索伯列夫空间
数学上，一个索伯列夫空间是一个由函数组成的賦範向量空間，对于某个给定的"p" ≥ 1，它对一个函数"f"和它的直到某个"k"阶导数加上有限"L"范数的这个条件。它以前苏联数学家舍蓋·索伯列夫來命名。
对于数学函数的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函数要连续，更進一步的要求是可微（因为可微函数也是连续的），再强一些的概念是导数的连续性（这些函数称为formula_1 — 参看光滑函数）。可微函数在很多领域相当重要，特别是在微分方程中。在二十世纪，人们发现formula_1函数空间不是研究微分方程的解的恰当的空间。
而索伯列夫空间正是formula_1空间的替代品，用于研究偏微分方程的解。
我们从最简单情况下的索伯列夫空间开始，也就是单位圆上的一维情况。在这个情况下，索伯列夫空间formula_4定义为"L"的子集，使得"f"和它的直到"k"阶的导数有一个有限的"L"范数，对于某个给定的"p" ≥ 1。定义正确意义上的导数时必须小心。在这个一维问题中，假设formula_5是几乎处处可微并且等于其导数的勒贝格积分（这可以排除康托函数这样的例子）就足够了。
按照这个定义，索伯列夫空间有一个自然的范数,
赋予了范数formula_7的formula_4是一个完备空间。实际上只要取序列中的第一项和最后一项就可以了，也即，如下的范数
和上述范数等价。
有些索伯列夫空间有简单的表述。例如，在一维情况，formula_10就是绝对连续函数空间，而"W"是李普希兹函数空间。还有，formula_11可以自然地用其傅立叶级数的术语定义，也就是
其中formula_13是"f"的傅立叶级数。和前面一样，可以采用等价的范数
两个表达都可以从帕塞瓦尔定理以及微分等价于傅立叶系数乘以"in"这个事实导出。这个特殊情况很重要，因此有一个特别的符号，formula_15:
为避免混淆，在讨论不是整数的"k"的时候，我们通常用"s"来取代它，也即formula_17或者formula_18。
"p" = 2的情形是最简单的情形，因为傅立叶表述可以直接推广。我们定义范数为
而索伯列夫空间formula_18为具有有限范数的函数的空间。
如果"p"不是2，就采取类似的方法。在这个情况下帕塞瓦尔定理不再成立，但是微分还是对应于在傅立叶域中的乘法，并且可以推广到非整数阶。因此，可以定义一个分数阶微分的算子其阶为s，如下所示
换句话说，取傅立叶变换，乘以formula_22再取逆傅立叶变换（定义为傅立叶－乘法－逆傅立叶的算子称为乘子，这本身也是一个研究主题）。这使得我们可以定义formula_23的索伯列夫范数如下
而且，跟平常一样，索伯列夫空间是有有限索伯列夫范数的函数的空间。
获取“分数索伯列夫空间”的另一个办法是采用复插值。复插值是一个通用的技术：对于任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空间"X"及"Y"，且这二者都包含于某个更大的巴拿赫空间中，我们可以创建“过渡空间”，记为["X","Y"]。（后面将会讨论到一个不同的方法，所谓的实插值方法，它对于迹的分类的索伯列夫理论有重要的意义）。 这样的空间"X"和"Y"称为插值对。
下面提一些关于复插值的有用的定理：
"定理 (插值): "[ ["X,Y"] , ["X,Y"] ] = ["X,Y"].
"定理 (算子的插值): 若"{"X,Y"}"和"{"A,B"}"是插值对，并且若T是一个线性映射，定义与X"+"Y到A"+"B中，使得T在X到A和Y到B上连续，则T从"["X,Y"]"到"["A,B"]"上连续。并且有如下的插值不等式："
formula_25
参看: Riesz-Thorin定理。
回到索伯列夫空间上来，我们要通过对几个formula_4的插值得到非整数"s"的formula_17。第一件事当然是看看这个可以给出一致的结果，而我们确实有
"定理: formula_28，如果n是一个整数使得n=tm。"
因此，复插值是一个得到一个空间formula_4之间的空间formula_17的一个连续统的一致的方法。而且，它给出了和分数阶微分同样的空间（但参看延拓算子中的一个变化）。
现在考虑在R及其子集上的索伯列夫空间。从圆到线的变化只涉及傅立叶公式的技术细节 — 基本上就是将傅立叶级数变为傅立叶变换，将求和变为积分。到多维情况的转换有更大的难度，从定义就开始变化。formula_5是formula_32的积分这个条件无法一般化，而最简单的解决办法是考虑分布理论意义下的导数。
由此可以得到一个形式化的定义。令"D"为R中开集。定义索伯列夫空间
为定义于"D"上的函数"f"的族，使得对于满足下式的每个多重索引formula_34
formula_36是一个函数，且
在它上面的一个合适的范数是所有这样的α上的那些"L"范数的和。它是完备的，因此是一个巴拿赫空间。
实际上，这个方法在一维也成立，并且和前面分数阶微分中所述并无多大区别。
在多维情况，有些结果不再成立，例如，formula_10只包含连续函数。例如，1/|"x"|属于formula_39，其中formula_40是三维的单位球。对于足够大的"k"，formula_41将只包含连续函数，但是对于哪个"k"才够取决于"p"以及维数这二者。
但是，"W"和formula_11的表述在做了必要的修改之后还是成立的。
索伯列夫空间formula_43是formula_44的子集。一个很自然的问题是:有没有其它的"L"空间包含formula_43？索伯列夫嵌入定理给出一个简单的表达（参看）:
"定理:令formula_46且formula_47。则如下命题成立:"
令"s" > ½。若"X"为开集，使得其边界 "G""足够光滑"，则我们可以定义映射"P"的"迹"（也即，"限制")如下
也即，"u"限制到边界"G"上。一个可能的光滑条件是一致formula_55， "m" ≥ "s"。 （但是注意，这个矩阵迹没有关系。）
这个迹映射"P"其定义域为formula_56，而其像正好是formula_57。如果要完全形式化，"P"首先定义在无穷可微函数上，并且通过连续性扩展到整个formula_56。注意取迹'失去了半个导数'。
确定formula_17的迹映射的像要困难很多，需要使用实插值这个工具，在此不具体讨论。其最后的结果是Besov空间。事实上，在formula_17空间的情形，我们不是失去半个导数，我们失去了1/"p"个导数。
若"X"是开域，其边界不是太不良（例如，如果其边界为流形，或者满足更宽松但更奇特的“锥条件”）则存在一个算子"A"将"X"的函数到R的函数，使得：我们称算子"A"为"X"的延拓算子。
延拓算子是最自然的定义非整数"s"的formula_56方法（我们不能直接在"X"进行，因为取傅立叶变化是一个整体操作）。我们定义formula_56为："u"属于formula_56当且仅当"Au"属于formula_66。等价的有，复插值产生同样的formula_56空间只要"X"存在一个延拓算子。如果"X"没有一个延拓算子，复插值是唯一取得formula_56空间的办法。
因此，插值不等式仍然成立。
我们定义formula_69为无穷可微紧支撑函数的空间formula_70在formula_56中的闭包。给定一个迹的定义如上，我们可以给出如下命题
"定理：令X为一致C正规空间，m ≥ s并令P为线性映射，将formula_56中的u映射到"
"其中d/dn是垂直于G的导数，而k是最大的小于s的整数。则formula_74正好是P的核。"
若formula_75，我们可以一种自然的方式定义它的零延拓formula_76，也就是
"定理：令s>½。将u变为formula_80的映射是到formula_81中的连续映射，当且仅当s不是形为n+½（对于某个整数n）。"