正則變換
在哈密頓力學裏，正則變換（canonical transformation）是一種正則坐標的改變，formula_1，而同時維持哈密頓方程的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換是哈密頓-亞可比方程式與刘维尔定理的基礎。
點變換（）將廣義坐標formula_2變換成廣義坐標formula_3，點變換方程式的形式為
其中，formula_5是時間。
在哈密頓力學裏，由於廣義坐標與廣義動量formula_6同樣地都是自變量（），點變換的定義可以加以延伸，使變換方程式成為
其中，formula_9是新的廣義動量。
為了分辨這兩種不同的點變換，稱前一種點變換為位形空間點變換，而後一種為相空間點變換。
在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標formula_10變換為一組新的正則坐標formula_11，而同時維持哈密頓方程式的形式（稱為形式不變性）。原本的哈密頓方程式為
新的哈密頓方程式為
其中，formula_16、formula_17分別為原本的哈密頓量與新的哈密頓量。
思考一個物理系統的哈密頓量
假設哈密頓量跟其中一個廣義坐標formula_19無關，則稱formula_19為可略坐標（），或循環坐標（）：
在哈密頓方程式中，廣義動量對於時間的導數是
所以，廣義動量formula_23是常數formula_24。
假設一個系統裏有formula_25個廣義坐標是可略坐標。找出這formula_25個可略坐標，則可以使這系統減少formula_27個變數；使問題的困難度減少很多。正則變換可以用來尋找這一組可略坐標。
採取一種間接的方法，稱為生成函數方法，從formula_28變換到formula_29。為了要保證正則變換的正確性，第二組變數必須跟第一組變數一樣地遵守哈密頓原理
那麼，必須令
其中，formula_33是標度因子，formula_34是生成函數。
假若一個變換涉及標度因子，則稱此變換為標度變換（）。一般而言，標度因子不一定等於1。假若標度因子不等於1，則稱此正則變換為延伸正則變換（）；假若標度因子等於1，則稱為正則變換。
任何延伸正則變換都可以修改為正則變換。假設一個formula_35的延伸正則變換表示為
則可以設定另外一組變數與哈密頓量： formula_37、 formula_38、 formula_39、 formula_40；其中，formula_41是用來刪除formula_33的常數，formula_43。經過一番運算，可以得到
顯然地，這變換符合哈密頓方程式。所以，任何延伸正則變換都可以改變為正則變換。
假若正則變換不顯性含時間，則稱為設限正則變換（）。
生成函數formula_34的參數，除了時間以外，一半是舊的正則坐標；另一半是新的正則坐標。視選擇出來不同的變數而定，一共有四種基本的生成函數。每一種基本生成函數設定一種變換，從舊的一組正則坐標變換為新的一組正則坐標。這變換formula_1保證是正則變換。
第一型生成函數formula_49只跟舊廣義坐標、新廣義坐標有關，
代入方程式（1）。展開生成函數對於時間的全導數，
新廣義坐標formula_52和舊廣義坐標formula_53都是自變量，其對於時間的全導數formula_54和formula_55互相無關，所以，以下formula_56個方程式都必須成立：
這formula_56個方程式設定了變換formula_1，步驟如下：
第一組的formula_62個方程式（2），設定了formula_63的formula_62個函數方程式
在理想情況下，這些方程式可以逆算出formula_52的formula_62個函數方程式
第二組的formula_62個方程式（3），設定了formula_70的formula_62個函數方程式
代入函數方程式（5），可以算出formula_70的formula_62個函數方程式
從formula_76個函數方程式（5）、（6），可以逆算出formula_76個函數方程式
代入新哈密頓量formula_80的方程式（4），可以得到
第二型生成函數formula_82的參數是舊廣義坐標formula_53、新廣義動量formula_70 與時間：
以下formula_56方程式設定了變換formula_1：
第三型生成函數formula_91 的參數是舊廣義動量formula_63、新廣義坐標formula_52與時間：
以下formula_56方程式設定了變換formula_1：
第四型生成函數formula_100的參數是舊廣義動量formula_63、新廣義動量formula_70與時間：
以下formula_56方程式設定了變換formula_1：
第一型生成函數有一個特別簡易案例：
生成函數的導數分別為
舊的哈密頓量與新的哈密頓量相同：
再擧一個比較複雜的例子。讓
這裏，formula_114是一組formula_62個函數。
答案是一個廣義坐標的點變換，
正則變換必須滿足哈密頓方程式不變；哈密頓方程式為正則變換的一個不變式。另外，正則變換也有幾個重要的不變量。
辛標記提供了一種既簡單，又有效率的標記方法來展示方程式及數學運算。設定一個formula_117的豎矩陣formula_118 :
變數向量formula_118將formula_53與formula_63包裝在一起。這樣，哈密頓方程式可以簡易的表示為
這裏，formula_124是辛連結矩陣、formula_125是哈密頓量。
應用辛標記於正則變換，正則坐標會從舊正則坐標formula_118改變成新正則坐標formula_127，formula_128；哈密頓量也從舊的哈密頓量formula_125改變成新的哈密頓量formula_80，formula_131；但是，哈密頓方程式的形式仍舊維持不變：
這裏，formula_133。
用第一型生成函數formula_134，則formula_135。
取formula_136關於時間formula_5的導數，
這裏，formula_139是亞可比矩陣，formula_140。
代入哈密頓方程式，
假若限制正則變換為設限正則變換，也就是說，顯性地不含時間，解答會簡單許多。假若正則變換顯性地含時間，則仍舊能得到與下述同樣的答案，這是一個很好的偏導數習題。現在，限制這正則變換為設限正則變換，則簡化後的方程式為
而formula_143，所以，
代回前一個方程式，取formula_145的係數，則可以得到
經過一番運算， 可以求出辛條件：
在這裏，得到了正則變換的辛條件：一個變換是正則變換，若且唯若辛條件成立。
在相空间裏，兩個函數formula_150關於正則坐標formula_151的帕松括號定義為
用辛標記，
立刻，可以得到下述關係：
定義基本帕松括號formula_156為一個方矩陣，其中，元素formula_157的值是formula_158。那麼，
思考一個變換formula_160。新坐標的基本帕松括號為
這兩個正則坐標的亞可比矩陣formula_162是
代入前一個方程式，則
假若這變換是正則變換，辛條件formula_149必須成立，
相反地，假若formula_166，則辛條件成立，這變換是正則變換。
所以，一個變換是正則變換，若且唯若基本帕松括號關於任何正則坐標的值不變。當表示基本帕松括號時，我們可以忽略下標符號，直接表示為formula_156，而認定這基本帕松括號是關於正則坐標計算的值。
思考兩個函数formula_169對於正則坐標formula_118的泊松括號
假若這變換是正則變換，辛條件formula_149必須成立，
所以，任何兩個函數關於正則坐標的帕松括號，都是正則變換的不變量。當表示帕松括號時，可以忽略下標符號，直接表示為formula_174，而認定這帕松括號是關於正則坐標計算的值。