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東武野田線 歴史
1984年（昭和59年）
2月1日 柏駅で中継していた国鉄との連絡運輸貨物列車の廃止により、野田線と国鉄の連絡運輸貨物列車が全廃。
2月20日 国鉄との連絡運輸貨物列車の全廃に伴い、大宮駅 - 春日部駅間・野田市駅 - 船橋駅間の貨物営業を廃止。
6月 5070系を七光台駅 - 船橋駅間で運用開始。
11月27日 大宮駅 - 七光台駅間で5000系列の6両運転の開始。全線で20m車の6両運転となる。
2004年（平成16年）
10月18日 5070系が廃車。これに先立ち、同月16日・17日に当路線の車両で初めてのさよなら運転が大宮駅 - （柏駅折り返し） - 七光台駅間で運行される。
10月19日 東岩槻駅 - 春日部駅間、新鎌ヶ谷駅 - 鎌ヶ谷駅間複線化。以下の内容でダイヤ改正を実施。
5070系の置き換え により全列車が8000系に統一される。
最高速度を90 km/hから100 km/hへ引き上げ。日中の大宮駅 - 柏駅間の所要時間が上り62分、下り64分に短縮。
東岩槻駅発着を廃止。日中の東岩槻駅 - 春日部駅間が複線化に伴い毎時6本に増発。
2007年（平成19年）
南桜井駅の場内を約0.8 km川間駅方へ延長（複線化ではない）。
3月10日 柏駅・船橋駅に当路線で初めて発車メロディを導入。以下の内容でダイヤ改正を実施。
日中の大宮駅 - 春日部駅間および清水公園駅・運河駅 - 柏駅間の区間運転列車を廃止し、大宮駅 - 柏駅間の運転間隔を10分間隔に統一。
日中の柏駅での乗り換え時間を2 - 3分に統一。
終日に渡り清水公園駅 - 柏駅間の区間運転列車を廃止。
3月17日 東日本旅客鉄道（JR東日本）との通過連絡運輸を廃止。連絡運輸は継続。
3月27日 大宮駅に発車メロディを導入。
2011年（平成23年）
4月 梅郷駅の場内を約0.9 km野田市駅方へ延長（複線化ではない）。
5月9日 野田線が開業100周年（野田町駅（現・野田市駅） - 柏駅間）を迎える。7月15日から8月31日にかけて各種記念イベントを開催。
6月27日 経済産業省による電力使用制限令により、平日における日中時間帯の上下各3 - 4列車を運休。
7月23日 柏駅・船橋駅の営業番線がJRとの連番から東武単独表記に変更。以下の内容でダイヤ改正を実施。
日中の柏駅での乗換時間が2 - 3分から6分に延長。
日中の大宮駅 - 柏駅間の所要時間が上り65分、下り63分に延長<。
岩槻駅発大宮駅行きの始発を平日で2分、土休日で6分繰り上げていずれも5:01発とする。
柏発駅野田市駅行きの終電を4分繰り下げ。
9月11日 平日における日中時間帯の一部列車運休を解除。
12月4日 1800系を使用した「野田線開通100周年記念号」が運転される。
2020年（令和2年）
1月下旬 - 2月上旬 中間駅の汎用発車メロディが変更。
3月14日 以下の内容でダイヤ改正を実施。
逆井駅 - 六実駅間の複線区間と高柳駅の新ホーム（2面4線）が本供用となる。
特急「アーバンパークライナー」のうち、野田市駅行きの運行区間が柏駅まで延長。柏駅 - 春日部駅間に1本新設。
運河駅 - 船橋駅間で急行の通過運転を開始。通過駅の本数確保のため、急行運転時間帯に運河駅 - 柏駅間の区間列車（普通）を再設定。
大宮駅 - 柏駅間に区間急行を新設。
高柳駅発着を新設し、六実駅発着を廃止。
平日ダイヤを中心に全区間で15-30分程度終電を繰り下げ。
高柳駅発船橋駅行きの始発を8分繰り上げ、高柳駅4:50発とする。六実駅発柏駅行きの始発を船橋駅発に延長し、船橋駅4:54発とする。
6月6日 ダイヤ改正により、大宮駅 - 柏駅間に特急「アーバンパークライナー」を2往復新設。
東武野田線 運行形態
大宮駅 - 春日部駅間 (15.2 km) および、運河駅 - 柏駅 - 船橋駅間 (29.5 km) の各区間が複線で、それ以外は単線である。単線区間である春日部駅 - 運河駅間はすべての駅で上下列車の列車交換が可能である。早朝・深夜を除いてほぼ全駅で列車交換を行っており、ネットダイヤを形成している。そのためこれ以上の増発はほぼ不可能な状況にある。
野田線では大宮駅から柏・船橋方面に向かう列車を下り、船橋駅から柏・大宮方面に向かう列車を上りと定めている。
2県をまたぎ長距離で運転されるにもかかわらず、特急や急行などの優等列車は後述の臨時列車を除いて2016年3月25日まで設定がなく、各駅停車のみの運行であった。2016年3月26日のダイヤ改正からは大宮駅 - 春日部駅間を通過運転する急行が設定され（後節も参照）、あわせて長らくなかった種別表示を東上線と同様の形で行うようになった。特急「アーバンパークライナー」を除いて全ての定期列車が8000系・10030系・60000系の6両編成と2025年から導入された80000系の5両編成で運行されている。
東武野田線 運行形態
柏駅はスイッチバック状の配線であり、本数増に伴い交差支障を避けるため、運行系統は大宮駅 - 柏駅間と柏駅 - 船橋駅間に分かれている。ただし、日中の大宮駅 - 船橋駅間の急行のほか、輸送力および車両走行キロの調整および検修設備を持つ南栗橋車両管区七光台支所との出入庫運用を確保するため、早朝の大宮駅 - 船橋駅間の普通、七光台駅 - 船橋駅間の出入庫列車など、柏駅を跨いで直通運転する列車も存在する。普通が直通する場合、柏駅で先発列車に接続するときは、柏駅で乗り換える方が早く到達するダイヤが組まれている。
大宮駅 - 船橋駅間の移動は野田線を乗り通す（柏駅乗り継ぎで約90分。運賃は切符830円・IC827円）よりも、JR線を乗り継いだ方が運賃は高いが所要時間は短い（上野東京ライン・総武快速線を使い東京駅経由で約70分。運賃は切符950円・IC945円）。2020年3月14日のダイヤ改正で、運河駅 - 船橋駅間も急行の通過運転が開始され、大宮駅 - 船橋駅間が柏駅での乗り換えを経ずに最短76分（土休日）で移動できるようになった。
最高速度は、2004年10月19日ダイヤ改正において従前の90km/h から100km/hとなっている。
野田線の列車番号の付番方法は「列車番号の付番方法#野田線（東武アーバンパークライン）」を参照。
東武野田線 運行形態
2017年4月21日のダイヤ改正で平日夜間に500系「リバティ」を使用した特急「アーバンパークライナー」が設定された。当線として初の定期特急となる。
新設当初の運転系統は、東武スカイツリーライン（伊勢崎線）から直通運行の2系統と当線内運行の1系統の計3系統で、浅草駅 - 大宮駅間、浅草駅 - 野田市駅間、大宮駅 - 運河駅間を運行していた。浅草駅 - 大宮駅間は2本運行され、1本は6両編成で、もう1本は後述の野田市駅行きとの併結だった。浅草駅 - 大宮駅・野田市駅間は浅草駅 - 春日部駅間では併結して6両編成で運行し、春日部駅で大宮行き（1 - 3号車）と野田市行き（4 - 6号車）に分割、それぞれ3両編成で運行されていた。大宮駅 - 運河駅間は3両編成で運行されていた。
2020年3月14日のダイヤ改正で、運転系統が東武スカイツリーラインから直通運行の1系統と当線内運行の2系統に変更された。6両編成の浅草駅発大宮駅行きが春日部駅止まりの「スカイツリーライナー」に短縮され、浅草駅発野田市駅行きが柏駅まで延長された。大宮駅発運河駅行きは据え置かれ、新たに柏駅発春日部駅行きが新設された。同年6月6日の東武スカイツリーラインのダイヤ改正では大宮駅 - 柏駅間の列車が2往復新設された。
停車駅は急行と同じだが、浅草発のみ八木崎駅、豊春駅、東岩槻駅に停車していた。
東武野田線 運行形態
その後、春日部駅の高架化工事進捗に伴い当線と東武スカイツリーラインを結ぶ連絡線が撤去されたため、2024年3月16日のダイヤ改正で廃止された。
2016年3月26日のダイヤ改正で新設された種別。停車駅は大宮駅、岩槻駅、春日部駅 - 運河駅間の各駅、流山おおたかの森駅、柏駅、高柳駅、新鎌ヶ谷駅、船橋駅。
路線図上のシンボルカラーは濃ピンク■。英文表記は「EXPRESS」「EXP.」。車両では赤色で表記される。
新設当初は大宮駅・岩槻駅・春日部駅に停車し、春日部駅 - 船橋駅間は各駅に停車していた。平日は9 - 16時台に約30分間隔で上下計31本、土休日は7 - 8時台に上り2本、9 - 20時台に約30分間隔で上下計50本運転していた。基本的に大宮駅 - 柏駅間が中心で船橋発着は平日・土休日ともに1日1往復だった。春日部駅で普通と緩急接続していたが、土休日下りの夕夜間帯に限り岩槻駅で春日部行き普通と緩急接続していた。
東武野田線 運行形態
2020年3月14日のダイヤ改正より、運河駅 - 船橋駅間でも通過運転が開始された。日中時間帯は大宮駅 - 船橋駅間に約30分間隔で運行、柏駅 - 船橋駅間は朝や夕方・夜間にも約30分間隔で設定されており、日中時間帯を含め平日は上下計69本、土休日は上下計65本運転。これにより所要時間が柏駅 - 船橋駅間で最大11分、大宮駅 - 船橋駅間で最大16分短縮された。上下線とも春日部駅・運河駅・柏駅・高柳駅で緩急接続する。
2020年3月14日のダイヤ改正で新設された種別。それまで急行として設定されていた種別からの変更。運行区間は大宮駅 - 柏駅間、停車駅は大宮駅・岩槻駅・春日部駅 - 柏駅間の各駅。
路線図上のシンボルカラーは薄ピンク■。英文表記は「SECTION EXPRESS」。一部車両は「SECTION EXP.」「SEC.EXP」と略されている。車両では基本的に赤色表記で表示方法は伊勢崎線系統と同じである。
平日は朝に上り2本、夕方に下り2本、土休日は朝に上り4本、夕方・夜間には急行の代わりに上下9往復が運行される。従来の急行と同様に土休日下りの夕夜間帯は岩槻駅で春日部行き普通と緩急接続する。
各駅に停車する。車内や駅でのアナウンスでは「各駅停車」と称される。ごく一部の駅アナウンスでは「普通」を使用する。
東武野田線 運行形態
基本的に大宮駅 - 柏駅間と柏駅 - 船橋駅間に分かれている。大宮駅 - 船橋駅間を直通する列車も数本あるものの、先述の通り柏駅で先発列車に接続するときは乗り換える方が早いダイヤが組まれている。ラッシュ時には七光台発着や高柳発着の列車もある。
路線図上のシンボルカラーは東武スカイツリーラインと同じグレー■。英文表記は「LOCAL」。
大宮駅 - 柏駅間は、以前は直通列車のほか大宮駅 - 岩槻駅・春日部駅間や清水公園駅・運河駅 - 柏駅間など多数の区間列車が設定され、1時間あたり4 - 8本と区間ごとに輸送力のばらつきがあった。2007年3月10日のダイヤ改正で、日中時間帯は運行本数が10分間隔で1時間あたり6本に、運転区間も大宮駅 - 柏駅間に統一されるとともに、一部の駅で行われた安全側線の設置・弾性ポイントへの交換による通過速度向上などの改良によって、大宮駅 - 柏駅間の所要時間が3 - 4分短縮された。柏駅 - 船橋駅間はダイヤ改正以前より日中10分間隔で運転されており、柏駅をまたぐ乗り継ぎ時間が2 - 3分に短縮された。しかし2011年7月23日のダイヤ変更時には柏駅での待ち時間が6分に拡大され、大宮駅 - 柏駅間の所要時間が3 - 4分ほど延びた。
東武野田線 運行形態
2016年3月26日のダイヤ改正では急行の設定に伴う通過駅の列車本数確保のために大宮駅 - 春日部駅間の区間列車が平日の日中、土休日の日中から夕夜間帯に再設定された。しかし、平日は急行と同数が設定されたものの、土休日の朝2本の上り急行（現・区間急行）に対しては設定されず、通過駅では減便となった。
その後、2020年3月14日のダイヤ改正で急行の通過運転区間拡大に伴う通過駅の列車本数確保のため、運河駅 - 柏駅間の日中にも区間列車が再設定された。春日部駅 - 柏駅間の各駅に停車する区間急行の運転時間帯には設定されていない。
1965年（昭和40年）頃、当時の大宮市（現・さいたま市）周辺の自治体が大宮駅 - 東武日光駅・鬼怒川温泉駅間の直通列車を要望した。東武鉄道はこの要望に応える形で1969年（昭和44年）9月27日より1972年（昭和47年）11月11日まで、春と秋季の観光シーズンの土休日に、大宮駅 - 春日部駅 - 東武日光駅・鬼怒川温泉駅間の臨時急行（有料）「きりふり」・「りゅうおう」を運行した。
「きりふり」は日曜祝日に設定、朝方に東武日光駅行き、夕方に大宮駅行きの1往復を運転、「りゅうおう」は土曜日に設定、昼に鬼怒川温泉駅行きのみを運転した。途中停車駅は岩槻駅・春日部駅・下今市駅のみ、使用車両は5700系電車だった。
東武野田線 運行形態
直通列車の運行が打ち切られた後、大宮市などは「大宮駅から野田線を経由して日光・鬼怒川への直通特急の新設を」という要望を繰り返し出し、1990年（平成2年）8月28・29日には1720系「DRC」を使用して大宮駅 - 鬼怒川温泉駅間（28日）、東武日光駅 - 大宮駅間（29日）に大宮市の市制施行50周年を記念した団体列車「大宮市民号」が運行された。この年に就役した100系「スペーシア」の乗り入れと、大宮市と友好都市を結んでいる福島県南会津郡舘岩村（現・南会津町）の玄関口となる会津鉄道会津線会津田島駅への列車運転が期待されたが、東武側は「利用が見込めない」として要望を断っている。その後、東武日光線とJR宇都宮線（東北本線）を相互直通運転する特急の運行が発表され、2006年（平成16年）3月18日より「日光」・「（スペーシア）きぬがわ」として運転が開始され、大宮駅が停車駅となったことにより、さいたま市はこれを「事実上の再開」とみなして件の要望を取り下げている。
東武野田線 運行形態
千葉県側からも、昭和40年 - 50年代の春と秋に沿線各市や松戸市の一部の市立小学校の修学旅行などのため団体臨時列車「たびじ」が運転されていた。当時は殆どが単線で線路容量に余裕がなく、船橋駅の高架化および駅ビル（東武百貨店船橋店）建設により構内が狭隘を極めており、多くは柏駅発着となっていた。同時期の鬼怒川温泉向け団体臨時列車では、車両運用の関係から5700系を柏駅 - 船橋駅間で一般客を混乗させる処置をしたこともある。平成に入ると修学旅行の出発が早朝になることが増え、柏駅の着発線の容量面から野田市駅発着となった。
東武野田線 運行形態
前述のように日光・鬼怒川方面への直通列車は過去に運行例があったものの、逆方向となる東武スカイツリーライン（伊勢崎線）浅草方面への運行は長らく行われていなかったが、2012年（平成24年）に開業した東京スカイツリーと東京スカイツリータウンへ向かう旅客のアクセス確保と東武博物館で動態保存されることになった8000系 リバイバルカラー編成の披露を兼ねて、8月29日から9月3日までの間、大宮駅 - とうきょうスカイツリー駅間の直通運転を行った（途中停車駅は春日部駅のみ）。この時は東武トラベル（現在の東武トップツアーズ）が主催した東京スカイツリー開業100日記念ツアーの参加者のみ乗車できた一種の貸切列車であったが、9月29日から11月25日の土休日には同じ区間で臨時列車を運行した。途中停車駅は大宮駅 - 春日部駅の各駅と北千住駅のみ。11月17・18日はリバイバルカラー編成が東上線のイベントおよび記念ツアーに使用されたため通常の8000系で運転した。2013年は、8月11日から8月25日までの日曜日に同区間で再度臨時列車を運転した。10月19日には埼玉県などが主催するアニメイベント「アニ玉祭」に東武鉄道が協力、「アニ玉コスプレトレイン」をとうきょうスカイツリー駅 - 大宮駅間で8000系リバイバルカラー編成を使用して運行した。この時は東武トラベルが主催したアニ玉祭ツアーの参加者のみ乗車できた一種の貸切列車であったが、2014年10月11日には野田線仕様の10030系を使用した臨時列車「アニ玉祭トレイン」を同区間で運行した（途中停車駅は北千住駅と春日部駅 - 大宮駅間の各駅）。
東武野田線 運行形態
2012年12月1日からは、6050系電車を改造した展望列車634型 を用いて土曜日に、大宮駅発浅草駅行き臨時特急「スカイツリートレイン」4号を途中停車駅は春日部駅・北千住駅・とうきょうスカイツリー駅のみとして運行することとなり、1972年以来40年ぶりに野田線に一般向け臨時優等列車が設定されたが、大宮駅行きは設定されなかった。当初は2013年1月26日までの運行としていたが3月9日まで延長。3月16日のダイヤ改正後は一部の祝日にも運行されることになり3月20日から再開された。
2015年8月8日からの毎週土曜日には「スカイツリートレイン」4号に加えて「スカイツリートレイン」52号 を運転、同時に特急料金も値下げされている。しかし2016年3月19日をもって運休となった。「スカイツリートレイン」52号の運行に伴い伊勢崎線太田駅発浅草駅行きの「スカイツリートレイン」2号が運休となっていた。
北陸新幹線が金沢駅まで延伸開業した2015年3月14日から同月中の土休日には、大宮駅発浅草駅行き臨時快速（途中停車駅は「スカイツリートレイン」4号と同じ）が6050系電車で運行され、2015年7月18日から8月2日までの土休日にも運行された。
大宮発の特急「スカイツリートレイン」4号は2017年4月8日が最後の運行となった。
東武野田線 運行形態
2015年12月4日から同月中の金曜日（25日を除く）と22日に浅草から清水公園・野田市方面に向かう臨時列車として、浅草駅発運河駅行き臨時特急「きりふり」267号が300系で運行された。途中停車駅はとうきょうスカイツリー駅・北千住駅と野田線内の春日部駅 - 運河駅間の各駅で、野田線内だけを乗車する場合は特急料金は不要。2016年も12月2日から同月中の金曜日（23・30日を除く）と22日に運行された。
2020年3月14日改正時点の日中の運転本数は以下の通り。
1980年代終盤から1990年代半ばまで、大宮駅で接続するJR京浜東北線へ相互乗り入れを求める運動が自治体を中心に起きた。契機は1988年8月に当時の沿線自治体である大宮市、岩槻市（いずれも現・さいたま市）、春日部市、庄和町（現・春日部市）が、嘆願書を東武鉄道とJR東日本へ提出したことであった。その後4市町とJR東日本、東武鉄道、埼玉県により「東武野田線・JR線乗り換え改善検討会」が発足し、1996年までのべ6回の検討会が開催された。
これは、野田線の大宮駅利用者のほぼ9割がJRへの乗り換え客であり、同駅では野田線と京浜東北線のホームが隣り合わせになっていることによる自治体独自の構想であった。
東武野田線 運行形態
かつての同駅は当時の国鉄と東武の共同使用駅で、野田線は現在のJRの3番線の辺りから発着しており、1・2番線の京浜東北線ホームと現在の野田線のホームは東武の貨物ヤード（貨物廃止後は留置線として使用）であった。国鉄の通勤五方面作戦による赤羽駅 - 大宮駅間の三複線化と大宮駅の民衆駅化に伴い、国鉄の土地であった貨物ヤードを活用して京浜東北線ホームを設置し、野田線のホーム移設・改札を分離して自社管理駅となったのである。
そもそも両社に相互乗り入れ構想はなく、京浜東北線は10両編成で野田線は6両編成であること、車体長が異なり当時の野田線は20m級車両のほか18m級車両も運転されていたことや、保安装置の違いや大宮駅をはじめ各駅の大規模な改良工事が必要になることなどから、実現は困難であると結論された。
この運動を機に沿線自治体の乗り換え改善の要望を受け、東武は1995年に大宮駅の改良工事を施工している。ホームを柏方に若干移動してスペースを捻出し、エスカレーターを設置した連絡通路を新たに整備するなどして混雑緩和を図ったが、JR側の改札位置が従来のままのために改良前より距離が延びた。このため利用者から2階コンコースのJR駅東側ルミネ大宮1出入口周辺に「東改札口」の設置など、改善を求める声が強い。
東武野田線 運行形態
なお、2016年から当線の沿線自治体で作る「東武伊勢崎線・野田線整備促進協議会」が大宮駅でのJR線との乗換改善や京浜東北線との相互乗り入れの実現を千葉県・埼玉県・東武鉄道に要望 し、交通政策審議会が同年4月20日に出した第198号答申で、「駅空間の質的進化に資するプロジェクト等」のうち大宮駅を「広域的な交通ネットワークの拠点となる駅におけるプロジェクト」の一つに、2017年8月2日には政令で「都市再生緊急整備地域」の一つとして大宮駅周辺地域を、それぞれ選定したことから、さいたま市などによる「大宮駅グランドセントラルステーション化構想」の一環で駅舎の橋上化、ホーム位置の南進・2面3線化・拡幅・ホームドアの設置などの大規模な改良や新たな東西自由通路設置による乗換改善を図る構想がある。
かつて、野田線は帝都高速度交通営団（営団地下鉄、現在の東京メトロ）東西線と直通運転する計画があり、1968年の都市交通審議会答申第10号で、地下鉄東西線の西船橋駅以東については「東武鉄道野田線方面に至る路線」とされた が、答申には野田線が乗り入れる駅は明確に記載されていなかった。
この東西線延伸計画は、千葉ニュータウンへのアクセス鉄道路線の第3ルートとして千葉県が立案した物がベースになっており、東西線の延伸先が新船橋駅であると明示されていた。この案では同駅から野田線に乗り入れて、既存の路線を活用・改良して柏駅方面へ向かい、現在の新鎌ヶ谷駅の南側に新駅「粟野」を設置して現在の千葉ニュータウン中央駅方面へ向かう新線を敷く構想であった。1972年の都市交通審議会答申第15号で東西線の西船橋駅以東の終点は京成電鉄本線の勝田台駅（東葉勝田台駅）に変更となり、後に東葉高速鉄道東葉高速線として延伸は実現したが、野田線とは接続しないこととなった。新船橋駅の近傍には東海神駅が設置されている。同時に千葉ニュータウンへのアクセス鉄道のルートは都営地下鉄1号線（現在の都営浅草線）・京成電鉄線経由のルートが採用されて、北総開発鉄道北総線・住宅・都市整備公団千葉ニュータウン線（それぞれ現在の北総鉄道北総線、千葉ニュータウン鉄道線）および京成成田スカイアクセス線として実現した。北総線は第1期線を建設する際、並走する新京成電鉄新京成線（現在の京成松戸線）と野田線が交差する位置に、第3ルート案の新駅に相当する位置に新駅の設置を前提にした信号場を設置し、事実上第1ルート案に近い新京成線松戸駅に暫定的に乗り入れた。そして第2期線建設時に信号場を駅に変更して新鎌ヶ谷駅を設置し、新京成線と暫定乗り入れを終了した。北総線の第2期線が開業した当初は、新京成線と共に野田線とは接続しなかったが、のちに東武は新京成に次いで新鎌ヶ谷駅を設置している。
2000年（平成12年）の運輸政策審議会答申第18号で、埼玉高速鉄道 (SR) 埼玉高速鉄道線（埼玉スタジアム線）は、現在の終点である浦和美園駅から埼玉スタジアム2002近郊を経て岩槻駅に至り、更にJR宇都宮線の蓮田駅まで延伸することが示された（現在未着工だが、先行区間として岩槻駅までの延伸が検討されている）。2005年（平成17年）の「埼玉高速鉄道延伸検討委員会」において、岩槻駅での埼玉高速鉄道線と野田線の直通運転も検討され、大宮駅方面と春日部駅方面の2方向への直通案が検討されたが、野田線側の設備等の構造により「直接の乗り入れは不可能である」と結論付けられ、野田線岩槻駅の地下部に埼玉高速鉄道線の駅施設を建設する方向でまとまった。
東武野田線 使用車両
車種は現用車両はすべて電車で、過去の車両も特に記述しているもの以外は電車である。
歴史的背景から、野田線内系統の急行・区間急行・普通に使用されている全車両が南栗橋車両管区七光台支所所属である。「東武アーバンパークライン」の愛称名導入に伴い、先頭車の前面と側面両側に愛称のロゴが付され2014年に全車に施された。
東武野田線 使用車両
8000系
野田線で運転される8000系は全編成6両編成となっている。2024年12月現在、8000系はすべて貫通編成となっているが、かつては4両と2両を連結した編成も在籍していた。このうち一部は800型・850型へ捻出するため運転台が撤去されていた。分割可能編成も中間に入る先頭車がデッドマン装置未施工、転落防止幌設置のため事実上は固定編成となっているものの、クハ8600形の貫通幌は撤去されていなかったが、2013年3月ごろに検査を受けた編成以降、貫通幌は撤去された。なお、これら4両+2両の連結編成は現在は廃車され野田線に存在しない。現存編成のほとんどは行先方向幕がLED化され、バリアフリー対応（車椅子スペース設置）となっているが、8111F・8159F・8163Fの各編成は方向幕式で車椅子スペースは未設置である。2023年11月に廃車になった8150Fは野田線に残った最後の冷房改造車で2015年4月の8121+8544Fの廃車以降東武博物館保有の8111Fに置き換えられるまで事業用車の8506Fを除き一般営業運用の8000系として、また東武鉄道で定期運用される通勤形車両としては最古参の編成であった。
東武野田線 使用車両
10030型
森林公園検修区から転入した編成 (11652F) が、2013年4月20日から運転を開始した。転入にあたり東武スカイツリーラインとの誤乗防止の観点から、同時期に導入された60000系に準じ帯と車両番号がロイヤルマルーンからフューチャーブルー（青）に変更され、新たに上部にブライトグリーン（黄緑）の帯が配置された。2013年5月30日には、南栗橋車両管理区より転入してきた11632F（リニューアル車）が運用を開始した。2021年9月現在、10000系車両は9編成が在籍し運用されている。野田線では6両固定編成で運用されるため、転入の際に一部例外があるものの先頭車の電気連結器と前面貫通扉の渡り板、貫通幌を撤去している。非リニューアル車は方向幕式で、他はフルカラーLED式の行先表示である。
東武野田線 使用車両
60000系
野田線で定期列車に運用される通勤型車両としては、1944年に総武鉄道が東武鉄道に吸収合併されて以来初の新型車両である。
2012年度鉄道事業投資計画によれば、8000系の代替を目的として同年度に野田線用の新型車両「60000系電車」を2編成12両新造、2013年度から導入することが決定した。2013年6月9日のイベント列車で先行運用し、6月15日から営業運転を開始した。さらに、2013年度計画予定では6編成36両、2014年度計画予定では8編成48両。2015年度計画予定では2編成12両を新造する。
東武鉄道
東武野田線 使用車両
1720系 - 前述の「大宮市民号」に充当。
3000系・3050系・3070系
2080系
5000系・5050系・5070系
デハ1形 - 総武鉄道合併後の1944年に3両が配備。しかし、後述の6300系の投入に伴い上信電鉄に2両、新潟交通に1両を譲渡。その後、最後となったデハ5号（「モハ1101」に改番）が配給車代用として配備され、1955年頃まで運用された。
6300系・7300系 - 1947年に運輸省より国鉄63系の割当供給車として配備。6300系として同年から約3年、7300系に改番・更新後の1963年から約1年ほど在籍した。
7800系・7820系 - 1957年から1969年まで約12年ほど在籍した。
5700系 - 臨時列車・団体列車で運用、前述の臨時急行「きりふり」・「りゅうおう」に充当。
500系 - 特急「アーバンパークライナー」として2017年4月21日から2024年3月15日まで運転。野田線内の定期運用列車としては唯一の南栗橋車両管区春日部支所所属の車両であった。
300型・350型 - 臨時列車・団体列車で運用（前述の臨時特急「きりふり」に充当）
6050系 - 同上
1800系 - 同上、「野田線開通100周年記念号」に充当。
ED5010形電気機関車
ED5060形電気機関車
ED4020形電気機関車
総武鉄道
総武形モハ1000型・総武形クハ1200型制御車 - 後に3000系に更新されたが、前述の6300系の投入に伴い高松琴平電気鉄道に4両譲渡され、880形・9000形となる。上田丸子電鉄（現在の上田電鉄）に譲渡された1両はのちに弘南鉄道へ再譲渡された。
総武形コハ500型客車
総武形デキ1号型電気機関車（後の東武ED3000形）
総武形キハ101型ガソリン気動車
総武形コッペル社製形式3号蒸気機関車
総武形雨宮製作所製C型タンク4号・5号蒸気機関車
総武形雨宮製作所製C型タンク6号・7号蒸気機関車
北総鉄道
バルカン社製1B1形（No.1・2号）蒸気機関車
客車は1924年に木製ボギー車3両を新製（雨宮）1925年に武州鉄道より木製単車を1両譲受。1926年に鉄道省よりボギー客車3両（日本最初のボギー客車コハ6500形）払下。
千葉県営鉄道
1形 (1・2) - 旧鉄道省1290形蒸気機関車。英マニング・ワードル社製C形サドルタンク機関車
クラウス社製C型タンク式蒸気機関車
客車は木製単車を8両所有。開業時に4両新製（汽車会社東京）、1921年に鉄道省より4両払下。
貨車は12両。開業時に2両新製（汽車会社東京）、1914年野田醤油醸造組合の私有有蓋貨車5両を借入れ、県の車籍に編入。1918年に鉄道省より無蓋貨車5両を払下。
東武野田線 女性専用車
2005年（平成17年）6月20日に女性専用車が導入された。平日の初電から9時までの上り・下りの全列車・全区間を対象とし、9時に一斉に終了する。対象車両は上り・下りともに柏方先頭車（6両編成は6号車、5両編成は5号車）となっている。
半環状線の野田線では朝ピーク時の混雑区間は多岐に渡り、柏駅でのスイッチバックも絡んで大宮駅発船橋駅行などのように柏駅を跨ぐ列車が数本あるため、何両目を女性専用車とするかには紆余曲折があった。最終的に、野田線で最も混雑する車両は大宮駅に到着する列車の、改札口に近い先頭の1号車と判断され、女性専用車は最も混雑度が低いとされる最後尾の6号車に導入が決定された。
柏駅と船橋駅に到着する列車も大宮駅と同様に混雑するが、両駅は改札へ続く階段がホームに満遍なく設置されているので、車両毎の混雑度はある程度平準化されており、1号車、6号車どちらにあったとしても問題はないとされた。ただし新柏駅など1か所のみの階段に最も近い車両が女性専用車（6号車）となっている例もある。特に平日朝ラッシュ時は非常に混雑する。
5両化後も、女性専用車は維持される。5両編成の場合、女性専用車は柏方先頭の5号車に設置されるref group="広報" name="tobu20250206" />。
東武野田線 利用状況
2024年度の朝ラッシュ時最混雑区間は新船橋駅 → 船橋駅間であり、ピーク時（7:20 - 8:20）の混雑率は119%である。
車両全体の混雑率は大宮口のほうが低いものの、船橋駅はホームと改札口を結ぶ階段が2箇所あり、さらにエレベーターがある のに対し、大宮駅は頭端式ホームで、改札口が一体となっている。このため、北大宮駅→大宮駅間の先頭車両は終日乗客が集中し、朝ラッシュ時でも全区間通じて最も激しく混雑する。
2000年以降、沿線の春日部市や野田市などは人口減少に転じ、利用者も減少傾向にあるが、流山市は2005年のつくばエクスプレス開業により人口が毎年増加しており、流山おおたかの森駅の利用者も年々増加している。
近年の輸送実績を下表に記す。表中、最高値を赤色で、最高値を記録した年度以降の最低値を青色で、最高値を記録した年度以前の最低値を緑色で表記している。
東武野田線 駅一覧
下記に示した中線や副本線は両方向の列車の待避や折り返しが可能で、駅によっては待避線でなくても上下線双方に出発可能である。
岩槻駅
外側2線が主本線（1・3番線）、内側1線が中線（2番線）である。
中線（2番線） ： 主に下り列車が使用するが、両方向の待避が可能。
当駅より下り方の単線時代は日中の約半数が大宮駅 - 当駅の区間運転であり中線で折り返していたが、当駅 - 春日部駅間の複線化により、現在は数少なくなった当駅始発終着列車のほか緩急接続、前日の下り最終当駅止まり → 翌日の下り初列車となる編成の夜間滞泊に用いられる。
東武野田線 駅一覧
春日部駅
野田線上下線主本線（7・8番線）、伊勢崎線下り副1番（4番線）、同副2番（5番線）である。
平時は、浅草駅発の特急アーバンパークライナー1号と伊勢崎線直通の不定期列車を除き、島式ホーム1面2線の野田線下り本線（7番線）・同上り本線（8番線）のみで捌いている。下りは当駅止まりの普通を引上線に収容後に、後を追う形で急行・区間急行が入線するが、土休日の夕夜間帯に限り下り区間急行は岩槻駅で緩急接続を行なってから入線する。上りは急行・区間急行の発車後に、当駅始発の普通が引上線より入線する。
春日部駅付近の連続立体交差事業竣工の際には、野田線のホームを島式ホーム2面4線化され、伊勢崎線と合わせて計島式ホーム4面8線の高架駅に改良されることが予定されている。
伊勢崎線下り副1番（4番線） ： 主に伊勢崎線の下り列車の緩急接続に使用するが、伊勢崎線の上下、野田線の上下の全方向に進路を持つので設備上は野田線の待避が可能である。平時は、浅草駅発のアーバンパークライナー1号が伊勢崎線下り副1番で乗降扱いを行う。前述の臨時急行「きりふり」・「りゅうおう」及び臨時特急「スカイツリートレイン4号・52号」・「きりふり267号」も同様であった。それ以外は伊勢崎線直通の臨時、団体専用列車などに使用する。
東武野田線 駅一覧
伊勢崎線下り副2番（5番線） ： ホーム自体が設置されていないため、回送列車等の当駅で乗降扱いを行わない列車に使用。野田線と伊勢崎線は乗務管区が異なり、野田線は七光台乗務管区、伊勢崎線は主に春日部乗務管区であるため、乗務員用の昇降台が設置されている。その他の設備面は、伊勢崎線下り副1番に同じく全方向に進路を持つ。南栗橋車両管区七光台支所の設備面により対応不可な修繕のための南栗橋車両管区本区への不定期回送列車、転属やイベント開催時の車両回送など多岐に渡る。
柏駅
着発1 - 4番である。
前述の通り、かつての野田線は大宮駅 - 柏駅間の路線であり、船橋駅 - 柏駅間は船橋線であった。船橋線を野田線に統合する前は、野田線、船橋線ともに当駅が終点であった名残により、中間駅となった現在でも上下線・本副線を区別していない。よって、配線上は「着発1 - 4番」（1 - 4番線）となる。
着発2番（2番線）・3番（3番線）は、出発信号機に進路表示器を備え、船橋駅方面・大宮駅方面双方に出発可能である。通常の運用はのりばの解説による。
日中における急行の場合、着発は船橋駅方面は3番・大宮駅方面は2番に入線するので、接続する普通は必然的に船橋駅方面は4番（4番線）・大宮駅方面は1番（1番線）となる。
柏駅 - 船橋駅間のみ急行を運転する朝及び夕夜間帯において、大宮駅 - 柏駅間は区間急行となる。
東武野田線 駅一覧
高柳駅
外側2線が主本線（1・4番線）、内側2線が中線（2・3番線）である。
上り本線（4番線）を除き、他の3線は上下線双方に出発可能な配線である。急行運転時間帯の当駅で待避となる普通は、下り中線（2番線）・上り中線（3番線）に入る。
留置線へは、下り本線（1番線）も含め4線すべてから入換可能である。
かつては相対式ホーム2面2線の小さな駅であったが、留置線の開設・急行の全線運転開始に伴い、駅施設の船橋駅方面への移設・島式ホーム2面4線化により、留置線・待避機能を六実駅から当駅に集約した。
かつては清水公園駅・野田市駅・六実駅にも待避線（下り副1番または中線）が存在したが、清水公園駅は駅改良のため、野田市駅は連続立体交差事業のため、六実駅は急行の全線運転開始に伴い高柳駅に待避機能を集約するため改修が行われた。
東武野田線 駅一覧
清水公園駅は駅本屋側の単式ホーム（旧1番線）を休止して、島式ホーム側の旧2番線を上り本線、旧3番線を下り本線に切り替えて1面2線（下り副1番は消滅）としたが、連続立体交差事業の進捗により、2021年3月28日より単式ホームの再開と引き替えに、島式ホーム側の旧3番線を休止して、旧1番線を上り本線、旧2番線を下り本線に切り替えて、暫定的に相対式ホーム2面2線へ変更した。2023年10月29日より単式ホーム（旧1番線）の使用を廃止し、旧2番線を新1番線に、旧3番線を新2番線にそれぞれ改称、島式ホーム側の新2番線の使用を再開して、新1番線を上り本線、新2番線を下り本線に切り替えて、島式ホーム1面2線へ変更した。
野田市駅は旧本屋側の単式ホーム（旧1番線）を撤去して、島式ホーム側の旧2番線を上り本線、旧3番線を下り本線に切り替えて1面2線（下り副1番は消滅）とした。連続立体交差事業の進捗により、2021年3月28日より暫定高架駅となり、引き続き島式ホーム1面2線となった。なお、新たに下り線となる島式ホーム1面を建造中で、連続立体交差事業竣工の際には2面4線、さらに保守車両用の留置線1線になる予定としている。
六実駅は島式ホーム側の3番線を撤去して、2番線を下り本線に切り替えて相対式ホーム2面2線の棒線駅（中線は消滅）へ変更した。
岩槻駅
留1 - 3番である（留2番は同1番の更に先にある。6両編成2本縦列収容可能）
当駅の留置線の特徴は、同1・3番には出発信号機が設置されている事である。当駅から春日部駅までの複線化により、当駅始発・終着列車や滞泊運用が大幅に削減された昨今でも留置線を3線（駅舎の橋上化前は単列3線）擁する理由として、春日部駅の留置線の補完があり、入換せずに下り本線への回送出庫が可能である。それ以外の留置線との出入庫は、一旦下り本線上に引き上げて収容のうえ入換となる。
春日部駅
引1 - 2番および留1 - 3番である。
引上線は2線あり、通常は区間列車の折り返しに使用し、夜間滞泊も兼ねる。野田線下り本線（7番線）および同上り本線（8番線）と入換可能である。
留置線は引上線より更に下り方に3線あり、野田線下り本線、同上り本線、伊勢崎線下り副1番（4番線）、同下り副2番（ホーム無し）と入換可能である。
夜間滞泊機能は、野田線上下主本線、引上線2線、留置線3線の7編成分であるが、全て活用してもなお不足しており、岩槻駅の留置線より回送出庫する編成もある。
かつては六実駅の東側に留置線2線を設置しており、入換は柏駅方の現在の上り本線上で引き上げていた。
岩槻駅・東岩槻駅・馬込沢駅にも、複線化以前はいずれも柏駅方に引上線を設置しており、当駅始発終着列車が使用していた。
野田市駅は連続立体交差事業により留置線が撤去された。事業竣工の際には保守車両の留置線1線を設置する予定としている。
東武野田線 今後の予定
春日部駅付近で連続立体交差事業が計画されている。2019年3月に都市計画が決定した。当初計画では伊勢崎線のホームは島式2面4線、野田線のホームは島式1面2線とする計島式3面6線構造であったが、上述のジャンクション機能強化も併せ持たせることになり、伊勢崎線と野田線の相互乗り入れを容易にしつつ運行本数の増加も可能なよう、野田線のホームを島式2面4線、伊勢崎線と合わせて島式4面8線構造とする方針に変更された。2032年3月完成予定。
2018年度の設備投資計画では、ホームドアを既に設置済みの柏駅・船橋駅に加え、大宮駅・春日部駅・流山おおたかの森駅でも2021年度以降に整備する予定としている。なお、2035年度までに全駅にホームドアあるいはホーム柵（ホーム監視システム付き）を設置することが2022年10月に発表され、2023年度の設備投資計画では、ホーム柵を新柏駅・鎌ケ谷駅・馬込沢駅で整備・供用、六実駅・塚田駅は整備に着手する（供用は翌年度以降）。
東武野田線 愛称について
東武鉄道は、2012年に東武自らが社有地を提供して建設した「東京スカイツリー」のPRを兼ねて、伊勢崎線の浅草駅および押上駅から東武動物公園駅までの区間の愛称として「東武スカイツリーライン」を導入したのに続き、2014年に野田線の愛称として「東武アーバンパークライン」を導入した。
東武鉄道によれば、「アーバンパーク」は「“アーバン（Urban）＝都市”と“パーク（Park）＝公園”を組み合わせた造語」で、野田線は東京近郊のベッドタウン間を走行する路線として都市間輸送を担い、都心に向かう通勤・通学路線との乗換駅を複数有する交通利便性が高い路線で、沿線に身近に自然を感じられる公園などが多く点在する憩いのある住みやすい路線でもあることから、この愛称を命名したとしている。
こうした「公式見解」に対して、愛称導入と同時期に東武が造成・販売を開始した清水公園駅東口側の大規模住宅分譲地「ソライエ清水公園アーバンパークタウン」 のPRを兼ねていたとみる向きもある。
東武野田線 愛称について
この愛称については、導入直後に行われたアンケートで肯定的な意見がわずか3%しかなく、現状維持的な意見（「野田線のまま」）が33%、否定的な意見が38%と、好意的に受け取られてない。2020年現在、東武アーバンパーククラインPR事務局によるインターネット調査によると、「アーバンパークライン」と呼んでいるのは利用者の25%程度で、20代は4割が愛称を使っているのに対し、40〜50代は8割以上が「野田線」と（正式路線名で）呼び続けており、中高年ほど愛称は浸透していない。もっとも駅名や愛称などは、年配や高齢者を中心に昔の名前で呼び続ける人も多く、若年層を中心にある程度は浸透してきているという見方もある。
沿線の自治体8市で、愛称のみを使用または優先的に用いている自治体は「東武鉄道からの要請を受けて調整した」という柏市だけという状態である（2018年1月現在）。
なお、2014年9月にケーブルテレビ局J:COM 東関東で放送された柏市の広報番組『これってナンダイ!?市立柏研Q所（カシケン）』番組内にて、東武鉄道の社員である柏駅長が柏駅を境に大宮方を「大宮線」、船橋方を「船橋線」と呼称して柏駅のスイッチバックの成り立ちを説明していた。また番組内で柏駅構内のポイント付近を映した場面でも大宮線、船橋線とのテロップの表示がある。
リーマン予想
数学においてリーマン予想（リーマンよそう、英: Riemann hypothesis, 独: Riemannsche Vermutung、略称:RH）は、リーマンゼータ関数の零点が、負の偶数と、実部が 1/2 の複素数に限られるという予想である。リーマン仮説とも。ドイツの数学者ベルンハルト・リーマン(1859)により提唱されたため、その名称が付いている。この名称は密接に関連した類似物に対しても使われ、例えば有限体上の曲線のリーマン予想がある。
リーマン予想は素数の分布についての結果を含んでいる。適切な一般化と合わせて、純粋数学において最も重要な未解決問題であると考える数学者もいる。リーマン予想は、ゴールドバッハの予想とともに、ヒルベルトの23の問題のリストのうちの第8問題の一部である。クレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題の1つでもある。
リーマン予想
リーマンゼータ関数 ζ(s) は 1 を除くすべての複素数 s で定義され、複素数の値をとる関数である。その零点（つまり、関数値が 0 となる s）のうち、負の偶数 s = −2, −4, −6, … はその自明な零点と呼ばれる。しかしながら、負の偶数以外の零点も存在し、非自明な零点と呼ばれる。リーマン予想はこの非自明な零点の位置についての主張である：
リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点の実部は 1/2 である。
いいかえると、
リーマンゼータ関数のすべての非自明な零点は、複素数平面上の直線 1/2 + i t（t は実数）上にある。ここで i は虚数単位である。この直線を臨界線 (英語: critical line) という。
リーマン予想に関する入門向けの書籍が何冊か存在する。
リーマン予想 概要
リーマンは素数の分布に関する研究を行っている際にオイラーが研究していた以下の級数をゼータ関数と名づけ、解析接続を用いて複素数全体への拡張を行った。
ゼータ関数を次のように定義する（複素数 s の実部が 1 より大きいとき、この級数は絶対収束する）。
1859年にリーマンは自身の論文の中で、複素数全体 (s ≠ 1) へゼータ関数を拡張した場合、
ζ(s) の自明でない零点 s は、全て実部が 1/2 の直線上に存在する。
と予想した。ここに、自明な零点とは負の偶数 (−2, −4, −6, …) のことである。自明でない零点は 0 < Re s < 1 の範囲にしか存在しないことが知られており（下記の歴史を参照）、この範囲を臨界帯という。
なお素数定理はリーマン予想と同値な近似公式からの帰結であるが、素数定理自体はリーマン予想が真であるという仮定がなくとも証明できる。この注意は歴史的には重要なことで、実際リーマンがはっきりとは素数定理を証明できなかった理由はリーマン予想の正否にこだわっていたためであると思われている（素数分布とゼータ関数との関係は下記#素数の分布や、リーマンゼータ関数、素数定理、リーマンの素数公式の項を参照のこと）。
リーマン予想 概要
現在もリーマン予想は解決されていない。数学における最も重要な未解決問題の一つである。リーマンのゼータ関数を特殊な場合に含むL関数に対しても同様の予想を考えることができ、これを一般化されたリーマン予想（Generalised Riemann Hypothesis：GRHと略される）と呼んでいる。
最近では、虚部が小さい方から10兆個 (X. Gourdon and P. Demichel, 2004) までの複素零点はすべてリーマン予想を満たすことが計算されており、現在までにまだ反例は知られていない。現在では多くの数学者がリーマン予想は正しいと考えているようである。しかし無限にある零点からみれば有限に過ぎない10兆個程度の零点の例などは零点分布の真の姿を反映するには至らないとして、この計算結果に対して慎重な数学者もいる。歴史上有名な数学者の中でもリーマン予想を疑っている人物はいた。
リーマン予想 リーマンゼータ関数
リーマンゼータ関数は実部が 1 よりも大きい複素数 s に対して絶対収束無限級数
によって定義される。レオンハルト・オイラー（リーマンの生まれる40年前に亡くなった）はこの級数がオイラー積
に等しいことを示した、ここで無限積はすべての素数 p を走り、再び実部が 1 より大きい複素数 s に対して収束する。オイラー積の収束は、どの因子も零点を持っていないから、ζ(s) がこの領域において零点を持たないことを示している。
リーマン予想はこの級数とオイラー積の収束領域の外側での零点について議論する。予想が意味をなすために、関数を解析接続して、すべての複素数 s に対して有効な定義を与える必要がある。これは以下のようにディリクレのエータ関数の言葉でゼータ関数を表すことによってできる。s の実部が 1 よりも大きければ、ゼータ関数は
リーマン予想 リーマンゼータ関数
を満たす。しかしながら、右辺の級数は s の実部が 1 より大きいときだけでなく、より広く s の実部が正のときにいつでも収束する。したがって、この代わりの級数はゼータ関数を Re s > 1 からより大きい領域 Re s > 0 に、1 − 2/2s の零点を除いて、拡張する（en:ディリクレのエータ関数を参照）。ゼータ関数はこれらの除かれた値にも極限を取ることによって拡張でき、s = 1 における一位の極を除いて、正の実部を持つすべての s の値に対して有限値を与える。
帯 0 < Re s < 1 において、ゼータ関数は関数等式
を満たす。すると残りのすべての零でない複素数 s に対して ζ(s) を、この方程式が帯の外側でも成り立つと仮定し、ζ(s) は s の実部が正でないときに方程式の右辺に等しいとすることで定義できる。s が負の偶数のとき、因子 sin(πs/2) が消えるから ζ(s) = 0 である。これらがゼータ関数の自明な零点である（s が正の偶数のときにはこの議論は適用しない、なぜならば正弦関数の零点はガンマ関数が負の整数の引数を取るからその極によって打ち消されるからである）。値 ζ(0) = −+1/2 は関数等式からは定まらないが、s が 0 に近づくときの ζ(s) の極限値である。関数等式はまた、ゼータ関数が自明な零点の他には実部が負の零点を持たないことも意味しており、したがってすべての非自明な零点は、s の実部が 0 と 1 の間の臨界帯 (critical strip) にある。
リーマン予想 歴史
なお、リーマン予想を解決したと主張する論文やレポートは時々現われるが、解決に到達したと認められたものは（2025年1月の段階では）まだ一つも無い。
リーマン予想 帰結
リーマン予想の仮定の下で真である命題や、リーマン予想と同値である命題が、多く知られている。
以下の各命題は、リーマン予想と同値である。
が成り立つこと。ここに li x は対数積分を表す。これは
と表現しても同じことである。ただし、O はランダウの記号である。
が成り立つこと。
リーマンの素数公式(リーマンの明示公式)は、与えられた数よりも小さい素数の個数を、リーマンのゼータ関数の零点全てに渡る無限和により表すものであり、予想される位置の周りでの素数の振動の大きさがゼータ関数の零点の実部によって制御されることを述べている。特に、素数定理における誤差項は、零点の位置に密接に関係している。例えば、β が零点の実部の上界であれば、差 π(x) − Li(x) は error bound O(xβ log(x)) を持つ。1/2 ≤ β ≤ 1 であることが既に知られている。
Von Koch (1901) はリーマン予想が素数定理の誤差に対する「最良の」上界を導くことを示した。Schoenfeld (1976) による，Koch の結果の正確なバージョンによれば、リーマン予想からは
が従う、ただし π(x) は素数計数関数であり、log(x) は x の自然対数である。
Schoenfeld (1976) はまた、リーマン予想から
リーマン予想 帰結
が従うことを示した。ここで ψ(x) は 第二チェビシェフ関数である。
Dudek (2014) はリーマン予想から次のことが従うことを示した：任意の x ≥ 2 に対して、ある素数 p が存在して、
が成り立つ。これはクラメルの定理の明示的なバージョンである。
リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの数論的関数の増大に関する強い上界も導く。
1つの例はメビウス関数 μ に関するものである。等式
が、実部が 1/2 よりも大きいすべての s に対して右辺の和が収束して成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。このことから次のことも結論できる：Mertens 関数を
によって定義すると、すべての ε > 0 に対して
が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である（これらの記号の意味については、ランダウの記法を参照）。order n の Redheffer 行列の行列式は M(n) に等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増大に関する条件としても述べることができる。リーマン予想は M の増大度についてかなりきつい制限を与える、というのも Odlyzko & te Riele (1985) がわずかに強い Mertens 予想
を反証したからである．
リーマン予想 帰結
リーマン予想は μ(n) の他の数論的関数の増大率についての多くの予想とも同値である。典型的な例は次の Robin の定理 (Robin 1984) である：σ(n) を
で与えられる約数関数とすると、
がすべての n > 5040 に対して成り立つことと、リーマン予想が真であることが同値である。ここで γ は Euler–Mascheroni 定数である。
別の例は Jérôme Franel によって発見され、ランダウによって拡張された。リーマン予想は Farey 数列の項がかなり規則的であることを示すいくつかの主張と同値である。1つのそのような同値は以下のようである：Fn を 1/n で始まり 1/1 までの order n の Farey 数列とすると、すべての ε > 0 に対して
が成り立つという主張は、リーマン予想と同値である。ここで
は order n の Farey 数列における項の数である。
群論からの例として、g(n) を ランダウの関数とする、つまり n 次の対称群 Sn の元の最大位数とする。Massias, Nicolas & Robin (1988) はリーマン予想が十分大きい全ての n に対する上界
と同値であることを示した．
リーマン予想 帰結
リーマン予想は様々なより弱い結果も導く。その1つは リンデレーフ予想である。これは臨界線上のゼータ関数の増大率に関する予想で、任意の ε > 0 に対して、 のとき
が成り立つというものである。
リーマン予想はまた、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の増大率に対するかなり鋭い上界も与える。例えば、
を与えるので、ζ(1 + it) とその逆数の増大率は2倍の違いを除いて分かることになる。
素数定理は平均的に素数 p とその次の素数の間の間隔が log p であることを意味する。しかしながら、素数間の間隔には平均よりもはるかに大きいものもある。クラメルはリーマン予想を仮定してすべての間隔が O(√p log p) であることを示した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最もよい上界でさえ、正しいと思われるものよりも遥かに弱い場合である。すなわち、クラメルの予想はすべての間隔が O((log p)2) であることを意味しており、これは平均間隔よりは大きいが、リーマン予想から導かれる上界よりは遥かに小さいのである．数値計算はクラメルの予想を支持している。
リーマン予想 帰結
リーマン予想に同値な多くの主張が発見されているが、これまでのところそれらがリーマン予想を証明する（あるいは反証する）のに大きな進展をもたらしたことはない。いくつかの典型的な例は以下のようである。（他に約数関数 σ(n) に関するものがある。）
Riesz の判定法は Riesz (1916) によって与えられた、以下の主張である：
がすべての ε > 0 に対して成り立つこととリーマン予想が成り立つことは同値である。
Nyman (1950) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した：
の形の関数全体のなす空間、ただし ρ(z) は z の小数部分で、0 ≤ θν ≤ 1 で、
は、単位区間上の二乗可積分関数全体のなすヒルベルト空間 L2(0, 1) において稠密である。Beurling (1955) はこれを次を示すことで拡張した：ゼータ関数が実部が 1/p よりも大きい零点を持たないこととこの関数空間が Lp(0, 1) において稠密であることは同値である。
Salem (1953) はリーマン予想が真であることと次が同値であることを示した：積分方程式
は 1/2 < σ < 1 に対して非自明な有界な解 φ を持たない。
リーマン予想 帰結
Weil の判定法はある関数の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である．関連するのは Li の判定法で，ある数列の正値性がリーマン予想と同値であるという主張である。
Speiser (1934) はリーマン予想が次の主張と同値であることを証明した：ζ(s) の導関数 ζ′(s) は帯
に零点を持たない。ζ(s) が臨界線上に1位の零点しか持たないことはその導関数が臨界線上に零点を持たないことと同値である。
いくつかの応用は ディリクレの L 級数や数体のゼータ関数のために、普通のリーマン予想ではなくてより一般リーマン予想を用いる。リーマンゼータ関数の多くの基本的な性質はすべてのディレクレ L関数に容易に一般化できるので、リーマンゼータ関数に対するリーマン予想を証明する手法がディレクレ L関数に対する一般リーマン予想に対してもうまく使えるというのはもっともらしい。一般リーマン予想を仮定することで始めて証明されたいくつかの結果は、後に予想の仮定を用いない証明が与えられたが、それらはたいてい予想を仮定して証明するのに比べて遙かに難しい。以下のリストにある結果の多くは Conrad (2010) から取られている。
という Chebyshev による予想を導くことを示した。この予想はある意味で、4 を法として 3 に合同な素数は 1 に合同なものよりも多いということを言っている。