hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
الجيش الوطني الصومالي المعدات
293 دبابة قتالية (30 سنتوريون من الكويت، 123 إم 47 باتون، 30 تي - 34، 110 تي - 55 من مصادر مختلفة)، وشملت المركبات القتالية المدرعة التي حصل عليها الجيش 10 دبابات خفيفة من طراز إم 41 ووكر بلودوج، و30 سيارة من طراز بي أر دي إم-2، و15 سيارة مدرعة من طراز بنهارد إيه إم إل -90 (كانت مملوكة سابقًا للمملكة العربية السعودية). وقدر المعهد الدولي للدراسات الاستراتيجية في عام 1989 أن الجيش يملك 474 ناقلة جنود مدرعة، بينها 64 بي تي آر-40، وبي تي آر-50، وبي تي آر-60؛ وأشارت تقارير إلى أن بحوزة الجيش 100 ناقلة جنود مدرعة ذات عجلات من طراز بي تي أر-152، و310 من طراز فيات سي إم 6614[الإنجليزية]و6616، بالإضافة إلى عربات بي إم آر -600 . وأشار المعهد الدولي للدراسات الاستراتيجية إلى أن من ضمن المعدات 210 قطعة مدفعية (8 M-1944 100) مم، 100 م-56 105 مم، 84 م-1938 122 ملم، و18 ام198 هاوتزر عيار 155 مم، وشملت المعدات الأخرى التي أشار إليها المعهد الدولي للدراسات الاستراتيجية 82 ملم و120 ملم، و100 صاروخ موجه مضاد للدبابات من طراز ميلان وبي جي إم-71 تاو، وقاذفات صواريخ، وبنادق عديمة الارتداد، ومجموعة متنوعة من مدافع الدفاع الجوي السوفيتية يبلغ عددها 20 مم، 23 مم، 37 مم، 40 مم، 57 ملم و100 ملم.
الجيش الوطني الصومالي قراءة متعمقة
بافور أجيمان-دواه، القرن الإفريقي: الصراع ونزع السلاح وإعادة الإعمار، مجلة دراسات الصراع، المجلد. 16، العدد 2، 1996، يمكن الوصول إليه على https://journals.lib.unb.ca/index.php/JCS/article/view/11813/12632#a50
زاكيا، باولو ب. هاربورن، برنارد. سيمز، جيف. 2017. الصومال - مراجعة الإنفاق العام لقطاع الأمن والعدالة. واشنطن العاصمة: مجموعة البنك الدولي. http://documents.worldbank.org/curated/en/644671486531571103/Somalia-Security-and-justice-sector-public-expenditure-review
إيفان مايسكي
كان إيفان ميخائيلوفيتش مايسكي (19 يناير 1884- 3 سبتمبر 1975)، دبلوماسيًا ومؤرخًا وسياسيًا سوفيتيًا، شغل منصب سفير الاتحاد السوفيتي لدى المملكة المتحدة من 1932 إلى 1943، بما في ذلك الكثير من فترة الحرب العالمية الثانية.
إيفان مايسكي حياته المهنية المبكرة
وُلد إيفان مايسكي باسم يان لاخوفييسكي في قلعة نبلاء في كيريلوف قرب نيجني نوفغورود، حيث كان والده يعمل مدرسًا خاصًا. كان والده يهوديًا بولنديًا تحول إلى المسيحية الأرثوذكسية، وأمه روسية. قضى طفولته في أومسك، حيث عمل والده طبيبًا عسكريًا. تأثر شباب مايسكي بشدة بالنزعة الإنسانية للمثقفين الروس، وكان مؤلفوه المفضلون في شبابه ويليام شكسبير وفريدريك شيلر وهاينريش هاينه ولورد بايرون. تشكلت قيمه من خلال النشأة في عائلة ملحدة مثقفة محبة للكتب كانت تقرأ أعمال ألكسندر هيرزن ونيكولاي تشيرنيشيفسكي. مثل الكثير من المثقفين الروس، عارضت عائلة مايسكي النظام الاجتماعي للإمبراطورية الروسية ورأت أن خدمة «الشعب» هي الفضيلة العليا.
إيفان مايسكي حياته المهنية المبكرة
عندما كان طالبًا في جامعة سانت بطرسبرغ، تأثر بشدة بكتابات سيدني وبياتريس ويب. عمل شاعرًا عندما كان طالبًا وكانت قصيدته الأولى «أتمنى أن أكون عاصفة رعدية عظيمة». في عام 1902، قُبض عليه بسبب أنشطته السياسية، وأُعيد إلى أومسك تحت مراقبة الشرطة. في 1903، انضم مايسكي إلى فصيل المناشفة في حزب العمال الديمقراطي الاشتراكي الروسي. في يناير 1906، اعتُقل لدوره في ثورة 1905 ورُحل إلى توبولسك. خُففت عقوبته فيما بعد وسُمح له بالهجرة إلى ميونيخ، حيث حصل على شهادة في الاقتصاد.
إيفان مايسكي حياته المهنية المبكرة
في نوفمبر 1912، انتقل مايسكي إلى لندن وتشارك منزلًا في غولدرز غرين مع ماكسيم ليتفينوف وجورجي تشيشيرين. مع تحسن لغته الإنجليزية، توسعت دائرة أصدقائه لتضم جورج برنارد شو هربرت جورج ويلز وبياتريس ويب. كتبت بياتريس أنه كان «من أكثر الماركسيين انفتاحًا، وعلى دراية تامة بالمشكلات في المصطلحات الماركسية، الدراسية والعقائدية. لكنه عاش بعد ذلك في الخارج بين الكفار والماديين، وربما تأثر عقله قليلًا بالنظرة السفسطائية اللاأدرية حول الكون المغلق الخاصة بماركسيي موسكو». بعد اندلاع الحرب في 1914، دعم المناشفة الأممين، الذين عارضوا الحرب بطريقة سلبية، وعمل ممثلًا رئيسًا لهم في مؤتمر اشتراكي عُقد بلندن في فبراير 1915. تسبب هذا بخلاف في علاقته مع ليتفينوف البلشفي، الذي أيد سياسة لينين «الانهزامية الثورية»، أي أن البلاشفة يجب أن يعملوا بنشاط من أجل هزيمة روسيا لأنها الطريقة الأفضل لإحداث ثورة.
إيفان مايسكي حياته المهنية المبكرة
عاد مايسكي إلى روسيا بعد ثورة فبراير، وشغل منصب نائب وزير العمل في حكومة ألكسندر كيرينسكي المؤقتة. عارض الثورة البلشفية، وعندما بدأت الحرب الأهلية الروسية، انتقل إلى سامارا. في يوليو 1918، صار وزير العمل في الحكومة المؤقتة، المعروفة باسم حكومة كوموش، والتي دعمت المقاومة المسلحة للبلاشفة، وهو ما طُرد بسببه من الحزب المنشفي. اضطر إلى الفرار إلى منغوليا عندما فرض الأميرال كولتشاك دكتاتورية عسكرية في سيبيريا عام 1919. في منغوليا، كتب رسالة إلى أناتولي لوناتشارسكي يشيد فيها «بجرأة وأصالة» البلاشفة، بالمقارنة مع المناشفة «الفاضلين لكن عديمي الموهبة»، وبناءً على توصية لوناتشارسكي، سُمح له بالانضمام إلى الحزب البلشفي، وعُين رئيسًا لقسم سيبيريا من غوسبلان.
في يناير 1922، انتقل إلى موسكو بصفة رئيس القسم الصحفي في مفوضية الشعب للشؤون الخارجية (ناركوميندل)، التي كان يرأسها تشيشيرين وليتفينوف، حيث التقى زوجته الثالثة، أجينا سكريبينا، لكنه عُين لاحقًا في لينينغراد، حيث سُلم في يناير 1924 منصب رئيس تحرير لمجلة زفيزدا الأدبية. في عهده بمنصب رئيس التحرير، كانت المجلة هي الوحيدة في الاتحاد السوفيتي التي لا تخضع لسيطرة الرابطة الروسية للكتاب البروليتاريين (آر أيه بّي بّي) لتشجيع الأدب «البروليتاري»، ولديها ممثل عن حركتهم في مجلس إدارتها، بينما تتسامح مع مجموعة من الآراء النقدية. حاول مايسكي شخصيًا تبني موقف وسطي بين آر أيه بّي بّي وخصمهم الرئيس، ألكسندر فورونسكي.
إيفان مايسكي حياته المهنية الدبلوماسية
في عام 1925، عُين مايسكي مستشارًا في السفارة السوفيتية في لندن، حيث خدم في أثناء الاضطرابات التي أحدثتها رسالة زينوفايف والإضراب العام، وشغل منصب سفير فعلي بعد الوفاة المفاجئة للسفير ليونيد كراسين، حتى أُجبر على المغادرة عندما قطعت بريطانيا العلاقات الدبلوماسية مع الاتحاد السوفيتي في مايو 1927. كان مستشارًا في السفارة السوفيتية بطوكيو في 1927- 1929. في أبريل 1929، صار المبعوث السوفيتي إلى فنلندا.
إيفان مايسكي وصوله إلى لندن
في أكتوبر 1932، عاد إلى لندن بصفة السفير السوفيتي الرسمي لمحكمة سانت جيمس، كما كان اسم المنصب. واحتفظ به حتى عام 1943. أُطلقت الخطة الخمسية الأولى في عام 1928، بهدف جعل الاتحاد السوفيتي مكتفيًا صناعيًا وبالتالي مكتفيًا ذاتيًا من الناحية العسكرية، وهكذا كانت واجبات مايسكي في لندن اقتصادية في المقام الأول. كان الوزير البريطاني الذي فاوضه مايسكي أكثر من غيره وزير الخزانة، نيفيل تشامبرلين، الذي أخبر مايسكي أن بلاده كانت «أكثر الدول عدوانية في العالم» من وجهة النظر البريطانية، وأنه لم يكن ميالًا إلى منح ائتمانات تجارية بريطانية للسماح بتصدير الآلات البريطانية من أجل المساعدة بالخطة الخمسية الأولى. كره تشامبرلين مايسكي، الذي رآه محتالًا ماكرًا لم يقل ما يقصد ولم يقصد ما قال قط.
إيفان مايسكي وصوله إلى لندن
كان مايسكي مقربًا جدًا من المثقفين البريطانيين اليساريين، الذين صادقهم من كثب. كان من أصدقاء مايسكي المقربين في لندن الخبير الاقتصادي جون ماينارد كينز والكاتب هربرت جورج ويلز والكاتب المسرحي جورج برنارد شو. دائمًا ما رأى مايسكي مهمته في لندن وسيلة لكسب الرأي العام البريطاني من أجل تفضيل علاقات أوثق مع الاتحاد السوفيتي. كتبت المؤرخة الأسترالية شيليا فيتزباتريك: «كان إيفان مايسكي مثالًا للمفكر العالمي الذي كان ستالين وفريقه يحتقره ويحسده، وفوق ذلك كان منشفيًا سابقًا. رجل اجتماعي، أدرك حال وصوله إلى لندن أعراف الطبقات العليا الإنجليزية وأسس شبكة غير عادية من الاتصالات». ضمت دائرة أصدقاء مايسكي مجموعة من السياسيين ورجاء الأعمال والمفكرين مثل أنتوني إيدن وديفيد لويد جورج ووينستون تشرشل ورامزي ماكدونالد ولورد بيفربروك وسيدني ويب وبياتريس ويب وليدي أستور.
أنجيليكا لوبيز
أنجيليكا داناو لوبيز (ولدت في 22 نوفمبر 2000) هي عارضة أزياء فلبينية وحاملة لقب ملكة جمال، تُوجت بلقب ملكة جمال الفلبين الدولية لعام 2023. مثلت الفلبين في مسابقة ملكة جمال العالم 2024.
أنجيليكا لوبيز نشأتها
التحقت لوبيز في يونيو 2021 بجامعة ولاية بالاوان في بويرتو برينسيسا، بالاوان، الفلبين لمتابعة درجة البكالوريوس في علم النفس.
أنجيليكا لوبيز مسابقات الجمال
تنافست لوبيز في مسابقة ملكة جمال الكون الفلبين 2022 حيث مثلت مقاطعة بالاوان وحصلت على المركز 16.
ممثلًا لبالاوان، توج لوبيز بلقب ملكة جمال الفلبين الدولية 2023 من قبل جمال الفلبين الدولية 2022 نيكول بوروميو وملكة جمال الدولية 2022 الألمانية جاسمين سيلبيرج، وبذلك تمثل لوبيز الفلبين في مسابقة ملكة جمال الدولية 2024.
في 7 يوليو 2024، في النسخة الستين من ملكة جمال الفلبين، سلمت أنجليكا لوبيز تاجها إلى ميرنا إسغويرا من مقاطعة أبرا. وعلى الرغم من أنها سلمت تاجها بالفعل إلى خليفتها، إلا أن واجباتها لم تنته بعد حيث لا يزال يتعين عليها التنافس في مسابقة ملكة جمال العالم 2024 التي تقام في اليابان. من ناحية أخرى ستتنافس ميرنا خليفتها في عام 2025. لقد فشلت في التأهل للقطع الأول بعد احتلالها المركز الحادي والعشرين.
حواء المنصوري
حواء سالم سعيد الضحاك المنصوري (أغسطس 1981)، هي طبيبة ومخترعة وسياسية إماراتية. عُينت في المجلس الوطني الاتحادي لدولة الإمارات العربية المتحدة عام 2019. تعمل طبيبة غددٍ صماء ومديرٍ تنفيذي للرعاية الصحية، وتشغل منصب المدير التنفيذي لقسم الأبحاث الداخلية في مركز أبو ظبي للخلايا الجذعية، ونائب المدير الطبي لمركز إمبريال كوليدج لندن للسكري في مدينة أبو ظبي. وهي عضو في مجلس إدارة صندوق الوطن (مبادرة مجتمعية لمجموعة رجال أعمال إماراتيين، تدعم التنمية المستدامة). الدكتورة حواء من المدافعين عن الرعاية الصحية المستدامة،  والطب الوراثي وتمكين المرأة.
في عام 2014، حصلت حواء على جائزة "رواد الإمارات" من رئيس وزراء دولة الإمارات العربية المتحدة لاختراعها تقنية "وضع القسطرة". وهي مخترعة معروفة لثلاث براءات اختراع أمريكية، وأكاديمية منشورة.
حواء المنصوري التعليم
حواء المنصوري أول امرأة إماراتية تحصل على منحة رئاسة دولة الإمارات العربية المتحدة لدراسة الطب في الولايات المتحدة. أكملت دراستها الجامعية في جامعة ميريلاند وحصلت على درجة البكالوريوس في علم الأعصاب وعلم وظائف الأعضاء، وبكالوريوس في علم النفس.
وفي عام 2001، حصلت المنصوري على زمالة بحثية طبية من معهد هوارد هيوز الطبي ، وعملت خلالها كمساعدة لسارة تيشكوف وقامت بمشاريع بحثية تركز على علم الوراثة السكانية والأمراض النادرة، مثل حمى البحر الأبيض المتوسط العائلية. وكما نشرت أبحاثها في مجلات محكمة مثل: المجلة الأمريكية لأمراض الجهاز الهضمي ومجلة الجمعية الأمريكية للسكري.
حواء المنصوري التعليم
بعد حصولها على دكتوراه في الطب، أصبحت حواء المنصوري أول امرأة غير أمريكية تتخرج من كلية الطب بجامعة جورج واشنطن، حيث أكملت بعد ذلك إقامتها وزمالتها. وفي عام 2013 حصلت على شهادة البورد المزدوج في الطب الباطني والغدد الصماء.
في عام 2013، بعد الانتهاء من دراستها، عادت الدكتورة المنصوري إلى الإمارات العربية المتحدة. وقد تم تقديمها في القمة العالمية للحكومات لعام 2014 من قبل نائب رئيس مجلس الوزراء الشيخ منصور بن زايد آل نهيان كمثال للنجاح في التعليم والابتكار.
حواء المنصوري الحياة المهنية
بدأت حياتها المهنية كاستشارية في أمراض الغدد الصماء، وقد عملت حواء المنصوري في العديد من المناصب المتعلقة بالرعاية الصحية في القطاعين العام والخاص.
أما عملها السياسي بدأ مع تعيينها في المجلس الوطني الاتحادي.
حواء المنصوري هي رئيس مجلس الإدارة والمؤسس المشارك لشركة SonoStik LLC، وهي شركة أُنشئت لتطوير تقنيات الوصول إلى الأوعية الدموية بناءً على تصميم قد صُمم خلال دراستها الطبية. في يونيو 2021، أكملت SonoStik جمع جولة التمويل من السلسلة A بقيادة DisruptAD، منصة رأس المال الاستثماري لشركة الاستثمار ADQ.
منذ عام 2016، تشغل حواء المنصوري منصب نائب المدير الطبي لمركز إمبريال كوليدج لندن للسكري في أبوظبي، وهو أكبر منشأة للمرضى الخارجيين في العاصمة من حيث عدد المرضى. تعمل منذ عام 2014 كاستشارية في أمراض الغدد الصماء في مركز ICLDC وفي كليفلاند كلينك أبوظبي.
حواء المنصوري الحياة المهنية
حواء المنصوري هي المدير التنفيذي للأبحاث الداخلية في مركز أبوظبي للخلايا الجذعية (ADSCC)، حيث تقود التعاون والمبادرات البحثية بما في ذلك مشروع لاستكشاف العلاجات المحتملة لمرض السكري من النوع الأول . في مايو 2021، زار الشيخ محمد بن زايد ، ولي عهد أبوظبي، المركز للإعلان عن تطوير مجمع جديد للأبحاث الطبية، وذكر أن "عملهم الملهم هو جزء أساسي من جهود دولة الإمارات العربية المتحدة لتقديم الخبرة الطبية للمساعدة في القضاء على الأمراض". ودعم التنمية البشرية في جميع أنحاء العالم."
في نوفمبر 2021، كانت حواء المنصوري جزءًا من وفد من مركز أبوظبي للخلايا الجذعية الذي زار مركز زايد لأبحاث الأمراض النادرة عند الأطفال، وهو مركز متخصص للبحث والعلاج تموله دولة الإمارات العربية المتحدة ويرتبط بمستشفى جريت أورموند ستريت (GOSH). واستضافت المؤسستان ورشة عمل وناقشتا إمكانية التعاون في مجالات مثل: الأمراض النادرة والعلاج الجيني والطب التجديدي.
حواء المنصوري الحياة المهنية
في ديسمبر 2021، أُعلن عن توقيع حواء المنصوري على خطاب نوايا نيابة عن مركز أبوظبي للخلايا الجذعية مع المعهد الوطني الأمريكي للحساسية والأمراض المعدية (NIAID)، وهو جزء من المعهد الوطني للصحة (NIH). يهدف البحث التعاوني المتوقع بموجب خطاب النوايا هذا إلى أن يكون بمثابة أساس لشراكات بحثية لاحقة يمكن أن تستجيب للفرص العلمية الفريدة المتاحة بين دولة الإمارات العربية المتحدة والولايات المتحدة. قالت حواء المنصوري وفي كلمتها خلال حفل الإعلان: "نحن كدولة نفخر بالإرث الذي ورثناه من أجدادنا الذين بنوا هذه الأمة العظيمة قبل 50 عامًا... ومن واجبنا أن نواصل الرحلة على مدى الخمسين سنة القادمة... إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها أن نلعب دورًا هي الاستفادة من العلاقات الجديدة وأوجه التعاون المبتكرة لتسريع التقدم... إن شراكتنا [مع NIAID] لديها القدرة على تحقيق اختراقات تحويلية لأمراض مثل مرض السكري والتي يمكن أن تحسن حياة الملايين من الناس."
حواء المنصوري الحياة المهنية
خلال زيارة إلى مركز أبو ظبي للخلايا الجذعية، ناقش الدكتور تيدروس غيبريسوس، المدير العام لمنظمة الصحة العالمية ، خطاب النوايا المعلن عنه مع المعاهد الوطنية للصحة في الولايات المتحدة، والتعاون المستقبلي المحتمل بما في ذلك مركز أبوظبي للخلايا الجذعية الذي يهدف إلى أن يصبح أول مركز تابع لمنظمة الصحة العالمية. مركز التعاون في الشرق الأوسط.
وفي نوفمبر 2018، تعيينت حواء المنصوري في المجلس الوطني الاتحادي لدولة الإمارات العربية المتحدة ممثلاً لإمارة أبوظبي. لقد قادت المناقشات حول السياسات ومراجعات القوانين المقترحة في العديد من المجالات من ذلك الرعاية الصحية،  المشاريع، الاستدامة،  التعليم، والشؤون التشريعية،  والمساواة. خلال جائحة كوفيد-19، أعربت عن دعمها لمبادرة حكومية لمنح الأطباء وأسرهم تأشيرات إقامة لمدة 10 سنوات.
في نوفمبر 2016، شغلت حواء المنصوري منصب رئيس الاحتفالات في حفل إطلاق عام التعاون الإبداعي بين الإمارات العربية المتحدة والمملكة المتحدة 2017، حيث قدمت عرضًا أمام جمهور من بينهم الملك تشارلز الثالث والملكة كاميلا .
حواء المنصوري هي عضو مجلس إدارة صندوق الوطن منذ يناير 2020 وتعمل في لجنته التنفيذية. وقد شاركت أيضًا في مبادرات لتعزيز تعليم العلوم والتكنولوجيا والهندسة والرياضيات ، وتمكين المرأة،  وتشجيع المشاريع من قبل الشباب الإماراتي. منذ عام 2019، ظهرت في حملة "أكتشف العجائب في أبوظبي": الدكتورة حواء المنصوري: قائدات في العلوم والتكنولوجيا الطبية.
وقد شاركت في المنتديات في دولة الإمارات العربية المتحدة وعلى المستوى الدولي كمتحدثة ومنسقة ومنسقة حفل . وتشمل هذه:
حواء المنصوري الجوائز والتكريمات
2014: اختارت «الإمارات اليوم» الطبيبة المواطنة، حواء سعيد المنصوري، لمنحها جائزة «شخصية الشهر» لشهر فبراير، تقديراً لتميزها العلمي والمهني في الولايات المتحدة الأميركية، وابتكارها جهازاً لقسطرة القلب، ينهي معاناة المرضى بغرف العمليات.
حواء المنصوري المنشورات
Ramsay D، Aragon G، Almansouri H، Bashir S، Borum M. Strongyloides والإنزيمات المرتبطة بالكبد المرتفعة: عدوى تظهر بعد 16 عامًا من الهجرة من منطقة موبوءة: 850. المجلة الأمريكية لأمراض الجهاز الهضمي. 2009 أكتوبر 1;104:S313.
خوسلا إس، المنصوري إتش، كورشاك إل، شريف إتش، أيكن إم، هيميريك ك، ناماتا-إلينغوي آي، خيربيك آر، نايلن أي، كوكينوس بي. آثار برنامج التدخل في نمط الحياة للمحاربين القدامى (لايف) على معلمات استقلاب القلب لدى المحاربين القدامى الأمريكيين من أصل أفريقي ذوي داء السكري من النوع 2. في مرض السكري 2013، 1 يوليو (المجلد 62، ص. A632-A632). 1701 N BEAUREGARD ST، الإسكندرية، فيرجينيا 22311-1717 الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية عامر للسكري.
إثبات المتطابقات المثلثية
هناك عدة طرق متكافئة لتعريف الدوال المثلثية، ويعتمد إثبات المتطابقات المثلثية بينهما على التعريف المختار. يعتمد التعريف الأقدم والأكثر بدائية بطريقة ما على هندسة المثلثات القائمة. تستخدم البراهين الواردة في هذه المقالة هذا التعريف، وبالتالي تنطبق على الزوايا غير السالبة التي ليست أكبر من الزاوية القائمة. للزوايا الأكبر والسالبة، انظر الدوال المثلثية .
إثبات المتطابقات المثلثية المتطابقات المثلثية الابتدائية
النتيجتان التاليتان تتبعان هذه ومتطابقات النسب المثلثية. للحصول على الأولى، نقوم بتقسيم الطرفين  على ؛ للثانية، نقسّم على .
الحسابات التالية لجميع الدوال العكسية الثلاث.
الرجوع إلى الرسم البياني للمثلث. لاحظ أن  حسب مبرهنة فيثاغورس.
ارسم خطًا أفقيًا (محور x)؛ حدد نقطة الأصل O. ارسم مستقيمًا من O يميل بزاوية  فوق المستقيم الأفقي والمستقيم الثاني يميل بزاوية  فوق المستقيم الأخير؛ الزاوية بين المستقيم الثاني ومحور x هي  .
ضع النقطة P على المسقيم المحدد بـ  على مسافة قياسها 1 من الأصل.
ليكن PQ مستقيم عمودي على المستقيم OQ المحدد بالزاوية ، مرسوم من النقطة Q على هذا الخط إلى النقطة P. إذن OQP هي زاوية قائمة.
ليكن QA عمودي من النقطة A على محور x إلى Q، وPB عمودي من النقطة B على المحور x إلى P. إذن OAQ وOBP زاويتان قائمتان.
إثبات المتطابقات المثلثية المتطابقات المثلثية الابتدائية
نرسم النقطة R على PB بحيث يكون QR موازيًا للمحور x.
بتعويض  بـ  وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:
بتعويض  بـ  وباستخدام خاصية التناظر، نحصل أيضًا على:
بقسمة كل من البسط والمقام على ، نحصل على:
وبالمثل من صيغتي الجيب وجيب التمام، نحصل على:
عندئذ بقسمة كل من البسط والمقام على  ، نحصل على:
تعطي متطابقات فيثاغورس الشكلين البديلين للأخيرة:
ويمكن أيضًا إثبات ذلك باستخدام صيغة أويلر:
لكن تعويض الزاوية بنسختها المضاعفة، والذي يحقق نفس النتيجة في الطرف الأيسر من المعادلة، ينتج:
بنشر المربع والتبسيط على الطرف الأيسر من المعادلة يعطي:
لأن الأجزاء التخيلية والحقيقية يجب أن تكون هي نفسها، يتبقى لدينا المتطابقات الأصلية:
تؤدي المتطابقتان اللتان تعطيان الأشكال البديلة لـ cos 2θ إلى المعادلات التالية:
يجب اختيار إشارة الجذر التربيعي بشكل صحيح - لاحظ أنه إذا أضيفت 2π إلى θ، فإن الكميات الموجودة داخل الجذور التربيعية لن تتغير، لكن إشارة الأطراف اليسرى من المعادلات تتغير. ولذلك، فإن الإشارة الصحيحة التي يجب استخدامها تعتمد على قيمة θ.
إثبات المتطابقات المثلثية المتطابقات المثلثية الابتدائية
عندئذ بضرب البسط والمقام داخل الجذر التربيعي بـ (1 + cos θ) وباستخدام متطابقات فيثاغورس:
وأيضًا، إذا ضُرِبَا البسط والمقام في (1 - cos θ)، ستكون النتيجة هي:
إذا كانت المساواة "ψ + θ + ϕ = π= نصف دائرة" محققة (على سبيل المثال، ، و  و  هي زوايا المثلث)، فإن:
إذا كانت المساواة "ψ + θ + ϕ = π/2 = ربع دائرة" محققة، فإن:
نعوّض كل من ψ + θ + ϕ بزواياها المتتامة، وبذلك تتحول ظلال التمام إلى الظلال والعكس:
إذن، تُستنتج النتيجة من متطابقة ثلاثية الظلال.
وبالمثل بالنسبة لجيب التمام، نبدأ بمتطابقات مجموع زاويتين:
إي بوريتاني
إي بوريتاني أو (المتشددون) هي عمل أوبرالي لفينشنزو بيليني يعود لعام 1835. كتب العمل في الأصل على شكل فصلين ثم عدّل لاحقًا إلى ثلاثة فصول بناءً على نصيحة جواكينو روسيني، الذي أصبح صديقًا لبيليني بعدها. تولى كتابة النصوص الموسيقية (ليبريتو) الكونت كارلو بيبولي، وهو شاعر مهاجر إيطالي التقى بيليني في الصالون الأدبي الذي تديره الأميرة بيلغيوسو، والذي أصبح مكانًا للقاء العديد من المتمردين الإيطاليين. تستند الأوبرا إلى مسرحية ذوي الرؤوس المستديرة والفرسان، وهي مسرحية تاريخية كتبها جاك فرانسوا أنسيلوت وجوزيف كزافييه سانتين، وتدور أحداثها خلال الحرب الأهلية الإنجليزية، ترجع مصادر أخرى أصل العمل إلى رواية الوفيات القديمة لوالتر سكوت عام 1816. بينما ينفي البعض وجود صلة بينهما.
إي بوريتاني
وصل بيليني إلى باريس في منتصف أغسطس من عام 1833، كان ينوي البقاء لمدة ثلاثة أسابيع فقط، تابع خلال زيارته المفاوضات مع أوبرا باريس والتي كانت قد بدأت أثناء سفره إلى لندن قبل بضعة أشهر. لم تسفر هذه المفاوضات عن نتائج، وقرر قضاء الشتاء في باريس مع حلول شهر أكتوبر وبعد أن أعلن المسرح الإيطالي تقديم كل من مسرحية القرصان، ومسرحية إي كابوليتي إي مونتاكي خلال ذلك الموسم. تلقى عرضًا من المسرح في يناير 1834؛ وافق على العرض لعدة أسباب أولها هو العائد المادي الذي كان أعلى من ما يتلقاه في إيطاليا حتى ذلك الحين، ثانيًا بسبب الفرقة الموسيقية الرائعة؛ وأخيرًا للبقاء في باريس.
شعر بيليني بمدى كمال الأوبرا وجماليتها في الفترة السابقة لعرضه الأول والتي استمرت من شهر أبريل وحتى شهر يناير التالي. بعد العرض الأول، أبلغ بيليني صديقه فرانشيسكو فلوريمو في نابولي:
لقد ذهل الفرنسيون. وانتشرت الضوضاء والصيحات في كل الأرجاء باختصار، لقد تحول العرض من حدث متواضع إلى حدث ضجت به شوارع باريس.
كان من المقرر أن يكون هذا العمل آخر عمل لبيليني. توفي في سبتمبر 1835 عن عمر يناهز 33 عامًا.
إي بوريتاني تاريخ التأليف
اندمج بيليني بسرعة مع عالم الصالونات الأدبية الحديثة في باريس، بما في ذلك تلك التي تديرها الأميرة ببلغيوسيو التي التقى بها في ميلانو، وغيرها من الكتاب الشهيرين. تضمنت الشخصيات الموسيقية التي كان من المفترض أن يلتقيها العديد من الإيطاليين مثل ميشيل كارافا، ولويجي تشيروبيني. كان نشاط بيليني الموسيقي محدودًا للغاية بعد عام 1833.
وقع عقدًا جديدًا مع المسرح الإيطالي في يناير 1834، تضمن العقد تقديم عرض أوبرا جديدة في نهاية ذلك العام. بدأ بيليني رحلة البحث عن موضوع مناسب لعرضه بمجرد توقيع العقد، أعرب عن شعوره بالإحباط في رسالة منه إلى فلوريمو بتاريخ 11 مارس 1834، وقد جاء فيها: «أنا على وشك أن أفقد عقلي بسبب حبكة أوبرا باريس، يبدو أنه من المستحيل العثور على موضوع يناسب أفكاري ويلاءم المسرح».
إي بوريتاني تاريخ التأليف
تحدث في الرسالة نفسها عن تعاونه مع المهاجر الإيطالي، الكونت بيبولي، الذي كان جديدًا في كتابة النصوص الأوبرالية. كتب رسالة جديدة إلى فيرليتو في 11 أبريل، وطمأنه عن وضعه وعن الموضوع الذي اختاره لعرضه؛ تعود فكرة العرض إلى زمن كرومفيلو بعد أن قطع رأس ملك إنجلترا تشارلز الأول. يعود مصدر النص إلى مسرحية سابقة عرضت في باريس قبل ستة أشهر في سبتمبر 1833.
قدم بيليني في رسالته إلى فيرليتو في 11 أبريل ملخصًا للعمل، تضمنت ذكرًا للموسيقيين المفضلين لديه وهم، جوليا غريسي، ولويجي لابلاش، وجيوفاني باتيستا روبيني، وأنطونيو تامبوريني، واعتبرهم جميعًا متاحين للأدوار الرئيسية، وحدد 15 أبريل موعدًا لبداية كتابته الموسيقية. قبل بدء التعاون مع بيبولي بشكل عام، حضر بيليني سيناريو جديد من تسعة وثلاثين مشهدًا (اختصر فيها المسرحية الأصلية بطريقة يمكن التحكم فيها)، وقلل عدد الشخصيات من تسع إلى سبع ومنحهم أسماء إيطاليّة أكثر تميزًا.
إي بوريتاني تاريخ التأليف
علق لفلوريمو على كتابة النص من قبل بيبولي، واعتبر الاحتفاظ به مرهقًا كونه يفتقر إلى الكثير من التدريب. شكلت عملية الإشراف على كتابة النص المكتوب تحديًا بالنسبة لبيليني، عانى خلال هذه الفترة من المرض أيضًا. أعاد تعليق ويليام ويفر توازنًا إلى الموقف، وذكر مقدار الدعم الذي يمكن أن يقدمه بيليني لبيبولي، وذلك من خلال تجربته المسرحية المباشرة التي اكتسبها مسبقًا في روما.
استمر العمل على إي بوريتاني التي لم يكن قد أعلن اسمها بعد، انتقل بيليني من وسط باريس، وفي أواخر الربيع كتب بيليني إلى بيبولي لتذكيره بإحضار عمله والانتهاء من مناقشة الفصل الأول، والذي سيكون شعرًا ممتعًا ورائعًا ومناسبًا للموسيقى.
أنجز تقدم كبير بحلول أواخر يونيو، كتب بيليني ردًا على أليساندرو لاناري، مدير المسارح الملكية في نابولي، وأخبره باكتمال الفصل الأول من أي بوريتاني، وأن الموعد المتوقع لانتهائه بأكمله هو بحلول سبتمبر، وأنه ولذلك الحين لن يكون لديه وقت لكتابة أوبرا جديدة. صرح بيليني أنه لا يريد التفاوض مع أي شخص حتى يحصد النجاح الذي ستحققه أوبراي.
إي بوريتاني تاريخ التأليف
بدأ تعاون بين غايتانو دونيزيتي والمسرح الإيطالي في منتصف أبريل 1834، الأمر الذي شكل قلقًا بالنسبة لبيليني معتبرًا هذا التعاون بمثابة منافسة بين العملين اللذان سيقدمان في نفس الموسم، أدرك بيليني أن هذه مؤامرة من تنسيق روسيني، وكتب رسالة طويلة من 2500 كلمة إلى فلورينو من في 11 مارس 1834، أعرب فيها عن مشاعره وإحباطه. اتضح لاحقا نجاح بيليني الباهر وتفوقه بشكل كبير على دونيزيتي الذي اعتبر عمله متواضعًا.
كتب بيليني رسالة إلى فلوريمو بحلول سبتمبر، عبر فيها عن قدرته على التنقيح والتصحيح خلال الأشهر الثلاثة المتبقية قبل التدريبات، وأخبره بمقدار سعادته بأبيات شعر بيبولي، حقق النتيجة لموافقة روسيني في منتصف ديسمبر.
أوصى روسيني بتغيير موقع ترنيمة الحرية، التي ظهرت في البداية في الفصل الأول، ولكن أدرك بيليني حينها أنها لا تصلح للعرض في إيطاليا بشكلها المكتوب. اقترح روسيني أن تكون أوبرا من ثلاثة فصول بدلًا من فصلين مع إنهاء الفصل الثاني بترنيمة سوني لا ترومبا بدلا من عرضها في منتصفه.
حافظ بيليني على صداقته مع الملحن الأكبر سنًا طوال فترة إقامته في باريس: «لطالما أحببت روسيني، ونجحت، بعد أن استطعت التعامل مع كراهية روسيني المتصورة، لم أعد خائفًا وأتمت عملي الذي أكسبني الكثير من الشرف».
نفذت البروفات المخطط لها في أواخر ديسمبر / أوائل يناير، عرضت بروفة الثوب في 20 يناير 1835. وقد حضرها العديد من أفراد المجتمع الراقي، وجميع الفنانين العظماء، والأفراد الأكثر تميزًا في باريس، وكانوا جميعهم في غاية الحماس في المسرح.
جون مولان (بناء طرق)
جون مولان جونيور (31 يوليو 1830 - 28 ديسمبر 1909) كان جنديًا أمريكيًا ومستكشفًا وموظفًا حكوميًا وبنّاء طرق. بعد تخرجه من أكاديمية الجيش الأمريكي في عام 1852، انضم إلى هيئة مسح السكك الحديدية شمالي الهادئ بقيادة أيزاك ستيفنز. استكشف موسعًا غرب ولاية مونتانا وجزء من جنوب شرق ولاية أيداهو، واكتشف ممر مولان، وشارك في حرب كور دالين، وقاد فريق البناء الذي بنى طريق مولان في ولاية مونتانا وأيداهو وواشنطن بين ربيع عام 1859 وصيف عام 1860.
جون مولان (بناء طرق)
سعى دون جدوى لتعيينه حاكمًا لإقليم أيداهو الجديد، رغم لعبه دورًا كبيرًا في تشكيل الإقليم وتحديد حدوده. غادر الجيش الأمريكي في أبريل 1863، وفشل في العديد من الأعمال التجارية قبل تحقيقه أرباحًا بعمله وسيطًا عقاريًا ومحامٍ للأراضي في كاليفورنيا. في فترة ما، كانت شركة المحاماة التي أسسها أكبر هيئات المضاربات العقارية في الولاية. فيما بعد أصبح وكيلًا ومندوبًا لولايتي كاليفورنيا ونيفادا وأوريغون وإقليم واشنطن، حيث نجح في استعادة التعويضات من الحكومة الفيدرالية. بسبب سوء السمعة الذي حصل عليه كمضارب أراضٍ، جنبًا إلى جنب مع السياسة الحكومية، رفضت الولايات الثلاثة والإقليم منحه معظم الدخل الذي كان يتوقع تحقيقه من هذه الأعمال. توفي وهو فقير ومريض في عام 1909.
خدم مولان بين عامي 1883 و1887 كأحد المفوضين في مكتب البعثات الكاثوليكية الهندية، وهي منظمة خاصة تعمل وكيلًا للحكومة الفيدرالية.