射流
射流，也称节（）在数学中是指取一个可微函数"f"并在其定义域的每一点产生一个多项式，也就是"f"的截尾泰勒多项式的操作。虽然这是一个射流的定义，射流理论将这些多项式作为抽象多项式而不是多项式函数。
在给出一个射流的严格定义之前，有必要查看一些特殊情况。
设formula_1是实值函数，在点formula_2的领域"U"有至少"k+1"阶导数。那么根据泰勒定理，
其中 那么"f"在点formula_2的"k"-射流定义为多项式
射流通常视为变量"z"的抽象多项式，而不是一个该变量实际的多项式函数。换言之，"z"是一个不定变量，这使得我们可以在射流上施行各种代数操作。实际上，射流是从基点formula_2得到它们的函数依赖关系。这样，通过变换基点，一个射流在每一点产生了一个"k"次多项式。这标志着射流和截尾泰勒级数的概念上的区别：通常泰勒级数被视为函数式地依赖于它的变量，而非其基点。另一方面，射流将泰勒级数的代数属性和它们的函数属性分离开来。我们将在本条目后面讨论该区别的原因和应用。
假设formula_8是从一个欧氏空间到另一个的一个函数，有至少"(k+1)"阶导数。本例中，推广的泰勒定理断言
这个情况下，"f"的"k"-射流定义为多项式
射流可以加上两种基本的代数结构。第一个是乘积结构，虽然这最后是最不重要的。第二个是射流的复合结构。
若formula_11是一对实值函数，则我们可以定义它们的射流的积为
这里，我们略去了不定变量"z"，因为可以将射流理解为形式化多项式。这个乘积就是"z"上的普通多项式的乘积，以formula_13为模。换言之，它是在环formula_14上的乘积，其中formula_15是由次数≥ k+1的齐次多项式生成的理想。
现在讨论射流的复合。为避免不必要的技术细节，我们考虑从原点映射到原点的函数的射流。若formula_16和formula_17满足"f"(0)=0和"g"(0)=0，则formula_18。"射流的复合"定义为 formula_19 它可以用链式法则直接证明构成一个原点的射流空间上的非交换操作。
实际上，"k"-射流的复合不过就是多项式的复合，以次数formula_20的齐次多项式为模。
"例:"
且
本节集中描述在一点的一个函数的射流的两种不同的严格定义，之后讨论泰勒定理。这些定义在给出在两个流形之间的射流的内蕴定义中是很有用的。
如下的定义采用了数学分析中定义射流和射流空间的思想。它可以推广到巴拿赫空间之间的光滑函数、实或复域之间的解析函数、p进分析、或是其它的分析领域。
令formula_27为光滑函数formula_28的向量空间。令"k"为非负整数，并令"p"为formula_29的一点。我们在该空间定义一个等价关系formula_30，也就是令两个函数"f"和"g"等价如果"f"和"g"在"p"有相同的值，并且所有它们的偏导数等价到"k"阶，若"f"和"g"在"p"数值相同，并且它们直到"p"阶的偏导数全部相同。
"k"阶射流空间formula_27在点"p"定义为formula_32的等价类集合，并记为formula_33。
光滑函数formula_34的"k"阶射流定义为"f"在formula_33中所属的等价类。
如下定义采用代数几何和交换代数中的思想来建立射流和射流空间的概念。虽然这个定义不太适合代数几何本身，因为它属于光滑范畴，但也很容易修改为适合代数几何的使用的形式。
令formula_36为光滑函数formula_28在formula_29中的点"p"的芽的向量空间。令formula_39为在"p"为零的函数的理想。(这是局部环 formula_36的极大理想。)则理想formula_41由所有在点"p"直到"k"阶导数全部为零的函数的芽组成。现在我们可以定义"p"点的射流空间为
若formula_28为光滑函数，我们可以定义"f"在"p"的"k"阶射流为formula_33的如下元素
不管怎样定义，泰勒定理建立了向量空间formula_33和formula_47之间的标准同构。所以，在欧氏空间的范围中，射流通常可以和它们的多项式表示在这个同构下等同起来。
我们定义了位于一点formula_48的射流的空间formula_33由所有"f"("p")="q"的函数"f"的射流组成的子空间记为
若"M"和"N"是两个光滑流形，我们如何定义函数formula_51的射流?也许可以通过"M"和"N"上的局部坐标来定义。这个方法的缺点是流形不能在这种方式下以等变的形式来定义。射流不像张量那样变换。实际上，两个流形间的函数的射流属于一个射流丛。
本节先引入从实直线到流形的函数的射流的概念。然后，证明这样的射流构成一个纤维丛，和切丛类似，它也是一个射流丛的一个伴随丛。接下来，讨论定义两个光滑流形间的函数的射流的问题。在整节中，我们全部采用分析方法。虽然代数几何方法在很多应用中更合适，因其过于微妙不便于在此系统论述。细节请参看射流 (代数几何)。
假设"M"为一个光滑流形，"p"为其中一点。我们来定义穿过"p"的曲线的射流，我们所指的曲线也即使得"f"(0)="p"的光滑函数formula_52。定义一个等价关系formula_30如下。令"f"和"g"为一对穿过"p"的曲线。我们称"f"和"g"在"p"为"k"阶等价，如果存在"p"的某个邻域"U"，使得对于每个光滑函数formula_54, formula_55。注意，这些射流是定义良好的，因为复合函数formula_56和formula_57只是从实直线到自身的映射而已。该等价关系有时称为在点"p"的曲线的"k"阶相切。
现在我们定义"k"阶射流空间formula_58为在formula_32关系下穿过"p"的曲线构成的等价类。曲线"f"穿过"p"的"k"阶射流定义为"f"所属的等价类，记为formula_60 or formula_61。
这构成了一个实向量空间。随着"p"在"M"中变化，formula_58构成了"M"上的一个纤维丛:"k"阶切丛，经常记为"T""M" （虽然这个记号有时会导致混淆）。在"k"=1时，一阶切丛就是通常的切丛："T""M"="TM"。
要证明"T""M"实际上构成一个纤维丛，我们需要查看一下formula_58在局部坐标中的属性。令("x")= ("x"...,"x")为"M"在"p"的邻域"U"中的一个局部坐标系。稍微滥用记号一下，我们可以视("x")为一个局部微分同胚formula_64。
"断言："穿过"p"的两条曲线"f"和"g"以formula_30为模等价，当且仅当formula_66在"p"的某个邻域formula_67上成立。
因此，这个表面上的纤维丛"T""M"确实有每个坐标邻域中的局部平凡化。至此，要证明这个表面上的纤维丛是真正的纤维丛，只需证明它在坐标变换下有非奇异的变换函数。令formula_75为一个不同的坐标系，并令formula_76为相伴随的从欧氏空间到自身的坐标变换微分同胚。通过formula_29的仿射变换，我们可以不失一般性地假设ρ(0)=0。在该假设下，只要证明formula_78是射流复合下的可逆变换即可。（参看射流群。）但是由于ρ是微分同胚，formula_79也是光滑映射。因而，
这表明formula_81是非奇异的。而且，它是光滑的，虽然我们这里并不需要利用这一点。
直观的来讲，这意味着我们可以用"M"上的局部坐标中的泰勒级数来表达一个曲线的射流。
"局部坐标中的例子："现在可以定义从流形到流形的函数的射流了。
设"M"和"N"为两个光滑流形。令"p"为"M"一点。考虑由定义在"p"的某个邻域中的光滑映射formula_51组成的空间formula_93。在formula_93上定义一个等价关系formula_32如下。两个映射"f"和"g"称为"等价"的，若对于每条穿过"p"的曲线γ（按此处常规，这表示一个使得formula_96的映射formula_97，）我们在"p"的某个领域上有formula_98。
formula_99的射流空间则定义为formula_93以等价关系formula_32为模的等价类的集合。注意，因为目标空间"N"不需要有代数结构，formula_99也可以没有这样的结构。也就是说，这和欧氏空间的情形实际上形成鲜明的对比。
若formula_51是定义在"p"附近的光滑函数，则我们定义"f"在"p"的"k"阶射流formula_104为"f"以formula_32为模所属的等价类。
本节讨论向量丛的局部截面的射流的概念。所有本节的内容可以在做适当的改动后推广到纤维丛、巴拿赫流形上的巴拿赫丛、纤维化流形、或者概形上的准一致层的局部截面的情况。而且，这些例子只是可以作的推广的一部分而已。
设"E"为流形"M"上的有限维光滑向量丛，其投影为formula_106。则"E"的截面为满足formula_107为"M"上的恒等自同构的光滑函数formula_108。截面"s"在"p"的一个邻域上的射流就是从"M"到"E"的光滑函数在点"p"的射流。
这些在点"p"的射流的空间记为formula_109。虽然这个记法可能会和更一般的两个流形间的函数的射流空间造成混淆，上下文通常可以消除这种歧义。
和从流形到另一流形的函数的射流不同，在"p"的截面的射流有继承自截面本身的向量空间结构的向量空间结构。随着"p"在"M"上变化，射流空间formula_109形成一个"M"上的丛，也就是"E"的"k"阶射流丛，记为"J"("E")。参看微分算子#坐标无关表述。