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微化石 特徴
地球上に存在した全ての生物の死骸は全て化石になる可能性があるが、実際に化石になることができるものは少ない。大抵の生物は、地上ないし水中で死亡した後、そのまま風化したり、或いは他の生物に食べられたり、菌類や細菌類により分解されたりして、その痕跡を残さない。運良く風成層や火山灰等に埋没、あるいは海底や湖底に沈み、堆積物として地層形成のプロセスに加わり保存された場合でも、後に変成作用を受けて分解されたり砕けたりしてしまう。特に造山運動の活発な地域では、化石になるまで地層が安定している保証はない。また生物側の問題として、粗い砂の上に沈んだクラゲのような脆弱な構造物が、その痕跡を砂岩の上に留められる可能性も0に近い。
しかし、放散虫や有孔虫などの微小な生物や花粉等は、それ自体が堆積岩の粒子（砂や泥）の一部として堆積するため、より大型の生物遺骸が堆積した場合に比べて変形・破壊される可能性が少なく、化石として残りやすい。また材質的にも、珪酸や石灰質でできた硬い殻を持ったものが数多く、そのために成層過程を経てもなお極めて良好に原形を留めているものが多い。従って、一見化石が含まれていないように見える試料中にも微化石が発見できる可能性がある。それらの微化石を研究する事で貴重な情報を得ることができる。
微化石 特徴
通常の化石と比較した場合の長所
化石として産出する頻度が高い。
構造物全体が破損せずに残存する可能性が高い。
単位試料あたりの個体数が大きい。
微化石の短所
化石の発見に注意を要する。
解釈が難しい。
一個体当たりの情報量が少ない。
こうした短所を補う技術として、試料中の粒子が微化石かどうかや、微化石である場合はその種類を人工知能（AI）で短時間に判定できるシステムが、日本の産業技術総合研究所やNECなどにより開発されている。
微化石 種別
現在知られている微化石は、プランクトンなどの微生物と、多細胞生物の一部分（花粉や骨針など）とに大別される。普通の化石同様、微化石として残るのは主に珪酸質や石灰質といった硬質部分である。
珪酸質の殻を持つ微生物
放散虫（Radiolaria）
珪藻（Diatoms）
珪質鞭毛藻（Silicoflagellates）
石灰質の殻を持つ微生物
有孔虫（Foraminifera）
石灰質ナノプランクトン（渦鞭毛藻のシスト、円石藻等）
貝虫類（Ostracoda）
有機質の殻を持つ微生物
渦鞭毛藻（hystrichosphereを含む）
多細胞生物由来
花粉
海綿骨針
プラントオパール
コノドント（Conodont）
由来不明
アクリターク（Acritarch）
キチノゾア
微化石 微化石の用途
示準化石
放射年代測定等の手段により出現年代が特定されていて、かつ発見される時代の幅が狭い種は、同じ化石を含む他の地層の年代を特定するために利用される。これを示準化石という。
示相化石
生息する環境が限られており、しかもその環境状態を推測できる生物の化石は、その場所の過去の環境（古環境）を復元するのに役立つ。これを示相化石という。特に花粉では、新しい時代のものは現生種との直接比較が可能である場合が多く、細かい分類群まで確定できるなど得られる情報量が大きい。
微化石 微化石の処理
微化石はそのサイズゆえ、大型化石のように槌やたがねで切り出すわけにはいかない。物理的に超音波を用いたり振盪したりする事もあるが、試薬を用いて化学的な処理を行うのが普通である（ただし、石灰質殻の微化石の抽出に酸は使わない）。以下にナフサ（揮発油の一種）を用いた処理例を示す。
ナフサ法は、比較的軟らかい岩石を母岩とする場合に用いられる方法である。
標本採取
地層から、目的の化石を含む岩石標本を採取する。標本は適当な大きさに砕き、適量を試料を取り出す。取り出した試料はよく洗ったビーカー等に入れる。処理する試料はある程度の量を確保した方が良いが、後の手間や試薬の消費を考えると多すぎてもいけない。試料は他の試料と混じらないよう慎重に管理する。微化石の処理ではコンタミネーションは致命的である。例えば石灰質の微化石を扱う前には主要な器具を酸洗浄するなど、処理試料の徹底的な隔離を図らねばならない。
物理的処理
煮沸：堆積物が特に柔らかい場合に用いられる。
凍結と乾燥の繰り返し：岩石の膨張や収縮による結合の緩みを利用。
硫酸ナトリウム処理：試薬の浸透と結晶成長による乖離力を利用したもの。過飽和させた水溶液を用いる。ナフサ法の前段階の処理として併用されることも多:い。
ヘキサメタリン酸ナトリウム処理：同上。
微化石 微化石の処理
化学的処理
過酸化水素水処理：石灰質殻を有する微化石に対して用いられる処理。化石を含む堆積物が柔らかい時に用いられる。
フッ化水素処理：珪酸質殻を有する微化石に対して用いられる処理。
その他の酸や塩基による溶解処理
これらは表面や個体そのものが溶解するなど、採取される標本を傷つける恐れもある。
母岩から分離された微化石はプレパラートを作成するなどして、光学顕微鏡や電子顕微鏡で観察可能な形に整える。
微化石の選別
試料を適当な量だけとってシャーレなどに移し、ルーペや実体顕微鏡で試料を観察しながら微化石を拾い上げる。試料の中から微化石を拾い上げるには、水で濡らした面相筆の先で拾うなどの方法がある。
光学顕微鏡観察
そのまま実体顕微鏡で観察したり、水に懸濁して観察したりする。石灰質ナノプランクトンでは偏光顕微鏡による観察が行われる場合が多い。
走査型電子顕微鏡観察
カーボンテープやカーボンコロイドなど、導電性の接着剤を用いて試料台に接着する。
金や白金パラジウム合金などを蒸着する。
観察。
透過型電子顕微鏡観察
微化石をそのまま観察する場合もあるが、化石に炭素を蒸着した後で化石本体を溶かすカーボンレプリカ法なども用いられる。
JISキーボード
JISキーボード（ジスキーボード、JIS配列キーボード）は、日本産業規格 (JIS) が制定している標準規格『JIS X 6002 情報処理系けん盤配列』に準拠するキー配列をもつコンピュータ用キーボードである。
JISキーボード 概要
日本産業規格が制定している『JIS X 6002-1980（旧JIS C 6233-1980）情報処理系けん盤配列』は、文字コードの規格の一つであるJIS X 0201（旧JIS C 6220）で規定される7ビット符号を用いるシステムを想定したものであるため、漢字の入力は考慮されていない。また、コンピュータ各機種の機能に合わせて制御文字キーや機能キーなどを追加・変更する場合が多いため、一般的にはアルファベット、かな、記号等の文字キーの配列が規格に準拠していればJISキーボードと呼ばれる。PC/AT互換機で主流のOADG 109キーボード（日本語109キーボードとも言う）、Macintoshの大半の日本語キーボードや、過去のPC-9800シリーズ、マルチステーション5550、FMRシリーズなどはJISキーボードである。
英語キーボードで主流のASCIIキーボードとは、アルファベットの配列は同じであるが、特殊記号などの配列が異なる。米国での主流は101キーボードである。なおJ-3100（ダイナブック）やAXは、ASCII配列をベースに日本語化していた。
JIS X 6004-1986では、かな配列が改良された新JISキーボードが規格化されたが、普及しなかったため1999年に廃止された。
なお、JISキーボード上のかな鍵盤部分についてはかな入力も参照のこと。
JISキーボード 歴史
1964年に一般事務・会計機械用のカナタイプライターのキー配列を定める標準規格『JIS B 9509-1964 カナ・ローマ字タイプライタのケン盤配列』が制定された。このキー配列は日本生産性本部が組織した標準化団体で決定されたもので、1922年に山下芳太郎が米国のメーカーに発注したカナ文字タイプライター（カナモジカイ）を起源とするものであった。JIS B 9509ではカナモジカイの配列に基づく『配列1』と英文タイプライターの配列に基づく『配列2』の2種類のキー配列が制定され、このうち後のJISキーボードと類似する配列2のキー配列は次の図のようになっていた。
JISキーボード 歴史
1965年に日本IBMが発表した『IBM 029型カタカナ穿孔機』では、同年に発表した文字コード EBCDIK（EBCDICにカタカナを追加） に対応するため、JIS B 9509の2段シフト43キーを3段シフト47キーに改めた。この時、シフト側に入っていたカタカナ（ヌ、ム、ロ）と半濁点は別のキーに移された。1970年に日本電信電話公社（電電公社）が加入データ通信サービス (DRESS/DEMOS) を開始するにあたって策定したデータ通信標準キー配列では、英数記号キー配列はテレタイプ ASR-33をベースに、カナキー配列はIBM 029型カタカナ穿孔機をベースに少しの変更が加えられた。データ通信（コンピュータ端末）用キーボードのJIS規格化はこの配列をベースに進められた。これに並行してデータ通信用文字コードのJIS規格化も進められ、こちらは1969年にJIS X 0201（旧JIS C 6220）になった。
次の図は1968年時点でのJISキーボードの草案に掲げられたキー配列例である。
JISキーボード 歴史
キーボードの機構や回路を簡略化することに配慮し、文字キーを除くシフト入力の組み合わせはJIS X 0201でのロジカル・ビット・ペアリング (en:Bit-paired keyboard) を考慮した配列になっている。例えば、コロン (:) の文字コードは0111010（2進数値）、そのシフト位置はアスタリスク (*) で文字コードは0101010。同じく、ハイフンマイナス (-) の文字コードは0111101（2進数値）、そのシフト位置はプラス記号 (+) で文字コードは0101101。どちらもシフト・非シフト時に第5ビットのみが変化して他は共通なので、これらのキー入力を文字コードの信号に変換するとき、シフト操作ではこのビットだけ変わるように設計すれば良いということになる。しかし、カナ文字キーについてはロジカル・ビット・ペアリングになっておらず、これが問題として指摘された。
1972年、情報通信端末用キー配列の標準規格 JIS C 6233 が正式に制定された。
JISキーボード 歴史
このうち英数字と記号の配列は、国際標準化機構 (ISO) が当時策定中にあった文字コードの規格 ISO 646 に対応するキー配列の規格 ISO 2530 の草案と整合性が図られた。この配列はASR-33などで使われていたロジカル・ビット・ペアリングのQWERTY配列をベースにしていたが、IBMが使用していたタイプライター・ペアリングのQWERTY配列がセレクトリック・タイプライターやIBM PCの成功を受けて米国で広まり、1980年代以降の米国英語キー配列と記号キーに差異が生じることになった。
1980年の改正（第2次規格）では電気式のシフトキーロックに対応したキー配列が追加された。また、復改キー（後のエンターキーと同等）とシフトキーの幅が広く取れる配置になった。CAN（取り消し）キーや上段の制御文字キーは再配置や削除、別のキーとの入れ替えを自由とした。
JISキーボード 歴史
JISキーボードのカナ文字キー配列は効率より覚えやすさを重視するため50音配列としたことが起源となっており、またキー列を4段使うためタッチタイピングの高速化を妨げている問題があった。そのため、キー列を3段としてカナの並びも最適化した新しいキー配列が『JIS X 6004-1986（旧JIS C 6236-1986） 仮名漢字変換形日本文入力装置用けん盤配列』として標準化された。しかし、パソコンユーザーの初心者など入力効率を重視しない者からは覚えにくい新配列は嫌われたため、普及は進まなかった。
1980年代には多種多様な機種に合わせて多くのJISキーボード準拠キー配列が存在したが、1990年代以降PC/AT互換機への統一が進むと、日本のパソコンメーカーで組織された業界団体のPCオープン・アーキテクチャー推進協議会 (OADG) が標準化したOADG 109Aキーボードが主流になった。
1987年、日本IBMは同社の企業向けパソコンPS/55用のキーボード『5576-002型鍵盤』を発表した。これは旧マルチステーション5550用キーボードとシステムアプリケーション体系で規定されたキー配列（PC/ATの101キーボード相当）との互換性を合わせ持つものであった。次の図は5576-002型鍵盤の配列である。
1991年、日本IBMが『5576-A01型鍵盤』を発表し、OADG標準のキーボードとなった。後にこれにWindowsキー(Macintoshはコマンドキー)を追加したものがOADG 109キーボードとして追加された。
次の図はOADG 109キーボードの配列である。
OADGキーボードは、従来の5576-002型鍵盤と比較して、「漢字」「前面キー」と表示されていたキーはAltキーとなり、テンキーには方向キーなどの機能が割り当てられるなど、キー表記や配列が101キーボードにより近いものになり、101キーボードやそれに合わせて開発されたアプリケーションとの親和性が向上した。
なお日本語109キーボードには当初の配列（OADG 109型）と、Windowsでの利用にあわせて刻印を変えたキーボード（OADG 109A型）の2種類があり、~（チルダ）の刻印位置などが若干異なる。
2000年代に入るとデスクトップパソコンの省スペース化やノートパソコンの普及、メーカーによる製品差別化のため、キー配列に独自の工夫が凝らされるようになり、 文字キーの配列やスキャンコードがOADGの規格に一致するのみとなった。
歯科
歯科（しか）とは、歯または歯に関連した組織に関する疾患を扱う診療科である。歯科処置の大半は人体に侵襲を伴う外科行為である。一般歯科、矯正歯科、口腔外科、小児歯科の区分があり、それらを総称して歯科と呼ぶことがある。
診療科としての一般的な歯科は、齲蝕や歯周病を中心とした口腔内の疾病を受け持っている。診療形態の大半は診療所であり、行われる処置もエプーリス除去やインプラント埋入術など、入院を伴わない小手術や、歯牙に限局した疾病であることが多い。
日本においては、医師と歯科医師で免許が分かれているため、法的には医師が歯科医業を行なうことが出来ない。ただし、治療状況によって医業との判別が困難になる場合や、歯科医業であると同時に医業となる場合もあるが、主として大学病院や総合病院の口腔外科で行われることが多い。
歯科 診療科
医療法によって規定される、歯科で標榜出来る診療科目は以下の4つである。
そのほか、審美歯科、美容歯科、補綴科、保存科、歯周科、高齢者歯科、障害者歯科、歯科麻酔科、歯科放射線科、訪問歯科、口腔内科などの科を持つ歯科医院や大学病院がある。
歯科 従事者
歯科には歯科医師の他に、歯科予防処置、診断・治療の補助や患者指導などを行う歯科衛生士、歯冠修復物などの各種技工物を作製する歯科技工士、雑務を受け持つ歯科助手などが従事する。
歯科大学付属病院や病院の口腔外科などでは看護師や放射線技師や、言語聴覚士が従事する場合もある。なお、歯科に従事する人で、歯科医師以外を特にコ・デンタルと呼ぶことがある。
歯科 歴史
日本
701年の大宝律令で耳目口歯科が置かれた。平安時代末期（1160年頃）に、耳目科と口歯科に徐々に別れた。安土桃山時代（1580年頃）に、口歯科の専門医は口中医と呼ばれた。
1874年（明治7年）8月に医制が公布され、医療制度が西洋式に整えられ、歯科が置かれるようになった。米国人歯科医師セント・ジョージ・エリオットから歯科学を学んだ小幡英之助が日本最初の歯科医師となった。
ヨーロッパ
12世紀ごろから18世紀ごろまで、出血を伴う医療は主に理髪外科医が行っており、地域などによっては医者が行っていた。18世紀になると現代歯科学の父ピエール・フォシャールが、代表作『 Le Chirurgien Dentiste 』（外科歯科医の意）を執筆し、医学界に大きな影響を与え、歯科医は専門医として再編された。
レスリー・チャン
レスリー・チャン（張 國榮 、1956年9月12日 - 2003年4月1日）は、香港出身の歌手・俳優。出生名は張發宗、愛称は「哥哥（お兄さん）」。身長174cm。血液型O型。
レスリー・チャン 来歴
香港の裕福な家庭に生まれ、10人兄弟の10番目なので幼名は“十仔”（姉1人と兄2人は夭折しているため、実質は7人兄弟）。父はハリウッドスターなどを顧客に持つ有名テーラーで紡績工場の経営者。母は事業に忙しく、レスリーは祖母の家に預けられ、“六姐”と呼ばれる乳母に育てられる。
1969年、13歳になると数学で単位を落とし、英国東部のノーフォークに留学。その後リーズ大学に入学しテキスタイルを専攻するが、父が病に倒れ学業半ばで香港に帰る。中国語の学力を心配した母の勧めで中学5年クラスに編入。その後しばらく父のコネで入った弁護士事務所や、自分で見つけた販売員の職などを転々とし、家族とは離れて暮らす。
1976年、友人と共にテレビ局主催の歌謡コンテストに出場し『American Pie』を歌い準優勝。翌1977年から歌手として芸能活動を開始するが、しばらくは下積み生活に甘んじる。また、このころ親しくしていた女性の裏切りにより生活はすさみ、金銭的にも精神的にも苦難の日々が続く。
1983年に『風継続吹』（山口百恵『さよならの向う側』のカバー）がヒット。1985年には『Monica』（吉川晃司『モニカ』のカバー）が大ヒット。一躍トップアイドルに踊り出た。1989年に歌手引退宣言し、カナダへ移住する。しかし半年後に香港に戻り、芸能界に俳優として復帰。
レスリー・チャン 来歴
俳優としては、1982年にパトリック・タム監督の『レスリー・チャン 嵐の青春』に出演し、後のウォン・カーウァイらニューウェーブに影響を与える。その後はいわゆる「アイドル映画」に出演。そして1986年に『男たちの挽歌』、1987年には『チャイニーズ・ゴースト・ストーリー』など、数々の大ヒット作に出演。1990年、ウォン・カーウァイ監督の『欲望の翼』で香港電影金像奨主演男優賞受賞。1993年には中国のチェン・カイコー監督の『さらば、わが愛/覇王別姫』に出演、カンヌ国際映画祭パルムドールを受賞。1997年のウォン・カーウァイ監督『ブエノスアイレス』は、日本の単館上映記録を塗り替える大ヒットとなる。
1994年、ピーター・チャン監督の『君さえいれば/金枝玉葉』出演を切っ掛けに楽壇復帰。2000年に開催されたコンサート『PASSION』は、衣装設計をジャン＝ポール・ゴルチエに依頼。そのファッション性で成功を収めた。
そして念願だった映画監督になるべく、多くのミュージッククリップやTVドラマ、短編フィルムなどを撮影した。監督デビューは1996年『夢翔る人/色情男女』での劇中ポルノ映画『色情男女』。
『覇王別姫』や『ブエノスアイレス』等、同性愛者を演じることが多かった。自身、決して公言はしなかったが、同性愛者であることを匂わせる発言は数多い。
レスリー・チャン 来歴
2003年4月1日、香港の最高級ホテル「マンダリン・オリエンタル香港」より飛び降り自殺。46歳没。
自殺の原因については、一年ほど前から鬱病を患っていたとされている。遺書が残されており、長年姉と慕った、沈殿霞(リディア・サン)への感謝とお詫びが記されていた。自殺の現場になった「マンダリン・オリエンタル香港」の門前にはファンによって多数の花束と死を悼むメッセージカードがささげられ、同ホテルの門前は黒山の人だかりになった。葬儀には香港の芸能関係者のほとんどとファンが参列したという。
2005年11月8日に香港郵政は記念切手「香港流行歌星 Hong Kong Pop Singers」を発行した。切手には香港音楽史に足跡を残し、若くして亡くなったロマン・タム(羅文)、アニタ・ムイ(梅艶芳)、ウォン・カークイ(黄家駒)、ダニー・チャン(陳百強)と共に起用され、レスリーは3ドル切手に登場した。
2007年12月に東京・日比谷公園に熱心なファン120人の賛同により「レスリー・チャンの思い出ベンチ」が設置された。ベンチのメッセージには、賛同者120人からのレスリーへの思いが込められている。
数理論理学
数理論理学（すうりろんりがく、英 : mathematical logic）または現代論理学、記号論理学、数学基礎論、超数学は、数学の分野の一つであり、「数学の理論を展開する際にその骨格となる論理の構造を研究する分野」を指す。数理論理学（数学基礎論）と密接に関連している分野としては計算機科学〔コンピュータ科学〕や理論計算機科学などがある。
数理論理学の主な目的は形式論理の数学への応用の探求や数学的な解析などであり、共通課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。
数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくにACM Classificationに現れるもの）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細は計算機科学におけるロジックを参照。
数理論理学
この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、代数学、解析学に対する公理的枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。
数理論理学 下位分野
Handbook of Mathematical Logic は数理論理学を大まかに次の4つの領域に分類している：
それぞれの領域は異なる焦点を持っているものの、多くの技法や結果はそれら複数の領域の間で共有されている。これらの領域を分かつ境界線や、数理論理学と他の数学の分野とを分かつ境界線は、必ずしも明確ではない。ゲーデルの不完全性定理は再帰理論と証明論のマイルストーンであるだけではなく、様相論理におけるレーブの定理を導く。強制法の手法は集合論、モデル理論、再帰理論のほか直観主義的数学の研究などでも用いられる。
圏論の分野では多くの形式公理的方法を用いる。それには圏論的論理の研究も含まれる。しかし圏論は普通は数理論理学の下位分野とは見做されない。圏論の応用性は多様な数学の分野に亙っているため、ソーンダース・マックレーンなどの数学者らは、集合論とは独立な数学のための基礎体系としての圏論を提案している。これはトポスと呼ばれる古典または非古典論理に基づく集合論の成す圏に類似の性質を持つ圏を基礎に置く方法である。
数理論理学 歴史
数理論理学は、19世紀の中頃、伝統的論理学とは独立な数学の下位分野として登場した（Ferreirós 2001, p. 443）。これが登場する以前、論理学は修辞学また哲学とともに、三段論法を通じて研究されていた。20世紀の前半は数学の基礎に関する活発な議論とともに、基本的な多くの結果が見られる。
論理に関する理論は多くの文化と歴史の中で発展してきた。その中には中国、インド、ギリシャ、イスラーム世界が含まれる。18世紀のヨーロッパでは、形式論理の演算子を記号的または代数的な方法の中で取り扱おうという試みが、哲学的数学者によってなされた。その中にはゴットフリート・ライプニッツとランベルトが含まれる。しかしライプニッツらの仕事は孤立して残っているばかりでよく知られていない。
19世紀半ば、ジョージ・ブールとオーガスタス・ド・モルガンは体系的で数学的な論理の取り扱いを与えた。ブールらの仕事は、ジョージ・ピーコックなどの代数学者の仕事の上に打ち立てられたものであり、アリストテレスの伝統的論理学を、数学基礎論を十分に研究できる枠組みに拡張した（Katz 1998, p. 686）。
チャールズ・サンダース・パースは、1870年から1885年の自身の論文において、ブールの研究の上に関係と量化子のための論理体系を作り上げた。
数理論理学 歴史
ゴットロープ・フレーゲは1879年に発表した自身の概念記法において、量化子を含む論理の独自の開発を提示した。この仕事は論理の歴史における特徴的な転換点であると一般に考えられている。フレーゲの仕事は、この世紀の変わり目にバートランド・ラッセルが宣伝するまで日の目を見なかった。フレーゲの2次元的な表記法は広くは受け入れられず同時代のテキストでも使用されていない。
1890年から1905年、エルンスト・シュレーダーは Vorlesungen über die Algebra der Logik を3つの巻に出版した。シュレーダーの仕事はブール、ド・モルガン、パースらの仕事をまとめ、拡張し、19世紀終わりに理解されていた記号論理学の包括的な手引書となった。
数学が正確な基礎の上に築かれていなかったことへの不安が、算術、解析、幾何のような数学の基礎的な領域に対する公理系の開発をもたらした。
数理論理学 歴史
論理学において、算術とは自然数の理論を意味する。ジュゼッペ・ペアノ（1889）は後に彼の名前が付けられた算術の公理系（ペアノの公理）を発表した。これはブールとシュレーダーの論理体系の変種を用いているが、量化記号が追加されている点で異なる。ペアノはこのときフレーゲの仕事を知らなかった。同時期にリヒャルト・デデキントは、自然数の全体はそれらの帰納法の性質によって一意的に特徴づけられることを示した。デデキント（1888）は別の特徴付けを提案した。その特徴付けは、ペアノの公理にあったような形式論理的な性格を欠いていたが、ペアノの公理においては到達できない定理を証明するものであった。それには自然数の集合の（同型を除いた）一意性と、加法と乗法の後者関数と数学的帰納法に基づく再帰的定義が含まれる。
数理論理学 歴史
19世紀中頃、ユークリッドの幾何学の公理の欠陥が世に知られるようになった (Katz 1998, p. 774)。1826年にニコライ・ロバチェフスキーによって確立された平行線公準の独立性 (Lobachevsky 1840) に加え、数学者達は、ユークリッドが明らかと考えていた幾つかの定理が、実際にはユークリッドの公理からは証明できないことを発見した。それらの中には、直線は少なくとも二点を含むという定理や、同じ半径を持ち中心が半径と同じ距離だけ離れている二つの円は交わらねばならないという定理がある。ヒルベルト (1899) はパッシュの先行研究 (1882) のもとに、完全な幾何学の公理の集合を開発した。幾何学の公理化の成功はヒルベルトに他の数学の分野（自然数や数直線など）の完全な公理化を探求するよう動機付けた。これが20世紀前半の主要な研究領域となることが分かる。
20世紀の最初の10年における研究の主領域は集合論と形式論理であった。非形式的な集合論におけるパラドックスの発見は、数学それ自身が無矛盾であるのかを疑わせるものであり、無矛盾性の証明の必要に迫られた。
数理論理学 歴史
1900年、ダフィット・ヒルベルトはヒルベルトの23の問題の幾つかを次の世紀へと提出した。その最初の2つは連続体仮説の解決と初等算術（実数論）の無矛盾性の証明であった。第10番は整数上の多変数多項式からなる方程式（ディオファントス方程式）が解を持つかを決定する手続きを求めるものであった。これらの問題を解くための次なる仕事によって、数理論理学の方向性が決定づけられ、1928年に提出されたヒルベルトのEntscheidungsproblem（決定問題）を解決する努力へと向かうことになった。この問題は与えられた形式化された数学的言明について、それが真か偽かを決定する手続きを問うものである。
エルンスト・ツェルメロ（1904）は任意の集合が整列可能であることの証明を与えた。この結果はゲオルク・カントールには得ることができなかったものである。ツェルメロはその証明を完成させるために選択公理を導入した。これは数学者と集合論の先駆者達の間の激しい論戦と研究を引き起こすことになる。即座に浴びた批判から、ツェルメロは自身の結果の第2の解説を出版した（Zermelo 1908a）。この論文はツェルメロの証明に対する批判に直接対処するものであり、これによって数学界において選択公理が広く受け入れられることになった。
数理論理学 歴史
選択公理に関する疑念は最近の素朴集合論におけるパラドックスの発見により強化された。集合論のパラドックスについて初めて述べたのはチェザーレ・ブラリ・フォルティ（1897）である：ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなる集まりが集合を成さないことを示す。その直後に、バートランド・ラッセルは1901年にラッセルのパラドックスを、ジュール・リシャール（1905）はリシャールのパラドックスを発見した。
ツェルメロ（1908b）は集合論に対する最初の公理化を与えた。ツェルメロの公理にアドルフ・フレンケルによる置換公理を加えたものは今日ではツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF）の名で知られる。ツェルメロの公理にはラッセルのパラドックスを回避するためのサイズの制限の原理が組み込まれた。
1910年にアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによる プリンキピア・マテマティカ の第一巻が出版された。この重要な著作は、関数と基数に関する理論を型理論の完全に形式的な枠組みの中で展開した。型理論はパラドックスを回避するラッセルとホワイトヘッドの努力のもとに開発されたものである。型理論の枠組みは数学の基礎理論として普及しなかったが(Ferreirós 2001, p. 445)、プリンキピア・マテマティカ は20世紀の最も影響力のある研究のひとつと見做されている。
数理論理学 歴史
フレンケル(1922)は、選択公理が原子付きツェルメロ集合論の残りの公理からは証明できないことを証明した。後のポール・コーエン(1966)による仕事は、（その証明には）原子の追加が不要であって、選択公理はZFにおいて証明不可能であることを示した。コーエンの証明は強制法の手法を生み、今日では集合論における独立性結果を確立するための重要なツールとなっている。
レオポルト・レーヴェンハイム（1915）とトアルフ・スコーレム（1920）はレーヴェンハイム-スコーレムの定理を得た。これは一階述語論理は無限構造の濃度を制御できないことを述べる。スコーレムは、この定理を一階で形式化された集合論へ適用でき、そのいかなる形式化も可算モデルを持つことが導かれる、ということに気付いた。この直観に反する結果はスコーレムのパラドックスとして知られることになった。
ゲーデルは自身の博士論文（1929）において完全性定理を示した。これは一階論理における構文論と意味論の間の対応を確立する。ゲーデルは完全性定理をコンパクト性定理の証明に用いた。これは一階の論理的帰結の有限性を立証する。これらの結果は一階論理を数学者にとって支配的な論理として確立することを助けた。
数理論理学 歴史
1931年、ゲーデルはプリンキピア・マテマティカとそれに関連する体系において形式的に決定不可能な命題についてを出版した。ここでは、十分に強く、実効的な一階理論が不完全（完全性定理のそれとは異なる意味である）であることを示されている。この結果はゲーデルの不完全性定理として知られ、数学の公理的基礎の厳密な限界を示すものであり、ヒルベルト・プログラムに大きな打撃を与えた。これは算術の無矛盾性をいかなる算術の形式理論においても証明できないことを示している。しかしながら、ヒルベルトは、不完全性定理の重要性を、あるときまで認めなかった。
ゲーデルの定理は十分に強く、実効的な公理系の無矛盾性の証明はそれが無矛盾である限り、それ自身からもそれよりも弱い体系からも得られないことを示す。これはいま考えている体系で形式化できないような無矛盾性証明の可能性については未解決のまま残す。ゲンツェン（1936）は算術の無矛盾性を超限帰納法の原理を持つ有限的な体系を用いて証明した。ゲンツェンの結果はカット除去と証明論的順序数の概念を生み出し、これらは証明論における主要な道具となった。ゲーデル（1958）は別の無矛盾性証明を与えた。これは古典算術の無矛盾性を高階直観主義算術の無矛盾性に還元することで為された。
アルフレッド・タルスキはモデル理論の基礎を発展させた。
1935年初頭、著名な数学者らは網羅的な数学の教科書のシリーズを出版するためにニコラ・ブルバキというペンネームで集結した。これらの教科書は禁欲的かつ公理的に記述されており、厳格な記述と集合論的な基礎を強調した。これらの教科書から生まれた用語、例えば全単射、単射、全射や、教科書で採用された集合論的な基礎は、広く数学に採用された。
計算可能性の研究は再帰理論として知られるようになった。これはゲーデルとクリーネによる計算可能性の初期の定式化が関数の再帰的定義に基づいていたことによる。それらの定義がチューリングによるチューリング機械を用いた定式化と同値であることが示されたことで、計算可能関数という新しい概念が見出され、またこの定義が多数の独立な特徴付けを許すようなロバスト性を持つことが明らかになった。1931年の不完全性定理に関するゲーデルの仕事では、実効的な形式的体系の厳格な概念（規定）を欠いていた。ゲーデルは計算可能性の新しい定義が不完全性定理の設定の一般化に使えることに気付いた。
再帰理論における多くの結果は1940年代にスティーヴン・コール・クリーネとエミール・ポストによって得られた。クリーネ（1943）は相対的計算可能性と算術的階層の概念を導入した。前者はチューリング（1939）で暗示されていたものである。クリーネは後に再帰理論を高階汎関数へ一般化した。クリーネとクライゼルは形式的な直観主義数学、とくに再帰理論の文脈でのそれを研究した。
数理論理学 形式論理体系
数理論理学の中心では形式論理体系を用いて表現された数学の概念を取り扱う。それらの体系は、多くの細部の差異はあるが、固定した形式言語で記述されるという共通の性質がある。命題論理と一階述語論理の体系は今日では最も広く研究されている。それは数学基礎論への応用可能性とそれらの望ましい証明論的な性質の故である。より強い古典論理、例えば二階述語論理や無限論理もまた直観主義論理とともに研究されている。
一階論理は特定の形式的体系である。その構文論（証明論）は有限個の表現―構文的に正しい（well-formed）式だけからなるが、その意味論は量化子を固定された議論領域への制限として特徴付けられる。
形式論理の初期の結果は一階論理の限界を明らかにした。レーヴェンハイム＝スコーレムの定理（1919）は、可算な一階の言語における文の集合が無限モデルを持つならば、それは任意の濃度のモデルを少なくともひとつ持つことを示した。これは一階論理の公理系によって、自然数、実数ほか、いかなる無限構造も同型を除いて特徴づけることができないことを示している。初期の基礎論的研究の目標が数学の全部分の公理的理論を生み出すことであったから、この限界はとりわけ冷徹なものであった。
数理論理学 形式論理体系
ゲーデルの完全性定理　(Gödel 1929)　は一階論理の論理的帰結に対する構文論的定義と意味論的定義の同値性を確立した。これは、もしある特定の文が、ある特定の公理の集合を満たすあらゆるモデルで真であるならば、それらの公理からその文への有限な演繹が存在することを示している。
一階述語論理の他にも多くの論理体系が考えられている。それらのうちには無限の長さの証明や論理式を許す無限論理や、意味論に集合論の一部分を直接含むような高階述語論理も含まれる。
最もよく調べられている無限論理は  である。この論理においては、一階述語論理のように量化子の入れ子の深さは有限（つまり深さ  未満）だけを許すが、論理式は有限または可算無限（つまり長さ  未満）の連言や選言をその内に含むことを許す。すると、例えば、ある対象が自然数であるという性質を  の論理式によって次のように書ける：
数理論理学 形式論理体系
高階述語論理は議論領域の要素だけではなく議論領域の部分集合（述語）、議論領域の冪集合の部分集合（述語の述語）、さらに高階の対象に対する量化を許した論理である。その意味論は、それぞれの高階型の量化子に対して独立した議論領域を割り当てるよりは、量化子は適切な型の全ての対象に及ぶように定義される。現在の形の一階述語論理が開発される以前に研究されていた論理、例えばフレーゲの論理など、は集合論的な側面を持っていた。高階述語論理はより表現力が高く、自然数の構造の完全な公理化すら可能であるけれども、一階述語論理における完全性やコンパクト性定理に対応する性質を高階述語論理は持たない。また一階述語論理の持つ証明論的なよい性質の多くは高階述語論理では失われている。
他のタイプの論理としては不動点論理があり、これは原始帰納的関数の記述に使われるような帰納的定義を許す。
様相論理は追加の様相演算子を含む論理である。様相演算子とは例えば必然的に真である、真である可能性があるといった意味を持つ演算子である。しかしながら、様相論理は大抵は数学の公理化のために使われることはなく、一階述語論理の証明可能性（Solovay 1976）や集合論的な強制法（Hamkins and Löwe 2007）の研究などに用いられる。
数理論理学 形式論理体系
直観主義論理はブラウワーの直観主義(ブラウワー自身はその形式化を避けたが)のプログラムの研究からハイティングによって形式化・発展せられたものである。直観主義論理は排中律、すなわち任意の文が真または偽であるという原理を、明確に含まない論理である。クリーネの直観主義論理の証明論に関する仕事は、直観主義的な証明からは構成的な情報が復元できることを示している。例えば、直観主義的算術のいかなる証明可能全域関数も計算可能である。このことはペアノ算術のような算術の古典理論においては成立しない。
代数的論理学は形式論理の意味論の研究に抽象代数学の手法を用いる。基本的な例としては、古典命題論理の真理値の表現にブール代数を用いたり、直観主義命題論理の真理値の表現にハイティング代数を用いたりすることが挙げられる。もっと強い論理、例えば一階述語論理や高階述語論理についても、筒状代数のようなもっと複雑な代数的構造が用いられる。
数理論理学 モデル理論
モデル理論は様々な形式理論のモデルを研究する。ここで理論とは特定の形式論理に於ける論理式とシグネチャからなる集まりで、モデルとはその理論の具体的な解釈を与える構造である。モデル理論は普遍代数と代数幾何学に密接に関係しているが、モデル理論の手法は他の分野よりも論理的な考察に重きを置いている。
特定の理論の全てのモデルからなる集合は初等クラスと呼ばれる；古典モデル理論は特定の初等クラスの性質を決定しようとしたり、あるいは構造からなる或るクラスが初等クラスとなるか否かを決定しようとする。
量化記号消去の手法は特定の理論における定義可能集合がそこまで複雑ではないことを示すことに使える。タルスキ(1948)は実閉体の量化記号消去（これは実数体の理論が決定可能であることをも示す結果である）を確立した。（彼はまた自身の手法が任意の標数の代数閉体にもそのまま適用可能であることを指摘した。）ここから発展した現代的な副分野は順序極小構造に関わる。
数理論理学 モデル理論
マイケル・D・モーレイ（1965）によって証明されたモーレイの範疇性定理は、もし可算言語上の一階理論が或る非可算濃度について範疇的（つまりその濃度を持つ全てのモデルが同型）ならば、全ての非可算濃度で範疇的となることを述べる。
連続体仮説からの自明な帰結として、連続体濃度個未満の互いに非同型な可算モデルを持つような完全理論はそれ（非同型モデル）をちょうど可算個だけ持つこと、がある。ロバート・ローソン・ヴォートに因むヴォート予想はこれが連続体仮説とは無関係に真であることを主張する。この予想は多くの特別なケースについて確立されている。
数理論理学 再帰理論
再帰理論（計算可能性理論とも呼ばれる）は計算可能関数とチューリング次数（これは計算不可能関数を同じレベルの計算不可能性を持つ集合に分ける）の性質を研究する。再帰理論はまた一般計算可能性と定義可能性の研究を含む。再帰理論はアロンゾ・チャーチとアラン・チューリングによる1930年代の仕事（これはクリーネとポストによって1940年代に大きく拡張された）から生まれた。
古典再帰理論は自然数から自然数への関数の計算可能性に着目する。基本的な結果は、チューリング機械やラムダ計算やその他のシステムなど、多数の独立だが同値な特徴づけを持つ、ロバストかつカノニカルな計算可能関数のクラスを確立したことである。より高度な結果はチューリング次数の構造や帰納的可算集合の成す束に関するものである。
一般再帰理論は再帰理論の諸概念をもはや有限ではないような計算へと拡張する。そこには高階の型の計算可能性の研究や超算術的理論やアルファ再帰理論などの分野を同様に含む。
再帰理論の現代的研究には、純粋な再帰理論の新しい結果と同様に、その応用研究（例えばアルゴリズム的ランダム性、計算可能モデル理論、逆数学など）が含まれる。
数理論理学 再帰理論
再帰理論の重要な部分領域ではアルゴリズム的に非可解な問題が研究される；決定問題または関数問題がアルゴリズム的に非可解（英: algorithmically unsolvable）あるいは決定不可能（英: undecidable）とは、任意の合法な入力に対して正しい解を返すような計算可能なアルゴリズムが存在しないことをいう。決定不可能性に関する最初の結果は、1936年にチャーチとチューリングによって独立に得られたもので、一階述語論理の決定問題がアルゴリズム的に非可解であるというものである。チュ―リングはこれを停止性問題の決定不可能性を示すことによって証明した。この結果は再帰理論と計算機科学の双方に広範な示唆を与えるものである。
通常の数学においても多くの決定不可能問題の例が知られている。群の語の問題は1955年のピョートル・ノビコフと1959年のW.ボーンによって独立に証明せられた。ビジービーバー問題は1962年にTibor Radóによって与えられた別のよく知られた例である。
ヒルベルトの第10問題は多変数整数係数代数方程式（ディオファントス方程式）が整数解を持つか否かを決定するアルゴリズムの存在を問うものである。部分的な解答はジュリア・ロビンソン、マーティン・デイビス、ヒラリー・パトナムらによって与えられた。この問題のアルゴリズム的非可解性はユーリ・マチャセヴィッチによって1970年に証明された（Davis 1973）。
数理論理学 証明論と構成的数学
証明論は様々な論理推論体系における形式的証明の研究である。それら形式的証明は形式的な数学的対象であるから、それらの解析は数学的手法を用いて行うことができる。ヒルベルト流の体系、自然演繹の体系、ゲンツェンによって開発されたシークエント計算などを含む、いくつかの推論体系はよく考察される
数理論理学の文脈において、構成的数学の研究は、可述的体系の研究のような、非古典論理の体系の研究を含む。可述主義の初期の支持者はヘルマン・ワイルである。彼は実解析の大部分を可述的な方法だけを用いて展開できることを示した（Weyl 1918）。
形式的証明は完全に有限的なものであるが、構造における真理性はそうでないことから、構成的数学での作業では証明可能性を強調することが多い。古典（または非構成的）体系における証明可能性と直観主義（または構成的）体系での証明可能性との間の関係はとりわけ関心が持たれる。ゲーデル・ゲンツェン変換のような結果は古典論理を直観主義論理に埋め込む（翻訳する）ことが可能であることを示している。直観主義的証明に関するある性質は古典論理の証明に関するそれに逆翻訳できる。
最近の証明論における発展にはUlrich Kohlenbachによるproof miningの研究やMichael Rathjenによる証明論的順序数の研究が含まれる。
数理論理学 計算機科学との関係
計算機科学における計算可能性理論の研究は数理論理学における計算可能性の研究と密接に関係している。ただしその重視されている点に違いがある。計算機科学者はしばしば具体的なプログラミング言語と実際的計算可能性に焦点を当てるが、数理論理学における研究者達は理論的な概念としての計算可能性と計算不可能性に焦点を当てる。
プログラミング言語の意味論の理論はプログラム検証（とくにモデル検査）などモデル理論に関係する。証明とプログラムの間のカリー・ハワード対応は証明論のとくに直観主義論理に関係する。ラムダ計算やコンビネータ論理のような形式計算は理想化されたプログラミング言語として研究される。
計算機科学はまた自動定理証明や論理プログラミングのような自動検証や証明探索の技術の開発によって数学に寄与している。
記述計算量理論は論理と計算量を関係づける。この領域での最初の重要な結果であるフェイギンの定理（1974）はNPがexistencialな二階述語論理の論理式で表現可能な言語の成す集合とちょうど一致することを示す。
命題
命題（めいだい、英語: proposition）は、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質（真理値）をもつもの。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式、定理、問題のこと。西周による訳語の一つ。
厳密な意味での「命題」の存在について、「意味」の存在と同様に疑問を投げかける哲学者もいる。デイヴィド・ルイスは「『命題』という語からわれわれが連想する概念は、それぞれ差しさわりがありながら、それぞれが差し迫った必要性(desiderata)（から定義された複数のもの）がごちゃまぜになった、何ものか」であると言い、この概念を一貫した定義のなかで捉えることの困難さを指摘している。
命題 命題という語
命題という語は明治の初期には一覧表などを作成する際に標記する「項目名」などと同じような意味で使用されており、「命題」は「題命」すなわち「題名」とほぼ同義である。坪内逍遥「小説神髄」には「宜しく応分の新工夫を命題にもまた費やすべし」とある。小学館デジタル大辞典では「題号をつけること。また、その題。名題」と説明する。この場合命題の命は「命（いのち）」の意味ではなく名づけること（あるいは名づけられていること）を意味する。典籍では程端礼（1271-1345）「程氏家塾読書分季（年）日程」において「命題」「題命」をtitleの趣旨で使用していることが確認できる。一方岩波国語辞典は論理学の用法を正用とし、この用法について「誤って俗に、題目・課題の意にも使う」と注記する。論理学用語としては判断をことばであらわしたものを意味するpropositionの邦訳として西周が考案したものであり、西「百学連環」（1870-1871）ではpropositionを「命題」、syllogismを「演題」と邦訳している。
命題 命題という語
英語propositionという語は、ラテン語prōpositiōを祖としており、これは動詞prōponōの名詞形である。prōponōはprō-とpōnōから成り、prō-は「前に」「出す」、 pōnōは「置く(put)」「据え置く（place）」に相当する。propositionは動詞proposeの名詞形である。英和対訳袖珍辞書には「proposition、言ヒ顕ハシ、題」とある。日本語・漢語の「命題」が限られた領域とりわけ論理学や数学の領域で利用されるのに対して、西欧語のpropositionは「計画」「提案」「主張」「条件提示」「問題」などの意味を包含する常用語（名詞）であり、契約の領域のほか、宗教問題や観念哲学など広範な領域で利用され、それぞれにおいて固有の利用がなされている。
命題 論理学における「命題」
論理学で言う「命題」とは真偽が確定した言明のことであり、例えば「１は偶数である」「２は偶数である」などは命題である。これに対して「Ｘは偶数である」のように不定のＸが入ったものを「述語」と言う。
命題 解釈
アリストテレス論理学において命題は、主題の叙述するものを肯定または否定する、特定の種類の文である。アリストテレス的命題は「全ての人間は死ぬ」「ソクラテスは人間である」というような形を取る。
数理論理学において命題（英: propositional formula, statement forms）は量化を含まない言明であり、それはまた原子論理式と五つの論理結合子（選言、連言、否定、含意、双条件）およびグループ化記号のみから構成される論理式の合成である。命題論理は完全かつ健全である。すなわち、命題論理において任意の定理は真であり、任意の真なる言明が証明可能である。命題論理の体系に変項と量化子を加えて拡張したものが述語論理である。
数学においては、例えば確率は命題の確からしさを表すなど、命題の存在を基本的前提として出発する場合がある。
命題 類語等
日常言語論においては、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、真か偽のいずれであるかという真理の担い手となる文字列自体について述べる時は、「命題(proposition)」という代わりに「文(sentence)」という術語を用いることが提案されている。ストローソンは「文 (sentence)」と「言明(statement)」 という術語を峻別することを提唱した。ストローソンによれば「すべての男たちは死ぬ（All men are mortal）」と「ことごとく男は死ぬ（Every man is mortal.）」はおなじ言明(statement)をもつ２つの文字列（文-sentence）であり、いずれの文も真偽の運び屋（truth-bearer）と解釈される。これは一見すると日常的には価値のない峻別のように見られるが、「男」や「死」の定義や同一性の認識あるいは表示において論争がある場合においては重要な区別となる。
定立（ていりつ、独: these）は、ある肯定的判断・命題を立てること、また立てられた肯定的判断・命題である。テーゼとも呼ばれる。
命題 類語等
ヘーゲル弁証法では、三段階発展の最初の段階を指す語として使用される。カントの二律背反では、同等の権利をもって語ることのできる、世界についての根本主張の最初の肯定的なほう、たとえば「自由は存在する」が定立であり、反定立は「自由は存在しない」である。フィヒテは、自我と非自我の対立を、両者をともに可能にする第三者の内に総合する立場を、「定立-反定立-総合」と定式化した。
「至上命題」という語については至上命令から派生した語であり本来は誤用との指摘がある。「至上命題」の用例は1926年刊「ニイチエ全集-偶像の薄明；他」（生田長江訳）、国民新聞1938年5月13日-5月22日報に利用があり、国会議事録では昭和21年に使用例を発見することができ、「至上の命題」は1941年刊行「宗教研究」（第24巻、宗教研究会刊）や1943年刊行「週報」（第341号、内閣情報部）に発見することができる。
上述のように命題とは真か偽かがはっきり定まる形式をもつ文（断言する文）のことを言うが、数学書において「命題」と見出しをつけて書かれている命題は、公理と定義を元にして定理の体系を作り上げていく過程で必要とされる「真の命題」を指し、そのなかでとくに重要なものが定理と呼ばれ、「定理」と見出しが付けられる。数学書で「定理」「命題」「補題」「系」と見出しを付けて書かれた文は、正しいことが証明された（あるいはその数学書でこれから正しいことが証明される）命題である。
論理和
数理論理学において論理和（ろんりわ、英: logical disjunction）とは、与えられた複数の命題のいずれか少なくとも一つが真であることを示す命題を作る論理演算である。離接（りせつ）、選言（せんげん）とも呼ぶ。
二つの命題 P, Q に対する論理和は記号 ∨ を用いて P ∨ Q と表せる。この記号はラテン語で（非排他的）論理和を意味する vel の頭文字に由来する。また P ∨ Q の形をした命題を選言命題（disjunctive proposition）、その中に現れる命題 P や Q を選言肢（disjunct）という。
論理和 例
の二つの命題の論理和は、
となる。この論理和が真となるのは
のいずれかである。論理和が偽となるのは以下の場合である。
論理和 性質
P ∨ Q は否定と論理積を用いた ¬(¬P ∧ ¬Q) と同じである。従って、論理和は否定と論理積で表せる。
P ∨ Q ⇔ ¬(¬P ∧ ¬Q)
また、論理積は論理和と否定で表せる。
P ∧ Q ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q)
この二つをド・モルガンの法則という。
論理和の真理値表
論理和 一般語との乖離
命題 P ∨ Q はしばしば「P または Q」と読まれる。この用語「または」は一般語としての用法より意味が限定的である。
日常会話において「または」と言った場合、例えば P と Q のいずれか一方のみが成り立つことを意味することがある（排他的論理和）。具体例として、レストランにおいて「コーヒーまたは紅茶が付きます」と言えばコーヒーと紅茶のどちらか一方のみが付くことを意味し、両方が付くことは含意しない。
排他的論理和と明確に区別するために、通常の論理和を「包含的論理和」（inclusive OR）と呼ぶこともある。
論理和 表記法
論理和(OR) は、中置記法により表記される。
を使用して  と書く。
+　記号を使用して  と書く。
C言語などでは、真理値の論理和は||、ビット単位の（ビット演算）論理和は|で表され、
z = x | y;
のように使用される。(注：2|4 の値は 6 である一方、2||4 の値は 1 である。)
Perlでも、真理値の論理和は||、ビット単位の論理和は|で表され、
$z = $x | $y;
のように使用される。(注: 2|4 の値は 6 である一方、 2||4 の値は C言語の場合とは異なり 2 である。)
VBScriptでは、「Or」で表され、
z = x Or y
のように使用される。
各プログラミング言語における真理値の論理和の表記と意味は、短絡評価と密接な関係がある。
論理積
数理論理学において論理積（ろんりせき、英: logical conjunction）とは、与えられた複数の命題のいずれもが例外なく真であることを示す論理演算である。合接（ごうせつ）、連言（れんげん、れんごん）とも呼び、ANDとよく表す。
二つの命題 P, Q に対する論理積を P ∧ Q と書き、「P かつ Q」や「P そして Q」などと読む。また P ∧ Q の形をした命題を連言命題（conjunctive proposition）、その中に現れる命題 P や Q を連言肢（conjunct）という。
論理積 性質
論理積は、否定と論理和を用いて表すことができる（ド・モルガンの法則）。
P ∧ Q = ¬(¬P ∨ ¬Q)
逆に、否定と論理積を用いて論理和を表すこともできる。
P ∨ Q = ¬(¬P ∧ ¬Q)
論理積の真理値表
論理積 表記法
を使用して  と書く。
記号を使用して  と書く。論理回路のページを参照。
C言語やPerlなどでは、ビット単位（ビット演算）の論理積は&で表され、
z = x & y;
$z = $x & $y;
のように使用される。
真理値の論理積は&&で表され
if (x==0 && y==0) ;
のように使用される。
VBScriptではAndで表され、
z = x And y
のように使用される。
Lispでは
(and x y)
だが、さらに可変長で
(and x0 x1 ...)
のように記述できる。
各プログラミング言語における真理値の論理積の表記と意味は、短絡評価とも密接な関係がある。
否定
数理論理学において否定 (ひてい、英: Negation) とは、命題の真と偽を反転する論理演算である。否定は英語で Not であるが、Invert とも言われ論理演算ではインバージョン（Inversion）、論理回路では Not回路やインバータ回路（Inverter）とも呼ばれ入力に対して出力が反転する。
命題 P に対する否定を ¬P, P, !P などと書いて、「P でない」とか「P の否定」、「P 以外の場合」などと読む。このような形をした命題を否定命題（negative proposition）という。証明においては否定の導入により否定命題は導かれる。
命題 P の否定は含意 → と矛盾 ⊥ を用いた命題 P → ⊥ として定義されることもある（擬補元も参照）。