迭代冪次
在數學裡面，迭代冪次 （亦作超-4運算或四級運算），或可理解為迭代乘方、冪塔運算和超冪運算等等，是專指冪的下一個超運算級別，用以表示極大的數字。以下列舉了首四個超運算級別，其中迭代冪次為第四級，（后继函数，例如formula_1即將formula_2加上一，可理解為第零級運算，相關解釋參見皮亞諾公理）。範例如下：
以上每一個運算級別皆被定義為對上一運算級別的迭代（迭代冪次的下一個運算級別為五級運算（超-5運算））。迭代冪次跟首三個超運算級別的一大不同之處在於首三個超運算級別中的"n" 可以是任意複數，而"n" 為任意複數的迭代冪次目前則未有一個概括的定義。另外，迭代冪次不屬於初等函數。
加法("a" + "n")是最基本的運算級別；乘法("a" × "n")亦是其中一種初等函數，在自然數的域當中，它可被視為"a" 的"n" 次鏈式加法；冪("formula_7")則可被視為"a" 的"n" 次鏈式乘法。如此類推，迭代冪次("formula_8")可被視為"a" 的"n" 次鏈式冪。當中，變量"a" 將會在下文被稱為底數，而變量"n" 則是此函數的"高度值"，在下文有時會被稱為上標數（早段提及的上標數皆為整數，而後則會擴展到分數、實數以及複數，如下所示）。
對於任何正實數"a" (formula_9)及非負整數"n" (formula_10)，formula_11被定義為：
從上述定義中可見，當計算被表達成冪塔的迭代冪次時，冪運算是先由最深層（以符號來表示，則最高級）的上標數做起。例子如下：
要注意，冪是不遵從結合律的，因此以其他順序來計算上述表達式將會出現不一樣的答案，例如：
因此，冪塔一定要從上而下（或從右至左）來運算。在電腦程式中，此制式稱為右結合律。
當"a"與"n"為互質時，我們可以透過歐拉定理來計算formula_15的最後"m"個小數位值。
迭代冪次在英文裡面稱作"tetration"，有時亦會被稱為"superexponentiation"及"hyperpower"（中文意譯超冪）等，這些詞語也可被用來表示這種運算模式。
迭代冪次有時會跟一些相關的函數及表達式混淆，這是因為在這些函數及表達式當中的大部分專門用語均適用於迭代冪次。以下列舉了一些相關用語：
在首兩種表達式當中的"a" 是"底數"，而"a" 出現的數目則是"高度值"（"x" 的出現使"高度值" 加1）。在第三種表達式當中，"n" 是"高度值"，但每一個底皆不相同。
要注意的是，迭代指數的形式有時也會被稱為迭代冪次。這是模稜兩可的，因為這可以指迭代乘方或迭代指數。
可以用來表示迭代冪次的符號有很多，當中有一些符號可用來表示更高級的迭代運算（hyper-5、hyper-6 等等）。
上述的迭代指數表示法中使用的迭代指數記號，一般被定義成：
以下是一些用以表示迭代指數的符號：
在下表，大部分數值大得連科學記數法也難以表示，因此使用了迭代指數記號，設底數為10來表示。包含小數點的數值是近似值。
以下是對迭代冪次函數的"線性逼近法"（以滿足連續函數的需要性，逼近法基於此函數的可微性質）的定義： 由此可得： 及其他逼近值。不過，這個函數只是分段可微的；在x為整數的時候，函數的導數要乘以formula_18。
formula_19
Hooshmand的手稿中有一個重要定理：設formula_20。若formula_21 是連續的並滿足以下條件：
由此，formula_23 可於以下方程式中獨特地定義出來：
當中，formula_30 標示x的分數部分，以及formula_31 是函數formula_32 的formula_33-迭代函數。
以上四個條件中的第二個條件僅當formula_23 在[-1, 0]之上是線性函數，由此可作為上述對formula_23 的定義的證明。
對自然迭代冪次函數formula_36 的線性逼近法是連續可微的，但其二階導數的輻角並不是整數值。Hooshmand為此導出了以下的這一個獨特定理：
若formula_37 是一個連續函數並滿足以下條件:那麼formula_42。（這裡的formula_42 是Hooshmand給予自然迭代冪次函數的線性逼近法的名稱。）
這個定理的證明跟之前提到的證明法十分相似；遞迴方程式保證了formula_44 ，而formula_23 的凸函數的性質僅當formula_23 在(-1, 0)之上是線性的。
所以，自然迭代函數的線性逼近法是凸於formula_47 之上的方程式formula_48 的唯一解。所有其他充足可微的解在區間(-1, 0)之上必定存在一個拐點。
以下是對a ≠ e的迭代冪次函數的"二次逼近法"（逼近法基於此函數的可微性質）的定義： 這對所有formula_50 可微，但並不二次可微。若formula_51，應採用線性逼近法。
有關於三次逼近法，以及一個能歸納出"n" 次逼近法的方法，詳見：。
迭代冪次能被推廣至定義formula_52 乃至其他定義域。
指數formula_53 是不連續定義的。所以，迭代冪次formula_54 於早期提出的公式中亦並不被清晰定義。不過，formula_55 是定義良好的，並存在： 所以我們能連續地定義formula_57。這等價於定義formula_58。
在這推廣之下，formula_59，所以最初定義出來的法則formula_60 依然成立。
由於複數可以作為指數，迭代冪次的底數可以為formula_61 的形式，當中的formula_62 是−1的平方根。舉例來說，設formula_63，對於formula_64，其迭代冪次可由自然對數中的來達成，並用歐拉公式得出以下關係：
這表明了formula_66 在任何formula_67 的情況下的遞迴定義為：
從而導出以下的逼近值：
根據上一部分對於迭代冪次的逆向關係的定義，可得formula_69 及formula_70，當中負值的"n" 在虛數軸上會得出無窮的結果。在複平面當中，整個序列成螺旋形地趨向於極限formula_71，這個極限可理解為"n" 為無窮時，函數相對應的值。
這樣的迭代冪次序列由歐拉時期已開始被研究，但是由於序列的雜亂性而難以被理解。歷史上大部分有正式發表的研究皆集中於冪塔函數的收歛性。高運算效率電腦連同計算機代數系統和分形幾何系統的出現大大地促進了近代對於"迭代冪次"的研究。現時對迭代冪次的研究均建基於複動力學的普遍知識及對指數映射的專門研究。
迭代冪次可被推廣至無窮高（formula_72 當中的"n"）。這是因為當底數在一個特定的區間之內而高度值趨向於無窮時，迭代冪次會收歛於一個有限的數值。舉例來說，formula_73 收歛於2，因此可以說是等於2。對2的趨向性可從對以下小型有限冪塔的計算而看出來：
一般來說，有限冪塔formula_75 （定義為當"n" 趨向於無窮時formula_76 的極限）收歛於"e" ≤ "x" ≤ "e"，大約是位於0.066和1.44之間的區間，這是由萊昂哈德·歐拉所證明的。如果存在一個極限，這會是一個對於方程式"y" = "x" 的正實數解。所以，"x" = "y"。根據這個極限的定義，當"x" > "e" 時，"x" 的無窮迭代冪次不具收歛性，因為"y" 的最大值為"e"。
以上特性可以被推廣至複數底"z"，定義如下：
當中的"W"（"z"）表示朗伯W函數。
由於極限"y" = "x" （如果存在的話，即當"e"  0，找出一個能滿足以下條件的"超冪函數" formula_88 ，當中formula_89 並為實數：
對於第四個條件，不同的編者有不同的說法，而且亦視乎於採用何種逼近法。對於把迭代冪次推廣至實高，有兩種主要的逼近法，一種是建基於"規律性" 需要，另一種則建基於"可微性" 需要。這兩種逼近法似乎十分相異，皆因它們所得出的結果並不相符。
幸運地，任何在一段長度的區間內滿足到其中一種逼近法的解，皆能被推廣為一個對於所有正實數高度值的迭代冪次的通解。當formula_97 在一段長度的區間內被定義，對任何formula_89，整個函數的後續將能被輕易地定義出來。
其中一个简单的推广方式为：
formula_99
当且仅当formula_100 。可以判断，当formula_101、formula_102时，乘法和幂次成立：formula_103 当且仅当formula_104;formula_105 当且仅当formula_106
举例，当formula_107 时, 计算 formula_108 和 formula_109 ： formula_110, 则 formula_111。 formula_112,则formula_113； 由 256= 16^2 = 16^(16^^(1/3)) = 16^^(1+1/3) = 16^^(4/3) 得 256^^(3/4) = 16。
以下為有關猜想：函數"F" 為方程式 的解並滿足以下附加條件：當"z"逼近於±"i" ∞及"F" 在整個複數"z" 平面當中為全純函數，"F"(0)=1 及"F"("z")逼近於對數的不動點 （大約為 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890"i"）。