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トーベ・ヤンソン 生涯
パリ生活をヒントにして芸術家の暮らしを書いた短編「あごひげ」などの作品が好評を呼び、トーベの名は次第に知られていった。また、『ガルム』誌の風刺画はヒトラーやスターリンも題材にして、風刺画家として人気を呼んだ。のちのムーミンとなるキャラクターも『ガルム』で1943年に初登場した（後述）。親戚や友人に会うことを避け、戦意高揚的なものからは距離を置いて制作に集中した。空襲対策の灯火制限の中でも制作を続け、1943年にはレオナルド・バックスバッカのギャラリーで最初の個展を開き、戦時中に80点以上の絵画を売った。1944年にはウッランリンナ1番地のアトリエに移った。トーベは塔のように天井が高いアトリエに満足し、このアトリエを生涯を通して使うことになった。イラストをはじめとして多くの仕事を手がけたが、経済的には苦しく、この状況はムーミン・コミックスの連載が始まるまで続いた。
トーベ・ヤンソン 生涯
トーベは以前からスノークと呼んでいたキャラクターを、1944年春にムーミントロールとしてあらためて物語に書いた。原稿を読んだアトスは好意的なコメントをして、5月になるとトーベは原稿をセーデルストレム社に持ち込んだ。1945年に最初のムーミンの物語が『小さなトロールと大きな洪水』という書名で出版され、スウェーデンでもハッセルグレン社から出版された。フィンランドではトーベは有望な芸術家とみなされていたが、『小さなトロールと大きな洪水』の出版時に書評をしたのはグールドン・モーネだけだった。スウェーデンでは『小さなトロールと大きな洪水』は注目されなかった。当地では同年に出版されたアストリッド・リンドグレーンの『長くつ下のピッピ』が人気を呼んでおり、戦争の影響がない『ピッピ』に対して、『小さなトロール』は戦争の影響が見て取れるため系統が違うと解釈されたのが原因だった。
ムーミンの物語はトーベの励みになり、2作目の執筆を始める。トーベはアトスとともに彼の故郷のオーランド諸島を訪ねて、北部のサルトヴィークで1945年の夏をすごし、オーランドの風景をムーミンの世界に活かした。当初のタイトルは『ムーミントロールと恐怖の彗星』で、アトスはトーベの草稿に肯定的なアドバイスを書き、トーベは執筆に熱中した。1946年秋に2作目が『彗星追跡』（のちの『ムーミン谷の彗星』）というタイトルで出版された頃には、トーベは3作目の『たのしいムーミン一家』の執筆を始めていた。1946年の秋には、演出家のヴィヴィカ・バンドレルと出会った。トーベにとってヴィヴィカは初の同性の恋人となった。トーベはヴィヴィカによって絵が豊かになり、無駄な名誉欲から解放されたと感じた。
『彗星追跡』もセーデルストレム社で出版されたが、初版の売り上げは芳しくなく続編が検討されなかったため、『たのしいムーミン一家』の原稿はシルツ社に持ち込んだ。1947年10月からは最初のムーミン・コミックスにあたる『ムーミントロールと地球の終わり』の連載を『ニュー・ティード』誌で始めた。連載は1948年4月まで掲載されて好評となり、書籍のファンも増えていった。3作目の『たのしいムーミン一家』は1948年のクリスマス商戦で出版され、スウェーデンでは1949年にフーゴ・イェーベル社が出版し、多くの評論家が高く評価した。1950年には『たのしいムーミン一家』の英訳がイギリスのベン社から出版され、1951年にはアメリカでも出版された。イギリスの新聞『イブニング・ニュース』はムーミンの連載漫画を申し出て、経済的な利点を重視したトーベは契約を交わした。1954年に連載が始まったムーミン・コミックスは世界的に読まれるようになった。スウェーデンやイギリスで人気が出た影響を受けて、フィンランド語への翻訳も進んだ。しかしムーミン・コミックスは連載の重圧や他の活動との掛け持ちのためトーベにとって苦痛となり、弟のラルスが1960年から1975年まで連載を引き継いだ。
1958年にヴィクトルが亡くなった。『ムーミンパパ海へいく』（1965年）は「ある父親に捧げる」と書かれており、ヴィクトルを指している。1970年にシグネが亡くなり、以前から執筆を進めていた『ムーミン谷の十一月』（1970年）を発表した。小説としてのムーミン・シリーズは終了し、以後のトーベは大人向け小説の執筆を続ける。
トーベは1947年からブレッドシャール島で夏をすごすようになった。ラルスの協力で「風配図」と呼ぶ小屋を建て、旗にはムーミンを描いた。島の暮らしはトーベに平安をもたらしたが、次第に住む人数が増えて手狭になった。1955年にフィンランド芸術協会のクリスマスパーティでトゥーリッキ・ピエティラと出会い、1956年にトゥーリッキはブレッドシャール島のトーベの住まいを訪れた。トーベとトゥーリッキは芸術の方向性が異なっていたが人生の価値観は共通しており、同棲生活を始めた。2人とも手作業を好み、旅行やビデオ撮影、のちには縮尺模型を共通の趣味とした。ムーミンの人気によってブレッドシャール島への記者やファンの訪問が増えると、トーベとトゥーリッキは離れ小島のクルーヴ島（小さな小さな獣の爪岩島）に小屋を建てて移り住んだ。2人は夏をクルーヴ島ですごし、冬はヘルシンキのアトリエで寝泊まりしながら制作した。
画業では1960年に再出発を決め、絵画作品の署名は「Tove」から「Jansson」に変えた。執筆業では大人向けの小説が増え、最初の短編小説集『聴く女』（1971年）から1980年代にかけて長編小説3冊と短編小説集5冊を発表した。それまでの作品を演劇、映画、テレビ、ラジオなどのメディアに合わせるための脚本も執筆した。1971年にはフジテレビ放送のアニメ『ムーミン』放映の仕事でトゥーリッキと来日し、その後世界一周旅行を続けた。1990年にはテレビ東京放送のアニメ『楽しいムーミン一家』の監修で来日した。
クルーヴ島での暮らしには不自由な点も多く、年齢による体力の変化も気がかりとなった。トーベとトゥーリッキは1992年に島を明け渡し、1965年から毎年続けてきた島の暮らしを終えた。1990年代に癌をわずらい、公の場に姿を見せたのは1994年にタンペレで開催された国際会議が最後となった。最後の作品として短編小説集『メッセージ』（1998年）を発表したのち、2001年にヘルシンキで死去した。
トーベ・ヤンソン 作品
芸術家としてのトーベのアイデンティティは、画家と作家の2つだった。職業を聞かれた時には画家と答えた。自分は個人主義者だとしばしば主張しており、集団の中で同じ方向を向くことは好まなかった。抽象画のような芸術の新しい流れや運動からは距離をおきながら、自分にとって正しい道を選ぼうとした。
トーベの活動には、働くという姿勢が一貫していた。12歳から書き始めた日記には「働く」という言葉が多く使われていた。ヘルシンキのアトリエでは、「創造」や「インスピレーション」という言葉の代わりに「働くこと」や「意欲」が語られた。
トーベが好んでいた芸術書として、フィレンツェの画家チェンニーノ・チェンニーニの『絵画術の書』がある。この本は14世紀の絵画技法の手引書であり、ルネサンス絵画のフレスコ画やテンペラ画の技法を解説しており、フィレンツェの工房の生活や仕事の貴重な記録にもなっている。また、チェンニーニは「40歳までに何かを成し遂げたなら、自分の手で伝記を書かなければならない」と書いており、『ムーミンパパの思い出』に活かされている。
トーベ・ヤンソン 作品
ムーミン・シリーズが広まったのち、児童文学作家について書くことを編集者に打診されたトーベは、『偽者（エセ）児童文学作家』（1961年）というエッセイ集を発表した。講演をもとにした内容で、子供の感性や、クリエイティブであるために必要なことが書かれている。作家は書きたいという想いがあるから表現するのであり、子供の読者があるから書くのではないというトーベの作家論となっている。
ムーミンの原型となるキャラクターは雑誌『ガルム』の風刺画で1943年に初登場しており、当初の名前はスノークだった。スノークは夢や幻覚などファンタジーに関する文章とともに登場し、風刺画向けの怒った顔をしていた。1944年には『ガルム』以外の絵にもスノークが登場して、作家のサインとしての役割も果たした。1945年8月にトーベは「私の新しい肩書きはスノーク夫人」と書き、『ガルム』のクリスマス号でスノーク姿の自画像を描いた。1952年のインタビューによれば、ムーミントロールという名前は、トーベが16歳の時に叔父のエイナルから聞いた話がもとになっている。
トーベ・ヤンソン 作品
ムーミンの物語は文章と挿絵をともにトーベが手がけ、著者、挿絵画家、デザイナーの全てを自分の役割とした。切り貼りでサンプル本を作り、バランスを見ながら指定を書き込み、絵に番号をつけて配置を指定した。レイアウトではページ構成と絵の配置、文章と余白部分を検討した。ムーミン絵本の『それからどうなるの？』では幼少期の体験をもとに仕掛け絵本を作り、これもレイアウトと製本作業の指示を全て行った。
トーベはムーミンの舞台化やテレビ化にも関わった。初の戯曲は、1949年にヴィヴィカのすすめで執筆した『ムーミントロールと彗星』の舞台版だった。フィンランドではイルッカ・クーシスト作曲のムーミン・オペラが1974年に国立オペラ劇場で上演され、スウェーデンでは1982年にストックホルム王立ドラマ劇場で冒険劇が上演された。舞台監督はヴィヴィカが務めた。スウェーデンのテレビ番組用の脚本も執筆した。1965年にはトーベ作詞、エルナ・タウロ作曲の "Höstvisa" (フィンランド語 "Syyslaulu" 、日本語で『秋の歌』) がフィンランド国営放送音楽賞で3位を受賞した。
トーベ・ヤンソン 作品
トーベにとってムーミンの物語は、戦争中に自分の楽しみとして始めた趣味だった。しかし、ムーミン・コミックスのヒットによって絵画に使える時間が減ると、人々の期待とのバランスを取ることが悩みとなった。コミックス連載中の苦労については、のちに短編小説「連載漫画家」（『メッセージ』収録）で題材にした。
自画像、肖像画
小さい頃からスケッチブックや日記に家族や自分を描いた。トーベが展示した最初の作品は自画像で、1933年のヘルシンキで開催されたユーモリスト展で発表した。アテネウム時代に描いた『藤の椅子に座る自画像』（1937年）では、背後の壁に絵がかけられており、イーゼルがあり、画家としてのアイデンティティが強調されている。戦争をきっかけに家族から離れた1940年代に最も多数の自画像を描いており、『毛皮の帽子をかぶった自画像』（1941年）、『オオヤマネコの襟巻きの自画像』（1942年）などがある。画家としての再出発の際にも、手始めに自画像『初心者』（1959年）を描いている。1975年の最後の展示会でも自画像を発表した。
家族や友人、パートナーの肖像も描いた。エヴァ・コニコフの肖像画のように、買い取られないように高値をつけることもあった。戦争中のヤンソン家を描いた『家族』（1942年）という作品もあるが、のちに自ら失敗作として評価している。
風刺画
トーベ・ヤンソン 作品
『ガルム』誌で描いた風刺画は人気を呼び、フィンランドでは一流の風刺画家としても知られた。『ガルム』の編集者ヘンリー・レインとの仕事は良好で、トーベは約24年間この雑誌に関わって表紙画を100枚、風刺画や挿絵を500枚ほど制作した。
1938年のミュンヘン会議をテーマにした絵では、ヒトラーを甘やかされた子供として描き、民族主義者の抗議を呼んだ。ソビエト連邦を風刺した1940年の絵では、スターリンに似た顔の兵士が検閲を受け、修正させられた。1944年のラップランド戦争をテーマにした絵では、複数のヒトラーがラップランドの街で略奪や破壊をしている。日本への原子爆弾投下から1年後の1946年8月には、核戦争を暗示する世界から平和の天使が去っていく絵を描いた。
トーベの作風は過激とみなされて検閲にかかった時もあったが、トーベ自身は『ガルム』の仕事で良かった点として、ヒトラーやスターリンに対して悪態をつけたことを挙げている。トーベは仕事が早く、『ガルム』で培われた技術は、他の新聞や雑誌の仕事にもつながった。
壁画
トーベ・ヤンソン 作品
第二次大戦後のヨーロッパでは、公共空間に芸術作品を展示するパブリック・アートの活動が起こった。トーベはパブリック・アートの技法を学んでおり、多くの依頼を受けた。1947年にヘルシンキ市庁舎の地下に2点のフレスコ画『田舎のパーティー』と『都会のパーティー』、1949年にはフィンランド南部のコトカの幼稚園で7メートルの壁画を描いたほか、レストラン、社員食堂、工場、ホテル、学校、小児科病院などで制作した。最盛期は1953年で、その後70歳になっても描いた。『田舎のパーティー』と『都会のパーティー』には、当時の恋人ヴィヴィカとトーベ自身をモデルにした人物や小さなムーミンも描かれている。
文芸作品の挿絵
1958年にルイス・キャロルの『スナーク狩り』のスウェーデン語版の挿絵を描いた。トーベはこの作品を難解だけれど面白いと評価し、原作の詩だけを読み、他の挿絵を参考にせずに制作した。1965年にキャロルの『不思議の国のアリス』の挿絵を依頼されると、トーベは素晴らしい物語だと評価してホラー仕立てにする提案をした。トーベはキャロルの作品にはホラー的な要素があると考えていたが、出版社に反対された。
トーベ・ヤンソン 作品
1961年にはトールキンの『ホビットの冒険』のスウェーデン語版の挿絵を描いた。これはアストリッド・リンドグレーンからの依頼がきっかけだった。トーベはトールキンの作品にもホラーの要素を見出して魅力的だと考えたが、トーベの表紙案は子供向けではないと出版社が反対し、修正に応じた。できあがった本は結果的に注目されず、後年に挿絵は批判も受けた。トーベは、他の作家の挿絵なら誰の作品を描きたいかという質問で、エドガー・アラン・ポーと答えている。
抽象画
1960年代に画家として再出発をした際は、自然主義的な写実画から次第に変化していった。1950年代から1960年代のフィンランドでは抽象絵画が流行しており、1961年の国際展ではほとんどがアンフォルメルの作品の中で、トーベは静物画を出展した。写実画のスタイルを保ちつつも、次第に抽象化を進めていった。積極的に個展を開き、1960年から1970年までに5回の個展と1回の共同展を行った。
トーベ・ヤンソン 作品
トーベは自分の物語に人気がある理由として、「スクルット（ひとりぼっち）」について書いているからではないかと語っている。スクルットとは、どこにいても居心地が悪く、人の輪の外に立っている恥ずかしがり屋を指す。人間は幸せな時もどこかに恐怖感があり、それを認めることでシンプルな世界や穏やかな心を手に入れたり、恐れる気持ちを楽しむことができるとトーベは考えていた。そのためトーベの物語には不安や脅威が描かれている。当時は子供向けと大人向けの本が分かれていたが、トーベの作品は児童書として出版したムーミン・シリーズも大人が読んで楽しめる内容になっており、出版社が戸惑うこともあった。
子供時代の1921年から1924年の間に作った本は14冊が残っており、番号が振られていて、作者名としてトーベ・マリカ・ヤンソンと書いてある。内容はおとぎ話やファンタジー、聖書風の設定や、お化けやぞっとするような出来事が多い。7歳で書いた『プリックはあっという間に息を引き取る』（1921年）は、プリックという犬の病気と死の話だった。『青い騎士』という本の裏表紙には、「トーベの少年少女向け作品」という刊行予定の作品リストがついていた。
1934年に初の短編小説「大通り」を発表したのち、1〜2年に1作のペースで短編を書き続けた。1970年代から大人の読者を想定した物語を執筆し、初の小説集『聴く女』（1971年）を発表した。1970年代以降の小説には孤独や老い、精神の暗部やサスペンス、スリラーも描かれており、ムーミンでは描けなかったことやさらに発展させた内容が含まれている。
長編小説としては『誠実な詐欺師』（1982年）、『石の原野』（1984年）、『フェアプレイ』（1984年）の3冊を発表した。『誠実な詐欺師』は女友達との奇妙な関係、『石の原野』は新聞記者だった男の物書きについての苦悩、『フェアプレイ』は芸術家の関係をもとに共同生活の難しさを描いた。1970年代以降の小説には女性や男性の同性愛がしばしば描かれ、特別ではないこととして扱われている。
トーベは自伝そのものは書かず、自伝的な作品として、『彫刻家の娘』（1968年）や『島暮らしの記録』（1993年）を発表した。『彫刻家の娘』は子供時代を中心とした内容で、書名にある彫刻家とは父ヴィクトルを指す。『島暮らしの記録』はトゥーリッキとのクルーヴ島での暮らしが書かれており、トゥーリッキが挿し絵を描いた。
1970年代から1990年代にかけてトゥーリッキとヤンソンが撮影した映像をもとにした映像作品として、『Matkalla Toven kanssa（トーベ・ヤンソンの世界旅行）』（1993年）、『Haru – yksinäisten saari（ハル、孤独の島）』（1998年）、『トーベとトゥーティの欧州旅行（Tove ja Tooti Euroopassa）』（2004年）のドキュメンタリー3部作がある。
トーベとトゥーリッキは、ムーミン世界の模型を作った。きっかけは医師のペンッティ・エイストラが趣味で作ったムーミン屋敷のミニチュア模型を見せたことだった。2人はより大きなムーミン屋敷の模型に取りかかり、夏はクルーヴ島で作業をした。3年間をかけて2メートルの模型を完成させ、各地の展示会をめぐった。木工が得意なトゥーリッキはその後も制作し、ムーミン・シリーズの41の場面が模型になった。この屋敷は短編小説「人形の家」や、写真絵本『ムーミンやしきはひみつのにおい』のもとになった。
トーベ・ヤンソン 制作環境
制作において詳細なノートを作った。絵画の制作ノートでは、1930年代のスケッチブックに「金の皮と皮の染色」というタイトルで皮革の染色について書かれている。羊皮紙、ステンドグラスや特殊な素材、テキスタイル、油彩についての覚書もある。1943年のノートには「素材」というタイトルでバレットの手入れや、フレスコ画の技法について書いている。
登場人物の登場の仕方や変化の仕方、展開などもノートに記録した。たとえば『ムーミンパパ海へ行く』の準備では、風向きが変わる時間や鳥の渡りについて書いている。絵本『それからどうなるの？』では印刷技術の指示、色の組み合わせについて書いている。
1944年から約60年間にわたって使ったウッランリンナ1番地の住宅兼アトリエは、ビルの最上階の角部屋にあり、天井は約7メートルあった。トーベはこのアトリエを気に入って多額の借金をして買い取り、絵画制作やムーミン・コミックスの連載によって返済した。かつてトーベが絵画を学んだハーゲルスタムが使っていた場所でもあり、トーベが入居した時期にはすでにハーゲルステムは戦死していた。
トーベ・ヤンソン 制作環境
1960年頃にアトリエの改装をおこない、パートナーだったトゥーリッキの弟夫妻であるレイマとライリ・ピエティラが設計した。高窓の下にベンチを置き、天井に欄干を渡して吊り戸棚やロフトを追加した。螺旋階段は鏡がある部屋に続き、寝椅子、本棚、キャビネットがあった。アトリエ部分にはベンチ、テーブルと本棚、絵画や父ヴィクトルの彫刻、模型などが置かれた。キッチンとバスルームのどちらかしか置けず、トーベはバスルームを選んだ。改装が終わる頃にトゥーリッキが隣の建物に引っ越してきたので、アトリエとトゥーリッキの部屋を屋根裏の通路でつないだ。窓からはヘルシンキの海が見え、ロフトにベッドを置いていた。トーベは昼間から強い酒とタバコをたしなんでいたという。
クルーヴ島の小屋では、1964年から1992年まで毎年の夏をトゥーリッキと暮らした。レイマとライリ・ピエティラが設計し、トゥーリッキが木材関係、トーベが石材関係を分担して建てた。ワンルームと地下室があり、2人はムーミンのパペット・アニメのための模型や人形を小屋で制作した。
トーベ・ヤンソン 制作環境
ヤンソン家には、シグネの仕事の影響もあり蔵書が豊富だった。子供時代のトーベはセルマ・ラーゲルレーフ『ニルスのふしぎな旅』やルイス・キャロル、エルサ・ベスコフを読んだ。トーベは冒険譚が好きでラドヤード・キップリングの『ジャングル・ブック』を特に好んだ。子供時代に書いた物語『見えない力』は、ジュール・ヴェルヌやコナン・ドイル、エドガー・ライス・バロウズらにヒントを得ている。大人向けの作品では、エドガー・アラン・ポーの恐怖小説を9歳の時に読み、他にヴィクトル・ユーゴー、トーマス・ハーディー、ロバート・ルイス・スティーヴンソン、ジョセフ・コンラッドなどを読んだ。
トーベは蔵書票を自分でデザインし、職業、性別、情熱、海、錨などをシンボルとして描いた。ラテン語で「LABORA ET AMARE」と書かれており、文法的に正確ではないものの「働け、そして愛せよ」というメッセージだった。
トーベは読者から届く手紙に全て目を通し、自分で返事を書いた。時間はかかったが、返事を書かない方が負担になると考えていた。手紙のやりとりは、「文通」「クララからの手紙」「メッセージ」（いずれも『メッセージ』収録）などの小説の源泉にもなった。最多では年間2000通に達した。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
スウェーデンのストックホルム出身のシグネ（愛称ハム）と、フィンランドのヘルシンキ出身のヴィクトル（愛称ファッファン）は、ともに伝統とは異なる価値観を持っていた。シグネは自らを婦人参政権論者と呼び、ヴィクトルは一族の反対を押し切って芸術家の道を選んでいた。
画家でデザイナーのシグネは、トーベが最初に絵を教わった人物でもあった。トーベはシグネから勤勉さも学んだ。シグネはフィンランド銀行の紙幣の絵を描き、切手デザイナーとしても活動した。本の装丁では自分の手がけた本が同時に並ぶことを意識して、それぞれ画風を変えていた。挿絵では『ガルム』誌に創刊から関わり、『ガルム』の仕事はトーベに引き継がれていった。他方で女性の芸術家は夫の陰にかくれて評価されない風潮にあり、父の要求に従う母を見て、トーベは女性の社会的な立場について考えるようになった。シグネはムーミンママのモデルだとトーベは語っている。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
彫刻家のヴィクトルは、線が柔らかい女性像や、繊細な子供像を多く制作した。トーベをモデルにした彫刻作品も何点か制作している。ヴィクトルはフィンランド内戦では政府側の白衛隊に属して戦い、内戦の経験でふさぎがちになり、親ドイツ的でユダヤ人を嫌った。シグネは夫について「戦争で壊れてしまった」とも表現した。トーベとヴィクトルは政治について意見が合わず、関係を修復するのは第二次大戦後となった。トーベによれば、ヴィクトルは悲観的な性格だったが、嵐が近づくと別人のように好奇心旺盛で面白くなり、子供を連れて冒険に出かけたという。ヴィクトルの作品は、エスプラナーディ公園やカイサニエミ公園に展示されており、トーベの墓石にもヴィクトルの彫刻が使われている。
トーベは長女であり、弟のペル・ウーロフ・ヤンソンとラルス・ヤンソンがいた。ペル・ウーロフは短編小説集『若き男、ひとり歩く』（1945年）でデビューしたのちに写真家となった。写真絵本『ムーミンやしきはひみつのにおい』（1980年）では、ペル・ウーロフが撮影したムーミン屋敷の写真が使われている。その他にも、『彫刻家の娘』や『少女ソフィアの夏』などトーベの作品に写真を提供した。ペル・ウーロフによれば、トーベはスポーツ選手のような体格で良い被写体だったが、写真に撮られることがとても苦手だったという。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
末弟のラルスは15歳で冒険物語『トルトゥガの宝』（1941年）を発表して好評となり、『支配者』（1945年）や『我は我が不安なり』（1950年）など執筆を続けつつ、1940年代はトーベと『ガルム』誌で共作をした。ラルスはムーミン・コミックスの連載当初からトーベを手伝っており、トーベが連載を悩んだために後任となって連載を続けた。
シグネの兄弟にあたるスウェーデンの叔父たちは冒険が好きで探検家気質の者が多く、子供時代のトーベに影響を与えた。ストックホルム工芸専門学校の生徒時代は、地元にいた叔父のエイナルやウロフのもとで暮らした。トーベは短編「我が愛しき叔父たち」（『メッセージ』収録）などで彼らをモデルにした。
伯母のエルサはドイツ人牧師のフーゴと結婚してドイツで暮らしており、トーベはフランスやスイスを旅行する際にエルサの家を拠点にした。エルサは、ナチス・ドイツ政権下の事情を手紙では書けないので、見たことをシグネに伝えて欲しいとトーベに話した。トーベは当時の体験を短編「カーリン、わたしの友達」（『メッセージ』収録）に書いている。
弟ラルスの娘でトーベの姪にあたるソフィア・ヤンソンは、長編小説『少女ソフィアの夏』（1972年）のモデルになった。『少女ソフィアの夏』は、ソフィアの他にラルスとシグネをモデルとする登場人物が中心となり、家族で夏をすごした小島が舞台となっている。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
写真家のエヴァ・コニコフは生涯を通じた親友だった。エヴァはロシア革命によってフィンランドに亡命したユダヤ人で、第二次大戦時にアメリカへ亡命した。2人は文通で交流を続け、トーベは文通を題材にした短編「コニコヴァへの手紙」（『メッセージ』収録）を書いている。トーベがトゥーリッキと世界一周旅行をした際、2人はニューヨークで再会した。
画家のサミュエル・ペプロスヴァンニは、1935年にトーベと知り合い交際した。トーベはサミュエルを題材とした木炭画やカレワラ風の作品を制作し、サミュエルは1940年にトーベの肖像を木炭画で描いた。トーベはサミュエルを芸術家として尊敬したが、サミュエルの喋りすぎる癖は苦手だった。サミュエルは年長者でユダヤ人であったため、2人の交際を知った両親はショックを受け、トーベは両親の反応を悲しんだ。サミュエルは、トーベの短編「サミュエルとの会話」（『メッセージ』収録）にも登場している。
画家・デザイナーのタピオ・タピオヴァーラは、トーベとアテネウムで知り合い、第二次大戦の頃に交際した。トーベにとって、タピオはフィンランド語を母語とする初めての親しい友人でもあった。トーベが自立を望み、子供を望むタピオとは意見が異なったため1942年に関係は解消された。タプサという愛称で、トーベの短編「卒業式」（『メッセージ』収録）などに登場している。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
哲学者・政治家のアトス・ヴィルタネンは、第二次大戦中から戦後にかけてトーベと交際した。きっかけはアトスが屋敷で開催したパーティーで、トーベはバイタリティがありパーティー好きなアトスに魅力を感じた。しかし当時のフィンランドにおいてカップルの同棲は「狼夫婦」と呼ばれて非難され、しかも女性に非難が向けられる傾向にあった。このためにトーベはアトスと結婚しない点を周囲から意見されることもあった。トーベは一時はアトスとの結婚を考えるが、アトスは常に多忙でトーベと過ごす時間が短く、友人関係へと変わっていった。広い帽子とパイプを持ち、放浪を続けるアトスは、ムーミン・シリーズのスナフキンのモデルにもなった。アトスは政治的には左派で地下活動の経験があり、1944年のトーベの記録では夕食をしながら襲撃を心配したことも書かれている。
1940年代に交際した舞台監督のヴィヴィカ・バンドレルは、トーベにとって初の同性の恋人だった。当時は法律上の問題もあり、2人は交際を隠していた。2人の関係が解消したのちも、ヴィヴィカはトーベと共に仕事をし、アドバイスを与えた。『たのしいムーミン一家』（1948年）には、トーベとヴィヴィカをモデルにしたトフスランとヴィフスランというキャラクターが登場する。
トーベ・ヤンソン 家族、交友関係
1950年代からパートナーとなったのは、グラフィック・アーティストのトゥーリッキ・ピエティラだった。2人はクルーヴ島で暮らし、世界一周旅行をはじめ各地を旅した。トゥーリッキはムーミン谷博物館に納められた数多くのムーミンフィギュアやムーミン屋敷の制作でも知られ、『ムーミン谷の冬』（1957年）に登場するトゥーティッキー（おしゃまさん）のモデルになっている。トーベは『ムーミン谷の冬』を執筆できたのはトゥーリッキのおかげだと語っている。
ヤンソン家は動物とも暮らした。大戦後の物々交換での勘違いがきっかけで猿がやって来て、父ヴィクトルが世話をした。ヴィクトルと猿の関係はトーベの小説『彫刻家の娘』にも描かれている。黒猫のプシプシーナは、トーベのアトリエとトゥーリッキの部屋を行き来していた。プシプシーナは『島暮らしの記録』に登場している。
トーベ・ヤンソン 評価
ムーミン・コミックスの連載は1954年に始まり、最盛期は40カ国の新聞に掲載され、読者は2000万人に達した。ムーミンは子供も大人も楽しめる作品として人気を得たが、他方で児童書は子供向けにのみ書くべきだという批判があり、ムーミンに対する反対運動も起きた。1949年の舞台版ムーミンの表現をめぐっては、子供の親から苦情が寄せられた。トーベは解釈は観客のものという持論だったが、子供向けとして適切な表現ではないという批判には「そうなると「ひどい」という言葉自体を禁じなければならない」というコメントを掲載した時もあった。『ムーミン谷の冬』出版後は数々の受賞によって評価が高まり、ムーミン流のライフスタイルは読者にとって憧れにもなった。1950年代のトーベはアカデミックな場での朗読会や講演に頻繁に出席したが、消耗を避けるために1960年代以降は学生からの申し出を断るようになった。
トーベが活動した当時のフィンランドにおいて、芸術家といえば男性を指す風潮があり、美術界での評価は遅れた。芸術レビューである『フィンランド美術』の1970年版にはトーベ自身の項目はなく、父ヴィクトル・ヤンソンの項目で『彫刻家の娘』の著者として紹介されていた。1998年の改訂版で、トーベは自身の作品とともに掲載され、国際的なイラストレーターと説明された。
トーベ・ヤンソン 評価
トーベがスウェーデン語系のフィンランド人であることから、スウェーデンとフィンランドを中心に研究が進められている。トーベの作品が本格的に文学研究の対象となったのは1980年代以降だった。画家やコミック作家の面からの研究もなされている。1994年8月にタンペレでトーベに関する初の国際会議が開催され、その一環として80歳の誕生日を記念する個展も催された。
性的平等を目標に活動する北欧諸国の団体は、トーベを先駆者として評価している。1980年代以降のジェンダー研究を受け、セクシュアリティの面からの研究もなされるようになった。トーベは研究者に協力して、論文発表会にも参加した。トーベとトゥーリッキは大統領官邸などの公の場に同席し、独立記念祝賀会に招待されたフィンランド史上初の同性愛カップルとなった。
トーベ・ヤンソン 資料、伝記
トーベは自分の記録を管理し、資料の多くを寄贈している。草稿と読者からの手紙はオーボ・アカデミー大学に贈った。ムーミン・シリーズの原画は、タンペレ市美術館に約2000点を寄贈した。研究者に渡す資料も管理し、誰に何を送ったかも記録した。ノートには自作の情報を記録し、よく聞かれる質問に対する答えも用意していた。
トーベの伝記として、スウェーデンでは文学研究者ボエル・ヴェスティンによる『トーベ・ヤンソン 人生、芸術、言葉』（2007年）、フィンランドでは美術史家トゥーラ・カルヤライネンによる『ムーミンの生みの親、トーベ・ヤンソン』（2013年）などが刊行された。2020年にはフィンランドで伝記映画『TOVE／トーベ』が制作された。30代から40代にかけてのトーベを描いており、ザイダ・バリルートが監督し、トーベ役はアルマ・ポウスティが演じた。
トーベ・ヤンソン 主な作品リスト
ムーミン関連絵本
ムーミン・コミックス
雑誌
文芸書挿絵
長編小説
短編小説集
イリジウム
イリジウム（英語: iridium [ɨˈrɪdiəm]）は、原子番号77の元素で、元素記号は Irである。遷移元素かつ白金族元素に分類される元素の1つで、単体では白金（プラチナ）に似た金属光沢を有する。
イリジウム 名称
「イリジウム」という名は、その塩類が、虹のように様々な色調を示す事から、ギリシャ神話の虹の女神イリスにちなんで名付けられた。
イリジウム 所在
イリジウムは白金の精錬時に得られる副産物として採取されている。このためプラチナの生産量に、イリジウムの生産量も依存する。ただ、地球の地殻中での濃度は0.001 ppm（1 ppb）に過ぎず、イリジウムの1年間の採掘量は、4トン程度と少ない。このため、レアメタル（希少金属）として扱われている。
なお地殻中でも偏在が見られ、イリジウムの産出量の95パーセントを南アフリカ共和国が占めており、南アフリカ共和国のブッシュフェルトの埋蔵量は、現在知られている中で最大である。この他には、ロシアのノリリスクや、カナダのサドバリーでも採掘されており、僅かながらアメリカ合衆国でも発見されている。
このように地球の地殻中では希少だが、地球内部のマントルには、地殻よりも遥かに高濃度でイリジウムが含まれている。また隕石にも、より高濃度でイリジウムが含まれており、その濃度は0.5 ppm以上であるとされている。
恐竜絶滅に関する議論で、白亜紀と古第三紀の境界の地層中に大量のイリジウムを含んだ地層であるK-Pg境界層が、しばしば登場してきた。イリジウムは、地表では非常に少ない金属であるため、これは隕石または地球の深部由来の物と判断され、これをユカタン半島への隕石の衝突を示す証拠であると言及されたり、デカン高原を形成した破局的な噴火が発生した証拠であると言及されたりしてきた。
イリジウム 性質
常温常圧で安定なイリジウムの結晶構造は、面心立方構造 (FCC)である。常温常圧におかれたイリジウムは、展延性に乏しく、非常に硬いため、加工も難しい。
常圧におけるイリジウムの融点は 2466 ℃、沸点は4428 ℃である。このように融点も高いため、そのままでは加工や成形を行う事が困難であり、一般的には粉末にしたイリジウム合金を焼結して使用する場合が多い。
イリジウム単体の密度は 22.562 g/cm3であり、比重は全元素中で2番目に大きい。かつてはイリジウム22.65 g/cm3、オスミウム22.61 g/cm3とされ、イリジウムが全元素中最大の比重とされてきたものの、計算時の原子数が間違っていたため修正された。
イリジウムの単体は、一般的な酸やアルカリとは反応せず、常温では王水ともほとんど反応しない。せいぜい、粉末にすれば僅かに王水に溶ける程度である。常温では酸素とも反応が難く、貴金属として扱われる。このように反応性が低いため、Ir-10Al合金化する事で優れた耐酸化性能を与えられる。
しかしながら、高温でフッ素、塩素、酸素と反応する。また、高温酸化雰囲気中では揮発性酸化物を生成する。なお、イリジウムは、-1, 0, +2, +3, +4, +6価の原子価を取り得る。参考までに、酸素と化合したイリジウムで安定なのは、+4価の二酸化イリジウムである。
イリジウム 鉱物
イリジウムを含有した鉱石鉱物には、次のような物が見られる。
イリジウム 用途
2020年現在、白金との比較で、概ね2倍から2.5倍ほどと、非常に高価である。また、加工も難しいため、用途は限られてきた。
イリジウム単体や、イリジウムの合金は、その硬度や融点の高さから耐熱性や耐摩耗性が求められる用途で使用される場合が多い。
高温耐酸化性
人工のサファイアの単結晶を製造するための工業用のるつぼは、非常に高い耐熱性が求められるため、イリジウムはるつぼの材料として使用され、イリジウムの用途として最も一般的である。
高温に曝されても酸化被膜が生成され難いため、飛行機や自動車エンジンの点火プラグの電極の材料として使用される。
ロジウム (Rh)との合金は、IrRh熱電対温度計として 2100 ℃までの計測が可能である。
耐摩耗性
耐食性・耐摩耗性に優れているため、高級な万年筆のペン先の材料として、オスミウムなどと共に用いられる場合もある。
原器の材料
白金とイリジウムの合金 (Pt-10Ir) は、キログラム原器やメートル原器の材料として使われてきた。
放射線源
人工的に作った放射性同位体のイリジウム192 (192Ir) は、非破壊検査の際の線源として利用されている。
白金の硬化のために、白金との合金の材料としてイリジウムが使用される場合が多く、指輪やネックレスなどの多くの宝飾品に用いられている。
また、近年ではイリジウム単体を、結婚指輪などの材料として用いる場合もある。
イリジウム 同位体
イリジウムの安定同位体は、191Irと193Irの2核種のみで、天然に存在するイリジウムの同位体は、この2種である。
イリジウム 歴史
1804年にオスミウムと共にスミソン・テナント (S. Tennant) が、イリジウムも発見した。
セレン
セレン（英: selenium [sɨˈliːniəm]、独: Selen [zeˈleːn]）は元素記号が Se である原子番号34の元素。カルコゲン元素の一つ。ヒトの必須元素の1つでもある。
セレン 名称
セレンはギリシャ神話の月の女神セレネから命名されている。これは、周期表上でひとつ下に位置するテルル（ラテン語で地球を意味する Tellus から命名）より後に発見され、性質がよく似ていたためである。あるいは地球の「上」に位置するためとも言われる。
セレンのように、周期表上で並ぶ元素が天体の配置になぞらえて命名された例は、ウラン・ネプツニウム・プルトニウムにも見られる。
セレン 性質
いくつかの同素体が存在するが、常温で安定なのは六方晶系で鎖状構造をもつ灰色セレン（金属セレン）である。灰色セレンの融点は217.4 °C（異なる実験値あり）で、比重は4.8である。他の同素体として、赤色で単斜晶系のα, β, γセレン、ガラス状の無定形セレンなどがある。-2, 0, +2, +4, +6価の酸化状態を取り得る。水に不溶だが、二硫化炭素 (CS2) には溶ける。また、熱濃硫酸と反応する。燃やすと不快臭のある気体（二酸化セレン）が発生する。硫黄に性質が似ている。
セレンは自然界に広く存在し、微量レベルであれば人体にとって必須元素であり、抗酸化作用（抗酸化酵素の合成に必要）がある。克山（クーシャン）病（Keshan disease：中国の風土病）やカシン・ベック病 (Kashin-Beck disease) の原因としてセレン欠乏が考えられている。一方、必要レベルの倍程度以上で毒性を示すため、過剰摂取には注意が必要である。
セレン 性質
また環境影響としては、水質汚濁、土壌汚染に係る環境基準指定項目となっている。これはセレンの性質が硫黄にきわめてよく似るため、高濃度のセレン中では含硫化合物中の硫黄原子が無作為にセレンに置換され、その機能を阻害されるためである。
自動車業界サプライチェーンにおける製品含有管理物質リスト「GADSL」には、日本の廃棄物処理法を法的根拠として、セレンが収載されており、金属セレンそのものはD(要申告物質)、化合物42種類のうち4種類がP(使用禁止物質)、15種類がD/P(条件付き禁止)に分類されている。
廃棄物処理法では、特定業種・施設から排出される燃え殻・汚泥・廃油などに含まれるセレンの量が、0.3もしくは1mg/Lを超えると特別管理産業廃棄物として規制される。
セレン 産出
セレンを主成分とする鉱物は、銅あるいは銀との化合物のセレン銀鉱やセレン銅銀鉱が知られるが、産出量の少ない鉱物であるため鉱石として利用はされない。硫黄化合物として産出することが多いため、工業的には硫酸製造の際の沈殿物や銅精錬時の副産物を精錬し得る。
21世紀になって中国での生産量が増加するまでは、日本が世界最大の生産国だった。セレンの生産は、銅の電解精錬時の副産物である銅電解スライムからの精製が中心となっている。このためセレンの生産量はセレン原料の産出量とは一致しておらず、銅製錬による銅生産量との相関が強い。セレンの主な生産国は、中国、日本、ドイツ、ベルギー、カナダになっている。アメリカも20世紀までは生産していたが21世紀になってから生産していない。生産量は2020年が2,900トン、予想埋蔵量は100,000トンである。
セレン 用途
金属セレンは、半導体性、光伝導性がある。これを利用してコピー機の感光ドラムに用いられる。またセレンは整流器（セレン整流器）に使われたり、光起電効果によりカメラの露出計やガラスの着色剤、脱色剤に使われる。
セレン 歴史
1817年、スウェーデンの化学者イェンス・ベルセリウスとヨハン・ゴットリーブ・ガーンによって発見された。2人はスウェーデンに化学工場を持ち、鉛室法で硫酸を生産していた。ファールン鉱山の黄鉄鉱 (Pyrite) は鉛室の中で赤い沈殿物を作り、それがヒ素化合物と推定されたために硫酸の製造は中止された。この赤い沈殿物を燃やすとテルル化合物の場合と同様にホースラディッシュのような臭いがすることを確認したため、当初ベルゼリウスはこれがテルル化合物と考えた。しかしファールン鉱山の鉱物の中にテルル化合物がないことから、やがてベルセリウスは赤い沈殿物を再分析し、1818年に硫黄とテルルに似た新元素と考えた。地球から名付けられたテルルに似ていることから、ベルセリウスはこの新元素を月にちなんでセレンと名付けた。
セレン 歴史
1873年にウィルビー・スミス (Willoughby Smith) らが灰色セレンの電気抵抗が周囲の光に依存することを発見した。セレンを使用した光電池が1870 年代半ばにヴェルナー・フォン・ジーメンスによって開発され、セレンを用いた最初の商用製品となった。セレン電池は、1879年にアレクサンダー・グラハム・ベルが開発した光電池にも使用された。セレンは光の量に比例した電流を流すことを利用して、光量計などが設計された。1876年にアダムス (Adams) とデイ (Day) らがセレンと金属との接合面における光起電力効果を確認した。
セレンの半導体特性は、電子工学分野において多くの利用された。セレン整流器の開発は1930年代初期から始まったが、より効率的な酸化銅整流器に、その後はより安価でさらに効率の高いシリコン整流器に取って代わられた。
1883年、チャールズ・フリッツがセレンに薄い金の膜を接合した、セレン光起電力セル (Photovoltaic Cell) を作製した。このセルは現在で言うショットキー接合を使ったもので、変換効率はわずか1%程度であった（現在の太陽電池はpn接合を用いる）。この発明は1960年代まで光センサーとして、カメラの露出計等に広く応用された。
セレン 歴史
セレンは後に工業労働者に対する毒性という観点で医学的に注目されるようになった。またセレン含有量の多い植物を食べた動物に見られる重要な獣医学的毒物としても認識されるようになった。1954年、生化学者のジェーン・ピンセントによって、セレンの特定の生物学的機能の最初のヒントが微生物で発見された。 1957年に哺乳類の生命に必須であることが見出された。1970年代には、2つの独立した酵素のセットに存在することが明らかにされた。これに続いて、タンパク質中のセレノシステインが発見された。1980年代には、セレノシステインがUGAというコドンによってコードされていることが示された。その再コード化のメカニズムは、まずバクテリアで、次に哺乳類で解明された。
セレン セレンの化合物
セレンのオキソ酸は慣用名をもつ。次にそれらを挙げる。
※ オキソ酸塩名称の '-' にはカチオン種の名称が入る。
セレンに有機基が結合した化合物として、セレノール (RSeH)、セレニド (RSeR') など多くの種類の化合物が知られる。
セレン 生体内のセレン
セレンはセレノシステインとしてタンパク質に組み込まれ、主にセレノプロテインとして働く。セレンはビタミンEやビタミンCと協調して、活性酸素やラジカルから生体を防御すると考えられている。
セレノプロテインには抗酸化に関与するグルタチオンペルオキシダーゼ、チオレドキシン還元酵素、甲状腺ホルモンを活性化するテトラヨードチロニン-5'-脱ヨウ素化酵素、セレンを末梢組織に輸送するセレノプロテインPなどがある。
セレンは欠乏量と中毒量の間の適正量の幅が非常に狭い。セレン過剰症として、悪心、吐き気、下痢、食欲不振、頭痛、免疫抑制、高比重リポ蛋白 (HDL) 減少などの症状がある。一方、欠乏症は貧血、高血圧、精子減少、ガン（特に前立腺ガン）、関節炎、早老、筋萎縮、多発性硬化症などが知られている。ただし、ヒトにおいて、セレン単独の欠乏では、これらの症状が認知されていない（動物実験レベルではセレン単独の欠乏症状が認められている）。
セレン 生体内のセレン
セレンは肉や植物など日常で摂取する食材に含まれており、欠乏症はさほど多くはないが、食品、特に植物性のものに含まれるセレン含量は生育する土壌中のセレン含量に左右される。そのため、セレン含量の乏しい土地の住人にセレン欠乏が見られる。そのような土地として中国黒竜江省の克山県があり、鬱血性心不全を特徴とする克山病が知られている。患者にセレンを補給することにより改善するため、セレンが深く関与すると考えられている。また、中国河南省の林県もセレン含量の低い土壌で、この土地では胃癌の発生頻度が高いことが知られているが、こちらにはニトロソ化合物が影響しているという説もある。
また、血液中のセレン濃度と前立腺ガンの相関性が指摘されており、血液中セレン濃度の低下は前立腺ガンのリスクファクターと言われる。セレンの補充は前立腺ガンのリスクを軽減するとの報告もある。ただし、取り過ぎは前立腺ガンのリスクを軽減しないどころか、皮膚がんのリスクを高めると言われる。
前述のように、ヒトではセレン単独の欠乏症状が見られない。したがって、セレン欠乏は、欠乏症の二次的な要因となると考えられている。すなわち、ビタミンEなどと協調してはたらくため、両栄養素の欠乏症状の相乗作用により現れると考えられる。また、克山病ではセレン欠乏が、コクサッキーウイルスの変異を促し、病原性の獲得および増大をもたらすと考えられている。
セレン 生体内のセレン
経口摂取が不可能になって輸液頼みであったり、タンパク質の摂取が制限されている透析患者ではセレンは不足しがちである。
余命の短い透析患者ではセレンの血中濃度が有意に低いとする研究がある。
透析の過程でセレンが流出してしまっているとする研究もあるが、これを否定する研究もありいまいちよくわかっていない。
セレンは透析患者の2大死因である感染症と心血管病に関わる可能性があり、基準値の策定、治療介入の必要性が指摘されている。
人体には体重1 kgあたり、約0.17 mg程度含まれると言われ、1975年にヒトでの必須性が認められた。セレンの食事摂取基準は2020年版の日本人の食事摂取基準によると、推定平均必要量が25 (20) µg、推奨量が30 (25) µg、上限量が450 (350) µgである（数値は成人男性、かっこ内は成人女性）。ただし、妊婦は更に5 µgの付加量、授乳婦は15～20 µgの付加量となっている。日本人の平均的なセレンの摂取量は100 µg/日とされ、中毒を起こす摂取量は800 µg以上とされている。
セレン 生体内のセレン
東京都は、日本人の摂取量は推奨量をすでに超えている為、「通常はサプリメントとして摂取する必要はないと考えられる」。さらに、「一日許摂取量が上限量に近い栄養補助食品が存在し、上限量を超える可能性がある、この様な物は栄養補助食品として販売されることが問題である」としている。
日本では法規制のため、経腸栄養剤（エンシュアなど）や病気用の代替乳（アレルゲン除去ミルクなど）にセレンなどを添加できず欠乏症に注意が必要となる。
過剰摂取は健康に影響を及ぼし、次の症状を引き起こすことがある。
皮膚炎や脱毛、爪の変形、爪の脱落、顔面蒼白、末梢神経障害、舌苔、うつ状態、胃腸障害、呼気のニンニク臭、運動失調、呼吸困難、神経症状、下痢、疲労感、焦燥感、心筋梗塞、腎不全など。実際に過剰な含有量のダイエット食品を摂食し、健康被害を生じた例がある。
計量ベクトル空間
線型代数学における計量ベクトル空間（けいりょうベクトルくうかん、英: metric vector space）は、内積と呼ばれる付加的な構造を備えたベクトル空間であり、内積空間（ないせきくうかん、英: inner product space）とも呼ばれる。この付加構造は、空間内の任意の二つのベクトルに対してベクトルの内積と呼ばれるスカラーを対応付ける。内積によって、ベクトルの長さや二つのベクトルの間の角度などの直観的な幾何学的概念に対する厳密な導入が可能になる。また内積が零になることを以ってベクトルの間の直交性に意味を持たせることもできる。内積空間は、内積として点乗積（スカラー積）を備えたユークリッド空間を任意の次元（無限次元でもよい）のベクトル空間に対して一般化するもので、特に無限次元のものは函数解析学において研究される。
内積はそれに付随するノルムを自然に導き、内積空間はノルム空間の構造を持つ。内積に付随するノルムの定める距離に関して完備となる空間はヒルベルト空間と呼ばれ、必ずしも完備でない内積空間は（内積の導くノルムに関する完備化がヒルベルト空間となるから）前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ばれる。複素数体上の内積空間はしばしばユニタリ空間 (unitary spaces) とも呼ばれる。
計量ベクトル空間 定義
本項ではスカラーの体 F は実数体 R または複素数体 C の何れかを意味するものとする。
厳密に言えば、内積空間とは体 F 上のベクトル空間 V であって、内積と呼ばれる写像
で以下の公理を満足するものを備えたものを言う。
F = R のときは共軛対称性（エルミート対称性）は単に対称性に帰着される。
上記内積の定義において、係数体を実数体 R および複素数体 C に制限する必要があることにはいくつか理由がある。簡潔に述べれば、半正定値性が意味を持つために係数体は（内積の値域となる）適当な順序体を含む必要がある（従って、任意の順序体がそうであるように標数が 0 でなければならない）ことである（ここから直ちに有限体は除外される）。また、係数体は区別された自己同型 (distinguished automorphism) のような付加構造を持たなければならない。そういう意味では、より一般に R または C の二次閉部分体（任意の元が平方根を持つ体、例えば全代数的数体）を考えれば十分だが、（R でも C でもない）真の部分体を取ってしまうと、有限次元の内積空間でさえ完備距離空間にならない。これと対照的に、R または C 上の有限次元内積空間は自動的に完備となり、従ってヒルベルト空間になる。
計量ベクトル空間 性質
計量ベクトル空間では様々な定理が成立する。
計量ベクトル空間 例
様々なベクトル空間に様々な内積が定義できる。
最も単純な例として、実数全体の成すベクトル空間に通常の乗法によって内積 ⟨x, y⟩ := xy を定めたものは内積空間になる。
ヒルベルト空間の項には、内積の導く距離が完備となるような内積空間のさまざまな例がある。完備でないような内積を持つ内積空間には、例えば閉区間 [a, b] 上の複素数値連続函数全体の成す空間 C([a, b]) が挙げられる。内積はで与える。この空間が完備でないことは、たとえば閉区間 [−1, 1] 上で  で定義される階段函数列 {fk}k を考えれば、この列は内積の導くノルムに関してコーシー列を成すが、これは「連続」函数に収斂しないことを見ればよい。
計量ベクトル空間 内積空間上のノルム
p ≠ 2 とするとき、ベクトル空間に
なるノルムをいれてノルム空間を得ることはできるが、中線定理（平行四辺形公式）を満たさないので内積空間にはならない（ノルムに付随する内積が存在するには中線定理が成り立たなければならない）。
しかし内積空間ならば、内積から自然に定義され、中線定理を満足するノルム
を持つ。このノルムは内積の定義における正定値性公理によってきちんと定義される。ノルムはベクトル x の長さ（あるいは大きさ）と考えることができる。公理から直接に以下のようなことが分かる:
コーシー＝シュワルツの不等式
V の任意の元 x, y に対して  が成立する（等号は x と y とが線型従属であるとき、かつそのときに限り成立）。
これは数学においてもっとも重要な不等式のうちの一つである。ロシア語の文献ではコーシー＝ブニャコフスキー＝シュワルツの不等式とも呼ぶ。重要性に鑑みて、簡潔な証明を記しておこう:
y = 0 のときは自明ゆえ、⟨y, y⟩ は非零とする。このときと置けばとなり、整理すれば証明を得る。
直交性
計量ベクトル空間 内積空間上のノルム
内積は角度や長さといった言葉で幾何学的に解釈することができるので、内積空間において幾何学的な用語法を用いる動機付けを与えるものとなる。実際、コーシー＝シュワルツの不等式の直接の帰結として、F = R の場合には、二つの非零ベクトル x, y の間の角を等式で定義することが正当化できる。ここでは角度の値を [0, π] から選ぶものとする。これは二次元ユークリッド空間における場合の対応物になっている。F = C の場合の角度（閉区間 [0, π/2] はと定義するのが典型的である。このような角度の定義に呼応して、V の二つの非零ベクトル x, y が直交することの必要十分条件をそれらの内積の値が 0 となることと定める。
斉次性
V の任意の元 x とスカラー r に対して ǁrxǁ = |r| ǁxǁ が成り立つ。
三角不等式
V の任意の二元 x, y に対して ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ が成り立つ。
計量ベクトル空間 内積空間上のノルム
斉次性と三角不等式は函数 ǁǁ が実際にノルムを成すことを示すものである。これにより V はノルム線型空間となり、従ってまた距離空間を成す。最も重要な内積空間は、この距離に関して完備距離空間となるもので、それらはヒルベルト空間と呼ばれる。任意の内積空間 V は、適当なヒルベルト空間の稠密な部分空間であり、このヒルベルト空間は V の完備化として、本質的に V によって一意に決定される。
ピタゴラスの定理
V の二元 x, y が ⟨x, y⟩ = 0 を満たすならば ǁxǁ2 + ǁyǁ2 = ǁx + yǁ2 が成り立つ。
この等式の証明には、ノルムを定義に従って内積を用いて書いて、各成分に関する加法性に従って展開すれば十分である。「ピタゴラスの定理」という名称はこの結果を幾何学的に解釈したものが綜合幾何学における同名の定理の類似対応物になっていることによる。無論、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理の証明は、基礎に置かれた構造が乏しいために、より複雑なものとなることに注意すべきである。その意味において、綜合幾何学におけるピタゴラスの定理は、いま述べた内積空間におけるものよりも深い結果である。
計量ベクトル空間 内積空間上のノルム
ピタゴラスの定理に数学的帰納法を適用することにより、x1, …, xn がベクトルの直交系、即ち相異なる任意の添字 j, k に対して ⟨xj, xk⟩ =0 を満たすならば
となることが示せる。コーシー＝シュワルツの不等式から、⟨,⟩: V × V → F が連続写像となることも分かるから、ピタゴラスの定理を無限和にまで拡張することができる:
パーシヴァルの等式
V が完備内積空間ならば、{xk} がどのに元も互いに直交する V のベクトル族であるとき、が、左辺の無限級数が収斂する限りにおいて成立する。
空間の完備性は、部分和の列（これがコーシー列となることは容易）が収斂することを保証するために必要である。
中線定理
V の任意の二元 x, y に対し、ǁx + yǁ2 + ǁx − yǁ2 = 2ǁxǁ2 + 2ǁyǁ2 が成り立つ。
実は中線定理はノルム空間において、そのノルムを導く内積が存在するための必要かつ十分な条件であり、これを満足するとき対応する内積は偏極恒等式
によって与えられる（これは余弦定理の一つの形である）。