hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
1の補数 負の数の表現
1の補数を用いて二進数を負の整数に対応づけられる。1の補数の定義より、n 桁の二進数 x とその補数 xc は以下の関係を満たす：
右辺の 2n − 1 の倍数を 0 と同一視すれば、上記の関係は以下のように解釈できる：
これは x の補数 xc を x の反数 −x と見なすことを意味する。
1の補数 1の補数表現
#負の数の表現節の方法で反数および減法が定義されているとする。更に 0 から 2n−1 − 1 までの非負整数をそのまま通常の位取り記数法における二進表示、
に対応づければ、これらの数の補数として負の整数に対する1の補数表現が得られる。
具体例として、n = 4 桁の二進数における対応表を以下に示す:
結局、n 桁の二進数の k + 1 桁目の値を bk ∈ {0, 1} とすれば、1の補数表現は以下のように表せる：
1の補数で表される数は、対応する二進数表示の最上位の値 bn−1 が 0 なら負でない値を取り、1 なら正でない値を取る。
1の補数表現において、二進数をビット列とみなせば、符号の反転はビット列 x のビットを反転することによって行える。x とそれをビット反転させた fx は常に以下を満たす：
上記より、x の1の補数は xc = fx と表せる。従って減法は、
と書き換えられる。ビット反転が反数に対応することから、0 は 000...002 と 111...112 の2つの表現方法を持つ。
物理単位
物理単位（ぶつりたんい）とは、物理学や計測学において、種々の物理量を表す単位として選ばれた基準の量である。
単に単位と呼ばれることが多いが、物理量ではないもののための単位と区別する場合には特に「物理単位」と言う。本項において、特に断りのない場合は「単位」とは物理単位を指すものとする。
単位には明確で使いやすい定義が必要である。実験結果の再現性は科学的方法において重要である。そのためには測定の基準が必要となり、測定の基準を便利なものにするために単位が必要となる。科学的な単位は、当初は商業の目的のために発展してきた度量衡の概念を様式化したものである。
複数の単位を組み合わせて体系としたものが単位系である。
物理単位 次元としての単位
国際単位系（SI）の考え方および表記に従えば、物理量の値 (the value of a quantity) Qは、その数値 (numerical value) を示す数値 (number) n と単位 (unit) Uとの積として表される（従って単位の取り方に依存して数値は変更を受ける）。乗法記号（×）は省略して、「半角数字＋line-breakingしない四分の一角スペース＋半角英文字」と表記することが標準的である。
また、商の形による表記も可能である。
具体例として、1 Pa の圧力 P を考えると、Q = P, n = 1, U = Pa であり、下記のようになる。
なお国際単位系 (SI) のルールでは、数値 n を示す場合には上記の商の形を用いる。従って物理量の値 Q の数値 n を数表の欄内に示す場合やグラフの軸に数値 n を付記する場合なども、それらのタイトル名としては単位 U で除算した Q/U の形を用いる（例：「圧力／Pa」）。
物理単位 次元としての単位
上記の物理量 Q や物理単位 U には次元という概念が定められている（数値 n は無次元量である）。上記の式も両辺の次元は一致している。無次元量は log などのべき乗 xn 以外の関数の引数に取ることができる。
ガイドライン
「密度は単位体積当たりの質量である」という表現は「体積の『単位』によって割られた質量」という意味ではない。この「単位体積」という表現は「数値1と現在使用している体積の単位記号の積によって作られる『体積』」を示す。たとえば体積の単位としてm3を用いている場合、「単位体積」は 1 m3 である。ある均質な物質の質量をm、体積をV、現在使用している単位系での単位体積をV0とすると、この物質の密度ρおよび単位体積当たりの質量m0は以下のように表される。
物理単位 単位の換算
単位の換算には、異なる物理量の基準（単一の物理量の、または物理量と他の物理量の組み合わせの）の比較が必要となる。単位の間の換算比率はほとんどの場合ある程度不正確であり、より正確な比較が行えれば、より正確な換算が行えることになる。
物理単位 倍量単位・分量単位
例えば長さを示すのに常にメートルのみを用いていたのでは、地球から他の天体までの距離は非常に大きな数値となり、逆に分子、素粒子などの大きさは非常に小さな数値となってしまう。大きな値や小さな値でも扱いやすい数値で表せるようにするために、基本となる単位の倍量・分量を示す単位が作られている。
SIをはじめとするメートル法では、元の単位に対する倍数を意味するSI接頭語が使用される。例えば、接頭語センチ (c) は0.01倍を意味し、センチメートル (cm) は0.01×メートルとなる。接頭語ミリ (m) は0.001倍を意味し、ミリニュートン (mN) は 0.001×N となる。
ただし、1つだけ例外がある。歴史的な理由により、質量の単位キログラム(kg)はすでに単位名に接頭語を含んでおり、接頭語はキログラムではなくグラム(g)に対してつけることになっている。すなわち、キログラムの10−6倍は、マイクロキログラム(µkg)ではなくミリグラム(mg)となる。
接頭語はちょうどの数値として定義されており、接頭語を使用する際には単位の換算を必要としない。例えば、"cm" と "0.01 m" とは全く同じ値である。これは単位の換算ではなく、「"4×5"と"20"とは同じ値である」というのと同様の、単なる数値的な換算である。
物理単位 倍量単位・分量単位
メートル法以外の単位系では、倍量単位・分量単位にも固有の名称をつけていることが多い。例えば尺貫法では、長さの基本となる単位は尺であるが、その10分の1は寸、6倍は間、10倍は丈となっている。また、メートル法のような10の累乗倍だけではなく、3倍、6倍、12倍などといった半端な数値が使われている。
なお、ここでいう「基本となる単位」のことを基本単位、倍量単位・分量単位のことを補助単位（または補助計量単位）と呼ぶこともある。SIでも同じ用語が使われているが、これとは異なる意味である。
数値の表し方として、単名数・複名数の概念がある。
単位を使ってある値を表す場合、1つの単位のみで表したものを単名数（たんめいすう）、それに対して、2つ以上の単位を使って表したものを複名数（ふくめいすう）または諸等数（しょとうすう）という。
詳細は、単名数・複名数を参照のこと。
維摩経
『維摩経』 （ゆいまきょう、ゆいまぎょう、梵: Vimalakīrti-nirdeśa Sūtra 蔵: དྲི་མ་མེད་པར་གྲགས་པས་བསྟན་པ་ཞེས་བྱ་བ་མདོ ヴィマラキールティ・ニルデーシャ・スートラ）は、大乗仏教経典の一つ。別名『不可思議解脱経』（ふかしぎげだつきょう）。
サンスクリット原典と、チベット語訳、3種の漢訳が残存する。漢訳は7種あったと伝わるが、支謙訳『維摩詰経』・鳩摩羅什訳『維摩詰所説経』・玄奘訳『説無垢称経』のみ残存する。一般に用いられるのは鳩摩羅什訳である。
チベット訳のものは漢訳のものよりも本来の姿に近いと言われ、より常識に挑むような、火花を散らす文典となっている。
日本でも、仏教伝来間もない頃から広く親しまれ、聖徳太子の三経義疏の一つ『維摩経義疏』を始め、今日まで多数の注釈書が著されている。
維摩経 概要
維摩経は初期大乗仏典で、全編戯曲的な構成の展開で旧来の仏教の固定性を批判し在家者の立場から大乗仏教の軸たる「空思想」を高揚する。
内容は中インド・ヴァイシャーリーの長者ヴィマラキールティ（維摩詰、維摩、浄名）にまつわる物語である。
維摩が病気になったので、釈迦が舎利弗・目連・迦葉などの弟子達や、弥勒菩薩などの菩薩にも見舞いを命じた。しかし、みな以前に維摩にやりこめられているため、誰も理由を述べて行こうとしない。そこで、文殊菩薩が見舞いに行き、維摩と対等に問答を行い、最後に維摩は究極の境地を沈黙によって示した。
維摩経は明らかに般若経典群の流れを引いているが、大きく違う点もある。
維摩経 普及
インドにおいては、2世紀頃にはナーガルジュナ（龍樹）が他の思想家に先駆けて『維摩経』の研究を行った。『大智度論』や『中論』において、彼は『維摩経』の引用をたびたび行い、自説の補強を図っている。また、仏教学者の石田瑞麿によれば、4世紀頃から5世紀頃に活躍した瑜伽派のヴァスバンドゥ（世親）は、浄土教について説いた『浄土論』に登場する比喩を『維摩経』から引いていたようである。さらに、7世紀には、チャンドラキルティー（月称）が『中論釈』で、シャーンティデーヴァ（寂天）が『大乗集菩薩学論』において、この経典を引いている。同時期にインドに赴いた玄奘によると、維摩は現地の人々に実在視されており、ヴァイシャーリー市には彼に由来するとされる史跡が残っていたとしている。
『維摩経』はインドを超えて中央アジア、中国へと広まった。中央アジアにおいてはコータン語やソグド語に翻訳された。また、莫高窟などに見られるような維摩変や維摩図像が制作されるなど、民衆にも受容されていたようである。
維摩経 普及
中国における初訳は、後漢の漢人出家者であった厳仏調による『古維摩詰経』である。しかし、こちらは早い段階で散逸したらしく、後代への影響も明らかではない。その後、三国時代には江南で活動した支謙が『維摩詰経』二巻を、西晋では渡来僧の竺叔蘭と竺法護がそれぞれ『異維摩詰経』三巻と『維摩詰諸説法門経』一巻を著した。竺叔蘭・竺法護らの訳は現存しないが、当時流行していた清談と相まって、格義仏教の成立に大きく寄与したと考えられる。中国、そして朝鮮と日本に徹底的な影響を残したのが、五胡十六国時代の僧侶、鳩摩羅什による漢訳『維摩経』である。同時代のギータミトラ（祇多蜜）や、唐代の玄奘によるより正確な訳『説無垢称経』は用いられることはほぼなく、もっぱら鳩摩羅什の訳によって維摩経の研究が行われた。特に、鳩摩羅什の弟子であった後秦の僧侶、僧肇が完成させた中国における最初の注釈書、『註維摩詰経』は、もっとも基本的な注釈と考えられ、現代における維摩経研究においても重要視されている。
維摩経 不二法門
維摩経の内容として特徴的なのは、不二法門（ふにほうもん）といわれるものである。不二法門とは互いに相反する二つのものが、実は別々に存在するものではない、ということを説いている。例を挙げると、生と滅、垢と浄、善と不善、罪と福、有漏（うろ）と無漏（むろ）、世間と出世間、我と無我、生死（しょうじ）と涅槃、煩悩と菩提などは、みな相反する概念であるが、それらはもともと二つに分かれたものではなく、一つのものであるという。
たとえば、生死と涅槃を分けたとしても、もし生死の本性を見れば、そこに迷いも束縛も悟りもなく、生じることもなければ滅することもない。したがってこれを不二の法門に入るという。
これは、維摩が同席していた菩薩たちにどうすれば不二法門に入る事が出来るのか説明を促し、これらを菩薩たちが一つずつ不二の法門に入る事を説明すると、文殊菩薩が「すべてのことについて、言葉もなく、説明もなく、指示もなく、意識することもなく、すべての相互の問答を離れ超えている。これを不二法門に入るとなす」といい、我々は自分の見解を説明したので、今度は維摩の見解を説くように促したが、維摩は黙然として語らなかった。文殊はこれを見て「なるほど文字も言葉もない、これぞ真に不二法門に入る」と讃嘆した。
この場面は「維摩の一黙、雷の如し」として有名で、『碧巌録』の第84則「維摩不二」の禅の公案にまでなっている。
維摩経 原典・主な訳注
植木雅俊 『維摩経　梵漢和対照・現代語訳』 岩波書店、2011年 ISBN 978-400-0254137（パピルス賞受賞）
改訂版『維摩経　サンスクリット版全訳　現代語訳』 角川ソフィア文庫、2019年 ISBN 978-404-4004873。上記より現代語訳と訳注・解説を抜粋改訂した。
『梵文「維摩経」翻訳語彙典』 法藏館、2019年 ISBN 978-4-8318-7023-0 (経典研究で、上記を翻訳する際の〝翻訳作業ノート〟)
ポジトロン断層法
ポジトロン断層法（ポジトロンだんそうほう、英語: positron emission tomography：PET）とは、コンピューター断層撮影技術の一つである。生体内部の放射性トレーサーから放出される陽電子と電子との対消滅によって発生する1対で正反対方向のガンマ線を検出して断層画像を作成する。
ポジトロン断層法 概要
CTやMRIが主に組織の形態を観察するための検査法であるのに対し、PETはSPECTなど他の核医学検査と同様に、生体の機能を観察することに特化した検査法である。主に中枢神経系の代謝レベルを観察するのに用いられてきたが、近年、腫瘍組織における糖代謝レベルの上昇を検出することにより癌の診断に利用されるようになった。患者への被曝量はCTに比べて少ないが、医療スタッフの被曝量に注意が必要である。ただし、下述するようにPET/CT装置を用いた検査の場合の被曝量はCTに比べても大きくなる場合がある。
CTとPETを比較すると、CTでは外部からX線を照射して全体像を観察しているのに対して、PETなどの核医学検査では生体内部の放射性トレーサーを観察しているという違いがある。ここで、CT像は解剖学的な情報にすぐれているので形態画像と呼ばれ、PET像は生理学的な情報に勝れているので機能画像（functional image）と呼ばれる。なお、両者の利点を総合的に利用するために、PETとCTを一体化した装置・PET/CTも開発されており、診断には両画像をソフトウェア的に重ね合わせた融合画像が主流となりつつある。
ポジトロン断層法 原理
陽電子反β崩壊する核種で標識された化合物を放射性トレーサーとして用いる。そのような核種の半減期は一般に短い（15O：2分、13N：10分、11C：20分、18F：110分など）。したがって、投与直前に加速器（サイクロトロンなど）を用いて製造される。一般的に放射性同位元素を作成するには原子炉等で中性子を照射するが、陽電子放出核種は原子核内の陽子数を過多にしてβ+崩壊させるため、加速器で陽子や重陽子を照射して作成する。放射性トレーサーは、病院内に設置した加速器で生成するが、一部の半減期が比較的長いものは放射性医薬品会社から供給を受けることも可能である。
人体に投与されたトレーサー中の陽電子放出核種は、体内で崩壊しておよそ96.7〜99.9%の確率で1個の陽電子を放出する。放出された陽電子は近傍の原子（生体の70%は水で構成されているので多くの場合に水分子）の電子と対消滅し、電子の静止質量に等しいエネルギー（511keV）の光子（ガンマ線）が2個放出される（消滅放射線）。この時、それぞれの光子は元の電子と陽電子の運動量を保存するために、正反対の運動量をもつ。すなわち、反対方向へ対で放出される。
ポジトロン断層法 原理
PET装置は、人体の周囲を取り巻くように配列された多数のガンマ線検出器と、2個の光子の信号を組み合わせる同時計数回路からなる。検出器のうちいずれか2つが同時にガンマ線を検出したとき、その2つの検出器を結ぶ直線上のどこかで対消滅が起きたと考えられる。そこで、この情報を集めてCTと同様のコンピューター画像処理を施すことにより、トレーサーの分布を示す三次元画像を作成する。SPECTとは異なり、放射線の入射方向を限定する鉛コリメーターを用いなくても、同時計数によって原理的に飛来方向が判明するので、検出器の前に遮蔽体を置く必要がない。したがって、一般的にPETはSPECTよりも感度が高く定量性にも勝れている。ただし、長半減期のトレーサーが少ないなどの問題があり、PETの潜在能力を十分に引き出すためには、更なるトレーサーの開発が必要不可欠である。
ポジトロン断層法 応用
脳内での神経活動が高まるとその部位で代謝量や血液流量が増大するので、捉えたい指標に合わせて上に述べたトレーサーを選ぶことで、間接的に脳内で活動が活発になっている部位を特定することができる。
グルコース代謝量を測定したいときにはトレーサーとして18F-fluorodeoxy glucose（フルオロデオキシグルコース、FDG）を主に用いる。18F-FDGは、グルコース(ブドウ糖)に似た物質に放射性のフッ素(18Ｆ)をつけたものであり、体内にはグルコースと同じように取り込まれるがグルコースと違う点は18Ｆ-FDGが尿といっしょに、腎臓、尿管、膀胱を経由し体外に排泄されることである。
他にもアルツハイマー病の診断に有効である。
FDG-PETについて
検出感度の良くない悪性腫瘍も複数種ある。
胃癌、大腸癌、肝細胞癌、脳腫瘍など、生理的に正常細胞もブドウ糖代謝の旺盛な組織においては、腫瘍と正常組織のFDG集積の差が少なく検出感度がさがる。
肺癌では一般的にPETは有用であるが、細気管支肺胞上皮癌などは分化度の高い腺癌で、FDG取り込みが高くなく、検出しにくい。
腎細胞癌・膀胱癌を含めた腎尿路系は、FDGが腎から排泄され集積するため、腫瘍と正常組織の差が少なく、検出しにくい。
ポジトロン断層法 被曝
PETとCTを一体化したPET-CT装置を用いた検査の場合、1回の検査における放射線被曝は、23–26 ミリシーベルト（mSv）になる（体重70キロの人体の場合）。これに対し、放射線診療における代表的なX線検査での被曝量は、胸部 0.04mSv、腹部1.2mSv、上部消化管 8.7mSv、胸部CT 7.8mSv、腹部CT 7.6mSvである。日本では、人体は自然界から年間2.1mSv前後の被曝を受けている（2011年推定）。
晋 地名・王朝
中国本土の華北の地域名、国名、王朝名。黄土高原の東端に位置し、太行山脈と呂梁山脈に挟まれた汾水流域の河谷の盆地を中核とし、現在の山西省一帯に広がる地方にあたる。そのため山西省の雅称としても用いられる。
晋 (王朝)（265年 - 316年・317年 - 419年） - 曹魏から晋王に封ぜられた司馬昭の長男司馬炎が曹魏からの禅譲により建てた王朝。永嘉の乱を境に中国本土全体を治めた西晋と、華北を放棄して江南に依った東晋の2期に分けられる。
西晋（265年 - 316年） - 司馬炎が265年に魏から禅譲を受けて建てた王朝。
東晋（317年 - 419年） - 西晋が匈奴の建国した漢に滅ぼされた後、王族の司馬睿が江南で再興した王朝。
五代時代に汾水上流の太原を本拠地とした沙陀族軍閥河東節度使の建てた王朝
前晋（883年 - 923年） - 沙陀族長李存勗の建てた政権。華北を統一した李存勗が皇帝に就き、唐の正統継承者を称して後唐（923年 - 936年）と改めるまでの旧称。
後晋（936年 - 946年） - 沙陀族軍閥のソグド系の将石敬瑭が後唐から自立して皇帝に即位し、そのまま後唐を滅ぼして建てた国。
1684年
1684年（1684 ねん）は、西暦（グレゴリオ暦）による、土曜日から始まる閏年。
1519年
1519年（1519 ねん）は、西暦（ユリウス暦）による、平年。
下野国
下野国（しもつけのくに）は、かつて日本の地方行政区分だった令制国の一つ。東山道に属し、現在の栃木県にあたる。
下野国 「下野」の由来と読み
古代関東には「毛野（けの/けぬ）」および「那須（なす）」と呼ばれる政治勢力が存在し、前者が上下に二分されて「上毛野（かみ つ けの/かみ つ けぬ）」・「下毛野（しも つ けの/しも つ けぬ）」となったといわれる。毛野の起こりについては、『常陸国風土記』によると筑波はもともと紀の国であるといい、この紀の国と毛野が同一かは不詳だが、「毛野河」は筑波西部の郡の境界とある。また『続日本紀』では毛野川は古くから常陸国と下総国の境界であると記されているなど、毛野と毛野川（現在の鬼怒川）の深い関わりがうかがわれる。『上野名跡志』では下野国河内郡衣川郷が毛野という国名の由来と推察されている。
国名の上下については、上総国と下総国などと同様、一国を「上」と「下」に二分したものとされるが、備・越・筑・豊・肥などのように前後（または前中後）に分けられた国との違いは不詳である。またこの分裂は史書に無く詳細は不明で、古くより議論がある（「毛野#毛野の分裂」を参照）。
下野国 「下野」の由来と読み
『大宝律令』の制定にあたっては、下毛野の領域に那須の領域（栃木県北東部）を合わせ、「下毛野国（しもつけののくに/しもつけのくに）」として上毛野国とともに令制国の1つに定められたとされる（那須統合の時期は明らかとなっていない）。その後、下毛野国・上毛野国の国名は「下野国」・「上野国」に改名された。この際、「毛」の字は消えたものの「しもつけのくに」として、読みにその名残をとどめている。
「下野」の初見は『日本書紀』天武天皇5年（676年）5月条である。また、藤原宮跡出土木簡には大宝3年（703年）に「下毛野国」の記載があり、律令制施行後の初見である。
下野国 沿革
六国史（記紀）日本書紀によると、下野国の国造である下毛野君は紀元前50年（崇神天皇48年）に崇神天皇の命により東国を統治した豊城入彦命の子孫とされる。684年（天武天皇13年）に朝臣の姓を受けた下毛野君は、大宝律令編纂の中心人物のひとりで参議に列せられ直広肆・兵部卿・式部卿・造山陵司・大将軍を歴任した下毛野古麻呂を輩出したほか、征夷副将軍下毛野石代・遠江守下毛野多具比・外衛少将下毛野足麻呂・下野守下毛野根麻呂・備中介下毛野年継・信濃介下毛野文継などが中央政庁でも活躍した。その一方で、越前国や陸奥国、下野国の住人とされる吉弥侯根麻呂・吉弥侯部廣國・吉弥侯部念丸・大麻続部総持・大麻続部嗣吉等に下毛野公・下毛野静戸公・下毛野俯見公などの姓が授けられ、さらにこうした下毛野公の中にも下毛野公田主のように朝臣姓が賜姓される人物が出現している。その後、下毛野氏は歴史の表舞台からは遠ざかるが、一説に金太郎のモデルとされる下毛野公時は、藤原道長の随身として仕えている。
下野国 沿革
下野薬師寺は奈良時代初期に天武天皇が建立した官寺であり、当時の七大寺に数えられた寺院のひとつである。・良時代天平期に定められた諸寺墾田地限では下野薬師寺の墾田は500町とされ、奈良の大和国分金光明寺・元興寺・大安寺・薬師寺、興福寺・法華寺・弘福寺・法隆寺・新薬師寺・建興寺、河内の四天王寺、近江の崇福寺、筑紫の観世音寺と並び、中央政庁に管理されていた。また平安時代中期の874年（貞観16年）、平安京紫宸殿で60人の僧により3日にわたって行われた大般若経の転読会に際しては、金字仁王経71部が五畿七道各国に一部ずつ配置されるなか、大宰府観世音寺、豊前国弥勒寺とならび下野薬師寺にもそのうちの一部が配置されるなど、平安時代においても当寺が鎮護国家政策の一環として官寺の位置付けにあったことが覗われる。
下野薬師寺は、8世紀後半の政争に巻き込まれた高僧の配流地としても著名であり、754年（天平勝宝6年末）には奈良薬師寺の僧行信と宇佐神宮主神の大神多麿呂らが、また770年（宝亀元年）には孝謙上皇（後の称徳天皇（高野天皇））の寵愛を受け法王の称号と太政大臣の官職を歴任した弓削道鏡が、下野薬師寺に遣わされている。道鏡は造下野薬師寺別当のまま下野国で没し、庶民の格付けで葬られた。
下野国 沿革
延喜式が編纂された平安時代中期、延喜5年（905年）時点の下野国の格式は上国、遠国であるが、六国史（記紀）日本三代実録には准大国、準大国とある。国の格式に準じて国司が配置され時勢に応じて増員されたが、下野国では奈良時代に目（大目1、少目1）、平安期には掾（大掾1、少掾1）の増員が令されている。
六国史（記紀）には古代から平安時代中期にかけての歴史が記されている。下野国下では以下のような出来事があった。
737年（天平9年）4月14日 - 持節大使藤原麻呂から朝廷に報告があった。「陸奥国多賀柵に無事到着し、鎮守府将軍大野東人等と協議し、下野国などの騎兵1,000人を動員して山道および海道を開き、これに畏怖の念を抱いた蝦夷の民衆を懐柔策をもって鎮め、陸奥・出羽各地（玉造柵、新田柵、牡鹿柵、色麻柵、大室駅）まで進み道路整備を行った。今、出羽比羅保許山に駐屯しているが、この先雄勝まで東人は武力制圧すると言っているが、麻呂の考えとしては蝦夷を帰順させて平章したいが、何れとするか勅令を賜りたい。」〔続日本紀〕
下野国 沿革
767年（神護景雲元年）6月5日 - 東山道巡察使の淡海三船は聡明だが自らの栄達を願い国司等の検察評価を厳しく報告した。下野国司等は不正を行っていたが、三船は前介の弓削薩摩の罪として薩摩を不当に職務に就かせなかった。これにより三船は現職から解任された。昨今、人を検め裁く者が法の文言に拘泥し正しい道理をもって判決していない。これは官吏の道に沿うものではない。今後このようなことがある場合は法をもって裁くこととする。〔続日本紀〕
771年（宝亀2年）10月27日 - 武蔵国は元来山道に属し、（使節は）直に下野国足利驛に至るところを枉げて上野国邑楽郡から5驛を経て武蔵国に至り、これを返して下野国に向かうため疲労が大きくなる。武蔵国は海道も兼ね東海道は相模国府から4驛にて下総国府に至っており（使節の）往来に便利である。よって、武蔵国を東山道から東海道に改めれば、取れば公（使節）私にわたり便利で人馬も休養できる、と奏上され光仁天皇はこれを許可した。これにより武蔵国は東海道に転属された。〔続日本紀〕
下野国 沿革
772年（宝亀3年）
4月7日 - 下野国が造薬師寺別当の道鏡が亡くなったことを光仁天皇に伝える。庶人の格式にて葬られた。〔続日本紀〕
10月11日 - 下野国が奏上した。「管内の百姓が陸奥国に逃亡すると、陸奥国は太政官符をもって受け入れています。姦偽の輩は争って課役を避け陸奥国に逃れたものは870人になります。下野国司はこれを禁じていますが止めることが出来ません。使者を遣わして確認させましたが、陸奥国は蝦夷寄りで民情が険悪であり、これを囲って相いに隠し合うため見出すことができません。」太政判官は判定した。「陸奥国司は下野国使とともに検めて、本の郷に還させること。」〔続日本紀〕
775年（宝亀6年）
3月2日 - 下野国ほか22国に初めて少掾、大目、少目計46人が配置された。〔続日本紀〕
7月16日 - 下野国が、都賀郡の黒鼠数百匹が草木の根を数十里に亘って食べてしまった、と言上する。〔続日本紀〕
10月13日 - 出羽国が蝦夷対策で国府を遷すため兵996人を派遣するよう言上したため、下野国ほか相模、武蔵、上野の4国の兵士が遣わされた。〔続日本紀〕
下野国 沿革
798年（延暦17年）6月21日 - 下野国ほか相模、武蔵、常陸、上野、出雲等に対し以下のように勅される。「帰降する夷俘には仁徳を施し、慈しみ恵んだので、命令することなく帰降を望むようになり、毎年服・禄・物を与えるので、その資粮が絶しかねない。また慈しみ恵むあまり、事は時節の饗賜の類にまで及んで、国司達はこれを命ずることが横行している。時節の饗賜は自所内で収め、先ずは申し出て、その後で実行するように。」〔類聚国史〕
875年（貞観17年）
5月10日 - 下総国の俘囚が反乱を起こし官庁や寺社を焼き払い良民を殺戮したと、下総国司甘楽麻呂が奏言してきた。このため、下野国ほか武蔵、上総、常陸等に各300人の兵の発動命令が出された。〔日本三代実録〕
6月19日 - 下野国が（下総国に出兵し、）反乱した俘囚89人を殺害または捕獲したと言上する。〔日本三代実録〕
7月5日 - 下野国が（下総国に出兵し、）賊徒27人を討殺し4人が投降して来たと言上する。〔日本三代実録〕
下野国 沿革
天慶年間に平将門を討伐して下野守となった藤原秀郷は押領使を兼任し、子は都賀郡の小山城に居した。第12代小山朝政は下野国の大族である宇都宮朝綱、那須宗隆とともに源頼朝に従軍して功を挙げ、那須宗隆は那須一郡を賜り、宇都宮朝綱の子孫は宇都宮に居し小山氏と入れ代わりで下野守に任ぜられ、紀清両党はその傘下に隷属した。小山朝政の弟である宗政は長沼（芳賀郡）に城を置き、子孫はここに居して長沼氏を称した。源義家の孫である義康は足利郡で生計を立て、8代足利尊氏に至る。元弘の乱の末期、尊氏は兵を率いて西上し、官軍に降って京師を復した。宇都宮朝綱の8代の孫である公綱は、建武中、勤王方で働いて下野国守護を賜わった。既に公綱の子である氏綱は足利氏に付き、小山朝郷〈朝政より8代目〉は独り官軍に属して、次々代の義政〈朝郷の甥〉に至るまで宇都宮氏と接戦すること数回、弘和2年、足利氏満の軍と戦って敗死し、足利氏は結城基光の次男である泰朝に小山氏の名跡を継がせた（祇園城に居し、天正の末期に絶えた）後、小山、宇都宮、長沼、那須、及び下総の結城氏は八館に列された。足利成氏は両上杉氏と互いに鬩ぎ合い、長沼成宗は成氏を援けて敗れ出奔した。宇都宮氏は独り兵が威けており非常に強く、終いに下野国の州主と称し、壬生、泉、山田などの諸族が皆、宇都宮氏に帰属した。宇都宮氏の中興の祖であり17代当主である宇都宮成綱は、後北条氏での北条早雲のような戦国時代を生き抜くための革新的な思想、戦略的野望を抱いていた英主だといわれており、成綱の優れた才能によって家臣団を再編し、古河公方の内紛に介入したり、佐竹氏・岩城氏・蘆名氏などと戦い宇都宮氏の勢力を大きく拡大し、全盛期を築き上げた。
下野国 沿革
しかし、成綱が没した後は、家臣らとの対立が激しくなり、宇都宮氏は大きく衰退していくことになる。さらに天文年間、（那須郡烏山城に居していた）那須氏と戦って大敗し、諸族は皆那須氏に帰属してしまう。また北条氏が下野国南境を攻略し、宇都宮氏は衰退した。豊臣氏の東征では那須氏の地を収め那須家臣の大関高増を黒羽に大田原晴清を大田原に封じ、那須氏には僅か福原のみを与えた。宇都宮国綱は独りその旧封である18万7千余石を全うしたが、慶長2年に罪を蒙むり、其の封は蒲生秀行が賜わった。慶長6年、徳川氏は秀行を会津に移し、奥平家昌が代わって治めた。また数姓が交互に封じられた後、宝永年間に戸田忠真を封じた。戸田氏は後に島原に転封され、その曾孫である戸田忠寛が返り咲きで封じられた。その余封を受けたのが烏山（初めは松下重綱、大久保常春〉・壬生〈初め日根野正吉、後に鳥居忠英）・足利（戸田忠利）・佐野（堀田正敦）・吹上（有馬氏郁）、最後に戸田氏の支族である忠至を高徳に封じた（後、下総国の曾我野に移した〉。9藩が王政革新、日光県を置き、既に皆改めて県としまた廃して、橡木と宇都宮に県を置き、また宇都宮を廃して橡木に併合した。
下野国 沿革
「旧高旧領取調帳」に記載されている明治初年時点での国内の支配は以下の通り（1,419村・765,763石2斗5升）。幕府領は真岡代官所が管轄。太字は当該郡内に藩庁が所在。国名のあるものは飛地領。
都賀郡（391村・222,766石7斗5升） - 幕府領、旗本領、宇都宮藩、壬生藩、足利藩、大田原藩、高徳藩、吹上藩、喜連川藩、出羽久保田藩、上野館林藩、常陸下妻藩、下総古河藩、下総結城藩、下総関宿藩、下総佐倉藩、下総多古藩、武蔵金沢藩、対馬府中藩、日光領
寒川郡（13村・8,960石余） - 下総古河藩
安蘇郡（64村・65,576石余） - 幕府領、旗本領、佐野藩、上野前橋藩、上野館林藩、下総古河藩、武蔵金沢藩、近江彦根藩、対馬府中藩、三河西端藩、土佐高知新田藩、日光領
梁田郡（29村・14,191石余） - 旗本領、足利藩、下総古河藩、美濃高富藩
足利郡（46村・32,747石余） - 幕府領、旗本領、足利藩、上野前橋藩、下総古河藩、美濃高富藩、河内丹南藩
河内郡（234村・110,068石余） - 幕府領、旗本領、宇都宮藩、高徳藩、吹上藩、出羽久保田藩、下総関宿藩、下総多古藩、日光領
芳賀郡（195村・134,972石余） - 幕府領、旗本領、一橋徳川家、宇都宮藩、烏山藩、黒羽藩、大田原藩、吹上藩、喜連川藩、常陸谷田部藩、下総結城藩
那須郡（296村・120,895石余） - 幕府領、旗本領、烏山藩、黒羽藩、大田原藩、常陸水戸藩
塩谷郡（151村・55,582石余） - 幕府領、旗本領、一橋徳川家、宇都宮藩、大田原藩、高徳藩、喜連川藩、陸奥会津藩、下総佐倉藩、日光領
明治初年
足利藩の領地替えにより、都賀郡・足利郡の一部の領地が日光県の管轄、足利郡の幕府領・旗本領の各一部および梁田郡の旗本領の一部が足利藩の管轄となる。
館林藩の領地替えにより、都賀郡および安蘇郡の一部の領地が日光県の管轄、梁田郡のほぼ全域が館林藩の管轄となる。
前橋藩の領地替えにより、安蘇郡の領地の一部が日光県の管轄となる。
古河藩の領地替えにより、都賀郡の旗本領の一部が古河藩の管轄となる。
高知新田藩の領地替えにより、安蘇郡の飛地領が日光県の管轄となる。
厳原藩の領地替えにより、都賀郡・安蘇郡の飛地領が日光県の管轄となる。
1871年（明治4年）
1月13日（1871年3月3日） - 久保田藩が秋田藩に改称。
2月8日（1871年3月28日） - 谷田部藩が藩庁を移転して茂木藩となる。
7月14日（1871年8月29日） - 廃藩置県により藩領が宇都宮県、烏山県、壬生県、黒羽県、茂木県、佐野県、大田原県、足利県、吹上県および秋田県、水戸県、前橋県、館林県、結城県、古河県、関宿県、佐倉県、多古県、六浦県、西端県、高富県、彦根県、丹南県の飛地となる。
10月28日（1871年12月10日） - 第1次府県統合により群馬県（第1次）が発足し、前橋県・館林県の飛地を管轄。
11月14日（1871年12月25日） - 第1次府県統合により、都賀郡・寒川郡・安蘇郡・足利郡・梁田郡が栃木県、那須郡・塩谷郡・芳賀郡・河内郡が宇都宮県の管轄となる。それぞれ栃木町、宇都宮連雀町に県庁を設置。
下野国 国内の施設
『和名抄』（平安時代中期）では、国府は都賀郡にあるとする。次の遺構が見つかっている。
下野国庁跡 （栃木市田村町宮ノ辺、北緯36度22分47.66秒 東経139度47分06.64秒﻿ / ﻿北緯36.3799056度 東経139.7851778度﻿ / 36.3799056; 139.7851778﻿ (下野国庁跡)）
国の史跡。調査は昭和51年（1976年）から始まり、4年目に現在の栃木市田村町の宮目（みやのめ）神社周辺で政庁跡とされる遺跡が発見された。この調査の結果、政庁は約90メートル四方の範囲を塀によって区画され、8世紀前半から10世紀初期まで機能していたと推定されている。
下野国分寺跡 （下野市国分寺、北緯36度23分06.21秒 東経139度48分21.95秒﻿ / ﻿北緯36.3850583度 東経139.8060972度﻿ / 36.3850583; 139.8060972﻿ (下野国分寺跡)）
国の史跡。東大寺式伽藍配置で、寺域は東西413メートル・南北457メートル。伽藍跡地の北東方に後継の瑠璃光山東方院国分寺（本尊：薬師如来）が立つ。
下野国 国内の施設
下野国分尼寺跡 （下野市国分寺、北緯36度23分06.98秒 東経139度48分44.73秒﻿ / ﻿北緯36.3852722度 東経139.8124250度﻿ / 36.3852722; 139.8124250﻿ (下野国分尼寺跡)）
国の史跡。国分寺跡東方600メートルに所在。東大寺式伽藍配置で、推定寺域は東西145メートル・南北470メートル。後継寺院はない。
延喜式内社
『延喜式神名帳』には、大社1座1社・小社11座11社の計12座12社が記載されている（「下野国の式内社一覧」参照）。大社1社は以下に示すもので、名神大社である。
総社・一宮
『中世諸国一宮制の基礎的研究』に基づく一宮の一覧。
一宮：次の2社が一宮を称する（「二荒山神社」参照）。
二荒山神社（宇都宮二荒山神社） （宇都宮市馬場通り、北緯36度33分45秒 東経139度53分9秒﻿ / ﻿北緯36.56250度 東経139.88583度﻿ / 36.56250; 139.88583﻿ (下野国一宮、名神大社論社：宇都宮二荒山神社)）
二荒山神社（日光二荒山神社） （日光市内に3宮、北緯36度45分30.82秒 東経139度35分47.03秒﻿ / ﻿北緯36.7585611度 東経139.5963972度﻿ / 36.7585611; 139.5963972﻿ (下野国一宮、名神大社論社：日光二荒山神社)）
下野国 地域
明治維新直前の領域は、現在の足利市の一部（南大町・里矢場町・新宿町・藤本町・荒金町）を除く栃木県の全域と、群馬県桐生市の一部（菱町の全域および梅田町四・五丁目の一部）に相当する。
かつて栃木県は下野国と完全に同一の領域であったが、1959年（昭和34年）に足利郡菱村が、1968年（昭和43年）に安蘇郡田沼町の入飛駒地区がいずれも群馬県（旧上野国）桐生市に越境合併。また、1960年（昭和35年）に群馬県山田郡矢場川村の一部が足利市に編入された結果、下野国と完全には一致しなくなっている。栃木県の方が下野国よりわずかに面積が小さくなっている。
内閣統計局・編、速水融・復刻版監修解題、『国勢調査以前日本人口統計集成』巻1（1992年）及び別巻1（1993年）、東洋書林。
下野国 鉄道駅での読み方
国鉄時代は、下野○○と書いて「しもずけ○○○○」と呼ばせる駅名が県内に存在した。平成に入り、それらの駅はすべて「しもつけ○○○○」と読み方を変更された。
長編小説
長編小説・長篇小説（ちょうへんしょうせつ）は、文学形式の一種。
長編小説 概要
Novelは古イタリア語の「新しい」という接頭辞からきている。小説のうちその分量が特に多く、構造的に長大なものを指す。
何をもって長編小説とするかについては議論が多いが、根本的な問題として小説はかぎりなく長くすることができる。しかしある程度以下には短くすることができない。長編小説には短編小説のごとき構造上の定式がなく、何をどう書いてもいい部分が多いので、その範疇ははなはだひろく、そこに含まれる作品もきわめて多い。長さも形式も自由であるといえる。
11世紀頃に書かれた源氏物語が世界最古の長編小説とされる。
日本では通常、掌編（ショートショート、掌編小説など）、短編小説・中編小説に対立する語としてこの言葉が用いられる。新潮社出版部文芸第二編集部編集長の新井久幸は、400字詰め原稿用紙250枚が長編として出版できる下限であるとしている。
長編小説 概要
海外では、短編小説に対する長編小説という区分、対立の意識がつよい。つまり周到なプロットによって最後に読者を驚かせておしまいにするのが短編（例えば、O・ヘンリーの『賢者の贈物』の、夫が時計を売ったことが最後に明かされる仕掛け）であり、そのためには作者の語り口、つまり何を語り何を読者に対して秘密にするかがかなりその自由裁量にまかされている。これに対して、そうしたプロットを用いずに叙述を順次すすめてゆくのが長編小説であると考えられることが多い。このため、「長い短編小説」「短い長編小説」（手法的には短編／長編のそれによっているが分量が手法とは相反する）という呼名さえ存在する。
ただし上記のような区分も、例えば推理小説であればかならず短編的なプロットによる必要があるし、またいわゆる19世紀的な時系列を重んじる長編小説が廃れた現代文学においては長編という言葉が意味するものは多様化しており、短編、長編の手法論的分類はある程度以上には不可能である。
長編小説 世界で最も長い長編小説
ヘンリー・ダーガーの『非現実の王国で』が目下最長だが、未出版である。ニカーズは同一語句のコピペが発覚して、ギネス取り消しになった。栗本薫の『グイン・サーガ』は未完であることを理由にギネス申請が却下された。現在のギネス記録はマルセル・プルーストの『失われた時を求めて』だが、実はこの作品も作者がゲラ刷りにすべて目を通すというプロセスが作者の死のため抜け落ちており、本来の意味では未完である。
RSA暗号
RSA暗号（RSAあんごう、Rivest-Shamir-Adleman）とは、桁数が大きい合成数の素因数分解が現実的な時間内で困難であると信じられていることを安全性の根拠とした公開鍵暗号の一つである。暗号とデジタル署名を実現できる方式として最初に公開されたものである。
RSA暗号 概要
RSA暗号方式は、1977年に発明され、発明者であるロナルド・リベスト、アディ・シャミア、レオナルド・エーデルマンの原語表記の頭文字をつなげてこのように呼ばれる(p63)。前年（1976年）にディフィーとヘルマンによって発表されたばかりの公開鍵暗号という新しい概念に対し、秘匿や認証を実現できる具体的なアルゴリズムを与えた。発明者3氏は、この功績によって2002年のチューリング賞を受賞した。この暗号はフェルマーの小定理に基づいている。
RSA暗号のアルゴリズムは、1983年9月20日にアメリカ合衆国で特許（4,405,829号）を取得し、RSA Security 社がライセンスを独占していたが、特許期間満了に伴って2000年9月6日からは誰でも自由に使用できるようになった。
暗号の用語については暗号#用語、暗号理論#用語を参照。
RSA暗号 概要
なお、RSA暗号を最初に考案したのはGCHQに所属するジェイムズ・エリスとクリフォード・コックスであるという説がある。エリスは1969年に公開鍵暗号に相当する理論を考案したが、エリスは専門の数学者ではなく、GCHQの数学者たちも公開鍵暗号の具体的な方法を提示することはできなかった。1973年にコックスはエリスが考案した暗号の理論を聞かされ、わずか30分程度でリベストの計算式と同様の方法を考案した。しかし、エリスとコックスの業績は機密事項とされたため、1997年までは世間に知られることはなかった(p66)。また、当時はRSA暗号を使用するには高価なコンピュータが必要であり、公に知られている限り、実用に供されることは無かった。
RSA暗号 暗号方式
鍵生成、暗号化、復号の3つのアルゴリズムで定義される。
p, q を異なる2つの素数とし n = pq とし λ(n) = (p − 1)(q − 1) とする。e を λ(n) と素な正整数とすると α ⋅ e + β ⋅ λ(n) = 1 となる2整数 α, β が存在する。α として1つの正整数 d を選択してそのときの β を −x とすると d ⋅ e = x ⋅ λ(n) + 1 となる。ここで d を秘密鍵とし、n と e を公開鍵とする。
ここで、α ⋅ e + β ⋅ λ(n) = 1 のとき i を整数とすると (α + i ⋅ λ(n)) ⋅ e + (β − i ⋅ e) ⋅ λ(n) = 1 であるから α に λ(n) の整数倍を加えたものも改めて α とできるため、α として正整数 d を選択できるとした。
以下 ℤn を 0 以上 n 未満の整数の集合とする。
とし a を暗号化対象の平文とする。  を計算し、b を 平文 a の暗号文とする。
を計算する。すると a′ = a となり a′ は 平文 a の暗号文 b の復号文となる。
RSA暗号 暗号方式
定義により以下が成立する。
a が n と互いに素な整数のときは a が2つの素数 p, q のそれぞれと互いに素であるからフェルマーの小定理 により  かつ  であり
よって  は p, q で割り切れるから  となり
となるが、 であるから
となる。
であり、 のときは、a は q − 1 個の整数からなる集合  の元であって、 a が p で割り切れるから  であり、a, q が素であるからフェルマーの小定理により  であり
また  により以下が成立する。
よって
よって a' − a は p, q で割り切れるから
となるが、 であるから
となる。
であり  のときについても同様に a' = a となる。
a = 0 のときは  であるから b = 0 であり、 であるから a' = 0 である。つまり a′ = a = 0 である。
以上何れにしても a' = a が成り立ち、平文 a の 暗号文 b は 秘密鍵 d と公開鍵の一つ n を用いて平文 a に復号できることが分かる。
RSA暗号 性能
セキュリティパラメータが1024の場合、n は1024ビットという大きな桁数の数となり、d も n とほぼ同じ桁数の数となる。 を計算するには、バイナリ法というアルゴリズムを用いると、剰余乗算 () を、1500回程繰り返すことで実現できる。これには相当の計算時間を要するため、中国の剰余定理を用いて、
として求めることがある。
桁数が大きい場合、確実に素数であると保証できる整数を見つけることは容易ではない。このため実際には、素数であるとは断言できないものの、素数である可能性が非常に高い自然数を用いる。こういった自然数の生成はMiller–Rabinテストなどの確率的素数判定法によって高速に行える。確率的素数判定法をパスした自然数を確率的素数 (probable prime) という。確率的素数には、素数の他に擬素数が含まれるが、その確率は判定回数を増やすことで極めて低くすることができる（なお、拡張リーマン予想が正しければ、Miller–Rabinテストは素数かどうかを正しく判定する、という事実が知られている）。
2002年8月、インド工科大学 のアグラワルらが素数判定を多項式時間で行うAKS素数判定法を発表したが、これは多項式の次数が高すぎて遅いので未だRSAの鍵生成に実用するには足らない。
RSA暗号 安全性
RSA暗号は、安全性が素因数分解問題と同値であると期待されている暗号方式であるが、本当に両者が同値であるかどうかについては分かっていない。
素因数分解を解けるオラクルを用いれば、n から p および q が計算できるので、鍵生成と同様にして秘密鍵 d を知ることができる。即ち、RSA暗号が解読できる。従って、RSA仮定が証明できれば素因数分解問題の困難性が示せる。しかし、逆が成立するかどうかはよく分かっていない。ある条件下では否定的な結果もでている。
RSA暗号が選択平文攻撃に対して完全解読できない、ということとRSA仮定とは同値である。
RSA問題を解く方法として、現在知られている有力な方法は、素因数分解問題を解くことに使える方法だけである。素因数分解問題を解く方法として、楕円曲線法や数体篩法などのアルゴリズムが知られているが、これらの方法はどれも準指数関数時間アルゴリズムであり、多項式時間で素因数分解問題を解く方法は知られていない。
暗号理論の世界では、多項式時間で解読することができない暗号方式を安全であると定義することがある（計算量的安全性）。この意味で、RSA暗号の安全性について、現在知られている範囲では安全であると期待されていて、その反証がないと言える。
RSA暗号 安全性
RSA問題や素因数分解問題はNP問題であるので、これらの問題が（決定性のある）多項式時間では解けないことが証明できれば、P≠NP予想が肯定的に解決することになる。ただし、ハミルトン閉路問題など他のNP問題（NPかつNP困難なNP完全問題を含む）が多項式時間で解けることが証明されればP=NPとなってしまう。
2004年の時点では、インターネットで公募した数多くのPCを用いると512ビット程度の数なら素因数分解できるので、RSA暗号に使用する法 n は1024-4096ビット（10進数で300-1000桁程度）にすることが推奨されている。
しかしシャミアは、RSA問題を解くための専用装置 (TWIRL) を作成すれば、1024ビットの n に関するRSA問題ですら解くことができると主張している。また、実用的な量子コンピュータが登場した場合には、素因数分解の桁数増に対する計算時間の増加が緩やかなショアのアルゴリズムと呼ばれる高速な量子コンピュータアルゴリズムが実行可能となるため、たとえ鍵のビット数を増やしてもRSA暗号の安全性が保証されなくなる可能性が指摘されている。
RSA社は「RSA Factoring Challenge」を1991年から2007年まで実施し、最新の計算機環境でどの程度のビット数の整数が素因数分解可能かを調べた。
以下は未踏
RSA暗号 安全性
RSA暗号は選択暗号文攻撃を行なえば完全解読できる。また、RSA暗号は選択平文攻撃に対してすらindistinguishable（識別不能）ではない。よってRSA暗号は選択平文攻撃に対してnon-malleable（頑強性）でも semantic secure（強秘匿性）でもない。non-malleable と semantic secure の定義は公開鍵暗号に記されている。
共通の法 n
ユーザー管理等の利便性や素数探索の労を避けるため、法である n を共通として各々に個別の e と d を与えるのは誤りである。もしも法 n とそれに対応する e と d の組を一つでも知ることができれば、法 n の素因数分解が容易となり安全ではなくなるからである。
同報通信
全く同一の平文を複数の送信先へ各々の公開鍵で暗号化して同報通信するには適していない。同じ e を持つ公開鍵（ハミング重み HW = 2 である 3 や 65537 が好んで用いられる）で暗号化された e 個以上の暗号文を手に入れたなら各々の公開鍵の法に関して中国の剰余定理を用いることで、通常の冪根によって平文を復元できるからである。詳しくは下記の同一平文を参照のこと。
このため、現在規格化されている暗号への応用においては、パディングとして毎回乱数を生成して挿入するなどの対策がされている。
RSA暗号 安全性
RSA暗号の安全性は素因数分解の困難さ（より正確には素因数が不明な法 n での冪根を求めることの難しさ）に基づいている。
しかし、平文の内容によっては、素因数分解をせずとも暗号文から平文を入手できる。
公開鍵暗号全般に言えることであるが、確定的暗号（例えば平文が「はい」か「いいえ」のどちらかしか有り得ない）であれば、それぞれを暗号化したものと暗号文とを比較すれば容易に平文を知ることができる。
実用上は、m の一部に毎回生成する乱数を挿入することで、この攻撃を回避できる（復号側で乱数部分を無視するよう処理すればよい）。
平文 m が、n の e 乗根よりも小さいと、暗号文  となるから、通常の冪根演算によって c の e 乗根を計算するだけで平文 m が復元できてしまう。
実用上は、m の比較的高位のビットに1を挿入することでこの攻撃を回避できる。
法 n における e乗根が計算できれば、暗号文を復号できる。当然これは（法 n の素因数が分からない限り）非常に難しいと考えられていて、RSA暗号の安全性の重要な根拠の一つになっている。
しかし、全く同一の平文を、異なる法において同一の e を用いて暗号化した暗号文を e 個以上集めることで、各々の法に関して中国の剰余定理を用いれば通常の冪根演算によって平文を復元できる。これを同報通信の誤用と呼ぶ。
RSA暗号 安全性
ここから中国の剰余定理によって上記式を満たす、
を求めることができる。このとき  であり、また m はどの法 n よりも小さいため  であることから、
この c の e 乗根を求めることで平文 m が求められる。
e として 3 や 65537 は、2進数表示したときに 1 の個数が少なく暗号化処理を高速化できるという理由から好んで用いられるが、上記の問題がある。
実用上は、m の一部に毎回生成する乱数を挿入することでこの攻撃を回避できる。
RSA暗号の入力は、公開鍵の法を n とすると 0 から n − 1 の範囲の整数である。n 以上の値の平文を暗号化する際には、平文を分割して処理することになる。
この時に留意しなければならない点として、例えば、n が1024ビット（= 128バイト）であるとき、平文を同じ 1024ビット毎に分割処理するのでは十分ではないという点がある。これは、n と m が共に 1024ビットであったとしても、n < m の場合には、結果として出力されるのは、 に対応する暗号文であり、復号しても m は出力されないためである。
RSA暗号 安全性
平文をビット単位（やバイト単位）で分割する際には、まず、n の下限を定めた上で、平文の全ビットを 1 に（全バイトを  に）しても n より小さくなるビット数（バイト数）で分割しなければならない。例えば、n の下限を  とした場合、平文は 1023 ビットごとに分割する。こうすることで m < n の条件が常に満たされる。
一方で、出力となる暗号文は 0 から n − 1 の範囲の整数になるため、先の例で（n の下限より小さいビット数）1023ビット毎に分割された m に対応する暗号文の中には、1024ビットが必要となるものがある。つまり、平文をビット単位で分割する場合には暗号化によってメッセージサイズが増加するといえる。これを回避するにはビット単位で分割するのではなく、平文 m を n 進数表示したときの各桁毎に分割すればよい。
RSA暗号方式は、
などの脆弱性があり、RSA暗号方式をそのまま利用することは好ましくない。このため、実際のRSA暗号の実装では、暗号化する前に適切なパディングを行っている。代表的なパディングとしてOAEPがあり、公開鍵暗号標準であるPKCS#1（バージョン1.5以降）もこれを採用している。OAEPは確率的なパディングであり、すなわち、元の平文が同じであっても、パディングされた平文は時によって異なる（ランダムに選ばれた値に依存）。
OAEPパディングとRSA暗号の併用をRSA_OAEPと呼ぶことがある（これに対して、パディング処理を行わない素のRSA暗号方式を生RSA、教科書的RSAということがある）。RSA_OAEPは、公開鍵暗号における最も高い安全性である「適応的選択暗号文攻撃に対する識別不可能性」を持つことが示されている。
RSA暗号 デジタル署名方式への応用
RSA暗号が実現した公開鍵暗号方式は、従来の暗号方式（共通鍵暗号）とは異なり、暗号化は公開鍵を使って誰でもできるが、復号は秘密鍵を持つ本人だけしかできない方式である。この復号は「本人だけしかできない」という性質を利用すると、デジタル署名（あるいは認証機能）が実現できる。
そのためには、公開鍵・秘密鍵を次のように使用する。
公開鍵と秘密鍵の役割は通常の場合においては上記の通り、公開鍵は暗号化に使われ、秘密鍵は復号に用いられるが、RSA暗号においては平文と暗号文の定義域が同じ（平文空間＝暗号文空間である）ため、任意の文書（メッセージ）を暗号文とみなして復号することができる。つまり秘密鍵を用いて任意の文書について署名値を生成でき、公開鍵を用いてその署名値を暗号化して元の文書と一致するかを調べることで署名の検証ができる。
ただし、RSA暗号と同様に、生RSAでは、署名の潜在的偽造等の好ましくない性質があるため、パディングなどが必要である。また、暗号文空間よりも大きなメッセージを扱うためにハッシュ関数と組み合わせて使用する。
このようなパディングなども含めたものとして、
などがある。
RSA暗号 デジタル署名方式への応用
1977年、マーティン・ガードナーがコラムを連載していたサイエンティフィック・アメリカン誌に129桁の法 n と公開指数 e = 9007 を使ったRSA方式で暗号化されたメッセージを掲載した。解読が成功した者にマサチューセッツ工科大学から100米ドルを与えるという懸賞金問題だった。当時、解読には4京年（40×1015年）は必要だろうと予測されていた。掲載から16年後に、オックスフォード大学ポール・レイランド、アイオワ州立大学マイケル・グラフ、マサチューセッツ工科大学デレク・アトキンス、アリエン・レンストラらが、インターネット上で（南極大陸を除くすべての大陸から20か国以上の）約600名のボランティアの協力を得て、二次ふるい法によってRSA-129に対する大規模攻撃を開始した。8か月で800万以上の下位問題が解かれ、得られた50万行50万列以上の疎行列から188614行188160列の行列による連立方程式を作った。これをスーパーコンピュータMP-1で45時間をかけて構造的ガウスの消去法によって解き、解読に成功した（1994年4月）。答えは“The magic words are squeamish ossifrage”［ossifrage（ヒゲワシ）はラテン語で「骨を折る者」の意。ロナルド・リベストによると暗号の答えはランダムで決められた。
RSA暗号 実装ライブラリ
RSA暗号をサポートしているライブラリは以下の通り。
玉置成実
玉置 成実（たまき なみ、1988年6月1日 - ）は、日本の歌手、女優、声優、YouTuber。HIGHWAY STAR所属。和歌山県和歌山市出身。
玉置成実 略歴
生い立ち
2004年
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
2024年