hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
دالة أسية الدالة الأسية للثابت الطبيعي e
هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).
حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828
من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:
وذلك لجميع
 وجميع  الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)
دالة أسية الدالة الأسية للثابت الطبيعي e
وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.
ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
دالة أسية تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:
أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:
دالة أسية مشتقة الدالة الأسية للأساس e
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون
 ينتج:
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد e في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث  حيث  ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).
وتعتمد: على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.
دالة أسية المجاميع أسية
ليكن  عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث
دالة أسية أمثلة
تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.
فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:
أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.
يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟
تكوّن النجوم: تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.
باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:
عدد برنولي
في الرياضيات، أعداد بيرنولي Bn هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي:
B0 = 1, B1 = ±1⁄2, B2 = 1⁄6, B3 = 0, B4 = −1⁄30, B5 = 0, B6 = 1⁄42, B7 = 0, B8 = −1⁄30.
عندما يستعمل اصطلاح B1=−1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n.
تظهر أعداد بيرنولي في نشر متسلسلة تايلور لدوال ظل الزاوية والظل الزائدي وفي صيغ مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى، مرفوعة إلى قوة ما (ما يعرف بصيغة فاولهابر)، وفي صيغة أويلر-ماكلورين وفي تعابير لبعض قيم دالة زيتا لريمان.
عدد برنولي
اكتُشفت هذه الأعداد من طرف عالم الرياضيات السويسري جاكوب بيرنولي, الذي سميت نسبة إليه، وفي الوقت نفسه تقريبا، وبصفة مستقلة عنه، من طرف عالم الرياضيات الياباني سيكي كاوا.
نشر اكتشاف سيكي عام 1712 في عمله Katsuyo Sampo; وكان ذلك بعد وفاته. ونُشر اكتشاف بيرنولي في عام 1713. وكان ذلك بعد وفاته أيضا.
رغم أن أعداد بيرنولي سهلة الحساب، فإن قيمها ليس لها أي وصف أولي: فهي قيم دالة زيتا لريمان عند أعداد صحيحة سالبة.
في الملاحظة G لعالمة الرياضيات آدا لوفلايس عن المحرك التحليلي في عام 1842, تصف لوفلايس خوارزمية لتوليد أعداد بيرنولي باستخدام آلة بابيج. ونتيجة لذلك، تصير أعداد بيرنولي موضوع أول برنامج حاسوب كُتب.
عدد برنولي التاريخ
تعود جذور أعداد برنولي إلى تاريخ الحساب المبكر لمجموع القوى الصحيحة، والتي أصبحت محل اهتمام الرياضيين منذ القديم.
عُرفت طرق حساب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n, ومجموع التربيعات والتكعيبات للأعداد الصحيحة الموجبة n الأولى، ولكن لم تكن هنالك «صيغ» حقيقية وكانت تُوصف نثْرا فقط.
من بين عباقرة الرياضيات المميزين الذين انتبهوا لهذه المسألة فيثاغورث(حوالي 572–497 قبل الميلاد، يوناني)، وأرخميدس (287–212 ق.م، إيطاليا) واريابهاتا (476 ق.م., الهند) والكرخي (1019 م، البصرة) والحسن بن الهيثم (965 م، في البصرة -. 1039, م في القاهرة).
لم يحرز الرياضيون تقدما ملحوظا إلا في أواخر القرن السادس عشر وأوائل السابع عشر. في الغرب لعب كل من توماس هاريوت (1560–1621) من انكلترا، ويوهان فاولهابر (1580–1635) من ألمانيا وبيير دي فيرما (1601–1665) وزميله الرياضي الفرنسي بليز باسكال (1623–1662) دورا هاما في هذا التطور.
عدد برنولي التاريخ
بدا أن توماس هاريوت كان أول من اشتق وكتب صيغ مجموع القوى باستخدام العلامة الرمزية، ولكنه أيضا وصل إلى مجموع القوى الرابعة. أعطى جوهان فاولابر صيغا لمجموع القوى حتى القوة السابعة عشر في كتابه Academia Algebrae, عام 1631, أعلى بكثير من ذي قبل، ولكنه لم يعط صيغة عامة.
كان الرياضي السويسري جاكوب بيرنولي (1654–1705)أول من لاحظ وجود تسلسل مفرد من الثوابت B0, B1, B2, ... والتي تعطي صيغة منتظمة لجميع مجاميع القوى (Knuth 1993). قبلها بعام كانت قد اكتشفت طريقة مماثلة لحساب مجاميع القوى من طرف سيكي كاوا في اليابان. بالرغم منذلك، لم يقدم سيكي كاوا طريقته صيغةً عامة مبنية على تسلسل من الثوابت.
المتعة التي أحس بها جاكوب بيرنولي حينما أزال الغطاء على النموذج الذي مكنه من حساب معاملات صيغته بسرعة وسهولة لمجموع القوى حتى c لأي عدد صحيح موجب c يمكن ملاحطتها في تعليقه حيث كتب:
بفضل هذا الجدول، استغرقت من الوقت أقل من نصف ربع الساعة لأجد أن مجموع القوى العاشرة لألف عدد الأولى يساوي:
91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500.
تعد صيغة بيرنولي لمجاميع القوى أعظم صيغة إفادة يمكن تعميمها حتى اليوم. تسمى معاملات بيرنولي اليوم أعداد بيرنولي، بناء على اقتراح أبراهام دي موافر.
نسبة إلى (Knuth 1993)، نُشر أول برهان متماسك لصيغة فاولهابر لأول مرة في عام 1834، نشره عالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.
عدد برنولي مجموع القوى
تظهر أعداد برنولي بشكل بارز في الصورة المغلقة لمجاميع القوى ل n الأعداد الطبيعية الأولى مرفوعة إلى القوة m حيث m ثابت، كما يلي:
هذا المجموع يمثل متعددة حدود متغيرها n ودرجتها m + 1. معاملات متعددات الحود هذه لها صلة بأعداد بيرنولي كما تُبين ذلك صيغة بيرنولي:
العلاقة السابقة تتطلب الأخذ في الاعتبار الاصطلاحَ B1 = +1/2. ( يعني المعامل الثنائي k عنصرا من بين m + 1 عنصرا)
لتكن n ≥ 0. بجعل m مساوية ل 0 وB0 = 1 تعطي أعداد طبيعية 0, 1, 2, 3, ....
بجعل m مساوية ل 1 وB1 = 1/2, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد مثلثية 0, 1, 3, 6,  وهكذا.
بجعل m مساوية ل 2 وB2 = 1/6, يعطي المجموع المعرف أعلاه أعداد هرمية مربعة 0, 1, 5, 14,  وهكذا.
عدد برنولي مجموع القوى
مع أن صيغة بيرنولي تعكس صراحة ما كتبه بيرنولي إلا أن بعض المؤلفين يعاملون صيغة بيرنولي بطريقة أخرى لا أنها متوافقة مع تعبير بيرنولي ولا أن لها ميزة واضحة مقارنة بالتعبير. فهم يكتبون:
لتجنب التناقض مع الصيغة أعلاه، كان على هؤلاء المؤلفين أن يضعوا B1 = −1/2. في القسم التالي سوف يتم التعليق على عواقب الفروق الناتجة سيما أن من المحتمل أن ينجم عنها بعض اللبس.
يطلق عادة على صيغة بيرنولي صيغة فاولابر تقديرا لجون فاولابر الذي أوجد أيضا طرقا جديرة بالاهتمام لحساب مجاميع القوى.
عمم صيغةَ فاولابر غو وجاي زيغ V. Guo & J. Zeng إلى q-analog (Guo & Zeng 2005).
عدد برنولي تعاريف
تم إيجاد العديد من أوصاف أعداد بيرنولي في القرون الثلاثة الماضية، وكل منها أمكن استعماله لتقديم هذه الأعداد. فيما يلي أربعة من أهم هذه الأوصاف:
لإثبات تكافؤ هذه الخواص الأربعة على القارئ العودة إلى التفسيرات الرياضية مثل(Ireland & Rosen 1990) أو (Conway & Guy 1996).
لسؤ الحظ يعطى التعريف في الأدب على وجهين مختلفين: بالرغم من الحقيقة أن بيرنولي قد عرف B1 = 1/2, some يضع المؤلفون B1 = −1/2 (كثيرا منها في اصطلاحات مختلفة بالأسفل). لتجنب الخطر والالتباس سيتم شرح كلا الاختلافين هنا، خطوة بخطوة.
تعطى معادلة الاستدعاء الذاتي بشكلها الأفضل في صورة أكثر تعميما نوعا ما:
تعرف هذه المعادلة الأعداد النسبية Bm(n) لجميع الأعداد الصحيحة n ≥ 0, m ≥ 0. 00 التي يجب تفسيرها على أنها 1. يكون للتكرار أساسه في B0(n) = 1 لكل n. يأتي الاختلافان الآن بوضع n = 0 على الترتيب n = 1. إضافة لذلك يتم تبسيط الترميز بحذف المرجع للمتغير  n.
عدد برنولي تعاريف
التعبير هنا  يحمل القيمة 1 إذا كان m = 0 و0 عدا ذلك. يُعرف هذا الرمز باسم دلتا كرونكر.
عند حدوث لبس بين التعريفين يمكن تجنبه بالإشارة للتعريف الأعم وبتقديم المتغير المحذوف: بكتابة Bm(0) في الحالة الأولى وBm(1) في الثانية سوف يشير للقيمة السابقة دول التباس.
في عام 1893، نشر لويس سالشوتز ما مجموعه ثمانية وثلاثون صيغة تضم أعداد برنولي، مشيرا عادة إلى مراجع قديمة. من بين هذه الصيغ ما يلي ((Saalschütz 1893)):
تعرف الدالة المولدة لمتسلسلة برنولي كما يلي:
بالرغم من إمكانية استعمال الصيغة التكرارية السابقة للحساب فإنها تستعمل بشكل رئيس لتأسيس اتصال مع مجاميع القوى نظراً لأنها مكلفة حسابياً. مع ذلك، إن كل من الخوارزميات البسيطة والعالية النهاية متوفرة لحساب أعداد بيرنولي. الطريقة البسيطة تعطى في الخوارزم العام التالي في مربع النص 'خوارزم أكياما تانيغاوا' والمؤشرات لخوارزميات النهاية العليا معطاة في القسم التالي.
عدد برنولي حساب أعداد برنولي بكفاءة
من المفيد في بعض التطبيقات القدرة على حساب أعداد بيرنوليB0 حتى Bp − 3 متبقيا p, حيث p هو عدد أولي; فمثلاً لفحص ما إذا كان تخمين فانديفير صحيحاً، أو حتى للتحقق من أن p عدد أولي شاذ. ليس مناسباً أن نقوم بحساب كهذا باستعمال الصيغة التكرارية السابقة، لأنه على الأقل (ثابت من مضاعفات) p2 سيتطلب عمليات حسابية. لحسن الحظ فقد طورت طرق أسرع (Buhler et al. 2001) والتي تتطلب O(p (log p)2) عملية فقط (انظر علامة أو الكبرى).
عدد برنولي حساب أعداد برنولي بكفاءة
يصف ديفيد هاري (Harvey 2008) خوارزمية لحساب أعداد بيرنولي عن طريق حساب Bn متبقياً p لأعداد أولية صغيرة عديدة p، ومن ثم يعيد إنشاء Bn عن طريق نظرية المتبقي الصينية. كتب هارفي بأن المقارب معقدة زمنياً لهذا الخوارزم هي O(n2   log(n) 2+eps) ويصرح بأن هذه الرؤية أسرع بشكل ملحوظ من الرؤى المعتمدة على الطرق الأخرى. طريقة هاري هي مضمنة في سايج منذ الإصدار 3.1. باستخدام هذه الرؤية قام هارفي بحساب Bn لقيم n = 108 وهي رقم قياسي جديد (أكتوبر 2008). قبل بيرنارد كيلنر  (Kellner 2002) حسب Bn لأعلى دقة لقيم n = 106 في ديسمبر 2002 وOleksandr Pavlyk (Pavlyk 2008) لقيم n = 107 بواسطة 'ماثماتيكا' في أبريل 2008.
عدد برنولي وجهات نظر واصطلاحات مختلفة
يمكن النظر إلى أعداد بيرنولي من وجهات أربعة مختلفة:
تقود كل وجهة نظر مما سبق إلى مجموعة أخرى من الاصطلاحات.
هذه هي وجهة نظر جاكوب بيرنولي. انظر مقتطفات من كتابه أرس كونجكتاندي، الطبعة الأولى، 1713. تفهم أعداد بيرنولي على أنها أعداد تكرارية بطبيعتها، ابتُكرت لحل مشكلة رياضياتية معينة ألا وهي مجموع القوى، أو التطبيق البارادياغماتي - paradigmatic application لأعداد بيرنولي. هناك لبس في القول بأن وجهة النظر هذه 'archaic'. يستخدم هذه العبارة مثلاً جان-بيير سير في كتابه دورة في الحساب وهو كتاب معتمد في العديد من الجامعات اليوم.
المقصود هنا هو كثيرات حدود برنولي والتي سبق الحديث عنها.
يتوافق هذا الاصطلاح مع الاصطلاح Bn = Bn(1) (مثلاً J. Neukirch وM. Kaneko). الإشارة '+' for B1 متلائمة مع تمثيلات أعداد بيرنولي من دالة ريمان زيتا.
عدد برنولي علاقته بأعداد أويلر وπ
أعداد أويلر هي متتالية من الأعداد الصحيحة مرتبطة ارتباطا شديدا بأعداد برنولي.
عدد برنولي الخصائص الحسابية لأعداد برنولي
ترتبط أعداد برنولي بمبرهنة فيرما الأخيرة من خلال مبرهنة كومر,(برهن عليها عام 1850) والتي تنص على ما يلي:
إذا كان p عددا أوليا فرديا، لا يقسم أيا من بسط أعداد برنولي B2, B4, ..., Bp−3، إذا، فإن المعادلة xp + yp + zp = 0 لا تقبل حلولا طبيعية تختلف عن الصفر.
الأعداد الأولية التي تملك هاته الخاصية تسمى أعدادا أولية نظامية.
المجموع:
يمكن أن يحسب عند قيم سالبة ل n. بعمل ذلك، يتبين أن هذه الدالة فردية عندما يكون k زوجيا.
الدالة المولدة لأعداد برنولي هي كما يلي :
الدالة في الجانب الأيسر من الصيغة أعلاه هي دالة زوجية.
من خلال هذه الصيغة، تستنتج أن تنعدم  عندما يكون المؤشر  فرديا.
الارتباط بين أعداد برنولي ودالة زيتا لريمان قوي بما فيه الكفاية لإعطاء نص آخر لفرضية ريمان، مستعملا أعداد برنولي فقط. بالفعل، برهن مارسل ريز في عام 1916، على أن فرضية ريمان تكافئ ما يلي:
مشتق عكسي
في التحليل الرياضي، الدالة الأصلية أو عكس المشتق أو مقابل مشتقة الدالة (بالإنجليزية: Antiderivative)‏ هي دالة F مشتقها تساوي : f، أي أن F′ = f.
مشتق عكسي القواعد الرياضية
يعبر عن التكامل غير المحدود رياضياً بالصيغة:
استُعمل الرمز  للدلالة على التكامل وهو مشتق من الرمز الأصلي s بالإنكليزية من مجموع sum ومع الوقت اعتاد الرياضياتيون على مد الحرف ليصبح بالشكل الذي هو علية الآن. التعبير F(x) + C هو الاشتقاق العكسي العام للدالة  لأن مشتقة الثابت C هي صفرf. إن سبب ضرورة إضافة ثابت في التكامل هو عدم معرفة القيمة الأصلية له قبل الاشتقاق.
تشتق قواعد التكامل غير المحدود من قواعد الاشتقاق نفسها كون العملية عكسية.
فمثلا عند وجود ثابت مضروب في الدالة فبالإمكان مكاملة الدالة ثم ضرب التكامل في الثابت، أي:
كذلك الحال لمجموع دالتين f وg أو الفرق بينهما:
مشتق عكسي الطرق المختلفة لايجاد التكامل
ليست كل العمليات أو القواعد الممكنة في الدالة الاصلية يمكن تنفيذها مباشرة في المعكوس. فمثلا لايمكن ايجاد تكامل حاصل ضرب أو قسمة دالتين مباشرة ولكن يمكن الاستعانة بالتعريف الاصلي في التفاضل وخواصه لايجاد قاعدة شبيهة.
هنا بعض الطرق المستخدمة في ايجاد الاشتقاق العكسي للتابع:
يمكن نشر الدالة قبل مكاملتها باستخدام مفكوك تايلور وماكلورين ثم مكاملتها.
تستخدم هذه الطريقة لحساب التكاملات المحدودة بواسطة الحاسوب حيث يتم عمل خوارزمية مناسبة لحساب التكامل في برنامج وتنفيذه. تستطيع الحواسيب في الوقت الحاضر حساب تكاملات غاية في التعقيد في زمن صغير جدا.
تعتبر طريقة شبه المنحرف المركب من أشهر الطرق المستخدمة في التحليل العددي وتلخص بالصيغة:
حيث تأخذ الفترات الفرعية الشكل [k h, (k+1) h], مع h = (b−a)/n وk = 0, 1, 2,..., n−1
قاعدة المجموع في التكامل
في التحليل الرياضي، تقول قاعدة المجموع في التكامل أن :
تستعمل هذه القاعدة كثيرا عند النقل من الجانب اليمين إلى اليسار وبالعكس في عمليات جمع التكاملات. وهي من نتائج قاعدة الجمع في التفاضل وإحدى نتائج خطية التكامل.
قاعدة العامل الثابت في التكامل
قاعدة العامل الثابت في التكامل هي إحدى نتائج قاعدة العامل الثابت في التفاضل كما إنها تنتج عن خطية عملية التكامل :
خطية التكامل
في التحليل الرياضي، الخطّية هي إحدى الخواص الأساسية للتكامل التي ينتج عنها قاعدة الجمع في التكامل وقاعدة العامل الثابت في التكامل:
ثابت التكامل
في التحليل الرياضي، غالبا ما نعبر عن التكامل غير محدود لتابع معطى (أي مجموعة المشتقات العكسية للتابع) بشكل تابع مع ثابت       اختياري يدعى ثابت التكامل.
هذا الثابت يعبر عن خاصية كامنة في المشتقات العكسية.
ثابت التكامل مثال
إذا كان f معرفا على مجال ما وF هو المشتق العكسي لـ f، فإن مجموعة جميع المشتقات العكسية للتابع f تعطى بالتابع F(x) + C، حيث C هو ثابت اختياري.
تكامل بالتجزئة
في التفاضل والتكامل -وبشكل عام في التحليل الرياضي، التكامل بالتجزئة أو التكامل بالأجزاء (بالإنجليزية: Integration by parts) هو إحدى القواعد التي تحول تكامل جداء دوال متعددة إلى تكامل آخر أكثر بساطة وسهولة. تنشأ القاعدة من قاعدة الجداء للاشتقاق.
لنفترض أن  و  دالتان متصلتان قابلتان للاشتقاق، وحسب قاعدة التكامل بالتجزئة فإن:
وإذا افترضنا أن  تساوي  و  تساوي  فإنه يمكن كتابة القاعدة على النحو:
قاعدة المتسلسلة المعكوسة
في التحليل الرياضي, قاعدة السلسلة المعكوسة هي طريقة للتكامل لتابع تعتمد على تخمين تكامل هذا التابع, ومن ثم مفاضلته باستعمال قاعدة السلسلة. تعتبر هذه الطريقة حالة خاصة من التكامل بالاستبدال.
ترميز نيوتن
ترميز نيوتن للتفاضل يتضمن وضع نقطة (dot) فوق اسم التابع، يستخدم هذا الترميز بشكل خاص في الميكانيك:
وهكذا.
لم يستخدم إسحق نيوتن طريقة واحدة للدلالة على التفاضل، ولأن ترميز نيوتن للتفاضل يعد غير عمليًّا فإن ترميز لايبنتز للتفاضل يعد هو الأكثر شيوعًا وانتشارًا.
قاعدة المجموع في التفاضل
قاعدة المجموع في التفاضل هي إحدى أكثر القواعد فائدة في عملية الاشتقاق. ومنها تنتج قاعدة المجموع في الاشتقاق. القاعدة بحد ذاتها تنتج مباشرة من المباديء البسيطة للاشتقاق.
تخبرنا قاعدة المجموع أنه من أجل دالتين رياضيتين u وv :
هذه القاعدة تطبق أيضا على جمع وطرح أكثر من تابعين اثنين:
قاعدة العامل الثابت في التفاضل
في التحليل الرياضي ، تقوم قاعد العامل الثابت بإهمال الثوابت من عملية التفاضل للتوابع حيث أن مشتقات العامل الثابت معدوم دوما .
قاعدة العامل الثابت في التفاضل مثال توضيحي
يمكننا استخدام القواعد الأولية للتفاضل لإيجاد ما يلي :
خطية التفاضل
في الرياضيات، تعتبر خطية عملية التفاضل إحدى أهم الخواص الأساسية للمشتق، في حساب التفاضل.
تنتج هذه الخاصية قاعدة الجمع في التفاضل وقاعدة العامل الثابت في التفاضل. لذا يمكننا القول أن عملية التفاضل خطية أو أن معامل التفاضل معامل خطي.
حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود
في الرياضيات، تعتبر كثيرات الحدود الأشكال الأبسط للتوابع لإجراء حسابات التفاضل والتكامل عليها. يمكن أن نعطي صيغ التفاضل والتكامل لكثير حدود كما يلي:
اشتقاق (أمثلة)
الصفحة الرئيسية: اشتقاق
أمثلة عملية للتدريب على الإشتقاق..
قاعدة السلسلة
في التفاضل والتكامل؛ قاعدة السلسلة أو قاعدة التسلسل (بالإنجليزية: Chain rule)‏ هي صيغة رياضية من أجل حساب مشتق دالتين مركبتين أو أكثر.
تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق دالة مركبة من دالتين f و g يساوي جداء مشتق الدالة f للدالة g و مشتق الدالة g، بتعبير رياضي:
قاعدة السلسلة التاريخ
قد تكون قاعدة السلسلة قد استعملت لأول مرة من طرف غوتفريد لايبنتس. استعملها من أجل حساب اشتقاق ، تركيبا لدالتين هما دالة الجذر التربيعي والدالة .
قاعدة الضرب
في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :
لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :
أو بترميز لايبنز :
.
قاعدة الضرب تعميمات
قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:
من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال ، يتوفر ما يلي:
قاعدة ناتج القسمة
في التحليل الرياضي، قاعدة ناتج القسمة (بالإنجليزية: quotient rule) إحدى طرق إيجاد مشتق أو تفاضل تابع رياضي هو ناتج قسمة تابعين رياضيين قابلين للاشتقاق :
إذا كان التابع المراد مفاضلته ، , يمكن أن يكتب :
و  ≠ , تقول القاعدة عندئذ أن مشتق  يساوي:
بمعنى مشتقة الاقتران النسبي = (المقام *مشثقة البسط - البسط * مشاقة المقام)/ (المقام)^2.
قاعدة الدوال العكسية
في الرياضيات، عكس الدالة الرياضية  هو دالة رياضية تعكس تأثيرات التابع  (دالة عكسية) ويرمز لمعكوس الدالة بـ : .
قاعدة الدوال العكسية الوصف الرياضي
المفاضلة في علم الحسبان هو عملية إيجاد المشتق والاشتقاق هو إيجاد ميل المماس عند كل نقطة.
قاعدة لوبيتال
في التحليل الرياضي، قاعدة لوبيتال (بالإنجليزية: L'Hôpital's rule) تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.
قاعدة لوبيتال نبذة تاريخية
نشر غييوم دي لوبيتال هذه القاعدة في كتابه الذي صدر عام 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (حرفيًًّا: تحليل اللامتناهيات في الصغر لفهم الخطوط المنحنية)، أول كتاب مدرسي حول حساب التفاضل. ومع ذلك، يُعتقد أن القاعدة اكتشفها عالم الرياضيات السويسري يوهان بيرنولي.
قاعدة لوبيتال مبدأ نظرية اوبيتال
ليكن  عددا حقيقيا أو حتى ، حيث تكون الدوال الحقيقية  و معرّفة بقرب  و مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر  في a، حيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.
قاعدة لوبيتال نص قواعد أوبيتال
النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتين للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر  معرّفا :
لو كان "f" و"g" دالتين قابلتين للاشتقاق في "a"، ومساويتين للصفر في a وحيث يكون الكسر  معرّفا، فإن
و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.
لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ وحيث نهايتهما في a، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان  فإن .
هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.
التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.
لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على [a ; b] ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على [a ; b] ولو كانت  فإن .
هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.
نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على [b ; a]
قاعدة لوبيتال الاستعمالات
في حالة «  »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :
أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :
و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :
نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال
في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :
لا تملك نهاية في  لأن  تتذبذب بين 1/e وe.
قاعدة لوبيتال الاستدلالات
إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :
بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a وأن الكسر  معرّف، نستطيع أن نؤكد أن
1. g'(a) مخالف للصفر، وبالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]
2.
يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
بما أن (g(x مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]
لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث .
بما أن  وأن ، فإنه بالمثل لـ .
قاعدة لوبيتال الاستدلالات
يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن (g(x مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x وy مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]
في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث 
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه (g(x مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :
بما أن ، وc تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون  قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.
للنهايات في ، يكفي أن نضع  ونحاول أن نجد نهاية في .
لتكن  و دالّتين معرّفتين على ، قابلتين للاشتقاق على ، إذا كانت  مخالفة للصفر وكانت  فإن
طريقة نيوتن
في التحليل العددي، طريقة نيوتن (بالإنجليزية: Newton's method)‏ أو طريقة نيوتن-رافسون (بالإنجليزية: Newton–Raphson method)‏ هي خوارزمية فعالة لإيجاد جذور تابع حقيقي. لذلك تعتبر مثالا لخوارزميات إيجاد الجذور. يمكن استخدامها لإيجاد الحدود العليا والحدود الدنيا لمثل هذه التوابع، عن طريق إيجاد جذور المشتق الأول للتابع.
طريقة نيوتن الطريقة
التأويل الهندسي كما يلي: نختار قيمة قصوى قريبة من «جذر المعادلة». ونغير التمثيل البياني بالمماس ونحسب الصفر التقريبي. صفر المماس هو قيمة تقريبية لجذر المعادلة، ومن ثم يمكن إعادة الحساب للحصول على حل أكثر قربا للجذر.
عمليا: العمليات بالنسبة لf : [a, b] → R, دالة معرفة وقابلة للاشتقاق على المجال[a, b]
نختار قيمة اعتباريةx0 (كلما كانت قريبة من الحل كلما كان أفضل). نحدد بالترجع بالنسبة لكل عدد صحيح طبيعيn:
نستطيع أن نبين أنه إذا كانت 'f  دالة متصلة والجذر المجهول α معزول، فإنه يوجد مجاور ل α حيث لكل قيم الانطلاق x0 للجوار، المتتالية (xn) تقترب من α. أكثر من ذلك، إذا كانت f '(α) ≠ 0, فإن التقارب رباعي أي أن عدد الأرقام الصحيحة تقريبا تتضاعف في كل مرحلة.
طريقة نيوتن التاريخ
انظر إلى شرف الدين الطوسي وإلى غياث الدين الكاشي.
طريقة نيوتن أمثلة
طريقة نيوتن هو واحدة من الطرق المستعملة من أجل حساب الجذر التربيعي.
على سبيل المثال، حساب الجذر التربيعي للعدد 612 يكافئ ايجاد حلحلة للمعادلة التالية:
إذن، الدالة التي ينبغي استعمالها في إطار طريقة نيوتن هي:
بقيمة متنبئة أصلية مساوية للعدد 10، المتتالية التي تعطيها طريقة نيوتن هي كما يلي:
حيث الأرقام الصحيحة مسطر عليهن. بعد عدد قليل فقط من التكرارات، أمكن الحصول على حلحلة دقيقة إلى حدود مجموعة من الأرقام بعد الفاصلة.
حركة براونية
الحركة البراونية في الفيزياء، نسبةً لمكتشفه روبرت براون وهي:
لاحظ براون أن حركة الحبيبات الهلامية الصغيرة في سائل ناتجة عن حركة جزيئات السائل التي تصطدم بها. فكل ذرة أو جزيئ في السائل له حركة تتغير شدتها بتغير درجة حرارة السائل.
وتستخدم نظرية براون لوصف الجزيئات الغروانية.
حركة براونية تاريخ الحركة البراونية
يُنسب اكتشاف الحركة البراونية إلى عالم النباتات الأسكتلندي روبرت براون، عام 1827، إثر دراسته لجزيئات رحيق الأزهار. فقد لاحظ عندما وضع هذه الجزيئات في الماء لملاحظتها عن طريق المجهر، لاحظ أنها في حركة عشوائية متواصلة.. فتساءل عن سبب هذه الحركة.. أهي ناتجة عن كون الجزيئات كائنات حية؟ (كحركة البكتيريا مثلا)..؟؟.. للتأكد من هذه الفرضية قام براون بتكرار التجربة نفسها، مستخدما هذه المرة جزيئات معدنية ميكرونية، ومن جديد، شاهد حركة شديدة التشابه مع ملاحظاته السابقة.. وقد أثبتت هذه التجارب ان الحركة البراونية غير ناتجة عن قوة حيوية.... لكن ما أصل هذه الظاهرة؟.. هل أصلها فيزيائي كما ذكر ألبرت أينشتاين في واحدة من مقالاته الشهيرة؟..