外代数
外代数（）也稱為格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以紀念赫爾曼·格拉斯曼。
数学上，给定向量空间formula_1的外代數，是特定有单位的结合代数，其包含了"formula_1"为其中一个子空间。它记为formula_3或formula_4而它的乘法，称为楔积或外积，记为formula_5。楔积是结合的和雙線性的；其基本性質是它在"V"上交錯的，也就是：
这表示
注意这三个性质只对formula_1中向量成立，不是对代数formula_3中所有向量成立。
外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。formula_3的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。
形式为formula_15的元素，其中formula_16在"formula_1"中，称为formula_18-向量。所有"formula_18"-向量生成的formula_3的子空间称为"formula_1"的formula_18"-阶外幂，记为formula_23。外代数可以写作每个formula_18"阶幂的直和：
该外积有一个重要性质，就是formula_18-向量和formula_27-向量的积是一个formula_28-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由formula_18给出。这些formula_18-向量有几何上的解释：2-向量formula_31代表以formula_32和formula_33为边的带方向的平行四边形，而3-向量formula_34代表带方向的平行六面体，其边为"formula_32", "formula_33", 和formula_37。
外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。
外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。
定义: 设 formula_1是域 formula_39上的一个向量空间，讓formula_40則定義 令 formula_27为 formula_1的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如formula_44的张量生成的（其中formula_45任意），则将formula_1上的外代数formula_47定义为商代数formula_48，即
并且把formula_50的等价类 formula_51记为formula_52，其中 formula_53。设formula_54 称
为formula_1的formula_18-阶外幂（formula_18th exterior power of formula_1），称formula_60中的元素为formula_18-向量（formula_18-multivector）。
注：
运算律 将上面的注中的内容用formula_106写出，则分别给出
(1) formula_107, formula_108
证明如下： 作为等价类，我们从formula_109中任意挑选一个代表元formula_110，则formula_95而且formula_112。根据商代数的定义，
类似地，可以证明formula_114
(2) 根据注3.1中的内容，显然有formula_115.
(3) 根据注3.2中的内容，对任意formula_116成立着
注：即使formula_39的特徵为2，这个公式也是对的，只不过此时有formula_119而已。
(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算formula_120满足结合律和分配律：
其中formula_124都是任意的。
以前两条性质为例，其证明如下：设张量formula_125分别是formula_126中的代表元，即formula_127, formula_128, formula_129, 则
(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：formula_132 证明从略。
若formula_1的维数是formula_135而formula_136是"formula_1"的基，则集合
是formula_18阶外幂formula_23的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积
则每个向量formula_142可以记为基向量formula_143的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基formula_18-向量前的系数可以用通过积"formula_143"来描述"formula_142"的矩阵的子式来计算。
数一下基元素，我们可以看到formula_23的维数是"n" 取 "k"。特别的有， formula_148对于formula_149.
外代数是一个分级代数，是如下直和
其维数等于二项式系数之和，也就是formula_151.
考虑空间formula_152，其基为formula_153。一对向量 的楔积为
其中formula_157是三维空间formula_158的基底。
再加一个向量 这三个向量的楔积是
其中formula_161是一维空间formula_162的基底。
空间formula_163是formula_152, 而空间formula_165是formula_166。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间formula_167，这是八维向量空间
那么，给定一对8维向量formula_169和formula_170, 其中formula_169如上给出，而
formula_169和formula_170的楔积如下(用列向量表达),
容易验证8维楔积以向量formula_176为乘法幺元。也可以验证该formula_167代数的楔积是结合的(也是双线性的):
所以该代数是有单位且结合的。
对三维欧几里得空间formula_179可以建立一个线性同构formula_180如下：任取formula_179的右手的标准正交基formula_182，formula_183，formula_184，规定formula_185把formula_186，formula_187，formula_188分别映射为formula_184，formula_182，formula_183，则formula_185的定义与右手的标准正交基如何选取无关。
不难看出，对任意向量formula_193和formula_194，这个线性同构把formula_195映射为formula_196。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，formula_179中平行四边形formula_198的面积向量可以表示为formula_199，推广之后，高维黎曼流形formula_200中的紧的二维曲面formula_201的面积用
来计算（其中formula_203是度规张量场formula_204在formula_201上的诱导度规 formula_206 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的渊源关系。
物理学中经常要区分的向量（极向量）与赝向量（轴向量）这两个概念，现在就容易理解了：从根本上说，向量是formula_179中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是formula_208中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。
类似地，借助于右手的标准正交基，可以把formula_209中的元素formula_210映射为“标量"formula_211。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。
把 2-向量formula_195映射为向量formula_196以及把 3-向量formula_210映射为一个实数formula_169的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。
令formula_1为一个域formula_39（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。formula_218是“最一般”的包含formula_1的并有一个交替乘法在"formula_1"上由单位的结合"formula_39"-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：
要构造最一般的包含"formula_1"的代数，而且其乘法是在"formula_1"上交替的，很自然可以从包含"formula_1"的最一般的代数开始，也就是张量代数formula_225，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取formula_225中由所有形为formula_227的元素生成的双边理想formula_27，其中formula_33属于"formula_1"，并定义formula_218为商
（并且使用formula_5为formula_218中的乘法的代号）。然后可以直接证明formula_218包含"formula_1"并且满足上述泛性质。
如果不是先定义formula_218然后把外幂formula_23等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间formula_23然后把它们合并成为一个代数formula_218。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。
给定两个向量空间"formula_1"和formula_242，一个从formula_243到"formula_242"的"反对称算子"是一个多线性映射
使得只要formula_16是"formula_1"中线性相关的向量，则
最著名的例子是行列式值，从formula_249到formula_39的反对称线形算子。
映射
它关联"formula_1"中的formula_18个向量到他们的楔积，也就是它们相应的"formula_18"-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在"formula_243"上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子formula_245，存在一个唯一的线性映射formula_257。这个泛性质表述了空间formula_23并且可以作为它的定义。
所有从"formula_243"到基域"formula_39"的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若"formula_1"是有限维的，维数formula_135，则该空间可以认同为formula_263，其中formula_264表示"formula_1"的对偶空间。特别的有，从"formula_243"到"formula_39"的反对称映射的空间是formula_135取"formula_18"维的。
在这个等同关系下，若基域是formula_270或者formula_271，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设formula_272和formula_273为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：
其中多线性映射的交替formula_275定义为其变量的所有排列的带符号平均：
注意： 有一些书中楔积定义为
在主要由物理学家使用的指标记法中
令formula_279为一个微分流形。一个微分"k"-形式formula_280是formula_281（formula_279的余切丛的formula_18阶外幂）的一个截面。等价的有：formula_280是formula_279的光滑函数，对于formula_279的每个点formula_287给定一个formula_288的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。
给定一个交换环formula_270和一个"formula_270"-模"formula_279"，我们可以定义和上文一样的外代数formula_292，它是张量代数formula_293适当的商。它会满足类似的泛性质。
格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。
"参看"：超空间，超代数，超群