hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
قصدير الخواص الكيميائية
إنّ أغلب مركّبات القصدير العضوية هي بلّورات صلبة أو سوائل عديمة اللون، وهي ثابتة تجاه الهواء والماء، ولها بنية رباعية الوجوه. يمكن تحضير مركّبات رباعي أريل أو رباعي ألكيل القصدير (مثل رباعي ميثيل القصدير) انطلاقاً من كواشف غرينيار:
كما يمكن أن يحصَل تفاعل إعادة توزيع لتحضير مركّبات ألكيل هاليدات القصدير المختلطة:
أمّا مركّبات القصدير الثنائي العضوية فهي غير شائعة، وتؤمّن الثباتية من خلال تأثير الزوج الخامل. من أمثلتها مركّبات ستانيلينات  (مثل  (R2Sn وثنائي الستانيلينات (R4Sn2) والتي تخضع إلى تفاعلات غير نمطية.
يمكن الكشف عن أملاح القصدير نوعياً في اختبار كيميائي يعرف باسم اختبار الإضاءة.
في هذا الاختبار يضاف إلى محلول العينة حمض الهيدروكلوريك بتركيز حوالي 20%، ثم يضاف مسحوق الزنك، حيث يتحرّر غاز الهيدروجين. تعمل ذرات الهيدروجين الناشئة والوليدة حديثاً على اختزال جزء من القصدير إلى الستانان SnH4. عند تعريض أنبوب الاختبار في حجرة مظلمة إلى لهب موقد بنسن غير مضيء يظهر وميض فلوري أزرق في المحلول عند احتوائه على القصدير بسبب تشكّل SnH4. بعض الآراء الأخرى تعزو الوميض إلى كلوريد القصدير الثنائي SnCl2.
يستخدم قياس الاستقطابية كأسلوب للتحليل الكمّي للقصدير. أمّا عند وجود كميات نزرة فيمكن استخدام طرق المطيافية الذرّية، والتي يمكن أن يصل فيها حدّ الكشف عند استخدام أسلوب مطيافية الامتصاص الذري إلى 0.2 ميكروغرام/ل عند استخدام تقنية أنبوب الغرافيت؛ أمّا عند استخدام تقنية الهيدريد، والتي تتطلّب إضافة بورهيدريد الصوديوم ليتشكّل الستانان الغازي، الذي يتفكّك عند درجة حرارة حوالي 1000 °س إلى عناصره الأولية، والتي يعطي حينها القصدير خط طيفي مميّز بفضل وجود مصباح المهبط المجوف، فيكون حدّ الكشف عندئذٍ 0.5 ميكروغرام/ل.
قصدير الاستخدامات
في سنة 2006 كان حوالي نصف القصدير المنتج عالمياً يستخدم في صناعة سبيكة اللحام بالقصدير، في حين أنّ الباقي يتوزّع ما بين عملية القصدرة وإنتاج مركّبات القصدير أو سبائكه بالإضافة إلى تطبيقات ثانوية أخرى.
تعدّ سبيكة لحام القصدير أكثر التطبيقات واسعة الانتشار التي تستهلك هذا الفلز. يشكّل القصدير مزيجاً أصهرياً مع الرصاص عند النسبة 63% قصدير و 37% رصاص، والتي عادة ما تكون مسبوكةً على شكل أسلاك لغرض اللحام، وخاصّةً في مجال الدارات الكهربائية.
منذ تفعيل العمل بالتوجيهات المتعلّقة بالنفايات الكهربائية والأجهزة الإلكترونية (WEEE) والحدّ من المواد الخطرة في الأوّل من تموز/يوليو 2006 في الاتحاد الأوروبي انخفض تركيز الرصاص في هذه السبائك، ممّا أدّى بالتالي إلى ضرورة البحث عن بدائل مناسبة، ولكن ذلك الأمر لم يخلُ من مصاعبَ ومشاكلَ تقنية، من بينها ارتفاع نقطة الانصهار، وتشكّل ما يُعرَف باسم أسلاك التماس، بالإضافة إلى حدوث ظاهرة تَوَبُّؤ القصدير (أو هشيم القصدير)، التي تؤدّي إلى انقطاع الوصلات الملحومة. من بين البدائل المقترحة سبيكة من القصدير (+95%) والنحاس (0.5%) والفضّة (3.0%).
قصدير الاستخدامات
يرتبط القصدير بشكل سريع ووثيق على سطوح العديد من الفلزات، فهو يستخدم في قصدرة الحديد والرصاص والزنك للحدّ من التآكل. يعرف المعدن الناتج بالاسم الشائع الصفيح أو التنك، وينتشر استخدام العبوات المصتوعة منه في مجال حفظ الأغذية، ويشكّل هذا التطبيق شريحةً واسعةً من الطلب على القصدير الفلزّي في السوق. يستخدم الصفيح المُقصْدَر في صناعة العديد من الأغراض والأجهزة، ومنها صفارة القصدير، التي سُمِّيَت بهذا الاسم لأنها صنعت أوّل مرة من صفائح فولاذ مُقَصدَر.
يشكّل القصدير طيفاً واسعاً من السبائك ذات التطبيقات المهمّة، وذلك مع عددٍ من الفلزّات أكثرها شيوعاً النحاس. من بين تلك السبائك الحاوية على نسبة مرتفعة من القصدير سبيكة البيوتر وهي حوالي 85–99% قصدير، وكذلك النوع الخاص منها المعروف باسم معدن بريطانيا؛ بالإضافة إلى سبيكة بابت.
قصدير الاستخدامات
يشكّل القصدير حوالي 12% من سبيكة البرونز، التي أغلبها من النحاس، كما تستخدم السبائك من النحاس والقصدير (22%) في صناعة الأجراس. ومن السبائك الحاوية على القصدير والمسماة حسب مكتشفيها كلّ من سبيكة فيلد (إثمد: 32.5%، إنديوم: 51%، قصدير: 16.5%)، وسبيكة وود (إثمد: 50%، رصاص: 26.7%، قصدير: 13.3%، كادميوم: 10%)، وسبيكة روز (إثمد: 50%، رصاص: 25–28%، قصدير: 22–25%)؛ بالإضافة إلى سبيكة غالينستان التجارية المسماة حسب العناصر المكونة لها (غاليوم: 68%، إنديوم: 22%، قصدير: 10%). لسبيكة القصدير مع الجرمانيوم أهمية تطبيقية في مجال هندسة الإلكترونيات الدقيقة لصناعة ترانزستورات موسفت؛ وفي مجال الكهرضوئيات لتوليد الليزر، وصمامات LED. ومن العناصر التي يستطيع القصدير تشكيل وسبائك ومركّبات بين فلزية ذات تطبيقات مهمّة أيضاً كلّ من السيليكون في مجال أشباه الموصلات، والنيوبيوم في مجال الموصلية الفائقة.
قصدير الاستخدامات
استخدم القصدير سابقاً في تركيب سبائك النقود، فعلى سبيل المثال استعمل فيما مضى في سبك البنسات الأمريكية، والكندية. تدخل نسبة صغيرة من القصدير في تركيب سبائك الزركونيوم المستخدمة في الوقود النووي. يستخدم القصدير والرصاص بنسبة تصل إلى 50/50 في تصنيع الأنانبيب المعدنية في الأرغن ذو الأنابيب، ومن ضمن الميّزات التي يحصل نتيجة ذلك المظهر والتأثير على الأداء ومقاومة التآكل.
تعدّ الأشغال اليدوية على صفائح الفولاذ المُقصدَر من التقنيات واسعة الانتشار في الأعمال الفنية، ويحصل في النهاية على نماذج مدقوقة أو مخروزة لأغراض الديكور، ومن أمثلة ذلك صنع الفوانيس التقليدية وغيرها من المشغولات اليدوية. كما يستعمل القصدير في تحضير الزجاج الطافي في عملية تسمى عملية بيلكينغتون.
يدخل القصدير في تصنيع أقطاب بعض أنواع بطاريات ليثيوم-أيون، مع العلم أنّ توجه السطح البلوري له دور في كفاءة عمل البطارية.
لمركّبات القصدير، العضوية واللاعضوية منها، العديد من التطبيقات. فيضاف فلوريد القصدير الثنائي مثلاً إلى مستحضرات العناية بالأسنان، ووجد أنّ له فعالية أكبر من فلوريد الصوديوم في ضبط حالة التهاب اللثة. لمركّبات القصدير العضوية استعمالات واسعة الانتشار، حيث يُقدَّر أن يتجاوز الإنتاج العالمي منها 50 ألف طن. تستخدم مركبات القصدير العضوية في تحضير مثبّتات بوليمير PVC (بولي فاينيل كلوريد)، حيث يعمل القصدير على التقاط وتجميع أيونات الكلوريد، ممّا يمنع فقدان HCl من البنية البوليميرية. كما تستخدم تلك المركّبات عموماً في تحضير المبيدات على اختلاف أنواعها؛ ويستخدم أكسيد ثلاثي بوتيل القصدير في حفظ الخشب؛ وكانت تستخدم في صيانة السفن، قبل أن تمنع لكونها من الملوّثات العضوية الثابتة ولتأثيرها السلبي على الأحياء المائية.
قصدير المخاطر
لا يعدّ القصدير بحدّ ذاته فلزّاً سامّاً، حيث لا توجد حالات مسجلّة للتسمّم بالقصدير أو أكاسيده أو أحد أملاحه اللاعضوية؛ بالمقابل فإنّ لبعض مركّبات القصدير العضوية المحدّدة سمّية مقاربة لسمية السيانيد.
حَدّدت إدارة السلامة والصحة المهنية الأمريكية (OSHA) الحدّ المسموح للتعرّض للقصدير الفلزّي في مكان العمل بمقدار 2 مغ/م3 خلال ثمان ساعات عمل؛ وهو نفس المقدار الذي حدّده المعهد الوطني للسلامة والصحة المهنية الأمريكي كحدٍّ موص ً به؛ أمّا عند مستويات تفوق 100 مغ/م3 فيكون القصدير الفلزي ذا خطورة فورية للحياة أو الصحة.
عاتكة بنت عبد الملك بن الحرث المخزومي
عاتكة بنت عبد الملك بن الحرث (الشاعر) بن خالد بن العاص بن هشام بن المغيرة بن عبد الله بن عمرو بن مخزوم المخزومي.
وفي خالد بن العاص يقول الشاعر :
يعني غمر ذي كندة وهو موضع كان ينزله.
وقد ذكره عمر بن ابي ربيعة في شعره فقال :
عاتكة بنت عبد الملك بن الحرث المخزومي عاتكة الأرملة
و عاتكة هي التي كلمت أبا جعفر المنصور أبو جعفر المنصور لما حج وقالت: يا أمير المؤمنين أيتامك بنو عبد الله بن الحسن فقراء لا شيء لهم. فرد عليهم ما قبضته من أموالهم (تعني صدقات علي الموصى بها في بني الحسن). قاله أبو الفرج في (المقاتل). وحدث ذلك بعد مقتل زوجها عبد الله الكامل في سجن أبا العباس المنصور ب الكوفة ومن معه من آل البيت. (انظر ترجمة عبد الله بن الحسن المثنى).
قائمة المبرهنات الرياضية
في ما يلي لائحة بالمبرهنات الرياضية:
مريم رجوي
مريم رجوي (بالفارسية: مريم رجوى) (4 ديسمبر 1953)، هي سياسية والرئيسة المنتخبة للمجلس الوطني للمقاومة الإيرانية (NCRI)، مریم رجوي اختارت الفترة الانتقالية. وتعبر خطته المكونة من عشر نقاط عن "إيران الغد" عن آراء واستراتيجيات المجلس الوطني للمقاومة وبرنامج عمل المقاومة الإيرانية من أجل إيران غد حرة. و هي أيضا زعيمة منظمة مجاهدي خلق الإيرانية مع مسعود رجوي.
مريم رجوي سيرة حياة
ولدت مریم رجوي في عائلة من الطبقة الوسطى. وهي خريجة في فرع هندسة المعادن من جامعة شريف التكنولوجية. وفي عقد السبعينات تعرفت مريم رجوي على حركة مجاهدي خلق وكان ذلك عن طريق شقيقها الذي كان سجينًا سياسيًا في عهد الشاه، ولقد بدأت نشاطاتها مع حركة مجاهدي خلق بالاتصال مع عوائل الشهداء والسجناء السياسيين وكانت ذات صفة تحررية حيث قادت الحركة الطلابية ضد النظام الشاه. لها بنت، ولقد أعدمت إحدى شقيقاتها وهي نرجس من قبل نظام الشاه، وكذلك أعدمت شقيقتها الصغرى بعد سقوط حكم الشاه، وبعد مدة تم إعدام زوج معصومة أيضًا.
مريم رجوي دورها بعد سقوط الشاه
بعد سقوط نظام الشاه أدت مريم وبصفتها إحدى المسؤولين عن القسم الاجتماعي دورًا مفصلياً في استقطاب طلاب المدارس والجامعات وتنظيم الاحتجاجات في مختلف أحياء طهران بما فيها احتجاجات ربيع عام 1981 والمظاهرات التي أقيمت في طهران يوم 20 حزيران من العام نفسه.وخلال هذه الفترة كانت مريم مرشحة من قبل مجاهدي خلق في الانتخابات التشريعية النيابة من طهران حيث حصلت على 250 ألف صوت في طهران، وأصبحت بذلك صالحة لدخول البرلمان الإيراني ولكن النظام الحاكم في إيران حال دون دخول حتى واحد من مجاهدي خلق إلى البرلمان ليحتل مقعدًا للنيابة فيه. وبعد انطلاق المقاومة يوم 20 حزيران عام 1981 هوجم مقر إقامتها لعدة مرات ولكنها نجت من هذه الهجمات. وفي عام 1982 انتقلت إلى فرنسا واستقرت في باريس حيث موقع المركز السياسي لحركة مجاهدي خلق والذي يتخذ منها المجلس الوطني للمقاومة الإيرانية مقرًا لهُ وتولت فيها مسؤوليات مختلفة.
مريم رجوي المسؤولیات
انضمت مريم في شهر شباط (فبراير) عام 1985 إلى قيادة المنظمة، وبعد أربع سنوات من ذلك شغلت منصب الأمينة العامة لمنظمة مجاهدي خلق الإيرانية. وخلال توليها هذا المنصب وفّرت التسهيلات والتمهيدات لمشاركة النساء بشكل أفضل في جميع مستويات وفروع المقاومة، وفجرت ثورة في جميع نشاطات ورؤى حركة المقاومة. وبفضل قيادتها وما وفرتها هي من الظروف والفرص أمام النساء حصلت بعض النساء على مسؤوليات هامة في المقاومة الإيرانية. وتشكل النساء ثلث أعضاء قاعدة جيش التحرير وأغلبية قادته ونصف الأعضاء في برلمان المقاومة في المنفى (المجلس الوطني للمقاومة الإيرانية) ويؤیدن دورهن الحاسم في جميع المجالات السياسية والثقافية والتنفيذية والإدارية.
مريم رجوي الرئاسة لفترة الإنتقالیة
وفي يوم 28 آب (أغسطس) عام 1993 اختار المجلس الوطني للمقاومة الإيرانية السيدة مريم رجوي رئيسة مقبلة لإيران في فترة انتقال السلطة إلى الشعب. إلا أنها استقالت في 17 أيلول (سبتمبر) 1993 عن جميع مناصبها في منظمة مجاهدي خلق الإيرانية، وقالت بخصوص موقعها الجديد في المقاومة الإيرانية: (إني وفي موقعي الجديد أعتبر أن أكثر مسؤولياتي جدية هي خلق تضامن وطني وتوسيع نطاقه إن حركة المقاومة الإيرانية ليست حركة سياسية فحسب وإنما حركة إنسانية تمامًا). ألقت تأبين الفنانة الراحلة مرضيه في 2010
مريم رجوي الأنشطة الدولية
خلال إقامتها في أوروبا، سافرت مريم رجوي إلى بلدان أوروبية مختلفة والتقت بمسؤولي تلک الدول. من بين هذه الزیارات، يمكننا أن نذكر رحلتها إلى فنلندا في مارس 20229 كما زارت آلمانیا في أبريل 2009 بدعوة من مجموعة من البرلمانيين الألمان.
في الخامس من حزیران (يونيو) 2009 في تجمع كبير للإيرانيين في بلدة تافرني  بباريس، ألقت مريم رجوي خطابًا وقالت للحكومة الإيرانية إنها يجب أن "ترحل إلی الجحیم". وذكرت بعض وكالات الأنباء أن عدد المشاركين في هذا التجمع يصل إلى 100 ألف شخص.
في 29 اذار 2009 ألقت مريم رجوي كلمة أمام اجتماع وزراء خارجية مجموعة الثماني ودعت إلى فرض عقوبات فورية وشاملة على النظام الحاكم في إيران. وقالت: "معاقبة نظام القرون الوسطى هذا هي الخطوة الأولى الضرورية لمنعه من الحصول على القنبلة الذرية والطلب العاجل للشعب الإيراني الذي يريد تغيير هذا النظام برمته".
التقت مريم رجوي بالسيناتور مک کین في ألبانيا في 14 أبريل 2017 ، وأكدت خلال هذا الاجتماع أن النظام الديني الحاكم في إيران هو المصدر الرئيسي للإرهاب.
مريم رجوي الأنشطة الدولية
وفي أعقاب موجة الاعتقالات خلال احتجاجات إيران في تشرين الثاني 2018، طلبت مريم رجوي من الأمم المتحدة إرسال فرق تحقيق وتقصي حقائق على الفور إلى إيران، مشيرة إلى خطر تعذيب وإعدام المعتقلين. وأکدت أن قادة الحكومة الإيرانية يجب أن يواجهوا العدالة لارتكابهم جرائم ضد الإنسانية.
في يونيو 2020، دعمت غالبية أعضاء مجلس النواب الأمريكي في «قرار ثنائي الأحزاب» مريم رجوي، والمجلس الوطني للمقاومة الإيرانية وإيران تقام علی أساس فصل الدین عنه الدولة والديمقراطية وأدانوا إرهاب الدولة للنظام الإیراني. في هذا قرار، طالب 221 عضوًا في الكونغرس، بالإضافة إلى دعمهم لخطة رجوي المكونة من 10 نقاط، منع "الأنشطة التخريبية المستهدفة للبعثات الدبلوماسية التي یمارسها النظام الإيراني.
في يوليو 2021 ألقت مريم رجوي خطابًا في مظاهرة اقمیت للاحتجاج على انتخاب إبراهيم رئيسي رئيسًا لإيران في برلين، ووصفت رئيسي بانه مسؤول عن ارتکاب مذبحة 30 ألف سجين سياسي في عام 1988.
مريم رجوي الأنشطة الدولية
في مايو 2022، أعلن مايك بومبيو، وزير خارجية السابق للولايات المتحدة، دعمه لرجوي وللمجلس الوطني للمقاومة الإيرانية خلال اجتماع له مع مريم رجوي في المقر المرکزي  لمجاهدي خلق في أشرف3 بآلبانیا.
قدم توم مكلينتوك والعديد من النواب الآخرين للكونغرس الأمريكي القرار رقم 100 لمجلس النواب الذي حصل علی اغلبیة أعضاء الکنغرس وأعرب النواب عن دعمهم  لخطة مريم رجوي المكونة من عشر نقاط لإقامة جمهورية ديمقراطية غير نووية تقوم على فصل الدين عن الدولة.
في 21 مايو 2023، وقع أكثر من مائة من قادة العالم السابقين على رسالة موجهة إلى رئيس الولايات المتحدة الأمريكية ونظرائه في كندا وبريطانيا وأوروبا، أعلنوا فيها دعمهم لخطة مريم رجوي المكونة من 10 نقاط. وشددوا على أنهم "نعلم أنه على مدى أربعة عقود، ناضل الائتلاف الديمقراطي للمجلس الوطني للمقاومة الإيرانية (NCRI) باستمرار وبلا كلل من أجل التغيير الديمقراطي".
مريم رجوي الآراء
عرضت مريم رجوي آراء واستراتيجيات المجلس الوطني للمقاومة من أجل إيران الغد الحرة بخطة النقاط العشر
في الخطة المكونة من 10 نقاط، ‌‌‌أعلنت رجوي التزامها بالإعلان العالمي لحقوق الإنسان والوثائق الدولية الأخرى. كما دعت إلى إلغاء عقوبة الإعدام، وإقامة نظام حقوقي حديث واستقلال القضاء، والتعايش السلمي مع دول المنطقة، والعلاقات مع جميع الدول، واحترام ميثاق الأمم المتحدة ووقف إنتاج السلاح النووي جزء آخر من هذه الخطة.
مريم رجوي ترفض الحجاب الإجباري، ودعت في خطاباتها المختلفة إلى إلغاء الحجاب الإلزامي. وفي خطاباتها المختلفة بما في ذلك في خطابها في 23 فبراير2010 في البرلمان الأوروبي، عبرت عن آرائها وطروحاتها بهذا الصدد.
مريم رجوي تعتقد أن "الخلاص من التهديد النووي والإرهاب للحكومة الإيرانية هوالتخلص من النظام برمته". و"التغيير الديمقراطي وانهاء الفاشية الدينية" في إيرانِ، "ضروري للسلام والديمقراطية والأمن والاستقرار في المنطقة".
مريم رجوي الآراء
تناشد مريم رجوي لفرض العقوبات علی النظام الحاکم في‌ إيران وقطع العلاقات التجارية والدبلوماسية للدول مع هذه الحكومة.
عقب موجة الاعتقالات التي رافقت احتجاجات إيران في نوفمبر ۲۰۱۹واحتجاجات إيران ۲۰۲۲، طلبت مريم رجوي من الأمم المتحدة إرسال فرق تقصي الحقائق على الفور إلى إيران مشیرة إلی خطر الإعدام والتعذیب الذي یهدد المعتقلین. وشددت علی إن قادة الحكومة الإيرانية يجب أن يواجهوا العدالة لارتكابهم جرائم ضد الإنسانية.
مريم رجوي بیانات ومواقف
قالت مريم رجوي، بعد موت إبراهيم رئيسي: «لعنة الأمهات والمطالبين بمقاضاة المتورطين في سفك دماء الشهداء والقتلى الذين بقوا على مواقفهم ثابتين ولعنة الله والشعب والتاريخ تلاحق سفاح مجزرة 1988. ضربة استراتيجية من العيار الثقيل لا يمكن تعويضها يتلقاها خامنئي ومجمل نظام الإعدامات والمجازر مع عواقب وأزمات تطال كامل الاستبداد الديني حيث يدفع المنتفضين للمضي قدما.»
هنأت مريم رجوي، الشعب السوري، لا سيما الشباب الثوار والسجناء السياسيين وعائلات مئات الآلاف من شهداء الثورة السورية، بسقوط الدكتاتور بشار الأسد، أحد أكبر مجرمي القرن الواحد والعشرين، متمنية أن يكون هذا الانتصار التاريخي بداية الديمقراطية والحرية والرفاه والتقدم للشعب السوري الشقیق. وأضافت: وحان وقت إسقاط نظام الملالي. قد انهار الآن «العمق الاستراتيجي» للديكتاتورية الدينية في إيران ويجب طردها من جميع دول المنطقة. إن إزالة هيمنة نظام ولاية الفقيه في العراق ودول المنطقة كان مطلبًا قديمًا للمقاومة الإيرانية. وهذا هو مقدمة لتحرير الشعب الإيراني من شر الفاشية الدينية.
مريم رجوي خطة الاغتيال في تجمع 2018
في عام 2018 ، ألقي القبض على أسد الله أسدي، وهو دبلوماسي إيراني يعيش في فيينا، في قضية جذبت الكثير من الاهتمام لتخطيطه لعملية ضد المعارضة الإيرانية الحاشدة‌ في‌ قاعة‌ الإجتماع بفیلبنت ضواحي‌ باریس شارك فیه حوالي‌ 100 الف. وکان الهدف الرئیسی للعملیة‌ المعارِضَة مريم رجوي. ثم حوكم عليه بالسجن 20 عاما. كما کان قد حضر هذا التجمع مدنيون وشخصيات بارزة من الدول الغربية حیث ألقوا خطبهم(بما في ذلك رودي جولياني وستيفن هاربر وبيل ريتشاردسون). من خلال أخذ رهائن من أحد المواطنين البلجيكيين في إیران ، أبرمة الحكومة الإيرانية صفقة مع الحكومة البلجيكية للإفراج عن أسد الله أسدي ، الأمر الذي اشتكت منه مريم رجوي وعدد من الشخصيات المشاركة في التجمع وطعنوا فيها.
مشكلة المخطط الكامل ضمن مخطط
المخطط الكامل هو مضلع كل رأسين فيه مرتبطان. ورتبة المخطط الكامل هو عدد رؤوسه.
مشكلة المخطط الكامل ضمن مخطط تقديم المشكل
الهدف هو إيجاد المخطط الكامل ذو أكبر رتبة, والموجود ضمن مخطط معلوم.
مشكلة المخطط الكامل ضمن مخطط البرهنة
تتم من خلال تحديد اختصار حدودي من مشكل الاكتفاء من الرتبة 3 نحو مشكل المخطط الكامل:
انطلاقا من هذه الصيغة تحدد مخططا غير موجه يضم 12 قمة كل قمة تمثل متغيرا واحدا. أما الارتباطات فهي كل قمتين يتم ربطهما برابط, ما عدا القمم التي تمثل متغيرات من نفس القوس, وكذلك لا نربط بين قمة تمثل متغيرا مع عكسه.(انظر الصورة)
صيغة دي موافر
في الرياضيات، صيغة دي موافر (بالإنجليزية: De Moivre's formula)‏، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:
الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر
صيغة دي موافر البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي
يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.
من أجل n > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند n = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، k. أي:
العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند n = k + 1 إذا كانت n = k صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، n≥1.
إذا كانت n = 0 تظل الصيغة  صحيحة، ومن المعروف أن .
إذا كانت n < 0, يمكن تعديل الاختيار على m بحيث يصبح n = −m. وبالتالي:
أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم n الصحيحة.
صيغة دي موافر استخدامات صيغة دي موافر
تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:
و كذلك للحصول على أشكال (cos(nx و (sin(nx بدلالة (sin(x و (cos(x.
على سبيل المثال، للحصول على (cos(2x و (sin(2x، ساوي:
ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:
حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.
صيغة أويلر
صيغة أويلر تعرف بهذا الاسم نسبة إلى الرياضياتي ليونارد أويلر، وهي صيغة رياضية في التحليل المركب تحدد العلاقة الوثيقة بين الدوال المثلثية والدالة الأسية المركبة. تنص صيغة أويلر على أنه لأي عدد حقيقي x :
حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي و i هو الوحدة التخيلية و sin و cos هما دالتا الجيب وجيب التمام على التوالي، و x سعة العدد المركب بالتقدير الدائري، أحيانًا يشار إلى الدالة الأسية المركبة بالصورة (cis(x، هذه الصيغة صحيحة أيضًا إذا كان x عددًا مركبًا؛ ولذا فإن بعض الكتاب لا يزالون يشيرون إلى الصورة الأكثر تعميمًا بصيغة أويلر.
ومن الجدير بالذكر أن ريتشارد فاينمان قد نعت صيغة أويلر قائلاً عنها: «جوهرتنا» و «واحدة من أبرز الصيغ وأكثرها إدهاشًا في كل الرياضيات».
صيغة أويلر نبذة تاريخية
يتضح أن المعادلة الموضحة بأعلى تتعلق باللوغاريتمات المركبة، لكن برنولي لم يقم بإجراء عملية التكامل، وتوحي الرسائل التي كانت بينه وبين أويلر (الذي كان على علم أيضًا بنفس المعادلة) أنه لم يكن يفهم اللوغاريتمات على أكمل وجه. وقد اقترح أويلر أن اللوغاريتمات المركبة من الممكن أن يكون لها قيم عديدة لا متناهية.
(حيث "ln" تعني اللوغاريتم الطبيعي؛ أي اللوغاريتم الذي أساسه e)، يُعلم الآن أن اللوغاريتم المركب له عدد لا نهائي من القيم؛ نظرًا للطبيعة الدورية للدوال المثلثية، لكن كوتس غفل عن هذه الحقيقة.
أويلر (ربما نحو 1740) ولى انتباها إلى الدالة الأسية بدلاً من اللوغاريتمات، واستطاع الحصول على الصيغة الصحيحة المعروفة باسمه الآن، وقد نشرها في 1748، معتمدًا في إثباتها على المتسلسلات اللامتناهية. لم يُقدَّر لكلا الرجلين أن يريا التمثيل الهندسي للصيغة، إذ أن تمثيل الأعداد المركبة كنقاط على المستوى المركب لم يظهر إلا بعد خمسين سنة بعد ذلك.
صيغة أويلر التطبيقات في نظرية الأعداد المركبة
يمكن تفسير الصيغة بالقول أن الدالة eix تمثل جميع النقاط الواقعة على دائرة الوحدة في مستوى الأعداد المركبة، ذلك عندما يكون مدى x في نطاق الأعداد الحقيقية. حيث x هي الزاوية المحصورة بين الخط الواصل من نقطة الأصل إلى أي نقطة على الدائرة وبين الاتجاه الموجب لمحور السينات، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة، وبالتقدير الدائري.
الإثبات الأصلي الذي قدمه أويلر يعتمد على مفكوك تايلور للدالة الأسية ez (حيث z عدد مركب)، ودالة الجيب sin x، وجيب التمام cos x لأي عدد حقيقي x (سيتم تناول الإثبات أدناه)، في الحقيقة هذا الإثبات يبين أن صيغة أويلر صحيحة لكل عدد مركب  z.
أي نقطة في المستوى المركب من الممكن أن تمثل بعدد مركب مكتوب في صورة إحداثيات ديكارتية، تقدم صيغة أويلر وسيلة للتحويل من هذه الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية، مما يقلل الحدين إلى حد واحد، وهذا بدوره يبسط عمليات ضرب أو قسمة الأعداد المركبة، كما يبسط رفعها لأي قوى. أي عدد مركب z = x + iy من الممكن أن يكتب على الصورة:
صيغة أويلر التطبيقات في نظرية الأعداد المركبة
تعني سعة العدد المركب z; أي الزاوية بين الاتجاه الموجب لمحور السينات والمتجه z، مقاسة في اتجاه عكس عقارب الساعة وبالتقدير الدائري، هذه الزاوية لا يحدث لها تغير إذا أضيف إليها 2π؛ ذلك أن الزاوية الناتجة ستكون مكافئة للزاوية الأصلية. عندما تكون x ≤ 0 يجب تعديل  بحسب الربع الذي تقع فيه.
من العلاقة السابقة يتبين أن صيغة أويلر من الممكن أن تستخدم في إيجاد لوغاريتم عدد مركب، مع الأخذ في الاعتبار أن اللوغاريتم هو عملية عكسية لعملية الرفع للأسس كالتالي
وهذه الصيغة من الممكن أن تستخدم باعتبارها تعريف اللوغاريتم المركب، وهكذا فإن لوغاريتم عدد مركب هو دالة متعددة القيم؛ نتيجة أن  متعددة القيم.
والذي من الممكن أن تثبت صحته لكل عدد صحيح k، من الممكن أن يستخدم، إلى جانب صيغة أويلر، لتوليد عدة متطابقات مثلثية، ذلك إلى جانب إثبات صيغة ديموافر.
صيغة أويلر العلاقة بحساب المثلثات
تبين صيغة أويلر الاتصال القوي بين التحليل الرياضي وحساب المثلثات، كما تقدم تفسيرًا لدالتي الجيب وجيب التمام في صورة مجاميع مرجحة للدالة الأسية.
المعادلتان أعلاه يمكن أن تُشتقا من جمع وطرح صيغتي أويلر التاليتين:
ويمكن لهاتين الصيغتين أن تُستخدما كتعريف للدوال المثلثية ذات السعة المركبة أو التخيلية. على سبيل المثال، بوضع x = iy في المعادلتين ينتج أن:
الأسس المركبة قد تساعد أيضًا في تبسيط حساب المثلثات؛ لأنها يسهل التعامل معها رياضيًا عن التعامل مع المركبات الجيبية، أحد الوسائل إلى ذلك ببساطة هو تحويل الدوال الجيبية (الجيب وجيب التمام) إلى تعبيرات أسية مكافئة لها، ثم إجراء العمليات الرياضية على هذه التعبيرات لوضعها في أبسط صورة ممكنة، هذه الصور المبسطة الناتجة تظل حقيقية القيمة، فمثلاً :
هناك وسيلة أخرى لتبسيط الدوال الجيبية، وذلك عن طريق تمثيلها بدلالة الجزء الحقيقي من الدالة الأسية المركبة في صورة مناسبة، ثم إجراء العمليات الرياضية اللازمة لتبسيط هذا الصورة، وفي النهاية يُؤخذ الجزء الحقيقي منها ويُهمل الجزء التخيلي. مثلاً :
صيغة أويلر تطبيقات أخرى
تستخدم أحيانًا الدالة eix عند حل المعادلات التفاضلية لتبسيطها، وإن كان الحل الأخير دائمًا ما يكون في صورة دالة حقيقية تتضمن الجيب وجيب التمام. السبب للجوء إلى هذا الاستخدام هو كون الدالة الأسية دالة ذاتية "eigenfunction" في التفاضل. صيغة أويلر أيضًا تعتبر الأساس لمتطابقة أويلر؛ إذ أن الأخيرة هي نتيجة مباشرة من الأولى.
وفي الهندسة الكهربية ومجالات أخرى، فإن الإشارات التي تتغير تغيرًا دوريًا مع الزمن يعبر عنها بدلالة الجيب أو جيب التمام أو مجموعة مؤلفة منهما معًا (انظر تحليل فورييه)، ويكون من الملائم التعبير عنها بدلالة الجزء الحقيقي أو الجزء التخيلي من الدالة الأسية ذات الأس التخيلي (الدالة الأسية التخيلية أو المركبة)؛ وذلك بالاستعانة بصيغة أويلر. أيضًا تستخدم صيغة أويلر في التحليل الطوري للدوائر الكهربية، وذلك لتمثيل معاوقة مكثف أو ملف حث.
صيغة أويلر تعريفات الدالة الأسية المركبة
الدالة الأسية ex لأي قيمة حقيقية x من الممكن التعبير عنها بصور ليست كثيرة مكافئة لها (انظر خصائص الدالة الأسية)، والعديد من هذه الصور من الممكن أن تستغل في الحصول على تعريفات للدالة ez للقيم المركبة z، وذلك عن طريق استبدال x بالعدد المركب z، ثم إجراء العمليات الجبرية الممكنة في الأعداد المركبة، التعريفان المكافئان التاليان، على وجه الخصوص، من الممكن أن يستخدم أحدهما لتعريف الدالة الأسية المركبة.
باستخدام اختبار النسبة من الممكن توضيح أن متسلسلة القوى هذه لها نصف قطر تقارب لا متناه، ومن ثم فإنها تعرِّف الدالة ez لكل الأعداد المركبة z.
صيغة أويلر البراهين
فيما يلي برهان صيغة أويلر باستخدام مفكوك متسلسلة القوى بالإضافة إلى حقائق أساسية عن رفع الوحدة التخيلية i لأي أس:
وباستخدام متسلسلة القوى المذكورة أعلاه، نجد أنه لأي قيمة حقيقية x
في الخطوة الأخيرة استُعوِض بمتسلسلتي تايلور لدالتي الجيب وجيب التمام بقيمتهما: (sin(x و (cos(x، ويلاحظ أن إعادة ترتيب الحدود مبرر لأن كل متسلسلة تتقارب تقاربًا مطلقًا.
باعتبار i ثابتًا، وليكن ثابتًا تخيليًا، لاحظ أن
إذن باستخدام قاعدة الضرب يمكن إيجاد مشتقة (ƒ(x كالتالي:
بما أن مشتقة (ƒ(x تساوي صفرًا فلابد أن تكون (ƒ(x دالة ثابتة في x؛ أي أن قيمة الدالة لا تتغير عند جميع قيم x، ولما كانت ƒ(0) = 1 (وذلك بالتعويض عن x = 0 في الدالة الأصلية) تكون ƒ(x) = 1، ومن ثم فإن.
بضرب الطرفين في (cos x + i sin x)، نحصل على
نفترض أن (ƒ(x دالة في المتغير الحقيقيx بحيث
بإجراء عملية التفاضل للطرفين بالنسبة إلى x
وهكذا يتضح أن (ƒ(x وeix يحققان نفس المعادلة التفاضلية العادية من الرتبة الأولى.
دائرة وحدة
دائرة الوحدة (بالإنجليزية: Unit circle) أو الدائرة المثلثية هي دائرة نصف قطرها يساوي الواحد في الرياضيات. وهي تسهل علينا حسابات رياضية كثيرة تعتمد على حساب المثلثات حيث أن الوتر فيها يساوي 1.
تستخدم هذه الدائرة في حساب المثلثات حيث يكون مركزها يقع في نقطة المبدأ لنظام الإحداثيات الديكارتية، وطول نصف قطرها يساوي الواحد.
يرمز لدائرة الوحدة في المستوي الإقليدي بالرمز S1　والتعميم للأبعاد الثلاثية ينتج كرة الوحدة. وهي تستخدم في وصف ظواهر طبيعية كثيرة مثل الانتشار «الكروي» لأشعة الشمس أو لأشعة النجوم، وكذلك في حل مسائل تصادم الجسيمات الأولية أو تشتتها أو انتشار الصوت حول مصدر للصوت.