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熱伝導 発熱がある場合
物体に内部発熱 Q [W/m3] がある場合は、上式のうちエネルギー保存則を表す式に項が追加され
となる。したがって、熱伝導方程式は
と変更される。
クラスター (物質科学)
クラスター（英語：cluster）は集合体や塊を指す英語であるが、物質科学においては同種の原子あるいは分子が相互作用によって数個から数十個、もしくはそれ以上の数が結合した物体を指す。それぞれの原子や分子同士を結びつける相互作用は、ファンデルワールス力や静電的相互作用、水素結合、金属結合、共有結合などが挙げられている。クラスターのうち、電荷を帯びたものをクラスターイオンと呼ぶ。
クラスター (物質科学) フラーレン
代表的なクラスターとして、炭素原子60個が結合してサッカーボール状の構造を持つC60フラーレンがある。C60フラーレンは共有結合クラスターに分類される。これらは、いわゆるバルクとも孤立した原子・分子とも違う状態であり（少数多体系・有限多体系と呼ばれる）、バルク-孤立原子・分子の間の新しい物質相であると考えられている。クラスターは、そのサイズに依存した特異的性質を示し、新規磁性・触媒材料など、応用面でも注目されている。
クラスター (物質科学) 金属クラスター
複数の遷移金属原子が互いに金属結合した構造をしているときに、金属クラスターという。昨今は、ナノ粒子という概念も提唱されている。
クラスター (物質科学) 金属カルボニルクラスター
有機金属化学では、カルボニル配位子で安定化された金属クラスターは金属カルボニルクラスターという。金属カルボニルクラスターの典型例としては、ドデカカルボニルルテニウムRu3(CO)12, ドデカカルボニルオスミウムOs3(CO)12などが挙げられ、いずれの金属カルボニルクラスターであっても３つの金属原子が正三角形となるような構造をしている。
臭素
臭素（しゅうそ、英: bromine）は、原子番号 35、原子量 79.9 の元素である。元素記号は Br。ハロゲン元素の一つ。
単体（Br2、二臭素）は常温、常圧で液体（赤褐色）である。分子量は 159.8。融点 摂氏-7.3度、沸点摂氏 58.8 度。反応性は塩素より弱い。刺激臭を持ち、劇物に分類されている。海水中にも微量存在する。
臭素 名称
アントワーヌ・バラールは後述するシリアツブリガイの当時の名称 murex から、元素の名称として muride を提案した。しかし、フランス学士院は muride ではなく、ギリシャ語の悪臭 (bromos)に基づく bromine に決定した。
臭素 歴史
アントワーヌ・バラールは、1826年にフランス学士院へ臭素発見に関する論文を提出している。フランス・モンペリエにおいて、海水と塩素の反応によって発見された。なお、ドイツのカール・レーヴィヒは、1825年に鉱泉から新元素を発見していたのだが、論文を提出する前にバラールの論文が発表されてしまった。
20世紀初頭、ドイツでは海水から臭素を得ていた。プールに導き入れた海水を塩素で酸化させて、わずかに生じる臭素をアニリンと反応させて得られる2,4,6-トリブロモフェノール（フェノールに臭素原子が3つ置換したもの）の沈殿を分解して臭素単体を得ていた。当時の価格は同質量の金より高価であったという。アメリカ合衆国においては、ダウ・ケミカル創業者のハーバート・ダウが開発した電気分解法を鹹水鉱床に用いることで、臭素生産が始まった。後に海水にもダウの手法が適用された。
臭素 歴史
精神的な興奮状態、性欲を鎮める作用があるため、19世紀には興奮性の精神病の治療薬、鎮静剤、性欲抑制剤として臭化カリウムなどの臭化物が用いられた。連用により体内に臭素が蓄積して臭素中毒を引き起こすなど毒性があるため、現在ではほとんど用いられない。
後に、イスラエルの死海周辺の井戸から産する臭化マグネシウム水溶液から得られるようになった。臭素の価格は中東和平が達成されると下がり、軍事的緊張が続くと高騰するなど不安定であったが、アメリカ合衆国のユニオン郡 (アーカンソー州)の地下水から得られるようになり、現在ではこちらが最大の産出地である。
臭素 性質
非金属元素の単体の中では常温・常圧で液体である唯一の元素で、二原子分子 (Br2) を形成する。色は暗赤色で、常温・常圧で蒸発しやすく、赤色の気体となる。同じハロゲンの塩素と同様、強烈な不快臭を持つ。ハロゲン中での反応性は塩素より小さく、ヨウ素より大きい。水には若干溶け、二硫化炭素と脂肪族アルコールと酢酸にはよく溶ける。多くの元素と容易に結合して強力な漂白作用を持つ。皮膚に臭素が触れると腐食を引き起こすため危険である
臭素化合物にはオゾン層を破壊したり、生物濃縮したりするものがあるため、段階的に廃止される予定となっており、次第に工業的に製造されなくなってきている。
臭素は強力な酸化剤で、金属や有機化合物と容易に反応する。
アメリカ合衆国ヴァンダービルト大学のビリー・ハドソン博士らは、ミバエへの給餌実験で臭素を除いた餌を食べ続けたグループは死滅したが、通常通り臭素を含む餌を食べた対照グループは生き残ったことから、臭素が動物にとって28番目の必須元素であることを確認したと2014年に発表した。
臭素 資源
工業的には臭化物イオンを含む水溶液を酸性条件下で塩素を吹き込み、酸化された臭素単体を蒸留精製する。臭素は海水中には65 ppm (0.0065%) 含まれ、推定資源量は100兆トン存在し、多くの国で海水を原料として臭素を生産している。一方、死海あるいは臭素の含有量が高い鉱水が知られており、アメリカ合衆国やイスラエルなどの国では、鉱水や死海の水を原料にして、同様に塩素で酸化して生産している。日本では海水に塩素を吹き込んで臭素を遊離させる海水法とにがりに含まれるMgBr2に塩素を吹き込んで臭素を遊離させるにがり法で生産され、生産量は2007年で26,000トン(推定)である。
米国地質調査所の2005年版統計によると、全世界の臭素の生産量は約590,000トンである。その内訳は、1位の米国が222,000トン、2位のイスラエルが206,000トンでありこの2カ国で世界の生産量の8割を占める。国連統計局の2002年度統計によると、輸出量はリサイクルされたものも含めて1位のイスラエルが94,141,000ドル、2位のベルギーが34,412,092ドルであった。
臭素 用途
シリアツブリガイ Bolinus brandaris（旧学名:Murex brandaris）が分泌する無色の液体が空気中で酸化されると、紫色（皇帝紫）の成分である6,6'-ジブロモインジゴが得られる。この貝は、現在のレバノン沿岸ティルスに産したため、染料はチリアンパープル (Tyrian purple) とも呼ばれた。19世紀にアニリン染料（モーブなど）が開発されるまでは、もっとも優れた紫色の染料として用いられていた。
工業的には、有鉛ガソリンの添加剤であるジブロモエタン、消火に用いる CBrClF2, CBrF3 などのハロン、土壌燻蒸剤の臭化メチルが主な用途であった。しかしながら、いずれも環境に与える影響が大きいとされ、生産・消費量は減少している。航空機、新幹線車両などの内装材にも用いられ、難燃剤として優れるポリ臭化ジフェニルエーテルは、そのほかの主な用途である。
臭素 用途
写真の感光材として、臭素の化合物臭化銀 (silver bromide) が用いられている。このため、印画紙のことを英語では bromide paper と呼ぶ。これが転じて、アイドル等の写真であるブロマイドの語源となった。
高温で様々な無機物・有機物を含む温泉水の消毒剤として塩素剤だけでは不十分な場合があるため、BCDMH（ブロモクロロジメチルヒダントイン）を主成分とする塩素臭素剤が使用される。海外では「Bromine Tablets」という一般名で市販されている。
医薬品や農薬での利用がかつては存在したが臭素の有害性が指摘されるにつれ利用は減少した。しかし潜在的な有用性は着目されており研究開発は続けられている。
臭素 臭素の化合物
天然の臭素はほとんど同量の2種の安定同位体79Br（存在比0.5069）と81Br（存在比0.4931）からなるので、質量分析において臭素を1個ふくむ分子は質量数が2だけ異なり強度の等しい二本組のシグナルとして現れる特徴がある。
臭素のオキソ酸は慣用名を持つ。次にそれらを挙げる。
オスカー
オスカー、オスカル（Oscar、Oskar、Oskari、Oszkár、Óscar、 ほか）は、おもにヨーロッパ言語圏で使用されている、ドイツ語とアイルランド語と英語の名前。古ドイツ語においては、神の槍 "god spear" の意味も持つ。
オスカー 人名
ヨーロッパの男性名（Oscar、Oskar ほか）。ゲール語で "deer lover" の意味を持つ。古英語においては、神の槍 "god spear" の意味も持つ。
選択公理
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。平行線公準以来、もっとも議論された公理である。
選択公理 定義
本節で、集合の集合を集合系という。
選択関数とは、関数で、非空集合の集合系に対して定義され、の元について、がの元になっているものである。この選択関数という概念を使えば、選択公理は以下のように書ける:
論理記号を用いて正式に書けば:
したがって、この公理の否定は、非空集合の集合であって選択関数をもたないものが存在する、と表現できる。この否定の形は、以下の同値からも理解できるだろう。
非空集合からなる集合系  の選択関数はの要素全体をわたる直積集合の元になっている。これは、よく考えられる添え字づけられた集合族の直積集合とは少々様子が異なる。 というのも、集合族には同じ集合が何度も現れることがあり、集合系（同じ集合が集合系に何個あっても外延性公理によって1個しかないのと同じことである）とは異なるものになっている。そのような事情はあるものの、集合族の直積集合の元で、同じ集合からは同じ元を取るようなものだけを考えれば、集合族の集合のうち、異なるものの直積集合の元と同じになる。選択公理はそのような元の存在を保証していることになるので、以下の主張と同値である:
非空集合の集合系について、その直積集合は空集合ではない。
この記事や他の選択公理に関する議論で、次のような略記が使われることがある:
選択公理 定義
選択公理には変種が多く存在する。ここでいう変種とは、他の集合論の公理の元で、選択公理と変種が、一方を仮定すればもう一方を導けるような関係にあるということである。更に言えば、他の公理を使うまでもなく同値になるような様々なパターンがあるのは言うまでもないだろう。例えば共通部分や論理の記号を使わない、必要最低限の記号だけからなる定式化も可能であるが、ここでは読みやすさを優先して集合論の基本的な記号は用いることにした。
以下の変種は選択関数の代わりに選択関数の値域を考えることで、選択関数を使わずに選択公理を述べている。これは関数という概念を導入することなく選択公理を定式化できるので便利である:
任意の集合が空集合を元としてもたず、の要素が互いに素になっているとき、 のどの要素とも共通部分が1元集合になるような集合(選択集合)が存在する。
ここで、1元集合であることを、ある元が存在して、どの元についてもそれはと言い換えているのが、後半に現れるである。
他の選択公理の変種には、を他の集合の冪集合に限ったようなものである以下の形もある。
任意の集合に対して、の冪集合(から空集合を除いたもの)は選択関数を持つ。
選択公理 定義
この定式化を使う著者には、の選択関数というのをその冪集合から空集合を除いたものの選択関数という意味で用いる人もいる。しかしながら、この意味での選択関数はどの集合についても取れるのに対して、元々の選択関数は、集合の元の元を取ってくるというもので、集合の集合でしか考えられないものである。この少し違った選択関数の概念を使えば、選択公理は以下のように簡潔にまとめられる:
任意の集合に選択関数が存在する。
これは以下のように（変わった意味の選択関数を使わずに）同値な表現ができる:
任意の集合に対して、 をの非空な部分集合とするとき、がの元となるような関数 が存在する。
この公理の否定は以下のように書ける:
ある集合が存在して、の非空部分集合について定義されているどんな関数 に対しても、ある部分集合でがの要素にならないものが存在する。
選択公理の一般的な定式化では集合系が無限か有限かについては述べられていないので、 当然、非空集合の有限集合（系）も選択関数を持つことが従う。しかしながら、この場合はZFで選択関数の存在が、有限帰納法によって簡単に示される。さらに単純な例として、非空集合1つだけからなる集合系を考えると、選択関数はその非空集合から元を1つ取るだけで、この場合選択公理は「非空集合は必ず元を持つ」という自明なことしか言っていないことになる。選択公理は、この有限の集合系について成り立つ性質を一般化して、どんな集合系についても元があるということを主張していると見ることもできるだろう。
選択公理 選択公理と等価な命題
以下の命題は全て選択公理と同値である。つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。
整列可能定理
任意の集合は整列可能である。
ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）
テューキーの補題
有限性を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。
比較可能定理
任意の集合の濃度は比較可能である。
直積定理
無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。
右逆写像の存在
全射は右逆写像を有する。
ケーニッヒ（Julius König）の定理
濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。
ベクトル空間における基底の存在
全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。
チコノフの定理
コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。
クルルの定理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
選択公理 応用
選択公理、もしくはそれと同値な命題を適用することで、以下を示すことができる。
選択公理 歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールは、選択公理を自明なものとみなしていた。
しかし、ツェルメロによる整列可能定理の証明に反論する過程で、エミーユ・ボレル、ルネ＝ルイ・ベール、アンリ・ルベーグ、バートランド・ラッセルなどが選択公理の存在に気付き、新たな公理と認識されるようになった。
クルト・ゲーデルとポール・コーエンによって、ZF（ツェルメロ＝フレンケルの公理系）から独立であること（ZFに選択公理を付け加えても矛盾しないが、ZFから選択公理を証明することはできない）が示された。これは集合論研究における大きな成果であろう。
ZFに一般連続体仮説を加えると選択公理を証明できることが知られている。これは、1926年にアドルフ・リンデンバウムとアルフレト・タルスキが示したが証明は散逸したとされる。同内容を1943年にヴァツワフ・シェルピニスキが再発見し1947年に出版した。
選択公理 バナッハ＝タルスキーのパラドックスと選択公理
選択公理を仮定することによって導かれる、一見、奇怪で非直観的な結果の中でも、バナッハ＝タルスキーのパラドックスは有名なもので、「有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる」と、初歩的な概念のみで表現することができる。ただ、ここでの「有限個の分割」は、通常イメージされる単純な分割（包丁でいくつかのパーツに切り分けるようなもの）ではなく、非常に特殊な分割であるため、「"奇怪な分割"をした結果、奇怪な結果（2つに増える）が生じた」にすぎないという側面もある。
なお、ステファン・バナフ（バナッハ）とタルスキは論文の冒頭で、「証明のなかに、この公理（選択公理）が果たす役割は、注目するに値する」と述べているだけであり、バナッハ＝タルスキーのパラドックスによって選択公理が正しくないと明確に主張したわけではない。
選択公理 代わりとなる公理
選択公理とは矛盾するが、ZFCから選択公理を除いたZFとは矛盾しないような命題は数多く発見されている。たとえばロバート・ソロヴェイは強制法を用いて実数の集合が全てルベーグ可測であるようなZFのモデル（ソロヴェイモデル）を構成した。
1964年にヤン・ミシェルスキが導入した決定性公理もその一つである。これはその後、無矛盾性証明のために頻繁に用いられている。ZFに決定性公理を付け加えた公理系の無矛盾性と、ZFに選択公理と巨大基数の一種であるウッディン基数の存在を公理として付け加えた公理系の無矛盾性が同値となるというウッディンの定理は、互いに矛盾する公理を関係づける非常に重要なものである。
選択公理 選択公理の制限
選択公理は上のように様々な結論を導く強い公理になっている。選択公理に条件を課して、より弱い公理としたものが研究されている。
可算選択公理 ― 非空集合を含まない、可算な集合系には選択関数が存在する。
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている。
全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
カントール、ラッセル、ボレル、ルベーグなどは、無意識のうちに可算選択公理を使ってしまっている。
従属選択公理(Principle of Dependent Choice) ― を非空集合上の関係で、をみたすものとする。このときがの元で、となるものが存在する。
従属選択公理は可算選択公理よりも真に強く、選択公理よりも真に弱いことが知られている。
選択公理 選択公理の制限
集合族の要素を特定の有限集合に制限した公理も研究されている。即ち、
ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
という形の公理である。
この種の公理について以下のようなことが知られている（すべてZF公理系を仮定）。
AC2  AC4を示すには、4元集合からなる集合族  に選択関数が存在することを示せば良い。まず  に AC2を適用して、選択関数  を得る。次に  を使って  の各元  から元をひとつ取りだすことを考える。集合  を  とおくと、 は 6元集合となる。 の元  に対し、 という関数を定め、 の最小値を  とおく。集合  を  とおくと、 は4元集合なので  の濃度は  のいずれかであるが、と仮定すると、となり矛盾する。 である場合は、 の元を選択関数  の値とすればよい。 の場合は、 とする。最後に  である場合は、 の元を  の値とすればよい。
竹野町
竹野町（たけのちょう）は、かつて兵庫県の北部にあった町。旧城崎郡。本項では町制前の名称である竹野村（たけのむら）についても述べる。
2005年4月1日、豊岡市および城崎郡城崎町・日高町、出石郡出石町・但東町と合併し、新たに豊岡市となったため消滅した。
竹野町 経済
農業
『大日本篤農家名鑑』によれば、竹野村の篤農家は「増田久左衛門、福田八郎左衛門、宇野菊太郎、永田萬造」などである。
漁業
鉱業
竹野鉱山
原動機付自転車
原動機付自転車（げんどうきつきじてんしゃ）とは、日本の法律上の車両区分の一つで、道路交通法では総排気量50cc以下（電動機の場合は定格出力0.6kW以下）の原動機を備えた二輪車、道路運送車両法では125cc以下（電動機の場合は定格出力1.0kW以下）の原動機を備えた側車のない二輪車（小型自動二輪車）を指す。
なお、法規上の条件を満たせば三輪や四輪のものもこの区分に該当する場合があるが、4輪の多くは「ミニカー」あるいは「バギー」と区分され、道路交通法の規定により日本での必要免許も普通自動車相当となる。
略称は原付（げんつき）や原チャリ（げんちゃり）（そこから略して「原チャ」（げんちゃ）とも）。250cc以下の軽二輪と共にミニバイクと呼ばれる場合もある。
原動機付自転車 概説
オートバイの一種であり、排気量が規定の範囲内（50cc以下や125cc以下）のものを指している。
道路交通法では総排気量が50cc以下または電動機が定格出力が0.6kW以下のものを指す。一方、道路運送車両法では125cc以下のものを原動機付自転車と区分しており、このなかで第一種原付（総排気量50cc以下または定格出力0.6kW）と第二種原付（総排気量50ccをこえ125cc以下または電動機の定格出力が0.6kWをこえ1.0kW以下）に区分されている。2輪の50cc以下であればすべて原動機付自転車扱いとなる。（最高出力が規定より大きいものは原付ではなくなり、自動二輪車に分類される）→#法律上の定義
「原動機付自転車」は基本的に総排気量または最高出力にもとづいた法律上の区分である。車輪の数は二輪タイプだけでなく三輪タイプもあり、内燃機関や電気モーターを動力とする。前輪に直結したハンドルバーで操作するものがほとんどであり、自動車のような円形ハンドルは使われない。
黎明期は自転車の前輪の上に小さな（短い水筒ほどの大きさの）エンジンを付けただけのものだったが、やがてエンジンが座席下に配置されるようになった。
原動機付自転車 概説
自転車を基礎としたデザインで発展してきたが、ペダル部が不要なために乗降性を目的とした「スクータータイプ」が開発され、1980年代から「スクータータイプ」のなかでも樹脂製（プラスチック製）の外装でボディを覆って金属製のフレームを見えなくしたタイプの販売割合が圧倒的に大きくなった。後部への積載を目的とした後二輪の三輪タイプにはホンダ・ジャイロ、安定性を目的とした前二輪の三輪タイプにはヤマハ・トリシティ等がある。
第一種原動機付自転車を運転するには、原動機付自転車の運転免許（いわゆる「原付免許」）が必要である。オートバイの免許制度は改正を繰り返し、2005年の法改正の後は、第二種原動機付自転車（つまり50cc超125cc以下）を運転するためには「小型限定普通二輪免許」を取得することが必要になった。原付免許・小型限定普通二輪免許のいずれでも、二輪タイプでも三輪タイプでも運転でき、またガソリン車も電動車も運転できる。 →#法規制と免許
また、他の2輪免許や普通自動車免許と異なりAT限定免許はなく、原付免許ではどちらも運転できる。
原動機付自転車を運転する場合自動車損害賠償責任保険に加入することが法令により義務付けられており、違反すると処罰される強制保険である。→#保険
原動機付自転車 概説
125cc以下の原動機付自転車は市区町村へ届け出がなされ、軽自動車税が課せられる。→#税区分
2012年時点の統計で、オートバイ全体の年間販売総数（約38万台）のおよそ6割が原動機付自転車である（第一種原動機付自転車が約12万台、そこに第二種原動機付自転車を加えると総計約24万台に上る）。
四輪以上は後述。
2023年（令和5年）7月1日以降は、道路交通法上の原動機付自転車の一区分としての「特定小型原動機付自転車」（特定原付）が新たな基準及び規制により法令改正・施行されている。これにより、特定原付に該当しない原動機付自転車は、「一般原動機付自転車」（一般原付）と法令上呼称されることとなった。それぞれの基準、交通規制および適用法令は異なるため、詳細は同項目を参照のこと。
なお本項目では以降、簡便のために、特に記載しない限り、道路交通法上の「原動機付自転車」は「一般原動機付自転車」を指すものとする。
原動機自転車
原動機付自転車 歴史
原動機付自転車の起源は、自転車の前輪の上部に、あと付けで、小型のガソリンエンジン（自転車用補助動力）を取り付けた乗り物である。当初は法規上は自転車と同じ軽車両扱いで運転免許が不要であった。
1952年（昭和27年）に14歳以上を対象とする「許可制」となり、1960年（昭和35年）の道路交通法施行に伴い、16歳以上を対象とする「免許制」となった。
このような経緯で成立した法律区分なので、現在でも自転車と同じ足漕ぎ用のペダルを取り付けたモペッドと呼ばれる原動機付自転車が販売されている。
エンジンは2サイクルエンジンが主流であったが、1998年（平成10年）9月から原動機付自転車も自動車排出ガス規制の適用を受け、さらに2007年（平成19年）9月からはこの規制が強化されると、排出ガスの対策に費用がかかる2サイクルエンジンに代わり、4サイクルエンジンに燃料噴射装置や三元触媒を搭載する車種が主流となった。
原動機付自転車 歴史
2019年に施行された「令和二年度排出ガス規制」において、新型車においては2020年12月以降、継続生産車においては2022年11月以降に生産されるバイクに対して排気ガスに対する規制が強化された結果、50ccのエンジンにおいて基準を達成することが困難であることから50cc以下の原付バイクは生産されなくなることが各バイクメーカーから発表されている。なお、継続生産車については2025年11月以降に生産されたバイクから規制が適用されるなど、一定の猶予期間がある。
125ccのエンジンで、それまでの50ccクラスの出力に留めれば規制値内に抑えられるため、法改正によって「125ccであるが50cc出力相当のバイク」が原付免許で運転できるようになり「新基準原付」と呼称されている。
車種の歴史
原動機付自転車 法律上の定義
道路交通法または道路運送車両法により異なる定義で区分されている。
総排気量50cc（定格出力0.60kW）以下の二輪のもの、「内閣総理大臣が指定する」50cc (0.60kW) 以下の三輪のもの、または前2者以外で20cc (0.25kW) 以下のものを原動機付自転車とする。
原動機付自転車 内閣府令で定める大きさ以下の総排気量又は定格出力を有する原動機を用い、かつ、レール又は架線によらないで運転する車であつて次に掲げるもののうち、軽車両、移動用小型車、身体障害者用の車、遠隔操作型小型車および歩行補助車等以外のものをいう。
イ　内閣府令で定める大きさ以下の総排気量又は定格出力を有する原動機を用いる車（ロに該当するものを除く。）
ロ　車体の大きさ及び構造が自転車道における他の車両の通行を妨げるおそれのないものであり、かつ、その運転に関し高い技能を要しないものである車として内閣府令で定める基準に該当するもの—道路交通法第2条第1項第10号
なお、令和4年4月の改正で特定小型原動機付自転車の規定が設けられ、令和5年7月1日に施行された。上記イ号が一般原動機付自転車であり、ロ号は特定小型原動機付自転車である。ここでは簡便のためイ号のみ取りあげる。
原動機付自転車 法律上の定義
道路交通法第二条第一項第十号の内閣府令で定める大きさは、二輪のもの及び内閣総理大臣が指定する三輪以上のものにあつては、総排気量については〇・〇五〇リツトル、定格出力については〇・六〇キロワツトとし、その他のものにあつては、総排気量については〇・〇二〇リツトル、定格出力については〇・二五キロワツトとする。—道路交通法施行規則第1条の2
道路交通法施行規則第1条の2における「内閣総理大臣が指定する三輪以上のもの」は総理府（現在の内閣府）告示により次のように定められていて、これ以外はミニカーという扱いになる。側車（サイドカー）付きは2輪の原動機付自転車と同様に扱われる。
車室を備えず、かつ、輪距（二以上の輪距を有する車にあつては、その輪距のうち最大のもの）が〇・五〇メートル以下である三輪以上の車及び側面が構造上開放されている車室を備え、かつ、輪距が〇・五〇メートル以下である三輪の車—平成2年12月6日総理府告示第48号
原動機付自転車 法律上の定義
二輪車については125cc (1.00kW) 以下のもの、それ以外の車両については50cc (0.60kW) 以下のものを原動機付自転車とする。このうち50cc (0.60kW) 以下のもの（道路交通法上の原動機付自転車に加えてミニカーも含むことに注意）を第一種原動機付自転車（通称は原付一種）、50ccを超え125cc以下のもの（道路交通法上の小型二輪車）を第二種原動機付自転車（通称は原付二種）という。
この法律で「原動機付自転車」とは、国土交通省令で定める総排気量又は定格出力を有する原動機により陸上を移動させることを目的として製作した用具で軌条若しくは架線を用いないもの又はこれにより牽引して陸上を移動させることを目的として製作した用具をいう—道路運送車両法第2条第3項
道路運送車両法第二条第三項の総排気量又は定格出力は、左のとおりとする。一 内燃機関を原動機とするものであつて、二輪を有するもの（側車付のものを除く。）にあつては、その総排気量は〇・一二五リツトル以下、その他のものにあつては〇・〇五〇リツトル以下。二 内燃機関以外のものを原動機とするものであつて、二輪を有するもの（側車付のものを除く。）にあつては、その定格出力は一・〇〇キロワツト以下、その他のものにあつては〇・六〇キロワツト以下。—道路車両運送法施行規則第1条
前項に規定する総排気量又は定格出力を有する原動機付自転車のうち、総排気量が〇・〇五〇リツトル以下又は定格出力が〇・六〇キロワツト以下のものを第一種原動機付自転車とし、その他のものを第二種原動機付自転車とする。—道路運送車両法施行規則第1条第2項
道路運送車両法の法令においても、「特定小型原動機付自転車」の保安基準が新たに設けられ、施行された。2023年（令和5年）7月1日改正施行の道路運送車両の保安基準において規定されている。
原動機付自転車 法規制と免許
第一種原動機付自転車の運転に必要な免許と第二種原動機付自転車の運転に必要な免許は区別して扱わなければならない。また速度制限や交差点での右折の方法に関する規則も異なっている。
道路交通法上の原動機付自転車（前述）を公道上で運転するためには原動機付自転車免許（正式な略称「原付免許」）を受け、運転中はその運転免許証またはマイナ免許証を携帯することが必要で、警察官から求められればその運転免許証またはマイナ免許証を提示しなければならない。原付免許は16歳から取得が可能である。試験は学科試験の筆記試験のみで、技能試験は必要ないが、事前または事後に運転免許試験場、警察署、指定自動車教習所などが主催する技能講習を受けなければ、免許証は交付されない。技能講習修了済みでなければ学科試験の申し込みができない地域もある。
なお、大型免許、中型免許、準中型免許、普通免許、大型特殊免許、大型二輪免許、普通二輪免許の第一種免許を受けた人は、「それぞれ同表の下欄に掲げる種類の自動車等を運転することができる」とされており、いずれも末尾に「原動機付自転車」も含まれている。つまり大型免許、中型免許、準中型免許、普通免許、大型特殊免許、大型二輪免許、普通二輪免許のいずれかの第一種免許を受けている人は第一種原動機付自転車（つまり50cc以下の原付）を運転することができる。
原動機付自転車 法規制と免許
道路交通法上の原動機付自転車（つまり第一種原付、50cc以下）について、他の自動車と比べた場合の主な違いは、政令で定める最高速度が30km/hであり、交通整理が行われている交差点で法が定める条件に該当する場合に『二段階右折』が義務づけられる点である。
道路運送車両法等による、登録の必要がないリヤカーを牽引して走行することが認められているが、積載量や車両寸法、最高速度に制限があるほか、条例により、運行に条件がつく場合がある。
ヘルメット着用は、1986年（昭和61年）より義務づけられた。1970年代後半から、ヘルメット着用義務のない手軽な乗り物としてスクーターを中心に急速に普及したが、それに伴い交通事故が増えたことにより、ヘルメット着用が義務づけられることとなった。
排気量が50cc超125cc以下つまり第二種原動機付自転車の運転に関しては、2005年に法制度が変更され「小型限定普通二輪免許」が設けられたので、それを取得すればよい。運転中は運転免許証またはマイナ免許証を携帯する必要があり、警察官から求められれば運転免許証またはマイナ免許証を提示しなければならない。
普通自動二輪車の免許（普通自動二輪免許）や大型自動二輪車の免許（大型自動二輪免許）を取得している人は、その免許で第二種原動機付自転車を運転することもできる。
原動機付自転車 法規制と免許
なお第二種原動機付自転車は、「原動機付自転車免許」（つまり第一種原動機付自転車用の免許、50cc以下の原付のための免許）では運転できない。また第二種原動機付自転車は、四輪の普通免許、中型免許、大型免許などを受けているだけでも運転できない。つまり四輪の免許だけでは運転できない。第二種原動機付自転車の運転に必要な免許を受けていないのに第二種原動機付自転車を運転してしまうと「無免許運転」として扱われる。
第二種原動機付自転車は、政令で定める最高速度は 60 km/hであり、交差点では二段階右折をしない（してはならない）。
自動車に準じて道路運送車両の保安基準が定められている。タイヤ、ブレーキ、エンジン装置、消音器等は自動二輪車のミニチュア版の性能が求められているほか、保安基準に適合する前照灯、番号灯、後部反射器、警音器、後写鏡を備えなければならない。なお、最高速度が20km/h以上の原動機付自転車については、尾灯、制動灯、方向指示器、速度計を備えなければならないまた、輸入車を含めて排出ガス規制をクリアしなければならない。
原動機付自転車 法規制と免許
エンジンやモーターなど動力を用いる車両は、原則としてその出力（上述の排気量、定格出力など）により自動車または原動機付自転車に分類されるため、セグウェイや軽量の電動自転車（フル電動のもの）など、一見オートバイやスクーターに見えない車両であっても、道路を運転する場合には、前述の法規制のほか、以下の重い規制と違反行為に対する罰則が適用されている。
ただし、後述する例外（一定の形態の車、および産業競争力強化法による区域・期間を限定した特例措置によるもの）に基づき、下記の規制の一部または全部が除外されていた。
また、2023年（令和5年）7月1日以降は、「特定小型原動機付自転車」が新たな基準及び規制により法令改正・施行されている。
エンジンやモーターなど動力を用いる車両で、前述の自動車または原動機付自転車扱いとならないものは、以下に列挙するものであって、以下の基準を完全に満たすものに限られている。
なお、2023年（令和5年）7月1日以降の「特定小型原動機付自転車」の法令改正・施行によりこの特例措置は終了したとみられる。
原動機付自転車 法規制と免許
2020年（令和2年）10月16日付け認定新事業活動計画
特例措置：特定原動機付自転車は、車両通行帯の法令の基準に基づき普通自転車専用通行帯を通行でき、また、通行しなければならない。
特例措置以外の規制は従前と同様である。
対象車両：特例命令に基づく産業競争力強化法の認定を受けた認定新事業活動において貸与された車両であって同事業に基づき対象区域内の道路を通行している特定原動機付自転車　※本項でも「特定原動機付自転車」とする
対象車両の基準：長さ140cm・幅80cm・高さ140cm各以下、車両重量は40kg以下、原動機は電動機、最高速度20km/h、運転者席は立席。
対象区域：認定新事業活動計画に基づく特定地域（渋谷区・新宿区・世田谷区・千代田区、神奈川県藤沢市・千葉県柏市、千葉市、愛媛県今治市から広島県尾道市まで、神戸市、および福岡市のそれぞれ一部区域）
対象期間：2020年（令和2年）10月から2021年（令和3年）3月まで、一部は2021年（令和3年）1月から同3月まで
根拠法令
産業競争力強化法第9条、新事業特例制度
国家公安委員会・国土交通省関係産業競争力強化法第十一条の規定に基づく内閣府令・国土交通省令の特例に関する措置を定める命令（令和2年内閣府・国土交通省令第３号）※本項で「特例命令」とする
原動機付自転車 法規制と免許
国家公安委員会・国土交通省関係産業競争力強化法第十一条の規定に基づく内閣府令・国土交通省令の特例に関する措置を定める命令に規定する原動機付自転車に係る国家公安委員会が定める基準を定める件（令和2年国家公安委員会告示第43号）※本項で「特例告示」とする
原動機付自転車 法規制と免許
2021年（令和3年）2月8日付け回答に基づく認定新事業活動計画
特例措置：特定小型電動車は、次の規制が適用される
特定小型電動車の運転者は、乗車用ヘルメットの着用義務が免除される
特定小型電動車は、車両通行帯または自転車道の法令の基準に基づき普通自転車専用通行帯または自転車道を通行でき、また、通行しなければならない
特定小型電動車は、自転車が規制対象外となっている一方通行の交通規制において、その適用から除外される

特例措置以外の規制は従前と同様である。
対象車両：特例命令に基づく産業競争力強化法の認定を受けた認定新事業活動において貸与された車両であって同事業に基づき対象区域内の道路を通行している特定小型電動車　※本項でも「特定小型電動車」とする
対象車両の基準（抄）：長さ140cm・幅80cm・高さ140cm各以下、原動機は電動機、最高速度15km/h、運転者席は立席。
対象区域：2021年（令和3年）4月以降、事業ごとに個別認定される
対象期間：上に同じ。なお、個別に期間を定めて実施され、最長で2023年（令和5年）6月末まで実施された。
根拠法令：未詳（2020年（令和2年）10月16日付け認定新事業活動計画と同様と思われる）
スクータータイプのものに関して、幹線道路において30km/hの法定速度を守って走ると、他の車両との速度差が大きくかえって危険であるとして、原動機付自転車の法定速度を引き上げる要請や、小型二輪免許を現行よりも簡略化して、原付二種（50ccを超え125cc以下のオートバイ。ただし、側車のない場合）の普及を促進する提案がある。
あるいは原動機付自転車免許を、簡略化した普通自動二輪車免許（小型限定）と統合して、小型の二輪車の売り上げの回復を計る提言もある。さらに別の意見として、原付一種も原付二種も運転としては変わらないので、原動機付自転車免許と普通自動二輪車免許（小型限定）を統合した上で、普通自動車・準中型自動車・中型自動車・大型自動車・大型特殊自動車の付帯免許として、売上の回復を図る提言もある。
原動機付自転車 近況と今後
原動機付自転車を含むオートバイ市場は、1980年代初頭（昭和50年代半ば頃）をピークに減少し、特に総排気量50㏄以下の第1種原動機付自転車（以下、原付1種）に関しては、平成末期の2019年には13万台にまで激減し、ピーク時だった1980年（昭和55年）の出荷台数の198万台（いずれも、1万台未満四捨五入）と比べると、その数は10分の1にまで減少している。この間、川崎重工業（以下、カワサキ）が、KSR-Iの生産終了を機に、同社は原付1種から完全に撤退している。また、ヤマハ発動機（以下、ヤマハ）は、2016年に本田技研工業（以下、ホンダ）と業務提携を発表し、ほとんどの原付1種に該当する製品（ジョグなど）の自社開発・生産から撤退した。
近年の排ガス規制の強化の影響などもあり、総排気量が小さくなるほど、触媒温度の上昇に時間がかかるため、排出ガスの浄化が困難であり、今後厳しさを増す排ガス規制への対応性に合致させるにあたっては、開発・生産にかかるコストの上昇が避けられないことなどから、原動機付自転車（以下、原付）を運転することができる運転免許（大型、大特、中型、準中、普通のいずれかの運転免許を含む）で運転することができる総排気量の範囲を現在の第2種原動機付自転車（以下、原付2種）にあたる総排気量125cc以下に変更する構想が検討されている。
原動機付自転車 保険
自動車と同様に、自動車損害賠償責任保険に加入する事が法令により義務付けられ、違反すると処罰される（強制保険）。よって、自動車と同じく、自動車損害賠償保障法に基づき人身事故に対する損害賠償につき無過失責任が適用される。自動車任意保険にも合わせて加入する事が望ましい。
なおこれらは「特定小型原動機付自転車」（2023年（令和5年）7月1日以降施行）についても同様である。
自動車任意保険には、原動機付自転車（125cc以下、原付一種および原付二種）用の区分として自動二輪車区分よりも安価な料率が設定されている場合が多い。また、一般の三輪以上の自動車向けの任意保険の契約に付帯してファミリーバイク特約としての契約も一般的であり、その場合は更に保険料の負担が安価となっている。
平成29～30年の統計によると、原付は126cc以上の普通二輪に比べて負傷者数はほぼ同数であるものの、死亡者数は40％程度に留まる。原付の保有台数が普通二輪のおよそ2倍ということも計算に入れると、負傷者の出る確率は普通二輪の1/2、死亡者数は20％となる事が分かる。
原動機付自転車 税区分
125cc以下の原動機付自転車は市区町村へ届け出がなされ、軽自動車税が課せられる。課税額は排気量または定格出力によって区分されて、排気量50cc（出力0.6kW）以下を一種、90cc (0.8kW) 以下を二種乙、125cc (1kW) 以下を二種甲として扱われる。それぞれの区分に応じた課税標識（ナンバープレート）が交付され、別表に示すように地色で区別される。課税標識のデザインは市町村が条例で定めることができ、2007年以降は独自のデザインのナンバープレートを導入する市町村が増えている。
原動機付自転車 二人乗りの条件
車両の条件
同乗者の条件
上記条件に沿わないため、以下の同乗者は違反。
運転者の条件（免許）
高速道路通行の条件
原動機付自転車 略称に関する雑学
略称としては「原付（げんつき）」が一般的で、行政的な文書でも使われている。
10代〜20代前半の若者、特にいわゆる「ヤンチャ」な若者はしばしば「原チャリ」と言う。「チャリ」は自転車を指している。そもそも定義が「原動機付自転車」であるし、元々の形状がエンジン付きの自転車であり、自転車の俗称が「チャリンコ」であることから自然発生的に生まれ根付いた俗称である（そもそも「チャリ」は自転車のベルを鳴らした時の擬音）。大人も「原チャリ」と言う場合があるが、年齢を重ね30代や40代になるに従い、子供じみた表現に感じるようになり次第に言わなくなり、正しい略語の「原付」と呼ぶようになる。（なおもっと乱暴に略して「原チャ」と言う人も一部にいるらしいが、これはあまり一般的ではない。）
原動機付自転車 モータースポーツ
モータースポーツ（オートバイ競技）において、ミニバイクは主に若手ライダーの育成カテゴリーで使用されている。レースによっては最低9歳からレース参戦が可能となっており、ポケットバイク（ポケバイ）を卒業した小中学生のライダーが次のステップアップ先としてミニバイクレースを選択することが多い。
2021年からは、ロードレース世界選手権（MotoGP）の主催者であるドルナスポーツが、新たに「FIM MiniGP World Series」を発足させた。同シリーズでは世界各国で10 - 14歳のライダーがワンメイクのミニバイクでシリーズを競い、シリーズランキング上位者は年末に開催される「MiniGPワールドファイナル」に招待され、さらにそこで好成績を残すことでMoto3等へのステップアップを図れるというもの。2022年からは日本でもシリーズが発足している。
多様体
多様体（たようたい、仏: variété, 英: manifold, 独: Mannigfaltigkeit）とは、解析学（微分積分学、複素解析）を展開するために必要な構造を備えた空間のことである（ただし位相多様体においてはその限りではない。ただ、単に多様体と言った場合、可微分多様体か複素多様体のことを指す場合が多い）。それは局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）として定義される。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。
多様体 直感的な説明
多様体に座標を描くという作業は地球上の地図を作る作業に似ている。地図の上の点は地球上の点に対応し、さらに地面には描かれていない緯線や経線を地図に描き込むことによって、地図に描いてある地域の様子が分かりやすくなる。座標の無い地球上の様子は、人間が作った座標のある地図と対応させることによって非常に把握しやすくなる。
地球は球であり、世界地図を一枚の平面的な地図におさめようとすれば、南極大陸が肥大化したり、地図の端の方では一枚の地図の中に（連続性を表現するために）同じ地点が複数描き込まれたりする。世界地図をいくつかの小さな地図に分割すると、こういった奇妙なことはある程度回避できる。例えば、北極を中心とした地図、南極を中心とした地図、ハワイを中心とした地図、ガーナを中心とした地図…… などのように分割できる。そして隣り合った地図の繋がりをそれぞれの地図に同じ地域を含めることで表現すればよい。こうすることによって異なる地図同士では重複する部分が出てきてしまうものの、一枚の地図の中に同じ地域が 2 箇所以上描かれることをなくすことはできる。
多様体 直感的な説明
地球と同じように多様体は好きなところに小さな地図（局所座標系）が描ける図形である。逆に、このような小さな地図を繋げていったら全体としてどのような図形ができあがるのか？という問題は位相幾何学の重要な問題の一つでもある。地図だけみれば地球をまねて作っているようなゲーム(例えば、ファミコン版のドラゴンクエストシリーズ)の世界が、実は球面ではなく平坦トーラスだったということもある。
多様体は性質のよい図形であり、多様体でない図形も多く存在する。円や球や多角形、多面体などは全て多様体として扱えるが、ペアノ曲線やフラクタルなどは適当な地図を描くことはできず、多様体にはならない。
多様体 定義
多様体の定義で重要な点は、多様体の上にいかにして座標系を貼り付けるか？ということと、どのような座標系を用いたとしても計算に違いが現れないようにすることである。多様体は計算したいときに座標を導入でき、しかもどのような座標系で計算したとしても違いがない、すなわち座標系に依存しないという非常に扱いやすい性質が追求された図形である。
ここでいう計算とは関数やベクトル、それらの微分、積分などのユークリッド空間の上で普通に行われているような座標を用いた計算のことである。
M を位相空間とする。M の開集合 U に対して、m 次元ユークリッド空間の開集合 U ' への 同相写像
を局所座標系 (local coordinate system) あるいは（局所）チャート (chart) という。 a ∈ M に対し、φ(a) を局所座標 (local coordinates) という。局所座標は、ユークリッド空間の点として見たときの特定の座標すなわち m 個の数の組 (φ1(a), ..., φm(a)) であるのに対し、局所座標系は、U 上で定義された m 個の関数 (φ1, ..., φm) の組である。
多様体 定義
局所座標を用いることにより U 上の点を m 次元ユークリッド空間の点であるかのように扱うことが可能になる。U 上に局所座標系 φ が定義されていることを (U, φ) という対で表し、これを m 次元座標近傍 (coordinate neighborhood)  あるいはチャートという。局所座標系の成分を明示的に (U;φ1, ..., φm) のように書き表すこともある。
M の二つの座標近傍 (U,φ) と (V,ψ) について、 U ∩ V が空でないとする。局所座標系 φ と ψ は U と V をそれぞれ m 次元ユークリッド空間の開集合 U ', V ' に写すとする。すなわち
である。このとき
は、m 次元ユークリッド空間の開集合から開集合への同相写像になる。この写像を (U, φ) から (V, ψ) への座標変換 (coordinate transformation) という。座標変換を用いれば、同じ開集合 U ∩ V に定義された異なる局所座標 φ と ψ を同じものとして扱うことができる。
多様体 定義
座標変換はまず φ−1 で M に戻してから ψ によって座標のある集合 V ' に写す写像である。間に座標が決められていない空間 M を挟む形になっているものの、座標変換全体はユークリッド空間の部分集合 U ' からユークリッド空間の部分集合 V ' への写像になっている。すなわち M を経由しているという事実を無視し、座標変換を合成写像としてではなく全体で 1 つの写像として捉えると、それは普通のユークリッド空間からユークリッド空間への写像である。
m 次元座標近傍の族 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} が M 全体を覆っているとする:
このとき、S を座標近傍系 (system of coordinate neighborhoods) あるいはアトラス (atlas) という。アトラスというのは地図帳のことで、局所的な地図であるチャートをいくつも集めて作った地図帳という意味である。
M をハウスドルフ空間とする。M の任意の点 a に対して、a を含む m 次元座標近傍 (U, φ) が存在するとき、M を（境界のない）m 次元位相多様体 (topological manifold) という。
多様体 定義
これまで、局所座標 φ(a) はユークリッド空間 Rm に値を取ると考えてきたが、代わりに半空間 Hm = {(x1, x2, ..., xm) ∈ Rm | xm ≥ 0} に値を取ると考え局所座標の定義を修正すると境界のある位相多様体が定義される。
N をハウスドルフ空間とし、N の任意の点 a に対して、a を含む m  次元座標近傍 (U, φ) が存在するとする。
半空間 Hm = {(x1, x2, ..., xm) ∈ Rm | xm ≥ 0} の部分空間として Gm−1 = {(x1, x2, ..., xm) ∈ Rm | xm = 0} を取ればそれは Rm−1 になる。 N の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) |λ ∈ Λ} に対し、各座標近傍 (Uλ, φλ)
において Wλ = { a ∈ Uλ | φλ(a) ∈ Gm−1} という集合を考えたとき
を N の境界という。∂N が空でないとき N を 境界のある m 次元位相多様体という。境界のある m 次元位相多様体の境界は m − 1 次元位相多様体になる。
m 次元位相多様体 M の座標近傍系 S = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} の任意の 2 つの座標近傍 (U1, φ1), (U2, φ2) に対し、U1 ∩ U2 が空でないならば座標変換
多様体 定義
のすべての成分が、Cn 級関数（n 回連続微分可能関数、すなわち n 回微分可能でありかつ n 階偏導関数がすべて連続となるような関数）となるとき、S を Cn 級座標近傍系という。
m 次元位相多様体 M が、Cn 級座標近傍系を持つとき、 Mを Cn 級 m 次元微分可能多様体（あるいは可微分多様体、differentiable manifold of class Cn) という。微分可能とか、可微分といった言葉を省略して Cn 級多様体ということもある。位相多様体のことを、座標変換の微分可能性を仮定しないという意味で C0 級多様体と呼ぶこともある。 C∞ 級多様体のことを滑らかな多様体とも呼ぶ。特に n = ω すなわち、全ての座標変換が実解析関数であるときは特に解析多様体 (analytic manifold) という。
ここで、自然数 s, t が s ≤ t を満たすとき、定義より、Ct 級関数は Cs 級関数である。
例えば 5 回連続微分可能な関数は、4 回連続微分可能な関数でもある。
このことから、Ct 級微分可能多様体は Cs 級微分可能多様体でもある。
多様体 定義
微分可能多様体は、Cn 級座標近傍系 Sの取り方によってはまったく別の多様体になってしまうので、 位相多様体 M と座標近傍系 S を対にして (M, S) と書くこともある。この意味で S は位相多様体 M に Cn 級可微分構造 (differentiable structure of class Cn) を定めると表現されることもある。
座標近傍系同士の関係や性質など座標近傍系の基本的な性質に関わることを論じる場合に、(M, S) と明示すると分かりやすい。
m 次元位相多様体 M に対し Cn 級座標近傍系として S と T の 2つを取るとする。和集合 S ∪ T が再び M のCn 級座標近傍系になるとき、 S と T は同値であるという。これは同値関係を定める。これは S に属する座標近傍と T に属する座標近傍の間にも座標変換が存在し S での計算と T での計算に違いが無いという性質を保証するための同値関係である。
さらに、 M 上の S と同値な Cn 級座標近傍系全ての和集合を取ることによって得られる F = F(S) を S によって生成された M の Cn 級極大座標近傍系あるいは M の Cn 級微分構造という。定義により、同じ微分構造を定める座標近傍系同士は同値である。
こうして座標近傍系の取り方に依存しない Cn 級多様体が定義される。m 次元位相多様体 M 上に互いに微分同相でない複数の微分構造が存在することもある。
多様体 境界を有する多様体
境界を持つ多様体すなわち境界を有する多様体は縁（ふち、英: edge）を持つ多様体である。たとえば、一枚の紙は1次元の境界を持つ二次元多様体である。境界を持つ次元多様体の境界は次元多様体である。円板（円周と内部）は境界を持つ二次元多様体である。その境界は円周であり、一次元多様体である。正方形も境界を持つ二次元多様体である。球体（球面と内部）は境界を持つ三次元多様体である。その境界は球面であり、二次元多様体である。（境界 (位相空間論)と混同しないこと）。
多様体 多様体の例
多様体の例でもっとも簡単なものは、 m 次元ユークリッド空間 Rm に座標近傍系として S1 = {(Rm, id)} をいれたものである。ここで id は恒等写像
id: Rm → Rm
id(x) = x
すなわち x ∈ Rn に対して x をそのまま返す写像である。最初から座標が描かれているのだからそれをそのまま使えばよく、この場合は座標近傍が 1 つしかないので座標変換が不要である。恒等写像はもちろん解析的なので (Rm,S1) は m 次元解析多様体である。このように Rm を微分可能多様体として捉えたものをアフィン空間という。
話をさらに簡明にするために m = 1 とする。すなわち数直線 R1 について考える。上に書いたとおり S1 = {(R1, id)} として、 (R1,S1) は 1 次元解析多様体となる。
整数 i に対して 開区間 Ui = (i − 1, i + 1) を取る。 x ∈ Ui に対し 写像 φi を
φi(x) = x − i ∈ (−1 , +1)
多様体 多様体の例
で定めると φi は Ui の局所座標系になり、 S2 = {(Ui,φi)| i ∈ Z} としたとき、 (R1,S2) も 1 次元解析多様体である。例えば Ui ∩ Ui + 1 = (i,i + 1) で座標近傍 (Ui,φi) から座標近傍 (Ui + 1,φi + 1) への座標変換は
で与えられる。なお S1 と S2 は同値な座標近傍系である。
S1 = {(Uλ, φλ) | λ ∈ Λ} を座標近傍系にもつ m 次元 Cn 級多様体 (M1,S1)と、 M の（空でない）開集合Vに対して S2 = {(Uλ ∩ V, φvλ) | λ ∈ Λ} を考える。ただし、 φvλ は、 φ の定義域を Uλ から Uλ ∩ V に制限しただけの写像で、本質的には φ となんら変わりのない写像である。
このとき (V, S2) も m 次元 Cn 級多様体となる。この多様体を (M1,S1) の開部分多様体 (open submanifold) という。
R1 の開集合である 開区間 (a,b) は R1 の開部分多様体である。
R2 の開集合である 開円板 {(x1,x2)|x21+x22 < 1} は R2 の開部分多様体である。
というように、多様体に含まれる開集合に多様体を制限したものが開部分多様体である。