hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
الشيشان التاريخ
وقاد الإمام منصور حرباً ضد الغزو الروسي من سنة (1780 م – سنة 1791 م) حيث وقع في الأسر ثم مات عام 1794 م في سجن سليسبرغ. ثم قاد الإمام غازي محمد الداغستاني محمد حرباً ضدهم من سنة 1824 م – 1832 م.
في عام 1828 م عمت الحرب سائر أرجاء القوقاز، واستمرت الخلافات بين المسلمين والروس في داغستان تحت زعامة كل من الإمام غازي محمد الداغستاني والإمام حمزات.
وبعد مقتل الإمام حمزات، تابع الإمام شامل تزعم المقاومة، كما انضمت القوات التي كانت تحت رئاسة تاسو حجي إلى الإمام شامل.
في عام 1839 م بدأت كافة شعوب شمال القوقاز النضال تحت زعامة الإمام شامل الداغستاني الذي استمر 25 سنة.
في عام 1859 م احتل الروس قرية فيدينو آخر معقل للشيشانيين، واستسلم الإمام شامل للروس، ورغم ذلك ففي عام 1862 قام الشركس بثورتهم إلا أنها أخمدت من قبل الروس في عام 1864 م.
وبذلك تكون سنة 1859 م تاريخ تركيز الروس لأقدامهم في شمال القوقاز، وتعتبر سنة 1864 م السنة التي بسط الروس فيها سيطرتهم الكاملة على شمال القوقاز بعد إخماد ثورة الشركس وانتهاء المقاومة الشيشانية.
الشيشان التاريخ
وقعت في الشيشان ثورات عدة ضد الحكم الروسي في السنوات التالية 1818، 1824، 1826،1831 بقيادة الإمام شامل الداغستاني واستمرت من 1831 حتى 1865 كذلك ثورة الحركة القادرية عام 1877 بالإضافة للمقاومة الشيشانية التي استمرت حتى 1917. وبعد انتصار الثورة الشيوعية في روسيا وفي السنوات التالية اللاحقة تجددت المقاومة الشيشانية بوسائل مختلفة ومنوعة، فكانت ثورة 1928 بقيادة الشيخ شيتا استاميلوف واستمرت حتى عام 1935 وانتهت بإعدام مجموعة كبيرة من القادة الدينيين والشيوعيين الشيشان.
الشيشان التاريخ
بعدها بدأت مقاومة مدنية وسياسية عام 1940 بقيادة الكاتب الشيوعي حسن إسرائيلوف ومحام شيوعي يدعى مايربيك شريبوف واستمرت حتى 1942 وتم قمعها بقصف جوي ومدفعي لمناطق الشيشان. في الحرب العالمية الثانية تم نفي وتهجير مئات الآلاف من الشيشان عن أراضيهم وبلادهم وتوفي منهم مائة ألف بسنتين نتيجة التهجير والظروف السيئة وألغيت جمهورية الشيشان - أنغوش، أسس ستالين جمهورية الشيشان ذات الحكم الذاتي عام 1944م، ونفى شعبها عام 1945م بعد اتهامهم بالتعاون مع النازية. استمر اعتقال الشعب الشيشاني في سيبيريا حتى العام 1957 م حين سُمح لهم بالعودة وتشكيل جمهورية تحت إشراف وحكم روسي مباشر. لتعود تلك الشعوب المنفية إلى بلادها بعد وفاة ستالين وتسلم خروتشوف لمقاليد الحكم السوفيتي عام 1958.
الشيشان التاريخ
بعد قيام الثورة البلشيفية في روسيا عام 1917 بقيادة فلاديمير لينين أعلن قيام جمهورية روسيا الاتحادية الاشتراكية السوفيتية وتوجهت أنظار الشيوعيين إلى الشيشان فقاموا باحتلالها فقد عانَى الشعب الشيشاني ظروف قاسية ابان حكم جوزيف ستالين وقتل وترحيل الشعب الشيشاني واتهام الشيشانيين بتعاونهم مع الالمان النازيين ولكن بعد وفاة ستالين عام 1953 تسلم نيكيتا خروتشوف مقاليد الحكم فاصبح خروتشوف رئيساً للاتحاد السوفيتي خلفاً لستالين فعاد الشعب الشيشاني إلى بلاده بأمر من خروتشوف إلى انهيار الاتحاد السوفيتي عام 1991
بعد انهيار الاتحاد السوفيتي عام 1991 انتُخب القائد الجنرال المعروف جوهر دوداييف رئيساً للشيشان بناء على الانتخابات العامة التي جرت بتاريخ 27 تشرين الأول 1991 وحصل فيها على نسبة 85% من الأصوات. ثم أعلن رئيس جمهورية الشيشان جوهر دوداييف استقلال الشيشان، مما أشعل الحرب الضارية بين الروس والشيشان من 1994 حتى 1996. وبالقيادة العسكرية الميدانية (شامل باسييف) وسامر بن صالح بن عبد الله السويلم -سعودي الجنسية - الملقب خطاب كان قائد المقاتلين العرب في الشيشان. ثم عادت الحرب وتجددت عام 1999.
الشيشان التاريخ
أبان الحرب الشيشانية الروسية بين الأعوام 94 و 96 حدثت عدة عمليات احتجاز رهائن نفذتها مجموعات شيشانية في مناطق روسية مختلفة. وكانت أبرز تلك العمليات ما قام به القائد الشيشاني الميداني شامل باسييف ومجموعته التي احتلت مستشفى وحجزت كل من كان فيها وهددوا بقتل كل من فيها من أطباء وعاملين ومرضى، وانتهت العملية بقبول شروط باسييف.
كذلك قام القائد الشيشاني الميداني سلمان رادوييف مع مجموعة من رجاله باحتجاز ثلاثة آلاف من الرهائن في مدينة كزليار بجمهورية داغستان جنوب القوقاز. وقتل في العملية بعد تدخل القوات الروسية المسلحة 200 شخص بينهم 78 جندياً روسيا. تمكن بعدها دوداييف ورجاله من الانسحاب بعد أن أصيب بجراح خطيرة.
توصلت القيادة الروسية بزعامة يلتسن إلى استنتاج بأنه لا بد من استخدام القوة لإعادة الجمهورية المتمردة تحت السيطرة الروسية، ففي يوم 25/11/1994 م هاجم بعض الذين دعمتهم موسكو العاصمة غروزني بالدبابات والأسلحة الثقيلة، إلا أنهم اضطروا للانسحاب بعد يوم واحد.
الشيشان التاريخ
دخلت القوات الروسية أراضي الجمهورية في 11/12/1994 م، ودارت معارك طاحنة بين الطرفين، وتكبد الجيش الروسي خسائر فادحة، أما المدنيّون، فقد لجأ كثير منهم إلى المناطق المجاورة وخاصة أنغوشيا.
14/6/1995 م، قامت مجموعة من الشيشانيين بقيادة شامل باساييف بهجوم على بلدة بودونوفسكي التابعة لمدينة ستافروبول على بعد 70 كم من الشيشان حيث احتلوا المستشفى الموجود في البلدة واحتجاز المئات من الرهائن الروس، وطالب بوقف عمليات القوات الروسية وانسحابها من الشيشان.
30/10/1995 م،(الانسحاب من فيدينو): بدء عمليات الانسحاب الروسية من بعض المدن وأولها مدينة فيدينو بتاريخ 30/10/1995. كان ذلك بعد 3 عمليات كبيرة ضد قوافل عسكرية روسية قامت بها كتائب تحت قيادة القائد العسكري خطاب.
16/4/1996 م،(كمين شاتوي) في يوم 16 أبريل 1996 قاد القائد خطاب عملية من أجرأ العمليات وفيها قاد مجموعة مكونة من 50 مقاتلاً لمهاجمة طابور تابع للجيش الروسي مكون من 50 سيارة مغادرة من الشيشان، تقول المصادر العسكرية الروسية أن 223 عسكرياً قتلوا من ضمنهم 26 ضابطاً كبيراً ودمرت الخمسون سيارة بالكامل، نتج عن هذه العملية إقالة ثلاثة جنرالات وأعلن بوريس يلتسين بنفسه عن هذه العملية للبرلمان الروسي، قام المقاتلين بتصوير هذه العملية بالكامل على شريط فيديو، بعدها بشهور نفذت نفس المجموعة عملية هجوم على معسكر للجيش الروسي نتج عنه تدمير طائرة هليكوبتر بصاروخ AT- 3 Sager المضاد للدبابات ومرة أخرى تم تصوير العملية بالكامل على شريط للفيديو.ألكسندر ليبيد.
وعلى ضوء الموقف الميداني، وموقف الرأي العام العالمي، رأت روسيا أن أفضل حل للخروج من هذا المأزق هو وقف الحرب. فقامت بتوقيع اتفاقية مع الشيشان بتاريخ 31/8/1996 م، وقعها عن الشيشان سليم خان وعن روسيا الجنرال ألكسندر ليبيد، وتنص على وقف القتال وخروج الروس من الشيشان، وإجراء استفتاء في الشيشان في 31/12/2001م لتقرير المصير.
وقع الرئيس الجديد للجمهورية أصلان مسخادوف والرئيس الروسي يلتسين معاهدة سلام بتاريخ 12/5/1997م، وتنص على بناء العلاقات بينهما وفق القانون الدولي، وأنه لا يجوز استعمال السلاح ولا التهديد باستعماله لحل النزاع بينهما، تنص المعاهدة على استقلال الشيشان.
في أيلول 1999م وقعت انفجارات في أماكن مختلفة من روسيا وداغستان أودت بحياة 250 شخصاً حيث أنّ الروس لم يلتزموا بالاتفاقية ونقضوها. وعلى إثر عملية احتجاز مدنيين روس في مسرح البولشوي" من طرف مجاهدين شيشان، قام الجنود الروس بإدخال الغاز الذي أودى بحياة العديد من المدنيين. كما قتل العديد من المدنيين والأطفال خلال عملية مدرسة بيسلان في أوسيتيا الشمالية عام 2004 والتي استولى خلالها مقاتلون شيشان على إحدى المدارس وجعلوا تلامذتها رهائن وقد رفضت القوات الروسية التفاوض مع المحتجزين.
ولايات تركيا
تنقسم تركيا إلى إِحْدَى وَثَمَانِينَ وِلَايَةً (بالتركية: ولایت/vilayet أو ایل/il)، وكل واحدة هي مجموع أقضية أقلها ثلاثة وأكثرها تسعة وثلاثون، ويقع مركز الولاية في أحدها ويسمى القضاء المركزي. وتسمى الولايات بأسماء مراكزها إلا ثلاث هي: ولاية قوجالة ومركزها إزميد، وولاية حطاي ومركزها أنطاكية، وولاية سقارية ومركزها آطة بازار. ويتولى أمر الولاية الوالي (بالتركية: والی/vali) يولّيه عليها رئيس تركيا بعد أن يسمّيه وزير الداخلية.
وأهل تركيا سنة 2019 بلغوا 83 مليونا من الأنفس، وأقام منهم في الأقضية المركزية 77 مليونا، فكانوا نحو 93 في المئة من مجموع سكان تركيا، وهذا دليل على غلبة عمران الحواضر على البوادي فيها.
عدد أولي
العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جُداء (ضَرب) مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.
لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.
عدد أولي
مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسياً مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسياً مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.
عدد أولي
خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساساً هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.
عدد أولي تعريف وأمثلة
يكون عدد طبيعي ما أوليا إذا كان أكبر قطعا من 1 وكان له قاسمان اثنان، 1 والعدد نفسه. الأعداد الطبيعية الأكبر قطعا من 1 والغير أولية قد تسمى أعداداً مركبةً أو مؤلفةً (لا ينبغي الخلط مع الأعداد المركبة والتي تسمى أيضا الأعداد العقدية).
من بين الأعداد الطبيعية المحصورة بين 1 و 6، الأعداد 2 و 3 و 5 أولية، بينما الأعداد 1 و 4 و 6 أعداد غير أولية. أُقصى الواحد من لائحة الأعداد الأولية. 2 عدد أولي لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 2 نفسه. 3 عدد أولي أيضا لأن القاسمين الوحيدين له هما 1، 3 نفسه. قسمة 3 على 2 تعطي باقيا مساويا ل 1. إذن، 3 أولي. 4 عدد غير أولي لأنه بالإضافة إلى 1 و 4 اللذان يقسمانه، 2 أيضا يقسمه:
5 عدد أولي لأن 2 و 3 و 4 لا يقسمونه. 6 عدد غير أولي لأنه قابل للقسمة على 2 و 3.
جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 أو 3 أو 7 أو 9 لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 هي من مضاعفات العدد 2 (تسمى أعدادا زوجية) فليست بالتأكيد أولية، والأعداد التي تنتهي ب 5 هي من مضاعفات العدد 5 فليست أولية أيضاً.
عدد أولي تعريف وأمثلة
الأعداد الأولية المائة والثمانية والستون الأولى والأصغر من 1000 هي :
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 127، 131، 137، 139، 149، 151، 157، 163، 167، 173، 179، 181، 191، 193، 197، 199، 211، 223 227، 229، 233، 239، 241، 251، 257، 263، 269، 271، 277، 281، 283، 293، 307، 311، 313، 317، 331، 337، 347، 349، 353، 359، 367، 373، 379، 383، 389، 397، 401، 409، 419، 421، 431، 433، 439، 443، 449، 457، 461، 463، 467، 479، 487، 491، 499، 503، 509، 521، 523، 541، 547، 557، 563، 569، 571، 577، 587، 593، 599، 601، 607، 613، 617، 619، 631، 641، 643، 647، 653، 659، 661، 673، 677، 683، 691، 701، 709، 719، 727، 733، 739، 743، 751، 757، 761، 769، 773، 787، 797، 809، 811، 821، 823، 827، 829، 839، 853، 857، 859، 863، 877، 881، 883، 887، 907، 911، 919، 929، 937، 941، 947، 953، 967، 971، 977، 983، 991، 997.
عادة ما يرمز لمجموعة الأعداد الأولية بالرمز P.
عدد أولي المبرهنة الأساسية في الحسابيات
تنبثق أهمية الأعداد الأولية في نظرية الأعداد وفي الرياضيات عموما من المبرهنة الأساسية في الحسابيات، والتي تنص على أن كل عدد صحيح موجب أكبر من 1، يمكن أن يكتب على شكل جداء أي (ضرب) لعدد أولي واحد أو مجموعة من الأعداد الأولية. هذه المجموعة وحيدة إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية التي تُكونها. ونتيجة لذلك، هو أنه يمكن اعتبار الأعداد الأولية الأساس التي بنيت عليه الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال،
كما في المثال السابق، قد يتكرر نفس العامل الأولي أكثر من مرة. تسمى عملية تحليل عدد n ما إلى جداء عومل أولية :n = p1 · p2 · ... · pt تحليل عدد صحيح إلى عوامل. يمكن إذن صياغة المبرهنة الأساسية في الحسابيات كما يلي:
تحليل عدد صحيح إلى عوامل وحيد إذا غُض النظر إلى ترتيب الأعداد الأولية في هذا التحليل. قد تختلف الخوارزميات لإيجاد هذا التحليل، ولكن النتيجة وحيدة ولا تتعلق بالخوارزمية المستعملة.
عدد أولي المبرهنة الأساسية في الحسابيات
إذا كان p عددا أوليا وكان يقسم جداء a × b لعددين طبيعيين a و b، فإنه يقسم أحد حدي هذا الجداء، أي أنه يقسم a أو يقسم b. تسمى هذه الخاصية بموضوعة أقليدس. تستعمل في بعض البراهين على وحدة تحليل عدد صحيح إلى جداء أعداد أولية.
لم يعتبر معظم الإغريق العدد 1 على أنه عدد. ولهذا، لم يعتبروه أوليا. بينما في القرن التاسع عشر، اعتبره عدد من علماء الرياضيات أوليا. على سبيل المثال، اللائحة التي كونها ديريك نورمان ليهمر من الأعداد الأولية الأصغر من 10,006,721، والتي طبعت لآخر مرة في عام 1956، ابتدأت بالعدد 1. حتى القرن التاسع عشر، كان علماء الرياضيات يعتبرون 1 عددا أوليا، بما أن تعريف الأعداد الأولية كان آنذاك هو كل عدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه. ويقال أن عالم الرياضيات هنري ليون لوبيغ هو آخر عالم رياضيات اعتبر 1 أوليا. رغم أن الجزء الكبير من الأعمال في الرياضيات يبقى صحيحا إذا اعتُبر 1 عددا أوليا، ولكن المبرهنة الأساسية في الحسابيات لا تبقى صحيحة. على سبيل المثال، العدد 15 يمكن أن يُعمّل إلى 3×5 أو إلى 1×3×5. إذا كان 1 أوليا، هذان الشكلان الاثنان مختلفان عن بعضما البعض مما يجعل نص المبرهنة خاطئا. بالإضافة إلى ذلك، للأعداد الأولية مجموعة من الخصائص لا يملكها العدد 1. من بينها العلاقة التي تربط عددا ما بقيمة دالة مؤشر أويلر أو بدالة مجموع القواسم.
عدد أولي التاريخ
تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية: يأخذ التحليل إلى كسر مصري شكلا مختلفا عندما يُطَبق على أعداد أولية عن الشكل الذي يأخذه عندما يُطَبق على أعداد غير أولية.
مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأنها. قام عالم الرياضيات اليوناني إراتوستينس بدراسة الأعداد الأولية، رغم أن أيٍ من مخطوطاته لم توجد، فقد أشار إليها علماء آخرون.
عدد أولي التاريخ
بعد الإغريق، لم يحدث الكثير فيما يتعلق بدراسة الأعداد الأولية حتى القرن السابع عشر. في عام 1640، نص بيير دي فيرما مبرهنة فيرما الصغرى بدون تقديم أي برهان عليها (بُرهن عليها فيما بعد من طرف لايبنتز وأويلر). حالة خاصة من مبرهنة فيرما قد تكون قد عرفت من طرف الصينيين من قبل.
حدس فيرما أن جميع الأعداد الطبيعية على الشكل 22n + 1 (تسمى هذه الأعداد بأعداد فيرما) هي أعداد أولية وقد تحقق من ذلك إلى حدود n = 4 (أي 216 + 1). ولكن عدد فيرما التالي (أي 232 + 1) هو عدد مؤلف (واحد من قواسمه الأولية 641) كما اكتشف ذلك أويلر فيما بعد. بالإضافة إلى ذلك، حاليا لا يعرف عدد أولي ما يكتب على شكل أعداد فيرما.
درس رجل الكنيسة الفرنسي مارين ميرسين الأعداد الأولية على الشكل 2p − 1 حين يكون العدد p أوليا أيضا. سميت هذه الأعداد بأعداد ميرسن الأولية تكريما له.
احتوى عمل أويلر في نظرية الأعداد على مجموعة من النتائج تتعلق بالأعداد الأولية. برهن على أن المتسلسلة غير المنتهية 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … هي متسلسلة متباعدة. في عام 1747، برهن على أن الأعداد المثالية الزوجية هي بالتحديد الأعداد الطبيعية اللائي يكتبن على الشكل (2p−1(2p − 1 حيث الحد الثاني من هذا الجداء هو عدد أولي لميرسن..
منذ عام 1951، كل الأعداد الأولية الكبيرة اللائي وُجدن، وُجدن بفضل الحاسوب. انظر إلى البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.
عدد أولي عدد الأعداد الأولية
يوجد عدد غير منته من الأعداد الأولية تتوزع بشكل غير منتظم. وبتعبير آخر، المتسلسلة
لا تنتهي أو لا تتوقف. تُدعى هذهِ المبرهنة مبرهنة أقليدس تكريما لعالم الرياضيات الإغريقي أقليدس بما أن أول برهان معروف لها يعود إليه. تُعرف حاليا براهين أخرى للا نهائية الأعداد الأولية منها برهان تحليلي من طرف أويلر، وبرهان غولدباخ المعتمد على أعداد فيرما، وبرهان فورشتنبرغ باستعمال الطوبولوجيا العامة وبرهان كومر الأنيق.
برهان أقليدس يعتبر مجموعة منتهية ما S، من الأعداد الأولية. إن الفكرة الأساسية هي النظر إلى جداء جميع هذه الأعداد، أضيف إليه 1.
عدد أولي عدد الأعداد الأولية
عادة ما يعتقد خطأ أن برهان اقليدس يعتمد على طريقة البرهان بالخلف.
يستعمل برهان أويلر مجموع مقلوبات الأعداد الأولية كما يلي :
هذه المتسلسلة تصير أكبر من أي عدد حقيقي معين عندما يصير p كبيرا بما فيه الكفاية. هذا يدل على أن هناك عددا غير منتهي من الأعداد الأولية. نمو (S(p، تعطيه مبرهنة ميرتنز الثانية. على سبيل المقارنة، المتسلسلة
لا تتباعد إلى ما لا نهاية له. هذا يدل على أن الأعداد الأولية أكثر كثافة من مربعات الأعداد الطبيعية. تنص مبرهنة برون على أن مجموع مقلوبات الأعداد الأولية التوأم.
عدد أولي اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
هناك العديد من الاختبارات لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا. أبسطها هي القسمة المتكررة. ولكن هذه الطريقة قليلة النفع والاستعمال وذلك لكونها شديدة البطئ.
عدد أولي اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
الطريقة الأكثر بساطة، والأكثر سهولة من حيث الفهم، من أجل تحديد أولية عدد ما تدعى القسمة المتكررة. تتمثل هذه الطريقة في قسمة العدد n على جميع الأعداد الصحيحة الأكبر من الواحد والأصغر من الجذر التربيعي ل n. إذا لم تنتج إحدى هذه القسمات باقيا، فإن العدد n ليس بالأولي. وهو أولي في غير ذلك. بالفعل، إذا كان n = a * b عددا مؤلفا (أي أن العددين الطبيعيين a و b يختلفان عن الواحد)، فإن على الأقل واحد من هذين العددين يكون أصغر من أو يساوي الجذر التربيعي ل n. على سبيل المثال، إذا توفر n = 37، فإن القسمة المتكررة تخص الأعداد الطبيعية 2 و 3 و 4 و 5 و 6. لا يقسم عدد من هذه الأعداد العددَ 37. إذن، فإن 37 عدد أولي.
قد تُطور هذه العملية لكي تصير أكثر فعالية وسرعة. وذلك بالنظر إلى الأعداد الأصغر من الجذر التربيعي للعدد المراد تحديد أوليته، واللائي يكن في نفس الوقت أعدادا أولية. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد 37، فإنه يكفي النظر إلى الأعداد 2 و 3 و 5. ولا ينبغي النظر إلى العددين 4 و 6 لأنهما عددان غير أوليين.
عدد أولي اختبار أولية عدد ما وتعميل الأعداد الطبيعية
كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة. تستعمل نظرية الغرابيل طرقا مشابهة من أجل حلحلة معضلات أخرى.
الاختبارات العصرية لأولية عدد طبيعي ما يمكن أن تقسم إلى نوعين : الاختبارات الاحتمالية والاختبارات القطعية.
مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عددا أوليا وa عددا أوليا مع p، إذن :
عكس المبرهنة خاطئ، مثلا 561=3×11×17 ليس عددا أوليا ومع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561، لدينا
إذا كان p غير أولي فإن  متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a
برمجة التشفير PGP، تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية.
إذا كان: ، فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.
إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1، في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.
بالإضافة إلى الاختبارات المشار إليها أعلاه، واللائي يمكن أن يُطبقن على أي عدد طبيعي، فإن هناك اختبارات أكثر قوة ودقة تطبق على أشكال خاصة من الأعداد. على سبيل المثال، اختبار لوكاس لأولية عدد ما يتطلب معرفة العوامل الأولية ل n - 1. بينما يتطلب اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما معرفة العوامل الأولية ل n + 1.
ليكن n عددا مؤلفا ما (أي أنه عدد غير أولي). يسمى البحث عن أحد أو كل قواسم n الأولية تعميل n. التعميل باستعمال المنحنيات الإهليلجية هي خوارزمية تعتمد على حسابيات تقام على المنحنيات الإهليلجية.
عدد أولي التوزيع
تعرف الدالة المعدة للأعداد الأولية (π(n بأنها عدد الأعداد الأولية الأصغر من n. مثال ذلك π(11) = 5، وذلك لوجود خمسة أعداد أولية أصغر من أو تساوي العدد 11. توجد خوارزمات شهيرة لحساب القيم الدقيقة ل (π(n أسرع من طريقة حسابها بشكل منفرد حتى n. يمكن إحصاء قيم قد تصل إلى π(1020) بسرعة عالية ودقة بواسطة الحواسيب المعاصرة.
بالنسبة للقيم الكبيرة من n، والتي تتجاوز قدة الأجهزة الحديثة فإن مبرهنة الأعداد الأولية تعطينا تقديراً أولياً:(π(n تساوي تقريباً (n/ln(n. بعبارة أخرى، عندما تصبح n عدد كبيراً جداً فإن احتمالية أن يكون العدد الأولي أقل من n تتناسب عكسياً مع عدد الأرقام المكونة ل n.
المتتالية الحسابية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تعطي نفس الباقي عندما تقسم على عدد معين q ما. على سبيل المثال،
هي متتالية حسابية لأن باقي قسمة هؤلاء الأعداد على 9 يساوي دائما نفس العدد 3. جميع حدود هذه المتتالية، باستثناء 3، أعداد غير أولية بما أن
تعطي أعدادا أولية بالنسبة ل n ≥ 0 و n <40. هذه الحقيقة أدت إلى نظرية جبرية للأعداد شديدة العمق، وبشكل خاص أعداد هيغنر.
عدد أولي مسائل لم تحل بعد
دالة زيتا لريمان (ζ(s تعرف كمجموع غير منته :
حيث s هو عدد عقدي جزءه الحقيقي أكبر قطعا من 1. يمكن البرهان على أن هذا المجموع يساوي الجداء التالي :
هذه الصيغة تعني ارتباط دالة زيتا الشديد بالأعداد الأولية.
بالإضافة إلى فرضية ريمان، وضعت العديد من الحدسيات المتعلقة بالأعداد الأولية. عادة ما تكون صياغتها بسيطة وعادة ما تستعصي على البرهان لعقود. معضلات لاندو الأربع وضعت عام 1912 ولم تحلحل بعد. ومنها أيضا حدسية غولدباخ والتي تنص على أن كل عدد زوجي n أكبر قطعا من 2، يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. حتى فبراير 2011، بقيت هذه الحدسية صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد الأصغر من 2.1017. نصوص أضعف من نص هذه الحدسية لم تقاوم البرهان. على سبيل المثال، تنص مبرهنة فينوغرادوف على أن أي عدد طبيعي فردي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يُكتب على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية. مبرهنة تشين تنص على أن أي عدد طبيعي زوجي، كبير فيما فيه الكفاية، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عدد أولي وعدد نصف أولي.
عدد أولي برمجة الأعداد الأولية
يمكن برمجة تطبيقات (دوال برمجية) تقوم بتحديد الأعداد الأولية عن طريق استخدام خورزمية القسمة المتكررة (المثال بلغة بايثون) :
عدد أولي في الجبر التجريدي
مفهوم العدد الأولي مهم جدا. ولهذا عمم بأشكال مختلفة في عدة مجالات من الرياضيات. بشكل عام، مفهوم أولي يعني كل ما هو غير قابل للتفكيك إلى أجزاء أخرى. على سبيل المثال، حقل أولي هو أصغر حقل ضمن حقل F ما، يحتوي على 0 وعلى 1.
تغير الحسابيات بتردد عدد n ما، الحسابيات بشكل عام باستعمالها للأعداد التالية فقط
حيث n عدد طبيعي ثابت. يتم حساب المجاميع والفرق والجداءات بالشكل المعتاد، ولكنه كلما كانت النتيجة سلبية أو مساوية لعدد أكبر من، أو يساوي n، عوضت بباقي قسمتها على العدد n.
في نظرية الزمر المنتهية، تنص مبرهنة سيلاو على أنه إذا قسمت  قوةٌ ما لعدد أولي ما، رتبةَ زمرة، فإن في هذه الزمرة زمرة جزئية رتبتها . تنص مبرهنة لاغرانج على أن كل زمرة رتبتها عدد أولي هي زمرة دائرية. وتنص مبرهنة بورنصايد على أن كل زمرة رتبتها قابلة للقسمة على عددين أوليين اثنين فقط (أي أنها عدد نصف أولي)، هي زمرة قابلة للحلحلة.
عدد أولي تطبيقات
لمدة طويلة، اعتُبرت نظرية الأعداد بشكل عام ودراسة الأعداد الأولية بشكل خاص، جزءا من الرياضيات البحتة، بدون أية تطبيقات باستثناء الاهتمام الذي يوليه عالم الرياضيات إلى هذه الدراسة. على سبيل المثال، العاملون في نظرية الأعداد من أمثال عالم الرياضيات البريطاني غودفري هارولد هاردي، كانو يفتخرون بعملهم في مجال ليس لديه تطبيقات عسكرية. ولكن هذه النظرة تحطمت في سبعينات القرن العشرين، حين أُعلن للعموم أن الأعداد الأولية قد تستعمل قاعدة لبناء خوارزميات التشفير باستخدام المفتاح المعلن. يستعمل الأعدادَ الأولية أيضا مولدات الأعداد شبه العشوائية.
تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات وخاصة في علم التعمية. ومن أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية خوارزمية آر إس إيه وتبادل مفتاح ديفي-هيلمان. تعتمد خوارزمية آر إس إيه أساسا على افتراض أن حساب جداء عددين صحيحين معلومين x و y أسهل بكثير من حساب x و y إذا كان جداؤهما xy فقط معروفا (مع افتراض أنها أوليين فيما بينهما).
لمزيد من المعلومات راجع التشفير ومشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.
مملكة غانا
ظهرت إمبراطورية غانا في منطقة بينية بين الصحراء الكبرى والغابات بجنوب شرق موريتانيا. وكان الهدف من قيامها التجارة في الذهب الذي ينتج في جنوبها وتشتريه قوافل بدو الصحراء التجارية لتحمله الجمال لشمال أفريقيا. وكانت الإمبراطورية قد تحولت على أيدي المرابطين للإسلام قبل تأسيس مراكش في القرن الحادي عشر الميلادي ومما سهل دخوله إنشاء شبكة الطرق التجارية عبر الصحراء الكبرى. وقد كوّنت غانة إمبراطوريتها منذ عام 1000 م. عاصمتها كومبي صالح (Koumbi Saleh) وتمتد من وادي نهر السنغال بالغرب إلى المنحنى الكبير لنهر النيجر بالشرق، وكان الحكام يفرضون الضرائب على تجارة الذهب. وقد انهارت المملكة بحلول القرن الثالث عشر الميلادي بسبب العوامل البيئية.
مملكة غانا تاريخ المنشأ
تقول التقاليد الشفهية، التي تختلف اختلافًا كبيرًا فيما بينها، إن السلف الأسطوري لقبيلة السونينكي هو رجل يُدعى دينغا جاء «من الشرق» (ربما أسوان بمصر)، وهاجر بعد ذلك إلى مواقع مختلفة في غرب السودان، تاركًا أطفالًا من زوجات مختلفات في كل مكان. كان عليه أن يقتل إلهًا ثعبانًا (يُدعى بيدا)، ثم يتزوج من بناته، اللواتي أصبحن أسلاف العشائر التي كانت مهيمنة في المنطقة في ذلك الوقت، من أجل الاستيلاء على السلطة. تشير بعض الروايات المتوارثة إلى أنه عقد صفقة مع بيدا للتضحية بفتاة عذراء واحدة سنويًا مقابل هطول الأمطار، وتضيف روايات أخرى إمدادات ثابتة من الذهب. تنازع ابنا دينغا، خين وديابي، بعد وفاته على الملكية، وانتصر ديابي وأسس واجادو. يحدث سقوط واجادو في بعض الروايات عندما حاول أحد النبلاء إنقاذ عذراء، رغم اعتراضها، ويقتل الثعبان، مما أدى إلى إطلاق لعنة عليه وإلغاء الصفقة السابقة. يبدو أن هذه الحكاية كانت جزءًا مما كان في يوم من الأيام سردًا أطول بكثير، ولكنه مفقود الآن، إلا أن أسطورة واجادو ما تزال تتمتع بأهمية عميقة في الثقافة والتاريخ السونينكيين. تذكر ملحمة العود الغاسيري سقوط واجادو.
مملكة غانا تاريخ المنشأ
تؤكد تقاليد الموريين والعرب الحسانية والأمازيغ في موريتانيا أن السكان الأوائل للمناطق مثل هضبة آدرار وتكانت كانوا من السود. ظلت هذه المناطق، وهي جزء من قلب واجادو، تابعة للسونينكيين إلى حد كبير حتى القرن السادس عشر على الأقل.