斜交座標系

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。 2本の数直線 x, y が共通の原点をもち、なす角 θ（ただし 0° < θ < 180°）で交わっているとき、その座標系はx軸、y軸からなる斜交座標となる。 座標平面上の全ての点Pは、その点からx軸、y軸に関して平行線をひくことにより、P(a, b) と一意に表すことができる。 逆に座標 (a, b) が与えられれば、Pの位置は一意に決定される。 なお、2本の軸のなす角 θ = 90° のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。 x軸、y軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つx'軸、y'軸からなる直交座標系について、x軸、y軸がx'軸となす角をそれぞれ θ, ϕ とする。 斜交座標系で P(a, b) と表されている点を直交座標 (a' , b' ) に座標変換する公式は以下である： ( a ′ b ′ ) = ( cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) ( a b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\cos \phi \\\sin \theta &\sin \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}} 直交座標系はこの表記では θ =0, ϕ =90° の場合である． 直交座標系の場合は、2つのベクトル u → = ( u x , u y ) , v → = ( v x , v y ) {\displaystyle {\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})} の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる： u → ⋅ v → = u x v x + ( u x v y + u y v x ) cos ⁡ ( ϕ − θ ) + u y v y = ( u x u y ) ( 1 cos ⁡ ( ϕ − θ ) cos ⁡ ( ϕ − θ ) 1 ) ( v x v y ) ⋯ ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}v_{x}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos(\phi -\theta )+u_{y}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\qquad \cdots (1)\end{aligned}}} あるいは次のようにも表現できる： u → ⋅ v → = u i v i = u 1 v 1 + u 2 v 2 , ( u 1 , u 2 ) := ( u x , u y ) , ( v 1 , v 2 ) := ( v x + v y cos ⁡ ( ϕ − θ ) , v x cos ⁡ ( ϕ − θ ) + v y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\&(u^{1},u^{2}):=(u_{x},u_{y}),\\&(v_{1},v_{2}):=(v_{x}+v_{y}\cos(\phi -\theta ),v_{x}\cos(\phi -\theta )+v_{y})\end{aligned}}} このとき、添字が上についている量（u1 など）を反変成分、下についている量（v1 など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を e → 1 , e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}} とすれば、反変成分を用いて u → = u i e → i = u 1 e → 1 + u 2 e → 2 {\displaystyle {\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}} と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}^{1}} ：y軸（または e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}_{2}} ）に垂直で長さが 1/sin(ϕ−θ) のベクトル e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}^{2}} ：x軸（または e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}} ）に垂直で長さが 1/sin(ϕ−θ) のベクトル とすれば、共変成分を用いて v → = v i e → i = v 1 e → 1 + v 2 e → 2 {\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}} と書くことができる。 上記の議論は u → , v → {\displaystyle {\vec {u}},{\vec {v}}} を入れ替えても同様に成り立つ。 式(1)の右辺に表れた行列 ( 1 cos ⁡ ( ϕ − θ ) cos ⁡ ( ϕ − θ ) 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}} は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。 斜交座標系では計量テンソルg は g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = ( 1 cos ⁡ ( ϕ − θ ) cos ⁡ ( ϕ − θ ) 1 ) , g i j = ( e → 1 ⋅ e → 1 e → 1 ⋅ e → 2 e → 2 ⋅ e → 1 e → 2 ⋅ e → 2 ) = 1 sin 2 ⁡ ( ϕ − θ ) ( 1 − cos ⁡ ( ϕ − θ ) − cos ⁡ ( ϕ − θ ) 1 ) = ( g i j ) − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}} となる。また反変成分と共変成分の変換は u i = g i j u j , u i = g i j u j {\displaystyle u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}} とシンプルに表すことができる． 以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。