シャピロの不等式

数学におけるシャピロの不等式（シャピロのふとうしき、英: Shapiro inequality）、またはシャピロの巡回不等式とは、ハロルド・S・シャピロ（英語版）によって1954年に提案された不等式である。 n {\displaystyle n} を自然数、 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} を非負の実数で、 x i + x i + 1 > 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle x_{i}+x_{i+1}>0\quad (i=1,2,\dots ,n)} であるとする。ただし、 x n + 1 = x 1 , x n + 2 = x 2 {\displaystyle x_{n+1}=x_{1},x_{n+2}=x_{2}} とする。このとき、 n {\displaystyle n} が 12 {\displaystyle 12} 以下の偶数 n {\displaystyle n} が 23 {\displaystyle 23} 以下の奇数 のいずれかであれば、次の不等式が成り立つ。 ∑ i = 1 n x i x i + 1 + x i + 2 ≥ n 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}} より大きな n {\displaystyle n} に対しては不等式は成り立たないが、厳密な下限 γ n 2 {\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}} が存在する。ここで γ ≈ 0.9891 … {\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots } 。 重要なケース n = 12 {\displaystyle n=12} の最初の証明は Godunova と Levin によって1976年に、もう一方の n = 23 {\displaystyle n=23} の最初の証明は Troesch によって1989年に、それぞれ数値計算に依った方法で与えられた。2002年、P.J. Bushell と J.B. McLeod は n = 12 {\displaystyle n=12} のときの解析的な証明を発表した。 γ {\displaystyle \gamma } の値は1971年にウラジーミル・ドリンフェルト（1990年のフィールズ賞受賞者）によって求められた。特に、ドリンフェルトは下限となる γ {\displaystyle \gamma } が ψ ( 0 ) {\displaystyle \psi (0)} で与えられることを示した。ここで ψ {\displaystyle \psi } は関数 f ( x ) = e − x {\displaystyle f(x)=e^{-x}} と g ( x ) = 2 e x + e x 2 {\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}} の関数的凸包である。(つまり、 ψ {\displaystyle \psi } のグラフの上側の部分は、 f {\displaystyle f} と g {\displaystyle g} のグラフの上側部分の合併の凸包になっている）。 左辺の、内部での極小値は常に ≥ n 2 {\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}} となることが1968年 Pedro Nowosad により証明された。 最初の反例は、Lighthill によって1956年に発見された、 n = 20 {\displaystyle n=20} に対するものである： x 20 = ( 1 + 5 ϵ ,   6 ϵ ,   1 + 4 ϵ ,   5 ϵ ,   1 + 3 ϵ ,   4 ϵ ,   1 + 2 ϵ ,   3 ϵ ,   1 + ϵ ,   2 ϵ ,   1 + 2 ϵ ,   ϵ ,   1 + 3 ϵ ,   2 ϵ ,   1 + 4 ϵ ,   3 ϵ ,   1 + 5 ϵ ,   4 ϵ ,   1 + 6 ϵ ,   5 ϵ ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{20}=(&1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ \\&1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon )\end{aligned}}} （ここで ϵ {\displaystyle \epsilon } は 0 に極めて近いとする。） このとき不等式の左辺は 10 − ϵ 2 + O ( ϵ 3 ) {\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})} となり、 ϵ {\displaystyle \epsilon } が十分小さければ 10 より小さくなる。 次の反例は n = 14 {\displaystyle n=14} に対するもので、1985年 Troesch により与えられた： x 14 = ( 0 , 42 , 2 , 42 , 4 , 41 , 5 , 39 , 4 , 38 , 2 , 38 , 0 , 40 ) {\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)} また、 n = 25 {\displaystyle n=25} に対して次の反例がある： x 25 = ( 32 , 0 , 37 , 0 , 43 , 0 , 50 , 0 , 59 , 8 , 62 , 21 , 55 , 29 , 44 , 32 , 33 , 31 , 24 , 30 , 16 , 29 , 10 , 29 , 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{25}=(&32,0,37,0,43,0,50,0,59,8,62,21,55,\\&29,44,32,33,31,24,30,16,29,10,29,4)\end{aligned}}} n = 2 {\displaystyle n=2} x 1 x 2 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 = 1 ≥ 2 2 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}=1\geq {\frac {2}{2}}} より自明である。 n = 3 {\displaystyle n=3} この場合をネスビットの不等式（英語版）といい、様々な証明が知られている。 正の数 a に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、 a + 1 a ≥ 2 a ⋅ 1 a = 2 {\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geq 2{\sqrt {a\cdot {\frac {1}{a}}}}=2} よって、 S 3 := x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 1 + x 3 x 1 + x 2 {\displaystyle S_{3}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}} とおくと 2 S 3 = x 3 + x 1 x 2 + x 3 + x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 1 + x 2 x 3 + x 1 + x 2 + x 3 x 3 + x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 1 + x 2 − 3 ≥ 2 + 2 + 2 − 3 = 3 {\displaystyle {\begin{aligned}2S_{3}&={\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{3}+x_{1}}}\\&+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{1}+x_{2}}}+{\frac {x_{3}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}-3\\&\geq 2+2+2-3=3\end{aligned}}} ゆえに S 3 ≥ 3 2 {\displaystyle S_{3}\geq {\frac {3}{2}}} 。 n = 4 {\displaystyle n=4} 正の数 a, b に対して、相加平均と調和平均の不等式から、 1 a + 1 b ≥ 4 a + b {\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\geq {\frac {4}{a+b}}} また、正の数 a, b, c, d に対して、相加平均と相乗平均の不等式から、 b a + c b + d c + a d ≥ 4 b a c b d c a d 4 = 4 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {d}{c}}+{\frac {a}{d}}\geq 4{\sqrt[{4}]{{\frac {b}{a}}{\frac {c}{b}}{\frac {d}{c}}{\frac {a}{d}}}}=4} ここで S 4 := x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 {\displaystyle S_{4}:={\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}} とおくと 2 S 4 = x 1 + x 2 x 2 + x 3 + x 2 + x 3 x 3 + x 4 + x 3 + x 4 x 4 + x 1 + x 4 + x 1 x 1 + x 2 + x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 − 4 + S 4 ≥ 4 + x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 − 4 + S 4 = x 3 x 2 + x 3 + x 4 x 3 + x 4 + x 1 x 4 + x 1 + x 2 x 1 + x 2 + x 1 x 2 + x 3 + x 2 x 3 + x 4 + x 3 x 4 + x 1 + x 4 x 1 + x 2 = ( x 1 + x 3 ) ( 1 x 2 + x 3 + 1 x 4 + x 1 ) + ( x 2 + x 4 ) ( 1 x 3 + x 4 + 1 x 1 + x 2 ) ≥ 4 ( x 1 + x 3 ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + 4 ( x 2 + x 4 ) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4 {\displaystyle {\begin{aligned}2S_{4}&={\frac {x_{1}+x_{2}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}+x_{3}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}+x_{4}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}+x_{1}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&\geq 4+{\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}-4+S_{4}\\&={\frac {x_{3}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{4}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{1}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\\&+{\frac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {x_{2}}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {x_{3}}{x_{4}+x_{1}}}+{\frac {x_{4}}{x_{1}+x_{2}}}\\&=(x_{1}+x_{3})\left({\frac {1}{x_{2}+x_{3}}}+{\frac {1}{x_{4}+x_{1}}}\right)+(x_{2}+x_{4})\left({\frac {1}{x_{3}+x_{4}}}+{\frac {1}{x_{1}+x_{2}}}\right)\\&\geq {\frac {4(x_{1}+x_{3})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}+{\frac {4(x_{2}+x_{4})}{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}}\\&=4\end{aligned}}} ゆえに S 4 ≥ 4 2 {\displaystyle S_{4}\geq {\frac {4}{2}}} 。 Fink, A.M. (1998). “Shapiro's inequality”. In Gradimir V. Milovanović, G. V.. Recent progress in inequalities. Dedicated to Prof. Dragoslav S. Mitrinović. Mathematics and its Applications (Dordrecht). 430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.. pp. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001  Bushell, P.J.; McLeod, J.B. (2002). “Shapiro's cyclic inequality for even n”. J. Inequal. Appl. 7 (3): 331–348. ISSN 1029-242X. Zbl 1018.26010. ftp://ftp.sam.math.ethz.ch/EMIS/journals/HOA/JIA/40a3.pdf.  They give an analytic proof of the formula for even n ≤ 12 {\displaystyle n\leq 12} , from which the result for all n ≤ 12 {\displaystyle n\leq 12} follows. They state n = 23 {\displaystyle n=23} as an open problem. Usenet discussion in 1999 (Dave Rusin's notes)