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一般相対性理論 歴史
また、宇宙論研究では、ビッグバン宇宙モデル（1947年）が有力とされているが、さらにその初期宇宙の膨張則を修正したインフレーション宇宙モデル（1981年）も正しいことが、2006年のWMAP衛星による宇宙背景輻射の観測により決定的になったと考える人も多い。最近は、高次元宇宙モデルが脚光を浴びているが、これらの宇宙モデルは、いずれも一般相対性理論を基礎にして議論される。
アインシュタイン以後、一般相対性理論以外の重力理論も、数多く提案されているが、現在までにほとんどが過去の観測結果を照合した上で棄却されている。実質的に対抗馬となるのは、カール・ブランスとロバート・H・ディッケによるブランス・ディッケ重力理論であるが、現在の観測では、ブランス・ディッケ理論のパラメーターは、ほとんど一般相対性理論に近づけなくてはならず、両者を区別することが難しいほどである。量子論と一般相対論の統一という物理学の試みは未だ進行中であるものの、一般相対性理論を積極的に否定する観測事実・実験事実は一つもない。他に提案されたどの重力理論よりも一般相対性理論は単純な形をしていることから、重力は一般相対性理論で記述される、と考えるのが現代の物理学である。
一般相対性理論 物理学としての位置づけ
アインシュタイン方程式は微分方程式として与えられているため局所的な理論ではあるが、ちょうど電磁気学における局所的なマクスウェル方程式から大域的なクーロンの法則を導くことができるように、アインシュタイン方程式は静的なニュートンの万有引力の法則を包含している。万有引力の法則との主な違いは次の3点である。
ここで、3.は荷電粒子が加速運動することにより電磁波が放射されることと類似している。これは、万有引力の法則やクーロンの法則に、運動する対象の自己の重力や電荷の効果を取り入れていることに対応している。
後述するように、一般相対性理論における時空間は数学的には各点の接ベクトル空間にミンコフスキー計量をいれた4次元多様体（ローレンツ多様体）で、アインシュタイン方程式を満たすものである。
よって各点の接ベクトル空間は、特殊相対性理論に従うミンコフスキー空間であり、接ベクトル空間とは、数学的にはテイラー展開の一次の項に対応している。
これはすなわち、一般相対性理論の側からみた場合、特殊相対性理論とは時空間上に任意に固定された一点の近傍において、一般相対性理論を一次近似したものである事を意味している。なお、（宇宙項のない）アインシュタイン方程式に登場する各項（曲率やエネルギー・運動量テンソル）は、二次の微分に関わる項であり、一次近似である特殊相対性理論には登場しない。
一般相対性理論 物理学としての位置づけ
逆に特殊相対性理論の側から一般相対性理論をみると、特殊相対性理論の数学的定式化であるミンコフスキー空間は、全ての点に同一のミンコフスキー計量をいれた平坦なローレンツ多様体である。
このローレンツ多様体上では曲率は全点でゼロであるので、この事実を（宇宙項のない）アインシュタイン方程式に代入すると、この空間ではエネルギー・運動量テンソルがゼロである事を意味する。
また、平坦なローレンツ多様体上では共変微分と通常の微分は一致するので、全ての線形座標でクリストッフェル記号は消えている。クリストッフェル記号は物理学的には重力に対応しているので、これはすなわち全ての線形座標で重力がゼロである事を意味する。
以上より特殊相対性理論とは、エネルギー・運動量テンソルの影響が無視できる程度に、すなわち宇宙全体に比べれば微小な領域における理論であり、空間の曲率も領域の微小さゆえに無視できる場合の理論であると言える。
量子論は一般相対性理論と同様に物理学の基本的な理論の1つであると考えられている。しかし、一般相対性理論と量子論を整合させた理論（量子重力理論）は未だに完成していない。現在、人類の知っているあらゆる物理法則は全て場の量子論および一般相対性理論のどちらかから導くことができる。そのため、その2つを導くことのできる量子重力理論はこの世の全てを説明できる万物の理論とも呼ばれている。
一般相対性理論 物理学としての位置づけ
基本的に相対性理論で取り扱われる重力は、4つの基本相互作用のうち他の3つの力に比べて圧倒的に小さく、天体物理学や天文学で取り扱う天文現象のような巨視的なレベル以下の大きさでは無視できる。逆に、量子論効果は量子化学や量子力学、素粒子物理学で取り扱う分子や原子、クォークなどのような微視的なレベル以上の大きさでは無視できる。よって相対性理論を適用する場面と量子論を適用する場面は重ならないためほとんどの場合この両者を考慮する必要はない。しかし、ブラックホールやビッグバンなどの大質量かつ微視的なスケールの現象を説明するためにはこの両者を併用する必要があるが、相対論と量子論を従来用いられてきた摂動法を用いて統合しようとすると、両者の間に深刻な対立が生じてしまい、並立させることが出来ない。従来の量子論では摂動展開時に生じる紫外発散を繰り込みによって解消しているが、重力にはこの手法が適用できないのである。
一般相対性理論 物理学としての位置づけ
この2つの理論の対立を折衷する様々な意見やその立証が試みられているが、未だ決定的な理論は出てきていない。
一般に場の量子論においては平坦なミンコフスキー時空における粒子を扱うが、重力の効果を近似的（半古典的）に背景時空（曲がった時空）として導入することにより、場の量子論に曲がった時空の効果を近似的に取り入れた理論である。
重力子の影響を背景時空として近似しているため、強い重力場のもとでは時空を完全に量子化したような量子重力理論に修正されるべきである。欠点としては、時空が静的なものであるため完全には相対論的ではない。
ホーキング放射はこの理論のもとで予測された。
超弦理論は、従来の量子論では大きさを持たない点と仮定されている粒子を、長さを持つ「ひも」と仮定しなおすことにより紫外発散の問題を解消している。理論的な探求は進んでいるものの、実験的裏付けが非常に乏しく未だ仮説の域を脱していない。
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
一般相対性理論は、次の仮定を出発点にする。あくまでも仮定であり、これが基準点とするものではない。
一般相対性原理
物理学の法則は、任意の仕方で運動している座標系に関していつも成立する
一般共変性の仮定
自然の一般法則は、すべての座標系に対して成り立つ、すなわち任意の座標系に対して（一般）共変な方程式で表されなくてはならない。
局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定
無限に小さな4次元領域（4次元の擬リーマン多様体のある点における局所座標系または接空間）に対しては、座標を適当に選べば、特殊の意味での相対性理論が原則として成り立つ。時空のある点における基本計量テンソル gi j は、その座標系に関する重力場を記述する。基本計量テンソルの行列式 g は常に有限の負の値を持つ。
測地線の仮定
自由質点運動は測地線である
一般相対性理論成立の歴史上、等価原理 (equivalence principle) はスタートポイントとして考えられたが、数学的に重要であるのは、一般相対性原理（一般共変性の仮定と局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定）である。
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
一般相対性理論においては、重力のある空間を光が通過するとき光は曲がる（光のとる経路が伸びる）ことから、時空は、重力場を基本計量テンソルとする4次元のリーマン多様体として扱われる。可微分多様体 M がリーマン多様体であるとは、M 上の各点に基本計量テンソル gij(x) が与えられているものを言う。なお、局所座標系 (x0, x1, x2, x3) の四つの座標の内、x0 は適当な測定単位で測られた時間座標、x1, x2, x3 は空間座標とする。すなわち、x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z であるとする。さらに、リーマン多様体上に定義されるテンソル概念に対して、上下に現れる同じ添字については常に和を取るというアインシュタインの縮約記法を用いる。
一般共変性の仮定
リーマン多様体を導入することで、一般共変性の仮定は、
ある自然の一般法則がある座標系で一つのテンソルの成分がすべてゼロになる形で書き表すことができるとき、すなわち、
（テンソルの成分） ＝ 0
とできるとき、その法則は一般共変性を持つ
というように、リーマン多様体上で定義されるテンソル概念の性質として定式化できるようになる。
局所座標系における特殊相対性理論の成立仮定
リーマン幾何学によれば、リーマン多様体上の無限に近い2点間の距離 ds は
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
の平方で与えられる。この ds を4次元空間の無限に近い点に属する線素 (line element) の大きさと呼ぶが、これは、特殊相対性理論が成り立つような座標系においては、ミンコフスキーが指摘した4次元空間における不変量
と一致するものでなくてはならない。すなわち、適当な座標変換により、計量テンソル gij は、
行列形式で描けば、
となることが要請される。これはより一般的な表現として、有限で常に負の値をもつ基本計量テンソルの行列式 g = det(gij) に対する次の条件
という形で条件として求められる。
擬リーマン空間における測地線 (geodesic) は、通常の計量空間における定義と同様に、2点間の長さを最小にする曲線として定義される。曲線の長さは、
で与えられる。ここでの積分は、曲線 γ(t) に沿うものとする。ルート内の符号の+は空間的な曲線に対して、負の符号は時間的な曲線に対して適用し、いずれの場合も長さが実数になるようにする。
この長さの極値をもたらす条件を導出すると、測地線の方程式が得られる。局所座標で表現すると、方程式は、
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
となる。ここで、xμ(t) は、曲線 γ(t) の座標であり、Γμ νρ  は先に登場したクリストッフェル記号である。座標の常微分方程式として得られるこの式は、初期値と初速度を与えれば解を一意に決定する。この式は、曲がった時空における光・粒子の運動方程式である。
時空の曲率は、レヴィ・チヴィタ接続 ∇ が定義するリーマン曲率テンソル (Riemann tensor) R ρ σμν  で表現される。局所座標表現では、次のように書ける。
物理的には、このリーマン曲率テンソルから、2成分を縮約したリッチテンソル (Ricci tensor) Rμν と、さらに添字を縮約したリッチスカラー曲率 (Ricci scalar) R
を考えればよく、さらにその組み合わせである、
が物質分布で定まることをアインシュタインが見いだした。この最後の組み合わせ Gμν をアインシュタイン・テンソル (Einstein tensor) と呼ぶ。
一般相対性理論の基本方程式は、
と表され、アインシュタイン方程式と呼ばれる。ここで Gμν はアインシュタインテンソル、gμν は計量テンソル、Λ は宇宙項、Tμν はエネルギー・運動量テンソルである。非相対論的極限でニュートンの重力理論に収束することから、右辺の比例係数 κ （アインシュタインの定数）は、
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
となる。G は万有引力定数、 c は光速である。4次元空間を考えれば、テンソルは対称なので、アインシュタイン方程式は、10本の方程式からなる。
アインシュタイン方程式の左辺は時空の曲率を表し、右辺は物質分布を表す。右辺の物質分布の項により時空が曲率を持ち、その曲率の影響で次の瞬間の物質分布が定まる、という構造である。真空の時空であれば、右辺をゼロとすればよい。例えば、重力以外の力を考えないと、次のようになる。
右辺のエネルギー運動量テンソルが増加の場合（アインシュタインの特殊相対論によるとエネルギーと質量は等価であるから、エネルギー運動量テンソルの増加は質量の増加を意味する）、左辺も増加しなければならない。これは時空の曲率が増加することを意味する。アインシュタインの解釈によると重力とは時空の湾曲によるものであったから、曲率の増加は重力の増大を表す。右辺のエネルギー運動量テンソルの増大は質量が増大する事を表し、この方程式によると、それは左辺の時空の曲率、つまり重力がさらに増大することを意味する。
一般相対性理論 一般相対性理論の内容
すなわち、重力は非線形で、重力自身は自己増大してゆく。通常の恒星のモデルでは、核融合による、生じる光（電磁波）の輻射圧とガスによる圧力が、重力と釣り合うように恒星の半径が決まる。星が燃え尽きて支える力がなくなると、重力崩壊し、電子の縮退圧で支えられる白色矮星 か、中性子の縮退圧で支えられる中性子星、あるいは、ブラックホールになることが予測される。
アインシュタイン方程式の数学的な特徴は、次のような点にある。
アインシュタイン方程式自身に何ら近似することなく得られる解析解のことを厳密解という。良く知られている厳密解に、次のものがある。
シュヴァルツシルト解
カール・シュヴァルツシルトが1916年に発表した解。真空で球対称を仮定した解で、ブラックホールを表す最も単純な解。
カー解
ロイ・カーが1962年発表した解。真空で軸対称時空を仮定した解で、回転するブラックホールを表す最も単純な解。
ドジッター解
ウィレム・ド・ジッターが1917年に発表した解。真空で宇宙項がある場合の膨張宇宙解。ド・ジッター宇宙を表す。
フリードマン・ロバートソン・ウォーカー解
アレクサンドル・フリードマン、ハワード・ロバートソン、アーサー・ウォーカーが1922年に発表した解。時空の球対称性を仮定し、物質分布を一様等方な流体近似した解で、ビッグバン膨張宇宙を表す解。
ゲーデル解
クルト・ゲーデルが1949年に発表した解。物質分布を規定するエネルギー・運動量テンソルを、回転する一様なダスト粒子として仮定し、ゼロでない宇宙項を仮定した解で、ゲーデルの回転宇宙を表す解。
現在でも、新しい解（解析解）を発見すれば、発見者の名前がつく。ただし、同じ物理的な時空であっても、異なる座標表現を用いて、異なる解のように表現されることがあるので、注意することが必要である。
一般相対性理論 一般相対性理論の応用
自動車などの位置をリアルタイムに測定表示するカーナビゲーションシステムは、GNSSの代表といえるGPSなどを利用しており、GPS衛星などに搭載された原子時計に基づき生成される航法信号に依存している。
GPS衛星からの信号を受信する装置では、さまざまな要因による補正を行うが、GPS衛星の時計との同期に関するものとして、地表に対して高速で運動するGPS衛星の、特殊相対論効果による地表からみた時間の遅れ、および地球の重力場による地上の時間の遅れ、言い換えれば一般相対論効果による衛星の時計の進みが含まれる。
GPS衛星の軌道速度は秒速約4キロメートルと高速であるため、特殊相対論によって時間の進み方がわずかではあるが遅くなる。一方、GPS衛星の高度は約2万キロメートルで、地球の重力場の影響が小さいことから、一般相対論によって地上よりも時間の進み方が速くなる。このように特殊相対論と一般相対論で互いに逆の効果をもたらすことになる。この相対論的補正をせずに1日放置すると、位置情報が約11キロメートルもずれてしまうほどの時刻差になることから、相対論的補正はGPSシステムの運用に不可欠である。
一般相対性理論 反論
王令隽は、科学雑誌『现代物理 Modern Physics』の2016年の論文において、ブラックホールや重力波など、一般相対性理論の証拠における矛盾は、場の方程式が疑問視され、物理学の基本原理が変容する余地が残っていることを意味すると論じている。しかしながら王令隽の一般相対論の解釈には独自解釈や誤解釈が多くその反論は広く受け入れられているとは言えない。中国語圏の物理フォーラムや国際誌（例えば Physics Letters A や General Relativity and Gravitation）などでは、王氏の論文は「異端的」「哲学的」「誤解を含む再解釈」であり、実証的・理論的根拠の乏しい批判と見なされています。英語圏ではほとんど引用されず、研究者の間では「定量的な誤り（mathematical misunderstanding）」として片づけられています。
算術
算術 (さんじゅつ、英: arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。
算術 概要
「算術」という日本語としては、文明開化前後の「数学」(mathematics) いわゆる西洋数学の本格的な輸入以前は、今日において和算と呼ばれているような、当時の「日本の数学」全般を指していた。なおこの意味では、英語 arithmetic とは必ずしも対応しない場合もある。
また、算術および "Arithmetic" の語は、数論を指し示す場合もある。
算術 四則演算
加法 (addition)、減法 (subtraction)、乗法 (multiplication)、除法 (division) の4つの演算を、四則（しそく）あるいは四則演算（英: Four arithmetic operations）と称する。
歴史的には四則演算を表す記号として、様々な記号が用いられたが、現在標準的に用いられる記号は以下である。
ただし、コンピュータにおけるプログラミング言語では専ら
が用いられる。
このうち、加法と乗法は 0 を含む非負の整数の範囲で自由に行うことができるが、減法と除法には制約がある。非負整数の間の減法は、引く数が引かれる数より大きい場合を扱うことができない。また非負整数の除法は、適切な剰余を定義しない限り、割る数が割られる数の約数でない場合を扱うことができない。減法の場合は扱う数を負の数を含んだ整数全体に捉え直すことで制限を解消することができる。たとえば 1 − 2 は非負整数を与えないが、整数全体で演算を扱うなら、
1 − 2 = −1
と負の数を与えることができる。
除法については扱う数を有理数の範囲にすることで互いに素な整数の間でも演算を定義できる。たとえば −4 ÷ 3 は整数を与えないが、
算術 四則演算
−4 ÷ 3 = −4/3
のように有理数を与える（−4/3 のように表記された数を分数と呼ぶ）。従って、正負の有理数と 0 の数を扱うことで、自由な四則演算が可能になる。ただし、通常は除数を 0 とする除法は定義されない（ゼロ除算を参照）。
四則演算を特徴付ける性質には、交換法則・結合法則・分配法則などがあり、抽象代数学では四則演算が自由にできる集合のことを体という。有理数の全体、実数の全体、複素数の全体などは全て体である。
除法は乗法の逆の演算になっている; a × b = c かつ a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 ならば、a = c/b = c ÷ b, b = c/a = c ÷ a が成り立つ。a × b = 1 となるような乗法の逆元 b を a の逆数といい、1/a と表す。つまり、以下のように表せる。
a × 1/a = 1/a × a = 1.
従って除法は除数の逆数に関する乗法に置き換えられる。
a ÷ b = a × 1/b.
算術 四則演算
減法は加法の逆の演算になっている; a + b = c ならば a = c − b, b = c − a であるから、乗法 × が加法 + に、除法 ÷ が減法 − に置き代わっただけで、乗法と除法の場合と全く同じことが起こっている。つまり、減法は加法の逆の演算である。ここから自然に、a + b = 0 となるような加法の逆元 b を考えることに導かれる。a の逆元 b は −a と表される（これは a の反数と呼ばれる）。つまり次のような関係が常に成り立つ。
a + (−a) = (−a) + a = 0.
数 a が正ならば −a は負の数であり、a が負ならば −a は正の数となる。また、a が 0 なら −a もまた 0 となる。
従って正の数の減法は負の数の加法に、負の数の減法は正の数の加法に置き換えられる。
a − b = a + (−b).
加法の逆元を与える演算子としての − と、2 数の間の減法を行う演算子としての − とでは、記号は同じだが行う操作と作用する項に違いがあるため、区別を要する場合には前者を単項のマイナス (unary minus operator)、後者を2項のマイナス (binary minus operator) と呼ぶ。
算術 算術演算
コンピュータの用語として、論理和や論理積など、ブール値やビットを扱う「論理演算」に対して、整数の加減乗除を扱う演算を「算術演算」と呼ぶ。
また、右シフト操作において、その操作で空くビットに、最上位ビットを複製して埋めるシフトを算術シフト、0 で埋めるシフトを論理シフトと言う。これは歴史的にそのように呼ばれているが、符号付き (signed) のシフトと、符号無し (unsigned) のシフト、と呼ぶのが理にかなっている（符号付数値表現#2の補数）。
代数的構造
数学において代数的構造（だいすうてきこうぞう、algebraic structure）とは、集合に定まっている算法（演算ともいう）や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。
また、代数的構造を持つ集合は代数系（だいすうけい、algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法（演算の規則）の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。
なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。
現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。
代数的構造 代数的構造の例
一つの演算によって決まる代数的構造
マグマ: 一つの二項演算の定義された集合。
準群: a × x = b、y × a = b であるような x と y が一意に決まるマグマ
ループ: 単位元 e を持つ準群。任意の元が左および右逆元を持つマグマとも言える。
半群: 結合法則を満たすマグマ
モノイド: 単位元を持つ半群
群: 任意の元が逆元を持つモノイド、もしくは結合法則を満たすループ
アーベル群: 可換な群
演算と作用によって決まる構造
環上の加群: 環の作用するアーベル群
ベクトル空間: 体上の加群
算法や二項演算の項に記す通り、加群やベクトル空間などにいて環や体が与える外部的な作用も適当な方法で内部的な 1 項算法（単項算法）と捉えなおすことができるので、加群やベクトル空間やほかにも同様に作用域を持つ構造である多元環などが、群や環と同様のもの（多くの演算によって決まる構造）として統一的に論ずることもできる。
一般的な代数的構造は普遍代数という数学の分野で研究される。代数的構造はまた、ほかの構造に加えて定義されることもある。位相構造をもつ位相群、位相線型空間、リー群はそのような例である。
どの構造も、それぞれに固有の準同型（構造を保つ写像）の概念を持っている。このことを使って、それぞれの構造を満たすもの全体の圏を考えることができる。
代数的構造 構造の類と種
代数系 (A, R) と (B, S) とは、それぞれの代数構造（算法族） R と S とが項数を込めて等しいか同一視できるとき、同類であるという（項数については算法の項参照）。
例えば群は、積だけを算法とする代数系とみなせば半群と同類であるが、各元にその逆元を対応させる写像も群の（単項の）算法に含めて考えると、半群とは同類ではない。
そして群をそのように半群と同類でない代数系として定義する方が、代数系の論としては正当で、理論上も便利なことがある（群論参照）。
また、環を加法と乗法を算法とする代数系とみなし、束を結びと交わりを算法とする代数系とみなせば、加法 x + y と結び x ∨ y 、乗法 x × y と交わり x ∧ y とを同一視することによって、この両者は同類の代数系となる。
しかし、環における加法・乗法と束における結び・交わりとは、異なる法則に従う。
例えば、環での加法・乗法は分配律 x × (y + z) = (x × y) + (x × z) に従うが、束での結び・交わりは必ずしも分配律 x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) には従わない。
また、束での交わり・結びは冪等律 x ∧ x = x, x ∨ x = x に従うが、環での加法・乗法は冪等律 x × x = x, x + x = x に必ずしも従わない。
代数的構造 構造の類と種
そこで、同類の代数系をさらに「それらの算法がどういう法則に従うか」によって分類して種に分けて、それぞれの種に属す代数系をまとめて抽象化して論ずるのが普通である。
歴史的には、半群・群・環・多元環・体・束などはそうやって出来た抽象概念である。
代数的構造 重要な概念
代数系についての基本概念には以下の2つがある。
代数学の一分科である線型代数学に例をとれば、線型空間が研究対象とする代数系に当たり、線型部分空間が部分系に当たり、線型写像が代数系間の準写に当たる。
代数系についての副次的概念には、生成系・直積（直和）・商・拡大・普遍性・表現などがある。
代数的構造 算法の全域性・局所性
実数すべてから成る集合とそこでの四則（加減乗除の算法、すなわち足し算・引き算・掛け算・割り算）との組は、典型的な代数系である。
この例では、足し算・引き算・掛け算は任意の二つの数の組について実行可能であるが、割り算は、0での割り算ができないという意味で局所的（あるいは非全域的）である。
代数系の算法には一般には、こういうような局所的（あるいは非全域的）算法も含まれる。
たとえば行列の足し算・掛け算も、あらゆるサイズの行列から成る集合での算法とみなせば、局所的である。
こういう局所的算法を含む代数系の理論は複雑であるので、数学の分野では避けられる傾向がある。たとえば行列の足し算・掛け算も、数学者の間でさえ、上記のような意味での局所的算法と捉えて説明されることは稀である。また、上記の実数と四則とから成る代数系は体の典型であるが、体の概念も環の概念も、局所的算法である除法を用いないで説明するのが通例である。
代数的構造 算法の全域性・局所性
一方で、数理論理学では、研究対象として形式言語を代数系の一種と捉えるが、形式言語における算法は局所的のものが一般的である。たとえば、述語論理学における形式言語である述語言語（論理式と項とから成る）では、論理記号 ∧, ∨, ￢, ⇒, ∀x, ∃x は論理式に対してのみ実行可能な局所算法を表し、関数記号や述語記号は、項のみに対して実行可能な局所算法を表すと解される。
また、推論規則も局所的算法と解される。たとえば三段論法は、二つの論理式 A と A ⇒ B とから第三の論理式 B を導き出す推論規則であるが、これは、第二の論理式が A ⇒ B という特別な形のときだけ実行可能な局所算法と解される。
ギリシア神話の固有名詞一覧
ギリシア神話の固有名詞一覧（ギリシアしんわのこゆうめいしいちらん）は、ギリシア神話に登場する神名・人名・地名などの一覧。
名称は、日本語で長音を省略して表記される場合もある。例えばアテーナーをアテナ、アポローンをアポロンのようにする場合がある。以下の一覧において、別表記には単純な長音の省略以外の表記を記す。
ギリシア神話の固有名詞一覧 神
主役級の一部の神々を除き、多くの神の名は一般名詞の転用（一般名詞を神格化したもの）である。たとえば Μνημοσύνη 「ムネーモシュネー」、Νίκη 「ニーケー」、Νύξ 「ニュクス」、Χρόνος 「クロノス」はそれぞれ「記憶」「勝利」「夜」「時間」といった一般名詞にほかならない。
ギリシア神話の固有名詞一覧 人間
【　】内は、単純な長音の省略以外の別表記。
あ
い
え
お
ギリシア神話の固有名詞一覧 異形の神・怪物
【　】内は、単純な長音の省略以外の別表記。
巨人
総称
アローアダイ - 怪力の巨人。オリュンポスの神々に挑んで滅ぼされる。
ギガース - 【複数：ギガンテス】ガイアの子ら。ギガントマキアーで打倒される。
キュクロープス - 英語ではサイクロプス。単眼の巨人。
ポリュペーモス - ホメーロスの叙事詩『オデュッセイア』に登場するキュクロープス。
ヘカトンケイル - 【複数：ヘカトンケイレス】50の頭と100の腕を持つ巨人。
ライストリューゴーン族 - ホメーロスの叙事『オデュッセイア』に登場する人食い種族。
個人名
アトラース - 世界の西の果てで天空を背負う。
アルゴス - 100の目を持つ巨人。
ゲーリュオーン - 三頭、または三頭三体の怪物。ヘーラクレースと戦い、敗れて殺害された。
テューポーン - ゼウスに比肩する強さを持つ巨人。
その他
数学的構造
数学における構造（こうぞう、mathematical structure）とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいは圏の対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。
数学的構造 構造における歴史
数学史において、現代的および革新的な新しい概念であるはずのものが、しかしその痕跡と言えるものが遡って古代においてすでに認められるというようなことはよくあることである。そのような事例として、17世紀にライプニッツとニュートンによって考え出された微分法および積分法は、素朴で未発達な形ではエウドクソスやアルキメデスが既に用いていた。このことは数学的構造の概念の発明にしてもそうであり、利用は最初の明示的な定式化に先行するのである。従って、数学史において構造の概念について定義して言及した最初のものを特定するのは容易であるが、そのような説明なしに用いた最初を特定するのは困難である。
合同算術において構造の概念はガウス Disquisitiones Arithmeticae (1801) の手法に実際に現れる。ガウスはユークリッド除法の剰余について、構造的な観点から研究を行った。これは群論の起源のひとつでもある。
数学的構造 構造における歴史
ガロワ理論において、ガロワの対称性を用いた手法、ジョルダンの群論、クロネッカーの体論などの手法は本質的に構造的である。
線型代数学において構造の概念は二段階に現れる。ユークリッド幾何学における公理的手法は最終的に厳密な形で確立された（ヒルベルトの公理参照）。その後、ベクトル空間の定式化にはグラスマンやペアノが取り組み、最終的にバナッハとブルバキによって形となった。
多様体の構造の概念はベルンハルト・リーマンの手法において現れた。
数学的構造 定義
集合論的な定義: 構造種 (species of structure) とは、以下の四つからなる:
主基集合 (principal base set) または台集合 (underlying set)
(何の構造も持たない) 単なる「はだか」の集合。複数あってもよいが基本的には一つ。
副基集合 (auxiliary base set)
(それ自身がすでに構造を持った) 補助的な集合。複数あってもよいし、無くてもよい。
代表的特性記述 (predicate)
「階梯（主基集合と副基集合から、直積とべき集合をとることを繰り返して得られる集合）に件の構造が含まれる」ということを表す論理式。複数あってもよい。
公理系
構造が満たす論理式。ただし移行可能であるという条件が付く。この条件は、準同型などを定義する際に必要になる。
与えれられた基底（主および副基のすべて）から作られる、ある階梯の中の一つの集合 M を考えるとき、M の元に関する具体的な性質によって M の部分集合が定まるが、いくつか定められた性質に対するそのような部分集合たちの交わりを T とする。このとき、一つの元 τ ∈ T は与えられた基底集合に種 T の構造を定めるといい、τ ∈ T からの帰結として得られる任意の定理は種 T の構造の理論に属するという。
数学的構造 定義
例えば、順序構造の主基集合とは、その元の対の間に順序関係の定義される（あるいはしようとする）集合をいう。位相構造ならば、位相を入れようとするあるいは入った集合である。ベクトル空間の主基集合はベクトルからなる集合であり、副基集合はある定まった体である。複素多様体は、多様体の点集合を主基集合とし、複素数体を副基集合に持つ。
同一の種 T に属する二つの構造 τ, υ ∈ T に対し、一方の構造 υ が T に公理を追加して与えられる部分集合 U に属するならば、U の構造 υ は T の構造 τ より豊か (richer) であるという（「強い」ともいう）。
例えば、全順序集合の構造は半順序集合の構造より豊かである。
同一の階梯の二つの部分集合をとり、そのそれぞれに属する種 T, T' が具体的に述べられた公理によって定義され、かつそれらの間の全単射 T ↔ T' が具体的に表されているものとする。このとき、対応する構造 (T ∋) τ ↔ τ' (∈ T') は、与えられた基底の上に同一の構造を定めるものと見なされ、種 T, T' のそれぞれを定義する公理系は互いに同等であるという。
数学的構造 定義
例えば、位相構造が多くの同等な公理系により与えられ得ることを想起せよ。
一つの集合の上の或る構造を定義する公理系が，それが任意の集合に対して述べられるにもかかわらず，それらの公理を満足する二つの構造で，それぞれ二つの相異なる集合 E と F の上に定義されたものを考えると，その構造が（もし存在すれば）必ず同型になるということが公理から結論される（このことから，特に，E と F が対等であることが導かれる），ということもあり得る．このような場合，これらの公理を満足する構造の理論は一意的であるという；そうでない場合は，多意的である，といわれる．
 — ブルバキ
数学的構造 構造の例
例えば、実数は上の三つの構造をすべて持っている。すなわち、実数は全順序集合であり、体であり、また距離空間である。
自然数の理論，実数の理論，古典的ユークリッド幾何学などは一意的な理論である；順序集合の理論，群論，位相空間の理論などは多意的な理論である．多意的な理論の研究こそ，現代数学を古典的な数学と区別しているもっとも顕著な特徴なのである．
 — ブルバキ
数学的構造 意義または概念の有用性
例えば解析幾何学において座標を使った解法と 位置ベクトルを使った解法を比べてみると、後者のほうが同じ内容を表現するにも重複した記述を省略できる、しかし問題を解く手段であることには両者とも変りはない。構造の概念も表現や思考の節約に役立つ。
ガロア理論においては、単なる計算の洗練を超えた構造の概念により方程式論の難題であった５次方程式の解法のみならず幾何学の難問であった角の三等分問題や円積問題の解決にもつながった。
ブルバキの言う「数学者に豊かなインスピレーションを与える知識」とは異なった構造の類似において一方で成り立つ理論が他方でも成り立つのではないかという予想を構造の知見が容易にしていることを意味する。例えば、整数環と有限体上の1変数多項式環との間の構造の類似においてアンドレ・ヴェイユにより、リーマン予想に類似の問題が解かれた。リーマン予想に関してあえて大雑把にいえば、現在でもこの方向で研究が進められている。
しかし、或る構造の概念の適用が問題を解くにあたって見当違いのこともある。ポアンカレ予想はそれまで多くの研究者にとって役立つと思われていた位相幾何学で扱われる 位相多様体の概念によってでなく、より強い理論である―可微分多様体を扱う微分幾何学の範疇の問題として解かれた。
コイ
コイ（鯉、学名：Cyprinus carpio）は、コイ科に分類される魚の一種。比較的流れが緩やかな川や池、沼、湖、用水路などにも広く生息する大型の淡水魚。
コイの語源は体が肥えていることまたは味が肥えていることに由来するという。別名はマゴイ、ノゴイ（後述のように体高の低いコイのグループがありノゴイはその呼称でもある）。
コイ 分類
2亜種が存在する。
東アジア原産の3つ目の亜種C. c. haematopterus（Amur carp）は過去に認められていたが、近年の出典はこれをC. rubrofuscusの学名の下で別種として扱っている。純粋な型のヨーロッパのコイと様々なアジアの近縁種は、計数形質によって分類できるが、それらは異種交配できる。ヨーロッパのコイはキンギョとも異種交配可能である。日本においてもコイフナと呼ばれる雑種が確認されている。
名称が似ているニゴイはコイ亜科ではなくカマツカ亜科であり同科異亜科の関係である。
コイ 生態
コイは外見が同亜科異属のフナに似るが頭や目は体に対して小さい。吻はフナよりも長く伸出させることができる。また上顎後方及び口角に1対ずつ触覚や味覚を感知する口ひげがある。体長は成魚で約100センチメートルになる。飼育されたり養殖されてきた系統の個体は体高が高く、動きも遅いが、野生の個体は体高が低く細身な体つきで、動きもわりあい速い。雌雄を外観で判断することは難しいが、体は雌のほうが大きく逆に雄の方が頭が大きい、雄のほうが体がやや細くて胸鰭が大きく角張っているなどの特徴がある。また雌の胸鰭は丸型をしている。
食性は雑食性で水草、貝類、イトミミズなどを食べる。口に歯はないが、喉に咽頭歯という歯があり、これでタニシなどの硬い貝殻なども砕き割ってのみこむ。さらに口は開くと下を向き、湖底の餌をついばんで食べやすくなっている。なお、コイには胃がない。コイ科の特徴として、ウェーバー器官を持ち、音に敏感である。また髭には匂いや味を感じる器官が沢山集まっており、この感覚器を「味蕾」と呼ぶ。
産卵期は春から初夏にかけてで、この時期になると大きなコイが浅瀬に集まり、バシャバシャと水音を立てながら水草に産卵・放精をおこなう。一度の産卵数は20万-60万ほどもある。卵は直径約2ミリメートルで水草などに付着し、水温が20度あれば4-5日のうちに孵化する。稚魚はしばらく浅場で過ごすが、成長につれ深場に移動する。
コイ 生態
寿命は15-20年。生命力は極めて強く、魚にしては長寿の部類で、まれに100年を超す個体もある。鱗の年輪から推定された最長命記録は、岐阜県東白川村で飼われていた「花子」と呼ばれる個体の226年だが、これは信憑性が疑問視されている。長寿であることのほか、汚れた水にも対応する環境適応能力が高く、しかも水から上げてしばらく水のないところで置いていても、他の魚に比べて長時間生きられるようである。低温にも強い。
川の中流や下流、池、湖などの淡水域に生息する。飼育されたコイは流れのある浅瀬でも泳ぎまわるが、野生のコイは流れのあまりない深みにひそんでおり、産卵期以外はあまり浅瀬に上がってこない。滝を登るということがよく言われるがこれは中国の神話伝説の類に由来する言い伝えであって、普通程度の大きさのコイが滝を登ることは通常は無い。コイはジャンプが下手であり、『モジリ』という水面下まで上がって反転する行動が一般にはジャンプと誤認されていることも多い。ただし小型のコイはまれに2メートル程度の高さまでジャンプすることがあり、この場合は滝を登ることがありうるものの、格別に「滝を登る」という習性がコイにあるわけではない。
コイ 生態
漁師や釣り人などから、養殖され、放流もよく行われている体高の高いコイと、琵琶湖などの湖や四万十川のような大きな河川に見られる体高が低いコイの性質が、著しく異なることが古くから指摘されていた。後者は「ノゴイ」（野鯉）と呼ばれて前者の系統で野生繁殖しているものと区別されており、シーボルトなど従来よりこの相違に注目する研究者も多少はいた。21世紀になってコイヘルペスウイルスによる感染症の流行で捕獲しにくいノゴイの死体が多数得られたことから、これを用いて遺伝子解析した研究が2006年になって報告された。それによると、外来の体高の高いコイとノゴイは種レベルに相当する遺伝子の差があることが報告され、日本列島在来の別種として新種記載の必要性も指摘されている。
もともとはユーラシア大陸が自然分布域だったが、移植によって世界の温帯・亜熱帯域に広く分布している。日本でも全国的に分布。
日本のコイは大昔に中国から移入された（史前帰化動物）と考えられ、縄文時代の貝塚からも化石が発見されている。しかし、関東平野や琵琶湖に野生のコイが分布することや、古い地層から化石も発見されていることから、日本にももともと自然分布していたが中国からの移入がありそれが広まったとされる。シーボルトの『日本動物誌』においても、Cyprinus conirostris、Cyprinus melanotus、Cyprinus haematopterus の3種が紹介されているが、学術的にさほど注目もされず今日に至っている。
欧米でもドイツなどでは盛んに養殖され、食用の飼育品種も生み出されている。
コイ コイによる生態系の破壊問題
コイは都市河川などで川をきれいにする目的で河川の環境保護の一環として放流される種でもある。しかし、コイの本来の生息域は大河川の下流域や大きな湖で、中小河川に放流されると他の魚の卵や稚魚を大量に捕食してしまうことがある。こうした放流について、地元の固有種との交雑が起こって何万年もかけて築かれてきた固有種の絶滅を懸念する（遺伝子汚染）声もあるが、当事者には全く意識されていないのが現状である。また、ニシキゴイの放流が原因と推測されるコイヘルペスウイルスによる感染症が地元のコイに蔓延し大量死する事件もある。
また、コイは底生生物や水生植物などを根こそぎ食べてしまうという影響もある。
同じことは飼養種でないコイについても言える。コイは体が大きくて見栄えがするため、「コイが棲めるほどきれいな水域」というきわめて安直な趣旨で自治体レベルで川やダムなどに放流されることが多い。しかしコイはもともとBOD値の高い湖沼や河川を好んで住処とする種で、低酸素環境に対する高い耐性がある。これは、生物界における一般的な基準からすると、他の生物の嫌う水質の悪い水域にしか生息できないことを意味する。実際、逆に水質がよい小川の堰の内部に放流したニシキゴイが餌の問題から大量に餓死する例も報告されており、「コイが棲める＝きれいな水域」という図式は成立し得ないことがわかる。
コイ コイによる生態系の破壊問題
市街地の汚れた河川を上から眺めれば、ボラと放流されたコイばかりが目につくということが多々ある。しかもコイは各種水生生物を貪欲に食べてしまうので、往々にして河川環境の単純化を招きかねない。生物多様性の観点からすれば、もともとコイがいない水域にコイを放流するのは有害ですらある。
日本では外来魚であるブラックバスの問題がたびたび引き合いに出されるが、上述したようなコイの放流はブラックバスの放流と同様の問題を抱えている。本種には低温に対する耐性や雑食性、さらに60センチメートルを超える大きさにまで育ち、大きくなると天敵がほとんどいなくなるといった特徴がある。こうした特徴はいずれも侵略的外来生物に共通するものであり、実際国際自然保護連合では、コイを世界の侵略的外来種ワースト100のうちの1種に数えている。北緯30度線以南にはもともとコイは生息していなかったが、奄美大島では繁殖した。
特にコイを食す習慣のない北アメリカでは、在来の水生生物を圧迫するまでに繁殖している。人為的放流を禁じている州もあるほどで、北アメリカ以外でも猛威を振るっている例が報告されている。アメリカ合衆国では、中国原産のコイであるハクレンとコクレンが五大湖周辺に進出しており、これが五大湖に流れ込んだ場合、五大湖固有の魚が駆逐される可能性が指摘されている。
コイ 保全状態
野生種本来の分布域に生息する個体群は、河川の改修にともなう生態系の破壊や、他地方からの移入個体との交雑による遺伝子汚染による在来個体群の絶滅が危惧されており、2008年に国際自然保護連合により危急（Vulnerable）に指定されている。
コイ 文化
コイは漁・養殖が共に盛んで、世界中の多くの地域で食べられている。
食材としての鯉は、福島県からの出荷量が最多で、鯉こく（血抜きをしない味噌仕立ての汁）、うま煮（切り身を砂糖醤油で甘辛く煮付けたもの）、甘露煮にする。稀に鱗を唐揚げし、スナック菓子のように食べることもある。また、洗いにして酢味噌や山葵醤油を付けて食べる例もある。しかし、生食や加熱不完全な調理状態の物を摂食すると、肝吸虫や有棘顎口虫 (Gnathostoma spinigerum) による寄生虫病を発症する可能性がある。捕獲した鯉は、調理に際しきれいな水を入れたバケツの中に半日-数日程入れて泥の臭いを抜く。さばくときは濡れた布巾等で目を塞ぐとおとなしくなる。
藍藻はゲオスミンや2-メチルイソボルネオールを作り、これが魚の皮膚や血合肉に濃縮される。このゲオスミンが、鯉やナマズなど水底に棲む淡水魚が持つ泥臭いにおいのもとでもある。ゲオスミンは酸性条件で分解するので、酢など酸性の調味料を調理に使えば泥臭さを抑えることができる。
海から離れた地域では古くから貴重な動物性タンパク源として重用され、将軍や天皇に出される正式な饗応料理や日常的にも慶事・祝事の席などでも利用されてきた。卵をもつ真子持ちのうま煮やあらいの切り身の見た目から雌のほうが重宝される。
コイ 文化
かつてサケやブリの入手が困難であった内陸地域では、御節料理の食材などとして今日でも利用されている。山形県米沢市では米沢上杉藩政時代の9代藩主上杉治憲（鷹山）が1802年に相馬から鯉の稚魚を取り寄せ、冬期間のタンパク源などとして鯉を飼うことを奨励した。各家庭の裏にある台所排水用の小さな溜めで台所から出る米粒や野菜の切れ端を餌にして蓄養した。同様の条件で養蚕が盛んだった福島県郡山市では蚕の蛹が餌とされ、やがては生産量日本一にまで成長した。現在の養殖では、主に農業用の溜め池が利用されるほか、長野県佐久地域では稲作用水田も利用されている。食生活の変化から需要の減少と共に全国の生産額は年々減少し、1998年には3億6000万円ほどであったが2008年には1億5000万円余りまで減少している。
中華料理では、山東省に鯉1尾を丸ごとから揚げにして甘酢あんをかけた料理「糖醋鯉魚（）」があり、日本でも代表的な宴会メニューの1つとなっている。
中国では年始の供え物や食べ物として川魚を用いることが多く、最もポピュラーな魚が鯉である。
コイ 文化
鯉は中欧や東欧では、古くからよく食べられている。特にスラヴ人にとっては鯉は聖なる食材とされ、ウクライナ・ポーランド・チェコ・スロバキア・ドイツ・ベラルーシなどでは伝統的なクリスマス・イヴの夕食には欠かせないものである。東欧系ユダヤ教徒が安息日に食べる魚料理「ゲフィルテ・フィッシュ」の素材としても、鯉がよく用いられた。しかし北米では、鯉は水底でえさをあさるために泥臭いとして敬遠されており、釣り（遊漁）の対象魚とはされても食材として扱われることは極めてまれである。ヨーロッパでは、鏡鯉から食用に品種改良され家畜化された鱗のない鯉、革鯉(Leather carp)と呼ばれる鯉が使われる。
コイの胆嚢（苦玉）は苦く、解体時にこれをつぶすと身に苦味が回る。胆嚢にはコイ毒（毒性物質は胆汁酸の5-αチブリノールとスルフェノール）が含まれている場合があり、摂食により下痢や嘔吐、腎不全、肝機能障害、痙攣、麻痺、意識不明を引き起こすほか、まれに死亡例もある。その反面、視力低下やかすみ目などに効果があるとされ、鯉胆（りたん）という生薬名で錠剤にしたものが販売されている。
コイ 文化
中国では、鯉が滝を登りきると龍になる登龍門という言い伝えがあり、古来尊ばれた。その概念が日本にも伝わり、江戸時代に武家では子弟の立身出世のため、武士の庭先で端午の節句（旧暦5月5日）あたりの梅雨期の雨の日に鯉を模したこいのぼりを飾る風習があった。明治に入って四民平等政策により武家身分が廃止され、こいのぼりは一般に普及した。現在では、グレゴリオ暦（新暦）5月5日に引き続き行なわれている。
また比喩的表現として、将来、有能・有名な政治家・芸術家・役者になるため最初に通るべき関門を登龍門と指して言うこともしばしばある。
『日本書紀』第七巻には、景行天皇が美濃（岐阜）に行幸した時、美女を見そめて求婚したが、彼女が恥じて隠れてしまったため、鯉を池に放して彼女が鯉を見に出てくるのを待った、という説話が出てくる。
日本では古くから女性が健康（体力作り）のために鯉を食したと言う伝説や伝承があり、妊婦が酸っぱい鯉を食べて健康になり、無事、安産できたと言う伝説もある。また、御産の後に鯉を食べると母乳がよく出ると言う伝承も見られる。こうした話は東西を問わず内陸地には多い伝承である。
語族の一覧
語族の一覧（ごぞくのいちらん）は、世界の語族（孤立した言語を含む）の一覧である。
語族の一覧 概要
語族は諸言語に共通性を見出し、祖語があるのではとの意識が学究的動機に発展して成立した分類体型であり、比較言語学の方法によって同系統と証明された言語群の最上位のグループ名である。（その下位は語派、さらにその下位は語群。）
語族は、歴史学、民族学などにおいて民族集団の分類に用いられることが多く、それぞれの「～語族」に基づき「～人」、「～系民族」、「～族」などと表現される。
次節以降では自然言語の語族の一覧を掲載する。†は比較言語学の記号で、記号が付属している言語は現在の死語を意味する。自然言語以外はその他とし、リンク先等を参照のこと。
語族の一覧 語族の一覧
インド・ヨーロッパ語族（ケントゥム語とサテム語という分類法もある）
アナトリア語派†：ヒッタイト語†など
トカラ語派†
ヘレニック語派：ギリシャ語
アルバニア語派
アルメニア語派
インド・イラン語派
インド語群：ヒンディー語、ベンガル語など
ヌーリスターン語群
イラン語群：ペルシャ語、タジク語
バルト・スラヴ語派
バルト語派：リトアニア語、ラトビア語など
スラヴ語派：ロシア語、ポーランド語、セルビア語など
ゲルマン語派：英語、ドイツ語、スウェーデン語など
イタロ・ケルト語派（仮説）
ケルト語派：アイルランド語など
イタリック語派：イタリア語、フランス語、スペイン語など
語族の一覧 語族の一覧
パプア諸語：互いの系統関係は立証されておらず、便宜的に括られる。
トランス・ニューギニア語族：ニューギニア諸語最大の語族
セピク語族
トリチェリ語族
ラム・低地セピク語族 (en:Ramu-Lower Sepik languages) (40) (Foleyが最初に提案)
拡大西パプア語族 (en:Extended West Papuan) (仮説的)
西パプア語族 (en:West Papuan languages) (27)
東バーズヘッド・センタニ語族 (en:East Bird's Head-Sentani languages) (9)
ヤワ語族 (en:Yawa languages) (1-2)
南中央パプア語族（Trans-Fly–Bulaka River語族）(en:South-Central Papuan languages) (22) ※
レイクス・プレイン語族 (en:Lakes Plain languages) (19) ※
トル・クェルバ語族 (en:Tor-Kwerba languages) (17) ※
ボーダー語族（タミ語族） (Border languages) (15) ※
メイ左岸・クォムタリ語族 (en:Left May-Kwomtari languages) (12) (問題あり)
語族の一覧 語族の一覧
東チェンドラワシ語族（東ギールヴィンク語族） (en:East Geelvink Bay languages, East Cendrawasih languages) (10)
南ブーゲンヴィル語族 (en:South Bougainville languages) (9)
スコウ語族 (en:Skou languages) (8)
バイニング語族（東ニューブリテン語族） (en:Baining languages, East New Britain languages) (8)
ニンボラン語族 (en:Nimboran languages) (5) ※
ユアト語族 (en:Yuat languages) (5) (以前はラム・セピク語族に分類されていた)
マイラシ語族 (en:Mairasi languages) (4) ※
東トランスフライ語族 (en:Eastern Trans-Fly languages) (4) (1つはオーストラリア トレス海峡諸島) ※
北ブーゲンヴィル語族 (en:North Bougainville languages) (4)
中央ソロモン語族 (en:Central Solomon languages) (4) - それぞれ孤立言語とする場合もある
語族の一覧 語族の一覧
イェレ・西ニューブリテン語族 (en:Yele-West New Britain languages) (仮説的)
イェリ・ダニエ語（イェレ語） (en:Yélî Dnye, Yele) (孤立)
アネム語 (en:Anêm) (孤立)
アタ語（ペレアタ語、ワシ語） (en:Ata, Pele-Ata, Wasi) (孤立)
セナギ語族 (en:Senagi languages) (2)  (おそらくセピク語族と関係あり) ※
ピアウィ語族 (en:Piawi languages) (2) (おそらくラム・低地セピク語族に含まれる) ※
オーストラリア諸語：互いの系統関係は立証されておらず、便宜的に括られる。
ブナバン語族 (Bunuban, Bunaban)
デイリー語族 (Daly) - デイリー川流域
Darwin Region 語族（英語版） - ノーザンテリトリー ダーウィン
Garawan 語族（英語版）
Giimbiyu 語†（英語版）(Mangerr)
グンウィングアン語族 (Gunwinyguan, Arnhem) - ノーザンテリトリー アーネムランド
イワイジャン語族 (Iwaidjan, Yiwaidjan)
Jarrakan 語族（ジェラガン語族、Djeragan）（英語版）
Mirndi 語族 (Mindi)（英語版）
Nyulnyulan 語族（英語版）
パマ・ニュンガン語族 - 約160言語　オーストラリア最大の語族
Tangkic 語族（英語版）
ティウィ語 - ティウィ諸島
Wagiman 語（英語版）
Wardaman 語 (Yangmanic)（英語版）
ウォロラン語族 (Worrorran, Wororan)
ペヌート大語族 - カリフォルニア州、メキシコ東部、グアテマラ、ベリーズ。南米大陸のいくつかの言語を含む説がある
ツィムシアン語
ヨクツ語族
マイドゥ語族
ミーウォク語族
チヌーク語族
サハプティアン語族
ミヘ・ソケ語族 - ミヘ族、ソケ族
トトナク語族　※ミヘ・ソケ語族と合わせてトトソケ語族とする説もある
マヤ語族
チパヤ・ウル語族　※ペヌート大語族に含めない場合もある
ワヴェ語　※オト・マンゲ大語族に含める説もある
語族の一覧 提唱中の語族・大語族仮説
大語族仮説や提唱中の語族（系統関係未証明）の一覧。
ボレア大語族
セルゲイ・スタロスティンが主張する。アジア・ヨーロッパ・北方のアフリカの全言語と、アメリカ先住民諸語のいくつかあるいは全てを含む。ボレアとは北半球のことである。
ノストラティック大語族
ホルガー・ペデルセンが提唱、en:Vladislav Illich-Svitychとen:Aharon Dolgopolskyが現代の仮説に形作る。アフロ・アジア語族、南コーカサス語族、インド・ヨーロッパ語族、ウラル語族、ドラヴィダ語族、アルタイ語族、エスキモー・アレウト語族を含む。
ユーラシア大語族
ジョーゼフ・グリーンバーグが主張する。エトルリア語、インド・ヨーロッパ語族、ウラル語族、ユカギル語、アルタイ語族、朝鮮語、日琉語族、アイヌ語、ニヴフ語、チュクチ・カムチャッカ語族、エスキモー・アレウト語族を含む。
オーストリック大語族
ヴィルヘルム・シュミットが主張した。オーストロアジア語族とオーストロネシア語族を含む。タイ・カダイ語族、ミャオ・ヤオ語族を含むこともある。
東アジア大語族
シナ・チベット語族、モン・ミエン語族、オーストロネシア語族、オーストロアジア語族、クラ・ダイ語族を含む。日琉語族、朝鮮語族を含む場合もある。