控制理论
控制理論是工程學與數學的跨領域分支，主要處理在有輸入信號的動力系統的行為。系統的外部輸入稱為「參考值」，系統中的一個或多個變數需隨著參考值變化，控制器處理系統的輸入，使系統輸出得到預期的效果。
控制理論一般的目的是藉由控制器的動作讓系統穩定，也就是系統維持在設定值，而且不會在設定值附近晃動。设定值一般维持不变的控制称为调节，设定值快速变化，要求跟踪速度加速度等的控制称为伺服。
連續系統一般會用微分方程來表示。若微分方程是線性常係數，可以將微分方程取拉普拉斯轉換，將其輸入和輸出之間的關係用傳遞函數表示。若微分方程為非線性，已找到其解，可以將非線性方程在此解附近進行線性化。若所得的線性化微分方程是常係數的，也可以用拉普拉斯轉換得到傳遞函數。对于不能线性化的非线性（如继电器）可以使用相平面法求解系统响应，也可使用描述函数法近似求解极限环的频率与振幅。
傳遞函數也稱為系統函數或網路函數，是一個數學表示法，用時間或是空間的頻率來表示一個線性常係數系統中，輸入和輸出之間的關係。
控制理论中常用方塊圖來說明控制理论的內容。
控制理論是
控制系統可以視為具有四種機能的系統：量測、比較、計算及修正。這四個機能可以用五種元素來實現：感測器、換能器、发送器、控制器及最终控制元件。量測機能是由感測器、換能器及发送器執行，在實務應用上，這三個元素會整合在一個單體內，像是電阻溫度計。比較和計算的機能是由控制器執行，可能是電子式的比例控制（P控制）、PI控制、PID控制、雙穩態的遲滯控制，也可能是可编程逻辑控制器（PLC）。早期的控制器也可能是機械式的，像是離心式調速器或是化油器。修正機能是由最终控制元件執行，最终控制元件改變系統的輸出，因此影響操纵或控制的变量。
車輛的巡航定速系統是讓車輛維持在由駕駛者設定的固定參考速度。此時控制器為巡航定速系統，車輛為受控體（plant），而系統是由控制器和車輛所組成，而控制變數是引擎節流閥的位置．會決定引擎可以產生的功率。
一種最單純的作法是當駕駛者啟動巡航定速系統時，固定引擎節流閥的位置。但是若駕駛者在平坦的路面啟動巡航定速系統，車輛在上坡時速度會較慢，車輛在下坡時速度又會較快。這種的控制器稱為開迴路控制器，因為沒有去量測系統輸出（車輛速度）並且影響控制變數（節流閥位置），因此此系統無法去針對車輛遇到的變化（像路面坡度的變動）去進行調整。
在閉迴路控制系統中，利用感測器量測系統輸出（車輛速度），並將資料送入控制器中，控制器依資料調整控制變數（節流閥位置），來達到維持理想系統輸出（使車輛速度和駕駛者設定的參考速度一致）。此時若車輛在上坡時，感測器會量到車輛的速度變慢，因此會調整節流閥位置，加大引擎輸出功率，使馬達加速。因為有量測車輛速度的回授，因此控制器可以配合車輛速度的變化進行動態調整。因此產生了控制系統中的「迴路」範式：控制變數影響系統輸出，而再根據量測到的系統輸出去調整控制變數。
雖然許多控制系統在古代時就有了，但此領域較正式的分析是從離心式調速器的動態分析開始的，物理學家詹姆斯·馬克士威在1868年為此撰寫了論文《论调速器》（On Governors） ，其中描述了自激振荡的現象－由於系統時間延遲，使得系統過度補償及不穩定的情形。因此也使得得許多科學家對此議題產生興趣，其中馬克士威的同學將馬克士威的研究結果抽象化，應用在一般的線性系統中，阿道夫·霍维茨在1877年也獨立均分析微分方程的穩定性，其結果即為今日的。
動態系統控制的顯著成就是載人的飛行，人類首次成功的載人飛行是由萊特兄弟在1903年12月17日達成的，其卓越之處不只是可以使機翼產生升力（這對當時的研究者是已知的），而是在於可以長時間控制其飛行。若要使飛行時間超過幾秒鐘，對飛機連續、可靠的控制是重要條件之一。
在二次大戰時，控制系統是火控系统、及相關電子設備的重要組成之一。
有時會用機械的方式來增加系統的穩定性．例如就是安裝在船舶吃水線以下．橫向張開的鳍片。現在的船舶有用陀螺儀控制的活動鳍片，可以調整攻角，抵抗風或浪作用在船上產生的横摇。
AIM-9響尾蛇飛彈在飛彈後方有一個小的控制-{表面}-，其外面是一個旋轉的圓盤，稱為或滚转安定翼。圓盤後的氣流會以高速旋轉，若飛彈開始横摇，圓盤的陀螺力會使控制-{表面}-對正氣流，減少横摇的影響。因此響尾蛇飛彈用一個簡單的機械組件代替一個可能非常複雜的控制系統。
太空競賽也和精準的航天控制有關，而許多領域也越來越常用到控制理論，例如經濟學。
許多科學家對控制理論有重要貢獻，包括以下這幾位：
控制的目的是有目标的改变系统行为，使之达到预想的特性。这些特性可能是各种各样的，如：根据不同的目标，决定控制器是需要不同的方法的。控制的任务已经超出了控制的范畴之外。常见的有： 为了解决这些问题，数学中的系统理论是必需的。这些方法有可分为，控制器，补偿器，和检测装置的设计，以及控制环节及整个系统的分析。
控制系統的研究非常需要依賴應用數學的使用，在理論分析過程中，數學扮演了一個相當重要的角色。實際上在自動控制系統在發展過程中，必須先作理論的分析與研究，然後才作最後的設計，如此才能夠獲得合理的預期及可靠的結果。因此，在學習自動控制系統之前，必須需要具備相當的數學基礎，方能獲得學習上的突破。
在控制系統的研究中，所需具備的數學基礎包括有微分方程式、線性代數、拉普拉斯变换、复变函数、z变換等等。另一方面，由過去的單一輸入單一輸出（SISO）簡單系統，發展至多輸入多輸出（MIMO）複雜系統，因此，現代控制的發展則需要更精深的數學基礎，除了上述的數學外，現代控制理論是建立在矩陣理論、集合理論等等的高等數學基礎之上。
在控制系統的分析與設計中，建立模型是首要的步驟。模型可以是一個物理模型，也可以是一個數學模型，或是一個圖示模型。
通常一般只有在工程實務系統中才可能使用物理模型，例如，風動實驗室中的縮小比率之汽車或飛機模型均屬於靜態物理模型，而飛行模擬實驗室中的六自由度飛行模擬器則屬於動態物理模型。至於數學模型或是圖示模型則是建立於系統的理論基礎上，以方便系統的分析與設計。
线性常微分方程是时域内的基础的连续模型。通过引入一些变量，我们可以得到状态空间模型（只含有一阶求导），状态空间模型描述了系统的所有动力学特性，包括其内部无法测得，而且也不是输出值的量。
对开始的常微分方程和状态空间模型进行拉普拉斯变换，我们可以得到传递函数。这是一个频域内的表述，只给出了输出和输入的关系，但没有描述系统内部的量。通过拉普拉斯变换，我们有了处理系统的一般方法，这比解微分方程要容易。在自动控制中传递函数通常用G(s)表示。在多值系统中它是一个矩阵。
开环系统的传递函数有所有器件的传递函数组成（区间G(s)，控制器K(s)）。
formula_1
导向传递函数formula_2来自于输出通过测量器（formula_3）对控制器的反馈。
formula_4
若我们考察小频率时的formula_2，这时存在控制差。如果formula_6，则控制差formula_7为零。
伯德图可使传递函数显而易见。以下的內容是介紹一些可以實現上面控制要求的控制方法：
经典控制理论从系统的输入输出入手，建立二者之间的微分方程关系，再借由拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程进行分析。经典理论将系统看作黑箱的做法使得它的控制效果受到限制。为了满足控制要求常常要引入校正模块。
為了克服開迴路控制器的限制，在控制理論中導入了回饋。閉迴路的控制器利用迴授來控制動態系統的狀態或輸出。其名稱來自系統中的訊息路徑：程序輸入（例如馬達的電壓）影響程序輸出（例如馬達的電流或轉矩），利用感測器量測輸出，再將量測資料送到控制器中處理，結果送回控制器作為輸入信號之一，因此成為一閉迴路。
相對於開迴路控制器，閉迴路控制器有以下的優點：
有些系統中，同時出現開迴路及閉迴路的控制，此時的開迴路會稱為前饋，目的是為了提昇命令追隨的性能。
PID控制器是常見的閉回路控制器架構。
系統的輸出"y(t)"藉由感測器"F"量測後，和參考值"r(t)"相減，控制器"C"根據參考值和輸出值的誤差"e"調整受控體"P"的輸入"u"，如圖所示，這類的控制器稱為閉迴路控制器。
由於只有一個輸入和輸出，此系統會稱為SISO（單一輸入單一輸出）控制系統。MIMO（多重輸入多重輸出）控制系統是指輸入或輸出不只一個，在實際應用上也很常見，其輸入變數和輸出變數會用表示，而不是單一數值的純量。在分布参量系统中，向量可能是無限维的，即一般的函數。
若假設控制器"C"、受控體"P"及感測器"F"都是線性及非時變的（各模組輸入和輸出的關係不隨時間改變），可以將上述系統用拉普拉斯轉換來分析，因此可以得到以下的關係：
其中formula_11為拉普拉斯轉換中的複變數，若要求解"Y"("s")用"R"("s")表示，可得：
表示式formula_13即為系統的閉迴路傳遞函數，分子是從"r"到"y"的前饋（開迴路）增益，分母是1加上經過回饋迴路的增益．即閉迴路增益，若 formula_14，也就是說在各"s"下，其范数都很大，且formula_15，則"Y(s)"近似於"R(s)"，此時輸出會緊密的追隨參考輸入。
PID控制器可能是最常用到的控制器，PID的三個字母分別代表比例、積分和微分三個由誤差值產生控制信號的方式。若"u(t)"為控制信號，"y(t)"為量測到的輸出，"r(t)"為參考輸入，誤差為formula_16，則PID控制器可以表示為以下的形式：
可以用調整formula_18, formula_19 及 formula_20三個參數的方式，來達到較理想的控制器特性，調整參數的過程一般是用試誤法，不太需要對於系統架構的了解。一般只用比例可以讓系統穩定，積分項可以抑制步階擾動（常常是程序控制的重要規格），也可以修正穩態誤差，微分項一般是用來調整系統的阻尼係數。PID控制器是最廣為人知的控制方式，但不適用在一些太過於複雜的系統，尤其是MIMO的系統。
將PID控制器的方程式進行拉普拉斯轉換，可得：
因此PID控制器的傳遞函數如下：
需注意在實務上，PID控制器中不會使用純微分器，一方面在實務上不可行，而且會放大高頻雜訊，容易造成共振。一般會用相位超前的補償器，或是有低通的微分器。
經典控制理論以頻域分析為主，而現代控制理論利用時域的狀態空間表示法，將系統中的輸入、輸出及狀態變數之間的關係用一階的微分方程表示。為了抽象化輸入、輸出及狀態變數的數量，這些變數一般會用向量來表示，而微分方程或代數方程（當系統是線性時）則會以矩陣形式表示。狀態空間表示法也稱為時域分析，提供一個方便且簡潔的方式針對多重輸入及輸出的系統建模及分析，在有輸入和輸出時，也可以利用拉氏轉換，將系統所有的資料包括在其中。现代控制理論不同於頻域分析，可以分析非線性或不是零初始條件的系統。狀態空間就是指座標軸為狀態變數的空間，系統的狀態可以表示為狀態空間中的一個向量。
在控制理論中的穩定性是指控制系統的狀態在特定條件下，可以維持在一定的範圍內，不會發散，而在什麼範圍內才算是穩定則依系統種類而不同。為了簡單起見，以下的說明是針對連續時間及離散時間的線性非時變系統。
在數學上，一個因果性的系統若要穩定．其傳遞函數的所有極點的實部都要為負值。考量不同的控制系統，穩定的條件是極點滿足以下的條件： 兩者的差異是因為拉普拉斯轉換的左半平面，在共形映射後會對應單位圓內的區域。
若滿足上述的條件，一系統即為漸近穩定的系統：漸近穩定控制系統中的變數會由其初值開始，持續的趨近於0，而且不會有一直持續的振盪。一直持續的振盪會出現在極點在虛軸上（連續時間系統）或是其極點大小為1（離散時間系統）。若一個簡單的穩定系統，其響應不會遞減也不是隨時間變大，也不會震盪，此為臨界穩定：系統的傳遞函數在複數平面原點處有不重複的極點。若傳遞函數中，實部為零的極點，其虛部不為零，表示系統在震盪，也是臨界穩定。
若一離散系統的冲激响应為
則其Z轉換後的傳遞函數為
在formula_28處有一個極點．因為極點在單位圓內，系統為BIBO（漸近）穩定。
若其冲激响应為
則其Z轉換後的傳遞函數為
在formula_31處有一個極點．因為極點在單位圓外，因此系統沒有BIBO穩定性。
許多數學工具可以分析系統的極點，其中也有一些是配合圖表分析，像根軌跡、波德圖及奈奎斯特圖。
機械上的調整可以提昇設備（及控制系統）的穩定性。水手會加入壓艙水來提昇船的穩定性，郵輪會加入防侧倾的鳍，從船舷往外延伸10公尺，而持續的繞著其中心軸旋轉，產生一個和侧倾相反的力。
可控制性和可觀測性分別是輸入和狀態，輸出和狀態之間的性質。是在分析控制系統，決定控制策略或判斷是否可以使系統穩定時所需要的重要性質。
可控制性是指是可以用適當的控制信號作為輸入，使特定狀態變數的數值變成０，可控性与利用輸入信号控制狀態向量的能力有關，若一個狀態變數是不可控制的，表示沒有輸入可以調整這一個狀態，若一系統中所有不可控制的狀態向量，其動態特性都是穩定的，則此系統稱為可穩定的（stabilizable）。可觀測性是指可以用輸出的量測及計算得到狀態變數的值，若一個狀態變數是不可觀測的，表示無法確認此一狀態是否穩定，也就無法用此狀態來穩定整個系統。若一系統中所有不可控制的觀測變數都是穩定的，則此系統稱為可检测的（detectable）。
若以幾何觀點來看，若要控制系統中所有的狀態，那些「不好」的狀態都需是可控制且可觀測的，才能確保閉迴路系統的良好特性。若系統中有一個狀態不是可控制且可觀測的，無法在閉迴路系統中調整其動態特性。若此狀態的動態特性是不穩定的，此特性也會出現在閉迴路系統中，因此整個系統也是不穩定的。在狀態空間轉換到傳遞函數時，不可觀測的的極點不會出現在傳遞函數中，因此在一些動力系統分析時，會選擇使用狀態空間表示法。
不可控制或不可觀察的系統，可以用加入致動器或感測器的方式改善。
在控制原理的基礎下，已發展出許多不同的控制策略，從非常通用的（PID控制器），到針對特殊系統的控制，尤其是机器人或是航空器的巡航定速控制。
一個控制問題會有許多的規格，其中穩定性是必要條件的，不論系統開迴路穩定性如何，控制器需確保在閉迴路下是穩定的。性能不佳或是調整不當的控制器可能使系統變的不穩定，甚至可能比開迴路還要不穩定，這是应盡量要避免的。
有時會希望在閉迴路下有較快的動態特性，若是線性時不變系統，其穩定性及動態特性可以用傳遞函數極點的位置來表示，極點的實部越小，表示有更快的動態特性，一個穩定系統，其極點formula_32會符合formula_33的條件，但再加上動態特性的需求時，系統極點formula_32會符合formula_35的條件，其中formula_36為一個大於零的定值。
另一個常見的規格是對步階擾動的抑制能力，在受控系統前加入積分器即可達到此一需求，其他種類擾動的抑制能力也可以透過其他的子系統才能達成。
其他「經典」的控制系統規格有些和閉迴路系統的時域響應有關：包括上昇時間（控制系統在擾動後，輸出第一次到達理想數值的時間）、峰值過衝（控制系統在擾動後，穩定之前，輸出的最大值）、安定時間（控制系統輸出維持在理想數值範圍的時間）在擾動後，穩定之前，輸出的最大值）、四分之一衰减响应（quarter-decay）或其他規格。頻域規格一般會和系統的鲁棒性（強健性）有關。
現在的性能指標也包括一些用積分量或其變體表示的追隨誤差，像绝对误差积分（IAE）、绝对時間误差积分（ITAE）、平方误差积分（IAE）、慣量中心（COI）等。
控制系統一定會有一定程度的強健性。控制器一般是依照一個假設的受控系統模組再進行設計，強健性是指一控制器配合的受控系統和原來假設的系統有一點不同，控制器的特性不會有太大的變化。這個規格在實際的控制器中相當重要，因為很少實際系統會完全符合描述它的微分方程，在選擇系統數學模型時，一般會進行簡化，否則數學模型會非常複雜，甚至無法求得一個完整的模型。確認受控系統的程序稱為系統識別。系統識別可以在離線（off-line）時進行，也就是在不是一般運作的情形下進行，例如可以執行一系列的量測程序，計算系統近似數學模型的參數，一般會是系統的傳遞函數或是矩陣。系統識別是利用系統的輸入和輸出進行，因此無法考慮沒有觀測性的系統動態。有時數學模型會直接由已知的物理方程式開始，例如針對有質量、彈簧及阻尼的系統，其數學方程為formula_37。不過即使在設計控制器時已經使用受控系統完整的數學模型，其中用到的參數（稱為标称参数）也無法絕對的精確，因此當受控系統的參數和标称参数有少許變化時，控制系統也需動作正常。
有些先進的控制技術會有在線（on-line）的系統識別，也就是在一般運作，控制器正常運作的條件下去計算系統模型的參數，當系統參數發生較大的變化（如機械人手臂釋放一重物，負載變輕），控制器可以自動調整，仍然有正常的性能。
有關SISO（單一輸入單一輸出）系統的強健性分析，可以利用頻域分析，考慮系統的傳遞函數，利用奈奎斯特图及波德圖來達到，相關主題包括增益裕度及相位裕度及幅值裕度（amplitude margin）。但針對MIMO（多重輸入多重輸出）系統及較複雜的控制系統．需考慮由各控制策略可得到的理論結果，若是需要某一種特別的強健性性質，需考慮可以具有此性筫的控制技術。
在強健性需求中有一個較特別的，就是要求在輸入變數及輸出變數均有限制的情形下，控制系統可以正常運作。在真實世界中的信號都是有限的．但有可能控制系統送出的信號超過實際系統的限制，例如要使一個閥以超過其極限速度的速度旋轉，這可能會讓閉迴路系統出現不想要的特性，甚至會使致動器或感測器受損或毀壞。有些特殊的控制技術可以解決此問題，像模型預測控制及反終結（anti-wind up system），後者包括一個特殊的控制方塊，可以確保控制信號不會超過限制值，以避免積分終結的情形。
針對MIMO的系統，極點的指定可以用開迴路系統的狀態空間，再將極點放在指定位置，計算對應的回授矩陣。若在複雜的系統中，上述的程序需要用電腦輔助計算才能達到，而且不保證其強健性。而且一般而言無法量到所有的系統狀態，在極點指定的設計時需加入觀測器（observer）的設計。
像機器人學及航天產業中的程序一般都有高度非線性的動態，在控制理論中有時可以用線性化的方式轉換為線性系統，再依線性系統的方式控制。但有時需要用一些可以配合非線性系統使用的非線性控制理論，例如回授線性化、反推控制、滑動模式控制等。轨迹线性化控制一般利用李亞普諾夫穩定性的基礎。微分幾何用做為一數學工具，將許多廣為人知的線性控制概念擴展到非線性控制中，但其中又有其微妙之處，因此變成一個更有挑戰性的問題。
是指一個系統由多個控制器來控制。分散控制有幾個好處，例如可以控制一個位在廣大地理區域的系統，各控制器之間可以用通訊網路彼此交換資料，並協調彼此的行動。
每一個控制系統首先都要保證其閉迴路特性的穩定性。線性系統可以用極點指定的方式達到。非線性系統一般會根據亞歷山大·李亞普諾夫的理論，來確保系統的穩定性和內部動態無關。控制系統有許多不同的控制規格，是否可以符合所有控制規格則和考慮的系統模型及選擇的控制策略有關。以下是一些主要控制策略的列表：
適應控制會在線識別程序中的參數，或修改控制器的增益，使系統有較佳的強性。適應控制最早在1950年代用在航天產業中，而且應用的非常成功。
分层控制系统是一種設備及控制軟體皆依分层樹方式規劃的控制系統。當樹中的連結用電腦網路來實現時，分层控制系统也可以視為是一種網路控制系統。
智能控制會使用許多人工智慧的方法來控制動態系統，會用到的方式包括人工神经网络、贝叶斯概率、模糊逻辑、机器学习、进化计算及遗传算法等。
最优控制是一種特別的控制技術，控制器產生的控制信號需使某特定「成本指數」最佳化。以太空船為例，噴射引擎需在消耗油量最小的情形下將太空船帶到期望的軌道。有二種最优控制的設計方式廣泛的用在工業應用中，而且已證明這二個方式可以確閉迴路的穩定性。這二種方式分別是模式預測控制（MPC）及線性二次高斯控制（LQG）。第一個方式很明確的考慮系統中信號的限制條件，這是很多工業系統都有的重要特徵，但其中的最佳控制只是作為滿足所有限制的一個方式，不是最优化閉迴路系統中的實際性能指標。配合PID控制器的模式預測控制系統常用在程序控制中。
鲁棒控制明確的在控制器設計時考慮其不確定性。鲁棒控制的控制器可以克服分析用理想系統和實際系統之間的小誤差。亨德里克·韋德·波德和其他早期提出的控制方式有一些鲁棒性。而1960到1970年代提出的狀態空間法則較沒有鲁棒性。現代控制中，由英國劍橋大學的 Duncan McFarlane 和Keith Glover提出的"H"迴路函數整形是一種鲁棒控制。鲁棒控制的目的是要在存在小的模型誤差的情形下達到鲁棒性的性能以及穩定性。
隨機控制是在模型有不確定性的情形下進行控制。在典型的統計控制問題中，會假設在模型及控制器中存在隨機的雜訊及擾動，控制器設計時需考慮這些隨機的變異。
能量整型控制將控制器及受控系統視為是能量轉換的元件，其控制策略是以能量保持的方式互連，以達到所需的特性。
可定義為試圖用自组织系統耗散能量的方式來影響流程。 For Chemical Engineering