AdS/CFT対応

AdS/CFT対応（AdS/CFTたいおう、anti-de Sitter/conformal field theory correspondence）は理論物理学における対応関係でヤン＝ミルズ理論に似た理論を含む共形場理論 (CFT)及び反ド・ジッター空間(anti-de Sitter; AdS)を用いた量子重力の理論を対応付けるものである。この対応関係はマルダセーナ双対(マルダセーナそうつい、Maldacena duality)あるいはゲージ／重力双対(ゲージ／じゅうりょくそうつい、gauge/gravity duality)とも呼ばれる。この対応は弦理論やM-理論のことばで定式化される。 この双対性は弦理論と量子重力の理解の主要な発展を象徴するものである。なぜならばこの双対性はある境界条件を持つ弦理論の非摂動論的(non-perturbative)な定式化であるからである。加えて双対性は強結合（英語版）の場の量子論の研究への強力なツールを提供している。この双対性の有益さの大半は、強弱双対性から来ている。つまり、場の量子論が強い相互作用である場合に、重力理論の側は弱い相互作用であるので、数学的に取り扱い易くなっている。この事実は、強結合の理論を強弱対称性により数学的に扱い易い弱結合の理論に変換することにより、原子核物理学や物性物理学での多くの研究に使われてきている。 AdS/CFT対応は量子重力におけるアイデアのホログラフィック原理の最も成功した成果といえる。ホログラフィック原理は、もともとジェラルド・トフーフトが提唱し、レオナルド・サスキンドが発展させてきたものである。AdS/CFT対応自体は1997年末フアン・マルダセナにより提起された。この対応の重要な面は、スティブン・ガブサー（英語版）、イーゴル・クレバノフ（英語版）、アレクサンドル・ポリヤコフの論文や、エドワード・ウィッテンの論文により精査された。2014にはマルダセナの論文の引用は10000件を超え、高エネルギー物理学の分野の最も多く引用される論文となっている。 現在の重力の理解は、アルバート・アインシュタインの一般相対論に基礎をおいている。1916年に定式化された一般相対論は、空間と時間、もしくは時空の幾何学のことばで重力を説明する。それは、アイザック・ニュートンやジェームズ・マックスウェルのような物理学者により開拓された古典物理学のことばで、定式化される。重力ではない他の力は、量子力学のフレームワークで説明される。20世紀の前半に多くの物理学者により発展した量子力学は、物理的な現象を確率を基礎として記述する根底から異なる方法を提供している。 量子重力は、量子力学の原理を使い重力を記述することを目的とする物理学の分野である。現在、量子重力の最も有名なアプローチは弦理論であり、弦理論のモデルは基本粒子を 0次元の点ではなく、1次元の弦（英語版）と呼ばれる対象を扱う。AdS/CFT対応では、典型的には、弦理論、もしくはその現代的な拡張であるM-理論から導出された量子重力の理論を考える。 日常の生活の中で、3次元である空間（上下、左右、前後）と 1次元の時間は見慣れている。このように、現代物理学の言葉では、4次元の時空に我々は住んでいるという。弦理論とM-理論の特別な特徴の一つに、これらの理論が数学的な整合性のため、時空に余剰次元を要求することである。弦理論の時空は 10次元であり、M-理論の時空は 11次元である。AdS/CFT対応に現れる量子重力理論は、弦理論やM-理論からコンパクト化として知られている過程により得られる。この過程により、時空が実質的に低次元である理論が得られ、余剰次元は円の中に巻き上げられる。 コンパクト化の標準的な類推として、庭の散水用のホースのような立体的なものを考えるとよい。ホースを十分に離れた所から見る限りは、1次元的に長さとしてしか見られないが、ホースに近づいてみると、2次元的な太さを持っていることに気づく。したがって、ホース内を動く蟻は2次元で動くことができる。 空間と時間へ広がっている電磁場のような物理的対象の量子力学の応用は、場の量子論として知られている。 素粒子物理学では、場の量子論は基本粒子の基礎をなし、基本的な場の励起としてモデル化される。場の量子論は、準粒子と呼ばれる粒子状の物体をモデル化するために凝縮系物性全体にも使われる。 AdS/CFT対応では、量子重力理論に加えて、共形場理論と呼ばれるある場の量子論の一種を考える。この場の理論は、特別な対称性を持ち、数学的に扱い易いタイプの場の量子論である。 このような理論は、弦理論の文脈で研究されることが多く、時空の中を伝播する弦によって形成される表面（英語版）と関連付けられる。また、統計力学の文脈で扱われることも多く、熱力学的臨界点で系をモデル化している。 AdS/CFT対応では、弦理論やM-理論を反ド・ジッター空間の背景のもとに考える。すなわち、時空の幾何学は、反ド・ジッター空間(AdS空間)と呼ばれる、アインシュタイン方程式の特定の真空解（英語版）によって記述される。 基本的事項として、反ド・ジッター空間における2点の間の距離の概念（計量）は、通常のユークリッド幾何学とは異なる。これは、右の図の円板のように見ることができる双曲空間（英語版）と密接に関連している。この図は、三角形と四角形によって円板を平面充填していることを示している。三角形と四角形をみな同じ大きさとして、内部のどの点とも円の形をした境界が無限に離れるような方法で、この円板上の2点間の距離を定義することができる。 ここで、双曲円板を積み重ね、各円板がある時刻の宇宙の状態を表していると想像しよう。結果として得られる幾何学的対象は、3次元の反ド・ジッター空間となる。これは、どの断面も元の双曲円板のコピーであるような、中身の詰まった円柱状に見える。時間はこの図の縦軸方向に沿って流れる。この円柱の側面は、AdS/CFT対応で重要な役割を果たす。双曲平面の場合は、実際に内部のどの点ともこの境界面と無限に離れるような具合で、反ド・ジッター空間は歪んでいる。 反ド・ジッター空間の重要な性質は、境界（3次元の反ド・ジッター空間の場合は円筒状）にある。境界の重要な性質の一つは、いずれの点の周りも局所的には、非重力的な物理学で用いられる時空のモデルであるミンコフスキー空間のように見えることである。 したがって、反ド・ジッター空間の境界によって与えられる「時空」における、補助的な理論を考えることが可能となる。この見方は、反ド・ジッター空間の境界を共形場理論の「時空」と見なすことができることを主張する、AdS/CFT対応の出発点である。この主張は、ある理論から別の理論に計算を翻訳する「辞書」があるという意味で、共形場理論がバルク（高次元時空）反ド・ジッター空間上の重力理論に等価であるというものである。一方の理論の対象それぞれに対して、もう一方の理論の中にも対応するものが存在する。例えば、重力理論における単独粒子は、境界理論における粒子の集まりに対応しうる。加えて、この2つの理論における予測は定量的に等しくなるため、2つの粒子が重力理論において衝突確率が 40%であるとすると、境界理論でも対応する（粒子の）集まりは 40%の衝突確率となる。 反ド・ジッター空間の境界は、反ド・ジッター空間自体よりも低次元であることに注意が必要である。例えば、上に図示した 3次元の例では、境界は 2次元の面である。AdS/CFT対応は、2つの理論間の関係が 3次元の対象とそのイメージのホログラムとの間の関係に似ていることから、よく「ホログラフィック対応」として記述される。ホログラムは 2次元ではあるが、表現している対象の 3次元の全ての情報を含む。同様に、AdS/CFT対応により関連付けられる理論は、次元の数が異なるにもかかわらず、「正確に」等価であると予想されている。共形場理論は高次元の量子重力理論の情報を持ったホログラムのように対応する。 マルダセーナの1997年の見方に従い、理論家たちは多くのAdS/CFT対応の実例を発見してきた。これらの実例は、様々な共形場理論を様々な次元の弦理論やM-理論のコンパクト化した理論と関連付けている。AdS/CFT対応で関連づけられた理論は、一般に現実の世界を表すモデルではないが、素粒子的性質や高い対称性といった性質を持ち、場の量子論や量子重力における問題を解くために有用である。 最も有名なAdS/CFT対応の例は、積空間 A d S 5 × S 5 {\displaystyle AdS_{5}\times S^{5}} の上のタイプIIB弦理論が、4次元境界を持つN=4 超対称ヤン・ミルズ理論に等価であるという例である。この例においては、重力理論が成り立つ時空は実質 5次元であり（よって、 A d S 5 {\displaystyle AdS_{5}} と書く）、追加で「コンパクト」な5次元（ S 5 {\displaystyle S^{5}} の因子よりエンコードされている）が存在する。少なくとも巨視的には、現実世界の時空は 4次元であるので、このAdS/CFT対応のバージョンは重力理論の現実的なモデルを与えない。同様に、双対理論は数多くの超対称性を前提にしているので、どの現実世界の系を表すモデルでもない。それにもかかわらず、以下に説明するように、この境界理論は、強い力の基本理論である量子色力学といくつかの共通点がある。この理論は、フェルミオンとともに量子色力学のグルーオンに似た粒子を記述する。結果として、原子核物理学、特にクォークグルーオンプラズマの研究への応用が見出されている。 ほかのAdS/CFT対応の実例は、 A d S 7 × S 4 {\displaystyle AdS_{7}\times S^{4}} 上のM-理論は、6次元 (2,0)-超共形場理論に等価であるというものである。この例では、重力理論の時空は実質 7次元である。双対性の片方に現れる(2,0)-理論は、超共形場理論（英語版）の分類によって、存在が予想されている。この理論は、古典的極限（英語版）を持たない量子力学の理論であるので、いまだあまり理解されていない。 この理論の研究には内在的な困難さがあるにもかかわらず、物理学と数学の双方にとって、様々な理由からこの理論は興味ある対象と考えられている。 さらにほかのAdS/CFT対応の実例として、 A d S 4 × S 7 {\displaystyle AdS_{4}\times S^{7}} 上のM-理論と、3次元のABJM超共形場理論が等価であるというものがある。 そこでは、重力理論は 4つの非コンパクトな次元を持ち、したがってこのAdS/CFT対応のバージョンは重力のより現実的な記述をもたらしている。 場の量子論では、典型的には摂動論のテクニックを使って様々な物理学的事象の確率計算が行われる。20世紀前半にリチャード・ファインマンらにより開拓された摂動的場の量子論は、ファインマン・ダイアグラムと呼ばれる特別な図形を使用し、計算を体系的に行う。この図形は、点様粒子の経路と粒子間の相互作用を描いているとみなせる。この定式化は、結果の予測に極めて有用である。にもかかわらず予測可能であるのは、相互作用がない場合に近いと信頼できるほどに、相互作用の強さである結合定数が小さな場合に限られる。 弦理論の出発点は、場の量子論の点様粒子も弦と呼ばれる 1次元の対象としてモデル化することができるというアイデアである。弦の相互作用は、普通の場の量子論で使われる摂動論を一般化することで、直接定義される。このことは、ファインマン・ダイアグラムにおいて、点粒子の経路を表す 1次元図形を、弦の運動を表す 2次元の曲面に置き換えることを意味する。場の量子論とは異なり、弦理論はいまだに完全な非摂動的な定義が与えられていないので、物理学者が答えたい多くの理論的な問題が未解決となっている。 弦理論の非摂動的定式化を開拓する問題は、AdS/CFT対応の研究のもともとの動機の一つであった。 上で説明したように、AdS/CFT対応により、反ド・ジッター空間の上の弦理論に等価な場の量子論の例が得られる。見方を変えると、重力場が漸近的に反ド・ジッター空間となる特別な場合（すなわち、重力場が空間の無限遠点で反ド・ジッター空間の場に近似される場合）には、このAdS/CFT対応が、弦理論の定義を与えていると見ることも可能である。弦理論で物理的に興味の対象となる量は、双対な場の量子論の量によって定義される。 1975年、スティーヴン・ホーキングは、ブラックホールは完全なブラックホールではなく、事象の地平線の近くの量子効果のため、わずかな輻射が発生していることを示唆する計算結果を発表した。最初、ホーキングの結果は、ブラックホールが情報を壊すことを示唆していたため、理論家に対しては問題の提起となった。より正確には、ホーキングの計算は基本的な量子力学における前提の一つと矛盾しているように捉えられた。この前提とは、物理系はシュレディンガー方程式に従って時間発展するというものである。この性質は通常、時間発展のユニタリ性と呼ばれる。ホーキングの計算と量子力学のユニタリ性の前提の間に一見矛盾があるように見えることは、ブラックホール情報パラドックスとして知られるようになった。 AdS/CFT対応を少なくともある程度拡張すれば、ブラックホール情報パラドックスを解決することが可能となる。なぜならば、AdS/CFT対応の文脈では、ブラックホールがどのようにして量子力学との整合して時間発展することが可能かを示すことができるからである。実際、ブラックホールをAdS/CFT対応の文脈で考えると、ブラックホールは反ド・ジッター空間の境界上の粒子の構成に対応することになる。これらの粒子は普通の量子力学の規則に従って、特にユニタリ性をもって時間発展するので、ブラックホールも量子力学の原理に対応してユニタリ性を保って時間発展するはずである。 ホーキングは2005年に、AdS/CFT対応によって、情報の保存が肯定される形でこのパラドックスが解決されたと発表し、ブラックホールが情報を保持する具体的メカニズムを提案した。 AdS/CFT対応を用いて研究されている対象の一つに、クォークやグルオンが閉じ込めから開放されたクォークグルーオンプラズマ(quark-gluon plasma)という物質がある。この物質は実験的には素粒子加速器によって、金や鉛のような重いイオンを高エネルギーで衝突させることによってごく短い時間の間発生する。そのような衝突実験においては原子核はおよそ 2 × 10 12 {\displaystyle 2\times 10^{12}} Kに至りクォークが閉じ込めから解放される。この温度はビッグバンのおよそ 10 − 11 {\displaystyle 10^{-11}} 秒後の温度とほぼ同じである。 クォークグルーオンプラズマの物理においては量子色力学が支配的寄与をなすがこの理論は数学的に取り扱いにくい。2005年、Kovtun、SonおよびStarinets（以下Kovtunら）は弦理論のことばの中で表すことによりクォークグルーオンプラズマのいくつかの側面を理解することができることを示した。 Kovtunらはまずゲージ重力対応を持つ幅広い理論がある仮定を満たす限りにおいて流体のずれ粘性 η {\displaystyle \eta } とエントロピーの体積密度 s {\displaystyle s} の比率が次のある普遍的な定数に等しくなることを示した。 η s = ℏ 4 π k {\displaystyle {\frac {\eta }{s}}={\frac {\hbar }{4\pi k}}} ここに ℏ {\displaystyle \hbar } はプランク定数であり、 k {\displaystyle k} はボルツマン定数である。さらにKovtunらはハイゼンベルクの不確定性原理及び超対称ヤンミルズ理論における計算結果を根拠にこの普遍的定数が幅広いクラスの系で η / s {\displaystyle \eta /s} の下限を与えると予想している。この予想は、ブルックヘブン国立研究所の相対論的重イオン衝突器（英語版）を用いて2008年に行われた実験により現実と無矛盾である可能性が示唆された。 クォークグルーオンプラズマのもう一つ別の重要な性質として、プラズマの中を動く非常に高いエネルギーのクォークは、たった数フェムトメートル（10-15m）動いた後に止まったり、「折れ曲がったり(quenched)」したりする。この現象はジェットクエンチング（英語版）パラメータと呼ばれる数値 q