普遍係数定理

数学 > 位相幾何学 > 代数的位相幾何学 > ホモロジー代数 > 普遍係数定理 普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）とは、単項イデアル整域R上定義されたホモロジーやコホモロジーから、R-加群を係数とするホモロジーやコホモロジーを求める一連の定理の総称である。 定理はR-加群として自由な任意のチェイン複体に対して成立し、したがって特に特異ホモロジー・コホモロジーのような位相幾何学的な背景を持つホモロジー・コホモロジーに対して成立する。 本節では普遍係数定理を述べる準備として、チェイン複体とそのホモロジー、コチェイン複体とそのコホモロジーを復習し、さらに普遍係数定理を定式化するのに必要な概念であるTor関手、Ext関手を定義する。 Rを可換環とするとき、整数nを添え字として持つR-加群 C n {\displaystyle C_{n}} と写像 ∂ n   :   C n → C n − 1 {\displaystyle \partial _{n}~:~C_{n}\to C_{n-1}} の組 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で、 ∂ n − 1 ∘ ∂ n = 0 {\displaystyle \partial _{n-1}\circ \partial _{n}=0} となるものR上のチェイン複体といい、 H n ( C ∗ ) := K e r ( ∂ n ) / I m ( ∂ n + 1 ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}):=\mathrm {Ker} (\partial _{n})/\mathrm {Im} (\partial _{n+1})} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のホモロジー加群という。 可換環Rに対し、 C ∗ = ( C n , δ n ) n ∈ Z {\displaystyle C^{*}=(C^{n},\delta ^{n})_{n\in \mathbb {Z} }} で D ∗ := ( C − n , δ − n ) n ∈ Z {\displaystyle D_{*}:=(C^{-n},\delta ^{-n})_{n\in \mathbb {Z} }} がR上のチェイン複体になるものをコチェイン複体といい、 H n ( C ∗ ) := H n ( D ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}):=H_{n}(D_{*})} を C ∗ {\displaystyle C^{*}} のn次のコホモロジー加群という。 Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とする。さらに短完全系列 0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0} でA、Bが自由R-加群であるものを選び、 0 ⟶ A ⊗ R N ⟶ ι ⊗ R 1 N B ⊗ R N ⟶ p ⊗ R 1 N M ⊗ R N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A\otimes _{R}N{\overset {\iota \otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}B\otimes _{R}N{\overset {p\otimes _{R}1_{N}}{\longrightarrow }}M\otimes _{R}N\longrightarrow 0} を考えると必ずしも完全系列にならない。そこで T o r R ( M , N ) := K e r ( ι ⊗ R 1 N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N):=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})} と定義する。 T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。 T o r R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をTor関手という。 なお、Rが単項イデアル整域とは限らない一般の環の場合にもTorが定義できるが本項では割愛する。また T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} の事を T o r R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{1}(M,N)} と表記し、より一般に T o r R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}^{n}(M,N)} （n≧0）を定義する場合もあるが、これも本項では割愛する。これらに関する詳細はTor関手の項目を参照されたい。 Tor関手は以下の性質を満たす。 命題 ―  Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する： T o r R ( M , N ) ≈ T o r R ( N , M ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)\approx \mathrm {Tor} _{R}(N,M)} 。 T o r R ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) ≈ ⊕ λ ∈ Λ T o r R ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)\approx \oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Tor} _{R}(M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR-加群としての直和を表す。 Mが自由R-加群なら T o r R ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=0} T o r R ( R / ( x ) , N ) ≈ { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),N)\approx \{u\in N\mid xu=0\}} 。 T o r R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。 Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 T o r R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,K)=0} 証明 1., 2.の証明は出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、 0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0} という分解が可能なので、 T o r R ( M , N ) = K e r ( ι ⊗ R 1 N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (\iota \otimes _{R}1_{N})=0} である。 4.に関してはx倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、 0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0} という分解が可能であり、 R ⊕ R N ≈ N {\displaystyle R\oplus _{R}N\approx N} なので、 N → x ⋅ ⊗ R 1 N N → p ⊗ 1 N R / ( x ) ⊗ R N → 0 {\displaystyle N{\overset {x\cdot \otimes _{R}1_{N}}{\to }}N{\overset {p\otimes 1_{N}}{\to }}R/(x)\otimes _{R}N\to 0} である。よって T o r R ( M , N ) = K e r ( x ⋅ ⊗ R 1 N ) = { u ∈ N ∣ x u = 0 } {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)=\mathrm {Ker} (x\cdot \otimes _{R}1_{N})=\{u\in N\mid xu=0\}} である。 5.に関しては4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、 T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} は T o r R ( R n , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R^{n},N)} と T o r R ( R / ( x i ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(R/(x_{i}),N)} の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。 Rが単項イデアル整域であるので、M、Nが有限生成である場合、有限生成加群の基本定理から、MはRnと複数のR/(xi)の直和で書け、Nも同様である。上述の1., 2.からTorRは直和に関して分解できるので、上述の3., 5.を使うと、これらに対するTorRを容易に計算できる。 Torのときと同様、Rを単項イデアル整域とし、M、NをR-加群とし、さらに短完全系列 0 ⟶ A ⟶ ι B ⟶ p M → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow A{\overset {\iota }{\longrightarrow }}B{\overset {p}{\longrightarrow }}M\to 0} でA、Bが自由R-加群であるものを選ぶ。そして 0 ⟶ H o m R ( M , N ) ⟶ p ∗ H o m R ( B , N ) ⟶ ι ∗ H o m R ( A ) → 0 {\displaystyle 0\longrightarrow \mathrm {Hom} _{R}(M,N){\overset {p^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(B,N){\overset {\iota ^{*}}{\longrightarrow }}\mathrm {Hom} _{R}(A)\to 0} を考えると必ずしも完全系列にはならない。そこで E x t R ( M , N ) := C o k e r R ( ι ∗ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N):=\mathrm {Coker} _{R}(\iota ^{*})} と定義する。ここでCokerは余核である。すなわち、 f   :   X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y} に対し、 C o k e r ( f ) = Y / I m ( f ) {\displaystyle \mathrm {Coker} (f)=Y/\mathrm {Im} (f)} である。 E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} の定義はA、Bの取り方に依存しているが、実はA、Bを別のものに取り替えて定義した E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} と自然に同型になる事が知られているのでwell-definedである。 E x t R ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(\cdot ,\cdot )} の事をExt関手という。 また E x t R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)} に関しても T o r R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Tor} _{R}(M,N)} と同様、Rが一般の環の場合に対しても定義できるし、 E x t R n ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{n}(M,N)} が定義できて E x t R ( M , N ) = E x t R 1 ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,N)=\mathrm {Ext} _{R}^{1}(M,N)} であるが、本項では説明を割愛する。詳細はExt関手の項目を参照されたい。 Ext関手は以下を満たす： 命題 ―  Rを単項イデアル整域、M、NをR-加群とするとき、次が成立する： E x t ( ⊕ λ ∈ Λ M λ , N ) = ⊕ λ ∈ Λ E x t ( M λ , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (\oplus _{\lambda \in \Lambda }M_{\lambda },N)=\oplus _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M_{\lambda },N)} 。ここで「 ⊕ {\displaystyle \oplus } 」はR-加群としての直和である。 E x t ( M , ∏ λ ∈ Λ N λ ) = ∏ λ ∈ Λ E x t ( M , N λ ) {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }N_{\lambda })=\textstyle \prod _{\lambda \in \Lambda }\mathrm {Ext} (M,N_{\lambda })} 。ここで「 ∏ {\displaystyle \textstyle \prod } 」はR-加群としての直積である。 Mが自由R-加群なら E x t ( M , N ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=0} E x t R ( R / ( x ) , N ) ≈ N / ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)\approx N/(x)} 。 E x t R ( R / ( x ) , R / ( y ) ) ≈ R / ( g c d ( x , y ) ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),R/(y))\approx R/(\mathrm {gcd} (x,y))} 、ここでgcd(x,y)はxとyの最大公約元である。 Kを標数0の体とするとき、任意の有限生成R-加群Mに対し、 E x t R ( M , K ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)=0} 証明 1.、2.に関しては出典を参照。3.に関してはMが自由R-加群であれば、 0 → 0 → ι M → p M → 0 {\displaystyle 0\to 0{\overset {\iota }{\to }}M{\overset {p}{\to }}M\to 0} という分解が可能なので、 E x t ( M , N ) = C o k e r ( ι ∗ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {Ext} (M,N)=\mathrm {Coker} (\iota ^{*})=0} である。 4.に関しては、x倍する演算を「 x ⋅ {\displaystyle x\cdot } 」と書くと、 0 → R → x ⋅ R → p R / ( x ) → 0 {\displaystyle 0\to R{\overset {x\cdot }{\to }}R{\overset {p}{\to }}R/(x)\to 0} という分解が可能であり、 0 → H o m ( R / ( x ) , N ) → p ∗ H o m ( R , N ) → ( x ⋅ ) ∗ H o m ( R , N ) {\displaystyle 0\to \mathrm {Hom} (R/(x),N){\overset {p^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N){\overset {(x\cdot )^{*}}{\to }}\mathrm {Hom} (R,N)} である。 ここで φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} に対し、 ( x ⋅ ) ∗ ( φ ) ( u ) = φ ( x u ) = x φ ( u ) {\displaystyle (x\cdot )^{*}(\varphi )(u)=\varphi (xu)=x\varphi (u)} である。 しかも φ ∈ H o m ( R , N ) {\displaystyle \varphi \in \mathrm {Hom} (R,N)} は 1 ∈ R {\displaystyle 1\in R} の行き先により全ての u ∈ R {\displaystyle u\in R} の行き先が決まるので、 H o m ( R , N ) → ∼ N , φ ↦ φ ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (R,N){\overset {\sim }{\to }}N,\varphi \mapsto \varphi (1)} である。よって E x t R ( R / ( x ) , N ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x),N)} = C o k e r ( ( x ⋅ ) ∗ ) {\displaystyle =\mathrm {Coker} ((x\cdot )^{*})} ≈ N / ( x ) {\displaystyle \approx N/(x)} である。 5.は4.から直接従う。6.に関しては、Mが有限生成なので、有限生成加群の基本定理より、RnとR/(xi)の直和で書ける。よって1.により、 E x t R ( M , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(M,K)} は E x t R ( R n , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R^{n},K)} と E x t R ( R / ( x i ) , K ) {\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}(R/(x_{i}),K)} の直和で書けるが、前者は3.より0に等しく、後者も4.により0に等しい。 TorRの場合と同様、Mが有限生成R-加群であれば、これらの性質からExtRを具体的に計算できる。 次の定理が成立することが知られている： 定理 (Torに関する普遍係数定理) ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で、各nに対し C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものとする。このとき 0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ M ) → β Tor R ⁡ ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*}\otimes M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列となるα、βが存在する。 しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（自然ではなく）分裂する。 上記の定理でαは [ c ] ⊗ R m ∈ H n ( C ∗ ) ⊗ R M ↦ [ c ⊗ R m ] ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle [c]\otimes _{R}m\in H_{n}(C_{*})\otimes _{R}M\mapsto [c\otimes _{R}m]\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} と具体的に書ける。 なお、係数環 Rが Z {\displaystyle \mathbb {Z} } でMが Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } の場合は、上記の定理はボックシュタイン・スペクトル系列（英語版）の特別な場合に相当する。 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分Fnと素数pに対する T n , p = { x ∈ H n ( C ∗ ) ∣ ∃ m > 0   :   p m x = 0 } {\displaystyle T_{n,p}=\{x\in H_{n}(C_{*})\mid \exists m>0~:~p^{m}x=0\}} の和で書ける。（有限個の素数pを除いて T n , p = 0 {\displaystyle T_{n,p}=0} である）。ここで前述したTorの性質を利用すると、以下がわかる： 命題 ― 上記の設定のもと： H n ( C ∗ ⊗ M ) ≈ H n ( C ∗ ) ⊗ M ⊕ Tor R ⁡ ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) ≈ { Z p r a n k ( F n ) + r a n k ( T n − 1 , p ⊗ Z p ) if  M = Z p M r a n k ( F n ) if  M = Q , R , C {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes M)\approx H_{n}(C_{*})\otimes M\oplus \operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M)\approx {\begin{cases}\mathbb {Z} _{p}{}^{\mathrm {rank} (F_{n})+\mathrm {rank} (T_{n-1,p}\otimes \mathbb {Z} _{p})}&{\text{if }}M=\mathbb {Z} _{p}\\M^{\mathrm {rank} (F_{n})}&{\text{if }}M=\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} \end{cases}}} チェイン複体とコチェイン複体は添字の向きが違うだけなので、コチェイン複体に関しても同様の事実が従う： 定理 ―  R、Mを上述の定理と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C^{*}} を任意のコチェイン複体とすると、 0 → H n ( C ∗ ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ⊗ R M ) → β Tor R ⁡ ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C^{*})\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H^{n+1}(C^{*}),M)\to 0} が短完全系列となるα、βが存在する。 この短完全系列が C ∗ {\displaystyle C^{*}} 、Mに関して自然である事や分裂する事も前述の定理と同様である。 また R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合は、ホモロジー場合と同様の形で具体的に書ける。 上述のコチェイン複体関する普遍係数定理をMを係数に持つコホモロジー（例えばMを係数にもつ特異コホモロジー）に適用する場合は注意が必要である。 これまで同様Rが単項イデアル整域とし、MをR-加群する。R上のチェイン複体 C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、 ∂ n ∗   :   H o m R ( C n , M ) → H o m R ( C n + 1 , M ) ,     c ↦ c ∘ ∂ n + 1 {\displaystyle \partial _{n}{}^{*}~:~\mathrm {Hom} _{R}(C_{n},M)\to \mathrm {Hom} _{R}(C_{n+1},M),~~c\mapsto c\circ \partial _{n+1}} と定義すると ∂ n + 1 ∗ ∘ ∂ n ∗ = 0 {\displaystyle \partial _{n+1}{}^{*}\circ \partial _{n}{}^{*}=0} であるので H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} はコチェイン複体である。 H o m R ( C ∗ , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M)} をMに関する C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体（英: dual cochain complex）という。 定義 ― 　 H n ( C ∗ ; M ) := H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M):=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のMに係数を持つホモロジー加群という。 H n ( C ∗ ; M ) := H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M):=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))} を C ∗ {\displaystyle C_{*}} のn次のMに係数を持つコホモロジー加群という。 Mに係数を持つホモロジー加群の方はその定義により、 H n ( C ∗ ; M ) = H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};M)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} H n ( C ∗ ; R ) = H n ( C ∗ ⊗ R R ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)=H_{n}(C_{*}\otimes _{R}R)=H_{n}(C_{*})} なので、前述のホモロジーに関する普遍係数定理の H n ( C ∗ ⊗ R M ) {\displaystyle H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)} 、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} を単純に置き換える事で、以下の系が従う： 系 ―  R、Mを前述の定理と同様に取り、 C ∗ {\displaystyle C_{*}} を任意のチェイン複体とすると、 0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β Tor R ⁡ ( H n − 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H_{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\operatorname {Tor} _{R}(H_{n-1}(C_{*};R),M)\to 0} が短完全系列となるα、βが存在する。 一方、Mを係数を持つコホモロジー加群の場合は若干の注意が必要である。実際、 C ∗ := H o m R ( C ∗ , R ) {\displaystyle C^{*}:=\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},R)} としてやると、 H n ( C ∗ ; R ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ) = H n ( C ∗ ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};R)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R))=H^{n}(C^{*})} であるが、 H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)} の方は H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle H^{n}(C^{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},M))} であり、コホモロジーの普遍係数定理における H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( H o m ( C ∗ , R ) ⊗ R M ) {\displaystyle H^{n}(C^{*}\otimes _{R}M)=H^{n}(\mathrm {Hom} (C_{*},R)\otimes _{R}M)} とは異なるので単純に置き換える事ができない。しかし適切な条件下ではこれら２つが等しくなり、Mを係数に持つコホモロジー加群の普遍係数定理を示す事ができる： 定理 ―  R、Mを前述の定理と同様に取り、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものとする。 このときMがR上有限生成であるかもしくは全てのnに対して H n ( C ∗ ; R ) {\displaystyle H_{n}(C_{*};R)} がR上有限生成であれば、任意のnに対して以下が完全系列になるα、βが存在する: 0 → H n ( C ∗ ; R ) ⊗ R M → α H n ( C ∗ ; M ) → β T o r R ( H n + 1 ( C ∗ ; R ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to H^{n}(C_{*};R)\otimes _{R}M{\overset {\alpha }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\beta }{\to }}\mathrm {Tor} _{R}(H^{n+1}(C_{*};R),M)\to 0} . Ext関手を使う事で、ホモロジーとコホモロジーの関係性を示す以下の普遍係数定理を示す事ができる。 前に述べたように、チェイン複体 C ∗ {\displaystyle C_{*}} の双対コチェイン複体 H o m R ( C ∗ , M ) := ( H o m R ( C ∗ , M ) , ∂ n ∗ ) n ∈ Z {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M):=(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*},M),\partial _{n}{}^{*})_{n\in \mathbb {Z} }} に対し、Mを係数に持つコホモロジー加群を H n ( C ∗ ; M ) = H n ( H o m R ( C ∗ ; M ) ) {\displaystyle H^{n}(C_{*};M)=H^{n}(\mathrm {Hom} _{R}(C_{*};M))} により定義する。 このとき以下の定理がしたがう： 定理 (Extに関する普遍係数定理) ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由なものする。このとき、 0 → Ext R ⁡ ( H n − 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R ⁡ ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H^{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列となるα、βが存在する。 しかもこの短完全系列は C ∗ {\displaystyle C_{*}} およびMに関して自然である。さらにこの短完全系列は（Mに関して自然だが C ∗ {\displaystyle C_{*}} に関しては自然ではなく）分裂する。 上述の定理においてαは [ φ ] ∈ H n ( C ∗ ; M ) = H n ( Hom R ( C ∗ , M ) ) {\displaystyle [\varphi ]\in H^{n}(C_{*};M)=H^{n}({\textrm {Hom}}_{R}(C_{*},M))} に対し、 [ c ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ φ ( c ) ∈ M {\displaystyle [c]\in H^{n}(C_{*})\mapsto \varphi (c)\in M} という Hom R ⁡ ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である。 R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } で各 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成加群である場合はコホモロジーをより具体的に書ける。有限生成加群の基本的定理より、 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} は自由加群部分Fnと捩れ部分群部分 T n {\displaystyle T_{n}} の和で書ける。この事実とExtの性質を利用すると、以下がわかる： 命題 ― 上記の設定のもと以下が成立する： H n ( C ∗ ; Z ) ≈ H o m ( H n ( C ∗ ) ; Z ) ⊕ Ext R ⁡ ( H n − 1 ( C ∗ ) , Z ) ≈ F n ⊕ T n − 1 {\displaystyle H^{n}(C_{*};\mathbb {Z} )\approx \mathrm {Hom} (H_{n}(C_{*});\mathbb {Z} )\oplus \operatorname {Ext} _{R}(H_{n-1}(C_{*}),\mathbb {Z} )\approx F_{n}\oplus T_{n-1}} 上記により Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -係数コホモロジーさえ分かってしまえば、後はTorに関する普遍係数定理により他の係数のコホモロジーも求まる。 H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成であれば、上述の普遍係数定理でホモロジーとコホモロジーの役割を反転させた定理も成立する： 定理 ―  Rを単項イデアル整域とし、MをR-加群とし、さらに C ∗ := ( C n , ∂ n ) n ∈ Z {\displaystyle C_{*}:=(C_{n},\partial _{n})_{n\in \mathbb {Z} }} をR上のチェイン複体で各nに対し、 C n {\displaystyle C_{n}} がR-加群として自由で、しかも H n ( C ∗ ) {\displaystyle H_{n}(C_{*})} が有限生成R-加群であるものとする。 このとき、 0 → Ext R ⁡ ( H n + 1 ( C ∗ ) , M ) → β H n ( C ∗ ; M ) → α Hom R ⁡ ( H n ( C ∗ ) , M ) → 0 {\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}(H^{n+1}(C_{*}),M){\overset {\beta }{\to }}H_{n}(C_{*};M){\overset {\alpha }{\to }}\operatorname {Hom} _{R}(H^{n}(C_{*}),M)\to 0} が短完全系列となるα、βが存在し、この短完全系列は分裂する。 上述の定理において、αは [ z ] ⊗ m ∈ H n ( C ∗ ⊗ R M ) = H n ( C ∗ ; M ) {\displaystyle [z]\otimes m\in H_{n}(C_{*}\otimes _{R}M)=H_{n}(C_{*};M)} に対し、 [ f ] ∈ H n ( C ∗ ) ↦ f ( z ) m ∈ M {\displaystyle [f]\in H^{n}(C_{*})\mapsto f(z)m\in M} という H o m ( H n ( C ∗ ) , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (H^{n}(C_{*}),M)} の元を対応させる写像である。 キネットの定理（英語版）