摂動函数

数学の数理最適化の分野において、摂動函数（せつどうかんすう、英: perturbation function）とは、主問題と双対問題を関連づける任意の函数である。そのような任意の函数は元の問題の摂動を定義する事実から、その名が付けられた。多くの場合、この函数は制約条件をシフトする形状を取る。 文献によっては、価値函数（英語版）が摂動函数と呼ばれ、摂動函数は二重函数（bifunction）と呼ばれることもある。 分離的な局所凸空間の二つの双対組 ( X , X ∗ ) {\displaystyle \left(X,X^{*}\right)} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle \left(Y,Y^{*}\right)} が与えられるとする。このとき、与えられた函数 f : X → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} に対する主問題を次で定義する。 inf x ∈ X f ( x ) . {\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).\,} 制約条件が存在するならば、それら制約条件を f = f + I constraints {\displaystyle f=f+I_{\text{constraints}}} として函数 f {\displaystyle f} に含めてしまうこともできる。ここで I {\displaystyle I} は指示函数（英語版）である。このとき F : X × Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle F:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} が摂動函数であるための必要十分条件は、 F ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle F(x,0)=f(x)} である。 双対性のギャップ（英語版）は、次の不等式の右辺と左辺の差で与えられる。 sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X F ( x , 0 ) , {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),} ここで F ∗ {\displaystyle F^{*}} は両変数についての凸共役である。 摂動函数 F をどのように選んでも弱双対性は成立する。また強双対性が成立するための条件は数多く存在する。例えば、F が真結合凸函数で、下半連続かつ 0 ∈ core ⁡ ( Pr Y ⁡ ( dom ⁡ F ) ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (\operatorname {Pr} _{Y}(\operatorname {dom} F))} であり（ここで core {\displaystyle \operatorname {core} } は代数的内部を表し、 Pr Y {\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}} は Pr Y ⁡ ( x , y ) = y {\displaystyle \operatorname {Pr} _{Y}(x,y)=y} で定義される Y の上への射影である）、X と Y がフレシェ空間であるなら、強双対性は成立する。 ( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。（f(x) を最小化する）主問題と、関連する摂動函数 (F(x,y)) が与えられたとき、ラグランジアン L : X × Y ∗ → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} は、F の y に関する負の共役（すなわち、凹共役）である。すなわち、ラグランジアンは次で定義される。 L ( x , − y ∗ ) = inf y ∈ Y { F ( x , y ) − y ∗ ( y ) } . {\displaystyle L(x,-y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*}(y)\right\}.} 特に、弱双対ミニマックス方程式は次のように表される。 sup y ∗ ∈ Y ∗ − F ∗ ( 0 , y ∗ ) = sup y ∗ ∈ Y ∗ inf x ∈ X L ( x , y ∗ ) ≤ inf x ∈ X sup y ∗ ∈ Y ∗ L ( x , y ∗ ) = inf x ∈ X F ( x , 0 ) . {\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).} 主問題が、 f ~ ( x ) = f ( x ) + I R + d ( − g ( x ) ) {\displaystyle {\tilde {f}}(x)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(-g(x))} に対し inf x : g ( x ) ≤ 0 f ( x ) = inf x ∈ X f ~ ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}}(x)} で与えられるとする。このとき、摂動が inf x : g ( x ) ≤ y f ( x ) {\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)} で与えられるなら、摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + I R + d ( y − g ( x ) ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+I_{\mathbb {R} _{+}^{d}}(y-g(x))} となる。したがって、ラグランジアン双対性との関連は、L が明らかに次で与えられることから分かる。 L ( x , y ∗ ) = { f ( x ) + y ∗ ( g ( x ) ) if  y ∗ ∈ R + d − ∞ else {\displaystyle L(x,y^{*})={\begin{cases}f(x)+y^{*}(g(x))&{\text{if }}y^{*}\in \mathbb {R} _{+}^{d}\\-\infty &{\text{else}}\end{cases}}} . ( X , X ∗ ) {\displaystyle (X,X^{*})} と ( Y , Y ∗ ) {\displaystyle (Y,Y^{*})} を双対組とする。ある線型作用素 T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} とその随伴作用素 T ∗ : Y ∗ → X ∗ {\displaystyle T^{*}:Y^{*}\to X^{*}} の存在を仮定する。また主目的函数（英語版）（指示函数による制限も含む）は、 J : X × Y → R ∪ { + ∞ } {\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}} に対して f ( x ) = J ( x , T x ) {\displaystyle f(x)=J(x,Tx)} と表すことが出来るものとする。このとき、摂動函数は次で与えられる。 F ( x , y ) = J ( x , T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y)} . 特に、主目的函数が f ( x ) + g ( T x ) {\displaystyle f(x)+g(Tx)} であるなら、摂動函数は F ( x , y ) = f ( x ) + g ( T x − y ) {\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)} で与えられるが、これはフェンシェル双対性の伝統的な定義である。