非心t分布

非心t分布（ひしんティーぶんぷ、英: noncentric t-distribution）とは、確率分布と統計学におけるスチューデントのt分布を一般化したものである。 非心な統計母数、例えば「X の上位10パーセント値」のようなものの信頼区間を標本データだけに基いて計算するのに有用である。 Z は分散 1、平均 0 の正規分布 に従う確率変数 、V は自由度 νのカイ二乗分布に従いかつ、Z と独立な確率変数、μは実定数としたときに、 T = Z + μ V / ν {\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}} が従う分布のことを「自由度ν、非心パラメーターμの非心t分布」と呼ぶ。μ=0の場合はt分布そのものである。この非心t分布においては（非心F分布（英語版）等の他の多くの非心分布とは異なり）非心パラメータμは負の値であってもよい。 この非心t分布の累積分布関数は、以下の式で与えられる。 F ν , μ ( x ) = { F ~ ν , μ ( x ) , if  x ≥ 0 ; 1 − F ~ ν , − μ ( x ) , if  x < 0 , {\displaystyle F_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}} ここで、 F ~ ν , μ ( x ) = Φ ( − μ ) + 1 2 ∑ j = 0 ∞ [ p j I y ( j + 1 2 , ν 2 ) + q j I y ( j + 1 , ν 2 ) ] , {\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }\left[p_{j}I_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q_{j}I_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],} I y ( a , b ) {\displaystyle I_{y}\,\!(a,b)} は、正則化された不完全ベータ関数, y = x 2 x 2 + ν , {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},} p j = 1 j ! exp ⁡ { − μ 2 2 } ( μ 2 2 ) j , {\displaystyle p_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},} q j = μ 2 Γ ( j + 3 / 2 ) exp ⁡ { − μ 2 2 } ( μ 2 2 ) j , {\displaystyle q_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},} であり、Φ は標準正規分布の累積分布関数である。 他の表現として、以下の書き方もできる。 F v , μ ( x ) = { 1 2 ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( − μ 2 ) j e − μ 2 2 Γ ( j + 1 2 ) π I ( v v + x 2 ; v 2 , j + 1 2 ) , x ≥ 0 1 − 1 2 ∑ j = 0 ∞ 1 j ! ( − μ 2 ) j e − μ 2 2 Γ ( j + 1 2 ) π I ( v v + x 2 ; v 2 , j + 1 2 ) , x < 0 {\displaystyle F_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}} ここで、Γ は ガンマ関数 、I は、正則化された不完全ベータ関数である。 この非心t分布の確率密度関数は f ( t ) = ν ν / 2 e − ν μ 2 / 2 ( t 2 + ν ) π Γ ( ν / 2 ) 2 ( ν − 1 ) / 2 ( t 2 + ν ) ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle f(t)={\frac {\nu ^{\nu /2}e^{-\nu \mu ^{2}/2(t^{2}+\nu )}}{{\sqrt {\pi }}\Gamma (\nu /2)2^{(\nu -1)/2}(t^{2}+\nu )^{(\nu +1)/2}}}} × ∫ 0 ∞ x ν exp ⁡ [ − 1 2 ( x − μ t t 2 + ν ) 2 ] d x {\displaystyle \times \int _{0}^{\infty }x^{\nu }\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\mu t}{\sqrt {t^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right]\,dx} ここで ν > 0 である。この確率密度関数の定義域は実数である。 非心t分布の平均および分散は E ⁡ [ T ] = { μ ν 2 Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ν > 1 Does not exist ν ≤ 1 {\displaystyle \operatorname {E} \left[T\right]={\begin{cases}\mu {\sqrt {\frac {\nu }{2}}}{\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}&\nu >1\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 1\end{cases}}} Var ⁡ [ T ] = { ν ( 1 + μ 2 ) ν − 2 − μ 2 ν 2 ( Γ ( ( ν − 1 ) / 2 ) Γ ( ν / 2 ) ) 2 ν > 2 Does not exist ν ≤ 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} \left[T\right]={\begin{cases}{\frac {\nu (1+\mu ^{2})}{\nu -2}}-{\frac {\mu ^{2}\nu }{2}}\left({\frac {\Gamma ((\nu -1)/2)}{\Gamma (\nu /2)}}\right)^{2}&\nu >2\\{\mbox{Does not exist}}&\nu \leq 2\end{cases}}.} もしも μ = 0 の場合、非心t分布はt分布になる。 もしも T が非心t分布にしたがう場合、Z = T2 とおくと Z は非心F分布（英語版）にしたがう。 T が非心t分布にしたがう場合、 Z = lim ν → ∞ T {\displaystyle Z=\lim _{\nu \to \infty }T} とおくと、Z は正規分布にしたがう。 カイ二乗分布 非心F分布（英語版） 正規分布 t分布