直言三段论
直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。
例子：
前兩個命題被分别称为大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。即使直言三段論是有效的，但如果有前提為假的話結論仍可能是假，例如以下的三段論： 此為第一格AAA三段論，為有效，但是因為前提是錯的（烏鴉事實上不是魚），因而導致結論為假。
三段論形式如下： 其中S代表結論的主詞（Subject），P代表結論的謂詞（Predicate），M代表中詞（Middle）。
三段論的命題可分為全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：
三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：
將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。
三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1（也可以寫成1-AAA）代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。
此外，三段論的四種格之间可相互转换：E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题（E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的O命题）。O命题不能对换前后两项的位置。
考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。
還可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。
最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免謬論。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。
基本規則：
若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。
其他檢查：
有加括號者必須假設所有提及的集合非空才有效。
唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E或O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I或O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I或O）。
在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
总共有19个有效的论式（算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式），為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的元音即是對應的語氣，例如Barbara代表AAA。
下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。
所有M是P.  所有S是M.  ∴所有S是P.
formula_1
没有M是P.  所有S是M.  ∴没有S是P.
formula_2
所有M是P.  有些S是M.  ∴有些S是P.
formula_3
没有M是P.  有些S是M.  ∴有些S不是P.
formula_4
没有P是M.  所有S是M.  ∴没有S是P.
formula_5
所有P是M.  没有S是M.  ∴没有S是P.
formula_6
没有P是M.  有些S是M.  ∴某些S不是P.
formula_7
所有P是M.  某些S不是M.  ∴某些S不是P.
formula_8
所有M是P.  所有M是S.  ∴有些S是P.  （这种形式需要假定某些M确实存在。）
formula_9
有些M是P.  所有M是S.  ∴有些S是P.
formula_10
所有M是P.  有些M是S.  ∴有些S是P.
formula_11
没有M是P.  所有M是S.  ∴有些S不是P.  （这种形式需要假定某些M确实存在。）
formula_12
某些M不是P.  所有M是S.  ∴某些S不是P.
formula_13
没有M是P.  有些M是S.  ∴某些S不是P.
formula_14
第4格由亞里士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。
所有P是M.  所有M是S.  ∴有些S是P. （这种形式需要假定某些P确实存在）
formula_15
所有P是M.  没有M是S.  ∴没有S是P.
formula_16有些P是M.  所有M是S.  ∴有些S是P.
formula_17没有P是M.  所有M是S.  ∴有些S不是P. （这种形式需要假定某些M确实存在）
formula_18没有P是M.  有些M是S.  ∴有些S不是P.
formula_19
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是： AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。
按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：
将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：
两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一（此为互斥前提謬誤），IE的組合都得出P不包含於S結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。
首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含於P的关系；第4格AA組合推论出P包含於S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置，EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。
AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論，不屬於四種命題之一。
其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2沒有等價者，這裡對A命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論O命題不成立，它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果，所以結論成立。
歷史上，對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的p所指示的，通過把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它們不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。
最後，有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。
下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。