ビーティ数列

数学におけるビーティ列（ビーティれつ、英: Beatty sequence, homogeneous Beatty sequence）は正の無理数の整数倍の床関数をとることによって得られる整数列（英語版）である。ビーティ列の名称は、1926年にそれらについて著したサミュエル・ビーティ（英語版）に因む。 レイリー卿に名を因むレイリーの定理は、ビーティ列の補集合（数列に現れない正整数からなる集合）がそれ自身別の無理数で生成されるビーティ列となることを述べる。 ビーティ列はスツルム語（英語版）の生成にも用いられる。 正の無理数 r はビーティ列 ℬr ≔ ⌊r⌋, ⌊2r⌋, ⌊3r⌋, … を生成する。 r > 1 ならば s ≔ r/(r − 1) もまた正の無理数で、これら二つは等式 1/r + 1/s = 1 を自然に満足する。これらが生成する二つのビーティ列 ℬr, ℬs はビーティ列の相補対を成す。ここに「補」("complementary") は任意の正整数がこれら二つの列のうちどちらかちょうど一つに属することを意味している。 r ≔ φ を黄金比とすれば、s = r + 1 である。この場合、整数列 (⌊nr⌋) は下ワイソフ列 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, 29, … (オンライン整数列大辞典の数列 A000201) であり、補列 (⌊ns⌋) は上ワイソフ列 2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 47, … (A001950) である。これらの列はワイソフのゲーム（英語版）の最適戦略を定義し、ワイソフ配列（英語版）の定義に用いられる。 もう一つの例として、r ≔ √2, s = 2 + √2 の場合、数列は 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 24, … (A001951); 3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34, 37, 40, 44, 47, 51, 54, 58, … (A001952). あるいは r ≔ π, s = π/(π - 1) に対する列は 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 47, 50, 53, … (A022844); 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 24, 26, … (A054386). これら数列の対に関して、第一の列に現れるどの数も第二の列には現れず、またその逆も言えるということに注意せよ。 ビーティ列がその名で呼ばれるようになるのは、1926年に雑誌 American Mathematical Monthly（英語版） においてサミュエル・ビーティ（英語版） が提起した問題に由来する。この問題はおそらく、その雑誌に提案された中でも最も引用される問題の一つである。しかし、それよりもずっと以前の1894年に、同じ数列がレイリーの著書 The Theory of Sound の第二版で簡単に言及されている。 レイリーの定理（またはビーティの定理）は与えられた任意の無理数 r > 1 に対し、無理数 s > 1 が存在して二つのビーティ列 ℬr, ℬs は正整数全体の成す集合を分割する。すなわち、各正整数はこの二つの整数列のうちちょうど一方に属する 命題 m ∈ ℬr となるための必要十分条件は 1 − 1 r < [ m r ] 1 {\displaystyle 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}} なることである。ここに、[x]1 は c の小数部分 [x]1 ≔ x − ⌊x⌋ である。 証明 m ∈ B r ⟺ ∃ n , m = ⌊ n r ⌋ ⟺ m < n r < m + 1 ⟺ m r < n < m r + 1 r ⟺ n − 1 r < m r < n ⟺ 1 − 1 r < [ m r ] 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}m\in {\mathcal {B}}_{r}&\iff \exists n,m=\lfloor nr\rfloor \iff m<nr<m+1\\&\iff {\frac {m}{r}}<n<{\frac {m}{r}}+{\frac {1}{r}}\iff n-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<n\iff 1-{\frac {1}{r}}<\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}.\end{aligned}}} さらに言えば、 m = ⌊ ( ⌊ m r ⌋ + 1 ) r ⌋ {\textstyle m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor } なる条件とも同値である。 証明 m = ⌊ ( ⌊ m r ⌋ + 1 ) r ⌋ ⟺ m < ( ⌊ m r ⌋ + 1 ) r < m + 1 ⟺ m r < ⌊ m r ⌋ + 1 < m + 1 r ⟺ ⌊ m r ⌋ + 1 − 1 r < m r < ⌊ m r ⌋ + 1 ⟺ 1 − 1 r < m r − ⌊ m r ⌋ = [ m r ] 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}m=\left\lfloor \left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r\right\rfloor &\iff m<\left(\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\right)r<m+1\\&\iff {\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1<{\frac {m+1}{r}}\iff \left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}<\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor +1\\&\iff 1-{\frac {1}{r}}<{\frac {m}{r}}-\left\lfloor {\frac {m}{r}}\right\rfloor =\left[{\frac {m}{r}}\right]_{1}.\end{aligned}}} 無理数 r に付随するビーティ列 ℬr の第一階差 ⌊(n + 1)r⌋ − ⌊nr⌋ は、字母集合 {⌊r⌋, ⌊r⌋ + 1} 上の特性スツルム語（英語版）である。 ランベック–モーザーの定理（英語版）はレイリーの定理を一般化するもので、整数函数およびその逆函数から定義されるより一般の列の対が、同じ整数全体の集合の分割性質を持つことを示す。 ウスペンスキー（英語版）の定理は、正の実数α1, …, αn に対し (⌊kαi⌋)k,i≥1 が全ての整数をちょうど一つずつ含むならば n ≤ 2 であることを述べる。つまり、三つ以上のビーティ列の組に関するレイリーの定理と同等の定理は存在しない。