勾股定理
-{zh:勾股定理;zh-hant:勾股定理;zh-hans:勾股定理;zh-cn:勾股定理;zh-sg:毕氏定理;zh-hk:畢氏定理;zh-mo:畢氏定理;zh-tw:畢氏定理}-（/ Pythagoras' theorem）是平面几何中一个基本而重要的定理。勾股定理说明，平面上的直角三角形的两条直角边的长度（较短直角边古称勾长、较长直角边古称股长）的平方和等于斜边长（古称弦长）的平方。反之，若平面上三角形中两边长的平方和等于第三边边长的平方，则它是直角三角形（直角所对的边是第三边）。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一。
此定理又稱-{zh:毕氏定理;zh-hant:毕氏定理;zh-hans:毕氏定理;zh-cn:毕氏定理;zh-sg:勾股定理;zh-hk:勾股定理;zh-mo:勾股定理;zh-tw:勾股定理}-、商高定理、新娘座椅定理或百牛定理。「畢氏」所指的是其中一個發現這個定理的古希臘數學家畢達哥拉斯，但歷史學家相信這個定理早在畢達哥拉斯出生的一千年前已經在世界各地廣泛應用。不過，現代西方數學界統一稱呼它為「畢達哥拉斯定理」。
《周髀算經》记述公元前一千多年，商高以formula_1這組勾股數为例解释了勾股定理要素，论证「弦长平方必定是两直角边的平方和」，确立了直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方的判定原则。其判定方法因后世不明其法而被忽略。
古埃及在公元前2600年的纸莎草記載有formula_1这一组勾股数，而古巴比伦泥板紀錄的最大的一个勾股数组是formula_3。
有些參考資料提到法国和比利時將勾股定理称为驴桥定理，但驴桥定理是指等腰三角形的二底角相等，非勾股定理。
勾股定理有四百多個證明，如微分證明，面積證明等。
在平面上的一個直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜邊长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是formula_4和formula_5，斜边长度是formula_6，那么可以用数学语言表达：
餘弦定理是勾股定理的一個推广。勾股定理現約有400種证明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。
如果formula_6是斜邊的長度而a和b是另外兩條邊的長度，勾股定理可以寫成：
formula_9
如果formula_4和formula_5知道，formula_6可以這樣寫：
formula_13
如果斜邊的長度formula_6和其中一條邊（formula_4或formula_5）知道，那另一邊的長度可以這樣計算：
或
簡單來說，只要知道直角三角形的其中兩條邊長，便能求出第三條邊長。
勾股数组是滿足勾股定理formula_19的正整數組formula_20，其中的formula_21称为勾股数。例如formula_1就是一組勾股数組。
任意一组勾股数formula_20可以表示为如下形式：formula_24，其中formula_25。
這個定理的歷史可以被分成三個部份：發現勾股数、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明。
勾股数的發現時間较早，例如埃及的纸草书里面就有formula_1这一组勾股数，而巴比伦泥板涉及的最大的一个勾股数组是formula_27。后来的中国的算經、印度与阿拉伯的数学书也有记载。在中国，《周髀算经》中也记述了formula_1这一组勾股数；金朝数学家李冶在《测圆海镜》中，通过勾股容圆图式的十五个勾股形和直径的关系，建立了系統的天元术，推导出692条关于勾股形的各边的公式，其中用到了多组勾股数作为例子。
巴比伦人得到的勾股数的数量和质量不太可能纯从测量手段获得。之后的毕达哥拉斯本人并无著作传世，不过在他死后一千年，5世纪的普罗克勒斯给欧几里德的名著《几何原本》做注解时将最早的发现和证明归功于毕达哥拉斯学派： 普魯塔克和西塞罗也将发现的功劳归于毕达哥拉斯，但没有任何证据表明毕达哥拉斯证明了勾股定理，以素食闻名的毕达哥拉斯杀牛更是不可思议。
在中国，记载秦朝的算数书并未记载勾股定理，只是记录了一些勾股数。定理首次载于书面则是在成书于西汉但内容收集整理自公元前一千多年以来的《周髀算经》“荣方问于陈子”一节中： 因此此定理也被称之为陈子定理。
东汉末年赵爽《周髀算经注》《勾股圆方图注》记载：
在《九章算术注》中，刘徽反复利用勾股定理求圆周率，并利用“割补术”做“青朱出入图”完成勾股定理的几何图形证明。
直至現時為止，仍有許多關於勾股定理是否不止一次被發現的辯論。
毕达哥拉斯学派的证明没有流传下来，流传下来书面证明最早见于《几何原本》第一册的第47个命题。在中国，东汉末年吴国的赵爽最早给出勾股定理的证明。在吠陀數學一書中聲稱古代印度教吠陀證明了勾股定理。
這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的"Pythagorean Proposition"一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見循環論證）。
中国三国时期趙爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的趙爽弦图。
中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。
設formula_29為一直角三角形，直角於formula_30（看右圖）。從點"formula_31"畫上三角形的高，並將此高與formula_32的交叉點稱之為formula_33。此新formula_34和原本的"formula_35"相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有formula_36這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，formula_37和formula_35也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：
因為
所以
可以寫成
綜合這兩個方程式，我們得到
換句話說:
在歐幾里得的《幾何原本》一書中给出勾股定理的以下証明。設formula_35為一直角三角形，其中"A"為直角。從"formula_36"點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延长此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。
在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理： 證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
其證明如下： 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的
由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。
此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為formula_103。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為formula_104，右方餘下面積為formula_105，兩者相等。證畢。
勾股定理的逆定理是判斷三角形為鈍角、銳角或直角的一個簡單的方法，其中formula_106為最長邊: （這個逆定理其實只是餘弦定理的一個延伸）
勾股定理的逆定理的證法數明顯少於勾股定理的證法。以下是一些常見證法。
構造formula_115，使formula_116。
根據勾股定理，formula_117，從而formula_118。
因此，formula_119。
根據餘弦定理，formula_120。由於formula_107，故formula_122，從而formula_119。
在formula_32边上截取点formula_125使formula_126。
在formula_127与formula_128中，
從而，formula_129，以及formula_130。
另一方面，formula_131，故由formula_132知，formula_133。
因而，formula_134，所以formula_135。
勾股定理是由欧几里得几何的公理推导出来的，其在非欧几里得几何中是不成立的。因为勾股定理的成立涉及到了平行公设。