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ヒルベルト空間 例
正則関数の成すヒルベルト空間の別なクラスにベルグマン空間がある。D をガウス平面（または高次元の複素空間）の有界開集合とし、L2,h(D) を D 上の正則関数 f でなる意味で L2(D) にも属するようなもの全体の成す集合とする。ただし積分は D におけるルベーグ測度に関してとる。明らかに L2,h(D) は L2(D) の部分空間であり、実は閉部分空間になっているので、それ自身ヒルベルト空間を成す。このことは、D のコンパクト部分集合 K の上で有効な評価からの帰結である。この評価自体はコーシーの積分公式から出る。従って、L2(D) に属する正則関数列の収束はコンパクト収束でもあるから、極限関数もまた正則になる。先の評価不等式の別な帰結として、D の一点において関数 f を評価する線型汎関数は、実際には L2,h(D) 上で連続であることがわかる。リースの表現定理によれば、この評価関数を表現する L2,h(D) の元が存在するから、各 z ∈ D に対して関数 ηz ∈ L2,h(D) でをすべての ƒ ∈ L2,h(D) に対して満たすようなものが取れる。被積分関数の因子は D のベルグマン核と呼ばれる積分核で、再生性を満足する。
ベルグマン空間は再生核ヒルベルト空間（関数からなるヒルベルト空間で、先と同様の再生性を持つ積分核 K(ζ,z) を備えたもの）の例になっている。ハーディ空間 H2(D) にもセゲー核と呼ばれる再生核を持つ。再生核は数学のほかの分野でもよく用いられる。たとえば、調和解析におけるポアソン核は単位球体上の自乗可積分調和関数全体の成すヒルベルト空間（これがヒルベルト空間を成すことは調和関数に対する中間値の定理からわかる）に対する再生核である。
ヒルベルト空間 応用
ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において射影や基底変換といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。特に、ヒルベルト空間上の連続自己随伴線型作用素のスペクトル論は、行列のふつうのスペクトル分解の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。
常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。例えば、ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である。スツルム・リウヴィル問題は区間 [a, b] 上の未知関数 y に対する常微分方程式
で、一般斉次ロビン境界条件
を満足するものである。関数 p, q, および w は所与で、方程式の解となる関数 y および定数 λ を求める。同問題は、この系の固有値と呼ばれる特定の値の λ に対してだけ解を持つのだが、それのことはこの系に対するグリーン関数によって定まる積分作用素にコンパクト作用素のスペクトル論を適用した結果として得られる。さらにはこの一般論からの別な帰結として、固有値 λ を無限大に発散する単調増大列に並べることができる。
ヒルベルト空間 応用
ヒルベルト空間は偏微分方程式を調べる基本的な道具である。即ち、楕円型線型方程式のような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える関数のクラスを拡張して弱解と呼ばれる超関数解を考えることができるが、弱解の定式化（弱定式化）の多くはヒルベルト空間を成すソボレフ関数のクラスを含むものになっているのである。解を求めたり、あるいはしばしばより重要な、与えられた境界条件に対する解の存在および一意性を示したりする解析学的な問題が、適当な弱定式化によって幾何学的問題に還元される。楕円型線型方程式に対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つがラックス・ミルグラムの定理である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対するガレルキン法（有限要素法の一つ）の基盤をなしている。
典型的な例が、R2 の有界領域 Ω におけるポアソン方程式 −Δu = g のディリクレ境界問題である。弱定式化は、境界上で消えている Ω 上連続的微分可能な任意の関数 v に対して
を満たすような関数 u を求めることからなる。これは、u およびその弱偏導関数がともに境界上で消えている Ω 上の自乗可積分関数となるような関数 u からなるヒルベルト空間 H10(Ω) の言葉で書き直すことができて、問題はこの空間 H10(Ω) の任意の元 v に対して
ヒルベルト空間 応用
を満たすような u を空間 H10(Ω) の中で求めることに帰着される。ただし、a および b はそれぞれ
で与えられる連続な双線型形式および連続な線型汎関数である。ポアソン方程式は楕円型だから、ポアンカレの不等式から双線型形式 a が強圧的であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。
多くの楕円型偏微分方程式に対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。同様の方法は抛物型偏微分方程式やある種の双曲型偏微分方程式に対しても、適当な修正を施せば通用する。
エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は（微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で）極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。特に、熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。
ヒルベルト空間 応用
エルゴート力学系は、（ハミルトニアンで測られる）エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。詳しく述べれば、エネルギー E を固定して、ΩE をエネルギーが E となる状態すべてからなる相空間の部分集合（エネルギー面）とし、Tt で相空間上の発展演算子を表せば、力学系がエルゴードとなるのは、ΩE 上の定数でない連続関数で、ΩE の任意の w と任意の時間 t において
を満たすものがない場合に限る。リウヴィルの定理によれば、エネルギー面上の測度 μ で時間並進不変なものが存在する。結果として時間並進は、エネルギー面 ΩE 上の自乗可積分関数に内積を
で入れたヒルベルト空間 L2(ΩE,μ) のユニタリ変換になる。
フォンノイマンの平均エルゴード定理の主張は次のようなものである。
エルゴード系では、時間発展の固定集合は定数関数のみから成るので、先のエルゴード定理から任意の f ∈ L2(ΩE,μ) に対し
となることが従う。つまり、観測可能な f の長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。
フーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の（必ずしも有限とは限らない）線型結合に分解することである。区間 [0, 1] 上の関数 f に付随する古典フーリエ級数とは
ヒルベルト空間 応用
なる形の級数である。
鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。鋸歯状波関数の波長を λ とすると、（基本波、つまり n = 1 を除いて）それよりも短い波長 λ/n（n は整数）をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり（結点）を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。
古典フーリエ級数論の特徴的な問題の一つに「関数 f のフーリエ級数がもとの関数に収束する（ことが仮にあったとする）ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる。関数族 en(θ) := e2πinθ はヒルベルト空間 L2([0, 1]) の正規直交基底を成すから、それ故に任意の自乗可積分関数 f が
なる級数の形で表せて、さらにこの級数は L2([0, 1]) の元として収束する（即ち、L2-収束、自乗平均収束）。
ヒルベルト空間 応用
この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある。このような抽象化は、L2([0,1]) などの空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレットおよび高次元において球面調和関数へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。
例えば、en を L2[0,1] の任意の正規直交基底関数系とすると、与えられた L2[0,1] の関数は有限線型結合
で近似することができる。右辺の係数 {aj} は、差の大きさ ‖ƒ − ƒn‖2 をできるだけ小さくするように定める。幾何学的には、最適近似は {ej} の線型結合全体の成す部分空間の上への ƒ の直交射影であり、
によって計算することができる。これが ‖ƒ − ƒn‖2 を最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。
ヒルベルト空間 応用
種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素（典型的なものはラプラス作用素）の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる（これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である）。
スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を（ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する）ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトルに関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間（「時間領域」）から別なヒルベルト空間（「周波数領域」）への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。
ヒルベルト空間 応用
ディラックとフォンノイマンによって発展した量子力学の数学的に厳密な定式化は、量子力学系の取りうる状態（より正確には純粋状態）が、状態空間と呼ばれる可分な複素ヒルベルト空間に属する単位ベクトル（状態ベクトルという）によって（位相因子と呼ばれるノルム 1 の複素数の違いを除いて）表現される。つまり、取りうる状態はあるヒルベルト空間の射影化（ふつうは複素射影空間と呼ばれる）の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。例えば、一つの非相対論的スピン 0 粒子の位置と運動量の状態は自乗可積分関数全体の成す空間であり、いっぽう一つの陽子のスピンの状態はスピノルの成す二次元複素ヒルベルト空間の長さ 1 の元である。各可観測量は状態空間上に作用する自己随伴線型作用素として表現され、可観測量の固有状態はその作用素の固有ベクトルに、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。
量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン（全エネルギーに対応する作用素）は時間発展を生み出す。
ヒルベルト空間 応用
二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり（これは自己随伴作用素のとり方を説明する）、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。
一般の系では、状態は典型的には純粋ではないが、密度行列（ヒルベルト空間上のトレース 1 の自己随伴作用素）で与えられる純粋状態の統計的混合（あるいは混合状態）として表される。さらに、一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が正の作用素値測度で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。
ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。
ヒルベルト空間 性質
ヒルベルト空間 H の二つのベクトル u, v が直交するのは、⟨u, v⟩ = 0 のときである。このとき u ⊥ v と書く。更に一般に、H の部分集合 S に対して u ⊥ S と書けば、これは u が S の各元と直交することを意味する。
u と v とが直交するとき、等式
が成り立つ。これは個数 n に関する帰納法で拡張することができて、任意の互いに直交する n 本のベクトルの族
u1, …, un に対して
が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数（無限和）に対して拡張するには完備性を課さねばならない。互いに直交するベクトルからなる級数 ∑ uk が H において収束するための必要十分条件は、各項のノルムの平方からなる級数が収束し、かつ
が満たされることである。更に言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。
定義から、任意のヒルベルト空間はバナッハ空間であり、さらに中線定理
も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式によってノルムから一意的に定まる。実ヒルベルト空間における極化恒等式は
であり、複素ヒルベルト空間の場合は
ヒルベルト空間 性質
で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間となることを示している。
ヒルベルト空間 H の空でない閉凸部分集合を C とし、H の点 x をとると、x との距離を最小化する C の元 y がただ一つ存在する。
これは、C を平行移動した凸集合 D := C − x にノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。このことは、任意の最小化列 (dn) ⊂ D が（中線定理により）コーシー列となること、従って（完備性により）D 内の点に収束するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。もっと一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ。
この結果を H の閉部分空間 F に適用するとき、y ∈ F が x に最近接することは
によって特徴付けることができる。この点 y というのは x の F の上への直交射影に他ならない。このとき、写像 PF: x ↦ y は線型である（後述）。この結果は、最小自乗法の基礎を成すもので、応用数学、特に数値解析において有意である。
特に F が全体空間 H 自身とは一致しないとき、F に直交する非零ベクトル v が取れる（F に属さない x をとって、v := x − y と置けばよい）。これを応用して、閉部分集合 F が H の部分集合 S によって生成されるかを見るのに有効な判定法が得られる。即ち、
ヒルベルト空間 性質
H の部分集合 S が生成する部分空間が H で稠密となるのは、S に直交するベクトル v ∈ H が零ベクトル 0 のみであるとき（かつそのときに限る）である。
ヒルベルト空間 H の連続的双対空間 H∗ とは、H からその係数体への連続な線型写像全体の成す空間のことをいう。この空間には
で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。またこれは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。
リースの表現定理は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。即ち、H の各元 u に対して、
で定まる H∗ の元 φu がただ一つ存在し、写像 u ↦ φu は H から H∗ への反線型写像になる。リースの表現定理はこの写像が反線型同型であるというのである。故に、双対空間 H∗ の各元 φ に対し H の元 uφ がただ一つ存在して、H の任意の元 x について
を満たす。双対空間 H∗ 上に定まるこの内積は
を満たす。右辺で順番が逆になっているのは uφ の反線型性から φ の線型性を回復するためである。実係数の場合は、H からその双対空間への反線型同型は実際には線型同型になるから、実ヒルベルト空間はその双対空間と自然に同型になる。
ヒルベルト空間 性質
表現ベクトル uφ を得るには以下のようにする。φ ≠ 0 のとき、核 F = ker φ は H の閉部分空間であって、H には一致しないから、F に直交する非零ベクトル v が存在する。ベクトル u を v の適当なスカラー倍 λv として、φ(v) = ⟨v, u⟩ が
を満たすようにする。この対応関係 φ ↔ u は物理学ではお馴染みのブラ・ケット記法で大いに活用されている。物理学ではふつうは内積 ⟨x | y⟩ の右側の項に関して線型なので、
とすると、この ⟨x | y⟩ は、ブラベクトルと呼ばれる線型汎関数 ⟨x| がケットベクトルと呼ばれるベクトル |y⟩ に作用したものと見ることができる。
リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の位相的双対がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。リースの表現定理から直ちに導かれる結果としては他にも、ヒルベルト空間 H の回帰性、即ち H からその二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。
ヒルベルト空間 H において、点列 {xn} がベクトル x ∈ H に弱収束するとは、任意の v ∈ H に対し
ヒルベルト空間 性質
をみたすことをいう。
例えば、任意の正規直交列 {ƒn} は 0 に弱収束することが、ベッセルの不等式から従う。任意の弱収束列 {xn} は一様有界性原理により有界である。
逆に、ヒルベルト空間における任意の有界列は弱収束する部分列を含む（アラオグルの定理） 。この結果は、Rd 上の連続関数に対してボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理を用いるのと同じやり方で、連続凸関数に対する最小値定理の証明に用いられる。これにはいくらか異なった述べ方があるが、以下のような形が簡便であろう
ƒ: H → R が凸関数で、‖x‖ → ∞ のとき ƒ(x) → +∞ を満たすとき、ƒ は H の適当な点 x0 ∈ H で最小値を持つ。
この事実（とその種々の一般化）は変分法における直接法の基礎を成している。有界閉凸関数に対する最小値の存在は、もう少し抽象的な、ヒルベルト空間 H 内の有界閉凸部分集合が H の回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、エーベルライン・スムリアンの定理の特別の場合である。
ヒルベルト空間 性質
バナッハ空間が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。開写像定理の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続かつ全射な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で開写像である」ことをいい、その系としての有界逆写像定理は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続全単射な線型写像は（逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で）同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる。開写像定理は閉グラフ定理と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが閉集合となることである」ことを主張するものである。ヒルベルト空間の場合には、これが非有界作用素の研究において基本になる（閉作用素参照）。
（幾何学的な）ハーン・バナッハの定理は、閉凸集合をその外にある任意の点からヒルベルト空間の超平面によって分割できることを示すものである。これは最適近似性から直ちに得られる。即ち、y が閉凸集合 F の元で x に最近接するものとすると、線分 xy に垂直で、その中点を通る平面が求める分割超平面である。
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間上の線型作用素
ヒルベルト空間 H1 から別のヒルベルト空間 H2 への連続線型作用素 A: H1 → H2 は有界集合を有界集合へ写すという意味で「有界」である。逆に、有界な線型作用素は連続になる。二つの有界線型作用素の和および合成は、ふたたび有界かつ線型であり、このような有界線型作用素全体の成す空間には、作用素ノルムと呼ばれるノルム
が定義される。また、H2 の元 y に対して、x ∈ H1 を ⟨Ax, y⟩ へ写す写像は線型かつ連続である。リースの表現定理によれば、有界線型作用素は必ず H1 の適当なベクトル A∗y に対する
の形で表現可能である。この定義から、もう一つの有界線型作用素（A の随伴作用素）A∗: H2 → H1 が定まる。このとき、A∗∗ = A であることが確かめられる。
H 上の有界線型作用素全体の成す集合 B(H) に、作用素の加法と合成および作用素ノルムと随伴作用素を考えたものは、作用素環の一種である C∗-環を成す。
B(H) の元 A は A∗ = A を満たすとき自己随伴作用素もしくはエルミート作用素と呼ばれる。エルミート作用素 A が ⟨Ax, x⟩ ≥ 0 を任意の x で満たすとき、A は非負であるといい、A ≥ 0; で表す。さらに等号成立が x = 0 のときに限るならば A は正であるという。また、
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間上の線型作用素
A − B ≥ 0 ならば A ≥ B
なるものと定義すれば、自己随伴作用素全体の成す集合に半順序 ≥ が導入できる。作用素 A が適当な B に対して A = B∗B なる形に書けるならば、A は非負であり、さらに B が可逆のとき A は正になる。また、非負作用素 A に対して
を満たす非負平方根 B が一意に定まるという意味で逆が成り立つ。これは、スペクトル論によって精緻化することができ、自己随伴作用素を「実」作用素と看做すことが有効であると分かる。B(H) の元 A が A∗A = A A∗ を満たすとき、A は正規であるという。正規作用素は、自己随伴作用素と自己随伴作用素の虚数倍の和
に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。
B(H) の元 U が可逆かつその逆作用素が U∗ で与えられるとき、U はユニタリであるという。この条件は「U が全射かつ H の各元 x, y に対して ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨x, y⟩ を満たすこと」とも言い換えられる。H 上のユニタリ作用素の全体は、合成に関して H の等距変換群と呼ばれる群を成す。
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間上の線型作用素
B(H) の元がコンパクトであるとは、それが有界集合を相対コンパクト集合へ写すときに言う。同じことだが、有界作用素 T について、任意の有界列 {xk} に対して列 {Txk} が収束部分列を持つとき T はコンパクトである。多くの積分作用素はコンパクトであり、事実ヒルベルト＝シュミット作用素として知られるコンパクト作用素のクラスが積分方程式論において特に重要な働きをする。フレドホルム作用素は恒等変換の定数倍の分だけコンパクト作用素とは違うけれども、核と余核が有限であるような作用素としても特徴付けられる。フレドホルム作用素の指数 (index) は
で定義される。この指数はホモトピー不変量であり、アティヤ・シンガーの指数定理を通じて微分幾何学で深い役割を果たす。
ヒルベルト空間においては非有界作用素もある程度きれいに扱うことができ、量子力学にも重要な応用を持つ。ヒルベルト空間 H 上の非有界作用素 T は、その定義域 D(T) が H の線型部分空間であるような線型作用素であるものとして定義される。定義域が H の稠密な部分集合となることもよくあり、そのような作用素 T は密定義作用素と呼ばれる。
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間上の線型作用素
密定義非有界作用素の随伴は、本質的に有界作用素の場合と同じ方法で定義される。自己随伴非有界作用素は量子力学の数学的基礎において可観測量の役割を持つ。ヒルベルト空間 H = L2(R) 上の自己随伴非有界作用素の例としては、
などが挙げられる。これらはそれぞれ、運動量と位置の可観測量に対応する。この A も B も H の全域で定義されてはいないことに注意すべきである。A の場合は微分が存在しないものがあること、B の場合は x が掛けられた関数が自乗可積分とは限らないことがその理由である。何れの場合にも、引数にとり得る関数全体の成す集合は H の稠密な部分集合になる。
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間の構成
二つのヒルベルト空間 H1 および H2 を足し併せて、（直交）直和と呼ばれる別のヒルベルト空間 H1 ⊕ H2 を作ることができる。この空間は(x1, x2) (xi ∈ Hi, i = 1,2) なる順序対の全体からなる集合を台に持ち、その上の内積を
で定めたものになっている。より一般に、i ∈ I を添字とするヒルベルト空間の族 Hi に対して、その（外部）直和  が、Hi のデカルト積の元  で条件  を満たすもの全体から成る集合を台とし、内積を
で定めることによって定義される。このとき、各空間 Hi は直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。もっと言えば、埋め込まれた各 Hi はどの二つも互いに直交する。逆に、一つのヒルベルト空間において閉部分空間の族 Vi (i ∈ I) で各空間がどの二つも互いに直交しているようなものが与えられているとき、それら全ての和集合が全体空間 H の中で稠密になるならば、H は本質的に Vi たちの直和に同型である。この場合、H は Vi たちの内部直和であると言われる。（内部でも外部でも）直和には、i-番目の直和因子 Hi の上への直交射影 Ei の族が伴う。これらの直交射影はどれも有界・自己随伴かつ冪等な作用素であって、直交性条件
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間の構成
が成り立つ。
ヒルベルト空間 H 上の自己随伴コンパクト作用素に対するスペクトル論によれば、H は或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、（素粒子を変数にもつ系のフォック空間など）量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。表現論におけるピーター・ワイルの定理によれば、ヒルベルト空間上で定義されるコンパクト群のユニタリ表現は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。
二つのヒルベルト空間 H1, H2 に対し、それらの（代数的な）テンソル積の上に、次のように内積を定めることができる。まず（生成元である）単純テンソルに対して
と定め、これを半双線型 (Sesquilinearly) に  全体で定義される内積に拡張する。H1 と H2 とのヒルベルトテンソル積  とは、いま定義した内積に付随する距離位相に関して H1 ⊗ H2 を完備化して得られるものをいう。
ヒルベルト空間 ヒルベルト空間の構成
ヒルベルト空間 L2([0, 1]) を使って例を考えよう。L2([0, 1]) の二つのコピーのヒルベルトテンソル積は、正方形 [0, 1]2 上の自乗可積分関数の空間 L2([0, 1]2) に等距かつ線型に同型である。この同型で単純テンソル f1 ⊗ f2 は
なる正方形上の関数に写される。
この例は以下のような意味で典型的である。即ち、各単純テンソル積 x1 ⊗ x2 には（連続的）双対 H1∗ から H2 への 1-階作用素
が対応し、この単純テンソル上定義された写像を拡張して、H1 ⊗ H2 と H1∗ から H2 への有限階作用素全体の成す空間とを同一視する線型同型が得られる。これを拡張して、ヒルベルトテンソル積  は H1∗ から H2 へのヒルベルト＝シュミット作用素全体の成すヒルベルト空間 HS(H1∗, H2) に等距線型同型になることがわかる。
ヒルベルト空間 正規直交基底
線型代数学で言うような正規直交基底の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる。ヒルベルト空間 H における正規直交基底とは、H の元からなる族 {ek}k ∈ B で、条件
を満足するものを言う。
上記基底の条件の最初の二つを満たすようなベクトルの集合は正規直交系と呼ばれる（B が可算のときは、正規直交列とも呼ぶ）。正規直交系は常に一次独立系である。ヒルベルト空間のベクトルの成す正規直交系については、その完全性条件を次のように言い換えることもできる。
全ての k ∈ B に対して ⟨v, ek⟩ = 0 を満たす v ∈ H が存在するならば、必ず v = 0 である。
このことは「稠密な部分集合に対して直交するようなベクトルは零ベクトルに限る」という事実と関係がある。実際、S を任意の正規直交系とし、ベクトル v が S に直交するものとすると、v は S の張る部分空間の閉包とも直交するが、S が完全であるならばそのような閉包は全空間に他ならない。
正規直交基底の例としては、
等を挙げることができる。
ヒルベルト空間 正規直交基底
無限次元の場合には、正規直交基底は線型代数学でいう意味での基底にはならない（これを区別する意味で後者をハメル基底とも呼ぶ）。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。また直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。
自乗総和可能な複素数列の空間 ℓ2 とは、各項が複素数の無限数列
で、条件
を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底
が存在する。より一般に、任意の集合 B に対して、B 上の自乗総和可能数列の成す空間 ℓ2(B) が
で定義される。ただし B 上の総和というのを、ここでは
で定める（上限は B の有限部分空間すべてに亘って取る）。このようにすると、この和が有限であるところの ℓ2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。ℓ2(B) の任意の元 x, y に対して、
と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。
ℓ2(B) の正規直交基底の一つは、
で与えられる B で添字付けられた族によって与えられる。
ヒルベルト空間 正規直交基底
H の有限正規直交系 ƒ1, …, ƒn と H の任意のベクトル x に対して
と置くと、各 k = 1, …, n に対して ⟨x, ƒk⟩ = ⟨y, ƒk⟩ が成り立つ。故に x − y は各ƒk に直交し、従って x − y は y に直交する。三平方の定理を二度使い
が得られる。さらに {ƒi} (i ∈ I) を H の任意の正規直交系とするとき、I の任意の有限部分集合 J に対して先ほどの不等式を適用すれば、（非負実数の任意濃度の族の和の定義に従って）ベッセルの不等式
が得られる。
幾何学的には、ベッセルの不等式が言っているのは、x の fi たちが生成する部分空間の上への直交射影のノルムは x のノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。
ベッセルの不等式はからは、より強力なパーシヴァルの等式が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、H の各元 x は
ヒルベルト空間 正規直交基底
という形に書くことができる。ベッセルの不等式によって B が非可算の場合にも、このような表示が意味を持ち、可算個の例外を除く各項が 0 に等しいことが保証される。このような和を x のフーリエ展開と呼び、個々の係数 ⟨x,ek⟩ を x のフーリエ係数と呼ぶ。このとき、パーセヴァルの等式は
と書ける。逆に、正規直交系 {ek} が任意の x においてパーセヴァルの等式を満足するならば、{ek} は正規直交基底になる。
ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。さらに、一つの空間ではどの二つの正規直交基底も必ず同じ濃度を持つことが示されるので、その濃度をしてその空間のヒルベルト次元と呼ぶ 例えば、B 上の自乗総和可能数列の空間 ℓ2(B) は B で添字づけられる正規直交基底を持つから、そのヒルベルト次元は B の濃度（これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない）である。
パーセヴァルの等式の帰結として、{ek}k ∈ B が H の正規直交基底ならば、Φ(x) := (⟨x, ek⟩)k∈B で定まる写像 Φ: H → ℓ2(B) はヒルベルト空間の等距同型、即ち、全単射な線型写像であって、H の各元 x, y に対して
ヒルベルト空間 正規直交基底
を満たすことがわかる。B の濃度は H のヒルベルト次元に等しい。従って、任意のヒルベルト空間は、適当な集合 B に対する数列空間 ℓ2(B) に等距同型である。
ヒルベルト空間が可分であるための必要十分条件は、それが可算な正規直交基底を持つことである。従って、任意の無限次元可分ヒルベルト空間は ℓ2 に等距同型になる。
かつてはヒルベルト空間の定義の中に可分であることを含めることが多かった。物理学に現れる殆どの空間は可分であったことや、どの無限次元可分ヒルベルト空間も全て互いに同型であったことから、任意の無限次元可分ヒルベルト空間に言及するときは「唯一の (the) ヒルベルト空間」とかあるいは単に「ヒルベルト空間」と呼ぶこともしばしばであった。場の量子論においてさえ、殆どのヒルベルト空間は事実可分であり、ワイトマンの公理系として明記された。しかし、場の量子論において非可分なヒルベルト空間も重要であるというような反論が時には為された。これは大まかには理論における系が無限個の自由度を持ちうることと（1 より大きい次元を持つ空間の）無限個のテンソル積はどれも非可分であることが理由である。例えばボソン場は自然に、その因子が空間の各点において調和振動子で表現されるようなテンソル積の元と考えることができる。この観点からは、ボソンの空間は非可分であると見るのが自然であるが、しかし全テンソル積の小さな可分部分空間にしか（その上で可観測量が定義できる）物理的に意味のある場が含まれていない。もう一つの非可分ヒルベルト空間モデルは、空間の非有界領域に存在する無限個の素粒子の状態である。この空間の正規直交基底は素粒子の密度を表すある連続なパラメータによって添字付けられる。これは非可算となりうるから、基底は可算ではない。
ヒルベルト空間 直交補空間と射影作用素
S をヒルベルト空間 H の部分集合として、S に直交するベクトル全体の成す集合
を考える。S⊥ は H の閉部分空間である（これは内積の連続性と線型性用いて容易に示せる）から、それ自身ヒルベルト空間になる。V が H の閉部分空間のとき、V⊥ は V の直交補空間と呼ばれる。事実、H の各元 x は x = v + w (v ∈ V, w ∈ V⊥) なる形に一意的に表すことができる。従って、H は V と V⊥ との内部直和になっている。
この x を v へ写す線型作用素 PV: H → H を V の上への直交射影と呼ぶ。H の閉部分空間全体の成す集合と有界自己随伴作用素 P で P2 = P を満たすもの全体の成す集合との間に自然な一対一対応が存在する。
定理
直交射影 PV は H のノルム ≤ 1 なる自己随伴作用素で条件 P2V = PV を満足する。さらに任意の自己随伴線型作用素  E で E2 = E を満たすものは、E の値域を V として PV の形に表される。また H の各元 x に対して、PV(x) は距離 ‖x − v‖ を最小にする V の唯一の元 v になる。
ヒルベルト空間 直交補空間と射影作用素
このことから、V の元による x の最適近似であるという PV(x) の幾何学的解釈が得られる。
二つの射影 PU, PV が互いに直交するとは、PUPV = 0 が成り立つときにいう。これは  U, V が H の部分空間として直交することと同値である。二つの射影 PU, PV の和が再び射影となるのは U と V とが互いに直交するときに限られる。このとき PU + PV = PU+V が成り立つ。合成 PUPV は一般には射影にならない。事実、合成が射影となる必要十分条件は二つの射影が可換となることであり、その場合 PUPV = PU∩V が成り立つ。
直交射影 PV の終域をヒルベルト空間 V へ制限することにより、射影 π: H → V が生じる。これは包含写像 i: V → H に対して
を満たすという意味での随伴になっている。零でない閉部分空間の上への射影 P の作用素ノルムは
に等しい。従って、ヒルベルト空間の任意の閉部分空間 V は、ノルム 1 で P2 = P を満たす適当な作用素 P の像になっている。この適当な射影作用素がとれるという性質はヒルベルト空間を特徴付ける性質である。即ち、
ヒルベルト空間 直交補空間と射影作用素
この結果はヒルベルト空間の距離構造を特徴付けるものだが、位相線型空間としてのヒルベルト空間の構造は補空間の存在の言葉で特徴付けられる。即ち、
直交補空間については、いくつかのより初等的な事実が成立する。「U ⊂ V ならば V⊥ ⊆ U⊥ で、等号成立は V が U の閉包に含まれるとき、かつそのときに限る」という意味で、直交補空間をとる操作は単調写像である。これはハーン・バナッハの定理の特別の場合である。部分空間の閉包は直交補空間の言葉で完全に特徴付けることができる。即ち、V が H の部分空間ならば、V の閉包はV⊥⊥ に一致する。従って、直交補空間をとる操作は、ヒルベルト空間の部分空間全体の成す半順序集合上のガロワ対応になっている。一般に、部分空間の合併の直交補空間は直交補空間の交わりに一致する。即ち
が成り立つ。さらに Vi が閉ならば
を得る。
ヒルベルト空間 スペクトル論
ヒルベルト空間における自己随伴作用素のスペクトル論も広く研究が成されている。これには、実係数の場合の対称行列や複素係数の場合の自己随伴行列の研究と大まかな類似がある。同様の意味で、自己随伴作用素を適当な直交射影作用素の和（実際には積分）として表す「対角化」もできる。
作用素 T のスペクトル σ(T) とは、T − λ が連続な逆作用素を持たないような複素数 λ 全体の成す集合のことである。T が有界ならば、そのスペクトルは必ずガウス平面内のコンパクト集合で、円板 {|z| ≤ ‖T‖} の内側に入る。T が自己随伴ならばそのスペクトルは実であり、事実として区間 [m,M] に含まれる。ただし、
とする。さらに言えば m と M はともに実際にはスペクトルに含まれる。
作用素 T の固有空間は
で与えられる。有限次元の行列の場合と異なり、T のスペクトルの元は必ずしも固有値にはなるとは限らず、線型作用素 T − λ が逆を持たないときだけである（これは全射ではないから）。作用素のスペクトルの元は一般に「スペクトル値」と呼ばれる。スペクトル値は固有値とは限らないので、スペクトル分解は有限次元の場合よりは扱いが難しいことが多い。
ヒルベルト空間 スペクトル論
しかし、自己随伴作用素 T のスペクトル論は、さらにコンパクト作用素であるという仮定を加えれば特に簡単な形にすることができる。自己随伴コンパクト作用素のスペクトル論の主張は
多くの積分作用素、特にヒルベルト＝シュミット作用素から生じるものはコンパクトであり、この定理は積分方程式論において基本的な役割を果たす。
自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値リーマン・スティルチェス積分が関係してくる。T に伴う「スペクトル族」には、各実数 λ に対して作用素 (T − λ)+ の零空間の上への射影 Eλ が対応している。ただし + は
で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。作用素 Eλ は自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。固有値はちょうど跳躍不連続点に対応しており、
なるスペクトル論が得られる。右辺の積分はリーマン・スティルチェス積分として理解され、B(H) のノルムに関して収束する。特に、通常のスカラー値積分表現
が得られる。正規作用素に対してもある程度似たようなスペクトル分解が成立するが、この場合実数でない複素数がスペクトルに含まれるから、作用素値スティルチェス測度 dEλ は 1 の分解で置き換えられなければならない。
スペクトル法の主な応用はスペクトル写像定理で、これにより、積分
ヒルベルト空間 スペクトル論
を作って、自己随伴作用素 T に T のスペクトル上で定義される連続な複素関数を施すことができるようになる。このような連続汎函数計算は特に擬微分作用素への応用を持つ。
「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。つまり、λ がスペクトル値となるのはレゾルベント作用素
が連続作用素として定義されないときである。T の随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。従って、非有界作用素に特有な議論の本質の部分は、λ が実でないようなレゾルベント Rλ を見るところにある。このレゾルベントは有界正規作用素で、これをスペクトル表現したものを使って T 自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。作用素を直接扱うよりも、それに付随するリースポテンシャルやベッセルポテンシャルのようなレゾルベントを見るのである。
非有界自己随伴作用素の場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである。
ヒルベルト空間 H 上稠密に定義された自己随伴作用素 T が与えられたとき、R のボレル集合族上で定義された 1 の分解 E が一意に対応してを満たす。スペクトル測度 E は T のスペクトル上に集中する。
非有界正規作用素に対するスペクトル定理も存在する。
千代田区
千代田区（ちよだく）は、東京都の区部中央部に位置する特別区。東京都の都心部にあたり、内閣総理大臣官邸、国会議事堂、最高裁判所や各中央省庁などのほぼ全ての日本の首都機能が集中している。また、丸の内をはじめとした日本最大のオフィス街には大企業や金融機関が集積し、日本の経済の中心を担っている。
千代田区 概要
東京23区の中央部に位置する。東京都35区制を22区制へ整理統合する過程で、1947年3月15日、旧麹町区と旧神田区の合併により誕生した。区名は江戸城の別名である「千代田城」に由来する。区域は江戸城の外濠の内側部分とほぼ一致しており、外郭を含めた城址にあたる場所（城下町）である。かつての江戸城跡である区の中央部には皇居（所在地:千代田区千代田1番1号）が立地している。
中央区・港区とともに「東京都心」、「都心3区」とされる。永田町や霞が関を中心にさまざまな首都機能が集積し、日本の政治・行政・司法の中心地である。また、日本屈指のオフィス街である丸の内や大手町は東京の中心業務地区（CBD）の1つとして機能しており、3大メガバンク（都市銀行）の本店や日本を代表する大企業の本社が多数集積し、日本の金融・経済の中核を担っている。丸の内の東部に所在する東京駅は日本の中央駅として多数の新幹線・在来線の起点となっている。一方で区の大半をオフィス街や官庁街が占めるため、銀座や3大副都心（新宿・渋谷・池袋）などの巨大商業地と比較すると、区内に大規模な繁華街・歓楽街は存在しない。また、かつてのドーナツ化現象の影響で住宅地の割合も少ないため、周辺の区と比較しても人口密度が低いが、近年の都心回帰のトレンドで人口は増加傾向にある。
千代田区 概要
区全体の約15%を皇居の緑地が占める。西部は武蔵野台地の東端にあたる麹町台や駿河台といった台地で、東部は沖積平野である。現在の大手町から内幸町にかけてのエリアはかつては日比谷入江と呼ばれる入江であり、江戸時代に埋め立てられた。北部に神田川が東に向かって流れ、日本橋川が三崎橋付近から分かれて流れている。
現在の区域の大半を占め、区北東部の旧神田区を除く地域に相当する。大手町、丸の内、有楽町、内幸町、日比谷公園、霞が関、永田町、紀尾井町、麹町、九段北・九段南などといった街が含まれ、日本の政治・経済の中枢を担う街が皇居を取り囲んでいる。江戸時代から町人が住まう下町地域であった旧神田区に対して、大名屋敷（武家屋敷）などが多くを占める。江戸城以西は主に台地（武蔵野台地）で構成されているため高台であり、いわゆる「山の手」と呼ばれる地域を含む。江戸時代から政治の中心地であり、明治維新後に武家屋敷は永田町や霞ヶ関などの政府機関の用地に転用された。
千代田区 概要
明治以降、国会・首相官邸・中央省庁・最高裁判所などの三権をはじめとする日本の首都機能、主要政党の本部など国家権力の中枢が千代田区に集中し、当地は日本の立法・行政・司法の中心である。区内の永田町、霞が関といった地名は国会議員や官僚の代名詞である。1991年に新宿区西新宿の新宿副都心（新都心）に移転するまで、東京都庁舎は同区丸の内に所在していた（都庁所在地としての表記は現地移転後も東京）。皇居西側を中心とした麹町・番町地区は都心屈指の高級住宅街として知られている。また、皇居北側の北の丸公園には日本武道館が所在している。
千代田区 概要
1891年に丸の内が三菱財閥に払い下げられて、政府機関などに隣接することからオフィス街が建設された。政府との間での人脈構築や情報の収集しやすさから当地区に大手企業の本社が多数立地するようになり、経済面でも中心的な機能を果たすようになった。このため丸の内には三菱グループ（旧三菱財閥）の各社の本社が多数集積しており、その歴史的経緯から丸の内は「三菱村」とも呼ばれる（グループの御三家と呼ばれる三菱UFJ銀行・三菱商事・三菱重工業の本社は全て丸の内に位置している）。その結果、丸の内や大手町、日比谷（有楽町・内幸町）等の東京駅界隈のビジネスセンターは、3大メガバンク（都市銀行）の本店や全国紙の新聞社をはじめ、大手製造業や大手総合商社などの巨大企業の本社機能が集中しているほか、経団連や農協などの経済団体の本部も集結している日本最大のビジネスセンターである。丸の内・大手町エリアには東証プライム上場企業の約3割が集積しており、日本経済の中心的地区である。
現在の区域の北東部に位置する地域である。主に沖積平野や江戸時代初期の埋め立て地などで構成され、かつての「下町エリア」である。同じく江戸の町人が多く住む下町エリアであった旧日本橋区（現在の中央区北部）と同様に、地名の多くに「神田」の名前が残る。
神田地区は、江戸時代から幕府御用の儒学者が集まった昌平校があり、民間の学者も多く住んで私塾が多数あった学問の盛んな地であったが、近代以降も私立大学や予備校などが多数立地する文教地区となっており、このため文京区にも跨る御茶ノ水界隈は日本最大の学生街を形成している。こうした伝統の影響もあり、神田の中央部にある神保町には世界最大級の古書店街である神田古書店街が形成され、神田神保町や隣接する一ツ橋地区には小学館や集英社などの出版社も集積している。江戸時代の神田川の付け替えで分離され、江戸城の川を挟む形となった神田の北部は外神田と呼ばれるようになった。江戸時代に火災の延焼を防ぐため、約9,000坪の広場が作られて遠江の秋葉神社が勧請されたことから、この地区は秋葉原と呼ばれるようになり、第二次世界大戦に露店商（闇市）が集積し、そこから電気部品を扱う店舗が集まる「秋葉原電気街」が発達した。現在、秋葉原は電気街としての側面も持ちつつ、世界的に有名な「オタクの街」「サブカルチャーの街」として発展し、世界中から多くの観光客を呼び寄せている。
千代田区 歴史
明治以前は武蔵国、豊島郡であり、江戸時代前期までの「江戸」は、現在の千代田区周辺を指していた。現在の皇居（千代田区千代田1番1号）がある場所に江戸城が置かれ徳川幕府の本拠地として政治の中心になり、江戸城の周辺には武家屋敷（大名屋敷）などの江戸の城下町が整備された。明治維新後も新政府が大名屋敷跡に官庁街を開設して首都機能を置くなど「東京」の中心地としており、日本の政治の中心が引き続き置かれることになった。古来より荒川や利根川（現在の古利根川、下流は隅田川がかつての水路）、多摩川の河口部に近く、日比谷入江があったことから、海と川を利用した水運の根拠地となり、関東地方における流通の中心地としての機能を果たしていたといわれている「江戸湊」も当地区にあった。江戸時代には、掘割沿いに河岸と呼ばれる流通基地が整備され、現在の中央通りにあたる「通町筋」には「伊勢屋」の屋号を名乗る伊勢商人などの上方の商業資本が多く進出しており、問屋機能の集積が進んだ。
千代田区 住宅街と人口
明治維新後に徳川将軍家が駿府（現在の静岡市）に転封になった際には、当区の北西部に居住していた旗本・御家人が大量に失業状態になって屋敷を引き払ったことなどが影響して人口が激減し、区北西部の旗本屋敷街は一気に無人状態に陥ることになった。旗本屋敷跡のうち、神田地区には一般市民などが移り住む、学校が開設されるなどの形で民間の市街地となり、番町地区や麹町地区には明治政府の官僚などが移り住んだことから高級住宅街となっていった。こうした新たな住民の流入により人口がいったん回復し、1919年の第1回国勢調査では約22万人となっていた。
しかし、関東大震災で大きな被害を受け、復興の過程で郊外の鉄道沿線に住宅街が発達したことから住民が流出し、再び人口が減少することになった。
第二次世界大戦時には統制で通常の書籍の出版がほとんど行われなくなり、丸の内などのオフィス街も統制機関や軍需機関などによって接収されるなどしたため、民間の活動はほぼ壊滅状態となったうえ、空襲で区内の民家の大半が焼失したことから、旧神田区が2万1,506人、旧麹町区が1万435人の合わせて3万1,941人まで人口が減少した。
千代田区 住宅街と人口
一番町から六番町を総称して「番町」と呼ばれる千鳥ヶ淵に隣接する皇居の西側の地区は、セブン&アイホールディングスやそのグループ会社（セブンイレブンジャパン、イトーヨーカ堂、そごう・西武など）の本社や大使館などが立地しているオフィス街であると同時に、高級住宅街にもなっている。
当地は先述の通り明治以降に官庁街とオフィス街、文教地区が形成されたことから、大正期にすでに夜間人口と昼間人口の差が大きくなっていた。この傾向は第二次世界大戦後に一段と加速し、昼間人口が約15倍から約20倍に上るといわれるようになった。
1980年代以降は住民の比較的多かった神田地区は、バブル景気も相まって不動産業者が用地買収を盛んに行って再開発し、高層ビルなどを建設したことから、一部で高層の住宅も併設されたものの人口が急速に減少し、この傾向がより強まっていった。
千代田区 住宅街と人口
しかし、先述のような再開発や地価高騰にともなう大都市の中心市街地における人口減少が典型的に進んでおり、夜間人口は約5万8000人で23区で最も少ないが、昼間人口は約15倍の約85万人にまで膨れ上がる。こうした夜間人口の少なさから、夜間人口を面積で割って算出される人口密度は、2015年10月1日現在でほかの22区がすべて10,000人/平方キロメートル (km2)を超える中、当区のみ約5,000人/km2と低くなっている（昼間人口で計算すれば、70,000人/km2を超える過密状態となる）。
2005年に夜間人口（居住者）は4万1683人であるが、区外からの通勤者と通学生および居住者のうちの区内に昼間残留する人口の合計である昼間人口は85万3382人で、昼は夜の約20.5倍の人口になる（東京都編集『東京都の昼間人口2005』平成20年発行120,121頁。国勢調査では年齢不詳のものが東京都だけで26万人いる。上のグラフには年齢不詳のものを含めているが、昼夜間人口に関しては年齢不詳の人物は数字に入っていないため数字の間に齟齬が生じている）。
千代田区 町名
千代田区では、一部の地域を除き住居表示に関する法律に基づく住居表示が実施されている。
千代田区は住居表示実施率が23区で最も低い。面積ベースの比率では新宿区よりも僅差で下回り、皇居部分の面積を除いて考えると23区で突出して実施率が低い。*住居表示未実施の町丁目：
神田○○町（神田三崎町、神田猿楽町を除く）、○番町、麹町全丁目
千代田区では、日本語の読み方と共にラテン文字表記に関しても正式なスペルを示している。
千代田区の町名で注視する点が「麴町」の正式な漢字表記である。「麴町」が正式な漢字表記であり、プレートや紙媒体などの印刷物・画像データなどの印字には「麴町」という表記が多く見受けられる。しかし「麴」は機種依存文字にあたるため、本記事も含め、電子データ上では簡易慣用字体である「麹」が使用される。東京地下鉄麴町駅の漢字表記も町名に合わせたものである。
千代田区 地域
麹町地域は、江戸開府以来から東京山手の町として賑わいを見せている。皇居を中心に、高級住宅地としての色とオフィス街および官公庁街としての色が濃い地域である。
神田地域は、中央区日本橋や京橋とともに東京下町の一部として、江戸開府以来の中心的商業地として賑わいを見せている。
現在の千代田区の町名で旧神田区の区域にある街は「神田○○町、○神田」と称している（住居表示実施地区を除く）。これは戦後、旧麹町区と旧神田区が合併する際に「神田」の町名が消えることを避けるために、旧神田の町名に神田を冠したことによる。名称の経緯が似ている例として日本橋地域が挙げられる。
千代田区は日本の中枢であり、多くの政府機関が密集している。
過去には日本テレビ放送網（日テレ）の本社が二番町にあったが、2003年（平成15年）に港区東新橋（汐留シオサイト）に移転した。旧社屋は麹町分室として使用されていたが、2019年（平成31年/令和元年）に同じ二番町に番町スタジオに新築移転したのちに解体された。
千代田区 地域
朝日新聞東京本社・日刊スポーツ新聞社（いずれも中央区）、報知新聞社（スポーツ報知。港区）、スポーツニッポン新聞社、東京スポーツ新聞社（いずれも江東区）を除く全国紙・地方紙・スポーツ紙の本社が千代田区に所在している。なお朝日新聞は、千代田区内に東京総局を置いている。出版社は東京に集中して存在しており、大手から専門出版社まで、当区北部および文京区に数多く存在する。
東京運輸支局本庁舎の管轄エリアで、品川ナンバーを交付される。
千代田区 行政
指定地区外も公共の場所での歩きタバコをしないように努める義務がある。また、ゴミのポイ捨てに対しても禁止する規定がある。
今まで永田町・霞が関・内幸町はこの条例の適用除外地域であったが、2010年（平成22年）4月1日から皇居・皇居外苑・日比谷公園や中小の公園を除く千代田区全域の公道上で路上喫煙が禁止されている。
また、このほか政令指定都市の大阪市などの自治体でも、いわゆる路上喫煙禁止条例を制定・施行しているところもある。
千代田区 議会
2021年東京都議会議員選挙
2017年東京都議会議員選挙
千代田区 消防
東京消防庁（大手町1-3-5）※丸の内消防署併設
第一方面本部（麹町1-12）※麹町消防署併設
丸の内消防署（大手町1-3-5）特別消火中隊・救急隊1
有楽町出張所（有楽町1-9-2）救急隊無
麹町消防署（麹町1-12）特別消火中隊・救急隊無
永田町出張所（永田町1-8-3）特別救助隊・救急隊1
神田消防署（外神田4-14-3）特別消火中隊・救急隊1
三崎町出張所（三崎町3-3-9）救急隊1
鍛冶町出張所（鍛冶町2-3-2）救急隊無