hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
تفرد بي كي إل تطور متري
في ربط الخصائص الإحصائية للنموذج الكوني مع ارجوديك خصائص التحول س ق +1 = {1 / س ق} يجب ذكر نقطة مهمة. في تسلسل لا نهائي من الأرقام x التي تم إنشاؤها وفقًا لهذه القاعدة، ستتم ملاحظة قيم x الصغيرة (ولكن لا تتلاشى أبدًا) بشكل تعسفي مقابل أطوال كبيرة بشكل تعسفي k. يمكن لمثل هذه الحالات (بأي حال من الأحوال بالضرورة!) أن تؤدي إلى بعض المواقف المحددة عندما تتبادل فكرة العصور، كما هو الحال في تسلسل عهود كاسنر، بعضها البعض وفقًا للقاعدة eq. 37، يفقد معناه (على الرغم من أن الوضع التذبذب لتطور النموذج لا يزال قائماً). يمكن أن يتجلى مثل هذا الوضع "الشاذ"، على سبيل المثال، في ضرورة الاحتفاظ بالجانب الأيمن من eq. 26 مصطلحًا ليس فقط مع إحدى الوظائف أ، ب، ج (على سبيل المثال، أ 4 )، كما هو الحال في التبادل "العادي" لعصر كاسنر، ولكن في نفس الوقت مع اثنين منهم (على سبيل المثال، أ 4، ب 4، أ 2 ب 2 ).
تفرد بي كي إل تطور متري
عند الخروج من سلسلة "شاذة" من التذبذبات، يتم استعادة سلسلة من العصور المنتظمة. التحليل الإحصائي لسلوك النموذج الذي يعتمد بالكامل على التكرارات المنتظمة للتحولات eq. 42 من خلال نظرية مهمة: يميل احتمال ظهور الحالات الشاذة بشكل مقارب إلى الصفر حيث أن عدد التكرارات s → ∞ (أي الوقت t → 0) الذي تم إثباته في نهاية هذا القسم. تعود صحة هذا التأكيد إلى حد كبير إلى المعدل السريع جدًا للزيادة في اتساع التذبذب خلال كل عصر وخاصة في الانتقال من عصر إلى آخر.
إن عملية استرخاء النموذج الكوني إلى النظام الإحصائي "الثابت" (مع بدء t → 0 من "لحظة أولية" معينة) أقل إثارة للاهتمام، مع ذلك، من خصائص هذا النظام نفسه مع أخذ الاعتبار الواجب للخرسانة. قوانين تغير الخصائص الفيزيائية للنموذج خلال العصور المتعاقبة.
تفرد بي كي إل تطور متري
يتم الحصول على فكرة عن المعدل الذي يتم به تعيين التوزيع الثابت من المثال التالي. دع القيم الأولية x (0) توزع في فاصل زمني ضيق للعرض δ x (0) حول بعض الأرقام المحددة. eq. 73c علاقة التكرار. eq. 73c (أو مباشرة من التوسع eq. 73a ) من السهل استنتاج أن عروض التوزيعات w s ( x ) (حول أرقام محددة أخرى) ستكون عندئذٍ مساوية لـ
(هذا التعبير صالح فقط طالما أنه يحدد الكميات δ x (s) 1).
القيمة المتوسطة ، المحسوبة من هذا التوزيع، تتباعد لوغاريتميًا. للحصول على تسلسل، مقطوع عند عدد كبير جدًا، ولكنه لا يزال محدودًا، N، واحد لديه  . فائدة المتوسط في هذه الحالة محدودة للغاية بسبب عدم استقراره: بسبب الانخفاض البطيء لـ W ( k )، تتباعد التقلبات في k أسرع من متوسطها. السمة الأكثر ملاءمة لهذا التسلسل هي احتمال أن ينتمي الرقم المختار عشوائيًا منه إلى عصر بطول K حيث يكون K كبيرًا. هذا الاحتمال هو ln K / ln N. إنه صغير إذا  . في هذا الصدد، يمكن للمرء أن يقول إن رقمًا تم اختياره عشوائيًا من تسلسل معين ينتمي إلى عصر طويل مع احتمال كبير.
تفرد بي كي إل تطور متري
من الملائم متوسط التعبيرات التي تعتمد في وقت واحد على k ( s ) و x ( s ) . نظرًا لأن هذه الكميات مشتقة من نفس الكمية x ( s –1) (التي تنتهي العصر السابق)، وفقًا للصيغة k ( s ) + x ( s ) = 1 / x ( s –1)، فإن إحصائهما لا يمكن اعتبار التوزيعات مستقلة. يمكن الحصول على التوزيع المشترك W s ( k، x ) dx لكلا الكميتين من التوزيع w s –1 ( x ) dx من خلال إجراء الاستبدال في الأخير x → 1 / ( x + k ). بمعنى آخر، يتم إعطاء الدالة W s ( k، x ) من خلال التعبير ذاته الموجود أسفل علامة الجمع في الجانب الأيمن من eq. 73c . في الحد الثابت، مع أخذ w من eq. 74، يتم الحصول على
جمع هذا التوزيع على k يعيدنا إلى eq. 74، والتكامل فيما يتعلق dx إلى eq. 75.
تفرد بي كي إل تطور متري
الصيغ المتكررة تحديد الانتقالات بين العصور هي إعادة مكتوبة مع مؤشر الصورة ترقيم العصور المتعاقبة (وليس العهود كاسنر في حقبة معينة!)، ابتداء من عصر بعض (ق = 0) تعرف بأنها الأولي. Ω ( s ) و ε ( s ) هي، على التوالي، اللحظة الأولية وكثافة المادة الأولية في العصر s ؛ δ ( s ) Ω ( s ) هي سعة التذبذب الأولية لهذا الزوج من الوظائف α، β،، والتي تتأرجح في عصر معين: k ( s ) هو طول العصر s، و x ( s ) يحدد طول (عدد عهود كاسنر) للعصر التالي وفقًا لـ k ( s +1) = [1 / x ( s ) ]. وفقًا لـ eqs. 71 - 73.
تم تقديم (ξ ( s ) في eq. 77 لاستخدامها لاحقًا).
تفرد بي كي إل تطور متري
الكميات δ ( s ) لها توزيع إحصائي ثابت ثابت P (δ) ومستقرة (تقلبات نسبية صغيرة) تعني القيمة. لتحديدها،  (مع التحفظات اللازمة) طريقة تقريبية تعتمد على افتراض الاستقلال الإحصائي للكمية العشوائية δ ( s ) والكميات العشوائية k ( s )، x ( s ) . بالنسبة للوظيفة P (δ)، تم إعداد معادلة متكاملة تعبر عن حقيقة أن الكميات δ ( s +1) و δ ( s ) مترابطة بواسطة العلاقة eq. 78 لها نفس التوزيع ؛ تم حل هذه المعادلة عدديا. في عمل لاحق، لخلاتنيكوف. حيث أظهر أن التوزيع P (δ) يمكن إيجاده بالضبط بطريقة تحليلية.
تفرد بي كي إل تطور متري
بالنسبة للخصائص الإحصائية في الحد الثابت، من المعقول إدخال ما يسمى بالامتداد الطبيعي للتحول Tx = {1 / x } من خلال استمراره دون حدود للمؤشرات السالبة. بخلاف ذلك، يعد هذا انتقالًا من تسلسل لا نهائي من جانب واحد للأرقام ( x 0، x 1، x 2، ...)، متصلة بواسطة المساواة Tx = {1 / x }، إلى "مضاعف لانهائي" تسلسل X = (...، x −1، x 0، x 1، x 2، ...) للأرقام المتصلة بنفس المساواة لجميع –∞ < s <. بالطبع، هذا التوسع ليس فريدًا من نوعه في المعنى الحرفي للكلمة (نظرًا لأن x s –1 لا يتم تحديده بشكل فريد بواسطة x s )، ولكن جميع الخصائص الإحصائية للتسلسل الممتد موحدة على طولها بالكامل، أي أنها ثابتة مع فيما يتعلق بالنقل التعسفي (و x 0 يفقد معناه لشرط "أولي"). التسلسل X يكافئ سلسلة من الأعداد الصحيحة K = (...، k −1، k 0، k 1، k 2، ...)، التي تم إنشاؤها بواسطة القاعدة k s = [1 / x s –1 ] . عكسيًا، يتم تحديد كل عدد من X بواسطة الأعداد الصحيحة لـ K ككسر مستمر لانهائي.
تفرد بي كي إل تطور متري
(راحة إدخال الترميز  مع تحويل الفهرس بمقدار 1 سيصبح واضحًا في ما يلي). للتدوين المختصر، يُشار إلى الكسر المستمر ببساطة عن طريق تعداد قواسمه (بين قوسين معقوفين) ؛ ثم تعريف  يمكن كتابتها كـ
يتم تحديد الكميات العكسية بواسطة كسر مستمر مع تسلسل إلى الوراء (في اتجاه المؤشرات المتناقصة) من القواسم
eq. 78 علاقة التكرار. eq. 78 عن طريق إدخال التدوين η s = (1 - δ s ) / δ s مؤقتًا. ثم eq. 78 يمكن إعادة كتابة eq. 78
عن طريق التكرار يتم الحصول على جزء مستمر لانهائي
يحتوي هذا التعبير لδ الصورة اثنين فقط (بدلا من ثلاثة في  ) كميات عشوائية  و ، يفترض كل منها قيمًا في الفترة [0، 1].

يتبع من تعريف eq. 79c ذلك  . ومن ثم فإن تحول التسلسل X بأكمله بخطوة واحدة إلى اليمين يعني تحولًا مشتركًا للكميات  و  وفق
تفرد بي كي إل تطور متري
هذا تعيين واحد لواحد في مربع الوحدة . وبالتالي لدينا الآن تحويل واحد إلى واحد لكميتين بدلاً من تحويل ليس واحد إلى واحد Tx = {1 / x } لكمية واحدة.

الكميات  و  لها توزيع ثابت مشترك P ( x +، x - ). منذ eq. 79e عبارة عن تحويل واحد إلى واحد، ويتم التعبير عن شرط أن يكون التوزيع ثابتًا ببساطة بواسطة معادلة دالة
يؤدي تغيير التسلسل X بخطوة واحدة إلى التحول التالي T لمربع الوحدة:
(مع  و ، راجع. eq. 79e ). تحدد الكثافة P ( x، y ) المقياس الثابت لهذا التحول. من الطبيعي أن نفترض أن P ( x، y ) دالة متماثلة لـ x و y . هذا يعني أن المقياس ثابت فيما يتعلق بالتحول S ( x، y ) = ( y، x ) وبالتالي فيما يتعلق بالمنتج ST مع ST ( x، y ) = ( x ″، y ″ )،
من الواضح أن ST لديها أول متكامل H = 1 / x + y . على السطر H = const ≡ c، يكون للتحويل الشكل
ومن ثم يجب أن تكون كثافة القياس الثابتة لـ ST من الشكل
عند حساب التناظر P ( x، y ) = P ( y، x )، يصبح هذا f ( c ) = c −2 وبالتالي (بعد التطبيع)
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
في النماذج المذكورة أعلاه، تمت دراسة التطور المتري بالقرب من التفرد على مثال مقاييس الفضاء المتجانسة. يتضح من خاصية هذا التطور أن البناء التحليلي للحل العام لتفرد من هذا النوع يجب أن يتم بشكل منفصل لكل من مكونات التطور الأساسية: لعصور كاسنر، من أجل عملية الانتقال بين العصور التي تسببها " الاضطرابات "، لفترات طويلة مع اضطرابين يعملان في وقت واحد. خلال حقبة كاسنر (أي عند الاضطرابات الصغيرة)، يتم إعطاء المقياس بواسطة eq. 7 بدون الشرط λ = 0.
طور تفرد بي كي إل أيضاً نموذجًا مستقلًا عن توزيع المادة (متجانس أو غير متجانس) لعصر طويل مع تذبذبات صغيرة. تبين أن الاعتماد على الوقت لهذا الحل مشابه جدًا لتلك الموجودة في الحالة الخاصة للنماذج المتجانسة ؛ يمكن الحصول على الأخير من نموذج التوزيع المستقل عن طريق اختيار خاص للوظائف التعسفية الواردة فيه.
من الملائم، مع ذلك، بناء حل عام في نظام إحداثيات يختلف نوعًا ما عن الإطار المرجعي المتزامن: g 0α = 0 كما هو الحال في الإطار المتزامن، ولكن بدلاً من g 00 = 1 أصبح الآن g 00 = - g 33 . تحديد موتر الفراغ المترية γ αβ = - g αβ واحد، لذلك
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
يتم كتابة إحداثي الفضاء الخاص كـ x 3 = z ويتم كتابة إحداثي الوقت كـ x 0 = ξ (يختلف عن الوقت المناسب t ) ؛ سيظهر أن ξ يتوافق مع نفس المتغير المحدد في النماذج المتجانسة. يُشار إلى التفاضل بـ ξ و z، على التوالي، بالنقطة والرئيسية. تأخذ المؤشرات اللاتينية أ، ب، ج القيم 1، 2، المقابلة لإحداثيات الفضاء x 1، x 2 والتي ستكتب أيضًا كـ x، y . لذلك، فإن المقياس هو
(تحدد هذه الشروط أن إحدى الوظائف a 2، b 2، c 2 صغيرة مقارنة بالوظيفتين الأخريين، وهو ما حدث أيضًا مع النماذج المتجانسة).

عدم المساواة eq. 94 يعني أن المكونات a 3 صغيرة بمعنى أنه في أي نسبة من الإزاحات dx a و dz، يمكن حذف مصطلحات حاصل الضرب dx a dz في مربع عنصر الطول المكاني dl 2 . لذلك، فإن أول تقريب تقريبي للحل هو مقياس متري eq. 92 مع γ a 3 = 0:
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
يمكن حساب مكونات موتر ريتشي  و  و  و  باستخدام eq. 95 والشرط eq. 93 أن جميع المصطلحات التي تحتوي على مشتقات بواسطة الإحداثيات x a صغيرة مقارنة بالمصطلحات ذات المشتقات بـ و z (نسبتها هي ~ γ 33 / γ ab ). بمعنى آخر، للحصول على معادلات التقريب الرئيسي، γ 33 و ab في eq. 95 كما لو أنها لا تعتمد على x a . التعيين
يتم رفع المؤشر وخفضه هنا بمساعدة γ ab . الكميات  و λ هي الانقباضات  و  بواسطة
أما مكونات موتر ريتشي  و ، من خلال هذا الحساب فهي متطابقة صفر. في التقريب التالي (على سبيل المثال، مع مراعاة الصغير a 3 والمشتقات بواسطة x، y )، يحددان الكميتين a 3 بواسطة 33 و γ ab المعروفين بالفعل.

eq. 97 تعطي ، وبالتالي،
حالات مختلفة ممكنة اعتمادًا على متغير G. في الحالة أعلاه، g 00 = γ 33  γ أب و  . الحالة N > 0 (الكمية N تشبه الوقت) تؤدي إلى تفردات زمنية ذات أهمية. استبدال في eq. 101 f 1 = 1/2 (ξ + z ) sin y، f 2 = 1/2 (ξ - z ) ينتج عن sin y G من النوع
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
هذا الاختيار لا يقلل من عمومية الاستنتاجات ؛ يمكن إثبات أن العمومية ممكنة (في التقريب الأول) فقط بسبب التحولات المتبقية المسموح بها للمتغيرات. عند N <0 (الكمية N تشبه الفضاء) يمكن استبدال G = z الذي يعمم مقياس أينشتاين-روزن المعروف.  عند N = 0 يصل المرء إلى مقياس موجة روبنسون – بوندي  الذي يعتمد فقط على + z أو فقط على ξ - z (راجع  ). العامل sin y في eq. 102 للمقارنة المريحة مع النماذج المتجانسة. مع الأخذ في الاعتبار eq. 102، المعادلات eq. 97 - eq. 99 يصبح
المعادلات الرئيسية هي eq. 103 تحديد مكونات γ ab ؛ إذن، يتم العثور على الوظيفة ψ من خلال تكامل بسيط لـ eq. 104 - eq. 105 .

المتغير ξ يمر عبر القيم من 0 إلى ∞. حل eq. 103 تعتبر حدين، ξ  1 و  1. في القيم ξ كبيرة، يمكن للمرء أن نبحث عن الحل الذي يأخذ شكل 1 / √ξ التحلل:
(المعادلة 107 تحتاج إلى الشرط 102 ليكون صحيحاً). استبدال eq. 103 في eq. 106، يتم الحصول على الترتيب الأول
حيث الكميات a ac تشكل مصفوفة معكوسة للمصفوفة a ac . حل eq. 108 لديه الشكل
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
حيث l a، m a،، هي وظائف عشوائية للإحداثيات x، y مرتبطة بالشرط eq. 110 مشتق من eq. 107 .

للعثور على شروط أعلى لهذا التحلل، من الملائم كتابة مصفوفة الكميات المطلوبة ab في النموذج
حيث الرمز ~ يعني تبديل المصفوفة. المصفوفة H متماثلة وأثرها صفر. عرض eq. 111 يضمن تناظر γ ab واستيفاء شرط eq. 102 . إذا تم استبدال exp H بـ 1، فسيحصل المرء من eq. 111 γ ab = ξ a ab مع a ab من eq. 109 . بمعنى آخر، المصطلح الأول لتحلل γ ab يتوافق مع H = 0 ؛ يتم الحصول على الشروط الأعلى من خلال تحلل القوى للمصفوفة H التي تعتبر مكوناتها صغيرة.

تتم كتابة المكونات المستقلة للمصفوفة H بالشكل σ و بحيث
استبدال eq. 111 في eq. 103 وترك فقط المصطلحات الخطية بواسطة H، يشتق أحدهما لـ و
إذا حاول المرء إيجاد حل لهذه المعادلات مثل سلسلة فورييه بواسطة إحداثي z، فعندئذٍ بالنسبة لمعاملات السلسلة، كوظائف، يحصل المرء على معادلات Bessel. المصطلحات المقاربة الرئيسية للحل بشكل عام هي
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
المعاملتان A و B هي وظائف معقدة عشوائية للإحداثيات x و y وتفي بالشروط اللازمة لـ σ و الحقيقيين ؛ التردد الأساسي ω هو دالة حقيقية تعسفية لـ x، y . الآن من eq. 104 - eq. 105 من السهل الحصول على الحد الأول من الوظيفة ψ:
(يختفي هذا المصطلح إذا كانت = 0 ؛ في هذه الحالة، المصطلح الرئيسي هو الخطي الوحيد لـ ξ من التحلل: ψ = ξ q ( x، y ) حيث q دالة موجبة  ).
لذلك، عند قيم الكبيرة، تتأرجح مكونات الموتر المتري γ ab عند تناقص على خلفية انخفاض بطيء ناتج عن تناقص عامل ξ في eq. 111 . وγ مكون 33 ه = ψ ينخفض بسرعة عن طريق وثيقة القانون إلى إكسب (ρ 2 ξ 2)؛ هذا يجعل من الممكن لشرط eq. 93 .
التالي لتفرد بي كي إل النظر في الحالة ξ  1. التقريب الأول لحل eq. 103 خلال الافتراض (الذي أكدته النتيجة) أنه في هذه المعادلات يمكن استبعاد المصطلحات المتعلقة بالمشتقات بالإحداثيات:
حيث λ a، μ a، s 1، s 2 هي وظائف تعسفية لجميع الإحداثيات الثلاثة x، y، z، المرتبطة بشروط أخرى
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
المشتقات ، محسوبة بواسطة eq. 118، تتضمن شروطا ~ ξ 4 ثانية 1-2 و~ ξ 4 الصورة 2-2 بينما حيث غادر في eq. 117 ~ ξ −2 . لذلك، تطبيق eq. 103 بدلاً من eq. 117 مسموحًا بشروط s 1 > 0، s 2 > 0 ؛ ومن ثم 1 -  > 0.
وبالتالي، عند التذبذبات الصغيرة للوظائف، تتوقف γ ab بينما تبدأ الوظيفة γ 33 في الزيادة عند التناقص ξ. هذا هو وضع Kasner وعندما تتم مقارنة γ 33 مع γ ab، فإن التقريب أعلاه لا ينطبق.
من أجل التحقق من توافق هذا التحليل، قامت BKL بدراسة المعادلات  = 0،  = 0، وحساب المكونات γ a 3 منها، أكد أن eq. 94 يحدث. أظهرت هذه الدراسة  أنه في كلا المنطقتين المتقاربتين، كانت المكونات γ a 3 ~ 33 . لذلك، فإن صحة عدم المساواة eq. 93 يشير على الفور إلى صحة عدم المساواة eq. 94 .
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
يحتوي هذا الحل، كما ينبغي للحالة العامة للمجال في الفراغ، على أربع وظائف عشوائية للإحداثيات الفضائية الثلاثة x، y، z . في المنطقة ξ  1 هذه الوظائف هي، على سبيل المثال، 1، λ 2، μ 1، s 1 . في المنطقة ξ  1 يتم تعريف الوظائف الأربع بواسطة سلسلة فورييه عن طريق إحداثيات z من eq. 115 ذات معاملات هي دوال في x، y ؛ على الرغم من أن تحلل سلسلة فورييه (أو التكامل؟) يميز فئة خاصة من الوظائف، فإن هذه الفئة كبيرة بما يكفي لتشمل أي مجموعة فرعية محدودة من مجموعة جميع الشروط الأولية الممكنة.
يحتوي الحل أيضًا على عدد من الوظائف التعسفية الأخرى للإحداثيات x و y . تظهر مثل هذه الوظائف التعسفية ثنائية الأبعاد، بشكل عام، لأن العلاقات بين الوظائف ثلاثية الأبعاد في حلول معادلات أينشتاين تفاضلية (وليست جبرية)، تاركة جانباً المشكلة الأعمق حول المعنى الهندسي لهذه الوظائف. لم يحسب تفرد بي كي إل عدد الوظائف ثنائية الأبعاد المستقلة لأنه في هذه الحالة من الصعب التوصل إلى استنتاجات لا لبس فيها لأن الوظائف ثلاثية الأبعاد يتم تعريفها بواسطة مجموعة من الوظائف ثنائية الأبعاد (راجع  لمزيد من التفاصيل).
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
أخيرًا، يستمر تفرد بي كي إل في إظهار أن الحل العام يحتوي على الحل الخاص الذي تم الحصول عليه أعلاه للنماذج المتجانسة.
استبدال النواقل الأساسية لمساحة متجانسة من نوع بيانكي من النوع IX في eq. 7 يأخذ مقياس الزمكان في هذا النموذج الشكل
عندما ج 2  أ 2، ب 2، يمكن للمرء أن يتجاهل ج 2 في كل مكان باستثناء المصطلح ج 2 دز 2 . للانتقال من الإطار المتزامن المستخدم في eq. 121 إلى إطار بشروط eq. 91، تم إجراء التحويل dt = cd ξ / 2 والاستبدال z → z / 2. بافتراض أن χ ≡ ln ( أ / ب )  1، يحصل المرء من eq. 121 في أول تقدير تقريبي:
وبالمثل، مع نواقل الأساس لمساحة متجانسة من النوع الثامن من بيانكي، يحصل المرء عليها
وفقًا لتحليل المساحات المتجانسة أعلاه، في كلتا الحالتين ab = ξ (تبسيط  = ξ 0 ) و من eq. 51 ؛ يتم إعطاء الوظيفة ج (ξ) بواسطة الصيغ eq. 53 eq. 61، على التوالي، للطرازين من النوعين التاسع والثامن.

يتم الحصول على المقياس المتطابق للنوع الثامن من eq. 112، eq. 115، eq. 116 اختيار متجه ثنائي الأبعاد l a و m a بالشكل
للحصول على مقياس النوع التاسع، يجب استبداله
تفرد بي كي إل حل عام مع الذبذبات الصغيرة
(لحساب c (ξ) التقريب في eq. 116 غير كافٍ والمصطلح في خطي بمقدار ξ يتم حسابه  )
تم إجراء هذا التحليل للمساحة الفارغة. إن تضمين المادة لا يجعل الحل أقل عمومية ولا يغير خصائصه النوعية.
أحد القيود ذات الأهمية الكبيرة للحل العام هو أن جميع الوظائف ثلاثية الأبعاد الواردة في المقاييس eq. 122 eq. 123 على فترة تغيير مميزة واحدة ومشتركة. هذا فقط يسمح بالتقريب في معادلات أينشتاين لجميع مشتقات المكونات المكانية المترية مع منتجات بسيطة من هذه المكونات بأرقام موجية مميزة مما ينتج عنه معادلات تفاضلية عادية من النوع الذي تم الحصول عليه للنموذج المتجانس من النوع IX. هذا هو سبب التطابق بين الحلول المتجانسة والحلول العامة.
ويترتب على ذلك أن كلاً من نموذج النوع التاسع وتعميمه يحتويان على وضع تذبذب بمقياس مكاني واحد بحجم تعسفي لم يتم اختياره من بين أمور أخرى بواسطة أي ظروف فيزيائية. ومع ذلك، فمن المعروف أنه في الأنظمة غير الخطية ذات درجات الحرية اللانهائية، يكون هذا الوضع غير مستقر ويتبدد جزئيًا إلى اهتزازات أصغر. في الحالة العامة للاضطرابات الصغيرة ذات الطيف التعسفي، سيكون هناك دائمًا بعض الذين تزيد اتساعهم من التغذية على إجمالي طاقة العملية. نتيجة لذلك، تظهر صورة معقدة للحركات متعددة المقاييس مع توزيع معين للطاقة وتبادل الطاقة بين التذبذبات ذات المقاييس المختلفة. لا يحدث ذلك فقط في الحالة التي يكون فيها تطور التذبذبات على نطاق صغير مستحيلًا بسبب الظروف المادية. بالنسبة للأخير، يجب أن يوجد بعض الطول المادي الطبيعي الذي يحدد الحد الأدنى للمقياس الذي تخرج فيه الطاقة من نظام بدرجات ديناميكية من الحرية (والتي، على سبيل المثال، تحدث في سائل مع لزوجة معينة). ومع ذلك، لا يوجد مقياس مادي فطري لحقل الجاذبية في الفراغ، وبالتالي، لا يوجد عائق أمام تطور التذبذبات للمقاييس الصغيرة بشكل تعسفي.
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
يصف تفرد بي كي إل التفردات في الحل الكوني لمعادلات أينشتاين التي لها طابع تذبذب معقد. على الرغم من أن هذه التفردات قد درست في المقام الأول على نماذج متجانسة مكانيًا، إلا أن هناك أسبابًا مقنعة لافتراض أن التفردات في الحل العام لمعادلات أينشتاين لها نفس الخصائص ؛ هذا الظرف يجعل نموذج بي كي إل مهمًا لعلم الكونيات.
أساس هذا البيان هو حقيقة أن الوضع التذبذب في نهج التفرد ناتج عن الاضطراب الفردي الذي يتسبب أيضًا في عدم الاستقرار في حل كاسنر المعمم. تأكيد عمومية النموذج هو البناء التحليلي لعصر طويل مع التذبذبات الصغيرة. على الرغم من أن هذا السلوك الأخير ليس عنصرًا ضروريًا للتطور المتري بالقرب من التفرد، إلا أنه يحتوي على جميع الخصائص النوعية الرئيسية: التذبذب المتري في بعدين مكانيين وتغيير رتيب في البعد الثالث مع اضطراب معين لهذا الوضع في نهاية بعض الوقت فترة. ومع ذلك، فإن التحولات بين عهود كاسنر في الحالة العامة للمقياس المكاني غير المتجانس لم يتم توضيحها بالتفصيل.
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
تم ترك المشكلة المرتبطة بالقيود المحتملة على هندسة الفضاء الناتجة عن التفرد جانبًا لمزيد من الدراسة. من الواضح منذ البداية، مع ذلك، أن نموذج بي كي إل الأصلي ينطبق على كل من المساحة المحدودة أو اللانهائية ؛ يتضح هذا من خلال وجود نماذج تفرد متذبذبة لكل من الزمكانات المغلقة والمفتوحة.
يعطي الوضع التذبذب لمقاربة التفرد جانبًا جديدًا لمصطلح "محدودية الوقت". بين أي لحظة محدودة من الزمن العالمي t واللحظة t = 0 يوجد عدد لا حصر له من التذبذبات. بهذا المعنى، تكتسب العملية طابعًا لا نهائيًا. بدلاً من الوقت t، يكون المتغير الأكثر ملاءمة لوصفه هو ln t الذي يتم من خلاله تمديد العملية  .
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
تعتبر نظرية بي كي إل في التطور المتري في اتجاه تناقص الوقت متماثلة مع معادلات أينشتاين فيما يتعلق بعلامة الوقت بحيث يكون التطور المتري في اتجاه زيادة الوقت ممكنًا بشكل متساوٍ. ومع ذلك، فإن هاتين الحالتين تختلفان اختلافًا جوهريًا لأن الماضي والمستقبل ليسا متكافئين بالمعنى المادي. يمكن أن تكون التفردات المستقبلية ذات مغزى ماديًا فقط إذا كان ذلك ممكنًا في الظروف الأولية التعسفية الموجودة في اللحظة السابقة. لا يتوافق توزيع المادة والحقول في لحظة ما من تطور الكون بالضرورة مع الشروط المحددة المطلوبة لوجود حل خاص معين لمعادلات أينشتاين.
يرتبط اختيار الحلول المطابقة للعالم الحقيقي بالمتطلبات الفيزيائية العميقة التي يستحيل العثور عليها باستخدام نظرية النسبية الحالية فقط والتي يمكن العثور عليها كنتيجة للتوليف المستقبلي للنظريات الفيزيائية. وبالتالي، قد يتضح أن هذا الاختيار يفرد نوعًا خاصًا (مثل الخواص) من التفرد. ومع ذلك، فمن الطبيعي أن نفترض أنه بسبب طابعه العام، يجب أن يكون الوضع التذبذب هو السمة الرئيسية لمراحل التطور الأولية.
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
في هذا الصدد، فإن خاصية نموذج "مكسماستر" الموضحة بواسطة ميزنر،  ذات الصلة بانتشار الإشارات الضوئية، لها أهمية كبيرة. في النموذج الخواص، يوجد "أفق ضوئي"، مما يعني أنه لكل لحظة من الزمن، توجد مسافة أطول، يكون فيها تبادل الإشارات الضوئية، وبالتالي، الارتباط السببي، أمرًا مستحيلًا: لا يمكن للإشارة أن تصل إلى مثل هذه المسافات من أجل الوقت منذ التفرد t = 0.
يتم تحديد انتشار الإشارة بواسطة المعادلة ds = 0. في النموذج الخواص بالقرب من التفرد t = 0، يكون عنصر الفاصل الزمني ، أين  هو شكل تفاضلي مكاني مستقل عن الزمن.  الاستبدال  عائدات.
نظرًا لأن η، مثل t، يمر عبر القيم التي تبدأ من 0، وحتى "اللحظة"، لا يمكن للإشارات أن تنتشر إلا على مسافة  التي تحدد المسافة الأبعد إلى الأفق.
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
يطرح وجود أفق ضوئي في النموذج الخواص مشكلة في فهم أصل الخواص الملحوظة حاليًا في الإشعاع المتبقي. وفقًا للنموذج المتناحي الخواص، فإن الخواص المتناحية الملحوظة تعني الخصائص المتناحية للإشعاع التي تأتي إلى المراقب من مناطق الفضاء التي لا يمكن ربطها سببيًا ببعضها البعض. يمكن أن يكون الوضع في نموذج التطور التذبذب بالقرب من التفرد مختلفًا.
على سبيل المثال، في النموذج المتجانس لفضاء النوع IX، تنتشر الإشارة في اتجاه تتغير فيه المقاييس لعصر طويل بقانون قريب من ~ t . مربع عنصر المسافة في هذا الاتجاه هو dl 2 = t 2 ، والعنصر الخاص بالفاصل الزمني رباعي الأبعاد هو  . الاستبدال  يضع هذا في النموذج
وبالنسبة لانتشار الإشارة، يوجد معادلة من النوع eq. 128 مرة أخرى. الاختلاف المهم هو أن المتغير يعمل الآن من خلال القيم التي تبدأ من  (إذا كان المقياس eq. 129 صالحًا لجميع t بدءًا من t = 0).
لذلك، بالنسبة لكل "لحظة" معينة، تم العثور على فترات وسيطة كافية للإشارة لتغطية كل مسافة محدودة.
تفرد بي كي إل الاستنتاجات
بهذه الطريقة، خلال حقبة طويلة، يتم فتح أفق ضوئي في اتجاه فضائي معين. على الرغم من أن مدة كل حقبة طويلة لا تزال محدودة، إلا أنه خلال مسار تطور العالم، تغيرت العصور عددًا لا حصر له من المرات في اتجاهات فضائية مختلفة. هذا الظرف يجعل المرء يتوقع أنه في هذا النموذج، من الممكن وجود علاقة سببية بين الأحداث في الفضاء بأكمله. بسبب هذه الخاصية، أطلق ميزنرعلى هذا الطراز "مكسماستر يونيفرس" باسم علامة تجارية لآلة خلط العجين.
مع مرور الوقت ويبتعد المرء عن التفرد، يزداد تأثير المادة على التطور المتري، الذي كان ضئيلاً في المراحل الأولى من التطور، تدريجياً ويصبح في النهاية مهيمناً. من المتوقع أن يؤدي هذا التأثير إلى "تماثل" تدريجي للفضاء، ونتيجة لذلك تقترب خصائصه من نموذج فريدمان الذي يصف بشكل مناسب الحالة الحالية للكون.
أخيرًا، يطرح تفرد بي كي إل مشكلة حول جدوى التفكير في "حالة فردية" لعالم به مادة كثيفة للغاية على أساس نظرية النسبية الحالية. يمكن توضيح التطبيق المادي لمعادلات أينشتاين في شكلها الحالي في هذه الظروف فقط في عملية التركيب المستقبلي للنظريات الفيزيائية، وبهذا المعنى لا يمكن حل المشكلة في الوقت الحاضر.
من المهم ألا تفقد نظرية الجاذبية نفسها تماسكها المنطقي (أي لا تؤدي إلى خلافات داخلية) مهما كانت كثافات المادة. بمعنى آخر، هذه النظرية غير مقيدة بالشروط التي تفرضها، والتي يمكن أن تجعل تطبيقها غير مقبول منطقيًا ومثيرًا للجدل في كثافات كبيرة جدًا ؛ يمكن أن تظهر القيود، من حيث المبدأ، فقط كنتيجة لعوامل "خارجية" لنظرية الجاذبية. هذا الظرف يجعل دراسة التفردات في النماذج الكونية مقبولة رسميًا وضرورية في إطار النظرية الحالية.
جامعة تونغهاي
جامعة تونغهاي (بالصينية: 東海大學) هي أقدم جامعة خاصة في تايوان، تأسست عام 1955 على يد المجلس المتحد للتعليم العالي المسيحي في آسيا. تقع في منطقة شيتن، تاي شانغ، تايوان. ووفقا لمجلة تايمز للتعليم العالي في تصنيفات عام 2020، تبوأت الجامعة المرتبة الثالثة في البلاد واعتُبرت الجامعة الخاصة الأكثر تأثيرا في تايوان.
قال رئيس الجامعة الأول، بوسون تسينج، إن «الريادة ستكون شعارنا»، معربًا عن أمله في أن تصبح تونغهاي جامعة متميزة ومبتكرة. أصبحت تونغهاي أول جامعة في تايوان تقدم تعليمًا عالميًا للذكاء الاصطناعي، ومدرسة ابتكار مدعومة من خدمات أمازون ويب، وأول جامعة في وسط تايوان تنشئ مركزًا للغة الصينية. تشتهر الجامعة بتعليمها في مجالي الفنون الحرة ومناهج الذكاء الاصطناعي العالمية.
جامعة تونغهاي
تعد كنيسة لوس التذكارية (التي صممها المهندسان المعماريان تشين تشي كوان وآي إم بي) معلمًا محليًا. يحتوي شعار الجامعة على صليب في إشارة إلى البيان الوارد في الوثائق التأسيسية بأنها «تأسست في حب يسوع»، وتشير الدوائر الثلاث المرتبطة بالثالوث المقدس وكذلك شعار «الحقيقة، الإيمان، أفعال». تشترك الجامعة في اسمها مع جامعة توكاي في اليابان. منذ ذلك الحين دخلت الجامعتان اتفاقية شراكة.
جامعة تونغهاي تاريخ الجامعة
تأسست جامعة تونغهاي على هضبة دادو، غرب مدينة تاي شانغ، في عام 1955 على يد المبشرين الميثوديين. تحدث نائب الرئيس الأمريكي، ريتشارد نيكسون، في حفل وضع حجر الأساس في عام 1953. أُطلق على المدرسة اسم «تونغهاي» ومعناه «البحر الشرقي» بناءً على موقعها شرق مضيق تايوان. في عام 1950، أنشأ المجلس المتحد للتعليم العالي المسيحي في آسيا (بالإنجليزية: United Board for Christian Higher Education in Asia)‏ الجامعة في تايوان من أجل تمرير الشعلة إلى الجامعات الكنسية الثلاثة عشر في القارة الصينية.[بحاجة لمصدر]
فبراير 1952، سافر ويليام ب. فين، الأمين العام للمجلس المتحد للتعليم العالي المسيحي في آسيا، إلى تايوان للتباحث مع القادة التربويين والدينيين حول شروط إنشاء الجامعة. أوصى فين بألا تكون الجامعة نسخة طبق الأصل عن أي جامعة كنسية في القارة الصينية. واقترح أن يكون جميع أعضاء هيئة التدريس والطلاب مسيحيين، ويعملون بدوام كامل ويعيشون في الحرم الجامعي.