hotchpotch/wikipedia-multilingual-ir-pairs huggingface dataset:
أولاد يحيى أولاد يحيى في المصادر التاريخية
وذكرها علي باشا مبارك في الخطط التوفيقية، فقال:
«أولاد يحيى قرية من قرى جرجا في شرق النيل، وفي شرقي البلابيش بقرب الجبل، وفي شمال مزاته بنحو ثلثي ساعة، وهي قرية عامرة ذات مساجد ونخيل ومضايف، وفيها جياد الخيل، ولأهلها كرم وشهامة، يترفعون عن سفاسف الأمور (...) ويكرمون ضيفهم ويحملون نزيلهم. ومن أهلها علي أغا البهنساوي، عمدة شهير كان ناظر قسم الشرق من تلك المديرية أيام العزيز محمد علي. وفي هذه القرية مات الأمير رضوان كاتخذا الجلفي في سنة 1169» (خطط على مبارك ج 8 ص 334)
ويبدو أن موقعها شرق جرجا، وكذلك تسمية أراضيها بشرقي المرج البحري قد جعل القدماء يطلقون عليها «شرق أولاد يحيى» أو «شرقية أولاد يحيى». فقد قال العلامة السيد المرتضى الزبيدي عند كلامه عن لفظ «شرقية» في قاموس "تاج العروس": والشرقيةُ: كُورَة بمِصرَ بل كورٌ كثيرة تُعرَف بذلِك، منها: شَرقِيةُ بُلْبَيس، وهي التي عناها المَصنف، وتُعرَف بالحَوْف، وشَرْقية المَنْصُورة، وشَرْقِيَّةُ إِطْفِيح، وشَرْقِيةُ مَنوف، وشَرْقِيَّةُ سيلِين، وشَرْقيةُ العَوّام، وشَرْقِية أَولادِ يَحْيَى، وشَرْقِيَّةُ أّولادِ مَنّاع.
أولاد يحيى أولاد يحيى في المصادر التاريخية
ومن قراءة في تاريخ الجبرتي "عجائب الآثار"، الذي ذكر فيه: «شرق أولاد يحيى» حوالي 10 مرات، يمكن أن نستنتج أن بلادهم كانت مركزا لتجمع قبائل الصعيد في الشدائد والحروب، كما أنها كانت مأوى آمنا لأمراء المماليك الفارين من مركز القيادة في القاهرة بعد محاولات الانقلاب التي كانت كثيرة الحدوث في الدولة المملوكية، التي عرفت بتنافس أمراءها وغدر بعضهم بالآخر. فكانوا يجدون الأمان في بلاد أولاد يحيى، التي كانت تسمى شرق أولاد يحيى، كما أشرنا.
أولاد يحيى الحاجر : وتضم الحاجر، سيول الحاجر، نجوع العزبة، جبل العزبة، سيول العزبة، الكرنك، سيول الكرنك، أولاد أبو بكر، نجع عمار، سبول أولاد أبو بكر ونجع عمار.
أولاد يحيى قبلي: وتضم نجع الحسين، العصارة، الغرقان، بني خالد، الحدانسة، البرج، الشناهرة، المراغمة، الزوازية.
أولاد يحيى بحري: وتضم الشيخ جامع، المشايخ، الدنافقة، الحرجة، الدير، المساعيد، القيزان، نجع عسيري.
فلورينا
أَخْرَلِين : (باليونانية: Φλώρινα - فلورينا)، (بالإنجليزية:Florina)، مدينة يونانية تقع في شمال البلاد ضمن منطقة مقذونية الغربية الإدارية، وهي مركز إحدى مقاطعاتها والتي تحمل نفس اسم المدينة.
فلورينا الموقع، السكان والتسمية
تفع المدينة على ارتفاع 660 متر عن مستوى سطح البحر على السفوح الشرقية لجبل فيرنو ضمن وادٍ يشكله نهر ساكوليفاس أحد الروافد العليا نهر فرداري (Vardar) (أكسيوس).
تبعد مسافة 11 كيلومتر عن الحدود المقدونية، 56 كيلومتر عن قستورية. 148 كيلومتر عن صلونيك.
تعود تسمية المدينة إلى الفترة البيزنطية حيث كان اسمها خلرينون (Chlerinon)، والذي يعني الــمكان الممتلئ بالخضرة ، أصبح الاسم فلورينا عندما حول من اليونانية لللاتينية (من اللاتينية فلورا(Flora)) والذي يعني الــنباتات الخضراء.
يبلغ عدد سكان المدينة حوالي 17 ألف نسمة، وبذلك تكون رابع مدينة في منطقة مقذونية الغربية من حيث عدد السكان بعد كوزاني، بتولماييذا وقستورية.
فلورينا التاريخ
كانت المدينة منذ القدم موقعًا عسكريًا سكنه الأمراء المقذونيون لحماية الممر إلى الجنوب في منطقة جبال البيندوس، ثم بدء نمو هذه المدينة كمستوطنة تابعة لمدينة هرقلية (Heraclea) القديمة الواقعة على طريق إغناتيا.
سببت أهمية موقع أخرلين ضمن ما يعرف بفتحة مُنَسْتِير الجبلية التي تربط البلقان بشمال اليونان إلى تحولها للهدف الأساسي لجميع الغزوات القادمة من ناحية الشمال، منذ العصور القديمة إلى الحرب العالمية الثانية.
أصبحت المدينة في الفترة البيزنطية مركزاً لمطرانية، سيطر عليها الأتراك في القرن الرابع عشر حيث أعادوها كحامية عسكرية في شمال اليونان، استمر ذلك إلى الحروب البلقانية (1912-1913) عندما سيطر عليها الثوار المحليين الذين كانوا مؤيدين للبلغار، استمرت المدينة كقاعدة للأقلية السلافية في شمال اليونان إلى العام 1922 م. حيث تمت يوننة المدينة عندما تدفق إليها لاجئي آسيا الصغرى اليونانيين.
سيطرت القوات البلغارية عليها مرة أخرى أثناء الحرب العالمية الثانية ولكنها انسحبت منها بعد نهاية الحرب.
فلورينا المعالم الأساسية
تعد المدينة القديمة أهم معالم أخرلين إذ تمتد على ضفتي نهر ساكوليفاس وتحتوي على العديد من البيوت التي تعود للفترة العثمانية ولفترة ما بين الحربين العالميتين، ومن أهم الأماكن الأخرى:
كوزاني
كوزاني : (باليونانية: Κοζάνη)، (بالإنجليزية:Kozani)، مدينة يونانية تقع في شمال البلاد، وهي عاصمة منطقة مقدونيا الغربية الإدارية، وأيضاً مركز إحدى مقاطعاتها والتي تحمل نفس اسم المدينة.
كوزاني الموقع، السكان والتسمية
تقع المدينة على ارتفاع 710 أمتار عن مستوى سطح البحر في جنوب الهضبة التي تفصل جبل فيرميون من الشرق، وجبل فورنينوس، جبل أسكيو من الغرب.
تبعد كوزاني مسافة 128 كيلومتر عن سالونيك، وَ 445 كيلومتر عن أثينا.
يبلغ عدد سكان المدينة حوالي الخمسين ألف نسمة وبالتالي تكون المدينة الأولى من حيث عدد السكان في منطقة مقدونيا الغربية.
يعتقد أن اسم المدينة يعود لكلمة (kožani) في اللغات السلافية الجنوبية، والتي تعني (جلد الماعز).
كوزاني التاريخ
توجد في المدينة والمنطقة المحيطة بها عدة أدلة على استيطان بشري يعود لعصور متعددة، إذ وجد في الجزء الشرقي من كوزاني مقبرة تعود للعصر الحديدي المبكر. كانت المنطقة خلال فترة فيليب الثاني المقدوني تدعي إليميا (Eleimia) ووجد جنوب-غرب المدينة آثار مستوطنة كانت تدعى كاليفيا (Kalyvia).
ولكن المدينة الحالية كانت قد أنشئت من قبل بعض المسيحيين الذين هربوا من سهول مقدونيا وإبيروس خوفاً من العثمانيين خلال القرنين الرابع عشر وَالخامس عشر، ورد أول ذكر للمدينة في السجلات العثمانية عام 1528 م كمكان يحتوي مئة منزل.
حصلت المدينة على امتيازات خاص خلال القرن السابع عشر، إثر استصدار فرمان سلطاني مُنع به الأتراك من الاستيطان فيها وأعطي سكانها العديد من الحقوق التجارية والاستقلالية.، ولكن المدينة نهبت من قبل الأتراك مرتين بعد ذلك بقرن عامي 1770 وَ 1830.
كوزاني التاريخ
دخل الجيش اليوناني المدينة في 11 تشرين الأول/أكتوبر عام 1912 على إثر انتصاره على الجيش العثماني في معركة ساراندابورو. بعد ذلك شهدت المدينة فترة من الازدهار إثر اكتشاف مخزونات كبيرة من الليغنيت في المنطقة المجاورة، حتى أن المدينة أصبحت أكبر منتج للطاقة الكهربائية في اليونان.
محمد حمام
محمد حمام (4 نوفمبر 1942 - 26 فبراير 2007) هو مغني مصري.
محمد حمام حياته
محمد سيد محمد إبراهيم  
ولد في 4 نوفمبر 1942 بحي بولاق بالقاهرة وعاد طفلا إلى مسقط رأس أسرته «محافظة أسوان» ولكنهم ما لبثوا أن عادوا للقاهرة حيث درس بها إلى أن دخل كلية الفنون الجميلة 
ولكنه بعد دخوله الكلية اُعتقل في عام 1959 مع العديد من المثقفين المصريين والذين كان من بينهم الفنان التشكيلي والصحفي حسن فؤاد والذي كان سمعه قبلها يغني الأغاني النوبية بالكلية وقدمه الفنان حسن فؤاد للحياة الفنية بعد خروجهم من المعتقل.
محمد حمام مسيرته
تأخر ظهوره كمطرب بسبب دخوله المعتقل على فترات متباعدة وحين تخرجه من الكلية عام 1968 بدأ مشواره الغنائي في حفل بسينما قصر النيل وغنّى وقتها أول أغانيه من كلمات صديقه الشاعر مجدي نجيب وألحان الموسيقار محمد الموجي.
تميز صوت وطريقة أداء محمد حمام بحمل العديد من الثقافات المتداخلة فمن الممكن أن ترى في صوته الشكل الغنائي الصعيدي أو النوبي أو الأفريقي أو البدوي فكان تميز صوته وأدائه سببا هاما في التفاف الجمهور حوله وكان صوته مشاركا لكفاح الجيش المصري من خلال أغنياته والتي كانت أشهرها يا بيوت السويس.
كان له دورا رياديا في التعريف بالفن المصري من خلال المهرجانات الدولية وتقديمه وسط الفنون التراثية في العالم وكان مسخّرا ماله الذي يكتسبه من عمله كمهندس لخدمة فنه.
مما قيل فيه قول الكاتب الكبير محمود أمين العالم إن صوتك يمنحني حزنا ينتهي بالتفاؤل.
محمد حمام مسيرته
رحل في الربع الأول من سنة 2007 وقد أمر المشير طنطاوي (وزير الدفاع المصري آنذاك) بنقل جثمانه بطائرة عسكرية وملفوف جثمانه بعلم مصر وكان في استقبال الجثمان المستشار العسكري ومحافظ أسوان حيث أطلقت المدفعية إحدى وعشرون طلقة وعلق المحافظ قائلا إن حماسه وغناؤه مع فرقة السمسمية على الجبهة مع الفدائيين حتى كلل بالنصر ولا يقل عن أي جندى صوّب مدفعه نحو العدو.....وقد نعاه أيضا السيد رئيس الجمهورية وقد أُذيع الخبر بالتلفزيون المصري ونكّست الأعلام بمدينة السويس .
محمد حمام أهم أعماله الغنائية
تلك الأغنية التي كانت بيانا تاريخيا عن صمود الكادحين من أهل السويس، وعبرت عن موقف وطني رفض العدوان والتدمير الإسرائيلي للمدن المجاورة لقناة السويس خصوصا محافظة السويس التي فاق دمارها، حسب المراقبين الدوليين، دمار الكثير من المدن الأوروبية أثناء الحرب العالمية الثانية. الفنان محمد حمام، العاشق لتراب وطنه، غنّى هذه الأغنية بين حشود الناس، ومقيما وسط جنود وضباط الجيش المصري بعد هزيمة ونكبة الأنظمة العربية 1967، وطاف بالجبهة من أجل أن يرفع من همم الجنود وأفراد القوات المسلحة المصرية ليستعيدوا الثقة بأنفسهم خلال سنوات ما سُمّي بحرب الاستنزاف، ومن أجل تحريك الشارع المصري من أجل موقف وطني موحد. 
من كلمات عبد الرحمن الأبنودي وتلحين إبراهيم رجب
محمد حمام الأفلام
حسن كشك: كان لقائي بالفنان محمد حمام وبداية تعارفنا بمدينة العاشر من رمضان حيث كان يعمل مهندسا ومقاولاً خاصا أي ينفذ أعمال مقاولات لنفسه وكنت أنا أعمل في الجهاز الحكومي المشرف على إنشاء المدينة وكان ذلك في بداية الثمانينيات
لم أكن أعرفه معرفه شخصية قبل ذلك ولما تقابلنا في مدينة العاشر من رمضان لأول مرة لم اكن أتخيل أن ذلك هو الفنان محمد حمام ذائع الصيت وقتها فقد كان متواضعا جدا ولم تكن عليه بهرجة المطربين وقتها بل كان مهندسا جادا ملتزم بالعمل والعمل فقط حتى أنني خجلت أن أذكره بأغانيه المشهورة وقتها
تعاملنا لفترة كمهندس مقاول وأنا كممثل لجهاز الحكومة وقتها وأشهد بأن هذا الرجل كان مثالا للجدية والأخلاق الكريمة فلم تغره نظرات الإعجاب والإكبار من الزملاء والعمال وقتها ولكن كان الجدية بعينها .
الدوري الكويتي 1961–62
أقيمت بطولة الدوري الكويتي للمرة الأولى في عام 1961/1962، وقد شارك في هذه البطولة 7 فرق، وقد استطاع نادي العربي أن يحقق لقب البطولة كأول فريق.
الدوري الكويتي 1962–63
أقيمت بطولة الدوري الكويتي الثانية في موسم 1962/1963، وقد شارك في هذه البطولة ستة فرق، وقد حصل نادي العربي على لقب البطولة للمرة الثانية على التوالي والثانية في تاريخه.
أفانت براوسر
أفانت براوسار (بالإنجليزية: Avant Browser) هو برنامج مجاني مشهور. يجمع بين محرك تصميم تريدينت الموجود بنظام ويندوز، مع واجهة مستخدم مصممة لتكون أكثر مرونة وأناقة من واجهة إنترنت إكسبلورر. يعمل البرنامج على نظام تشغيل ويندوز2000 والإصدارات الأعلى، والتي من ضمنها ويندوز7. يشترط لعمل البرنامج تثبيت إنترنت إكسبورر 6 أو 7 على نظام التشغيل.
أفانت براوسر متاح في 41 لغة.
الدوري الكويتي 1963–64
أقيمت بطولة الدوري الكويتي الثالثة في موسم 1963/1964، وقد شارك في تلك البطولة ستة فرق، وقد استطاع نادي العربي الكويتي بأن يفوز بلقب البطولة للمرة الثالثة على التوالي والثالثة في تاريخه.
الدوري الكويتي 1965–66
أقيمت بطولة الدوري الكويتي الخامسة في موسم 1965/1966، وقد شارك في هذه البطولة ستة فرق، وقد حقق نادي العربي الكويتي لقب البطولة، وهي المرة الرابعة التي يفوز فيها بلقب الدوري.
الدوري الكويتي 1966–67
أقيمت بطولة الدوري الكويتي السادسة في موسم 1966/1967، وقد شارك في هذه البطولة ستة فرق، وقد فاز نادي العربي الكويتي بلقب البطولة للمرة الخامسة في تاريخه والثانية على التوالي.
السموأل بن يحيى المغربي
شموائيل بن يهوذا بن آبونحيث وبعد تحوله للإسلام السموأل بن يحيى بن عباس وهو معروف باسم السموأل المغربي، (1130 فاس – 1180 مراغة) هو عالم في الرياضيات ومهندس وطبيب مسلم، من عائلة يهودية ووالده حاخام كبير في المغرب، انتقل مع أسرته من فاس إلى بغداد لفترة ثم انتقل لبلاد فارس، اعتنق الإسلام سنة 1163 بعد أن رأى حلما يأمره بذلك. وتوفي في مراغة.
السموأل بن يحيى المغربي نشأته
هذا ما رواه السموأل عن مولده، وحملت به أمه وأسمته كما نذرت وكنّاه أبوه أبا النصر، وكان وحيد والديه، وكان أبوه من كبار علماء الرياضيات بين الطائفة اليهودية في المغرب، الذي ما زال اليهود الشرقيون يرددون قصيدته عن تضحية إبراهيم بابنه في عيد رأس السنة اليهودي، وقد اهتم بولده الوحيد وأحسن تربيته وتعليمه. ودرس اللغة العبرية والتوراة وعلوم الطب والجبر والهندسة والحساب، وما زال يذكر في المراجع الغربية بسبب اكتشافاته في الجبر. يقول السموأل حول تعليمه:
ترعرع السموأل في فاس، حيث قام والده بتدريسه الرياضيات ومبادئ اليهودية . ثم ما لبث أن انتقلت الأسرة مع الوالد وابنه السموأل من فاس إلى الشطر الشرقي من الدولة الإسلامية، وسكنوا ببغداد التي كانت مركز الحضارة الإسلامية لفترة زمنية طويلة.
في بغداد، عكف السموأل على دراسة كتاب الأصول لإقليدس، كذلك في دراسة الجبر لأبي كامل شجاع، والجبر للكرجي حتى بدأ يُكَوّن آراءَه الخاصة في الرياضيات وهو في سن الثامنة عشر من عمره. وبدأ تأليف كتابه الشهير «الباهر في الجبر» وهو في سن التاسعة عشر من عمره.
السموأل بن يحيى المغربي نشأته
لكن استقرار أسرته في بغداد لم يطُلْ كثيراً، إذ انتقلت الأسرة إلى مراغة ببلاد فارس حيث قضى السموأل بقية عمره فيها. وكانت مراغة آنذاك قد تبوأت مركزا علميا ينافس بغداد في ذلك الوقت. وما أن استقر فيها حتى بدأ في التأليف والإنتاج العلمي وتعمق في دراسة الشريعة الإسلامية، فاقتنع أن الدين الإسلامي يتوافق مع الحياة القويمة التي يبحث عنها أهل العقول الراجحة.
لما تيقن السموأل من حقيقة إيمانه أشهر إسلامه عام 558 هـ / 1163م بمراغة، بعد أن رأى حلماً في منامه، وصار حجة يدافع عن الإسلام، ويظهر عيوب اليهودية، وذلك بقدرته الفائقة على المقارنة المنطقية بين الإسلام واليهودية.
السموأل بن يحيى المغربي نشأته
اقتنع السموأل بالإسلام، وتأثر بسيرة الرسول محمد وغزوات الإسلام التي رآها نصرا وتأييدا إلهيا، ووجد أن التوراة أيضا تشير لنبوة المصطفى. ويعد كتابه مرجعا مهما لتاريخ القرن السادس الهجري - الثاني عشر الميلادي، فقد كان معاصرا لأكبر حبر يهودي (ابن ميمون) والذي ألمح لكتاب السموأل في رسالته ليهود اليمن، ولكن اليهود تجاهلوا كتابه ولم يردوا عليه. يبرهن السموأل في كتابه أن النسخ قد حدث في التوراة، وأنها ليست من تأليف النبي موسى، وعلى هذا يجب ذكره في تاريخ نقد التوراة، ويذكر البشارات بخاتم النبيين ويقص علينا ما يعتقده اليهود في عيسى ومحمد والإسلام. وقد اعتمد على كتابه بعض النصارى الأوروبيين في القرون الوسطى للرد على اليهود.
وأشار اليه ابن القيم في عديد من كتبه، وأخذ عنه الكثير في الرد على اليهود، بل ونقل منه نصًا.
يروي السموأل أن أول ما جذبه في سنين الطلب الأولى التاريخُ القديم ثم درس دواوين كبار الشعراء كديوان عنترة ثم درس التاريخ الإسلامي فطالع كتب ابن مسكويه وكتب الطبري وغيرها، وقد أكسبه درس الشعر والتاريخ فصاحة في لسانه عرفها له مقربوه، يقول شموائيل عن ذلك:
السموأل بن يحيى المغربي نشأته
عرف السموأل أنه من العلماء الموسوعيين لسعة اطلاعه، فلم يكن من الذين يقصرون جهودهم على الموضوع الواحد ولا يقنعهم التخصص الضيق بل اجتهد في كافة العلوم. ولقد أحاط بالعلوم الرياضية في عصره حتى صار حجة عصره في علمي الجبر والحساب. كما درس الطب على يد ابن ملكا البغدادي حتى أصبح طبيبا ماهرا.
ولقد طور السموأل المغربي الطريقة التحليلية في علم الجبر، واستطاع وبكل جدارة أن يوسع مفهوم العدد بمحاولات غير مباشرة. لذا فالسموأل الذي بلور فكرة استقلال العمليات الجبرية عن التمثيل والتصور الهندسي الذي كان سائدا في ذلك الوقت تلك الفكرة مهدت لاكتشاف الجبر الحديث، في وقت كان أكثر العلماء في الرياضيات يهتمون بالحلول الهندسية لمعظم المسائل الجبرية.
السموأل بن يحيى المغربي مؤلفاته
كان السموأل من العلماء المنتجين الذين خلفوا وراءهم مصنفات كثيرة بلغت 85 مصنفا ما بين كتاب ورسالة ومقالة في شتى المجالات منها:
وتر دائرة
وَتَرُ الدائرةِ هو قطعة مستقيمة واصلةٌ بين نقطتين على الدائرة. يُسمّى أطولُ وترٍ في الدائرةِ قُطراً. بينما الخطُّ القاطع هو امتدادٌ لانهائيٌّ للوتر. يُعمّمُ تعريف الوَترُ ليشملَ أيّ منحنىً بإعادة صياغته على أنه قطعة مستقيمة واصلة بين نقطتين على منحنىً.
وتر دائرة الخصائص والمبرهنات
تُعطى صيغة طول الوتر بدلالة نصف قطر دائرته المحيطه وزاوية القوس الذي يحصرها: :
مبرهنة — طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر.
ليكن وتراً في الدائرة . من متباينة المثلث: لكن إذن وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون قطراً في الدائرة.
مبرهنة — أطوال أوتار الدائرة الواحدة تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة.
بفرض أن الوترين لهما الطول نفسه في الدائرة ، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: . وعلى ذلك ، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.
مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح.
مبرهنة — مبرهنة: الوتر الأكبر يبعد بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.
وتر دائرة في حساب المثلثات
استُخدمت الأوتار على نطاق واسع في بداية تطور حساب المثلثات. قام أول جدول مثلثي معروف، لم يعد الجدول المثلثي الأول المعروف، الذي أنشأه أبرخش في القرن الثاني قبل الميلاد، موجودًا، ولكنه كان يُجدول قيمة دالة الوتر لكل 7.5 درجة. في القرن الثاني الميلادي، أنشأ بطليموس الإسكندراني جدولًا أكثر شمولًا للأوتار في كتابه «المجسطي» عن علم الفلك، مما أعطى قيمة الوتر للزوايا التي تُراوح من 1/2 درجة إلى 180 درجة بزيادات نصف درجة. كانت الدائرة قطرها 120، وأطوال الوتر دقيقة إلى رقمين ستينيين بعد الجزء الصحيح.
تعرف دالة الوتر هندسيًا كما هو موضح في الصورة. وتر زاوية هو طول الوتر بين نقطتين على دائرة الوحدة ويقابل الزاوية المركزية. يجب أن تكون الزاوية θ واقعة في المجال 0 < θ ≤ π (بالراديان). يمكن أن تكون دالة الوتر مرتبطةً بدالة الجيب الحديثة، عن طريق أخذ إحدى النقاط لتكون (1 , 0)، والنقطة الأخرى هي (cos θ , sin θ)، تحسب الوتر بتطبيق مبرهنة فيثاغورس:
وتر دائرة في حساب المثلثات
تَستَخدم الخطوة الأخيرة صيغة نصف الزاوية. مثلما بُني حساب المثلثات الحديث على دالة الجيب، بُني حساب المثلثات القديم على دالة الوتر. يُزعم أن أبرخش كتب عملاً من اثني عشر مجلدًا عن الأوتار، وكلها مفقودة الآن، لذا من المفترض أن الكثير من المعلومات كانت معروفة عنها. في الجدول أدناه (c هو طول الوتر، وD هو قطر الدائرة)، يمكن توضيح أن دالة الوتر تحقق العديد من المتطابقات المماثلة للمتطابقات الحديثة المعروفة:
مضلع محدب
في الهندسة الرياضية، المضلع المحدب (بالإنجليزية: Convex polygon) هو كل مضلع بسيط لا يقطع امتداد أي ضلع فيه أي ضلع آخر من أضلاع المضلع. وبتعبير آخر، هو كل مضلع، لم تذهب فيه كل قطعة رؤوسها تقع على حدود هذا المضلع إلى خارج المضلع. وبتعبير ثالث، هو مضلع داخله مجموعة محدبة.
قياس أي من الزوايا الداخلية لمضلع محدب لا تتجاوز 180 درجة.
مضلع محدب خصائص
نظرية كلاين - ميلمان: المضلع المحدب هو انغلاق محدب لجميع رؤوسه، حيث انه يمكن تعريفه بشكل كامل من خلال المجموعة المكونة من جميع رؤوسه و نحتاج فقط إلى زوايا المضلع لاستعادة الشكل الكلي للمضلع.
مبرهنة المستوى الفائق للانفصال: لأي مضلعين محدبين لا يحتويان على نقاط مشتركة يوجد خط فاصل. إذا كانت المضلعات محدبة و واحد منها على الأقل compact، فإننا سنجد خطين فاصلين متوازيين (مع وجود فجوة بينهما ).
نيكل راني
نيكل راني (بالإنجليزية: Raney nickel) هو حفاز صلب يتكون من حبيبات دقيقة من سبيكة ألمنيوم-نيكل، بحيث أن أغلبه (85%) من فلز النيكل. طُوّر الحفاز أول مرة في سنة 1926 من قبل المهندس‌ الأمريكي موراي راني، كحفاز بديل في عملية هدرجة الزيوت النباتية خلال العمليات الصناعية.
تكون السبيكة في الأحوال العادية على هيئة صلب رمادي اللون، يكون في بعض الأحيان تلقائي الاشتعال. يُستخدم نيكل راني في الكثير من العمليات الصناعية، بالإضافة إلى استخدامه كحفاز في الاصطناع العضوي.
نيكل راني التسمية
بما أن راني علامة تجارية مسجلة لشركة W. R. Grace and Company، فإن منتجات قسم غريس دافيسون فقط هي التي يمكن تسميتها «نيكل راني». كحل بديل، فإن المصطلحات العامة مثل «الحفاز الهيكلي» أو «الحفاز الفلزي-الاسفنجي» يمكن استخدامها للدلالة على الحفازات ذات الخواص الفيزيائية والكيميائية المشابهة لنيكل راني. إلا أنه بما أن شركة غريس نفسها لا تستخدم أي تسمية عامة للمواد الحفازة التي تنتجها وتزود الأسواق بها، فإن تسمية «راني» قد تصبح التسمية العامة لهذه المواد، وفقًا لما ينص عليه قانون العلامات التجارية الأمريكي.
نيكل راني التحضير
يُنتج نيكل راني عند معاملة قطعة من سبيكة ألومنيوم-نيكل بمحلول هيدروكسيد الصوديوم‌ المركز. هذه المعاملة تسمى «التنشيط»، حيث تذيب معظم الألومنيوم الموجود في السبيكة. يتميز التركيب المسامي المتبقي بكبر مساحة سطحه، الأمر الذي يعطيه نشاطاً محفزاً عالياً. يحتوي الحفاز القياسي على 85% من النيكل من مجموع كتلته، والذي يوازي ذرتي نيكل لكل ذرة ألومنيوم. يساعد الألومنيوم المتبقي على الحفاظ على التركيب المسامي للحفاز ككل.
تحضر السبائك تجارياً بصهر الفلز النشط، وهو النيكل في هذه الحالة، وإذابته في مصهور الألومنيوم في بوتقة واحدة ثم يتم تبريد المصهور وسحقه بعد ذلك إلى مسحوق ناعم. يمكن غربلة هذا المسحوق لنطاق حجمي معين للحبيبة وذلك يعتمد على التطبيق الذي سيُستخدم به الحفاز. يُعتبر المكون الأولي للسبيكة مهماً، ذلك لأن عملية التبريد تنتج عدداً مختلفاً من أطوار النيكل/ألمنيوم ذات الخصائص المختلفة، وقد يتسبب هذا الأمر في اختلاف المسامية في المنتج النهائي.
نيكل راني التحضير
يمكن إضافة كميات صغيرة من فلز ثالث أثناء عملية التبريد مثل الزنك والكروم، وذلك بهدف تحسين النشاط الحفازي. يُسمى هذا الفلز الثالث بالمحفّز. يُلاحظ أن إضافة المحفز يُغير السبيكة ومخطط الطور الناتج إلى مخطط يخص سبيكة ثلاثية، الأمر الذي يؤدي لتبريد مختلف وخواص ترشيح وغسل مختلفة أثناء التنشيط.
يُنتج تركيب الحفاز المسامي نتيجة الإزالة الانتقائية لجزيئات الألومنيوم من السبيكة بواسطة محلول الصودا الكاوية المركزة. يمكن توضيح تفاعل الترشيح بطريقة مبسطة عن طريق المعادلة الكيميائية التالية:
ويجب استخدام محاليل عالية التركيز من هيدروكسيد الصوديوم حتى تتكون ألومينات الصوديوم ([Na[Al(OH)4)، حيث أنه إذا نقص التركيز فإن النتيجة تتجسد بتكوين هيدروكسيد الألومنيوم، الذي يترسب على هيئة جبسيت. ولذلك، تُستخدم محاليل قد يصل تركيزها إلى 5 مولار. قد يتسبب الجبسيت في سد المسام أثناء عملية الترشيح، مؤدياً إلى تراجع في المساحة السطحية الفعّالة، وذلك قد يقلّل كفاءة ونشاط الحفاز.
نيكل راني التحضير
إن للحرارة المستخدمة في ترشيح السبيكة تأثيراً ملحوظاً على الخصائص السطحية للحفاز. تترواح درجة الحرارة الشائع استعمالها ما بين 70 إلى 100 درجة مئوية. ترنو المساحة السطحية لنيكل راني، والحفازات الهيكلية عموماً، للانخفاض مع ارتفاع درجة حرارة عملية الترشيح والغسل. يعود ذلك إلى إعادة الترتيب البنيوية داخل السبيكة، الذي يُعتبر مشابهاً للتلبيد‌، حيث تبدأ أربطة السبيكة في الالتصاق مع بعضها البعض عند ارتفاع درجة الحرارة، الأمر الذي يؤدي إلى تراجع في التركيب المسامي.
خلال عملية التنشيط يرشح Al ويغسل خارجاً من المزيج على شكل أطوار لها الصيغة NiAl3 وNi2Al3، في حين يبقى الألومنيوم المتبقي على شكل NiAl، بعملية تسمى الغسل أو الترشيح الانتقائي (selective leaching). يتميز الطور NiAl بأنه يوفر الثباتية البنوية والحرارية للحفاز. كنتيجة لذلك يقاوم الحفاز التفكك والتقادم. تمكّن هذه المقاومة لحفاز نيكل راني من تخزينه وإعادة استعماله ولكن لمدة محدودة؛ ولكن على الرغم من ذلك يفضل استخدام تحضيرات حديثة من الحفاز للاستخدامات المخبرية. على هذا الأساس، يمكن العثور على نيكل راني تجاري في كلا الشكلين: «الفعّال» و«غير الفعّال».
للتخلص من أية آثار متبقية من ألومينات الصوديوم قبل التخزين، يمكن غسل الحفاز بمياه مقطرة ذات درجة حرارة معتدلة. يُفضل استخدام مياه خالية من الأكسجين عند تخزين الحفاز وذلك لمنع عملية الأكسدة، التي تسرّع من عملية تقادم الحفاز، مما يؤدي إلى انخفاض النشاط الحفازي.
نيكل راني الخصائص
يظهر نيكل راني بالعين المجردة كمسحوق رمادي حبيباته ناعمة، أما تحت المجهر،‌ فتبدو كل حبيبة كشبكة ثلاثية الأبعاد، ذات مسام بأحجام وأشكال غير متساوية، تتكون معظمها أثناء عملية الترشيح. يُعرف نيكل راني بكبر مساحة سطحه، وبأنه مستقر حرارياً وبنيوياً. هذه الخصائص ناتجة بسبب عملية التنشيط، والتي تساعد في إعطاء نيكل راني كفاءة حفازية عالية.
تُقاس مساحة السطح عن طريق قياس امتزاز "BET"، باستخدام غاز يمكن ادمصاصه على الأسطح الفلزية، من شاكلة الهيدروجين. تبين من خلال استعمال هذا النوع من القياس، أن كل المساحة المكشوفة تقريباً في حبيبة الحفاز تحتوي على نيكل على سطحها. وبما أن النيكل هو الفلز النشط في الحفاز، فإنه يوفر مساحة سطحية كبيرة تسمح بحدوث عدة تفاعلات في وقت واحد، الأمر الذي ينعكس في زيادة النشاط الحفازي. لنيكل راني المتوافر تجارياً متوسط مساحة نيكل سطحية تصل إلى 100 م² لكل غرام من الحفاز.
نيكل راني الخصائص
نيكل راني حفاز مفيد للعديد من تفاعلات الهدرجة وذلك يرجع للنشاط الحفازي العالي بالإضافة إلى امتصاص الحفاز للهيدروجين من خلال المسام أثناء عملية التنشيط. يُستخدم نيكل راني في نطاق واسع من التفاعلات الكيميائية المختلفة، بسبب تركيبه وثباته الحراري (لا يتفكك عند درجات الحرارة المرتفعة). يُعتبر نيكل راني غير قابل للذوبان في معظم المذيبات المستخدمة في المختبرات باستثناء الأحماض المعدنية من شاكلة حمض الهيدروكلوريك، كذلك فإن كثافته المرتفعة نسبياً، المتراوحة بين 6 و7 غرامات/سم³، تسهل فصله في الطور السائل بعد انتهاء التفاعل.
نيكل راني التطبيقات
يُستخدم نيكل راني في الكثير من العمليات الصناعية والتخليقات العضوية نتيجة لثباته ونشاطه الحفازي العالي عند درجة حرارة الغرفة.
استخدام نيكل راني في الصناعة كمثال عملي يظهر في التفاعل التالي، حيث يختزل البنزين إلى ‌حلقي الهكسان. من الصعب اختزال التركيب السداسي لحلقة البنزين بطرق كيميائية أخرى، وهنا تظهر فعالية نيكل راني. يُمكن استخدام حفازات غير متجانسة أخرى، مثل تلك التي تستخدم عناصر من مجموعة البلاتين، ولكنها ترنو لتكون أكثر تكلفة في إنتاجها من نيكل راني. يُمكن أن يُستخدم حلقي الهكسان‌ بعد انتهاء التفاعل في صناعة حمض الأديبيك، وهو مادة خام تستخدم في الإنتاج الصناعي لمتعددات الأميد مثل النايلون.
من التطبيقات الصناعية الأخرى لنيكل راني استخدامه في العمليات الكيميائية التالية، مثل تحويل الديكستروز إلى سوربيتول، ومركبات نترو والنتريلات إلى أمينات، والأوليفينات ومشتقات الأسيتيلين إلى برافينيات.
نيكل راني التطبيقات
يُستخدم نيكل راني عادةً في اختزال المركبات التي تحتوي على روابط عديدة، مثل الألكاينات والألكينات والنتريلات  والدايينات والمركبات العطرية والمركبات المحتوية على مجموعة الكربونيل. بالإضافة إلى ذلك،‌ فإن نيكل راني يختزل روابط الذرات غير المتجانسة مثل مجموعات النترو والنتروزامين. استُعمل نيكل راني أيضاً في الألكلة الاختزالية للأمينات. وفي إضافة الأمين (أمْيَنَة) للكحولات.
أثناء اختزال رابطة كربون-كربون الثنائية، يُضيف نيكل راني الهيدروجين على نمط «مع» وفق نظرية «إضافة مع وضد» Syn and anti addition.
بالإضافة إلى كون نيكل راني حفازاً، فإنه يمكن استخدامه ككاشف كيميائي من أجل نزع الكبريت من المركبات العضوية. ومثال ذلك، اختزاله الثيو‌أسيتالات إلى الهيدروكربونات الموافقة:
. بشكل مشابه يمكن أيضاً أن يتم نزع الكبريت الاختزال لمركبات الثيول، والكبريتيدات، كما يمكن إزالة الكبريت من الثيوفين للحصول على الألكان المشبع.