角分解能

角分解能（かくぶんかいのう、英:Angular resolution）とは、光学望遠鏡や電波望遠鏡、顕微鏡、カメラやヒトの眼といった画像形成光学系（英語版）が物体の細かい部分を区別する能力のことであり、得られる画像の解像度を決定づける主要な要因である。光における光学や電波におけるアンテナ理論、音波における音響学の中で扱われる。 分解という言葉を使うため混乱が生じるが、光学系が高い解像度・高い角分解能を持つと言われるとき、それは近接した物体間の知覚的な距離や実際の角距離が小さいことを表す。この特性を定量化する量であるレイリー基準における θ {\displaystyle \theta } は、高分解能を持つ光学系ほど小さくなる。 非常に近い類語である空間分解能は空間の測定に関する精度を表し、撮像装置の角分解能と直接繋がっている。レイリー基準の式により、撮像装置で分解できる最小の空間的広がりは、開口幅に対する光の波長の比率で決まる回折限界で制限される。そのため、特に天文学における観測機器では、望遠レンズや光学望遠鏡は大きな口径を必要とし、観測波長の長い電波望遠鏡はさらに大きな口径を要する。 「解像力」とは、撮像装置が小さな角距離にある2つの物体を分離する（つまり、別の物体として見分ける）、または光学装置が遠方にある互いに近接した物体を見分ける能力を言う。光学分解能、または最小分解可能距離という言葉は画像の中で識別可能な物体の最小距離を指すが、これらの言葉は顕微鏡や望遠鏡のユーザーから、解像力を指す言葉として大雑把に使われている。以下で示すように、回折限界による分解能はレイリー基準によって、2点間で互いの最大値がもう一方の回折パターンの0次の最小値にあるときの2点間の角距離で定義される。科学的解析では一般に分解能という言葉は、光学に限らずあらゆる装置が測定し記録するあらゆる変数についての精度を指して使われる。 撮像装置の解像度は収差や回折により引き起こされる画像のぼやけにより制限される。この2つの原因は起源の異なる関連のないものである。収差は光学によって幾何学的に説明でき、光学系の質を上げることで解決することができる。一方で回折は光の波動性から起こるもので、光学装置が有限の口径を持っていることで必然と起こる。レンズの円形開口は単一スリット実験の2次元に拡張したものと捉えることができる。レンズを通過する光は、その出口での透過光の波面が球状か平面とみなされる場合、自身と干渉しリング状の回折パターン（エアリーディスク）を作り出す。 収差と回折の相互作用は点拡がり関数（PSF）で特徴づけることができる。狭い開口を持つレンズではPSFは回折が支配的となり、この場合光学系の角分解能は開口部の直径と光の波長から、レイリー卿によって定義されたレイリー基準によって推定できる。この式では2つの点は、右の画像で見えるように一方の画像のエアリーディスクの最大となる中心ともう一方のエアリーディスクの最初の最小位置が一致するとき分解できていると見なされる。画像一番下の右側はレイリー限界を示し、一方の点源の中央の最大値がもう一方の最小値部分の外にあるようにも見えるが、定規を使って確かめるとこの2つが交わっていることがわかる。この距離が大きければ2点はよく分離され、小さければ分離できないと見なされる。レイリー卿はこの基準を同じ強度の光源について適用している。 円形開口の回折を考えるとき、透過光は θ ≈ 1.22 λ D ( sin ⁡ θ ≈ θ ) {\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad (\sin \theta \approx \theta )} と変換される。 θ {\displaystyle \theta } が角分解能をラジアンで表した量で、 λ {\displaystyle \lambda } が光の波長、 D {\displaystyle D} が開口部の直径である。1.22という値は回折パターンのエアリーディスク中心の最初の暗環の位置から計算され、正確には1.21966989...でありこれは第1種ベッセル関数の最初のゼロ値 J 1 ( x ) {\displaystyle J_{1}(x)} を円周率で割ったものである。 正式なレイリー基準はそれ以前にイギリスの天文学者ウィリアム・ドーズが等光二重星を使い人間の目で経験的に求めていた経験則に近かった。この経験則は θ = 4.56 D {\displaystyle \theta ={\frac {4.56}{D}}} （ θ {\displaystyle \theta } は秒角、 D {\displaystyle D} はインチ単位）と表され、レイリー基準よりは僅かに小さく求まった。エアリーディスクをPSFとして使った計算では、このドーズ限界（英語版）では2点の最大値の中間点は5%しか暗くならないが、レイリー基準では26.3%の落ち込みがある。PSFの逆畳み込み手法といった現在のデジタル画像処理技術によって、2点間の分離は計算上の角分解能よりも小さく行える。 小角度近似（英語版）を使うことで、物体までの距離にラジアン単位の角分解能を掛けることで、角分解能 θ {\displaystyle \theta } を空間分解能 Δ ℓ {\displaystyle \Delta \ell } に変換できる。顕微鏡ではこの距離は対物レンズの焦点距離に近くなり、レイリー基準は Δ ℓ ≈ 1.22 f λ D {\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}} と表される。これは画像平面上でコリメートされた光のビームを集束できる最小点の半径に相当し、そのレンズで分解できる最小物体のサイズに相当する。この大きさは波長 λ {\displaystyle \lambda } に比例するため、たとえば青色光は赤色の光よりも小さな点に集束できる。レンズが有限範囲の光線（レーザー光など）を集束させる場合、上式の D {\displaystyle D} はレンズ直径ではなく光線の直径に相当する。つまり、空間分解能はビーム径に反比例するため、狭い幅の光線よりも広がったビームのほうがより小さな点に集束できることになる。これはレンズのフーリエ特性に由来する。 同様の結果は無限遠の被写体を撮影する小型撮像センサーにも適用できる。角分解能は、イメージセンサーまでの距離 f {\displaystyle f} を用いてセンサー平面上の空間分解能に変換でき、これは以下のように画像の空間分解能とF値である f / # {\displaystyle f/\#} との関係と関連する。 Δ ℓ ≈ 1.22 f λ D = 1.22 λ ⋅ ( f / # ) {\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)} これはエアリーディスク半径であるため、分解能は直径によってより適切に推定でき、 Δ ℓ ≈ 2.44 λ ⋅ ( f / # ) {\displaystyle \Delta \ell \approx 2.44\lambda \cdot (f/\#)} と表される。 角分解能よりも小さな角距離でしか離れていない点状光源は分離できない。単一の光学望遠鏡の角分解能は理論式上は1秒角を切ることも多いが、実際はシーイングなどの大気の影響でこの分解能を達成するには補償光学といった特殊な装置が必要になる。 単一望遠鏡の角分解能 R {\displaystyle R} は以下の式で概算できる。 R = λ D {\displaystyle R={\frac {\lambda }{D}}} ここで λ {\displaystyle \lambda } は観測波長、 D {\displaystyle D} は望遠鏡の対物レンズ・主鏡の有効口径、 R {\displaystyle R} はラジアン単位である。たとえば波長580 nmの黄色光の場合、0.1秒角の角分解能を実現するには1.2 mの口径を要する。角分解能より大きな光源を拡張ソース・拡散ソース・円盤像ソースと呼ばれている。それより小さい場合は点源と呼ばれる。この式に波長562 nmを代入したのがドーズ限界の式である。 天文学において、最高レベルの角分解能は天文干渉計（英語版）と呼ばれる複数望遠鏡の配列（アレイ）による観測装置で達成でき、その角分解能は可視光で0.001秒角、X線ではより高い分解能が実現できる。開口合成をうまく機能させるには、多数の望遠鏡を2次元平面上に求められる解像度の0.25倍よりも優れた位置精度で配置する必要がある。 干渉計アレイの角分解能 R {\displaystyle R} は以下の式で概算できる。 R = λ B {\displaystyle R={\frac {\lambda }{B}}} ここで λ {\displaystyle \lambda } は観測波長、 B {\displaystyle B} は基線長・ベースラインと呼ばれる望遠鏡間の最大距離、 R {\displaystyle R} はラジアン単位である。個々の望遠鏡の口径自体は分解能を左右しない。角分解能より大きな光源を拡張ソースなどと呼び、それより小さい場合は点源と呼ぶのは単一望遠鏡の場合と同じである。たとえば波長580 nmの黄色光の場合、120m四方の空間に複数の望遠鏡を145 nmの精度で配置すれば、1.2 mの望遠鏡でも単一の場合より100倍優れた1ミリ秒角の角分解能が実現できる。 顕微鏡の場合、解像度R（望遠鏡とは違い、角度だけではなく距離で測定される）は開口角 α {\displaystyle \alpha } と呼ばれる量に以下のように依存する。 R = 1.22 λ N A condenser + N A objective {\displaystyle R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{condenser}}+\mathrm {NA} _{\text{objective}}}}} 、ここで N A = n sin ⁡ θ {\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta } . ここでNAは開口数、 θ {\displaystyle \theta } はレンズの直径と焦点距離に依存する量である開光角度（開口角） α {\displaystyle \alpha } の半分に相当する角度、 n {\displaystyle n} はレンズと対象物の間の媒質の屈折率であり、 λ {\displaystyle \lambda } は観察に用いる光の波長、つまり試料に当てて照らす光や試料が発する（蛍光顕微鏡の場合）光の波長である。したがって、最大の分解能を得るには対物レンズとコンデンサーレンズ両方の開口数を高くする必要がある。両方の開口数が同じ場合は上の式は R = 0.61 λ N A ≈ λ 2 N A {\displaystyle R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}} と簡略化できる。 実用上の θ {\displaystyle \theta } の限界は70度ほどである。乾いた対物レンズやコンデンサレンズの開口数は最大で0.95だが、より高解像度を出すために使われる油浸レンズでは、屈折率1.52の油浸用オイルを用いれば開口数を1.45まで上げることができる。この限界により、可視光を用いた光学顕微鏡の分解能は200 nmほどであり、この値は最も可視光帯で波長の短い光が紫色光（ λ ≈ 400 n m {\displaystyle \lambda \approx 400\,\mathrm {nm} } ）であることを上の式に適用して R = 1.22 × 400 nm 1.45   +   0.95 = 203 nm {\displaystyle R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}} と、200 nmであると求まる。 油浸レンズを対物レンズに使うと被写界深度が浅くなり、作動できる距離も短いため実用するのは簡単ではない。また細菌などの対象が液中に漏れないように注意する必要がある。そのため、非常に薄い（0.17 mm）カバーガラスを使ったり、倒立顕微鏡の場合は底が非常に薄い専用のペトリ皿を使う必要がある。 しかし、超解像顕微鏡法と呼ばれる技術によりこの理論的限界を下回る分解能が実現している。この手法の例として走査型近接場光顕微鏡や誘導放出抑制顕微鏡法と呼ばれるものがあり、これらの手法により30 nmほどの対象でも見分けることができるようになっている。さらに光活性化局在性顕微鏡法と呼ばれる手法では、このような大きさの構造を解像できるだけでなく、z軸方向の情報も得ることができ三次元構造の観察が可能である。 角直径 ビーム径（英語版） ドーズ限界（英語版） 回折限界 地上サンプル距離 解像度 光学分解能（英語版） スパローの回折限界（英語版） 視力