圓周率
圓周率是一个数学常数，为一个圆的周长和其直径的比率，近似值约等於3.141592654，常用符号来表示。
因为是一个无理数，所以它不能用分数完全表示出来（即它的小数部分是一个无限不循环小数）。当然，它可以用像formula_1般的有理数來近似。的数字序列被認為是随机分布的，有一种统计上特别的随机性，但至今未能证明。此外，还是一个超越数——它不是任何有理数系数多项式的根。由於的超越性质，化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。
几个文明古国在很早就需要计算出的较精确的值以便于生产中的计算。公元5世纪时，中國劉宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位数字。大约同一时间，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后5位。历史上首个的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。微積分的出現，很快地將的計算位數推至數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世纪，由于计算机技术的快速发展，借助计算机的计算使得的精度急速提高。截至2021年8月，的十进制精度已高达6.28×10位。当前人类计算的值的主要目的是为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法，因为几乎所有的科学研究对的精度要求都不会超过几百位。
因为的定义中涉及圆，所以在三角学和几何学的许多公式，特别是在圆形、椭球形或球形相關公式中广泛应用。在更近代的數學分析裡，改由實數系統譜性質中的特征值或週期來定義，不再指涉幾何。所以它也在一些和圓之幾何無甚相關的数学和科學領域中出現，像是數論、統計以及幾乎物理學中的所有領域。的广泛应用使它成为科学界内外最广为人知的常数之一。人们已经出版了几本专门介绍的书籍，圆周率日（3月14日）和值计算突破记录也往往会成为报纸的新闻头条。此外，背诵值的世界记录已经达到100,000位的精度。
数学家用小写希腊字母表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为“”，這来自于希腊语“”（周长）的首字母。在英语中，的发音与英文单词“Pie”（，西式馅饼）相同。在数学中，的小写字母（或者是其无衬线体）要和表示连乘积的大写形式Π相区分开。
关于為何选择符号的原因，请参见π符号的引入一节。
常用定义为圆的周长formula_2与直径formula_3的比值：
无论圆的大小如何，比值formula_5为恒值。如果一个圆的直径变为原先的二倍，它的周长也将变为二倍，比值formula_5不变。当前的定义隐性地使用了欧几里得几何中的一些定理，虽然一个圆的定义可以扩展到任意曲面（即非欧几里得几何），但这些圆将不再符合定律formula_4。
这里，圆的周长指其圆周的弧长，弧长这一概念可以不依赖几何学————而是使用微积分学中的极限来定义。例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆formula_8上半部分的弧长，需要用到积分：
上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对的积分定义。
这些依赖于周长，且隐性地依赖积分的的定义，如今在文献中并不常见。雷默特（）解释说这是因为在现代微积分教学中，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的的定义就很有必要了。其中一种定义，由提出，由愛德蒙·蘭道推广，其表述如下：是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。
在相似的启发下，可以用关于复变量formula_10的复指数函数formula_11来定义。复指数类似余弦函数，可透過多种方式定义。令函数formula_11值为一的复数集合是一个如下所示的（虚）算数过程：
并且其中包括一个独特的正实数。
一个基于同样想法，但更为抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：存在一个唯一的从加法模数整数组成的实数群 R/Z 到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字被定义为此同态派生的模的一半。
在给定的周长的条件下，圆会围成最大的面积，因此的表述同樣为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。
是个无理数，也就是说，无法表示成两个整数之比的形式（形如formula_1的分数常用来近似表达，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到的精确值）。由于是无理数，故可表示为无限不循环小数。有多种方法能，这些证明也都要用到微积分学和反证法。人们還無法準確得知可以用有理数来近似的程度（稱為無理性度量），不過估計其無理性度量比或的要大，但是小於刘维尔数的無理性度量。
人们通過检验，包括正规数的检验，验证了的位數沒有明顯的固定模式。因此，的小数中任意固定长度的序列（例如3位數字的000,001……999）出現機率都相同。不過有關是正规数的猜想既無證明，亦無-{zh-hans:证伪;zh-hant:否證;}-。
電腦的出現使得人们可以生成大量的不同位数，并進行統計分析。金田康正針對的十進制數字進行了詳細的統計分析，并验证了其分布的正规性：例如，將出現0到9十個數字的頻率進行假設檢定，找不到有特定重复规律的證據。根據無限猴子定理，任何任意長度，由隨機內容組成的子序列都有可能看起來像不隨機产生的。因此，就算的小数序列通過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有规律可循而非隨機数，例如的十進制写法中，自第762位小數后开始出现了連續六個的9。
不仅是个无理数，还是一个超越数，即不是任何一个有理数系数多项式的根。（比方说，试图通过解有限项方程formula_15，来求得的值。）
的超越性衍生出了一些重要的结果：不能通过有理数经有限次四则运算和开平方运算来获得，因此不是规矩数。换言之，利用尺规作图作不出长度为的线段，也就不可能用尺规方法做出一个与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人们数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这一问题。
像所有的无理数一样，无法表示成一个分数。但是每一个无理数，包括，都能表示成一系列叫做连分数的连续分数形式：
在这个连分数的任意一点截断化简，都能得到一个的近似值；前四个近似值是：3，formula_1，formula_18，formula_19。这些数在历史上是最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近。由于是一个超越数，据超越数定义来说它不是代數數，又因此不可能是一个二次無理數；是故不能表示为循环连分数。尽管的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，数学家们發現了数个广义连分数能表示，例如：
圆周率近似值包括：
其他进位制中的近似值
任何复数（以formula_10为例）都可以表示为一组实数对：在极坐标系中，一个实数formula_22用来表示半径，代表复平面上复数formula_10离原點的距离；另一个实数formula_24则用来表示夹角，即这条半径（复平面上复数formula_10与原点的连线）与正实轴经顺时针转动的夹角。这样一来，formula_10就可写成
在复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起：
欧拉公式确立了formula_31的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当formula_32时，欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式：
欧拉等式亦可用于求出方程formula_34的formula_35个不同的复数根（这些根叫做formula_36次单位根”），可以根据以下公式求得：
经常出现在和几何相关的问题之中。然而，在不少和几何无关的问题中也可以看到的身影。
在許多的應用中都會以特征值的形式出現。例如理想的問題可以建模為函數formula_38在單位區間formula_39的圖形，固定邊界值为formula_40。弦振動的模態會是微分方程的formula_41，此處是相關的特徵值。受施图姆-刘维尔理论限制，formula_42只能是一些特定的數值。而formula_43即為一個特征值，因為函數formula_44滿足邊界條件及微分方程formula_43。 是上述方程中最小的特征值，也和弦振動的有關。一個讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式，其中提到若函數formula_46使得formula_40，且formula_38和formula_49都是平方可積函數，則以下的不等式成立：
此例中等號成立的條件恰好是formula_38為formula_52倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，因此也是最小的特征值（根據的計算方式）
在更高維度的分析中也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，的一個特點是等周定理中的最佳常數：周長為formula_53的平面若尔当曲线，所圍面積formula_54滿足以下的不等式
等號成立的條件是曲线為一圓形，因為formula_56及formula_57.。
圓周率也和庞加莱不等式的最佳常數有關，是一維及二維的特征向量最佳值中，最小的一個，因此會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位势论。其一維的情形即為維廷格不等式。
圓周率也是傅里叶变换的一個重要常數，傅里叶变换屬於积分变换，將一個在實數線上的一個有複數值，可積分的函數，轉換為以下的型式：
傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了空間中唯一的幺正算符，也是formula_59空間到formula_60空間的代數同態。
不确定性原理中也有出現這個數字。不确定性原理提出了可以將一個函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，利用傅立葉轉換的方式表示：
物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中的出現是的結果，證實了海森伯群的的唯一性。
高斯积分是对高斯函数formula_62在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为formula_63，
此积分的计算可以先计算formula_65对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得
其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为formula_67，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求formula_65的积分。
另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为formula_69和標準差为formula_70的正态分布的機率密度函數：
因为这个函数是一个概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令formula_72和formula_73即可变换得出formula_74。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布。
概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及的核心作用，这个定理本质上是联系着的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有
这里的formula_76與formula_77分別為位置與動量的標準差，formula_78是約化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立。
同样地，作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为formula_79。根据豪（）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。
圓周率在远古时期（公元前一千纪）已估算至前两位（“3”和“1”）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用formula_1作為圓周率的約數，但這個說法受到了質疑。
最早有記載的对圓周率估值在古埃及和巴比伦出现，兩個估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊公元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示了人们当时把圓周率視同formula_81（等於3.125）。埃及的莱因德数学纸草书（鉴定撰寫年份為公元前1650年，但抄自一份公元前1850年的文本）載有用作計算圓面積的公式，该公式中圓周率等于formula_82（約等於3.1605）。
公元前4世紀的《》中的天文學運算把formula_83（約等於3.139，精确到99.91%）用作圓周率估值。公元前150年前的其他印度文獻把圓周率視為formula_84（約等於3.1622）。
第一個有紀錄、嚴謹計算數值的演算法是透過正多邊形的幾何算法，是在西元前250年由希臘數學家阿基米德所發明。這個算法使用了有一千年之久，因而有時亦稱阿基米德常數。阿基米德的算法是在計算圓的外切正六邊形及內接正六邊形的邊長，以此計算的上限及下限，之後再將六邊形變成十二邊形，繼續計算邊長……，一直計算到正96邊形為止。他根據多邊形的邊長證明formula_85（也就是formula_86）。阿基米德得到的上限formula_1也造成一個常見誤解，認為就等於formula_1。在公元前150年，希臘羅馬的科學家克劳狄乌斯·托勒密在《天文学大成》一書中提到的數值是3.1416，可能來自阿基米德，也可能來自阿波罗尼奥斯。數學家在1630年利用多邊形的方式計算到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數。 中国历史上，的數值有3、3.1547（公元前一世紀）、formula_84（公元前100年，數值約3.1623）及formula_90（第三世紀，數值約3.1556）。大約在公元265年，曹魏的數學家刘徽創立了割圆术，用3,072邊的正多邊形計算出的數值為3.1416。刘徽後來又發明了一個較快的算法，利用邊數差兩倍的正多邊形，其面積的差值會形成等比數列，其公比為formula_91的原理，配合96邊形算出的數值為3.14。祖冲之在公元480年利用割圆术計算12,288形的邊長，得到的值在3.1415926和3.1415927之间。他同时提出了的约率22/7和密率355/113。在之後的八百年內，這都是準確度最高的估計值。為紀念祖沖之對圓周率發展的貢獻，日本數學家三上義夫將這一推算值命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
印度天文學家阿耶波多在公元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。斐波那契在大約1220年利用獨立於阿基米德多邊形法，計算出3.1418。義大利作家但丁·阿利吉耶里用的數值則是formula_92。
波斯天文學家卡西在1424年利用3×2邊的多邊形，計算到六十進制的第9位小數，相當十進制的第16位小數。這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×2邊形計算到第9位小數，佛蘭芒數學家阿德里安·范·羅門在1593年計算到第15位小數。荷蘭數學家鲁道夫·范·科伊伦在1596年計算到第20位小數，他之後又計算到第35位小數（因此在二十世紀初之前，圓周率在德國會稱為鲁道夫數）。荷蘭科學家威理博·司乃耳在1621年計算到第34位小數，而奧地利天文學家在1630年用10邊形計算到第38位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果。
16世紀及17世紀時，的計算開始改用無窮级数的計算方式。無窮级数是一組無窮數列的和。無窮级数讓數學家可以計算出比阿基米德以及其他用幾何方式計算的數學家更準確的結果。雖然詹姆斯·格雷果里及戈特弗里德·莱布尼茨等歐洲數學家利用無窮數列計算而使得该方法为大家所知，但这种方法最早是由印度科學家在大約1400到1500年之間發現的。第一個记载的用無窮级数計算的人是约公元1500年左右时，印度天文學家在他的著作《》中用梵語詩所記錄。當時沒有這個數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《》，年代約在公元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家（ 1350 –  1425）。有許多相關的無窮级数，包括有關formula_93、formula_94及formula_95的，現在稱為或π的莱布尼茨公式。瑪達瓦在1400年用無窮级数計算到第11位小數，但在1430年一位波斯數學家卡西利用多邊形算法否定了他算的的結果。 歐洲第一個發現的無窮項圓周率公式是無窮乘積（和一般用來計算的無窮級數不同），由法國科學家弗朗索瓦·韦达在1593年發現：
約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲第二個發現的無窮項圓周率公式： 微积分学是由英國科學家艾萨克·牛顿及德國數學家戈特弗里德·莱布尼茨在1660年代發明，因此也出現許多計算的無窮級數。牛頓自己就利用反正弦（formula_98）數列在1655年或1666年將近似到第15位小數，後來寫到「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字，我當時沒有做其他的事。」
蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：
這個公式即為格雷果里-莱布尼茨公式，在formula_100時數值為formula_101。1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里-莱布尼茨公式，在formula_102時計算，計算到了的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。格雷果里-莱布尼茨公式在formula_100時非常簡單，但收斂到最終值的速度非常慢，因此現在不再会用此公式來計算。
約翰·梅欽在1706年利用格雷果里-莱布尼茨級數產生了一個可以快速收斂的公式：
梅欽用這個公式計算到的第100位小數後來其他數學家也發展了一些類似公式，現在稱為梅欽類公式，創下了許多計算位數的記錄。在進入電腦時代時，梅欽類公式仍然是个耳熟能详的可以計算的公式，而且在约250年的时间里，很多有關位數的記錄都是梅欽類公式所得，比如在1946年時由達尼爾·弗格森（）用這類公式計算到第620位小數，是在沒有計算設備輔助下的最佳紀錄。
1844年，計算天才在德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯的要求下以梅欽類公式心算了的200個小數位，並創下紀錄。英國數學家花了15年的時間計算到小數707位，不過中間在第528位小數時出錯，因此後面的小數也都不正確。
有些的無窮級數收斂的比其他級數要快，數學家一般會選用收斂速度較快的級數，可以在較少的計算量下計算，且達到需要的準確度。以下是的莱布尼茨公式：
隨著一項一項的值加入總和中，只要項次夠多，總和最後會慢慢接近。不過此數列的收斂速度很慢，要到500,000項之後，才會精確到的第五小數。
尼拉卡莎在15世紀發展了另一個的無窮級數，其收斂速度較格雷果里-萊布尼茨公式要快很多，該級數為：
以下比較二個級數的收斂速率：
計算前5項後，格雷果里-萊布尼茨級數的和跟的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂的快很多，因此也比較適合用來計算的數值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計算一項就可以得到14位正確的小數值數。
并非所有和有关的研究都旨在提高计算它的准确性。1735年，欧拉解决了巴塞尔问题，因而建立了所有平方数倒数和与的关系。之后欧拉发现了欧拉乘积公式，得到了、素数的重要關聯，對日後黎曼ζ函數的研究影響深遠。
1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯利用正切函数的无穷连分数表达式了是無理數。1794年，法国数学家阿德里安-马里·勒让德证明了formula_108也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数formula_109，formula_110都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼-魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的超越性猜想。哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。
在用专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中。威廉·奥特雷德在1647年起在《數學之鑰》（Clavis Mathematicae）就已經用及formula_111（對應p和d的希臘字母）來表示圓的周長及直徑的比例。
威廉·琼斯在他1706年出版的《新數學導論》（）中提到了，是目前已知最早专门用希臘字母表示圓周和其直徑比例的人。這個希臘字母的第一次出现，是在书中討論一個半徑為1的圓時，提到「其圓周長的一半（）」。琼斯選用了的原因可能是因為它是希臘文中“周边”一词“”的第一個字。不過琼斯提到，他的那些有關的算式是出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，因此人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已经开始使用此希臘字母表示圓周率。
瓊斯是在1706年開始使用此希臘字母，但直到萊昂哈德·歐拉在其1736年出版的《》中開始使用之后，其他的数学家们才纷纷开始用来指代圆周率。在此之前，數字家可能用像"c"或"p"之類的字母代表圓周率。因為歐拉與歐洲其他數學家之间时常互相写信来往，的用法迅速傳播开来。1748年歐拉在他的《无穷小分析引论》再一次提到了，写道：「為了簡潔起見，我們將此數字寫為，等於半徑為1的圓周長的一半。」这个表示方式之後也推展到整個西方世界。
二十世紀中期计算机技术的发展、革新再次引发了計算位數的熱潮。美國數學家约翰·伦奇及李維·史密斯在1949年利用桌上型計算機計算到1,120位。同年，喬治·韋斯納（George Reitwiesner）及约翰·冯·诺伊曼帶領的團隊利用反三角函数（arctan）的無窮級數，通过ENIAC計算到了小數第2,037位，花了70小時的電腦工作時間。這一紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，人们计算出了小数点后的第一百萬位小數。
1980年代的两项發明加速了的計算。第一项是人们發现了新的的迭代法去计算的值，其計算速度比無窮級數會要快很多。另一项是人们發现了可以快速計算大數字乘積的乘法演算法。這類演算法在現代的計算上格外的重要，因為電腦大部分的工作時間都是在計算乘法。這類演算法包括Karatsuba算法、Toom–Cook乘法及以傅里叶变换為基礎的乘法演算法（傅里叶乘法）。
迭代演算法最早是在1975年至1976年间分别由美國物理學家及奧地利科學家独立提出。這两个演算法没有依赖無窮級數來計算。迭代會重覆一個特定的計算，将前一次的計算結果作为這一次的輸入值，使得計算結果漸漸的趨近理想值。此方式的原始版本其實是在160年前由卡爾·弗里德里希·高斯提出，現在稱為算术-几何平均数算法（AGM法）或高斯-勒让德算法。因為薩拉明及布蘭特都曾对此進行修改，因此这个算法也稱為薩拉明-布蘭特演算法。
迭代演算法因為收斂速度比無窮級數快很多，在1980年代以後廣為使用。無窮級數隨著項次的增加，一般來說正確的位數也會增加幾位，但迭代演算法每多一次計算，正確的位數會呈几何级数增长。例如薩拉明-布蘭特演算法每多一次計算，正確位數會是之前的二倍。1984年加拿大人及提出一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的四倍，1987年時有另一個迭代演算法，每多一次計算，正確位數會是之前的五倍。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年之間創下了若干个紀錄。不過迭代演算法的快速收斂也有其代價，因为这个算法需要的内存的大小明顯的要比無窮級數要多。
一般而言，值并不需要过于精确便能够满足大部分的数学运算的需求。按照約爾格·阿恩特（Jörg Arndt）及克里斯托夫·黑內爾（）的计算，39個數位已足夠運算絕大多數的宇宙学的计算需求，因為這個精確度已能夠将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一個原子大小。 尽管如此，人們仍然是奋力地運算出小数点后的上千甚至上百萬個數位。這一部分是出于人類對打破記錄的冲动，因为那些和有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條。此外，这其中也有一些實際的好處，例如測試超级计算机、測試数值分析算法等（包括）。在純粹數學的领域中，计算的位数也能让人们来评定的隨機性。
现代计算的程序不仅仅局限于迭代算法。20世纪80与90年代，人们发现了一些可用来计算的新无穷级数，其收敛速度可与迭代算法媲美，而又有着复杂度、内存密集度更低的优势。印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金是这方面的先驱，他在1914年发表了许多与相关的公式，这些公式十分新颖，极为优雅而又颇具数学深度，收敛速度也非常快。下式即为一例，其中用到了模方程：
这个无穷级数收敛速度远快于绝大多数反正切数列，包括梅钦公式。第一位使用拉马努金公式计算并取得进展的是，他在1985年算得了小数点后一千七百万位。拉马努金公式开创了现代数值近似算法的先河，此后波尔文兄弟和进一步发展了这类算法。后者于1987年提出了楚德诺夫斯基公式，如下所示：
此公式每计算一项就能得到的约14位数值，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这个公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得小数点后10亿（10）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×10）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（10）位。类似的公式还有。
2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ按照以下模版生成了几个计算的新公式：
其中formula_115为，formula_116是一个奇数，formula_117是普勞夫计算出的有理常数。
蒙特卡洛方法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法，通过进行大量重复试验计算事件发生的频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分地接近于概率）可以求得的近似值。 布豐投針問題就是其中一个应用的例子：当一枚长度为formula_118的针随机地往一个画满间距为formula_119的平行线的平面上抛掷formula_35次， 如果针与平行直线相交了formula_121次，那么当formula_35充分大时就可根据以下公式算出的近似值：
另一个利用蒙特卡罗方法计算值的例子是随机地往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量的点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似等于formula_101.
此外，还可以通过进行随机游走试验，并利用蒙特卡罗方法计算值，如抛掷一枚均匀的硬币formula_125次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数formula_126服从二項分佈且
因为硬币均匀，所以次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量formula_128，当抛掷结果为正面时formula_129否则为-1，且formula_130且取何值具有相同的概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量formula_131求和可得
设为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到formula_133。对式子进行变换，得formula_134，因此
可以证明，
并且当formula_125变大时，formula_141的值会渐近于formula_142，因此当formula_125充分大时可根据以下公式算出的近似值：
表示位于距原点formula_145的单位质量（或电荷）的势能，而formula_116是维度常数。在这里由formula_147表示的场可以是（牛顿）引力場或（库仑）電場，是位势的负梯度：
特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面formula_149的场的向外通量等于formula_150：
标准形式会将formula_151的这个因子吸收到常数formula_116中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，formula_151是单位球面的表面积，但並没有假设formula_149是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有formula_155中的表面formula_149的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。
高斯定律的结果之一是位势formula_157的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的formula_150倍：
通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程
其中formula_161是分布函数。 常数在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一个基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：
其中formula_163是里奇曲率張量，formula_164是数量曲率，formula_165是度量张量，formula_166是宇宙學常數，formula_167是万有引力常数，formula_168是真空中的光速，而formula_169是應力-能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右边是分布函数的模拟乘以formula_170。
在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任意若尔当曲线formula_171内任一点formula_172，以下围道积分给出formula_173：
该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以formula_172为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过formula_172点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。
一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数 formula_177在若尔当曲线formula_171上的值与曲线内任意点formula_172处值的关系：
柯西积分定理是留数定理的一个特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数formula_181在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：
阶乘函数formula_183的值等于所有小于等于formula_35的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：
再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整个复数域。当自变量formula_186取正整数时，formula_187函数给出阶乘formula_188；当自变量取半整数时，计算结果含有。例如formula_189，formula_190。
根据魏尔施特拉斯分解定理，formula_187函数可分解为如下的无穷乘积：
其中formula_171是歐拉-馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和formula_187函数在formula_195的值formula_196，亦可以证明沃利斯乘积式。formula_187函数和黎曼ζ函數、的恒等式存在关联，其中扮演着重要的角色。
formula_187函数常用于计算formula_35维欧氏空间中"n" 维球的体积和"n" 维球面的表面积。对formula_35维欧氏空间中半径为formula_22"formula_35"维球，其体积formula_203和表面积formula_204满足：
两者还满足如下的关系式：
当formula_35很大时，利用formula_187函数可以得到关于阶乘formula_183的一个近似公式formula_211。该公式稱作斯特靈公式，等价于：
斯特灵近似的几何应用之一是。将formula_35维欧几里得空间的单纯形记作formula_214，formula_215则表示该单纯形的所有面扩大formula_216。于是
这是仅含一个晶格点之凸体体积的（最佳）上界。
黎曼ζ函数formula_218 在数学的许多领域均有应用。当自变量formula_219 ，可以写作
找到这个无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这个问题，他得到该无穷级数等于formula_221。欧拉的结论可以推导出一个数论中的结果，即两个随机整数互质（即无公因数）的概率为formula_222 。由于任意整数可由质数formula_223整除的概率formula_224（例如，在所有正整数中，连续7个数中有且只有一个可以被7整除）。因此，任取两个随机整数都能以质数formula_223整除的概率为formula_224，至少有一个不能整除的概率则为formula_227。又因为一个随机整数能否被两个不同的质数整除是相互独立事件，那么两个随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数formula_223的无穷乘积 这个结论可以结合随机数生成器，利用蒙特卡罗方法计算的近似值。
巴塞尔问题的结论意味着几何导出量的数值与质数的分布有着深刻的关联。巴塞尔问题是谷山－志村定理的一个特殊情况，是的一个特例，即猜想一个这种形式的算术量关于所有质数formula_223的无穷乘积能够等于一个几何量——某个体积的倒易。在巴塞尔问题中，这个空间是一个 。
formula_231函数同样满足黎曼方程的公式，其中用到了和伽玛公式：
除此之外， formula_231函数导数也满足
最终的结果是可以从谐振子中求得。这个泛函行列式可以通过一个无穷乘积展开式计算, 而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。这种方法可以应用于量子力学, 尤其是玻尔模型中的变分。
周期函数的傅里叶级数中，很自然地出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群formula_235上的函数。傅里叶分解指出，一个formula_236上的复值函数formula_38可表示为无穷多个formula_236的的线性叠加之和。也就是说，formula_236到圓群formula_240（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同態。formula_236的特征都具有formula_242的形式，这是一个定理。
在formula_236上存在一个唯一的特征值，直到复共轭，那是一个群同态。在圆群中使用 哈尔测度，常数是这个特征值的拉东-尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为formula_244的正整数倍。因此，常数是一个独特的数字，以至于配备了其哈尔测度的群formula_236，具有对于formula_244整数倍的点阵的庞特里亚金对偶性。这是的一维版本。
常數與模形式和Θ函數密切相关——比如，椭圆曲线中的就很大程度上涉及到了楚德诺夫斯基算法（一种快速计算的方法）。
模形式是以在上半平面的全純函數的在formula_248（或其子群，formula_248是formula_250的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例： 它是一種名為的模形式，有時以formula_252表達。
常數是一個特殊的常數，它會使雅可比formula_247函數形成自守形式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：
它使得formula_255必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他formula_247函數也包含，這也是根據。
柯西分布： 是一个概率密度函数。其总概率等于1，因为下列积分：
柯西分布的香农熵等于formula_259, 也含。 柯西分布在位势论中扮演着重要的角色因为它是最简单的和与在半平面上做布朗运动相关联的经典泊松核。以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。 希尔伯特变换formula_260是一个由奇异积分的柯西主值给出的积分变换
常数是唯一的（正）归一化因子因此formula_260定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的。 和傅里叶变换一样，希尔伯特变换就其在希尔伯特空间formula_263的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化，它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子。常数是唯一的能使这个变换幺正的归一化因子。
大衛·波爾（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形中也有的出現。他檢查在曼德博集合在formula_264位置的特性。若考慮坐標在「頸部」formula_265的點，而formula_266趨近於零，在發散之前迭代的次數和formula_266相乘，會趨近於。若是在右側尖點處附近的點formula_268也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和formula_266的平方根相乘，也會趨近於。
即便不是一个物理常数，也经常出现在描述宇宙的基本原则方程中，因为与圆以及球坐标系的关系密切。比方说，这是经典力学领域一个简单的公式，给出了长度为L的单摆做小幅摆动的近似周期（formula_270为地球引力加速度常数）：
海森堡不确定性原理是量子力学的一个基本公式，它表明在对一个粒子测量时，其位置不确定度（formula_272）与动量不确定度（formula_273）不可能同时达到任意小（formula_274为普朗克常数）： formula_275
近似於三这一特性，和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数formula_109的關係為 其中formula_121為電子質量。
也出現在許多結構工程的公式中，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為formula_279、截面二次轴矩為的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載formula_280：
流體動力學的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半径约为formula_164的小球體在黏度formula_283的流體中以速度formula_284運動時會受到的阻力满足：
在理想状态下，一个河流的曲折程度——也就是河道本身的长度与源头到入海口的比值——随着时间的推移逐渐趋向于。河流外边缘的快速水流的弯曲会导致河流内边缘加倍的侵蚀，而河道因此变得更加弯曲，使得整个河流弯折得更加厉害。然而，这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方，导致“短路”，并在此过程中形成一个河迹湖。这两种相反的因素使得河道长度与源头到入海口的比值的平均值为。
π文字學（或譯作圆周率的语言学）是指人们記住大量的位值，并将其世界紀錄載於健力士世界紀錄大全中的做法。維爾·米納（Rajveer Meena）於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的，创下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證，自稱已經背誦了十萬個小數位，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。
一個常用於記憶的技巧是背誦一個以單詞的長度代表數值的故事或詩歌：第一個單詞有三個字母，第二個單詞有一個字母，第三個單詞有四個字母，第四個單詞有一個字母，第五個單詞有五個字母，如此類推。一個早期的例子是由英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「」這一類的詩歌有時在英文中稱為「」。除了英文，用於記憶的詩歌亦有不同語言的版本。但是，創下紀錄的記憶的人一般並不以詩歌記憶，而是用如記憶數字規律或的方法。
有好幾位作家仿照上述记忆技巧，用的數值創作了新型的方式，其中單詞的長度須符合的數值。《》以上述技巧包含了前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬個單詞，其中每個單詞亦代表了的一個位值。
也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常数在流行文化中更常見。
在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上最精確的計算公式的信息图形 。
在巴黎的科学博物馆發現宮中有一個稱為「房」的圓形房間。牆上刻有的707位數字。數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家的計算結果，但是该结果於第528位后開始出現謬誤，其在1946年發現，1949年修正。
卡尔·萨根的小说《接觸未來》中则暗示说，宇宙的创造者在的数字中暗藏了一则信息。的数字也用在凱特·布希所出的专辑中的《Pi》的歌词里。
在美国，人们在3月14日庆祝圓周率日，一个在学生中很流行的节日。一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几个包含“3.14159”的大学。2015年的圆周率日格外重要，因为按照美式的写法，当天的日期时间codice_1较之于其他的圆周率日包含了更多位数的。
在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌使用了一些包含在内的数学或科学常数进行竞价。 在1958年，提议将换成（tau）以便简化公式。formula_286在此定义为的兩倍。然而，没有任何其他作者曾这样使用过formula_286。有些人使用一个不同的值，formula_288。这些人辩称formula_286，不论是作为弧度制下一个圆形周长的1转，还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值），都比显得更加自然，也能因此简化掉许多公式。已经有媒体报道称，有人在6月28日庆祝“formula_286节”，并吃“两个派”，因为formula_286的值大小约为6.28。然而，对于formula_286的使用还并没有在数学界成为主流。
在1897年，一个业余的美国数学家试图通过印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这一法案因试图以法律命令强制规定一个数学常数而臭名远扬。该法案描述了一个化圆为方的方法，并间接提到了的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但是被参议院否决。
．2014 houkouonchi found pi to 28472 Decimal places