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協定世界時 世界時および調整
UT1 世界時は各国天文台の地球自転観測データをもとに国際地球回転・基準系事業が定め、地球の自転周期はおよそ10年周期の長短とミリ秒単位の不規則さで変動しているが、協定世界時は1972年以降、国際原子時と整数秒差を維持しつつ UT1 世界時と近似的一致を保証するため、秒を挿入または除去する閏秒調整を導入し、偏差0.9秒以内に収めるべく、国際地球回転観測事業中央局が ΔUT1 (UT1-UTC) の予測値に基づき定めている。2018年1月現在、協定世界時は国際原子時から正確に37秒だけ遅れている。
1971年まで使われた旧協定世界時 (UTC) は、公認されたセシウム原子の振動数を F0 とし、周波数や秒間隔を  そのオフセット値「50 × n × 10−10、n は整数」を s で定め、 歩度をできるだけ変更せずに UT2 世界時と近似的な一致を得るため F を1年間固定していた。UT2 世界時と 0.1 秒以上の差を生じたときは月の1日0時 (UT) に 0.1 秒のステップ調整を実施し、オフセット及び秒信号の修正量と時期は国際報時局 (BIH)が関係天文台と協議して定めていた。
協定世界時 世界時および調整
標準電波で発射される報時信号は搬送波の位相に同期（CCIR勧告460）しており周波数は時間の逆数で表されるため周波数オフセットは時間を時刻に合わせる手段となることから、周波数を基準値から故意に遷移させて積算した時刻信号の歩度を UT2 世界時の歩度に近似させた。UT2 世界時は UT1 世界時の既知の季節変動を補正して平滑化したものだが地球自転の角速度は不規則に変動し、歩度を1年間一定にする旧協定世界時 (UTC) との差を月初に0.1秒単位でステップ調整した。
協定世界時 歴史
旧協定世界時 (UTC) は標準電波の報時信号を同期する国際協定に基づき1960年頃から試験的に運用され、1961年1月1日に制度を開始し、1964年1月1日から正式に採用されて1971年末まで使用された。
1950年代にセシウム原子時計が実用化され、標準電波の周波数は原子周波数標準器を基準とし、時刻は地球の自転に基づく UT2 世界時を基準とする報時信号が発射されていたが各国の報時機関がそれぞれ独立に発射して相互に無関係だった。人工衛星の国際観測が興隆し、世界のデータを整約するため国際的な統一方法で UT2 の時刻利用が強く望まれ、1959年にアメリカ合衆国とイギリスを中心に標準電波の周波数や報時信号の同期を合議して報時信号は ±1 ms、標準周波数は ±1×10−10 を目標に同期を図った。
1960年国際電波科学連合 (URSI) 第13回総会や1961年国際天文学連合 (IAU) 第11回総会で報時信号の国際同期に関する問題が討議され具体化され、セシウム原子振動標準の周波数 (9192631770 Hz) が公認される。
協定世界時 歴史
天測航法や測地、人工衛星観測などは地球の自転に基づく世界時を要するが、物理学などは時間単位だけが必要で世界時は不適当であることから、標準電波の周波数は原子時に基づき、時刻は世界時に基づくものになり、公認されたセシウム原子の振動数を F0 とすると、周波数や秒間隔は  で決定し F は1年間固定する。 s はオフセット値で1960年は −150×10^−10 だった。本方式は標準時計の歩度が1年間固定され、地球自転の角速度は不規則に変動し、報時される時刻は世界時に差が生じるため世界時との差は月初に 50 ms 単位でステップ調整した。周波数オフセットは国際天文学連合が毎年決定することが採択された。
本報時方式は1960年頃からアメリカとイギリスが試験的に開始し、日本、フランス、スイス、カナダなど数ヶ国が国際無線通信諮問委員会 (CCIR) や国際天文学連合による正式な採択を待たず順次実施した。日本は郵政省電波研究所 (RRL) のJJYで1961年9月から実施している。
協定世界時 歴史
1963年国際無線通信諮問委員会第10回総会の議決後、1964年国際天文学連合第12回総会で、報時は世界時に近似するよう1年間一定の周波数オフセット（50 × n × 10−10、n は整数）とし、世界時と 0.1 秒以上の差を生じたときは月の1日0時UTに 0.1 秒のステップ調整を実施し、オフセット及び秒信号の修正の量と時期は国際報時局 (BIH)が関係天文台と協議の上で決定して報時信号を国際的に同期する、旧協定世界時 (UTC) 方式が、多くの国は勧告実施に設備と研究を要するため議論の末に勧告された。
原子周波数標準器を保有しない国々は協定世界時の保時が不可能で、西ドイツは独特の形式での報時を継続し、ソビエト連邦はステップ調整を 0.05 秒の幅で実施するなど、旧協定世界時 (UTC) の報時方式は国際的同一歩調ではなかったが、1967年国際天文学連合第13回総会で方式変更要求の意見が見られるも、利用者がようやく習熟しつつあり、ソビエト代表が 0.1 秒のステップ調整ならば同調可能と言明し、継続が決まる。
1967年 - 1968年の第13回国際度量衡総会 (CGPM) でセシウム原子周波数標準に基づくSI秒の定義が採択され、物理学や計測の関係者を中心に旧協定世界時の周波数オフセット廃止意見が増加する。
協定世界時 歴史
旧協定世界時は運用が煩雑で1秒の刻みも一様でないなどの不都合から、1970年国際天文学連合第14回総会で旧協定世界時の大幅な改善策が決議されて周波数オフセットの廃止、閏秒の導入、協定世界時と国際原子時との差 (TAI-UTC) を整数秒とすること、少なくとも 0.1 秒精度で UT1 世界時を求めることができる情報として DUT1（UTCとUT1の差） を標準電波の報時信号に含めることなどが勧告される。
1971年国際無線通信諮問委員会中間会議で、細部の具体策を含め現行の協定世界時が決定され、TAI-UTC を整数にする特別調整を含めて1972年1月1日0時0分0秒UTC（1972年1月1日0時0分10秒 (TAI)）から実施された。閏秒調整日は1月1日または7月1日で、協定世界時は UT1 世界時と差が 0.7 秒を超えぬように国際報時局で調整・管理され、以後世界時 (UT0, UT1, UT2)、暦表時 (ET)、国際原子時が協定世界時を仲介して結ばれる。
旧協定世界時のステップ調整は UT2 基準だが閏秒調整は UT1 基準である。これは UT1 が地球の自転角度そのものを示し UT2 は平滑化したもので測地や天測航法には UT1 の方がより直接的に利用できるからである。
協定世界時 歴史
国際無線通信諮問委員会が決議した標準電波の時刻の基準は、旧協定世界時までは UT2 が基準だが現行協定世界時採択時に UTC 基準へ変更された。
1973年国際天文学連合第15回総会で協定世界時の管理規則改訂が決議され、UT1-UTC の許容差を ±0.7 秒以内から ±0.950 秒へDUT1の最大値を0.9秒にとどめるために拡大する、閏秒の実施時期を追加することが勧告される。1974年3月国際無線通信諮問委員会会議で協定世界時の運用規則（CCIR勧告460、現 ITU-R勧告TF.460）が改訂され、UTC-UT1 の絶対値の許容限界を 0.9 秒以内に広げること、時刻調整の閏秒実施予定日を従来の協定世界時6月末および12月末を第一優先、3月末と9月末を第二優先として加えること、が1975年1月1日から実施された。
1973年国際天文学連合第15回総会において、第4委員会（暦）と第31委員会（時）の共同決議第1号（1973年8月採択25）で、SI秒に基づく単一の世界的に協調された時計の時間が望まれること、協定世界時からSI秒に基づく国際原子時を得ることが一般的に可能であること、および、UTC標準電波が航法や測量で必要とされる精度の平均太陽時を直接的に提供することを考慮し、すべての国の標準時の通報のための基礎として、UTC を採用することが勧告された。
協定世界時 歴史
1975年第15回国際度量衡総会では、「協定世界時」と称される時系が、極めて広く使用され、多くの場合報時発信局によって放送され、放送が利用者に対して同時に標準周波数、国際原子時及び近似的な一つの世界時（又は平均太陽時としてもよい）を提供していることを考慮し、この協定世界時が、多くの国で法定常用時の基礎となっていることを確認し、この使用が十分に推奨に値するものであると評価することが決議された。
1985年国際天文学連合第19回総会において、それまで協定世界時 (UTC) を管理してきた国際報時局 (BIH) を廃止して、国際地球回転観測事業（IERS、現国際地球回転・基準系事業）を1988年1月から発足させることになる。そして、国際報時局 (BIH) が管理していた国際原子時 (TAI) を国際度量衡局 (BIPM) に移管すること認め、新組織の国際地球回転観測事業 (IERS) の中央局が世界各地の観測値をもとに、ΔUT1 (UT1-UTC) や極運動を決め、閏秒の決定も行うことになった。
1988年からは、国際報時局が行っていた、国際原子時や協定世界時などの原子時計や標準周波数に関する業務は国際度量衡局 (BIPM) が責任を持つことになり、国際度量衡局 (BIPM) が世界各国の関係機関が管理する原子時計のデータから、国際原子時や協定世界時を決定し維持管理するようになる。
日産リバイバルプラン
日産リバイバルプラン（にっさんリバイバルプラン、英語: Nissan Revival Plan; 略称: NRP）とは、1999年（平成11年）10月18日に日産自動車のカルロス・ゴーンCOO（当時）が発表した同社の再建計画。
日産社内の若手・中堅幹部を中心とした組織、クロスファンクショナルチーム（CFT）を発足し、再建の計画をまとめたものである。
日産リバイバルプラン 内容
3つ達成目標を掲げ、3のうち、1つでも未達成の場合は「経営陣全員が辞任する」と、カルロス・ゴーンが公約した。
具体的な内容として、
日産リバイバルプラン 成果
日本企業の商慣習の中で実現を危ぶむ声もあったが社長兼CEOとなったゴーンのもと、当初の予定より1年前倒しで、売上高などの業績を著しく向上させ、2003年までの4年間で2兆1,000億円もの巨額の借金を完済した。
予定より早く達成されたため、日産180をスタートさせた。一方で長年維持してきた業界2位の自動車メーカーの地位を本田技研工業へ明け渡す結果になった。
窒素酸化物
窒素酸化物（ちっそさんかぶつ、英: nitrogen oxides） は窒素の酸化物の総称。
一酸化窒素（NO）、二酸化窒素（NO2）、三酸化窒素（NO3）、亜酸化窒素（一酸化二窒素）（N2O）、三酸化二窒素（N2O3）、四酸化二窒素（N2O4）、五酸化二窒素（N2O5）など。化学式の NOx から「ノックス」ともいう。
窒素酸化物 生成
自然界において窒素酸化物は、雷あるいは土壌中の微生物によって生成される。たとえば微生物が多い土壌に豊富な化学肥料を与えると土壌微生物が分解して窒素酸化物を放出する例が知られている。
物質が燃焼するときにも一酸化窒素や二酸化窒素などが発生する。この場合、高温・高圧で燃焼することで本来反応しにくい空気中の窒素と酸素が反応して窒素酸化物になる場合（サーマルNOx）と、燃料由来の窒素化合物から窒素酸化物となる場合（フューエルNOx）がある。たとえば、排気ガスや天然ガスボイラー（家庭用調理ガス器具を含む）などから排出される窒素酸化物は前者が主であり、石炭が燃焼した場合の窒素酸化物はそのほとんどが石炭中の窒素化合物に由来することが知られている。
四酸化二窒素は二酸化窒素と平衡状態にあり、環境中など低圧・低濃度では二酸化窒素側に偏っている。
（各窒素酸化物の生成法は当該記事に詳しい）
大気から陸上に沈着する窒素量は、1890年から1990年の100年間で5倍に増加し21世紀初頭時点では 125 Tg-N y-1(テラグラム窒素毎年)とされており、放出量の80 %が肥料が起源で20 %が燃焼が起源である。
窒素酸化物 人体に対する作用
二酸化窒素（NO2）自体は中性で肺から吸収されやすい赤褐色の気体または液体。細胞内では二酸化窒素は強い酸化作用を示して細胞を傷害するので、粘膜の刺激、気管支炎、肺水腫などの原因となる。
一酸化窒素（NO）については、1980年代頃から、その生体内での生理機能について研究が進み、血管拡張作用を持つことなどが明らかにされたほか、この一酸化窒素が神経伝達物質としても作用することが判明した。なお、1998年のノーベル生理学・医学賞は、この一酸化窒素の生理作用の発見に対して贈られている。現在でも、その多様な生理機能について研究が続いている。
NO、NO2を吸入するとメトヘモグロビンが生成する。メトヘモグロビンは、通常のヘモグロビンに配位されている二価（フェロ）の鉄イオンが三価（フェリ）になっているもので、酸素を運ぶことができない。
一酸化二窒素（N2O）は麻酔作用を持つため、吸入麻酔剤として医療現場で使用されている。
窒素酸化物 対策
NOxの防除技術としては、バーナーや燃焼法の改善によって低NOx化を実現する低NOx燃焼法と，排ガス中からNOxを除去する排煙脱硝法がある。
低NOx燃焼法
空気中の窒素に起因するいわゆるサーマルNOxと、燃料中に含まれる窒素化合物に起因するフューエルNOxがある。このうちサーマルNOxに有効な方法として、燃焼用空気を二段階に分けて吹き込む二段燃焼法が、ガス燃焼から石炭燃焼に至るまで最も広い範囲で用いられている。
サーマルNOxを減らすためには希薄燃焼で燃焼温度を下げると良いが、安定燃焼範囲が狭く、逆火などのトラブルが起きやすい。これを防ぐためパイロットバーナーを設けたり、バーナーの個数で出力を増減するなどの工夫が必要になる。
窒素酸化物 対策
JR東日本キハE130系気動車、JR四国1500形気動車などはコモンレール方式の燃料噴射装置を使用したディーゼルエンジンを使用し排出量を抑えている。
排煙脱硝法
湿式法と乾式法があり、大型燃焼装置では現在乾式法の一つである選択触媒法が主流となっている。煙道部の手前で排ガス中にNH3を吹き込み、下流部に設置された触媒反応器で、NH3によるNOの選択的還元を行わせる。
尿素SCRシステムでは安全に貯蔵可能な尿素をアンモニア源として使用している。
世界の取り組み
世界ではそういった問題を改善するために、「長距離越境大気汚染条約(ウィーン条約)」というものがある。この条約に196カ国が締約している。
窒素酸化物 環境問題
窒素酸化物は硫黄酸化物とならび酸性雨（酸性降下物）粒子状物質の原因物質で、硫黄酸化物は脱硫装置により液体の化石燃料由来の発生抑制させる事が可能であるが、燃焼（高温との接触）で生成される窒素酸化物の生成抑制は困難である。生成された窒素酸化物は降雨や霧（湿性沈着）や粒子状物質の降下（乾性降下）などにより地上に沈着し森林生態系に蓄積されると共に、森林への蓄積量が飽和量を超えると流下する水の硝酸イオン濃度を上昇させる。
大気汚染
これらは、光化学スモッグや酸性雨などを引き起こす大気汚染原因物質である。主な発生源は、内燃機関をもつ自動車の排気ガスであり、平成4年に制定（平成13年改正）された自動車から排出される窒素酸化物及び粒子状物質の特定地域における総量の削減等に関する特別措置法（自動車NOx・PM法）によって、規制されることになる。
窒素酸化物 環境問題
特に毒性の高い二酸化窒素（NO2）は、大気汚染防止法によって環境基準が定められている。
NO2の環境基準：1時間値の1日平均値が0.04ppmから0.06ppmまでのゾーン内またはそれ以下であること。
温室効果
また、一酸化二窒素（N2O、亜酸化窒素）は二酸化炭素の310倍の温室効果がある。
オゾン層の破壊
1970年代にスウェーデンのクルーツェン氏が、成層圏でNOxが触媒作用でオゾン消滅反応に作用していることを指摘し、オゾン層科学に進展がもたらされた。
2008年にN2Oが最大のオゾン層破壊物質であったことが米研究チームにより発表された。
硫黄酸化物
硫黄酸化物（いおうさんかぶつ、英: sulfur oxide）は、硫黄の酸化物の総称。一酸化硫黄 (SO)、二酸化硫黄（亜硫酸ガス）(SO2)、三酸化硫黄 (SO3) などが含まれる。化学式から SOx （ソックス）と略称される。
硫黄酸化物 概要
石油や石炭など硫黄分が含まれる化石燃料を燃焼させることにより発生する。大気汚染や国境を超えた酸性雨などの原因の一つとなる有毒物質。また、自然界においても火山ガスなどに含まれている。無色で刺激臭があり、水にとけやすい。
硫黄酸化物は水と反応することで、硫酸や亜硫酸を生じる。さらに吸湿により硫酸エアロゾルとなるため、1952年 12月のロンドンスモッグでは、10,000人を超える死者が出た。
1960年代から1970年代には、石油や石炭を燃やすときに排ガス処理装置をつけていなかったため、産業活動の活性化に伴い硫黄酸化物が大量に排出され、大気汚染の原因となった。特に三重県四日市市のコンビナートでは、四日市ぜんそくとしても知られる公害病が発生し、社会問題となった。現在では、大気汚染防止法によって環境基準が定められるとともに、光触媒を用いた酸化物浄化技術や排煙脱硫技術の進歩、脱硫した軽油の使用などによって、硫黄酸化物の大気中濃度は大幅に改善されている。
一方、中国で発生した硫黄酸化物が偏西風によって日本に運ばれ、大気汚染が酸性雨の原因となることが懸念されてきている。国立環境研究所の調査では、日本で観測される硫黄酸化物のうち 49% が中国起源のものとされ、続いて日本 21%、火山 13%、朝鮮 12% とされている。
硫黄酸化物 脱硫
脱硫法は、あらかじめ燃料から脱硫する方法と排ガスを脱硫浄化する方法の2つに大別される。
零行列
数学において、零行列（ゼロぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）とは、その成分（要素）が全て 0 の行列。O あるいは 0 と記述されることが多い。
また、下付き添字によって行列の型を明記することもある。
自明な線形変換である零作用素を表す行列であり、正方行列の場合には行列環の零元を与えている。
零行列 性質
以下、l, m, n は任意の自然数とする。
これらのことから、n 次の正方行列全体のなす環を考えているとき、零行列はその零元になる。
四元数
数学における四元数（しげんすう、英: quaternion）とは、複素数を拡張した数体系であり、虚数単位 i, j, k を用いて
a + bi + cj + dk
と表せる数のことである。ここで、a, b, c, d は実数であり、虚数単位 i, j, k は以下の関係を満たす。
このとき 1, i, j, k は実数体上線型独立である。
四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいて三次元での回転の計算でも用いられる。これはオイラー角や回転行列或いはそれらに代わる道具などと共に、必要に応じて利用される。
四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、3次元空間の力学に応用された。
四元数の特徴は、積について非可換であることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。
四元数
なお、虚数単位i,j,kについても非可換であることが知られている。
現代数学の観点からは、四元数全体からなる集合は、実数体上の4次元結合的ノルム多元体であり、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（或いは黒板太文字で ℍ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数 Cℓ0,2⁡(R) ≅ Cℓ03,0⁡(R) として定義することもできる。
この代数 H は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば H は実数全体 ℝ を真の部分環として含む有限次元可除環の2種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数全体 ℂ）だからである。
従って、単位四元数は三次元球面 S3 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 Spin⁡(3) を与える。これは 2次特殊ユニタリ群 SU⁡(2) に同型、或いはまた SO⁡(3)の普遍被覆に同型である。
四元数 歴史
Here as he walked byon the 16th of October 1843William Rowan Hamiltonin a flash of genius discoveredthe fundamental formula forquaternion multiplication i2 = j2 = k2 = ijk = −1& cut it on a stone of this bridge（1843年の10月16日、ここを通りかかったウィリアム・ローワン・ハミルトンは、天才の閃きを以って四元数の乗法の基本公式（略）を思いつき、この橋の石にそれを刻んだ）
四元数の成す代数系は、1843年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによって導入された。これにはオイラーの四平方恒等式（1748年）やオリンデ・ロドリゲスの四つの径数を用いた一般の回転のパラメータ付け（1840年）などを含む重要な先駆的研究があったが、何れもその四径数回転を代数として扱ったものではなかった。ガウスもまた1819年に四元数を発見していたのだが、そのことが公表されるのは1900年になってからである。
四元数 歴史
ハミルトンは複素数が座標平面における点として解釈できることを知っており、三次元空間の点に対して同じことができる方法を探していた。空間の点はそれらの座標としての数の三つ組によって表すことができ、ハミルトンはそれらの三つ組に対して加法や減法をどのようにすべきかはずっと前から分かっていたのだが、乗法と除法をどう定めるかという問題については長く行き詰ったままであった。ハミルトンは、空間における二点の座標の商をどのように計算すべきかを形にできなかったのである。
四元数についての大きな転換点がついに訪れたのは、1843年10月16日の月曜日、ダブリンにおいてハミルトンが理事会の長を務めることになるアイルランド王立アカデミーへの道すがら、妻と伴にロイヤル運河の引き船道に沿って歩いているときであった。四元数の背景となる概念が頭の中で形になり、答えが明らかになったとき、ハミルトンは衝動を抑えられずに、四元数の基本公式
を、渡っていたブルーム橋の石に刻みつけた。
四元数 歴史
次の日ハミルトンは、友人でフェロー数学者であったジョン・グレイヴスへ宛てて、彼の発見へと至る一連の道筋をしたためた書簡を記している。この書簡は後に London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. xxv (1844), pp.489-95.で公表されている。この中でハミルトンは、
と述べている。ハミルトンは、これらの乗法規則を備えた四つ組を quaternion と呼び、残りの人生の大半をその研究と教育に捧げた。ハミルトンによる取り扱いは、四元数の代数的性質を強調する現代的なアプローチよりも幾何学的なものである。ハミルトンは "quaternionists" の学校を設立し、数々の本で四元数の普及を図った。最後にして最長の本が Elements of Quaternions（『四元数原論』）で800 ページにも及ぶ（出版されたのは彼の死後少ししてからである）。
四元数 歴史
ハミルトンの死後も弟子のテイトが四元数の振興を続けた。同時に、ダブリンでは四元数が試験の必須題目になっていた。物理学と幾何学の主題においては、今日ではベクトルを用いて記述するような空間の運動エネルギーやマクスウェルの方程式などが、まったく四元数の言葉で記述されていた。四元数や他の超複素数系を専ら研究するプロの研究機関である四元数学会さえ存在した。
1880年代の半ば頃から、ギブス、ヘヴィサイド、ヘルムホルツらの創始したベクトル解析によって四元数は取って代わられるようになる。ベクトル解析は四元数と同じ現象を記述するために、四元数に関する文献から自由に用語法や考え方を拝借していたが、ベクトル解析の方が概念的に簡単で、記法もすっきりしていたので、遂には数学と物理学における四元数の役割は小さく追いやられることとなった。このような変遷の副作用で、現代的な読者にはハミルトンの仕事は難しく複雑なものと化してしまった。ハミルトンのオリジナルの定義は馴染みがなく、その書き振りは冗長で不明瞭である。
四元数 歴史
四元数は20世紀後半になって、三次元の自由な回転を記述する能力を買われて、多用されることとなった。四元数による3次元の回転（姿勢）の表現は、3次正方行列による表現と比べて記憶容量が小さくて演算のスピードも速い。加えて、オイラー角と違ってジンバルロックが起きない。この特徴は、地上における上下方向のような絶対的な軸の無い、宇宙機のような三次元の自由度が完全にある場合の姿勢制御などでの利用に適しており、宇宙機以外にもCG、コンピュータビジョン、ロボット工学、制御理論、信号処理、物理学、生物情報学、分子動力学法、計算機シミュレーション及び軌道力学など、他にも多くの応用がある。
また、四元数は二次形式との関係性により、数論からの後押しも受けている。
1989年以降、アイルランド国立大学メイヌース校の数学教室は、科学者（2002年には物理学者のマレー・ゲルマン、2005年にスティーヴン・ワインバーグなど）や数学者（2003年のアンドリュー・ワイルズなど）からなる、ダンシンク天文台からロイヤル運河の橋までを歩く巡礼の旅を開催している。ハミルトンが橋に刻みつけた公式はもはや見ることはできないが。
四元数 歴史
P.R.ジラールのエッセイ The quaternion group and modern physics（『四元数群と現代物理学』）は、四元数の物理学における役割について論じている。それは現代代数学において "数々の物理的な共変性の群：SO⁡(3)、ローレンツ群、一般相対性群、クリフォード代数 SU⁡(2) 及び共形群などが容易く四元数群に関連付けられることを示している"。ジラールは群の表現論を議論し、結晶学に関するいくつかの空間群を表現することから始めて、続いて剛体運動の運動学、その後トーマス歳差を含む特殊相対論のローレンツ群の表現に「複四元数」(complex quaternion)（双四元数）を用いている。ジラールはマクスウェルの方程式を四元数変数のポテンシャル函数を用いて一本の微分方程式に表したルドヴィク・シルバースタインをはじめとする5人の著者を引いている。一般相対性を考慮してルンゲ＝レンツベクトルを表し、またクリフォード代数の例としてクリフォード複四元数（分解型双四元数）に言及した。最後にジラールは、複四元数の逆数を使って時空の共形写像について述べている。50にも及ぶ参考文献には、アレクサンダー・マクファーレンおよび四元数学会におけるジラール自身の広報も含まれている。また、1999年にジラールはアインシュタインの一般相対性の方程式が如何にして四元数に直結するクリフォード代数を用いて定式化されるかを示している。
四元数についてのより個人的な見解をジョアキム・ランベックが1995年に書いている。エッセイ If Hamilton had prevailed: quaternions in physics（『もしハミルトンが勝利していたら：物理学における四元数』）には "My own interest as a graduate student was raised by the inspiring book by Silberstein"（院生としての私の興味はシルバースタインの本に刺激を受けて生じた）とある。ランベックは He concluded by stating "I firmly believe that quaternions can supply a shortcut for pure mathematicians who wish to familiarize themselves with certain aspects of theoretical physics."（「私は四元数が、理論物理学のある種の側面に習熟しようと望む純粋数学者へ、近道を与えるものと堅く信じる」）と述べて結論を下している。
2007年、アレキサンダー・エフレモフとその共同研究者は、四元数空間幾何がヤン・ミルズ場と近しい関係にあることを示し、ダフィン・ケマー・ペティアウ方程式とクライン-ゴルドン方程式への関連性を指摘した。
四元数 定義
集合としては、四元数全体 H は実数体上の4次元数ベクトル空間 ℝ4 に等しい。H には3種類の演算（加法、スカラー乗法、四元数の乗法）が入る。H の二元の和は、R4 の元としての和で定義され、同様に H の元の実数倍も R4 におけるスカラー倍として定義される。H の二元の積を定めるには、まず R4 の基底を決めなければならないが、その元を通例 1, i, j, k と記す。H の各元はこれら基底元の線型結合で表される。つまり
a1 + bi + cj + dk（a, b, c, d は実数）
の形に一意に表される。基底元 1 は H の乗法単位元であるため、通常省略して
a + bi + cj + dk
と表すのが普通である。この基底が与えられたところで、四元数の結合的乗法は、初めに基底元同士の積を定義して、一般の積はそれを分配律を用いて拡張することで定義される。
H の基底元 i, j, k に対して等式
は i, j, k の間の可能な全ての積を決定する。例えば  の両辺に k を右から掛ければ
を得る。他の積も同様にして得られて、結局
四元数 定義
が可能な全ての積を列挙したものとなる。これは左側の因子を列に、右側の因子を行にそれぞれ充てて、表の形にまとめられる（乗積表）。
二つの四元数 a1 + b1i + c1j + d1k と a2 + b2i + c2j + d2k に対し、それらのハミルトン積 (a1 + b1i + c1j + d1k)(a2 + b2i + c2j + d2k) は、基底間の積と分配律によって与えられる。具体的には、この積は分配律により基底元の積和の形に展開することができて、
となるので、ここで先の基底元の間の乗法規則を適用して
を得る。
H の基底 1, i, j, k を用いて H を四つ組の集合
として表すことができる。このとき基底元は
であり、加法、乗法の定義式は
で与えられる。
四元数 a + bi + cj + dk について、特に b = c = d = 0 であるものは実数体上のスカラーである。bi + cj + dk で、b, c, d の内少なくとも一つが、0 でないもの (bcd ≠ 0) を純虚 (pure imaginary) という。
四元数 定義
四元数 a + bi + cj + dk に対して、a をその実部 (real part) またはスカラー部 (scalar part) といい、bi + cj + dk をその虚部 (imagenary part) または ベクトル部 (vector part) という。四元数のスカラー部は実数であり、ベクトル部は 0 または純虚である。任意の四元数は4次元ベクトル空間のベクトルではあるけれども、ここではベクトルあるいはベクトル元という言葉を、専ら純虚四元数を指すのに用いる。この規約の下、ベクトル元ということはベクトル空間 R3 の元ということと同じ意味になる。
ハミルトンは純虚四元数を right quaternion（「正しい四元数」）と呼び、実（四元）数を scalar quaternion（「スカラー四元数」）と呼んだ。
四元数をスカラー部とベクトル部に分解して
と表すと、加法、乗法の定義式は
となる。ここで "⋅" はベクトルのドット積、"×" はベクトルのクロス積である。特に、実部が 0 の四元数に対しては
が成り立つ。
四元数 共軛、ノルムおよび逆数
四元数の共軛（きょうやく）は複素共役及びクリフォード代数の元の転置 (transposition) あるいは逆転 (reversal) の類似物である。四元数 q = a + bi + cj + dk に対して、q の共軛は
a − bi − cj − dk
で定義される。これを q∗, q, qt, ~q などで表す。共軛をとる操作は対合、つまり自身を自身の逆とする変換であり、一つの元の共軛を二度とればもとの元に戻る。2つの四元数の積の共軛は、それぞれの四元数の共軛を「順番を逆にして」掛けたものになる。つまり p, q を四元数とすれば
(pq)∗ = q∗p∗
であって p∗q∗ でない。
複素数における共軛とは異なり、四元数の共軛は乗法と加法を用いて完全に書き表すことができる：
共軛を用いると、四元数 p の実部、虚部はそれぞれ
p + p*/2, p − p*/2
となる。
四元数 q のノルム ‖ q ‖ は、自身とその共軛の積の平方根として定義される：
（ハミルトンはこれを四元数のテンソルと呼んだが、この用語は現代的な意味でのテンソルと衝突する）
これは、H を数ベクトル空間 R4 と見なした時のユークリッドノルムに等しく、ノルムの公理を満たす。すなわち、常に非負の実数で、任意の2つの四元数 p, q に対して
四元数 共軛、ノルムおよび逆数
が成り立つ。特に、実数 α に対して
が成り立つ。
この乗法性は、積の共軛に関する式からの帰結である。あるいは、正方行列の行列式の乗法性と公式
（i は通常の虚数単位）から乗法性を示すこともできる。
このノルムを使って、四元数 p と q の間の距離 d⁡(p, q) を、それらの差のノルム (d⁡(p, q) = ‖ p − q ‖) として定義することができる。これにより H は距離空間となり、加法と乗法はこの距離位相に関して連続になる。
ノルムが 1 の四元数を単位四元数という。0 でない四元数 q に対して、そのノルムで割って得られる単位四元数
を、q のベルソルという。
任意の四元数 q は、その極分解
q = ‖ q ‖ U⁡q
を持つ。
共軛とノルムにより、四元数の逆数（自身との積が 1 である数）が得られる：
これにより、2つの四元数 p, q に対して、二種類の除法が定義される。即ち、それらの商は pq−1 または q−1p のどちらかである。複素数（一般には可換体）の範囲と異なり、p/q と書くと q で左から割っているのか右から割っているのかが特定されないため紛らわしい。
四元数 代数的性質
四元数全体のなす集合 H は実数体上の 4次元ベクトル空間を成す（実数全体は 1次元、複素数全体は 2次元、八元数全体は 8次元である）。四元数は加法と、結合的で分配的な乗法を持つが、その乗法は可換でない。従って四元数の全体 H は実数体上の非可換結合多元環である。H には複素数体 ℂ の複製が含まれるが、H は C 上の結合多元環にはならない。
四元数は除法が可能であるから、H は多元体（乗法が可換でないことを除けば可換体と同様の構造）である。実数体上の有限次元結合的多元体は非常に少なく、フロベニウスの定理はそれが R, C, H のちょうど3種類であることを述べるものである。また、四元数のノルムにより四元数の全体はノルム多元環となるが、実数体上のノルム多元体もまた非常に限られ、フルヴィッツの定理はそれが R, C, H, O の四種類（O は八元数全体）であることを述べる。四元数全体はまた、合成代数や単位的バナッハ環の一例でもある。
四元数 代数的性質
基底元の積は別の基底元に符号を付けたものになるから、集合 {±1, ±i, ±j, ±k} はその乗法に関して群を成す。この群は四元数群と呼ばれ、Q8 で表す。Q8 の実係数群環 RQ8 は環であり、また R 上の 8次元ベクトル空間でもあり、Q8 の各元を基底ベクトルに持つ。四元数体 H は RQ8 を 1 + (−1), i + (−i), j + (−j), k + (−k) で生成するイデアルで割った剰余環になっている。ここで、生成元となっている各差の第一項は基底元 1, i, j, k のそれぞれ一つであり、第二項は残りの基底元 −1, −i, −j, −k のそれぞれ一つであって、これらは 1, i, j, k の（群環の加法に関する）加法的逆元でないことに注意（剰余環、つまり H の中では加法逆元になる）。
四元数 四元数と R3 の幾何
四元数のベクトル部は R3 のベクトルゆえ、R3 の幾何は四元数の代数構造に反映される。ベクトルに対する多くの演算は四元数を用いて定義することができるし、それによって四元数的な手法を空間ベクトルから生じる様々なものに適用することができる。例えば、電磁気学や3DCGなどにこの方法論が使える。
本節では i, j, k を H の虚基底ベクトルと R3 の基底の両方の意味で用いる。i, j, k を一斉にそれぞれ −i, −j, −k に取り替えることはベクトルを加法的逆元（マイナス）へ写すので、ベクトルの加法的逆元をとることと四元数の共軛をとることとは同じ意味になることに注目しよう。これを以って、四元数の共軛を「空間反転」(spatial inverse) と呼ぶことがある。
2つの純虚四元数 p = b1i + c1j + d1k, q = b2i + c2j + d2k に対して、それらのドット積は
四元数 四元数と R3 の幾何
で与えられる。これは p∗q, qp∗, pq∗, q∗p のどのスカラー部にも等しい（これらのベクトル部は相異なることに注意）。それゆえドット積については
という等式も成り立つ。また、p と q のクロス積は基底 (i, j, k) の元の順序（から定まる向き）に依存して
と定義される（符号を決めるために向きが必要であることを想起せよ）。これは四元数としての積 pq のベクトル部に等しく、−q∗p∗ のベクトル部とも同じく等しい。ゆえに、これについても
なる等式が成り立つ。一般に p, q が四元数（純虚でなくてよい）のとき、これをスカラー部とベクトル部との和
に分解すれば、等式
が成り立つ。これを見ると、四元数の乗法の非可換性が純虚四元数の乗法からくるものであることが分かり、また2つの四元数が可換となるための必要十分条件がそれらのベクトル部が共線となることなども分かる。
四元数 行列表現
複素数の行列表現と全く同様に、四元数も行列で表現することができる。四元数を行列で表現し、四元数の加法と乗法を行列のそれに対応させる方法は、少なくとも二つあり、一つは 複素 2次正方行列を用いるもの、もう一つは実 4次正方行列を用いるものである。何れの場合も、表現は線型に関連する表現の族として与えられるもので、抽象代数学の観点からは、H からそれぞれ全行列環 M2⁡(C) および M4⁡(R) への単射環準同型である。
複素 2次正方行列を用いて、四元数 a + bi + cj + dk は
と表現される。この表現は以下の性質を持つ：
実 4次正方行列を用いれば、同じ四元数は
で表される。この表現では、四元数の共軛は対応する行列の転置に対応する。また、四元数のノルムの四乗は対応する行列の行列式に等しい。複素数は、行列を 2 × 2 のブロックに分けたときの区分対角行列に対応する。
四元数 四平方和定理
四元数を、数論におけるラグランジュの四平方和定理（任意の非負整数が四つの整数の平方の和で表せること）の証明に用いることもできる。ラグランジュの四平方和定理は定理それ自体が美しいだけでなく、組合せデザインのような数論以外の数学の分野においても有意な応用を持つ。四元数に基づく証明では四元数全体ではなくその部分環でユークリッドの互除法が使えるフルヴィッツ整数環が用いられる。
四元数 複素数の対として
四元数は複素数の対として表現することができる。この側面からは、四元数は複素数全体にケーリー＝ディクソン構成を適用して得られたものということになる。これは、複素数の実数の対としての構成を一般化したものである。
C2 を複素数体上の二次元ベクトル空間とし、基底 (1, j) をとる。C2 に属するベクトルは
と表される。ここで j2 = −1 および ij = −ji であるものと定めると、分配律により二つのベクトルの掛け算が定義できる。いま、積 ij を k とおくと、通常の四元数の乗法規則と同じになるので、従って上記の複素ベクトルは四元数
a + bi + cj + dk
に対応するものである。C2 の元を順序対として、四元数を四つ組としてそれぞれ書けば、この対応は
となる。
四元数 −1 の平方根
−1 の平方根は、複素数の範囲では ±i であるが、H では −1 の平方根は無数に存在する。x2 = −1 の四元数解は三次元空間内の単位球面を成すのである。これを見るのに q = a + bi + cj + dk を四元数とし、その平方が −1 に等しいものと仮定する。a, b, c, d が満たすべき条件は
である。後の3つの方程式より a = 0 または b = c = d = 0 であるが、後者は残りの方程式から a2 = −1 となり、a は実数であるから不可能である。故に a = 0 ⋀ b2 + c2 + d2 = 1 となる。即ち、平方が −1 になる四元数は、ノルムが 1 の純虚四元数であることが分かる。定義により、このような四元数全体の成す集合は2次単位球面である。
故に、負の実四元数は無数の平方根を持つことも分かるが、それ以外の四元数の平方根はただ二つ（0 についてはただ一つ）である。
四元数 −1 の平方根
H における −1 の平方根のこのような同定はハミルトンが与えているが、他の文献では触れられないことがよくある。1971年にサム・パーリスは −1 の平方根の成す球面について、米国数学教師評議会出版の「代数学における歴史的話題」(Historical Topics in Algebra p.39) において3ページを割いて触れている。より近くでは、イアン・ポーティアスの本「クリフォード代数と古典群」(Clifford Algebras and the Classical Groups Cambridge, 1995, proposition 8.13, p.60) にこの球面についての記述があり、また Conway & Smith (2003) のp.40には「任意の虚数単位を i, それに直交する虚数単位の一つを j, それらの積を k」("any imaginary unit may be called iTemplate:, and perpendicular one j, and their product k") として、この球面についての別な言明がある。
−1 の平方根のどの二つをとっても、四元数の中で複素数の相異なる複製を作ることができる。 q2 = −1 とすれば、そのような複製は写像
四元数 −1 の平方根
によって決定される。抽象代数学の言葉でいえば、それぞれが C から H への単射環準同型（埋め込み）である。q と −q に対応する埋め込みの像は集合としては同じになる。
任意の実でない四元数は C に同型な H の部分空間上にあることを見よう。四元数 q をスカラー部とベクトル部の和として
とし、さらにベクトル部をノルムとベルソルの積に分解（極分解）して、
と書く（これは qs + ‖ q ‖Uq とは異なることに注意）。q のベクトル部のベルソル Uq→v は純虚な単位四元数ゆえ、その平方は −1 である。従ってこれから、写像
によって複素数の複製が得られるが、この写像の下で q は複素数 qs + ‖ q→v ‖i の像になる。
以上から、H は実数直線を共通の交わりとして持つ無数の複素数平面の合併であることが分かる。ただし、この合併は −1 の平方根の成す球面全体を（球面の対蹠点が同じ平面に対応することを踏まえた上で）わたって取ったものである。
各四元数が H のどの部分複素数平面に含まれるかという関係性は、可換部分環族の言葉を使っても同定し書き表すことができる。具体的に言えば、二つの四元数 p と q が可換 (pq = qp) となるのはそれらが H の同じ部分複素数平面上にあるときに限られるだから、四元数全体の成す環の可換部分環を全て求めたければ、そこに複素数平面の合併として H の prófile が生じる。この可換部分環を求める方法は、分解型四元数全体や実二次正方行列全体の性質を知るのにも利用できる。
四元数 四元数を変数とする函数
複素変数の函数同様に、四元変数の函数から有効な物理モデルが得られることが示唆される。例えば、マクスウェルによるもともとの電磁場の記述には四元変数函数が用いられていた。
四元数
に対して、指数函数は
と計算され、その逆函数として対数函数は
として与えられる。
これを用いて、四元数の極分解を
の形に書くことができる。ここで角 θ および単位ベクトル  は
および
で定まるものである。任意の単位四元数は極形式として
と表される。
任意の実数を冪指数とする四元数の冪は
で与えられる。
四元数 三次元および四次元の回転群
「共軛（きょうやく）」あるいは「共軛変換」という言葉は、上で述べた意味以外にも、適当な非零元 r によって元 a を rar-1 へ写す変換（内部自己同型）の意味にも使われる。この変換の意味で与えられた元に共軛な元の全体は、実部が等しく、かつベクトル部のノルムも等しい（従って、共軛四元数はこの変換の意味でも共軛元である）。
故に、非零四元数全体の成す乗法群は、純虚四元数全体の成す R3 の複製の上に共軛変換によって作用する。このとき、実部が 〖cos〗⁡θ である単位四元数による共軛変換は、虚部方向を回転の軸とする回転角 2θ の回転になる。四元数を用いる優位性としては、
などが挙げられる。
単位四元数（ベルソル）の全体は三次元球面 S3 を成し、また乗法に関して群を成し、3次特殊直交群（行列式が 1 の 3次直交行列全体）〖SO〗⁡(3,R) の二重被覆群というリー群になる（これは上記の対応において各回転に対応する単位四元数がちょうど「2つ」あることによる）。
四元数 三次元および四次元の回転群
（S3 自体には標準的な群構造はないが）ベルソルの成す部分群の像は点群であり、逆に点群の逆像はベルソル全体の成す部分群となる。有限点群の逆像は、それぞれの点群の名前に二項 (binary) を付けて呼ぶ。例えば二十面体群の逆像は二項二十面体群である。
ベルソル全体の成す群は、2次特殊ユニタリ群 〖SU〗⁡(2) に同型である。
a, b, c, d が何れも整数となるかまたは何れも分母が2の既約分数である有理数となる四元数 a + bi + cj + dk 全体の成す集合を A とする。集合 A は環（実は整域）であり、また束であって、フルヴィッツ整数環と呼ばれる。この環は 24 個の単位四元数を持ち、それらは正24胞体（シュレーフリ記号で {3,4,3}）の頂点になっている。
四元数 一般化
F を標数が 2 でない体とし、a, b を F の元とする。(1, i, j, ij) を基底とし、i2 = a, j2 = b, ij = −ji（従って (ij)2 = −ab）を満たす F 上の四次元単位的結合多元環が定義できる。これらは四元数環と呼ばれ、a, b の選び方に依り F 上の 2次正方行列に同型であるか、さもなくば F 上の多元体を成す。
四元数 クリフォード代数 Cℓ3,0⁡(R) の偶部分としての四元数体
幾何学的計算に対する四元数の有用性は、四元数体をクリフォード代数 Cℓ3,0⁡(R) の偶部分 Cℓ+3,0⁡(R) と同一視することによって、他の次元にも一般化することができる。これは基本基底元 σ1, σ2, σ3 から構成される結合的多重ベクトル環で、基底元は
なる積の規則に従う。これらの基本基底元が三次元空間のベクトルを表すものとすれば、ベクトル r の単位ベクトル w に直交する平面に関する鏡映 (reflection) が
で表され、二つの鏡映の合成はそれぞれの鏡映に対する平面同士のなす角の二倍の回転角をもつ回転を与えることから、
は σ1 と σ2 とを含む平面における 180° 回転が対応する。これは四元数の対応する公式
とよく似ているが、実はこの二つは同一視できる。それには
と同一視して、かつこれがハミルトンの関係式
四元数 クリフォード代数 Cℓ3,0⁡(R) の偶部分としての四元数体
を保つことを確認すればよい。この描像において、四元数はベクトルではなく二重ベクトル (bivector) に対応する（これは一次元的な「向き」ではなくて、特定の二次元平面に付随する向きと大きさを持った量である）。また、複素数との関係もより明らかになる。つまり、二次元ではそれぞれ σ1 と σ2 の方向を持つ二つのベクトルに対して、ただ一つの基底二重ベクトル元 σ1σ2 が存在するから、虚数単位は一つだけしかないが、ベクトルの方向が三つある三次元では、三つの二重ベクトル基底 σ1σ2, σ2σ3, σ3σ1 が存在して、三つの虚数単位を持つ。
この理由付けはさらに拡張することができて、クリフォード代数 Cℓ4,0⁡(R) においては、基本となるベクトルが相異なる四つの方向を持つから、従って平面を張る線型独立な組は六種類であり、二重ベクトル基底元は六つ存在する。このような空間において、回転子 (rotor) と呼ばれるそのような四元数の拡張を用いた回転は、斉次座標系を用いた応用において非常に有効である。しかし、三次元の場合に限っては、基底二重ベクトルの数と基底ベクトルの数が一致し、各二重ベクトルを擬ベクトルと同一視することができる。
ドルストらはこの広い設定において四元数の占める優位性を以下のように同定した：
クリフォード代数のさらに詳細な幾何学的描像は幾何代数の項を参照せよ。
四元数 ブラウアー群
四元数体 H は「本質的に」唯一の（非自明な）中心的単純環である。これは実数体上の任意の中心的単純環は R または H の何れかにブラウアー同値（森田同値）であるという意味である。明確に述べれば、R のブラウアー群は、R および H をそれぞれの代表元とする二つの同値類からなる。ここで、ブラウアー群というのは中心的単純環全体の成す集合を、一方の中心的単純環が他方の中心的単純環の上の全行列環となるという同値関係で割って得られるものであった。アルティン・ウェダーバーンの定理（のウェダーバーンの部分）によって、任意の中心的単純環は何らかの斜体上の行列環となるから、従って四元数体が実数体上で唯一の非自明な多元体であることが分かる。
中心的単純環（体上の環であって、それ自身が体同様に非自明な両側イデアルを持たないという意味で単純環であり、かつその中心が基礎体に一致するもの）は、体の拡大の非可換版の類似物であり、一般の環の拡大よりも限定的である。四元数体が実数体上の（同値を除いて）唯一の非自明な中心的単純環であるという事実は、複素数体が実数体上の唯一の非自明な拡大体であることに比肩する。
2000年問題
2000年問題（にせんねんもんだい、英語: Year 2000 problem）は、西暦（グレゴリオ暦）2000年になるとコンピュータが誤作動する可能性があるとされた年問題である。
Y2K問題（ワイツーケイもんだい、Y は年 (year)、K はキロ (kilo＝千)）、ミレニアム・バグ (millennium bug) とも呼ばれた。
西暦2000年であることをコンピュータが正常に認識できなくなるという問題が主に取り上げられるが、グレゴリオ暦における置閏法を誤解して生じる問題もある。
2000年問題 原因
当時、多数のコンピュータシステムの内部で日付を扱う際に西暦の下2桁だけを表示しており、上位2桁を省略していることが原因で問題が生じると言われた。この他に、置閏法に対する誤解から西暦2000年を「平年」として扱ったことが原因で、西暦2000年2月29日に誤動作する問題が生じる。
直接の原因はプログラム内で日付を扱う際、西暦の4桁のうち上位2桁を省略し下位2桁だけを処理対象にしたことである（"yy-mm-dd"や"dd-mm-yy"など）。
古い電算システムを構築するのに用いられたCOBOLやFORTRANのような古いプログラミング言語では、データ型に「日付型」が用意されていない。従ってプログラム内では年を表現するために2桁の文字型を割り当てて、西暦表示4桁のうち下2桁だけを記録・処理した。この方式では2000年が内部で「00年」となるので、これを「1900年」と見なしてしまい、例えば「レコードを日付順に並べ替える処理をすると、順序が狂う」などの誤作動を起こす可能性があると指摘された。
四桁で表現される西暦年数を格納するには、4桁の文字列 ("yyyy") を確保するのが妥当であるが、初期のコンピュータシステムでは、磁気テープなどのリソース、特にメモリの容量が極めて少ない上、高価な貴重品であるため、できるだけメモリを節約するプログラミングが要求された。
2000年問題 原因
年数を下2桁 ("yy") に縮めてリソースを節約をするのは、当時のプログラマの間では当然の技法であった。そのようなプログラムの多くは、1960年代から1980年代にかけて開発された。当事者は「2000年までには、何らかの改良が加えられるか、全く新しいシステムに更新されているだろう」という前提でいたので、2000年問題には充分な対策が施されていなかった。2000年問題が表面化した際は、プログラムを作成した技術者の死亡や退職などもあり、手作業でのプログラムの確認と修正が必要とされた。
これらのプログラムが作成された時点で既に、多くの国で様々な領域や分野でコンピュータが使用されていたので、思わぬ所での機能停止や誤作動の危険が起こり得ると指摘された。物流その他の社会運営上の不具合の発生などが予想され、国際経済が深刻な不況に陥る可能性を指摘する声もあった。一部には、カレンダーを持たない独立した組み込みシステムの誤作動の不安を煽るなど、あたかもフェイルセーフで設計された物がこの世にないかのように騒ぐなどの過剰反応も見られた。
1996年など平常の「閏年」とは異なり、2000年は「400年に1回」の特殊な閏年で閏日（2月29日）があるのに、その処理をしていないプログラムもあった。なお、土曜日から始まる閏年は、1972年以来28年ぶりであった。
2000年問題 原因
現行のグレゴリオ暦では、閏年について次の規則がある。
従って、1900年は平年（100で割り切れても400で割り切れない）であったが、2000年は閏年であった。しかし、誤って1. と2. だけを適用し、2000年を閏年としないプログラムがあったので、この対応も併せて必要とされた。
前述のように年の下位2桁しか処理しないシステムでは、「400で割り切れる年」と「400で割り切れない年」を区別できず、1. 2. の規則のみに沿って年表示が00である年を平年として扱うようにプログラムすると、この問題が生じる。
偶々 2. 3. の規則を知らずに1. の規則のみに則るか、1. 2. 3. の規則を全て承知で西暦2099年までは4で割り切れる判定で充分と認識し、単純に4で割り切れるかどうかで閏年を判定するシステムでは、2000年を閏年として扱って問題は起きない。
2000年問題 事前対策
当時、想定された問題には、次のようなものがあった。
従って、1990年代末期に使用していたコンピュータプログラムの訂正が世界規模で行われたが、この修正作業に費用と期間が取られてしまう企業も出てしまい、特に中小企業などにおいて大きな打撃となった。