地图投影
在地图学中，地图投影（）是一种将地球表面展平的方法，以便制作地图，这就需要一种方法将球面上的点转换为平面上的点。 将球体投影到平面上，球面必然会有一定程度的变形，根据地图的目的，有些变形是可以接受的，有些则是不可以接受的，因此，为了保留球面的某些性质而牺牲其他性质，就存在不同的地图投影。 研究地图投影就是研究变形的特征。潜在的地图投影有无数种。投影是一些纯数学领域的主题，包括微分几何、射影几何和流形，然而“地图投影”是特指制图投影。
尽管名字的字面意思是这样的，但投影并不限于透视投影，例如在屏幕上投射阴影所产生的投影，或者針孔相機在平面胶卷板上产生的图像。相反，任何将坐标从曲面清晰而平稳地转换到平面的数学函数都是投影。实际使用中很少有投影是透视的。
本文大部分内容都是假设要测绘的表面是球面。地球和其他大型天體一般以扁球形为较好的模型，而小行星等小型天体则常为不规则形状。行星体的表面即使是不规则的，不能用球体或椭球体很好地建模，也可以绘制地图。 因此，更一般地说，地图投影是将连续的曲面展平到一个平面上的任何方法。
模型地球仪不会像地图那样让地表关系变形，但地图在许多情况下更有用：它们更紧凑，更容易储存；它们很容易容纳大量的比例尺；它们很容易在计算机显示器上查看；它们可以被测量以找到被测绘区域的属性；它们可以同时显示地球表面的更大部分；它们的生产和运输更便宜。地图的这些有用的特点促使人们开发地图投影。
许多属性可以在地球表面测量，与地理环境无关。
地图投影的构造可以以牺牲其他属性为代价来保留其中的一些属性。由于弯曲的地球表面与平面不是等距的，因此，保留形状不可避免地会导致比例尺的变化，从而导致区域的非比例表现。反之亦然，保留面积的投影不可能是保形的，导致地图上大部分地方的形状和方位失真。每一种投影都以不同的方式保留、妥协或近似于基本的度量属性。地图的目的决定了哪种投影应该构成地图的基础。由于地图存在许多目的，因此创造了多种多样的投影以适应这些目的。
投影构造的另一个考虑因素是它与地图上要使用的数据集的兼容性。数据集是地理信息；它们的收集取决于所选择的地球基准（模型）。不同的基准为同一位置分配的坐标略有不同，因此在大比例尺地图中，如国家测绘系统的地图，将基准与投影相匹配非常重要。不同基准之间坐标分配的细微差异对于世界地图或其他广袤的地域来说并不重要，因为在那里这种差异会缩小到无法察觉的程度。
卡爾·弗里德里希·高斯的絕妙定理证明了球面不可能在平面上不失真地表现出来，这同样适用于其他用于地球模型的参考面，如扁球体、椭球体和地球仪。同样的道理也适用于其他用作地球模型的参考面，如扁球面、椭球面和大地水准面。由于任何地图投影都是这些曲面之一在平面上的表现，因此所有地图投影都会变形。 显示投影固有变形的经典方法是使用Tissot变形椭圆。对于一个给定的点，利用沿子午线的比例因子 "h"，沿纬线的比例因子 "k"，以及它们之间的角度 "θ′"，Nicolas Tissot描述了如何构建一个椭圆，以描述变形成分的数量和方向。 通过沿子午线和纬线有规律地排列椭圆，指示线网络显示了整个地图的失真变化情况。
已经有许多其他方法来描述投影中的变形。 像Tissot变形椭圆一样，Goldberg-Gott指示线也是以无限小圆为基础的，它描述了弯曲和偏斜变形。
有些视觉方法不是像Tissot的指示线那样，用原始的（放大的）无限小圆来投影，而是用有限的形状来投影地图的一部分。例如，一个固定半径的小圆（如15度角半径）。 有时也使用球面三角形。在20世纪上半叶，将一个人的头部投射到不同的投影上是很常见的，以显示在一个投影上与另一个投影上的失真如何变化。 在动态媒体中，熟悉的海岸线和边界的形状可以在交互式地图上拖动，以显示投影如何根据地图上的位置扭曲大小和形状。
另一种可视化局部变形的方法是通过灰度或颜色渐变，其阴影代表角度变形或等高线膨胀的大小。有时，通过混合两种颜色来创建一个，两者同时显示。
在全局范围内而不是只在一个点上描述失真的问题是，它必然涉及到选择优先级以达成妥协。一些方案使用距离失真作为角度变形和等高线膨胀二者结合的指标；这种方法任意选择要测量的路径和如何加权，以产生单一结果。已经用来描述许多种投影。
地图投影的创建包括两个步骤：一些最简单的地图投影是字面意义上的投影，通过将光源放置在相对于地球仪的某个确定的点上，并将其特征投影到指定的表面上而得到的。虽然大多数投影不是以这种方式定义的，但描绘光源-地球模型可以帮助理解地图投影的基本概念。
能展开成平面而不发生拉伸、撕裂或收缩的曲面称为可展曲面。圆柱、圆锥和平面都是可展曲面。球面和椭圆面没有可展开的表面，所以把它们投影到平面上都要变形。（打个比方，把橘子皮压平，就不能不使其撕裂和变形。）
描述投影的一种方法是，先从地球表面投影到一个可展曲面，如圆柱或圆锥，然后再把这个表面展开成一个平面。虽然第一步不可避免地会使地球仪的某些特性发生扭曲，但可展开的表面就可以不发生进一步的变形。
一旦选择了投影到圆柱、圆锥或平面上，就必须指定形状的朝向（aspect）。朝向描述了可展曲面相对于地球的位置：它可以是法向（使曲面的对称轴与地轴重合）、横向（与地轴成直角）或斜向（两者之间的任何角度）。
可展曲面也可以是与球面或椭球面相切或相割的表面。相切是指曲面与地球接触但不切开地球；相割是指曲面会切开地球。将可展曲面从与地球的接触处移开，永远不会保持或改善度量特性，所以这里不进一步讨论这种可能性。
切线和割线（标准线）是不变形的。如果这些线是纬线的平行线，如在圆锥投影中，则称为标准平行线。中心子午线是地球在投影前所旋转到的子午线。中心子午线（通常写为 "λ"）和原点平行线（通常写为 "φ"）通常用来确定地图投影的原点。
地球儀是代表地球的唯一方法，它在整个地图的所有方向上都具有恒定的比例。地图无法在任何区域实现这一属性，无论区域有多小。然而，它可以沿着特定的线实现恒定的比例尺。
一些可能的属性是：
投影构造还受到如何近似地球或行星体形状的影响。在下面关于投影类别的一节中，为了简化讨论，将地球作为一个球体。但是，地球的实际形状更接近于长圆椭球体。不管是球体还是椭球体，所讨论的原则都是成立的，而不失通用性。
选择地球形状的模型涉及到在球面与椭球面的优缺点之间进行选择。球面模型对于小比例尺的地图如世界地图集和地球仪是有用的，因为该比例尺的误差通常不明显或不重要，不足以证明使用更复杂的椭球体是合理的。椭球面模型通常用于绘制地形图和其他需要精确描绘陆地表面的大中型地图。辅助纬度常用于投影椭球面。
第三种模型是大地水准面，它是一种更复杂、更精确的地球形状表示，与没有风、潮汐或陆地时的平均海平面相吻合。与最密合椭球面（）相比，大地水准面模型将改变重要性质的表征，如距离、保形性和等值性。因此，在保留这类性质的大地水准面投影地图中，地理坐标网会偏离椭球面地图的地理坐标网。但通常情况下，大地水准面不会被用作进行投影，因为地球的形状是非常规则的，大地水准面的起伏量与椭球面模型相差不到100米（而地球半径是630万米）。但对于不规则的行星体，如小行星，有时会用类似于大地水准面的模型来推算地图。 其他规则固体有时被用作较小天体大地水准面等效的一般化。例如，木卫一最好用三轴椭球面或偏心率较小的椭球面来建模。吸器的形状是一个雅可比椭圆体，其长轴是次长轴的两倍，妊神星的形状是，其长轴是短轴的2倍，中轴是短轴的1.5倍。
一个基本的投影分类是基于地球所投影的投影面的类型。投影其实就是将一个巨大的曲面与地球接触，然后进行隐含的缩放操作。这些曲面有圆柱面（如墨卡托投影）、圆锥面（如亚尔勃斯投影）和平面（如球极平面投影）。然而，许多数学投影并不能整齐地归入这三种概念投影方法中的任何一种。因此，文献中还描述了其他的同级分类，如伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影、反方位投影和多圆锥投影。
对投影进行分类的另一种方法是根据它们所保存的模型的属性。一些比较常见的类别有： 因为球面不是一个可展曲面，所以不可能构造一个既等面积又保形的地图投影。
三种可展曲面（平面、圆柱体、圆锥体）为理解、描述和开发地图投影提供了有用的模型。然而，这些模型在两个基本方面受到限制。首先，大多数使用中的世界投影并不属于这些类别。另外，即使是大多数属于这些类别的投影，也不能自然地通过物理投影来实现。正如L.P.Lee所指出的那样，
Lee的反对意见是指在地图投影领域，圆柱形、圆锥形和平面（方位角）等术语被抽象化的方式。如果地图的投影就像光线通过地球照射到可展曲面一样，那么平行线的间距将遵循一套非常有限的可能性。例如这样的圆柱形投影是:
（如果你在投射之前旋转地球，那么纬线和经线不一定还是直线。为了分类，通常忽略转动。）
光源沿着最后一个约束所描述的线发射的地方，就是产生各种“自然”圆柱形投影之间的差异的地方。 但是，在地图投影领域中使用的圆柱一词完全放宽了最后一个约束。 相反，平行线可以根据设计者决定的任何算法放置，以适应地图的需要。在著名的墨卡托投影中，平行线的位置不是通过投影产生的，而是按照需要的方式放置，以满足恒定方向角的轨迹始终绘制为直线的性质。
正圆柱投影是将经线映射到等距的垂直线上，将纬度圈（平行线）映射到水平线上的任何投影。
通过想象一个轴线与地球自转轴线重合的圆柱，可以可视化经线到垂直线的映射关系。这个圆柱体环绕地球，投射到地球上，然后展开。
根据其构造的几何学原理，圆柱投影会拉伸东西方向的距离。在任何特定的纬度上，所有圆柱投影的拉伸量都是相同的，其大小是纬度的正割乘以赤道处的比例尺。各种圆柱投影之间的区别仅在于它们的南北向拉伸量（其中纬度用 "φ" 表示）：
在第一种情况下（墨卡托投影），东西比例尺总是等于南北比例尺。在第二种情况下（圆柱中心投影），南北比例尺在远离赤道的地方都超过东西比例尺。其余的每种情况都有一对割线——一对符号相反的相同纬度（或赤道），在这对纬度上，东西比例尺与南北比例尺一致。
正圆柱投影将整个地球映射为一个有限的矩形，但前两种情况除外；在前两种情况下，矩形会无限延伸，同时保持宽度不变。
伪圆柱投影将中央经线表示为一条直线段。其他经线比中央经线长，向外弯曲，远离中央经线。伪圆柱投影把纬线映射为直线。沿着纬线，从地表出发的每一点与中心经线的距离都是按其与中心经线的经度差成比例绘制的。因此，沿某一纬线的经线间距相等。在伪圆柱投影地图上，任何一点离赤道的距离比另一点更远，其纬度就比另一点高，保持了南北关系。这一特征在说明气候等依赖纬度的现象时很有用。伪圆柱投影的例子包括： HEALPix投影结合了赤道地区的等积圆柱投影和极地地区的。
“圆锥投影”用于指任何投影，其中经线被映射到从顶点辐射出来的等距线上，纬度圈（平行线）被映射到以顶点为中心的圆弧上。
在绘制圆锥地图时，地图制作者会任意选择两条标准纬线。这些标准纬线可以被看作是圆锥与地球相交的割线，或者，如果地图制作者两次选择同一纬线，则可以看作是圆锥与地球仪相切的切线。所得到的圆锥地图在这些标准纬线附近的比例尺、形状和面积上都有较低的失真。沿着两条标准平行线以北的纬线或沿着两条标准纬线以南的纬线的距离被拉长；沿着标准纬线之间的纬线的距离被压缩。当使用单一标准纬线时，沿所有其他纬线的距离被拉长。
常用的圆锥投影有：方位投影的特性是，从中心点出发的方向被保留下来，因此通过中心点的大圆在地图上用直线表示。这些投影在比例尺上也具有径向对称性，因此在变形上也具有径向对称性：地图与中心点的距离由真实距离 "d" 的函数 "r"("d") 计算，与角度无关；相应地，以中心点为中心的圆被映射成以地图上中心点为圆心的圆。
径向线的映射可以通过想象一个与地球相切的平面，以中心点为切点来直观地体现。
径向比例尺为 "r′"("d")，横向比例尺为 "r"("d")/("R" sin )，其中 "R" 为地球半径。
有些方位投影是真正的透视投影；也就是说，它们可以机械地构造，通过从透视点（沿无限线通过切点和切点的反极点）延伸出的线，将地球表面投影到平面上：
其他方位投影不是真正的透视投影：
正形地图投影能局部保留角度，这意味着它们能将地球上任何地方大小不变的无限小圆映射到地图上大小不一的无限小圆上。相反，非保形的地图会将大多数这样的小圆变形成变形椭圆。保形的一个重要结果是地图上每一点的相对角度都是正确的，而且任何一点周围的每一个方向上的局部比例尺（虽然在整个地图上是变化的）是恒定的。这就是一些正形投影：
等面积地图保留了面积度量，一般都会变形以达到这一目的。这是一些保面积的投影：
如果连接平面上两个投影点的线段长度与地球仪上两个未投影点之间的测地线（最短面）距离成正比，那么我们就说这两个点之间的距离得到了保留。等距投影保留了一个或两个特殊点到其他所有点的距离。特殊点在投影时可能会被拉伸成一条线或一条曲线段。在这种情况下，必须用直线或曲线段上最接近被测点的点来测量距离。
大圆在其上显示为直线：
到固定位置B的方向（最短路线起点A的方位）对应于地图上A到B的方向：
折衷投影放弃了完全保留度量性质的想法，而是寻求在变形之间取得平衡，或者只是让事情看起来正确。大多数这些类型的投影在极地地区比在赤道地区变形得更厉害。这些是一些折衷投影：
从数学角度来看，不会出现对各种场景都适用的投影。 总是会有些东西要变形。因此，存在着许多投影，以满足地图的多种用途及其广泛的比例尺。
现代国家测绘系统通常对大比例尺地图采用横轴墨卡托或近似变体，以在小范围内比例尺的 保形、减小变化。对于较小比例尺的地图，如跨越各大洲或整个世界的地图，根据其适用性，许多投影都是常用的，如、罗宾森投影和。 世界地图通常使用折衷投影。由于任何世界地图都存在固有的变形，投影的选择在很大程度上成了一个美学问题。
专题地图通常要求采用等面积投影，使单位面积上的现象能以正确的比例显示。 但是，正确地表示面积比例，必然比许多非等面积的地图变形更大。
为导航而开发的墨卡托投影，经常用于世界地图，但其实有其他投影更为合适。 即使在非专业界领域，人们也早已认识到这个问题。例如，1943年《纽约时报》的一篇社论指出：
1980年代关于彼得斯地图的争论促使美国制图协会（现为制图和地理信息协会）制作了一系列小册子（包括《哪种地图最好》），旨在教育公众了解地图投影和地图失真。1989年和1990年，经过一些内部辩论，七个北美地理组织通过了一项决议，建议反对使用任何矩形投影（包括墨卡托和高尔-彼得斯）作为世界参考地图。