斯特灵数
在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由引入並以其命名，以'和'的稱呼區分。此外，有時候也將稱爲第三類史特靈數。
可以定義爲對應遞降階乘展開式的各項係數，即 formula_1 其中，formula_2（formula_3）即爲第一類史特靈數。例如： 則 於是formula_6， formula_7， formula_8， formula_9。
由此可知，formula_2是代數數，或稱爲有符號（第一類）史特靈數（英語：signed Stirling numbers of the first kind）。
有符號史特靈數的絕對值formula_11可以看作（或直接定義爲）把formula_12個元素排列成formula_13個非空圓圈（循環排列）的方法數目。所以formula_11是算術數，或稱爲無符號（第一類）史特靈數（英語：unsigned Stirling numbers of the first kind）。無符號史特靈數一般可以記爲formula_15或formula_16。例如：把formula_17，formula_18，formula_19三個數排列成formula_20個非空圓圈，顯然有零種方法；排列成formula_17個非空圓圈，有formula_22，formula_23兩種方法；排列成formula_18個非空圓圈，有formula_25formula_26，formula_27formula_28和formula_29formula_30三種方法；排列成formula_19個非空圓圈，有formula_25formula_30formula_28一種方法，所以formula_35formula_36，formula_37，formula_38。可以看到這和前面有符號史特靈數formula_2在formula_40時的結果一致（只是符號差異）。
與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義爲對應遞進階乘展開式的各項係數，即 其中，formula_16（formula_3）即爲無符號史特靈數。不過要注意，這裏的記號formula_16有時候會用來表示高斯二项式系数。
有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：
無符號史特靈數有更多的應用。例如，將formula_12個元素分成formula_13組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數formula_16求得。以formula_49爲例：或用有向圖表示如下：
無符號史特靈數有如下遞推關係式： 其中，formula_51，且初始條件爲 formula_52，formula_53（formula_54）。
有符號史特靈數有如下遞推關係式：
下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以通過它們之間的關係式： 求得。
觀察前面的“第一類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：
如果formula_60，我們有 或更一般地，如果formula_62，我們有
還有
注：這裏記號formula_69表示组合数。
與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義爲 其中，formula_71即爲第二類史特靈數，也可以記爲formula_72。例如： 即 將遞降階乘展開並合併同類項，得 比較等式兩邊係數，得 解得
formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。
第二類史特靈數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分爲formula_13個非空子集的方法數目。例如：對於集合formula_83，若拆分爲formula_20個非空子集，顯然有零種方法；拆分爲formula_17個非空子集，只有formula_83一種方法；拆分爲formula_18個非空子集，有formula_88formula_89，formula_90formula_91，formula_92formula_93三種方法；拆分爲formula_19個非空子集，有formula_88formula_92formula_91一種方法。於是formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。
第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：
取formula_103進行驗算，有 即 於是
將formula_12個人分成formula_13組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成formula_17組，只能所有人在同一組，因此formula_110；若所有人分成formula_111組，只能每人獨立一組，因此formula_112；若分成formula_18組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：因此formula_114。同理，可以得到formula_115。
第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：
其中，formula_51，且初始條件爲 formula_118，formula_119（formula_54）。
下面爲部分第二類史特靈數：
觀察前面的“第二類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：
如果formula_60，我們有 或更一般地，如果formula_62，我們有
還有
貝爾數和第二類史特靈數有如下關係：
第一類和第二類史特靈數可以看作互爲逆矩陣的關係：
以及
其中，formula_138是克羅內克爾δ。
是由在1954年發現的，因爲拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱爲第三類史特靈數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義爲
或
其中， formula_141即爲拉赫數。例如：
即
等式兩邊展開並合併同類項，得
比較等式兩邊係數，得
解得 formula_146，formula_147， formula_148，formula_149。
或
即
等式兩邊展開並合併同類項，得
比較等式兩邊係數，得
解得 formula_146，formula_147， formula_148，formula_149。
以上定義的拉赫數是無符號拉赫數（英語： signed Lah numbers），有符號拉赫數（英語：signed Lah numbers）的定義如下：
或
無符號拉赫數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分爲formula_13個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合formula_83，若拆分爲formula_20個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分爲formula_17個非空線性有序子集，有formula_165，formula_166，formula_167，formula_168，formula_169，formula_170六種方法；拆分爲formula_18個非空線性有序子集，有formula_172formula_173，formula_172formula_175，formula_176formula_177，formula_176formula_179，formula_180formula_181，formula_180formula_183六種方法；拆分爲formula_19個非空線性有序子集，有formula_172，formula_176，formula_180一種方法。於是formula_146，formula_147， formula_148，formula_149。
無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：
有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：
無符號拉赫數有如下遞推關係：
或
其中，formula_196，formula_196，formula_198（formula_62），formula_200
下面爲部分無符號拉赫數：
觀察前面的“拉赫數表”，我們可以得到一些簡單性質：
formula_201， formula_202（formula_54）
如果formula_204，有 formula_201，formula_206
還有
無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：
無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下：
取formula_216進行驗算，有
即
於是
由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有
其中，formula_138是克羅內克爾δ。
三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示：