hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات برهان عدم قابلية العد لكانتور عام 1879م
قام كانتور بتعديل برهانه الذي قدمه في عام 1874م، ببرهان جديد لنظريته الثانية، والذي ينص على الآتي: إذا أعطيت أي متتالية (P ) من الأعداد الحقيقية x 1 ، x 2 ، x 3 ، وأي فاصل [a ،b ]، يوجد رقم في [ a ،b ] والذي لا يوجد في P. يحتوي برهان كانتور الجديد على حالتين فقط. أولاً، يتعامل مع حالة عدم كون P كثيفًا في الفاصل الزمني، ثم يتعامل مع الحالة الأكثر صعوبة وهي كون P كثيفًا في الفاصل الزمني. وهذا التقسيم لا يشير إلى حالات التسلسلات الأكثر صعوبة في التعامل معها فحسب، بل يكشف أيضًا عن الدور المهم الذي تلعبه الكثافة في البرهان.
في الحالة الأولى، (P ) ليست كثيفة في [a ،b ]. وفقًا للتعريف، (P) كثيفة في [ a ،b ] إذا وفقط إذا لجميع المجالات الفاصلة ( c ،d ) من [ a ،b ]، يوجد x∈P بحيث x ∈ (c, d) . إن أخذ نفي كل جانب من "إذا وفقط إذا" ينتج عنه: P ليس كثيفًا في [ a ،b ] إذا وفقط إذا كان هناك مجال فاصل ( c ،d ) من [ a ،b ] بحيث يكون لجميع x∈p: x ∉ (c, d) . لذلك، كل عدد في ( c ،d ) غير موجود في التسلسل (P). تتناول هذه الحالة الحالة 1 والحالة 3 من برهان كانتور لعام 1874م.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات برهان عدم قابلية العد لكانتور عام 1879م
في الحالة الثانية، والتي تتناول الصورة الثانية من برهان كانتور لعام 1874م، تكون (P) كثيفة في [ a ،b ]. يتم استخدام كثافة التسلسل (P) من أجل تحديد تسلسل من الفواصل المتداخلة بشكل متكرر ، والذي يستبعد جميع الأرقام في (P) ويحتوي تقاطعه على رقم حقيقي واحد في [ a ،b ].حيث يبدأ تسلسل الفواصل بـ ( a ، b ). وبالنظر إلى فاصل زمني في التسلسل، يتم الحصول على الفاصل الزمني التالي عن طريق إيجاد الرقمين اللذين لهما أقل المؤشرات التي تنتمي إلى (P) والفاصل الزمني الحالي. وهذان الرقمان يمثلان نقاط النهاية للفاصل الزمني المفتوح التالي. نظرًا لأن الفاصل المفتوح يستبعد نقاط النهاية الخاصة به، فإن كل فاصل متداخل يزيل رقمين من مقدمة التسلسل (P)، مما يعني أن تقاطع الفواصل المتداخلة يستبعد جميع الأرقام في (P). تفاصيل هذا الدليل وبرهان على أن هذا التقاطع يحتوي على عدد حقيقي واحد في [ a ،b ] موضحة أدناه.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تطور أفكار كانتور
التطور الذي أدى إلى وجود مقالة كانتور عام 1874م، يتضح من خلال المراسلات التي كانت بين كل من: كانتور وريتشارد ديديكيند. في 29 نوفمبر 1873م، حيث قام كانتور بتوجيه سؤال إلى ديديكيند عما إذا كان من الممكن مطابقة مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة "بحيث يتطابق كل فرد من إحدى المجموعتين، مع فرد واحد فقط من المجموعة الأخرى؟" وأضاف كانتور أن المجموعات التي لها مثل هذه المطابقة تشمل مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة، والمجموعات التي على هيئة
( a n 1 ،n 2 ،...,nν )حيثn1 ، n2 ،.. و n ν و ν أعداد صحيحة موجبة. وكان جواب ديديكيند على سؤال كانتور، أنه لم يتمكن من الإجابة على هذا السؤال، وقال إنه "لا يستحق المزيد من الجهد، لأنه لا يحمل أي فائدة عملية خاصة". وأرسل ديدكيند إلى كانتور دليلاً على أن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد.
وفي الثاني من ديسمبر، رد كانتور بأن سؤاله مثير للاهتمام: "وأنه سيكون من الجيد أن يتم الإجابة عليه؛ على سبيل المثال، بشرط أن يتم الإجابة بالنفي، والذي سيؤدي إلى أن يكون لدينا دليل جديد على نظرية ليوفيل التي تنص على وجود أعداد متسامية".
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تطور أفكار كانتور
في السابع من ديسمبر، أرسل كانتور إلى ديديكيند برهانًا بالتناقض على أن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. ويبدأ كانتور بافتراض أن الأعداد الحقيقية ما بين  يمكن كتابتها على شكل تسلسل. وبناء عليه يطبق كانتور بناء هذا التسلسل لإنتاج رقم في  وهذا ليس في التسلسل، مما يتناقض مع افتراضه.، رسائل الثاني والسابع من ديسمبر تمثلان معًا دليلاً غير بناء على وجود أعداد متسامية. كذلك البرهان الموجود في رسالة كانتور، والتي كانت في السابع من ديسمبر، يوضح بعض الأسباب التي أدت إلى اكتشافه أن الأعداد الحقيقية تشكل مجموعة غير قابلة للعد.
وقد تلقى ديديكيند برهان كانتور في الثامن من ديسمبر. وفي اليوم ذاته، قام ديديكيند بتبسيط البرهان، ومن ثم إرساله بالبريد إلى كانتور. وقد استخدم كانتوربرهان ديديكيند في مقالته. لم يتم نشر الرسالة التي تحتوي على دليل كانتور والتي كانت في السابع من ديسمبر حتى عام 1937م.
وفي التاسع من شهر ديسمبر، قام كانتور بالاعلان عن النظرية التي سمحت له ببناء أعداد متسامية، وكذلك إثبات عدم إمكانية عد مجموعة الأعداد الحقيقية:
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تطور أفكار كانتور
"السبب في أن مجموعات الأعداد الحقيقية التي تشكل ما يسمى بالسلسلة المستمرة (مثل جميع الأعداد الحقيقية التي تكون ≥0 و ≥1) لا يمكن أن تتوافق واحدًا لواحد مع المجموعة (ν) [مجموعة الكل أعداد صحيحة موجبة]؛ وهكذا وجدت الفرق الواضح بين ما يسمى بالاستمرارية ومجموعة مثل مجمل الأعداد الجبرية الحقيقية
وهذه هي النظرية الثانية في مقالة كانتور. يأتي ذلك من إدراك أن بناءه يمكن تطبيقه على أي تسلسل، وليس فقط على التسلسلات التي من المفترض أن تحتوي على الأعداد الحقيقية. وهكذا كان أمام كانتور خيار بين برهانين يثبتان وجود الأعداد المتسامية: البرهان الأول بنّاء، والبرهان الثاني ليس بنّاءً. ويمكن عقد مقارنة بين هذين البرهانين، وذلك من خلال البدء بتسلسل يتكون من جميع الأعداد الجبرية الحقيقية.
يطبق البرهان البنائي بناء كانتور على هذا التسلسل والفاصل الزمني [ a ،b ] من أجل إنتاج عدد متسامي في هذه الفترة.
يستخدم البرهان غير البنّاء دليلين بالتناقض:
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تطور أفكار كانتور
الإثبات بالتناقض المستخدم لإثبات وجود الأعداد المتسامية من خلال قابلية الأعداد الجبرية الحقيقية للعد وعدم قابلية الأعداد الحقيقية للعد. يذكر خطاب كانتور بتاريخ 2 ديسمبر هذا الإثبات على الوجود ولكنه لا يحتوي عليه. إليك أحد الإثباتات: افترض أنه لا توجد أعداد متعالية في [ a، b ]. ثم جميع الأرقام في [ a ، b ] جبرية. وهذا يعني أنها تشكل تسلسلًا فرعيًا لتسلسل جميع الأعداد الجبرية الحقيقية، وهو ما يتناقض مع نظرية عدم قابلية العد لكانتور. وبالتالي، فإن الافتراض القائل بعدم وجود أعداد متسامية في [a ،b ] خطأ. وبالتالي، يوجد عدد متسامٍ في [ a،b ].
وقد اختار كانتور نشر البرهان البناء، والذي لا ينتج عددًا متساميًا فحسب، بل إنه أيضًا قصير جدًا ويتجنب الدليلين عن طريق التناقض. إن البرهان غير البنّاء من مطابقة كانتور أبسط من البرهان المذكور أعلاه، لأنه يعمل مع جميع الأعداد الحقيقية وليس الفاصل [ a ، b ]. يؤدي هذا إلى إزالة خطوة التسلسل الفرعي وجميع حالات [ a ،b] في الإثبات الثاني بالتناقض.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مفهوم خاطئ عن عمل كانتور
أكيهيرو كاناموري، المتخصص في نظرية المجموعات،صرح أن "التفسيرات لأعمال كانتور عكست في الغالب ترتيب استنتاج وجود الأعداد المتسامية، فأثبتت في البداية عدم قابلية الأعداد الحقيقية للعد، ثم استخلصت بعد ذلك استنتاج الوجود من قابلية الأعداد الجبرية للعد. في الكتب المعدة لقاعات الدرس، قد يكون العكس أمرًا حتميًا، لكن هذا قوى من الاعتقاد الخاطئ بأن حجج كانتور غير بناءة".
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مفهوم خاطئ عن عمل كانتور
برهان كانتور المنشور، والبرهان ذو الترتيب العكسي، يستخدمان النظرية التالية: إذا أعطيت سلسلة من الأعداد الحقيقية، فيمكن إيجاد عدد حقيقي غير موجود في السلسلة. ومن خلال تطبيق هذه النظرية على تسلسل الأعداد الجبرية الحقيقية،استطاع كانتور إنتاج عددًا متساميًا. ثم أثبت أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد: افترض أن هناك تسلسل يحتوي على جميع الأعداد الحقيقية. فإن تطبيق النظرية على هذا التسلسل يؤدي إلى إنتاج عدد حقيقي ليس في التسلسل، مما يتناقض مع الافتراض بأن التسلسل يحتوي على جميع الأعداد الحقيقية. ومن ثم فإن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. برهان الترتيب العكسي، يبدأ أولاً بالبرهنة على أن الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد. وبالتالي، يتم إثبات أن الأعداد المتسامية موجودة: وفي حالة إذا لم تكن هناك أعداد متسامية، فإن جميع الأعداد الحقيقية ستكون جبرية، وبالتالي تكون قابلة للعد، وهو ما يتناقض مع ما تم إثباته للتو. وهذا التناقض يثبت أن الأعداد المتسامية موجودة دون بناء أي منها.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مفهوم خاطئ عن عمل كانتور
المراسلات التي تحتوي على تفكير كانتور غير البناء، تم نشرها في عام 1937م. وبحلول ذلك الوقت، كان علماء الرياضيات الآخرون قد أعادوا اكتشاف برهانه غير البناء والعكسى. وفي وقت مبكر من عام 1921م، أطلق على هذا البرهان اسم "برهان كانتور" وانتُقد لعدم إنتاجه أي أعداد متسامية. وفي ذلك العام، قدم أوسكار بيرون البرهان العكسي ثم ذكر: "... إن برهان كانتور على وجود الأعداد المتسامية، على الرغم من بساطته وأناقته، إلا أن له عيب كبير وهو أنه مجرد برهان على الوجود؛ فهو لا يمكّننا من تحديد حتى رقم متسام واحد."
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مفهوم خاطئ عن عمل كانتور
وفي بدايات عام 1930م، حاول بعض علماء الرياضيات تصحيح هذا المفهوم الخاطئ لعمل كانتور. وفي نفس العام ، صرح عالم نظرية المجموعات أبراهام فرانكل أن طريقة كانتور هي "... طريقة بناءة بشكل أساسي وليست مجرد وجودية، على عكس التفسير الشائع". وفي عام 1972م، كتب إيرفينج كابلانسكي: "غالبًا ما يُقال إن برهان كانتور ليس "بناءً"، وبالتالي لا ينتج عددًا متساميًا ملموسًا. هذه الملاحظة غير مبررة. إذا قمنا بإعداد قائمة محددة لجميع الأعداد الجبرية ... ثم طبقنا حجة كانتور القطرية ...، نحصل على عدد متسامي محدد تمامًا (يمكن حسابه لأي عدد من الأماكن العشرية)."   إن برهان كانتور ليس بناء فحسب، بل يمكن اعتباره أيضًا أنه أبسط من برهان بيرون، والذي يتطلب الانعطاف أولاً لإثبات أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مفهوم خاطئ عن عمل كانتور
غالبًا ما حلت حجة كانتور القطرية محل بنائه الذي قدمه عام 1874م في تفسيراته لبرهانه. الحجة القطرية بناءة، وتنتج برنامج حاسب آلي أكثر كفاءة من بنائه عام 1874م. وباستخدامه، تمت كتابة برنامج حاسب آلي يحسب أرقام عدد متسام في زمن حدودي. يتطلب البرنامج الذي يستخدم بناء كانتور لعام 1874م وقتًا أقل من الأس على الأقل.
يوضح عرض البرهان غير البنّاء دون ذكر البرهان البنّاء لكانتور في بعض الكتب التي حققت نجاحًا كبيرًا كما يقاس بطول الوقت الذي ظهرت فيه الطبعات الجديدة أو إعادة الطباعة - على سبيل المثال: كتاب Irrationalzahlen لأوسكار بيرون (1921م؛ 1960م، الطبعة الرابعة)، وكتاب Men of Mathematics لإريك تومبل بيل (1937م؛ لا يزال قيد إعادة الطباعة)، وكتاب An Introduction to the Theory of Numbers لغودفري هاردي وإي إدوارد ميتلاند رايت (1938م؛ الطبعة السادسة 2008م)، وكتاب A Survey of Modern Algebra لغاريت بيركهوف وساندرز ماك لين (1941م؛ الطبعة الخامسة 1997م)، وكتاب Calculus لمايكل سبيفاك (1967م؛ الطبعة الرابعة 2008م).  ومنذ عام 2014م، ظهر كتابان على الأقل يؤكدان أن برهان كانتور بنّاء،  في حين ظهرت أربعة كتب على الأقل تؤكد أن برهانه لا يبني أي (أو واحد) متسامي.
إن الزعم بأن كانتور قدم حجة غير بناءة دون الإشارة إلى البرهان البناء الذي نشره يمكن أن يؤدي إلى بيانات خاطئة حول تاريخ الرياضيات. في استطلاع للجبر الحديث، ذكر بيركهوف وماك لين: " حجة كانتور لهذه النتيجة [ليس كل عدد حقيقي جبري]، تم رفضها في بداية الأمر من قبل العديد من الرياضيين؛ لأنها لم تظهر أي عدد متسامي محدد."  إن البرهان الذي نشره كانتور ينتج أعدادًا متسامية، ولا يبدو أن هناك أي دليل على رفض حجته. حتى ليوبلد كرونكر، الذي كانت لديه آراء صارمة بشأن ما هو مقبول في الرياضيات، والذي كان من الممكن أن يؤخر نشر مقال كانتور، ولكنه لم يفعل ذلك. في واقع الأمر، يؤدي تطبيق بناء كانتور على تسلسل الأعداد الجبرية الحقيقية إلى عملية محدودة قبلها كرونكر - أي أنها تحدد رقمًا إلى أي درجة مطلوبة من الدقة.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تأثير فايرشتراس وكرونكر على مقالة كانتور
مؤرخو الرياضيات، قاموا باكتشاف الحقائق التالية حول مقالة كانتور المعنونة بــ "حول خاصية مجموعة كل الأعداد الجبرية الحقيقية":
ولتوضيح هذه الحقائق، أشار المؤرخون إلى تأثير أستاذي كانتور السابقين، كارل فايرشتراس وليوبولد كرونيكر. حيث ناقش كانتور نتائجه مع فايرشتراس في 23 ديسمبر 1873م. وقد انبهر فايرشتراس في بداية الأمر بمفهوم القدرة على العد، إلا أنه بعد ذلك وجد أن القدرة على العد لمجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية مفيدة. كانتور لم تكن لديه الرغبة في النشر بعد، لكن ايرشتراس شعر أنه يجب عليه على الأقل نشر نتائجه المتعلقة بالأعداد الجبرية.
ومن خلال مراسلاته، يبدو أن كانتور ناقش مقالته مع فايرشتراس فقط. ومع ذلك، قال كانتور لديديكيند: "التقييد الذي فرضته على النسخة المنشورة من تحقيقاتي ناجم بشكل جزئي عن ظروف محلية ..."  يعتقد كاتب سيرة كانتور جوزيف دوبن أن "الظروف المحلية" تشير إلى كرونيكر الذي، بصفته عضوًا في هيئة تحرير مجلة كريل، قام بتأخيرنشر مقال عام 1870م بقلم إدوارد هاين، أحد زملاء كانتور. أرسل كانتور مقالته إلى مجلة كريل.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تأثير فايرشتراس وكرونكر على مقالة كانتور
نصح فايرشتراس كانتور باستبعاد نظرية عدم القابلية للعد من المقالة التي قدمها، لكن عاد وأخبر كانتور أيضًا أنه يمكنه إضافتها كملاحظة هامشية أثناء مراجعة المسودة، وهو ما فعله كانتور. ويظهر ذلك في ملاحظة في نهاية مقدمة المقال. وقد لعبت آراء كرونيكر وفايرشتراس دوراً هنا. لم يقبل كرونيكر المجموعات اللانهائية، ويبدو أن فايرشتراس لم يقبل أن مجموعتين لانهائيتين يمكن أن تكونا مختلفتين إلى هذا الحد، بحيث تكون إحداهما قابلة للعد والأخرى غير قابلة للعد. وإن كان فايرشتراس قد غير من رأيه لاحقًا. بدون نظرية عدم القدرة على العد، كانت المقالة بحاجة إلى عنوان لا يشير إلى هذه النظرية. اختار كانتور ("حول خاصية مجموعة كل الأعداد الجبرية الحقيقية")، والتي تشير إلى قابلية العد لمجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية، وهي النتيجة التي وجدها فايرشتراس مفيدة.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات تأثير فايرشتراس وكرونكر على مقالة كانتور
يتضح مدى تأثير كرونيكر في إثبات نظرية كانتور الثانية. وعلى الرغم من استخدام كانتور لنسخة ديدكيند من البرهان، إلا أنه ترك سبب كون الحدود a∞=lim n→∞a n و b ∞=lim n→∞b n موجود. لقد استخدم ديديكيند "مبدأ الاستمرارية" لإثبات وجودهم. يأتي هذا المبدأ (الذي يعادل أدنى خاصية الحد الأعلى للأعداد الحقيقية) من بناء ديديكيند للأعداد الحقيقية، وهو البناء الذي لم يقبله كرونيكر.
على الرغم من أن ديديكيند أرسل لكانتور برهانًا يتناول جميع الأعداد الجبرية. غير أن كانتور اقتصر  في نظريته الأولى على مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية. لقد فعل كانتور هذا لأسباب توضيحية، وبسبب "الظروف المحلية". ومثل هذا التقيد يؤدي إلى تبسيط المقالة؛ لأن النظرية الثانية تعمل مع المتتاليات الحقيقية. ومن ثم، يمكن تطبيق البناء في النظرية الثانية مباشرة على تعداد الأعداد الجبرية الحقيقية؛ من أجل إنتاج "إجراء فعال لحساب الأعداد المتسامية". سيكون هذا الإجراء مقبولاً لدى فايرشتراس.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مساهمات ديديكيند في مقالة كانتور
منذ عام 1856م،قام ديديكيند بتطوير نظريات تتضمن عددًا لا نهائيًا من المجموعات اللانهائية - ومنها على سبيل المثال: المثاليات، التي استخدمها في نظرية الأعداد الجبرية، وحد ديديكيند، التي استخدمها لبناء الأعداد الحقيقية. وقد مكنه هذا العمل من فهم أعمال كانتور والمساهمة فيها.
مساهمة ديدكيند الأولى، كانت متعلقة بنظرية مفادها: أن مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية قابلة للعد. وعادة ما يُنسب الفضل في هذه النظرية إلى كانتور، لكن المؤرخ الرياضي خوسيه فيريروس يطلق عليها اسم "نظرية ديديكيند". والمراسلات بينهم تكشف عن مساهمة كل عالم رياضيات في النظرية.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مساهمات ديديكيند في مقالة كانتور
في رسالته التي قدم فيها مفهوم العد، ذكر كانتور بدون برهان أن مجموعة الأعداد النسبية الموجبة قابلة للعد، وكذلك المجموعات من النموذج ( a n 1 ،n 2 ،...,nν ) حيث n1 ،n 2 ،... ,n ν و ν أعداد صحيحة موجبة. النتيجة الثانية لكانتور تستخدم عائلة مفهرسة من الأرقام: مجموعة من النموذج ( a n 1 ،n 2 ،...,nν ) هو مدى الدالة من مؤشرات ν إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. نتيجة كانتور الثانية تتضمن نتيجته الأولى: دع ν=2 و n 1 ،n 2=n1/n2 الدالة يمكن أن تكون عامة جدًا—على سبيل المثال، n 1 ،n 2 ،n 3 ،n 4 ،n 5= (n1/n2)
رد ديدكيند ببرهنة النظرية التي تنص على أن مجموعة جميع الأعداد الجبرية قابلة للعد. في رد كانتورعلى ديدكيند، لم يزعم أنه أثبت نتيجة ديدكيند. لقد أشار إلى كيفية إثباته لنظريته حول العائلات المفهرسة للأرقام: "إن برهانك أن ( n ) [مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة] يمكن أن ترتبط بشكل واحد لواحد بحقل جميع الأرقام الجبرية هو تقريبًا نفس الطريقة التي أثبت بها افتراضي في الرسالة الأخيرة. أنا آخذ
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات مساهمات ديديكيند في مقالة كانتور
n 1 2+n 2 2+···+n v 2= وترتيب العناصر وفقًا لذلك."  وعلى الرغم من ذلك،  فترتيب كانتور أضعف من ترتيب ديديكيند، ولا يمكن توسعته إلى مجموعات-    للأعداد الصحيحة التي تحتوي على أصفار.
وعن المساهمة الثانية لديديكيند فهي برهانه لنظرية كانتور الثانية. وقد أرسل ديدكيند هذا البرهان ردًا على رسالة كانتور التي تضمنت نظريتة في عدم القدرة على العد، والتي أثبتها كانتور مستخدمًا عدد لا نهائي من المتتاليات. بعد ذلك كتب كانتور أنه وجد برهانًا أبسط لا يستخدم عددًا لا نهائيًا من المتتاليات. لذلك كان أمام كانتور الخيار بين البراهنين، واختار نشر برهان ديديكيند.
وجه كانتور الشكر لديديكيند على مساعدته بشكل خاص، فيقول: "... تعليقاتك (التي أقدرها بشدة) وطريقة طرحك لبعض النقاط كانت ذات فائدة كبيرة بالنسبة لي."  ومع ذلك، لم يذكر مساعدة ديديكيند في مقالته. كما أنه في مقالات سابقة، اعترف بالمساعدة التي تلقاها من كل من: كرونيكر، ووييرستراس، وهيني، وهيرما شفارتس. وقد تسبب فشل كانتور في ذكر مساهمات ديداكيند إلى الإضرار بعلاقته مع ديداكيند. توقف ديديكيند عن الرد على رسائله ولم يستأنف المراسلات حتى أكتوبر 1876م.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات إرث مقالة كانتور
وطرحت مقالة كانتور نظرية عدم القدرة على العد، وكذلك مفهوم القدرة على العد. وكلاهما من شأنه أن يؤدي إلى تطورات كبيرة في الرياضيات. نظرية عدم القدرة على العد، أثبتت أن التقابلات بين واحد لواحد يمكن استخدامها لتحليل المجموعات اللانهائية. وفي عام 1878م، قام كانتور باستخدامهم  لتحديد ومقارنة العناصر الأساسية. كما قام ببناء مطابقات فردية لإثبات أن المساحات ذات الأبعاد n R n (حيث R هي مجموعة الأعداد الحقيقية) ومجموعة الأعداد غير النسبية لها نفس عدد الأعداد مثل R.
في عام 1883م، قام كانتور بتوسيع الأعداد الصحيحة الموجبة باستخدام الأعداد الترتيبية اللانهائية. وقد كان هذا التوسع ضروريًا لعمله على نظرية كانتور-بنديكسون . كانتور اكتشف استخدامات أخرى للأعداد الترتيبية، فعلى سبيل المثال، قام كانتور باستخدام مجموعات من الأعداد الترتيبية، من أجل إنتاج عدد لا نهائي من المجموعات التي تحتوي على أعداد لا نهائية مختلفة. وقد أدى عمل كانتور على المجموعات اللانهائية جنب إلى جنب مع عمل ديديكيند النظري، إلى إنشاء نظرية المجموعات.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات إرث مقالة كانتور
مفهوم القدرة على العد، أدى إلى عمليات وموضوعات قابلة للعد، والتي تم استخدامها في مجالات مختلفة من الرياضيات. على سبيل المثال، في عام 1878م، قدم كانتور اتحادات قابلة للعد للمجموعات. في تسعينيات القرن التاسع عشر، استخدم إيميل بوريل الاتحادات القابلة للعد في نظريته للقياس ، واستخدم رينيه بير الترتيبات القابلة للعد لتحديد فئات الدوال الخاصة به. بناءً على عمل بوريل وبير، أنشأ هنري لوبيغ نظرياته في القياس والتكامل، والتي نُشرت من عام 1899م إلى عام 1901م.
أول مقالة لكانتور عن نظرية المجموعات إرث مقالة كانتور
النماذج القابلة للعد، مستخدمة في نظرية المجموعات. ففي عام 1922م، أثبت ثورالف سكوليم أنه إذا كانت البديهيات التقليدية لنظرية المجموعات متسقة ، فإنها تحتوي على نموذج قابل للعد. وحيث أن هذا النموذج قابل للعد، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية الخاصة به قابلة للعد. تسمى هذه النتيجة بمفارقة سكوليم، وقد أوضح سكوليم لماذا لا يتعارض ذلك مع نظرية عدم قابلية العد لكانتور: على الرغم من وجود توافق واحد لواحد بين هذه المجموعة ومجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة، إلا أن مثل هذه التوافقات لا تشكل عنصرًا في النموذج. وبالتالي فإن النموذج يعتبر مجموعة الأعداد الحقيقية الخاصة به غير قابلة للعد، أو بتعبير أدق، فإن عبارة الدرجة الأولى التي تقول إن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد،تكون صحيحة داخل النموذج. وفي عام 1963م، استخدم عالم الرياضيات الأمريكي بول كوهين نماذج قابلة للعد، من أجل إثبات نظرياته المستقلة.
مسح الأرض الفيزيائي
مسح الأرض الفيزيائي أو الجيوديسيا الفيزيائية (بالإنجليزية: Physical geodesy)‏ هي دراسة الخصائص الفيزيائية لجاذبية الأرض ومجالها الكموني (كمون أرضي)، بهدف تطبيقها في مسح الأرض.
مسح الأرض الفيزيائي إجراءات القياس
تعتمد الأدوات الجيوديسية التقليدية مثل أجهزة قياس الزوايا على مجال الجاذبية لتوجيه محورها الرأسي على طول خط الرأس المحلي أو الاتجاه الرأسي المحلي بمساعدة ميزان الماء لضبط المحور الأفقي. بعد ذلك، يمكن الحصول على الزوايا الرأسية (زوايا السمت أو زوايا الارتفاع) بالنسبة لهذا العمودي المحلي، والزوايا الأفقية في مستوى الأفق المحلي، عمودية على ذلك الاتجاه العمودي.
ويمكن استخدام أدوات تسوية المساحة مرة أخرى للحصول على الوضع الجيوفيزيائي بين النقاط على سطح الأرض. ومن الممكن بعد ذلك التعبير عن هذه الاختلافات باعتبارها اختلافات في "الارتفاع" عن طريق التحويل إلى وحدات مترية.
تُقاس الجاذبية عادة بوحدات م·ثانية−2 (متر لكل ثانية مربعة). يمكن أيضًا التعبير عن ذلك (بالضرب في ثابت الجاذبية G من أجل تغيير الوحدات) بوحدة نيوتن لكل كيلوجرام من الكتلة المنجذبة.
مسح الأرض الفيزيائي إجراءات القياس
يمكن التعبير عن طاقة الوضع على أنها حاصل ضرب الجاذبية في المسافة، (م2·ثانية−2). إن الحركة لمسافة متر واحد في اتجاه متجه الجاذبية بقوة 1 متر·ثانية−2 سيزيد من الطاقة بمقدار 1 متر2·ثانية−2. وباستخدام ثابت الداذبية G مرة أخرى كمضاعف، يمكن تغيير الوحدات إلى جول لكل كيلوجرام من الكتلة المنجذبة.
الوحدة الأكثر ملاءمة هي وحدة (geopotential unit GPU)، أو وحدة الجهد الجيوفيزيائي: وهي تساوي 10 م2·ثانية−2. هذا يعني أن الحركة لمسافة متر واحد في الاتجاه الرأسي، أي اتجاه الجاذبية المحيطة 9.8 متر.ثانية−2، سيؤدي إلى تغيير الطاقة بمقدار واحد GPU تقريبًا. وهذا يعني مرة أخرى أن الفرق في الجهد الجيوفيزيائي، بوحدة الـGPU، لنقطةٍ ما مع مستوى سطح البحر يمكن استخدامه كمقياس تقريبي للارتفاع "فوق مستوى سطح البحر" بالأمتار.
مسح الأرض الفيزيائي الجاذبية
جاذبية الأرض، والتي يرمز لها بـ g، هي محصلة القوى التي تؤثر على الأجسام بسبب التأثير المشترك للجذب (من الكتلة داخل الأرض) وقوة الطرد المركزي (من دوران الأرض).
وهي كمية متجهة، يتطابق اتجاهها مع الشاقول ويمكن تحديد قوتها أو مقدارها بواسطة المعيار .
في وحدات النظام الدولي للوحدات، يُعبَّر عن هذا التسارع بـ متر لكل ثانية مربعة (بالرموز، م/ثانية2 أو م·ثانية−2) أو ما يعادله بـ النيوتن لكل كيلوجرام (نيوتن/كجم أو ن·كجم−1). بالقرب من سطح الأرض، يكون التسارع الناتج عن الجاذبية، بدقة تصل إلى رقمين هو 9.8 م/ثانية2. هذا يعني أنه بتجاهل تأثيرات مقاومة الهواء، فإن سرعة الجسم أثناء السقوط الحر ستزداد بنحو 9.8 متر في الثانية (32 قدم/ث) كل ثانية. يُشار إلى هذه الكمية أحيانًا بشكل غير رسمي باسم g الحرف الصغير (على النقيض من ذلك، يُشار إلى ثابت الجاذبية G باسم G الحرف الكبير).
مسح الأرض الفيزيائي الجهد الجيومغناطيسي
الجهد الجيومغناطيسي geopotential هو جهد مجال الجاذبية للأرض. وللتيسير، غالبًا ما يُعرَّف على أنه سالب طاقةالوضع لكل وحدة كتلة، بحيث يمكن الحصول على متجه الجاذبية على أنه تدرج الجهد الجيومغناطيسي، دون الإشارة السالبة. بالإضافة إلى الجهد الجيومغناطيسي الفعلي (الجهد الجيومغناطيسي)، يمكن أيضًا تعريف الجهد الطبيعي normal potential النظري والفرق بينهما، ويمكن أيضًا تعريف الجهد المزعج disturbing potential.
مسح الأرض الفيزيائي الجيويد
وبسبب عدم انتظام مجال الجاذبية الحقيقية للأرض، فإن الشكل المتوازن لمياه البحر، أو مجسم الأرض (الجيود)، سيكون أيضًا غير منتظم الشكل. في بعض الأماكن، مثل غرب أيرلندا، يبرز الجيود - متوسط الرياضي لمستوى سطح البحر - بما يصل إلى 100 متر فوق القطع الناقص المرجعي المنتظم المتماثل دورانيًا لـ GRS80؛ وفي أماكن أخرى، مثل بالقرب من سريلانكا، يغوص تحت القطع الناقص بنفس المقدار تقريبًا. يُطلق على الفصل بين الجيود والقطع الناقص المرجعي اسم تموج الجيود، ويُرمز له بالرمز .
الجيود، أو المتوسط الرياضي لسطح البحر، لا يُعرَّف على البحار فقط، بل أيضًا تحت الأرض؛ وهو سطح الماء المتوازن الذي ينتج، إذا سُمح لمياه البحر بالتحرك بحرية (على سبيل المثال، من خلال الأنفاق) تحت الأرض. من الناحية الفنية، فإنه يمكن اختيار سطح متساوي الجهد للجهد الأرضي الحقيقي، ليتزامن (في المتوسط) مع متوسط مستوى سطح البحر.
مسح الأرض الفيزيائي الجيويد
وبما أن مستوى سطح البحر المتوسط يتحقق فعليًا من خلال علامات قياس المد والجزر على سواحل البلدان والقارات المختلفة، فسوف ينتج عن ذلك عدد من "الجيويدات القريبة" غير المتوافقة إلى حد ما، مع وجود فروق تتراوح بين عدة ديسيمترات إلى أكثر من متر واحد بينها، بسبب تضاريس سطح البحر الديناميكية. تُسمى هذه بالنقاط المرجعية الرأسية أو النقاط المرجعية الارتفاعية .
بالنسبة لكل نقطة على الأرض، يكون الاتجاه المحلي للجاذبية أو الاتجاه الرأسي، المتجسد في خط الشاقول، عموديًا على الجيود (انظر التسوية الجيوديسية الفلكية astrogeodetic leveling).
مسح الأرض الفيزيائي شذوذ الجاذبية
استخدمنا أعلاه شذوذ الجاذبية . ويمكن حسابه على أنه الاختلافات بين الجاذبية الحقيقية (المرصودة ، والجاذبية المحسوبة (العادية) . (هذا تبسيط مفرط ؛ من الناحية العملية، سيختلف الموقع في الفضاء الذي يجري فيه تقييم γ قليلا عن ذلك المكان الذي قيست فيه g.) وبالتالي نحصل على التالي:
وتسمى هذه الشذوذات بشذوذات جاذبية الهواء الحر شذوذ جاذبية الهواء الحر، وهي الشذوذات التي جرى استخدامها في معادلة ستوكس أعلاه.
في الجيوفيزياء (فيزياء الأرض)، غالبًا ما يجري تقليل هذه الشذوذ عن طريق إزالة جاذبية التضاريس منها، والتي بالنسبة لصفيحة أفقية مسطحة ( صفيحة بوجير ) ذات سمك H يمكن حسابها بواسطة العلاقة التالية:
وهو ما يسمى بشذوذ بوجير. هنا،  هو نفسه ما رمزنا له سابقًا بـ  ، شذوذ الهواء الحر.
في حالة عدم كون التضاريس على هيئة لوحة مسطحة (الحالة المعتادة!) نستخدم للسُمك H قيمة ارتفاع التضاريس المحلية ولكن نطبق تصحيحًا آخر يسمى تصحيح التضاريس شذوذ بوجير.
مسح الأرض الفيزيائي قراءة إضافية
B. Hofmann-Wellenhof and H. Moritz ب. هوفمان-ويلينهوف وه. موريتز، الجيوديسيا الفيزيائية، سبرينغر-فيرلاغ فيينا، 2005. (هذا النص هو طبعة محدثة من الكتاب التقليدي الصادر عام 1967 لـ دبليو إيه هيسكانن و إتش موريتز).
مسجد لالة غريبة
قد يشير مسجد لالة غريبة إلى:
مسجد لالة غريبة بفاس (المغرب)
مسجد لالة غريبة بتلمسان (الجزائر)
كاشف التوصيلية الحرارية
كاشف التوصيلية الحرارية ((بالإنجليزية: thermal conductivity detector TCD)‏)، المعروف أيضًا باسم مقياس القسطرة katharometer، هو كاشف خصائص عامة وكاشف كيميائي محدد يستخدم عادةً في استشراب الغاز (الكروماتوغرافي). يقوم هذا الكاشف باستشعار التغيرات في الموصلية الحرارية لمحلول العمود ويقارنها بتدفق مرجعي للغاز الناقل. نظرًا لأن معظم المركبات لها موصلية حرارية أقل بكثير من تلك الخاصة بغازات الناقل المعروفة مثل الهيليوم أو الهيدروجين، فعندما يخرج المحلل analyte من العمود، تنخفض الموصلية الحرارية للسائل الخارج effluent، وينتج عن ذلك إشارة يمكن اكتشافها.