冪
幂運算（），又稱指數運算，是數學運算，表達式為 formula_1，讀作“formula_2 的 formula_3 次方”或「formula_2 的 formula_3 次幂」。其中，formula_2 稱為底數，而 formula_3 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中，formula_1 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。
若"n"為正整數，可以把 formula_1 看作乘方的结果，等同於 formula_2 自乘 formula_3 次。
當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“formula_2 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“formula_2 的立方”。
起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（formula_2）自乘指數（formula_3）這麼多次。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：除 0 外所有數的零次方都是 1 ；指數是負數時就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：
以分數為指數的冪定義為 formula_19，即 formula_2的formula_21 次方再开 formula_3 次方根
0的0次方目前沒有數學家給予正式的定義。在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 ，也有人主張定義為 1 。
因為在十进制，十的次方很易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂在計算機科學相當重要。
當"n"是複數及"b"是正實數時,
exp 是指數函數而 ln 是自然對數。 加法和乘法存在交换律，比如：formula_32，formula_33，但是幂的运算不存在交换律，formula_34，但是formula_35。
同样，加法和乘法存在结合律，比如：formula_36，formula_37。不過，冪運算沒有結合律：formula_38，而formula_39，所以formula_40。
但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。
表达式formula_47被称作formula_48的平方，因为边长为"formula_48"的正方形面积是formula_50。
表达式formula_51被称作"formula_48"的立方，因为邊长为"formula_48"的正方体体积是formula_54。
所以formula_55读作「3的平方」，formula_56读作「2的立方」。
指数表示的是底数反复相乘多少次。比如formula_57，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。
或者，整数指数幂可以递归地定义成：
注意formula_59表示仅仅1个3的乘积，就等于3。
注意formula_60，formula_61，formula_62，formula_63，
继续，得到formula_64，所以formula_65
另一个得到此结论的方法是：通过运算法则formula_66
当formula_67时，formula_68formula_69 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是formula_71 ，在程式语言中（python） formula_72
在这里给出这一种极限的看法
formula_73 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图
我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。
对于非零formula_48定义
而formula_77时分母為 0 没有意义。
证法一：
根据定义formula_78，当formula_79时 得formula_81, 所以formula_82。
证法二：
通过运算法则formula_83
当formula_84时，可得formula_85
负数指数formula_86还可以表示成1连续除以formula_3个formula_48。比如：
在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如：formula_90
因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 formula_91，近似值 formula_92 或 formula_93.
国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 formula_94，词头“毫”就是 formula_95
1的任何次幂都为1
0的正数幂都等于0。
0的负数幂没有定义。
任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。
-1的奇数幂等于-1
-1的偶数幂等于1
一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大 一个绝对值小于1的数的幂趋于0 1的幂永远都是1
如果数"a"趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是： 参见e的幂
其他指数的极限参见幂的极限
一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。一个数formula_48的formula_3次方根是formula_112，"formula_112"使formula_114。
如果"formula_48"是一个正实数，"formula_3"是正整数，那么方程formula_114只有一个正实数根。 这个根被称为"formula_48"的"formula_3"次方根，记作：formula_120，其中formula_121叫做根号。或者，"formula_48"的"formula_3"次方根也可以写成formula_124. 例如formula_125
当指数是formula_126时根号上的2可以省略，如：formula_127
有理数指数幂定义为
这个重要的数学常数"e"，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。 它是从以下极限定义的：
指数函数的定义是：
可以很简单地证明"e"的正整数"k"次方formula_131是：
因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数"x"可以定义成：
例如： 于是
实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。
自然对数formula_140是指数函数formula_141的反函数。 它的定义是：对于任意formula_142，满足 根据对数和指数运算的规则： 这就是实数指数幂的定义：
实数指数幂formula_146的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。
如果formula_48是负数且formula_3是偶数，那么formula_149是正數。如果"formula_48"是负数且"formula_3"是奇数，那么formula_149是负数。
使用对数和有理数指数都不能将formula_153（其中"formula_48"是负实数，formula_155实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于formula_156（formula_3是奇数）可以使用"formula_3"次方根来计算，但是因为没有实数formula_112使formula_160，对于formula_156（"formula_3"是偶数）时必须使用虚数单位formula_163。
使用对数的方法不能定义formula_164时的formula_153为实数。实际上，formula_141对于任何实数"formula_112"都是正的，所以formula_168对于负数没有意义。
使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数formula_48因为它依赖于连续性。函数formula_170对于任何正的有理数formula_48是连续的，但是对于负数"formula_48"，函数formula_173在有些有理数formula_174上甚至不是连续的。
例如：当formula_175，它的奇数次根等于-1。所以如果"formula_3"是正奇数整数，formula_177当formula_21是奇数，formula_179当"formula_21"是偶数。虽然有理数formula_181使formula_182的集合是稠密集，但是有理数formula_181使formula_184的集合也是。所以函数formula_185在有理数域不是连续的。
因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。
複數运算的几何意义和"e"的幂可以帮助我们理解formula_186（"formula_112"是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形formula_188（括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的formula_3，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于formula_190弧度。对于所有formula_155，三角形formula_192互为相似三角形。所以当"formula_3"足够大时formula_194的极限是复数平面上的单位圆上formula_112弧度的点。这个点的极坐标是formula_196，直角坐标是formula_197。所以formula_198，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。
等式formula_199的解是一个整数乘以formula_200：
更一般地，如果formula_202，那么formula_203的每一个解都可以通过将formula_200的整数倍加上formula_2得到：
这个复指数函数是一个有周期formula_200的周期函数。
更简单的：formula_208。
根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：
历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程  使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。
formula_211可以分解成formula_212。其中formula_141是formula_211的模，formula_215决定了formula_211的方向
如果formula_48是一个正实数，formula_218是任何复数，formula_219定义成formula_220，其中formula_221是方程formula_222的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。
例如：
让我们从一个简单的例子开始：计算formula_227。
formula_228
其中formula_229的得法参见上文正实数的复数幂
类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算formula_230：
formula_231
复数的复数幂必须首先化为底数为formula_232的形式：
formula_233
又，由复数的极坐标表示法：
formula_234
故
formula_235。
然后，使用欧拉公式处理即可。
由于复数的极坐标表示法中，辐角formula_236的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。
當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如formula_237即formula_238。特別地，formula_239指formula_240的反函數。
但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如：formula_241表示formula_242。因此在三角函數時，使用formula_243來表示formula_244的反函數formula_245。
最快的方式计算formula_247，当formula_3是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。
偽代碼：
在C/C++语言中，你可以写如下算法： double power(double a, unsigned int n)
此算法的時間複雜度為formula_250，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為formula_251），在formula_3較大的時候更為顯著。
例如計算formula_253，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算formula_254可先以上述算法計算formula_255，再作倒數。