hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
مسألة عدد التقبيل
في الهندسة الرياضية، يطلق اسم مسألة عدد التقبيل على مسألة إيجاد العدد الأعظمي من الكرات ذات نصف قطر يساوي الواحد التي يمكنها أن تلامس مباشرة الكرة الواحدية في فضاء إقليدي ذو n بعد.
مسألة عدد التقبيل عدد التقبيل
عدد التقبيل في الفضاء الثلاثي البعد غير واضح. حيث أنه من السهل ترتيب 12 كرة لتلامس كرة داخلها، لكن هناك الكثير من الفراغ الفائض. ليس من المبرهن بعد عدم وجود طريقة تمنع ملامسة 13 كرة لكرة موجودة داخلها.
شبكة (نظرية الزمر)
في الرياضيات، وبشكل أكثر تحديدًا في الهندسة ونظرية الزمر، الشَبَكة أو الشَبِيكة في فضاء Rn هو مجموعة جزئية متقطعة من الفضاء Rn تقوم بتمديد الفضاء المتجهي الحقيقي.
مبرهنة مينكوفسكي
في الرياضيات، مبرهنة منكوفسكي (بالإنجليزية: Minkowski's Theorem) تنص على أنه بالنسبة لأي مجموعة محدبة ضمن Rn متماثلة بالنسبة إلى أصل المعلم، ولها حجم أكبر من 2n، يتوفر ما يلي: (d(L يحتوي على نقطة مشبك غير مساوية للصفر. بُرهن على هاته المبرهنة من طرف هيرمان مينكوفسكي عام 1889، فصارت أساس فرع من فروع نظرية الأعداد هو هندسة الأعداد.
رباعي وجوه
رباعي الوجوه (بالإنجليزية: Tetrahedron) هو متعدد وجوه مؤلف من أربعة وجوه مثلثية، أما رباعي الوجوه المنتظم فهو رباعي وجوه تكون وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع. يمكن تسميته هرما ثلاثيا.
رباعي الأوجه هو أبسط شكل يمكن أن يأخذه متعدد أكناف محدب.
يشكل رباعي السطوح أحد الاشكال الهندسية الهامة بشأن تركيب الجزيئات في الكيمياء وعلم المعادن ، حيث تتخذ الذرات المكونة لجزيء مواضع هندسية لملء الفراغ . بهذا تأخذ المادة أشكالها المتعددة التي نجدها في الطبيعة.
رباعي وجوه الحجم
حيث الارتفاع هو المسافة بين الرأس الرابع و القاعدة.
يُحصل على حجم رباعي السطوح من صيغة الحجم للأهرامات وهي:
قطع ناقص
القَطْع الناقص أو القِطْع الناقص (الجمع: قُطُوع ناقصة) أو الإهْلِيلَج (بالإنجليزية: Ellipse) منحنٍ مستوٍ، يَبقىٰ مجموعُ بُعد أي نقطة فيه عن نقطتينِ ثابتتين داخله (اسمهما: البؤرتان) ثابتًا، وهو قِطْعٌ مخروطي اختلافُه المركزي أقل من الواحد الصحيح.
البؤرتان: هما النقطتان: F1، و F2 في الشكل.
فيُرسم القطعُ الناقص بخيطٍ طرفاه مثبتان في نقطتين: f1 , f2، ثم يُرسم القطع الناقص حولَهما، انطلاقًا من النقطة x.
والقطع الناقص ينتُج من قطع مخروطٍ بمستوٍ مائل على محور المخروط.
يُهتم بالقطع الناقص بصفة خاصة بسبب أن الأجرام السماوية تسير في أفلاك حول الشمس في مدارات في شكل القطع الناقص، وتحتل الشمس أحد بؤرتيه. هذا ما توصلت إليه قوانين كيبلر. فعند مشاهدة مذنب يأتي من الجزء الخارجي للمجموعة الشمسية منجذبا إلى الشمس تزداد سرعته تدريجيا ثم يُجري منحنيا خلفها ثم يبتعد عنها ثانيا، وتنخفض سرعته اثناء ابتعاده عن الشمس. هذا المسار يكون في شكل قطع ناقص؛ وتكون الشمس في إحدى بؤرتيه.
قطع ناقص خواص مماسية
أنظر الشكل 1:
النقطة x هي إحدى النقط على القطع الناقص. والنقطتان F1 و F2 هما بؤرتا القطع الناقص. إذا وصـّلنا خيطا طويلا شيئا ما بين البؤرتين وقمنا من النقطة x برسم محيط حولهما نحصل على شكل القطع الناقص.
إذا أقمنا العمودي على خط المماس عند النقطة P فإن العمودي يقسم الزاوية بين الخط xF2 والخط xF1 إلى زاويتين متساويتين (انظر الشكل 1 أو الشكل 3).
دعونا نرى بعض النتائج المترتبة على هذا البيان:
في طاولة بلياردو على شكل إهليلج، إذا القينا كرة على حفتها من إحدى بؤرتيها ستنعكس بالضرورة على البؤرة الأخرى.
والشيء نفسه يحدث في مرآة مقعرة على شكل إهليلج فيه جميع أشعة الضوء المنبعثة من بؤرة تمر بالضرورة بالبؤرة الأخرى بغض النظر عن اتجاه كل شعاع.
قطع ناقص خواص مماسية
وبالمثل، في غرفة على شكل قطع ناقص تصل الموجات الصوتية التي تبدأ في بؤرة إلى البؤرة الأخرى من كل الاتجاهات؛ وبما أن مسافة المسار للوصول من بؤرة إلى أخرى متساوية فإن موجات تصل بشكل متزامنة تماما: هذا ما يفسر أيضا سهولة التواصل السمعي بين شخصين موضوعين في البؤرتين حتى إذا ما كانا متباعدين.
باستخدام خواص القطع الناقص يمكن بناء مسرحا يتمتع فيه جميع الزوار بسماع الصوت منتظما.
قطع ناقص المعادلات الجبرية والتباعد المركزي
يمكن رسم القطع الناقص في هيئة منحنى في مستوى كارتيزي بالاستعانة بخط خارجه يسمى الدليل D (أنطر الشكل 4):
أي أن حاصل ضرب أي خط مثل PD في معامل التباعد المركزي e يساوي الخط PF2.
حيث P هي نقطة على محيط القطع الناقص والمسافة PD هي بعدها عن الدليل D (الخط الرأسي المنقط الأزرق). PD يسقط دائما عموديا على الدليل D .
في الرسم البياني الكرتيزي يمكننا تمثيل النقطة  بالنقطة  على المحورين x , y :
فتكون  إحدى البؤرتين و F1 هي البؤرة الثانية للقطع الناقص.
بالنسبة إلى  معامل التباعد المركزي فهو للقطع الناقص يساوي دائما .
(إذا كانت e=1 ينتج قطعا مكافئا، وإذا كانت e>1 ينتج قطعا زائدا، وإذا كانت e=0 تنتج دائرة) وتجتمع فيها البؤرتان في بؤرة واحدة.)
نسبة المسافة بين النقطة P والبؤرة والمسافة بين P والدليل  ثابتة وتساوي معامل التباعد المركزي .
قطع ناقص المعادلات الجبرية والتباعد المركزي
يمكن تبسيط معادلة القطع الناقص في النظام الكرتيزي بدلالة القطرين a وb بالمعادلة:
لاحظ العلاقة الخاصة عندما يكون a مساويا لـ b يمكن الحصول على معادلة الدائرة (بوضع )
يعطى معامل التباعد المركزي  أيضا بالعلاقة:
كما أن المسافة من أي من البؤرتين إلى المركز C هي حاصل الضرب , وهي تساوي أيضا
يمكن إعادة تعريف القطع الناقص عندما تنزاح محاوره عن نقطة الأصل إلى نقطة  على الصورة:
قطع ناقص طرق رسم القطع الناقص
تعتبر هذه الطريقة من أدق الطرق المستعملة في رسم القطاعات الناقصة كما تتميز بسهولة استخدامها إذ تعتمد فقط على تحريك خيط مثبت بين مسمارين. لرسم قطع ناقص يمكن اتباع التعريف والستعانة بخيط مرن (مثل خيط إبرة الخياط) وعمل الاتي:
الاختلاف المركز e للقطع الناقص قيمته دائما بين 0 و 1 .
وفي الحالة الخاصة عندما تكون e=0 يكون الناتج دائرة.
في هذه الطريقة تثقب المسطرة من نقطة غير الوسط (لغير الدائرة) وتنزلق بين ضلعي إطار متعامدين. إذا وضع قلم الرسم مثلا داخل الثقب سيتم رسم ربع قطع الناقص في كل انزلاق مكتمل.
تتمثل هذه الطريقة في عمل اسطوانة دائرية قطرها يساوي القطر الأصغر للقطع المطلوب ثم يتم قطعها (بالمنشار مثلا) بشكل مائل بحيث يكون امتداد طوله مساوي طول القطر الأكبر في القطع الناقص. يصبح السطح المقطوع صورة مثالية للقطع الناقص ويمكن رسم القطع حوله عند تثبيته على ورقة الرسم.
قطع ناقص طرق رسم القطع الناقص
يمكن الاستعانة بالتعريف الرياضي للقطع الناقص ورسم نقاط معينة لـ x و y بدلالة a وb. حيث يمكن تبسيط التعريف الأصلي إلى:
عند وجود عدد كاف من النقاط لكل زوج (x,y) يمكن بوصل النقاط واحدة تلو الأخرى الحصول على صورة تقريبية للقطع الناقص.
توجد طرق تقريبية أخرى مثل الدائرتين والشعاع والمماس.
قطع ناقص الصيغة البارامترية
باستخدام معادلات حساب المثلثات  يمكن صيغة القطع الناقص
ترجع الإحداثية t المستخدمة في الرسم إلى عالم الرياضيات فيليب دي لاهير.
قطع ناقص مساحة القطع الناقص
حيث  و  هما طولا نصف المحور الأكبر والأصغر، على التوالي. صيغة المساحة  بديهية: نبدأ بدائرة نصف قطرها  (لذا فإن مساحتها هي ) ونضربها في المعامل  لعمل القطع الناقص  . من السهل أيضًا إثبات صيغة المساحة بدقة باستخدام التكامل على النحو التالي. يمكن كتابة معادلة القطع الناقص على النحو التالي . من أجل  ، هذا المنحنى هو النصف العلوي للقطع الناقص. لذا فإن ضعف تكامل  على المجال  سيكون ضعف مساحة القطع الناقص:
التكامل الثاني هو مساحة دائرة نصف قطرها ، أي  . إذن:
قطع ناقص محيط القطع الناقص
ليكن a نصف محوره الكبير وb نصف محوره الصغير، يُحسَب محيط القطع الناقص  بتطبيق هذا القانون:
حيث  هو معامل التباعد المركزي، و  هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني:
للتنبيه التكاملات الإهليلجية ليس لها حلول مغلقة الشكل ولا يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الابتدائية.
كحالة خاصة عندما يكون القطر الأصغر نصف الأكبر:
قطع ناقص شروط المماس
معلوم قطع ناقص دلتا ونقطة P تنتمي إليه. مطلوب تحديد الخط p المتماس لدلتا في النقطة P. وبعبارة أخرى ، مطلوب تحديد الخط القطبي p لـلنقطة القطبية P بالنسبة لدلتا.
استنتاج: إن النقاط القطبية لحزمة الخطوط التي تمر بالنقطة P، تنتمي للخط القطبي p.
قائمة الأنمي
هذه قائمة بأسماء مسلسلات الأنمي اليابانية التي لم تدبلج إلى اللغة العربية.
قطع زائد
القَطْع الزائد أو القِطْع الزائد (Hyperbola) (في اللغة الإغريقية ὑπερβολή) أو الهَذْلُول، هو أحد أنماط القطوع المخروطية (conic sections).
القطع الزائد ناتج عن قطع المخروط بمستو في أحد نصفي المخروط، وهو الذي يكون اختلافه المركزي أكبر من الواحد الصحيح، ويمكن تعريفه بعبارة أخرى: وهو القطع الذي ينشأ عن قطع سطح مخروطي دائري قائم وامتداده من جهة رأسه بمستو يميل على مستوى دليله بزاوية أكبر من زاوية ميل أحد الرواسم على مستوى الدليل.
ويعرف أيضا على أنه مجموعة النقاط التي تتميز بكون فرق مسافة هذه النقاط عن نقطتين ثابتتين (تدعى البؤرتين) هو عدد ثابت.
ونقول أن القطعان الزائدان متشابهين (Similar)، إذا كان اختلافهما المركزيان متساويين، ويكون قطعان زائدان مترافقين إذا كان المحور المستعرض لأحدهما هو المحور المرافق للآخر والمحور المرافق للأول هو المستعرض للآخر.
قطع زائد المعادلة في الإحداثيات الديكارتية
المعادلة للقطع الزائد هي: 
 إذا هي تقطع المحور الأفقي x 
و  إذا هي تقطع المحور الرأسي y 
حيث a هو قيمة مطلقة ل x إذا المعادلة تقطع المحور x و b قيمة مطلقة ل y إذا المعادلة تقطع المحور y 
وكما في الصورة السابقة: الجزء من خط التقارب المائل هو (a, b) و 
حيث c هو أقصر مسافة من نقطة الأصل إلى البؤرة B2 
ومعادلة الخط التقاربي  للمعادلة
قطع زائد في الهندسة الوصفية
القطع الزائد في الهندسة الوصفية، يمكن الحصول عليه:
كمحل هندسي لمراكز الدوائر الماسة دائرتين معلومتين Θ Δ، في الظروف التي تكون فيها تلك الدائرتين Θ Δ متقاطعتين أو خارجتين عن بعضهما البعض (أي ان لا تكون الواحدة داخل الأخرى) وان يكون مختلف نصف قطرهما. في الحالة التي يكون فيها تساوي بين الدائرتين Θ Δ, المحل الهندسي الناتج يكون مكون من نقاط تنتمي إلى خط مستقيم الذي ينطبق مع محور تماثل الدائرتين.
بشكل عام، يين اهليجين متشابهين ومتحدي المستوى، يتم تعريف القطع الناقص بالمحل الهندسي لمراكز الاهاليج المتشابهة للاهليجين المعلومين بحيث يكونوا متماسين لنفس الاهليجين.
يُعرَّف القطع الزائد كمحل هندسي للنقاط التي يكون فرق ابعادها عن البؤر ثابت.
قطع زائد في الهندسة الوصفية
معلوم قطع زائد. مطلوب تحديد محاور وبؤر وخطوط التقارب
نحدد البؤر F', F" كتقاطع بين الدائرة Θ والمحور العرضي. يتم تحديد الدائرة Θ عن طريق 3 نقاط: نختار واحدة منها على Λ , ونحدد نقطتين منها كتقاطع بين المحور غير العرضي وبين خطين يمران بالنقطة A. واحد من الخطين متماس Λ في النقطة A ، والاخر عمودي على المتماس.
لتحديد الخطوط المتقاربة نرسم دائرة Β نصف قطرها يساوي F'_C (أو F«_C). نرسم خطين متماسين Λ في الرؤوس V'و V». ومن نقاط تقاطعهما مع الدائرة Β نرسم الخطين المتقاربين. اللذين يمران أيضا بالنقطة C.
ملاحظة: الخط المتماس قطع زائد دلتا في نقطة ب تنتمي لديلتا، يحدد كمنصف الزاوية التي رأسها في ب وضلعيها يمران ببؤرتي دلتا
قطع زائد تحديد المخروط الذي مقطعه يتطابق مع مخروطية معلومة
معلوم قطع زائدة دلتا على مستوى الأرض. مطلوب تحديد المخروط الذي مقطعه يتطابق مع المخروطية دلتا.
لحل هذه المسألة نقوم بإسقاط رؤوس القطع الزائد على خط الأرض. ومن الإسقاطات نمرر خطوط موازية لخطوط التقارب (Asymptote). نقوم بتوليد المخروط الدائري الذي رواسمه (generatrixes) هي خطوط التقارب.
- وأخيرا نقطع المخروط بمستوى الأرض للحصول على المخروطية المطلوبة.
قطع مكافئ
في الرياضيات، القَطْع المكافئ أو القِطْع المكافئ(1) (الجمع: قُطُوع مكافئة) (ويقال له: الشلجم، والصواب: الشلجمي، أي: له شكل الشلجم، أو العدسيّ) (بالإنجليزية: Parabola): قِطْعٌ مخروطيٌّ، ثنائي الأبعاد،  من قَطْع سطح مخروطي دائري قائم بمستوٍ يوازي راسم هذا السطح (أي الخط المولد له).
بعلم نقطة معينة تسمى البؤرة ("Focus") وخط مستقيم في المستوى يسمى الدليل ("directrix")، القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط الواقعة في هذا المستوى والتي تبعد عن البؤرة بمسافة مساوية لبعدها عن الدليل.
الخط العمودي على الدليل والمار بالبؤرة يسمى «محور التماثل»، ونقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ "vertex".
رأس القطع المكافئ هي نقطة تقع عليه يحدث عندها تغير في اتجاه وأطراد الدالة (أي فترات التزايد والتناقص) ويكون عندها ميل المماس مساويًا للصفر. قد يكون القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو مفتوحًا إلى أسفل أو مفتوحًا على اليمين أو مفتوحًا على اليسار.
قطع مكافئ
للقطوع المكافئة أهمية كبيرة وتطبيقات متعددة، بداية من مرايا السيارات ومصابيحها الأمامية إلى تصميم الصواريخ البالستية. كما أن لها استخدامات كثيرة في الفيزياء والهندسة ومجالات أخرى عديدة.
قطع مكافئ تاريخ
أقدم من عمل على دراسة القطوع المخروطية، طبقًا لما هو معروف حاليا، هو مينايخموس في القرن الرابع ق.م. فقد أوجد طريقة لحل مسألة مضاعفة المكعب باستخدام القطوع المكافئة، وقد كان من الصعب حل مثل هذه المسألة بإنشاءات الفرجار والمسطرة. أما أبولونيوس فقد اكتشف العديد من خصائص القطوع المخروطية، كما يعود إليه الفضل في تسمية هذا النوع من القطوع بالقطع المكافئ. خاصية البؤرة-الدليل للقطع المكافئ، يعود الفضل فيها إلى بابوس السكندري.
أوضح جاليليو أن المقذوفات تتخذ مسارًا على هيئة قطع مكافئ؛ ذلك نتيجة انتظام عجلة الجاذبية الأرضية.
قطع مكافئ تاريخ
قبل اختراع المقراب العاكس كانت فكرة تكون صورة من خلال مرآة القطع المكافئ؛ معروفة. في النصف الأول من القرن السابع عشر اقترح مجموعة من علماء الرياضيات، أمثال رينيه ديكارت ومارين مارسين وجيمس جريجوري، تصميمات لمرايا القطع المكافئ. لكن إسحاق نيوتن تحاشى استخدام هذا النوع من المرايا عندما بنى أول تلسكوب عاكس عام 1668م، وذلك لصعوبة تصنيعها مقارنة بالمرايا الكروية. في الوقت الراهن تستخدم عواكس القطع المكافئ في أغلب المقاريب العاكسة الحديثة، وفي المقاريب الفضائية، وأطباق الاستقبال التلفازي المعدنية، وأطباق اتصالات الأقمار الصناعية، ومستقبلات الرادار.
قطع مكافئ المعادلة في الإحداثيات الديكارتية
إذا افترضنا أن دليل القطع المكافئ هو الخط x = −p، وأن بؤرته هي النقطة (p, 0). وإذا كانت (x, y) نقطة تنتمي للقطع المكافئ وأنها، من تعريف بابوس للقطع المكافئ، تبعد عن البؤرة مسافة مساوية لبعدها عن الدليل، هذا يعني أن:
بتربيع طرفي المعادلة وبعد التبسيط نحصل على
وهي معادلة القطع الكافئ في صورة من أبسط صوره، ويلاحظ أن محور هذا القطع أفقي. ولتعميم هذه المعادلة نتخيل أن القطع المكافئ أزيح بحيث يكون رأسه هو النقطة (h, k)، بالتالي تصير معادلته
بتبديل الإحداثيات x و y نحصل على المعادلة المقابلة للقطع المكافئ رأسي المحور
قطع مكافئ المعادلة في الإحداثيات الديكارتية
وبالتالي فإن أي دالة في x إذا كانت كثيرة حدود من الدرجة الثانية فهي قطع مكافئ ذو محور رأسي.
وللتعميم أكثر نقول أن القطع المكافئ هو منحن في المستوى الديكارتي يُعرف بالمعادلة غير القابلة للاختزال والتي على الصورة:
حيث كل المعاملات حقيقية، وكل من A و B لا يساويان الصفر، ويوجد أكثر من حل وحيد، بحيت تكون مجموعة الحل أزاوج مرتبة على الصورة (x, y)، وهي جميع النقاط الواقعة على المنحنى. كما أن المعادلة غير قابلة للاختزال، بمعنى أنه لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب معادلتين لا يُشترط أن تكونا خطيتين.
قطع مكافئ تعريفات هندسية أخرى
القطع المكافئ يمكن تعريفه باعتباره قطع مخروطي اختلافه المركزي يساوي الواحد الصحيح؛ نتيجة لذلك تكون كل القطوع المكافئة متشابهة، بمعنى أن لها نفس الشكل مهما تغير حجمها. ويعتبر القطع المكافئ أيضا نهاية قطوع ناقصة متتابعة، إحدى بؤرتيهم ثابتة والأخرى حرة لتتحرك بعيدًا في اتجاه واحد، بهذا المنطق يمكن النظر إلى القطع المكافئ باعتباره قطع ناقص إحدى بؤرتيه تقع عند ما لا نهاية. القطع المكافئ هو أيضًا تحول عكسي للمنحنى القلبي.
للقطع المكافئ محور تماثل عاكس وحيد، يمر ببؤرته ويتعامد على دليله، ونقطة تقاطع هذا المحور مع القطع المكافئ تدعى رأس القطع المكافئ. دوران القطع المكافئ حول محوره في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد يولد شكلًا يعرف بالسطح المكافئي الدوراني.
قطع مكافئ معادلات
هذه النتيجة مشتقة من المعادلة المخروطية العامة المذكور بأعلى:
معادلة القطع المكافئ العام الذي بؤرته (F(u, v ودليله على الصورة
في الإحداثيات القطبية، القطع المكافئ الذي بؤرته في نقطة الأصل ودليله موازٍ لمحور الصادات تكون معادلته
حيث l هو نصف الوتر البؤري العمودي semilatus rectum (المسافة من البؤرة إلى القطع المكافئ مقاسة عبر خط عمودي على محور تماثله). لاحظ أن هذا مساوٍ لضعف المسافة من البؤرة إلى رأس القطع المكافئ أو المسافة العمودية من رأس المنحنى إلى الوتر البؤري العمودي latus rectum.
الوتر البؤري العمودي هو الوتر المار بالبؤرة وفي نفس الوقت يتعامد على المحور وطوله يساوي 2l.
قطع مكافئ رأس القطع المكافئ
الإحداثي السيني لرأس القطع المكافئ هو ، ويمكن الحصول عليه عن طريق اشتقاق المعادلة الأصلية للقطع ، وبوضع قيمة المشتقة  بصفر (لأن رأس القطع المكافئ هو نقطة حرجة؛ بمعنى أن ميل المماس عنده مساوٍ للصفر)، بحل المعادلة نحصل على الإحداثي السيني لرأس المنحنى، أما الإحداثي الصادي فيمكن الحصلول عليه بالتعويض بقيمة الإحداثي السيني في المعادلة الأصلية كالتالي:
قطع مكافئ اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل
لتحديد إحداثيات النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط ذي محور تماثل موازٍ لمحور الصادات (محور تماثل رأسي)، ورأسه يقع عند نقطة الأصل (0,0)، ولتكن معادلته على الصورة:
فإن أي نقطة على القطع المكافئ ستقع على مسافة من النقطة البؤرية (0,f) مساوية للمسافة بينها وبين الدليل L، الذي يتعامد على محور تماثل القطع المكافئ (في هذه الحالة يوزاي محور السينات)، ويمر بالنقطة (0,f-)، وبالتالي فإن أي نقطة (P=(x,y على القطع المكافئ ستكون على مسافة متساوية من كلتا النقطتين (0,f) و (x,-f).
أي خط FP يصل بين البؤرة وأي نقطة على القطع المكافئ يتساوى في الطول مع أي خط QP مرسوم عموديًا من هذه النقطة الواقعة على القطع المكافئ إلى الدليل ويقطعه في النقطة Q.
المثلث القائم الذي وتره FP، وطولا ضلعي قائمته هما: x و f-y (المسافة الرأسية بين F و P)، يكون طول وتره
قطع مكافئ اشتقاق إحداثيات البؤرة ومعادلة الدليل
(لاحظ أن ²(f-y) و²(y-f) يعطيان نفس الناتج لأنهما مربعان.)
طول الخط QP يساوي المسافة الرأسية بين النقطة P ومحور السينات (أي المسافة y) بالإضافة إلى المسافة الرأسية من محور السينات إلى الدليل (أي المسافة f).
هاتان القطعتان المستقيمتان متساويتان في الطول، وكما ذكر سابقًا y=ax² وبالتالي
بقسمة x² من الطرفين (بفرض أن x لا تساوي الصفر)
وبالتالي للقطع المكافئ الذي على الصورة f(x)=x²، المعامل a يساوي 1، وبالتالي فإن النقطة البؤرية F هي (0,¼)
كما ذكر أعلاه، هذا هو اشتقاق النقطة البؤرية لقطع مكافئ بسيط، رأسه في نقطة الأصل ويتماثل حول محور الصادات، أما بالنسبة لأي قطع مكافئ معمم، معادلته على الصورة القياسية
قطع مكافئ في الطبيعة والصناعة والتكنولوجيا
مرصد كيك الفلكي في هاواي ينكون من مرصدين، كل منهما مزود بمرآة مقعرة في شكل قطع زائد. معظم التلسكوبات الحديثة تعمل بمرايا في شكل القطع المكافيء، ويصل قطر بعضها نحو 8 متر.وهي تعمل على تجميع قدر كبير من الضوء وتصور أجراما كونية قريبة وبعيدة. تمكن الإنسان من اكتشاف أجراما صغيرة جدا، اجراما بعيدة جدا، وبفضل تلك الأجهزة الدقيقة تعرف الإنسان الحديث على أشياء كثيرة في الكون.
كذلك يعمل تلسكوب هابل الفضائي بمرايا مقعرة بشكل القطع المكافيء.
كما تشكل أطباق استقبال التلفاز في شكل قطع مكافيء لاستقبال وتركيز أمواج التلفزة في بؤرة تضخم الإشارات.
لا تصلح مرآة كرية (جزء من الكرة) كمرآة لتلسكوب حيث أنها تكون عدة بؤر خلف بعضها البعض، ولا تجمع الأشعة في بؤرة واحدة. تلك الظاهرة تسمى إزاغة كرية ونتيجتها تكوين صورة غير واضحة.
قطع مكافئ ملاحظات
1 "بكسر القاف؛ لأن «القَطْع» (بفتح القاف): مصدر الفعل (عملية القطع نفسُها)، و«القِطْع» (بكسر القاف): الجزء المقطوع (المقطع)، وهو اسم؛ فيُجمع، وأما المصادر (القَطْع) فالأصل فيها ألا تُجمع؛ لأنها وصف للفعل"
اختلاف مركزي
اختلاف المركز أو الاختلاف المركزي أو التباعد المركزي في الرياضيات (بالإنجليزية: Eccentricity)‏ هو عدد حقيقي غير سالب يميز شكل القطع المخروطي بشكل فريد. بالنسبة للدائرة، فمركز الدائرة يكون دائما في وسطها؛ أما في القطع الناقص فله مركزين منفصلين، وهذا هو الاختلاف المركزي، وله قيمة حسابية في الرياضيات. يصادفنا الاختلاف المركزي عند دراسة مدارات المذنبات التي تكون في شكل بيضوي.
يمكن رسم القطع الناقص بفتلة f2 , x , f1
ونحرك القلم عند x حول البؤرتين فيتشكل القطع الناقص.
معظم الكواكب تدور حول الشمس تكون في مدارات في هيئة قطع الناقص وتقع الشمس في أحد بؤرتيه. من النادر جدا أن يكون مدار كوكب ما دائرة مثالية ، وانما يكون منزاحا قليلا في شكل القطع الناقص. ينطبق هذا أيضا على الأرض وهي تدور حول الشمس ؛ وكذلك ينطبق ذلك على مدار القمر في دورانه حول الأرض - يقترب أحيانا ويبتعد أحيانا أخرى (أنظر القمر الدامي).
اختلاف مركزي المخروطيات
القطع المخروطي هو كل منحني ينتج عن قطع المخروط بمستوي في اتجاه ما.
في مستوى, عندنا مستقيم D (الدليل) ونقطة F (البؤرة) و e عدد حقيقي موجب بين صفر و 1 ؛ يسمى معامل الاختلاف المركزي.
في الشكل إلى اليسار أختير معامل الاختلاف المركزي يساوي e=1
فتشكل مجموعة نقاط المستوى M التي تحقق الشرط: MF=e.MH شكل القطع الناقص.
ويسمى المدار الأسود قطعا ناقصا  ذا البؤرة F والدليل D و«معامل الاختلاف المركزي» e=1.
في الشكل قطعين ناقصين آخرين (أزرق) أحدهما ذو اختلاف مركزي e=0,5
وفي حالات e > 1 تنشأ للمدار أشكالا أخرى غير القطع الناقص .
يتشكل القطع الناقص أيضا عند قطع أسطوانة قطعا مائلا علن العمودي على محور الأسطوانة (تستطيع أن تجرب ذلك)
كذلك ينشأ القطع الناقص عندما نقطع مخروطا قطعا مائلا غير عمودي على محور المخروط .
البؤرة توجد داخل المخروطي, والدليل يوجد خارجه.
العمودي على الدليل D المار بـالبؤرة F هو محور التناظر المخروطي ويسمى المحور البؤري (أنظر أيضا الشكل 1).
اختلاف مركزي دراسة الإهليلج
للإهليلج محور كبير AB في الشكل 1، ومحور صغير CD. المحوران متعامدان ويتقاطعان في نقطة تسمى مركز الإهليلج. للإهليلج (القطع الناقص) محوري تناظر، أحدهما AB والآخر CD (شكل1).
فإن معادلة الإهليلج يمكن كتابتها على الصورة :
حيث x , y هي أي نقطة على محيط القطع الناقص في رسم بياني عمودي المحورين.
الإهليلج ذو البؤرتين F و F' الذي محوره الكبير هو 2a هو مجموعة النقط M التي تحقق: MF+MF'=2a.
رباعي دائري
في الهندسة الإقليدية، الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ أو رباعي الأضلاع الدائري،(1) هو مُضلَّعٌ رُباعيّ تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسه. تُسمَّى الدائرة المارة برؤوس الرباعي «الدائرة المحيطة» ويُقال عن أي نقاطٍ تقعُ عليها: نقاط مشتركة بدائرة. غالباً ما يُصنّف الرباعي الدائري على أنه مُحدَّب، إلا أنه قد يُصنّف أيضاً على أنَّهُ مُركَّبٌ، وتبقى الخصائص والمعادلات تنطبق عليه أيضاً.
جميعُ المثلثاتِ لها دائرةٌ مُحيطةٌ. إلا أنّه ليست جميعُ الرباعيات لها دوائر مُحيطة. فجميعُ المُعيَّنات غير المربعة لا يُمكن أن تقع رؤوسها على دائرة. إحدى أشهر توصيفات الرباعي الدائري هي أنَّ كُلَّ زاويتين متقابلتين فيه مُتكاملتانِ، والعكس صحيح. هناك رباعيات شهيرة تُصنَّف دائماً على أنها دائرية، من ضمنها المستطيل وشبه منحرف متساوي الساقين، واللذان يُصنّف من ضمنهما المُربّع أيضاً. للرباعيات الدائرية نظريات خاصة تنطبق عليها مثل نظرية بطليموس ونظرية قوة النقطة.
رباعي دائري حالاتٌ خاصَّةٌ
جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral) على أنه رباعي مماسي ودائري. حيث أنَّ الرباع المماسي هو رباعي حاصرٌ لدائرة أي يمسَّها من الداخل من جميع الجهات. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral) هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه. الرباعي التناغمي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.
رباعي دائري التوصيف والمبرهنات
الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:
رباعي دائري نظرية قوة النقطة
ينطبقُ على الرُباعيِّ الدائريِّ نظرية قوة النقطة بالنسبة لدائرة:
رباعي دائري النتائج التحليليَّة
بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه:  ونصف محيطه  حيث  بالصيغة الآتية:
في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:
رباعي دائري هوامش
1. الرُّباعيُّ الدَّائرِيُّ أو رباعي أضلاع دائري أو الشكل الرباعي الدائري (بالإنجليزية: Cyclic quadrilateral) أو رباعي الأضلاع المحاط بدائرة أو رباعي الأضلاع المحوط أو رباعي الأضلاع المُرتسَم في دائرة (بالإنجليزية: Inscribed quadrilateral).
مضلع
المضلع هو خط بسيط مغلق يتكون من اتحاد عدة قطع مستقيمة. وهو شكل هندسي يقع في المستوي.
ضلع المضلع، هي كل قطعة مستقيمة من محيط المضلع. زوايا المضلع، هي الزوايا المحصورة بين أضلاع المضلع.
مضلع منتظم هو مضلع جميع أضلاعه متطابقة في القياسات وجميع زواياه الداخلية متطابقة. بينما مضلع غير منتظم هو المضلع الذي زواياه غير متطابقة. كون أضلاع مضلع ما متطابقة من حيث الطول لا يجعل من المضلع منتظما، ولكن يجعل منه مضلعا متساوي الأضلاع.
مضلع حساب مجموع زوايا المضلع
مجموع زوايا أي مضلع يساوي  بالدرجات
أو  بالراديان حيث  عدد أضلاع هذا المضلع.
مجموع زوايا المثلث : 180 (3 - 2) = 180 درجة
مجموع زوايا الشكل السباعي : 180 (7 - 2) = 900 درجة
مضلع ترتيب
ترتب المضلعات أساسا حسب عدد الأضلع اللائي يملكنهن. انظر إلى تسمية المضلعات أسفله.
مضلع تسمية المضلعات
تسمى المضلعات حسب عدد أضلاعها. المضلع الذي لديه ثلاثة أضلاع يسمى ثلاثي أضلاع أو مثلثا ؛ والمضلع الذي لديه أربعة أضلاع يسمى رباعي أضلاع، وهكذا.
مضلع التاريخ
عرفت متعددات الأضلع منذ قديم الزمان. عرف الإغريق متعددات الأضلع المنتظمة.
مسألة التقطيع
في الهندسة، مسألة التقطيع هي مسألة تجزئة شكل هندسي (مثل متعدد أكناف أو كرة مصمتة) إلى أجزاء أصغر يمكن إعادة ترتيبها في شكل جديد متساوي المحتوى. يُطلق على التجزئة في هذا السياق ببساطة تقطيع (من متعدد أكناف إلى آخر). يشترط عادةً أن يَستخدم التقطيع عددًا محدودًا فقط من الأجزاء. بالإضافة إلى ذلك، لتجنب المشكلات النظرية المجموعاتية المتعلقة بمفارقة باناخ وتارسكي ومسألة تربيع الدائرة لِتارسكي[الإنجليزية]، عادةً ما يشترط أن تكون الأجزاء حسنة السلوك[الإنجليزية]. على سبيل المثال، قد تكون مُقتصَرة بكونها غُلاقة مجموعات مفتوحة منفصلة.
نجمة (مضلع)
المضلع النجمي هو مضلع يظهر بشكل نجمي. تمت دراسة المضلعات النجمية المنتظمة فقط بشكل موسع.
نجمة (مضلع) المضلعات النجمية المنتظمة
في الهندسة الرياضية، نطلق اسم مضلع نجمي منتظم على المضلع الذي تكون أطوال أضلاعه متساوية، وقياسات زواياه متساوية وتقطع أضلاعه بعضها البعض.
مثلث هيروني
في الهندسة الرياضية، المثلث الهيروني هو مثلث جميع أطوال أضلاعه وكذلك مساحته هي أعداد صحيحة. سمي هذا المثلث على اسم هيرو من الإسكندرية.
متباينة المثلث
متباينة المثلث أو متراجحة المثلث (بالإنجليزية: Triangle inequality)‏ هي المتراجحة التي تنص على أن طول أي ضلع من أضلاع المثلث أصغر حتما من مجموع طول الضلعين الآخرين وأكبر حتماً من الفرق بينهما.
متباينة المثلث الهندسة الإقليدية
أثبت أقليدس متباينة المثلث من خلال الهندسة الأقليدية من خلال الرسم. لنفرض أن المثلث dBC متساوي الساقين، حيث الضلع BC يساوي الضلع BD, و AB هو امتداد له.
أثبت أقليدس أن الزاوية β > α, ومنه AD > AC. لكن AD == AB + BD == AB + BC لذلك جمع الضلعين AB + BC > AC. هذا الأثبات ظهر في كتاب الأصول, كتاب1,المقترح 20.