算術幾何数列

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、仏: suite arithmético-géométrique; 英: arithmetico–geometric sequence）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する。 ここでは任意の可換体 K をひとつ固定する（例えば実数体 ℝ や複素数体 ℂ）。K に値をとる数列 ( u n ) n ∈ N {\displaystyle (u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} が算術幾何数列であるとは、K の適当な元 a, b が存在して、その数列が以下の漸化式 u n + 1 = a u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} を満足するときに言う。 注意 途中の番号から始まる列 (un)n≥n0 は、vp = un0+p と置くことにより、常に (vp)p∈ℕ なる形に書き直せる。そのような列 (un) が n ≥ n0 において上記の漸化式を満たすことと、(vp)p∈ℕ が算術幾何的であることとは同値になる。 算術幾何数列は二階線型回帰数列で、斉次線型漸化式 u n + 1 = ( a + 1 ) u n − a u n − 1 {\textstyle u_{n+1}=(a+1)u_{n}-au_{n-1}} の解として与えられる。 算術幾何数列の「公差」b は以下の式で与えられる: b = u n 2 − u n − 1 u n + 1 u n − u n − 1 . {\displaystyle b={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}.} 算術幾何数列の階差数列 w n = u n + 1 − u n {\textstyle w_{n}=u_{n+1}-u_{n}} は、公比 a の幾何数列である。 算術幾何数列の部分和の列 Sn は三階の線型回帰数列で S n + 1 = ( a + 2 ) S n − ( 2 a + 1 ) S n − 1 + a S n − 2 {\displaystyle S_{n+1}=(a+2)S_{n}-(2a+1)S_{n-1}+aS_{n-2}} を満足する。 部分和の列が算術幾何数列を成すような数列は、それ自身が幾何数列を成す。 a = 1 のとき、漸化式は、 u n + 1 = u n + b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+b\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となり、これは算術数列の漸化式であるから、一般項は u n = u 0 + n b ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=u_{0}+nb\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} となる。 r = b 1 − a {\textstyle r={\frac {b}{1-a}}} と置けば、一般項は u n = a n ( u 0 − r ) + r ( ∀ n ∈ N ) {\displaystyle u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r\quad (\forall n\in \mathbb {N} )} で与えられる（a = n = 0 のときは 00 = 1 と約束する）。 平行移動による証明 まず付随する函数 x ↦ ax + b に対し f(r) = r を満たす点 r（f の不動点）を求めると、 a r + b = r ⟺ r = b / ( 1 − a ) . {\displaystyle ar+b=r\iff r=b/(1-a).} と書ける。ここで v n = u n − r {\textstyle v_{n}=u_{n}-r} と置けば、漸化式 un + 1 = aun + b は vn + 1 + r = a(vn + r) + b から v n + 1 = a v n + a r + b − r = a v n {\displaystyle v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}} となり、数列 (vn) は公比 a の幾何数列を成す。したがって u n = v n + r = a n v 0 + r = a n ( u 0 − r ) + r . {\displaystyle u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r.} 階差による証明 一階の差分 wn = un + 1 – un をとれば、算術幾何数列の線型漸化式は w n + 1 = u n + 2 − u n + 1 = ( a u n + 1 + b ) − ( a u n + b ) = a ( u n + 1 − u n ) = a w n {\displaystyle w_{n+1}=u_{n+2}-u_{n+1}=(au_{n+1}+b)-(au_{n}+b)=a(u_{n+1}-u_{n})=aw_{n}} となり、数列 (wn) は公比 a の幾何数列で、初項 w 0 = u 1 − u 0 = a u 0 + b − u 0 = ( a − 1 ) u 0 + b {\textstyle w_{0}=u_{1}-u_{0}=au_{0}+b-u_{0}=(a-1)u_{0}+b} を持つ。したがって、幾何級数の部分和の公式から、任意の自然数 n に対して（n = 0 のときは空和は零とする規約を用いて）、 ∑ 0 ≤ k < n w k = w 0 a n − 1 a − 1 = ( a − 1 ) u 0 + b a − 1 ( a n − 1 ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<n}w_{k}=w_{0}{\frac {a^{n}-1}{a-1}}={\frac {(a-1)u_{0}+b}{a-1}}(a^{n}-1)} と書ける。これは r = b/(1 – a) と置けば u n − u 0 = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) {\textstyle u_{n}-u_{0}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)} だから、所期の式 u n = ( u 0 − r ) ( a n − 1 ) + u 0 = a n ( u 0 − r ) + r {\displaystyle u_{n}=(u_{0}-r)(a^{n}-1)+u_{0}=a^{n}(u_{0}-r)+r} に達する。 定義節の注意に従えば、より一般に: u n = a n − n 0 ( u n 0 − r ) + r ( ∀ n 0 ∈ N , ∀ n ≥ n 0 ) {\displaystyle u_{n}=a^{n-n_{0}}(u_{n_{0}}-r)+r\quad (\forall n_{0}\in \mathbb {N} ,\,\forall n\geq n_{0})} と書ける。 a ≠ 1 で、常に r = b/(1 – a) と書くことにすれば、最初の n 項（第 0-項から第 (n − 1)-項まで）の和は S n = ∑ k = 0 n − 1 u k = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr} で与えられる。 証明 前節の一般項の式に従えば、幾何数列の部分和の公式も用いて、 ∑ k = 0 n − 1 u k = ∑ k = 0 n − 1 ( a k ( u 0 − r ) + r ) = ( u 0 − r ) ( ∑ k = 0 n − 1 a k ) + n r = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}(a^{k}(u_{0}-r)+r)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}} これを用いて、連続する項の和も計算できる。上と同じ仮定の下 n > p として ∑ k = p n − 1 u k = S n − S p = ( u 0 − r ) a p − a n 1 − a + ( n − p ) r {\displaystyle \sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{0}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r} となる。 一般項および幾何数列の収束条件から、算術幾何数列の極限も a の値（必要ならば u0 – r の符号も）によって決定することができる（a ≠ 1 のとき r = b/(1 – a) と置いたことに注意）。 |a| < 1 のときは、数列の極限は初期値が何であろうと r である。つまり、この場合の収束性は、完全に初期条件に無関係である。このような特徴は（ロジスティック列のような）非線型漸化式が極めて初期条件に鋭敏であることと対照である。マルコフ鎖において、これは鎖が安定鎖に収束することを示す。 算術幾何数列は、ある種の人口変動（変動率が一定）のモデリングとして現れる。例えば、常に 10 の流入と 5% の流出があることを u n + 1 = u n + 10 − 5 100 × u n {\textstyle u_{n+1}=u_{n}+10-{\frac {5}{100}}\times u_{n}} と書ける。 算術幾何数列は返済計画（フランス語版）にも現れる。資本 C を月率 t で借りて月額 M で分割払いする返済計画を考えると、n か月後に残った借金 Rn の成す数列 (Rn) は漸化式 R n + 1 = ( 1 + t ) R n − M {\textstyle R_{n+1}=(1+t)R_{n}-M} を満たし、算術幾何数列を成す。 算術幾何数列は二状態マルコフ鎖にも現れる。推移確率行列（英語版） を ( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}} とすると、関係式 ( p n + 1 , q n + 1 ) = ( p n , q n ) ( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle (p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}} から p n + 1 = a p n + ( 1 − b ) q n {\textstyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}} が得られ、一方 q n = 1 − p n {\textstyle q_{n}=1-p_{n}} であったから、代入して p n + 1 = ( a + b − 1 ) p n + 1 − b {\displaystyle p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b} を得る。