ヤン＝ミルズ理論

ヤン＝ミルズ理論（ヤン＝ミルズりろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。 なお、その少し前にヴォルフガング・パウリと内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。 この理論は元々、ワイルらによって研究が進められていた可換対称性に基づくゲージ理論を、非可換対称性にまで発展させた理論である。 非可換ゲージ理論の代表的なものであり、他の非可換ゲージ理論としてはチャーン＝サイモンズ理論などがある。 この理論は最初、陽子と中性子のアイソスピンSU(2)対称性に着目して構築された模型である。これ自体は実験と合わなかったが、現在でも自発的に破れた弱アイソスピンとハイパーチャージのSU(2)×U(1)対称性に受け継がれているといえる（ワインバーグ＝サラム理論）。 このように対称性が破れる模型もヤン＝ミルズ理論に含む場合もある。 現在の典型的なヤン＝ミルズ理論はカラーSU(3)対称性に基づく量子色力学である。 また、検証されていない理論として、SU(5)やSO(10)対称性に基づく大統一理論などがある。 超対称性を持つように拡張される場合もあり、超対称ヤン＝ミルズ理論（super Yang-Mills theory、SYM）と呼ばれる。各種超対称性理論の基礎として、また超弦理論との関係などから、現在盛んに研究されている。 理論模型としては、ゲージ場だけで物質場を含まない模型は純粋なヤン＝ミルズ理論（pure Yang-Mills theory）と呼ばれる。 また、現実に（仮に近似的だとしても）ヤン＝ミルズ理論が存在する以上、現実を説明する素粒子仮説は、適当な状況設定の下でヤン＝ミルズ理論を再現するように作られる事が多い。ヤン＝ミルズ理論を内包している理論に、カルツァ＝クライン理論や超弦理論がある。 ヤン＝ミルズ理論は、非可換リー群をゲージ対称性に持つゲージ理論である。 パラメータ ϵ a {\displaystyle \epsilon ^{a}} で特徴付けられるリー群 G ( ϵ ) = exp ⁡ ( i ϵ a T a ) {\displaystyle G(\epsilon )=\exp(i\epsilon ^{a}T^{a})} を考える。 ここで、T はリー群の生成子である。 群の非可換性を反映して生成子のリー代数は [ T a , T b ] = i f a b c T c {\displaystyle [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}} となる。f は群の構造定数である。 局所化されたパラメータ ξ a ( x ) {\displaystyle \xi ^{a}(x)} で特徴付けられるゲージ変換の下で、リー群の表現の添え字 i をもつ場 ϕ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)} は ϕ i ( x ) ↦ ϕ i ′ ( x ) = [ G ( g ξ ( x ) ) ] i j ϕ j ( x ) = [ exp ⁡ ( i g ξ a ( x ) T a ) ] i j ϕ j ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)\mapsto \phi '_{i}(x)=[G(g\xi (x))]_{ij}\phi _{j}(x)=[\exp(ig\xi ^{a}(x)T^{a})]_{ij}\phi _{j}(x)} と変換される。 パラメータの一次を考えると δ ξ ϕ ( x ) = i g ξ a ( x ) T i j a ϕ j ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }\phi (x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)} となる。 ここで生成子 T i j a {\displaystyle T_{ij}^{a}} は、ゲージ変換の下での場 ϕ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)} の属する表現での行列表現である。ゲージ変換の下での場の変換性を決める生成子の表現はチャージと呼ばれる。 gは理論の結合定数で、ゲージ結合定数と呼ばれる。この理論の大きな特徴として、共変微分やヤン＝ミルズ項に含まれる全ての結合定数が等しい事が挙げられる（結合定数の普遍性）。この普遍性は標準模型においても検証されており、素粒子物理がゲージ理論で記述される事の強い傍証となっている。 ヤン＝ミルズ理論において、ラグランジアンに含まれる場の微分 ∂ μ ϕ i ( x ) {\displaystyle \partial _{\mu }\phi _{i}(x)} は共変微分 D μ ϕ i ( x ) ≡ ∂ μ ϕ i ( x ) − i g A μ a ( x ) T i j a ϕ j ( x ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)\equiv \partial _{\mu }\phi _{i}(x)-igA_{\mu }^{a}(x)T_{ij}^{a}\phi _{j}(x)} へと置き換えられる。ここで A μ a ( x ) {\displaystyle A_{\mu }^{a}(x)} はゲージ場である。 ゲージ場はゲージ変換の下でパラメータの一次で δ ξ A μ a ( x ) = g f a b c ξ c ( x ) A μ b ( x ) + ∂ μ ξ a ( x ) = D μ ξ a ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }A_{\mu }^{a}(x)=gf^{abc}\xi ^{c}(x)A_{\mu }^{b}(x)+\partial _{\mu }\xi ^{a}(x)={\mathcal {D}}_{\mu }\xi ^{a}(x)} と変換される。 従って共変微分は δ ξ D μ ϕ i ( x ) = i g ξ a ( x ) T i j a D μ ϕ j ( x ) {\displaystyle \delta _{\xi }{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{i}(x)=ig\xi ^{a}(x)T_{ij}^{a}{\mathcal {D}}_{\mu }\phi _{j}(x)} と変換し、場と同じ変換性をもつ。 これにより、様々な場からゲージ対称性を満足する項を作る事が出来る。 種々の場はゲージ場と共変微分を通してのみ相互作用をする。相互作用の形はゲージ変換の下での変換性で決まり、このような相互作用の形は最小結合（minimal coupling）の理論と呼ばれる。 ヤン＝ミルズ理論では、ラグランジアンにヤン＝ミルズ項 L Y M ≡ − 1 4 F a μ ν F μ ν a {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {YM} }\equiv -{\frac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}} （各添え字について和を取る）を持つ。 F はゲージ場の強度（field-strength） F μ ν a ≡ ∂ μ A ν a − ∂ ν A μ a + g f a b c A μ b A ν c {\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}\equiv \partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}} である。 非自明な交換関係に伴って、構造定数に関係する項が現れるのが特徴である。 繰り込み群の考え方から、着目するエネルギースケールによって結合定数が変化するという描像を得る事が出来る。 n f {\displaystyle n_{f}} 個のフレーバーを持つゲージ群の表現 r {\displaystyle r} に属するフェルミオンを含むヤン＝ミルズ理論の1ループベータ関数は、 β ( g ) = − g 3 ( 4 π ) 2 ( 11 3 C 2 ( G ) − 4 3 n f C ( r ) ) {\displaystyle \beta (g)=-{\frac {g^{3}}{(4\pi )^{2}}}\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {4}{3}}n_{f}C(r)\right)} となる。ただし、 C 2 ( G ) {\displaystyle C_{2}(G)} は f a c d f b c d = C 2 ( G ) δ a b {\displaystyle f^{acd}f^{bcd}=C_{2}(G)\delta ^{ab}} によって定義される随伴表現における2次のカシミア演算子、 C ( r ) {\displaystyle C(r)} は表現 r {\displaystyle r} における生成子の行列表現の規格化定数 T r ( T a ( r ) T b ( r ) ) = C ( r ) δ a b {\displaystyle \mathrm {Tr} (T^{a}(r)T^{b}(r))=C(r)\delta ^{ab}} である。 量子色力学においては、 C 2 ( G ) = 3 {\displaystyle C_{2}(G)=3} で、 C ( r ) = 1 / 2 {\displaystyle C(r)=1/2} である。 これは、フェルミオンのフレーバーが少ない場合のヤン＝ミルズ理論が、高エネルギーでは相互作用が弱くなる(漸近的自由性)、と読むことが出来る。