磁矩
磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。
科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子項目恆等於零，第一個項目是磁偶極子項、第二個項目是磁四極子（）項，以此类推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子項目、磁四極子項目等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要項目，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。
一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：
其中，formula_2為磁偶極矩，formula_3為電流，formula_4為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。
處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：
其中，formula_7為力矩，formula_8為磁場，formula_9為勢能。
許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：
其中，formula_11為電子自旋的磁矩，電子自旋g因子formula_12是一項比例常數，formula_13為波耳磁子，formula_14為電子的自旋，formula_15是約化普朗克常數。
採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積×電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：
CGS單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（），電磁單位制（）、高斯單位制。 磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。
在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。
在任何物理系統裏，磁矩最基本的源頭有兩種：
整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：
再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。
對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩formula_2是
其中，formula_3是迴圈所載有的恆定電流，formula_4是平面迴圈的面積向量。
面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。
這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持formula_1不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。
對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流formula_3，則其磁偶極矩為
其中，formula_23是積分曲面，formula_24是formula_23邊緣的閉合迴路，formula_26是微小面積元素，formula_27是微小線元素，formula_28是formula_27的位置。
引用向量恆等式
即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式
對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為
其中，formula_33是積分體積，formula_28是源電流位置，formula_35是電流密度，formula_36是微小體積元素。
任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。
在原子物理學和核子物理學裏，磁矩的大小標記為formula_37，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：
欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。
載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極項目。但是，隨著距離的增遠，這些多極項目會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極項目是磁場的顯要項目。
思考一個載有恆定電流formula_3的任意局域迴路formula_24，其磁矢勢formula_40為
其中，formula_28是檢驗位置，formula_43是源頭位置，是微小線元素formula_44的位置，formula_45是磁常數。
假設檢驗位置足夠遠，formula_46，則表達式formula_47可以泰勒展開為
其中，formula_49是勒讓德多項式，formula_50是formula_28與formula_43之間的夾角。
所以，磁矢勢展開為
思考formula_54項目，也就是磁單極子項目：
由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子項目恆等於零。
再思考formula_56項目，也就是磁偶極子項目：
注意到磁偶極矩為formula_58，偶極磁矢勢可以寫為
偶極磁場formula_60為
由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點formula_62），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為
其中，formula_64是狄拉克δ函數。
偶極磁場的狄拉克δ函數項目造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（）。在天文學裏，氫原子的超精細結構給出了21公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了3K背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（）至再電離紀元（）之間的天文學研究，只能依靠觀測21公分譜線無線電波。
給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。
如圖右，假設載有電流formula_3的一個方形迴圈處於外磁場formula_66。方形迴圈四個邊的邊長為formula_67，其中兩個與formula_68平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為formula_69。
垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為
另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 formula_71。所以，這迴圈感受到的磁力矩為
令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持formula_1不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。
當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值formula_74；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。
將載流迴圈從角弧formula_75扭轉到角弧formula_76，磁場所做的機械功formula_77為
注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而formula_79是朝著順時針方向遞增，所以必須添加一個負號。設定formula_80，則
對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧formula_82扭轉到角弧formula_76，所做的機械功formula_84為
定義載流迴圈的勢能formula_9等於這機械功formula_84，以方程式表示為
與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值formula_89；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值formula_74。
假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路formula_91的磁場力等於零：
假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為
另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為
兩者之間的差別為
假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威-安培方程式，
兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。
一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有1安培電流，半徑formula_97為0.05公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：
磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：
一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。
假設螺線管的匝數為formula_111，每一匝線圈面積為formula_112，通過電流為formula_3，則其磁矩為
假設，一個點電荷formula_115以等速formula_116繞著z-軸，移動於半徑為formula_99的平面圓形路徑，則其電流為
其磁矩為
其角動量formula_35為
其中，formula_122是載電粒子的質量。
所以，磁矩與角動量的經典關係為
對於電子，這經典關係為
其中，formula_125是電子的質量，formula_126是電子的絕對電量。
假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，
其中，formula_128是電常數。
現在施加外磁場formula_129於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為formula_130，則
所以，
假設，兩個速度的差別formula_133超小，則
所以，由於施加外磁場formula_8，磁矩的變化為
注意到formula_137與formula_8呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。
為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為
其中，formula_140是半徑平方的期望值。
電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。
電子的磁矩是
其中，formula_142是電子的朗德g因子，formula_143是波耳磁子，formula_14是電子的自旋角動量。
按照前面計算的經典結果，formula_145；但是，在狄拉克力學裏，formula_146；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，formula_147。
請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。
在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩formula_37與總角動量formula_35的關係為
其中，formula_151是原子獨特的朗德g因子。
磁矩對於磁場方向的分量formula_152是
其中，formula_154是總角動量對於磁場方向的分量，formula_155是磁量子數，可以取2J+1個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。
因為電子帶有負電荷，所以formula_152是負值。
處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為
其中，formula_158是迴轉磁比率（） ，formula_159是磁場。
注意到這方程式的左手邊項目是角動量對於時間的導數，而右手邊項目是力矩。磁場又可分為兩部分：
其中，formula_161是有效磁場（外磁場加上任何自身場），formula_162是阻尼係數。
這樣，可以得到蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式（）：
方程式右邊第一個項目描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個項目是阻尼項目，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道-李佛西茲-吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。
核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量數據，更明確地，從核磁偶極矩的測量數據，可以研究這些量子性質。
雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，通過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函數的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。
任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：