hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
علم النفس الإرشادي عملية الاستشارة والنتائج
تتضمن متغيرات المعالج صفات الاستشاري أو المعالج النفسي ومسلكه، وكذلك التقنيات التي يستخدمها وتوجهه العلاجي والتدريب الذي تلقاه، ولقد وجدت الأبحاث أن الالتزام بنموذج معين من العلاج يمكن أن يكون مفيدًا أو ضارًا أو محايدًا من حيث تأثيره على النتيجة.
لقد تبين أن خصائص العميل كموقفه من طلب المساعدة وأساليب التعلق الخاصة به وتوقعاته ونتائج العملية الاستشارية، تحدد مدى استخدام العميل للاستشارة، كما يمكن أن تمنع وصمة المرض النفسي الناس من الاعتراف بالمشكلات وطلب المساعدة، وقد تبين أن الوصمة العامة مرتبطة بالوصمة الذاتية، والمواقف تجاه الاستشارة، والرغبة في طلب المساعدة.
العلاقة بين الاستشاري والعميل هي مجموعة المشاعر، والمواقف التي يحملها كل من العميل والمعالج تجاه بعضهما البعض، والطريقة التي يتم بها التعبير عن هذه المشاعر والمواقف، وتقترح بعض النظريات أنه يمكن التفكير في العلاقة من خلال ثلاثة أجزاء: الانتقال والانتقال المقابل، وتحالف العمل، والعلاقة الحقيقية،  ويجادل منظّرون آخرون بأن مفاهيم الانتقال والانتقال المقابل قديمة وغير كافية.
علم النفس الإرشادي عملية الاستشارة والنتائج
يمكن وصف الانتقال بأنه تصورات العميل المشوهة عن المعالج والذي يمكن أن يكون لها تأثير كبير على العلاقة العلاجية، على سبيل المثال، قد يكون للطبيب المعالج ميزة الوجه التي تذكر العميل بأحد الوالدين، وبسبب هذا الارتباط، في حال كان لدى العميل مشاعر سلبية أو إيجابية كبيرة تجاه الوالدين، قد يعكس العميل مشاعره على المعالج، ويؤثر هذا بالتالي على العلاقة العلاجية بعدة طرق. فمثلا، إذا كان لدى العميل رابطة قوية جدًا مع والديه، فقد يرى المعالج كأحد الأبوين ويكون له علاقة قوية مع المعالج، مما قد يشكل مشكلة، حيث أنه ليس من الأخلاقي أن يكون للمعالج أكثر من علاقة احترافية بالعميل، ويمكن أن يكون أمرًا جيدًا، فقد ينفتح العميل بشكل كبير على المعالج، وعلى العكس، في حال كان لدى العميل علاقة سلبية للغاية مع الوالدين، قد يشعر العميل بمشاعر سلبية تجاه المعالج، ويمكن أن يؤثر هذا على العلاقة العلاجية أيضًا، على سبيل المثال، قد يواجه العميل مشكلة في الانفتاح على المعالج لأنه يفتقر إلى الثقة في والده (عكس هذه المشاعر بعدم الثقة على المعالج).
علم النفس الإرشادي عملية الاستشارة والنتائج
يهتم علماء النفس الاستشاريون بمدى ارتباط الثقافة بعملية التماس المساعدة وبالعملية الارشادية والنتائج، حيث تستكشف الدراسات الاستقصائية طبيعة الاستشارة عبر الثقافات، والمجموعات الإثنية المختلفة، ويمكن أن يكون نموذج الهوية العرقية لـ جانيت هيلمز مفيدا لفهم كيف يمكن أن تتأثر العلاقة الاستشارية وعملية تقديم المشورة بالهوية العرقية للعميل والمستشار، حيث تشير الأبحاث الحديثة إلى أن العملاء من ذوي البشرة السوداء معرضون لخطر العدوان المصغر العنصري من قبل المستشارين البيض.
قد تكون فعالية العمل مع العملاء من النساء والرجال مثليي الجنس مرتبطًا بالخصائص الديموغرافية للمعالجين، وجنسهم، ومدى تطويرهم للهوية الجنسية، وتوجههم الجنسي، وخبرتهم المهنية، وقد يكون العملاء ذوو الهويات الجنسية المتعددة مضطهدين ومعرضين بشكل خاص لخطر التعرض لمواقف غير فعالة مع المستشارين، لذا قد يحتاج المستشارون إلى اكتساب الخبرة في العمل مع العملاء الذين يكونون من ذوي الميول الجنسية المثلية والمتحولين جنسيًا ومزدوجي الميول الجنسية وغيرهم من المضطهدين.
علم النفس الإرشادي عملية الاستشارة والنتائج
يمكن للدور الاجتماعي لكل من المرأة والرجل أن يظهر بعض المشاكل أمام العميل والاستشاري، حيث ينشأ نتيجة الاستشارة النفسية بعض التحديات والتي تشمل مدى الوعي بالصورة النمطية والتحيزات حول هوية كل من الذكر والانثى وأدوارهم وسلوكياتهم كالتعبير العاطفي، لقد حددت جمعية علم النفس الأميركية معايير للكفاءة في العمل ضمن الثقافات المتعددة حيث أنه يجب أخذ الثقافة بعين الاعتبار عند ممارسة الاستشارة وأثناء إجراء الأبحاث.
تختلف التصورات حول السلوكيات الأخلاقية بناءً على الموقع الجغرافي، إلا أن الأساسيات الأخلاقية متشابهة في جميع أنحاء العالم، وقد تم إنشاء معايير أخلاقية لمساعدة الاستشاريين والعملاء والمجتمع على تجنب احتمالية أو إمكانية حدوث أي ضرر، حيث لا يستطيع المستشارون مشاركة أي معلومات سرية يتم الحصول عليها من خلال عملية الاستشارة دون موافقة كتابية محددة من العميل أو الوصي القانوني عليه، باستثناء منع حدوث الخطر الوشيك والواضح على العميل أو الآخرين، أو عند طلب ذلك بموجب أمر محكمة.
علم النفس الإرشادي عملية الاستشارة والنتائج
لمهنية الاستشاريين النفسيين معايير عالية جدا وذلك بسبب حساسية العلاقة العلاجية التي تربطهم بالعميل، حيث أنه لا يجب على الاستشاريين تجنب العلاقة الأخوية مع عملائهم وحسب، وإنما تجنب العلاقات المزدوجة، وعدم الانخراط معهم في علاقات جنسية، كما يجب عليهم تجنب تلقي الهدايا أو الخدمات أو المقايضة مقابل العلاج.
يمكن أن تلقي مقاييس نتائج الاستشارة نظرة عامة على الأعراض أو أعراض اضطراب معين، أو أن تقيس النتائج الإيجابية كالرفاهية النفسية أو جودة الحياة، هنالك عدة أمثلة على هذه المقاييس، مثل (مقياس الأسئلة ال45) هو مقياس ذاتي للضغط النفسي مكون من 45 بند،  ومقياس بيك للاكتئاب، ومقياس جودة الحياة المكون من 17 بند يقيس مدى الرضا عن الحياة الذاتية.
تستخدم الأبحاث حول عملية الاستشارة والنتائج مجموعة متنوعة من منهجيات البحث للإجابة على أسئلة حول ما إذا كان تقديم المشورة يعمل وكيف ولماذا. تشمل منهجيات البحث الكمية، الاختبارات السريرية والدراسات الترابطية على مدار العملية الاستشارية، أو دراسات مخبرية حول عملية استشارة محددة ومتغيرات نتائجها. أما مناهج البحث النوعية فتتضمن إجراء المقابلات ونقلها وترميزها أي نسخ وترميز الجلسات العلاجية، أو التحليل الدقيق لكل الجلسات العلاجية على حدى أو لحالات علاجية كاملة.
علم النفس الإرشادي التدريب والإشراف
يتم التدريب على الاستشارة النفسية ضمن برامج الدراسات العليا التي تمنح غالبا الدكتوراه، ومعظم برامج الدكتوراه تستغرق من 5 إلى 6 سنوات لإكمالها، حيث يشمل برنامج الدراسات العليا في علم النفس الاستشاري دورات دراسية في علم النفس العام والإحصاء، وممارسة الإرشاد، والبحوث،  ويجب على الطلاب إكمال أطروحة أصلية في نهاية تدريبهم ضمن الدراسات العليا، يجب عليهم أيضا إكمال التدريب بدوام كامل لمدة عام واحد في موقع معتمد للاستشارة قبل الحصول على الدكتوراه، ويجب أن يحصل أخصائيو الإرشاد النفسي على الخبرة السريرية تحت الإشراف، وأن يجتازوا امتحانًا موحدًا وذلك من أجل الحصول على ترخيص للممارسة.
علم النفس الإرشادي التدريب والإشراف
يتضمن علم النفس الاستشاري الدراسة النظرية، والتطبيق للاستشارة، بالإضافة إلى الإشراف. يتحقق الباحثون ضمن علم نفس الاستشارة فيما إذا كان التدريب والإشراف فعالين، ويشرفون كممارسين على مجوعة متنوعة من الاستشاريين. يميل تدريب الاستشارة لأن يطبق ضمن فصول دراسية رسمية وبرامج تدريبية، وقد ينطوي جزء من تدريب الاستشارة على تقديم المشورة لعملاء تحت إشراف طبيب مرخص، ويمكن أن يحدث الإشراف أيضًا بين الأطباء المرخصين كطريقة لتحسين جودة العمل وكفاءته لدى هؤلاء الأطباء أثناء تعاملهم مع أنواع مختلفة من العملاء.
علم النفس الإرشادي التدريب والإشراف
مثلما يوجد نماذج تفاعل بين العملاء والمعالجين، هناك أيضًا نماذج للتفاعل بين المعالجين والمشرفين عليهم. اقترح إدوارد بوردان نموذجاً «لتحالف العمل» وهو شبيه بنموذج تحالف العمل العلاجي. يأخذ نموذج «التطوير المتكامل» بعين الاعتبار مستوى دافعية العميل، ومدى قلقه، واستقلاليته، ووعيه الذاتي وغيره. أما منهج «مقاربة الأنظمة للإشراف» يرى العلاقة بين المشرف والإشراف على أنها الأكثر أهمية، بالإضافة إلى الخصائص الشخصية للمشرف، والعملاء، وإعدادات التدريب، وكذلك مهام ووظائف الإشراف. بينما يركز نموذج «الأحداث المهمة في الإشراف» على اللحظات الهامة التي تحدث بين المشرف والمشرف عليه.
يمكن أن تنشأ مشاكل في الإشراف والتدريب حيث يتحمل المشرفين المسؤولية عن الممارسات الخاطئة. أيضًا، هنالك تساؤلات حول حاجة المشرف إلى تدريب رسمي ليكون مشرفًا كفؤًا، حيث تشير الأبحاث الحديثة إلى أن العلاقات المتعارضة والمتعددة يمكن أن تحدث بين المشرفين والعملاء ، مثل علاقة العميل، والمشرف، والمشرف السريري، فمثلا يشير حدوث العدوان الجزئي العنصري ضد العملاء السود  إلى مشاكل محتملة في التحيز العنصري في الإشراف، وبشكل عام يمكن أن تنشأ النزاعات بين الاستشاري والمشرف الخاص به عندما يظهر المشرفون عدم الاحترام، ونقص الدعم، واللوم.
علم النفس الإرشادي التطوير المهني والإرشاد الوظيفي
يوجد عدة أنواع من النظريات حول الاختيار المهني والتنمية المهنية، تشمل هذه الأنواع «نظريات السمات والعوامل»، و«النظريات المعرفية الاجتماعية»، و«النظريات التنموية». يوجد مثالان على نظرية السمات والعوامل، والمعروفة أيضًا باسم «تناسب الشخص والبيئة»، وهما نظرية هولاند و نظرية تعديل العمل.
افترض جون هولاند وجدود ستة أنواع من اهتمامات الشخصية المهنية وستة أنواع من بيئة العمل: واقعية، وتحقيقية، وفنية، واجتماعية، ومغرية، وتقليدية، وعندما تتطابق الاهتمامات المهنية للشخص مع نوع بيئة عمله، يعتبر هذا انسجام، ويتنبأ الانسجام بالوظيفة والاختصاص الجامعي.
تفترض نظرية تعديل العمل، كما طورها رينيه دويس ولويد لوفكويست،  إن التطابق بين احتياجات العامل والنظم المعززة يتنبأ بالرضا الوظيفي، والتطابق بين مهارات العامل ومتطلبات الوظيفة يتنبأ بالرضا الوظيفي أيضا، بحيث يحدد الرضا الوظيفي والشخصي معاً مدة البقاء في العمل، وعندما يكون هناك اختلاف بين احتياجات أو مهارات العامل واحتياجات أو مهارات الوظيفة، عندها يجب أن يحدث التغيير سواء في العامل أو في بيئة العمل.
علم النفس الإرشادي التطوير المهني والإرشاد الوظيفي
تم اقتراح نظرية المهنة المعرفية الاجتماعية من قبل روبرت د. لنت وستيفن د. براون وجيل هاكيت، حيث تأخذ النظرية أعمال ألبرت باندورا حول الفعالية الذاتية وتوسعها لتشمل تنمية الاهتمامات وصناعة الاختيار والأداء، وتشمل متغيرات الشخص في هذه النظرية معتقدات الكفاءة الذاتية، وتوقعات النتائج، والأهداف الشخصية، ويتضمن النموذج أيضًا خصائص الشخص الديموغرافية وقدرته وقيمه وبيئته، بحيث تؤثر «توقعات الفعالية والنتائج» في تنمية الاهتمامات، والتي تؤثر بدورها على اختيار الأهداف وبالتالي على الأفعال، ويؤثر «الدعم البيئي» والمعوقات أيضا على الأفعال والأهداف، تقود الأفعال إلى الفاعلية وخيارات أكثر استقرارا في المستقبل.
تشمل المشورة المهنية توفير المعلومات المهنية، ومهارات النمذجة، والتدريبات، واستكشاف الأهداف والخطط المهنية. كما يمكن أن تستفيد المشورة المهنية من تقييم الاهتمامات المهنية، مثل مؤشر النمط لمايرز بريجز، والذي يعتمد على نظرية كارل يونغ للنوع النفسي، أو مؤشر الاهتمام الحاد، الذي يستخدم نظرية هولاند، حيث أنه يتم تقييم المهارات والقدرات والقيم بشكل شائع في الاستشارة المهنية.
علم النفس الإرشادي الصحف المتخصصة
في الولايات المتحدة، تعتبر المجلات العلمية الرائدة في هذه المهنة هي مجلة علم النفس الاستشارى  والاستشاري النفسي.
في أستراليا، يتم نشر مقالات الاستشارة النفسية في قسم علم النفس الاستشاري في مجلة الأخصائي النفسي الأسترالي.
في أوروبا، تشمل المجلات العلمية للمهنة: المجلة الأوروبية لعلم النفس الاستشاري (تحت رعاية الرابطة الأوروبية لعلم النفس الاستشاري)  ، ومراجعة علم النفس الاستشاري (تحت رعاية جمعية علم النفس البريطانية). علم النفس الاستشاري الفصلي هو منشور دولي متعدد التخصصات من روتليدج (جزء من مجموعة تايلور وفرانسيس).
جبر خطي
الجبر الخطي (بالإنجليزية: Linear algebra)‏ هو فرع من الرياضيات يهتم بدراسة الفضاءات المتجهية (أَو الفضاءات الخطية) والتحويلات الخطية والنظم الخطية.
تُشكل الفضاءات المتجهية موضوعاً مركزياً في الرياضيات الحديثة؛ لذا يُستعمل الجبر الخطي كثيراً في كلا من الجبر المجرد والتحليل الدالي. للجبر الخطي أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعية والعلوم الاجتماعية.
جبر خطي التاريخ
يعتبر أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي  مؤسس علم الجبر حيث عرض في كتابه حساب الجبر والمقابلة أو الجبر أول حل منهجي للمعادلات الخطية والتربيعية.
المختصر في حساب الجبر والمقابلة هو كتاب رياضي كتب حوالي عام 830 م. ومصطلح الجبر مشتق من اسم إحدى العمليات الأساسية مع المعادلات التي وصفت في هذا الكتاب. ترجم الكتابَ إلى اللاتينية تحت عنوان Liber algebrae et almucabala، روبرت تشستر (سيغوفيا، 1145)، وأيضا ترجمه جيراردو الكريموني. وتوجد نسخة عربية فريدة محفوظة في أوكسفورد ترجمها عام 1831 إف روزين. وتوجد ترجمة لاتينية محفوظة في كامبريج.
انبثقت دراسة الجبر الخطي لأول مرة من دراسة المحددات، التي كانت تُستعمل في حلحلة نظم المعادلات الخطية. استعملت المحددات من طرف لايبنز في عام 1693، وفيما بعد، استخلص غابرييل كرامر قاعدة كرامر التي تمكن من حل الأنظمة الخطية. كان ذلك عام 1750. بعد ذلك، عمل غاوس في نظرية حلحلة الأنظمة الخطية باستعمال طريقة الحذف الغاوسي، التي نُظر إليها في البداية تطورا في الجيوديسيا.
جبر خطي التاريخ
ظهرت دراسة المصفوفات لأول مرة في إنجلترا، وكان ذلك في بدايات القرن التاسع عشر. في عام 1848، أبدع جيمس جوزيف سيلفستر مصطلح Matrix (ماتريكس والتي تترجم إلى اللغة العربية بمصفوفة). مصطلح Matrix يعني باللغة اللاتينية الرّحِم. عندما كان عالم الرياضيات أرثور كايلي يدرس تركيبات التحويلات الخطية، أدى به ذلك إلى تعريف ضرب المصفوفات وإلى تعريف معكوس مصفوفة ما. كما وجد أيضا العلاقة التي تربط المصفوفات بالمحددات. وفي سنة 1882، ألف عالم الرياضيات العثماني حسين توفيق باشا كتابًا سماه «الجبر الخطي».
مؤخرا، وجد عالم الصينيات الأمريكي روجر هارت أن علماء الرياضيات الصينيين وجدوا طريقة مكافئة بشكل أساسي، لحل الأنظمة المكونة من n معادلة والمحتوية على n مجهول في الجبر العصري، ألف سنة قبل الغرب.
جبر خطي مجال الدراسة
تعتبر الفضاءات المتجهية من بين أهم البنى اللائي يدرسهن الجبر الخطي. فضاء متجهي على حقل ما يرمز إليه ب F هو مجموعة V أُضيفت إليها عمليتان ثنائيتان اثنتان. تسمى عناصر V متجهات وقد تسمى عناصر F قياسات. العملية الأولى هي جمع المتجهات. تأخذ هاته العملية مدخلين لها متجهين v و w وتعطي متجه ثالث يُرمز إليه ب v + w. أما العملية الثانية، فتأخذ مدخلين لها عددا قياسياً ما a (أي عنصرا من F) و متجه ما v وتعطي متجهة جديد يُرمز إليه ب av. قد تسمى العملية الثانية جداء عدديا أو ضرباً عدديا للمتجهة v بالعدد a. (مَيز عن الجداء القياسي الذي يأخذ مدخلين له متجهتين اثنتين ويعطي عددا).
تحقق عمليتا الجمع والضرب في فضاء متجهي ما الموضوعات التالية. فيما يلي، u و v و w ثلاث متجهات من V و a و b عنصران من F.
قد تكون عناصر فضاء متجهي عام V كائنات بطبيعات مختلفة. على سبيل المثال، قد تكون دوالا أو متعددات حدود أو متجهات أو مصفوفات. يدرس الجبر الخطي الخصائص المشتركة بين جميع الفضاءات المتجهية.
جبر خطي مجال الدراسة
إذا كان v متجه غير منعدم وكان Tv يساوي v مضروبة في عدد ما، فإن المستقيم المار من الصفر ومن v هو مجموعة ثابتة تحت التطبيق T (أي أن صورتها بالتطبيق T تبقى ضمنها). في هذه الحالة، يسمى v متجه ذاتي ل T. العدد λ حيث Tv = λv يسمى قيمة ذاتية ل T.
من أجل ايجاد المتجهات الذاتية والقيم الذاتية، يُبتدأ بما يلي:
حيث Id هي مصفوفة الوحدة. من أجل حل هاته المعادلة، ينبغي حل المعادلة . دالة المحدد هي متعددة حدود. إذن، فإنه من الممكن عدم إيجاد حلول للمعادلة السابقة الذكر إذا كان العدد λ ينتمي إلى المجموعة . ولهذا السبب، تدرس الفضاءات المتجهية عادة في حقول مغلقة جبريا، مجموعة الأعداد العقدية مثالا.
يقال عن تحويل  أنه تحويل خطي إذا كان يستوفي الشرطين الآتيين :
يحقق الموضوعات الثلاثة الآتية بالنسبة إلى كل ثلاث متجهات u و v و w في V وبالنسبة إلى كل عدد a من F:
لاحظ أن هاته النقطة صحيحة عندما يكون F هو مجموعة الأعداد الحقيقية R.
جبر خطي تطبيقات
مجموعة المعادلات الخطية ذات العدد المحدود من المتغيرات مثل x1, x2, ..., xn ، أو x, y, ..., z تسمى نظام المعادلات الخطية أو النظام الخطي.
وتشكل أنظمة المعادلات الخطية جزءًا أساسيًا من الجبر الخطي. تاريخيًا ساهم البحث عن حل لهذه المعادلات في تطوير الجبر الخطي والمصفوفات. في الترميز الحديث للجبر الخطي الذي يستخدم فضاءات المتجهات والمصفوفات، يمكن التعامل مع العديد من المسائل على أنها أنظمة خطية.
لهذا النظام، يمكن للمرء أن يمثل معاملاته بالمصفوفة التالية
بفرض أن T هو التحويل الخطي المرتبط بالمصفوفة M فإن حل النظام ( S ) هو المتجه
وقيم X هي المطلوبة وهي عبارة عن الصورة العكسية لـ v في التحويل الخطي T
بفرض أن (S′) هو نظام متجانس مرتبط بالنظام أعلاه، بحيث أن قيم الجانب الأيمن من معادلاته هي الصفر:
جبر خطي تطبيقات
حلول (S′) هي بالضبط عناصر نواة التحويل الخطي T أو بالمساواة عناصر نواة المصفوفة M
الحذف الغاوسي يتضمن إجراء عمليات صف أولية على المصفوفة الممتدة
لتحويلها لشكل دَرَجِي صفي مخفض (Reduced row echelon form). عمليات الصف هذه لا تغير مجموعة حلول نظام المعادلات. في المثال، شكل الدَرَجْ المختزل هو
ومنه نرى أن النظام (S) له الحل الفريد التالي
وبسبب استخدامنا لهذا الشكل المصفوفي لوصف الأنظمة الخطية فبالتبعية يمكننا تطبيق نفس الأساليب لحل الأنظمة الخطية ولعمليات أخرى عديدة على المصفوفات والتحويلات الخطية، مثل حساب رتبة المصفوفة وحساب النواة وعكس المصفوفة.
جبر خطي مقدمة
بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد. ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها. يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه: الداخلي والخارجي) وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية. يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادًا.
جبر خطي مقدمة
يصعب غالبا تخيل أشعة نونية البعد لكن مثل هذه الأشعة يمكن اعتبارها مجموعات مرتبة نونية مفيدة في تمثيل البيانات التي يُراد معالجتها في الكثير من العلوم. فالأشعة قائمة عناصر (مكونات) مرتبة، من الممكن تلخيص ومعالجة البيانات بشكل فعال ضمن هذا الأسلوب التجريدي من المعالجات. مثلا في علم الاقتصاد، يمكن للمرء أن يستعمل فضاءات شعاعية ثمانية الأبعاد أي مجموعات مرتبة ثمانية (8-tuples) ليمثل الناتج القومي الأعلى لثمانية بلدان مختلفة. فيمثل الناتج القومي الأعظم لبلدان ثمانية بشكل مجموعة مرتبة مثلا: (v1، v2، v3، v4، v5، v6، v7، v8).
وبالنسبة للفضاء الشعاعي أو الفضاء الخطي مصطلحًا تجريديًا فيمكن صياغة مبرهنات حوله، حيث يمكن اعتباره قسما من الجبر التجريدي حيث ينسجم تماما مع ذلك الفرع من الدراسة. من أمثلة ذلك: زمرة المصفوفات وحلقة الخرائط الخطية للفضاء الشعاعي. ومن أهم ما يُدرس خلاله هو
طوبولوجيا
في الرياضيات، الطوبولوجيا أو التوبولوجيا (بالإنجليزية: Topology)‏ كلمة يونانية (من topos وتعني مكان أو بنى وlogos تعني دراسة أو علم) هي دراسة المجموعات المتغيرة التي لا تتغير طبيعة محتوياتها. مما دفع بعض علماء الرياضيات والهندسة إلى تسميتها الهندسة المطاطية.
تهتم الطوبولوجيا بدراسة الخصائص المكانية المنحفظة وفق التشوهات ثنائية الاستمرار (الشد دون التمزيق)، هذه الخصائص تعرف عادة باللامتباينات الطوبولوجية، تأسس هذا الفرع من الرياضيات في بدايات القرن العشرين آخذا في تطوره من عام 1925 إلى 1975 حيث شهد نضوجه وتشكله اختصاصا متكاملا.
يمكن القول على سبيل التبسيط أن هذا العلم يهتم بالخصائص الرياضية التي لا تتأثر عند التحول من فضاء رياضي إلى آخر. كذلك يمكن القول أن الطوبولوجيا هو العلم الذي يهتم بدراسة الخصائص الطوبولوجية التي تنتقل من فراغ إلى فراغ آخر بواسطة التشاكل. لفهم معنى كلمة التشاكل فإنه يقال عن دالة ما أنها تشكل تشاكلا إذا كانت دالة مستمرة والصورة العكسية لها أيضاً مستمرة وشاملة ومتباينة.
طوبولوجيا تعريف
الطوبولجيا من النظريات (التركيبات) الحديثة في الرياضيات التي نشأت في القرن التاسع عشر وتبلورت خلال القرن العشرين. رغم أن جذوره تمتد في الهندسة والتحليل الرياضي إلا أنه بنموه استقل عنهما وأصبح الآن أداة تخدم كل الرياضيات.
وقد نما الطوبولوجيا من نواحي هندسية كما في الطوبولوجيا التجميعي (التوافقي) combinatorial على أيدي أويلر وأوغست فيرديناند موبيوس وفيليكس كلاين وريمان وتبلور على يد هنري بوانكاريه. ونما من التحليل الرياضي وامتدادا لنظرية الفئات كما في الطوبولوجيا التحليلي (العام)، ومن ثم فإن نموه اتبع خطين أحدهما المجالات التي ينظر فيها إلى الفراغات الطوبولوجية على أنها تكوينات هندسية معممة ويكون التركيز فيها على تركيب الفراغات نفسها، ومن هذه المجالات التي استحدثت الهومولجيا (الطوبولوجيا الجبري) على أيدي ايلنبرج وستينرود (1930)، والهومولجيا عل يد أيلنبرج (1945)، ودراسات الطي التي أثارتها أعمال هنري بوانكاريه (1900)، ونظرية الأبعاد التي أثارتها أعمال ريمان (1850 - 1870).
طوبولوجيا تعريف
أما الخط الثاني ففي التحليل الرياضي حيث ينظر إلى الفراغات الطوبولجية حاملة للدوال المستمرة حيث تحتل الدوال المستمرة أهمية كبرى فيها. ومن هذه المجالات نظرية باناخ وفراغات هيلبرت وجبريات باناخ والنظرية الحديثة للتكامل (تكامل لوبيغ) ونظرية القياس والتحليل التوافقي الحديث والتحليل الدالي.
وهذ يوضح أن الطوبولوجيا أصبح أساساً لمعظم الرياضيات المعاصرة. وعموماً فالأساس النظري لكل أنواع الطوبولوجيا هو تركيب الفراغ الطوبولوجي والطوبولوجيا التحليلي (العام).
طوبولوجيا تعريف
ويعتبر كانتور من الأوائل المخترعين للطوبولوجيا التحليلي، فقدم دراسة لفئات جزئية من الفراغ الطوبولوجي وعليها قدم المفاهيم الأساسية للطوبولوجيا مثل الفئات المقفولة والفئات المفتوحة والانغلاق ونقطة النهاية والداخل والخارج....خاصة على خط الأعداد.
أما تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق الفئات المفتوحة ويسمى طوبولوجيا الفئات المفتوحة point set topology فقدمه كازيميرز كوراتوفسكي (1922)، وعن طريق الجوار فقدمه فيليكس هاوسدورف (1914). وقد سبقهما فرشيه (1906) وريسز (1907 - 1908) في تعريف الفراغ الطوبولوجي عن طريق تقارب المتتابعات ولكن تعريفاتهم كانت غير مرضية، وقدم أندريه كولموغوروف (1935) وريسز (1907)، وهاوسدروف (1914)، وتشينوف (1930) أنواعا من الفراغات الطوبولوجية على أساس بديهيات الانفصال.
وببساطة الأنواع (الفروع أو المجالات الأساسية للطوبولوجيا):
طوبولوجيا التاريخ
كانت بدايات الطبولوجيا في البحث عن أجوبة لتساؤلات هندسية في أواسط القرن الثامن. وتعتبر المسألة التي طرحها العالم الرياضي ليونهارد أويلر عام 1736 بعنوان جسور كونيغسبرغ السبعة أول ورقة بحث أكاديمي في الطوبولوجيا.
تم استخدام مصطلح طوبولوجيا للمرة الأولى في ألمانيا عام 1847 من قبل العالم الرياضي الألماني يوهان بينيدكت ليستينغ أما الكلمة الإنجليزية فقد ظهرت للمرة الأولى في عام 1833 في مجلة نيتشر البريطانية.
وخلال الفترة الممتدة بين أواخر القرن التاسع عشر وأواسط القرن العشرين تم وضع العديد من الكتب التي أسست للطوبولوجيا لتكون فرعا رياضيا مستقلا.
وتستند الطوبولوجيا الحديثة بشكل كبير على نظرية المجموعات.
من أشهر علماء الطبولوجيا في بدايات القرن العشرين الرياضي فيليكس هاوسدورف الذي قدّم في عام 1914 مفهوم الفضاءات الطبولوجيا وما سيعرف لاحقاً باسم فضاء هاوسدورف.
جبر شامل
الجبر الشامل هو فرع الجبر الذي يدرس الخواص والبنى العامة المشتركة بين كل فروع الجبر.
جبر شامل مقدمة
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة A مزودة بجموعة من العمليات على A. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على A تمثل دالة رياضية تأخذ n عنصر من المجموعة A وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من A.
لذلك فإن المجموعة الصفرية 0-ary operation (أو nullary operation) يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من A أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل a.
بالمقابل العملية الأحادية 1-ary operation (unary operation) ببساطة عبارة عن دالة من A إلى A يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول ~x. العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية : x * y.
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين : (f(x،y،z أو
f(x1،...،xn).
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات لامنتهية infinitary مثل :
، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية للمشابك الكاملة complete lattice.
جبر شامل مقدمة
بعد تعريف العمليات، يمكن أن تحدد طبيعة الجبر عن طريق بدهيات axiom، وهي تأخذ في الجيبر الشامل شكل قوانين مساواة equational laws.
أحد أمثلة البدهية التوزيعية للعملية الثنائية، هي التي تعطى بالمعادلة :
يقصد بكل بدهية أن تنطبق على جميع القيم التي يمكن ل x، y، وz أن تأخذها من ضمن المجموعة التي تم التعريف عليها : A.
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من نظرية النموذج model theory نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون علاقات relationship)، يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط. من جهة أخرى البنى هي مثل البنى التي يتم تعريفها في التصانيف التي تملك جداء (نظرية التصنيف) محدد.
نظرية الفئات
نظرية الفئة أو نظرية الفئات (بالإنجليزية: Category Theory)‏ في الرياضيات، وتتناول البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية والعلاقات المتبادلة فيما بينها وهي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل إيلينبرغ Samuel Eilenberg وسوندرز ماكلين في عام 1945. تظهر الفئات في جميع فروع الرياضيات وبعض فروع علم الحاسوب النظري والفيزياء الرياضية.
نظرية الفئات الفئات ، الأشياء ، والمورفيزمات
·        جماعة  C0 من العناصر تسمى أشياء C نرمز لها، غالبا، بأحرف لاتينية كبيرة X، Y،  Z...
·        جماعة C1 من العناصر تسمى مورفيزمات أو أسهم C، غالبا، ما نرمز لها بأحرف صغيرة 𝒻، ℊ، 𝒽.
·        يرتبط بكل سهم أو مورفيزم 𝒻 شيئان، يُسمى الأول بالمصدر أو المجال s(𝒻)  والشيء الثاني بالهدف t(𝒻)، عندما يكون للمورفيزم 𝒻 مصدر X وهدف Y نكتب :  𝒻 :X⟶Y .
·        كل شيء X له سهم مميز يسمى بمورفيزم أو سهم المطابقة idx :X→X . حيث يشير id  إلى identity أي المطابقة، طلبا للاختصار سنستعمل رمزا آخر لسهم المطابقة على X وهو 1X
·      عندما يكون  هدف السهم 𝒻 مطابقا لمصدر السهم ℊ، أي   (ℊ)t(𝒻)=s، ، عندئذ  يمكن تركيب السهمين لنحصل على مورفيزم جديد 𝒻∘ℊ يسمى بالمورفيزم المركب، بحيث إن مصدر السهم المركب 𝒻∘ℊ هو مصدر 𝒻، وهدفه هو هدف ℊ، نكتب ذلك بصيغة رمزية :
s( ℊ∘𝒻)=s(𝒻) و  t( ℊ∘𝒻)=t(ℊ) ، نمثل ذلك مبيانيا على الشكل الآتي:
نظرية الفئات الفئات ، الأشياء ، والمورفيزمات
نقرأ المركب 𝒻∘ℊ  هكذا : ℊ بعد 𝒻، أو تركيب  𝒻 مع ℊ ، عملية تركيب الأسهم هي عملية ثنائية جزئية[1] بمعنى أنها غير معرفة على جميع الأسهم، خلافا للعمليات التي رأيناها سابقا مع البنيات الجبرية، ففي الزمرة مثلا عملية الزمرة معرفة على جميع عناصر المجموعة .
·        الوحدانية : لكل مورفيزم     𝒻 :X⟶Y، التركيبان  𝒻∘idx و 𝒻idy∘ مساويان لــ 𝒻
الرسم البياني في الشكل 67 تبادلي[1] ومن ثم فإن :
·        التجميعية : إذا كان 𝒻 :X⟶Y و ℊ :Y⟶Z           و Z⟶W:𝒽  فإن :
[1] -تبادلي ترجمة للمصطلح الأجنبي commutative
[1] - يتجنب علماء الرياضيات استعمال مصطلح مجموعة وتعويضه بمصطلح جماعة بسبب أزمة الأسس التي عصفت بنظرية المجموعات مع ظهور المفارقات التي ارتبطت بمفهوم المجموعة Set ، لذلك استبدلت بصنف class
[2] -يشير الحرف s إلى المصدر source فمصدر السهم 𝒻  يرمز له بالرمز s(𝒻) ، أما الحرف t فيشير إلى الهدف target ويرمز له بالرمز t(𝒻)
نظرية الفئات خلفية حول الموضوع
دراسة التصنيفات محاولة لالتقاط ما هو شائع ومشترك في الأصناف المختلفة للبنى الرياضية المتنوعة.
ليكن لدينا الصف Grp من الزمر المؤلفة من جميع الأغراض التي لها «بنية زمرة». بشكل أكثر تحديدا، Grp تتألف من جميع المجموعات G المزودة بعلاقة ثنائية والتي تحقق مجموعة من البدهيات. وعن طريق مجموعة البدهيات تلك يمكن للمرء استنتاج مجموعة من المبرهنات حول الزمر. فمثلا من المسلمات الأساسية يمكن الاستنتاج مباشرة أن العنصر الحيادي للزمرة يكون وحيدا.