ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する以下のような恒等式である。 ϑ 3 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 3 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)} ϑ 1 ( v τ , − 1 τ ) = − i e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 1 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{1}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=-ie^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{1}\left(v,\tau \right)} ϑ 2 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 4 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{2}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{4}\left(v,\tau \right)} ϑ 4 ( v τ , − 1 τ ) = e − π i / 4 τ 1 / 2 e π i v 2 / τ ϑ 2 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{4}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=e^{-\pi i/4}\tau ^{1/2}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{2}\left(v,\tau \right)} この恒等式の日本語の呼称は定まっておらず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。 θ i ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{i}(z,\tau )} の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、 θ i j ( z , τ ) {\displaystyle \theta _{ij}(z,\tau )} の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。 θ 0 ( z , τ ) := θ 01 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n ( z + 1 2 ) = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e π i τ n 2 cos ⁡ 2 n π z , θ 1 ( z , τ ) := − θ 11 ( z , τ ) := − ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) ( z + 1 2 ) = 2 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n e π i τ ( n + 1 2 ) 2 sin ⁡ ( 2 n + 1 ) π z , θ 2 ( z , τ ) := θ 10 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 + 2 π i ( n + 1 2 ) z = 2 ∑ n = 0 ∞ e π i τ ( n + 1 2 ) 2 cos ⁡ ( 2 n + 1 ) π z , θ 3 ( z , τ ) := θ 00 ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i τ n 2 + 2 π i n z = 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ e π i τ n 2 cos ⁡ 2 n π z . {\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{0}(z,\tau )&:=\theta _{01}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi in\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau n^{2}}\cos 2n\pi z,\\\theta _{1}(z,\tau )&:=-\theta _{11}(z,\tau )\\&:=-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left(z+{\frac {1}{2}}\right)}}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\sin(2n+1)\pi z,\\\theta _{2}(z,\tau )&:=\theta _{10}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}+2\pi i\left(n+{\frac {1}{2}}\right)z}\\&=2\sum _{n=0}^{\infty }e^{\pi i\tau \left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\cos(2n+1)\pi z,\\\theta _{3}(z,\tau )&:=\theta _{00}(z,\tau )\\&:=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi i\tau n^{2}+2\pi inz}\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }e^{{\pi }i{\tau }n^{2}}\cos 2n\pi z.\end{aligned}}} 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。 ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を K , i K ′ {\displaystyle K,iK'} とすると τ = i K ′ K {\displaystyle \tau ={\frac {iK'}{K}}} k = ( ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ) 2 {\displaystyle k=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau )}{\vartheta _{3}(0,\tau )}}\right)^{2}} sn ⁡ ( u , k ) = ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 1 ( u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( u / 2 K , τ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (u,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}} cn ⁡ ( u , k ) = ϑ 4 ( 0 , τ ) ϑ 2 ( u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( u / 2 K , τ ) {\displaystyle \operatorname {cn} (u,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(u/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(u/2K,\tau )}}} テータ関数の虚数変換式により τ ′ = − 1 τ = i K K ′ {\displaystyle \tau '=-{\frac {1}{\tau }}={\frac {iK}{K'}}} k ′ = ( ϑ 2 ( 0 , τ ′ ) ϑ 3 ( 0 , τ ′ ) ) 2 {\displaystyle k'=\left({\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')}{\vartheta _{3}(0,\tau ')}}\right)^{2}} sn ⁡ ( i u , k ) = ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 1 ( i u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( i u / 2 K , τ ) = i ϑ 3 ( 0 , τ ′ ) ϑ 1 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) ϑ 4 ( 0 , τ ′ ) ϑ 2 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) = i sn ⁡ ( u , k ′ ) cn ⁡ ( u , k ′ ) {\displaystyle \operatorname {sn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{3}(0,\tau )\vartheta _{1}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {i\vartheta _{3}(0,\tau ')\vartheta _{1}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}=i{\frac {\operatorname {sn} (u,k')}{\operatorname {cn} (u,k')}}} cn ⁡ ( i u , k ) = ϑ 4 ( 0 , τ ) ϑ 2 ( i u / 2 K , τ ) ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( i u / 2 K , τ ) = ϑ 2 ( 0 , τ ′ ) ϑ 4 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) ϑ 4 ( 0 , τ ′ ) ϑ 2 ( u / 2 K ′ , τ ′ ) = 1 cn ⁡ ( u , k ′ ) {\displaystyle \operatorname {cn} (iu,k)={\frac {\vartheta _{4}(0,\tau )\vartheta _{2}(iu/2K,\tau )}{\vartheta _{2}(0,\tau )\vartheta _{4}(iu/2K,\tau )}}={\frac {\vartheta _{2}(0,\tau ')\vartheta _{4}(u/2K',\tau ')}{\vartheta _{4}(0,\tau ')\vartheta _{2}(u/2K',\tau ')}}={\frac {1}{\operatorname {cn} (u,k')}}} となり、楕円関数の虚数変数を得る。 ϑ 3 ( v , τ ) {\displaystyle \vartheta _{3}(v,\tau )} の虚数変換式の両辺の比を f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} して恒等的に f ( v , τ ) = 1 {\displaystyle f(v,\tau )=1} であることを証明する。テータ関数の二重周期性により f ( v , τ ) = − i τ e π i v 2 / τ ϑ 3 ( v , τ ) ϑ 3 ( v τ , − 1 τ ) {\displaystyle f(v,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}} f ( v + 1 , τ ) = − i τ e π i v 2 / τ + 2 π i v / τ + π i / τ ϑ 3 ( v + 1 , τ ) ϑ 3 ( v τ + 1 τ , − 1 τ ) = − i τ e π i v 2 / τ + 2 π i v / τ + π i / τ ϑ 3 ( v , τ ) e π i / τ + 2 π i v / τ ϑ 3 ( v τ , − 1 τ ) = f ( v , τ ) {\displaystyle f(v+1,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv/\tau +{\pi }i/\tau }\vartheta _{3}\left(v+1,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }}+{\frac {1}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv/\tau +{\pi }i/\tau }\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{e^{{\pi }i/\tau +2{\pi }iv/\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}=f(v,\tau )} f ( v + τ , τ ) = − i τ e π i ( v + τ ) 2 / τ ϑ 3 ( v + τ , τ ) ϑ 3 ( v τ + 1 , − 1 τ ) = − i τ e π i v 2 / τ + 2 π i v + π i τ e − π i τ − 2 π i v ϑ 3 ( v , τ ) ϑ 3 ( v τ , − 1 τ ) = f ( v , τ ) {\displaystyle f(v+\tau ,\tau )={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }i(v+\tau )^{2}/\tau }\vartheta _{3}\left(v+\tau ,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }}+1,-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }iv^{2}/\tau +2{\pi }iv+{\pi }i\tau }e^{-{\pi }i\tau -2{\pi }iv}\vartheta _{3}\left(v,\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {v}{\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}=f(v,\tau )} であるから、 f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} は v {\displaystyle v} の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は ϑ 3 ( 1 ± 2 m 2 + ( 1 ± 2 n ) τ 2 , τ ) = 0 {\displaystyle \vartheta _{3}\left({\frac {1\pm {2m}}{2}}+{\frac {(1\pm {2n})\tau }{2}},\tau \right)=0} ϑ 3 ( 1 ± 2 m 2 − 1 ± 2 n 2 τ , − 1 τ ) = 0 {\displaystyle \vartheta _{3}\left({\frac {1\pm {2m}}{2}}-{\frac {1\pm {2n}}{2\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)=0} であるから、 f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} は v {\displaystyle v} の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により v {\displaystyle v} には依存しない。 f ( 1 2 , τ ) = − i τ e π i / 4 τ ϑ 3 ( 1 2 , τ ) ϑ 3 ( 1 2 τ , − 1 τ ) = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ e n 2 π i τ + n π i ∑ n = − ∞ ∞ e n 2 − π i / τ + n π i / τ e − π i / 4 τ = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e n 2 π i τ ∑ n = − ∞ ∞ e − ( 2 n − 1 ) 2 π i / 4 τ = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e n 2 π i τ 2 ∑ n = 1 ∞ e − ( 2 n − 1 ) 2 π i / 4 τ {\displaystyle {\begin{aligned}f\left({\frac {1}{2}},\tau \right)&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}e^{{\pi }i/4\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {1}{2}},\tau \right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {1}{2\tau }},-{\frac {1}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{\pi }i\tau +n{\pi }i}}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{-\pi }i/\tau +n{\pi }i/\tau }e^{-{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-(2n-1)^{2}{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(2n-1)^{2}{\pi }i/4\tau }}}}\\\end{aligned}}} f ( 1 4 , τ 4 ) = − i ( τ / 4 ) e π i / 4 τ ϑ 3 ( 1 4 , τ 4 ) ϑ 3 ( 1 τ , − 4 τ ) = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ e n 2 π i τ / 4 + n π i / 2 2 ∑ n = − ∞ ∞ e − 4 n 2 π i / τ + 2 n π i / τ e − π i / 4 τ = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ i n e n 2 π i τ / 4 2 ∑ n = − ∞ ∞ e − ( 2 n − 1 / 2 ) 2 π i / τ = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ i n e n 2 π i τ / 4 2 ( ∑ n = 1 ∞ e − ( 2 n − 1 / 2 ) 2 π i / τ + ∑ n = 1 ∞ e − ( − 2 n + 1 − 1 / 2 ) 2 π i / τ ) = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ i n e n 2 π i τ / 4 2 ∑ n = 1 ∞ e − ( n − 1 / 2 ) 2 π i / τ {\displaystyle {\begin{aligned}f\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)&={\frac {{\sqrt {-i(\tau /4)}}e^{{\pi }i/4\tau }\vartheta _{3}\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)}{\vartheta _{3}\left({\frac {1}{\tau }},-{\frac {4}{\tau }}\right)}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{n^{2}{\pi }i\tau /4+n{\pi }i/2}}}{2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{{-4n^{2}\pi }i/\tau +2n{\pi }i/\tau }e^{-{\pi }i/4\tau }}}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=-\infty }^{\infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\left(\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(2n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}+\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(-2n+1-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}\right)}}\\&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}\\\end{aligned}}} 分子の n {\displaystyle n} が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の n {\displaystyle n} を 2 n {\displaystyle 2n} に改める。 f ( 1 4 , τ 4 ) = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ i 2 n e ( 2 n ) 2 π i τ / 4 2 ∑ n = 1 ∞ e − ( n − 1 / 2 ) 2 π i / τ = − i τ ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n e n 2 π i τ 2 ∑ n = 1 ∞ e − ( n − 1 / 2 ) 2 π i / τ = f ( 1 2 , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}f\left({\frac {1}{4}},{\frac {\tau }{4}}\right)&={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i^{2n}e^{(2n)^{2}{\pi }i{\tau }/4}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}={\frac {{\sqrt {-i\tau }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{(-1)^{n}e^{n^{2}{\pi }i{\tau }}}}{2\sum _{n=1}^{\infty }{e^{-(n-1/2)^{2}{\pi }i/\tau }}}}=f\left({\frac {1}{2}},\tau \right)\\\end{aligned}}} 先に示したように f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} は v {\displaystyle v} に依存しないので f ( v , τ ) = f ( v , τ 4 ) = lim n → ∞ f ( v , τ 4 n ) = lim τ ′ → 0 f ( v , τ ′ ) = f ( v , 0 ) {\displaystyle f\left(v,\tau \right)=f\left(v,{\frac {\tau }{4}}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(v,{\frac {\tau }{4^{n}}}\right)=\lim _{\tau '\to 0}f\left(v,\tau '\right)=f(v,0)} であり、 f ( v , τ ) {\displaystyle f(v,\tau )} は τ {\displaystyle \tau } にも依存しない定数である。その値は f ( v , τ ) = f ( 0 , i ) = ϑ 3 ( 0 , i ) ϑ 3 ( 0 , i ) = 1 {\displaystyle f(v,\tau )=f(0,i)={\frac {\vartheta _{3}\left(0,i\right)}{\vartheta _{3}\left(0,i\right)}}=1} である。