hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
アルミニウム 生産
電力価格が高いためコスト競争に弱い日本国内のアルミニウム製錬事業は、オイルショック後採算困難になり、大部分は国外に拠点が移った。日本国内で原石（ボーキサイト）から製品まで一貫生産を行っていたのは、自前の水力発電所により自家発電を行っているため、低価格の電力が入手可能な日本軽金属（蒲原製造所・静岡市清水区）のみであったが、設備の老朽化と採算性の理由で2014年3月閉鎖された。昭和電工社長の鈴木治雄は、座談会において「日本で製錬を行うのは、北海道でサトウキビを作るようなもの」と述べており、いかに日本で製錬した場合の費用が高いかを比喩的に表現している。
アルミニウムの生産量は2014年時点で4930万トンに及ぶ。中国が約40 %を生産し、これにロシア、カナダを加えた3か国で生産量の過半数を占める。中国、ロシアはボーキサイト原産国でもある。ほかのボーキサイト原産国であるアメリカ、オーストラリア、ブラジル、インドも世界生産量のシェア10位以内に含まれる。一方で、ボーキサイトの世界4位の生産国であるギニアや同第5位のジャマイカでまったくアルミニウムが生産されていないように、ボーキサイトの生産とアルミニウムの精練工場との間にはそれほど強い関連性はない。
アルミニウム 生産
これに対し、電力供給とアルミニウム製錬工場との間には強い相関性がある。アルミニウムは製錬に非常に多くの電力を消費するため、ボーキサイトからの精練は電力の安い国で行われる傾向が強い。アラブ首長国連邦やカタールは豊富な石油を元にした火力発電で、またカナダやノルウェーは地形を生かした水力発電で、アイスランドは水力発電と地熱発電によっていずれも電力が安価であるため、アルミニウムの大生産国となっている。14位のモザンビークは、カホラ・バッサ・ダムの豊富な電力に目をつけたBHPグループや三菱商事が製錬会社としてモザール社を設立し、2000年に工場が稼働し始めたことで大生産国となった。ここで製錬されたアルミニウムはモザンビークの総輸出額の50 %を占め、モザンビークの基幹産業として同国の経済成長を支えている。
アルミニウムの消費量も中国が飛び抜けて多く、2014年には2406万トンを消費して、全世界生産量5005万トンのほぼ半分を消費している。消費量は次いで米国が多く、さらにドイツ、日本と続く。
アルミニウム 生産
アルミニウム生産企業としては、カナダのリオ・ティント・アルキャン、ロシアのルサール（ロシア・アルミニウム）、アメリカのアルコア、中国の中国アルミニウムなどが特に大きな生産企業である。日本国内ではすでに精練は行われていないが、圧延や加工に関しては地金を海外から輸入したうえで盛んに行われており、日本軽金属やUACJ、神戸製鋼などがおもなメーカーとなっている。
アルミニウムは電気分解以外の手法でも製造が可能である。たとえばアルミナを2000 °C以下で炭素と反応させ、炭化アルミニウムを生成させる。これを2200 °C以上の高温部へ移動させ、今度はアルミナと反応させて金属アルミニウムと一酸化炭素に分離させる。
化学式としては以下の通りである。
2つ目の反応では逆反応が起こらないように過剰な炭素が必要である。生成されたアルミニウムは一部揮発して反応ガス成分に含まれるが、大半はスラグの上層に液体で単離する。
日本では第二次世界大戦直前にボーキサイトの輸入が途絶すると、満州地域から産出される礬土頁岩を材料としたアルミニウム生産が行われた。戦後は顧みられることもなく製法の伝承も断絶しているが、ロータリーキルンを使用していたことから、こうした電気を使用しない手法が取られていた可能性がある。
一方、アルミニウムの純度を上げる精錬工程は、電力を消費する三層電解法に代わり電力を使用しない分別結晶法を採用することが可能である。粗製アルミニウム金属を融解し、これを局所的に冷却すると、純度の高いアルミニウムが初晶として晶出する。シリコン単結晶の引き上げ処理と原理的には同じである。この方法によって得られる精製アルミニウムの純度は99.98–99.996 %であり、三層電解法に迫る純度を得られる。
古くは塩化アルミニウムを金属カリウムで還元するテルミット反応を用いて生産されていた。
後に、金属カリウムよりもコストが安い金属ナトリウムで還元する生産法が発明された。
アルミニウム リサイクル
ボーキサイトからアルミニウムを精練するのに比し、アルミニウム屑からリサイクルして地金を作る方がコストやエネルギーが少なく済む。そのため、回収された空き缶などをリサイクル原料とし、電気炉などを用いる形態で再生するケースは徐々に増えている。
アルミニウム屑を溶解するにあたっても、融点が約660 °Cと銅や鉄などの主要金属の中では低い方で、少ないエネルギーで行うことができる。ボーキサイトからアルミニウム地金を生産するのに比べ、アルミ缶からアルミニウム地金を生産するのはわずか3 %の電力消費で済む。
アルミニウム リサイクル
こうした利点があるため、アルミニウムは日本国内においてもっともリサイクル化が進んでいる金属であり、アルミ缶のリサイクル率は94.7 %（平成24年度）にも達する。こうしたことから、アルミニウムはしばしば「リサイクルの優等生」や「リサイクルの王様」と表現される。ただし、アルミニウムは酸化されやすい性質のため一度合金にしてしまうと合金として添加した金属や不純物を除去することが困難である。一例としてアルミ缶は蓋がマグネシウム、胴体部がマンガンとマグネシウムをそれぞれ含む（アルミ合金全体の4–5 %程度）ため、アルミ缶だけ集めて溶融させてもこれらが混じってマンガンを含んだアルミニウム合金となるため、蓋用途向けには再生不能になってしまうといった欠点がある。金属精錬において融解させた金属に酸素を吹き込み、目的とする金属よりも酸化されやすい不純物を優先的に酸化除去する手法があるが、アルミニウムの場合、この手法でアルミニウムより酸化しやすいマグネシウムは除去できるもののマンガンはアルミニウムよりも酸化されにくいため、酸素を吹き込んで添加金属を除去する精錬手法が適用できない。このためアルミニウムの再生には合金の種類ごとに分離し、それぞれ別々に再生することが望ましいが、それができない場合は再度電解精錬等の手法でアルミニウムの純度を上げる必要がある。また少々の不純物であれば急速に冷却圧延する手法で不純物の晶出を微細化させ、さらに熱処理を通じて不純物による最終製品への影響を最小化する等の、再生アルミ前提の加工手法も模索されている。
アルミニウム 用途
20世紀のうちにアルミニウム及びそれを主体とする合金は鉄鋼材に次ぐ主要金属材料としての地位を確立している。日用品も多く、非常に生活に身近な金属である。天然には化合物のかたちで広く分布し、ケイ素や酸素とともに地殻を形成するおもな元素のひとつである。自然アルミニウム（Aluminum、Native Aluminum）というかたちで単体での産出も知られているが、稀である。単体での産出が稀少であったため、自然界に広く分布する元素であるにもかかわらず発見が19世紀初頭と非常に遅く、上述のとおり製錬にも大きなエネルギーを必要とすることから産業的に広く使用されるようになるのは20世紀に入ってからと、金属としての使用の歴史はほかの重要金属に比べて非常に浅い。
アルミニウム 用途
アルミニウムの比重は鉄の3分の1程度と軽量であるために利用しやすく、また、軟らかくて展性も高いなど加工しやすい性質を持っており、さらに表面にできる酸化皮膜のためにイオン化傾向が大きい割には耐食性もあることから、一円硬貨やアルミ箔、缶（アルミ缶）、鍋、外構、エクステリア、建築物の外壁、道路標識、ガソリンエンジンのシリンダーブロック、自転車のフレームやリム、パソコンや家電製品の筐体など、さまざまな用途に使用されている。ただし大抵はアルミニウム合金としての利用であり、1円硬貨のようなアルミニウム100 %のものはむしろ稀な存在である。代表的なアルミニウム合金であるジュラルミンは航空機材料などに用いられているが、金属疲労に弱く、腐食しやすいという欠点を持つため、アロジン（クロメート処理）やジンククロメートで表面を保護し、定期的な点検で腐食部を早期に発見する体制を取ることが求められる。
2014年度において、日本のアルミニウム用途でもっとも大きかった用途は輸送用機械の製造であり、40.1 %を占める。次いでアルミサッシなどの建築用途が12.9 %、アルミ缶やアルミ箔などの容器包装用途が10.6 %を占め、この3分野がおもなアルミニウムの用途であるといえる。
アルミニウム 用途
軽量で加工性もよいことから、軽さと強度の両立のため部材形状の工夫も求められる航空機ではアルミ合金が主流となった。冷戦中盤あたりまで、塗装まで削って軽量化したアルミの銀色の輝きは高速航空機の象徴であった（ただし20世紀末頃からさらなる性能向上の要求のため炭素繊維複合材料やチタン合金等の新素材の割合が増えつつある）。鉄道車両でも新幹線電車をはじめとして特急型電車や通勤型電車などでアルミ車体の採用例も多い。押し出し材を使って長大な部材を一体成型し、さらに連続溶接組立する低コスト化量産法が確立され、同一断面を保った16–25 mに及ぶ車体を持つ鉄道車両では、生産性の面でメリットが大きい。なお、一時期自動車も航空機材料に倣うかたちでアルミ化の取り組みがあったが、一部メーカーの高級車やスポーツカーなど特殊な車種での導入に留まり、費用対効果を両立させるため、現在はアルミではなくハイテン材料（高張力鋼）の適用が進み、また炭素繊維の適用も始まっている。軽量さが要求される高速船でもアルミが船体材料に選択されることがある。アルミ合金は軍事分野では装甲車輌や戦闘艦にも応用されているが、鉄鋼に比べて火災時の高熱や被弾に弱いため、軽量さを求められる小型の艦船や、自走砲など直接敵と交戦することを想定しない装甲車輌での使用が主流である。
アルミニウム 用途
構造材としての使用もある（アルミニウム構造）が、窓枠（アルミサッシ）やフェンス等、外構での使用が多い。工場での規格集中生産により高い精度で加工されており、また軽量であるため、建付けや現場での組み立てやすさ、基本的な耐候性が優秀で、1960年代以降急速に普及した。しかし、断熱性の問題から窓ガラスともども結露を生じやすく、近年は代替品として樹脂サッシや現代化された木製サッシが増えている。
高圧送電線にもアルミニウム線が使用される。銅に比べ単位体積あたりの電気伝導度は劣るが、密度が低いため銅線よりも軽量に抑えながら断面積をより大きく取る（太くする）ことができ、単位質量あたりの電気伝導度で優り材料費でもほぼ拮抗する。このため支柱（送電鉄塔）のスパンが大きくなる高圧送電線の材料として有利である。
アルミニウム 用途
粉末になったアルミニウムは可燃物であり、粉塵爆発を起こす場合がある。アルミニウム粉は燃焼熱が大きく、燃焼するときにガスを生じないため熱が集積して高温となり、強い白色の光を発する。これを利用して火薬類に発熱剤として添加される。スペースシャトルの固体燃料補助ロケットでも燃料として使用された。アルミニウム粉の性質は表面積の大きさによって左右されるため、等級は粒度ではなく重量あたりの表面積を示す水面拡散面積で表示される場合が多い。粒度で表示されるような粒の大きいものは粒状アルミニウム粉（アトマイズドアルミニウム粉）と呼んで区別することが多い。
スラリー爆薬などの水湿状態の火薬に混ぜると、アルミニウムの表面で以下のような反応が起きて発熱し、水素が発生する。このため、アルミニウム粉の火災には水をかけることは禁忌である。
アルミニウム粉末は塗料に混ぜて使う場合もある。また、指紋の検出（おもに警察の鑑識課による捜査活動）などでアルミニウムの粉を使用することもある。
アルミニウム粉と酸化鉄(III)との混合物はテルミットと呼ばれ、マグネシウムリボンで着火すると激しく反応し、酸化アルミニウムおよび溶融鉄を生じる。この反応は鉄の溶接にも使われているテルミット反応である。鉄以外の金属の精錬（還元）にも応用される（テルミット法)。
日本の消防法では、150 μmの網ふるいを通過する量が50 %を超えるアルミニウム粉を第2類危険物と定めている。
スポーツ用自転車フレームの素材としては、炭素繊維より安価で鉄鋼より軽量なため主流の素材である（ただし価格面に加えて疲労強度＝耐久性の問題から、多数を占める廉価な日常車や実用車では依然として鉄鋼が占めている）。
真性半導体であるケイ素に微量のアルミニウムを添加することにより、P型半導体が得られる。
軽量で熱伝導性に優れるため、調理器具にアルミニウム合金がよく利用される。熱伝導度についても銅に劣るが、銅よりも安価であるため広く使われる。
俗に「銀ペン」とも呼ばれる銀色の塗料には、アルミニウムの微粉末が顔料として加えられている。耐食性があるため、橋梁などの建築物によく使われた。
アルミニウム 人体への影響
人体へは摂取しても吸収される量は微量で、ほとんどはそのまま排出される。アルミニウムが体内でどのような役割を果たしているかは、まだよくわかっていない。人工透析に必要な透析液の作製に未処理の水道水を用いていた時代においては、水道水中に含まれるアルミニウムを原因とする「透析脳症」（当時の名称ならば「透析痴呆」）を発症したケースも報告された。
そこから「アルミニウムがアルツハイマー病を引き起こす」という主張もなされたが、腎不全の患者の体内に過剰な金属（アルミニウム以外の他の金属（例:Pb,Mg）も含む）が蓄積されることで発症する金属中毒が由来の透析脳症と異なり、アルツハイマー病患者の脳のアルミニウム蓄積量は健常者と変わらないうえ、病理学的所見や臨床所見も異なっている。腎臓が正常に機能し、アルミニウムイオンを排出することのできる成人が、通常の食生活で経口摂取するアルミニウムにより、アルツハイマー病を患うという根拠は乏しく、現在も明確な因果関係を示す研究結果は発見されていない。
アルミニウム 植物への影響
アルミニウムは長石および粘土鉱物などとして普遍的に存在するため、地殻を構成する元素としては酸素、ケイ素に次いで3番目に多い（クラーク数：7.56 %、重量比）。工業的に多彩な用途が見出される一方、酸性土壌中のアルミニウム含量は、植物の成長に影響する重要な要素である。農業や園芸における人工的な栽培環境では中性付近に調整された土壌を用いる場合が多いが、それでも有害なアルミニウムイオン（Al3+）が根の伸長成長を阻害することが知られている。
土壌中のアルミニウムは、pHが5.0を下回ると急激にイオン化して溶解度が高まり、pH3.5ではほぼ完全に溶存体となる。水溶化したアルミニウムイオンが農作物その他の植物に及ぼす害として、以下のようなものが知られている。
根の成長阻害を引き起こす。アルミニウムイオンは根の細胞の細胞壁〜アポプラスト領域へ結合し、種々の応答反応を引き起こす。応答反応としてはβ-1,3グルカンであるカロースの分泌などが知られるが、成長阻害の具体的なメカニズムは分かっていない。成長阻害に関する研究は今も進められているが、アルミニウムが活性酸素の発生を促し、脂質の過酸化やミトコンドリアの機能障害を引き起こすとする意見が有力である。
アルミニウム 植物への影響
コムギやトウモロコシ、アジサイ、ソバ、チャノキなど一部の植物は、アルミニウム耐性を持つ（あるいは高アルミニウム環境にも適応し得る）ことが知られている。アルミニウムを無毒化するメカニズムはさまざまであるが、一般にカルボン酸（シュウ酸、クエン酸、リンゴ酸など）を中心とした有機酸でアルミニウムイオンをキレートし、水溶性の錯体を形成する機構によるといわれている。
アルミニウム耐性に関与する遺伝子は最初にコムギにおいて発見された。耐性関連遺伝子はトウモロコシからも見つかっている。これらの植物においては単一の遺伝子によりアルミニウム耐性が実現されているが、すべての植物のアルミニウム耐性が同一の機構によるわけではないと考えられている。
遺伝子組み換えによりアルミニウム耐性植物を作出する際、その遺伝子源として注目されているものに、土壌性のアルミニウム耐性菌がある。根粒菌として知られるRhizobiumもアルミニウム耐性菌の一種である。強酸性（pH3.0）高アルミニウム条件にて選抜されてくる菌はほとんどが糸状菌であり、アルミニウムの多い土壌ではこれらの生物が優占していると考えられる。以下はアルミニウム耐性菌を含む属の一部である。
アルミニウム 植物への影響
Tashiro M, Fujimoto T, Suzuki T, Furihata K, Machinami T, Yoshimura E (2006). “Spectroscopic characterization of 2-isopropylmalic acid-aluminum(III) complex”. J Inorg Biochem 100 (2):  201-5.  PMID 16384602
Ma JF, Hiradate S, Nomoto K, Iwashita T, Matsumoto H (1997). “Internal Detoxification Mechanism of Al in Hydrangea (Identification of Al Form in the Leaves)”. Plant Physiol 113 (4):  1033-9.  PMID 12223659
アルミニウム 化合物
酸化アルミニウム Al2O3 - 通称アルミナ。モース硬度が9と高く、研磨剤として利用される。ボーキサイトからアルミニウムを製錬する際には、バイヤー法にてボーキサイトからアルミナを製造し、そのアルミナをホール・エルー法にてアルミニウムに製錬することになる。天然の結晶はコランダムと呼ばれ、古来宝石として珍重された。コランダムの中でも特に色の赤いものをルビー、その他の色のついたもの（濃い青がもっとも価値が高い）をサファイアと呼び、非常に価値の高い宝石として珍重される。ルビーの赤色は微量のクロム、(青色の)サファイアの色は微量の鉄とチタンによるものである。
アルミニウム 歴史
アルミニウムの歴史はミョウバン（明礬）の使用で始まった。ミョウバンの記述が最初に文書に残されたのは、紀元前5世紀の古代ギリシア歴史家ヘロドトスによる記述だった。古代人にとって、ミョウバンは媒染剤、薬、そして（要塞を敵の放火から守るための）木の防火塗料であり、ウェットエッチングにも使用した。十字軍以降、ミョウバンは国際貿易の商品のひとつになり、ヨーロッパの織物業では欠かせない存在になった。ミョウバンは15世紀中期にオスマン帝国が輸出関税を大幅に上げるまで、地中海東部からヨーロッパに輸出された。
ルネサンス初期まで、ミョウバンの性質は不明のままだった。1530年ごろ、スイスの物理学者パラケルススはミョウバンをウィトリオル（硫酸塩）と区別し、「ミョウバンの土の塩」であると主張した。1595年、神聖ローマ帝国の医師、化学者アンドレアス・リバヴィウスはミョウバンと緑ウィトリオルと青ウィトリオルが同じ酸と違う土で構成されると示し、ミョウバンを構成した未発見の土の名前については「アルミナ」を提唱した。1722年、神聖ローマ帝国の化学者フリードリヒ・ホフマンはミョウバンの土が別の種類であると信じると宣言した。1754年、神聖ローマ帝国の化学者アンドレアス・ジギスムント・マルクグラフは硫酸で粘土を煮て、続いてカリを加えることでミョウバンの土を生成した。
アルミニウム 歴史
1824年、デンマークの物理学者、化学者ハンス・クリスティアン・エルステッドは金属アルミニウムの作製に成功したと主張した。彼は無水の塩化アルミニウムとカリウム合金で化学反応を起こさせ、見た目がスズに似ている金属の塊を得た。彼は1825年に結果を発表、新金属のサンプルを展示した。1826年、「アルミニウムは金属の光沢があり、やや灰色で、かなり緩やかに水を分解する」と記述した。1827年、ドイツの化学者フリードリヒ・ヴェーラーはエルステッドの実験を再び行ったが、アルミニウムは発見できなかった。彼は後にベルセリウスに手紙を書き、「エルステッドがアルミニウムの塊と仮定したものは確実にただのアルミニウムを含有するカリウムである」と述べた。彼は続いて似たような実験を行った。その内容は無水の塩化アルミニウムとカリウムを混ぜることであり、アルミニウム粉末の作製に成功した。彼は研究を続け、1845年に小さなアルミニウムの塊を作製することに成功、その物性を記述した。しかし、ヴェーラーの記述はそれが不純物を含むアルミニウムだったことを示している。ヴェーラーなどほかの科学者がエルステッドの実験を再現できなかったことは、エルステッドが金属アルミニウムの発見者とされない理由のひとつになり、逆にヴェーラーは1845年の実験の成功とその詳細が発表されたことで金属アルミニウムの発見者とされた。
アルミニウム 歴史
フランスの化学者アンリ・エティエンヌ・サント＝クレール・ドビーユは、1854年にパリ科学アカデミーでアルミニウムの工業製法を発表した。塩化アルミニウムはヴェーラーが使ったカリウムよりも便利で安いナトリウムでも還元することができるのであった。その後、アルミニウム棒は1855年のパリ万国博覧会で初めて公開展示された。1856年、ドビーユは数人のパートナーとともにルーアンの製錬所で世界初のアルミニウム工業生産を開始した。1855年から1859年にかけてアルミニウムの価格は1パウンド500米ドルから40ドルまでと、10分の1以下に下落した。しかし、ドビーユの製法でもアルミニウムの純度の高さが足りず、サンプルによって性質が異なった。
アルミニウムの最初の工業（大規模）生産法は1886年にフランスの工学者ポール・エルーとアメリカの工学者チャールズ・マーティン・ホールが開発したホール・エルー法である。ホール・エルー法がアルミナをアルミニウムに変える手法である一方、オーストリア＝ハンガリー帝国の化学者カール・ヨーゼフ・バイヤーは1889年にバイヤー法というボーキサイト（鉄礬土）をアルミナに純化する手法を発見した。現代の金属アルミニウム生産はバイヤー法とホール・エルー法に基づく手法を使用している。1920年にはスウェーデンの化学者カール・ヴィルヘルム・セーデルベリ（Carl Wilhelm Söderberg）率いる研究チームがホール・エルー法を改良した。
アルミニウム 市場
日本のアルミニウム地金輸入量は2021年は約280万トン、金額は7,463,024,528ドルで前年より60.9%上昇した。最大の輸入相手国はロシアである。2021年から国際市場価格も変動しており、2022年ロシアのウクライナ侵攻のあとは3月に一時的な暴騰があった。
日本の造幣局も財務省理財局の貨幣回収準備資金として1円玉の原料であるアルミニウム地金を保管しており、理財局が毎年数回、売払いの入札公告を行っている。
ネオジオ
ネオジオ（NEOGEOまたはNEO・GEO）は、エス・エヌ・ケイ（旧社）が開発・販売、およびレンタルしていた家庭用ゲーム機、並びに業務用ゲーム機の名称。「新たなる大地」の意味を持つ。また、両機で使用されているシステムウェアの総称でもある。
「アーケードゲームと互換性のある家庭用ゲーム機」というコンセプトのもとで、家庭用ゲーム機として開発が進められたが、後に業務用（アーケード用）にも流用された。イメージキャラクターは、黒い燕尾服に黒マントと黒シルクハットに笑い顔をイメージさせる切れ込みの入った、のっぺりした仮面姿の「ゲーマント」。
レンタル用（家庭用）は、その名の通り、主にレンタルサービスを中心に展開していたが、最初からレンタル取扱店などに問い合わせることで一般販売も可能にしていた。発売当初はゲームセンターに設置され、1プレイごとに料金を徴収する扱いもあったというが、ライトユーザーをふり向かせるゲームは少なかった。しかし、対戦型格闘アクションが流行となり、注目を浴びるようになった。発売間もなく、全国の玩具店やデパートなどで販売が実施されているという内容の誌面広告（『ファミリーコンピュータMagazine』 1990年5月25日号 発売は4月25日）で確認できる。1990年6月からは、名称を「家庭用」に統一し、1991年7月1日にはハードとソフトの価格改定で一般販売を本格的に行った。
ネオジオ
この項目では家庭用ネオジオ（ロムカセット版）を中心に説明するが、業務用ネオジオであるMulti Video System（MVS）との共通箇所も併せて説明する。
ネオジオ ハードウェア
ネオジオの基となるハードウェアは、ネオジオのサードパーティーとなるアルファ電子（後のADK）が開発した。
ロムカセット（ロムカートリッジ）
家庭用カセット版・業務用で採用されているソフトメディアで、2枚の基板が1つのプラスチック製カートリッジにパッケージングされている。
家庭用カセット版と業務用とでは形状が異なる。家庭用の方がやや大きい。ゲームを始めるには、カートリッジを本体にセットして、電源を入れた後にリセットボタンを押すことでゲーム画面となる。
任天堂のスーパーファミコンやセガのメガドライブとキッズコンピューター・ピコのロムカセットと比べると2倍以上大きく、その分収められるデータ量も巨大である。そのため、「アーケードゲームと遜色ないものが家庭でも遊べる」ことが強みであった。
カセットの形状は、日本国内外共通であり、日本国外版のカセットを日本国内版の本体でプレイする、あるいはその逆が可能になっている。
ただし、国別設定（および、業務用 / 家庭用の区別）は本体BIOSを取得することで行われるため、日本国外版のカセットであっても日本国内版の本体で使用すれば日本語版として動作する。また、業務用カセットであっても社外品の変換アダプタを用いて家庭用本体で使用すれば家庭用として動作する。
ネオジオ ハードウェア
容量は当時のゲーム業界におけるROMメディアの通例どおり、メガバイトではなくメガビットを指して「MB」で表記されている。
コントローラー
家庭用の場合、操作のために使う純正のコントローラーは十字キーがレバー式のファイティングスティックが使われている。
重量はやや軽め。ボタンはゆるやかな弧を描いて配置され押すと深く沈む作り。
NEOGEOCDに付属されるネオジオCD専用コントローラーはパッド式だが、差込口が同じなので繋げれば使用が可能になる。
CD-ROM
ネオジオCDおよびネオジオCD-Zで採用されているソフトメディアである。
詳しくはネオジオCDの項目にて。
メモリーカード
ゲーム中のセーブデータは、PCMCIA規格準拠のPCカードのメモリで保存される。容量は2キロバイト。保存可能タイトルは28タイトル。ただし、スコアの記録程度のものが大半で、セーブデータを積極活用するようなソフトは極少数に留まった。
格闘ゲームではゲームオーバーになったステージの時点でセーブして、ゲーム開始時にデータのロードを行う。いきなりラスボス戦から始めることも可能である。また、一部作品の隠し要素を使用する際は、メモリーカードが必要になる場合が多い。
ネオジオ ハードウェア
業務用でも一部の筐体にはメモリーカードのスロットが装備されているため使用できる。家庭用カセット版でプレイしたゲームの続きを業務用でプレイすること、あるいはその逆が可能となっている。
電池切れを防止するため、純正メモリーカードではなく市販のSRAMカードを代用することができる。
起動時のアニメーション
家庭用カセット版および業務用を起動すると、最初に「NEO・GEO」または「NEOGEO」の黒文字の言葉と白色の背景が同時に現れ、その後、その文字と背景の色が反転した後に「（文字列） PRO-GEAR SPEC」という白文字の言葉と「SNK」という前述の言葉とは違うフォントで表された青文字の言葉が追加されて出てくる。
この起動時のアニメーションは、ダイナの『Vライナー』や、ブレッツアソフトの『ジョッキーグランプリ』などのBET系作品を除けば、他社作品も含めて全ての作品に共通して使用されている。『Vライナー』は日本を含む世界中のカジノ（日本国内ではメダルコーナー）で稼動したスロットゲームで、通常の起動画面との違いは、背景の色が反転しないことと、「NEOGEO」の白文字の言葉の回転がブレながら行われることである。『ジョッキーグランプリ』に至っては起動アニメーションそのものが表示されないままゲームが立ち上がる。
ネオジオ ハードウェア
なお、「（文字列）」の部分は以下より説明する。
MAX 330 MEGA
ネオジオの初期作品から『メタルスラッグ2』まで「（文字列）」の部分を表示していたのがこの言葉で、フォントは「PRO-GEAR SPEC」と同じである。
「MAX 330 MEGA」の意味である「最大330メガ」は化粧箱の「DIRECT ROM ACCESS CAPABILITY: 330」という記載と関係があると思われる。一般的な認識としては「ロムカセットの最大容量」という情報が伝わっているが、事実でない可能性が高い。
GIGA POWER
表現力を増すためにロムカセットの容量がさらに巨大化していくことを表すために『リアルバウト餓狼伝説2』以降の作品は、『メタルスラッグ2』を除いてこの表記が「MAX 330 MEGA」に代わって表示されていく。
ただし、フォントは「MAX 330 MEGA」と違って別物となっている。
また、この表示から「NEO・GEO」の表示も「・」が抜けて「NEOGEO」と表示されるようになった。ただし、『リアルバウト餓狼伝説2』以降の一部作品でも「NEO・GEO」と表示される作品は存在した。
『リアルバウト餓狼伝説2』は539メガビットの容量であり、2004年発売の『ザ・キング・オブ・ファイターズ2003』は716メガビットもあった。
起動時のBGMの音色
ネオジオ ハードウェア
前述の通り、起動時については、アニメーションは全作品共通であるものの、一部メーカーの作品でBGMだけは音色が異なる。
なお、それ以外のメーカーの作品はSNK作品と共通の音色である。
また、中には業務用のみにしかリリースされていない作品もあり、かつ起動時のアニメーションが最初から表示されない作品もあるが、後述するMVSコンバーターやユニバースバイオスといったアイテムを駆使して家庭用モードで起動すると、確認が可能となる。
ネオジオ ハードウェア
音色が異なるメーカーは以下の通り。
エス・エヌ・ケイ
『トッププレイヤーズゴルフ』のみ、他とは異なる音色となっている。
ADK
アルファ電子時代の作品も含む。
なお、「ADK」と社名変更する前辺りから音色が変更されている。
また、起動画面で表示される「PRO GEAR」の「R」のフォントも異なる。
NMK
ネオジオ向けに開発したゲームは『作戦名（オペレーション）ラグナロク』のみで、家庭用には移植されていない。
彩京
ネオジオ向けに開発したゲームは『ストライカーズ1945 PLUS』のみで、家庭用には移植されていない。
エイティング
ハドソンの許諾により『ボンバーマン ぱにっくボンバー』がリリースされている。
なお、開発をイレブンが行っているため、音色はSNK作品で流れる音色にドラム音を加えたものとなっている。
ザウルス
音色が異なっているのは『ステークスウィナー 〜GI完全制覇への道〜』のみ。
こちらも開発をイレブンが行っているため、『ボンバーマン ぱにっくボンバー』と同じ音色が採用されている。
なお、続編の『2』はSNK作品と同じ音色が採用されている。
サミー工業
リリースしたゲームは『ビューポイント』のみである。
ネオジオ ハードウェア
開発を後にサミー工業に吸収合併されたエイコム（旧社）が行っているため、再独立後のエイコム（新社、後に「夢工房」と社名変更、後述）作品である『パルスター』や『ブレイジングスター』と同じ音色が採用されている。
サン電子
同社作品でSNK作品とは違う音色が採用されているのは『ギャラクシーファイト 〜ユニバーサル・ウォーリアーズ〜』のみである。
データイースト
参入第1弾として開発・発売した『ミラクルアドベンチャー』のみ、SNK作品と同じ音色が採用されている。
なお、同社最後のネオジオ作品である『マジカルドロップ3』では、また別の音色が採用されている。
テクモ
開発したゲームは海外販売のみの『テクモ ワールドサッカー'96』のみ。
ナスカ
なお、この会社がSNKに吸収合併された後も、この会社の作品を題材とした一部の作品にも同じ音色が採用されている。
ビデオシステム
ネオジオでリリースされた作品全てSNK作品と音色が異なっている。海外のみの発売となった『ガッポリン』だけ、他のネオジオ向け同社作品とは違う音色が採用されている。
フェイス
同社作品でSNK作品とは違う音色が採用されているのは『ぐるりん』のみ。家庭用には移植されていない。
夢工房
音色はエイコム時代から一貫して変更されていないが、『雀神伝説』のみホワイトボード（サントス）開発のため、また別の音色が採用されている。
100メガショック
1992年の『龍虎の拳』など、カートリッジ内のROMに記憶できる容量が増えたことや、対戦型格闘ゲームのブームによりキャラクタのスプライトパターンや効果音が増えたことにより、容量が100メガビット以上のカートリッジが登場した。それらの作品に対してのキャッチコピーとして使用されたのがこの言葉である。
それと同時に、そのキャッチコピーで宣伝された一部の作品には、ネオジオ起動時のオープニングの後に、「THE 100 MEGA SHOCK!」という言葉が流れるアニメーションが収録されたり、業務用のインストや家庭用カセット版のパッケージにその言葉を使用したロゴが記された。なお、容量が100メガビット以下で、ビッコムが開発した98メガビットの対戦2D格闘ゲーム『ファイトフィーバー』も、起動時のアニメーション後に「THE 100 MEGA SHOCK!」のアニメーションが流れるため、100メガビット未満であるものの「100メガショック」作品とされる。
キャッチコピーを使用し始めてから2年後には、200メガビット以上の作品が登場するようになったため、この言葉も1990年代後半の作品では使われなくなっていった。
MVSとの違い
家庭用NEOGEOとMVSをゲーム画面内で見分ける基準として、「CREDITS」表示の位置が挙げられており、NEOGEO版は画面下の左右に表示されている。
ネオジオ 周辺機器
これらとは別に、ネオジオCD向けの周辺機器のうち一部は互換性があるため使用可能。
MVSコンバーター
業務用であるMVS版の専用カートリッジを家庭用ネオジオROMカセット版の本体で使用することが可能になる変換機器である。
最初にコンバーターを家庭用の本体のカセット差込口に差し、そのコンバーターの上にMVS版のカートリッジを差す構造となっている。
なお、家庭用本体にはBIOS（バイオス）が搭載されており、これには日本向け・米国（英語圏）向け・欧州向けがある。例えば日本向けのBIOSが内蔵されている家庭用本体を使うと、日本版あるいは日本国外版などと関係なく、全てのソフトが日本版の家庭用向けの状態でプレイできるようになる。
これは米国向け・欧州向けについても当てはまる。だが、ネオジオも他の家庭用ゲーム機と同様に、各々の国で販売する際に、各々の国のアナログテレビジョン方式の規格に準じて製造されている。例えば、NTSC方式の国では、その方式によって家庭用ゲーム機およびソフトも作られているため、同じゲーム機のソフトでも他の方式にそって作られているソフトは、NTSC方式に準じて製造された本体では使えない可能性が高い。
ネオジオ 周辺機器
家庭用ROMカセット版の日本国外版を使用した場合も同様のことができ、日本国外でしか発売・販売されていないMVS版・家庭用ROMカセット版の作品のほとんども日本版の家庭用向けの状態でプレイできる。
これにより、業務用でしかリリースされていない作品を家庭用モードでプレイすることが可能になる。
ただ、業務用の本体と家庭用の本体は同じ基板であり互換性があるが、一部が乱れて表示されてしまうものもあれば、プレイ不可能なものもある。
現在、「phantom-1」と「NEO SUPER SNK MVS CONVERTOR」という2つのコンバーターがリリースされており、後者は日本でもネット通販で販売されていることが確認されている。
カートリッジ（カセット）形式なのでネオジオCD版では使用できず、後述するユニバースバイオスがこれの代替となっている。また、NEO SUPER SNK MVS CONVERTORに同梱するドライバCDは同社製の別の商品のドライバ兼カタログである。
ネオジオ 周辺機器
NeoSaveMasta
メモリーカードの互換品。FeRAMが使用されており、電池が不要になっている。バンク切り替えで純正メモリーカード16枚分のセーブデータを記録出来る。
ユニバースバイオス（UNIVERSE BIOS）
略称は「UNI」、「UNIBIOS」。
前述のMVSコンバーターで述べた通り、家庭用カセット版と業務用は基本的に中身が同じだが、互いの本体（業務用の場合は基板）に搭載されているBIOSにより、家庭用カセット版か業務用のどちらかのモードで起動するようになる。
その互いのBIOSにこのユニバースバイオスを加えると、家庭用カセット版と業務用のどちらでも、家庭用カセット版と業務用の両モードを使用できるようになるほか、チートやジュークボックスなどの豊富な機能が使用できるようになる。
オフィシャルバージョン（有償）とフリーバージョンの2種類とあるが、互いのそれぞれのバージョンの中身に違いは無い。
ネオジオ ソフトウェア
2004年の『サムライスピリッツ零スペシャル』をもって、日本国内でのネオジオソフトの開発は終了した。
非ライセンス品としては2005年12月7日にNG:DEV.TEAMというドイツのゲーム開発チームにより、家庭用ネオジオ向け横スクロールアクションシューティングゲームのLAST HOPE（ラストホープ）が製作されていることが発表され、翌年の10月には、日本向けにも発売された。価格は500ユーロまたは675ドルで日本円に換算すると約8万円と、家庭用ネオジオソフト史上もっとも高額で、また、販売数量は限られていた。ネオジオCD版やドリームキャスト版の発売も発表され、その後、家庭用ネオジオ版に続いてドリームキャスト版が、2007年11月にはネオジオCD版がリリースされた。ネオジオCD向け作品のリリースは、『ザ・キング・オブ・ファイターズ'99』以来となった。パッケージおよびジャケットにネオジオの表記は一切使用されていない。代わりに家庭用ネオジオの俗称である「AES」の文字が表記されており、CD版には「AES CD」と表記されている。
ネオジオ 販売展開
従来は、ゲームセンターの業務用ゲーム機（アーケードマシン）でのゲーム内容の差し替えは内部基板の交換に依っていた。しかし、基板が嵩張ることから製造や流通のコストを押し上げる要因ともなっており、また小さなゲームセンターにとっては、ゲーム内容の入れ替えが大きな負担となっていた。
この問題に対して業務用ゲーム機メーカーのSNK側が出した回答の一つが、家庭用ゲーム機のように、汎用のハードウェアを作成し、ソフトウェアをロムカセット化した上で、ゲーム機内のスロットに投入することで、簡単にゲームの差し替えを行えるようにするという物だった。システム基板とソフトウェアの供給媒体との分離自体は1980年代にすでに確立されており、データイーストのデコカセットシステムやカプコンのCPシステムなどで既出の手法だったが、供給媒体をカートリッジとして交換を容易にしたほか、1台の基板で複数のソフトウェアを導入し切り替えることが可能な作りにするという独自の要素を導入した。また、初期タイトルのソフトウエアは3万円程度と、媒体がカートリッジ（カセット）だったため業務用としては非常に安価に設定された。この価格は、初期の家庭用のソフトウエアと同額である。
ネオジオ 販売展開
これにより開発され、1990年に発売された業務用ネオジオである、通称「Multi Video System」（略称：MVS）では、アーケードゲームとしての一般的な販売手法の他に、設置を希望する店舗に無償で筐体を貸し出しその収益を徴収するという独自の手法を取った。またソフトウェア交換が楽な上に1台のゲーム機で複数ゲームを提供できることから、スーパーマーケットなどに併設されているような小規模なゲームコーナーや、玩具店・書店・駄菓子屋の店頭にゲーム機を設営する際に、その省スペース性が受けて普及した。特に青いフードが目印のSCシリーズはローラーも付いており移動性にも優れた。なお、後期型の1カートリッジタイプを除けば、ソフトウエアごとのインカムを別々に集計する機能が備わっているため、不人気タイトルを容易に特定でき、適切なタイトル変更が行える仕様だった。
日進月歩の歩みでハードの移り変わりが激しいこの業界で、2004年までに家庭用ネオジオと共に14年間にわたりソフトを供給した。
モデル名 NEO-0。1992年度にグッドデザイン賞を受賞した。
ネオジオ 販売展開
業務用のMVSがリリースされた一方、MVSと同時開発していた家庭用ネオジオも1990年4月26日に58,000円で販売された。俗称：AES（家庭用ネオジオ本体などに記載されたネオジオのキャッチコピー「Advanced Entertainment System」から由来する）で、これは後述のネオジオCDも同様である。発売当時、「ゲームセンター向けハードウェアと同じ品質で、かつゲームセンターでヒットしていたゲームがほぼそのまま家庭で遊べる」という特徴により、特に金銭に糸目をつけない熱心なゲームファンに支持された。翌年の1991年7月1日は、本体の販売価格が48,800円に変更された。併せて、それまでに発売されていた各ゲームタイトルの価格も見直しがされた。
ユーザーからは「容量が増えることに比例して手間とコストが掛かるのではないか」という疑問を抱かれていた。それに対してメーカーに聞き込むと、容量の増大に対してネガティブには受け取りにくい回答しか出されていない。
なお、当初は「MVS用ソフトウェアにわずかな変更を施したものが家庭用」と思われていたものの、後述する「MVSコンバーター」や「ユニバースバイオス」の登場により、実際は業務用も家庭用カセット版も中身は全く一緒で、最初から家庭用のプログラムも組み込まれていることが明らかになっている。
ネオジオ 販売展開
家庭用本体の販売と同じ日に、レンタル用の本体とソフトウェアも販売開始され、ゲームセンターや当時急速に日本全国に普及していたレンタルビデオ店で貸し出す事業を行った。なお、パソコンゲーム業界では1980年代前半よりレンタルを「違法コピーの温床」と否定的に捉える風潮が強かった。家庭用ゲーム業界もそれをほぼそのまま踏襲していたことから日本ではアメリカ合衆国と異なりゲームレンタルは「潜り」の商売とみなされて来た経緯がある。そのため、ネオジオのソフトを含めたレンタルは日本初のメーカー公認レンタルである。
2004年、エス・エヌ・ケイ（旧社）の後継企業に当たるSNKプレイモアは『サムライスピリッツ零スペシャル』の発売を最後にネオジオの生産を終了させた。生産終了の最大の理由は、「海賊版、エミュレーターなどのコピー問題」である。
SNKや後継のSNKプレイモアはこの問題に対策を施したが、発売から10年以上も経っていたこともあって、ハードはすでに徹底的に隅々まで解析され尽くされていた。そのため、知識のある人間によってコピーガードなどのプロテクトは簡単に解除されたり、会社側がさらにセキュリティを強化しようとしても、今度はソフトの互換性に問題が生じることとなってしまった。
ネオジオ 販売展開
以上のことなどを踏まえ、SNKプレイモアは生産終了を発表し、事実上ネオジオの歴史に幕を閉じることとなった。このことについては、「ザ・キング・オブ・ファイターズ完全読本」内でも、SNK時代からのSNKプレイモア社員によって語られている。
2007年8月31日、SNKプレイモアは、ネオジオの家庭用ゲーム機体、アクセサリー、ゲームカートリッジ、そしてネオジオCD、ネオジオCDZ、ネオジオポケット、そしてネオジオポケットカラーのメンテナンスと修理を終了しました。
一部の国では2007年現在において安価で良質なゲームが楽しめる業務用ゲーム機として重宝されていた。
2010年、ネオジオは発売後20周年を迎えた。これを記念し、SNKプレイモアは同社サイトに20周年記念ページ“ NEOGEO MUSEUM ”を開設した。この記念ページ立ち上げと同時に別会社に委託する形でネオジオメモリーカード、ネオジオCD・ネオジオポケットを除くネオジオの補修を再開していたが、現在は終了している。
2012年12月、SNK公式ライセンス商品としてNEOGEO Xが日本国内でも発売された。
ネオジオ 販売展開
2018年5月10日には現SNK社よりネオジオ ミニが発表され、7月24日に発売された。本体は業務用の「SC型」を模している。ネオジオの名作タイトルを40作品プリインストール（内蔵）し、3.5インチ液晶ディスプレイを搭載し、モバイルバッテリーにも対応しているので携帯ゲーム的に遊ぶことができる（外部ディスプレイへ映像も出力できる）。
2019年11月11日には現SNK社よりネオジオ アーケードスティック プロが発売された。先に出た「ミニ」同様、ネオジオの名作タイトルを20作品＋αプリインストールしているが、こちらはネオジオCDに付属したコントローラをイメージしたジョイスティック（にゲームが内蔵された形）になっており液晶ディスプレイは非搭載。「ミニ」のジョイスティックとしても使用できる。
ネオジオ 販売展開
2005年、SNKプレイモアはPlayStation 2（以下：PS2）向けとして、『NEOGEO オンラインコレクション』というシリーズを発表。高額なネオジオ向け製品が完全移植で、安価にPlayStation 2で楽しめることとなった。第1弾として発売された『餓狼 MARK OF THE WOLVES』（以下：餓狼MOW）は、この作品は旧SNK時代の作品であるものの、オープニングに出てくる「SNK」および「SNK Presents」のロゴが「SNK PLAYMORE Presents」に差し替えられており、「基本操作説明」の画面はカットされているなど、完全移植ではなかった。
一応完全移植と呼べるようになったのは第3弾である『THE KING OF FIGHTERS オロチ編』からである。しかし、第3弾以降の一部の作品でも、表現などの問題もあって修正せざるを得なくなったものもあった。逆に、第2弾の『月華の剣士1・2』以降の作品には、第1弾である『餓狼MOW』にあったギャラリーモードや技表、プラクティス（トレーニング）モードが無く、PS2用に少し変更を加えただけの、ネオジオ版ほぼそのままのいわゆるベタ移植だった。
SNKプレイモアはD4エンタープライズに版権許諾を出すという形でWiiのバーチャルコンソールに参入しており、同サービスで一部のネオジオ用ソフトがダウンロード販売されていた。
ネオジオ 販売展開
2010年12月22日にはPlayStation 3およびPlayStation Portableにおいてネオジオ用ソフトのダウンロード販売を行うネオジオステーションが開始された。PS3版は、1080p描画によりi/p変換を排し液晶などフラットパネルディスプレイ上でブラウン管と遜色ないプレイ環境を実現するとともに、インターネットを通じてラグの少ない高品質なマルチプレイが楽しめる。PSP版はアドホック通信によるマルチプレイに対応している。両機種とも、ゲーム中の任意の状態のセーブ、ネオジオ用メモリーカードや当時のバグなどの現象を含めたエミュレーションなどが可能な他、購入済全タイトルを網羅するBGM鑑賞モードを搭載している。
2011年4月19日には上記のD4エンタープライズが運営するプロジェクトEGGより、Windows向けにネオジオ用ソフトの配信を開始。千差万別なWindows環境に合わせて解像度を含む各種設定が変更可能であり、クイックセーブやムービーキャプチャも搭載されている。
この他、Xbox 360のXbox Live Arcadeに移植されたタイトルも存在する。それぞれHD高画質化されており、オンラインによる対戦・協力プレイが可能、実績システム、インゲームマニュアル（格闘ゲームでは技表を表示）などに対応している。
2016年からはハムスターと日本一ソフトウェアによるアーケードアーカイブスのサブブランド「アケアカNEOGEO」としてMVS版の配信が行なわれている。
このようにそれぞれのプラットフォームにて安価にダウンロード販売がなされているタイトルも多く、入手もゲームプレイも容易である。移植にあたってはバーチャルコンソールとプロジェクトEGGのようなROM版そのままの完全移植に近いものから、ネオジオステーション、Xbox LIVE アーケードのように元から新たな機能を追加した上での新規移植とも言える出来のタイトルも存在する。
ガウスの消去法
ガウスの消去法（ガウスのしょうきょほう、英: Gaussian elimination）あるいは掃き出し法（はきだしほう、英: row reduction）とは、連立一次方程式を解くための多項式時間アルゴリズムであり、通常は問題となる連立一次方程式の係数からなる拡大係数行列に対して行われる一連の変形操作を意味する。
同様のアルゴリズムは歴史的には前漢に九章算術で初めて記述された。連立一次方程式の解法以外にも
などに使われる。このアルゴリズムは、大きな方程式系を系統的な方法で小さな系へ分解する方法を与えるものと理解することができ、基本的には、前進消去 (forward elimination) と後退代入 (backward substitution) という2つのステップから成る。
行列に対して掃き出し法を行う為には、行に関する基本変形を行列に可能な限り繰り返し行って行列の左下部分の成分を全て 0 にする。行に関する基本変形には、
ガウスの消去法
の3種類の操作があり、必ず行列を上三角型に変形することができる。実際には、ゼロでない成分を持つ行が、ゼロしか成分に持たない行よりも上に位置し、主成分（行内の 0 でない成分のうち最も左にあるもの）が、その行の上にある行の主成分よりも、真に右側に位置する行階段形に変形される。
特に全ての主成分が 1 になり、主成分を含む列にある主成分以外の成分が 0 であるとき、この行列は行簡約階段形であると呼ばれる。この最終形は一意的であり、どのような行基本変形が行われたかには依存しない。例えば、次の様な行基本変形の繰り返し（各ステップで複数の基本変形を行っている）で、3番目と4番目は共に行階段形であるが、最後の4番目が一意に定まる行簡約階段形である。
行基本変形を用いて行列を行階段形に変形することをガウス・ジョルダンの消去法（ガウス・ジョルダンのしょうきょほう、英: Gauss–Jordan elimination）という。ガウスの消去法という用語を上三角形または（簡約とは限らない）行階段形へ変換する手法を指すこともある。連立一次方程式の解を求める際に行基本変形を完全に簡約化する前に止めてしまう方が、計算上の理由から良いとされる場合もある。
ガウスの消去法 基本的な考え方
次の n 元m連立一次方程式を考察する。右側にある行列がその拡大係数行列である。
この方程式が （ かつ  は任意の定数）という解を持つとすると、これらの式は次の連立一次方程式を略記したものであると見なせる。ただし、下段に並んでいる、左辺の全ての係数が 0 である式は  本ある。
同様に右側にある行列がその拡大係数行列である。
始めの拡大係数行列から上の拡大係数行列の形に変形する為には、対角成分に注目して行基本変形を行って行簡約階段形に変形する。ただし簡単のため、変数の番号を付け替えることなしに主成分がすべて対角線にあるものと仮定する。しかし一般的には、このような仮定の下で作業を行っても次の形の行簡約階段形にしか変形できない。（最も右の列の r + 2 番目の成分以下はすべて '0'）
ガウスの消去法 基本的な考え方
この時点で、与えられた連立一次方程式が解を持つ必要条件が  であることが分かり、これは十分条件でもある。実際、 とすると、上記の形の解が逆に得られていることは明らかである。より現実的な解法としては、未知数が k 個定まった時点で残り k + 1 個の未知数を含む式が解けるため、 から  までの全ての変数を孤立させる必要はない。
これを行列の言葉で言えば、拡大係数行列を行簡約階段形にまで変形せずに途中で止めてしまう方がより現実的であるということになる。つまり、拡大係数行列が次の形の行階段形に変形された時点で、それ以上の簡約化を止めるのである。このとき、対応する連立一次方程式がその右の形に表せる：
従って、任意定数  を用いて >r+1 番目以後の s 個の変数を と置き、右辺に移項して下から順に値を代入していくことで全ての解を確定できる。
ガウスの消去法 例
次の連立一次方程式の解を拡大係数行列を用いずにガウスの消去法のアルゴリズムで求めてみる。
式の本数が固定されていること、式の入れ替えもまた一つの操作であることに注意すべきである。
まず前進消去をする。
1 番目の方程式を 1/2 倍する。

2 番目の方程式に 1 番目の方程式の −4 倍を足す。3 番目の方程式に 1 番目の方程式の −2 倍を足す。4 番目の方程式に 1 番目の方程式の −3 倍を足す。

2 番目の方程式を 1/2 倍する。

3 番目の方程式に 2 番目の方程式の -2 倍を足す。4 番目の方程式に 2 番目の方程式の -1 倍を足す。

3 番目の方程式と 4 番目の方程式を入れ替える。
そこで、（"c" は任意定数）とおくと、
これで解が全て求まった。
一般的なアルゴリズムについては、たとえば(コルテ & フィーゲン 2009, p. 96)を見よ。
ガウスの消去法 注意
対角成分が 0 になる場合には、枢軸選択（ピボット選択）という式の交換を行う必要がある。
対角成分が 0 になる場合以外でも、対角成分が絶対値が最大の係数になるように枢軸選択を行ったほうが、解の丸め誤差が少なくなる。ただし、これは行列要素の絶対値が同程度の大きさの場合のみ成り立ち、スケーリング（=前処理として方程式に適当な正則対角行列を掛け等価な方程式へ変換すること）を行わずに枢軸選択を行うとむしろ精度が悪化する場合もあるため、注意が必要である。
枢軸選択には部分選択法と完全選択法がある。絶対値が最大の係数を探索する範囲が、部分選択法は掃出し列（下方向）のみであるのに対し、完全選択法ではすべての項目（右および下方向）である。完全選択の方が計算精度は高いが計算速度およびアルゴリズムの複雑化の面で不利であるため、完全選択法の採用は現実には少ない。
アレクサンドル・ボロディン
アレクサンドル・ポルフィーリエヴィチ・ボロディン（Alexander Porfiryevich Borodin, Алекса́ндр Порфи́рьевич Бороди́н  発音, 1833年10月31日（ユリウス暦）/11月12日（グレゴリオ暦） - 1887年2月15日/2月27日）は、帝政ロシアの作曲家、化学者、医師。ロシア音楽の作曲に打込んだ「ロシア5人組」の一人である。
アレクサンドル・ボロディン 生涯
サンクトペテルブルクにて、グルジアのイメレティ州タヴァディ出身の貴族であるルカ・ステパノヴィチ・ゲデヴァニシヴィリ（ロシア名ゲディアノフ、62歳）と既婚のロシア人女性エヴドキヤ・コンスタンチノヴナ・アントノヴァ（25歳）の非嫡出子として生まれる。
ゲデヴァニシヴィリはボロディンを実子として戸籍登録せず、ロシア人農奴の一人ポルフィーリ・ボロディンの息子として登録した。しかしボロディンは、ピアノの稽古を含めてすぐれた教育を受け、化学を専攻した。転じて、サンクトペテルブルク大学の医学部に入る。最優秀で卒業後、陸軍病院に勤務、24歳の時に医学の会議の出席のためにヨーロッパに長期出張した。この頃、ムソルグスキーと知り合い、シューマンの曲を紹介され、興味を持つ。ピサ大学では臭化ナトリウムを用いた有機窒素の定量法を発見した。26歳の時、ハイデルベルク大学（化学）入学。元素理論を確立したメンデレーエフと知り合う。卒業後はサンクトペテルブルク大学医学部生化学の助教授、教授と進み、生涯有機化学の研究家として多大な業績を残した。