多角数定理

多角数定理（たかくすうていり、（英: polygonal number theorem）とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。 特に m = 3 の場合を（ガウスの）三角数定理、m = 4 の場合を（ラグランジュの）四平方定理という。 多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。 k 番目の m 角数とは、次の公式 P m ( k ) = ( m − 2 ) k 2 − ( m − 4 ) k 2 {\displaystyle P_{m}(k)={\frac {(m-2)k^{2}-(m-4)k}{2}}} で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。 これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。 例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, … のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, … に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。 N = 2m - 1 を表すには Pm(2) + (m - 1)Pm(1) とするより他にないから、m 個未満の m 角数の和では表されない自然数がある。N = 9n + 8 は二個の三角数の和で表されない（法 9 の計算で自明）から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N = 8n + 7 は三個の四角数の和で表されない（法 8 の計算で自明）から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m 個未満の m 角数で表されない自然数は有限個である。m ≥ 6 のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 108(m - 2) は m - 1 個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 5 が奇数のとき、十分に大きな自然数 N ≥ 4 ( m − 2 ) 3 14 − 4 3 {\displaystyle N\geq {\tfrac {4(m-2)^{3}}{14-4{\sqrt {3}}}}} は四個の m 角数の和で表される。また、m ≥ 6 が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 N ≥ ( m − 2 ) 3 14 − 4 3 {\displaystyle N\geq {\tfrac {(m-2)^{3}}{14-4{\sqrt {3}}}}} は四個の m 角数の和で表される。 三平方和定理により 8 N + 3 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y + 1 ) 2 + ( 2 z + 1 ) 2 {\displaystyle 8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}\,} と表されるから N = x ( x + 1 ) 2 + y ( y + 1 ) 2 + z ( z + 1 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}} となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。 四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。 十分大きな N に対してのみ証明する。m ≥ 5, N ≥ 108(m - 2) とすれば 8 N m − 2 − 8 − 6 N m − 2 − 3 > 3.86 > 23 6 {\displaystyle {\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}-{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}>3.86>{\frac {23}{6}}} であるから 0 < 1 2 + 6 N m − 2 − 3 < 2 d ± 1 < 2 3 + 8 N m − 2 − 8 {\displaystyle 0<{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}<2d\pm 1<{\frac {2}{3}}+{\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}} となる二個の奇数 2d ± 1 が存在する。 N ≡ b + r (mod m - 2) となるように b ∈ { 2 d ± 1 } ,   r ∈ { e ∈ Z | 0 ≤ e ≤ m − 4 } {\displaystyle b\in \{2d\pm 1\},\ r\in \{e\in \mathbb {Z} |0\leq {e}\leq {m-4}\}} を選び、 a = 2 ( N − b − r m − 2 ) + b {\displaystyle a=2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b} とする。a, b は共に奇数であるから、4a - b2 ≡ 4 - 1 ≡ 3 (mod 8) であり、三平方和定理により、 4 a − b 2 = x 2 + y 2 + z ′ 2 {\displaystyle 4a-b^{2}=x^{2}+y^{2}+z'^{2}\,} となる三個の奇数 x ≥ y ≥ z′≥ 0 が存在する。b + x + y - z ≡ 0 (mod 4) となるように z = ± z′の符号を決め、 w 1 = b + x + y − z 4 {\displaystyle w_{1}={\frac {b+x+y-z}{4}}} w 2 = w 1 − y − z 2 = b + x − y + z 4 {\displaystyle w_{2}=w_{1}-{\frac {y-z}{2}}={\frac {b+x-y+z}{4}}} w 3 = w 1 − x − z 2 = b − x + y + z 4 {\displaystyle w_{3}=w_{1}-{\frac {x-z}{2}}={\frac {b-x+y+z}{4}}} w 4 = w 1 − x + y 2 = b − x − y − z 4 {\displaystyle w_{4}=w_{1}-{\frac {x+y}{2}}={\frac {b-x-y-z}{4}}} とすれば w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = b {\displaystyle w_{1}+w_{2}+w_{3}+w_{4}=b\,} w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 = b 2 + x 2 + y 2 + z 2 4 = a {\displaystyle w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2}={\frac {b^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}{4}}=a} N = ( m − 2 ) a − ( m − 4 ) b 2 + r = ( m − 2 ) ( w 1 2 + w 2 2 + w 3 2 + w 4 2 ) − ( m − 4 ) ( w 1 + w 2 + w 3 + w 4 ) 2 + r = P m ( w 1 ) + P m ( w 2 ) + P m ( w 3 ) + P m ( w 4 ) + r P m ( 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}N&={\frac {(m-2)a-(m-4)b}{2}}+r\\&={\frac {(m-2)(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}+w_{4}^{2})-(m-4)(w_{1}+w_{2}+w_{3}+w_{4})}{2}}+r\\&=P_{m}(w_{1})+P_{m}(w_{2})+P_{m}(w_{3})+P_{m}(w_{4})+rP_{m}(1)\end{aligned}}} となる。ただし P m ( k ) = ( m − 2 ) k 2 − ( m − 4 ) k 2 {\displaystyle P_{m}(k)={\frac {(m-2)k^{2}-(m-4)k}{2}}} とする。0 ≤ r ≤ m - 4 であるから、wn ≥ 0 であれば N ≥ 108(m - 2) が高々 m 個の m 角数で表されることになる。以下において wn ≥ 0 であることを証明する。 b < 2 3 + 8 N m − 2 − 8 < 2 ( m − 4 m − 2 ) + 8 N − 8 r m − 2 = b ′ ( ⇐ m ≥ 5 , r ≤ m − 4 ) {\displaystyle b<{\frac {2}{3}}+{\sqrt {{\frac {8N}{m-2}}-8}}<2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)+{\sqrt {\frac {8N-8r}{m-2}}}=b'\qquad (\Leftarrow {m\geq 5,r\leq {m-4}})} であるから b 2 − 4 a = b 2 − 4 ( 2 ( N − b − r m − 2 ) + b ) = ( b − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 4 ( m − 4 m − 2 ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) < ( b − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) < ( b ′ − 2 ( m − 4 m − 2 ) ) 2 − 8 ( N − r m − 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-4a&=b^{2}-4\left(2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b\right)\\&=\left(b-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-4\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)\\&<\left(b-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)\\&<\left(b'-2\left({\frac {m-4}{m-2}}\right)\right)^{2}-8\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)=0\\\end{aligned}}} である。同時に b > 1 2 + 6 N m − 2 − 3 > ( 1 2 − 3 m − 2 ) + 6 N − 6 r m − 2 − 3 = b ″ ( ⇐ m ≥ 5 ) {\displaystyle b>{\frac {1}{2}}+{\sqrt {{\frac {6N}{m-2}}-3}}>\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)+{\sqrt {{\frac {6N-6r}{m-2}}-3}}=b''\qquad (\Leftarrow {m\geq 5})} であるから b 2 + 2 b + 4 − 3 a = b 2 + 2 b + 4 − 3 ( 2 ( N − b − r m − 2 ) + b ) = ( b − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − ( 1 2 − 3 m − 2 ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 4 > ( b − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 3 > ( b ″ − ( 1 2 − 3 m − 2 ) ) 2 − 6 ( N − r m − 2 ) + 3 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}+2b+4-3a&=b^{2}+2b+4-3\left(2\left({\frac {N-b-r}{m-2}}\right)+b\right)\\&=\left(b-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+4\\&>\left(b-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+3\\&>\left(b''-\left({\frac {1}{2}}-{\frac {3}{m-2}}\right)\right)^{2}-6\left({\frac {N-r}{m-2}}\right)+3=0\\\end{aligned}}} である。4a - b2 = x2 + y2 + z2 を固定して x + y + z が最大となるのは x = y = z のときであるから x + y + z ≤ 3 ( 4 a − b 2 ) < 4 ( b 2 + 2 b + 4 ) − 3 b 2 = b + 4 {\displaystyle x+y+z\leq {\sqrt {3(4a-b^{2})}}<{\sqrt {4(b^{2}+2b+4)-3b^{2}}}=b+4} b − x − y − z > − 4 {\displaystyle b-x-y-z>-4\,} w4 は整数であるから w 4 = b − x − y − z 4 ≥ 0 {\displaystyle w_{4}={\frac {b-x-y-z}{4}}\geq 0} x ≥ y ≥ |z| により w 1 ≥ w 2 ≥ w 3 ≥ w 4 ≥ 0 {\displaystyle {w_{1}}\geq {w_{2}}\geq {w_{3}}\geq {w_{4}}\geq {0}} である。 三平方和定理により、8N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから 8 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 8N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,} N = x ( x + 1 ) 2 + ( y + z 2 ) 2 + ( y − z 2 ) 2 {\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+\left({\frac {y+z}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y-z}{2}}\right)^{2}} となる x, y, z が存在する。法 8 で考え、y, z は共に偶数か共に奇数である。したがって、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、4N + 1 は高々三個の平方数の和で表されるが、法 8 で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから 4 N + 1 = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 {\displaystyle 4N+1=(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}\,} N = ( 2 x + 1 ) 2 + ( 2 y ) 2 + ( 2 z ) 2 − 1 4 = ( x + y ) ( x + y + 1 ) 2 + ( x − y ) ( x − y + 1 ) 2 + z 2 {\displaystyle N={\frac {(2x+1)^{2}+(2y)^{2}+(2z)^{2}-1}{4}}={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+{\frac {(x-y)(x-y+1)}{2}}+z^{2}} となる x, y, z が存在する。したがって、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。 2008年4月23日、Oh, Sunらは「すべての正整数は、平方数と奇数の平方数と三角数との和として表せる」ことを示したと発表した。