正态分布
\; \exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) \!
，又名高斯分布（）、正規分布，是一個非常常見的連續機率分布。常態分布在统计学上十分重要，經常用在自然和社会科学來代表一個不明的隨機變量。
若隨機變數formula_9服從一個位置參數為formula_2、尺度參數為formula_11的常態分布，記為： 則其機率密度函數為 formula_13
常態分布的數學期望值或期望值formula_2等於位置參數，決定了分布的位置；其方差formula_5的開平方或標準差formula_11等於尺度參數，決定了分布的幅度。
常態分布的機率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我們通常所說的標準常態分布是位置參數formula_17，尺度參數formula_18的常態分布（見右圖中紅色曲線）。
常態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分布。儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從常態分布（在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明）。常態分布出現在許多區域統計：例如，採樣分布均值是近似地常態的，即使被採樣的樣本的原始群體分布並不服從常態分布。另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分布中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分布的自然選擇。常態分布是在統計以及許多統計測試中最廣泛應用的一類分布。在概率論，常態分布是幾種連續以及離散分布的極限分布。
常態分布最早是棣莫弗在1718年著作的書籍的（），及1734年發表的一篇關於二項分布文章中提出的，當二項隨機變數的位置參數n很大及形狀參數p為1/2時，則所推導出二項分布的近似分布函數就是常態分布。拉普拉斯在1812年发表的《分析概率论》（）中對棣莫佛的結論作了擴展到二項分布的位置參數為n及形狀參數為1>p>0時。現在这一结论通常被稱為棣莫佛－拉普拉斯定理。
拉普拉斯在誤差分析試驗中使用了常態分布。勒讓德於1805年引入最小二乘法這一重要方法；而高斯則宣稱他早在1794年就使用了該方法，並通過假設誤差服從常態分布給出了嚴格的證明。
「鐘形曲線」這個名字可以追溯到Jouffret他在1872年首次提出這個術語「鐘形曲面」，用來指代二元常態分布。正态分布這個名字還被查爾斯·皮爾士、Francis Galton、Wilhelm Lexis在1875分别獨立地使用。這個術語是不幸的，因為它反映和鼓勵了一種謬誤，即很多概率分布都是常態的。（請參考下面的「實例」）
這個分布被稱為「常態」或者「高斯」正好是Stigler名字由來法則的一個例子，這個法則說「沒有科學發現是以它最初的發現者命名的」。
有幾種不同的方法用來說明一個隨機變量。最直觀的方法是概率密度函數，這種方法能夠表示隨機變量每個取值有多大的可能性。累積分布函數是一種概率上更加清楚的方法，請看下邊的例子。還有一些其他的等價方法，例如cumulant、特徵函數、動差生成函數以及cumulant-生成函數。這些方法中有一些對於理論工作非常有用，但是不夠直觀。請參考關於概率分布的討論。
常態分布的概率密度函數均值為formula_2 方差為formula_5 (或標準差formula_11)是高斯函數的一個實例：
如果一個隨機變量formula_9服從這個分布，我們寫作 formula_9 ~ formula_26. 如果formula_17並且formula_28，這個分布被稱為標準正态分布，這個分布能夠簡化為
右邊是給出了不同參數的正态分布的函數圖。
正态分布中一些值得注意的量：
累積分布函數是指隨機變數formula_9小於或等於formula_34的機率，用機率密度函數表示為
常態分布的累積分布函数能够由一個叫做误差函数的特殊函数表示：
標準常態分布的累積分布函數習慣上記為formula_37，它僅僅是指formula_38，formula_39時的值，
將一般常態分布用誤差函數表示的公式简化，可得：
它的反函數被稱為反誤差函數，為：
該分位數函數有時也被稱為probit函數。probit函數已被證明沒有初等原函数。
常態分布的分布函數formula_43沒有解析表達式，它的值可以通過數值積分、泰勒級數或者漸進序列近似得到。
動差生成函數，或稱動差母函數被定義為formula_44的期望值。
常態分布的動差產生函數如下： 可以通過在指數函數內配平方得到。
特徵函數被定義為formula_45的期望值，其中formula_46是虛數單位. 對於一個常态分布來講，特徵函數是： 把矩生成函數中的formula_47換成formula_48就能得到特徵函數。
常態分布的一些性質：一些常態分布的一階動差如下： 標準常態的所有二階以上的累積量為零。
常態分布有一個非常重要的性質：在特定條件下，大量統計獨立的隨機變量的平均值的分布趨於正态分布，這就是中央極限定理。中央極限定理的重要意義在於，根據這一定理的結論，其他概率分布可以用正态分布作為近似。近似正态分布平均數為formula_74且方差為formula_75.
近似正态分布平均數為formula_78且方差為formula_79.
這些近似值是否完全充分正確取決於使用者的使用需求
正态分布是無限可分的概率分布。
正态分布是嚴格穩定的概率分布。
在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分布的機率分布。若其假設正確，則約68.3%數值分布在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95.4%數值分布在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分布在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」或「經驗法則」。多元正态分布的協方差矩陣的估計的推導是比較難於理解的。它需要瞭解譜原理（spectral theorem）以及為什麼把一個標量看做一個1×1矩阵(matrix)的迹(trace)而不僅僅是一個標量更合理的原因。請參考協方差矩陣的估計（estimation of covariance matrices）.
某飲料公司裝瓶流程嚴謹，每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配法則。隨機選取一罐，求（1）容量超過605毫升的機率；（2）容量小於590毫升的機率。
容量超過605毫升的機率 = p ( X > 605)= p ( ((X-μ) /σ) > ( (605 – 600) / 3) )= p ( Z > 5/3) = p( Z > 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475
容量小於590毫升的機率 = p (X < 590) = p ( ((X-μ) /σ) < ( (590 – 600) / 3) )= p ( Z < -10/3) = p( Z < -3.33) = 0.0004
6-標準差(6-sigma或6-σ)的品質管制標準
6-標準差(6-sigma或6-σ)，是製造業流行的品質管制標準。在這個標準之下，一個標準常態分配的變數值出現在正負三個標準差之外，只有2* 0.0013= 0.0026 (p (Z < -3) = 0.0013以及p(Z > 3) = 0.0013)。也就是說，這種品質管制標準的產品不良率只有萬分之二十六。假設例中的飲料公司裝瓶流程採用這個標準，而每罐飲料裝填量符合平均600毫升，標準差3毫升的常態分配。那么預期裝填容量的範圍應該多少？
6-標準差的範圍 = p ( -3 < Z < 3)= p ( - 3 < (X-μ) /σ < 3) = p ( -3 < (X- 600) / 3 < 3)= p ( -9 < X – 600 < 9) = p (591 < X < 609) 因此，預期裝填容量應該介於591至609毫升之間。
假設某校入學新生的智力測驗平均分數與标准差分別為100與12。那麼隨機抽取50個學生，他們智力測驗平均分數大於105的機率？小於90的機率？
本例沒有常態分配的假設，還好中央極限定理提供一個可行解，那就是當隨機樣本長度超過30，樣本平均數formula_98近似於一個常態變數，
因此標準常態變數formula_99。
平均分數大於105的機率 formula_100
平均分數小於90的機率 formula_101
在计算机模拟中，经常需要生成正态分布的数值。最基本的一个方法是使用标准的正态累积分布函数的反函数。除此之外还有其他更加高效的方法，Box-Muller变换就是其中之一。另一个更加快捷的方法是ziggurat算法。下面将介绍这两种方法。一个简单可行的并且容易编程的方法是：求12个在（0,1）上均匀分布的和，然后减6(12的一半)。这种方法可以用在很多应用中。这12个数的和是Irwin-Hall分布；选择一个方差12。这个随即推导的结果限制在（-6,6）之间，并且密度为12，是用11次多项式估计正态分布。
Box-Muller方法是以两组独立的随机数U和V，这两组数在(0,1]上均匀分布，用U和V生成两组独立的标准常态分布随机变量X和Y:
这个方程的提出是因为二自由度的卡方分布（见性质4）很容易由指数随机变量（方程中的lnU）生成。因而通过随机变量V可以选择一个均匀环绕圆圈的角度，用指数分布选择半径然后变换成（正态分布的）x,y坐标。