爱因斯坦求和约定
在數學裏，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特·愛因斯坦於1916年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」
按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨項目內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨項目的可能值。通常而言，標號的標值為1、2、3（代表維度為三的歐幾里得空間），或0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裏）無限集合。這樣，在三維空間裏，
的意思是
請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裏，formula_3、formula_4、formula_5分別表示formula_6坐標、formula_7坐標、formula_8坐標，而不是formula_6、formula_6的平方、formula_6的立方。
愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：
通常會將這寫為求和公式形式：
在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函數（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個項目都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：
採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裏，單獨項目內的標號變數最多只會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。
在線性代數裏，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為1-形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，formula_15。給予一個formula_16維向量空間formula_17和其任意基底formula_18（可能不是標準正交基），那麼，向量formula_19表示為
餘向量的分量是用下標來標明，例如，formula_21。給予formula_17的對偶空間formula_23和其任意基底formula_24（可能不是標準正交基），那麼，餘向量formula_25表示為
採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從formula_27改變為formula_28，反變向量會變換為
其中，formula_30是改變基底後的向量的分量，formula_31是改變基底後的坐標，formula_32是原先的坐標，
下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從formula_33改變為formula_34，共變向量會會變換為
矩陣formula_36的第formula_37橫排，第 formula_16豎排的元素，以前標記為formula_39；現在改標記為formula_40。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：
給予向量formula_19和餘向量formula_25，其向量和餘向量的內積為純量：
給予矩陣formula_36和向量formula_19，它們的乘積是向量formula_46：
類似地，矩陣formula_36的轉置矩陣formula_49，其與餘向量formula_25的乘積是餘向量formula_51：
矩陣乘法表示為
這公式等價於較冗長的普通標記法：
給予一個方塊矩陣formula_55，總和所有上標與下標相同的元素formula_56，可以得到這矩陣的跡formula_57：
M維向量formula_19和N維餘向量formula_25的外積是一個M×N矩陣formula_36：
採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為
由於formula_64和formula_65代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為M和N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣formula_36的標號。
一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量formula_67、formula_68及formula_69來描述三維空間的向量。
把直角坐標系的基底向量formula_67、formula_68及formula_69寫成formula_74、formula_75及formula_76，所以一個向量可以寫成：
根據愛因斯坦求和约定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：
由於基底是標準正交基，formula_79的每一個分量formula_80，所以，
兩個向量formula_79與formula_83的内积是
由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：
其中，formula_86就是克羅內克函數。當formula_87時，則formula_88，否則formula_89。
邏輯上，在方程式內的任意項目，若遇到了克羅內克函數formula_86，就可以把方程式中的標號formula_64轉為formula_65或者把標號formula_65轉為formula_64。所以，
採用同樣的標準正交基formula_74、formula_75及formula_76，兩個向量formula_79與formula_83的叉積，以方程式表示為
注意到
其中，張量formula_104是列维-奇维塔符号，定義為 所以，
設定formula_106，那麼，
所以，
在歐幾里得空間formula_17裏，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量formula_46，通過下述方程式，向量formula_19唯一地確定了餘向量formula_25：
逆過來，通過上述方程式，每一個餘向量formula_114唯一地確定了向量formula_19。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。
給予formula_17的一個基底formula_117，則必存在一個唯一的對偶基底formula_118，滿足
其中，張量formula_120是克羅內克函數。
以這兩種基底，任意向量formula_19可以寫為兩種形式
其中，formula_123是向量formula_19對於基底formula_125的反變分量，formula_126是向量formula_83對於基底formula_125的共變分量，
在歐幾里得空間formula_129裏，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為formula_130、formula_131、formula_132，就可以計算其對偶基底的基底向量：
其中，formula_134是基底向量formula_130、formula_131、formula_132共同形成的平行六面體的體積。
反過來計算，
其中，formula_139是基底向量formula_140、formula_141、formula_142共同形成的平行六面體的體積。
雖然formula_143與formula_144並不相互標準正交，它們相互對偶：
雖然formula_146與formula_147並不相互標準正交，它們相互對偶：
這樣，任意向量formula_19的反變分量為
類似地，共變分量為
這樣，formula_19可以表示為 或者，
綜合上述關係式，
向量formula_19的共變分量為
其中，formula_158是度規張量。
向量formula_19的反變分量為
其中，formula_161是共軛度規張量。
共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。
思考維度為formula_16的向量空間formula_17。給予一個可能不是標準正交基的基底formula_164。那麼，在formula_17內的向量formula_83，對於這基底，其分量為formula_167、formula_168、...formula_169。以方程式表示，
在這方程式右手邊，標號formula_64在同一項目出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從formula_64等於formula_173到formula_16，這項目的每一個可能值都必須總和在一起。
愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從formula_17用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，formula_176，formula_17與自己的張量積，擁有由形式為formula_178的張量組成的基底。任意在formula_176內的張量formula_180可以寫為
向量空間formula_17的對偶空間formula_23擁有基底formula_184，遵守規則
其中，formula_186是克羅內克函數。
為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裏給出幾個簡單的例子。