hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
بطولة العالم للراليات موسم 2024 تقرير الموسم
بعد أن فاز هيونداي بأول سباقين، ردت تويوتا بفوز 1–2 في رالي سفاري، مما زاد من تقدمها في بطولة المصنعين إلى أربع نقاط. كانت عطلة نهاية الأسبوع صعبة على نوفيل ووايداغه، ولكن جولة ناجحة يوم الأحد أعادت طاقم بلجيكا إلى صدارة بطولة السائقين بفارق ست نقاط. فاز أوجييه ولانديس في كرواتيا، بعد أن انتزعوا الصدارة عندما ارتكب الطاقمان اللذان أمامهم (نوفيل ووايداغه، إيفانز ومارتن) أخطاء.
بطولة العالم للراليات موسم 2024 تقرير الموسم
كان أول رالي حصوي في الموسم هو رالي البرتغال 2024، حيث فاز أوجييه ولانديس مرة أخرى. كانوا في طريقهم لتحقيق انتصار ثالث في رالي سردينيا 2024، لكن ثقبًا في الإطار خلال Power Stage جعل تاناك ويارفيجا يتجاوزونهما للفوز. كانت هامش الفوز 0.2 ثانية فقط، وهو أقرب فوز مشترك ‏ (مع رالي الأردن 2011) في بطولة العالم للراليات. انسحب أوجييه ولانديس من رالي بولندا 2024 قبل أن يبدأ بسبب حادث مروري أثناء التعرف. روفانبيرا وهالتونن كانا بديلين لهما في تويوتا، حيث فازا بالرالي على الرغم من التحضير المحدود. كما فازا في الجولة التالية في لاتفيا، حيث قادا الرالي من البداية إلى النهاية محققين انتصارهم في المرحلة رقم 200. بعد الظهور الأول لهما في بولندا، حقق الثنائي اللاتفي سيسكس وفرانسيس انتصارهما الأول في المرحلة مبكرًا في راليهما المحلي. كانوا في طريقهم لتحقيق منصة التتويج الأولى، لكن مشكلة التفاضل في اليوم الأخير تسببت في خروجهم من المنافسة.
بطولة العالم للراليات موسم 2024 تقرير الموسم
في فنلندا، كان روفانبيرا وهالتونن يتصدران راليهما المحلي، لكنهما قلبا سيارتهما في المرحلة قبل الأخيرة من الرالي. انسحب تاناك ويارفيجا بعد تعرضهما لحادث عنيف في الرالي، مما استدعى دخول يارفيجا إلى المستشفى. عانى إيفانز ومارتن من مشكلة نقل الحركة مما أدى إلى خروجهم من المراكز العشرة الأولى، قبل أن ينقلبوا خلال المرحلة قبل الأخيرة. مع عدم تسجيل المنافسين الرئيسيين نقاطًا، زاد زعامة البطولة نوفيل ووايداغه إلى 27 نقطة، بينما ارتفع الفائزون في الرالي أوجييه وفنسنت إلى المركز الثاني. شهد الحدث أيضًا ظهور باكاري ومالكونن في بطولة WRC، حيث فازا في المرحلة التاسعة في مسيرتهما في Rally1.
بطولة العالم للراليات موسم 2024 تقرير الموسم
في رالي الأكروبوليس، عانت سيارات تويوتا بقيادة أوجييه ولانديس وإيفانز ومارتن من مشاكل التيربو. انقلب الطاقم الثالث من تويوتا كاتسوتا وجونستون أثناء المنافسة على صدارة الرالي، مما ترك هيونداي تحتل المراكز الثلاثة الأولى في نهاية اليوم الأول. كان أوجييه متقدمًا بفارق 45 ثانية عن قائد البطولة نوفيل، لكنه أنهى بفارق دقيقتين تقريبًا؛ وقد صرح أوجييه علنًا أن نوفيل يجب أن "يتوقف عن البكاء" و"يتعلم كيف يقود أولاً على الطريق". فاز نوفيل ووايداغه بالرالي، حيث احتلت هيونداي جميع المراكز الثلاثة على المنصة، كما فعلت قبل عامين في نفس الحدث. استعاد أوجييه ولانديس المركز الثاني قبل أن يقلبوا يارس أثناء Power Stage. يعني هيمنة هيونداي أنهم بنوا تقدمًا قدره 35 نقطة في بطولة المصنعين. ردت تويوتا في الجولة التالية في تشيلي، حيث احتلت المراكز الثلاثة الأولى بأنفسهم لتحقيق أقصى قدر من النقاط مما خفض تقدم البطولة إلى النصف. كان الفائزون في تشيلي هم روفانبيرا وهالتونن.
فاز تاناك ويارفيجا برالي وسط أوروبا 2024، حيث كان أوجييه ولانديس يتصدران ولكن تعرضا لحادث في المرحلة قبل الأخيرة. قلص الفوز الفارق في بطولة السائقين إلى 25 نقطة، مما ضمّن أن اللقب سيُحسم في الحدث النهائي. في الرالي النهائي في اليابان، خرج تاناك ويارفيجا من المنافسة في اليوم الأخير بينما كانا يتصدران الرالي، مما منح نوفيل ووايداغه اللقب. تركت مشكلة في المحرك نوفيل ووايداغه خارج المراكز العشرة الأولى. ترك انسحاب تاناك ويارفيجا لقب الصانع غير محسوم، حيث كانت هيونداي وتويوتا متساويتين عند 553 نقطة وفقًا للترتيب المؤقت قبل Power Stage. تفوقت تويوتا على هيونداي في المرحلة، بالإضافة إلى إنهاء الحدث في المركزين الأول والثاني بقيادة إيفانز ومارتن، مما يعني أن تويوتا فازت بلقب الصانع للعام الرابع على التوالي. كان هامش الفوز ثلاث نقاط فقط، وهو الأضيق منذ 1983 (عندما فازت لانسيا بفارق نقطتين).
بطولة العالم للراليات موسم 2024 النتائج والترتيب
تم منح النقاط لأفضل عشرة فرق في التصنيف العام بحلول نهاية يوم السبت، وأفضل سبعة فرق في التصنيف العام المتراكم ليوم الأحد في كل حدث. في بطولة المصنعين، كانت الفرق مؤهلة لترشيح ثلاثة فرق لكسب النقاط، ولكن تم منح هذه النقاط فقط لأفضل فائزين مصنفين يمثلون مصنعًا ويقودون سيارة رالي1 بمواصفات 2022. وتم أيضًا منح خمس نقاط مكافأة للفائزين في Power Stage، وأربع نقاط للمركز الثاني، وثلاث نقاط للمركز الثالث، ونقطتين للمركز الرابع ونقطة واحدة للمركز الخامس. تم منح نقاط Power Stage في بطولات السائقين، والسائقين المساعدين، والمصنعين.
يحصل السائق الذي يحرز مركزا ضمن المراكز المصنفة على النقاط المقررة بغض النظر عن الفئة المشارك بها.
إم 3 (مترو إسطنبول)
قطار M3 (بالتركية: M3 Bakırköy Sahil - Kayaşehir Merkez Metro) هو خط نقل سريع لمترو إسطنبول يظهر باللون الأزرق الفاتح على الخرائط وعلامات الطرق، وافتتح في عام 2013.
إم 3 (مترو إسطنبول) تاريخ
هذا جدول زمني يوضح كيف بني المترو من بدايته إلى افتتاحه الكامل:
إم 3 (مترو إسطنبول) المركبات
القطار يستخدم مركبات آلستوم متروبوليس، من نفس شركة مركبات مترو M2 ولكن خط M3 يستخدم مركبات من نوح أحدث، وبني مستودع M3 في محطة استاد الأولمبيات وأيضا يخزن فيه مركبات مترو M9، لأنهم يستخدمون نفس المركبات.
داود بن سليمان البغدادي
داود بن سليمان البغدادي النقشبندي الخالديّ ابن جرجيس (1231 هـ/م1816 - 1299 هـ/1882 م) هو عالم دين مسلم سني صوفي أشعري عراقي بغدادي، كانت رتبته الصوفية خليفة في الطريقة الخالدية النقشبندية، له مؤلفات في نقد الدعوة النجدية وعليه ردود من شيوخها، ذُكر أنه استوطن مدّة في ناحية القصيم بنجد، ورحل للشام والحجاز والموصل، قيل إنه حنفي وقيل شافعي.
داود بن سليمان البغدادي مؤلفاته
1- أشد الجهاد في إبطال دعوى الاجتهاد: هو كتاب طُبع في بومباي سنة 1305 هـ، ألّفه ردّاً على حنابلة نجد فيما نسب إليهم من دعوى الاجتهاد، ورد عليه الشيخ عبد اللطيف بن عبد الرحمن بكتاب اسمه (منهاج التأسيس والتقديس في كشف شبهات داود ابن جرجيس).
داود بن سليمان البغدادي مؤلفاته
2- صلح الإخوان من أهل الإيمان وبيان الدين القيم في تبرئة ابن تيمية وابن القيم: طُبع في بومباي سنة 1305 هـ، وفي خاتمة الكتاب (رسالة في الرد على محمود الألوسي، طُبعت في بومبي سنة 1306 هـ)، قال عباس العزاوي "اشتهر برده على أبي الثناء الألوسي، وراجت سوقه مدة ولكن مؤلفاته لم تقو على الانتصار"، وقد اشتمل كتابه صلح الإخوان على 50 اقتباساً من مؤلفات أن ابن تيمية وابن القيم رأى فيها داود أنهما يستحبّان دعاء الصالحين والاستنجاد بهم، قال في كتابه "قد اشتهر أن الشيخ ابن تيمية وابن القيم يحكمان على أهل السنة والجماعة ممن يتوسل بالأنبياء والصالحين من أهل القبور، ويناديهم ويستغيث بهم إلى الله، ويحلف بغير الله أو ينذر لأنبياء الله وأوليائه وما أشبه ذلك بالكفر والشرك المخرجين من الملة، وأنهما يحكمان بالتأثيم لفاعل ذلك، أخذاً من ظاهر كلامهما، حتى حصل بذلك فتن وتفريق بين المسلمين. ثم إني أمعنت النظر فوجدتهما قد تبرآ من ذلك، بل رأيتهما عذرا فاعل ذلك، إذا كان مجتهداً أو مقلداً وله حسن قصد. وربما قالا: مأجور في فعله. قال: وهما وإن أطلقا في كتبهما وشددا لكنهما خصصا في بعضها وقيدا. فالذي لا يمعن النظر في كلامهما يحكم بأنهما قائلان بالتكفير قائلان بالتكفير والتشريك بهذه الامور وليس الأمر كما ظن بل هما أشد الناس انكاراً على من يبادر الى تكفير معين او تشريكه او تاثيمه ووجدت عباراتهما طافحة بذلك فمن نظر الى ظاهر كلا منهما المطلق ولم يعرف ما قيداه فقد ظلم الناس وظلمهما وظلم نفسه أما ظلم الناس فلانه حكم بتكفير هم وتشريكهم بظاهر كلامهما و هما لا يقولان بموجبه فضل وأضل وإما ظلمهما فلأنّهُ يشيع عنهما ذلك وينقله فيسبهما ويبغضهما الذي لم يدر حقيقة الحال وأما ظلم نفسه فلأنّهُ كفر مسلماً"، فردّ عليه عبد اللطيف آل الشيخ وتوفي قبل فراغه فأتمّ كتابه أبو الثناء الآلوسي وسمّاه (فتح المنان تتمة منهاج التأسيس رد صلح الإخوان) ورأى آل الشيخ والآلوسي أن داود قد بتر نصوص ابن تيمية وابن القيم، قال رائد السمنهوري "في هذا النص الذي اضطررنا إلى نقله على طوله بيان لمحل النزاع، وتوضيح أن ابن تيمية وابن القيّم أطلقا الأحكام بالتشريك والتكفير والتأثيم على الأقوال والأفعال والمطلقات، ولكنهما أبعد الناس عن تكفير المعيّن أو تشريكه أو تأثيمه إذا كان مجتهدًا مخطئًا أو مقلدًا لا يحسن الاستدلال"، وقال سلطان العميري في كتابه (إشكالية الإعذار بالجهل) "ويتبين أيضاً أن ابن تيمية وإن قال بعذر مَن وقع في تلك المنكرات بالجهل إلا أنه يقول بأن تلك المنكرات شرك أكبر صريح".
داود بن سليمان البغدادي مؤلفاته
9- أنموذج الحقائق: رأى فيه داود أنه يجوز دعاء الموتى والغائبين لأن هذا توسّل، وردّ عليه أحمد بن إبراهيم بن عيسى في كتابه (الرد على شبهات المستغيثين بغير الله) الذي رأى أن في كتاب الأنموذج انتصاراً للشرك.
غسيل النيتروجين السائل
غسيل النيتروجين السائل (بالإنجليزية: Liquid nitrogen wash)‏ هي عملية تُستخدم بشكل أساسي لإنتاج غاز مُركَّب الأمونيا داخل مصانع إنتاج الأسمدة. وهي عادةً ما تكون الخطوة الأخيرة في عملية التنقية في تسلسل عملية إنتاج الأمونيا قبل إنتاج الأمونيا الفعلي.
غسيل النيتروجين السائل التقنيات الأخرى
الغرض من خطوة التنقية النهائية قبل إنتاج الأمونيا الفعلي هو إزالة جميع المكونات السامة لعامل تحفيز تخليق الأمونيا الحساس. يمكن القيام بذلك بالمفاهيم التالية:
التحول إلى ميثان Methanation، يُعد المفهوم القياسي رسميًا لكن له عيب وهو أن محتوى الميثان لا يمكن إزالته، بل إنه يزيد، حيث يجري في هذه العملية تحويل أكاسيد الكربون (أول أكسيد الكربون وثاني أكسيد الكربون) إلى ميثان.
امتزاز تأرجح الضغط، والذي يمكن أن يحل محل التحول في درجات الحرارة المنخفضة، وإزالة ثاني أكسيد الكربون، والتحول إلى الميثان، حيث تُنتج هذه العملية الهيدروجين النقي، والذي يمكن خلطه بالنيتروجين النقي.
غسيل النيتروجين السائل الوظائف
يقوم غسيل النيتروجين السائل على بوظيفتين أساسيتين هما:
يجب إزالة أول أكسيد الكربون تمامًا من غاز التوليف (أي غاز الاصطناع) لأنه سام لعامل تحفيز التوليف الحساس للأمونيا. إن مكونات الأرجون والميثان هي غازات خاملة داخل حلقة تخليق الأمونيا، ولكنها ستزيد هناك وتتطلب نظام لتطهبر الغاز لكن يترتب على ذلك خسارة في غاز التطهير أو نفقات إضافية لوحدة فصل غاز التطهير. المصادر الرئيسية لتوريد غازات التغذية هي عمليات الأكسدة الجزئية partial oxidation.
غسيل النيتروجين السائل تحضيرات الغاز الاصطناعي في المنبع
نظرًا لأن غاز التخليق الخارج من عملية الأكسدة الجزئية يتكون بشكل أساسي من أول أكسيد الكربون والهيدروجين، فعادةً ما يجري تثبيت تحول أول أكسيد الكربون CO المقاوم للكبريت (أي تفاعل انزياح ماء-غاز) من أجل تحويل أكبر قدر ممكن من أول أكسيد الكربون والماء إلى هيدروجين.
يؤدي تحويل أول أكسيد الكربون والماء إلى هيدروجين أيضًا إلى إنتاج ثاني أكسيد الكربون، وعادةً ما يجري إزالته في عملية تنقية الغاز الحمضي مع غازات حمضية أخرى مثل كبريتيد الهيدروجين (على سبيل المثال في وحدة غسيل ريكتيسول).
غسيل النيتروجين السائل العناصر
وحدة امتصاص حيث يجري إزالة آثار المذيبات لعملية تنقية الغاز الحمضي السابقة (مثل الميثانول والماء) أو آثار ثاني أكسيد الكربون أو المركبات الأخرى تمامًا في غربال جزيئي من أجل تجنب التجمد وبالتالي الانسداد في عملية درجات الحرارة المنخفضة التي تعمل عند درجات حرارة تصل إلى 80 كلفن (أي -193 درجة مئوية أو -315 °F فهرنهايت) و
غسيل النيتروجين السائل مبدأ التشغيل
إن اسم "غسيل النيتروجين السائل" ربما يكون مُضللًا بعض الشيء، حيث لا يجري توفير النيتروجين السائل من الخارج لاستخدامه في التنظيف، بل نحصل على النيتروجين الغازي عالي الضغط، بواسطة وحدة فصل الهواء التي توفر عادةً أيضًا الأكسجين للأكسدة الجزئية السابقة.
يجري تسييل هذا النيتروجين الغازي عالي الضغط جزئيًا في هذه العملية ويُستخدم كعامل غسيل. في ما يسمى بعمود غسيل النيتروجين، تُغسل شوائب أول أكسيد الكربون والأرجون والميثان من غاز التوليف بواسطة النيتروجين السائل. حيث تذوب هذه الشوائب مع جزء صغير من الهيدروجين وتترك العمود من المجرى السفلي.
يخرج الغاز المنقى من العمود في الأعلى. يجري الآن تسخين غاز التوليف المنقى وخلطه بالكمية المطلوبة من النيتروجين الغازي عالي الضغط من أجل تحقيق نسبة الهيدروجين إلى النيتروجين 3 إلى 1، ومن ثم يمكن توجيهه إلى تخليق الأمونيا.
عند ضغوط تشغيل أعلى من حوالي 50 بار (أ)، يجري تغطية الطلب على التبريد لغسيل النيتروجين السائل بواسطة تأثير جول-تومسون، ولا يلزم تبريد خارجي إضافي، على سبيل المثال عن طريق تبخر النيتروجين السائل.
غسيل النيتروجين السائل مزايا الجمع بين غسيل النيتروجين السائل وعملية ريكتيسول
يُعد غسيل النيتروجين السائل مفيدًا بشكل خاص عند دمجه مع وحدة غسيل ريكتيسول Rectisol. حيث يؤدي الجمع والترابطات المفيدة بين وحدة غسيل ريكتيسول Rectisol ووحدة غسيل النيتروجين السائل إلى إنتاج معدات أصغر حجمًا وقابلية تشغيل أفضل.
يمكن إرسال الغاز القادم من وحدة غسيل ريكتيسول Rectisol إلى غسيل النيتروجين السائل عند درجة حرارة منخفضة (مباشرة من ممتص الميثانول دون تسخينه). وبما أن جزءًا من الغاز المنقى يجري إعادة تسخينه في وحدة غسيل ريكتيسول، فمن الممكن تعويض التقلبات الصغيرة في التدفق ودرجات الحرارة بسهولة مما يؤدي إلى قابلية أفضل للتشغيل.لتحسين عملية استعادة الهيدروجين، يمكن تركيب إعادة تدوير الهيدروجين المتكامل من غسيل النيتروجين السائل إلى وحدة غسيل ريكتيسول، والتي تستخدم ضاغط إعادة التدوير الموجود بالفعل في وحدة غسيل ريكتيسول لإعادة تدوير الغاز الغني بالهيدروجين من غسيل النيتروجين السائل إلى غاز التغذية في وحدة غسيل ريكتيسول. ويؤدي هذا إلى معدلات عالية للغاية لاسترداد الهيدروجين دون الحاجة إلى أية معدات إضافية.
يوفنتوس موسم 2017–18
كان موسم 2017–18 هو الموسم رقم 120 لنادي يوفنتوس لكرة القدم في الوجود والموسم الحادي عشر على التوالي في الدوري الإيطالي الممتاز. لأسباب تتعلق بالرعاية، من 1 يوليو 2017 حتى 30 يونيو 2023، عُرف ملعب يوفنتوس باسم ملعب أليانز في تورينو.  خلال الموسم السابق، أعلن الرئيس أنييلي أنه سيتم تقديم شعار جديد ليوفنتوس، وكشف عن مقطع فيديو يظهر تقديم الشعار الجديد. يظهر الشعار كلمة يوفنتوس في الأعلى، مع حرفين كبيرين J يظهران معًا بخطين مختلفين مع فتحة صغيرة بينهما ليصبحا حرف J أكبر تقريبًا. قال أنييلي أن الشعار يعكس "طريقة حياة يوفنتوس".  في هذا الموسم، قدم يوفنتوس شعاره الجديد على القمصان.  في 16 فبراير 2018، تم إصدار الحلقات الثلاث الأولى من المسلسل الوثائقي المسمى الفريق الأول: يوفنتوس، والذي تابع النادي طوال الموسم، من خلال قضاء الوقت مع اللاعبين خلف الكواليس داخل وخارج الملعب، على نتفليكس؛ تم إصدار الحلقات الثلاث الأخرى في 6 يوليو 2018.
يوفنتوس موسم 2017–18
في 9 مايو 2018، فاز يوفنتوس بلقب الثالث عشر في كأس إيطاليا، والرابع على التوالي، بفوزه 4–0 على ميلان، موسعًا الرقم القياسي في عدد ألقاب كأس إيطاليا المتتالية.  بعد أربعة أيام في 13 مايو، وبعد التعادل 0–0 مع روما، ضمن يوفنتوس لقبه السابع على التوالي في الدوري الإيطالي، موسعًا الرقم القياسي في الانتصارات المتتالية في المسابقة.  ثم في 17 مايو، أعلن حارس مرمى يوفنتوس الأسطوري جانلويجي بوفون وداعه للدوري الإيطالي (والمنتخب الوطني لكرة القدم).   غادر الدوري الإيطالي بعد 23 موسمًا في مسيرته، كان آخرها مع يوفنتوس، وتسعة ألقاب في الدوري، و640 مباراة، وهو ثاني أعلى رقم في الدوري الإيطالي.  عاد بوفون إلى يوفنتوس في عام 2019 بعد فترة عام واحد مع باريس سان جيرمان.
كاساوتي (فلم هندي 1974)
كاساوتي (بالهندية: कसौटी) (بالإنجليزية: Kasauti) هو فيلم درامي بوليوودي عام 1974 من إخراج وإنتاج أرافيند سين. بطولة أميتاب باتشان، هيما ماليني، بران في الأدوار الرئيسية.
كاساوتي (فلم هندي 1974) ملخص
سابنا، إحدى سكان الأحياء الفقيرة في بومباي، تبحث عن ملجأ من نوبة سكر ينتابها بسبب زوج أمها. هيرا، المهرّب المستهتر، لديه عين على سابنا ويريد أن يمتلكها من أجل متعته. أميت -سائق سيارة أجرة متعلم- يُنقذ سابنا من براثن هيرا، ولكن سرعان ما يتهمها بمحاولة السرقة وؤدي ذلك لسجنها. لاحقًا وفي نوبة من الغضب، قتلت والدة سابنا زوجها.
يَعد أميت بالزواج من سابنا عند تبرئتها، لكن في عشية زواجهما يرفض والد أميت قبول سابنا. لأنها لا تريد أن تفرق بين عائلة أميت وعائلته، تقرر سابنا الخروج من حياته وتغادر المدينة.
يبحث أميت وصديقه بياريلال عن سابنا، ولكن لا ينجحان. وفي ذات الوقت حققت سابنا نجاحًا فوريًا على المسرح في كلكتا بمساعدة أشوك بابو. لاحقًا تقدم لها أشوك بعرض للزواج منها، لكن سابنا تتركه مرة أخرى. في نهاية المطاف، تلتقي مرة أخرى بأميت.
كاساوتي (فلم هندي 1974) الموسيقى التصويرية
تم تأليف الموسيقى من قبل كاليانجي-أناندجي، كلمات الأغاني: إنديفار، فيرما مالك وأناند باكشي.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات
مقالة نظرية المجموعات الأولى لجورج كانتور- تتضمن أولى نظريات المجموعة غير المنتهية لجورج كانتور، والتي تدرس المجموعات اللانهائية وخصائصها. أحد خصائص هذه النظريات هو "اكتشافه الانقلابي" بأن مجموعة كل الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد، والقابلة للعد لانهائية. تم إثبات هذه النظرية باستخدام أول برهان لعدم إمكانية العد لكانتور، وهو يختلف بطبيعة الحال عن برهانه الأكثر شيوعًا عن طريق ما يسمى بــ حجة كانتور القطرية. وقد جاءت المقالة بعنوان" حول خاصية مجموعة كل الأعداد الجبرية الحقيقية " وهي تشير إلى نظريته الأولى: مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد. نُشرت مقالة كانتور في عام 1874م. وفي عام 1879م، قام كانتور بتعديل برهانه لعدم إمكانية العد باستخدام المفهوم الطوبولوجي للمجموعة الكثيفة في فترة زمنية.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات
مقالة كانتور، تتضمن أيضًا برهانًا على وجود الأعداد المتسامية. كل من البراهين البنّاءة وغير البنّاءة، تم تقديمها على أنها "برهان كانتور". وقد أدى تداول تقديم البراهين غير البنّاءة، إلى تصور خاطئ مفاده أن حجج كانتور غير بنّاءة. نظرًا لأن البرهان الذي نشره كانتور إما ينتج عنه أعدادًا متسامية أو لا، فإن تحليل مقالته يمكن أن يحدد ما إذا كان هذا البرهان بناءً أم لا. تُوضح مراسلات كانتور مع ريتشارد ديديكيند مدى تطور أفكاره، وتكشف أيضًا كيف كان لدي كانتور خيار بين برهانين: الأول برهان غير بناء، يستخدم عدم إمكانية عد الأعداد الحقيقية. والثاني برهان بناء لا يستخدم عدم إمكانية عدها.
مؤرخو الرياضيات قاموا بدراسة مقالة كانتور، والتداعيات التي كتبت فيها. واكتشفوا بعض الحقائق، والتي منها على سبيل المثال، أن كانتور وجهت إليه النصيحة باستبعاد مبرهنته بعدم إمكانية العد في المقالة التي قدمها - والتي أضافها أثناء مراجعته لمسودة المقالة . وقد ارجعوا هذه الحقائق وغيرها حول المقالة إلى تأثير كل من: كارل فايرشتراس وليوبلد كرونكر. كما قام المؤرخون أيضًا بدراسة مساهمات ديديكيند في المقالة، بما في ذلك مساهماته في نظرية قابلية عد الأعداد الجبرية الحقيقية. بالإضافة إلى ذلك، فقد أدركوا الدور الذي تلعبه نظرية عدم القدرة على العد ومفهوم القدرة على العد في تطوير نظرية المجموعات، ونظرية القياس، وتكامل لوبيغ.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات المقال
تعد مقالة كانتور قصيرة إلى حد ما، فهي أقل من أربع صفحات ونصف.  يبدأ فيها بمناقشة الأعداد الجبرية الحقيقية، وبيان نظريته الأولى: يمكن وضع مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية في تقابل واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ويعيد كانتور صياغة هذه النظرية بعبارات مألوفة أكثر لدى علماء الرياضيات في عصره فيقول: "يمكن كتابة مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية على هيئة متتالية لا نهائية يظهر فيها كل رقم مرة واحدة فقط."
تعمل نظرية كانتور الثانية مع المجال الفاصل [ a ،b ]، وهي مجموعة الأعداد الحقيقية ≥a و ≤b. والنظرية تنص على الآتي: إذا أعطيت أي متتالية من الأعداد الحقيقية ...x 1 ، x 2 ، x 3 وأي فاصل [ a ،b ]، يوجد رقم في [a،b ] التي لا توجد في التسلسل المحدد. ومن ثم، هناك عدد لا نهائي من هذه الأعداد.
يلاحظ كانتور أن الجمع بين نظريتيه يؤدي إلى إثبات جديد لنظرية ليوفيل التي تنص على أن كل فاصل [a ،b ] يحتوي على عدد لا نهائي من الأعداد المتسامية.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات المقال
السبب الذي يجعل مجموعات الأعداد الحقيقية التي تشكل ما يسمى بالسلسلة المستمرة (مثل جميع الأعداد الحقيقية التي تكون ≥ 0 و ≥ 1) لا يمكن أن تتوافق واحدًا لواحد مع المجموعة (ν) [مجموعة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة]؛ وهكذا وجدت الفرق الواضح بين ما يسمى بالاستمرارية ومجموعة مثل مجموع الأعداد الجبرية الحقيقية.
وهذه الملاحظة تحتوي على نظرية عدم قابلية العد لكانتور، والتي تنص فقط على أن الفترة الزمنية [a ،b] لا يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. ولكنها لا تنص على أن هذه الفترة هي مجموعة لا نهائية من عدد أكبر من مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة. تم تعريف العلاقة الأساسية في مقالة كانتور التالية، والتي تم نشرها في عام 1878م.
كانتور يذكر فقط نظريته حول عدم إمكانية العد. ولكنه لا يستعملها في أي برهان.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات البراهين
لإثبات أن مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد، حدد ارتفاع متعددة الحدود من الدرجة n مع معاملات صحيحة على النحو التالي:
n-1+| a0 |+|a 1 |+...+|an ، حيثa 0 ،a 1 ، ... , a n هي معاملات الحدود المتعددة. رتب متعددة الحدود حسب ارتفاعها، ورتب الجذور الحقيقية لمتعددة الحدود التي لها نفس الارتفاع حسب الترتيب العددي. نظرًا لوجود عدد محدود فقط من جذور متعددة الحدود ذات ارتفاع معين، فإن هذه الترتيبات تضع الأعداد الجبرية الحقيقية في تسلسل. وقد ذهب كانتور إلى خطوة أبعد وأنتج تسلسلًا يظهر فيه كل عدد جبري حقيقي مرة واحدة فقط. لقد فعل ذلك من خلال استخدام متعددة الحدود التي لا يمكن اختزالها على الأعداد الصحيحة فقط. يحتوي الجدول التالي على بداية تعداد كانتور.
كل ما يحتاج إلى إثبات هو فقط الجزء الأول من النظرية الثانية لكانتور. والذي ينص على: إذا أعطيت أي متوالية من الأعداد الحقيقية ........,x 1 ، x 2 ، x 3 ، وأي فاصل [ a ،b ]، يوجد رقم في [a ،b ] التي لا توجد في التسلسل المحدد.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات البراهين
للعثور على رقم في [ a ،b ] التي لا توجد في المتتالية المعطاة، نقوم بإنشاء متتاليتين من الأعداد الحقيقية على النحو التالي: نوجد أول عددين من المتتالية المعطاة الموجودين في المجال الفاصل(a ،b ). ثم نقم بالإشارة إلى الأصغر من هذين الرقمين بـ a 1 والأكبر بـ b 1 . وبالمثل، نبحث عن أول رقمين من التسلسل المعطى الموجودين في ( a 1 ،b 1 ). ونقوم بالإشارة إلى الأصغر بـ a 2 وإلى الأكبر بـ b 2. واستمرار مثل هذا الإجراء سيؤدي إلى إنشاء سلسلة من الفواصل الزمنية (a 1 ،b 1 )، ( a 2 ،b 2 )، (a 3 ،b 3 )،... بحيث يحتوي كل فاصل في التسلسل على جميع الفواصل اللاحقة—وهذا يعني أنه يقوم بإنشاء سلسلة من الفواصل الزمنية المتداخلة . وهذا يعني أن المتتالية a 1 ، a 2 ، a 3 ،... تتزايد والمتتالية b 1 ، b 2 ، b 3 ،... تتناقص.
إما أن يكون عدد الفواصل الزمنية المولدة منتهيًا، أو يكون غير منتهي. فإذا كان منتهيًا، ندع ( a L ،b L ) لتكون الفاصل الأخير. ,وإذا كان لانهائيًا، نأخذ نهاية المتتالية
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات البراهين
b ∞=limn→∞b n . حيث an<b n لجميع n، سواء أكانت a ∞=b ∞ أو∞a ∞<b .
ومن ثم، هناك ثلاث حالات ينبغي أخذها في الاعتبار:
الحالة 1: هناك فاصل أخير (a L ،b L ). نظرًا لأنه لا يمكن أن يوجد أكثر من x n واحد في هذه الفترة، فإن كل y في هذه الفترة باستثناء x n (إذا كان موجودًا) ليس في التسلسل المعطى.
الحالة الثانية: أ ∞ = ب ∞الحالة 2: ∞a∞=b ∞ . ثم لا يكون ∞ في المتتالية لأنه بالنسبة لجميع n: a ∞ في الفاصلة ( a n ،b n ) لكن x n لا تنتمي إلى ( a n ،b n ). بالرموز: a ∞∈( a n ،b n ) لكن x n∉( a n ،b n ).
الحالة 3: ∞a ∞<b . ثم كل y في [ ∞a ∞ ،b ] غير موجود في التسلسل المعطى لأنه بالنسبة لجميع n: y ينتمي إلى ( a n ،b n ) لكن x n لا ينتمي.
وهكذا يكون الإثبات كاملاً؛ لأنه في جميع الحالات يوجد على الأقل عدد حقيقي واحد في [ a ،b ] تم العثور على عدم وجوده في التسلسل المحدد.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات البراهين
وعليه يمكن القول: إن براهين كانتور بنّاءة، وتم استخدامها لكتابة برنامج (حاسوب) والذي يقوم بإنشاء أرقام عدد متسامي. ويقوم هذا البرنامج بتطبيق بناء كانتور على تسلسل يحتوي على جميع الأعداد الجبرية الحقيقية الواقعة بين 0 و 1. والمقالة التي تناقش هذا البرنامج تقدم بعض مخرجاته، والتي توضح كيف يولد البناء متساميًا.
المثال الآتي يوضح كيفية عمل بناء كانتور. نأخذ بعين الاعتبار التسلسل:1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... يتم الحصول على هذا التسلسل عن طريق ترتيب الأعداد الكسرية الواقعة بين (0،1) عن طريق زيادة المقامات، وترتيب الأعداد التي لها نفس المقام عن طريق زيادة قيمة البسط، وحذف الكسور القابلة للاختزال. يوضح الجدول أدناه الخطوات الخمس الأولى للبناء.
يحتوي العمود الأول في الجدول على الفواصل الزمنية ( a n ،b n ). في حين يسرد العمود الثاني الحدود التي تمت زيارتها أثناء البحث عن أول حدين في ( a ،b n ). وهذين الحدين تم تعليمهما باللون الأحمر. ونظرًا لأن التسلسل يحتوي على جميع الأعداد الكسرية ما بين (0،1) لذلك ينتج عن البناء عدد غير كسري، والذي يتبين أنه √2−1.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات برهان عدم قابلية العد لكانتور عام 1879م
نشر كانتور برهانًا جديدًا لعدم القدرة على العد، وذلك في العام 1879م، والذي عدل فيه من برهانه الذي قدمه عام 1874م. فقام في البداية بتعريف المفهوم الطوبولوجي لمجموعة النقاط (P ) التي تكون " كثيفة في كل مكان في الفاصل الزمني":
إذا كان (P) يقع جزئيًا أو كليًا في الفاصل الزمني [α،β]، ثم يمكن أن تحدث الحالة الملحوظة وهي أن كل فاصل [γ،δ] الواردة في [α،تحتوي β]، مهما كانت صغيرة، على نقاط P. في هذه الحالة، وقتها يمكن القول إن (P )كثيفة في كل مكان في الفاصل الزمني [α،b]
في هذه المناقشة لبرهان كانتور: a،b ،c ،d تستخدم بدلاً من α،β,γ,δ. بالإضافة إلى ذلك، يستخدم كانتور تدوين الفاصل الزمني فقط إذا كانت نقطة النهاية الأولى أقل من الثانية. بالنسبة لهذه المناقشة، هذا يعني أن ( a ،b ) يعني a<b.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات برهان عدم قابلية العد لكانتور عام 1879م
وحيث أن مناقشة برهان كانتور لعام 1874م، تم تبسيطها من خلال استخدام الفواصل المفتوحة بدلاً من الفواصل المغلقة، فهنا أيضًا تم استخدام نفس التبسيط. وهذا يتطلب تعريفًا مكافئًا للكثافة في كل مكان: المجموعة P كثيفة في كل مكان في الفاصل الزمني [ a ،b ] إذا وفقط إذا كانت كل مجال فاصل مفتوح ( c ،d ) من [ a،b ] تحتوي على نقطة واحدة على الأقل من P.
كانتور لم يحدد عدد نقاط (P ) في فترة زمنية مفتوحة ( c ،d ) التي يجب أن تكون متضمنة. وهو لم يكن بحاجة إلى تحديد ذلك؛ لأن الافتراض القائل بأن كل مجال فاصل مفتوح يحتوي على نقطة واحدة على الأقل من P يعني أن كل مجال فاصل مفتوح يحتوي على عدد لا نهائي من نقاط P.