ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส กล่าวว่าอนุพันธ์ และปริพันธ์ ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน ซึ่งหมายความว่าถ้านำฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆมาหาปริพันธ์ แล้วนำมาหาอนุพันธ์ เราจะได้ฟังก์ชันเดิม ทฤษฎีบทนี้เหมือนว่าเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัสที่นับได้ว่าเป็นทฤษฎีบทมูลฐานของทั้งสาขานี้ ผลต่อเนื่องที่สำคัญของทฤษฎีบทนี้ ซึ่งบางทีเรียกว่าทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสบทที่สองนั้นทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่นๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม
เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน "x"("t") เมื่อ "t" คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆของ "x" ต่อช่วงเวลาที่น้อยมากๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว "v" ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ
เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้
จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน "x" ที่เรียกว่า formula_3 คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมากๆ "dx" มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมากๆ
ผลรวมอนันต์นี้คือปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้
ทฤษฎีบทนี้ว่าไว้ว่า
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] ถ้า "F" เป็นฟังก์ชันที่นิยามสำหรับ x ที่อยู่ใน ["a", "b"] ว่า
แล้ว
สำหรับทุก "x" ที่อยู่ใน ["a", "b"]
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] ถ้า "F" เป็นฟังก์ชันที่
แล้ว
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"]. ถ้า "F" เป็นฟังก์ชันที่
แล้ว
และ
กำหนดให้
ให้ "x" และ "x" + Δ"x" อยู่ในช่วง ["a", "b"] จะได้
และ
นำทั้งสองสมการมาลบกันได้
เราสามารถแสดงได้ว่า
ย้ายข้างสมการได้
นำไปแทนค่าใน (1) จะได้
ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี "c" อยู่ในช่วง ["x", "x" + Δ"x"] ที่ทำให้
แทนค่าลงใน (2) ได้
หารทั้งสองข้างด้วย Δ"x" จะได้
ใส่ลิมิต Δ"x" → 0 ทั้งสองข้างของสมการ
สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ "F" ที่ "x"
เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า "c" อยู่ในช่วง ["x", "x" + Δ"x"] ดังนั้น "x" ≤ "c" ≤ "x" + Δ"x"
จาก formula_23 และ formula_24
ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า
แทนค่าลงใน (3) จะได้
ฟังก์ชัน "f" มีความต่อเนื่องที่ "c" ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น
จบการพิสูจน์
ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] และ "F" เป็นปฏิยานุพันธ์ของ "f" พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้
ให้ formula_29 จะได้
แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้
เขียนใหม่เป็น
เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า
ให้ "f" เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง ["a", "b"] และมีอนุพันธ์บนช่วง ("a", "b") แล้ว จะมี c อยู่ใน ("a", "b") ที่ทำให้
และจะได้
ฟังก์ชัน "F" เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง ["a", "b"] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง "x" ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้
แทนค่าลงใน (1) จะได้
จาก formula_37
และ formula_38 สามารถเขียนในรูป formula_3 ของผลแบ่งกั้น formula_40
สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า formula_42 ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุกๆค่าของ formula_40 หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม formula_44 รูป เมื่อขนาดของส่วนต่างๆเล็กลง และ formula_44 มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่างๆมากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริงๆของเส้นโค้ง
โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่างๆนี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่นๆมีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์
ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้
ทั้ง "F"("b") และ "F"("a") ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ "F"("b") - "F"("a")
และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึงอินทิกรัลของ "f" จาก "a" ไป "b" ดังนั้น เราจะได้
จบการพิสูจน์
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา
ให้ formula_50 เราจะได้ formula_51 เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น
ถ้าเราต้องการหา
จะได้ formula_53
เราไม่จำเป็นต้องให้ formula_54 ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า formula_54 เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง formula_56 และ formula_57 เป็นจำนวนในช่วง formula_56 ซึ่ง formula_54 ต่อเนื่องที่ formula_57 จะได้
สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ formula_62 และ formula_63 เราสามารถคลายเงื่อนไขของ formula_54 เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน formula_65 นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ formula_66 จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก
ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน formula_54 ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์ formula_65 (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)
ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้ formula_69 เป็นเซตเปิดใน formula_70 และ formula_71 เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ formula_65 ใน formula_69 ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง formula_74 ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้