正則ベクトル束

数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，英: holomorphic vector bundle）とは，複素多様体 X 上の複素ベクトル束であって，全空間 E が複素多様体であり射影 π: E → X が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である． セールの GAGA により，滑らかな複素射影多様体 X（複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は，X 上の代数ベクトル束（英語版）（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である． 具体的には，局所自明化写像 ϕ U : π − 1 ( U ) → U × C k {\displaystyle \phi _{U}\colon \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbf {C} ^{k}} は双正則であることを要求する．これは変換関数 t U V : U ∩ V → GL k ⁡ ( C ) {\displaystyle t_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} _{k}(\mathbf {C} )} が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される． E を正則ベクトル束とする．局所切断 s: U → E|U が正則 (holomorphic) であるとは，それが U の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう． この条件は局所的である，つまり正則切断たちは X 上の層をなす．この層は O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である．E が自明な直線束 C _ {\displaystyle {\underline {\mathbf {C} }}} であるとき，この層は複素多様体 X の構造層 O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} と一致する． E X p , q {\displaystyle {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}} で (p, q) 型の C∞ 微分形式の層を表すと，E に値を持つ (p, q) 型形式の層はテンソル積 E p , q ( E ) ≜ E X p , q ⊗ E {\displaystyle {\mathcal {E}}^{p,q}(E)\triangleq {\mathcal {E}}_{X}^{p,q}\otimes E} として定義できる． これらの層は細層である，つまり1の分割を持つ． 滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者にはドルボー作用素（英語版）と呼ばれる標準的な微分作用素 ∂ ¯ : E p , q ( E ) → E p , q + 1 ( E ) {\displaystyle {\overline {\partial }}:{\mathcal {E}}^{p,q}(E)\to {\mathcal {E}}^{p,q+1}(E)} が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる． E が正則ベクトル束であるとき，E のコホモロジーは O ( E ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(E)} の層係数コホモロジーと定義される．とくに， H 0 ( X , O ( E ) ) = Γ ( X , O ( E ) ) , {\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {O}}(E))=\Gamma (X,{\mathcal {O}}(E)),} E の大域正則切断の空間，となる．また， H 1 ( X , O ( E ) ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}(E))} は E による X の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の完全列 0 → E → F → X × C → 0, の群をパラメトライズする．群構造については，Baer 和（英語版）や層の拡大（英語版）も参照． 複素微分幾何の文脈では，複素多様体 X のピカール群 Pic(X) は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 H 1 ( X , O X ∗ ) {\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})} として定義することもできる． E を複素多様体 M 上の正則ベクトル束とし，E 上にエルミート計量が存在するとする，つまり，ファイバー Ex に滑らかに変化する内積 ⟨•, •⟩ が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立する E 上の接続 ∇ が一意的に存在する．つまり，∇ が次のような接続である： (1) E の任意の滑らかな切断 s に対して， p ∇ s = ∂ ¯ s {\displaystyle p\nabla s={\bar {\partial }}s} ただし p は E 値 1 形式（英語版）の (0, 1) 成分を取る． (2) E の任意の滑らかな切断 s, t と M 上のベクトル場 X に対し， X ⋅ ⟨ s , t ⟩ = ⟨ ∇ X s , t ⟩ + ⟨ s , ∇ X t ⟩ {\displaystyle X\cdot \langle s,t\rangle =\langle \nabla _{X}s,t\rangle +\langle s,\nabla _{X}t\rangle } ただし X による ∇ s {\displaystyle \nabla s} の contraction を ∇ X s {\displaystyle \nabla _{X}s} と書いた．（これは ∇ による平行移動（英語版）が計量 ⟨•, •⟩ を保存すると言っても同じである．） 実際，u = (e1, …, en) が正則枠であるとき， h i j = ⟨ e i , e j ⟩ {\displaystyle h_{ij}=\langle e_{i},e_{j}\rangle } とし， ωu を等式 ∑ h i k ( ω u ) j k = ∂ h i j {\displaystyle \sum h_{ik}\,{(\omega _{u})}_{j}^{k}=\partial h_{ij}} によって定義する．この等式をより単純に次のように書く： ω u = h − 1 ∂ h . {\displaystyle \omega _{u}=h^{-1}\partial h.} u′ = ug を基底の正則な変換 g による別の枠とすると， ω u ′ = g − 1 d g + g ω u g − 1 {\displaystyle \omega _{u'}=g^{-1}dg+g\omega _{u}g^{-1}} であり，したがって ω は確かに接続形式であって，∇s = ds + ω · s によって ∇ を生じる．今， ω ¯ T = ∂ ¯ h ⋅ h − 1 {\displaystyle {\overline {\omega }}^{T}={\overline {\partial }}h\cdot h^{-1}} であるから， d ⟨ e i , e j ⟩ = ∂ h i j + ∂ ¯ h i j = ⟨ ω i k e k , e j ⟩ + ⟨ e i , ω j k e k ⟩ = ⟨ ∇ e i , e j ⟩ + ⟨ e i , ∇ e j ⟩ . {\displaystyle d\langle e_{i},e_{j}\rangle =\partial h_{ij}+{\overline {\partial }}h_{ij}=\langle {\omega }_{i}^{k}e_{k},e_{j}\rangle +\langle e_{i},{\omega }_{j}^{k}e_{k}\rangle =\langle \nabla e_{i},e_{j}\rangle +\langle e_{i},\nabla e_{j}\rangle .} つまり，∇ は計量構造と両立する．最後に，ω は (1, 0) 形式であるから， ∇ s {\displaystyle \nabla s} の (0, 1) 成分は ∂ ¯ s {\displaystyle {\bar {\partial }}s} である． Ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =d\omega +\omega \wedge \omega } を ∇ の曲率形式とする． p ∇ = ∂ ¯ {\displaystyle p\nabla ={\bar {\partial }}} は二乗して零になるから，Ω は (0, 2) 成分を持たず，Ω は歪エルミートであることが容易に示せるから，それはまた (2, 0) 成分ももたない．したがって，Ω は次で与えられる (1, 1) 形式である： Ω = ∂ ¯ ω . {\displaystyle \Omega ={\bar {\partial }}\omega .} 曲率 Ω は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理，例えば小平の消滅定理や中野の消滅定理（英語版），において顕著に現れる．