刚体
在物理学裏，理想刚体（）是一種有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到外力，在刚体內部，質點與質點之间的距离都不会改变。这种理想模型适用条件是，运动过程比固体中的弹性波的传播要缓慢得多。根據相對論，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度遠小於光速的條件。
在经典力学裡，刚体通常被視為连续质量分佈体；在量子力学裏，刚体被視為一群粒子的聚集。例如，分子（由假定為質點的电子与核子组成）时常會被视为刚体。
剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，可以利用剛體的「剛性」，即其內部所有質點彼此之間距離不變的性質。假若物體具有剛性，則倚靠設定三個不共線質點的位置，就足以設定此物體的位置。這意味著，在三維空間裏，剛體至多只有九個自由度，但由於假定三個質點之間的距離固定不變，所以，剛體只有六個自由度。假設還有其它約束，例如，剛體的運動必需繞著其內部一點旋轉（定點轉動），或繞著其內部一直軸旋轉（定軸轉動），則自由度會小於六。
關於其它任意質點P的位置，只要知道質點P對於上述三個質點之中的任意一個質點的相對位置，就可以重建這質點的位置。通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以參數設定：
方向餘弦方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為formula_1、formula_2、formula_3，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為formula_4、formula_5、formula_6。定義formula_7與formula_8之間的方向餘弦formula_9為
其中，formula_11是formula_7與formula_8之間的夾角。
formula_4、formula_5、formula_6與formula_1、formula_2、formula_3之間的關係分別為
兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」formula_23：
採用愛因斯坦求和約定，由於formula_25，給定方向餘弦矩陣formula_23，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。
反過來，經過一番運算，可以得到formula_27。
給定位置向量formula_28
則formula_28與formula_7的內積為
方向餘弦矩陣formula_23可以將從空間參考系S觀測的位置坐標formula_34，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標formula_35，因此又稱為「變換矩陣」。
變換矩陣formula_23也可以做反變換如下：
變換矩陣formula_23是一種正交矩陣，滿足「正交條件」
其中，formula_40是克羅內克函數。
注意到formula_11與formula_42不同，夾角formula_42是formula_44與空間參考系S的坐標軸單位向量formula_45之間的夾角。變換矩陣formula_23通常不是對稱矩陣。 對於二維旋轉，變換矩陣formula_23可以視為旋轉矩陣。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從formula_4、formula_5、formula_6旋轉formula_51角弧成為formula_52、formula_53、formula_54；其中，formula_55。對於這旋轉，旋轉矩陣formula_23為
參考軸formula_58與formula_44之間的關係為
旋轉矩陣formula_23也可以視為將點P的位置向量formula_62旋轉formula_63角弧成為點P'的位置向量formula_64：
方向餘弦矩陣formula_23足以設定附體參考系B的取向。但是，矩陣formula_23有九個元素，而剛體只能供給三個自由度來設定取向，因為這九個元素不是。歐拉角的三個自變量可以用來設定剛體的取向。
相對於空間參考系S，附體參考系B的取向，可以用三個歐拉角來設定。參閱右圖。設定xyz-軸為空間參考系S的坐標軸，XYZ-軸為附體參考系B的坐標軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為「交點線」，用英文字母（N）代表。按照「zxz順規」，歐拉角可以這樣定義：
每一個歐拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：
設定剛體取向的旋轉矩陣formula_23是由三個簡單旋轉矩陣formula_75、formula_76、formula_77共同合成：
單獨分開工作，每個矩陣各自代表一種旋轉。按照順序相乘，
經過一番運算，可以得到formula_23矩陣：
formula_23的逆矩陣是：
歐拉旋轉定理表明，在三維空間裏，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，再設定附體參考系B的z-軸與固定軸同軸，則這位移對應於繞著附體參考系B的z-軸旋轉formula_70角弧，而z-軸的方向是由formula_68與formula_69角弧給出。
對於內部有一點被約束固定不動的剛體（或原點固定不動的參考系），歐拉旋轉定理將其任意位移等價為繞著某固定軸的一個旋轉。這允許使用旋轉來表達取向的改變。因此，變換矩陣formula_23可以視為三維旋轉的旋轉矩陣，將附體參考系B或剛體做任意環繞著固定點的旋轉，從formula_4、formula_5、formula_6旋轉成為formula_52、formula_53、formula_54。參考軸formula_58與formula_44之間的關係為
當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。是歐拉旋轉定律的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。
如右圖所示，從時間formula_96到時間formula_97，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡（以黑色實線表示）相互平行，線段formula_98（以黑色虛線表示）的方向保持恆定。
挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G（稱為「基點」），則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置formula_99為
其中，formula_101、formula_102分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。
從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間formula_96到時間formula_97的運動，可以分為基點G從formula_105到formula_106的平移運動，與位移formula_102從時間formula_96到時間formula_97的旋轉運動。
從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。
剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動（沒有任何旋轉運動），剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於，則它們的瞬時速度相等。
角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向（歐拉旋轉定理保證瞬時轉軸的存在）。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。
假設一剛體呈純旋轉運動，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量formula_110，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。假設附體參考系B formula_111與空間參考系S formula_112同原點。對於這些參考系，三維含時向量formula_113分解為
formula_113對於時間的導數為
單獨計算附體參考軸對於時間的導數：
其中，formula_118是方向餘弦對於時間的導數。
由於formula_119垂直於formula_7，formula_119只能是其他兩個單位向量的線性組合：
其中，formula_123是列維-奇維塔符號，formula_124是係數。
對於任意formula_125 , 單位向量formula_7與formula_127的內積對於時間的導數為
所以，formula_124的下標formula_130多餘無用，可以刪除，變為formula_131：
思考formula_133方程式最右邊項目formula_134，對換傀標formula_130 formula_136，可以得到
向量formula_138是由三個係數formula_139、formula_140、formula_141組成，對應於附體參考系的三個參考軸formula_4、formula_5、formula_6，係數數值可以從歐拉角計算求得：
試想對應於歐拉角formula_68、formula_69、formula_70的三個旋轉軸分別為formula_151、formula_152、formula_153，三個角速度分別為
這三個角速度的向量和，對於附體參考系B的分量分別為
注意到附體參考系B的formula_4、formula_5、formula_6就是歐拉角的formula_163、formula_164、formula_153，所以，向量formula_138是附體參考系B旋轉的角速度。
總結，向量formula_113對於時間的導數為
設定formula_169、formula_170分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量formula_113對於時間的導數，上述方程式可以表達為
項目 formula_173可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為formula_110的質點，由於剛體旋轉而產生的速度。
向量formula_113是任意向量，因此可以將formula_176、formula_177當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：
這算符方程式可以作用於任意含時向量。
根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置formula_99為
其中，formula_101、formula_102分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。
點P的速度formula_183為
其中，formula_185、formula_186分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。
應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出formula_187。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，項目formula_188等於零：
其中，formula_138是剛體的角速度向量。
所以，點P的速度為
點P的加速度formula_192為
其中，formula_194、formula_195分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。
再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出
其中，formula_197是附體參考系B旋轉的角加速度向量。
當描述刚体的动力运动時，必需先處理妥善剛體的平移运动，即先選擇一個参考点來代表剛體與其附體參考系B。刚体内部任意一点都可以被選为参考点（附體參考系B的原点）。但是，根据实际應用需要，比較适当的选择為：
当质心被选为参考点时：