ケイシーの定理

数学におけるケイシーの定理（ケイシーのていり、英: Casey's theorem）または一般化トレミーの定理は、アイルランドの数学者ジョン・ケイシー（英語版）にちなむユークリッド幾何学の定理である。 O {\displaystyle \,O} を半径 R {\displaystyle \,R} の円とし、 O 1 , O 2 , O 3 , O 4 {\displaystyle \,O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}} をこの順に O {\displaystyle \,O} に内接する、互いに交わらない4つの円とする。円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} に外側の共通接線を引いたときの2接点の距離を t i j {\displaystyle \,t_{ij}} とすると、次の等式が成り立つ。 t 12 ⋅ t 34 + t 14 ⋅ t 23 = t 13 ⋅ t 24 {\displaystyle \,t_{12}\cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}} 4つの円がみな1点にまで退化した場合、これはちょうどトレミーの定理になることに注意。 以下の証明は Zacharias に帰せられる。円 O i {\displaystyle \,O_{i}} の半径を R i {\displaystyle \,R_{i}} と表し、円 O {\displaystyle \,O} との内接点を K i {\displaystyle \,K_{i}} とする。各円の中心を同じ記号 O , O i {\displaystyle \,O,O_{i}} で表すことにする。 ピタゴラスの定理より、 t i j 2 = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 {\displaystyle \,t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}} この長さを点 K i , K j {\displaystyle \,K_{i},K_{j}} を用いて表したい。余弦定理を三角形 O i O O j {\displaystyle \,O_{i}OO_{j}} に用いると O i O j ¯ 2 = O O i ¯ 2 + O O j ¯ 2 − 2 O O i ¯ ⋅ O O j ¯ ⋅ cos ⁡ ∠ O i O O j {\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}} が得られる。円 O , O i {\displaystyle \,O,O_{i}} が接していることから O O i ¯ = R − R i , ∠ O i O O j = ∠ K i O K j {\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i},\,\angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j}} C {\displaystyle \,C} を円 O {\displaystyle \,O} の周上の点とする。正弦定理を三角形 K i C K j {\displaystyle \,K_{i}CK_{j}} に用いると K i K j ¯ = 2 R ⋅ sin ⁡ ∠ K i C K j = 2 R ⋅ sin ⁡ ∠ K i O K j 2 {\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}} が得られる。これより、 cos ⁡ ∠ K i O K j = 1 − 2 sin 2 ⁡ ∠ K i O K j 2 = 1 − 2 ⋅ ( K i K j ¯ 2 R ) 2 = 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 {\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}} 以上を余弦定理の式に代入すると O i O j ¯ 2 = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) ( 1 − K i K j ¯ 2 2 R 2 ) = ( R − R i ) 2 + ( R − R j ) 2 − 2 ( R − R i ) ( R − R j ) + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 = ( ( R − R i ) − ( R − R j ) ) 2 + ( R − R i ) ( R − R j ) ⋅ K i K j ¯ 2 R 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}&=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)\\&=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}\\&=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}\end{aligned}}} よって t i j = O i O j ¯ 2 − ( R i − R j ) 2 = R − R i ⋅ R − R j ⋅ K i K j ¯ R {\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}} が得られる。円に内接する四角形 K 1 K 2 K 3 K 4 {\displaystyle \,K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}} にトレミーの定理を用いて変形すると t 12 t 34 + t 14 t 23 = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 2 ¯ ⋅ K 3 K 4 ¯ + K 1 K 4 ¯ ⋅ K 2 K 3 ¯ ) = 1 R 2 ⋅ R − R 1 R − R 2 R − R 3 R − R 4 ( K 1 K 3 ¯ ⋅ K 2 K 4 ¯ ) = t 13 t 24 {\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[4pt]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[4pt]={}&t_{13}t_{24}\end{aligned}}} 4つの円が最大の円に内側から接していなくともよい。実際、これらが外側から接している場合も考えることができて、その場合は以下のように定めればよい。 円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の同じ側（いずれも内側か、または外側）から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し外側から共通接線を引いたときの接点間の距離とする。 円 O i , O j {\displaystyle \,O_{i},O_{j}} が円 O {\displaystyle \,O} の異なる側（一方が内側で他方が外側）から接しているならば、 t i j {\displaystyle \,t_{ij}} は2円に対し内側から共通接線を引いたときの（共通接線に対し2円が反対側に位置するようなときの）接点間の距離とする。 ケイシーの定理の逆もまた成り立つ。つまり、この等式が成り立っているならば、4つの円はある1つの円に共通して接する。 ケイシーの定理およびその逆は、ユークリッド幾何学の種々の命題の証明に用いることができる。例えば、フォイエルバッハの定理の最も短い証明はケイシーの定理の逆を利用するものである。