昇降演算子

量子力学において、昇降演算子（しょうこうえんざんし、英: ladder operator）とは、演算子として表現される物理量の固有状態を、異なる固有値を持つ別の固有状態に写す演算子。特に固有値を増加させる演算子は上昇演算子（じょうしょうえんざんし、英: raising operator）、固有値を減少させる演算子は下降演算子（かこうえんざんし、英: lowering operator）と呼ばれる。ある物理量に対応する昇降演算子を構成することで、全ての固有状態を調べ上げることが可能となる。昇降演算子が応用される代表的な例としては、量子力学における角運動量、アイソスピン、調和振動子が挙げられる。昇降演算子を用いて、固有状態を求めることは、交換関係で規定されるリー代数の既約表現を構成することに対応する。特に最高ウェイト状態を用いたリー代数の表現は、昇降演算子と密接に関連する。一方、位置座標によって、状態ベクトルを座標表示すれば、昇降演算子は同種の系列である特殊関数同士を結びつける。こうした特殊関数に作用する昇降演算子はリー代数、リー群の表現論により、統一的に扱うことができる。 2つの演算子X、Nが次の交換関係を満たすと仮定する。 [ N , X ] = c X {\displaystyle [N,X]=cX} ここで c はスカラー量。  | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle }  を演算子 N の固有状態とする。 N | n ⟩ = n | n ⟩ {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle } このとき演算子 X が  | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle }  作用すると固有値を c だけシフトする。 N X | n ⟩ = ( X N + [ N , X ] ) | n ⟩ = X N | n ⟩ + [ N , X ] | n ⟩ = X n | n ⟩ + c X | n ⟩ = ( n + c ) X | n ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}} つまり | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } が N の固有値 n における固有状態であるとき、  X | n ⟩ {\displaystyle X|n\rangle }  は固有値 n + c をもつ N の固有状態である。演算子 X は c が正の実数であるとき N の上昇演算子、 c が負の実数であるとき N の下降演算子という。 もし N がエルミート演算子 のとき、c は実数でなければならず、Xのエルミート随伴 は次の交換関係を満たす。 [ N , X † ] = − c X † . {\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.} 特に X が N の下降演算子のときの X† は N の上昇演算子であり、その逆も成り立つ。 昇降演算子は、角運動量の量子力学的な取り扱いで用いられる。 一般的な角運動量ベクトル J（各成分は Jx, Jy, Jz ）から、2つの昇降演算子J+ 、J–が定義できる。 J ± = J x ± i J y {\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}} ここで i は虚数単位。 直交座標系での各成分は、次の交換関係を満たす。 [ J i , J j ] = i ℏ ϵ i j k J k {\displaystyle [J_{i},J_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}J_{k}} ここでεijk はレヴィ=チヴィタ記号、 i, j, k は x, y, zのいずれか。よって昇降演算子とJz の交換関係は [ J z , J ± ] = ± ℏ J ± , [ J + , J − ] = 2 ℏ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[J_{z},J_{\pm }\right]&=\pm \hbar J_{\pm },\\\left[J_{+},J_{-}\right]&=2\hbar J_{z}.\end{aligned}}} 昇降演算子を演算子 Jz にかけると J z J ± | j , m ⟩ = ( J ± J z + [ J z , J ± ] ) | j , m ⟩ = ( J ± J z ± ℏ J ± ) | j , m ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) J ± | j , m ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}J_{\pm }|j,m\rangle &=\left(J_{\pm }J_{z}+\left[J_{z},J_{\pm }\right]\right)|j,m\rangle \\&=\left(J_{\pm }J_{z}\pm \hbar J_{\pm }\right)|j,m\rangle \\&=\hbar \left(m\pm 1\right)J_{\pm }|j,m\rangle .\end{aligned}}} この結果と J z | j , m ± 1 ⟩ = ℏ ( m ± 1 ) | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle J_{z}|j,m\pm 1\rangle =\hbar (m\pm 1)|j,m\pm 1\rangle } を比較すると、  J ± | j , m ⟩ {\displaystyle J_{\pm }|j,m\rangle } は | j , m ± 1 ⟩ {\displaystyle |j,m\pm 1\rangle } のスカラー倍となる。 これは量子数を増減させるという昇降演算子の性質を表している。  J + | j , m ⟩ = α | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = β | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\alpha |j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\beta |j,m-1\rangle .\end{aligned}}} α と β の値を求めるために、J+と J− のエルミート共役( J ± = J ∓ † {\displaystyle J_{\pm }=J_{\mp }^{\dagger }} )の関係から、それぞれの演算子のノルムを考えると、 ⟨ j , m | J + † J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J − J + | j , m ⟩ = ⟨ j , m + 1 | α ∗ α | j , m + 1 ⟩ = | α | 2 , ⟨ j , m | J − † J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m | J + J − | j , m ⟩ = ⟨ j , m − 1 | β ∗ β | j , m − 1 ⟩ = | β | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle j,m|J_{+}^{\dagger }J_{+}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{-}J_{+}|j,m\rangle =\langle j,m+1|\alpha ^{*}\alpha |j,m+1\rangle =|\alpha |^{2},\\\langle j,m|J_{-}^{\dagger }J_{-}|j,m\rangle &=\langle j,m|J_{+}J_{-}|j,m\rangle =\langle j,m-1|\beta ^{*}\beta |j,m-1\rangle =|\beta |^{2}.\end{aligned}}} 昇降演算子の積は J2 とJzの交換関係で表される。 J − J + = ( J x − i J y ) ( J x + i J y ) = J x 2 + J y 2 + i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 − ℏ J z , J + J − = ( J x + i J y ) ( J x − i J y ) = J x 2 + J y 2 − i [ J x , J y ] = J 2 − J z 2 + ℏ J z . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-}J_{+}&=(J_{x}-iJ_{y})(J_{x}+iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}-\hbar J_{z},\\J_{+}J_{-}&=(J_{x}+iJ_{y})(J_{x}-iJ_{y})=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J^{2}-J_{z}^{2}+\hbar J_{z}.\end{aligned}}} このように |α|2 と|β|2 を J2 と Jz の固有値で表現することができる。  | α | 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 − ℏ 2 m = ℏ 2 ( j − m ) ( j + m + 1 ) , | β | 2 = ℏ 2 j ( j + 1 ) − ℏ 2 m 2 + ℏ 2 m = ℏ 2 ( j + m ) ( j − m + 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|\alpha |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}-\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j-m)(j+m+1),\\|\beta |^{2}&=\hbar ^{2}j(j+1)-\hbar ^{2}m^{2}+\hbar ^{2}m=\hbar ^{2}(j+m)(j-m+1).\end{aligned}}} α と β の位相は物理的に意味はないので実数に選ぶと次のようになる。 J + | j , m ⟩ = ℏ ( j − m ) ( j + m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m + 1 ) | j , m + 1 ⟩ , J − | j , m ⟩ = ℏ ( j + m ) ( j − m + 1 ) | j , m − 1 ⟩ = ℏ j ( j + 1 ) − m ( m − 1 ) | j , m − 1 ⟩ . {\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j-m)(j+m+1)}}|j,m+1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m+1)}}|j,m+1\rangle ,\\J_{-}|j,m\rangle &=\hbar {\sqrt {(j+m)(j-m+1)}}|j,m-1\rangle =\hbar {\sqrt {j(j+1)-m(m-1)}}|j,m-1\rangle .\end{aligned}}} m は j ( − j ≤ m ≤ j {\displaystyle -j\leq m\leq j} ) に制限されるので J + | j , j ⟩ = J − | j , − j ⟩ = 0. {\displaystyle J_{+}|j,j\rangle =J_{-}|j,-j\rangle =0.} 原子系や分子系のハミルトニアンは角運動量の内積を含む。例えば超微細構造ハミルトニアンの磁気双極子項がある H