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エヴァリスト・ガロア 数学的業績
数学者として10代のうちにガロア理論の構成要素である体論や群論の先見的な研究を行った。ガロアはガロア理論を用い、ニールス・アーベルによる「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式がない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化し、より一般にどんな場合に与えられた方程式が代数的な解の表示を持つかについての特徴付けを与えた。また、数学史上初めてカテゴリー論的操作によって自らの理論の基礎を構築している。
群論は数学の分野において重要であるだけでなく、数学以外、例えば物理学では相対性理論や量子力学などを厳密に（形式的に）記述するツールとして用いられる。また、計算機科学、特に理論計算機科学においてガロア体、特に位数2のガロア体 F2 は最も多用される数学的ツールのひとつである。
エヴァリスト・ガロア 数学的業績
このように代数学で重要な役割を果たす「ガロア理論」は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えている。しかし、ガロアの業績の真実と重要性、先見性は当時世界最高の研究機関であったパリ科学アカデミーを初め、ガウスやコーシー、ヤコビと言った歴史に名を残した同時代の偉大な数学者達にさえ理解されず、生前に評価されることはなかった。群論の基礎概念とも言える集合論がゲオルク・カントールによって提唱され、「ガロア理論」へと通じる数学領域が構築されるのでさえ、ガロアによるガロア理論構築の50年も後のことである。
ガロアの遺書となった友人宛の手紙には、後の数学者たちにとって永年の研究対象となる理論に対する着想が「僕にはもう時間がない」 (je n'ai pas le temps) という言葉と共に書き綴られている。
例えば、代数的には解けない五次以上の方程式の解を与える、楕円モジュラー関数による超越的解の公式の存在をガロアは予言し、そのアイデアを記している。なお、この手法はガロアの死後50年の時を経てシャルル・エルミートによって確立される。
エヴァリスト・ガロア 生涯
ガロアについては、群論の内容が難解な事もあり、一般にはその激動の生涯の方がよく知られている。その数学的業績はガロアの死後40年経ってから注目を集めるようになったが、一方でガロアの生涯やその人物像に関しては長年顧みられることがなかった。ガロアの生涯に関する最初の本格的な研究の成果は、1896年に発表された高等師範学校（École Normale Supérieure）の歴史学教授ポール・デュピュイ(fr)の約70ページの論文「エヴァリスト・ガロアの生涯」（La vie d'Evariste Galois）であった。デュピュイはガロアの母方の親戚や、姉の遺族、および当時まだ存命だったガロアの学友の証言を得た上で、様々な資料をまとめ上げてこの論文を完成させた。また、有名なガロアの15歳頃の肖像画も、姉の遺族が所有していたものがデュピュイによって同時に発表されている。この論文は、後世における全てのガロアの生涯研究における原典となり、現代まで影響を与えている。以下の記述も注記がない限りはデュピュイの論文に基づいている。
エヴァリスト・ガロア 生涯
ガロアは1811年、パリ郊外の町ブール＝ラ＝レーヌに生まれた。父ニコラ・ガブリエル・ガロアは当時公立学校の校長で、のちに町長に任命された。社交的な性格であり、即興で詩を作ることが得意だったという。母アデライド・マリ・ドマントは親族に法学と古典の教授が多かったこともあり、教養の深い人物であった。また、2歳上の姉ナタリー・テオドール（後のシャントロー夫人）、3歳年下の弟アルフレッドがいて、この5人家族は明るい家庭を築いていたようである。エヴァリストは12歳までは母親の元で教育を受けていたが、1823年からはパリの名門リセである寄宿制のリセ・ルイ＝ル＝グランに入学した。
ガロアが入学した当時、王政復古とイエズス会の影響もあって校長は保守的・宗教的であり、生徒達は校長にしばしば反抗した。このような校内の雰囲気が、ガロアの性格や思想に影響を与えたようである。一方、学業においては入学した翌年の第3学年にはラテン語の優秀賞やギリシア語の最優秀賞を受けるなど良好であった。しかし翌年の第2学年になると学業をおろそかにするようになり、また、健康も優れていなかったので、校長からは第2学年をもう一度やり直した方が良いという意見が出された。当初は予定通り修辞学級（第1学級）に進んだものの、やはり態度は改まらず、結局2学期から留年することとなった。
エヴァリスト・ガロア 生涯
そこで時間を持て余したガロアは、数学準備級の授業にも出席するようになった。当時のフランスでは数学教育は重視されておらず、数学は将来の進む方向によって補習科で教えられていたのみだった。当時の数学教師ヴェルニエ（本名ジャン・イポリット・ヴェロン）は若く熱心であり、エウクレイデスからアドリアン＝マリー・ルジャンドルに至るまでの幾何学を教えていた。ガロアの学友によれば、ガロアはルジャンドルが著した初等幾何学の教科書を読み始めたところ、すっかり熱中してしまい、2年間の教材を2日間で読み解いてしまったという。また同時に、彼は五次方程式の解法を発見したと錯覚し、凡庸な数学的才能しか持たないヴェルニエは対応に苦慮したようである。記録によれば、ヴェルニエを初めとする教師のガロアへの評価は時間を経るごとに低下したようであり、また学校は「数学への熱狂に支配されている」と評価している。
1897年に『ガロア全集』に序文を加えたエミール・ピカールは、ガロアが数学の才能を開花させたことで「過度の自尊心が芽生えてしまった」と評している。また1828年に理工科学校（École Polytechnique）の試験に挑戦したが、失敗している。
エヴァリスト・ガロア 生涯
同年にはガロアは飛び級で数学特別級に進級した。この時修めた物理と化学では「少しも勉強しない」と酷評されている。一方、数学ではルイ・ポール・エミール・リシャール(fr)という優れた教師に出会い、リシャールもガロアを高く評価した。またリシャールから代数方程式解法に関するジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの論文を薦められたようで、その影響で1829年4月1日に最初の論文「循環連分数に関する一定理の証明」（Démonstration d'un théorème sur les fractions continues périodique）を発表している。約1ヵ月後、ガロアは17歳の若さで素数次方程式を代数的に解く方法を発見し、その研究論文をオーギュスタン＝ルイ・コーシーに預けフランス学士院に提出するように頼んだが、実際には提出されなかった。
エヴァリスト・ガロア 生涯
1971年に数学史家ルネ・タトン(fr)が発見した書簡によれば、コーシーはガロアに面会し、その論文を1830年1月18日の学士院会合の場で発表すると約束しておきながら、その日は体調不良により欠席し、それ以降の会合でもガロアに言及する事はなく、結果的にガロアの論文は紛失された。こうしたコーシーの若い才能に対する無関心は、現代に至るまで後述のリガテリなどによって批判されている。ただし、この経緯には異説もあり、加藤文元はコーシーがガロアの理論を高く評価し、アカデミーの数学論文大賞に応募するためにこの論文を新たに提出させたと主張している。コーシーはその後、フランス7月革命を契機にフランスを離れ、帰国したのはそれから8年後だった。
さらに1829年7月2日、ガロアの父がパリのアパートで自殺した。ガロアの親族がデュピュイに語った内容によると、当時は王政復古の影響で教会は保守的な勢力で占められ、教会の司祭たちは、自由主義的な思想の町長であるガロアの父に対して何かと反発していた。そこで彼らは、ガロアの父の詩の文体を真似て卑猥な詩を作り、それが彼のものであると言いふらした。その中には家族を傷つけるものもあった。ガロアの父は精神を病むにいたり、その結果自殺したという。父を敬愛していたエヴァリストにとっては、当然この事件は深い傷となった。
エヴァリスト・ガロア 生涯
さらにその同月または1ヵ月後には、ガロアは再び理工科学校への受験に挑戦したが失敗した。伝説によれば、この時の口述試験の担当者が対数に関する愚問をしつこく出し、ガロアの回答に満足しなかったために、頭に来たガロアがその試験官に向かって黒板消しを投げつけたという。理工科学校は最も高等な数学が教えられ、さらに自由主義的な雰囲気に満ちていたためにガロアは入学を切望していたが、その入学試験は2回までと制限されていたため、ガロアの望みは絶たれてしまった。
その後、ガロアはルイ・ル・グランに隣接するもう1つの有名な大学・準備学校（École Préparatoire、後の高等師範学校）を目指す事にした。願書受付期間は既に過ぎていたが、リシャールなどの後押しによって8月20日から25日まで入学試験を受験し、10月25日に入学が認められた。さらに12月には文科及び理科のバカロレアにも合格した。なお、理科の試験において、数学では10点満点中8点を与えられ、「才能に恵まれており、非常に注目すべき研究精神を持っている」と賞賛されたが、物理では「彼は全く何も知らず、とてもよい教師になれそうもない」と酷評されている。1830年2月20日には学費支給を受ける代わりに、卒業後は10年間公教育のために働く旨の契約書を提出している。
エヴァリスト・ガロア 生涯
宣誓書提出の少し前に、ガロアは以前コーシーが紛失した論文を書き直した上で、改めてフランス学士院に提出した。だが、その審査員で論文を預かっていたジョゼフ・フーリエが急死したため、またしても論文は紛失してしまった。こうして立て続けに起きた不運や挫折は、ガロアの政治活動をますます活発にさせた。
準備学校において、ガロアはオーギュスト・シュヴァリエ(fr)という共和主義者と出会っている。シュヴァリエの影響で共和主義に傾倒していったガロアは、フランス7月革命が起きた時に自分も参加しようと試みた。しかし、日和見的な校長のジョセフ・ダニエル・ギニョーはそれを許さず生徒を校舎に閉じ込め、革命収束後に発足した旧態依然の臨時政府に従う旨を決定した。武器を手にして革命に参加し、戦火に身を投じた理工科学校とのあまりの対応の違いに、ガロアは反発を強めていった。
8月6日、準備学校は「師範学校」(École Normale)と改められ、修業期間が2年から3年に延びたため、早い卒業を望んでいたガロアを一層苛立たせた。ガロアは急進共和派の秘密結社「民衆の友の会」(Société des amis du peuple)(fr)に加わり、さらに度々校長の言動に反発したため、目を付けられるようになった。
エヴァリスト・ガロア 生涯
12月3日、一連のギニョーの対応を嘲笑するようなガロアの記事を学校新聞で発表したため、ギニョーは12月9日にガロアを追放し、1831年1月3日に正式な放校処分が決定した。
以前、ガロアが執筆した論文が不運によって2度も紛失したことに同情した学士院のシメオン・ドニ・ポアソンが、ガロアにもう一度学士院に論文を提出するよう呼びかけ、その誘いに応じて1831年1月17日に再度11ページの論文「方程式の冪根による可解条件についての考察」（Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux）を提出した。また彼は1月13日より毎週木曜日、ソルボンヌ通りのカイヨー書店において、いくつかの新理論を含めた代数学の講義を行うなど、数学的活動を続けていた。一方で、その頃のガロアは相当荒んでいたようで、女性数学者ソフィ・ジェルマンはその様子を記した書簡を残している。それによると、ガロアは数学の会合で悪態をつき、さらに家庭でも生活態度を改めなかったために母は家を出ざるを得ない状況となり、まるで狂ってしまったようだったという。また、親族の言い伝えによれば、ガロアは家族の前で「もし民衆を蜂起させるために誰かの死体が必要なら、僕がなってもいい」と口にしていたという。
エヴァリスト・ガロア 生涯
4月、解散を命じられた国民軍19人が制服を着用してパリの街中を歩いたために逮捕された。この事件は5月2日に無罪判決が出たが、その日の夜にレストランで開催された祝宴会において、ガロアはナイフの切先をグラスに突き出す形で「ルイ・フィリップに乾杯」と叫んだ。これが王の命を脅かすものとして、翌日ガロアは逮捕された。6月15日に開かれた裁判では、ガロアは自分が不利になる供述も平然と行ったが、弁護士の努力により無罪となった。この裁判の模様は、アレクサンドル・デュマの回顧録にも詳細に記載されている。
7月14日、ガロアは法学の学生で同じ「民衆の友の会」会員のヴァンサン・デュシャートレと共に、国民軍の制服と以前王の命を脅かしたナイフを着用してパリ市内を行進し、ポン・ヌフ橋上で逮捕された。
12月3日に有罪が確定し、デュシャートレは禁固3ヵ月、ガロアは禁固6ヵ月の刑を宣告された。
エヴァリスト・ガロア 生涯
投獄されたサント・ペラジー刑務所(fr)において、かつてポアソンに送った論文が「説明不十分で理解できないから、もっとわかりやすく書き直して欲しい」というポアソンの返事と共にガロアに返却された。加えて、刑務所内でガロアは他の囚人からいじめられ、飲酒を強要されることもあったことが、同時期に獄中にいた薬学者のフランソア・ヴァンサン・ラスパイユ(fr)の獄中記に記されている。また、姉ナタリーや弟アルフレッドは何度かガロアの元へ面会に訪れているが、12月付けのナタリーの日記には弟がひどく不健康で老け込んだ様子が記されている。また、同じ共和主義者のオーギュスト・シュヴァリエも何度も面会に訪れ、友情を深めていたようである。
この年の暮れよりパリ市内でコレラが流行し、ガロアは刑期を1ヵ月残して1832年3月16日、監獄から数百メートル離れたフォートリエ療養所へ仮出所した。
その後、そこで失恋を経験したようで、5月25日には今後の予定を記しつつ、絶望に打ちひしがれた心境を綴った手紙をシュヴァリエに送っている。
エヴァリスト・ガロア 生涯
そして5月29日、「すべての共和主義者」及びイニシャルのみ記した2人の友人への2通の手紙にガロアは「つまらない色女に引っかかって決闘を申し込まれた」という旨を記している。
同時に、ポアソンから返却された論文の添削やシュヴァリエへの数学的な発想を断片的に書いた手紙を、ガロアは「僕にはもう時間がない」と走り書きしつつ大急ぎでしたため、ドイツの数学者であるカール・フリードリヒ・ガウスやカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに意見を求めるよう依頼している。
そして30日早朝、パリ近郊ジャンティーユ地区グラシエールの沼の付近で決闘は行われた。その決闘の結果、ガロアは負傷し、その場で放置され、午前9時になって近くの農夫によってコシャン病院(fr)に運ばれた。ガロアが牧師の立会いを拒否した後しばらくして弟アルフレッドが病院に駆けつけた。弟の涙ぐむ姿をみて、ガロアはこう言ったという。
Ne pleure pas, j'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!
泣かないでくれ。二十歳で死ぬのには、ありったけの勇気が要るのだから！
それがガロアの最後の言葉となり、夕方には腹膜炎を起こし、31日午前10時に息を引き取った（享年20歳）。
ガロアの葬儀は6月2日にモンパルナスの共同墓地で行われ、2000～3000人の共和主義者が集まり、「民衆の友の会」の2人の会員が弔辞を読み上げた。現在その墓地は跡形も残っていない。
1982年、ガロア没後150年を記念した墓碑がブール＝ラ＝レーヌに建てられた。
ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopédique)に「死者小伝」(Nécrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。しかし、何らかのきっかけで、その写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathématique pures et appliquées)に掲載された。その際、ガロアが生前認められなかった理由を、簡潔にまとめようという意識が過剰であり、明快さに欠けたためと分析している。リヒャルト・デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された667ページに及ぶ著書『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。ジョルダンはその序文において、「本書はガロアの諸論文の注釈に過ぎない」と述べている。
1848年には『ル・マガザン・ピトレスク』（Magasin Pittoresque、挿絵付雑誌の意）に、ガロアに関する匿名の短い伝記が、弟のアルフレッドが記憶をたどって描いた肖像画と共に掲載されている。1872年には、ガロアの母が84歳で亡くなっている。1897年には、エミール・ピカールの序文付きでリウヴィルの編集した『ガロア全集』が刊行されている。
エヴァリスト・ガロア 決闘
ガロアが起こした決闘の原因はある女性の名誉を守るためといわれていたが、忠実な共和党員であった彼の死は、反動派か秘密警察によるものという説もあった。その中でも有名なのがレオポルト・インフェルトの1948年の著書『神々の愛でし人』(Whom the gods love)である。その根拠としてインフェルトは、以下の点を挙げている。
しかしながら、インフェルトは自説に都合の悪い箇所はわざと隠していた。デュピュイがガロアの親族から聞いた言い伝えによれば、ガロアは恋愛相手の女性の叔父と許婚を自称する2人の人物から決闘を申し込まれた。ガロアの遺書によれば、2人は愛国者であった。またアレクサンドル・デュマは回顧録において、ガロアは「民衆の友の会」の一員であるペシュー・デルバンヴィルという人物によって決闘で殺されたという一文を残している。これらの資料を基に、インフェルトはデルバンヴィルが決闘によってガロアを殺したスパイであったと記述している。だが、共和主義者の秘密結社に潜入していた警察側のスパイの正体は、1848年の2月革命の折に、そのスパイの1人であったルシアン・ド・ラ・オッドによって全て暴露された。その時、デルバンヴィルはフォンテーヌブロー城の管理という重要な役目を任されており、彼がスパイだったということはあり得ないとデュピュイは記している。
エヴァリスト・ガロア 決闘
さらに、ガロアがサント・ペラジー刑務所において「僕はつまらない色女のために、決闘で死ぬこととなるだろう」という自分の将来に対する予言がラスパイユの獄中記に書かれていた事実を、インフェルトは意図的に自身の作品に書かなかった。なお、この決闘にまつわるガロアの親族の言い伝えは不自然な点が含まれるため、いずれもアルフレッドの創作ではないかとデュピュイは推理している。
インフェルトがこのような作品を記したのは、自身の祖国ポーランドがナチス・ドイツの侵攻を受け、ガロアに自身の姿を重ね合わせたためと思われる。なお、インフェルトは伝記の文頭と文末に、新しい証拠が発見されて真相がさらに明らかとなる可能性は極めて疑わしいと述べている。だが、後述の通り、その予想は14年後に覆される事となった。
エヴァリスト・ガロア 決闘
1962年、アメリカ合衆国ニューヨーク州のイサカで科学史の国際会議が行われた時、ウルグアイの数学者カルロス・アルベルト・インファントッシによって、決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュ・モテル（1812年5月11日 - 1893年1月25日）といい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュ・モテルの娘であった。彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書自体が真実を記したものとは言い切れないことも明らかになった。なお、ステファニーは1840年1月11日に言語学者のオスカー・テオフィル・バリューと結婚している。
エヴァリスト・ガロア 決闘
1993年、イタリアの数学史研究家ラウラ・トティ・リガテッリはガロアの生涯に関する著書『バリケードの中の数学』(Matematica sulla barricate)を発表した。彼女は新資料として、ガロアの死に関する記事が掲載された、1832年6月1日付のリヨンの新聞『先駆者』(Précurseur)を挙げている。記事にはガロアの年齢を22歳であったとか、ルイ・フィリップ乾杯事件で有罪になったなどの誤記が含まれるものの、文章自体は良くまとまったものであった。その記事によれば、ガロアはかつて同時に法廷に出たことのある友人「L.D.」によって殺され、その際は用意した拳銃の片方にだけ弾丸を込め、くじを引いてどの拳銃を使うかを決めたということである。なお前述の通り、ガロアと一緒に法廷に出た人物といえばデュシャートレしかいない。その上でリガテッリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然性を指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。
ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後に起きた六月暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。
空間
空間（くうかん、英: space）とは、
（物理）ニュートンは、空間を3次元のユークリッド空間、すなわち、3方向に無限に拡がるものとする数学を用いてニュートン力学体系を構築した。そして「（空間は）そのnature（本性）において、外界のいかなるものとも関係がなく、常に同じままで（不変）、不動」と記述した。 「万有引力」という考え方（遠隔作用論の一種）を提示し、宇宙の空間のすべての点が、全ての天体の位置と質量を「知って」いる、と考え、空間というのは「神の感覚中枢 (sensorium dei)」であると述べた。空間を絶対と見なしたニュートンに対して、（ニュートン同様に大御所であった）ライプニッツは空間は相対的なものである、と見なし、論戦が繰り広げられた。アインシュタインの特殊相対性理論では、空間と時間はミンコフスキー時空という一体のものとして記述され、さらに一般相対性理論では、物質（質量）の存在により「曲がる」4次元リーマン空間として記述された。20世紀後半に発展した超弦理論では空間は9次元だとされる。→#自然哲学における空間、#物理学における空間。
哲学、物理学、数学、建築、地理学、社会学等々において用いられており、意味・説明は分野ごとに異なるので、それぞれ説明する。
空間 自然哲学における空間
自然哲学における理解を解説する。
アリストテレスは、自然学の基礎的概念として、事物の場所「トポス topos」としての空間概念を用い、物事の運動kinesisを説明した。トポスは「接触面」として、諸元素に対して能動的な作用を及ぼす実在であって、それぞれの本性により、火は上方に、土は下方の場所へと運動する、とした。→『トポス論』
後にアリストテレスの自然哲学はクラウディオス・プトレマイオスの天文学と合体し、性質的な差異と階層構造をもつ有限宇宙が想定された。月下界には月下界特有の性質・法則があり、月の向こう側の空間には、そこ独特の性質・法則があると考えられていた。空間というのは、位置によって性質が異なる、と一般に考えられていたのである。人々は、空間は位置により性質が違うから、地上のものは落下するが、惑星は落ちないまま円運動を続けている、と考えていた。空間は相対的なものであった（宇宙論を参照）。
空間 自然哲学における空間
ルネ・デカルトが1633年に執筆した『宇宙論』の原稿においては、物体とは独立の空間を認めており、運動というのは空間の中のある位置から別の位置への移動」として簡潔に定義できるものであった（だが、この書はデカルトの生前には出版されなかった。出版は死後である。）。その後のデカルトの渦動説によれば、空間にはすきまなく目に見えない何かが満ちており、物が移動すると渦が生じている、物体は「渦」によって動かされている、と説明された（重力を説明する古典力学的理論を参照）。
自然哲学者アイザック・ニュートンは、上述のデカルトの渦動説は本で読んだものの、その体系に相当無理があると気づいていた。ニュートンは一般に公表はされなかったものの、『重力および流体の平衡について』という書きかけの手稿（『自然哲学の数学的諸原理』が出版される相当前に書かれたもの）を残しており、そこでデカルトの渦動説を名指しで批判している。そして、その手稿で「場所とは物体が占める空間の一部」とし、「静止とは同じ場所にとどまること」「運動とは場所の変化である」としていた（ただしこれは公表されなかった）。
空間 自然哲学における空間
ニュートンは、古代以来の「場所により空間の性質が異なる」という考え方に変化をもたすことにもなった。ニュートンは、天界の惑星の運動と地上の物体の落下が同一のしくみによってもたらされているとしても説明可能だと見抜き、「万有引力の法則」を公表した（『自然哲学の数学的諸原理』）。ニュートンはユークリッド幾何学を用いて、自らの理論体系を構築した。（当時、人類が知っていた幾何学はユークリッド幾何学だけであった。。）よって、ニュートン力学においては空間は、無限に広がる3次元のユークリッド空間と想定されていることになる。
『自然哲学の数学的諸原理』の冒頭部分の「定義」に続く箇所において、絶対空間と絶対時間という概念を導入した。「そのnature本性において、外界のいかなるものとも関係がなく、常に同じままで、不動の」と説明されている。ニュートンの力学体系では、空間は均一の性質で広がるものと想定されるようになり「絶対空間」と呼ばれたのである。また、ニュートンは同著においてその説明につづいて、絶対運動および相対運動について説明を行ない、バケツの中に水を入れ回転させる実験の説明を行った。
空間 自然哲学における空間
また、ニュートンは宇宙の空間のすべての位置・点が、全ての天体の位置と質量を知っているということから、空間というのは「神の感覚中枢 (sensorium dei)」であると述べた。神は絶対性を有しており、宇宙のあらゆる空間に神はあまねく存在している（遍在している）としたのである。（『光学』）。
ライプニッツは空間というのは、同時に存在する事物の秩序、ととらえた。空間は表象と表象との関係によって定義される、とした。よってライプニッツの考えでは、ニュートンが言うような絶対空間というようなものは否定した。
絶対空間と相対空間の考え方について議論が行なわれた。
絶対空間は、英国の自然哲学者ニュートンが唱えた空間概念で、連続的で均質な無限の広がりを想定している。
これは、ドイツのライプニッツによる批判の対象となった。ライプニッツは、相対空間という概念を提示した。ライプニッツによれば、空間とは諸物の関係であり、空間の存在は、その中の諸物の関係を、幾何学などにより合理的に説明できれば証明されるとした。これは、空間の性質を、諸物の位置ならびに位置相互にある距離として表現するものであった。ニュートン（およびその支持者）とライプニッツ（およびその支持者）の間には、激しい論争が闘わされ、何度も書簡（第1-5書簡）のやりとりがなされた。
空間 自然哲学における空間
ライプニッツの第2書簡においては、宇宙における物質の量に関してニュートンを批判しつつ、真空などという概念はないときっぱりと否定した。ライプニッツはその理由として、宇宙に物質の量が多ければ多いほど神の力と知恵を行使できる機会が多いのだから、物質のない虚ろな空間はありえない、とした。第5書簡では、水銀をいれたガラスのチューブを用いたトリチェリの実験（1643年）も引き合いに出し、アリストテレス主義者やデカルト主義者らの見解も提示しつつ「空気を抜かれたガラスのチューブには光線が通過することからして小さな穴があいているに決まっている。そしてその穴は空気は通さないけれど、磁気などの希薄な流体を通すのであって、ガラス容器の中にはそのような微小な物質がつまっていると考えるべきである」と述べた。（ライプニッツのこの説明は、現在の物理学における磁場などの、目に見ることも触れることもできない「場」の概念を先見するものだったとも評価されている。
第4書簡では、万有引力についても攻撃し、「離れた物体同士が、まったく仲介するものなしで互いに引き合うとか、（ある物体のまわりを）物体がまわる（接線方向に進んでゆくことを妨げるものがないのにそうならない）ということも、超自然的だ。このようなことは、ものごとの本性からは説明できない」と非難した。ライプニッツの支持者らもニュートンの万有引力の理論を「オカルトだ」と非難した。
空間 物理学における空間
ニュートンはニュートン力学を、3次元ユークリッド空間、すなわち、すべての方向に無限に拡がる果てしのない均質なもので物質の存在から独立した空虚な容器であり、やはり均質に空間や物質とは切り離されて存在し進行する時間がある、という大前提のもとに記述した（いわゆる「絶対空間」と「絶対時間」、時間#ニュートン力学での時間も参照）。
19世紀後半には、ニュートン力学の再構成が盛んになり、できれば「絶対空間」という概念（仕組み）は抜きで運動を理解しよう、とする試みが盛んに行なわれるようになった。なぜなら、たとえばマクスウェルの方程式（1864）から、光速はいかなる観測者からも一定、という、絶対空間と絶対時間という枠組から見ると奇妙な結論が得られる。そういったほころびが目立つようになってきたからである。
空間 物理学における空間
エルンスト・マッハ（1838-1916）は、観察されることをそのまま記述する方法で科学を再構築することを構想しており、ニュートン力学体系における「絶対空間」や「絶対時間」の概念を、形而上学的な要素の残滓（のこりかす）だとして否定した（『力学の発展史』）。また、カール・ノイマンやルートヴィヒ・ランゲは、ニュートンのように先に空間と時間を仮定してから運動を定義するのではなく、反対に、（観察される）運動と運動の法則から「慣性系」という基準系の構造を構築しようとした。「絶対空間」と呼ばれるものを見たり認識したことがある人は、未だかつて誰もいなかったのである。マッハの思想は後述するアインシュタインに影響を与えた。
ローレンツは、「絶対空間においてエーテルが静止している」とし「宇宙は絶対静止しているエーテルと運動する荷電粒子からなる」とする宇宙論によって、ニュートン的な絶対空間の概念を保持していた。
この考え方を支持する人は多く、地球のエーテルに対する運動の効果を地上で測定するという実験が繰り返し行なわれた。マイケルソン・モーリーの実験である。実験結果はエーテルの存在を証明するものではなかった。ローレンツは、「運動する時計は遅れる」とする仮説と、「運動するものさしは収縮する」とする仮説によって、実験結果も受け入れつつ なんとかしてエーテルの存在を認めつづけようとした。
空間 物理学における空間
アルベルト・アインシュタインは、ローレンツの考えとは異なった観点から着想し、「全ての慣性基準系は対等であって、特権的な基準系はない」とする仮説と、「あらゆる慣性基準系において真空中の光の速度は一定である」とする仮説によって、ニュートン力学の理論体系を組みなおし、空間と時間に関して新しい考え方を提示した（相対性理論を参照）。ここにおいて、空間は時間と連関して扱われることになり、4次元の時空という概念が現れた。
アインシュタインの一般相対性理論以来、重力は空間の歪みと考えられ、空間は曲率がゼロのユークリッド空間ではなく一般にはリーマン空間で表されることになった。そして重力の源は質量であるので、空間は内部の物体とは無関係に存在する単なる容器ではなく、内部の質量自体が空間の構造に影響を与えていることになる。
エドウィン・ハッブルらによって、島宇宙（銀河）が遠ざかっていることが発見されてからは、やがて宇宙は一定であるとする定常宇宙論以外に、宇宙が膨張しているとするビッグバン仮説が登場し、両者は拮抗するようにもなり、やがてビッグバン理論の支持者の割合が大きくなった（宇宙論を参照）。
空間 物理学における空間
また、20世紀初頭からはじまった数々の物理実験によって、真空は何も含まない「無」なのではなく、エネルギーや構造を持つことが解明された（例えば「ディラックの海」、「カシミール効果」を参照のこと）。このような真空の性質を記述するために場の量子論が1930年代に登場し、やがて素粒子の標準模型へと進化した。標準模型においては、真空と不可分な電磁場や電子場、ヒッグス場などが存在し（電磁場、量子場、ヒッグス場も参照）、粒子は真空を構成する場の励起状態であると解釈されている。宇宙のあらゆる場所に共通の電子の場が存在するために、どこで電子を生成しても、その質量や電荷などの諸性質は全く同一になる（例えば、他のものに比べて質量の小さい電子は生成できない）。また、磁石は真空を構成する電磁場を影響するために、遠距離でも目に見えない引力や斥力が発生すると解釈される。電荷を勢いよく振動させると、電磁場中に光子が励起され無限遠に向かって伝搬する。こうした真空の概念の転換によって、原子や素粒子の性質が極めて正確に予言できるようになった。1960年代には、電磁相互作用と弱い相互作用を統一した電弱理論が確立され、1980年代に実験的に検証された。現在、さらに電弱理論と強い相互作の理論を統一する統一場理論を作り上げようと努力しているが、理論の予測と陽子崩壊等の実験結果に矛盾があるために、困難に直面している。
空間 物理学における空間
なお、19世紀末に信じられていたエーテル仮説では、真空中にエーテルと呼ばれる媒質が満たされており、地球がエーテル中を運動するとエーテル風が観測されると考えられていた。エーテルは真空と分離可能で直接観測が可能な液体のような媒質であると考えられていたが、該当する現象が観測されなかったために、エーテルの存在は現在では実験的に否定されている。一方、場の量子論における「場」とは、電磁場のように真空と分離することのできない広がりをもったものを指す。携帯電話に電波が届くのは、空間中のあらゆる場所に目に見えない電磁場が満たされており、携帯電話がその電磁場を励起するからである。電波が伝搬しない真空を作り出すことが不可能であるように、電磁場は真空とは不可分であると考えられる。したがって、エーテル風に類似する効果は場の量子論ではおこらない。
現代の自然科学者は、物理学における空間を「物理的空間」、数学などにおける空間を「抽象空間」と呼ぶこともある。
超弦理論においては、空間は9次元である、としている。ただし9次元のうち6次元は、現在観測できないほどに小さく折りたたまれていて観測できないとする。超弦理論では、「9次元空間 + 時間」の「10次元時空」が想定されている。小さな6次元は、カラビヤウ多様体のような形態であるという。
物理関連項目
空間 数学における空間
数学においては、ある集合を「入れ物」に、特定の条件を構造（とくに幾何学的構造）としていれて「幾何学的対象」と考えるとき、入れ物となる集合を空間 （くうかん、space）と呼ぶことがある。その場合、集合の元は空間の点と呼ばれる。入れ物となる空間に複数の構造が考えられるときには、構造ごとに異なる空間があると考えることが自然であることも少なくない。この場合、空間とは「入れ物となる集合とその集合の上に定義される構造との組のことである」として考えていることになる。
集合と条件から公理的に構成される空間をとくに抽象空間（ちゅうしょうくうかん、abstract space）と呼んで、具体的な空間と区別することがある。たとえば、ベクトル空間は線型演算の定義できる集合という条件で定まる抽象空間のことだが、実数全体の成す集合 R のような具体的な空間がベクトル空間の構造を持つかどうかということとは独立に、ベクトル空間の公理のみによってその性質などについて統一的に論じることができる。
空間 数学における空間
空間に定義される幾何学的な構造とは、たとえば 「近さ」「向き」「位置関係」「広がり」 のようなものがそうなのであるが、座標や函数のような、通常は代数学的な構造であるとか解析学的な構造であると見なされるようなものも、一部に含んでいる。ホモトピーやホモロジー、コホモロジーは、空間やその幾何学を計算のしやすい代数系によって捉えるという代数的位相幾何学の思想に基づく産物である一方、不変量として空間を規定する幾何学的な構造の一種であると捉えられる。
空間 数学における空間
ユークリッド空間は空間の雛形として幾何学的な構造を様々に含んでいる。たとえば、「近さ」について、ユークリッド距離と呼ばれる距離函数によって距離空間の構造を備えている。空間（の中の図形）が閉じているとか開いているとか、あるいは「広がり」具合に関して限界があるとか、繋がっているとか離れているとか、収束・発散、とかいった概念は、ユークリッド空間であれば距離の言葉で解釈して、論じることができる。一般には距離を定めることのできない抽象空間で近さを論じるために、位相空間や一様空間といった抽象空間の類が定義される。また、ユークリッド空間上の函数やその解析学は、ユークリッド空間の局所的な振る舞いを明らかにし、微分構造を備えた多様体としての姿を浮き彫りにする。それは、座標による表示を通して、空間上の微分が存在する接空間のベクトル空間としての構造と、その張り合わせとして捉えることもできる。とくに三次元空間では、空間の向きや距離をベクトルの内積や外積などによって把握するベクトル解析が詳しく展開される。
空間 数学における空間
位相空間は、開集合や閉集合の全体がどうなっているべきであるかを明らかにすることで定義されるが、それによって他の多くの幾何学的な構造が統一的に調べられる、非常に広い空間概念である。一方、函数や収束・発散あるいは完備といった、空間の解析学を展開するために必要な性質は一様空間の性質として理解されることも少なくはない。
多様体の場合に限らず、集合上の函数の集まりは、空間の持つ情報を様々に写し取るために、それを空間と双対的な存在の「空間」と見なすようなこともしばしば行われる。こういった函数空間の考察は、多くの場合代数的な道具を空間の研究に導入する便宜を提供することになる。
空間に対して、空間上の自己準同型のつくる作用素環などの函数環および、その上の加群を新たな空間として考えたり、非可換環上の幾何学を展開する場としての非可換空間を通常の空間の変形版と見なす非可換幾何を考察したりといった直接的な影響に留まらず、点の集まりとして定義される空間という点集合論を超えて、詳細な情報を得るには点の不足している空間に対して、函数空間の代数的な情報によって元の空間の情報を引き出したりするようなこと、あるいは抽象代数的な構造物を積極的に幾何学的な空間として捕らえるような代数幾何学的な思想が、現われてくる。
代数幾何学やその応用としての数論幾何学では、局所コンパクト群であるユークリッド空間のようなよく知られた（ふつうの）空間のみならず、たとえば位相空間として離散空間となるさまざまな有限群や離散群のような、およそ図形とは思えないようなものが各所で重要な意味を持つなど、興味深いたくさんの抽象空間が扱われる。
数学関連項目
空間 地理学における空間
空間は人文地理学において基本概念の1つである。地理学方法論ごとに異なる空間概念が存在する。
空間概念について検討が行われるようになったのは、第二次世界大戦後に伝統的地理学への批判として計量地理学が成立してからであった。伝統的地理学は、地域の個別性を記述する地誌学であり、空間は地域のことで、地域的特徴を人間と環境の関係で説明しようとした。一方、計量地理学は空間の科学、空間分析の科学としての地理学を主張し、空間的分布の差異を普遍的な空間因子（距離、位置など）で説明しようとした。計量地理学で扱われる空間は、ユークリッド幾何学の成立を前提とした古典物理学の絶対空間である。この空間は、事物から独立した客観的空間であった。
一方、実証主義地理学への批判として、行動地理学では人の知覚から認識された空間である「知覚された空間」が着目された。知覚された空間はメンタルマップとして地図化される。また、現象学を基盤とした人文主義地理学では、主観性、人間性を重視する実存的空間が扱われ、場所という空間概念が提示された。
他方、社会理論を援用した地理学の理論化において着目された構造化理論では、人間の行為と社会構造との関係の理論化で空間を用いている。ここで新たな空間概念として地域化(regionalization)が導入された。
空間 地理学における空間
社会と空間の関係についても検討が進められ、マルクス主義地理学を背景に資本主義の社会空間形成の研究が行われた。アンリ・ルフェーブルは、空間は社会的経験により生産されると主張し、空間の生産概念を提唱した。都市化社会では空間自体が生産・消費・消費の対象となり、空間に対する資本投資が資本の循環を形成している。デヴィッド・ハーヴェイはルフェーブルの理論を精緻化した。この空間概念の特徴として、都市空間の土地や、土地に結びついた施設（ハーヴェイのいうところの建造環境）のみならず、資本の循環プロセスも空間に含めていることが挙げられる。
ポストモダン地理学では、エドワード・ソジャが第三空間を提唱した。また、空間と権力についても、表象空間や心象地理の観点から議論が行われている。
ポスト構造主義地理学のうち関係性(relationality)に着目した方法論により、関係空間(relational space)という、事物間の関係で構成される空間概念が発生した。関係空間は、空間の内部での事物のつながりに着目し、一方絶対位置や縮尺は重要視されない。
空間 造園における空間
造園計画やランドスケープデザインの対象となって創出されたり、または環境保全されたり景観操作された、一つのまとまった構造をもつ空間を造園空間という。ここでの一つのまとまりとは、周囲を囲まれた園、つまり物的なまとまりとしての空間だけを指すのでなく、景色や風景として一望できるまとまりある構造をも指している。造園空間の特徴をその空間構成の形式の点から建築空間との比較でいうと、ひとつ目の特徴は屋根のない床や壁による構成であり、すなわち外部空間であることが挙げられる。二つ目の特徴は、空間の構成要素が生命ある植物や水、土、石といった自然材であること、三つ目に、空間構成の観点が用と景にたとえられるように機能と外観のデザインが相互調整におかれることがあげられる。
造園空間の史的展開を空間事例であげると、フランスやスペインでは宮殿の庭園として発展し、イタリアではヴィラと呼ばれる別荘の庭園として、日本では寺院庭園等として、イギリスでは狩猟園地としてのパークや共有地としてのボストンコモンが都市公園として展開してきたことを知る。またアメリカ合衆国では、近代都市公園と国立公園としての自然公園が発生、展開した。
空間 造園における空間
現在日本で成立している造園空間を示すと個人庭園から公館庭園までを含む各種庭園、都市公園に代表されるが、遊園地・スキー場・ゴルフ場・別荘地までを含む各種レクリエーション空間やリゾート空間、並木道や緑道から高速道路造園といった交通系の造園空間がある。これらの造園空間は、そうした空間が立地成立する地域空間の序列を備えていて、日常生活圏域で見受けられる造園空間から、より広域的な圏域に数箇所限定して成立するものまである。また、造園空間の土地所有や運営、経営の面からみると、公的造園空間と私的造園空間とがある。
この分野では造園作品と造園空間とを区分してとらえる傾向がある。
空間 社会学における空間
社会学における空間分析において決定的な影響を与えたのが1960-1970年代の空間論的転回である。空間論的転回によって、空間は社会的活動にとっての基本的な素材とみなしつつ、同時に社会的に生産されたものと考えられるようになった。したがって、たとえば、「社会空間」は、この両義性を含み合わせた概念として使用される。この流れを生み出したのは、アンリ・ルフェーヴル、ミシェル・ド・セルトー、デヴィッド・ハーヴェイらである。
社会学における社会空間論としては、マニュエル・カステルの「フローの空間」論、アルジュン・アパデュライの「スケイプ」論がよく知られている。
空間 文化考における空間
哲学・地理学・社会学からの派生・応用になるが、ユネスコが世界遺産や無形文化遺産に考え方を反映させている。
空間 人間の空間認識
人間の空間認識は、空間を表現する言語と関係が深い。
縦と横、前後、左右、上下など空間の関係に関する言葉はたくさんある。
大小、長い・短い、太い・細いなど、空間を占める状態を表す言葉もたくさんある。
ゲオルク・カントール
ゲオルク・フェルディナント・ルートヴィッヒ・フィーリップ・カントール（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor [ˈkantoːɐ̯], 1845年3月3日 - 1918年1月6日）は、ドイツで活躍した数学者。
ゲオルク・カントール 業績
素朴集合論の確立者。自然数と実数の間に全単射が存在しないことを対角線論法によって示す一方、R と Rn の間に全単射が存在することを証明した。連続体仮説に興味を持ち研究を続けたが、存命中に成果は得られなかった。連続体仮説については、後にゲーデルとポール・コーエンの結果によって一応の解決をみている。自身の集合論の矛盾も発見しているが、カントール自身はこうしたパラドックスは集合論を発展させていく上でプラスになる存在であると考え、あまり問題視していなかった。
ゲオルク・カントール 生涯
1845年にロシアのサンクトペテルブルクで生まれた。父はカトリック教徒のゲオルク・ボルデマー・カントール (Georg Woldemar Cantor)、母は音楽家の家系のマリア・アンナ (Maria Anna) 。ユダヤ人の血筋で音楽家や宗教家などを輩出した家系であった。
デデキントとの交流は、初期集合論の発展のきっかけとなった。ドイツのライプツィヒ近郊のハレ大学で教えていた。晩年、次第に精神を病み、最後はハレのサナトリウム (Halle Nervenklinik) でこの世を去った。
ゲオルク・カントール 生涯
ゲオルグ・カントールは1845年にロシアのサンクトペテルブルク西部の商人の入植地で生まれ、そこで11歳まで育てられた。6人兄弟で最年長だったカントールは傑出したバイオリニストとみなされていた。彼の祖父フランツ・ベーム（バイオリニストのヨーゼフ・ベームの兄）はロシア帝国のオーケストラで有名な音楽家・ソリストだった。カントールの父はサンクトペテルブルク株式取引所のメンバーだった。彼が病気になったとき、1856年に家族はサンクトペテルブルクよりも冬が穏やかな地を求めてドイツに移住した。初めはヴィースバーデンに、その後フランクフルトに移った。1860年、カントールはダルムシュタットの実科学校を優秀な成績で卒業した。彼の卓越した数学の能力、特に三角法の能力が特筆された。1862年8月、ダルムシュタット高等商業学校（現在のダルムシュタット工科大学）を卒業した。1862年、カントールはチューリッヒ工科大学に入学した。1863年7月の父の死に際して相当な遺産を受け取った。
カントールはベルリン・フンボルト大学に移り、レオポルト・クロネッカーやカール・ワイエルシュトラス、エルンスト・クンマーらの講義を受けた。彼は1866年の夏をゲッティンゲン大学で、その後数学の研究所で過ごした。カントールは優秀な学生で、彼は1867年に博士号を得た。
ジョエル・シルバー
ジョエル・シルバー（Joel Silver, 1952年7月14日 - ）は、アメリカ合衆国の映画プロデューサー。
『リーサル・ウェポン』、『ダイ・ハード』、『マトリックス』の各シリーズなど、実力ある監督たちと組み、派手な視覚効果を満載したアクション映画を製作して知られる人物である。シルバー・ピクチャーズを率いるほか、1999年にロバート・ゼメキスと共同でホラー映画専門の制作会社ダーク・キャッスル・エンターテインメントを設立した。
ジョエル・シルバー 来歴
シルバーはニュージャージー州サウスオレンジで育った。彼は同州メープルウッドにある名門コロンビア高校に在籍中、友人らとフリスビーをしているうちに「アルティメット・フリスビー」（現在のアルティメット）という競技の創始者の一人になった。1970年にペンシルベニア州のラファイエット・カレッジ進学後、彼は初の大学アルティメットチームを結成している。彼は映画教育などで知られるニューヨーク大学の芸術学部、ティッシュ・スクール・オブ・アーツで学位号を得た。
彼は映画界に進んだ。ローレンス・ゴードンの製作会社「ローレンス・ゴードン・ピクチャーズ」で働き、最初に名前がクレジットされたのは1979年公開の映画『ウォリアーズ』だった。1980年には自身の製作会社「シルバー・ピクチャーズ」を設立した。最初に製作したのは1984年公開の映画『ストリート・オブ・ファイヤー』だった。
ジョエル・シルバー 人物
彼は建築家フランク・ロイド・ライトのファンであり、彼の設計した住宅を数軒所有・保全している。1984年にウェスト・ハリウッドにあった「ストーラー邸」を買い、建設当時の姿に修復した。ストーラー邸の内装にある、特徴ある四角い形態の連続したレリーフは、シルバー・ピクチャーズのロゴマークとなっている。1986年にはサウス・カロライナ州にある長年放置されてきた「オールドプラス・プランテーション」を買っている。
来日の際、日本の映画について訊かれアニメ『AKIRA』がお気に入りであると述べており、実際、映画化権を取得(ただし映画化には至らず2021年公開予定のタイカ・ワイティティ監督作品には関与無い模様)。2008年には『スピードレーサー』が世界公開。大ヒットした『マトリックス』はウォシャウスキー監督がプレゼンテーションで見せた『攻殻機動隊』の実写化を念頭にゴーサインを出している。
アレクサンドル・グロタンディーク
アレクサンドル・グロタンディーク（独: Alexander Grothendieck, 1928年3月28日 - 2014年11月13日）は、フランスで活動したユダヤ系数学者。
構造から全体を捉える高度な抽象化により数学を革新し、「20世紀最大の数学者」とみなされている。倫理・社会・政治にも関心を向け、急進主義者としてアナキズム的思想を展開。反戦、反権威、自然共生を訴え、晩年は隠遁し哲学へ傾倒した。
アレクサンドル・グロタンディーク 業績
主要な業績にスキームの考案による代数幾何学の大幅な書き直し、l-進コホモロジー(エタール・コホモロジー)、クリスタリンヌ・コホモロジーの発見によるヴェイユ予想への貢献、モチーフおよびモチヴィック・ガロア群の考察、遠アーベル幾何学の提唱、子供のデッサン (Dessins d'enfants) の考察等、基本的かつ深い洞察から多くの新たなる分野を開拓した。他降下理論、グロタンディーク群によるK理論への貢献、トポスの理論、アーベル圏によるホモロジー代数の統合、ガロア圏および淡中圏によるガロア理論の一般化などの業績がある。またドリーニュ、イリュージー、ベルテロ等多くの有名な数学者を育てた。数論幾何という用語を提案したのもグロタンディークである。
アレクサンドル・グロタンディーク 生涯
実父はウクライナ出身でアナキストのサシャ・シャピロ、母はハンブルク出身でジャーナリストのヨハンナ・ハンカ・グロテンディク。出生時は母の結婚相手ヨハネス・ラダッツ（Johannes Raddatz）の子として「アレクサンダー・ラダッツ」と命名された。しかし二人は1929年に離婚、シャピロは彼を認知したがハンカと結婚はしなかった。ベルリンで過ごしたのち、ナチスを避けて父がフランスへ渡ったのに続いて母と共にパリへ移る。
その後ナチスのフランス占領に伴い拘留され、母親と共にフランスの収容所へ送られたが脱走、母はギュルス強制収容所で終戦を迎え、グロタンディークはオート＝ロワール県ル・シャンボン＝シュル＝リニョンで潜伏生活を送った。父サシャも戦時中、アウシュヴィッツ強制収容所に収容された。シャンボンのセヴェンヌ高校（現在のLe Collège-Lycée Cévenol International）で数学の魅力に開眼した。
アレクサンドル・グロタンディーク 生涯
終戦後にモンペリエ大学を卒業、ナンシー大学に移りデュドネのもとで研究を始めた。初期の業績に関数解析学に関する研究がある。その後、セールらの影響から彼の関心は代数幾何学へ移り、1950年代後半からのスキーム論による代数幾何学の書き換え、ホモロジー代数、層論、圏論などへの貢献（特に1957年の論文 グロタンディークのトーホク・ペーパー）はそれぞれの分野だけでなく数学全体に決定的な影響を与えた。ヴェイユ予想の解決を目標と定め、そのために代数幾何を根底から書き直し、「代数幾何原論 (Éléments de Géométrie Algébrique, ÉGA)」をエウクレイデスの「原論」と同様に13巻刊行しようとした。しかし1巻から4巻まで約1500ページのみが書かれ、5巻以降は未完成。13巻までの内容は弟子たちとともに行われた「マリーの森の代数幾何セミナー (SGA)」という書物となって刊行されている。（1巻から7巻まであり、約6500ページである）。ヴェイユ予想に最も貢献したのはグロタンディークの発見した新しいコホモロジー、「エタール・コホモロジー (Cohomologie étale)」であり、Cohomologie l-adique, Cohomologie cristallineなど新しいコホモロジー論を発見。また、ファルティングスによるモーデル予想の解決もグロタンディークのスキーム論を使ったものであった。彼の業績は、数論、代数幾何、位相幾何を統合するものだと評される。ヴェイユ予想そのものは、グロタンディークが切り開いた道具立てを用い、弟子のピエール・ルネ・ドリーニュにより未解決の二つが解決された。ジャン・デュドネとともにIHÉSの最初のパーマネントの数学の教授に選ばれる。1966年にフィールズ賞を受賞、1988年にクラフォード賞を受賞（本人は辞退）。1980年代初頭にフランスの市民権を申請したが認められたかは明らかではない。
アレクサンドル・グロタンディーク 生涯
反戦運動と環境問題に熱心だったことから、1970年頃にIHÉSに軍からの資金援助があることを知ると、彼は即座にIHÉSを辞職。その後は、数学から距離を置いた隠遁生活を送るようになった。1985年には自伝的作品『収穫と蒔いた種と』(Récoltes et semailles) を執筆しており、これは邦訳が1993年に出版されている。1988年に彼とドリーニュに対してクラフォード賞が与えられたが、彼は受賞を固辞した。1991年に彼は家族のもとを去り、その後ピレネー山脈のふもとのアリエージュ県ラセールで隠遁生活を送り、タンポポのスープなどの粗食で命をつないでいた（同地に住んでいたことは死後に判明した）。2003年8月には「グロタンディークは元気だが、あいかわらずだれにも会いたがらない」と伝えられている。
2010年1月、グロタンディークはリュック・イリュージーに手紙を書き、許諾のないすべての著作を削除する依頼をした。
これを受けて、多くのインターネットコンテンツが削除された。
2014年11月13日の朝、ラセール近くのサン＝ジロンの病院で死亡。86歳没。
2017年5月、遺された膨大な手書きメモや草稿、タイプ原稿、などの一部（約1万8千ページ）がデジタルアーカイブとして仏モンペリエ大学のサイトにて公開された。
アレクサンドル・グロタンディーク 12テーマ
『収穫と蒔いた種と』(Récoltes et Semailles) において自身の得た成果のうち注目すべき12テーマをあげている。