反傾表現

G {\displaystyle G} が群で、 ρ {\displaystyle \rho } がベクトル空間 V {\displaystyle V} 上の G {\displaystyle G} の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation） ρ ∗ {\displaystyle \rho ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 上定義される： ρ ∗ ( g ) {\displaystyle \rho ^{*}(g)} は ρ ( g − 1 ) {\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)} の転置である、つまり、すべての g ∈ G {\displaystyle g\in G} に対して ρ ∗ ( g ) = ρ ( g − 1 ) T {\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}} である。 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} がリー環で π {\displaystyle \pi } がベクトル空間 V {\displaystyle V} 上のその表現であれば、反傾表現 π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} は以下のようにして双対ベクトル空間 V ∗ {\displaystyle V^{*}} 上定義される： すべての X ∈ g {\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}} に対して π ∗ ( X ) = − π ( X ) T {\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}} である。 いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。 ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現（フランス語版）と等しい。 表現論において、 V {\displaystyle V} のベクトルと V ∗ {\displaystyle V^{*}} の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 φ {\displaystyle \varphi } の v ∈ V {\displaystyle v\in V} への作用 φ ( v ) {\displaystyle \varphi (v)} は行列の乗法 ⟨ φ , v ⟩ ≡ φ ( v ) = φ T v {\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v} によって表現できる。ただし上付きの T {\displaystyle T} は行列の転置を表す。群 G {\displaystyle G} の作用と整合的であるためには ⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ φ , v ⟩ {\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle } が要求される。反傾表現の定義から、 ⟨ ρ ∗ ( g ) φ , ρ ( g ) v ⟩ = ⟨ ρ ( g − 1 ) T φ , ρ ( g ) v ⟩ = ( ρ ( g − 1 ) T φ ) T ρ ( g ) v = φ T ρ ( g − 1 ) ρ ( g ) v = φ T v = ⟨ φ , v ⟩ {\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle } となり、整合性を持つことが確かめられる。 リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、 Π {\displaystyle \Pi } がリー群の表現であれば、 π ( X ) = d d t Π ( e t X ) | t = 0 {\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}} によって与えられる π {\displaystyle \pi } はそのリー環の表現である。 Π ∗ {\displaystyle \Pi ^{*}} が Π {\displaystyle \Pi } に双対であれば、その対応するリー環の表現 π ∗ {\displaystyle \pi ^{*}} は、 π ∗ ( X ) = d d t Π ∗ ( e t X ) | t = 0 = d d t Π ( e − t X ) T | t = 0 = − π ( X ) T {\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}} で与えられる。 群 G {\displaystyle G} の2つの表現 ( ρ 1 , V 1 ) {\displaystyle \left(\rho _{1},V_{1}\right)} と ( ρ 2 , V 2 ) {\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)} から、次のようにして Hom ⁡ ( V 1 , V 2 ) {\displaystyle \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)} 上の G {\displaystyle G} の表現 Hom ⁡ ( ρ 1 , ρ 2 ) = ρ {\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho } が定義される： すべての g ∈ G {\displaystyle g\in G} とすべての f ∈ Hom ⁡ ( V 1 , V 2 ) {\displaystyle f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)} に対して、 ρ ( g ) ( f ) = ρ 2 ( g ) ∘ f ∘ ρ 1 ( g − 1 ) {\displaystyle \rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)} 。 反傾表現は、 ( ρ 2 , V 2 ) {\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)} が自明表現の場合である。 環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。 複素共役表現（英語版） キリロフの指標公式（英語版）