hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
بحيرة طرق التصنيف الأخرى
بالإضافة إلى طريقة النشأة، تسمى وتصنف البحيرات وفقًا لعوامل مهمة أخرى مثل التدرج الحراري، وتشبع الأكسجين، والتغيرات الموسمية في حجم البحيرة ومستوى المياه، وملوحة الكتلة المائية، والثبات الموسمي النسبي، ودرجة التدفق الخارجي، وغيرها. الأسماء المستخدمة من قبل العامة وفي المجتمع العلمي لأنواع البحيرات المختلفة غالبًا ما تكون مشتقة بشكل غير رسمي من شكل البحيرة وخصائصها الفيزيائية أو عوامل أخرى. كما أن الثقافات والمناطق المختلفة حول العالم لديها تسمياتها الشعبية الخاصة.
إحدى الطرق المهمة لتصنيف البحيرات تعتمد على التدرج الحراري، الذي له تأثير كبير على الحياة الحيوانية والنباتية التي تسكن البحيرة، وعلى مصير وتوزيع المواد المذابة والمعلقة في البحيرة. على سبيل المثال، فإن التدرج الحراري، وكذلك درجة وتكرار الخلط، لهما تأثير قوي على توزيع الأكسجين داخل البحيرة.
بحيرة طرق التصنيف الأخرى
البروفيسور فرانسوا ألفونس فوريل، يشار إليه أيضًا باسم عراب علم البحيرات، أول عالم يصنف البحيرات وفقًا لطبقاتها الحرارية. عدل نظام تصنيفه وحسنه لاحقًا هاتشينسون ولوفلر. نظرًا لأن كثافة الماء تختلف مع درجة الحرارة، حيث يصل الحد الأقصى إلى +4 درجة مئوية، فإن التقسيم الطبقي الحراري هو سمة فيزيائية مهمة للبحيرة التي تتحكم في الحيوانات والنباتات، والترسيب، والكيمياء، والجوانب الأخرى للبحيرات الفردية. أولًا، يشكل الماء الأكثر برودة وكثافة طبقة بالقرب من القاع، والتي تسمى طبقة مائية سفلية. ثانيًا، تقع فوق طبقة المياه السفلية طبقة تُعرف باسم منطقة المنحدر الحراري. أخيرًا، يقع فوق المنحدر الحراري طبقة سطحية من الماء الدافئ والأقل كثافة، وتسمى طبقة المياه العليا. يمكن أن يختلف هذا التسلسل الطبقي النموذجي بشكل كبير، اعتمادًا على البحيرة المحددة أو الوقت من العام، أو مزيج من الاثنين معًا. تصنيف البحيرات حسب التقسيم الطبقي الحراري يفترض وجود بحيرات ذات عمق كافٍ لتكوين نقص التبلور، وبناءً على ذلك، تُستبعد البحيرات الضحلة جدًا من نظام التصنيف هذا.
بحيرة طرق التصنيف الأخرى
بناءً على التدرج الحراري، تُصنَّف البحيرات إما على أنها متجانسة ذات درجة حرارة وكثافة موحدة من الأعلى إلى الأسفل في وقت معين من السنة، أو متباينة تحتوي على طبقات من الماء ذات درجات حرارة وكثافات مختلفة لا تختلط. الطبقة الأعمق من الماء في البحيرات المتباينة لا تحتوي على أي أكسجين مذاب، لذلك لا توجد كائنات هوائية تعيش فيها. ونتيجة لذلك، تظل طبقات الرواسب في قاع البحيرات المتباينة غير مضطربة نسبيًا، مما يسمح بتكوين ترسبات بحيرية. في البحيرات المتجانسة، يسمح تجانس درجة الحرارة والكثافة لمياه البحيرة بالاختلاط الكامل. بناءً على التدرج الحراري وتواتر الدوران، تُقسم البحيرات المتجانسة إلى بحيرات غير مختلطة، بحيرات أحادية الدوران باردة، بحيرات ثنائية الدوران، بحيرات أحادية الدوران دافئة، وبحيرات متعددة الدوران، وبحيرات قليلة الدوران.
تدرج البحيرة لا ينتج دائمًا عن اختلاف في الكثافة بسبب التدرجات الحرارية. يمكن أن ينتج التدرج أيضًا عن اختلاف في الكثافة ناتج عن التدرجات في الملوحة. في هذه الحالة، تُفصل طبقتا المياه السفلية والعليا ليس بواسطة التدرج الحراري، بل بواسطة التدرج الملوحي، الذي يُشار إليه أحيانًا باسم التدرج الكيميائي.
بحيرة أمثلة على البحيرات
بحيرة فيكتوريا، بحيرة تنجانيقا، بحيرة نياسا، بحيرة توركانا، بحيرة ألبرت، بحيرة كيفو، بحيرة كيونا، بحيرة تانا، بحيرة عسل، بحيرة ملاوي، بحيرة كيوغا.
البحيرات العظمى الخمس: بحيرة سوبيريور، بحيرة هرون، بحيرة ميشيغان، بحيرة إري، بحيرة أونتاريو.
بحيرة بايكال، بحر الأرال، بحيرة بالكاش، تونلي ساب، بحيرة يسيك كول، بحيرة دونجتنج، بحيرة سيفانا ليتش، بحيرة الأكول، بحيرة دانيو توبا، البحر الميت، بحيرة ساوة.
بحيرة لادوزكوي أوزيرو، بحيرة ونزكوي أوزيرو، بحيرة فانيرن، بحيرة فاترن، بحيرة بالاتون، بحيرة جنيف، بحيرة بودنسي، بحيرة لوك ينج، بحيرة سكيوتاري، بحيرة لاجو جاردا.
بحيرة تعريف
هي أيّ جسم مائي كبير نسبيًّا راكد أو يتحرك ببطء، ويشغل تجويف ذو مساحة معقولة على سطح الأرض.
والبحيرة من زاوية جغرافية تعني غطاء مائيًّا متسعًا قد يكون سمك مياهها كبيرًا أو ضحلًا، ولا تسير مياهها إلا بكيفيات خاصة أو بحسب انحدار جانب منها وقد يكون صرف مياهها صناعيًّا عن طريق القنوات أو طبيعيًّا إضافة إلى الانحدار، التسرب، أو التبخر أو هي أحواض مائية داخلية محدودة المساحة محاطة باليابس من جميع الجهات، ساعد على تكوينها وجود القيعان العميقة المكونة من صخور صماء. وتشكل جزءًا من المياه السطحية غير الجارية في نظام الدورة المائية، والبحيرات نوعان مالحة وعذبة.
بحيرة أنواع البحيرات
وهي التي تشغل القجولت والانهدامات الناشئة بالتكسير، أو ما يعرف بالتصدع في الطبقات الصخرية، أو ارتفاع جزء من قاع البحر نتيجة لبروز الحواف وحصر ارتفاع جزء من قاع البحر الذي انفصل عنه، مثل: بحيرة نيكاراغو التي كانت عبارة عن خليج من المحيط الهادي. وتتشكل أيضًا جراء عدم الانتظام في حركات الرفع، ومن ثم تتجمع في هذه الأحواض بعد ارتفاعها. وتتشكل أيضًا بفعل الحركة الانقلابية العكسية لأنظمة التعريف المائي بسبب حركات الرفع التي تصيب أجزاء القشرة الأرضية، والذي يؤدي إلى عكس أنظمة الجريان المائي، وبالتالي تشكل البحيرات مثل بحيرة كيوجا في أوغندا. وتتشكل البحيرات التكوينية بفعل حركات النهوض الرئيسية، وتمثل البحيرات المرافقة للحافت الصدعية من البحيرات التكوينية حيث تعد أهمها على الأطراف.
بحيرة أنواع البحيرات
تحتل المناطق التي تعرضت للحت الجليدي خلال العصر الجليدي، وتعرف بالحيرات التسيركية من خلال الجليديات القارية التي غطت كندا وشمال الولايات المتحدة وفنلندا وأجزاء من السويد أثناء حركتها حفرًا مقعرة تحولت إلى انخفاضات ذات قاع كتيم في الصخور القاعدية، وعندما امتلأت هذه الحفر بالماء تشكلت عشرات الألوف من البحيرات ذات الشواطئ الصخرية، وتوجد بكثرة في شمال شرق ولاية مينسوتا الأمريكية والأجزاء المجاورة من كندا.
كما تُوجد بحيرات جليدية أخرى تحت الصفيحة الجليدية للقارة القطبية الجنوبية، مثل بحيرة فوستوك وبحيرة ويليانز، وهي بحيرات شبه مغلقة تقع تحت الجليد وتتميز بظروف فيزيائية وجيولوجية فريدة.
بحيرة أنواع البحيرات
تشغل قمم البراكين وفوهاتها الخامدة منها أو سفوح الجبال البركانية في الشعاب المقطوعة على مستواها العرضي باللافا السائلة من الفوهة، وتنتشر البحيرات البركانية من مختلف النماذج في أيسلندا وفي مقاطعة إيفل في ألمانيا وفي فلكرين في إيطاليا، وتنتشر هذه البحيرات في معظم أرجاء أندونيسيا وإلى الشمال من الفلبين واليابان، وتتواجد في معظم أرجاء وسط إفريقيا ونيوزيلاندا وأجزاء من أستراليا وفي الولايات الأمريكية الشمالية الغربية، ومن الأمثلة عليها: بحيرة كراتر بوتي في ولاية كاليفورنيا، وبحيرة سودا في ولاية نيفادا الأمريكية، وبحيرة روتومهانا في شمال أيسلندا، وبحيرة كيفو في وسط أفريقيا.
تقع في الأعماق، وقد تكون قريبة من السطح منشئة ما يعرف بالمجاري الباطنية السفلية.
تتشكل عندما تتسرب المياه ضمن الشقوق في الصخور القابلة للانحلال بالماء، مثل: بحيرات الدولين المتشكلة في المنخفضات الدائرية البسيطة، وهناك بحيرات الأوفالا المتشكلة عند اندماج بحيرات الدولين، بالإضافة إلى البحيرات المتشكلة بفعل الماء الحامضي لدى تفاعله مع الرواسب المحتوية على هيدروكسيد الألمنيوم والحديد. وتظهر هذه البحيرات في السهول الشاطئية في جنوب كارولينا الأمريكية.
وتشكل بفعل عدة عوامل، أهمها: عملية الترسيب المستمرة للتيارات البحرية الطويلة حيث ترتفع رواسبها فوق مستوى سطح الماء مشكّلةً الألسنة الرملية أو الرسوبية في فتحة الخليج، وعندما تغلق هذه الألسنة فتحات الخلجان تسمى حواجز أرسابية، وتدعى البحيرة المتشكلة باسم ساحلية. ومن الأمثلة عليها البحيرات المتشكلة على طول الساحل الغربي لفرنسا، وعلى طول البحر المتوسط لا سيما سواحل شبه جزيرة البلقان، وعلى معظم السواحل الجنوبية لأستراليا، وفي أجزاء من السواحل الجنوبية لأفريقيا. وتتشكل البحيرات الساحلية أيضًا بوجود لسانين يصلان الجزيرة بالبر المفابل، ويعرف اللسان باسم تومبولو، ومن أشهر الأمثلة عليها: بحيرة أوربيتديلو على الساحل الإيطالي المطل على البحر القيراني، وبحيرة غار الملح بتونس.
بحيرة تصنيف البحيرات حسب إنتاجها
تصنف البحيرات اعتمادًا على إنتاجيتها (Productivity) والمحتوى العضوي فيها إلى ثلاثة أنواع هي:
تكون البحيرات من هذا النوع ذات مياه رائقة لونها أزرق، وعميقة جدًّا وذات إنتاجية واطئة وفقيرة المواد العضوية وتكون ذات تهوية جيدة والنباتات فيها قليلة، أما الحيوانات القاعية فتكون كثيرة كمًّا ونوعًا.
تكون البحيرات ضحلة نسبيًّا وذات إنتاجية عالية والمادة العضوية في القاع موجودة بكميات كبيرة، وتحوي البحيرات من هذا النوع تراكيز عالية من النتروجين والفسفور والكالسيوم، وتوجد النباتات فيها بكثرة، وكذلك تكثر فيها بعض الأنواع الحيوانية.
بحيرة تصنيف البحيرات حسب إنتاجها
تكون البحيرات من هذا النوع ضحلة، ومياهها تبدو بنية أو داكنة لكثرة وجود المادة العضوية في القاع. ويوجد فيها النتروجين والفسفور والكالسيوم بكميات قليلة جدًّا. وتكون هذه البحيرات قليلة التهوية بدرجة تصل نسبة الأوكسجين الذائب في أعماقها أحيانًا إلى الصفر. وتكون الأحياء في مثل هذا النوع من البحيرات قليلة حيث تكون الهائمات النباتية والحيوانية والنباتات الوعائية عادة قليلة كمًّا ونوعًا وكذا هو الحال بالنسبة لحيوانات القاع والأسماك، وعادة تتحول هذه البحيرات إلى مستنقعات بمرور الزمن.
بحيرة حركة المياه
مياه البحيرات سهلة الإثارة ومنها تنشأ على سطحها أمواج تبلغ بضعة أمتار.
مياهها لا تنتقل على غرار مياه الأنهار فيمكن إدراجها بنوع من التحفظ عند دراسة كل بحيرة على حدة ضمن الحركة الثانية التي تتميز بها السوائل والمعروفة بالحركة اللاميزانية التي تفيد الاستقامة في الاتجاه، والاتزان، والانتظام، وهي أصلًا تعرف في المياه الجوفي.
وتتحقق هذه الحركة بتمييزنا للخصائص التالية:
بحيرة التقسيم الهيدرولوجي للبحيرات
من التصنيفات التي تلقى رواجًا لدى دارسي المياه البحيرية تلك التي اعتمدن على أساس الأملاح الذائبة وعلى أساس حراري، وهي مبينة في الجدول التالي اختصارًا:
بحيرة ملوحة مياه البحيرات
تدعى المياه بالمالحة إذا كانت تحتوي على 2.7 غ أو أكثر في كل لتر ماء، ومتوسطة الملوحة إذا اشتمل الماء على مقدار جرام واحد إلى 2.7 غ في كل لتر، ويوصف بالعذب إذا احتوى اللتر من الماء على جرام فأقل.
ولا يخلو الماء الطبيعي من أملاح كما لا يوجد ماء نقي.
بحيرة التوزيع الجغرافي للبحيرات
تنتشر البحيرات في جميع القارات ولكن بنسب مختلفة، حسب المساحة الصخرية، وظروف المناخ، وكميات التهاطل السنوية.
بتير
بتّير هي بلدة ريفية فلسطينية من قرى الريف الغربي لمحافظة بيت لحم، تمتاز بطبيعتها وبساتين الخضار التقليدية، كما أنها تشتهر بالباذنجان البتيري.
بتير الموقع
تقع بلدة بتير إلى الجنوب الغربي من القدس وتبعد عنها حوالي 8 كم وغرب مدينة بيت لحم التي تبعد عنها 5 كم، وهي إحدى القرى المحاذية للخط الأخضر، ترتفع عن سطح البحر 800 م، وتبلغ المساحة العمرانية للقرية حوالي 420 دونم. تحيط بأراضيها أراضي قرى الولجة وبيت جالا وحوسان والخضر، والقبو؛ وتمر بها سكة حديد القدس - يافا التي بناها الاتراك خلال العهد العثماني في أوائل القرن العشرين، وجزء من أراضي بتير، ومن ضمن ذلك المدرسة، تقع في أراضي 48.
وهناك العديد من العيون من أهمها: عين البلد، عين جامع، عين عمدان، عين المصري، عين فروج، عين أبو الحارث، عين ام الحرذون، عين إباسين.
بتير أصل التسمية
ويرجع أصل التسمية إلى الجذر بتر بمعنى قطع وفصل حيث يشير وزن فعيل إلى مفعول كما في قتيل بمعنى مقتول وبتير بمعنى مبتور، وكذلك في العربية، كذلك هناك روايات أخرى منها بيت الطير بسبب كثرة الطيور التي تعيش فيها بسبب طبيعتها الخلابة وكانت في عهد الرومان قلعة حصينة.
بتير السكان
بلغ عدد سكانها عام 1922 م حوالي 542 نسمة ارتفع إلى 1050 نسمة عام 1945 م، وفي عام 1967 م وبعد الاحتلال بلغ عدد سكانها وفق الإحصاء الإسرائيلي 1445 نسمة ارتفع إلى 2469 نسمة عام 1987 م. إلى أن بلغ حوالي 5000 نسمة عام 2008 م[بحاجة لمصدر].
بتير على لائحة التراث العالمي
أدرجت القرية على لائحة التراث العالمي لمنظمة الأمم المتحدة للتربية والعلوم والثقافة - (اليونسكو) في 20 حزيران/يونيو 2014 وذلك لمصاطبها الزراعية، وكانت السلطة الفلسطينية قد أهتمت بإدراجها على قائمة التراث لمنع إقامة الجدار الفاصل على أراضي القرية. يتضمّن المنظر الطبيعي سلسلة أودية زراعية ومدرّجات حجرية عمرها مئات السنوات وقد تم تطويرها بسبب البيئة الجبلية.
بتير الأماكن الدينية والأثرية
يوجد في قرية بتير خمسة مساجد، و هي مسجد سيد الشهداء (حمزة)، مسجد فاطمة الزهراء، مسجد الزاوية، مسجد عين جامع، و مسجد الرحمن . أما بالنسبة للأماكن الأثرية في القرية، فهنالك عين البلد و عين جامع، و الحمام الروماني.
بتير الفئات العمرية والجنس
أظهرت بيانات التعداد العام للسكان والمساكن، أن توزيع الفئات العمرية في قرية بتير لعام 2007، كما يلي: 2.35 %ضمن الفئة العمرية أقل من 15 عاما، 8.59 %ضمن الفئة العمرية 15 -64 عاما، و4.4 %ضمن الفئة العمرية 65 عاما فما فوق. كما أظهرت البيانات أن نسبة الذكور للإناث في القرية، هي 9.100 : 100، أي أن نسبة الذكور 2.50،%ونسبة الإناث 8.49.
متسلسلة تايلور
مُتَسَلْسِلَةُ تَايْلُور أو مُتَسَلْسِلَةُ تَيْلُور أو سِلْسِلَةُ تَايْلُور (بالإنجليزية: Taylor series) أو مَفْكُوكُ تَايْلُور أو نَشْرُ تَايْلُور (بالإنجليزية: Taylor expansion) لدالة ما هي مجموع غير منتهٍ من الحدود التي يُعبَّر عنها بدلالة مشتقات الدالة في نقطة محددة. تكون معظم الدوال الشائعة ومجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها متساويتين بالقرب من هذه النقطة. سميت سلسلة تايلور على اسم العالم الإنجليزي بروك تايلور، الذي أدخلها في عام 1715. وتسمى متسلسلة تايلور أيضًا متسلسلة ماكلورين عندما تكون المشتقات عند النقطة 0، تيمنًا بالعالم الإسكتلندي كولين ماكلورين، الذي استخدم هذه الحالة الخاصة من متسلسلة تايلور على نطاق واسع في منتصف القرن الثامن عشر.
متسلسلة تايلور
المجموع الجزئي المكون من حدود n + 1 الأولى لمتسلسلة تايلور هو كثير الحدود من الدرجة n يسمى كثير حدود تايلور للدالة من الدرجة n. تعد معادلات تايلور كثيرة الحدود تقديرات تقريبية لدالة ما، والتي تصبح أكثر دقة عمومًا عندما تتزايد n. تعطي مبرهنة تايلور تقديرات كمية للخطأ الناتج عن استخدام مثل هذه التقديرات التقريبية. إذا كانت متسلسلة تايلور للدالة متقاربة، فإن مجموعها هي نهاية المتتالية اللانهائية لكثير الحدود لتايلور. قد تختلف الدالة عن مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها، حتى لو كانت متسلسلة تايلور متقاربة. تكون الدالة تحليلية عند نقطة x إذا كانت مساوية لمجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في فترة مفتوحة (أو قرص مفتوح في المستوي المركب) تحوي x. هذا يعني أن الدالة تحليلية في كل نقطة من الفترة (أو القرص).
متسلسلة تايلور التعريف
متسلسلة تايلور لدالة حقيقية أو ذات قيم مركبة f(x) من الصنف C∞ (أي قابلة للتفاضل لانهائيًّا) عند عدد حقيقي أو مركب a هي متسلسلة القوى:
وفيها n! ترمز إلى عاملي n. يمكن كتابة المتسلسلة السابقة بتدوين سيغما الأكثر اختصارًا كما يأتي:
وفي هذا الشكل تشير f(n)(a) إلى مشتق f من الدرجة n عند النقطة a (المشتقة من الدرجة 0 للدالة f معرفة على أنها f نفسها و(x − a)0 و 0! معرفتان على أنها 1.)
عندما يكون a = 0، تأخذ متسلسلة ماكلورين الشكل التالي:
متسلسلة تايلور الأمثلة
متسلسلة تايلور لأي كثير حدود هو كثير الحدود نفسه.
متسلسلة ماكلورين لـ 1/1 − x هي المتسلسلة الهندسية التالية:
إذن، بتعويض x بـ 1 − x، متسلسلة تايلور لـ 1/x عند a = 1 هي:
بمكاملة متسلسلة ماكلورين أعلاه، تنتج متسلسلة ماكلورين: ln(1  − x), وفيها يشير ln إلى اللوغاريتم الطبيعي:
متسلسلة تايلور الموافقة للدالة ln x عند a = 1 هي:
متسلسلة تايلور الموافقة للدالة ln x عند أي نقطة a لا تساوي الصفر هي:
المفكوك أعلاه مستمر لأن مشتق ex بالنسبة لـ x هو نفسه ex، وe0 تساوي 1. يجعل هذا الحدود (x − 0)n في البسط وn! في المقام لأي حد في المتسلسلة اللانهائية.
متسلسلة تايلور التاريخ
نظر الفيلسوف الإغريقي زينون الإيلي في مسألة جمع متسلسلة لانهائية لتحقيق نتيجة منتهية، لكنهُ رفضها لأنها مستحيلة؛ وكانت النتيجة مفارقة زينون. اقترح أرسطو في وقت لاحق حلاً فلسفيًا للمفارقة، ولكن يبدو أن الجانب الرياضي لم يُحل حتى عالجه أرخميدس. عالج الفيلسوف ديمقريطس، صاحب المبدأ الذري، في ما سبق هذه المسألة، وكان من المتقدمين الذين عاشوا قبل أرسطو. كانت من خلال طريقة استنفاد أرخميدس أنه يمكن إجراء عدد لانهائي من الأقسام الفرعية المستمرة لتحقيق نتيجة منتهية. استخدم الرياضياتي الصيني ليو هوي بشكل مستقل طريقة مماثلة بعد بضعة قرون.
أعطى مادهافا من سانغماغراما في القرن الرابع عشر أقدم الأمثلة على متسلسلة تايلور المحددة (ولكن ليس الطريقة العامة). على الرغم من عدم وجود أي سجل لأعماله، إلا أن كتابات أتباعه في مدرسة كيرلا لعلم الفلك والرياضيات تشير إلى أنه وجد متسلسلات تايلور للدوال المثلثية: الجيب وجيب التمام وقوس الظل (طالع متسلسلات مادهافا). خلال القرنين التاليين، ثم طور أتباعه المزيد من مفكوكات المتسلسلة والتقريبات بالدوال الكسرية.
متسلسلة تايلور التاريخ
عرض جيمس غريغوري في رسالته إلى جون كولينز في أواخر عام 1670م، العديد من متسلسلات ماكلورين (sin x، وcos x، وarcsin x، وx cot x) التي اشتقها إسحاق نيوتن، وأخبر أن نيوتن قد طور طريقة عامة لنشر الدوال في شكل متسلسلات. في الواقع، استخدم نيوتن طريقة مرهقة تنطوي على تقسيم طويل للمتسلسلة والتكامل حدًّا تلو الآخر، لكن غريغوري لم يكن يعرف ذلك وشرع في اكتشاف طريقة عامة لنفسه. في أوائل عام 1671، اكتشف غريغوري شيئًا مثل متسلسلة ماكلورين العامة وأرسل رسالة إلى كولينز تتضمن المتسلسلات الخاصة بـ  (قوس الظل)، و  (ظل الزاوية)، و  (قاطع الزاوية)، و  (اللوغاريتم الطبيعي لقاطع x، وهو تكامل دالة الظل)، و  (تكامل دالة القاطع [الإنجليزية]، وهي الدالة العكسية للدالة الغودرمانية)، و (قوس قاطع الجذر التربيعي للعدد 2 مضروب في الدالة الأسية)، و  (الدالة الغودرمانية). ومع ذلك، معتقدًا أنه قد أعاد تطوير طريقة نيوتن، لم يصف غريغوري أبدًا كيف حصل على هذه المتسلسلة، ولا يمكن الاستدلال إلا على أنه فهم الطريقة العامة من خلال فحص الأعمال الأولى التي كتبها على الوجه الخلفي من رسالة أخرى أُرخت سنة 1671م.
متسلسلة تايلور التاريخ
كتب إسحاق نيوتن بين عامي 1691 و1692م، بيانًا صريحًا لمتسلسلات تايلور وماكلورين في نسخة غير منشورة من عملهِ (باللاتينية: De Quadratura Curvarum) (تعني حرفيًّا "عن تربيع المنحنيات"). لكن هذا العمل لم يكتمل أبداً وحذفت الأقسام ذات الصلة من الأجزاء المنشورة عام 1704م، تحت عنوان (باللاتينية: Tractatus de Quadratura Curvarum) (تعني حرفيًّا "رسالة تربيع المنحنيات").
لم تُنشر طريقة عامة لتوليد هذه المتسلسلة لجميع الدوال التي وضع بروك تايلور متسلسلاتها حتى عام 1715م، وسُميت المتسلسلة بعد ذلك باسم هذا العالم.
سُميت متسلسلة ماكلورين على اسم كولين ماكلورين، وهو أستاذ جامعي في إدنبرة نشر الحالة الخاصة لنتائج تايلور في منتصف القرن الثامن عشر.
متسلسلة تايلور الدوال التحليلية
إذا عُبِّر عن f (x) باستعمال متسلسلة قوى متقاربة في قرص مفتوح متمركز عند b في المستوي المركب (أو فترة في مستقيم الأعداد الحقيقية)، يُقال عنها أنها تحليلية في هذه المنطقة. وبالتالي، بالنسبة إلى x في هذه المنطقة، تُعطى f بمتسلسلة قوى متقاربة التالية:
بالاشتقاق بالنسبة لـ x للصيغة أعلاه n مرات، ثم وضع x = b، نحصل على:
تتوافق متسلسلة القوى مع متسلسلة تايلور. أي أن الدالة تكون تحليلية في قرص مفتوح متمركز عند b إذا وفقط إذا كانت متسلسلة تايلور الخاصة بها تتقارب نحو قيمة الدالة عند كل نقطة من القرص.
متسلسلة تايلور الدوال التحليلية
إذا كانت f (x) مساوية لمجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها من أجل كل x في المستوي المركب، فإنها تسمى دالة صحيحة. تعد كثيرات الحدود، والدالة الأسية ex، ودالتا الجيب وجيب التمام المثلثيتان، أمثلةً على الدوال الصحيحة. تتضمن أمثلة الدوال غير الصحيحة الجذر التربيعي، واللوغاريتم، والدالة المثلثية الظل ودالتها العكسية قوس الظل. بالنسبة لهذه الدوال، لا تتقارب متسلسلة تايلور إذا كانت x بعيدة عن b. أي أن متسلسلة تايلور تتباعد عند x إذا كانت المسافة بين x وb أكبر من نصف قطر التقارب. يمكن استخدام متسلسلة تايلور لحساب قيمة دالة صحيحة في كل نقطة، إذا كانت قيمة الدالة وجميع مشتقاتها معلومة عند نقطة واحدة. تشمل استخدامات متسلسلة تايلور للدوال التحليلية ما يلي:
يمكن إجراء العمليات الجبرية بسهولة على تمثيل متسلسلة القوى؛ على سبيل المثال، تُسْتَنْتَج صيغة أويلر من مفكوكات تايلور للدوال المثلثية والأسية. هذه النتيجة ذات أهمية أساسية في مجالات مثل التحليل التوافقي.
متسلسلة تايلور خطأ التقريب والتقارب
توضح الصورة المقابلة تقريبا دقيقا لدالة الجيب حول النقطة x = 0. المنحنى الوردي هو كثير الحدود من الدرجة السابعة:
الخطأ في هذا التقريب لا يزيد عن |x|9 / 9!. لدورة كاملة متمركزة في نقطة الأصل (−π < x < π)، يكون الخطأ أقل من 0.08215. بشكل خاص، بالنسبة لـ −1 < x < 1، يكون الخطأ أقل من 0.000003.
في المقابل، تظهر أيضًا صورة لدالة اللوغاريتم الطبيعي ln(1 + x) وبعض كثيرات الحدود لتايلور حول a = 0. تتقارب هذه التقريبات نحو الدالة فقط في المنطقة −1 < x ≤ 1؛ خارج هذه المنطقة، تعد كثيرات حدود لتايلور ذات الدرجة الأعلى تقريبات سيئة للدالة.
يُطلق على الخطأ الذي حصل في تقريب دالة بكثير الحدود لتايلور من الدرجة n اسم "الباقي" ويُشار إليه بالدالة Rn(x). يمكن استخدام مبرهنة تايلور للحصول على تقييد لحجم الباقي.
متسلسلة تايلور ليست متقاربة على الإطلاق. إن مجموعة الدوال المُعرَّفة بمتسلسلات تايلور المتقاربة هي في الواقع مجموعة هزيلة في فضاء فريشيه للدوال الملساء. وحتى إذا تقاربت متسلسلة تايلور للدالة f، فلا يلزم أن تكون نهايتها مساوية لقيمة الدالة f (x). فعلى سبيل المثال، الدالة التالية:
متسلسلة تايلور خطأ التقريب والتقارب
هي دالة قابلة للاشتقاق لانهائيَّا عند x = 0، وله جميع المشتقات تساوي الصفر. وبالتالي، فإن متسلسلة تايلور الخاصة بـ f (x) عند x = 0 تساوي صفرًا بشكل مطابق. ومع ذلك، فإن f (x) ليست دالة صفرية، لذلك لا تساوي متسلسلة تايلور الخاصة بها عند نقطة الأصل. وبالتالي، فإن f (x) هي مثال على دوال ملساء غير تحليلية.
يُظهر مثال في التحليل الحقيقي هذا وجود دوال قابلة للتفاضل لانهائيّا f (x) متسلسلة تايلور الخاصة بها لا تساوي f (x) حتى لو كانت متقاربة. على النقيض من ذلك، فإن الدوال التامة التشكل التي دُرِست في التحليل المركب تمتلك دائمًا متسلسلة تايلور متقاربة، وحتى متسلسلة تايلور للدوال الجزئية التشكل، والتي قد يكون لها نقاط شاذة، لا تتقارب أبدًا مع قيمة مختلفة عن الدالة نفسها. ومع ذلك، فإن الدالة المركبة e−1/z2 لا تقترب من 0 عندما تقترب z من 0 على طول المحور التخيلي، لذلك فهي ليست مستمرة في المستوي المركب ومتسلسلة تايلور الخاصة بها غير معرفة عند 0.
متسلسلة تايلور خطأ التقريب والتقارب
يمكن أن تظهر كل متتالية الأعداد الحقيقية أو المركبة معاملاتٍ في سلسلة تايلور لدالة قابلة للتفاضل لانهائيًّا معرفة على المستقيم الحقيقي، نتيجة لتوطئة بوريل. نتيجة لذلك، يمكن أن يكون نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور يساوي الصفر. حتى أن هناك دوال قابلة للتفاضل لانهائيًا معرفة على المستقيم الحقيقي التي متسلسلات تايلور الخاصة بالدوال لها نصف قطر تقارب يساوي 0 في كل مكان.
لا يمكن كتابة الدالة على شكل متسلسلة تايلور تتمركز على النقطة الشاذة؛ في هذه الحالات، يمكننا في كثير من الأحيان تحقيق متسلسلة إذا سمحنا أيضًا القوى السالبة للمتغير x؛ طالع متسلسلة لوران. على سبيل المثال، يمكن كتابة f (x) = e−1/x2 على شكل متسلسلة لوران.
يوجد تعميم لمتسلسلة تايلور يتقارب مع قيمة الدالة نفسها إذا كانت مستمرة محدودة في المجال (0,∞)، يمكن حسابه باستخدام حساب الفروق المحدودة. وفقاً للمبرهنة التالية، التي وضعها إينار هيل، من أجل t > 0:
هنا Δnh هو مؤثر الفرق المنتهي من الرتبة n ذو حجم الخطوة h. المتسلسلة هي بالضبط متسلسلة تايلور، باستثناء أن الفروق المقسَّمة تظهر بدلاً من التفاضل. عندما تكون الدالة f تحليلية عند a، فإن الحدود في المتسلسلة تتقارب نحو حدود متسلسلة تايلور، وبهذا المعنى تعمم متسلسلة تايلور المألوفة.
متسلسلة تايلور قائمة متسلسلات ماكلورين لبعض الدوال الشائعة
هذه القائمة للعديد من متسلسلات ماكلورين الهامة. كل هذه المفكوكات صالحة للعُمْدَات المركبة x:
الدالة الأسية  للأساس e لها متسلسلة ماكلورين التالية:
الدالة المولدة الأسية لأعداد بيل هي الدالة الأسية لسلف الدالة الأسية:
دالة اللوغاريتم الطبيعي (للأساس e) لها متسلسلة ماكلورين التالية:
تتقارب تلك المتسلسلات من أجل . (بالإضافة إلى ذلك، المتسلسلة الخاصة بـ ln(1 − x) تتقارب من أجل x = −1، والمتسلسلة الخاصة بـ ln(1 + x) تتقارب من أجل x = 1.)
المتسلسلات الهندسية ومشتقاتها لها متسلسلات ماكلورين التالية:
كلها تتقارب من أجل . هذه حالات خاصة من متسلسلة ثنائي الحد الواردة في القسم التالي.
متسلسلة ثنائي الحد هي متسلسلة القوى التالية:
معاملاتها هي معاملات ثنائي الحد المعممة: (إذا كان n = 0، هذا الجداء هو جداء خالٍ وله قيمة 1.) كلها تتقارب من أجل  من أجل كل عدد حقيقي أو مركب α.
لما α = −1، فهذه هي في الأساس المتسلسلة الهندسية اللانهائية المذكورة في القسم السابق. تعطي الحالات الخاصة α = 1/2 و α = −1/2 دالة الجذر التربيعي ومقلوبها:عندما يُحتفظ بالحد الخطي فقط، فإن هذا يبسط تقريب ثنائي الحد.
متسلسلة تايلور قائمة متسلسلات ماكلورين لبعض الدوال الشائعة
الدوال المثلثية المألوفة ودوالها العكسية لها متسلسلة ماكلورين التالية:
كل الزوايا معبرة عنها بالتقدير الدائري. الأعداد Bk الظاهرة في مفكوكات دالة الظل هي أعداد برنولي. الأعداد Ek الظاهرة في مفكوك دالة القاطع هي أعداد أويلر.
الدوال الزائدية لها متسلسلة ماكلورين وثيقة الصلة بمتسلسلات الدوال المثلثية السالف ذكرها:
الأعداد Bk الظاهرة في متسلسلة دالة الظل الزائدي هي أعداد برنولي.
الدوال المتعددة اللوغاريتمات لها هذه المتطابقات المعرِّفة لها:
دالتا خي للوجندر [الإنجليزية] معرفة على النحو التالي:
والصيغة الواردة أدناه تسمى تكامل دالة الظل العكسية:
هذه الصيغ لها أهمية كبيرة في الديناميكا الحرارية الإحصائية.
يمكن تعريف التكاملين الإهليلجيين التامين من النوع الأول K ومن النوع الثاني E على النحو التالي:
متسلسلة تايلور حساب متسلسلات تايلور
توجد طرائق عديدة لحساب متسلسلة تايلور لعدد كبير من الدوال. يمكن محاولة استخدام تعريف متسلسلة تايلور، مع أن هذا يتطلب غالبًا تعميم شكل المعامِلات وفقًا لنمط واضح بسهولة. بدلاً من ذلك، يمكن استخدام العمليات مثل التعويض أو الضرب أو القسمة أو الجمع أو الطرح لمتسلسلة تايلور القياسية لإنشاء متسلسلة تايلور لدالة، بحكم أن متسلسلة تايلور هي متسلسلة قوى. في بعض الحالات، يمكن أيضًا اشتقاق متسلسلة تايلور من خلال تطبيق مكاملة بالتجزئة بشكل متكرر. من الملائم بشكل خاص استخدام أنظمة الجبر الحاسوبية لحساب متسلسلة تايلور.
المطلوب حساب كثير الحدود لماكلورين من الدرجة السابعة للدالة التالية:
يمكن أولاً إعادة كتابة الدالة على الشكل التالي:
متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي هي (باستخدام تدوين O الكبير):
للمتسلسلة الأخيرة حد ثابت مساوٍ للصفر، أي يمكن تعويض المتسلسلة الثانية في الأولى وإزالة الحدود ذات الدرجة الأعلى من الدرجة السابعة بسهولة باستخدام تدوين O الكبير:
متسلسلة تايلور حساب متسلسلات تايلور
لأن جيب التمام دالة زوجية، يلزم أن تكون معاملات القوى الفردية كلها، أي x، x3، x5،  x7، ... مساوية للصفر.
المطلوب إيجاد متسلسلة تايلور عند النقطة 0 للدالة:
يكون الناتج عندئذ، بعد ضرب المقام وبتعويض سلسلة جيب التمام:
يمكن إيجاد قيم  من خلال مطابقة المعاملات مع متسلسلة ، وينتج عنها:
ستُستخدم طريقة تسمى "النشر غير المباشر"، أو "الفك غير المباشر"، لنشر الدالة المعطاة. تُستخدم هذه الطريقة نشر تايلور المعروفة للدالة الأسية. من أجل نشر (1 + x)ex على سبيل المثال على شكل متسلسلة تايلور بدلالة x، نستخدم متسلسلة تايلور المعروفة لدالة ex على سبيل المثال: