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高橋是清 人物
是清は生まれて間もなく里子に出されたため、実母との関係は薄かった。安政3年（1856年）頃、3歳の是清は養父母の高橋覚治・文とともに赤坂の氷川神社を参拝した際、偶然にも実母・きんと再会した。きんと文はもともと知人であったため挨拶を交わした。このとききんは18歳。背は高くなく、ややふくよかで丸顔、眉目秀麗で髪を髷に結い、一見24-25歳にも見えたという。生母は久々の対面に懐かしさと喜びで目を潤ませ、幼い是清のそばを離れようとしなかった。やがて涙ながらに別れを惜しみつつ、その場を去った。この邂逅が是清と実母・きんの最初で最後の対面となった 。
是清が3-4歳のころ、仙台藩中屋敷北東の通用門近くにある稲荷の祠で子供たちと遊んでいた。ある日、伊達慶邦の奥方が参詣するとの知らせがあり、一同は祠から立ち退かされた。奥方が拝殿で礼拝すると、是清が神殿の裏から現れ、「おばさん、いいべべだ」と声をかけた。周囲は驚いたが奥方は「どこの子だか、かわいい子だね」と笑い、頭を撫でた。女中は「高橋の子です」と答えた。奥方に付き従っていたその女中は、のちに是清の師となる鈴木諦之助の妻であった。その後、奥方の命で是清が再び屋敷に呼ばれ、参殿すると叱責どころか多くの品を与えられた。この出来事は屋敷内で評判となり、人々は「高橋の子は幸せ者よ」と羨んだ。
高橋是清 人物
ブラウン家で奴隷的な身分の使用人として働いていた頃、同じく使用人仲間であった中国人のフイと、仕事の分担をめぐって激しい口論となった。是清は逃げるフイに対して鉞を投げつけるほどの勢いで、互いに殺気を帯びたという。是清は日本を発つ際、「恥をかいた時に切腹せよ」と祖母から渡された短刀を帯びており、これでやっつけようとしたがフイもまた小さな斧を懐に忍ばせていた。一触即発の状況となったが、のちに主人のブラウンに双方が悪いと諭され、事態は収まった 。
是清には日銀副総裁時代「アンパン」というあだ名があったが、その由来には諸説がある。一説には、是清は大の健啖家であり、かつて天ぷら10人前・飯4人前・ざる蕎麦22枚を平らげたうえ、さらにアンパンを50銭分も食べたことがあり、これがあだ名の由来とされたという。また別の説では、是清が大のアンパン好きであり、アンパンを見ると涎を垂らすほど好んだため、その名が付いたとも言われる。さらに、彼と親交のあった人物によれば、是清のふくよかな体つきが前後左右どの角度から見てもアンパンのようだったことから、その容姿にちなみ「アンパン」と呼ばれるようになったとも伝えられている 。
高橋是清 家族・親族
是清の生家川村家は代々狩野派の絵師で八世庄右衛門守房の代になっては、江戸本丸の御屏風係を務め、芝の露月町（ろげつちょう）に屋敷を構えていた。是清の実父庄右衛門はでっぷり太った、性格の明るい、非常に責任感の強い人だったらしく、職務に精励したので、のちに身一代三人扶持にとりあげられている。明治維新後は深川閻魔堂橋側に団子店をだした。是清の生母きんは、やがて浜松町の塩物屋に嫁いで女の子を生んだが、二十四歳で死んだという。
高橋是清 著作
（三笠書房、1936年、小冊子版、1938年／皇文社、1938年）
高橋是清 紙幣の肖像
かつて発行された日本の紙幣（日本銀行券）では、戦後の1951年（昭和26年）に発行が開始されたB五拾円券に肖像として採用されている（肖像画は是清の孫が所有していた写真を元にしており、服装を燕尾服から一般的な背広に差し替えたもの）。
発散定理
発散定理（はっさんていり、英語: divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。
ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。
発散定理 発見
1762年にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見され、その後カール・フリードリヒ・ガウス（1813年）、ジョージ・グリーン（1825年）、ミハイル・オストログラツキー（1831年）によって、それぞれ独立に再発見された。オストログラツキーは、またこの定理に最初の証明を与えた人物でもある。
発散定理 定理の内容
数式を用いて述べると次のようになる。まず、R3 で定義された滑らかなベクトル場  に対して F の発散 div F を
と定義する。発散は∇(ナブラ;nabla)を用いると,
と表され,ベクトルの内積(ドット積)となる.
V を R3 において滑らか（ここでは C1 級でよい）な境界 ∂V をもつ有界な領域（= 連結開集合）とし、F を V の閉包で定義されている滑らかなベクトル場とすると、
が成り立つ。ここで、n は V の外向き単位法ベクトルとする。なお、定理が成り立つためには ∂V が区分的に C1 級であれば十分である。
この定理は div という演算が発散（あるいは湧出量）と呼ばれる所以でもある。右辺はベクトル場が領域 V の表面から流出する量であり、それが左辺の表す領域全体でのベクトル場の発散の値の積分に等しいことを表している。
この定理は、一般的なストークスの定理から導くことができる。
発散定理 一般化されたストークスの定理との対応
発散定理は、以下のように一般化されたストークスの定理において、2次微分形式のωを考えた場合に相当する。
ここでωは
であり、その外微分は次式で与えられる。
発散定理 応用
発散定理を電磁気学に応用して、電荷から湧き出す電場についてのガウスの法則を数学的に記述できる（⇒マクスウェルの方程式）。
積分形表現
微分形表現（静電場のガウスの発散定理）
Transistor–transistor logic
Transistor-transistor-logic (TTL) はバイポーラトランジスタと抵抗器で構成されるデジタル回路の一種。論理ゲート段（例えばANDゲート）と増幅段のどちらの機能もトランジスタを使って実装しているので、（RTLやDTLとの対比で）このように呼ばれている。
半導体を用いた論理回路の代表的なもののひとつであり、通常+5V単一電源のモノリシック集積回路 (IC) ファミリとして、コンピュータ、産業用制御機械、測定機器、家電製品、シンセサイザーなど様々な用途で使われている。TTLという略称は、TTL互換の論理レベルの意味で使われることもあり、TTL ICとは直接関係ないところでも使われている。例えば電子機器の入出力のラベルなどに表示することがある。
Transistor–transistor logic
DTLの改良品であり、さまざまなメーカーによってICが製造されているが、1970年代にテキサス・インスツルメンツ社（以下 TI, Texas Instruments）の汎用ロジックICファミリ（7400シリーズ）が広く普及して業界標準となった。標準シリーズから、高速版、低消費電力版、高速・低消費電力版などのバリエーションを広げ、初期のマイクロプロセッサの応用の広がりとともにさらに普及した。しかし、バイポーラトランジスタを使うため、低消費電力化・高集積化・低電圧化には向かず、CMOS技術の発達に伴いデジタルICの主力の座をCMOSに譲った。
Transistor–transistor logic 歴史
1961年、TRWの James L. Buie が「新たに開発する集積回路の設計技術に特に適した」ものとして発明。当初は transistor-coupled transistor logic (TCTL) と名付けられていた。最初に製品化されたTTLのICチップは、1963年にシルヴァニア・エレクトリック・プロダクツ が製造したもので Sylvania Universal High-Level Logic family (SUHL) と名付けられた。シルバニア製の電子部品はフェニックス・ミサイルの制御に使われた。TIが軍用規格（動作を保証する温度範囲が広い）の5400シリーズICを1964年に発売し、民生用規格でパッケージもプラスチックにした7400シリーズICを1966年に発売すると、TTLは電子システム設計で広く使われるようになっていった。
Transistor–transistor logic 歴史
TIの7400ファミリは業界標準となった。モトローラ、AMD、フェアチャイルド、インテル、インターシル、シグネティクス、ムラード、シーメンス、SGS-Thomson、ナショナル セミコンダクターといった半導体企業が7400ファミリ互換のICを製造した。単に互換TTL部品を各社が製造しただけではなく、他の回路技術を使った互換部品も製造された。ただしIBMは他とは互換性のないTTL部品を製造し、社内でSystem/38、IBM 4300、IBM 3081といった製品に使用していた。なお、54シリーズと74シリーズの中間的な位置付けの製品として、64シリーズも存在し、数年間は製造されたがその後廃止となっている。
Transistor–transistor logic 歴史
"TTL" という略称はバイポーラ汎用ロジックICのその後の世代にも約20年にわたって使われ続け、速度や消費電力が改善されていった。最近のロジックICファミリである 74AS/ALS（アドバンストショットキー）は1985年に登場した。2008年時点でも、TIは様々な古い技術の汎用ロジックICを供給し続けているが、価格は以前より高くなっている。一般にTTLロジックICは数百個以上のトランジスタを集積していない。チップ当たりに搭載される機能は、数個の論理ゲートからビットスライス式のマイクロプロセッサの範囲である。TTLの重要な特徴はその低価格さであり、そのためにそれまでアナログ回路で実現していた機能が次々とデジタル化されていった。
パーソナルコンピュータの先祖の1つとされる Kenbak-1 はCPUをTTLで構成したもので、1971年当時マイクロプロセッサはまだ入手できなかった。1973年の Xerox Alto と1981年の Star ワークステーションはGUIを導入したことで知られているが、ALUやビットスライス単位のTTLチップを使って構成されていた。1990年代まで、多くのコンピュータはLSIの間をTTL互換ロジックで接続するという形で構成されていた。プログラマブルロジックデバイスなどが登場するまで、TTLに代表されるバイポーラ・ロジックICは開発中のマイクロアーキテクチャのプロトタイピングとエミュレーションに使われていた。
Transistor–transistor logic 実装
TTLはDTL (Diode-transistor logic) を自然に発展させたもので、基本概念は共通である。DTLで入力ダイオードで構成している論理ゲート部分をマルチエミッタ・トランジスタのベース-エミッタ接合を使って実現している。IC上のこの構造は、複数のトランジスタのベースとコレクタをまとめるように接続したのと同等である。単純なTTL論理ゲートの出力はDTLと同様にエミッタ接地回路で増幅される。
全入力にHI電圧 (1) が印加されると、マルチエミッタ・トランジスタのベース-エミッタ接合部に逆バイアスがかかる。このトランジスタは逆方向アクティブモードにあるため（コレクタとエミッタが逆転した状態）、DTLとは対照的に入力から小さい（約10μA）コレクタ電流が流れる。ベース抵抗と供給電圧の組み合わせは実質的に定電流源として機能する。マルチエミッタ・トランジスタのベース-コレクタ接合を通して電流が流れ、出力トランジスタのベース-エミッタ接合がONになる。したがって出力電圧は LO (0) になる。
Transistor–transistor logic 実装
一方の入力電圧がLO (0) になると、対応するマルチエミッタ・トランジスタのベース-エミッタ接合は2つの直列の接合部（マルチエミッタ・トランジスタのベース-コレクタ接合部と後段のトランジスタのベース-エミッタ接合部）と並列に繋がる。すると入力のベース-エミッタ接合部は出力トランジスタのベース電流を入力ソース（接地）に流れ込ませる。出力トランジスタのベース電流が遮断されることでスイッチが切れた状態になり、出力電圧はHI (1) になる。遷移の間、入力トランジスタはほぼアクティブ領域にある。そのため出力トランジスタのベース電流の大部分を流れなくし、素早くベースの電位を下げる。TTLがDTLに比べて優れているのは、このようにダイオードを使った入力段よりも高速に遷移する点である。
出力段の単純なTTLの短所は、出力がHI (1) のときの出力抵抗が高く、その値が完全に出力トランジスタのコレクタ抵抗で決まる点である。そのために接続可能な入力数（ファン・アウト）が制限される。単純な出力段の長所として、出力に負荷が接続されていないときに出力の "1" に対応する電圧が高い（VCC に近い）という点が挙げられる。
Transistor–transistor logic 実装
この種のロジックは出力トランジスタのコレクタ抵抗を省略し、オープンコレクタ出力とすることが多い。そうすると、いくつかの論理ゲートの出力を接続して外部に1つのプルアップ抵抗を用意するという設計が可能となり、ワイヤードANDまたはワイヤードORにすることができる。例えば 7401 や 7403 がそのような構成である。
単純な出力段では出力抵抗が高いという問題を解決するには、「トーテムポール」出力（プッシュプル出力）段を追加する。右図のように2つのNPNトランジスタ V3 と V4、ダイオード V5、電流を制限する抵抗器 R3 で構成される。入力がLOのときの電流の制御の考え方がこの構成でも適用されている。
Transistor–transistor logic 実装
V2 がオフのとき V4 もオフとなり、V3 がアクティブ状態となってコレクタ接地回路として働き、HI電圧 (1) が出力される。V2 がオンのとき V4 もオンとなり、出力はLO電圧 (0) となる。V2 と V4 のコレクタ-エミッタ接合は、直列の V3 のベース-エミッタ と V5 のアノード-カソード接合をV4 のベース-エミッタ接合と並列接続する。すると V3 のベース電流が流れなくなり、このトランジスタはオフになって出力に影響を与えなくなる。この遷移の際に抵抗器 R3 が直列接続されているトランジスタ V3 とダイオード V5、さらにトランジスタ V4 に流れる電流を制限する。また、出力電圧がHI (1) のときの出力電流も制限し、接地との短絡接続のときの出力電流も制限する。プルアップ抵抗とプルダウン抵抗を出力段から排除することで、消費電力を増大させずにゲートを強化できる。
トーテムポール出力段付きTTLの最大の利点は、HI (1) 出力の際の低出力抵抗である。その値はコレクタ接地回路として動作している上段の出力トランジスタ V3 によって決まる。抵抗器 R3 は V3 のコレクタに接続されており、負帰還によってその影響が補償されるため、出力抵抗にはほとんど影響しない。欠点は出力に負荷が接続されていない場合でも出力のHI電圧が低くなる（3.5V以下）という点である。これは、V3 のベース-エミッタ間と V5 のアノード-カソード間で電圧降下があるためである。
Transistor–transistor logic インタフェース
論理レベルを0にするには入力に向かって電流が流れなければいけないため、DTLと同様にTTLは「電流シンク・ロジック」といわれる。入力電圧がLOのとき、TTLの入力ソース電流は前段に流れ込むので、そちらで吸収されなければならない。この電流の最大値は基本的TTLゲートで約1.6mAである。入力ソースは、こうして流れ込む電流が無視できるレベル（0.8V未満）の電圧しか発生しないよう抵抗値を小さく（500Ω未満）する必要がある。推奨されない使い方だが、使わない入力を常に論理値 "1" にしておくためにどこにも接続しないままにしておくことがある。
Transistor–transistor logic インタフェース
標準TTL回路の電源電圧は5ボルトである。TTLの入力信号は接地に対して0Vから0.8VのときLOと定義され、2.2Vから5VのときHIと定義される（正確な電圧はロジックの種類や温度によっても異なる）。TTLの出力の電圧範囲はそれよりも狭く、0Vから0.4VがLO、2.6Vから5VがHIとなっていて、それぞれ0.4Vのノイズのための余裕がある。TTLの電圧レベルの規格化により、回路基板上に様々なメーカーのTTLチップが混在することが当たり前となった。同じ製品でも製造日が違えば異なるメーカーのTTLチップを使うことがあった。製造後何年も経った回路基板の修理に新たに製造された同型のTTLチップを使うことが可能である。電気的特性が広く統一されていたため、相性などを考慮する必要がなく、理想的な論理デバイスとして扱えた。
TTL論理ゲートの出力をCMOSゲートの入力に使用する場合など、トーテムポール出力段の論理レベル "1" の電圧を VCC に高めるために、出力ピンと VCC の間に外部抵抗器をはさんで接続することがある。ただしこのようにするとトーテムポール型の出力を単純な基本的TTL出力に戻していることになり、大きな出力抵抗が生じる。
Transistor–transistor logic パッケージ
1965年から1990年にかけての多くの集積回路と同様にTTLデバイスはスルーホール実装用にパッケージされた14ピンから24ピンのDIPが一般的だった。エポキシ樹脂製 (PDIP) が一般的だが、セラミック製 (CDIP) もある。大規模なハイブリッドIC向けにパッケージされていないビームリードつきのチップダイスも作られている。軍用や航空宇宙用には表面実装パッケージの一種であるフラットパック (en) でパッケージされている。今ではTTL互換デバイスの多くは表面実装型のパッケージであり、様々な種類がある。
TTLは全ての入力が1つのベース領域上に形成されるマルチエミッタ・トランジスタになっているため、構造的に集積回路に向いている。個別部品でTTL回路を構成しようとするとコストが高くつくが、ICで実装すると逆にコストが下がる。
Transistor–transistor logic 他の汎用ロジックICファミリとの比較
TTLデバイスは一般に等価なCMOSデバイスに比べて消費電力が大きいが、CMOSデバイスがクロック周波数を上げると消費電力が大きくなるのに対して、TTLではそれほど増加しない。ECLに比べると消費電力が少なく設計も容易だが、スイッチング性能は低い。性能と経済性を両立させるためにTTLとECLを混在させてシステムを構築することもあったが、両ファミリの間にレベルを変換するデバイスを必要とした。初期のCMOSデバイスは静電気の放電に対してTTLより弱かった。
TTLデバイスの出力構造により、出力インピーダンスがHI状態とLO状態で異なるため、伝送線の駆動には不向きである。そのため、ケーブルなどで信号を送る際には伝送線駆動のための専用デバイスで出力をバッファリングするのが一般的である。ECLは出力インピーダンスが対称的であり、このような欠点がない。
Transistor–transistor logic 他の汎用ロジックICファミリとの比較
トーテムポール構造の出力段の場合、上下のトランジスタが同時にONになる瞬間が存在し、電源からの電流がかなりのパルスとなって流れる。このパルスがIC間で影響を及ぼしあい、結果としてノイズマージンが低下し性能も低下する。TTLシステムでは1つか2つのICパッケージ毎にバイパスコンデンサを配置するのが一般的で、それによって電流パルスが他のチップの電源電圧を瞬間的に低下させないようにしている。
いくつかの製造業者は、TTL互換の入出力レベルのCMOSロジックICを販売しており、ピン配置などもTTLと合わせていることが多い。例えば74HCTシリーズはCMOSテクノロジーを使い、バイポーラの74シリーズの部品と置換可能である。
Transistor–transistor logic 派生品
技術の進歩により、互換性を保ちながらスイッチング速度や消費電力を改良した部品が生まれた。各ベンダーはそれらをショットキーバリアダイオード付きのTTLとして製品化したが、例えばLSファミリなどの回路構成は実際にはDTLに近い。
標準TTLファミリでは、ゲート遅延が10ns、電力消費がゲート当たり10mWで、電力遅延積（PD積）またはスイッチングエネルギーが約100pJである。その派生および後継のファミリとしては次のものがある。
多くの製造業者が動作温度範囲が民生用のものとより広範囲な軍事用のものを製品化している。54シリーズはMIL規格、74シリーズは一般用の品質保証規格で製造販売される民生用である。例えば、TIの74シリーズは0℃から75℃までとされているが、54シリーズは-55℃から+125℃までとなっている。軍事用や航空宇宙用に特に品質を高めた高信頼部品もある。放射線耐性を高めたものもある。
基準とされる電圧レベル
Transistor–transistor logic 用途
VLSIが登場するまで、TTLのICチップを使ってミニコンピュータやメインフレームのプロセッサを構築するのが標準的技法だった。例えば、DECの初期のVAXやデータゼネラルのEclipseがそのような構成である。他にも数値制御の工作機械、プリンター、ビデオディスプレイ端末などで使われている。マイクロプロセッサが広まるとTTLは「グルーロジック」として重要になり、マザーボード上でVLSIで実装された機能ブロック間を繋ぐ役割を担うようになった。
元々はデジタル信号を扱うよう設計されているが、TTLのインバータはアナログ増幅器としても使える。出力と入力の間を抵抗器で繋ぐと、負帰還増幅回路として機能する。アナログ信号をデジタルに変換する場合などに使われるが、単にアナログの増幅を行う用途ではTTLインバータを使うことはない。TTLインバータは水晶振動子の信号増幅にも使われる。
楕円曲線暗号
楕円曲線暗号（だえんきょくせんあんごう、Elliptic Curve Cryptography、ECC）とは、楕円曲線上の離散対数問題 (EC-DLP) の困難性を安全性の根拠とする暗号。1985年頃にビクター・S・ミラーとニール・コブリッツが各々発明した。
具体的な暗号方式の名前ではなく、楕円曲線を利用した暗号方式の総称である。DSAを楕円曲線上で定義した楕円曲線DSA (ECDSA)、ディフィー・ヘルマン鍵共有（DH鍵共有）を楕円化した楕円曲線ディフィー・ヘルマン鍵共有 (ECDH) などがある。公開鍵暗号が多い。
EC-DLPを解く準指数関数時間アルゴリズムがまだ見つかっていないため、それが見つかるまでの間は、RSA暗号などと比べて、同レベルの安全性をより短い鍵で実現でき、処理速度も速いことをメリットとして、ポストRSA暗号として注目されている。ただしP=NPが成立した場合、EC-DLPを多項式時間で解くアルゴリズムが存在するということになり、ECCの安全性は崩壊する（公開鍵暗号自体が崩壊）。また、送信者が暗号化時に適当な乱数（公開鍵とは違うモノ）を使うので鍵が同じでも平文と暗号文の関係が1対1でない点にも注意（ElGamal暗号でも同様）。
一部の楕円曲線には、DLPを解く多項式時間アルゴリズムが見つかっているため、注意が必要である。
楕円曲線暗号 歴史
暗号理論に楕円曲線を利用しようというアイディアは、1985年にニール・コブリッツ と ビクター・S・ミラー によって独立に提案された。楕円曲線暗号は、2004～2005年ごろから広く使用されるようになっている。
楕円曲線暗号 理論
実平面  上の点を  で表した場合、 上で定義される楕円曲線  (ワイエルシュトラスの標準形)では、 上の点に接弦法(またはバシェ(Bachet)の方法)
と呼ばれる加法的な2項演算により加群の構造を与えることができる(零元は通常は  方向の無限遠点(0,∞)と定義される。これを  で表す)。
楕円曲線暗号で扱う楕円曲線とは、 上の有理点を、ある素数  で還元した有限体  上の離散的楕円曲線  であり、還元によって上記の加群の構造は  上の加群の構造に写される。
楕円曲線 上の異なる2点を とする場合、その接弦法の加法を  で表すことにすると、これは以下の式で計算される。
まず、 である。すなわち、無限遠点  が零元であると定義する。
もし  ならば、 であると定義する。このとき  を  と書き、  の逆元と呼ぶことにする。
であるから、 の逆元は  自身である。これは通常の加群の零元の条件を満たしている。
それ以外の場合、 は、2点  を通る直線と  との（ および  と異なる）交点の、y座標の符号を反転したものであると定義する。つまり  と置けば、次のように計算される。


ただし  は
上の方法で定義された2項演算は加法として必要な次の性質を備えている。
楕円曲線暗号 理論
楕円曲線上の点  に対し、さらに を加算する場合、つまり  を求める場合、上記の方法は使えない(上記の方法で2点が重なっている場合であり、この点を通る直線の傾きが決まらないため)。
この場合、まず  のときは、 である。また、 である。
それ以外の場合は、 は、 での  の接線が  自身と交わる（ とは異なる）交点の、座標の符号を反転したものである。すなわち  と置けば、次のように計算される。


この式は異なる二点の加算の場合と同じであるが、 の計算式が次のように変わる。
スカラー倍算（Scalar Multiplication）は楕円曲線上における掛け算である。楕円曲線上の点と点を掛けるのではなく、点に整数（スカラー）を掛けることに注意。
上のある点 を始点として、これに順次  自身を  回加算して得られる点を で表すことにする。この操作は  に  を  回加算することと同じである。 に  を  回加算すればが得られる。
このようにして、上の点と整数の掛け算が定義できる。この操作をスカラー倍算（Scalar Multiplication）と呼ぶことにする。
を始点として、加法により生成される点列(つまり全ての整数についてののスカラー倍算の集合)は、 上の巡回群を作っている(これを と表すことにする)。
楕円曲線暗号 理論
楕円曲線のパラメーター  が有理数の場合、2つの有理点( が共に有理数の点)を加算して得られる点はやはり有理点である。つまり、 上の全ての有理点の集合＋無限遠点  を  と表すと、 は加法について  の部分加群を成している。また、 上のある有理点を始点として加法により生成される  上の点列は、 上の全ての点が成す加群の部分加群(巡回群)を成している。さらに始点が整点( が共に整数の点)でない場合、この巡回群の位数は無限大である(Nagell-Lutzの定理)。
また、 全体が成す加群は、有限個の始点が生成する巡回群の直和になることが知られている(モーデルの定理)。
楕円曲線暗号で扱う楕円曲線とは、ある素数 p について、以下で説明する楕円曲線  を p で還元した有限体  上の離散的楕円曲線であり、これを  と表すことにする(無限遠点  も含む。誤解の恐れがないので無限遠点は  または  のものと同じ記号を使うことにする。)。以下、順を追って説明する。
楕円曲線暗号 理論
0以外の全ての有理数は、2つの整数 u、v (u、vは互いに素な整数であり、v > 0)の分数 u/v の形で一意的に表すことができる(素因数分解の一意性による)。この形式を正規化された分数と呼ぶことにする(分数 0/1 を 0 の正規化された分数と見なすことにする)。正規化された分数 u/v の 分母 v が p を因数として含まない場合、u/v を p進整数 (または p-整数)と呼ぶ。全てのp進整数の集合を  とすれば、これは 有理数体  の部分環を成しており、p進整数環と呼ばれる。 p進整数環  から有限体  上への写像  を、次のように定義する。

ただし、 は  の元  の  における逆元とする。 の 0 以外の任意の元  の  における逆元  は常に存在し、フェルマーの小定理から  であるから、 によって計算できる。
は環  から 有限体  への環準同型写像であり、  上の加法、乗法、逆元は  上の加法、乗法、逆元に写される。特に  における除算は、 では逆元を乗ずる操作に写される。 の像が体であるから、その核は環  の極大イデアルであり、これは単項イデアル  に一致する。
有理数体 上の楕円曲線  を  上に制限したものを  と表すことにする(無限遠点  は含むものとにする)。
楕円曲線暗号 理論
の素数 p による還元とは、 に、次に定義する  から  への写像  を作用させることであるとする。
は  の性質から、 上の接弦法による加法を  上の加法に矛盾なく写す。つまり は楕円曲線上の加法に関する準同型写像を成している。
上で定義された楕円曲線  ( はp進整数) を素数  で還元した離散的楕円曲線  は  上では次の式で定義される。
ただし、 は  の元であり、  とする。このようにして定義された離散的楕円曲線は、グラフにすれば最早曲線ではなく、離散した点の集まりにしか見えない(ただし分布は直線  に対して対称である)。
上述のにおける接弦法の加法の計算式は、では または  による除法が、  における逆元  または  による乗法に置き換えられ、全体としては次のように書き換えられる。
を上の任意の2点とする。
の場合、。
それ以外の場合、 と置けば、
ただし  は  の場合、
の場合、
前述のように、 の 0 以外の任意の元  の  における逆元  は、フェルマーの小定理から計算できる。
なお、前述のように、 上においては、始点が整点でない巡回加群の位数は無限大であるが、楕円曲線  の  による像である  上の楕円曲線  は有限集合であり、当然位数も有限となる。
楕円曲線暗号 理論
楕円曲線  上のある点  から、 を計算していくと、次々と異なる（楕円曲線上の）点が得られるが、上述のように  は有限集合であるから、この点列はいずれは無限遠点  に到達する（ただし楕円曲線によってはそのようなGはG=Oしか無い事もある）。その後は、 と繰り返される。このように  からスカラー倍算によって得られる点の集合を  と書くことにすると、 は巡回群となる。  は巡回群の位数と呼ばれ、 を生成する元  はベースポイントと呼ばれる。
上の全ての点の個数を  とすれば、これは高々  個(無限遠点  を含む)であり、位数  はこれより小さくなるが、楕円曲線のパラメーター に依存し、実際の値はSchoofのアルゴリズムまたはその改良版などを用いて計算しないと分からない(  の値の範囲については、ハッセの定理という手掛かりがある)。 が素数の場合、巡回群  の全ての元は  の生成元であり、それらの位数は全て  になる。
楕円曲線暗号 理論
で定義される値  はコファクターと呼ばれるが、この値は必ず 1 より大きくなり、実用上はなるべく 1 に近いことが望ましいとされる。  の取り方によっては、 とすることが可能である(後述の secp256k1 では、 である)。 の場合、 上の点は、ほぼ全て  の元であるので、ベースポイントを見つけることは容易になる。モーデルの定理が示唆するように  以外の場合も可能であり、 となる実用的楕円曲線の仕様もある。
楕円曲線暗号においては、巡回群の位数  が小さければ、次に説明する離散対数問題やディフィー・ヘルマン問題が比較的容易に解けてしまうため、セキュリティ強度(後述)を強くするためには、 がなるべく大きな素数となるように、パラメーター  を決定する必要がある。これは、多数のパラメーターの候補について、Schoofのアルゴリズムまたはその改良版などを用いて実際に  を計算するという試行錯誤により行われる。
楕円曲線のパラメーターの一例として、ビットコインで使われている楕円曲線暗号である secp256k1 のものを示す。
楕円曲線暗号 理論
= FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFE FFFFFC2F


 = 79BE667E F9DCBBAC 55A06295 CE870B07 029BFCDB 2DCE28D9 59F2815B 16F81798
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 = 1
巡回群  の任意の要素（楕円曲線上の点） に対し、 を満たす  が  の中に常にただ一つ存在する。このような  を  の離散対数と呼ぶ。また、 から無作為に選ばれた  を与えられ、その離散対数を求めよという問題を、楕円曲線上の離散対数問題(EC-DLP) と呼ぶ。 と  の対応は1対1であり、 から  を計算することは比較的容易だが、 から  を計算することは実質的に不可能である。つまり  と  の対応は一方向性関数になっている。この性質を利用して、 を秘密鍵とし、 を公開鍵としたデジタル署名アルゴリズムが実用化されている(楕円曲線DSA (ECDSA))。
楕円曲線暗号 理論
これの応用問題として、2者 A、B がそれぞれ秘密鍵  を保持し、これから生成された公開鍵   () をそれぞれ公開しており、A、B は互いに相手の秘密鍵の値は知らない場合を考える。A は、公開されている  に自分が保持している  をスカラー倍すれば  の値を得られるし、B は同様に、 に  をスカラー倍すれば  の値を得られる。では  の両方の値を知らない第三者 C は  および  の値のみから  の値を得る方法はあるかというのが 楕円曲線上のディフィー・ヘルマン問題 と呼ばれる問題である。現在のところ解法としては、 または  についての離散対数問題を解く以外の方法は知られておらず、この問題を一方向性関数として使用することが可能である。つまり  を A、B のみが知る共通鍵として使用可能である(ディフィー・ヘルマン鍵共有)。
暗号化・復号の過程において、（ は楕円曲線上の点）というスカラー倍算を行う。
ナイーヴな実装としては  というように Pを  回加算（1回目は2倍算となる）するが、これでは効率が悪い。
スカラー倍算はRSA暗号などにおけるべき乗剰余演算とリンクしており、これの高速化手法もそれから流用できるものが多い。例えば、そのひとつとして有名なBinary法では、dを2進数表記し、dの各ビット  が "0" の場合は2倍算のみを行い、"1" の場合は2倍算と加算を行うことにより、ナイーブな実装と同じ計算をより高速に行なっている。この計算手法では、2倍算はべき乗剰余演算における自乗算、加算は掛け算にそれぞれ対応している。
この演算は楕円曲線暗号の根幹を成している部分であり、楕円曲線暗号を利用する際の時間の大半を占めている。ゆえに、ICカードなどハードウェア上に演算回路を実装する場合はサイドチャネル攻撃（特にSPA、DPA）のターゲットとなる箇所なので工夫が必要となる。
楕円曲線暗号 安全性と攻撃手法
セキュリティ強度(セキュリティ・レベル)は暗号の破られにくさを表す1つの指標(単位はビット)であり、セキュリティ強度が  (ビット)であるとは、攻撃者が暗号から鍵(あるいは平文)を解読するために必要な単位操作の回数が  回程度であることを表している
。例えば 共通鍵暗号である AES-128 (鍵長 128 ビット) は、攻撃者が必要な単位操作の回数が  回になるように設計されている(つまり、全ての鍵について総当たり攻撃(Brute-force attack)を行わないと解読できないように設計されている。この場合はセキュリティ強度＝鍵長となる)。一方、RSA暗号の場合、これと同等のセキュリティ強度を得るには約 3072 ビットの鍵長が必要になる(つまり何らかの冗長性を利用して、攻撃者は必要な単位操作の回数を節約することが可能なことを意味している)。
楕円曲線暗号 安全性と攻撃手法
離散対数問題(DLP)は、残念ながら総当たり攻撃によらなくても解読できることが分かっている。例えば、ポラード・ロー離散対数アルゴリズムを用いて離散対数を計算するのに必要な単位操作回数(この場合は楕円加算回数)はおよそ  回である。従って、離散対数問題(およびそれと同等なディフィー・ヘルマン問題)のセキュリティ強度  は、鍵長を  とした場合、 であるから、概略  となる。つまり鍵長 256 ビットの楕円曲線暗号(secp256k1 など) は、鍵長 128 ビットのAESと同程度のセキュリティ強度を有するということになる。この  という離散対数問題のセキュリティ強度の特性は、ワイエルシュトラスの標準形ではないエドワーズ曲線などの楕円曲線(Curve448、Curve25519など)を用いた場合も同様である。
アメリカ国立標準技術研究所(NIST)は、セキュリティ強度が 112 ビットの暗号は、2030年まで社会的な用途で使用を許容されるが、2031年以降はセキュリティ強度が 128 ビット以上の暗号のみが許容可能であると勧告している。
楕円曲線暗号 安全性と攻撃手法
また、前述のように、一部の「anomalous な楕円曲線」と呼ばれる  上の離散的楕円曲線では、離散対数問題を解く多項式時間アルゴリズムが見つかっている。anomalous な楕円曲線とは、ある素数 p について  を満たす、かなり特殊な楕円曲線であり、この上の離散対数問題を  回程度の単位操作回数で解くアルゴリズムが提案されている。anomalous な楕円曲線の特徴  は簡単に確認できるので、サボタージュなどの意図で故意に使用されない限り、セキュリティ上の脅威となることは今のところは無いと考えられる。
楕円曲線上で楕円加算 P + Q  を行う場合、加算(P ≠ Q)と2倍算(P = Q)では演算プロセスが大きく異なる。そのため、サイドチャネル攻撃（例えば、タイミング攻撃や単純電力解析/差分電力解析）への対策（例えば  など）が必要である。あるいは、ツイステッドエドワーズ曲線を使うこともできる。この曲線は、加算と2倍算を同じ演算プロセスで実行できる特別な楕円曲線の族である。
楕円曲線暗号 安全性と攻撃手法
離散対数問題を効率的に解くことのできるショアのアルゴリズムは、楕円曲線暗号の解読にも利用できる。256ビットの法を持つ楕円曲線暗号（128ビット安全）を破るためには、2330量子ビット、1,260億トフォリゲートのリソースを持つ量子コンピュータが必要であると見積もられている。
一方、アメリカ国立標準技術研究所の勧告（NIST SP 800-57）によりこれと同等のセキュリティレベルとされる3072ビット鍵のRSA暗号を破るためには、6146量子ビット、18.6兆トフォリゲートが必要であり、量子コンピュータにとっては、RSA暗号に比べ楕円曲線暗号は攻撃しやすいといえる。いずれにせよ、これらのリソースは現在実存する量子コンピュータのリソースをはるかに超えており、このようなコンピュータの構築は10年以上先になると見られている。
同種写像暗号は、楕円曲線の同種写像を用いた暗号方式であり、量子コンピュータに対して耐性がある（耐量子）と考えられている。同種写像暗号の例としてディフィー・ヘルマン鍵共有と同様に鍵共有を行うSIDHがある。従来の楕円曲線暗号と同じ体の演算を多く使用し、必要な計算量や通信量は現在使用されている多くの公開鍵システムと同程度である。
武蔵小杉駅
武蔵小杉駅（むさしこすぎえき）は、神奈川県川崎市中原区にある、東日本旅客鉄道（JR東日本）・東急電鉄の駅。
南武線と東急電鉄の駅は小杉町三丁目に、横須賀線の駅は新丸子東三丁目に、それぞれ所在する。
武蔵小杉駅 乗り入れ路線
当駅にはJR東日本と東急電鉄の2社が乗り入れ、接続駅としての役割も果たしている。
JR東日本の駅には、南武線、横須賀線、湘南新宿ライン、相鉄線直通列車の4系統が乗り入れる。スリーレターコード「MKG」が設定されている。
横須賀線、湘南新宿ライン、相鉄線直通列車は線路名称上は東海道本線の支線で「品鶴線」の通称を持つ。上野東京ライン及び東京駅発着の東海道線列車は当駅を経由せず、「東海道（本）線」の名称も新宿方面からの湘南新宿ライン東海道線直通列車を除き使用されない。横須賀線・湘南新宿ラインのホーム（3・4番線）開業までは南武線のみの駅であったため、現在も同線を所属線区としている。また、横浜支社の管内となっており、品鶴線西大井方の多摩川橋梁の横浜側堤防上には首都圏本部との境界が存在する。なお、品鶴線を経由する特急列車として、東海道本線方面の特急「踊り子・サフィール踊り子」の新宿方面発着列車と、成田空港への連絡列車である特急「成田エクスプレス」の横浜または大船発着列車が停車する。
武蔵小杉駅 乗り入れ路線
相鉄線直通列車：新宿駅より当駅まで湘南新宿ラインと同一の線路を使用し、当駅から東海道本線貨物支線を経て羽沢横浜国大駅まで走る。横須賀線・湘南新宿ラインの停車駅である新川崎駅は通過となる。羽沢横浜国大駅より相鉄新横浜線を経由し相鉄本線へ直通する。相鉄本線からの直通列車で、新宿駅方面に向かう列車は「埼京線直通」と案内され、朝の一部の列車については大宮駅から川越線へ直通する。
東急の乗り入れ路線は、線路名称上は東横線のみであるが、2000年に複々線化され目黒線の列車も停車するようになり、東横線の列車とは案内上は区別されている。
以下、本記事では特に必要がない限り、旅客案内上の名称を使用して解説する。
武蔵小杉駅 歴史
貨物列車専用であった品鶴線に横須賀線の列車が走るようになった後も、品鶴線の線路には長らくホームが設置されていなかったが、2005年4月4日、川崎市とJR東日本は横須賀線武蔵小杉駅設置に関して基本合意した。
なお事業開始前の1987年（昭和62年）には沿線自治体の商工会議所・商工会で組織された「南武線沿線地域振興連絡協議会」が、横須賀線と並行している東海道新幹線（JR東海）へのホーム設置を求めており、また2004年（平成16年）1月31日に開かれた第5回川崎市総合計画市民会議では横須賀線だけでなく新幹線にもホームを設置することが提言されたが、その後神奈川東部方面線（東急新横浜線）の事業化もあり、着手に至っていない。
駅構造 - 島式ホーム1面2線の高架駅となる。ホームは横須賀線の下り線路を外側に移設して確保した空間に新設する（隣接のNEC玉川事業場の土地を駅敷地として一部譲受）。ホームの長さは310メートル。並行して敷設されている東海道新幹線の線路は現状維持となる。また、新川崎寄りのホーム側に新改札口（新南改札）と駅前広場が建設される（従来の南武線側の改札口は「北改札」となる）。
武蔵小杉駅 歴史
連絡通路 - 南武線の駅からは東に離れた場所に位置しているため、同線の駅から線路に沿って西大井寄りのホーム先端付近につなげた。全長250メートル。また、通路は高架式および地下式タイプではなく地平レベルとなることから、途中の綱島街道の道路下と東海道新幹線の線路下をくぐり抜けて階段、動くスロープ、エレベーターが設置される構造となる。この通路は仮開業から1年後の2011年春季の完成予定となっていたが、東北地方太平洋沖地震（東日本大震災）の影響により延期となり、同年6月25日からの供用開始となった。
駅開業時から約1年程は暫定通路での連絡だったため、本設通路完成時までは暫定措置として改札外連絡も可能だった。この場合、新南改札と北改札（一部）のオレンジ色にラッピングされた自動改札機から出場し、30分以内にもう一方の改札から入場する必要があり、これを超えた場合は下車扱いとなっていた。本設通路の完成によりこの取り扱いは終了となり、自動改札機のオレンジ色のラッピングも撤去された。
開業時の横須賀線の乗降人員は、他線からの乗り換えも含めて一日あたり約7万人程度を見込んでいたが、初年度の乗車人員は4万人程度であった。
武蔵小杉駅 歴史
グラウンド前駅の由来は、駅前に横浜正金銀行のグラウンドがあったためである。このグラウンドはその後、同行の後身である東京銀行が使用していたが、東京三菱銀行を経て三菱UFJ銀行となった際は資産整理のため閉鎖された。跡地はしばらく有料駐車場となったあと、三井不動産グループの手で開発された高層マンション「パークシティ武蔵小杉（ミッドスカイタワー、ステーションフォレストタワー）」が2009年に竣工した。
工業都市駅の由来は、駅周辺に工場が多く立地してきたため、その最寄り駅として設置されたことによるものである。東京横浜電鉄の分譲地「田園都市」の対になるものでもある。東急バスの「東横線小杉駅」バス停留所は長らく「工業都市」を名乗っていた。なお、東京横浜電鉄と南武鉄道はお互い関係会社という位置づけでありながら実際は競合し反目していた間柄であったため、その交点に駅が設置されることはなかった。
武蔵小杉駅 駅構造
JR東日本と東急の駅は改札内での相互往来はできず、改札を出て連絡通路を経由する。なお、かつてJRと東急のホームを連絡する中間改札口が設置されていたが、東急側の駅改築にあたり廃止された。
JR東日本の駅は、北改札に北口・西口・東口があり、綱島街道改札と新南改札にそれぞれ1か所ずつ出入口が存在する。また、東急の駅には正面口・南口・東急スクエア連絡口があり、このうち正面口は正面口1（JR東日本の橋上コンコースに接続）、正面口2（東口駅前広場に接続）、正面口3（東急スクエアに接続）に分かれる。
南武線ホームは相対式ホーム2面2線を有する地上駅で、橋上駅舎を有している。また、横須賀線・湘南新宿ライン・相鉄線直通列車のホーム（以下、横須賀線ホーム）は方向別単式ホーム2面2線を有する高架駅である。川崎統括センターの直営駅（管理駅）で南武線の向河原駅 - 鹿島田駅までの各駅と、横須賀線新川崎駅を管理する。
北改札にみどりの窓口があり、指定席券売機は北改札のみどりの窓口と新南改札や綱島街道改札の自動券売機に併設している。以前は北改札にびゅうプラザがあったが、2017年4月に閉鎖されている。
武蔵小杉駅 駅構造
エスカレーターとエレベーターは、改札内とホームを結ぶもの、改札外と西口・北口を結ぶものがある。また、南武線ホームと横須賀線ホームを結ぶ連絡通路上には動く歩道が設けられている。オストメイト対応の多機能トイレもそれぞれの路線の改札内に設置されている。
東海道本線の品川駅 - 川崎駅 - 横浜駅間が不通になった場合、通常は川崎駅に停車する東海道線の列車が品鶴線経由となり、当駅に臨時停車することがある。
横須賀線ホーム開設以来、特に朝ラッシュ時の混雑が激しくなっていることから、新南改札の向かい（新川崎寄り）に朝ラッシュ時のみ使用可能な入場専用臨時改札の開設、北改札 - 横須賀線ホーム間の連絡通路を兼ねている2番線ホームを1メートル拡幅する工事をそれぞれ行い、2018年春に併用開始している。また更なる混雑緩和の為、横須賀線新3番線ホーム（下りホーム）の増設工事を行い、方向別2面2線のホームとしたうえで、南武線北側からの改札口を新設する工事が進められ、新3番線ホームについては2022年12月18日に、新設改札口の綱島街道改札は2023年12月24日に、それぞれ供用開始された。
武蔵小杉駅 駅構造
なお、新南改札（臨時入場口）には改札係員は常駐しないほか、綱島街道改札にはお客さまサポートコールシステムが導入されており、一部時間帯を除き遠隔対応のため改札係員は不在となる。また、綱島街道改札の利用時間は7時から23時までとなっている。
2014年2月26日から2025年3月14日まで、南武線ホームにおいてJリーグ・川崎フロンターレの応援歌「ナンバーワン野郎!」が発車メロディとして使用されていた。
島式ホーム2面4線を有する高架駅。ホームの外側を東横線、内側を目黒線、それぞれの列車が使用する。
エスカレーター・エレベーター・多目的トイレを併設している。このうちエスカレーターは正面口側が下り専用、南口側が上り専用となっている。
高架化時に際してホーム中央に駅ビルを建設するスペースが確保されていたが、2011年8月に着工した（後述）。
売店（LAWSON+toks）
改札内店舗は3・4番線の上りホームの中央横浜寄りに、改札外店舗はJR連絡改札の正面口札横にそれぞれ設置されている。
売店（toks）
1・2番線の下りホームの中央横浜寄りに設置されている。この売店は通常の商品のほかに鉄道グッズコーナー（おもに東急線グッズ）が併設されている。
武蔵小杉駅 駅構造
かつては東横線のみが乗り入れ、相対式ホーム2面2線を有する築堤上に設けられた高架駅であり、改札口は元住吉寄り（現在の南口）にあったが、新丸子寄りに上りホームから同一平面で南武線の構内跨線橋に連絡する通路があり、中間改札口を介して乗り換えが可能になっていたほか、東横線利用者が南武線改札から乗降（あるいはその逆に南武線利用者が東横線南口で乗降）する場合にも利用されていた。
東横線複々線化工事に伴い、1993年12月16日から改良工事が開始された。1995年7月に下り線を海側の仮ホームに、1996年7月に上り線も海側の仮ホーム（現在の下りホーム位置・仮設ホーム）に移設され、同時に南武線との連絡改札口も廃止された。この時点で島式1面2線のホームとなり、有効長は10両編成分が確保された。ホームが1つとなることから、混雑緩和を目的に上り線と下り線で停車位置を2両分ずらしていた。
2000年8月6日の目黒線開業に伴い、専用の引き上げ線が敷設された。当初は1線のみだったが、2006年9月24日の東横線の当駅 - 日吉駅間の高架化および同年9月25日からの目黒線の急行運転に伴い2線に拡張された。これは元住吉駅高架化前の東横線の本線を使用してそのまま元住吉検車区へとつながっていたため、東横線・目黒線の当駅止まりの列車や当駅始発の出・入庫列車が使用していたが、2008年6月22日の目黒線の日吉延伸時に本線としての使用を開始した。なお、目黒線の日吉駅延伸後や2023年3月に東急新横浜線開業後も元住吉検車区への入・出庫のために引き続き当駅始発・終点の列車が設定されている。
2006年9月25日のダイヤ改正で元住吉駅は南側に移転・高架化された。元住吉駅構内から検車区への出・入庫が不可能となったため、東横線の出・入庫列車は初電と終電を除き従来の元住吉駅始発・終点からすべて当駅発着に変更された。なお、出・入庫時は当駅から目黒線の線路を経て元住吉検車区に通じる車庫線を経由するが、横浜方面はそのほとんどが日吉始発となるため、元住吉検車区に設置されている日吉駅への「下り出庫線」を通る。
武蔵小杉駅 利用状況
JR東日本 - 2024年度（令和6年度）の1日平均乗車人員は113,452人である。
JR東日本管内の駅では柏駅に次いで第26位、神奈川県内では川崎駅に次ぐ第3位である。南武線の駅では川崎駅・立川駅に次いで第3位、横須賀線の駅では横浜駅・東京駅・品川駅・新橋駅に次いで第5位、湘南新宿ラインの駅では新宿駅・池袋駅・横浜駅・渋谷駅・大宮駅・大崎駅・恵比寿駅に次いで第8位である。横須賀線駅開業で大幅に増加した。2016年（平成28年）の首都圏鉄道混雑ランキングで武蔵小杉→西大井はワースト4位であった。
各年度の1日平均乗降人員は下表の通り。
各年度の1日平均乗車人員は下表の通り（目黒線の乗車人員を含む）。
武蔵小杉駅 駅弁
JR東日本側の改札内には崎陽軒の売店が出店し、近隣の武蔵小杉東急スクエア1階にも出店している。主な駅弁は下記の通り。
武蔵小杉駅 バス路線
駅の立地の関係でバス停留所は4か所に分散した設置となっている。JRの北口と横須賀線口、JRの東口・東急の正面口（東口駅前広場）にバスターミナルが、東急の南口にバス停留所があり、川崎市交通局・川崎鶴見臨港バス・東急バスが周辺各方面への路線バスを運行している。停留所は北口（小杉駅前）・南口（東横線小杉駅）・横須賀線口（横須賀線小杉駅）・東口（小杉駅東口）の4か所に設けられているが、東口以外の3か所は互いに500メートル程度離れており、東口はその3か所を結んだ三角形の中央付近に位置する。
Jリーグ・川崎フロンターレの本拠地になっている等々力陸上競技場や川崎市市民ミュージアムのある等々力緑地へのバスも発着する。
川崎市交通局、東急バスが運行する路線バスが発着している。
東急バスが運行する路線バスが発着している。
川崎市交通局、川崎鶴見臨港バス、東急バス、京浜急行バスが運行する路線バスが発着している。
川崎市交通局、川崎鶴見臨港バス、東急バス、京浜急行バスが運行する路線バスが発着している。
武蔵小杉駅 隣の駅
※東日本旅客鉄道（JR東日本）の特急「成田エクスプレス」「踊り子・サフィール踊り子」の隣の停車駅は、各列車記事を参照のこと。
東日本旅客鉄道（JR東日本）
南武線
■快速
鹿島田駅（JN 04）- 武蔵小杉駅（JN 07）- 武蔵中原駅（JN 08）
■各駅停車
向河原駅（JN 06）- 武蔵小杉駅（JN 07）- 武蔵中原駅（JN 08）
横須賀線
特急「成田エクスプレス」停車駅
■普通
西大井駅（JO 16）- 武蔵小杉駅（JO 15）- 新川崎駅（JO 14）
湘南新宿ライン
特急「踊り子・サフィール踊り子」停車駅
■特別快速・■快速（いずれも高崎線 - 東海道線直通）
大崎駅（JS 17）- 武蔵小杉駅（JS 15）- 横浜駅（JS 13）
■普通（宇都宮線 - 横須賀線直通）
西大井駅（JS 16）- 武蔵小杉駅（JS 15） - 新川崎駅（JS 14）
武蔵小杉駅 隣の駅
相鉄線直通列車
■各駅停車
西大井駅（JS 16）- 武蔵小杉駅（JS 15） -  （鶴見駅） - 羽沢横浜国大駅（SO51）
※鶴見駅は運賃計算上の分岐点である。
東急電鉄
東横線
■特急
自由が丘駅（TY07）- 武蔵小杉駅（TY11）- 菊名駅（TY16）
□通勤特急
自由が丘駅（TY07）- 武蔵小杉駅（TY11）- 日吉駅（TY13）
■急行
多摩川駅（TY09）- 武蔵小杉駅（TY11）- 日吉駅（TY13）
■各駅停車
新丸子駅（TY10）- 武蔵小杉駅（TY11）- 元住吉駅（TY12）
目黒線
■急行
多摩川駅（MG09）- 武蔵小杉駅（MG11）- 日吉駅（MG13）
■各駅停車
新丸子駅（MG10）- 武蔵小杉駅（MG11）- 元住吉駅（MG12）
森信三
森 信三（もり のぶぞう、1896年（明治29年）9月23日 - 1992年（平成4年）11月21日）は、日本の哲学者・教育者。通称、しんぞう。
森信三 来歴
愛知県知多郡武豊町で父・端山（はしやま）俊太郎、母・はつの三男として生まれる。2歳で半田町（現・半田市岩滑地区）の森家に養子に出され、以来森姓となる。
1907年（明治40年）、半田町立岩滑尋常小学校（現・半田市立岩滑小学校）卒業。1916年（大正5年）、愛知県第一師範学校（現・愛知教育大学）卒業。1920年（大正9年）、広島高等師範学校英語科に入学、福島政雄・西晋一郎に学ぶ。1923年（大正12年）、京都帝国大学文学部哲学科に入学し、主任教授西田幾多郎の教えを受ける。卒業後は同大学院に籍を置きつつ、天王寺師範学校（現：大阪教育大学）の専攻科講師となる。1939年（昭和14年）、旧満州の建国大学に赴任するが、敗戦後の1946年（昭和21年）に帰国。1947年（昭和22年）、個人雑誌「開顕」を創刊。1953年（昭和28年）、神戸大学教育学部教授に就任。同大学退官後の1965年（昭和40年）には神戸海星女子学院大学教授に就任。1975年（昭和50年）、「実践人の家」建設。
1992年（平成4年）11月21日、死去。96歳没。