エントロピー最大化モデル

エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、英語: Entropy Maximising Models）は、アラン・G・ウィルソン（英語版）により導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。 発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。 発生―吸収制約モデルの場合 T i j = A i B j O i D j exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})} (1) ただし A i = 1 ∑ j = 1 n B j D j exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}B_{j}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})}}} B j = 1 ∑ i = 1 m A i O i exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}A_{i}O_{i}\exp(-\beta d_{ij})}}} 発生制約モデルの場合 T i j = A i O i W j γ exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle T_{ij}=A_{i}O_{i}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})} (2) ただし A i = 1 ∑ j = 1 n W j γ exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle A_{i}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}{W_{j}}^{\gamma }\exp(-\beta d_{ij})}}} 吸収制約モデルの場合 T i j = B j V i α D j exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle T_{ij}=B_{j}{V_{i}}^{\alpha }D_{j}\exp(-\beta d_{ij})} (3) ただし B j = 1 ∑ i = 1 m V i α exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle B_{j}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}{V_{i}}^{\alpha }\exp(-\beta d_{ij})}}} 発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。 発地を m {\displaystyle m} 個、着地を n {\displaystyle n} 個、流動数の総和を T {\displaystyle T} 、地域 i {\displaystyle i} から地域 j {\displaystyle j} への流動を T i j {\displaystyle T_{ij}} とする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただし C {\displaystyle C} は総移動費用）。 ∑ j = 1 n T i j = O i {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}T_{ij}=O_{i}} (4) ∑ i = 1 m T i j = D j {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}T_{ij}=D_{j}} (5) ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n T i j d i j = C {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij}=C} (6) ここでは T {\displaystyle T} を T i j {\displaystyle T_{ij}} に分配する、場合の数 W ( T i j ) {\displaystyle W(T_{ij})} の最大値の決定を行えばよい。このとき、 W ( T i j ) = ( T T 11 ) ( T − T 11 T 12 ) ( T − T 11 − T 12 T 13 ) ⋯ ( T − T 11 − T 12 − ⋯ − T m n − 1 T m n ) = T ! T 11 ! ( T − T 11 ) ! ⋅ ( T − T 11 ) ! T 12 ! ( T − T 11 − T 12 ) ! ⋯ ( T − T 11 − T 12 − ⋯ − T m n − 1 ) ! T m n ! 0 ! = T ! ∏ i = 1 m ∏ j = 1 n T i j ! {\displaystyle {\begin{aligned}W(T_{ij})&={\binom {T}{T_{11}}}{\binom {T-T_{11}}{T_{12}}}{\binom {T-T_{11}-T_{12}}{T_{13}}}\cdots {\binom {T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1}}{T_{mn}}}\\&={\frac {T!}{T_{11}!(T-T_{11})!}}\cdot {\frac {(T-T_{11})!}{T_{12}!(T-T_{11}-T_{12})!}}\cdots {\frac {(T-T_{11}-T_{12}-\cdots -T_{mn-1})!}{T_{mn}!0!}}\\&={\frac {T!}{\prod _{i=1}^{m}\prod _{j=1}^{n}{T_{ij}!}}}\end{aligned}}} (7) が成立する。ここで、最大値の導出のために、式(7)の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。 ln ⁡ W ( T i j ) = ln ⁡ T ! − ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ln ⁡ T i j ! {\displaystyle \ln W(T_{ij})=\ln T!-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\ln {T_{ij}!}}} (8) ここで、スターリング近似により、 T {\displaystyle T} が十分に大きいとき ln ⁡ T i j ! ≈ T i j ln ⁡ T i j − T i j {\displaystyle \ln T_{ij}!\approx T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij}} が成り立つため ln ⁡ W ( T i j ) = T ln ⁡ T − T − ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ( T i j ln ⁡ T i j − T i j ) {\displaystyle \ln W(T_{ij})=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})} (9) が導かれる。よって、 ln ⁡ W ( T i j ) {\displaystyle \ln W(T_{ij})} の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。 λ i {\displaystyle \lambda _{i}} は式(4)、 γ j {\displaystyle \gamma _{j}} は式(5)、 β {\displaystyle \beta } は式(6)のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数 L {\displaystyle L} は L = T ln ⁡ T − T − ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ( T i j ln ⁡ T i j − T i j ) + ∑ i = 1 m λ i ( O i − ∑ j = 1 n T i j ) + ∑ j = 1 n γ j ( D j − ∑ i = 1 m , T i j ) + β ( C − ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n T i j d i j ) {\displaystyle L=T\ln T-T-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(T_{ij}\ln T_{ij}-T_{ij})+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}(O_{i}-\sum _{j=1}^{n}T_{ij})+\sum _{j=1}^{n}\gamma _{j}(D_{j}-\sum _{i=1}^{m},T_{ij})+\beta (C-\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}T_{ij}d_{ij})} (10) となる。ここで、 L {\displaystyle L} の最大値を与える T i j {\displaystyle T_{ij}} は、偏微分方程式 ∂ L ∂ T i j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=0} を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。 ∂ L ∂ T i j = − ln ⁡ T i j − λ i − γ j − β d i j = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial T_{ij}}}=-\ln T_{ij}-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij}=0} (11) 式変形すると、以下の式が得られる。 T i j = exp ⁡ ( − λ i − γ j − β d i j ) {\displaystyle T_{ij}=\exp(-\lambda _{i}-\gamma _{j}-\beta d_{ij})} (12) さらに式変形すると、以下の式が得られる。 T i j = O i ∑ j = 1 n exp ⁡ ( − γ j − β d i j ) ⋅ D j ∑ i = 1 m exp ⁡ ( − λ i − β d i j ) ⋅ β d i j {\displaystyle T_{ij}={\frac {O_{i}}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}\cdot {\frac {D_{j}}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}\cdot \beta d_{ij}} (13) が得られる。このとき、 A i = exp ⁡ ( − λ i ) O i = 1 ∑ j = 1 n exp ⁡ ( − γ j − β d i j ) {\displaystyle A_{i}={\frac {\exp(-\lambda _{i})}{O_{i}}}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}\exp(-\gamma _{j}-\beta d_{ij})}}} (14) B j = exp ⁡ ( − γ j ) D j = 1 ∑ i = 1 m exp ⁡ ( − λ i − β d i j ) {\displaystyle B_{j}={\frac {\exp(-\gamma _{j})}{D_{j}}}={\frac {1}{\sum _{i=1}^{m}\exp(-\lambda _{i}-\beta d_{ij})}}} (15) とおくと、式(13)は T i j = A i B j O i D j exp ⁡ ( − β d i j ) {\displaystyle T_{ij}=A_{i}B_{j}O_{i}D_{j}\exp(-\beta d_{ij})} (16) と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。 この他、発生制約モデルの場合は式(4)・式(6)を、吸収制約モデルの場合は式(5)・式(6)を、無制約モデルの場合は式(6)を制約条件として使用することで導出できる。