慣性モーメント

慣性モーメント（かんせいモーメント、英: moment of inertia）あるいは慣性能率（かんせいのうりつ）、イナーシャ I とは、物体の角運動量 L と角速度 ω との間の関係を示す量である。 質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。 L = ∑ i m i ( r i × ( ω × r i ) ) = ∑ i m i ( ω r i 2 − r i ( r i ⋅ ω ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))} ここでmi は i 番目の質点の質量、ri は回転軸上の原点との相対座標でありriはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、 L = I ω {\displaystyle {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}} と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は L j = ∑ k = 1 3 I j k ω k I j k = ∑ i m i ( r i 2 δ j k − r i , j r i , k ) {\displaystyle {\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}} という形に表される。ここに δjk はクロネッカーのデルタ、ri, j はベクトル ri の j 成分である。I を行列表示すると I = ∑ i ( m i ( r i 2 − x i 2 ) − m i x i y i − m i x i z i − m i y i x i m i ( r i 2 − y i 2 ) − m i y i z i − m i z i x i − m i z i y i m i ( r i 2 − z i 2 ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}} となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 Ixx、Iyy、Izz を（それぞれ x、 y、 z 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 Ixy、Iyz、Izx は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ。 なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて I j k = ∫ ρ ( x ) ( | x | 2 δ j k − x j x k ) d 3 x {\displaystyle I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x} となる。 物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。 n ⋅ L = n ⋅ ( I ω n ) = n ⋅ ( I n ) ω ≡ I ω {\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega } ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。 ここに与えられたスカラー量 I = n ⋅ ( I n ) = ∑ i m i ( r i 2 − ( r i ⋅ n ) 2 ) {\displaystyle I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})} をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。 慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e1, e2, e3 } を選ぶことで対角化（すなわち Ixy = Iyz = Izx = 0 と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I1, I2, I3 } を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は ( L 1 L 2 L 3 ) = ( I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ) ( ω 1 ω 2 ω 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}} と単純に表すことができる。 重さの無視できる長さ L の棒の両端に、質量 m 、M の物体がくっついたものを考える。棒の適当な位置に回転の中心となる点を定め、そこから両端までの腕の長さをそれぞれ a、L - a とする。このとき、中心に対する慣性モーメント I は、 I = m a 2 + M ( L − a ) 2 = ( m + M ) ( a − M m + M L ) 2 + m M m + M L 2 {\displaystyle I=ma^{2}+M(L-a)^{2}=(m+M)\left(a-{\frac {M}{m+M}}L\right)^{2}+{\frac {mM}{m+M}}L^{2}} と、計算される。この式から分かるように、慣性モーメントは、中心（回転軸）のとり方によってその値が変わる。中心として系の重心をとったとき、慣性モーメントは最小となる。すなわちもっとも回しやすい。 半径 a 、全質量 M の、一様な密度 ρ = M / πa2 をもつ円板の、中心軸まわりの慣性モーメントは I = 1 2 a 2 M {\displaystyle I={\frac {1}{2}}a^{2}M} となる。 これは中心から半径 r 、幅 dr << r のリングの質量 dM を考えると d M = 2 π r ρ d r {\displaystyle \mathrm {d} M=2\pi r\rho \mathrm {d} r} より、このリングの慣性モーメント dI が d I = r 2 d M = 2 π ρ r 3 d r {\displaystyle \mathrm {d} I=r^{2}\mathrm {d} M=2\pi \rho r^{3}\mathrm {d} r} だから I = ∫ 0 a d I = 2 π ρ ∫ 0 a r 3 d r = 1 2 ρ π a 4 {\displaystyle I=\int _{0}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho \int _{0}^{a}r^{3}\mathrm {d} r={\frac {1}{2}}\rho \pi a^{4}} より求めることができる。 円板外半径 a 、くり抜き内半径 b 、全質量 M のリング状円板では、前出の dI を用いて I = ∫ b a d I = 2 π ρ 1 4 ( a 4 − b 4 ) = 1 2 π ρ ( a 2 − b 2 ) ( a 2 + b 2 ) = 1 2 ( a 2 + b 2 ) M {\displaystyle I=\int _{b}^{a}\mathrm {d} I=2\pi \rho {\frac {1}{4}}(a^{4}-b^{4})={\frac {1}{2}}\pi \rho (a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})={\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2})M} となる。 一般に、剛体の慣性モーメントは、剛体の質量に比例し、質量が軸から遠くに分布しているほど大きくなる。 また、回転軸が重心を通るとき慣性モーメントは最小値 IG をとり、軸が重心から距離 h だけ離れている場合、その軸の周りの慣性モーメント Ih は I h = I G + M h 2 {\displaystyle I_{h}=I_{\mathrm {G} }+Mh^{2}} となる。 慣性テンソル I の物体が角速度 ω で回転しているとき、その回転に伴う運動エネルギー T は T = 1 2 ∑ j k I j k ω j ω k {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{jk}I_{jk}\omega _{j}\omega _{k}} と表示できる。 回転半径 慣性モーメント I は物体の質量 M に比例するから、 I = M κ 2 {\displaystyle I=M\kappa ^{2}} と書くことができる。この κ は長さの次元を持ち、回転半径と呼ばれる。 はずみ車効果 慣性モーメントと同じ意味を持つ物理量として、直径 D を用いて定義されるはずみ車効果 GD2 がある。 重力単位系では、剛体の重量 G[kgf] と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kgf m2] である。慣性モーメント I とは次元が異なり、GD2 = 4gI で換算する（g は重力加速度）。 国際単位系では、剛体の質量 G[kg]と直径 D[m] を用いた量 GD2 をはずみ車効果と呼び、単位は [kg m2] である。慣性モーメント I と、GD2 = 4I で換算する。 工学での応用として、回転軸に慣性モーメントの大きい回転体を取り付けた装置をフライホイール（はずみ車）という。これは、回転速度の急激な変化を抑止したり、回転によるエネルギーを保存する目的で使用される。