秩 (线性代数)
在线性代数中，一个矩阵 formula_1 的列秩是 formula_1 的线性无关的纵列的极大数目。类似地，行秩是 formula_1 的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵 formula_1 的秩。通常表示为 formula_5 ，formula_6 或formula_7。
设 formula_1 为 formula_9 矩阵。若 formula_1 至少有一个 formula_11 阶非零子式，而其所有 formula_12 阶子式全为零，则称 formula_11 为 formula_1 的秩。
对于 formula_15 维线性空间 formula_16 中的一个向量组 formula_17，若  formula_18 中的 formula_11 个向量线性无关，且若 formula_20，formula_21 中 formula_12 个向量都线性相关，则称 formula_23 为 formula_24 的极大线性无关组，formula_11 为 formula_24 的秩。可以证明 formula_27 的秩等于向量组 formula_27 生成的子空间的维数。 矩阵 formula_1 的列秩定义为 formula_1 的列向量组的秩，也即矩阵的列空间的维数。类似地，矩阵的行秩定义为 formula_1 的行向量组的秩，即矩阵的行空间的维数。
考虑线性映射：
对于每个矩阵 formula_1，formula_35 都是一个线性映射，同时，对每个 formula_36 的 线性映射 formula_37，都存在矩阵 formula_38使得 formula_39。也就是说，映射
是一个同构映射。所以一个矩阵 formula_1 的秩还可定义为 formula_35 的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 formula_1 称为 formula_35 的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 formula_46 的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 formula_37 的像的维度。
矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分。其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。
给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形.
令 formula_1 是一个 formula_9 的矩阵，其列秩为 formula_11 . 因此矩阵 formula_1 的列空间的维度是 formula_11 . 令 formula_53 是 formula_1 的列空间的一组基，构成 formula_55 矩阵 formula_56的列向量 formula_57，并使得 formula_1 的每个列向量是 formula_56的formula_11 个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个 formula_61 矩阵 formula_62, 使得 formula_63. (formula_1 的 formula_65 元素是 formula_66 与 formula_62 的第 formula_68 个行向量的点积.)
现在，由于 formula_63, formula_1 的每个行向量是 formula_62 的行向量的线性组合，这意味着 formula_1 的行向量空间被包含于 formula_62 的行向量空间之中. 因此 formula_1 的行秩 ≤ formula_62的行秩. 但formula_62仅有formula_11行, 所以formula_62的行秩 ≤ formula_11 = formula_1的列秩. 这就证明了formula_1的行秩 ≤ formula_1的列秩.
把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证formula_1的列秩 ≤ formula_1的行秩。更简单的方法是考虑formula_1的转置矩阵formula_86，则formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86的列秩 = formula_1的行秩. 这证明了formula_1的列秩等于formula_1的行秩. 证毕.
令formula_1是formula_9矩阵，其行秩是formula_11. 因此formula_1的行向量空间的维度是formula_11，设formula_98是formula_1的行向量空间的一组基. 如果把这组基当作原像列向量看待，则向量集formula_100是线性独立的。 这是因为对一组标量系数formula_53，如果: 其中formula_103. 则可以推出有两个事实: (a) formula_104是formula_1行向量空间的线性组合, 即formula_104属于formula_1的行向量空间；(b) 由于formula_108 = 0, formula_104正交于formula_1的所有行向量，从而正交于formula_1的行向量空间的所有向量. 事实(a)与(b)结合起来，则formula_104正交于自身，这意味着formula_104 = 0. 由formula_104的定义: 再由formula_116是formula_1的行向量空间的一组线性独立的基，可知formula_118. formula_100因而是线性独立的.
formula_120是formula_1的列空间中的向量. 因此formula_100是formula_1的列空间中formula_11个线性独立的向量. 所以formula_1的列向量空间的维数(formula_1的列秩)必然不小于formula_11. 这证明了formula_1的行秩r ≤ formula_1的列秩. 把这一结果应用于formula_1的转置矩阵可以得到: formula_1的列秩 = formula_86的行秩 ≤ formula_86列秩 = formula_1的行秩. 这证明了formula_1的列秩等于formula_1的行秩，证毕.
最后, 还可以证明rk("A") = rk("A"), 其中"A"是"A"的共轭转置或称施密特转置. 当"A"的元素都是实数, 这一结果变为rk("A") = rk("A"). 然而对于复系数矩阵，rk("A") = rk("A")并不等价于行秩等于列秩, 需要用到上述两个证明.
令"A"是一个"m"×"n"矩阵. 定义rk(A)为"A"的列秩，"A"为"A"的共轭转置或称施密特转置. 首先可知"A""Ax" = 0当且仅当"Ax" = 0.  其中‖·‖是欧氏范数. 这说明"A"的零空间与"A""A"的零空间相同. 由秩－零化度定理, 可得rk("A") = rk("A""A"). "A""A"的每一个列向量是"A"的列向量的线性组合. 所以"A""A"的列空间是"A"的列空间的子空间. 从而rk("A""A") ≤ rk("A"). 即: rk("A") = rk("A""A") ≤ rk("A"). 应用这一结果于"A"可获得不等式: 由于("A") = "A", 可写作rk("A") ≤ rk(("A")) = rk("A"). 这证明了rk("A") = rk("A"). 证毕.
我们假定"A"是在域"F"上的"m" × "n"矩阵并描述了上述线性映射。将formula_15个formula_154维列向量排列成formula_155的矩阵"A"，这个对应矩阵的秩即为原向量组的秩。
原向量组线性相关的充分必要条件为：
如果
则向量组线性无关。另外，不存在
特殊的，若向量的个数formula_15大于向量的维数formula_154，则根据：
这个向量组必然线性相关。
计算矩阵"A"的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此"A"的行阶梯形矩阵有同"A"一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。
例如考虑4 × 4矩阵
我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列-等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以"A"的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列"A"的行阶梯形矩阵:
它有两个非零的横行。
在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。
计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该方程组有解。在这种情况下，如果它的秩等于方程的数目那么该方程组有唯一的一个精确解。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则方程组是不一致（Inconsistent）的。
在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。