球冠

球冠（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。 球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。 球の半径 r {\displaystyle r} 球冠の底の半径 a {\displaystyle a} 球冠の高さ h {\displaystyle h} 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 θ {\displaystyle \theta } ϕ {\displaystyle \phi } が地理座標における緯度を示す場合、 θ + ϕ = π / 2 = 90 ∘ {\displaystyle \theta +\phi =\pi /2=90^{\circ }\,} である。 h {\displaystyle h} と r {\displaystyle r} の関係は 0 ≤ h ≤ 2 r {\displaystyle 0\leq h\leq 2r} であれば問題ない。例えば、図の赤い部分は h > r {\displaystyle h>r} の球冠である。 r {\displaystyle r} と h {\displaystyle h} を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いて r {\displaystyle r} の代わりに球冠の底面の半径 a {\displaystyle a} を用いる式に書き換えることができる。 r 2 = ( r − h ) 2 + a 2 = r 2 + h 2 − 2 r h + a 2 , {\displaystyle r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2}\,,} つまり r = a 2 + h 2 2 h . {\displaystyle r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}\,.} となる。 これを式に代入すると V = π h 2 3 ( 3 a 2 + 3 h 2 2 h − h ) = 1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) , {\displaystyle V={\frac {\pi h^{2}}{3}}\left({\frac {3a^{2}+3h^{2}}{2h}}-h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})\,,} A = 2 π ( a 2 + h 2 ) 2 h h = π ( a 2 + h 2 ) . {\displaystyle A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2})\,.} となる。 以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 V s e c {\displaystyle V_{sec}} から導出することができる。 A = 3 r V s e c = 3 r 2 π r 2 h 3 = 2 π r h . {\displaystyle A={\frac {3}{r}}V_{sec}={\frac {3}{r}}{\frac {2\pi r^{2}h}{3}}=2\pi rh\,.} 直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式 V = 1 3 b h ′ {\displaystyle V={\frac {1}{3}}bh'} （ b {\displaystyle b} は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、 h ′ {\displaystyle h'} は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各 h ′ {\displaystyle h'} は定数であり、球の半径 r {\displaystyle r} と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。 V s e c = ∑ V = ∑ 1 3 b h ′ = ∑ 1 3 b r = r 3 ∑ b = r 3 A {\displaystyle V_{sec}=\sum {V}=\sum {\frac {1}{3}}bh'=\sum {\frac {1}{3}}br={\frac {r}{3}}\sum b={\frac {r}{3}}A} 体積と表面積の式は次の関数 f ( x ) = r 2 − ( x − r ) 2 = 2 r x − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}} ( x ∈ [ 0 , h ] {\displaystyle x\in [0,h]} ) を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。 表面積は A = 2 π ∫ 0 h f ( x ) 1 + f ′ ( x ) 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx} である。 f {\displaystyle f} の導関数は f ′ ( x ) = r − x 2 r x − x 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}} であるから 1 + f ′ ( x ) 2 = r 2 2 r x − x 2 {\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}} となる。よって表面積の式は A = 2 π ∫ 0 h 2 r x − x 2 r 2 2 r x − x 2 d x = 2 π ∫ 0 h r d x = 2 π r [ x ] 0 h = 2 π r h {\displaystyle A=2\pi \int _{0}^{h}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{h}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{h}=2\pi rh} となる。体積は V = π ∫ 0 h f ( x ) 2 d x = π ∫ 0 h ( 2 r x − x 2 ) d x = π [ r x 2 − 1 3 x 3 ] 0 h = π h 2 3 ( 3 r − h ) {\displaystyle V=\pi \int _{0}^{h}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{h}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{h}={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h)} となる。 半径 r 1 {\displaystyle r_{1}} と r 2 {\displaystyle r_{2}} の球が交差したときの和集合の体積は、 V = V ( 1 ) − V ( 2 ) , {\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,} ここで V ( 1 ) = 4 π 3 r 1 3 + 4 π 3 r 2 3 {\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}} は2つの独立した球の体積の合計で V ( 2 ) = π h 1 2 3 ( 3 r 1 − h 1 ) + π h 2 2 3 ( 3 r 2 − h 2 ) {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})} は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。 d ≤ r 1 + r 2 {\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}} が2つの球の中心間の距離であるとき、変数 h 1 {\displaystyle h_{1}} と h 2 {\displaystyle h_{2}} を消すと V ( 2 ) = π 12 d ( r 1 + r 2 − d ) 2 ( d 2 + 2 d ( r 1 + r 2 ) − 3 ( r 1 − r 2 ) 2 ) . {\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.} となる。 2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径 r {\displaystyle r} で高さが h 1 {\displaystyle h_{1}} と h 2 {\displaystyle h_{2}} の球冠の場合、表面積は A = 2 π r | h 1 − h 2 | , {\displaystyle A=2\pi r|h_{1}-h_{2}|\,,} であり、地理座標である緯度 ϕ 1 {\displaystyle \phi _{1}} と ϕ 2 {\displaystyle \phi _{2}} を用いると A = 2 π r 2 | sin ⁡ ϕ 1 − sin ⁡ ϕ 2 | , {\displaystyle A=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,} となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北）の表面積は、2π·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km2で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。 この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。 回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。 一般的に、 n {\displaystyle n} 次元ユークリッド空間における高さ h {\displaystyle h} で半径 r {\displaystyle r} の超球冠の n {\displaystyle n} 次元の体積は V = π n − 1 2 r n Γ ( n + 1 2 ) ∫ 0 arccos ⁡ ( r − h r ) sin n ⁡ ( t ) d t {\displaystyle V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}(t)\,\mathrm {d} t} で与えられる。ここで Γ {\displaystyle \Gamma } （ガンマ関数）は Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t} で与えられる。 V {\displaystyle V} の式は、n次元球体単位の体積 C n = π n / 2 / Γ [ 1 + n 2 ] {\displaystyle C_{n}={\scriptstyle \pi ^{n/2}/\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}} や超幾何関数 2 F 1 {\displaystyle {}_{2}F_{1}} 、正規化不完全ベータ関数 I x ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)} を用いて V = C n r n ( 1 2 − r − h r Γ [ 1 + n 2 ] π Γ [ n + 1 2 ] 2 F 1 ( 1 2 , 1 − n 2 ; 3 2 ; ( r − h r ) 2 ) ) = 1 2 C n r n I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n + 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} と表すことができ、 表面積の式 A {\displaystyle A} は、n次元球体単位の表面積 A n = 2 π n / 2 / Γ [ n 2 ] {\displaystyle A_{n}={\scriptstyle 2\pi ^{n/2}/\Gamma [{\frac {n}{2}}]}} を用いて A = 1 2 A n r n − 1 I ( 2 r h − h 2 ) / r 2 ( n − 1 2 , 1 2 ) {\displaystyle A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)} と表すことができる。ここで 0 ≤ h ≤ r {\displaystyle 0\leq h\leq r} である。 それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。 A = A n p n − 2 ( q ) , V = C n p n ( q ) {\displaystyle A=A_{n}p_{n-2}(q),V=C_{n}p_{n}(q)} , where q = 1 − h / r ( 0 ≤ q ≤ 1 ) , p n ( q ) = ( 1 − G n ( q ) / G n ( 1 ) ) / 2 {\displaystyle q=1-h/r(0\leq q\leq 1),p_{n}(q)=(1-G_{n}(q)/G_{n}(1))/2} , G n ( q ) = ∫ 0 q ( 1 − t 2 ) ( n − 1 ) / 2 d t {\displaystyle G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt} . 奇数 n = 2 k + 1 : {\displaystyle n=2k+1:} に対しては G n ( q ) = ∑ i = 0 k ( − 1 ) i ( k i ) q 2 i + 1 2 i + 1 {\displaystyle G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}} . n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } および q n = const. {\displaystyle q{\sqrt {n}}={\text{const.}}} である場合、 p n ( q ) → 1 − F ( q n ) {\displaystyle p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}})} （ F ( ) {\displaystyle F()} は標準正規分布の積分）であることが示されている。 より定量的な方法でこれを書くと、境界 A / A n = n Θ ( 1 ) ⋅ [ ( 2 − h / r ) h / r ] n / 2 {\displaystyle A/A_{n}=n^{\Theta (1)}\cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}} が与えられる。 大きな球冠（ n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } で ( 1 − h / r ) 4 ⋅ n = O ( 1 ) {\displaystyle (1-h/r)^{4}\cdot n=O(1)} ）の場合、境界は n Θ ( 1 ) ⋅ e − ( 1 − h / r ) 2 n / 2 {\displaystyle n^{\Theta (1)}\cdot e^{-(1-h/r)^{2}n/2}} と簡単にすることができる。 ポータル 数学 弓形 — 2次元の物体への類推 立体角 — n次元球冠の式に含まれる 球台 球面扇形（英語版） 球面楔形（英語版）