hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
万有引力 歴史
1684年1月のある水曜日、ロンドンのコーヒーハウスにあつまったフック、天文学者エドモンド・ハレー、王立学会会長兼建築家クリストファー・レンは、残る問題となった、逆2乗の引力をもとにして、いかにケプラーの第1法則と第2法則を導くことができるかを話題にした。同年8月、ニュートンを大学で訪問したハレーは、ニュートンがすでに独自にこの問題を解決していたことを知り、11月に、それを出版することをすすめ、『自然哲学の数学的諸原理』（プリンキピア）の核心部分が出来てゆくことになった。しかし、フックは引力については自分がニュートンに教えたのだとし、二人の間で対立が生じることになった。その後、ハリーの資金面での援助やフックとの先取権をめぐるいざこざの仲裁などといった支援もあり、ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』の刊行にこぎつけた。
『自然哲学の数学的諸原理』は、1687年に刊行された。同書は三篇で構成されており、第三篇の「世界体系について」で惑星の運動が主として扱われている。例えば、「月は地球に向かって重力で引かれる」という、ニュートンがウールスソープ時代に思いついた命題は、第三篇の命題4において提示されており、逆2乗の引力が木星とその衛星、5つの惑星と太陽の間でも働くことを、ケプラーの第2法則と第3法則からこの引力を逆に導き出しつつ主張した。さらに命題7で重力は物の量（質量）に比例することを述べ、第三篇の命題8において、この宇宙ではどこでも物質には互いに物質の量の積に比例する逆二乗の引力が働いている、すなわち万有引力の法則を主張した。
万有引力 ニュートン力学と重力
ニュートンが『自然哲学の数学的諸原理』で開示した力学体系を、ニュートン力学という。
ニュートン力学そのままの用語では、現代では理解しにくい点もあるので、以下では、古典力学の現代版の用語や記述方式を用いつつ、万有引力を解説する。
ニュートンは、太陽を公転する地球の運動や木星の衛星の運動を統一して説明することを試み、ケプラーの法則に、運動方程式を適用することで、万有引力の法則（逆2乗の法則）が成立することを発見した。これは、「2つの物体の間には、物体の質量に比例し、2物体間の距離の2乗に反比例する引力が作用する」と見なす法則である。力そのものは、瞬時すなわち無限大の速度で伝わると考えた。式で表すと、万有引力の大きさは、物体の質量を、物体間の距離をとして、
万有引力 ニュートン力学と重力
となる。は万有引力定数と呼ばれる比例定数で、
である（「この式が全ての物体の間で成立する」と考えると「木から落ちるリンゴにも適用することができる」と考えることができるのである）。
地球の質量を、リンゴの質量を、地球の半径をとすれば、万有引力の大きさは、であり、リンゴの運動方程式は、加速度をとして、となる。すなわち、地球重力による加速度（重力加速度）は
となり、すべての物質について同じ値になる。
地球表面では重力加速度は約9.8m/s2であり、地球の半径は約6400kmであるので、上記の式から地球の質量を
のように求めることができる。同様に、他の惑星上での重力加速度も求めることができる。
万有引力 ありがちな誤解
ニュートンによる「万有引力の法則の発見」を“重力の発見”だと解釈してしまう例があるが、これは間違った解釈である。「リンゴが木から落ちるのを見て、ニュートンは万有引力を発見した」などとする単純化された巷に流布している逸話も、この誤解を広める原因になっている可能性がある。ニュートンは「リンゴに働く重力」を発見したわけではない。「リンゴに対して働いている力が、月や惑星に対しても働いているのではないか」と着想したのである。地上では物体に対して地面（地球）に引きよせる方向で外力が働くことは、（ガリレオなどの貢献もあり）ニュートンの時代には理解されていた。ニュートンが行った変革というのは、同様のことが天の世界でも起きている、つまり宇宙ならばどこでも働いている、という形で提示したことにある（そして同時に、地球が物体を一方的に引くのではなく、全ての質量を持つ物体が相互に引き合っていることと、天体もまた質量を持つ物体のひとつに過ぎないこと）。「law of universal gravitation 万有引力の法則」という表現は、それを表している。
万有引力 評価
万有引力の考え方は大きな議論・非難を呼んだ。同著発表当時、物体の運動の説明というのは、ヨーロッパ大陸側であれイギリス側であれ、近接作用論で考えられていた。プリンキピアはそれに対して異論を唱える形で万有引力という遠隔作用論を大々的に提示した形になった。
これはライプニッツおよびその一派らから反発を呼び、「オカルト的な質を持ち込んでいる」「オカルト的な力を導入している」と非難されることになった。大陸側の学者らはライプニッツの考え方を支持していたので、ドーバー海峡を隔てて大陸側の学者たちと議論が数十年以上も続くことになった。ニュートンは『自然哲学の数学的諸原理』の第二版発行の時点では同版に「Hypotheses non fingo（我、仮説をつくらず）」との記述を書き加えた。
万有引力 評価
もっとも、第二版に仮説をつくらないと書いたものの、ニュートン自身は実際にはその後、万有引力が起きる仕組みについての検討・考察を行っており、重力というのはエーテルの流れが引き起こしているのかも知れない、とも考察した。すなわち近接作用論に回帰するような仮説立て、推察も行っていたのである。
現代の初学者向けの科学史などでは、こうした複雑な経緯がすっかり忘れ去られ美化され、「ニュートンは原因の哲学的な思弁を避け、数的な関係の記述にとどめるという新しい方法論を提唱した」「力学の基礎、ひいては近代科学の考え方の基礎となった」とだけ解説がされていることもある。
万有引力 万有引力の法則、その後
イギリス側の自然哲学者はニュートンの説を支持をする者が多かったが、大陸ではあまり受け入れられなかった。その後、数十年以上の長い年数の議論を経て徐々に大陸側でも支持者が増え、やがては物理学においては自然界に存在する基本的な力だと見なされるようになっていった。
後の時代で発見された電磁気力では、引力と斥力がある、とされているのに対して、重力（万有引力）では引力しか存在せず、斥力は存在しない。
現在では、重力と呼ぶ場合には、質量に加速度を与える力全般を意味する。重力には、地球自転の遠心力のような慣性の力や、一般相対論で予言される慣性系の引きずりによる力も含めて考えることがあるが、それらは万有引力ではない。
重力（または重力相互作用）の正体は、アルベルト・アインシュタインの一般相対性理論では、質量を持つ物体が引き起こす時空の歪みである、と説明された。これに対して、'万有引力'という用語は、ニュートンの定式化した重力の意味で用いられる傾向にある。
今日、質量を有する任意の２物体が引力の相互作用ポテンシャルを伴うことは、疑いのない自然法則として認められているが、その理由や機構についての研究は進んでいないという状況にあると言える。
万有引力 万有引力の法則、その後
アインシュタインは、光速度に近い場合の力学として、1905年に特殊相対性理論を発表した後、加速度運動を含めた相対性理論の構築に取り掛かかった。そして重力場を時空の幾何学として取り扱う方法を模索し、1916年に一般相対性理論を発表した。
アインシュタインの重力場の方程式（アインシュタイン方程式）では、万有引力はもはやニュートン力学的な力ではなく、重力場という時空の歪みである、と説明されるようになった。また、重力の作用は、瞬時ではなく光速度で伝えられる、とされるようになった。
ニュートンの万有引力の法則では、質量を持った物体間の力であるとされるので、質量を持たない物質には万有引力は存在しないこととなる。一般相対性理論では、重力が時空の歪みであるとするため、光の軌道もまた重力によって曲がることを意味する。これはアーサー・エディントン による観測で実証されることになった。
万有引力 万有引力の法則、その後
一般相対性理論は、非常に強い重力が働く場を記述する。太陽系であれば、ニュートン力学に若干の補正項が加わる程度なので、ニュートン力学はその意味で近似的に正しいと考えて差し障りない。例えば前述の光の軌道の歪みについても、太陽の近傍においてようやく観測され得るものである。アインシュタイン方程式は、通常の物理の方程式と同様、時間反転に対して対称なので、宇宙全体に適用すると、重力の影響で収縮宇宙の解と共に、膨張宇宙の解が得られる、という。
一般相対性理論の発表当時は、ハッブルによる膨張宇宙の発見前で、アインシュタインは「宇宙は静的で安定している」と考えていた。自身の方程式が、動的な宇宙を予言したため、アインシュタインは万有引力に拮抗する万有斥力があると想定し、重力場の方程式に宇宙項を加えることで、静的な解が存在できるように重力場の方程式を修正した。
後に彼は宇宙項について「生涯最大の過ち」と悔いたが、宇宙項のアイデアは現在の宇宙論において、宇宙のインフレーションや宇宙の加速膨張を説明するものとして復活していると言える。
素粒子物理学では、自然界に存在する四つの基本的な相互作用のひとつとして、素粒子間に働く重力相互作用とみなされ、重力子（グラヴィトン）という素粒子により媒介するとみなされるが、素粒子としての重力子は現在のところ未発見である。素粒子間の重力相互作用は無視できるほど小さいが、素粒子と地球との間の重力を考慮する必要があることもある。
近年では、量子力学と一般相対性理論の結合、重力の量子化が試みられ、量子重力と呼ばれている。格子重力などさまざまな試みがあるが、実現は困難である。量子重力を宇宙論に適用する試みは、量子宇宙論と呼ばれる。
公理
公理（こうり、英: axiom）は、その他の命題を導き出すための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。
一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系 (axiomatic system) という
。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。
公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。
公理的集合論以降の数学における公理系の構成にあっては、公理系に含まれている他のどの命題からも独立している命題を公理としている。ここに、独立している命題とは、それが前提としている公理系の下では証明と反証のいずれも存在せず、かつそれが前提としている公理系に追加することにより得た新しい公理系が無矛盾であり、ゆえにこれを証明の手段として問題なく用いることができるような命題をいう。選択公理は、この条件を適用した結果ZFから独立した公理であることが証明された典型的な例である。
公理
ユークリッド原論などの古典的な数学では、最も自明な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準として区別していた。ただし、公理や公準が自明であるかどうかを客観的に判断する基準は乏しかった。また、後述するように、ユークリッドが公準に定めた命題の中に、後に厳密な検証の結果否定されたものがある。
公理 公理の例
以下にいくつかの公理の例を示す。
公理に基づく証明が存在する命題は定理という。以下に定理の例を示す。
ある命題について、それと同値である別の命題が存在する場合、それらのうち公理としてよいのは高々1点であることに注意されたい。この場合、公理としなかった、公理と同値な残りの命題は証明が存在するので定理となる。例として、ツォルンの補題は選択公理と同値であることが知られている。これにより、選択公理を含む公理系ではツォルンの補題を定理として扱うことができる。逆に、ツォルンの補題を含む公理系では選択公理を、その名前に反して定理として扱うことができる。
公理 歴史
axiomという言葉の語源はギリシャ語のαξιωμα (axioma、価値があり適切と考えられるものあるいはそれ自身明らかなもの)である。公理の概念が明確に記述された現存する文書のうちで最も古いものは、紀元前300年頃にギリシアで書かれたユークリッドの原論である。
原論には以下の5つの公準が挙げられている：
やがてこれらの公準は公理として認識されるが、最後の第5公準（平行線公準とも呼ばれる）は他の公準ほど自明ではない。このため平行線公準は公準ではなく、他の4つの公理から導ける定理なのではないかという疑問が生じ（平行線問題）、証明が試みられたがいずれもうまくはいかなかった。
公理 歴史
19世紀にガウス、ボヤイ、ロバチェフスキーらによって、最初の4つの公理が成立しかつ平行線公準が成立していないような幾何学の体系（楕円幾何学、双曲幾何学）が構成された事によって平行線問題は否定的に解決された。もし最初の4つの公理から平行線公理が導けるのであればこのような幾何学は存在するはずがなく、よって平行線公準は他の4つの公理からは導けないのである。平行線公理を仮定して展開されるユークリッド幾何学に対し、双曲幾何学のように最初の4つの公理は満たすが平行線公理のみは満たさないような幾何学を非ユークリッド幾何学という。非ユークリッド幾何学の発見により、互いに相容れない前提にもとづく様々な数学の体系がありうる事が認識されるようになった。
公理 歴史
20世紀はじめにはヒルベルトを中心とした数学の抽象化・形式化の運動の中で、公理にもとづき理論を展開するという立場が強調された。公理系に求めるべき妥当性として、矛盾が導かれないことや、必ず成立するような命題は全て証明可能であることがあげられる。ヒルベルトは有限のデータによって定まり（有限の立場）このような妥当性を満たす公理系をもとにして数学を展開することを目指した（ヒルベルト・プログラム）。この考え方はハウスドルフらによる位相空間論、ブルバキによる数学の再編成などを通じて20世紀の数学に大きな影響を与えた。しかしゲーデルの不完全性定理によって「普通の数学」(自然数論)を展開できるような公理系では、（体系が無矛盾である条件の下で）与えられた公理系だけを用いる限りその無矛盾性を証明できないことが示され、ヒルベルトが思い描いた形そのままでのヒルベルト・プログラムは実現不可能であることが明らかになってしまった。
ゲーデルの不完全性定理の発見後の自然数論に基づく数学は、ある公理系の無矛盾性をそれとは異なる別の公理系から証明する手法が主流となっている。ゲーデルの不完全性定理はそのような手法を否定していない。また、証明や反証の存在性を重視し、ゲーデルの不完全性定理がその存在を指摘しているような、ある公理系の下で証明も反証も存在しない命題にあっては、それが公理系の無矛盾性を脅かさない限り公理として受け入れることを許容している。
公理 公理の形式性
公理にもとづく数学の定式化は、記述の定式化を促し、さらに数学をものの内在的な意味からはなれた形式的な記号の操作だと見なす考え方を導いた。公理とは前提として任意に選ばれた論理式にすぎず、その論理式から単なる記号操作で得られる論理式が定理であるという立場をとる論理学者や数学者もいる。このような考え方にたてば、ユークリッド幾何学における点や直線・平面は、論理式によって指定される性質を満たす限り、抽象的な記号操作の対象にすぎず、現実世界におけるいかなる物体を表しているわけでもないことになる。現実世界における点や直線、平面の形をしたものやそれらの間の関係性を調べることは、ユークリッド幾何学の意味(セマンティックス)を推察する助けにはなるが、公理にもとづく定理の推論（ユークリッド幾何のシンタックス）がそこから直ちに従うわけではないことになる。
このような立場に立てば、「点」、「直線」、「平面」といった言葉の選択はまったく任意なものであり、別の用語を選んだとしてもそれらの間にユークリッド幾何学の関係性を仮定するならばまったくおなじ体系が得られることになる。
公理 公理の形式性
このような「公理は論理式にすぎない」という考え方は（しばしば揶揄を込めて）「ビールジョッキ思想」と呼ばれている。上のような置き換えを行うと例えば「2直線は1点で交わる」という命題は「2つの机は1つのビールジョッキで交わる」という、みかけ上全く意味の無い命題になるが満たしている論理式は置き換え前と同じものなので頓着しない。
これは丁度「2(x+y)=2x+2y」という命題の「x」と「y」を「u」と「v」に置き換えて「2(u+v)=2u+2v」としても数式としては差異がないのと似ている。

ビールジョッキ思想で問題となっている言葉・記号の選択の任意性はすでに19世紀の論理学者たちの間で問題になっており、その議論の一端はルイス・キャロルによる『鏡の国のアリス』にも反映されている。『アリス』の登場人物ハンプティ・ダンプティは勝手に新しい単語を作ったり、既存の単語を別の意味に用いたりして主人公のアリスを混乱させる。つまりハンプティ・ダンプティは英語ならぬ「ハンプティ・ダンプティ語」を作ってそれを話しているのである。
公理 公理の直観的・歴史的な妥当性
公理系は記号で書かれた論理式の集まりなので、理屈の上では現実世界の観察に基づかない非現実的な公理系のもとに全く無意味な数学理論の体系を構築しても良いことになるが、多くの数学者は現実世界の観察に基づかない非現実的な公理系ではなく、現実世界の観察に基づく公理系を研究の対象にしている。
だがどういう公理系が「直観的歴史的妥当性がある」ものであるのかについては必ずしも数学者全員の合意が得られているとは限らない。例えば直観主義論理の立場では排中律は認められない。排中律とは任意の命題Aに対しA自身かAの否定のどちらかが成立する、という要請で一つのモデルの中では命題の真偽は確定的なものであるという立場の推論規則である。通常の数学では排中律を認めるが、直観主義論理の立場に立った研究者たちは命題の真偽について実際に証明できる手続きが与えられることを要請する。
同様に妥当性が問題になるタイプの公理に集合論の選択公理など無限を取り扱ったものがある。これは「無限個の（空でない）集合の列から一個ずつ元を選ぶことができる」という趣旨の公理である。選択公理は（集合論のそれ以外の公理が矛盾していない限り）矛盾を導かず（ゲーデル）、さらに選択公理の否定からも矛盾が導かれない（コーヘン）ことが知られている。
公理 公理の直観的・歴史的な妥当性
選択公理を認めることで様々な強力な定理(帰納的順序集合における極大元の存在、ベクトル空間の基底の存在、代数的閉包の存在、従順群上の不変汎関数の存在など)が証明できる。いっぽうで選択公理を認めてしまうと一見直観に反していて逆理であるかのような定理（バナッハ・タルスキの逆理、非可測集合の存在）が成立してしまう。ほとんどの数学者は選択公理を認めた数学体系を研究しているが、おもに数学基礎論の研究において、選択公理を認めない数学の可能性を追求している数学者もいる。
微分方程式
解析学において、微分方程式（びぶんほうていしき、英: differential equation）とは、未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である。
数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける関数があらわになっていなくても、その導関数（の満たすべき方程式）を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。
物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。
方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。
微分方程式
微分方程式は大きく線型微分方程式と非線型微分方程式に分類される。線形微分方程式の例として、例えばシュレーディンガー方程式が挙げられる。シュレーディンガー方程式は、量子系の状態の時間発展を記述する方法の一つとして広く用いられている。非線型微分方程式の例として、例えばナビエ–ストークス方程式（NS方程式）が挙げられる。NS方程式は流体の運動を記述する基本方程式であり、物理学の応用としても重要な方程式である。しかし、NS方程式の解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。
微分方程式 概要
微分方程式は方程式に含まれる導関数の階数によって分類され、最も高い階数が n 次である場合、その微分方程式を n 階微分方程式と呼ぶ。
いずれの場合も未知関数は一つとは限らず、また、連立する複数の微分方程式を同時に満たす関数を解とするような連立方程式の形を取る場合もある。これは連立 n 階微分方程式などと呼ばれる。
一変数関数の導関数の関係式で書かれる常微分方程式と多変数関数の偏導関数を含む関係式で書かれる偏微分方程式に分かれる。
常微分方程式とは例えば、
や、
のような方程式である。
また、偏微分方程式は、
や、
のような格好をした方程式である。
未知関数とその導関数の関係式が、未知関数や導関数を変数と見たときに解析関数を係数とする多項式である場合、代数的微分方程式と呼ばれる。
方程式が未知関数の一次式として書けるような方程式を線形微分方程式と呼ぶ。また、線型でない微分方程式は非線形微分方程式と呼ばれる。
例えば、g(x) を f(x) を含まない既知の関数とすれば、
は線形微分方程式であり、
は非線型形微分方程式である。線形と呼ばれる理由は後述する線形斉次な方程式について、解の線形結合がその方程式の一般解をなすためである。
微分方程式 概要
未知関数が 1 つの場合、高階の線型微分方程式を一階線形微分方程式の形に書き直すことができる。
たとえば、{gk} を既知関数の組として、以下の線形微分方程式が与えられたとき、
未知関数 f(x) のk 階の導関数を yk(x) として (k = 0,..., n − 1)、以下の一組の微分方程式を得る。
この微分方程式は、より一般的に、ベクトルと行列の記法を用いて
と書くことができる。ここで y は未知関数 y0,..., yn−1 を成分に持つベクトル、A は既知関数 {aij}i,j=0,...,n−1 を成分に持つ n × n の行列、b は既知関数 b0,..., bn−1 を成分に持つベクトルである。
すべての項が未知関数を含むか 0 であるような線形微分方程式を線形斉次微分方程式と呼び、斉次でない線形微分方程式は線型非斉次微分方程式と呼ばれる。同じ意味の言葉として斉次方程式をしばしば同次方程式と呼ぶことがある。
例えば、
は斉次な方程式であり、右辺に α を加えた、
は非斉次な方程式である。
より一般の線形常微分方程式について、
右辺の関数 g0(x) がゼロならこの方程式は斉次である。
斉次方程式の特徴として、方程式の解 s(x) が得られたとき、その定数倍 cs(x) も方程式の解となる。また、斉次方程式の解の線形結合もその斉次方程式の解になる。
微分方程式 概要
また、非斉次な方程式の解 sin(x) が得られたとき、元の方程式を斉次な形にしたときの解 shom(x) を用いて、非斉次方程式の新たな解 sin(x) + shom(x) を作ることができる。実際、
としたとき、sin(x), shom(x) はそれぞれ
を満たすので、sin(x) + shom(x) は元の方程式の解になっている。
方程式に含まれる既知関数が確率変数によって記述されるような微分方程式を確率微分方程式と呼ぶ。確率常微分方程式や確率偏微分方程式はしばしば英語の頭文字を取って“SODE”, “SPDE”と略記される。代表的な例は物理学におけるランジュバン方程式や金融工学におけるブラック-ショールズ方程式がある。確率微分方程式の既知関数は、自身の期待値や相関関数によって特徴付けられる。
常微分方程式　（ただしｒは正の実数）のように、時間遅れをもつ微分方程式が、数理生物学のモデルなどに現われる。
微分方程式 解法
微分方程式に限らず一般の方程式は必ずしも厳密解が得られるとは限らない。従って多く場合は摂動などの手法を用いて近似的な評価を与えるか、ルンゲ＝クッタ法やSOR法、有限要素法のような数値解法によって具体的な解を得ることになる。しかしながらいくつかの基本的な微分方程式については、厳密解が得られたり、形式的に解を書き表せる。
微分方程式の具体的な解法としては代表的なものに、斉次方程式の解を利用して解く定数変化法、グリーン関数を用いた解法、差分方程式を用いた解法、ラプラス変換や逆ラプラス変換を用いた解法などが知られている。
一階の線型斉次常微分方程式の中で最も基本的な方程式として次のものがある。
一般の線形微分方程式を解く際も、まずこの種の斉次微分方程式に帰着させるため、この方程式は微分方程式の解法を調べる上で基本的な役割を果たす。
この方程式の解はよく知られているように指数関数となる。
ここで C は任意定数である。解法は脚注にて紹介する。
指数関数の有用な性質として、微分作用素を別の定数や関数に置き換えられることが挙げられる。係数が定数の斉次方程式
の解として指数関数で書けるものを探すと、f(x) = Cexp(λx) と置き換えて、
微分方程式 解法
と書くことができる。これは λ に対する n 次の代数方程式になっている。
重根がなければ方程式の解が n 個求まることになり、斉次方程式の一般解はそれらの線型結合として表される。
この形の方程式の一般解を求める方法としては定数変化法がある。
一つの未知関数に対する、一般の一階線型常微分方程式は、既知関数を P(x)、Q(x) として、次のように書かれる。
この一階線型常微分方程式は、一般解が求積法で解ける。
まず、斉次方程式
の一般解は、積分定数を A ≠ 0 として、
となる。一階線型常微分方程式の一般解は、斉次方程式の解を利用し A を x の関数とみなす定数変化法によって求められる。
ここで C ≠ 0 は積分定数である。
二階線型常微分方程式の一般形は、既知関数を P(x), Q(x), R(x) として、次のように書かれる。
この二階線型常微分方程式は、このままの形では求積法を用いて一般解を表示することはできない。
もし、右辺を 0 とした斉次方程式の特殊解として、y = y1 が存在すれば、
が成り立つので、z なる未知関数を導入して、
とすれば、二階線型常微分方程式が、z に関する常微分方程式、
に変換される。この常微分方程式は、導関数 dz/dx に関して一階線型常微分方程式なので、求積法で解ける。その一般解を
とすると、二階線型常微分方程式の一般解は、
で与えられる。なお、C1, C2 は積分定数である。
x の既知関数を含む二階線型常微分方程式で、求積法で解ける微分方程式は少ないが、
次の微分方程式などが知られている。
フィールズ賞
フィールズ賞（フィールズしょう）は、若い数学者の優れた業績を顕彰し、その後の研究を励ますことを目的に、カナダ人数学者のジョン・チャールズ・フィールズ（John Charles Fields, 1863年 - 1932年）の提唱によって1936年に作られた賞のことである。
フィールズ賞 概要
4年に一度開催される国際数学者会議 (ICM) において、顕著な業績を上げた40歳未満の数学者（2名以上4名以下）に授与される。ICMで同時に授与される賞としては、ネヴァンリンナ賞、ガウス賞、チャーン賞などがある。
数学に関する賞では最高の権威を有する。しかし、若い数学者の優れた業績を顕彰し、その後の研究を奨励することが目的であり、「4年に一度」「40歳未満」「2名以上4名以下」という制限がある。ただし、唯一の例外として、「フェルマーの最終定理」の証明に成功したアンドリュー・ワイルズは証明当時すでに42歳になっていたが、その業績の重要性から1998年に45歳で「特別賞」を与えられた。
受賞者は西ヨーロッパとアメリカの数学者が通例で、ダランベールかライプニッツの系譜に連なる場合が多い。冷戦時には、共産圏の数学者との交流は困難であったからである。1970年、初めてソ連の数学者が受賞したが、海外渡航が許されず授賞式には出席できなかった。受賞者の出身国は多様化してきており、ベトナム、イラン、ブラジルなども受賞者を出している。2014年には初めての女性受賞者が誕生した。なお、メダルは国際数学者会議の開幕式において名誉議長から手渡される。
フィールズ賞は、フィールズ賞選考委員会で決められる。グリゴリー・ペレルマンは、2024年時点では受賞を辞退したただ一人の人物である。
フィールズ賞 概要
「数学のノーベル賞」と呼ばれることもあるが、賞としての性格は大きく異なる。ノーベル賞は（存命であれば）受賞者の年齢に関係なく贈られるのに対し、フィールズ賞はその時点でまさに活躍中の40歳未満の若手数学者に贈賞されている。また、ノーベル賞は業績ごとに選考されるため、一つの業績に対して複数の共同受賞者が出ることが多くなっているがフィールズ賞は個人に贈られるものであり、共同受賞の例はない。
近年では、「年齢制限なし」「毎年授与」「高額賞金」などノーベル賞に近い性格を持つ国際的数学賞が次々と現れている。1980年に創設されたクラフォード賞は、毎年ではないものの数学上の業績に対して比較的高額な賞金を年齢制限なく与える国際学術賞である。ウルフ賞数学部門も、賞金規模はやや小さいものの、1978年以降ほぼ毎年、年齢制限なく与えられている。2000年には、特定の業績に対してのみノーベル賞級の高額賞金を年齢制限なく与える「ミレニアム懸賞問題」が発表され、世界中の関心を集めた。
2002年には、ノーベル賞により性格の近いアーベル賞が設立された。フィールズ賞とアーベル賞の両方を受賞した人物も存在する。
さらに2014年には、ノーベル賞をも凌駕する莫大な賞金額を誇る数学ブレイクスルー賞が創設された。
フィールズ賞 東洋人の受賞者
日本人の受賞者は、2024年現在、小平邦彦（1954年）、広中平祐（1970年）、森重文（1990年）の3人（国籍別では5番目に多い）であり、1990年以降受賞者は出ていない。
東洋系の受賞者は上記の3名以外に、丘成桐（中国系米国人）（1982年）、陶哲軒（中国系オーストラリア人）（2006年）、ゴ・バオ・チャウ（ベトナム•フランス人）（2010年）、マリアム・ミルザハニ（イラン人）（2014年）、マンジュル・バルガヴァ（インド系カナダ・米国人）（2014年）、許埈珥（韓国系米国人）（2022年）の6人がいる。
フィールズ賞 受賞者の一覧
名前の読み（名前の綴り、生年 - 没年）、国籍、受賞理由（英語）の順。国籍は受賞時の国名で記す。
1936年（オスロ）
1950年（ケンブリッジ）
1954年（アムステルダム）
1958年（エディンバラ）
1962年（ストックホルム）
1966年（モスクワ）
1970年（ニース）
1974年（バンクーバー）
1978年（ヘルシンキ）
1982年（ワルシャワ）
1986年（バークレー）
1990年（京都）
1994年（チューリッヒ）
1998年（ベルリン）
2002年（北京）
2006年（マドリード）
2010年（ハイデラバード）
2014年（ソウル）
2018年（リオデジャネイロ）
2022年（オンライン開催）
フィールズ賞 国籍別の受賞者数
受賞時の国籍が基準。二重国籍はそれぞれの国に1個。国旗は現在のもの。ただし、消滅した国の国旗は最後の受賞者の受賞時のもの。（2022年7月現在）
フェルマーの最終定理
フェルマーの最終定理（フェルマーのさいしゅうていり、英: Fermat's Last Theorem）とは、3 以上の自然数 n について、xn + yn = zn となる自然数の組 (x, y, z) は存在しない、という定理である。
フェルマーの大定理（フェルマーのだいていり）とも呼ばれる。ピエール・ド・フェルマーが「真に驚くべき証明を見つけた」と書き残したと伝えられ、長らく証明も反証もなされなかったことからフェルマー予想とも称されたが、フェルマーの死後330年経った1995年にアンドリュー・ワイルズによって完全に証明され、ワイルズの定理またはフェルマー・ワイルズの定理とも呼ばれるようになった。
フェルマーの最終定理 概要
17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー（1607年 - 1665年）は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した（たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである）。
48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。
第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ」の欄外余白に、フェルマーは
フェルマーの最終定理 概要
Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
立方数を2つの立方数の和に分けることはできない。4乗数を2つの4乗数の和に分けることはできない。一般に、冪が2より大きいとき、その冪乗数を2つの冪乗数の和に分けることはできない。この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。
とラテン語で書き残した。彼の残した他の書き込みは、全て真か偽かの決着がつけられた（証明された・反例が挙げられた）が、最後まで残ったこの予想だけは誰も証明することも反例を挙げることもできなかった。そのため「フェルマーの最終定理」と呼ばれるようになった。内容自体は三平方の定理程度の知識があれば理解できるものであったため、プロ、アマチュアを問わず多くの者がその証明に挑んだ。見事に証明した者には賞金を与えるという話も出てきて、フェルマーの最終定理の存在が一般にも徐々に知られるようになっていった。
フェルマーの最終定理 個別研究
n が具体的な値を取るいくつかの場合についてはさまざまな証明が与えられた。
フェルマー自身の証明は、ディオファントスの『算術』に記された45番目の書き込みに含まれている。フェルマーは以下の手法、法則、定理を使い証明した。
フェルマーによる証明は後にレオンハルト・オイラーによって簡潔な形で直される。
n = 4 の場合がフェルマーによって証明された後は、残りの証明は n が奇素数の場合のみを考えればよいことになる。なぜなら、n が奇数の場合は、n = pq…r のように奇素数の積で表すことができて、奇素数 p のときに成り立てば、(xq…r)p + (yq…r)p = (zq…r)p より n = pq…r のときも成り立つことが示される。さらに、n が偶数の場合は、4で割った余りが0または2となるので、余りが0すなわち n = 4m の場合は (xm)4 + (ym)4 = (zm)4 より成り立ち、余りが2すなわち n = 4m+2 の場合は n = 2(2m+1) より n が奇数の因数 2m+1 を持つことになり 2m+1 を素因数分解したときの奇素数について成り立つからである。
フェルマーの最終定理 個別研究
レオンハルト・オイラーは1753年にクリスティアン・ゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1760年に純初等的で完全な証明を得た。さらに、1770年に刊行した著書『代数学』（Vollständige Anleitung zur Algebra）ではその証明とは異なり（複素数を用いる）エレガントながら不完全な証明を公開した。ただし、この2番目の証明は虚数のレベル、具体的には a+b√−3 の形の数まで因数分解を行ったもので、現代の言葉で言えば、整数環  で因数分解を行うものであったが、この整数環では素因数分解の一意性が成立しない（一意分解環ではない）という不備があったので、のちに  √−3 の代わりに 1の原始3乗根  を付加した整数環  （これは円分体  の整数環でもあり、素因数分解の一意性が成り立つ）を使うことで修正された。
1823年に当時ほとんどいなかった女性数学者であったソフィ・ジェルマンは、フェルマー予想を奇素数 p に対して、 xp + yp = zp において、
ケース1
x, y, z のいずれも p で割り切れない
ケース2
x, y, z のいずれかが p で割り切れる
という2つのケースに分類し、p と 2p+1 が共に素数の場合について、フェルマー予想のケース1が正しいことを証明した：
フェルマーの最終定理 個別研究
ソフィ・ジェルマンの定理 ― p を 2p+1 も素数であるような奇素数とする．このときn = pの場合のフェルマー予想のケース1は正しい．
例えば、p = 5 のとき、2p+1 = 11 は素数なので、ソフィ・ジェルマンの定理よりフェルマー予想のケース1は指数 n = 5 に対して正しい。
1825年に n = 5 のケース2を完全に証明したのはペーター・グスタフ・ディリクレとアドリアン＝マリ・ルジャンドルである。
ケース2は更に、ディリクレによって1825年に2つのケース（ケースII(i)とII(ii)）に分けられた。ケースII(i)はx, y, zの1つが5または2で割られる場合である。ケースII(ii)はx, y, zの1つが5で割られ、もう1つが2で割られる場合である。1825年7月、ディリクレはn = 5の場合のケースII(i)を証明した。1825年9月、ルジャンドルはn = 5の場合のケースII(ii)を証明した。ルジャンドルの証明の後、ディリクレはケースII(i)の拡張された議論を用いてn = 5の場合のケースII(ii)の証明を完成させた。
フェルマーの最終定理 個別研究
ジェルマンまでは（そしてジェルマン以降も当面は）「n = 3 のとき」あるいは「n = 4 のとき」といった個別研究の域を出なかったこの問題に対し、解の条件がケース1に限られているとはいえ包括的な証明を与えようとした点において、ジェルマンの研究成果の意義はきわめて大きい。
1832年にディリクレは n = 14 の場合を証明したが、上述の通り n が素数である場合の方が肝要なので、これは n = 7 の場合を証明するための途中経過であった。しかし実際に n = 7 の場合を証明したのはガブリエル・ラメ（1839年）と、ラメの証明に含まれていた誤りを訂正したヴィクトル＝アメデ・ルベーグ（1840年）であった。
1847年、ラメは「フェルマー予想の一般的解法を発見した」と発表し、同じ解法を自分の方が先に発見していたと主張するオーギュスタン＝ルイ・コーシーとの間で論争にまでなった。しかしこの解法とは xn + yn = zn の左辺を複素数で素因子分解するというものであり、この分解は一意的なものでないためこの問題に関する解法たりえていないことが指摘される。
また、n = 7 の場合についてのラメの証明があまりにも複雑なものだったため、同様の手法で n = 11 や 13 の場合について研究してみようと思う者はいなくなり、個別研究の時代は終わる。
フェルマーの最終定理 個別研究
コーシーとラメが争っていたのと同じ頃、エルンスト・クンマーが自ら打ち立てた理想数の理論（後にリヒャルト・デーデキントがイデアルの理論として発展させる）を導入する。これにより、多くの素数において一意的な因数分解が可能となり、n が正則素数である（もしくは正則素数で割り切れる）全ての場合については証明がなされた。虚数レベルでの一意的な因数分解が不可能な非正則素数も無限に存在するが、クンマーは 100 以下の非正則素数（37, 59, 67 の 3 個しかない）についてはそれぞれ個別に研究して解決した。その結果、100 までの全ての奇素数 n について（当然 100 以下の奇素数を約数に持つ全ての n についても）フェルマー予想が成り立つことが証明され、それまでの個別研究からこの問題は大きく飛躍した。
1857年、フランス科学アカデミーは、1816年に続き1850年に設けたまま受賞者の出なかった「フェルマー予想の証明者」のための懸賞金（金メダルと3000フラン）を（最終的解決でないことを承知の上で）クンマーに与えた。1874年、クンマーは 101 から 163 までの指数について計算を実行し、新たに 101, 103, 131, 149, 157 の 5 個が非正則素数であることを示した。
その後、クンマーの理想数を発展させた代数的整数論による判定法をコンピューターで計算させることにより、1994年の初めには
第一の場合
奇素数 p < 8.8×1020
第二の場合
奇素数 p < 4000000
の場合にフェルマー予想が成り立つことが証明された。
フェルマーの最終定理 フェルマーの最終定理につながる予想
ゲルト・ファルティングスによるモーデル予想の解決（1983年）により、3以上のnに対するフェルマー方程式 xn + yn = zn が整数解をもつならば（つまりフェルマー予想が誤りならば）その解の個数は本質的に（自明な場合を除いて）有限個しかないことが証明される。この「有限個」が「実は 0 個」であることが示されればフェルマー予想は証明できたことになるが、この方向からの絞り込みには行き詰まりが指摘されていた。ともあれ、この時点でフェルマー予想が「ほとんど全ての場合について正しい（各nに対して非自明な解は高々有限個である）」ことが判明したと言うことはできた。
1881年、アンリ・ポアンカレは上半平面上の関数についての研究から、モジュラー形式を案出する。
1955年9月、日光で開催された整数論に関する国際会議で、谷山豊が提出した幾つかの「問題」を原型とする数学の予想が谷山–志村予想である。そこでは楕円曲線とモジュラー形式の間の深い関係が示唆されており、後に志村五郎によって定式化された。「すべての楕円曲線はモジュラーである」という、発表当時は注目を引かなかったこの谷山–志村予想が、のちにフェルマー予想の証明に大きな役割を果たすこととなる。
フェルマーの最終定理 フェルマーの最終定理につながる予想
実はこの前年の1954年、ある保型形式に関するラマヌジャン予想の一部をマルティン・アイヒラーが証明していた。そこでは「解析的ゼータ＝代数的ゼータ」が示されており、谷山–志村予想の最初の実例と呼べるものだった。
このラマヌジャン予想→モジュラー予想→ラングランズ予想→超ラングランズ予想という一連の流れ（ゼータの統一）は数論の中心的テーマの一つとなっている。
1984年にゲルハルト・フライはフェルマーの最終定理に対する反例 an + bn = cn からはモジュラーでない楕円曲線（フライ曲線）：
y2 = x(x − an)(x + bn)
が得られ、これはモジュラー予想に対する反例を与えることになるというアイディアを提示。ジャン＝ピエール・セールによって定式化されたこの予想はフライ・セールのイプシロン予想と呼ばれ、1986年にケン・リベットによって証明された。
これらの経過は以下のように整理することができる。
つまり、モジュラー予想が証明されたならば、それはフェルマーの最終定理が証明されたことをも意味するのである(=完全証明への道がつながった)。
しかし、当時の数学者たちのほとんどが「モジュラー予想は証明不可能」と考えており、ここまでアプローチできてもフェルマー予想を解決しようと取り組む数学者は皆無に等しかった。
つまりケン・リベットによるイプシロン予想の解決は、多くの数学者にとっては『証明不可能なフェルマーの最終定理』が『証明不可能なモジュラー予想』に置き換わったにすぎなかったのである。
フェルマーの最終定理 ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
プリンストン大学にいたイギリス生まれの数学者アンドリュー・ワイルズは岩澤主予想 (Iwasawa main conjecture) を解決するなどして、元々数論の研究者として有名な人物であった。彼は10歳の時に触れたフェルマー予想に憧れて数学者となったが、数学者となってからは自身の生活も危惧して子供時代の夢は封印し、フェルマー予想のような孤立した骨董品ではなく主流数学の研究に勤しんでいた。ところが1986年、ケン・リベットがフライ・セール予想を解決したことにより、フェルマー予想に挑むことは、主流数学の一大予想に挑むことと同義になってしまった。かつての憧れだったものが、今や骨董品どころか解かずには済まされない中心課題の一つになったのである。ワイルズはこのことに強い衝撃を受け発奮、正にフェルマー予想の解決を目的として、他の研究を全て止めて谷山–志村予想に取り組むこととなった。ただしこの際、彼は人々の耳目を集め過ぎることを懸念して、表面的には未発表の研究成果を小出しにすることで偽装し、谷山–志村予想の研究を秘密裏に行うこととした。
フェルマーの最終定理 ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズは、代数幾何学（特に楕円曲線と群スキーム）や数論（モジュラー形式やガロア表現、ヘッケ環、岩澤理論）の高度な道具立てを用いて証明を試みたが、類数公式の導出に当たり岩澤理論を用いる方向では行き詰まってしまった。そこでコリヴァギン＝フラッハ法（ヴィクター・コリヴァギンとマティアス・フラッハの方法）に基づくよう方針転換し、最後のレビュー段階で自分のコリヴァギン＝フラッハ法の運用に誤りがないか確認を依頼するためプリンストンの同僚ニック・カッツに「谷山-志村が証明できそうだ」と打ち明け、助けを得るまで、細部に至るまでの証明を完璧な秘密のうちにほぼすべて独力で成し遂げた（ここまでで7年が経過していた）。彼がケンブリッジ大学で1993年の6月21日から23日にかけて3つの講義からなるコースで証明を発表したとき、聴衆は証明に使われた数々の発想と構成に驚愕した。
フェルマーの最終定理 ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ただし、その後の査読において、ワイルズの証明には1箇所致命的な誤りがあることが判明した。この修正は難航したが、ワイルズは彼の教え子リチャード・テイラーの助けを借りつつ、約1年後の1994年9月、障害を回避することに成功した。ワイルズはその瞬間を「研究を始めて以来、最も大事な一瞬」と語っている。1994年10月に新しい証明を発表。1995年のAnnals of Mathematics誌において出版し、その証明は、1995年2月13日に誤りがないことが確認され、360年にわたる歴史に決着を付けた。
Andrew Wiles (May 1995). “Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem（モジュラー楕円曲線とフェルマーの最終定理）” (PDF). Annals of Mathematics 141 (3):  443-551. http://scienzamedia.uniroma2.it/~eal/Wiles-Fermat.pdf.
Richard Taylor and Andrew Wiles (May 1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（ある種のヘッケ代数の環論的性質）” (PDF). Annals of Mathematics 141 (3):  553-572. https://virtualmath1.stanford.edu/~rltaylor/hecke.pdf.
フェルマーの最終定理 エピソード
フェルマーはこの定理の証明に関して「真に驚くべき証明を見つけた」と記述を残している。しかし、現在知られている証明は、分野ごとの壁が厚くなったことで、半ば独自に進化と発展を遂げた各数学分野の最新理論を巧妙に組み合わせ、駆使することで構成されている。いかに「数論の父」と呼ばれるフェルマーであっても、400年前に独自にこの証明を成し遂げたとは考え難いため、フェルマーが n = 4 の場合に用いた無限降下法による証明が全ての自然数に対して適用可能であるとの勘違いによるものとも考えられる。また、小山信也は科学雑誌「Newton」中でこう語っている。
「その後フェルマーは，n = 3の場合を研究した形跡があります。完全な証明を得たのなら，個別のn について研究する必要がありません。完全な証明を見つけたというのは間違いだったと，フェルマー自身も気づいていたのではないでしょうか」。
フェルマーの最終定理 エピソード
最終的な証明で重要な役割を果たした谷山–志村予想に関して、ワイルズとテイラーが証明したのは「半安定」と呼ばれる特殊な場合であり、一般的な場合に関しては証明を与えることはできなかったが、フェルマーの最終定理（の反例）からくるであろう反例の可能性を排除するにはこれで十分だった。ちなみに、後に谷山–志村予想に完全な証明を与えたのはワイルズの弟子であるブライアン・コンラッドとフレッド・ダイアモンドらであり、今では数論の1つの到達点とされて「モジュラー性定理」とよばれることもある。
1908年、ドイツの富豪パウル・ヴォルフスケールは2007年9月13日までの期限付きでフェルマー予想の証明者に対して10万金マルクの懸賞金を設けた (Wolfskehl-Preis)。当然のことながらワイルズが受賞し、その賞金は約500万円程度であるが、第一次世界大戦後のハイパーインフレーションがなければ、十数億円であったといわれる。授賞式は1997年6月、ゲッティンゲン大学の大ホールにて、500人の数学者が列席する中、執り行われた。
フェルマーの最終定理 フィクション
1998年のアニメ『ザ・シンプソンズ』シーズン10第2話「発明は反省のパパ」にて、ホーマー・シンプソンが次の反例であるように見える等式を書く場面がある;
（注：もちろんこれは指数nが4の倍数である時点で、フェルマー自身が証明したように解ではありえない）。
(a=3987,b=4365,c=4472,n=12)
しかし、この等式は偽であり、厳密に計算すると以下のようになる。
一方、
最初の10桁までが同じ数字列である。その差は、
これは約1.212×1033ほどの差である。
また、
これは1.58×10-12ほどの差である。
ピタゴラスの定理
初等幾何学におけるピタゴラスの定理（ピタゴラスのていり、英: Pythagorean theorem）は、直角三角形の3辺の長さの間に成り立つ関係について述べた定理である。その関係は、斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、
という等式の形で述べられる。
現在の日本では三平方の定理（さんへいほうのていり）とも呼ばれている。
ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。例えば、2次元直交座標系において、座標が分かっている2点間の距離を求めることができる。2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる。このことは3次元直交座標系でも成り立つ。このようにして一般の有限次元直交座標系に対して導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。
(a, b, c) で特に全てが自然数であるものは、本質的に可算個あることが知られており、ピタゴラス数と呼ばれている。
ピタゴラスの定理 定理の概要
直角三角形において、斜辺の長さを c、直角をはさむ 2辺の長さをそれぞれ  a, b とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：
ここで a, b, c はいずれも正であるから、2辺の長さから残りの辺の長さを、次のように計算できる：
この定理は、余弦定理によって一般の三角形に拡張される：任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。特にここで考えている内角の大きさが直角の場合、余弦定理はピタゴラスの等式に帰着する。
ピタゴラスの定理 歴史
「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」などいくつかの伝承が伝えられているが、実際はピタゴラスが生まれる前からピタゴラスの定理は広く知られていた。
判明している最初期のものは、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）とされる。バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。
古代エジプト数学にはピタゴラス数についての記述があり、ナイル川の氾濫のあとで土地を元どおり区割りする際に、直角を取るため 3:4:5の直角三角形が利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "Berlin Papyrus 6619" には定理に関わる部分が欠けている。
紀元前3世紀に書かれた「ユークリッド原論」の中でピタゴラスの定理に該当するものは、第1巻の47番目の命題である。ここでは、昔から経験則として知られていたこの法則に、幾何学的な証明を与えている。しかし「原論」中ではピタゴラスについて何も言及がなく、この定理にも名前がついていない。
ピタゴラスの定理 歴史
この定理がピタゴラス学派の業績であると述べる現存する最古の文献は、紀元5世紀のプロクロスによる『ユークリッド原論第一巻註解』である。同書の「第47番の命題」に関する記述は、定理の歴史的背景や、ピタゴラス派による研究について言及し、彼らがこの定理の証明をおこなったこと、さらに牡牛を生贄に捧げて祝ったと書く。後世においてこの定理をピタゴラスの業績とする根拠は、プロクロスの注解による。
インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』などにも定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。
中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼んで説明している。
日本の和算でも、中国での呼称を用いて鉤股弦の法（こうこげんのほう）等と呼んでいた。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、a2 + b2 = c2 (a < b < c) としたときの a, b, c を表している。
日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。
現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである。
このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。
ピタゴラスの定理 ピタゴラス数
3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば 49612 + 64802 = 81612 のようなもの）が出ている。
a2 + b2 = c2 を満たす自然数の組 (a, b, c) をピタゴラス数 (Pythagorean triple) という。特に、a, b, c が互いに素であるピタゴラス数 (a, b, c) は原始ピタゴラス数 (primitive Pythagorean triple) と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で (a, b, c) の正の整数倍 (ka, kb, kc) で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。
ピタゴラス数 (a, b, c) が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、c < 100 で、a < b とすると次の通りである：