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十句観音経 来歴
桐谷征一は、伝播のたびに肥大化する高玉観世音経系統と同時期に読誦千遍の霊験伝承と類似の表現を含む縮退した十句観音経系統という、二系統の存在を指摘し、更に両者と共通の表現を持つ敦煌文書S4456『救苦観世音経』が源流であると論じた。また小説集『談藪』では、この経文に題が付いていないが、『佛租統紀』に記す「十句観音経」と同流であることは明らかであり、『談藪』が成立したとされる隋ないし唐初には同経文が王玄謨の霊験説話とともに流行していたことが知られる。これを『佛租統紀』の「十句観音経」と比べると、第十句目の「念佛不離心」を「念念不離心」とする相違のみで、この相違については『談藪』の時代から『佛租続紀』の時代への流傳の過程で改訂されたものと判断している。さらに『高王觀世音経』が流行するようになった理由として、『佛租統紀』撰者の志磐が、この経が猥雑に増廣され、肥大化したことを難じ、「十句観音経」こそ「至簡経法」であり、在るべき姿と主張している。桐谷は、肥大化していく高玉経系統と同時期に、読誦千遍の功徳の伝承を持ち類似の表現を含む縮退した十句経系統の、二系統の存在に注目し、更に両者の共通の表現を持つ敦煌文書S4456『救苦観世音経』が源流であると論じた。
日本では、『延命十句観音経』の発見に関し、霊元天皇（1654 - 1732年）が譲位して法皇になったあと、最も霊験あらたかな経典を比叡山霊空律師（1652- 1739年）に探させた結果、霊空がこれを見出したという説話が流布している。しかしこの説話は江戸時代に白隠慧鶴（1686 - 1769年）が『延命十句観音経霊験記』に寛文葵卯（1663年）の霊験譚として記載しているもの以外に事例がないようである。しかしこの霊験譚の年は、1652年生まれの霊空は比叡山に上る前、霊元天皇も即位の年なので辻褄が合わない。白隠はこの霊験譚の真偽は気にもしなかった、と西田耕三は推測している。
本経、すなわち『十句観音経』を重要視したのが白隠禅師であった。白隠は同著において「此の経の霊験、老僧が身の上に於ても心も言葉も及ばざる有りがた事ども数多たびこれあり」として、十句観音経の功徳を讃える。上記の他十余の説話を採り上げ、偽経といえどもこれだけ霊験があるのだからと、人々に唱えることを推奨した。現在も白隠の再興した臨済宗を中心に、日常の読経や写経などに用いられている。また、常用の「観音経（妙法蓮華経観世音菩薩普門品第二十五）」は、短い偈文（世尊偈）部分のみでも500字を越え、一般信徒日常の読経としては長すぎるため、代用として十句観音経を読むことも行われており、鎌田茂雄など一部の禅僧はそれを薦めている。
ピタゴラス音律
ピタゴラス音律（ピタゴラスおんりつ）は、音階の全ての音と音程を周波数比3:2の純正な完全五度に基づいて導出する音律である。
ピタゴラス音律は初期ルネサンスまでの西洋音楽の標準的な音律であり、また中国や日本の伝統音楽の音律も同様の原理に基づくものである（三分損益法）。
ピタゴラス音律では純正な五度と四度の音程が得られるが、三度と六度は純正にならない。ルネサンス音楽において三度と六度の使用が増えると、五度を狭めることによって三度をより純正に近づける中全音律が普及した。
ピタゴラス音律 方法
例としてD（ニ）を起点に、上下に3回ずつ、周波数比3:2の純正な完全五度の音程にある音を得ることを繰り返すと以下のようになる。
F - C - G - D - A - E - B
この7つの音は全音階を構成する音である。得られた音は実際には広い音域に渡っているが、オクターヴ関係にある音には同じ音名が与えられるため、オクターヴ単位で音高を移して、これらを1オクターヴの範囲内に配列することでピタゴラス音律による全音階が得られる。
この作業をさらに拡張しようとすると問題が浮上する。同様の作業をさらに上下に3回ずつ行うと以下のようになる。
A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯
ピタゴラス音律 方法
12平均律においてはA♭とG♯のような異名同音は実際に全く同じ音であるが、このA♭とG♯には約23.460セント≒1/4半音の差が生じる。この差をピタゴラスコンマと呼ぶ。
したがって、半音階を構成するために、A♭を省いてE♭からG♯までの12音を用いた場合、G♯からE♭への音程は、3:2の比率による純正な完全五度（約701.955セント）よりもピタゴラスコンマ1つ分狭い音程（約678.495セント）になる。この音程による和音は顕著なうなりを生じるため、狼の吠声に例えてウルフの五度(en:Wolf interval)と呼ばれる。
上記の音律でハ長調の音階を構成すれば以下のようになる。
ピタゴラス音律 音程の大きさ
ピタゴラス音律では異名同音的音程は異なる大きさを持つ。表に上記の12の音からの各音程の周波数比率とおおよそのセント値を示す。
その定義上、ピタゴラス音律の11の完全五度は比率3:2、すなわち約701.955セントである。五度圏を閉じるためには、平均律がそうであるように、12個の完全五度の平均値は700セントであることが要求されるため、 残る1つは約678.495セントになる（ウルフの五度）。このウルフの五度は異名同音による五度であるため、より正確には減六度である。
つまりピタゴラス音律では、異名同音的音程にはピタゴラスコンマ1つ分(約23.460セント)の差が存在する。
ピタゴラス音律は純正な長三度を持たないが、減四度として生成された音程は長三度の純正音程(比率5:4、約386.314セント)と僅差(約1.954セント)になる。これはピタゴラス音律の長三度と純正な長三度の差であるシントニックコンマ(約21.506セント)が、ピタゴラスコンマとごく近いことによる結果である。
整関数
複素解析における整函数（せいかんすう、英: entire function）は、複素数平面の全域で定義される正則函数を言う。そのような函数の例として、特に複素指数函数や多項式函数およびそれらの和、積、合成を用いた組合せとしての三角函数および双曲線函数などを挙げることができる。
二つの整函数の商として有理型函数が与えられる。
解析函数論の特定の場合として考えれば「整函数の基本理論」は一般論からの単に帰結であり、それは本質的に複素関数論の初歩（しばしばヴァイヤシュトラスの因数分解定理によって詳しく調べられる）である。しかしその研究は、19世紀半ばごろのコーシー, ラゲール, ヴァイヤシュトラスらから始まり、ボレル, アダマール, モンテル, ピカール, ヴァリロン, ブルメンタールら（そしてネヴァンリンナを忘れることはできない）によって著しく豊かに推し進められ、いまや堂々たる理論となった。
整函数の理論は、整函数をその増大度によって分類しようとするものであり、整函数のテイラー係数と増大度の間の関係、取りうる零点と整函数の振る舞いの間の関係、整函数とその導函数の間の関係を特定する。
整函数の理論におけるこれらの側面は、有理型函数に対するものに拡張される。
整関数 解析函数論における整函数
複素解析函数の分類は普通はそれらの複雑さ、つまりそれらの持つ特異点に従ってなされる。多項式函数を除けば、本項の主題である整函数、整函数の商として極のみを特異点に持つ有理型函数、そして真性特異点あるいは分岐点を持つような函数は一変数複素解析函数の中でもっとも複雑である。
整函数は多項式函数の一般化として現れ、ある意味で「無限次数の多項式」のように振る舞う。ゆえに整函数は、多項式函数を除いてもっとも単純な解析函数であり、有限な領域において特異点を持たず、無限遠点においてただ一つの特異点を持つ（後述）。それでも、整函数の研究は難しく、二百年近い研究史にも拘らず未だに多くの未解決問題を抱えている。
整関数 基本理論
複素解析函数 f が z に関して正則とすれば、テイラー–マクローリンの公式により点 z の周りで整級数  に展開される。整級数論により、上の級数は z を中心とし、コーシー–アダマールの定理により  で与えられる半径 R をもつ開円板上で絶対かつ一様に収束することが分かる。複素解析函数論の主結果は、収束半径が z と最も近くにある特異点との間の距離 R によって決まることである。複素解析函数が整であるとは、それが複素数平面の任意の点において正則であるときに言う。したがって、整函数は有限の距離にある特異点を持たない。ある点 y において正則な函数は y において無限回微分可能であることを思い出そう。
f が整函数ならば、任意の点において正則であるから、収束整級数  に展開され、また無限遠点を除いて特異点を持たないから整級数の収束半径は無限大であり、すなわちこの級数は任意の z に対して収束する。したがって  が成り立つ。またそれゆえ、整函数の任意の階数の導函数もまた整函数になる。
整関数 基本理論
コーシーの積分公式:  は、分数式 1/(s − z) を整級数に展開することにより、各テイラー係数を積分  によって決定できる。ただし上記の両方の積分では、積分路 γ は z を囲まない閉路とする。さらに M(R) を z を中心とする半径 R の円板上での函数の最大絶対値とすれば、極めて重要なコーシーの不等式  が簡単な論法により得られる。
整函数に関する重要な結果としてリウヴィルの定理がある:
定理 (Liouville)
整函数が有界ならば、定数函数である。
この定理はコーシーの不等式を適用して証明できる。すなわち、R が何であっても M(R) が有界であることに注意して、R を無限大に飛ばせば所望の結果を得る。
このリウヴィルの定理から、代数学の基本定理「次数 n の任意の多項式は、重複度を込めて n 個の根を持つ」の簡単な証明が得られる。次のピカールの小定理はリウヴィルの定理の強化版であると考えられる:
定理 (Picard)
定数でない任意の整函数は、複素数平面上において、高々一つの値を除いたすべての複素数の値をとる。
詳しくは後述するが、ある意味で整函数論はピカールの小定理のまったく周辺を周っている。
整関数 基本理論
整函数は有界ならば定数であり、また無限遠点以外では特異点を持てないから、定数でない任意の整函数に対して無限遠点は特異点である。可能性としてその特異点は極または真性特異点であるが、前者の（無限遠点に極を持つ）場合、その整函数は多項式である。後者の（無限遠に真性特異点を持つ）場合、その函数は超越整函数と言う。
孤立零点の原理
函数 f は領域 U 上で定義された解析函数で、a において消えているとする。このとき、f は恒等的に零か、さもなくば a を中心とする円板 D が存在して、a と異なる任意の s ∈ D に対して f(s) ≠ 0 が成り立つ。
これは解析接続の原理からの帰結である。
開写像定理
開集合 U 上で定数でない解析函数 f に対し、f(U) もまた開集合である。
これは孤立零点の原理によっても示せる。
最大値原理
領域 D 上で定数でない解析函数 f に対し、開写像定理から以下が直ちに従う:
f の絶対値は D に極大値を持たない（したがって、D が有界ならば |f| は D の境界上で最大値を持つ）;
f が D 上で消えないならば、|f| は D に極大値を持たない;
f の実部は D に極大値も極小値も持たない。
特にシュヴァルツの補題が導ける。
より一般に、任意の劣調和函数（例えば |f| や f が消えない場合の 1/|f| などはそう）は最大値の原理を満足する。また任意の調和函数（例えば Re(f) はそう）は最大値および最小値の原理を満足する。
フラグメン–リンデレーフの原理は最大絶対値の原理の非有界領域への一般化である。
整関数 増大度
定義により、整函数は無限遠点にのみ孤立特異点を持つ。整函数 f に対して  と置けば、この函数は最大値原理により単調増大で、f が定数でなければリウヴィルの定理から有界ではない。これを f の最大絶対値函数と言う。
定理 (Hadamard)最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、ln r の凸函数である。
定理 (Blumenthal)
最大絶対値の自然対数函数 ln Mf(r) は、任意の区間上で連続かつ解析的である。
上記の凸性からの帰結として、ln Mf(r) は右および左微分を持ち、それらは単調増大である。必ずしも連続でない函数 v(t) が存在して  が成り立つ。
関数ｆの絶対最大値函数 Mf(r) の r に関しての増大にはいくらでも速いものが存在する。より精確には、任意の単調増大函数 g: [0, +∞) → [0, +∞) に対して、適当な函数 f を選ぶことで、任意の実数 x に対して f(x) が g(|x|) より真に大きい実数となるようにできる。そのためには f として  の形のものを、うまく選んだ整数列 nk に対してとればよい。実際、c ≔ g(2) および  と取れる。
整関数 増大度
実はこれはトルステン・カーレマンの一様近似定理「 Q が R 上定義された複素数値連続函数で、E: R → (0, +∞) が連続ならば、整函数 f が存在して、任意の実数 x に対して  とできる」の特別の場合になっている。
整函数 f が適当な値 λ に対して  を満たすならば、函数 f は次数が高々 λ の多項式である。等号を満足する λ が存在しないときは、Mf(r) の増大度を exp(rk) と比較する。適当な値 r0 より大きい r に対して不等式  が常に成り立つならば、f は有限増大度であると言う。整函数 f の増大度 (order of growth) あるいは上増大度 (superior order)は、等式  によって定義される。同じ増大度 ρ の整函数の間でも、 と定義される型 σf の函数を区別することができる。σf の値により、極小型 (σf = 0), 通常型 (0 < σf < ∞) または極大型 (σf = ∞) に分類する。
そのとき以下の不等式が成り立つ：
指数函数 exp の増大度は 1 であり、また正弦 sin および余弦函数 cos もそうである。
ミッタク゠レフラー函数  は増大度 ρ である。リンデレーフ函数  も同じ。
整関数 増大度
整函数の増大度と整級数展開の係数の間には以下のような関係がある:
まとめると:
増大度と係数との関係整函数の増大度は、以下の公式 によって求まり、また整函数の型は公式  によって決定できる
円周上の最大値と整級数展開の係数には関係があることを見たが、同様の関係がたとえば函数の実部のみに関してどのようになるかを問うことができる。この関係は一般にはボレル-カラテオドリの補題によって与えられる。それもまた導函数の評価を考えるものである:
定理 (Borel–Carathéodory)函数 f(z) は原点中心、半径 R の閉球体 B(0, R) において解析的とし、その実部の半径 r の円上でとる最大値を A(r) とすると、∀r ∈ (0, R) に対して、以下の不等式  を得る。また A(R) ≥ 0 ならば  を得る。
整函数の導函数はその整級数の形式微分によって得られる。コーシー–アダマールの公式を適用すると、整函数の導函数もまた整函数になることが分かる。導函数の増大度がどうなるかという問いが自然に生じるが、その増大度は上記の公式によって計算できて、以下のことが示される:
命題
整函数の導函数の増大度はもとの整函数の増大度に等しい。
整関数 増大度
また整函数は無限回微分可能であるから、任意の階数の導函数についても増大度はすべて等しい。
整函数の増大をより細かく比較するために、 で定義される下増大度 (inferior order) を考える。
命題
整函数の導函数の下増大度は、もとの整函数の下増大度に等しい。
が示されるが、これではまだ十分に精密ではない。有限増大度 ρ の整函数 f に対して、函数 ρ(r) が存在して、以下の性質
を満たすとき、f の精密増大度 (precise order) L が定義される。（※校正意見、精密増大度 L の定義が不明である。）
エミール・ボレルは、自身の整函数の研究において、整函数の増大度を  と与えることにより、整函数の通常増大 (regular growth) を定義した。定義により、これは上増大度と下増大度が一致するときのその値であり、函数の通常増大とはそのような増大度を持つという意味で言う。
整函数 f が増大度 ρ となるための必要十分条件は、その通常増大が十分大きな n と任意の ε > 0 に対して  を満たし、かつ整数列 np が存在して  および  が  とともに成り立つことである。
整関数 有限増大度整函数の因数分解
ヴァイヤシュトラスは有限増大度 ρ の任意の整函数 f に対し、f が複素数 an ≠ 0 で値が零にならないとすれば、次数が高々 ρ である多項式 P(s) と整数 m ≤ ρ が存在して、 と書けることを示した。ただし、 である。因子 sp は、函数が原点 0 に位数 p の零点を持つことに対応するものである。
ブートルー–カルタンの定理は整函数の研究において頻繁に用いられる結果を述べる。問題は積  を零点の近傍の外において評価することである。いま n は既知と仮定する。
定理 (Boutroux–Cartan)
任意の実数 H > 0 に対し、半径の和が高々 2H となる n 個の円の外側で  が成り立つ。
整関数 テイラー級数の最大項
f(s) ≔ ∑∞n=0 ansn は整函数とする。数列 |a0|, |a1|r, |a2|r2, … はある番号以降は単調に減少して、r に依らず 0 に収束する。したがって、各 r に対しほかの全ての項以上の値を持つ項が存在するから、その値を B(r), その値をとる（複数あるならば最大の）項番号を μ(r) と書けば、B(r) は r に関して単調増大で無限大に発散し、コーシーの不等式により B(r) < M(r) が成り立つから
命題番号 μ(r) は r の単調非減少函数で、r とともに無限大に発散する。
三つの函数 B(r), M(r), μ(r) の間には、二つの不等式  が成立する。さらにこの不等式から、
命題有限増大度の整函数に対して、二つの函数 ln B(r), ln M(r) は漸近的に等しい。
が言える。すると μ(r) に関して
命題有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) を持つ完全正則整函数に対し、μ(r) ≈ ρ⋅rρ(r) となる
ことを得る。一般に公式  が成り立つ。
整関数 値の分布
整函数の値の分布に関して最も深い結果はピカールの小定理で、「定数でない整函数は高々一つの例外値を除いてすべての複素数を値としてとる」ことを述べる（このとき、とらない値が存在すればそれを「ピカールの例外値」と称する）。より精確な結果は（先述の数を与えられた複素数の絶対値で上から抑えることにより）函数の増大度に依存する。
非整数増大度の場合
増大度が整数でない場合は、ピカールの小定理における例外値を持つことはできない。すなわち、そのような整函数は x の値に依らずに方程式 f(s) = x が無限個の解を持つ。特に、
増大度が整数でない任意の整函数は無限個の零点を許す。
整数増大度の場合
増大度が整数の場合には、ピカールの例外値が存在しうる。そのような場合の詳細はエミール・ボレルにより
方程式 f(s) = x の絶対値が r より小さい根の数 n(x, r) は x の高々一つの値を例外として ln M(r) の大きさより小さい増大度を持つ。
零点が有限個かつ多項式に還元できない整数増大度の整函数が存在することが示せるが、そのような場合は増大度が奇数の偶整函数に対しては起こらない。（校正意見：この最後の文は数学的論理がおかしい。）
整函数と角
命題増大度 ρ > 1/2 の整函数は π(2 − 1/ρ) より大きい角度を持つ任意の角において増大度 ρ である。
整関数 値の分布
フランスの数学者 Milloux は1924年に受理された修士論文において、「充填円」(cercles de remplissages) と呼ばれる特定の円を定義した。それは以下のような形で述べられる:
定理 (Milloux)f(z) は整函数、1 > ε >0 は望むだけ小さいとして、 および  と置く。ここで r は十分大きく  が成立するようにとると、f(z) は以下の二つの性質のうち一つを満足する:
中央円周が |z| = r の幅 πr/q(r) の球冠において、不等式  が成り立つ;
中心が円周 |z| = r 上にある半径 8πr/q(r) の円（これを充填円と呼ぶ）が少なくとも一つ存在して、その円上で函数 f(z) は絶対値 A(r) 以下の値を一つの値 a(r) の近傍を除いて全てとる。この近傍は a(r) を中心とする半径 2/A(r) の円に含まれる。
この充填円は方程式 f(z) = a の解の決定に有用である。
整函数補間
整函数の増大度に制約を設けないならば、その整函数は集積点を持たない集合（例えば整数全体の成す集合）U 上の任意に固定した値をとることができる。言い換えれば、(an)n∈N が触値を持たない複素数値の単射数列で、(zn)n∈Nを任意の値を持つ複素数列とすれば、整函数 f が存在して f(an) = zn (∀n ∈ N) とできる。
整関数 値の分布
この結果は、ラグランジュ補間の類似であり、ヴァイヤシュトラスの因数分解定理およびミッタク＝レフラーの定理の帰結である(th. 15.15, p. 286–287.)。さらに言えば、そのような函数二つの差は U 上で消えている整函数となり、以下の段落の定理を適用することができる。
定理複素変数 s の函数 f を級数 f(s) ≔ ∑n fn(s) で定義し、それが絶対収束であると仮定する。R が n を動かすとき fn(s) の引数の変動が π より小さいような複素数平面上の領域とすれば、函数 f はその領域 R の外側でのみ消える。
代数学の基本定理の帰結として次数 n の多項式は複素平面 C においてちょうど n 個の零点を持つから、多項式は零点を多く持つとそれだけ増大度もより速くなる。このことは整函数においても同様であるが、より複雑である。整函数の増大度と零点分布の間の関係として
定理有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) の函数が、絶対値 r 以下の零点を n(r) 個持つとすれば、不等式  が成り立つ
は、整函数論の主定理の一つに挙げられる。
イェンゼンの公式は、それを陽に述べなくとも、整函数論の一部を成すものである。それは例えばグリーンの公式から示される。
整関数 値の分布
与えられた函数が ak に零点を持ち、r < ρ の円板上に極を持たないとして、x ≔ reiφ とおくと  が成り立つ。これをポワソン–イェンゼンの公式という。ここからイェンゼンの公式:
命題 (Jensen)解析函数 f が円板 |z| < r の内部に零点 a1, a2, …, an を持つならば  が成り立つ。
が導かれる。この公式により、零点の個数と整函数の増大度を結びつけることが可能である。すなわち、f(s) が整函数で、その任意の零点 ak が半径 r の円板内に含まれるとき、絶対値が x 以下の零点の個数を n(x) と書けば、 が成り立ち、したがって 0 において非零な整函数に対して、イェンゼンの公式を  の形で与えることができる。有限増大度 ρ の整函数に対しては　n(r) < rρ+ε が示せる。
級数  は τ > ρ に対して収束し、この級数が収束するような最小の τ の値を、これら零点列の（ボレルの）実位数 (ordre réel) または収束冪数 (exposant de convergence) と言う。そのとき以下のボレルの定理が成り立つ:
定理 (Borel)整函数の零点列の収束冪数はその整函数の増大度以上である。
整関数 値の分布
整函数 f が種数 p であるとは、ラゲールによれば、それが  または  の形に書けて、かつ p − 1 に対しては同様の形に書けない場合であることを言う。ただし、Q は次数が高々 p の多項式であり、P は任意の多項式であり、無限積はヴァイヤシュトラスの積であるとする。
収束冪数を上から抑える最小の整数も函数の「種数」と呼ばれる。
種数はラゲールの公式によって決定できる:
定理 (Laguerre)整函数 f が種数 n であるための必要十分条件は |s| を無限大に飛ばす極限で   が一様に 0 に収束することである。
種数の概念に注意深くなりすぎる必要はない。リンデレーフは函数  は増大度 1 かつ種数 0 だが、f(z) − 1 は種数 1 となることを示した。同様に f(z) + f(−z) は種数 1 だが f′(z) は種数 0 となる。しかしヴァリロンは以下の定理を証明した:
定理 (Valiron)f が種数 n の函数であるとき、高々一つの値を除く任意の a に対して、函数 f − a は、やはり種数 n である。
Dans ses investigations sur les fonctions entières à la suite du mémoire fondateur de Weierstrass, エドモン・ラゲールは
整関数 値の分布
定理 (Laguerre)整函数 f が任意の実引数において零点を持ち、その導函数もそうであるならば、f の種数は 0 または 1 である
ことを示した。（※校正意見、この定理(Laguerre)の記述は意味が不明である）
「定数でない整函数が、適当な領域において有限な漸近値をもつことがあるか、常に有限な極限を持つかの何れであるか」を問題にすることができる。リウヴィルの定理により、任意の方向において有限な漸近値を持つということが不可能であることは既知である。
f が漸近値を許すとは、適当な方向の経路が存在して s がその経路に沿って無限大に発散するとき f(s) が値 a に収束するときに言う（そのような経路は「a の決定路」(chemin de détermination a) と呼ぶ）。したがって定数でない任意の整函数は、少なくとも一つ ∞ の決定路を持つ。
増大度が 1/2 より小さい整函数 f に対しては、原点中心かつ半径が限りなく大きくなる無限個の円が存在して、その上での f の最小絶対値は無限大に発散する。したがって、増大度が 1/2 より小さい整函数に対しては、有限な漸近値は存在しない。実はワイマンは以下の定理を示した:
整関数 値の分布
定理 (Wiman)増大度 ρ < 1/2 かつ精密増大度 ρ(r) の整函数 f に対して、ε > 0 は任意として、不等式  が、無限大に発散する半直線に沿って分布する無限個の円上で成り立つ。したがって、それらの円上で  である。
いま、整函数が二つの値 a, b の決定路を持つとすれば、それら二つの決定路に挟まれた領域に ∞ の決定路が存在するか、あるいは a = b であって二つの決定路に挟まれた無限大へ向かう任意の経路が a（したがって b）の決定路となる。
ダンジョワは有限増大度 ρ の整函数は高々 2ρ 個の漸近値を持つと予想した。この予想はアールフォルスの定理となった。
したがって、0 から無限大を結ぶ異なる漸近値を導く直線が ρ 本よりも多く存在することは不可能である。結果としてそのような二直線のなす角は π/ρ 以上である。
有限増大度整函数の増大度 ρ の定義とフラグメン–リンデレーフの原理の示唆するところにより、ひとつの半直線上の増大はその近傍にある直線上のそれに影響されるのだから、函数  を調べることには意義がある。この函数 h(θ) をフラグメン–リンデレーフの指示函数と呼ぶ。この函数は周期が 2π の周期函数で、実数値以外に −∞ または +∞ も値として取りうる。これに関して
整関数 値の分布
f は増大度 ρ の整函数で、h(θ) は上記の指示函数とする。h が閉区間 [a, b] 上有限ならば、任意の ε0 に対し r0 = r0(ε) が存在して、r > r0 ならば必ず が (a, b) の任意の小区間に関して一様に成り立つ。
が言える。したがって同じ仮定のもとで
h(θ) > 0 となる任意の小区間は π/ρ より大きい長さを持ち、h(θ) < 0 となる任意の小区間の長さは π/ρ 以下である。さらに言えば、h(θ) < 0 となる任意の小区間は h(θ) = 0 なる点と h(θ) > 0 となる任意の区間から得られる。
「整函数が可算集合上でとる値から一意に決定されることが保証される条件はあるか」という問いは自然である。集合をこのように制限しない場合には、この問いはアプリオリに否決されるものと思われ、実際成り立たないことが示せる。この種の問いにおいて、カールソンの結果は tout un pan de recherche に起源を持つ。それは以下のように述べられる:
定理 (Carlson)増大度 1 かつ型 σf < π の整函数 f は n = 1, 2, … に対する函数値 f(n) によって完全に決定される。さらに言えば、型が ln 2 よりも真に小さいならば  と書ける。
証明にはフラグメン–リンデレーフの指示函数を用いる。
整函数が適当な集合上で整数値をとるという条件は、その増大に制限を課す。Pólya (1915) は例えば以下の定理を証明した:
定理 (Pólya)f は非負整数全体の成す集合上で整数値をとる整函数とする。 ならば f は多項式である。
言い換えれば、自然数全体の成す集合上で整数値をとる多項式でない整函数として（増大度の意味で）最小のものは、函数 2s である。
この結果は幾何数列上整数値をとる整函数に対するものに一般化できる。
整関数 クラフト–ブルメンタール理論
増大度が有限でない整函数は無限増大度であるという。有限増大度 ρ の場合には、エミール・ボレルにより「その上で増大度が exp(rρ) となる半径 r の円が無限個存在するならば、それら以外の無限個の円上で増大度が著しく低くなることが起こり得る」（そのような整函数は異常増大 (irregular growth) であるという）という言及がかなり早い時期に与えられているが、同じ現象は無限増大度の場合にも存在する。
そのような理論は、整函数の型の存在と公式  に従って与えられる増大度 ρ = ρ(r) に基づく。
整関数 整函数論の応用
整函数論は、リウヴィルの定理により、代数学の基本定理のシンプルでエレガントな証明を可能にする。
増大度が整数でない整函数は無限個の零点を持つという性質により、リーマンゼータ函数が 0 < ℜe(z) < 1 に無限個の零点を持つことの証明にも整函数論はあらわれる。
二つの整函数の商である有理型函数の研究にも整函数論は応用される。有理型函数はさまざまな微分方程式に関する問題に自然にあらわれる。
整函数や有理型函数に対する方法論は、より複雑な（複数の変数などに関する……）解析函数の研究に対する重要な示唆や直観の源を与えるものでもある。
功徳
功徳（くどく）とは、仏教用語、または神社仏閣における用語、あるいはキリスト教神学の用語である。
仏教用語としては、善根を積むことによって報いられる功能福徳や、現世・来世に幸福をもたらすもとになる善行のこと。
神社仏閣においては、神仏の恵み、御利益（ごりやく）、利益（りやく）を意味する。
キリスト教神学では、ある善業を行うことによって得られる報償を受ける権利やその報償、それを得る道徳的善業のことである。
功徳 仏教用語
造寺、造仏、写経、祈禱などの善行為には、現在または未来において幸福や利益をもたらす能力があるとされる。これらの善い報いを受けるべき因としての善行を善根（ぜんごん）功徳または功徳善根などという。善根を積むことや修行の結果、報いとして得られる果報や恵みも功徳という。
善の行為には宗教的なものと世俗的なものがあり、曇鸞は、前者は悟りの果をもたらすので真実功徳とし、後者はそれをもたらさないので不実功徳とする。
功徳 神社仏閣の功徳と利益
幸福をもたらすもとになる善行を功徳（くどく）といい、仏教に従うことによって得ることのできる幸福を利益（りやく）と呼ぶ。また、仏・菩薩が人々に恵みを与えることや、神仏から与えられる恵みのことも利益（りやく）という。
衆生、つまり生命のあるものすべてに仏が与える利益（りやく）を利益衆生、利生と呼ぶ。
功徳 キリスト教神学用語
キリスト教神学では、ある善業を行うことによって得られる報償を受ける権利やその報償を意味する。
立方根
立方根（りっぽうこん、cubic root、root of third power）とは、ある数が与えられた時、三乗して与えられた数となるような新たな数を指す。三乗根（さんじょうこん）ともいう。
立方根 定義
積の定義された集合 E を固定して考える。E の元 a に対し、a = x3 を満たす x ∈ E が存在するとき、x は E における a の立方根であるという。また、立方根を求めることを開立（かいりゅう）という。
a が実数であれば a の立方根は実数の範囲に常にただ一つ存在 し、それを  と表す。
立方根 複素数
複素数の場合は、実部が最大のものを主要根とする。
極形式では
ここで rは非負の実数、の定義域は以下とする（偏角は多価関数のため）。
,
は （） が主要根となる（-2（）ではない）。
主要根の複素数の偏角の範囲は以下となる。
単位円での例
との主要根の関係を単位円上で示すと（、偏角  の例）
正法
正法（しょうぼう、しょうほう）とは、仏教で、正しい法（教え）のこと。邪法に対する語。白法、浄法、妙法ともいう。
また、それが行なわれるとされる釈迦の入滅(肉体死)後500年又は1000年間の時期のことで、仏法の儀式が変わらず成仏する人がいる時期をいう。
解脱堅固（げだつけんご）といい、仏法によって証りを得て誤りのない時代。
次の五百年は禅定堅固（ぜんじょうけんご）といって、禅定（心を一点に定めて思惟すること）が盛んに行われて証りを得る時代。
この場合、後の時代を像法、さらに後の時代を末法という。正・像・末の三時のひとつである。
なお読み方は「正法護持」のように「しょうぼう」と「ほ」に濁点が付くのが正しいが、最近の新興宗教では濁らずに読む教団がある。例えば真光系諸教団では「真理正法」(しんりせいほう) のように「せいほう」と読み、GLA系諸教団では「正法真理」(しょうほうしんり) のように「しょうほう」と読んでいる。
正法 浄土教
正法・像法・末法と分ける「三時説」は北インドもしくは中央アジアで発祥した浄土思想を構成する一要素であった（従って中国でも日本でも初期の頃は浄土教以外の諸宗派は末法思想など相手にしていなかった）。日本では、平安時代後半から鎌倉時代にかけ、末法思想の広がりとともに浄土教が盛んになる。
浄土教における解釈では、末法になると「教えだけが残り、修行をどのように実践しようとも、悟りを得ることは不可能になる時代」とし、阿弥陀如来の願である称名念仏こそ往生の道であるとする。称名念仏・往生の語については、浄土教の諸宗によって教義が異なる。
正法 日蓮
日蓮は「正法」を時代区分としての名ではなく、「時機に応じた正当な法」という意味でのとらえ方をした。すなわち『法華経』を釈迦の本懐の正法ととらえ、法華経の題目を唱えるべきとした。釈迦の経典を自筆による御書で引用しつつ、法華経以外の経典から派生した宗教を邪宗とし、末法に於いては、法華経の題目を唱える以外に成仏することはないと体系的な教義を確立した。
日蓮が法華経を正法ととらえ、いかに愛したかは、日蓮自筆による「御書」の至る所によく表れている。中でもとりわけ有名であるのは、「日連がたましいを墨に染めながして書きて候ぞ信じさせたまえ、仏の御意は法華経なり、日蓮がたましいは南無妙法蓮華経にすぎたるはなし」の一文である。
上新バイパス
上新バイパス（じょうしんバイパス）は、新潟県上越市中郷区市屋から同県妙高市を経由して上越市下源入に至る国道18号のバイパス道路である。
上新バイパス 概要
上越・妙高両市内の慢性的な渋滞の解消、冬期交通の確保などの目的で建設された、総延長24.6 kmのバイパス路線。一部連続立体交差方式となっている。「上新」の由来は『上越市』と『新井市（現・妙高市）』を繋ぐことから。
寺IC - 上越ICの区間は地域高規格道路の上越魚沼地域振興快速道路に指定されている。
全区間供用済みで、市屋IC - 寺町北交差点は暫定2車線・対面通行、寺町北交差点 - 下源入交差点は4車線。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト)
山本 明（やまもと あきら）は、アニメ「宇宙戦艦ヤマトシリーズ」の登場人物。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) 概要および誕生経緯
ヤマトの艦載機隊（通称「ブラックタイガー隊」/「コスモタイガー隊」）所属のパイロット。左目を覆い隠す長い前髪が特徴。
第1作『宇宙戦艦ヤマト』では第4話のみのゲストキャラクターで、松本零士によるラフ稿はなく、この回の作画監督である白土武がデザインした。名前の「明」が設定されたのは『さらば』以降であり、第1作では名字のみの設定だった。これは一度限りの登場人物でしかなかった山本が、片目が隠れる長髪の髪型という設定により、図らずも女性ファンの人気を呼んだためである。これを受けて名前が設定され、『さらば』や『ヤマト2』での活躍を与えられた。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) 劇中での登場
宇宙戦艦ヤマト
第4話に登場。ヤマトが月軌道でワープテストの準備中、ガミラスの高速空母より発進した艦載機を迎撃するべくブラックタイガーに乗って出撃し、交戦中に被弾する。ワープテスト開始時刻が迫る中、自らの帰還よりテスト決行の優先を進言するが、戦闘班長の古代進による着艦指揮のおかげで決行寸前に間に合う。
さらば宇宙戦艦ヤマト 愛の戦士たち
月面基地の月面司令部航空隊に所属していたが、ヤマトの無断発進を知り、コスモタイガー隊隊長の加藤三郎をはじめ多くの仲間とともにヤマトへ合流する。最終決戦における都市帝国突入の際には対空砲火から古代と真田志郎の搭乗機をかばって被弾し、キャノピー越しに古代へ敬礼を残すと、愛機とともに都市帝国の下部へ激突死する。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) 劇中での登場
宇宙戦艦ヤマト2
第5話から登場。大筋の活躍や最期は『さらば』と同じだが、細かい出番が追加されている。第9話では彗星帝国の偵察機を迎撃する際に斉藤始に殴り飛ばされて機体を奪われ、彼の帰還後には殴り返して一触即発の状態になりかける。第20話では土星会戦において敵機動部隊の索敵に務めるが、レーダーが使用禁止だったため、「太平洋でメダカを探すようなもの」とぼやいている。その後、真田が敵機動部隊を発見した後には急行して加藤隊にやや遅れて到着し、敵空母に猛攻をかける。
宇宙戦艦ヤマト 新たなる旅立ち
加藤らとともに英雄の丘にレリーフが設置されている。本人は、戦死者への黙祷での回想シーンにおいて、新規作画で1カットのみ登場する。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) PSゲームシリーズ
本シリーズ第1作のPS版『宇宙戦艦ヤマト 遥かなる星イスカンダル』では、シナリオ8「マゼラン臨海宙域」での七色星団戦やエンディング画像において登場自体はするものの、ストーリーには深く関わらない。なお、本作では隠れている目が原作アニメとは逆になっている。
第2作のPS版『さらば宇宙戦艦ヤマト 愛の戦士たち』において、増永計介により正式にゲーム用にリデザインされ、本格的に登場する。基本設定は『さらば』『ヤマト2』と変わらない。斎藤始とは折り合いが悪く、機体に勝手に触ったときは怒っている。ストーリー07「双子座カストル宙域」において、コスモタイガーの複座型のテスト飛行の際、新米俵太に代わって斎藤が勝手に乗り込んだため、新米との体重の違いが原因で機体の調子が狂い、近くの小惑星に不時着する。斎藤と一触即発になりかけるが、同小惑星に敵基地があることを知り、共にこれを攻略したことで互いに認め合う。しかし、その後も喧嘩する仲は変わっていない。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) PSゲームシリーズ
ストーリー20「地球圏・対都市帝国戦」における都市帝国突入の際には原作同様に被弾するが、激突直前に機体から脱出してかろうじて生還するため、続編となる暗黒星団三部作（PS2版『宇宙戦艦ヤマト イスカンダルへの追憶』『宇宙戦艦ヤマト 暗黒星団帝国の逆襲』『宇宙戦艦ヤマト 二重銀河の崩壊』）では、加藤の後を継いでコスモタイガー隊の2代目隊長に就き、新たに部下となった坂本茂や椎名晶を指導しながら暗黒星団帝国との戦いに赴いている。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) 備考
『宇宙戦艦ヤマト』における古代の部下は全員が「戦闘班」という括りにされており、砲術部門と艦載機部門で班員の明確な区別がされていなかった。隊長の加藤を除くブラックタイガー隊員は、古代や南部康雄のような砲術班と同じ白地に赤矢印の制服を着ており、山本もそのデザインの制服だった。『さらば』以降、コスモタイガー隊員が加藤と同じ黒地に黄矢印の制服へ変更されてからは山本も同じデザインの服へ変更され、声優も曽我部和恭で固定された。
『さらば』『ヤマト2』での敬礼シーンは動画マン当時の板野一郎が動画を担当したが、彼のお遊びにより、動画の時点では山本がキャノピーを開けて脱出している。また、仕上げの手違いから山本の左肘がキャノピー外へはみ出した状態で撮影されてしまっており、後年に発売されたVHS版・LD版・DVD版でもそのままだったが、2013年に発売されたBD版『さらば』（バンダイビジュアル、BCXA-0713）ではデジタルリマスター化に際してデジタル修正が行なわれ、左肘が除去されている。
山本明 (宇宙戦艦ヤマト) 備考
『宇宙戦艦ヤマト』（以下、旧作）のリメイク作品『宇宙戦艦ヤマト2199』では、制作開始当初は加藤との対比も込めて長髪のクールキャラクターとしてデザインされていた。しかし、その後に山本を女性にすることが決まり、デザインやキャラクターのイメージは篠原弘樹として流用された。また、女性化された山本玲も、火星のアルカディアシティー出身、銀髪のショートカット、紅瞳（本作の設定では、火星生まれの特徴とされている）と、基本設定に旧作の山本との共通点がほとんど無いキャラクターとなった。
地球防衛軍
地球防衛軍（ちきゅうぼうえいぐん）とは、フィクション作品において地球および地球人類を外敵から守ることを目的とする、架空の軍隊。
似た名前の組織として地球連邦軍や地球連合軍が挙げられるが、「連邦軍」や「連合軍」は時として同じ人類（主に宇宙移民者。自治権や連邦からの独立許可を要求して武力を用いた解放闘争を行う）と戦うことがあるのに対し、「防衛軍」の敵は主に地球外生命体や怪獣である。
書籍『東宝編 日本特撮映画図鑑』では、映画『地球防衛軍』（1957年）から名前のみ独り歩きしていると記述している。
地球防衛軍 地球防衛軍の登場する作品
地球防衛軍シリーズ - 英称はEDF（Earth Defense Force）。
THE 地球防衛軍
THE 地球防衛軍2
地球防衛軍3 - 「連合地球軍」とも。
EARTH DEFENSE FORCE: INSECT ARMAGEDDON
地球防衛軍4 - 「連合地球軍」とも。
地球防衛軍4.1 THE SHADOW OF NEW DESPAIR - 「連合地球軍」とも。
地球防衛軍5 - 「全地球防衛機構軍」とも。
地球防衛軍6 - 「全地球防衛機構軍」とも。
EARTH DEFENSE FORCE: IRON RAIN
地球防衛軍 類似の組織
ウルトラシリーズの防衛組織はウルトラシリーズ#地球防衛および怪事件処理チームを、国連管轄下という設定のものは国連軍#登場作品も参照。また、宇宙機関などが地球防衛軍と同様の任務を負っている場合もある。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト)
地球防衛軍（ちきゅうぼうえいぐん）は、アニメ「宇宙戦艦ヤマトシリーズ」に登場する架空の軍隊。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 凡例
本記事は文中に作品名が多く登場するため、冒頭の本節に便宜上のシリーズ名および作品略称をあらかじめ明記する。
PSゲームシリーズ
PS用ゲーム『宇宙戦艦ヤマト 遥かなる星イスカンダル』 - 『遥かなる星イスカンダル』
PS用ゲーム『さらば宇宙戦艦ヤマト 愛の戦士たち』 - 『PS版さらば』
PS2用ゲーム『宇宙戦艦ヤマト イスカンダルへの追憶』 - 『イスカンダルへの追憶』
PS2用ゲーム『宇宙戦艦ヤマト 暗黒星団帝国の逆襲』 - 『暗黒星団帝国の逆襲』
PS2用ゲーム『宇宙戦艦ヤマト 二重銀河の崩壊』 - 『二重銀河の崩壊』
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 概要
西暦2192年、ガミラス帝国の遊星爆弾の攻撃を受け、国際連合の元に結成された軍。その名称通り地球を防衛することを主目的とする組織である。
対侵略者邀撃用の宇宙艦隊として「地球防衛艦隊」（略して「地球艦隊」と呼ばれることが多い）を保有する。『ヤマト2』では連合艦隊という呼称が使用され、『ヤマトIII』に登場する戦艦は地球連邦政府に参加する各国で独自に建造されている。
なお、漫画版や小説版によれば、先進国の中で領土が小さく比較的被害が小さかったため、地球防衛艦隊司令部が日本に設置されているとされる。初期作品の地下都市は東京の地下に存在している設定となっている。『さらば』以降の首都「メガロポリス」は旧地下都市に近い海に面した場所に敷設された。
なお、『ヤマトIII』第3話において、相原義一に届いた緊急動員令電報の文面（文章は全てカタカナで書かれている）に発信者として「チキュウ セイカン ボウエイグン」（地球星間防衛軍）と書かれている。
実写映画版『SPACE BATTLESHIP ヤマト』では、「UNITED NATIONS of SPACE ADMINISTRATION」、略して「UNSA」なる英称が存在し、司令部には上記の名称に加えて「GENERAL HEADQUARTERS」が付属している。また、軍章は現実の国際連合のそれに近いデザインである。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 組織
『ヤマト2』では組織構造が明確に設定されている。
地球防衛軍は地球連邦の直轄組織であり、地球連邦大統領を頂点として、その下に連邦議会がある。防衛軍のトップは司令長官であり、『ヤマト』から『完結編』まで、藤堂平九郎が務めている。長官の隷下にある総合参謀本部が開く防衛会議で軍の方針を決定する。しかし、劇中では司令長官の独断で作戦を進めることもたびたびある。
防衛軍の兵員は「宇宙戦士」と呼ばれる。現実の軍隊のような階級は存在せず、指揮系統は組織内の役職によって決まっている。敬礼は右拳を左胸に当てる形式が基本だが、挙手の礼をする場合もある（答礼）。ヤマト乗組員とそれ以外の艦および地上勤務者は制服が違うが、どこかしらに錨マークが入っているのは共通している。
なお、『復活篇』では、上条了が古代進に「地球防衛軍一等空佐」と名乗っている。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 軍事基地・施設
『ヤマト』には地下都市に、『さらば』以降はメガロポリスに地球防衛軍の司令本部が存在する。
また、次世代の宇宙戦士を養成する「宇宙戦士訓練学校」（『ヤマトIII』では「少年宇宙戦士訓練学校」）が存在する。
首都メガロポリスを見下ろす高台にある、戦死した宇宙戦士たちを慰霊・顕彰するための記念施設「英雄の丘」が存在している。ヤマト初代艦長沖田十三の像と、『新たなる旅立ち』以降は戦没者のレリーフが設置されている。ヤマト乗組員の心の拠り所となっており、『さらば』『ヤマト2』では沖田の命日に旧ヤマト乗組員が集結し、『永遠に』では、敵の地上侵攻で散り散りになった一部ヤマト乗組員が集った。
地球以外では、太陽系に月面・金星・火星・アステロイドベルト・木星圏各衛星（イオ・エウロパ・ガニメデ・カリスト）・土星圏各衛星（タイタン）・天王星・海王星・冥王星・第11番惑星などに基地が設置されている。火星以遠の惑星基地は、『さらば』『永遠に』『完結編』などの劇中で、敵の進攻によって壊滅することが多い。
太陽系外では、『ヤマトIII』においてアルファケンタウルス第4惑星を開拓し、基地を設置している。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 劇中での描写
宇宙戦艦ヤマト
西暦2192年に発足後、圧倒的な科学・技術力の差があるガミラス帝国の侵略に対し、約7年間に渡る防衛戦を行う。しかし、西暦2199年8月21日、冥王星宙域にて沖田十三率いる地球防衛軍艦隊とガミラス帝国艦隊との最後の決戦が行われ、最後の地球防衛艦隊は壊滅する。
敗色濃厚の中、国連宇宙局ではヤマト計画本部が発足（地球防衛軍司令長官が兼任）し、選ばれた人類が脱出するためのヤマト建造も進行していた。その後、イスカンダルからの救援メッセージと波動エンジンの設計図供与により、地球脱出からイスカンダルへの航海へと計画が急遽変更される。
さらば宇宙戦艦ヤマト 愛の戦士たち / 宇宙戦艦ヤマト2
戦後、地球連邦が発足し、地球防衛軍も再建される。イスカンダルからの技術が反映されたことで、戦力が飛躍的に向上している。艦隊は全艦が波動エンジンを搭載し、波動砲が標準装備され、ワープ航行も可能になっている。しかし、ガミラス戦役での消耗による人材不足から、自動化を推し進めている。西暦2201年の対白色彗星帝国戦役で艦隊が壊滅し、再度多数の人員や艦艇を失う。
宇宙戦艦ヤマト 新たなる旅立ち
これまで名前だけだった宇宙戦士訓練学校が劇中に登場し、卒業生がヤマトに新乗組員として乗り込む。
本作の地球は平和であり、ヤマト以外の戦力についての描写はない。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 劇中での描写
ヤマトよ永遠に
度重なる戦役で人員不足に陥っており、無線コントロールによる無人艦隊を採用し、再建する。
西暦2202年、太陽系外から進入してきた暗黒星団帝国の重核子爆弾により、各惑星基地が全滅する。その後、地球本土への襲撃により短時間で要衝が制圧され、邀撃に出た無人艦隊も黒色艦隊の奇襲を受けたうえ、自律制御機能を持っていなかったためにコントロールセンターが破壊されて機能を停止し、壊滅する。地球全土を占領されるが、地球防衛軍は旧地下都市の防衛軍司令部を利用し、パルチザンとして抵抗活動を続ける。
宇宙戦艦ヤマトIII
『ヤマト2』時の巡洋艦・駆逐艦・パトロール艦（警備艇に艦種変更）が再登場している。また、地球連邦に所属する各国により独自色の強い戦艦が建造されている。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 劇中での描写
ボラー連邦とガルマン・ガミラス帝国の星間戦争中に出た流れ弾が原因の太陽核融合の異常増進で、人類存亡の危機に陥った際は、藤堂が独断でヤマトを移住可能な新惑星探査任務に就けている。その後、太陽エネルギー省による核融合の抑制の失敗後、第12話で大統領が新惑星探査計画の拡大を決断し、宇宙開拓省を中心に宇宙移民本部が発足。本部長には、地球防衛軍司令長官藤堂平九郎が兼任する形で就任する。ヤマトも宇宙移民移本部に所属となり、アジア州が担当するブロック担当艦として、引き続き探索を続ける。新惑星探査計画は、ボラー連邦によりアリゾナが撃沈されるなど困難を極め、移住可能な惑星を発見できずに頓挫する。
宇宙戦艦ヤマト 完結編
新型の有人艦を配備している。西暦2203年の対ディンギル帝国戦役ではハイパー放射ミサイルの攻撃により、月面基地に駐留していた9隻を除いて艦隊はほぼ全滅し、残存艦9隻も冥王星会戦でヤマトと冬月を残して全滅する。
宇宙戦艦ヤマト 復活篇
『完結編』から17年の間に再編され、数百隻規模の艦隊を保有するまでに戦力を回復する。西暦2220年には移民船団護衛の任務に就くが、第一次移民船団や第二次移民船団に就いていた第1護衛艦隊 - 第6護衛艦隊は星間国家連合艦隊の襲撃を受け、ほぼ全滅する。第三次移民船団についていたヤマト率いる第7護衛艦隊 - 第9護衛艦隊は善戦して多数が生き残る。その後、移民船6隻を引き連れて地球への帰途に就いたドレットノート級2隻を除く艦隊がアマール艦隊と連合艦隊を組織し、星間国家連合艦隊やSUS超巨大要塞との決戦に臨むが、最終的にヤマト以外は全滅する。
なお、ディレクターズカット版では『完結編』以前の旧型艦艇が登場し、太陽系内における残存地球人類の救助活動に当たっている。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) 所有メカ・兵器
艦形名称のみ記載。固有艦名があっても同型艦は除外（ネメシス、冬月など）。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) リメイクアニメシリーズにおける防衛軍
『ヤマト』のリメイクである『2199』では、国連宇宙軍（英称：UNITED NATIONS COSMO FORCE〈略称：UNCF〉）という名称になっており、国連統合軍の陸・海・空・宙の4軍の1つという設定になっている。
さらに、統合軍とは別に、行政を司る国連宇宙局も存在している。
『2202』では、国連の解体と地球連邦の発足に伴い、国連統合軍も再編され、地球連邦防衛軍となっている。宇宙軍の英略称は、『2202』では「UNCF」のままだが、『2205』では「EFCF」（EARTH FEDERATION COSMO FORCE）へと変化している。
『2199』では、国連の元に国連統合軍が存在し、国連宇宙軍・国連地上軍・国連海軍・国連空軍の4軍に大別されていたが、遊星爆弾による爆撃で地表が壊滅したことによって宇宙軍以外の3軍は事実上活動が不可能となり、兵力は地下都市建設要員や宇宙軍の兵力補填に回されているという設定になっている。4軍のほかには軍務局・警務隊・情報部などの組織が存在している。本作ではガミラス来襲に際して結成されたものではなく、ガミラス来襲以前から存在している。
国連宇宙軍の傘下には、宇宙海軍（英称：COSMO NAVY）が存在しており、そのほかには、土方竜が司令官を務める空間防衛総隊や、宇宙海兵隊という組織が存在している。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) リメイクアニメシリーズにおける防衛軍
宇宙海軍の下には沖田十三が司令長官を務める連合宇宙艦隊などが、空間防衛総隊の下には内惑星防衛艦隊や加藤三郎の所属する本土防空隊（「2199」における土方のキャラクター紹介文では「地上軍防空隊」となっており、地上軍の位置付けが変更された経緯がうかがえる。ただし、地上軍が遊星爆弾によって活動を停止した際に、防空隊が空間防衛総隊傘下に回された可能性もある）などが、宇宙海兵隊の下には空間騎兵隊などが存在している。
国連宇宙局の傘下には各行政管区が存在し、極東管区行政府の下には「ヤマト計画」を立案した幕僚監部作戦部9課や同・作戦部6課などがある。
4軍および主要な組織の関係構造は、以下の図のようになっている。
極東管区における国連宇宙軍の作戦名や階級の呼称や用語などには、海上自衛隊のそれに準えた設定が追加されている。また、敬礼は海上自衛隊と同じ、右肘を体から大きく伸ばさずに右手を斜めに立てる様式に改められている。
制服はヤマト乗組員とそれ以外の一般将兵とでは艦長職の人間を除いて区別されている。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) リメイクアニメシリーズにおける防衛軍
一般将兵の制服は3種類設定されており、宇宙勤務者などが主に着用している青を基調とした制服、地上勤務者が主に着用している茶を基調とした制服、真田志郎と新見薫が着用していた緑や青を基調とした制服が登場している。ヤマトに乗艦する以前の古代進を含む面々もこれらの制服を着用しており、ヤマトに乗艦してから新たな制服へ着替えている。『2202』では、宇宙勤務者のものは据え置きで、地上勤務者のものは同デザインだが色が灰色になっている。また、軍服以外にも作業服などの各種制服の設定は存在している。
艦長職の軍服は軍帽のほか、左胸に黄色の碇マークが入った襟付きのキャプテンコートを纏っている。また、一部を除いて首元にスカーフを巻いている。襟の色は概ね職責ごとに異なるものとなっており、『2199』では司令官クラスが赤襟、戦艦・巡洋艦艦長が緑襟、駆逐艦艦長が橙襟で登場している。『2202』では、艦長クラスの古代が赤襟（階級が懸絶している土方と同じ赤襟である理由は明言されていない。『2202』は正確性より演出性が優先であり、島の艦長服が緑襟である事も考え合わせれば、むしろヤマト艦内服の色と同じ赤とする事で、古代のパーソナルカラーとして印象付ける制作サイドの狙いによるものと思われる）だったり、新たにアンドロメダ級艦長として青襟、ドレッドノート級艦長として黄襟が登場するなど、色の区別は前作から改められている。
地球防衛軍 (宇宙戦艦ヤマト) リメイクアニメシリーズにおける防衛軍
「宙将」「一等宙尉」などの階級が設定されており、肩章で見分ける。現実の自衛隊の階級呼称をモチーフとしているが、『3199』で山南が一佐から宙将に昇任している事から、自衛隊のような将官二階級制ではなく一階級制であること、准尉の階級がベテラン下士官ではなく若手の士官候補生（岬百合亜）に充てられているなど異なる点もある。なお、『2202』第3話Aパートで登場するタブレット端末に表示されている紹介状に「国連軍統合参謀本部太平洋地域五軍調整官 中将 トマス・L・クラーク」と記載されており、極東管区以外における軍隊式の階級呼称の使用も確認できる。