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ディレクトリ 概要
Unixにはディレクトリの内容を表示する外部コマンドとして ls コマンドがあり、Domain/OSには、相当するコマンドとして ldがある。なお、DOSのCOMMAND.COMには、相当する機能を持つ内部コマンド dir があり、DISK-BASICには、相当するコマンドとしてfilesとlfilesがある。
Unixなどでは、ユーザーごとにホームディレクトリが設定されており（passwdファイルなどで）、そのユーザーのログイン後の最初のプロセス（通常はシェル）の初期カレントディレクトリがそれになる。通常、そのユーザーが所有者かつ読み書き可能に設定されており、その下にユーザー個人のファイルを置くことが多い。
Unixをはじめ多くのシステムでは、ディレクトリ中のファイル名（正確には、「ディレクトリエントリ」）の順番をユーザーが編集することはできないが、DOSでは比較的容易に直接ディスクの内容を改変して編集できたため、FDやマイクロデータの「エコロジー」シリーズなど、そのような編集機能を持つファイル管理ソフトもあった。
商用UNIXや、FreeBSDなどいわゆるBSD系のシステムでは、GNU/Linuxにおけるcoreutilsに相当するような基本的なユーティリティ類は全て、カーネルと同じプロジェクトとして維持管理されているいわゆるベースシステムに含まれており、通常は各システムのデフォルトの配置が使用されるため問題が起きることは少ないが、GNU/Linuxでは以前はディストリビューションごとにまちまちであったために面倒な作業などが必要になることがあったため、Filesystem Hierarchy Standard (FHS) により標準化が図られている。
ディレクトリ API
プラットフォームごとにディレクトリを扱うためのシステムコールやAPIが用意されている。代表的なものには大別してPOSIXとWindows APIがあり、C言語互換のインタフェースを持つ関数として提供されている。OSのシェルやシステムコマンドもこれらの上に構築されており、その動作はシステムコールやAPIの仕様の影響を少なからず受けている。
Javaや.NETなどの標準クラスライブラリにおけるディレクトリ操作APIは内部でこれらを使用して実装されている。Pythonのような動的言語のライブラリも同様である。
ディレクトリを作成する場合は、mkdir()を使う。
ディレクトリを削除する場合は、rmdir()を使うが、中身が空である必要がある。
ディレクトリ内にある項目を列挙する場合は、opendir()にディレクトリのパス文字列を渡して生成したDIRオブジェクトを使い、readdir()で列挙していく。使い終わったDIRオブジェクトはclosedir()で破棄する。
ディレクトリ API
もともとreaddir()は、呼び出しのたびに上書きされる静的な内部バッファへのポインタを返していたため、スレッドセーフではなかった。readdir_r()は引数経由でユーザー提供のバッファに対して値を書き込むことでスレッドセーフ性（リエントラント性）を追加した関数だが、呼び出し側によってバッファサイズを指定することができず、ファイル名を保持するのに十分なバッファを確実に割り当てる方法がないという設計欠陥をかかえていた。そのため、IEEE 1003.1-2024 Issue 8ではreaddir_r()は廃止予定（obsolescent）となり、代わりにreaddir()は（単一のディレクトリストリームに対して異なるスレッドからの同時並行的な呼び出しがない限り）スレッドセーフであることが要求されるようになっている。
fdopendir()はファイル記述子に対応したバージョンである。
seekdir()やtelldir()といった拡張 (XSI) をサポートしている実装もある。
ディレクトリ API
ディレクトリを作成する場合は、CreateDirectory()を使う。
ディレクトリを削除する場合は、RemoveDirectory()を使うが、中身が空である必要がある。
ディレクトリ内にある項目を列挙する場合は、FindFirstFile()にディレクトリのパス文字列を渡して生成したHANDLEオブジェクトを使い、FindNextFile()で列挙していく。使い終わったHANDLEオブジェクトはFindClose()で破棄する。
他にも、Windowsのバージョンによっては、ディレクトリ階層を一度の呼び出しで作成するSHCreateDirectoryEx()、ログインユーザーのホームディレクトリやデスクトップなどのよく使われる特殊なフォルダーのパスを取得するSHGetKnownFolderPath()といった上位のシェルAPIもサポートしている。
ディレクトリ 符号位置
GUIで表現されるディレクトリ（フォルダー）のアイコンは、絵文字としてUnicodeに収録されている。なお、U+1F4C1とU+1F4C2の2つはUnicode 6.0で、U+1F5BF、U+1F5C0、U+1F5C1の3つはUnicode 7.0で追加されたものである。
フォルダ
フォルダ、フォルダー（英: folder）
folderとは書類等を挟む用箋挟、紙挟みを意味する英語。
変分法 (解析力学)
変分法（へんぶんほう、英: Variational method, Calculus of variations）とは、関数を取り値を返す対応である汎関数についての微分にあたる手法を言う。オイラーとラグランジュらによって導入された。
解析力学における重要な方程式は最小作用の原理を元に変分法を用いて導出される。
変分法 (解析力学) 変分法を使った計算例
例えば、物性物理学について考えてみよう。多体問題において多体の波動関数を使って固有値問題を解析的かつ厳密に解くことは困難であり、何らかの近似法を用いて解かれる。その近似手法の一つに変分法がある。
ある多体系において、規格化、直交性などの条件の下で任意に選んだ試行関数（変分関数とも言う。ここでは多体の波動関数）を Ψtrial とする。試行関数はいろいろな選び方があるがここでは、Ψtrial は、系を記述する厳密な固有関数（波動関数）Ψi の展開で記述できるとする。
ここで、Ψ0 を基底状態の固有関数とする。また、Ψ1, Ψ2, ... は励起状態の固有関数である。系のハミルトニアンを H として、H に対する Ψi に対応する固有値を Ei とすると、試行関数 Ψtrial の固有値 Etrial は、
であり、
となる。この時、試行関数の固有値は、必ず基底状態の固有値 E0（これがこの場合の厳密解）に等しいかエネルギー的により高い値となる。そして、展開係数である αi を調節して Etrial の最小値（最適値）Eopt を求める。これが試行関数を使った変分法の手順である。この場合の最適値 Eopt も、真の固有値 Eexact (= E0) に対し、
変分法 (解析力学) 変分法を使った計算例
となる。これが満たされない場合、その変分計算は正しくない。以上では、試行関数は厳密解としての Ψ0 を含むという特殊な場合である。実際の計算では厳密解が得られない場合がほとんどである。尚、以上に出てくる固有値は、系の全エネルギーと置き換えて考えても良い。変分法の結果の良し悪しが、試行関数の選び方に強く依存する場合がある。
試行関数の具体例としては、スレーター行列式を使い、個々の一粒子波動関数を最適化するものや、試行関数にジャストロウ型波動関数を使い量子モンテカルロ法を使って最適値を求めたりする。量子化学的手法やバンド計算も変分法が使われており、様々な場面で利用されている。
試行関数を使用しない変分法も存在する。
ヘリウム原子は、質量M ≫ mと電荷 +2eの実質的に固定された核の周りの、質量電荷mと電荷 −eを持つ2個の電子から構成される。微細構造を無視したハミルトニアンは、
となり、ħは換算プランク定数、ε0は真空の誘電率、 ri (for i = 1, 2) は核からのi番目の電子の距離、 |r1 − r2| は2つの電子間の距離である。
変分法 (解析力学) 変分法を使った計算例
2つの電子間の反発を表わす項 Vee = e2/(4πε0|r1 − r2|) が考慮されなければ、ハミルトニアンは核電荷 +2eを持つ2つの水素様原子のハミルトニアンの和となる。基底状態エネルギーはその結果8E1 = −109 eVとなり（E1はリュードベリ定数）、その基底状態波動関数は水素様原子の基底状態に対する2つの波動関数の積となる。
上式において、a0はボーア半径、Z = 2はヘリウムの核電荷である。ψ0によって記述されるこの状態の全ハミルトニアンH（項Veeを含む）の期待値はその基底状態エネルギーについての上界となる。<Vee> は −5E1/2 = 34 eV あるため、<H> は8E1 − 5E1/2 = −75 eV。
より厳格な上界は、「調節可能な」パラメータを持つより良い試行波動関数を用いることによって見出すことができる。個々の電子はもう一方の電子によって部分的に「遮蔽された」核電荷を見ていると考えることができるため、「有効」核電荷Z < 2と等しい試行波動関数を用いることができる。この状態におけるHの期待値は
である。これはZ = 27/16で最小となる。遮蔽は有効電荷を ~1.69に減少させる。このZの値をHについての式へ代入することで、実験値 −78.975 eVの2%以内の729E1/128 = −77.5 eVが得られる。
このエネルギーのより近い推定値も、より多くのパラメータを持つより複雑な試行波動関数を用いて見出されている。これは物理化学において変分モンテカルロ法を用いて成される。
カオス理論
カオス理論（カオスりろん、英: chaos theory、独: Chaosforschung、仏: théorie du chaos）とは、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。
ここで言う予測できないとは、決してランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来（および過去）の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、（コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する）数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。気象、地震、森林火災、株式市場の価格変動など、多くの予測できない事象は根底に冪乗則を呈する。これらの事象での確率予測では、決定的な予測は困難でも可能性を絞ることができる。このようなアプローチは過去数十年にわたり、気象学、天文学、経済学などの分野においてリスク分析に用いられてきた。
カオス理論 カオスの定義と特性
ある初期状態が与えられればその後の全ての状態量の変化が決定される系を力学系と呼ぶ。特に、決定論に従う力学系を扱うことを強調して決定論的力学系とも呼ばれる。カオス理論において研究されるカオスと呼ばれる複雑で確率的なランダムにも見える振る舞いは、この決定論的力学系に従って生み出されるものである。この点を強調するためカオス理論が取り扱うカオスを決定論的カオス(deterministic chaos)とも呼ぶ。複雑で高次元の系ではなくとも、1次元離散方程式や3次元連続方程式のような非常に簡単な低次元の系からでも、確率的ランダムに相当する振る舞いが生起される点が決定論的カオスの特徴といえる。この用語は、カオス理論以前から存在するボルツマンにより導入された分子カオスと呼び分ける意味合いもある。ボルツマンによるカオスは確率論的乱雑さを表しており、カオス理論におけるカオスとは概念が異なる。
カオス理論 カオスの定義と特性
カオス理論におけるカオスの厳密な定義は研究者ごとに違い、まだ統一的な定義は得られていない。できるだけ簡単な表現でまとめると、カオスの定義あるいはカオスと呼ばれるものの特性とは、「非線形な決定論的力学系から発生する、初期値鋭敏性を持つ、有界な非周期軌道」といえる。また、このような軌道を含む力学系の性質を指してカオスとも呼ぶ。軌道を指していることを明らかにする場合はカオス軌道(chaotic orbit)と呼ぶ場合もある。以下に、もう少し詳細に説明する。
力学系には大きく分けて線形力学系と非線形力学系が存在するが、線形力学系ではカオスは発生しない。その系からカオスが生起されるためには、系が何らかの非線形性(nonlinearity)を持つ必要がある。言い換えると、軌道を生成する系が非線形力学系であることは、その系からカオスが生起されるための必要条件である。これの十分条件は満たされず、すなわち、非線形力学系であれば必ずカオスが生起するわけではない。以下に述べる特性と違い、非線形性はカオス軌道自体の特性というよりは、カオスを生起する系の特性である。
カオス理論 カオスの定義と特性
カオスの定義あるいは特性として第一に挙げられるのが初期値鋭敏性(sensitivity to initial conditions)である。これは、同じ系であっても初期状態に極僅かな差があれば、時間発展と共に指数関数的にその差が大きくなる性質である。この性質は軌道不安定性(orbital instability)と言い換えられることもある。定量的には、この初期値鋭敏性は、リアプノフ指数、コルモゴロフ-シナイエントロピーなどで評価される。
初期値鋭敏性により極めて小さな差も指数関数的に増大していくので、初期値鋭敏性を有する実在の系の将来を数値実験で予測しようとしても、初期状態（入力値）の測定誤差を無くすことはできないので、長時間後の状態の予測は近似的にも不可能となる。このような性質は長期予測不能性(long-term unpredictability)や予測不可能性(unpredictablity)などとも呼ばれる。一方で、たとえカオスであっても決定論的法則から発生されるものであるため、短時間内であれば有用な予測は可能といえる。以上のような性質は、標語的にバタフライ効果(butterfly effect)と呼ばれる。
カオス理論 カオスの定義と特性
初期値鋭敏性、すなわち指数関数的に初期状態の差が広がる軌道を有する系というだけでは、カオスには該当しない。カオス軌道であるためには軌道がある有界な範囲に収まる必要がある。このようなカオスの特性は有界性(boundedness)とも呼ばれる。
初期値鋭敏性のみではカオスとならない例として、という単純な等比数列形式の離散力学系の写像が考えられる。これに対して初期値が異なる2つの軌道を考えると、初期値の差をδとすれば、その差はで表せる。よって、これら2つの軌道は離散時間nが増加すれば指数関数的に差が開いていくので、系は初期値鋭敏性を有するといえる。しかし、これらの軌道はで示される単純な指数関数曲線であり、有界な領域に収まらず発散してしまい、非周期的な軌道も存在しない。
カオスの特徴は、平衡点に収束するわけでもなく、周期的軌道に漸近するわけでもなく、非周期的な軌道を取る点である。カオスが認識されるようになる以前は、非周期的な運動が発生するには、発生させる系自体も複雑なものだろうと考えられていたが、非常に簡単な決定論的な法則（力学系）からでも非周期運動が発生する点がカオスの特徴である。平衡点収束と周期的軌道以外にも力学系では準周期的軌道と呼ばれる軌道も存在し、非常に複雑で不規則的な軌道を取るが、初期値鋭敏性を持たないことからカオスには分類されない。カオスが非周期軌道を取ることの特性は非周期性(nonperiodicity)などと呼ばれる。非周期的であるかどうかは、パワースペクトルが幅のある連続的スペクトルを示すかどうかなどで評価される。
カオスの数学的定義として、しばしば引用される、位相的方法による標準的な定義であるロバート・デバニー(Robert L.Devaney)の定義がある。これを例として以下に示す。
次の3つの条件を満たす写像f: V → Vは、Vの上でカオス的であるといえる。
ここで、条件1は次の条件を満たすことである。
fの反復合成写像をfnとしたとき、あるδ > 0が存在し、任意のx ∈ Vと、xの任意の近傍Nに対して、を満たすような、y ∈ N、n > 0が存在する。
条件2は次の条件を満たすことである。
任意の開集合の対U, J ⊂ Vに対して、fk(U) ∩ J ≠ ∅を満たすような、k > 0が存在する。
条件3は次の条件を満たすことである。
周期点の集合Yの閉包cl(Y)が、cl(Y) = Vである。
カオス理論 研究史
カオス理論誕生以前にも、カオスの性質の1つである初期値鋭敏性の存在について既に指摘されていた。ジェームズ・クラーク・マクスウェルが、1877年の著書「物質と運動」の冒頭中で、『「同じ原因は常に同じ結果を生み出す」という、よく引用される原則がある。もう一つの原則として、「似た原因は似た結果を生む」というものがある。多くの物理現象はこれを満たすような状態にあるが、小さな初期状態の違いがシステムの最終状態に非常に大きな変化をもたらす場合もある』と述べている。さらにマクスウェルは、続く注記の中で『気象現象は局所的な不安定性の限りない集まりに起因するような現象かもしれず、1つの有限な法則体系に全く従わないような現象かもしれない』と述べており、後にローレンツが指摘するような気象現象の不安定性を指摘している。
19世紀における一般的な非線形微分方程式の解法手法は、ウィリアム・ローワン・ハミルトン等の成果に代表される積分法（積分、代数変換の有限回の組み合わせ）による求解と、微小なずれを補正する摂動法である。この積分法による解が得られる系を、ジョゼフ・リウヴィルは可積分系と呼んだ。その条件は、保存量の数が方程式の数（自由度）と一致することであった。
カオス理論 研究史
カオス理論の始まりともされる系統的研究の最初のものとしては、アンリ・ポアンカレによる仕事が挙げられる。1880年代、ポアンカレは、三体問題の研究において、非周期的で、増加し続けないまたは固定点へ到達しない軌道があり得ることを発見した。1892年から1899年、ポアンカレは、三体問題では保存量が不足し積分法による解析解が得られないこと（ポアンカレの定理）を証明した（このような系を非可積分系と呼ぶ）。彼は、この場合に軌道が複雑となることを示唆している。ただし、この時点では、その実態は認識されていなかった。
カオス理論 研究史
実在の系でカオス運動を観察したと考えられる例としては、1927年のファン・デル・ポール(en:Balthasar van der Pol)とファン・デル・マークによる実験報告が挙げられる。彼らは1927年の論文において非線形電気回路の実験における周波数非増加(Frequency demultiplication)と呼ぶ現象を報告した。これは彼らが構成した非線形な電気回路において、コンデンサの容量Cをパラメータ的に増加させていくと、回路の発振周波数ωがω/2, ω/3, ω/4,...という風に非連続的に移り変わっていく現象である。特に、ファン・デル・ポールらは、このような発振周波数の非連続的な遷移の前に不規則な雑音(irregular noise)が発生することを報告している。小室元政らは、実在の系によるカオス現象の報告はこの実験が最初だろうと推測している。しかし、ファン・デル・ポールらは、この現象を副次的な現象(subsidiary phenomenon)と見なして、それ以上の研究は続けなかった。
カオス理論 研究史
1940年代、アンドレイ・コルモゴロフ、V.B.チリコフ等により、このハミルトン力学系（例えば、多体問題といった散逸項の無いエネルギーが保存される系）のカオス研究が進められた。大自由度ハミルトニアン系カオスは、統計力学の根源に結びつくものでもあるが、その定義すら困難であり今後の研究が期待される。
1961年、エドワード・ローレンツにより、簡単な微分方程式から作られる天気予報の気象モデルの数値計算結果がカオス的な振る舞いをすることが発見された。1963年、この結果はテント写像により引き起こされるカオスとして発表された。このタイプのカオスは、ローレンツカオス（後述するカオスの例）と呼ばれ、ローレンツ・アトラクタを持つことでも有名である。しかし、このローレンツの論文は当時はほとんど注目を集めることなく埋もれてしまった。
また京都大学工学部の上田睆亮は、1961年に既に、非線形常微分方程式を解析する電気回路で発生したカオスを物理現象として観測し、不規則遷移現象と称してカオスの基本的性質を明らかにしていた。しかし、日本の学会ではその重要性が認識されず長い間日の目を見なかった。この上田が発見したストレンジ・アトラクタは、後の1980年にフランスの数学者ダビッド・リュエルによりジャパニーズ・アトラクタと命名され、日本海外でも知られるようになった。
これらの複雑な軌道の概念は1975年、ジェイムズ・A・ヨークとリー・ティエンイエンによりカオスと呼ばれるようになった。また、マンデルブロ集合で有名なブノワ・マンデルブロなどにより研究が進んだ。
一方では、非線形方程式の中にはソリトン（浅水波のモデル）のように無限の保存量を持ち、安定した波形を保ち将来予測の可能な、解析的な振る舞いが明らかになっているものもあり、カオスとは対極にある存在である。しかし、ソリトンと言えども、連続無限自由度を扱うような特殊な場合で可積分系が破れることがあり、その場合カオスになることが指摘された。
カオス理論 カオスの一例
二次方程式を用いた写像
をロジスティック写像と呼ぶ。もともとロジスティック方程式という連続時間の微分方程式として、19世紀から知られていたが、写像として時間を離散的にすることで、極めて複雑な振舞いをすることが1976年、ロバート・メイによって明らかにされた。
ロジスティック写像は生物の個体数が世代を重ねることでどのように変動していくのかのモデルとして説明される。ここで （下図の横軸）が繁殖率、（下図の縦軸）が世代目の個体数を表している。
この様に単純な二次方程式から複雑な振る舞いが発生し、また  付近では初期値のわずかな違い（例えば0.1と0.1000001）が将来の値に決定的な違いをもたらしている。
の場合。2/3に収束するが、非常に収束が遅い。
の場合。規則性のない変動となる。
カオス理論 カオスの判定
カオスにはその必要十分条件が与えられていないことから、カオスの判定は複数の定義の共通を持って、カオス性があるという判定以外に方法が無い。このため、カオスの判定とは必要条件という性質を持つ。多くは、スペクトルの連続性、ストレンジアトラクタ、リアプノフ指数、分岐などを以ってカオスと判定している。
しかしながら、ただのランダムノイズであっても、リアプノフ指数が正になるといった事例が指摘され、こういった面よりノイズとカオスは区別はつかない。そのため、例えばリアプノフ指数や、何をもってストレンジアトラクタと見なすかの指標をそのまま信用してカオスと判定して良いかという問題が起きる。
1992年に、ノイズか決定論的システムから作成されたデータかどうかを検定する「サロゲート法」が提案された。サロゲート法は基本的には統計学における仮説検定にもとづく手法であるため、与えられたデータが検定にパスした場合でも、そのデータについて「仮定したノイズであるとは言いがたい」という主張はできるが、「カオスである」という断定をすることはできず、その意味で決定的な検定方法ではない。以下サロゲート法の概要について説明する。
サロゲート法には様々な方法がある。代表的な「フーリエ変換型サロゲート法」について述べる。
帰無仮説: 元時系列は、（予め仮定する）ノイズである
有意水準をαとする
骨
骨（ほね）とは、脊椎動物において骨格を構成するリン酸カルシウムやコラーゲンなどに富んだ硬い組織である。ただし骨は単なる固形物ではなく、骨細胞が存在した生きた組織であり、一定のサイクルで作り変えられている。特に軟骨（cartilage）などと明確に区別する場合には、硬骨とも呼ばれる。なお、この意味の他にも、口語的には生物に留まらず、例えば、傘の骨や、鉄骨など、様々に「骨」と付く物が存在する。さらには、比喩的に「骨」という単語が用いられる場合もある。ウィクショナリーの骨の項目も参照。なお、本項目では、特に断りのない限り、最初に示した脊椎動物の骨について説明する。
骨 概要
脊椎動物の体内には、分類の節で述べるように様々な形状と大きさの骨が存在する。骨の数は、個体の成長に伴って合体する骨も見られ、さらに合体の度合いなどに個体差も見られるため、同じ種であっても一定ではない。参考までに、ヒトの成体の場合は200個を超える程度である。同様にヒトの成体では、体重の15パーセントから18パーセント程度を骨が占める。この重量の内、約16分の12はカルシウムとリンを主成分とした無機物であり、残りの約16分の4はコラーゲンを主成分とした有機物である。なお、ヒトのコラーゲンにも様々なタイプがあるものの、硬骨にはI型のコラーゲンが主に見られ、軟骨にはII型のコラーゲンが主に見られる。
誰でも体得的に知っている骨の機能として、身体の保持や姿勢の維持、各種器官の外力からの保護と言った、その硬さを活かした機能を持つものの、骨の機能はそれだけに留まらない。例えば、カルシウムは地球上の全ての動物にとって不可欠な元素の1つである。特に、陸上に棲息している脊椎動物にとっては、カルシウムを貯蔵し、さらに体液中のカルシウムの濃度調節にも関わっている。
骨 機能
硬骨と軟骨とで、機能が異なっている。硬骨は、その硬さで骨格を構成する重要な要素を担っているものの、曲げる力に対しては弱く、ほとんどたわむ事ができずに、折れやすい。これに対して、軟骨は弾性を持ちながら、圧縮力にも強い。また、緻密質の部分のパイプ状の構造や、海面質の部分の架橋構造などを上手く配置する事によって、重くなり過ぎず、かつ、骨の外部から力が加わり易い方向に対して、強度を高めている。これによって、体重を支えたり、衝撃に対して弱い器官を内部に納める事によって内部の器官を保護したりしている。さらに、造血機能を有する骨髄を納める場所などとしての機能も有する。
カルシウムが豊富な地球の海を離れた陸上に住む脊椎動物にとって、カルシウム貯蔵の場としての意味を骨は持つ。つまり、必要に応じてカルシウムイオンの形でカルシウムを遊離させたり、必要に応じてカルシウムイオンを取り込んでリン酸カルシウムとして固定化したりして、体液のカルシウムイオンの濃度の調節に、骨は必要な組織なのである。また、体液のpH変化の緩衝の役割も果たしている。
骨 機能
例えば、耳小骨は外耳道から入力された音を、内耳へと音を伝達する機能を有し、さらに、耳小骨と連動する骨格筋を利用して、耳小骨の動きを抑える事で、強力な音が感知された際に、内耳が傷害を受けないようにする機能まで有する。耳小骨の例のように、特殊な機能を果たす骨も存在する。
また例えば、胸椎と肋骨と胸骨などが組み合わされて形状を保持している胸郭が、本来の形状で、安定して機能している事は、肺呼吸を行う際に必要である。このように、他の臓器の機能と密接な関わりを有する部分も見られる。
骨 分類
骨には、緻密質の部分と、海綿質の部分とがある。
また、骨の大きさや形状は多種多様であり、縦に長い形状の「長骨」、立方体の形状の「短骨」、平たい形状の「扁平骨」、それ以外の特殊な形状を持った「不整骨」に大別できる。
骨 骨の生理
正常な骨は常に新陳代謝を行い、破骨細胞と骨芽細胞の働きによって活発に吸収と再構築が行われ、一定の量が保たれている。骨折が治癒するのも骨の再生によるものである。骨の再生産、カルシウムの保持または放出は、副甲状腺ホルモン (PTH) 等によって制御される。
また、骨にとって重要なオステオカルシンの転写にはビタミンDが必要である。さらに、オステオカルシンを正常に合成するためには、ビタミンKだけでなく、ビタミンCも必須である。オステオカルシンは構造中にヒドロキシプロリンを含んでおり、ヒドロキシプロリンを合成するためのプロリルヒドロキシラーゼの補因子として、α-ケトグルタル酸だけでなく、ビタミンCも必要だからである。同じく骨のタンパク質として知られるコラーゲンは、広範な翻訳後修飾を受けて初めて正常なコラーゲンになる。そして、コラーゲンもヒドロキシプロリンを構造中に含んでいるため、コラーゲンの合成のためにも、オステオカルシンと同様にビタミンCも欠かせない。
骨 組織学
骨格形成には糖鎖の代謝が重要な役割を担っていることを理化学研究所が解明し、2007年に新遺伝子 SLC35D1 を特定した。これにより、ヒトの致死性の骨系統疾患である蝸牛様骨盤異形成症の解明に繋がると期待されている。
骨 骨の発生と成長
ヒトの場合、骨は中胚葉から発生する。中胚葉の一部が、骨芽細胞と破骨細胞に分化し、適切に骨を形成してゆく。骨になるはずの場所で、石灰化を引き起こし、さらに、骨芽細胞は骨細胞へと分化し、骨を形成してゆく。
なお、硬骨は既存の部分が、そのまま伸びたり、大きくなったりはしない。これに対して、軟骨は組織を大きくしてゆけるので、まず軟骨を作り、そこを硬骨へと変換してゆく方法で、硬骨を大きくする。なお、ヒトの場合は、ある程度の大きさに成長すると、それ以上の成長が行われなくなるものの、その後も、破骨細胞と骨芽細胞は骨で活動を続け、古い骨を新しい骨へと変換する作業を、死亡するまで続ける。
四肢骨は、個人の筋活動レベルに伴って太く成長する性質があり、例として、ボート競技選手の上腕骨は太いことが知られている。
骨 骨の利用
骨炭、骨粉、骨脂、膠などの素材となった。
また、骨で作った釣り道具など、様々な骨角器が知られている。また骨を使った彫刻品も作られた。容器としての髑髏杯は多くの文化で見られる。
料理として、出汁をとるのに用いられる。
中国では、甲骨文字などの占いに用いられた。また、ヨーロッパでは、ガチョウの叉骨（wishbone）は占いなどに用いられた。
イギリスでは、骨の灰を用いた陶器ボーンチャイナが作られた。
ヒトは脊椎動物の骨を、生体から得られる材料の1つとして用いていた歴史を有する。例えば、エアリードの木管楽器として知られるフルートの材料として、骨を用いたとされる。つまり、長骨のパイプ構造を利用して、それを加工してフルートを作ったわけである。
チベットの宗教楽器として、人間の大腿骨から作られたカンリン（崗鈴）と呼ばれる2本1組の人骨笛が作られる。
また、ラテンアフリカでは、キハーダという体鳴楽器に分類される打楽器がある。また、アイルランドからアメリカに伝わった肋骨を指に挟んだボーンズという打楽器もある。
骨 骨が関係する鉱物
骨はカルシウム塩やマグネシウム塩などを多く含み、死後も分解され難く、動物の化石としても比較的残り易い組織である。
燐灰石は、海鳥の糞が堆積した物が変化して生成する。他に、脊椎動物の骨も燐灰石の元々の姿の1つである。また藍鉄鉱は、水底などで生物の含まれるリン酸と鉄が結合して生成する場合があり、死んだ魚類の骨の周囲に藍鉄鉱の団塊が見られる事もある。
裾野バイパス
裾野バイパス（すそのバイパス）は、静岡県駿東郡小山町から同県沼津市を結ぶ国道246号のバイパス道路である。1994年に暫定2車線で全線開通した。
裾野バイパス 延長計画
現在の裾野バイパス（国道246号）としての終点は沼津IC南交差点から90度ほど角度を変えて国道1号（沼津バイパス）及び国道414号と接続する上石田ICに向かうが、国道246号・沼津IC南交差点を立体交差にて直進、東海道新幹線の下をくぐり、同市東熊堂まで延びる道路を沼津南一色線として計画。しかし、高尾山古墳上を通るルートのため、古墳の存続を巡り建設反対の議論が持ち上がり、最終的に下り車線は橋梁化、上り車線はトンネルを掘り地下化し、古墳を避ける形で計画。現在、工事が行われている（詳しくは高尾山古墳#道路建設と古墳保存を参照）。2026年度以降に暫定２車線で供用開始予定
オットー
オットー（Otto、ドイツ語発音: [ˈɔtoˑ] オト）は、ゲルマン系の男性名、姓。古高ドイツ語で財産、相続財産を意味する。フランス語形ではオトン、イタリア語形ではオットーネ、オッドーネ、チェコ語形ではオタ。西方教会での聖名祝日は6月30日である。
岡山県共通バスカード
岡山県共通バスカード（おかやまけんきょうつうバスカード）は、岡山県共通バス回数券の後継として1996年3月に登場した岡山県内に路線を持つバス事業者（日生運輸・ロウズ観光・神姫バスを除く）及び岡山電気軌道の路面電車で共通に使用できたプリペイドカードであったが、共通バスカードは2008年10月1日に廃止され、ICカードや自社専用カードへ変更になった。
前払い式（均一料金）の場合は乗車時に、後払い式（対キロ制）の場合は乗車時と降車時に、それぞれ乗降車口付近にあるカードリーダ・ライタに通して利用する。
岡山県共通バスカード 沿革
2008年
7月15日 共通バスカードの廃止を発表。
7月22日 中鉄バスが国道53号線方面の路線で岡電バスとの共同運行化するために同区間のバスのみHarecaの利用を開始。
9月10日 両備バス、岡山電気軌道、下電バス、中国ジェイアールバスがカードの販売を終了。
10月1日 共通バスカードの廃止に伴い、中国ジェイアールバスは代替されず完全に廃止されたが、それ以外の共通バスカード導入業者は、ICカードHareca（PiTaPa・ICOCAも利用可能）に移行した会社と、代替カード「自社専用バスカード」の販売を開始（共通バスカードも自社発行分のみ継続して利用が可能）に移行した会社に分かれた。
2021年
8月2日  中鉄バスが岡山空港リムジンバスでHareca・全国相互利用サービス対応のICカードの利用を開始。
9月30日 中鉄バスが岡山営業所の一部販売場所でカードの販売を終了。
10月1日 中鉄バスが残る全路線（新本線を除く）でHarecaの利用を開始。
12月28日  中鉄バスが新本線でバスカード取り扱い終了（代替されず完全に廃止）。
12月31日  中鉄バスが残る全路線でバスカード取り扱い終了してICカードHarecaに移行。
岡山県共通バスカード 現在でも利用できる事業者
◇はカード発行会社、無印は利用のみ可能会社
2022年1月1日現在、発売額は2,000円、5,000円、10,000円の3種。プレミアは廃止前の共通バスカードと同じ額。
共通バスカードでも共通利用は出来ず、発行した会社のみ利用可能で、下記の2社以外の発行の元共通バスカードは利用出来ない。共通バスカードの時代とは異なり、乗継割引がない。
各社とも自社発行分の元共通バスカードと、2008年10月1日から販売開始された自社専用バスカードのみ使用可能である。
岡山県共通バスカード 過去に利用できた（現在は利用できない）事業者
◇はカード発行会社、◆は自社バスカード導入会社、無印は利用のみ可能会社
2008年9月30日をもってバスカードの取扱いを終了した事業者。
共通バスカードから、ICカードHareca（PiTaPa・ICOCAも利用可能）に移行。
共通バスカードから、ICカードは導入せず廃止。
2012年10月31日をもってバスカードの取扱いを終了した事業者。
福山自動車営業所所属車両は導入が遅れた。
福山自動車営業所の一部車両のみ中国バス・鞆鉄道との関係上PASPYを別途導入し、鞆鉄道のPASPYを車内及び福山駅前案内所で委託販売していた。
中国バスとの共同運行路線（幕山団地・大谷台団地線等）では、国道2号線で自社単独運行便と重複する区間があるため、井笠バス運行便での利用を可能としていた。
バス事業廃止による井笠バス専用バスカードから、ICカードに移行せず廃止。
2013年7月31日をもってバスカードの取扱いを終了した事業者。
1998年以降、車内の自動販売機で販売していた。（2012年の最新車両を除く。）
宇野バス専用バスカードから、ICカードHareca（スルッとKANSAIに加盟していないため、PiTaPa・ICOCAは利用不可）に移行。
岡山県共通バスカード 過去に利用できた（現在は利用できない）事業者
2021年12月31日をもってバスカードの取扱いを終了した事業者。
国道180号線方面・吉備中央町（下加茂・杉谷・福沢）方面
中鉄バス専用バスカードから、 ICカードHareca（全国相互利用サービス対応のICカードは利用不可）に移行（新本線を除く全線）。
岡山空港リムジンバス
中鉄バス専用バスカードから、ICカードHareca（全国相互利用サービス対応のICカードも利用可能）に移行。
上記の通り、両備グループが主体となり後継のICカード「Hareca」を開発し、グループ企業の両備バス・岡電バスと、同グループと親密な関係にある下津井電鉄が「Hareca」に移行する一方、両備グループと距離を置く他の各社がこれに追随しないと言う分裂状態となった。これにより、岡山市内バス共通回数券（すでに廃止）以来行われてきた乗車券共通化の流れは幕を下ろすこととなった。
岡山県共通バスカード 払い戻し
中鉄バス発行のバスカードの払い戻しは使用した路線によって異なる。
2026年12月31日まで、 岡山桃太郎空港リムジンバス・国道180号線（吉備津神社・稲荷山・大井線・ 三門経由国立病院線を除く）方面と吉備中央町（下加茂・杉谷・福沢）方面・総社駅 - 新本線のみで使用したバスカードの払戻可能。両備・東備・岡電・下電・JRバス・井笠・宇野・国道53号線・北長瀬中庄線のみで使用したバスカードは無効。
高津駅 (京都府)
高津駅（たかつえき）は、京都府綾部市高津町江尻にある、西日本旅客鉄道（JR西日本）山陰本線の駅である。
時間帯によって、隣の綾部駅を経由して直通して来る舞鶴線の一部列車も利用可能である。
1980年代後半までは、普通列車でも時間帯によっては通過する列車があった。
高津駅 (京都府) 駅構造
相対式ホーム2面2線を有する地上駅。分岐器や絶対信号機を備えていないため、停留所に分類される。駅舎やトイレは無く、各ホーム綾部寄りから直接に入る形となっている。
福知山駅管理の無人駅。下りホーム入口近辺の小屋の中に自動券売機が設置されている。なお、当駅では2019年7月現在、ICOCA等のICカード乗車券への対応予定は無い。
高津駅 (京都府) 利用状況
2023年度の1日当たりの利用者数は184人。1日平均乗車人員は以下の通り。
高津駅 (京都府) 駅周辺
集落や商業施設は駅から離れており、比較的閑散としている。
高津駅 (京都府) 隣の駅
西日本旅客鉄道
山陰本線
綾部駅 - 高津駅 - 石原駅
石原駅 (京都府)
石原駅（いさえき）は、京都府福知山市石原一丁目にある、西日本旅客鉄道（JR西日本）山陰本線の駅である。
時間帯によっては、綾部駅を経由して直通して来る舞鶴線の一部列車も利用可能である。
石原駅 (京都府) 駅構造
島式ホーム1面2線を有する地上駅。分岐器や絶対信号機を持たないため、停留所に分類される。駅舎からホームへは跨線橋で連絡している。駅舎側ホームが2番のりばとなる。
福知山駅管理の無人駅。下り線南側に小さな駅舎があり、そこに自動券売機が設置されている。なお、当駅は2019年7月現在ICOCA等のICカード乗車券への対応予定は無い。
男女別トイレ・多目的トイレが改札内コンコースに設置されている。
石原駅 (京都府) 利用状況
2023年度の1日当たりの利用者数は826人。1日平均乗車人員は以下の通り。
石原駅 (京都府) 駅周辺
「石原」停留所から京都交通の路線が発着する。
石原駅 (京都府) 隣の駅
西日本旅客鉄道（JR西日本）
山陰本線
高津駅 - 石原駅 - 福知山駅
平方剰余
数論において、p を法として平方数と合同である整数 q を、p を法とする平方剰余（へいほうじょうよ、英: quadratic residue）と呼ぶ。つまり、q が平方剰余であるとは、q に対し以下の条件を満たす整数 x が存在することを意味する：
平方剰余でない数を平方非剰余（へいほうひじょうよ、英: quadratic nonresidue）と呼ぶ。
元々、合同算術という数論の一分野からの抽象的な数学的概念であった平方剰余は、現在様々な分野で応用されており、その応用先は音響工学から暗号化、大きな数の素因数分解にまで至る。
平方剰余 歴史、規約、および基本的な事実
フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルをはじめとする17〜18世紀の数論者たちはそれぞれ平方剰余についての定理を確立し、予想を打ち立てたが、最初の体系的な扱いはガウスのDisquisitiones ArithmeticaeのIV節 (1801) である。Article 95では、「平方剰余」と「平方非剰余」という用語を導入し、文脈から明らかであれば、形容詞「平方」を削除できると述べている。
与えられた n に対して、n を法とする平方剰余のリストは単に 0, 1, …, n − 1 を二乗するだけで得られる。a2 ≡ (n − a)2 (mod n) であるので、n を法とする平方数のリストは n/2 に対して対称であり、リストアップは n/2 まで続ければ十分である。これは下の表で確認できる。
つまり、n を法とする平方剰余の数は、n/2 + 1（n が偶数）または n + 1/2（n が奇数）を超えることはない。
2つの剰余の積は常に剰余となる。
2 を法とすると、すべての整数が平方剰余となる。
平方剰余 歴史、規約、および基本的な事実
オイラーの規準 (Euler's criterion) によると、奇素数 p を法とすると、p + 1/2 個の剰余（0を含む）と p − 1/2 個の非剰余が存在する。この場合、慣例として0を特殊なケースと見なし、体 Z/pZ の非ゼロ要素の乗法群内に議論を限定する。（言い換えると、p を法とするゼロを除くすべての合同類は乗法逆元を持つ。これは合成数の法には当てはまらない。）
この規約に従うと、剰余の乗法逆元は剰余、非剰余の乗法逆元は非剰余であり、また、奇数の素数を法とすると剰余と非剰余が同数存在する。
素数を法とすると、2つの非剰余の積は剰余であり、非剰余と（非ゼロ）剰余の積は非剰余である。
平方剰余の相互法則への最初の補足は、p ≡ 1 (mod 4) ならば −1 は p を法とする平方剰余であり、p ≡ 3 (mod 4) ならば −1 は p を法とする非剰余である。これは以下のことを意味する。
p ≡ 1 (mod 4) ならば p を法とする負の剰余（絶対値が同じで符号を反転したもの）は剰余であり、負の非剰余は非剰余である。
p ≡ 3 (mod 4) ならば p を法とする負の剰余は非剰余であり、負の非剰余は剰余である。
平方剰余 歴史、規約、および基本的な事実
すべての奇数の平方数は ≡ 1 (mod 8) であり、それ故に ≡ 1 (mod 4) でもある。a が奇数で、m = 8, 16 またはそれよりも大きな 2 のべき乗の場合、a は m を法とする剰余であり、これは a ≡ 1 (mod 8) と同値である。
たとえば、mod 32 の奇数の平方数は
12 ≡ 152 ≡ 1
32 ≡ 132 ≡ 9
52 ≡ 112 ≡ 25
72 ≡ 92 ≡ 49 ≡ 17
そして偶数のものは
02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
22 ≡ 62 ≡ 102 ≡ 142 ≡ 4
42 ≡ 122 ≡ 16.
したがって、0 以外の数が 8, 16, … を法として剰余となるのは、その数が 4k(8n + 1) の形で表現できる場合でかつその場合に限る。
奇素数 p と互いに素な数 a が、p の任意のべき乗を法として剰余であるのは、p を法として剰余である場合でかつその場合に限る。
法が pn の場合、
pka は
剰余である（k ≥ n の場合）
非剰余である（k < n が奇数の場合）
剰余である（k < n が偶数で a が剰余の場合）
非剰余である（k < n が偶数で a が非剰余の場合）
ただし、2のべき乗と奇素数のべき乗では、ルールが異なることに注意せよ。
平方剰余 歴史、規約、および基本的な事実
奇素数のべき乗 n = pk を法として、p と互いに素な剰余と非剰余の積は、p を法としたときと同じルールに従う。p は非剰余であり、一般に全ての剰余と非剰余に対して、その積の中の p のべき乗が n 以上ならば積がゼロとなることを除けば、同じルールに従う。
例えば 8 を法とすると、非剰余 3 と 5 の積は非剰余 7 であり、3, 5, 7 を互いに入れ替えた場合も同様である。実際、非剰余と1の乗法群はクラインの四元群を成す。
この場合の基本的な事実は
a が n を法として剰余である場合、a はすべての素数のべき乗 pk が n を割り切る pk を法として剰余である。
a が n を法として非剰余である場合、a は少なくとも1つの素数のべき乗 pk が n を割り切る pk を法として非剰余である。
合成数を法として、2つの剰余の積は剰余である。剰余と非剰余の積は、剰余、非剰余、またはゼロの場合がある。
たとえば、mod 6 の表から
1, 2, 3, 4, 5（太字は剰余）
剰余 3 と非剰余 5 の積は剰余 3 であるが、剰余 4と非剰余 2 の積は非剰余 2 である。
また、2つの非剰余の積は、剰余、非剰余、またはゼロのいずれかになる。
平方剰余 歴史、規約、および基本的な事実
たとえば、mod 15 の表から
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14（太字は剰余）
非剰余2と非剰余8の積は剰余1だが、非剰余2と非剰余7の積は非剰余14である。
この現象は、抽象代数の言葉でよく説明できる。法と互いに素な合同類は、環 Z/nZ の単元群と呼ばれる乗法に関する群であり、平方数はその部分群となる。異なる非剰余は異なる剰余類に属している可能性があり、それらの積がどの類に属するかを予測する単純なルールは存在しない。素数を法として、平方数の部分群と単一の剰余類が存在するのみである。
たとえば15を法とする非剰余3と5の積、または非剰余5と剰余9の積、または2つの剰余9と10の積がすべてゼロであるという事実は、完全な環 Z/nZ の中にあることから生じ、この環は合成数 n の 零因子を持つ。
このため、一部の著者は、平方剰余 a は平方数であるだけでなく、法 n と互いに素でなければならないという定義を追加している。（a が n と互いに素となるのは、a2 が n と互いに素である場合でかつその場合に限る。）
これで話は片付くが、本記事では剰余が法と互いに素であるという定義は用いない。
平方剰余 記法
ガウスは、R と N を使用して、それぞれ剰余性と非剰余性を表現した。
たとえば、2 R 7 と 5 N 7、また 1 R 8 と 3 N 8
この表記はコンパクトで、いくつかの目的には便利であるが、より有用な表記は二次指標とも呼ばれるルジャンドル記号であり、すべての整数 a および正の奇素数 p に対して次のように定義される。
数値 ≡ 0 (mod p) を特別に扱う理由は2つある。1つは、これまで見てきたように、多くの公式や定理を簡単に説明できるためである。もう1つは、二次指標が乗算の下で、pを法とする非ゼロ合同類の乗法群から複素数への準同型であるためである。 とすると、その定義域をすべての整数の乗法半群に拡張することができる。
平方剰余 記法
ガウスの表記法よりも優れている点の1つは、ルジャンドル記号が数式として使用できる関数であることである。また、3次、4次、および高次の剰余に簡単に一般化できる。
ルジャンドル記号を p が合成数である場合に一般化したものとしてヤコビ記号があるが、その特性はそれほど単純ではない。m が合成数で、ヤコビ記号が  ならば a N m であり、a R m ならば  である。しかし、 ならば、a R m と a N m のいずれなのかは判断できない。例えば、 と  に対して、2 N 15 と 4 R 15 である。m が素数の場合、ヤコビ記号とルジャンドル記号は同一のものとなる。
平方剰余 平方剰余の分布
平方剰余は n を法としてランダムなパターンが見られ、これは音響や暗号などの応用で利用されているが、一方でその分布は規則性も示す。
算術級数の素数に関するディリクレの定理、平方剰余の定理、および中国の剰余定理 (CRT) を使うと、任意の M > 0 に対して、1, 2, …, M が全て素数 p を法として剰余であることが簡単に分かる。
例えば、p ≡ 1 (mod 8), (mod 12), (mod 5), (mod 28) ならば、平方剰余の定理から 2, 3, 5, 7 は素数 p を法として剰余であり、故に1〜10のすべての数字が剰余になる。CRTはこれが p ≡1 (mod 840) の場合と同じであり、ディリクレの定理はこの形式の素数の無限に存在すると主張する。これを満たす素数 p は 2521 が最小であり、実際に 12 ≡ 1, 10462 ≡ 2, 1232 ≡ 3, 22 ≡ 4, 6432 ≡ 5, 872 ≡ 6, 6682 ≡ 7, 4292 ≡ 8, 32 ≡ 9, 5292 ≡ 10 (mod 2521) となる。
こうした規則性の研究は、二進二次形式の類数の公式に関する（1830年代の）ディリクレの研究に由来する。q を素数、s を複素変数とし、ディリクレのL関数を次のように定義する。
平方剰余 平方剰余の分布
ディリクレは、q ≡ 3 (mod 3) のとき、
となることを示した。したがってこの場合（素数 q ≡ 3 (mod 4)）、平方剰余の和から 1, 2, …, q − 1 の範囲における非剰余の和を引いたものは負の数になる。
たとえば、11を法とすると
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10（太字は剰余）
1 + 4 + 9 + 5 + = 22, 2 + 6 + 7 + 8 + 10 = 33、そして差は −11 である。
実際、q > 3の場合、差は常に q の奇数倍になる。対照的に、平方剰余の和から 1, 2, …, q − 1 の範囲における非剰余の和を引いたものはゼロであり、両方の和が  と等しいことを意味する。
ディリクレは素数 q ≡ 3 (mod 4) の場合も証明した。
これは、1, 2, …, q − 1/2 の範囲で、平方剰余が非剰余よりも多いことを意味する。
たとえば11を法とすると、6未満の剰余は4つ (1, 3, 4, 5) だが、非剰余は1つだけ (2) である。
これらの2つの定理に関する興味深い点は、これまでに知られているすべての証明が解析に基づくということである。どちらの定理についても、単純な証明あるいは直接の証明は発表されていない。
平方剰余 平方剰余の分布
p と q が奇素数の場合、
「『p は q を法とする平方剰余』と『q は p を法とする平方剰余』が同値であること」は「p と q の少なくとも1つが4を法として1に合同である」と同値である。
つまり、
である。 はルジャンドル記号である。
したがって、a と a を割り切らない奇素数 p に対して、以下のようになる。
素数 p を法として、n R p かつ n + 1 R p、または n N p と n + 1 R p 等となるペア n, n + 1 の数はほぼ同じである。より正確には、p を奇素数として、i, j = 0, 1 によって以下の集合を定義し
以下のように αij を定義する。
つまり、以下のようになる。
α00 は剰余に続く剰余の数
α01 は非剰余に続く剰余の数
α10 は剰余に続く非剰余の数
α11 は非剰余に続く非剰余の数
すると、p ≡ 1 (mod4) の場合、
であり、p ≡ 3 (mod4) の場合、
である。
平方剰余 平方剰余の分布
例：（太字は剰余）
mod 17
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
A00 = {1,8,15},
A01 = {2,4,9,13},
A10 = {3,7,12,14},
A11 = {5,6,10,11}.
mod 19
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
A00 = {4、5、6、16},
A01 = {1,7,9,11,17},
A10 = {3,8,10,15},
A11 = {2,12,13,14}.
ガウス (1828)は、p ≡ 1 (mod 4) ならば x4 ≡ 2 (mod p) という命題が p = a2 + 64 b2 と同値であることを証明し、この種の数え上げを導入した。
連続値 a に対する  の値はコイントスのような確率変数で擬似的に表現できる。具体的には、ポリアとヴィノグラドフ (Vinogradov)が、1918年に（独立して）q をとする非主(non-principal)ディリクレ指標 χ(n) と任意の整数 M, N に対して、ランダウの記号を用いて以下のように表現できることを証明した。
平方剰余 平方剰余の分布
ここで
とすると、長さ N の任意の区間における q を法とする平方剰余の数が以下のように表せる。
以下の式の証明は容易である。
実際、
となる。
モンゴメリー(Montgomery)とヴォーン(Vaughan)は1977年にこれを改良し、一般化されたリーマン予想が真である場合、以下の式が成り立つことを示した。
この結果から本質的に改良されたわけではないが、シューアは1918年に
を示し、ペイリー(Paley)は1932年に
を満たす d > 0 が無限に存在することを示した。
p を法とする最小平方剰余は明らかに1である。最小二次非剰余の大きさ n(p) の問題は難しいが、常に素数である。上記ポリア＝ヴィノグラードフの不等式は  を与える。無条件での最良推定値は、任意の θ > 1/4√e に対して n(p) ≪ pθ というものであり、指標の和 (character sum) に関するバージェス (Burgess) の推定から得られた。一般化されたリーマン予想の仮定下では、アンケニー (Ankeny) が n(p) ≪ (log p)2 を得た。リニック (Linnik) は、n(p) > Xε となる X より小さい p の数は、ε に依存する定数によって制限されることを示した。
平方剰余 平方剰余の分布
奇素数 p を法とする最小二次非剰余は次の通り。
2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 7, 5, 3, 2, 3, 5, 23, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 7, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 37, 7, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 11, 5, 2, 2, 5, 2, 2, 3, 7, 3, 2, 2, …オンライン整数列大辞典の数列 A053760
p を奇素数とする。二次超過 (Quadratic excess) E(p) は、範囲 (0, p/2) の平方剰余の数から 範囲 (p/2, p) の平方剰余の数を引いたものである（オンライン整数列大辞典の数列 A178153）。p ≡ 1 mod 4 となる p では、−1 が平方剰余であり、剰余は r ↔ p - r に対して対称であるので過剰はゼロである。p ≡ 3 mod 4 となる p では、超過 E は常に正である。
平方剰余 平方根を見つけることの複雑さ
つまり、数値 a と法 n が与えられたときに、以下のタスクがどれほど難しいか、ということである。
ここでは、法が素数と合成数の場合で重要な違いが明らかになる。素数 p を法として、平方剰余 a は 1 + (a|p) 個の根を持つ（つまり、a N p の場合は根なし、a ≡ 0 (mod p) の場合は1個、a R p で (a, p) = 1 の場合は2個。）
一般に、もし法が合成数 n であれば、n を異なる素数のべき乗の積として表現したときに、その最初のものを法として根の数が n1 個、次のものを法として根の数が n2 個…と続けていくと、n を法として n1n2… 個の根が存在する。
素数のべき乗を法とする解を組み合わせて n を法とする解を作る理論的な方法は、中国の剰余定理と呼ばれ、効率的なアルゴリズムで実装できる。