総乗

総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。 結合律を満たす積 × の定義される集合 M の元の列 a1, a2, …, an の総乗を ∏ k = 1 n a k = a 1 × a 2 × ⋯ × a n {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}\times a_{2}\times \cdots \times a_{n}} などと表す。記号 ∏ はギリシャ文字のパイ (Pi) であり、これは積 (Product、ギリシャ語でΠροϊόν) の頭文字 P に相当する文字である。 有限集合 E に対し、E の濃度を n とする。このとき、E の元を I = {1, 2, …, n} で添え字付けて、E の元の全体を「I を添え字集合とする元の列 (xi)i∈I 」とすることができる。この列の総乗を ∏ E = ∏ x ∈ E x = ∏ i ∈ I x i = ∏ k = 1 n x k {\displaystyle \prod E=\prod _{x\in E}x=\prod _{i\in I}x_{i}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}} などのように表す。ここで、E の濃度が 0、すなわち、添え字集合 I が空集合であってもよい。特に、集合 M が積 × に関する単位元 1M を持つとき、空集合を添え字集合とする列（空な列）の総乗は 1M であるとする。（空積も参照） ∏ ∅ = ∏ x ∈ ∅ x = 1 M {\displaystyle \prod \emptyset =\prod _{x\in \emptyset }x=1_{M}} 積が結合的でないならば、積をとる順番が問題になるので、a1 × a2 × … × an という記号自体が意味を持たないが、たとえば、部分列を用いて以下のように帰納的に定義することは可能である。 p 1 = a 1 , {\displaystyle p_{1}=a_{1},} p k + 1 = p k × a k + 1 {\displaystyle p_{k+1}=p_{k}\times a_{k+1}} このとき、 p n = ∏ k = 1 n a k {\displaystyle p_{n}=\prod _{k=1}^{n}a_{k}} と書くことにすると、 ∏ k = 1 n a k = ( ⋯ ( ( a 1 × a 2 ) × a 3 ) × ⋯ × a n ) {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}a_{k}=(\cdots ((a_{1}\times a_{2})\times a_{3})\times \cdots \times a_{n})} の意味になる。このようなものはあまり応用がない。 総和と同様に、可算無限列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の総乗 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} を定義することができ、無限積とか無限乗積 (infinite product) と呼ばれる。これらは極限操作であり、総和より微妙な意味で収束性を吟味しなければならない。 実数や複素数からなる可算列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} の無限乗積を定義する。無限乗積 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとは2条件 ある番号 m から先では常に xn ≠ 0 (n > m) 部分積 pn := xm+1 … xn (n > m) がゼロでない値 Pm に n → ∞ の極限で収束する が成り立つことをいう。無限乗積 ∏ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}} が収束するとき、その値を ∏ n = 1 ∞ x n = x 1 ⋯ x m P m {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}\dotsb x_{m}P_{m}} と定める。この値は番号 m の取り方に依存しない。無限乗積が収束するならば、limn→∞ xn = 1 が成り立つ。 また数列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in {\boldsymbol {\mathsf {N}}}}} に対して無限乗積 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + | x n | ) {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+\vert x_{n}\vert )} が収束するとき、無限乗積 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})} は絶対収束するという。無限乗積 ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) {\displaystyle \textstyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+x_{n})} が絶対収束するのは無限級数 ∑ n = 1 ∞ x n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}} が絶対収束するとき、かつそのときに限る。 三角関数の無限乗積展開 sin ⁡ π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 − z 2 n 2 ) {\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} cos ⁡ π z = ∏ n = 1 ∞ { 1 − z 2 ( n − 1 2 ) 2 } {\displaystyle \cos \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1-{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}} sinh ⁡ π z = π z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z 2 n 2 ) {\displaystyle \sinh \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)} cosh ⁡ π z = ∏ n = 1 ∞ { 1 + z 2 ( n − 1 2 ) 2 } {\displaystyle \cosh \pi z=\prod _{n=1}^{\infty }\left\{1+{\frac {z^{2}}{(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right\}} ウォリス積 ∏ n = 1 ∞ ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) = π 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}} オイラー乗積 ζ ( s ) = ∏ p : prime 1 1 − p − s {\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}} ガンマ関数 1 Γ ( z ) := z e γ z ∏ m = 1 ∞ ( 1 + z m ) e − z / m , γ := lim n → ∞ ( ∑ k = 1 n 1 k − log ⁡ n ) {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}:=ze^{{\gamma }z}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{m}}\right)e^{-z/m},\quad \gamma :=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\log {n}\right)} ( γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数である)。 qポッホハマー記号 。 ( a ; q ) ∞ := ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) , | q | < 1 , ( a ; q ) n := ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ . {\displaystyle {\begin{aligned}&(a;q)_{\infty }:=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}),\quad |q|<1,\\&(a;q)_{n}:={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}}.\\\end{aligned}}} qガンマ関数 Γ q ( x ) := ( 1 − q ) 1 − x ( q ; q ) ∞ ( q x ; q ) ∞ , | q | < 1. {\displaystyle \Gamma _{q}(x):=(1-q)^{1-x}\,{\frac {(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}},\quad |q|<1.} 行列を使ってqガンマ関数を定義することもできる。