分數傅立葉變換
在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。
分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 formula_1 次，其中 formula_1 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。
若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至。
對信號 formula_3 做一次傅立葉變換的結果為formula_4 ，做兩次傅立葉變換的結果為formula_5 ，表示成formula_6 ，而當做了 formula_1 次的傅立葉變換可以寫成一般式 formula_8 。至此，都以 formula_1為整數做考量，當令 formula_10 即 formula_11 時，將 formula_3 的分數傅立葉變換定義為 formula_13，其中 formula_14 可以不必為整數。
分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。
第一種定義:
第二種定義:
formula_17, formula_18 為實數。
當 formula_19 時 (亦即 formula_20 )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。
formula_21 ，則可推廣為formula_22;依此類推，formula_23表示formula_24的formula_25次逆變換formula_26。
而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的formula_27，且formula_28為實數，表示為
formula_29，
當formula_30是一個整數時則代表傅立葉轉換做formula_25次。
例如:
formula_32時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度
formula_33時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度,formula_34
formula_35時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度
formula_36時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,formula_37
對於任一實數formula_28，一個對formula_39函數做formula_28角度分數傅立葉變換定義為
formula_41
並且具備以下特性 formula_42。
formula_43
若formula_44,其中formula_45為一整數則相當於做formula_45次傅立葉轉換；
當formula_47時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ，
當formula_48時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。
若formula_28為formula_50的整數倍，則餘切函數和餘割函數不會收斂。
有一方法可解決此問題，就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況，使得
formula_51
formula_52
formula_53
formula_54
若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆
formula_55
formula_3 的分數傅立葉轉換 (formula_14)的時頻分布，等同於 formula_3 的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 formula_14，用數學式子表示如下:
假設
(a) formula_60 是 formula_3 的維格納分布
(b) formula_62 是 formula_63 的維格納分布
(c) formula_63 是 formula_3 的分數傅立葉轉換
，則formula_66
假設
(a) formula_67 是 formula_3 的加伯轉換
(b) formula_69 是 formula_63 的加伯轉換
(c) formula_63 是 formula_3 的分數傅立葉轉換
，則formula_73
例子一:
對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
例子二:
對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖
可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，
這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。
假設現在formula_3是由兩個信號組成:
formula_76和formula_77 用數學表示分別如下:
由式子可以很明顯地看出，formula_81兩信號是方波。
若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。
則 formula_3 乘上 formula_83 時，formula_76這個信號會被保留，formula_77這個信號就被濾掉了。
此作法可成功將這兩個信號分開。
此種方法的限制為欲分解的信號必須在时域不能重疊，否則無法成功分解。
可以很明顯地看出formula_76和formula_77 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。
此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號formula_3轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:
由formula_95可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。
假設 formula_96 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)
則 formula_95 乘上 formula_96 時，formula_100 會被保留，formula_101 就被濾掉了。
反之，若要保留 formula_101 而濾掉 formula_100 ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。
這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。
欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。
三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，
不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項formula_105去除，這是因為formula_105和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。
因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。
但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。
這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。
假設有噪音干擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。
用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。
現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。
方法1 : 使用垂直的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。
方法2 : 使用水平的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。
但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。
因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。
方法3 : 使用斜的 Cutoff line
若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。
Cutoff line 的參數包含了 formula_14 和 formula_108，formula_14 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 formula_108 則是cutoff line 距離原點的距離。
以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:
步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 formula_14
步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 formula_14，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。
步驟(3) 算出 formula_108後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。
步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 formula_114，將時頻分布旋轉回原來的位置。 令接收到的信號為 formula_115，最後得到的信號為 formula_116，可將以上步驟用數學式子表示如下:
由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號
例子三:
一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾
(a) 發射訊號
(b) 接收訊號
(c) 接收訊號的韋格納分
(d) 接收訊號的加伯轉換
(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。
(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%
傅立葉轉換
優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。
缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。
分數傅立葉轉換
優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度,時域，來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。
缺點: 運算複雜度較高。
其他的時間-頻率變換：