ペロンの公式

数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式（ペロンのこうしき、英: Perron's formula）とは、オスカー・ペロン（英語版、ドイツ語版）による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。 { a ( n ) } n {\displaystyle \{a(n)\}_{n}} を数論的関数（つまり複素数の列）とし、 g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s , s ∈ C {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C} } を対応するディリクレ級数とする。実数 c > 0 {\displaystyle c>0} があって、この級数は半平面 { s | R e ( s ) > c } {\displaystyle \{s|\mathrm {Re} (s)>c\}} で一様収束するものとする。 実数 x > 0 {\displaystyle x>0} に対し A ( x ) := ∑ 1 ≤ n ≤ x ′ a ( n ) {\displaystyle A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)} と定義する。ここでプライムのついた和記号は、 x {\displaystyle x} が自然数のときは最後の項に限り 1/2 を掛けて和をとることを意味する。 このときペロンの公式は、 A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( s ) x s s d s {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds} 右辺の複素積分は ∫ c − i ∞ c + i ∞ g ( s ) x s s d s {\displaystyle \int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds} と書かれることも多い。この表示のときはコーシーの主値をとっているものと解釈する。 アーベルの総和公式： ∑ 1 ≤ n ≤ M a n ϕ ( n ) = A ( M ) ϕ ( M ) − ∫ 1 M A ( x ) ϕ ′ ( x ) d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx} において ϕ ( x ) = x − s {\displaystyle \phi (x)=x^{-s}} とおき、 ∑ 1 ≤ n ≤ M a n n − s = A ( M ) M − s + s ∫ 1 M A ( x ) x − s − 1 d x {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx} M → ∞ {\displaystyle M\to \infty } とすると R e ( s ) > 0 {\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0} だから右辺第1項は消えて g ( s ) := ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x − ( s + 1 ) d x {\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx} 変数変換 x = e t {\displaystyle x=e^{t}} をして変形すると、 g ( s ) s = ∫ 0 ∞ A ( e t ) e − s t d t {\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt} この右辺はラプラス変換そのものである。よって逆ラプラス変換により A ( e t ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z e t z d z {\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz} A ( x ) = 1 2 π i lim T → ∞ ∫ c − i T c + i T g ( z ) z x z d z {\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz} ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。 リーマンゼータ関数は半平面 { s ∈ C | R e ( s ) > 1 } {\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>1\}} で ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} とディリクレ級数表示され、このとき a ( n ) ≡ 1 {\displaystyle a(n)\equiv 1} より A ( x ) = ⌊ x ⌋ {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } （床関数）となり ζ ( s ) = s ∫ 1 ∞ ⌊ x ⌋ x s + 1 d x {\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx} 一般にディリクレのL-関数に対しては、 L ( s , χ ) = s ∫ 1 ∞ A ( x ) x s + 1 d x {\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx} ここで A ( x ) = ∑ 1 ≤ n ≤ x χ ( n ) {\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)} はディリクレ指標 χ ( n ) {\displaystyle \chi (n)} の和。 他にも、Mertens関数（英語版）（1から n までのメビウス関数の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数（フォン・マンゴルト関数の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。 ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。 ∑ n = 1 ∞ a ( n ) f ( n / x ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ F ( s ) G ( s ) x s d s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds} ここで G ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a ( n ) n s {\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}} とし、 F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) x s − 1 d x {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx} はメリン変換である。 試験関数を f ( 1 / x ) = θ ( x − 1 ) {\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1)} （ θ ( x ) {\displaystyle \theta (x)} はヘヴィサイドの階段関数）と選ぶとペロンの公式が得られる。