hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
حوكمة شبكات أمثلة تاريخية وحديثة لحوكمة الشبكات
تُظهر هذه الأمثلة كيف عملت حوكمة الشبكات في عصور زيادة التجارة والتعاون بين التجار والدول التي تتراوح من القرن العاشر إلى القرن السابع عشر. رون هاريس، في مجلته "السمعة عند ولادة حوكمة الشركات". لم تتغير الأسئلة المتعلقة بمن يتمتع بسمعة طيبة ومن لديه سمعة سيئة، ومن يمكن للمرء أن يثق به ويعهد إليه بالمال، ولكن العلاقات التي تقدموا إليها كما تغيرت المؤسسات التي قدمت أجوبة على هذه الأسئلة ".
امبر اليرت- في عام 1996، تم إنشاء نظام «منبه امبر» بعد أن تم اختطاف وقتل امبر هاجرمان البالغ من العمر تسع سنوات في أرلينغتون، تكساس. انضمت الشبكات الإعلامية، بالتعاون مع سلطات إنفاذ القانون، إلى حركة شعبية لنشر القضية في إنشاء شبكة للمساعدة في بث التنبيهات في محاولة لمنع الجرائم المستقبلية. نمت هذه الحركة لتشمل جميع الولايات الخمسين، وتنشر التنبيهات عبر خطوط الولاية. منذ ذلك الحين، تم قبول نظام Amber Alert على نطاق واسع باعتباره برنامج الاستجابة الأولى للأشخاص المفقودين على الصعيد الوطني.
حوكمة شبكات أمثلة تاريخية وحديثة لحوكمة الشبكات
مراكز اندماج الأمن الداخلي - بعد هجمات 11 سبتمبر/ أيلول، سعت الولايات المتحدة إلى تحسين التنسيق بين المنظمات الوطنية والمحلية المعنية بالأمن. تم تنفيذ وزارة الأمن الداخلي ومدير المخابرات الوطنية على المستوى الفيدرالي استجابة لهذه المشكلة. بعد فترة وجيزة، بدأت الدول في إنشاء شبكاتها الخاصة لتبادل المعلومات ذات الصلة بالأمن الداخلي. نتيجة لذلك، ظهرت مراكز الاندماج في كل ولاية تقريبًا، بالإضافة إلى العديد من المناطق. توفر مراكز الاندماج هذه مركزًا لوكالات إنفاذ القانون للتعاون في إجراءات الأمن القومي في محاولة لتعزيز الشفافية عبر الوكالات، سواء كان ذلك على مستوى الولاية أو المستوى المحلي أو الفيدرالي.
هذان مثالان فقط يساعدان في شرح إدارة الشبكة بشكل أفضل. يعتبر تبادل المعرفة والمعلومات في صميم حركة امبر اليرت وظهور مراكز دمج الأمن الداخلي.
حوكمة شبكات أهمية العلاقات الحكومية
العلاقات بين المناصب الحاكمة والمؤسسات الحاكمة حيوية للغاية لنجاح الأعمال الداخلية للحكومات التي تساعد الجمهور. بينما تختلف الحكومات الفيدرالية وحكومات الولايات والحكومات المحلية في سياساتها، فإنها تعمل جميعًا في تناسق حتى تعمل المؤسسات بكفاءة. «الضوابط والتوازنات» هي مرادف رئيسي عند الإشارة إلى العلاقات الحكومية الدولية. يجب أن تلتزم جميع الأطراف المشاركة في الحكومة بمبادئ توجيهية محددة من أجل زراعة ساحة لعب عادلة ومتساوية تكون مفيدة وعادلة للسكان الذين تؤثر عليهم. إن أحد المبادئ الأساسية في العلاقات الحكومية هو توازن القوى بين الأطراف. تتمتع الحكومة الفيدرالية بقدر كبير من السيطرة، فيما يتعلق بالأمن القومي والشؤون المالية الوطنية والشؤون الخارجية. ومع ذلك، من أجل تحقيق التوازن بين هذه السيطرة، فإن الحكومات على مستوى الولايات لها صوت مهم في السياسة داخل الدول. تتضمن الأمثلة المحددة لسياسات مستوى الولاية موضوعات مثل الطرق السريعة وخطوط الحدود ومتنزهات الولاية. وهذا يتيح للدول أن تظل تتمتع بالمرونة مع الالتزام بالسياسة الوطنية.
حوكمة شبكات أهمية العلاقات الحكومية
لسوء الحظ، فإن إقامة علاقات بين مختلف المستويات الحكومية والوكالات الحكومية هي عملية معقدة ومرهقة في كثير من الأحيان. ومع ذلك، فإن العديد من الوكالات تعقد صفقات أو تتوصل إلى شروط أو تقدم حل وسط داخل الحزب من أجل زيادة الاستفادة من كلا المؤسستين. على سبيل المثال، قد تمول الولاية مقاطعة من أجل تحسين طرق المقاطعة لأنها قد تكون انعكاسًا مباشرًا للولاية. يجب أن تعمل العلاقات الحكومية الداخلية بين الوكالات ومستوى الولاية والمستوى المحلي والحكومة الفيدرالية معًا من أجل الازدهار وإنشاء سياسات أو قوانين تعود بالفائدة على كل من الوكالات والجمهور.
حوكمة شبكات دور في الإدارة البيئية
في أعقاب الإخفاقات الواضحة في إدارة المشكلات البيئية المعقدة من قبل الدولة المركزية، تم اقتراح أنماط «جديدة» للحكم في السنوات الأخيرة. حوكمة الشبكة هي الوضع الأكثر ارتباطًا بمفهوم الحوكمة، حيث يعمل أصحاب المصلحة المستقلون معًا لتحقيق أهداف مشتركة.
يمكن أن يتسم ظهور حوكمة الشبكة بمحاولة مراعاة الأهمية المتزايدة للمنظمات غير الحكومية والقطاع الخاص والشبكات العلمية والمؤسسات الدولية في أداء وظائف الحكم المختلفة. إن تضمين التدخلات لتحسين المجتمع وتحويل النزاعات داخل «الشبكات العلائقية» يمكن أن يضمن تنسيقًا أفضل مع المبادرات والمؤسسات القائمة، وقبولًا محليًا أكبر وشراء، مما يجعل التدخل أكثر استدامة. ومن الأمثلة البارزة على هذه الشبكات التي كانت مفيدة في تشكيل ترتيبات عمل ناجحة اللجنة العالمية للسدود ومرفق البيئة العالمية والآلية المرنة لبروتوكول كيوتو. هناك جهد آخر مستمر هو الاتفاق العالمي للأمم المتحدة الذي يجمع بين العديد من أصحاب المصلحة في بناء ثلاثي بما في ذلك ممثلين من الحكومات والقطاع الخاص ومجتمع المنظمات غير الحكومية. (ص 6)
حوكمة شبكات دور في الإدارة البيئية
أحد الأسباب الرئيسية لانتشار نهج الشبكة في الحوكمة البيئية هو قدرتها على دمج وإتاحة مصادر مختلفة من المعرفة والكفاءات وتشجيع التعلم الفردي والجماعي. في الوقت الحالي، تواجه الإدارة البيئية تحديات مختلفة تتميز بتعقيدات وشكوك متأصلة في المشكلات البيئية والمستدامة. يمكن أن توفر حوكمة الشبكة وسيلة لمعالجة مشاكل الحوكمة هذه من خلال إضفاء الطابع المؤسسي على التعلم على الحقائق والتداول بشأن الأحكام القيمية. على سبيل المثال، في مجال السلامة الكيميائية العالمية، تشكلت الشبكات عبر الوطنية حول مبادرات المنظمات الدولية ونجحت في تطوير قواعد لمعالجة القضايا الكيميائية العالمية التي تم تنفيذ العديد منها بواسطة التشريعات الوطنية. والجدير بالذكر أن هذه الشبكات العابرة للحدود جعلت من الممكن تجنب اللامبالاة المؤسسية التي توجد عادة في البيئات السياسية مع العديد من الجهات الفاعلة ذات المصالح المتضاربة، لا سيما على المستوى العالمي.
حوكمة شبكات دور في الإدارة البيئية
من خلال تكامل الجهات الفاعلة من مختلف القطاعات، تكون شبكات الحوكمة قادرة على توفير بيئة تعليمية مبتكرة، مما يمهد الطريق لحوكمة فعالة وقابلة للتكيف. أحد أشكال الشبكات المهمة لمشاكل الحوكمة هو «المجتمعات المعرفية» حيث يشترك الفاعلون في نفس المعتقدات غير الرسمية الأساسية والقيم المعيارية.(ص 3) على الرغم من أن المشاركة في هذه المجتمعات المعرفية تتطلب اهتمامًا بالمشكلة المطروحة، فإن الجهات الفاعلة المعنية لا تشترك بالضرورة في نفس المصلحة. بشكل عام، المصالح مترابطة ولكن يمكن أيضًا أن تكون مختلفة أو متنازعة أحيانًا، مما يؤكد الحاجة إلى بناء توافق في الآراء وتطوير السلع المعرفية. (ص 26).
الحجة الرئيسية في الأدبيات لصالح حوكمة الشبكة على تنظيم القيادة والتحكم التقليدي أو، بدلاً من ذلك، اللجوء إلى تنظيم السوق، هي قدرتها على التعامل مع حالات عدم اليقين الجوهري واتخاذ القرار في ظل عقلانية محدودة. هذا هو الحال عادة في مجال الإدارة البيئية العالمية حيث يتعين على المرء أن يتعامل مع المشاكل المعقدة والمترابطة. في هذه الحالات، يمكن لمؤسسات الشبكة أن تخلق تآزرًا بين الكفاءات المختلفة ومصادر المعرفة مما يسمح بالتعامل مع المشكلات المعقدة والمتداخلة.
حوكمة شبكات تعزيز المسؤولية الاجتماعية للشركات
نظرًا لأن الكميات المتزايدة من البيانات العلمية تؤكد صحة المخاوف بشأن تدهور بيئتنا، فإن دور المنظمات غير الحكومية في إدارة الشبكة يتم استخدامه بطرق متزايدة باستمرار لوقف هذا التدهور أو على الأقل إبطائه. إحدى الطرق لتحقيق ذلك هي من خلال توجيه أنشطتهم للتركيز على تحسين المسؤولية الاجتماعية للشركات (CSR). كمفهوم، فقد وجدت المسؤولية الاجتماعية للشركات منذ أن تم إنشاء أول عمل تجاري في الحضارة. وصفه الفيلسوف الفرنسي روسو بأنه «العقد الاجتماعي» بين الأعمال والمجتمع. نظرًا لتطور النظريات حول المسؤولية الاجتماعية للشركات بما يتماشى مع أوقاتها، فهي اليوم مرتبطة بشكل متزايد بالممارسات والتنمية المستدامة، مما يعني أن الشركات لديها «مسؤولية أخلاقية» لإجراء عملياتها بطريقة مستدامة بيئيًا. لم يعد من المقبول أن تقوم الشركات فقط بتنمية «المحصلة النهائية» وزيادة الأرباح لمساهميها. تظل الشركات حرة في السعي لتحقيق الأرباح ولكنها ملزمة بشكل متزايد بتقليل تأثيرها السلبي على البيئة.
حوكمة شبكات تعزيز المسؤولية الاجتماعية للشركات
تعمل إدارة الشبكة، في شكل المنظمات غير الحكومية، على تسليط الضوء بشكل فعال على «الممارسات السيئة» من قبل الشركات، بالإضافة إلى تسليط الضوء على أولئك الذين يعملون بنشاط للحد من انبعاثات الكربون الخاصة بهم. شبكات الحوكمة الخاصة مثلCSRHUB ومشروع الكشف عن الكربون (CDP) هي كيانات تحمل الشركات المسؤولية عن مقدار مسؤوليتها الاجتماعية. تم تأسيسCDP لتسريع حلول تغير المناخ وإدارة المياه، يكشفCDP عن معلومات وبيانات حول إدارة المياه وانبعاثات غازات الاحتباس الحراري واستراتيجيات تغيرالمناخ في أكثرمن 3000 شركة حول العالم. إنه نظام الإبلاغ العالمي الوحيد عن تغير المناخ ويشجع الشركات على الانخراط في «أفضل الممارسات» فيما يتعلق بالتأثير البيئي من خلال إتاحة معلومات التأثير البيئي الخاصة بهم سابقًا أو غير المعروفة لأي شخص، بما في ذلك عامة الناس. يمكن استخدام هذه المعلومات (من قبل مجموعة متنوعة من الكيانات) لاتخاذ قرارات شراء واستثمار للمستهلكين، وصياغة سياسات حكومية وسياسات خاصة بالشركات، وتثقيف الأشخاص، وتطوير أساليب عمل أقل ضررًا للشركات، وصياغة خطط عمل من قبل مجموعات الدفاع عن البيئة، على سبيل المثال لا الحصر قليل. «تتمثل الخطوة الأولى نحو إدارة انبعاثات الكربون في قياسها لأنه في الأعمال التجارية تتم إدارة ما يتم قياسه. وقد لعب مشروع الكشف عن الكربون دورًا مهمًا في تشجيع الشركات على اتخاذ الخطوات الأولى في مسار القياس والإدارة هذا». يوضح هذا الاقتباس للورد أدير تورنر، رئيس هيئة الخدمات المالية في المملكة المتحدة، كيف تعمل حوكمة الشبكة على تعزيز المسؤولية الاجتماعية للشركات.
حوكمة شبكات تعزيز المسؤولية الاجتماعية للشركات
انضمت كليات إدارة الأعمال الأوروبية الرائدة إلى أكثر من ستين شركة متعددة الجنسيات لإطلاق أكاديمية الأعمال في المجتمع، وتتمثل مهمتها في دفع المسؤولية الاجتماعية للشركات إلى طليعة ممارسة الأعمال. أنشطتهم الرئيسية في السعي لتحقيق هذا الهدف هي:1) تطوير ممارسات التدريب وموارد التعلم «الأفضل في فئتها» للشركات وأكاديميات الشركات،2) بما في ذلك الدور المتغير للأعمال في المجتمع في تعليم إدارة الأعمال و3) إنشاء بحث عالمي البنك على دور الأعمال في المجتمع وتقديم أبحاث متعددة التخصصات حول المسؤولية الاجتماعية للشركات. هذا مثال على إدارة الشبكة باستخدام التعليم لتحسين المسؤولية الاجتماعية للشركات. يعد استخدام تنظيم الشبكات في مجتمع اليوم وسيلة صالحة للمضي قدمًا في الحفاظ على بيئتنا.
حوكمة شبكات مراجع أخرى
باكفيس، هـ، وجارفيس، إم دي (2012). من الإدارة العامة الجديدة إلى الحكم السياسي الجديد: مقالات تكريما لبيتر سي أوكوين. مونتريال: تم النشر لكلية الإدارة العامة بجامعة فيكتوريا بواسطة مطبعة جامعة ماكجيل كوينز.
حوكمة شبكات قراءات إضافية
فان ألستين، مارشال (يونيو 1997). «حالة التنظيم الشبكي: مسح في ثلاثة أطر». مجلة الحوسبة التنظيمية والتجارة الإلكترونية. 7 (2-3): 83-151. CiteSeerX 10.1.1.67.6033doiFull text.10.1080/10919392.1997.9681069
ممتد متري
في المجال الرياضي للهندسة التفاضلية إحدى التعريفات تنص أن الممتد المتري أو الموتر المتري: هو نوع من الاقترانات التي تأخذ المُدخل كزوج من المتجهات المماسية v وw عند نقطة سطح أو متشعب قابل للتفاضل ذو أبعاد عالية منتجًا عددًا حقيقيًا قياسيًا g(v, w)بطريقةٍ تُعممُ العديدَ من الخصائص المألوفة في الضرب النقطي للمتجهات في الفضاء الإقليدي، كما أن الموترات المترية تمتلك نفس هدف الضرب النقطي حيث تُستخدم لتحديد طول المتجهات والزاوية بينهما، ومن خلال التكامل فإن الموتر المتري يسمح بتحديد وحساب طول المنحنيات في المتشعب.
ممتد متري
يُطلق على الموتر المتري مُعرِف موجب إذا ربط قيمة موجبة g(v, v) > 0لكل متجه غير صفري v، فالمتشعب المزود بموتر متري مُعرِف موجب يُعرف باسم متشعب ريماني، وفي المتشعب الريماني يسمى المنحنى الذي يربط بين نقطتين لهما أصغر طول محليًا بالمنحنى الجيوديسي، وطوله هو المسافة التي يحتاجها مار ما في المتشعب قطعها للانتقال من نقطة إلى أخرى، وبالتزود بمفهوم الطول فإن المتشعب الريماني هو فضاء متري، مما يعني أنه يملك دالة مسافة d(p, q)التي تكون قيمتها عند زوج من النقاط p وq هي المسافة من p إلى q وعلى العكس من ذلك فإن الممتد المتري نفسه هو مشتق من دالة المسافة مأخوذًا بطريقةٍ مناسبة، وبالتالي فإن الموتر المتري يعطي مسافة متناهية الصغر في المُتَشعب.
في حين أن فكرة الموتر المتري كانت معروفة إلى حدٍ ما في أوائل القرن التاسع عشر لعلماء الرياضيات أمثال كارل غاوس، إلا أنها لم تكن كذلك حتى أوائل القرن العشرين القرن الذي تم فهم خصائصه كموتّر من قِبل غريغوريو ريتشي-كورباسترو وتوليو ليفي-تشيفيتا على وجه الخصوص اللذان قاما أولاً بتدوين مفهوم الموتر، فالموتر المتري هو مثال على حقل الموتر.
تأخذ مُرَكِّبات الموتر المتري في القاعدة الإحداثية شكل مصفوفة متماثلة تتحول مُدخلاتها بشكل متغاير بفعل تغييرات نظام الإحداثيات، وبالتالي فإن الموتر المتري هو موتر متماثل متغاير، أما من وجهة نظر الإحداثيات المستقلة يُعرَّف كحقل موتر متري ليكون نموذج خطي متماثل غير منحل في كل فضاء مماسي متغير بنعومة (أي قابلة للاشتقاق) من نقطة إلى أخرى.
ممتد متري مقدمة
اعتبر كارل فريدريش غاوس عام 1827 في كتابه أو ما عُرف بتحقيقاته نحو الأسطح المنحنية أنها سطح حدودي، ومع الإحداثيات الديكارتية: x وy وz للنقاط على السطح اعتمادًا على متغيرين مساعدين هما: u وv، وبالتالي فإن السطح الحدودي في مصطلحات اليوم هو دالة ذات قيمة متجهة:
بالاعتماد على زوج مرتب من المتغيرات الحقيقية (u, v)ومُعرفة على مجموعة مفتوحة D في مستوى-uv، حيث كان أحد الأهداف الرئيسية لتحقيقات غاوس هو استنتاج خصائص ذلك السطح الذي يمكن وصفه باقتران يبقى دون تغيير إذا خضع السطح لتحول في الفضاء كثني السطح دون شده، أو أن يحدث تغيير في الشكل الحدودي المحدد لنفس السطح الهندسي.
إحدى هذه الكميات الثابتة الطبيعية هي طول المنحنى المرسوم على طول السطح، والأخرى هي الزاوية بين زوج المنحنيات المرسومة على طول السطح وتلتقيان في نقطة واحدة، أما الكمية الثالثة فهي مساحة قطعة من السطح؛ أدت دراسة هذه الثوابت للسطح إلى تقديم غاوس لمفهوم سبّاق حديث للموتر المتري.
ممتد متري مقدمة
إذا أُخذ المتغيرين u وv للاعتماد على متغير ثالث هو t مع أخذ القيم في الفترة [a, b]؛ فإن  سوف يتتبع المنحنى الحدودي في السطح الحدودي M، ويُعطى طول القوس لهذا المنحنى من خلال التكامل الآتي:
حيث أن  يمثل المعيار الإقليدي، هنا تم تطبيق قاعدة السلسلة حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية:
المُكامل هو الحصر لمنحنى الجذر التربيعي للتفاضل التربيعي:
الكمية ds في (1) تُسمى عنصر الخط، بينما ds2تُسمى الشكل الأساسي الأول لـM، ومن البديهي أنها تمثل الجزء الرئيسي من مربع الإزاحة التي خضع له عندما ازدادت u بوحدات du، وازدادت v بوحدات dv.
باستخدام تدوين المصفوفة تصبح الصيغة الأساسية الأولى كالتالي:
افترض الآن أن حدود مختلفة حُددت من خلال السماح لـu وv الاعتماد على زوج آخر من المتغيرات هما: u′وv′فإن النظيرللمعادلة (2) للمتغيرات الجديدة هو:
تربط قاعدة السلسلة E′وF′وG′بE وF وG من خلال معادلة المصفوفة التالية:
حيث يشير الحرف العلوي T إلى منقولة المصفوفة، والمصفوفة ذات المعاملات: E وF وG المُرتبة بتلك الطريقة تتحول بواسطة مصفوفة ياكوبية لتغيير الإحداثيات:
ممتد متري مقدمة
المصفوفة التي تتحول بهذه الطريقة هي نوع واحد يسمى موتر، والمصفوفة هي:
ومع قانون التحويل (3) يُعرف هذا بالموتر المتري للسطح.
لاحظ ريتشي كورباسترو وليفي تشيفيتا عام (1900) لأول مرة أهمية نظام المعاملات: E وF وG التي تحولت بهذه الطريقة عند الانتقال من أحد نظام الإحداثيات لآخر، والنتيجة هي أن الشكل الأساسي الأول (1) ثابت في ظل التغييرات المُحدَثة في نظام الإحداثيات، حيث تُبعَ هذا حصريًا من خصائص التحويل ل EوF وG، وبالفعل من خلال استخدام قاعدة السلسلة فإن:
تفسير آخر للموتر المتري الذي أخذه غاوس بعين الاعتبار أيضًا: هو أنه يوفر طريقة لحساب طول المتجهات المماسية للسطح، إضافةً إلى الزاوية بين متجهين مماسين، وبالمصطلحات المعاصرة يسمح الموتر المتري بحساب الضرب النقطي لمتجهات المماس بطريقة مستقلة عن الوصف الحدودي للسطح، حيث يمكن كتابة أي متجه مماسي عند نقطة في السطح الحدودي M بالصيغة التالية:
للأعداد الحقيقية المناسبة p1وp2إذا أُعطيَ متجهان مماسيان هما:
ممتد متري مقدمة
ثم باستخدام الثنائي الخطي للضرب النقطي ينتج أن:
من الواضح أن هذه الدالة مُكوَنة من المتغيرات الأربعة: a1و b1و a2و b2، لكن يُنظر إليها بشكل أكثر إفادة على أنها دالة تأخذ زوجًا من الوسيطات a = [a1 a2]و b = [b1 b2]وهي متجهات في المستوى-uv، وهذا يعني أن:
هو أيضًا ثنائي خطي مما يعني أنه خطي في كل متغير aوbعلى حدة، يعني أن:
لأي متجهات aو a′و bو b′في المستوى-uv وأي أعداد حقيقية μ وλ.
على وجه الخصوص يُعطى طول متجه المماس aمن خلال:
مساحة السطح هي كمية عددية أخرى يجب أن تعتمد فقط على السطح نفسه، وليس على كيفية تحديد العوامل، فإذا كان السطح M حُددت عوامله بواسطة الدالة  على المجال D في المستوى-uv؛ فإن مساحة السطح M تُعطى من خلال التكامل الآتي:
حيث تشير ×إلى الضرب التقاطعي (الضرب الاتجاهي)، والقيمة المطلقة تشير إلى طول المتجه في الفضاء الإقليدي، ومن خلال متطابقة لاغرانج للضرب التقاطعي فإنه يمكن كتابة التكامل الآتي:
ممتد متري تعريف
لنجعل M متشعبًا ناعمًا بُعده n، على سبيل المثال سطح في حالة n = 2أو سطح فائق في الفضاء الديكارتي ؛ ففي كل نقطة p ∈ Mهناك فضاء متجهي TpMيسمى فضاء المماس، حيث يتألف من جميع المتجهات المماسية للمتشعب عند النقطة p، والموتر المتري عند p هو دالة: gp(Xp, Yp)التي تأخذ زوجًا من متجهات المماس XpوYpعند p كمدخلات، وتنتجُ رقمًا حقيقيًا قياسيًا كمخرج، حيث أن الشروط التالية مُستوفية:
حُصِل عليها عن طريق بقاء Xpثابت والسماح لـ Ypبالتغير وأن يكون ليس صفرًا تمامًا، هذا يعني أن لكل Xp ≠ 0يوجد Yp، مثل gp(Xp, Yp) ≠ 0.
حقل الموتر المتري g في M يُخصص لكل نقطة p من M موتر متري gpفي مساحة المماس عند p بطريقةٍ تتفاوت بنعومةٍ مع p، وبشكلٍ أدق وبإعطاء أي مجموعة فرعية مفتوحة U من المتشعب M وأي حقول متجهات ناعمة: X وY في U، فالاقتران الحقيقي:
ممتد متري مركبات المتري
تُعطى مُرَكِّبات المتري في أي قاعدة لحقول المتجهات أو إطارf =  (X1, ..., Xn)من خلال:
عدد n2من الاقترانات gij[f]فإنها تُشكل مدخلات لمصفوفة متماثلة رتبتها n × nهي: G[f]إذا كان:
متجهان عند p ∈ U؛ فإن قيمة المتري المُطبق على v وw يُحدد بواسطة المعاملات (4) عن طريق الثنائي الخطي:
دلالة المصفوفة (gij[f])بواسطة G[f]وترتيب مُرَكِّبات المتجهين v وw في متجهات العمود v[f]و w[f]هو:
حيث تشير v[f]T و w[f]T لمنقولة المتجهين: v[f]و w[f]على التوالي، وبتغيير قاعدة النموذج نحصل على أن:
بالنسبة لمصفوفة عكسية  رتبتها n × nفإن مصفوفة المُرَكِّبات المترية تتغير بمقدار A أيضًا، وهذا هو:
لهذا السبب يُقال إن نظام الكميات gij[f]يتحول بشكل متغاير بخصوص تغيرات في الإطار f.
نظام عدد n من الاقترانات (x1, ..., xn)ذات القيمة الحقيقية يعطي نظام إحداثيات محلي على مجموعة مفتوحة U في M، محددًا قاعدةً لحقول المتجهات في U:
المتري g يملك مُرَكِّبات متعلقة بهذا الإطار يُعطى من خلال:
بالنسبة لنظام جديد من الإحداثيات المحلية، يُقال أن:
الموتر المتري سيحدد مصفوفة مختلفة من المعاملات هي:
ممتد متري مركبات المتري
هذا التضام الجديد من الاقترانات يتعلق بالأصلي gij(f)عن طريق قاعدة السلسلة:
أو من ناحية المصفوفات: G[f] = (gij[f])وG[f′] = (gij[f′]):
حيث يشير Dy إلى المصفوفة الياكوبية لتغيير الإحداثيات.
يرتبط الشكل التربيعي المُعرف في كل مساحة مماس بأي موتر متري من خلال:
إذا كان qmموجب لجميع Xmغير الصفرية؛ فإن المتري يكون محددًا موجبًا عند m، وإذا كان المتري موجب التحديد عند كل m ∈ M؛ فإن g يسمى متري ريماني، وبشكلٍ عام إذا كانت الأشكال التربيعية qmلها شكل مميز ثابت مستقل عن m؛ فإن شكل g المميز هو هذا الشكل المميز، ويطلق على يه ريماني متري زائف، أما إذا كان  متصل؛ فإن شكل  المميز لا يعتمد على .
وفقًا لقانون سيلفستر للقصور الذاتي، يمكن اختيار قاعدة متجهات المماس  محليًا بحيث يتحول الشكل التربيعي إلى الشكل التالي:
ممتد متري مركبات المتري
بالنسبة لبعض النقاط p بين 1 وn، فإن أي تعبيرين من هذا القبيل لـq عند نفس النقطة m في M سيكون لهما نفس العدد p من الإشارات الموجبة، وشكل g هوزوج من الأعداد الصحيحة (p, n − p)، مما يدل على أن هناك p من الإشارات الموجبة و n − pسلبية في أي تعبير من هذا القبيل، وبشكلٍ مكافِئ فإن المتري له شكل مميز وهو: (p, n − p)إذا كانت المصفوفة gijللمتري تحتوي على قيم مميزة وهي: p الموجبة و n − pالسلبية.
بعض الأشكال المترية التي تظهر بشكلٍ متكرر في التطبيقات هي:
لنفترض أن f = (X1, ..., Xn)قاعدة لحقول المتجهات وكما ذكرنا سابقًا لندع G[f]مصفوفة المعاملات، حاصلين على أن:
يمكن اعتبارالمصفوفة المعكوسة G[f]−1، والذي يتم تعريفها باستخدام المتري المعكوس أو المتري المتقارن أو الثنائي، ويطبق المتري المعكوس قانون التحول عندما يتم تغيير الإطار fبواسطة مصفوفة A من خلال الآتي:
ممتد متري مركبات المتري
يتحول المتري المعكوس بشكل مخالف أو فيما يتعلق بمعكوس تغيير قاعدة المصفوفةA ، في حين أن المتري نفسه يوفر طريقة لقياس طول حقول المتجهات أو الزاوية بينهما، فيوفر المتري المعكوس وسيلة لقياس طول حقول المتجهات المشتركة أو الزاوية بينهما، وهذا هو حقول الاقترانات الخطية.
لتفسير ما سبق رياضيًا افترض أن αهو حقل متجهات مشترك، هذا يعني أن لكل نقطة p هناك α تحدد اقتران αpمُعرف على متجهات مماسية عند p بحيث يكون الشرط الخطي التالي ينطبق على جميع المتجهات المماسية Xpو Ypوجميع الأعداد الحقيقية a وb:
مع اختلاف p يُفترض أن تكون α دالة ناعمة بمعنى أن:
هي دالة ناعمة لـ p لأي حقل متجهات ناعم X.
أي حقل متجهات مشترك α له مُرَكِّبات في قاعدة حقول المتجهات f، حيث يُحددوا من خلال التالي:
يُشار إلى متجه الصف لهذه المُرَكِّبات من خلال:
وبتغيير fبواسطة مصفوفة A؛ فإن α[f]تتغير حسب القاعدة الآتية:
وهذا يعني أن متجه الصف للمُرَكِّبات α[f]يتحول إلى متجه متغير.
بالنسبة للزوج α وβ في حقول المتجهات المشتركة، وتعريف المتري المعكوس المُطبق على هذين المتجهين من خلال:
ممتد متري مركبات المتري
التعريف الناتج على الرغم من أنه يشمل اختيار القاعدة fإلا أنه لا يعتمد فعليًا على fبطريقةٍ أساسية، ففي الواقع تغيير القاعدة إلى fAيعطي:
حيث يكون الجانب الأيمن من المعادلة (6) لا يتأثر بتغيير القاعدة fإلى أي قاعدة أخرى fAعلى الإطلاق، وبالتالي يمكن تخصيص المعادلة لمعنى بغض النظر عن اختيار القاعدة، يُشار إلى مدخلات المصفوفة G[f]بواسطة gij، حيث تم رفع المؤشرين i و j للإشارة إلى قانون التحول (5).
في قاعدة حقول المتجهات f = (X 1... X n) يمكن كتابة أي حقل متجهات ناعم مماسي X من خلال النموذج التالي:
لبعض الاقترانات الناعمة المحددة بشكل فريد v1, ..., vnعند تغيير القاعدة fبواسطة مصفوفة غير أحادية A، تتغيير المعامِلات viبالطريقة المذكورة في المعادلة (7) حيث تبقى صحيحة، وهذا يعني أن:
وبالتالي v[fA] = A−1v[f]، بمعنى آخر تتحول مُرَكِّبات المتجه بشكل متناقض (عكسي) بسبب التغيير في القاعدة بواسطة المصفوفة غير الأحادية A، ويُحدد تناقض مُرَكِّبات v[f]بصورةٍ تشكيلية بوضع المؤشرات vi[f]في الموضع العلوي.
ممتد متري مركبات المتري
يُسمح للإطار أيضًا بالتعبير عنه باستخدام المتجهات المشتركة بدلالة مُرَكِّباتها، ولقاعدة حقول المتجهات f = (X1, ..., Xn)عُرِفت القاعدة المزدوجة لتكون خطية الوظائف (θ1[f], ..., θn[f])أي أن:
حيث، θi[f](Xj) = δji: دلتا كرونكر. فلنفترض التالي:
بتغيير القاعدة f ↦ fAلمصفوفة غير أحادية A،θ[f]يتحول عن طريق:
يمكن توسيع أي اقتران خطي α في المتجهات المماسية بدلالة القاعدة المزدوجة θ:
حيث تشير a[f]إلى متجه الصف [ a1[f] ... an[f] ]، والمُرَكِّبات aiتتحول عندما يتم استبدال القاعدة fبـfAبطريقةٍ تبقى فيها المعادلة (8) صحيحة، هذا يعني:
ولأن θ[fA] = A−1θ[f]يتبع ذلك = a[f]A}، أي أن المُرَكِّبات a تتحول بشكل متغاير بواسطة المصفوفة A بدلاً من معكوسها، يُحدد تَغيُر المُركِبات لa[f]بشكلٍ تشكيلي بوضع المؤشرات لai[f]في الموضع السفلي.
الآن وبما أن الموتر المتري يعطي وسيلة لتحديد المتجهات والمتجهات المشتركة على النحو التالي بتثبيت Xp:
ممتد متري مركبات المتري
لمتجه المماس Ypيحدد اقتران خطي على مساحة المماس عند p، وتأخذ هذه العملية المتجه Xpعند النقطة p مُنتجةً متجه مشتركgp(Xp, −)في قاعدة حقول المتجهات fإذا كان حقل المتجهات X يمتلك مُرَكِّباتv[f]؛ فإن مُرَكِّبات حقل المتجهات المشترك g(X, −)في القاعدة المزدوجة يُعطى من خلال مدخلات متجه الصف:
بتغيير القاعدة f ↦ fAيتحول الجانب الأيمن من هذه المعادلة عن طريق:
لذلك يتحول a[fA] = a[f]A: a بشكل متغاير. عملية ارتباط المُرَكِّبات المتناقضة لحقل المتجهات field v[f] = [ v1[f] v2[f] ... vn[f] ]T بالمُرَكِّبات المتغيرة لحقل المتجهات المشترك a[f] = [ a1[f] a2[f] … an[f] ]، حيث أن:
لرفع المؤشر تُطبق نفس الطريقة ولكن باستخدام المتري المعكوس بدلاً من المتري، فإذا كانت a[f] = [ a1[f] a2[f] ... an[f] ]هي مُرَكِّبات لمتجه مشترك في القاعدة المزدوجة θ[f]؛ فإن متجه العمود:
بالتالي فإن الكمية X = fv[f]لا تعتمد على اختيار القاعدة fبشكل أساسي لذلك يُحدد حقل المتجهات في M. العملية (9) ترتبط بالمُرَكِّبات المتغيرة للمتجه المشترك a[f]والمُرَكِّبات المتناقضة للمتجه v[f]المُعطى يسمى رافع المؤشر. وفي المُرَكِّبات،(9) هي:
لنجعل U مجموعة مفتوحة فيℝn، وليكن φ دالة مستمرة قابلة للتفاضل من U إلى الفضاء الإقليدي ℝ حيث m > n، تعيين φ يسمى الغمر إذا كان تفاضله عن طريق الحقن في كل نقطة في U، وصورة φ تسمى المتشعب الفرعي المغمور، بشكلٍ أكثرَ تحديدًا بالنسبة إلى m = 3مما يعني أن الفضاء الإقليدي المحيط هو ℝ3، ويسمى الموتر المتري المستحث بالشكل الأساسي الأول.
افترض أن φ غُمر في متشعب فرعي M ⊂ Rm، والناتج النقطي الإقليدي المعتاد ℝmهو متري، فعندما يُقتصر على متجهات مماسية في M يعطي وسيلة لأخذ حاصل الضرب النقطي لهذه المتجهات المماسية، وهذا ما يسمى بالمتري المستحث.
افترض أن v متجه مماسي عند نقطة في U، ولنعتبر أن:
حيث eiهي متجهات الإحداثيات المعيارية في ℝn، وعندما يتم تطبيق φ على U ينتقل المتجه v إلى المتجه المماسي في M المُعطى من خلال:
وهذا ما يسمى الدفع الأمامي لـ v على طول φ، وبإعطاء متجهين من هذا القبيل: v و w، يُعرف المتري المستحث عن طريق:
يُتبع من عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة المتري المستحث في قاعدة حقول المتجهات الإحداثيةeتُعطى بواسطة:
ممتد متري التعريفات الجوهرية للمتري
يمكن تعريف مفهوم المتري بشكل جوهري باستخدام لغة حزم الألياف وحزم المتجهات، في هذه المصطلحات الموتر المتري هو اقتران:
من ضرب الألياف للحزمة المماسية في M مع نفسها في Rبحيث يكون تقييد g لكل ليف هو ربط ثنائي خطي غير منحل:
الارتباط في (10) يجب أن يكون مستمرًا، وغالبًا ما يكون قابلاً للتفاضل بشكل مستمر أوناعمًا أوتحليليًا حقيقيًا، اعتمادًا على الحالة المدروسة وما إذا كان M يمكن أن تدعم مثل هذا التركيب.
بواسطة الخاصية العامة لضرب الموتر، أي تعيين ثنائي خطي (10) يعطي رفع بشكل طبيعي إلى قسم g⊗لثنائي حزمة ضرب الموتر لـ TMمع نفسها:
يتم تعريف القسم g⊗على عناصر بسيطة من TM ⊗ TMمن خلال:
ويتم تعريفه على العناصر التعسفية لـ TM ⊗ TMمن خلال التوسع خطيًا لمجموعات خطية من العناصر البسيطة، الشكل الثنائي الخطي الأصلي لg متماثل إذاوفقط إذا:
نظرًا لأن M ذات أبعاد محدودة، فهناك تماثل طبيعي:
بحيث يُنظر إلى g⊗أيضًا كقسم من الحزمة T*M ⊗ T*Mلحزمة ظل التمام T*Mمع نفسها، ونظرًا لأن g متماثل كتركيب الثنائي الخطي، فهو يتبع أن g⊗موتر متماثل .