デデキントのイータ関数

デデキントのイータ関数 (デデキントのイータかんすう、英: Dedekind Eta function) は次のような式で定義される関数である。 η ( τ ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) ( ℑ τ > 0 ) {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\qquad (\Im \tau >0)} ヤコビの三重積の公式により、 η ( τ ) = e π i τ / 12 ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( e 2 π i τ ) n ( 3 n − 1 ) / 2 = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n ( e 2 π i τ ) ( 6 n − 1 ) 2 / 24 ( ℑ τ > 0 ) {\displaystyle \eta (\tau )=e^{\pi {i}\tau /12}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{n(3n-1)/2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}\left(e^{2\pi {i}\tau }\right)^{(6n-1)^{2}/24}\qquad (\Im \tau >0)} となる。イータ関数は上半平面で正則であり、極も零点も持たない。イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。 ℑ τ > 0 {\displaystyle \Im \tau >0} であれば | e 2 π i τ | < 1 {\displaystyle \left|e^{2\pi {i}\tau }\right|<1} であるから、 | log ⁡ η ( τ ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ | log ⁡ ( 1 − e 2 π i τ m ) | = | π i τ | 12 + ∑ m = 1 ∞ ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ m n | n = | π i τ | 12 + ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ( 1 − | e 2 π i τ n | ) ≤ | π i τ | 12 + 1 1 − | e 2 π i τ | ∑ n = 1 ∞ | e 2 π i τ n | n ≤ | π i τ | 12 − log ⁡ ( 1 − | e 2 π i τ | ) 1 − | e 2 π i τ | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\log \eta (\tau )\right|&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\left|\log(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\right|\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {mn}}\right|}{n}}\\&={\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|}{n(1-\left|e^{2\pi {i}\tau {n}}\right|)}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}+{\frac {1}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|e^{2\pi {i}\tau {n}}|}{n}}\\&\leq {\frac {\left|\pi {i}\tau \right|}{12}}-{\frac {\log(1-|e^{2\pi {i}\tau }|)}{1-|e^{2\pi {i}\tau }|}}\\\end{aligned}}} である。従って、イータ関数は上半平面で極も零点も持たない。しかし、 τ = q / r {\displaystyle \tau =q/r} が有理数であれば 1 − e 2 π i τ r = 0 {\displaystyle 1-e^{2\pi {i}\tau {r}}=0} であるから、イータ関数は実軸上に稠密な零点を持つ。 イータ関数はテータ関数で表される。オイラーの分割恒等式を用いて η 3 ( τ ) = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 ( 1 + e 2 π i τ m ) 2 ( 1 − e 2 π i τ ( 2 m − 1 ) ) 2 = e π i τ / 4 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) 3 ( 1 + e 2 π i τ m ) 2 ( 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 ( 1 − e ( 2 m − 1 ) π i τ ) 2 = 1 2 ϑ 2 ( 0 , τ ) ϑ 3 ( 0 , τ ) ϑ 4 ( 0 , τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(\tau \right)&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1-e^{2\pi {i}\tau {(2m-1)}}\right)^{2}\\&=e^{\pi {i}\tau /4}\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{3}\left(1+e^{2\pi {i}\tau {m}}\right)^{2}\left(1+e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\left(1-e^{(2m-1)\pi {i}\tau }\right)^{2}\\&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,\tau \right)\vartheta _{3}\left(0,\tau \right)\vartheta _{4}\left(0,\tau \right)\\\end{aligned}}} である。また、 η ( τ ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) = e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m / 3 ) ( 1 + e 2 π i τ m / 3 + e 4 π i τ m / 3 ) = 2 3 e π i τ / 12 cos ⁡ π 6 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m / 3 ) ( 1 + 2 cos ⁡ π 3 e 2 π i τ m / 3 + e 4 π i τ m / 3 ) = 1 3 ϑ 2 ( 1 6 , τ 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau )&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})(1+e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {i}\tau {m}/3})\\&={\frac {2}{\sqrt {3}}}e^{\pi {i\tau }/12}\cos {\frac {\pi }{6}}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}/3})\left(1+2\cos {\frac {\pi }{3}}e^{2\pi {i}\tau {m}/3}+e^{4\pi {}i\tau {m}/3}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\vartheta _{2}\left({\frac {1}{6}},{\frac {\tau }{3}}\right)\\\end{aligned}}} である。 テータ関数の虚数変換式により η 3 ( − 1 τ ) = 1 2 ϑ 2 ( 0 , − 1 τ ) ϑ 3 ( 0 , − 1 τ ) ϑ 4 ( 0 , − 1 τ ) = 1 2 − i τ ϑ 4 ( 0 , τ ) − i τ ϑ 3 ( 0 , τ ) − i τ ϑ 2 ( 0 , τ ) = i τ 3 η 3 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{3}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\frac {1}{2}}\vartheta _{2}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{3}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\vartheta _{4}\left(0,-{\frac {1}{\tau }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{4}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{3}(0,\tau ){\sqrt {-i\tau }}\vartheta _{2}(0,\tau )\\&={\sqrt {i\tau ^{3}}}\eta ^{3}(\tau )\\\end{aligned}}} であるが、 τ {\displaystyle \tau } が純虚数であれば両辺ともに実数であるから、 η ( − 1 τ ) = − i τ η ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\eta (\tau )\\\end{aligned}}} である。また、 η ( τ + 1 ) = e π i ( τ + 1 ) / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i ( τ + 1 ) m ) = e π i / 12 e π i τ / 12 ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 π i τ m ) = e π i / 12 η ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}\eta \left(\tau +1\right)&=e^{\pi {i}(\tau +1)/12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}(\tau +1)m})\\&=e^{\pi {i}/12}e^{\pi {i}\tau /12}\prod _{m=1}^{\infty }(1-e^{2\pi {i}\tau {m}})\\&=e^{\pi {i}/12}\eta \left(\tau \right)\\\end{aligned}}} であるから、イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式である。 η 24 ( − 1 τ ) = τ 12 η 24 ( τ ) η 24 ( τ + 1 ) = η 24 ( τ ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\eta ^{24}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)=\tau ^{12}\eta ^{24}(\tau )\\&\eta ^{24}\left(\tau +1\right)=\eta ^{24}\left(\tau \right)\end{aligned}}} 実際、モジュラー判別式 Δ {\displaystyle \Delta } の定数倍と一致する。 ( 2 π ) 12 η 24 ( τ ) = Δ ( τ ) . {\displaystyle (2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )=\Delta (\tau ).} イータ関数の24乗は重さ12のモジュラー形式であるから、一般のモジュラー変換については c ≠ 0 のとき、ある1の24乗根 ϵ ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} について関数等式 η ( a τ + b c τ + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c τ + d ) 1 / 2 η ( τ ) {\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(c\tau +d)^{1/2}\eta (\tau )} が成り立つ。 ϵ ( a , b , c , d ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)} は ϵ ( a , b , c , d ) = exp ⁡ π i ( a + d 12 c − s ( − d , c ) − 1 4 ) {\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)=\exp \pi i\left({\frac {a+d}{12c}}-s(-d,c)-{\frac {1}{4}}\right)} により求められる。ここで s ( h , k ) {\displaystyle s(h,k)} はデデキント和（英語版） s ( h , k ) = ∑ r = 1 k − 1 r k ( h r k − ⌊ h r k ⌋ − 1 2 ) {\displaystyle s(h,k)=\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {r}{k}}\left({\frac {hr}{k}}-\left\lfloor {\frac {hr}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right)} をあらわす。