รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้
รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ คือรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างขึ้นด้วยวงเวียนและสันตรง ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมปรกติ เป็นรูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ในขณะที่รูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติเป็นรูปที่ไม่สามารถสร้างได้
รูปหลายเหลี่ยมปรกติบางรูปสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยวงเวียนและสันตรง แต่ก็มีบางรูปที่สร้างไม่ได้ ด้วยสิ่งนี้จึงทำให้เกิดคำถามที่ว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่รูปหลายเหลี่ยมปรกติ "ทั้งหมด" จะสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ถ้าไม่ได้ มีรูปใดบ้างที่สร้างได้หรือไม่ได้
คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ได้พิสูจน์ว่ารูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติสามารถสร้างได้เมื่อ พ.ศ. 2339 (ค.ศ. 1796) และห้าปีต่อมา เขาก็ได้สร้างทฤษฎี Gaussian periods ในงานเขียน "Disquisitiones Arithmeticae" ซึ่งทฤษฎีนี้ทำให้เขาสามารถกำหนดเงื่อนไขเพียงพอขึ้นมาอย่างหนึ่ง เพื่อที่จะทดสอบความสามารถในการสร้างของรูปหลายเหลี่ยมปรกติดังนี้
เกาส์คาดการณ์ว่าเงื่อนไขนี้อาจเป็นเงื่อนไขจำเป็น แต่เขาก็ไม่ได้เสนอการพิสูจน์สำหรับคำกล่าวนี้ จนกระทั่งได้รับการพิสูจน์โดย Pierre Wantzel เมื่อ พ.ศ. 2380 (ค.ศ. 1837) คำกล่าวนี้อาจดูเหมือนว่าเกาส์ไม่ได้มีการพิสูจน์ที่ถูกต้อง เพราะหากให้ "n" = 9 การสร้างรูปเก้าเหลี่ยมปรกติจะยุติลงด้วยความเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุม 120° ออกเป็นสามส่วนเท่ากัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่เกาส์ได้ตระหนักไว้แล้ว
จำนวนแฟร์มาต์มีเพียง 5 จำนวนแรกเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ
ซึ่งจำนวนแฟร์มาต์ถัดไปอีก 7 จำนวนคือ "F" ถึง "F" เป็นจำนวนประกอบ
ดังนั้นรูป "n" เหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างได้ ได้แก่
ส่วนรูป "n" เหลี่ยมปรกติที่สร้างไม่ได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ได้แก่
หลักการของการพิสูจน์ข้างต้นได้ถูกอธิบายไว้อย่างเด่นชัดด้วยทฤษฎีกาลัว (Galois theory) ซึ่งแสดงไว้อย่างตรงไปตรงมาในเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า ความยาวที่สามารถสร้างได้ จะต้องมาจากความยาวพื้นฐานที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองบางลำดับ ในพจน์ของทฤษฎีฟีลด์ ความยาวเช่นนั้นจะต้องถูกบรรจุอยู่ในภาคขยายฟีลด์ (field extension) ที่สร้างขึ้นจากการซ้อนทับกันของภาคขยายกำลังสอง (quadratic extension) ดังนั้นฟีลด์ที่ถูกสร้างขึ้นจะมีดีกรีเหนือฟีลด์ฐานเท่ากับกำลังของ 2 จำนวนหนึ่ง
ในกรณีเฉพาะสำหรับรูป "n" เหลี่ยมปรกติ คำถามในตอนแรกจึงลดทอนลง กลายเป็นว่าการสร้างเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับ จะสามารถทำได้อย่างไร
จำนวนนี้ วางตัวอยู่ในฟีลด์ไซโคลโทมิก (cyclotomic field) ที่ "n" และด้วยข้อเท็จจริงก็อยู่ในฟีลด์ย่อยของจำนวนจริงด้วย ซึ่งเป็นฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม (totally real field) และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตรรกยะของมิติ ½φ("n") เมื่อ φ("n") คือฟังก์ชันทอเทียนต์ของออยเลอร์ (Euler's totient function) ผลลัพธ์ของ Wantzel ก็มาจากการคำนวณที่แสดงว่า φ("n") คือกำลังของ 2 ในกรณีดังกล่าว
จากการสร้างรูปแบบเกาส์ เมื่อกรุปของกาลัวเป็น 2-กรุป จะบอกได้ว่ามีลำดับของกรุปย่อยของจำนวน 1, 2, 4, 8, ... ที่ซ้อนในกันอยู่โดยสมาชิกแต่ละตัวกับตัวถัดไป (ในเรื่องทฤษฎีกรุปคืออนุกรมประกอบ) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการอุปนัยว่ากรณีเช่นนี้เป็นกรุปอาบีเลียน เพราะฉะนั้นจึงมีฟีลด์ย่อยหลายฟีลด์ที่ซ้อนอยู่ภายในฟีลด์ไซโคลโทมิก โดยแต่ละตัวนั้นยกกำลัง 2 ของตัวก่อนหน้า การสร้างจำนวนขึ้นในฟีลด์จึงสามารถเขียนขึ้นด้วยทฤษฎี Gaussian period ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ "n" = 17 จะมีช่วงคาบหนึ่งที่เป็นผลบวกของ 8 รากของ 1, คาบหนึ่งที่เป็น 4 รากของ 1, และอีกคาบหนึ่งเป็นผลบวกของ 2 รากของ 1 ซึ่งนั่นก็คือ
รากปฐมฐานแต่ละตัวเป็นรากของสมการกำลังสองดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ นอกจากนั้นสมการเหล่านี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นหลักการเช่นนี้จึงสามารถนำไปใช้ในการสร้างรูปทางเรขาคณิตได้ เพราะว่าทุกอย่างที่ทำมาตั้งแต่ต้นอยู่ในฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม
เราทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ สามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงทั้งหมด ถ้ากำหนดให้ "n" = "p"·"q" โดยให้ "p" = 2 หรือให้ "p" และ "q" เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ดังนั้นรูป "n" เหลี่ยมจะสามารถสร้างขึ้นได้จากรูป "p" เหลี่ยมและรูป "q" เหลี่ยมดังนี้ดังนั้นจึงเหลือเพียงกรณีที่จะต้องหาว่า รูป "n" เหลี่ยมสามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงอย่างไร เมื่อ "n" เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์
แนวคิดของความสามารถในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปรกติทั้งหมดที่กล่าวมา เป็นการเน้นย้ำว่าใช้เพียงวงเวียนและสันตรง ดังนั้นการสร้างแบบอื่นจึงสามารถเกิดขึ้นได้หากมีเครื่องมืออื่นๆ มาช่วย ตัวอย่างเช่นวิธีการหนึ่งคือ การสร้างแบบนิวซิส (neusis construction) ซึ่งจำเป็นต้องใช้ไม้บรรทัดที่มีสเกลแทนสันตรง การสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติด้วยวิธีการนิวซิสจึงสามารถทำได้ง่าย ถึงแม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมอีกจำนวนมากก็ยังคงไม่สามารถสร้างได้