ミンコフスキーの定理

ミンコフスキーの定理は凸体の中の格子点の存在に関する定理で、原点に関して対称な凸集合は体積が十分大きいとき、必ず原点以外の格子点を有することを主張している。ヘルマン・ミンコフスキーによって証明され、二次形式の研究に用いられた。 凸体と格子点の関係に関する研究は数の幾何学へと発展し、二次形式のほか、代数体の単数やイデアル類群の性質の研究、ディオファントス近似など数論の様々な領域に応用されている。 L を R n 上の格子とし、 d (L) を L に対応する行列の行列式とする。 Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合は、その内部に原点とは異なる L 上の点を有する。 特に体積が 2n より大きい、原点に関して対称な Rn 内の凸集合は必ず原点とは異なる整数点を有する。 R n の部分集合 S に対して V (S) を S の体積とする。 まず、次のBlichfeldtの定理（英語版）から証明する。 S を体積が d (L) より大きな凸集合とすると、S は L を法として互いに合同な2点をもつ。つまり v 1 − v 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in L\backslash \{0\}} となる v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。これは次のように証明できる。 L の基底 u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}} をとり F = { a 1 u 1 + a 2 u 2 + ⋯ + a n u n , 0 ≤ a i < 1 } {\displaystyle F=\{a_{1}\mathbf {u} _{1}+a_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {u} _{n},0\leq a_{i}<1\}} をこの基底に対する L の基本領域とすると V ( F ) = d ( L ) {\displaystyle V(F)=d(L)} が成り立つ。 v = b 1 u 1 + b 2 u 2 + ⋯ + b n u n {\displaystyle \mathbf {v} =b_{1}\mathbf {u} _{1}+b_{2}\mathbf {u} _{2}+\cdots +b_{n}\mathbf {u} _{n}} に対して f ( v ) = ∑ i = 1 n ( b i − ⌊ b i ⌋ ) u i {\displaystyle f(\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-\lfloor b_{i}\rfloor )\mathbf {u} _{i}} を対応させる。 f は R n から F への写像で、 f ( v ) − v = ∑ i = 1 n ⌊ b i ⌋ u i ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v} )-\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}\lfloor b_{i}\rfloor \mathbf {u} _{i}\in L} が成り立つ。さらに f は平行移動の貼り合わせであらわされるから、 f が S 上で単射ならば V ( f ( S ) ) = V ( S ) {\displaystyle V(f(S))=V(S)} となるはずである。しかし f の像は F に含まれるから V ( S ) > d ( L ) = V ( F ) ≥ V ( f ( S ) ) {\displaystyle V(S)>d(L)=V(F)\geq V(f(S))} となる。よって f は S 上単射ではないので f ( v 1 ) = f ( v 2 ) {\displaystyle f(\mathbf {v} _{1})=f(\mathbf {v} _{2})} となる点 v 1 , v 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in S} がとれる。 f ( v 1 ) − v 1 , f ( v 2 ) − v 2 ∈ L {\displaystyle f(\mathbf {v_{1}} )-\mathbf {v_{1}} ,f(\mathbf {v_{2}} )-\mathbf {v_{2}} \in L} だから v 1 , v 2 ∈ S , v 2 − v 1 = r 2 − r 1 ∈ L {\displaystyle \mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in S,\mathbf {v_{2}} -\mathbf {v_{1}} =\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} \in L} である。 S を Rn 内の、原点に関して対称で体積が 2 n d ( L ) {\displaystyle 2^{n}d(L)} より大きい凸集合とする。 T = 1 2 S = { 1 2 v : v ∈ S } {\displaystyle T={\frac {1}{2}}S=\{{\frac {1}{2}}\mathbf {v} :\mathbf {v} \in S\}} とおく。 V ( S ) > 2 n d ( L ) {\displaystyle V(S)>2^{n}d(L)} だから V ( T ) = V ( S ) / 2 n > d ( L ) {\displaystyle V(T)=V(S)/2^{n}>d(L)} なので Blichfeldtの定理より w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle \mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}} となる2点 w 1 , w 2 ∈ T {\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in T} がとれる。 v 1 = 2 w 1 , u = 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=2\mathbf {w} _{1},\mathbf {u} =2\mathbf {w} _{2}\in S} が成り立ち、 S は原点に関して対称だから v 2 = − u = − 2 w 2 ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=-\mathbf {u} =-2\mathbf {w} _{2}\in S} も成り立つ。 S は凸集合なので v = 1 2 ( v 1 + v 2 ) ∈ S {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})\in S} である。一方で 1 2 ( v 1 + v 2 ) = w 1 − w 2 ∈ L ∖ { 0 } {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})=\mathbf {w} _{1}-\mathbf {w} _{2}\in L\backslash \{0\}} であるから S は原点とは異なる L 上の点 v {\displaystyle \mathbf {v} } を有する。 ミンコフスキーの定理の系として、一次形式に関する次の定理が導かれる。 l i = ∑ j = 1 n a i j x j ( i = 1 , 2 , … , n ) {\displaystyle l_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}(i=1,2,\ldots ,n)} を n =r +2s 個の一次形式とし、そのうち l1, l2, ..., lr は実係数を持ち、 l r +j と l r +s +j ( j = 1, 2, ..., s ) は互いに共役なものとする。さらに係数の行列式 Δ ≠ 0 とする。 ここで k1, k2, ..., kr +s が実数で k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 2 π ) s | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}|\Delta |} を満たすならば、 | l i | ≤ k i ( i = 1 , 2 , … , r + s ) {\displaystyle |l_{i}|\leq k_{i}(i=1,2,\ldots ,r+s)} となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。 また k1, k2, ..., kr +s が実数で k 1 k 2 ⋯ k r ( k r + 1 k r + 2 ⋯ k r + s ) 2 ≥ ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle k_{1}k_{2}\cdots k_{r}(k_{r+1}k_{r+2}\cdots k_{r+s})^{2}\geq \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を満たすならば、 ∏ i = 1 n | l i | ≤ | Δ | {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}|l_{i}|\leq |\Delta |} となる整数 x1, x2, ..., xn が存在する。 ミンコフスキーはこの定理を二次形式の簡約化に用いた。さらに、整数を二次形式によって現す問題にも応用されている。 たとえばフェルマーの二平方定理は円盤内のある格子上の点の問題に、ラグランジュの四平方定理は4次元空間の超球体内のある格子上の点の存在に帰着させることで、ミンコフスキーの定理を用いて証明することができる。 ミンコフスキーの定理の系から、r 個の実共役と 2s 個の（つまり s 対の共役対からなる）複素共役をもつ n =r +2s 次の、判別式 Δ をもつ代数体の イデアル類群のそれぞれの類はノルムが ( 4 π ) s n ! n n | Δ | {\displaystyle \left({\frac {4}{\pi }}\right)^{s}{\frac {n!}{n^{n}}}|\Delta |} を超えない（整）イデアルを含むことが従う。これをミンコフスキー限界という。 上記のようにミンコフスキーの定理からフェルマーの二平方和定理を証明することができる。 実際 p を 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} の形の素数とすると t 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle t^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} となる t がとれる（p を法として位数4の剰余類から数をひとつ選べばよい）。 y ≡ t x ( mod p ) {\displaystyle y\equiv tx{\pmod {p}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 全体は ( 1 , t ) , ( 0 , p ) {\displaystyle (1,t),(0,p)} を基底とする格子 L と一致し、 d ( L ) = p {\displaystyle d(L)=p} が成り立つ。 原点を中心とする半径 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} の開円盤は面積 2 π p > 4 p {\displaystyle 2\pi p>4p} の、原点に関して対称な凸集合であるからミンコフスキーの定理より、原点とは異なる L の格子点 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} を含む。 b ≡ t a ( mod p ) {\displaystyle b\equiv ta{\pmod {p}}} であるから a 2 + b 2 ≡ a 2 ( 1 + t 2 ) ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}\equiv a^{2}(1+t^{2})\equiv 0{\pmod {p}}} である。一方 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} は原点ではなく、かつ原点からの距離は 2 p {\displaystyle {\sqrt {2p}}} より小さいから 0 < a 2 + b 2 < 2 p {\displaystyle 0<a^{2}+b^{2}<2p} である。よって p = a 2 + b 2 {\displaystyle p=a^{2}+b^{2}} が成り立ち、 p は2つの平方数の和であらわされる。