รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม
ในทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ลอการิทึมมีอยู่เป็นจำนวนมากดังนี้
ในเอกลักษณ์ที่สอง log(0) มีคำตอบคือไม่นิยาม เพราะไม่มีจำนวน "x" ใด ๆ ที่ทำให้ "b" = 0 โดยความเป็นจริงแล้ว เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical asymptote) บนกราฟในฟังก์ชัน log("x") อยู่ที่ "x" = 0.
ลอการิทึมและเลขชี้กำลัง (แอนติลอการิทึม) ที่อยู่ฐานเดียวกันจะยกเลิกฟังก์ชันนั้นด้วยกันเอง ซึ่งเป็นความจริงเพราะลอการิทึมและเลขชี้กำลังเป็นตัวดำเนินการย้อนกลับ (คล้ายกับการคูณกับการหาร หรือ การบวกกับการลบ)
ทั้งสองเอกลักษณ์ข้างบนแปลงมาจาก 2 สมการที่กำหนดนิยามของลอการิทึมไว้ดังต่อไปนี้
โดยแทนค่า c ไปที่สมการทางซ้ายจะได้ b = x และแทนค่า x ไปที่สมการทางด้านขวาจะได้ log(b) = c สุดท้ายจึงแทนค่า c เป็น x.
ลอการิทึมสามารถลดรูปเพื่อให้การคำนวณนั้นง่ายขึ้น ยกตัวอย่างเช่น จำนวนสองจำนวนสามารถคูณกันได้โดยใช้ตารางลอการิทึมและจับค่าที่แปลงได้มาบวกกัน โดยตัวดำเนินการสามตัวแรกข้างใต้นี้กำหนดให้ x = b และ/หรือ y = b ทำให้ log(x) = c และ log(y) = d การแปลงสมการก็สามารถใช้ตามนิยามของลอการิทึม x = b และ x = log(b)
โดยให้ formula_6, formula_7 และ formula_8 เป็นจำนวนจริงบวกและ formula_9 ทั้ง formula_10 และ formula_11 เป็นจำนวนจริง
ผลลัพธ์ของกฎที่มาจากการยกเลิกเลขชี้กำลัง และกฎของเลขชี้กำลังที่จำเป็น โดยเริ่มต้นจากกฎข้อแรกจะเห็นว่า
formula_12
กฎสำหรับเลขยกกำลังได้ถูกใช้ในกฎข้ออื่น ๆ ของกฎเลขชี้กำลังอีกด้วยดังที่เห็น
formula_13
กฎที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้ถูกใช้ตามนี้
formula_14
เช่นเดียวกัน กฎของกรณฑ์ก็ได้แปลงโดยการเขียนกรณฑ์ต่าง ๆ เป็นเศษส่วน
formula_15
เอกลักษณ์นี้เป็นประโยชน์มากต่อการคำนวณลอการิทึมผ่านเครื่องคิดเลข โดยเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มักจะมีแค่ปุ่ม ln และ log เท่านั้น ไม่มีลอการิทึมฐานอื่น ๆ เช่น log ดังนั้นเมื่อจะหา log(3) จะใช้ log(3) / log(2) (หรือ ln(3)/ln(2)) แทนซึ่งผลลัพธ์มีค่าเท่ากัน
โดยสมการนี้สามารถให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ได้อีกด้วย
โดยให้ formula_28เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1, ..., "n" ใด ๆ ยกตัวอย่างเช่น
กฎการบวกและการลบของลอการิทึมดังต่อไปนี้มีประโยชน์มาก โดยเฉพาะในทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อมีการใช้ผลรวมของความน่าจะเป็นแบบลอการิทึม
formula_32 และ formula_10 จะถูกสลับไปอยู่ทางขวาของสมการก็ต่อเมื่อ formula_34 และเอกลักษณ์การลบของลอการิทึมไม่ได้นิยามไว้ ถ้า formula_35 เพราะลอการิทึมของศูนย์ฐานใด ๆ ไม่ได้นิยามค่าไว้ ภาษาโปรแกรมหลายภาษาได้ระบุเฉพาะว่า codice_1 เป็นฟังก์ชันที่คำนวณ formula_36 โดยไม่เกิดการ underflow เมื่อ formula_7 มีค่าน้อย
เมื่อทำสมการให้อยู่ในรูปทั่วไปจะได้ว่า
เมื่อ formula_39 are sorted in descending order.
A useful identity involving exponents:
Based on and
Both are pretty sharp around x=0, but not for large x.
The last limit is often summarized as "logarithms grow more slowly than any power or root of "x"".
Where formula_51, formula_52, and formula_9.
To remember higher integrals, it's convenient to define:
Where formula_57 is the nth Harmonic number.
Then,
The identities of logarithms can be used to approximate large numbers. Note that log("a") + log("c") = log("ac"), where "a", "b", and "c" are arbitrary constants. Suppose that one wants to approximate the 44th Mersenne prime, 2 − 1. To get the base-10 logarithm, we would multiply 32,582,657 by log(2), getting 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. We can then get 10 × 10 ≈ 1.25 × 10.
Similarly, factorials can be approximated by summing the logarithms of the terms.
The complex logarithm is the complex number analogue of the logarithm function. No single valued function on the complex plane can satisfy the normal rules for logarithms. However a multivalued function can be defined which satisfies most of the identities. It is usual to consider this as a function defined on a Riemann surface. A single valued version called the principal value of the logarithm can be defined which is discontinuous on the negative x axis and equals the multivalued version on a single branch cut.
The convention will be used here that a capital first letter is used for the principal value of functions and the lower case version refers to the multivalued function. The single valued version of definitions and identities is always given first followed by a separate section for the multiple valued versions.
The multiple valued version of log("z") is a set but it is easier to write it without braces and using it in formulas follows obvious rules.
When "k" is any integer:
Principal value forms:
Multiple value forms, for any "k" an integer:
Principal value forms:
Multiple value forms:
A complex power of a complex number can have many possible values.
Principal value form:
Multiple value forms:
Where "k", "k" are any integers: