位相共役性

数学において、二つの函数が互いに位相共役（いそうきょうやく、英: topologically conjugate）であるとは、一方を他方へ結びつける同相写像が存在することを言う。位相共役性は、反復函数の研究やより一般に力学系において重要となる。なぜなら、ある反復函数のダイナミクスが明らかにされれば、位相共役な任意の函数のそれも明らかになるからである。 この事実を直接的に表現すると次の様になる：f と g は反復函数とし、 g = h − 1 ∘ f ∘ h , {\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,} を満たすある h が存在するとする。すなわち、f と g は位相共役である。このとき、当然 g n = h − 1 ∘ f n ∘ h {\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h} が成り立つので、反復函数同士も同様に位相共役となる。ここで ∘ {\displaystyle \circ } は函数の合成を表す。 X と Y は位相空間とし、 f : X → X {\displaystyle f\colon X\to X} と g : Y → Y {\displaystyle g\colon Y\to Y} は連続函数とする。f が g と位相半共役（topologically semiconjugate）であるとは、 f ∘ h = h ∘ g {\displaystyle f\circ h=h\circ g} を満たすある連続な全射 h : Y → X {\displaystyle h\colon Y\to X} が存在することを言う。 この h が同相写像であるなら、f と g は位相共役（topologically conjugate）と呼ばれ、その h は f と g の間の位相共役写像（topological conjugation）と呼ばれる。 同様に、X 上のあるフロー φ {\displaystyle \varphi } が、Y 上のフロー ψ {\displaystyle \psi } と位相半共役であるとは、各 y ∈Y, t ∈R に対して φ ( h ( y ) , t ) = h ψ ( y , t ) {\displaystyle \varphi (h(y),t)=h\psi (y,t)} を満たす連続な全射 h : Y → X {\displaystyle h\colon Y\to X} が存在することを言う。h が同相写像であるなら、 ψ {\displaystyle \psi } と φ {\displaystyle \varphi } は位相共役と呼ばれる。 ロジスティック写像とテント写像は位相共役である。 単位高さのロジスティック写像とベルヌーイ写像（英語版）は位相共役である [要出典]。 位相共役写像は、位相半共役写像とは異なり、ある位相空間からそれ自身へのすべての連続な全射の空間における同値関係を定義する。すなわち、f と g が位相共役であるなら、それらは同値関係を持つとされる。この同値関係は力学系の理論において非常に有用である。なぜならば、位相的な観点から同じダイナミクスを示すすべての関数が各クラスに含まれるように出来るからである。例えば、g の軌道は共役写像を通じて f の位相同型な軌道に写される。この事実は g = h − 1 ∘ f ∘ h {\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h} と書く事で明白になる。このとき g n = h − 1 ∘ f n ∘ h {\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h} となる。インフォーマルな言い方をすれば、位相共役写像はトポロジカルな意味での「座標変換」を意味する。 しかしながら、同様の定義をフローに対して行う上ではいささか制限が必要となる。実際、単純に φ {\displaystyle \varphi } の軌道が ψ {\displaystyle \psi } の軌道に位相同型的に写されるだけでなく、各 t に対して写像 φ ( ⋅ , t ) {\displaystyle \varphi (\cdot ,t)} と ψ ( ⋅ , t ) {\displaystyle \psi (\cdot ,t)} が位相共役であることが要求される。このことは、X 内のすべてのフローの集合を、再び位相的な観点から同じダイナミクスを示すフローのクラスに分ける位相同値性（topological equivalence）の定義が生まれる動機となった。 二つのフロー ψ {\displaystyle \psi } と φ {\displaystyle \varphi } が位相同値（topologically equivalent）であるとは、 ψ {\displaystyle \psi } の軌道を φ {\displaystyle \varphi } の軌道に位相同型的に写し、またその軌道の向きを保存するような同相写像 h : Y → X {\displaystyle h\colon Y\to X} が存在することを言う。言い換えると、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} をある軌道としたとき、各 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対し、 h ( O ( y , ψ ) ) = { h ( ψ ( y , t ) ) : t ∈ R } = { φ ( h ( y ) , t ) : t ∈ R } = O ( h ( y ) , φ ) {\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h(\psi (y,t)):t\in \mathbb {R} \}=\{\varphi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\varphi )} が成り立つことを言う。さらに、時間のフローを確保する必要がある：すなわち、各 y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} に対し、ある δ > 0 {\displaystyle \delta >0} が存在して、 0 < | s | < t < δ {\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta } かつ s が φ ( h ( y ) , s ) = h ( ψ ( y , t ) ) {\displaystyle \varphi (h(y),s)=h(\psi (y,t))} を満たすものであるなら、 s > 0 {\displaystyle s>0} となる。 総体的に、位相同値性は位相共役性よりも弱い同値条件である。なぜならば、位相同値性では時間期間が軌道とその向きに沿って写されることが要求されないからである。位相同値であるが位相共役でないシステムの例として、閉軌道を持つ微分方程式の二次元系の非双曲的なクラスが挙げられることがある。その軌道は空間的な意味でお互い重なるように変換されることもあるが、そのようなシステムの周期は相似的に一致することはなく、したがって位相共役性の条件は満たされないが、位相同値性の条件は満たされる。 フロー ψ {\displaystyle \psi } および φ {\displaystyle \varphi } が微分方程式から生じる場合は、さらなる同値性の基準が研究されている。 微分方程式 x ′ = f ( x ) {\displaystyle x'=f(x)} および y ′ = g ( y ) {\displaystyle y'=g(y)} で定義される二つの力学系が「滑らかに同値」（smoothly equivalent）であるとは、ある微分同相写像 h : X → Y {\displaystyle h\colon X\to Y} が存在して、 f ( x ) = M − 1 ( x ) g ( h ( x ) ) where M ( x ) = d h ( x ) d x {\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}} が成立することを言う。この場合、力学系は互いに座標変換 y = h ( x ) {\displaystyle y=h(x)} によって変換される。 同一の状態空間において x ′ = f ( x ) {\displaystyle x'=f(x)} および x ′ = g ( x ) {\displaystyle x'=g(x)} で定義される二つの力学系が「軌道同値」（orbitally equivalent）であるとは、ある正の函数 μ : X → R {\displaystyle \mu \colon X\to \mathbb {R} } が存在して g ( x ) = μ ( x ) f ( x ) {\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)} が成立することを言う。軌道同値な系は、時間のパラメータ設定においてのみ差異がある。 滑らかに同値あるいは軌道同値な系は、位相同値でもある。しかしこの逆は成り立たない。例えば、 x ′ = A x {\displaystyle x'=Ax} という形状の二次元の線型系を考える。行列 A {\displaystyle A} が二つの正の実固有値を持つなら、系は不安定なノードを持つ。二つの実部が正の複素固有値を持つなら、系は不安定なフォーカス（あるいはスパイラル）を持つ。ノードとフォーカスは位相同値であるが、滑らかに同値あるいは軌道同値ではない。 力学系的位相共役性の概念に関して、次の二つの拡張が発見されている： 準同型力学系として定義される類似系 随伴関手と圏論的力学系の中立同値性を介して定義される随伴力学系 可換図式 シュレーダーの方程式