hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
تصحيح خطأ ريد-سولومون التاريخ
في عام 1969، تم تطوير فك تشفير مخطط بي سي إتش المحسن بواسطة إلوين بيرليكامب وجيمس ماسي ومنذ ذلك الحين أصبح يُعرف باسم خوارزمية فك تشفير بيرليكامب-ماسي ‏.
في عام 1975، تم تطوير فك تشفير مخطط بي سي إتش محسن آخر بواسطة ياسو سوجياما، استنادًا إلى خوارزمية إقليدية موسعة.
في عام 1977، تم تنفيذ أكواد ريد–سولومون في برنامج فوييجر في شكل أكواد تصحيح الأخطاء المتسلسلة ‏. ظهر أول تطبيق تجاري في المنتجات الاستهلاكية المنتجة بكميات كبيرة في عام 1982 مع القرص المضغوط، حيث تم استخدام رمزين متداخلين من نوع ريد–سولومون. اليوم، يتم تنفيذ أكواد ريد–سولومون على نطاق واسع في أجهزة التخزين الرقمية ومعايير الاتصالات الرقمية، على الرغم من استبدالها ببطء بأكواد بوز-تشودهوري-هوكوينغيم (بي سي إتش). على سبيل المثال، يتم استخدام رموز ريد–سولومون في معيار البث الرقمي للفيديو (بي في دي) معيار بث الفيديو الرقمي فضائيا، بالاشتراك مع رمز داخلي ملتف، ولكن يتم استخدام رموز بي سي إتش مع إل دي بي سي ‏ في خليفته، معيار بي في دي-إس2.
تصحيح خطأ ريد-سولومون التاريخ
في عام 1986، تم تطوير فك تشفير المخطط الأصلي المعروف باسم خوارزمية بيرليكامب-ويلش ‏.
في عام 1996، تم تطوير أشكال مختلفة من أجهزة فك التشفير الأصلية والتي تسمى أجهزة فك التشفير القائمة أو أجهزة فك التشفير الناعمة بواسطة مادو سودان وآخرين، ويستمر العمل على هذه الأنواع من أجهزة فك التشفير (انظر خوارزمية فك تشفير القائمة جوروسوامي-سودان ‏).
في عام 2002، تم تطوير فك تشفير مخطط أصلي آخر بواسطة شوهونج جاو، استنادًا إلى خوارزمية إقليدية ممتدة.
تصحيح خطأ ريد-سولومون التطبيقات
يتم استخدام تشفير ريد–سولومون على نطاق واسع في أنظمة التخزين الشامل لتصحيح أخطاء الانفجار المرتبطة بعيوب الوسائط.
تصحيح خطأ ريد-سولومون التطبيقات
يعتبر تشفير ريد–سولومون أحد المكونات الأساسية للقرص المضغوط. كان هذا أول استخدام لترميز تصحيح الأخطاء القوي في منتج استهلاكي يتم إنتاجه بكميات كبيرة، وتستخدم دات ودي في دي مخططات مماثلة. في القرص المضغوط، يتم فصل طبقتين من ترميز ريد–سولومون بواسطة متداخل ملتف ذي 28 اتجاهًا مما ينتج عنه مخطط يسمى ترميز ريد–سولومون المتداخل المتقاطع (ترميز ريد–سولومون المتداخل ‏). العنصر الأول في فك تشفير ترميز ريد–سولومون المتداخل هو رمز ريد–سولومون الداخلي الضعيف نسبيًا (32،28)، والذي تم اختصاره من رمز (255،251) برموز مكونة من 8 بت. يمكن لهذا الكود تصحيح أخطاء تصل إلى 2 بايت لكل كتلة مكونة من 32 بايت. والأمر الأكثر أهمية هو أنه يقوم بتمييز أي كتل غير قابلة للتصحيح على أنها محذوفة، أي الكتل التي تحتوي على أخطاء أكبر من 2 بايت. يتم بعد ذلك نشر الكتل المفكوكة المكونة من 28 بايتًا، مع مؤشرات المسح، بواسطة مزيل التداخل إلى كتل مختلفة من الكود الخارجي (28،24). بفضل إزالة التداخل، تصبح كتلة ممسوحة مكونة من 28 بايتًا من الكود الداخلي بايتًا ممسوحًا واحدًا في كل كتلة من كتل الكود الخارجية البالغ عددها 28 بايتًا. يقوم الكود الخارجي بتصحيح هذه المشكلة بسهولة، لأنه يمكنه التعامل مع ما يصل إلى 4 عمليات مسح من هذا القبيل لكل كتلة.
تصحيح خطأ ريد-سولومون التطبيقات
النتيجة هي ترميز ريد–سولومون المتداخل الذي يمكنه تصحيح أخطاء تصل إلى 4000 بت، أو حوالي 2.5 ملم على سطح القرص. هذا الكود قوي جدًا لدرجة أن معظم أخطاء تشغيل الأقراص المضغوطة ناجمة على الأرجح عن أخطاء التتبع التي تتسبب في خروج الليزر عن المسار، وليس عن طريق انفجارات الأخطاء غير القابلة للتصحيح.
تستخدم أقراص دي في دي مخططًا مشابهًا، ولكن مع كتل أكبر بكثير، وكود داخلي (208,192)، وكود خارجي (182,172).
يتم استخدام تصحيح خطأ ريد–سولومون أيضًا في ملفات بارشيف والتي يتم نشرها عادةً مع ملفات الوسائط المتعددة على يوزنت. كما استخدمت خدمة التخزين عبر الإنترنت الموزعة ووالا (التي تم إيقافها في عام 2015) أيضًا ريد–سولومون عند تقسيم الملفات.
تستخدم جميع الرموز الشريطية ثنائية الأبعاد تقريبًا مثل بي دي إف-417 وماكسي كود ‏ ورمز مصفوفي ورمز استجابة سريعة وشفرة الأزتك ‏ وهان إكس في الكود ‏ تصحيح خطأ ريد–سولومون للسماح بالقراءة الصحيحة حتى في حالة تلف جزء من الرمز الشريطي. عندما لا يتمكن ماسح الباركود من التعرف على رمز الباركود، فسوف يعامله على أنه مسح.
تصحيح خطأ ريد-سولومون التطبيقات
يعد ترميز ريد–سولومون أقل شيوعًا في الرموز الشريطية أحادية البعد، ولكن يتم استخدامه بواسطة رمزية بوست بار ‏.
يمكن استخدام الأشكال المتخصصة من رموز ريد–سولومون، وتحديدًا كوشي-آر إس و فاندرموند-آر إس، للتغلب على الطبيعة غير الموثوقة لنقل البيانات عبر قنوات المسح. تفترض عملية الترميز رمز آر إس (N، K) مما يؤدي إلى إنشاء N كلمة رمزية بطول N رمز، كل منها يخزن K رمزًا من البيانات، والتي يتم إرسالها بعد ذلك عبر قناة مسح.
إن أي مجموعة من الكلمات الرمزية (K) التي تم تلقيها في الطرف الآخر تكون كافية لإعادة بناء كل الكلمات الرمزية (N). يتم عادةً ضبط معدل الترميز على 1/2 ما لم يكن من الممكن نمذجة احتمالية محو القناة بشكل مناسب ورؤيتها أقل. في الختام، يكون N عادةً 2 K، مما يعني أنه يجب استلام نصف جميع كلمات المرور المرسلة على الأقل من أجل إعادة بناء جميع كلمات المرور المرسلة.
تُستخدم أكواد ريد–سولومون أيضًا في أنظمة الخط المشترك الرقمي ومواصفات بروتوكول الاتصالات الفضائية ‏ الخاصة بـ سي سي إس دي إس كشكل من أشكال تصحيح الأخطاء الأمامية.
كان أحد التطبيقات المهمة لتشفير ريد–سولومون هو تشفير الصور الرقمية التي أرسلها برنامج فوييجر.
قدمت مركبة فوييجر تشفير ريد–سولومون المترابط مع الأكواد التلافيفية ‏، وهي ممارسة أصبحت منذ ذلك الحين منتشرة على نطاق واسع في الفضاء العميق والاتصالات عبر الأقمار الصناعية (على سبيل المثال، البث الرقمي المباشر).
تميل أجهزة فك تشفير فيتربي ‏ إلى إنتاج أخطاء في دفعات قصيرة. إن تصحيح أخطاء الانفجار هذه هو المهمة التي يمكن إنجازها على أفضل وجه باستخدام أكواد ريد–سولومون القصيرة أو المبسطة.
كانت الإصدارات الحديثة من الترميز التلافيفي المتسلسل المفكوك بواسطة ريد–سولومون/فيتربي تُستخدم ولا تزال تُستخدم في بعثات مارس باثفايندر، وجاليليو، ومركبة استكشاف المريخ، وكاسيني، حيث تعمل ضمن حوالي 1-1.5 ديسيبل من الحد الأقصى، وهو سعة شانون.
يتم الآن استبدال هذه الرموز المتسلسلة برموز توربو ‏ أكثر قوة:
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
إن شفرة ريد–سولومون هي في الواقع عائلة من الشفرات، حيث يتميز كل شفرة بثلاثة معلمات: حجم الأبجدية q، وطول الكتلة n، وطول الرسالة k، مع . يتم تفسير مجموعة رموز الأبجدية على أنها الحقل المحدود  من أجل ، وبالتالي،  يجب أن تكون قوة رئيسية. في أكثر معلمات كود ريد–سولومون فائدة، يكون طول الكتلة عادةً مضاعفًا ثابتًا لطول الرسالة، أي المعدل  هو ثابت ما، وعلاوة على ذلك، فإن طول الكتلة إما أن يكون مساويًا لحجم الأبجدية أو أقل منه بواحد، أي،  أو .[بحاجة لمصدر]
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
توجد إجراءات ترميز مختلفة لرمز ريد–سولومون، وبالتالي، توجد طرق مختلفة لوصف مجموعة كل الكلمات الرمزية. في العرض الأصلي لريد وسولومون، كل كلمة رمزية من رمز ريد–سولومون هي عبارة عن تسلسل من قيم الدالة لكثيرة حدود من الدرجة الأقل من . من أجل الحصول على كلمة رمزية لرمز ريد–سولومون، يتم التعامل مع رموز الرسائل (كل منها ضمن الأبجدية بحجم q) كمعاملات لكثيرة حدود  من الدرجة أقل من ، فوق المجال المحدود  مع  عناصر. وبدوره، فإن كثيرة الحدود  يتم تقييمه في  نقاط مميزة  من الميدان ، وتسلسل القيم هو الكلمة الرمزية المقابلة. تتضمن الاختيارات الشائعة لمجموعة من نقاط التقييم ما يلي: ، ، أو ل ، ،...، أين  هو عنصر بدائي ‏ من .
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
رسميا، المجموعة  يتم تعريف كلمات رمز ريد–سولومون على النحو التالي:  نظرًا لأن أي حدودين مختلفتين بدرجة أقل من  أتفق على الأكثر  النقاط، وهذا يعني أن أي كلمتين رمزيتين من قانون ريد–سولومون تختلفان في ما لا يقل عن  المواقف. علاوة على ذلك، هناك حدوديتان متفقتان في  النقاط ولكنها ليست متساوية، وبالتالي فإن مسافة قانون ريد–سولومون هي بالضبط . ثم المسافة النسبية هي ، أين  هو المعدل. إن هذه المقايضة بين المسافة النسبية والمعدل مثالية بشكل مقارب، حيث أن كل كود يلبي الحد الأقصى للسنجلتون ‏ . باعتباره رمزًا يحقق هذه المقايضة المثلى، فإن رمز ريد–سولومون ينتمي إلى فئة الرموز القابلة للفصل عند أقصى مسافة.
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
في حين أن عدد كثيرات الحدود المختلفة من الدرجة الأقل من k وعدد الرسائل المختلفة متساويان  وبالتالي، يمكن تعيين كل رسالة بشكل فريد لمثل هذه الحدود، وهناك طرق مختلفة للقيام بهذا الترميز. يفسر البناء الأصلي لريد-سولومون الرسالة x باعتبارها معاملات كثيرة الحدود p، بينما تفسر البناءات اللاحقة الرسالة باعتبارها قيم كثيرة الحدود عند أول k نقطة  ويمكن الحصول على كثيرة الحدود p باستيفاء هذه القيم بكثيرة حدود بدرجة أقل من k. تتميز عملية الترميز الأخيرة، وإن كانت أقل كفاءةً بعض الشيء، بميزة أنها تُنتج شفرةً منهجية ‏، أي أن الرسالة الأصلية تُدرج دائمًا كتسلسل فرعي للكلمة المفتاحية.
في البناء الأصلي لريد وسليمان، الرسالة  يتم تعيينه إلى كثير الحدود  مع  كلمة السر لـ  يتم الحصول عليها عن طريق التقييم  في  نقاط مختلفة  من الميدان .  وبالتالي فإن وظيفة الترميز الكلاسيكية  بالنسبة لقانون ريد–سولومون، يتم تعريفه على النحو التالي:  هذه الوظيفة  هو رسم تخطيطي خطي، أي أنه يلبي  لما يلي  -مصفوفة  مع عناصر من  :
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
هذه المصفوفة هي مصفوفة فاندرموند . بعبارة أخرى، فإن شفرة ريد–سولومون هي شفرة خطية، وفي إجراء الترميز الكلاسيكي، تكون مصفوفة المولد الخاصة بها .
هناك إجراءات ترميز بديلة تعمل على إنتاج رمز ريد–سولومون المنهجي. تستخدم إحدى الطرق استيفاء لاغرانج لحساب كثيرات الحدود  مثل ذلك  ثم  يتم تقييمه في النقاط الأخرى .
هذه الوظيفة  هي عبارة عن رسم خطي. لتوليد مصفوفة الترميز النظامية المقابلة G، اضرب مصفوفة Vandermonde A في معكوس مصفوفة المربع الأيسر الفرعية A.
تحويل فورييه المنفصل هو في الأساس نفس إجراء الترميز؛ فهو يستخدم متعدد الحدود المولد  لربط مجموعة من نقاط التقييم بقيم الرسائل كما هو موضح أعلاه:
يمكن استخدام تحويل فورييه العكسي لتحويل مجموعة خالية من الأخطاء من قيم الرسائل n < q مرة أخرى إلى متعددة الحدود المشفرة لمعاملات k، مع القيد الذي ينص على أنه لكي يعمل هذا، يجب أن تكون مجموعة نقاط التقييم المستخدمة لتشفير الرسالة عبارة عن مجموعة من القوى المتزايدة لـ α :
تصحيح خطأ ريد-سولومون الإنشاءات (الترميز)
ومع ذلك، فإن استيفاء لاغرانج يؤدي نفس التحويل دون قيود على مجموعة نقاط التقييم أو متطلبات مجموعة خالية من الأخطاء من قيم الرسائل ويُستخدم للترميز المنهجي، وفي إحدى خطوات فك تشفير جاو.
في هذا العرض، يتم تفسير الرسالة كمعاملات متعددة الحدود . يقوم المرسل بحساب كثير الحدود ذي الصلة  من الدرجة  أين  ويرسل الحدود المتعددة . كثيرة الحدود  يتم إنشاؤها عن طريق ضرب حدود الرسالة ، والتي لديها درجة ، مع مولد متعدد الحدود  من الدرجة  وهذا معروف لدى المرسل والمستقبل.مولد الحدود متعدد الحدود  يتم تعريفه على أنه متعدد الحدود الذي تكون جذوره عبارة عن قوى متسلسلة لبدائية مجال جالوا
يمكن تعديل إجراء الترميز لعرض بي سي إتش لرموز ريد–سولومون لإنتاج إجراء ترميز منهجي، حيث تحتوي كل كلمة رمزية على الرسالة كبادئة، وتضيف ببساطة رموز تصحيح الأخطاء كلاحقة. هنا، بدلا من الإرسال  يقوم المشفر بإنشاء الحدود المنقولة  بحيث تكون معاملات  أكبر أحاديات الحدود تساوي المعاملات المقابلة لـ ، ومعاملات الدرجة الأدنى لـ  يتم اختيارهم بالضبط بهذه الطريقة  يصبح قابلا للقسمة على . ثم معاملات  هي تسلسل جزئي لمعاملات . للحصول على كود منهجي بشكل عام، نقوم بإنشاء رسالة متعددة الحدود  من خلال تفسير الرسالة على أنها تسلسل معاملاتها.
رسميًا، يتم البناء عن طريق الضرب  بواسطة  لإفساح المجال ل  رموز التحقق، وتقسيم هذا المنتج على  لإيجاد الباقي، ثم تعويض هذا الباقي عن طريق طرحه. ال  يتم إنشاء رموز التحقق عن طريق حساب الباقي  :
الباقي حاصل على درجة علمية على الأكثر ، في حين أن معاملات  في كثير الحدود  هي صفر. لذلك، التعريف التالي للكلمة الرمزية  لديه الخاصية التي هي الأولى  المعاملات متطابقة مع معاملات  : ونتيجة لذلك، فإن الكلمات المشفرة  هي في الواقع عناصر من  أي أنها قابلة للقسمة على متعددة الحدود المولدة  :
هذه الوظيفة  هي عبارة عن رسم خطي. لتوليد مصفوفة الترميز النظامية المقابلة G، قم بتعيين المصفوفة الفرعية المربعة اليسرى لـ G إلى مصفوفة الهوية ثم قم بترميز كل صف:
مع تجاهل الأصفار الأولية، الصف الأخير = .
تصحيح خطأ ريد-سولومون الخصائص
رمز ريد–سولومون هو رمز [ n، k، n − k + 1]؛ بمعنى آخر، هو رمز كتلة خطي بطول n (على F) مع البعد k ومسافة هامينج الدنيا  يعتبر كود ريد–سولومون مثاليًا بمعنى أن الحد الأدنى للمسافة له أقصى قيمة ممكنة لكود خطي بحجم (n، ك)؛ وهذا ما يُعرف باسم حدود سينجلتون ‏. يُطلق على هذا الرمز أيضًا اسم رمز المسافة القصوى القابلة للفصل (إم دي إس) ‏.
تصحيح خطأ ريد-سولومون الخصائص
يتم تحديد قدرة تصحيح الخطأ لرمز ريد–سولومون من خلال المسافة الدنيا، أو على نحو مكافئ، من خلال ، مقياس التكرار في الكتلة. إذا لم تكن مواقع رموز الخطأ معروفة مسبقًا، فيمكن لكود ريد–سولومون تصحيح ما يصل إلى  الرموز الخاطئة، أي أنه يمكنه تصحيح نصف عدد الأخطاء التي تحتوي على رموز زائدة تمت إضافتها إلى الكتلة. في بعض الأحيان تكون مواقع الأخطاء معروفة مسبقًا (على سبيل المثال، «المعلومات الجانبية» في نسبة الإشارة إلى الضوضاء في جهاز إزالة التعديل) - وتسمى هذه بالمحو. يمكن لرمز ريد–سولومون (مثل أي رمز إم دي إس) تصحيح ضعف عدد المحو مقارنة بالأخطاء، ويمكن تصحيح أي مجموعة من الأخطاء والمحو طالما تم استيفاء العلاقة 2E + S ≤ n − k، حيث  هو عدد الأخطاء و  هو عدد المحو في الكتلة.
يمكن وصف حد الخطأ النظري من خلال الصيغة التالية لقناة أوجن لإبدال بإزاحة التردد:  ولخطط التعديل الأخرى:  أين ، ، ،  هو معدل خطأ الرمز في حالة أوجن غير المشفرة و  هو ترتيب التعديل.
تصحيح خطأ ريد-سولومون الخصائص
بالنسبة للاستخدامات العملية لرموز ريد–سولومون، من الشائع استخدام حقل محدود  مع  عناصر. في هذه الحالة، يمكن تمثيل كل رمز على أنه  قيمة البت. يرسل المرسل نقاط البيانات ككتل مشفرة، وعدد الرموز في الكتلة المشفرة هو . وبالتالي، فإن كود ريد–سولومون الذي يعمل على رموز مكونة من 8 بتات لديه  الرموز لكل كتلة. (هذه قيمة شائعة جدًا نظرًا لانتشار أنظمة الكمبيوتر الموجهة للبايتات.) الرقم ، مع ، عدد رموز البيانات في الكتلة هو معلمة تصميم. الكود المستخدم بشكل شائع يشفر  رموز بيانات مكونة من ثمانية بتات بالإضافة إلى 32 رمز تكافؤ مكون من ثمانية بتات في  - كتلة الرمز؛ يُشار إليها باسم  الكود، وهو قادر على تصحيح ما يصل إلى 16 خطأ رمزي لكل كتلة.
تصحيح خطأ ريد-سولومون الخصائص
إن خصائص كود ريد–سولومون التي تمت مناقشتها أعلاه تجعلها مناسبة بشكل خاص للتطبيقات التي تحدث فيها أخطاء في الانفجارات. يرجع ذلك إلى أنه لا يهم بالنسبة للكود عدد البتات الموجودة في الرمز التي تحتوي على أخطاء - إذا كانت بتات متعددة في رمز تالفة، فإن هذا يعد خطأ واحدًا فقط. وعلى العكس من ذلك، إذا لم يكن تدفق البيانات يتميز بتفجر الأخطاء أو الانقطاعات ولكن بأخطاء بت واحدة عشوائية، فإن رمز ريد–سولومون عادة ما يكون خيارًا سيئًا مقارنة بالرمز الثنائي.
تصحيح خطأ ريد-سولومون الخصائص
إن شفرة ريد–سولومون، مثل الشفرة التلافيفية ‏، هي شفرة شفافة. وهذا يعني أنه إذا تم عكس رموز القناة في مكان ما على طول الخط، فسوف تستمر أجهزة فك التشفير في العمل. وستكون النتيجة عكس البيانات الأصلية. ومع ذلك، يفقد كود ريد–سولومون شفافيته عندما يتم اختصار الكود (انظر الملاحظات في نهاية هذا القسم). يجب ملء البتات «المفقودة» في الكود المختصر إما بالأصفار أو الواحدات، اعتمادًا على ما إذا كانت البيانات مكملة أم لا. (بعبارة أخرى، إذا تم عكس الرموز، فيجب عكس التعبئة الصفرية إلى تعبئة واحدة.) لهذا السبب، من الضروري حل معنى البيانات (أي، صحيحة أو متممة) قبل فك تشفير ريد–سولومون.
إن كون قانون ريد–سولومون دوريًا أم لا يعتمد على التفاصيل الدقيقة للبناء. في وجهة النظر الأصلية لريد وسولومون، حيث تكون الكلمات الرمزية هي قيم كثيرة الحدود، يمكن للمرء اختيار تسلسل نقاط التقييم بطريقة تجعل الكود دوريًا. وعلى وجه الخصوص، إذا  هو جذر بدائي ‏ للحقل ، إذن حسب التعريف فإن جميع العناصر غير الصفرية لـ  خذ النموذج  ل ، أين . كل كثيرة حدود  زيادة  يؤدي إلى ظهور كلمة مرور . منذ الوظيفة  هي أيضًا كثيرة حدود من نفس الدرجة، هذه الدالة تؤدي إلى كلمة رمزية  ؛ منذ  صحيح أن هذه الكلمة الرمزية هي التحول الدوري إلى اليسار للكلمة الرمزية الأصلية المشتقة من . وبالتالي فإن اختيار تسلسل من قوى الجذر البدائية كنقط تقييم يجعل العرض الأصلي لرمز ريد–سولومون دوريًا. تكون رموز ريد–سولومون في عرض بي سي إتش دورية دائمًا لأن رموز بي سي إتش دورية.
لا يُطلب من المصممين استخدام الأحجام «الطبيعية» لكتل كود ريد–سولومون. يمكن لتقنية تُعرف باسم «الاختصار» إنتاج كود أصغر بأي حجم مرغوب من كود أكبر. على سبيل المثال، يمكن تحويل الكود المستخدم على نطاق واسع (255,223) إلى كود (160,128) عن طريق تعبئة الجزء غير المستخدم من كتلة المصدر بـ 95 صفرًا ثنائيًا وعدم إرسالها. في جهاز فك التشفير، يتم تحميل نفس الجزء من الكتلة محليًا باستخدام الأصفار الثنائية.
يستخدم رمز الاستجابة السريعة، الإصدار 3 (29×29) كتلًا متداخلة. تتكون الرسالة من 26 بايت بيانات ويتم تشفيرها باستخدام كتلتين من رموز ريد-سولومون. كل كتلة عبارة عن رمز (255,233) ريد سولومون مختصر إلى رمز (35,13).
توضح نظرية ديلسارت-جوثالز-سايدل مثالاً لتطبيق رموز ريد–سولومون المختصرة. وبالتوازي مع الاختصار، هناك تقنية تُعرف بالثقب تسمح بحذف بعض رموز التكافؤ المشفرة.
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
تستخدم أجهزة فك التشفير الموصوفة في هذا القسم عرض بي سي إتش لكلمة رمزية كسلسلة من المعاملات. وتستخدم متعددة حدود مولدة ثابتة معروفة لكلٍّ من جهاز التشفير وجهاز فك التشفير.
قام دانييل جورنشتاين ونيل زيرلر بتطوير جهاز فك تشفير تم وصفه في تقرير صادر عن مختبر لينكولن التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بواسطة زيرلر في يناير 1960 وفي وقت لاحق في ورقة بحثية في يونيو 1961. تم وصف فك تشفير جورنشتاين-زيرلر والعمل المرتبط به على رموز بي سي إتش في كتاب رموز تصحيح الأخطاء بقلم و. ويزلي بيترسون (1961).[بحاجة لرقم الصفحة]
الرسالة المرسلة ، يُنظر إليها على أنها معاملات متعددة الحدود
نتيجة لإجراء ترميز ريد–سولومون، فإن s (x) قابلة للقسمة على متعددة الحدود المولدة  حيث α هو عنصر بدائي.
نظرًا لأن s (x) مضاعف للمولد g (x)، فمن الطبيعي أن «يرث» كل جذوره:  لذلك،
يتم إتلاف الحدود المنقولة أثناء النقل بسبب خطأ الحدود  لإنتاج الحدود المستلمة
سيكون المعامل e i صفرًا إذا لم يكن هناك خطأ عند تلك القوة لـ x، وغير صفر إذا كان هناك خطأ. إذا كانت هناك أخطاء ν عند قوى مميزة i k لـ x، إذن
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
الهدف من فك التشفير هو العثور على عدد الأخطاء (ν)، ومواضع الأخطاء (i k)، وقيم الأخطاء في تلك المواضع (e i k). ومن تلك القيم، يمكن حساب e (x) وطرحه من r (x) للحصول على الرسالة المرسلة في الأصل s (x).
يبدأ فك التشفير بتقييم الحدود الواردة في النقاط . نحن نطلق على نتائج هذا التقييم اسم «المتلازمات» S j. يتم تعريفهم على أنهم  لاحظ أن  لأن  له جذور في  كما هو موضح في القسم السابق.
ميزة النظر إلى المتلازمات هي أن متعدد حدود الرسالة يختفي. بمعنى آخر، تتعلق المتلازمات بالخطأ فقط ولا تتأثر بالمحتوى الفعلي للرسالة المرسلة. إذا كانت جميع المتلازمات صفرًا، تتوقف الخوارزمية عند هذا الحد وتُبلغ عن عدم تلف الرسالة أثناء النقل.
من أجل الراحة، قم بتحديد مواقع الأخطاء X k وقيم الأخطاء Y k على النحو التالي
ومن ثم يمكن كتابة المتلازمات من حيث مواقع الأخطاء وقيم الأخطاء هذه على النحو التالي:
هذا التعريف لقيم المتلازمة يعادل التعريف السابق منذ .
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
تعطي المتلازمات نظامًا من معادلات n − k ≥ 2ν في مجهولين 2 ν، ولكن نظام المعادلات هذا غير خطي في X k وليس له حل واضح. ومع ذلك، إذا كانت قيمة X k معروفة (انظر أدناه)، فإن معادلات المتلازمة توفر نظامًا خطيًا من المعادلات  والتي يمكن حلها بسهولة لقيم خطأ Y k.
وبالتالي، فإن المشكلة تكمن في إيجاد Xk، لأنه عندها ستكون المصفوفة الموجودة في أقصى اليسار معروفة، ويمكن ضرب كلا جانبي المعادلة في معكوسها، مما ينتج عنه Yk.
في متغير هذه الخوارزمية حيث تكون مواقع الأخطاء معروفة بالفعل (عندما يتم استخدامها كرمز مسح ‏)، فهذه هي النهاية. إن مواقع الخطأ (X k) معروفة بالفعل من خلال بعض الطرق الأخرى (على سبيل المثال، في إرسال FM، يمكن تحديد الأقسام التي كان فيها تدفق البتات غير واضح أو تم التغلب عليه بالتداخل بشكل احتمالي من تحليل التردد). في هذا السيناريو، ما يصل إلى  يمكن تصحيح الأخطاء.
يعمل باقي الخوارزمية على تحديد الأخطاء وسيتطلب قيم متلازمة تصل إلى ، بدلا من مجرد  المستخدمة حتى الآن. لهذا السبب، هناك حاجة إلى إضافة عدد مضاعف من رموز تصحيح الأخطاء مقارنة بالعدد الذي يمكن تصحيحه دون معرفة مواقعها.
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
هناك علاقة تكرار خطية تُنتج نظامًا من المعادلات الخطية. حل هذه المعادلات يُحدد مواقع الخطأ Xk.
قم بتعريف متعددة حدود تحديد الخطأ Λ(x) على أنها
أصفار Λ(x) هي مقلوبات . يتبع هذا من بناء تدوين المنتج أعلاه، لأنه إذا ، ثم يصبح أحد الحدود المضروبة صفرًا، ، مما يجعل تقييم متعدد الحدود بأكمله يساوي الصفر:
يترك  يكون أي عدد صحيح بحيث . اضرب كلا الطرفين في ، وسيظل صفرًا:
استخرج القيم الثابتة لـ  التي لا تتأثر بالمجموع:
أصبحت هذه المجاميع الآن تعادل قيم المتلازمة، والتي نعرفها ويمكننا استبدالها. وهذا يقلل بالتالي إلى
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
تذكر أن j تم اختياره ليكون أي عدد صحيح بين 1 و v شاملًا، وهذا التكافؤ صحيح لجميع هذه القيم. وبالتالي، لدينا معادلة خطية، وليس معادلة واحدة فقط. وبالتالي، يمكن حل نظام المعادلات الخطية هذا لمعاملات Λ i لمتعددة حدود موقع الخطأ:  يفترض ما سبق أن فك التشفير يعرف عدد الأخطاء ν، ولكن هذا العدد لم يتم تحديده بعد. لا يقوم فك التشفير PGZ بتحديد ν بشكل مباشر، بل يبحث عنه عن طريق تجربة القيم المتعاقبة. يفترض فك التشفير أولاً أكبر قيمة للتجربة ν ويقوم بإعداد النظام الخطي لتلك القيمة. إذا كان من الممكن حل المعادلات (أي أن محدد المصفوفة ليس صفرًا)، فإن قيمة التجربة هي عدد الأخطاء. إذا لم يكن من الممكن حل النظام الخطي، يتم تقليل التجربة ν بمقدار واحد ويتم فحص النظام الأصغر التالي.
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
استخدم المعاملات Λ التي وجدتها في الخطوة الأخيرة لبناء متعدد حدود موقع الخطأ. يمكن العثور على جذور متعددة الحدود الخاصة بموقع الخطأ من خلال البحث الشامل. محددات الخطأ X k هي مقلوبات تلك الجذور. يمكن عكس ترتيب معاملات كثيرة الحدود لموقع الخطأ، وفي هذه الحالة تكون جذور كثيرة الحدود المعكوسة هي محددات الخطأ  (ليس متبادلهما ). يعد البحث شين ‏ تنفيذًا فعالًا لهذه الخطوة.
بمجرد معرفة مواقع الخطأ X k، يمكن تحديد قيم الخطأ. يمكن القيام بذلك عن طريق الحل المباشر لـ Y k في مصفوفة معادلات الخطأ المذكورة أعلاه، أو باستخدام خوارزمية فورني ‏.
احسب i k عن طريق أخذ قاعدة اللوغاريتم  من X ك. يتم ذلك عادةً باستخدام جدول بحث محسوب مسبقًا.
أخيرًا، يتم إنشاء e (x) من i k و e i k ثم يتم طرحه من r (x) للحصول على الرسالة المرسلة في الأصل s (x)، مع تصحيح الأخطاء.
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
خذ بعين الاعتبار رمز ريد–سولومون المحدد في GF(929) مع α = 3 و t = 4 (يستخدم هذا في رموز بي دي إف 417 ‏) لكود آر إس (7,3). الحدود المولدة هي  إذا كانت متعددة حدود الرسالة هي p(x) = 3 x2 + 2 x + 1، فسيتم ترميز كلمة رمزية منهجية على النحو التالي:  قد تؤدي الأخطاء في الإرسال إلى استلام هذا بدلاً من ذلك:  يتم حساب المتلازمات عن طريق تقييم r عند قوى α :  إنتاج النظام
باستخدام الإزالة الغاوسية،  لذا  مع الجذور x 1 = 757 = 3 −3 و x 2 = 562 = 3 −4. يمكن عكس المعاملات:  لإنتاج الجذور 27 = 3 3 و 81 = 3 4 مع أسس موجبة، ولكن عادةً لا يتم استخدام ذلك. يتوافق لوغاريتم الجذور المقلوبة مع مواقع الخطأ (من اليمين إلى اليسار، الموقع 0 هو المصطلح الأخير في الكلمة الرمزية).
لحساب قيم الخطأ، قم بتطبيق خوارزمية فورني ‏ :
الطرح  من متعددة الحدود المستلمة r (x) تعيد إنتاج كلمة المرور الأصلية s.
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
خوارزمية بيرليكامب-ماسي ‏ هي إجراء تكراري بديل للعثور على متعدد الحدود لتحديد الخطأ. أثناء كل تكرار، يقوم بحساب التناقض بناءً على حالة حالية من Λ(x) مع عدد مفترض من الأخطاء e :  ثم يقوم بتعديل Λ(x) و e بحيث يصبح Δ المعاد حسابه صفرًا. تحتوي المقالة «خوارزمية بيرليكامب-ماسي ‏» على وصف تفصيلي للإجراء. في المثال التالي، يتم استخدام C (x) لتمثيل Λ(x).
باستخدام نفس البيانات المستخدمة في مثال بيترسون جورنشتاين زيرلر أعلاه:
القيمة النهائية لـ C هي متعددة حدود تحديد الخطأ، Λ(x).
تعتمد طريقة تكرارية أخرى لحساب كل من متعدد حدود تحديد الخطأ ومتعدد حدود قيمة الخطأ على تكييف سوجياما لخوارزمية إقليدية ممتدة.
عرف S (x)، Λ(x)، وΩ(x) لمتلازمات t وأخطاء e :
الحدود الوسطى هي صفر بسبب العلاقة بين Λ والمتلازمات.
يمكن لخوارزمية إقليدية ممتدة العثور على سلسلة من كثيرات الحدود من النموذج
حيث تقل درجة R مع زيادة i. بمجرد أن تصبح درجة R i (x) < t /2، فإن
لا يلزم حفظ B (x) و Q (x)، لذا تصبح الخوارزمية:
لتعيين الحد الأدنى من الترتيب لـ Λ(x) إلى 1، قسّم Λ(x) وΩ(x) على A i (0):
تصحيح خطأ ريد-سولومون فك تشفير عرض بي سي إتش
A i (0) هو الحد الثابت (من الدرجة المنخفضة) لـ A i.
باستخدام نفس البيانات المستخدمة في مثال بيترسون-جورينشتاين-زيرلر أعلاه:
يمكن استخدام تحويل فورييه المنفصل لفك التشفير. لتجنب التعارض مع أسماء المتلازمات، دع c (x) = s (x) هي الكلمة المشفرة. r (x) و e (x) هما نفس الشيء المذكور أعلاه. عرف C (x)، و E (x)، و R (x) على أنها تحويلات فورييه المنفصلة لـ c (x)، و e (x)، و r (x). نظرًا لأن r (x) = c (x) + e (x)، ونظرًا لأن تحويل فورييه المنفصل هو عامل خطي، فإن R (x) = C (x) + E (x).
قم بتحويل r (x) إلى R (x) باستخدام تحويل فورييه المنفصل. نظرًا لأن حساب تحويل فورييه المنفصل هو نفس حساب المتلازمات، فإن معاملات t لـ R (x) و E (x) هي نفس المتلازمات:
يستخدم  خلال  كمتلازمات (إنها نفس الشيء) وتوليد متعدد الحدود لتحديد الخطأ باستخدام الأساليب من أي من أجهزة فك التشفير المذكورة أعلاه.
ليكن v = عدد الأخطاء. توليد E (x) باستخدام المعاملات المعروفة  ل ، متعدد الحدود لتحديد الخطأ، وهذه الصيغ
ثم احسب C (x) = R (x) − E (x) واستخدم التحويل العكسي (الاستيفاء متعدد الحدود) لـ C (x) لإنتاج c (x).