โมเมนต์ความเฉื่อย
โมเมนต์ความเฉื่อย เป็นคุณสมบัติของวัตถุที่จะกำหนดค่าความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมรอบแกนของการหมุนของมัน มันเป็นวิธีการหมุนของวัตถุอันเป็นผลมาจากกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน, ซึ่งระบุว่า "วัตถุทุกชนิดจะรักษาสภาพหยุดนิ่งหรือสภาพเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรงนอกจากจะมีแรงลัพธ์ที่มีค่าไม่เป็นศูนย์มากระทำ" ในบริบทนี้ความเฉื่อยหมายถึงความต้านทานต่อการเปลี่ยนแปลง
โมเมนต์ความเฉื่อยถูกนำไปใช้กับการขยายตัวของวัตถุซึ่งมวลเป็นข้อจำกัดในการหมุนรอบแกน มันเกิดขึ้นจากการรวมกันของมวลและเรขาคณิตในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุอย่างต่อเนื่อง, ส่วนประกอบของอนุภาค หรือที่รู้จักกันในชื่อว่า พลศาสตร์ของวัตถุแข็งเกร็ง (Dynamics of rigid body) มันเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของขั้วเสาที่ดำเนินการโดยนักไต่ลวดสลิงที่ต่อต้านการหมุนและช่วยให้นักไต่ลวดรักษาความสมดุลไว้ได้
เมื่อวัตถุกำลังหมุนรอบแกน, แรงบิดจะต้องถูกนำมาใช้เพื่อเปลี่ยนโมเมนตัมเชิงมุมของมัน ปริมาณของแรงบิดที่จำเป็นสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ก็ตามในโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็นสัดส่วนกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงนั้น ๆ ค่าคงที่ของความได้สัดส่วนเป็นคุณสมบัติของวัตถุที่รวมมวลและรูปร่างของมันเข้าไว้ด้วยกัน, ที่รู้จักกันว่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย ในกลศาสตร์ดั้งเดิม,
โมเมนต์ความเฉื่อย formula_1 สามารถเขียนได้ในรูปของอัตราส่วนระหว่างผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมระบบกับความเร็วเชิงมุมรอบแกนหมุนหลักของระบบได้ ดังนี้
ถ้าโมเมนตัมเชิงมุมของระบบมีค่าคงตัว แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยจะมีค่าน้อยลง ในขณะที่ความเร็วเชิงมุมจะมีค่าเพิ่มขึ้น เมื่อรูปร่างของวัตถุไม่เปลี่ยนแปลง แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจะสามารถพิจารณาในเรื่องกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันได้ นั่นคือโมเมนต์ความเฉื่อยจะอยู่ในรูปของอัตราส่วนระหว่างทอร์กที่มากระทำต่อระบบกับความเร่งเชิงมุมรอบแกนหมุนหลัก คือ
สำหรับระบบเพนดูลัมอย่างง่าย สามารถนิยามโมเมนต์ความเฉื่อย formula_1 ได้ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ formula_5 กับกำลังสองของระยะห่าง formula_6 จากจุดหมุนถึงวัตถุ
เพราะฉะนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบจึงขึ้นกับมวล และรูปร่างของวัตถุ รวมถึงระยะห่างจากจุดหมุนถึงมวลด้วย
โมเมนต์ความเฉื่อยสามารถหาได้จากเพนดูลัมอย่างง่าย เพราะมันมีความต้านทานการหมุนเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลกอยู่ ในทางคณิตศาสตร์ โมเมนต์ความเฉื่อยของเพนดูลัมเป็นอัตราส่วนระหว่างทอร์กเนื่องจากแรงโน้มถ่วงกระทำรอบจุดหมุนกับความเร่งเชิงมุม สำหรับเพนดูลัมอย่างง่ายสามารถเขียนโมเมนต์ความเฉื่อย formula_1 ในรูปของผลคูณระหว่างมวลของวัตถุ formula_5 ต่อกำลังสองของระยะห่าง formula_6 จากจุดหมุนถึงวัตถุนั้น
โดยที่แรงโน้มถ่วงของโลกมากระทำต่อวัตถุของระบบเพนดูลัมอย่างง่าย แล้วทำให้เกิดทอร์ก formula_12 รอบแกนซึ่งตั้งฉากกับระนาบการหมุนของเพนดูลัม formula_13 เป็นปริมาณเวกเตอร์ คือระยะห่างจากวัตถุถึงแรงที่มากระทำ มีทิศตั้งฉากกับแรงนั้น และ formula_14 คือแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุนั้น สำหรับ formula_15 จะเกี่ยวข้องกับความเร่งเชิงมุม formula_16 และวัตถุจะถูกจำกัดการเคลื่อนที่ให้มีลักษณะเป็นวงกลมเท่านั้น โดยที่ความเร่งในแนวการเคลื่อนที่ คือ formula_17
เมื่อ formula_19 เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีทิศตั้งฉากกับระนาบการเคลื่อนที่ของเพนดูลัม สำหรับ formula_20 จะปรากฏในโมเมนตัมเชิงมุมของเพนดูลัมอย่างง่าย ซึ่งคำนวณมาจากความเร็ว formula_21 ของเพนดูลัมรอบแกนหมุน โดยที่ formula_22 เป็นความเร็วเชิงมุมของวัตถุรอบจุดหมุน สามารถเขียนโมเมนตัมเชิงมุมได้เป็น
นอกจากนี้ยังสามารถหาพลังงานจลน์ของเพนดูลัมได้ ซึ่งขึ้นกับมวลและความเร็วของวัตถุ คือ
ตามปกติแล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบคือผลรวมค่า formula_25 ของทุกๆวัตถุในระบบนั้น คือ
เมทริกซ์ของความเฉื่อยสามารถอธิบายได้โดยใช้เทนเซอร์ของความเฉื่อย ซึ่งจะประกอบด้วยโมเมนต์ความเฉื่อยในระบบพิกัด 3 แกน สามารถคำนวณผลลัพธ์ในเวลาเดียวกันได้ เมทริกซ์ของความเฉื่อยถูกสร้างจากเทนเซอร์ซึ่งมี 9 องค์ประกอบ เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณเราจะเขียนในรูปของเมทริกซ์
เทนเซอร์ดีกรีสองหรือที่เราเรียกว่า เมทริกซ์ สำหรับ the inertia tensor แล้วเขียนในรูปเมทริกซ์ได้เป็น
เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ไม่ยากนัก เพราะวัตถุแข็งเกร็งในทางกลศาสตร์จะถูกกำหนดอย่างชัดเจนด้วยพิกัด x y z เช่น I and I ในรูปขององค์ประกอบ inertia tensor
พิกัดภายในวัตถุที่ทำให้เทนเซอร์ความเฉื่อยเป็นเมทริกซ์ทแยง
สำหรับวัตถุแข็งเกร็งจะมีแกนหมุนอย่างน้อยสามแกนตั้งฉากกันและกัน เรียกว่า แกนหลักของความเฉื่อย ซึ่งจะเป็นแกนที่วัตถุหมุนได้ง่ายที่สุดโมเมนตัมเชิงมุมจะมีทิศเดียวกับความเร็วเชิงมุม แกนหลักนี้อาจทับกับแกน xyz หรือไม่ทับกันก็ได้ เมื่อวัตถุแข็งเกร็งหมุนรอบแกนหลักสำคัญของความเฉื่อยแกนใดแกนหนึ่ง โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุเกร็งจะเท่ากับโมเมนต์ของความเฉื่อยของวัตถุรอบแกนนั้นคูณกับความเร็วเชิงมุมของวัตถุ
เราพิจารณาทิศทางของโมเมนตัมเชิงมุมและความเร็วเชิงมุม จะเห็นได้ว่า โดยทั่วไปโมเมนตัมเชิงมุมไม่จำเป็นต้องมีทิศทางในแนวเดียวกับความเร็วเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุในกรณีทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีทิศทางเดียวกับความเร็วเชิงมุม
วัตถุแข็งเกร็ง (Rigid body) คือกลุ่มของอนุภาคที่มีระยะห่างระหว่างอนุภาคคงตัว อย่างไรก็ตามระยะระหว่างอนุภาคจะมีค่าคงตัวก็ต่อเมื่ออุณหภูมิมีขนาดศูนย์เคลวิน ดังนั้นที่อุณหภูมิห้อง ระยะระหว่างอนุภาคมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา เนื่องจากมีการสั่นของอนุภาคระยะที่ใช้จึงเป็นระยะเฉลี่ย หมายความว่าในการศึกษาการเคลื่อนที่ในระบบมหาภาค (macroscopic motion) จะไม่คำนึงถึงผลของระบบจุลภาค (microscopic motion) และในธรรมชาติวัตถุแข็งเกร็งจะมีความเสียรูป (deformation) เนื่องจากการเคลื่อนที่หรือการชนเกิดขึ้น ซึ่งในที่นี้ก็จะไม่คำนึงถึงเช่นเดียวกันตำแหน่งเชิงเส้นและเชิงมุม 
ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง คือตำแหน่งขององค์ประกอบของอนุภาคทั้งหมด เพื่อลดความซับซ้อนในการอธิบายของตำแหน่งดังกล่าว เราจะใช้คุณสมบัติที่วัตถุมีความแข็งเกร็ง ซึ่งทุกๆอนุภาคจะรักษาระยะห่างระหว่างอนุภาคอย่างเท่าๆกัน และถ้าหากวัตถุมีความแข็งเกร็ง อย่างน้อยจะอธิบายตำแหน่งของอนุภาค 3 อนุภาคที่ไม่เกิดการชน ซึ่งทำให้สามารถสร้างตำแหน่งของอนุภาคอื่น ๆ ทั้งหมด โดยที่ตำแหน่งของอนุภาคสามตัวที่ไม่ได้แปรเปลี่ยนตามเวลา และจะเรียบง่ายขึ้นถ้าใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์เข้ามาช่วย โดยมีธีการเทียบค่า ซึ่งตำแหน่งของวัตถุทั้งหมดอธิบายได้โดย
1.ตำแหน่งเชิงเส้น หรือตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็ง คือตำแหน่งของของอนุภาคทั้งหมด กล่าวคือตำแหน่งหนึ่งของวัตถุแข็งเกร็ง เลือกเป็นจุดอ้างอิงของทั้งวัตถุ (โดยทั่วไปจะเลือกใช้จุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลางมวล
2.ตำแหน่งเชิงมุมของวัตถุ
ดังนั้น ตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งจะมี 2 องค์ประกอบ คือ เชิงเส้น และเชิงมุม ตามลำดับ เช่นเดียวกันกับ จลนศาสตร์ และ พลังงานจลน์ ใช้ปริมาณอธิบายที่อธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง ที่มีทั้งเชิงเส้นและเชิงมุมเช่น ความเร็ว ความเร่ง โมเมนตัม การดล และพลังงานจลน์
ตำแหน่งเชิงเส้น สามารถที่จะแทนได้ด้วย เวกเตอร์ ซึ่งหางของเวกเตอร์ จะเริ่มต้นที่จุดอ้างอิงใดๆ จากระบบพิกัด และ ปลายของเวกเตอร์จะชี้ไปยังจุดใดๆที่เราสนใจบน วัตถุแข็งเกร็ง ซึ่งโดยปกติเริ่มจากจุดศูนย์กลางมวล หรือจุดกึ่งกลาง ซึ่งจุดอ้างอิงนี้หาได้โดย จุดกำเนิดของระบบพิกัดบนวัตถุแข็งเกร็ง
มีหลายทางในการคำนวณเพื่ออธิบาย แนวทางของ วัตถุแข็งเกร็ง ประกอบด้วย ชุดมุม3มุมของออยเลอร์ หรือ 4 มุม หรือ การใช้ เมททริกซ์ตรีโกณเมทริกซ์โดยตรง(อ้างอิงโดย เมทริกซ์การหมุน) กระบวนการทั้งหมดนี้ใช้แนวทางการหาค่าจาก ระบบพิกัด ซึ่งมีความสัมพันธ์กับวัตถุ หรือความสัมพันธ์ของระบบพิกัดจากการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งจากการสังเกต
โดยทั่วไป เมื่อวัตถุแข็งเกร็งเคลื่อนที่ ทั้งตำแหน่ง และแนวทางจะขึ้นกับเวลา ในสัมผัสจลนศาสตร์ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงนี้อ้างอิงถึงการเลื่อนที่ และการหมุน (คือหมุนไปด้วยและเคลื่อนที่ไปด้วย) ของวัตถุ โดยเริ่มต้นจากสมมติฐานที่อ้างอิงจากตำแหน่ง(ไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับตำแหน่งจริงที่วัตถุเคลื่อนที่)ความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุม
ความเร็ว หรือเรียกว่า ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุม วัดได้โดยใช้กรอบอ้างอิง
ความเร็วเชิงเส้น ของวัตถุแข็งเกร็ง คือปริมาณเวกเตอร์ มีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงของเวลา เทียบกับตำแหน่งเชิงเส้นที่เปลี่ยนไป ดังนั้น ความเร็วจะอ้างอิงโดยถูกยึดกับตัววัตถุ ซึ่งมีเพียงการเลื่อนที่เท่านั้น(ไม่มีการหมุนเกิดขึ้น) ทุกๆจุดบท วัตถุแข็งเกร็ง เคลื่อนที่ด้วยความเร็ซที่เท่ากัน อย่างไรก็ตามเมื่อการเคลื่อนที่มีการหมุนด้วย ความเร็วเชิงเส้น และความเร็วเชิงมุมจะมีค่าไม่เท่ากัน แต่จะมีค่าเท่ากันถ้าการหมุนที่เกิดขึ้น ขนานไปกับแกนหมุน
ความเร็วชิงมุม คือปริมาณเวกเตอร์ที่อธิบายได้ด้วย อัตราเร็วเชิงมุม เมื่อเกิดการเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุแข็งเกร็งตามแนวแกนที่เกิดการหมุน(ซึ่งอธิบาย การที่แกนเกิดการหมุน ด้วยทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์) และทุกๆจุดบนวัตถุแข็งเกร็ง จะมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันในทุกๆเวลา ในขณะที่วัตถุแข็งเกร็งเกิดการหมุนเพียงอย่างเดียว ทุกๆจุดบนวัตถุแข็งเกร็งจะขึ้นอยู่กับ การหมุนของแกนเพียงอย่างเดียว ความสัมพันธ์ระหว่าง แนวทางกับความเร็วเชิงมุมไม่เกี่ยวข้องกันโดยตรงกับความสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งและความเร็วเชิงเส้น แนวทางของความเร็วเชิงมุม ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เพราะว่าไม่มีความสัมพันธ์เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงระยะเชิงมุมกับความเร็วเชิงมุม