた。当初はSun業界基準使用許諾（SISSL）と呼ばれるサン独自のオープンソースライセンスとGNU LGPLとのデュアルライセンスであったが、2005年9月2日にSISSLを廃止し、GNU LGPLに一本化した。
Sun ONE - One : Open Network Environment
オラクルによる買収後、サンのMySQL創業者がスピンオフしてMariaDBを立ち上げたほか、OpenOffice.orgも開発者の一部が離脱してLibreOfficeを立ち上げるなど、プロジェクトの分裂が相次いでいる。その他Javaなど今後への懸念も報道されている。これに対してはオラクルも、2011年6月にOpenOffice.orgをApacheソフトウェア財団に寄贈するなど（現在のApache OpenOffice）、一部プロジェクトについてオープンソースコミュニティへの移管を行うことで、懸念解消に務めている。
サン・マイクロシステムズ シンクライアントベンダとして
サンはシンクライアントに早くから取り組んでおり、1996年ごろにJavaStation（2004年～2006年に販売されていたJava Workstationと全く異なる）を発売した。そして1999年からSun Rayシリーズを販売していたが、2013年に開発終了し、2017年にサポートを終了した。
Sun Rayシリーズでは、特筆すべきこととして、ICカードを抜き差しするだけで自分のデスクトップ環境が即座に表示される「ホットデスク」をサポートしていたことである。サンは2004年ごろから（日本法人も含めた）自社社内のほとんどの業務用端末がSun Rayになっているとのことであり、たとえば日本法人に勤務する人が国内のほかのオフィスや米国本社へ出張へ赴くときに席を予約しておき、出張先の席にあるSun Ray端末にICカードを差し込むだけでどこでも自分のデスクトップが表示されるのである。ある社員は（シリコンバレーから日本へのリモート接続であるにもかかわらず）あまりに快適に動作するので「本当に（自分のデスクトップ環境がおいてある）日本のサーバにつながっているのか？」と最初は混乱した旨を吐露している。
サン・マイクロシステムズ シンクライアントベンダとして
さらに2006年にはSun Rayサーバ経由でリモート デスクトップないしターミナル サービスが使えるWindowsとも接続可能になった。2007年1月には無線LANを搭載したノートPCタイプの「2N」を発売した。消費電力が通常のノートPCの半分だという。徐々にではあるが、Sun Rayは国防総省でも採用されるほどセキュリティが高いため自治体や大学などの教育機関や官公庁を中心に納入実績があった。
サン・マイクロシステムズ 日本法人
日本法人のサン・マイクロシステムズ株式会社は東京都世田谷区用賀四丁目10番1号のSBSビルに所在していた。日本法人も、2010年6月1日付で日本オラクル株式会社の兄弟会社である日本オラクルインフォメーションシステムズ株式会社（2012年に合同会社に改組）に統合された。