凱萊表
凱萊表，以19世紀英國數學家阿瑟·凱萊命名，通過在正方形表格中排列一個群的所有元素的所有可能乘積來描述有限群的結構，這讓人想起了加法或乘法表。群的很多性質，比如是否為阿貝爾群，哪個元素是哪個元素的逆元，和群的中心的大小和內容，都可以通過檢查它的凱萊表來輕易得出。
凱萊表的一個簡單例子是群 {1, -1} 在普通的乘法下的表格:
凱萊表是在凱萊 1854 年的論文《On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ = 1》中首次提出的。在這個論文中，它們被簡單的稱為表格并只被用做展示，后來為了紀念其創造者而叫做了凱萊表。
因為很多凱萊表描述不是阿貝爾群的群，對于所有這個群中的 "a" 和 "b"，關于群的二元運算的乘積 "ab" 不保證等于 "ba" 的乘積。為了避免混淆，約定了在表格的每一行中所有格内的第一個因子(凱萊的術語為“近因子”)都是相同的，而在每一列中所有格内的第二個因子(“遠因子”)是相同的，比如下面的例子:
凱萊最初設置的表格把單位元放在首位，排除了上表中對對單獨的行與列表頭的需要。例如，它們不出現在下列表格中:
在這個循環群 Z 的例子中，"a" 是單位元，因此出現表格的左上角。容易看出 "b" = "c" 和 "cb" = "a"。儘管如此，多數現代課本和本文都為了明確性而包含了行與列的表頭。
凱萊表告訴我們一個群是否為阿貝爾群。因為阿貝爾群的群運算是符合交換律的，阿貝爾群的凱萊表是沿著對角線對稱的。上述的 3 階的循環群和 {1, -1} 在普通乘法下的群都是阿貝爾群，可以通過檢查其凱萊表的對稱性來驗證。作為對照，最小的非阿貝爾群 6階二面體群沒有對稱的凱萊表。
因為結合律被作為了群的公理，在處理群的凱萊表的時候它總是可以保證。但是凱萊表還可以用來刻畫擬群的運算，它不把結合律假定為公理(實際上，凱萊表可以用來刻畫任何有限原群的運算)。不幸的是，一般不可能象交換律那樣通過簡單查看凱萊表來確定一個運算是否符合結合律。這是因為結合律依賴於 3 項等式 formula_1，而凱萊表展示的是兩項乘積。
因為消除性質對於群(甚至於擬群)是成立的，凱萊表的行與列中，任何元素都只能出現一次。所以表的每行與列都是這個群內的所有元素的置換。這極大的限定了那種凱萊表可以令人信服的定義有效的群運算。
要看出為什么行或列不能包含相同的元素兩次，設 "a", "x" 和 "y" 都是群的元素，而 "x" 和 "y" 是不同的。接著有一行表示元素 "a"，對應於 "x" 的列包含乘積 "ax"，類似的對應於 "y" 的列包含乘積 "ay"。如果這兩個乘積相等，就是說我們假設的行 "a" 包含相同的元素兩次，則 "ax" 將等于 "ay"。但是因為消除律成立，我們可以得出結論出如果 "ax" = "ay"，則 "x" = "y"。導致了矛盾。所以我們的假設不正確，行不能包含相同的元素。完全同樣的證明足以證明列的情況，所以我們推出結論每行與列都不包含一個元素多於一次。因為群是有限的，鴿籠原理保證群的每個元素在每行與列中精確的出現一次。因此，凱萊表是拉丁方陣的例子。
由于群的結構，你可能要經常填充缺少元素的凱萊表，甚至對所考慮的群運算都沒有完整的刻畫。例如，由于每行與列必須包含這個群中的所有元素，如果所有元素都要放入其中一次，而只有一個空位，在不知道關於群的任何其他事情的時候，未被放置的那個元素必定占據這個空位。關於群的這個和其他觀察一般允許我你們對所考慮的群知之甚少就能構造出這些群的凱萊表。
因為在任何群中，即使在非阿貝爾群中，所有元素都是與它自己的逆元可交換的，這可以得出單位元在凱萊表中針對表的對角線對稱分布。正好處在對角線上的單位元表示對應的元素是自身的逆元。
由于凱萊表的行與列的次序實際上是任意的，如下排序方式是很方便的: 開始於群的單位元，它總是自身的逆元，首先列出是自身的逆元的所有元素，隨后相互毗連的列出互逆元素對。
接著對於特定次序下的有限群，很容易刻畫出它的“單位元架構”，這么命名是因為單位元在凱萊表中沿主對角線聚集，要么直接在其上，要么錯開一個位置。
證明有不同的單位元構架的群不能同構是相對平凡的，但逆命題不成立(比如，循環群 "C" 和四元群 "Q" 不同構但有相同的單位元構架)。
考慮帶有元素 "e", "a", "b", "c", "d" 和 "f" 的 6 元素的群。按慣例，"e" 是群的單位元。因為單位元總是自身的逆元，而逆元是唯一的，群中有 6 個元素的事實意味著至少有一個非 "e" 元素必須是自身的逆元。所以有下列可能的構架:
在我們的特定例子中，不存在第一種類型的 6 階群，實際上，簡單的因為特定的單位元構架可以被構想出來，但不一般性的意味著存在對應的群。值得注意(可平凡證明)所有元素都是自身逆元的任何群都是阿貝爾群。
一旦特定的單位元構架確定，就有可能開始填充出凱萊表。例如，選取上述第二種類型的 6 階群的單位元構架:
明顯的，"e" 行與 "e" 列可以立即填充。完成后，可能需要(在這里是必須的)做一個假定，它可能在后來導致一個矛盾，簡單的意味著最初的假定是錯的。我們假定 "ab" = "c"。那么:
左乘 "a" 於 "ab" = "c" 得到 "b" = "ac"。再右乘 "c" 得到 "bc" = "a"。右乘 "b" 於 "ab" = "c" 得到 "a" = "cb"。左乘 "b" 於 "bc" = "a" 得到 "c" = "ba"，再右乘 "a" 得到 "ca" = "b"。在填充這些乘積入表格之后，我們發現 "ad" 和 "af" 在 "a" 行中仍未觸及；因為我們知道群的每個元素必須在每行中精確的出現一次，只有 "d" 和 "f" 還未處理，我們知道 "ad" 必須等于 "d" 或 "f"；但是它不能等于 "d"，因為如果這樣將蘊含 "a" 等于 "e"，而它們是不同的。因此我們有了 "ad" = "f" 和 "af" = "d"。
進一步的，因為 "d" 的逆元是 "f"，右乘 "f" 於 "ad" = "f" 得出 "a" = "f"。再左乘 "d" 得出 "da" = "f"。再右乘 "a" 得出 "d" = "fa"。
填充入所有這些乘積，凱萊表變為:
由于每行都必須出現群的所有元素精確的一次，容易看出在 "b" 行的兩個空位必須被 "d" 或 "f" 占據。但是，如果你檢查包含這兩個空位的列，也就是 "d" 和 "f" 列，就會法相 "d" 和 "f" 已經在二者中被填充過了，這意味著無論如何 "d" 和 "f" 都不能放入行 "b" 中，它們總是違反置換規則。由于我們的代數演繹直到此時都是可靠的，我們只能得出早先基礎假定 "ab" = "c" 事實上是錯誤的的結論。本質上，我們猜測并猜測錯了。但我們知道了: "ab" ≠ "c"。
唯一剩下的兩種可能性是 "ab" = "d" 或 "ab" = "f"；我們期望這兩個猜測有相同結果，即不別同構之異時，因為 "d" 和 "f" 是互逆的，表示它們的字母固然的可以互換。所以不失去一般性的假定 "ab" = "d"。如果我們再次導致一個矛盾，那么我們就要假定沒有 6 階群有這種單位元構架了，因為我們窮盡了所有可能性。
下面是它的凱萊表:
左乘 "a" 於 "ab" = "d" 得到 "b" = "ad"。右乘 "f" 得 "bf" = "a"，左乘 "b" 得到 "f" = "ba"。右乘 "a" 得到 "fa" = "b"，左乘 "d" 得到 "a" = "db"。把這些乘積填入凱萊表中(新增加的為紅色):
因為 "a" 行缺少 "c" 和 "f" 并且因為 "af" 不能等于 "f"(否則 "a" 就會等于 "e"，而它們是不同的)，我們可以得出 "af" = "c"。左乘 "a" 得出 "f" = "ac"，右乘 "c" 得出 "fc" = "a"。左乘 "d" 得出 "c" = "da"，右乘 "a" 得出 "ca" = "d"。類似的，右乘 "d" 於 "af" = "c" 得到 "a" = "cd"。更新表格，新加入的使用藍色:
因為 "b" 行缺少 "c" 和 "d"，并且因為 "bc" 不能等于 "c"，得出 "bc" = "d"，因此 "bd" 必須等于 "c"。右乘 "f" 得出 "b" = "cf"，左乘 "c" 得到 "cb" = "f"。通過類似的方式還可得出 "c" = "fb" 和 "dc" = "b"。填充入表格(最新增的使用綠色):
因為 "d" 行只缺少 "f"，我們得知 "d" = "f"，因此 "f" = "d"。我們已經設法填充了整個表格而沒有得到任何矛盾，我們已經發現了一個 6 階群: 檢查顯示它是非阿貝爾群。這個群事實上是最小的非阿貝爾群，二面體群 D:
上述性質依賴於某些群公理的有效性。自然會考慮其他代數結構比如半群、擬群和原群的凱萊表，而上述某些性質就不成立了。