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カミーユ・サン＝サーンス 音楽
長くオルガニストの職を務めながら、気乗りせず作品を遺さなかった弟子のフォーレとは異なり、サン＝サーンスはオルガン独奏のための楽曲を少々ながらも発表している。教会での礼拝のために書かれた作品には『Offertoire』（1853年）、『祝婚曲』（1859年）、『Communion』（1859年）などがある。マドレーヌ寺院を離れた1877年以降からはさらに10曲をオルガンのために書いており、2つある『プレリュードとフーガ』（1894年、1898年）など、大半は演奏会用となっている。初期作品にはハーモニウムもしくはオルガンのいずれでも演奏できるように書かれたものもあったが、前者をまず念頭に置いた楽曲もわずかとはいえ存在する。
カミーユ・サン＝サーンス 音楽
サン＝サーンスは1840年代から晩年に至るまでの間、40を超える室内楽曲を作曲した。このジャンルでの最初の大作としてはピアノ五重奏曲（1855年）が挙げられる。これは明快かつ自信に満ちた作品で、活発な楽章に挟まれる形で配置される緩徐楽章にはコラール風、そしてカンタービレの2つの主題が用いられている。七重奏曲（1880年）はトランペット、2つのヴァイオリン、ヴィオラ、チェロ、コントラバス、ピアノという特殊な編成となっており、17世紀のフランスの舞踏形式に依拠した新古典的な作品である。この作品の作曲期間は、サン＝サーンスがラモーやリュリなどのバロックの作曲家の作品の、新エディションを準備していた時期に重なっており、この曲および複数の「組曲」ではバロック期の舞曲形式へのいち早い興味が示されている。さらにフルート、オーボエ、クラリネットとピアノのための『デンマークとロシアの歌による奇想曲』（1887年）、ヴァイオリン、チェロ、ハーモニウムとピアノのための『舟歌』（1898年）という例からも、サン＝サーンスが時に王道を外れた編成を用いることがかわる。
カミーユ・サン＝サーンス 音楽
ラトナーの考えでは、サン＝サーンスの室内楽曲で最も重要なのはソナタである。ピアノ伴奏で計7曲、ヴァイオリンのために2曲、チェロのために2曲、オーボエ、クラリネット、ファゴットのために1曲ずつがある。ヴァイオリンソナタ第1番は1885年の作品で、『グローヴ音楽事典』はこの作品を作曲者の最上級、そして指折りの特徴を有するものに位置付けている。第2番（1896年）はサン＝サーンス作品の様式的変化を示しており、ここで聞かれる軽さ、透明さの増したピアノの音色は、以降の音楽の特色となっていくものである。チェロソナタ第1番（1872年）は、30年以上前に彼にピアノの演奏を教えた大おばの死後すぐに書かれた。この曲は深刻な作品となっており、技巧的なピアノ伴奏の上でチェロが主要な主題素材を保持する。フォーレはこの作品を世界中で唯一の、あらゆる点で重要なチェロソナタであると呼んだ。第2番（1905年）は4楽章構成で、スケルツォに主題と変奏を置くという珍しい特徴を持っている。
木管楽器のためのソナタはサン＝サーンス最後の作品群で、独奏の機会を得にくいこれらの楽器のレパートリーを拡充しようという取り組みの一環であった。サン＝サーンスは1921年4月15日に友人のジャン・シャンタヴォワーヌに宛てた手紙の中で次のように打ち明けている、「金を稼げないため不人気な楽器の演奏を聴いてもらえるよう、今、最後の力を注いでいます。」ラトナーはこれの作品について「飾り気のない、心に訴える、古典的な音、記憶に残る旋律、そして見事な楽曲構造がこれら新古典的主義運動の金字塔を際立たせている」と評する。ガロワはオーボエソナタについて、アンダンティーノの主題で旧来の古典的ソナタのように開始し、中央部分には豊かで色彩溢れるハーモニーがあり、モルト・アレグロの終楽章はタランテラの形式で繊細さ、ユーモア、魅力に満ちている、と述べている。ガロワにとっては3曲の中でクラリネットソナタが最も重要で、彼はこれを「茶目っ気、気品、思慮深いリリシズムに溢れた傑作」であって、「その他の総まとめ」となるに至っているとする。この作品では緩徐楽章の「悲しみを湛えた挽歌」が、18世紀の様式を彷彿とさせる終楽章の「4/4拍子のピルエット」と対比されている。またガロワはファゴットソナタを「透明さ、生命力、軽妙さ」の模範であると呼び、ユーモラスな筆致を内包しつつも穏やかな瞑想の瞬間もあるとする。サン＝サーンスはさらにコーラングレのためのソナタを作曲する意思を示していたが、これは実現しなかった。
サン＝サーンスの最も有名な作品である『動物の謝肉祭』（1887年）は、一般的な室内楽曲からはかけ離れているものの、11人の奏者のために書かれており、『グローヴ音楽事典』では室内楽曲の一部に分類されている。『グローヴ音楽事典』はこの作品について「彼の最も喜劇要素の強い作品であり、オッフェンバック、ベルリオーズ、メンデルスゾーン、ロッシーニ、そして彼自身の『死の舞踏』と7曲の流行歌をパロディにしている」と評する。この曲の軽薄さが真面目な作曲家としての自分の名声を傷つけることを懸念したサン＝サーンスは、自らの存命中に本作を演奏することを禁じていた。
サン＝サーンスは音楽録音の分野の先駆者だった。1904年6月にロンドンのグラモフォン・カンパニーはプロデューサーのフレッド・ガイズバーグを送り、サン＝サーンスの演奏を録音している。『アスカニオ』と『サムソンとデリラ』からアリアを歌うメゾソプラノのメイリアンヌ・エグロンの伴奏者としての演奏、またピアノ協奏曲第2番の編曲（管弦楽なし）の断片などの自作のピアノ曲の演奏であった。サン＝サーンスは1919年に同社でさらに録音を制作している。
LPレコードの初期には、サン＝サーンスの作品は不揃いな形で音盤に収められていた。『The Record Guide』（1955年）は、様々な版の『死の舞踏』、『動物の謝肉祭』、『序奏とロンド・カプリチオーソ』、その他の短い管弦楽曲に並んで、交響曲第3番、ピアノ協奏曲第2番、チェロ協奏曲第1番の録音を一つずつ挙げている。20世紀終盤から21世紀初頭には、その作品の多くがLPレコード、そしてその後CD、DVDの形で発売された。2008年の『ペンギン・ガイド』はサン＝サーンス作品の録音に10ページを割いており、協奏曲、交響曲、交響詩、ソナタ、四重奏曲の全曲を網羅している。さらに初期のミサ曲やオルガン曲集、合唱曲集も取り上げられている。1997年には27曲のサン＝サーンスの歌曲集の録音が発売されている。
『サムソンとデリラ』を除くと、オペラの録音はまばらである。1992年に『ヘンリー8世』の録音がCDとDVDで刊行された。『エレーヌ』は2008年にCDで発売された。『サムソンとデリラ』にはコリン・デイヴィス、ジョルジュ・プレートル、ダニエル・バレンボイム、チョン・ミョンフンらの指揮者によって、複数の録音が行われている。
カミーユ・サン＝サーンス 栄誉と評価
サン＝サーンスは1867年にレジオンドヌール勲章のシェヴァリエに叙され、1884年にオフィシエに昇級、1913年にグラン・クロワに昇級を果たした。海外の栄典には1902年のイギリスロイヤル・ヴィクトリア勲章（CVO）、ケンブリッジ大学の名誉博士号（1893年）、オックスフォード大学の名誉博士号（1907年）がある。さらに1901年にはドイツのヴィルヘルム2世からプール・ル・メリット勲章を授与された。
『タイムズ』紙は、死亡を伝える記事に次のように記している。
サン＝サーンス氏の死は、フランスから国の最大級の作曲家を奪っただけではない。彼の死によって、19世紀に典型的な偉大なる音楽運動の最後の代表者が世界から失われたことになる。彼は活発な精力を保ち当代の活動に非常に近い距離を保ち続けたが故、習慣的に彼をフランス作曲界の「長老」と語るようになっていたとはいえ、彼が音楽史の中に実際に占めていた位置は忘れられがちであった。彼はブラームスよりもわずか2歳年少、そしてチャイコフスキーよりも5歳年長、ドヴォルザークより6歳年長、そしてサリヴァンよりも7歳年長なのである。彼が自国の音楽の中で得ていた立ち位置の部分部分は、自身の領域にいたそれらの巨匠たちそれぞれと、ちょうど比べることが出来るだろう。
カミーユ・サン＝サーンス 栄誉と評価
1890年に『Mea culpa』と題した短詩を発表したサン＝サーンスは、その中で堕落を知らぬ己を責め、若さによる過剰な熱意へ賛意を述べつつも、それを自分が持たなかったことを嘆いている。あるイギリスのコメンテーターは1910年にこの詩を引用しつつ、「彼の心は先へ押し進まんと望む若者と共にある、なぜなら彼が当時の進歩的理想に肩入れしていた若き日の自分を忘れていないからだ」と述べている。サン＝サーンスは革新と伝統的形式の間のバランスを求めていた。評論家のヘンリー・コールズは彼の死から数日後にこう書いている。
彼の「完全な平衡」を維持するという希望の中に、一般の音楽好きに対するサン＝サーンスの訴求の限界が見出される。サン＝サーンスは、仮にあったとしても、滅多にリスクを取らない。彼は、さしあたってスラングを使うならば、「自制心を失う」(goes off the deep end) ということがない。同時代の大巨匠は皆していることなのに。ブラームス、チャイコフスキー、そしてフランクですらも、達成したい目的のためであれば全てを犠牲にする用意があり、必要とあらばそこへ至るための試みに嵌りこんでいく。サン＝サーンスは自らの平衡を保ち、それによって聴衆が平衡を保つことを可能とするのだ。
カミーユ・サン＝サーンス 栄誉と評価
『グローヴ音楽事典』のサン＝サーンスの項は次のような言葉で締められている。彼の作品は際立った一貫性を見せる一方で「彼が特色ある音楽スタイルを発展させたとは言えない。むしろ、彼はワグネリアンの影響に飲み込まれる危機に瀕していたフランスの伝統を守り、後進を育成する環境を整えたのである。」
本人の死後、サン＝サーンスの音楽に同情的な物書きらは、彼がごく僅かな楽曲、『動物の謝肉祭』、ピアノ協奏曲第2番、ヴァイオリン協奏曲第3番、交響曲第3番『オルガン付き』、『サムソンとデリラ』、『死の舞踏』、『序奏とロンド・カプリチオーソ』といった作品でしか、音楽好きの人々に知られていない現状に遺憾を表明している。ニコラスは彼の大規模作品の中から、レクイエム、クリスマス・オラトリオ、バレエ『ジャヴォット』、ピアノ四重奏曲、七重奏曲、ヴァイオリンソナタ第1番を忘れられた傑作として選び出している。2004年にスティーヴン・イッサーリスは次のように述べた。「サン＝サーンスはまさに彼の音楽祭を開く必要があるような種類の作曲家である（中略）ミサ曲もあって、それらは全て興味深いものだ。彼のチェロ音楽は全て演奏しているが、ひとつたりとも悪い曲はない。彼の作品はあらゆる意味でやり甲斐がある。そして彼は尽きることのない魅力を備えた人物だ。」
「彼の偉大な名声も、またそれに続く軽視も、共に誇張されすぎてきた」と評されるように、サン＝サーンスの音楽はしばしば不公平な評価を受けてきたが、1980年代ごろからふたたび彼への関心が高まり、再認識が進んでいる。
ジュール・マスネ
ジュール・エミール・フレデリック・マスネ（Jules Emile Frédéric Massenet, 1842年5月12日 - 1912年8月13日）は、フランスの作曲家。オペラで最もよく知られ、その作品は19世紀末から20世紀初頭にかけて大変人気があった。現在も特に『マノン』、『ウェルテル』、『タイス』は頻繁に上演され、主要なオペラハウスのレパートリー演目となっている。『タイス』の間奏曲である『タイスの瞑想曲』は、ヴァイオリン独奏曲としても人気がある。
フランス、ロワール県のモントー (fr:Montaud (Loire)) に生まれた。若い頃にマスネはパリ国立高等音楽学校に入学し、そこで当時彼が熱烈に尊敬していた作曲家アンブロワーズ・トマに師事した。1862年に国内最高の音楽賞であったローマ賞を受賞した後、彼はさまざまなジャンルを作曲したが、いつの間にかオペラだけが広く知られるようになっていた。1867年から死去する1912年までの間、彼はオペラ・コミック、抒情詩、さらにはオラトリオ、カンタータ、バレエ、オーケストラ作品などにも手を染めた。その結果、彼は立て続けに成功を収め、フランスのオペラを代表する作曲家となった。
ジュール・マスネ
当時の多くのフランスの作曲家と同様に、マスネはパリ国立高等音楽学校の教授になった。彼はそこで1878年から18年間に渡って作曲を教えたが、院長のアンブロワーズ・トマが死去した1896年に辞任した。彼の生徒にはギュスターヴ・シャルパンティエ、エルネスト・ショーソン、ガブリエル・ピエルネ、レイナルド・アーン、シャルル・ケクランなどがいた。マスネのオペラはフランス内外で根強い人気を誇っていたが、作曲家の死後に多くの批評家から時代遅れであるとみなされるようになった。数10年間放置されていた後、20世紀半ばに彼の作品が再評価され始め、それ以来、また多く上演・録音されるようになった。モーツァルト、ヴェルディ、ワーグナーほどの知名度こそないものの、彼のオペラは現在、ベル・エポック時代のよく練られた産物として広く受け入れられている。
ジュール・マスネ 生涯
マスネはフランス、ロワール県モントー (fr:Montaud (Loire)) で生まれた。モントーは今でこそサン＝テチエンヌの都市部の一地区となっているが、当時は辺鄙な小村であった。彼はアレクシス・マスネ Alexis Massenet（1788年 - 1863年）と2番目の妻エレオノール・アデレード Eléonore-Adelaïde 旧姓ロワイエ・ド・マランクール Royer de Marancour（1809年 - 1875年）の間に生まれた4人の子供の末っ子であった。先輩の兄弟はジュリー Julie、レオン Léon、エドモント Edmondという名前だった。父は裕福な鉄商人、母はアマチュア音楽家で、マスネも母からピアノの手ほどきを受けた。1848年初頭までに一家はパリに移住し、サン・ジェルマン・デ・プレのアパートに定住した。マスネはリセ・サン・ルイで教育を受け、1851年または1853年にはパリ国立高等音楽学校で教育を受けた。マスネは1851年10月、9歳のときにオーベール、フロマンタル・アレヴィ、アンブロワーズ・トマ、ミケーレ・カラファからなる審査員の前でオーディションを受け、すぐに入学を認められたというが、この情報源は信頼性の低い回想録である。彼の伝記作家デマー・アーヴィンは、オーディション・入学が1853年1月であると記している。マスネは1848年、家族とともにパリに移り住む。幼いころから楽才を示し1853年、11歳でパリ国立高等音楽学校へ入学した。初めてのオペラは1867年にオペラ＝コミック座で上演した一幕ものの作品であったが、彼がチャイコフスキーやグノーに並ぶ賞賛を勝ちえたのはオラトリオ劇『マグダラのマリア』によってである。
ジュール・マスネ 生涯
音楽院でマリー・ガブリエル・オーギュスタン・サバール（Marie Gabriel Augustin Savard）にソルフェージュを、フランソワ・ローラン（François Laurent）にピアノを学んだ。彼は 1855 年の初めまで、ほんの少しの成績を収めながら音楽への研究に没頭していた。だがやがて父の健康状態が悪くなり、医師の助言を受けてマスネ一家はパリから南フランスのシャンベリに移住した。マスネはシャンベリでの生活は2年間続いたと回想している。ヘンリー・セオフィラス・フィンク（Henry Theophilus Finck）らは、一家が1855年10月にパリと音楽院に戻ったと記録している。帰国後、彼はモンマルトルの関係者に指示し、勉強を再開した。1859年に彼は音楽院のピアニストに授与される賞を受賞するまで成長した。それでも家庭はどんどん貧しくなって、もはや楽ではなくなり、マスネは自立するためにピアノの弟子達を連れて歌劇場の打楽器奏者を務めた。歌劇場での仕事により、彼はグノーを代表する他の作曲家の古典・現代のオペラに関する十分な知識を得ることができた。音楽院の学生の多くは教会のオルガニストとして本格的なキャリアを積んでいたので、マスネもそれに従ってオルガンのクラブに所属しようとしたが、成功せず、すぐにやめる。その後彼はピアニストとして利益を得るようになり、そのキャリアを積む中でワーグナーに出会った。
ジュール・マスネ 生涯
マスネは普仏戦争に兵士として従軍し、その間作曲活動を中断したが、1871年に戦争が終わると、創作活動に復帰した。1878年からはパリ国立高等音楽院の教授を務めた。同音楽院での彼の教え子にはギュスターヴ・シャルパンティエ、ガブリエル・ピエルネ、レイナルド・アーンやシャルル・ケクランなどがいる。彼の最大の成功は、1884年の『マノン』、1892年の『ウェルテル』と1894年の『タイス』である。特筆すべき後の作品として『ドン・キショット（ドン・キホーテ）』があり、1910年にモンテカルロで初演され、ロシアの伝説的バス歌手フョードル・シャリアピンが主役をつとめた。
ジュール・マスネ 生涯
マスネはリヒャルト・ワーグナーのライトモティーフの技法を使用したが、これにフランス風の軽妙さと叙情性を加えており、甘美なメロディーとフランス的なエスプリが特徴である。ドライで真面目であったヴァンサン・ダンディは、マスネが「秘められた、ほとんど宗教的なエロティシズム」（un érotisme discret et quasi-réligieux ）を用いていると批判しているが、生涯を通じてマスネは世界で最も人気のある作曲家であったし、その傑作には今日なお色あせない快活さと魅力がある。マスネは申し分のないメロディメーカーであり、まさに「舞台人」であり、よきにせよ悪きにせよ、誰が聞いても間違いなく彼の作品だとわかるような強い個性を持った、唯一的な芸術家であった。
オペラの他に、バレエ、オラトリオ、カンタータ、オーケストラ作品、また200以上の歌曲を作曲している。幾つかの作品は広範な人気をもち、今でも頻繁に演奏されている。例えば、ヴァイオリン独奏とオーケストラで演奏される『タイス』の『瞑想曲』は殊に有名であるし、ピアノの練習曲としてよく用いられる、オペラ『ル・シッド』の「アラゴネーズ」や歌曲『エレジー』もよく知られる。
ジュール・マスネ 作品リスト
マスネのオペラ作品一覧も参照
ピアノ曲
トッカータ
タイスの瞑想曲
タイスの瞑想曲（タイスのめいそうきょく、"Méditation" (発音: [meditasjɔ̃]) ）は、ジュール・マスネが作曲した歌劇『タイス』（1894年3月16日ガルニエ宮で初演）の第2幕第1場と第2場の間の間奏曲。その甘美なメロディーによって広く知られている。本来はオーケストラと独奏楽器（ヴァイオリン）にコーラスの形であるが、室内楽編曲も多い。
日本における演奏(録音)のもっとも早い例として、1935年に15歳の諏訪根自子がSPレコード（コロムビアレコード）で録音を残している。
タイスの瞑想曲 概要
「タイスの瞑想曲」は、オペラ『タイス』の第2幕の第1場と第2場の間で演奏される器楽の間奏曲（w:entr'acte）である。
第2幕第1場で、修道僧アタナエルは、美貌の快楽主義の高級娼婦（クルチザンヌ）でヴィーナスの巫女の、タイス(アレクサンドリアの聖タイス)に対峙して、豪奢で享楽的な生活から離れ、神を通じた救いを見出すように彼女を説得する。
出会いの後のタイスの熟慮の間に、「瞑想曲」が管弦楽によって演奏される。
「瞑想曲」の後の第2幕の第2場で、タイスはアタナエルに、自分は砂漠へと彼を追っていくことを告げる。
本作はニ長調の作品でおよそ5分程度の演奏時間である(無数の楽曲解釈によって6分程度になるものもある)。
マスネはまた宗教的意図を伴った作品として書いた。彼の、本作は宗教的雰囲気で(厳密な速度で、あるいは文字通り宗教的な感情でのどちらを意味しうる) 、歩くようなテンポで演奏されるべきであるという意図を表して速度の指示は「宗教的なアンダンテ（"Andante religioso"）」である。
タイスの瞑想曲 概要
ハープによる短い導入部をともない始まり、ヴァイオリンの独奏ですぐに、Fis-D-A-D-Fis-H-Cis-Dのメロディで有名な主題に入る。ヴァイオリンが2度メロディを演奏した後、「いきいきに（animato）」と指示された部分へと中間部へ入り次第に情熱的になっていく(マスネはpoco a poco appassionatoと書いている)。中間部は同主調ニ短調におさまらない複雑なものである。クライマックスは「すこし情熱的に（poco piu appassionato）」と指示された部分へと到達し、それからソロによる短いカデンツァのようなパッセージへと続き、主題へと戻る。これは形式に通りの再現部である主題が2度演奏された後、ハープと、弦が静かにソロラインの下支えをし、ソロヴァイオリンは和声の上に当たる部分を演奏し、ソロはオーケストラと一緒になる。コーダはヴァイオリンのフラジオレットなどを使用した優美なもので「甘美で静かに（"dolce e calmato"）」終わる。
タイスの瞑想曲 オーケストラ
本作は、ヴァイオリン独奏、フルート2、オーボエ2、イングリッシュホルン、クラリネット、バスクラリネット、ファゴット、コントラファゴット、ホルン4、コーラスSATB、ハープ2と弦5部で演奏される。
ソロバイオリンは、総じてコンサートマスターによって演奏されるか特別なソリストがオーケストラの前に立って演奏する。
コーラスはマスネによって、オペラのセットのカーテンを後ろで歌うフルコーラスと演奏会場のオーケストラの間に座った5人から8人のソロによって歌うように指示されている。
タイスの瞑想曲 演奏と翻案
アンコール曲の定番として知られ、ジョシュア・ベル、サラ・チャン、アンネ＝ゾフィー・ムター、イツァーク・パールマン、マキシム・ヴェンゲーロフといった世界的なバイオリニストが各地の有名オーケストラとの共演でこの曲を演奏している。ピアノ伴奏用に編曲された版や、バイオリン以外の楽器に編曲された版もあり、ジュール・デルサールがチェロ用に編曲した版をヨーヨー・マがキャサリン・ストットのピアノ伴奏で録音しているほか、フルートのジェームズ・ゴールウェイ、ユーフォニウムのアダム・フレイ、トランペットのセルゲイ・ナカリャコフといったソリストが、オーケストラ伴奏で演奏した実績もある。
UIMカード
UIMカード（英: User Identity Module Card）またはUSIMカード（英: Universal Subscriber Identity Module Card）は、GSM携帯電話で使われているSIMカードをベースにして拡張された第3世代移動通信システムのうち、W-CDMA（UMTS）方式用に用いられるICカード。特に区別せずに「SIMカード」と呼ばれることもある。
UIMカード 概要
電話番号などの個人情報はUIMカードに書かれているため、カードを交換することで、別の携帯電話機でも利用することができる。国外などで通信方式の違う国際ローミングの場合でも、対応電話機へUIMカードを入れ換える（プラスチックローミング）ことで利用できる（一部の端末では端末とUSIMカードの認証を行っているため、USIMカードの差し替えでは動作しない場合がある）。
日本国内オペレータの場合、概ね大日本印刷とジェムアルト日本法人（端子仕様として、統合前のアクサルト日本法人と日本ジェムプラスの2種類がある）のいずれかが製造元となっている（NTTドコモのみ両方存在する）。ソフトバンクモバイルのプリペイドUSIMカードが採用するG&D（ただし、DNPからのOEM版も存在する）などに一部例外がある。
UIMカード 概要
FOMA（NTTドコモ）のFOMAカードやドコモUIMカード（ドコモUIMカードは、LTEサービスであるXiおよび厳密な意味での4Gの要件のひとつであるキャリア・アグリゲーション対応のサービスのPREMIUM 4G対応機契約時に発行されるが、取扱店でのFOMAカードの在庫がなくなり次第、FOMA契約でも発行される）、SoftBank 3G（ソフトバンクのSoftBankブランド）のSoftBank 3G USIMカード、旧：イー・アクセスのEM chipなどのW-CDMA機や、KDDIのVoLTE対応機専用品や、3G通信非対応のタブレット向けのau ICカードで使われる（VoLTE専用端末以外等に使用するものは、後述のようにR-UIMカードとなり厳密には異なる仕様となる）。ソフトバンクの場合は、利用端末や契約形態によって数種類のカードに分けられている。
MVNO事業者の場合、独自のUIMカードを発行するケース（ディズニー・モバイルのディズニー・モバイルUSIMカード等）とMNOと同一のもの（2010年9月以前のWILLCOM CORE 3GのFOMAカードなど）を採用する事業者が存在する。
CDMA 1X WIN（au（KDDI / 沖縄セルラー電話））のau ICカードは、CDMA2000方式とGSM方式のデュアルであることから、R-UIMカード（Removable User Identity Module card）として、UIMカードとは区別して呼ばれる。また、国際規格としては、CDMA仕様のSIMカードとして、CSIMカードと呼ばれるものがあり、これにGSMでも使えるようにしたものが、実質的にはR-UIMカードといえる。一般的に、W-CDMAが使えるかCDMA2000が使えるかの違い以外の差異はそれほど無いものの、厳密には異なる仕様となっている。
なお、VoLTE対応版およびLEと名のつくカードは、CDMA通信に非対応のため、正式なUIMカードとなる。
Uniform Resource Identifier
Uniform Resource Identifier（ユニフォーム リソース アイデンティファイア、URI）とは、抽象的または物理的なリソースを識別するためのコンパクトな文字列のことである。また、一定の書式によってリソース（資源）を指し示す識別子である。統一資源識別子（とういつしげんしきべつし）とも。
1998年8月に RFC 2396 として規定され、2005年1月に RFC 3986 として改定された。URI はUniform Resource Locator (URL) の考え方を拡張したものである。URIによって示されるリソースは限定されておらず、インターネット上に存在しない対象や抽象的な概念を示す場合もある。
Uniform Resource Identifier 設計
URI には、以下の2つのサブセットがある。
Uniform Resource Locator (URL)
リソースの「場所」を識別する。ネットワーク内の位置を示してリソースを同定する。
Uniform Resource Name (URN)
リソースの「名前」を識別する。もしネットワーク上にリソースがなくなっても、一意で永続的な識別を行えるようにする。例えば urn:ietf:rfc:2648 というURNは、RFC 2648への参照を示す。
2001年、W3CはRFC 3305内で、上記の考え方を古典的な見解とした。以降、従来のURLとURNとはすべて「URI」と呼ばれることになり、URLやURNといった語はW3Cによって非公式な表現とされた。
一方、2012年、WHATWGによって開始されたURL Standard（URLを標準化を目指す規格書）では、URIの概念を表す語に「URL」を用いている。規格書では、語「URL」を標準化した理由を二つ挙げている。一つ、URIとIRIは混同されやすく、いずれも同じアルゴリズムを用いている。そのため、それらを区別する利点がない。二つ、Google Trends（2025年時点）で「URI」と「URL」の二つの語を比較すると、「URL」の方が優位である。つまり、インターネット上では、「URL」という言葉を使用しているユーザーの方が多い。
Uniform Resource Identifier 設計
URL Standardでは、目標の1つとしてRFC 3986 (URI) とRFC 3987 (IRI) に代わる標準になることを掲げている。現在、唯一の標準には至っていないが、W3CのURL規格の公式ページでは、このURL Standardのスナップショットをワーキンググループノートとして公開している。
以下のURI共通構文はすべてのスキーム構文で扱うスーパーセットの定義である。なおこの節（下位含む）では2005年1月に発表された RFC 3986 を主に出典とする。
構文図と各コンポーネントの解説は次の通り。
scheme（スキーム）
URIはこの「スキーム」と呼ばれる識別子から始まり、省略できない。階層的識別子（Hierarchical Identifiers）である:（コロン）はスキームの区切り文字でスキーム名の最後に挿入する。スキーム名は文字で始まり、文字、数字、+（プラス記号）、-（ハイフン）、.（終止符）で構成される文字列となる。大文字と小文字を区別しないが、一貫性を保つために小文字の使用を推奨している。
authority（権限）
Uniform Resource Identifier 設計
権限は//（ダブルスラッシュ）の区切り文字から始まる。userinfo（ユーザー情報）やhost（ホスト）の扱いは各スキームよって異なる。URIの考案者であるティム・バーナーズ＝リーは2009年10月12日（現地時間）、ニューヨーク・タイムズにて権限の区切り文字であるダブルスラッシュについて「必要ではないことが判明した」と述べている（※規格制定時に、ダブルスラッシュでとする必然性は無かったとの趣旨であり、制定済みの規格（発言当時の規格）において、これが無くとも問題はないという趣旨ではない。）。
path（パス）
URIに権限が含まれている場合、パスに文字がなくても/（スラッシュ）で始める必要があり、このことからパスを省略することはできない。権限が含まれていない場合は//で始めることはできない。さらに相対パスである場合は:から始めることはできない。パスに?（疑問符）、#（番号記号）を含む、あるいは末尾の場合、パスの終わりを示す。階層的（hierarchical）に構成されたデータが含まれ、階層は/で区切る。
query（クエリ）
クエリは?の区切り文字から始まり、#また末尾で終える。パスと違い、階層的なデータを含まない。RFC 3986、第3章4節において明確な構文は示されていない。
Uniform Resource Identifier 設計
fragment（フラグメント、素片）
フラグメントは#の区切り文字から始まる。任意な扱いで、プライマリ（一次）リソースを参照し、セカンダリ（二次）リソースへ提供するフラグメント識別子を含む。クエリと同様に明確な構文は示されていない。一例としてプライマリリソースがHTMLドキュメントの場合、要素のid属性に何かしらの値を指定し、フラグメントにも同様の値を指定することで、ウェブブラウザは表示の際にその要素の位置までスクロールする。ウィキペディアでは「アンカー」と呼ばれる機能が該当する。
上記で列挙した文字は、URI共通構文で区切りとして予約された文字（Reserved Characters）であるため、コンポーネント内で直接使用することはできない。なお[と]（角括弧）はIPv6の区切り文字である。sub-delimsはURIスキームの仕様によって定義されることがある。
パーセントエンコーディング（Percent-Encoding）は上記で列挙した予約文字などをURIで使えるよう、別の形式に変換する。名前のとおり、パーセント記号%とオクテットを16進数で表現した文字を組み合わせた形式で表す。例えばスペース（空白）文字 をパーセントエンコーディングすると%20に変換される。
Uniform Resource Identifier 設計
予約されていない文字（Unreserved Characters）は、制約がなく、コンポーネント内で自由に使える文字。予約されていない文字は次の通り（RFC 3986 第2章3節）。
なおチルダ~は古いURIの仕様によってしばしば%7eに変換されることがある。しかしチルダ含め、予約されていない文字の変換は本来必要ない。
http/httpsスキームの構文を使った例：
#共通構文と同じコンポーネントの解説は除く。
userinfo（ユーザー情報、認証情報）はホスト:ポートよりも先に記載する必要がある。開始の区切り文字はなく、@（アットマーク）で区切ることでユーザー情報の終わりを示す。ユーザー情報の形式はuser:passwordである。URIにユーザー情報が付加され、かつその情報が正しければウェブブラウザは認証ダイアログを表示せずプライベートページを表示させることができる。認証情報を平文で示すため、パスワードを含んだ認証情報は非推奨である。これはURL Standardでも同様である。
host（ホスト）はhttp/httpsスキームにおいて必要な権限であり、省略することはできない。port（ポート）はスキームのデフォルトポートであれば省略できる。
Uniform Resource Identifier 設計
クエリはパスに対しての引数であるがその構文は明確に示されていない。一般的な利用法は、「名前」と「値」の組み合わせ（名前-値ペア、またはキーペアなど）で扱われ、構文にするとkey=valueとなり、「名前」と「値」の間は=（イコール）で結ぶ。このペアが複数存在する場合、上記構文例のように&（アンパサンド）で繋げる。クエリはWebサーバーおよびクライアント側で処理できる。URL StandardではJavaScript上でクエリ文字列を簡単に扱えるようURLSearchParams()メソッドが実装されている。
フラグメントはクライアントのみ影響する。URIを決定する際、アプリケーションはフラグメントを除外してからサーバーにリクエストを送る。
IANAに登録されているスキームで、利用が続いている一部を掲載する。
javascript
ウェブブラウザやHTMLドキュメントでJavaScriptを実行する手段として用いられている。ドラフト状態であったが2011年3月29日に期限切れを迎えた。
Uniform Resource Identifier プログラミング環境でのサポート
いくつかのプログラミング言語や環境では、ネットワーク通信などでURIを扱う際に便利なクラスライブラリなどが標準的に用意されている。Javaではjava.net.URIが、.NETではSystem.Uriが用意されている。Androidではandroid.net.Uriクラスが用意されている。通例、ネットワークリソースだけでなく、ローカルのファイルシステム上におけるリソースを統一的に指し示す目的でも使用される。
方程式
数学において方程式（ほうていしき、英: equation）とは、未知数である変数を含む等式である。
方程式 用語等
方程式を成り立たせる未知数の値を方程式の解（かい、英: solution）という。また、解を求めることを方程式を解く（とく、英: solve）という。
方程式の最も典型的な形は未知数と呼ばれる項を含んだ等式である。方程式における未知数はしばしば x などの特定の慣習的な文字によって表され、「様々に値を変える数である」という観点から変数と呼ばれたり、あるいは「特定の値を持つわけではない」という観点から不定元と呼ばれることもある。
方程式に含まれる変数に対して、変域と呼ばれるある特定の範囲の値で変数を置き換える操作を考えることができるが、これは代入と呼ばれる。各変数に代入されるべきものは、数値・関数・式など様々であり、それぞれの変数がどのような変域を持つかは文脈に依存している。
未知数に値の代入が行われて初めて、方程式が等式として成立するか否かの評価が行われる。そして、与えられた方程式を等式として成立させるような未知数の値を方程式の解と呼び、方程式の解を全て求めることを方程式を解くと言う。ふつう方程式の解は変域のとりうる任意の値ではなく、何らかの特定の値に制限を受け、時には存在しない場合すらありうる。
方程式 用語等
実数（または単位的環）全体を変域とする変数 x に関する等式
のような、変数にどんな値を代入しても成り立つ方程式はその変域上の恒等式と呼ばれる。
一般には1つの方程式に変数が1つであるとは限らない。代入の際に同じ文字は同じ値をとるという約束の下で変数が複数存在する方程式を多元方程式あるいは多変数方程式 (multiple variable equation) などと言う。あるいはさらに、方程式として与えられる等式が1つである必要はない。方程式が1つではなく複数ある時、やはり同じ文字は同時に同じ値をとるという前提が成り立つならば、方程式は系をなすや連立するなどと言い、その複数本の方程式を一括りにして方程式系（ほうていしきけい、system of equations）もしくは連立方程式（れんりつほうていしき、simultaneous equation）などと呼ぶ。
方程式 各分野
代数学は特に2種類の方程式を研究する：多項式の方程式と、中でも一次方程式である。多項式方程式は、P をある多項式として、P(X) = 0 の形である。線型方程式は、a を線型写像、b をベクトルとして、a(x) + b = 0 の形である。それらを解くために、線型代数学や解析学から来る、アルゴリズム的あるいは幾何学的手法を用いる。変数の動く範囲を変えることにより方程式の性質が大幅に変わり得る。代数学はディオファントス方程式、すなわち係数と解が整数の方程式も研究する。用いられる手法は異なり、本質的に数論のものである。これらの方程式は一般に難しい。しばしば解の存在あるいは非存在を決定し、存在するときはその個数を調べるだけである。
幾何学は図形を記述するために方程式を利用する。目的はやはり前の場合とは異なり、方程式は幾何学的性質を調べるために利用される。この文脈では方程式の種類に2つの大きなものがある。直交座標系における方程式とパラメトリック方程式である。
方程式 各分野
解析学は f(x) = 0 の形の方程式を研究する。ここで f は、連続、微分可能、収縮、といったある種の性質を持った関数である。解析学の手法では方程式の解に収束する列を構成できる。目的はできるだけ正確に解を求められるようにすることである。
微分方程式は1つ以上の関数とその導関数を含む方程式である。導関数を含まない関数の表示を見つけることによって解かれる。微分方程式は連続的に変化し得る対象のダイナミクスを調べるためにしばしば利用される。微分方程式によって特徴づけられる連続的な数理モデルは、物理学、化学、生物学、経済学など様々な分野において、それぞれの対象に対し用いられる。
方程式 各分野
力学系は、解が列あるいは1変数あるいは多変数の関数であるような方程式によって定義される。中心的な問題が2つある。始状態（しじょうたい、英: initial state）と漸近的挙動（ぜんきんてききょどう、英: asymptotic behaviour）である。各初期条件、例えば列あるいは関数の 0 での値、に対し方程式は一意な解を持つ。大抵の系について、始状態を少しだけ変更した場合、解もまた僅かだけ変化することが期待され、実際そのように振る舞う。しかしすべての場合でそうというわけではなく、ある始状態の近傍では解が著しく異なることがある。このような初期条件に関する鋭敏性は第一の問題の目的である。解の極限でのあるいは漸近的振る舞いは変数が無限大に行くときの解の形に対応し、この振る舞いが第二の問題の目的である。解が発散しなければ、次のいずれかとなる。1つの値に近づくか、あるいは、循環的な振る舞い（周期関数か、値が同じ有限集合を同じ回数ずっと動き続ける列）に近づくか、あるいは、解が定義により決定的であったとしてもランダムに進展するように見えるカオスな振る舞いをする。
方程式 分類
与えられた等式がどのようなものであるかということによって、方程式には幾つかの分類がある。以下に代表的な方程式の種類を挙げる。
両辺を多項式 (polynomial) とする等式によって表された方程式を代数方程式と言う。多項式 p(·) によって与えられる変数の組 (x, y, z,...) を未知数とする方程式
の解 (x, y, z,...) のことを p の根 (root) または零点 (zero) とも言う。代数方程式はさらに、一次方程式、二次方程式といったように、多項式の次数 (degree) d により d 次方程式 (d-ic equation, d th degree equation) に分類される。
四次以下の一変数代数方程式は多項式の係数に関する四則演算と根号を用いて解を表すことができる。代数方程式の解のようすを調べる研究は、群の概念の導入など、ガロア理論を始めとする19世紀の代数学の発展の大きな原動力の1つとなった。
歴史上の数学の発展において様々な代数方程式の解を求める試みはそれまでになかった新しい数の体系を生み出してきている。その最も古い例として、古代ギリシアにおける無理数の発見をもたらした、正方形の辺と対角線の比 x に関する方程式
方程式 分類
が挙げられる。さらに、三次方程式
の実数解表示を与えるカルダノの公式
は複素数の発見につながった。また、量子力学における粒子の位置と運動量の間に成り立つ正準交換関係
は系の状態を通常の数（C 数、classical number）の組でなく作用素で与える範例をもたらした。
数の等式ではなく関数の等式で与えられる方程式を関数方程式と呼ぶ。
関数方程式によって決定される関数を未知関数 (unknown function) と呼び、方程式中のそれ以外の関数は既知関数 (known function) として区別される。特に関数とその導関数に対して関係式を与えることで得られる微分方程式は、物理学の研究から興味深い実例を与えられ、逆にその研究成果が物理学に寄与するなど、物理学との関連が深い。一方純粋数学的には層の理論などと結びついて興味深い結果が得られている。微分方程式はさらに常微分方程式と偏微分方程式に別けられる。
連続的な変数に関する微分の近似として、離散系における差分によって定式化された差分方程式の考察がしばしば有用である。微分方程式と差分方程式では様々な類似概念や類似手法が並行して通用するため、同じ事象の連続的な側面と離散的な側面とを表していると考えることもできる。
方程式 分類
また、方程式の形のみならず「重ね合わせの原理が働く」か否かという、解の状態についての分類が考えられる。解の重ね合わせが考えられる方程式を線型方程式、そうでないものを非線型方程式と呼ぶ。解の重ね合わせはベクトル空間の概念と結びつき、線型性という観点から線型代数学の様々な概念や手法を適用することが可能になる。とくに微分方程式を代数的に取り扱うという立場においては線型微分方程式は最も基本的な対象となる。
重要な数学的概念の導入・発展をもたらした関数方程式に、熱方程式や超幾何関数の微分方程式、可積分系に対するKdV方程式・KZ方程式が挙げられる。
微分方程式や差分方程式の解は、一般解と特異解とに分類されることがある。
一般解
方程式 分類
微分方程式や差分方程式の解の多くは、積分定数などの任意定数や、任意関数を含む形で記述されることが多い。例えば、n 階の常微分方程式であれば n 個の積分定数を持つ。このように、任意定数や任意関数を含む形で書かれる解のことを 一般解 (general solution) と言う。また、一般解に含まれる個々の解のことを特殊解 (particular solution) あるいは特解と言う。一般解に含まれる任意定数や、任意関数に特定の値や関数を与えることによって得られる解は全て特殊解である。一般解が任意定数を係数とする関数の線型結合で表される場合、この既知の関数の組を基本解系と呼び、その要素を基本解 (elementary solution) と言う（基本解系を単に基本解と呼ぶこともある）。
特異解
一般解はその名前から「方程式の解のすべてを表現したもの 」と誤解されることが多いが、一般解だけでは表現できない解が存在することがある。この一般解で表されない解を特異解 (singular solution) と言う。
有名な例としては、クレローの方程式
は、一般解
の他に特異解
を持つ。
方程式 自然科学における方程式
自然科学が取り扱う様々な量の間に成り立つ関係は方程式として記述されている。とくに17世紀のガリレイやケプラー以降の物理学における種々の基本的な法則はふつう数学的な方程式によって表されてきた。また、化学における様々な媒質の平衡状態や生物学における大規模な個体群における個体数の変移に関する種々の法則も数学的な方程式によって表されている。
方程式 転用表現
俗語として諸問題を解決する時に最も適切な方法という意味に転用して使われることもある。例としては「恋愛の方程式」、勝利の方程式などがあり、スポーツ新聞や読み物に分類されるような書籍、インターネット上の一般サイトなど、さして形式張らない場ではしばしば見受けられる。この意味では「公式」も同様に使われる。
ただし、「公式」の場合は、俗称と一般的な用語の両方とも解決策である。しかし、「方程式」の場合は俗称では解決策であるが、一般的には本項で示す通り解決していない問題を含む等号で結んだ単なる式のことである。
関数
関数（かんすう、英語: function）には、以下のような用法がある。函数とも書く。
Concurrent Versions System
Concurrent Versions System（コンカレント・バージョンズ・システム、並行バージョンシステム）は、通常CVS（シーブイエス）と略される、テキストファイルの変更を記録し管理するバージョン管理システム。自由ソフトウェアである。
Concurrent Versions System 概要
主にソフトウェアの開発におけるソースコードを始めとしたテキストファイルの共有（保存、取出し）に使われる。テキストファイルの枝分かれした版を管理することができる。
枝分かれ（並行ヴァージョン）の機能を使わなくても、ファイルの直線的な追加改変を追いかけるのに使うことができる。特にダウンロードをする場合、サーバ上のファイルと自分の持っているファイルの差分を転送するだけで最新版を手にいれることができるので、開発途中のプログラムの配布にも使われる。
通常、CVSサーバを用意してファイルの共有をする。CVSサーバにアクセスするCVSクライアント・プログラムは、コマンドラインのcvsを始め、GUIによるラッパーや、統合開発環境向けのプラグインが多数作られている。
CVSは、ネットワークでの使用を考慮した最初のソースコード管理システムであって、フリーウェアだったので、1990年代を通じて広く利用された。しかし、後述するような欠陥が明らかになるにつれ、これらの問題を改善した、Subversion、Perforce、Git などの新しいツールに取って代わられた。
Concurrent Versions System RCSとの比較
CVSは元々、単一のファイルを対象としたバージョン管理ツールであるRCSの上に作られていたが、現在は依存はなくなった（リポジトリ内のデータ保持は依然として RCSのそれである）。$Id:$などのキーワードは、その名残である。更にRCSは、diffなどのUNIX系のテキスト処理プログラムの上に作られている。
RCSは、マルチユーザーシステム（1台のコンピュータに、複数のダム端末が接続され、CPUやファイルシステムが共有されている）の上で、同じファイル/フォルダを共有した状態で使われたのに比べ、CVSではCVSサーバとして別のコンピュータ上に用意することもできる。
同一ファイルを複数人で同時編集した場合のコンフリクトに対するアプローチも異なる。RCSはファイルをロックする事で同時編集を禁止する。対するCVSでは、RCSのような強固なロックメカニズムは、もたない。すなわち、同時編集を許可する代りにコンフリクトが生じた場合、コミット時にマージ操作が必要とされる。
位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん、英: topological space）とは、集合に位相（英: topology）という構造を付加したものであり、この構造はその集合上に収束性の概念を定義するのに必要十分である。
位相空間の諸性質を研究する数学の分野を位相空間論と呼ぶ。
位相空間 概要
位相空間は、前述のように集合に「位相」という構造を付け加えたもので、この構造により、例えば以下の概念が定義可能となる
実はこれらの概念はいわば「同値」で、これらの概念のうちいずれか一つを定式化すれば、残りの概念はそこから定義できる事が知られている。したがって集合上の位相構造は、これらのうちいずれか１つを定式化する事により定義できる。そこで学部レベルの多くの教科書では、数学的に扱いやすい開集合の概念をもとに位相構造を定義するものが多い。
その他にも
といった概念も位相構造を用いて定義できる。
上述した概念はいずれも元々距離空間のような幾何学的な対象に対して定義されたものだが、距離が定義されていなくても位相構造さえ定義できれば定式化できる。これにより、位相空間の概念は、幾何学はもちろん解析学や代数学でも応用されており、位相空間論はこうした数学の諸分野の研究の基礎を与える。位相空間の概念の利点の一つは、解析学や代数学などの研究対象に幾何学的な直観を与えることにある。
このような観点からみたとき、位相空間論の目標の一つは、ユークリッド空間など幾何学の対象に対して成り立つ諸性質を解析学などにも一般化することにある。従って学部レベルで学ぶ位相空間論の性質の多くは、ユークリッド空間などの幾何学的な対象では自明に成り立つ(例えば各種分離公理や可算公理)。
位相空間 概要
位相空間論ではこうした幾何学的な性質をいかに一般の空間へと拡張するかが問われるので、位相空間の概念自身は非常に弱く、かつ抽象的に定義される。しかしその分個別の用途では必要な性質が満たされないこともあり、例えば位相空間上では収束の一意性は保証されない。そこで必要に応じて、位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものが研究対象になることも多い。前述した収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。学部レベルの位相空間論の目標の一つは、こうしたプラスアルファの性質の代表的なものを学ぶ事にある。
位相空間となる代表的な空間としては、ユークリッド空間をはじめとした距離空間がある。距離空間は必ず位相空間になるが、逆は必ずしも正しくない。すなわち、距離構造は位相的構造よりも遥かに多くの情報を持った強い概念であり、距離空間としては異なっても位相空間としては同一の空間になることもある。
例えばp≧1を固定して実数空間上にℓp距離
を入れた距離空間を考えてみると、はpにより異なるにもかかわらず、位相空間としては同一のものになる。
位相空間 概要
これは（ε-N論法やε-δ論法による極限の議論で用いるε-近傍はpに依存して異なるにもかかわらず）、収束の有無や収束先の点はpによらず一致する事からもわかる。
より一般に、ユークリッド空間をゴム膜のように連続変形したものは、元のユークリッド空間とは距離空間としては異なるが、位相空間としては同一であり、収束するか否かという性質も互いに保たれて不変である。
以上のように、連続性や収束性といった概念を考えたり、連続変形を対象とした研究を行ったりするときには、距離空間の概念は柔軟性に欠けるところがあり、位相空間というより弱い概念を考える積極的動機の一つとなる。
他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。
位相空間 概要
位相空間の概念の代表的な応用分野に位相幾何学がある。これは曲面をはじめとした幾何学的な空間（主に有限次元の多様体や単体的複体）の位相空間としての性質を探る分野である。前述のようにゴム膜のように連続変形しても位相空間としての構造は変わらないので、球面と楕円体は同じ空間であるが、トーラスは球面とは異なる位相空間である事が知られている。位相幾何学では、位相空間としての構造に着目して空間を分類したり、分類に必要な不変量(位相不変量)を定義したりする。
位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。例えば無限次元ベクトル空間を扱う関数解析学の理論を見通しよく展開するにはベクトル空間に位相を入れて位相空間の一般論を用いることが必須であるし（位相線型空間）、代数幾何学で用いられるザリスキ位相は、通常、距離から定めることのできないような位相である。
また、位相空間としての構造はその上で定義された様々な概念の制約条件として登場することがある。例えばリーマン面上の有理型関数のなす空間の次元は、リーマン面の位相構造によって制限を受ける(リーマン・ロッホの定理)。また三次元以上の二つの閉じた双曲多様体が距離空間として同型である必要十分条件は、位相空間として同型な事である(モストウの剛性定理)。
位相空間 定義
位相空間にはいくつかの同値な定義がある。
位相空間の定式化に必要な概念である開集合とは、直観的には位相空間の「縁を含まない」「開いた」部分集合である。
ただし、上では分かりやすさを優先して「縁を含まない」「開いた」と説明したが、これらの言葉を厳密に定義しようとすると位相空間の概念が必要である。そのため、これらを使って開集合を定義するのは循環論法になる。また、ここでいう「縁」(=境界)は通常の直観と乖離している場合もあり、例えば実数直線上の有理数の集合の境界は実数全体である。
そこで位相空間の定義では、「縁を含まない」とか「開いた」といった概念に頼ることなく、非常に抽象的な方法で開集合の概念を定式化する。
位相空間を定式化するのに必要なのは、どれが開集合であるのかを弁別するために開集合全体の集合  を指定する事と、 が定められた性質を満たすことだけである。
位相空間の厳密な定義は下記のとおりである。
定義 (（開集合系による）位相空間の定義) ― 
集合  の部分集合族（冪集合の部分集合） が下記の性質を全て満たすとき、 を位相空間という。 を台集合といい、 を開集合系という。 の元を  の開集合という。
位相空間 定義
なお最後の性質により、有限個の開集合の共通部分もまた開集合であるが、無限個の開集合の共通部分もまた開集合であるとは限らない。
本節では、これらの性質を天下り的に与えるにとどめ、後の章で距離空間で具体的な位相に関し、この定義について論ずる。
開集合系  を一つ定める事で、集合  が位相空間になるので、 を  上の位相（構造）という。
紛れがなければ開集合系  を省略し、位相空間を  と言い表す。
また位相空間  の元を点と呼ぶ。
なお、集合算に関する空積および空和はそれぞれ全体集合と空集合になるので、 と仮定すれば、上述の定義における最初の条件を課さなくてもよい。
開集合の補集合を閉集合という。全ての閉集合の集合  を閉集合系という。
開集合が直観的には「縁を含まない」、「開いた」集合だったのに対し、その補集合である閉集合は直観的には「縁を含んだ」、「閉じた」集合である。
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、開集合の補集合として閉集合を定義したが、閉集合系を使って下記のように位相空間を定義する事もできる。この場合、開集合は閉集合の補集合として定義する。
位相空間 定義
定義 (閉集合系による位相空間の定義) ― 
Xを集合とし、をXのべき集合の部分集合とする。
が以下の性質を満たすとき、組  を X を台集合としを閉集合系とする位相空間と呼び、の元を X の閉集合と呼ぶ。
閉集合系による位相空間の定義における3つの条件は、開集合系による位相空間の定義における3つの条件にド・モルガンの法則を適用することにより得られる。
なお、X の開集合でも閉集合でもあるような部分集合は X の開かつ閉集合と呼ばれる（定義から明らかに  および X は必ず開かつ閉である）。X には、開でも閉でもないような部分集合が存在しうる。
定義 (位相同型) ― 
二つの位相空間  と  について、ある全単射  が存在して

を満たすとき、 と  は位相同型であるという。
位相空間論とは、位相同型で不変な性質（すなわち、 がある性質を満たせば、それと位相同型な  もその性質を満たすような性質）を議論する分野である。