一般化された超幾何関数

数学において、一般化された超幾何関数（いっぱんかされたちょうきかかんすう、英: generalized hypergeometric function）は、一般に r F s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; z ] := ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b s ) n z n n ! {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} の形式で表される級数である。ただし、 ( x ) 0 := 1 , ( x ) n := ∏ k = 0 n − 1 ( x + k ) {\displaystyle {\begin{aligned}(x)_{0}&:=1,\\(x)_{n}&:=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k)\\\end{aligned}}} はポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数 F ( a , b ; c ; z ) := 2 F 1 [ a , b c ; z ] = ∑ n = 0 ∞ ( a ) n ( b ) n ( c ) n z n n ! {\displaystyle F(a,b;c;z):={_{2}F_{1}}\left[{\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は原点の近傍で絶対収束する冪級数の和とそれから解析接続によって定義される解析関数としての超幾何関数を表すものである。 級数 ∑ n = 0 ∞ t n {\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}} の連続する項の比が n の有理関数であるとき、これを超幾何級数（hypergeometric series）という。慣習的にはあらかじめ初項を括り出しておき、定義に t0 = 1 も含め正規化する。定義から t n + 1 t n = P ( n ) Q ( n ) {\displaystyle {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}} となる n の多項式 P(n), Q(n) が存在する。 たとえば指数関数のテイラー級数 ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} は超幾何級数で、この場合 t n = z n n ! , t n + 1 t n = z n + 1 {\displaystyle t_{n}={\frac {z^{n}}{n!}},\quad {\frac {t_{n+1}}{t_{n}}}={\frac {z}{n+1}}} ゆえ P(n) = z, Q(n) = n + 1 となる。 分母分子を一次式の積へ分解することで有理関数を P ( n ) Q ( n ) = ( a 1 + n ) ( a 2 + n ) ⋯ ( a r + n ) ( b 1 + n ) ( b 2 + n ) ⋯ ( b s + n ) z n + 1 {\displaystyle {\frac {P(n)}{Q(n)}}={\frac {(a_{1}+n)(a_{2}+n)\dotsm (a_{r}+n)}{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\dotsm (b_{s}+n)}}{\frac {z}{n+1}}} の形に書くことができる。ここで z は分母分子の最高次係数の比である。歴史的な理由により分母の因子 n + 1 を仮定しているが、必要なら分子に同じ因子を掛ければよいので一般性は失わない。以上から級数は ∑ n = 0 ∞ t n = ∑ n = 0 ∞ ( a 1 ) n ⋯ ( a r ) n ( b 1 ) n ⋯ ( b s ) n z n n ! {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dotsm (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}\dotsm (b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}} の形に書くことができる。この右辺を通常 r F s [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]} と表記する。 超幾何級数 r F s [ a 1 , … , a r ; b 1 , … , b s ; z ] {\displaystyle _{r}F_{s}[a_{1},\dots ,a_{r};b_{1},\dots ,b_{s};z]} は、 r < s + 1 {\displaystyle r<s+1} であれば絶対収束し、 r > s + 1 {\displaystyle r>s+1} であれば発散する。 r = s + 1 {\displaystyle r=s+1} の場合は、 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} であれば絶対収束し、 | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} であれば発散する。 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合は、 ∑ ℜ a j < ∑ ℜ b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}<\sum \Re {b_{j}}} であれば絶対収束し、 ∑ ℜ a j > ∑ ℜ b j {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}>\sum \Re {b_{j}}} であれば発散する。但し、 a j {\displaystyle a_{j}} 又は b j {\displaystyle b_{j}} が正でない整数 k ∈ Z ∖ N {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} } である場合は、 ( a j ) n ≥ k = 0 {\displaystyle (a_{j})_{n{\geq }k}=0} となって z < ∞ {\displaystyle {z}<\infty } で収束、或いは ( b j ) n ≥ k = 0 {\displaystyle (b_{j})_{n{\geq }k}=0} となって z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} で発散する場合がある。 第 n {\displaystyle n} 項を c n {\displaystyle c_{n}} とする: r F r − 1 [ a 1 , a 2 , … , a r b 1 , b 2 , … , b r − 1 ; z ] = ∑ n = 0 ∞ c n z n c n = ( a 1 ) n ( a 2 ) n ⋯ ( a r − 1 ) n ( a r ) n ( b 1 ) n ( b 2 ) n ⋯ ( b r − 1 ) n n ! {\displaystyle {\begin{aligned}{}_{r}F_{r-1}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{r-1}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}\\c_{n}={\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r-1})_{n}(a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{r-1})_{n}\;n!}}\end{aligned}}} 公比は lim n → ∞ c n + 1 c n = lim n → ∞ ( a 1 + n ) ( a 2 + n ) ⋯ ( a r − 1 + n ) ( a r + n ) ( b 1 + n ) ( b 2 + n ) ⋯ ( b r − 1 + n ) ( 1 + n ) z = z {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(a_{1}+n)(a_{2}+n)\dotsb (a_{r-1}+n)(a_{r}+n)}{(b_{1}+n)(b_{2}+n)\dotsb (b_{r-1}+n)(1+n)}}z=z} であるから、 | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} であれば絶対収束し、 | z | > 1 {\displaystyle |z|>1} であれば発散する。 | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} の場合は、 a + n n = 1 + a n + O ( n − 2 ) ( n ≫ a ) n b + n = 1 − b n + O ( n − 2 ) ( n ≫ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+n}{n}}&=1+{\frac {a}{n}}+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n{\gg }a)\\{\frac {n}{b+n}}&=1-{\frac {b}{n}}+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n{\gg }a)\\\end{aligned}}} であるから、 c n + 1 c n = ∏ j = 1 r ( 1 + a j n ) ⋅ ∏ j = 1 r − 1 ( 1 − b j n ) ⋅ ( 1 − 1 n ) + O ( n − 2 ) = 1 + ∑ j = 1 r a j n − ∑ j = 1 r − 1 b j n − 1 n + O ( n − 2 ) ( n ≫ a j , b k ) | c n + 1 c n | 2 = ( 1 + ∑ j = 1 r ℜ a j n − ∑ j = 1 r − 1 ℜ b j n − 1 n ) 2 + ( ∑ j − 1 r ℑ a j n − ∑ j = 1 r − 1 ℑ b j n ) 2 + O ( n − 2 ) = 1 + 2 n ( ∑ j = 1 r ℜ a j − ∑ j = 1 r − 1 ℜ b j − 1 ) + O ( n − 2 ) ( n ≫ a j , b k ) | c n c n + 1 | = 1 − 1 n ( ∑ j = 1 r ℜ a j − ∑ j = 1 r − 1 ℜ b j − 1 ) + O ( n − 2 ) ( n ≫ a j , b k ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}&=\prod _{j=1}^{r}\left(1+{\frac {a_{j}}{n}}\right)\cdot \prod _{j=1}^{r-1}\left(1-{\frac {b_{j}}{n}}\right)\cdot \left(1-{\frac {1}{n}}\right)+O\left(n^{-2}\right)\\&=1+\sum _{j=1}^{r}{\frac {a_{j}}{n}}-\sum _{j=1}^{r-1}{\frac {b_{j}}{n}}-{\frac {1}{n}}+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n\gg a_{j},b_{k})\\\left|{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\right|^{2}&=\left(1+\sum _{j=1}^{r}{\frac {\Re {a_{j}}}{n}}-\sum _{j=1}^{r-1}{\frac {\Re {b_{j}}}{n}}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+\left(\sum _{j-1}^{r}{\frac {\Im {a_{j}}}{n}}-\sum _{j=1}^{r-1}{\frac {\Im {b_{j}}}{n}}\right)^{2}+O\left(n^{-2}\right)\\&=1+{\frac {2}{n}}\left(\sum _{j=1}^{r}\Re {a_{j}}-\sum _{j=1}^{r-1}\Re {b_{j}}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n\gg a_{j},b_{k})\\\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|&=1-{\frac {1}{n}}\left(\sum _{j=1}^{r}\Re {a_{j}}-\sum _{j=1}^{r-1}\Re {b_{j}}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad (n\gg a_{j},b_{k})\\\end{aligned}}} であり、 lim n → ∞ n ( | c n | | c n + 1 | − 1 ) − 1 = − ( ∑ j = 1 r ℜ a j − ∑ j = 1 r − 1 ℜ b j ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left({\frac {|c_{n}|}{|c_{n+1}|}}-1\right)-1=-\left(\sum _{j=1}^{r}\Re {a_{j}}-\sum _{j=1}^{r-1}\Re {b_{j}}\right)} である。従って、ラーベの判定法 (Raabe's test)により、 ∑ ℜ a j − ∑ ℜ b j < 0 {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}-\sum \Re {b_{j}}<0} であれば絶対収束し、 ∑ ℜ a j − ∑ ℜ b j > 0 {\displaystyle \textstyle \sum \Re {a_{j}}-\sum \Re {b_{j}}>0} であれば発散する。 代数関数、指数関数、三角関数 ( 1 − z ) − a = ∑ n = 0 ∞ ( − a ) ( − a − 1 ) ⋯ ( − a − n + 1 ) n ! ( − z ) n = 1 F 0 [ a − ; z ] e z = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! z n = 0 F 0 [ − − ; z ] sin ⁡ z = z ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n = z ⋅ 0 F 1 [ − 3 2 ; − z 2 4 ] cos ⁡ z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! z 2 n = 0 F 1 [ − 1 2 ; − z 2 4 ] {\displaystyle {\begin{aligned}(1-z)^{-a}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-a)(-a-1)\cdots (-a-n+1)}{n!}}(-z)^{n}={_{1}F_{0}}\left[{\begin{matrix}a\\-\end{matrix}};z\right]\\e^{z}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}={_{0}F_{0}}\left[{\begin{matrix}-\\-\end{matrix}};z\right]\\\sin z&=z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n}=z\cdot {_{0}F_{1}}\left[{\begin{matrix}-\\{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\cos z&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={_{0}F_{1}}\left[{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\end{aligned}}} 正弦積分、余弦積分、指数積分 Si ⁡ ( z ) = z ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! z 2 n = z ⋅ 1 F 2 [ 1 2 3 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] Ci ⁡ ( z ) = γ + log ⁡ z + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ( 2 n ) ! z 2 n = γ + log ⁡ z − z 2 4 ⋅ 2 F 3 [ 1 , 1 2 , 2 , 3 2 ; − z 2 4 ] Ei ⁡ ( z ) = γ + log ⁡ z + ∑ n = 1 ∞ 1 n n ! z n = γ + log ⁡ z + z ⋅ 2 F 2 [ 1 , 1 2 , 2 ; z ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Si} (z)&=z\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)(2n+1)!}}z^{2n}=z\cdot {_{1}F_{2}}\left[{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\operatorname {Ci} (z)&=\gamma +\log {z}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)(2n)!}}z^{2n}=\gamma +\log {z}-{\frac {z^{2}}{4}}\cdot {_{2}F_{3}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2,{\frac {3}{2}}\end{matrix}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right]\\\operatorname {Ei} (z)&=\gamma +\log {z}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{nn!}}z^{n}=\gamma +\log {z}+z\cdot {_{2}F_{2}}\left[{\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix}};z\right]\\\end{aligned}}}