莫爾圓
莫爾圓（Mohr's circle）得名自德國土木工程師，是一種用二維方式表示柯西应力张量轉換關係的圖。
先針對假設為連續的物體進行，之後特定一點的柯西应力张量分量會和坐標系有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標系上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。
圓上每一個點的橫坐標formula_1及縱坐標formula_2都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。
是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。
其他表示應力狀態的方式有及柯西應力二次曲線（Cauchy's stress quadric）。
莫爾圓可以擴展到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。
考慮一個會變形的物體（假設為連續體），若受到外力（可能是表面力或是），物體的內部就會有力的分布。物體內部的力會依循歐拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。
在工程中（例如結構工程、機械工程或土力工程）會透過來分析一物體中應力的的分佈，例如隧道中岩石的應力，飛機機翼的應力，或是建築物中樑柱的應力等。計算應力分布也就表示要知道物體中每一點的應力。據奧古斯丁·路易·柯西的理論，（假設為連續體的）物體中任何一點的應力（圖2），可以完全由二階的張量中的九個應力元素 formula_3完全決定，此二階張量稱為柯西应力张量, formula_4:
若確定了一物體在特定坐標系統formula_6下的應力分佈，有可能需要知道特定一點formula_7相對另一個有旋轉的坐標系統formula_8下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統formula_8和原有的坐標系統formula_6之間有一個角度差（圖3）。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西应力张量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西应力张量轉換定律的方式。
在二維下，一點formula_7相對于垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統formula_6下，其應力分量為：法向應力formula_13及formula_14，以及剪應力formula_15。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是formula_16，因此柯西應力張量可以寫成：
其目的是在另一個通過formula_7點，但存在角度差的坐標系統formula_8下，找到應力分量formula_1及formula_2（圖4）。坐標系統formula_8和原坐標系統formula_6的角度差即為formula_24。
要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置formula_7的二維的無限小方形元素（圖4），和formula_26-formula_27平面平行。
利用無限小元素上的力平衡，正向應力formula_1及剪應力formula_2的大小為：
上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在formula_1及formula_2方向用力平衡計算是等效的。
這二個方程是莫爾圓的參數式。在方程中，formula_34為參數，而formula_1和formula_2為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使formula_1為橫軸，formula_2縱軸，給定參數formula_24，會給定在莫爾圓上的一點。
若從參數式中消去參數formula_34，可以得到非參數式的莫爾圓方程。可以用重組formula_1及formula_2的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得
其中
這就是圓（莫爾圓）的方程
在formula_46坐標系統中，其半徑formula_47，圓心在坐標formula_48處。
在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學（結構工程及機械工程）文獻用的體系和用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。
上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。
為了描述柯西應力張量的方便（圖3及圖4），應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此formula_15是作用在以formula_50軸正向為其法向量的平面上，而方向是往formula_26軸的正方向。
在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）（圖5）。
在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力formula_15和formula_53為正，因為這二個剪應力的作用方向往formula_26軸及formula_50軸的正方向（圖3）。而相對應的作用在負向平面的剪應力formula_15和formula_53，其作用方向往formula_26軸及formula_50軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。
在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外（張力），負的正向應力是由作用平面往內（壓縮力）
不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量formula_15為正，而formula_53為負。這和實體空間符號體系中formula_15和formula_53符號相同的情形不同。
在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：
將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。
為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉（圖5，符號體系#3）。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上formula_34為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力formula_64也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力formula_64也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。
此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系（圖5，符號體系#3）。
假設已知待研究物體上的點formula_7的應力分量formula_13、formula_14及formula_15，如圖4所示。以下方法可以繪製點formula_7的莫爾圓，以表示其應力狀態。
主要應力的大小是點formula_89和點formula_90（圖6中圓和 formula_91軸的交點）中的橫坐標。最大正向應力formula_92的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而formula_93最小正向應力的大小的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為
其中平均正向應力formula_96的大小是圓心formula_86的橫坐標，為
其半徑的長度formula_99為
最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和通過圓心formula_86的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑formula_99
如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點formula_7上的應力分量formula_13、formula_14及 formula_15。這些應力分量作用在通過formula_7點的二垂直平面 formula_109 及 formula_82，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上formula_111的應力分量formula_1及formula_2，事實是作用在formula_111平面上，此平面也通過formula_7點，和formula_82平面有夾角formula_24，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法（origin of planes） 如圖6所示，若平面formula_111是平面formula_82再逆時針旋轉角度formula_24後的平面，要找到在平面formula_111上的應力分量formula_122，可以在莫爾圓上從已知應力點 formula_80同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 formula_34，旋轉到點formula_125，也就是讓formula_126線和formula_127線之間的夾角是formula_34。
倍角法的作法源自於通過formula_7點的二實際平面之間的夾角formula_24（圖4），是其對應應力點 formula_122在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。
倍角關係是因為莫爾圓的參數式是formula_34的函數。也可以從在材料點 formula_7上的平面formula_81和formula_82夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出（90度的兩倍）。
第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點（pole）或是平面原點（origin of planes）。從極點畫的任何直線都會和莫爾圓相交，交點表示在和直線相同角度的平面上的應力狀態。因此若知道任何特定平面上的應力分量formula_136及formula_137，可以畫一條線通過莫爾圓上的 formula_1和formula_2，且和平面平行，找到莫爾圓上這些線的交點，即為極點。例如，假設有應力狀態如圓7所示，其分量是formula_140, formula_141及formula_142。首先先從formula_82點畫一條線，平行formula_13的作用平面，或是從formula_81點畫一條線，平行formula_14的作用平面，任一條線都會和莫爾圓交會，交會的點即為極點。在找到極點後，若要找到和垂直有formula_147夾角的平面上的應力，可以從極點畫一條平行該平面的線（見圖7）。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。 最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面（principal planes），可以用莫爾圓中 的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此formula_148和formula_149之間的夾角是角∠BOC，是formula_150（主要平面和平面formula_82夾角）角度的二倍。
而formula_152和formula_153也可以用以下的方程取得
此方程的解會是二個角度，彼此相差formula_155。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的參數式，並且讓formula_64等於零（主要平面上的剪應力為0）。
若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小formula_157以及方向formula_158。
考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用formula_159, formula_160, formula_161坐標系統，並且假設formula_162，則在一法向量為 formula_163的平面，其應力向量formula_164的應力分量及剪力分量會滿足下式
由於formula_167，可以用高斯消去法求解formula_168, formula_169, formula_170：
因為formula_162及formula_173都不是負值，因此其分子滿足
方程式可以寫成
是三個應力莫爾圓formula_184, formula_185和formula_186的方程，其半徑分別是formula_187, formula_188及formula_189，而其圓心分別在formula_190, formula_191, formula_192。
有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點formula_122都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域（見圖10）。應力點formula_122 可能滿足圓formula_184的方程，或是在圓formula_184的外面，可能滿足圓formula_185的方程，或是在圓formula_185的裡面，可能滿足圓formula_186的方程，或是在圓formula_186的外面。