オイラーの分割恒等式

数論、組合せ論におけるオイラーの分割恒等式（オイラーのぶんかつこうとうしき）は、自然数（正の整数）を「互いに異なる自然数に分割する方法の個数」(distinct partition; 異分割) と「奇数の自然数に分割する方法の個数」(odd partotion; 奇分割) が等しいことを示す恒等式である。 例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法 8 = 1+2+5 8 = 1+3+4 8 = 1+7 8 = 2+6 8 = 3+5 8 = 8 と奇数の自然数に分割する方法 8 = 1+1+1+1+1+1+1+1 8 = 1+1+1+1+1+3 8 = 1+1+1+5 8 = 1+1+3+3 8 = 1+7 8 = 3+5 の個数は等しく 6 である。 自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q(n) で表すと、 Q(1) = 1, Q(2) = 1, Q(3) = 2, Q(4) = 2, Q(5) = 3, Q(6) = 4, Q(7) = 5, Q(8) = 6, Q(9) = 8, Q(10) = 10, … （オンライン整数列大辞典の数列 A9） などと続く。 オイラーは2種類の分割の方法の個数が等しいことを、母関数を用いて示した。自然数 n を互いに異なる自然数に分割する方法の数を Pd(n) とすると 1 + ∑ n = 1 ∞ P d ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{d}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)} である。また、自然数 n を奇数の自然数に分割する方法の数を Po(n) とすると 1 + ∑ n = 1 ∞ P o ( n ) x n = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + ∑ k = 1 ∞ x k ( 2 m − 1 ) ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }P_{o}(n)x^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+\sum _{k=1}^{\infty }x^{k(2m-1)}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} である。従って、オイラーの分割恒等式は ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}} と書き表される。 母関数で書き表したものの左辺を変形すると右辺が得られる。 ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 + x m ) ( 1 − x m ) 1 − x m = ∏ m = 1 ∞ 1 − x 2 m 1 − x m = 1 − x 2 ⋅ 1 1 − x 1 ⋅ 1 − x 2 ⋅ 2 1 − x 2 ⋅ 1 − x 2 ⋅ 3 1 − x 3 ⋅ 1 − x 2 ⋅ 4 1 − x 4 ⋅ . . . = ∏ m = 1 ∞ 1 − x 2 m ( 1 − x 2 m − 1 ) ( 1 − x 2 m ) = ∏ m = 1 ∞ 1 1 − x 2 m − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1+x^{m}\right)&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {\left(1+x^{m}\right)\left(1-x^{m}\right)}{1-x^{m}}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2m}}{1-x^{m}}}\\&={\frac {1-x^{2\cdot 1}}{1-x^{1}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 2}}{1-x^{2}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 3}}{1-x^{3}}}\cdot {\frac {1-x^{2\cdot 4}}{1-x^{4}}}\cdot ...\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2m}}{\left(1-x^{2m-1}\right)\left(1-x^{2m}\right)}}\\&=\prod _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2m-1}}}\\\end{aligned}}} 例として 8 を分割することを考える。ここで P を「異なる数による分割」に現れる一つの偶数をその半分の二つの整数の和にする変換、U を「奇数のみの分割」に現れる同じ二つの整数を一つの偶数にする変換とすると 1 + ( 2 ) + 5 → P 1 + [ 1 + 1 ] + 5 → U 1 + 2 + 5 {\displaystyle 1+(2)+5{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+5{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+2+5} 1 + 3 + ( 4 ) → P 1 + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + 3 → P 1 + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + 3 → U 1 + ( ( 2 ) + ( 2 ) ) + 3 → U 1 + 3 + 4 {\displaystyle 1+3+(4){\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[(2)+(2)]+3{\xrightarrow {\quad P\quad }}1+[1+1]+[1+1]+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+((2)+(2))+3{\xrightarrow {\quad U\quad }}1+3+4} 1 + 7 → I 1 + 7 {\displaystyle 1+7{\xrightarrow {\quad I\quad }}1+7} ( 2 ) + ( 6 ) → P [ 1 + 1 ] + [ 3 + 3 ] → U 2 + 6 {\displaystyle (2)+(6){\xrightarrow {\quad P\quad }}[1+1]+[3+3]{\xrightarrow {\quad U\quad }}2+6} 3 + 5 → I 3 + 5 {\displaystyle 3+5{\xrightarrow {\quad I\quad }}3+5} ( 8 ) → P [ ( 4 ) + ( 4 ) ] → P [ ( 2 ) + ( 2 ) ] + [ ( 2 ) + ( 2 ) ] → P [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] + [ 1 + 1 ] → U ( 2 + 2 ) + ( 2 + 2 ) → U ( 4 + 4 ) → U 8 {\displaystyle (8){\xrightarrow {P}}[(4)+(4)]{\xrightarrow {P}}[(2)+(2)]+[(2)+(2)]{\xrightarrow {P}}[1+1]+[1+1]+[1+1]+[1+1]{\xrightarrow {U}}(2+2)+(2+2){\xrightarrow {U}}(4+4){\xrightarrow {U}}8} このように「異なる数による分割」の方法と「奇数のみの分割」の方法との間に1対1対応がつけられる。これはPとUが互いに逆の変換であることから導かれる。したがってそれらの方法の個数は互いに等しい。ただし上記の 1+7 や 3+5 のような「異なる数による分割」と「奇数のみの分割」の両方に属するような方法は自分自身に対応づけることとする。その場合は恒等写像 I で表した。