飽和集合

飽和集合（ほうわしゅうごう）は、数学（特に集合論や位相空間論の下位分野）において、集合 C {\displaystyle C} と関数 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} に対して、 C {\displaystyle C} が f {\displaystyle f} の定義域 X {\displaystyle X} の部分集合で、 f {\displaystyle f} が2点 c ∈ C {\displaystyle c\in C} と x ∈ X {\displaystyle x\in X} を同じ値に写すならば、 x {\displaystyle x} は C {\displaystyle C} に属する（つまり、 f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle f(x)=f(c)} ならば x ∈ C {\displaystyle x\in C} である）とき、 C {\displaystyle C} は f {\displaystyle f} について飽和的あるいは飽和している（saturated）という。より簡潔には、集合 C {\displaystyle C} は C = f − 1 ( f ( C ) ) {\displaystyle C=f^{-1}(f(C))} のとき、飽和しているという。 位相空間論において、位相空間 ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} の部分集合が X {\displaystyle X} の開集合の交差に等しいときに、その部分集合は飽和しているという。T1空間では任意の集合が飽和している。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} を写像とする。任意の部分集合 S ⊆ X {\displaystyle S\subseteq X} に対して、 f {\displaystyle f} による像を、集合 f − 1 ( y ) := f − 1 ( { y } ) = { x ∈ X ∣ f ( x ) = y } {\displaystyle f^{-1}(y):=f^{-1}(\{y\})=\{x\in X\mid f(x)=y\}} と定義し、 f {\displaystyle f} の原像あるいは逆像を、集合 f ( S ) := { f ( s ) ∣ s ∈ S } {\displaystyle f(S):=\{f(s)\mid s\in S\}} と定義する。 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} をとるとき、 f {\displaystyle f} の y {\displaystyle y} 上のファイバーとは、原像 f − 1 ( S ) := { x ∈ X ∣ f ( x ) ∈ S } {\displaystyle f^{-1}(S):=\{x\in X\mid f(x)\in S\}} と定義する。 集合 C {\displaystyle C} が f {\displaystyle f} の定義域 X {\displaystyle X} の部分集合で、以下の同値な条件のいずれかを満たしているとき、 C {\displaystyle C} は f {\displaystyle f} -飽和 あるいは f {\displaystyle f} について飽和しているという： C = f − 1 ( f ( C ) ) {\displaystyle C=f^{-1}(f(C))} 。 ある集合 S {\displaystyle S} が存在して C = f − 1 ( S ) {\displaystyle C=f^{-1}(S)} となる。 このような集合 S {\displaystyle S} は f ( C ) {\displaystyle f(C)} を部分集合として含む必要がある。また、等式 f ( C ) = S ∩ Im ⁡ f {\displaystyle f(C)=S\cap \operatorname {Im} f} も満たす必要がある。ここで、 Im ⁡ f := f ( X ) {\displaystyle \operatorname {Im} f:=f(X)} は f {\displaystyle f} の像を意味する。 c ∈ C {\displaystyle c\in C} と x ∈ X {\displaystyle x\in X} が f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle f(x)=f(c)} を満たすならば、 x ∈ C {\displaystyle x\in C} である。 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} について、ファイバー f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} が C {\displaystyle C} と交叉する（すなわち f − 1 ( y ) ∩ C ≠ ∅ {\displaystyle f^{-1}(y)\cap C\neq \varnothing } ）とき、このファイバーは C {\displaystyle C} の部分集合でなければならない（すなわち f − 1 ( y ) ⊆ C {\displaystyle f^{-1}(y)\subseteq C} ）。 任意の y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対して、交叉 C ∩ f − 1 ( y ) {\displaystyle C\cap f^{-1}(y)} は空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } または f − 1 ( y ) {\displaystyle f^{-1}(y)} に等しい。 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} を任意の関数とする。 S {\displaystyle S} が任意の集合のとき、その f {\displaystyle f} の元での原像 C := f − 1 ( S ) {\displaystyle C:=f^{-1}(S)} は f {\displaystyle f} -飽和集合でなければならない。特に、写像 f {\displaystyle f} の任意のファイバーは f {\displaystyle f} -飽和集合である。 空集合 ∅ = f − 1 ( ∅ ) {\displaystyle \varnothing =f^{-1}(\varnothing )} と定義域 X = f − 1 ( Y ) {\displaystyle X=f^{-1}(Y)} は常に飽和している。飽和集合の任意の合併は飽和集合であり、同じく飽和集合の任意の交叉も飽和集合である。 S {\displaystyle S} と T {\displaystyle T} を任意の集合とし、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} を任意の関数とする。 S {\displaystyle S} または T {\displaystyle T} が f {\displaystyle f} -飽和ならば、 f ( S ∩ T )   =   f ( S ) ∩ f ( T ) . {\displaystyle f(S\cap T)~=~f(S)\cap f(T).} T {\displaystyle T} が f {\displaystyle f} -飽和ならば f ( S ∖ T )   =   f ( S ) ∖ f ( T ) {\displaystyle f(S\setminus T)~=~f(S)\setminus f(T)} である。ここで特に、集合 S {\displaystyle S} について何の条件も課していないことに留意しよう。 τ {\displaystyle \tau } が X {\displaystyle X} の位相（開集合族）であり、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} が任意の写像のとき、 X {\displaystyle X} の飽和的な開集合 U ∈ τ {\displaystyle U\in \tau } 全体のなす集合族 τ f {\displaystyle \tau _{f}} は X {\displaystyle X} の位相になる。 Y {\displaystyle Y} が位相空間のときは、 f : ( X , τ ) → Y {\displaystyle f\colon (X,\tau )\to Y} が連続（resp. 商写像）であるときかつそのときに限り、同じことが f : ( X , τ f ) → Y {\displaystyle f\colon \left(X,\tau _{f}\right)\to Y} についても成り立つ。