レイリーの定理

レイリーの定理は、1より大きい無理数が、床関数を用いて自然数の集合を2つに分ける方法を与える定理である。 得られた集合を小さい順に並べたものをビーティ数列と呼ぶため、ビーティの定理と呼ばれることもある。 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {1 \over r}+{1 \over s}=1} を満たす無理数 r と s に対して、その倍数の整数部分である B r = { ⌊ n r ⌋ | n ∈ N } {\displaystyle B_{r}=\{\lfloor nr\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}} と B s = { ⌊ n s ⌋ | n ∈ N } {\displaystyle B_{s}=\{\lfloor ns\rfloor \,|\,n\in \mathbb {N} \}} は自然数の集合の分割である。つまり、任意の自然数は、 B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに一方にのみ常に属する。 正の無理数 r = 2 {\displaystyle r={\sqrt {2}}} とし、 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {1 \over r}+{1 \over s}=1} を満たすように s = 2 + 2 {\displaystyle s=2+{\sqrt {2}}} とする。このとき、BrとBsの元を小さい順に並べると、以下の表のようになる。 1 < r {\displaystyle 1<r} 、 s = r r − 1 {\displaystyle s={r \over r-1}} とする。まず、自然数 j とkを用い、jr と ks に注目して、両方の集合に属する自然数が存在しないことを背理法を用いて証明する。もしも両方の集合に属する自然数が存在する場合、ある j と k について、jr = ks が成立する。両辺を js で割ると、r/s = k/j であり、左辺の r/s は r s = r r r − 1 = r − 1 {\displaystyle {r \over s}={r \over {r \over r-1}}=r-1} であり、r は無理数であるため r − 1 も無理数となる。一方、右辺は j と k が自然数であるため明らかに有理数である。よって矛盾が生じるため、両方の集合に属する自然数は存在しない。 次に、j/r または k/s で表現可能な数を小さい順に並べた数列を考える。1/r から j/r の j 個の無理数が存在し、j/r 以下の k/s が ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } 個存在する。そのため、数列内の j/r の位置は j+ ⌊ j s r ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {js \over r}\right\rfloor } であり、 1 r + 1 s = 1 {\displaystyle {1 \over r}+{1 \over s}=1} より j + ⌊ j s r ⌋ = j + ⌊ j ( s − 1 ) ⌋ = ⌊ j s ⌋ {\displaystyle j+\left\lfloor {\frac {js}{r}}\right\rfloor =j+\lfloor j(s-1)\rfloor =\lfloor js\rfloor } である。 同様に、k/s は ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置する。 ⌊ n r ⌋ {\displaystyle \lfloor nr\rfloor } でも ⌊ n s ⌋ {\displaystyle \lfloor ns\rfloor } でも表せない正の整数 c があると仮定すると、j/r または k/s で表現可能な数の c 番目の要素が数列の中の ⌊ j s ⌋ {\displaystyle \lfloor js\rfloor } または ⌊ k r ⌋ {\displaystyle \lfloor kr\rfloor } 番目に位置することと矛盾するため、正の整数は必ずどちらか一方には含まれる。 したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。 また逆も成り立ち、2つの実数 r と s について同様の処理によって2つの集合を考えた時、全ての正の整数がどちらか一方にのみ含まれているならば、r と s は無理数であり、逆数の和は1である。 背理法を用いる。ある正の整数 j が B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方に含まれるとする。つまり、2つの整数 k と m が存在し、 j = ⌊ k r ⌋ = ⌊ m s ⌋ {\displaystyle j=\left\lfloor kr\right\rfloor =\left\lfloor ms\right\rfloor } を満たすとする。ここで、床関数の定義により、 j ≤ k r < j + 1 {\displaystyle j\leq kr<j+1} j ≤ m s < j + 1 {\displaystyle j\leq ms<j+1} である。非ゼロの j に対して、r と s は無理数であるため、等号は成り立たず、 j < k r < j + 1 {\displaystyle j<kr<j+1} j < m s < j + 1 {\displaystyle j<ms<j+1} である。各式をrとsで割ることにより、 j r < k < j + 1 r {\displaystyle {j \over r}<k<{j+1 \over r}} j s < m < j + 1 s {\displaystyle {j \over s}<m<{j+1 \over s}} を得る。この2式を加えると、 j < k + m < j + 1 {\displaystyle j<k+m<j+1} となるが、k と m は整数であるため、k + m も整数となり、矛盾が生じる。したがって、 B r {\displaystyle B_{r}} と B s {\displaystyle B_{s}} の両方の集合に含まれる正の整数は存在しない。 次に、どちらの集合にも含まれない j を仮定すると、 k r < j < j + 1 ≤ ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1\leq (k+1)r} m s < j < j + 1 ≤ ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1\leq (m+1)s} が成立する。j + 1 は非ゼロであり、r と s は無理数であるため、等号は成り立たず、 k r < j < j + 1 < ( k + 1 ) r {\displaystyle kr<j<j+1<(k+1)r} m s < j < j + 1 < ( m + 1 ) s {\displaystyle ms<j<j+1<(m+1)s} である。したがって、 k < j r < j + 1 r < k + 1 {\displaystyle k<{j \over r}<{j+1 \over r}<k+1} m < j s < j + 1 s < m + 1 {\displaystyle m<{j \over s}<{j+1 \over s}<m+1} を得る。この2式を加えると、 k + m < j < j + 1 < k + m + 2 {\displaystyle k+m<j<j+1<k+m+2} となり、矛盾する（そのような k と m は存在しない）。よって、全ての正の整数はどちらかの集合に含まれる。 したがって、全ての正の整数は、 B r {\displaystyle B_{r}} または B s {\displaystyle B_{s}} のどちらかに含まれ、両方に含まれることはない。