hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
متعدد وجوه المميزات العامة
للمجسمات المتعددة الوجوه كمية مرتبطة بها تسمى الحجم تقيس مقدار الفضاء الذي تشغله. قد يكون لعائلات المجسمات البسيطة صيغ بسيطة لحجومها؛ على سبيل المثال، يمكن التعبير بسهولة عن أحجام الأهرام والمواشير ومتوازيات الوجوه بدلالة أطوال حروفها أو الإحداثيات الأخرى.
قد لا يكون لأحجام متعددات الوجوه الأكثر تعقيدًا صيغ بسيطة. يمكن حساب حجم مُتعدِّدات الوجوه منها عن طريق تقسيمه إلى أجزاء أصغر، بالتثليث الزاوي مثلًا. يُحسَب حجم المجسَّم الأفلاطوني، على سبيل المثال، بتقسيمه إلى أهرام متطابقة تكون قاعدة كل منها وجه من متعدد الوجوه وفي حين يكون مركز متعدد الوجوه قمة لها كلها.
يمكن انطلاقًا من مبرهنة التباعد استنتاج أن حجم المجسَّم متعدد الوجوه يُعطى بالعلاقة التالية: وفيها يُمثِّل  وجوه المُتعدِّد، و نقطة كيفية على الوجه ، و متجه الوحدة العمودي على الوجه  والذي يشير إلى خارج المجسَّم، ويشير مُؤثِّر النقطة إلى عملية الجداء السُلَّمي. قد يكون حساب الحجم صعبًا في الأبعاد الأعلى، ويرجع ذلك جزئيًّا إلى صعوبة سرد وجوه المتعدد المحدّب المحدّد برؤوسه فقط، وتوجد خوارزميات مخصصة لتحديد الحجم في هذه الحالات.
متعدد وجوه المميزات العامة
تؤكد مبرهنة بوياي وغيرفين على إمكانية تحويل أي مضلع إلى آخر له المساحة نفسها بتقطيعه إلى عدد غير منتهٍ من أجزاء المضلع ثم إعادة ترتيبها في فضاء ثنائي الأبعاد. كان السؤال المماثل لمتعددات الوجوه هو موضوع مسألة هلبرت الثالثة[الإنجليزية]. حلّ ماكس دين هذه المسألة بإظهار أنه، على عكس حالة ثنائي الأبعاد، توجد متعددات الوجوه من نفس الحجم لا يمكن تقطيعها إلى متعددات وجوه أصغر وإعادة تجميعها مع بعضها البعض. ولإثبات ذلك اكتشف دين قيمة أخرى مرتبطة بمتعدد الوجوه، وهي لامتغير دين، بحيث لا يمكن تقطيع متعددَي الوجوه إلى بعضهما البعض إلا إذا كان لهما الحجم نفسه ولامتغير دين نفسه. وقد أثبت سيدلر[الإنجليزية] لاحقًا أن هذه هي العقبة الوحيدة أمام التقطيع: يمكن تقطيع كل متعددَي الوجوه الإقليديين بنفس الأحجام ولامتغيرات دين وإعادة تجميعهما بعضهما في بعض. لامتغير دين ليس عددًا، بل متجه في فضاء متجهي لانهائي الأبعاد، يُحدَّد من أطوال وزوايا ثنائية الوجوه لحروف متعدد الوجوه.
متعدد وجوه المميزات العامة
تتناول مسألة هلبرت الثامنة عشر[الإنجليزية]، فيما تتناوله، متعددات الوجوه المُبطلِّة الفضاء. يلزم أن تكون قيمة له لامتغير دين لأي متعدد الوجوه من هذا النوع مساوية للصفر. كما يُربَط لامتغير دين بمتعدد الوجوه الانثنائي[الإنجليزية] بمبرهنة الكِّير القوي التي تنص على أن لامتغير دين لأي متعدد وجوه انثنائي يبقى غير متغير أثناء انثناءه.
متعدد وجوه التناظرات
العديد من متعددات الوجوه الأكثر دراسةً عالية التناظر. لا يتغيّر مظهرها بفعل الانعكاسات على المستوي أو الدوران حول المحاور التي تمر عبر رأسين أو حرفين أو وجهين متقابلين في الفضاء. قد يغيّر كل تناظر موقع عنصر معين، لكن مجموعة كل الرؤوس (وكذلك الوجوه والحروف) لا تتغير. تُسمَّى جماعة تناظرات متعدد الوجوه زمرة التناظر الخاصة به.
يُقال إن عناصر متعدد الوجوه: الرأس والوجه والحرف، التي تتراكب بعضها على بعض بفعل التناظرات، تُشكِّل مدار تناظر. إذا كانت هذه العناصر تقع في المدار نفسه، فقد تكون الهيئة انتقاليةً على المدار. كلٌّ منها على حدة متآسي الوجوه (أو انتقالي الوجوه، ما يعني أن تحويلات التناظر تتضمن وجوه المتعددات في المدار)، ومتآسي الحروف (أو انتقالي الحروف، أي يتضمن حروف متعددات الوجوه)، ومتآسي الرؤوس (أو انتقالي الرؤوس، أي يتضمن رؤوس متعددات الوجوه). على سبيل المثال، المكعب الذي تكون فيه جميع الوجوه في مدار واحد ويتضمن الدوران والانعكاسات في المدار يبقى دون تغيير في مظهره؛ ومن ثم، يكون المكعب انتقالي الوجوه. يحتوي المكعب أيضًا على التناظرين الآخرين من هذا القبيل.
متعدد وجوه التناظرات
عندما تنتمي ثلاثة من هذه التناظرات إلى مُتعدِّد الوجوه، يُعرَف بمتعدد الوجوه المنتظم. توجد تسعة متُعدِّدات الوجوه المنتظمة: خمسة مجسمات أفلاطونية (مكعب، وثماني الوجوه، وعشروني الوجوه، ورباعي الوجوه، واثنعشري الوجوه، وجميعها ذات وجوه مضلعة منتظمة) وأربعة متعددات وجوه كبلر وبوانسو. ومع ذلك، قد لا تمتلك بعض مُتعدِّدات الوجوه واحدًا أو اثنين من هذه التناظرات:
يُقال عن متعدد الوجوه انتقالي الرؤوس وغير انتقالي الحروف ذو الوجوه المضلعة المنتظمة أنه نصف منتظم[الإنجليزية]، ومثل متعددات الوجوه هذه هي الموشورات والموشورات التخالفية. وثنويها انتقالي الوجوه وليس انتقالي الرؤوس، وكل رأس منتظم.
يُقال عن متعدد الوجوه انتقالي الرؤوس ذي الوجوه المضلعة المنتظمة أنه مُحتَتِن. قد ينقسم هذا الصنف إلى متعدد الوجوه المنتظم أو شبه المنتظم أو نصف المنتظم، وقد يكون محدبًا أو نجميًا. يكون الثنوي انتقالي الوجوه وله رؤوس منتظمة، لكنه ليس بالضرورة انتقالي الرؤوس. عادةً ما تُصنَّف مُتعدِّدات الوجوه المحتتنة وثنوياتها تقليديًا وفقًا لدرجة تناظرها، وما إذا كانت محدَّبة أم لا.
متعدد وجوه التناظرات
يُقال عن متعدد الوجوه الانتقالي الوجوه والرؤوس (ولكن ليس بالضرورة انتقالي الحروف) أنه نبيل[الإنجليزية]. متعددات الوجوه المنتظمة نبيلة أيضًا؛ فهي متعددات الوجوه المحتتنة النبيلة الوحيدة. ثنويات متعددات الوجوه النبيلة هي نفسها نبيلة.
قد لا يكون لبعض متعددات الوجوه تناظر انعكاسي بحيث يكون لها شكلان متخايلان، وهما انعكاسان لبعضهما البعض. ويُعرف هذا التناظر بامتلاكه لليدوانية. وتشمل الأمثلة على ذلك ذا الوجوه المكعبي الثماني الأفطس وذا الوجوه الاثنعشري العشروني الأفطس[الإنجليزية].
يُقصد بالزمرة النقطية لمتعددات الوجوه[الإنجليزية] زمرة رياضية تتمتع بعمليات التناظر[الإنجليزية] الخاصة بها بحيث يظل مظهر متعددات الوجوه محفوظًا أثناء التحويل في الفضاء الثلاثي الأبعاد. ويشمل التحويل المشار إليه هنا الدوران حول المحاور، والانعكاس على المستوي، والتعاكس عبر نقطة مركزية، وجمع بين هذه الثلاثة.
متعدد وجوه التناظرات
زمرة متعدد الوجوه[الإنجليزية] هي زمرة التناظر المشتقة في الأصل من المجسَّمات الأفلاطونية الثلاثة: رباعي الوجوه وثمانيها وعشرونيها. ولهذه الزمر الثلاث زمر نقطية تُعرَف على الترتيب بتناظر رباعي الوجوه[الإنجليزية] وتناظر ثماني الوجوه[الإنجليزية] وتناظر عشروني الوجوه[الإنجليزية]. ويركز كل منها على زمرة دوران متعددات الوجوه التي تُعرَف باسم "زمرة متعدد الوجوه اليدوانية"، في حين أن مجموعة التناظر الانعكاسية الإضافية تُعرَف باسم زمرة متعدد الوجوه الكاملة. تتضمن إحدى الزمر النقطية، وهي التناظر البيريتي[الإنجليزية]، دوران تناظر رباعي الوجوه، بالإضافة إلى ثلاثة مُستوِيات من التناظر الانعكاسي وبعض الانعكاسات الدورانية[الإنجليزية]. وعمومًا، تتلخص زمر متعدد الوجوه المذكورة في النقاط التالية:
قد تسمح الزمر النقطية في ثلاثة أبعاد أيضًا بالحفاظ على مظهر متعدد الوجوه من خلال الجريان حول محور ما. توجد ثلاث زمر نقطية مختلفة من هذه الزمر النقطية:
متعدد وجوه التناظرات
التناظر الهرمي ، الذي يسمح بتدوير المحور المار عبر القمة وقاعدتها، وكذلك الانعكاس بالنسبة للمُستوِيات المتعامدة التي تمر بمُنصِّف القاعدة. يمكن إيجاد هذا تناظر الزمرة النقطية في الأهرامات، والقباب والطوارم.
تتكوَّن الزمرة النقطية  من الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوي الأفقي. في حالة ، فإن زمرة التناظر تحافظ على التناظر فقط من خلال الدوران الكامل فقط، وعادةً ما يُرمز لها بـ . قد يكون لمتعددات الوجوه دوران فقط للحفاظ على التناظر، ويمكن اعتبار زمرة التناظر هي الزمرة الدورية . متعددات الوجوه مع الانعكاس الدوراني والدوران بالزمرة الدورية هي الزمرة النقطية .
متعدد وجوه متعددات الوجوه المحدبة
كما ذُكر أعلاه، متعددات الوجوه المحدَّبة مُعرَّفة تعريفًا جيدًا، مع العديد من التعريفات المعيارية المكافئة. وغالبًا ما تُعرَّف على أنها تقاطعات محدودة لعدد منتهٍ من أنصاف الأفضية[الإنجليزية]، أو على أنها غلاف محدب لعدد منتهٍ من النقاط، مقتصرة في كلتا الحالتين على التقاطعات أو الأغلفة التي لا يساوي حجمها صفرًا.
متعدد وجوه متعددات الوجوه المحدبة
تشمل الأصناف المهمة من متعددات الوجوه المحدبة عائلة الموشوريات، والمجسمات الأفلاطونية، والمجسمات الأرخميدية وثنوياتها التي تدعى مجسمات كاتالان، ومتعددات الوجوه المحدبة التي تكون جميع وجوهها مضلعاتٍ منتظمة. الموشوريات هي متعددات الوجوه التي تقع رؤوسها على مستويين متوازيين ووجوهها على الأرجح أشباه منحرف ومثلثات. ومن الأمثلة على الموشوريات، الأهرام والأسافين ومتوازيات الوجوه والموشورات والموشور التخالفي والقباب والجذوع. أما المجسمات الأفلاطونية فهي متعددات الوجوه الخمسة القديمة - رباعي الوجوه، وثماني الوجوه، وعشروني الوجوه، والمكعب، واثنعشري الوجوه - التي صنفها أفلاطون في حواره "طيماوس" والتي تربط بين العناصر التقليدية الأربعة للطبيعة. المجسّمات الأرخميدية هي صنف المجسّمات الثلاثة عشر التي تكون جميع وجوهها مضلعات منتظمة وتكون رؤوسها متناظرة مع بعضها البعض؛ ثنوياتها هي مجسمات كاتالان. مجسّمات جونسون هي صنف من متعددات الوجوه المحدبة التي تكون جميع وجوهها مضلعات منتظمة. وتشمل هذه دلتاويات الوجوه المحدبة، وهي متعددات وجوه محدبة تمامًا تكون جميع وجوهها مثلثات متساوية الأضلاع.
متعدد وجوه متعددات الوجوه المحدبة
يمكن تصنيف متعددات الوجوه المحدبة إلى فئة متعددات الوجوه الابتدائية أو فئة متعددات الوجوه المؤلفة[الإنجليزية]. هي متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة الوجوه التي لا يمكن تحويلها إلى مُتعددَيْ وجوه أو أكثر عن طريق تشريحها بمستوٍ. على النقيض تمامًا من متعددات الوجوه المؤلفة، يمكن تعريفها بدلًا من ذلك بأنها متعددات الوجوه التي أُنشئت عن طريق ربط المزيد من متعددات الوجوه الابتدائية. على سبيل المثال، يعتبر الموشور المثلث ثلاثي التعزيز[الإنجليزية] مؤلفًا لأنه يمكن إنشائه عن طريق ربط ثلاثة أهرام مربعة متساوية الحروف على الوجوه المربعة لموشور مثلث؛ وفيها الأهرام المربعة والموشور المثلث هي متعددات وجوه أولية.
متعدد وجوه متعددات الوجوه المحدبة
بعض متعددات الوجوه المحدبة تمتلك كرةً وسيطةً، وهي كرة مُماسّة لكل حروفها، ويكون نصف قطرها وسيطًا بين الكرة المحاطة والكرة المحيطة[الإنجليزية] لمتعدد الوجوه الذي توجد فيه هذه الكرات الثلاث جميعها. كل متعدد الوجوه المحدَّب يكافئ من الناحية التوافيقية "متعدد وجوه قانوني"، وهو متعدد وجوه له كرة وسيطة يتطابق مركزه مع مركزه. يُحدَّد شكل متعدد الوجوه القانوني (وليس أبعاده أو موضعه) بشكل فريد من خلال البنية التوافيقية لمتعدد الوجوه المُعطى.
ينتج عن أي متعدد الوجوه، أيًا كانت بنية الوجه، بيانٌ يُسمَّى هيكله[الإنجليزية]، برؤوس وحروف مقابلة له. لهذه الهيئات تاريخ طويل: فقد ابتكر ليوناردو دا فنشي نماذج إطارية للمجسمات المنتظمة، التي رسمها لكتاب بتشولي "النسبة الإلهية"، وتظهر أشكال متعددة الوجوه مماثلة ذات إطار سلكي في لوحة "نجوم[الإنجليزية]" التي رسمها ماوريتس إيشر. ومن أبرز ما يميز هذه المقاربة مبرهنة شتاينتس[الإنجليزية]، التي تعطي توصيفًا نظريًا بيانيًا بحتًا لهيكل متعدد الوجوه المحدب: فهي تنص على أن هيكل كل متعدد وجوه محدب هو بيان مستوٍ ثلاثي الترابط[الإنجليزية]، وكل بيان من هذا القبيل هو هيكل لبعض متعددات الوجوه المحدبة.
بعض مُتعدِّدات الوجوه لا تتمتع بخاصية التحدُّب، وتُسمَّى مُتعدِّدات الوجوه غير المحدَّبة. وهي متعددات الوجوه النجمية[الإنجليزية] ومتعددات وجوه كبلر وبوانسو التي تُنشأ إما عن طريق الاستنجام أو الوَيْجَهَة. الاستنجام هو عملية تمديد الوجوه (داخل مُستوِياتها) بحيث تلتقي. الويجهة هي عملية إزالة أجزاء من متعدد الوجوه لإنشاء وجوه جديدة (أو وُجَيهات) دون إنشاء أي رؤوس جديدة. وُجَيه متعدد وجوه هو أي مضلع تكون زواياه رؤوسًا لمتعدد الوجوه وليس وجهًا. الاستنجام والويجهة عمليتان عكسيتان: ثنويات بعض المُستنجَمات هي ويجهة الثنوي إلى متعدد الوجوه الأصلي.
متعدد وجوه عائلات أخرى من متعددات الوجوه
يَرزُمُ متعدد الوجوه المالئ للفضاء بنسخ من نفسه لملء للفضاء. وغالبًا ما يُطلق على مثل هذا الرَّزْم المتقارب أو ملء الفضاء اسم "رَصْف الفضاء" أو "الشَّهْد". يجب أن يكون لمتعدد الوجوه المالئ للفضاء لامتغير دين يساوي صفرًا. تتضمن بعض الشِّهَاد أكثر من نوع واحد من متعددات الوجوه.
من الممكن لبعض متعددات الوجوه تغيير شكلها الكلي، مع الحفاظ على أشكال وجوهها كما هي، وذلك عن طريق تغيير زوايا حروفها. يُسمَّى متعدد الوجوه الذي يمكنه فعل ذلك بمتعدد الوجوه الانثنائي. وفقًا لمبرهنة كوتشي للجَسَاءَة[الإنجليزية]، يجب أن يكون متعدد الوجوه الانثنائي غير محدب. يجب أن يظل حجم متعدد الوجوه الانثنائي ثابتًا أثناء انثناءه، وتُعرف هذه النتيجة بمبرهنة الكِير.
متعدد وجوه عائلات أخرى من متعددات الوجوه
يمكن تعريف متعددات الوجوه المحدَّبة في الفضاء الزائدي[الإنجليزية] ثلاثي الأبعاد بالطريقة نفسها التي تُعرَّف بها في الفضاء الإقليدي، باعتبارها أغلفة محدَّبة لمجموعات منتهية من النقاط. لكن، في الفضاء الزائدي، من الممكن أيضًا التفكير في النقاط المثالية[الإنجليزية] والنقاط داخل الفضاء. متعدد الوجوه المثالي[الإنجليزية] هو الغلاف المحدب لمجموعة منتهية من النقاط المثالية. وجوهه مضلعاتٍ مثالية، لكن حروفه محددة بخطوط زائدية كاملة بدلًا من قطع مستقيمة، ورؤوسه (النقاط المثالية التي يمثل غلافها المحدب) لا تقع داخل الفضاء الزائدي.
يُطلَق على متعدِّدات الوجوه المحدَّبة التي تحتوي جميع رؤوسها على إحداثيات صحيحة متعدِّدات الوجوه الشبيكية[الإنجليزية] أو متعدِّدات الوجوه الصحيحة. يحسب كثير حدود إيرهارت[الإنجليزية] لمتعدد الوجوه الشبيكي عدد النقاط ذات الإحداثيات الصحيحة التي تقع داخل نسخة مضبوطة المقاس من متعدد الوجوه، باعتباره دالةً لعامل المقاس. تقع دراسة كثيرات الحدود هذه عند تقاطع التوافيقيات والجبر التبديلي. مثال على ذلك رباعي وجوه ريف[الإنجليزية].
متعدد وجوه عائلات أخرى من متعددات الوجوه
يوجد تكافؤ بعيد المدى بين متعددات الوجوه الشبيكية وبعض المُنوَّعات الجبرية التي تسمى المُنَوَّعَات الطارية[الإنجليزية]. وقد استخدم ستانلي هذا لإثبات معادلات دين وسومرفيل[الإنجليزية] لمتعددات الأكناف المبسطة[الإنجليزية].
يتكون مُركَّب متعددات الوجوه[الإنجليزية] من اثنين أو أكثر من متعددات الوجوه التي تشترك في مركز مشترك. وغالبًا ما تشترك المُركَّبات المتناظرة في نفس الرؤوس التي تشترك فيها متعددات الوجوه الأخرى المعروفة، وقد تتشكل أيضًا في كثير من الأحيان عن طريق الاستنجام. وبعضها مدرج في قائمة نماذج ويننغر لمتعددات الوجوه[الإنجليزية].
متعدد وجوه نطقي هو متعدد وجوه محدب يكون كل وجه فيه مضلعًا متناظرًا تحت الدوران حتى 180 درجة. يمكن أيضًا وصف متعددات الوجوه النطقية على أنها مجاميع منكوفسكي[الإنجليزية] للقطع المستقيمة، وتشمل العديد من متعددات الوجوه المهمة المالئة للفضاء.
متعدد وجوه عائلات أخرى من متعددات الوجوه
يُقال إن متعددات الوجوه متعامدة[الإنجليزية] لأن جميع حروفها موازية لمحاور نظام الإحداثيات الديكارتية. هذا يعني أن جميع الوجوه تلتقي عند زوايا قائمة، لكن هذا الشرط أضعف: فعشروني وجوه يسن[الإنجليزية] له وجوه تلتقي عند زوايا قائمة، لكن ليس له حروف مُوَازية للمحاور. وبصرف النظر عن متوازيات المستطيلات، فإن متعددات الوجوه المتعامدة غير محدَّبة. إنها المثائل الثلاثية الأبعاد للمضلعات المتعامدة الثنائية الأبعاد، والمعروفة أيضًا باسم المضلعات القائمة الزوايا[الإنجليزية]. تُستخدم متعددات الوجوه المتعامدة في الهندسة الحوسبية، حيث مكنت بنيتها المقيدة من إحراز تقدم في المسائل التي لم تُحل في حالة متعددات الوجوه الكيفية، على سبيل المثال، بَسْط سطح متعدد وجوه إلى شبكة مضلعية. تعد متعددات المكعبات حالة خاصة من متعددات الوجوه المتعامدة التي يمكن تفكيكها إلى مكعبات متطابقة، وهي مثائل ثلاثية الأبعاد للدومينوات المتعددة[الإنجليزية] المستوية.
متعدد وجوه التعميمات
لقد أصبح اسم "متعدد الوجوه" يُستخدم لمجموعة متنوعة من الكائنات التي لها خصائص بنيوية مشابهة لمتعددات السطوح التقليدية.
يحتوي سطح متعدد الوجوه الكلاسيكي على عدد محدود من الوجوه، مرتبطة في أزواج على طول الحروف. تُشكِّل لامنتهيات الوجوه[الإنجليزية] صنفًا ذا صلة من الكائنات ذات الوجوه غير المنتهية. تتضمَّن أمثلة على لامنتهيات الوجوه ما يلي:
توجد كائنات تُسمَّى متعددات الوجوه العقدية، والتي يكون الفضاء الأساسي لها هو فضاء هلبرت العُقدي وليس الفضاء الإقليدي الحقيقي. لا توجد تعريفات دقيقة إلا لمتعددات الوجوه العقدية المنتظمة، التي تكون زمر التناظر الخاصة بها زمر انعكاس عُقدية[الإنجليزية]. ترتبط متعددات الوجوه العقدية رياضيًّا بالتشكيلات[الإنجليزية] أكثر من ارتباطها بمتعددات الوجوه الحقيقية.
تسمح بعض مجالات الدراسة بأن يكون لمتعدد الوجوه وجوه وحروف منحنية. يمكن أن تسمح الوجوه الثنائية الجوانب بوجود وجوه منحنية ذات مساحة موجبة.
متعدد وجوه التعميمات
عندما يُقسَّم سطح الكرة على عدد منتهٍ من الأقواس العظمى (أيْ بمُستوِيات تمر عبر مركز الكرة)، تُسمَّى النتيجة متعدد الوجوه الكروي. يمكن إسقاط العديد من متعددات الأكناف المحدَّبة التي لها درجة ما من التناظر (على سبيل المثال، جميع المجسَّمات الأفلاطونية) على سطح كرة متحدة المركز لإنتاج متعدد الوجوه الكروي. ومع ذلك، فإن العملية العكسية ليست ممكنة دائمًا؛ فبعض متعددات الوجوه الكروية (مثل كَثُورات الوجوه[الإنجليزية]) ليس لها مماثل مسطح الوجوه.
إذا سُمح للوجوه أن تكون مقعرة ومحدبة أيضًا، فيمكن جعل الوجوه المتجاورة تلتقي معًا دون وجود فجوة. يمكن لبعض متعددات الوجوه المنحنية هذه أن تَرزُم معًا لملء الفضاء. يوجد نوعان مهمان هما الفقاعات في الزَّبَد والرغاوي مثل فقاعات وير وفيلان[الإنجليزية]، والأشكال المستخدمة في العمارة.
متعدد وجوه متعددات وجوه ذات أبعاد أعلى
منذ النصف الأخير من القرن العشرين، وُجد أن العديد من الإنشاءات الرياضياتية لها خصائص موجودة أيضًا في متعددات الوجوه التقليدية. وبدلًا من حصر مصطلح "متعدد الوجوه" في وصف متعدد الأكناف ثلاثي الأبعاد، اعتُمد لوصف أنواع مختلفة من البينات ذات الصلة ولكن متميزة.
عُرِّف متعدد الوجوه على أنه مجموعة من النقاط في فضاء حقيقي تآلفي (أو إقليدي) من أي بُعد n له جوانب مسطحة. ويمكن تعريفه بدلًا من ذلك على أنه تقاطع عدد منتهٍ من أنصاف الأفضية[الإنجليزية]. وخلافًا لمتعدد السطوح الاصطلاحي، قد يكون متعدد الوجوه محدودًا أو غير محدود. وبهذا المعنى، فإن متعدد الأكناف هو متعدد وجوه محدود.
من الناحية التحليلية، يُعبَّر عن مثل متعدد الوجوه المحدَّب هذا تحليليًّا باعتباره مجموعة حلول لمنظومة من المتراجحات الخطية. يوفِّر تعريف متعدِّدات الوجوه بهذه الطريقة منظورًا هندسيًّا للمسائل في البرمجة الخطية.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
ظهرت متعددات الوجوه في أوائل الأشكال المعمارية مثل المكعبات ومتوازيات المستطيلات، ويعود تاريخ أقدم الأهرام المصرية رباعية الأضلاع إلى القرن السابع والعشرين قبل الميلاد. تتضمن بردية موسكو الرياضية التي تعود إلى قرابة 1800-1650 قبل الميلاد أحد أولى دراسات مكتوبة عن متعددات الوجوه وأحجامها (وتحديدًا حجم الجذع). كما تضمنت رياضيات الإمبراطورية البابلية القديمة، التي تعود إلى نفس الفترة الزمنية تقريبًا التي ظهرت فيها بردية موسكو، حسابات أحجام متوازيات المستطيلات (وأسطوانات غير متعددة الوجوه)، وحسابات ارتفاع هذا الشكل اللازم للوصول إلى حجم معين.
سبق الإتروريون الإغريق في إدراكهم لبعض متعددات الوجوه المنتظمة على الأقل، كما يتضح من اكتشاف اثنعشريات الوجوه الإترورية المصنوعة من الحجر الصابوني في مونتي لوفا[الإنجليزية]. وقد وُسِمَت أوجهه بتصاميم مختلفة، مما يوحي لبعض العلماء أنه ربما استُخدِم زهرًا للنرد.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
اكتشف علماء الرياضيات الإغريق ودرسوا متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة، والتي عُرفت باسم المجسمات الأفلاطونية. ويرد أول وصف مكتوب لها في حوار لأفلاطون يحمل اسم طيماوس (قرابة 360 قبل الميلاد)، والذي يربط أربعة منها بالعناصر الأربعة والخامس بالشكل العام للكون. كُتبت معالجة رياضياتية أكثر لمتعددات الوجوه الخمسة هذه بعد فترة وجيزة في كتاب الأصول لإقليدس. كتب أحد الشارحين الأوائل عن إقليدس (ربما جيمينوس) أن نسبة هذه الأشكال إلى أفلاطون غير صحيحة: فقد عَرَف فيثاغورس رباعي الوجوه والمكعب وعشروني الوجوه، واكتشف ثياتيتوس (نحو 417 قبل الميلاد) الشكلين الآخرين، وهما ثماني الوجوه عشروني الوجوه. وسَّع أرخميدس دراسته في وقت لاحق لتشمل متعددات الوجوه المحتتنة المحدبة التي تحمل اسمه الآن، لكن عمله الأصيل ضاع، ولم يبقلى منه إلا مجسماته التي ذكرها ببس الرومي.
يعود تاريخ كل من زهر النرد المكعب وزهر النرد ذي الأربعة عشر وجهًا على شكل ثماني وجوه مبتور[الإنجليزية] في الصين إلى حقبة الممالك المتحاربة.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
وصف ليو هوي بحلول عام 236 الميلادية تقطيع المكعب إلى رباعي الوجوه المميز له (مُبسَّط قائم[الإنجليزية]) والمجسمات ذات الصلة، مستخدمًا تجميعات هذه المجسمات باعتبارها أساسًا لحساب أحجام التربة التي يجب نقلها أثناء الحفريات الهندسية التطبيقية.
ساهم علماء الحضارة الإسلامية في الحفاظ على المعرفة الإغريقية المرتبطة بمتعددات الوجوه ونقلها إلى الأجيال التالية بترجمتها إلى العربية. ثم أضافوا عليها من اكتشفاتهم، فأدرج ثابت بن قرة مثلًا في القرن التاسع الميلادي حساب الأحجام في دراساته، وكتب عملاً عن ذي الوجوه المكعبي الثماني. بعد ذلك وصف أبو الوفاء البوزجاني في القرن العاشر الميلادي متعددات الوجوه الكروية شبه المنتظمة ومتعددات الوجوه المنتظمة المحدبة.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
كما هو الحال مع مجالات أخرى من الفكر اليوناني التي حافظ عليها العلماء المسلمون وعززوها، انتعش الاهتمام الغربي بمتعددات الوجوه خلال عصر النهضة الإيطالية. حيث أنشأ الفنانون متعددات وجوه هيكلية وصوروها من الحياة باعتبارها جزءًا من تحقيقاتهم في المنظور. أصبحت متعددات الوجوه الطارانية[الإنجليزية] المصنوعة من الخشب والمستخدمة لدعم العَمَرَات، تمرينًا شائعًا في الرسم المنظوري، وصُوِّرت في اللوحات الخشبية المُطَعَّمَة في تلك الفترة باعتبارها رمزًا للهندسة. كتب بييرو ديلا فرانشيسكا عن إنشاء مناظر منظورية لمتعددات الوجوه وأعاد اكتشاف العديد من المجسمات الأرخميدية. رسم ليوناردو دا فنشي نماذج هيكلية للعديد من متعددات الوجوه لتدوينها في كتاب للوكا بتشولي، مع نص مُنتَحَل إلى حد كبير من ديلا فرانشيسكا. ظهرت شبكات متعددات الوجوه في أعمال ألبرشت دورر.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
تبحث العديد من الأعمال من تلك الفترة في متعددات الوجوه النجمية وغيرها بتفاصيل الأشكال الأفلاطونية الأساسية. توجد تَرْسِيَة[الإنجليزية] رخامية في أرضية كنيسة القديس مرقس في البندقية، صممها باولو أوتشيلو، وهي تُصوِّر اثنعشري وجوه مستنجم. ومع انتشار عصر النهضة إلى خارج إيطاليا، صوّر فنانون لاحقون مثل فِنْتسل يَمْنِتْسَر[الإنجليزية] ودُورَر وغيرهما أيضًا متعددات وجوه متزايدة التعقيد، وكثير منها جديد، في تنميشات إبداعية. استخدم يوهانس كبلر (1571-1630) المضلعات النجمية، وهي عادةً نجوم مُخَمَّسِيَّة، لإنشاء متعددات وجوه نجمية. ربما اكتُشفت بعض هذه الهيئات قبل زمن كبلر، لكنه كان أول من أدرك أنه يمكن اعتبارها "منتظمة" إذا أزالنا القيد الذي ينص على أن متعددات الوجوه المنتظمة يجب أن تكون مُحدَّبة.
ذُكِرَت صيغة أويلر لمتعددات الوجوه في الفترة نفسها، وهي معادلة خطية تربط بين عدد رؤوس متعدد الوجوه وعدد حروفه ووجوهه، للمجسمات الأفلاطونية في عام 1537م في مخطوطة غير منشورة لفرانشيسكو موروليكو.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
ألَّف رينيه ديكارت، قرابة عام 1630، كتابه "حول عناصر المجسمات[الإنجليزية]" الذي يدرس فيه متعددات الوجوه المحدبة باعتباره مفهومًا عامًا، لا يقتصر على المجسمات الأفلاطونية وتفاصيلها. وقد فُقد هذا العمل ولم يعاد اكتشافه حتى القرن التاسع عشر. كانت إحدى إسهاماته مبرهنة ديكارت عن العيب الزاوي الكلي[الإنجليزية]، والتي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بصيغة أويلر لمتعددات الوجوه. قدم ليونهارت أويلر، الذي سُميت الصيغة باسمه، هذه الصيغة في عام 1758 لمتعددات الوجوه عمومًا، وإن كان ذلك مع برهان غير صحيح. أصبح عمل أويلر، مع الحل الذي سبق وقدمه لأحجية جسور كونيغسبرغ السبعة، أساس المجال الجديد للطبولوجيا. طوّر هنري بوانكاريه وإنريكو بيتي[الإنجليزية] وبرنهارت ريمان وآخرون في أواخر القرن التاسع عشر المفاهيم الأساسية لهذا المجال، بما في ذلك تعميمات صيغة متعددات الوجوه.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
وسَّع لويس بوانسو نطاق عمل كبلر في أوائل القرن التاسع عشر، واكتشف متعددَيْ الوجوه النجميين المنتظمين المتبقيين. أثبت أغسطين لويس كوشي بعد فترة وجيزة اكتمال قائمة بوانسو، مع مراعاة افتراض غير مذكور بأن تسلسل رؤوس وحروف كل جانب مضلعي لا يمكن أن يقبل التكرار (وهو افتراض أُخذ بعين الاعتبار ولكن رُفِضَ في الأعمال الأولى لألبرشت لودفيغ فريدريش مايستر[الألمانية]). أصبحت تعرف باسم متعددات وجوه كبلر وبوانسو، وأطلق آرثر كيلي عليها أسماءها المعتادة. وفي الوقت نفسه، قاد اكتشاف الأبعاد الأعلى في أوائل القرن التاسع عشر لودفيغ شليفلي[الإنجليزية] بحلول عام 1853 إلى فكرة متعددات الأكناف عالية الأبعاد. بالإضافة إلى ذلك، في أواخر القرن التاسع عشر، أكمل عالم البلورات الروسي يفغراف فيودوروف تصنيف متوازيات الوجوه، وهي متعددات الوجوه المحدبة التي تبلّط الفضاء عن طريق الانسحابات.
متعدد وجوه نبذة تاريخية
طرح الرياضياتي الألماني ديفيد هلبرت مجموعة مسائل في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900م، سميت مسائل هلبرت، وقال أنها ستحدد شكل الرياضيات في القرن المقبل، لأن لها صلات وجذور بفروع متعددة من الرياضيات. وكانت إحدى هذه المسائل، وهي مسألة هلبرت الثالثة[الإنجليزية]، تتعلق بمتعددات الوجوه وتقطيعها. وسرعان ما حُلَّت على يد تلميذ هلبرت ماكس دين، عندما قدم لامتغير دين لمتعددات الوجوه. وقد ميزت مبرهنة شتاينتس[الإنجليزية] التي نشرها إرنست شتاينتس[الإنجليزية] عام 1992، بيانات متعددات الوجوه المحدبة، حيث أدخلت الأفكار الحديثة من نظرية البيان والتوافيقيات في دراسة متعددات الوجوه[الإنجليزية].