西羅定理
在數學裡，尤其是在群論內，西羅（Sylow）定理（以彼得·盧德維格·梅德爾·西羅來命名，或稱西洛定理）為一系列定理的總稱。這些定理關於給定的有限群包含的固定階子群的數目給出了詳細的信息。這些定理在有限群論中起到了基礎的作用，並且在有限單群分類中有重要應用。西羅定理假設了拉格朗日定理部份反面的情況。拉格朗日定理敘述了若"H"是一個有限群"G"的子群，則"H"的階會整除"G"的階。西洛定理則保證，對於"G"之目的某些因數，會有對應此些因數的子群存在著，且會給出有關此類子群之數目的相關訊息。
設"p"是一個質數；則可定義"G"的西羅"p"-子群（或者稱為"p"-西羅子群），其為"G"的"p"-子群中最大的一個(即其為"G"的p-群，且不為其他"G"的"p"-子群的真子群)。
西羅"p"-子群所組成的集合記為Syl("G")。 Syl("G")之中群的差異在群論的討論中是可以忽略的。更明確地說，在Syl("G")內的每個群彼此間同構；這性質也同時回過頭來決定了"G"的其他性質。
以下定理由挪威數學家彼得·盧德維格·梅德爾·西羅首次於1872年提出並證明，刊載於《Mathematische Annalen》中。
給定一有限群"G"，則可以將|"G"|可以寫成"p" formula_1 "s" 的形式
其中|"G"|表示"G"的階，"n"為正整數，且"p"不為"s"的質因數。 下面的推論比起定理1較為狹義 上述推論又稱作柯西定理，由柯西首次證明 從這可以推論出，所有"G"的西羅"p"-子群彼此共軛（且因共軛可得到同構），即若"H"、"K"皆為"G"的西羅"p"-子群，則存在一個於"G"內的元素"g"，使得"g""Hg" = "K"。 特別地是，上述表示著每個西羅"p"-子群都會有相同的目"p"；相反地，若一個子群有"p"目，則其為一個西羅"p"-子群，且會同構於每個其他的西羅"p"-子群。基於質數最大次方的條件，若"H"為"G"的任一個"p"-子群，則"H"會為一個有"p"目之"p"-子群的子群。
定理3的一個很重要結論為"n"=1的條件會等價於描述此一"G"的西羅"p"-子群是一個正規子群。（存在沒有正規西羅子群但有正規子群的群，如"S"。）
西羅定理有個對無限群的類比。可定義一個於無限群中的西羅"p"-子群為一個在所有群內之"p"-子群的內含關係內為極大的"p"-子群。因佐恩引理，这种子群存在。
定理：若"K"為一個"G"的西羅"p"-子群，且"n" = |Cl("K")|為有限的，則每一個西羅"p"-子群都會共軛於"K"，且"n" = 1 mod "p"，其中Cl("K")表示為"K"的共軛類。
設"G"為一個其目為15 = 3 · 5的群，則"n"必須整除5，且"n"=1 mod 3。其中唯一滿足上述限制的值只有1；因此，只存在一個其目為3的子群，且其必須為正規子群（因為其沒有其他的共軛）。相似地，"n"會整除3，且"n"=1 mod 5；因此亦只有一個其目為5的正規子群。當3和5為互質時，此兩個子群的交集為平凡群{e}，所以"G"必須要是個循環群。因此，只存在一個其目為15的群（以同構來分），標記為Z/15Z。
舉另一個更複雜的例子來說，可證明不存在一個其目為350的簡單群。若|"G"| = 350 = 2 · 5 · 7，則"n"必須整除14=2·7，且"n" = 1 mod 5。因此，"n"=1（因為6和11都不會整除14），而因此"G"必然會有一個其目為5的正規子群，故不可能為簡單群。
西羅定理的證明利用了群作用的許多概念。群"G"會以許多種方式作用在其自身或其"p"-子群上，而此類的每個作用則可以被利用來證明西羅定理的其中一個定理。下列的證明是基於1959年H.Wielandt所發表之整合的論述。在下面的論述中，用"a"|"b"來表示「a會整除b」，而"a" formula_3 "b"則用來表示「a不可整除b」。
定理1：一個其目|"G"|可以被一質數次方"p"整除的有限群"G"會有一個其目為"p"的子群。
證明：設|"G"|="pm"，"p" formula_4m且 "p" formula_3m 。记Ω為"G"的元素个数為"p"之子集所組成的集合，可知|Ω| = formula_6及"p" formula_3 formula_6，基於之前"r"的選定。令"G"以左乘積作用於Ω上，則基於"r"之選定，會存在一個於Ω內的"A"，其具有一個會使"p" formula_3 |θ|之軌道θ="A"。這裡會有|θ| = |"A"| = ["G" : "G"]的關係，其中"G"標示為集合"A"的隱定子子群，因此"p" | |"G"|，故"p" ≤ |"G"|。注意在"G"的作用下之於"A"內的兩個元素"a"和"ga"可能為不同個的，所以|"A"| ≥ |"G"|。由上述"p" ≤ |"G"|和|"A"| ≥ |"G"|兩個結果，故知|"G"| = "p"。然後，"G"即為此一想要的群。
引論: 設"G"為一個有限"p"-群，將"G"作用於一個有限集合Ω上，及令Ω為在"G"的作用下為固定之Ω內的點所組成之集合。然後可知|Ω| ≡ |Ω| mod "p"。
證明：將Ω寫成在"G"下之軌道此種不相交集合的聯集。每一個在Ω內的元素"x"若在"G"的作用下不固定的話，其將會在其目為|"G"|/|"G"|之軌道上（其中"G"為隱定子），此目依題目的假設會是"p"的倍數（不可能為1，因為其目為1的軌道即為在"G"的作用下固定的點）。因此結論立即就出來了。
定理2：若"H"是"G"的子群且|"H"|="p"，以及"P"為"G"的p-西羅子群，則存在一個在"G"內的元素"a"會使得"a"H"a"為"P"的子群。特別地是，所有"G"的西羅"p"-子群都會共軛（且因此同構）於另一個，即若"H"和"K"為"G"的西羅"p"-子群，則存在一個"G"內的元素"g"會使得"g""Hg" = "K"。
證明：設Ω為"G"內"P"的左陪集所組成的集合，及"H"以左乘積作用在Ω上。應用"H"於Ω上的引理，可知|Ω| ≡ |Ω| = ["G" : "P"] mod "p"。由定義可知"p" formula_3 ["G" : "P"]，所以"p" formula_3 |Ω|，且因為|Ω| ≠ 0，故會存在一些"gP" ∈ Ω。因此對每個於"H"內的元素"h"，"hgP" = "gP"，故"g""hgP" = "P"且"g""hg" ∈ "P"，且因此"h" ∈ "gPg"，故"H"會包含於某些"G"內元素"g"之"gPg"內。若"H"為一個西羅"p"-子群，則|"H"| = |"P"| = |"gPg"|，因此對某些在"G"內的"g"，"H" = "gPg"。
定理3：設"q"為一有限群"G"的任一西羅"p"-子群的目，則"n" | |"G"|/"q"且"n" ≡ 1 mod "p"。
證明：依定理2，"n" = ["G" : "N"("P")]，其中"P"為任一個子群且"N"("P")為於"G"內"P"的正規化子，可知此數為|"G"|/"q"的因數。令Ω為所有"G"的西羅"p"-子群所組成的集合，且"P"以共軛作用於Ω上。設"Q" ∈ Ω並可知對所有"x" ∈ "P"，"Q" = "xQx"，因此"P" ⊆ "N"("Q")。依定理2，"P"和"Q"會於"N"("Q")內共軛，尤其是"Q"會在"N"("Q")為正規，故可知"P" = "Q"。由上可知Ω = {"P"}，因此由引理可知|Ω| ≡ |Ω| = 1 mod "p"。
由一個給定的群中得出一個西羅子群是計算群論中一個很重要的問題。在置換群裡，已由William Kantor證明出一個西羅"p"-子群可以在輸入數量的多項式時間內被找到。