二次体

二次体 (にじたい、英: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。 任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は巡回群となる。 その整数環がノルムユークリッド整域となる二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。 その整数環が一意分解整域となる虚二次体 Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} は、d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 だけである。 任意の二次体 K に対して、有理素数 p は、以下のいずれかを満たす。 ( p ) = p 1 p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}{\mathfrak {p}}_{2}} ( p 1 ,   p 2 {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ {\mathfrak {p}}_{2}} は、相異なる K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で完全分解であるという。) ( p ) = p 2 {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}^{2}} ( p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} は、K の素イデアル)。　(このとき、p は、K で不分解であるという。) ( p ) {\displaystyle (p)} は、K の素イデアルである。　(このとき、p は、K で不分岐であるという。) 二次体 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式を D としたとき、 D = { d ( d ≡ 1 mod 4 ) , 4 d ( d ≡ 2 , 3 mod 4 ) . {\displaystyle D={\begin{cases}d&(d\equiv 1\mod 4),\\4d&(d\equiv 2,3\mod 4).\end{cases}}} 従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、 { 1 ,   ( 1 + D ) / 2 } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ (1+{\sqrt {D}})/2\}} 、それ以外のときは、 { 1 ,   D } {\displaystyle \scriptstyle \{1,\ {\sqrt {D}}\}} が、 Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の整基底となる。 EK を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の単数群としたとき、 d = − 1 のとき：EK = { ± 1, ± i } 。 d = −3 のとき：EK = { ± 1, ± ω, ± ω2 } 　(ω = (− 1 + √− 3)/2) 。 d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき：EK = { ± 1 } 。 d > 0 のとき： E K = { ± ε 0 n | n = 0 ,   ± 1 ,   ± 2 ,   … } {\displaystyle \scriptstyle E_{K}=\{\pm \varepsilon _{0}^{n}|n=0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}} 　(ε0 は基本単数)。 D を、二次体 K = Q ( d ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} の判別式とし、自然数 x*, y* を、 x2 − Dy2 = ± 4の最小の有理整数解としたとき、(x* + y*√D)/2 は、K の基本単数である。 d ≤ 14 {\displaystyle \scriptstyle d\leq 14} に対する基本単数 任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 K ⊂ Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle K\subset \mathbb {Q} (\zeta _{n})} 。ここで、 ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} は、1 の原始 n 乗根である。 特に、n = 2q (q ≥ 3) とすれば、円分体 Q ( ζ n ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} には、 Q ( − 1 ) ,   Q ( 2 ) ,   Q ( − 2 ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-1}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}}),\ \mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})} が含まれる。 上記のことは、クロネッカー＝ウェーバーの定理の特別な場合である。さらに、基礎体を有理数体ではなく、虚二次体にしたときに同様なことが言えるかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢(の特別な場合)である。 二次体と初等整数論との関係を述べる。 ( a p ) {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)} をルジャンドル記号とすると、次が成立する。 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、 ( a p ) = 1 {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1} ⟺ {\displaystyle \Longleftrightarrow } ( p ) {\displaystyle (p)} は、 Q ( a ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})} 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。 このことから、二次体上で、どの様な素数が2つの素イデアルで分解されるかを考察することで、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示すことができる。 有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 K = Q ( D ) {\displaystyle \scriptstyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {D}})} の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。 二次体 K の判別式を D とし、χ を ( Z / d Z ) × {\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {Z} /d\mathbb {Z} )^{\times }} に対するクロネッカーの指標とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K の類数 hK は h K = 1 κ L ( 1 , χ ) {\displaystyle h_{K}={\frac {1}{\kappa }}L(1,\chi )} で与えられる。但し、κ は、 κ = { 2 log ⁡ ε 0 D ( D > 0 ) , 2 π w − D ( D < 0 ) , {\displaystyle \kappa ={\begin{cases}{\frac {2\log \varepsilon _{0}}{\sqrt {D}}}&(D>0),\\{\frac {2\pi }{w{\sqrt {-D}}}}&(D<0),\end{cases}}} で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε0 は、K の基本単数とする。 さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。 K が実二次体のとき h K = − 1 2 log ⁡ ε 0 ∑ a = 1 d − 1 χ ( a ) log ⁡ sin ⁡ a π d {\displaystyle h_{K}=-{\frac {1}{2\log \varepsilon _{0}}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)\log \sin {\frac {a\pi }{d}}} . K が虚二次体のとき h K = − w 2 d ∑ a = 1 d − 1 χ ( a ) a {\displaystyle h_{K}=-{\frac {w}{2d}}\sum _{a=1}^{d-1}\chi (a)a} . 但し、ε0 は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。 これらの式を総称してディリクレの類数公式という。 類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数の s = 1 {\displaystyle s=1} での留数で表現するものも知られている。 ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。 κ h K = Res s = 1 ⁡ ζ K ( s ) {\displaystyle \kappa h_{K}=\operatorname {Res} _{s=1}\zeta _{K}(s)} 。 但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。 ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。 K を二次体とし、DK, hK を K の判別式、類数としたとき、 | D K | → ∞ {\displaystyle \scriptstyle |D_{K}|\to \infty } ならば、 h K → ∞ {\displaystyle \scriptstyle h_{K}\to \infty } である。 類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。 与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。 類数が 1 である虚二次体 Q ( − d ) {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})} は、d が以下の場合に限る。 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163. 予想 1 について。 予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。 lim | D K | → ∞ log ⁡ h K log ⁡ | D K | = 1 {\displaystyle \lim _{|D_{K}|\to \infty }{\frac {\log h_{K}}{\log {\sqrt {|D_{K}|}}}}=1} 。 予想 2 について。 現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。 予想 3 について。 1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。 予想 4 について。 この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明) その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。