球對稱位勢
球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙交互作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裏，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為
其中，formula_2是普朗克常數，formula_3是粒子的質量，formula_4是粒子的波函數，formula_5是位勢，formula_6是徑向距離，formula_7是能量。
由於球對稱位勢formula_8只與徑向距離有關，與天頂角formula_9、方位角formula_10無關，為了便利分析，可以採用球坐標formula_11來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。
採用球坐標formula_11，將拉普拉斯算子formula_13展開：
滿足薛丁格方程式的本徵函數formula_4的形式為：
其中，formula_17，formula_18，formula_19，都是函數。formula_18與formula_19時常會合併為一個函數，稱為球諧函數，formula_22。這樣，本徵函數formula_4的形式變為：
參數為天頂角formula_9、方位角formula_10的球諧函數formula_27，滿足角部分方程式
其中，非負整數formula_29是角動量的角量子數。formula_30（滿足formula_31）是角動量對於z-軸的（量子化的）投影。不同的formula_29與formula_30給予不同的球諧函數解答formula_27：
其中，formula_36是虛數單位，formula_37是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
而formula_39是formula_29階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為
將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：
設定函數formula_43。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到
徑向方程式變為
其中，有效位勢formula_46。
這正是函數為formula_47，有效位勢為formula_48的薛丁格方程式。徑向距離formula_6的定義域是從formula_50到formula_51。新加入有效位勢的項目，稱為離心位勢。
為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。
在這裏，有四個很特別、很重要的實例。這些實例都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函數。這四個實例是：
思考formula_52的狀況，設定formula_60，在設定無因次的變數  代入方程式(2)，定義formula_62，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：
貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函數formula_64；而formula_17是第一類球貝塞爾函數（真空解的邊界條件要求原點的函數值有限，因此在原點趨於無窮的第二類球貝塞爾函數項的係數必須為零）：
在眞空裏，一個粒子的薛丁格方程（即自由空間中的齊次亥姆霍兹方程）的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函數與球諧函數的乘積：
其中，歸一常數formula_68，formula_29是非負整數，formula_30是整數，formula_71，formula_72是實數，formula_73。
這些解答都是角動量確定態的波函數。這些確定態都有明確的角動量。
波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
根據球貝塞爾函數的封閉方程式，
其中，formula_76，formula_77为克罗内克δ。
所以，formula_78。取平方根，歸一常數formula_68。
思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：
其中，formula_81是球對稱阱的半徑。
立刻，可以察覺，阱外的波函數是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函數是球貝塞爾函數formula_82。為了滿足邊界條件，波函數必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函數，球貝塞爾函數在徑向坐標formula_83之處必須等於0：
設定formula_85為formula_29階球貝塞爾函數formula_87的第formula_88個0點，則formula_89。
那麼，離散的能級formula_90為
薛丁格方程式的整個解答是
其中，歸一常數formula_93。
波函數的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函數的歸一化條件為
將球貝塞爾函數與第一類貝塞爾函數的關係方程式(4)代入積分：
設定變數formula_96，代入積分：
根據貝塞爾函數的正交歸一性方程式，
其中，formula_99，formula_100为克罗内克δ，formula_101表示formula_102的第formula_88個0點。
注意到formula_104的第formula_88個0點formula_85也是formula_107的第formula_88個0點。所以，
取平方根，歸一常數formula_110。
三維均向諧振子的位勢為
其中，formula_112是角頻率。
用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是
所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是
設定常數formula_115，
回想formula_117，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：
其中，函數formula_119是广义拉盖尔多项式，formula_120是歸一化常數：
本徵能級formula_122的本徵函數formula_123，乘以球諧函數formula_124，就是薛丁格方程式的整個解答：
其中formula_126。假若formula_88是偶數，設定formula_128；否則，設定formula_129。
在這導引裏，徑向方程式會被轉換為广义拉盖尔微分方程式。這方程式的解是广义拉盖尔多项式。再將广义拉盖尔多项式歸一化以後，就是所要的答案。
首先，將徑向坐標無因次化，設定變數formula_130；其中，formula_116。則方程式(5)變為 其中，formula_133是新的函數。
當formula_134接近0時，方程式(6)最顯著的項目是
所以，formula_136與formula_137成正比。
又當formula_134無窮遠時，方程式(6)最顯著的項目是
因此，formula_136與formula_141成正比。
為了除去formula_136在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用formula_136的替換方程式：
經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為
設定變數formula_146，則微分算子為
代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：
其中，函數formula_150。
假若，formula_151是一個非負整數，則广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：
因為formula_72是非負整數，要求
回憶到formula_117，徑向函數可以表達為 其中，formula_120是歸一常數。
formula_161的歸一條件是 設定formula_163。將formula_123與formula_165代入積分方程式：
應用广义拉盖尔多项式的正交歸一性，這方程式簡化為
因此，歸一常數可以表達為
應用伽瑪函數的數學特性，同時注意formula_88與formula_29的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函數變為
在這裏用到了雙階乘 ()的定義。
所以，歸一常數等於
類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：
其中，formula_174是真空電容率，formula_175是原子序，formula_176是單位電荷量，formula_6是電子離原子核的徑向距離。
將位勢代入方程式(1)，
這方程式的解答是
其中，formula_180。formula_181近似於波耳半徑formula_182。假若，原子核的質量是無限大的，則formula_183，並且，約化質量等於電子的質量，formula_184。formula_185是广义拉盖尔多项式，定義為
其中，formula_187是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為
為了滿足formula_161的邊界條件，formula_88必須是正值整數，能量也離散為能級formula_191。隨著量子數的不同，函數formula_161與formula_27都會有對應的改變。為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求formula_194。
知道徑向函數formula_161與球諧函數formula_27的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：
為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 ()
將變數formula_200與formula_201代入徑向薛丁格方程式(2)：
這方程式有兩類解答：
這條目只講述第(1)類解答。設定正實數formula_206與formula_207。代入方程式(8)：
當formula_209接近0時，方程式(9)最顯著的項目是
所以，formula_211與formula_212成正比。
又當formula_209無窮遠時，方程式(9)最顯著的項目是
因此，formula_211與formula_216成正比。
為了除去formula_211在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函數的形式的目的，必須使用formula_211的替換方程式：
經過一番運算，得到formula_220的方程式：
其中，formula_222。
假若，formula_223是個非負整數formula_72 ，則這方程式的解答是广义拉盖尔多项式
採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是
其中，主量子數formula_227滿足formula_228，或formula_229。
由於formula_230，徑向波函數是
能量是