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交換法則 歴史と語源
可換性質の暗黙的な使用は古代に遡る。古代エジプト人は積の計算の簡素化に乗法の可換性を用いているし、エウクレイデスが著書『原論』において乗法の可換性を仮定していたことは良く知られている。明示的な形で交換法則が立ち現れるのは、数学者により函数論が築かれ始める18世紀後半から19世紀初頭にかけてである。今日では可換性は数学の大部分の分野で良く知られた基本性質として扱われている。
記録上 commutative の語が初めて現れるのはセルヴォワの回顧録(1814年)で、現在では可換性と呼ばれる性質を持つ函数を記述するために commutatives の語が用いられている。語義はフランス語で「置き換え」や「入れ替え」を意味する commuter に「傾向がある」ことを意味する接尾辞 -ative が付いたものだから、字面通りに読めば「入れ替えようとするもの」である。
交換法則 定義と語法
「交換」あるいは「可換」("commutative") という語は（関連はあるが厳密には異なる）いくつかの意味で用いられる。「交換法則」や「可換律」のように言うとき、一般的にはそれは二項演算（あるいはより一般に二項関係や二変数写像）に結び付けられた性質のことを言うものと理解される。特定の演算を固定して考えるとき、その演算の引数となる二つの元で、交換法則の言う条件式を満足するものに対しては、それらの二元が（与えられた演算のもとで）「交換する」「可換である」(commute) と言い表す。
以下、集合 E 上に二項演算 ∗ が定められているものとして:
より一般に、
あるいはまた、
交換法則 交換法則の遍在
群論や集合論において、（複数の演算を持つ）様々な代数系が、それが持つ特定の演算が交換法則を満足するとき「可換」と呼ばれる。
それらの分野の結果を利用する他の分野、例えば解析学や線型代数学では良く分かっている演算（例えば、実数や複素数に対する加法や乗法）は、いちいち断らなくても暗黙の仮定として証明等の中で縦横に用いられる
微分
数学における実変数関数の微分係数、微分商または導関数（どうかんすう、英: derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを微分（びぶん、英: differentiation）するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。
微分 概要
微分は解析学分野（特に微分積分学分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導関数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。
一変数関数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点におけるグラフの接線の傾きである。これは導関数がその入力値の近くでその関数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。
微分は実多変数関数にも拡張できる。この一般化において、導関数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの関数のグラフを最適線型近似する線型写像と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値関数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。
導関数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（英: differentiation）と言い、その逆の過程（原始関数を求めること）を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。
微分 1変数関数の微分法
初めに最も簡単な場合を扱う。すなわち、実数値の変数を1個もち、値も1個の実数であるような関数 f(x)（または単に f とも書く）を微分することを考える。「微分する」というのは、より正確には、微分係数または導関数のいずれかを求めることを意味している。
説明を単純にするため、f(x) はすべての実数 x に対して定義されているとしよう。すると各々の実数 a に対して、f の a における微分係数と呼ばれる数がある（定義されない場合もあるが、ここでは理想的な状況のみを想定して説明する）。これを f′(a) で表す。また、実数 a に対して微分係数 f′(a) を対応させる関数 f′ のことを f の導関数という。
微分係数 f′(a) とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。
これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。
微分 1変数関数の微分法
ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば一次関数 f(x) = Ax + B を考えると、そのグラフは直線なので、「x = a における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線 y = Ax + B の傾きは A だから、微分係数 f′(a) の値も A とすべきだと考えられる。また、二次関数についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。だが、ほとんどの関数にはこのような手法は通用しないから、一般的な定義を与えるためには新しい考えが必要である。
関数 f(x) が開区間  において定義されているとする。そのとき、 に対し、極限
が存在するとき、f(x) は x = a において微分可能であるという（極限は有限確定値であることを要請する。すなわち、正の無限大や負の無限大であることは許容しない）。またそのとき、上記の極限を x = a における f(x) の微分係数とよび、f′(a) によって表す。
微分 1変数関数の微分法
これにともない、f(x) のグラフ上の点 (a, f(a)) を通り傾き f′(a) をもつ直線のことを、f(x) のグラフの x = a における接線という。つまり、x = a における接線とは、y = f′(a)(x − a) + f(a) によって与えられる直線のことである。
上述の微分係数の定義に現れる分数
は差分商とよばれる。これは関数 f(x) のグラフ上の2点 (a, f(a)) と (a + h, f(a + h)) を通る直線（割線という）の傾きを表している。あるいは、変数 x の値が a から a + h まで変化するあいだの、関数の値の平均変化率を表しているとみることもできる。これらの見方によれば、微分係数の定義について、次のような解釈を与えることができる。
なお、上述の微分可能性の定義では h が 0 にどのようにして近づいても差分商が一定の値に収束することを要請したが、近づき方を限定することも考えられる。h が正の値をとりながら 0 に近づいたときの片側極限
が存在するとき、f(x) は x = a において右側微分可能であるといい、この片側極限を右側微分係数とよぶ。同様に、h が負の値をとりながら 0 に近づいたときの片側極限
微分 1変数関数の微分法
が存在するとき、f(x) は x = a において左側微分可能であるといい、この片側極限を左側微分係数とよぶ。f(x) が x = a において微分可能であるためには、「f(x) が x = a において右側微分可能かつ左側微分可能で、かつ右側微分係数と左側微分係数が一致する」ということが必要十分である。
関数 f(x) が開区間  で定義されており、すべての  において微分可能であるとき、f は区間 I において微分可能であるという。またそのとき、a に対して微分係数 f(a) を対応させる区間 I 上の関数のことを、f の導関数といい f′（または変数の記号を補って f′(x)）で表す。
I がその他のタイプの区間である場合にも、区間 I における微分可能性を定義することができる。たとえば、I が有界閉区間 [α, β] である場合には、区間の内点では通常の意味での微分係数の存在を要請し、α では右側微分係数が、β では左側微分係数が存在することを要請する。導関数 f′(x) の値は、x = α では右側微分係数、x = β では左側微分係数とする。
関数 f が区間 I において微分可能で、さらに導関数 f′ が I で連続であるとき、f は I において連続微分可能である、または C1 級であるという。
微分 1変数関数の微分法
開区間  で定義された関数 f(x) について、 とするとき、次の条件は f(x) の x = a における微分可能性と同値である。
ある定数 A が存在して、h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h) である。
ここで o(h) はランダウの記号である。この条件が成り立つとき、A は微分係数 f′(a) に他ならない。
「h → 0 のとき f(a + h) = f(a) + Ah + o(h)」が成り立つことを指して、f(a) + Ah は f(a + h) の x = a における1次近似であるという。この言葉を用いれば、一点における微分可能性とは1次近似可能性のことだといえる。またこれは、#直観的な説明の、微分係数に関する3番目の説明を厳密化したものとみることができる。
関数 f(x) が x = a において微分可能ならば、 f(x) は x = a で必ず連続である。
一方で、関数がある一点で連続だったとしても、そこで微分可能でないことがある。
微分 1変数関数の微分法
実用上現れる関数の大半は、ほとんど至るところで微分可能である。微分積分学の歴史の初期には、多くの数学者は連続関数はほとんど至るところで微分可能であると考えていた。この仮定は緩やかな条件、たとえば単調写像やリプシッツ連続などのもとでは確かに満たされる。しかし1872年にワイエルシュトラスは、至るところ連続だが、至るところ微分不可能な関数の例を与えた（ワイエルシュトラス関数）。1931年にステファン・バナフは、連続関数全体のなす空間において、少なくとも1点で微分可能な関数全体のなす集合が痩せている(meager)ことを示した。くだけた言い方をすれば、ほとんどあらゆる連続関数がすべての点で微分不可能なのである。
関数 f が区間 I で導関数 f ′ をもち、それがさらに I で微分可能なとき、f ′ の導関数を f の2階導関数とよび f ″ で表す。より一般に、関数 f が区間 I で n 回繰り返して微分できるとき、f は I で n 回微分可能であるといい、n 回微分して得られる関数を n 階導関数といって f (n) で表す。
微分 1変数関数の微分法
f が n 回微分可能であって、さらに n 階導関数 f (n) が連続であるとき、f は n 回連続微分可能である（または C n 級である）という。何回でも微分可能な関数は無限回微分可能である（または C ∞ 級である）という。C ∞ 級関数のことを滑らかな関数ということもある（ただしこの語の用法は必ずしも一定していず、たとえば単に微分可能であることを指して滑らかであるという場合もある）。
微分可能な関数 f(x) について、導関数 f′(x) が正の値をとる区間では、f(x) の値は単調増加する（より詳しくいえば、狭義単調増加する）。導関数 f′(x) が負の値をとる区間では f(x) の値は単調減少する。導関数 f′(x) の値がつねに 0 であるような区間では、関数 f(x) の値は一定である。
2階微分可能な関数 f(x) について、2階導関数 f′′(x) が正の値をとる区間では、関数 f(x) は凸（下に凸）である。f′′(x) が負の値をとる区間では関数 f(x) は凹（上に凸）である。
微分 1変数関数の微分法
関数 f(x) が x = a の前後で凸から凹に、あるいは凹から凸に切り替わるとき、点 (a, f(a)) は f(x) のグラフの変曲点であるという。2階微分可能な関数 f(x) については、これは2階導関数 f′′(x) の符号が切り替わる x の値に対応する点ということができる。
関数 f が開区間 I で n − 1 階微分可能で、n − 1 階導関数 f(n − 1) が x = a で微分可能なとき、f(n − 1) の x = a における微分係数を f(n)(a) とすれば
が成り立つ（テイラーの定理のペアノの剰余項による形）。これは、前述の、一点における微分可能性の1次近似による定式化の一般化にあたる。
実数値の変数 x をもち、 に値をもつベクトル値函数 f(x) = (f1(x), …, fm(x)) を考える。これが一点 x = a において微分可能であるというのは、
という極限が存在することである。上記の極限として現れるベクトルを f′(a) で表す（これもの元である）。一般には f′(a) に特に名前はないが、f(x) が  における点の位置の変化（曲線といってもよい）を表しているとみなす場合は、f′(a) を速度とよぶことがある。
f(x) = (f1(x), …, fm(x)) が x = a において微分可能であることと、各成分 fi(x) がすべて x = a において微分可能であることは同値である。また
が成り立つ。
ベクトル値関数 f(x) が区間 I の各点で微分可能なとき、f(x) は区間 I において微分可能であるという。
ベクトル値関数については、高階微分も同様にして考えることができる。f′′(a) は、f(x) が  における点の位置の変化を表しているとみなす場合は、加速度とよばれる。
実数を拡大して超実数 R* (⊃ R) の体系の中で考えるとき、実函数 y = f(x) の実点 x における微分係数は（f の超実数への自然延長をやはり f と書くとき）、無限小 ∆x に対して ∆y = f(x+ ∆x) - f(x) とすれば、Δy の Δx に関する商 ∆y/∆x の標準部 を考えることで定義することができる。ここで、上記の差分商の標準部が無限小 ∆x の取り方に依らずに定まるとき、すなわち
が成り立つとき、この実数 m を実函数 f の a における微分係数と呼ぶ。
微分 記法について
関数 f(x) の導関数や高階導関数を表す記法には次のようなものがある。
また、y = f(x) とおいて、下記の記法における f を y で置き換えた記法も用いられる。
点 a における微分係数（および高階の微分係数）を表すには、(a) を添えたり | x = a を添えたりする。
例えば、
である。
微分 微分公式
u, v が微分可能な x の函数で、a, b が x に無関係な定数のとき
いくつかの初等関数に関して、特徴的な微分公式が挙げられる。ex、ax、loge x、logax はそれぞれ指数関数と対数であり、sin、cos、tan は三角関数、arcsin、arccos、arctan は三角函数の逆函数（逆三角関数）、sinh、cosh、tanh は双曲線関数、arsinh、arcosh、artanh は双曲線函数の逆函数（逆双曲線関数）である。また、三角函数および双曲線函数の冪乗は cos2x ≔ (cos x)2 のように函数名の肩に指数を書いて表していることに注意。
微分 多変数函数の微分法
n 個の実数値変数をもつ多変数関数 f(x1, …, xn) が与えられたとする（f はスカラー値でなくベクトル値でもよい）。各 xj について、xj を除く n − 1 個の変数の値を固定することにより、f(x1, …, xn) を変数 xj のみをもつ1変数関数とみなすことができる。そのようにみた上で f(x1, …, xn) を変数 xj について微分するのが偏微分とよばれる操作である。
f(x1, …, xn) が  の開集合 D で定義されているとする。点  に対し、xj 以外の変数を xk = ak とおいて固定し、
という xj の1変数関数を考える。その xj = aj における微分係数
を、f(x1, …, xn) の点 (a1, …, an) における xj に関する偏微分係数といい、
, ,
などの記号で表す。また、点 (a1, …, an) に対してこれらの偏微分係数を対応づける D 上の関数を f(x1, …, xn) の xj に関する偏導関数といい、
, ,
などで表す。丸い d の記号 ∂ は偏微分記号などとよばれる。
f(x1, …, xn) が D の各点ですべての変数について偏微分可能で、かつすべての偏導関数 ∂f/∂xj が D で連続であるとき、関数 f は D で連続微分可能（または C1 級）であるという。
微分 多変数函数の微分法
偏微分を繰り返して行うことにより得られる微分係数のことを高階の偏微分係数という。これは微分の階数について帰納的に定義される。
たとえば f(x1, …, xn) の点 a = (a1, …, an) における2階偏微分係数
は次のように定義される。前提として、導関数 ∂f/∂xj2 が存在するものとする。この仮定のもとで、 ∂f/∂xj2 が点 a において xj1 に関して偏微分可能ならば、その偏微分係数のことを上記の記号で表すのである。∂f/∂xj2 があらゆる点 a において xj1 に関して偏微分可能であるとき、点 a に上記の2階偏微分係数を対応づける関数のことを、
と書いて2階偏導関数とよぶ。同様のことを繰り返して、一般の k 階偏微分係数
および k 階偏導関数
が定義される。
微分の順序交換については次が知られている。2変数関数 f(x, y) について、2階偏導関数 ∂2f/∂x∂y, ∂2f/∂y∂x がともに存在して、さらにいずれも点 a において連続ならば、
が成立する。2階偏導関数の連続性の仮定が満たされなければこの等式は一般には成立しない。n 変数関数の微分の順序交換についても同じことがいえる。
関数 f(x1, …, xn) について、偏微分は f の各座標軸方向への変化を測る。f の任意の方向への変化を測るのが方向微分である。
微分 多変数函数の微分法
ベクトル v = (v1, …, vn) に対して、関数 f の点 a = (a1, …, an) における v 方向への方向微分係数とは、
のことである。xj 軸正の方向の単位ベクトルを ej とするとき、ej 方向への方向微分係数は、xj に関する偏微分係数に他ならない。
f が点 a においてすべての変数に関して偏微分可能ならば、あらゆるベクトル v について、点 a における v 方向への方向微分係数が存在する。またこのとき、方向微分係数は v に関して線型である。特に、v = (v1, …, vn) に対して方向微分係数 Dvf(a) は
によって与えられる。
f が Rn の開集合から Rm への函数ならば、f の方向微分は、その点における f の選択した方向への最適線型近似を与える。しかし、 n > 1 のときは、位置方向への方向微分だけでは f の挙動を完全に捉えることはできない。全微分は、全ての方向を一度にまとめて考えることで函数の挙動を完全にとらえるものである。
f の a における全微分係数（あるいは単に全微分）は
微分 多変数函数の微分法
を満たす唯一の線型写像 f ′(a): Rn → Rm と定義される。ただし、h ∈ Rn だから分母におけるノルムは Rn における標準ノルムであり、他方 f ′(a)h ∈ Rm であり分子のノルムは Rm の標準ノルムである。v が a を始点とするベクトルならば、f ′(a)v は f による v の押し出しと呼ばれ、f∗v とも書かれる。f の点 a における全微分係数 f ′(a) は a を始点とする任意のベクトル v に対して、線型近似公式
が満足される。一変数の微分係数のときと同じく f ′(a) はこの近似の誤差が可能な限り最小となるように選ばれる。高次元の場合に、この線型近似公式が意味を持つためには f ′(a) は Rn のベクトルを Rm のベクトルへ写す線型写像でければならず、また f ′(a)v はその写像の v における値でなければならない。
点 a において全微分係数が存在するならば、a における f の任意の偏微分および方向微分が存在する。即ち、任意の v に対して  f ′(a)v が f の a における v-方向への方向微分になる。f を座標成分函数を用いて f = (f1, f2, …, fm) と書けば、全微分係数は、偏微分を用いて行列として表すことができる。この行列
微分 多変数函数の微分法
は f の a におけるヤコビ行列と呼ばれる。全微分係数 f ′(a) が存在することは、すべての偏微分が存在することよりも真に強い条件であるが、偏微分が全て存在して連続ならば全微分は存在し、それはヤコビ行列によって与えられ、a に関して連続的に変化する。
全微分係数の定義は一変数の場合も含むものになっている。f が実一変数の実数値函数であるとき、全微分係数の存在する必要十分条件は通常の微分係数が存在することである。ヤコビ行列は微分係数 f ′(x) を唯一の成分とする 1 × 1 行列であり、この行列は f(a + h) ≈ f(a) + f ′(a)h なる近似性質を持つ。変数を取り替える違いを除いて、これは函数 x ↦ f(a) + f ′(a)(x − a) が f の a における最適線型近似であることを述べるものである。
函数の全微分をとる操作では、一変数の場合と同じやり方で考えたのでは、別の函数（導函数）を与えることは無い。これは多変数函数の全微分係数が一変数函数の微分係数よりも多くの情報をもつものであることからくるもので、実際に全微分は函数の始域となる空間の接束から終域となる空間の接束への写像を与えるものになっている。
自然な意味で高階導函数に対応する概念は、線型写像でも接束上の写像でもなく、また全微分を繰り返すことで構成されるものでもない。
ジェット
微分 多変数函数の微分法
高階の全導函数となるべきものはジェットと呼ばれるもので、これは線型写像ではない（高階導函数は凹性（凸性）などの微妙な幾何学的性質を反映するので、これはベクトルのような線型の情報では記述できない）し、接束上の写像でもない（接束は底空間と方向微分に対してしか意味を成さない）。ジェットは高階の情報を反映することから、各方向への高階の変化を表す追加の座標を引数としてとる。このような余分の座標によって決定される空間はジェット束と呼ばれる。函数の全微分と偏微分との関係に並列に対応するものは、函数の k-階のジェットと k 階以下の偏微分との関係として理解することができる。
高階フレシェ微分
全微分を繰り返しとることは、高階のフレシェ微分（を Rp に特殊化したもの）として定式化することができる。つまり、k-階の全微分は
なる写像として解釈することができる。この写像は点 x ∈ Rn に対して、Rn から Rm への k-多重線型写像の空間の元で、その点において f を（ある特定の明確な意味において）「最適」に k-重線型近似するものを割り当てる。対角線埋め込み Δ: x → (x, x, …, x) との合成を考えれば、多変数のテイラー級数も最初の方の項が
となるようなものとして与えられる。ただし、f(a) は定値函数と同一視され、各 (x − a)i はベクトル x − a の第 i-成分で、(Df)i, (D2f)jk, … は線型変換としての Df, D2f, … の各成分を表す。
微分 一般化
微分の概念を多くの他の状況設定の下でも拡張して定義することができる。共通することは、一つの点における函数の導函数がその点における函数の線型近似として働くことである。
実函数の微分の重要な一般化は、複素平面上の領域からガウス平面 C への函数のような複素数の複素解析である。複素函数の微分の概念は、実函数の微分の定義において実変数であるところを複素変数に置き換えることで得られる。二つの実数 x, y を用いて複素数 z = x + i y と書くことによりガウス平面 C を座標平面 R2 と同一視するとき、C から C への複素可微分函数は R2 から R2 へのある種の（その偏導函数が全て存在するという意味での）実可微分函数とみなすことができるが、逆は一般には成り立たない（複素微分が存在するのは実導函数が「複素線型」であるときに限り、これは二つの偏導函数がコーシー–リーマンの方程式と呼ばれる関係式を満足することを課すものである）。正則関数の項を参照。
微分 一般化
別の一般化として可微分多様体（滑らかな多様体）の間の写像の微分を考えることができる。直観的に言えば、可微分多様体 M とはその各点 x の近くで接ベクトル空間と呼ばれるベクトル空間によって近似することのできる空間である（原型的な例は R3 内の滑らかな曲面である）。そのような多様体間の可微分写像 f: M → N の点 x ∈ M における微分係数あるいは微分は、x における M の接空間から f(x) における N の接空間への線型写像であり、導函数は M の接束から N の接束への写像となる。この定義は微分幾何学において基本的であり、多くの応用がある。写像の微分（押し出し）および引き戻し (微分幾何学)の項を参照。
微分 訳語の由来
微分・積分という訳語は李善蘭がアレクサンダー・ワイリー（偉烈亜力）とともにイライアス・ルーミスの著書 Elements of Analytical Geometry and of Differential and Integral Calculus を翻訳して『代微積拾級』（1859年（安政6年）出版）を著すときに作った。古代の成語「微を積みて著を成す」の意味からとったと推測されている。
連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、英: continuous）および連続性（れんぞくせい、英: continuity）とは、点の集合が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は極限によって定式化される。数学における連続の概念は、位相空間の間の写像に対して拡張され、開集合などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みである。
連続 (数学) 一変数実関数の連続性
以下に1変数実関数の場合を主として、関数の連続性および様々な派生概念を述べる。
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う：
これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる：
任意の正の数 ε に対して、ある正の数 δ が存在し、x0 との距離が δ 未満であるどんな x に対しても、f(x) は f(x0) の差が ε より小さくなる：
また、関数 f(x) がある区間 I で連続であるとは、I に属するそれぞれの点で連続であることを言う：
関数 f(x) が多変数であったり、またはベクトル値関数である場合にも、基本的には上の絶対値の記号をノルム（長さ）に変更すれば同じようにして連続性を定義することができる。関数空間のような無限個の変数で表される対象や、さらに抽象的な位相空間上で定義された写像についての連続性は近傍系やフィルター、有向点族（ネット）などの概念を通じて定義される。
一般に、f を位相空間 X から位相空間 Y への写像とするとき、f が x ∈ X で連続であるとは、f(x) ∈ Y の任意の近傍 V に対して、x のある近傍 Ux を取れば、それの像が f(Ux) ⊆ V とできることをいう。
連続 (数学) 一変数実関数の連続性
これは、Y の点 f(x) を含む任意の近傍の f による逆像がまた x の近傍であるとき、f は x において連続であるというと言い換えることができる。また、f が X 全体で連続であるということは、単に Y の任意の開集合の逆像がまた X の開集合であるのと同じである。
実数や複素数（あるいはその列）の全体に対して、絶対値（あるいはノルム）を距離関数として距離空間の位相を導入すれば、「連続関数」は「連続写像」の例であることが理解される。
各点連続よりも強い概念に一様連続性の概念がある。1変数実関数 f(x) についてこれは次のように定義される。
任意の正の数 ε に対して、正の数 δ が存在し、距離が δ 未満であるどんな数 x, y  に対しても、f(x) と f(y) との差が ε より小さくなっているならば、f は一様連続であるという。つまり、区間 I ⊂ R で定義された f : I → R が I 上一様連続とは、
ということである。定義より、ある関数が区間 I 上一様連続ならばそれは I 上連続でもある。一般的にこの逆は成り立たないが、区間 I が有界閉区間ならば逆も成り立つ（ハイネ・カントールの定理）。
連続 (数学) 一変数実関数の連続性
この概念は距離空間の間の、あるいは一様空間の間の写像の一様連続性として抽象化される。有界閉区間上の関数に対する連続性と一様連続性の一致は、コンパクト空間が自然に一様空間の構造をもつということで説明される。
一様連続性の特別な場合として、ヘルダー連続性の概念がある。一変数実関数 f の値 f(x) と f(y) の差が x と y の差のべき乗に比例するある量で抑えられるとき f はヘルダー連続であるという。
ヘルダー連続性のさらに特別な場合として、リプシッツ連続性の概念がある。一変数実関数 f(x) について、f(x) と f(y) の差が x と y の差に比例するある量で抑えられるとき f はリプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。つまり、f が I 上リプシッツ連続であるとは、f が次の条件を満たすことである:
この条件は、リプシッツ条件 (Lipschitz condition) と呼ばれる。f がリプシッツ条件を満たすための L の値を f の リプシッツ定数 (Lipschitz constant) という。そのような最小の L をリプシッツ定数ということもある。
この概念は距離空間の間の写像に対して抽象化される。
連続 (数学) 不連続関数
ガウス記号 [x] によって実数から実数への関数 f(x) = [x] を定義しよう。この関数は、各整数の点で不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのある不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、a+, a− の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。
ローレンシウム
ローレンシウム(Lawrencium)は、元素記号Lr、原子番号103番の元素である。多くの人工放射性元素の発見に寄与したシンクロトロンの発明者であるアーネスト・ローレンスの名前に因んで名付けられた。7番目の超ウラン元素で、アクチノイド系列の最後の元素である。原子番号100以上の全ての元素と同様に、ローレンシウムは、より元素の軽い荷電粒子を加速器中で標的に照射することでのみ合成される。14の同位体が知られており、最も安定な266Lrの半減期は11時間であるが、より短命（半減期2.7分）だが大量合成が可能な260Lrが最も一般的に用いられている。
化学実験により、ローレンシウムは、ルテチウムの重いホモログとしての挙動を示し、3価の元素であることが確認された。第7周期の遷移金属にも分類されるが、その電子配置は、周期表上の位置からすると異常で、ルテチウムのs2d配置とは異なるs2p配置となる。これは、周期表の位置から予測されるよりも揮発性が高く、その値は鉛に匹敵することを意味する。
ローレンシウム
1950年代から1970年代に、ソビエト連邦及びアメリカ合衆国の研究所から、ローレンシウム合成の多くの主張があった。元素の発見の優先権、命名権がソビエト連邦とアメリカ合衆国の研究者の間で論争となり、当初、国際純正・応用化学連合(IUPAC)は、アメリカのチームを発見者としてローレンシウムを正式名称としたが、この決定は1997年に撤回され、両チームが発見の栄誉を分け合うが、元素の名前は変えないことが決定された。
ローレンシウム 歴史
1958年、ローレンス・バークレー国立研究所の研究者が、現在はノーベリウムと呼ばれている102番元素の発見を主張した。同時に、彼らは同じキュリウム標的に窒素14イオンを照射して103番元素の合成も試みた。崩壊エネルギー9±1 MeV、半減期約0.25秒の18の飛跡が記録され、バークレーのチームは、この飛跡の原因が103番元素の生成の可能性もあるが、他の可能性も除外できないと述べた。このデータは、後に発見された 257Lrのデータ (アルファ崩壊エネルギー 8.87 MeV、半減期 0.6 秒)と合理的なレベルで一致しているが、この実験で得られた証拠は、103番元素の合成を決定的に証明するのに必要な強度にはほど遠いものであった。標的が破壊されてしまったため、この実験のフォローアップは行われなかった。1960年に、同研究所は、252Cf標的に10Bと11Bを照射して元素を合成する実験を試みたが、この実験の結果も決定的なものとはならなかった。
ローレンシウム 歴史
103番元素の合成に関する最初の重要な成果は、バークレーにおいて、アルバート・ギオルソ、トールビョルン・シッケランド、アルモン・ラーシュ、ロバート・ラティマーらにより、1961年2月14日に行われた。ローレンシウムの最初の原子は、重イオン線形加速器(HILAC)を用いて、カリホルニウムの3つの同位体を含む3mgの標的にホウ素10及びホウ素11の原子核を照射して合成されたと報じられている。バークレーのチームは、このような方法で同位体257103を検出し、半減期8±2秒で8.6 MeVのアルファ粒子を放出して崩壊したと報告しているが、検出されたような性質は257Lrではなく258Lrが持つことが示され、この同定は後に258103に訂正された。
ローレンシウム 歴史
これは当時、103番元素合成の説得力のある証拠であると考えられた。質量の同定についてはあまり確実ではなく、後に誤りであったことが証明されたが、103番元素が合成されたことを支持する議論には影響しなかった。ドゥブナの研究者は、いくつかの批判を提起したが、1つを除き全てが適切に回答された。唯一の例外は、標的中で最も豊富な同位体であった252Cfが10と反応すると、258Lrが生成するのは、4つの中性子を放出する時のみであり、3つの中性子の放出は、4つや5つの放出よりもずっと起こりにくいと考えられることであった。これは、生成曲線の幅が狭くなることを意味するが、バークレーのチームから報告されたものは、幅が広かった。これに対する可能な説明は、103番元素に起因するイベントの数が少なかったということである。証拠は完全に確信できるものではなかったが、これは、103番元素の間違いない発見に至る重要な中間段階であった。バークレーのチームは、サイクロトロンの発明者であるアーネスト・ローレンスの名前に因み、ローレンシウム（元素記号"Lw")という元素名を提案した。IUPACの無機化学命名法委員会は、この名前を承認したが、記号は"Lr"に変更した This acceptance of the discovery was later characterized as being hasty by the Dubna team.。
ローレンシウム 歴史
25298Cf + 115B → 263103Lr* → 258103Lr + 5 n
103番元素の合成に関するドゥブナの最初の成果は、1965年で、彼らは、243Am標的に18Oを照射して、256103を合成し、孫娘核252から間接的に同定したと報告した。恐らくバックグラウンドのイベントのために、彼らが報告した半減期は長すぎたが、1967年に同じ反応から、8.35-8.50 MeVと8.50-8.60 MeVの2つの崩壊エネルギーを同定し、これらを256103と257103に割り当てた。この実験は追試されたが、半減期8秒でアルファ崩壊する粒子を257103に割り当てることは確認できなかった。ロシア側は、1967年に「ラザホージウム」という名前を提案し、この名前は後にバークレーからも104番元素の名前として提案された。
24395Am + 188O → 261103Lr* → 256103Lr + 5 n
ローレンシウム 歴史
1969年にはドゥブナ、1970年にはバークレーでさらなる実験が行われ、新しい元素がアクチノイドの性質を持つことが示された。そこで、1970年までに、103番元素は最後のアクチノイドであることが知られるようになった。1970年、ドゥブナのグループは、半減期20秒、アルファ崩壊エネルギー8.38 eVの255103の合成を報告した。しかし、カリフォルニア大学バークレー校のチームが、原子番号255から260のローレンシウム同位体の一連の各崩壊特性を測定する実験に成功し、バークレーのチームが当初258103を257103と誤同定していたことを除く、これ以前のドゥブナとバークレーの全ての実験結果が正しかったと確かめられたのは、1971年になってからだった。その後、1976年と1977年に 258103から放出されるX線のエネルギーが測定され、最終的に全ての疑義が払拭された。
1971年、IUPACは、元素の存在に関する理想的なデータがなかったにもかかわらず、ローレンス・バークレー研究所をローレンシウムの発見者として認定した。しかし1992年、IUPACのトランスフェルミウム作業部会(TWG)は、1961年のバークレーにおける実験は、ローレンシウム発見への重要な一歩となったが、完全な確定には至らず、一方、1965年、1968年、1970年のドゥブナにおける実験は、必要な信頼レベルにかなりのところまで接近したが、1971年のバークレーにおける実験において、これ以前の観測を明確に確定し、最終的に103番元素の発見を完全に信頼できるものにしたと結論付け、ドゥブナとバークレーの各チームを公式に共同発見者と認めた。「ローレンシウム」という名前については、この時点でも長い間使われていたためそのままにすることとなり、1997年8月にジュネーヴで行われたIUPACの会議において、ローレンシウムという名前とLrという記号が正式に承認された。
ローレンシウム 特徴
ローレンシウムは、最後のアクチノイドである。一般的に、スカンジウム、イットリウム、ルテチウムとともに第3族元素と考えられ、f殻が埋まっていることで、第7周期の遷移金属と似た性質を示すと予測されるが、この点についてはいくつかの議論がある。周期表上では、左にアクチノイドのノーベリウム、右に6d遷移金属のラザホージウムがある。また、上には多くの物理的、化学的性質を共有するランタノイドのルテチウムがある。ルテチウムと同様に、標準状態では固体で、六方最密充填構造(c/a = 1.58)を取ると予測されるが、実験的には未だ確かめられていない。昇華エンタルピーは、ルテチウムの値と近い352 kJ/molと推定され、金属ローレンシウムは、3つの電子が非局在化した3価であると強く示唆している。この予測は、近隣の元素からルテチウムまで、蒸発熱、体積弾性率、ファンデルワールス半径の値を外挿することでも支持される。このことにより、2価であることが知られている後期アクチノイドのフェルミウムやメンデレビウム、また2価であると予測されているノーベリウムとは異なっている。推定蒸発熱は、ローレンシウムが後期アクチノイドの傾向から逸脱し、その代わり第3族元素としてのローレンシウムの解釈と一致し、後に続く6d元素であるラザホージウムやドブニウムの傾向と一致することを示す。最後のアクチノイドをノーベリウムとし、ローレンシウムは第7周期の最初の遷移金属であると考える研究者もいる。
ローレンシウム 特徴
具体的には、ローレンシウムは、3価の銀色の金属で、空気や蒸気、酸により容易に酸化し、ルテチウムと似た原子体積を持ち、3価金属の半径は171 pmと予測される。また、密度が約14.4 g/cm3の重金属と予測される。さらに、融点は約1900 Kで、ルテチウムの値(1925 K)と近いと予測される。
1949年、アクチノイドの概念を構築したグレン・シーボーグは、103番元素は最後のアクチノイドとなり、水溶液中のLr3+イオンはLu3+イオンと同程度の安定性となると予測した。103番元素が実際に合成され、この予測が実験的に確認されたのは、数十年後のことであった。
ローレンシウム 特徴
1969年、ローレンシウムが塩素と反応し、三塩化物LrCl3である可能性が高い物質を形成することが示された。揮発性は、キュリウム、フェルミウム、ノーベリウムの塩化物と同程度で、ラザホージウムの塩化物よりずっと低かった。1970年、1500原子のローレンシウムを用いて化学実験が行われ、2価（ノーベリウム、バリウム、ラジウム）、3価（フェルミウム、カリホルニウム、キュリウム、アメリシウム、アクチニウム）、4価（トリウム、プルトニウム）の元素との比較が行われた。ローレンシウムは3価のイオンと共抽出されたが、256Lrの半減期が短いため、Md3+より先に溶出したことは確認できなかった。溶液中では、3価のLr3+イオンになるため、その化合物は他の3価のアクチノイドと似る。例えば、フッ化ローレンシウム(III)や水酸化ローレンシウム(III)は水に溶けない。アクチノイド収縮のため、Lr3+のイオン半径は、Md3+よりも小さくなるはずであり、α-ヒドロキシイソ酪酸アンモニウムを溶離剤として用いると、Md3+より先に溶出するはずである。長寿命の260Lrを用いた1987年の実験で、ローレンシウムが3価であることやエルビウムとほぼ同じ溶出傾向を持つことが確認された。また、イオン半径は、周期表上の傾向からの単純な外挿から予測されるよりも大きく、88.6±0.3 pmであることが分かった。1987 年の長寿命同位体260Lrを用いた実験では、ローレンシウムが3価であることとエルビウムとほぼ同じ場所で溶出することが確認され、ローレンシウムのイオン半径は 88.6±0.3 pm であり、周期的な傾向からの単純な外挿から予想されるよりも大きいことがわかった。翌1988年の実験では、イオン半径はより正確に88.1±0.1 pmとされ、水和エンタルピーは-3685±13 kJ/molと計算された。また、アクチノイド系列末端でのアクチノイド収縮は、最後のアクチノイドであるローレンシウムを除き、恐らく相対論効果のため、対応するランタノイド収縮よりも大きいことが明らかとなった。
ローレンシウム 特徴
7s電子は相対論的に安定化していると考えられ、そのため、還元環境下では、7p1/2電子のみがイオン化し、1価のLr+イオンが生成すると予測されている。しかし、ルテチウムと同様、水溶液中でLr3+をLr2+やLr+に還元する全ての実験は失敗した。これを基にして、E°(Lr3+ → Lr+)対の標準電極電位は、-1.56 V以下と計算され、水溶液中ではLr+が存在しないであろうことが示されている。E°(Lr3+ → Lr2+)対、E°(Lr3+ → Lr)対、E°(Lr4+ → Lr3+)対の上限値は、各々、-0.44 V、-2.06 V、+7.9 Vと予測されている。6d遷移系列の[[[酸化状態]]の安定性は、RfIV > DbV > SgVIと減少するが、ローレンシウムでもこの傾向は続き、LrIIIはRfIVよりも安定である。
ローレンシウム 特徴
折れ線形分子構造と予測される二水素化ローレンシウム分子(LrH2)では、二水素化ランタンとは異なり、ローレンシウムの6d軌道は結合において役割を果たさないと予測される。二水素化ランタンのLa-H結合長は2.158 Aであるが、二水素化ローレンシウムのLr-H長は、相対論的収縮と結合に関わる7s及び7p軌道の安定化のためにより短く、2.042 Aである。一般的に、LrH2及びLrH分子は、対応するランタノイド分子よりも、対応するタリウム分子（タリウムは、気相では、ローレンシウムの7s27p1と似た6s26p1の価電子配置を取る）に似ると予測される。Lr+とLr2+の電子配置は、各々7s2、7s1と予測される。しかし、ローレンシウムの3つ全ての価電子がイオン化し、少なくとも形式上Lr3+を与える分子種では、ローレンシウムは典型的なアクチノイド、また特にローレンシウムの最初の3つのイオン化エネルギーがルテチウムのものと似ていると予測されるため、ルテチウムの同族体として振る舞う。そのため、タリウムとは異なるがルテチウムと同様に、ローレンシウムは、LrHよりもLrH3を形成しやすい。また、LrCOは既知のLuCOと似ていると予測され、どちらの金属もσ2π1の価電子配置を取る。pπ-dπ結合はLuCl3、より一般的には全てのLnCl3と同様に、LrCl3でも見られると予測される。複合アニオン[Lr(C5H4SiMe3)3]-は、ローレンシウムの電子配置が6d1となると予測され、この6d軌道は、HOMOとなる。これは、対応するルテチウム化合物の電子構造のアナログである。
ローレンシウム 特徴
ローレンシウムは、3つの価電子を持ち、5f電子は原子核にある。1970年、ローレンシウムの基底状態の電子配置は、構造原理に従って、[Rn]5f146d17s2（基底状態の項記号は2D3/2）であり、同族体であるルテチウムの[Xe]4f145d16s2とも合致すると予測された。しかし翌年、この予測に疑義を唱え、その代わり、[Rn]5f147s27p1という異常な電子配置を取るとする計算結果が公表された。初期の計算とは矛盾する結果が得られたが、より新しい研究や計算により、s2p電子配置の提案が確認されている。1974年の相対論効果の計算により、2つの電子配置のエネルギーの差は小さく、どちらが基底状態かははっきりしていない。1995年の計算では、球状のs軌道とp1/2軌道は原子核に最も近いため相対論的質量が大幅に大きくなるのに十分な速さで動くため、s2p電子配置がエネルギー的に有利であると結論付けた。
ローレンシウム 特徴
1988年、アイヒラーの率いる研究者のチームは、ローレンシウムの金属源への吸着エンタルピーは、これを利用してローレンシウムの電子配置を測定する実験を実施できるのに十分な電子配置依存性を持つと計算した。s2p電子配置は、s2d電子配置
よりも揮発性が高く、pブロック元素の鉛により似ていると予測された。ローレンシウムが揮発性であるという証拠は得られず、水晶や白金上へのローレンシウムの吸着エンタルピーの下限は、s2p電子配置に対する推定値よりもかなり高かった。
2015年、256Lrを用いて、ローレンシウムの第一イオン化エネルギーが測定された。測定された値は4.96+0.08-0.07 eVで、相対論理論からの予測値4.963(15) eVと非常によく一致しており、超アクチノイドの第一イオン化エネルギーを測定する第一歩となった。またこの値は、全てのランタノイド及びアクチノイドの中で最も低く、7p1/2電子は弱い結合のみと予測されていることから、s2p電子配置を支持する結果である。
fブロック元素では、一般に、周期表の左から右に行くほどイオン化エネルギーは高くなるため、この低い値は、ルテチウムとローレンシウムがfブロック元素ではなくdブロック元素であることを示唆し、従って、これらがランタンやアクチニウムではなく、実際には、スカンジウムやイットリウムの同族体であることを示している。いくつかのアルカリ金属に似た挙動も予測されるが、吸着実験からは、ローレンシウムはアルカリ金属のような1価ではなく、スカンジウムやイットリウムと同じ3価であることが示される。2021年には、実験的に、第2イオン化エネルギーの下限(>13.3 eV)が見いだされた。
現在は、s2pがローレンシウムの基底状態、ds2が低励起状態であることが知られており、励起エネルギーは、0.156 eV、0.165 eV、0.626 eV等と計算される。クロムや銅のように異常な電子配置を持つdブロック元素と考えられており、化学的挙動は、ルテチウムのアナログとしての予測と一致する。
ローレンシウム 同位体
質量数251-262、264、266の14の同位体が知られており、全てが放射性を持つ。また、質量数251と253の2つの核異性体が知られている。最も長寿命の同位体は266Lrで、半減期は約10時間であり、既知の最も長寿命な超重元素の同位体の1つとなっている。しかし、2014年に294Tsの崩壊鎖から発見された266Lrは、現在ではより重い元素の最終崩壊生成物としてしか合成できないため、化学実験には、より短寿命の同位体が用いられている。ローレンシウムの最初の化学実験では半減期27秒の256Lrが用いられ、現在では通常、半減期2.7分の260Lrがこの目的で用いられている。266Lrの次に長寿命の同位体は、264Lr（4.8+2.2-1.3時間）、262Lr（3.6時間）、261Lr（44分）である。その他の既知の全ての同位体は半減期が5分以下で、その中で最も短い251Lrの半減期は24.4ミリ秒である。ローレンシウムの同位体の半減期は、251Lrから266Lrまで滑らかに増加し、257Lrから259Lrまで落ちる。
ローレンシウム 合成と精製
ローレンシウムの同位体の大部分は、アクチノイド（アメリシウムからアインスタイニウム）を標的とし、軽いイオン（ホウ素からネオン）を照射して合成する。最も重要な2つの同位体である256Lrと260Lrは、各々、249Cfと70 MeVの11B（256Lrと3つの中性子が生成）、249Bkと18O（260Lrとアルファ粒子、3つの中性子が生成）により合成できる。最も重く長寿命の2つの同位体である264Lrと266Lrは、モスコビウムやテネシンに由来するドブニウムの崩壊生成物として、ずっと低収率で得られるだけである。
256Lrと260Lrはどちらも半減期が短すぎるため、化学的な精製過程を完了することができない。そのため、256Lrを用いた初期の実験では、キレート剤のテノイルトリフルオロアセトンを溶解したメチルイソブチルケトンを有機相、酢酸バッファー溶液を水相として、急速溶媒抽出法を用いた。その後、+2から+4の異なる電荷を持つイオンは、異なるpH範囲で有機相に抽出されるが、この方法は、3価のアクチノイド同士を分離することはできないため、256Lrは、8.24 MeVのアルファ粒子を放出することで識別する必要がある。
リヒテンシュタイン
リヒテンシュタイン公国
Fürstentum Liechtenstein
国の標語：Für Gott, Fürst und Vaterland（ドイツ語：神・公・祖国のために）
国歌：Oben am jungen Rhein（ドイツ語）若きライン川上流に
リヒテンシュタイン公国（リヒテンシュタインこうこく、独: Fürstentum Liechtenstein）、通称リヒテンシュタインは、西ヨーロッパの立憲君主制国家。スイスとオーストリアに囲まれた国であり、ミニ国家の一つである。首都はファドゥーツ。欧州自由貿易連合（EFTA）加盟国。
リヒテンシュタイン 国名
正式名称は公用語のドイツ語で Fürstentum Liechtenstein（ドイツ語発音: [ˈfʏʁstn̩tuːm ˈlɪçtn̩ʃtaɪn] フュルステントゥーム・リヒテンシュタイン）、Liechtenstein と表記する。公式の英語表記は Principality of Liechtenstein（プリンシパリティ・オヴ・リクテンスタイン）、略称、Liechtenstein。日本政府（外務省）による日本語表記はリヒテンシュタイン公国（略称：リヒテンシュタイン（リヒテンスタイン））。後述のように「リヒテンシュタイン侯国」を正しい訳語とする主張もある。リヒテンシュタイン公国がある現地のアレマン語（リヒテンシュタイン方言）では、Förschtatum Liachtaschta（フェアシュタツーム・リアハタシュタ）と表記される。英語表記で国名・形容詞とも Liechtenstein、国民は Liechtensteiner。
リヒテンシュタイン 国名
元首であるリヒテンシュタイン家の当主の称号はドイツ語で「Fürst」であり、「Herzog」（公爵、英語の「duke」）より一段下の爵位であるため、「公爵」ではなく「侯爵」と訳すべきとの主張もある。なお、日本国外務省は「公爵」と表記しており、リヒテンシュタイン公と表記する際の「公」は君主の意味である。
なお、英語においては「prince（プリンス）」とされ、国家体制は「Principality」と訳される。「Principality」は日本語において通例「公国」と訳される。英語における「プリンス」は広義的には多義的であり、公爵位のみを指すものではなく王侯貴族である領主を全般的に指す言葉である。リヒテンシュタイン家の当主の親族（男子）の称号は「Prinz」であり、「プリンス」と同義であるが、これは日本語においては「公子」と訳されるのが通例である。
リヒテンシュタイン 歴史
リヒテンシュタイン家は神聖ローマ帝国・ハプスブルク帝国における大貴族の家系であり、オーストリア・モラビア・シレジアなどに大きな領土を持っていた。現在のリヒテンシュタインの領域にあたるシェレンベルク＝ファドゥーツはその中の一部に過ぎず、歴代君主はウィーンに居住していた。1719年、シェレンベルク＝ファドゥーツは領邦国家としてのリヒテンシュタイン公国として認められた。
1806年に神聖ローマ帝国が解体されると主権独立国家となり、翌年にライン同盟に参加した。地理的にもオーストリア帝国に近く、普墺戦争ではオーストリア側について動員を行った。このため戦後ドイツ帝国にも加わらなかった。1867年には永世中立国となり、1868年には議会がヨーハン2世の大権を無視して軍隊の廃止を議決している。第一次世界大戦では中立を守ったが、連合国側からは不信感を抱かれていた。1916年には、国土を教皇領として教皇に献上し、侯家はその代官となるという秘密交渉が行われたが、侯位継承予定者のアロイスらが難色を示したため実現しなかった。
リヒテンシュタイン 歴史
戦後、庇護者であったオーストリア帝国を失ったリヒテンシュタインはスイスに接近し、通貨をスイス・フランに切り替えた。連合国との関係が悪かったため戦後も国際連盟には加盟できなかったが、この際にチェコスロバキアを除く国からは国家としての承認を受けている。1920年には国内に居住しなくても多額の金を納めたものに国籍を認める「財政帰化制度」を導入しているが、これはナチス・ドイツの迫害から逃れるユダヤ系ドイツ人を多く受け入れることにつながり、ドイツ側がリヒテンシュタインを犯罪者の逃亡地であると非難することにつながった。
1938年3月12日にドイツがオーストリアを併合した（アンシュルス）。老齢で、ユダヤ人女性を妻としていたフランツ1世はフランツ・ヨーゼフ2世に譲位し、フランツ・ヨーゼフ2世はファドゥーツに移住した。ドイツ側はリヒテンシュタインの併合は不可能であると判断したが、フランツ・ヨーゼフ2世らはドイツへの友好姿勢を見せながらも独立維持に腐心していた。3月30日、フランツ・ヨーゼフ2世の仲介で進歩市民党と親独的な野党祖国連合の連立が成立し、ヨーゼフ・ホープが首相となった。これに不満を持った親ナチズム的な祖国連合の一部が分離し、リヒテンシュタインのドイツ国民運動（VDBL）を結成した。