完整群
在 微分几何中，一個微分流形上的联络的完整（holonomy） （又譯和樂），描述向量繞閉圈平行移动一週回到起點後，與原先相異的現象。平聯絡的和樂是一種現象，其於全域有定義。曲聯絡的和樂則有非平凡的局域和全域特點。
流形上任意一種聯絡，都可由其平行移動映射給出相應的和樂。常見的和樂由具有特定對稱的聯絡給出，例如黎曼几何中列维-奇维塔联络的和樂（稱為黎曼和樂）。向量丛聯絡的和樂、嘉当联络的和樂，以及主丛聯絡的和樂。在該些例子中，聯絡的和樂可用一個李群描述，稱為和樂群。聯絡的和樂與其曲率密切相關，見安布羅斯-辛格定理。
對黎曼和樂的研究導致了若干重要的發現。其最早由引入，以用於的分類上。然而，很久以後，和樂群才用於更一般的黎曼幾何上。1952年， 乔治·德拉姆證明了德拉姆分解定理：若黎曼流形的切丛可分解成局域和樂群作用下不變的子空間，則該流形分解為黎曼流形的笛卡儿积。稍後，於1953年， 給出所有不可約和樂的分類。黎曼和樂的分解和分類適用於物理和弦論。 設 "M" 為光滑流形，"E" 為其上的 "k" 維向量丛，∇ 為 "E" 上的聯絡。給定 "M" 上一點 "x" 和以 "x" 為基點的分段光滑環圈 "γ" : [0,1] → "M", 該聯絡定義了一個平行移动映射 "P" : "E" → "E". 該映射是可逆線性映射，因此是一般线性群 GL("E") 的元素。∇ 以 "x" 為基點的和樂群定義為
以 "x" 為基點的限制和樂群是由環圈 "γ" 給出的子群formula_2.
若 "M" 連通，則不同基點 "x" 的和樂群 僅相差 GL("k", R) 的共軛作用。更具體說，若 "γ" 為 "M" 中由 "x" 到 "y" 的路徑，則
選取 "E" 的另一組基（即以另一種方式將 "E" 視為與 R 等同）同樣會使和樂群變成 GL("k", R) 中另一個共軛子群。非完全嚴格的討論中（下同），可將基點略去，但倘如此行，則和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的重要性質包括：
在物理学中，威爾森迴圈是 tr("P")（特徵標理論的跡）。
主叢聯絡的和樂與向量叢相倣。設 "G" 為李群，"P" 為仿緊光滑流形 "M" 上的主 "G" 叢。設 "ω" 為 "P" 上的聯絡。給定 "M" 中一點 "x", 以 "x" 為基點的分段光滑環圈 "γ" : [0,1] → "M", 以及 "x" 纖維上一點 "p", 該聯絡定義了唯一的"水平提升" formula_13 使得 formula_14 水平提升的終點 formula_15 未必是 "p", 因為其可為 "x" 纖維上的另一點 "p"·"g". 若兩點 "p" 和 "q" 之間有分段光滑的水平提升路徑連接，則稱 "p" ~ "q". 如此，~ 是 "P" 上的等價關係。
"ω" 以 "p" 為基點的和樂群定義為
若在定義中僅允許環圈 "γ" 的水平提升，則得到以 "p" 為基點的受限和樂群 formula_17. 其為和樂群formula_18 的子群。
若 "M" 和 "P" 皆連通，則不同基點 "p" 的和樂群僅在 "G" 互為共軛。更具體說，若 "q" 是另一個基點，則有唯一的 "g" ∈ "G" 使得 "q" ~ "p"·"g". 於是，
特別地，
再者，若 "p" ~ "q", 則 formula_21 因此，有時可省略基點不寫，但須留意這會使得和樂群僅在共軛意義下有良好定義。
和樂群的若干性質包括：同上，設 "M" 為連通仿緊流形，"P" 為其上的主 "G" 叢，"ω" 為 "P" 上的聯絡。設 "p" ∈ "P" 為主叢上的任意一點。以 "H" ("p") 表示 "P" 中可與 "p" 用水平曲線相連的點的集合。則可證明 "H" ("p") 連同其到 "M" 的投影也構成 "M" 上的主叢，且具有結構群 formula_28（即 "H" ("p") 是主 formula_28 叢）。 此主叢稱為該聯絡 "ω" 經過 "p" 的和樂叢。"ω" 限制到 "H" ("p") 上也是一個聯絡，因為其平行移動映射保持 "H" ("p") 不變。故 "H" ("p") 是該聯絡的約化主叢。此外，"H" ("p") 任何真子叢都不被平行移動保持，所以其在該類約化主叢之中為最小。
與和樂群類似，和樂叢在環繞它的主叢 "P" 中等變。具體說，若 "q" ∈ "P" 是另一個基點，則有 "g" ∈ "G" 使得 "q" ~ "p" "g"（按假設，"M" 是路連通的）。故 "H" ("q") = "H" ("p") "g". 於是，兩者在和樂叢上導出的聯絡是相容的，即：兩個聯絡的平行移動映射恰好相差了群元素 "g".
和樂叢 "H" ("p") 是主 formula_18 叢，因此受限和樂群 formula_17（作為全個和樂群的正規子群）也作用在 "H" ("p") 上。離散群 formula_32 稱為聯絡的群。其作用在商叢 formula_33 上。存在滿同態formula_34 使得 formula_35 作用在 formula_33 上。基本群的這個群作用稱為基本群的單延拓表示。
若 π: "P" → "M" 為主叢，ω 為 "P" 的聯絡，則 ω 的和樂可限制到 "M" 的開集的纖維上。若 "U" 為 "M" 的連通開集，則將 ω 限制到 "U" 上可得叢 π"U" 的聯絡。該叢的和樂群記為 formula_37 而受限和樂群則記為 formula_38 其中 "p" 為滿足 π("p") ∈ "U" 的點。
若 "U" ⊂ "V" 為包含 π("p") 的兩個開集，則有包含關係
"p" 點的局域和樂群定義為
其中 "U" 為任意一族滿足 formula_41 的遞降（即 formula_42 ）連通開集。
局域和樂群有以下性質：局域和樂群不一定有全域的良好性質，例如流形的不同點上的局域和樂群不一定具有相同的維數。然而，有以下的定理：英文與「全純」（）相似，"Holomorphic"一詞由柯西的兩個學生（1817–1882）和（1819–1895）引入，來自希臘文（"holos"）和（"morphē"），意思分別是「全」、「形態」。
""與""的前半（"holos"）一樣。至於後半：
非常難在網絡上找出（或）的詞源。我找到（鳴謝普林斯頓的約翰·康威）：
我相信潘索（）最早在他對剛體運動的分析用到它。這個理論中，若某種意義下，能夠從一個系統的局域資訊得悉其全局資訊，就叫一個和樂的 （""）系統，所以它的意思「整體法則」（""）很貼切。球在桌上滾動並不和樂，因為沿不同的路徑滾到同一點，可以使球的方向不同。然而，將「和樂」理解成「整體法則」恐怕有點過於簡化。希臘文的"nom"詞根有多層互相交織的意思，可能更多時解「數算」（）。它與我們的詞數字""來自同一個印歐詞根。 ——S. Golwala
參見νόμος（"nomos"）和-nomy。
安布羅斯－辛格定理（得名自）描述主叢聯絡的和樂與該聯絡的曲率形式之間的關係。為理解此定理，先考慮較熟知的情況，如仿射联络、切叢聯絡（或其特例列維－奇維塔聯絡）。沿無窮小平行四邊形的邊界走一圈，就會感受到曲率。
引入更多細節，若formula_47是formula_48中某曲面的坐標表示，則向量formula_49可以沿formula_50的邊界平行移動，由原點出發，先沿formula_51，再沿formula_52，再formula_53（formula_54反方向，即由formula_55遞減至formula_56），最後formula_57，回到原點。此為和樂環圈的特例，因為向量formula_49沿該圈平行移動的結果，相當於formula_50邊界的提升，對應的和樂群元素，作用在formula_49上。當平行四邊形縮至無窮小時（即沿更小的平行四邊形圈，對應formula_50坐標中的區域formula_62，而formula_63趨向於formula_56），就會明確得到曲率。換言之，取平行移動映射於formula_65處的導數：
其中formula_67為曲率張量。所以，粗略而言，曲率給出閉環圈（無窮小平行四邊形）上的無窮小和樂。更嚴格地，曲率是和樂作用於和樂群單位元處的導數。換言之，formula_68是formula_18的李代數的元素。
一般來說，考慮結構群為formula_70的主叢formula_71某聯絡的和樂。以formula_72表示formula_70的李代數，則聯絡的曲率形式是formula_74上的formula_72值2-形式formula_76。安布羅斯－辛格定理斷言：
formula_18的李代數，是由formula_72中所有形如formula_79的元素線性張成，其中formula_80取遍所有可以用水平曲線formula_81與formula_82連接的點，而formula_83皆是formula_80處的水平切向量。 亦可用和樂叢的說法，複述如下：
formula_18的李代數，是formula_72中形如formula_87的元素張成的線性子空間，其中formula_80取遍formula_89的元素，而formula_83取遍formula_80處的水平向量。 設formula_92為任意一點，則和樂群formula_93作用在切空間formula_94上。視之為群的表示，則可能不可約，亦可能可約，即可以將formula_94分解成正交子空間的直和 而兩個子空間皆在formula_93作用下不變。此時亦稱formula_48可約。
設formula_48為可約流形。上式說明，在每一點formula_54處，切空間可以約化分解成formula_101和formula_102，所以當formula_54變動時，就定義出向量叢formula_104和formula_105，兩者皆光滑分佈，且是弗比尼斯可積。兩個分佈的皆為子流形，換言之，子流形的測地線皆為原流形的測地線。所以局部觀察formula_48，是笛卡爾積formula_107。重複上述分解，直到切空間完全約化，則得到（局部）德拉姆同構：
設formula_48為單連通黎曼流形，又設在和樂群的作用下，formula_109為切叢的完全約化分解，而和樂群在formula_110上的作用平凡（恆等映射），則formula_48局部等距同構於乘積 其中formula_113是歐氏開集，而每個formula_114是formula_115的積分流形。更甚者，formula_93是formula_117的直積（formula_118是formula_119過某點的極大積分流形）。 若同時假設formula_48（每點每個方向的測地線皆可無限延伸），則定理不僅局部成立，而是全域成立，且各formula_118本身也是測地完備流形。
1955年，將不可約（並非局部等同積空間）、非對稱（並非局部地）、單連通的黎曼流形，可能具有的和樂群，完全分類。伯格分類表如下：
1965年，及同時研究和樂群為formula_122的流形，構造出其平行4形式。
於1966年最早引入和樂群為formula_123或formula_124的流形，他構造出全部平行形式，並證明該些流形皆為里奇平。
伯格原先的表中，未排除formula_125（作為formula_126的子群）。後來，迪米特里·阿列克謝耶夫斯基（）一人，與布朗（）、格雷（）二人，分別證明具此和樂群的黎曼流形必然局部對稱，即與formula_127局部等距同構，或局部平坦，故上表不列。上表列出的各可能，現已確實知道是某黎曼流形的和樂群。末尾兩個例外情況的流形最難發現，見和。
注意formula_128，故必為卡拉比－丘，卡拉比－丘流形必為凱勒，而凯勒流形必可定向。
以上看似奇怪的列表（伯格定理），可由西蒙斯（Simons）的證明解釋。另有一個簡單幾何證明，由卡洛斯·奧爾莫斯（）於2005年給出。第一步要證，若黎曼流形並非，而約化和樂在切空間上的作用不可約，則遞移地作用在單位球面上。但已知有何種李群遞移作用於球面：上表所列各項，以及兩個額外情況，分別是formula_125（作用於formula_130），以及formula_131（作用於formula_132）。最後，要驗證前者只能作為局部對稱空間（局部同構於的）的和樂群，而後者則根本不能作為和樂群出現。
伯格的原分類，尚有涵蓋非正定的偽黎曼度量，其給出非局部對稱和樂的可能列表為： 但是，標formula_133的兩種和樂群（分裂formula_125及複化formula_125），如同正定的情況，只能在局部對稱空間出現，故應予刪去。至於複化和樂群formula_136三種，可以將實解析黎曼流形複化得到。而和樂群為formula_137子群的流形，R. McLean證明其為局部平。
對稱黎曼空間，因為局部與齊性空間formula_138同構，其局部和樂群同構於formula_139，經已分類完畢。
最後，伯格的論文亦有列舉僅得無撓仿射联络的流形的可能和樂群，見下節。
一些流形具特殊的和樂，該性質亦可藉平行旋量是否存在來刻劃（平行旋量即協變導數為零的旋量場），尤其有以下各項命題成立： 么正與特殊么正和樂經常連帶扭量理论、殆复流形一同研究。
具特殊和樂的黎曼流形，對弦論緊化很重要。原因是，特殊和樂流形上，存在共變常值（即平行）旋量，於是保一部分超对称。較重要的緊化是在具formula_152或formula_153和樂的卡拉比–丘流形上，以及上。
在机器学习，尤其方面，曾有人提出，藉計算黎曼流形的和樂，得出數據流形的結構。由於和樂群包含數據流形的全域結構，其適用於判斷數據流形可能如何分解成子流形之積。由於取樣有限，無法完全準確計算出和樂群，但利用來自譜圖論的思想（類似向量），有可能構造出數值近似。所得的算法「幾何流形分量估計量」（，簡寫「探地者」），能給出德拉姆分解的數值近似，並應用於現實數據。
仿射和樂群（），是無撓仿射联络的和樂群；其中一些不能作為（偽）黎曼和樂群出現，稱為非度量和樂群（）。德拉姆分解定理不適用於仿射和樂群，所以離完成分類尚有很遠，但仍可以將不可約的仿射和樂分類。
伯格在證明黎曼和樂分類定理的過程中，發現對於的無撓仿射聯絡而言，和樂群的李代數必定符合兩個條件。伯格第一準則（）是安布羅斯－辛格定理（即曲率張量生成和樂的李代數，見前節）的後果；而第二準則，來自聯絡非局部對稱的條件。伯格列舉了滿足此兩個準則，且作用不可約的群，可以視之為不可約仿射和樂群的可能情況表。
但伯格的列表，其後證實並未齊全。（1991）和Q. Chi、S. Merkulov、L. Schwachhöfer（1996）找到未在列表的例子，有時稱為「怪和樂」（）。努力搜索例子之後，最終由Merkulov和Schwachhöfer（1999年）完成不可約仿射和樂群的分類，而反方向的結果則由布萊恩特（2000年）證明，即列表上所有群皆確實能作為仿射和樂群。
觀察到表中的群和、之間有聯繫之後，Merkulov–Schwachhöfer分類會變得更清晰。此種聯繫在複仿射和樂的情況尤其明確，見於Schwachhöfer（2001）。
設formula_49為有限維複向量空間，formula_155為不可約半單複連通李子群，又設formula_156為極大緊子群。
上述兩族已涵蓋大部分非對稱不可約複仿射和樂群，例外僅有：
利用埃爾米特對稱空間的分類，第一族的複仿射和樂群有： 其中formula_172可取平凡群，亦可取為formula_173。
同樣，用四元數凱勒對稱空間的分類，第二族複辛和樂群有： （第二行中，formula_172必須取為平凡群，除非formula_176，此時可取為formula_173。）
從以上各列表，可以觀察出一個結論，類似西蒙斯斷言黎曼和樂群遞移作用於球面：複和樂表示皆為。但是，未知此事實的概念性證明。
不可約實仿射和樂的分類，用「實仿射和樂複化成複仿射和樂」此結論，結合上表，仔細分析便得。