二端子対回路

二端子対回路(にたんしついかいろ、two-terminal pair network, two ports、四端子回路とも)は、入力端子対と出力端子対の2組の端子からなる電気回路またはデバイス。 例えばトランジスタ、フィルタ回路などがある。2端子対回路の分析は1920年代にドイツ人の数学者Franz Breisigによって研究が始められた。 二端子対回路は、入力と出力の電圧と電流の関係を調べるため、入力と出力の間にある回路を分離し、特有のパラメータで示すことが基本となる。このパラメータが決まると、入力と出力の間にある回路の細部を考える必要が無くなり、一つの特殊な特性を持った暗箱（ブラックボックス）にでき、回路の分析を単純化できる。暗箱に独立した出力端子がなければどんな回路もパラメータで表せ、二端子対回路に変形できる。 二端子対回路で入力と出力の電圧と電流の関係を示すパラメータの種類として、従来より「Zパラメータ」、「Yパラメータ」、「hパラメータ」、「gパラメータ」、「Fパラメータ(en:Two-port network#ABCD-parameters)」が用いられてきた。 これらのパラメータは行列で表現する。 V 1 {\displaystyle {V_{1}}} 入力電圧 V 2 {\displaystyle {V_{2}}} 出力電圧 I 1 {\displaystyle {I_{1}}} 入力電流 I 2 {\displaystyle {I_{2}}} 出力電流 近年では高周波を扱うことのできる、「Sパラメータ」や「Tパラメータ」なども二端子対回路の一種であるが、これらはいずれも電力の関係を示している。 インピーダンス行列、Z行列とも。 ( V 1 V 2 ) = ( Z 11 Z 12 Z 21 Z 22 ) ( I 1 I 2 ) {\displaystyle {V_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}} Z 11 {\displaystyle Z_{11}} ・ Z 12 {\displaystyle Z_{12}} ・ Z 21 {\displaystyle Z_{21}} ・ Z 22 {\displaystyle Z_{22}} の各インピーダンスパラメータは以下のとおり。 Z 11 = V 1 I 1 | I 2 = 0 Z 12 = V 1 I 2 | I 1 = 0 {\displaystyle Z_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{12}={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}} Z 21 = V 2 I 1 | I 2 = 0 Z 22 = V 2 I 2 | I 1 = 0 {\displaystyle Z_{21}={V_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad Z_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}} アドミタンス行列、Y行列とも。 ( I 1 I 2 ) = ( Y 11 Y 12 Y 21 Y 22 ) ( V 1 V 2 ) {\displaystyle {I_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}} Y 11 {\displaystyle Y_{11}} ・ Y 12 {\displaystyle Y_{12}} ・ Y 21 {\displaystyle Y_{21}} ・ Y 22 {\displaystyle Y_{22}} の各アドミタンスパラメータは以下のとおり。 Y 11 = I 1 V 1 | V 2 = 0 Y 12 = I 1 V 2 | V 1 = 0 {\displaystyle Y_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}} Y 21 = I 2 V 1 | V 2 = 0 Y 22 = I 2 V 2 | V 1 = 0 {\displaystyle Y_{21}={I_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}} ハイブリッド行列、h行列とも。 ( V 1 I 2 ) = ( h 11 h 12 h 21 h 22 ) ( I 1 V 2 ) {\displaystyle {V_{1} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{pmatrix}}{I_{1} \choose V_{2}}} h 11 {\displaystyle h_{11}} ・ h 12 {\displaystyle h_{12}} ・ h 21 {\displaystyle h_{21}} ・ h 22 {\displaystyle h_{22}} の各ハイブリッドパラメータは以下のとおり。 h 11 = V 1 I 1 | V 2 = 0 h 12 = V 1 V 2 | I 1 = 0 {\displaystyle h_{11}={V_{1} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{12}={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}} h 21 = I 2 I 1 | V 2 = 0 h 22 = I 2 V 2 | I 1 = 0 {\displaystyle h_{21}={I_{2} \over I_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad h_{22}={I_{2} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{1}=0}} hパラメータの逆行列で定義される。 ( I 1 V 2 ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) ( V 1 I 2 ) {\displaystyle {I_{1} \choose V_{2}}={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}{V_{1} \choose I_{2}}} g 11 {\displaystyle g_{11}} ・ g 12 {\displaystyle g_{12}} ・ g 21 {\displaystyle g_{21}} ・ g 22 {\displaystyle g_{22}} 各パラメータは以下のとおり。 g 11 = I 1 V 1 | I 2 = 0 g 12 = I 1 I 2 | V 1 = 0 {\displaystyle g_{11}={I_{1} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{12}={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}} g 21 = V 2 V 1 | I 2 = 0 g 22 = V 2 I 2 | V 1 = 0 {\displaystyle g_{21}={V_{2} \over V_{1}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad g_{22}={V_{2} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}} 伝送行列、F行列、基本行列(Fundamental matrix)とも。 縦続接続する際に都合がよくなる。 ( V 1 I 1 ) = ( A B C D ) ( V 2 I 2 ) {\displaystyle {V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}} ここで、 I 2 {\displaystyle I_{2}} は上の図とは逆の向きを正にとる。 A・B・C・Dの各四端子定数は以下のとおり。 A = V 1 V 2 | I 2 = 0 B = V 1 I 2 | V 2 = 0 {\displaystyle A={V_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad B={V_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}} C = I 1 V 2 | I 2 = 0 D = I 1 I 2 | V 2 = 0 {\displaystyle C={I_{1} \over V_{2}}{\bigg |}_{I_{2}=0}\qquad D={I_{1} \over I_{2}}{\bigg |}_{V_{2}=0}} 2つの異なる二端子対回路を縦続(cascade)に接続することを「縦続接続」と呼ぶ。Fパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のFパラメータとする。 ( V 1 I 1 ) = ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) ( V 2 I 2 ) {\displaystyle {V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{V_{2} \choose I_{2}}} ( V 2 I 2 ) = ( A 2 B 2 C 2 D 2 ) ( V 3 I 3 ) {\displaystyle {V_{2} \choose I_{2}}={\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}} このとき、 V 1 {\displaystyle V_{1}} I 1 {\displaystyle I_{1}} と V 3 {\displaystyle V_{3}} I 3 {\displaystyle I_{3}} には以下の関係が成り立つ。 ( V 1 I 1 ) = ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) ( A 2 B 2 C 2 D 2 ) ( V 3 I 3 ) {\displaystyle {V_{1} \choose I_{1}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}{V_{3} \choose I_{3}}} よって縦続接続したときの回路全体のFパラメータは以下となる。 ( A B C D ) = ( A 1 B 1 C 1 D 1 ) ( A 2 B 2 C 2 D 2 ) = ( A 1 A 2 + B 1 C 2 A 1 B 2 + B 1 D 2 C 1 A 2 + D 1 C 2 C 1 B 2 + D 1 D 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1}&B_{1}\\C_{1}&D_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{2}&B_{2}\\C_{2}&D_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1}A_{2}+B_{1}C_{2}&A_{1}B_{2}+B_{1}D_{2}\\C_{1}A_{2}+D_{1}C_{2}&C_{1}B_{2}+D_{1}D_{2}\end{pmatrix}}} 2つの異なる二端子対回路を直列に接続することを「直列接続」と呼ぶ。Zパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のZパラメータとする。 ( V 1 ′ V 2 ′ ) = ( Z 11 ′ Z 12 ′ Z 21 ′ Z 22 ′ ) ( I 1 ′ I 2 ′ ) {\displaystyle {V_{1}' \choose V_{2}'}={\begin{pmatrix}Z_{11}'&Z_{12}'\\Z_{21}'&Z_{22}'\end{pmatrix}}{I_{1}' \choose I_{2}'}} ( V 1 ″ V 2 ″ ) = ( Z 11 ″ Z 12 ″ Z 21 ″ Z 22 ″ ) ( I 1 ″ I 2 ″ ) {\displaystyle {V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}''&Z_{12}''\\Z_{21}''&Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1}'' \choose I_{2}''}} このとき、 V 1 {\displaystyle V_{1}} V 2 {\displaystyle V_{2}} と I 1 {\displaystyle I_{1}} I 2 {\displaystyle I_{2}} は、 V 1 = V 1 ′ + V 1 ″ {\displaystyle V_{1}=V_{1}'+V_{1}''} 、 V 2 = V 2 ′ + V 2 ″ {\displaystyle V_{2}=V_{2}'+V_{2}''} 、 I 1 = I 1 ′ + I 1 ″ {\displaystyle I_{1}=I_{1}'+I_{1}''} 、 I 2 = I 2 ′ + I 2 ″ {\displaystyle I_{2}=I_{2}'+I_{2}''} の関係があるので、以下の関係が成り立つ。 ( V 1 V 2 ) = ( V 1 ′ V 2 ′ ) + ( V 1 ″ V 2 ″ ) = ( Z 11 ′ + Z 11 ″ Z 12 ′ + Z 12 ″ Z 21 ′ + Z 21 ″ Z 22 ′ + Z 22 ″ ) ( I 1 I 2 ) {\displaystyle {V_{1} \choose V_{2}}={V_{1}' \choose V_{2}'}+{V_{1}'' \choose V_{2}''}={\begin{pmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{pmatrix}}{I_{1} \choose I_{2}}} よって直列接続したときの回路全体のZパラメータは以下となる。 ( Z 11 Z 12 Z 21 Z 22 ) = ( Z 11 ′ + Z 11 ″ Z 12 ′ + Z 12 ″ Z 21 ′ + Z 21 ″ Z 22 ′ + Z 22 ″ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{21}&Z_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Z_{11}'+Z_{11}''&Z_{12}'+Z_{12}''\\Z_{21}'+Z_{21}''&Z_{22}'+Z_{22}''\end{pmatrix}}} 2つの異なる二端子対回路を並列に接続することを「並列接続」と呼ぶ。Yパラメータを用いると都合がよい。 ここで、2つの異なる二端子対回路を以下のYパラメータとする ( I 1 ′ I 2 ′ ) = ( Y 11 ′ Y 12 ′ Y 21 ′ Y 22 ′ ) ( V 1 ′ V 2 ′ ) {\displaystyle {I_{1}' \choose I_{2}'}={\begin{pmatrix}Y_{11}'&Y_{12}'\\Y_{21}'&Y_{22}'\end{pmatrix}}{V_{1}' \choose V_{2}'}} ( I 1 ″ I 2 ″ ) = ( Y 11 ″ Y 12 ″ Y 21 ″ Y 22 ″ ) ( V 1 ″ V 2 ″ ) {\displaystyle {I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}''&Y_{12}''\\Y_{21}''&Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1}'' \choose V_{2}''}} このとき、 I 1 {\displaystyle I_{1}} I 2 {\displaystyle I_{2}} と V 1 {\displaystyle V_{1}} V 2 {\displaystyle V_{2}} は、 I 1 = I 1 ′ + I 1 ″ {\displaystyle I_{1}=I_{1}'+I_{1}''} 、 I 2 = I 2 ′ + I 2 ″ {\displaystyle I_{2}=I_{2}'+I_{2}''} 、 V 1 = V 1 ′ + V 1 ″ {\displaystyle V_{1}=V_{1}'+V_{1}''} 、 V 2 = V 2 ′ + V 2 ″ {\displaystyle V_{2}=V_{2}'+V_{2}''} の関係があるので、以下の関係が成り立つ。 ( I 1 I 2 ) = ( I 1 ′ I 2 ′ ) + ( I 1 ″ I 2 ″ ) = ( Y 11 ′ + Y 11 ″ Y 12 ′ + Y 12 ″ Y 21 ′ + Y 21 ″ Y 22 ′ + Y 22 ″ ) ( V 1 V 2 ) {\displaystyle {I_{1} \choose I_{2}}={I_{1}' \choose I_{2}'}+{I_{1}'' \choose I_{2}''}={\begin{pmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{pmatrix}}{V_{1} \choose V_{2}}} よって並列接続したときの回路全体のYパラメータは以下となる。 ( Y 11 Y 12 Y 21 Y 22 ) = ( Y 11 ′ + Y 11 ″ Y 12 ′ + Y 12 ″ Y 21 ′ + Y 21 ″ Y 22 ′ + Y 22 ″ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}'+Y_{11}''&Y_{12}'+Y_{12}''\\Y_{21}'+Y_{21}''&Y_{22}'+Y_{22}''\end{pmatrix}}}