ラグランジュの定理 (群論)

群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。 ラグランジュの定理 ― G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき |G| = [G : H] |H| が成り立つ。ただし、[G : H] は G における H の指数である。 [G : H] に関しては#同値類による指数を参照。 群 G の要素 x, y に関して、群 G の部分群 H の要素 h を用いて、x = yh となるとき、x ～ y と定義する。G の単位元を e とすると、H は部分群だから e ∈ H であり、x = xe となるので、x ～ x である。h ∈ H のとき、H は部分群だから h-1 ∈ H となるので、x ～ y のとき、x = yh ⇔ xh-1 = y となり y ～ x である。x, y, z ∈ G に関して、x ～ y, y ～ z ならば x = yh1, y = zh2 (h1, h2 ∈ H) だから x = (zh2)h1 = z(h2h1) となる。H は部分群なので、h2h1 ∈ H となるから x ～ z である。したがって、～ は同値関係になる。 部分群 H に関して、同値関係 ～ による同値類 {x ∈ G | x ～ a} は {x ∈ G | x = ah (h ∈ H)} になるから、aH に等しくなる。これを a の H による左剰余類（left coset）という。同値関係 ～ による同値類 aH の集合 {aH | a ∈ G} を G/H と書く。 部分群 H が有限群の場合は H = {h1, h2, h3, …, hm} と表すことができて、左剰余類 aH は aH = {ah1, ah2, ah3, …, ahm} となる。 部分群 H から同値類 aH への写像 φa : H → aH を φa(h) = ah と定義するとき、φa(h1) = φa(h2) とすると、ah1 = ah2 となるから、左から a-1 を掛けて h1 = h2 となるので、写像 φa は単射になる。写像 φa による部分群 H の像が aH だから写像 φa は全射になり、全単射になる。したがって、写像 φa の逆写像 φa-1: aH → H は φa-1(x) = a-1x となる。これより、同値類 aH から同値類 bH への写像 f : aH → bH を f (x) = (φb⚬φa-1)(x) = φb(φa-1(x)) = ba-1x と定義すると写像 f は全単射になる。したがって、任意の二つの同値類 aH と bH は同型となり、|aH| = |bH| = |H| となる。 左剰余類の集合 G/H の要素の個数（濃度）である |G/H| を G における H の指数（index of a subgroup H in a group G）と呼び、[G : H] または |G : H| または (G : H) と書く。 G/H が有限集合の場合は、G/H = {a1H, a2H, a3H, …, akH} と表すことができて、[G : H] = |G/H| = k となる。 G が有限群の場合は、以下のように書ける： H = { h 1 , h 2 , h 3 , ⋯ , h m } , a 1 H = { a 1 h 1 , a 1 h 2 , a 1 h 3 , ⋯ , a 1 h m } , a 2 H = { a 2 h 1 , a 2 h 2 , a 2 h 3 , ⋯ , a 2 h m } , a 3 H = { a 3 h 1 , a 3 h 2 , a 3 h 3 , ⋯ , a 3 h m } , ⋯ a k H = { a k h 1 , a k h 2 , a k h 3 , ⋯ , a k h m } , G / H = { a 1 H , a 2 H , a 3 H , ⋯ , a k H } , G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a k H     ( i ≠ j ⇒ a i H ∩ a j H = ∅ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}H&=\{h_{1},h_{2},h_{3},\cdots ,h_{m}\},\\a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\cdots ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\cdots ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\cdots ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\cdots ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\cdots ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}} 有限群 G の部分群 H を {h1, h2, …, hm} とすると、 H = { h 1 , h 2 , h 3 , ⋯ , h m } . {\displaystyle H=\{h_{1},h_{2},h_{3},\cdots ,h_{m}\}.} 左剰余類 aH は {ah1, ah2, ah3, …, ahm} に等しくなるので、 a H = { a h 1 , a h 2 , a h 3 , ⋯ , a h m } . {\displaystyle aH=\{ah_{1},ah_{2},ah_{3},\cdots ,ah_{m}\}.} このとき、H の要素 h に ah を対応させる写像を f：H → aH とすると、f(hi) = f(hj) ⇔ ahi = ahj のとき、左から a-1 を掛けて、hi = hj となるので、写像 f は単射になる。 写像 f は H を aH に写すから f は全射となるので、全単射になる。したがって、 H と aH とは同じ個数の要素を待つから、|H| = |aH| = m となる。 したがって、G の H による類別を考えると、以下のようになる。 a 1 H = { a 1 h 1 , a 1 h 2 , a 1 h 3 , ⋯ , a 1 h m } , a 2 H = { a 2 h 1 , a 2 h 2 , a 2 h 3 , ⋯ , a 2 h m } , a 3 H = { a 3 h 1 , a 3 h 2 , a 3 h 3 , ⋯ , a 3 h m } , ⋯ a k H = { a k h 1 , a k h 2 , a k h 3 , ⋯ , a k h m } , G / H = { a 1 H , a 2 H , a 3 H , ⋯ , a k H } , G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a k H     ( i ≠ j ⇒ a i H ∩ a j H = ∅ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}H&=\{a_{1}h_{1},a_{1}h_{2},a_{1}h_{3},\cdots ,a_{1}h_{m}\},\\a_{2}H&=\{a_{2}h_{1},a_{2}h_{2},a_{2}h_{3},\cdots ,a_{2}h_{m}\},\\a_{3}H&=\{a_{3}h_{1},a_{3}h_{2},a_{3}h_{3},\cdots ,a_{3}h_{m}\},\\\cdots \\a_{k}H&=\{a_{k}h_{1},a_{k}h_{2},a_{k}h_{3},\cdots ,a_{k}h_{m}\},\\G/H&=\{a_{1}H,a_{2}H,a_{3}H,\cdots ,a_{k}H\},\\G&=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{k}H\ \ (i\neq j\Rightarrow a_{i}H\cap a_{j}H=\emptyset ).\end{aligned}}} このとき、|H| = |a1H| = |a2H| = |a3H| = … = |akH| = m となるので、|G| = km となる。k = |G/H| = [G : H], m = |H| となるので、 | G | = [ G : H ] ⋅ | H | . {\displaystyle |G|=[G:H]\cdot |H|.} Q.E.D. ラグランジュの定理は群 G における3つの部分群の指数の間に成り立つ等式に拡張できる。 以下では、H が群 G の部分群であるとき、H ≤ G または G ≥ H と表し、H が群 G の部分群であり、かつ K が群 H の部分群であるとき、K ≤ H ≤ G または G ≥ H ≥ K と表す。 ラグランジュの定理の拡張 ―  G ≥ H ≥ K ⟹ [ G : K ] = [ G : H ] [ H : K ] . {\displaystyle G\geq H\geq K\Longrightarrow [G:K]=[G:H]\,[H:K].} 証明 — 有限群 G が部分群 H によって以下のように類別されているとする： G = a 1 H ∪ a 2 H ∪ a 3 H ∪ ⋯ ∪ a m H . {\displaystyle G=a_{1}H\cup a_{2}H\cup a_{3}H\cup \cdots \cup a_{m}H.} このとき、部分群 H の G における指数は [ G : H ] = m {\displaystyle [G:H]=m} になる。 有限群 H が部分群 K によって以下のように類別されているとする： H = b 1 K ∪ b 2 K ∪ b 3 K ∪ ⋯ ∪ b n K . {\displaystyle H=b_{1}K\cup b_{2}K\cup b_{3}K\cup \cdots \cup b_{n}K.} このとき、部分群 K の H における指数は [ H : K ] = n {\displaystyle [H:K]=n} になる。 よって、H を G に代入すると以下のように G が部分群 K によって類別される： G = a 1 b 1 K ∪ a 1 b 2 K ∪ a 1 b 3 K ∪ ⋯ ∪ a 1 b n K ∪ a 2 b 1 K ∪ a 2 b 2 K ∪ a 2 b 3 K ∪ ⋯ ∪ a 2 b n K ∪ a 3 b 1 K ∪ a 3 b 2 K ∪ a 3 b 3 K ∪ ⋯ ∪ a 3 b n K ∪ ⋯ a m b 1 K ∪ a m b 2 K ∪ a m b 3 K ∪ ⋯ ∪ a m b n K . {\displaystyle {\begin{aligned}G=&a_{1}b_{1}K\cup a_{1}b_{2}K\cup a_{1}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{1}b_{n}K\cup \\&a_{2}b_{1}K\cup a_{2}b_{2}K\cup a_{2}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{2}b_{n}K\cup \\&a_{3}b_{1}K\cup a_{3}b_{2}K\cup a_{3}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{3}b_{n}K\cup \\&\cdots \\&a_{m}b_{1}K\cup a_{m}b_{2}K\cup a_{m}b_{3}K\cup \cdots \cup a_{m}b_{n}K.\end{aligned}}} したがって、部分群 K の G における指数は [ G : K ] = m n {\displaystyle [G:K]=mn} になる。 よって、 [ G : K ] = [ G : H ] [ H : K ] . {\displaystyle [G:K]=[G:H][H:K].} Q.E.D. G ≥ H ≥ K のとき K = {e} （e は群 G の単位元）とおくと [G : {e}] = |G| および [H : {e}] = |H| が成り立つ。したがって、元々の等式 |G| = [G : H] |H| を得る。 ラグランジュの定理には、次のような系がある。 ラグランジュの定理の系(1) ― G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき部分群 H の位数 |H| は群 G の位数 |G| を割り切る。 | H | | | G | {\displaystyle |H|{\bigg |}|G|} . 証明 G が有限群の場合は、指数 [G : H]（G における H の左剰余類の個数）が正の整数になるので、ラグランジュの定理から系が従う。 ラグランジュの定理の系(2) ― 有限群 G の任意の元 g の位数は群 G の位数 |G| を割り切る。 | ⟨ g ⟩ | | | G | ⟺ g | G | = e {\displaystyle |\langle g\rangle |{\bigg |}|G|\Longleftrightarrow g^{|G|}=e} . 証明 群 G の任意の元 g で生成される巡回群 ⟨g⟩を考えればよい。巡回群 ⟨g⟩は G の部分群になるので、その位数 |⟨g⟩| は群 G の位数 |G| を割り切ることになる。 素数位数の有限群 ― 有限群 G の位数が素数 p ならば、群 G は巡回群である。 証明 p ≧ 2 より、群 G の単位元 e 以外の元を x とすると、x が生成する巡回群 ⟨x⟩ は群 G の部分群になるから、その位数 |⟨x⟩| は素数 p の約数になる。したがって、|⟨x⟩| = 1 または |⟨x⟩| = p になる。|⟨x⟩| = 1 の場合は、x = e となり不適。|⟨x⟩| = p の場合は群 G の位数と等しくなるので、G = ⟨x⟩ となり題意は示された。 フェルマーの小定理 ― p を素数とするとき、整数 x ∈ ℤ が p と互いに素ならば、x p - 1 ≡ 1 (mod p) となる。 証明 位数 p の巡回群 (ℤ/pℤ) の乗法群 (ℤ/pℤ)× = {1, 2, 3, … , p - 1} は位数 p - 1 の有限群になるから、(ℤ/pℤ)× の任意の元を a とすると、ラグランジュの定理の系(2) より、a p - 1 = 1 が成り立つ。したがって、a ∈ {1, 2, 3, …, p - 1} のとき a p - 1 - 1 が素数 p で割り切れるから、a p - 1 ≡ 1 (mod p) となる。よって、x ≡ a (mod p) のとき、x p - 1 ≡ a p - 1 (mod p) が成り立つので、x p - 1 ≡ 1 (mod p) を得る。 より一般に、合成数 n についても乗法群 (ℤ/nℤ)× を考えれば、オイラーの定理を導くこともできる。 ラグランジュの定理の逆が成立するか問うことができる。つまり、位数 n の有限群 G と n を割り切る自然数 d が与えられたとき「位数が d である G の部分群が存在するか」という問いである。よく知られているように、これは一般には存在しない。位数12である4次の交代群 G = A4 が位数6である部分群をもたないので、（群 G の位数が最小の）反例を与えるからである。 一方、特別な状況では逆が成立することが知られている。その最たる例はシローの定理である。つまり位数 n を割り切る素数 p のべきで最大のもの d = np を考えると、位数 np の部分群（シロー部分群）が存在する。もうすこし一般に d が np を割り切るならば、位数 d の部分群が存在することもわかる。（コーシーの定理も参照のこと。） ラグランジュは代数方程式の解法に関連して、多項式上の置換の理論でこの定理を証明しているが、これは現在の言い方でいう対称群の場合にあたる。当時はまだ群の概念が整備されていなかったので、ラグランジュ自身が群一般で考えていたわけではない。ただその性質は容易に抽象群へと拡張されるもので、現在でもそのままラグランジュの定理と呼ばれている。群論の定理としては、歴史上最初に出現したものである。