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松尾芭蕉 芭蕉の風
芭蕉は俳諧に対する論評（俳評）を著さなかった。芭蕉は実践を重視し、また門人が別の考えを持っても矯正する事は無く、「かるみ」の不理解や其角・嵐雪のように別な方向性を好む者も容認していた。下手に俳評を残せばそれを盲目的に信じ、俳風が形骸化することを恐れたとも考えられる。ただし、門人が書き留める事は禁止せず、土芳の『三冊子』や去来の『去来抄』を通じて知る事ができる。
「かるみ」にあるように「俗」を取り込みつつ、芭蕉は「俗談平話」すなわちあくまで日常的な言葉を使いながらも、それを文芸性に富む詩語化を施して、俳諧を高みに導こうとしていた。これを成すために重視した純粋な詩精神を「風雅の誠」と呼んだ。これは、宋学の世界観が言う万物の根源「誠」が意識されており、風雅の本質を掴む（『三冊子』では「誠を責むる」と言う）ことで自ずと俳諧が詠め、そこに作意を凝らす必要が無くなると説く。この本質は固定的ではなく、おくのほそ道で得た「不易流行」の通り不易＝「誠によく立ちたる姿」と流行＝「誠の変化を知（る）」という2つの概念があり、これらを統括した観念を「誠」と定めている。
風雅の本質とは、詩歌では伝統的に「本意」と呼ばれ尊重すべきものとされたが、実態は形骸化しつつあった。芭蕉はこれに代わり「本情／本性」という概念を示し、俳諧に詠う対象固有の性情を捉える事に重点を置いた。これを直接的に述べた芭蕉の言葉が「松の事は松に習へ」（『三冊子』赤）である。これは私的な観念をいかに捨てて、対象の本情へ入り込む「物我一如」「主客合一」が重要かを端的に説明している。
松尾芭蕉 家系
芭蕉の家系は、伊賀の有力国人だった福地氏流松尾氏とされる。福地氏は柘植三方の一氏で、平宗清の子孫を称していた。
天正伊賀の乱の時、福地氏当主・福地伊予守宗隆は織田方に寝返った。この功で宗隆は所領経営の継続を許された。しかし、のちに諸豪族の恨みを買って屋敷を襲われ、駿河へ出奔したという。
松尾芭蕉 その他
忌日である10月12日（現在は新暦で実施される）は、桃青忌・時雨忌・翁忌などと呼ばれる。時雨は旧暦十月の異称であり、芭蕉が好んで詠んだ句材でもあった。例えば、猿蓑の発句「初時雨猿も小蓑を欲しげ也」などがある。
「松島やああ松島や松島や」は、かつては芭蕉の作とされてきたが記録には残されておらず、近年この句は江戸時代後期の狂歌師・田原坊の作ではないかと考えられている。
芭蕉の終焉地は、御堂筋の拡幅工事のあおりで取り壊された。現在は石碑が大阪市中央区久太郎町3丁目5付近の御堂筋の本線と側道間のグリーンベルトに建てられている。またすぐ近くの真宗大谷派難波別院（南御堂）の境内にも辞世の句碑がある。
その死後、神格化が進み、寛政3年（1791年）には、白川伯王家から「桃青霊神」の神号が、天保14年（1843年）には、二条家から「花本大明神」の神号が授けられた。
松尾芭蕉 その他
45歳にして『おくのほそ道』の約450里（1768キロメートル）に及ぶ旅程を踏破した芭蕉について、江戸時代当時のこの年齢の人としては大変な健脚であるとする見方が生じ、さらにその出自に注目して、芭蕉は伊賀者（忍者）として藤堂家に仕えた無足人（準士分）であるとする説や母が伊賀忍者の百地氏と関連があるとする言説が唱えられ、『おくのほそ道』には江戸幕府の命を受けた芭蕉が隠密として東北諸藩の様子を調査するという裏の目的が隠されているとする解釈も現れた。
芭蕉忍者説を検証した三重大学准教授の吉丸雄哉（国際忍者学会所属）は、芭蕉の身分についてはすでに父の代で農民となっているため伊賀者ではなく、母も百地氏とは関連がないと指摘し、『おくのほそ道』の行程についても『曾良旅日記』の記述から分析した結果、芭蕉が一日に歩いた距離は長くても当時の平均的男性のそれより3割増しという程度で一般人と変わらず、大変な健脚だから忍者とする見方は成立しないと述べている。また、芭蕉はその死後半世紀にして神格化が進み逸話が多く創作されたが、速歩や隠形などの忍術を用いたエピソードは見当たらない点も重視すべきと注意を促している。
松尾芭蕉 その他
吉丸は、芭蕉忍者説が広まった過程も調査しており、その初出は昭和41年（1966年）に松本清張と樋口清之が発表した共著『東京の旅』（光文社）で、以降は文芸評論家の尾崎秀樹が芭蕉の母の血筋も取り上げながら同説を幾度も唱えたことが確認できるとし、昭和45年（1970年）の斎藤栄による推理小説『奧の細道殺人事件』（光文社）や昭和63年（1988年）〜平成元年（1989年）の連続テレビ時代劇『隠密・奥の細道』（テレビ東京）といったフィクションも手伝う形で、昭和戦後の忍者ブームと組み合わさって人口に膾炙したと考察する。吉丸は、芭蕉忍者説は結論ありきで反証可能性がなく、「証明できない幽霊のような存在」、「芭蕉にとっても忍者・忍術にとっても益のない発想である」と厳しい評価を下している。ただし、『おくのほそ道』の同行者である曾良こそが忍者であるとする説に対しては、証拠がないものの蓋然性はあるとする。
松尾芭蕉 著作
伊藤昌輝、アルベルト・シルバによる『野ざらし紀行』、『鹿島詣』、『笈の小文』、『更科紀行』、『おくのほそ道』および『嵯峨日記』6編のスペイン語訳 
 Los cantos en el pequeño paraíso - Selecciones del Kanginshu. アルゼンチン: Fondo de Cultura Economica. (2015). ISBN 978-987-719-089-2 
日本版『スペイン語で旅するおくのほそ道』大盛堂書房、2018年
松尾芭蕉 銅像・碑
芭蕉句碑は全国に存在するが芭蕉の生れ故郷 伊賀では句碑ではなく芭蕉塚と呼ぶ。
複素数
数学における複素数（ふくそすう、英: complex number）とは、2つの実数 a, b と虚数単位 i = √−1 を用いて
z = a + bi
と表すことのできる数のことである。1, i は実数体上線型独立であり、複素数は、係数体を実数とする、1, i の線型結合である。実数体 R 上の二次拡大環の元であるため、二元数の一つである。
複素数全体からなる集合を、太字の C あるいは黒板太字で ℂ と表す。C は可換体である。体論の観点からは、複素数体 C は、実数体 R に √−1 を添加して得られる体の拡大である。代数学の基本定理により、複素数体は代数的閉体である。
複素数体はケーリー＝ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな多元数の中で最もよく知られた例である。
複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素平面に拡張する。複素数全体に通常の大小関係を入れることはできない。つまり、複素数体 C は順序体でない。
数学での分野、概念や構成において、考えている体構造が複素数体であるとき、それを、それらの概念等の名称に、多くは接頭辞「複素-」を付けることで反映させる。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。
複素数 概観
i2 = −1 を満たす数 i を虚数単位という。実数 1 と i は実数体上で線型独立である。実数 a, b を係数として 1, i の線型結合で表される数 a + bi を複素数と呼ぶ。
任意の実数 a は a + 0i と表せるので複素数である（実数全体の複素数全体への埋め込みは、四則演算および絶対値を保つという意味で、位相体の埋め込みである）。bi = 0 + bi (b ≠ 0) の形の複素数を純虚数と呼ぶ。
複素数 z = a + bi (a, b ∈ R) に対して、
a を z の実部 (real part) といい、Re(z), ℜ(z), Re z, ℜ z などで表す。
b を z の虚部 (imaginary part) といい、Im(z), ℑ(z), Im z, ℑ z などで表す。虚部とは実数「b」を指し複素数「bi」ではないことに注意。
複素数 概観
複素数 z = x + iy（x, y は実数）は実数の対 (x, y) に 1: 1 に対応するから、複素数全体からなる集合 C は、z = x + iy を (x, y) と見なすことにより座標平面と考えることができる。この座標平面を複素平面という。カール・フリードリヒ・ガウスに因んでガウス平面、ジャン゠ロベール・アルガンに因んでアルガン図と呼ばれることもある。これと異なる語法として、C は複素数体上一次元のアフィン線型多様体であるので、複素直線とも呼ばれる。
複素数平面においては、x座標が実部、y座標が虚部に対応し、x軸（横軸）を実軸 (real axis) 、y軸（縦軸）を虚軸 (imaginary axis) と呼ぶ。
複素数 z, w に対して
d(z, w) = |z − w|
とすると、(C, d) は距離空間となる。この距離は、座標平面におけるユークリッド距離に対応する。複素数平面は複素数の計算を視覚化でき、数直線の概念そのものを拡張した。
複素関数論においては、複素数平面 C を考えるよりも、無限遠点を付け加えて1点コンパクト化した C ∪ {∞} を考える方が自然であり、議論が透明になることもある。複素数球面またはリーマン球面と呼ばれ、以下に示すように2次元球面同型 S2 と位相同型である。無限遠点にも幾何的な意味を与えることができる。
複素数 概観
複素数平面 C を、xyz座標空間内の xy平面とみなし、z ≥ 0 に含まれ xy平面と原点で接する球面 x2 + y2 + (z − 1)2 = 1 を考える。この球における原点の対蹠点 (0, 0, 2) を北極と呼ぶことにする。任意の複素数 w に対し w と北極を結んだ線分はこの球面と、北極以外の一点で必ず交わり、それを f(w) と書けば f は単射、連続写像である。f の像は、球面から北極を除いた部分である。また、w → ∞ のとき f(w) → (0, 0, 2)（北極）である。そこで、f の定義域を C ∪ {∞} に拡張すると、f : C ∪ {∞} → S2 は同相写像になる。
この同相写像 f は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。
複素数 基本的な性質
二つの複素数が等しいとは、それらの実部および虚部がそれぞれ等しいことである：
このことは、1, i が線型独立であることから示される。
n, m は整数とする。
複素数 a + bi に対して、虚部 b を反数にした複素数 a − bi を z の共役（きょうやく、conjugate, 本来は共軛）複素数といい、記号で z（または z*）と表す。
z = Re z − i Im z
z と z を複素共役あるいは単に共役という。
複素数の共役をとる複素関数 ・ : C → C ; z ↦ z は環準同型である。すなわち次が成り立つ。
複素共役は実数を変えない：
逆に、C 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる。
複素共役変換 ・ : C → C ; z ↦ z は、C の全ての点で複素微分不可能である。
以下の性質が成り立つ。
代数方程式の解について、次が成り立つ：
「実係数多項式 P(x) が虚数根 α をもつならば、α も P(x) の虚数根である」
つまり、
実係数多項式 P(x) について、P(α) = 0 ⇔ P(α) = 0
（1746年、ダランベール）
このことは、複素共役変換が環準同型であることから容易に示せる。
複素数 形式
複素数は様々な形式で表現できる。以下はその一例である：
複素数 極形式
複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点 P を、原点 O(0) からの距離と、正の実軸と線分 OP の見込む角を反時計回りに測ったものの対（P の極座標）で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。
複素数 z = x + yi（x, y は実数）の絶対値は
で定義される。これは 0 以上の実数である。z が実数（つまり y = 0）のとき |z| は実数の絶対値 |x| = max{x, −x} に一致する。
複素数の絶対値は、ピタゴラスの定理により、複素平面における原点 O(0) とのユークリッド距離に等しい。そして次が成り立つ。
逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張したノルム代数として特徴付けられる。
複素数 z の絶対値 |z| は、z を極形式表示：
z = r(cos θ + i sin θ)
したときの動径 r に等しい。
共役複素数と自身の積は、絶対値の平方に等しい。すなわち複素数 z に対して
が成り立つ。
複素数 z の偏角（応用の場面ではしばしば「位相」とも呼ばれる）arg z とは、複素平面上で、正の実軸から測った動径 OP の角度のことである。偏角 φ の値はラジアンで表すものとする。
複素数 極形式
角に 2π の任意の整数倍を加えてもそれが表す動径、複素数は同じであるから、偏角を与える関数は多価関数である。
そこで、偏角 arg z を一価関数として定義するには、主値を区間 (−π, π] とする場合、逆正接関数から次のようにして定義される（計算機言語では、y/x の逆正接関数を、二つの引数 x, y に対する atan2(y, x) として実装していることが多い）：
複素数が 0 のときだけ偏角は不定 (indeterminate) となる。
上記の定義で、負となる偏角の値に対しては 2π を加えることにすると、主値は [0, 2π) となる。
複素数 z が主値の端の値の近傍を連続的に変化するならば、偏角の値もまたその近傍で連続的に変化するように枝をとるものとして、それを単に arg z = arctan y/x のように書く。
複素数 z = x + yi（x, y は実数）において、直交座標系 (x, y) に対応する極座標系を (r, φ) (r ≥ 0) とするとき、
（三角関数表示）
と表すことができる。この表示式を極形式 (polar form) という。r は z の絶対値、φ は z の偏角である。0 を除いて、この表示は一意である。
極形式から直交座標を復元するには、三角関数表示を展開すればよい。
オイラーの公式を用いれば、これを
z = reiφ
複素数 極形式
と書くことができるし、純虚指数函数を用いて
z = r cis(φ)
と書くこともある。
フェーザ表示
は電子工学において振幅 r と位相 φ を持つ正弦信号を表すのによく用いられる。
複素数の乗除・冪は、極形式表示をしてから行う方が、直交座標表示よりも、見通しがよくなる。2つの複素数の極形式を
z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1),
z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2)
とすると、積 z1 z2 は、三角関数の加法定理：
により
となる。すなわち、積の絶対値は絶対値の積であり、積の偏角は偏角の和である。
i2 = −1 より、虚数単位 i = √−1 を掛けること（作用）は、複素数平面上で原点中心に反時計回りに直角回転させることである。ゆえに、虚数単位 i は、複素数平面上では、直交座標で (0, 1) の位置にある。
同様にして、商は
になる。
偏角に関する等式 arg(zw) = arg(z) + arg(w) は、両辺の差が 2π の任意の整数倍であることを除いて成り立つ等式であることに注意しなければならない。
例えば
arg(z2) = arg(z) + arg(z) = 2 arg(z)
において、もし各項が任意の偏角をとるものとしてしまうと、
arg(z) = θ + 2nπ（n は任意の整数）
複素数 極形式
と書けば、右辺は 2θ + 4nπ だが左辺は 2θ + 2mπ（m は任意の整数）となり厳密には等しくならない。
それを明示するために合同式の記法を流用してしばしば
arg(zw) ≡ arg(z) + arg(w) (mod 2π)
などとも書く。このように mod 2π に関して合同であるという理解は重要である。しかし、先述のように（適当なリーマン面上で）偏角をとるものと仮定すれば、2π の整数倍を加える不定性無く実際に等号が成り立つ。すなわち、三つの複素数 zw, z, w のそれぞれに対して独立に偏角をとるのではなく、ひとたび arg(zw) = arg(z) + arg(w) を満たすように偏角を一組選べば（例えば右辺の各項の値を決め、それによって左辺の値を定義すれば）、z あるいは w を連続的に変化させるとき、arg(zw) も連続的に変化して、そのような三点の近傍において常に厳密な意味で等号が成立する。
この注意の下で以下が成り立つ：
偏角の計算法則は対数のそれとほぼ同じであるが、それは複素対数函数の虚部が偏角に等しいことに起因している。
実数 θ, 整数 n に対して、
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
が成り立つ（ド・モアブルの定理）。オイラーの公式より
(eiθ)n = einθ
(exp iθ)n = exp inθ
と表現することもできる。n が整数でないとき一般には成り立たない。
複素数 性質と特徴付け
複素数全体からなる集合 C は可換体になる。つまり、以下の事実が成り立つ。
これらの性質は、実数全体からなる集合 R が可換体であるという事実の下、先に与えた基本的な和と積の定義式から証明することができる。
実数と異なり、虚数に通常の大小関係 (z1 < z2) はない。つまり、複素数体 C は順序体にはならない。これは、自乗すると負である数（例えば虚数単位 i）が存在することによる。
代数学の基本定理より、複素数を係数とする代数方程式の解は存在し、また複素数になる。つまり、
は、少なくとも一つの複素根 z を持つ。
上記の多項式の複素根の一つを α1 とし、因数定理を帰納的に用いると、上記の多項式は
と複素数の範囲で因数分解される。これは、複素数が代数方程式による数の拡張の最大であることを意味している。つまり、C は代数的閉体である。
代数学の基本定理の証明にはさまざまな方法がある。例えばリウヴィルの定理などを用いる解析的な方法や、巻き数などを使う位相的な証明、あるいは奇数次の実係数多項式が少なくとも一つの実根を持つ事実にガロア理論を組み合わせた証明などがある。
複素数 性質と特徴付け
この事実により、「任意の代数的閉体に対して成り立つ定理」を C にも適用できる。例えば、任意の空でない複素正方行列は少なくとも一つの複素固有値を持つ。
体 C は以下の三つの性質：
を満足する。この三つの性質を持つ任意の体は、体として C に同型であることが示せる。例えば Qp の代数的閉包はこれら三つを満たすので、C に同型となる。この代数的な C の特徴付けの帰結として、C は自身に同型な真の部分体を無数に含むことが分かる。
また C は複素ピュイズー級数体に同型である（が、その同型を決めるには選択公理が必要となる）。
C には代数的側面のみならず、近傍や連続性などの解析学や位相空間論の分野で考慮の対象となる性質も備わっている。そのような位相的性質に関して C は、適当な意味で収束の概念を考えることのできる位相体を成すことに注意しよう。
C は以下の三条件を満たす部分集合 P を持つ。
この P はつまり正の実数全体の成す集合である。さらに言えば、C は非自明な対合的反自己同型として複素共軛変換 x ↦ x* を持ち、任意の非零複素数 x に対して xx* ∈ P が成り立つ。
複素数 性質と特徴付け
これらの性質を満たす任意の体 F には、任意の x ∈ F, p ∈ P に対する集合 B(x, p) = { y  |  p − (y − x)(y − x)* ∈ P} を開基とすることによって、位相を入れることができ、この位相に関して F は C に位相体として同型になる。
これとは別の位相的な特徴付けに、連結な局所コンパクト位相体は R および C に限ることが利用できる。実際このとき、非零複素数の全体 C ∖ {0} は連結だが、非零実数の全体 R ∖ {0} は連結でないという事実を併せれば、R と峻別することができる。
非零複素数の全体 C* = C ∖ {0} は、複素数体 C の乗法群 C× であり、C における距離空間としての部分位相空間と見て、位相群を成す。また、絶対値 1 の複素数全体の成す群（円周群）U はその部分位相群であり、写像
および写像
は位相群としての同型である。ここに、R/Z は商位相群、R∗+  は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、× は位相群の直積を表す。
複素数 形式的構成
1835年にハミルトンによって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。
実数の順序対 (a, b) および (c, d) に対して和と積を
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) × (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
により定めるとき、(a, b) を複素数という。実数 a は (a, 0) で表され、虚数単位 i は (0, 1) に当たる。このとき、R2 は +, × に関して体となり、零元は (0, 0)、単位元は (1, 0) である。
ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した四元数の発見へと結び付いた。
複素数体 C の代数的な構造は、体および多項式の概念により、自然に構成することができる。
体とは、四則演算ができてよく知られた計算法則を満たすものである（例えば有理数体など）。実数全体の成す集合 R は体である。また、係数体が R の多項式全体の成す集合 R[X] は、通常の加法、乗法に関して環を成す（多項式環と呼ばれる）ことに注意する。
複素数 形式的構成
剰余環 R[X]/(X2 + 1) は、R を含む体であることは示すことができる。この拡大体において、X, −X（の属する剰余類）は −1 の平方根である。この剰余環の任意の元は、多項式の除法の原理より、a + bX（a, b は実数）の形の多項式を代表元に一意に持つ。ゆえに、R[X]/(X2 + 1) は R 上の2次元ベクトル空間であり、(1, X)（が属する剰余類）はその基底である。
R[X]/(X2 + 1) の元（剰余類）a + bX（a, b は実数）を、実数の順序対 (a, b) に対応させると、前節で述べた体が得られる。この2つの体は体同型である。
複素数 α = a + bi を、C 上の（左からの）作用と見ると、それに対応する R2 上での一次変換の表現行列を考えることができる。
対応
により、複素数は実二次正方行列で表現することができる。特に、実数単位 1, 虚数単位 i は
複素数 形式的構成
である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の行列の和および行列の乗法に対応する。複素共役は転置行列に対応している。
極形式表示を a + bi = r(cos θ + i sin θ) とすると、
は角度 θ の回転行列のスカラー r 倍であり、これは複素数の積が R2 上で原点を中心とする相似拡大と回転の合成を引き起こすことに対応する。
複素数 z = a + bi の表現行列を A とすると、A の行列式
det A = a2 + b2 = |z|2
は対応する複素数の絶対値の平方である。
複素数のこの行列表現はよく用いられる標準的なものだが、虚数単位 i に対応する行列  を例えば  に置き換えても、平方が単位行列の −1 倍であり、複素数の別の行列表現が無数に考えられる（後述、また実二次正方行列の項も参照）。
複素数 複素函数
複素変数の函数の研究は複素解析と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず応用数学においても広範な応用をもつ。実解析や数論等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって与えられることもしばしばある（例えば代数学の基本定理のルーシェの定理による証明や素数定理の証明）。実函数が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、複素函数のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元や三次元グラフに色相（または明度や彩度、輝度）による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。
実解析における収束級数や連続性などの概念は、いわゆるε-δ論法において実数の絶対値を用いたところを複素数の絶対値で置き換えることにより、複素解析においても自然に考えられる。例えば、複素数列が収束するための必要十分条件は、その実部および虚部の成す実数列がともに収束することである。もう少し抽象的な観点では、C は距離函数
を備える完備距離空間で、特に三角不等式
が成立する。実解析と同様に、収束の概念はいくらかの初等関数の構成において用いられる。
複素指数函数 exp z あるいは ez は級数
で定義される。この級数の収束半径は ∞ であるから、複素指数函数は C 上正則関数（整関数）である。
複素数 複素函数
任意の実数 φ に対して次の等式が成り立つ：
（オイラーの公式）
一般の複素変数 z に拡張した余弦函数 cos z, 正弦函数 sin z は次の式で定義できる：
余弦函数、正弦函数は整関数である。整関数であるような拡張の仕方は、一致の定理より一意である。
cosh, sinh などの双曲線関数も、同様に複素指数函数により定義できる。
実函数の場合と異なり、複素数 z に関する方程式
は任意の非零複素数 w に対して無限個の複素数解を持つ。そのような解 z、すなわち w の複素対数函数 log w は
と表すことができる。ただし、ln は実函数としての自然対数で、arg は上述の偏角である。この値は、偏角のときと同様に 2π の整数倍の差を除いて一意であるから、複素対数函数もまた多価関数の主値としては、虚部 arg w を区間 (−π, π] にすることが多い。
複素数の複素数乗 zω は
として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。特に ω = 1/n（n は自然数）の形のときは、複素数 z の n乗根 n√z を表し、値は一意に定まらない。
対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗に対して成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、
複素数 複素函数
は a, b, c が複素数である場合には一般には成立しない。この式の両辺を今述べたような多価の値を持つものと見なす場合、左辺の値の全体は右辺の値の全体の成す集合の部分集合になっていることに注意する。
D を複素数平面 C の領域とする。
複素函数 f : D → C が正則であるとは、定義域 D の各点で複素微分可能であることである。実部と虚部に分けて考えると、f が正則である必要十分条件は、Re f, Im f が微分可能で、コーシー・リーマンの方程式を満たすことである。例えば、複素函数
や
は正則でない。これらはコーシー・リーマンの方程式を満たさず複素微分可能でない。
複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。
正則函数は解析関数である（正則関数の解析性）。したがって、正則函数は何回でも微分可能である。
2つの正則函数 f, g が D のある小さな、正則曲線上で一致するならば、それらは全体でも一致する（一致の定理、解析接続）。
有理型関数は、局所的には正則函数 f を用いて f(z)/(z − z0)n で近似でき、正則函数といくつかの特徴が共通する。有理型でない函数は真性特異点をもつ（例えばsin 1/z は z = 0 で真性特異点を持つ）。
複素数 歴史
負の数の平方根について、いささかなりとも言及している最も古い文献は、数学者で発明家のアレクサンドリアのヘロンによる『測量術』(Stereometrica) である。そこで彼は、現実には不可能なピラミッドの錐台について考察しているものの、計算を誤り、不可能であることを見逃している。
1150年頃、インドのバースカラ2世は著作『ビジヤガニタ（根の計算）』の中で、負債の平方根は存在しない、すなわち負債は平方数にならない、とかいた。
1484年、シュケーは〔ママ〕と計算した。
16世紀にイタリアの数学者カルダーノやボンベリによって三次方程式の解の公式が考察され、特に相異なる 3 個の実数解を持つ場合に解の公式を用いると、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かった。当時は、まだ、負の数でさえあまり認められておらず、回避しようと努力したが、それは不可能なことであった。
ボンベリは √−1 を piu di memo とよび、計算規則
を導入した。
17世紀になりルネ・デカルトによって、虚 (imaginary) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。
18世紀のはじめ、不定積分を研究していたベルヌーイ家は複素数の対数にぶつかった。これが複素数の本格的研究への道を開いた。
複素数 歴史
ヨハン・ベルヌーイは、負数 −a と正数 a の対数は等しい、と主張した。その根拠の一つは、log(−x) の微分は −dx/−x = dx/x であるから log(x) の微分と等しい、したがって log(−x)=log(x) である、というものだった。
ライプニッツはベルヌーイに反論し、ヨハン・ベルヌーイとライプニッツの間で論争が繰り広げられた。ライプニッツは、負数の対数は存在しない、それは虚である、と主張した
。log√−1 は存在しない log(−1) の半分であるから、やはりこれも存在しない、とした。
1714年、ロジャー・コーツは
が成立することを発見した（オイラーの公式）。そしてこの式から
を出した。オイラーはこの等式をヨハン・ベルヌーイの等式と呼んだ。
オイラーはコーツのこの式を使ってベルヌーイの主張に反論した。オイラーは1777年頃から √−1 を i で表すことをはじめた。オイラーは複素関数 M+N√−1 の積分を考え、コーシー・リーマンの方程式も発見していた。オイラーが複素関数を実部と虚部に分けコーシー・リーマン方程式を導いたことは、後年、実数の組として複素数の定義を与えるにあたって、ハミルトンに強い影響を与えた。
1752年、ダランベールは、均質な流体が剛体のまわりを流れるときの速度の研究において計算の補助手段として虚数を用いた。
複素数 歴史
こうして、18世紀の間に、複素数の形式的な性質が広く利用され、多くの重要な結果が得られた。そして複素数は不可欠なものとなった。
ある数学的対象の存在を幾何学的方法で表し、幾何学的解釈が可能となったとき、それを数学的実在とみるのはギリシア時代以来の伝統である。複素数の幾何学的解釈はウォリスにより1673年にはじめて試みられたが、ウォリスは成功しなかった。
複素平面が世に出たのは、1798年にノルウェーの測量技師カスパー・ベッセル (Caspar Wessel) によって提出された論文が最初とされている。しかしこの論文はデンマーク語で書かれ、デンマーク以外では読まれずに1895年に発見されるまで日の目を見ることはなかった。1806年にジャン＝ロベール・アルガン (Jean-Robert Argand) によって出版された複素平面に関するパンフレットは、ルジャンドルを通して広まったものの、その後、特に進展は無く忘れられていった。
1814年にコーシーが複素解析を始め、複素数を変数に取る解析関数や複素線積分が論じられるようになった。コーシーは共役複素数という用語も導入した。
複素数 歴史
1831年に、機は熟したと見たガウスが、複素平面を論じ、複素平面はガウス平面として知られるようになった。ここに、虚数に対する否定的な視点は完全に取り除かれ、複素数が受け入れられていくようになる。実は、ガウスはベッセル（1797年）より前の1796年以前にすでに複素平面の考えに到達していた。1799年に提出されたガウスの学位論文は、今日、代数学の基本定理と呼ばれる定理の証明であり、複素数の重要な特徴付けを行うものだが、複素数の概念を表に出さずに巧妙に隠して論じている。
1837年、ハミルトンは2つの数 a1, a2 の順序対 (a1, a2) に計算規則を定義することで複素数を定義した。
1847年、現代の代数学の言葉でいうと、コーシーは実係数の多項式全体の x2+1 による剰余環が複素数体と同型になることを示した。コーシーの研究に刺激されたクロネッカーは、数とは何かという問題を取り上げ、自然数は神が創造した、他は人間が作った、という哲学に達した。1887年の論文「Ueber den Zahlbegriff（数の概念について）」では、負数や分数を多項式を使って捉えている。これらの考えは後にエルンスト・シュタイニッツが1910年の論文で商体を作るときに利用した。
複素数 他分野における複素数の利用
複素数 A と実数 ω により定まる、一変数 t の関数 Aeiωt は時間 t に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示はフェーザ表示と呼ばれ、電気・電子工学における回路解析や、機械工学・ロボット工学における制御理論、土木・建築系における振動解析で用いられている。
物理における振動や波動など、互いに関係の深い2つの実数の物理量を複素数の形に組み合わせて表現すると便利な場面が多いため、よく用いられる。
量子力学では複素数が本質的である（数学的定式化に用いられる）。物体の位置と運動量とはフーリエ変換を介して同等の扱いがなされ、波動関数たちのなす複素ヒルベルト空間とその上の作用素たちが理論の枠組みを与える。
複素数 複素数の拡張
複素数とは実数体上の、実数単位 1, 虚数単位 i の線型結合であるが、これに新たな単位を有限個加えて可換体（通常の四則演算ができる数の体系）を作ることはできない。実数体 R から拡張して C を得る過程はケーリー＝ディクソンの構成法と呼ばれる。この過程を推し進めると、より高次元の四元数体 H, 八元数体 O が得られる。これらの、実数体上の線形空間としての次元はそれぞれ 4, 8 である。この文脈において複素数は「二元数」(binarions) とも呼ばれる。
注意すべき点として、実数体にケーリー＝ディクソンの構成を施したことにより、順序に関する性質が失われていることである。より高次元へ進めば実数や複素数に関してよく知られた性質が失われていくことになる。四元数は唯一の非可換体であり（つまり、ある二つの四元数 x, y に対して x·y ≠ y·x となる）、八元数では（非可換なばかりでなく）乗法に関する結合法則も失われる（つまり、ある八元数 x, y, z に対して (x⋅y)⋅z ≠ x⋅(y⋅z) となる）。一般に、実数体 R 上のノルム多元体は、同型による違いを除いて、実数体 R, 複素数体 C, 四元数体 H, 八元数体 O の4種類しかない（フルヴィッツの定理）。ケーリー＝ディクソン構成の次の段階で得られる十六元数環ではこの構造は無くなってしまう。
複素数 複素数の拡張
ケーリー＝ディクソン構成は、C（を R-線型環、つまり乗法を持つ R-線型空間と見て）の正則表現と近しい関係にある。すなわち、複素数 w に対して、R-線型写像 fw を
とすると、fw の（順序付き）基底 (1, i) に関する表現行列は、実二次正方行列
である（つまり、#行列表現で述べた行列に他ならない）。これは C の標準的な線型表現だが、唯一の表現ではない。実際、
なる形の任意の行列はその平方が単位行列の −1 倍、すなわち J2 = −I を満たすから、行列の集合
もまた C に同型となり、R2 上に別の複素構造を与える。これは線型複素構造の概念によって一般化することができる。
多元数は R, C, H, O もさらに一般化するもので、例えば分解型複素数環は剰余環 R[x]/(x2 − 1) である（複素数は剰余環 R[x]/(x2 + 1) であった）。この環において方程式 a2 = 1 は4つの解を持つ。
複素数 複素数の拡張
実数体 R は有理数体 Q の通常の絶対値による距離に関する完備化である。Q 上の別の距離函数をとれば、任意の素数 p に対して p進数体 Qp が導かれる（つまりこれは実数体 R の類似対応物である）。オストロフスキーの定理によれば、この R と Qp 以外に Q の非自明な完備化は存在しない。Qp の代数的閉包 Qp にもノルムは伸びるが、C の場合と異なり、そのノルムに関して Qp は完備にならない。Qp の完備化 Cp は再び代数的閉体であり、C の類似対応物として p-進複素数体と呼ぶ。
体 R, Qp およびそれらの有限次拡大体は、すべて局所体である。
国際連合監視検証査察委員会
国際連合監視検証査察委員会（こくさいれんごうかんしけんしょうささついいんかい、英: United Nations Monitoring,Verification and Inspection Commission）は、湾岸戦争の結果イラクに課せられた大量破壊兵器の破棄義務の履行を監視・検証する査察活動を行うことを目的に1999年に国連安全保障理事会によって設立された国際連合の機関である。略称はUNMOVIC（アンモヴィック）。
国際連合監視検証査察委員会 設立までの経緯
当初、査察活動は、国際連合大量破壊兵器廃棄特別委員会（UNSCOM）と国際原子力機関（IAEA）によって行われていたが、イラク側は1997年以来、度重なる査察の妨害などを行い、1998年にはUNSCOM再編などを要求し、その条件が満たされるまでの間は査察を拒否するとの態度を明らかにした。イラク側の批判には、UNSCOMがアメリカ主導であること、査察官の中にCIAのスパイが紛れ込んでいること、などが含まれていた。国連による交渉や非難決議、経済制裁なども功を奏せず、同年12月に米英軍による空爆（砂漠の狐作戦）が展開される。これをきっかけとして、査察活動は停止することになった。
安全保障理事会はこの状況を打開するための試みとして、1999年12月、決議1284を採択してUNSCOMに代わる組織としてUNMOVICを設置することになった。
国際連合監視検証査察委員会 構成
委員長はハンス・ブリックス。スウェーデン出身で、1981年から1997年までIAEAの事務局長を務めた経歴を持つ。
委員長の選定に際しては上の決議に従ってコフィー・アナン国際連合事務総長と安全保障理事会のメンバーの交渉が行われた。当初、他に優れた候補が見つからなかったことから在米スウェーデン大使で、UNSCOMの委員長も務めたロルフ・エキュースが推薦された。だが、ロシアの反対に遭ってハンス・ブリックスになった。
16名からなる委員の中には、ブリックスからIAEA事務局長を引き継いだモハメド・エルバラダイ、日本人の数原孝憲（かずはらたかのり）も含まれる。彼は、ナイジェリアやアイルランドの大使などを務めた他にウィーンの日本政府代表部においてIAEAを担当した経験を持つ。
前身組織であるUNSCOMとは違い、スタッフは全て国際連合職員からなる。
組織は4部門からなる。
国際連合監視検証査察委員会 活動の内容
査察活動に対するイラクの協力が十分でないとするアメリカ、イギリスなどが2003年3月19日からイラク戦争に乗り出したため、査察活動は中断した。
3月29日には、ブリックス委員長は、6月末に辞任することを表明した。イラクを平和的に武装解除し、戦争を回避するためにあと数ヶ月の期間を与えられなかったことを残念に思うとのコメントを付した。
イラク戦争が終結した後は、暫定統治の主導権を握ったアメリカを中心に、UNMOVICを経由しない武器の探索活動が行われた。ただし、同委員会のイラク入りは比較的早い段階で承認されている。
電動機
電動機（でんどうき、英: Electric motor）とは、電気エネルギーを力学的エネルギーに変換する電力機器、原動機の総称。モーター、電気モーターとも呼ばれる。
一般に、磁場（磁界）と電流の相互作用（ローレンツ力）による力を利用して回転運動を出力するものが多いが、直線運動を得るリニアモーターや磁場を用いず超音波振動を利用する超音波モータなども実用化されている。静電気力を利用した静電モーターも古くから知られている。
なお、本来、「モータ(ー)」("moter")という言葉は「動力」を意味し、特に電動機に限定した用語ではない。それゆえ、何らかの動力の役割を果たす装置は、モーターと形容されることもよくある（ロケットモーターなど）。
以下では、電磁力により回転力を生み出す一般的な電動機を中心に説明し、それ以外のリニアモーターや超音波モータは末尾で簡単に説明する。
今日では、電気モーターは電気消費量の半分以上を占めている。
電動機 電動機の構成
回転する電動機は、軸を持ち回転する回転子（ロータ: Rotor）と、回転子と相互作用して回転モーメントを発生させる固定子（ステータ: Stator）、回転子の回転を外部に伝える回転軸、回転軸を支える軸受、損失により発生した熱を冷却する冷却装置などから構成される。
回転子と固定子の磁界を発生させる部分を界磁という。ローターを囲むように配置した電磁石や磁界を導く強磁性体の鉄心に電線を巻いたものや永久磁石が用いられる。
整流子電動機 (Brush Motor)や同期電動機で、界磁と相互作用させトルクを得るための磁界を発生させるものを電機子という。
電線に電流が流れると、界磁の磁界によりローレンツ力がはたらきローターを回転させる。
負荷機器と接続するカップリング・回転数を下げて目的のトルクを得るための減速機などが付属装置として接続される。
整流子電動機は、整流子とブラシによって電機子に流れる電流をきりかえ回転方向を保つことで連続的使用を可能にしている。
回転子
電動機 電動機の構成
固定子の磁界と回転子内の電流によって力が加わり軸が回転する。ローターに永久磁石を入れ、ステーターに導線を持たせるものもある。
ステーターとローターの間には、回転するための隙間（ギャップ）が必要である。ギャップ幅はモーターの電気的特性に大きく影響し、モーターの力率が低くなる主原因となっている。
ギャップが大きいと磁化電流が増加し、力率が低下するため、ギャップは狭い方が良いが小さすぎると、騒音や損失、機械的な問題が発生する場合がある。
固定子
モーターの電磁回路のうちローターを囲む固定部分。強磁性体の鉄心に線を巻いた電磁石や永久磁石であるフィールドマグネットで構成される。
磁界が電機子を通過して巻線に力を発生させる。ステーターコアは、互いに絶縁された多数の薄い金属板を積層させたラミネーションと呼ばれる構成されている。積層させているのは、ソリッドコアを使用した場合に生じるエネルギー損失を低減するためである。
洗濯機やエアコンなどに使われている「樹脂積層型モーター」は、ステーターを樹脂で完全に包んでおり、樹脂の減衰特性を利用して騒音や振動を低減している。
コイル
積層された軟鉄製の磁性体コアに、電流を流したときに磁極を形成するように巻いた線のことである。
電動機 電動機の構成
直列磁極型では、回転子と固定子の強磁性体コアに磁極と呼ばれる突起が向き合っており、磁極面の下には電線が巻かれていて、電線に電流が流れると磁界の北極または南極になるようになっている。
一方、非平行磁極型（分布磁界型）では、強磁性体のコアには磁極がなく、滑らかな円筒形で、巻線が円周上にスロット状に均等に配置されている。
巻き線に流れる交流電流によってコアに磁極が形成され、連続的に回転する。
隈取磁極型誘導電動機は磁極の一部に巻き線があり、その磁極の磁場の位相を遅らせる。
モーター内部には棒状や板状の金属（通常は銅やアルミニウム）など、厚みのある金属で構成された導体を入れ、電磁誘導によって駆動させる。
整流子
回転子に電流を供給する回転式電気スイッチのこと。電機子の上に、複数の金属接点で構成された円筒を設置している。
カーボンなどの柔らかい2つ以上の導電性「ブラシ」と呼ばれる電気接点が整流子に押し付けられ、回転しながら整流子の連続したセグメントと摺動接触し、回転子に電流を供給する。
回転子の巻線は整流子のセグメントに接続されている。コミュテータは半回転（180°）ごとにローターの巻線に流れる電流の方向を周期的に反転させ、ステーターの磁界がローターに与えるトルクが常に同じ方向になるようにしている。
この電流の反転がないと、ローターの各巻線にかかるトルクの方向が半回転ごとに反転してしまい、ローターが停止してしまう。
整流子は効率が悪く、整流子付きモーターはほとんどがブラシレス直流モーター、永久磁石同期電動機(PMSM)、誘導電動機に取って代わられている。
電動機 動作原理
電動機にはいろいろな種類があるが、電動機は固定子と回転子があって、どちらかが回転変化する磁界を発生して、その磁界の変化によって、駆動力を得るものである。
整流子電動機以外の、固定子にコイルがあって、コイルに変化する電流を供給することによって、変動する磁界を発生させる電動機について述べると、回転子の種類に分類できる。
ある方向に連続的に駆動力を発生するために駆動側のコイルを複数設けて、磁気の位相を順番にずらして駆動力を発生させる配置にする。その方法もまた、いろいろな配置のものが実用化されている。
また回転子と固定子の内外位置関係でも、インナーローター式・アウターローター式・フラットローター式に分類でき、これをリニアモーターに当て嵌めれば、車上一次式・地上（軌道）一次式になる。
次に電機子や1次側巻線によって変動する磁界を発生するための電流の種類については次のようなものがある。
直流電動機、交流電動機の区分別は電動機の構造の区分でなく、使用法の区分と考えることができ、どちらでも回る電動機もありうる。
電動機 電動機の損失
電動機の損失は、入力電力と出力仕事の差として定義される。
電動機 特殊な電動機
電動機の多くは電気によって磁界の変化を作り出し、その磁界の変化によって回転力を生み出すものが一般的であるが、以下のようにこれ以外の原理・構造を持つ特殊な電動機がある。
リニアモーターとは、回転式の電動モーターの固定子に相当する一直線に長く伸びた部分の上に、回転子に相当する部分を置いて、磁界の変化によって直線運動を得るものである。リニア誘導モータ(LIM)、リニア同期モータ(LSM)、リニア直流モータ(LDM)、リニアステッピングモータ、リニア圧電モータ、リニア静電モータ等がある。
超音波振動モーター
超音波モーターは振動体の変形による細かな位置変化を摩擦によって回転運動や直線運動に変える。ローレンツ力を使用する従来のモータと比較して効率が低い。
圧電素子による圧電現象を利用しているものは、圧電モータと呼ばれることもある。カメラのフォーカス合わせのほか、ハイレゾリューションオーディオ向けイヤホンの超音波帯域を再生するスピーカードライバーなどに利用されている。
振動モーター
振動モーターは携帯電話などでの着信を振動で知らせる目的で開発されたものがある。小型のものでは、回転子の重心が偏って作られ回転子自身が振動を作り出す重りとなっているものがある。
電動機 歴史
1740年代、スコットランドの修道士アンドリュー・ゴードンとアメリカの実験家ベンジャミン・フランクリンが製作した単純な静電デバイスが最初の電気モーターであった。
現代の電磁モーターの前には、静電気の力で作動するモーター（静電モーター）の実験が行われていた。
1771年、ヘンリー・キャベンディッシュがその理論的原理を発見するも発表されず、1785年、クーロンが独自に発見し発表したため、クーロンの法則と呼ばれる。 
実用に足るような大きさの力を発生させるためには高電圧が必要となるため、静電モーターは実用化されなかった。
1799年、アレッサンドロ・ボルタが化学電池を発明すると、持続的な電流を作り出すことが可能になった。
1820年、ハンス・クリスチャン・オルステッドは、電流が磁場を作り、磁石に力を与えることを発見した。
アンドレ・マリー・アンペールは、わずか数週間で電磁相互作用による機械的な力の発生を記述したアンペールの法則を発表した。
電動機 歴史
1821年、イギリスの科学者マイケル・ファラデーが電磁気的手段で電気エネルギーを運動エネルギーに変換する実験を行った。上から導線を吊るし、水銀のプールに少し浸しておき、その上に永久磁石を置く。その導線に電流を流すと、導線の周囲に丸い磁場が発生し、磁石の周りで導線が回転する。この実験は学校の物理学の授業でもよく実施されるが、毒性のある水銀の代わりに塩水を使うこともある。これは単極電動機と呼ばれる最も単純な形式の電動機である。後にこれを改良した Barlow's Wheel もある。これらは実演向けであり、動力源として実用できるものではなかった。
1827年、ハンガリーのイェドリク・アーニョシュは電磁作用で回転する装置の実験を開始し、それを "lightning-magnetic self-rotors" と呼んでいた。彼はそれを大学での教育用に使っており、1828年には実用的な直流モーターの3大要素である固定子と電機子と整流子を備えた世界初の実用的な直流電動機の実験に成功した。その固定部分も回転部分も電磁石になっていて、永久磁石は使っていない。この装置も実験用であり動力源として使えるものではなかった。
1832年、イギリスの科学者ウィリアム・スタージャンが、機械の動力源として使える世界初の整流子式直流電動機を発明した。
電動機 歴史
1837年、アメリカでトーマス・ダヴェンポートとその妻エミリーと共に商用利用可能なレベルの整流子式直流電動機を開発し、特許を取得した。
この電動機は毎分最大600回転で、印刷機などの機械を駆動した。当時電源としては電池しかなく、その電極用の亜鉛は非常に高価だった。そのためダヴェンポート夫妻は商業的には失敗し破産した。他にも直流電動機を開発した発明家が何人かいたが、いずれも電源コストの問題に直面した。当時、電力網はまだ存在しなかった。したがって、電源コストに見合うだけの電動機の市場は存在しなかった。
1834年、ロシアのモーリッツ・フォン・ヤコビが、比較的弱い回転・往復運動の装置を使って、初の本格的な回転式電気モーターを作った。このモーターは驚くべき機械的出力を持っていた。
このモーターは世界記録を樹立したが、さらに自身で1838年にその記録を更新した。後者を使って14人乗りのボートで広い川を渡ることができた。
1839年から40年にかけて、他の開発者も同様以上の性能のモーターを作ることに成功した。
1855年、イェドリクは electromagnetic self-rotors と同様の原理で役に立つ仕事をする装置を製作した。また同年、電動機で駆動する自動車の模型を作っている。
電動機 歴史
1864年、アントニオ・パチノッティがリング状の電機子を初めて発表した（当初は直流発電機（ダイナモ）として考案された）。
これは、コイルが左右対称で互いに閉じられて配置され、整流器のバーに接続し、ブラシからは実用上問題ないレベルで変動のない電流を供給する点が特徴的である。 
1871年にパチノッティの設計の再発明やヴェルナー・シーメンスによるいくつかの解決策を採用したゼノベ・グラムの後で、直流モーターはようやく商業的に成功する。
1872年、ジーメンス・ウント・ハルスケ社のフリードリッヒ・フォン・ヘフナー・アルテンネックがパキノッティのリング電機子の代わりにドラムローターを導入し、機械効率を向上させた。 
翌年には同社がラミネートローターを導入し、鉄損の低減と誘起電圧の向上させた。1880年、Jonas Wenströmはローターに巻線を収めるためのスロットを設け、効率をさらに高めた。
1873年、ゼノブ・グラムはウィーン万博で、彼のダイナモに偶然別のダイナモを接続して発電したところ、軸が回転し始めたのを発見した。これが世界初の電動機というわけではないが、実用的な電動機としては世界初の1つだった。
電動機 歴史
1886年、フランク・スプレイグは負荷が変化しても一定の回転速度を維持できる火花の出ない直流電動機を発明した。このころスプレイグは電動機の力を電力網に返す回生技術を発明しており、また路面電車用の架線から集電する方式も発明した。これらの技術を使い、1887年にバージニア州リッチモンドで路面電車を運用して成功を収め、1892年には電動エレベーターとその制御システム、さらにイリノイ州シカゴで集中制御方式の電動式地下鉄（通称シカゴ・L）を成功させた。スプレイグの電動機と関連発明を機に、産業における電動機需要は爆発的に増大し、他の発明家も同様のシステムを次々と発明していった。
電動機の効率向上は、固定子と回転子の隙間を小さくすることが重要だということがなかなか認識されず、進歩は数十年間遅れてしまった。初期の電動機ではその空隙が比較的大きく、磁気回路の磁気抵抗が非常に大きかった。このため、現代の効率的な電動機に比べると、同じ消費電力で発生できるトルクがかなり小さい。その原因は磁石や電磁石が近いほど引き付け合う力が強いため、ある程度離しておこうとしたためと考えられる。効率的な設計では、固定子と回転子の隙間をなるべく小さくし、トルクを発生しやすい磁束パターンにする。
電動機 歴史
1824年、フランスの物理学者フランソワ・アラゴが「アラゴーの円板」で知られる回転磁界を定式化した。
1879年、ウォルター・ベイリーが手動でスイッチをオン・オフすることで、原始的な誘導電動機を製作した。
1880年代、長距離の高電圧送電における交流の利点は認識されていたものの、交流でモーターを作動させることが課題となっていたため、実用的な交流モーターの開発が盛んに行われた。
1885年、ガリレオ・フェラリスによって最初の交流整流子レス誘導モータが発明された。
1888年、トリノ王立科学アカデミーは、モータ動作の基礎を詳述したフェラリスの研究を発表したが、当時は「その原理に基づく装置は、モータとしての商業的重要性を持ち得ない」と結論づけられた。
電動機 歴史
1887年、ニコラ・テスラは初の実用的交流電動機と多相送電システムを発明し、1888年に特許を取得した。
同年、テスラはAIEEに論文「A New System for Alternating Current Motors and Transformers」を発表し、特許を取得した3種類の2相4極モータについて説明した。
4極のロータで非自己始動型のリラクタンスモータを形成するもの、巻線のロータで自己始動型の誘導電動機を形成するもの、ロータ巻線に個別に励起された直流電源を供給する真の同期電動機である。
この特許の中には、短絡巻線型ローターの誘導電動機も記載されていた。
既にフェラリスから権利を取得していたジョージ・ウェスティングハウスは、すぐにテスラの特許を買い取った。
定速交流誘導電動機は路面電車には適さなかったが、ウェスティングハウス社は1891年にコロラド州テルライドの鉱山事業の動力源として採用した。
同社は1892年に最初の実用的な誘導電動機を実現し、1893年には多相60ヘルツ誘導電動機のラインを開発したが、これら初期のウェスティングハウスのモーターは巻線ローターの二相モーターであった。
後にB.G.Lammeが回転棒巻線ローターを開発した。