hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
日露和親条約
日露和親条約、日魯通好条約（にちろわしんじょうやく、にちろつうこうじょうやく露: Симодский трактат）は、日本とロシア帝国の間で締結された条約。安政元年12月21日（1855年2月7日）、伊豆国下田（現・静岡県下田市）長楽寺において締結された。日本（江戸幕府）側全権は大目付格筒井政憲と勘定奉行川路聖謨、ロシア側全権は提督エフィム・プチャーチン。
本条約によって、アイヌモシㇼ（アイヌが住まう土地）を分割する形で、当時の日本の行政単位であった蝦夷地に国境が引かれた。東は、択捉島と得撫島の間の択捉海峡とされ、北は北蝦夷地（樺太、サハリン島）が国境未画定とされた（日露国境）。樺太はこれまで通り両国民の混住の地と定められた。一方で千島列島は、日露により千島列島の居住者において圧倒的大多数を占める千島アイヌの存在が無視され、択捉海峡で日露により分断されることになった。
条約の正式名称は、日本国魯西亜国通好条約（にっぽんこくろしあこくつうこうじょうやく）である。日露通好条約、下田条約、日魯通好条約とも呼ばれ、また条約締結当時の日本では日魯和親条約と表記していた。
この条約は1895年（明治28年）に締結された日露通商航海条約によって領事裁判権をはじめ全て無効となった。
日露和親条約 主な内容
本条約では最恵国待遇条項は片務的であったため、3年後の安政5年（1858年）に締結された日露修好通商条約で双務的なものに改められた。
日露和親条約 樺太国境交渉
条約交渉開始時点では樺太の国境を画定する予定だったが、両国の主張が対立したため国境を画定できなかった。
長崎での交渉の中でロシア側は、樺太最南部の亜庭湾周辺を日本の領土とし、それ以外をロシア領とすることを提案した。日本側はそれに対して、北緯50度の線で日露の国境とすることを主張した。交渉が下田に移る直前、川路は老中にあてた書簡の中で次のように説明している。
日本の会所ができているのはアニワ湾周辺だけで、それより奥地へは探険家が入った程度である。長崎では北緯50度で分けるとの案を出したが、どこで分けるかの定見は無い。不毛の樺太を棄てても一向に差し障り無い。 — 『開国　日露国境交渉』
日露和親条約 樺太国境交渉
下田で交渉が始まると、嘉永7年11月4日（1854年12月23日）の安政東海地震津波により大破したロシア艦「ディアナ」が沈没してしまったため、交渉は一時停止した。交渉が再開し、安政2年12月14日（1855年1月31日）、樺太に国境を設けず、附録で、日本人並に蝦夷アイヌ居住地は日本領とすることで一旦は合意した。このとき、川路は蝦夷アイヌ、なにアイヌと明確に分かれているので混乱の恐れはないと説明した。2月2日の交渉で、ロシア側は附録の部分の蝦夷アイヌを蝦夷島アイヌとすることを提案した。翌日、日本側は、蝦夷島同種のアイヌとすることを提案したが、ロシア側の反対が強く決まらなかった。4日、ロシア側から、附録は無しにして、本文に是迄通りと書けば十分ではないかと提案があり、5日にはロシア側提案通りに決定した。
その後、樺太国境問題は、慶応3年（1867年）の日露間樺太島仮規則を経て、明治維新後の1875年（明治8年）5月7日の樺太・千島交換条約によって一応の決着を見ることになる。
銀河
銀河（ぎんが）
銀河 - 恒星や星間物質の集まり。
銀河系 - 太陽系が属している銀河。
天の川の漢語表現。
このほか、以下のものにも用いられる。
ブラウン運動
物理学におけるブラウン運動（ブラウンうんどう、英: Brownian motion）は浮遊する微粒子が不規則に運動する現象である。
ブラウン運動 概要
物理学におけるブラウン運動は、液体や気体中に浮遊する微粒子（例：コロイド）が、不規則（ランダム）に運動する現象である。1827年、ロバート・ブラウンが、水の浸透圧で破裂した花粉から水中に流出し浮遊した微粒子を、顕微鏡下で観察中に発見し、論文「植物の花粉に含まれている微粒子について」で発表した。
この現象は長い間原因が不明のままであったが、1905年、アインシュタインにより、熱運動する媒質の分子の不規則な衝突によって引き起こされているという論文が発表された。この論文により当時不確かだった原子および分子の存在が、実験的に証明出来る可能性が示された。後にこれは実験的に検証され、原子や分子が確かに実在することが確認された。同じころ、グラスゴーの物理学者ウィリアム・サザーランドが1905年にアインシュタインと同じ式に到達し、ポーランドの物理学者マリアン・スモルコフスキーも1906年に彼自身によるブラウン運動の理論を発表した。
ブラウン運動 概要
数学のモデルとしては、フランス人のルイ・バシュリエは、株価変動の確率モデルとして1900年パリ大学に「投機の理論」と題する博士論文を提出した。今に言う、ランダムウォークのモデルで、ブラウン運動がそうである、という重要な論文であるが、当時のフランスの有力数学者たちに理解されず、出版は大幅に遅れた。
ブラウン運動という言葉はかなり広い意味で使用されることもあり、類似した現象として、電気回路における熱雑音（ランジュバン方程式）や、希薄な気体中に置かれた、微小な鏡の不規則な振動（気体分子による）などもブラウン運動の範疇として説明される。
ブラウン運動 アボガドロ定数との関係
ブラウン運動について以下の式が成り立っている。
ここで、上式左辺はブラウン運動する物体の平衡位置 x0 からのずれの2乗の平均である（系は1次元とする）。R は気体定数、T は絶対温度、f は易動度、t は十分経過した時間（極限としては t → ∞）である。そして、NA がアボガドロ定数である。アボガドロ定数以外はブラウン運動とは関係なく求めることのできる量であり、フランスの物理化学者ジャン・ペランが1908年、ブラウン運動の観測を元に NA = 7.05×1023（資料により値が異なる）という値を得ている。
なお、ボルツマン定数 kB = R / NAを用いて表記すると、次の式となる。
ブラウン運動 花粉にまつわる誤解
水中で浸透圧により破裂した花粉から流出した微粒子ではなく、花粉そのものがブラウン運動すると間違われることがある。一般書などに限らず、高名な学者や学術書や教科書にも見られた。最近でもマスコミの記事や、インターネット上の検索サイトで検索すると大学のウェブ上のアインシュタインの業績説明は誤ったままの説明になっていることが多い。
ブラウン運動 アインシュタインの論文
1905年のアインシュタインの論文によって、ブラウン運動は原子の存在を明白に証拠付ける事実となった。その内容を要約すると以下のようになる。
ブラウン運動 モデル
ブラウン運動は確率過程として数理モデル化できる。具体的にはウィーナー過程がそのままブラウン運動のモデルとみなせる（そのため数学ではウィーナー過程を別名「ブラウン運動」とも呼ぶ）。
エタン
エタン（英: ethane）は、アルカン群に属する炭素数が2の有機化合物である。分子式は C2H6、構造式は CH3-CH3 で、メタンに次ぎ2番目に簡単なアルカンであり、異性体は存在しない。水に溶けにくく、有機溶媒に溶けやすいという性質を持つ。可燃性の気体であり、日本では高圧ガス保安法の可燃性気体に指定されている。
エタン 歴史
1834年、マイケル・ファラデーによって酢酸カリウム水溶液の電気分解により合成されたのが最初である。しかしこの当時はメタンが合成されたものと考えられていた。1847年から49年にかけ、ヘルマン・コルベとエドワード・フランクランドがファラデーの手法を用いて、また有機ラジカル理論を用いてプロピオニトリルとヨウ化エチルとを金属カリウムで還元することでエタンを合成した。しかしこの時も生成物がエタンだとは考えられていなかった。この間違いは1864年にCarl Schorlemmerによって発見され、エタンの存在が明らかとなった。
エタンという名前はエーテル（ジエチルエーテル）が起源である。
エタン 化学的性質
一般的なアルカンの性質を持つ。すなわち、酸化剤・還元剤や酸・塩基とはほとんど反応しないが、光の照射による置換反応や燃焼などの反応を起こす。詳細はアルカンの項を参照。
エタンを完全燃焼させたときの燃焼熱は1561 kJ/molであり、完全燃焼により二酸化炭素と水を発生する。
燃焼は複雑に連続したラジカル反応により起こる。計算化学で反応速度論について計算すると、数百種類の反応経路が考えられるという結果が出た。その中でも重要な連続反応として、エチルラジカルと酸素との結合、それに続く過酸化物の生成、その分解によるエトキシラジカルとヒドロキシルラジカルの生成が挙げられる。
酸素が不足した際には不完全燃焼が起こり、一酸化炭素やホルムアルデヒドが生成する。このような炭素1つを含む物質を生成するためには、エタンのC-C結合を切る必要がある。これにはエトキシラジカルが分解し、メチルラジカルとホルムアルデヒドを生成するという経路が挙げられる。これらの生成物は更なる酸化により別の化合物へと変化することとなる。
不完全燃焼では他にアセトアルデヒド、メタン、メタノール、エタノールなどが少量生成する。600–900℃の高温では、エチレンが主な生成物となる。
同じような反応がエタンからエチレンを製造する際のクラッキング法として利用されている。
エタン 製造
工業的製法については一般的なアルカンと同様、石油を分留することで得られる。詳細はアルカンの項を参照。
エタンは天然ガス中でメタンの次に多く含まれる成分である。1960年代の始めには、天然ガスから得られたエタンはメタンと分離されることなく使われていたが、この頃は燃料として燃やされる用途が主であった。しかしそれ以降、エタンは重要な石油化学原料となり、天然ガス中から分離される最も重要な成分の一つとなっている。またエタンは石油ガス中からも、製油の際の副生成物として得られる。
エタンとメタンを分離する際には、極低温にした液体を分留するという手法が用いられる。様々な冷却法が存在するが、混合物を急激に膨張させることで温度を下げるという手法が最も効率的であり、天然ガスから90%以上の割合でエタンを得ることができる。この時は冷却ガスをタービンに通すことで膨張させる。このときの温度は約−100℃である。このときガス状のメタンは液体のエタンから取り除かれ、液体となっている他のアルカン類は分留により分離される。
研究室レベルでは、コルベ電解により得られる。具体的には酢酸塩水溶液を電気分解する。アノードでは酢酸が酸化されて二酸化炭素とメチルラジカルを生成する。このメチルラジカル同士が反応してエタンが生成する。
似たような方法として、無水酢酸を過酸化物で酸化しても得ることができる。
エタン 利用
化学工業でエタンが最もよく使われるものとしては、蒸気クラッキングによるエチレンの生成である。アルカンの薄い蒸気を900℃以上の高温に晒すと、分子量の大きいアルカンは分子量が小さいアルカンになり、飽和アルカンがアルケンになる。この反応を利用すると、エタンは選択的にエチレンを生成することができる。そして分子量の大きい炭化水素はプロピレンやブタジエン、芳香族炭化水素などの様々な不飽和炭化水素を生成する。
他にも、エタンは様々な化学物質の原材料として利用される。
エタンの酸化的塩素化によりクロロエチレンを生成する方法は、エチレンの塩素化に比べて本質的に経済的な手法であるように見える。この反応の様々な場面に特許が取られているが、低い反応選択性と腐食性反応であること（塩酸を含む反応溶液を500℃以上に熱するなど）から実際に利用されることはあまりない。現在では、ドイツでINEOS社がエタンからクロロエチレンを生産している。
エタン 利用
同じように、サウジアラビアのSABIC社がエタンの酸化により酢酸を生産するプラントをヤンブに建設することを発表した。この酢酸生産手法はサウジアラビア近辺から低価格のエタンを得られるという前提に立ったものであり、世界的に見るとメタノールのカルボニル化反応による生産が経済的に有利であることに変わりはない。
エタンは極低温の冷却材としても用いられる。実験室などの小スケールでは、電子顕微鏡を用いる際に液化エタンが水を多く含む試料のガラス化に使われることがある。
エタン 安全性
室温では可燃性であり、空気と3%-12.5%の体積比で混合した混合ガスは爆発性である。その上分子量も空気の平均分子量である28.8に近いため、ガス漏れした場合簡単に拡散して混合ガスを形成しやすい。
エチレン
エチレン（ethylene、IUPAC命名法では エテン (ethene) ）は、分子式 C2H4、構造式 CH2=CH2 で、二重結合で結ばれた炭素2個を持つ炭化水素。もっとも単純なアルケンである。二重結合エチレンはこの化合物に高度な反応性を持たせ、化学工業で使用されるエチレンの体積は他の有機化合物よりも大きい。
エチレン 構造
エチレンの炭素‐炭素間の二重結合はσ結合とπ結合からなる。sp2混成した電子が正面から結合し、σ結合を作る。また、混成していないp軌道の電子が側面から結合を作る事によって生じるのがπ結合である。σ結合は切れにくい強い結合であるのに対し、π結合は切れやすい結合である。エチレンは二重結合を持つので、エタンのように炭素鎖を回転をすることは出来ない。そのため、1,2-ジクロロエチレンなどのエチレン誘導体はシス-トランス異性体を生じうる。
エチレンは平面構造を取り、二つの炭素原子がsp2混成軌道を取るため、すべての結合角は約120ﾟである。
エチレン 性質と反応
かすかに甘い臭気を有する無色の気体で、強力な酸化剤と反応しやすく、また引火しやすい。
チーグラー・ナッタ触媒で重合するとポリエチレンになる。反応性が高く、様々な化合物の原料として用いられている。例えばアセチレンはエチレンをハロゲンと反応させて1,2-ジハロエタンを作り、水酸化カリウムでハロエテン、水素化アルミニウムリチウムで還元して作られる。エタノールを 160–170 ℃ 程度で脱水して得ることも出来る（分子内脱水）。
ワッカー酸化により、アセトアルデヒドを生成する。
水和反応によりエタノールが生成されるが、高温高圧環境が必要である。工業的な合成アルコール（エタノール）の生産方法のひとつである。
エチレン 工業的製法
工業的には、日本ではナフサを主とする炭化水素を水蒸気と混合して800－900℃程度の高温で熱分解し、生成物を蒸留分離してエチレンを生産する。この生産設備はエチレンプラントと呼ばれ、石油化学工場の中核設備である。
工業製品としてエチレンの2016年度日本国内生産量は 6,278,821 t、工業消費量は 1,344,762 t である。
一方中東、アメリカでは天然ガスに含まれるエタンを熱分解する方法が進んでいる。
エチレン 工業用途
エチレンが石油化学コンビナートの生産力の指標にもなることからわかるように、エチレンは大多数の石油化学製品の原材料として重要である。
例として、塩化ビニル、アクリルニトリル、酢酸ビニルなどがエチレンを元に作られる。
エチレン 植物におけるエチレン
植物においてはメチオニン→S-アデノシルメチオニン(SAM)→1-アミノシクロプロパン-1-カルボン酸(ACC)→エチレンという経路を通して合成される。この過程では、SAMからACCへの合成にACC合成酵素が、ACCからエチレンの合成にACC酸化酵素が関与する。
植物ホルモンの1つでもある。一般的には生長を阻害し、花芽形成も抑制する。例えば、ジャガイモの場合、エチレンにより萌芽が抑制される性質がある。一方、パイナップルなど一部の植物では、エチレンにより花芽形成が促進される場合もある。
水が過剰に与えられたとき、エチレンにより根の細胞の一部にアポトーシスが誘発され、シュノーケルと同様の機能を持つエアチューブが形成される。
また、エチレンは果実の「色づき」「軟化」といった成熟にも関与している。これはエチレンがセルラーゼに関与し、細胞壁組織の破壊が誘導されるためと考えられている。また、バナナなどのクライマクテリック型の果実では一般に成熟直後に生成量のピークを示し、それ以後は逓減する。リンゴはエチレンガスを発生させるので、バナナの傍で保管すると、バナナの成熟が早く進む。リンゴとジャガイモを一緒に保存するとエチレンによりジャガイモの発芽が抑制され、また、リンゴとホウレンソウを一緒に保存するとホウレンソウがエチレンにより黄変してしまうといった性質がある。
エチレン 植物におけるエチレン
リンゴのほかメロン、セイヨウナシ、アボカドは特に多くエチレンを放出する。
さらに、エチレンは病原菌（カビや細菌など）の感染や組織が傷害を受けた時に生成され、これらに対する防御応答を誘導することが知られている。例えば、エチレンにより抗菌作用を持つタンパク質が誘導され、病原菌の感染が広がるのを防ぐといった防御機構が考えられている。また、エチレンは気体であるため、病害を受けた植物に隣接する他の植物に対しても作用し、防御応答を誘導すると考えられている。
エチレン 国別の生産量
2008年における国別の生産量は以下の通りである。
日本国内にはエチレン生産設備が12基ある（石油化学工業協会の資料から作製）。茨城県（三菱ケミカル）、千葉県（丸善石油化学、丸善石油化学と住友化学、三井化学、出光興産）、神奈川県（ENEOS（2基））、三重県（東ソー）、大阪府（三井化学）、岡山県（旭化成と三菱ケミカル）、大分県（レゾナック）、山口県（出光興産）。
平本アキラ
平本 アキラ（ひらもと アキラ、1976年 - ）は、日本の漫画家。沖縄県出身。作品に『アゴなしゲンとオレ物語』『監獄学園』がある。
平本アキラ 来歴
1995年、『その友達に疑問あり』が『週刊ヤングマガジン』（講談社）に掲載され、デビュー（当時の名義は「平本 明」）。
1998年、『ヤングマガジン』にて『アゴなしゲンとオレ物語』を連載する。
2011年、同誌にて『監獄学園』を連載。
2013年、『監獄学園』で講談社漫画賞を受賞。
2022年、『月刊少年マガジン』にて『ふたりスイッチ』を連載。
同年、『ビッグコミックスペリオール』にて『スーパーボールガールズ』を連載。
平本アキラ テーマと影響
あるインタビューで、描きたいものは「エロスとバイオレンスと、人間賛歌と女性の強さ」だと述べている。
監獄学園を制作するにあたって、映画からの影響が強いといい、平本は
と語っている。また、『おしん』、『テルマ&ルイーズ』、『フライド・グリーン・トマト』といった、「フェミ映画」も好きで、そういった女性の強さが作品に反映されているという 。
平本アキラ 作品リスト
デビュー作。『アゴなしゲンとオレ物語』単行本30巻巻末に、30巻突破記念として収録されている。
連載途中から休載を繰り返すようになり、『アフタヌーン』2008年4月号掲載を最後に事実上の連載中止となったが、2014年、『ヤングマガジンサード』に移籍し連載を再開した。
読み切りから短期連載となった作品。実写Vシネマ化もされた。
原作担当。作画はハナムラ。
トマホーク
トマホーク (英語: tomahawk、アベナキ語：alni-temahigan、デラウェア語：tëmahikàn) は、北アメリカのインディアンが使う斧。北米大陸への入植・開発のために白人がヨーロッパから大量輸入した斧を現地の入植者やネイティブアメリカンが改良したもの。
「軍用トマホーク」など上記の斧が改良されたものや別の流れでもそれに類似するものは「トマホーク」と呼ばれることがある。
斧に限ったことではないが、一般的に破壊力がある道具は武器として応用される事があり、斧が武器として扱われる場合は戦斧と呼ぶ。
トマホーク 概要
トマホークはネイティブアメリカンのアルゴンキアン語 (Algonquian languages) で「切るための道具」を意味する、tamahakan（トモハーケン）が語源で、日常工具や戦闘に使われた投擲も可能な片手斧である。柄が喫煙用のパイプになっているトマホークもある。投擲距離は5メートルから20メートル。
原則として柄は木製である。柄の長さは30-50センチメートル程度。鉄器を使用するヨーロッパ文明との接触以降、斧は鉄製となり、以前はそれとよく似た石斧や棍棒「ガンストッククラブ」を用いていた。現在は木の柄に斧と鎚になる金属部品を付けた物を「インディアントマホーク」として通信販売しているウェブサイトもある。
トマホーク 軍用トマホーク
ネイティブ・アメリカンから白兵戦を学んだ白人もよくトマホークを用いており、ピーター・ラガーナが新しいトマホークを開発した。近代もスチール製の多目的トマホークが民間工房から供給されており、森林戦の多いベトナム戦争などで使用された。アメリカ陸軍は、柄が強化プラスチック製の合成素材で作られたトマホークを正式採用し、イラク戦争から使用し続けている。
斧は、ナイフより殺傷力が高く多目的に使えるので、携行する道具の量を減らし、より機敏に活動できるという主張がある。アメリカ、トマホーク社の “VTAC”(Vietnam Tactical Tomahawk) は、アフガニスタンで使用され、CQCの武器としてだけでなく非爆発性物質の破壊・障害物除去・扉の破壊開閉・IED除去などに用いられている。
牽連犯
牽連犯（けんれんはん、- ぱん）とは、犯罪の手段又は結果である行為が他の罪名に触れることをいう（刑法54条1項後段）。たとえば、他人の住居に侵入して窃盗を行った場合、住居侵入罪（刑法130条前段）と窃盗罪（刑法235条）は牽連犯となる。
牽連犯については、その最も重い刑により処断する。上記の例では、法定刑の重い窃盗罪の刑により処断されることとなり、別途住居侵入罪の刑で処断されることはない（吸収主義）。この点で、加重主義がとられる併合罪よりも処断刑が軽くなる。
牽連犯 沿革
牽連犯の規定は、日本以外の立法例にはほとんど見当たらない。日本の現行刑法は、スペイン刑法を参考に設けられたものと推測されている。日本の現行刑法を母法とする韓国刑法にも存在せず、改正刑法草案でも削除が予定されていた。
牽連犯 趣旨
牽連犯は、元来数罪が成立するところ、科刑上一罪（処断上一罪）として取り扱うものである（判例・通説）。
判例は、その趣旨について、数罪間に、その罪質上、通例その一方が他方の手段または結果となるという関係があり、しかも具体的にも犯人がかかる関係においてその数罪を実行したような場合には、そのうち最も重い犯罪について定めた刑をもって処断すれば、それによって軽い罪に対する処罰をも充足し得るのが通例であるから、それら数罪の犯行目的が単一であることをも考慮すれば、もはや数罪として処断する必要がないと認められることによるとする（最高裁昭和23年12月21日判決）。
牽連犯 要件
判例は、刑法54条1項後段にいう「犯罪の手段」とは、ある犯罪の性質上、その手段として普通に用いられる行為をいい、また「犯罪の結果」とは、ある犯罪より生ずる当然の結果を指すから、牽連犯となるには、両者の間に密接な因果関係があることが必要であり、犯人が現実に犯した2罪がたまたま手段結果の関係にあるだけでは牽連犯とならないとしている（最高裁昭和24年7月12日判決）。
また、判例は、牽連犯が成立するためには、犯人が主観的に数罪の一方を他方の手段又は結果の関係において実行したというだけでは足りず、その数罪間に、その罪質上、通常手段結果の関係が存在することを必要とするものと解している（前掲最高裁昭和24年12月31日判決）。
判例は、住居侵入と窃盗・強盗・殺人・強制性交等・傷害・放火との間、文書偽造とその行使と詐欺との間などについて牽連犯を認めている。
牽連犯 要件
一つの手段となる犯罪から複数の犯罪が派生して発生した場合は、手段となる犯罪と結果となる複数の犯罪がそれぞれ牽連犯の関係に立つ結果、全体として一罪として扱われる。例えば、住居に侵入して3人を殺害した場合、3個の殺人罪と1個の住居侵入罪がそれぞれ牽連犯となる結果、全体として一罪として最も重い罪の刑により処断される（最高裁昭和29年5月27日決定）。3個の殺人罪だけであれば併合罪となり、併合罪加重がされるのに対し、住居侵入罪が「かすがい」の役割を果たすことによって一罪となるので、これをかすがい現象という。
これは、判例・通説で認められた考えであるが、かすがいとなる犯罪が起訴され、認定されることによって、かえって処断刑の範囲が軽くなるという不均衡が生じるため、反対説もある。
牽連犯 処断刑
牽連犯は、「その最も重い刑により処断」されるが、判例は、この規定を、数個の罪名中最も重い刑を定めている法条によって処断するという趣旨とともに、他の法条の最下限の刑よりも軽く処断することはできないという趣旨を含むものと解している（最高裁昭和28年4月14日判決）。
牽連犯 訴訟法上の取扱い
牽連犯は、観念的競合と同様、科刑上一罪となり、これと同様の訴訟法上の取扱いとなる。
陶芸
陶芸（とうげい、英: Pottery）とは、粘土を成形して高温で焼成することにより陶磁器などを作る技術のこと。陶磁器以外にも種類はある。焼きものとも呼ばれる。生業として陶芸を行う者を陶工もしくは陶芸家と呼ぶ。
焼きものは施釉しない土器（および高温で焼成した炻器）と施釉した陶磁器（陶器と磁器）とに大別されるが、この区分には地域や文化によりばらつきがあり、欧米では施釉されたものも炻器（ストーンウェア）に含み、また中国では土器と陶器を区別しない。
造形方法には、手びねり、型を用いて土の形を整える方法、轆轤（ろくろ）の上に置き手足や機械で回しながら両手で皿や壷などの形を作っていく方法などがある。焼き方には、窯を用いない「野焼き」や、七輪を用いる「七輪陶芸」などという手法もある。土の種類やこね方、釉、そして焼く温度など、様々な要素が作品に貢献する。したがって、世界中にいろいろな技法が存在する。
陶芸は人類のもっとも古いテクノロジーおよび芸術形式のうちのひとつであり、今日もなお主要な産業であり続けている。考古学者たちのよる定義では、人形などの器ではないものや、轆轤によって作られたのではないものは、同様の過程で、おそらくは同じ人々によって作られたセラミックス製品であっても陶芸品に含めない傾向にある。
陶芸に始まる数々の技法は、洗練され、科学的に研究されて最先端のセラミックス製品の発明に繋がっている。
陶芸 胎土
陶芸では、粘土の素地（胎土）を求める品物の姿に成形し、窯で加熱することで強度を高め、硬化させ、形を固定させる（時には気泡のため壊れてしまうこともある）。陶芸に用いられる素材の性質には地域により大きなバリエーションがあり、このために各地域に独特の焼きものが生まれる。ある目的に適した胎土を得るために粘土とその他の各種素材が混合されることが普通である。
成形を行う前に、胎土の中に入った空気を取り除く必要がある。この作業は脱気と呼ばれ、真空土練機を使うか、もしくは手で土揉み（土練り）して行われる。土揉みには胎土全体の水分含量を均一にする働きもある。胎土の脱気・土揉みが済むと、さまざまな技法を用いて成形が行われる。成形した胎土は焼く前に乾燥される。乾燥にはいくつかの段階がある。「半乾き」（Leather-hard）は水分がおよそ15%の段階を指す。この段階の胎土は非常に堅固で、可塑性は大きくない。削りや、取っ手の取りつけなどはこの段階で行われることが多い。「絶対乾燥」（bone-dry）は水分が（ほぼ）0%となった段階を指す。焼く前のものは生素地（greenware）と呼ばれる。この段階の胎土は非常に脆く、簡単に壊れてしまう。
陶芸 成形の方法
陶芸の成形にはさまざまな方法がある。
手びねりは最初期から存在した手法である。球、紐（紐作り）などの形をした粘土を手でこねて形を作る。ほかに、板状に伸ばした粘土（タタラ）をつなぎ合わせたり皿状に成形したりするタタラ成形や、中をくり抜いた粘土塊をつなぎ合わせるくり貫きといった手法がある。
手で成形した器の部品は、胎土と水の水性懸濁液であるスリップ（泥漿）を用いて結合されることが多い。手びねりは轆轤による成形より時間がかかるが、器の大きさや形をよりきめ細かく制御することができる。迅速で反復しやすいほかの技法はテーブルウェアのようなぴったり合った揃いの器を作るのにより適している一方で、ただ1つしかない芸術作品を生み出すには手びねりの方がよいと考える陶芸家たちもいる。
轆轤による成形では、粘土の球が鏡盤と呼ばれる回転台の中央に置かれ、これを陶工が棒、足、もしくは速度を制御できる電動機を用いて回転させる。
急速に回転する轆轤の上で、柔らかい粘土の球が手で押され、潰され、上方もしくは外側へと引かれ、空洞のある形が作られていく。粗い粘土の球を下方と内側に押して完全な回転対称とする最初の工程は「心出し」「土殺し」と呼ばれ、以降の工程に入る前に習得すべき重要な技能である。それから、穴を開け、広げ、底を作り、壁面を挽き上げ、厚みを均等にし、切り揃えて形を整え、足を作るなどといった作業を行う。
陶芸 成形の方法
轆轤により一定水準の器を作るためにはかなりの技能と熟練を要し、高い芸術的価値を持つ作品も作り出せる一方で、再現性には乏しい。回転による成形という性質上、円形の回転対称形しか作ることができない。成形の後、型押し、盛り上げ、線刻、溝彫り、彫刻などが施されることもある。陶工の手のほか、ヘラ、金床とリブ、切除や穴開けのためのナイフ、鉋、切り糸なども用いられる。さらに取っ手、蓋、足、注ぎ口などを取りつけることもある。
粉体成形は、粒状にした半乾きの粘土を型に入れ圧力をかけて成形する方法である。粘土は小孔のあるダイスによって型に押し込まれ、小孔を通し高圧の水が注入される。噴霧乾燥により、5 - 6%ほどの水分を含む精細で自在に流れる粉流体の粘土が作られ用いられる。粉体成形はタイルの製造に広く用いられるほか、皿にも用いられるようになりつつある。
陶芸 成形の方法
射出成形は熱可塑性樹脂や金属部品の成形に長年用いられてきた方法で、食器産業にも応用されるようになった。複雑な形をした品目の大量生産に向くこの技法の大きな利点のひとつは、ティーカップを取っ手も含め1つのプロセスで生産できることであり、取っ手を取り付ける工程が省けるのみならずより丈夫なものが作れる。成形ダイスには50 - 60%の未焼成の陶土の粉体と、結合剤、潤滑剤、可塑剤ならなる40 - 50%の有機添加剤との混合物が供給される。この技法はほかの成形法ほど広くは使用されていない。
ジガリングとジョリイングは轆轤の上で行われ、器を画一的な形にするのにかかる時間を短縮する。ジガリング（英: Jiggering）は、轆轤の上の石膏型にセットされた胎土に、成形した工具を接触させる操作である。ジガー工具が一方の面を、型が他方の面を成形する。ジガリングは皿のような平らな器の生産にのみ用いられるが、カップのような深みのある器（ホローウェア）にもこれに類似した技法であるジョリイング（英: jolleying）が用いられる。これらの技法は遅くとも18世紀には陶芸に用いられていた。工場での大量生産では通常これらは自動化されており、半熟練労働によって操業することが可能となっている。
陶芸 成形の方法
ローラーヘッドマシンはジョリージガー同様に回転する型の上で成形を行うが、ジガー工具の固定されたプロフィールの代わりに回転式の成形具が使用される。回転式の成形具は成形される器と同じ半径の浅い円錐であり、製造する器の背面の形に作られている。製造する製品の大きさにもよるが、1分に12個ほどを比較的単純な労働によって成形することができる。この技術は第二次世界大戦直後のイギリスでサービス・エンジニアーズ社により開発され、すぐに世界中の製造業者に採用された。今日も平らな器（フラットウェア）製造の主流であり続けている。
陶芸 成形の方法
特別に開発された高分子材料により、4.0MPa（メガパスカル）までの外圧に耐える型を作ることができる。これは毛細管力が0.1 - 0.2MPaほどの圧力相当となる石膏型でのスリップ鋳込みよりもはるかに大きな値である。高圧は非常に高速な鋳込み速度をもたらし、よって製造サイクルも速くなる。さらに、鋳込み物を取り出す際に高分子材料の型に高圧の空気をかけることで、同じ型で即座に次の鋳込みサイクルを開始することができる。石膏型では乾燥に長時間を要するのである。また高分子材料は石膏よりもはるかに耐久性に優れるので、よりよい寸法許容差を持つ成形品を作ることができ、型の寿命もずっと長い。圧力鋳込みは1970年代に衛生陶器生産のために開発されたが、近年ではテーブルウェアにも応用されるようになっている。
小規模な工房などでは、轆轤で水挽きした素地を型に入れ叩いて成形する型打ち、型起こしと呼ばれる方法が行われている。轆轤成形には適さない皿や鉢の生産に向いた手法であり、日本ではおもに磁器の生産に使われ江戸時代初期から有田焼などで行われている。
ラム鋳込みは、小孔のある2つの鋳込み板の間で調合した胎土に加圧してテーブルウェアや装飾品を成形する工場での工程である。加圧後には、鋳込み板越しに圧縮空気を吹きつけることで成形したものを取り外す。
スリップ鋳込み（スリップキャスティング、泥漿鋳込み）は陶器の大量生産にしばしば用いられる方法で、ほかの手段では成形できないようなものの製造にも理想的である。胎土を水で薄めたものであるスリップ（泥漿）が吸収性の高い石膏型へと注ぎ込まれる。スリップの水分は型に吸収され、型の表面にその形をした胎土の層が残るのである。余ったスリップは型から除去され、それから型を開いて目的の形となった物体を取り出す。スリップ鋳込みは衛生陶器の生産に広く使われるほか、複雑な形の人形のようなより小さい品物にも使われている。
陶芸 装飾と施釉
陶芸では以下のものをはじめとするさまざまな方法で装飾が行われる。
胎土を成形する前に何かを練り込んでおくことで、焼きものに望む効果を生み出すことができる。砂やシャモット（焼いた粘土を粉砕したもの）といったザラザラした混ぜ物が、完成品に求める質感を出すために用いられることがある。対照的な色の粘土やシャモットを文様を作り出すために用いることもある。金属酸化物や炭酸塩などの顔料を単独または複合させて加え、求める色を得ることもされる。可燃物の小片を胎土に加え、もしくは表面に押しつけることによっても質感を生むことができる。
アガートウェア（瑪瑙焼き）は色の違う胎土を、個々の色が失われてしまわない程度に混合して作られる。複数の色彩の帯もしくは層が渾然一体となった石英鉱物である瑪瑙（agate）から名付けられた。独特の縞模様や斑模様を持つ。「アガートウェア」はイギリスのものを指す言葉である。日本では「練上げ（手）」と呼ばれる。中国では唐代よりこの種の焼きものが作られており、marbled wareと呼ばれる。アガートウェアを作る際に用いる胎土の選定には細心の注意が必要で、熱移動特性が釣り合っていなければならない。
バンディング（banding）またはライニング（lining）は、手もしくは機械で皿やカップの縁に色の帯をつけることを指す。轆轤で行われることが多い。
陶芸 装飾と施釉
木、鉄、石製の用具を使い焼成前に表面を磨くことで、焼成後にも残る艶を作り出すことができる。精細な胎土を用いるか、胎土が半ば乾燥して水分をほとんど含まない状態でこれを行うことで、きわめて艶のある焼きものを作ることが可能であるが、この状態のものは非常に脆弱であり、破損してしまうリスクも大きい。水止めの効果もあり、焼締め陶や施釉が行われるようになる前の土器ではしばしば行われた。
化粧掛け（エンゴーベ）は、白もしくはクリーム色などのスリップで通常は焼成前に焼きものの表面を覆うことである。装飾的な目的で施されることが多いが、また胎土の欠陥を隠すためにも用いられる。化粧掛けは塗って施すことも、均一で滑らかな被覆を実現するために浸して施すこともできる。化粧掛けは先史時代から現在まで使われ続けている技法である。化粧掛けの一部を削って胎土の色を露出させるズグラッフィート（掻き落とし）の技法とも併用されることがある。色の違う化粧掛けを二重に施し、上の層だけを削ることで下の層の色を出す装飾を行うことも慎重に行えば可能である。このようにして用いられる化粧掛けには相当量の
リトグラフもしくはデカルコマニーは意匠を作品に転写する技法である。リトグラフは3つの層からなる。
裏紙を除去する際に意匠を転写する方法にはさまざまなものがあり、機械による製造に向いたものもある。
陶芸 装飾と施釉
高級な焼きものには金による装飾が施されることもある。
イスラームの陶芸では金彩に似た輝きを持つラスター彩が行われたが、これは銅や銀の酸化物を用いる。
釉は焼きもののガラス質のコーティングである。装飾と保護をおもな目的とする。多孔質の焼きものの器を、水やその他の液体が染み出さないようにすることも重要な役割である。釉は固体のものをまぶしたり、釉薬と水の薄い懸濁液を吹き掛けたり浸したり流したり刷毛で塗ったりして施される。焼成する前と後とでは釉の色は大きく違う場合もある。焼成の際に施釉した作品が窯の備品にくっついてしまわぬよう、作品の一部（脚など）に施釉しない部分を残しておくか、あるいはスプール（ハマ）と呼ばれる耐火性の支持体が用いられる。ハマは焼成が終わると取り外され廃棄される。
特殊な施釉法に以下のものがある。
灰釉 - 植物を燃焼して出た灰が釉の溶剤の成分として用いられる。灰は窯の燃料の燃え残りが用いられることが普通であるが、耕作物のごみの灰が用いられていた可能性も研究されている。燃料の灰が降りかかりひとりでに釉が形成されたものは「自然釉」と呼ばれる。灰釉は極東において歴史的重要性があるが、アメリカ合衆国のカトーバ谷の陶芸などでも小規模に行われていたという報告がある。現在では、素材の可変性から来る予期できない効果に価値を置く一部の陶芸家が行うのみとなっている。
陶芸 焼成
焼成は胎土に不可逆な変化をもたらす。焼成を経て初めて作品は焼きものとなる。低温焼成では、胎土中の粗い粉末同士が接点で溶け合う焼結という変化が起こる。違った素材が使われ、より高い温度で焼成される磁器においては、構成成分の物理的・化学的・鉱物学的性質に大きな変化が起こる。いずれの場合も、焼成の目的は陶磁器を恒久的に硬化させることであり、焼成法は用いる素材と合致したものでなければならない。おおよその目安として、陶器は通常1,000 - 1,200℃、炻器は1,100 - 1,300℃、磁器は1,200 - 1,400℃で焼成される。しかしながら、窯の中での焼きものの変化は最高温度だけでなく時間の長さによっても影響されるため、一定時間は窯の最高温度を保つことが行われることが多い。また条件を変えて装飾などを行うために素焼きと本焼きなど複数回に分けて焼成されることもある。工場での大量生産では、棚のある台車に載せ、1日ほどをかけてトンネル窯をくぐらせ予熱・焼成・徐冷を一度に行う。
陶芸 焼成
焼成中の窯の空気環境は完成品の外観に影響を及ぼしうる。窯に空気が入るようにすることで得られる酸化環境では胎土と釉の酸化反応が引き起こされる。窯への空気の流入を制限することで得られる還元環境では胎土と釉の表面から酸素が奪われる。これは焼き上がりの外観に影響を与え、例えば鉄を含む釉の中には酸化環境では茶色に、還元環境では緑色になるものがある。窯の環境を調整することで、複雑な効果を釉に生み出すことができる。
窯は木材、石炭、ガスなどを燃やし、または電気を用いることで加熱される。燃料として石炭や木材を用いた場合、煙・煤・灰が窯に入ることで、保護されていない焼きものの外観に影響を与える可能性がある。このため、木材や石炭を用いる窯では「匣鉢」（さや）と呼ばれる蓋のできる陶器の箱に焼きものを入れて保護する。ガスや電気を用いる現代的な窯はより清浄であり、木材や石炭によるものより制御もしやすく、また短時間で焼き上げられる場合が多い。日本の伝統的な楽焼およびこれに影響を受けた西洋の陶芸では、焼きものはまだ熱いうちに窯から取り出され、灰・紙・木屑などの中に埋めることで特徴的な炭化した外観を作り出す。この技法はマレーシアでも伝統的な「ラブ・サユ」（labu sayung）と呼ばれる水差しを作るのにも用いられる。
陶芸 歴史
最初期の陶芸は手でこねて焚き火で焼かれていたものと考えられている。焼成時間は短いが、火中で得られる最高温度はおそらくは900℃前後と高く、また非常に速やかに到達したものであろう。焚き火による土器には砂、砂利、砕いた貝殻や土器の破片などを混ぜた粘土が用いられることが多かった。これにより素材を粗くし、粘土に含まれる水分や揮発性の成分が自然に放出されるようにしたのである。粘土内の粗い粒子はまた冷却中に起きる焼きものの収縮を抑え、熱応力による破損のリスクを低減させる役割も果たした。概して、初期の焚き火による土器は、破損しやすい鋭角を避けた円い底を持つことが多かった。意図的に作られた最初の窯は、穴を掘って燃料で覆った窯もしくは溝釜であった。地面に開けた穴は断熱を提供し、焼成を制御しやすくした。
陶芸 歴史
現存する最古の焼きものとされているのは、今日のチェコのドルニ・ヴェストニッツェなどで発見されたグラヴェット文化の人形である。ドルニ・ヴェストニッツェのヴィーナスは紀元前2万9000 - 2万5000年のものとされる裸婦の人形である。現在までに発見されている中で最古の焼きものの器とされるものは中国南部の玉蟾岩遺跡から発掘されたもので、2009年の米国科学アカデミー紀要ではこれらは1万8000年前にさかのぼるとされている。紀元前1万500年ごろのものとされる、日本の縄文時代初期の縄文土器も発見されている。「縄文」というのは「縄の文様がある」という意味であり、縄を巻きつけた棒を用いて土器の器や人形につけられた文様から取られた名前である。北アフリカでも紀元前1万年紀ごろに、南アメリカでも紀元前7千年紀ごろにはそれぞれ独立して陶芸が発達していたようである。多くの文化圏において、最初期の器は手でこねて成形し、もしくは粘土を細く丸い紐状にしてからとぐろを巻かせて器の形にして作られていた。
陶芸 歴史
中近東での最初期の陶芸生産の歴史は4つの時代に区分できる。ハッスナ期（紀元前5000 - 4500年）、ハラフ期（紀元前4500 - 4000年）、ウバイド期（紀元前4000 - 3000年）、ウルク期（紀元前3500 - 2000年）である。メソポタミアではハラフ期には釉薬が発見され、ウバイド期での轆轤の発明は陶芸に革命的変化をもたらした。専門家した陶工たちは世界最初期の諸都市での拡大する需要に応えられるようになったのである。古代インドでもメヘルガルII期（紀元前5500 - 4800年）から新石器時代・銅器時代として知られている。エド・ズール器として知られているものを含むインダス川流域を起源とする陶芸品がインダス文明の諸地域から発見されている。
地中海沿岸では、古代ギリシアの暗黒時代（紀元前1100 - 800年）ではアンフォラやその他の陶芸品の装飾に四角、丸、線といった幾何学文様が用いられていた。古代朝鮮の紀元前1500 - 300年の時期は無文土器時代として知られている。
6世紀には中国で白く硬く薄い白磁が出現し、7世紀には鮮やかな唐三彩も生まれた。中国の陶磁器はイスラーム商人らによるセラミック・ロードと呼ばれる貿易ルートに乗り日本から中東までの広い地域へと輸出され、珍重され大きな影響を及ぼした。
陶芸 歴史
イスラームの陶芸では磁器を模倣する努力が行われたがカオリンが入手できなかったことなどから果たせず、錫釉を用いて白い陶器が作られ、ラスター彩やミーナーイー手など多彩な独自の技法が生まれ陶芸が大きく栄えた。13世紀にはスペインへと流入したムスリムの陶工たちによりラスター彩陶器が作られイスパノ・モレスク陶器が誕生し、またイタリア・ルネサンスを代表する錫釉陶器であるマヨリカ焼きはマヨルカ島から持ち帰られたラスター彩陶器を起源としている。
大航海時代になると景徳鎮窯に代表される中国の磁器も直接ヨーロッパにもたらされるようになり、中国や日本の陶磁器は美術品として宮殿の「磁器の間」などに飾られるようになり評価が高まった。高品質な陶磁器製作の模索がなされるようになり、デルフト、マイセン、セーヴルなどの名窯が生まれた。
日本で独創的な陶芸が始まるのは桃山時代であり、千利休が茶陶を見出し新しい価値観を打ち立てたことで創造性が高まり、志野や唐津では絵付けが行われるようになる。江戸時代に入ると朝鮮の陶工たちにより磁器の伊万里焼が作られるようになり、明治時代までにかけヨーロッパへも輸出された。
産業革命に伴い陶磁器も現代的な施設で大量生産されるようになっていった中で、機能美を追求するウィリアム・モリスらのアーツ・アンド・クラフツ運動が起こり、小さな工房で芸術もしくは工芸としての陶芸（スタジオ・ポッタリー）が世界中で行われるようになっている。
陶芸 考古学
考古学・人類学・歴史学において、陶芸の研究は過去の文化への洞察をもたらしうる。焼きものは丈夫であり、ほかのより耐久性に優れない品物が風化して認識不可能になってしまったずっと後までも、焼きものの少なくとも破片は残存していることが多い。ほかの証拠と組み合わせることで、陶芸の遺物の研究はそれを産み出しもしくは入手した社会の構成、経済状況、文化的発達などに関する理論の発展に寄与する。陶芸の研究から、ある文化における日常生活、宗教、社会的関係、隣人に対する姿勢、自分達自身の世界に対する姿勢、さらには宇宙の理解様式までをも推測することができる。
陶芸に基づく年代学は文字を持たない文化の年代を定める上では不可欠であることが多く、歴史的文化の年代同定においてもしばしば助けとなる。主に中性子放射化による微量元素解析は胎土の由来の正確な同定を可能にし、また熱発光試験により最後に焼成された時期を推測することも可能である。先史時代の焼きものの破片の調査を通じ、科学者たちは粘土内の鉄材がその時期の地球の磁場の正確な状況を記録していることを発見した。
陶芸 環境問題
陶磁器の生産による環境への影響は数千年前から存在していたが、その一部は現代のテクノロジーと生産規模のために増幅されてきている。考慮すべき問題点は2つに大別される。労働者への影響と、環境全体への影響である。労働者への影響のうち主要なものとしては、屋内の空気質、騒音による健康被害、過剰照明がある。環境全体への影響としては、燃料の消費、外部の水質汚染、大気汚染、危険物の廃棄などがある。
歴史的に、釉薬を用いた陶芸では鉛中毒が重大な健康問題であった。これは少なくとも19世紀には認識されており、イギリスでは陶工たちの曝露を制限する初の法律が1899年に導入された。今日では陶芸関係の労働者のリスクは大きく軽減されているとはいえ、依然として無視できるものではない。空気質に関していえば、労働者は浮遊粒子状物質、一酸化炭素、重金属などに晒される可能性がある。最大の健康リスクは、二酸化ケイ素の結晶に長期間晒され続けることにより珪肺となる可能性である。適切な換気によりリスクは軽減可能であり、これを定めた法律がイギリスで1899年に制定されている。オークランドのレイニー・カレッジでの最近の研究では、これらの要素すべては工房・工場の環境のデザインにより制御可能であると示唆している。
陶芸 環境問題
エネルギーと汚染物質の使用も大きな問題となりつつある。電気による焼成の方が燃料の燃焼による焼成より環境に優しいことはほぼ間違いないが、発電の方式により環境への影響には差がある 。
ジョルダン標準形
ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、英: Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンに因む。
ジョルダン標準形 定義
次の形の n 次正方行列をジョルダン細胞という。
代数的閉体 K 成分の正方行列 A に対して、ある正則行列 P を取ると
となる。このとき λi は A の固有値である。この行列 J =P−1AP のことを、行列 A のジョルダン標準形という。
代数的閉体 K 上の有限次元線形空間を V とし、線形変換 ƒ : V → V をとる。
ƒ が半単純 (semisimple) であるとは、線形空間 V が  と ƒ の固有値 λ ∈ K の固有空間 Vλ = { v ∈ V | ƒ(v) = λ } の直和として表せることである。
また ƒ が 冪零 (nilpotent) であるとは、ある自然数 r が存在して fr = 0 となることである。
線形変換 ƒ : V → V に対して、半単純線形変換 ƒs と冪零線形変換 ƒn で
を満たすものが一意的に存在する。このとき ƒ = ƒs + ƒn のことを（加法的）ジョルダン分解といい、ƒs を ƒ の半単純成分、ƒn を ƒ の冪零成分という。
線形空間 V の基底  が線形変換 ƒ のジョルダン基底 であるとは、ei,0 = 0 とおいたとき
が基底の任意の元 ei,j について成り立つことである。ジョルダン基底に関する ƒ の表現行列がジョルダン標準形である。
ジョルダン標準形 特性多項式、最小多項式との関係
正方行列 A のジョルダン標準形 J = P−1AP と、特性多項式 、最小多項式  には次のような関係がある。
なお、最小多項式とは f(A) = O となる多項式 f(x) のうち、次数が最小で、最高次係数が 1 のもの（モニック）を言う。f(A) = O となる多項式 f(x) は、多項式として  で割り切れる（多項式としての除算の余りがゼロとなる）という性質がある。ケイリー・ハミルトンの定理により fA(A) = O であり、fA(x) は多項式として  で割り切れる。
(1)  より、
(2) 多項式 について、 が言えるため、次が言える。
よって  は、多項式として  で割り切れる
よって  は、多項式として  で割り切れる
最小多項式はモニックであるため
(3) 特性多項式が  と因数分解（λk は相異なる）される場合、 であり、J の対角線上には λk が nk個並ぶ。
(4) 最小多項式が  と因数分解（λk は相異なる）される場合、J の固有値 λk のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は rk である。
例1 特性多項式が 、最小多項式が の場合、
例2 特性多項式が 、最小多項式が の場合、
例3 特性多項式が 、最小多項式が  の場合、
例4 特性多項式が 、最小多項式が  の場合、 または
ジョルダン標準形 例
対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。
次の複素成分正方行列 A のジョルダン標準形は次のようになる。
また次で定めるベクトル u, v は Au = 3u と Av = 3v + u とを満たすので行列 A のジョルダン基底である。
この行列 A の半単純成分 S と冪零成分 N への分解は次のようになる。
この分解は N2 = 0 や SN = NS が成り立つので、
行列の指数関数や冪乗の計算に役立つ。
ジョルダン標準形 アルゴリズム
n次正方行列 A のジョルダン標準形は次のように計算できる。以下では n次単位行列を I で表す。
入力
n次正方行列 A
出力
P−1AP がジョルダン標準形となる n次正則行列 P
アルゴリズム
ジョルダン標準形 標準形の存在証明
定理
任意の線形変換 f に対しジョルダン基底は存在する。
証明は線形空間の次元  についての帰納法で、n = 1 なら全ての基底がジョルダン基底だからOK、n − 1 までOKとして、 とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。
補題
が f のジョルダン基底なら、 のジョルダン基底でもある。ここで λ はスカラー。
この補題により  の場合に示せばよい。このとき  とすると、帰納法の仮定で、f' のジョルダン基底  が取れる。番号を 、i > s なら λi ≠ 0 となるようにとる。 は  の元で線形独立だから、これらに  を加えて  の基底を作る。また V の元  を  となるようにとる。このとき n 個のベクトル  が線形独立であることは容易に分かり、これらは V の基底である。 と番号づけると、これが f のジョルダン基底となる。[証明終わり]
で f が行列  で表されるとき、  なら、 が線形独立としてよい。このとき  は行変形で  と簡約化される。
命題
上のとき、 は V' の基底であるが、この基底に関する f' の表現行列は  である。
命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。
Lisa (コンピュータ)
Lisa（リサ）は、1983年1月19日にApple Computerが製造・販売したオフィス向け16ビットパーソナルコンピュータである。当時としては先進的なGUI機能と操作性を持っていたが、動作の遅さや価格の高さなどの理由で商業的には失敗した。同年、日本向けには供給時期未定ながら、本体、専用プリンタ、LisaWrite、LisaGraphを含むソフトウェア6種、マニュアル等を228万円で販売する旨、アップルコンピュータジャパンとキヤノン販売が共同記者会見で販売提携を表明。
Lisa (コンピュータ) 名称の由来
このコンピュータの名称は、Appleの正式発表では"Local Integrated System Architecture"の頭文字をとったものとされている。しかし、名称の由来はLisaのプロジェクトリーダーであるジョン・カウチの娘だとされていた。後にカウチの証言によりスティーブ・ジョブズの娘からとられたことが明かされている。
また、ジョブズの伝記を執筆したウォルター・アイザックソンによれば、1978年当時、 命名者のジョブズにはクリスアン・ブレナンとの間に婚外子のリサ・ニコール・ブレナンが誕生しており、父子鑑定テストの結果、94.41%の確率で親子であると確認されているにもかかわらず、ジョブズが認知を拒否しているという事情が存在したため、リサ・プロジェクトの広報を担当していたレジス・マッケンナが、先述の語源を作ったという。
Lisa (コンピュータ) 名称の由来
この事情を知るエンジニアの間では、"Lisa: Invented Stupid Acronym"などとも呼ばれたというが、アイザックソンが、伝記執筆の際にジョブズ本人に由来を確認したところ、「僕の娘にちなんだ名前に決まってるじゃないか」と返答されたという。
ジョブズは娘リサに、Apple Lisaは自分の名前に因むのかと尋ねられた際、度々「違う」と回答していた。だが2005年、U2のボノの別荘にリサと宿泊した際、ボノが「Lisaはこの子の名前から取ったのか」と訊いた際、ジョブズは娘の前で「そうだ」と認めた。
なお、カウチによればApple IIIの次にあたるマシンのため「Apple 400」という名称が候補に上がり、折衷案として「Lisa 400」も根強かったが、結局「Lisa」に落ち着いたとのことである。
Lisa (コンピュータ) ハードウェア
本体・ディスプレイ・外部記憶装置一体型で、当時としては広大な内蔵RAM領域を持っていた。ハードディスクドライブのProFileを本体の上に載せて使用される事が多い。セパレート型のキーボードには、リファレンスカードが底面から引き出して使えるようになっている。また、専用の工具なしに本体を開ける事ができ、マイクロスイッチを用いたセンサでパネルを開いた状態では起動ができないようになっていた。マウスは箱状のワンボタンマウス。
Lisaでは、記録密度を上げるためにアクセスウィンドウが2つある5.25インチのフロッピーディスク「ツイギー」を搭載していたが、Lisa2ではMacintosh 128Kで使用したソニー製の3.5インチドライブに変更された。
Lisaの為にデザインされたApple Mouseは、IDEO（1991年に創設）創設者であるデビッド・ケリーと1980年当時David Kelly Designに在籍したジム・ユルチェンコによるもの。