類氫原子
類氫原子（hydrogen-like atom）是只擁有一個電子的原子，與氫原子同為等電子體，例如，He, Li, Be與B等等都是類氫原子，又稱為「類氫離子」。類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統，系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力。這反平方連心力二體系統不需再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。在量子力學裏，類氫原子問題是一個很簡單，很實用，而又有解析解的問題。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，類氫原子問題是個很重要的問題。
稱滿足上述系統的薛丁格方程式的波函數為單電子波函數，或類氫原子波函數。類氫原子波函數是單電子角動量算符 formula_1 與其 z-軸分量算符 formula_2 的本徵函數。由於能量本徵值 formula_3 跟量子數 formula_4 ，formula_5 無關，而只跟主量子數 formula_6 有關。所以，類氫原子波函數可以由主量子數 formula_6 、角量子數 formula_4 、磁量子數 formula_5 ，獨特地決定。因為構造原理，還必須加上自旋量子數 formula_10 。對於多電子原子，這原理限制了電子構型的四個量子數。對於類氫原子，所有簡併的軌域形成了一個電子層；每一個電子層都有其獨特的主量子數 formula_6 ．這主量子數決定了電子層的能量。主量子數也限制了角量子數 formula_4 、磁量子數 formula_5 、自旋量子數 formula_14 的值域。
除了氫原子（電中性）以外，類氫原子都是離子，都帶有正電荷量 formula_15 ；其中，formula_16 是單位電荷量，formula_17 是原子序數。離子像He、Li、Be、B、等等，都是類氫原子。
在元素周期表中，第 IA 族的鹼金屬元素，其原子的最外電子層都有一個電子，而第二外層電子層的亞層，不論是 s 亞層或 p 亞層，凡是內中有電子的亞層．都已被填滿。例如，鈉元素有11個電子。電子排佈為 formula_18 。最外層只有一個電子。第二外層的 formula_19 與 formula_20 亞層都已填滿。鉀元素有19個電子。電子排佈為 formula_21 。第二外層的 formula_22 與 formula_23 亞層都已填滿。由於 formula_23 亞層的軌域的能量較高，最外層唯一的一個電子的軌域是 formula_25 。受到內層電子的緊密屏蔽，這最外層的電子只能感受到大約為一個質子的存在。有效原子序數是 1 。所以，這鹼金屬的單電子系統可以視為一個類氫原子系統。可以用原子序數為 1 的類氫原子波函數，來近似地表達這電子的量子態。
因為電子與電子之間的庫侖相互作用，擁有多個電子的原子或離子沒有解析解，必須用數值法來做量子力學計算，才能求得近似的波函數以及其它有關性質。由於哈密頓量的球對稱性，一個原子的角動量 formula_1 守恆。許多數值程序，開始於單電子算符 formula_27 與 formula_2 的本徵函數的乘積。所計算出來的波函數的徑向部分 有時會是數值列表或斯萊特軌域 () 。應用角動量偶合方法 () ，可以設定 formula_1 （或許也可以設定 formula_30 ）的多電子本徵函數。
類氫原子問題的薛丁格方程式為
其中，formula_32 是約化普朗克常數，formula_33 是電子與原子核的約化質量，formula_34 是量子態的波函數，formula_35 是能量，formula_36 是庫侖位勢：
其中，formula_38 是真空電容率，formula_17 是原子序，formula_16 是單位電荷量，formula_41 是電子離原子核的距離。
採用球坐標 formula_42，將拉普拉斯算子展開：
猜想這薛丁格方程式的波函數解 formula_44 是徑向函數 formula_45 與球諧函數 formula_46 的乘積：
參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式
其中，非負整數 formula_4 是軌角動量的角量子數。磁量子數 formula_5 （滿足 formula_51 ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 formula_4 與 formula_5 給予不同的軌角動量函數解答 formula_54 ：
其中，formula_56 是虛數單位，formula_57 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為
formula_59 的不確定性與 formula_60 的不確定性的乘積 formula_61 ，必定大於或等於 formula_62 。
類似地，formula_59 與 formula_2 之間，formula_60 與 formula_2 之間，也有同樣的特性。
電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 formula_4 、formula_5 與自旋的投影 formula_14 ，而以量子數 formula_70，formula_71 來計算總角動量。
在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。
非相對論性，無自旋的電子產生的譜線稱為粗略結構。類氫原子的粗略結構只跟主量子數 formula_6 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 formula_73 效應；其中，formula_17 是原子序數，formula_75 是精細結構常數。
在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數 formula_6 、總量子數 formula_70 有關，容許的能量為
思考類氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼類氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出類氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即類氫原子的基態能量 formula_79 大於某有限值：
量子力學的海森堡不確定性原理 formula_81 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 formula_82 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 formula_83 ，同時維持有限的動能。
更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 formula_17 ，原子的能量 formula_35 為
其中，formula_87 為動能，formula_88 為勢能，formula_89 為描述類氫原子系統的波函數，formula_90 為位置坐標，formula_91 為積分體積。
應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。
其中，formula_93 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。
總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。