リーマン・ジーゲルの公式

数学におけるリーマン–ジーゲルの公式（リーマン・ジ－ゲルのこうしき、英: Riemann–Siegel formula）はリーマンゼータ函数の「近似函数等式」（二つのディリクレ級数の和によるゼータ函数の近似）の誤差項に対する漸近公式（英語版）である。この公式は、Siegel (1932) が1850年代からのベルンハルト・リーマンの未発表原稿において発見した。ジーゲルはこれをリーマン–ジーゲル積分公式（ゼータ函数の周回積分表示）から導いた。この積分公式はしばしばリーマン–ジーゲルの公式の値の計算に（ときには計算を劇的に速くするオドリツコ–シェーンハーゲ・アルゴリズム（英語版）と組み合わせて）用いられる。臨界帯に沿って用いるとき、公式はハーディゼータ函数（英語版）に対する公式となり、しばしば有用である。 M, N を非負整数とするとき、ゼータ函数は ζ ( s ) = ∑ n = 1 N 1 n s + γ ( 1 − s ) ∑ n = 1 M 1 n 1 − s + R ( s ) {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)} に等しい（近似函数等式）。ただし、 γ ( s ) = π 1 2 − s Γ ( s 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 − s ) ) {\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}} は函数等式 ζ(s) = γ(1 − s) ζ(1 − s) に現れる乗因子で、周回積分 R ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ ( − x ) s − 1 e − N x e x − 1 d x {\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}dx} の積分路は +∞ を基点（始点および終点）とし、絶対値高々 2πM の特異点をすべて囲む。 この近似函数等式は誤差項の大きさに対する評価を与える Siegel (1932) および Edwards (1974) では、この誤差項 R(s) の ℑm(s) に関する負冪の級数としての漸近展開を与えるために、この積分に最急降下法（英語版）を適用して、リーマン–ジーゲルの公式を導出している。応用上、s はふつう臨界帯上にとり、正整数 M, N は (2πIm(s))1/2 の近くに取る。Gabcke (1979) はリーマン–ジーゲルの公式の誤差に関してよい評価を求めている。 リーマンは ∫ 0 ↘ 1 e − i π u 2 + 2 π i p u e π i u − e − π i u d u = e i π p 2 − e i π p e i π p − e − i π p {\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}du={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}} を示した。ここで積分路は、0 と 1 の間を通過する傾き −1 の直線である (Edwards 1974, 7.9)。 彼はこれを使って、次に示すゼータ関数の積分公式を導き出した。 π − s / 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − s / 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ↙ 1 x − s e π i x 2 e π i x − e − π i x d x + π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ∫ 0 ↘ 1 x s − 1 e − π i x 2 e π i x − e − π i x d x {\displaystyle \pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,dx} Berry, Michael V. (1995), “The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders”, Proceedings of the Royal Society. London. Series A. Mathematical, Physical and Engineering Sciences 450 (1939): 439–462, doi:10.1098/rspa.1995.0093, ISSN 0962-8444, MR1349513, Zbl 0842.11030  Edwards, H.M. (1974), Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, 58, New York-London: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315.10035  Gabcke, Wolfgang (1979) (German), Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel, Georg-August-Universität Göttingen, Zbl 0499.10040, https://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8  Patterson, S.J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-33535-3, Zbl 0641.10029  Siegel, C. L. (1932), “Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie”, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80, JFM 58.1037.07, Zbl 0004.10501  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966. Gourdon, X., Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetaevaluations.html  Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Formula". mathworld.wolfram.com (英語).