ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์
ในทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ การอนุมาน และ ปัญญาประดิษฐ์ บางครั้งจะพบคำว่า แบบเบย์ (Bayesian) มาขยายชื่อทฤษฎีหรือโมเดลต่างๆ โดยทุกครั้งที่พบคำขยายนี้หมายความว่าได้มีการนำปรัชญาหรือหลักการของ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ (บางท่านเรียก การอนุมานแบบเบย์ หรือ สถิติแบบเบย์) มาใช้กับสาขาความรู้นั้นๆ
ถ้าจะกล่าวอย่างไม่เป็นทางการ, ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์แปลความหมายของคำว่า "ความน่าจะเป็น" เป็น "ความเชื่อมั่นส่วนบุคคลในเหตุการณ์หนึ่ง ๆ" ซึ่งต่างจากทฤษฎีความน่าจะเป็นของคอลโมโกรอฟ (ที่มักถูกเรียกว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่) ที่มักแปลความหมายของความน่าจะเป็น (โดยต้องแปลควบคู่ไปกับการทดลองเสมอ) ดังนี้ "ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือ อัตราส่วนของจำนวนครั้งของเหตุการณ์ A ที่ทดลองสำเร็จเทียบกับจำนวนครั้งที่ทดลองทั้งหมด" จุดแตกต่างสำคัญระหว่างทฤษฎีทั้งสองประเภทมีดังนี้
กล่าวโดยสรุปทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ มีปรัชญาที่ต่างจากทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่เกือบสิ้นเชิงถึงแม้จะมีสัจพจน์พื้นฐานแบบเดียวกัน โดยในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์นั้นมอง ความน่าจะเป็น, สถิติ หรือการอนุมานเป็นเรื่องเดียวกัน
ชื่อเรียก "แบบเบย์" เพิ่งจะมาใช้ในราวปี ค.ศ. 1950 โดยมีต้นกำเนิดมาจากชื่อของ โทมัส เบย์ ผู้ซึ่งเสนอทฤษฎีบทของเบย์เป็นคนแรก (เท่าที่ทราบในประวัติศาสตร์) ในเวลาถัดมาปีแยร์-ซีมง ลาปลาสได้เสนอทฤษฎีบทของเบย์เช่นกัน โดยในขณะนั้นลาปลาสไม่ทราบว่ามีงานของเบย์อยู่ ทฤษฎีบทของเบย์ในแบบของลาปลาสถูกนำไปใช้งานอย่างกว้างขวางชนิดที่ตัวของเบย์เองก็อาจคาดไม่ถึง (ทั้งนี้เนื่องจากการแปลความหมายของ "ความน่าจะเป็น" ของลาปลาสนั้นกว้างมากอย่างที่ได้กล่าวเอาไว้ในบทนำ) โดยลาปลาสได้นำไปในประยุกต์ใช้ในปัญหาของกลศาสตร์, ดาราศาสตร์, สถิติการแพทย์ (medical statistics) หรือแม้แต่ นิติศาสตร์
ลาปลาสได้ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น (แบบเบย์) ในการทำนายมวลของดาวเสาร์โดยใช้ข้อมูลของวงโคจรดาวเสาร์ที่มีอยู่ในขณะนั้น โดยลาปลาสมั่นใจผลการทำนายมากถึงขนาดกล่าวว่า "ผมพนัน 1 ต่อ 11000 ว่ามวลของดาวเสาร์จะคลาดเคลื่อนไม่เกิน 1/100 ของมวลที่ผมคำนวณได้" ถ้าเขายังมีชีวิตอยู่ไปอีก 150 ปี ลาปลาสคงจะได้ทราบว่าตัวเองชนะพนัน เนื่องจากในเวลานั้นพบว่ามวลของดาวเสาร์มีความคลาดเคลื่อนจากผลการคำนวณของลาปลาสเพียง 0.63%. สังเกตว่าไม่มีทางที่เราจะใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ในปัญหานี้ได้เลย (ไม่สามารถสร้างการทดลองเชิงแนวคิดที่ว่า "ทดลองสร้างดาวเสาร์มา N ครั้ง มี M ครั้งที่ ..." ได้อย่างสมเหตุสมผล)
ความหมายของตัวเลขของความน่าจะเป็นแบบเบย์ (เช่นตัวเลข 0.72 ใน "มีความน่าจะเป็น 0.72 ที่ ...") มีการแปลในหลายความหมาย (เนื่องจากในหมู่ผู้สนับสนุนความน่าจะเป็นแบบเบย์ก็มีความเห็นไม่ค่อยตรงกันในรายละเอียดหลายๆ ประเด็น) การแปลความหมายหนึ่งที่นิยมใช้กันมากมีดังนี้
ผู้บุกเบิกทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ที่มีชื่อเสียงคนอื่นๆ คือ จอห์น เมย์นาร์ด เคนส์, เลโอนาร์ด ซาเวจ, แฟรงค์ แรมซีย์, รูดอร์ฟ คาร์นาพ โดยนักทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์ที่โด่งดังในยุคคลาสสิก (1930-1960) ที่ยังมีชีวิตอยู่ในปัจจุบันก็คือ เดนนิส ลินด์ลีย์. เจนส์ให้ข้อสังเกตไว้ว่าผู้สนับสนุนทฤษฎีแบบเบย์ที่มีชื่อเสียงมักเป็นบุคคลจากสาขาอื่นที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็นตัวเขา และคอกซ์ที่เป็นนักฟิสิกส์, เซอร์ แฮโรลด์ เจฟฟรีย์ที่เป็นนักธรณีวิทยา, เคนส์ที่เป็นนักเศรษฐศาสตร์ หรือ คาร์นาพที่เป็นนักปรัชญาวิทยาศาสตร์ ทั้งนี้อาจเป็นเพราะบุคคลเหล่านี้ต้องการนำทฤษฎีความน่าจะเป็นไปใช้งานจริง และต่างก็พบว่าทฤษฎีความน่าจะเป็นเชิงความถี่ไม่กว้างขวางพอที่จะเอาไปใช้จริงได้ อีกทั้งสถิติเชิงความถี่ก็ไม่น่าเชื่อถือ และสมเหตุสมผลพอ บุคคลเหล่านี้จึงต้องพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นที่สามารถนำไปใช้ได้จริงขึ้นมา และต่างก็ค้นพบแนวทางเดียวกันซึ่งก็คือสิ่งที่ลาปลาสได้แสดงไว้แล้วเมื่อราวต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19