تفرد بي كي إل تطور متري
(تكامله على x + أو x - ينتج عنه الدالة w ( x ) eq. 74 ). تم استخدام تقليل التحول إلى رسم الخرائط واحد لواحد بالفعل بواسطة تشيرنوف وبارو  وحصلوا على صيغة على شكل eq. 79g لكن للمتغيرات الأخرى ؛ ورقتهم لا تحتوي على تطبيقات للمشكلات التي تم النظر فيها في صيغة خلاتنيكوف.
eq. 79g يتم التحقق منها أيضًا عن طريق الحساب المباشر؛ اليعقوبي من التحول eq. 79e هو
بواسطة eq. 79d δ s من حيث الكميات العشوائية x + و x -، تتيح معرفة التوزيع المشترك بينهما حساب التوزيع الإحصائي P (δ) من خلال دمج P ( x +، x - ) على أحد المتغيرات بقيمة ثابتة δ. بسبب تناظر وظيفة eq. 79g فيما يتعلق بالمتغيرات x + و x -، P () = P (1 - δ)، أي أن الوظيفة P (δ) متناظرة بالنسبة للنقطة δ = 1/2. ثم
عند تقييم هذا التكامل (لـ 0 δ ≤ 1/2 ثم الاستفادة من التناظر المذكور أعلاه)، أخيرًا
القيمة المتوسطة  = 1/2 بالفعل نتيجة لتماثل الوظيفة P (δ). وبالتالي، فإن القيمة المتوسطة للسعة الأولية (في كل عصر) للتذبذبات للوظائف α، β، تزداد مثل Ω / 2.
تم العثور على علاقة ذات دلالة إحصائية بين فترات زمنية كبيرة Ω وعدد من عصور الصورة الواردة فيها من خلال تطبيق المتكررة من eq. 77 :
ومع ذلك، فإن حساب المتوسط المباشر لهذه المعادلة لا معنى له: بسبب الانخفاض البطيء في الوظيفة W ( k ) eq. 76، فإن متوسط قيم كمية exp ( s ) غير مستقرة بالمعنى أعلاه - تزداد التقلبات بسرعة أكبر من متوسط القيمة نفسها مع زيادة منطقة المتوسط. يتم التخلص من عدم الاستقرار هذا بأخذ اللوغاريتم: الفاصل الزمني "اللوغاريتمي المزدوج"
يتم التعبير عنها بمجموع الكميات ξ ( p ) التي لها توزيع إحصائي ثابت. متوسط قيمة τ هو  . لكي يحسب  لاحظ أن eq. 77 يمكن إعادة كتابة eq. 77
للتوزيع الثابت  وبفضل تناظر الوظيفة P (δ) أيضًا  . لذلك
الذي يحدد وقت مضاعف لوغاريتمي يعني الفاصلة التي تحتوي على الصورة العصور المتعاقبة.

للقيم والصور الكبيرة عدد من المصطلحات في eq. 81 كبير ووفقًا للنظريات العامة لنظرية إرغوديك، يتم توزيع قيم τ s حولها  وفقًا لقانون جاوس مع الكثافة
يعد حساب التباين D τ أكثر تعقيدًا لأنه ليس فقط معرفة  و  هناك حاجة أيضا ولكن أيضا من الارتباطات  . يمكن تبسيط الحساب عن طريق إعادة ترتيب المصطلحات في مجموع eq. 81 . باستخدام eq. 81a يمكن إعادة كتابة المجموع كـ
لا يزيد المصطلحان الأخيران مع زيادة s ؛ هذه الشروط يمكن أن يتم حذف مثل القوانين التي تحد عن الصورة الكبيرة هي التي تسيطر. ثم
( eq. 79d for p في الاعتبار). إلى نفس الدقة (أي حتى الشروط التي لا تزيد مع ق ) المساواة
من خلال جمع هذه الهوية على p eq. 82c تم الحصول على eq. 82c أخيرًا مرة أخرى بنفس الدقة  تم تغييره لـ x p تحت علامة الجمع وبالتالي يمثل τ s كـ
يؤخذ في الاعتبار أنه بحكم التجانس الإحصائي للتسلسل X فإن الارتباطات  تعتمد فقط على الاختلافات | ع - ع ′ القيمة المتوسطة  ؛ المربع المتوسط
من خلال مراعاة قيم العلاقات المتبادلة  مع p = 1، 2، 3 (محسوبة عدديًا) يتم الحصول على النتيجة النهائية D τ s = (3.5 ± 0.1) s .
إلى زيادة الصورة تذبذب نسبي  يميل إلى الصفر مثل s −1/2 . بمعنى آخر، العلاقة الإحصائية eq. 82 يصبح شبه مؤكد في الصورة الكبيرة. وهذا يجعل من الممكن عكس العلاقة، أي لتمثيل أنها اعتماد متوسط عدد عصور الصورة τ التي يتم تبادلها في τ فترة معينة من الوقت لوغاريتمي مزدوج:
التوزيع الإحصائي للقيم الدقيقة لـ Sτ حول المتوسط هو أيضا التمويه مع الفرق والتباين
يتم إعطاء التوزيع الإحصائي المعني بنفس التوزيع الغوسي حيث يكون المتغير العشوائي الآن s τ عند معين τ:
من وجهة النظر هذه، فإن مصدر السلوك الإحصائي هو التعسف في اختيار نقطة البداية للفاصل τ المتراكب على التسلسل اللانهائي للعصور المتغيرة.
فيما يتعلق بكثافة المادة، eq. 79 يمكن إعادة كتابتها مع حساب eq. 80 في النموذج
وبعد ذلك، لتغيير إجمالي الطاقة خلال الصورة العصور،
المصطلح الذي يحتوي على مجموع بواسطة p يعطي المساهمة الرئيسية لهذا التعبير لأنه يحتوي على أس ذو قوة كبيرة. ترك هذا المصطلح فقط ومتوسط eq. 87، يحصل المرء على التعبير في جانبه الأيمن  الذي يتزامن مع eq. 82 ؛ جميع المصطلحات الأخرى في مجموع (أيضا حيث مع η ليالي في صلاحياتهم) تؤدي فقط إلى التصويبات من النظام النسبي 1 / ثانية. وبالتالي،
بحكم الطابع شبه المؤكد للعلاقة بين τ s و s eq. 88 يمكن كتابة eq. 88
الذي يحدد قيمة اللوغاريتم المزدوج لزيادة الكثافة التي تراوحت بحسب الفترات الزمنية المزدوج لوغاريتمي نظرا τ أو عدد معين من عصور الصورة.
توجد هذه العلاقات الإحصائية المستقرة خصيصًا للفترات الزمنية اللوغاريتمية المزدوجة ولزيادة الكثافة. بالنسبة للخصائص الأخرى، على سبيل المثال، ln (ε ( s ) / ε (0) ) أو Ω (s) / Ω (0) = exp s، يزداد التقلب النسبي أضعافًا مضاعفة مع زيادة نطاق المتوسط وبالتالي يتم إلغاء مصطلح متوسط القيمة ذات معنى ثابت.
أصل العلاقة الإحصائية eq. 88 بالفعل من القانون الأولي الذي يحكم تباين الكثافة خلال عهود كاسنر الفردية. حسب eq. 21، خلال التطور بأكمله لدينا
مع تغيير 1 - p 3 ( t ) من حقبة إلى أخرى، عبر القيم في الفاصل الزمني من 0 إلى 1. المصطلح ln Ω = ln ln (1 / t ) يزيد بشكل رتيب ؛ من ناحية أخرى، يمكن للمصطلح ln2 (1 - p 3 ) أن يفترض قيمًا كبيرة (يمكن مقارنتها بـ ln Ω) فقط عندما تظهر قيم p 3 قريبة جدًا من الوحدة (أي صغيرة جدًا | p 1 |). هذه هي بالتحديد الحالات "الخطيرة" التي تزعج المسار المنتظم للتطور الذي تعبر عنه العلاقات المتكررة eq. 77 - eq. 79 .
يبقى إظهار أن مثل هذه الحالات لا تنشأ في الواقع في نظام الحد المقارب. يبدأ التطور التلقائي للنموذج في لحظة معينة يتم فيها تحديد شروط أولية محددة بطريقة تعسفية. وبناءً على ذلك، فإن كلمة "مقارب" تعني نظامًا بعيدًا بدرجة كافية عن اللحظة الأولية المختارة.
الحالات الخطيرة هي تلك التي تظهر فيها قيم صغيرة جدًا للمعامل u = x (وبالتالي أيضًا | p 1 | ≈ x ) في نهاية العصر. معيار لاختيار مثل هذه الحالات هو عدم المساواة
أين | α ( s ) | هو عمق الدنيا الأولي من الوظائف التي ذبذبة في عصر الصورة (فإنه سيكون أكثر ملاءمة لاختيار السعة النهائية، ولكن هذا من شأنه أن يعزز فقط معيار الاختيار).
يتم تحديد قيمة x (0) في العصر الأول بالشروط الأولية. القيم الخطرة هي القيم الموجودة في الفاصل الزمني δ x (0) ~ exp (- | α (0) |)، وكذلك في الفواصل الزمنية التي يمكن أن تؤدي إلى حالات خطيرة في العصور التالية. من أجل أن تقع x ( s ) في الفترة الخطرة δ x ( s ) ~ exp (- | α ( s ) |)، يجب أن تكمن القيمة الأولية x (0) في فاصل عرض δ x (0) ~ δ x ( s ) / ك (1) ^ 2 ... ك ( ق ) ^ 2 .  لذلك، من وحدة الفاصل الزمني لجميع القيم الممكنة لـ x (0)، ستظهر الحالات الخطيرة في الأجزاء λ من هذه الفترة الزمنية:
(يتم أخذ المجموع الداخلي على جميع القيم k (1)، k (2)، ...، ك ( ق ) من 1 إلى ∞). من السهل إثبات أن هذا العصر يتقارب مع القيمة λ  1 الذي يتم تحديد ترتيب حجمه بواسطة المصطلح الأول في eq. 90 . يمكن إثبات ذلك من خلال التخصص القوي للعصر الذي يستبدل فيه المرء | α ( ق ) | = (ث + 1) | α (0) |، بغض النظر عن أطوال العصور k (1)، k (2)،. . . (في الواقع | α ( s ) | زيادة أسرع بكثير ؛ حتى في أكثر الحالات غير المواتية k (1) = k (2) = ... = 1 قيم | α ( s ) | زيادة مثل q s | α (0 ) | مع q > 1. ) مشيرا إلى ذلك
إذا كانت القيمة الأولية لـ x (0) تقع خارج المنطقة الخطرة، فلن تكون هناك حالات خطيرة. إذا كانت تقع داخل هذه المنطقة، تحدث حالات خطيرة، ولكن عند اكتمالها، يستأنف النموذج تطورًا "منتظمًا" بقيمة أولية جديدة والتي قد تأتي في بعض الأحيان فقط (مع احتمال λ) في الفترة الخطرة. تحدث الحالات الخطيرة المتكررة باحتمالات λ 2، λ 3، ...، تتقارب بشكل مقارب إلى الصفر.