级数
级数（）是数学中一个有穷或无穷的序列例如formula_1之和，即formula_2，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。
序列formula_3中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。
有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才會有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。
无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作formula_4、formula_5或者formula_6，级数收敛时，其和通常被表示为formula_7，其中符号formula_8称为求和号。
设formula_9是一个无穷序列 ：formula_10，其前n项的和称为formula_11的部分和：
formula_9部分和依次构成另一个无穷序列：formula_14
这两个序列合称为一个级数，记作formula_11或者formula_6。
对于级数formula_6，如果当formula_18趋于正无穷大时，formula_19趋向一个有限的极限：formula_20，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，formula_21叫做级数formula_6的和。如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。收敛的无穷级数存在唯一的一个和"formula_21"。这时可以定义级数formula_11的余项和：formula_25。
如果级数formula_6中的各项可以是正数，负数或零，则级数formula_6称为任意项级数。 将任意项级数各项formula_28取绝对值，得到正项级数。 formula_29
定理：如果任意项级数formula_6的各项的绝对值所组成的正项级数formula_31收敛，则级数formula_6收敛。 这两个级数的敛散性是一样的。 将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算了 π 的值。他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。
然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。柯西更研究了复函数的幂级数展开。
1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数 的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。然而，一致连续性的重要性在很长一段时间裡没有受到重视。
几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：
一般来说，几何级数formula_56收敛当且仅当formula_57。
调和级数是指通项为formula_58的级数：
它是发散的。
"formula_60"-级数是指通项为formula_62的级数：
对于实数值的"formula_60"，当formula_65时收敛，当formula_66时发散。这可以由积分比较审敛法得出。
函数formula_67是黎曼ζ函數在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼formula_68函數有著名的黎曼猜想。 特別地，當formula_69時，formula_60-級數即為調和級數。
收敛当且仅当数列formula_72收敛到某个极限formula_73，并且这时级数的和是formula_74。
泰勒级数是关于一个光滑函数formula_75在一点formula_39附近取值的级数。泰勒函数由函数在点formula_39的各阶导数值构成，具体形式为： 这是一个幂级数。如果它在formula_39附近收敛，那么就称函数formula_75在点formula_39上是解析的。
具有以下形式的级数
其中所有的formula_83非负，被称作交错级数。交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。它的收敛与否和系数formula_83有关。
任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
例如，周期为formula_87的周期函数formula_88可以表示为： 其中，formula_90，formula_91，特别的，formula_92
若通项为实数的无穷级数formula_11每一项formula_28都大于等于零，则称formula_11是一正项级数。
如果无穷级数 formula_11 是正项级数，则部分和formula_97是一个单调递增数列。由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。因此，倘若部分和数列"S"有界，formula_11收敛，且formula_99 ;反之，若部分和数列趋于正无穷，级数发散。 设formula_11 和 formula_101是正项级数。
比如，我们已知级数：formula_117收敛，则级数：formula_118也收敛，因为对任意的formula_18，formula_120。
比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。一般来说，我们可以选择比较简单的级数：formula_121作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。需要知道的是当formula_122时，formula_123发散，当formula_124时，formula_123收敛。
在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：
这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
具有以下形式的级数
其中所有的formula_83非负，被称作交错级数。
在上述的级数formula_82中，如果当formula_18趋于无穷时, 数列formula_83的极限存在且等于 0，并且每个formula_83小于formula_148（即, 数列formula_83是单调递减的），那么级数收敛。
对于通项为任意实数的无穷级数formula_11，将级数formula_151称为它的绝对值级数。可以证明，如果formula_151收敛，那么 formula_11也收敛，这时称 formula_11绝对收敛。如果formula_11收敛，但是formula_151发散，则称formula_11条件收敛。比如说，级数formula_158绝对收敛，因为前面已经证明 formula_159收敛。而级数formula_160是条件收敛的。它自身收敛到formula_161，但是它的绝对值级数formula_162是发散的。
黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数formula_11条件收敛，那么对于任意的实数formula_164，存在一个正整数到正整数的双射formula_165，使得级数formula_166收敛到 formula_164。对于正负无穷大，上述双射也存在。
设formula_168为定义在区间formula_169上的函数列，则表达式：formula_170称为函数项级数，简记为formula_171。对函数项级数的主要研究是：对区间formula_169上的每个 formula_176，级数 formula_177是常数项级数。若 formula_177收敛，则称formula_176是formula_171的一个收敛点，formula_171全体收敛点的集合称为它的收敛域。若 formula_177发散，则称formula_176是formula_171的一个发散点，formula_171全体发散点的集合称为它的发散域。formula_171在其收敛域的每一点上都有定义，因此定义了一个函数，称为formula_171的和函数，记为formula_188。按照定义，formula_189，其中formula_190为函数项级数在formula_176点上的部分和。
函数项级数的取值可以在它的收敛域上用和函数定义，但和函数的性质可能会和级数的每一项不同。比如说，当函数项级数formula_171中的每一项formula_193在收敛域上都是连续函数时，和函数未必会是连续函数。以下是一个例子：
然而，如果函数项级数能够满足某些更严格的条件的话，可以证明级数的和函数的规则性将会等于每一项函数的规则性，这就是所谓的一致收敛性质。和函数列的一致收敛性质一样，函数项级数formula_171在某个区间formula_169内（关于某个范数formula_212）一致收敛的定义是它的部分和函数formula_97 在区间formula_169上一致收敛到和函数formula_215，
可以证明： 进一步的，如果导函数级数的每一项都是formula_218函数（formula_60阶连续可微函数），并且各阶导函数级数formula_220在区间formula_169内都一致收敛，那么级数和函数formula_222 也是formula_218函数，并且：
函数项级数也有绝对收敛的概念。对于某个给定的区间formula_169和范数formula_227，函数项级数formula_171在区间formula_169内绝对收敛，当且仅当常数级数formula_230收敛。
绝对收敛的（连续？）函数在每一点都收敛，并且在区间formula_169内一致收敛。
形同formula_84的函数项无穷级数称为formula_85的幂级数。一般只需讨论形同formula_234的幂级数。 根据阿贝尔定理，它的收敛域是一个关于零对称的区间，即为formula_235（可开可闭）的形式。这个正数formula_236（可以是无穷大）叫做幂级数的收敛半径。并有定理：
设幂级数formula_234满足formula_238，则：
求解幂级数的和函数有时需要利用先对各项积分（或求导）以得到一个方便利用已有公式进行求和的形式，在求和后在对各项求导（或积分）。
渐进级数是用来对某些函数的间断点附近的情况进行逼近的级数。渐进级数一般是发散的，它的部分和趋于无穷大，因此可以很好地逼近一个趋于无穷大的函数。但要注意的是，渐进级数提供的逼近是相对的，即只是比值趋于一致，与函数值之间的误差并不像收敛的级数一样趋于无穷小。一般来说，渐进级数在若干项后便达到最小的绝对误差，之后的绝对误差一般会增大甚至趋于无穷。
发散级数的部分和没有极限，但是在应用中可以使用比较弱的级数和定义，比如切萨罗求和、阿贝尔求和以及欧拉求和。
级数的概念可以在任何的对称拓扑群中定义，常用的是在一个巴拿赫空间（比如实数或复数空间）中。