マクスウェル分布

マクスウェル分布（マクスウェルぶんぷ、英: Maxwell distribution）とは、熱力学的平衡状態において、気体分子の速度が従う分布関数である。マクスウェル＝ボルツマン分布（英: Maxwell–Boltzmann distribution）と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。イギリスの物理学者J.C.マクスウェルが1859年に見いだしたことにちなんで名付けられた。 気体分子運動論では、成分を vx, vy, vz とする速度ベクトル v について、x 方向の速度成分 vx の分布は、分子の質量を m、ボルツマン定数を k、絶対温度を T、係数を A として A exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) {\displaystyle A\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)} に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 A を求めるには vx に関して積分した値が1になれば良いので A ∫ − ∞ + ∞ exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) d v = 2 A ∫ 0 + ∞ exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) d v = 1 {\displaystyle A\int _{-\infty }^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=2A\int _{0}^{+\infty }\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v=1} より、A = √m / 2πkT となる。したがって、x 方向の速度成分 vx の分布は f ( v x ) = m 2 π k T exp ⁡ ( − m v x 2 2 k T ) {\displaystyle f(v_{x})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left(-{\frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}\right)} となる。 また、x, y, z 方向の各速度の分布は互いに独立で、 f ( v x , v y , v z ) = f ( v x ) f ( v y ) f ( v z ) {\displaystyle f(v_{x},v_{y},v_{z})=f(v_{x})f(v_{y})f(v_{z})} が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ v の分布は f ( v ) d v x d v y d v z = ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp ⁡ ( − m ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) 2 k T ) d v x d v y d v z {\displaystyle f(v)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}\right)}{2kT}}\right)\mathrm {d} v_{x}\mathrm {d} v_{y}\mathrm {d} v_{z}} となる。ここで、dvxdvydvz は半径 v で厚さ dv の球殻の体積に相当するので、4πv2dv となり、またスカラー量である速さ v の大きさは v = √v 2 x  + v 2 y  + v 2 z  なので、マクスウェル分布は f ( v ) d v = 4 π v 2 ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp ⁡ ( − m v 2 2 k T ) d v {\displaystyle f(v)\mathrm {d} v=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)\mathrm {d} v} より f ( v ) = 4 π v 2 ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp ⁡ ( − m v 2 2 k T ) {\displaystyle f(v)=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right)} となる。 マクスウェル分布は一般化ガンマ分布（英語版）の一つである。 f Maxwell ( v ; a ) = f GeneralizedGamma ( v ; 2 a , 3 , 2 ) {\displaystyle f_{\text{Maxwell}}(v;a)=f_{\text{GeneralizedGamma}}(v;{\sqrt {2}}a,3,2)} 分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。 マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。 まず1つ目の速度が英語で"The most probable speed"と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度」や「最確速度」などと呼ばれるものであり、記号で vmp と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので d d v f ( v ) = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v}}f(v)=0} より v m p = 2 k T m {\displaystyle v_{\mathrm {mp} }={\sqrt {\frac {2kT}{m}}}} となる。 次に求められる速度が平均速度 v である。これはマクスウェル分布の期待値なので v ¯ = ⟨ v ⟩ = ∫ 0 ∞ v f ( v ) d v = 8 k T π m = 2 π v m p {\displaystyle {\overline {v}}=\langle v\rangle =\int _{0}^{\infty }vf(v)\mathrm {d} v={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{\mathrm {mp} }} となる。 最後に求められる速度が根二乗平均速度 vrms である。これはマクスウェル分布のモーメントなので v r m s = ⟨ v 2 ⟩ = ∫ 0 ∞ v 2 f ( v ) d v = 3 k T m = 3 2 v m p {\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}={\sqrt {\int _{0}^{\infty }v^{2}f(v)\mathrm {d} v}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{\mathrm {mp} }} となる。 また、これら3つの速度の比は v m p : v ¯ : v r m s = 1 : 2 π : 3 2 = 1 : 1.128 : 1.225 {\displaystyle v_{\mathrm {mp} }:{\overline {v}}:v_{\mathrm {rms} }=1:{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}:{\sqrt {\frac {3}{2}}}=1:1.128:1.225} と表される。  出典