波函数
在量子力學裏，量子系統的量子態可以用波函數（）來描述。薛丁格方程式設定波函數如何隨著時間流逝而演化。
波函數 formula_1 是一種複值函數，表示粒子在位置 formula_2 、時間 formula_3 的機率幅，它的絕對值平方 formula_4 是在位置 formula_2 、時間 formula_3 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函數formula_1是「在某時間、某位置發生相互作用的概率幅」。
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。
德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程式。他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。
薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定諤嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函數塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明了這意見。
1927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米尔·福克在對於多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。
薛定谔方程式不具有勞侖茲不變性 ，无法准确给出符合相对论的结果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相对论性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。
1926年，奥斯卡·克莱因和沃尔特·戈尔登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克莱因-戈尔登方程式。
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。
假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函數表示為 formula_8 ；其中，formula_9 是位置，formula_3 是時間。波函數是複值函數。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 formula_9 在區間 formula_12 （即 formula_13 ）的機率formula_14為
其中，formula_3 是對於粒子位置做測量的時間。
換句話說，formula_17 是粒子在位置 formula_9 、時間 formula_3 的機率密度。
這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：
在動量空間，粒子的波函數表示為 formula_21 ；其中，formula_22 是一維動量，值域從 formula_23 至 formula_24 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 formula_22 在區間 formula_12 （即 formula_27 ）的機率為
動量空間波函數的歸一化條件也類似：
位置空間波函數與動量空間波函數彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的信息相同，任何一種波函數都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函數之間的關係為
在一維空間裏，運動於位勢 formula_32 的單獨粒子，其波函数滿足含時薛丁格方程式
其中，formula_34 是質量，formula_35 是約化普朗克常數。
不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 formula_36 的函數形式為
其中，formula_38 是分離常數，稍加推導可以論定 formula_38 就是能量，formula_40 是對應於 formula_38 的本徵函數。
代入這猜想解，經過一番運算，可以推導出一維不含時薛丁格方程式：
波函数 formula_1 是概率波。其模的平方 formula_44 代表粒子在该处出现的概率密度，并且具有归一性，全空间的积分
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数叠加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的杨氏双缝实验。
在量子力学中，可观察量 formula_46 以算符 formula_47 的形式出现。formula_47 代表对於波函数的一种运算。例如，在位置空間裏，动量算符 formula_49 的形式為
可观察量 formula_46 的本徵方程式為
对应的 formula_53 称为算符 formula_47 的本徵值，formula_55 称为算符 formula_47 的本徵態。假設對於 formula_47 的本徵態 formula_55 再測量可观察量 formula_46 ，則得到的結果是本徵值 formula_53 。
假設對於某量子系統測量可觀察量 formula_46 ，而可觀察量 formula_46 的本徵態 formula_63 、formula_64 分別擁有本徵值 formula_65 、formula_66 ，則根据薛定谔方程的线性关系，疊加態 formula_67 也可以是這量子系統的量子態：
其中， formula_69 、formula_70 分別為疊加態處於本徵態 formula_63 、formula_64 的機率幅。
假設对這疊加態系統测量可观察量 formula_46 ，則測量獲得數值是 formula_74 或 formula_75 的機率分別為 formula_76 、formula_77 ，期望值為
在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 formula_79 不含时间的情况。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函數 formula_1 分離成一个只与位置有关的函数 formula_81 和一个只与时间有关的函数 formula_82 ：
將這公式代入薛定谔方程，就会得到
而 formula_85 则满足本徵能量薛丁格方程式：
3D空间中的自由粒子，其波矢 为 ， 角频率 为，其波函数为：
粒子被限制在和之间的1D空间中，其波函数为:
其中，formula_89是能量本徵值，formula_90是正整數，formula_34是質量。
在1D情况下，粒子处于如下势垒中： 其波函数的定态解为(formula_93为常数)
量子点是在把激子在三个空间方向上束缚住的半导体纳米结构。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自組量子点中），半导体的表面（例如：半导体纳米晶体），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似無限深方形阱的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。