開水路

開水路（かいすいろ、英語: open channel）とは、水面を持つ水路およびその流れの区分のことである。 水がある容器の中（水路）を流れているとき、その流れが水面を持つかどうかによって開水路と管路（管水路）に区分され、水面を持つものが開水路、持たないものが管路と呼ばれる。工学的な定義では、潤辺が閉曲線となるものが管路であり、そうでないものが開水路となる（潤辺については図2を参照のこと）。 例としては、船が使う運河や農業灌漑などに使う用水路、さらには下水道のようなものであっても水が満杯ではなく自由表面が現れるものも開水路として扱われる。つまり、開水路かどうかは水路の形状そのものではなく、水の流れ方によって区別されるものである。 実際の河川など現実の開水路においてはある一方向（基本的には河道に沿った方向）の流れ成分が他の成分と比べて大きく（これを、流れが卓越しているという）、その他の方向の流速成分は無視できる場合が多い。このような性質を持つ流れはユニフロー(uni-flow)あるいはプリズム的水路流れ(prismatic channel flow)と呼ばれ、このユニフローにおいて、卓越した方向の流れを主流、主流に垂直な方向の流れを2次流(secondary currents)と呼ぶ。この2次流のうち、河川の蛇行などの遠心力によって発生する2次流をプラントルの第1種2次流といい、この場合は主流の20％以上になることもある。一方、直線的な水路に発生する2次流をプラントルの第2種2次流という。上で述べたような無視できる2次流はこちらの第2種2次流であり、層流では理論的にゼロ、乱流でも平均して主流の約3％程度の大きさである。 全ての水の流れは、3次元空間におけるナビエ・ストークス方程式によって再現されるが、厳密解は一般的に得られない。しかし、このようなユニフローを対象とした一次元水理解析法と呼ばれる解析手法は、ほぼ解明されており、水路内の水理量を平均量で代表させるなど簡便で合理的なため、多くの河川計画に使われている。以下では基本的にこの一次元水理解析法を元にした記述を行う（2次元ないしは3次元的構造の流れについては高次元流解析の節を参照のこと）。 開水路の流れは、時間的にその水理量（水深や平均流速）が変化しない定常流(steady flow)と、変化する非定常流(unsteady flow)に分けられる。定常流のうち、さらに空間的に（流れ方向に）変化しない流れを等流(uniform flow)と呼び、そうでないものを不等流(non-uniform flow)と呼ぶ。射流と常流、限界水深で後述するように、流速によって常流と射流にも区別される。また、非定常流であってもその変化が緩やかな流れは準定流(quasi-steady flow)となり、後述のキネマティックウェーブ理論で扱われる。 以下で説明する開水路における一次元解析法では、以下の仮定を行う。 2次流は無視できるため、流速は主流の断面平均流速 v {\displaystyle v} で代表される。 レイノルズ数が大きく十分に発達した乱流であるが、乱れによる損失は損失水頭に含めて考慮する。 圧力は静水圧近似できる。 開水路の一次元解析では、いくつかのパラメーターが定義される。 まず、開水路を流れ方向に切った垂直にみた断面図が図2である。この図において青色で示された線が水面(water surface)または自由水面(free surface)であり、茶色で描かれたものが開水路の形状となっている。また、水色で囲われた領域が実際に水が流れている部分であり、この面積を流水断面積または流積(cross section area)といい A {\displaystyle A} で表す。河川工学では河積とも呼ばれる。さらに、緑色で示されている、水と水路が接している部分の長さを潤辺(wetted perimeter)といい S {\displaystyle S} で表す。そして、この潤辺で断面積を割ったものを径深(hydraulic radius)といい R {\displaystyle R} で表される。 次に、開水路を流れ方向に平行に切った断面図が図3である。先と同じように、青色で示された線は自由水面、茶色で描かれたものが水路床あるいは河床(bed)である。この図では、河床に平行に x {\displaystyle x} 軸を取り、それに垂直方向に y {\displaystyle y} 軸をとっている。この河床から y {\displaystyle y} 軸に測った時の水面までの距離が水深と定義され、 h {\displaystyle h} で表される。このy軸とは別に、重力 g {\displaystyle g} に対して垂直な基準線あるいは基準レベル(base level)から測った高さ z {\displaystyle z} も定義される。例えば、河床までの高さは z b {\displaystyle z_{b}} で表される。また、基準線から水面までの距離を水位と言う。そして、この基準線と河床のなす角を θ {\displaystyle \theta } とした時、河床勾配(bed gradient)は I b = sin ⁡ θ {\displaystyle I_{b}=\sin \theta } で定義される。ただし、一般的に河床勾配は小さいと考えられるため、 sin ⁡ θ = θ , cos ⁡ θ = 1 {\displaystyle \sin \theta =\theta ,\cos \theta =1} とすることがあり、この場合は θ {\displaystyle \theta } 自身を河床勾配と呼ぶこともある。このような流れの状態の時、主流速は水色の矢印で示したような分布をしていると考えられる。ある高さ z {\displaystyle z} の点での主流速は U {\displaystyle U} 、圧力は p {\displaystyle p} で表される。この主流速を断面平均したものが断面平均流速 v {\displaystyle v} である。一次元解析では単に流速(velocity)と呼ばれることもある。 一方、一次元解析を行う時には、赤色で示したような空間的に固定されたある領域を考え、緑色で示したようなその領域の断面を考えて、そこを通過する水理量を考えることがある。この領域で水を検査するという意味から、この固定された領域を検査領域またはコントロール・ボリューム(control volume)と呼び、その断面を検査面(control surface、test section)という。 比エネルギー(specific energy)とは、河床から測った時のエネルギーで長さの単位を持ち、 H 0 {\displaystyle H_{0}} で表されるもので、以下の式で与えられる。 H 0 = α v 2 2 g + h cos ⁡ θ {\displaystyle H_{0}=\alpha {\frac {v^{2}}{2g}}+h\cos \theta } ここで α {\displaystyle \alpha } はエネルギー補正係数、 v {\displaystyle v} は断面平均流速、 g {\displaystyle g} は重力加速度、 h {\displaystyle h} は水深、 θ {\displaystyle \theta } は河床勾配で、この式は開水路における流れのエネルギーの評価が、平均流速の速度水頭（第1項）とピエゾ水頭（第2項）との和で評価できることを意味する。「比」と付いているが、この「比」は「何か特定の」と言う意味で、「何かと比べて」という意味ではない。 また、運動量に関しても次の比力(specific force)： M 0 [ L 3 ] {\displaystyle M_{0}{\rm {[L^{3}]}}} が定義される。 M 0 = ( β v 2 g + 1 2 h cos ⁡ θ ) A {\displaystyle M_{0}=\left(\beta {\frac {v^{2}}{g}}+{\frac {1}{2}}h\cos \theta \right)A} ここで β {\displaystyle \beta } は運動量補正係数、 A {\displaystyle A} は流水断面積（流積）である。この比力も、比エネルギーと同様に「比」は「何か特定の」と言う意味である。 これらは、上で述べたユニフローに対する開水路一次元解析法によりナビエ・ストークス方程式から導くことができる。 ユニフロー開水路定常流における連続式は Q = A 1 v 1 = A 2 v 2 = c o n s t . {\displaystyle Q=A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}={\rm {const.}}} という、流量 Q {\displaystyle Q} （流水断面積 A {\displaystyle A} と断面平均流速 v {\displaystyle v} の積）が保存されることを表す。 これは、以下のように導出される。 まず、水（非圧縮性流体）の質量保存則にあたる連続式は以下のように記述される。 ∂ U i ∂ x i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial U_{i}}{\partial x_{i}}}=0} これに対し、主流に垂直な面 A 1 {\displaystyle A_{1}} 、 A 2 {\displaystyle A_{2}} と水面および河床に囲まれた範囲（コントロール・ボリューム）で発散定理を適用すると、 Q = ∬ A 1 U d A = ∬ A 2 U d A = c o n s t . {\displaystyle Q=\iint _{A_{1}}UdA=\iint _{A_{2}}UdA={\rm {const.}}} となる。ここで Q {\displaystyle Q} :流量、 U {\displaystyle U} :主流速である。 断面 A {\displaystyle A} における断面平均流速 v {\displaystyle v} は v = 1 A ∬ A U d A {\displaystyle v={\frac {1}{A}}\iint _{A}UdA} となるので、これを代入して Q = A v = c o n s t . {\displaystyle Q=Av={\rm {const.}}} が得られる。 開水路のベルヌーイの定理は d H 0 d x = I b − I e {\displaystyle {\frac {dH_{0}}{dx}}=I_{b}-I_{e}} で与えられる。ここで、 H 0 {\displaystyle H_{0}} は比エネルギー、 I b {\displaystyle I_{b}} は河床勾配、 I e {\displaystyle I_{e}} はエネルギー勾配であり、河床勾配とエネルギー勾配の差が、比エネルギーの変化量に等しいことを表す。また、河床勾配とエネルギー勾配が等しければ比エネルギーは保存され（比エネルギー保存則）、この時の流れの状態が等流である。 この式は以下のように導出される。 連続式と同様のコントロール・ボリュームを考えナビエ・ストークス方程式に発散定理を適用すれば d d x 1 Q ∬ A ( U 2 2 g + z + p ρ g ) ⋅ U d A = − I e {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{Q}}\iint _{A}\left({\frac {U^{2}}{2g}}+z+{\frac {p}{\rho g}}\right)\cdot UdA=-I_{e}} を得る。ここで、 U {\displaystyle U} は主流速、 ρ {\displaystyle \rho } は水の密度、 g {\displaystyle g} は重力加速度、 z {\displaystyle z} は考えている点までの高さ、 p {\displaystyle p} は考えている点での圧力である。これに対して断面平均を行い、比エネルギーを適用すれば d d x ( H 0 + z b ) = − I e {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(H_{0}+z_{b}\right)=-I_{e}} となる。ここで、 z b {\displaystyle z_{b}} はある基準面から河床までの位置水頭であるので、その変化率は河床勾配 I b {\displaystyle I_{b}} である。よって、最終的に、 d H 0 d x = I b − I e {\displaystyle {\frac {dH_{0}}{dx}}=I_{b}-I_{e}} が導かれる。 開水路における運動量式は ( M 0 ) 2 − ( M 0 ) 1 = V sin ⁡ θ − F ρ g {\displaystyle \left(M_{0}\right)_{2}-\left(M_{0}\right)_{1}=V\sin \theta -{\frac {F}{\rho g}}} で与えられる。ここで、 ( M 0 ) 1 , ( M 0 ) 2 {\displaystyle \left(M_{0}\right)_{1},\left(M_{0}\right)_{2}} ：検査面1, 2での比力、 V {\displaystyle V} ：コントロールボリュームの体積、 θ {\displaystyle \theta } ：河床勾配、 F {\displaystyle F} ：外力（摩擦力）である。これから、勾配が水平で外力が無視できるとき、比力が保存されることが分かり、比力保存則となる。 これは以下のようにして得られる。 まず、拡張された運動量を用いてRANS方程式（英語版）をユニフローにおいて他の保存則と同様のコントロールボリュームで積分すると、以下の式を得ることができる。 ∬ A 1 M