作用量-角度坐标
在經典力學裏，作用量-角度坐標（action-angle coordinate）是一組正則坐標，通常在解析可積分系統 () 時，有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法，不需要先解析運動方程式，就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式（哈密頓量顯性地不含時間，也就是說，能量保持恆定）。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為，保持作用量的不變設定了環的曲面，而角度是環面的另外一個坐標，粒子依照著角度，捲繞於環面。
在量子力學早期，波動力學發展成功之前，波耳-索末菲量子化條件 () 是研究量子力學的利器。此條件闡明，作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難，都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。
在哈密頓力學裏，作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論，特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾，混沌理論研究的最早的一個結果是 。這定理闡明，對於微小微擾，環面不變量是穩定的。
作用量-角度坐標，對於戶田晶格 () 的解析，對於 的定義，更廣義地，對於一個系統同光譜 () 演化的構想，都佔有關鍵地位。
假設，在一個物理系統裏，哈密頓量是保守的，也就是說，哈密頓量 formula_1 不顯含時間；
其中，formula_3 是運動常數，formula_4 是廣義坐標，formula_5 是廣義動量。
採用哈密頓特徵函數 formula_6 為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為
其中，formula_9 是新廣義坐標，formula_10 是新廣義動量。
新哈密頓量 formula_11 與舊哈密頓量 formula_1 相等：
新廣義動量的哈密頓方程式為
所以，新廣義動量是常數 formula_15 ：
假設，這物理系統的哈密頓-亞可比方程式 formula_17 為完全可分的，則哈密頓特徵函數 formula_6 可以分離為 formula_19 個函數 formula_20 ：
哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是
假若，粒子的運動是週期性運動，最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動，則可以設計一個新正則坐標－作用量-角度坐標 formula_24 。定義作用量為
這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。
由於廣義動量 formula_26 只跟 formula_27 、formula_15 有關，經過積分，作用量formula_29 只跟 formula_15 有關。所以，作用量向量 formula_31 只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為
雖然是同樣的物理量，函數的參數不同，形式也不同。
定義角度 formula_33 為
由於所有的廣義坐標 formula_27 都相互獨立，所有的廣義動量 formula_26 也都相互獨立，所以，所有的作用量 formula_37 都相互獨立，作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣，哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為
新哈密頓量 formula_39 與舊哈密頓量 formula_1 相等：
因為作用量 formula_42 只是常數向量，所以，
新哈密頓量 formula_44 ，只跟作用量 formula_31 有關，跟角度 formula_33 無關。
角度 formula_47 隨時間的導數 formula_48 ，可以用哈密頓方程式決定：
每一個 formula_37 都是常數，所以，formula_51 也是常數：
其中，formula_53 是積分常數。
假設原本廣義坐標 formula_54 的振蕩或旋轉的運動週期為 formula_55 ，則其對應的角度變數 formula_56 的改變是 formula_57 。進一步了解物理量 formula_48 的性質，猜想 formula_48 與廣義坐標 formula_54 週期性運動的頻率有關。可是，因為角度 formula_56 是廣義座標 formula_4 與作用量 formula_31 的函數，無法確定前面的猜想。為了證實這論點，計算週期 formula_55 ：
新哈密頓量 formula_66 與舊哈密頓量 formula_1 相等。所以，
假若 formula_69 是個循環坐標，那麼，其共軛動量 formula_70 必是個常數，可以從作用量的定義積分內提出來：
其中，formula_72 是 formula_69 運動一週期的值。
這樣，
代入週期 formula_55 的公式，
肯定地，formula_48 是廣義坐標 formula_27 的頻率。
假若 formula_69 不是循環坐標，則不能將其共軛動量 formula_70 從作用量的定義積分內提出來，必須採用另外一個方法計算。從角度的定義，可以察覺角度 formula_56 跟廣義坐標 formula_4 、作用量 formula_31 有關：
保持作用量不變，角度的虛位移 formula_85 是：
在一個週期性物理系統裏，每一個廣義坐標 formula_27 都有它運動的週期 formula_55 。假若，其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同，則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若，兩個廣義坐標的週期不同 formula_89 、formula_90 。在做閉路徑積分的時候，就必須使用使用一個新的週期 formula_91 ，讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點．假若，兩個週期的比例是個有理數，則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為
其中，formula_93 、formula_94 、formula_95 、formula_96 ，都是正值的整數。
同樣地，在多重週期性物理系統裏，假若，每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的，則此系統是完全可通約的，稱此系統為完全可通約系統。那麼，新週期 formula_91 為
其中，formula_99 、formula_100 ，都是正值的整數。
經過一個週期 formula_91 ，角度 formula_56 的變化是：
由於作用量 formula_29 是個常數，可以將它從積分內提出：
所以，頻率是
假若，有任何兩個互相不可通約的廣義坐標 formula_27 、formula_108 ，其週期 formula_55 、formula_110 的比例是無理數。那麼，formula_27 不可能與 formula_108 同時回到同一點。雖然如此，有理論證明，formula_113 、formula_113 仍舊分別是 formula_27 、formula_108 的頻率。
角度 formula_33 是一組互相獨立的廣義坐標。所以，一般而言，每一個廣義坐標 formula_118 可以用角度的傅立葉級數表示：
其中， formula_120 是傅立葉級數係數。
在大多數實際案例，物理系統的哈密頓-亞可比方程式 formula_17 為完全可分的。那麼，一個原本廣義坐標 formula_118 只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示：
一般程序有三個步驟：
在有些案例，兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率；也就是說，formula_126 for formula_127 。稱這些案例的運動狀態為簡併。
簡併的運動給出暗示，很可能有更多的保守量。例如，克卜勒問題的頻率是簡併的，這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。
簡併的運動還給出暗示，在多於一種坐標系統裏，哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如，克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系，都是完全可分的。