根系
在數學中，根系是歐幾里得空間中滿足某些公理的向量配置。根系在李群、李代數與代數群理論中格外重要；而根系分類的主要工具──鄧肯圖，也見諸奇异性理论等與李群並無顯著關係的學科。
設 formula_1 為有限維實向量空間，並賦予標準的內積 formula_2。formula_1 中的根系是有限個向量（稱為根）構成的集合 formula_4，滿足下述條件：
根據性質三，整性等價於：對任意 formula_19，formula_20 與 formula_15 僅差 formula_12 的整數倍。此外，注意到性質四定義的尖積 並非一個內積，它未必對稱，而且只對第一個參數是線性的。
根系 formula_4 的秩定義為 formula_1 的維度。
給定兩個根系 formula_26，可考慮其正交直和 formula_27，則 formula_28 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合（當然，假設 formula_29），則稱之為不可約的。
對兩個根系 formula_30，若存在其間的線性同構，使得 formula_31 映至 formula_32，則稱它們為同構的根系。
對於根系 formula_33，對根的反射生成一個群，稱為該根系的外爾群。可證明此群在 formula_4 上忠實地作用，因此必為有限群。
在同構的意義下，秩一的根系僅有一種，由兩個非零向量 formula_35 組成。此根系記作 formula_36。
秩二的根系有四種可能，对应于formula_37，其中formula_38的情况。注意根系并不由它生成的格所决定：formula_39 和formula_40均生成正方形格，而 formula_41和formula_42 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下：
當 formula_4 是 formula_1 中的根系，而 formula_45 是 formula_46 在 formula_45 中生成的子空間，則 formula_48 是 formula_45 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係，例如：任意兩根的交角僅可能是 formula_50 或 formula_51 度。
對於根系 formula_4，可以取定滿足下述條件的正根子集 formula_53：
正根的取法並不唯一。取定一組正根後，formula_60 的元素被稱為負根。
正根的選取等價於單根的選取。單根集是 formula_4 中滿足下述條件的子集 formula_62：
選定一組單根後，可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。
不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的圖間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題，由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下：
給定一個不可約根系，選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根 formula_65 若不垂直，則有 formula_66 個邊相連：若只有一個邊，則不取定向，否則則取自長度 formula_67 長者（稱為長根）指向短者（稱為短根）的有向邊。
一個根系可以取多種不同的單根。然而，由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的，鄧肯圖的構造與單根的選取無關，它是根系內在的不變量。反之，給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系，可以按圖配對單根及其間的內積，從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一，但至多差一個正常數倍，因而得到的根系是同構的 。
藉此，可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系，則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的；配上這個條件後，即可解決根系的分類。
鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數，亦即相應根系的秩。
不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系：formula_68，其下標分別取遍 formula_69 的正整數，稱為典型根系；剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中， formula_70 表示短根的個數（若諸根同長，則皆視為長根），formula_71 表示其嘉當矩陣的行列式，而 formula_72 表示外爾群之階。
取 formula_1 為 formula_74 中滿足 formula_75 的點 formula_76 所成之子空間。令 formula_4 為 formula_1 中長度為 formula_79 的格子點。取 formula_74 的標準基 formula_81，則根具有 formula_82 的形式，共有 formula_83 個根。通常取單根為 formula_84。
對垂直於 formula_85 的超平面的鏡射在 formula_4 上的作用是交換第 formula_87 個座標。因此 formula_88 的外爾群不外就是對稱群 formula_89。
formula_88 是李代數 formula_91 的根系。
取 formula_92，並令 formula_4 為 formula_1 中長度為 formula_95 的格子點。共有 formula_96 個根。通常取單根為 formula_97 及 formula_98（短根）。
對短根 formula_99 的反射即 formula_100。
formula_101 跟 formula_36 僅差一個縮放，因此通常僅考慮 formula_103 的情形。formula_104 是李代數 formula_105 的根系。
取 formula_92，formula_4 為 formula_1 中所有長度 formula_79 的格子點與形如 formula_110的點，其中 formula_111 是長度為一的格子點。共有 formula_96 個根。通常取單根為 formula_113及 formula_114（長根）。
formula_115 與 formula_40 僅差一個縮放加上旋轉 45 度，因此通常僅考慮 formula_117 的情形。formula_118 是李代數 formula_119 的根系。
取 formula_120，formula_4 為 formula_1 中長度 formula_79 的格子點。共有 formula_124 個根。通常取單根為 formula_125 及 formula_126。
formula_127 同構於 formula_128，故通常僅考慮 formula_129 的情形。formula_130 是李代數 formula_131 的根系。
formula_132 是較為特殊的根系。首先定義 formula_133 中滿足下述條件的點集 formula_134：
定義 formula_132 為 formula_134 中長度為 formula_79 的向量，即：
定義 formula_139 為 formula_132 與超平面 formula_141 之交， 其中 formula_142 是任取的根。同樣步驟施於 formula_139，得到更小的根系 formula_144。根系 formula_145 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟，則會得到典型根系 formula_146。
另一種等價的描述是取 formula_147 為：
formula_134 與 formula_147 同構。將任意偶數個座標乘以負一，便可在兩者間轉換。formula_134 稱為 formula_132 的偶坐標系，formula_147 稱為奇坐標系。
在偶坐標下，通常取單根為 在奇坐標下，通常取單根為 （在上述定義中，若改取 formula_159，將得到同構的結果。若改取 formula_160，將得到 formula_161 或 formula_162。至於 formula_163，其坐標和為零，而 formula_164 亦然，所以張出的向量空間維度不合所求。
刪去 formula_165 可得到 formula_139 的一組單根；再刪去 formula_167，可得 formula_144 的單根。
由於對 formula_165 垂直等價於前兩個坐標相等，而對 formula_170 垂直等價於前三個座標相等，不難導出 formula_171 的明確定義：
E = (α ∈ Z ∪ (Z+½): ∑α + α = 2，∑α + α ∈ 2Z),
E = (α ∈ Z ∪ (Z+½): ∑α + 2α = 2，∑α + 2α ∈ 2Z)
對於 formula_172，取 formula_173，並令 formula_4 為滿足下述條件的向量：
此根系有 formula_177 個根。通常取單根為 formula_178 的單根再加上 formula_179。
formula_42 有 12 個根，構成一個六邊形的頂點，詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為 在此沿用了之前的符號： formula_183。
不可約根系的分類可用於研究下述對象：