作用量
在物理學裏，作用量（英语：action）是一個很特別、很抽象的物理量。它表示著一個動力物理系統內在的演化趨向。雖然與微分方程式方法大不相同，作用量也可以被用來分析物理系統的運動，所得到的答案是相同的。只需要設定系統在兩個點的狀態，初始狀態與最終狀態，然後，經過求解作用量的平穩值，就可以得到系統在兩個點之間每個點的狀態。
皮埃爾·德·費馬於1662年發表了費馬原理。這原理闡明：光傳播的正確路徑，所需的時間必定是極值。這原理在物理學界造成了很大的震撼。不同於牛頓運動定律的機械性，現今，一個物理系統的運動擁有了展望與目標。
戈特弗里德·萊布尼茨不同意費馬的理論。他認為光應該選擇最容易傳播的路徑。他於1682年發表了他的理論：光傳播的正確路徑應該是阻礙最小的路徑；更精確地說，阻礙與徑長的乘積是最小值的路徑。這理論有一個難題，如果要符合實驗的結果，玻璃的阻礙必須小於空氣的阻礙；但是，玻璃的密度大於空氣，應該玻璃的阻礙會大於空氣的阻礙。萊布尼茨為此提供了一個令人百思的辯解。較大的阻礙使得光較不容易擴散；因此，光被約束在一個很窄的路徑內。假若，河道變窄，水的流速會增加；同樣地，光的路徑變窄，所以光的速度變快了。
1744年，皮埃爾·莫佩爾蒂在一篇論文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，發表了最小作用量原理：光選擇的傳播路徑，作用量最小。他定義作用量為移動速度與移動距離的乘積。用這原理，他證明了費馬原理：光傳播的正確路徑，所需的時間是極值；他也計算出光在反射與同介質傳播時的正確路徑。1747年，莫佩爾蒂在另一篇論文《On the laws of motion and of rest》中，應用這原理於碰撞，正確地分析了彈性碰撞與非弹性碰撞；這兩種碰撞不再需要用不同的理論來解釋。
萊昂哈德·歐拉在同年發表了一篇論文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物體的運動遵守某種物理量極值定律，而這物理量是formula_1。應用這理論，歐拉成功的計算出，當粒子受到連心力作用時，正確的拋射體運動。
在此以後，許多物理學家，包括約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、理查德·費曼等等，對於作用量都有很不同的見解。這些見解對於物理學的發展貢獻甚多。
微分方程式時常被用來表述物理定律。微分方程式指定出，隨著極小的時間、位置、或其他變數的變化，一個物理變數如何改變。總合這些極小的改變，再加上這物理變數在某些點的已知數值或已知導數值，就能求得物理變數在任何點的數值。
作用量方法是一種全然不同的方法，它能夠描述物理系統的運動，而且只需要設定物理變數在兩點的數值，稱為初始值與最終值。經過作用量平穩的演算，可以得到，此變數在這兩點之間任何點的數值。而且，作用量方法與微分方程式方法所得到的答案完全相同。 哈密頓原理闡明了這兩種方法在物理學價位的等價：描述物理系統運動的微分方程式，也可以用一個等價的積分方程式來描述。無論是關於經典力學中的一個單獨粒子、關於經典場像電磁場或重力場，這描述都是正確的。更加地，哈密頓原理已經延伸至量子力學與量子場論了。
用變分法數學語言來描述，求解一個物理系統作用量的平穩值（通常是最小值），可以得到這系統隨時間的演化（就是說，系統怎樣從一個狀態演化到另外一個狀態）。更廣義地，系統的正確演化對於任何微擾必須是平穩的。這要求導致出描述正確演化的微分方程式。
在經典物理裏，作用量這術語至少有七種不同的意義。每一種不同的意義有它不同的表達形式。
最常見的作用量是一個泛函formula_2，輸入是參數為時間與空間的函數，輸出是一個純量。在經典力學裏，輸入函數是物理系統在兩個時間點formula_3，formula_4之間廣義座標formula_5的演變。
作用量formula_2定義為，在兩個時間點之間，系統的拉格朗日量formula_7對於時間的積分：
根據哈密頓原理，正確的演化formula_9要求平穩的作用量formula_2（最小值、最大值、鞍值）。經過運算，結果就是拉格朗日方程式。
簡略作用量也是一個泛函，通常標記為formula_11。這裏，輸入函數是物理系統移動的一條路徑，完全不考慮時間參數。舉例而言，一個行星軌道的路徑是個橢圓，一個粒子在均勻重力場的路徑是拋物線；在這兩種狀況，路徑都跟粒子的移動速度無關。簡略作用量formula_11定義為廣義動量formula_13沿著路徑的積分：
其中，formula_15是廣義座標．根據莫佩爾蒂原理，正確路徑的簡略作用量formula_11是平穩的。
哈密頓主函數是由哈密頓-雅可比方程式定義的。哈密頓-雅可比方程式是經典力學的另一種表述。哈密頓主函數formula_17與泛涵formula_2有密切的關係。固定住初始時間formula_3和其對應的座標點formula_20；而准許時間上限formula_4和其對應的座標點formula_22的改變。取formula_4和formula_22為函數formula_17的參數。換句話說，作用量函數formula_17是拉格朗日量對於時間的不定積分：
更加地，可以證明formula_28是某常數向量formula_29。所以，
假若，哈密頓量formula_31是守恆的；
其中，formula_33是常數。
設定哈密頓特徵函數formula_34為
則哈密頓特徵函數formula_34是一個作用量。
更加地，
對於時間積分：
這正是簡略作用量的方程式。
哈密頓-雅可比方程式是經典力學的一種表述。假若，哈密頓-雅可比方程式是完全可分的；則哈密頓主函數formula_39分出的每一個項目formula_40也稱為"作用量"。
這變數formula_41稱為廣義座標formula_44的作用量；相應的正則座標是角度formula_45。不同於前面簡略作用量泛函地用點積來積分向量；這裏，只有一個純量變數formula_44被用來積分。作用量formula_41等於，隨著formula_44沿著閉路徑，formula_49的改變。應用於幾個有趣的物理系統，formula_41或者是常數，或者改變非常地慢。因此，formula_41時常應用於微擾理論與緩漸不變量的研究。
參閱重言1形式。
哈密頓原理闡明，如果一個物理系統在兩個時間點formula_3、formula_4的運動是正確運動，則作用量泛函formula_2的一次變分formula_55為零。用數學方程式表示，定義作用量為
其中，formula_57是系統的拉格朗日函數，廣義座標formula_58是時間的函數。
假若，formula_5是系統的正確運動，則formula_60。
從哈密頓原理可以導引出拉格朗日方程式．假設formula_5是系統的正確運動，讓formula_62成為一個微擾formula_63；微擾在軌道兩個端點的值是零：
取至formula_62的一階微擾，作用量泛函的一次變分為
這裏，將拉格朗日量formula_7展開至formula_62的一階微擾。
應用分部積分法於最右邊項目，
邊界條件formula_70使第一個項目歸零。所以，
要求作用量泛函formula_2平穩。這意味著，對於正確運動的任意微擾formula_62，一次變分formula_74必須等於零：
請注意，還沒有對廣義座標formula_5做任何要求。現在，要求所有的廣義座標都互相無關（完整限制）。這樣，根據變分法基本引理，可以得到拉格朗日方程式：
在各個物理學領域，拉格朗日方程式都被認為是非常重要的方程式，能夠用來精確地理論分析許多物理系統。
對應於廣義座標formula_44的廣義動量formula_79，又稱為共軛動量，定義為
假設formula_7不顯性地跟廣義座標formula_44有關，
則廣義動量formula_84是常數。在此種狀況，座標formula_44稱為循環座標。舉例而言，如果用極座標系formula_86來描述一個粒子的平面運動，而formula_7與formula_88無關，則廣義動量是守恆的角動量。