單子 (範疇論)
數學的分支範疇論中，單子（），又稱三元組（）、標準構造（）、基本構造（），是一個（即由某範疇映到自身的函子），連同滿足特定的兩個自然變換，三者構成的整體。單子用於研究互為伴隨的函子對，並將偏序集上的闭包算子推廣到任意範疇。
單子是一類（連同其他資訊）。例如，若formula_1和formula_2為一對伴隨函子，formula_1為formula_2的左伴隨，則複合formula_5是單子。若formula_1與formula_2互為逆函子，則對應的單子是恆等函子。一般而言，伴隨關係並不等同范畴的等价，而可以聯繫不同性質的範疇。為了探討伴隨關係所「保持」的性質，數學家研究單子論。理論的另一半，即藉考慮formula_8，以研究伴隨關係，是單子論的對偶理論。該類函子稱為餘單子（）。
本條目中，formula_9皆表示某範疇。formula_9上的單子是函子formula_11，連同兩個自然變換，分別是單位formula_12（其中formula_13是formula_9上的恆等函子）與乘法formula_15（其中formula_16是複合formula_17，亦是formula_9到formula_9的函子），且要滿足下列：以上兩式，亦可以下列交換圖複述：
記號formula_22與formula_23的含義，參見自然變換，又或考慮以下更具體的寫法，不用水平複合記號，並將各函子作用在任意物件formula_30上：
定義中，若將formula_31當成幺半群的乘法，則第一條公理類似的乘法結合律，而第二條公理類似單位元的存在性（由formula_32給出）。準確而言，formula_9上的單子，可以等價地定義為formula_9的內函子範疇formula_35中的。（該範疇的物件是formula_36上的內函子，而態射是內函子間的自然變換，幺半結構來自內函子的複合運算。）如此，單子不僅在形式上具有與幺半群相似的公理，甚而單子就是幺半群的特例。
冪集單子formula_37是集合範疇formula_38上的單子。其定義中，函子formula_27取為冪集運算，即formula_40為集合formula_41的冪集，而對於函數formula_42，formula_43將formula_41的子集映至其像集，即formula_45。對每個集合formula_41，有函數formula_47，對每個元素formula_48映至單元子集formula_49， 並有函數
將formula_41的若干個子集構成的族，映至該些子集的並集。以上是冪集單子的定義。
兩個單子的複合，未必為單子。舉例，冪集單子formula_52的二次疊代formula_53，無法配備單子結構。
取上節定義的，便是餘單子（或餘三元組）的定義。簡單複述，範疇formula_9上的餘單子，是formula_55上的單子。所以，餘單子是由formula_9到formula_9的某個函子formula_58，連同餘單位與餘乘法（）兩個自然變換，組成的整體，而三者所要滿足的公理，是將原定義中所有態射反轉方向而得。
單子之於幺半群，如同餘單子之於餘幺半群。每個集合皆是餘幺半群，且僅有唯一一種方式，所以抽象代數中，較少考慮餘幺半群。然而，在線性代數中，向量空間範疇（配備張量積）的餘幺半群較為重要，以餘代數之名為人所知。
單子的概念最早由於1958年提出，當時稱為「標準構造」（）。實際上，該書用到的是餘單子，用作解決某個問題。
其後，單子又出現於彼得·胡伯（）對範疇同倫的研究中。該論文包含由任意一對伴隨函子得出單子的證明。
1965年，，及塞缪尔·艾伦伯格、二人分別獨立證明反向的結論，即每個單子皆可由某對伴隨函子產生。後一篇論文中，將單子稱為「三元組」。
1963年，提出泛代數的範疇論。1966年，弗雷德·林頓（）將該理論用單子的語言表達。單子本身來自拓撲方面的考量，事先似乎比洛維爾的理論更難處理，但已成為用範疇論語言闡述泛代數的方法中，較常見的一個。現今常用的英文名稱是1971年由桑德斯·麥克蘭恩在《》引入，以其類似單子論中的同名哲學概念，即某種能生出其他所有事物的實體。
1980年代，在理論計算機科學中，利用單子，為電腦程式的若干方面建立模型，包括例外處理、邊界情況。此後，有多種函數式編程語言仔細實作此想法，作為一種基本規律，同樣稱為單子。2001年，若干數學家注意到，用單子研究程式標誌語意的方法，與洛維爾的理論，兩者之間有關聯。。此為代數與語義間的聯繫，是後來活躍的研究課題。
若有伴隨關係
（即formula_1為formula_2的左伴隨，下同），則由此有formula_9上的單子。此普遍的構造，取內函子為複合
而單位自然變換來自伴隨的單位formula_64，乘法自然變換源自伴隨的餘單位formula_65：
反之，給定單子，可以明確找回一對伴隨函子，使單子為該對伴隨函子的複合。此構造用到下節定義的formula_27代數的艾倫伯格－摩爾範疇formula_68。
給定域formula_69，雙重對偶單子（）源自伴隨關係
其中兩個函子formula_71皆將formula_69向量空间formula_73映至對偶空間formula_74，所以對應的單子將向量空間formula_73映至雙對偶formula_76。對此有更廣泛的討論。
偏序集formula_77可以視為特殊的範疇，任意兩件物件之間有最多一支態射，且formula_78到formula_79有態射当且仅当偏序中formula_80。於是，偏序集之間的函子，即是保序映射，而伴隨函子對，則組成兩偏序集間的伽罗瓦连接，相應的單子是伽羅華連接的闭包算子。
又舉例，設formula_2為formula_82至集合范畴formula_38的，將群映至其基集，又設formula_1為自由函子，由formula_38到formula_82，則formula_1是formula_2的左伴隨。此時，對應的單子formula_89的作用是，輸入一個集合formula_30，輸出自由群formula_91的基集，即字母取自formula_92，且無相鄰兩個字母互為逆元的字串的集合。
該單子的單位變換，由包含映射 給出，該包含映射將formula_30的任意元素，看成僅得一個字元的字串，從而是formula_95的元素。最後，單子的乘法 是串接或「壓平」運算，將若干條字串組成的串，映至該串中所有字串前後連接而成的一條字串。至此描述完單子的兩個自然變換。
前述例子中，自由群可以推廣至其他種類的代數結構，即泛代数意義下的任意一代數。如此，每類代數定義了集合範疇上的一個單子。更重要的是，該類代數的範疇，可從單子找回，即單子的艾倫伯格－摩爾代數範疇，故單子可視為泛代數之簇的推廣。
另外，尚有一個單子源自伴隨關係。在向量空間範疇formula_97上，若formula_27表示將向量空間formula_73映至其张量代数formula_100的內函子，則相應有單位自然變換將formula_73嵌入到其张量代数，並有乘法自然變換，在formula_73處的分量是態射formula_103，將張量積之張量積展開化簡。
只要滿足某些不強的條件，無左伴隨的函子也可以產生單子，稱為。例如，從有限集合範疇formula_104到集合範疇formula_38的包含函子無法配備左伴隨，但其餘密度單子定義在formula_38上，將任意集合formula_30映至其上所有超滤子的集合formula_108。 類似例子見於。
給定範疇formula_9上的單子formula_110，可以考慮formula_9中的formula_112代數物件。formula_27在該些物件上的作用，與單子的單位與乘法相容。具體而言，formula_112代數formula_115是formula_9中的物件formula_78，連同態射formula_118（稱為該代數的結構映射），使得圖
皆可交換。
formula_27代數間的態射formula_120是formula_9中的態射formula_122，且要使可交換。於是，formula_27代數及之間的態射組成範疇，稱為艾倫伯格－摩爾範疇（），記為formula_124.
若formula_27為前述自由群單子，則formula_27代數是集合formula_30，連同由formula_30生成的自由群formula_91到formula_30的映射（求值，），且該映射要滿足結合律與單位元的公理。換言之，formula_30本身就具有群結構，而formula_91至formula_30的映射，是將字串按formula_30的群乘法，計算所得的結果
另一個例子是集合範疇上的分佈單子（）formula_135，其將集合formula_30映至其上所有有限支撐的概率分佈的集合。該等分佈，是函數formula_137，僅於有限多個元素formula_138處取值非零，而各元素處取值之和為formula_139。以符號表示， 可由定義證明，分佈單子上的代數，等同於凸集，即集合要配備二元運算formula_141（對每個formula_142），滿足的公理比照歐氏空間中，凸組合formula_143具備的性質。
另一個有用的單子，是交換環formula_144的模範疇formula_145上的對稱代數單子
將formula_144模formula_148映到各階冪的直和
其中formula_150。例如，formula_151，左右兩邊作為formula_144模同構。如此，對稱代數單子上的代數，是交換formula_144代數。類似地，也有單子formula_154與全張量單子formula_155，相應的代數分別是反對稱formula_144代數與自由formula_144代數，故
前者是formula_144上添加formula_160個生成元的自由反對稱代數，而後者則是formula_160個生成元的自由代數。
對於，亦有類似的構造，對於可交換formula_162代數formula_41，對應單子上的代數是可交換的formula_41代數。若formula_165表示formula_41模的範疇，則可以考慮函子formula_167，定義為 其中 此函子是單子，而由該單子上的代數範疇，可以得到可交換formula_41代數的範疇formula_171。
如前文所述，任何伴隨關係皆產生單子。反之，每個單子formula_27皆可由某個伴隨關係產生，即原範疇與formula_27代數的艾倫伯格－摩爾範疇之間的自由－遺忘伴隨
其中，左伴隨formula_175將formula_9的物件formula_78映到自由formula_27代數formula_179，右伴隨formula_1則將formula_27代數formula_182遺忘掉formula_183，變回formula_78。然而，通常有多組不同的伴隨關係產生同樣的單子，該些伴隨關係組成範疇formula_185：物件是伴隨關係formula_186使得formula_187，而態射是在formula_9一側為恆等函子的伴隨關係態射。如此，艾倫伯格－摩爾範疇的自由－遺忘伴隨formula_124是formula_185的終物件，而始物件是formula_191，定義為formula_124中的自由formula_27代數組成的完全子範疇，即僅包含形如formula_179的formula_27代數，其中formula_78歷遍formula_197的物件。
設有伴隨關係formula_198，對應單子為formula_27，則函子formula_2可分解為
其中formula_1是遺忘函子。換言之，對formula_203中任意物件formula_204，都能賦予formula_205自然的formula_27代數結構。若分解式中，首個函子formula_207給出formula_203與formula_68兩範疇間的等價，則形容該伴隨關係為單子的（）。後亦引申用作形容函子，若函子formula_210有左伴隨formula_1，且該伴隨關係為單子的，則formula_2亦稱為單子的。例如，群範疇與集合範疇間的自由－遺忘伴隨是單子的，因為相應單子formula_27上的formula_27代數是群（見前文）。一般而言，若有伴隨關係formula_198為單子的，則單從formula_9的物件及其上的formula_27作用，已足以重組出formula_203的物件。
貝克單子性定理給出伴隨關係在何種充要條件下為單子的。定理有以下簡化版： 若滿足以下三項條件： 則formula_2為單子的。 例如，由緊豪斯多夫空间範疇formula_227到集合範疇formula_38的遺忘函子是單子的。然而，由任意拓撲空間範疇formula_229到集合範疇formula_38的遺忘函子則並非單子的，而定理中，保守函子的條件不成立，因為有非緊或非豪斯多夫空間，之間存在連續雙射，但不為同胚。 貝克定理有對偶版本，刻劃餘單子伴隨關係，對拓撲斯論及有關的代数几何課題有用。
餘單子的伴隨關係，首先有下列例子：
其中formula_232皆為交換環，左伴隨用到的張量積formula_233的定義中，選定了環同態formula_234，而右伴隨formula_1是遺忘函子。根據貝克定理，當且僅當formula_236為忠實平坦formula_41模時，該伴隨為餘單子的。所以，可將配備下降數據（，即源自伴隨關係的餘單子的作用）的formula_236模，降成formula_41模。所得的理論，廣泛應用於代數幾何。
函数式编程中，會使用單子表達某類（有時有副作用的）順序式計算，見单子 (函数式编程)。
範疇論邏輯中，藉闭包算子、內代數，以及兩者與S4模態邏輯、直觉主义逻辑的關係，能以單子餘單子理論類比模态逻辑。
亦可定義2-範疇formula_9中的單子。