三維點群
幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群formula_1的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。formula_1本身則是全體等距同構的歐氏群formula_3的子群。
立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。
立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群（或真對稱群）的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群formula_4之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具。
三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。
有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。formula_5階考克斯特群是由formula_5個鏡射生成，可以表示。則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。
formula_4是直接歐氏群formula_8的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。formula_4僅含保持原點不變的直接等距同構。
formula_1則是formula_4與點反演生成的群formula_12的直積：（此處點反演以其矩陣formula_13表示，即單位矩陣formula_14乘上formula_15。）
所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，formula_1中僅由直接等距變換組成的子群formula_18（必包含在formula_4中，亦與formula_1中含有點反演的子群formula_21一一對應。對應關係如下：
例如，若formula_18為formula_25，則formula_21為formula_27；若formula_18為formula_29，則formula_21為formula_31。（定義載於下文。）
若直接等距同構群formula_18有為formula_33的子群formula_34，則除以上含點反演的子群外，還有另一個對應的子群
含有間接等距變換，但不含點反演。式中formula_36與formula_37視為等同。舉例formula_18為formula_39，而formula_40為formula_41。
換言之，formula_40是將formula_43中的變換，乘上formula_13得到。此群formula_40作為抽象群與formula_18同構。反之，任意對稱群，若有間接等距變換，但無點反演，則可以將所有間接變換反演，而變成旋轉群。等距群的分類（見下文）中，可以用此性質化簡問題。
二維情況下，formula_47重旋轉的循環群formula_48皆是formula_49和formula_50的正規子群。在三維中，固定旋轉軸，則相應有繞該軸的formula_47重循環群formula_48，是繞該軸的全體旋轉群的正規子群。此外，由於指數為formula_33的子群必正規，formula_54在formula_55中正規，也在formula_56中正規。此處formula_55是向formula_54添加過旋轉軸的反射面生成，而formula_56則是向formula_54添加與軸垂直的反射面生成。
formula_61的等距變換中，固定原點的變換，組成正交群formula_62，簡記為formula_1。其元素分類如下：
後三種元素又稱瑕旋轉。（視乎定義，末一種未必算。）
連同平移變換的簡介，見歐幾里得群。
比較兩件立體的對稱類時，原點可以分別選取，即兩件立體的中心不必相同。更甚者，兩件立體具有相同對稱類，意思是其對稱群formula_70在formula_1中為共軛子群，即存在formula_72，使formula_73。
舉例：
若立體的對稱群有多條旋轉軸或多個鏡面，或兩者皆有，則兩個對稱群同屬一類，當且僅當有另一個旋轉formula_74，將前一個對稱群的整個結構，變換成後一個對稱群。（此種旋轉會多於一個，但不會是無窮多個。僅有一條旋轉軸或一個鏡面時，此種旋轉方會有無窮多個。）按定義，上文的formula_74不必為旋轉，也可以為鏡射，然而，由於對稱群的結構不具手性，祇需取formula_74為旋轉。（但空間群則不然，有formula_77對空間群具有手性，因為有螺旋變換。）
有許多無窮等距變換群，如繞任意軸轉任意無理角度（即圈數或度數為無理數，或弧度數為formula_78的無理數倍）的旋轉，所生成的無窮循環群；若加入繞同一軸的其他旋轉，還可以組成許多非循環的交換群。取不共軸的旋轉，則生成非交換群。，此等非交換群皆為自由群。僅有特別選取的旋轉，方能得到有限群，否則一般皆是無窮群。
作為拓撲群formula_1的子群，上述無窮子群皆非閉子群。以下討論formula_1的拓撲閉子群：添加過軸的各鏡面反射的群，不論有否添加過原點與軸垂射的鏡面反射，稱為兩種圓柱對稱性。注意若物理實體有無窮旋轉對稱，則亦必關於過軸的鏡面對稱。
此七個連續群，稱為極限點群或居里極限群，得名自最早研究此種群的皮埃尔·居里。軸向群可以分成七列無窮序列，其極限給出五個軸向極限群（有兩個重複），而formula_1、formula_4則不是軸向群的極限。國際記號中，此七個群記為formula_86，次序在下文明確給出。
三維空間的對稱中，保持原點不動，等價於保持以原點為球心的球面。關於有限的三維點群，亦可參見。
不別共軛之異，三維有限點群只有：
根據晶體學限制定理，僅得很少點群與離散相容：七列軸向點群中，有formula_94個；七個其他點群中，有formula_95個，合共formula_96個，稱為晶體學點群。
有七列軸向點群。每列有無窮多個群，各可用正整數formula_5標示。每列第formula_5個群，含繞某軸的formula_5重旋轉，即旋轉formula_100，故formula_101對應轉一整圈，即不旋轉。七列軸向點群中，四列無其他旋轉軸（稱'），另三列有其他二重旋轉軸（稱'）。該些群可以視為添加軸向坐標和關於軸的反射而成，也與相關。 可以將軸向點群理解為帶群的圖案在繞柱面恰好重複formula_5次。
下表列出點群的幾種記號：晶體學的赫爾曼–莫甘記號、分子對稱性的、、。後三者不僅方便讀出群的性質，還與群的階數密切相關。軌形記號同時通用於與。晶體群的formula_5僅能取formula_104（晶體學限制定理），而若移除該限制，則formula_5可取任意正整數。七列軸向點群為： 對奇數formula_5，有抽象群同構formula_107及formula_108。
群formula_54（包括平凡群formula_110）及formula_111有手性，其他則無手性。
術語水平（）與豎直（）描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。
最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群formula_112，但是formula_1的不同子群（即不共軛）： 第一組單軸循環群中，formula_54的階為formula_5（二維情況同樣適用），是由單一個角度為formula_100的旋轉生成。若向此群加入一個與軸垂直的鏡面（的反射），則生成formula_123，階為formula_124。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入formula_5塊通過軸的鏡面，則得到formula_126，階亦為formula_124。後者是正formula_5稜錐的對稱群。具formula_54或formula_111的典型物體是螺旋槳。
若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到formula_5條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的formula_65旋轉，故群不再單軸。新群的階為formula_133，記為formula_134。其旋轉子群為formula_124個元素的二面體群formula_111，仍有與主（formula_5重）旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。
注意，在二維，formula_111包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群formula_111有翻轉但無鏡射。
餘下一類是formula_140（或formula_141），其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉formula_142。formula_134是正formula_5棱柱和雙稜錐的對稱群。formula_145則是正formula_5角反棱柱的對稱群，亦是正formula_5方偏方面體的對稱群。最後，formula_111是稍稍扭過的正formula_5棱柱的對稱群。
formula_150及formula_151較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。formula_150是下節所有多面體對稱群的子群，而formula_151則是多面體群formula_154與formula_155的子群。formula_150可以作為下列化學品的對稱群： formula_150的元素，與的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。
群formula_158由「先關於水平面作鏡射，再旋轉formula_100」生成。對於奇數formula_5，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群formula_123，階為formula_124，故不必用到記號formula_158。然而，對偶數formula_5，兩個群有差異，且formula_158僅有formula_5個元素。與formula_140類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。
七列軸向群的元素僅有下列四對重複：
formula_115是由獨一個點反演生成的formula_33階群，又記為formula_114。
此處「重複」是指作為formula_1的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的formula_33階群，但祇有一個formula_33階抽象群。類似，也有formula_190與formula_191抽象同構。
群的構造亦可描述如下：
取formula_5趨向formula_231的極限，則得到連續軸向群（或無窮階軸向群）：
餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，formula_54表示一條formula_5重軸，即旋轉角為formula_234，formula_158則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的，然後括號內為，然後為及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。 相關的連續群有： 如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有formula_21對稱性，則必有formula_241對稱性。
若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於formula_33除以的歐拉示性數。軌形的歐拉示性數是將formula_33減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：
此公式同樣適用於與：對該等群，特徵數之和為formula_33，所以階數是無窮大。亦見條目。
三維反射點群又稱為考克斯特群，能以表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成或半球面。在，該些群是formula_257、formula_258、formula_259、formula_260。不可約群的鏡面數是formula_261，其中formula_262是群的，而formula_5是反射方向的秩（維數），等於符號的下標。 有限旋轉群，即formula_4的有限子群，僅有：循環群formula_54（正稜錐的旋轉群）、二面體群formula_111（正稜柱或雙錐體的旋轉群）、formula_267（正四面體的旋轉群）、formula_268（正八面體或正六面體的旋轉群）、formula_14（正二十面體或正十二面體的旋轉群）。
特別地，二面體群formula_270、formula_271等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。當且僅當物體有時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。
用、，及括號內的表示，旋轉群是： 下列群有點反演：
如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：
下列群具有間接（不保定向）的等距變換，但無點反演：
上述各群分別對應一個旋轉群formula_18及其指標formula_33的子群formula_34，使得該群是由formula_18的元素，加上formula_43經點反演後的元素得到，如上文所述：
離散點群中，formula_155和formula_334並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是formula_335。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得formula_336，亦可加入五重旋轉對稱而得formula_334。
類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：formula_155與formula_339。視乎方向，其極大公共子群為formula_340或formula_341。
下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。
最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：formula_342階的四元群、formula_343階的formula_344、formula_345階的formula_346，以及十四個formula_347階群的其中十個。
下表中，「formula_33階元素數」一列，數算formula_349三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群類型的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。 formula_5重旋轉對稱的對稱群為formula_54。其抽象同構類是循環群formula_352，亦可記作formula_54。然而，另有兩列對稱群同構於循環群：
故可總結出下表：（十個循環晶體學點群以粗體標出，其滿足晶體學限制。） 二維二面體群formula_111有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。
然而在三維，反射與翻轉須作區分。以formula_111表示的對稱群，有formula_5條二重軸，與formula_5重的主旋轉軸垂直，但無反射。formula_111是正formula_5棱柱、正雙formula_5角錐、正formula_5角反棱柱、formula_5方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令formula_111為其全對稱群。
相應的抽象群類型是二面體群formula_376，亦可照樣記為formula_111。但除formula_111外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：注意有以下同構：
於是可以整理出下表：（有formula_345個晶體學點群用粗體標示，另formula_393寫成等價的formula_181） formula_395的階數為formula_133，同構於抽象群formula_397。在formula_388時，formula_395等同formula_400，已於上小節討論，故本小節僅考慮formula_401的情況。
此系列的群可以整理成下表：（其中兩個晶體學點群以粗體強調）
formula_134的階數為formula_133，同構於抽象群formula_404。對於奇數formula_5，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為formula_406的群formula_407，其抽象群類別為formula_408。（formula_409）
此系列的群可以整理成下表：（其中三個晶體學點群以粗體強調） 餘下七個多面體群是：（其中五個晶體學點群以粗體強調）
點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是（有邊界的）曲面，下稱「基本面」，延伸至基本域的徑向邊界面（即錐體的側面）。但是，若基本面與其他基本面（即基本面在其他基本域的複製），兩者的邊界未能貼合，則需要添加徑向的面或其他曲面，以使各基本面連接成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。
基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。
基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連接而成的曲面。
考慮三維旋量群formula_410到旋轉群formula_4的二重覆疊投映。由於formula_410已是單連通，故為formula_4僅有的非平凡連通覆疊。
由，formula_410與formula_4的子群（即旋轉點群）之間有伽罗瓦连接：formula_410子群投映到formula_4，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是formula_410的子群。注意formula_410可以等價描述成特殊酉群formula_420，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面formula_421。
有限點群的原像稱為二元多面體群，記作formula_422，與formula_423對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」前綴，階數為點群階數的兩倍。例如，formula_424的原像，便是formula_425。
二元多面體群為： 該些群能按，而formula_442在二元多面體群作用下的商空間，是。
對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。
注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在formula_443映射下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的（非二元）群是同一個多面體的等距變換，然而，在或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。
二元多面體群不是的對稱群。球面確實覆疊射影空间（以及），故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。