量子諧振子
在量子力學裏，量子諧振子（）是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。
在一維諧振子問題中，一個質量為"m"的粒子，受到一位勢formula_1。此粒子的哈密頓算符為
其中"x"為位置算符，而"p"為動量算符formula_3。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定态薛丁格方程式」：
在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：
前8个解（"n" = 0到7）如右圖。函數formula_7為埃爾米特多項式：
注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作"H"。相應的能階為
值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」（quantized），而只能有離散的值——即formula_10乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的「階梯算符」段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當"n" = 0）不為零，而是formula_11，被稱為「基態能量」或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的「零振動」（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由式能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。
注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與古典諧振子相一致；古典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。
前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符"a"與其伴隨算符（adjoint）"a"：
算符"a"並非厄米算符（Hermitian），以其與伴隨算符"a"並不相同。
算符"a"與"a"有如下性質：
在推導"a"形式的過程中，已用到算符"x"與"p"（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：
利用上面關係，可以證明如下等式：
現在，讓formula_17代表帶有能量"E"的能量本徵態。任何右括向量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此
將"a""a"以哈密頓算符表示：
因此formula_20。注意到當（formula_21）為零右括向量（亦即：長度為零的右括向量），則不等式飽和而formula_22。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（"n" = 0）。
利用上面等式，可以指出"a"及"a"與"H"的對易關係：
因此要是（formula_21）並非零右括向量，
類似地，也可以指出
換句話說，"a"作用在能量為"E"的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為  formula_27的本徵態，而"a"作用在能量為"E"的本徵態，產生出另一個能量為formula_28的本徵態。因為這樣，"a"稱作降算符而"a"稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，"a"與"a"也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。
給定任何能量本徵態，可以拿降算符"a"作用在其上，產生了另一個能量少了formula_29的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到"E" = −∞。不過這樣就就與早先的要求formula_20相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作formula_31（勿與零右括向量混淆），使得
在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了
最後，透過將升算符作用在formula_31上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合formula_36使得
這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函數。只要將消滅算符作用於基態，formula_38變為
所以，
這個方程式的解為，經過歸一化，
量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以formula_29為單位來測量能量，以及formula_43為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：
且能量本徵態與本徵值變成
為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。
在雙原子分子中，自然頻率可以發現為： 其中
一維諧振子很容易地推廣到formula_50維。在一維中，粒子的位置是由單一座標"x"來指定的。在formula_50維中，這由formula_50個位置座標所取代，以formula_53標示。對應每個位置座標有個動量，標示為"p", ..., "p"。這些算符之間的正則對易關係為
系統的哈密頓算符為
從這個哈密頓量的形式，可以發覺，formula_50維諧振子明確地可比擬為formula_50個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裏，變數formula_53是formula_50個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為formula_50個項目，每一個項目只跟一個位置坐標有關。
這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數formula_61，一個formula_50維諧振子的能量本徵函數formula_63等於formula_50個一維本徵函數formula_65的乘積：
採用階梯算符方法，定義formula_50組階梯算符，
類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個formula_70與formula_71算符將能量分別降低或升高formula_10。哈密頓量是
這量子系統的能階formula_74是
其中，正整數formula_76是formula_77的量子數。
如同一維案例，能量是量子化的。formula_50維基態能階是一維基態能階的formula_50倍。只有一點不同，在一維案例裏，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在formula_50維案例裏，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。
簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定formula_81。每一個formula_82相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予formula_82，首先選擇一個formula_84。那麼，formula_85，有formula_86個值，從formula_87到formula_88，可以選擇為formula_89的值。formula_90的值自動的設定為formula_91。因此，簡併度是
對於formula_50維案例，
球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裏的方法，只有球對稱位勢不一樣：
其中，formula_96是這問題的質量。由於formula_97會被用來標記磁量子數，所以，用formula_96來標記質量。
這問題的薛丁格方程式為
薛丁格方程式的全部解答寫為 其中，
能量本徵值是
能量通常可以用一個量子數formula_82來描述：
由於formula_104是個正整數，假若formula_82是偶數，那麼，角量子數也是偶數：
假若formula_82是奇數，那麼，角量子數也是奇數：
磁量子數formula_97滿足不等式
對於每一個formula_82與formula_119，存在formula_120個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數formula_97。因此，formula_82的兼併度是
其中，總和的指數formula_119的初始值是formula_125。
這結果與先前的方程式相同。
設想formula_50個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為formula_53（也就是說，假若一個質點formula_104位於其平衡點，則formula_129）。整個系統的哈密頓量是
其中，formula_131。
這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裏，這方面的理論對於許多現象的研究與了解是非常重要的。