量子场论
在理論物理學裡，量子場論（，簡稱QFT）是結合了量子力學、狹義相對論和經典場論的一套自洽的概念和工具。在粒子物理學和凝聚態物理學中，量子場論可以分別為亞原子粒子和準粒子建立量子力學模型。量子場論將粒子視為更基礎的場上的激發態，即所謂的量子，而粒子之間的交互作用則是以相應的場之間的交互項來描述。每個交互作用都可以用費曼圖來表示，這些圖不但是一種直觀視化的方法，而且還是相對論性協變微擾理論中用於計算粒子交互過程的一個重要的數學工具。
量子场论是研究高能物理的基本方法，近年来越来越多的凝聚態物理學题使用量子场论解决。
量子場論的發展並非一蹴而就，而是在整個二十世紀期間，經多代理論物理學家的逐步推進，一波三折，才成為今天完整的理論框架。最早的量子場論是描述光和電子之間相互作用的量子電動力學，在1920年代逐步建成。之後，由於在計算中有各種無限大的出現，量子場論進入了第一個低谷；1950年左右，重整化程序的發明使它走出低谷。由於無法用來解釋弱相互作用和強相互作用，量子場論又進入了第二個低谷，落入近乎被捨棄的境況。1970年代規範場論的完善和基本粒子標準模型的建成，使它再次復興。
今天的量子場論是量子力學、狹義相對論與經典場論共同結合的成果，所以它的歷史起源，必須從這幾條線索說起。
最早成功建立的經典場論是基於牛頓萬有引力定律。然而，在巨著《自然哲學的數學原理》裡，艾薩克·牛頓並沒有提到任何關於場的論述，他的萬有引力定律所描述的引力是一種超距作用，具有瞬時性質，不管距離有多遠。可是，在一封寫給劍橋大學三一學院院長的信裡，牛頓表示，他不認為物質會作用或影響於別的不與其接觸的物質，如果没有通過任何其它非物質的媒介。後來，到了18世紀，數學物理學者發現，萬有引力的影響可以很方便地用一個「數學場」來描述，即在空間的每一個位置給定一個數量來展示作用於那位置的引力。但是，他們並沒有賦予這數學場任何實在的物理意義。
19世紀電磁理論的發展真正地開啟了場的概念。麥可·法拉第於1845年11月7日最早使用「場」（）一詞。他主張，形成場的磁力線是空間的物理狀況，而這空間可以是虛無一物的空間。倚賴滿布於空間的磁力線，作用力可以從一個物體經過一段時間傳遞到另一個物體；這不是一種瞬時現象，不會出現超距作用。直到今日，這仍舊是對於場的標準描述，即場是空間的物理狀況。
1862年，詹姆斯·麦克斯韦以完整的麥克斯韋方程組建成電磁學理論。通過麥克斯韋方程組，電場、磁場、電荷與電流這四種物理量彼此之間的關係被確定。從麥克斯韋方程組，可以推論出電磁波的存在，即電磁波是電場與磁場從空間的某一點傳播至另一點的現象，並且給出電磁波以有限速度傳播於空間，即光速。這些結果嚴格地反駁了超距作用的物理確據。經典電磁理論的功能很强大，它能夠描述電荷與電流怎樣產生電場與磁場，怎樣感受到電場與磁場的作用，但是，它無法被應用於原子輻射，因為人們不清楚在原子裡電荷與電流的物理性質。它無法解釋原子譜線的離散性質，它也不能正確地计算出黑體所發射出的電磁輻射能量按照不同波長的分布。這些問題的解答都必須等待量子力學的來臨。
量子力學之始，可追溯至1900年馬克斯·普朗克對黑體輻射的研究。普朗克将在物体裡發射與吸收輻射的原子視為微小的量子谐振子，並且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，而是离散的數值，並且單獨量子谐振子吸收和發射的辐射能是量子化的。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦對光電效應給出解釋，光是由一個個分開的能量團所組成，這些能量團被稱為光子，是光的量子。這意味著電磁輻射是以粒子的形式存在。
1913年，尼爾斯·玻爾提出描述原子結構的波爾模型，其中電子在原子中所具有的能量並不是一個連續的值，而是限制在一系列離散的特殊能量值上。這是量子化現象的又一例。波爾模型可以被用來解釋原子譜線的離散性質。1924年，路易·德布羅意提出波粒二象性假說，即微觀粒子在不同情況下會分別呈現波和粒子的性質。早期的量子理論是由很多類似上述的粗略運算與直覺猜測共同構成，它的成功是建立於它能夠解釋一些先前無法解釋的實驗結果。1925至1926年間，由於德布羅意、維爾納·海森堡、馬克斯·玻恩、埃爾溫·薛定諤、保羅·狄拉克、華夫岡·鮑利等人的寶貴貢獻，量子理論被發展成為一套自洽的學術理論，稱為「量子力學」，其能為早期的提供量子理論給出更為精緻的論述。
就在發表光電效應論文的同年，愛因斯坦又在麥克斯韋電磁學的基礎上建成狹義相對論，摒棄了時間和空間之間劃清界限的觀點，並提出所有物理定律必須在勞侖茲變換下相同。狹義相對論意味著以太是多餘的裝饰，電磁波的傳播不需要以太為媒介，電磁波只需要空間的存在就可以進行傳播的動作。愛因斯坦認同法拉第對於場的看法，即場是空間的物理狀況
這時的難題至少有兩處。在觀測驗證方面，量子力學的薛定諤方程可以解釋受激發射，即原子中的電子在外在電磁場作用下釋放一個新光子，但無法解釋自發發射，即電子在完全沒有外在電磁場作用之下，仍然自發性地降低能級並釋放光子。在理論方面，薛定諤方程無法描述光子；而且，量子力學並不符合相對論，因為它把時間視為一個普通數值，卻把粒子在空間上的位置提升為一個線性算符。
1920年代，電磁場是唯一已知的場。因此，很自然的，量子場論開啟於對於電磁相互作用的量子化研究。
1925至1926年，馬克斯·玻恩、海森堡和帕斯庫爾·約當利用正則量子化程序，將電磁場視為一組量子諧振子，建立了自由電磁場（即不與物質相互作用）的量子理論。由於此理論不含任何相互作用，因此無法做出有用的量化預測。
在1927年論文《描述輻射的發射和吸收的量子理論》中，狄拉克首先給出「量子電動力學」一詞（，簡稱QED）。他將在真空中的輻射場也描述為一組量子諧振子，又創意地給出輻射場與在原子中的帶電粒子的耦合項，然後一併將輻射場、帶電粒子與耦合項共同納入考量，應用第一階微擾理論來處理這耦合項，狄拉克成功地對自發發射現象給出解釋。按照量子力學的不確定性原理，量子諧振子不能完全停止不動，而是必須不斷的振動，即使是處於最低能量態，否則量子諧振子的動能會變得無窮大，因此，在真空中，處於真空態的電磁場仍舊會進行零點能量的振動，這也是最低能量態。自發發射現象其實就是電磁場在真空中的量子漲落對電子所引起的受激發射。狄拉克的理論極具功能，可以對於所有原子的發射與吸收電磁輻射給出合理解釋，應用第二階微擾理論，狄拉克的理論還可以解釋光子散射、、非相對論性康普頓散射等現象。然而，更高階的微擾理論計算卻遇到了無限大值的難題。
1928年，狄拉克給出描述相對論性電子的波動方程──狄拉克方程，成功解釋光子和相對論性電子之間的相互作用。這方程立刻給出四個成果，第一是計算出電子的自旋為1/2、第二是計算出電子的g因子為2、第三是推導出描述氫原子光學譜精確結構的索莫菲公式、第四是推導出克萊因-仁科公式，其能夠描述相對論性康普頓散射與穆勒散射等等結果。雖然碩果累累，但這一理論卻有著諸多問題。例如，它似乎需要負能量態的存在，意味著所有原子都不具穩定性，它們可以通過輻射從普通態躍遷至負能量態。
當時的普遍觀點，仍然是把構成宇宙的物質粒子（如電子）和量子場（如光子）看作是截然不同的概念。物質粒子具有永久性，物質粒子的量子態可以給出物質粒子處於空間某個位置的機率。光子不具有永久性，是電磁場經量子化後的激發態，光子可以被衍生或湮滅。直到1928至1930年，約當、尤金·維格納、海森堡、鮑利和費米發現物質粒子也同樣可以視為量子場上的激發態，就如光子是電磁場的激發態，且每一種粒子都有其對應的量子場：電子有電子場，質子有質子場等等。 在此基礎上，恩里科·費米在1932年提出解釋β衰變的：原子核本身雖不含電子，但在衰變的過程中，會在其周邊的電子場中激發出一個電子，就像光子可以在電磁場中被激發出來一樣。
1929年，狄拉克等人發現，要解決狄拉克方程解中有負能量態的問題，必須假設某種電荷和電子相反但質量相同的粒子──正电子。這不但在理論上確保了原子的穩定性，而且首次提出了反物質的存在。1932年，卡爾·戴維·安德森在宇宙射線中發現了正电子存在的證據。只要有足夠能量（例如吸收光子），就可以產生一對電子和正电子；電子和正电子還可以互相湮滅，產生光子。這點證明，粒子數目在相互作用中沒有必要是固定的。正电子在最初並不被視為一種新粒子，而是在無限電子海中的空穴，因此這一理論也稱為「狄拉克空穴理論」。量子場論很自然地描述了這一現象。
羅伯特·歐本海默在1930年證明量子電動力學的高階微擾計算必定會得出無限大值，如電子以及電子和光子的真空零點能量，意味著當時的理論方法無法正確處理極高動量光子的相互作用。從意識到無限大值的理論難題，至發展出系統性的解決方法，花了整整二十年的時間。
1934至1938年間，厄恩斯特·斯蒂克爾堡發表了幾篇重要的論文，建立了相對論性不變的量子場論表述。1947年，他還獨立發展出一套完整的重整化程序。不幸的是，其他理論學家並沒有明白斯蒂克爾堡的概念。
約翰·阿奇博爾德·惠勒和海森堡分別在1937年和1943年提出，以所謂的S矩陣理論取代困難重重的量子場論。前者的大意是，既然現實中無法觀察到微觀相互作用的具體細節，那麼理論就應該只描述相互作用中少數可觀察量（如原子的能量等）之間的關係，而不在乎微觀細節。1945年，理查德·費曼和惠勒甚至提出完全拋棄量子場論，以粒子間的超距作用作為相互作用的原理。
1947年，威利斯·蘭姆和測量出氫原子"S"和"P"能級之間的細微差異，即蘭姆位移。漢斯·貝特利用量子場論，通過忽視所有能量高於電子質量的光子的作用，成功估算出這一能級差異的數值。之後，、蘭姆、詹姆斯·布魯斯·弗倫奇（James Bruce French）和維克托·魏斯科普夫利用一種無限大和無限大相互抵消的方法，再次證實了蘭姆位移的值。不過，這種方法並不可靠，也不可推廣至其他計算。
在1950年前後，朱利安·施溫格、費曼、弗里曼·戴森和朝永振一郎終於建立起去除無限大值的更可靠方法。大意是，理論中的最初參數（所謂的「裸值」：質量、電荷等）並沒有實際物理意義；在計算中，須做重新定義，用測量所得的有限數值取代這些裸值。為了抵消表面上無限大的參數，須要加入無限大的「抵消項」。這種系統性的計算程序稱為重整化，可以應用於微擾理論的任何一階。
重整化程序能夠解釋電子異常磁矩、電子"g"因子和真空極化，計算結果和高精度實驗之間的吻合程度在當時是空前的。重整化成功攻破了量子電動力學中無限大的難題。
與此同時，費曼發明了費曼圖和路徑積分表述。費曼圖可以用於很直觀地整理和計算微擾級數的各個項：每個圖可以視為相互作用過程中粒子路徑的示意圖，其中每個節點和每條線都有相對應的數學表達式，結合後可得出圖所表達的相互作用的。
在重整化程序和費曼圖方法出現之後，量子場論終於成為了一個完整的、成熟的理論框架。
1950年代初，在量子電動力學成功的基礎上，許多理論學家都相信量子場論最終可以描述和解釋所有微觀物理現象，並不僅限於電子、正子和光子間的相互作用。然而，這時量子場論進入了又一個低谷，足足持續近二十年。
難題之一，是重整化程序無法放諸四海通用。量子電動力學微擾計算中的所有無限大值，都可以通過重新定義少數幾個物理量（電子的質量和電荷）來去除。戴森在1949年證明，具有這樣良好屬性的理論（即所謂的可重整化理論）只佔少數，大多數理論反而是不可重整化的。其中一例，就是描述弱相互作用的費米相互作用。此理論在量子場論框架下，任何高於第一階的微擾計算都會產生無限大值，而且僅僅重新定義物理量是無法移除這些無限大值的。
第二個難題在於費曼圖方法的適用範圍。由於費曼圖建立在微擾理論級數展開的基礎上，所以理論中描述相互作用強度的耦合常數必須是一個很小的數值。費曼圖之所以適用於量子電動力學，是因為其耦合常數為精細結構常數。這使得在實際計算中，只須要考慮最簡單的（低階）費曼圖。不過，強相互作用，顧名思義，有著較大的耦合常數（約等於1），因此極為複雜的（高階）費曼圖與最簡單的費曼圖重要性相近，計算中不能夠再忽略複雜的圖。
在這些理論難題的困擾下，不少理論學家開始對量子場論失去信心。有的以對稱性原則和守恆定律為理論重點，有的則重拾惠勒和海森堡的S矩陣理論。雖然量子場論概念在這些探索方向中起到了啟發性的作用，但它並沒有被用到確切的計算當中。
1954年，楊振寧和羅伯特·米爾斯對量子電動力學的局域對稱性進行推廣，從純粹理論的角度建立了基於更複雜的對稱性的理論──非阿貝爾規範場論（又稱楊-米爾斯理論）。在量子電動力學中，帶電荷粒子之間的相互作用是由光子傳遞的；同樣，在非阿貝爾規範場論中，帶某種新的「荷」的粒子之間的相互作用則是由無質量的規範玻色子傳遞的。與光子不同的是，這些規範玻色子自身也帶荷。
謝爾登·格拉肖在1960年利用規範場論，建立了一個統合電磁相互作用和弱相互作用的理論；阿卜杜勒·薩拉姆和則在1964年從另一條思路達到了同一個理論。不過，該理論是不可重整化的。
彼得·希格斯、羅伯特·布繞特和弗朗索瓦·恩格勒在1964年提出，楊-米爾斯理論中的規範對稱性是可以被破壞的，使得原本無質量的規範玻色子獲得質量，是為自發對稱破缺機制。
1967年，史蒂文·溫伯格和薩拉姆在先前的理論上加以希格斯玻色子的自發對稱破缺機制，建成描述輕子之間電弱相互作用的理論。起初，人們對此理論置若罔聞。直到1971年，傑拉德·特·胡夫特證明非阿貝爾規範場論是可重整化的，才把電弱相互作用理論從深淵中拯救出來。1970年，格拉肖、約翰·李爾普羅斯和盧西恩·梅安尼把溫伯格和薩拉姆的輕子電弱相互作用理論推廣至夸克上，電弱相互作用理論終於變得完善。
1971年，哈拉爾德·弗里奇、默里·蓋爾曼和發現非阿貝爾規範場論還可以解釋一些強相互作用現象，就這樣建立了量子色動力學。兩年後，大衛·格羅斯、弗朗克·韋爾切克和休·波利策證明非阿貝爾規範場論具有漸進自由的特性，即在重整化後，強相互作用耦合常數在高能量下會變得很小。因此，至少在高能量相互作用中，可以對量子色動力學進行微擾級數展開，做實際的量化預測。
這些理論成果使量子場論擺脫了前二十年的陰霾並進入了又一次復興。電弱相互作用理論和量子色動力學形成的整體，稱為基本粒子標準模型。標準模型非常成功地解釋了除引力以外的所有基本相互作用，其理論預測也相繼得到實驗的證實：電弱相互作用中自發對稱破缺機制所需的希格斯玻色子也在2012年於歐洲核子研究組織發現，這是最後證實存在的標準模型組成粒子。
1970年代見證了非阿貝爾規範場論非微擾方法的發展：特·胡夫特和亞歷山大·泊里雅科夫發現，和波爾·奧勒森（Poul Olesen）發現流量管，泊里雅科夫等人發現瞬子。這些概念都是無法用微擾理論方法來描述的。
超對稱概念也在同一段時期出現。1970年，尤里·阿布拉莫維奇·高爾方和葉夫根尼·利希特曼（Evgeny Likhtman）建成首個具有超對稱性的四維量子場論。但由於鐵幕的隔閡，這項研究並沒有得到廣泛的重視。要到1973年，朱利斯·外斯和布魯諾·朱米諾建立一類四維超對稱量子場論，才把超對稱概念推向理論界。
在四個基本相互作用之中，引力是唯一一個無法一致地用量子場論來描述的。理論學家在量子引力方面的各種嘗試，促使了1970年代弦理論的發展。（弦理論本身是一種具有共形對稱性的二維量子場論。）和約翰·施瓦茨在1974年首次提出，弦理論有望成為解釋引力的量子理論。
量子場論最早源於對基本粒子相互作用的研究，但其中的各種方法還可以推廣至其他的物理系統，在凝聚態物理學等研究多體系統的範疇上應用成果尤其豐盛。
從歷史的角度，南部陽一郎將超導體理論應用於基本粒子，最終發展出希格斯自發對稱破缺機制；重整化群概念也出自對物質第二階相變的研究。
在提出光子概念後不久，愛因斯坦提出對晶體中的振動進行量子化，這最終發展成第一個準粒子概念──聲子。列夫·朗道主張，各種各樣凝聚態系統的低能量激發態都可以用一組準粒子之間的相互作用來描述。理論學家發現，量子場論中的費曼圖方法能夠很自然地描述凝聚態系統的各種現象。
規範場論可以描述超導體的磁通量量子化、量子霍爾效應中的電阻率以及交流電約瑟夫森效應中頻率和電壓之間的關係。
為簡化公式，本節採用自然單位制，設約化普朗克常數和光速為1。
經典場是在時間和空間上定義的函數。例子包括：牛頓萬有引力中的引力場，以及經典電磁學中的電場和磁場。經典場在空間上的每一個點都有一個隨時間變動的數值，所以它們具有無限自由度。
然而，經典場論無法解釋具有量子力學性質的物理現象。例如，一些物理現象（包括光電效應）必須以一顆顆獨立的粒子──光子──來描述，而非在空間上連續的場。「量子」場論的目的，是既要以場為基礎，又要能夠解釋各種量子力學現象。
量子場論的兩種常用表述分別是正則量子化和路徑積分表述。為了展示量子場論的基礎原理，以下先簡述經典場論。
以最簡易的經典場為例，假設在空間上每一個點都有一個可以隨時間變動的實數，記作，其中是位置矢量，是時間。這就是實純量場。又假設這個場的拉格朗日量為 其中formula_2是場的時間導數，是散度算符，是一個參數（可視為場的「質量」）。在此拉格朗日量上應用適用於場論的歐拉-拉格朗日方程 可得出場的運動方程，描述其在時間和空間上的變動： 這就是克萊恩-戈登方程式。
克萊恩-戈登方程式是一條波動方程，因此它的解可以表示為簡正模之和（可用傅里葉變換所得）： 其中為複數，星號代表複共軛，則是簡正模的頻率： 其中，是協變導數。
由此可見，根據固定背景時空幾何的不同，拉格朗日量也會隨之改變，理論的種種計算和預測也會不同。
一般來說，對於不同的時空度規，量子場論的相關函數乃至物理預測也會不同。有一類量子場論的所有相關函數都不隨時空度規的值改變，此類理論稱為拓撲量子場論。一般的彎曲時空量子場論會隨時空的幾何改變而改變，而拓撲量子場論則在一切微分同胚對時空的作用下不變，但對時空的拓撲敏感。這意味著，拓撲量子場論的所有計算結果，都是其底下時空的拓撲不變量。陳-西蒙斯理論就是拓撲量子場論的一例，可用於構建各種量子重力模型。拓撲量子場論可以應用在分數量子霍爾效應和上。。
通過量子場論的微擾方法，可以用一個以參與相互作用的粒子總數所展開的級數，一階一階地近似相互作用項的整個效應。展開中的每一項都可以理解為粒子間通過其他虛粒子傳遞相互作用的一種可能途徑，可以用非常形象的費曼圖來表達。兩個電子間的電磁力在量子電動力學中（在第一階微擾）是以光子的傳遞來表達的。同樣，W和Z玻色子傳遞弱相互作用，膠子傳遞強相互作用。這種把相互作用的中間態視為各種粒子交換過程的總和的看法，只有在微擾理論的框架下才有意義；非微擾方法則把相互作用項視為一個整體來對待，不進行級數展開，因此也沒有虛粒子傳遞相互作用一說。取而代之描述相互作用的，是、、流量管、瞬子等概念。具有非微擾完全解的量子場論包括一類稱為的共形場論和等等。
雖然量子場論在粒子物理學和凝聚態物理學上的應用成果豐盛，其理論預測和實驗之間的吻合程度極高，物理學家們也大膽地在量子場論框架下作出新的量化預測，但是量子場論本身卻仍然缺乏嚴格的數學基礎。比如，根據，並不存在一個良好定義的量子場論交互作用繪景，意味著費曼圖方法的基石──微擾理論──在量子場論上的應用是並不嚴格的。
從1950年代開始，有理論物理學家和數學家嘗試把量子場論總結為一組公理，並從數學嚴格的角度證明相對論性量子力學模型的確切存在。這種研究稱為，屬於數學物理的範疇。其成果包括：CPT定理、自旋統計定理、戈德斯通定理等等。
拓撲量子場論和共形場論相比一般的量子場論來說，有更穩固的數學基礎：兩者都可以在對的框架中進行分類。
另一條公理化方法稱為代數量子場論，它以局域算符之間的代數關係為理論的根本結構。在這方面的公理系統有：和。構建符合懷特曼公理的理論之其中一種方法，是利用奧斯特瓦德-施拉德爾公理（Osterwalder–Schrader axioms）。這組公理給出能夠從虛數時間理論解析延拓至實數時間理論（威克轉動）的必要和充分條件。
一旦證實現實的物理模型符合以上的公理，在物理學和數學上將有重要意義。例如，楊-米爾斯存在性與質量間隙是千禧年大獎難題之一，其表述如下：