ド・モアブルの定理

ド・モアブルの定理（ド・モアブルのていり、英: de Moivre's theorem; ド・モアブルの公式（ド・モアブルのこうしき）ともいう）とは、複素数（特に実数）θ および整数 n に対して ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta } が成り立つという、複素数と三角関数に関する定理である。定理の名称はアブラーム・ド・モアブル (Abraham de Moivre) に因むが、彼がこの定理について言及したわけではない。数学的帰納法による証明では、三角関数の加法定理が利用される。 実数 θ と正の整数 n に対してド・モアブルの定理を考えると、左辺を展開し右辺と実部・虚部を比較することにより、n倍角の公式が導出される。すなわち、ド・モアブルの公式は三角関数の n倍角の公式を内在的に含んでいる。 オイラーの公式： e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } より、ド・モアブルの定理は複素指数函数についての指数法則の一つ： ( e i θ ) n = e i n θ ( θ ∈ C , n ∈ Z ) {\displaystyle (e^{i\theta })^{n}=e^{in\theta }\quad (\theta \in \mathbb {C} ,\,n\in \mathbb {Z} )} が成り立つことを意味している。 証明 — 1. まず、n ≥ 0 について成り立つことを、数学的帰納法により証明する。 [i] n = 0 のとき （左辺） = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) 0 = 1 {\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{0}=1} （右辺） = cos ⁡ 0 + i sin ⁡ 0 = 1 {\displaystyle =\cos 0+i\sin 0=1} よって n = 0 のときに本定理は成立する。 [ii] n − 1 のとき、すなわち ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n − 1 = cos ⁡ ( n − 1 ) θ + i sin ⁡ ( n − 1 ) θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}=\cos(n-1)\theta +i\sin(n-1)\theta } が成り立つと仮定すると ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n − 1 ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = { cos ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] + i sin ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] } ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = { cos ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] cos ⁡ θ − sin ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] sin ⁡ θ } + i { sin ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] cos ⁡ θ + cos ⁡ [ ( n − 1 ) θ ] sin ⁡ θ } = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n-1}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]+i\sin[(n-1)\theta ]\}(\cos \theta +i\sin \theta )\\&=\{\cos[(n-1)\theta ]\cos \theta -\sin[(n-1)\theta ]\sin \theta \}+i\{\sin[(n-1)\theta ]\cos \theta +\cos[(n-1)\theta ]\sin \theta \}\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} ゆえに、n のときも本定理は成立する。 よって、[i], [ii] から、数学的帰納法によって、n ≥ 0 に対して本定理が成り立つ。 2. 続いて n < 0 の場合を、1. を利用して証明する。 n < 0 のとき、n = −m とおくと、m は自然数である。 1. の結果より、m については定理の等式が成り立つから、 ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) − m = 1 ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) m = 1 cos ⁡ m θ + i sin ⁡ m θ = cos ⁡ m θ − i sin ⁡ m θ ( cos ⁡ m θ + i sin ⁡ m θ ) ( cos ⁡ m θ − i sin ⁡ m θ ) = cos ⁡ m θ − i sin ⁡ m θ = cos ⁡ ( − m θ ) + i sin ⁡ ( − m θ ) = cos ⁡ ( − m ) θ + i sin ⁡ ( − m ) θ = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{-m}\\&={\frac {1}{(\cos \theta +i\sin \theta )^{m}}}\\&={\frac {1}{\cos m\theta +i\sin m\theta }}\\&={\frac {\cos m\theta -i\sin m\theta }{(\cos m\theta +i\sin m\theta )(\cos m\theta -i\sin m\theta )}}\\&=\cos m\theta -i\sin m\theta \\&=\cos(-m\theta )+i\sin(-m\theta )\\&=\cos(-m)\theta +i\sin(-m)\theta \\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \end{aligned}}} ゆえに n < 0 のときも本定理が成り立つ。 したがって、1、2 より、任意の整数 n に対して、本定理が成り立つ。 (Q.E.D.) 証明 — 複素数の積の性質を用いても導出できる。θ, φ ∈ C に対して ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ ) = ( cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) + i ( sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ + cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) = cos ⁡ ( θ + ϕ ) + i sin ⁡ ( θ + ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \phi +i\sin \phi )&=(\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi )+i(\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi )\\&=\cos(\theta +\phi )+i\sin(\theta +\phi )\end{aligned}}} が成り立つ。よって帰納的に ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta } が分かる。 (Q.E.D.) 証明 — オイラーの公式 e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } （θ は複素数） ならびに複素指数関数の指数法則を用いても証明できる。n を整数として、この式の両辺を n 乗すれば ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = ( e i θ ) n = e i n θ = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=(e^{i\theta })^{n}\\&=e^{in\theta }\\&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}} したがって ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}&=\cos n\theta +i\sin n\theta \\\end{aligned}}} が得られる。 (Q.E.D.) ド・モアブルの定理は指数が非整数のとき一般には成り立たない。それは、複素数の非整数乗は複数の異なる値を取る（多価関数）からである（冪乗#指数・対数法則の不成立参照）。n が整数でないとき、ド・モアブルの定理における n 乗の式は、等式が成立する値を含めた複数の値を取ることとなる。 θ を実数、w を複素数とすると { exp ⁡ ( i θ ) } w = exp ⁡ { w log ⁡ exp ⁡ ( i θ ) } = exp ⁡ { w i ( θ + 2 n π ) } = exp ⁡ ( i w θ ) exp ⁡ ( 2 n π i w ) {\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp\{w\log \exp(i\theta )\}=\exp\{wi(\theta +2n\pi )\}=\exp(iw\theta )\exp(2n\pi iw)} （n は整数） である。したがって、w が整数であれば { exp ⁡ ( i θ ) } w = exp ⁡ ( i w θ ) ⋅ 1 = cos ⁡ ( w θ ) + i sin ⁡ ( w θ ) {\displaystyle \{\exp(i\theta )\}^{w}=\exp(iw\theta )\cdot 1=\cos(w\theta )+i\sin(w\theta )} という 1 つの値を取るが、w が整数でないときは cos ⁡ ( w θ ) + i sin ⁡ ( w θ ) {\displaystyle \cos(w\theta )+i\sin(w\theta )} を含む複数の値を取ることになる。 {exp(iθ)}w の値の取り方について、w が有理数であれば、w = a/b （a, b は互いに素）と表すと、2nwπ = 2π × na/b であるから、n = 0, 1, …, b − 1 で循環し、b 個の値を取る。w ∉ Q（無理数または虚数）ならば循環せず、可算無限個の値を取る。 虚数単位の累乗 n を整数とすると、 i n = ( 0 + i ) n = ( cos ⁡ π 2 + i sin ⁡ π 2 ) n = cos ⁡ n π 2 + i sin ⁡ n π 2 {\displaystyle i^{n}=(0+i)^{n}=\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\sin {\frac {\pi }{2}}\right)^{n}=\cos {\frac {n\pi }{2}}+i\sin {\frac {n\pi }{2}}} ∴   i n = { 1 if  n ≡ 0 ( mod 4 ) i if  n ≡ 1 ( mod 4 ) − 1 if  n ≡ 2 ( mod 4 ) − i if  n ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \therefore \ i^{\,n}={\begin{cases}1&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {4}}\\i&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 2{\pmod {4}}\\-i&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}} n が非整数のときは、先述したように、複数取る値のうちの1つだけを求めている。 1の冪根 n を 2 以上の自然数とするとき、zn = 1 を満たす z を求める。 z の極形式を z = r(cos θ + i sin θ)（r ≥ 0, θ は実数）とする。 z n = { r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) } n = r n ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) n = r n ( cos ⁡ n θ + i sin ⁡ n θ ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}z^{n}&=\{r(\cos \theta +i\sin \theta )\}^{n}\\&=r^{n}(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )\\&=1\end{aligned}}} ∴ r n = 1 ,   n θ = 2 π k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r^{n}=1,\ n\theta =2\pi k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)} ∴ r = 1 ,   θ = 2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) {\displaystyle \therefore r=1,\ \theta ={\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)} ∴   z = cos ⁡ 2 π n k + i sin ⁡ 2 π n k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n − 1 ) ◼ {\displaystyle \therefore \ z=\cos {\frac {2\pi }{n}}k+i\sin {\frac {2\pi }{n}}k\quad (k=0,1,\cdots ,n-1)\quad \blacksquare } 複素数 三角関数 1の冪根 オイラーの公式