無限深方形阱
在物理學裏，無限深方形阱（infinite square potential），又稱為無限深位勢阱（infinite potential well），是一個阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大的位勢阱。思考一個或多個粒子，永遠地束縛於無限深位勢阱內，無法逃出。關於這些粒子的量子行為的問題，稱為無限深方形阱問題，又稱為無限深位勢阱問題，盒中粒子問題（particle in a box problem），是一個理論問題。假若，阱內只有一個粒子，則稱為單粒子無限深方形阱問題。假若，阱內有兩個粒子，則稱為雙粒子無限深方形阱問題。假若，這兩個粒子是完全相同的粒子，則問題又複雜許多，稱為雙全同粒子無限深方形阱問題。在這裏，只討論單粒子無限深方形阱問題。
在經典力學裏，應用牛頓運動定律，可以非常容易地求得無限深方形阱問題的解答。假設粒子與阱壁的碰撞是彈性碰撞，粒子的動能保持不變。則這粒子在方形阱的兩阱壁之間來回移動，碰撞來，碰撞去，而速率始終保持不變。在任意時間，粒子在阱內各個位置的機率是均勻的。
在量子力學裏，這問題突然變得很有意思。許多基要的概念，在這問題的解析中，呈現了出來。由於問題的理想化與簡易化，應用薛丁格方程，可以很容易地，雖然並不是很直覺地，求得解答。滿足這薛丁格方程的能量本徵函數，是表達粒子量子態的波函數。每一個能量本徵函數的能量，只能是離散能級譜中的一個能級。很令人驚訝的是，離散能級譜中最小的能級不是 0 ，而是一個有限值，稱為零點能量！這系統的最小能級量子態的能級不是 0 。
更加地，假若測量粒子的位置，則會發現粒子在阱內各個位置的機率大不相同。在有些位置，找到粒子的機率是 0 ，絕對找不到粒子。這些結果與經典力學的答案迥然不同。可是，這些結果所根據的原理，早已在許多精心設計的實驗中，廣泛地證明是正確無誤的。
在量子力學裏，無限深方形阱問題是一個簡單化的，理想化的問題。無限深方形阱是一個有限尺寸的位勢阱，阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。在阱內，粒子感受不到任何作用力，可以自由的移動於阱內。可是，阱壁是無限的高，粒子完全地束縛於阱內。為了刪繁就簡，先從一維問題開始，研討粒子只移動於一維空間的問題。之後，可推廣至二維與三維空間。
這問題的薛丁格方程解答，明確地呈現出粒子的某些量子行為。這些量子行為與實驗的結果相符合；可是，與經典力學的理論預測，有很大的衝突。特別令人注目地是，這量子行為是自然地從邊界條件產生的，而不是人為勉強加添造成的。這解答乾淨俐落地展示出，任何類似波的物理系統，自然地會產生量子行為；與平常的想法恰恰相反，量子行為不是像變魔術一般變出來的。
無限深方形阱問題的粒子的量子行為包括：
不論這問題有多麼地簡單，由於能夠完全地解析其薛丁格方程，這問題可以導致對量子力學有更深刻的理解。實際上，這問題也非常的重要。無限深方形阱問題可以用來模擬許多真實的物理系統。例如，一個導電電子在一根直的，極細的奈米金屬絲內的量子行為。更詳細內容，請參閱條目奈米線。
一個粒子束縛於一維無限深方形阱內，阱寬為 formula_1 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ formula_2 方向）。如圖示，一維無限深方形阱的本徵函數 formula_3 與本徵值 formula_4 分別為
其中，formula_7 是正值的整數，formula_8 是普朗克常數，formula_9 是粒子質量。
一維不含時薛丁格方程可以表達為
其中，formula_12 是複值的、不含時間的波函數，formula_13 是跟位置有關的位勢，formula_14 是正值的能量。 在阱內，位勢 formula_15 。一維不含時薛丁格方程約化為
這是一個已經經過頗多研究的二階常微分方程。一般解本徵函數 formula_12 與本徵值 formula_14 是
其中，formula_24 與 formula_25 是常數，可以是複值，formula_26 是實值的波數（因為 formula_14 是正值的，所以，formula_26 必須是實數。）。
為了求得一般解 formula_12 的常數 formula_24 ， formula_25 ，與波數 formula_26 的值，必須具體表明這問題的邊界條件。由於粒子趨向於位勢低的地區，位勢越高，找到粒子的機率 formula_33 越小。在 formula_34 ， formula_35 兩個阱壁位置，位勢無限的高，找到粒子的機率是微乎其微：formula_36 。所以，邊界條件是
代入方程 (3a) 。在 formula_34 ，可以得到
在 formula_35 ，可以得到
方程 (6) 的一個簡易解是 formula_42 。可是，這樣，波函數是 formula_43 。這意味著一個不可能的物理答案：粒子不在阱內！所以，不能接受這簡易解。設定 formula_44 ，則 formula_45 。那麼，必須要求
其中，整數 formula_47 。
注意到 formula_48 狀況必須被排除，因為，不能容許波函數是 formula_43 的物理答案：粒子不在阱內！
為了求得 formula_24 值，波函數需要歸一化，一個粒子必須存在於整個一維空間的某地方：
常數 formula_24 的值為
常數 formula_24 可以是任何複數，只要絕對值等於formula_55 ；可是，這些不同值的 formula_24 都對應於同樣的物理狀態。所以，為了方便計算，選擇 formula_57 。 最後，將方程 (7) ，(8) 代入方程 (3a) ，(3b) 。一維無限深方形阱問題的能量本徵方程與能量本徵值（能級）是 能量本徵值的公式可以啟發地被推導出來。試想，兩個阱壁必定是波函數的波節。這意味著，阱寬必須剛好能夠容納半個波長的整數倍：
其中，formula_62 是波長，formula_7 是正值的整數。
應用德布羅意假說，粒子的動量 formula_64 是
代入聯繫能量與動量的經典公式，則可以得到系統的能量本徵值。
一個粒子束縛於二維無限深方形阱內，阱寬在 formula_2 與 formula_68 方向，分別為 formula_69 ，formula_70 。阱內位勢為 0 ，阱外位勢為無限大。粒子只能移動於束縛的方向（ formula_2 與 formula_68 方向）。二維無限深方形阱的本徵函數 formula_73 與本徵值 formula_74 分別為
其中，formula_77 與 formula_78 是正值的整數。
在這二維的問題裏，粒子束縛於一個二維位勢阱內，在阱內，二維的解答方程與方程 (2) 類似，是一個二階偏微分方程：
應用分離變數法 。首先，假設 formula_80 是兩個不相關的函數 formula_81 與 formula_82 的乘積，formula_81 只含有變數 formula_2 ，formula_82 只含有變數 formula_68 ：
將 formula_80 的假設方程代入二維方程，則可得到
將這方程兩邊都除以 formula_90 ，則可得到
由於方程左邊圓括號內的兩個項目 formula_92 、formula_93 分別只跟 formula_2 、formula_68 有關，兩個項目分別都必須等於常數：
其中，formula_98 與 formula_99 都是常數，formula_100 。
這樣，可以得到兩個約化的一維薛丁格方程：
前面，已經解析了同樣形式的一維薛丁格方程（方程 (2) ）。將那裡的答案移接到這裡，
其中，整數 formula_105 ，formula_106 。
將兩個方程合併，可以得到解答：
同樣地，應用分離變數法於三維阱問題，可以得到能量本徵函數與能量本徵值：
其中，formula_111 。
當兩個以上的阱寬相等的時候，對應於同樣的總能量，會存在有多個不同的波函數。這狀況稱為簡併，是由物理系統的對稱性造成的。例如，假設 一個三維阱的 formula_112 ，則 formula_113 ，formula_114 ，formula_115 的波函數與 formula_116 ，formula_117 ，formula_115 的波函數，兩個波函數的能量相等。由於在這物理系統裏，有兩個阱寬相等，這物理系統對稱於繞著 z-軸的 formula_119 旋轉。