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位相空間 距離空間の位相構造
すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る：
xのε-近傍の事を、ε-球（ε-ball）、ε-開球（ε-open ball）、あるいは単に開球（open ball）ともいう。
上記のように定義したが位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える：
上述の命題の条件3から特に次の系が従う：
上述の命題より、が位相の定義を満たす事が従う：
なお、位相空間の定義より開集合の（有限または無限個の）和集合は開集合であり、開集合の有限個の共通部分も開集合であるが、開集合の無限個の共通部分は開集合になるとは限らない。実際、任意の自然数n > 0に対し、1/n-球は定義より開集合であるが、
は開集合ではない。
上述のように集合X 上の距離構造に１つの位相構造が対応するが、この対応関係は一般には「単射」ではなく、異なる距離構造が同一の位相構造を定める事も多い。実際、次の命題が成立する：
なお、上記の命題における「連続」の概念は距離空間における連続の事であるが、本稿では後で位相空間上の連続性を定義し、位相空間としての連続性の概念と距離空間としての連続性の概念が一致する事を見る。
位相空間 距離空間の位相構造
上述の命題は、距離空間を連続変形しても位相構造が変わらない事を意味する。したがって連続変形に対して不変な性質を研究する位相幾何学にとって基礎的である。
本節では（実または複素）ベクトル空間における距離と位相の関係を述べる。本節の内容はベクトル空間が有限次元の場合は幾何学、無限次元の場合は解析学に応用がある。
ベクトル空間では、ノルムの概念を定義する事ができ、ベクトル空間上の距離としてはノルムから定まるものを考える事が多い。本節ではまずノルムの定義を振り返り、ノルムから定まる距離を定義し、その距離から定まる位相の性質を見る。
まずノルムとは何かを簡単に説明する：
定義 (ノルム) ― 
Kをもしくはとするとき、K上ベクトル空間Vのノルムとは写像
で以下の3性質を満たすものの事である。ここでx、yはVの元でαはKの元である：
上の代表的なノルムとして、p≧1に対するℓpノルム
が知られている。ここでv=(v1,...,vn)である。
V上にノルム‖ ・ ‖が1つ与えられると、
により、V上の距離が定まる。
このようにノルムから距離が定まり、距離から位相が定まるが、ノルムが「同値」であるとそこから定まる位相が同一になる事が知られている：
定義・定理 (ノルムの同値性と位相) ― 
Vを（実もしくは複素）ベクトル空間とし、とをV上定義された2つのノルムとする。、が
位相空間 距離空間の位相構造
を満たすとき、、は同値なノルムであるという。
、が同値であれば、これらのノルムが定める距離
、
は V上に同一の位相を定める。
Vが有限次元の場合は次の事実が知られている：
命題 ― 
有限次元の（実もしくは複素）ベクトル空間上定義されるノルムは全て同値である。
この事実から、有限次元ベクトル空間の場合は、ノルムのとり方によらず同一の位相構造が定まる事がわかる。この位相を有限次元ベクトル空間上の自然な位相、通常の位相等と呼ぶ。
一方解析学で頻繁に使われる、無限次元のベクトル空間の場合は、同一のベクトル空間上に複数の同値でないノルムが存在し、それらのノルムがそれぞれ異なる位相構造を定める事になる。例えば[0,1]区間からへの連続写像全体の集合
, 連続
を写像の和と定数倍に関してベクトル空間とみなすと、各対し、Lpノルム
が定義できるが、これらはpが異なれば異なる位相を定め、実際Lpノルムでは収束するのに別のLqノルムでは収束しない例を作る事ができる。
また無限回微分可能な写像の空間
, 無限回微分可能
にはLpノルムの一般化であるソボレフノルム
も定義可能であるが、これらもk、pが異なれば異なる位相を定める。なお、の定める位相をCk-位相と呼び、この位相は位相幾何学で図形の連続変形を扱う際重要な役割を果たす。
位相空間 その他の具体例
定義・定理 ― Xを集合とする。このとき以下は位相の公理を満たす。
密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。
離散位相はX上に離散距離
をいれたときに距離から定まる位相と一致する。
Xが1元集合、有限集合、可算集合の場合は明らかに密着位相、補有限位相、補可算位相はいずれも離散位相に一致する。
それ以外の場合、すなわちXが2元以上ある集合、無限集合、非可算集合の場合は、密着位相、補有限位相、補可算位相はX上のいかなる距離から定まる位相とも一致しない。
を素数の集合とする。各整数に対し、
はpの倍数
と定義し、V(n)全体の集合を閉集合系とするP上の位相をP上のザリスキー位相という。
ザリスキー位相はP上のいかなる距離から定まる位相とも一致しないことが知られており、距離から定まらない位相でなおかつ数学の重要な研究対象となっているものの代表例である。
ザリスキー位相の概念は一般の可換環Rの素イデアル全体の集合に対しても定義する事ができる事が知られている。
位相空間 その他の具体例
一方、これとは全く異なる角度からザリスキー位相を定義する事ができる。Kを複素数体（もしくはより一般に代数的閉体）とし、Knを考える。そしてK上の多項式の任意の集合Sに対し、
と定義し、V(S)全体の集合を閉集合系とする位相をKn上のザリスキー位相という。
以上で述べた２種類のザリスキー位相は一見全く異なるように見えるが、実は同種の概念を別の角度から見たものである事が知られている。これら２つが同種である事は代数幾何学の最も基本的な定理の一つとなっている。
数学で使われる多くの位相空間は、距離空間（から定まる位相空間）のような既知の位相空間を加工して作られている。
例えば既知の２つの位相空間の和集合や積集合に対して、位相を定めてこれらを位相空間とみなしたり、位相空間上で同値関係を考えてその同値関係による商集合に対して位相を定めて位相空間とみなしたりする。
こうした加工の結果として得られる位相空間の例として、非常に重要なものの一つが多様体である。多様体とは、直観的にはn次元曲面のことであるが、これはの部分集合を何枚も張り合わせる事で実現されている。
既知の位相空間の和集合、積集合、商集合といったものにどのような位相を定めるべきかに関しては一般的な導出方法が知られており、これについては「#位相空間の導出」の節で説明する。
位相空間 位相空間に関する諸概念
位相空間Xの部分集合Aに対し、Aの「内部」、「外部」、「境界」の概念を定義できる：
定義 (内点、外点、境界点) ― 
を位相空間とし、AをX の部分集合とする。このとき、
定義 (内部、外部、境界) ― 
を位相空間とし、AをX の部分集合とする。このとき、
なお、境界を表す記号「」は多様体の縁（ふち, 英: boundary）を表す記号としても使われるが、両者は似て非なる概念なので注意が必要である。
さらに閉包を次のように定義する：
定理・定義 (閉包、触点) ― 
を位相空間とし、A をX の部分集合とする。このとき、
定義から明らかに次が成立する：
命題 (内部と閉包の関係) ―
よって内部と閉包は双対的な関係にあり、内部に関する性質にド・モルガンの法則を適用する事で閉包の性質を導く事ができる。
定義より明らかに次が成立する。
命題 ―
Xが距離空間であれば、上では「x ∈ Oを満たすある開集合O ⊂ X」、「x ∈ Oを満たす任意の開集合O ⊂ X」となっているところを、「xのあるε-近傍」「xの任意のε-近傍」に変えてもよい。これについては基本近傍系について記述する際、より詳しく述べる。
位相空間 位相空間に関する諸概念
さらに次が成立する。
命題 ― 　
位相空間の任意の部分集合Aに対し次が成立する：
内部および閉包は以下のようにも特徴づけられる事が知られている：
命題 (内部および閉包の特徴づけ) ― 　
位相空間の任意の部分集合Aに対し次が成立する：
内部の概念は以下を満たす：
定理 (内部の性質) ― 
位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する：
である事を用いて、以上で述べた内部に関する結果をド・モルガンの法則により閉包の結果に翻訳できる：
定理 (クラトウスキイの公理系) ― 
位相空間Xの任意の部分集合A、Bに対し、以下が成立する：
を位相空間とするとき、
本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、これをベースに内核作用素を定義したが、逆に上述の性質を満たす内核作用素の概念を使って位相空間を定義し、これを使って開集合と定義する事も可能である。すなわち以下が成立する：
定理 (内核作用素による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像
で、が「定理（内核作用素の性質）」で述べた4性質を満たすものとする。
位相空間 位相空間に関する諸概念
このときX上の位相構造で位相空間の内核作用素がに一致するものがただ一つ存在する
の開集合系は具体的には以下のように書ける：
である事を用いて、以上の結果を閉包作用素の結果に翻訳できる：
定理 (閉包作用素による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像
で、がクラトウスキイの公理系を満たすものとする。
このときX上の位相構造で位相空間の閉包作用素がに一致するものがただ一つ存在する。
の閉集合系は具体的には以下のように書ける：
定義 (集積点、導集合、孤立点) ― 
を位相空間とし、AをXの部分集合とする。このとき、
定義より明らかに次が成立する。
命題 ―
定義 (稠密) ― 
Aが位相空間の稠密な部分集合であるとは、A の閉包が X に一致することである。
これは言い換えるとX の任意の点の任意の近傍が、A と交わることを意味する。
可算な稠密部分集合をもつ位相空間は可分であるといい、例えばにおいてはが可算な稠密部分集合なので、は可分である。
位相空間 近傍
本節では近傍の定義を述べ、その基本的な性質を述べる。後述するように近傍は位相空間における収束の概念を定義するのに用いられるが、それ以外にもある点xの周りの局所的な性質を記述する際に広く使われている。
近傍の定義は以下のとおりである：
定義 (近傍系、開近傍系) ― 
を位相空間とし、xをXの点とする。このとき、
x ∈ O
を満たす開集合をxの開近傍（かいきんぼう, 英: open neighborhood）という。
またX の部分集合Nが以下を満たすとき、Nはxの 近傍（きんぼう, 英: neighborhood）であるという
ある開集合O ⊂ Xが存在し、x ∈ O ⊂ N
点xの近傍全体の集合をxの近傍系といい、xの開近傍全体の集合をxの開近傍系という。
近傍系のことを近傍フィルター（英: neighborhood filter）ともいう。
なお、「近傍」という名称であるが、上述の定義から分かるように、全空間Xも点xの近傍であり、xの「近く」の点だけを含むわけではない。（そもそも距離が定義されていないので「近く」という概念を定義できない）。
位相空間 近傍
点xの近傍Nはx ∈ O ⊂ Nを満たし、距離空間における開集合Oはを満たす。したがって以下のように基本近傍系の概念を定義すると、距離空間においてはが基本近傍系になっている事がわかる。また一般の位相空間でも開近傍全体の集合が基本近傍系になる事がわかる。
定義 (基本近傍系) ― 
を位相空間とし、xをXの点とし、をxの近傍系とする。の部分集合が以下を満たすとき、をxにおける基本近傍系という：
任意の近傍に対し、あるが存在し、x ∈ B ⊂ N
近傍概念は収束などxの局所的な振る舞いを記述する際に用いられるので、多くの場合全ての近傍を考える代わりに、基本近傍系のみを考えれば十分である。例えば次が成立する：
命題 ― 　
を位相空間の点xにおける基本近傍系とする。このとき、
距離空間においては点xのε-近傍全体が基本近傍系をなすので、上記の定理より、距離空間においては内点、外点といった概念はε-近傍を用いて定義可能である。教科書によっては、このε-近傍を用いた定義を距離空間における内点、外点等の定義として採用しているものもある。
近傍系は以下の性質を満たす：
定義 (ハウスドルフの公理系) ― 
点xの近傍系をで表すとき、Xの任意の部分集合N、N'、Mに対して以下が成立する。
ハウスドルフの公理系を満たす近傍系は位相を特徴づける：
定理 (近傍系による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とし、Xの元にXの冪集合の冪集合の元を対応させる写像
がハウスドルフの公理系を満たしたとする。このときX上の位相構造で位相空間の各点xの近傍がに一致するものがただ一つ存在する。
は具体的には以下のように書ける：
位相空間 収束
本節の目標は、位相空間上での収束概念を定義し、収束概念によってこれまで述べてきた様々な概念を捉え直す事にある。
位相空間における収束概念は、距離空間における点列の収束概念を適切に修正する事により得られる：
位相空間における収束を定義するにあたり、上述の距離空間における収束の定義に２つの変更を行う：
1番目の変更を行うのは、位相空間には距離の概念がないので、そもそもε-近傍を定義できないからである。一方2番目の変更を行うのは、点列の収束概念だけでは位相空間の諸概念を定式化するのに不十分だからである。たとえば距離空間の場合には連続性の概念は
が収束する任意の点列に対して成り立つ事により定式化できるが、一般の位相空間の場合は「任意の点列」ではなく「任意の有向点族」に対してこれと類似の性質が成り立つ事により連続性を定義する必要がある。
なぜなら点列の場合は添字集合が可算なので、点列の概念で連続性を捉え切るには位相空間の方にも何らかの可算性を要求する必要があり（列型空間を参照）、一般の位相空間の連続性の概念を適切に定義するには点列の概念では不足だからである。
なお、位相空間上ではフィルターの収束という、もう一つの収束概念を定式化できる事が知られているものの、収束する有向点族と収束するフィルターとにはある種の対応関係がある事が知られている。詳細は有向点族#フィルターとの関係を参照。
位相空間 収束
すでに述べたように位相空間では点列の概念を一般化した有向点族の概念を定義した上でその収束を定義する。本節では有向点族の定義を与える。その為にまず有向集合の概念を定義する
定義 (有向集合) ― 
空でない集合ΛとΛ上の二項関係「≤ 」の組 (Λ, ≤)が有向集合（ゆうこうしゅうごう、英: directed set）であるとは、「≤ 」が以下の性質を全て満たす事を言う:
なお、有向集合の二項関係「≤ 」は、反射律と推移律を満たすのものの反対称律は満たす必要がないので、前順序ではあるものの順序の定義は満たしていない。
定義 (有向点族) ― 集合X上の有向点族とは、X上の族(xλ)λ∈Λで添字集合Λが有向集合であるものを指す。有向点族はネット (英: net)、 Moore-Smith 列(英: Moore-Smith sequence)、generalized sequenceなどとも呼ばれる。
具体的にはXに値を取る点列や、実数を定義域に持つX値関数fから定義される族がや上に自然な順序を入れた場合に有向点族になるので、これらの収束概念は有向点族の収束概念により定式化できる。
しかしより重要なのは、以下に述べる開近傍系を添字集合に取る有向点族である
命題 (開近傍系を添字集合に取る有向点族) ― 
aを位相空間Xの点とし、をaの開近傍系とする。このとき上の二項関係
位相空間 収束
を入れると、は有向集合である。よってを添え字に取るX上の任意の族はこの二項関係に関して有向点族である。
上の例で特に
を満たす有向点族を考えれば、Uが小さくなればなるほどがaに「近づく」ので、この有向点族が収束概念を考える際に重要な役割を果たす事が了解されるであろう。
また開近傍系は開集合の集まりなので、この有向点族は、これまで開集合の概念を通して定義してきた位相空間の概念と有向点族の収束性の概念との、いわば架け橋として機能し、開集合の概念から収束を定式化したり、逆に収束の概念から開集合を逆に定式化したりする際に役に立つ。
なお上では開近傍系を添字集合とする有向点族について記したが、（開とは限らない）近傍系を添字集合とする有向点族も同様に定義できる。
先に進む前に部分有向点族の概念を定義する。この概念は収束概念を定義する上では使わないが、収束概念を使って位相空間上の他の概念を定式化する際に用いる。
定義 (部分有向点族) ― 
Xを集合とし、X上の有向点族、に対し、以下の性質を満たすh : Γ→Λが存在するとき、はの部分有向点族という：
（2を強共終性(英: strong cofinality)という）
位相空間 収束
上の定義でhが単射である事を要求してない事に注意されたい。これはもしh に単射性を要求すると病的な例（Tychonoff plank）のせいでいくつかの当然と思われる定理が成り立たなくなってしまうからである。
これが原因で、点列を有向点族とみなした場合の部分有向点族は点列になっていない場合もあり得る。実際、をの部分有向点族とすると、h が単射でない事から同じx nが部分有向点族に複数回（場合によっては非可算無限回）登場するかもしれないし、Γも全順序ではないかもしれない。
なお本項に載せた部分有向点族の定義は(Kelly 1975)による。書籍によってはこれとは異なる定義を採用している場合もあるが、こうした別定義とも何らかの意味で同値である事が示されている。
以上の準備のもと、有向点族の収束の概念を定義する。
定義 (有向点族の収束) ― 
を位相空間とする。X上の有向点族がa∈Xに収束するとは、
∀U (a の近傍)
が成立する事をいう。の収束先aが一意であれば、
、
等と表す。
をxの基本近傍系とするとき、以上の定義における「xの任意の近傍U」を「の任意の元U」に変えたとしても定義としては同値になる。
位相空間 収束
よって特に、距離空間から定義される位相空間の場合は、「xの任意のεｰ近傍」としてもよい。従って点列の収束に関しては位相空間におけら収束と本章の冒頭にあげた距離空間における収束の定義は一致する。
一般の位相空間において有向点族の収束の一意性は必ずしも成立しないものの、収束の一意性が保証される必要十分条件は下記のように記述できる事が知られている：
定理・定義 (ハウスドルフ性) ― 
位相空間において、下記の２つの性質は同値である。これらの性質の１つ（したがって両方を満たす事）をハウスドルフ性もしくはハウスドルフの分離公理といい、ハウスドルフ性が成り立つ位相空間をハウスドルフ空間もしくはT2-空間という。
なお、ハウスドルフ性は数ある「分離公理」の一つであり、「T2-空間」という名称も「T1-空間」や「T3-空間」といった他の分離公理と区別するための名称である。詳細は本項の分離公理の説明や分離公理の項目を参照されたい。
有向点族の収束概念を用いると、閉包の概念を収束によって捉え直す事ができるようになる：
定理 (有向点族による特徴づけ) ― 
Aを位相空間Xの任意の部分集合とき、以下が成立する：
上の定理の閉集合に関する部分は以下のように非常に簡単に示せる。他のものの証明も同様である：
（⇒）である事は以下と同値である：
位相空間 収束
a の任意の近傍U に対し、 ...(1)
これはU ∩ A に少なくとも一つ元が存在する事を意味するので、そのような元をx U とすると である事から はA 上にある。しかも前節で述べたように は有向点族でありしかもa に収束する。
（）逆にa に収束するA 上の有向点族(xλ)λ∈Λがあったとすれば、収束性の定義からa の任意の近傍U 内に有向点族の点xλが存在する。しかも仮定からxλ ∈ A でもあったので、これは(1)が成立する事を意味し、したがってである。
距離空間では、点列の収束概念を用いて閉包や閉集合を同様にして特徴づけができる事が知られており、上記の２つの定理はこの特徴づけを一般の位相空間に拡張したものである。しかし一般の位相空間の場合、上記2定理で述べられているように、距離空間と違い「点列」ではなく「有向点族」で特徴づける必要がある。
なぜなら点列の添字が全順序な可算集合であるという制約が原因で、一般の位相空間の性質を記述するには不足であり、点列の概念で閉集合や開集合を特徴づけるには位相空間の方にも可算性に関する条件を満たす必要があるからである。詳細は列型空間を参照されたい。
次に有向点族の二重極限に関する定理を紹介する。後述するように、この定理は有向点族の極限で位相を特徴づける際に役立つ。定理を記述するため、まず有向集合の直積に有向集合構造が入る事を見る：
位相空間 収束
命題・定義 (有向集合の直積) ― 
(Γλ)λ∈Γを有向集合の族とするとき、(Γλ)λ∈Γの集合としての直積
に
という順序を入れると、は有向集合になる。この順序をいれたを
(Γλ)λ∈Γの有向集合としての直積という。
定理 (二重極限の定理（英: Theorem on Iterated limit）) ― 
Λを有向集合とし、各λ∈Λに対し、Γλを有向集合とし、を位相空間とする。
各λ∈Λに対し、有向集合Γλを添え字とするX上の有向点族が、yλに収束するとし、さらに有向点族がzに収束するものとする。
(Γλ)λ∈Λの直積をとし、有向点族を考える（ただしと定める）。
このときはzに収束する。
最後に有向点族による極限概念によって位相が特徴づけられる事を見る：
定理 (極限による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とし、をX上の有向点族とXの点の組からなるクラスとする。
であるときがyに-収束するという事にするとき、以下が成立するとする：
このときX上の位相構造でにおける有向点族の収束が-収束に一致するものが唯一存在する。における閉包作用素は具体的には以下のように書ける：
はyに-収束する
位相空間 連続性と位相同型
本節では位相空間から別の位相空間に向かって定義された関数f: X → Yの連続性の概念を定義する。後述するように位相空間における連続性の概念は、距離空間における連続性の定義で「点列」を「有向点族」に置き換える事で定義可能であるが、近傍や開集合といった、位相空間の概念を使った別定義も可能であり、両者の定義は同値となる。
なお、紛れがなければ、fが2つの位相空間の間の写像である事を強調して、「f: X → Y」ではなく
という表記を用いる事もある。
位相空間X上で定義された関数fの点x∈Xにおける連続性を以下のように定義する。
定義・定理 (一点における連続性) ― 
、を位相空間とし、f: X → Yを写像とし、xをXの点とする。このとき以下の２条件は同値であり、この２条件の一方（したがって両方）を満たすとき、fはx∈Xで連続(英: continuous)であるという。以下ではxの(開とは限らない)近傍全体を表す：
我々はXにハウスドルフ性を仮定していないので、以上の定理で有向点族の収束の一意性が保証されていない事に注意されたい。
(⇒)背理法で示す。でとなるものがあったとすると、近傍の定義よりxを含む任意の開集合Uに対し、の点xUが存在する。xの開近傍系をとすると、収束の定義より有向点族はxに収束する。よって仮定よりはf(x)に収束する。
位相空間 連続性と位相同型
Nはf(x)の近傍であったので、あるf(x)の開近傍Vが存在し、V⊂Nである。はf(x)に収束するので、xU⊂Vを満たすxUが存在する。
しかしxUの取り方よりであったので、であり、よって特にであるのでこれは矛盾である。
()有向点族がxに収束するとする。
を任意に取ると、仮定よりf-1(N)はxの近傍であるので、有向点族がxに収束するから、あるλ0∈Λが存在し、を満たす任意のλ∈Λに対し、xλ∈f-1(N)であり、よってf(xλ)∈Nである。これは有向点族がf(x)に収束する事を意味する。
関数が定義域上の任意の点x∈Xで連続であるとき、fは定義域の全点で連続、あるいは単に連続であるという。fの連続性は以下のようにも特徴づける事ができる。
定理 (連続性の特徴づけ) ― 
を位相空間から位相空間への関数とするとき、以下は同値である。
これまで説明してきたように、連続性と収束性は、位相空間で定義可能な代表的な性質である。しかしこれらを強めた概念である一様連続性と一様収束性は、位相のみをベースにして定義する事はできない。
これらの概念は、距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念である一様空間で定義可能である。
位相空間 連続性と位相同型
定義 (位相同型) ― 
、を位相空間とし、f : X → Y を写像とするとき、f が同相写像であるとは、f が全単射で、しかもf と f−1 が両方とも連続であることをいう。
また、X、Y 間に同相写像が存在するとき、、は位相同型もしくは同相であるという。
位相同型性は、位相空間のクラスにおける同値関係であることを簡単に確認できる。
位相空間論や、その応用分野である位相幾何学では、「位相同型で不変」(位相不変性)な性質(位相的性質)を探ったり、そうした性質により、空間を分類する。
位相不変な性質の中には位相不変量と呼ばれる、位相空間の性質によって決まる「量」がある。
χが「位相不変量」であるとは、以下の性質を満たすことを言う
X と Y が位相同型⇒χ(X )=χ(Y )
これの対偶をとると、
χ(X )≠χ(Y )⇒ X と Y が位相同型でない
したがって位相不変量に着目することで、二つの空間を位相的に分類することができる。
簡単な位相不変量として、位相空間の「連結成分数」がある。本項では、連結成分数の厳密な定義は割愛するが、直観的にはその名の通り、「繋がっている部分の数」である。以下のX では連結成分数が1なのに対し、Y では連結成分数が2である。従ってX と Y は位相同型ではない。
X = [0,1]
Y = [0,1]∪[2,3]
（ただし、ここで[,]とは実数のユークリッド距離による位相の、部分位相をもつ閉区間である）
位相不変量は、位相空間論の応用分野である位相幾何学で主要な役割を果たし、特にホモロジー群やホモトピー群のような代数的な不変量は代数的位相幾何学の研究対象である。
位相空間 位相の比較、生成
定義 (位相の比較) ― 
集合X 上で定義された2つの位相空間、を考える。
が満たされるとき、はよりも弱い（英: weak）といい、
はより強い（英: strong）という。
これはすなわち、の開集合は必ずの開集合である事を意味する。
弱い/強いのかわりに粗い/細かい(英: coarse/fine)、小さい/大きい(英: small/large)という言葉を使うこともある。
がよりも粗い必要十分条件は、恒等写像
が連続な事である。したがってで収束する有向点族はでも収束するが、逆は必ずしも成立しない。
本節ではXのべき集合の任意の部分集合から作る方法を述べる。
定義・定理 (位相の生成、準開基) ― 
Xを集合とし、を任意の集合族とする。このとき、X上の位相
を満たすものの中で最も弱いものが存在する。このを、を含む最弱の位相（英: weakest topology）といい、はを生成する（英: generate）という。
また位相空間において、がを生成するとき、をの準開基（じゅんかいき, 英: open subbase）という。
以上で我々は、準開基の抽象的な定義を与えたが、準開基の概念をより具体的な形で与えることもできる。そのための準備として、まず準開基の関連概念である開基について述べる。
定義 (開基) ― 
を位相空間とし、とする。
位相空間 位相の比較、生成
以下が満たされるとき、はの開基（かいき, 英: open base、open basis）であるという。
任意の開集合(≠)はの元の(有限個または無限個の)和集合として書き表せる。すなわち
開基の概念を用いると準開基を具体的に書き表す事ができ、 が の準開基である必要十分条件は、 の元の有限個の共通部分の全体の集合
が、の開基をなすことである。
の開集合は開基の和集合で書き表せるので、以上の事からの開集合は準開基の有限積集合の（有限または無限）和集合として書き表せる。
開基の概念は、基本近傍系の概念と以下のような関係がある：
命題 (開基と基本近傍系の関係) ― 
位相空間の各点xに対し、開集合からなる基本近傍系が定義されているとき、
はの開基である。またをの開基とすると、
はxの基本近傍系である。
Xが距離空間の場合はxのε-近傍がxの基本近傍系をなしていたので、は開基をなす。
最後に、開基の概念で位相空間を特徴づける方法を述べる：
定理 (開基による位相の特徴づけ) ― 
Xを集合とする。このとき、が何らかの位相の開集合系の開基である必要十分条件は、以下の条件を満たすことである：
弱い/強いを位相の間の順序関係とみなすと、X上の位相の集合
は位相空間
は順序集合になる。
この順序集合は完備束であり、
が生成する位相)
である。最も弱い位相は密着位相、最も強い位相は離散位相である。
位相空間 位相空間の導出
すでにある位相空間を加工して、別の位相空間を作る方法を述べる。
位相空間を加工する上で基本となるのは、「逆像位相」と「像位相」の概念、おそびそれらの拡張概念である「始位相」と「終位相」である。
逆像位相と像位相、始位相と終位相は互いに双対の関係にあり、写像の向きを逆にすることでもう片方の概念を定式化できる。なお始位相と終位相はそれぞれ圏論における始リフト、終リフトの例のになっている。
まず始位相の概念を以下のように定義する：
定義 (始位相) ― 
Xを集合とし、を位相空間の族とし、写像
の族を考える。
このとき、全てのを連続にする最弱の位相をXの始位相という。
始位相の特殊な場合として、以下のものが重要である。以下でXは集合である。
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
上述の定理の直積位相の箇所に関して、Λが有限集合のときは、「有限個のλを除いて…」という条件がいらなくなるので簡単であるが、Λが無限集合のときは注意が必要である。例えばをの(可算)無限個のコピーとし、をの無限個のコピーとするとき、直積
位相空間 位相空間の導出
は直積位相に関して
の開集合ではない。実際、前述の「有限個を除いて…」という条件を満たしておらず、条件をみたすものの和集合としても書けないからである。これに対し直積空間にはをも開集合とする位相も定義可能である：
定義 ― 位相空間の族に対し、
を開基とするの位相を箱型積位相という。
箱型積位相は直積位相より強い（弱くない）位相である。
まず始位相と双対的に終位相を定義する：
定義 (終位相) ― 
Xを集合とし、を位相空間の族とし、写像
の族を考える。
このとき、全てのを連続にする最強の位相をXの終位相という。
終位相の特殊な場合として下記のものを定義できる。これらは逆像位相、部分位相、始位相、直積位相と双対的に定義したものである。以下でXは集合である：
これらはより具体的に書き表す事が可能である：
定理 ― 上の定義と同様に記号を定義するとき、
位相空間 位相的性質
位相空間の定義それ自身は可能な限り一般的に定義されているため、個々の応用では位相空間にプラスアルファの性質を付け加えたものを考えることが多い。
本節では、そうしたプラスアルファの性質のうち代表的なものを紹介する。
分離公理とは、位相空間 X 上の2つの対象(点や閉集合)を開集合により「分離」(separate)する事を示す一連の公理、もしくはそこから派生した公理である。
代表的な分離公理としてハウスドルフの分離公理があり、これは以下のような公理であり、前述のようにこれは有向点族の収束の一意性と同値である。
X 上の相異なる2点 x、y に対し、x、y の開近傍 U、V があり、である。
ハウスドルフの分離公理は、直観的には点 x と y が開近傍という位相的な性質を利用して「区別」(separate) できる事を意味している。すなわちX の位相は点の区別が可能なほど細かい事をこの公理は要請している。
他にも下記のような分離公理がある：
連結性とは、直観的には位相空間が「ひとつながりである」
という性質である。閉区間 [0,1] は連結性をもつ（連結である）が、二つの交わらない閉区間を合併した  という位相空間は連結ではない。
の有界閉集合は位相空間論的に「性質の良い」空間でXをの有界閉集合とすると、例えば以下が成立する事が知られている：
位相空間 位相的性質
このような「性質の良い」空間を一般の位相空間に拡張して定義したものがコンパクトの概念である。
ただし、「の有界閉集合」という概念自身は、「有界」という距離に依存した概念に基づいているため、一般の位相空間では定義できず、別の角度からコンパクトの概念を定義する必要がある。
そのために用いるのがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理とハイネ・ボレルの被覆定理である。これらの定理はいずれも「の有界閉集合であれば◯◯」という形の定理であるが、実は逆も成立する事が知られており、においては
の３つは同値となる。しかも上記の２，３はいずれも位相構造のみを使って記述可能である。
したがって２もしくは３の一方を満たす（同値なので実は２，３の両方を満たす）事をもってコンパクト性を定義する。ただしテクニカルな理由により、上記の２に関しては若干の補正が必要になり、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理の結論部分における「点列」を「有向点族」に置き換える必要がある。詳細はコンパクト空間を参照。
位相空間X において可算公理は、X の位相的な対象(近傍系、開集合)が可算なものから生成されることを意味し、可算公理が成立する空間では、非可算特有の難しさを回避できる場合がある。
可分もこれと類似したモチベーションのもと定義される。
位相空間 位相的性質
厳密な定義は以下の通りである
以下が成立する：
しかし距離空間は第二可算公理を満たすとは限らない。
距離空間においては第二可算公理を満たす事と可分な事は同値である。
有限次元のユークリッド空間(あるいはより一般に多様体)は第二可算公理を満たす。(距離化可能なので可分でもある)。
一方、ユークリッド空間の「無限次元版」であるヒルベルト空間は距離空間であるが第二可算公理を満たすとは限らない。
しかし通常は第二可算公理を満たすヒルベルト空間のみを考えることが多く、そのようなヒルベルト空間は全て同型で、しかもそのようなヒルベルト空間にはベクトル空間としての可算基底が存在する事が知られている。
距離空間は自然に位相空間になるが、では逆に位相空間がどのような条件を満たせば距離空間になるであろうか。
すなわち、位相空間 が距離化可能であるとは、X 上の距離 d が(少なくとも一つ)存在し、d がX 上に定める位相がと一致する事を言う。
学部レベルの教科書には距離化可能性の十分条件であるウリゾーンの距離化可能定理が載っていることが多いが、現在は距離化可能性の必要十分条件である長田＝スミルノフの距離化定理やビングの距離化定理が知られている。
位相空間 発展的なトピック
、 を位相空間、  を  から  への連続写像全体とする。このとき に対し、 を
とより定義する。
このとき {W(K, O) : K は X のコンパクト部分集合、} を準開基とする位相を  のコンパクト開位相（英: compact-open topology）という。
連続体（れんぞくたい、英: continuum）とは、空でないコンパクト連結距離空間、あるいはより一般にコンパクト連結ハウスドルフ空間のことを言う。
ユークリッド空間上の閉曲面は連続体となるが、連続体論ではこのような「常識的な」空間に留まらず幅広く連続体一般を研究する。
具体的にはヒルベルト空間の無限次元部分集合であるにもかかわらずコンパクトな ヒルベルト立方体
、
フラクタル図形のシェルピンスキーのカーペット、ホモトピー群は自明となるが可縮空間ではないワルシャワの円などが研究対象となる。
学部レベルの位相空間論で登場する概念の多くは、曲面のような「常識的な」空間における性質を抽象したものである。
しかし完全不連結性はこうした範疇から外れた性質で、位相空間 X 上の連結部分集合は空集合、全体集合、および一点集合に限られる事を意味する。
位相空間 発展的なトピック
完全不連結な空間の例としては有理数の集合がある。
しかし完全不連結な空間はのように距離空間として完備ではないものに限らない。
カントール集合(に実数体から誘導される距離をいれたもの)は、完備距離空間でありながら完全不連結な空間の例となっている。
実はカントール集合はこのような空間の典型例の一つであり、以下の性質を満たす空間(カントール空間)は必ずカントール集合と位相同型になることが知られている(ブラウワーの定理)：
孤立点を持たない非空の完全不連結コンパクト距離化可能空間
位相空間X がベール空間であるとは、X 上の稠密開集合の可算個の共通部分が必ず稠密になることを言う。
完備疑距離空間の開集合はベール空間になる(ベールの第一範疇定理)。
また局所コンパクトハウスドルフ空間もベール空間になる(ベールの第二範疇定理)。
ベールの範疇定理は関数解析学において、開写像定理や閉グラフ定理を証明するのに用いられる。
を位相空間とする。このとき有限個の開集合  に対し、集合族  を
と定義する（ただし  は  の閉集合全体）。このとき  を開基とする  上の位相をヴィートリス位相（英: Vietoris topology）と呼び、ヴィートリス位相の入った  及びその部分空間を冪空間（英: powerspace）または超空間（英: hyperspace）という。
位相空間 発展的なトピック
集合論的位相空間論とは、位相空間上の性質がZFCと独立かどうかを主題する分野である。
位相ゲームとは、2人のプレイヤーにより位相空間上で行われるゲームで、プレイヤー達が自分の手番のとき、何らかの位相的な対象(開集合や閉集合など)を指定する事でゲームが進んでいく。
位相空間上の様々な性質、例えばベールの性質が位相ゲームのゲーム理論的な性質と関連する(バナッハ・マズール・ゲーム)。他にも完備性、収束性、分離公理といったものもゲーム理論的な性質と関連する。
代数的な演算が定義された位相空間X は、その演算の作用がX 上連続になるとき、演算と位相は両立するという。
そのような例として代表的なものには位相群、位相環および位相体、位相線型空間などがある。
位相空間 歴史
集合論の創始者ゲオルク・カントールはユークリッド空間の開集合や閉集合などについても研究したが、これが位相空間の研究のはじまりである。カントールの行ったような位相空間の古典的な研究は、点集合論と呼ばれる。その後、モーリス・フレシェはユークリッド空間から離れて距離空間において極限の概念を考察し、さらにその後フェーリクス・ハウスドルフ、カジミェシュ・クラトフスキらによって、次第に現代のような一般の位相空間の形に整えられていった。
デルタロケット
デルタ (Delta) ロケットは、アメリカ合衆国で開発・運用されている人工衛星打ち上げ用中型ロケット。40年以上の長きに渡って改良を加えつつ打上げが継続されている。最新のデルタIVシリーズは第1段が新設計された大型ロケットであり、2002年に初飛行し、2004年12月にはHeavyコンフィギュレーションの機体が初飛行した。
デルタロケット 歴史
デルタは元々ソー中距離弾道弾 (IRBM) を基に二段式打上げロケットへと発展させたソーロケットシリーズが母体になっている。「デルタ」はソーの2段目（のひとつ）の名称であり、本来は「ソー・デルタ」だったが、アメリカ航空宇宙局 (NASA) が非軍事用の打上げに用いる際にデルタと改称したものである。製造はダグラス社（後のマクドネル・ダグラス社。現在はボーイング社に吸収されている）。
初飛行は1960年で、この時は失敗したが以後順調に成功を収め、改良型がデルタA-Nまで様々な形態で用いられた。さらに、デルタ0300・1914・2914などのモデルが続いたが、スペースシャトルの就役により1980年代中盤に一旦生産が打ち切られた。
しかし、1986年1月28日のチャレンジャー号爆発事故によりシャトルの運用が中断、シャトルによる民間衛星の打上げも以後中止されたため、デルタの開発・生産が再開された。この結果、デルタII（デルタ2）と呼ばれる一連のシリーズ（6900/7900番台）が誕生し、1989年から運用開始され、現在に至っている。
デルタロケット 歴史
1960年以来デルタの1段目は、エンジンこそLR79-7→MB3-1→MB3-3→RS-27 (A/C) と変わったものの、一貫して推進剤に液体酸素/ケロシンを使った液体燃料ロケットエンジンを用いている。1段目の直径は2.4 mであるが、長さは燃料タンクの増量に伴い何度か延長されている。
第2段とストラップ・オン・ブースターを増強することで能力を倍増させたデルタIIIが開発されたが、失敗が続いたために信用を築くことができず、また後継のデルタIVの完成が近づきデルタIIIを存続させる意義が失われたため、3号機の打ち上げをもって退役する運びとなっている。
新設計した第1段とデルタIIIの第2段を組み合わせたデルタIVシリーズは、中量級の機体が2002年11月と2003年3月に打上げに成功し、重量級も2004年12月と2009年1月に打ち上げられた。エンジンのバルブ、熱交換器、第2段液体水素タンクを三菱重工業が、酸化剤タンクをボーイングが、それぞれ製造している。
デルタロケットは、これまでにシリーズを通して300機近い打上げが行われている。最新のデルタIVシリーズは、アメリカの軍事衛星、アメリカ国家偵察局（NRO）やアメリカ航空宇宙局 (NASA) などの各政府機関の衛星を打ち上げるために開発されたもので、同趣旨で開発されたアトラスVと共に、軍事衛星などの打ち上げの中核をなしてきた。
日本のN-IおよびN-IIロケットはデルタの技術を導入して作られており、主要部分は米国製である。H-Iについても1段目はデルタ用の主エンジンと固体燃料ロケットブースターを使用しており、米国製技術の割合が高い（詳細は各ロケットの項目を参照）。
デルタロケット 形式・構成
MB-3 ブロック II エンジンを備える。推力が従来の680 kNから760 kNに増強された。
13号機でEPE2、14号機で EPE3を打ち上げた。
15号機によって1962年12月13日NASAの2番目の通信衛星であるリレー 1が打ち上げられた。NASAにとって最初の能動的な衛星だった。
16号機によって1963年2月13日17b射場からシンコム1号が打ち上げられた。チオコール製のスター13B固体燃料ロケットが軌道投入に使用された。
1963年7月26日、シンコム2号が太陽同期軌道へ投入されたがデルタロケットの性能の制約により軌道が33°傾斜した。
試験的に太陽観測衛星OSO-4を打ち上げた。
25号機は1964年8月19日.最初の静止通信衛星であるシンコム 3号を打ち上げた。30号機は1965年4月6日にインテルサット1号を打ち上げた。
1965年11月6日に最初のデルタEによって気象衛星GEOS 1が打ち上げられた。
製作されなかった。
1号機が1966年12月14日. 生物衛星1号の打ち上げに使用された。2号機が1967年9月7日. 生物衛星2号の打ち上げに使用された。
製作されなかった。
デルタロケット 形式・構成
1969年から1978年にかけてソーデルタはNASAでもっとも多く打ち上げられたロケットで計84回打ち上げられた（スカウトは2番目に多く打ち上げられたロケットで32回打ち上げられた）。
NASAは自身の衛星を打ち上げるだけでなく、同様に政府の他の機関や外国政府の人工衛星の打ち上げも実費で打ち上げを行った。NASA以外の63機の衛星がNASAによって打ち上げられた。84機以外に7機が失敗、若しくは部分的失敗だった（成功率は91.6%だった）。
以後4桁の数字で構成を表す方式になった。
4桁目 (1000位）: 1段目コアステージ構成
3桁目 (100位) : 1段目固体ブースタ個数 (0/3/6/9)
2桁目 (10位) : 2段目構成
1桁目 (1位) : 3段目構成
0300, 0900
1604, 1900, 1910, 1913, 1914
2310, 2313, 2410, 2910, 2913, 2914
3910, 3913, 3914, 3920, 3924
4925, 5920
1972年7月23日、ランドサット1号の打ち上げで初めて固体燃料補助ロケットを9本備え、2段目には改良されたAJ10-118Fを備えた仕様で打ち上げられた。このソー・デルタの機種は904として識別される。
デルタロケット 形式・構成
デルタIIシリーズはデルタ6000とデルタ7000の2種類の派生機種（軽量級と重量級）から構成される。
1986年のチャレンジャー号爆発事故によりデルタロケットの打ち上げが継続されるようになりデルタIIが開発された。
6925
7000シリーズは3段目を持たず固体燃料補助ロケットが少ない（3本か4本）。通常はNASAの小型の衛星の打ち上げに使用された。
7320, 7326, 7425, 7920, 7925
デルタ II 792X はデルタIIIからの増強されたGEM-46固体燃料補助ロケットを備える。
マクドネル・ダグラス/ボーイングはデルタIII (デルタ3) は大型化する人工衛星の需要に対応するため外形4mのフェアリングを装着したもので、全長を抑えるために1段目の燃料タンクを4mと大型化した先太な外観が特徴である。さらに、固体ブースターもGEM（グラファイトエポキシモーター）に大型化して推力を増し、2段目も液体酸素・液体水素を推進剤とするRL-10B-2型に変更され、LEOに8,292kg、静止トランスファ軌道 (GTO) に3,810kgのペイロードを投入可能である。
1998年8月・1999年5月と打上げに失敗して商用衛星を喪失したため、改めて2000年8月に打上げを行い、試験用ペイロードを中高度の軌道に投入することに成功した。
デルタロケット 形式・構成
2段式の上段は燃料効率が低いので単段の液体水素燃料上段に更新し、性能を向上して固定費と射場での工数を削減した。エンジンはセントール上段ロケットで使用されているプラット&ホイットニーのRL-10を備えた。水素燃料タンクの直径は4mでオレンジ色の断熱材が露出しており、より細い液体酸素タンクとエンジンは点火時まで覆われている。燃料タンクは日本の三菱重工業で製造された。
デルタIIIの打ち上げは最初の2回は失敗し、3回目だけが模擬衛星を軌道へ投入した。
アメリカ空軍の発展型使い捨てロケット (Evolved Expendable Launch Vehicle: EELV) 計画の一環としてマクドネル・ダグラス/ボーイングはデルタIVを提案した。部材や技術を既存の機種から流用する事が計画の狙いでボーイングとロッキード・マーティンはそれぞれのEELVを開発した。デルタIVはアラバマ州Decaturの新工場で生産される。
デルタロケット 形式・構成
デルタIVは、デルタIIIまでの直径2.4mでLox/ケロシン燃料の一段目と全く異なる。新設計の直径5.1mもある1段目コアステージ（共通コアブースタ、CBC）は、1970年代のスペースシャトルの主エンジン以来となる新規開発の液体酸素/液体水素を推進剤としたRS-68型液体燃料ロケットエンジンを採用した。このエンジンはコスト低減に主眼が置かれ、低圧の燃焼室圧力、単純な構造のノズルを特徴としている。燃焼室とノズルの上部はソビエト連邦で開発されたチャンネルウォール構造を取り入れている。ノズル下部はアブレーションによる冷却を用いている。また、2段目はデルタIIIと同じRL10B-2型液体燃料ロケットエンジンである。打ち上げ塔の配管や電気回路の必要性が取り除かれた。ペイロードにあわせ3種類5形式の構成が可能で、CBCだけの中型から、デルタIIIよりさらに大型化した直径60インチの固体燃料ブースター (GEM-60G) を装着した中量級3形式、1段目にCBCを3本束ねた重量級がある。これにより静止トランスファ軌道 (GTO) に対するペイロードは4,210kgから13,130kgまでの質量に対応する。
デルタロケット デルタロケットの番号システム
1972年、マクドネルダグラスは4桁の番号を従来の名称の代わりに導入した。新しいシステムではデルタロケットの新しい改善や変更により良く対応する事が出来る。(そして枯渇するアルファベットの問題も解決できる)1桁目はタンクとエンジンの形式、2桁目は固体補助燃料ロケットの数、3桁目は2段目、4桁目は3段目をあらわす。
この番号システムは2005年に新しいシステムが導入された事により廃止された。実際には、このシステムは使用されていない。
PGM-17 ソー
PGM-17 ソー(Thor)は冷戦期の、核弾頭を搭載可能な射程2,400kmのアメリカ合衆国の準中距離弾道ミサイル (MRBM) である。アメリカ空軍のほか、イギリスにも配備され、イギリス空軍 (RAF) によっても運用されたが、キューバ危機後に撤去された。
「Thor」とは北欧神話の雷の神「トール」のことであり、英語では「ソー」もしくは「ソァ（ソア）」と発音する。
PGM-17 ソー 概要
ソー弾道ミサイルは1段式の液体燃料ロケットである。酸化剤には液体酸素、燃料にはケロシンを用いている。ソー弾道ミサイルを1段目に用い、2段目以降を追加したソーは、打ち上げロケットシリーズとして様々な構成で開発・使用され、後にデルタロケットに改称のうえ発展している。
ソーの開発は1954年から開始された。1955年にダグラス社が担当となり、XSM-75の名称で開発されることとなった。1957年1月25日にはケープカナベラル空軍基地で試射が行なわれた。1958年から部隊配備が開始された。
ソー・ミサイルは地上配備であり、水平状態で保管され、発射時に垂直に立てられ打ち上げられた。発射に際しては燃料充填など15分ほどの準備時間を要した。ミサイル先端にMk2再突入体があり、W49核弾頭（核出力1.45MT）を搭載している。
PGM-17 ソー 概要
最大射程は約2,400kmほどであるため、ソ連中枢部を射程内に入れるためにイギリス本土に発射基地を設ける必要があった。イギリスには最大60基ほどが展開し、イギリス空軍の20個中隊にミサイルが配備されていた。キューバ危機の影響やアトラスなどの大陸間弾道ミサイルが実用化されてきたことに伴い、1963年には退役した。このほか、プログラム437の名称で、ジョンストン島に衛星攻撃兵器としてソー・ミサイルが配備されていた。人工衛星を核攻撃する目的のものであり、これだけは1975年まで配備が継続された。
デルタ
デルタ (希: Δ, δ, δέλτα, 英: Delta) は、ギリシア文字の1つ。
三角州
三角州（さんかくす、三角洲とも）とは、河口付近において、河川によって運ばれた物質が堆積することにより形成された地形である。河口において河川流が分流し、枝分かれした分流路と海岸線のなす形がギリシア文字のデルタ（Δ）に似ていることから、デルタ（英語: delta）とも呼ばれる。
三角州 概説
河川の上流から流れてきた砂などが堆積することにより形成される。大河の場合は河口に複数の三角州が形成されることもあり、それらを総体的にデルタまたは三角州と呼ぶこともある。
河口付近で流速が急激に遅くなるとき、土砂が堆積しやすくなるため、中洲が形成される。河口付近の潮流によって中洲が削られ、複雑な地形を形成することがある。
形成の条件は、河川からの十分な量の土砂供給があること、河口付近の海底地形が土砂を堆積できる形態であること、河口付近の潮流が土砂を侵食し過ぎないことである。河川からの土砂の供給量が十分でないときは、三角江を形成することがある。
一般にモンスーンアジアの河川は傾斜が急で流量も大きいため、河川の運搬作用が大きく、河口に三角州を形成している場合が多い。モンスーンアジアで三角州は主に水田に利用されている。
三角州 種類
三角州の形態は、単純なデルタ状に留まらず、様々な種類がある。以下ではそのうち特にありふれた3つを示すが、すべての三角州が以下の3つに分類できるわけではない。
沖合の潮流と、河川からの土砂の供給量がうまく釣り合っているときに形成される。代表例としては、ナイル川デルタ、ニジェール・デルタなどがある。
土砂が堆積しやすく、潮流によって中洲が削られない場合に形成される。すなわち、形成されるのは、遠浅で潮の流れが遅い場所であり、代表例としては、ミシシッピ川デルタがあげられる。
尖状三角州ともよばれる。河口が尖っているような三角州のことで、川によって運ばれた土砂がよく削られる場合に形成される。このとき河口付近では土砂が堆積するが、そのまわりでは削られるため、尖った形の三角州が形成される。代表例としては、テヴェレデルタがあげられる。
三角州 日本の三角州
日本を代表する規模の大きな三角州の街は、淀川とその支流からなる三角州に形成された大阪市をはじめ、福岡市や広島市も三角州に街が形成されており、阿武川とその支流からなる三角州の萩市など、三角州の街は多い。
箇所
ガリウム
ガリウム (英: gallium [ˈɡæliəm]) は原子番号31の元素で、元素記号は Ga である。ホウ素、アルミニウムなどと同じ第13族元素に属する。
ガリウム 名称
命名には2つの説がある。一つは、ガリウムの発見者であるボアボードランがこの新しい元素を母国フランスのラテン名「ガリア (Gallia)」にちなんでガリウムと命名したとする説、もう一つはボアボードランのミドルネームである “Lecoq” から関連付けて、フランス語で雄鶏を意味する “le coq” のラテン語である gallus から付けられたとする説である。ただし、後者は1877年に本人によって否定されている。
ガリウム 歴史
ドミトリ・メンデレーエフが1870年に周期表を発表した際、「エカ＝アルミニウム (eka-alminium)」として予言した元素である。メンデレーエフはこの元素の原子量や比重などを予測した。
1875年にポール・ボアボードランがピレネー山脈産の閃亜鉛鉱を分光法によって分析した際、特徴的な2本の紫色の光線として発見した。また、同年ボアボードランは溶融させた水酸化カリウムに水酸化ガリウム(III) を加えて溶融塩電解することによって金属ガリウムを得ることに成功している。メンデレーエフの予測した密度の理論値5.9は、実測値である5.94と非常に一致しているなど、予測された多くの物性は非常に密接に実測値と一致していた。この「エカ＝アルミニウム」の予測物性と「ガリウム」の実測物性の近似は、当時評価を受けていなかったメンデレーエフの周期表が注目を浴びるきっかけとなった。
ガリウム 性質
圧力、温度によっていくつかの安定な結晶構造がある。常温、常圧では斜方晶系が安定（比重 5.9）で、青みがかった金属光沢がある金属結晶である。融点は 29.8 °C と低いが、一方、沸点は 2403 °C（異なる実験値あり）と非常に高い。酸にもアルカリにも溶ける両性である。価電子は3個 (4s, 4p) だが、3d軌道も比較的浅いところにある。
また、水と同じように、液体の方が固体よりも体積が小さい異常液体である。ガリウムは固体から液体になると、その体積が約3.4%減少する。そのため金属のガリウムをガラス容器に保管すると相転移に伴う体積変化によって容器が破損するため、通常はポリ容器に保管される。
単体のガリウムは自然では産出しないが、溶解製錬によって簡単に得ることができる。高純度の金属ガリウムは光沢のある銀色であり、固体金属の断面はガラスに似た貝殻状断面となる。また、鉱酸によって徐々に溶解する。金属ガリウムは非常に柔らかく、モース硬度は1.5である。液体から固体へと相転移する際に体積が3.2%増加する。これは、固体状態において分子間結合を形成する物質の典型的な現象である。そのため、金属やガラス容器での保管はガリウムの固化による容器破損を防ぐために避けられる。ガリウムのように液体の方が固体よりも高密度な材料は、ケイ素、ゲルマニウム、ビスマスおよび水のような限られたもののみである。