短時距傅立葉變換
短時距傅立葉變換是傅立葉變換的一種變形，也稱作windowed Fourier transform或time-dependent Fourier transform，用於決定隨時間變化的信號局部部分的正弦頻率和相位。實際上，計算短時距傅立葉變換(STFT)的過程是將長時間信號分成數個較短的等長信號，然後再分別計算每個較短段的傅立葉轉換。通常拿來描繪頻域與時域上的變化，為時頻分析中其中一個重要的工具。
將訊號做傅立葉變換後得到的結果，並不能給予關於信號頻率隨時間改變的任何資訊。以下的例子作為說明：
傅立葉變換後的頻譜和短時距傅立葉轉換後的結果如下： 由上圖可發現，傅立葉轉換只提供了有哪些頻率成份的資訊，卻沒有提供時間資訊；而短時傅立葉轉換則清楚的提供這兩種資訊。這種時頻分析的方法有利於頻率會隨著時間改變的信號，如音樂信號和語音信號等分析。
簡單來說，在連續時間的例子，一個函數可以先乘上僅在一段時間不為零的窗函數再進行一維的傅立葉變換。再將這個窗函數沿著時間軸挪移，所得到一系列的傅立葉變換結果排開則成為二維表象。數學上，這樣的操作可寫為： 另外也可用角頻率來表示： 其中formula_4是窗函數，窗函數種類有很多種，會在稍後再做仔細討論。formula_5是待變換的訊號。formula_6是formula_7的傅立葉變換。 隨著formula_8的改變，窗函數在時間軸上會有位移。经formula_7後，信號只留下了窗函數截取的部分做最後的傅立葉轉換，所得到的結果為一複數函數，代表著信號隨時間與頻率變化的大小與相位。
在離散時間的例子，資料會被切割成數個大量的帧，而每組帧通常會互相重疊，避免因切割方式造成邊界的誤差。而每組帧在各自進行傅立葉轉換後所得的複數結果會再進行相加，可得到每個點時間與頻率變化的大小與相位。數學上，這樣的操作可寫為：
formula_10
相同地，其中formula_11是窗函數，formula_12是待變換的訊號。在這個例子裡，m是離散的且ω是連續的，但大部分實際的應用當中，短時距傅立葉轉換在電腦中都是以快速傅立葉轉換進行計算(見實現方法的快速傅立葉變換)，而此時這兩個參數都是離散且被量化的。
當只想要得知特定少數的ω，或是短時距傅立葉轉換每次窗函數移動m的值，則短時距傅立葉轉換可以利用sliding DFT演算法更有效地計算出來。
短時距傅立葉轉換是可逆的，也就是說原本的信號可以藉由反短時距傅立葉轉換將短時距傅立葉轉換後的信號還原。
其中最廣為接受的反短時距傅立葉轉換方法是重疊-相加之摺積法，此方法也促成了更多樣的信號處理方法。
反短時距傅立葉轉換，其數學類似傅立葉轉換，但須消除窗函數的作用，首先必須先將窗函數的總面積規模化使得
而從上也可輕易地得出
和
連續傅立葉轉換公式如下：
將formula_5進行上述的替換：
將積分順序進行交換：
因此傅立葉轉換可以視為某種將formula_5所有的短時距傅立葉轉換的相位同調部分進行相加。
而反傅立葉轉換公式如下：
因此 formula_5可以從formula_26被復原
formula_27
或
與上面所列的窗函數的式子進行比較，可得
對反傅立葉轉換公式中的formula_26來說formula_31是不變的
窗函數通常滿足下列特性:
常見的窗函數有：方形、三角形、高斯函數等，而短時距傅立葉轉換也因窗函數的不同而有不同的名稱。而加伯轉換，即為窗函數是高斯函數的短時距傅立葉轉換，通常沒有特別說明的短時距傅立葉轉換，即為加伯轉換。
當在特殊應用時，窗函數特性的第一點可以不滿足，如下圖的非對稱窗函數formula_38，其中formula_39。左圖為窗函數原本的圖形，而在計算短時距傅立葉變換時，需將窗函數轉到formula_31軸上得出formula_41，換言之，欲得到的短時距傅立葉變換的結果需在formula_42的時間點才能算出，因此若formula_43愈小，即可愈快得結果，此種非對稱窗函數可應用在地震波、碰撞偵測...等，需要即時處理的應用。右圖即為方形窗函數的一個例子，其數學定義： formula_44
可以隨要分析的信號，來調整B的大小（即調整方形窗函數的寬度）。至於B的選擇，將會在下面探討。
短時傅立葉轉換可以簡化為 反短時傅立葉轉換可簡化為
其大部分的特性都與傅立葉轉換的特性相對應
結果如右圖所示，B越大則在頻率變化處(t = 10, 20)附近的頻率越不準確，即可能會有多個頻率成分出現。但同時，其他時間點的能量則較集中；沒有如B較小時，頻率散開或模糊的情形。
上述也是其中一個小波轉換及多解析度分析作為改進的方向，其中多解析度分析能在高頻時有較好的時間軸解析，而在低頻時能有較好的頻率軸解析，此種組合較契合許多實際的應用。
時間軸與頻率軸的解析度無法同時提升也與海森堡不確定性原理有關，即時間與頻率的標準差乘積有所限制，而高斯函數恰好能符合不確定性原理的極值，也就是兩者同時達到最好的解析度，而應用高斯函數的時頻分析方法即為加伯轉換，而在經過修改及多解析度分析後，成為了莫萊小波。當Nyquist頻率是能被有意義分析的頻率最大值的限制，而瑞利頻率則是能被有限頻寬頻的窗函數解析的頻率最小值的限制。若給定一窗函數的長度是T秒，最低能被解析的頻率即為1/T Hz。
瑞利頻率在短時距傅立葉變化的應用中扮演重要的角色，像是在分析神經信號時。
Spectrogram即短時傅立葉轉換後結果的絕對值平方，兩者本質上是相同的，在文獻上也常出現spectrogram這個名詞。
從連續短時距傅立葉變化的定義出發
令 formula_78 ，則上述式子時域可從連續轉為離散
formula_79
若當formula_80
上式可改寫為
(1)要滿足Nyquist criterion(1)要滿足Nyquist criterion
標準的離散傅立葉轉換式子為
formula_108
由直接運算得知如下公式
formula_109
因此為了讓上式符合離散傅立葉轉換的上下界，令formula_110代入上式即可得
formula_111
其中 formula_112
假設formula_113
步驟一：計算formula_115
步驟二：formula_116
步驟三：決定formula_117
步驟四：formula_118
步驟五：轉換formula_119成formula_120
步驟六：設formula_121，並回到步驟三，直到formula_122
formula_123
藉由取樣定理可得知formula_124
假設formula_125及formula_126，則經由formula_127可得formula_128
步驟一：formula_133
步驟二：formula_134
步驟三：計算formula_135
步驟四：利用求得的formula_117計算快速傅立葉轉換 formula_137
步驟五：轉換formula_119到formula_120
步驟六：設定formula_121，回到步驟三直到formula_146
利用FFT計算formula_147，其中每次FFT的時間複雜度為 formula_148
總時間複雜度為formula_149
優點：與直接運算相比，複雜度較低
缺點：較多限制，包括 formula_150
(1)要滿足Nyquist criterion
(2)formula_106
(3)formula_107
(4)需為方形窗函數的短時距傅立葉轉換
因為是方形窗函數 formula_154，因此原式可由此關係變成以下式子
formula_155
而由此可看出n和n-1有遞迴關係，如下
formula_156 (1)以FFT計算formula_157
(2)利用遞迴關係式計算算formula_159
(1)FFT計算一次 formula_157(2)利用遞迴關係，計算formula_163時的數值，因此共會執行T-1次遞迴，如下式
總時間複雜度 formula_168
優點：四種運算中，最低的複雜度formula_169
缺點：
(1)要滿足Nyquist criterion
令formula_171
即可由直接運算的式子導出Chirp_Z變換的式子，如下所示
formula_172
Step1:formula_173 formula_174
Step2:formula_175
Step3:formula_176
當n為定值時
(1)假設formula_177 相乘時間複雜度為2Q+1
(2)令formula_178，則formula_179 convolution時間複雜度為 formula_180
(3)formula_181相乘時間複雜度為 F
因此，總時間複雜度為formula_182
雖然此實現方法和使用FFT計算的時間複雜度相同，但因為convolution相當於做三次FFT，因此實際操作時運算時間約為使用FFT計算的2~3倍 優點：只有一項限制：formula_183
缺點：與前四種相比，複雜度是中間的。 將直接法和快速傅立葉轉換方法做修正
formula_94
修正後 ：formula_185
其中， formula_186 ,formula_187
假設formula_188 for formula_189，則上下限可藉由以下推導而修正
formula_190 則上限可以寫成formula_191，下限則以此類推
註：formula_192(輸入訊號的取樣間隔)
formula_193(在t軸上的輸出訊號的取樣間隔)
然而，formula_194是整數會是比較好的。
formula_195 則經由上述公式可求得S=441，代表經由unbalanced sampling，我們跟原本formula_196相比可減少441倍的取樣點。
由於t軸的取樣點少了S倍，因此跟原本的直接運算複雜度相比，只要把formula_197即可，如下：
複雜度：formula_198
(1) formula_199
(3) formula_202，formula_203的頻寬是 formula_204
i.e. formula_205 ，當 formula_206
formula_207
令 formula_208
formula_209 for formula_210
formula_211for formula_212
修正後：formula_213
假設formula_214
formula_215
formula_216
步驟一：計算formula_217
步驟二：formula_218
步驟三：決定formula_117
步驟四：formula_118
步驟五：轉換formula_221
步驟六：設定formula_121及返回步驟三，直到formula_223
formula_198
(1) 先用比較大的formula_193
(2) 如果發現formula_227 和 formula_228 之間有很大的差異，則在formula_229，formula_230 之間選用比較小的取樣區間formula_231
再用Unbalanced Sampling for STFT and WDF 中修正後的快速傅立葉轉換方法算出 formula_235，formula_236formula_237
(3) 以此類推，如果 formula_238的差距還是太大，則再選用更小的取樣間隔formula_239
若有一音樂信號總共有1.6秒，formula_243