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バルジの戦い 戦局への影響
ドイツの初期の攻勢は連合国を驚かせ、いくつかは成功したが西部戦線での主導権を奪還するに至らなかった。当初予定していたドイツの目標は達成出来ず、「バルジの戦い」は多くの損害を生み出し、連合国の反撃により、押し戻される結果になった。
しかし、「バルジの戦い」によって西部戦線は完全に歪められ、結果的にドイツは東西から同時にベルリンを攻撃されることを阻止した。1月12日に予定を早めてヴィスワ＝オーデル攻勢を開始したソ連軍に対して、同じ時期のアメリカ・イギリス軍はアルデンヌ戦線内に残存しているドイツ軍と苦闘を重ねながら、「バルジ」を一歩一歩奪還することを余儀なくされていた。また、ドイツ軍の西部戦線への戦力集中は一時的にソ連軍の進撃を容易にし、戦後の東西冷戦のパワーバランスにも少なからず影響を与えた。イギリス首相のウィンストン・チャーチルが1月6日、ソ連の最高指導者ヨシフ・スターリンに東部戦線からドイツに圧力をかけてほしいと要請したこともあって、ソ連軍が西側連合軍を救ったとのプロパガンダにも利用されて、ソ連軍によるベルリン攻略を後押しすることにもなった。戦後にはアメリカが大戦中に行った莫大なソ連へのレンドリースの返済について、「1945年1月のソ連軍の攻勢によってアメリカ軍イギリス軍の危機は取り除かれた」ため、ソ連のアメリカに対する債務は全て消滅したとの主張の論拠にもなった。
バルジの戦い 戦局への影響
この作戦がドイツ軍として公式に完了した1月28日、ヒトラーは「アメリカ軍に甚大な損害を与えた」ことと「この攻勢が切迫していた戦局を極めて大幅に緩和した」と主張した。たしかに連合軍はザール地方への攻勢を諦めざるを得ず、ライン川に向けての最終攻勢を2ヶ月延期することとなったが、「バルジの戦い」による甚大な損害によってライン川地域の防衛は弱体化しており、のちの連合軍の進撃に利することとなった。チャーチルは回想録で「これが戦争最後のドイツ軍の攻撃だった。それは少なからぬ不安を我々に抱かせ、我々の前進を遅らせることにはなったが、結局我々が得をした」「ドイツ軍は損害を補うことができず、これに続くライン川の戦闘は激烈なものではあったが、疑いもなく我々に楽なものとなった」「ドイツ最高司令部、そしてヒトラーでさえ失望したに違いない」と評している。
バルジの戦い 戦局への影響
また、「バルジの戦い」の意外な効果としては、ドイツ軍の攻勢で歩兵師団が大損害を受けたこともあり、アイゼンハワーはアメリカ本国に増援の派遣を要請し、国内で訓練中の6個師団がヨーロッパ戦線に送られたが、そのうち2個師団は太平洋戦線に送られる予定であった師団であり、また、作戦での武器・弾薬の大量消費から、太平洋戦域への補給も一時的に停滞した。太平洋戦域での戦力不足が解消されるには時間を要し、1945年3月に開始された沖縄戦でアメリカ軍は死傷者最大75,753人と「バルジの戦い」に匹敵する大損害を被ったこともあって、日本本土侵攻作戦であるダウンフォール作戦の作戦計画を遅らせることとなった。ダウンフォール作戦の総司令官を務めるはずであったマッカーサーは、朝鮮戦争の際に陸軍参謀総長となっていたブラッドレーと対立して国連軍総司令官を更迭されたが、「バルジの戦い」のブラッドレーの作戦指揮について「ヨーロッパの戦略は愚かにも敵の最強のところに突っ込んでいった」や「彼（ブラッドレー）が指揮をとった「バルジの戦い」における死傷者数は、私がオーストラリアから東京までの南西太平洋全域で被った死傷者数とほとんど変わらない」と批判している。しかし、マッカーサーがフィリピンの奪還で被った損失は、戦闘での死傷者70,669人、戦闘外での傷病者10万人以上と実際にはバルジの戦いを大きく上回っていた 。
また、ヨーロッパへの増援によってアメリカ国内には、アメリカ陸軍の師団は1個もなくなり、戦力不足を補うため、これまでは、人種差別で認めていなかった黒人兵士の戦闘任務への投入が決定され、2,000人以上の黒人兵が戦闘任務を志願している。
バルジの戦い バルジの戦いを題材とした映像作品
『バルジ大作戦』（原題：Battle of the Bulge）
1965年制作のアメリカの戦争映画。「バルジの戦い」を題材としているが、細部はかなりフィクションが入っており、またスペインでのロケーション撮影時に途中から雪が消えてしまい、どこの戦場だかわからなくなってしまっている。ヨアヒム・パイパー親衛隊中佐をモデルとしたドイツ軍の戦車隊指揮官ヘスラー大佐をロバート・ショウが演じている。
『バンド・オブ・ブラザース』（原題：Band of Brothers）
2001年に制作された、第101空挺師団第506パラシュート歩兵連隊第2大隊E中隊の訓練から対ドイツ軍戦勝利・終戦までを描いたスティーヴン・アンブローズのノンフィクション作品を基にしたテレビドラマ。その中の一話は「バストーニュ」のエピソード名からも分かるように（ただし日本語版では『衛生兵』）バルジの戦いのエピソードである。第101空挺師団の包囲されたバストーニュにおける苦闘を描いた回。
二項係数
数学における二項係数（にこうけいすう、英: binomial coefficients）は二項展開において係数として現れる正の整数の族である。二項係数は2つの非負整数で添字付けられ、添字 n, k を持つ二項係数はふつう (nk)と書かれる（これは二項冪 (1 + x)n の展開における xk の項の係数である。適当な仮定の下で、この係数の値は  で与えられる）。二項係数を、連続する整数 n に対する各行に k を 0 から n まで順に並べて得られる三角形状の数の並びをパスカルの三角形と呼ぶ。
この整数族は代数学のみならず数学の他の多くの分野、特に組合せ論において現れる。n元-集合から k個の元を（その順番を無視して）選ぶ方法が (nk) 通りである。二項係数の性質を用いて、記号 (nk) の意味を、もともとの n および k が k ≤ n なる非負整数であった場合を超えて拡張することが可能で、そのような場合もやはり二項係数と称する。
二項係数 歴史と記法
二項係数に関して詳しく知られた最も初期の議論は10世紀ごろハラユーダが古代サンスクリット語で書いた "Pingala's Chandaḥśāstra" である。1150年ごろには、インドの数学者バースカラ2世が著書 "Lilavati" で二項係数について詳しく述べている。
記号 (nk) はアンドレアス・フォン・エッチンクハウゼンが1826年に導入したものである。
そのほかの記法として C⁡(n, k), nCk, nCk, Ckn, Cnk, Cn,k, (n¦m) などがあり、何れも文字 C は組合せ (combination) や選択 (choice) を表している。
二項係数 定義と解釈
自然数（0 も含める）n および k に対し、二項係数 (nk) は二項冪 (1 + X)n の展開における Xk の項の係数として定義できる。同係数は（k ≤ nのとき）二項公式
に現れるため「二項係数」の名がある（この式自体は環の互いに可換な任意の元 x, y に対して成り立つ）。
二項係数 定義と解釈
組合せ論においてもまたこの数は、n 個の対象から k 個選ぶ選び方の総数、より形式的には n元-集合の k元-部分集合（k-項組合せ）の総数として現れる。この数が先に述べた係数と一致することは、後で述べるこの数の計算法の何れとも独立に示すことができる。実際、冪 (1 + X)n における n 個の因子の各々において、一時的に X に対し 1 ≤ i ≤ n なる添字 i をそれぞれ付けて区別しておくと、k 個の添字からなる部分集合をひとつ選ぶ毎に展開後の Xk への寄与が 1 だけあるから、この項の係数はそのような部分集合の選び方の数に一致する。このことは特に (nk) が任意の自然数 n, k に対して自然数となることも示している。二項係数の組合せ論的解釈（二項係数展開が答えを与える数え上げ問題）は多く存在する。例えば、各位の和が k に一致する n桁のビット（つまり各位の数は 0 か 1）の語（文字列）の総数は (nk) で与えられる。また、各 ai が非負整数であるものとして k = a1 + a2 + … + an と書く方法の総数は (n + k − 1n − 1) 通りである。これら解釈のほとんどは、k-組合せを数えることに同値であることが容易に示される。
二項係数 二項係数の値の計算
(nk) の値を、実際に二項冪を展開したり k-組合せを数え上げたりせずに、計算する方法はいくつかある。
一つは、n, k を 1 ≤ k ≤ n − 1 なる自然数として、純加法的な漸化式
を初期条件「任意の n ≥ 0 に対し (n0) = (nn) = 1」の下で用いることである。
この漸化式自体は、集合 {1, 2, 3, …, n} において以下のように場合を分けて k元-集合を数えることで得られる。特定の元に注目し、ここではそれを “i” とする。
この二者で与えられた n 個の元から得られるすべての k-組合せが数え上げられているので所期の結果を得る。
あるいはまた、(1 + X)n = (1 + X)n−1(1 + X) の両辺における Xk への寄与を見ることでもこの漸化式は得られる。(1 + X)n において Xn+1 や X−1 の項は存在しない（あるいは係数が零である）から、二項係数の定義を上記の境界を越えて延長して、(nk) = 0 (k > n ∨ k < 0) とすることもできる。
この漸化式はパスカルの三角形を描くのにも利用できる。
二項係数 二項係数の値の計算
個々の二項係数をより効果的に計算するには
で与えられる式を用いる。一つ目の分数の分子に現れる nk は下降階乗冪である。この公式を理解するには二項係数の組合せ論的解釈に依るのが最も簡明である。分子は n 個の対象からなる集合から選ぶ順番を考慮して相異なる k 個の対象を取り出す方法の総数であり、分母は同じ k-組合せを与える相異なる並びの数を数えるものである。
最後に、計算論的には不利だが、短く書けるのでしばしば証明や導出に用いられるよく知られた階乗函数を用いた式は
で与えられる。ここに n! は n の階乗である。この式は上記の乗法表示式に、分子分母に対して (n − k)! を掛けることで得られる（その結果、この式において分母と分子は多くの共通因数を持つことになる）。（特に階乗は非常に速く増加するから）この式を（k が小さく n が大きい場合に）実際の数値計算に用いることは（先に共通因数を約分しない限り）実用的でない。この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性
を持つことを見るのに適している（二項係数の定義から対称性をもつことは分かる）。この対称性を用いれば乗法的な計算をより効果的にすることもできる。下降階乗冪で書けば
二項係数 二項係数の値の計算
と書ける。
乗法表示を用いれば、n を任意の数 α（負の整数、実数、複素数、……）あるいは任意の整数が可逆となるような可換環の元に取り換えて、
により二項係数の定義を拡張することができる。この定義により、二項定理（の一方の変数を 1 としたもの）も一般化して
と書くことができる。故にこの場合も (αk) を二項係数と呼ぶことは正当化される。この等式は任意の複素数 α と |X| < 1 なる X に対して有効である。これはまた X を不定元とする形式冪級数の等式としても解釈でき、それは実際に定数係数 1 を持つ級数の任意の冪の定義として機能する。この定義を用いるポイントは、冪乗として満足することが期待される全ての恒等式（指数法則）、特に
が満足されることである。α が非負整数 n のとき、k > n なる全ての項は零であり、上記の無限級数は有限和となり、したがってもともとの二項定理が再び得られる。しかし α がそれ以外の値ならば、負の整数や有理数の場合も含めて、上記の級数は実際に無限和になる。
二項係数 パスカルの三角形
パスカルの法則は重要な漸化式
で、これを用いて (nk) が任意の自然数 n, k に対して自然数となること（別な言い方をすれば、連続する k-個の整数の積を k! が割り切ること）を帰納的に示すことができる。これは定義 (∗) や乗法表示からは直ちに明らかなことではない。
パスカルの法則からパスカルの三角形が生じる:
番号 n の行には (nk) の値が k = 0, …, n に対して並べられている。これを書くには、一番外側の 1 から始めて、常に隣り合う２項を加えた数をその真下に書いていけばよい。この方法によって、分数や乗算を使わずに二項係数を手早く計算することができる。
例えば三角形の5行目を見れば
(x + y)5 = 1 x5 + 5 x4y + 10 x3y2 + 10 x2y3 + 5 x y4 + 1 y5
が直ちに読み取れる。
他の対角線上の数との差は、上記漸化式 (3) の帰結として、一つ前の対角線上の数である。
二項係数 解釈
二項係数はよくある数え上げ問題の簡明な公式を与えるという意味で組合せ論において重要である。
二項係数 多項式としての性質
t を不定元として、任意の非負整数 k に対して式
は t に関する有理係数多項式である。この意味において、t には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。
各 k に対し、多項式 (tk) は p⁡(0) = p⁡(1) = … = p⁡(k − 1) = 0 かつ p⁡(k) = 1 を満たす唯一の k次多項式 p(t) として特徴づけることができる。
この多項式の係数は第一種スターリング数を用いて
と表すことができる。この導函数は対数微分法により
と計算できる。
標数 0 の任意の体（すなわち、有理数体 Q を含む体）上で、次数が高々 d の任意の多項式 p⁡(t) は二項係数の線型結合
二項係数 多項式としての性質
として一意に書ける。このときの係数 ak は数列 p⁡(0), p⁡(1), …, p⁡(k) の第 k-階差で与えられ、明示的に書けば
で決まる。
各二項係数多項式 (tk) は整数値（整数を代入したとき必ず整数を返す）である（これは例えばパスカルの等式を用いて k に関する帰納法で示せる）。従って、二項係数多項式の任意の整係数線型結合もまた整数値多項式になる。逆に等式 (4) により任意の整数値多項式がこれら二項係数多項式の正係数線型結合となることが示せる。より一般に標数 0 の体の任意の部分環 R に対し、K[t] に属する多項式が任意の整数において R に値をとるための必要十分条件はそれが二項係数多項式の R-係数線型結合となっていることである。
二項係数 二項係数に関する等式
階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k を正整数、n は任意として
が成り立ち、また少しの計算で
が得られる。さらに言えば以下の結果
は有用である。例えば定数 n に対して以下の漸化式
を得ることができる。
等式
は等式 (∗) において x = 1 かつ y = 1 とすれば得られる。これはパスカルの三角形の各行において現れる全ての数を足し合わせれば 2 の整数冪になると言っても同じである。この事実の組合せ論的解釈は二通りに数える論法 (double counting) で n元-集合 S の位数 i (i = 1, 2, …, n) の部分集合を数えることである。任意の位数 i に対する部分集合を数えているのだから、その和は S の部分集合の総数に等しく、それが 2n であることはよく知られている。すなわち、等式 (∗∗) は n元-集合の冪集合の位数が 2n であることを述べるものである。より明確に、n-桁のビット列を考えれば、このビット列は 2n 個の数を表すことに利用できる。その中で一つも 1 を含まないビット列を考えれば、これは (n0) = 1 通りである。ちょうど一つ 1 を含むビット列は (n1) = n 通りである。このように数えて行けば上記の式を得る。
二項係数 二項係数に関する等式
等式
および
は等式 (2) を x に関して（後者は2回）微分して x = 1 と置けば得られる。
朱ファンデルモンドの等式
は任意の複素数 m, n と任意の非負整数 k に対して成立する。これは (1 + x)m (1 + x)n−m = (1 + x)n の展開における xk の係数として、等式 (2) を用いて求めることができる。m = 1 のとき等式 (7) は等式 (3) に簡約される。
任意の整数 j, k, n (0 ≤ j ≤ k ≤ n) に対して適用できる同様の等式
は、 を用いれば
の展開における xn+1 の係数として求められる。j = k のとき等式 (8) は
となる。展開 (7) を n = 2m, k = m に対して用い、(1) を使えば
を得る。
F⁡(n) で n 番目のフィボナッチ数を表せば、パスカルの三角形の対角和に関する等式
を得る。これは等式 (3) を用いた帰納法、あるいはゼッケンドルフの表現によって示すことができる（左辺は {F⁡(2), …, F⁡(n)} の連続した元を含まない部分集合の総数を与えるものであり、そのようなものはまた F⁡(n + 1) 以下の数の全体を成すということに他ならないことに注意）。組合せ論的証明は後述。
二項係数 二項係数に関する等式
等式 (8) から従う別の等式として、j = k − 1 とおいて ∑n (n + 1 − j)(j − 1k − 1) = (n + 1k + 1) を得る。
∑kj=0 (nj) に対する閉じた式は（超幾何函数を用いなければ）ないが、再び等式 (3) および帰納法により k = 0, …, n − 1 に対して ∑k (−1) j (nj) = (−1)k (n − 1k) を得る。同様に ∑n (−1) j (nj) = 0 を得る（n = 0 の自明な場合は除く。このときは 1 になる）。これ自身は次数高々 n の任意の多項式 P⁡(x) に対する和分差分学における結果∑n (−1) j (nj) P(j) = 0 の特別の場合である。P⁡(x) = x(x − 1)…(x − k + 1) (0 ≤ k < n) に対しては等式 (2) を k 回微分して x = −1 と置けば得られる。一般の場合はこれらの線型結合を作ればよい。
n次以下の多項式 P(x) に対して
が成り立つ。ここで an は P(x) の n次係数である。等式 (11) はより一般に、複素数 m, d に対して
二項係数 二項係数に関する等式
とできる。これは P⁡(x) の代わりに多項式 Q⁡(x) := P⁡(m + d⋅x) とするとき、Q⁡(x) がやはり n次以下の多項式であることと n次係数が dn⋅an であることに注意すれば、等式 (11) を適用して直ちに得られる。
級数
は k ≥ 2 に対して収束する。この等式はドイツの戦車問題を調べるのに利用できる。これを見るには
が成り立つことを M に関する帰納法で示せばよい。
等式 (9) から ∑n i (ni)2 = n/2 (2nn) および ∑n i2 (ni)2 = n2 (2n − 2n − 1) が得られる。
Series multisectionにより、0 ≤ t < s として t を境に s 刻みに取った二項係数の総和と s 項の閉じた形の式の和との間の等式
が示せる。
二項係数を含む多くの等式が組合せ論的に証明することができる。例えば n ≥ q なる非負整数に対して
二項係数 二項係数に関する等式
（q = 1 のとき (6) に簡約される）は、以下のように二通りの仕方で数えて証明できる。左辺は集合 [n] = {1, 2, …, n} の少なくとも q 個の元を含む部分集合を選び、選ばれた元のうち q 個に印をつける方法を数えている。右辺も同じものを数えるのだけれども、n 個の元のうち q 個に印をつける方法が (nq) 通りあり、その各々について印をつけた q 個を含む部分集合を得るには印の付いた q 個に残りの n − q 個の元から任意に追加すればよいから、そのような仕方は 2n−q 通りである。
パスカルの法則
の両辺は集合 [n] の k元-部分集合を数えているのだけれども、右辺は特定の元（例えば n）を含むように選ぶ場合と含まないように選ぶ場合に分けて数えている。
等式 (9), 再掲すると
も組合せ論的に証明できる。2n 個の□を一列に並べ、それらのうちの n 個を選んで印を付けることを考える。そのような方法は (2nn) 通りである（右辺）。他方、そのような n 個の□を選ぶときに、k 個は前半の n 個から、残り n − k 個は後半の n 個から選ぶとして 1 ≤ k ≤ n に亙って考える。これにより ∑n (nk)(nn − k) = (2nn) が得られるから、等式 (1) を適用して所期の結果を得る。
二項係数 二項係数に関する等式
等式 (10) も組合せ論的に証明できる。(n − kk) は、2次元格子上で (0, 0) から (k, n − k) まで、(0, 1) または (1, 1) 刻みで移動して辿った経路の総数を表す。そのことは全部で n − k 個の点を亙るために必ずちょうど k 回だけ (1, 1) 刻みの移動をしなければならないのだから明らかである。さてここでちょうど k 個ある (1, 1) 刻みを (0, 2) 刻みで置き換えると、(0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達することになる。これを 0 ≤ k ≤ ⌊n / 2⌋ なる各 k に亙って考えれば、(0, 0) から (0, 1) 刻みと (0, 2) 刻みを合わせて (0, n) へ到達する方法の総数が数え上げられる。そのような方法の総数が F(n + 1) 通りあることは明らかである。
ディクソンの等式は
あるいはより一般に
で与えられる。ここに a, b, c は非負整数である。
ある種の三角積分は二項係数で表される値を持つ。m, n を非負整数として:
これらはオイラーの公式で三角函数を複素指数函数に変換して、二項定理で展開して項別積分すれば示せる。
二項係数 母函数
固定した n に対して作られる数列 (n0), (n1), (n2), … の通常母函数は
で与えられる。固定した k に対して作られる数列 (0k), (1k), (2k), … の通常母函数は
である。一般の非負整数 n, k に対する二項係数の二変数母函数 は
を満たす。二項係数に対する別の形の二変数母函数は、対称函数として
で与えられる。
二項係数に関する指数型二変数母函数は
となる。
二項係数 可除性
1852年、クンマーは非負整数 m, n および素数 p に対し、(m + nm) を整除する最大の p-冪が pc であるとき、c は m と n を加えるときに生じる p-進表示における繰り上がりの数に等しいことを示した。同じことだが、(nk) における素因子 p の冪指数は k⁄p j の小数部分 が n⁄p j の小数部よりも大きくなるような非負整数 j の総数に等しい。これにより、(nk) が n⁄gcd(n,k) で割り切れることが導かれる。したがって特に、任意の正整数 r および s < pr なる正整数 s に対して p は (prs) を割り切る。しかしより高次の p-冪に対してこれは正しくない（例えば 9 は (96) を割り切らない）。
Singmaster (1974) は「任意の整数がほとんど全ての二項係数を整除する」という幾分驚くべき結果を与えた。より精確に言えば、整数 d を固定して、f⁡(N) は n < N なる二項係数 (nk) のうち d で割り切れるものの総数を表すものとすると、
が成り立つというものである。n < N なる二項係数 (nk) の総数は 1/2N(N + 1) であるから、これは d で整除可能なものの占める密度が 1 に収束することを意味する。
二項係数 可除性
別の事実として、整数 n ≥ 2 が素数となる必要十分条件は、中間二項係数
の全てが n で整除可能なことである。実際、p が素数ならば、0 < k < p なる任意の k に対して p は
を割り切る。これは分子は素因数 p を含むが分母は p を素因数に持たないことによる。n が合成数のとき、p を n を割り切る最小の素因数とし、k = n/p と置けば、0 < p < n かつ
は n で割り切れない。仮に割り切れるとすると分子 k(n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) が n = k × p で割り切れることになり、それは (n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) が p で割り切れる場合しかありえないが、n は p で割り切れるのだから、p は n − 1, n − 2, …, n − p + 1 を割り切らず、p は素数だから従って (n − 1)(n − 2) × … × (n − p + 1) も割り切らず、それゆえ分子が n で割り切られることもない。
二項係数 上界・下界と漸近公式
(nk) に関して以下の評価
が 1 ≤ k ≤ n に対して成立する。スターリングの近似からは √n (2nn) ≥ 22n−1, 一般に
が m ≥ 2 かつ n ≥ 1 に対して成立する。また n → ∞ のとき近似
が成り立つ。n, k がともに 1 より十分大きければスターリング近似からは以下の漸近近似
も従う。ここに H⁡(ε) = −εlog2⁡(ε) − (1 − ε)log2⁡(1 − ε) は ε の二値エントロピー関数である。より精確に、任意の整数 n ≥ k ≥ 1 と ε ≐ k/n ≤ 1/2 に対して、最初の k + 1 個の二項係数の和を
と評価することができる。
n が大きく、k が n に対して十分小さいとき  と書くことができるので、
二項係数 上界・下界と漸近公式
を得る。より精度を望むならば、ln⁡(n(n − 1)…(n − k + 1)) を積分で近似して
となる。n = 20 かつ k = 10 に対して log⁡(nk) ≈ 12.127 およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312 および 12.133 を得る。
ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積
から漸近公式
が k → ∞ で成り立つ。この漸近挙動は近似
にも表れている。ここに、Hk は k番目の調和数で、γ はオイラー–マスケローニ定数である。さらに、k → ∞ かつ適当な複素数 x に対して j/k → x なるとき、漸近公式
が成り立つ。
二項係数の和について、二項定理を用いると
という単純で粗い上界が得られる。
二項係数 近似
n が十分大きいとき、
は二項係数と正規分布との関係に基づく近似を与える。これは、二項分布と等しい期待値と分散 (np, np(1-p)) を持つ正規分布をとり、p = 1 − p = 1/2 として、2n を掛ければ、中心極限定理に対する評価から従う。
二項係数 一般化
二項係数を一般化するものとして
で定義される数を多項係数と呼ぶ。二項係数が (x + y)n の係数であったのに対し、多項係数は (x1 + x2 + … + xr)n の多項式展開の係数であり、r = 2 のとき二項係数を与える:
多項係数は、区別可能な n 個の元を r 個の箱に分けて入れるとき、箱の番号 i (1 ≤ i ≤ r) に対して各箱がちょうど ki 個の元を含むような分け方の総数として組合せ論的に解釈できる。
多項係数は二項係数の性質とよく似たたくさんの性質を満たす。例えば漸化式
および任意の置換 σ に関する対称性
が挙げられる。ただし、(σi) は (1,2, …,r) を並べ替えたものである。
第一種スターリング数を用いれば、二項係数の任意に選んだ点 z0 の周りでのテイラー展開は
と与えられる。
二項係数の定義（積による表示）は n が実数、k が整数の場合にも意味を持つ。特に n = 1/2 のとき任意の非負整数 k に対して
が成り立つ。これは二項級数展開 √1 + x = ∑k≥0 (1/2k)xk に現れる。
二項係数の積は二項係数の線型結合として
二項係数 一般化
と表すことができる。この展開の結合係数は多項係数で与えられる。ラベル付けられた組合せ論的対象を用いて言えば、この結合係数はそれぞれ重み m および n のラベル付けられた対象の対で最初の k 個のラベルが一致するようなものに m + n − k をラベル付ける方法の総数、あるいはそれらを貼り合せて新たに重み m + n − k でラベル付けられた対象を付け加える方法（つまり、このラベルを一方の対象の貼り合せない部分、他方の対象の貼り合せない部分、両者の貼り合せ部分の3つの部分に分ける方法）の総数である。このように見ると、二項係数の母函数は下降階乗冪に対する通常母函数に対応する指数型母函数である。
二項係数の逆数の部分分数分解は
および
で与えられる。
アイザック・ニュートンに名を因むニュートンの二項級数は、二項定理の級数版
である。これが成り立つことは両辺が微分方程式 (1 + z)f'(z) = αf(z) を満たすことを見ればよい。
この級数の収束半径は 1 である。
とも書ける。
二項係数 一般化
二項係数は与えられた集合から決められた位数の部分集合を数え上げるものであった。関連する組合せ論的問題として、与えられた集合から元をとって作られる決められた位数の多重集合を数え上げる問題、すなわち与えられた集合から重複を許して決められた数の元を選び出す重複組合せの問題がある。その総数は多重集合係数と呼ばれ、n 個の元から k 個選ぶ重複組合せの総数は  と書かれる。
以下議論の便宜のため n を使わずに、その代わり f = r + (k − 1) および r = f − (k − 1) なる非負整数 f, r を用いる。
多重集合係数は以下に示す関係
により二項係数として書ける。この等式を以下のようにも特徴づけることができる。
が等しいことに注意すれば、二項係数を下降階乗冪を用いて
と書くとき、対応する多重集合係数は下降階乗冪を対応する上昇階乗冪で置き換えた
として与えられる。
任意の n に対して
が成り立つ。特に、負の整数における二項係数は符号付多重集合係数である。n = −1 なる特別の場合には、これは  と簡単になる。
ガンマ函数やベータ函数を用いて
と書けば、二項係数の2つの引数を任意の実数または複素数まで一般化することができる。この定義においてガンマ函数の性質を用いれば、
二項係数 一般化
が満たされることも分かる。特に
である。この一般化に関する研究は少ないが、(Fowler 1996) などにはすでに現れている。通常の二項係数に関する多くの等式がもはや成り立たなくなっていることに注意すべきである（例えば正の n に対して (nm) = (nn − m) や (− nm) = (− n− n − m) は一般には正しくない）。その挙動は極めて複雑で、x軸、y軸と直線 y = x で分けられる八分象限 (octant) のどの位置にあるかで著しく異なる。負の x に対しては負の整数の位置に特異点を持ち、正と負の領域が市松模様を成す:
二項係数の q-類似はガウスの二項係数と呼ばれる。
部分集合の数を数える二項係数の組合せ論的定義を、基数 α, β に対して濃度 α を持つ適当な集合 A をとって
の形に表せば、無限基数に対しても一般化できる。基数 α を表す集合 A の取り方に依らず (αβ ) が等しいという意味でこの一般化はうまく定義されている。有限基数に対してこれが通常の二項係数の定義に一致するのは明らかであろう。
選択公理を仮定すれば、任意の無限基数 α に対して (αα) = 2α が示せる。
高知駅
高知駅（こうちえき）は、高知県高知市栄田町二丁目にある、四国旅客鉄道（JR四国）土讃線の駅である。駅案内パネルのコメントは「龍馬とよさこい、日曜市の駅」。駅番号はD45、K00。
土讃線の駅番号は、高知駅を境にD（阿波池田・琴平・多度津方面）とK（伊野・須崎・窪川方面）に分かれる。
事務管コードは▲702331。
土讃線の列車のほかに、後免駅から乗り入れる土佐くろしお鉄道ごめん・なはり線の列車も当駅を発着している。
とさでん交通駅前線の高知駅前停留場（こうちえきまえていりゅうじょう）についてもここで述べる。
2008年2月26日の駅舎高架化と同時に、JR四国管内で初めて自動改札機が設置された駅である。その後、同年6月1日に高松駅、また2024年9月29日には松山駅で自動改札機が設置された。
高知駅 駅構造
現駅舎は3代目で、2008年（平成20年）2月26日に完成した。内藤廣設計の新駅舎ホームは、県産杉で作られたアーチ状の大屋根となっている。愛称は「くじらドーム」で、大きさは、線路と平行する東西方面に60.9m、南北に38.5m、高さ23.3mで、杉のみでは耐久性に問題があるため、外部にチタン亜鉛合金を使用している。駅舎では、南国の明るく開放的なイメージを表現するために内部を白色で統一している。駅の利用客の動線上に市の観光案内所を設置し、逆に喫煙所は故意に動線から外す配置となっている。
交換・待避設備を備えた島式ホーム2面4線の高架駅である。現駅舎は2代目駅舎と比べ、のりばが1線増えた。新線への切り替え及び新駅舎の開業は、高架化工事にともない行われた。このドームをはじめとした鉄道駅付近高架化工事について、第7回日本鉄道賞のランドマークデザイン賞が送られている。当駅とその周辺の区間踏切11ヶ所は、高架化により廃止され、それまで駅北に隣接していた車両基地の高知運転所は2002年（平成14年）3月に高知市布師田へ移転した。
高知駅 駅構造
JR四国では初となる自動改札機（交通系ICカード非対応）と指定席券売機が導入された（指定席券売機の使用開始は2008年3月15日のダイヤ改正から）。発車標は、2代目駅舎同様、3代目駅舎でも改札上部及び各ホームに設置されている（2代目・3代目駅舎とも全て3色LED式を使用）。また、3代目駅舎の各ホームには電照式の接近表示器も設置された。
3代目駅舎開業とともに、列車接近時のアナウンスにはBGMとして『アンパンマンのマーチ』が流れるようになった。当初は簡易的な放送だけであったが、2009年3月頃よりJR九州のPTCシステム「JACROS」をスタンドアローン化（放送装置だけを独立化させたもの）した詳細放送がJR四国で初めて当駅に導入された。アナウンスは女声男声と2種類存在するが、女声は広島駅など多数の駅アナウンスを担当する山代万貴が、男声はJR九州の在来線と同じ田尻敏明が担当している。これにより、種別・発車時分・行先・停車駅の案内が追加され、新たに予告放送、発車放送がされるようになった。JR四国管内で詳細型自動放送を行う駅は2024年9月28日まで高知駅が唯一であった。
付記事項
高知駅 駅構造
特急列車は上下線とも売店のあるホームに面した1番線（一部は2番線）を使用 する。普通列車は下りが1・2・3番線、上りが3・4番線（一部は2番線）の発着である。なお、土佐くろしお鉄道ごめん・なはり線に直通する列車は、主に4番線から発車する。2012年3月17日のダイヤ改正で、高知発土佐山田行き普通列車が23時台に設定された。これは今までの最終列車の時刻を繰り下げたものであり、それまでは22時台後半が最終だった。
当駅は利用客の分水嶺をなし、乗客の入れ替わりが多い。このため、2019年3月16日ダイヤ改正以降、岡山方面の特急「南風」は、土佐くろしお鉄道中村発の6号を除き当駅が起終点となり、中村・宿毛方面の特急「あしずり」と系統分断された。また岡山・高松方面の特急は1番線発着に、中村・宿毛方面の特急「あしずり」は2番線発着へそれぞれ統一。「あしずり」と一部の「南風」では当駅1番線・2番線での同一ホーム乗り継ぎになった。さらに2020年3月14日ダイヤ改正では「南風」6号も当駅始発となり（中村から当駅間は「あしずり」2号となり「南風」6号に接続）、「南風」も全列車が当駅起終点となった。なお、高松発着の下り「しまんと」の1本のみが中村・宿毛方面と直通している。
発着する特急列車
高知駅 駅構造
東西方向に広がるJRの駅舎に南から直角に接する形で設置されている。配線は櫛形ホーム3面2線 で、駅前線・桟橋線のほか伊野線枡形方面へ直通する電車が数本乗り入れている。ホームの先にはシーサスポイントがある。
1928年（昭和3年）に開業した際の停留場は、桟橋線と国鉄の貨物線との接続が当時構想されていたことから駅前で西（左向き）に折れた場所にあった。しかし貨物線と接続することはなく、1951年（昭和26年）に都市計画の中で東（右向き）に折れた場所へと移設。その後自動車の増加に伴い、駅とは歩道橋で接続されるようになった が、距離があり乗り換えに不便であったため、高知国体開催を控えた2001年（平成13年）に直進して駅前広場に乗り入れるようになった。この当時、JRと土電の双方はタクシー・一般乗用車用の細い道路によって分割されていたが、道路上にも歩行者用に屋根が取り付けられており、外観は一体化していた。
JR高知駅の高架化による駅南口の再開発に伴い、JR駅入口の直前まで北側に30メートル移設する工事が2008年より行われ、2009年（平成21年）2月14日より新しい乗り場を2面1線で暫定的に使用し、3月11日に3面2線での全面使用が開始された。この移設に伴い、従来乗り入れができなかったハートラムの乗り入れが可能となり、5月14日の高知駅南口再開発完成式典の際に記念運行が行われた。
高知駅 利用状況
「高知県統計書」によると、1日の平均乗車人員は以下の通りである。
高知駅 駅周辺
北口東側にはバスターミナルがあり、空港連絡バスや高速バスなどが発着する。
高知駅 バス路線
駅南西側にあったバスターミナルが北口に移転し2008年7月28日より使用を開始した。これにより一般路線バスの運行経路変更、空港連絡バスの増便がはかられ利便性が向上した。
高知駅バスターミナルの開業によって多くの路線が乗り入れを開始したが、行先によっては高知駅バスターミナルでなく、高知駅前バス停（南口・方向別に4箇所）に停車や、高知駅方面を経由しない路線もある。
両社は共同運行や共通乗車を行なわず、自動券売機も当初は別々に設置されるが利用者から不評がられ現在は共通乗車を行っている。バスターミナル開業より乗り入れることになった。2010年9月から高知駅前観光は駅東域を経由し空港への直行便を廃止、朝倉始発便と統合する形でとさでん交通と同様の運行経路となりはりまや橋など市中心部でも乗車を扱うようになった。
高知駅 隣の駅
四国旅客鉄道（JR四国）
■土讃線
特急「しまんと」停車駅、「南風」「あしずり」「志国土佐 時代の夜明けのものがたり」発着駅
■普通
土佐一宮駅 (D43) - 薊野駅 (D44)（※） - 高知駅 (D45, K00) - 入明駅 (K01)
（※）普通列車の朝上り1本は薊野駅を通過する。
とさでん交通
駅前線
高知駅前停留場 - 高知橋停留場
諏訪市
諏訪市（すわし）は、長野県南信地方の市。1941年（昭和16年）市制施行。
諏訪市 概要
諏訪湖に隣接する工業都市であるとともに、諏訪湖や上諏訪温泉、諏訪大社の上社（本宮）、霧ヶ峰高原を抱える観光都市でもある。
諏訪市の町並みは鎌倉時代から戦国時代にかけて鎌倉街道沿いに発達し、江戸時代には旧甲州街道上諏訪宿が設けられ、高島藩の城下町でもあった。明治時代には宿場町や城下町となっていた市街地以外は、ほとんど農村地帯で田園風景が広がっていた。その後、JR中央東線の開通、国道20号などの道路網の整備、中央自動車道西宮線の開通などによって都市化が進展した。
戦中から戦後にかけ、時計、カメラ、レンズなどの生産が増え、山と湖のある風土と相まって「東洋のスイス」と称されたことでも有名である。セイコーエプソンの本社および基幹部門、タケヤ味噌の竹屋の本社がある。
地酒メーカーも沢山あり、真澄、舞姫、麗人、本金、横笛のいわゆる「諏訪五蔵」で知られる（後述）。
1941年（昭和16年）8月10日に諏訪郡上諏訪町、四賀村、豊田村が合併して市制施行。1955年（昭和30年）4月1日に諏訪郡中洲村と湖南村が合併して現在の市域となった。
諏訪市周辺の3市2町1村からなる諏訪広域連合の一都市であり、諏訪地域の行政中心都市である。
諏訪市 地理
北西側を諏訪湖に接し、西部、東部を山地に挟まれ、南側には茅野市、富士見高原を望む、諏訪盆地のほぼ中央に位置する。長野県内では南信地方・諏訪地域、天気予報では長野県中部もしくは諏訪地方に分類される。
県内主要都市との位置関係は、一般的な交通手段を用いた場合、県庁所在地の長野市から南方へ約100kmである。交通手段としては、中央自動車道、JR東日本中央本線が市内をほぼ南北に通る。東京からのアクセスは2時間強、また、中央自動車道経由で名古屋からも2時間程度でアクセスでき、これらの都市圏からの交通の便が比較的よい。
山梨県に比較的近い上に障害となる山がないことから、天候が良好な時は場所によっては平地でも富士山を望むことができる。
諏訪盆地には、峠を挟んで諏訪側が反対側に比べて急勾配である、という地形が見られるが、諏訪市も例外ではなく、同様の地形が、例えば諏訪市と上伊那郡辰野町を結ぶ県道50号（有賀峠）などに見られる。これは、諏訪地方に中央構造線と糸魚川静岡構造線が通ることに起因する断層地形である。なお、この2つの構造線は諏訪市付近で交差（接触）しているとされている。東側の山地のふもとは、いくつかの小さな扇状地を成しており、ここには住宅や田畑などが広がっている。
主な山
主な川
主な湖
長野県
諏訪市 気候
周囲を北東にかけては八ヶ岳に連なる山々、南西にかけては南アルプスに連なる山脈に囲まれ、それらの山々と諏訪湖の影響を受け、大陸性気候の特色を示す県内にありながら、例えば、春夏秋季の降水量は県内比で多め、冬季の降水量は圧倒的に少ないというように、大陸性気候の中でも特徴的な気象環境下にある。
ケッペンの気候区分では温暖湿潤気候に属するが冬の寒さは厳しく亜寒帯並みの冷え込みとなることもある。しかし、雪は南岸低気圧通過時以外ほとんど降らず、冬型の気圧配置下では晴天が続きやすい。
市北東、標高約1500mから約1900mに位置する霧ヶ峰高原は、夏場ひんやりとしていて、市内では避暑に最適な場所といえる。
極値
諏訪アメダス観測
諏訪市 歴史
市域には縄文・弥生時代からの考古遺跡が分布し、高原を中心に集落遺跡が分布している。下諏訪の和田峠を始めとする黒曜石による石器、また、縄文・弥生時代の土器の破片も出土している。
中世には諏訪郡の国人領主で諏訪大社上社の大祝家・諏訪氏によって治められる。
南北朝時代
南北朝時代の建武2年（1335年）には諏訪頼重・時継が、鎌倉幕府執権・北条高時の遺児である北条時行を擁して挙兵し、中先代の乱が発生した。頼重・時継は足利尊氏の攻勢により滅亡する。
戦国時代
戦国時代には諏訪頼満が分裂した諏訪一族を統一し、隣国である甲斐国の国人勢力と同調し甲斐国内へも侵攻する。
頼満の頃には甲斐守護・武田氏と和睦し婚姻同盟を結ぶ。頼満の孫にあたる諏訪頼重は天文10年（1541年）に甲斐武田氏、信濃村上氏に独断で関東管領の上杉憲政と和睦し所領を分割し、甲斐の武田晴信（信玄）は諏訪侵攻を行い、諏訪氏は一時滅亡した。
諏訪市 歴史
その後、諏訪地方は信濃侵攻を行う武田氏の領国となり、信濃中部の拠点として支配を受ける。
信玄四男の勝頼は頼重の外孫（女系の諏訪一族）に当たり、当初は高遠諏訪氏を継ぎ諏訪勝頼と称し、信玄没後に武田宗家を継承し当主となった。
天正10年（1582年）、武田氏の滅亡後に発生した天正壬午の乱において諏訪頼重の従弟である諏訪頼忠によって諏訪氏は再興され、その息子の諏訪頼水が1600年（慶長5年）の関ヶ原の戦いにおける功によって、徳川氏により高島藩に封じられている。
近世には高島藩領であった。
江戸時代
高島城を藩庁とする諏訪氏による統治が行われた。江戸時代に整備された甲州街道の終着の宿場町である下諏訪宿のひとつ手前の宿場として上諏訪宿が栄える。
明治時代
昭和時代（戦前）
昭和時代（戦後）
平成時代
諏訪市 地域
景観法に基づく景観計画により定められた八ヶ岳山麓景観育成重点地域内に位置しており、2009年（平成21年）4月に景観行政団体となった（同年10月から事前届出の受付を開始）。
諏訪地域は2002年（平成14年）4月24日に東海地震の地震防災対策強化地域に指定され、このうち諏訪市は2003年（平成15年）12月17日に東南海・南海地震の地震防災対策推進地域に指定された。
諏訪市 出先機関・施設
検察庁
本部
交番
本部
消防署
医療施設（2004年4月1日）
病院 4（650床）
諏訪赤十字病院、上諏訪病院、諏訪城東病院、
一般診療所：47（34床）
歯科診療所：26
助産所：2
医療関係施設
長野県赤十字血液センター諏訪出張所（旧諏訪赤十字血液センター）（献血・血液関係）
医療関係従事者数 （2002年12月末概数）
医師：115人
歯科医師:36人
薬剤師：108人
保健師：29人
助産師：27人
看護師：437人
准看護師:137人
公共保健・衛生施設
諏訪市保健センター
総合福祉
諏訪市総合福祉センター「湯小路いきいき元気館」
図書館
会館・ホール
諏訪市 経済
市民所得：337.7万円/人 （1997年度推計）
農業従事者数（2000年2月1日農業センサス）
農家数：1,319戸（専業110戸、兼業1,209戸）
農家人口 5,690人（男 2,828人、女 2,862人）・農家率 6.4%
経営耕地面積 659.6ha （市全体面積の約6.5%、田455.7ha 畑174.2ha 樹園地 29.8ha）
林業従事者数（2002年度末）
森林面積：7,232ha（市全体面積の約65.8%）
諏訪市の産業は、明治から大正にかけては製糸業で賑わったが、セイコーの腕時計をはじめとする精密機械工業を経て、現在はセイコーエプソンを中心とするハイテク産業が栄える。
途中、東洋バルヴ株式会社の倒産（1976年）といった地域経済の危機もあったが、技術者が地域に根を下ろし、隣接する岡谷市とともに「東洋のスイス」と呼ばれた諏訪地方の精密工業発展の母体となった。
全事業所数
事業数：4,211（2001年10月1日事業所・企業統計調査）
従業者数：34,923人
工業従事者数（2003年12月31日工業統計調査）（4人以上の事業所）
諏訪市 経済
事業所数：252
従業者数：5,341人
製造品出荷額等：1,013億4,904万円
諏訪地方は水が豊富であり、江戸時代から醸造業が行われてきた。江戸時代には13蔵あり、現在でも9蔵が残っている。このうち諏訪市には5蔵あり、全てが国道20号線沿いに位置している。この5つの蔵をまとめて諏訪五蔵という。諏訪五蔵では毎年春と秋に「上諏訪街道呑みあるき」を開催。2018年秋は2日間両日2000人限定で行われた。このイベントは観光客への高い訴求力を有している
。
商業従事者数（2002年6月1日商業統計調査）
総数：946
従業者数：6,249人
商品販売額：2,145億円
卸売事業所数：282
従業者数：2,142人
商品販売額1,390億円
小売事業所数：664
従業者数：4,107人
商品販売額：755億円
飲食店：217（1992年10月1日商業統計調査）
従業者数：1,144人
商品販売額：86億円
主な商業施設
諏訪市 交通
中心となる駅：上諏訪駅
東日本旅客鉄道（JR東日本）
ただし、市内南部の一部地区においては、隣接する茅野市の茅野駅が最寄り駅になる地域がある。
諏訪地域内輸送
茅野市 - 普通列車：約6分（上諏訪駅 - 茅野駅）
岡谷市 - 普通列車：約10分（上諏訪駅 - 岡谷駅）
下諏訪町 - 普通列車：約4分（上諏訪駅 - 下諏訪駅）
富士見町 - 普通列車：約20分（上諏訪駅 - 富士見駅）
隣接地域都市間輸送
塩尻市 - 普通列車：約20分（上諏訪駅 - みどり湖駅経由 - 塩尻駅）
松本市 - 普通列車：最短で約35分、特急「あずさ」：20分 - 30分（上諏訪駅 - みどり湖駅経由 - 松本駅）
伊那市 - 普通列車：約1時間（上諏訪駅 - 辰野駅経由 - 伊那市駅）
北杜市（山梨県） - 普通列車：約40分（上諏訪駅 - 長坂駅）、特急「あずさ」：約20分（上諏訪駅 - 小淵沢駅）
諏訪市 交通
県庁への連絡
広範囲な連絡
中日本高速道路（NEXCO中日本）
市内で2箇所、中央本線と踏み切りで交差することから渋滞の発生が日常化し、渋滞解消のため1964年からさまざまな議論などが行われている。
国が、街づくりを推進する上で、踏み切り解消と立体交差工事を広範囲にわたる事業が行える機会として、連続立体交差事業区間において、市街地再開発事業や都市計画事業、街路事業などの具体的な街づくり事業を伴わせることを事業実施の条件としている。そのため、諏訪市では駅周辺の開発などに関わる議論が行われてきたが、進展がみられず、この計画は遅々として進んでいない。参考 国道20号諏訪バイパス
主要地方道
一般県道
諏訪ナンバー
ご当地ナンバーである諏訪ナンバー（長野運輸支局松本自動車検査登録事務所）が割り当てられている。2006年10月9日までは松本ナンバーが割り当てられていた。
諏訪市 観光
寅・申の年に御柱祭（式年造営御柱大祭）
美術館・博物館
温泉
八島ヶ原植物群落、踊場湿原（池のくるみ）植物群落、車山樹叢、湿原および草原植物群落から成る霧ヶ峰湿原植物群落は国指定の天然記念物である。亜高山性植物の宝庫で、コバイケイソウ、レンゲツツジ、ニッコウキスゲ、マツムシソウ、ススキ等が春夏秋冬替わって咲き乱れる。他グライダー（グライダーふれあい館）やスキー（ファミリーゲレンデ霧ヶ峰スキー場）も楽しむことが出来る。
長野県最大の湖。湖周は約16kmで、岡谷市、下諏訪町にも接している。諏訪市内においては、ジョギングロード、湖畔公園、石彫公園、ふれあいなぎさ、初島などが整備されており、遊覧船の発着所もある。また、周囲には諏訪市原田泰治美術館、SUWAガラスの里の美術館、サンリツ服部美術館や片倉館などがある。高台にある立石公園は眺望が良く、「日本の夜景100選」、「日本夜景遺産」、「信州のサンセットポイント100選」に選定されている。
諏訪市 文化・名物
かりん（マルメロ） - 江戸時代より「かりん」として栽培が始まり、明治以降栽培面積が拡大した。このころ当該作物が呼称通りカリンなのか、はたまた実際にはマルメロなのかで論争が起こり、専門家による鑑定の結果マルメロであるとの結論に至るも、かりんという呼称が定着していた当地では以降もマルメロをかりんと呼称している。1966年（昭和41年）に農家から無償提供された苗を植樹して整備された「かりん並木」では、3分の2が洋かりん（品種名はスミルナ）、3分の1が在来種の本かりん（和かりん）となっており、わずか数本であるがカリンも植えられている。
岩手県交通
岩手県交通株式会社（いわてけんこうつう）は、岩手県盛岡市に本社を置くバス事業者。県内の盛岡市以南のほとんどの地域で路線バスを運行するとともに、県内から東京方面などへの高速バス、花巻空港への空港連絡バスを運行している。また貸切バス事業も行う。岩手県北自動車（県北バス）とともに岩手県を代表するバス事業者である。岩手県バス協会会員。元国際興業グループ。
略称は「県交通」（けんこうつう）。「岩交」（いわこう）を用いていた時期もあるが、現在ではあまり使われない。
岩手県交通 概要
前身は戦時統合により発足した岩手中央バス（中央バス）・花巻バス・岩手県南バス（県南バス）の3社である。1960年代以降のモータリゼーションの波を受け、利用者減少により経営が悪化、3社中2社が会社更生法の適用を申請し、賃金遅配によるストライキが頻発した。
1976年の3社合併後も合理化は進まなかったが、1986年に国際興業の傘下に入ってからは業績も上向きとなり、高速バス参入も奏功して単年度黒字を計上するまでになった。近年では盛岡市近郊の輸送改善にも積極的である。
岩手県交通 沿革
本節では、単に「県」と表記した場合は岩手県を指すものとする。
岩手県に初めてバスが走ったのは、1912年に盛岡と宮古を結んだ盛宮自動車である。岩手県交通の路線として現在運行されているものとしては、1918年に盛岡市内の路線で営業を開始した盛岡自動車とされている。この後、小規模な事業者が次々と設立され、1928年には盛岡のバス事業者だけで22社に上っている。
第二次世界大戦に入るとガソリン規制が行われたため、これらの中小事業者の経営を圧迫した。さらに1942年には陸上交通統制の通牒が出され、岩手県は大きく4ブロックに分けられることになった。太平洋沿岸北部が岩手県北自動車（県北バス）、太平洋沿岸南部は岩手東部乗合自動車、江刺以南の県南部は岩手県南自動車、県中心部の盛岡近辺は岩手中央自動車に統合されることになった。なお、花巻電鉄は社名のとおり鉄道事業を行っていたため、バス事業の統合からは除外されている。
岩手県交通 沿革
県南バスは1949年に大船渡に拠点を設置したのを皮切りにエリアを拡大し、1950年には貸切バス事業免許（貸切免許）を取得した。一方、岩手東部乗合自動車は1948年のアイオン台風によって国鉄山田線が長期にわたって不通になった際に代行バス輸送を担当、1951年まで続いた。1951年に岩手東部乗合自動車は東部バスに社名変更したが、このころになると県南バスとのエリア重複による不合理が目立ってきたため、1957年に東部バスは県南バスの傘下に入ることになり、1966年には正式に合併した。
岩手中央自動車は戦後間もない1948年に花巻地区を花巻バスとして分離した。その後は順次営業エリアを拡大するが、急激に車両数を増加させたことで運行コストの増大を招き、1960年以降は赤字決算となっている。分離した花巻バスは1958年までに30路線を開設するなど、やはり営業エリアを順次拡大していった。
1950年代は長距離バス路線展開が各社とも目立った。県南バスが1951年10月に一関と気仙沼を結ぶ路線を開設したのを皮切りに、1953年には中央バスと東部バスが相互乗り入れの形で盛岡と釜石を結ぶ路線を開設した。1955年に運行開始された盛岡と大船渡を結ぶ路線では中央バス・東部バス・県南バスの3社競願となり、最終的に県南バスが運行することとなった。
岩手県交通 沿革
しかしながら、この時期はまだ道路事情はさほど良くなかったため、東北本線と並行する路線では鉄道の電化・複線化に対抗できず、運行休止や区間短縮を余儀なくされた。一方で、その他の路線では鉄道側の輸送改善があまり進まなかったため、他の地域と比較すれば残存路線は多い方であった。
1960年代に入ると、過疎化とモータリゼーションの進行により、バス利用者数は減少傾向となっていった。事業者側ではこれに対応して合理化と人員削減による対策を進めようとしたが、これは従業員側の反発を招いた。さらに賃金遅配という事態になったことから、労使関係は悪化してゆくことになる。
岩手県交通 沿革
1965年、中央バスでは盛岡市内路線で県内初となるワンマン運行を開始した。これに反発した労働組合が、4月の春闘に続いて5月にもストライキを実行。7月には夏の賞与をめぐって無期限ストライキに突入し、収束するまでに50日を要した。盛岡市の商店街ではストライキの中止を申し入れたが解決できず、「バススト対策協議会」として200台の自家用車を使用して全商店街を無料で巡回するサービスを開始した。地元の中央バスに対する不信感は強まり、飲食店の一部は店頭に「中央バス社員お断り」と貼り紙を出すほどであった。発車直前の「ポカ休」と呼ばれる無断欠勤、それに伴う間引き運行も常態化しており、早池峰山登山バスの最終便を運休させたことで、登山客が下山できなくなったケースもあった。
岩手県交通 沿革
翌1966年には県南バスが一関地区の路線でワンマン化を開始したが、労働組合では事前協議なしの運行であるとしてストライキに突入した。同年9月には水沢地区でワンマン化を行なったことで労働組合側は闘争体制を強めることになり、指名ストを通告したが、これに対する会社側はロックアウトを宣言した上に、調整に入ろうとした地方労働委員会（地労委）の斡旋を拒否した。12月に地労委が調停に入ったことで収束したが、この間はストライキや間引き運行が多発した。闘争の拠点となった江刺市では市議会で「バスの正常運行を求める決議」まで行われ、地域の農業協同組合などでは自衛手段としてバスを自ら購入した。
ストライキや間引き運行が続き、沿線の住民からのバス事業者に対する印象は悪化することになった。沿線住民はバスがなくても通勤通学できる手段を用意し、沿線企業では自家用バスによる送迎を行うなど自衛手段に努めた。この結果、バス利用者の更なる減少を招くことになった。