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オーケストラ 編成
第1ヴァイオリンからコントラバスまでの弦五部は多くの場合、各部の人数が演奏者に任されているが、現代では一般的に次のようなパターンがある。
管楽器は原則として楽譜に書かれた各パートを1人ずつが受け持つ。ただし実際の演奏会では、倍管といって管楽器を2倍にしたり、「アシスタント」と呼ばれる補助の奏者がつくこともある。
楽譜に示されたオーケストラの編成の規模を示すのに、二管編成、三管編成、四管編成という言葉が使われる。いずれも木管楽器の各セクションのそれぞれの人数によっておおよその規模を示す。
この時代の西洋にはオーケストラは存在しないと言われている。しかし西洋以外では、当時の中国宮廷音楽は数百人の合奏による音楽が演奏されていることを示す資料が発掘されている。
モンテヴェルディはスコア序文に楽器編成を書いた世界初の作曲家である。そこにはオーケストラの黎明期の編成が記されている。
オーケストラ 編成
バロック期のオーケストラでは、管楽器は各パート1名、ヴァイオリンは2パート2～3名ずつ、ヴィオラ、チェロ2名、コントラバス、ファゴット、鍵盤楽器各1名という程度の規模が多く、大規模でも総勢20名程度のものであった。弦楽を含めた全てのパートを各1名で奏することもある。そのため、バロック期のオーケストラは室内楽あるいは室内管弦楽の範疇とされることもある。なお、1749年ヘンデルによって作曲された管弦楽組曲「王宮の花火の音楽」では、大国イギリスの国家行事という特殊事情もあり、現在考えても膨大な100人という規模の楽団によって、式典の屋外会場で盛大に演奏された（参照：巨大編成の作品#そのほか）。
次に示すのは、18世紀前半頃の後期バロック音楽（J.S.バッハやテレマン、ヘンデル等の盛期）の曲に多く見られる、規模の大きめな管弦楽編成の例である。
古典派二管編成は、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴットが各2名（ピッコロが加わるなどの多少の増減はあり得る）で、ホルンやトランペットも2名程度、ティンパニ、弦楽五部（第1ヴァイオリン、第2ヴァイオリン、ヴィオラ、チェロ、コントラバス）である。この編成に見合う弦楽五部の人数は「12型」で6-5-4-3-2プルト程度であり、オーケストラ総勢で60名ほどになる。
オーケストラ 編成
モーツァルトが交響曲第1番を父レオポルトの指導の下で作曲した際の編成は「オーボエ2、ホルン2、弦五部」であった。
以下は、古典派音楽の盛期頃（ハイドン、モーツァルト、ベートーヴェン）に多く見られる編成の例である。ただし、この頃は標準編成なるものは存在せず、オーボエ2とホルン2と弦五部に加え「パトロンからの命令」で決まった編成が多い。
後期ロマン派二管編成は、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴットが各2名（それぞれの派生楽器であるピッコロ、イングリッシュホルン、バスクラリネット、コントラファゴットへの持ち替えもありうる）で、ホルンが4名、トランペットが2～3名程度、さらにトロンボーンが3名、チューバが加わる。ティンパニの他に若干の打楽器が4名程度加わる。さらに編入楽器としてハープが加わる。弦楽五部（第1ヴァイオリン、第2ヴァイオリン、ヴィオラ、チェロ、コントラバス）である。この編成に見合う弦楽五部の人数は現代のコンサートにおける標準的な編成で「14型」で7-6-5-4-3プルト程度であり、オーケストラ総勢で80名ほどになる。チャイコフスキーの作品は、現在このくらいの規模で演奏される。
音響空間次第で、弦の数を変えることは可能である。結果的に、二管編成を完成させた時期はチャイコフスキーが活躍した時代である。多くの作曲家がこの編成をベースに協奏曲を書いている。
オーケストラ 編成
三管編成は、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴットが各2名にそれぞれの派生楽器が加わって、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴットの各セクションが3名となる。ホルンは4名程度、トランペットとトロンボーンが各3名程度、チューバ1名となる。打楽器もティンパニ1～2人を含む6名程度、編入楽器はハープ1名にさらにチェレスタが加わることがある。この編成に見合う弦楽五部の人数はいわゆる「16型」8-7-6-5-4プルト程度であり、総勢90名ほどである。
ワーグナーの「ジークフリート」はその最初の完全な形といわれている。
日本のオーケストラは三管に対して伝統的に16型で対応してきた（1980年代まで）が、近年では世界的な常識にあわせ14型に直しているオーケストラが優勢になった。結果的に三管編成を完成させた時期はラヴェルが活躍した時代である。最終的に、オーケストラに最も適したサイズとされ国際的な標準になった。近年は、14型を下回る3管編成も珍しくなくなってきている。
オーケストラ 編成
四管編成では、フルート、オーボエ、クラリネット、ファゴットの各セクションが4名となる。ホルンも4から8人、トランペットとトロンボーンが3～4人、チューバが1～2人。打楽器もティンパニ1～2人を含む7名程度。編入楽器は4名程度。弦楽五部もいわゆる「18型」の9-8-7-6-5プルト程度となり、総勢100名にものぼる。ワーグナー、マーラー、ストラヴィンスキー、ベルクの作品には、この規模の作品が多い。その最初の形はベルリオーズのレクイエム作品5や同じくテ・デウムであるが、当時はいわゆる倍管機能のユニゾンで、後年ワーグナーがその「ニーベルングの指環」や「パルジファル」でその編成を機能的にほぼ組織化した。
オーケストラ 編成
国際的には四管編成には16型で対応しており、18型は稀である。ホルンが4から8人に増えるのは、ホルンは通常1パートを2人で編成する為、四管編成だと倍の8人となる。その他ワーグナーやブルックナーなどの曲でホルン奏者の一部がワグナーチューバに持ち替える為、奏者が多数必要となる。チューバの本数が増えない理由は、増数したトロンボーンがバストロンボーンやコントラバストロンボーン、チンバッソなどチューバの音域を賄える楽器である為にチューバの数が増えないと考えられる。かつては3台ハープや3台ピアノも普通に見られたが、現在ではハープや鍵盤が二台を越えることはほとんどない。結果的に、四管編成を完成させた時期はリヒャルト・シュトラウスが活躍した時代である。
四管編成よりさらに大きく、各セクションが5人平均となるもの（五管編成相当）もある。ここでは、各セクション4本ずつのスタンダードの木管楽器の上に、ピッコロ、イングリッシュホルン、バスクラリネット、コントラファゴットが加わった形が多い。ホルンは8人以上。トランペットは5から6人。トロンボーンは差が大きく3人から5人。チューバは2人以上が多い。打楽器は7人以上。弦楽合奏は「20型」の10-9-7-6-5プルトが一般的でさらにオルガン・ピアノ・チェレスタ・4人以上のハープ・ギターやマンドリンが付くこともある。リヒャルト・シュトラウス、マーラー、ストラヴィンスキーの他に、シェーンベルク、ヴァレーズ、ケージ等がいる。管弦楽は120名を超える。
なお、これよりもさらに大きな編成で書かれた巨大編成の作品もある。リヒャルト・シュトラウスの「タイユフェ」作品52、ヴァレーズの「アメリカ」（1922年版)、メシアンの「アッシジの聖フランシスコ」や「閃光」、ハヴァーガル・ブライアンの交響曲、黛敏郎の「涅槃交響曲」などがそれにあたる。なおこのような木管楽器の編成は、各セクションが同程度の人数というような形式にあまり当てはまらず、フルートとクラリネットが多くなる割りには、オーボエとファゴットはあまり多くならない傾向があり、金管楽器も相当変則的になり、国際的な基準というものはない。
最も小さな編成に、木管楽器が1人ずつ程度の編成がある。ワーグナーの「ジークフリート牧歌」は、基本的に木管各1名、ホルン2、トランペット1、打楽器は無しで、弦もワーグナー自宅での初演時は1人ずつであった。これは20世紀後半の室内オーケストラを先取りするものであったが、当時は「オーケストラ」とはみなされていなかった。
ヴェーベルンの「5つの小品」作品10のように多くの打楽器や鍵盤楽器が入っていたり、同じく作品21や29、シェーンベルクの室内交響曲第1番のような変則的なものも多い。しかし、この「変則」的な組み合わせが20世紀後半の音楽では優勢になる。室内オペラはこの編成で書かれることがある。
戦後はシェーンベルクに倣い、管楽器の数が弦楽器を上回った室内オーケストラは、20世紀後半以降数多い。ヘンツェのレクイエムは弦楽器の量を管楽器が優に上回る典型例である。
オーケストラ 楽器の配置
オーケストラの楽器配置（Setting, Aufstellung）にはさまざまなやりかたがある。時代によって、また指揮者の方針によって工夫が重ねられてきた。
20世紀前半から半ばにかけては、第1ヴァイオリンと第2ヴァイオリンを左右に分ける楽器配置が多かった。これは「ヴァイオリン両翼配置」「対向配置」などと通称されている。
一方、華麗なオーケストラ・サウンドを追究し続けた指揮者レオポルド・ストコフスキーは、1930年代に独自の楽器配置を造り出した。これは、客席から向かって左側から第1ヴァイオリン、第2ヴァイオリン、ヴィオラ、チェロが並び、チェロの後方にコントラバスが置かれる。つまり、客席から向かって左から右にかけて、弦楽器を高音から低音へと並べるのである。この配置は「ストコフスキー・シフト」と通称され、コンサートホールでの響きが豊潤になるという利点とともに、1950年代頃から一般的に行われるようになったレコードのステレオ録音にも適しているとみなされ、20世紀後半には世界中のオーケストラに広まっていった。
オーケストラ 楽器の配置
以下に、現在使われている近代的なオーケストラの配置の一例（方向は、客席側から見たもの）を示す。弦楽器は「ストコフスキー・シフト」によっている。
外部リンク: stage formation of orchestra （オーケストラの楽器の並べ方）
現在のオーケストラはチューバが指揮者のすぐ横にいる、またはハープが指揮者の真ん前にいる、などといった変則配置は当たり前になっている。
ルチアーノ・ベリオの「コロ」は声楽家と器楽奏者がペアを組んで座る。
前衛の時代は変則配置で当たり前、という時代だったが、現代音楽の退潮に合わせて本来の古典的な配置を好む作曲家も多い。
オーケストラ 指揮者
多くの場合、指揮者は（専属契約を結んでいる場合でも）オーケストラの一員ではない。演奏会ごとに違う指揮者が指揮をすることが多い。しかし同時に、多くのオーケストラは「常任指揮者」（あるいは「首席指揮者」「音楽監督」）と呼ばれる特定の指揮者と長期にわたって演奏を行うため、その指揮者の任期中は、その指揮者の得意なレパートリーや演奏の様式によってオーケストラの個性が特徴付けられることが多く、しばしば常任指揮者や音楽監督の名前を冠して「～時代」などと言及されることもある。このような関係として特に有名なもの例を下に挙げる。
日本人においては、
（団体名は在任当時）
常任指揮者以外の指揮者を「客演指揮者」と呼ぶ。多くのオーケストラでは、多数の客演指揮者を迎えることで、公演レパートリーの不足を補ったり、新しい共演により芸術的な向上を目指すことがある。しかし、かつてのフルトヴェングラーやカラヤンのように、常任指揮者の権限によって、自分の気にそぐわない指揮者に客演させないというケースも存在する。
オーケストラ 用語
コンサートマスター/コンサートミストレス
多くの場合第1ヴァイオリンの首席奏者。オーケストラ全体の演奏をとりまとめ、指揮者に協力して様々な指示を出す。日本ではコンマス（コンミス）とも略称される。
首席
トップともいい、楽器（ヴァイオリンの場合はパート）ごとの第一人目の演奏者のこと。他のパートと調整を行い、パート内に様々な指示を出す。職責としての首席と、演奏位置としてのトップが異なる場合もある。また、第1ヴァイオリンの首席は、コンサートマスターが第1ヴァイオリンの場合には、これを兼務せず、コンサートマスターと別に置く場合がある。
次席、副首席
トップサイドともいい、首席を補助する。場合によって、職責としての次席と演奏位置としてのトップサイドの異なる場合がある。
オーケストラ 用語
ライブラリアン
楽譜を管理する。
インスペクター
演奏面以外のことで、楽団全体を取り仕切る。
ステージマネージャー
公演にかかわるすべての舞台の準備および進行を取り仕切る。公演ごとの特殊楽器の手配（場合によっては製作することもある）、劇場、ホールとの舞台関係の打ち合わせを行い、指揮者および演奏者と打ち合わせた上での楽器配置を取り仕切る。指揮者、オーケストラの楽員、ソリストなどすべての動きを把握し、曲目にあわせてセットを変える責任を負う。日本においては、ステージマネージャーは、オーケストラおよびホールのステージマネージャーを指すことが多い。また、日本では各オーケストラの専属と劇場・音楽ホール専属、制作会社専属のステージマネージャーがいる。
オーケストラ 評価
2010年発行のグラモフォン誌において、"The world’s greatest orchestras"として、以下の20楽団が選出されている。
オーケストラ オーケストラを題材にした作品
映画
オーケストラ!（2009年、フランス）
オーケストラの少女（1937年、アメリカ）
オーケストラ・リハーサル（1979年、イタリア）
ここに泉あり（1955年、日本）
日本フィルハーモニー物語 炎の第五楽章（1981年、日本）
誇り高き戦場（1967年、アメリカ）
リトル・マエストラ（2012年、日本）
ベルリン・フィル 最高のハーモニーを求めて（英語原題:Trip to Asia: The Quest for Harmony）（2008年、ドイツ。ドキュメンタリー映画）
クレッシェンド　音楽の架け橋（2019年、ドイツ）
黄金比
黄金比（おうごんひ、英: golden ratio）とは、次の値で表される比のことである：
以下で述べるような数理的な性質は、有理数にならないこの値のみが持つ性質であり、有理近似等には基本的には意味が無い。「デザインを美しくする」などといった巷間よく見られる説については#用途を参照。小数に展開すると 1 : 1.6180339887... あるいは 0.6180339887... : 1 といった値となる。
黄金比は貴金属比の一つである（第1貴金属比）。
代数的には、a : b が黄金比ならば
a : b = b : (a + b)
という等式が成り立つことから、幾何的には、縦横比が黄金比の矩形から最大正方形を切り落とした残りの矩形は、やはり黄金比の矩形となり、もとの矩形の相似になるという性質がある。正五角形の1辺と対角線との比は黄金比に等しい。数列 a, b, a + b は、等比数列をなす。そのため、（中項 b と末項 a + b の比という意味で）中末比（ちゅうまつひ）とも呼ばれる。
黄金比
線分を2つに分け、短い部分と長い部分の長さの比が、長い部分と全体の長さの比に等しくなるようにしたときの比であるため、外中比（がいちゅうひ、英: extreme and mean ratio）とも呼ばれる。黄金比で長さなどを分けることを黄金比分割または黄金分割（英: golden section または 英: golden cut）という。
黄金比における
を黄金数（おうごんすう、英: golden number）という。しばしばギリシア文字の φ（ファイ）で表されるが、τ（タウ）を用いる場合もある。黄金数は、二次方程式 x2 − x − 1 = 0 の正の解である：
黄金比 黄金数の性質
三角関数を使うと次のように表すことができる：
指数関数を使うと次のように表すことができる。
この式は、ビネの公式と呼ばれることがある。
φn + φn+1 = φn+2（n は自然数）
が成り立つ。
φ2 = φ + 1,
φ3 = 2φ + 1,
φ4 = 3φ + 2,
φ5 = 5φ + 3,
φ6 = 8φ + 5,
…
となり、係数にフィボナッチ数が出現する。そのため、φn は次のように表すことができる。
φn = Fn φ + Fn−1
さらに、フィボナッチ数と、フィボナッチ数列の同伴リュカ数列であるリュカ数Lnを用いて、次のように表すこともできる。
φn = Ln + Fn√5/2
黄金数はピゾ数であり、ピゾ数の集合の最小の集積点である。そのため黄金数の累乗は、ほとんど整数になる。例えば、
である。黄金数の累乗がほとんど整数になる理由は、該当記事を参照されたい。
半径の比が
である3つの円が互いに外接する時、その3つの円の全てと外接する大小2つの円を描くことができ、それらを合わせた5つの円の半径の比は
である。
ここで
であり、隣接する円との半径の比が同じで、互いに密に接する円の列を螺旋状に無限に配置することができる。
（→デカルトの円定理）
黄金比 応用
(x − 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1) = 0
(x − 1)(x2 + φx + 1)(x2 + (1 − φ)x + 1) = 0
そのため、1の1以外の5乗根は次のように表される。
黄金比 作図
最も簡単な作図方法は下記の通り。
正五角形や五芒星（星形：☆）（何れも作図可能）から容易に作図することができる。正五角形の一辺と対角線の比、五芒星の辺と隣接2頂点の距離の比は、黄金比に等しい。
黄金比 歴史
伝承では、古代ギリシアの彫刻家ペイディアス（Φειδίας, 紀元前490年頃 - 紀元前430年頃）が初めて使ったといわれる。黄金数の記号φは彼の頭文字であるが、使われ始めたのは20世紀である。なお、τはギリシア語の「分割」に由来し、やはり20世紀に使われ始めた。
同じく古代ギリシアの数学者ユークリッド（紀元前3世紀? - ）の著書『ユークリッド原論』では第6巻の定義3で外中比の定義が記されている。『原論』第6巻の命題30で「与えられた線分を外中比に分ける作図法」が記されている。東京工芸大学教授の牟田淳によると、ローマ建築の理論にも、黄金比の考え方が見られる。
ルネサンス期イタリアの学者レオナルド・ダ・ヴィンチ（1452年4月15日 - 1519年5月2日（ユリウス暦））も発見していた記録が残っている。彼が描いた有名な美人画『モナ・リザ』の顔は黄金比になっているという指摘もある。
ダ・ヴィンチの同時代人であったルカ・パチョーリは著書で『神聖比例論』として言及した。「黄金比」という用語が文献上に初めて登場したのは1835年刊行の、ドイツの数学者マルティン・オーム（「オームの法則」で有名なゲオルク・オームの弟）の著書『初等純粋数学』。また、1826年刊行の初版にはこの記載がないことから、1830年頃に誕生したと考えられる。
黄金比 用途
長方形は縦と横の長さの比が黄金比になるとき、安定した美感を与えるという説がある。これはグスタフ・フェヒナーの1867年の実験を論拠としている。しかし、フェヒナーの実験の解釈については否定的な様々な見解がある。1997年に国際経験美学会誌の黄金分割特集では、この実験結果を「永遠に葬るもの」とする見解が掲載された。また類似の（すなわち、同様に根拠が極めてあやしい）安定した比とされるものに白銀比がある。
黄金比は、長方形の形状の物の縦横比に利用されることが多い。例えば、名刺やクレジットカードをはじめとする様々なカード類などは、短辺と長辺の比率が1対1.6台であることが多い。
ディスプレイのアスペクト比には、WQXGA（解像度2560x1600）、WUXGA（同1920x1200）など、黄金比に近い8:5 (16:10) のものもある。
黄金比はパルテノン神殿やピラミッドといった歴史的建造物や美術品の中に見出すとされてきたが、これらは後付けの都市伝説であるものが含まれる。一方で、意図的に黄金比を意識して創作した芸術家も数多い。
黄金比 用途
自然界に存在する植物の葉脈や巻貝の断面図など対数螺旋ではないが黄金比に近い例として度々挙げられる。工学分野では、自動車ではスポーツカーやオフロード、セミトレーラー用トラクタや軽トラックのトレッド（輪距）とホイールベース（軸距）の関係が黄金比に近い。具体的には 普通乗用車であれば1500 mm 程度のトレッドに対し、ホイールベースが2400 mm 前後とやや短い値となる。これは、いずれの車種においても旋回性能が重要視されるためである。
黄金比は、容姿の美しさの指標として美容業界でもよく用いられ、身体において足底から臍（へそ）までの長さと臍から頭頂までの長さの比が黄金比であれば美しい、また、顔面の構成要素である目、鼻、口などの長さや間隔、細かな形態も黄金比に合致すれば美しいとされている。そして、その黄金比は横1：縦1.618となっている顔である。
なお、黄金比に近い容貌はコーカソイド（白人）に多く、日本人を含むアジア人は黄金比とはかけ離れてることが多いため、日本においてはアジア人に近い「白銀比」（別名「大和比」）という比率で美しさを論じる審美観が存在し、白銀比が古代から現代までの建築、仏像の造形、さらには現代の創作などにおいて「かわいい」キャラクターデザインなど日本の文化の背景の一つになっているという分析もある。
黄金比 黄金数の小数展開
6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362 1076738937 6455606060 5921658946 6759551900 4005559089 …
（オンライン整数列大辞典の数列 A001622）
エルビウム
エルビウム (英: erbium [ˈɜrbiəm]) は原子番号68の元素。元素記号は Er。希土類元素の一つ（ランタノイドにも属す）。灰色の金属で、常温、常圧で安定な結晶構造は六方最密充填構造 (HCP)。比重は9.05、融点は1497 ℃ (1529 ℃という実験値もあり)、沸点は2863 ℃ (2900 °Cという実験値もあり)。空気中で表面が酸化され、高温で燃えて Er2O3 となる。水にゆっくりと溶ける。酸に易溶。ハロゲンと反応する。常温で常磁性を示す。安定な原子価は3価。
エルビウム 名称
イットリア鉱石の産地のイッテルビー (Ytterby) が語源。イッテルビーからはエルビウムの他、イットリウム、イッテルビウム、テルビウム、と合計四つの新元素が発見されている。これらの元素はいずれも、イッテルビーから名称の一部をとって命名された。
エルビウム 用途
酸化エルビウム(III) Er2O3 がガラスの着色剤に使われる（きれいなピンク色になる）。光ファイバーに添加（ドープ）されたり（光信号増幅のため）、YAGレーザーにも添加して利用される（Er:YAGレーザー：医療分野で利用される）。
エルビウム 歴史
モサンデール (C.G.Mosander) が1843年に分離に成功。単体分離は1879年。
近似アルゴリズム
近似アルゴリズム（きんじアルゴリズム、英: approximation algorithm）とは、組合せ最適化問題の近似解を得るためのアルゴリズムを言う。近似解とは、実行可能解（かつ問題の何らかの制約を満たす解）ではあるが、正解（厳密解）ではないものを言う。これは組合せ最適化問題の正解（すなわち最適解）であることが（厳密には）保証されないところの解を得るものである。なお、問題を変形した近似問題に対する正解を得るアルゴリズムも、元の問題に対する近似アルゴリズムと言える。
近似アルゴリズム 概要
近似アルゴリズムの中でも、そのアルゴリズムの出力する解の目的関数値と最適解の目的関数値の比（近似度）がある範囲内に収まることが保証されているもののことを特に、精度保証付き近似アルゴリズムと呼ぶ。そのような保証のないアルゴリズムは発見的手法（ヒューリスティクス）と呼ばれる。前者と後者を区別し、前者のみを近似アルゴリズムと呼ぶ場合もある。
近似アルゴリズムは、主に多項式時間で厳密に解くことが難しいNP困難問題に対して考えられるが、多項式時間で計算可能な問題に対しても、より早い計算時間で解を求めるという目的で用いられることもある。アルゴリズム理論の分野においては近年の中心的話題のひとつで、さまざまな問題に対する近似アルゴリズムが考案されている。また、可能な近似度の下界値を示す近似不可能性に関する結果も多く得られており、PCP定理などが有名。
例えば、最小頂点被覆問題には近似度2の単純なアルゴリズムが存在するが、近似度が定数の多項式時間アルゴリズムがないと考えられている問題もある。
メンデレビウム
メンデレビウム（英: mendelevium [ˌmɛndəˈlɛviəm, -ˈliːviəm]）は、原子番号101の元素。元素記号は Md。アクチノイド系列の金属放射性超ウラン元素であり、今日、より軽い元素の中性子の衝突により巨視的量精製することができない元素のうち、原子番号が最も小さい元素である。最後から3番目のアクチノイドであり、9番目の超ウラン元素である。軽い元素に荷電粒子を衝突させることによってのみ、粒子加速器で生成することができる。17個のメンデレビウムの同位体が知られており、最も安定であるのは258Mdで半減期は51日である。しかし、より半減期の短い256Md（半減期1.17時間）はより大規模に生産できるため、化学において最も一般的に使用される。
メンデレビウム
メンデレビウムは1955年にアインスタイニウムにアルファ粒子を衝突させることにより発見された。これは今日でも生産するのに使われる方法と同じである。名前は周期表の父であるドミトリー・メンデレーエフにちなんで名づけられた。使用可能なマイクログラム量の同位体アインスタイニウム253を使用すると、1時間に100万以上のメンデレビウム原子が生成される可能性がある。メンデレビウムの化学的性質は後半のアクチノイドの典型であり、+3の酸化状態が優勢であるが+2もとることができる。知られている全ての同位体は比較的半減期が短い。現在、基礎的な科学研究以外での用途はなく、少量しか生産されていない。
メンデレビウム 発見
メンデレビウムは、合成された9番目の超ウラン元素である。1955年初頭にカリフォルニア大学バークレー校にてアルバート・ギオルソ、グレン・シーボーグ、Gregory Robert Choppin、Bernard G. Harvey、およびチームリーダーのStanley G. Thompsonにより最初に合成された。チームはローレンス・バークレー国立研究所の60インチのサイクロトロンで10億個(109個)のアインスタイニウム(253Es)のターゲットにアルファ粒子（ヘリウム原子核）を衝突させることでターゲットの原子番号を2大きくし256Md（半減期77分）を生成した。これにより256Mdは1つの原子から1ずつ合成された最初の同位体となった。合計で17個のメンデレビウム原子が生成された。この発見は1952年に始まったプルトニウムに中性子を照射してより重いアクチノイドに変えるプログラムの一部であった。それ以前に超ウラン元素を合成するために使用された方法である中性子捕獲は。次の元素であるメンデレビウムを生成するベータ崩壊するフェルミウムの同位体が知られていなかったため上手くいかず、また、258Fmの自発核分裂までの半減期は非常に短く、このことが中性子捕獲プロセスの成功を難しくしていたため、この方法が必要であった。
メンデレビウム 発見
メンデレビウムの生成が可能かどうかを予測するために、チームは大まかな計算を行った。生成される原子の数は、ターゲット材料の原子数、ターゲットの断面積、イオンビームの強度、および衝撃時間の積とほぼ等しくなる。この最後の項は生成物の半減期のオーダーの時間で衝突させたときの生成物の半減期に関連していた。これにより1実験ごとに1つの元素が得られることが分かった。よって、最適条件下では、1回の実験で原子番号101の1つの元素が生成されることが期待される。この計算により実験が実行可能であることが示された。ターゲット材料であるアインスタイニウム253はプルトニウムに照射することで簡単に生成することができた。1年間照射することで10億個の原子が得られ、半減期が3週間であることから原子番号101の実験は生成されたアインスタイニウムを分離精製しターゲットを作成した後1週間で行うことができた。しかし、毎秒1014個のアルファ粒子という強度を得るためにサイクロトロンをアップデートする必要があった。そのためシーボーグは資金を申請する必要があった。
メンデレビウム 発見
シーボーグが資金の申請をしている間、Harveyはアインスタイニウムのターゲットに取り組み、ThomsonとChoppinは化学的分離の方法に焦点を合わせ研究した。Choppinは軽いアクチノイドの原子からメンデレビウム原子を分離するためにαヒドロキシイソ酪酸を使用することを提案した。実際の合成はギオルソにより導入された反跳法により行われた。この手法では、アインスタイニウムがビームのターゲットの反対側に配置されたため、反跳するメンデレビウム原子はターゲットを離れ金でできたキャッチャー箔により捕らえられるのに十分な運動量を得る。この反跳ターゲットは、Alfred Chetham-Strodeにより開発された電気めっき法により作られた。この方法は非常に高い収率をもたらし、アインスタイニウムのターゲット材料などの珍しく貴重な生成物を研究する際に絶対的に必要なものであった。反跳ターゲットは、薄い金箔上に電解的に堆積された253Esの109個の原子で構成されていた。これにバークレーのサイクロトロン内で41 MeVのアルファ粒子が、0.05 cm2の面積で毎秒6×1013粒子という非常に高いビーム密度で当てられた。ターゲットは水または液体ヘリウムで冷却され、箔は交換することができた。
メンデレビウム 発見
最初の実験は1954年9月に行われた。メンデレビウム原子からはアルファ崩壊は見られず、ゆえにギオルソはメンデレビウムは全て電子捕獲により崩壊してフェルミウムになり、代わりに実験を繰り返して、自発核分裂の事象を探す必要があることを提案した。繰り返しの実験は1955年2月に行われた。
メンデレビウム 発見
発見した日である2月19日にはアインスタイニウムのターゲットのアルファ線照射が3時間のセッションで3度生じた。サイクロトロンはカリフォルニア大学のキャンパスにあり、放射線研究所は隣の丘にあったため、この状況を対処するために複雑な手順が使われた。ギオルソはキャッチャー箔（3つのターゲットと3つの箔があった）をサイクロトロンからハーベイに渡し、彼は王水を使用してそれを溶解し、陰イオン交換樹脂カラムに通し金や他の生成物から超ウラン元素を分離した。結果として生じた滴が試験管に入り、Choppinとギオルソはそれをできるだけ早く放射線研究所に運ぶために車で移動した。そこでThompsonとChoppinは陽イオン交換樹脂カラムとαヒドロキシイソ酪酸を使用した。溶液の滴を白金のディスクに集め、加熱ランプ下で乾燥させた。3つのディスクにはそれぞれフェルミウム、新しい元素なし、メンデレビウムが含まれていると予想されていた。最終的にそれらは自発核分裂の事象が崩壊の数と時間を示すグラフの巨大なふれとして記録されるように、レコーダーに接続された独自のカウンターに設置された。したがって、直接的には検出されなかったが、電子捕獲娘の256Fmから生じる自発核分裂の事象が観測された。最初の1つは「フレー」という声とともに同定され、その後「2番目のフレー」と「3番目のフレー」が続いた。4番目のものにより最終的に公式に101番目の元素であるメンデレビウムの化学的同定が証明された。合計で午前4時までに5つの崩壊が報告された。シーボーグはこのことが知らされ、チームは眠りについた。さらなる分析と実験により生成されたメンデレビウム同位体は質量256であり、電子捕獲により半減期1.5時間でフェルミウム256に崩壊することが示された。
メンデレビウム 発見
We thought it fitting that there be an element named for the Russian chemist Dmitri Mendeleev, who had developed the periodic table. In nearly all our experiments discovering transuranium elements, we'd depended on his method of predicting chemical properties based on the element's position in the table. But in the middle of the Cold War, naming an element for a Russian was a somewhat bold gesture that did not sit well with some American critics. — Glenn T. Seaborg
（日本語訳）われわれは周期表を発展させたドミトリー・メンデレーエフにちなんで名付けられた元素があるのはふさわしいことだと考えた。超ウラン元素を発見するほとんどすべての実験において、われわれは周期表内の元素の位置に基づいて化学的性質を予測する彼の手法に依存していた。しかし、冷戦の真っただ中に元素にロシア人の名前をつけることは、一部のアメリカの批評家にとっては納得できないやや大胆な振る舞いであった。 — Glenn T. Seaborg
これは原子番号101以上の最初の元素であり、周期表の父であるロシアの化学者ドミトリー・メンデレーエフにちなんで「メンデレビウム」と命名されることになった。この発見は冷戦中に行われたため、シーボーグはこの元素をロシア人にちなんで命名することを提案するように米国政府の許可を求める必要があったが、その後許可された 。「メンデレビウム」という名称は1955年に記号"Mv"でIUPACにより承認され、次のIUPACの総会（パリ、1957年）で"Md"に変更された。
メンデレビウム 特徴
周期表において、メンデレビウムはアクチノイドのフェルミウムの右、アクチノイドのノーベリウムの左、ランタノイドのツリウムの下に位置する。メンデレビウム金属はまだバルク量精製されておらず、バルク量の精製は現在不可能である。そうではあるが、その特性に関していくつかの予測といくつかの予備実験の結果が行われている。
メンデレビウム 特徴
ランタノイドとアクチノイドは金属状態では2価（ユーロピウムやイッテルビウムなど）または3価（他のほとんどのランタノイド）の金属として存在することができる。前者はfnd1s2配置であり、後者はfn+1s2配置である。1975年にJohanssonとRosengrenは金属ランタノイドとアクチノイドの凝集エネルギー（結晶化のエンタルピー）の測定値と予測値を、ともに2価金属と3価金属として調べた。結論は、メンデレビウムの[Rn]5f137s2配置よりも[Rn]5f126d17s2配置で結合エネルギーの増加分は、ずっと後半のアクチノイドにもあてはまるように1つの5f電子を6dに昇位させるのに必要なエネルギーを補償するには不十分であった。それゆえ、アインスタイニウム、フェルミウム、メンデレビウム、ノーベリウムは2価の金属であると予想されていた。アクチノイド系列が終わるずっと前に2価状態の優位性が増加しているのは、原子番号の増加と共に増加する5f電子の相対論的安定化に起因する。1976年から1982年までZvaraとHübenerによる微量のメンデレビウムを用いた熱クロマトグラフィー研究により、この予測が確認された。1990年、HaireとGibsonはメンデレビウム金属は134から142 kJ/molの間の昇華のエンタルピーを持っていると推定した。2価メンデレビウム金属の金属半径は約194±10 pmでなければならない。他の2価の後半のアクチノイドと同様に（再度3価のローレンシウムを除く）、金属メンデレビウムは面心立方結晶構造をとるはずである。融点は827 °Cと推定されており、隣接する元素であるノーベリウムで予測されたものと同じ値である。密度は約10.3±0.7 g/cm3であると予測されている。
メンデレビウム 特徴
メンデレビウムの化学的特性はほとんどが溶液中でのみ知られており、+3または+2の酸化数をとることができる。+1の状態も報告されているが、まだ確認されていない。
メンデレビウムが発見される前に、グレン・シーボーグとKatzはそれが主に水溶液中で3価であるべきであり、したがって他の3陽性のランタノイドとアクチノイドと同様に振る舞うべきであると予測した。1955年にメンデレビウムが合成された後、これらの予測が確認された。最初は樹脂の陽イオン交換カラムからの3価アクチノイド溶出順序でフェルミウムの直後に読王出したことが発見され、後の1967年にはメンデレビウムが3価のランタノイド塩と共沈する不溶性の水酸化物及びフッ化物を形成する可能性があることが観察された。陽イオン交換及び溶媒抽出の研究により、メンデレビウムがそれより前のアクチノイドであるフェルミウムよりもイオン半径がやや小さい3価のアクチノイドであるという結論にいたった。メンデレビウムは1,2-シクロヘキサンジニトリロ四酢酸(DCTA)と配位錯体を形成することができる。
メンデレビウム 特徴
還元条件では、メンデレビウム(III)は、水溶液中で安定なメンデレビウム(II)に容易に還元される。E°(Md3+→Md2+)の標準還元電位は1967年に−0.10 V や −0.20 Vとさまざまに推定された。2013年以降の実験では、値は−0.16±0.05 Vと確立された。比較すると、E°(Md3+→Md0) は約−1.74 Vであり、E°(Md2+→Md0) は約−2.5 Vであるべきである。メンデレビウム(II)の溶出挙動は、ストロンチウム(II)及びユウロピウム(II)の溶出挙動と比較されている。
1973年、メンデレビウム(I)はロシアの科学者たちによって、より高い酸化状態メンデレビウムをサマリウム(II)で還元することで得たと報告された。これは中性の水-エタノール溶液中で安定であり、セシウム(I)と同族であることがわかった。しかし、その後の実験ではメンデレビウム(I)の証拠は見つからず、メンデレビウムは還元されると一価のアルカリ金属ではなく二価の元素のように振る舞うことが分かった。それにもかかわらず、ロシアのチームはメンデレビウムをアルカリ金属の塩化物と共結晶化する熱力学についてさらに研究を行い、メンデレビウム(I)が形成され、二価の元素と混合結晶を形成し、それらと共結晶化すると結論付けた。+1の酸化状態は未だ仮説である。
メンデレビウム 特徴
E°(Md4+→Md3+) は1975年に+5.4 Vと予測され、このことはメンデレビウム(III)がメンデレビウム(IV)に酸化される可能性があることを示唆しているが、強力な酸化剤であるビスマス酸ナトリウムを使用した1967年の実験ではメンデレビウム(III)をメンデレビウム(IV)に酸化することができなかった。
メンデレビウム 特徴
メンデレビウム原子には101個の電子があり、そのうち少なくとも3個（そしておそらく4個）が価電子として機能する。これは電子配置[Rn]5f137s2（基底状態の項記号2F7/2）と予想されるが、この電子配置の実験的検証は2006年の時点ではまだ行われていない。化合物を形成する際に、3個の価電子が失われ、[Rn]5f12コアが残る場合があるが、これは+3状態の[Rn] 5fn電子配置を持つ他のアクチノイドにより定められた傾向に一致する。メンデレビウムの最初のイオン化ポテンシャルは、7s電子が5f電子より前にイオン化するという仮定に基づいて、1974年に最大(6.58 ± 0.07) eVであると測定された。この値は、その後メンデレビウムの希少性と高い放射性のために、さらなる精度の向上はない。六配位のMd3+のイオン半径は、1978年に事前に約91.2 pmと推定されていた。分配係数とイオン半径の間の対数傾向に基づく1988年の計算により、−3654±12 kJ/molの水和エンタルピーとともに、89.6pmというイオン半径が算出された。Md2+のイオン半径は115 pm、水和エンタルピーが−1413 kJ/molである必要があり、Md+のイオン半径は117 pmである必要がある。
メンデレビウムの同位体は、質量数が244から260まで17個知られており、全てが放射性である。さらに、5つの核異性体、245mMd, 247mMd, 249mMd, 254mMd, および258mMdが知られている。これらのうち、半減期が最長の同位体は258Mdで、51.5日であり、半減期が最長の異性体は258mMdで58.0分である。それにもかかわらず、半減期の短い256Md（1.17時間）は、アインスタイニウムのアルファ粒子照射から大量に生成できるため、化学実験でより頻繁に使用される。258Mdの次に安定したメンデレビウムの同位体は、半減期が31.8日の260Md、5.52時間の257Md、1.60時間の259、1.17時間の256Mdである。残りのメンデレビウムの同位体はすべて半減期が1時間未満であり、大部分は5分未満である。
メンデレビウムの同位体の半減期は、ほとんどが244Md以降滑らかに増加し、258Mdで最大となる。実験と予測によると、半減期は半減期が31.8日の260Md以降は減少する。これは、アクチノイド系列において長寿命原子核の相対的安定の島に限界をもたらす陽子の相互反発が理由で、自発核分裂が支配的な崩壊モードになるためである。
化学的に重要なメンデレビウムの同位体であるメンデレビウム256は、電子捕獲により90%の確率で崩壊し、10%の確率でアルファ崩壊する。これは電子捕獲娘のフェルミウム256の自発核分裂によって最も簡単に検出されるが、自発核分裂を起こす他の核種の存在下ではメンデレビウム256の特徴的なエネルギー（7.205及び7.139 MeV）でのアルファ崩壊は、より有用な識別情報を提供しうる。
メンデレビウム 生産・分離
最も軽いメンデレビウムの同位体（244Mdから247Md）は、主にビスマスのターゲットに重いアルゴンイオンを衝突させることにより生成されるが、わずかに重い同位体（248Mdから253Md）はプルトニウムとアメリシウムのターゲットに軽い炭素と窒素のイオンを衝突させることにより生成される。最も重要で最も安定した同位体は254Mdから258Mdの範囲であり、アルファ粒子をアインスタイニウムの導体に衝突させることで生成される（アインスタイニウム253, 254, 255の全てが使用できる）。259Mdは259Noの娘として生成され、260Mdはアインスタイニウム254と酸素18の間の移動反応で生成される。通常、最も一般的に使用される同位体256Mdはアインスタイニウム253, 254のいずれかにアルファ粒子を照射することにより生成される。アインスタイニウム254は半減期が長く、ターゲットとしてより長い間使用できるため、入手可能である場合好まれる。利用可能なマイクログラム量のアインスタイニウムを使用することで、フェムトグラム量のメンデレビウム256を生成することができる。
メンデレビウム 生産・分離
生成されたメンデレビウム256の反跳運動量は、それらが生成された元のアインスタイニウムのターゲットから物理的に遠く離し、真空中でターゲットのちょうど後ろの金属の薄い箔（通常、ベリリウム、アルミニウム、白金、または金）の上に付くのに使われる。これにより、費用がかかり高価なアインスタイニウムのターゲットの再利用を妨げる即時の化学的分離の必要性がなくなる。次に、メンデレビウムの原子は気体雰囲気（多くの場合ヘリウム）に閉じ込められ、反応室の小さな開口部からの気体ジェットがメンデレビウムを運ぶ。長い毛細管を使用し、ヘリウムガスに塩化カリウムエアロゾルを含めることで、メンデレビウム原子を数十メートル以上輸送して化学的に分析し、その量を決定することができる。次に、箔に酸を適用し、メンデレビウムをフッ化ランタンと共沈させ、塩酸で飽和させた10%エタノール溶液を含む陽イオン交換樹脂カラムを使用し溶離剤として働かせることで、箔材料及び他の核分裂生成物からメンデレビウムを分離することができる。ただし、箔が金でできており十分に薄い場合は、陰イオン交換クロマトグラフィーを使用して金から3価のアクチノイドを分離する（溶離液はM塩酸である）前に、王水に金を溶かすだけで十分である。
メンデレビウム 生産・分離
メンデレビウムは最終的に陽イオン交換樹脂カラムからの選択的溶出（溶離液はアンモニアα-HIB）を利用することで、他の3価のアクチノイドから分離できる。気体ジェット法を使用すると、最初の2つのステップが不要になることがしばしばある。上記の手順では超アインスタイニウム元素の分離に最も一般的に使用される手順である。
3価のアクチノイドを分離する別の可能な方法は、固定有機相としてビス-(2-エチルヘキシル)リン酸（HDEHPと略す）及び移動水相として硝酸を使用するという溶媒抽出クロマトグラフィーによるものである。アクチノイドの溶出の順序は陽イオン交換樹脂カラムにおいてとは逆になっているため、重いアクチノイドは後で溶出する。この方法で分離されたメンデレビウムには樹脂カラムと比較して有機錯化剤が含まれていないという利点がある。不利な点は、メンデレビウムがフェルミウムの後、溶出の順番の非常に遅い段階で溶出することである。
メンデレビウム 生産・分離
メンデレビウムを分離するもう1つの方法は、Es3+及びFm3+の溶出特性とは異なるMd2+の溶出特性を利用する。最初の段階は、上記と同じで、抽出クロマトグラフィーにHDEHPを使用するが、メンデレビウムをフッ化ランタンではなくフッ化テルビウムと共沈させる。次に、50 mgのクロムをメンデレビウムに加え、亜鉛または水銀を含む0.1M塩酸中で+2状態に還元する。次に、溶媒抽出が進み、3価および4価のランタノイドとアクチノイドがカラムに残るがメンデレビウム(II)は塩酸中に留まらない。次に、過酸化水素を使用して+3状態に再び酸化し、2M塩酸（クロム含む不純物を除去するため）、最終的には6M塩酸（メンデレビウムを除去するため）による選択的溶出で分離する。また、1M塩酸を溶離液として使用し、Md(III)をMd(II)に還元しアルカリ土類金属のように振る舞う、カチオナイトと亜鉛アマルガムのカラムを使用することもできる。サーモクロマトグラフィーによる化学的分離は、揮発性メンデレビウムヘキサフルオロアセチルアセトナートを使用することで達成できる。類似のフェルミウム化合物も知られており、揮発性である。
メンデレビウム 毒性
メンデレビウムと接触する人はほとんどいないが、国際放射線防護委員会は最も安定した同位体の年間曝露限界を設定している。メンデレビウム258の場合、摂取限界は9×105Bq（ベクレル、1ベクレルは1秒当たり1回の崩壊に相当）であり、吸入限界は6000Bqに設定されている。
メンデレビウム 書誌情報
Silva, Robert J. (2006). “Fermium, Mendelevium, Nobelium, and Lawrencium”. In Morss, Lester R.; Edelstein, Norman M.; Fuger, Jean. The Chemistry of the Actinide and Transactinide Elements. 3 (3rd ed.). Dordrecht: Springer. pp. 1621–1651. doi:10.1007/1-4020-3598-5_13. ISBN 978-1-4020-3555-5.  オリジナルの2010-07-17時点におけるアーカイブ。. http://radchem.nevada.edu/classes/rdch710/files/Fm%20to%20Lr.pdf
線型計画問題
線型計画問題 (せんけいけいかくもんだい、英: linear programming problem) とは、最適化問題において、目的関数が線型関数で、なおかつ線型関数の等式と不等式で制約条件が記述できる問題である。この問題を解く手法を線型計画法という。
線型計画問題 数学的表現
行列やベクトルを用いて表現すると、行列Aとベクトルb,cが与えられたとき、制約条件Ax≤b, x≥0をみたしつつcTxを最大化するベクトルxを求める問題のことである。
線型計画問題は次のように記述できる。
これを標準型といい、制約条件に線型不等式を含む問題も、スラック変数を加えることで、容易に上記の標準型に変換できる。最大化問題の場合は、目的関数の符号を反転させれば最小化問題となる。
線型計画問題 アルゴリズム
この問題を解くアルゴリズムとしては、1947年にジョージ・ダンツィーグが提案したシンプレックス法（単体法）がよく知られている。このアルゴリズムは、実用上は高速であり、ほとんど常に変数の数・制約条件の数の大きい方のオーダーの反復回数で解が求まる。しかし、Dantzig が提唱したもの（ピボット規則）は理論的には多項式時間アルゴリズムではない。常に多項式時間で解が得られるピボット規則の存在性は、現在も未解決問題である。単体法という名前は、Dantzigが提案した特殊な図解法においては、アルゴリズムの進行に従って単体が下に落ちていくように見えることに由来する。
その後、1979年、レオニード・カチヤンが初めての多項式時間アルゴリズムである楕円体法を提案する。さらに、1984年、ナレンドラ・カーマーカー（Narendra Karmarkar）はより効率の良いカーマーカー法を提案し、大規模な問題に対してはシンプレックス法よりも高速であると主張した。現代においては、カーマーカー法に触発された汎用の内点法で十分に高速に解ける。
銅貨
銅貨（どうか　Copper coin）とは、銅を素材として作られた貨幣をいう。
銅貨 概要
銅は卑金属ではあるが鉄や錫などに比してイオン化傾向が低く酸化しにくいとされ、錫との合金である青銅は古くから装飾品や武器などに広く使用されて、精錬法も良く知られた身近な金属であったため、貯蔵性や可搬性の利点から鋳造貨幣として広範に利用された。ただし厳密な意味での鋳造（鋳型に溶かした銅を流し込んで成形する）は東アジアに限られ、オリエントやヨーロッパではプレス加工による成形が主流であった。
耐食性に優れるとはいえ材質としての価値は貴金属としての金銀に比べ大きく劣るため、本位貨幣の少額決済における不便さを補填するための「補助貨幣」としての性質が大きかった。よって中国や日本では金銀が砂金や丁銀など秤量貨幣の体裁を取ることが多かったのに対して、銅は権威性を備えたコインとしての体裁が求められ、鋳造の品質が信用（＝価値）に直結した。銅地金と額面との差額は貨幣発行益として政府の財政収入となるため、760年（天平宝字4）の万年通宝発行時には差益を狙って鋳造された私鋳銭が市場の半数を流通したという。中世日本では渡来銭である宋銭や明銭（特に永楽通宝）などが広く通用したが、品質を落とした私鋳銭も引き続き流通し、悪貨、鐚（びた）銭として撰銭（えりぜに）の慣習を引き起こした。
銅貨 概要
東アジアの銅銭にみられる四角い穴は、鋳造後に棒を通してろくろで回転させ、型への溶銅の注入口（湯口）や型の隙間への銅のはみ出し（バリ）が銭の縁に残っているのを削り落とす工作に用いられる。これにより見目は良くなる反面、銭には多少の重量差が生じることになり、早期から計数貨幣寄りの性格であった。これに対し西洋の銅貨は特に古代のものではバリがついたままのものが多く出土しており秤量貨幣寄りの思考であったと言える。
硬貨は金や銀の実質的価値から、額面に応じて大型で重くなっていたが、銅貨においても同様で、ヨーロッパ世界では近世に入ってからも大型で重い銅貨が流通していた。イギリスの車輪銭と呼ばれる2ペンス銅貨はその代表的な物である。
現在では金貨や銀貨は、もはや流通用には見られず、銅貨が世界の硬貨の中心をなしており、広く利用されている。一因としては、銅の軍事用途が飛躍的に拡大したため、銅貨類はその国家備蓄の意義が大きくなっている。銅やその合金は戦車や航空機などの主要素材ではないため使用量的にはやや少ないながらも使途は多岐にわたり、近世期には大砲のための青銅（砲金）、近代以後は銃砲弾の薬莢、20世紀からは特殊鋼や合金素材として重要となったニッケルを加えた白銅、21世紀現在ますます重要度を増しているハイテク製品の電気・電子部品など、戦略資源としての意義は上昇を続けている。
銅貨 銅貨の素材
「銅貨」の語は、素材面から見ると、最も狭義には純銅～銅96%以上の合金（高銅合金）で作られているものをいい、日本の貨幣では1873年（明治6年）制定の竜2銭・竜1銭・竜半銭・1厘銅貨（品位は銅98%、錫1%、亜鉛1%）がこれに当たり、純銅製のものはアメリカの1793年–1857年の1セント銅貨やハーフセント銅貨などの例がある。しかし、銅貨が純銅で製造されることは少なく、多くは耐久性などの面から青銅貨として鋳造される。一般的には、銅貨というと、この青銅貨（現行の日本の硬貨では十円硬貨がこれに当たる）を指す場合が多いが、他にも銅を主体とする合金、例えば黄色い黄銅貨や白い白銅貨、洋銀貨やアルミニウム青銅貨、さらにはノルディック・ゴールド貨なども広義では銅貨の範疇に入り、世界的には白銅貨は比較的高額な硬貨に用いられることが多い。