hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
معادلة فينسنتي خلفية
كان هدف فينسينتي هو التعبير عن الخوارزميات الحالية للجيوديسيات على شكل إهليجي بصيغة تُقلل من طول البرنامج (فينسينتي 1975). يذكر تقريره غير المنشور (فينسنتي 1975) استخدام حاسبة مكتبية من طراز وانغ 720، والتي كانت تحتوي على كيلوبايتات قليلة من الذاكرة. للحصول على دقة جيدة للخطوط الطويلة، استخدم فينسنتي الحل الكلاسيكي الذي وضعه ليجاندر (1806) وبيسل (1825) وهيلمرت (1880) والمبني على الكرة المساعدة. اعتمد فينسينتي على صياغة هذه الطريقة التي قدمها رينسفورد (1955)؛ أظهر ليجاندر أنه يمكن رسم خريطة دقيقة لجيوديسية إهليجية على دائرة عظمى على الكرة المساعدة عن طريق رسم خريطة لخط العرض الجغرافي على خط عرض مُخفض، وضبط سمت الدائرة العظمى على أنه يساوي سمت الجيوديسية. يُعطى بعد ذلك خط الطول على الشكل الإهليجي والمسافة على طول الخط الجيوديسي بدلالة خط الطول على الكرة وطول القوس على طول الدائرة العظمى باستخدام تكاملات بسيطة. وقد قدّم بيسل وهيلمرت سلاسل متقاربة سريعة لهذه التكاملات، مما يسمح بحساب الخط الجيوديسي بدقة متناهية.
معادلة فينسنتي خلفية
من أجل تقليل حجم البرنامج، أخذ فينسينتي هذه السلاسل، وأعاد توسيعها باستخدام الرمز الأول من كل سلسلة كمعامل صغير، وقام بتقصيرها إلى  أدى ذلك إلى تعابير مُدمجة لتكاملات الطول والمسافة. وُضعت التعبيرات بصيغة هورنر (أو المُتداخلة)، لأن هذا يسمح بتقييم كثيرات الحدود باستخدام سجل مؤقت واحد فقط. وأخيرًا، استُخدمت تقنيات تكرارية بسيطة لحل المعادلات الضمنية بالطريقتين المباشرة والعكسية؛ ورغم بطء هذه الطرق (وفي حالة الطريقة العكسية، لا تتقارب أحيانًا)، إلا أنها تُؤدي إلى أقل زيادة في حجم الكود.
معادلة فينسنتي حل المسألة العكسية
بالنظر إلى إحداثيات النقطتين ( φ₁ ، L₁ ) و( φ₂ ، L₂ )، فإن المسألة العكسية تحدد السمتين α₁ ، α₂ والمسافة الإهليجية s.
أحسب U₁ و U₂ و L ، ثم اضبط القيمة الأولية لـ λ = L. ثم قيّم المعادلات التالية بشكل متكرر حتى تتقارب λ :
يتم تجنب حساب σ (سيجما) مباشرةً مِن دالة جيب σ أو جيب تمام σ للحفاظ على الدقة العددية بالقرب مِن القطبين وخط الاستواء.
إذا كانت المسافة الزاوية σ = 0 فإن قيمة جيب α₀ تصبح غير مُعَرَّفة (غير محددة). وتُمثل هذه الحالة نقطة نهاية مُطابِقة لنقطة البداية، أو مُعاكِسة لها قُطريًا (على الطرف الآخر مِن القطر).
عندما تقع نقطتا البداية والنهاية على خط الاستواء، فإن C = 0 ولا يتم استخدام قيمة جيب تمام (2σₘ). في هذه الحالة، تكون القيمة الحدية لجيب تمام (2σₘ) = -1.
معادلة فينسنتي حل المسألة العكسية
عندما تتقارب λ إلى الدرجة المطلوبة مِن الدقة (10^−12 يتوافق مع ما يقرب من 0.006 مم)، يتم إيقاف التكرار ثم تطبق المعادلات التالية باستخدام λ الأخيرة:
بين نقطتين متقابلتين تقريبًا، قد تفشل الصيغة التكرارية في التقارب؛ سيحدث هذا عندما يكون التخمين الأول عند λ كما تم حسابه بواسطة المعادلة أعلاه أكبر من π في القيمة المطلقة؛ وعلاج هذا في الجزء الثاني الذي كتبه فينسنتي بورقته الثانية.
معادلة فينسنتي حل المسألة المباشرة
بالنظر إلى نقطة البداية ( φ₁ ، L₁ ) والسمت الأولي α₁ ، والمسافة s ، على طول الخط الجيوديسي، فإن المشكلة هي إيجاد نقطة النهاية ( φ₂ ، L₂ ) والسمت، α₂ .
ثم باستخدام القيمة الأولية σ ، كرر المعادلات التالية:
إلى الحد الذي لا يكون معه تغيير كبير في σ وبمجرد الحصول على σ بدقة كافية (فرق 10^-12)، قم بتعيين:
إذا كانت نقطة البداية عند القطب الشمالي أو الجنوبي، فإن المعادلة الأولى تكون غير محددة. إذا كان السمت الابتدائي شرقًا أو غربًا، فإن المعادلة الثانية تكون غير محددة. إذا استُخدمت دالة atan2 القياسية ثنائية الوسيطات، فعادةً ما تُعامل هذه القيم بشكل صحيح.
معادلة فينسنتي حل المسألة المباشرة
مع ملاحظة أن دالة atan2 تعطي قيمة عددية متممة (أي مجموعهما 90 درجة) للقيمة التي تعطيها دالة atan العادية مع عدم اختلاف الإشارة لو كانت النتيجة سالبة؛
والجدير بالذكر أن البعض يفضل تقديم العنصر الثاني في الدالة على العنصر الأول للحصول على نتيجة صحيحة ومباشرة بهذا الشكل (x,y)atan2(cos,sin) ، atan2 بينما الصورة التقليدية هي (y,x)atan(sin,cos) ، atan بمعنى أن عند التطبيق في برنامج الإكسيل وما يشابهه يفضل عكس الترتيب السابق في المعادلات أعلاه للحصول على نتيجة مباشرة وبدون إشارات سالبة.
معادلة فينسنتي تعديل فينسنتي
في رسالته إلى مجلة Survey Review في عام 1976، اقترح فينسينتي استبدال تعبيراته المتسلسلة لـ A و B بصيغ أبسط باستخدام معامل التوسع لـ Helmert k₁  :
معادلة فينسنتي نقاط متقابلة تقريبًا
كما هو مذكور أعلاه، فإن الحل التكراري بالصيغة القياسية للمشكلة العكسية يفشل في التقارب أو يتقارب ببطء بالنسبة للنقاط المتقابلة تقريبًا. ومن الأمثلة على التقارب البطيء ( φ₁ ، L₁ ) = (0°، 0°) و ( φ₂ ، L₂ ) = (0.5°، 179.5°) للقطع الناقص WGS84. ويتطلب هذا حوالي 130 تكرارًا لإعطاء نتيجة دقيقة تصل إلى 1 مم. وبناءً على كيفية تنفيذ الطريقة العكسية، قد تعيد الخوارزمية النتيجة الصحيحة (19936288.579 مترًا) أو نتيجة غير صحيحة أو مؤشر خطأ. ويتم توفير مثال على نتيجة غير صحيحة بواسطة الأداة المساعدة عبر الإنترنت NGS ، والتي تعيد مسافة أطول بحوالي 5 كم. واقترح فينسينتي طريقة لتسريع التقارب في مثل هذه الحالات (راب، 1993).
معادلة فينسنتي نقاط متقابلة تقريبًا
من أمثلة فشل الطريقة العكسية في التقارب: ( φ₁ ، L₁ ) = (0°، 0°) و ( φ₂ ، L₂ ) = (0.5°، 179.7°) للقطع الناقص WGS84. في تقرير غير منشور، قدم فينسينتي (1975b) مخططًا تكراريًا بديلًا للتعامل مع مثل هذه الحالات. يُقارب هذا المخطط النتيجة الصحيحة 19944127.421 مترًا بعد حوالي 60 تكرارًا؛ ومع ذلك، في حالات أخرى، يلزم آلاف التكرارات.
قام كارني (2013) بإعادة صياغة المشكلة العكسية كمشكلة إيجاد الجذر أحادية البعد ؛ ويمكن حلها بسرعة باستخدام طريقة نيوتن لجميع أزواج نقاط الإدخال.
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
تعتمد الطرق الكلاسيكية لحل المسألة الجيوديسية العكسية على منهج "بيسيل" (يشار إليها فيما بعد بالطرق القياسية) وتتضمن تحديدًا تكراريًا لـ λ (فرق خط الطول على الكرة المساعدة).
من المعروف أن هذه الطرق تفشل في الحالات المتقابلة أو شبه المتقابلة، أي عندما تكون القيمة المطلقة لـ λ أكبر من π (مثال ذلك الفرق بين خطيّ طول 91 غربًا و 91 شرقًا، L₂ - L₁│ = │-91 - 91│ = 182│)؛
قدم ثين (1967) حلاً للمسألة المتقابلة يقتصر على النقاط الواقعة على خط الاستواء، كما أشار إليه راب (1975) ؛
أما طريقة سايتو (1970)، والتي صُممت للاستخدام العام، فهي صالحة فقط عندما تكون نقاط نهاية الخط في خطوط عرض متقابلة (φ₂ = −φ₁) ؛
الطريقة المقترحة، والمستمدة من إعادة ترتيب معادلات وردت في بحث سابق (فينسنتي، 1973)، هي طريقة عامة تمامًا. سيظهر أن النهج الذي يعتمد عليه الحل المتقابل المقترح يمكن استخدامه أيضًا في الحالات المشابهة للحل حول الجانب الخلفي للقطع الناقص بين نقاط متقاربة.
المحوران الأكبر والأصغر للقطع الناقص: a, b
ويرمز للرمز ϵ بالرمز e'² أيضًا وهذا ما نجده مثلا في معادلات كارني، حيث أن  e² = (a² − b²) / a² ،
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
خط العرض الجيوديسي (موجب شمال خط الاستواء): φ₁
المسافة الجيوديسية (طول الخط الجيوديسي): s
السمت الجيوديسي باتجاه عقارب الساعة من الشمال؛ α₂ في اتجاه امتداد (P₁P₂): α₁, α₂
خط العرض المخفض: U يُعرّف بـ tan U = (1 − f) * tan φ
المسافة الزاوية على الكرة من منتصف الخط إلى تقاطعه مع خط الاستواء: σₘ
الخط الجيوديسي سيعبر خط الاستواء بسمت α₀ محدد بالعلاقة: Sin α₀ = cos U₁
حتى يصل إلى المنطقة المقابلة عند النقطة Pₐ حيث: φₐ = -φ₁ (خط عرض معاكس)
λ = σ = π (فرق الطول والمسافة الزاوية = 180°)
حتى هذه النقطة، يمثل الخط أقصر مسافة على سطح القطع الناقص، مما يجعله خطاً جيوديسياً ويمكن إظهار أنه حتى حدود (f³)
ويمكن التعبير عن خط الطول الجيوديسي عند هذه النقطة:
Lₐ = π - f * cos U * π * {1 - (1 / 16) * f * sin² U*[ 4 + f * (4 - 3 * sin² U ) ] }
هذا أكبر خط طول جيوديسي بنهاية الخط الجيوديسي الذي يبدأ بـ α₁ = π/2
الآن سنختار النقطة P₂ بحيث ( φ₂ = φₐ أو φ₂ ≈ φₐ) و π > L > Lₐ ،
الخط الجيوديسي الأقصر بين P₁ و P₂ لابد أن يبدأ بسمت مختلف عن (π/2) بسبب تفلطح الإهليج وهناك ثلاث احتمالات:
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
وسيعبر خط الاستواء باتجاه الجنوب الشرقي ويتجه نحو خط العرض المقابل حيث (-φₐ = φ₁) .
يمكن حساب إحداثيات النقاط على طول الخط والتحقق من النتائج عن طريق الحلول العكسية (Inverse Solutions) باستخدام الطرق القياسية حتى الوصول إلى المنطقة المقابلة عند النقطة P₀
إذا قمنا بتمديد هذا المسار إلى خط عرض φₐ واخترنا أي نقطة P₂ عليه بحيث φ₂ ≥ φₐ، نجد من الحل المباشر أن (λ < π) فرق الطول على الكرة المساعدة أقل من 180° و (σ < π) المسافة الزاوية أقل من 180°، في الحل العكسي λ يتذبذب بين قيم أكبر وأصغر من π بدون تقارب إلى أي قيمة.
Lₐ = π - f * cos U * π * {1 - (1 / 16) * f * sin² U*[ 4 + f * (4 - 3 * sin² U ) ] }
، ويجب أن يحددها منحنيان متماثلان حول φₐ متوافقين مع
إنها صورة مرآوية في نصف الكرة الغربي تتبع منطقًّيا قيم α₁ في الربعين الثالث والرابع؛ لم يتم تحديد الحدود الدقيقة للمنطقة المضادة بعد .
أثناء الحسابات الأولية إذا كانت λ أكبر من π كقيمة مطلقة، يجب استخدام طريقة مختلفة؛
استخدام L' و λ' بدلاً من L و λ يهدف إلى تجنب فقدان الأرقام المعنوية في المعادلات ونعتمد ما يلي كتقديرات أولية:
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
ثم تطبق المعادلات التالية أكثر من مرة بشكل تكراري
C = (1/16) * f * cos² α₀ * [4 + f * (4 - 3 * cos² α₀)]
Cos 2σₘ = cos σ - (2 * sin U₁ * sin U₂) / cos²α₀
{D = (1 - C) * f * {σ + C * sin σ * [cos 2σₘ + C * cos σ * (-1 + 2 * cos² 2σₘ)]
sin λ' = (sin α₀ * sin σ) / (cos U₁ * cos U₂)
sin² σ = (cos U₂ * sin λ')² + (cos U₁ * sin U₂ + sin U₁ * cos U₂ * cos λ')²
يتوقف التكرار عندما يصبح التغير في sin α₀ أصغر مِن القيمة المحددة سابقا.
وتكون إشارة cos α₁ سالبةً إذا تحقق التالي:
Cos U₁ * sin U₂ + sin U₁ * cos U₂ * cos λ' < 0
Tan α₂ = sin α₀ / (-sin U₁ * sin σ + cos U₁ * cos σ * cos α₁)
بالمعادلة الأخيرة يُحدد الربع بناءً على إشارات البسط والمقام.
يمكن لمعظم أنظمة الحاسوب تحديد الظل في الربع المناسب بناءًا على هذه الأسس وبالتالي ليس ضروريًّا القيام بذلك من خلال تعليمات البرمجة.
يتم حساب المسافة الجيوديسية باستخدام صيغة هلمرت (Helmert, 1880)، وتمت إعادة كتابتها هنا بصياغة أكثر ملاءمةً للاستخدام مع أجهزة الكمبيوتر:
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
Δσ = B * sin σ * [cos 2σₘ+ ¼B * [cos σ * (-1 + 2 * cos² 2σₘ)] -⅙B * cos 2σₘ* (-3 + 4 * sin² σ) * (-3 + 4 * cos² 2σₘ)]
s = b * A * (σ - Δσ) = (1 - f) * a * A* (σ - Δσ)
في هذه الحالة تكون المسافة الزاوية σ = π وفرق الطول المساعد λ' = 0
بالتعويض عن cos² α₀ = 1 - sin² α₀ ، يمكن كتابة المعادلة الأخيرة كمتسلسلة:
Q = a₁ * sin α₀ + a₃ * sin³ α₀ + a₅ * sin⁵ α₀
السمتان α₁ و α₂ يحددان باستخدام المعادلات التالية:
Tan α₂ = sin α₀ / (-sin U₁ * sin σ + cos U₁ * cos σ * cos α₁)
هذا يوضح أنه في الحالات الخاصة مِن التقابل عندما تكون φ₂ = -φ₁ فإن قيم السمت α₀ والمسافة الجيوديسية s لا تعتمد على خط العرض بل تعتمد فقط على فرق الطول بين النقطتين.
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
ملاحظة: في حالات التقابل التامّ يكون أقصر مسار بين النقطتين عبر القطبين بمعنى أن كل من α₀ و Q = صفرًا ودائما يكون السمتان الأمامي والخلفي α₁ و α₂ عند النقطتين P₁ و P₂ إلى الشمال وإلى الجنوب فلو كانت النقطة الأولى P₁ شمال النقطة الثانية P₂ أي أنَّ (φ₁ > φ₂) يكون السمت الأول α₁ إلى الجنوب تمامًا أي 180 درجة، وبالتالي يكون السمت عند النقطة الثانية α₂ إلى الشمال تمامًا أي صفر درجة والعكس صحيح.
قد تنشأ أسئلة حول استقرار المعادلات التالية:
إذا كان cos α₀ ≈ 0 قريبًا جدًا من الصفر فأي خطأ في cos² α₀ يصبح غير مهم لأنه سيختفي عند ضربه بالقيمة الصغيرة جدًا لـ f² * cos² α₀/4 وستعطي المعادلة:
( في الحالات غير المتقابلة، يكفي استبعاد القسمة على الصفر مثلاً، عن طريق تعيين هذا الحدّ مسبقًا إلى الصفر واستبداله بقيمة محسوبة عندما تكون cos² α₀ غير صفرية)
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
تكون قيمة cos² α₀ = صفرًا عندما تكون قيمة α₀ مساوية لـ 90 درجة وحينها تكون النقطتان P₁ و P₂ على الاستواء ويكون السمتان الأمامي والخلفي α₁ و α₂ إلى الشرق وإلى الغرب على حسب موقع كل نقطة من الأخرى فلو كانت النقطة الأولى P₁ شرق النقطة الثانية P₂ أي أنَّ (λ₁ > λ₂) سيكون سمت النقطة الأولى α₁ للغرب 270 درجة ويكون سمت النقطة الثانية α₂ للشرق أي 90 درجة والعكس صحيح.
هذا ومِن المزايا التي يمكن استغلالها في دالة atan2(cos,sin) التغلب على نتيجة القسمة على الصفر في الدالة التقليدية atan(sin,cos) وما يشابهها وذلك بوضع قيمة المقام كحد أول في الدالة ووضع قيمة البسط كحد ثاني فلو رمزنا للمقام والبسط بالرمزين x و y نكتب المعادلة هكذا atan2(x,y) وبعد ذلك نحسب ظل الناتج النهائي فتصير المعادلة هكذا (atan2(x,y))tan ومثال رقمي على هذه الطريقة لو كانت قيمة البسط = 3 وقيمة المقام = 0 تكتب هكذا (atan2(0,3))tan والنتيجة 16324552277619100وبالتالي يمكن وضع أي معادلة من بسط ومقام بهذه الصورة لتجنب النتيجة الغير معرَّفة من القسمة على صفر.
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
لكن هذا قد يؤدي إلى فقدان أرقام معنوية في النتيجة، لأن أول رقمين على الأقل في قيمتيّ λ و L متشابهان، وبالتالي سيتم فقدان نفس العدد من الأرقام في عملية الطرح.
بالتالي لو حوّلنا L إلى L' ، ستكون القيمة الجديدة صحيحة بنفس عدد المنازل العشرية المستخدمة في L .
فتكون غير مستقرة عندما يقترب α₁ من ±(π/2)
هذا يمكن أن يحدث فقط إذا كانت P₂ تتطابق تقريبًا مع Pₐ ؛
Lₐ = π - f * cos U * π * {1 - (1 / 16) * f * sin² U * [ 4 + f * (4 - 3 * sin² U ) ] }
في هذه الحالة، أي تغيير طفيف في موقع P₂ يسبب تغييرًا كبيرًا في α₁
بمعنى أن أي خطأ في α₁ بسبب فقدان الدقة في حساب جيب التمام باستخدام الصيغة الفيثاغورسية لن يسبب خطأً في الموضع أكبر مما يمكن توقعه في أي حالة أخرى،
أي أن الخطأ ناتج فقط عن العدد المحدود من الأرقام التي يمكن للحاسوب معالجتها.
يبدأ الخط الجيوديسي من النقطة P₁ عند خط عرض φ₁ وسمت α₁ ويصل إلى خط العرض
φₐ = -φ₁ عند Pₐ في السمت حيث يكون Sin αₐ = sin α₁ و Cos αₐ = -cos α₁
عند هذه النقطة σₐ = λₐ = π وخط الطول الجيوديسي يُعطى بالمعادلة:
= π * [1 – f * (1 - C) * cos U₁ * sin α₁]
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
عند تمديد الخط بسمت αₐ مسافة جيوديسية P₁Pₐ فإنه سيصل إلى النقطة Pₜ حيث يكون
φₜ = φ₁  و Lₜ = 2Lₐ و αₜ = α₁ و σₜ = λₜ = 2π
وإذا تم اختيار P₂ على هذا الخط بحيث تكون المسافة الكرويةP₁PₐP₂ أكبر من π فإن الخط الجيوديسي P₁PₐP₂ ليس خطًا جيوديسيًا ولكنه خط حول الجانب الخلفي من القطع الناقص.
وأقصر مسافة P₁P₂ هي خط جيوديسي يبدأ بالسمت وعلى العموم هو مختلف عن α₁ ± π
يمكن حساب طول الخط الجيوديسي حول الجانب الخلفي للقطع الناقص والسُّمُوت عند نهايته باستخدام:
الصيغة العكسية القياسية Vincenty 1975 بعد تعديلها بجعل sin σ تعطي إشارةً سالبة
تفشل هذه الطريقة عندما تكون النقاط قريبةً من بعضها أي عندما تكون داخل منطقة مجاورة معينة، بسبب تذبذب فرق الطول λ بين قيم موجبة وسالبةفي التكرارات، وحينئذٍ يتم الحل باستخدام المعادلات المقدمة في هذه الورقة مع بعض التعديلات كما هو الحال في حالة النقاط المتقابلة، فإن الهدف هو الحصول على sin α₀ عن طريق تطبيق المعادلات:
C = (1/16) * f * cos² α₀ * [4 + f * (4 - 3 * cos² α₀)]
Cos 2σₘ = cos σ - (2 * sin U₁ * sin U₂) / cos²α₀
معادلة فينسنتي تفصيل الحل العكسي الجيوديسي بين النقاط المتقابلة (فينسنتي 1975ب)
D = (1 - C) * f * [σ + C * sin σ * (cos 2σₘ + C * cos σ * (-1 + 2 * cos² 2σₘ)]
sin λ' = (sin α₀ * sin σ) / (cos U₁ * cos U₂)
sin² σ = (cos U₂ * sin λ')² + (cos U₁ * sin U₂ + sin U₁ * cos U₂ * cos λ')²
ويتوقف التكرار عندما يصبح التغير في sin α₀ أصغر من القيمة المحددة سابقًا .
لأن L و λ سيكونان أقرب إلى π والحصول على قيمة سيجما σ من المعادلة:
sin² σ = (cos U₁*sin λ)² + (cos U₂*sin U₂ - sin U₁*cos U₂*cos λ)²
Cos U₁* sin U₂ - cos U₁* cos U₂* cos λ > 0
يمكن استخدام تقريبات ابتدائية لهذا الحل على النحو التالي:
λ = 0  ؛  cos² α₀ = 0.5  ؛  cos (2σₘ) = 0  ؛  σ = 2π - |U₁ - U₂|
بشكل عام فمن الملاحظ حسب هيمرت (1880) يوجد عدد لا نهائي مِن الخطوط الجيوديسية التي تصل بين أي نقطتين ، ربما يمكن تحديد عدد اللفات حول القطع الناقص بشكل خاص عند: 2n*π ≥ σ > (2*n-1)*π
حيث n عدد اللفات الكاملة حول القطع الناقص، في هذا السياق نستخدم n=1 لفة واحدة حول الجانب الخلفي؛
ويمكن التحقق مِن صحة الحل العكسي حول الجانب الخلفي للإهليج باستخدام أي صيغة مباشرة قياسية.
مِن المثير للاهتمام ملاحظة أنه في الحل المباشر لا يلزم تقسيم الخط إلى قسمين أو أكثر بحيث يلبي كل منهما الشرط σ < π
لا يوجد حد نظري لطول الخط الذي يمكن استخدامه في الحل المباشر، القيود الوحيدة هي رقمية (تتعلق بدقة الحسابات العددية).
تم تقديم أمثلة على نتائج الحلول المضادة (Antipodal) وحلول الجانب الخلفي في الجدولين 1، 2
هذه الدقة كافية لإعادة إنتاج المواضع بدقة تصل إلى 0.5 مم عند استخدام الحل المباشر،
هذا ينطبق بشكل خاص عندما تكون σ تساوي π أو 2π أو قريبة منها
الجدول 1: حلول النقاط المتقابلة (Antipodal Solutions)
تم حسابه بواسطة برنامج الآلة الحاسبة المكتبية Wang 720
معلمات القطع الناقص المستخدمة: المحور الأكبر a = 6,378,388.000 مترًا ، ومقلوب التفلطح (1/f) = 297
معركة سيرامي
دارت معركة سيرامي في يونيو 1063 وكانت واحدة من أهم المعارك في الغزو النورماندي لصقلية، 1060-1091. دارت المعركة بين قوة استكشافية نورماندية وتحالف إسلامي من القوات الصقلية والزيرية. قاتل النورمان تحت قيادة روجر دي هوتفيل، الابن الأصغر لتانكريد من هوتفيل وشقيق روبرت جيسكارد. تألف التحالف الإسلامي من المسلمين الصقليين الأصليين في باليرمو، بقيادة ابن الحواس، وتعزيزات الزيريين من شمال إفريقيا بقيادة الأميرين أيوب وعلي. كانت المعركة انتصارًا نورمانديًا مدويًا هزم المسلمين تمامًا، مما تسبب في انقسامات بين الأرستقراطية المسلمة التي مهدت الطريق في النهاية للاستيلاء على عاصمة صقلية، باليرمو، من قبل النورمان ثم بقية الجزيرة.
معركة سيرامي
دارت المعركة الأولى في بلدة سيرامي الواقعة على قمة تل، على بُعد حوالي خمسة أميال غرب معقل النورمان في تروينا. إلا أن المعركة الرئيسية اندلعت في الوادي جنوبًا. وحسب جميع الروايات، كان عدد النورمان، الذين بلغ 136 فارسًا، وربما كان عدد المشاة أكبر بقليل، أقل بكثير من عدد خصومهم المسلمين، الذين تزعم بعض المصادر أن عددهم وصل إلى 50،000 جندي. أفضل مصدر معلومات متبقٍ عن المعركة موجود في كتاب جيفري مالاتيرا "لغز جيستيس روجر كالابريا وصقلية كوميتيس وروبرت جيسكاردي دوكس فراتريس إيوس".
وفيات أبريل 2025
القائمة التالية لأبرز وفيات أبريل 2025.
يسرد الإدخالات لكل يوم حسب تاريخ الوفاة. يتضمن الإدخال النموذجي المعلومات بالتسلسل التالي:
عزيز العمري
عزيز علي محمد العمري هو لاعب سعودي سابق ومدرب كرة قدم حاليًا، يشغل منصب مدير الفئات السنية في نادي جدة، بالإضافة إلى كونه رئيس لجنة التدريب والتطوير في رابطة الهواة بمحافظة جدة، بدأ مسيرته الرياضية لاعبًا في خط الوسط، ولعب ضمن صفوف نادي النصر السعودي، حيث شارك في عدد من البطولات المحلية والدولية.
عزيز العمري المسيرة الرياضية
انطلقت مسيرته الكروية عام 1994م من خلال الانضمام إلى الفئات السنية لفريق براعم نادي شباب جدة. تدرّب في بداياته مع المدرب عبدالرحمن الوجيه، لاعب نادي النصر السابق، وتم تصعيده للفريق الأول، وشارك في بطولات الصعود وبطولات المنطقة، كما اختير لتمثيل منتخب الشباب، لاحقًا انتقل إلى نادي النصر عام 1999م، وشارك معه في عدة بطولات،.
عزيز العمري المسيرة التدريبية
بعد اعتزاله اللعب، بدأ العمري مسيرته في مجال التدريب، حيث تولى عدة مناصب، منها:
أسرعوا غدا (فلم)
أسرعوا غدًا (بالإنجليزية: Hurry Up Tomorrow) هو فيلم إثارة نفسية أمريكي صدر عام 2025، من إخراج تري إدوارد شولتس، وتأليف مشترك بينه وبين المغني والممثل آبيل "ذا ويكند" تسفاي والكاتب رضا فهيم. يُعد الفيلم مكمّلًا فنيًا لألبوم يحمل الاسم نفسه صدر في العام ذاته، ويشارك في بطولته كل من تسفاي، جينا أورتيغا، وباري كيوغان. تدور أحداث العمل حول نسخة خيالية من النجم الموسيقي، الذي يعاني من الأرق ويقترب من الانهيار العصبي، بسبب معجبة شابة غامضة (تلعب دورها أورتيغا).
بدأ تطوير المشروع في سبتمبر 2022، بعد أن فقد تسفاي صوته خلال حفل موسيقي نتيجة ضغط نفسي حاد. شارك مع فهيم في الإنتاج إلى جانب كيفن تورين وهاريسون كريس. ويُعد هذا الفيلم من آخر الأعمال التي أشرف عليها تورين قبل وفاته، وقد أُهدي إليه. تجدر الإشارة إلى أن المشروع كان أيضًا مصدر توتر بين تورين وسام ليفينسون، المتعاون السابق مع تسفاي. انطلق التصوير الرئيسي في فبراير 2023، واكتمل في يوليو من العام ذاته.
أسرعوا غدا (فلم)
صدر فيلم "أسرعوا غدا" في دور العرض السينمائية في الولايات المتحدة عبر شركة ليونزغيت بتاريخ 16 مايو 2025. وقد تلقى مراجعات سلبية من النقاد، الذين وصفوه بأنه "وسيلة نرجسية لاستعراض نجمية تسفاي"، حيث قوبلت مساهماته في التمثيل وكتابة السيناريو بانتقادات لاذعة ورغم المراجعات السلبية العامة التي تلقاها الفيلم، فقد نالت الممثلة جينا أورتيغا إشادة خاصة من النقاد على أدائها. وعلى الصعيد التجاري، حقق الفيلم إجمالي إيرادات عالمية بلغ 5.5 مليون دولار.
أسرعوا غدا (فلم) القصة
يستعد نجم الموسيقى أبيل تسفاي (المعروف باسم "ذا ويكند") لإحياء حفل غنائي، بتشجيع من مدير أعماله، لي. وأثناء تألقه على المسرح أمام الآلاف، يبدو واضحًا أنه يعاني من الحزن الداخلي. في كواليس الشهرة، يقضي وقته في الحفلات ويتعاطى المخدرات مع لي ومعجبين آخرين، محاولًا التهرب من اكتئابه المتزايد وحنينه إلى حبيبته السابقة.
في موازاة ذلك، تُشعل شابة تُدعى أنيما النار في منزل ما بلوس أنجلوس، قبل أن تتوجه إلى أحد حفلاته التالية، متجاهلةً محاولات والدتها للتواصل معها. قبيل حفل "الهالوين"، يُشخّص تسفاي باضطراب عصبي يُعرف بخلل التوتر العضلي، ما يدفعه للتفكير في إلغاء الحفل. لكن لي يقنعه بالاستمرار، محاولًا دفعه لتجاوز أزمته العاطفية. قبيل ظهوره على المسرح، يسجل تسفاي رسالة صوتية غاضبة ومليئة باللوم موجّهة لحبيبته السابقة. خلال أدائه، يتعرض لانهيار صوتي مفاجئ ويغادر المسرح، ما يثير غضب الجمهور. تتسلل أنيما إلى الكواليس وتنجح في الوصول إليه، ليبدأ بينهما حوار يتسم بالغموض والانجذاب.
أسرعوا غدا (فلم) القصة
يقضي الاثنان الليلة معًا في حديقة باسيفيك بارك، حيث يُسمعها تسفاي مقطعًا من أغنيته الجديدة "أسرعوا غدًا"، فتشعر أن كلماتها تعكس حالتها النفسية. في اليوم التالي، وأثناء استعداده لحفل جديد، يسمع جدالًا هاتفيًا بين أنيما ووالدتها حول الحريق، ما يدفعه للانسحاب منها، فتواجهه بغضب وتضربه بزجاجة شمبانيا تُفقده وعيه.
يرى تسفاي في غيبوبته كابوسًا سرياليًا، يجد فيه نفسه وحيدًا في الشارع خارج فندقه، تلاحقه صور من طفولته. وعندما يستيقظ، يكتشف أنه مقيد إلى سرير الفندق، حيث تبدأ أنيما في تحليل أغانيه القديمة مثل "أضواء مبهرة" و"غازولين"، منتقدة تصويره المتكرر للعلاقات السامة. رغم محاولاتها، يرفض الإفصاح عن مشاعره، إلى أن يصل لي، الذي تتبعه عبر الهاتف، ليُفاجأ بما يحدث. تصده أنيما وتطعنه في رقبته بسكين، ما يؤدي إلى وفاته.
تنهار أنيما وتسكب البنزين على جسد تسفاي، مهددةً بحرقه حيًا. حينها، يبدأ بالغناء لها أغنية "أسرعوا غدًا"، ما يهدئ من روعها. تتناغم معه، وتقوم بتحريره، ثم تشعل النار في الغرفة وتغادر.
في النهاية، يخرج تسفاي من الفندق، ليجد نفسه مباشرة في الغرفة الخضراء خلف كواليس حفل جديد. ينظر إلى صورته في المرآة، متأثرًا بعمق بالأحداث التي عاشها.
أسرعوا غدا (فلم) إنتاج
قام تري إدوارد شولتس بإخراج وتحرير الفيلم وبكتابة السيناريو مع آبل "ذا ويكند" تسفاي ورضا فهيم، وكانت قصته مستوحاة من الألبوم السادس الذي يحمل نفس الاسم . كما أنتج تيسفاي وفاهم الفيلم أيضًا من خلال شركة "مانيك فايز" مع كيفن تورين وهاريسون كريس.  شولتس، جينا أورتيجا ، مايكل رابينو ، ريان كروفت، وسيم "سال" صليبي وهاريسون هوفمان عملوا كمنتجين تنفيذيين .  تولى تشيس إيرفين التصوير السينمائي، بينما قام دانييل لوباتين بتأليف الموسيقى التصويرية مع تيسفاي.  كان هذا أحد آخر المشاريع التي عمل عليها تورين قبل وفاته في نوفمبر 2023.
أسرعوا غدا (فلم) إنتاج
وقع تيسفاي وأورتيجا وباري كيوغان على عقد بطولة الفيلم حيث سيمثل هذا أول ظهور لـ تيسفاي كممثل في فيلم روائي طويل، بعد أن ظهر سابقًا كضيف شرف في فيلم جواهر غير مصقولة (2019) وبطولة المسلسل التلفزيوني الآيدول (2022) على منصة إتش بي أو .  على الرغم من أن أورتيجا وكيوجان كانا يدرسان عدة عروض بعد سنوات نجاحهما، إلا أن كل منهما أراد أن يكون الفيلم مشروعهما التالي. تمت الموافقة على الإنتاج بعد أن تعهدوا بالتزاماتهم.  قامت شركة لايف نيشن إنترتينمنت بتمويل الفيلم بميزانية تجاوزت 20 مليون دولار.
عندما أعلنت ددلاين هوليوود عن الفيلم في 28 فبراير 2023، كان التصوير الرئيسي قد بدأ بالفعل. صُوّر الفيلم بواسطة المصور السينمائي الكندي تشيس إيرفين حيث يمثل تعاونه الأول مع شولتس.
وفقًا للتحقيق الذي أجراه كيم ماسترز ، المحرر العام في هوليوود ريبورتر ، في يوليو 2024، ظل الفيلم في مرحلة ما بعد الإنتاج لمدة عام ولم يتمكن من جذب المشترين المحتملين. وقد ورد أن العلاقة الطويلة الأمد بين تورين والمخرج السينمائي سام ليفينسون ، الذي عمل أيضًا في مسلسل الآيدول ، تدهورت بعد أن شعر ليفينسون "بالخيانة" لأن تورين كان مرتبطًا بالمشروع دون علمه. وادعى تورين أنه أخبر زوجة ليفينسون، آشلي ليفينسون، عن الفيلم ، لكنها لم تبد أي اهتمام ولم تذكر الأمر لزوجها أبدًا. تقول العديد من مصادر ماسترز أن آشلي نفى معرفة أي شيء عن الفيلم. في أبريل 2025، أوضح تيسفاي أن الفيلم تم تصويره وتطويره قبل الألبوم، والذي أُنتج أثناء عملية تسجيل الفيلم بعد الإنتاج.
أسرعوا غدا (فلم) الإصدار
في نوفمبر 2024، أعلنت شركة ليونزغايت عن استحواذها على حقوق التوزيع العالمية للفيلم . وعُرض في دور العرض السينمائية بالولايات المتحدة في 16 مايو 2025.
أسرعوا غدا (فلم) الاستقبال
اعتبارًا من 26 مايو 2025، بلغت إيرادات الفيلم نحو 4.9 ملايين دولار أمريكي في الولايات المتحدة وكندا، إلى جانب 605,402 دولارًا من الأسواق الدولية، ليصل إجمالي الإيرادات العالمية إلى 5.5 مليون دولار.
في الولايات المتحدة وكندا، صدر الفيلم بالتزامنمع فيلم المحطة الأخيرة: خيوط الدم، وكان من المتوقع أن يُحقق ما بين 5 إلى 9 ملايين دولار في عطلة نهاية الأسبوع الافتتاحية، عبر عرضه في 2,020 دار عرض سينمائية. وحقق الفيلم 1.65 مليون دولار من عروض المعاينة المسبقة، بواقع 1.3 مليون دولار يوم الأربعاء و350,000 دولار يوم الخميس. إلا أن الفيلم فشل في شباك التذاكر، إذ جاء في المرتبة السادسة خلال أسبوعه الافتتاحي، محققًا 3.2 ملايين دولار فقط. وقد علّق موقع ديدلاين هوليوود بأن شركة "ليونزغيت" قد بذلت "جهدًا حقيقيًا" في محاولة تسويق الفيلم لأصحاب صالات العرض، من خلال حملة ترويجية واسعة النطاق شملت حضورًا لافتًا في معرض "سينماكون"، إلا أن أداء الفيلم التجاري عُدّ بمثابة "رفض تام" من قبل جمهور السينما.