正交群
数学上，数域"F"上的"n"阶正交群，记作O("n","F")，是"F"上的"n"×"n" 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL("n","F")的子群，由
这里"Q"是"Q"的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O("n")。
更一般地，"F"上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的"n"×"n"正交矩阵组成一个O("n","F")的正规子群，称为特殊正交群SO("n","F")。如果"F"的特徵为2，那么1 = −1，从而O("n","F")和SO("n","F")相等；其他情形SO("n","F")在O("n","F")中的指数是2。特征2且偶数维时，很多作者用另一种定义，定义SO("n","F")为迪克森不变量的核，这样它在O("n","F")中总有指数2。
O("n","F")和SO("n","F")都是代数群，因为如果一个矩阵是正交的条件，即转置等于逆矩阵，能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。
实数域R上的正交群O("n",R)和特殊正交群SO("n",R)在不会引起误会时经常记为O("n")和SO("n")。他们是"n"("n"-1)/2 维实紧李群。O("n",R)有两个连通分支，SO("n",R)是单位分支，即包含单位矩阵的连通分支。
实正交群和特殊正交群有如下的解释：
O("n",R)是欧几里得群"E"("n")的子群，"E"("n")是R的等距群；O("n",R)由其中保持原点不动等距组成。它是以原点为中心的球面 ("n" = 3)、超球面和所有球面对称的对象的對稱群。
SO("n",R)是"E"("n")的子群，"E"("n")是“直接”等距，即保持定向的等距；SO("n",R)由其中保持原点不动的等距组成。它是以原点为中心的球面和所有球面对称对象的旋转群。
取合适的正交基，等距是
的形式。这里矩阵"R"...,"R"是2×2旋转矩阵。
圆的對稱群是O(2,R)，也称为Dih(S)，这里S是模长1複数的乘法群。
SO(2,R) (作为李群)同构于圆S（圆群）。这个同构将複数exp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩阵
群SO(3,R)，视为3维空间的旋转，是科学和工程中最重要的群。参见旋转群和3×3旋转矩阵利用轴和角的一般公式
在代数拓扑方面，对"n" > 2，SO("n",R)的基本群是2阶循环，而自旋群Spin("n")是其万有覆叠。对"n" = 2基本群是无限循环而万有覆叠对应于实数轴（旋量群Spin(2)是惟一的2重覆叠）
李群O("n",R)和SO("n",R的李代数由斜对称实"n"×"n"矩阵组成，李括号由交换子给出。这个李代数经常记为 o("n",R)或so("n",R)。
保持R原点不动的同构，组成群O("3",R)，能分成如下几类：
特别地指出4阶和5阶正交群，在更宽泛的意义下6阶也是，称为反射旋转。类似的参见欧几里得群。
作为保持距离的同构，正交变换也保角，从而是共形变换，但是不是所有的共形变换都是正交变换。R的线性共形映射构成的群记作CO("n")，由正交群和收缩的乘积给出。如果"n"是奇数，两个子群不相交，他们是直积：formula_4；如果"n"是偶数，两个子群的交是formula_5，所以这不是直积，但这是和正收缩子群的直积：formula_6。
我们可以类似地定义CSO("n")，这时总有formula_7。
複数域C上，O("n",C)和SO("n",C)是C上"n"("n"-1)/2维的李群，这意味着实维数是"n"("n"-1)。O("n",C)有两个连通分支，SO("n",C)是包含恒同矩阵的分支。当"n" ≥ 2时，这些群非紧。
和实情形一样，SO("n",C)不是单连通的，对"n" > 2 SO("n",C)的基本群是2阶循环群，而SO(2,C)的基本群是无穷循环群。
O("n",C)和SO("n",C)的複李代数由斜对称複"n"×"n"矩阵组成，李括号由交换子给出。
低维实正交群是熟悉的空间：
由于三维旋转在工程中有重要应用，产生了很多SO(3)上的卡。
正交群的同伦群和球面的同伦群密切相关，从而一般是很难计算的。
但是我们可以计算出稳定正交群的同伦群（也称为有限正交群），定义为包含序列 的正向极限（因为包含都是闭包含，从而是上纤维化，也能理解成并）。
formula_10是formula_11的齐性空间，从而有如下纤维丛： 可以理解为：正交群formula_11 传递地作用于单位球面formula_10上，一点（看作一个单位向量）的稳定子群是其正交补的正交群，这是第一维的正交群。映射formula_15是自然包含。
从而包含formula_15是"(n-1)" -连通的，故同伦群稳定，对formula_17有formula_18，所以稳定空间的同伦群等于非稳定空间的低维同伦群。
通过博特周期性定理，formula_19，从而"O"的同伦群以8为周期，即 formula_20，这样我们只要计算出最低8个同伦群就算出了所有群。
通过cluching construction，稳定空间"O"的同伦群和稳定球面上的向量丛等价（同构的意义下），提高一个维数：formula_22。
设formula_23（使得formula_24满足周期性），我们得到：
最初的几个同论群可以用低维群的同论群具体的描述。
formula_28得出：
由李群一般性事实，formula_32总消失，formula_33是自由阿贝尔群。
从向量丛的观点来看，formula_34是formula_35上的向量丛，具有两个点。从而在每个点上，丛是平凡的，这个丛的非平凡性是两个点上向量空间的维数之差，所以
利用博特周期性中环路空间具体的描述，我们可以将高维同伦群理解为容易分析的低维空间的同伦。利用formula_24、"O"，以及"O/U"有两个分支，formula_38和formula_39有formula_40个分支，其实是连通的。
一小部分结论：
令formula_45，以及formula_46为射影线formula_47上的重複线丛，formula_48是其K-理论。注意到formula_49，这些得出相应球面上的向量丛，以及：
正交群也能定義在有限域formula_58上，這里formula_59是一個質數formula_60的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：formula_61和formula_62；奇數維有一類：formula_63。
如果formula_64是正交群formula_65作用的向量空間，它可以寫成正交直和：
這里formula_67是雙曲線而formula_68不包含奇異向量。如果formula_69，那么formula_65是正類型；若formula_71那么formula_65有偶維數；若formula_68有維數2，則formula_65是負類型。
在"n" = 1的特例，formula_75是階為formula_76的二面體群。
當特征大于2時，記O("n","q") = { "A" ∈ GL("n","q") : "A"·"A"=I }。關于這些群的階數我們有以下公式
如果formula_78是formula_79中的平方元素
对偶数维正交群，迪克森不变量是从正交群到"Z"/2"Z"的同态，是0或1取决于一个元素是偶数个还是奇数个反射的复合。在特征不等于2的域上迪克森不变量和行列式等价：行列式等于−1的迪克森不变量次幂。
在特征2的域上，行列式总为1，所以迪克森不变量给出了额外的信息。在特征2域上许多作者定义特殊正交群为迪克森不变量为0的元素，而不是行列式为1。
迪克森不变量也能对所有维数的克利福德群和Pin群类似地定义。
特征2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：旋量模是一個從域"F"上正交群到域"F"的乘法群模去平方元素
的同態，将关于模长为"n"向量的反射映到"F"/"F"中的"n"。
旋量模对实数域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如实数域上不定二次型定义的正交群。
代数群的伽罗瓦上同调理论，引入了一些更深入的观点。它们有解释的价值，特别是二次型理论的联系； 但就目前所发现的现象而言，大部分都是“马后炮”。第一个观点是一个域上的二次型或者一个正交群的扭曲形式（张量）可以与伽罗瓦"H"等同起来。作为一个代数群，正交群一般不是连通或单连通的；第二个观点是引入自旋现象，但前一个和判别式相联系。
一个旋量模的“spin”名字可以用与自旋群（更准确地pin群）的一个联系来解释。这种方法现在可以马上用伽罗瓦上同调（引入克利福德代数的术语）来解释。正交群的自旋群覆叠给出了一个代数群的短正合列： 这里μ是单位根的代数群；在一个特征非2的域上，粗略地看，和作用平凡的两元素群相同。
从"H"（就是取值于"F"中点的群"O"("F")）到"H"(μ)的连接同态本质上是spinor模，因为 "H"(μ)同构于域模去平方元素的乘法群。
正交群的"H"到自旋群覆叠的核的"H"也存在连接同态。因上同调是非阿贝尔的，所以，至少用普通定义，这是我们能走得最远的。
物理中，特别是在Kaluza-Klein紧化领域，找出正交群的子群非常重要。主要结论如下： 正交群O(n)也是一些李群的重要子群：
群O(10)在超弦理论中非常重要，因为它是10维时空的对称群。