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冪乗 概要
冪乗は、任意の実数または複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数である冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数であり、冪指数を固定して底を変数と見なせば冪函数である。整数乗の冪に限れば、行列などを含めた多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができる。冪指数まで同種の対象に拡張すると、その上で定義された自然指数函数と自然対数函数をもつ完備ノルム環（例えば実数全体 R や複素数全体 C など）を想定するのが自然である。
冪乗 歴史
歴史上に冪が現れたのは非常に古く、B.C.16世紀ごろに作成された粘土板には平方数表、平方根表、立方根表や三平方の定理について書かれており、エジプト、インド、ギリシアなどでも冪の概念は明示されている。一方で、指数法則に言明する文献は見当たらず「指数概念」には未だ到達していないと考えるべきであるが、冪を意味する英単語 "power" はギリシアの数学者エウクレイデス（ユークリッド）が直線の平方を表すのに用いた語に起源がある。また、「原論」において指数法則 am × an = am+n に相当する命題に言及しているが、この時代には算式は発明されておらず、すべて言葉で表現していた。
アルキメデスは 10 の冪を扱うために必要となる指数法則 10a • 10b = 10a + b を発見し、証明した（『砂粒を数えるもの』を参照）。9世紀に、ペルシアの数学者アル゠フワーリズミは平方を mal, 立方を kab で表した。これを後に中世イスラムの数学者がそれぞれ m, k で表す記法として用いていることが、15世紀ごろのアル゠カラサディの仕事に見ることができる。
冪乗 歴史
16世紀後半、ヨスト・ビュルギは冪指数をローマ数字を用いて表した。
17世紀初頭、今日用いられる現代的な冪記法の最初の形は、ルネ・デカルトが著書 La Géométrie の一巻において導入した。
アイザック・ニュートンなど一部の数学者は冪指数は 2 乗よりも大きな冪に対してだけ用い、平方は反復積として書き表した。例えば、多項式を ax + bxx + cx3 + d のように書いた。
15世紀にニコラ・ショケは冪記法の一種を用い、それは後の16世紀にハインリヒ・シュライベルおよびミハエル・スティーフェルが用いている。
16世紀にロバート・レコードは、square（二次）, cube（三次）, zenzizenzic（四次）, sursolid（五次）, zenzicube（六次）, second sursolid（七次）, zenzizenzizenzic（八次）の語を用いた。4 乗については biquadrate（複二次）の語も用いられた。
歴史的には "involution" が冪の同義語として用いられていたが現在では稀であり、別の意味（対合）で用いられているので混同すべきではない。
冪乗 歴史
冪の肩に書かれる数のことを冪指数と呼ぶが、冪指数を意味する用語として、英語ではしばしば exponent と index が同義語として用いられる。この用語選定は18世紀、19世紀を通じて極めて曖昧で個人の嗜好に委ねられていた。しかし、ガウスは、その著書 Disquisitiones Arithmeticae において通常の冪指数と数論的な指数を峻別する必要性から exponens は通常の冪指数、index は数論的な指数を表すものとして明確に区別し使い分けて解説に使用しており、この使い分けはディリクレ、デデキント、ヒルベルトを通じて数論の世界での標準となった。
もとをたどれば、1544年にミハエル・スティーフェルがラテン語: "exponens" を造語し、対して1586年にラザルス・シェーナーが数学者ペトルス・ラムスの書籍への補注としてラテン語: "index" を（スティーフェルが exponens と呼んだものと同じものを指す意味で）用いたのがそれぞれの語源と考えられる。exponent と index はこれらの英語翻訳であり、例えば index はサミュエル・ジークが1696年に導入した。
冪乗 歴史
exponent と index の微妙な使い分けと併用の時代はここから始まり、その併用のされ方は国と時代だけでなく個人によっても異なった。イギリスは当初 index が優勢であり、これは聖バーソロミューの大虐殺で殉死したラムスの著作がプロテスタント諸国で非常に人気を集めたからだとの指摘がある。
『冪』の字義は「覆う、覆うもの」であって、『冖』と同音同義である。江戸時代の和算家は「冪」の略字として「巾」を用いていた。
第二次世界大戦後の漢字制限政策のもと、これらの字は常用漢字・当用漢字に含まれず、1950年代以降の学習参考書などの出版物では仮名書きで「べき乗」または「累乗」への書き換えが進められ、結果として初等数学の教科書ではもっぱら「累乗」が用いられた。
「冪集合」、「冪級数」などの高等学校以下で扱われない多くの概念に対しては、「冪」の部分が置き換えられることはなく、例えば「べき乗集合」や「累乗集合」などといった表現はあまり生じていない。
冪乗 定義
実数（または積  の定義された群、より一般には半群）において、元 x と自然数 n に対して
xn を
で定義する（厳密には再帰的に定義する）。
上付きの n が書けない場合には、 x^n という表記を用いることが多い。
この操作を「x の n 乗を取る」などといい、特に n を固定して x を入力とする関数（特に実数 x の函数）と見るときは、冪関数という。
x の 2乗、3乗は特に、それぞれ x の平方 (へいほう、 英: square)、立方 (りっぽう、 英: cube) と呼ばれ、2乗を特に自乗という場合もある。
冪 xn において、x を底（てい、英: base、 基数）と呼び、n を冪数、冪指数または単に指数（しすう、 英: exponent) と呼ぶ。必ずしも冪指数とは限らない添字 n をその基準となる文字 x の右肩に乗せる添字記法を指数表記・冪記法などとよぶ場合もある。
厳密には、x の n 乗冪は
によって再帰的に定義される。
帰納的定義を見れば下のように拡張するのが自然である。
有理数の範囲で2の冪を例に取ると：
ただし、底が 0 の場合は「0 で割れない」などの理由から定義しないか、または 00 については 1 と定義するのが一般的である。
冪乗 定義
自然数 m に対し、x の m 乗根すなわち m 乗して x になるような数 y がただ一つあるならば、その y を x1/m とし、自然数または整数 n に対し
xn/m = (x1/m)n
と定めることによって、x を底とする冪乗の指数を有理数の範囲まで拡張することができる。
このとき、指数法則と呼ばれる下の関係式が成り立つ。
ここで、r と s は、冪が定義できる範囲の有理数である。つまり、x が逆元をもたないなら自然数、逆元はもつが冪根をもたないなら整数、m 乗根をもつが逆元をもたないならば m を分母とする正の有理数、逆元も m 乗根ももつならば m を分母とする有理数である。
x が正の実数ならば、上で制限されていた指数への条件は外れる。
正数ならば任意の自然数 m に対する正の m 乗根  がただ一つ存在するので、正の有理数  に対し
と定めることができる。さらに、x が 0 でなければ逆元が存在するので、指数は有理数全体まで拡張される。
x (>0) の冪は、その指数に関して極限を取ることによって実数上の関数に拡張され、連続関数になる。連続な拡張は一意であり、これを x を底とする指数関数と呼ぶ。
冪乗 定義
複素数 z に対して、函数 exp を級数
で定義する。この級数は任意の複素数 z に対して収束する。特に exp(1) ≕ e は自然対数の底に等しく、任意の実数 x に対して exp(x) = ex（右辺は実数 e の実数 x 乗の意）である（したがって任意の複素数に対して ez ≔ exp(z) とも書かれる）。z ≔ x + iy （x, y は実数）と表すと、
が成り立つ（cis は純虚指数函数）。特に eiy = cos(y) + i⋅sin(y) はオイラーの公式と呼ばれる関係式である。
さらに、この関数の「逆関数」を log と書けば、一般の複素数 w ≠ 0 に対して
と定義される。log が多価関数なので、一般には値が 1 つには定まらない。ただし、w = e の場合には、上の冪級数で定義したほうの意味で用いるのが普通である。
冪乗 性質
以下の一覧表において多重定義の虞を除くため、底は非零実数であるような冪のみを考える。ただし、正の冪のみを考えるならば、底が 0 でも各法則は成り立つ。また以下の一覧において、有理数について分母が奇数あるいは偶数であるというときは、常にその有理数の既約分数表示における分母のことを言っているものとする。
(ar)s = ±ar • s に関して
冪乗 性質
冪指数 r, s の少なくとも一方が無理数であるとき、あるいはこれらの双方が有理数だが r または r  •  s の少なくとも一方の分母が偶数となるときには、a < 0 に対する (ar)s または ar • s は定義されない。それ以外のとき、この両者は定義されて符号の違いを除いて一致する。特に両者は a > 0 ならば任意の実数 r, s に対して一致し、また a ≠ 0 ならば任意の整数 r, s に対して一致する。
a < 0 かつ r, s が整数でない有理数であるときには可能性は二通り考えられ、どちらになるかは r の分子と s の分母の素因数分解が関係する。式 (ar)s = ±ar • s の右辺の符号は何れが正しいのかを知るには a = −1 のときを見れば十分である（与えられた r, s に対して a = −1 のとき正しくなる方の符号をとれば、任意の a < 0 についても成り立つ）。
a < 0 に対して (ar)s = −ar • s が適用されるならば、a ≠ 0 に対して (ar)s = |a|r • s が成り立つ（冪指数が正ならば a = 0 のときも成り立つ）。
冪乗 性質
例えば、((−1)2)1⁄2 = 1 および (−1)2 • 1⁄2 = −1 であるから、a < 0 に対して √a2 = (a2)1⁄2 = −a2 • 1⁄2 = −a, したがって任意の実数 a に対して √a2 = |a| が成り立つ。
正の実数に対する冪および対数に関する等式のいくつかは、複素数冪や複素対数がどのように一価函数として定義されようとも、複素数に対しては成り立たないことが起こる。
等式 log(bx) = x⋅log(b) は b が正の実数で x が実数のときにはいつでも成り立つ。しかし、複素対数の主枝に対して

は反例になる。複素対数のどの枝を用いたかに関わらず、この等式には同様の反例が存在する。（この結果のみを使うものとすれば）

であるとまでしか言えない。
この等式は log を多価函数と考えるときでさえ成り立たない。log(wz) の取り得る値は z⋅log(w) の取り得る値を部分集合として含む。log(w) の主値を Log(w) とし、m, n を任意の整数とすると、両辺の取り得る値は


である。
冪乗 性質
等式 (bc)x = bx⋅cx および (b/c)x = bx/cx は x が実数でさらに b と c が正の実数ならば成り立つ。しかし主枝を用いた計算で

および

が反例として示される。
他方、x が整数のときには任意の非零複素数に対して成り立つ。

複素数冪を多価函数として考えれば、((−1)(−1))1/2 の取り得る値は {1, −1} で、等式は成り立つが {1} = {((−1)(−1))1/2} と言うことは間違っている。
等式 (ex)y = exy は x と y が実数であるときには成り立つが、任意の複素数に対して正しいと仮定すると、Clausen et al. (1827)の発見した任意の整数 n に対して、





を得るが、これは n が 0 でないとき誤りである。
という不合理が生じる。この推論にはいくつも問題がある:
主な誤りは、二行目から三行目に行くときに冪の順番を変えることで選ばれる主値が変わることである。
多価函数の視点から見ると、最初の誤りは更に早く起きている。一行目で暗に e は実数としているにも拘らず、e1+2πin の結果は複素数であり、e + 0i と書いたほうがよい。二行目を実数ではなくこの複素数で置き換えることで、そこでの冪が取れる値を複数持つようになる。二行目から三行目で指数の順番を変えたことも、取りうる値の数に影響を及ぼす。(ez)w ≠ ezw だが、整数 n にわたって多価な意味で (ez)w = e(z+2πin)w としたほうがよい。
冪乗 一般化
冪演算は任意のモノイドにおいて定義できる。モノイドは単位元を持つ半群、すなわち適当な集合 X を台として合成あるいは乗法と呼ばれる二項演算が定義される代数系であって、その乗法が結合法則を満足し、かつ乗法単位元 1X を持つものを言う。モノイドにおける自然数冪は
として帰納的に定義することができる（先の式の右辺（の 1）は X の単位元、後の式の左辺の 1 は自然数の 1 で、当然だがこれらは互いに別のものである）。特に先の式（零乗すること）は「単位元を持つ」ことによって初めて意味を成す規約であることに注意すべきである（空積も参照のこと）。
モノイドの例には群や環（の乗法モノイド）のような数学的に重要な多くの構造が含まれ、またより特定の例として行列環や体の場合について後述する。
正方行列 A に対して A 自身の n 個の積を行列の冪と呼ぶ。また A0 は単位行列に等しいものと定義され、さらに A が可逆ならば A−n ≔ (A−1)n と定義する。
冪乗 一般化
行列の冪は離散力学系の文脈でしばしば現れる。そこでは行列 A は適当な系の状態ベクトル x を次の状態 Ax へ遷移させることを表す。これは例えばマルコフ連鎖の標準的な解釈である。これにより、A2x は二段階後の系の状態であり、以下同様に Anx は n 段階後の系の状態と理解される。つまり行列の冪 An は現在と n 段階後の状態の間の遷移行列であって、行列の冪を計算することはこの力学系の発展を解くことに等しい。便宜上、多くの場合において行列の冪は固有値と固有ベクトルを用いて計算することができる。
行列を離れてより一般の線型作用素にも冪演算は定められる。例えば微分積分学における微分演算 d / dx は函数 f に作用して別の函数 df / dx = f' を与える線型作用素であり、この作用素の n-乗は n-階微分
冪乗 一般化
である。これは線型作用素の離散的な冪の例であるが、作用素の連続的な冪が定義できたほうがよい場面が多く存在する。C0-半群の数学的理論はこのような事情を出発点としている。離散冪指数に対する行列の冪の計算が離散力学系を解くことであったのと同様に、連続冪指数に対する作用素の冪の計算は連続力学系を解くことに等しい。そういった例として熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式あるいはもっとほかの時間発展を含む偏微分方程式を挙げることができる。このような冪演算の特別の場合として、微分演算の非整数乗は分数階微分と呼ばれ、分数階積分とともに、分数階微分積分学の基本演算の一つとなっている。
体は、四則演算が矛盾なく定義されそれらの馴染み深い性質が満足されるような代数的構造である。例えば実数全体は体を成す。複素数の全体、有理数の全体などもそうである。これら馴染み深い例が全て無限集合であるのと異なり、有限個の元しか持たない体も存在する。そのもっとも簡単な例が二元体 F2 = {0,1} で、加法は  0 + 1 = 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 1 + 1 = 0 および乗法は 0  •  0 = 1  •  0 = 0  •  1 = 0, 1  •  1 = 1 で与えられる。
冪乗 一般化
有限体における冪演算は公開鍵暗号に応用を持つ。例えばディフィー・ヘルマン鍵交換は、有限体における冪は計算量的にコストが掛からないのに対し、冪の逆である離散対数は計算量的にコストが掛かるという事実を用いている。
任意の有限体 F は、素数 p がただ一つ存在して、任意の x ∈ F に対して px = 0 が成り立つ（x を p 個加えれば零になる）という性質を持つ。例えば二元体 F2 では p = 2 である。この素数 p はその体の標数と呼ばれる。F を標数 p の体として F の各元を p-乗する写像 f(x) = xp を考える。これは F のフロベニュース自己準同型と呼ばれる。新入生の夢（幼稚な二項定理）とも呼ばれる等式 (x + y)p = xp + yp がこの体においては成り立つため、フロベニュース自己準同型が実際に体の自己準同型を与えるものであることが確認できる。フロベニュース自己準同型は F の素体上のガロワ群の生成元であるため数論において重要である。
冪指数が整数であるような冪演算は抽象代数学における極めて一般の構造に対して定義することができる。
集合 X は乗法的に書かれた冪結合的二項演算を持つもの:
とするとき、任意の x ∈ X と任意の自然数 n に対して冪 xn は、x の n 個のコピーの積を表すものとして
冪乗 一般化
のように帰納的に定義される。これは以下のような性質
を満足する。さらに、考えている演算が両側単位元 1 を持つ:
ならば x0 は任意の x に対して 1 に等しいものと定義する。
さらにまた演算が両側逆元を持ち、なおかつ結合的
ならばマグマ X は群を成す。このとき x の逆元を x−1 と書けば、冪演算に関する通常の規則
はすべて満足される。また（例えばアーベル群のように）乗法演算が可換ならば
も満足される。（アーベル群が通常そうであるように）二項演算を加法的に書くならば、「冪演算は累乗（反復乗法）である」という主張は「乗法は累加（反復加法）である」という主張に引き写され、各指数法則は対応する乗法法則に引き写される。
一つの集合上に複数の冪結合的に項演算が定義されるときには、各演算に関して反復による冪演算を考えることができるから、どれに関する冪かを明示するために上付き添字に反復したい演算を表す記号を併置する方法がよく用いられる。つまり演算 ∗ および # が定義されるとき、x∗n と書けば x ∗ ⋯ ∗ x を意味し、x#n と書けば x # ⋯ # x を意味するという具合である。
冪乗 一般化
上付き添字記法は、特に群論において、共軛変換を表すのにも用いられる（即ち、g, h を適当な群の元として gh = h−1gh）。この共軛変換は指数法則と同様の性質を一部満足するけれども、これはいかなる意味においても反復乗法としての冪演算の例ではない。カンドルはこれら共軛変換の性質が中心的な役割を果たす代数的構造である。
自然数 n と任意の集合 A に対して、式 An はしばしば A の元からなる順序 n-組全体の成す集合を表すのに用いられる。これは An は集合 {0, 1, 2, …, n−1} から集合 A への写像全体の成す集合であると言っても同じことである（n-組 (a0, a1, a2, …, an−1) は i を ai へ送る写像を表す）。
無限基数 κ と集合 A に対しても、記号 Aκ は濃度 κ の集合から A への写像全体の成す集合を表すのに用いられる。基数の冪との区別のために κA と書くこともある。
一般化された冪は、複数の集合上で定義される演算や追加の構造を持つ集合に対しても定義することができる。例えば、線型代数学において勝手な添字集合上でのベクトル空間の直和を考えることができる。つまり Vi をベクトル空間として
冪乗 一般化
を考えるとき、任意の i について Vi = V とすれば得られる直和を冪記法を用いて V⊕N あるいは直和の意味であることが明らかならば単に VN のように書くことができる。ここで再び集合 N を基数 n で取り替えれば Vn を得る（濃度 n を持つ特定の標準的な集合を選ぶことなしに、これは同型を除いてのみ定義される）。V として実数体 R を（それ自身の上のベクトル空間と見て）とれば、n を適当な自然数として線型代数学でもっともよく調べられる実ベクトル空間 Rn を得る。
冪演算の底を集合とするとき、何も断りがなければ冪演算はデカルト積である。複数の集合のデカルト積は n-組を与え、n-組は適当な濃度を持つ集合上で定義された写像として表すことができるのだから、この場合冪 SN は単に N から S への写像全体の成す集合
である。この定義は |SN| = |S||N| が満たされるという意味で基数の冪と整合する。ただし |X| は X の濃度を表す。"2" を集合 {0, 1} として定義すれば |2X| = 2|X| が得られる。ここに 2X は X の冪集合であり、普通は 𝒫(X) などで表される。
デカルト閉圏において、任意の対象に対して別の任意の対象を冪指数とする冪演算を冪対象によって与えることができる。集合の圏における冪対象は配置集合であるから、これはその一般化になっている。考えている圏に始対象 0 が存在するならば、冪対象 00 は任意の終対象 1 に同型である。
集合論では基数や順序数の冪演算も定義される。
基数 κ, λ に対して冪 κλ は基数 λ の任意の集合から基数 κ の任意の集合への写像全体の成す集合の基数を表す。κ, λ がともに有限ならばこれは通常の算術的な（つまり自然数の）冪演算と一致する（たとえば、二元集合から元を取って得られる三つ組全体の成す集合の基数は 8 = 23 で与えられる）。基数の算術において κ0 は常に（特に κ が無限基数や 0 であるときでさえ）1 である。
基数の冪は順序数の冪とは異なる。後者は超限帰納法を含む過程の極限として定義される。
自然数冪が乗法の反復として考えられたことと同様に、冪演算を繰り返す演算というものを定義することもできる。それをまた反復すれば別の演算が定義され、同様に繰り返してハイパー演算の概念を得る。このようにして得られるハイパー演算の列において、次の演算は前の演算に対して急速に増大する。
冪乗 写像の冪の記法に関する注意
写像の冪乗となるべきものとして、写像を表す符牒の直後に整数の上付き添字を添えたとき、それは（反復乗法ではなくて）反復合成冪の意味で用いることがよく行われる。つまり例えば f3(x) は f(f(f(x))) の意味であり、また特に f−1(x) は f の逆写像を意味するのが普通である。反復合成写像はフラクタルや力学系の研究において興味を持たれる。チャールズ・バベッジは写像の平方根 f 1/2(x) を求める問題を研究した最初の人であった。
しかし歴史的経緯により、三角函数の場合には、函数の略号に正の冪指数を添えたときは函数の値に対して冪を取ることを意味する一方で、−1 を冪指数としたときは逆函数を意味するという特別な文法が適用される。つまり、 sin2 x は (sin x)2 を括弧を用いずに略記する方法に過ぎない一方、sin−1 x は逆正弦函数 arcsin x を意味するのである。三角函数の逆数函数は（例えば 1/(sin x) = (sin x)−1 = csc x のように）それぞれ固有の名前と略号が与えられているから、三角函数の逆数の略記法は無用である。同様の規約は対数函数にも適用され、log2 x はふつう (log x)2 の意味であって log log x の意味でない。
冪乗 写像の冪の記法に関する注意
添字付けられた変数を考えるとき、その変数の添字を上付きにする場合があり、それはあたかも冪であるかのような印象を受けるかもしれないが混同するべきではない。これは特にテンソル解析においてベクトル場の座標表示などで現れる。あるいはまた数列の列のような、既にそれ自身添字付けられているような量に対してさらに添字付けを行う場合にもしばしば用いられる。
函数 f の n-階導函数はふつう f(n) と書かれるように、冪記法は冪指数を括弧で囲んで書くこともある。
冪乗 効率的な演算法
コンピュータ上で指数を自然数とする冪乗（累乗）を効率よく行う演算方法としてバイナリ法（二進数法; en:exponentiation by squaring) とも呼ばれる演算方法を示す。
RSA暗号や確率的素数判定法であるフェルマーテストなどでは、巨大な自然数を指数とする累乗を行う。この方法を使うと、指数がいかに巨大であっても高々そのビット数の2倍の回数の乗算で算出することが可能になり、繰り返し掛けるよりも大幅に効率がよくなる。特にRSA暗号やフェルマーテストなどにおいて各演算後に必要となる剰余演算（一般に最も計算時間がかかる）の回数を減らす効果がある。
一般に、コンピュータにとって標準的な（32ビットコンピュータならば約4億までの）自然数や浮動小数点数を底とする場合は下位桁から計算する方式を、前述のような巨大な自然数を底とする場合には上位桁から計算する方式を用いると効率が良い。
バイナリ法では、次の性質を利用する。
例えば (a8)2 = a16 である。したがって、a（すなわち a1）から始めて2乗を繰り返すと次行のとおりになる。
これらの数のうち、適切なものを選んで掛け合わせれば、任意の累乗を速く（すなわち少ない乗算回数で）計算することができる。例えば a43 は、指数法則によって、
冪乗 効率的な演算法
として計算することができる。乗算回数は 8 回で済むので、a を 42 回繰り返し掛け合わせるのに比べて効率が良い。（下図で「→」は乗算を表し、「⇒」は2乗を表す。）
コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。
整数の内部表現が二進法であるコンピュータなら、4. では除算の代わりにシフト演算を用いることができる。
この方式は a が浮動小数点数である場合や、最終結果がレジスタに収まることがわかっている場合に効率が良い。また乗算にモンゴメリ乗算などを用いて冪剰余を計算する場合も、この方式で充分な効率が得られる。
上の方式と同様に、次の性質を使う。
これに性質  を組み合わせると、次の関係が成り立つ。
指数が偶数か奇数かによってこれら二つの式を使い分け、指数を順次約1/2にしていくことができる。例えば  は、
である。そして  も同様に、
である。 はこうなる。
以下同様に、こうなる。
これを逆順にたどり、
として算出できる。（下図で「→」は乗算を表し、「⇒」は2乗を表す。）
2乗した後に a を乗算するか否かは、指数 n を二進表記したときの各ビットが1であるか否かと一致する。
コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。
冪乗 効率的な演算法
指数 n の二進表記を n とし、n の最下位桁を n[0]、最上位桁を n[m]、最下位から数えて k 桁目を n[k] と表記する。
この方式では、4. における乗数が常に a なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくなり、計算時間がかからない。これは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし（RSA暗号のように）冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが a と同程度ならば、この効果はない。
また 4. における乗数が常に a なので、あらかじめ a が定数（2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵共有の生成元 g など）であることがわかっている場合には、4. の乗算を最適化をすることができる。
巨大な自然数の汎用的な冪算ルーチン（a が小さい可能性が高い）や、a が小さかったり定数であることがわかっている場合、冪乗の剰余を計算する場合であってモンゴメリー演算を用いず別途剰余を計算する場合、数を保持するコストが高い場合など、指数を二進表記するコスト以上の効率が得られる場合に選択される。
成東駅
成東駅（なるとうえき）は、千葉県山武市津辺にある、東日本旅客鉄道（JR東日本）の駅である。
成東駅 概要
総武本線を所属線としており、当駅が終点となる東金線を加えた2路線が乗り入れている。
成東駅 駅構造
駅舎に接して単式ホーム1面1線があり、その奥に島式ホーム1面2線がある。さらに単式ホームには切欠きホームがあるため、合わせて2面4線を有する地上駅。互いのホームは跨線橋で連絡し、両端（単式ホーム側と島式ホーム側）はバリアフリー化の一環としてエレベーターが各1基設置されている。この跨線橋は2012年に設置され、以前使われていた跨線橋は撤去された。
成田統括センターの直営駅であり、管理駅として日向駅 - 八日市場駅間の各駅を管理している。駅舎内にはみどりの窓口、自動改札機が設置されている。改札口横に待合室がある。
2008年（平成20年）3月に駅舎の一部改装が終了し、待合室がリニューアルされ、自動ドアが設置された。また、かつての売店「KIOSK」は、コンビニエンスストア「NEWDAYS」に業態変更された。
成東駅 駅構造
トイレは改札内外双方から入れる構造で、いずれも多機能トイレを併設した男女別で浄化槽による水洗式である。多機能トイレは当初改札外のみの設置だったことの名残で、改札内の通常のトイレには「多機能トイレ利用時は駅係員へお申し出ください」との但し書きが多機能トイレ増設後も撤去されずに残存していたが、現在は撤去されている。また、跨線橋のエレベーター付近には駅係員用のものと思われる仮設トイレが設置されている。現在のトイレが整備される前は、改札内外双方から入れる構造で男女共用の汲取り式であった。
（出典：JR東日本:駅構内図）
成東駅 利用状況
2024年（令和6年）度の1日平均乗車人員は2,554人である。
近年の1日平均乗車人員の推移は下記の通り。
成東駅 駅周辺
当駅から東金駅までの国道126号線沿いにはかなりの数の大型商業施設（ロードサイド店舗）・中型店舗・小型店舗が立ち並び、商業圏を成している。休日はそれら目当てに訪れる買い物客も多い。
成東駅 バス路線
山武市基幹バス・京成バス千葉イースト（成東営業所）が運行する路線が発着する。
1番のりば
2番のりば
3番のりば
無番のりば
京成バス千葉イーストが運行する路線（主に高速バス）が発着する。
成東駅 隣の駅
※特急「しおさい」の隣の停車駅は列車記事を参照。
東日本旅客鉄道（JR東日本）
■総武本線
■快速（上り1本のみ運転）
八街駅 ← 成東駅
■普通（各駅停車）
日向駅 - 成東駅 - 松尾駅
■東金線（外房線・京葉線直通含む）
求名駅 - 成東駅
患者
患者（かんじゃ）とは、なんらかの健康上の問題のため、医師ないし歯科医師や専門の医療関係者の診断や治療、助言を受け、（広義な意での）医療サービスの対価を払う立場にある人。
英語で patient というところから、医療現場では、診療録などに Pt.(Pa.)という略記されることもある。
患者 病院と患者
病院の患者には外来患者と入院患者がある。
外来患者のうち最初に新患として来院する患者を初診患者といい、その後治療のため継続的に来院する患者を再診患者という。一連の治療を終えて来院しなくなり、次に患った疾病により来院したときは再び初診患者となる。初診と再診の合計（外来患者数）に占める初診（初診患者数）の割合を初診率という。
入院患者の来院するルートには外来経由、救急経由、紹介経由の3つのパターンがある。外来経由は外来に通院していた患者の容体が悪化して検査目的または治療目的で入院するものをいう。救急経由は救急外来に直接あるいは救急車で到着しそのまま入院するものをいう。紹介経由は連携先の病院からの紹介で入院するものをいう。
隠語
隠語（いんご、Jargon、cloak）とは、ある特定の専門家や仲間内だけで通じる言葉や言い回しや専門用語のこと。外部に秘密がもれないようにしたり、仲間意識を高めたりするために使われる。
隠語とは仲間内でのみ通用することを目的にした語である。暗語（あんご）、集団語（しゅうだんご）などともいう。
もともと特定の集団においては、細かな微妙な内容を効率的に表現するため、専門家の間では専門用語、特定の業界人の間では業界用語が用いられる。
「隠語」は英語ではsecret word、cant、jargon、secret languageなどと訳される。ただし、厳密にはジャーゴン (jargon) は客観的に専門家や業界人など限られた人間にしかわからない語をいい、回りくどい説明をしなくても特定の概念を表現することを目的としているのに対し、「隠語」はあえて仲間内にのみ通用することを目的として用いられる語であるとして、違いが指摘される。
隠語には次のような機能がある。
また、隠語には言葉遊びの性質もある。
隠語は内容がわかるか否かで内部と外部を分け、わからない人間は疎外感を味わうこともあるため、隠語は一般的には品位を伴うものとはみなされていない。
隠語 日本語の隠語の例
流通業や小売業などで使われる符丁（符牒）なども隠語の一種と考えられる。百貨店などの対面販売を重視する店舗では、顧客を尊重し不快な思いをさせないよう、「食事休憩」「トイレ」などの店員同士の会話・連絡の際に、各店舗ごとに異なる符丁でその事を伝える風習がある。また、得意客を一般客から区別するために特別な呼称を用い、これがある種のステータスともなり半ば伝統化している例もある。
犯罪者や警察官などが、集団外の人間に話している内容が知られては困る場合にわざと使う用語もこれに含まれる。法曹関係者、建設業従事者、芸能界関係者、マスメディア関係者、風俗業関係者などの間で用いられる、一般人には理解できないような言い回しなどもこれに入る。
医師や看護師などの医療関係者の場合、患者と家族の前で仕事を行うことになるため、あえて部外者には分からない言い回しを使うことによって、仕事を行いやすくする目的もある。
などがある。
日本の警察の場合「マル＋漢字1文字」で表す隠語がよく使われることが知られている。
など。
そのほか、短く略す「公妨（公務執行妨害）」などのように想像が付きやすい隠語もあるが、「ナシ割り（遺留品捜索）」「エス弾（煙状催涙ガス弾）」「ノビ（家宅侵入）」など一般人にはわかりにくい隠語もある。
隠語 日本語の隠語の例
業務無線では「通話コード」と呼ばれる、特定語に対応させた3桁の数字や3文字のアルファベットを用いて通信を行なう団体もある。
寄席芸人の隠語として「カゼ（扇子）」「マンダラ（手拭い）」「タロ（給料、金銭）」「タレ（女性）」「キン（観客）」「ドサ（田舎）」などがある。
客室乗務員の隠語では「UUU」というものがある。同じ便に乗り組む同僚に、注文の多い乗客についての注意喚起をするもので「Urusai」（うるさい）の3回繰り返しの頭字語。
旧日本海軍にも数多くの隠語が存在しており、
などの主に士官間で通じる士官用語や、
などの下士官・兵の間で用いられた用語、
などの共通用語があった。なお、旧海軍の事実上の後継者であり、慣習なども受け継いでいる海上自衛隊ではこれら隠語はあまり使用されていないようである。
鉄道でもJRを通じて全国で広く使われている隠語や各社で異なる隠語が存在する。「ラッチ（改札の鋏入れ）」「ナキヤ（アナウンス係）」「マグロ（轢死体）」など。電報略号から発生した略称もある。
相撲界、プロレス界では、「ちゃんこ（食事）」「金星（美女）」「お米（金）」「ごっつあんです（ありがとうございます）」「ガチンコ（真剣勝負）」「タニマチ（スポンサー、支援者）」など。大相撲隠語一覧も参照。
隠語 海外における隠語
インターネットでの言論を厳しく監視・規制している中国では、当局の検閲対象である「敏感詞」を回避するため隠語が生み出され、その隠語が新たに規制されるいたちごっこが続いている。隠語の例としては「デモ」→「散歩」、「習近平」→「くまのプーさん」「ジャイアン」、六四天安門事件関連におけるほぼ全ての隠語などがある。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト (ACM International Collegiate Programming Contest、略称:ACM-ICPCまたは単にICPC) は、コンピュータープログラミングにおける勝ち抜き型のコンテストである。世界中の大学を対象として毎年開催されている。このコンテストはIBMにスポンサーとして協力を受けている。Executive DirectorのWilliam B. Poucher (大会本部であるベイラー大学に教授として在籍) のもと、ACMの後援によって六大州の各地で自律的に運営が行われている。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト 歴史
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト (ICPC) は1970年にテキサスA&M大学で開催されたコンテストがその始まりである。この年のコンテストはUpsilon Pi Epsilon Computer Science Honor Society (UPE) のAlpha Chapterが主催した。1977年にACM Computer Science Conferenceと併設して最初の決勝大会が行われ、この時から現在のような勝ち抜き型のコンテストとなった。
1977年から1989年の間は、主にアメリカ合衆国とカナダのチームを対象にして開催されていた。1989年からベイラー大学が大会本部となり、世界中の大学コミュニティの手で地区大会 (Regionals) が実施されるようになった。ACMの後援のもとで多くの企業のサポートを得て、2005年には84カ国からの参加がある世界的なコンテストに成長した。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト 歴史
1997年にIBMがスポンサーとなってから、コンテストの参加者は飛躍的に増大した。1997年の大会には560大学から840チームが、2007年には1,821大学から6,700チームが参加した。参加チーム数は毎年10-20%の割合で増え続けており、今後もさらに大規模になるだろうと考えられている。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテストにおいて、世界大会 (ACM-ICPC World Finals) がその決勝戦である。歴史を振り返ると、世界各地の最高の開催地で4日間にわたるイベントが開催されている。このイベントで、Upsilon Pi Epsilonが全地区大会の優勝チームを表彰する。近年 (2009年時点) では、世界大会の優勝チームは自分たちの国の首脳から表彰を受け、毎年行われるACM Awards Ceremonyでも表彰されている。
日本では、国内で初めてとなるアジア地区予選大会が1998年に早稲田大学をホストとして東京で開催された。これ以降、会場を変えながら、日本国内でも毎年アジア地区予選が開催されている。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト 歴史
日本では国内での初開催以来、アジア地区予選大会に参加するチーム数を制限するため、アジア地区予選大会の前にインターネットを通して国内予選が行われている。例年、この国内予選で優秀な成績をおさめたチーム (近年は、上位に入った2大学の最上位チームであることが多い) は、日本以外で開催されるアジア地区予選大会へ金銭的な支援を受けて派遣される権利を得る。
2000年に筑波大学をホストとして開催されたアジア地区予選つくば大会では、国内予選への参加が88チーム、アジア地区予選への参加が34チームであった。2010年には、国内予選への参加が67大学287チーム、アジア地区予選大会への参加が30大学35チーム (国内予選に参加していない6チームの海外チームを含む) となっている。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト コンテストのルール
ICPCはチーム戦であり、それぞれのチームは3人の学生から構成される。参加者は、国内予選前の時点で大学入学から5年(4月入学で1-3月生まれの場合は6年)に満たない大学生でなければならない。過去に世界大会に2年出場、もしくは地区予選大会に5年出場した学生は再び参加する権利を失う。
コンテストの間、チームは5時間で8-12問 (典型的には10問) のプログラミングの問題を解く。与えられた問題を解く順番は不問である。選手は回答のプログラムをC、C++、Javaのいずれかで書いて提出しなければならない。提出すると、プログラムはテストデータを入力として実行される。このテストデータは、コンテスト中は公開されない。プログラムが不正に終了した場合や、正しい解を出すことができなかった場合は選手にその旨が伝えられ、選手は何度でも回答プログラムを修正し、提出することができる。各問題ごとに規定された実行時間内にプログラムが実行を完了しなかった場合は、不正解の扱いとなる。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト コンテストのルール
最も多くの問題を正解したチームが勝者となる。メダルや賞を与えるために引き分けのチームに順位をつける必要がある場合、コンテスト開始時から各問題に正解を提出した時点までの経過時間に最終的に正解した問題について不正解の提出ごとに20分が加算され、その総和によってチームの順位が決定される。
例えば2つのチームRedとBlueがそれぞれ2問を正解して引き分けとなっている状況を考える。チームRedは、コンテストの開始から1:00後と2:45後に、それぞれ問題AとBに解答を提出した。このチームは問題Cに対して不正解の通知を受けたが、最終的に問題Cを正解していないため、これは無視された。チームBlueは、コンテスト開始からそれぞれ1:20後と2:00後に、それぞれ問題AとCに解答を提出した。このチームは問題Cに対して1回不正解の通知を受けた。このとき、チームRedの総時間は1:00+2:45=3:45と、チームBlueの総時間は1:20+2:00+0:20=3:40となる。最終的にチームBlueの勝利となる。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト コンテストのルール
他のプログラミングコンテスト (例えば国際情報オリンピック) と比較して、ICPCの特徴は問題数が多いこと (ちょうど5時間で8問以上) である。他の特徴として、チームには3人の学生がいるにもかかわらず、各チーム1台しかコンピュータを使うことができないということがある。このことが時間のプレッシャーをより大きなものにしている。勝つためには良いチームワークとプレッシャーに耐える能力が必要である。
日本におけるアジア地区予選大会のルールは、基本的にはコンテスト全体で定められている上記のルールと同様である。1998年-2003年のアジア地区予選大会では問題数が8問だったが、2004年-2006年は9問、2007-2011年は10問で行われている。国内予選は3時間の制限時間で行われ、2003年までは5問、2004年-2009年は6問、2010-2011年は7問用意されている。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト 地区予選と世界大会 (進出ルール)
このコンテストはいくつかの段階で構成される。多くの大学では地区予選レベルの大会に参加するチームを決定するためのローカルコンテストを開催する。それから大学（の代表チーム）が地区予選大会に参加し、競技を行う。地区予選大会の勝者が世界大会に進出する。ある1つの大学から複数のチームが地区予選大会に参加することはできるが、世界大会には1つの大学から1つのチームしか参加することができない。各地区予選大会から、最低でも1チームが世界大会に進出する。多くのチームが参加する地区予選大会からは、複数のチームが世界大会に進出することがある。 (1つの巨大な地区予選大会から6チームものチームが出場することも時々ある)
1人の選手は世界大会に2回までしか参加することができない。
巨大な地区予選大会では、大学ごとのローカルコンテストと地区予選大会の間に小地区予選大会 (もしくは予選大会) を開くことがある。
2006年時点では、アジア地区からの世界大会進出チーム決定のルールが毎年のように変更されており、大きく揺れ動いている。
日本で開催される地区予選大会から世界大会へ進出するチームの決定は、基本的にアジア地区全体のルールに則って行われる。
ACM国際大学対抗プログラミングコンテスト 過去の大会
2024年時点で、世界大会に進出した日本の大学とその回数は、東京大学22回、京都大学19回、東京工業大学9回、筑波大学5回、会津大学4回、埼玉大学2回、電気通信大学2回、早稲田大学2回、慶應義塾大学2回、大阪大学2回である。このうち、日本チームの過去最高成績は、コロナ禍に行われた 2020 年の Invitational 大会の 1 位、オンサイト大会では 2013, 2015, 2019, 2021年の東京大学チームの3位である。世界大会が日本で開催されるのは2007年が初となる。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン
ディズニーリゾートライン（Disney Resort Line）は、舞浜リゾートラインが運営するモノレール路線である。千葉県浦安市の東京ディズニーリゾート（TDR）内を運行している。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 概要
東日本旅客鉄道（JR東日本）京葉線舞浜駅とTDR内の各施設を連絡して入園客を輸送することを目的とする。路線は単線で環状となっており、反時計回りに進む列車のみ運行されている。1周の所要時間は約13分で、駅間の所要時間はベイサイド・ステーション駅 - 東京ディズニーシー・ステーション駅間が約4分、それ以外の区間は約2 - 3分である。
全駅のすべての出入口が舞浜リゾートラインの親会社でTDRの経営・運営を統括するオリエンタルランド（OLC）の所有地内にあり、公道とは直接接続されていない。
他のTDR構成施設と同様に従業員のことを「キャスト」と呼称しており、駅員を「ステーションキャスト」、車掌を「コンダクター」、運転士を「ドライバー」と呼称している。本項では以下この呼称を使用する。
アトラクションと捉えられる場合も多いが、TDRの園内鉄道である「ウエスタンリバー鉄道」や「ディズニーシー・エレクトリックレールウェイ」と異なり、公道上空を通過する箇所があり、鉄道事業法に基づいた公共交通機関である。このため、東京ディズニーランドと東京ディズニーシーが休園していても運行される。駅と路線は全てパーク外の入園料を払わなくても出入りできるエリアにあり、時刻表の路線図に掲載されている。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 概要
駅間最高速度（所要時間）
リゾートゲートウェイ・ステーション駅 - 東京ディズニーランド・ステーション駅間：29 km/h（約2分）
東京ディズニーランド・ステーション駅 - ベイサイド・ステーション駅間：50 km/h（約3分）
ベイサイド・ステーション駅 - 東京ディズニーシー・ステーション駅間：40 – 50 km/hの間で区間により変動（約4分）
東京ディズニーシー・ステーション駅 - リゾートゲートウェイ・ステーション駅間：40 km/h（約3分）
実際の運転は、路面の速度制限の数字に従って運転する（大阪モノレールなどと同じ運転方法）。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 沿革
2007年（平成19年）
2月9日 - 国土交通省関東運輸局に運賃改定の認可申請が行われた。申請内容は、普通旅客運賃（大人）を200円から250円に50円値上げするというもの。沿線の集客施設であった「東京ベイNKホール」の閉鎖や、オフィシャルホテルが従業員の通勤用に特定輸送バスの運行を開始したこと、東京ディズニーシーへの来園客の大幅減少やアクセスの多様化に伴い輸送人員の減少が著しく進んでいること、昨今の海外情勢から警戒警備などの安全対策を強化しなければならないことなどから、現行運賃の25%値上げを国土交通大臣に申請した。
4月1日 - 2月9日の申請内容の通り、開業以来初の運賃改定を実施（2007年3月9日認可）。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運行形態
通常時は全列車において自動運転が行われ、環状の単線を反時計回りで運行する。そのため通常運転時にドライバーは乗務しないが、ドア扱い・安全監視・案内などを担当するコンダクターが乗務し、完全な無人運転とはしていない（IEC・JISが定める自動化レベル「GoA3」〈添乗員付き自動運転、DTO〉に該当）。
全ての駅にホームゲートが設置されているほか、車両のドアとホームゲートには戸先センサーが取り付けられており、閉まりかけたゲートに物などが触れると一旦開き、再び閉扉動作をする（3回この動作を繰り返すと、そのゲートは開放状態になる）仕組みになっており、列車は出発できないよう安全なシステムを取り入れている。また、各駅のホームには一部時間帯を除いて必ずステーションキャストが配置されており、列車到着時のホームにおける安全監視を行っている。列車到着時に柵やホームゲートに寄りかかっているとステーションキャストから離れるよう注意を受けたりするなど、運転士がいないことに加え、車掌の側面からの目視では安全性を確認するのが難しい路線構造をもつ特殊な運行形態から厳重な安全対策をとっている。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運行形態
自動運転であるものの、運転台は両側の先頭車に設置されており、時計回り側（営業運転時の最後尾）は車掌室内に、反時計回り側（営業運転時の先頭車両）は、通常はクロスシートとして乗客に開放している。この座席の前には、マスコンハンドルや計器類がカバーの中に収められている。マスコンは左手ワンハンドルタイプで加速5段、減速7段。信号は0,5,18,29,40,45,50の7段階である（いずれも速度の単位はkm/h）。
両先頭車の運転台とも、ATOの故障・地震などの突発事態発生時や車庫内での車両転線時にドライバーにより手動運転するため設置されている（車庫の入庫も通常は運転台は使わず、自動運転で行う）。また、通常の営業運転時にも訓練として反時計回り側の運転台を使用して手動運転が行われる場合がある。その際はドライバーの安全を確保するため最先頭クロスシート部は乗客が入れないようにロープが張られる（ただし、これは訓練運転時の対応であり、突発事態発生による手動運転時に同様の対応になるとは限らない）。運転間隔に余裕が取れる時などにはキャスト訓練用の試運転列車を走らせることもある。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運行形態
各駅のコンコースに掲示してある時刻表は、6時台と23時台の時刻以外は掲示がなく、発車案内も列車の運転間隔のみを表示する。法令の規定により運転間隔を定めたダイヤグラムは存在するが、混雑状況に応じて随時運行パターンを変更するための措置である。最大で4編成が同時に運行され、3分15秒間隔の時は4編成、4分20秒間隔の時は3編成、6分30秒間隔の時は2編成、13分間隔の時は1編成が環状線上で運転している。なお、駅に掲示されている時刻表は閑散期（1 - 2月）のもので、それ以外の期間は始発・終電の時刻は掲示よりもそれぞれ30分程度繰り上げ、繰り下げされる。また、大晦日は東京ディズニーランド・東京ディズニーシーの双方でカウントダウンイベント・オールナイト営業を行うため、終夜運転を実施する。
環状運転が基本だが、一部に東京ディズニーシー・ステーション駅止まりの列車があり、これらの列車は到着後車庫に入庫する。東京ディズニーシー・ステーション駅止まり列車の入庫回送時には、コンダクターのいない完全な無人運転となる。また、最終列車の終点はリゾートゲートウェイ・ステーション駅となる。逆に車庫から出庫する列車はすべて同駅始発となる。
前述の東京ディズニーシー・ステーション駅およびリゾートゲートウェイ・ステーション駅は、混雑防止のため、乗車用ホームと降車用ホームが分離されている。乗車用ホームはどちらも進行方向の右側に設置されており、ドアは乗車用・降車用が交互に開く仕組みになっている。
なお、本路線において列車のことを「ライナー」と呼ぶ。また、運行車両については「リゾートライナー」（a resort liner）と呼んでいる。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運賃・乗車券
運賃は、開業時から2007年3月31日まではおとな（中学生以上）200円・こども（小学生）100円、2007年4月1日から2014年3月31日まではおとな250円・こども130円、2014年4月1日から2024年3月15日まではおとな260円・こども130円、2024年3月16日以降はおとな300円・こども150円の均一運賃である。乗車券の印字は金額式で「…円区間」となっている。これは下記の他の乗車券類も同様である。幼児（小学生未満）はおとな・こどもに同伴の場合、1名につき2名まで無料、乳児（1才未満）も無料である。2024年3月16日に運賃改定が行われ、同日以降はおとな300円・こども150円となった。
2009年3月14日からは、ICカード「PASMO」（相互利用しているSuicaも含む）が利用できるようになった。また2013年3月23日から開始された交通系ICカードの全国相互利用にも対応している。
普通乗車券では1周を超えての重複乗車はできず、入場から1時間が経過すると出場の際自動改札機の扉が閉まる仕組みになっている（券面には「重複乗車不可」と記載されている）。開業当初は「普通乗車券での重複乗車はご遠慮ください」という車内アナウンスも行われていた。また、券面には表示されていないが他の鉄道事業者と同様に途中下車をした場合は前途無効となる。
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運賃・乗車券
2025年7月28日より、二次元コードを使用した乗車券や定期券を導入した。これに伴い、従来の磁気券は2026年7月をもって全廃する予定である。
パスネット
舞浜リゾートラインは開業当初からパスネットに参加しており、「ディズニーリゾートライン・カード」という名称で販売していた。自動券売機で販売されていたカードについては以前は販売駅ごとにデザインが異なっていたが、後期には単一絵柄に統一されていた。
2007年3月18日、パスネットとバス共通カード導入事業者は東日本旅客鉄道（JR東日本）などの「Suica」と相互利用ができるICカード「PASMO」を導入したが、舞浜リゾートラインはPASMO協議会には当初より参加していたもののPASMO導入に慎重な姿勢をとっていたことから、千葉都市モノレールや関東鉄道とともに導入が遅れたため（2009年3月14日より利用開始）、カード自体は2008年1月10日をもって販売を終了したものの、同年3月14日のPASMO事業者の自動改札機の利用停止以降もPASMO導入前日の2009年3月13日までの間はディズニーリゾートラインに限り、自動改札機にてパスネットを利用することが可能であった。
定期券
舞浜リゾートラインディズニーリゾートライン 運賃・乗車券
通勤定期券は1か月9,000円・3か月25,650円・6か月48,600円、通学定期券は1か月5,400円・3か月15,390円・6か月29,160円となっている（2024年3月16日改定）。通勤および通学定期券の需要は非常に少ないながらベイサイド・ステーション駅周辺の東京ディズニーリゾート・オフィシャルホテルで勤務する旅客や実務実習を受けるホテル専門学校の生徒などに利用されている。定期券類は、リゾートゲートウェイ・ステーション駅の乗車券センターで販売している。なお、前述の通り、2009年3月14日よりPASMOを導入したが、PASMO定期券の取り扱いを行う予定はない。
回数券
均一制で、11枚綴り2,600円（こども半額、有効期間3か月）で発売していたが、2024年3月15日をもって普通回数乗車券・割引回数乗車券ともに発売を終了した。
障害者割引乗車券
障害者割引乗車券は、通常運賃から5割引となっている。販売はリゾートゲートウェイ・ステーション駅の乗車券センターで障害者手帳（精神障害者保健福祉手帳含む）または療育手帳、手帳情報が内蔵されたスマートフォンアプリ（ミライロIDなど）を提示するか、または各駅の自動券売機でインターホンによる購入意思表示の後に購入、その後改札に障害者手帳または療育手帳、アプリなどを提示する形態となっている。