初等群論
在數學中，群  定義為集合 "G" 和叫做“乘積”并指示為中綴 "*" 的 "G" 上的二元運算。乘積服從下列規則(也叫做公理)。設 "a", "b" 和 "c" 是 "G" 的任意元素。則:
阿貝爾群還服從額外的規則:
封閉性是二元運算定義的一部分，因此 A1 經常省略。"G" = {1,-1} 是乘法下的一個群，因為對于所有 "G" 中的元素 "a", "b", "c":
整數集 Z 和實數集 R 是在加法 '+' 下的群，對于所有 Z 或者 R 中的元素 "a", "b" 和 "c":
實數集 R 不是乘法 '*' 下的群。對于所有 R 中的 "a", "b" 和 "c": 實數集去除 0 即 R 是在乘法 '*' 下的群。
A3 和 A4 可以被替代為:
還可以替代為:
這些看起來更弱的公理對天然的蘊含於 A3 和 A4 中。我們現在證明逆過來也是真的。
定理: A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蘊含 A3 和 A4。
"證明"。假設給出了左單位元 "e" 和 "G" 中的 "a"，根據 A4’存在一個 "x" 使得 "x"*"a" = "e"。
我們欲證明的是 "a"*"x" = "e"。 根據 A4’存在 "G" 中的一個 "y" 有著:
所以: 這確立了 A4。 這確立了 A3。
定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蘊含 A3 和 A4。
"證明"。類似上述。
定理 1.4: 群  的單位元是唯一的。
"證明": 假設 "e" 和 "f" 是 "G" 的兩個單位元。則 在討論和比較不同的群的時候，"e" 指示特定群  的唯一單位元。
定理 1.5:  中每個元素的逆元是唯一的。
"證明": 假設 "h" 和 "k" 是 "G" 的元素 "g" 的兩個逆元。則
沒有歧義性的，對於所有 "G" 中的"a"，我們指示 "a" 的唯一逆元為 "a"。
定理 1.3: 對於所有 "G" 中元素 "a","b"，存在唯一的 "G" 中的 "x" 使得 "a"*"x" = "b"。
"證明"。的確存在至少一個這種 "x"，因為如果我們設 "x" = "a"*"b"，則 "x" 在 "G" 中(通過 A1，閉包)并且: 為了證明這是唯一性的，如果 "a"*"x" = "b"，則 類似的，對於所有 "G" 中的 "a","b"，存在唯一的一個 "G" 中的 "y" 使得 "y"*"a" = "b"。
定理 1.6: 對於所有群 "G" 中的元素 "a"，("a") = "a"。
"證明"。"a"*"a" = "a"*("a")="e"。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
定理 1.7: 對於所有群 "G" 中元素 "a","b"，("a"*"b") = "b"*"a"。
"證明"。("a"*"b")*("b"*"a") = "a"*("b"*"b")*"a" = "a"*e*"a" = "a"*"a" = "e"。結論得出自定理 1.4。
定理 1.8: 對于所有群 "G" 中的元素 "a","x" 和 "y"，如果 "a"*"x" = "a"*"y"，則 "x" = "y"；并且如果 "x"*"a" = "y"*"a"，則 "x" = "y"。
"證明"。如果 "a"*"x" = "a"*"y" 則: 如果 "x"*"a" = "y"*"a" 則
對於 formula_2 和 formula_3 我們定義: 定理 1.9: 對于所有群  中的 "a"，formula_5:
類似的如果 "G" 使用了加法符號，我們有:
并且:
群 "G" 中的元素 "a" 的階是最小正整數 "n" 使得 "a = e"。有些它寫為“o("a")="n"”。"n" 可以是無限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 階的群是阿貝爾群。換句話說，如果所有群 "G" 中的元素 "g" 都有 "g"*"g"="e" 成立，則對於所有 "G" 中的 "a","b"，"a"*"b" = "b"*"a"。 "證明 1"。設 "a", "b" 是群 "G" 中任何 2 個元素。 由 公理 A1 可知 ("a"*"b") 是群 "G" 的元素，所以 ("a"*"b") 是群 "G" 的 2 階元素 因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。 "證明 2"。設 "a", "h" 是群 "G" 中任何 2 個元素。通過 A1，"a"*"h" 也是 "G" 的成員。使用給定條件，我們知道 ("a"*"h")*("a"*"h") = "e"。因此: 因為群運算 * 是符合交換律的，這個群是阿貝爾群。
群 "G" 的階，通常指示為 |"G"| 或偶爾指示為 o("G")，在  是有限群的情況下是集合 "G" 中元素的數目。如果 "G" 是無限集合，則群  有等于 "G" 的勢的階，而且是無限群。
"G" 的子集 "H" 被稱為群  的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制於子集 "H" 內，"H" 滿足群公理。因此如果 "H" 是  的子群，則  也是群，并在限制於 "H" 內，滿足上述定理。子群 "H" 的階是 "H" 中元素的數目。
群 "G" 的真子群是不同於 "G" 的子群。"G" 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 "e" 的元素的 "G" 的真子集。
定理 2.1: 如果 "H" 是  的子群，則 在 "H" 中的單位元 "e" 同一於 ("G",*) 中的單位元 "e"。
"證明"。如果 "h" 在 "H" 中，則 "h"*"e" = "h"；因為 "h" 必定也在 "G" 中，"h"*"e" = "h"；所以通過定理 1.4，"e" = "e"。
定理 2.2: 如果 "H" 是 "G" 的子群，并且 "h" 是 "H" 的元素，則 "h" 在 "H" 中的逆元同一於 "h" 在 "G" 中的逆元。
"證明"。設 "h" 和 "k" 是 "H" 的元素，使得 "h"*"k" = "e"；因為 "h" 必定也在 "G" 中，"h"*"h" = "e"；所以通過定理 1.5，"k" = "h"。
給定 "G" 的子集 "S"，我們經常想要確定 "S" 是否也是 "G" 的子群。一個手頭的定理對無限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 "S" 是 "G" 的非空子集，則 "S" 是 "G" 的子群，當且僅當對於所有 "S" 中的 "a","b"，"a"*"b" 在 "S" 中。
"證明"。如果對於所有 "S" 中的 "a", "b"，"a"*"b" 在 "S" 中，則 因此，滿足了閉包、單位元和逆元公理，而結合律是繼承來的，所以 "S" 是子群。
反過來說，如果 "S" 是 "G" 的子群，則它滿足群公理。
兩個或更多個子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 "G" 的子群的任何非空集合的交集是子群。
"證明"。設 {"H"} 是 "G" 的子群的集合，并設 K = ∩{"H"}。通過定理 2.1，"e" 是所有 "H" 的成員；因此 "K" 非空。如果 "h" 和 "k" 是 "K" 的兩個元素，則對於所有 "i"，  因此對于 "K" 中的所有 "h", "k"，"h"*"k" 在 "K" 中。接著通過前面的定理，"K"=∩{"H"} 是 "G" 的子群；并且事實上 "K" 是每個 "H" 的子群。
給定一個群 ，定義 "x"*"x" 為 "x"², "x"*"x"*"x"*...*"x" ("n" 次)為 "x"，并定義 "x" = "e"。類似的，定義 "x" 為 ("x")。則我們有:
定理 2.5: 設 "a" 是群 ("G",*) 的元素。則集合 { "a": "n" 是整數 } 是 "G" 的子群。
"證明"。這種類型的子群叫做循環子群；"a" 的冪的子群經常寫為 ，并稱為 "a" 生成 。
如果 "S" 和 "T" 是 "G" 的子集，并且 "a" 是 "G" 的元素，我們寫“"a"*"S"”來提及形如 "a"*"s" 的所有元素構成的 "G" 的子集，這里的 "s" 是 "S" 的元素；類似的，我們寫“"S"*"a"”來指示形如 "s"*"a" 的元素的集合。我們寫 "S"*"T" 表示形如 "s"*"t" 的元素構成的 "G" 的子集，這里的 "s" 是 "S" 的元素而 "t" 是 "T" 的元素。
如果 "H" 是 "G" 的子群，則 "H" 對于某個 "G" 中的 "a" 的左陪集是集合 "a"*"H"。右陪集是集合 "H"*"a"。
如果 "H" 是 "G" 的子群，則下面陳述而不帶證明的有用定理對所有陪集都成立:定義群 "G" 的子群 "H" 的指標(寫為“["G":"H"]”)為 "H" 在 "G" 中不同的左陪集的數目。
從這些定理，我們可以推導出重要的拉格朗日定理，它有關於群的子群的階:對于有限群，它可以重申為: