巴拿赫-阿勞格魯定理
泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理（或）斷言，任意賦範向量空間的連續對偶空間中，閉單位球在中為緊。常見證明將弱*拓撲中的單位球看成一系列緊集之積的閉子集。根據吉洪诺夫定理，該些緊集的積拓撲空間仍為緊，故該球亦然。
定理在量子力學方面有應用。系統的可觀測量是某個C*代數中的自伴算子，而量子態則是該代數上的線性泛函。此框架下，定理可以推出，每個量子態皆是純態的凸線性組合。
納里奇（）與貝肯斯坦（）書中，稱阿勞格魯定理為「非常重要的結果——也許是關於唯一（）最重要的事——迴響傳遍泛函分析。」1912年，赫利（）證明，閉區間上連續函數的空間formula_1，其連續對偶空間的單位球，為弱*。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊（他僅考慮了序列紧）。  一般情況的證明，是由於1940年發表。納里奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。
布爾巴基-阿勞格魯定理（）是尼古拉·布尔巴基將原定理推廣到的的結果。此定理亦稱為巴拿赫-阿勞格魯定理或弱*緊定理（），也常簡稱為阿勞格魯定理（）。
對於域formula_2上的向量空間formula_3，以formula_4表示其代數對偶（所有線性泛函組成的空間）。兩者由雙線性求值映射formula_5所聯繫，該映射由  定義。所以，三元組formula_7（兩個空間及一個映射）組成，稱為典範對偶系。
若formula_3進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間（TVS），則可分辨其上的函數連續與否，並定義其連續對偶formula_9為代數對偶formula_4中，連續泛函組成的子集。以formula_11表示formula_4上的。類似有formula_13是formula_9上的弱*拓撲。 弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定映射formula_15和一網映射formula_16，網formula_17在弱*拓撲中收斂至formula_15，當且僅當對定義域中每點formula_19，函數值組成的網formula_20收斂到formula_21。  阿勞格魯定理
設formula_3為任意拓撲向量空間（無需豪斯多夫或），formula_9為其連續對偶，則對於formula_3中原點的任何鄰域formula_25（formula_26），其  在formula_9上的formula_13中，必為緊集。
此外，formula_30亦是formula_25相對於典範對偶系formula_7的極集，在拓撲空間formula_33同樣為緊。 若formula_3為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若formula_25為formula_3的開（或閉）單位球，則formula_25的極集為連續對偶空間formula_9的閉單位球（對偶空間配備平常的對偶範數）。此時，定理化為以下特例： 巴拿赫-阿勞格魯定理
若formula_3為賦範空間，則連續對偶空間formula_9中，算子範數的閉單位球，為中的緊集。 當formula_3的連續對偶formula_9是無窮維賦範空間時，formula_9中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維（見）。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。
但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為局部緊，因為僅知閉單位球在中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，局部緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。
記formula_3的基域為formula_2，此處為實數域formula_46或複數域formula_47。證明會用到、、连续线性算子的基本性質，可參見該些條目，以下亦會簡單提及。
先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶formula_4配備formula_11時，為一個豪斯多夫拓撲向量空間，記為formula_33。空間formula_33總是，但連續對偶formula_52則不一定，此即證明需牽涉formula_33的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且。注意formula_9從formula_33繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲formula_13。為驗證此事，只需檢查對每個formula_57，formula_9中的網在其中一個拓撲中收斂到formula_59，當且僅當在另一個拓撲中亦然（因為兩個拓撲結構相等，當且僅當其具有的收斂網完全一樣）。
三元組formula_60也是（有雙線性映射formula_61），但與formula_7不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。
設formula_25為formula_3原點的鄰域，又設：  極集的基本性質有formula_74。
下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：
以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓扑空间中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯（為方便起見，證明中也會給出部分細節）。同時也要瞭解，線性泛函為連續，當且僅當其在原點的某個鄰域上有界（見）。
設向量空間formula_3的基域為formula_2，為實數系formula_46或複數系formula_47兩者之一。對任意實數formula_144，以 表示以原點為球心，半徑為formula_144的閉球。在formula_147中，此為緊的闭集。
由於formula_25是formula_3中原點的鄰域，可知formula_25亦是formula_3的吸收集，即對每個formula_152，皆有正實數formula_153使formula_154。以 表示formula_25相對典範對偶系formula_7的極集。將證明，此極集formula_75，與定理提到，formula_25相對formula_60的極集formula_30，兩者相等。 formula_97成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證formula_163，設formula_83滿足formula_165，即線性泛函formula_15在鄰域formula_25上有界。所以formula_15是连续线性算子（換言之formula_103），從而有formula_104，即所求證。
至此，已證明formula_171，餘下的證明中，需理解笛卡儿积formula_172與所有formula_173的映射構成的空間formula_174等同。仍需證明以下兩個命題：
以上命題推出，formula_175為formula_189的閉子集，而由吉洪诺夫定理，該积空间為緊（因為每個閉球formula_190皆為緊）。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有formula_30為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。
以下證明前述命題1。代數對偶formula_4總是積空間formula_193 的閉子集。要證明formula_175在formula_174中為閉，祇需證明集合 是formula_174的閉子集，因為若有此結論，則formula_198是formula_174中兩閉集之交，故亦為閉集。
設formula_200，又設formula_16為formula_202中的網，在formula_174中收斂到formula_15。需要證明formula_205。換言之，要證對每個formula_85，formula_84（或等價寫成formula_208）。由於在純量域formula_2中，formula_210，且每項formula_88皆屬於formula_2中的閉子集formula_213，此網的極限formula_91亦必屬於該閉集，即formula_208。證畢命題1。
上述證明可以推廣，以論證以下命題：
設formula_216為任意集合，formula_217為拓撲空間formula_218的閉子集，則在formula_219的逐點收斂拓撲中，formula_220為閉子集。
命題1為其特殊情況，取formula_221和formula_222便得。
以下證明前述命題2。對任意formula_223，以formula_224表示到第formula_225個坐標的。欲證formula_226。換言之，欲對每個formula_152，證明formula_228。
於是選定formula_152，設formula_230；要證formula_231。由formula_181的定義，formula_184，故formula_234。因為formula_235，線性泛函formula_15滿足formula_237，所以由formula_238，可知
所以formula_240，即formula_241，證畢命題2。
巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空间使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言： 可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列紧。 實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。
明確而言，設formula_3為可分賦範向量空間，而formula_243為連續對偶formula_9中的閉單位球。根據formula_3可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為formula_246。則下式定義一個度量：對於formula_247， 其中formula_249表示formula_9與formula_3的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，formula_243為序列緊之事，用類似阿尔泽拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。
由於證明本質為構造性（而非如一般情況，用到非構造性的選擇公理），在偏微分方程學中，有時使用序列巴拿赫-阿勞格魯定理，構造偏微分方程或變分問題的解。舉例，若有某個可分賦範空間formula_3，其對偶上有泛函formula_254，欲求最小值，則常見策略是先構造序列formula_255，使formula_256的泛函值趨向下確界，然後訴諸序列巴拿赫-阿勞格魯定理，取出子序列formula_257，在弱*拓撲下收斂到極限formula_19，並確定formula_19使formula_256取最小值。最後一步通常要求formula_256在弱*拓撲下為（序列）下半連續。
考慮另一個例子，設formula_262為實軸上，在無窮遠處消失的連續函數組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，formula_9為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於。
下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。
對每個formula_152，設
以及
因為formula_267是複平面的緊子集，formula_268在積拓撲中亦為緊（根據吉洪诺夫定理）。
formula_9中的閉單位球formula_270，可以自然地看成formula_268的子空間：考慮映射 其為單射，且對於formula_270的弱*拓撲和formula_268的積拓撲而言，是連續映射。在像集上，映射的逆也連續。
欲完成定理的證明，只需證明映射的像為閉集。給定網formula_268中的網 等式formula_277定義的泛函formula_278，也在formula_279中。定理證畢。
假設formula_3為賦範空間，則其連續對偶空間formula_9具有对偶范数。  通常，會用到吉洪诺夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是选择公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況（見）並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。