ภาวะเชิงการนับ
ในทางคณิตศาสตร์ ภาวะเชิงการนับ ของเซต () คือการวัดปริมาณว่ามีสมาชิกจำนวนเท่าไรในเซต ตัวอย่างเช่น เซต "A" = {2, 4, 6} มีสมาชิก 3 ตัว ดังนั้น "A" มีภาวะเชิงการนับเป็น 3 เพื่อทำความเข้าใจถึงภาวะเชิงการนับสามารถทำได้สองแนวทาง หนึ่งคือการเปรียบเทียบเซตโดยตรงด้วยฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงหรือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และอีกทางหนึ่งคือการใช้จำนวนเชิงการนับ
ภาวะเชิงการนับของเซต "A" เขียนแทนด้วย | "A" | โดยใช้ขีดตั้งเขียนล้อมรอบในลักษณะเดียวกับค่าสัมบูรณ์ ดังนั้นความหมายจึงขึ้นอยู่กับบริบท ภาวะเชิงการนับของเซตอาจแสดงด้วยสัญกรณ์อื่นเช่น n("A"), "A", หรือ # "A"
เซต "A" กับเซต "B" จะมีภาวะเชิงการนับเท่ากัน ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) นั่นคือเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) และทั้งฟังก์ชันทั่วถึง (surjection) จาก "A" ไป "B" อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต "E" = {0, 2, 4, 6, …} เป็นเซตของจำนวนคู่ที่ไม่เป็นลบ และเซต N = {0, 1, 2, 3, …} เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ (ซึ่งรวม 0 เข้าไปด้วย) ภาวะเชิงการนับของ "E" จะเท่ากับภาวะเชิงการนับของ N เนื่องจากมีฟังก์ชัน "f"("n") = 2"n" เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก N ไป "E" และในทางกลับกันก็มีฟังก์ชัน "f"("n") = "n" / 2 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแบบทั่วถึงจาก "E" ไป N ด้วย
เซต "A" จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าหรือเท่ากับเซต "B" ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก "B" ไป "A" อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน
เซต "A" จะมีภาวะเชิงการนับมากกว่าเซต "B" อย่างแท้จริง ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injection) จาก "B" ไป "A" อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน โดยที่ฟังก์ชันนั้นไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (non-bijection)
ตัวอย่างเช่น กำหนดให้เซต R เป็นเซตของจำนวนจริง และเซต N เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ เนื่องจากความสัมพันธ์โดยเซตย่อย "i" : N → R เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (จำนวนธรรมชาติใด ๆ ถือว่าเป็นจำนวนจริง) และสามารถแสดงได้ว่าความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ยังมีจำนวนจริงอีกมากที่ไม่ได้เป็นจำนวนธรรมชาติ) ดังนั้นภาวะเชิงการนับของ R จึงมากกว่าภาวะเชิงการนับของ N อย่างแท้จริง
จากหัวข้อข้างต้น "ภาวะเชิงการนับ" ได้นิยามโดยการอธิบายด้วยฟังก์ชัน นั่นคือ "ภาวะเชิงการนับ" ของเซตไม่ได้ถูกนิยามว่าเป็นวัตถุอย่างหนึ่งอย่างใดโดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม วัตถุเช่นนั้นอาจสามารถนิยามขึ้นมาใหม่ได้
ความสัมพันธ์ของการมีภาวะเชิงการนับที่เท่ากันเรียกว่า ภาวะเท่ากันของจำนวน (equinumerosity) และสิ่งนี้เป็นความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) บนคลาสของเซตทั้งหมด ดังนั้นคลาสที่สมมูลกับเซต "A" ภายใต้ความสัมพันธ์นี้ จะประกอบขึ้นจากเซตทั้งหมดที่มีภาวะเชิงการนับเท่ากับของเซต "A" จึงมีสองวิธีการที่จะนิยาม "ภาวะเชิงการนับของเซต"
ภาวะเชิงการนับของเซตอนันต์เขียนแทนได้เป็น
สำหรับแต่ละจำนวนของ α ในจำนวนเชิงอันดับที่ (ที่ 0, ที่ 1, ที่ 2, …) ℵ จะเป็นจำนวนเชิงการนับอย่างน้อยที่สุดที่มากกว่า ℵ
ภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนธรรมชาติเขียนแทนด้วยอะเลฟศูนย์ (ℵ) ในขณะที่ภาวะเชิงการนับของเซตจำนวนจริงเขียนแทนด้วย c ซึ่งหมายถึงภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง (cardinality of the continuum)
ถ้าสัจพจน์การเลือก (axiom of choice) และกฎไตรวิภาค (trichotomy law) มีอยู่สำหรับภาวะเชิงการนับ ดังนั้นเราจะสามารถสร้างนิยามทางเลือกเหล่านี้ได้
แนวความคิดดั้งเดิมที่ใช้กับเซตจำกัดพังทลายลงเมื่อพบกับเซตอนันต์ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 เกออร์ก คันทอร์ กอทท์ลอบ เฟรเกอ ริชาร์ด เดเดคินด์ และอีกหลายท่านไม่ยอมรับมุมมองของกาลิเลโอ (ซึ่งสืบทอดมาจากยูคลิด) ที่ว่า สิ่งทั้งหมดทั้งมวลไม่สามารถมีขนาดเท่ากับสิ่งที่เป็นบางส่วน ตัวอย่างหนึ่งคือปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต (Hilbert's paradox of the Grand Hotel)
เหตุผลของการไม่ยอมรับแนวคิดดังกล่าว เนื่องจากมีลักษณะเฉพาะหลายอย่างที่อาจทำให้เซต "A" ใหญ่กว่าเซต "B" หรือมีขนาดเท่ากับเซต "B" ซึ่งสมมูลกันในเซตจำกัด แต่จะไม่สมมูลกันในเซตอนันต์อีกต่อไป ลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันอาจสามารถทำให้ผลออกมาต่างกันก็ได้ ตัวอย่างเช่น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่เลือกโดยคันทอร์ เซตอนันต์ "A" จะใหญ่กว่าเซตอนันต์ "B" ในบางโอกาส ส่วนลักษณะเฉพาะอย่างอื่นสรุปว่า เซตอนันต์ "A" จะมีขนาดเท่ากับเซตอนันต์ "B" เสมอ ด้วยเหตุผลว่าเป็นอนันต์เหมือนกัน
สำหรับเซตจำกัด การนับก็ถือเป็นการสร้างความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตที่ถูกนับกับส่วนหนึ่งของจำนวนเต็มบวกโดยเริ่มจากหนึ่งเป็นต้นไป ดังนั้นจึงไม่มีรูปแบบที่เพียงพอเพื่อการนับเซตอนันต์ เพราะการนับจะให้ผลที่เป็นหนึ่งเดียวบนเซตจำกัด ในขณะที่เซตอนันต์จะถูกแทนที่ด้วยความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนเชิงอันดับที่ที่แตกต่างกันได้หลายแบบ ซึ่งขึ้นอยู่กับว่าเราจะนับ (หรือเรียงลำดับ) เซตนั้นอย่างไร
นอกจากนั้น ลักษณะเฉพาะของขนาดที่แตกต่างออกไปซึ่งใช้กับเซตอนันต์ จะทำให้เกิดการละเลย "กฎ" ต่าง ๆ ที่มีอยู่ในเซตจำกัด เช่นลักษณะเฉพาะของคันทอร์อันสงวนกฎไว้ว่า เซตหนึ่ง ๆ จะมีขนาดใหญ่กว่าเซตอื่นในบางโอกาส ได้ละเลยกฎการตัดสมาชิกออกจากเซตเพื่อทำให้ขนาดของเซตเล็กลง ในขณะที่ลักษณะเฉพาะแบบอื่น อาจสงวนกฎการตัดสมาชิกออกจากเซต แต่ละเลยกฎอย่างอื่นอีกก็ได้ ยิ่งไปกว่านั้น ลักษณะเฉพาะบางอย่างอาจไม่ได้ละเลยกฎ "โดยตรง" แต่ก็ไม่ได้รักษากฎนั้นไว้ "โดยตรง" เช่นกัน ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ที่นำมาโต้แย้ง อาทิสัจพจน์การเลือกหรือสมมติฐานความต่อเนื่อง ซึ่งจะทำให้เกิดความเป็นไปได้สามข้อดังที่อธิบายไว้ข้างต้น ความเป็นไปได้แต่ละอย่างอาจละเลยกฎบางข้อ รักษากฎบางอย่าง ทำให้ไม่อาจตัดสินได้
ถ้าแนวคิดนี้ขยายไปถึงมัลติเซต กฎอย่างอื่นซึ่งใช้กับมัลติเซตจำกัดจะถูกละเลยมากยิ่งขึ้นไปอีก (สมมติว่าใช้แนวคิดของคันทอร์) เช่นกำหนดมัลติเซตอนันต์ "A" กับ "B" เมื่อ "A" ไม่ใหญ่กว่า "B" และ "B" ก็ไม่ใหญ่กว่า "A" แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่า "A" กับ "B" จะมีขนาดเท่ากัน แต่กฎนี้จะยังคงอยู่สำหรับมัลติเซตจำกัด กฎไตรวิภาคก็ถูกละเลยในกรณีที่เป็นมัลติเซตเช่นกัน
เดเดคินด์ได้นิยามเซตอนันต์ว่ามีขนาดอันหนึ่งที่เหมือนกัน โดยอย่างน้อยก็เท่ากับเซตย่อยแท้ของมันเอง สัญกรณ์อนันต์ในลักษณะนี้เรียกว่าเซตอนันต์เดเดคินด์ การนิยามนี้สามารถใช้งานได้กับสัจพจน์การเลือกในบางรูปแบบเท่านั้น อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์บางท่านก็สรุปว่าแนวคิดนี้ใช้งานไม่ได้
คันทอร์ได้แนะนำจำนวนเชิงการนับที่สูงขึ้นไปกว่านั้น เพื่อแสดงให้เห็นว่าเซตอนันต์บางเซต มีขนาดใหญ่กว่าเซตอนันต์อื่น ซึ่งจำนวนที่น้อยที่สุดก็คือภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ)
ผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดอันหนึ่งของคันทอร์คือการแสดงว่าภาวะเชิงการนับของความต่อเนื่อง (formula_2) มีค่ามากกว่าภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ (ℵ) นั่นคือยังมีจำนวนจริง R อื่น ๆ อีกที่มากไปกว่าจำนวนธรรมชาติ N คันทอร์ได้แสดงไว้ว่า
สมมติฐานความต่อเนื่อง (continuum hypothesis) ระบุไว้ว่า ไม่มีจำนวนเชิงการนับใดที่มีค่าอยู่ระหว่าง ภาวะเชิงการนับของจำนวนจริงกับภาวะเชิงการนับของจำนวนธรรมชาติ นั่นคือ
อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ยังไม่สามารถพิสูจน์หรือปฏิเสธได้ภายใต้ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์แบบ ZFC ซึ่งเป็นทฤษฎีที่ยอมรับกันอย่างกว้างขวาง
เลขคณิตเชิงการนับก็สามารถใช้แสดงได้ว่า ไม่เพียงแค่จำนวนจุดบนเส้นจำนวนจริงจะเท่ากับจำนวนจุดบนส่วนของเส้นตรงเท่านั้น แต่ยังเท่ากับจำนวนจุดบนระนาบสองมิติ ปริภูมิสามมิติ หรือแม้แต่ปริภูมิมิติจำกัดใด ๆ ผลลัพธ์เหล่านี้อาจขัดกับสามัญสำนึกอยู่บ้าง เพราะมันเป็นการสรุปว่าเซตย่อยแท้และเซตใหญ่แท้ของเซตอนันต์ "S" มีขนาดเท่ากันกับ "S" ถึงแม้ว่า "S" จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ในเซตย่อยของมัน และเซตใหญ่ของ "S" จะมีสมาชิกหลายตัวที่ไม่มีอยู่ใน "S" ก็ตาม
ผลลัพธ์อย่างแรกของสิ่งเหล่านี้ปรากฏโดยการพิจารณาฟังก์ชันแทนเจนต์เป็นตัวอย่าง ซึ่งทำให้เกิดความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างช่วง (−½π, ½π) กับ R (ดูเพิ่มที่ ปฏิทรรศน์โรงแรมใหญ่ของฮิลเบิร์ต)
ผลลัพธ์อย่างที่สองแสดงไว้โดยคันทอร์เมื่อ ค.ศ. 1878 (แต่ปรากฏสู่สาธารณชนเมื่อ ค.ศ. 1890) ในตอนที่ จูเซปเป เปอาโน นำเสนอเส้นโค้งเติมเต็มปริภูมิ (space-filling curve) ซึ่งเส้นโค้งจะบิดเลี้ยวไปจนกว่าจะเติมเต็มพื้นที่ว่างในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือทรงลูกบาศก์ หรือไฮเพอร์คิวบ์ หรือที่ว่างในมิติจำกัดใด ๆ อย่างเพียงพอ ซึ่งเส้นโค้งเหล่านี้ไม่ได้เป็นข้อพิสูจน์โดยตรงว่า จำนวนจุดในเส้นตรงหนึ่งเส้นจะเท่ากับจำนวนจุดในปริภูมิมิติจำกัดอันหนึ่ง แต่ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งที่ใช้พิสูจน์ได้
คันทอร์ยังได้แสดงไว้อีกว่า เซตที่มีภาวะเชิงการนับมากกว่า formula_2 อย่างแท้จริงก็ยังมีอยู่อีก อาทิ
ซึ่งทั้งคู่มีภาวะเชิงการนับเป็น
และทำให้เกิดภาวะเท่ากันระหว่าง formula_7 ซึ่งสามารถแสดงโดยใช้เลขคณิตเชิงการนับดังนี้