アベル・プラナの和公式

数学において、アベル・プラナの和公式（英: Abel–Plana summation formula）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ( f ( a + i y ) e 2 π y e − 2 π i a − 1 − f ( a − i y ) e 2 π y e 2 π i a − 1 − f ( b + i y ) e 2 π y e − 2 π i b − 1 + f ( b − i y ) e 2 π y e 2 π i b − 1 ) d y , ( a , b ∉ Z ) ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y , ( a , b ∈ Z ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )\\&\sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )\\\end{aligned}}} 但し、 f ( x + i y ) {\displaystyle f(x+iy)} が a ≤ x ≤ b {\displaystyle a{\leq }x{\leq }b} において正則であり、 x {\displaystyle x} について一様に lim y → + ∞ e − 2 π y f ( x ± i y ) = 0 {\displaystyle \lim _{y\to +\infty }e^{-2{\pi }y}f(x{\pm }iy)=0} であることを条件とする。更に lim x → + ∞ ∫ 0 + ∞ f ( x ± i y ) e 2 π y − 1 d y = 0 {\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\int _{0}^{+\infty }{\frac {f(x{\pm }iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy=0} であれば ∑ n = 0 ∞ f ( n ) = 1 2 f ( 0 ) + ∫ 0 ∞ f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( i y ) − f ( − i y ) e 2 π y − 1 d y {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+\int _{0}^{\infty }f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy} となる。 π cot ⁡ π z {\displaystyle \pi \cot {\pi }z} は ∀ z ∈ Z {\displaystyle \forall {z\in \mathbb {Z} }} に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路 C {\displaystyle C} が実軸を a , b {\displaystyle a,b} で切るようにすれば、留数の定理により、 2 π i ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∮ C π cot ⁡ π z f ( z ) d z {\displaystyle 2{\pi }i\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\oint _{C}\pi \cot {{\pi }z}f(z)dz} である。積分経路の表記を C 1 : a , a + i ∞ , b + i ∞ , b C 2 : a , a − i ∞ , b − i ∞ , b {\displaystyle {\begin{aligned}&C_{1}:a,a+i\infty ,b+i\infty ,b\\&C_{2}:a,a-i\infty ,b-i\infty ,b\\\end{aligned}}} とすると、 2 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = − i ∮ C cot ⁡ π z f ( z ) d z = − i ∮ C 2 − C 1 cot ⁡ π z f ( z ) d z = − ∫ C 2 ( 1 + i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) − ∫ C 1 ( 1 − i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z + ∫ C 1 f ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=-i\oint _{C}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-i\oint _{C_{2}-C_{1}}\cot {{\pi }z}f(z)dz\\&=-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{2}}f(z)-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{C_{1}}f(z)dz\\\end{aligned}}} であるが、 f ( z ) {\displaystyle f(z)} は仮定により正則であるから、 2 ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = 2 ∫ a b f ( z ) d z − ∫ C 1 ( 1 − i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z − ∫ C 2 ( 1 + i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z {\displaystyle {\begin{aligned}2\sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)&=2\int _{a}^{b}f(z)dz-\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz-\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\\end{aligned}}} である。さて、 | 1 − i cot ⁡ π z | = | 1 + e π i z + e − π i z e π i z − e − π i z | = | 2 e π i z e − π i z ⋅ e − π i z e π i z − e − π i z | = | 2 e π i z e − π i z ⋅ e π e − π − e π | ≤ | 3 e 2 π i z | ( ℑ z ≥ 1 ) | 1 + i cot ⁡ π z | = | 2 e − π i z e π i z ⋅ e π e − π − e π | ≤ | 3 e − 2 π i z | ( ℑ z ≤ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\left|1-i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|1+{\frac {e^{{\pi }iz}+e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}-e^{-{\pi }iz}}}\right|\\&=\left|{\frac {2e^{{\pi }iz}}{e^{-{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\geq }1)\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\left|1+i\cot {{\pi }z}\right|&=\left|{\frac {2e^{-{\pi }iz}}{e^{{\pi }iz}}}\cdot {\frac {e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}}\right|\leq \left|3e^{-2{\pi }iz}\right|\qquad (\Im {z}{\leq }-1)\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}} であり、仮定により lim x → ∞ ∫ 0 ∞ e − 2 π y | f ( x ± i y ) | d y = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }y}\left|f(x{\pm }iy)\right|dy=0} であるから ∫ C 1 ( 1 − i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z = ∫ b + i ∞ b ( 1 − i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z + ∫ a a + i ∞ ( 1 − i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z = − ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot ⁡ ( π z + π b ) ) f ( b + z ) d z + ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot ⁡ ( π z + π a ) ) f ( a + z ) d z ( z → b + z , a + z ) = − ∫ 0 ∞ ( i + cot ⁡ ( π i y + π b ) ) f ( b + i y ) d y + ∫ 0 ∞ ( i + cot ⁡ ( π i y + π a ) ) f ( a + i y ) d y ( z → i y ) ∫ C 2 ( 1 + i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z = ∫ a a − i ∞ ( 1 + i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z + ∫ b − i ∞ b ( 1 + i cot ⁡ π z ) f ( z ) d z = − ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot ⁡ ( π z − π a ) ) f ( a − z ) d z + ∫ 0 i ∞ ( 1 − i cot ⁡ ( π z − π b ) ) f ( b − z ) d z ( z → a − z , b − z ) = − ∫ 0 ∞ ( i + cot ⁡ ( π i y − π a ) ) f ( a − i y ) d z + ∫ 0 ∞ ( i + cot ⁡ ( π i y − π b ) ) f ( b − i y ) d z ( z → i y ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{aligned}\int _{C_{1}}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{b+i\infty }^{b}\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{a}^{a+i\infty }\left(1-i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }b}\right)\right)f(b+z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z+{\pi }a}\right)\right)f(a+z)dz\qquad (z\rightarrow {b+z,a+z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }b}\right)\right)f(b+iy)dy+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy+{\pi }a}\right)\right)f(a+iy)dy\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\&{\begin{aligned}\int _{C_{2}}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz&=\int _{a}^{a-i\infty }\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz+\int _{b-i\infty }^{b}\left(1+i\cot {{\pi }z}\right)f(z)dz\\&=-\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }a}\right)\right)f(a-z)dz+\int _{0}^{i\infty }\left(1-i\cot \left({{\pi }z-{\pi }b}\right)\right)f(b-z)dz\qquad (z\rightarrow {a-z,b-z})\\&=-\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }a}\right)\right)f(a-iy)dz+\int _{0}^{\infty }\left(i+\cot \left({{\pi }iy-{\pi }b}\right)\right)f(b-iy)dz\qquad (z\rightarrow {iy})\\\end{aligned}}\\\end{aligned}}} である。また、 i + cot ⁡ z = i + i e i z + e − i z e i z − e − i z = 2 i e i z e i z − e − i z = − 2 i e − 2 i z − 1 {\displaystyle i+\cot {z}=i+i{\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}={\frac {2ie^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}}=-{\frac {2i}{e^{-2iz}-1}}} であるから、以上を綜合して ∑ n = ⌈ a ⌉ ⌊ b ⌋ f ( n ) = ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ( f ( a + i y ) e 2 π y e − 2 π i a − 1 − f ( a − i y ) e 2 π y e 2 π i a − 1 − f ( b + i y ) e 2 π y e − 2 π i b − 1 + f ( b − i y ) e 2 π y e 2 π i b − 1 ) d y , ( a , b ∉ Z ) {\displaystyle \sum _{n=\lceil {a}\rceil }^{\lfloor {b}\rfloor }f(n)=\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\left({\frac {f(a+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(a-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ia}-1}}-{\frac {f(b+iy)}{e^{2{\pi }y}e^{-2{\pi }ib}-1}}+{\frac {f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}e^{2{\pi }ib}-1}}\right)dy,\qquad (a,b\not \in \mathbb {Z} )} を得る。また、 a , b {\displaystyle a,b} が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、 ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y , ( a , b ∈ Z ) {\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy,\qquad (a,b\in \mathbb {Z} )} となる。 f ( a ± i y ) {\displaystyle f(a\pm {iy})} を a {\displaystyle a} を中心としたテイラー級数に、 f ( b ± i y ) {\displaystyle f(b\pm {iy})} を b {\displaystyle b} を中心としたテイラー級数に展開すると、 ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ f ( a + i y ) − f ( a − i y ) − f ( b + i y ) + f ( b − i y ) e 2 π y − 1 d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + i ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) ( i y ) k − f ( k ) ( a ) ( − i y ) k − f ( k ) ( b ) ( i y ) k + f ( k ) ( b ) ( − i y ) k ( e 2 π y − 1 ) k ! d y = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + 2 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k f ( 2 k − 1 ) ( a ) − f ( 2 k − 1 ) ( b ) ( 2 k − 1 ) ! ∫ 0 ∞ y 2 k − 1 e 2 π y − 1 d y {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+i\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)(iy)^{k}-f^{(k)}(a)(-iy)^{k}-f^{(k)}(b)(iy)^{k}+f^{(k)}(b)(-iy)^{k}}{\left(e^{2{\pi }y}-1\right)k!}}dy\\&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy\\\end{aligned}}} となるが、最後の積分は ∫ 0 ∞ y 2 k − 1 e 2 π y − 1 d y = ∫ 0 ∞ e − 2 π y y 2 k − 1 1 − e − 2 π y d y = ∑ n = 1 ∞ ∫ 0 ∞ e − 2 π n y y 2 k − 1 d y = 1 ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k ∫ 0 ∞ e − t t 2 k − 1 d t ( t = 2 π n y ) = ( 2 k − 1 ) ! ( 2 π ) 2 k ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 k = ( − 1 ) k − 1 B 2 k 4 k {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {y^{2k-1}}{e^{2{\pi }y}-1}}dy&=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-2{\pi }y}y^{2k-1}}{1-e^{-2{\pi }y}}}dy\\&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-2{\pi }ny}y^{2k-1}dy\\&={\frac {1}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{2k-1}dt\qquad (t=2{\pi }ny)\\&={\frac {(2k-1)!}{(2{\pi })^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2k}}}\\&={\frac {(-1)^{k-1}B_{2k}}{4k}}\\\end{aligned}}} であるから ∑ n = a b f ( n ) = 1 2 f ( a ) + 1 2 f ( b ) + ∫ a b f ( z ) d z + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( b ) − f ( 2 k − 1 ) ( a ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=a}^{b}f(n)&={\frac {1}{2}}f(a)+{\frac {1}{2}}f(b)+\int _{a}^{b}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right)\\\end{aligned}}} となり、オイラーの和公式を得る。なお、 B 2 k {\displaystyle B_{2k}} はベルヌーイ数である。