hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
حلب الاقتصاد
ولكونها محاطةً بحقول الزيتون والغار والفستق، فقد اكتسبت المدينة باعاً طويلاً في تصدير المنتجات الغذائية والصناعات الغذائية التحويلية المغذاة المرتبطة بها وبخيراتها.كالفستق المعروف عالميا باسمها الفستق الحلبي.كما تشتهر حلب بالصناعات المتعلقة بزيت الزيتون وخاصة الزيتون (العفريني) نسبة إلى منطقة عفرين التي تحوي غابات من أشجار الزيتون، وهو من أجود أنواع الزيتون في العالم و‌الزعتر الحلبي الملكي المعروف.
حي الشيخ نجار هو المنطقة الصناعية الأساسية في المدينة، يحتل مساحة 4412 هكتاراً ليكون أحد أضخم الأحياء الصناعية في المنطقة، يقدر حجم الاستثمارات بأكثر من ملياري دولار حتى نهاية عام 2009، وهنالك الكثير من المشاريع الجارية لإنشاء فنادق فخمة، مراكز معارض وعدد من المنشآت الصناعية.
اقتصاد حلب عماده صناعات النسيج، الصناعات الكيميائية، الصناعات الدوائية، الصناعات الغذائية الخفيفة، الصناعات الكهربائية، الصناعات الهندسية والسياحة. وهي مركز التصنيع الأساسي في سوريا، باحتوائها على أكثر من 50% من العمالة الصناعية وأكثر من نصف حصة التصدير.
قائمة بالصناعات الأساسية:
حلب السياحة
تتمتع حلب بعوامل ومقومات كثيرة في مجال السياحة وتنتشر الأماكن الأثرية بكثرة في هذه المدينة التي تعتبر أهم مدن الشرق وفي مدن وقرى محافظة حلب كالقلاع والمتاحف والأديرة والكنائس والمساجد والأسواق الشرقية الشهيرة، والعديد من المصايف والأماكن الطبيعية والغابات الرائعة في ريف المحافظة، وعدد من الفنادق الدولية ومن مختلف المستويات ومدن الألعاب (كمدينة حلب المائية)، والمنتزهات والحدائق الجميلة والكازينوهات والمقاهي والمطاعم. وتشتهر حلب بمطاعمها العريقة المشهورة بتقديم بأكلاتها المعروفة الشهيرة مثل الكبة والكباب المشوي.
وتقام في مدينة حلب مهرجانات وعروض سنوية عديدة أهمها، مهرجان و‌كرنفال القطن السنوي، و‌مهرجان الأغنية السورية،
حلب أعلام ومشاهير
وُلد وتربى ولمعَ في حلب كمٌ هائلٌ من العظماء والمشاهير، الذين ليسَ من الممكن حصرهم في قائمة، نذكر منهم:
21 يوليو
21 يوليو أو 21 تمُّوز أو 21 يوليه أو يوم 21 \ 7 (اليوم الحادي والعشرون من الشهر السابع) هو اليوم الثاني بعد المئتين (202) من السنوات البسيطة، أو اليوم الثالث بعد المئتين (203) من السنوات الكبيسة وفقًا للتقويم الميلادي الغربي (الغريغوري). يبقى بعده 163 يوما لانتهاء السنة.
21 يوليو أحداث
2008 - إلقاء القبض على رادوفان كاراديتش زعيم جمهورية صرب البوسنة الأسبق والمطلوب للمحكمة الجنائية لجرائم الحرب في يوغوسلافيا وذلك للمحاكمة في جرائم حرب قام بها في البوسنة ضد المسلمين.
2020 - إثيوبيا تُعلن عن اكتمال المرحلة الأولى من ملء خزان سد النهضة، من دون التوصّل إلى اتفاق مع مصر والسودان، والحكومة السودانية تكشف عن تراجع منسوب مياه النيل الأزرق بما يعادل 90 مليون متر مكعب.
تكامل
في الرياضيات، مكاملة دالة هي نوع من التعميم لكميات قابلة للتجزئة مثل المساحة أو الحجم أو الكتلة أو أي مجموع لعناصر متناهية في الصغر. وأيضاً يمكن أن يُنظر إلى عملية التكامل على أنها عملية عكسية لعملية التفاضل. بالرغم من تعدد التعاريف المستخدمة للتكامل وتعدد طرق استخدامه فإن نتيجة هذه الطرق جميعها متشابهة وجميع التعاريف تؤدي في النهاية إلى المعنى ذاته.
يمكن اعتبار تكامل دالة حقيقية مستمرة ذات قيم موجبة لمتغير حقيقي بين قيمة حدية دنيا وقيمة حدية عليا هي المساحة المحصورة بين المستقيمين الرأسيين:
x=a, x=b والمحور x والمنحني المحدد بالدالة، يمكن صياغة ذلك بشكل رياضي:
ويرمز لهذه العملية حسب اصطلاح لورينتز:
.
تكامل
النقطة الأساسية في التكامل تأتي من المبرهنة الأساسية في التكامل والتي تنص على أن مشتق تابع المساحة تحت منحني الدالة هو الدالة نفسها. بالتالي إذا عرفنا دالة تربط القيمة x بقيمة المساحة المحدودة بين منحني الدالة
 ومحور السينات (x) ومن الجهة الأخرى محدودة بمحور الصادات (y) والمستقيم X=x، تدعى هذه الدالة بدالة المساحة ومشتقها هو الدالة  نفسها، لذلك ندعو تابع المساحة عكس الاشتقاق أو التابع الأصلي للدالة . يقوم حساب التكامل على إيجاد التابع الأصلي للدالة التي نريد القيام بمكاملتها.
وقد عرض غوتفريد لايبنتز، في 13 نوفمبر 1675، أول عملية تكامل لحساب المساحة تحت منحنى الدالة ص = د(س).
يوجد عدة أنواع للتكامل منها:
التكامل بالتجزئة، تكامل بالتعويض، التكامل بالكسور الجزئية، التكامل بالأقراص.
تكامل تاريخ
توجد دلالات تاريخية على استخدام التكامل في عهد قدماء المصريين (حوالي 1800 قبل الميلاد) فقد دلت بردية موسكو الرياضية على علمهم بصيغة لحساب حجم الهرم المقطوع. وتعد طريقة الاستنزاف من أوائل الطرق المستعملة في إيجاد التكاملات حيث تعود إلى 370 قبل الميلاد وكانت تحسب بها الحجوم والمساحات وذلك بتقسيمها إلى أشكال صغيرة غير منتهية معلومة المساحة أو الحجم. كما طُوِّرَت هذه الطريقة من قبل أرخميدس وتم استعمالها في حساب مساحات القطع المكافئ والتقريب لمساحة الدائرة. وفي الصين طورت طرق مماثلة في القرن الثالث الميلادي بواسطة ليو هوي، والذي استخدمها لإيجاد مساحة الدائرة كما تم استعمال هذه الطرق فيما بعد في القرن الخامس من قبل الرياضيين الصينيين - الأب والابن تسوتشونغ وزوجنغ[الإنجليزية] لإيجاد حجم الكرة. في نفس القرن، استخدم الرياضي الهندي أريابهاتا طريقة مشابهة لحساب حجم المكعب.
تكامل تاريخ
أتت الخطوة التالية والهامة في التفاضل التكاملي في القرن الحادي عشر عندما أخترع الفيزيائي الحسن بن الهيثم ما يعرف اليوم باسم مسألة الحسن (نسبة لاسمه المشهور عند الأوروبيين) والتي تقود إلى معادلة الدرجة الرابعة. في كتابه المناظر. بينما كان يحل هذه المسألة، قام بعملية تكامل لإيجاد حجم السطح المكافئ. وقد استطاع بالاستقراء الرياضي تعميم هذه النتيجة لدوال كثيرة الحدود حتى الدرجة الرابعة وقد كان بالتالي قادرا على إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرة الحدود ولكنه لم يعر للأمر أهمية لذلك في وقته.
بعض الأفكار في التفاضل التكاملي يمكن مشاهدتها أيضا في سيدهانتا شيروماني، وهي عبارة عن نص يعود للقرن الثاني عشر للفلكي الهندي بهاسكارا الثاني.
تكامل تاريخ
لم يبدأ ظهور التقدم الملحوظ في علم التكامل التفاضلي إلا مع القرن السادس عشر وفي هذا الوقت كان عمل كافاليري بطريقته الكل لا التجزيء وعمل فيرمات، ولقد بدأ بوضع الأساسيات لعلم التفاضل والتكامل الحديث. وكان لإسحق نيوتن وتورشيلي دورا هاما أيضا في توسيع هذا العلم أوائل القرن السابع عشر اللذان قدما التلميحات الأولى في وجود صلة بين التكامل والاشتقاق في الوقت الذي كان الرياضيون اليابانيون قد أسهمو في أعمال مشابهة وبشكل خاص على يد سيكي كاوا. كان منها طرق إيجاد مساحات الأشكال بالتكامل، بتوسيع طريقة الاستنزاف.
مثل اكتشاف النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل الفريد من قبل إسحاق نيوتن وليبنيز تقدما عظيما في علم التفاضل والتكامل.
فهي توضح العلاقة بين التكامل والتفاضل. هذه العلاقة -بدمجها مع قرينتها السهلة - الاشتقاق يمكن استغلالها لحساب التكاملات. وبشكل خاص فإن النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تساعد في حل مسائل أكثر تعقيدا. وبإعطاء اسم التفاضل المتناهي في الصغر فقد سمحت بتحليل دقيق لدوال متصلة. لقد أصبح هذا العمل التفاضل والتكامل الحديث، والذي استمد رمزه من عمل ليبنيز.
تكامل تاريخ
مع أن نيوتن وليبنز أوجدا طريقة نظامية للتكامل إلا أن عملهما كان يفتقر إلى درجة الدقة. فقد هاجم جورج بركلي عبارة متناهي في الصغر ووصفها بكميات الأشباح المغادرة. اكتسب التفاضل والتكامل مع تطور علم النهايات وتوطدت أركانه بفضل أوغستين لوي كوشي في منتصف القرن التاسع عشر. أولاً صِيغَ التكامل بدقة باستعمال النهايات من قبل بيرنارد ريمان كما ظهرت صورة أخرى من قبل هنري لوبيغ في تأسيس نظرية القياس.
استعمل نيوتن عمودا صغيرا فوق المتغير للإشارة إلى عملية التكامل، أو أن يضع المتغير داخل مربع. كان القضيب العمودي يلتبس مع  و, والتي كان قد استعملها نيوتن للإشارة للتفاضل. كما أنه من الصعب على الطابعة التعامل مع المربع، وبالتالي لم يتم تبني هذه العلامات.
الرمز الحديث للتكامل الغير محدود تم تقديمه على يد ليبنيز عام 1675 (Burton 1988، p. 359; Leibniz 1899، p. 154), كما أنه قام بموائمة رمز التكامل,:, بعد إطالته للحرف s كتمثيل لاختصار عملية الجمع sum. الشكل الحديث لعلامة التكامل المحدود استعمل لأول مرة من قبل جوزيف فوريير بإضافة حدود التكامل أسفل وأعلى الرمز السابق (Cajori 1929، pp. 249–250; Fourier 1822، §231).
الجدير بالذكر أن الرياضيات العربية التي تكتب من اليمين لليسار تستعمل الرمز المعكوس للتكامل, ، ليتماشى مع اتجاه الكتابة.(W3C 2006).
تكامل مقدمة
تظهر التكاملات في العديد من الحالات التطبيقية. إذا اعتبرنا بركة السباحة مثلا، إذا كانت مستطيلة الشكل، من طولها، عرضها, وعمقها فمن الممكن إيجاد حجم الماء التي يمكن احتواؤها (لملئها), مساحتها السطحية (التي تغطيها من جميع الجهات), وطول حوافها (بحبل مثلا). لكن إذا كانت بيضاوية الشكل ومدورة من القعر، فإن كل هذه الكميات تستدعي التكامل. قد تكون التقريبات التطبيقية كافية في مثل هذه الأمثلة البسيطة ولكن الدقة الهندسية تتطلب قيما مضبوطة ودقيقة لهذه العناصر.
للبدء، اعتبر المنحنى بين x = 0 وx = 1, و. يكون السؤال:
ماهي المساحة تحت الدالة f, في الفترة 0 إلى 1?
ولندعي أن هذه المساحة (حتى الآن غير معلومة) هي تكامل f. يكون الرمز لهذا التكامل هو:
تكامل مقدمة
كتقريب أولي فلننظر في مربع الوحدة المعطى بالأضلاع x = 0 إلى x = 1 و nbsp;= 0 and y = f(1) = 1. مساحته هي 1 تماما. ينبغي أن تكون القيمة الحقيقية للتكامل أقل مما هي عليه.
بتقليل عرض المستطيلات التقريبية يعطي نتيجة أفضل، وبالتالي عبر الفترة في خمس خطوات، باستعمال نقاط التقريب 0, 1⁄5, 2⁄5, وهكذا حتى 1. بوضع مربعا مناسبا لكل خطوة مستخدمين الارتفاع المناسب لكل قطعة منحنية، وعليه 1⁄5√, 2⁄5√, وهكذا حتى   1√= 1. وبجمع مساحات هذه المستطيلات، نحصل على تقريبا أفضل للتكاملات المقصودة,
لاحظ أننا نأخذ مجموع لقيم دوال عديدة محدودة لـ f, مضروبة في الفرق بين فترتين تقريبيتين متعاقبتين. يمكننا ملاحظة أن التقريب ما زال كبيرا. وكلما استخدمنا خطوات أكثر حصلنا على تقريبات أفضل، ولكننا لن نحصل على قيم دقيقة أبدا: بإبدال الـ5 فترات بـ12 فترة نحصل على التقريب 0.6203, وهي تقريب أفضل. مفتاح الفكرة يكمن في الانتقال من العديد من نقاط التقريب المحدودة مضروبة بقيم دالتها إلى استعمال عدد لانهائي أو خطى متناهية في الصغر.
بالنسبة للحساب الحقيقي للتكامل، تكون النظرية الأساسية للتكامل هي الرابط الأساسي بين عمليات الاشتقاق والتكامل. وبتطبيقها على منحنى الجذر التربيعي,f(x) = x1/2, تقترح علينا أن نبحث عن المشتق العكسي F(x) = 2⁄3x3/2, ونأخذ ببساطة F(1) − F(0), حيث 0 و1 هي حدود الفترة [0,1].هذه حالة لقاعدة عامة، لإجل f(x) = xq, مع q ≠ −1, تكون الدالة المتعلقة والتي تدعى المشتق العكسي هي  وبالتالي فإن القيمة الدقيقة للمساحة تحت المنحنى رسميا كما يلي
تكامل تعريفات منهجية
هناك عدة طرق لتعريف التكامل بشكل منهجي، لكن هذه الطرق مختلفة عن بعضها البعض في الطرق التي تسلكها. بعض هذه الاختلافات نتجت عن محاولات الرياضيين لحل حالات خاصة من المسائل التي تكون فيها المسألة غير قابلة للتكامل، وبعضها الآخر نتجت لأسباب تعليمية -كتسهيل حل المسائل-. إن أكثر تعريفين شيوعاً للتكامل هي تكامل ريمان وتكامل لوبيغ.
يمكن تعريف تكامل ريمان على أنها أخذ مجموع ريمان للدالة الموجودة ضمن مجال جزئها المحدد Tagged partition. فإذا كان الفترة [a,b] هي فترة مغلقة في خطها الحقيقي؛ فإن جزئها المحدد ضمن الفترة [a,b] هي سلسلة متناهية، حيث تكون:
وهذا سيجزئ الفترة [a,b] إلى n جزء ذو الفترة الجديدة [xi−1, xi]، حيث أن i يعتمد على عدد الأجزاء، كل واحد من هذه الأجزاء «تم تحديدها» بنقطة مفرِّقة ti التي تنتمي للفترة [xi−1, xi]. إذاً، تُعرّف مجموع ريمان للدالة f الموجودة ضمن الجزء المحدد من الفترة [a,b] على النحو التالي:
تكامل تعريفات منهجية
و بالتالي، كل حد من المجموع هي عبارة عن مساحة لمضلع لديه ارتفاع تساوي قيمة الدالة عند النقطة المفرقة للجزء المعطى، ولديه عرض تساوي طول الفترة الجزئية. فلتكنΔi = xi−xi−1 هي عرض الفترة الجزئية i; لكي يكون تشبيك هذا النوع من الأجزاء المحددة هي نفسها عرض أكبر فترة جزئية تم تشكيلها بواسطة التجزئية، التي لها القيمة القصوى i=1...n Δi. إذاً، تكامل ريمان للدالة f في الفترة [a,b] هي مساوية للقيمة S:
فإذا كان جميع قيم ε > 0، ستكون جميع قيم δ > 0. وإذا كان هناك جزء محدد في الفترة [a,b] أقل من قيمة δ, ستكون:
تكامل تكامل لوبيغ للدوال غير سالبة القيمة
لتكن  نعرف تكامل f بالنسبة للمقياس  على أنه العدد الحقيقي الممتد

حيث sup يسري على كل الدوال البسيطة  التي تحقق  إذا كانت E مجموعة قابلة للقياس نعرف تكامل f على E بالنسبة للمقياس  على أنه العدد الحقيقي الممتد

إذا تكامل f على E هو مجرد تكامل الدالة .لاحظ أن هذه الدالة غير سالبة وقابلة للقياس طالما كانت f كذلك.
تكامل النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل
النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل تربط بين عملتي التفاضل والتكامل على أنهما عمليات عكسية لبعضهما، حيث انه إذا كان لدينا إقتران متصل ق(س)، قمنا بتكامله أولاً، ومن ثم إشتقاقه، فإن النتيجة النهائية هي الإقتران المتصل ق(س) نفسه.
الجزء الأول من النظرية ينص على أن التكامل المحدد يمكن عكسه بالتفاضل. الجزء الثاني من النظرية يمكن الشخص من حساب تكامل محدد لدالة باستخدام أحد اشتقاقاتها العكسية غير المحدودة. هذا الجزء من النظرية لهُ أهمية كبيرة عملياً لأنه يسهل حساب التكاملات المحددة بشكل كبير.
افترض أن الاقتران  اقتران متصل (دالة مستمرة) ذات قيم حقيقية (دالة حقيقية المستقر) معرّف على الفترة المغلقة ، وافترض أن الاقتران  معرّف،  كما يلي
إذا كان الإقتران  إقتران متصل ذات قيم حقيقية معرّف على الفترة المغلقة ، فإن:
بحيث أن، الاقتران  هو أي مشتق عكسي للاقتران
زاوية (هندسة)
في الهندسة الرياضية، الزاوية هي شّكلٌ هندسيُّ ناتج عن التقاء شعاعين بنقطة، يُسمى الشعاعان بضلعي الزاوية والنقطة المشتركة بينهما تسمى رأس الزاوية.
زاوية (هندسة) تاريخ
عرف إقليدس الزاوية في المستوي على أنها ميل أحد مستقيمين على آخر بحيث أن المستقيمان يلتقيان في نقطة وليسا متوازيان.
زاوية (هندسة) قياس الزاوية
من أجل قياس زاوية θ، يرسم قوس يتمركز عند رأس الزاوية باستخدام الفرجار. وبقسمة طول القوس s على نصف القطر r وبالضرب بعامل تكبير k يعتمد على وحدة القياس المستخدمة ينتج لدينا:
زاوية (هندسة) وحدات قياس الزوايا
لقياس الزاوية يقاس طول قوس دائرة مركزها نقطة تقاطع ضلعي الدائرة المحصور بين ضلعي الزاوية ويقسم على محيط هذه الدائرة فإذا ضرب الجواب بالنسبة  يكون قياس الزاوية بالقياس الدائري. ولحساب قياس الزاوية بالدرجات، تضرب النسبة بين القوس المحصور بين ضلعي الزاوية ومحيط الدائرة التي مركزها نقطة التقاطع بالرقم 360. ويرمز للدرجة بدائرة صغيرة ترسم أعلى قياس الزاوية كما في 360°.
زاوية (هندسة) أنواع الزوايا
الزوايا المتبادلة بالرأس وهي عبارة عن زاويتان تتشكلان إذا كان هناك مستقيمان متوازيان لهما قاطع (غير معامد) فنقول أن كل الزوايا التي توجد بالداخل هي زوايا داخلية. اما التي فالخارج فهي زوايا خارجية. ونقول أن زاويتان متبادلتان داخليا وخارجيا عندما يكونان متقابلتان وتكون متقايسة. أما الزاويتان المتناظرتان (المتماثلتان) فهما زاويتان واقعتان على نفس الجهة من القاطع احداهما تكون ما بين المستقيمين المتوازيين (الداخل) والاخرى على الخارج. ونجد الزاويتان المتكاملتان (التي سبق دكرها) عند جمع زاويتان داخليتان تقعان على نفس الجهة من القاطع. فنجد 180 درجة.
23 يوليو
23 يوليو أو 23 تمُّوز أو 23 يوليه أو يوم 23 \ 7 (اليوم الثالث والعشرون من الشهر السابع) هو اليوم الرابع بعد المئتين (204) من السنوات البسيطة، أو اليوم الخامس بعد المئتين (205) من السنوات الكبيسة وفقًا للتقويم الميلادي الغربي (الغريغوري). يبقى بعده 161 يوما لانتهاء السنة.
23 يوليو أحداث
2018 -
حرائق الغابات في إقليم أتيكا اليوناني تقتل 76 شخصاً وتخلف العديد من المصابين.
انهيار سد أتابيو الكهرومائي، الذي كان ما يزال قيد الإنشاء، في الجنوب الغربي من لاوس مخلفاً أضرارًا بالغة بالقرى المجاورة ومتسبباً بتشريد أكثر من ستة ألاف شخص.
اللاعب الألماني التركي مسعود أوزيل يُعلن اعتزاله اللعب دوليًّا بعد عاصفة الانتقادات التي وُجهت له من قبل الصحافة الألمانية بسبب صورة التُقِطت لهُ مع الرئيس التُركي رجب طيب أردوغان.
13 سبتمبر
13 سبتمبر أو 13 أيلول أو يوم 13 \ 9 (اليوم الثالث عشر من الشهر التاسع) هو اليوم السادس والخمسون بعد المئتين (256) من السنوات البسيطة، أو اليوم السابع والخمسون بعد المئتين (257) من السنوات الكبيسة وفقًا للتقويم الميلادي الغربي (الغريغوري). يبقى بعده 109 يوما لانتهاء السنة.
13 سبتمبر أحداث
1955 -
إقامة علاقات دبلوماسية بين ألمانيا الغربية والاتحاد السوفيتي لأول مرة منذ الحرب العالمية الثانية.
أمين العام الحزب الحر الدستوري الجديد صالح بن يوسف يعود إلى تونس ليعلن معارضته لاتفاقيات الاستقلال الداخلي الموقع عليها في 3 يونيو من نفس العام، وانشق الحزب بذلك إلى شقين وتحول الصراع بينهما إلى مصادمات واغتيالات.
2015 -
الصحفية الفرنسية المشهورة كلار شازال تنهي مسيرتها في تقديم الأخبار في قناة تي أف 1، وتحقق رقما قياسيا في آخر نشرة تقدمها بـ10.2 مليون مشاهد.
ألمانيا وسلوفاكيا والنمسا توقفان مؤقتاً العمل ببند اتفاقية شنغن لحرية التنقل.
2017 -
فوز حليمة يعقوب بِرئاسة سنغافورة بعد اعتبارها المُرشَّح الوحيد المُؤهَّل لِهذا المنصب، لِتُصبح بذلك أوَّل امرأة تتولَّى رئاسة دولتها.
الجمعية العمومية للجنة الأولمبية الدولية تقرر إسناد شرف تنظيم دورتي الألعاب الصيفية: 2024 لمدينة باريس و2028 لمدينة لوس أنجلوس.
مثلث قائم
المثلث القائم أو المثلث القائم الزاوية، في الهندسة الرياضية: مثلثٌ له زاوية قائمة، أيْ: إنَّ لضلعين في المثلث القائم زاويةً قياسها 90°.
مثلث قائم مساحة المثلث القائم
كما هو الحال مع أي مثلث، تعطى المساحة بالقانون:
ولهذا فإن مساحة المثلث القائم تعطى بالصيغتين:
حيث c وتر المثلث القائم و f الارتفاع عليه.
مثلث قائم مبرهنة فيثاغورس
تعد هذه المبرهنة أهم ما يميز المثلث القائم وتنص مبرهنة فيثاغورس على:
في أي مثلث قائم الزاوية، مساحة المربع المرسوم على الوتر مكافئة لمجموع مساحتي المربعين المرسومين على الضلعين الآخرين.
يمكن إعادة صياغة هذه النظرية في صورة المعادلة:
حيث c هو طول الوتر وa ,b طول الضلعان القائمان.
ثقب أسود
الثقب الأسود منطقة موجودة في الزمكان (الفضاء بأبعاده الأربعة، وهي الأبعاد الثلاثة بالإضافة إلى الزمن) تتميز بجاذبية قوية جداً بحيث لا يمكن لأي شيء - ولا حتى الجسيمات أو موجات الإشعاع الكهرومغناطيسي مثل الضوء - الإفلات منها. تتنبأ النظرية النسبية العامة بأنه يمكن لكتلة فائقة الضخامة أن تنضغط بقدر معين بحيث تشوه الزمكان وتشكيل ثقب أسود. يُطلق على حدود المنطقة التي لا يُمكن الهروب منها اسم أفق الحدث. وعلى الرغم من أن عبور حدود أفق الحدث له تأثيرات هائلة على مصير وظروف أي جسم يعبُره، إلا أنه لا تظهر أي خصائص يُمكن مشاهدتها لهذه المنطقة، فالضوء لا يمكن أن يفلت منها. يعمل الثقب الأسود بصفته جسما أسودا مثاليا، لأنه لا يعكس ولا يٌصدر أي ضوء أو اي شيء آخر. علاوة على ذلك، تتنبأ نظرية المجال الكمي في الزمكان المنحني ‏ بإمكانية إنبعاث إشعاع هوكينج من أفق الحدث، بنفس الطيف الذي يتسم به الجسم الأسود لدرجة حرارة تتناسب عكسياً مع كتلته. درجة الحرارة هذه منخفضة جدا جدا فهي في حدود جزء من مليار الكلفن . كما توجد ثقوب سوداء ذوي كتلة نجمية، ومع ذلك فهي أيضا لا يمكن مشاهدتها. يمكن معرفة وجودها من خلال تأثيراتها على محيطه بيئتها.
ثقب أسود
أشار كل من جون ميشيل وبيير سيمون لابلاس إلى وجود أجسام تمتلك حقول جاذبية قوية بحيث لا يمكن للضوء أن يهرب منها في القرن الثامن عشر. عثر كارل شوارزشيلد على أول حل رياضي حديث للنسبية العامة التي تُميز الثقب الأسود في عام 1916، إلا أن تفسير الحل الرياضي شَكّل منطقة فضاء لا يمكن أن يفلت منها أي شيء كان قد نشر لأول مرة من قِبل ديفيد فينكلشتاين في عام 1958. كانت الثقوب السوداء تعتبر مجرد خيال وفضول لدى علماء الرياضيات لفترة طويلة. لكن خلال ستينيات القرن العشرين، أظهر العمل النظري تنبؤ النسبية العامة بالثقوب. أثار اكتشاف نجوم نيوترونية بواسطة جوسلين بيل بورنيل في عام 1967 الاهتمام بالأجسام المدمجة المنهارة بالجاذبية بصفتها حقيقة فيزيائية فلكية ممكنة.
ثقب أسود
يُعتقد أن الثقوب السوداء ذات الكتلة النجمية تتشكل عند انهيار النجوم الضخمة جدًا في نهاية دورة حياتها. بعد أن يتشكل الثقب الأسود، يمكن أن يستمر في النمو عن طريق امتصاص الكتلة من محيطه. وذلك عن طريق امتصاص النجوم الأخرى والاندماج مع الثقوب السوداء الأخرى، الأمر الذي قد يؤدي إلى تشكل الثقوب السوداء الهائلة والتي تحمل كتلة تعادل ملايين الكتل الشمسية (M ☉). هناك إجماع عام على وجود ثقوب سوداء هائلة في مراكز معظم المجرات.
ثقب أسود
على الرغم من أن محتواه غير مرئي، يمكن استنتاج وجود ثقب أسود من خلال تأثيره على المواد الأخرى والإشعاع الكهرومغناطيسي مثل الضوء المرئي. يمكن للمادة التي تسقط في الثقب الأسود أن تُشكّل قرص تراكم خارجي يتم تسخينه عن طريق الاحتكاك، مما يؤدي إلى تشكيل بعضٍ من أشد الأجسام بريقا في الكون. إذا كان هناك نجوم أخرى تدور حول ثقب أسود، فيمكن استخدام كل من مداراتها وكتلتها لتحديد كتلة الثقب الأسود وموقعه. يمكن استخدام هذه الملاحظات لاستبعاد البدائل المحتملة مثل النجوم النيوترونية. وبهذه الطريقة، تحقق علماء الفلك من العديد من حالات توقعات وجود الثقب الأسود النجمي ضمن الأنظمة الثنائية، وأثبتوا أن مصدر الراديو المعروف بٱسم الرامي A، في قلب مجرة درب التبانة، يحتوي على ثقب أسود هائل يحمل كتلة تقارب 4.3 مليون كتلة شمسية.
في 11 فبراير 2016، أعلن تحالف مرصد ليغو عن أول اكتشاف مباشر لموجات الجاذبية، والتي تعكس فكرة العثور على لحظة اندماج الثقوب السوداء. اعتبارًا من ديسمبر 2018، عُثر على إحدى عشرة موجة من موجات الجاذبية التي نشأت من اندماج عشرة ثقوب سوداء وموجة جاذبية واحدة ناتجة عن اندماج نجم نيوتروني ثنائي. في 10 أبريل 2019، تم نشر أول صورة على الإطلاق لثقب أسود وما في جواره، وذلك في أعقاب القراءات التي حصل عليها مقراب أفق الحدث في عام 2017 والمتعلقة بالثقب الأسود الهائل في مركز المجرة مسييه 87.
ثقب أسود التاريخ
اقترح الفلكي ورجل الدين الإنجليزي جون ميشيل تصوره لوجود جسم ضخم جدا لدرجة أنه لا يسمح للضوء بأن يفلت منه، وذلك في بحث نشره في نوفمبر 1784. افترضت حسابات ميشيل أن مثل هذا الجسم قد يملك نفس كثافة الشمس، وخَلُص إلى أن مثل هذا الجسم سوف يتشكل عندما يتجاوز قطر النجم قطر الشمس بـ 500 مرة، محتسبا أن سرعة الهروب من سطحه ستتجاوز سرعة الضوء المعتادة. أشار ميشيل إلى أنه يمكن اكتشاف هذه الأجسام الفائقة الحجم ولكن غير المرئية من خلال آثارها الجاذبية على الأجسام المرئية القريبة. كان الباحثون في ذلك الوقت متحمسين للاقتراح القائل بأن هنالك نجوم عملاقة ولكن غير مرئية أمام أنظارهم، ولكن ذلك الحماس تضاءل عندما أصبحت الطبيعة الموجية للضوء معروفة في أوائل القرن التاسع عشر. فأصبح الطرح وقتها أن الضوء موجة وليس «جسما»، وعليه فتأثير الجاذبية على الموجات لن يقاس بنفس أسلوب القياس المتبع على الجسيمات، هذا إن وُجد تأثير للجاذبية على الأمواج الضوئية. النسبية الحديثة خطأت تصور ميشيل لإمكانية انطلاق شعاع ضوئي، مرتفعا من سطح نجم ضخم، ويبدأ بالتباطؤ بسبب جاذبية النجم، ويتوقف بعدها، ثم يسقط مرة أخرى على سطح النجم وكأنه كرة.
ثقب أسود التاريخ
في عام 1915، طور ألبرت أينشتاين نظريته النسبية العامة، حيث كان قد أثبت في وقت سابق أن الجاذبية تؤثر على حركة الضوء. بعد ذلك ببضعة أشهر فقط، وجد كارل شوارزشيلد حلاً لمعادلات آينشتاين للمجال، والتي تصف مجال الجاذبية لكل من الكتلة النقطية والكتلة الكروية. بعد بضعة أشهر من نتائج شوارزشيلد، قدم يوهانس دروست، وهو من طلبة هندريك لورنتز، الحل نفسه، وبشكل مستقل عن عمل شوارزشيلد، لوصف النقطة ذات الكتلة وكتب متعمقا بتفصيل أفضل وأوسع عن خصائصها. ظهر ضمن نتائج وحلول يوهانس نتيجة، تعرف في الوقت الحاضر بٱسم نصف قطر شوارزشيلد، حيث تؤول النقطة إلى وضعية التفرد، مما يعني أن بعض المتغيرات ضمن معادلات آينشتاين أصبحت بقيم لا نهائية. لم تكن طبيعة هذا الأمر مفهومة تمامًا في ذلك الوقت. في عام 1924، أثبت آرثر إدينجتون أن التفرد يختفي بعد تغيير الإحداثيات (انظر إحداثيات إدينجتون-فينكلشتاين ‏)، إلا أن الأمر استغرق حتى عام 1933 حتى أدرك جورج ليمايتر أن هذا يعني أن التفرد في دائرة نصف قطرها مقدار شوارزشيلد هو تفرد في الإحداثيات ‏ غير المادية. كتب آرثر إدينغتون معلقا على احتمال وجود نجم ذي كتلة مضغوطة لحجم نصف قطر شوارزشيلد في كتاب صدر عام 1926، مشيرًا إلى أن نظرية أينشتاين تسمح لنا باستبعاد الكثافات المرتفعة جداً ضمن النجوم المرئية مثل منكب الجوزاء لأن
ثقب أسود التاريخ
«نجما يبلغ قطره 250 مليون كيلومتر لا يمكنه أن يملك كثافة مرتفعة مثل تلك الموجودة لدى الشمس. أولاً، ستكون قوة الجاذبية كبيرة لدرجة أن الضوء لن يكون قادرًا على الهروب منه، ستسقط الأشعة إليه ثانية كسقوط الحجر عائدا إلى الأرض. ثانياً، سيكون الانزياح نحو الأحمر كبيراً لدرجة أنه سيتم إزاحة الطيف خارج الوجود. ثالثًا، ستنتج الكتلة انحناءًا كبيرًا في مقياس الزمان والمكان بحيث يتم إغلاق الفضاء حول النجم، مما سيتركنا في الخارج (أي، في أي مكان)».
ثقب أسود التاريخ
في عام 1931، توصل سوبرامانيان تشاندراسيخار، مستخدما النسبية الخاصة، إلى أن جسما لا يدور ومكونا من المادة المنحلة للإلكترون وبكتلة أعلى من قيمة محددة (تسمى الآن حد تشاندراسيخار 1.4 M☉) لن يمتلك حلولا مستقرة ضمن النسبية. تم معارضة استنتاجاته من قبل الكثير من معاصريه مثل إدينغتون وليف لانداو، الذين ردوا عليه أنه لا بد من وجود آليات غير معروفة ستوقف انهيار المادة. حملت معارضاتهم بعضا من الصحة: فالقزم الأبيض الأكبر قليلاً من حد تشاندراسيخار ينهار ليصبح نجمًا نيوترونيًا،  وهو جسم مستقر بحد ذاته. لكن في عام 1939، توقع روبرت أوبنهايمر وآخرون أن النجوم النيوترونية فوق حد آخر (حد تولمان - أوبنهايمر - فولكوف) ستنهار بناء على التعليلات التي قدّمها تشاندراسيخار، وخَلَصوا إلى أنه من غير المحتمل أن يوجد أي قانون فيزيائي يمكنه أن يوقف انهيار بعض النجوم مما يعني تحولها إلى ثقوب سوداء. حساباتهم الأصلية، المبنية على مبدأ استبعاد باولي، حددت قيمة الحد الجديد بـ 0.7 M☉؛ الفهم اللاحق للقوة المرتفعة التي تؤثر على تنافر النجوم النيوترونية رفعت التقدير إلى قيم تتراوح ما بين 1.5 M☉ إلى 3.0 M☉. أدت القراءات التي تم تسجيلها في مرصد ليغو للموجة الثقالية الناتجة عن اندماج النجم النيوتروني GW170817، والذي يُعتقد أنه أدى إلى ظهور ثقب أسود بعد ذلك بفترة قصيرة، إلى تحسين تقدير حد تولمان - أوبنهايمر - فولكوف إلى 2.17 M☉.
ثقب أسود التاريخ
فسر أوبنهايمر وزملاؤه التفرد على حدود دائرة نصف قطرها قيمة شوارزشيلد على أنه مؤشر على أن هذه هي حدود الفقاعة التي يتوقف الوقت داخلها. وجهة نظر مناسبة للمراقبين خارج الفقاعة، ولكنها بالتأكيد ليست ما يلاحظه الجسم الساقط داخل الفقاعة. وبسبب هذه الخاصية، كانت النجوم المنهارة تسمى «النجوم المجمدة»، لأن المراقب الخارجي سيرى سطح النجم متجمدًا في اللحظة التي يصل بها حجم الانهيار إلى نصف قطر شوارزشيلد.
في عام 1958، أقر ديفيد فينكلشتاين بأن سطح شوارزشيلد هو أفق للحدث، «غشاء مثالي أحادي الاتجاه: يمكن للتأثيرات السببية أن تعبره ولكن في اتجاه واحد فقط». لم يتعارض هذا بشكل صارخ مع نتائج أوبنهايمر، لكنه وسع مفاهيمها لتشمل وجهة نظر الأجسام التي تجاوزت أفق الحدث. حل فنكلشتاين ‏ سمح لحل شوارزشيلد بالارتباط بمستقبل الأجسام التي سقطت في ثقب أسود. واستطاع مارتن كروسكال العثور على حل كامل ‏ وقام بنشره سريعا.