代數曲線
在代數幾何中，一條代數曲線是一維的代數簇。最典型的例子是射影平面formula_1上由一個齊次多項式formula_2定義的零點。
定義在域formula_3上的仿射代數曲線可以看作是formula_4中由若干個formula_5-元多項式formula_6定義的公共零點，使得其维数為一。
利用結式，我們可以將變數消至兩個，並化約到與之雙有理等價的平面代數曲線formula_7，其中formula_8，因此在探討曲線的雙有理幾何時僅須考慮平面曲線。
射影空間中的曲線可視作仿射曲線的緊化，它們帶有更好的幾何性質。在以上考慮的方程formula_9（formula_10）中，我們作代換：
遂得到formula_12個齊次多項式，它們在射影空間formula_13中定義一條曲線，此射影曲線與開集formula_14的交集同構於原曲線。射影曲線的例子包括formula_15中的費馬曲線formula_16，其上的有理點對應到費馬方程formula_17的互素整數解。
代數曲線之研究可化約為不可約代數曲線之研究，後者的範疇在雙有理等價之意義下等價於代數函數域範疇。域formula_3上的函數域formula_19是超越次數為一的有限型域擴張，換言之：存在元素formula_20使得formula_21在formula_3上超越，而且formula_23是有限擴張。
以複數域formula_24為例，我們可以定義複係數有理函數域formula_25。變元formula_26對代數關係formula_27生成的域formula_28是一個橢圓函數域，代數曲線formula_29 給出它的一個幾何模型。
若基域formula_3非代數封閉域，則函數域無法只由多項式的零點描述，因為此時存在無點的曲線。例如可取實數域formula_31並考慮其上的代數曲線formula_32，此方程定義了一個formula_33的有限擴張，因而定義了一個函數域，然而
代數封閉域上的代數曲線可以用代數簇完整地描述，對於一般的基域或者環上的曲線論，概形論能提供較合適的框架。
複射影曲線可以嵌入formula_5維複射影空間formula_36。複射影曲線在拓撲上為二維的對象，當曲線光滑時，它是個緊黎曼曲面，即一維的緊複流形，因而是可定向的二維緊流形。這時該曲面的拓撲虧格（直觀說就是曲面有幾個洞或把手）等同於曲線上由代數幾何學定義的虧格。視這類曲線為黎曼曲面，則可以採複分析手法加以研究。另一方面，黎曼則證明了任何緊黎曼曲面都同構於一條複射影曲線。
於是我們有三個相互等價的範疇：複數域上的不可約平滑射影曲線、緊黎曼曲面與formula_24上的函數域。因此一維複分析（包括位勢論）、代數幾何與域論的方法此時能相互為用，這是高等數學裡很常見的現象。
[(P=c) end if=0]  [(P=c) end if=0] N-1n+1=0 曲線在一點formula_38的平滑性可以用雅可比矩陣判斷。以下考慮嵌於formula_39中的曲線：設該曲線由formula_12個formula_41個變元的齊次多項式formula_42定義，若其雅可比矩陣formula_43在區線上一點formula_38滿秩，則稱它formula_38點光滑；反之則稱為奇點。在一點的平滑性與多項式formula_42的選取無關，也與曲線的嵌入方式無關。
在平面射影曲線的例子，假設曲線formula_47由齊次方程式formula_48定義，則formula_47的奇點恰為formula_47上使得formula_51為零的點，即：
在特徵非零的域上，一條代數曲線僅有有限個奇點；無奇點的曲線即平滑曲線。奇點在雙有理映射下可能映為光滑點；事實上，奇點總是可藉著平面的拉開映射或正規化解消，由此得到的新平滑曲線仍雙有理等價於原曲線；然而對代數封閉域上的射影曲線，其奇點總數則關係到曲線的幾何虧格，後者是個雙有理不變量。
曲線的奇點包括多重點（這是曲線的自交點）及尖點（如仿射曲線formula_53之於原點formula_54，見右圖）等等。一般來說，仿射平面曲線formula_7在一點formula_38的奇點性質可以透過下述方式理解：
透過平移，不妨假設formula_57。將多項式formula_58寫成 其中formula_60是formula_5次齊次多項式。直觀地想像，formula_7在原點附近的性狀僅決定於最低次的非零項，設之為formula_63。根據齊次性可以將之分解成 換言之，曲線在原點附近將近似於formula_65條（含重複）直線formula_66的聯集。上式中相異的直線數formula_67稱作分支數，正整數formula_65稱作平面曲線在該點的重數，此外還有一個內在的不變量formula_69，其中formula_70是該曲線的正規化態射。資料[m, δ, r]能夠被用來分類奇點。例如"一般尖點"對應到formula_71，"一般雙重點"對應到formula_72，而"一般n重點"則對應到formula_73。
各奇點的不變量δ決定平面曲線formula_7的虧格：設formula_75，則有
對於在複數域上的平面曲線，John Milnor以拓撲方式定義了不變量μ，稱為Milnor數：同樣假設formula_57，在原點附近夠小的四維球formula_78內有formula_79，此時有連續映射 由於formula_81 同倫等價於三維球面formula_82，於是可定義μ為此映射的拓撲次數。μ與前述不變量的關係由下式表明：
事實上，formula_84在ε夠小時是formula_85中的一個環圈，稱作奇點環圈，它具有複雜的拓撲性質。例如：formula_53在尖點附近的奇點環圈是三葉結。
域formula_3上的有理曲線是雙有理等價於射影直線formula_88的曲線，換言之，其函數域同構於單變元有理函數域formula_89。當formula_3代數封閉時，這也等價於該曲線之虧格為零，對一般的域則不然；實數域上由formula_91給出的函數域虧格為零，而非有理函數域。
具體地說，一條有理曲線是能以有理函數參數化的曲線，例子請見條目有理正規曲線。
任何formula_3上有有理點的圓錐曲線都是有理曲線。參數化的過程如下：過給定有理點formula_38而斜率為formula_94的直線交平面上一條二次曲線於兩點，就x坐標來說，交點的x坐標是一個二次多項式的根，其中一個屬於formula_3的根已知，即formula_38的x坐標；因此透過根與係數的關係得知另一根也屬於formula_3，而且能表作formula_94在formula_3上的有理函數。y坐標的作法相同。
例。考慮斜橢圓formula_100，其中formula_101是有理點。畫一條過該點且斜率為t之直線formula_102，並帶入E的等式，於是得到：
這就給出E的有理參數化，於是證明了E是有理曲線。
將此結果置於射影幾何的框架下，則能導出若干數論的結論。例如我們可在E中加入無窮遠點，得到射影曲線 以上參數化遂表為
若取formula_94為整數，對應的formula_108是不定方程formula_109的整數解；若將formula_110代以formula_111，則此方程詮釋為θ=60°時的餘弦定理，藉此能描述所有一角為 60°且邊長均為整數的三角形，例如取formula_112，就得到邊長分別為X=3, Y=8, Z=7的三角形。
橢圓曲線可以定義為任意虧格等於一且給定一個有理點的代數曲線，它們都同構於平面上的三次曲線。此時通常取無窮遠處的反曲點為給定的有理點，這時該曲線可以寫作射影版本的Tate-魏爾施特拉斯形式：
橢圓曲線帶有唯一的阿貝爾群結構，使得給定有理點為單位元素，且加法為代數簇的態射，因而橢圓曲線構成一個阿貝爾簇。在三次平面曲線的情形，三點和為零若且唯若它們共線。對於複數域上的橢圓曲線，此阿貝爾簇同構於formula_114，其中的formula_115由相應的橢圓函數給出。
對虧格大於一的曲線，其性質與有理曲線與橢圓曲線有顯著不同。根據Faltings定理，定義在數域上的這類曲線只有有限個有理點；若視為黎曼曲面，它們則帶有雙曲幾何的結構。例子包括、與一開始提到的在formula_116的情形。