ケイリー・ハミルトンの定理

線型代数学におけるケイリー・ハミルトンの定理（ケイリー・ハミルトンのていり、英: Cayley–Hamilton theorem）、またはハミルトン・ケイリーの定理とは、（実数体や複素数体などの）可換環上の正方行列は固有方程式を満たすという定理である。アーサー・ケイリーとウィリアム・ローワン・ハミルトンに因む。 n次正方行列 A に対して、In を n次単位行列とすると、A の固有多項式は p ( λ ) := det ( λ I n − A ) {\displaystyle p(\lambda ):=\det(\lambda I_{n}-A)} で定義される。ここで det は行列式を表し、λ は係数環の元（スカラー）である。引数の行列は各成分が λ の 1次式以下の多項式（1次式または定数）だから、その行列式も λ の n次モニック多項式になる。ケイリー・ハミルトンの定理の主張は、固有多項式を行列多項式と見れば A が零点であること、すなわち上記の λ を行列 A で置き換えた計算結果が零行列であること、すなわち p ( A ) = O {\displaystyle p(A)=O} の成立を述べるものである。 注 置き換えにおいて、λ の冪は、A の、行列の積による冪に置き換わるから、特に p(λ) の定数項は A0 すなわち単位行列の定数倍に置き換わる。 定理により、特に An は、より低次の A の多項式で表されることが分かる。係数環が体（英語版）のとき、ケイリー・ハミルトンの定理は「任意の正方行列 A の最小多項式は A の固有多項式を整除する（割り切る）」という主張に同値である。 この定理は1853年にハミルトンが初めて証明した（それは「非可換」環である四元数を変数とする一次函数の逆を用いたものであった）。これは一般の定理において、実4次または複素2次という特別の場合に当たるものである。 ケイリー・ハミルトンの定理は、四元数係数の行列に対しても成立する。 1858年にケイリーは 3次およびそれより小さい行列に関して定理を述べているが、証明は 2次の場合のみを著している。一般の場合が初めて証明されたのは1878年でフロベニウスによる。 1次正方行列 A = (a) に対し、その固有多項式は p(λ) ≔ λ − a であり、p(A) = (a) − a⋅I1 = (0) は明らかである。 2次正方行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に対しては、固有多項式は p(λ) ≔ λ2 − (a + d)λ + (ad − bc) となり、ケイリー・ハミルトンの定理の述べるところによれば p ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d − b c ) I 2 = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}} が成り立つはずであるが、これは実際に A2 の成分を具体的に書き出せば、確かに成り立っていることが確認できる。 この定理を証明するのに、固有多項式： p ( λ ) = det ( λ I n − A ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)} (1) の λ を A に置き換えて p ( A ) = det ( A I n − A ) = det ( A − A ) = 0 {\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=0} (error) を得るとするのは、明らかに誤った論法である。 この論法が誤りである理由は、第一に、上式 error の左辺は n次正方行列、右辺はスカラーである 0 であり、（n = 1 でない限り）不合理である。 第二に、(1) の右辺の λ はスカラーだからこそ行列式として意味をもつものであり、行列式の展開の前に λ を A に置き換えると意味をなさなくなる。 様子が分かるように具体的に 2次の場合をとらえると、 p ( λ ) = | λ − a − b − c λ − d | {\displaystyle p(\lambda )={\begin{vmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{vmatrix}}} の λ を A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} に置き換えても、行列式としての意味をなさなくなることが分かる。 ただし、スカラーであるところをスカラー行列（単位行列のスカラー倍）で置き換えた区分行列 ( ( a b c d ) − a I 2 − b I 2 − c I 2 ( a b c d ) − d I 2 ) = ( 0 b − b 0 c d − a 0 − b − c 0 a − d b 0 − c c 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-aI_{2}&-bI_{2}\\-cI_{2}&{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}-dI_{2}\end{pmatrix}}=\left({\begin{array}{cc|cc}0&b&-b&0\\c&d-a&0&-b\\\hline -c&0&a-d&b\\0&-c&c&0\end{array}}\right)} を考えるならば式としては有効で、この行列式は実際に 0 になるが、この行列が上記の論法で det の引数とした AIn − A でないことは明らかである。 あるいはまた、この論法が実際に成立していたと仮定した場合、それは行列式以外にもほかの任意の多重線型形式についても成立しないといけないことになる（つまり任意の線型写像は零ベクトルを零ベクトルに写すのだから、AIn − A = O（零行列）は任意の多重線型形式で 0 に写る）。そのような多重線型形式として例えばパーマネント (permanent)を使って q(λ) ≔ perm(λ⋅In − A) とすれば、同じ論法で q(A) = 0 が証明されなければならないわけだが、それは見るからに誤りである。実例として 2次の場合を書けば、 perm ⁡ ( a b c d ) = a d + b c {\displaystyle \operatorname {perm} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc} であるから、 q ( λ ) = perm ⁡ ( λ I 2 − A ) = λ 2 − ( a + d ) λ + ( a d + b c ) {\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad+bc)} であり、これに A を代入した q ( A ) = A 2 − ( a + d ) A + ( a d + b c ) I 2 = ( 2 b c 0 0 2 b c ) {\displaystyle q(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad+bc)I_{2}={\begin{pmatrix}2bc&0\\0&2bc\end{pmatrix}}} は一般には零でない。 ケイリー・ハミルトンの定理の証明の中には、数以外を成分とする行列を用いて、あたかも error 式を用いた論法にある意味似た方法をとるものがあるが、その場合でも AIn は A と等しくなく、結論も異なる所へ到達する。 n次正方行列の固有多項式： p ( t ) = t n + c n − 1 t n − 1 + ⋯ + c 1 t + c 0 {\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\dots +c_{1}t+c_{0}} において、i次の係数 ci は A の固有値たちのなす (n − i)次基本対称式に等しい。特に、定数項（0次の係数）c0 は固有値の総乗ゆえそれは A の行列式 detA に等しい。 ニュートンの公式（英語版）を用いると、基本対称式は冪和対称式（英語版）で書き表せるから、上記の ci は固有値の冪和対称式 s k = ∑ i = 1 n λ i k {\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}} たちで表されると分かるが、 s k = ∑ i = 1 n λ i k = tr ⁡ A k {\displaystyle s_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}=\operatorname {tr} A^{k}} である。したがって、ci は Ak のトレースたちで書き表せる。特に c n − 1 = tr ⁡ A {\displaystyle c_{n-1}=\operatorname {tr} A} である。 ケイリー・ハミルトンの定理により、一般の n次正則行列 A（つまり A の行列式は 0 でない）に対し、その逆行列 A−1 は A の n − 1次以下の行列多項式で表せる。実際、 p ( A ) = A n + c n − 1 A n − 1 + ⋯ + c 1 A + ( − 1 ) n det ( A ) I n = O {\displaystyle p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+(-1)^{n}\det(A)I_{n}=O} (∗) 式 (∗) において、定数項を移項すると − ( − 1 ) n det ( A ) I n = A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})} 両辺に A−1 を掛けると A − 1 = ( − 1 ) n − 1 det A ( A n − 1 + c n − 1 A n − 2 + ⋯ + c 1 I n ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n})} を得る。 一般に、係数 ci を与える公式が、完全指数型ベル多項式によって c n − k = ( − 1 ) k k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})} と与えられる。特に A の行列式は c0 であるから、トレースを含む表示（トレース恒等式（英語版））として det ( A ) = 1 n ! B n ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) n − 1 ( n − 1 ) ! s n ) {\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n})} と書ける。同様に、 A − 1 = 1 det A ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) n + k − 1 A n − k − 1 k ! B k ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 , ⋯ , ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! s k ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\dfrac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\cdots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k})} なる表示もできる。 例えば、ベル多項式の最初の方は B0 = 1, B1(x1) = x1, B2(x1, x2) = x 2 1  + x2, B3(x1, x2, x3) = x 3 1  + 3x1x2 + x3, … であるから、これらを用いて 2次の場合の固有多項式の係数 ci を具体的に計算すれば c 2 = B 0 = 1 , c 1 = − 1 1 ! B 1 ( s 1 ) = − s 1 = − tr ⁡ ( A ) c 0 = 1 2 ! B 2 ( s 1 , − 1 ! s 2 ) = 1 2 ( s 1 2 − s 2 ) = 1 2 ( ( tr ⁡ ( A ) ) 2 − tr ⁡ ( A 2 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&c_{2}=B_{0}=1,\quad c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A)\\&c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))\end{aligned}}} などとなる。ここで、c0 は行列式であるから、この場合の逆行列を A − 1 = − 1 det A ( A + c 1 I 2 ) = − 2 ( A − tr ⁡ ( A ) I 2 ) ( tr ⁡ ( A ) ) 2 − tr ⁡ ( A 2 ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}} と計算することができる。 注 ここで出てきた式 1/2((trA)2 − tr(A2)) は、cn−k に対する（ベル多項式を用いた）一般式から出たものだから、n次正方行列に対してもこれは常に λn−2 の係数 cn−2 を与えるものとなっていることが一見して分かる。ゆえに特に、3次正方行列 A に対するケイリー・ハミルトンの定理の主張を A 3 − ( tr ⁡ A ) A 2 + 1 2 ( ( tr ⁡ A ) 2 − tr ⁡ ( A 2 ) ) A − det ( A ) I 3 = O {\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))A-\det(A)I_{3}=O} と書くことができる。同様に の場合の行列式は今度は det ( A ) = 1 3 ! B 3 ( s 1 , − 1 ! s 2 , 2 ! s 3 ) = 1 6 ( s 1 3 + 3 s 1 ( − s 2 ) + 2 s 3 ) = 1 6 ( ( tr ⁡ A ) 3 − 3 tr ⁡ ( A 2 ) ( tr ⁡ A ) + 2 tr ⁡ ( A 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\&={\tfrac {1}{6}}((\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}))\end{aligned}}} と書けるが、これはそのまま一般の場合の λn−3 の係数 cn−3 を表す式として理解できる。ゆえにさらにこれを用いて 4次正方行列 A に対する定理の主張は A 4 − ( tr ⁡ A ) A 3 + 1 2 ( ( tr ⁡ A ) 2 − tr ⁡ ( A 2 ) ) A 2 − 1 6 ( ( tr ⁡ A ) 3 − 3 tr ⁡ ( A 2 ) ( tr ⁡ A ) + 2 tr ⁡ ( A 3 ) ) A + det ( A ) I 4 = O {\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}){\bigr )}A^{2}-{\tfrac {1}{6}}{\bigl (}(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3}){\bigr )}A+\det(A)I_{4}=O} と書けるし、この場合の行列式 1 24 ( ( tr ⁡ A ) 4 − 6 tr ⁡ ( A 2 ) ( tr ⁡ A ) 2 + 3 ( tr ⁡ ( A 2 ) ) 2 + 8 tr ⁡ ( A 3 ) tr ⁡ ( A ) − 6 tr ⁡ ( A 4 ) ) {\displaystyle {\tfrac {1}{24}}((\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3(\operatorname {tr} (A^{2}))^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4}))} は cn−4 を表す式に他ならない。以下より大きな次数の行列に対しても帰納的に同様の話を適用することができる。 係数 ck に対するもっと複雑な表示が、ニュートンの公式（英語版）やファデーエフ–ルヴェリエのアルゴリズム（英語版）などから導ける。係数 ck を求める別の方法として、一般の n次正方行列でどの根も 0 でないものと仮定すれば、指数函数を用いた行列式の別表示 p ( λ ) = det ( λ I n − A ) = λ n exp ⁡ ( tr ⁡ ( log ⁡ ( I n − A / λ ) ) ) {\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda )))} を用いたアルゴリズムがある。メルカトル級数を用いて書けば p ( λ ) = λ n exp ( − tr ∑ m = 1 ∞ ( A λ ) m m ) {\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \!{\bigg (}-\operatorname {tr} \textstyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }{\dfrac {({\frac {A}{\lambda }})^{m}}{m}}{\biggr )}} であるが、p(λ) は n次だから、この指数函数部分は λ−n のオーダーまで展開するだけでよい。λ の最後の負冪はケイリー・ハミルトンの定理により自動的に消える（再度、これには係数環が有理数体を含むことが必要である）。λ に対する係数たちが完全ベル多項式によって直接的に書けることは、この級数表示とベル多項式の母函数を比べれば分かる。この表示を λ に関して微分することで、一般の n に対する固有多項式の一般係数を m次行列式 c n − m = ( − 1 ) m m ! | tr ⁡ A m − 1 0 ⋯ tr ⁡ A 2 tr ⁡ A m − 2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ tr ⁡ A m − 1 tr ⁡ A m − 2 ⋯ ⋯ 1 tr ⁡ A m tr ⁡ A m − 1 ⋯ ⋯ tr ⁡ A | {\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}} として求めることができる。 ケイリー・ハミルトンの定理は A の冪の間に成り立つ（最も とは限らないが）関係を記述するものであるから、それにより A の十分大きな指数の冪を含む式の計算において、式を簡単化して A の（n 以上の指数が大きな）冪を直接計算することなく値を評価することができるようになる。 例えば二次の場合に、 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} とすれば定理より A 2 = tr ⁡ ( A ) A − det ( A ) I 2 {\displaystyle A^{2}=\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}} だから、A4 を計算したければ、順に A 3 = ( tr ⁡ ( A ) A − det ( A ) I 2 ) A = tr ⁡ ( A ) ( tr ⁡ ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − det ( A ) A = ( tr ⁡ ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr ⁡ ( A ) det ( A ) I 2 A 4 = ( ( tr ⁡ ( A ) 2 − det ( A ) ) A − tr ⁡ ( A ) det ( A ) I 2 ) A = ( tr ⁡ ( A ) 2 − det ( A ) ) ( tr ⁡ ( A ) A − det ( A ) I 2 ) − tr ⁡ ( A ) det ( A ) A = ( tr ⁡ ( A ) 3 − 2 tr ⁡ ( A ) det ( A ) ) A − ( tr ⁡ ( A ) 2 det ( A ) − det ( A ) 2 ) I 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2})A=\operatorname {tr} (A)(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\det(A)A=\color {green}{(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}}\\[5pt]A^{4}&=(\color {green}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))A-\operatorname {tr} (A)\det(A)I_{2}\color {black})A=(\operatorname {tr} (A)^{2}-\det(A))(\color {red}\operatorname {tr} (A)A-\det(A)I_{2}\color {black})-\operatorname {tr} (A)\det(A)A\\&=(\operatorname {tr} (A)^{3}-2\operatorname {tr} (A)\det(A))A-(\operatorname {tr} (A)^{2}\det(A)-\det(A)^{2})I_{2}\end{aligned}}} のように次数の低い多項式表示に帰着される。同様に A − 1 = − A − tr ⁡ ( A ) I 2 det ( A ) . {\displaystyle A^{-1}=-{\frac {A-\operatorname {tr} (A)I_{2}}{\det(A)}}.} 二次の場合には二つの項の和で書けるということが上での計算から分かる。事実として、任意の k-乗がその正方行列の次数 n に対して次数高々 n − 1 の多項式として書き表せる。これは定理を行列函数の表示に利用できることの一つの実例であり、次の節でより系統的に述べる。 解析函数が収束冪級数として f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ a k x k {\displaystyle f(x)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}} と与えられ、n次正方行列 A の固有多項式を p(x) と書くとき、上記の冪級数を十分大きな k で打ち切った多項式に対する剰余付きの除法を考えれば、 f ( x ) = q ( x ) p ( x ) + r ( x ) {\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x)} で「剰余」多項式 r(x) が 0 ≤ deg r(x) < n となる「商」解析函数 q(x) とともに一意的に決まる。x を行列 A に置き換えれば、ケイリー・ハミルトンの定理により p(A) = O だから、ある種の剰余の定理： f ( A ) = r ( A ) {\displaystyle f(A)=r(A)} が成り立つ。ゆえに、行列変数の解析函数は各行列 A ごとに n 次以下の行列多項式として書き表される。 上記除算の剰余を r ( x ) := c 0 + c 1 x + ⋯ + c n − 1 x n − 1 {\displaystyle r(x):=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}} と書けば、A の固有値 λ において評価するとき p(λ) = 0 となるから、各固有値に関して等式 f ( λ i ) = r ( λ i ) = c 0 + c 1 λ i + ⋯ + c n − 1 λ i n − 1 ( ∀ i = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}\qquad (\forall i=1,2,\cdots ,n)} を作ることができる。これは n個の線型方程式系になっているから、解くことで係数 ci を決定することができて、 f ( A ) = ∑ k = 0 n − 1 c k A k {\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}} が決まる。 固有値が重複を持つ場合、つまり適当な i ≠ j に対して λi = λj となるものが存在するとき、上記の方程式系は少なくとも2つの方程式が一致してしまうから、それにより方程式系を一意に解くことができない。そのような場合には、固有値 λ の重複度が m とすれば、p(x) の m − 1 階までの導函数がその固有値において消えるから、線型独立な方程式 d k f ( x ) d x k | x = λ = d k r ( x ) d x k | x = λ ( ∀ k = 1 , 2 , ⋯ , m − 1 ) {\displaystyle {\frac {d^{k}f(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }={\frac {d^{k}r(x)}{{\mathit {dx}}^{k}}}{\Big |}_{x=\lambda }\qquad (\forall k=1,2,\cdots ,m-1)} を新たに m − 1 本追加して、係数 ci を決めるのに必要な n 個の方程式系を得ることができる。 全ての点 (λi, f(λi)) を通る多項式を求めることは本質的に補間問題であり、ラグランジュ補間やニュートン補間法を用いて解くことができ、シルベスターの公式（英語版）が導かれる。 例1 例として、 f ( A ) = e A t ( A = ( 1 2 0 3 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}})} の多項式表現を求めよう。A の固有多項式は p(x) = x2 − 4x + 3, 固有値は λ = 1, 3 である。剰余を r(x) = c0 + c1x と置き、固有値における値 f(λ) = r(λ) を評価して、線型方程式系 et = c0 + c1, e3t = c0 + 3c1 を得る。これを解けば c0 = (3et − e3t)/2, c1 = (e3t − et)/2 を得るから、 e A t = c 0 I 2 + c 1 A = ( e t e 3 t − e t 0 e 3 t ) {\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}} となる。函数を g(A) = sin(At) に変えれば、係数は c0 = (3sin(t) − sin(3t))/2 および c1 = (sin(3t) − sin(t))/2 となるから sin ⁡ ( A t ) = ( sin ⁡ t sin ⁡ 3 t − sin ⁡ t 0 sin ⁡ 3 t ) {\displaystyle \sin(At)={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}} と求まる。 例2 同様にして、 f ( A ) = e A t ( A = ( 0 1 − 1 0 ) ) {\displaystyle f(A)=e^{At}\qquad (A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}})} を考える。A の固有多項式は p(x) = x2 + 1, 固有値は λ = ±i である。先と同様に、固有値における値に関する連立方程式 eit = c0 + ic1, e−it = c0 − ic1 を解いて、 c0 = (eit + e−it)/2 = cos(t), c1 = (eit − e−it)/2i = sin(t) を得る。この場合の e A t = ( cos ⁡ t ) I 2 + ( sin ⁡ t ) A = ( cos ⁡ t sin ⁡ t − sin ⁡ t cos ⁡ t ) {\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}}} は回転行列である。 このような利用法の標準的な例は、行列リー群（英語版）への付随するリー環からの指数写像である。これは行列指数関数 exp : g → G ; {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G;} t X ↦ e t X = ∑ n = 0 ∞ t n X n n ! = I + t X + t 2 X 2 2 + ⋯ ( t ∈ R , X ∈ g ) {\displaystyle tX\mapsto e^{tX}=\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\dfrac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots \qquad (t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}})} として与えられる。その多項式表示は SU(2) に対しては古くから知られており、パウリ行列 σ を用いて e i ( θ / 2 ) ( n