クーポンコレクター問題

確率論において、クーポンコレクター問題（クーポンコレクターもんだい、英語: Coupon collector's problem）とは、 「全てのクーポンを集めると、何らかの特典が得られる」ような場合に、何回クーポンを引けば良いかという問題である。「クーポンコレクター」と表現しているが、ソーシャルゲームにおけるコンプリートガチャや、（全て集めることで特典があるわけではないが）カプセルトイ・食玩・トレーディングカード等で全種類を集める場合にも適用できる問題である。日本においては食玩問題 とも呼ばれる。 具体的には次のような問題である。 壺の中に n 種類の異なるクーポンが入っている。1回の試行で壺の中から1枚クーポンを引き、引いたものと同じ種類のクーポンを壺の中に戻すものとする。n 種類（全種類）のクーポンを集めようとしたとき、 t 回以上の試行回数が必要となる確率はいくつだろうか? 別の言い方をすると次のようになる。 n 種類の異なるクーポンがあるとき、各種類のクーポンを1回以上引くまでに、何回クーポンを引けば良いか? 数学的分析によれば、必要とされる試行回数の期待値は Θ ( n log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \Theta (n\log(n))} である。例えば n = 50の場合、全50種類のクーポンを収集するには、平均で約225回の試行が必要となる。 T を全 n 種のクーポンを収集する時間とし、 ti を i - 1種のクーポンを収集した後に i 種類目のクーポンを収集する時間とする。T と ti を確率変数と考える。新しいクーポンを集める確率は pi = (n − (i − 1))/n である。従って、 ti は期待値を1/pi とする幾何分布となる。期待値の線形性により、以下が得られる。 E ⁡ ( T ) = E ⁡ ( t 1 ) + E ⁡ ( t 2 ) + ⋯ + E ⁡ ( t n ) = 1 p 1 + 1 p 2 + ⋯ + 1 p n = n n + n n − 1 + ⋯ + n 1 = n ⋅ ( 1 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n ) = n ⋅ H n {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&=\operatorname {E} (t_{1})+\operatorname {E} (t_{2})+\cdots +\operatorname {E} (t_{n})={\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\\&={\frac {n}{n}}+{\frac {n}{n-1}}+\cdots +{\frac {n}{1}}\\&=n\cdot \left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)\\&=n\cdot H_{n}\end{aligned}}} ここで、 Hn は n 番目の調和数である。 調和数の漸近解析（英語版）を使用して、以下が得られる。 E ⁡ ( T ) = n ⋅ H n = n log ⁡ n + γ n + 1 2 + O ( 1 / n ) {\displaystyle \operatorname {E} (T)=n\cdot H_{n}=n\log n+\gamma n+{\frac {1}{2}}+O(1/n)} ここで、 γ ≈ 0.5772156649 {\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649} はオイラーの定数である。 マルコフの不等式を使用して、所望の確率の上限を与えることができる。 P ⁡ ( T ≥ c n H n ) ≤ 1 c {\displaystyle \operatorname {P} (T\geq cnH_{n})\leq {\frac {1}{c}}} 確率変数 ti の独立性を用いて、分散が以下のように計算できる。 Var ⁡ ( T ) = Var ⁡ ( t 1 ) + Var ⁡ ( t 2 ) + ⋯ + Var ⁡ ( t n ) = 1 − p 1 p 1 2 + 1 − p 2 p 2 2 + ⋯ + 1 − p n p n 2 < ( n 2 n 2 + n 2 ( n − 1 ) 2 + ⋯ + n 2 1 2 ) = n 2 ⋅ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) < π 2 6 n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\operatorname {Var} (t_{1})+\operatorname {Var} (t_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (t_{n})\\&={\frac {1-p_{1}}{p_{1}^{2}}}+{\frac {1-p_{2}}{p_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {1-p_{n}}{p_{n}^{2}}}\\&<\left({\frac {n^{2}}{n^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(n-1)^{2}}}+\cdots +{\frac {n^{2}}{1^{2}}}\right)\\&=n^{2}\cdot \left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)\\&<{\frac {\pi ^{2}}{6}}n^{2}\end{aligned}}} なぜならば、 π 2 6 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 + ⋯ {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots } であるからである（バーゼル問題を参照）。 チェビシェフの不等式を使用して、所望の確率を決めることができる。 P ⁡ ( | T − n H n | ≥ c n ) ≤ π 2 6 c 2 {\displaystyle \operatorname {P} \left(|T-nH_{n}|\geq cn\right)\leq {\frac {\pi ^{2}}{6c^{2}}}} 異なる上限は、以下の計算から導き出すことができる。 Z i r {\displaystyle {Z}_{i}^{r}} を最初の r {\displaystyle r} 回の試行で i {\displaystyle i} 番目のクーポンが引けない事象を表すとする。 P [ Z i r ] = ( 1 − 1 n ) r ≤ e − r / n {\displaystyle {\begin{aligned}P\left[{Z}_{i}^{r}\right]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{r}\leq e^{-r/n}\end{aligned}}} したがって、 r = β n log ⁡ n {\displaystyle r=\beta n\log n} については P [ Z i r ] ≤ e ( − β n log ⁡ n ) / n = n − β {\displaystyle P\left[{Z}_{i}^{r}\right]\leq e^{(-\beta n\log n)/n}=n^{-\beta }} となる。 P [ T > β n log ⁡ n ] = P [ ⋃ i Z i β n log ⁡ n ] ≤ n ⋅ P [ Z 1 β n log ⁡ n ] ≤ n − β + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}P\left[T>\beta n\log n\right]=P\left[\bigcup _{i}{Z}_{i}^{\beta n\log n}\right]\leq n\cdot P[{Z}_{1}^{\beta n\log n}]\leq n^{-\beta +1}\end{aligned}}} ポール・エルデシュとレーニ・アルフレードは、 T の分布の極限定理を証明した。この結果は、ここまでに述べた境界のさらなる拡張である。 P ⁡ ( T < n log ⁡ n + c n ) → e − e − c ( n → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {P} (T<n\log n+cn)\to e^{-e^{-c}}\quad (n\to \infty )} ドナルド・J・ニューマン（英語版）とローレンス・シェップ（英語版）は、全クーポンを m 枚ずつ収集する必要がある場合として、クーポンコレクター問題を一般化した。各クーポンを m 枚収集するのにかかる時間を Tm とする。彼らは、この場合の期待値が以下を満たしていることを示した。 E ⁡ ( T m ) = n log ⁡ n + ( m − 1 ) n log ⁡ log ⁡ n + O ( n ) ( n → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {E} (T_{m})=n\log n+(m-1)n\log \log n+O(n)\quad (n\to \infty )} ここで、 m は固定されている。 m = 1のとき、上述の式が得られる。 同じ一般化のもとでエルデシュとレーニは以下を導いた。 P ⁡ ( T m < n log ⁡ n + ( m − 1 ) n log ⁡ log ⁡ n + c n ) → e − e − c / ( m − 1 ) ! ( n → ∞ ) {\displaystyle \operatorname {P} {\bigl (}T_{m}<n\log n+(m-1)n\log \log n+cn{\bigr )}\to e^{-e^{-c}/(m-1)!}\quad (n\to \infty )} フィリップ・フラジョレ（英語版）によると、不均一な確率分布の一般的なケースでは、以下のようになる。 E ( T ) = ∫ 0 ∞ ( 1 − ∏ i = 1 n ( 1 − e − p i t ) ) d t {\displaystyle E(T)=\int _{0}^{\infty }{\big (}1-\prod _{i=1}^{n}(1-e^{-p_{i}t}){\big )}dt} Watterson estimator 誕生日問題 コンプリートガチャ 食玩