三等分角
三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？”
三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。
如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。
在叙述三等分问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是： 定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法： 尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”等等。
三等分角问题的完整叙述是：
关于这个叙述中的用词和术语，需要一一作出定义。“角”可以有两种等价的定义：一个角可以是由一点和从它出发的两条射线构成的集合，也可以是由三点和连接它们的两条线段构成的集合。以下的叙述中采取第二个定义，用三个大写英文字母或一个希腊字母表示一个角。角指的是由三点以及线段和构成的集合，也可以直接用一个希腊字母如表示。两个角和相等，指的是以下条件：如果将线段沿点延长为射线，在上面作一点使得 formula_1 ，同时将线段沿点延长为射线，在上面作一点使得 formula_1 ，则 formula_1 。
一个角等于另一个角的三分之一，指的是角等于角的三倍。而一个角等于角的倍（为自然数），指的是可以找到点等，使得个角都等于，并且点就是点。
与三等分角问题相比，用尺规作图将任意角二等分要容易得多。右图具体说明了二等分一个角的步骤。依照类似的步骤，也能够将任意角四等分、八等分……但直到十九世纪，随着群论和伽罗瓦理论的出现，数学家们才认识到二等分角和三等分角本质上的不同。在现代数学语言中，更常用域扩张的理论来论述三等分角的问题。从证明三等分角的过程中可以知道，尺规作图的方法不但不能三等分任意角，也不能将任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直线和圆的解析性质。
1837年，法國數學家汪策爾證明了，三等分角問題是沒有辦法完成的。
三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾(全名:尼爾斯·阿貝爾)開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。 在研究各种尺规作图问题的时候，数学家们留意到，能否用尺规作出特定的图形或目标，本质是能否作出符合的长度。引进直角坐标系和解析几何以后，又可以将长度解释为坐标。比如说，作出一个圆，实际上是作出圆心的位置（坐标）和半径的长度。作出特定的某个交点或某条直线，实际上是找出它们的坐标、斜率和截距。为此，数学家引入了尺规可作性这一概念。假设平面上有两个已知的点和，以为单位长度，射线为-轴正向可以为平面建立一个标准直角坐标系，平面中的点可以用横坐标和纵坐标表示，整个平面可以等价于formula_4。
设是formula_4的一个非空子集。如果某直线formula_6经过中不同的两点，就说formula_6是-尺规可作的，简称-可作。同样地，如果某个圆formula_8的圆心和圆上的某个点是中的元素，就说formula_8是-可作的。进一步地说，如果formula_4里的某个点是某两个-可作的直线或圆的交点（直线－直线、直线－圆以及圆－圆），就说点是-可作的。这样的定义是基于五个基本步骤得来的，包括了尺规作图中从已知条件得到新元素的五种基本方法。如果将所有-尺规可作的点的集合记作，那么当中包含超过两个点的时候，肯定是的真子集。从某个点集开始，经过一步能作出的点构成集合 formula_1 ，经过两步能作出的点就是 formula_1 ，……以此类推，经过步能作出的点集就是 formula_1 。而所有从能尺规作出的点集就是：
另一个与尺规可作性相关的概念是规矩数。设是从集合 formula_1 {(0,0), (0,1)}开始，尺规可作点的集合： formula_1 ，那么规矩数定义为中的点的横坐标和纵坐标表示的数。
可以证明，有理数集formula_17是所有规矩数构成的集合的子集，而又是实数集formula_18的子集。另外，为了在复数集formula_19内讨论问题，也会将平面formula_4看作复平面formula_19，同时定义一个复数是（复）规矩数当且仅当点是中的一个点。所有复规矩数构成的集合也包含formula_17作为子集，并且是复数集formula_19的子集。从尺规可作性到解析几何下的规矩数，三等分角问题从几何问题转成了代数的问题。
以集合的观念来说，与formula_17、formula_19之间是子集与包含的关系。以抽象代数的观点来说，可以证明是有理数域formula_17的扩域，是实数域formula_19的子域。记作formula_28。域是抽象代数中的概念，是能够进行“加减乘除”运算的集合。从单位长度出发，很容易得到任何有理数长度的线段，所以直线（也就是实数轴）上所有的有理数坐标的点都是尺规可作点。如果平面上还有另一个尺规可作点（对应复数），那么也能做出任意的点，甚至于任何形如： 的点（其中和是两个多项式）。有理数域formula_17和所有因为而多出来的尺规可作点仍旧构成一个域，称为formula_17关于的扩张，记作formula_32。然而，formula_32中的元素并没有表面上那么“多”。一般来说，如果有一个多项式使得=0，那么formula_32中的元素都可以写成的形式，其中是的阶数。这样的情况称为域formula_17的有限扩张，因为formula_32可以看成关于formula_17的有限维线性空间。为了确定这个线性空间的维数，需要为它找一个基底，也就是一个线性无关的最小生成集。为此，寻找使得 formula_1 0的多项式中阶数最小的，并称是最小多项式。在最小多项式确定后，便可确定是formula_32的一个基底，formula_32是一个维的formula_17-线性空间（是的阶数）。这时候也称是域扩张formula_42的阶数，记作：
对任何一个尺规可作点，都可以考察它对应的域扩张的阶数。由于每个尺规可作点都是通过五种作图公法的有限次累加得到的，而其中生成新点（也就是新坐标）的只有後三种。所以只需考察这三种步骤得到的新点对应的域扩张的阶数。假设某个时刻，已知的所有尺规可作点构成的域是，那么生成新点时的直线和圆的系数都在里面。 无论是两个(1)类方程，两个(2)类方程，还是一个(1)类和一个(2)类方程联立求解，得到的和值都会是形同 的数值。所以复规矩数 formula_1 满足一个二次方程： 其中的、以及都是中的元素。这意味着，域扩张的阶数最多是2（最小多项式的阶数至多是2）。这又说明，从开始，经过一系列（次）基本步骤得到的尺规可作点，代表了次域扩张： 而每次域扩张的阶数：都不超过2。因此，如果从基本的有理数域出发的话，就能得到如下的定理：
其中的是某个小于的自然数（是已知所有有理数坐标点时，作出对应的点要经过的基本步骤数目）。
上文已经说明，任何可以用尺規作圖作出的点，其座標对应一个复規矩數，它的最小多項式次數為formula_50。以下用反证法证明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是formula_51的角，均可以由尺規作圖得到 角度为formula_52的角。这等价于说在已知单位长度和formula_53的时候能做出formula_54的长度。设是包含了formula_53和单位长度1的域。用尺规作图可以得到formula_56，说明域扩张的阶数是2的幂次： 然而根據三倍角公式： 运用多项式的知识可以证明，formula_59在中的最小多项式的阶数必定不大于3，也就是说是1，2或者3。比如说当角度formula_60时，就是formula_17（formula_62）三倍角公式变成： 这个多项式不可约，所以这个方程的解不属于有理数集formula_17，所以可以证明formula_66。然而3不是2的幂次，这和之前的结论矛盾。如此便说明，無法用尺規作圖將任意角三等分。formula_67
以上的证明通过一个反例：formula_60说明了用尺规作图将任意角三等分是不可能的。但用尺规作图三等分某些特定的角（比如说直角）仍然是可行的。事实上，从证明中可以看出，尺规三等分某个角formula_51等价于说formula_70。要注意的是，这个条件与formula_53本身能否用尺规作图作出并不相关。实际上，有的角度formula_51即便本身无法用尺规作图法作出，但如果已知角formula_51作为条件，是能够用尺规作图将它三等分的。角度formula_74就是这样一个例子。它本身无法用尺规作出，但如果给定一个formula_74的角，它的五倍角就是formula_76，等于将圆周绕过一圈後的formula_77，这正是formula_74的三分之一。可以证明，角度formula_79可以用尺规三等分，当且仅当自然数本身无法被三整除。
从证明中还可看出，只要自然数只含有2以外的质因子，根据倍角公式得到的阶多项式就说明formula_80的最小多项式阶数整除，所以不是2的幂次，从而无法用尺规作图等分任意角。例如用尺规作图五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（formula_79可以五等分，當且僅當不是5的倍數；而不管是多少，formula_79都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。
用尺规作图的方法三等分角被证明是不可行的。如果放宽尺规作图的限制，或允许使用另外的工具，那么三等分任意角仍旧是可能的。 尺规作图要求在有限次步骤内将任意角三等分。如果我们允许使用无限次的步骤来构造三等分角的话，可以利用 这个无穷级数的和来实现。给定任意一的角度为formula_51的角。已知尺规二等分角是可行的，所以重复两次就能够四等分一个角formula_51，得到formula_86。同样地，可以作出formula_87、formula_88等所有形同formula_89的角。将它们逐次相加，就能够在无限次（可数次）操作後用尺规作图得到
如果允许使用有刻度的直尺（二刻尺），则三等分任意角是可行的。右图为把角三等分的示意图。这个想法最早由阿基米德提出。
首先，在直尺上有两个刻度，相距。把角上的直线延长，并作一个半径为的圆。
把直尺的一点固定在，并将直尺绕着点移动，直到其中一个刻度位于点，另一个刻度位于点，也就是说， formula_1 。这时，角就是角的三分之一。
要證明formula_92，我們需要利用直線上的鄰角(adjacent angles on straight line)，三角形的內角和(angle sum of triangle)及等腰三角形底角(base angle, isosceles triangle)。
证明： 所以，formula_101，或formula_92。证毕。
或者，可以利用三角形的外角(Exterior Angle of a Triangle)作證明。
formula_103
formula_104
formula_105
formula_106
同樣也可證明。
尺规作图的规定来自于古希腊的柏拉图学派，他们认为仅有直线和圆是完美的形状。事实上，如果允许在作图中使用其他的曲线或形状，那么三等分任意角是可行的。例如：已知角，做其角平分线。以直线为准线，点为焦点，作一双曲线；同时以为圆心，为半径做圆。设该圆与双曲线在角内侧的交点为，那么角等于角的三分之一。此外，麦克劳林、利马松等人也曾经设计过可以辅助三等分角的曲线。阿基米德螺线（等角螺线）也是能够直观帮助三等分角的曲线。在极坐标中，阿基米德螺线的方程是： 其中的formula_108是极径（离原点的距离），formula_51是幅角。由于极径和幅角成正比，所以要寻找等于给定角度三分之一的角度，只需要确定原角度对应的极径长度formula_110，然后对比找出formula_111对应的角度即可。