hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
صيغة هيرو
في الهندسة الرياضية، تستخدم صيغة هيرو التي سميت على أسم مكتشفها هيرو السكندري لحساب مساحة المثلث عندما يعرف أطوال أضلاعه الثلاث a و b و c. على عكس صيغ مساحة المثلث الأخرى، ليس هناك حاجة لحساب الزوايا أو مسافات أخرى في المثلث أولاً.
صيغة هيرو صيغة القانون
تنص صيغة هيرو على أن مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه الثلاثة a, b, c معروفة هي:
ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:
صيغة هيرو برهان صيغة هيرو
فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه «متريكا»: لتكن a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:

من قانون جيوب التمام. نحصل على:
ارتفاع المثلث على القاعدة a طوله (b sin(C, وبالتالي:
تم تحليل الفرق بين المربعين في مرحلتين مختلفتين.
بما أن مساحة متعدد أضلاع ما بما في ذلك مثلث، هي كمية من البعد الثاني، فإن مربعها كمية من البعد الرابع. أضف إلى ذلك أن مساحة المثلث تنعدم كلما استقامت رؤوس هذا المثلث. ينتج عن هذا أن مربع مساحة مثلث تكتب كما يلي:
وبما أن مربع مساحة مثلث هو كمية من البعد الرابع، فإن k لا يمكن له إلا أن يكون كمية من البعد الأول. هذا المربع هو متعددة حدود تماثلية.
لايجاد قيمة C، اعتبر مثلثا قائم الزاوية وفي نفس الوقت متساوي الساقين
صيغة هيرو تعميم الصيغة للشكل الرباعي
يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين.
إذا افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:
تعد صيغة هيرو حالة خاصة لصيغة براهماغوبتا لقياس مساحة الشكل الرباعي الدائري.
إذا افترضنا أن أضلاع الرباعي الدائري هي a, b, c, d فسنجد أن مساحة الرباعي الدائري(A):
يمكن الحصول على صيغة هيرو عن طريق جعل أحد أضلاع الشكل الرباعي الدائري طوله صفر.
صيغة هيرو صيغة جيوشاو
تعزى الصيغة السابقة إلى هيرو السكندري، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.
اكتشفت هذه الصيغة من قبل الصينيين بشكل مستقل عن الأغريق ونشرها قين جيوشاو في 1247 ميلادية.
صيغة هيرو برهان صيغة جيوشاو
إذا كان لدينا: a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:
مسلمة التوازي
في الهندسة، مسلمة التوازي هي المسلمة الخامسة من مسلمات إقليدس (الهندسة الإقليدية) وتنص أن:
من أي نقطة خارج مستقيم ما يمر مستقيم وحيد يوازي المستقيم المذكور.
وأذا قطع قاطع للمستقيمين فينتج ما يلي:
كما عرفنا نتائج التوازي فعلياً تلك النتائج تطبيقات وهي لها نظريات:
مسلمة التوازي التاريخ
كتب برقلس (410 - 485م) تعليقا حول كتاب الأصول لأقليدس، متطرقا فيه إلى محاولات للبرهان لموضوعة التوازي (الخامسة) انطلاقا من الموضوعات الأربع السابقة. من بين هذه المحاولات، محاولة بطليموس، ولكنها كانت محاولة خاطئة. حاول هو ذاته المجيئ ببرهان حول الموضوعة، ولكن محاولته باءت بالفشل. في مقابل ذلك، جاء بموضوعة تكافئ موضوعة التوازي لإقليدس.
حاول عالم الرياضيات العربي ابن الهيثم (965 - 1039م) البرهان على هذه الموضوعة مستعملا في ذلك البرهان بالخلف. عمر الخيام عمل في الموضوع.
مسلمة التوازي انتقاد
انتقد أرتور شوبنهاور هذه الموضوعة في كتابه العالم إرادة وفكرة، معتبرا إياها مسألة بديهية، تستنتج من خلال المشاهدة.
إنشاء بمسطرة وفرجار
إنشاءات الفرجار والمسطرة مجموعة مسائل قديمة في الهندسة المستوية يشترط فيها إنشاء أطوال أو زوايا معينة باستخدام الفرجار والمسطرة فقط.
إنشاء بمسطرة وفرجار التاريخ
انظر إلى تاريخ الرياضيات اليونانية.
انظر إلى بيير وانتزل وإلى عدد متسام وإلى فيردينوند فون ليندمان.
إنشاء بمسطرة وفرجار إنشاء القطع
من الممكن حسب مبرهنة طاليس ومبرهنة فيثاغورس إنشاء قطع طولها كما يلي:
خطوات تعيين مركز دائرة: نرسم قطعة مستقيمة ثم نعين عليها النقطتين أ ب، نقيم عمود من أ يقطع الدائرة في وثم نقيم عمود من ب يقطع الدائرة في ع نصل بخط من أ إلى ع ثم نصل بخط من ب إلى وونقطة التقاطع بيننهما هي م.
إنشاء بمسطرة وفرجار إنشاء المستقيمات
خطوات تعين مركز الدائرة
قمنا برسم دائرة ثم رسم قطعة مستقيمة تقطع الدائرة اقامة عمود من النقطة أ لقطع الدائرة في نقطة واقامة عمود من النقطة ب لقطع الدائرة في ع ثم نصل بين ه، ب، ع مع أ، عند تقاطع الوترين توصلنا إلى تحديد مركز الدائرة.
إنشاء بمسطرة وفرجار إنشاء الأقواس والزوايا
من الممكن إنشاء زاوية متقايسة مع زاوية أخرى.
إنشاء بمسطرة وفرجار نقل الزوايا
نرسم قطعة مستقيمة ل نعين نقطتين س، ص نفتح الفرجار فتحة مناسبة نركز الرأس المدبب في رأس الزاوية المعلومة أ ب ج وأرسم قوساً يقطع ضلعيها في النقطتين أ ب، نستخدم فتحة الفرجار
السابق ونركز الرأس المدبب في النقطة س، وارسم قوساً يقطع المستقيم س ص في النقطة ع، افتح الفرجار فتحة طولها دو وركز الرأ س المدبب في ع وارسم قوساً يقطع القوس الأول في النقطة م صل س م بالمسطرة لتحصل على الزاوية المطلوبة.
إنشاء بمسطرة وفرجار إنشاءات مستحيلة
اعتقد علماء الرياضيات الإغريق أن المسائل اللائي لم يستطيعوا حلحلتها والمتعلقة بإنشاءات المسطرة والبركار أنها صعبة. لم يعتقدوا أنها مستحيلة. في العصر الحالي، بُرهن بشكل قاطع أن هذه المعضلات مستحيلة الحل.
تربيع دائرة أي رسم مربع مساحته تساوي مساحة دائرة ما. تربيع الدائرة يعني إنشاء قطعة طولها يساوي √π. هذا العدد متسام.
مضاعفة مكعب أي إنشاء مكعب حجمه ضعف حجم مكعب ما.
تثليث زاوية أي تقسيم زاوية ما إلى ثلاث أقسام متساوية.
إنشاء بمسطرة وفرجار إنشاء مضلعات منتظمة
بعض من المضلعات المنتظمة قابل للإنشاء، وبعضها غير قابل للإنشاء.
برهن كارل فريدريش غاوس في عام 1796 على أن سبعة عشري أضلاع منتظما قابلٌ للإنشاء. بعد ذلك بخمس سنوات، برهن أن متعدد أضلاع منتظم عدد أضلاعه يساوي n، هو قابل للإنشاء إذا كانت العوامل الأولية الفردية عند تفكيك n إلى جداء أعداد أولية، أعدادا لفيرما، مختلفةً الواحدة منهن عن الأخرى.
الخماسي المنتظم مثالا على ذلك. السباعي المنتظم، أي مضلع له سبعة أضلاع متساوية وسبعة زوايا متساوية، مثال على ذلك.
قمر الدين
قمر الدين هو عصير المشمش أو شراب الرحيق من المطبخ العربي الذي يستهلك عادة خلال شهر رمضان المبارك. ويعتقد أنه من سوريا. انتج لأول مرة في الغوطة، حيث نمت لأول مرة مجموعة متنوعة من المشمش الأكثر ملاءمة لعصير قمر الدين. تنتشر صناعة قمر الدين في جميع أنحاء الشرق الأوسط وشمال إفريقيا وكذلك في الصومال، إلّا أن قمر الدين السوري لا يزال هو الأفضل، لأن مجموعة المشمش الأكثر ملاءمة لعمل قمر الدين تنمو فقط في سوريا وجنوب غرب تركيا. ويُعرف باسم لواشك (بالفارسية: لواشک) في إيران، ويقدم كلفافة فواكه مجففة.
قمر الدين التسمية
اقترحت العديد من النظريات حول أصل اسم قمر الدين. تقول إحدى النظريات أنها سميت باسم مخترعها، وهو رجل سوري يدعى قمر الدين. قيل إنه كان وسيمًا جدًا لدرجة أنه يشبه القمر، ومن هنا جاء الاسم.
هناك نظرية أخرى تقول أن موسم المشمش تزامن مع رؤية القمر الجديد الذي يمثل بداية شهر رمضان في العام الذي صُنع فيه قمر الدين. هناك نظرية مماثلة، منتشرة في مصر، تُسند أصل الاسم إلى الخليفة الذي كان معروفًا باحتفاله مع قمر الدين عند رؤية الهلال في رمضان.
قمر الدين طريقة التحضير
لإنتاج قمر الدين، يغلى عصير المشمش والسكر على النار ثم يصفى من خلال مصفاة خشبية مغمورة بزيت الزيتون. ثم يترك المشمش ليجف تحت أشعة الشمس المباشرة. بمجرد أن يجف تمامًا، يعبئ ويشحن ليباع في الأسواق. يكون هذا المشمش المجفف أكثر سماكة، وأكثر متانة، ولهُ نكهة أقوى من المشمش المجفف العادي، وبالتالي فهو أكثر ملاءمة لصنع قمر الدين. لا يتطلب صنع الشراب من جلد المشمش هذا سوى إضافة ماء الورد أو ماء زهر البرتقال، وغالبا ما تضاف قطع المشمش (الطازجة أو المجففة) والثلج أيضًا. في بعض الأحيان يستبدل بعض ماء الزهر بعصير برتقال أو ماء عادي. يقدم قمر الدين تقليدياً بشكل سميك وبارد، ويُعتقد أنه مُقوّى بشكل خاص ومصدر جيد للطاقة والأيونات والماء، وكلها مهمة للغاية بعد يوم من الصيام. يضيف بعض الشوام الصنوبر والثلج إلى قمر الدين، مما يجعل الشراب أكثر سمكا، كالجلاب بنكهة المشمش.
قمر الدين طريقة التحضير
يحضر الصنف الإيراني، لواشك، عن طريق تسخين الثمار ببعض الماء حتى تشكل هريس ويمرر عبر غربال للتخلص من أي قشر فاكهة. بعد ذلك يسخن الهريس لتشكيل عجينة أكثر سماكة، وبالتالي تترك في الشمس حتى تجف ويقدّم بعد بضعة أيام. تقليديًا، يصنع اللواشك من الخوخ أو المشمش، إلا أن الأصناف الحديثة والتجارية قد تستخدم التفاح، الرمان، الكرز، البرباريس، القرانيا كفاكهة أساسية.
مسلمات هلبرت
مسلمات هلبرت (بالإنجليزية: Hilbert's axioms) هي مجموعة من عشرين مسلمة وضعت من قبل ديفيد هلبرت خصيصا لتشكل أساس المعالجة الحديثة للهندسة الإقليدية. نشرت هذه المسلمات لأول مرة في كتاب أسس الهندسة عام 1899. من المسلمات الأخرى المستعملة في الهندسة المستوية : مسلمات تارسكي ومسلمات بيركوف. وقد قدم هلبرت هذه المسلمات في خمس مجموعات. ضمت المجموعة الأولى مسلمات تجميعية، واشتملت المجموعة الثانية على مسلمات ترتيبية والمجموعة الثالثة على مسلمات الموافقة والمجموعة الرابعة على مسلمات الاتصال والمجموعة الخامسة والأخيرة على مسلمة التوازي.
نظير المنصف
نظير المنصف هو أحد الخطوط المميزة في كل مثلث، يوجد في كل مثلث ثلاثة خطوط تدعى نظير المنصف وهو خط يمر من أحد رؤوس المثلث ويناظر المنصف (الخط الذي يصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل) بالنسبة لمنصف زاوية هذا الرأس (الخط الذي يقسم الزاوية إلى نصفين متساويين).
خط أويلر
في الهندسة الرياضية، خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارت أويلر، هو خط من أي مثلث غير متساوي الأضلاع، خط مركزي للمثلث، ويمر عبر عدة نقاط مهمة محددة من المثلث، بما في ذلك المركز العمودي، والمركز المحيطي، ومركز الكتلة، ونقطة إكستر، ومركز دائرة النقاط التسعة للمثلث.
يمتد مفهوم خط أويلر للمثلثات إلى خط أويلر للأشكال الأخرى، مثل الرباعي ورباعي السطوح .
خط أويلر مراكز المثلث على خط أويلر
أظهر أويلر في عام 1765 أنه في أي مثلث، المركز العمودي والمركز المحيطي ومركز الكتلة يقعون على خط واحد (متسامتة). تنطبق هذه الخاصية أيضًا على أي مركز مثلث آخر، مع أنّ مركز دائرة النقاط التسعة لم يُعرف في زمن أويلر. في المثلثات متساوية الأضلاع، تتطابق هذه النقاط الأربعة، لكن في أي مثلث آخر تكون جميعها متميزة عن بعضها البعض، ويُحَدَّدُ خط أويلر بأي اثنتين منها.
تشمل النقاط البارزة الأخرى الواقعة على خط أويلر نقطة دي لونجتشامبس ونقطة شيفلر ونقطة إكستر ومنظار جوسارد. ومع ذلك، فإن المركز الداخلي، عمومًا، لا يقع على خط أويلر؛  إنه موجود على خط أويلر فقط في المثلثات متساوية الساقين،  التي يتطابق فيها خط أويلر مع محور التماثل للمثلث ويحتوي على جميع مراكز المثلث.
المثلث المماسي لمثلث مرجعي هو المماس إلى الدائرة المحيطة بالمثلث المرجعي عند رؤوس المثلث المرجعي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي على خط أويلر للمثلث المرجعي. :p. 447 :p.104,#211;p.242,#346يقع مركز المشابهة للمثلثات المماسية والعمودية أيضًا على خط أويلر. :p. 447 :p. 102
خط أويلر مراكز المثلث على خط أويلر
افترض أن  مثلث. إثبات حقيقة أن المركز المحيطي ، مركز الكتلة  والمركز العمودي  متسامتة تعتمد على المتجهات الحرة. نبدأ بذكر المتطلبات الأساسية. أولًا،  تحقق العلاقة:
هذا يأتي من حقيقة أن المحاور الكتلية لـ . إضافةً إلى ذلك، مسألة سيلفستر  هي:
الآن، باستخدام إضافة المتجهات، نستنتج أن:
بإضافة هذه العلاقات الثلاث، حد بعد حد، نحصل على:
ختامًا، ، وهكذا النقاط الثلاثة  و  و  (بهذا الترتيب) على خط واحد.
في كتاب دوري Dörrie،  وضع خط أويلر ومسألة سيلفستر معًا في إثبات واحد. ومع ذلك، تعتمد معظم براهين مسألة سيلفستر على الخصائص الأساسية للمتجهات الحرة، بصرف النظر عن خط أويلر.
على خط أويلر، يقع مركز الكتلة G بين المركز المحيطي O ووالمركز العمودي H ويبعد ضعف البعد، الذي يبعده عن المركز المحيطي، عن المركز العمودي: :p.102
خط أويلر مراكز المثلث على خط أويلر
القطعة GH قطر لدائرة، المركزين العمودي والكتلي نهايتي قطر فيها.
يقع المركز N لدائرة النقاط التسعة على خط أويلر في المنتصف بين المركز العمودي والمركز المحيطي:
لذا، يمكن إعادة وضع خط أويلر على خط أعداد حيث المركز المحيطي O في الموقع 0، ومركز الكتلة G عند 2t، ومركز دائرة النقاط التسعة عند 3t، والمركز العمودي H عند 6t عامل المقياس t.
إضافةً إلى ذلك، فإن المسافة المربعة بين مركز الكلتة والمركز المحيطي على طول الخط أويلر أقل من مربع نصف القطر المحيطي R 2 بقدر مساوي تسع مجموع مربعات الأضلاعa، b، c:  :p.71
خط أويلر التمثيل
افترض أن A، B ، C تشير إلى زوايا رؤوس المثلث المرجعي، وافترض أن x: y : z نقطة متغيرة في إحداثيات خطية ثلاثية؛ عندها تكون معادلة خط أويلر:
يمكن تمثيل خط أويلر بواسطة المعامل t ، بدءًا من المركز المحيطي (بإحداثيات خطية ثلاثية ) والمركز العمودي (ذو الثلاث خطوط ). تُعطى كل نقطة على خط أويلر، باستثناء المركز العمودي، بواسطة الإحداثيات الخطية الثلاثية:
تشكلت كتركيبة خطية من الإحداثيات الخطية الثلاثية لهاتين النقطتين، بالنسبة للمعامل t.
في نظام الإحداثيات الديكارتية، نشير إلى ميول أضلاع المثلث بالرموز  ونشير إلى ميل خط أويلر بالرمز . وترتبط هذه الميول وفقًا لـ  :Lemma 1
لذا فإنّ ميل خط أويلر (إذا كان محدودًا) يمكن التعبير عنه من حيث ميل الأضلاع كـ:
فضلًا على ذلك، فإن خط أويلر يوازي الضلع BC في المثلث الحاد إذا وفقط إذا  :p.173.
خط أويلر العلاقة بالمثلثات المتساوية الأضلاع المدرجة
المحل الهندسي لمراكز الكتلة للمثلثات متساوية الأضلاع المدرجة في مثلث معين ينشئ بواسطة خطين عموديين على خط أويلر للمثلث المحدد. :Coro. 4
خط أويلر في مثلثات خاصة
في المثلث القائم ، يتطابق خط أويلر مع المتوسط على الوتر — أي أنه يمر عبر كل من الرأس القائم ونقطة المنتصف في الضلع المقابل لذلك الرأس. هذا لأن المركز العمودي للمثلث القائم، نقطة تقاطع ارتفاعاته، يقع على الرأس القائمة بينما يقع مركزه المحيطي، نقطة تقاطع منصفات أضلاعه العمودية، على نقطة منتصف الوتر.
يتطابق خط أويلر لمثلث متساوي الساقين مع محور تماثله. في المثلث متساوي الساقين، المركز الداخلي يقع على خط أويلر.
خط أويلر في مثلث المتوسطات المتناسبة (المثلث الذي متوسطاته متناسبة مع الأضلاع، على التوالي.) عمودي على أحد المتوسطات.
اعتبر المثلث ABC بنقطتي F 1 نقطة فيرما و F 2. خطوط أويلر للمثلثات العشرة ذات الرؤوس المختارة من A و B و C و F 1 و F 2 تتقاطع عند مركز الكتلة للمثلث ABC.
خطوط أويلر للمثلثات الأربعة المتشكلة بنظام مركزي عمودي (مجموعة من أربع نقاط حيث كل منها المركز العمودي للمثلث المتشكل بالنقاط الثلاث الأخرى) تتقاطع عند مركز دائرة النقاط التسعة المشترك لجميع المثلثات. :p.111
خط أويلر التعميمات
في المحدب الرباعي، المركز شبه العمودي H، و «مركز كتلة المساحة» G، والمركز شبه المحيطي O متسامتة، على هذا الترتيب، على خط أويلر، وHG = 2 GO.
رباعي السطوح هو جسم ثلاثي الأبعاد يحده أربعة أوجه مثلثة. سبعة خطوط مرتبطة برباعي الوجوه تتقاطع عند مركز كتلته، تتقاطع مستوياته المٌنصِفة الستة عند نقطة مونجي، والكرة المحيطة تمر عبر جميع الرؤوس، ومركزها المركز المحيطي. تحدد هذه النقاط «خط أويلر» لرباعي الوجوه المناظر لخط المثلث. مركز الكتلة هو نقطة المنتصف بين نقطة مونجي والمركز المحيطي على طول هذا الخط. يقع مركز كرة النقاط الاثنى عشرة أيضًا على خط أويلر.
خط أويلر التعميمات
عديد الأبعاد المبسط هو عديد أبعاد كل جوانبه مبسطة. على سبيل المثال، كل مضلع هو عديد أبعاد مبسط. خط أويلر المرتبط بمثل عديد الأبعاد هو الخط المحدد بمركز الكتلة و المركز المحيطي للكتلة. هذا التعريف لخط أويلر يعمم ذلك المذكور أعلاه.
لنفترض أن  مضلع. خط أويلر  حساس لتماثلات  بالطرق التالية:
1. لو  له خط التماثل الانعكاسي  ، من ثم  إما  أو نقطة على .
2. لو  له مركز التماثل الدوراني  ، من ثم  .
3. إذا كانت كل جوانب  متساوية في الطول، إذًا  متعامد مع الجانب الأخير.
خط أويلر الإنشاءات ذات الصلة
قطع كيبرت المكافئ لمثلث هو القطع المكافئ الفريد المماس للأضلاع المثلث (بعد مد اثنين منهم) وخط أويلر الدليل له. :p. 63
دوائر داخلية وخارجية لمثلث
في الهندسة الرياضية، يُطلق اسم الدائرة الداخلية للمثلث على أكبر دائرة موجودة بتمامها ضمن المثلث أي أنها تلامس الأضلاع الثلاث للمثلث دون أن تقطع أي منها، مركز هذه الدائرة يدعى مركز الدائرة الداخلية للمثلث، ومسمى الدائرة الخارجية المماسة لمثلث هي دائرة تقع خارج المثلث وتمس واحد من أضلاعه وتمس مماسات الدائرتين الباقيتين. لكل مثلث ثلاث دوائر خارجية مماسة، تمس كل منها ضلع من أضلاعه، ومن الممكن إيجاد مراكز الدوائر المماسة الخارجية من تقاطع منصفات زوايا المثلث الثلاثة.
دوائر داخلية وخارجية لمثلث إنشاء الدائرة الداخلية
نرسم منصفات زوايا المثلث حيث تلتقي في نقطة هي مركز الدائرة الداخلية, ثم نرسم المسقط العمودي لهذا المركز فيكون الشعاع هو المسافة بين المركز والمسقط العمودي.
دوائر داخلية وخارجية لمثلث إنشاء الدائرة الخارجية
نرسم واسطات أضلاع المثلث حيث تلتقي في نقطة هي مركز الدائرة الخارجية, ويكون الشعاع هو المسافة بين المركز وأحد رؤوس المثلث.
شبه منحرف متساوي الساقين
شبه المنحرف متساوي الساقين، سماه غياث الدين الكاشي بذي الزنقتين المتساويتين، هو شبه منحرف فيه الضلعان غير المتوازيان متساويان في الطول. هو رباعي الأضلاع يقطع فيه محور التناظر ضلعين متقابلين مما يجعله شبه منحرف.
في الهندسة الإقليدية، يعتبر شبه منحرف متساوي الساقين حالة خاصه من حالات شبه المنحرف وهو شكل رباعي محدب مع خط تناظر يشطر زوجا واحدا من الجوانب المتقابلة. يمكن تعريفه بأنه شبه منحرف به ساقين متساويين في الطول والزاوية.
لا يمكن اعتبار شكل متوازي الأضلاع غير المستطيلي شبه منحرف متساوي الساقين لأنه لا يحتوي على خط تناظر. تتميز أشكال شبه المنحرف متساوية الساقين بأن الجانبين المتقابلين (القاعدتين) متوازيتان، أما الجانبان الآخران (الأرجل) متساويتان في الطول وهما خاصيتين مشتركتين مع متوازي الأضلاع ولهما نفس الزاوية. توجد في الواقع زوجان من زوايا القاعدة المتساوية، حيث أن زاوية كل جانب مكملة لزاوية القاعدة عند الجانب الأخر.
قطرا الشكل متساوية الطول أيضا.
شبه منحرف متساوي الساقين حالات خاصة
عادة ما تعتبر المستطيلات والمربعات حالات خاصة من شبه المنحرف متساوي الساقين على الرغم من أن بعض المصادر قد تستبعدها.
يمكن اعتبار شبه منحرف ثلاثي الأضلاع من الحالات الخاصة الأخرى لشبه المنحرف متساوي الساقين، يُعرف أحيانًا باسم شبه منحرف ثلاثي الساقين. يمكن أيضًا رؤيتها مقطوعة من مضلعات منتظمة من 5 جوانب أو أكثر كاقتطاع لأربعة رؤوس متتالية
شبه منحرف متساوي الساقين التقاطعات الذاتية
يجب أن يكون أي شكل رباعي غير عابر ذاتيًا له محور تناظر واحد إما شبه منحرف متساوي الساقين أو على شكل طائرة ورقية. ومع ذلك، إذا تم السماح بالتقاطعات، فيجب توسيع مجموعة الأشكال الرباعية المتماثلة لتشمل أيضًا شبه المنحرفات متساوية الساقين المتقاطعة، والأشكال الرباعية المتقاطعة التي تكون فيها الأضلاع المتقاطعة متساوية الطول والأضلاع الأخرى متوازية.
كل مضاد متوازي الأضلاع له شبه منحرف متساوي الساقين كبدن محدب، يمكن تشكيله من الأقطار والجوانب غير المتوازية لشبه منحرف متساوي الساقين.
شبه منحرف متساوي الساقين خصائص شبه المنحرف المتساوي الساقين
حيث b1، وb2 هي طول الضلعين المتوازيين، h طول ارتفاع شبه المنحرف.
شبه منحرف متساوي الساقين الزوايا
في شبه منحرف متساوي الساقين، زوايتا القاعدة لها نفس القياس الزوجي. في الصورة أدناه، الزاويتان ∠ABC و∠DCB هما زاويتان منفرجتان لهما نفس الزاوية، بينما الزاويتان ∠BAD و∠CDA هما زاويتان حادتان لهما نفس الزاوية أيضًا.
حيث أن الخطين AD وBC متوازيان، فإن الزوايا المجاورة للقواعد المتقابلة مكملة، أي الزوايا
شبه منحرف متساوي الساقين الأقطار والارتفاع
قطري شبه المنحرف متساوي الساقين متساويين في الطول. أي أن كل شبه منحرف متساوي الساقين هو رباعي الأضلاع متساوي الأقطار. علاوة على ذلك، تقسم الأقطار بعضها البعض بنفس النسب. كما هو موضح في الصورة، يكون للقطرين AC وBD نفس الطول (AC = BD) ويقسمان بعضهما البعض إلى أجزاء من نفس الطول (AE = DE وBE = CE.
النسبة التي يقسم بها كل قطري تساوي نسبة أطوال الأضلاع المتوازية التي يتقاطعان فيها، وهي،
يمكن الحصول على طول القطر، وفقًا لنظرية بطليموس كالتالي:
حيث أن a وb هما أطوال الضلع المتوازيين AD وBC، وc هو طول كل ضلع AB وCD.
بينما يمكن الحصول على الارتفاع وفقًا لنظرية فيثاغورس، كالتالي:
تُعطى المسافة من النقطة E إلى القاعدة AD بواسطة:
حيث a وb هما أطوال الضلع المتوازيين AD وBC، وh هو ارتفاع شبه المنحرف.
شبه منحرف متساوي الساقين المساحة
مساحة شبه منحرف متساوي الساقين (أو العادي) يساوي متوسط أطوال القاعدة والجزء العلوي (الجوانب المتوازية) مضروبًا في الارتفاع. في الشكل المجاور، إذا كتبنا AD = a، وBC = b، والارتفاع h هو طول قطعة مستقيمة بين AD وBC متعامدة عليهما، فإن المنطقة K تُعطى على النحو التالي:
شبه منحرف متساوي الساقين المحيط الدائري
يتم إعطاء نصف القطر في الدائرة المحددة بواسطة:
محيبس أصل الكلمة
كلمة محيبس هي تصغير لكلمة محبس التي تعني الخاتم وهو الخاتم الذي يتم البحث عنه من خلال اللعبة ولهذه اللعبة اسم آخر وهو بات، يقولون: يلعبون بات .وكلمة (بات)ومعناها يأتي من مبيت المحبس في ايادي هذا الفريق الذي لم يستطع الفريق الآخر استخراجه من ايديهم واللعبة تعتمد بشكل عام على دراسة نفسية سريعة للفريق حامل المحبس من قبل الرجل الذي يحاول اكتشاف مكانه والذي يدعى بالعامية العراقية (الطاير)والدراسة تعتمد على مدى قابلية الطاير على اكتشاف بعض اعراض الخوف والقلق التي تظهر على حامل المحبس والخوف نابع من ان اكتشاف المحبس في يد حامله ستسبب في خسارة فريقه
واللعبة يعود اصولها للعهد العباسي بعد ان فقد خاتم الخلافة في احدى جلسات الخليفة مع ندمائه خلال ايام رمضان وبعد صلاة الراويح وبقصد ممازحته اخفى احدهم الخاتم في يديه وشاركه باقي الاصدقاء نفس الحركة حتى طلب الخليفة من أحد اصحابه ان يحاول معرفة مكان الخاتم وسيتم تكريمه إن وجده.[بحاجة لمصدر].
محيبس طريقة لعبها
يتم لعب اللعبة بفريقين وبأي عدد من المشتركين، حيث يقوم أحد الفريقين الذي يشتري المحبس (الخاتم) (بعدد من النقاط يتم منحها للفريق الآخر) بتخبئته بيد أحد أفراد فريقه بدون علم الفريق الثاني، عندها يقوم أحد أفراد الفريق الثاني بالبحث عن المحبس بأسقاط الأشخاص الذي يعتقد بعدم وجود المحبس بيدهم، فأن أخرج أحد اللاعبين وكان المحبس بيده يخسر الفريق نقطة (في هذه الحالة يصرخ اللاعب الذي بيده الخاتم بكلمة بات ومن هنا جاء الاسم الثاني للعبة)ويعاد تخبئة المحبس من جديد وأن حزر رئيس الفريق الأول اليد المخبئ بها المحبس ربح فريقه نقطة وحصل على الخاتم ليخبئه بدوره عند أحد افراد فريقة ليبحث عنه الفريق الثاني وهكذا.
يستمر اللعب لحين وصول أحد الفريقين لمجموع النقاط التي يتفق عليها مسبقاً، وبذلك يكون هو الفريق الفائز ويحصل على الجائزة ويدفع الفريق الخاسر كلفة صواني الحلويات التي توزع على الفريقين والمشاهدين، عادةً ما ترافق اللعبة مجموعة من الاهازيج والاغاني التراثية مثل المربعات والجالغي البغدادي لبث الحماس والتسلية بين الحضور.
محيبس طريقة لعبها
يكون اللعب على شكل تسقيط بين فرق المحلات والحواري ويحصل الفريق الفائز في أخر أيام شهر رمضان على الجائزة الكبرى.
و توجد حالياً دورات للعب المحيبس على مستوى دول الخليج.
تشابه (هندسة)
يُقال عن شكلين أنهما متشابهان إذا كان أحدهما مطابقا للآخر بعد إجراء تحجيم عليه (تكبير أو تصغير)، مع دوران أو نقل إضافيين للحصول على الاتجاه الصحيح المطابق للشكل الأصلي. على سبيل المثال، جميع الدوائر هي أشكال متشابهة لبعضها البعض لأنها تختلف فقط في نصف القطر، كما أن جميع المربعات متشابهة لبعضلها البعض، ولكن ليس جميع القطوع الناقصة مشابهة لبعضها البعض، كذلك الأمر بالنسبة للقطوع الزائدة.
تشابه (هندسة) أنواع التشابه
التشابه في المستوي المركب نوعان، تشابه مباشر وتشابه غير مباشر.
حيث : العدد a ينتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة C، وطويلة a تساوي 1 :
هو تشابه مباشر مركزه W ذو اللاحقة  وزاويته عمدة a أي:

، ونسبته k=a
تشابه (هندسة) التشابه في المثلثات
يقال عن مثلثين أنهما متشابهين إذا كانت الزوايا المتقابلة من كل منهما متساوية، أي عندما ينتج أحدهما عن الآخر بتكبيره أو تصغيره. وتكون أطوال أضلاع المثلثين المتشابهين متناسبة، أي أنه إذا كان طول أقصر أضلاع المثلث الأول هو ضعفا طول أقصر أضلاع المثلث الثاني، فإن طول كل من الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الأول هو ضعفا طولي الضلعين الأطول والمتوسط من المثلث الثاني أيضا، وبالتالي فإن النسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الأول مساوية للنسبة بين طولي الضلعين الأقصر والأطول في المثلث الثاني. ويرمز للتشابه بالرمز (~)
حالات التشابه:
مخروط
في الرياضيات، المخروط هو مجسم ثلاثي الأبعاد ينتج من توصيل جميع نقاط منحنى مغلق بنقطة لا تنتمي إليه، ويسمى المنحنى الخط الدليلي والنقطة بـرأس المخروط ويسمى كل مستقيم يوصله بين الخط الدليلي والرأس بـراسم المخروط, ويعرف أيضا بأنه هو المجسم الناتج من تدوير مثلث قائم الزاوية حول أحد ضلعي الزاوية القائمة دورة كاملة. عندما يكون الخط الدليلي دائرة، يسمى المخروط مخروط دائري. وعندما تكون جميع الرواسم متساوية في الطول يسمى المخروط الدائري القائم. وإذا قطعنا المخروط الدائري القائم بمستوى لا يشمل رأسه، فإن المقطع الناتج يسمى القطع المخروطي.
وارتفاع المخروط هو المستقيم العمودي من قمة رأس المخروط إلى القاعدة، ويسمى أيضا طول المخروط.
إذا قيل مخروط بلا إضافات فإنه يكون المخروط الدائري.
يقع مركز ثقل المخروط ذو الكثافة المتجانسة على المحور، عند ربع المسافة من مركز ثقل القاعدة باتجاه القمة.
مخروط قوانين متعلقة بالمخروط
هذه القوانين حول المخروط الدائري
r : نصف قطر القاعدة.
h : ارتفاع المخروط.
A : مساحة القاعدة.
P : محيط القاعدة.
V : حجم المخروط.
g : هو طول الراسم في المخروط الدائري القائم.
مساحة السطح الجانبي للمخروط الدائري القائم =
عندما يُقطع مخروط دائري قائم بمستوى يوازي القاعدة فإنه ينتج مقطع بحيث: 
حيث a هو مساحة المقطع، و k هو بعد المقطع عن رأس المخروط.
يتم إيجاد حجم المخروط الدائري القائم من خلال حساب ثلث مساحة القاعدة مضروبة في الارتفاع:
وقد تم اثباته باعتبار المخروط الدائري القائم مجسم دوراني ينتج عن تدوير الدالة 
وكأي مجسم دوراني فإن:
الحجم = المساحة تحت المنحنى تربيع مضروبا في ط
 ايجاد المساحة عن طريق حساب التكامل
 بتوزيع القوى على الضرب ثم إخراج الأعداد الثابتة.
 حل التكامل
 بحل التكامل ثم اختصار الارتفاع في البسط والمقام
 وبما أن المساحة هي  وضعنا قيمتها.
وهو نفس القانون السابق.
مخروط التسميات
وفقًا لنوع المقطع القائم (straight cross-section) لمخروط ثنائي (quadric cone)، فإنه يصنف اهليجي، أو دائري أو مكافئي أو زائدي، عندما يكون مقطعه القائم قطع ناقص، أو دائرة أو قطع مكافئ، أو قطع زائد
المخروط المائل، عندما يكون محوره غير متعامد مع مستوى القاعدة. ولكن بالإشارة إلى المقطع القائم، فإنه لا يوجد مخاريط مائلة، بل جميعها قائمة.
مخروط القطوع المخروطية
عندما يقطع مستوى مخروط فإن ذلك يولد القطوع المخروطية وهي: القطع الزائد والقطع الناقص والقطع المكافئ.
يحدد السمك الثابت لمخروط إهليجي على مقطع دائري للمخروط نفسه
نظام جذري
في الرياضيات، النظام الجذري (بالإنجليزية: Root system) هو تشكيل من الأشعة في الفضاء الإقليدي، يحقق خواصا هندسية معينة. هذا المصطلح ذو أهمية خاصة نظرية زمرة لاي.
متعدد أكناف
في الهندسة الرياضية، متعدد الأكناف (بالإنجليزية: Polytope) هو مصطلح يعبر عن شكل هندسي له جوانب مستوية (أكناف)، ويتواجد في فراغ له أي عدد من الأبعاد. على سبيل المثال، المضلع هو متعدد أكناف في الفضاء ثنائي الأبعاد، متعدد الوجوه في الفضاء ثلاثي الأبعاد، وهكذا في الأبعاد الأعلى (مثل متعدد الخلايا في الفضاء رباعي الأبعاد). بعض النظريات الهندسية تقوم بالمزيد من التعميم للفكرة لتشمل أشكال هندسية أخرى مثل متعددات الأكناف غير المقيدة (متعدد أكناف لامنتهي الأبعاد [الإنجليزية] والمرصوفات)، ومتعددات الأكناف المُجرَّدة [الإنجليزية].
صاغ عالم الرياضيات راينهولد هوبه [الإنجليزية] مصطلح «polytope» للمرة الأولى مرة وكُتب باللغة الألمانية، ثم ظهر الشكل الإنجليزي في وقت لاحق لعلماء الرياضيات باللغة الإنجليزية وسجله أليسيا بول ستوت، ابنة عالم المنطق جورج بول.
متعدد أكناف التسمية
يُسمَّى متعدد الأكناف أيضًا متعدد وجوه نوني الأبعاد أو مجسم نوني الأبعاد أو متعدد سطوح نوني أو كثير الجوانب أو متعدد الأبعاد.