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イリオス イリオス遺跡
1870年、シュリーマンは私財を投じてトロイアの発掘を開始。この発掘には既に功績を挙げたオリンピア発掘隊もかかわっている。シュリーマンの狙いは正しく、曲輪に囲まれた遺跡を発掘した。ヒッサリクの丘の遺構は複数の層から成っており、シュリーマンは火災の跡があった第2層をトロイアであるとした。しかし、後の研究の結果、この層はトロイア戦争があったとされる時代よりも前の時代のものであった。
シュリーマンの発掘が学会で認められるには時間がかかった。当時の常識に反している上に、シュリーマンがまったくの素人だったからである。確かにシュリーマンの間違った推定と発掘により、遺跡の考古学的価値は大きく傷ついていた。しかし、当時は現代的な意味での考古学は未整備な状況であった。
イリオス イリオス遺跡
現在までの調査によると、イリオスの遺跡は合計で9層からなり、シュリーマンが『イーリアス』当時のトロイアのものであるとした第2層Gは、紀元前2500年から紀元前2200年のものであることがわかった。第1層、すなわち最初の集落は紀元前3000年ごろに始まっており、初期青銅器時代に分類される。第2層はエーゲ海交易によって栄えたと考えられており、トロイア文化ともいうべき独自の文化を持っていた。城壁は切石の下部構造を持ち、入り口は城壁を跨ぐ塔によって防衛されている。しかし、その後の第3層から第5層は繰り返し破壊されており、発展的状況は認められない。
紀元前1800年から紀元前1300年に至る第6層において、イリオスは再び活発に活動を始めている。遺跡の中心部はシュリーマンの発掘によって大きく削られてしまったため、後の時代の遺構はほとんど何も残っていないが、第2層を取り囲むようにして増築された第6層時代の拡張域は比較的多く残存している。
イリオス イリオス遺跡
第6層はイリオスが最も繁栄した時代と考えられているが、拡張された部分を含めてもその城域は直径200メートル程度で都市というには矮小なため、多くの研究者は長い間、実際のイリオスは町というよりもむしろ交易や軍事の拠点というべき地であったと見なしてきた。しかし、1980年代以降に最新の機器を用いた探査では、丘から数百メートル南に離れた地点で第6層の時代に作られたと思われる壕や門、柵などを含む遺構が確認され、城壁のすぐ外側でも密集した家屋の跡が発掘されたため、この場所がそれまで考えられていたよりも遥かに広大な居住地であった可能性が高まった。このことを踏まえると、都市の規模は丘の周辺の約30ヘクタール（直径600メートル程度）、人口はおよそ1万人程度というそれなりの大きさであったことが窺える。したがって、現在ではこの第6層から第7層までをホメーロスが描いた時代に比定する説が有力である。
この時期に城塞の規模が拡張され、さらに丘の外の平野部にまで居住地が広がったことで、後期青銅器時代の主要な都市のひとつとして栄えたと考えられている。城外の遺構が少ないことに対する説明としては、人家などの重要でない施設は朽ちやすい木造であった可能性が指摘されている（壕や門に関しては防衛設備ではなく放牧のための囲いであった可能性もある）。
イリオス イリオス遺跡
第6層は紀元前1300年ごろにおそらく地震によって崩壊したが、その後すぐに第7A層が再建され、城壁など幾つかの古い施設は継続して使用されていた。出土品の様式に文化的な差異が見られないため、住民も第6層の時代と同じ人々で構成されていたと見られている。しかし、第6層の城塞内には上流階級の邸宅と見られる比較的大きな建物が広い間隔をとって建てられていたのに対し、この時代には数多くの小規模な家屋が隙間なく密集して建てられ、より混雑した空間となっていた。外国由来の品も減少傾向にあるため、何らかの好ましくない変化に直面していたことが窺える。
第7層Aはすぐに崩壊し、後に貧弱な第7層Bが続いていた。その後に第8層、第9層が続くが、これらはギリシア人・ローマ人による町の遺構である。
トロイア戦争の時代を、ヘロドトスは紀元前1250年、エラトステネスは紀元前1184年、Dourisは紀元前1334年と推定した。トロイア戦争時代と推定される第7層の発掘では、陶磁器の様式から、紀元前1275年から紀元前1240年と推定されている。
シュリーマンの発掘した遺跡がトロイア戦争の舞台として登場する古代都市イリオスであるか否かは、議論のわかれるところである。ホメーロスの『イーリアス』には複数の都市に関する伝承が混合している可能性が指摘されており、その複数の都市の中に、シュリーマンが発掘したこのトロイア遺跡が含まれているということについてはおおむね合意が得られている。しかし、ホメロスの『イーリアス』それ自体に考古学的事実と符合しない部分があり、また、最も重要な証拠となるべき第7層の大部分がシュリーマンの発掘によって消失しているので、イリオス遺跡が伝説上のトロイアであるという決定的な証拠はない。ホメロスの伝承が全く架空の伝承とする立場もないわけではない。
とはいえ、この遺跡の発掘が考古学の発展に与えた影響は大きく、そういった意味からもユネスコの世界遺産に登録されている。
紀元前13世紀中ごろのヒッタイト王トゥドハリヤ4世時代のヒッタイト語史料に、アナトリア半島西岸アスワ地方の町としてタルウィサが登場する。これはギリシア語史料のトロイアに相当する可能性が示唆されている。また、同史料にウィルサ王アラクサンドゥスが登場する。これもそれぞれギリシア語史料のイリオスとアレクサンドロスに相当する可能性が示唆されている。
トゥトゥハリヤ4世の治世はヒッサリク遺跡の第7層Aの時代と一致しており、パリスの別名がアレクサンドロスであったことが知られている。このため、この記録はギリシア史料によるトロイア戦争となんらかの関係があるのではないかと推測されている。
イリオス 世界遺産
イリオスの遺跡は、1998年に「トロイの考古遺跡」としてユネスコの世界遺産（文化遺産）に登録された。
この世界遺産は世界遺産登録基準のうち、以下の条件を満たし、登録された（以下の基準は世界遺産センター公表の登録基準からの翻訳、引用である）。
行列
数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。
行列 概要
横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。
例えば、下記のような行列
は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。
書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 i 行目、j 列目の成分を特に行列の (i, j) 成分と言う。行列の (i, j) 成分はふつう ai j のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にコンマを入れることもある。また略式的に、行列 A の (i, j) 成分を指定するのに Ai j という記法を用いることもある。
行列の和は、行の数と列の数が同じ行列において、成分ごとの計算によって与えられる。
行列の積の計算はもっと複雑で、2つの行列がかけ合わせられるためには、積の左因子の列の数と右因子の行の数が一致していなければならない。
行列の応用として代表的なものは一次変換の表現で、これは f (x) = 4x のような一次関数を一般化したものである。例えば、三次元空間におけるベクトルの回転は一次変換にあたり、R が回転行列で v が空間の点の位置を表す列ベクトル（1 列しかない行列）であるとき、それらの積 Rv は回転後の点の位置を表す列ベクトルを表現している。また 2つの行列の積は、2つの一次変換の合成を表現するものとなる。
行列 概要
また、その他の応用としては、線型方程式系の解法が挙げられる。行列が正方行列であるとき、そのいくつかの性質は、行列式を計算することによって知ることができる。例えば、正方行列において、行列式の値が非零となることは、それが正則であるための必要十分条件である。固有値と固有ベクトルは一次変換の幾何学に対する洞察を与える。
行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ。
特に物理学において行列は、古典力学、光学、電磁気学、量子力学などにおける様々な物理現象のモデル化と研究に利用される。
運動学やロボット工学では座標変換や姿勢制御などに行列が使われる。特に同次座標変換のため、2次元の座標変換では3×3行列が、3次元の座標変換では4×4行列が使われることが多い。コンピュータグラフィックスにも応用されている（後述）。
確率論や統計学、確率行列において行列は確率の組を表現するのに用いられ、例えば、これはGoogle検索におけるページランクのアルゴリズムで使われている。
行列 概要
行列の微積分は、古典的な解析学における微分や指数関数の概念を高次元へ一般化するものである。
経済学では経済上の関係のシステムを説明するのに行列が用いられる。
行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は数値解析における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている。
行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計算を効率的に処理させる。
惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる。
無限次行列の簡単な例としては、関数のテイラー級数に対して作用する微分作用素を表す行列がある。
行列 素朴な定義
行列は数または数を表わす文字から成る要素 (英: element) を矩形状に書き並べて、大きな丸括弧（あるいは角括弧）で括った形に書かれる。ここで文字送りの方向（横）の並びを行 (英: row) といい、行送りの方向（縦）の並びを列 (英: column) と呼ぶ。例えば
は 2 つの行と 3 つの列を持つ行列である。行列自身は、ふつうはアルファベットの大文字イタリック（しばしば太字）で表し、その要素は対応する小文字に二つの添字を付けたもので表す（略式的に行列を表す大文字に添字を付けたものを用いることもあるが、その場合小行列の記号と紛らわしい）。つまり一般の m 行 n 列の行列を
のように書く。
書き並べられた要素は行列の成分 (英: entry, component) と呼ばれる。成分が取り得る値は（さまざまな対象を想定できるが）大抵の場合はある体または可換環 K の元であり、このとき K 上の行列 (英: matrix over K) という。特に、K が実数全体の成す体 R であるとき実行列と呼び、複素数全体の成す体 C のとき複素行列と呼ぶ。
行列 素朴な定義
一つの成分を特定するには、二つの添字が必要である。行列の第 i 行目、j 列目の成分を特に行列の (i, j) 成分と呼ぶ。例えば上記行列 A の (1, 2) 成分は a1 2 である。行列の (i, j) 成分はふつう ai j のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にコンマを入れることもある。例えば 1 行 11 列目の成分を a1,11 と書いてよい。また略式的には、行列 A の (i, j) 成分を指定するのに Ai j という記法を用いることがある。この場合、例えば積（後述）A B の (i, j) 成分を (A B)i j と指定したりできるので、これで記述の簡素化を図れる場合もある。
行列に含まれる行の数が m, 列の数が n である時に、その行列を m 行 n 列行列や m × n 行列、m n 行列などと呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数の対を型 (英: type) あるいはサイズという。したがって m 行 n 列行列のことを (m, n) 型行列などと呼ぶこともある。K 上の m × n 行列の全体は Km×n, Km,n や Mat(m, n; K), Mm×n(K) などで表される。
行列 素朴な定義
1つの列を持つ行列を列ベクトル、1つの行をもつ行列を行ベクトルと呼ぶ。例えば行列
に対して、[a1 1a2 1] ， [a1 2a2 2] はその列ベクトル、[a1 1 a1 2], [a2 1 a2 2] はその行ベクトルである。
行と列の数が同じである行列は正方行列と呼ばれる。無限の行または列をもつ行列を無限次行列と呼ぶ。プログラミングにおいて行または列を持たない行列を考えると便利となることがしばしばあるが、このような行列を空行列と呼ぶ。
行列 厳密な定義
行列は二重に添字づけられた族であり、添字の各対 (i, j) に成分 aij を割り当てる二変数写像
である。例えば添字の対 (1, 2) には写像の値として a12 が割り当てられる。値 aij は行列の i-行 j-列成分であるといい、m および n はそれぞれ行および列の数を意味する。写像としての行列の定義と行列が表す線型写像とを混同してはならない。
K に成分を持つ m × n 行列の全体は、したがって配置集合
であり、省略形として Km×n（あるいはやや稀だが mKn）や M(m×n; K) などと書くことの一つの根拠になる。
行の数と列の数が一致するような行列は正方行列と呼ばれる。
ただ一つの列を持つ行列は列ベクトル、ただ一つの行を持つ行列は行ベクトルと呼ばれる。Kn のベクトルは、文脈によって行ベクトル空間 K1×n または列ベクトル空間 Kn×1 の元を表すのにも用いられる。
行列 歴史
線型方程式の解法における応用に関して、行列は長い歴史を持つ。紀元前10世紀から紀元前2世紀の間に書かれた中国の書物『九章算術』は連立方程式の解法に行列を用いた最初の例であるといわれ、それには行列式の概念が含まれていた。1545年にイタリアの数学者ジェロラモ・カルダーノは『偉大なる術（アルス・マグナ）』を著し、この方法をヨーロッパに持ち込んだ。日本の関孝和は1683年に連立方程式の解法として同様に行列による方法を用いている。ドイツのヨハン・デ・ウィットは1659年の著書 Elements of Curves  において行列の変形について説明している。1700年から1710年にかけてドイツのライプニッツは50以上の異なる体系を用いて行列の使い方を発表した。クラメルが有名な公式を生み出すのは1750年のことである。
行列 歴史
行列論の初期においては、行列よりも行列式のほうに非常に重きが置かれており、行列式から離れて現代的な行列の概念と同種のものが浮き彫りにされるのは1858年、ケイリーの歴史的論文 Memoir on the theory of matrices（「行列論回想」）においてである。用語 "matrix"（ラテン語で「生み出すもの」の意味の語に由来）はシルベスターが導入した。シルベスターは行列を、（今日小行列式と呼ばれる）もとの行列から一部の行や列を取り除いて得られる小行列の行列式として、たくさんの行列式を生じるものとして理解していた。1851年の論文でシルベスターは
I have in previous papers defined a "Matrix" as a rectangular array of terms, out of which different systems of determinants may be engendered as from the womb of a common parent. （以前の論文で、項を矩形状に並べた配列として定義した "Matrix" は、そのうちで異なる行列式の体系を生み出す共通の親としての母体である。）
行列 歴史
と説明している。
行列式の研究はいくつかの流れから生じてきたものである。数論的な問題はガウスが二次形式（つまり、のような数式）の係数と三次元の線型写像を行列に結び付けたことに始まり、アイゼンシュタインがこれらの概念をさらに進めて、現代的な用語でいえば行列の積が非可換であることなどを指摘した。コーシーは行列  の行列式として、多項式
（ここで ∏ は条件を満たす項の総乗を表す）の冪 a jk  を ajk で置き換えたものという定義を採用し、それを用いて行列式についての一般的な主張を証明した最初の人である。コーシーは1829年に、対称行列の固有値が全て実数であることも示している。ヤコビは、幾何学的変換の局所的あるいは無限小のレベルでの挙動を記述することができる関数行列式（後にシルベスターが「ヤコビ行列式」と呼んだ）の研究を行った。クロネッカーの Vorlesungen über die Theorie der Determinanten とワイエルシュトラスの Zur Determinantentheorie はともに1903年に出版された。前者は、それまでのコーシーの用いた公式のような具体的な手法とは反対に、行列式を公理的に扱ったものである。これを以って、行列式の概念がきっちりと確立されたと見なされている。
行列 歴史
多くの定理は、初めて確立されたときには小さいサイズの行列に限った主張として示された。例えばケーリー＝ハミルトンの定理は、ケイリーが先述の回想録において 2 × 2 行列に対して示し、ハミルトンが 4 × 4 行列に対して証明して、その後の1898年にフロベニウスが双線型形式についての研究の過程で任意次元に拡張した。また、19世紀の終わりに、（ガウスの消去法として今日知られるものを特別の場合として含む）ガウス–ジョルダン消去法をジョルダンが確立し、20世紀の初頭には行列は線型代数学の中心的役割を果たすようになった。前世紀の超複素数系の分類にも行列の利用が部分的に貢献した。
ハイゼンベルク、ボルン、ジョルダンらによる行列力学の創始は、行または列の数が無限であるような行列の研究へ繋がるものであった。後にフォン・ノイマンは、（大体無限次元のユークリッド空間にあたる）ヒルベルト空間上の線型作用素などの関数解析学的な概念をさらに推し進めることにより、量子力学の数学的基礎を提示した。
行列 行列の演算
二つの行列は、それが同じ型を持つならば互いに加えることができ、この算法を行列の加法、演算の結果を和と言う。異なる型の行列に対しては和は定義されない。つまり、m 行 n 列の行列同士の和を、成分ごとの和
で定める。
例えば
である。
線型代数学において成分はふつう（実数や複素数の全体のような）体であり、この場合の行列の加法は、結合的かつ可換であり、また単位元として零行列
を持つ。一般に、これらの三性質を満たす代数系に成分を持つ（同じ型の）行列の全体は、やはりこれらの性質を満たす。
行列の各成分に一つのスカラーを掛けることにより、任意の行列のスカラー倍
が定義される。例えば、
である。
スカラー乗法が意味を持つためには、スカラー λ と行列の成分が同じ環 (K, +, ·, 0) からとった元であるべきであり、このとき m × n 行列の全体 Km×n は、左 K-加群（K が体ならばベクトル空間）になる。ベクトル空間（あるいは自由加群）としての Km×n は m n 次元数ベクトル空間 Km n と同型である。
行列 行列の演算
行列の積を初めて定義したのはケイリーである。行列の積は狭い意味での二項演算（即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの）ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 ci j は、
で与えられる。
例えば、
である。
実際計算するときにおいては、「第 i 行と第 j 列をベクトルの内積の要領で掛け合わせたら (i,j) 成分になる」と思っておけば間違いはなかろう。
行列の積は可換でない
即ち一般にはとなることが両辺が定義される場合 (l = n) であっても起こり得る。さらに m = n(= l) のとき、つまり両辺が正方行列同士の積であれば両辺とも定義されるが、その場合でも一般には両者は異なる。
積について可換なのは零行列との積、単位行列との積など、かなり限られる。
行列の積は結合的である
即ち、乗法が定義される限りにおいてが成り立つ。
行列の乗法は加法の上に分配的である
即ち、各項における加法と乗法が定義される限りにおいておよびが成り立つ。
正方行列に関して行列の乗法は特別な役割を持つ。環 R 上の正方行列全体 Rn×n は行列の加法と乗法に関して、ふたたび環を成すのである。環 R が単位的（つまり単位元 1 を持つ）ならば、単位行列
行列 行列の演算
は行列の積に関する単位元となり、環 Rn×n もまた単位的となる。しかし、n > 1 のとき、この環は（基礎環 R が可換環であっても）可換環でない。
行列が区分行列に分解されるとき、そのような行列の積は、それらのブロックが適当なサイズならば、ブロック成分ごとに積を計算することができる。例えば
である。ここで E2 は二次の単位行列、右辺の 0 は全ての成分が 0R（基礎環 R の零元）であるような適当なサイズの行列である。
m × n 行列 A = [ai j] の転置とは n × m 行列 tA = [aj i], 即ち
である。これはもとの行列の各列を各行に持つ行列であり、主対角成分 a1 1, a2 2, … に関して折り返したものになっている。
転置行列は以下の計算規則に従う：
n × n 行列 A = [ai j] の行列式とは、
で定義される数である。これは行列の固有値の積と一致し（固有多項式の研究において解と係数の関係から判明する）、det(En) = 1, det(A B) = det(A) det(B) などが成り立つ。
行列 行列の演算
行列 A のランクまたは階数とは、この行列の列ベクトルの中で線型独立なものの最大個数であり、また
行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい。あるいは A の表現する線型写像の像の次元と言っても同じである。階数・退化次数の定理は、行列の核に階数を加えると、その行列の列の数に等しいことを述べるものである。
n × n 行列 A = [ai j] のトレースまたは跡とは、その対角線上にある成分の和
のことである。これは tr(A B) = tr(B A) を満たし、行列のトレースはその固有値の和に等しい（これも固有方程式の解と係数の関係からわかる）。
K-加群としての Mm×n(K) はまた、行列の積 tA B のトレース
を内積に持つ。K = R のとき、これはユークリッドノルムを導き、Mm×n(R) は m n-次元ユークリッド空間 Km n になる。この内積空間において、対称行列全体の成す部分空間と歪対称行列全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、A が対称, B が歪対称ならば ⟨A, B⟩ = 0 が成り立つ。同様に K = C の場合には、Mm×n(C) は
（ただし、上付きのバーは複素共軛）をエルミート内積として複素ユニタリ空間を成す（この内積をヒルベルト・シュミット内積と呼ぶ）。この内積はフロベニウスノルムを導き、Mm×n(C) はバナッハ空間となる。
行列 行列の演算
任意の行列 B に対し、その成分をそれぞれの成分の加法逆元に全て取り換えた行列を −B と書けば、同じサイズの行列 A, B の和 A + (−B) を A − B と略記して差を定めることができる。より強く、スカラー乗法が定義される場合には、特にスカラー (−1)-倍は (−1)B = −B を満たすのだから、和とスカラー倍を使って差を定義することもできる。
とすればよい．
n × n の正方行列 A に対して行列のべき乗は An (ここで n は実数) と書かれる。
行列 A が対角化可能であれば、An = (P−1DP)n = P−1DnP として容易に計算できる。
また、上（下）三角行列のべき乗は、同じく上（下）三角行列となる。
v と w を n × 1 の列ベクトルとすると、v と w との間に行列の積は定義されないが、tv w および v tw は行列の積として定義することができる。前者は 1 × 1 行列であり、これをスカラーと解釈すれば、v と w との標準内積 ⟨v, w⟩ に他ならない。いっぽう後者は、階数 1 の n × n 行列で、v と w との二項積 v w あるいはテンソル積 v ⊗ w と呼ばれる。
可換環 K 上の m × n 行列の全体 Mm×n(K) は加法とスカラー倍について K-加群を成すばかりでなく、その上の三項演算
を定義することができる。これと同様の方法で得られる三重線型な三項系（三項積）の一般論は、ジョルダン環あるいはリー環の理論とかかわりを持つ。
以下のような計算は定義されないため実行してはならない。
行列 行列の分解
行列を2つあるいは3つの行列の積に因数分解するには以下の方法が知られている。
行列 線型写像
行列とその乗法は、これを一次変換（つまり線型写像）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。
線型写像の行列表現
m × n 行列 A から線型写像 Rn → Rm が各ベクトル x ∈ Rn を行列としての積 Ax ∈ Rm へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: Rn → Rm を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、f(ej) の第 i-成分である。ただし ej = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトルである。
このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。
例えば 2 × 2 行列
は、単位正方形を (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), (c, d) を頂点とする平行四辺形に写すものと見做すことができる。この平行四辺形は、単位正方形の頂点を成す四つの（列）ベクトル (00), (10), (11), (01) の各々に A を掛けることによって得られる。
行列 線型写像
この行列と線型写像との間の一対一対応のもとで、行列の乗法は写像の合成に対応する: 上記の A と f に加えて、k × m 行列 B が別の線型写像 g: Rm → Rk を表現するものならば、合成 g ∘ f は行列の積 BA で表現される。実際、
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x
である。最後の等号は行列の積の結合性による。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
行列の一般化の方向性はいくつか異なるものが存在する。抽象代数学では行列の成分をもっと一般の（可換とは限らない）体や環としたものを用いるし、線型代数学は線型写像の概念を機軸に行列の性質を体系化したものである。また行や列の数を無限に増やした行列というものを考えることもできる。他の拡張としてテンソルは、（行列が矩形状あるいは二次元の数の配列と見ることができるのに対して）数の配列を高次化したものと見ることもできるし、ベクトルの双対や数列として実現することもできるものである。適当な制約条件を満足する行列の集まりは、行列群あるいは線型代数群などと呼ばれる群を成す。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
しばしば実または複素成分の行列に焦点を当てることもあるが、それ以外にももっと一般の種類の成分を持った行列を考えることができる。一般化の最初の段階として任意の体（すなわち四則演算が自由にできる集合、例えば R, C 以外に有理数体 Q や有限体 Fqなど）を成分として考える。例えば符号理論では有限体上の行列を利用する。どの体で考えるとしても、固有値は多項式の根として考えることができて、それは行列の係数体の拡大体の中に存在する。たとえば、実行列の場合は固有値は複素数である。ある行列の成分をより大きな体の元と解釈しなおすことはできる（例えば実行列を全ての成分が実数であるような複素行列とみることができる）から、そのような十分大きな体の中で任意の正方行列についてその固有値全てから成る集合を考えることができる。あるいは最初から、複素数体 C のような代数閉体に成分を持つような行列のみを考えるものとすることもできる。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
もっと一般に、抽象代数学では環に成分を持つ行列というものが甚だ有用である。環は除法演算を持たない点において体よりも一般の概念である。この場合も、行列の加法と乗法はそのまままったく同じ物を使うことができる。R 上の n-次正方行列全体の成す集合 M(n, R) は全行列環と呼ばれる環であり、左 R-加群 Rn の自己準同型環に同型である。環 R が可換環、すなわちその乗法が可換律を満たすならば、全行列環 M(n, R) は（n = 1 でない限り）非可換な R 上の単位的結合多元環となる。可換環 R 上の正方行列の行列式はライプニッツの公式を用いて定義することができて、可換環 R 上の正方行列が可逆であることの必要十分条件をその行列式が R の可逆元であることと述べることができる（これは零元でない任意の元が可逆元であった体の場合の一般化になっている）。超環上の行列は超行列と呼ばれる。
行列の成分が必ずしもすべて同じ環に属するというわけではない（し、すべてが全く別の環に成分を持つというわけでもない）。一つの特別な、しかしよく用いられる場合として、成分自体が行列となっているような行列と見なすこともできる区分行列が挙げられる。その成分は二次元的な行列である必要はないし、また通常の環の元である必要もないが、その大きさに関しては適当な両立条件を満足するものでなければならない。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
線型写像 Rn → Rm は既に述べたように m × n 行列と等価である。一般に有限次元ベクトル空間の間の線型写像 f: V → W は（V の次元を n, W の次元を m として） V の基底 v1, …, vn と W の基底 w1, …, wm を選べば
を満たす行列 A = (aij) によって記述することができる。言い換えれば、
A の第 j-列は基底ベクトル vj の像を W の基底 {wi} に関して表したものになっている。従ってこのような関係は行列 A の成分から一意的に定まる。注意すべきは線型写像を表す行列は基底の取り方に依存することである。基底の取り方を変えれば別な行列が生じるが、それはもとの行列と同値になる。既に述べた具体的な概念の多くはこの方法を通して解釈しなおすことができる。例えば転置行列 A⊤ は A の定める線型写像の転置写像を、双対基底に関して記述するものである。。
より一般に、m × n 行列全体の成す集合は、勝手な単位的環 R に対して自由加群 Rm および Rn の間の R-線型写像を表すのに利用することができる。n = m のとき、そのような写像の合成を定義することができて、n-次正方行列全体の成す全行列環が、Rn の自己準同型環を表現するものとして生じる。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
群というのは集合と二項演算（つまり、任意の二つの対象を結合して第三の対象を作る操作）からなる数学的構造で、適当な条件を満たすものである。行列をその元とし、行列の積を群演算とするような群は、行列群または線型代数群と呼ばれる。群の任意の元は可逆であるから、最も一般の行列群は与えられたサイズの可逆行列全体の成す群 GLn であり、一般線型群と呼ばれる。
行列の性質のうちで積と反転に関して保たれるものを用いると、さらに別の行列群を定義することもできる。例えば、与えられたサイズの行列式が 1 であるような行列の全体は、同じサイズの一般線型群に含まれる部分群となり、特殊線型群 SLn と呼ばれる。また、条件
M⊤M = I
で定まる直交行列の全体は直交群 O(n) を成す。「直交」の名は、対応する Rn の線型変換が、M を掛ける操作で二つのベクトルの内積を変えない
(Mv) · (Mw) = v · w
という意味で角を保つことに由来する。
任意の有限群は何らかの行列群同型である。なんとなれば対称群の正則表現を考えればよい。故に、表現論の意味で、一般の群を比較的よくわかっている行列群を用いて調べることができる。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
行または列の数を無限にした行列と呼べるようなものも考えることができるが、そのようなものを陽なかたちに書き記すことはできないので、行を添字付ける集合と列を添字付ける集合を用意して（添字集合は必ずしも自然数から成るものでなくてよい）、それらの各元に対して行列の成分が矛盾無く定義されるという方法で扱うことになる。このとき、和・差、スカラー倍、転置といった基本演算については問題なく定義されるが、行列の乗法に関してはその成分が無限和として与えられることになり、これは（適当な制約条件を抜きにしては）一般には定義されない。
R を任意の単位的環とすれば、右 R-加群としての  の自己準同型環は、I × I で添字付けられ、各列の非零成分の数が有限個であるような列有限行列の環 CFMI(R) に同型である。これと対応するものとして、左 R-加群としての M の自己準同型環を考えれば、同様に各行の非零成分の数が有限な行有限行列の環 RFMI(R) が得られる。
行列 行列の抽象代数的側面と一般化
無限次元行列を線型写像を記述するのに用いるならば、次に述べるような理由から、その各列ベクトルが有限個の例外を除いて全ての成分が 0 となるものとならなければ無用である。A が適当な基底に関して線型写像 f: V → W を表現するものとすると、それは定義により、空間の任意のベクトルを基底ベクトルの（有限）線型結合として一意に表すことによって与えられるのであるから、従って（列）ベクトル v の成分 vi で非零となるものは有限個に限られる。また、A の各列は V の各基底ベクトルの f による像を W の基底に関して表したものとなっているから、これが意味を持つのはこれらの列ベクトルの非零成分が有限個である場合に限る。しかし一方で、A の行に関しては何の制約もない。事実、v の非零成分が有限個であるならば、積 Av はその各成分が見かけ上無限和の形で与えられるとしても、実際にはそれは非零の項が有限個しかないから、間違いなく決定することができる。さらに言えば、これは A の実質的に有限個の列の線型結合を成すことになり、また各列の非零成分は有限個だから結果として得られる和も非零成分が有限個になる。（通常は、行と列が同じ集合で添字付けられるような）与えられた型の二つの行列の積は矛盾無く定義できて、もとと同じ型を持ち、線型写像の合成に対応することも確認できる。
R がノルム環ならば、行または列に関する有限性条件を緩めることができる。すなわち、有限和の代わりに、そのノルムに関する絶対収束級数を考えればよい。例えば、列和が絶対収束列となるような行列の全体は環を成す。もちろん同様に、行和が絶対収束列となるような行列の全体も環を成す。
この文脈では、収束して連続的な問題を生じ、適当な制約条件を満たすような無限次行列はヒルベルト空間上の作用素を記述するものとして利用することができる。しかし、このようなやり方は行列としての陽な観点は曖昧になりがちであり、むしろその代わりに関数解析学の抽象的でより強力な手法が利用できる。
空行列は行または列（あるいはその両方）の数が 0 であるような行列をいう。零ベクトル空間を含めて写像を考える場合に、空行列は役に立つ。例えば、A が 3 × 0 行列で B が 0 × 3 行列ならば、積 AB は三次元空間 V からそれ自身への空写像に対応する 3 × 3 零行列である。空行列を表す記号というのは特に定まってはいないが、多くの数式処理システムでは空行列を作成したり空行列に関する計算をしたりすることができる。0 × 0 行列の行列式は 1 と定義される。これは行列式に関するライプニッツの公式（置換に関する和として表す公式）が空積となり、それは通常 1 であることによる。またこのことは、任意の有限次元空間における恒等変換（に対応する行列）の行列式が 1 であるという事実とも整合する。
行列 応用
行列は数学と科学における数多くの場面で応用される。そのうちのいくつかは単に行列における数字の組を簡潔に表現するために利用させる。例えば、ゲーム理論や経済学における利得行列は2人のプレイヤーの利得を符号化する。
複素数は2×2の実行列で
のように表現することで複素数と行列における和と積をそれぞれ対応させることが可能となる。例えば2×2の回転行列は絶対値が1である複素数の乗算を表す。これと同じような解釈は一般に四元数やクリフォード代数においても可能である。
行列 応用
運動学やロボット工学の分野では、2次元または3次元空間における物体の位置や姿勢（回転角）を表現するのに行列が用いられ、ベクトルおよびクォータニオン（四元数）とともに姿勢制御に応用されている。任意のオイラー角は回転行列の積で表現できる。また、同次座標系での座標変換を導入するために、2次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した3次元ベクトルと3×3行列の積が、3次元ベクトルを座標変換する際は同次座標を追加した4次元ベクトルと4×4行列の積が使用される。コンピュータグラフィックスでも、アフィン変換を使って2次元平面上の図形を平行移動・回転・拡大縮小・せん断変形したり、ポリゴンメッシュや自由曲面を使って仮想空間上に物体を表現する際、物体を構成する頂点集合の位置や姿勢を表したり、カメラの画角を表現したり、3次元空間上のモデルを正規化デバイス座標系や2次元のスクリーン座標系に投影したりするのに行列が使われている。
ヒル暗号のような初期の暗号技術においても行列は用いられる。しかし、行列の線型性によって、このような暗号はかなり簡単に突破されてしまう。
多項式環における行列は制御理論を学ぶ際に重要となる。
有限グラフの隣接行列はグラフ理論における基本的な概念である。これは枝によって繋がれたグラフの頂点を表す。また、距離行列は頂点間の距離に関する情報を含む。このような概念はハイパーリンクによって繋がれたウェブサイトや道路で繋がれた都市といった場面で応用することができる。このようなことからネットワーク理論においても行列は用いられることとなる。
微分可能関数ƒ: Rn → Rのヘッセ行列はƒの二階導関数によって
のようになる。これは関数の局所的な状態に関する情報を符号化したものである。
正方行列
正方行列（せいほうぎょうれつ、英: square matrix）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。
正方行列 性質
同じサイズの正方行列の全体には加法・乗法が定義可能で、環をなす。（これは行列のサイズが n × n のとき n 次の全行列環と呼ばれる。）
可換環上 1 次の場合（スカラー）をのぞいて、全行列環は非可換。
実数体 R 上で定義された 2 次の全行列環は複素数体 C と同型な部分体を含む。
複素数体 C 上定義された 2 次の全行列環あるいは R 上定義された 4 次の全行列環は、四元数体 H に同型な部分斜体を含む。
正方行列 正方行列に対して定義されているもの
正方行列に対して定義されているものを以下に示す。
特異値を除くと、通常これらは正方行列でのみ定義されている。
単位行列
数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、英: identity matrix, 独: Einheitsmatrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。
単位行列 構成
単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を ai, j とすると次のように書ける。
ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。
単位行列 表記法
n次単位行列は En や In と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。
対角行列の記法を用いて In = diag(1, 1, …, 1) と書ける。
クロネッカーのデルタを用いると、En = (δi,j) と表すことができる。
転置行列
転置行列（てんちぎょうれつ、英: transpose [of a matrix], transposed matrix）とは、m 行 n 列の行列 A に対して A の (i, j) 要素と (j, i) 要素を入れ替えてできる n 行 m 列の行列のことである。転置行列は tA, AT, A⊤, Atr, A′ などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを転置（てんち、英: transpose）といい、「A を転置する」などと表現する。
特に正方行列に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。
転置行列 定義
m × n行列
の転置行列 tA は
で定義される。このとき tA は n × m行列である。
転置行列 性質
A, B は行列、k, l はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
正方行列の性質
転置行列 転置行列により定義される行列
転置により定義される特別な行列として以下がある。
これらの行列はそれぞれ随伴行列（行列のエルミート共役）に対するエルミート行列、歪エルミート行列、ユニタリ行列に相当する。
転置行列 線形写像との関係
m × n 行列 A を n 次元ベクトル空間 V から m 次元ベクトル空間 W への線形写像 f : V → W とみなすとき、A の転置行列 tA には f の転置写像 tf が対応する。これは W の双対空間 W* から V の双対空間 V* への線形写像 tf : W* → V* で、y* ∈ W* に対して
によって定義される。この定義は y ∈ W と y* ∈ W* の自然なペアリングを y*(y) = ⟨y, y*⟩ と表記すれば、x ∈ V に対して
という関係式によって書き直すこともできる。
表面
表面（ひょうめん、英: surface）は、
表面 物性物理学
物性物理学においては、ある相が別の相と接しているとき、その界面を元の相の表面と呼ぶ。
固体と気体の界面を意味することが多いが、他にも、液体と気体、固体と液体、液体と液体、固体と真空などの組合せもある。
一般に物体の表面付近の状態は物体内部の状態と異なっている。例えば物体の表面が物体内部より高いエネルギーを持つと表面張力として観察される。このような性質を記述する表面物理学と呼ばれる分野がある。
表面といえば通常、密でまとまった側を基準とする。たとえば、固体と気体が接している場合、その界面は「固体の表面」とは言うが「気体の表面」とはいわない。水中に油泡がある場合の界面は「油の表面」、油中に水泡がある場合の界面は「水の表面」というのが普通である。
固体の表面は、通常は表側だけから触れることができる。ただし水面のような液体の表面は、表と裏の両方から接触可能である。
単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元（たんいげん、英: identity element）あるいは中立元（ちゅうりつげん、英: neutral element）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。
単位元 定義
二項演算 ∗ とその定義域 M について、
∗ が M について悉く可換であるとき、M の任意の元 a について e ∗ a = a ∗ e = x を満たす M の元 e を ∗ に関する（両側）単位元という。
単位元を有するマグマ、半群、環などはそれぞれ単位的マグマ、単位的半群（モノイド）、単位的環などと呼ばれる。
環などの加法と乗法の二つの演算を持つような代数系では、どの演算に関する概念であるかを区別するために、加法に関する単位元を加法単位元（しばしば 0 で表す）と呼び、乗法に関する単位元を乗法単位元（しばしば 1 で表す）という。
単位元 性質
左単位元および右単位元は一つの代数系に複数存在しうる。しかしマグマ (M, ∗) が左単位元および右単位元を持てば、それらは一致しその代数系のただ一つの（両側）単位元となる。このことは、実際 e1 が左単位元 e2 が右単位元であるならば、
が成立することからわかる。とくに両側単位元は高々一つしか存在しない。
マグマ (S, ∗) が一つも単位元を持たないこともありうる。よく知られた例としては空間ベクトルのクロス積が挙げられる。クロス積に関する単位元が存在しないことは、二つの非零ベクトルのクロス積がもとの二つのベクトルの両方に直交する向きを持つという事実からわかる。単位元を持たない別な例としては（正の）自然数全体のなす加法的半群 (N, +) が挙げられる。
単位元の添加
マグマ (M, ∗) が与えられたとき、M に M のどの元とも異なる新たな元 1 を付け加えた集合 M1 := M ∪ {1} で任意の a ∈ M1 に対して a * 1 = 1 * a = a と定めて、M の演算 ∗ を M1 上に延長することにより、元 1 を M1 の ∗ に関する単位元とすることができる。この (M1, ∗) を (M, ∗) の 1-添加という。
もし、M がもともと ∗ に関する単位元 e を持っていたとしても、e は M1 上ではもはや ∗ に関する単位元ではない。
スピン 原義
いずれも英語
自転する、してしまうこと
スピン - 量子力学におけるスピン角運動量の略
スピン (フィギュアスケート) - フィギュアスケートの技術要素の一つ。その他、演技系のスポーツでも「スピン」という言葉が使われる。
スピン（ボディボード） - ボディボードで波の面に対し水平に回転する技術
スピン - 航空機のきりもみ降下のこと。フラットスピンなど。その他、自動車などの乗り物でも「スピン」という言葉が使われる。
対称行列
線型代数学における対称行列（たいしょうぎょうれつ、英: symmetric matrix）は、自身の転置行列と一致するような正方行列を言う。記号で書けば、行列 A は
を満たすとき対称であるという。任意の正方行列は対称行列と相似である。
定義により、対称行列の成分は主対角線に関して対称である。即ち、成分に関して行列 A = [ai j] は任意の添字 i j に関して ai j = aj i を満たす。例えば、次の 3 次正方行列
は対称である。任意の正方対角行列は、その非対角成分が 0 であるから、対称である。同様に、歪対称行列（tA = −A なる行列）の各対角成分は、自身と符号を変えたものと等しいから、すべて 0 でなければならない。
実対称行列が実内積空間上の適当な正規直交基底に対して定める線形作用素は対称作用素（自己随伴作用素）である。複素内積空間の場合に対応する概念は、複素数を成分に持つエルミート行列（自身の共役転置行列と一致するような複素行列）である。故に、複素数体上の線型代数学においては、対称行列という言葉は行列が実数に成分をとる場合に限って使うことがしばしばある。対称行列は様々な応用の場面に現れ、典型的な数値線型代数ソフトウェアではこれらに特別な便宜をさいている。
対称行列 性質
有限次元のスペクトル定理によれば、任意の実対称行列は直交行列によって対角化可能である。更に、実正方行列 A が対称であるのは
が実対角行列となる実直交行列 Q が存在するとき、かつそのときに限ることが知られている。従って、任意の対称行列は適当な正規直交基底に関する（同値の違いを除いて）対角行列である。言い換えれば、n 次実正方行列 A が対称となる必要十分条件は、A の固有ベクトルの全体が Rn の正規直交基底となることである。
任意の実対称行列は、複素行列と見てエルミートであり、従ってその全ての固有値は実数である（コーシー 1829）。実はこれら固有値は、その行列の対角化（上で述べた D）の成分であり、従って D は A によって（成分を並べる順番を除いて）一意に決定される。本質的に、実行列が対称であるという性質は複素行列がエルミートであるという性質に対応する。
対称行列 性質
複素対称行列Aのジョルダン標準形は一般には対角行列にならず、それゆえAは対角化可能であるとは限らない。しかし複素対称行列はユニタリ行列によって「対角化」される。即ち、複素対称行列 A に対しユニタリ行列 U が存在して UAUT が非負の実対角行列となるようにできる。このことは「オートン高木分解」とも呼ばれ、もとはレオン・オートン (Autonne 1915) と高木貞治 (Takagi 1925) がそれぞれ証明し、その後さまざまな数学者によって異なる証明によって再発見された。
対称行列 性質
実際、行列 B = A∗ A はエルミートかつ半正定値であり、ユニタリ行列 V によって非負実数を成分とする対角行列 V∗ BV が得られる。従って、C = VTAV は C∗ C = V∗ BV が実行列であるような複素対称行列になる。実対称行列 X, Y を用いて C = X + iY と置けば C∗ C = X2 + Y2 + i(XY − YX) となるから、XY = YX を得る。X と Y が可換ゆえ、実直交行列 W が存在して WXWT, WYWT がともに対角行列となるようにすることができる（同時対角化）。そこで U = WVT （これはユニタリ行列）と置けば、行列 UAUT は複素対角行列になる。U に左から適当な対角かつユニタリな行列を掛けることにより（これは U のユニタリ性を保存する）対角成分を非負実数にすることができる。複素対角行列は  と表すことができ、適した行列は  で与えられる。明らかに は求める行列で、よって  と置きなおせばいい。
各対角成分の平方は A∗ A の固有値であり、A の特異値に一致する。
対称行列 性質
二つの対称行列の和と差はやはり対称となるが、積は必ずしもそうではない。対称行列 A, B の積 AB が対称となるのは A と B とが可換 (AB = BA) となるときであり、かつそのときに限る。故に任意の整数 n に対し冪 An は A が対称のとき対称である。A, B が可換な n 次実対称行列ならば A, B 双方の固有ベクトルとなるようなベクトルからなる Rn の基底が存在する。
逆行列 A−1 が存在するとき、それが対称となることと、A が対称であることとは同値である。
n 次正方行列全体の成す空間を Matn と書くことにする。n 次対称行列は主対角線およびそれよりも上側にある n(n + 1)/2 個のスカラーで決まり、同様に歪対称行列も主対角線よりも上にある  n(n − 1)/2 個のスカラーで決定される。n 次対称行列全体の成す空間 Symn およびn 次歪対称行列全体の成す空間 Skewn に対して Matn = Symn + Skewn および Symn ∩ Skewn = {0} が成り立つから、すなわち直和分解
が成立する。実際、X ∈ Matn に対して
と書けば、(1/2)(X + XT) ∈ Symn かつ (1/2)(X − XT) ∈ Skewn は一意に定まる。このことは標数が 2 でない任意の体に成分をとる任意の正方行列 X について成立する。
Rn の標準内積を ⟨ , ⟩ と書けば、n 次実正方行列 A が対称となる必要十分条件は行列 A の定める双線型形式が対称であること、つまり
が成り立つことである。この条件は基底の取り方とは無関係であるから、行列の対称性は A の定める線型作用素と内積のみによって決まる性質である。この特徴付けは有用で、例えば微分幾何学において可微分多様体の各接空間の内積からくる計量を持つリーマン多様体においても対称性を考えることができる。あるいはヒルベルト空間においても同様の定式化は利用できる。
対称行列 二次形式とヘッセ行列
n 次実対称行列は、例えば実 n 変数の二回連続的微分可能な函数のヘッセ行列として現れる。
Rn 上の任意の二次形式 q は n 次対称行列 A を用いて q(x) = xTAx の形に一意的に表される。上述のスペクトル論から、任意の二次形式は Rn の適当な正規直交基底を選べば、適当な実数 λi に対して
なる形に書くことができる（ラグランジュ 1759）。これにより二次形式の、あるいは円錐曲線の一般化としての等位集合 {x : q(x) = 1} の研究は大幅に簡素化される。
任意の多変数可微分函数の二階の振舞いは、テイラーの定理の帰結
として、その函数のヘッセ行列に付随する二次形式によって記述されるから、二次形式のスペクトル論はこの場合においてもそれなりに重要である。
対称行列 対称化可能行列
n 次正方行列 A が対称化可能 (symmetrizable) とは、正則対角行列 D および対称行列 S で A = DS となるものが存在するときに言う。対称化可能行列の転置も対称化可能であることは、(DS)T = D−1(DSD)T からわかる。行列 A = (aij) が対称化可能となる必要十分条件は、以下の条件
を共に満たすことである。
電荷
電荷（でんか、英: electric charge）とは、物体が帯びている静電気およびその物理量。電気現象を起こすもとになるもの。電磁場から受ける作用の大きさを規定する。
電荷は、荷電（かでん）ともいう。計量法体系においては電気量（でんきりょう）と呼ぶ。
電荷の量のことを電荷量（でんかりょう）という。「電荷量」や「電荷を持つ粒子」のことを単に電荷と呼ぶこともある。
電荷 概要
電荷は、電磁気現象を引き起こす源である。電荷の量によって、ある物体が電磁場や他の電荷から受ける力の大きさが決まる。
電荷量は正または負の値を取りうる。電荷量が正である電荷を正電荷といい、電荷量が負である電荷を負電荷という。陽子は正電荷を持つ。電子は負電荷を持つ。正電荷を持つ粒子のことを単に正電荷と呼んだり、負電荷を持つ粒子のことを単に負電荷と呼ぶこともある。
電子の研究を進める中で、電荷の素量（電気素量）が発見された。電気素量は記号eで表し、その値は
(クーロン)
(静電単位)
である。1個の電子や1個の陽子の持つ電荷量の絶対値が電気素量である。したがって、電荷量は電気素量の整数倍として表すことができる。ただし、電気素量は巨視的には非常に小さいため、巨視的な電磁気現象を扱う上で電気素量が意識されることはほとんどない。
なお、これまで電気素量の整数倍以外の電荷量は観測されていない。クォークの電荷量は(-1/3)e、(+2/3)eであると考えられているが、クォーク同士は強い力によって結び付けられているため、単独でクォークが観測されたことはない（クォークの閉じ込め）。
電荷 物理
正電荷同士、負電荷同士の間には斥力が生じる。正電荷と負電荷の間には引力が働く。これらの力は、各粒子の電荷量に比例し、粒子同士の距離の2乗に反比例する。これをクーロンの法則といい、この力をクーロン力という。
物体や空間において、その中に電荷を持つ粒子が複数存在するとき, 各粒子の持つ電荷量の合計を、その物体や空間の「正味の電荷量」と呼ぶ。正電荷と負電荷が等量だけ存在するときは正味の電荷量はゼロである。この状態を中性という。正味の電荷量がゼロでないとき、その物体や空間は帯電しているという。
帯電する現象を静電気と呼ぶこともある。静電気現象は放電などを含むため、帯電は静電気現象の一部である。
単位時間当たりにある場所（もしくは面）を通過する電荷量のことを電流という。電流のSI単位はアンペア[A]である。これはSI基本単位である。電荷は電流を時間で積分したものである。したがって、電荷のSI組み立て単位はアンペア・秒[A s]である。この単位をクーロン[C]という。
電荷 物理
電荷素量とは電荷の最小単位である。これを記号eで表すと陽子は+e 、電子は-e 、中性子は0の電荷をそれぞれ持っている。イオンを表すMg2+やOH-などはそれぞれ+2eや-eだけ帯電していることを示す。例外として素粒子であるクォークは(-1/3)eまたは(+2/3)eの電荷を持っているが、単独で取り出せないため(1/3)eは電荷素量としては扱わない。なお反粒子はその対になる粒子と正負が逆で絶対値が等しい電荷を持つ。たとえば電子の反粒子である陽電子は+eの電荷を持ち、陽子の反粒子である反陽子は-eの電荷を持つ。
単位体積あたりの電荷を電荷密度という。
すべての電荷の総量は保存するという法則。現在確認されているあらゆる反応のうち、これが破られた例はない。この意味で、電荷は素粒子が持つ最も基本的な性質の一つであると言える。