狄拉克δ函数
在科學和數學中，狄拉克函數或簡稱函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的一個廣義函數或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於1。函數有時可看作是在原點處无限高、无限细，但是总面积为1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或点电荷的密度。
從純數學的觀點來看，狄拉克函數並非嚴格意義上的函數，因為任何在擴展實數線上定義的函數，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。函數只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，函數一般可以當做普通函數一樣使用。它形式上所遵守的規則屬於的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括函數在內的運算微積分方法，在20世紀初受到數學家的質疑，直到1950年代洛朗·施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，函數必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的概率測度。在許多應用中，均將視為由在原點處有尖峰的函數所組成的序列的極限（），而序列中的函數則可作為對函數的近似。
在訊號處理上，函數常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函數。克羅內克函數是對應於狄拉克函數的離散函數，其定義域為離散集，值域可以是0或者1。
"δ"函數的圖形通常可以視為整條"x"軸和正"y"軸。雖然稱為函數，但"δ"函數並非真正的函數，至少它的值域不在實數以內。例如，和這兩個數學對象除了在以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若"f"和"g"為函數，使得幾乎處處成立，則"f"可積當且僅當"g"可積且"f"和"g"的積分相同。要嚴謹處理"δ"函數，須用到測度論或分佈。
"δ"函數可以代表一個既高又窄的尖峰函數（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用"δ"函數描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。
在應用數學中，"δ"函數往往能看作是某函數序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。
約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》（）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅里葉積分定理：
這相当于以這種方式引入了"δ"函數：
之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函數表達了這一定理：
柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。
分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅里葉的方程式：
其中"δ"函數可表達為：
在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函數"f"所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：
之後，（Michel Plancherel）開創性的"L"理論（1910年）、諾伯特·維納和（Salomon Bochner）的貢獻（1930年前後）以及最後洛朗·施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945年）進一步推廣了傅里葉積分，並建立了狄拉克"δ"函數的嚴格定義。
1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函數（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函數。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅里葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了"δ"函數作為一種「方便的記號」，故此該函數今天以他命名。
籠統地來說，"δ"函數是在實數線上的一個函數，在原點上無限，在所有其他點上為零，
並同時滿足以下條件
這只是一個概略的表述："δ"函數並不是一個嚴格意義上的函數，沒有任何定義在實數線上的函數能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，"δ"函數可以定義為分佈或測度。
測度是其中一種嚴謹定義"δ"函數的方法。作為一個測度，"δ"函數取一個實線R的子集"A"，當時輸出，否則。如果把"δ"函數想象成位於0的一個理想化的質點，則"δ"("A")代表集合"A"所包含的質量。一個函數相對於"δ"的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函數"f"，這一積分滿足：
測度"δ"相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函數"δ"：
雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。
作為R上的概率測度，狄拉克測度可以通過它的累積分佈函數──單位階躍函數──來定義：
換句話說，"H"("x")是積累指示函數相對於測度"δ"的積分：
"δ"函數相對於一個連續函數的積分可以通過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：
"δ"函數的所有更高矩都是零。其特徵函數和矩母函數都等於1。
在分佈理論中，一個廣義函數並不像普通函數一樣直接定義，而是在它相對其他函數積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義"δ"函數相對某個足夠「良好」的測試函數的「積分」就足夠了。如果"δ"函數已經定義為測度，則這種積分可以是測試函數相對於這"δ"測度的勒貝格積分。
測試函數空間一般可包括所有formula_13上的緊支撐光滑函數。作為一個分佈，"δ"函數是在測試函數空間上的線性泛函，定義為
若要使"δ"成為一個正式的分佈，它必須要在測試函數空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函數空間上的線性泛函formula_14要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數formula_15，有整數formula_16和常數formula_17，使得對每個測試函數formula_18，以下不等式都成立：
當formula_14就是"δ"分佈時，对所有的formula_15取formula_22，就能滿足這條不等式。因此，"δ"是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是formula_23。
δ分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函數的分佈導數，也就是說，對於任何測試函數formula_18，
直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為
而利用黎曼－斯蒂尔杰斯积分的分部积分法可以得到
在测度论中，狄拉克測度通過積分產生分佈。相反，公式()在所有緊支撐連續函數formula_18空間上定義了一個，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為formula_18相對於某拉東測度的勒贝格积分。
當講到「狄拉克"δ"函數」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克"δ"分佈」。測度論中相對應的概念則稱為。
在"n"維歐幾里得空間R中，狄拉克"δ"函數可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函數"f"，滿足
作為一個測度，"n"維"δ"函數是每個獨立變量的1維"δ"函數的積測度。也就是說，若，則
上文的1維"δ"分佈也存在"n"維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式()還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。
狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設"X"是集合，，Σ為"X"子集上的任何σ-代数，則對每個集合可以定義測度：
這就是單位質量集中在"x"處的狄拉克測度。
"δ"函數也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形"M"上以為中心的"δ"函數可定義為以下分佈：
對於所有"M"上的緊支撐光滑實數值函數"φ"。一個常見的特殊情況是，"M"是歐幾里得空間R中的一個開集。
在局部緊豪斯多夫空間"X"中，集中在點"x"的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函數"φ"的Daniell積分()的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，映射formula_32是把"X"嵌入到包含所有在"X"上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函數。而且，"X"在這一嵌入下的值域的凸包，在在"X"上的概率測度空間中是一個稠密集。
對非零純量formula_33，"δ"函數有以下縮放性質：
要取得"δ"，對相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯算子的冪，其中"ξ"屬於單位球面"S"：
此處的拉普拉斯算子理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函數"φ"，
這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從"φ"("x")在超曲面上的積分取回"φ"("x")的值。例如，若"n"是奇數，而，則右邊的積分等於
其中是"φ"的拉東變換：
平面波分解的另一個等價表達式是（）
對於偶數"n"，且
對於奇數"n"。
在對傅里葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函數相關的傅里葉級數是否收斂到該函數，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函數"f"的傅里葉級數的第"n"部分和，定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積：
因此
其中
傅里葉級數的一個基礎結果說明，當，狄利克雷核趨向於"δ"函數的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即
對於一切緊支撐光滑函數"f"。從而，在區間[−π,π]上有
儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函數成立，換言之，"D"從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅里葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核
費耶核從一種更強的意義向"δ"函數收斂：
對於一切緊支撐連續函數"f"。結果是，所有連續函數的傅里葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函數的值。
狄拉克"δ"分佈是在包含所有平方可積函數的希爾伯特空間L上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函數在"L"中是一個稠密集，且"δ"分佈對於緊支撐光滑函數有良好定義。在許多應用中，可以對"L"的某個子空間賦予更強的拓撲，使得"δ"函數能夠定義一個有界線性算子。
索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函數"f"，只要滿足
就必定是連續的，而且滿足
從而"δ"是一個在索伯列夫空間"H"上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，"δ"是"H"的連續對偶空間"H"的元素。更一般地說，在"n"維中，有，條件是。
在複分析中，"δ"函數出現在柯西積分公式中，公式說明，若"D"是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則
對於一切在"D"的閉包內連續的全純函數。從而，對於此類全純函數，"δ"函數"δ"可以以柯西積分表示：
更一般地來說，設"H"(∂"D")是一個哈代空間，它是所有在"D"中直到"D"的邊緣都是連續的全純函數，在"L"(∂"D")中的凸包。"H"(∂"D")中的函數可以唯一地延續成"D"上的全純函數，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於，"δ"函數"δ"是一個"H"(∂"D")上的連續線性泛函。這是多複數變量函數中的特殊情況：對於光滑域"D"，Szegő核代替了柯西積分的角色。
在可分希爾伯特空間中，給定一個由函數{"φ"}組成的標準正交基（如一個緊自伴算子的歸一化特徵向量），那麼任何向量"f"都可以表達成：
係數{α}可以如下得出：
也可以寫為
這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，"f"以並矢方式展開：
設"I"是該希爾伯特空間上的恆等算子，則表達式
稱為單位分解。當希爾伯特空間是"L"("D")，包含所有在域"D"上的平方可積函數，那麼
就是一個積分算子，而"f"可以重新表達為：
右邊的級數是在"L"當中向"f"收斂。就算"f"是連續函數，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫
如此來表示"δ"函數：
在適當的中，其中包含所有緊支撐光滑函數，視乎基"φ"的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分算子，這時候級數會從分佈的意義上收斂。
1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函數時，用到了一個無限小數"α"，使得函數"δ"滿足
formula_61
他（以及拉扎爾·卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。
非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克"δ"函數可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見論文所列出的相關書目。這樣定義的"δ"函數是真正意義上的函數，使得對於每個實函數"F"，都有
formula_62
結果與傅里葉和柯西用別的語言所表達的一樣。
由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做，亦稱Shah分佈，是一個取樣函數，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個"δ"函數的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：
這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。
狄拉克梳子是其自身的傅里葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若"f"是速降函數，則"f"在週期化後的結果以以下卷積表示：
特別有，
這正是帕松求和公式。
索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把"δ"函數和分佈p.v.1/"x"聯繫起來，後者是函數1/"x"的柯西主值，定義是
索霍茨基公式說明，
此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函數"f"，
克羅內克"δ"函數"δ"的定義是，
對於所有整數"i"、"j"。它滿足以下的篩選性質：若formula_70是一個兩頭無限的序列，則
這和狄拉克"δ"函數的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函數或複函數"f"，有
也就是說，克羅內克"δ"函數可以看作是與狄拉克"δ"函數對應的離散函數。
在概率論和統計學中，狄拉克函數往往以概率密度函數的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（概率密度函數一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點x = {"x", ..., "x"}，對應概率為"p", ..., "p"；由這些點所組成的離散分佈的概率密度函數可以寫作
又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函數是
也可以以完全不同的方法，用"δ"函數表示擴散過程（如布朗運動）中的。一個隨機過程的局部時的表達式為
這代表了該過程在某特定區間內，在點"x"所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成
其中是區間的指示函數。
以下舉一個例子，展示"δ"函數如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函數所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函數假定屬於希爾伯特空間"L"（平方可積函數空間），且粒子在某空間範圍內出現的總概率，等於波函數的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函數{"φ"}叫做標準正交，如果
其中"δ"指的是克羅內克"δ"函數，而不是狄拉克"δ"函數。一組標準正交波函數叫做在平方可積函數空間中完備，如果任何波函數"ψ"都可以表達為一些"φ"的線性組合：
其中formula_79。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函數正正就組成了波函數完備標準正交系統，每個本徵函數所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：
此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函數。為了解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函數，從普通的函數到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點"y"：
位置的本徵函數（分佈）用狄拉克符號記作formula_82，亦稱為位置本徵態。
這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界算子"P"，前提是"P"具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω（即算子的光譜）和一組分佈"φ"，對應於Ω的每個元素"y"，使得
也就是說，"φ"是"P"的特征向量（本徵分佈）。如果這些特征向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：
那麼對於一切測試函數ψ，就有
其中
此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：
其中以算子為值的積分同樣理解為弱積分。若"P"的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。
"δ"函數在量子力學中還有眾多特殊應用，例如"δ"位勢阱。
在結構力學中，"δ"函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在"t"=0時突然受到衝量為"I"的力的衝擊，其演變可以如下描述：
其中"m"是質量，ξ是撓度，而"k"是彈簧常數。
根據歐拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是
其中"EI"是樑的彎曲剛度，"w"是撓度，"x"是空間坐標，而"q"("x")則是負荷分佈。如果棟樑在"x" = "x"處受到點力"F"的負荷，那麼負荷分佈可以寫作
由於"δ"函數的積分是黑維塞階躍函數，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。
"δ"函數還可以描述作用在一條樑上的點。設兩個相距"d"的相反方向的點力"F"，它們在棟樑上所產生的彎矩為"M" = "Fd"。在保持"M"不變的情況下，使"d"趨向於零。假設所產生的彎矩位於"x" = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是
因此點彎矩可以用"δ"函數的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。