投影
在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换formula_1，满足formula_2,也就是说，当formula_1两次作用于某个值，与作用一次得到的结果相同（幂等）。是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。
投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换 "P" 是投影，当且仅当formula_4。另外一个定义则较为直观："P" 是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得 "P" 将所有V中的元素都映射到W中，而且 "P" 在W上是恒等变换。用数学的语言描述，就是：
在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量 ("x", "y", "z") 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 ("x", "y", 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 ("x", "y", "z") 到映射到向量 ("x", "y", 0) 。这是在 "x"-"y" 平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为
因为对任意一个向量 ("x", "y", "z") ，这个矩阵的作用是：
注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的"z"分量等于0），那么经过变换 "P" 后不会有改变。也就是说这个变换在子空间 "x"-"y" 平面上是恒等变换，这证明了 "P" 的确是一个投影。
另外， 所以 "P" = "P"，这也证明 "P" 的确是投影。
这里假定投影所在的向量空间W是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。假设子空间U与V分别为 "P" 的像空间与零空间（也叫做核）。那么按照定义，有如下的基本性质:
用抽象代数的术语来说，投影 "P" 是幂等的线性变换（"P" = "P"）。因此它的极小多项式是formula_22。因式分解后可以看到，这个多项式只有相异的单根（没有多重根），因此 "P" 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性: 像空间与零空间分别是是对应于特征值1和0的特征空间，并给出了整个空间的一个直和分解。
正如日常生活中阳光沿着一定的方向将影子投射到地面上，一般的投影变换也可以称为是沿着W到U上的投影。由于向量空间分解成直和的方式一般不是唯一的（阳光可以顺着不同的方向照射），给定一个子空间 "V"（地面），一般的说有很多到"V" 的投影（沿不同的W）。
如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。也就是说，任意formula_23，formula_24，它们的内积formula_25都等于0。 一个投影是正交投影，当且仅当它是自伴随的变换，这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。如果投影是在实向量空间中，那么它对应的矩阵是对称矩阵: formula_26。如果投影是在虚向量空间中，那么它的矩阵则是埃尔米特矩阵:formula_27。实际上，如果投影 formula_28 是自伴算子，那么 所以 formula_28 是正交投影。反过来如果 formula_28 是正交投影，那么 formula_36， 鉴于 formula_40 是任取的，必然有 formula_41。所以 formula_42 是一个自伴算子，因此 formula_28 也是自伴算子。 正交投影的最简单的情况是到（过原点）直线上的正交投影。如果 "u" 是这条直线的单位方向向量，则投影给出为 这个算子保留 "u" 不变（formula_45），并且它作用在所有正交于 "u" 的向量上都是0（如果formula_46，那么 formula_47），证明它的确是到包含 "u" 的直线上的正交投影。
这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设 "u", …, "u" 是子空间 "U" 的一组正交基，并设 "A" 为一个"n"×"k" 的矩阵，它的列向量是 "u", …, "u"。那么投影：
也是正交的。矩阵 "A" 是在 "U" 的正交补变为零的偏等距同构，而 "A" 是把 "U" 嵌入底层向量空间的等距同构。"P" 的值域因此是 "A" 的“终空间”(final space)。"A""A" 是在 "U" 上的恒等算子也是明显的。
正交条件也可以去除。如果 "u", …, "u" 是(不必须正交)基，而 "A" 是有这些向量作为列的矩阵，则投影是
矩阵 "A" 仍把 "U" 嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 ("A""A") 是恢复规范的“规范化因子”。例如，秩-1 算子 "uu" 不是投影，如果 ||"u"|| ≠ 1。在除以 "u""u" = \|"u"\| 之后，我们得获得了到 "u" 所生成的子空间的投影 "u"("u""u")"u"。
所有这些公式对于复数内积空间也成立，假如用共轭转置替代转置。
术语斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影)，尽管不如正交投影常用。
斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 "u", …, "u" 形成了投影的值域的基，并把这些向量组合到 "n"×"k" 矩阵 "A" 中。值域和零空间是互补空间，所以零空间有维度 "n" − "k"。它推出零空间的正交补有维度 "k"。设 "v", …, "v" 形成这个投影的零空间的正交补的基，并把这些向量组合到矩阵 "B" 中。则投影定义为 这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。
当底层向量空间 "X" 是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在 "X" 是巴拿赫空间。
上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 "X" 的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果 "X" 是直和 "X" = "U" ⊕ "V"，则定义自 "P"("u" + "v") = "u" 的算子仍是有值域 "U" 和核 "V" 的投影。明显的也 "P" = "P"。反过来说，如果 "P" 是在 "X" 上的投影，就是说 "P" = "P"，则很容易验证 ("I" − "P") = ("I" − "P")。换句话说，("I" − "P") 也是投影。关系 "I" = "P" + ("I" − "P") 蕴涵了 "X" 是直和 Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。
但是相对于有限维情况，投影一般不必须是连续的。如果 "X" 的子空间 "U" 在规范拓扑下不闭合，则到 "U" 上的投影是不连续的。换句话说，连续投影 "P" 的值域一定是闭合子空间。进一步的，连续投影(事实上，一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影 "P" 把 "X" 分解成两个互补的闭合子空间: "X" = Ran("P") ⊕ Ker("P") = Ran("P") ⊕ Ran("I" − "P")。
反命题在有额外假定条件下也成立。假设 "U" 是 "X" 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间 "V" 使得 "X" = "U" ⊕ "V"，则有值域 "U" 和核 "V" 的投影 "P" 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 "x" → "x" 而 "Px" → "y"。需要证明 "Px" = "y"。因为 "U" 是闭合的且 {"Px"} ⊂ "U", "y" 位于 "U" 中，就是说 "Py" = "y"。还有 "x" − "Px" = ("I" − "P")"x" → "x" − "y"。因为 "V" 是闭合的且 {("I" − "P")"x"} ⊂ "V"，我们有了 "x" − "y" ∈ "V"，就是说 "P"("x" − "y") = "Px" − "Py" = "Px" − "y" = 0，这证明了这个断言。
上述论证利用 "U" 和 "V" 都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间 "U", 不需要存在一个互补的闭合子空间 "V"，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，一维子空间总是有闭合的补子空间。这是 哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设 "U" 是 "u" 的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理，存在一个有界线性泛函 "φ"，使得 "φ"("u") = 1。算子 "P"("x") = "φ"("x")"u" 满足 "P" = "P"，就是说它是个投影。"φ" 的有界性蕴涵了 "P" 的连续性，因此 Ker("P") = Ran("I" − "P") 是 "U" 的闭合补子空间。
投影（正交与非正交投影）在算法领域和特定线性代数问题中有重要应用。