การหารด้วยศูนย์
ในทางคณิตศาสตร์ การหารด้วยศูนย์ หมายถึงการหารที่มีตัวหารเท่ากับ 0 ซึ่งอาจสามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน formula_1 โดยที่ "a" เป็นตัวตั้ง ค่าของนิพจน์นี้จะมีความหมายหรือไม่ขึ้นอยู่กับบทตั้งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบริบท แต่โดยทั่วไปในเลขคณิตของจำนวนจริง นิพจน์ดังกล่าวไม่มีความหมาย
สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ การหารด้วยศูนย์ในจำนวนเต็มอาจทำให้โปรแกรมเกิดข้อผิดพลาดจนหยุดทำงาน หรือในกรณีของจำนวนจุดลอยตัวอาจให้ผลลัพธ์เป็นค่าพิเศษที่เรียกว่า NaN (Not a Number)
การหารในระดับพื้นฐานสามารถอธิบายได้ว่า เป็นการแบ่งเซตของวัตถุออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้ามีแอปเปิล 10 ผล และต้องการแบ่งให้คน 5 คนเป็นจำนวนเท่ากัน ดังนั้นแต่ละคนจะได้รับแอปเปิล formula_2 = 2 ผล เป็นต้น
เราจะใช้ปัญหาเดียวกันนี้อธิบายการหารด้วยศูนย์ นั่นคือถ้าคุณมีแอปเปิล 10 ผล แล้วจะแบ่งให้คน คนละ 0 ผล แล้วหาว่าจะสามารถแบ่งให้ "คน" ได้ทั้งหมดกี่คน การคำนวณเพื่อหาค่า formula_3 จะกลับกลายเป็นไม่มีความหมาย เพราะตัวปัญหาเองก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เพราะการแจกแอปเปิลให้ "คน" คนใด คนนั้นก็จะไม่ได้รับแอปเปิล (แจกให้คนละ 0 ผล) หรือสามารถแจกให้คนได้อนันต์เพราะแอปเปิลที่จะแจก ย่อมไม่มีวันหมด นี่เป็นเหตุผลที่เลขคณิตมูลฐานกำหนดให้การหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย หรือไม่นิยาม
อีกทางหนึ่งที่สามารถใช้อธิบายการหารได้นั่นคือการลบซ้ำกันไปเรื่อยๆ ซึ่งการหารด้วยวิธีนี้จะเป็นการลบตัวตั้งด้วยตัวหารหลายๆ ครั้งจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร และอาจเหลือเศษจากการหารอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น การหาร 13 ด้วย 5 เราสามารถนำ 5 ไปลบออกจาก 13 จำนวน 2 ครั้ง และจะเหลือเศษเท่ากับ 3 ซึ่งสามารถสรุปเป็น formula_4 = 2 เศษ 3 แต่ในกรณีที่ตัวหารเป็น 0 ถึงแม้จะลบตัวตั้งไปถึงอนันต์ครั้ง ก็ยังไม่สามารถทำให้ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวหารได้ ดังนั้นการหารด้วยศูนย์จึงไม่นิยาม
ตำรา "พรัหมสผุฏะ สิทธานตะ" () เขียนโดยพรัหมคุปตะ () (ค.ศ. 598 - 668) ซึ่งเป็นตำราเล่มแรกสุดที่ค้นพบ ที่กำหนดให้เลข 0 เป็นตัวเลขพิเศษ เพื่อที่จะนิยามการกระทำทางเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับ 0 โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามพรัหมคุปตะก็ประสบความล้มเหลวในความพยายามที่จะอธิบายการหารด้วยศูนย์ เพราะคำนิยามของเขาสามารถพิสูจน์ได้ง่ายและนำไปสู่ความผิดพลาด ดังข้อความที่ยกมา
""...จำนวนบวกและลบที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์ที่หารด้วยจำนวนบวกหรือลบ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนนั้นเป็นตัวส่วน อย่างใดอย่างหนึ่ง ศูนย์ที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์...""
ใน ค.ศ. 830 มหวิระ () พยายามที่จะแก้ข้อผิดพลาดของพรัหมคุปตะแต่ก็ไม่สำเร็จ ซึ่งในหนังสือ "คณิตะ สาระ สังครหะ" กล่าวไว้ว่า
""...ตัวเลขหนึ่งๆ จะมีค่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหารด้วยศูนย์...""
ในเวลาต่อมาภาสกะระที่ 2 () (ค.ศ. 1114 - 1185) พยายามที่จะแก้ปัญหานี้โดยการนิยามให้ formula_5 ซึ่งนิยามนี้สามารถมีความเป็นไปได้ แต่ก็อาจนำไปสู่ปฏิทรรศน์หากใช้อย่างไม่ระมัดระวัง ซึ่งปฏิทรรศน์เหล่านั้นก็ยังไม่สามารถแก้ได้จวบจนถึงปัจจุบัน (ดูตัวอย่างที่หัวข้อลิมิต)
สิ่งหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับในหมู่นักคณิตศาสตร์ด้วยกันว่า วิธีธรรมดาที่สุดที่จะใช้อธิบายความหมายของการหารด้วยศูนย์ คือการนิยามการหารด้วยการกระทำทางเลขคณิต กฎเกณฑ์พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งภายใต้กฎเกณฑ์ดังกล่าวการหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกนิยาม และจะต้องคงไว้อยู่อย่างนั้นในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ เพื่อให้เป็นกฎเกณฑ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในฟีลด์ เหตุผลคือการหารถูกนิยามให้เป็นอินเวิร์สของการคูณ นั่นหมายความว่า ค่าของ formula_6 จะมีค่าเท่ากับคำตอบของ "x" ในสมการ "bx" = "a" ตราบใดที่ค่านั้นยังคงมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียว นอกเหนือจากนั้นจะปล่อยให้เป็นไม่นิยาม
หากกำหนดให้ "b" = 0 ในสมการ "bx" = "a" จะสามารถเขียนเป็น 0"x" = "a" หรือ 0 = "a" ดังนั้นสมการ "bx" = "a" ในกรณีนี้จึง (1) ไม่มีคำตอบเมื่อ "a" ไม่เท่ากับ 0 และ (2) มีคำตอบของสมการเป็นค่า "x" ใดๆ เมื่อ "a" เท่ากับ 0 ในกรณีดังกล่าวไม่มีค่าใดที่เป็นหนึ่งเดียว ดังนั้น formula_6 จึงไม่นิยาม และในทางกลับกัน นิพจน์ formula_6 จะถูกนิยามว่า "b" ต้องมีค่าไม่เท่ากับ 0 เสมอ
เราสามารถปลอมแปลงกรณีพิเศษของการหารด้วยศูนย์ด้วยความขัดแย้งทางพีชคณิต โดยใช้การพิสูจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลว่า 1 = 2 ดังตัวอย่างต่อไปนี้
เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่า
ดังนั้นสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง
จากนั้นนำศูนย์ไปหารทั้งสองข้างของสมการ
ตัดทอนผลลัพธ์สุดท้าย จะได้
เหตุผลวิบัติ (fallacy) อยู่ที่การตั้งสมมติฐานที่ไม่สมบูรณ์ ว่าการหารด้วยศูนย์ทำให้ formula_14 เท่ากับ 1
คนทั่วไปอาจรับรู้ได้ง่ายว่าการพิสูจน์ข้างต้นนั้นไม่สมเหตุสมผล สำหรับความขัดแย้งเดียวกันนี้สามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบอื่นซึ่งทำให้ยากขึ้นต่อการชี้จุดข้อผิดพลาด ดังเช่นตัวอย่างนี้ ถ้าเปลี่ยน 1 ให้เป็น "x" แล้วค่าของ 0 จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ "x" - "x" และค่าของ 2 ก็จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ "x" + "x" จากตัวอย่างด้านบนจึงสามารถเขียนให้อยู่ในอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้
ดังนั้น
หารด้วย formula_18 ทั้งสองข้างของสมการ
จากนั้นหารด้วย formula_20 ทั้งสองข้าง จะได้
แนวความคิดที่ใช้กับเลขคณิตพื้นฐาน มีความคล้ายกันกับโครงสร้างเชิงพีชคณิตทั่วไป เช่นในเรื่องของริงและฟีลด์ ในฟีลด์หนึ่งๆ องค์ประกอบทุกอย่างที่ไม่เป็นศูนย์จะสามารถอินเวิร์สได้ภายใต้การคูณ ดังนั้นการหารจึงเป็นปัญหาอยู่ที่การหารด้วยศูนย์เท่านั้น เหตุผลดังกล่าวยังคงเป็นจริงในสกิวฟีลด์ (skew field) (ด้วยเหตุผลนี้จึงเรียกได้ในอีกชื่อว่า "ริงการหาร") แต่อย่างไรก็ตาม การหารด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อาจทำให้เกิดปัญหาได้ในริงอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาริง Z/6Z ของจำนวนเต็ม mod 6 คำถามคือเราจะให้ความหมายกับนิพจน์ formula_22 ได้อย่างไร ซึ่งควรจะมีคำตอบ "x" เพียงหนึ่งเดียวสำหรับสมการ 2"x" = 2 ในจำนวนจริง แต่ 2 ไม่สามารถมีอินเวิร์สของการคูณภายใต้ริง Z/6Z และสมการนี้มีคำตอบได้สองอย่างคือ "x" = 1 และ "x" = 4 ดังนั้นนิพจน์ formula_22 จึงไม่นิยาม
เราอาจสามารถนิยาม formula_1 ได้โดยการพิจารณาลิมิตของ formula_6 เมื่อ "b" มีค่าเข้าใกล้ 0
สำหรับค่า "a" ที่เป็นบวก จะได้ว่า
และสำหรับค่า "a" ที่เป็นลบ จะได้ว่า
ดังนั้น เราอาจนิยามให้ formula_1 มีค่าเป็น +∞ เมื่อ "a" เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น −∞ เมื่อ "a" เป็นจำนวนลบ อย่างไรก็ตามการนิยามนี้อาจทำให้เกิดความยุ่งยากด้วยเหตุผลสองประการ
นอกเหนือไปจากนั้น นิยามของ formula_14 ไม่สามารถกำหนดได้โดยการหาลิมิตบนเศษส่วน เนื่องจากลิมิต
นั้นไม่มีคำตอบ ส่วนลิมิตที่อยู่ในรูปแบบ
ในกรณีที่เมื่อ "x" มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ทั้ง "f (x) " และ "g (x) " มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ คำตอบของลิมิตอาจจะลู่เข้าไปยังค่าใดค่าหนึ่ง หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ (โดยใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลช่วยคำนวณ) ซึ่งแนวความคิดนี้ก็ยังไม่สามารถนำไปสู่การนิยาม formula_14 ได้อยู่ดี (เพราะมีหลายคำตอบ)
การคำนวณแบบรูปนัย (formal calculation) เป็นตัวอย่างหนึ่งที่นำมาอธิบายการคำนวณในกฎเกณฑ์ทางเลขคณิต โดยไม่มีการพิจารณาว่าผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกนิยามไว้แล้วเป็นอย่างดีหรือไม่ ดังนั้นการกำหนดให้ formula_1 มีค่าเป็น ∞ เมื่อ "a" มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เป็นกฎเกณฑ์อย่างหยาบ (rule of thumb) ในบางครั้งก็อาจมีประโยชน์ ซึ่งค่าอนันต์นี้จะสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ หรือไม่มีเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับบริบทที่แวดล้อม ดังตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณแบบรูปนัย
ซึ่งจะเกิดผลลัพธ์ที่ไม่น่ายอมรับแต่ก็สามารถนำไปใช้ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณแบบรูปนัยอื่นๆ สำหรับความถูกต้องตามตรรกะซึ่งตรงข้ามกับแบบรูปนัยอาจจะกล่าวเพียงว่า