一般化双曲型分布

一般化双曲型分布 (英: generalized hyperbolic distribution, GH)は、一般化逆ガウス分布（英語版）（GIG分布）による正規分散平均混合（英語版）として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsen（英語版）により導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。 一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。 g h ( x ; λ , α , β , δ , μ ) = a ( λ , α , β , δ , μ ) ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( λ − 1 2 ) / 2 × K λ − 1 / 2 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) exp ⁡ ( β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})^{(\lambda -{\frac {1}{2}})/2}\\&\times K_{\lambda -1/2}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})\exp(\beta (x-\mu ))\end{aligned}}} ここで、 a ( λ , α , β , δ , μ ) = ( α 2 − β 2 ) λ / 2 2 π α λ − 1 / 2 δ λ K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )={\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{\lambda /2}}{{\sqrt {2\pi }}\alpha ^{\lambda -1/2}\delta ^{\lambda }K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}} Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。 μ {\displaystyle \mu } 位置 (location) パラメータ（実数） λ {\displaystyle \lambda } （実数） α {\displaystyle \alpha } （実数） β {\displaystyle \beta } 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数） δ {\displaystyle \delta } 尺度 (scale) パラメータ（実数） x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )} λ > 0 のとき、 δ ≥ 0 , | β | < α {\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha } λ = 0 のとき、 δ > 0 , | β | < α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |<\alpha } λ < 0 のとき、 δ > 0 , | β | ≤ α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha } 本節では、以下 ζ u = δ α 2 − ( β + u ) 2 ζ = ζ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{u}&=\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\\zeta &=\zeta _{u=0}\end{aligned}}} とする。 期待値は以下の式で与えられる。 E ( X ) = μ + δ β α 2 − β 2 K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = μ + δ 2 β ζ K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\mu +{\frac {\delta \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\mu +{\frac {\delta ^{2}\beta }{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}} 分散は以下の式で与えられる。 Var ⁡ ( X ) = δ α 2 − β 2 K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) + δ 2 β 2 ( α 2 − β 2 ) [ K λ + 2 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) − ( K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) ) 2 ] = δ 2 ζ K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) + δ 4 β 2 ζ 2 [ K λ + 2 ( ζ ) K λ ( ζ ) − ( K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) ) 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&={\frac {\delta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}+{\frac {\delta ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\delta ^{2}}{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}+{\frac {\delta ^{4}\beta ^{2}}{\zeta ^{2}}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}} モーメント母関数は以下の式で与えられる。 M G H ( u ) = exp ⁡ ( u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = exp ⁡ ( u μ ) ( ζ ζ u ) λ K λ ( ζ u ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}} 特性関数は以下の式で与えられる。 φ ( u ) = exp ⁡ ( i u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + i u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + i u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}} 双曲型分布（英語版） (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。 確率密度関数 g h ( x ; 1 , α , β , δ , μ ) = h y p ( x ; α , β , δ , μ ) = α 2 − β 2 2 δ α K 1 ( δ α 2 − β 2 ) exp ⁡ ( − α δ 2 + ( x − μ ) 2 + β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\mathrm {hyp} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}{2\delta \alpha K_{1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\exp(-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu ))\end{aligned}}} λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。 正規逆ガウス分布（英語版） (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。 確率密度関数 g h ( x ; − 1 / 2 , α , β , δ , μ ) = nig ⁡ ( x ; α , β , δ , μ ) = α δ π exp ⁡ ( δ α 2 − β 2 + β ( x − μ ) ) K 1 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) δ 2 + ( x − μ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\operatorname {nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\alpha \delta }{\pi }}\exp(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+\beta (x-\mu )){\frac {K_{1}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})}{\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}\end{aligned}}} 正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。 自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0) g h ( x ; λ = − ν 2 , α → | β | , β , δ , μ ) = δ ν | β | ( ν + 1 ) / 2 K ( v + 1 ) / 2 ( ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) β 2 ) exp ⁡ ( β ( x − μ ) ) 2 ( v − 1 ) / 2 Γ ( ν 2 ) π ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\delta ^{\nu }|\beta |^{(\nu +1)/2}K_{(v+1)/2}\left({\sqrt {(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})\beta ^{2}}}\right)\exp(\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi }}\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)^{(\nu +1)/2}}}\end{aligned}}} 自由度 ν の（対称な）スチューデントのt分布となる。 g h ( x ; λ = − ν 2 , α = 0 , β = 0 , δ = ν , μ ) = Γ ( ν + 1 2 ) π δ Γ ( ν 2 ) [ 1 + ( x − μ ) 2 δ 2 ] − ν + 1 2 = Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) ( 1 + ( x − μ ) 2 ν ) − ν + 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha =0,\beta =0,\delta ={\sqrt {\nu }},\mu )\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\delta \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left[1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\delta ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\end{aligned}}} 平均 μ + βσ2、分散 σ2 の正規分布となる。 （英語） The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures (PDF) , Karsten Prause, Oktober 1999. Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting Cases and Approximation of Processes (PDF) , Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003. Absolute moments of generalized hyperbolic distributions and approximate scaling of normal inverse Gaussian Lévy-Processes (PDF) , Ole Eiler Barndorff-Nielsen and Robert Stelzer, April 25, 2004. Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008. Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution (PDF) , Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran, Thanh Tam, Dec 09, 2009. （日本語） GIG分布とGH分布に関する解析 (PDF) 、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」 a b  K − 1 2 ( x ) = K 1 2 ( x ) = π 2 x − 1 2 exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle K_{-{\frac {1}{2}}}(x)=K_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}x^{-{\frac {1}{2}}}\exp(-x)} Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）