Z轉換
在數學和信号处理中，Z轉換（）把一連串離散的實數或複數訊號，從時域轉為复頻域表示。
可以把它认为是拉普拉斯变换的离散时间等价。在时标微积分中会探索它们的相似性。
现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的雷加基尼和查德称其为“Z变换”。
E. I. Jury后来发展并推广了改进或高级Z变换。
Z变换中包含的思想在数学里称作母函数方法，该方法可以追溯到1730年的时候，棣莫弗与概率论结合将其引入。 从数学的角度，当把数字序列视为解析函数的（洛朗）展开时，Z变换也可以看成是洛朗级数。
像很多积分变换一样，Z变换可以有单边和双边定义。
"双边"Z轉換把离散時域信号 "x[n]" 轉為形式幂级数 "X(Z)"。
當中 formula_2 是整數，formula_3 是複數变量，其表示方式為 其中 "A" 为 "z" 的模，"j" 为虚数单位，而 ɸ 为"辐角"（也叫"相位角"），用弧度表示。
另外，只对 "n" ≥ 0 定义的 "x[n]"，"单边"Z变换定义为
在信号处理中，这个定义可以用来计算离散时间因果系统的单位冲激响应。
单边Z变换的一个重要例子是概率母函数，其中 "x[n]" 部分是离散随机变量取 "n" 值时的概率，而函数 "X(z)" 通常写作 "X(s)"，用 "s" = "z" 表示。Z变换的性质（在下面）在概率论背景下有很多有用的解释。
地球物理中的Z变换，通常的定义是 "z" 的幂级数而非 "z" 的。例如，Robinson、Treitel和Kanasewich都使用这个惯例。 地球物理定义为：
这两个定义是等价的；但差分结果会有一些不同。例如，零点和极点的位置移动在单位圆内使用一个定义，在单位圆外用另一个定义。 因此，需要注意特定作者使用的定义。
"逆"Z变换为
其中 "C" 是完全处于收敛域（ROC）内的包围原点的一个逆时针闭合路径。在 ROC 是因果的情况下（参见例2），这意味着路径 "C" 必须包围 "X(z)" 的所有极点。
这个曲线积分的一个特殊情形出现在 "C" 是单位圆的时候（可以在ROC包含单位圆的时候使用，总能保证 "X(z)" 是稳定的，即所有极点都在单位圆内）。逆Z变换可以化简为逆离散傅里叶变换：
有限范围 "n" 和有限数量的均匀间隔的 "z" 值的Z变换可以用Bluestein的FFT算法方便地计算。离散时间傅里叶变换 (DTFT)—不要与离散傅里叶变换（DFT）混淆—是通过将 "z" 限制在位于单位圆上而得到的一种Z变换的特殊情况。
收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
令 "x[n]" = (0.5)。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 成为
观察上面的和
因此，没有一个 "z" 值可以满足这个条件。
令 formula_12（其中 "u" 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 得到
观察这个和
最后一个等式来自无穷几何级数，而等式仅在 |0.5"z"| < 1 时成立，可以以 "z" 为变量写成 |"z"| > 0.5。因此，收敛域为 |"z"| > 0.5。在这种情况下，收敛域为复平面“挖掉”原点为中心的半径为 0.5 的圆盘。
令 formula_15（其中 "u" 是单位阶跃函数）。在区间 (−∞, ∞) 上展开 "x[n]" 得到
观察这个和
再次使用无穷几何级数，此等式只在 |0.5"z"| < 1 时成立，可以用 "z" 为变量写成 |"z"| < 0.5。因此，收敛域为 |"z"| < 0.5。在这种情况下，收敛域为中心在原点的半径为 0.5 的圆盘。
本例与上例的不同之处"仅在"收敛域上。这是意图展示只有变换结果是不够的。 实例2和3清楚地表明，当且仅当指定收敛域时，"x[n]" 的Z变换 "X(z)" 才是唯一的。画因果和非因果情形的表明，在这两种情况下收敛域都不包含极点位于 0.5 的情形。这可以拓展到多个极点的情形：收敛域"永远不会"包含极点。
在例2中，因果系统产生一个包含 |"z"| = ∞ 的收敛域，而例3中的非因果系统产生包含 |"z"| = 0 的收敛域。 在有多个极点的系统中，收敛域可以既不包含 |"z"| = ∞ 也不包含 |"z"| = 0。画出的收敛域与一个圆形带。例如，
的极点为 0.5 与 0.75。收敛域会是 0.5 < |"z"| < 0.75，不包含原点和无穷大。这样的系统称为混合因果系统，因为它包含一个因果项 (0.5)"u"["n"] 和一个非因果项 −(0.75)"u"[−"n"−1]。
一个系统的稳定性可以只通过了解收敛域来确定。如果收敛域包含单位圆（即 |"z"| = 1），那么系统是稳定的。在上述系统中因果系统（例2）是稳定的，因为 |"z"| > 0.5 包含单位圆。
如果给定一个没有收敛域的Z变换（即模糊的 "x[n]"），可以确定一个唯一的 "x[n]" 满足下列：
如果你要稳定性，收敛域必须包含单位圆；如果你需要一个因果系统，收敛域必须包含无穷大，并且系统函数应为一个右边序列。如果你需要一个非因果系统，那么收敛域必须包含原点，且系统函数为左边序列。如果你既要稳定性，也要因果性，系统函数的所有极点都必须在单位圆内。
可以找到唯一的 "x[n]"。
帕塞瓦尔定理
初值定理：如果 "x"["n"] 为因果的，那么
终值定理：如果 ("z"−1)"X"("z") 的极点在单位圆内，则
这里：
是单位阶跃函数而
是离散时间单位冲激函数。两者通常都不认为是真正的函数，但由于它们的不连续性把它们看成是分布（它们在 "n" = 0 处的值通常无关紧要，除非在处理离散时间的时候，它们会变成衰减离散级数；在本章节中对连续和离散时间域，都在 "n" = 0 处取 1，否则不能使用下表中收敛域一栏的内容）。同时列出两个“函数”，使得（在连续时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的积分，或（在离散时间域）单位阶跃函数是单位冲激函数的求和，因此要令他们的值在 "n" = 0 处为 1。
对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数：
也被称作 x[n] 序列的离散时间傅里叶变换（DTFT）。这个以 2π 为周期的函数是傅里叶变换的，这使得它成为广泛使用的分析工具。要理解这一点，令 X(f) 为任意函数 x(t) 的傅里叶变换，该函数以某个间隔 T 采样就与 x[n] 序列相等。于是 x[n] 序列的DTFT可以写作：
若T的單位是秒，formula_25的單位即為赫兹。比較兩個數列可得 formula_26 為，單位是radians per sample。數值ω=2π對應formula_27 Hz. ，而且在替換 formula_28後，  可以表示為傅里叶变换X(•):
若數列x(nT)表示线性时不变系统的冲激响应，這些函數也稱為频率响应，當x(nT)是週期性數列，其DTFT在一或多個共振頻率發散，在其他頻率均為零。這一般會用在共振頻率，振幅可變的狄拉克δ函数表示。因為其週期性，只會有有限個振幅，可以用較簡單許多的离散傅里叶变换來計算。（參照離散傅立葉變換#周期性）
双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：
將一個拉氏域的函數formula_31轉換為Z域下的formula_32，或是
從Z域轉換到拉氏域。藉由双线性变换，複數的s平面（拉氏变換）可以映射到複數的z平面（Z轉換）。這個轉換是非線性的，可以將S平面的整個"j"Ω軸映射到Z平面的单位圆內。因此，傅立葉變換（在"j"Ω axis計算的拉氏變換）變成離散時間傅立葉變換，前提是假設其傅立葉變換存在，也就是拉氏变換的收斂區域包括"j"Ω軸。
线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。
上面等式两边可以同时除以 α，如果非零，正规化 α = 1，LCCD方程可以写成
LCCD方程的这种形式有利于更加明确“当前”输出 "y[n]" 是过去输出 "y[n−p]"、当前输入 "x[n]" 与之前输入 "x[n−q]" 的一个函数。
对上述方程去Z变换（使用线性和时移法则）得到
整理结果
由代数基本定理得知分子有 "M" 个根（对应于 H 的零点）和分母有 N 个根（对应于极点）。用极点和零点重新整理传递函数为
其中 "q" 为 "k" 阶零点，"p" 为 "k" 阶极点。零点和极点通常是复数，当在复平面（z平面）作图时称为。
此外，在 "z" = 0 和 "z" = ∞ 也可能存在零点和极点。如果我们把这些极点和零点以及高阶零点和极点考虑在内的話，零点和极点的数目总会相等。
通过对分母因式分解，可以使用部分分式分解可以转换回时域。这样做会导出系统的冲激响应和线性常系数差分方程。
如果一个系统 "H(z)" 由信号 "X(z)" 驱动，那么输出为 "Y(z)" = "H(z)X(z)"。通过对 "Y(z)" 部分分式分解并取逆Z变换可以得到输出 "y[n]"。在实际运用中，在分式分解 formula_39 之后再乘 "z" 产生 "Y(z)" 的一个形式（含有很容易计算逆Z变换的项）往往很有用。