尼姆游戏
尼姆游戏（），又譯為拈，是一种两个人玩的回合制数学战略游戏。游戏者轮流从幾排棋子（或者任何道具）中選擇一排，再由這一排中取走一个或者多个，依規則不同，拿走最後一個的可能是输家，也有可能是贏家。当指定相应数量时，一堆这样的棋子称作一个尼姆堆。古代就有許多尼姆游戏的變體。最早歐洲有關尼姆游戏的參考資料是在16世紀，目前使用的名稱是由哈佛大学的Charles L. Bouton命名，他也在1901年提出了此遊戲的完整理論，不過沒有說明名稱的由來。
尼姆游戏最常見的玩法是拿到最後一個棋子的人輸（misère game）。尼姆游戏也可以改為拿到最後一個棋子的人贏（normal play）。大部份類似的遊戲都是最後一個棋子的人贏，不過這不是尼姆游戏最常見的玩法。不論哪一種玩法，只要剛好剩下一排的棋子是二個或二個以上（其他排可能沒有棋子，或是只有一個），下一個遊戲者可以輕易的獲勝。下一個遊戲者可以將數量最多的這排棋子全部拿走或只留一個。剩下的各排都只有一個棋子。 若是misère版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下奇數排就會勝利，若是normal版本，下一個遊戲者下完之後，只要留下偶數排就會勝利。
normal版本的尼姆游戏（也就是尼姆数系統）是斯普莱格–格隆第定理的基礎，其中提到在normal版本中，每一個normal版本的无偏博弈（从任何一个局势出发，双方可以采取完全相同的行动，也就是说棋盘上没有颜色的区分）都等價於一個特定大小的尼姆堆。所有的normal版本的无偏博弈都可以給與尼姆值，但misère版本的就不一定。只有才能用misère版本尼姆的策略來進行。尼姆遊戲是一種特殊的，其中的偏序关系包括了不交集的全序關係（堆）。三排棋子尼姆遊戲的演進圖和演進圖的三個分支相同。
normal版本是由二位遊戲者一起玩，有三排棋子，各排的棋子為任意正整數。二位遊戲者輪流選一排棋子，拿走上面至少一個棋子，也可以拿同一排的多個棋子。normal版本的目的是要拿到最後一個棋子。misère版本的目的就是要讓對方被迫拿走最後一個棋子（拿到最後一個棋子的人輸）。
以下是normal版本的遊戲，由愛麗絲與鮑伯二個人玩，三排棋子分別有三個、四個及五個棋子。
尼姆游戏的策略就是在拿完棋子後，使棋子個數符合以下任何一個組態，接下來再輪到時，一定可以再拿走適當數量的棋子，使棋子個數仍符合以下任何一個組態。normal版本和misere版本的差別只在最後一兩步，前面都相同： *只在normal版本有效
**只在misere版本有效
其中有出現"n"和"m"，是任何正整數，"n"和"m"可以相同。
尼姆游戏在數學上是已解遊戲，針對任意排數及個數的初始狀態都已有解法，而且有簡單的方式可以判斷哪一個遊戲者會勝利，並且此遊戲者要如何取子才會勝利。
這遊戲理論的關鍵是在各排個數在二进制下XOR位操作的結果，此操作也稱為是在GF(2)中的向量加法（在模數2以下的位元加法）。在組合博弈論中常稱為是「尼姆和」（nim-sum），以下也使用此一名稱。"x"和"y"的尼姆和會寫成，以和一般的和區別。像3, 4, 5的尼姆和計算如下：
另一個等效，比較容易心算的作法，是將三排的個數分別表示為相異二次冪的和，再設法消除成對的次冪，再將最後留下的數字相加即可：
在normal版本（拿到最後一個棋子的贏）中，勝利的策略就是在取走棋子後，使尼姆和為0。只要取走棋子前，尼姆和不為0，一定有辦法取走部份棋子使尼姆和為0。另一個遊戲者無論怎麼拿，取走棋子後尼姆和都不會為0。以此策略，只要在取棋子時照策略進行，一定會勝利。要找到要拿走的棋子，可以令X是原來各排棋子數的尼姆和，遊戲策略是要分別計算各排棋子數和X的尼姆和，找到尼姆和比該排棋子數少的那一排，接下來就要取走這一排的棋子，使該排棋子數等於尼姆和。以上例中，原來各排棋子數的尼姆和是。A=3、B=4、C=5且X=2，因此得到 因此下一步是取走A排的棋子，使其數量變1（拿走二個棋子）。
有一個特別簡單的例子，是只剩二排的情形，其策略是在個數較多的那牌拿走部份棋子，使兩者數量相同。接下來對手不論怎麼下，都繼續使二排的數量相同，最後即可勝利。
若是玩misère版本。前面的策略都一樣，只到只剩一排的棋子超過一個（二個或二個以上）時才有不同。此時的策略都是針對超過一個棋子的那排棋子取子，使留下來的每一排都只有一個棋子。接下來玩的人只能從這幾排中選一排拿走。取子可能是那排全部取完，或是只剩一個，視遊戲版本而定，在玩misère版本（拿到最後一個棋子的輸）時，要使留下來的排數是單數（因此對方會拿到最後一個棋子），在玩normal版本遊戲時，要使留下來的排數是偶數。（因此自己會拿到最後一個棋子）。
以下是棋子數分別是3, 4, 5個，在misère版本的玩法： 上述的策略可以寫成程式，以下就是Python的範例： import functools
MISERE = 'misere' NORMAL = 'normal'
def nim(heaps, game_type):
if __name__ == "__main__":
以下是必勝策略的證明，由C. Bouton所提出。
定理：在normal版本的尼姆遊戲中，第一個玩家有必勝的策略，若且唯若各排棋子數的尼姆和不為零。否則，第二個玩家有必勝的策略。
"證明"：注意尼姆和（⊕）遵守一般加法的结合律及交換律，還有另外一個性質"x" ⊕ "x" = 0。
令"x", ..., "x"是移動前的各排棋子數，"y", ..., "y"是移動後的各排棋子數。令 "s" = "x" ⊕ ... ⊕ "x"且 "t" = "y" ⊕ ... ⊕ "y"。若這次是移動第"k"排的棋子，可得"x" = "y"針對所有 "i" ≠ "k"，且"x" > "y"。依照⊕的性質，可得
此定理會由以下二個引理推導而來。
引理1：若"s" = 0，則無論如何移動，接下來"t" ≠ 0。
"證明"：若沒有任何可以移動的棋子，此引理（依定義，接下來要玩的遊戲者輸，因為在他前一手的遊戲者拿了最後一個棋子）。否則，任何"k"排的移動都會因為(*)，造成 "t" = "x" ⊕ "y"。因為"x" ≠ "y"，上述數字不為0。
引理2：若"s" ≠ 0，有可能讓"t" = 0.
"證明"：令"d"是"s"二進位表示法中最左邊１的位置，選擇"k"使"x"的第"d"位元也不是零。（這個"k"一定存在，不然"s"的第"d"位元都是零了） 令"y" = "s" ⊕ "x"，可以聲稱 "y" 1939年紐約世界博覽會中，西屋电气有展示一個機器，會玩尼姆遊戲的。自1940年的5月11日到10月27日為止，在六週的週期內只有少數的人可以打敗Nimatron：若他們勝了，會得到一個稱為Nim Champ的硬幣。尼姆遊戲也是最早電腦化的游戲。曾製作可以玩尼姆遊戲的Nimrod電腦，在1951年的上展示。1952年時，W. L. Maxon公司的工程師Herbert Koppel、 Eugene Grant和Howard Bailer開發了重達的機器，可以和人玩尼姆遊戲，而且多半會贏。也可以製作尼姆遊戲機。
尼姆游戏是马丁·加德纳在《科學美國人》（Scientific American）雜誌中，1958年2月〈〉的主題。在1961年法國新浪潮電影《去年在馬倫巴》中，有玩過特定版本的尼姆游戏，而且有象徵的重要性。
另一個有點類似的遊戲稱為，會先列出總數，以及每一次可以拿走的最大數量。可能每一次只能拿走1個、2個...至k個。例如在《》節目中的Thai 21，就是"k" = 3的版本。
若棋子只有一排，共有"n"個棋子，其必勝策略当且仅当
21遊戲一般會用拿到最後一個棋子的人輸的玩法。可以有數個遊戲者參與。第一個遊戲者說1，其他的遊戲者可以在前一個人的數字加1,2或是3。數到21的遊戲者輸。若是二個遊戲者玩，有必勝的策略，就是讓加完的數字維持是4的倍數。這可以使另一方最後一定會數到21。
21遊戲的數字也可以修改，例如改為「最多加5，數到34的人輸」。
以下是一個21遊戲的例子，第二個遊戲者使用必勝的策略：
另一個類似的遊戲是100遊戲：從0開始加，每一次可以加1到10之間的任一個整數，數到100的人勝利。必勝的策略是搶到類似01、12、23、34……、89的數字，接下來另一遊戲者不論加多少，都設法搶到下一個01、12、23、34……、89的數字（因為這些數字之間的差是11，不論對方加1到10之間的哪一個數字，都可以可以再加數字，使二人加的數字總計為11）。只要到89之後，接下來不論對方加多少，都可以再加數字使結果為100，因此必勝。
另一個版本的尼姆，是允許在每一排中取走相同數量的棋子。
另一種尼姆的變體是，將一定數量的棋子擺成圓形，二個遊戲者輪流取棋子，可以取相鄰的一個、二個或三個棋子。以下是一個例子：
一開始取走三個棋子
接下來又取走三個棋子
又拿走一個棋子
最後剩下三個棋子，但是不相鄰，無法一次取走。
也是尼姆遊戲的變體，一開始有一排特定數量的棋子，遊戲者要輪流將某一排棋子分為二排數量不同，且都不為0的棋子。例如6個棋子可以分為5+1、4+2，但不能分為3+3。此遊戲可以讓最後一個人贏或是輸。