hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
كرم جبر
كرم جبر (1954–، أسيوط) هو صحفي مصري ، ورئيس المجلس الأعلى لتنطيم الإعلام بمصر سابقا، ترأس مجلس إدارة مؤسسة روز اليوسف وعمل بها صحفى لمده تزيد على الثلاثين عام بالإضافة إلى عدد من المطبوعات المصرية والعربية.
لغارتم
في الرياضيات، لُغَارِتْم عدد ما هو الأس الذي يجب رفع قيمة ثابتة أخرى، الأساس، به لإنتاج ذلك العدد. على سبيل المثال، لغارتم 1000 للأساس 10 هو 3، لأن 1000 هو 10 مرفوع للأس 3: 1000 = 103 = 10 × 10 × 10. بشكل أعم، إذا كان x = by، فإن y هو لغارتم x للأساس b، ويُكتب logb x، لذا فإن log10 1000 = 3. اللغارتم دالة وحيدة المتغير، وهذا يعني أن لغارتمَ متغيرٍ ذا الأساس b هو معكوس رفع المُتغير أسًا لذلك الأساس.
اللغارتم ذو الأساس 10 يُسمى اللغارتم العشري أو اللغارتم الشائع، ويُستخدم استخدامًا شائعًا في العلوم والهندسة. أما اللغارتم الطبيعي فيستخدم العدد e ≈ 2.718 أساسًا له؛ ويستخدم استخدامًا واسعًا في الرياضيات والفيزياء بسبب مشتقته البسيطة للغاية. أما اللغارتم الاثناني فيستخدم الأساس 2 ويستخدم استخدامًا واسعًا في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات ونظرية الموسيقى والتصوير الضوئي، وعندما يكون الأساس واضحًا من السياق أو غير ذي صلة، غالبًا ما يُحذَف، ويُكتب اللغارتم على نحو log x.
لغارتم
عرَّف جون نابير اللغارتمات في عام 1614 وسيلةً لتبسيط العمليات الحسابية. وسرعان ما تبنّاها الملاحون والعلماء والمهندسون والمساحون وغيرهم لإجراء تحسيبات عالية الدقة بسهولة أكبر. باستخدام جداول اللغارتمات، يمكن استبدال البحث في الجداول والجمع الأبسط بخطوات الضرب المملة المتعددة الأرقام. وهذا ممكن لأن لغارتم الجداء هو مجموع لغارتمات العوامل:
بشرط أن تكون b و x و y كلها موجبة و b ≠ 1. تسمح المسطرة الانزلاقية، التي تعتمد أيضًا على اللغارتمات، بإجراء حسابات سريعة دون جداول، ولكن بدقة أقل. يأتي المفهوم الحالي للغارتمات من ليونهارت أويلر، الذي ربطها بالدالة الأسية في القرن الثامن عشر، والذي أدخل أيضًا الحرف e أساسًا للغارتمات الطبيعية.
لغارتم
تَختزِل التدريجات اللغارتمية الكميات واسعة النطاق إلى نطاقات أصغر. على سبيل المثال، الدِّسِيبِل (dB) هو وحدة تستخدم للتعبير عن النسبة في شكل لغارتمات[الإنجليزية]، غالبًا لقدرة الإشارة والسعة (والتي يعد ضغط الصوت مثالًا شائعًا عليها). في الكيمياء، الأس الهيدروجيني (pH) هو قَيْس لغارتمي لحموضة محلول مائي. اللغارتمات شائعة في الصيغ العلمية، وفي قياسات تعقيد الخوارزميات والكائنات الهندسية التي تسمى الكُسوريات. تساعد في وصف نسب ترددات المسافات الموسيقية، وتظهر في الصيغ التي تحسب الأعداد الأولية أو تقريب العَامِليّات، وتوفر معلومات لبعض النماذج في علم الطبيعة النفسية، ويمكن أن تساعد في المحاسبة الجنائية.
يمتد مفهوم اللغارتم باعتباره معكوس الرفع الأسي إلى بنًى رياضيةٍ أخرى أيضًا. ومع ذلك، في الحالات العامة، يميل اللغارتم إلى أن يكون دالة متعددة القيم. على سبيل المثال، اللغارتم العقدي هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية العقدية. وبالمثل، اللغارتم المتقطع[الإنجليزية] هو معكوس متعدد القيم للدالة الأسية في الزمر المنتهية؛ وله استخدامات في التعمية بالمفتاح العام.
لغارتم دوافع
الجمع والضرب والرفع الأسي ثلاث من العمليات الحسابية الرئيسة. معكوس الجمع هو الطرح، ومعكوس الضرب هو القسمة. وبالمثل، فإن اللغارتم هو العملية العكسية للرفع الأسي. يُنجز الرفع الأسي برفع عدد b، وهو الأساس، إلى قوة ما y، تُسمَّى الأس، فتنتج قيمة x؛ ويُشار إلى ذلك بالعلاقة:
يعطي رفع 2 إلى قوة 3 القيمة 8 على سبيل المثال، ويُعبَّر عنه رياضيًا: .
لغارتم الأساس b هو العملية العكسية التي تعطي الخرج y من الدخل x، أي  تعادل  إذا كان b عددًا حقيقيًا موجبًا.
أحد الدوافع التاريخية الرئيسة لإدخال اللغارتمات هو الصيغة:
التي تعتمد جداول اللغارتمات عليها لاختزال عمليات الضرب والقسمة بعمليات الجمع والطرح، وساعد هذا في إنجاز الحسابات المُعقَّدة بسهولة قبل اختراع الحواسيب.
لغارتم التعريف
إذا كان b عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للواحد، فإن لغارتم أي عدد حقيقي موجب x بالنسبة إلى الأساس b هو الأس الذي يجب رفع b به للحصول على x. بعبارة أخرى، لغارتم x بالنسبة للأساس b هو العدد الحقيقي الوحيد y حيث .
يُشار إلى اللغارتم بالتعبير: logb x، ويُلفظ: لغارتم x للأساس b، أو: لغارتم الأساس b لـ x.
ثمة تعريف مكافئ وأكثر إيجازًا وهو أن الدالة logb هي الدالة العكسية للدالة .
لغارتم مطابقات لغارتمية
توجد عدة صيغ مهمة، تسمى أحيانًا المتطابقات اللغارتمية أو القوانين اللغارتمية، تربط اللغارتمات ببعضها.
لغارتم جداء هو مجموع لغارتمات الأعداد المضروبة؛ ولغارتم النسبة بين عددين هو فرق اللغارتمين. لغارتم القوة رقم p لعدد ما هو p مضروبًا في لغارتم العدد نفسه؛ ولغارتم الجذر من المرتبة p هو لغارتم العدد مقسومًا على p. يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. يمكن اشتقاق كل متطابقة بعد تعويض تعريفات اللغارتم  أو  في الطرف الأيسر. في الصيغ التالية، 𝑥 و𝑦 عددان حقيقيان موجبان و عدد صحيح أكبر من 1.
يمكن حساب اللغارتم logb x من لغارتمات x و b بالنسبة إلى أساس k كيفي باستخدام الصيغة التالية:
تحسب الآلات الحاسبة العلمية النموذجية اللغارتمات للأساسين 10 و e. يمكن تحديد اللغارتمات بالنسبة لأي أساس b باستخدام أي من هذين اللغارتمين بالصيغة السابقة:
يُعطى العدد x ولغارتمه y = logb x لأساس مجهول b، فإن الأساس يُعطى بـ:
ويمكن ملاحظة ذلك من خلال رفع المعادلة المُعرِّفَة  إلى القوة .
لغارتم أُسُس خاصة
من بين جميع الخيارات المتاحة للأساس، توجد ثلاثة خيارات شائعة بشكل خاص. وهي  b = 10، و  b = e (الثابت الرياضي غير المُنطَق e ≈ 2.71828183 )، و  b = 2 (اللغارتم الاثناني). في التحليل الرياضي، ينتشر استخدام اللغارتم ذي الأساس e بسبب الخواص التحليلية الموضحة أدناه. من ناحية أخرى، من السهل استخدام اللغارتمات ذات الأساس 10 (اللغارتم الشائع) في الحسابات اليدوية في نظام الأعداد العشرية:
لغارتم أُسُس خاصة
ومن ثمّ، فإن log10 (x) يرتبط بعدد الأرقام العشرية لعدد صحيح موجب x: عدد الأرقام هو أصغر عدد صحيح أكبر تمامًا من  log10 (x). على سبيل المثال، log10(5986) يساوي تقريبًا 3.78. العدد الصحيح الأقرب إليه هو 4، وهو عدد أرقام 5986. يستخدم كل من اللغارتم الطبيعي واللغارتم الاثناني في نظرية المعلومات، بما يتوافق مع استخدام النات أو البت وحداتٍ أساسية للمعلومات، على الترتيب. يُستخدَم اللغارتم الاثناني أيضًا في علم الحاسوب، وفيه النظام الاثناني موجود في كل مكان؛ وفي نظرية الموسيقى، حيث تنتشر نسبة حدة الصوت 2 (الجواب) بشكل واسع، ويكون عدد السنتات بين أي حدتين نسخة مُدرَّجة من اللغارتم الاثناني، أو log 2 مضروب في 1200، من نسبة الحدة (أي 100 سنت لكل نصف نغمة[الإنجليزية] في السلم المُعدَّل بالتساوي المألوف[الإنجليزية])، أو ما يعادل لغارتم الأساس 21/1200؛ وفي التصوير الضوئي، تُستخدم لغارتمات الأساس 2 المعاد تدريجها لقياس قيم التعريض[الإنجليزية] للضوء ومستويات الضوء وأوقات التعريض وفتحات العدسات وسرعات الأفلام بـ"وقفات".
يُستخدم الاختصار log x غالبًا عندما يمكن استنتاج الأساس المقصود بناءً على السياق أو التخصص، أو عندما يكون الأساس غير محدد أو غير مهم. تعد اللغارتمات العادية (للأساس 10)، التي استخدمت تاريخيًا في جداول اللغارتمات والمساطر الانزلاقية، أداة أساسية للقياس والحساب في العديد من مجالات العلوم والهندسة؛ وفي هذه السياقات، لا يزال log x يعني في كثير من الأحيان لغارتم الأساس عشرة. في الرياضيات، يشير log x عادةً إلى اللغارتم الطبيعي (الأساس e). في علوم الحاسوب ونظرية المعلومات، يشير log غالبًا إلى اللغارتمات الاثنانية (للأساس 2). يسرد الجدول التالي التدوينات الشائعة للغارتمات هذه الاُسُس. يسرد عمود "التدوين وفق ISO" التسميات التي اقترحتها المنظمة الدولية للمَعْيَرَة.
لغارتم التأثيل
لُغَارِتْم اسم مُعرَّب من إحدى اللغات الأوروبية وعلى الأرجح من الفرنسية logarithme التي استعيرت نهائيًا من اللاتينية الوسطى logarithmus التي تعني حرفيًا "عدد نسبي"، هذه الأخيرة مشتقة من الكلمتين اليونانيتين logos "نسبة، كلمة" وarithmos "عدد"، وهي من صياغة جون نابير سنة 1614؛ أورد مجمع اللغة العربية بدمشق هذه التهجئة العربية، وهي تتفق مع الكتابة العربية للأسماء، ورد هذا المصطلح أيضًا بتهجئات أخرى في مختلف المراجع والمعجمات مثل لوغاريتم
ولُوغَارِتْم ولُوغَارِثْم. من المقابلات العربية المُقتَرَحة للمصطلح النَّسَب (الجمع: أنساب) وهو يعني في الأصل القَرَابة، واستخدمت هنا بمعنى القرابة بين الأعداد وتحديدًا الصلة بين الأساس وقوته، لكنها لم تنجح ولم تنل الإعجاب وأوصى مجمع اللغة العربية بالقاهرة بتجنبه، كما اقتُرح مصطلح الأَسِيس المشتق من الجذر «أ س س» الذي من معانيه أصل الشيء ومبتدؤه، ومن هذا الجذر اشتُق أيضًا مصطلحَا الأُسّ والأَسَاس.
لغارتم نبذة تاريخية
وضع عالم الرياضيات ابن حمزة المغربي في أواخر القرن 16 حجر الأساس للغارتمات عن طريق ربط إساس أساس حدود المتوالية الهندسية بحدود تلك الحسابية من خلال نص من كتاب «تحفة الأعداد لذوي الرشد والسداد» المنشور بالتركية العثمانية:
أي بلغة الرياضيات الحالية ، وفيه  هو حد المتوالية الهندسية.
وقد شُرِح هذا بأن ابن حمزة أورد المتواليتين «1، 2، 4، 8، 16، 32 ...» و «1، 2، 3، 4، 5، 6 ...» واعتبر حدود المتوالية الثانية هي إسَاس للأساس المساوي لـ 2 في حدود الأولى، إلا أن تلك الإساس غير متوافقة مع الأولى وعلى الأرجح هي أرقام ترتيب حدود المتوالية الهندسية، وأيضًا لم يستخدم الصفر في المتوالية الثانية، وقد أشار المؤرخ التركي عدنان أديوار أنه لو بدأ ابن حمزة المتوالية العددية بالصفر لتمكن من وصف اللغارتمات 25 عامًا قبل جون نابير.
لغارتم نبذة تاريخية
شهد تاريخ اللغارتمات في أوروبا في القرن السابع عشر اكتشاف دالة جديدة وسعت نطاق التحليل إلى ما وراء نطاق الأساليب الجبرية. وقد كشف جون نابير طريقة اللغارتمات للعموم في عام 1614، في كتاب بعنوان وصف قانون اللغارتمات الرائع[الإنجليزية] (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). استعملت تقنيات أخرى ذات نطاقات مماثلة قبل نشر نابير لعمله، مثل بُرُسْتافَيْرِسِيس[الإنجليزية] أو جداول المتواليات، التي طورها يوست بورغي، والتي انتشرت انتشارًا واسعًا قرابة عام 1600.
اللغارتم الشائع لعدد ما هو دليل قوة العشرة التي تساوي هذا العدد. عندما نقول إن عددًا ما يتطلب عددًا كبيرًا من الأرقام، فإننا نشير تقريبيًا إلى اللغارتم الشائع، والذي أشار إليه أرخميدس بـ"ترتيب العدد". كانت اللغارتمات الحقيقية الأولى طرائق تجريبيةً لتحويل الضرب إلى جمع، مما يسهل التحسيب السريع. استخدمت بعض هذه الطرق جداول مستمدة من المتطابقات المثلثية. تسمى هذه الطرق بِبُرُسْتافَيْرِسِيس[الإنجليزية].
لغارتم نبذة تاريخية
بدأ اختراع الدالة المعروفة الآن باسم اللغارتم الطبيعي محاولةً لإجراء تربيع قطع زائد قائم الذي أجراه غريغوار دو سان فنسان، وهو راهب يسوعي بلجيكي مقيم في براغ. كان أرخميدس قد كتب كتاب "تربيع القطع المكافئ" في القرن الثالث قبل الميلاد، ولكن تربيع القطع الزائد ظل بعيدًا عن متناول جميع الجهود حتى نشر سان فنسان نتائجه في عام 1647. دفعت العلاقة التي يوفرها اللغارتم بين المتوالية الهندسية في عُمدته والمتوالية الحسابية من القيم، ألفونس أنطونيو دي سارسا[الإنجليزية] إلى الربط بين تربيع سان فنسان وتقليد اللغارتمات في بُرُسْتافَيْرِسِيس[الإنجليزية]، مما أدى إلى وضع مصطلح "اللغارتم الزائدي"، وهو مرادف للغارتم الطبيعي. وسرعان ما حظيت الدالة الجديدة بتقدير كريستيان هويغنس وجيمس غريغوري. اعتمد غوتفريد فِلْهِلْم لايبنتس التدوين Log y في عام 1675، وفي العام التالي ربطه بالتكامل .
قبل أن يطور أويلر مفهومه الحديث للغارتمات الطبيعية العقدية، توصل روجر كوتس إلى نتيجة مماثلة تقريبًا عندما أظهر في عام 1714 أن:
لغارتم جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية
ساهمت اللغارتمات في تقدم العلوم بتبسيط الحسابات الصعبة قبل ظهور الآلات الانزلاقية والحاسوب، ، وخاصة علم الفلك. كانت اللغارتمات ضرورية للتقدم في مجالات المساحة والملاحة الفلكية وغيرها من المجالات. وصف بيير سيمون لابلاس اللغارتمات بأنها:
... حيلة رائعة، تقلل من عمل عدة أشهر إلى بضعة أيام، وتُضاعِف عمر الفلكي، وتجنبه الأخطاء والإحباط اللذين لا ينفصلان عن الحسابات الطويلة.
نظرًا لأن الدالة f(x) = bx هي الدالة العكسية لـ logb x، فقد أُطلق عليها اسم مقابل اللغارتم. في الوقت الحاضر، يُطلق على هذه الدالة اسم الدالة الأسية.
لغارتم جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية
جدول اللغارتمات أداة أساسية مكَّنت من الاستخدام العملي للغارتمات قبل اختراع الآلة الحاسبة. أعدّ هنري بريغز أول جدول من هذا النوع في عام 1617، مباشرة بعد اختراع نابير، ولكنه اعتمد العدد 10 أساسًا لها بدلًا من e. احتوى جدول بريغز الأول على اللغارتمات الشائعة للأعداد الصحيحة بين 1 و1000، بدقة 14 رقمًا. بعد ذلك، وُضِعت جداول تشمل قيمًا أعلى. أدرجت هذه الجداول قيم log10 x لأي عدد x في نطاق معين، بدقة معينة. استخدمت اللغارتمات ذات الأساس 10 عمومًا في الحساب فشاعت، ولهذا سُمِّيت باللغارتمات الشائعة، يمكن فصل اللغارتم الشائع لـ x إلى جزء صحيح وجزء كسري[الإنجليزية] اعتمادًا على حقيقة أن الأعداد التي تتباعد قيمها بمضاعفات العدد 10 لها لغارتمات تتباعد قيمها بأعداد صحيحة، يُعرفان بالمميزة والجزء العشري. لا تحتاج جداول اللغارتمات إلا إلى تضمين الجزء العشري، ويمكن تحديد المميزة بسهولة عن طريق عد الأرقام بعد الفاصلة. مميزة 10 · x هي واحد زائد مميزة x، وجزئيهما العشريان متماثلان. ومن ثم، باستخدام جدول لغارتمي ثلاثي الأرقام، يمكن تقريب لغارتم 3542 وفق ما يأتي:
لغارتم جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية
يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق الاستكمال الداخلي:
يمكن تحديد قيمة 10x عن طريق البحث العكسي في الجدول نفسه، لأن اللغارتم دالة رتيبة.
حُسِب جُداء عددين موجبين c وd وخارج قسمتهما عادةً على صورة المجموع والفرق بين لغارتماتهما. وجاء الجداء cd أو خارج القسمة c/d من البحث عن مقابل اللغارتم للمجموع أو الفرق، عبر الجدول نفسه:
إجراء عمليات البحث عن لغارتمين لحساب العمليات الحسابية اليدوية التي تتطلب دقة ملحوظة، مثل: حساب مجموع لغارتمين، أو الفرق بينهما، والبحث عن مقابل اللغارتم، أسرع بكثير من إجراء الضرب بالطرق السابقة مثل بُرُسْتافَيْرِسِيس[الإنجليزية] التي تعتمد على المتطابقات المثلثية.
تُختزل عمليات حساب القوى والجذور إلى عمليات ضرب أو قسمة وعمليات بحث عن طريق هذه المعادلة:
سُهِّلَت العمليات الحسابية المثلثية من خلال الجداول التي تحتوي على اللغارتمات العادية للدوال المثلثية.
لغارتم جداول اللغارتمات، والمساطر الانزلاقية والتطبيقات التاريخية
المسطرة الانزلاقية تطبيق آخر بالغ الأهمية للغارتم وتسمى أيضا المسطرة الحاسبة، تتألف من زوجين من السلالم المقسمة لغارتميًا. اختُرع السُّلَّم اللغارتمي غير الانزلاقي، المُسمَّى سلم غونتر (بالإنجليزية: Gunter's scale)، بعد فترة وجيزة من وصف نابير للغارتم، ثم طورها وليم أوتريد لاختراع المسطرة الحاسبة، وهي زوجان من السلالم اللغارتمية المتحركة نسبيًا زوجٌ بالنسبة لآخر. توضع الأعداد على مسافات تتناسب مع الفروق بين لغارتماتها على سلمين منزلقين: أسفل وأعلى. يرقى تحريك السلم الأعلى تحريكًا مناسبًا إلى جمع اللغارتمات، كما هو موضح الرسم:
ينتج، على سبيل المثال، عن إضافة المسافة من 1 إلى 2 على السلم الأسفل إلى المسافة من 1 إلى 3 على السلم الأعلى الجداء 6، والذي يُقرأ في الجزء الأسفل. كانت المسطرة الانزلاقية أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن العشرين، لأنها تسمح، على حساب الدقة، بتحسيب أسرع بكثير من التقنيات المعتمدة على الجداول.
لغارتم خواص تحليلية
تعتمد دراسة اللغارتمات على الدوال، والدالة علاقة رياضية تربط بين عناصر مجموعتين، تُسمَّى أولهما منطلق الدالة، وتكون عناصرها عمدتها، وتُسمَّى الثانية مُستقرُّها وعناصرها خرج الدالة. مثال ذلك الدالة الأسية ذات الأساس الثابت الصحيح الموجب المغاير للواحد b، والذي يكون أسها مُتغيِّراً من مجموعة الأعداد الحقيقية، صورتها f(x) = b x وخرجها قيمة من مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة.
ليكن b عددًا حقيقيًا موجبًا مغايرًا للـ 1، تُعرَّف الدالة f(x) = b x منطلقها ، ومستقرها . لذلك، فإن f تقابل قيمًا من  مع قيمٍ من . بعبارة أخرى، من أجل كل عدد حقيقي موجب y، يوجد عدد حقيقي واحد فقط x يُحقِّق . الدالة f مستمرة، تتزايد تمامًا (من أجل b > 1)، أو تتناقص تمامًا (من أجل 0 < b < 1)،
من النتائج المعيارية في التحليل الحقيقي أن أي دالة مستمرة ورتيبة تمامًا تكون تقابلية بين منطلقها ومستقرها، أي لكل عنصر في المستقر عنصر واحد يرتبط معه على الأكثر في المنطلق. هذه الحقيقة تنبع من مبرهنة القيمة المتوسطة.
لغارتم خواص تحليلية
يُشتر إلى معكوس الدالة f بجعل . أي أن logb y هو العدد الحقيقي الوحيد x بحيث . تسمى هذه الدالة "دالة اللغارتم للأساس b" أو "الدالة اللغارتمية" (أو "اللغارتم" فقط).
يمكن أيضًا تمييز الدالة logb x أساسًا من خلال صيغة الجداء:
بتعبير أدق، اللغارتم لأي أساس b > 1 هو الدالة المتزايدة الوحيدة f المعرفة من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق f(b) = 1 و:
لغارتم خواص تحليلية
كما نوقش أعلاه، فإن الدالة logb هي معكوس الدالة الأسية . لذلك، فإن بياناتهما تتطابق عند مبادلة الفواصل والتراتيب -إحداثيات x و y- (أو عند الانعكاس على القطر x = y)، كما هو موضح على اليمين: النقطة (t, u = bt) على بيان f تعطي النقطة (u, t = logb u) على بيان اللغارتم والعكس بالعكس. ونتيجة لذلك، فإن logb (x) تتباعد إلى ما لا نهاية (تصبح أكبر من أي عدد معين) إذا زاد x إلى ما لا نهاية، بشرط أن يكون b أكبر من واحد. في هذه الحالة، تكون logb(x) دالة متزايدة. من أجل b < 1، تؤول logb (x) إلى سالب ما لا نهاية بدلاً من ذلك. عندما يقترب x من الصفر، تؤول logb x إلى سالب ما لا نهاية من أجل b > 1 (إلى موجب ما لا نهاية من أجل b < 1، على الترتيب).
تنتقل الخواص التحليلية للدوال إلى معكوساتها. ومن ثم، بما أنّ f(x) = bx دالة مستمرة وقابلة للاشتقاق، فإن logb y هي كذلك أيضًا. عمومًا، تكون الدالة المستمرة قابلة للاشتقاق إذا كان بيانها لا يحتوي على "زوايا" مدببة. علاوةً على ذلك، بما أنّ مشتق f(x) يساوي ln(b) bx وفقًا لخواص الدالة الأسية، فإنّ قاعدة السلسلة تنص على أنّ مشتقة logb x تُعطى بـ:
لغارتم خواص تحليلية
أي أن ميل المماس الذي يمس منحنى لغارتم الأساس b عند النقطة (x, logb (x)) يساوي 1/(x ln(b)).
مشتقة ln(x) هي 1/x؛ وهذا يعني أن ln(x) هي معاكس المشتق الوحيد لـ 1/x التي لها القيمة 0 من أجل x = 1. هذه الصيغة البسيطة للغاية هي التي دفعت إلى وصف اللغارتم الطبيعي بـ "الطبيعي"؛ وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسة لأهمية الثابت e.
المشتقة ذات العُمْدة الداليّة المُعمَّمة f(x) هي:
يُسمى خارج القسمة في الطرف الأيمن مشتقًا لغارتميًا لـ f. يُعرف حساب f'(x) بواسطة مشتق ln(f(x)) باسم التفاضل اللغارتمي[الإنجليزية]. معاكس مشتق اللغارتم الطبيعي ln(x) هو:
يمكن اشتقاق الصيغ ذات الصلة، مثل معاكسات مشتقات اللغارتمات لأسس أخرى، من هذه المعادلة باستخدام تغيير الأساس.
يُعرَّف اللغارتم الطبيعي لمتغير t على أنه التكامل المحدود التالي:
لغارتم خواص تحليلية
ميزة هذا التعريف أنه لا يعتمد على الدالة الأسية أو أي دالة مثلثية؛ فالتعريف هذا هو بدلالة تكامل مقلوب بسيط. بصفته تكاملًا، ln(t) يساوي المساحة بين محور x وبيان الدالة 1/x، التي تُراوح من x = 1 إلى x = t. وهذا نتيجة للمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل وحقيقة أن مشتقة ln(x) تساوي 1/x. يمكن اشتقاق صيغ لغارتم الجداء والقوة من هذا التعريف. على سبيل المثال، يُستنتج صيغة الجداء ln(tu) = ln(t) + ln(u) على النحو التالي:
المساواة (1) تجزئ التكامل إلى جزأين، في حين أن المساواة (2) هي تغيير المتغير (w = x/t). في الرسم التوضيحي أدناه، يقابل التجزئة تقسيم المساحة إلى الجزأين الأصفر والأزرق. إعادة تدريج المساحة الزرقاء اليسرى عموديًا بمعامل t وتقليصها بالمعامل نفسه أفقيًا لا يغير مقاسها. وبتحريكها تحريكًا مناسبًا، تتوافق المساحة مع منحني الدالة f(x) = 1/x مرة أخرى. لذلك، فإن المساحة الزرقاء اليسرى، وهي تكامل f(x) من t إلى tu، هي تكامل من 1 إلى u نفسه. وهذا يبرر المساواة (2) بإثبات هندسي أكثر.
يمكن اشتقاق صيغة القوة ln(tr) = r ln(t) بطريقة مماثلة:
تَستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات (التكامل بالتعويض)، w = x1/r.
بالمتسلسلة التوافقية. وهو مرتبط ارتباطًا وثيقًا باللغارتم الطبيعي: عندما يقترب n من اللانهاية، فإن الفرق
يتقارب (أي يقترب كيفيًا) إلى عدد يعرف باسم ثابت أويلر وماسكيروني γ = 0.5772.... تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل خوارزمية الفرز السريع.
تُسمَّى الأعداد الحقيقية غير الجبرية بالأعداد المتسامية؛ π و e، على سبيل المثال، عددان متساميان، ولكن  ليس متساميًا. الأعداد الحقيقية أعداد متسامية بغالبها[الإنجليزية]، واللغارتم مثال عن الدالة المتسامية. تنص مبرهنة غيلفوند وشنايدر على أن قيم اللغارتمات متسامية، أو "صعبة" (بالإنجليزية: difficult) حسب تعبير النظرية.
لغارتم حساب
حساب اللغارتمات سهل في بعض الحالات، مثل log10 (1000) = 3. عمومًا، يمكن حساب اللغارتمات باستخدام متسلسلات القوى أو الوسط الحسابي الهندسي، أو استحضارها من جدول لغارتمات محسوب مسبقًا يوفر دقة ثابتة. يمكن أيضًا استخدام طريقة نيوتن، وهي طريقة تكرارية لحل المعادلات بالتقريب، لحساب اللغارتم، لأن دالته العكسية، الدالة الأسية، يمكن حسابها بكفاءة. باستخدام جداول البحث، يمكن استخدام طرق شبيهة بطريقة «كوردك» (بالإنجليزية: CORDIC) لحساب اللغارتمات باستخدام عمليات الجمع وإزاحة البِتات[الإنجليزية] فقط. علاوة على ذلك، تَحسُب خوارزمية اللغارتم الاثناني دالة lb(x) عَوْدِيًّا، بناءً على التربيعات المتكررة لـ x، مستفيدة من العلاقة:
من أجل أي عدد حقيقي z يحقق 0 < z ≤ 2، تنطبق الصيغة التالية:
إن إجراء مساواة الدالة ln(z) بهذا المجموع (المتسلسلة) اللانهائي هي طريقة مختصرة للقول بأن الدالة يمكن تقريبها إلى قيمة أكثر دقة من خلال العبارات التالية (المعروفة باسم المجاميع الجزئية):
لغارتم حساب
على سبيل المثال، مع z = 1.5، ينتج عن التقريب الثالث 0.4167، وهو أكبر بنحو 0.011 مرة من ln(1.5) = 0.405465، وينتج عن التقريب التاسع 0.40553، وهو أكبر بنحو 0.0001 مرة فقط. يمكن للمجموع الجزئي النوني (n) تقريب ln(z) بدقة كيفية، بشرط أن يكون عدد الحدود المضافة n كبيرًا بما يكفي.
في حساب التفاضل والتكامل الابتدائي، يُقال إن المتسلسلة تتقارب إلى الدالة ln(z)، والدالة هي نهاية المتسلسلة. وهي متسلسلة تيلور للغارتم الطبيعي عند z = 1. توفر متسلسلة تيلور لـ ln(z) تقريبًا مفيدًا بشكل خاص لـ ln(1 + z) عندما يكون z صغيرًا، أي |z| < 1، لأنه عندئذٍ:
على سبيل المثال، مع z = 0.1، يعطي التقريب من المرتبة الأولى ln(1.1) ≈ 0.1، والذي يقع ضمن هامش خطأ أقل من 5% عن القيمة الصحيحة 0.0953.
متسلسلة أخرى تستند إلى دالة معكوس الظل الزائدي:
من أجل أي عدد حقيقي z > 0.  باستخدام تدوين سيغما، يُكتب هذا أيضًا على النحو التالي:
لغارتم حساب
يمكن اشتقاق هذه المتسلسلة من متسلسلة تيلور أعلاه. وهي تتقارب تقاربًا أسرع من متسلسلة تيلور، خاصة إذا كان z قريبًا من 1. على سبيل المثال، من أجل z = 1.5، فإن الحدود الثلاثة الأولى من المتسلسلة الثانية تُقارب ln(1.5) بخطأ يبلغ نحو 3×10−6. يمكن الاستفادة من التقارب السريع لـ z القريب من 1 بالطريقة التالية: يُعطى تقريب منخفض الدقة y ≈ ln(z) ونضع:
كلما كان التقريب الابتدائي y أفضل، اقترب A من 1، ومن ثم يمكن حساب لغارتمه بكفاءة. يمكن حساب A باستخدام المتسلسلة الأسية، التي تتقارب بسرعة شريطة ألا يكون y كبيرًا جدًا. يمكن تقليص حساب لغارتم z ذات القيمة الأكبر إلى قيم أصغر لـ z بكتابة z = a · 10b، بحيث يكون ln(z) = ln(a) + b · ln(10).
يمكن استخدام طريقة وثيقة الصلة لتحسيب لغارتم الأعداد الصحيحة. بوضع  في المتسلسلة أعلاه، يترتب على ذلك ما يلي:
إذا كان لغارتم عدد صحيح كبير n معلومًا، فإن هذه المتسلسلة تعطي متسلسلة سريعة التقارب لـ log(n+1)، بمعدل تقارب .
لغارتم حساب
يوفر الوسط الحسابي الهندسي تقريبات عالية الدقة للغارتم الطبيعي. أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أن تقريب بالوسط الحسابي الهندسي سريع بشكل خاص للدقة بين 400 و1000 منزلة عشرية، في حين أن طرق التي تعتمد على متسلسلة تيلور كانت عادةً أسرع عندما كانت الدقة المطلوبة أقل. في عملهما، تُقرَّب ln(x) بدقة 2−p (أو p بتات دقيقة) بالصيغة التالية (بفضل كارل فريدريش غاوس):
وفيها يشير M(x, y) إلى الوسط الحسابي الهندسي لـ x و y. ويُحصَل عليه عن طريق حساب المتوسط (x + y)/2 (الوسط الحسابي) و  (الوسط الهندسي) لـ x و y بشكل متكرر، ثم جعل هذين العددين يصبحان x و y التاليين. يتقارب العددان بسرعة إلى نهاية مشتركة وهو قيمة M(x, y). يُختار m بحيث:
لضمان الدقة المطلوبة. كلما زاد كِبَر m، زاد عدد الخطوات اللازمة لحساب M(x, y) (حيث يكون x و y الأوليان أبعد عن بعضهما، مما يتطلب عددًا أكبر من الخطوات للتقارب)، ولكن ذلك يوفر دقة أكبر. يمكن حساب الثوابت π و ln(2) باستخدام متسلسلات سريعة التقارب.
لغارتم حساب
طور ريتشارد فاينمان، في أثناء عمله في مختبر لوس ألاموس الوطني على مشروع مانهاتن، خوارزمية معالجة بتات لتحسيب اللغارتم تشبه القسمة الطويلة، واستُخدمت لاحقًا في آلة التواصل. تعتمد الخوارزمية على حقيقة أن كل عدد حقيقي x مع 1 < x < 2 يمكن تمثيله على شكل جداء P لعوامل متمايزة بالصيغة 1 + 2−k. تبني الخوارزمية هذا الجداء  تسلسليًا، بدءًا من P = 1 و k = 1: إذا كان P · (1 + 2−k) < x، فإنها تغير P إلى P · (1 + 2−k). ثم تزيد  بمقدار واحد بغض النظر عن النتيجة. تتوقف الخوارزمية عندما يكون k كبيرًا بما يكفي لإعطاء الضَبَاطة المطلوبة. نظرًا لأن log(x) هو مجموع الحدود من الشكل log(1 + 2−k) المقابل لتلك الأعداد k التي فيها ضُمِّنَّ العامل 1 + 2−k في الجداء P، يمكن تحسيب log(x) بعملية جمع بسيطة، باستخدام جدول log(1 + 2−k) من أجل قيم k كلها. يمكن استخدام أي أساس لجدول اللغارتم.
لغارتم تطبيقات
للّغارتمات العديد من التطبيقات داخل الرياضيات وخارجها. بعض هذه التطبيقات مرتبطة بمفهوم لاتغير التدريج[الإنجليزية]. على سبيل المثال، كل حُجْرَة من حُجُرات صدفة النوتي هي نسخة تقريبية من الحجرة التالية، مُدرَّجة بعامل ثابت. وهذا يؤدي إلى ظهور حلزون لغارتمي. يمكن أيضًا تفسير قانون بنفورد بشأن توزيع الأرقام الأولى بلا تغير التدريج. ترتبط اللغارتمات أيضًا بالتشابه الذاتي. على سبيل المثال، تظهر اللغارتمات في تحليل الخوارزميات التي تحل مسألة ما عن طريق تقسيمها إلى مسألتين أصغر متشابهتين وربط حلولهما. كما تستند أبعاد الأشكال الهندسية المتشابهة ذاتيًا، أي الأشكال التي تشبه أجزاؤها الصورة الكلية، إلى اللغارتمات. وتُعد التدريجات اللغارتمية مفيدة في قياس التغير النسبي لقيمة ما مقابل الفرق المطلق لها. علاوة على ذلك، نظرًا لأن الدالة اللغارتمية log(x) تنمو ببطء شديد بالنسبة لقيم x الكبيرة، تُستخدم التدريجات اللغارتمية لضغط المعطيات العلمية واسعة النطاق. تظهر اللغارتمات أيضًا في العديد من الصيغ العلمية، مثل معادلة الصاروخ لتسالكوفسكي، ومعادلة فِنْسك، أو معادلة نرنست.
لغارتم تطبيقات
غالبًا ما تُعبَّر عن الكميات العلمية على شكل لغارتمات لكميات أخرى، باستخدام تدريج لغارتمي. على سبيل المثال، الديسيبل هو وحدة قياس مرتبطة بكميات التدريج اللغارتمي. وهو يعتمد على اللغارتم الشائع للنسب — 10 مرات اللغارتم الشائع لنسبة القدرة أو 20 مرة اللغارتم الشائع لنسبة الجهد. يستخدم لقياس توهين الإشارات الكهربائية أو تضخيمها، ولوصف مستويات قدرة الأصوات في الصوتيات، وامتصاصية الضوء في مجالات المطيافية والبصريات. تُقَاس نسبة الإشارة إلى الضجيج التي تصف مقدار الضجيج غير المرغوب فيه بالنسبة إلى إشارة (ذات معنى) بالديسيبل أيضًا. وعلى المنوال نفسه، تُستخدم نسبة إشارة القمة إلى الضجيج[الإنجليزية] عادةً لتقييم جودة طرق ضغط الصوت والصورة باستخدام اللغارتم.