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時間依存密度汎関数法 概要
TDDFTの最も人気のある応用は、孤立系やそれほど多くはないが固体の励起状態のエネルギーの計算である。こういった計算は、線形応答関数 —すなわち、外部ポテンシャルが変化する時に電子密度がどのように変化するか— が系の厳密な励起エネルギーで極を持つ、という事実に基づく。こういった計算は、交換-相関ポテンシャルに加えて、交換-相関核 — 密度に関する交換-相関ポテンシャルの汎関数微分— を必要とする。
波動関数をΨ(t)、t を時間、ハミルトニアンをとする。この時、出発点としての時間を含むシュレーディンガー方程式は、
となる。ここで、（h はプランク定数）である。時刻 t0 、t でのそれぞれの波動関数の関係をシュレーディンガー表示で表すと、
となる。少々厳密ではないが、、とし、波動関数の時間発展を、Δt の時間刻みによる逐次的な発展として考えると上式は、
となる。問題となるのは、の部分の処理で、 に関して冪展開したり、指数関数部分に関して分解（鈴木＝トロッター分解）を施すなどしてΔt に関しての逐次計算が行われ方程式が解かれる。
TDDFT (TDLDA) は、ポテンシャル部分が時間に依存する場合、例として時間によって変動する動的な電場、磁場中での電子の振舞いや、断熱近似が成り立たないような化学反応を扱うような場合などに適用される。たがし、この手法は密度汎関数理論が前提であり、正しい結果を与えることが保証されるのは基底状態に対してのみである。上記のような時間依存する系は、準位の交差など励起状態を扱う計算となっている。これまでの実際の計算例などから経験的にこのような励起状態をTDDFTは良く記述できていることが分かっているが、どのような場合でも正しい結果を与える保証はない。
時間依存密度汎関数法 形式
ルンゲとグロスのアプローチは、ハミルトニアンが
の形式を取る時間に依存するスカラー場の存在下での単一要素系について考える。上式において、Tは運動エネルギー演算子、Wは電子-電子相互作用、Vext(t) は電子の数と連動して系を定義する外部ポテンシャルである。通常、外部ポテンシャルは系の核との電子の相互作用を含む。非自明な時間依存性について、追加の明示的に時間依存的なポテンシャルが存在する。これは、例えば、時間に依存する電場あるいは磁場から生じうる。多体波動関数は単一の初期条件の下で時間に依存するシュレーディンガー方程式にしたがって発展する。
その出発点としてシュレーディンガー方程式を利用し、ルンゲ・グロスの定理は、いかなる時点においても、密度は外部ポテンシャルを一意的に決定することを示す。これは2つの段階で成される。
時間依存密度汎関数法 形式
所与の相互作用ポテンシャルについて、RG定理は外部ポテンシャルが電子密度を一意的に決定することを示す。コーン–シャム・アプローチは、相互作用のある系と等しい電子密度を形成する相互作用のない系（相互作用ポテンシャルがゼロ）を選ぶ。こうすることの利点は、相互作用のない系を容易に解くことができること —相互作用のない系の波動関数は単一粒子軌道のスレイター行列式として表わすことができ、個々の軌道は3つの変数をもつ単一の偏微分方程式によって決定される— そして、相互作用ない系の運動エネルギーはこれらの軌道の観点から厳密に表すことができることである。したがって、問題は相互作用のないハミルトニアンHsを決定するポテンシャル（vs(r, t) または vKS(r, t) と表わされる）を決定することである。
次に、このハミルトニアンが行列式波動関数を決定する。
行列式波動関数は方程式
に従う一式のN個の軌道の観点から構築され、ρsが相互作用のある系の密度と常に等しい
ような時間に依存する密度
を生成する。
時間依存密度汎関数法 形式
ここで留意すべきは、上記の密度の式において、総和が個「全ての」コーン–シャム軌道にわたること、が軌道についての時間に依存する占有数であることである。もしポテンシャルvs(r,t) が決定できる、あるいは少くともよく近似できるならば、次に元のシュレーディンガー方程式（3N個の変数を持つ単一粒子微分方程式）は、それぞれ初期条件のみが異なる3次元におけるN個の微分方程式に置き換えられる。
コーン–シャム・ポテンシャルに対する近似を決定する問題は難易度が高い。DFTと類似して、時間に依存するKSポテンシャルは系の外部ポテンシャルと時間に依存するクーロン相互作用vJを抽出するために分解される。残った要素は交換–相関ポテンシャルである。
彼らの独創的な論文において、ルンゲとグロスはディラック場を出発点とした場に基づく議論を通してKSポテンシャルの定義に取り組んだ。
波動関数の汎関数 A[Ψ] として取り扱った、波動関数の変分は停留点として多体シュレーディンガー方程式をもたらす。電子密度と波動関数との間の一意的な写像を考え、ルンゲとグロスは次に密度汎関数
としてディラック場を扱い、場の交換–相関要素についての形式的式を導いた。これが汎関数微分によって交換–相関ポテンシャルを決定する。後に、ディラック場の基づくやり方は、それを生成する応答関数の因果律を考えた時に逆説的結論をもたらすことが見つかった 。密度応答関数（外部ポテンシャルに関する電子密度の汎関数微分）は因果的でなければならない（いかなる時間におけるポテンシャルの変化もそれより前の時間の密度に影響を与えない）。しかしながら、ディラック場から応答関数は時間について対称的であり、必要とされる因果構造を欠いている。この問題に悩まされないやり方が後に複素時間経路積分のケルディッシュ形式に基づく場を通して導入された。「実時間」における場の原理の精緻化による因果律パラドックスの別の解決法が最近ジョヴァンニ・ヴィナーレによって提唱された。
時間依存密度汎関数法 線形応答TDDFT
外部摂動が系の基底状態構造を完全に破綻しないという意味で小さければ、線形応答TDDFTを使うことができる。この場合、系の線形応答を解析することができる。これは、1次まで、系の変分が基底状態波動関数のみに依存し、DFTの全ての性質を単純に使うことができるため、大きな利点である。
小さな時間に依存する外部摂動を考える。
そして、電子密度の線形応答からすると、
上式において、である。ここで、そしてこれ以後、プライム記号付きの変数は積分されているものと見なす。
線形応答領域内において、ハートリー（H）ポテンシャルと交換-相関（xc）ポテンシャルの線形順序への変分は密度変分に関して展開できる。
最後に、この関係をKS系に対する応答方程式に挿入し、得られた方程式と物理的系についての応答方程式を比較すると、TDDFTのDyson方程式が得られる。
この最後の方程式から、系の励起エネルギーを導くことが可能である（これらは単に応答関数の極であるため）。
その他の線形応答アプローチには、Casida形式（電子孔対における展開）やSternheimer方程式（密度汎関数摂動理論）がある。
琵琶湖線
琵琶湖線（びわこせん）は、西日本旅客鉄道（JR西日本）が管轄する東海道本線のうち、滋賀県米原市の米原駅から京都府京都市下京区の京都駅までの区間、および北陸本線のうち米原駅から滋賀県長浜市の長浜駅までの区間に付けられた愛称である。
ラインカラーは青（■）で、JR京都線、JR神戸線と同様にJR西日本のコーポーレートカラーがそのまま採用されている。路線記号は A であるが、湖西線の列車が乗り入れる山科駅 - 京都駅間は、重複して B  も付与されている。
琵琶湖線 概要
JR西日本の京阪神エリアの路線網（アーバンネットワーク）の一角を成す路線である。琵琶湖の東岸を走り、滋賀県湖東・湖南地区の各都市と京都を結ぶ、滋賀県の主要路線である。京都・大阪方面への通勤・通学に利用され、大津市や草津市など京都・大阪に近い沿線はベッドタウンとして開発されている。多くの列車がJR京都線、JR神戸線へと直通運転しているほか、新快速を中心に最長で長浜駅以北の敦賀駅（福井県敦賀市）方面に至る列車が設定されている。
また、山科駅 - 石山駅間で、京阪京津線・石山坂本線（大津線）、近江八幡駅 - 米原駅間で近江鉄道本線・八日市線と並行しているものの、いずれも地域内輸送が中心であり、運賃や経路・速度・駅間距離・運転本数が違い過ぎることからいずれも競合する私鉄とはいえない。
琵琶湖線 概要
JR西日本の発足直後、米原駅 - 大阪駅間の愛称を公募したところ、国鉄時代から俗に呼ばれていた「湖東線」が1位であったが、JR西日本は米原駅 - 大阪駅間の愛称を「JR京都線」と決定した。しかし、滋賀県や県議会から地域密着の路線名にして欲しいと強い要望があったことを受け、1988年2月5日に米原駅 - 京都駅間の愛称を「琵琶湖線」に変更し、1988年3月13日のダイヤ改正から使用を開始した。1991年9月14日には北陸本線の田村駅 - 長浜間が交流電化から直流電化に変更され、京都方面からの新快速・普通が直通するようになったことに合わせて、同線の米原駅 - 長浜駅間も琵琶湖線に加えられた。2006年10月21日には同線の長浜駅 - 敦賀駅間も直流電化に変更され、各列車の運転区間も延長されたが、この区間は近江塩津駅の手前まで琵琶湖の湖岸線に並行しているものの、琵琶湖線に加えられていない。
当該区間では旅客案内上も「琵琶湖線」と案内され、基本的には「東海道（本）線」が使用されることはない（ただし、駅備え付けの運賃表や一部の路線図では、括弧書きで（東海道線）と併記される）。
なお、米原駅から長浜方面では敦賀方面行きを「琵琶湖線」ではなく「北陸本線」あるいは「北陸線」と案内することがある。また、山科駅 - 京都駅間では湖西線系統の列車も走るため、山科駅では草津・米原方面行きのみ「琵琶湖線」と案内し、京都・大阪方面行きは直通先の名称である「JR京都線」として案内される。
全区間がJR西日本近畿統括本部の管轄であり、旅客営業規則の定める大都市近郊区間の「大阪近郊区間」、およびICカード乗車カード「ICOCA」エリアに、野洲駅 - 京都駅間が電車特定区間に含まれている。
琵琶湖線 沿線概況
草津駅 - 京都駅間は複々線で、外側の2線（外側線）は主として特急列車・貨物列車及び草津線直通の普通が使用し、内側の2線（内側線）は新快速・普通（高槻または京都から快速）が使用している。ホームの両面とも客扱いするため、いずれの駅にもホームドアも柵も設置されていない。基本的に外側線の通過列車は、京都駅以西のJR京都線やJR神戸線と異なり、特急及び貨物列車に限る運用がなされており、実質的に貨客分離となっているが、ラッシュ時を中心に外側線を走る新快速があり、また事故などでダイヤが乱れた場合には外側線を走る普通があるなど、京都駅以西の複々線区間と比較して柔軟な運用が行われている。米原駅 - 京都駅間の全線で130 km/h運転が可能であり、特に草津駅 - 京都駅間は内側線も130 km/hに対応している。南彦根駅・稲枝駅・篠原駅・守山駅・栗東駅・南草津駅・瀬田駅・大津駅は絶対信号機を持たないため停留所に分類される。能登川駅で上り米原方面行きの列車、近江八幡駅で下り京都方面行きの列車がそれぞれ緩急接続ができるほか、河瀬駅・安土駅・野洲駅に中線があり普通列車の特急・貨物列車の待避や折り返しに使用される。野洲駅には網干総合車両所宮原支所野洲派出所がある。そのため野洲駅を始発・終着駅とする区間列車が多く設定されている。
琵琶湖線 運行形態
ダイヤは基本的に、京都駅 - 大阪駅 - 姫路駅間のJR京都線・JR神戸線と長浜駅 - 近江塩津駅・敦賀駅間の北陸本線の直流電化区間と一体的に組まれている。琵琶湖線内の列車種別は、一部の駅を通過する「新快速」と各駅に停車する「普通」が中心である。この2種別によるパターンダイヤが組まれており、日中は15 - 30分ヘッドの等時隔ダイヤとなっている。このほかに一部特別料金を必要とする優等列車も走る。
土曜・休日ダイヤの7時台に米原駅から野洲駅までを普通、野洲駅で新快速に種別を変更する京都・大阪・神戸方面行きの列車があった。2011年3月11日までは平日朝に草津駅 → 米原駅間・京都駅 → 野洲駅間でそれぞれ普通となる新快速が設定されていた。また、2007年3月3日までは平日午前中に米原駅 → 野洲駅間で普通列車となる京都・大阪・神戸方面行きの列車があった。2021年10月2日より長浜駅 - 米原駅間の新快速が日中時間帯1時間に1本の運行となった。
琵琶湖線 運行形態
この区間のダイヤは、京都駅 - 草津駅間で普通（京阪神間快速電車の延長）が日中時間帯1時間に4本の運行となった1972年3月15日改正が原型で、その後草津駅 - 野洲駅・米原駅間の増発が行われてきた。新快速の運転開始当時は、普通の中に割って入れたダイヤであったため、新快速と普通の乗り継ぎは考慮されていなかったが、その後の新快速の増発に合わせて米原方面への上り列車は草津駅や野洲駅で、京都方面への下り列車は朝晩に近江八幡駅で接続を取るダイヤが設定されてきた。2003年12月1日の改正では新快速が停車しない中間駅からの所要時間短縮を目的に、日中の上り野洲行き新快速からの米原方面への普通、また近江八幡駅での米原方面からの下り普通から新快速への相互接続ダイヤを組んだが、京都方面への下りの場合、近江八幡駅や彦根駅での実質利用可能列車の減少というデメリットが大きいため、2008年3月15日改正で米原発の列車は京都駅に先着するダイヤに戻された。
夜間の車両収容は網干総合車両所宮原支所の野洲派出所・米原派出所の電留線を利用している。
大阪方面から北陸方面への特急列車は山科駅から湖西線に入り、米原駅から名古屋方面へは東海道新幹線が並行するため、山科駅 - 米原駅間を走行する優等列車は、JR京都線と比べると本数は少ない。
琵琶湖線 運行形態
2024年3月16日の改正ダイヤでは、米原駅 - 山科駅間を定期で運転される列車は以下のとおりで、特急「はるか」は野洲駅発着関西空港行2往復と草津発関西空港行き1本、特急「らくラクびわこ」米原駅発着1往復と大阪発草津行きが1本運転されているほかは、いずれも1日1往復の運転である。ただし、「らくラクびわこ」は京都・大阪方面への通勤利用客を主な対象としているため土曜・休日ダイヤでは運転されていない。「はるか」は新快速と同一停車駅で、「らくラクびわこ」は能登川駅以外の新快速停車駅に、「ひだ」は米原駅・草津駅・京都駅に停車する。山科駅 - 京都駅間はこれらに特急「サンダーバード」など湖西線経由の列車が加わる。「サンダーバード」については湖西線内の強風などの理由による迂回運転時には京都駅 - 長浜駅間の琵琶湖線全線での運行に変更され、下り（敦賀行き）のみ米原駅に運転停車する（上りの大阪行きは客扱いあり）以外は、琵琶湖線内は無停車で運行される。米原駅 - 長浜駅間には名古屋駅および米原駅と北陸新幹線を連絡する特急「しらさぎ」が名古屋駅・米原駅 - 敦賀駅間で運転されている。
これらの特急の自由席を米原駅 - 京都駅間で利用した場合、同区間を東海道新幹線の自由席を利用する場合と比較して特急料金が高くなる（特定特急券の項目も参照）。
琵琶湖線 運行形態
新快速は、他社鉄道線と競合する京阪神間の速達輸送を目的に1970年より運行を開始した列車であり、現在の琵琶湖線区間には翌1971年から乗り入れている。
北陸本線から琵琶湖線を経てJR京都線・JR神戸線方面へ直通運転を行っている。琵琶湖線内では長浜駅 - 彦根駅間は各駅に停車、彦根駅 - 京都駅間では一部の駅（彦根駅・能登川駅・近江八幡駅・野洲駅・守山駅・草津駅・南草津駅・石山駅・大津駅・山科駅）にのみ停車する快速運転を行う。京都駅 - 草津駅間は列車により内側線または外側線を走るが、平日の朝ラッシュ時は外側線を走り、京都駅では0・6番のりばに停車する。
日中時間帯の琵琶湖線系統は1時間に3本（うち1本が野洲駅発着、1本が草津駅発着）で、運転間隔が広がる部分がある。これは京都駅 - 山科駅間の1時間に4本のうち、1本は湖西線直通で運行されているからである。京都駅 - 大阪駅 - 姫路駅間のJR京都線・神戸線と直通運転をしている。上り列車は京都駅を毎時00・15・30・45分の15分間隔で発車する。
琵琶湖線 運行形態
運転区間の拡大に合わせたダイヤ改正により運転時間の拡大も続き、1999年5月10日に平日ダイヤの朝ラッシュ時に増発、2004年10月16日に平日ダイヤの夕ラッシュ時に増発と続き、2009年3月14日には夜の大阪方面に向かう下り列車の増発も行われた。2011年3月12日の改正で南草津駅が新快速の停車駅になり、また、土曜・休日ダイヤのすべての新快速が京都駅 - 米原駅間で12両編成に統一された。
全列車とも223系（1000番台および2000番台）・225系（0番台および100番台）電車（いずれも網干総合車両所所属）の8両または12両編成で運転される。北陸本線の区間はホーム有効長の関係で長浜駅発着は4両または8両編成、近江塩津駅・敦賀駅発着は4両編成で運転されるため、米原駅で車両の連結・切り離しを行う列車が多い。2017年3月4日のダイヤ改正より平日・土曜/休日とも京都駅 - 米原駅間のほぼすべての列車が12両編成に統一された（平日朝の京都発1本および夕方ラッシュ時の大阪始発は除く）。
米原駅を境に列車番号が変更される。以前は、平日のみ運行される米原発7時台の京都・大阪方面神戸・姫路行き（米原で長浜発の8両編成と近江塩津発の4両編成を連結する）は、長浜発の編成のみ米原駅で列車番号を変えていた（近江塩津発の編成と番号が揃えられる）。
琵琶湖線 運行形態
事故などのトラブルでダイヤが乱れた場合や、ダイヤの乱れが見込まれる場合、米原駅で運転を打ち切り、米原駅以北と以南で別の編成を用いて運転することがある。
琵琶湖線内は各駅に停車する。草津駅 - 京都駅間は内側線で運転されている。朝・深夜の一部列車をのぞきJR京都線・JR神戸線に直通し、JR京都線・JR神戸線内では高槻駅 - 大阪駅 - 西明石駅間（始発から朝ラッシュ時までは京都駅 - 長岡京駅 - 高槻駅 - 大阪駅 - 西明石駅間）で快速となる。JR宝塚線には直通しない。
朝ラッシュ時は米原・野洲発の系統のほか、安土発や草津線柘植発の列車もある。日中時間帯は1時間に4本（うち2本は京都駅 - 野洲駅間の区間系統）で運行されており、上り列車は京都駅を毎時07・22・37・52分の15分間隔で発車する。朝晩は長浜駅発着系統がある。2016年3月26日のダイヤ改正以前は東海旅客鉄道（JR東海）大垣駅発着の設定もあった。
221系・223系（1000番台・2000番台・6000番台）・225系（0番台・100番台）電車（いずれも網干総合車両所所属車）の6・8・10・12両編成で運転されている。京都駅発着の列車には4両編成で運行される列車があり、長浜駅・近江塩津駅発着の列車では米原駅で連結・切り離しをする列車もある。なおこれらいずれの普通列車にも女性専用車の設定はない。
琵琶湖線 運行形態
JR京都線直通列車の中には、運行全区間の各駅に停車する列車（京阪神緩行線）も少数存在する。京都発平日8時台の普通電車草津行きは、JR宝塚線新三田始発で運行されており、運行区間内の全駅に停車する。2004年10月11日までは土曜・休日ダイヤでも設定があり、2004年10月18日から2013年3月15日までは野洲駅発着の設定もあったが、翌16日のダイヤ改正以降は西明石駅から直通する草津行きの1本のみとなった。2022年3月12日のダイヤ改正で新三田発草津行きに変更された。207系または321系が使用されており、乗り入れ先線区の関係で女性専用車の設定がある（2002年12月7日からは、始発から9時00分と17時00分から21時00分まで。2011年4月18日からは、平日・休日にかかわらず終日）。
草津線に直通する列車も朝夕に設定されており、吹田総合車両所京都支所所属の221系・223系電車や網干総合車両所所属の223系・225系電車が使われている。草津線直通の列車は新快速との接続および草津駅の線路配線の関係で草津駅 - 京都駅間を原則外側線で運転する。また山科駅 - 京都駅間は湖西線の新快速・普通も運転されており、この区間の日中は1時間に11本の運転になる。
1989年3月10日までは草津線直通の客車列車や彦根駅から北陸本線に直通する気動車列車も設定されていた。
大晦日終夜運転
琵琶湖線 運行形態
琵琶湖線では、大晦日深夜から元旦にかけて、京都駅 - 草津駅間で普通のみ約60分間隔で終夜運転が実施されていた。かつては、2004年度から2010年度まで京都駅 - 野洲駅間に拡大されたこともあったが、2011年度以降は草津駅 - 野洲駅間は草津行き1本を野洲まで臨時延長する形での運行に縮小され、のちに臨時列車の運行も取り止められ、2019年度は全線で取り止めになった。
びわこライナー
通勤客向けの座席定員制のホームライナーとして1987年10月に運転を開始し（1988年3月から定期列車化）、特急「雷鳥」の間合い運用として米原駅 - 大阪駅間で休日をのぞいて1往復設定されていたが、2003年6月1日の改正で特急「びわこエクスプレス」（2024年3月16日改正で「らくラクびわこ」と改称）に置き換えられ廃止された。車両は485系が使用されていた。
びわこハリウッド号
2002年春と夏に、米原駅 - 大阪駅間で快速「びわこハリウッド号」の運転が行われた。ユニバーサル・スタジオ・ジャパン (USJ) への集客を目的としたもので、特急「雷鳥」で使用していた485系の9両編成を使用して、全車座席指定席で運転された。途中の停車駅は新快速と同じであった。
SL北びわこ号
1995年から10月および11月の日曜日や祝日、ゴールデンウイークなどに米原駅 - 木ノ本駅間で臨時列車「SL北びわこ号」が運行されていた。通過駅があるが、列車種別は快速ではない。2019年11月10日の運行が最後となった。
琵琶湖線 使用車両
電車
281系・271系：2021年3月のダイヤ改正までは、米原駅 - 関西空港駅間の特急「はるか」に使用されていた。同ダイヤ改正以降は、野洲駅 - 関西空港駅間の特急「はるか」として運行され、米原駅 - 野洲駅間では見られなくなっている。
285系：東京駅 - 高松駅・出雲市駅間の特急「サンライズ瀬戸」「サンライズ出雲」に使用されている。
681系・683系：敦賀駅 - 名古屋駅間の特急「しらさぎ」、米原駅 - 大阪駅間の特急「らくラクびわこ」1・2号に使用されている。また、強風時等に琵琶湖線に迂回運転する敦賀駅 - 大阪駅間の特急「サンダーバード」にも使用される。
気動車
キハ189系：大阪発草津行きの特急「らくラクびわこ」4号に使用されている。
HC85系：2023年3月のダイヤ改正より大阪駅 - 高山駅間の特急「ひだ」に使用されている。
現在、定期列車はすべて電車で運転されている。
琵琶湖線 使用車両
225系（0・100番台）（網干総合車両所）
0番台は2010年12月1日から、マイナーチェンジ車の100番台は2016年7月7日から、新快速・普通（途中の駅から快速・新快速になる列車も含む）で営業運転を開始した。湖西線・草津線に直通する列車にも使用されている。6両編成は性能的には他と変わらないが、新快速は8両または8+4の12両で運行されるので非常時を除いて新快速には使用されないほか、湖西線・草津線での運用もない。
223系（1000・2000・6000番台）（網干総合車両所）、（2500・6000番台）（吹田総合車両所京都支所）
1000・2000番台は新快速・普通（途中の駅から快速・新快速になる列車も含む）に使用されているほか、湖西線・草津線に直通する列車にも使用されている。6両編成は性能的には他と変わらないが、新快速は8両または8+4の12両で運行されるので現在では非常時を除いて新快速には使用されないほか、湖西線・草津線での運用も無い。
2500・6000番台は車両の性能を221系に合わせて固定され、221系と共通運用することを前提としているため、新快速には使用されていない。2500番台と京都支所所属の6000番台は湖西線と草津線に直通する普通列車にしか使用されず、網干本所所属の6000番台は湖西線・草津線直通には使用されない。
琵琶湖線 使用車両
207系・321系（網干総合車両所明石支所）
京都駅以西でも各駅に停車する平日朝の新三田発草津行き（2022年3月11日までは西明石発草津行き）普通（京阪神緩行線）で運転されている（厳密にはその後回送で野洲駅まで運転。折り返しは京都駅まで回送される）。
321系が入る前は201系も運行されており、2006年3月17日まで設定があった。また、2003年3月15日 - 8月14日の間は103系も運行されていた。
電車
381系：大阪発着の特急「しなの」で使用。
383系：大阪発着の特急「しなの」で使用。
気動車
キハ85系：大阪駅 - 高山駅間の特急「（ワイドビュー）ひだ」に使用されていたが、HC85系に置き換えられた。
琵琶湖線 駅一覧
以下では、琵琶湖線の各駅の営業キロ・停車列車・接続路線についてを一覧表で示す。廃駅・廃止信号場については「東海道本線#廃駅」を参照。
山科駅 - 京都駅間で京都市東山区を通るが、区内に駅はない。
以下の区間で新駅を設置することが検討されている。
このほか、南草津駅 - 瀬田駅間にも新駅（南笠駅（仮称））設置が計画されていたが、草津市が新駅の設置計画を凍結する方針を2013年10月28日までに固めた。
整数
数学における整数（せいすう、英: integer; whole number、独: Ganze Zahl、仏: nombre entier、西: número entero）は、1 とそれに 1 ずつ加えて得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) 、これらに−1を乗じて得られる負数 (−1, −2, −3, −4, …) 、および 0 の総称である。
整数の全体からなる集合は、一般に太字の  または黒板太字の  で表す。
これはドイツ語『Ganze Zahl』の『Z』に由来する。
抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。
有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。
一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある。
整数 概要
「もの」の個数という素朴な意味で理解される自然数の中では、足し算と掛け算は自由にできるが、引き算については「引かれる数が引く数よりも大きい」という前提を満たさねばならず、その意味では自由ではない。これを自由に行うために「負の整数」を導入して、数の範囲を拡張しようというのが整数の概念である。すなわち、
の形の方程式は、,  が整数ならば必ずただ一つの解を持つ。
自然数を「正の整数」とし、自然数 n に対して加法に関する逆元 −n を導入し、これを「負の整数」とする。「正の整数」「0」「負の整数」をあわせた数の中で普通に足し算・引き算・かけ算ができるように、また、「正の整数」に対する演算はもともとの自然数としてのそれであるように加法と乗法を定義することができる（足し算引き算を包摂して「加法」と呼んでいる）。
しかし、例えば  となる整数  が存在しないように、依然として一般に除法は不自由なままである（自由にできるようにするためには有理数にまで数の範囲を広げなければならない）。
整数 整数の定義
自然数の集合を
ℕ := {1, 2, 3, …}
と定義する。また、0 を含む自然数の集合を
N₀ := {0, 1, 2, 3, …}
と定める。
このとき、集合 ℤ を次の条件をすべて満たす集合として定義する：
(1). 自然数全体の集合 ℕ は ℤ に含まれる：
ℕ ⊆ ℤ
(2). ℤ に属するある元（これを k と書く）に対して、写像
f: ℤ → ℤ \ {k}
が存在し、f は全単射である。
(3). 条件 (1) および (2) をともに満たすすべての集合 X と写像 g: X → X（g も f と同様に、g は全単射であり g(X) = X \ {k} を満たす）に対して、
ℤ ⊆ X
が成り立つような包含関係に関して最小の集合 ℤ である。
ただし現時点では、条件 (1)〜(3) をすべて満たす写像 f を存在させる集合 ℤ が本当に存在するかは明らかでないため、定義としては不十分である。
以下に、その存在と一意性を証明する。
集合 A を任意に固定し、元 k ∈ A を選ぶ。写像
f: A → A \ {k}
が全単射であるとする。このとき、写像 f の逆写像
f⁻¹: A \ {k} → A
も一意に定まり、全単射である。
ここで、写像族 {fⁿ} を次のように定義する：
整数 整数の定義
n = 0 のとき、f⁰ を恒等写像（id）とする。
任意の自然数 n ∈ N₀ に対して、
fⁿ := f ∘ f ∘ … ∘ f （f を n 回合成）
任意の正の整数 n ∈ ℕ に対して、
f⁻ⁿ := f⁻¹ ∘ f⁻¹ ∘ … ∘ f⁻¹ （f⁻¹ を n 回合成）
このように、写像 fⁿ は自然数 n に対して正方向の合成として定義され、f⁻ⁿ は正の自然数 n に対して逆方向の合成として定義される。
次に、以下の集合を定義する：
正方向の合成による像の集合：
P₊ := {fⁿ(k) | n ∈ N₀}
逆方向の合成による像の集合：
P₋ := {f⁻ⁿ(k) | n ∈ ℕ}
両者の和集合：
D := P₋ ∪ P₊ = {…, f⁻³(k), f⁻²(k), f⁻¹(k), k, f(k), f²(k), f³(k), …}
ここで、このような条件を満たす集合は少なくとも1つ存在する。なぜなら、f が全単射であるため、各 fⁿ(k) は互いに異なり、すべての像は一意に定まるからである。したがって、集合 D は問題なく定義される。
集合 D は以下の性質を満たす：
(1). 写像
n ↦ fⁿ(k)
は N₀ から P₊ への全単射である。よって、
整数 整数の定義
N₀ ≅ P₊ ⊆ D
が成り立つ。
(2). 任意の x ∈ D で x ≠ k のとき、f⁻¹(x) ∈ D が成り立つ。つまり、D は f⁻¹ に関して閉じている。
(3). 任意の集合 T と写像 g が以下の条件を満たすとする：
(a) ℕ ⊆ T
(b) g: T → T は全単射であり、g(T) = T \ {k}
(c) 任意の x ∈ T で x ≠ k のとき、g⁻¹(x) ∈ T
このとき、任意の n ∈ N₀ に対して gⁿ(k) ∈ T、かつ任意の n ∈ ℕ に対して g⁻ⁿ(k) ∈ T が成り立つ。なぜなら、
(a) により初期値 g⁰(k) = k ∈ T、
(b) により合成操作は T 内にとどまり、
(c) により逆操作も T 内で閉じているからである。
したがって、集合 D は任意のそのような集合 T に含まれる：
D ⊆ T
以上より、条件 (1)、(2)、(3) をすべて満たす集合と写像の組が少なくとも 1 つ存在し、その中で包含関係に関して最小の集合がただ 1 つ存在することが証明された。
そこで、この集合 D を『整数の集合（せいすうのしゅうごう）』と呼ぶことにして、
ℤ := D
と表記する。
整数 歴史
負の数について論じた最古の文献は、紀元前1世紀から紀元後2世紀に成立した古代中国の『九章算術』であり、0および負数の加減演算が扱われている。また、インドの数学者アリヤバータによる今日『アーリヤバティーヤ』と呼ばれるテキストでは、負数の加法と減法の満たす規則が定められており、また負数は負債を表し、正数は収入を表すものとして表れている。数世紀のち、ペルシアの数学者アブル・ワファーは負数同士の積が正数であることを記しているが、しかし依然として数は何らかの物理的な量に結び付けられており、負数が実存のものとして市民権を得るのは困難な状態であった。例えばフワーリズミーは二次方程式を係数に負数が現れないように6種類に還元帰着することによって扱っている。
整数 歴史
ヨーロッパで整数の概念が現れるのは遅く、よく知られた二整数の積に対する符号の規則は一般にステヴィンに帰せられる。またダランベールは、彼の百科全書において整数が危うい概念であると述べている。
自然数の成す同値類を用いた厳密な構成を行うことによる整数の概念の定式化が現れるのは、そこからさらに二つの世紀を待たねばならなかった。この重要な発展は、数学の基礎をより厳密に定義することを目指す19世紀後半の数学者たちによってもたらされた。この構成を成した一人であるデデキントは、整数全体の成す集合を表すのに K を用いたが、ブルバキによるドイツ語で「数」を意味する "Zahlen" の頭文字が普及するまで、ほかにもいくつかの規約が用いられていた。
整数 代数構造
加法についての五性質は、整数の全体 Z が加法に対してアーベル群となることを主張するものである。また、任意の整数 n は
なる形に書けるから、Z は 1 の生成する無限巡回群 ⟨1⟩ になる。特に Z は同型の違いを除いて唯一の無限巡回群である。
乗法についての四性質は、Z が乗法に関しては可換モノイドをなすことを言うものである。
零因子の非存在以外の全ての性質を合わせれば、整数の全体 Z は単位的可換環であることがわかる。整数全体の成す環は整数環と呼ばれる。例えば負の数同士の積が正となるという性質
(−a) × (−b) = a × b
は、整数の全体が環であることを用いれば、n を任意の整数とするとき、逆元の一意性による −(−n) = n と 0 が吸収元すなわち n × 0 = 0 =  0 × n = 0 となることなどを使って証明できる。
整数環 Z は零因子を持たない単位的可換環ゆえに整域である。逆元を持つ整数は {±1} の二つだけであり、Z から 0 を除いた集合は除法について閉じていないので、Z は体にならない。
整数 代数構造
乗法の逆演算としての通常の除法は Z 上で定義された演算とはならないけれども、しかし Z は除法の原理と呼ばれる性質「任意の整数a と任意の整数 b ≠ 0 に対して、a = qb + r かつ 0 ≦ r < |b| を満たす二つの整数q とr が存在する」が成り立つので、「余りのある除法」を定義することができて、Z はユークリッド整域となる。特に x と y の最大公約数が d のとき、ax + by = d を満たす整数 a, b が存在することはユークリッドの互除法などにより保証され
(x) + (y) = (d)
が成り立つから、Z が単項イデアル整域であることがわかる。ここから導かれる、任意の整数が単元を掛ける違いを除いて素数の積として一意に表されるという重要な事実は算術の基本定理と呼ばれ、Z が一意分解環であることを示す。
整数 順序構造
における通常の大小関係
は、上にも下にも有界でない全順序関係であり、
が成り立つという意味で  の環構造と両立し、 は順序環となる。0 より大きな元は「正」、0 より小さな元は「負」である。正の整数全体  は、任意の整数  に対し  または  が  に属するという意味で  の賦値環である。
整数 厳密な構成
自然数の全体 N は減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負整数を導入し、整数の全体 Z を構成した。それと本質的には変わらないが、よく知られる方法としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数が厳密に構成できることを記しておく。なお、以下の構成では、自然数には 0 を含まないとする。
まず、直積集合 N2 = N × N = {(a, b) | a, b は自然数} を考える。N2 に同値関係 ∼ を
(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c
と定義することができる。ここで、N2 を同値関係 ∼ で類別した集合（商集合）N2/∼ を考える。これは、互いに同値なもの全体の集合（同値類）を元とするような集合であり、直観的には互いに同値であるようなものを同一視する操作である。(a, b) ∈ N2 の属する同値類を [a, b] ∈ N2/R と表すことにする。つまり、[a, b] は
[a, b] = {(c, d) ∈ N2 | (a, b) ∼ (c, d)}
となる集合である。同値類を [a, b] のように表すとき、(a, b) をこの同値類の代表元と呼ぶ。代表元は同値なものでありさえすれば、他のものに取り替えることができる。商集合 N2/∼ に加法 + と乗法 × を
整数 厳密な構成
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
[a, b] × [c, d] = [ac + bd, ad + bc]
と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる。
このとき、[a, b] + [m, m] = [a + m, b + m] = [a, b] であるから、R = {(m, m) | m ∈ N} は N2/∼ の加法に関する単位元である。
また、自然数 m に対して [m + 1, 1] を対応させる写像は単射で、
[m + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n) + 1, 1],
[m + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]
を満たす（準同型）から、 N は N2/∼ に演算まで込めて埋め込める
。
記号の濫用ではあるが、自然数 m を埋め込んだ先と同一視して m = [m + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数 m と呼ぶ
。
同様の埋め込みは、自然数 m に対して [1, m + 1] を対応させることでも得られるが、和と積は
整数 厳密な構成
[1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, (m + n) + 1],
[1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]
となる。自然数 m に対し、新たな記号 −m を [1, m + 1] を表すものとして導入し、これを負整数 −m と呼ぶ
。
負整数同士の積が正整数になっていることが確認できる。
このとき、m + (−m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R だから、負整数 −m = [1, m + 1] は N2/∼ においてはちょうど、正整数 m = [m + 1, 1] の加法に関する逆元になっている
。
R をあらためて 0 と書くことにして、N2/∼ = {m, 0, −m | m ∈ N} を整数全体の集合と呼び、改めて Z と書くことにしよう。
このようにして整数の全体 Z が厳密に定義されたが、なお定義に従えば Z において結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることが証明できる。
整数 コンピュータにおける整数表現
コンピュータの内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、2進法を用いて整数を表現するのが基本である。通常は、2 バイト（16 ビット）または 4 バイト（32 ビット）の範囲で表現できる範囲の数を扱う。負の値を扱う場合は、2の補数表現などが用いられる。通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして（記憶容量が許す限りの）任意長の整数を扱う方法もある。
事務処理などで金額などの桁数の大きな数や、利息計算などの10進表現による小数計算を正しく扱う必要がある場合には、二進化十進表現が用いられる。
ベアゼロ
ベアゼロは、春闘などの賃上げ交渉の際に、ベースアップ（ベア）がゼロとなること、つまり、全従業員に対して一律の賃上げが0円であることを意味する。
ベアゼロ 過去の事例
2002年のトヨタのベアゼロは、利益が1兆円を超えたにもかかわらず行われており、高瀬久直によれば同社の生産性基準原理への転換の象徴になったと評されている。
2009年にはNTTグループや、トヨタ自動車・ホンダ自動車・日産自動車などの自動車関連企業、パナソニック・日立製作所・NECなどの電機関連企業などがベアゼロを発表している。
2020年の春闘で、トヨタがメンバーシップ制から、個人につけられた評価によって給料に差が付く「ジョブ制」へと移行したことに伴うベアゼロを発表したことは「ベアゼロショック」と評された。
2021年の春闘では、コロナウイルスの感染拡大による業績悪化に伴い、日本航空・JR東海・SUBARUなどの企業がベアゼロを発表したほか、ホンダ・マツダ・三菱重工業などの労働組合がベアの要求を断念したことなどから「ベアゼロ春闘」などと評された。
ベア
ベア、ベアー（bear、bare、Beer、Bea）
有理数
有理数（ゆうりすう、英: rational number）とは、整数の比（英: ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数（分母≠0）として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。有理数全体の集合を示す記号は Qが使用される。
有理数 概要
有理数は（十進法などの）位取り記数法で小数表示すると有限小数または循環小数のいずれかとなる（どちらになるかは基数に依存する。ある基数で有限小数となる有理数が別の基数では循環小数となること、あるいはその逆になることはある）。また、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。
有理数全体からなる集合はしばしば、太字の Q で表す。これは、イタリア人数学者のペアノによって1895年に最初に表された、商（英: quotient）を意味するイタリア語: quoziente の頭文字に由来する。手書きなどの際には、黒板太字と言われる書体を用いた  で示すことが多い。すなわち、
である（ただし、Z は整数全体からなる集合を表す）。ここで、各有理数に対して、その分数表示 a/b は一意でない（しかも無数にある）ことは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。公理的集合論の立場では、分数 a/b は整数の組 (a, b) の属する同値類（の代表元）を表しており（#形式的な構成を参照）、有理数全体からなる集合 Q は商体の最も初等的な例となっている。
有理数 概要
距離空間としての有理数の完備化（適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当）することにより、実数や p進数が得られる（後述。あるいはコーシー列・デデキント切断等を参照）。有理数ではない実数は無理数と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体は体を成し（Q の代数的閉包）、その元を代数的数と呼ぶ。
有理数 用語の由来
「有理数」という語は、英語: rational number の訳による。英: "rational" は「合理的な」「理に適う」「理性的な」の意である。対して、"rational" の語幹である 英: "ratio"（ギリシア語: λογος）は「比」を意味する。したがって「有比数」などと訳した方がよいのではという見解もあるが、明治の訳の際に英語を忠実に訳したため、現在の「有理数」となる。
一方で、現代では有理数は「比」で定義されるが、"rational" は "ratio" から作られた言葉ではない。むしろ、"ratio" の現代的な意味（「比」）のほうが、数に関する "rational" の用法から生まれた。「比」の意味での "ratio" の英語での初出はおよそ1660年であるのに対し、数を形容する "rational" の用例はそれより約1世紀早い1570年に見られる。この "rational" の語義は、"irrational" の数学的用法から来ており、"irrational" は1551年に初出で、ユークリッドの訳書（ギリシア語の ἄλογος に従う特異な用法）で用いられたとされる。
有理数 用語の由来
このような語史は、古代ギリシア人が無理な長さを数とみなすことを避けたという事情に由来するとされる。そのため、そうした長さは「不合理（非論理的）」すなわち「語るべからざる」の意をもつ ἄλογος に対応して "irrational" とされた。
数学の各所で、有理数体 Q を基礎とする（すなわち、Q 上定義される）概念に、「有理-」という接頭辞を付けて名付けることがしばしば行われる。例えば、有理数でもある代数的整数を「有理整数」（これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない）という。あるいは、成分が有理数である行列を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする（「有理数体上の多項式」とも言う）。あるいは、成分が全て有理数である点を「有理点」と呼ぶ（代数群の有理点など）。
一方で、「有理-」という名称でありながら、前述のような意味ではないものもたくさんある。例えば、有理函数は基礎体が有理数体であるという意味ではなく、「多項式の比」になっている函数という意味である。同様に、有理代数曲線は有理数係数の代数曲線という意味ではない。
有理数 演算
2つの有理数 a/b, c/d（a, b, c, d は整数、b, d はいずれも 0 でない）が等しいとは、整数の等式
が成り立つことを言い、このとき
と記す。加法 "+"、および乗法 "×" が
によって定まり、反数および逆数について
（ここでは b, c, d はいずれも 0 でない）が成り立つ（特に集合として
が成り立つ）。またこれにより、減法 "−" および除法 "÷"が
と定まる。故に、有理数全体 Q は四則演算について閉じている、体と呼ばれる代数系の一つであり、その中で最も身近な例の一つである。
有理数 形式的な構成
集合論の形式により、整数全体 Z から有理数全体 Q を構成することができる。まず整数の順序対 (a, b) で b ≠ 0 であるものの全体 E = Z ×(Z − {0}) を考える。ここで E 上の関係 ∼ を
によって定めると、関係 ∼ は同値関係となる。
商集合 E/∼ を改めて Q と記して、Q における対 (a, b) の属する同値類を a/b と記すことにすると、この表記は一意ではなく、異なる代表元 (c, d) について
となる。このとき、Q における加法および乗法を前節で述べたように
で定めると、この加法と乗法は剰余類同士の演算として矛盾なく定義されている。実際、E における加法および乗法を
と定めると、(a, b) ∼ (a′, b'), (c, d) ∼ (c′, d') ならば
が成り立つので、Q における加法および乗法は剰余類 a/b, c/d 各々の代表元 (a, b), (c, d) のとり方に依らない。(0, 1), (1, 1) の属する同値類 0/1, 1/1 が Q における零元および単位元となることが確かめられ、マイナス元と逆元が上述のように得られるので、これで Q における上述のような四則が全て形式的に正当化される。また、写像 ι を
有理数 形式的な構成
と定めると ι は単射で、E において (m, 1) + (n, 1) = (m + n, 1) および (m, 1) × (n, 1) = (mn, 1) が成り立つ（さらに ι(1) = 1/1 であるから ι は単位的環の準同型となる）から Z は ι によって演算まで込めて Q に埋め込まれる。そこで整数 m と剰余類 m/1 を同一視して Q は Z を含むものと考える。
以上の構成は、一般の整域の商体の構成にもほぼそのままに適用できる方法であり、したがって「Q は Z の商体である」などということができる。
有理数 抽象的性質
既に述べたように、有理数全体は、通常の四則演算の下で体を成し、代数系 (Q, +, ×, 0, 1) は有理数体と呼ばれる。また、有理整数環 Z の商体である。加えて、有理数体 Q は標数 0 の体の中で最小のもので、標数 0 の素体と呼ばれる（すなわち、標数 0 の体は、Q に同型な部分体を含む）。Q の拡大体は一般に代数体、その元は代数的数と呼ばれ、特に代数的数全体は体を成し Q の代数的閉包 A（Q とも書く）となる。
Q は可算無限集合である（何故なら、分母と分子の組を二次元平面上の格子点と考え、例えばうずまき状に取り尽くしていけば、自然数全体に対応するからである）。実数全体 R は非可算なので、濃度の意味で（あるいはルベーグ測度の意味で）ほとんどの実数は無理数であることになる（可算性により Q のルベーグ測度は 0 となる）。
Q は通常の大小関係を順序として全順序集合であり、特に稠密順序集合となる。すなわち、2つの有理数の間には（それがいくら近い値だとしても）少なくとも1つ（従って無数の）有理数が存在する。実は逆に、全順序な稠密順序集合がさらに最大元も最小元も持たないならば、必ず Q と順序同型である（カントールの往復論法）。
有理数 抽象的性質
有理数全体 Q は内在的には、通常の大小関係の定める順序に関して順序位相と呼ばれる位相を持ち、外因的には実数直線 R の（つまり、一次元ユークリッド空間 R1 としての）距離位相から定まる部分空間としての位相を持つが、実はこれらの位相は一致する。
有理数全体 Q は実数全体の成す集合 R の中で稠密である。これは、どの実数にも、いくらでも近い場所に有理数が存在することを意味する。これは距離空間として以下のように述べることもできる。
有理数全体 Q は、差の絶対値
を距離函数として距離空間となる。この距離により Q に位相が誘導されるが、それは R1 からの相対位相に他ならない。こうして得られる距離空間 (Q, d) は完全不連結である。また、完備距離空間とはならない。実は距離 d(x, y) := |x − y| による Q の完備化として、実数全体の集合 R が得られる。
この位相に関して有理数体 Q は位相体を成す。有理数全体の成す位相空間 Q は局所コンパクトではない空間の重要な例となっている。また唯一、孤立点を持たない可算な距離化可能空間となるものとして Q を特徴付けることができる。
有理数 抽象的性質
一方、Q を位相体とする Q 上の距離は、これだけではない。素数 p と任意の非零整数 a に対して、pn は a を割り切る p-冪の中で冪指数が最大のものとするとき、
と定める。さらに |a|p := 0 として、任意の有理数 a/b については
と定めたものを、有理数の p進絶対値と呼ぶ。このときさらに、差の絶対値
は p進距離と呼ばれる Q 上の距離函数を定める。距離空間 (Q, dp) はやはり完全不連結であり、完備ではないが、その完備化として p進数体 Qp が得られる。
オストロフスキーの定理によれば、Q 上の非自明な絶対値は同値の違いを除いて通常の絶対値か p進絶対値で尽くされる。
逆格子空間
逆格子空間（ぎゃくこうしくうかん、英: reciprocal space）は逆格子ベクトルによって構成される空間のこと。実空間の周期性が反映される。逆空間、運動量空間、波数空間、k空間と言うこともある。
実空間と逆格子空間の関係は数学的にはフーリエ変換そのものであり、格子たとえば結晶の周期性を見ることができる。また物理的には位置と運動量、あるいは位置と波数の関係になっている。
光やX線の散乱は固体の結晶面の間隔とブラッグの法則で決まるが、逆格子空間を使うと便利なことがある。たとえば逆格子点の位置に光の強め合うスポットができるなど。
また固体中の電子の動きを見る場合、重要なのは位置よりも運動量の二乗に比例するエネルギーであるため、固体物理学での逆格子空間の用途は広い。
結晶では原子の周期的配列による並進対称性のため、一電子の固有関数(ブロッホ関数)、結晶格子の基準振動、そのほかの集団運動のモードなどが全て、波数で指定される平面波に似た形を持ち、対応するエネルギーまたは振動数も波数についての関数であるため、波数空間は特に重要な意味を持つ。
バンド理論では、ポテンシャルの周期性の影響を調べるのに逆格子空間を用いると便利である。
都営地下鉄三田線
三田線（みたせん）は、東京都品川区の目黒駅から板橋区の西高島平駅までを結ぶ、東京都交通局が運営する鉄道路線（都営地下鉄）である。『鉄道要覧』による名称は6号線三田線。開業当初は「都営6号線」と称した（後述）。一般的に都営三田線と呼ばれることが多い。
路線名の由来は名称制定時の終着駅である三田駅（港区芝）付近の地名三田から。車体および路線図や乗り換え案内で使用されるラインカラーは「ブルー」（青）、路線記号はI。
都営地下鉄三田線 概要
東京特別区部の南部から日比谷・大手町などの都心部を経由し、北西部の板橋区まで、おおむね南北を弓なりに（西に向いた逆C字型）走る路線である。
東急目黒線・東急新横浜線・相鉄新横浜線・相鉄本線・相鉄いずみ野線と直通運転を行っている（詳細は#運転を参照）。
この路線は高島平駅側より開業したが、起点は目黒駅（2000年9月26日 - ）である。ワンマン運転を実施しており、保安装置としてホームドア（京三製作所製のホームドア）を全駅に装備している（#駅設備を参照）。
収支状況は、2004年度決算で純損益が約16億2,131万6,000円の赤字だったが、2005年度決算で約14億8,247万4,000円の黒字、2006年度決算で約21億6,957万6,000円の黒字、2015年度決算で約58億3,153万円の黒字、2022年度決算で約15億9,500万円の黒字となっている。
都営地下鉄の路線では唯一中央区および墨田区を通らない。内幸町駅付近で東京メトロ銀座線の虎ノ門 - 新橋間が地下で交差するが、銀座線に駅は設置されていない。
都営地下鉄三田線 路線データ
目黒 - 白金高輪間 (2.3 km) は東京メトロ南北線と線路（施設）を共用しており、東京地下鉄が第一種鉄道事業者、東京都交通局が第二種鉄道事業者となっている。このため、列車の最高運転速度はこの区間に限り南北線に合わせて80 km/hとなっているほか、運賃計算方式に特例がある（「東京メトロ南北線#運賃計算の特例」を参照）。
都営地下鉄三田線 沿革
1964年（昭和39年）
1月31日：都市交通審議会は前述の第6号答申の変更を行い、第6号線の大和町（板橋区） - 上板橋間の分岐線を廃止し、志村からさらに西進して埼玉県大和町（現・和光市）に延伸、第6号線は桐ケ谷 - 泉岳寺 - （現在の都営三田線ルート） - 志村 - 埼玉県大和町方面間とし、西馬込 - 泉岳寺間は第1号線に振り替えられる。
3月31日：東京都が、帝都高速度交通営団が所有していた巣鴨 - 大手町間の地方鉄道敷設免許譲受を申請。
4月10日：東京都が、泉岳寺 - 大手町間ならびに巣鴨 - 志村（現・高島平）間の地方鉄道敷設を申請。
12月16日：前述の路線ルート変更後の第6号線桐ケ谷 - 泉岳寺 - 志村 - 埼玉県大和町間（30.5 km）が都市計画路線の変更認可を受ける。
12月18日：3月と4月に申請した敷設免許の取得と免許譲受が許可され、東京都に志村（現・高島平） - 三田（ - 泉岳寺）間の地方鉄道敷設免許が交付される。