hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
تفرد بي كي إل حل كاسنر
لا يتم التقليل من درجة العمومية التي تم التوصل إليها في هذه المرحلة من خلال إدخال المادة ؛ تتم كتابة المادة في eq. 7 ويساهم بأربع وظائف إحداثية جديدة ضرورية لوصف التوزيع الأولي لكثافته والمكونات الثلاثة لسرعته. هذا يجعل من الممكن تحديد تطور المادة فقط من قوانين حركتها في مجال الجاذبية المعطى مسبقًا وهو المعادلات الهيدروديناميكية.
حيث u i هي السرعة رباعية الأبعاد، ε و هي كثافات الطاقة وانتروبيا المادة (راجع  و ؛  أيضًا ؛  للحصول على التفاصيل، انظر  ). بالنسبة للمعادلة الفائقة الصغر للحالة p = ε / 3 الانتروبيا σ ~ ε 1/4 . المصطلحات الرئيسية في eq. 17 eq. 18 هي تلك التي تحتوي على مشتقات زمنية. من eq. 17 ومكونات الفضاء من eq. 18 واحد لديه
حيث "const" هي كميات لا تعتمد على الوقت. بالإضافة إلى ذلك، من الهوية u i u i = 1 واحد لديه (لأن جميع المكونات المتغيرة لـ u α لها نفس الترتيب)
حيث u n هي مكون السرعة على طول اتجاه n المرتبط بأعلى قوة (موجبة) لـ t (بافتراض أن p n = p 3 ). من العلاقات المذكورة أعلاه، يتبع ذلك
يمكن استخدام المعادلات أعلاه لتأكيد أن مكونات المادة موتر الإجهاد-الطاقة-الزخم يقف في الجانب الأيمن من المعادلات
هي، في الواقع، إلى ترتيب أقل بمقدار 1 / t من الشروط الرئيسية في الجانب الأيسر. في المعادلات  يؤدي وجود الأمر فقط إلى تغيير العلاقات المفروض على وظائف التنسيق المكونة لها.
حقيقة أن ε تصبح لانهائية بموجب القانون eq. 21 يؤكد أن في حل eq. 7 يتعامل المرء مع التفرد المادي عند أي قيم للقوى p 1، p 2، p 3 باستثناء (0، 0، 1). بالنسبة لهذه القيم الأخيرة، تكون التفرد غير مادية ويمكن إزالتها عن طريق تغيير الإطار المرجعي.
تنشأ التفرد الخيالي المطابق للقوى (0، 0، 1) نتيجة عبور إحداثيات الخط الزمني فوق بعض " السطح البؤري " ثنائي الأبعاد. كما هو  يمكن دائمًا اختيار إطار مرجعي متزامن بطريقة تجعل هذا الخط الزمني الحتمي يحدث بالضبط على هذا السطح (بدلاً من سطح كاوي ثلاثي الأبعاد). لذلك، يجب أن يوجد حل بهذا الشكل المتزامن لكامل التفرد الخيالي للفضاء مع مجموعة كاملة من الوظائف التعسفية اللازمة للحل العام. بالقرب من النقطة t = 0، فإنه يسمح بالتمدد المنتظم بواسطة قوى t الكاملة. لتحليل هذه الحالة، انظر.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
الحل العام بالتعريف مستقر تمامًا ؛ وإلا لما كان الكون موجودًا. أي اضطراب يعادل تغيير في الظروف الأولية في وقت ما ؛ نظرًا لأن الحل العام يسمح بشروط أولية عشوائية، فإن الاضطراب غير قادر على تغيير طابعه. بالنظر إلى هذه الزاوية، فإن الشروط الأربعة المفروضة على وظائف الإحداثيات في الحل eq. 7 أنواع مختلفة: ثلاثة شروط تنشأ من المعادلات  = 0 هي "طبيعية" ؛ هم نتيجة لهيكل معادلات آينشتاين. ومع ذلك، فإن الشرط الإضافي λ = 0 الذي يتسبب في فقدان وظيفة مشتقة واحدة، هو من نوع مختلف تمامًا: عدم الاستقرار الناجم عن الاضطرابات يمكن أن يكسر هذا الشرط. يجب أن يؤدي عمل هذا الاضطراب إلى إحضار النموذج إلى وضع آخر أكثر عمومية. لا يمكن اعتبار الاضطراب صغيراً: الانتقال إلى وضع جديد يتجاوز نطاق الاضطرابات الصغيرة جدًا.
يحدد تحليل سلوك النموذج تحت تأثير الاضطراب، الذي أجرته بي كي إل، وضعًا تذبذبًا معقدًا عند الاقتراب من التفرد.   لم يتمكنوا من إعطاء كل التفاصيل عن هذا الوضع في الإطار العريض للحالة العامة. ومع ذلك، أوضح بي كي إل أهم خصائص وخصائص الحل على نماذج محددة تسمح بدراسة تحليلية بعيدة المدى.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
تعتمد هذه النماذج على مقياس فضاء متجانس من نوع معين. إن افتراض تجانس المساحة دون أي تناظر إضافي يترك حرية كبيرة في اختيار المقياس. يتم تصنيف جميع المساحات المتجانسة الممكنة (ولكن متباينة الخواص)، وفقًا لبيانكي، في عدة أنواع بيانكي (من النوع الأول إلى التاسع) .  (انظر أيضًا الحل المتجانس المعمم ) يبحث بي كي إل فقط في مساحات من أنواع بيانكي الثامن والتاسع.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
إذا كان المقياس على شكل eq. 7 الشكل 7، لكل نوع من المساحات المتجانسة توجد علاقة وظيفية بين المتجهات المرجعية l و m و n وإحداثيات الفضاء. الشكل المحدد لهذه العلاقة ليس مهما. الحقيقة المهمة هي أنه بالنسبة للمسافات من النوع الثامن والتاسع، فإن الكميات λ و μ و ν eq. 10 عبارة عن ثوابت بينما جميع المنتجات "المختلطة" l rot m و l rot n و m rot l وما إلى ذلك . هي أصفار. بالنسبة للمسافات من النوع IX، فإن الكميات λ و μ و لها نفس العلامة ويمكن للمرء أن يكتب λ = μ = ν = 1 (تغيير الإشارة المتزامن للثوابت الثلاثة لا يغير شيئًا). بالنسبة للمسافات من النوع VIII، يكون للثوابتين إشارة معاكسة لعلامة الثابت الثالث ؛ يمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال، λ = - 1، μ = ν = 1.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
وبالتالي تقتصر دراسة تأثير الاضطراب على "وضع كاسنر" على دراسة تأثير المصطلحات المحتوية على λ في معادلات أينشتاين. تعد الفراغات من النوع الثامن والتاسع أكثر النماذج ملاءمة لمثل هذه الدراسة. نظرًا لأن جميع الكميات الثلاثة λ و μ و في أنواع بيانكي هذه تختلف عن الصفر، فإن الشرط λ = 0 لا ينطبق بغض النظر عن الاتجاه l، m، n له اعتماد سالب على وقت قانون الطاقة.
معادلات أينشتاين للنماذج الفضائية من النوع الثامن والنوع التاسع هي
(المكونات المتبقية  و  و  و  و  و  هي أصفار متطابقة). تحتوي هذه المعادلات على وظائف الوقت فقط ؛ هذا شرط يجب الوفاء به في جميع المساحات المتجانسة. هنا، eq. 22 eq. 23 دقيقة ولا تعتمد صحتها على مدى قرب المرء من التفرد عند t = 0. 

مشتقات الوقت في eq. 22 eq. 23 تتخذ شكلًا أبسط إذا تم استبدال а، b، с باللوغاريتمات α، β، γ:
ثم (تشير الرموز الفرعية إلى التمايز بواسطة τ):
جمع المعادلات معا eq. 26 والتعويض في الجانب الأيسر بالمجموع (α + β + γ) τ τ وفقًا eq. 27 الشكل 27، يحصل المرء على معادلة تحتوي فقط على المشتقات الأولى والتي تعد أول تكامل للنظام eq. 26 :
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
تلعب هذه المعادلة دور الشرط الملزم المفروض على الحالة الأولية eq. 26 . وضع كاسنر eq. 8 هو حل eq. 26 عند تجاهل كل الحدود في الجانب الأيمن. لكن مثل هذا الموقف لا يمكن أن يستمر (عند t → 0) إلى أجل غير مسمى لأنه من بين هذه المصطلحات يوجد دائمًا بعض تلك التي تنمو. وبالتالي، إذا كانت القدرة السالبة في الوظيفة a ( t ) ( p l = p 1 )، فإن اضطراب وضع كاسنر سينشأ عن المصطلحات λ 2 a 4 ؛ ستنخفض بقية الشروط مع تناقص t . إذا تم ترك شروط النمو فقط في الجانب الأيمن من eq. 26، يحصل المرء على النظام:
(قارن eq. 16 ؛ أدناه يتم استبداله λ 2 = 1). يجب أن يصف حل هذه المعادلات التطور المتري من الحالة الأولية، حيث يتم وصفه بواسطة eq. 8 مع مجموعة معينة من القوى (مع p l <0) ؛ دع p l = р 1، p m = р 2، p n = р 3 بحيث
حيث Λ ثابت. الشروط الأولية eq. 29 يتم إعادة تعريف eq. 29
المعادلات eq. 29 مندمجة بسهولة ؛ الحل الذي يفي بشرط eq. 32 هو
يمكن بسهولة ملاحظة أن تقارب الوظائف eq. 33 في t → 0 يساوي eq. 30 . التعبيرات المقاربة لهذه الوظائف والوظيفة t (τ) في τ → −∞ هي
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
يوضح ما سبق أن الاضطراب يعمل بطريقة تجعله يغير أحد أوضاع Kasner مع وضع Kasner آخر، وفي هذه العملية تنقلب القوة السلبية لـ t من الاتجاه l إلى الاتجاه m : إذا كانت قبل ذلك p l <0، فهي الآن كذلك ص ' م <0. أثناء هذا التغيير، تمر الوظيفة a ( t ) عبر الحد الأقصى و b ( t ) يمر عبر الحد الأدنى ؛ ب، الذي كان يتناقص من قبل، يزداد الآن: أ من الزيادة يصبح تناقصًا ؛ ونقص c ( t ) يتناقص أكثر. الاضطراب نفسه (λ 2 a 4α في eq. 29 )، والذي كان يتزايد من قبل، يبدأ الآن في الانخفاض ويموت. يؤدي التطور الإضافي بالمثل إلى زيادة الاضطراب من الشروط مع μ 2 (بدلاً من λ 2 ) في eq. 26، التغيير التالي لوضع كاسنر، وهكذا.
من الملائم كتابة قاعدة استبدال الطاقة eq. 35 بمساعدة البارامترات eq. 5 :
تظل القوة الأكبر من القوتين الموجبتين موجبة.
يطلق بي كي إل على هذا الانقلاب في القوة السلبية بين الاتجاهات حقبة كاسنر . إن المفتاح لفهم طبيعة التطور المتري عند الاقتراب من التفرد هو بالضبط عملية تناوب حقبة كاسنر مع تقليب القوى p l، p m، p n بواسطة القاعدة eq. 37.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
التناوب المتتالية eq. 37 مع قلب القوة السالبة p 1 بين الاتجاهين l و m (فترة كاسنر) يستمر باستنفاد الجزء الكامل من u الأولي حتى اللحظة التي تكون فيها u <1. تتحول القيمة u <1 إلى u > 1 وفقًا لـ eq. 6 ؛ في هذه اللحظة القوة السالبة هي p l أو p m بينما p n تصبح الأصغر من رقمين موجبين ( p n = p 2 ). السلسلة التالية من عهود كاسنر تقلب القوة السالبة بين الاتجاهين n و l أو بين n و m . عند القيمة الأولية التعسفية ( غير المنطقية ) لـ u تستمر عملية التناوب هذه غير محدودة.
في الحل الدقيق لمعادلات أينشتاين، تفقد القوى p l، p m، p n معناها الأصلي الدقيق. هذا الظرف يقدم بعض "غموض" في تحديد هذه الأرقام (ومعهم، إلى المعلمة ش) التي، وإن كانت صغيرة، يجعل معنى تحليل أي (على سبيل المثال، محددة عقلانية ) قيم ش. لذلك، فقط هذه القوانين التي تهم التعسفي القيم غير المنطقية من ش لها أي معنى خاص.
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
الفترات الأكبر التي تتأرجح فيها مقاييس المسافات الفضائية على محورين بينما تتناقص المسافات على طول المحور الثالث بشكل رتيب، تسمى العصور ؛ تقل الأحجام بقانون قريب من ~ ر . عند الانتقال من عصر إلى آخر، ينقلب الاتجاه الذي تتناقص فيه المسافات بشكل رتيب من محور إلى آخر. يكتسب ترتيب هذه التحولات الصفة المقاربة لعملية عشوائية . نفس الترتيب العشوائي هو أيضًا سمة من سمات تناوب أطوال العصور المتتالية (حسب طول العصر، تفهم بي كي إل عدد حقبة كاسنر التي تحتوي عليها العصر، وليس الفاصل الزمني).
لكل حقبة تتوافق مع سلسلة من قيم المعامل u بدءًا من الأعظم،  ومن خلال القيم  - 1،  - 2، ...، الوصول إلى الأصغر،  <1. ثم
أي أن k ( s) = [  ] حيث تعني الأقواس الجزء الكامل من القيمة. الرقم k ( s ) هو طول العصر، ويقاس بعدد فترات كاسنر التي تحتوي عليها تلك الحقبة للعصر القادم.
في السلسلة اللامحدودة من الأرقام u، التي تتكون من هذه القواعد، توجد قيم صغيرة متناهية الصغر (ولكن ليست صفرية أبدًا) x ( s ) وأطوال كبيرة بشكل غير محدود بالمقابل k ( s ) .
تفرد بي كي إل الوضع المتذبذب نحو التفرد
تصبح سلسلة العصر أكثر كثافة عند الاقتراب من t = 0. ومع ذلك، فإن المتغير الطبيعي لوصف المسار الزمني لهذا التطور ليس الوقت العالمي t، ولكن لوغاريتمه، ln t، والذي من خلاله يتم تمديد العملية الكاملة للوصول إلى التفرد إلى −∞.
حسب eq. 33، إحدى الوظائف أ، ب، ج، التي تمر بحد أقصى أثناء الانتقال بين فترات كاسنر، في ذروة الحد الأقصى لها هي
حيث من المفترض أن الحد الأقصى هو كبير مقارنة ب 0 ج 0؛ في eq. 38 u هي قيمة المعلمة في حقبة كاسنر قبل الانتقال. يمكن أن نرى من هنا أن قمم الحدود القصوى المتتالية خلال كل عصر تنخفض تدريجياً. في الواقع، في حقبة كاسنر التالية، يكون لهذه المعلمة القيمة u ' = u - 1، ويتم استبدال Λ وفقًا لـ eq. 36 مع Λ '= Λ (1-2 | ص 1 ( ش ) |). لذلك، فإن نسبة 2 حد أقصى متتالي هي
ما سبق حلول لمعادلات أينشتاين في الفراغ. أما بالنسبة لصيغة كاسنر الخالصة، فإن الأمر لا يغير الخصائص النوعية لهذا الحل ويمكن كتابته فيه بغض النظر عن رد فعله على الميدان. ومع ذلك، إذا فعل المرء هذا للنموذج قيد المناقشة، والذي يُفهم على أنه حل دقيق لمعادلات أينشتاين، فإن الصورة الناتجة لتطور المادة لن يكون لها طابع عام وستكون محددة للتماثل العالي الوشيك للنموذج الحالي. رياضياً، ترتبط هذه الخصوصية بحقيقة أنه بالنسبة للهندسة الفضائية المتجانسة التي تمت مناقشتها هنا، فإن مكونات موتر Ricci  هي أصفار متطابقة، وبالتالي فإن معادلات أينشتاين لن تسمح بحركة المادة (التي تعطي إجهادًا غير صفريًا لمكونات موتر الطاقة والزخم  ). بمعنى آخر، يجب أن يكون الإطار المتزامن أيضًا متحركًا بشكل مشترك فيما يتعلق بالمادة. إذا كان أحد البدائل في eq. 19 u α = 0، u 0 = 1، يصبح ε ~ ( abc ) −4/3 ~ t −4/3 .

يتم تجنب هذه الصعوبة إذا قام المرء بتضمين المصطلحات الرئيسية للمقياس المحدد (عند t → 0) فقط في النموذج وكتب فيه مسألة بتوزيع أولي تعسفي للكثافات والسرعات. ثم يتم تحديد مسار تطور المادة من خلال قوانينها العامة للحركة eq. 17 eq. 18 ينتج عنه eq. 21 . خلال كل حقبة كاسنر، تزداد الكثافة حسب القانون
حيث p 3، على النحو الوارد أعلاه، أكبر الأعداد ص 1، ص 2، ص 3 . تزداد كثافة المادة بشكل رتيب خلال كل تطور نحو التفرد.
تفرد بي كي إل تطور متري
التي هي قريبة من القيم (0، 0، 1). قيمتان قريبتان من الصفر، قريبتان أيضًا من بعضهما البعض، وبالتالي فإن التغييرات في نوعين من الأنواع الثلاثة "للاضطرابات" (المصطلحات مع λ و μ و في الجوانب اليمنى من eq. 26 ) هي أيضا متشابهة جدا. إذا كانت هذه المصطلحات في بداية مثل هذا العصر الطويل قريبة جدًا من القيم المطلقة في لحظة الانتقال بين حقبتين من عهود كاسنر (أو تم إجراؤها بشكل مصطنع من خلال تعيين الشروط الأولية)، فستظل قريبة خلال الجزء الأكبر من طول الحقبة. في هذه الحالة (وتسمى حالة التذبذبات الصغيرة)، يصبح التحليل القائم على عمل نوع واحد من الاضطرابات غير صحيح ؛ يجب على المرء أن يأخذ في الاعتبار التأثير المتزامن لنوعين من الاضطراب.
ضع في اعتبارك حقبة طويلة، حيث خضعت اثنتان من الوظائف أ، ب، ج (فليكن أ و ب ) لتذبذبات صغيرة بينما تتناقص الوظيفة الثالثة (ج ) بشكل رتيب. سرعان ما تصبح الوظيفة الأخيرة صغيرة ؛ ضع في اعتبارك الحل فقط في المنطقة حيث يمكن للمرء أن يتجاهل c مقارنةً بـ a و b . يتم إجراء الحسابات أولاً للنموذج الفضائي من النوع IX عن طريق الاستبدال وفقًا لذلك λ = μ = ν = 1.
تفرد بي كي إل تطور متري
بعد تجاهل الوظيفة c، فإن المعادلتين eq. 26 إعطاء
حيث α 0، ξ 0 هي ثوابت موجبة، و 0 هي الحد الأعلى لعصر المتغير τ. من الملائم تقديم متغير جديد (بدلاً من τ)
المعادلات eq. 45 eq. 46 يتم تحويلها عن طريق إدخال المتغير χ = α - β:
انخفاض τ من τ 0 إلى −∞ يتوافق مع انخفاض ξ من ξ 0 إلى 0. يتم الحصول على العصر الطويل مع إغلاق a و b (أي مع صغير)، المدروس هنا، إذا كانت ξ 0 كمية كبيرة جدًا. في الواقع، بشكل عام، حل eq. 49 في أول تقدير تقريبي بمقدار 1 / هو
حيث A ثابت ؛ المضاعف  يجعل χ كمية صغيرة بحيث يمكن استبدالها eq. 49 بواسطة sh 2χ ≈ 2χ.
بعد تحديد α و من eq. 48 eq. 51 وتوسيع ه α و β الإلكترونية في سلسلة وفقا لتقريب أعلاه، واحد يحصل أخيرا:
يتم الحصول على العلاقة بين المتغير ξ والوقت t من خلال تكامل التعريف dt = abc d τ الذي يعطي
يجب أن يكون الثابت c 0 (قيمة с عند ξ = ξ 0 ) الآن c 0  α 0 ·
دعونا ننظر الآن في المجال ξ  1. هنا المصطلحات الرئيسية في حل eq. 49 هم:
تفرد بي كي إل تطور متري
حيث k ثابت في النطاق - 1 < ك <1 ؛ يضمن هذا الشرط أن المصطلح الأخير في eq. 49 صغير (يحتوي sh 2χ على ξ 2 ك و ξ −2 ك ). ثم، بعد تحديد α و و t، يحصل المرء على
هذا مرة أخرى هو وضع كاسنر مع وجود قوة t السالبة في الوظيفة c ( t ).
هذه النتائج تصور تطورًا مشابهًا نوعيًا لذلك الموصوف أعلاه. خلال فترة زمنية طويلة تتوافق مع قيمة ξ متناقصة كبيرة، تتأرجح الوظيفتان a و b، وتبقى قريبة من حيث الحجم  ؛ في نفس الوقت، كلتا الوظيفتين أ و ب ببطء (  ) ينقص. فترة التذبذب ثابتة بالمتغير ξ : Δξ = 2π (أو، وهي نفسها، مع فترة ثابتة حسب الوقت اللوغاريتمي: Δ ln t = 2π Α 2 ). الوظيفة الثالثة، c، تتناقص بشكل رتيب بقانون قريب من c = c 0 t / t 0 .
يستمر هذا التطور حتى ξ ≈1 والصيغ eq. 52 eq. 53 لم تعد قابلة للتطبيق. تقابل مدتها الزمنية تغيير t من t 0 إلى القيمة t 1، المرتبطة بـ ξ 0 وفقًا لـ
يمكن تقديم العلاقة بين ξ و t خلال هذا الوقت في النموذج
تفرد بي كي إل تطور متري
بعد ذلك، كما رأينا من eq. 55، تبدأ دالة التناقص c في الزيادة بينما تبدأ الدالتان a و b في الانخفاض. تستمر حقبة كاسنر هذه حتى الشروط ج 2 / أ 2 ب 2 في eq. 22 يصبح eq. 22 ~ t 2 وتبدأ سلسلة التذبذبات التالية.

يتم الحصول على قانون تغيير الكثافة خلال الحقبة الطويلة قيد المناقشة عن طريق استبدال eq. 52 في eq. 20 :
عندما تتغير من ξ 0 إلى ξ ≈1، تزداد الكثافة  مرات.

يجب التأكيد على أنه على الرغم من أن الوظيفة c ( t ) تتغير بواسطة قانون، بالقرب من c ~ t، فإن المقياس المتري eq. 52 لا يتوافق مع مقياس كاسنر بقوى (0، 0، 1). الأخير يتوافق مع الحل الدقيق الذي وجده Taub  والذي يسمح به المعادلات. 26 - 27 وفي أي
حيث p، δ 1، δ 2 ثابتة. في المنطقة المقاربة τ → −∞، يمكن للمرء الحصول من هنا a = b = مقدار ثابت، c = مقدار ثابت. ر بعد الاستبدال е рτ = t . في هذا المقياس، تكون التفرد عند t = 0 غير مادية.
تفرد بي كي إل تطور متري
دعونا الآن نصف الدراسة المماثلة لنموذج النوع الثامن، مع استبدال المعادلات. eqs. 26 - 28 λ = -1، μ = ν = 1.
إذا خلال حقبة طويلة، وظيفة خفض مفردة النغمة هي، لا شيء يتغير في التحليل السابق: تجاهل 2 على الجانب الأيمن من المعادلات 26 و 28، ويعود إلى نفس المعادلات 49 و 50 (مع تدوين تغير). ومع ذلك، تحدث بعض التغييرات إذا كانت الوظيفة المتناقصة بشكل رتيب هي b أو c ؛ فليكن c.
كما كان من قبل، لدى المرء معادلة 49 بنفس الرموز، وبالتالي، التعابير السابقة eq. 52 للوظائف a (ξ) و b (ξ)، ولكن تم استبدال 50
قيمة c كدالة للوقت t مرة أخرى c = c 0 t / t 0 لكن اعتماد الوقت على ξ يتغير. يعتمد طول الحقبة الطويلة على ξ 0 وفقًا لـ
من ناحية أخرى، تحدد القيمة ξ 0 عدد التذبذبات للوظائف a و b خلال حقبة (تساوي ξ 0 / 2π). بالنظر إلى طول العصر في الوقت اللوغاريتمي (أي مع النسبة المعطاة t 0 / t 1 )، سيكون عدد التذبذبات للنوع الثامن، بشكل عام، أقل من النوع IX. بالنسبة لفترة التذبذبات، نحصل الآن على Δ ln t = πξ / 2 ؛ على عكس النوع التاسع، فإن الفترة ليست ثابتة طوال العصر الطويل، وتتناقص ببطء مع ξ.
تفرد بي كي إل تطور متري
تنتهك العصور الطويلة المسار "المنتظم" للتطور مما يجعل من الصعب دراسة تطور الفترات الزمنية التي تمتد عبر عدة عصور. ومع ذلك، يمكن إثبات أن مثل هذه الحالات "غير الطبيعية" تظهر في التطور التلقائي للنموذج إلى نقطة مفردة في الأوقات الصغيرة المتقاربة t على مسافات كبيرة بما يكفي من نقطة البداية ذات الظروف الأولية التعسفية. حتى في العصور الطويلة، تظل كلتا الوظيفتين المتذبذبتين أثناء التحولات بين عهود كاسنر مختلفة تمامًا لدرجة أن الانتقال يحدث تحت تأثير اضطراب واحد فقط. جميع النتائج في هذا القسم تتعلق بنفس القدر بنماذج من النوعين الثامن والتاسع.
تفرد بي كي إل تطور متري
خلال كل حقبة كاسنر abc = Λ t، أي α + β + γ = ln Λ + ln t . عند التغيير من حقبة واحدة (بقيمة معينة للمعامل u ) إلى الحقبة التالية، يتم ضرب الثابت Λ بـ 1 + 2 p 1 = (1 - u + u 2 ) / (1 + u + u 2 ) < 1. وبالتالي يحدث انخفاض منهجي في. لكن من الضروري أن تكون القيمة المتوسطة (فيما يتعلق بأطوال k للعصور) للتغير الكامل لـ ln خلال حقبة ما محدودة. في الواقع، يمكن أن يكون الاختلاف في متوسط القيمة ناتجًا فقط عن زيادة سريعة جدًا في هذا التباين مع زيادة k . للحصول على قيمة كبيرة للمعامل u، ln (1 + 2 p 1 ) ≈ −2 / u . بالنسبة إلى k كبير، تكون القيمة القصوى u (max) = k + x ≈ k. ومن ثم فإن الاختلاف الكامل لـ ln Λ خلال حقبة ما يتم الحصول عليه من خلال مجموع النموذج
تفرد بي كي إل تطور متري
فقط مع المصطلحات التي تتوافق مع القيم الكبيرة لـ u مكتوبة. عندما يزيد k، يزداد هذا المجموع بمقدار ln k . لكن احتمالية ظهور حقبة ذات طول كبير k تقل بمقدار 1 / k 2 وفقًا لـ eq. 76 ؛ ومن ثم فإن القيمة المتوسطة للمبلغ أعلاه محدودة. وبالتالي، فإن الاختلاف المنهجي للكمية ln Λ على مدى عدد كبير من العصور سيكون متناسبًا مع هذا الرقم. ولكن يتم رؤيته في eq. 85 أنه مع t → 0، يزيد الرقم s فقط مثل ln | ln t |. وبالتالي في الحد المقارب لـ t صغير بشكل تعسفي، يمكن بالفعل إهمال المصطلح ln Λ بالمقارنة مع ln t . في هذا التقريب
تفرد بي كي إل تطور متري
ويمكن اعتبار عملية تحولات الحقبة على أنها سلسلة من الومضات الزمنية القصيرة. تخضع مقادير الحد الأقصى لوظائف المقياس المتذبذب أيضًا لتغير منهجي. من eq. 39 أجل u ≫ 1 يتبع ذلك  . بالطريقة نفسها التي تم إجراؤها أعلاه للكمية ln Λ، يمكن للمرء بالتالي أن يستنتج أن متوسط الانخفاض في ارتفاع الحد الأقصى خلال حقبة ما محدود وأن الانخفاض الكلي على مدى عدد كبير من العصور يزداد مع t → 0 فقط مثل ln Ω. في الوقت نفسه، يتم تخفيض الحد الأدنى، وبنفس الطريقة، زيادة سعة التذبذبات، ( eq. 77 ) بما يتناسب مع Ω. بالتوافق مع التقريب المعتمد، يتم إهمال خفض الحد الأقصى بالمقارنة مع زيادة السعات بحيث تكون α max = 0، β max = 0، γ max = 0 للقيم القصوى لجميع الوظائف المتذبذبة والكميات α،، γ قم بتشغيل فقط من خلال القيم السالبة التي ترتبط ببعضها البعض في كل لحظة من الوقت بواسطة العلاقة eq. 63 .
تفرد بي كي إل تطور متري
بالنظر إلى مثل هذا التغيير الفوري للعصور، يتم تجاهل الفترات الانتقالية على أنها صغيرة مقارنة بطول الحقبة ؛ تم استيفاء هذا الشرط في الواقع.  يتطلب استبدال α و β و الحد الأقصى بأصفار أن تكون الكميات ln (| p 1 | Λ) صغيرة بالمقارنة مع اتساع تذبذبات الوظائف المعنية. كما ذكر أعلاه، أثناء الانتقال بين العصور | ص 1 | يمكن أن تصبح القيم صغيرة جدًا بينما لا يرتبط حجمها واحتمال حدوثها بمدى التذبذب في اللحظة المعنية. لذلك، من حيث المبدأ، من الممكن الوصول إلى هذا الحجم الصغير | ص 1 | القيم التي تم انتهاك الشرط أعلاه (صفر حد أقصى). يمكن أن يؤدي هذا الانخفاض الحاد في α max إلى مواقف خاصة مختلفة يكون فيها الانتقال بين فترات كاسنر بواسطة القاعدة eq. 37 غير صحيح (بما في ذلك الحالات المذكورة أعلاه ). هذه المواقف "الخطيرة" يمكن أن تخرق القوانين المستخدمة في التحليل الإحصائي أدناه. ومع ذلك، وكما ذكرنا، فإن احتمال مثل هذه الانحرافات يتقارب بشكل مقارب إلى الصفر ؛ سيتم مناقشة هذه المسألة أدناه.
ضع في اعتبارك حقبة تحتوي على فترات k كاسنر مع وجود معلمة u تعمل عبر القيم
تفرد بي كي إل تطور متري
ولنفترض أن α و هما الوظيفتان المتذبذبتان خلال هذا العصر (الشكل 4). 

اللحظات الأولية لفترات كاسنر ذات المعلمات u n هي n . في كل لحظة أولية، تكون إحدى القيمتين α أو صفرًا، بينما تحتوي الأخرى على حد أدنى. القيم α أو في الحدود الدنيا المتتالية، أي في اللحظات n
(لا يميز الحدود الدنيا α و β). يمكن للقيم δ n التي تقيس تلك الحدود الدنيا في وحدات n ذات الصلة أن تعمل بين 0 و 1. الوظيفة γ تتناقص بشكل رتيب خلال هذا العصر ؛ حسب eq. 63 قيمتها باللحظة Ω n هي
خلال الحقبة التي تبدأ من اللحظة Ω n وتنتهي في اللحظة Ω n +1 تزيد إحدى الوظائف α أو β من −δ n Ω n إلى الصفر بينما تقل الأخرى من 0 إلى −δ n +1 Ω n +1 بالخطي القوانين، على التوالي:
حيث، باختصار، f ( u ) = 1 + u + u 2 . يتم الحصول على مجموع أطوال الحقبة n بواسطة الصيغة
تفرد بي كي إل تطور متري
يمكن رؤيته من eq. 68 أن | α n + 1 | > | α n |، أي، تزداد اتساع التذبذب للوظائف α و خلال العصر بأكمله على الرغم من أن العوامل δ n قد تكون صغيرة. إذا كان الحد الأدنى في بداية العصر عميقًا، فلن يصبح الحد الأدنى التالي أقل ضحالة ؛ بمعنى آخر، البقايا | α - β | في لحظة الانتقال بين عهود كاسنر لا تزال كبيرة. لا يعتمد هذا التأكيد على طول العصر k لأن الانتقالات بين العصور يتم تحديدها من خلال القاعدة المشتركة eq. 37 أيضا لعصور طويلة.
سعة التذبذب الأخيرة للوظائف α أو في عصر معين مرتبطة بسعة التذبذب الأول بالعلاقة | α k −1 | = | α 0 | ( ك + س ) / (1 + س ). حتى في ك الصورة صغيرة مثل عدة وحدات س يمكن تجاهلها في المقارنة إلى k بحيث زيادة α وسعة التذبذب بيتا تصبح متناسبة مع طول الحقبة. لوظائف 'وه' = α و ب ه = β يعني ذلك أنه إذا كانت السعة من التذبذبات في بداية عصر كان A 0، في نهاية هذا العصر السعة ستصبح  .
كما يزداد طول فترات كاسنر (في الوقت اللوغاريتمي) داخل عصر معين ؛ من السهل حساب من eq. 69 أن Δ ن +1 > Δ ن .  الطول الإجمالي للعصر هو
تفرد بي كي إل تطور متري
(المصطلح مع 1 / x ينشأ من الحقبة الأخيرة، k -th، التي يكون طولها كبيرًا عند x الصغيرة ؛ راجع. الصورة 2). لحظة Ω ن عندما ك -th الحقبة من نهايات عصر معين هو في نفس الوقت لحظة Ω '0 من بداية الحقبة المقبلة.

في حقبة كاسنر الأولى من العصر الجديد، كانت الدالة γ هي الأولى التي ارتفعت من أدنى قيمة γ ك = - Ω ك (1 - δ ك ) التي وصلت إليها في العصر السابق ؛ تلعب هذه القيمة دور سعة البداية δ ' 0 Ω' 0 لسلسلة التذبذبات الجديدة. من السهل الحصول على ما يلي:
من الواضح أن δ ' 0 Ω' 0 > 0 Ω 0 . حتى في ك يست كبيرة جدا في زيادة السعة مهمة جدا: وظيفة ج = ه γ يبدأ ذبذبة من السعة  . يتم ترك المسألة المتعلقة بالحالات "الخطيرة" المذكورة أعلاه من الانخفاض الحاد في حد التذبذب العلوي جانبًا في الوقت الحالي.
حسب eq. 40 الزيادة في كثافة المادة خلال العهود الأولى (ك - 1) تعطى بواسطة الصيغة
حتى آخر k لعصر معين، في u = x <1 أعظم قوة هو P 2 (x) (لا P 3 (x)). لذلك، من أجل زيادة الكثافة خلال العصر بأكمله، يحصل المرء
تفرد بي كي إل تطور متري
لذلك، حتى مع عدم وجود قيم k كبيرة جدًا،  . خلال العصر التالي (بطول k ') ستزداد الكثافة بشكل أسرع بسبب زيادة سعة البداية A 0 ': ، إلخ. توضح هذه الصيغ الزيادة الحادة في كثافة المادة.
يكتسب تسلسل أطوال الحقبة k ( s )، المقاسة بعدد فترات كاسنر الموجودة فيها، طابع عملية عشوائية مقاربًا. الأمر نفسه يتعلق أيضًا بتسلسل تقاطعات أزواج الوظائف المتذبذبة عند الانتقال من عصر إلى آخر (يعتمد ذلك على ما إذا كانت الأرقام k ( s ) زوجية أو فردية). مصدر هذه العشوائية هو eqs. 41 - 42 التي بموجبها يتم تحديد الانتقال من عصر إلى آخر في تسلسل عدد لا نهائي من قيم u. تنص هذه القاعدة، بعبارة أخرى، على أنه إذا بدأ التسلسل اللانهائي بأكمله بقيمة أولية معينة ، ثم أطوال العصور ك (0)، ك (1)، ...، هي الأرقام في توسيع الكسر المستمر.
تفرد بي كي إل تطور متري
يتوافق هذا التوسيع مع تحويل الفاصل الزمني [0، 1] إلى نفسه بواسطة الصيغة Tx = {1 / x }، أي x s +1 = {1 / x s }. ينتمي هذا التحول إلى ما يسمى بتحولات التوسع للفاصل الزمني [0، 1]، أي التحويلات x → f ( x ) مع | و ′ ( س ) | > 1. تمتلك هذه التحولات خاصية عدم الاستقرار الأسي: إذا أخذنا في البداية نقطتين قريبتين، فإن المسافة المتبادلة بينهما تزداد بشكل كبير في ظل تكرارات التحولات. من المعروف أن عدم الاستقرار الأسي يؤدي إلى ظهور خصائص عشوائية قوية.
من الممكن التحول إلى وصف احتمالي لمثل هذا التسلسل من خلال عدم مراعاة قيمة أولية محددة x (0) ولكن القيم x (0) = x الموزعة في الفترة من 0 إلى 1 وفقًا لقانون توزيع احتمالي معين ث 0 ( x ). ثم قيم x (s) التي تنتهي كل عصر سيكون لها أيضًا توزيعات تتبع قوانين معينة w s (x) . لنفترض أن w s (x) dx هو احتمال أن ينتهي العصر s بالقيمة  الكذب في فترة زمنية محددة dx .
تفرد بي كي إل تطور متري
قيمة X (s) = X، والتي تنتهي في ليالي عصر s-th، يمكن أن تنجم عن الأولي (لهذا العصر) القيم ، حيث ك = 1، 2، ... ؛ هذه القيم  تتوافق مع القيم x ( s –1) = 1 / ( k + x ) للعصر السابق. مع ملاحظة ذلك، يمكن للمرء أن يكتب علاقة التكرار التالية، والتي تعبر عن توزيع الاحتمالات w s (x) من حيث التوزيع w s –1 ( x ):
حيث λ a، μ a، s 1، s 2 هي وظائف تعسفية لجميع الإحداثيات الثلاثة x، y، z، المرتبطة بشروط أخرى
إذا كان التوزيع w s ( x ) يميل إلى زيادة s إلى توزيع محدد ثابت (مستقل عن s ) w ( x )، فيجب أن يفي الأخير بمعادلة تم الحصول عليها من eq. 73c بإسقاط مؤشرات الدوالين w s −1 ( x ) و w s ( x ). هذه المعادلة لها حل
(تم تطبيعه إلى الوحدة ويؤخذ إلى الدرجة الأولى من x ). 

من أجل أن يكون للعصر s طولًا k، يجب أن ينتهي العصر السابق برقم x في الفاصل الزمني بين 1 / ( k + 1) و 1 / k . لذلك، فإن احتمال أن يكون للعصر طول ك يساوي (في الحد الثابت)