hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
فضاء متجهي
الفضاء الاتجاهي أو الفضاء المتجهي أو الفضاء الشعاعي كائن أساسي في دراسة الجبر الخطي. هو مجموعة من عدة متجهات والتي هي كائنات يمكن إضافتها مع بعضها البعض وضربها بأعداد، التي يطلق عليها كميات قياسية في هذا السياق. غالبا ما تكون الكميات القياسيات أعدادا حقيقية، ولكن بالإمكان اختيار فضاءات اتجاهية مع كميات قياسية من أعداد مركبة أو أعداد نسبية أو حتى حقول عامة. عمليتا جمع المتجهات وضرب متجهة ما في كمية قياسية ينبغي لهما أن تحققا مجموعة من المتطلبات تدعى موضوعات جاءت أسفله. فضاء المتجهات الإقليدية هو مثال على الفضاءات المتجهية حيث يمكن أن تمثلن كميات فيزيائية مختلفة كالقوى وغيرها.
فعندما تعتبر المتجهات مع العمليات المطبقة عليها من جمع وضرب قياسي وبعض العمليات الأخرى مثل الانغلاق والتجميعية، فإنه يوصل إلى وصف كائن رياضي يُدعى فضاءً اتجاهياً.
المتجهات في الفضاء الاتجاهي لا تمثل تحديداً متجهات هندسية بل يمكن أن تكون أي كائن رياضي يحقق بدهيات الفضاء الشعاعي. فمتعددات الحدود من الدرجة ≤n على سبيل المثال، بمعاملات حقيقية تشكل فضاءً شعاعياً.
فضاء متجهي
تدرس الفضاءات المتجهية في إطار الجبر الخطي وهي مفهومة بشكل كامل من هذا المنطلق، حيث يتميز كل فضاء متجهي ببُعده. يحدد هذا البُعد عدد الاتجاهات (أو الحركات) المستقلة عن بعضها البعض داخل الفضاء المعين. قد تُضاف إلى فضاء متجهي بُنى أخرى كالمعيار والجداء الداخلي.
تاريخيا، تعود أول فكرة أدت إلى الفضاء المتجي إلى القرن السابع عشر في إطار الهندسة التحليلية والمصفوفات والمعادلات الخطية والمتجهات الإقليدية. انظر إلى جيوسيبي بيانو وإلى أعماله في هذا المجال.
حاليا، تطبق الفضاءات المتجهية في الرياضيات والعلوم والهندسة، حيث تشكلن البنية الجبرية الملائمة لدراسة أنظمة المعادلات الخطية، وتُشكلن أيضا الإطار العام لدراسة متسلسلات فورييه اللائي يستعملن بدورهن في ضغط الصور، ولتقنيات حلحلة المعادلات التفاضلية الجزئية. انظر أيضا إلى موتر ومتعدد شُعب وجبر تجريدي.
فضاء متجهي مقدمة وتعريف
المثال الثاني على الفضاءات المتجهية هو الأزواج من الأعداد الحقيقية  و  (الترتيب الذي جاءا فيه العددان و مهم يعني بصفة عامة. لهذا السبب سمي هذا الزوج بزوج مرتب).
لتكن  مجموعة من العناصر (ليس بالضرورة أعداد) مزودة بقانون تركيب داخلي يرمز له بـ  (ليس بالضرورة الجمع المألوف)
وليكن  حقل تبادلي (استعملت الرموزو  لكي لا يتم الخلط بينها وبين و  لكنها لا تعدو كونها مجرد رموز)
نعرف الفضاء المتجهي على أنه مجموعة  مزودة بـ
فضاء متجهي التاريخ
تنبثق الفضاءات المتجهية من الهندسة التآلفية، من خلال تقديم الإحداثيات في المستوى أو في الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حوالي عام 1636، أسس كل من ديكارت وفيرما الهندسة التحليلية، وذلك من خلال الربط بين حلول معادلة ذات متغيرين من جهة، ونقط من منحنى في المستوى من جهة ثانية.
عرفت الفضاءات المتجهية تطورا مهما يعود فضله إلى وضع أسس فضاءات الدوال من طرف هنري لوبيغ.
فضاء متجهي أمثلة
مجموعة الأعداد العقدية C تكوّن فضاء متجهيا:
(.,+,C)
هو فضاء متجهي على الحقل C
حيث + هو الجمع بين الاعداد العقدية المألوف
و . هو الضرب المألوف بين العداد العقدية
يمكنك التحقق بنفسك ( كتمرين ) من أن هاذان القانونين + و . يحققان بدهيات الفضاء المتجهي
انظر أيضا إلى امتداد الحقول وإلى نظرية الأعداد الجبرية
انظر إلى فضاء الدوال وإلى مستقيم الأعداد الحقيقية.
تحويل خطي
في الرياضيات, التحويل الخطي أو التطبيق الخطي (بالإنجليزية: Linear map)‏ هو مصطلح يستخدم في الجبر الخطي. وهو يشير إلى خريطة المسافات بين ناقلات الطرفين على نفس الهيئة التي لا يهم ما إذا كان يتم إضافة متجهين معا أولا وبعد ذلك ترسيم المجموع بواسطة الدالة، أو موجهات وثم تحديد مجموع الصور. الشيء نفسه ينطبق على الضرب من قبل العددية (مثلا عدد حقيقي).
المثال المصور أعلاه يوضح الانعكاس عبر المحور y. المتجه c هو مجموع المتجهين a و b وصورته أي المتجه `c وهذا يعطي `c ، أيضا عند إضافة الصور a و b للناقلات `a و`b.
تحويل خطي التعريف والنتائج الأولى
لتكن V و W الفضاء الاتجاهي عبر حقل رياضي K. التحويل يعتبر تحويلاً خطياً إذا تحققت الشروط الآتية :
تعامد (رياضيات)
في الرياضيات، إذا شكّل متجهين زاوية قائمة، يسمّيان متعامدين. وليس شرطًا أن يلتقي المتجهين أو أن يتقاطعا، فيمكن لشارع أن يعامد الطريق السريع الذي يمر فوقه، إذا ما كانا يشكّلان زاوية قائمة.
تعامد (رياضيات) تعريف
في الرياضيات، التعامد (بالإنجليزية: orthogonality)‏ بالنسبة لمتجهين  و في فضاء الجداء الداخلي  يتحقق إذا كان جداؤهما الداخلي  يساوي صفرًا. نمثل هذه الحالة بالتدوين : .
وفي سياق فضاء المتجهات، فإنّ الفضائين الجزئيين  و في الفضاء  يكوّنان فضائين جزيين متعامدين إذا كان كل متجه في  يعامد كل متّّجه في . وإذا كان  هو أكبر فضاء جزئي في  يعامد الفضاء الجزئي  يطلق على  اسم المتمّم المعمامد لـ.
كما ويدعى التحويل الخطّي  تحويلاً معامدًا إذا كان يحفظ عمليّة الجداء الداخلي، بما معناه أنّه لكل متجهين  و في الفضاء ، يتحقّق:
معنى هذا الشرط هو أنّ التحويل  يحافظ على الزاوية بين المتجهين  و، كما أنّ طول  مساوٍ لطول .
تعامد (رياضيات) في الفضاء الإقليدي
في الفضاء الإقليدي ثنائي البعد أو ثلاثي البعد، فأن يكون متجهين متعامدين مكافئ لكونهما يكوّنان زاوية قائمة (مقدارها  أو  بينهما، وعندها يكون جدائهما النقطي (الداخلي) صفر.
في سياق الفضاء الجزئي الإقليدي، فإنّ المتمّم المعامد لخط مستقيم هو المستوي المعامد له، والعكس صحيح. ولأنّ جميع المتجهات في الفضاء الجزئي تبدأ من نقطة المبدأ أو الأصل، فلكل مستقيم أو مستوي متمّم معامد واحد ووحيد.
في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد، فإنّ المتمّم المعامد للخط المستقيم هو المستوي الفائق (بالإنجليزية: hyperplane)‏، والعكس صحيح. أمّا المتمّم المعامد لمستوي فهو أيضًا مستوي.
وتدعى مجموعة من المتجهات متعامدة بأزواج إذا كان كل زوج متجهات فيها متعامدًا، وتكوّن هذه مجموعة من المتجهات المستقلّة خطيًا، إذا لم تحتو على متّجه الصفر. كما وتدعى هذه المجموعة مجموعة متعامدة معيّرة إذا كانت كل المتّجهات فيها معيّرة أي كلّها من متجهات الوحدة.
تعامد (رياضيات) تعامد الدوال
غالبًا ما يعرّف الجداء الداخلي لدالّتين، f وg، بأنّه:
حيث يعرّف الجداء الداخلي بالنسبة لدالّة الترجيح w. من هنا، فتكون الدالتان f وg متعامدتين إذا ما كان جداؤهما الداخلي يساوي صفرًا:
كما ويكتب نظيم دالّة وفقًا للجداء الداخلي أعلاه ودالة الترجيح w على أنّه:
هي دلتا كرونيكر. أي بكلمات أخرى، على كل دالّتين أن تكونا متعامدتين وأيضًا، في حالة المجموعة المتعامدة المعيّرة، أن يكون نظيم كلّ منها يساوي 1. للمزيد، أنظر في كثيرات الحدودِ المتعامدةِ.
جبر متعدد الخطية
الجبر متعدد الخطية (بالإنجليزية: multilinear Algebra) مجال من الرياضيات، وهو توسعة لطرق الجبر الخطي. فعندما يعتمد بناء الجبر الخطي على مصطلح المتجه ونطور نظرية الفضاء الشعاعي أو الاتجاهي، بالمقابل يعتمد بناء الجبر متعدد الخطية على أساس الموتر ويعمد لتطوير نظرية الفضاء التينسوري[بحاجة لمصدر].
فضاء تآلفي
في الرياضيات ، الفضاء التآلفي بنية رياضية مجردة تعمم الخواص الهندسية التآلفية للفضاء الإقليدي . في فضاء تآلفي، يمكن للمرء أن يطرح نقاطاً ليحصل على متجه، أو يجمع متجه مع نقطة ليحصل على نقطة أخرى، لكن لا يمكن جمع نقطتين لعدم وجود نقطة المبدأ.
الفضاء التآلفي الوحيد البعد يدعى الخط التآلفي.
الفضاء الفيزيائي فهو ليس فقط فضاءً تآلفياً بل هو بنية مترية أيضاً وبشكل خاص بنية تشكيلية conformal structure.
فضاء إسقاطي
في الرياضيات، الفضاء الإسقاطي (بالإنجليزية: Projective space)‏ هو التركيب الأساسي، الناتج عن فضاء اتجاهي ضمن حلقة قسمة معينة، بشكل خاص على حقل معرف ما.
هو إذا تعميم لرمز المستوي الإسقاطي projective plane، الذي يتشكل من فضاء شعاعي ثلاثي الأبعاد.
تعتبر الفضاءات الإسقاطية أساسية في الهندسة الجبرية من خلال حقل الهندسة الإسقاطية الغني الذي طور في القرن التاسع عشر، وأيضا في تشكيل النظرية الحديثة المعتمدة على الجبر التدريجي graded algebra.
فضاء إسقاطي في الهندسة الوصفية
الفراغ الإسقاطي في الهندسة الوصفية، هو الفراغ الذي يعتمد على الفضاء الإقليدي (على سبيل المثال، الخط المستقيم أو السطح المستوي) ولكن بإضافة النقاط اللانهائية. ووفقا للابعاد، فقد نشير إلى خط إسقاط، ومستوى إسقاط، وما إلى ذلك.
تم إدخال مفهوم الفضاء الإسقاطي في القرن السادس عشر لدراسة المنظور الذي تراه العين البشرية. ومن وجهة نظر هندسية، فهو فراغ يتسم بمزايا عديدة بالنسبة للفراغ الإقليدي: في الفراغ الإسقاطي هناك القليل من الحالات الاستثنائية (على سبيل المثال، في المستوى يتقاطع خطان مستقيمان دائمًا) ، ويتم وصف العديد من المفاهيم المعقدة بطريقة تركيبية وبديهية ومنطقية.
فضاء مينكوفسكي
في الفيزياء والرياضيات، فضاء مينكوفسكي (بالإنجليزية: Minkowski space)‏ أو زمكان مينكوفسكي (بالإنجليزية: Minkowski spacetime)‏ هو البناء الرياضي الذي تستند اليه نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين. في هذا الفضاء الجديد تندمج الأبعاد المكانية الثلاثة المعروفة مع البعد الزماني لتشكيل عديد تفرع رباعي الأبعاد لتمثيل الزمكان.
فهو يعني الفضاء ذي الأبعاد الأربعة المثالية التي أوجدها أينشتاين. سُمي هذا الفضاء هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي.
يرتبط فضاء مينكوفسكي ارتباطًا وثيقًا بنظرية آينشتاين في النسبية الخاصة وهي التركيب الرياضي الأشيع الذي تصاغ عليه النسبية الخاصة. على الرغم من أن المكونات الفردية في المكان والزمان في الإقليديين قد تختلف بسبب تقلص الطول وتمدد الوقت، ستوافق جميع الأطر المرجعية على المسافة الإجمالية في الزمكان بين الأحداث في زمكان مينكوفسكي؛ لأنه يتعامل مع الوقت بشكل مختلف عن تعامله مع الأبعاد المكانية الثلاثة، إذ يختلف فضاء مينكوفسكي عن الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد.
فضاء مينكوفسكي
في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، مجموعة التقايس (الخرائط التي تحافظ على المسافة الإقليدية العادية) هي المجموعة الإقليدية. تُنشأ عن طريق الدوران والانعكاس والانتقال. عندما يُعدّل الوقت بصفته بعداً رابعاً، يضاف المزيد من التحولات في الانتقالات في الوقت وتضاف التعزيزات الغاليلية، فتسمى مجموعة كل هذه التحولات المجموعة الغاليلية. تحافظ جميع التحولات الغاليلية على المسافة الإقليدية ثلاثية الأبعاد. هذه المسافة مكانية بحتة. يُحتفَظ بالفروقات الزمنية بشكل منفصل أيضًا. يتغيّر كل هذا في زمكان النسبية الخاصة، حيث يتشابك الزمان والمكان.
باختصار، يكون زمكان غاليليو وزمكان مينكوفسكي متماثلين عند النظر إليهما على أنهما مشعبات، لكنهما يختلفان عند إضافة المزيد من التركيبات عليهما.
فضاء مينكوفسكي التاريخ
أظهر هنري بوانكاريه عامي 1905-1906 أنه إذا اعتبرنا الزمان بعدًا رابعًا وهميًا (آي سي تي) ict، تكون فيه سي  C  هي سرعة الضوء، وآي I هي الوحدة الوهمية، يمكن اعتبار تحويلات لورينتز دورانًا للإحداثيات في فضاء رباعي الأبعاد يمتلك 3 إحدايثات حقيقية ورابعة وهمية تمثّل الوقت بعداً رابع.  في الزمكان الفيزيائي، تحدد النسبية الخاصة أن الكمية
لا تتغير مع تغير الإحداثيات من إطار عطالي لآخر كما هو الحال في تحويلات لوريزتن. سرعة الضوء سي C هنا ثابتة بحسب بوانكاريه. في الفضاء الذي اقترحه الأخير، فتستخدَم إحداثيات المكان (t, x, y, z) ↦ (x, y, z, it)، تظهر تحويلات لورينتز كدوران عادي يحفظ الشكل التربيعي
على الفضاء الإحداثي. يعتبر استخدام تسمية الاحداثيات وترتيبها باستخدام نفس التسميات في إحداثيات المكان وإضافة البعد الرابع له (أي الزمان) عملا تقليديًا. مع أن العبارة الواردة أعلاه تجعل التي سبقتها أقرب إلينا، يمكن أن تكون مربكة للبعض، لأن تي t المستخدمة في المعادلة الأولى (إحداثية زمنية) تختلف عن تلك المستخدمة في المعادلة الثانية (الزمن في أنظمة عطالية كما تقيسها ساعات موجودة ضمن النظام نفسه).
فضاء مينكوفسكي التاريخ
تظهر الدورات في المسطحات الممتدة بين متجهي وحدة مكان في فضاء الإحداثيات كما يظهر الزمكان الفيزيائي في الدورات الإقليدية. على الرغم من أن الدورة في المسطحات الممتدة بين متجه مكان واحد ومتجه زمان واحد تعتبر دورانًا في فضاء الإحداثيات، لكن تعتبر تعزيز لورنتز في الزمكان الفيزيائي الذي يمتلك إحداثات عطالية حقيقية، وعليه يصبح التشابه مع الدوران الإقليدي جزئيًا فقط.
توسّع هيرمان مينكوفسكي بهذه الفكرة معيدًا استخدام معادلات ماكسويل في 4 أبعاد مظهرًا ثباتها تحت تحويلات لورنتز. ثم أعاد صياغة نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في 4 أبعاد أيضًا. من هنا استنتج مينكوفسكي أن الزمان والمكان يجب أن يعاملا بالتساوي، فخرج بتصوره للأحداث التي تجري في زمكان رباعي الأبعاد.
فضاء مينكوفسكي التاريخ
في تطور آخر في محاضرته «الفضاء والوقت» عام 1908، قدم مينكوفسكي صياغة بديلة لهذه الفكرة التي استخدمت تنسيقًا حقيقيًا في الوقت الحقيقي بدلاً من صيغة وهمية، تمثل المتغيرات الأربعة (x, y, z, t) من الفضاء والوقت في شكل إحداثي في فضاء حقيقي الأبعاد الأربعة. تتوافق النقاط في هذا الفضاء مع الأحداث في الزمكان. في هذا الفضاء، يوجد مخروط ضوئي محدد مرتبط بكل نقطة. هذه هي النظرة المعتمدة للزمكان في الوقت الحاضر (على الرغم من أن النظرة الأقدم التي تنطوي على وقت وهمي قد أثرت أيضًا على النسبية الخاصة).
في الترجمة الإنجليزية لورقة مينكوفسكي، يشار إلى مقياس مينكوفسكي كما هو محدد أدناه على أنه عنصر طول. يظهر منتج مينكوفسكي الداخلي أدناه دون تسمية عند الإشارة إلى التعامدية لبعض المتجهات، ويشار إلى قاعدة مينكوفسكي التربيعية (بشكل مشفر إلى حد ما، وربما هذا يعتمد على الترجمة) كـ «جمع».
فضاء مينكوفسكي التاريخ
أداة مينكوفسكي الرئيسة هي مخطَّط مينكوفسفكي، ويستخدمه لتحديد المفاهيم وإظهار خصائص تحويلات لورنتز (على سبيل المثال الوقت المناسب وتقلص الطول  المناسب) ولتقديم التفسير الهندسي لتعميم الميكانيكا النيوتونية على الميكانيكا النسبية. بالنسبة لهذه الموضوعات الخاصة، راجع المقالات المستخدمة كمصادر.
قال مينكوفسكي، المدرك لإعادة صياغة النظرية التي وضعها:
خرجت صورة المكان والزمان التي أود أن أضعها أمامكم من تربة الفيزياء التجريبية، وهنا تكمن قوتها. إنها جذرية. من الآن فصاعدا، يحكم على الفضاء بمفرده والزمان بمفرده أن يتلاشيا لمجرد ظلال، فقط نوع من اتحاد الاثنين سيحافظ على حقيقة مستقلة. -هيرمان مينكوفسكي، 1908 ، 1909
على الرغم من أن مينكوفسكي خطى خطوة مهمة في الفيزياء، رأي أينشتاين محدوديتها:
في الوقت الذي كان فيه مينكوفسكي يعطي التفسير الهندسي للنسبية الخاصة من خلال توسيع فضاءات الإقليدية الثلاثة لتشمل أربعة فضاءات شبه إقليدية تتضمن الزمان، كان آينشتاين يدرك بالفعل أن هذا غير صحيح؛ لأنه يستبعد ظاهرة الجاذبية. كان ما يزال بعيدًا عن دراسة الإحداثيات المنحنية وهندسة ريمان وما ينطويه ذلك من رياضيات ثقيلة العيار.
هندسة جبرية
الهندسة الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic geometry)‏ هي أحد فروع الرياضيات التي تدمج الجبر التجريدي خصوصاً الجبر التبديلي مع الهندسة الرياضية. تحتل الهندسة الجبرية مكاناً مركزياً في الرياضيات الحديثة، ولها علاقات مختلفة مع فروع الرياضيات الأخرى كالتحليل العقدي والطوبولوجيا ونظرية الأعداد.
يمكن أن يُرى على أنه مجموعات حلول لجمل المعادلات الجبرية. عندما لا يكون هناك أكثر من متغير واحد تدخل الاعتبارات الهندسية في الموضوع كثيرا لفهم الظاهرة المدروسة.
هندسة ثنائية الإنطاق
الهندسة ثنائية الإنطاق  (birational geometry)  هي إحدى فروع الهندسة الجبرية التي تتعامل مع هندسة التغيرات الجبرية المعتمدة فقط على حقل الدوال.
الإسهامات الأساسية في الهندسة ثنائية الإنطاق ضمن نطاق ثنائي البعد تم على يد المدرسة الإيطالية للهندسة الجبرية ثم تطورت لتشمل أبعاداً أكثر.
هندسة تحليلية
في الرياضيات الكلاسيكية، الهندسة التحليلية (بالإنجليزية: Analytic geometry)‏ وتدعى أيضاً الهندسة الإحداثية أو التنسيقية وسابقاً الهندسة الديكارتية، هي فرع المعرفة الرياضية الذي يدرس الهندسة باستعمال نظام الإحداثيات ومبادئ الجبر والتحليل الرياضي. تُستَّعمل الهندسة التحليلية بشكل واسع في الفيزياء والهندسة التطبيقية كما تمثل الأساس الذي بُني عليه باقي مجالات الهندسة كالهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والهندسة المتقطعة والهندسة الحاسوبية.
تهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة التقليدية، غير أنها تتيح طرقاً أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دوراً مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل، وتهتم أيضاً بدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. عادة تستخدم جمل إحداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أعداد هي الإحداثيات ثم يتم إيجاد المعادلة الجبرية التي تصف الدائرة أوالقطع الناقص أوالقطع المكافيء أو غيرها.
هندسة تحليلية التاريخ
حل عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس معضلات وبرهن على مبرهنات باستعمال طرقا تملك الكثير من الشبه مع نظام الإحداثيات وقد قيل في بعض الإحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.
في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.
عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637. ولكن بيير دي فيرما كان أيضا من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.
الهندسة الديكارتية هي تسمية محتملة للهندسة التحليلية. سميت هكذا نسبة إلى ديكارت.
هندسة تحليلية الإحداثيات
في الهندسة التحليلية، يزود المستوى بنظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجا إحداثيات يعبر عنها بأعداد حقيقية.
أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س، ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): . حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستخدم الإحداثي الثالث (ع) أو  ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س، ص، ع) أو بالإنجليزية: .
يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور  أو محور الأفاصيل، والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور  أو محور الأراتيب.
يحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س، ص) أو بالإنجليزية .
هندسة تحليلية الإحداثيات
ويسمي  الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد  الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب .
محوري الإحداثيات يقسمان المستوي الإحداثي إلى أربعة أجزاء :
الربع الأول: وفيه كل نقطة  تحقق الشرطين:.
الربع الثاني: وفيه كل نقطة  تحقق الشرطين:.
الربع الثالث: وفيه كل نقطة  تحقق الشرطين:.
الربع الرابع: وفيه كل نقطة  تحقق الشرطين:.
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :
في نظام الإحداثيات القطبية، تمثَّل كل نقطة في المستوى الإقليدي بالمسافة r التي تفصلها عن أصل المعلم وبالزاوية θ علما أن هذه الزاوية تُقاس ابتداءا من محور الأفاصيل، من الجهة الموجبة (أي جهة اليمين)، وفي عكس عقارب الساعة. باستعمال هاتين القاعدتين، تمثَّل نقط المستوى بزوج مرتب (r, θ). المرور من نظام إحداثيات ديكارتي إلى نظام إحداثيات قطبي وعكس ذلك مُمكنان باستعمال الصيغ التالية:
هندسة تحليلية الإحداثيات
يعمم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستعمال نظام إحداثي أسطواني أو نظام إحداثي كروي.
في النظام الإحداثي الأسطواني، كل نقطة في الفضاء ممثلة بارتفاعها z، وبشعاعها r المبتعدة به عن المحور z، وبالزاوية θ، التي يكونها إسقاط النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفقيين (أي محوري الأفاصيل والأراتوب).
في النظام الإحداثي الكروي، كل نقطة في الفضاء ممثلة بالمسافة التي تفصلها عن أصل المعلم، وبالزاوية التي يكونها إسقاط هذه النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفققين وبالزاوية التي تكونها هذه النقطة نسبة إلى محور الارتفاعات z.
هندسة تحليلية معادلات المنحنيات
في الهندسة التحليلية، أي معادلة تمثل مجموعة جزئية من المستوى تسمى مجموعة الحل لهذه المعادلة. على سبيل المثال، المعادلة  تمثل مجموعة كل النقط في مستوى  التي تكون قيمة إحداثي  تساوي قيمة إحداثي . وهذه النقط تكون خطا مستقيما، وتسمى الصيغة  بأنها معادلة هذا الخط. وبصورة عامة فإن المعادلات الخطية تمثل خطوطا، والمعادلة التربيعية تمثل قطعا مخروطيا بينما المعادلات ذات الدرجات الأعلى تمثل منحنيات أكثر تعقيدا. فالمعادلة  تمثل دائرة نصف قطرها .
وعادة، المعادلة الواحدة يمثلها منحنى في المستوى. ولكن لهذه القاعدة بعض الاستثناءات، فمثلا المعادلة:  تمثل كل المستوى، بينما المعادلة  فتمثل نقطة واحدة هي .
هندسة تحليلية معادلات المنحنيات
في الفراغ الثلاثي نجد أن المعادلة عادة ما تمثل سطحا، ويكون المنحنى هو تقاطع سطحين معا.
لتكن  قطعة مستقيمة حيث  و  معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين  و هي :
وفي الشكل المجاور تكون المسافة  بين النقطتين  و  تعطى بالقانون:
تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية.
مثال الشكل الجبري للدائرة هي :  حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.
هندسة تحليلية بعض القوانين في الهندسة التحيلية
إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :
ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.
المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:
م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.
المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.
هندسة تآلفية
في الهندسة الرياضية، الهندسة التآلفية هي الهندسة الرياضية التي تشغل مكاناً متوسطا ًبين الهندسة الاقليدية والهندسة الإسقاطية. هي هندسة الفضاء التآلفي ذي n بعد على الحقل.
يمكن شرح الهندسة التآلفية على أنها هندسة المتجهات دون أي تدخل لطول وزوايا في عملية توصيفها.
فاطمة بنت أسد
فاطمة بنت أسد بن هاشم بن عبد مناف (548[بحاجة لمصدر] في مكة - 4 هـ / 625 في المدينة المنورة)؛ زوجة أبي طالب عم الرسول محمد، والدة علي بن أبي طالب، وأم الرسول التي نشأ بين يديها بعد وفاة والدته أمنة بنت وهب وكفالة عمه له. أسلمت فاطمة بنت أسد بعد عشرة من المسلمين وكانت الحادية عشرة منهم والثانية من النساء، بعد خديجة بنت خويلد زوجة الرسول محمد. هاجرت إلى المدينة المنورة وتوفيت في السنة 4 هـ ودفنت في مقبرة البقيع.
فاطمة بنت أسد بداية حياتها
وُلدت فاطمة سنة ثمان وستين قبل الهجرة في مكة حسب بعض المصادر، ونشأت في منزل والدها أسد بن هاشم، الذي كان يوصف بالشجاعة والذكاء. أخوها حنين بن أسد، له من الأبناء عبد الله بن حنين، وأختها خالدة أو خلدة تزوجها الأرقم بن نضلة بن هاشم. وحسب بعض المصادر الشيعية، فإن فاطمة كانت على الحنيفية (ملة إبراهيم)، ولم تسجد لصنمٍ قط.
تزوجت من ابن عمها أبو طالب بن عبد المطلب، ورُوي أنه تقدم لخطبتها من أبوها، فحمد الله وأثنى عليه، وذكر فضائل عائلته وعشيرته، وانتسابهم إلى إبراهيم وإسماعيل وطهارة أصلابهم، ثم قال بعدها: «معاشر قريش إنّني ممّن طاب محتده، وطهر مقعده، وعرف مولده، وعزّت جرثومته، وطابت أرومته، ذؤابة الذوائب، وسيّد الأعارب، وقد تزوّجت فاطمة بنت أسد، وسقت إليها المهر، وثبت الأمر، فيلوه واشهدوا»، فوافق أسد على الزواج.
فاطمة بنت أسد بداية حياتها
لما وُلد النبي محمد فرحت فاطمة بذلك، ورُوي أنها رأت دلائل النبوة، فأخبرت أبا طالب بذلك، فقد روى الشيخ الكليني في كتابه «الكافي» عن الإمام جعفر الصادق أنها كانت حاضرة مع آمنة بنت وهب أثناء الولادة، فلما وُلد النبي فُتِحَ لآمنة بياض فارس وقصور الشام(1) فذهبت فاطمة بنت أسد لتخبر أبو طالب بذلك، فقال لها: «وتَتَعَجَّبِينَ مِنْ هَذَا؟ إِنَّكِ تَحْبَلِينَ وتَلِدِينَ بِوَصِيِّه ووَزِيرِه»(2) - يعني علي بن أبي طالب -.
وكان النبي في كفالة جده عبد المطلب، فلما تُوفي كفله عمه أبو طالب، فكانت فاطمة تخدم النبي وتكرمه وكان يدعوها بالأم لكثرة إحسانها له. ويذكر العالم الشيعي قطب الدين الراوندي رواية فيها أن فاطمة بنت أسد كانت تجمع الرطب الذي يسقط من نخلة في بستان بيتها للنبي، وفي إحدى المرات نسيت أن تلتقط له شيئًا منها، فجاء النبي ليأخذ الرطب، فوجد أن الصبيان قد دخلوا وأكلوا جميع ما سقط، فذهب النبي لإحدى النخيل فانحت له حتى أخذ منها ما يُريد، فتعجبت فاطمة من ذلك، وأخبرت أبا طالب فقال لها: «هو إنما يكون نبيًا، وأنت تلدين وزيره بعد ثلاثين»، فولدت عليًا بعد ذلك.
فاطمة بنت أسد بداية حياتها
تذكر جملة من المصادر التاريخية أن فاطمة بنت أسد ولدت الإمام علي في جوف الكعبة، وأفاد الحاكم النيسابوري في كتابه «المستدرك على الصحيحين» بتواتر الأخبار في ذلك، فقال: «تَوَاتَرَتِ الْأَخْبَارِ أَنَّ فَاطِمَةَ بِنْتَ أَسَدٍ وَلَدَتْ أَمِيرَ الْمُؤْمِنِينَ عَلِيَّ بْنَ أَبِي طَالِبٍ  فِي جَوْفِ الْكَعْبَةِ»، وأشار إلى ذلك أبو الثناء الآلوسي أيضًا، فقال في كتابه المُسمى: «شرح الخريدة الغيبيّة في شرح القصيدة العينية»: «وفي كون الأمير  ولد في البيت أمر مشهور في الدنيا وذكر في كتب الفريقين السنة والشيعة». وروى الفاكهي في كتابه «أخبار مكة» روايةً عن عمر بن الخطاب وذكر أن «أَوَّلُ مَنْ وُلِدَ فِي الْكَعْبَةِ: حَكِيمُ بْنُ حِزَامٍ  ... وَأَوَّلُ مَنْ وُلِدَ فِي الْكَعْبَةِ مِنْ بَنِي هَاشِمٍ مِنَ الْمُهَاجِرِينَ: عَلِيُّ بْنُ أَبِي طَالِبٍ ».
فاطمة بنت أسد بداية حياتها
كما يؤكد علماء الشيعة ولادة علي بالكعبة، مثل الشيخ المفيد والشيخ الطوسي والشريف الرضي وابن شهرآشوب وابن البطريق وغيرهم، ويعدونها فضيلة خصه بها الله، ويذكرون أنه لم يولد فيها قبله ولا بعد أحد، فيقول الفضل بن الحسن الطبرسي في كتابه «إعلام الورى بأعلام الهدى»: «وُلِدَ بِمَكَّةَ فِي الْبَيْتِ الْحَرَامِ ... وَلَمْ يُولَدْ قَطُّ فِي بَيْتِ اللَّهِ تَعَالَى مَوْلُودٌ سِوَاهُ لَا قَبْلَهُ وَلَا بَعْدَهُ وَهَذِهِ فَضِيلَةٌ خَصَّهُ اللَّهُ تَعَالَى بِهَا إِجْلَالًا لِمَحَلِّهِ وَمَنْزِلَتِهِ وَإِعْلَاءً لِقَدْرِهِ».
وتضيف بعض الروايات الشيعية أن فاطمة بنت أسد ذهبت تدعو الله عند الكعبة لتسهيل وتسيير الولادة، فانشقّ لها جدار البيت، فدخلته، ثم التأمت الفتحة، وحاول بعض النسوة الدخول لمساعدتها في الولادة فلم ينفتح الباب، وبقيت داخل الكعبة ثلاثة أيام، ثم خرجت في اليوم الرابع وهي تحمل الإمام علي بين أيديها. في حين يرى بعض أهل السنة عدم صحة ذلك، فقد ضعف العالم السني ابن الملقن رواية الحاكم، كما استبعد حاتم بن عارف العوني ذلك.
فاطمة بنت أسد سيرتها
تزوجت فاطمة بنت أسد من أبي طالب فقط وكانت أول أمرأة هاشمية تتزوج رجلًا هاشميًا. أسلمت في السنين الأولى للبعثة النبوية. وهي بمنزلة الاُمّ لرسول اللَّه وكان يحبها ويحترمها ويناديها بأمي.
كانت أوّل امرأة هاجرت إلى رسول اللَّه من مكّة إلى المدينة على قدميها، وكانت من أبرّ النّاس برسول اللَّه، فسمعت فاطمة رسول اللَّه وهو يقول: «إنّ النّاس يحشرون يوم القيامة عراة كما ولدوا»، فقالت: وا أسوأتاه، فقال لها رسول اللَّه فإنّي أسأل اللَّه أن يبعثك كاسية.
وهي أول أمرأة بايعت محمد بن عبد الله بعد نزول آية «يأَيهَا النَّبيُّ إِذَا جَاءَك المُؤمِنَات يبَايعنَك...». ضافة إلى أنّها أَوَّلُ هَاشِمِيَّةٍ وَلَدَتْ هَاشِمِيّاً.
فاطمة بنت أسد أولادها
لم يعقب ولد أسد بن هاشم، إلا من ولد ابنته فاطمة وكان لها ستة أولاد، وهم:
وبين عقيل وجعفر عشر سنوات، وبين جعفر وعلي عشر سنوات، كذا أفاده العلامة جلال الدين السيوطي.