局所体

局所体(きょくしょたい、英: local field)とは、離散付値に対して完備であり、剰余体が有限体である付値体のことである。 局所体の定義としては、上に挙げたもの以外にもいくつかあり、そのうちの代表的なものを挙げる。これらは互いに同値な定義である。 局所体とは、非アルキメデス付値に対して完備であり、付値環がコンパクト[要曖昧さ回避]である付値体のことである。 局所体とは、自明ではない乗法付値に対して連結ではない局所コンパクトな付値体のことである。 局所体とは、p進体もしくは有限体係数の1変数ベキ級数体の有限次代数拡大体と付値体として同型な付値体のことである。 応用上、局所体をp進体もしくは有限体係数の1変数ベキ級数体の有限次代数拡大体に限定することも多い。 その場合、局所体を 大域体(代数体もしくは有限体上の1変数代数関数体)の離散付値による完備化 と定義されることもある。このとき、大域体から局所体を得ることを局所化という。 上記の定義の他に、実数体や複素数体も局所体に含めることもある。これらが アルキメデス付値に対して完備である。 連結である局所コンパクトな付値体である。 代数体のアルキメデス付値による完備化である。 と、上記局所体の定義とよく似た性質を持っているからである。 この場合、非アルキメデス付値による局所体を非アルキメデス的局所体、アルキメデス付値による局所体をアルキメデス的局所体という。 しかし実数体(複素数体)と p進体または1変数ベキ級数体とでは性質の異なる部分が多いので、ここでは当初の定義通り、特に断らない限り局所体といった場合、実数体や複素数体は含まれないとする。しかし、局所体との類似点や相違点を知るために、局所体の性質に対応する実数体や複素数体の結果も記述することにする。 なお、この項では局所体としての性質を記述し、p進体もしくはベキ級数体固有の性質については述べない。それらに対する詳細は個々の記事を参照のこと。 局所体を特徴付ける位相的性質を述べる。 局所体 K の付値環はコンパクトであり、K のコンパクトな部分環は付値環の部分環である。 付値環の任意のイデアルはコンパクトな開集合である。 乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} は連結ではない局所コンパクトな位相群である。 乗法群 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} に対して、n 次主単数群はコンパクトな開集合であり、 K × {\displaystyle \scriptstyle K^{\times }} のコンパクトな部分群は単数群 U の部分群である。 局所体 K に対して、乗法群 K× は以下の様に分解される。 K × ≃ ⟨ π ⟩ × U ≃ ⟨ π ⟩ × μ q − 1 × U ( 1 ) ≃ Z ⊕ Z / ( q − 1 ) Z ⊕ U ( 1 ) {\displaystyle K^{\times }\simeq \langle \pi \rangle \times U\simeq \langle \pi \rangle \times \mu _{q-1}\times U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /(q-1)\mathbb {Z} \oplus U^{(1)}} ここで、⟨π⟩ は素元 π によって生成される巡回群、q = pf は K の剰余体の元の個数、μq − 1 は 1 の q − 1 乗根全体のなす群、U は単数群、U(1) は主単数群である。 さらに単数群 U は、以下の様に分解される。 (1) K の標数が 0 であるとき U ≃ μ ( K ) × Z p d ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p d {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{d}\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}} 但し、μ(K) は K に含まれる 1 のベキ根全体のなす群であり、その位数を m とする。 (2) K の標数が 0 でないとき U ≃ μ ( K ) × Z p N ≃ ( Z / m Z ) ⊕ Z p N {\displaystyle U\simeq \mu (K)\times \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }\simeq (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\oplus \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。 また、主単数群 U(1) は、以下の様に分解される。 (1) K の標数が 0 であるとき U ( 1 ) ≃ μ p a Z ⊕ Z p d {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mu _{p^{a}}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{p}^{d}} 但し、pa は K に含まれる 1 の p ベキ乗根全体のなす群の位数であり、d = [K : Qp] である。 (2) K の標数が 0 でないとき U ( 1 ) ≃ Z p N {\displaystyle U^{(1)}\simeq \mathbb {Z} _{p}^{\mathbb {N} }} である。 続いて、実数体もしくは複素数体の場合を考察すると (1) 実数体の場合 単数群 U は {±1} であり R × ≃ { ± 1 } × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }\simeq \{\pm 1\}\times \mathbb {R} } である。 (2) 複素数体の場合 単数群 U は R/Z と同型であり C × ≃ R × R / Z {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\simeq \mathbb {R} \times \mathbb {R} /\mathbb {Z} } である。 ( K ,   | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を局所体とし、F を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の剰余体、π を | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} の素元としたとき、 | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} と同値な非アルキメデス付値 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} として | π | K = ( # F ) − 1 {\displaystyle |\pi |_{K}=(\#F)^{-1}} を満たすものが唯１つ存在する。この | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} を K の正規付値という。 ( K ,   | ⋅ | ) {\displaystyle \scriptstyle (K,\ |\cdot |)} を完備なアルキメデス付値体としたとき、K は実数体もしくは複素数体と同型であるが、 K の正規付値を、K が実数体と同型であるときは、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }} とし、K が複素数体と同型であるとき、 | ⋅ | K = | ⋅ | ∞ 2 {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{K}=|\cdot |_{\infty }^{2}} と定める。ここで、 | ⋅ | ∞ {\displaystyle \scriptstyle |\cdot |_{\infty }} は実数もしくは複素数上の絶対値とする。 上で定義された正規付値と、先に挙げた単数群の分解を用いることで、以下のことが得られる。 局所体 K に対して、正整数 n を K の標数が 0 でないときは、K の標数で割り切れない様にとる(K の標数が 0 であるときは n は任意の正整数でよい)。 K × n {\displaystyle K^{\times n}} を K × {\displaystyle K^{\times }} に含まれる n 乗数全体からなる群とし、 U n {\displaystyle U^{n}} を単数群 U に含まれる n 乗数全体からなる群とすれば、 ( K × : K × n ) = n ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=n(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)} が成立する。但し μ n ( K ) {\displaystyle \mu _{n}(K)} は K に含まれる 1 の n 乗根全体のなす群とし、 | ⋅ | K {\displaystyle |\cdot |_{K}} は K の正規付値である。 K が実数体もしくは複素数体であるときは、上式に類似した ( K × : K × n ) = ( U : U n ) = n | n | K # μ n ( K ) {\displaystyle (K^{\times }:K^{\times n})=(U:U^{n})={\frac {n}{|n|_{K}}}\#\mu _{n}(K)} が成立する。 1次元トーラス { x ∈ C |   | x | ∞ = 1 } {\displaystyle \scriptstyle \{x\in \mathbb {C} |\ |x|_{\infty }=1\}} を T とし、加法群 R / Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } から乗法群 T への連続な同型写像を e : R → T z ↦ exp ⁡ ( 2 π − 1 z ) {\displaystyle {\begin{array}{rccc}e:&\mathbb {R} &\to &T\\&z&\mapsto &\exp(2\pi {\sqrt {-1}}z)\end{array}}} で定める。 K を局所体とすると、K は加法に対する局所コンパクトな位相群と見なせるので、K から T への連続な準同型写像、つまり K の連続な指標が存在する。連続な指標全体からなる群つまり指標群を K