二項式係數
在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數 "n" 和 "k" 為參數決定，寫作 formula_1，定義為 formula_2的多項式展開式中，formula_3項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 formula_4寫成一行，再依照 formula_5順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。
二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，formula_6可以被理解為從formula_7個相異元素中取出formula_8個元素的方法數，所以 formula_6大多讀作「formula_7取formula_8」。二項式係數 formula_6的定義可以推廣至formula_7是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。
雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現（見帕斯卡三角形），但表達式 formula_6卻是到1826年才由安德烈亚斯·冯·厄廷格豪森首次始用。最早探討二項式係數的論述是十世紀的 寫的印度教典籍《Pingala的計量聖典》（chandaḥśāstra）。約1150年，印度數學家Bhaskaracharya於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。
二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：formula_15、formula_16、formula_17、formula_18、formula_19，其中的 C 代表組合（combinations）或選擇（choices）。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 formula_20，例如寫作 P("n", "k")。
對於非負整数formula_7和formula_8，二項式係數formula_6定義為formula_2的多項式展開式中，formula_3項的係數，即
事實上，若formula_27、formula_28為交換環上的元素，則
此數的另一出處在組合數學，表達了從"formula_7"物中，不計較次序取"formula_8"物有多少方式，亦即從一"formula_7"元素集合中所能組成"formula_8"元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪formula_34的"formula_7"個因數逐一標記為formula_36（從1至"formula_7"），則任一"formula_8"元素子集則建構成展式中的一個formula_39項，故此該單項的係數等如此種子集的數量。亦因此，就任何自然數"formula_7"和"formula_8"而言，formula_6亦為自然數。此外，二項式係數亦見於很多組合問題的解答中，如由"formula_7"個位元（如數字0或1）組成的所有序列中，其和為"formula_8"的數目為formula_6，又如算式formula_46，其中每一formula_47均為非負整數，則有formula_48種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算"formula_8"個元素的組合的數量。
除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算formula_6的值。
以下遞歸公式可計算二項式係數：
其中特別指定：
此公式可由計算formula_54中的"formula_3"項，或點算集合formula_56的"formula_8"個元素組合中包含"formula_7"與不包含"formula_7"的數量得出。
顯然，如果formula_60，則formula_61。而且對所有"formula_7"，formula_63，故此上述遞歸公式可於此等情況下中斷。遞歸公式可用作建構帕斯卡三角形。
個別二項式係數可用以下公式計算：
上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從"formula_7"個元素中取出"formula_8"個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的"formula_8"個元素可有多少種排序方式。
二項式係數最簡潔的表達式是階乘:
其中「formula_69」是"formula_7"的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以formula_71取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：
若將"formula_7"換成任意數值（負數、實數或複數）formula_73，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴展：
此定義能使二項式公式一般化（其中一單項為1），故formula_75仍能相稱地稱作二項式係數：
此公式對任何複數"formula_73"及formula_77，formula_78時成立，故此亦可視作formula_77的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如
若"formula_73"是一非負整數"formula_7"，則所有formula_60的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於"formula_73"的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。
帕斯卡法則是一重要的遞歸等式：
此式可以用於數學歸納法，以証明formula_85對於所有"formula_7"和"formula_8"均為自然數（等同於証明formula_88為所有"formula_8"個連續整數之積的因數），此特性並不易從公式(1)中得出。
帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:
第"formula_7"橫行列出formula_85的formula_92項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出
在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞歸等式()的延伸意義。
二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如
就任就非負整數"formula_8"，formula_109可表達為一多項式除以formula_88：
此為帶有理數係數，變量是formula_112的多項式，可對任意實數或複數"formula_112"運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。
就任意"formula_8"，多項式formula_115可看成是惟一的"formula_8"次多項式formula_117滿足formula_118及formula_119.
其係數可以第一類斯特靈數表示，即： formula_115之導數可以對數微分計算：
在任何包含Q的域中，最多formula_123階的多項式有惟一的線性組合formula_124。係數formula_125是數列formula_126的第"k"差分，亦即：
每一多項式formula_115在整數參數時均是整數值（可在"formula_8"上，用帕斯卡法則以歸納法証明）。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，()表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域"formula_8"的任何子環formula_130，在formula_131內的多項式在整數參數時之值均在"formula_130"內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的"formula_130"-線性組合。
整數值多項式formula_134可表達作：
从formula_136时formula_137用帕斯卡矩阵的逆可算出：
这种二項式係數多項式结合朱世杰恒等式应用于等幂求和。
階乘公式能聯繫相鄰的二項式係數，例如在"formula_8"是正整數時，對任意"formula_7"有：两个组合数相乘可作变换：