一般ディリクレ級数

一般ディリクレ級数（いっぱんでぃりくれきゅうすう、英: general Dirichlet series）とは、 複素数列 { a n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}} 、無限大に発散する狭義の単調増加列 { λ n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{\lambda _{n}\}_{n\geq 0}} および複素数 s に対して、 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} で表される級数のことをいう。指数型のディリクレ級数または広義のディリクレ級数ともいう。 特に、 λ n = log ⁡ n {\displaystyle \lambda _{n}=\log n} のとき、 ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} であり、(通常)ディリクレ級数となる。 また、 λ n = n {\displaystyle \lambda _{n}=n} 、 z = e − s {\displaystyle z=e^{-s}} とすると、 ∑ n = 1 ∞ a n z n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}} と、ベキ級数になる。 s を変数とみなし、一般ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的一般ディリクレ級数 (formal general Dirichlet series)という。 任意の一般ディリクレ級数に対して、次のいずれかが成り立つ。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は収束する。 任意の複素数 s に対して、一般ディリクレ級数は発散する。 一般ディリクレ級数が Re ⁡   s > σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して収束し、 Re ⁡   s < σ c {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{c}} を満たす複素数 s に対して発散する様な実数 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が存在する。 この σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} を一般ディリクレ級数の収束軸 (line of convergence)または収束座標 (abscissa of convergence)という。 収束軸について、一般ディリクレ級数が常に収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に発散する場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 収束軸の値の求め方 一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が発散する場合 σ c = lim sup n → ∞ log ⁡ | s ( n ) | λ n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |s(n)|}{\lambda _{n}}}} 。 s n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} が収束する場合 σ c = lim sup n → ∞ log ⁡ | a n + a n + 1 + ⋯ | λ n {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log |a_{n}+a_{n+1}+\cdots |}{\lambda _{n}}}} 。 また、 σ c = lim sup x → ∞ 1 x log ⁡ | ∑ [ x ] ≤ λ n < x a n | {\displaystyle \sigma _{c}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!a_{n}\right|} という式も知られている。 一般の級数のときと同じく、 ∑ n = 1 ∞ | a n | e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|e^{-\lambda _{n}s}} が収束するとき、一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} は絶対収束するという。 絶対収束する複素数 s に対する、 Re ⁡   s {\displaystyle \operatorname {Re} \ s} の下限を絶対収束軸 (line of absolute convergence)または絶対収束座標 (abscissa of absolute convergence)という。 絶対収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で絶対収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に絶対収束しない場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 ディリクレ級数の場合、ある点で収束すれば絶対収束する点が存在するが(ディリクレ級数の絶対収束性を参照)、ある点で収束しても、すべての点で絶対収束しない一般ディリクレ級数が存在する。 例えば ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n e − s log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}e^{-s\log \log n}} は、すべての複素数 s に対して収束するが、絶対収束することはない。 一般に、収束軸が有限の値 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} を持ち、 lim sup n → ∞ log ⁡ n λ n {\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log n}{\lambda _{n}}}} が有限の値 α をとるならば、絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} は有限の値を持ち、 0 ≤ σ a − σ a ≤ α {\displaystyle \scriptstyle 0\leq \sigma _{a}-\sigma _{a}\leq \alpha } であることが知られている。 絶対収束軸は、先に述べた収束軸の値を求める公式を用いて、以下の様に与えられる。 一般ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} の値は、以下の様に求められる。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が発散する場合 σ a = lim sup n → ∞ log ⁡ s ( n ) log ⁡ n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log s(n)}{\log n}}} 。 s n = ∑ k = 1 n | a k | {\displaystyle \textstyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|} が収束する場合 σ a = lim sup n → ∞ log ⁡ ( | a n | + | a n + 1 | + ⋯ ) log ⁡ n {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log(|a_{n}|+|a_{n+1}|+\cdots )}{\log n}}} 。 また、 σ a = lim sup x → ∞ 1 x log ⁡ ( ∑ [ x ] ≤ λ n < x | a n | ) {\displaystyle \sigma _{a}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}\log \left(\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!\!|a_{n}|\right)} が成り立つ。 一般ディリクレ級数を f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} として、s を変数とする関数とみなすと、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の一様収束性が問題となる。 一般ディリクレ級数の一様収束性について、収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} および絶対収束軸 σ a {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{a}} が有限の値であるならば、 このとき、 σ c ≤ σ u ≤ σ a {\displaystyle \sigma _{c}\leq \sigma _{u}\leq \sigma _{a}} を満たす実数 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} が存在して、 Re ⁡   s > σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束するが、 Re ⁡   s < σ u {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s<\sigma _{u}} を満たす複素数 s に対して、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} は一様収束しない。　 この σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} を、一様収束軸 (line of uniform convergence)または一様収束座標 (abscissa of uniform convergence)という。 一様収束軸について、一般ディリクレ級数がすべての点で一様収束するときは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } 、常に一様収束しない場合は + ∞ {\displaystyle \scriptstyle +\infty } と定める。 一様収束軸の値は、収束軸・絶対収束軸とは異なる方法で求められる。 ディリクレ級数 ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} の一様収束軸 σ u {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{u}} の値は、以下の様に求められる。 σ u = lim sup x → ∞ log ⁡ T x log ⁡ x {\displaystyle \sigma _{u}=\limsup _{x\to \infty }{\frac {\log T_{x}}{\log x}}} 。 ここで、 T x = sup − ∞ < y < ∞ | ∑ [ x ] ≤ λ n < x a n e − i λ n y | {\displaystyle T_{x}=\!\!\!\!\sup _{-\infty <y<\infty }\left|\sum _{[x]\leq \lambda _{n}<x}\!\!\!a_{n}e^{-i\lambda _{n}y}\right|} 。 一般ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} は、 Re ⁡   s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で収束するならば、 Re ⁡   s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で正則である。さらに、 f ( s ) {\displaystyle f(s)} の微分は f ( k ) ( s ) = ( − 1 ) k ∑ n = 1 ∞ λ n k a n e − λ n s {\displaystyle f^{(k)}(s)=(-1)^{k}\sum _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}^{k}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} で与えられる。 Re ⁡   s > σ {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Re} \ s>\sigma } で正則である様な σ の下限を σ r {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{r}} とおくと。 σ r = sup − ∞ < y < + ∞ lim sup x → − ∞ ( log ⁡ log + ⁡ | φ ( x + i y ) | + x ) {\displaystyle \sigma _{r}=\sup _{-\infty <y<+\infty }\limsup _{x\to -\infty }(\log \log ^{+}|\varphi (x+iy)|+x)} 。 但し、 φ ( z ) = ∑ n = 1 ∞ ( a n e − λ n z / Γ ( 1 + λ n ) ) ,       log + ⁡ z = max ( log ⁡ z ,   0 ) {\displaystyle \varphi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}e^{-\lambda _{n}z}/\Gamma (1+\lambda _{n})),\ \ \ \log ^{+}z=\max(\log z,\ 0)} 。 2つのディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n e − λ n s ,           g ( s ) = ∑ n = 1 ∞ b n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s},\ \ \ \ \ g(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}e^{-\lambda _{n}s}} が、ある開領域内で収束し、そこで、 f ( s ) = g ( s ) {\displaystyle f(s)=g(s)} が成立するならば、すべての n に対して、 a n = b n {\displaystyle a_{n}=b_{n}} である。 収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値もしくは − ∞ {\displaystyle \scriptstyle -\infty } である、一般ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n ≤ x a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} に対して、ω を λ n < ω < λ n + 1 {\displaystyle \scriptstyle \lambda _{n}<\omega <\lambda _{n+1}} を満たす様にとり、 c > max ( σ c ,   0 ) {\displaystyle \scriptstyle c>\max(\sigma _{c},\ 0)} とする。このとき ∑ k = 1 n a k = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + ∞ a n e ω z z d z {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+\infty }a_{n}{\frac {e^{\omega z}}{z}}dz} が成立する。但し、積分路は、すべての λ k {\displaystyle \lambda _{k}} を通らない様にとる。 さらに、 x > σ c {\displaystyle \scriptstyle x>\sigma _{c}} であるならば、 a n = lim T → ∞ 1 T ∫ x x + T f ( x + i y ) e λ n ( x + i y ) d y {\displaystyle a_{n}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{x}^{x+T}\!\!f(x+iy)e^{\lambda _{n}(x+iy)}dy} 。 ε、 δ、T を任意の正数とする。 収束軸 σ c {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{c}} が有限の値である一般ディリクレ級数 f ( s ) = ∑ n ≤ x a n e − λ n s {\displaystyle f(s)=\sum _{n\leq x}a_{n}e^{-\lambda _{n}s}} に対して、 σ ≥ σ c + ε ,   T < t < T + 2 δ log ⁡ T {\displaystyle \scriptstyle \sigma \geq \sigma _{c}+\varepsilon ,\ T<t<T+2\delta \log T} を満たす複素数 s = σ + i t {\displaystyle s=\sigma +it} のうち、 f ( s ) = 0 {\displaystyle f(s)=0} を満たすものの個数を N ( T ) {\displaystyle N(T)} とおくと、 N ( T ) {\displaystyle N(T)} は有限の値であり、 lim sup T → ∞ N ( T ) log 2 ⁡ T ≤ δ ε {\displaystyle \limsup _{T\to \infty }{\frac {N(T)}{\log ^{2}T}}\leq {\frac {\delta }{\varepsilon }}} が成立する。