楕円積分

以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分（だえんせきぶん、英: elliptic integral）という。ただし、 − 1 ≤ k ≤ 1 {\displaystyle -1\leq k\leq 1} である。 F ( x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) E ( x , k ) = ∫ 0 x 1 − k 2 t 2 1 − t 2   d t Π ( a ; x , k ) = ∫ 0 x d t ( 1 − a t 2 ) ( 1 − t 2 ) ( 1 − k 2 t 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\\E(x,k)&=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}~dt\\\Pi (a;x,k)&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{(1-at^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}\end{aligned}}} 定数 k {\displaystyle k} を母数（modulus）、 a {\displaystyle a} を特性（characteristic）という。母数 k {\displaystyle k} の代わりにパラメーター m = k 2 {\displaystyle m=k^{2}} 、あるいはモジュラー角 α = sin − 1 ⁡ k {\displaystyle \alpha =\sin ^{-1}k} を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性 a {\displaystyle a} を助変数（通常はparameterの訳語）と称することもあるので更に注意が必要である。 楕円の弧長など、三次式、或いは四次式の平方根の積分や五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。 最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数 t = sin ⁡ θ {\displaystyle t=\sin {\theta }} と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる。 F ( φ , k ) = ∫ 0 φ d θ 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ E ( φ , k ) = ∫ 0 φ 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ   d θ Π ( a ; φ , k ) = ∫ 0 φ d θ ( 1 − a sin 2 ⁡ θ ) 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\E(\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~d\theta \\\Pi (a;\varphi ,k)&=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{(1-a\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\end{aligned}}} k = 0 {\displaystyle k=0} の場合は逆三角関数に、 k = 1 {\displaystyle k=1} の場合は逆双曲線関数になる。 F ( x , 0 ) = ∫ 0 x 1 1 − t 2 d t = ∫ 0 sin − 1 ⁡ x 1 1 − sin 2 ⁡ θ ( sin ⁡ θ ) ′ d θ = sin − 1 ⁡ x F ( x , 1 ) = ∫ 0 x 1 1 − t 2 d t = ∫ 0 tanh − 1 ⁡ x 1 1 − tanh 2 ⁡ θ ( tanh ⁡ θ ) ′ d θ = tanh − 1 ⁡ x E ( x , 0 ) = ∫ 0 x 1 1 − t 2 d t = F ( x , 0 ) = sin − 1 ⁡ x E ( x , 1 ) = ∫ 0 x d t = x {\displaystyle {\begin{aligned}F(x,0)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=\int _{0}^{\sin ^{-1}x}{\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}(\sin \theta )'d\theta =\sin ^{-1}x\\F(x,1)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{1-t^{2}}}dt}=\int _{0}^{\tanh ^{-1}x}{\frac {1}{1-\tanh ^{2}\theta }}(\tanh \theta )'d\theta =\tanh ^{-1}x\\E(x,0)&=\int _{0}^{x}{{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}=F(x,0)=\sin ^{-1}x\\E(x,1)&=\int _{0}^{x}{dt}=x\end{aligned}}} F ( φ , 0 ) = E ( φ , 0 ) = φ F ( φ , 1 ) = sin ⁡ φ E ( φ , 1 ) = gd − 1 ⁡ φ {\displaystyle {\begin{aligned}F(\varphi ,0)&=E(\varphi ,0)=\varphi \\F(\varphi ,1)&=\sin \varphi \\E(\varphi ,1)&=\operatorname {gd} ^{-1}\varphi \end{aligned}}} ただし、 gd − 1 ⁡ φ {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}\varphi } は逆グーデルマン関数である。また特に a = k 2 {\displaystyle a=k^{2}} のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、 Π ( k 2 ; φ , k ) = 1 1 − k 2 { E ( φ , k ) − k 2 sin ⁡ 2 φ 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ φ } = 1 1 − k 2 { E ( φ , k ) + d 2 d φ 2 E ( φ , k ) } {\displaystyle \Pi (k^{2};\varphi ,k)={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)-{\frac {k^{2}\sin 2\varphi }{2{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}\right\}={\frac {1}{1-k^{2}}}\left\{E(\varphi ,k)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,k)\right\}} となる。 第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} までとしたものである。 K ( k ) = F ( π 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 1 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ d θ {\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}d\theta } k 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta } のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると K ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ ) − 1 2 d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n ( k 2 sin 2 ⁡ θ ) n n ! ) d θ = π 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! k 2 n ∫ 0 π / 2 sin 2 n ⁡ θ d θ = π 2 + ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! k 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! π 2 = π 2 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{-{\frac {1}{2}}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}}\\\end{aligned}}} となる。ただし、 ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} と定義する。 第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} までとしたものである。 E ( k ) = E ( π 2 , k ) = ∫ 0 π / 2 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ d θ {\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta } k 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle k^{2}\sin ^{2}\theta } のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると E ( k ) = ∫ 0 π / 2 ( 1 − k 2 sin 2 ⁡ θ ) 1 2 d θ = ∫ 0 π / 2 ( 1 − ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n − 1 ) 2 n ( k 2 sin 2 ⁡ θ ) n n ! ) d θ = π 2 − ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n − 1 ) ( 2 n ) ! ! k 2 n ∫ 0 π / 2 sin 2 n ⁡ θ d θ = π 2 − ∑ n = 1 ∞ ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n − 1 ) ( 2 n ) ! ! k 2 n ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! π 2 = π 2 ( 1 − ∑ n = 1 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n 2 n − 1 ) = π 2 ∑ n = 0 ∞ ( ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 n ) ! ! ) 2 k 2 n 1 − 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}E(k)&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\frac {1}{2}}}d\theta \\&=\int _{0}^{\pi /2}{\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)2^{n}}}{\frac {(k^{2}\sin ^{2}\theta )^{n}}{n!}}}\right)}d\theta \\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}\int _{0}^{\pi /2}{\sin ^{2n}\theta }d\theta }\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {(2n-1)!!}{(2n-1)(2n)!!}}k^{2n}{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {\pi }{2}}}\\&={\frac {\pi }{2}}\left(1-\sum _{n=1}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}}\right)\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}}\\\end{aligned}}} となる。ただし、 ( − 1 ) ! ! = 1 {\displaystyle (-1)!!=1} と定義する。 次の恒等式をルジャンドルの関係式という。 K ( k ) E ( 1 − k 2 ) + E ( k ) K ( 1 − k 2 ) − K ( k ) K ( 1 − k 2 ) = π 2 {\displaystyle K(k)E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)+E(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K(k)K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}} 次の恒等式をランデン変換という。 F ( sin ⁡ α , k ) = 2 1 + k F ( 1 2 ( 1 + k ) 2 sin 2 ⁡ α + ( 1 − k 2 sin 2 ⁡ α − 1 − sin 2 ⁡ α ) 2 , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left({\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(1+k\right)^{2}\sin ^{2}\alpha +\left({\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\alpha }}-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)^{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)} 次の恒等式をガウス変換という。 F ( sin ⁡ α , k ) = 1 1 + k F ( ( 1 + k ) sin ⁡ α 1 + k sin 2 ⁡ α , 2 k 1 + k ) {\displaystyle F\left(\sin \alpha ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left({\frac {(1+k)\sin \alpha }{1+k\sin ^{2}\alpha }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)} 楕円 x 2 + ( y / c ) 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+(y/c)^{2}=1} の弧長は、 L = ∫ d s = ∫ d x 2 + d y 2 = ∫ 1 + ( d y d x ) 2 d x = ∫ 1 + ( ∓ c x 1 − x 2 ) 2 d x = ∫ 1 − x 2 + c 2 x 2 1 − x 2 d x {\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int {ds}=\int {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int {\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {1+\left(\mp {\frac {cx}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)^{2}}}dx\\&=\int {\sqrt {\frac {1-x^{2}+c^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx\end{aligned}}} となる。離心率 k = 1 − c 2 {\displaystyle k={\sqrt {1-c^{2}}}} を用いれば、上式は、 L = ∫ 1 − k 2 x 2 1 − x 2 d x {\displaystyle L=\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}dx} となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で x {\displaystyle x} 座標が 0 {\displaystyle 0} の点から x {\displaystyle x} 座標が x {\displaystyle x} の点までの弧長は L ( x ) = E ( x , k ) {\displaystyle L(x)=E(x,k)} となる。 ここで k = 0 {\displaystyle k=0} とすれば楕円は真円になり、弧長は L ( x ) = E ( x , 0 ) = sin − 1 ⁡ x {\displaystyle L(x)=E(x,0)=\sin ^{-1}{x}} となる（ここでは sin {\displaystyle \sin } が x {\displaystyle x} 軸の方向になっていることに注意すること。）。