三角形
三角形，又稱三邊形，是由三条线段顺次首尾相连，或不共線的三點兩兩連接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少邊的多边形。
一般用大写英语字母formula_1、formula_2和formula_3为三角形的顶点标号；用小写英语字母formula_4、formula_5和formula_6表示边；用formula_7、formula_8和formula_9給角標號，又或者以formula_10這樣的顶点标号来表示。
銳角三角形的所有內角均為銳角（即小於90°）。
鈍角三角形是其中一角為鈍角（大於90°）的三角形，其余兩角均小於90°。
有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为「直角邊」（cathetus），直角所对的边是「斜邊」（hypotenuse）；或最長的邊稱為「弦」，底部的一邊稱作「勾」（又作「句」），另一邊稱為「股」。斜邊乘上斜邊上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面積（ch=ab）
直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。詳見三角函數。
三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。
等邊三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。设其边长是 formula_4 ，则其面積公式為 formula_12 。
等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個边长相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。
等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中兩隻內角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为「腰」，而另一条边被称为「底边」，两条腰交叉组成的那个点被称为「顶点」，它们组成的角被称为「顶角」。
等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。
令其底边是 formula_5 ，腰是 formula_4，则其面積公式為 formula_15
退化三角形是指面積為零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。
勒洛三角形（），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師命名。 勾股定理，又稱畢氏定理或毕达哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 formula_6 為斜邊，即 formula_6 的對角 formula_18 ，則
勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足 則
設 formula_22 为三角形外接圓半径，則
對於任意三角形： 勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 formula_27 时， formula_28 ，于是 formula_29 化简为 formula_30 。
三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。 注意，SSA（Side-Side-Angle、邊、邊、角）不能保证两个三角形全等，除非該角大於等於90°。三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要對象。 以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。
设在formula_31中，若三边formula_4、formula_5、formula_34的中線分别为formula_35、formula_36、formula_37，则：
设在formula_31中，連接三个顶点formula_1、formula_2、formula_3上的高分別记作formula_45、formula_46、formula_47，則： 其中 formula_51 。
设在formula_31中，若三个角formula_1、formula_2、formula_3的角平分线分别为formula_56、formula_57、formula_58，则：
三角形的內心、外心、垂心及形心稱為三角形的四心，定義如下：
关于三角形的四心，有这样的一首诗：
垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能連成一線，且成比例1:2，稱為歐拉線，與九點圓的圓心（紅）四點共線，為垂心和形心線段的中點。
連同以下的旁心，合稱為三角形的五心： 設外接圆半径為formula_22 ， 内切圆半径為formula_63 ，則：
其中formula_66為三角形面積；formula_67為三角形半周長，formula_51
三角形的面積 formula_1 是底邊 formula_70 與高 formula_71 乘積的一半，即： 其中的高是指底邊與對角的垂直距離。
從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 formula_73 的長方形。因此原來的三角形面積為 證畢。
設 formula_4 formula_5 為已知的兩邊， formula_9 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：
觀察右圖，根據正弦的定義：
因此：
將此式代入基本公式，可得：
證畢。 formula_8 、 formula_9 為已知的兩角， formula_4 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：
從正弦定理可知：
代入 formula_87 ，得：
注意到formula_89，因此：
證畢。 海龍公式，其表示形式為： 其中 formula_67 等於三角形的半周長，即：
秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：
也有用幂和来表示的公式：
亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：
基於海伦公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 formula_97 ，三角形面積為：
設 formula_4 、 formula_5、formula_6為三角形三條邊， formula_7 、 formula_8 、 formula_9 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：
以畢氏三角恆等式可得：
將此式代入formula_78，得：
因式分解及簡化後可得：
代入formula_51，即可證畢。 由 formula_111 、 formula_112 及 formula_113 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的絕對值表示：
无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。 若三個頂點設在三維座標系上，即由 formula_115 、 formula_116 及 formula_117 三个顶点构成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：
設三角形三邊邊長分別為 formula_4 、 formula_5 及 formula_6 ，三角形半周長（ formula_122 ）為 formula_67 ，內切圓半徑為 formula_63，則：
若設外接圓半徑為 formula_22 ，則：
內切圓半徑公式
根據右圖，設 formula_128 ， formula_129 ， formula_130 ，則三角形面積可表示為：
外接圓半徑公式
根據正弦定理：
因此：
設從一角出發，引出兩邊的向量為 formula_134 及 formula_135 ，三角形的面積為：
根據向量積定義，formula_137， 其中 formula_138 是兩支向量的夾角。
因此：
證畢。 在三角形formula_140中，三个角的半角的正切和三边有如下关系： 以正弦及餘弦之比表示正切：
因为
所以
而
所以
同理可得