算符
在物理學裏，算符（operator），又稱算子，作用於物理系統的狀態空間，使得物理系統從某種狀態變換為另外一種狀態。這變換可能相當複雜，需要用很多方程式來表明，假若能夠使用算符來代表，可以更為簡單扼要地表達論述。
對於很多案例，假若作用的對象有所迥異，算符的物理行為也會不同；但是，對於有些案例，算符的物理行為具有一般性，這時，就可以將論題抽象化，專注於研究算符的物理行為，不必顧慮到狀態的獨特性。這方法比較適用於一些像對稱性或守恆定律的論題。因此，在經典力學裏，算符是很有用的工具。在量子力學裏，算符為理論表述不可或缺的要素。
對於更深奧的理論研究，可能會遇到很艱難的數學問題，算符理論（operator theory）能夠提供高功能的架構，使得數學推導更為簡潔精緻、易讀易懂，更能展現出內中物理涵意。
一般而言，在經典力學裏的算符大多作用於函數，這些函數的參數為各種各樣的物理量，算符將某函數映射為另一種函數。這種算符稱為「函數算符」。在量子力學裏的算符稱為「量子算符」，作用的對象是量子態。量子算符將某量子態映射為另一種量子態。
在經典力學裏，粒子（或一群粒子）的動力行為是由拉格朗日量formula_1或哈密頓量formula_2決定；其中，formula_3、formula_4分別是廣義坐標、廣義速度，formula_5是共軛動量，formula_6是時間。
假設拉格朗日量formula_7或哈密頓量formula_8與某廣義坐標formula_9無關，則當formula_9有所改變時，formula_7或formula_8仍舊會保持不變，這意味著粒子的動力行為也會保持不變，對應於formula_9的共軛動量formula_14守恆。對於廣義坐標formula_9的改變，動力行為所具有的不變性是一種對稱性。在經典力學裏，當研讀有關對稱性的課題時，算符是很有用的工具。
特別而言，假設對於某種群formula_16的變換運算，物理系統的哈密頓量是個不變量；也就是說，假設formula_17，
在這案例裏，所有formula_16的元素formula_20都是物理算符，能夠將物理系統從某種狀態變換為另一種狀態；儘管formula_20作用於這物理系統，哈密頓量守恆不變。
舉一個關於平移於空間的簡單例子。「平移算符」formula_22能夠將粒子從坐標為formula_9移動至坐標為formula_24，以方程式表示：
其中，formula_26是描述一群粒子的密度函數。
給定一個對於平移變換具有不變性的物理系統，則儘管formula_22的作用，這物理系統的哈密頓量formula_8是個不變量，對應於坐標formula_9的動量formula_14守恆。對於一個微小的平移變換，猜測平移算符的形式為
其中，formula_35是「單位算符」──變換群的單位元，formula_36是微小參數，formula_37是專門用來設定平移變換群的生成元。
為了簡化論述，只考慮一維案例，推導平移於一維空間的生成元。將平移算符formula_38作用於函數formula_39：
由於formula_36很微小，可以泰勒近似formula_42為
重寫平移算符的方程式為
其中，導數算符formula_45是平移群的生成元。
總結，平移群的生成元是導數算符。
在正常狀況下，通過指數映射，可以從生成元得到整個群。對於平移於空間這案例，重複地做formula_46次微小平移變換formula_47，來代替一個有限值為formula_48的平移變換formula_22 ：
現在，讓formula_46變得無窮大，則因子formula_52趨於無窮小：
這表達式的極限為指數函數：
核對這結果的正確性，將指數函數泰勒展開為冪級數：
這方程式的右手邊可以重寫為
這正是formula_57的泰勒級數，也是formula_58的原本表達式結果。
物理算符的數學性質是很重要的研讀論題。更多相關內容，請參閱條目C*-代数與蓋爾范德-奈馬克定理（Gelfand-Naimark theorem）。
在量子力學裏，算符的功能被發揮得淋漓盡致。量子力學的數學表述建立於算符的概念。量子系統的量子態可以用態向量設定，態向量是向量空間的單位範數向量。在向量空間內，量子算符作用於量子態，使它變換成另一個量子態。由於物體的態向量範數應該保持不變，量子算符必須是厄米算符。假若變換前的量子態與變換後的量子態，除了乘法數值以外，兩個量子態相同，則稱此量子態為本徵態，稱此乘法數值為本徵值。
物理實驗中可以觀測到的物理量稱為可觀察量。每一個可觀察量，都有其對應的算符。可觀察量的算符也許會有很多本徵值與本徵態。根據統計詮釋，每一次測量的結果只能是其中的一個本徵值，而且，測得這本徵值的機會呈機率性，量子系統的量子態也會改變為對應於本徵值的本徵態。
假設，物理量formula_59是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符formula_60可能有很多不同的本徵值formula_61與對應的本徵態formula_62，這些本徵態formula_63，形成了具有正交歸一性的基底：
其中，formula_65是克羅內克函數。
假設，某量子系統的量子態為
其中，formula_67是複係數，是在formula_62裏找到formula_69的機率幅。
測量這動作將量子態formula_70改變為本徵態formula_62的機率為formula_72，測量結果是本徵值formula_61的機率也為formula_14。
在量子力學裏，重複地做同樣實驗，通常會得到不同的測量結果，期望值是理論平均值，可以用來預測測量結果的統計平均值。
採用狄拉克標記，對於量子系統的量子態formula_70，可觀察量formula_59的期望值formula_77定義為
其中，formula_60是對應於可觀察量formula_59的算符。
將算符formula_60作用於量子態formula_70，會形成新量子態formula_83：
從左邊乘以量子態formula_85，經過一番運算，可以得到
所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和，就是可觀察量formula_59的期望值：
將上述定義式加以推廣，就可以用來計算任意函數formula_89的期望值：
例如，formula_91可以是formula_92，即重複施加算符formula_93兩次：
假設兩種可觀察量formula_37、formula_96的算符分別為formula_97、formula_98，它們的對易算符定義為
對易算符是由兩種算符組合而成的複合算符，當作用於量子態formula_70時，會給出
假設formula_102，則稱這兩種可觀察量為「相容可觀察量」，否則，formula_103，稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」。
假設兩種可觀察量為不相容可觀察量，則由於不確定原理，絕無法製備出這兩種可觀察量在任意精確度內的量子系統。注意到這是一個關於製備方面的問題，不是一個關於測量方面的問題。假若精心設計測量實驗，裝備足夠優良的測量儀器，則對於某些量子系統，測量這兩種可觀察量至任意精確度是很容易達成的任務。
每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量formula_59的期望值是實值：
對於任意量子態formula_70，這關係都成立：
根據伴隨算符的定義，假設formula_108是formula_60的伴隨算符，則formula_110。因此，
這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。
應用基底的完備性，添加單位算符formula_112於算符formula_60的兩旁，可以得到
其中，formula_115是求和式內每一個項目的係數。
所以，量子算符可以用矩陣形式來代表：
算符formula_60與它的伴隨算符formula_108彼此之間的關係為
所以，分別代表這兩個算符的兩個矩陣，彼此是對方的轉置共軛。對於厄米算符，代表的矩陣是個實值的對稱矩陣。
用矩陣代數來計算算符formula_60怎樣作用於量子態formula_70，假設系統因此變換為量子態formula_83：
從左邊乘以本徵態formula_124，應用基底的完備性，添加單位算符formula_125於算符的右邊，可以得到
右矢formula_83、formula_70分別用豎矩陣來代表
兩個豎矩陣彼此之間的關係為
假設算符formula_60是厄米算符，則其所有本徵態都相互正交。以矩陣來代表算符，可以計算出一組本徵值與對應的本徵態，每一次做測量會得到的結果只能是這一組本徵值中之一。由於本徵態的正交性質，可以找到一組基底來表示每一種量子態。解析方塊矩陣的特徵多項式，就可以找到本徵值formula_133：
在這表格裏，算符的表現空間是位置空間。假若表現空間是其它種空間，則表示出的方程式會不一樣。在英文字母上方的尖角號表示整個符號代表的是個量子算符，不是單位向量。
只思考一維問題，將位置算符formula_135施加於位置本徵態formula_136，可以得到本徵值formula_137，即粒子的位置：
由於位置基底具有完整性，formula_139，任意量子態formula_70可以按著位置本徵態形成的基底展開：
將位置算符formula_135施加於量子態formula_70，由於算符formula_135只作用於右矢formula_145，與其它數學個體無關，可以移入積分式內：
左矢formula_85與這方程式的內積為
設定量子態formula_149。由於位置基底具有完整性，formula_150，量子態formula_85與formula_152的內積，可以按著位置本徵態形成的基底展開為
將這兩個積分式加以比較，立刻可以辨識出全等式
設定量子態formula_155。量子態formula_156、formula_70的位置空間表現，即波函數，分別定義為
兩個波函數formula_160、formula_161之間的關係為
總結，位置算符formula_135作用於量子態formula_70的結果formula_156，表現於位置空間，等價於波函數formula_161與formula_137的乘積formula_160。
表現於位置空間，一維動量算符為
將動量算符formula_170施加於量子態formula_70，可以得到類似前一節得到的結果：
應用位置基底所具有的完整性，對於任意量子態formula_83，可以得到更廣義的結果：
其中，formula_175、formula_176分別是量子態formula_83、formula_70表現於位置空間的波函數。
假設formula_70是formula_170的本徵態，本徵值為formula_181，則可得到
將formula_70改寫為本徵值為formula_181的本徵態formula_185，方程式改寫為
這微分方程式的解析解為
所以，動量本徵態的波函數是一個平面波。不需要應用薛丁格方程式，就可以推導求得這出結果。