克利福德代数
數學上，克利福德代数（Clifford algebra）是由具有二次型的向量空間生成的單位結合代數。作為域上的代數，其推廣實數系、複數系、四元數系等超複數系，以及外代数。此代數結構得名自英國數學家威廉·金顿·克利福德。
研究克里福代数的理論有時也稱為克里福代數，其與二次型論和正交群理論緊密聯繫。其在几何、理論物理、中有很多应用。其主要贡献者有：威廉·哈密顿（四元数），赫尔曼·格拉斯曼（外代数），威廉·金顿·克利福德，等。
最常見的克里福代數是正交克里福代數，又稱（偽）黎曼克里福代數。另一類是扭對稱克里福代數。
設有域formula_1上的向量空間formula_2，且其上有二次型formula_3。克里福代數formula_4是由formula_2生成的單位代數結合代數，但須滿足
其中左邊的平方是該代數中的乘法，而右邊的formula_7為其乘法單位元。所謂「最自由」，可以用泛性質嚴格定義，詳見下節。
若formula_2為有限維實向量空間，且formula_9非退化，刖formula_4可記為formula_11，表示formula_2有一組正交基，其中formula_13個基元formula_14滿足formula_15，另有formula_16個基元滿足formula_17，而formula_18指明該克里福代數定義在實域上，即該代數的元素系數皆為實數。此組正交基可藉找出。
由formula_2生成的自由代數是張量代數formula_20。換言之，其為formula_2自身的formula_22重張量積，對所有formula_22的直和。故相應的克里福代數會是該張量代數對元素formula_24（formula_25取遍formula_2的元素）生成的雙邊理想的商。張量積導出在商代數的乘積以串接表示（例如formula_27）。其結合律由張量積的結合律推出。
克里福代數有指明的子空間formula_2，即嵌入的像。若只得與克里福代數同構的formula_1代數，則一般無法唯一確定該子空間。
若底域formula_1的特徵不為formula_31，則可將基本恆等式formula_32重寫成
其中 定義的對稱雙線性形式與二次型formula_9之間有極化恆等式。
特徵為formula_31的二次型與克里福代數為特例。具體而言，若formula_37，則對於二次型formula_9，式formula_39未必唯一確定某個對稱雙線性型formula_40，formula_9也未必有正交基。本條目不少命題的條件皆要求特徵不為formula_31，而若允許特徵為formula_31，則命題不再成立。
克里福代數與外代數密切相關。外代數是克里福代數的特例：若在克里福代數的定義中，取formula_44，則克里福代數formula_4就是外代數formula_46。即使formula_9非零，只要基域formula_1的特徵非formula_31，formula_46和formula_4之間仍有典範的線性同構。換言之，兩者作為向量空間自然地同構，但其上的乘法有分別。特徵為formula_31時，兩者仍線性同構，然而該同構並非自然。克里福代數的乘法和指定的子空間是比外代數更豐富的結構，因為用到formula_9提供的額外資訊。
克里福代數為，而為外代數。
具體而言，克里福代數可視為外代數的「量子化」（見量子群），正如為的量子化。
外爾代數和克里福代數還具有的結構，並能整合成某個的偶次和奇次項，見。
設formula_2為域formula_1上的向量空間，formula_3為formula_2上的二次型。多數情況下，域formula_1是實域formula_18或複域formula_60，或有限域formula_61。
克里福代數formula_4定義為有序對formula_63，其中formula_64為formula_1上的單位結合代數，而線性映射formula_66滿足對任意formula_67，皆有formula_68，且formula_63滿足下列泛性質：給定formula_1上任何單位結合代數formula_71和線性映射formula_72令
（其中formula_74表示formula_71的乘法單位元），必有唯一的代數同態formula_76使得以下圖表可交換（即formula_77：
二次型formula_9可換成滿足formula_79的（無需對稱的）雙線性形式formula_40，此時formula_81需滿足的條件等價於
當基域的特徵非formula_31時，以上條件也等價於：
其中雙線性型不妨限定為對稱雙線性型。
以上描述的克里福代數必定存在，能藉以下一般方法構造：先選取由formula_2生成的最自由的代數，即張量代數formula_86，然後藉取商，保證基本恆等式成立。對於克里福代數，所需formula_86的雙邊理想formula_88是由所有形如
的元素生成，其中formula_25取遍formula_2的元素，隨後便可定義formula_4為商代數formula_93。
商承繼的環乘積有時稱為克里福積，以免與外代數的外積formula_94或純量積formula_95混淆。
有上述formula_4的構造後，可以直接驗證formula_4包含formula_2，且滿足所需的泛性質。而由泛性質，可知formula_99在唯一同構的意義下唯一，故在此意義下，可當克里福代數必定由上述構造給出。從構造可知，formula_100是單射，故通常隱藏formula_100而視formula_2為formula_4的線性子空間。
因為克里福代數可由泛性質定義，所以formula_4的構造具函子性，即formula_99為函子，其定義域為具有二次型的formula_1-向量空間組成的範疇（其態射為保二次型的線性映射），陪域為結合formula_1-代數範疇。泛性質保證，向量空間之間保二次型的線性映射，唯一擴展成相應的克里福代數的代數同態。
由於formula_2已配備二次型formula_9，在特徵非formula_31時，formula_2有一組正交基，即其元素formula_14滿足
基本克里福恆等式推出，對於正交基，有
此關係使正交基元間的運算很容易。給定formula_2中兩兩互異的正交基元的乘積formula_118 ，可以將各因子按順序排好，而僅需依照置換的奇偶性在前面加上正負號。
若formula_2在formula_1上的維數為formula_22，且formula_122為formula_123的正交基，則formula_4為formula_1上的向量空間，其一組基為
在上式中，空乘積（formula_127）定義為乘法單位元。由於每個formula_14可以出現或不出現在乘積中，formula_4的維數（即基的大小）為
克里福代數的重要例子源自實或複向量空間及其上非退化的二次型給出。
本節的例子formula_131和formula_132皆同構於某個formula_71或formula_134，其中formula_71為formula_18、formula_60或formula_138上的全個矩陣環。此類代數的完整分類，見。
克里福代數有時稱為，尤其定義在實域上時。
有限維實向量空間上的非退化二次型必等價於某個標準對角型：
其中formula_140為向量空間的維數。非負整數對formula_141稱為二次型的。配備此二次型的實向量空間一般記為formula_142，而formula_142生成的克里福代數則記為formula_131。formula_145可能表示formula_146或formula_147，視乎作者偏好二次型正定抑或負定。
formula_142的標準基formula_122由formula_140支兩兩正交的向量組成，其中formula_13支的平方為formula_152，其餘formula_16支的平方則為formula_154。於是，代數formula_131中，也有該formula_13支向量的平方為formula_152，該formula_16支向量的平方為formula_154。
低維的例子有：
也可以研究複域上的克里福代數。formula_22維複向量空間上，每個非退化二次型都等價於標準對角型
由此，對每個維數formula_22，在同構意義下，恰有一個克里福代數定義在配備非退化二次型的formula_22維複向量空間上，記為formula_132。
最小的幾個例子為：
本節將會構造哈密頓的四元數系，作為克里福代數formula_170的偶子代數。
設formula_2為實三維向量空間formula_184，二次型formula_9為歐氏度量的相反數，則對於formula_186，相應的純量積（雙線性型）由 給出。
現引入向量formula_188的克里福積formula_189，使其滿足 （此處有負號，以使該代數與四元數的聯繫更清晰。）
設formula_191為formula_184的一組正交單位基，則由上式可知，其兩兩的克里福積滿足 且 克里福代數formula_170的任意元素可以表示成
若只考慮偶次項，則得到偶子代數formula_197，其任意元素可表示成 若定義四元數的基元formula_199為 則可知formula_197與哈密頓的實四元數代數同構，理由是： 且 與四元數的運算法則一致。
本節構造，作為配備退化二次型的實四維向量空間的偶克里福代數。
設向量空間formula_2為實四維空間formula_206，並設二次型formula_9為源自formula_184上歐氏度量的退化型，即相應的雙線性型formula_209滿足：對任意formula_210， 換言之，此退化純量積只考慮將formula_206投影到formula_184後的像。
向量formula_188的克里福積formula_189由下式定義： 同上節，負號是為了明確該代數與四元數系的對應關係。
記formula_206的標準基元為formula_218，則其克里福積滿足關係 及
克里福代數formula_221也記為formula_222（下標分別表示平方為formula_223的基元個數），其一般元素有16項，而僅取偶次項時，得到偶子代數formula_224，其一般元素形如
於是，可分別定義四元數基元formula_226和二元數基元formula_227為 從而給出formula_221與代數的同構。
要驗證二元四元數的乘法法則，可以計算 和 後者的計算中，formula_163和formula_233的換位將符號改變了偶數次（即無改變）。同樣的方法能證明，二元數基元formula_227可與全部四元數基元formula_226交換。
設formula_1為特徵非formula_31的域。
對於formula_238的情況，若formula_9有對角化formula_240，即存在非零向量formula_67令formula_242，則formula_4代數同構於formula_244，即由滿足formula_245的單一個元素formula_246生成的formula_1-代數。
更具體而言，有三種情況：對於formula_258的情況，若formula_9有對角化formula_260，其中formula_261皆非零（formula_9非退化時必然存在），則formula_4同構於由formula_264生成的formula_1-代數，其中formula_264滿足formula_267。
於是formula_4同構於（廣義）formula_269。在formula_270且formula_271時，該代數化歸為哈密頓的四元數代數，即formula_272。
作為特殊情況，若有某個formula_273使得formula_274，則formula_275是二階方陣的代數。
給定向量空間formula_2，可以構造外代數formula_277，其定義不取決於formula_2上任何二次型。事實上，若formula_1的特徵非formula_31，則formula_277與formula_4作為向量空間自然同構（而在特徵formula_31時，仍有同構，但不一定自然）。該自然同構當且僅當formula_44時為代數同構。所以，可以將克里福代數formula_4視為formula_2的外代數額外配備取決於formula_9的乘法。（準確而言是外代數的「量子化」，見#作為外代數的量子化。）原有的外積仍有不取決於formula_9的定義。
描述以上同構的簡單方法是：先取formula_2的正交基formula_122，並擴展成formula_4的基（如#基與維數所述）。定義映射formula_292使
並線性擴展。注意此處用到formula_122正交。可以證明，映射formula_295的定義無關正交基的選擇，故為自然同構。
若formula_1的特徵為formula_297，則也可以藉反對稱化（antisymmetrizing）定義以上同構：定義一列映射formula_298使 其求和符號中，formula_300取遍formula_301階對稱群formula_302的元素。由於formula_303反對稱，其導出獨一個映射formula_304。該些映射的為formula_277至formula_4的線性映射。可以證明該映射為同構，且是自然同構。
也可以從更高等的觀點，在formula_4上構造，以看待兩者的關係。注意張量代數formula_86有自然濾過formula_309，其中formula_310含所有階不高於formula_301的張量。將此濾過投射到克里福代數上，就得到formula_4上的濾過。與此濾過
與外代數formula_314自然同構。由於濾過代數的相伴分次代數總與原濾過代數作為濾過向量空間同構（藉選取formula_315在formula_316中的補集），可知克里福代數與外代數在任何特徵（包括formula_31）下皆同構（儘管不一定自然）。
本節假設特徵非formula_31。
克里福代數為formula_319-（又稱為），以下說明原因。在formula_2上，線性映射formula_321（關於原點對稱）保持二次型formula_9，故由克里福代數的泛性質，該線性映射延拓成代數自同構
由於formula_324為對合（即其平方為恆同映射），可以將formula_4分解成formula_324的正和負特徵空間：
其中
由於formula_324是自同構，有：
其中方括號上標的運算模formula_31，故上式賦予formula_4作為formula_319-的結構。子空間formula_334為formula_4的，稱為偶子代數。而子空間formula_336則稱為奇部（其不為子代數）。此formula_337-分次在克里福代數的分析和應用上很重要。自同構formula_324稱為主對合（main involution）或次數對合（grade involution）。此formula_337-分次中的純元素，即偶部或奇部的元素，分別稱為偶元和奇元。
當特徵非formula_31時，由於formula_4與外代數formula_46有典範同構，formula_4作為向量空間，承繼formula_46的formula_345-分次和formula_346-分次。然而，該分次僅為向量空間分次，而非代數分次。換言之，克里福乘積並不遵守該formula_345-分次或formula_346-分次，僅遵守上段的formula_337-分次：例如，若formula_350，則formula_351，但formula_352，而不在formula_353中。不過此等分次之間有自然的聯繫：formula_354。更甚者，克里福代數有formula_346-：
克里福數的次數通常指formula_345-分次的次數。
克里福代數的偶子代數formula_334本身亦同構於某個克里福代數。若formula_2為具有非零範數formula_360的向量formula_252與子空間formula_362的正交直和，則formula_334同構於formula_364，其中formula_365為二次型formula_9乘上formula_367，並限制到formula_362。作為例子，以上結論在實域上推出：
在formula_9負定的情況下，上式給出包含關係formula_371，延伸序列
類似可證，在複域上, formula_132的偶子代數同構於formula_374。
除自同構formula_324外，克里福代數的分析中，還有兩個重要的。記得張量代數formula_86有將全部乘法次序反轉的反自同構：
由於理想formula_88在該反轉下不變，該反轉也定義formula_379上的反自同構，稱為轉置或反轉，記為formula_380。轉置為反自同構，即有formula_381。上述定義中，並未用到formula_382-分次，故可複合自同構formula_324與轉置，而得另一個反自同構。新的反自同構稱為克里福共軛，記為formula_384。以符號表示：
兩個反自同構中，轉置更本質。
此三種運算皆是對合。此外，其對formula_346-分次純元的作用皆是乘上formula_387，且符號僅取決於次數formula_388。換言之，若formula_246是formula_301次純元，則
其中符號載於下表： 當特徴非formula_31時，formula_2上的二次型formula_9可以延拓成formula_4上的二次型（同樣記為formula_9）。該延拓可用以下不取決於基的方式定義： 其中formula_398表示formula_252的純量部分（formula_346-分次的零次項）。可以證明，對於formula_2的元素formula_402，有
但上式對formula_4的其他元素不一定成立。
在formula_4上，與formula_9相伴的對稱雙線性型由下式定義： 可以驗算，若限制在formula_2上，則該雙線性型化為formula_2上原有的雙線性型。在formula_4上，該雙線性型非退化當且僅當其限制在formula_2上非退化。
關於此純量積，左（右）乘formula_412與右（左）乘formula_252互為伴隨。換言之， 且
本節假設域的特徵非formula_31，向量空間formula_2為有限維，且二次型formula_9非退化。若矩陣代數的系數取自某個中心為formula_1的有限維，則該矩陣代數稱為formula_1上的。例如，實域上的中心單代數可能是實域上的矩陣代數，也可能是四元數代數上的矩陣代數。有下列結論：克里福代數的結構可從以下結果推導出：假設formula_362有偶數維，且有非退化的雙線性型，其行列式為formula_209，又設formula_2為另一個向量空間，亦配備二次型，則formula_438的克里福代數同構於formula_362的克里福代數與formula_440的克里福代數的張量積。（後者仍是向量空間formula_2，但其上的二次型要乘上因子formula_442。）在實域上，上述結果推出： 該些公式可用作找出所有實克里福代數和複克里福代數的結構，詳見。
值得注意，克里福代數的森田等價類（即其整個表示論：該代數上的的加性等價類）只取決於其符號formula_446。此為一種代數形式的博特周期性。
利普希茨群（又稱為克里福群或克里福－利普希茨群）由魯道夫·利普希茨發現。
本節中，設formula_2為有限維向量空間，而二次型formula_9非退化。
克里福代數的可逆元群以「扭轉共軛」的方式作用在克里福代數上：所謂formula_246扭轉共軛作用在formula_450上，結果便是formula_451，其中formula_324是上文定義的主對合。
利普希茨群formula_453定義為所有滿足 的可逆元formula_246的集合。換言之，要求formula_246的扭轉共軛穩定化所有向量組成的集合。
上式說明，該群作用可以限制成向量空間formula_2上的群作用，且其保持二次型formula_9，故給出利普希茨群到正交群的同態。利普希茨群包含所有令formula_459在formula_1中可逆的元素formula_461，而此等元素作用在formula_2上的效果為反射 （特徵為formula_31時，此種映射稱為錯切而非反射。）
若formula_2為有限維實向量空間，並配備，則利普希茨群滿射到formula_2關於該二次型的正交群（根據嘉當－迪厄多內定理），且核恰好包含formula_1的所有非零元，故有下列短正合列 其中formula_470是formula_453的偶子群。
其他域上，或當二次型退化時，該映射未必滿，而旋量範數描述其不滿程度。
對任意特徵，利普希茨群上的旋量範數formula_9由下式定義：
其為由利普希茨群射去非零元素的乘法群formula_474的同態。當formula_2視為克里福代數的子空間時，formula_9在formula_2上等於與formula_2原有的二次型。若干作者採用不同的定義，以致在formula_479上，其定義與上述定義相差formula_154、formula_31、formula_482倍。只要特徵不為formula_31，此差異並不重要。
formula_1中的非零元素的旋量範數是在非零平方子群formula_485中，所以，若formula_2有限維且其上的二次型非退化，則有同態從formula_2的正交群映去formula_488，亦稱為旋量範數。對任意向量formula_489，關於formula_490（formula_491是關於二次型而言）反射的旋量範數在formula_488中的像為formula_459。此性質唯一確定正交群上的旋量範數。故有正合列：
注意在特徵為formula_31時，群formula_496只有一個元素。
若從代數群的伽羅瓦上同調考慮，旋量範數是上同調的連接同態。其含義是，以formula_497表示（若域的特徵不為formula_31，則該群大致就是二元群，且其伽羅瓦作用平凡），則短正合列 給出上同調層面的長正合列，其起始一段為
代數群的formula_1系數零階伽羅瓦上同調即其formula_1值點旳群：formula_503，而 formula_504，故也能從長正合列推導出上段的正合列
其中旋量範數為連接同態formula_506。
本節假設formula_2有限維，且其雙線性型非退化。
Pin群formula_508為利普希茨群formula_453中，旋量範數為formula_7的元素組成的子群。類似地，旋量群formula_511為formula_508中，迪克森不變量為formula_297的元素組成的子群。當特徵非formula_31時，該些元素即行列式為formula_7的元素。旋量群在Pin群的通常為formula_31。
前一節說明，利普希茨群有到正交群的滿同態。定義特殊正交群為formula_470的像。若formula_1的特徵非formula_31，則特殊正交群就是正交群中，行列式為formula_7的元素的子群。若formula_1的特徵為formula_31，則正交群所有元素的行列式皆為formula_7，而特殊正交群為迪克森不變量為formula_297的元素的子群。
也有從Pin群到正交群的同態。其像由旋量範數為formula_525的元素組成，而核則由formula_152和formula_154組成（故其階為formula_31，除非特徵為formula_31）。類似有由formula_2的旋量群到其特殊正交群的同態。
當formula_2為實正定或負定空間時，旋量群有滿同態射到特殊正交群上，且在formula_2至少formula_533維時，旋量群單連通。更甚者，此滿同態的核為formula_496。故此時，旋量群formula_535為formula_536的二重覆疊。然而，旋量群在一般情況下未必單連通：若formula_2為formula_142，其中formula_539皆至少為formula_31，則旋量群並不單連通。此情況下，代數群formula_541作為代數群仍然單連通，但其實值點群formula_542則不再單連通。
在formula_543為偶時，克里福代數formula_544可表示成formula_545維的（複）矩陣代數。限制到群formula_546，則得到同一維數的Pin群的複表示，稱為。若再限制到旋量群formula_542上，則該表示分解成兩個半旋量表示（half spin representations，又稱外爾表示，Weyl representations）的直和，每個半旋量表示有formula_548維。
若formula_549為奇，則克里數代數formula_544為兩個矩陣代數的直和，每個有formula_545維，且皆為Pin群formula_546的表示。限制到旋量群formula_553時，兩個矩陣代數變得同構，故旋量群有formula_545維的複旋量表示。
更一般而言，任何域上的旋量群和Pin群都有相似的表示，其結構取決於：每當克里福代數有因子為某個除代數上的矩陣代數，其Pin群和旋量群就有該除代數上的對應表示。在實域的例子，參見旋量條目。
為描述實旋量表示，需先明白旋量群如何位處克里福代數中。Pin群formula_555為formula_556中，可寫成單位向量之積的可逆元素的集合：
若考慮克里福代數的矩陣表示，則pin群的元素為任意多個反射（見上文）之積，是整個正交群formula_558的覆疊。而旋量群的元素則是formula_555中，偶數支單位向量之積。所以，根據嘉當－迪厄多內定理，旋量群是旋轉群formula_560的覆疊。
設formula_561為自同構，其將純向量formula_25映至formula_563，則formula_541為formula_555中，formula_324的不動點組成的子群。又設 （其元素正是formula_556的偶次元素。）則旋量群包含於formula_569。
formula_556的不可約表示可以成pin群的表示。反之，由於pin群由單位向量生成，其所有不可約表示皆可如此，故兩者有一樣的不可約表示。同理，旋量群與formula_569有同樣的不可約表示。
要將pin群的表示分類，需要用到。至於旋量群的表示（與偶子代數的表示一樣），可以使用下列同構（見上文）： 從而得知，符號formula_141的旋量群表示就是符號formula_575或formula_576的pin群表示。
外代數在微分幾何可用作定義光滑流形上的微分形式叢。在（偽）黎曼流形的情況，每個切空間上配備自然的二次型（由度規張量導出）。所以，如同，可以定義。在黎曼幾何，克里福叢有若干重要應用，例如其與、相伴的旋量叢、formula_577流形的關聯。
克里福代數在物理有若干重要應用。物理學家通常認定克里福代數具有一組基，其由狄拉克矩陣formula_578生成。此種矩陣滿足關係式
其中formula_580為記號formula_581（或formula_582，度量記號的兩種等價選取）的二次型的矩陣。上列關係式恰好是定義實克里福代數formula_583的關係式，而該代數的複化formula_584根據，同構於formula_585複矩陣的代數formula_586。然而，在此用法下，仍需保留formula_584的寫法，因為將雙線性型變成標準型的變換不屬時空的洛伦兹变换。
所以，物理使用的時空克里福代數比formula_588有更多結構。例如，有額外指明一族允許的變換，即洛伦兹变换。視乎用途，例如希望框架能容納多少理論，不一定一開始便要複化，但在量子力學，為使李代數formula_589的能包含於克里福代數中，通常都須考慮複克里福代數。以下列出定義該旋量李代數的關係式以供參考：
上式按照formula_582記號的約定，因此能放入formula_592。
狄拉克矩陣最早由保罗·狄拉克寫出，其時他正嘗試寫出電子的相對論性一階波動方程，並試圖給出由克里福代數到複矩陣代數的明確同構。該些矩陣後來用作定義狄拉克方程式和引入狄拉克算子。在量子場論中，整個克里福代數以的形式出現。
使用克里福代數來描述量子理論，推動者有、（方面）、戴维·玻姆和及同事（）、Elio Conte等。
電腦視覺方面，克里福代數適用於辨認和分類動作。米基·洛迪古斯（Mikel Rodriguez）及合作者提出用克里福嵌入，將傳統的最大平均關聯高度濾子（Maximum Average Correlation Height filter, MACH filter）推廣，套用於影片（3D時空體積）以及向量值數據，例如光流。向量值數據需以分析。基於該些向量，能在克里福傅立葉域中，合成出動作濾子，然後用克里福關聯來辨認動作。論文作者用克里福嵌入，分辨出傳統劇情長片和體育廣播的常見動作，以論證其方法有效。克里福代數和幾何代數，以及相關的跨學科研究，是活躍的研究主題，且有廣泛的應用。此學科的學術會議包括克里福代數及其在數學物理的應用國際會議（ICCA）及幾何代數在電腦科學及工程學的應用（AGACSE）兩個系列。期刊包括斯普林格出版的《》。