hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
الجبر الجبر الابتدائي
الجبر الابتدائي هو أبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألا يكون لديهم علم بالرياضيات أكثر من المبادئ الأساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب والأرقام فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالباً ما تدل الأرقام عن طريق الرموز (: مثل A، N، X، Y أو Z). وهذا مفيد للأسباب التالية:
يتيح للإشارة إلى أرقام «غير معروف»، وصياغة المعادلات ودراسة كيفية حل هذه. (على سبيل المثال، «العثور على عدد x بحيث 3X + 1 = 10» أو الذهاب أبعد قليلا «العثور على عدد x مثل الفأس + ب = ج.» هذه الخطوة تؤدي إلى الاستنتاج أنه ليس من هذا النوع من أرقام محددة تسمح لنا لحلها، هذا الهدف من العمليات المعنية.)
يتيح الفرصة لصياغة العلاقات الوظيفية. (على سبيل المثال، «إذا كنت تبيع تذاكر X، ثم الربح الخاص بك سيكون 3X - 10 دولار، أو F (X) = 3X - 10، حيث f هي وظيفة، وx هو رقم لجميع والتي يتم تطبيقه على وظيفة».)
الجبر الجبر الابتدائي
كثيرات الحدود هي تركيب جبري (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من الحدود الجبرية (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت وعدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س2 + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن إعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية والترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود، ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود، أو على نحو مكافئ، من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.
الجبر الجبر الابتدائي
هنالك اثنان من المشاكل المهمة والمتعلقة بالجبر، وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل أولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط. 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية لجذور كثيرات الحدود في متغير واحد.
اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر، على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع أن تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).
منذ عام 1997 بدأت جامعة فيرجينيا للتقنية وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.
الجبر الجبر المجرد
المقالات الرئيسية: الجبر المجرد والهيكلة الجبرية
الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر الحسابي للأرقام لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الأساسية المدرجة في الجبر المجرد.
المجموعات: بدلاً من مجرد التعامل مع أنواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى العناصر) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الأنواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة المصفوفات المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات متعددة الحدود من الدرجة الثانية (ax2+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية الأبعاد في المستوى، ومختلف المجموعات المحدودة مثل المجموعات الدورية، وهي من مجموعة الاعداد الصحيحة النمطية ن. نظرية المجموعات هي فرع من المنطق وليست فرعاً من الجبر فعلياً.
الجبر الجبر المجرد
العمليات الثنائية: يستخرج مفهوم الجمع (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ وب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية الجمع (+) والطرح (-) والضرب (×) والقسمة (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات، المتجهات ومتعددة الحدود.
العناصر المحايدة: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ. وي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضاً على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3,2,1...) ليس لها عنصر محايد للجمع.
الجبر الجبر المجرد
العناصر العكسية: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ−1). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ−1 يحقق الخاصية التالية: أ×أ−1 = 1 وأ−1×أ = 1.
العملية التجميعية: يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4). بشكل عام يصبح القانون (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية، ماعدا الطرح أو القسمة أو ضرب الأوكتونيون.
العملية التبديلية: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لا يؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2. بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لا تنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، ضرب المصفوفات والضرب المركب المتعدد كلهما عمليات غير تبادلية.
الجبر الجبر المجرد
تجميع المفاهيم العلوية تعطي واحدة من أهم القواعد في الرياضيات وهي:المجموعة. وتعرف المجموعة بأنها مجموعة (ع) مزودة بعملية ثنائية واحدة (أ)، يمكن تعريفها بأي طريقة مختارة، ولكن مع الخصائص والشروط التالية:
و إذا هي مجموعة تبادلية تطبيق عملية على عضوين أ وب ينتمون للمجموعة س فإن أ×ب = ب×أ ويطلق على المجموعة في هذه الحالة بأنها زمرة أبيلية.
على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة في إطار عملية الجمع هي مجموعة. في هذه المجموعة، العنصر المحايد هو الصفر ومعكوس أي عنصر أ لهو نقيض العنصر -أ. إذاً، تم استيفاء شرط الترابطيات، وذلك لأن لأي أعداد صحيحة أ، ب، ج، (أ+ب)+ج = أ+(ب + ج)
الأرقام غير صفرية النسبية تشيل مجموعة تحت عملية الضرب. العنصر المحايد هو 1، حيث أن 1×أ = أ×1 لأي عدد نسبي. القيمة العكسية للعدد النسبي 1/أ هي حيث أن أ×1/أ = 1
لا تشكل الأعداد الصحيحة تحت عملية الضرب مجموعة. لان مقلوب العدد الصحيح لا يكون عدد صحيح. على سبيل المثال، العدد الصحيح هو 4 لكن مقلوب العدد 4 يكون 1\4 وهو ليس عدد صحيح.
الجبر الجبر المجرد
تدرس نظرية المجموعات في نظرية الزمر. يعد تصنيف الزمر المنتهية البسيطة النتيجة الرئيسية في هذه النظرية، نشر معظمها بين عامي 1955 و 1983، والتي بدورها تقسم المجموعات المنتهية البسيطة إلى ما يقارب من 30 نوع أساسي.
تعد انصاف المجموعات المجموعات وأشباه المجموعات والمونويد هياكل جبرية مماثلة للمجموعات، ولكنهم أكثر عمومية. ويشتملون على مجموعة وعملية ثنائية مغلقة، ولكنهم لا يحققون الشروط الأخرى بالضرورة. تحتوي نصف المجموعة على عملية ثنائية ترابطية. ولكن قد لا يكون لها عنصر محايد. تعد المونويد نصف مجموعة تحتوي على عنصر محايد ولكن قد لا يكون لها معكوس لكل عنصر. تحقق شبه المجموعة المتطلب الدال على إمكانية أي عنصر للتحول إلى أي عنصر آخر إما من خلال ضرب اليسار أو ضرب اليمين، ولكن في أي حالة العملية الثنائية قد لا تكون ترابطية.
تعد كل المجموعات مونويد، وتعد كل المونويد انصاف مجموعات.
المقالات الرئيسية: حلقة (رياضيات) وحقل رياضي
تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح كامل عن سلوك الأنواع المختلفة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي تحتاج إلى دراسة. وتعد أهمها الحلقات والحقول الرياضية.
الجبر الجبر المجرد
تملك الحلقة الرياضية عاملين ثنائيين (+) و (×)، مع الأخذ بالاعتبار بأن × توزيعي أكثر من +. وفقاً للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. ووفقاً للعامل الثاني (×) يكون تجميعي، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أو معكوس، لذلك القسمة غير مطلوبة. يكتب العنصر المحايد الجمعي (+) 0 والمعكوس الجمعي من أ يكتب -أ.
التوزيع (يعمم قانون توزيع الأرقام، ويحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد الصحيحة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ أيضا جـ × (أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب، ويسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.
الأعداد الصحيحة عبارة مثال لحلقة. للأعداد الصحيحة خصائص إضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.
الحقل عبارة عن حلقة مع خاصية إضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أو الابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 ومعكوس المضاعف يكتب −1أ.
الأعداد المنطقية، الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة هي أمثلة لحقول.
الجبر معادلات كثيرة الحدود ومعادلات جبرية
ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تُناقش المساواة  أي المعادلات كثيرة الحدود، وهي صنف من المعادلات الجبرية. ومعظم المشاكل التي تُناقش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة؛ بل تُناقش بأسلوب الجبر التجريدي؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك.
الجبر الجبر الشامل
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة  مزودة بمجموعة من العمليات على . نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على  تمثل دالة رياضية تأخذ  عنصر من المجموعة  وتعطي كنتيجة عنصراً وحيداً من .
لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث  يمكن أن تمثل عنصراً وحيداً من  أو ما يدعى بالثابت غالباً يرمز له بحرف مثل .
بالمقابل العملية الأحادية (حيث ) ببساطة عبارة عن دالة من  إلى  يمثل غالباً برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول . أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: .
العمليات من رتب أعلى غالباً ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين:  أو .
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لا منتهية (حيث ) مثل ، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة.
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات)، يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.
الجبر كائنات جبرية
تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :
محمد بن موسى الخوارزمي
أَبُو عَبْدِ ٱللهِ، مُحَمَّدُ بْنُ مُوسَى ٱلْخَوَارَزْمِيُّ عالِمُ رياضيَّاتٍ، وفَلَكٍ، وجغرافيا مسلم.
يكنَّىٰ بـ‌أَبِي جَعْفَرٍ. قيل: إنه ولد نحو 164هـ / 781 م، وقيل: إنه تُوُفِّيَ بعد 232 هـ / 847 م.
وهو من أوائل علماء الرياضيات المسلمين؛ فإنَّ  لأعمالِه الفضلَ العظيم في تقدم الرياضيات في عصره.
اتصل بالخليفة العباسي المأمون، وعمِل في بيت الحكمة بِبغداد، وكسب ثقة الخليفة إذ ولاه المأمون بيت الحكمة، وعهِد إليه رسمَ خريطة للأرض عمِل فيها أكثرُ من سبعين جغرافيا.
و كان الخَوارَزميُّ قبل وفاته في 850 م / 232 هـ ترك كثيرًا من التآليف (المؤلَّفات) في علوم الرياضيات، والفَلَك، والجغرافيا، وأشهرُها: كتاب المُختصَر في حِسابِ الجَبْرِ والمُقابَلة، وهو أَجَلُّ كتبه.
محمد بن موسى الخوارزمي
تَرجمَ الكتابَ إلى اللاتينية العالمُ روبرت مِن تشستر نحو سنة 1145 م، دخلت على إثر ذلك كلمات جديدة، مثلُ: الجَبْر Algebra، والصِفر Zero إلى اللغات اللاتينية، وترجمه بعد ذلك بقليل جيراردو الكريموني الساكن في طليطلة، متبوعًا في ذلك بترجمة ثالثة للإيطالي غيوم دي لونا. استُعملت ترجمة روبرت مِن تشستر الكتاب الرئيسي في الرياضيات إلى حدود القرن السادس عشر في الجامعات الأوروبية.
ضمت مؤلفات الخوارزمي كتاب الجمع والتفريق في الحساب الهندي، وكتاب رسم الربع المعمور، وكتاب تقويم البلدان، وكتاب العمل بالأسطرلاب، وكتاب «صورة الأرض» الذي اعتمد فيه على كتاب المجسطي لبطليموس مع إضافات وشروح وتعليقات، وأعاد كتابة كتاب الفلك الهندي المعروف باسم «السند هند الكبير» الذي ترجم إلى اللغة العربية زمن الخليفة المنصور فأعاد الخوارزمي كتابته وأضاف إليه وسمي كتابه «السند هند الصغير».
محمد بن موسى الخوارزمي
وقد عرض في كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة أول حل منهجي للمعادلات الخطية والمعادلات التربيعية مستعملا في ذلك الطريقة المعروفة باسم إكمال المربع.
ويعتبر مؤسس علم الجبر، (اللقب الذي يتقاسمه مع ديوفانتوس) في القرن الثاني عشر، ولقد قدمت ترجمات اللاتينية عن حسابه على الأرقام الهندية، النظام العشري إلى العالم الغربي. نقح الخوارزمي كتاب الجغرافيا لكلاوديوس بطليموس وكتب في علم الفلك والتنجيم.
كان لإسهاماته تأثير كبير في اللغة. «فالجبر»، هو أحد من اثنين من العمليات اللائي استخدمهن في حل المعادلات التربيعية. وفي اللغة الإنجليزية كلمة Algorism وalgorithm تنبعان من Algoritmi، الشكل اللاتيني لاسمه. واسمه هو أصل الكلمة في اللغة الإسبانية guarismo والبرتغالية algarismo وهما الاثنان بمعنى «رقم».
محمد بن موسى الخوارزمي حياته
انتقلت عائلته من مدينة خوارزم في إقليم خراسان الإسلامي (والتي تسمى ’’خيوا‘‘ في العصر الحالي، في جمهورية أوزبكستان) إلى بغداد. وقيل إن اصل العائلة من الخوارزمي المنسوبة إلى محلة الخوارزمية التي كانت تقع غربي محلة الكاظمية ببغداد ضمن منطقة زراعية تسمى قطربل. والمؤرخ الطبري يسمى الخوارزمي بنسب القطربلي. فمن يسكن محلة الخوارزمية يسمى الخوارزمي. وأنجز الخوارزمي معظم أبحاثه بين عامي 813م و833م في دار الحكمة في بغداد، التي أسسها الخليفة المأمون، حيث عينه المأمون على رأس خزانة كتبه، وعهد إليهِ بجمع الكتب اليونانية وترجمتها. وقد استفاد الخوارزمي من الكتب التي كانت متوفرة في خزانة المأمون فدرس الرياضيات والجغرافيا والفلك والتاريخ، إضافةً إلى إحاطته بالمعارف اليونانية والهندية.
محمد بن موسى الخوارزمي حياته
نشر كل أعماله باللغة العربية، التي كانت لغة العلم في ذلك العصر. ويسميه الطبري في تاريخه: محمد بن موسى الخوارزمي القطربلّي، نسبة إلى قرية قُطْربُلّ من ضواحي بغداد. وبدأ الخوارزمي كتابه (الجبر والمقابلة) بالبسملة (بسم الله الرحمن الرحيم). وبالرغم من عدم إجماع المصادر التأريخية والموسوعات العلمية على هويته الا أن الموسوعة البريطانية (نسخة الطلاب الأطفال) وموسوعة مايكروسوفت إنكارتا وموسوعة جامعة كولومبيا تقول أنهُ عربي،  بينما تذكر مصادر أخرى أنه فارسي أو تركي. وفي الإصدار العام للموسوعة البريطانية ذكر أنه «عالم مسلم» من دون تحديد قوميته، وفي كتاب الفهرست لابن النديم سيرة ذاتية قصيرة للخوارزمي وثَبَتٌ بمؤلفاته. ولقد أنجز الخوارزمي معظم أعماله في الفترة ما بين عامي 813 و833. وبعد الفتح الإسلامي لبلاد فارس، أصبحت بغداد مركز الدراسات العلمية والتجارية، وأتى إليها العديد من التجار والعلماء من مناطق بعيدة مثل الصين والهند، كما فعل الخوارزمي. وكان يعمل في بغداد، وهو باحث في بيت الحكمة الذي أنشأه الخليفة المأمون، حيث درس العلوم والرياضيات، والتي تضمنت ترجمة المخطوطات اليونانية والسنسكريتية العلمية وغيرها.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
ساهم الخوارزمي في الرياضيات والجغرافيا وعلم الفلك وعلم الخرائط، وأرسى الأساس للابتكار في الجبر وعلم المثلثات. وأسلوبه المنهجي في حل المعادلات الخطية والمعادلات التربيعية أدى إلى الجبر، وهي كلمة مشتقة من عنوان كتابه حول هذا الموضوع، المختصر في حساب الجبر والمقابلة.
كتاب الجمع والتفريق بحساب الهند سنة 825م، حيث كان مسؤولا بشكل أساسي عن نشر نظام الترقيم الهندي في جميع أنحاء الشرق الأوسط وأوروبا.
وترجمت الكلمة (خوارزم) إلى اللغة اللاتينية "Algoritmi de numero Indorum". من لقبهِ الخوارزمي، حيث أتت الكلمة اللاتينية "Algoritmi" التي أدت إلى شيوع مصطلح «الخوارزمية».
ولقد نظم الخوارزمي وصحح بيانات بطليموس عن أفريقيا والشرق الأوسط. ومن كتبه الرئيسية كتاب «صورة الأرض»، الذي يقدم فيه إحداثيات الأماكن التي تستند على جغرافية بطليموس ولكن مع تحسن القيم للبحر الأبيض المتوسط وآسيا وأفريقيا. كما كتب أيضا عن الأجهزة الفلكية مثل الأسطرلاب، والمزولة.
وساعد في مشروع لتحديد محيط الأرض، وفي عمل خريطة للعالم في عهد الخليفة العباسي المأمون حيث طلب ذلك منه، وأشرف على 70 جغرافي.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
في القرن الثاني عشر انتشرت أعماله في أوروبا، من خلال الترجمات اللاتينية، التي كان لها تأثير كبير على تقدم الرياضيات في أوروبا.
(الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتاب اللاتينية تحت اسم "Liber algebrae et almucabala" بواسطة روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيرارد أوف كريمونا. تحفظ في أوكسفورد نسخة عربية فريدة ترجمت عام 1831 بواسطة إف روزين، كما تحفظ في كامبريج ترجمة لاتينية للكتاب.
ويعتبر الجبر هو النص التأسيسي للجبر الحديث. فهو قدم بيانا شاملا لحل المعادلات متعددة الحدود حتى الدرجة الثانية، ، وعرض طرق أساسية «للحد» و«التوازن» في إشارة إلى نقل المصطلحات المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أي إلغاء المصطلحات المتماثلة على طرفي المعادلة.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
المناقشة أعلاه يستخدم التدوين الرياضي الحديث لأنواع المشاكل التي يناقشها الكتاب. ومع ذلك، في يوم الخوارزمي، لم يتم اختراع معظم هذا الترميز بعد، لذلك كان عليه استخدام النص العادي لعرض المشاكل وحلولها. على سبيل المثال، يكتب لمشكلة واحدة، (من ترجمة 1831).
إذا قال أحدهم: «يمكنك تقسيم عشرة إلى قسمين: اضرب الجزء بمفرده، فسيكون مساويًا للآخر الذي تم التقاطه واحد وثمانين مرة.» الحوسبة: أنت تقول، عشرة أشياء أقل، مضروبة في حد ذاتها، هي مائة زائد مربع أقل من عشرين شيئًا، وهذا يساوي واحد وثمانين شيئًا. افصل بين عشرين شيئًا ومائة مربع، وأضفها إلى واحد وثمانين. سيكون بعد ذلك مائة زائد مربع، أي ما يعادل مائة وواحد جذور. نصف الجذر؛ الشق هو خمسون ونصف. اضرب هذا في حد ذاته، فهو ألفان وخمسمائة وخمسون وربع. مع طرح مائة من هذا. الباقي الفان واربع مئة وخمسون وربع. استخراج الجذر من هذا؛ إنه تسعة وأربعون ونصف. طرح هذا من جزء الجذور، وهو خمسون ونصف. لا يزال هناك واحد، وهذا واحد من الجزأين.
في طريقة التدوين الحديثة، يتم إعطاء هذه العملية، مع x «الشيء» أو «الجذر»، من خلال الخطوات،:
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
دع جذور المعادلة تكون x = p و x = q. ثم ,  و:
لذلك يتم إعطاء الجذر عن طريق:
وفقًا لمؤرخ الرياضيات السويسري الأمريكي، فلوريان كاجوري، فإن جبر الخوارزمي كان مختلفًا عن عمل علماء الرياضيات الهنود، لأن الهنود لم يكن لديهم قواعد مثل «الترميم» و «التخفيض». فيما يتعلق باختلاف وأهمية عمل الخوارزمي الجبري عن عالم الرياضيات الهندي براهموغوبا، كتب كارل بنجامين بوير:
من غير المرجح أن يكون الخوارزمي على علم بعمل ديوفانتوس، لكن لابد أنه كان على دراية بالأجزاء الفلكية والحسابية على الأقل لبراهماغوبتا؛ ومع ذلك، لم يستخدم الخوارزمي أو غيرهم من علماء اللغة العربية في النطق أو الأعداد السالبة. ومع ذلك، فإن الجبر يقترب من الجبر الأولي اليوم من أعمال ديوفانتوس أو براهماغوبتا، لأن الكتاب لا يهتم بالمشاكل الصعبة في التحليل غير المحدد، ولكن مع عرض مستقيم إلى الأمام وابتدائي لحل المعادلات، خاصة أن من الدرجة الثانية. أحب العرب عمومًا حجة واضحة جيدة من الفرضية إلى النهاية، وكذلك التنظيم المنهجي - الاحترام الذي لم يبرع فيه ديوفانتوس ولا الهندوس.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
طريقة الخوارزمي في حل المعادلات التربيعية الخطية عملت في البداية بخفض لمعادلة لواحدة من ست نماذج قياسية (حيث b وc أرقام صحيحة موجبة):
وبقسمة معامل التربيع باستخدام عمليتين هما الجبر والمقابلة، الجبر هي عملية إزالة الوحدات والجذور والتربيعات السلبية من المعادلة، وذلك بإضافة نفس الكمية إلى كل جانب. فعلى سبيل المثال، x2 = 40x − 4x2 تخفض إلى 5x2 = 40x، والمقابلة هي عملية جلب كميات من نفس النوع لنفس الجانب من المعادلة. فعلى سبيل المثال، x2 + 14 = x + 5 تخفض إلى x2 + 9 = x.
نشر عدة مؤلفين أيضا كتبا ونصوصا تحت اسم كتاب الجبر والمقابلة منهم أبو حنيفة الدينوري وأبو كامل شجاع بن اسلم وعبد الحميد بن ترك وسند بن علي وسهل بن بشر وشرف الدين الطوسي.
وكتب جي جي أوكونر وإي إث روبرتسون في موقع أرشيف ماكتوتر لتاريخ الرياضيات:
الإنجاز الثاني للخوارزمي كان في علم الحساب، وقد وصلتنا ترجمته اللاتينية، في حين ضاعت نسخته العربية الأصلية. ترجمه على الأرجح في القرن الثاني عشر أديلار الباثي، الذي ترجم أيضا الجداول الفلكية في 1126.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
كانت المخطوطات اللاتينية بلا عنوان، ولكن يشار إليها بأول كلمتين تبدا بها: Dixit algorizmi أو (هكذا قال الخوارزمي)، أو Algoritmi de numero Indorum (الفن الهندي في الحساب للخوازرمي)"، وهو الاسم الذي أطلقه بالداساري بونكومباني على العمل في 1857. العنوان الأصلي العربية ربما كان [46]  [بحاجة لرقم الصفحة] "كتاب الجمع والطرح ووفقا للحساب الهندي"
يعود الفضل إلى عمل الخوارزمي الحسابي في إدخال الأرقام العربية على أساس نظام الترقيم الهندي العربي المطور في الرياضيات الهندية الذي يحتوي على النظام العشري، إلى العالم الغربي.
مصطلح «الخوارزمية» مستمد من ألجورسم، أسلوب الحساب بالأرقام الهندية والعربية الذي وضعه الخوارزمي. كلا من كلمتي «خوارزمية» و«ألجوريسم» مستمدين من الأشكال اللاتينية لاسم الخوارزمي Algoritmi وAlgorismi على التوالي.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
ولقد قام بمعالجة موضوعات الجبر مستقلة عن نظرية الاعداد وموضوعات الحساب أيضا.
وهو أول من ادخل الصفر إلى الاعداد لتكون الاعداد الطبيعية، حيث كان نظام العد يعتمد على اسلوب قديم بلا صفر وبادخاله نظام الصفر تحول الحساب إلى النظام العشري المعروف في الجمع والطرح حيث استخدم فيما بعد باوروبا ومختلف انحاء العالم عن طريق ترجمة مخطوطاته إلى اللاتينية.
نجا أربعة نصوص لاتينية توفر تعديلات لأساليب الخوارزمي، على الرغم من أنه لا يُعتقد أن أيًا منها كان ترجمة حرفية:
احتوى كتاب الزيج السندهند للخوارزمي أيضًا على جداول للدوال المثلثية الجيب وجيب التمام.  وهناك أطروحة ذات صلة عن حساب المثلثات الكروية تُنسب إليه أيضًا.
أنتج الخوارزمي لائحات تحويل قيم دقيقة لدالتي الجيب والجيب التمام، كما أنتج لائحة لقيم دالة الظل تُعتبر الأولى من نوعها.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
كتب الخوارزمي العديد من الأعمال الأخرى بما في ذلك أطروحة عن التقويم العبري، بعنوان رسالة في استخراج تأريخ اليهود («استخراج العصر اليهودي»). ويصف الدورة الميتونية، التي تمتد ل19 عاما، وقواعد تحديد أي يوم من الأسبوع سيكون اليوم الأول لشهر تِشريه؛ بحساب الفترة الفاصلة بين يوم العالم والعصر السلوقي، ويعطي قواعد تحديد خط الطول المتوسط من الشمس والقمر باستخدام التقويم العبري. ووجدت مواد مشابهة في أعمال البيروني وابن ميمون.
زيج السند هند هو عمل يتألف من حوالي 37 فصل حول حسابات الفلكية وحسابات التقويم و116 جدول متعلق بالتقويم، والبيانات الفلكية والتنجيمية، وكذلك جدول لقيم جيب الزاوية. وهذا هو أول زيج من العديد من الزيجات العربية التي تستند على الأساليب الفلكية الهندية المعروفة باسم السند هند.  أحتوى العمل على جداول لحركات الشمس، والقمر وخمسة كواكب معروفة في ذلك الوقت. ومثل هذا العمل نقطة تحول في علم الفلك الإسلامي. حتى الآن، أعتمد علماء الفلك المسلمين على منهج بحث أولي، وهو ترجمة أعمال الآخرين، وتعلم المعرفة المكتشفة بالفعل. ومثل عمل الخوارزمي بداية طريقة غير تقليدية في الدراسة والحسابات.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
فقدت النسخة العربية الأصلية (كتبت 820)، ولكن أنقذ الفلكي الأندلسي مسلمة بن أحمد المجريطي (c. 1000) الترجمة اللاتينية، التي كتبها إدلارد أوف باث (26 يناير 1126).[بحاجة لرقم الصفحة] الأربع مخطوطات الناجية من الترجمة اللاتينية محفوظة في المكتبة العامة (في شارتر)، ومكتبة مازارين (في باريس)، بمكتبة ناسيونال (في مدريد) ومكتبة بودليايان (في أوكسفورد).
قام الخوارزمي بعدة تحسينات هامة لنظرية وبناء المزولات، التي ورثها من الحضارة الهندية والإغريقية. وعمل جداول لهذه الآلات التي اختصرت الوقت اللازم لإجراء حسابات معينة. كانت مزولته عالمية، وكان يمكن ملاحظتها من أي مكان على الأرض. ومنذ ذلك الحين، وضعت المزولات في كثير من الأحيان في المساجد لتحديد وقت الصلاة. مربع الظل، هي أداة اخترعها أيضا الخوارزمي في القرن التاسع في بغداد وأستخدمت لتحديد الارتفاع الخطي لجسم، بالاشتراك مع العضادة لملاحظات الزاوي.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
أخترع الخوارزمي أيضا أول أداة ربعية وأداة قياس الأرتفاع في بغداد في القرن التاسع الميلادي.، اخترع الخوارزمي، أيضا أداة الربع المجيب الذي كانت تستخدم للحسابات الفلكية. وأخترع أيضا أول الربع الحراري لتحديد دائرة عرض، في بغداد، ثم مركز تطوير الربعيات. وكان يستخدم لتحديد الوقت (وخاصة أوقات الصلاة) من خلال مراقبة الشمس أو النجوم. كانت أداة الربعية أداة عالمية، وهي أداة رياضية مبتكرة اخترعها الخوارزمي في القرن التاسع وعرفت فيما بعد باسم (الربعية القديمة) في أوروبا في القرن الثالث عشر. ويمكن استخدامها في أي دائرة عرض على الأرض وفي أي وقت من السنة لتحديد الوقت في بالساعة من الارتفاع من الشمس. وكان هذا ثاني أكثر أداة الفلكية تستخدم على نطاق واسع خلال القرون الوسطى بعد الأسطرلاب. وأحد استخداماتها الرئيسية في العالم الإسلامي هو تحديد أوقات الصلاة.
ثالث عمل رئيسي للخوارزمي هو كتاب صورة الأرض. انتهى من كتابته عام 833 م. هذا الكتاب هو نسخة منقحة وكاملة من كتاب الجغرافيا لكلوديوس بطليموس.
يتألف هذا العمل من قائمة من 2402 إحداث لمدن وغيرها من المعالم الجغرافية تلت المقدمةَ العامةَ.
محمد بن موسى الخوارزمي إسهاماته
ليس هناك سوى نسخة واحدة موجودة من كتاب صورة الأرض، محفوظة في مكتبة جامعة ستراسبورغ. والترجمة اللاتينية محفوظة في المكتبة الوطنية لإسبانيا في مدريد. العنوان الكامل للكتاب هو كتاب صورة الأرض من المدن والجبال والبحار والجزائر والأنهار، استخرجه أبو جعفر محمد بن موسى الخوارزمى من كتاب جغرافيا الذي ألفه بطليموس القلوذى وقد اعتنى بنسخه وتصحيحه هانس فون مژيك.
يفتح الكتاب مع قائمة بخطوط الطول ودوائر العرض، وذلك من أجل «مناطق الطقس»، أي في مناطق خطوط العرض، في كل منطقة جوية، بترتيب خطوط الطول. كما يشير بول جاليز، هذا النظام الممتاز يتيح لنا أن نستنتج الكثير من خطوط العرض وخطوط الطول، حيث ان الوثيقة الوحيدة التي بحوزتنا بحالة سيئة جعلتها عمليا غير مقروءة.