K関数

数学において、K関数とは、ハイパー階乗(hyperfactorial)の複素数への一般化である。 形式的には、K関数は K ( z ) = ( 2 π ) ( − z + 1 ) / 2 exp ⁡ [ ( z 2 ) + ∫ 0 z − 1 ln ⁡ ( t ! ) d t ] {\displaystyle K(z)=(2\pi )^{(-z+1)/2}\exp \left[{\begin{pmatrix}z\\2\end{pmatrix}}+\int _{0}^{z-1}\ln(t!)\,dt\right]} のように定義される。これは、閉じた式としても表せ、 K ( z ) = exp ⁡ [ ζ ′ ( − 1 , z ) − ζ ′ ( − 1 ) ] {\displaystyle K(z)=\exp \left[\zeta ^{\prime }(-1,z)-\zeta ^{\prime }(-1)\right]} となる。ここで、ζ'(z)はリーマンゼータ関数の一階導関数、ζ(a,z)はフルヴィッツのゼータ関数で、 ζ ′ ( a , z )   = d e f   [ d ζ ( s , z ) d s ] s = a {\displaystyle \zeta ^{\prime }(a,z)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left[{\frac {d\zeta (s,z)}{ds}}\right]_{s=a}} である。また、ポリガンマ関数を用いた別の式もある。 K ( z ) = exp ⁡ ( ψ ( − 2 ) ( z ) + z 2 − z 2 − z 2 ln ⁡ ( 2 π ) ) {\displaystyle K(z)=\exp \left(\psi ^{(-2)}(z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}-{\frac {z}{2}}\ln(2\pi )\right)} である。また、Balanced polygamma functionを使って、 K ( z ) = A e ψ ( − 2 , z ) + z 2 − z 2 {\displaystyle K(z)=Ae^{\psi (-2,z)+{\frac {z^{2}-z}{2}}}} とも書ける。ここで A はグレーシャーの定数である。 K関数はガンマ関数のときと同様に、スターリングの公式の類似公式を持つ。 K ( z + 1 ) = A e − z 2 4 z z ( z + 1 ) 2 + 1 12 ( 1 + 1 720 z 2 − 1433 7257600 z 4 + 1550887 15676416000 z 6 − ⋯ ) {\displaystyle K(z+1)=Ae^{-{\frac {z^{2}}{4}}}z^{{\frac {z(z+1)}{2}}+{\frac {1}{12}}}\left(1+{\frac {1}{720z^{2}}}-{\frac {1433}{7257600z^{4}}}+{\frac {1550887}{15676416000z^{6}}}-\cdots \right)} K関数はガンマ関数やバーンズのG関数と密接な関連を持つ。正の実数nに対し、 K ( n ) = ( Γ ( n ) ) n − 1 G ( n ) {\displaystyle K(n)={\frac {(\Gamma (n))^{n-1}}{G(n)}}} のような関連がある。より明確に書けば、 K ( n + 1 ) = 1 1 2 2 3 3 ⋯ n n {\displaystyle K(n+1)=1^{1}\,2^{2}\,3^{3}\cdots n^{n}} が自然数nに対し成り立つということである。より一般に、次のような関数等式を持つ。 K ( x + 1 ) = K ( x ) x x {\displaystyle K(x+1)=K(x)x^{x}} K関数は二重ガンマ関数の特殊な場合として捉えることができる。 K ( x ) = Γ 1 , 1 ( x ) e − ζ ′ ( − 1 ) = Γ 2 ( x ) Γ 1 ( x ) x − 1 e − ζ ′ ( − 1 ) {\displaystyle K(x)=\Gamma _{1,1}(x)e^{-\zeta '(-1)}=\Gamma _{2}(x)\Gamma _{1}(x)^{x-1}e^{-\zeta '(-1)}} ガンマ関数の倍角公式の類似として、次の公式が知られている。 K ( N x ) = ( e 1 / 12 A ) N 2 − 1 ∏ n = 0 N − 1 K ( n N + x ) N ⋅ N 1 12 + N 2 x 2 2 − N x 2 {\displaystyle K(Nx)={\biggr (}{\frac {e^{1/12}}{A}}{\biggr )}^{N^{2}-1}\prod _{n=0}^{N-1}K{\Big (}{\frac {n}{N}}+x{\Big )}^{N}\cdot N^{{\frac {1}{12}}+{\frac {N^{2}x^{2}}{2}}-{\frac {Nx}{2}}}} ここで、Aはグレイシャー・キンケリンの定数である。 最初の数項の値は、 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A002109). となる。また、 K ( 1 2 ) {\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})} は、 K ( 1 2 ) = A 3 / 2 2 1 / 24 ⋅ e 1 / 8 {\displaystyle K({\tfrac {1}{2}})={\frac {A^{3/2}}{2^{1/24}\cdot e^{1/8}}}} のように表せる。ここで A はグレーシャーの定数である。 K関数とバーンズのG関数との積は次のようにかける。 K ( z ) ⋅ G ( z ) = exp ⁡ { ( z − 1 ) ⋅ log ⁡ [ Γ ( z ) ] } . {\displaystyle K(z)\cdot G(z)=\exp \left\{(z-1)\cdot \log[\Gamma (z)]\right\}.} ここで、 z ∈ C , z ∉ Z ∖ N , z ≠ 0. {\displaystyle z\in \mathbb {C} ,z\notin \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} ,z\neq 0.} Benoit Cloitreは2003年、下の式を発表した。 1 K ( n + 1 ) = ( − 1 ) n det ⁡ | − 1 − 1 − 1 ⋯ − 1 1 2 1 4 1 8 ⋯ 1 2 n − 1 3 − 1 9 − 1 27 ⋯ − 1 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ( − 1 ) n n ( − 1 ) n n 2 ( − 1 ) n n 3 ⋯ ( − 1 ) n n n | {\displaystyle {\frac {1}{K(n+1)}}=(-1)^{n}\operatorname {det} {\begin{vmatrix}-1&-1&-1&\cdots &-1\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{8}}&\cdots &{\frac {1}{2^{n}}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{9}}&-{\frac {1}{27}}&\cdots &-{\frac {1}{3^{n}}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {(-1)^{n}}{n}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}}}&{\frac {(-1)^{n}}{n^{3}}}&\cdots &{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}\\\end{vmatrix}}} . Kinkelin, Hermann (1860). “Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung” (ドイツ語). Journal für die reine und angewandte Mathematik 57 (18): 122–138. ISSN 0075-4102. PPN243919689. http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002150824.