確率の公理

コルモゴロフの公理は、1933年にアンドレイ・コルモゴロフが導入した、確率論の基礎となる公理である。これらの公理は依然として確率論の基盤となっており、数学、物理科学、および現実世界の確率の事例の理解にとり重要である。ベイズ確率を形式化する代替的アプローチは、コックスの定理（英語版）によって与えられる。 まず、コルモゴロフ自身による公理系を解説し、次節で現代の定義について解説する。 Ω {\displaystyle \Omega } は、根元事象と呼ばれる要素の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } の部分集合から構成される族であり、その要素は事象と呼ばれる。 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。以下の5公理を満たす系 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},P)} を確率空間と呼ぶ。 1. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は有限個の要素による集合和、集合差、共通部分について閉じている。 2. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } を含む。すなわち Ω ∈ F . {\displaystyle \Omega \in {\mathfrak {F}}.} 3. P {\displaystyle P} は非負の実数値をとる。すなわち、 P : F → R ≥ 0 {\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} 4. P ( Ω ) = 1. {\displaystyle P(\Omega )=1.} 5. A , B ∈ F {\displaystyle A,B\in {\mathfrak {F}}} が互いに素な集合 (Disjoint sets) ならば、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B).} （有限加法性） さらに Ω {\displaystyle \Omega } が無限集合の場合には次の連続牲の公理を導入する。 6. F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} の減少列 A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 3 ⊃ ⋯ {\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots } が、 ⋂ n = 1 ∞ A n = ∅ {\displaystyle \textstyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}=\emptyset } を満たすならば、 lim n → ∞ P ( A n ) = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=0.} 公理5と6より、次の一般化加法定理（完全加法牲）が導かれる。 一般化加法定理 集合列 { A n } n ∈ N {\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} は、互いに素であり、 ⋃ n = 1 ∞ A n ∈ F {\displaystyle \textstyle \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathfrak {F}}} ならば、 P ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) . {\displaystyle P{\bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}{\bigr )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(A_{i}).} 一般化加法定理を満たす P {\displaystyle P} は、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} が生成する完全加法族（σ-集合体）上の非負かつ完全加法的な集合関数に一意的に拡張可能である。 以上の議論をまとめて、現代では以下のように要約する。 Ω {\displaystyle \Omega } は任意の集合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は Ω {\displaystyle \Omega } 上の完全加法族（σ-集合体）（あるいは有限加法族）、 P {\displaystyle P} は F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} 上の集合関数とする。 P {\displaystyle P} が次の3条件を満たすとき、 P {\displaystyle P} は ( Ω , F ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})} 上の確率測度となり、 Ω {\displaystyle \Omega } は標本空間、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は事象空間と呼ばれる。 事象の確率は非負の実数を取る。 P : F → R ≥ 0 {\displaystyle P:{\mathfrak {F}}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} ここで F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は事象空間である。従って確率測度 P {\displaystyle P} は、測度の中でも特に、有限値しか取らない。負の確率を取る理論では、第一の公理は緩和される。 これは、単位測度（英語版）の仮定である。すなわち、標本空間全体において、少なくとも1つの根元事象が起こる確率は1となる。 P ( Ω ) = 1. {\displaystyle P(\Omega )=1.} これは、σ-加法性の仮定である。互いに素な集合 (Disjoint sets) の任意の可算個の列（排反事象（英語版）と同義） E 1 , E 2 , ⋯ ∈ F {\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots \in {\mathfrak {F}}} は、下記を満たす。 P ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) . {\displaystyle P{\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{i=1}^{\infty }E_{i}{\Big )}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).} 単に有限加法的な確率空間を考えている研究者もおり、この場合、 F {\displaystyle {\mathfrak {F}}} は完全加法族ではなく有限加法族であることだけが要求される。一般に、偽確率分布（英語版）は第三の公理を緩和する。 コルモゴロフの公理から、確率を研究する上でその他の有用な法則を演繹することができる。これらの法則の証明は、第三の公理の力と、残りの2つの公理との相互作用を深い洞察をもって描き出す手順となる。即座に導ける4つの系とその証明を以下に示そう。 A ⊆ B ⟹ P ( A ) ≤ P ( B ) . {\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow P(A)\leq P(B).} AがBの部分集合の場合、Aの確率はBの確率以下となる。 単調性を作るため、 E 1 = A , E 2 = B ∖ A {\displaystyle E_{1}=A,E_{2}=B\setminus A} とする。ただし、 A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} とし、 i ≥ 3 {\displaystyle i\geq 3} に対して E i = ∅ {\displaystyle E_{i}=\varnothing } とする。集合列 { E i } n ∈ N {\displaystyle \{E_{i}\}_{n\in \mathbb {N} }} は互いに素であり、 ⋃ n = 1 ∞ E n = B {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}=B} となることは自明である。したがって、第三の公理から次が得られる。 P ( A ) + P ( B ∖ A ) + ∑ i = 3 ∞ P ( E i ) = P ( B ) . {\displaystyle P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=P(B).} 第一の公理により、この左辺の各項は非負であり、有限値 P ( B ) {\displaystyle P(B)} に収束するため、 P ( A ) ≤ P ( B ) {\displaystyle P(A)\leq P(B)} および P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} が得られる。 P ( ∅ ) = 0. {\displaystyle P(\varnothing )=0.} 事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が ∅ {\displaystyle \varnothing } とは限らない。 1つ前の証明で、 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。 P ( B ) = P ( A ) + P ( B ∖ A ) + ∑ i = 3 ∞ P ( E i ) {\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)+\sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})} は収束するから、 P ( ∅ ) =: a {\displaystyle P(\varnothing )=:a} とおくと、 ∑ i = 3 ∞ P ( E i ) = ∑ i = 3 ∞ P ( ∅ ) = ∑ i = 3 ∞ a = { 0 ( a = 0 ) ∞ ( a > 0 ) {\displaystyle \sum _{i=3}^{\infty }P(E_{i})=\sum _{i=3}^{\infty }P(\varnothing )=\sum _{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&(a=0)\\\infty &(a>0)\end{cases}}} も収束する。 a > 0 {\displaystyle a>0} と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、 a = P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle a=P(\varnothing )=0} となる。 P ( A c ) = P ( Ω ∖ A ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)} A , A c {\displaystyle A,A^{c}} は排反であり、 A ∪ A c = Ω {\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega } である。よって、 P ( A ∪ A c ) = P ( A ) + P ( A c ) {\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(A)+P(A^{c})} （公理3に従う） そして P ( A ∪ A c ) = P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1} （公理2に従う） ⇒ P ( A ) + P ( A c ) = 1 {\displaystyle \Rightarrow P(A)+P(A^{c})=1} ∴ P ( A c ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle \therefore P(A^{c})=1-P(A)} 単調性から即座に次が従う。 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 ∀ E ∈ F . {\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.} ∅ ⊂ E ⊂ Ω {\displaystyle \varnothing \subset E\subset \Omega } に単調性の性質を使うと、 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} より、 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1} もう一つの重要な性質は下記である。 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) . {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).} これは、確率の加法定理と呼ばれる。つまり、AまたはBが起こる確率は、Aが起こる確率とBが起こる確率の和からAとBの両方が起こる確率を引いたものである。この証明は次の通りである。 まず、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ∖ A ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A)} （公理3による） であるから、 P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ∖ ( A ∩ B ) ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus (A\cap B))} （ B ∖ A = B ∖ ( A ∩ B ) {\displaystyle B\setminus A=B\setminus (A\cap B)} であるため） また、 P ( B ) = P ( B ∖ ( A ∩ B ) ) + P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(B)=P(B\setminus (A\cap B))+P(A\cap B)} P ( B ∖ ( A ∩ B ) ) {\displaystyle P(B\setminus (A\cap B))} を消去すれば、求める結果が得られる。 加法定理の任意の数の集合への拡張は、包除原理である。 また、加法定理においてBをAの余事象Acとすると P ( A c ) = P ( Ω ∖ A ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)} つまり、事象が発生しない確率（つまり余事象）は、1から発生する確率を引いたものである。 一回のコイントスを考え、コインが表 (H) または裏 (T) のいずれかで着地するものとする（両方は起きえない）。コインが公正であるかどうかに関して仮定はしない。 この場合、下記のように定義できよう。 Ω = { H , T } {\displaystyle \Omega =\{H,T\}} F = { ∅ , { H } , { T } , { H , T } } {\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}} コルモゴロフの公理から次が分かる。 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} 表でも裏でもない確率は0となる。 P ( { H , T } c ) = 0 {\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0} 表か裏かいずれかの確率は、1となる。 P ( { H } ) + P ( { T } ) = 1 {\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1} また、上記の通り、表の確率と裏の確率の合計は1である。 ボレル集合 完全加法族 集合論 条件付き確率 偽確率（英語版）