ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ด () เป็นขั้นตอนวิธีแบบสุ่มที่ใช้หาตัวประกอบของจำนวนประกอบที่มีค่ามาก โดยอาศัยคุณสมบัติของการหาร เพื่อให้หาตัวประกอบของเลขจำนวนนั้น ๆ ได้เร็ว ขั้นตอนวิธีนี้ จอห์น พอลลาร์ด () นำเสนอขึ้นในปี 1975 และต่อมา ริชาร์ด เบรนท์ () ปรับปรุงในปี 1980
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดมีพื้นฐานมาจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ () และ จากการสังเกตถึงคุณสมบัติของตัวเลขที่จะมีคุณสมบัติหนึ่งๆเหมือนกัน ซึ่งคล้ายกับในปัญหาวันเกิด ( , ) นั่นคือ หากต้องการหาตัวเลข 2 ตัว "x" และ "y" ที่มีคุณสมบัติหารด้วยตัวเลข "p" แล้วมีเศษเหลือเท่ากัน หรือ "x" สมภาคกับ "y" มอดุโล "p" ( "x" congruent "y" modulo "p" ) จะมีความน่าจะเป็นเท่ากับ 0.5 หลังจากสุ่มตัวเลขมาแล้ว formula_1 ตัว หากให้ "p" เป็น ตัวประกอบหนึ่งของ "n" เมื่อ "n" คือตัวเลขที่ต้องการหาตัวประกอบ จะได้ว่า formula_2 เนื่องจาก "p" หาร formula_3 และ formula_4 ลงตัว
ขั้นตอนวิธีโรห์ จะใช้ "f" ฟังก์ชันมอดุโล "n" สำหรับการสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม () โดยลำดับทั้งสองจะมีความเร็วในการเลื่อนลำดับต่างกัน 2 เท่า กล่าวคือ ลำดับหนึ่งจะเลื่อนไป 2 ขั้น ในขณะที่อีกลำดับ จะเลื่อนไปเพียง 1 ขั้นเท่านั้น
หากให้ "x" และ "y" เป็นตัวแทนสำหรับตัวเลขในลำดับทั้ง 2 ในขณะหนึ่ง จะทำการหาค่า ห.ร.ม. ( GCD ) ของ formula_5 และ formula_4 โดยถ้าหาก ห.ร.ม. มีค่า 
- เท่ากับ "n" จะทำให้ขั้นตอนวิธีนี้จบการทำงานลงด้วยความผิดพลาด เนื่องจาก ห.ร.ม. จะมีค่าเท่ากับ "n" ได้ เมื่อ "x" = "y" ซึ่งจาก ขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์ จะได้ว่า ลำดับที่สร้างได้พบกับวงวน และการทำงานในครั้งต่อๆไปก็จะเป็นการทำงานซ้ำเดิมกับงานที่เคยทำไปแล้ว
- เท่ากับ 1 แสดงว่า ยังหาตัวประกอบไม่เจอ ให้กลับไปเลือก "x" และ "y" จากลำดับตัวเลขสุ่มเทียมตัวต่อไป โดย "x" = "f"("x") และ "y" = "f"("f"("y")) แล้วกลับไปทำแบบเดิมอีกครั้งหนึ่ง
- เท่ากับ ค่าอื่นๆ แสดงว่า ค่าที่ได้นั้น คือตัวประกอบตัวหนึ่งของ "n" นั่นเอง
นำเข้า: "n", เป็นเลขจำนวนเต็มที่ต้องการหาตัวประกอบ; และ "f" ("x"), เป็นฟังก์ชันสุ่มเทียมมอดุโล "n"
ส่งออก: ตัวประกอบของ "n", หรือพบข้อผิดพลาด (หาไม่เจอ).
หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้อาจจะไม่พบตัวประกอบ และแจ้งว่าพบข้อผิดพลาดถึงแม้ว่า "n" จะเป็นจำนวนประกอบ สำหรับกรณีนี้ให้เปลี่ยน "f" ("x") และลองทำอีกครั้ง
หมายเหตุ: ขั้นตอนวิธีนี้ไม่สามารถทำงานได้หาก "n" เป็นจำนวนเฉพาะ เนื่องจาก "d" จะเป็น 1 เสมอ
ในปี 1980 ริชาร์ด เบรนท์ ได้ตีพิมพ์ผลงานที่เร็วกว่า เขาได้ใช้แนวความคิดหลักเช่นเดียวกับ พอลลาร์ด แต่แตกต่างกันในเรื่องของขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวน โดยได้ใช้ วิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของเบรนท์ (Brent's cycle finding method) แทนขั้นตอนวิธีการตรวจสอบการเกิดวงวนของฟลอยด์
การเพิ่มประสิทธิภาพในครั้งต่อมาถูกกระทำโดย พอลลาร์ด และเบรนท์ ทั้ง 2 ได้พบว่า ถ้า formula_7 แล้ว formula_8 สำหรับทุกๆจำนวนเต็มบวก "b" ใดๆ กล่าวโดยละเอียดคือ แทนที่จะคำนวณหา formula_9 ทุกๆขั้น, จะทำการกำหนดค่า "z" เป็นผลคูณของ พจน์ formula_5 จำนวน 100 พจน์ที่ติดกัน มอดุโล "n" และคำนวณหา formula_11 เพียงหนึ่งครั้ง โดยความเร็วที่เพิ่มขึ้นนั้นได้จากการเปลี่ยน การหา ห.ร.ม. จำนวน 100 ครั้ง เป็นการ คูณ มอดุโล "n" จำนวน 99 ครั้ง และ การหา ห.ร.ม 1 ครั้ง
แต่ในบางครั้ง วิธีนี้อาจจะทำให้ขั้นตอนวิธีเกิดข้อผิดพลาดโดยการใช้ตัวประกอบที่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อ "n" เป็นจำนวนเต็มกำลัง 2 แต่ก็สามารถจะแก้ไข้ได้โดยย้อนกลับไปที่จุดที่ formula_12 แล้วใช้ ขั้นตอนวิธีโรห์ แบบปกติจากจุดนั้น
ขั้นตอนวิธีโรห์มักถูกนำไปใช้ในการหาตัวประกอบของจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ที่ไม่สามารถหาได้อย่างรวดเร็วด้วยขั้นตอนวิธีแบบปกติ โดยเฉพาะจำนวนที่เกิดจากการนำจำนวนเฉพาะขนาดใหญ่สองตัวคูณกัน
ขั้นตอนวิธีโรห์จะใช้เวลาในการหาตัวประกอบได้อย่างรวดเร็วหากตัวประกอบนั้นมีค่าน้อย ตัวอย่างเช่น บนเครื่องที่มีความเร็ว 3 GHz ขั้นตอนวิธิโรห์ของพอลลาร์ดสามารถหาตัวประกอบ 274177 ของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 (18446744073709551617) ในเวลา 26 มิลลิวินาที; ขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงโดยเบรนท์ สามารถหาตัวประกอบเดียวกันนี้ในเวลา 5 มิลลิวินาที แต่สำหรับจำนวนที่เกิดจากจำนวนเฉพาะสองตัวคูณกัน และที่มีความยาวเท่ากันกับจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 6 นั้น (10023859281455311421) การทำงานหาตัวประกอบบนเครื่องเดียวกัน ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดต้องใช้เวลาถึง 109 มิลลิวินาทีถึงจะพบตัวประกอบ ส่วนขั้นตอนวิธีโรห์ที่ถูกปรับปรุงใช้เวลา 31 มิลลิวินาที
สำหรับ "f" ฟังก์ชันตัวสุ่มเทียมมอดุโล "n" จะเลือกใช้ฟังก์ชัน พหุนาม พร้อมกับค่าคงที่จำนวนเต็ม "c" โดยรูปแบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือ
ขั้นตอนวิธีโรห์มีความโดดเด่นจากความสำเร็จในการหาตัวประกอบของจำนวนแฟร์มาต์ลำดับที่ 8 โดย พอลลาร์ด และ เบรนท์ ซึ่งใช้เวลาทั้งหมด 2 ชั่วโมงบนเครื่อง UNIVAC 1100/42
ให้ "n" = 8051 และ "f" ("x") = ("x" + 1) mod 8051
97 เป็นตัวประกอบของ 8051 สำหรับการเปลี่ยนค่า c อาจจะให้คำตอบเป็นตัวประกอบอีกตัวคือ 83 แทนที่จะเป็น 97
ขั้นตอนวิธีแบบสุ่มนี้ต้องแลกเปลี่ยนระหว่างเวลาที่ใช้ในการค้นหา กับโอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบ นั่นคือหากต้องการให้โอกาสที่จะค้นพบตัวประกอบนั้นมีค่าสูง ก็จะต้องใช้เวลามากขึ้น ถ้าหาก "n" เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีค่าแตกต่างกัน ระยะเวลาที่ใช้สำหรับขั้นตอนวิธีนี้ จะต้องสุ่มตัวเลขมา O (n "polylog" (n)) ครั้ง ถึงจะมีความน่าจะเป็นในการค้นพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 สำหรับพจน์ n นั้นก็มาจากที่ "n" เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่มีความยาวเท่ากัน ดังนั้น n ก็จะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับจำนวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบของ "n" และจากที่ทราบว่า ความน่าจะเป็นในการพบตัวประกอบเท่ากับ 0.5 เมื่อสุ่มตัวเลขมาแล้ว formula_1 ตัว เมื่อ "p" คือตัวประกอบของ "n" ดังนั้นหากแทนค่า "p" ด้วย n ก็จะได้พจน์ n (หมายเหตุ: การวิเคราะห์นี้เป็นเพียงการประมาณโดยคร่าวๆ สำหรับการวิเคราะห์อย่างละเอียด ยังรอให้พิสูจน์อยู่)
ขั้นตอนวิธีโรห์ของพอลลาร์ดช่วยให้สามารถแยกตัวประกอบของจำนวนใหญ่ๆได้อย่างรวดเร็ว โดยอาศัยขั้นตอนวิธีแบบสุ่ม (ใช้ฟังก์ชันสร้างลำดับตัวเลขสุ่มเทียม) ซึ่งทำได้ดีกว่าขั้นตอนวิธีตามปกติที่จะใช้เวลานานกว่ามาก แต่ก็ต้องพึงระวังว่าคำตอบที่บอกว่าไม่พบตัวประกอบนั้นอาจจะผิด เพราะมีโอกาสที่หาแล้วไม่พบ เนื่องจากสุ่มตัวเลขไม่มากพอที่จะเจอตัวประกอบนั้น การนำขั้นตอนวิธีโรห์ไปใช้จึงต้องเลือกให้ดีว่า อยากจะให้ทำงานได้เร็วแค่ไหน อยากจะให้โอกาสผิดน้อยขนาดไหนถึงยอมรับได้ ซึ่งเป็นสองสิ่งที่ต้องแลกเปลี่ยนกัน โดยสรุป ขั้นตอนวิธีโรห์นี้สามารถนำไปใช้งานในการแยกตัวประกอบได้จริง และมีประสิทธิภาพที่น่าประทับใจอีกด้วย