పేజ్ రాంక్
పేజ్ రాంక్ అనేది ఒక లింక్ విశ్లేషణ అల్గారిథం, దీనిని లారీ పేజ్ కనిపెట్టారు, గూగుల్ ఇంటర్నెట్ సెర్చ్ ఇంజన్ చేత ఉపయోగించబడే దీనిలో దత్తంశాల యొక్క హైపెర్లింక్ క్రమం యొక్క ప్రతి అంశానికి సంఖ్యను దాని యొక్క సంబంధిత ప్రాముఖ్యాన్ని క్రమంలో "కొలవాలనే" ఉద్దేశంతో సూచిస్తూ నియమిస్తుంది, ఇందులో వరల్డ్ వైడ్ వెబ్ వంటివి ఉన్నాయి. అల్గారిథం అనేది పరస్పర ఉదాహరణలు మరియు సూచనలతో ఎన్ని స్థూల వస్తువుల ఉనికి సేకరణకైనా అమలుచేయవచ్చు. ఇచ్చిన ఏ మూలకం "E"కు అది అందించే సంఖ్యా భారాన్ని "E పేజ్ రాంక్" అంటారు మరియు దానిని ఎలా సూచిస్తారంటే formula_1
"పేజ్ రాంక్ "అనే పేరు గూగుల్ యొక్క వర్తక నామం, మరియు పేజ్ రాంక్ విధానం ప్రత్యేక హక్కును కలిగిఉంది. అయిననూ, ఈ ప్రత్యేక హక్కును స్టాన్‌ఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయంకు ఇచ్చారు కానీ గూగుల్ కు కాదు. గూగుల్ ఈ ప్రత్యేక హక్కు మీద ఇతరలుకు వర్తింపని అనుమతి హక్కులను స్టాన్ఫోర్డ్ విశ్వవిద్యాలయం నుండి పొందింది. గూగుల్ ఈ ప్రత్యేక అనుమతిని వాడినందుకు బదులుగా విశ్వవిద్యాలయంకు 1.8 మిల్లియన్ల గూగుల్ వాటాలను ఇచ్చారు; ఈ వాటాలను 2005లో $336 మిల్లియన్లకు అమ్మారు.
గూగుల్ పేజ్ రాంక్ ను వివరిస్తుంది:
ఇంకొకరకంగా, వరల్డ్ వైడ్ వెబ్ నుండి పేజీ యెంత ముఖ్యమైనదో అనేదాని గురించి "బాల్లట్"లో నున్న అని పేజీల నుంచి పేజ్ రాంక్ వస్తుంది. ఒక పేజీ కున్న హైపర్ లింక్ దాని మద్దతు ఓటుగా లెక్కిస్తారు. పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ ను పునరావృతంగా నిర్వచించారు మరియు అది సంఖ్య మీద ఆధారపడి ఉంటుంది ఇంకా దానితో అన్ని పేజీల యొక్క పేజ్ రాంక్ మెట్రిక్ జతచేయబడి ఉంటుంది ("లోపలికి వచ్చే లింకులు"). దానికదే అధిక పేజ్ రాంక్ తో ఉన్న చాలా పేజీల చేత ఒక పేజీ జతచేయబడి ఉంటుంది. ఒకవేళ వెబ్ పేజీకి ఏ లింకులు లేకపోతే ఆ పేజీకి మద్దతు ఉండదు.
గూగుల్ ఇంటర్నెట్ మీద 0-10 ఉన్న ప్రతి పేజీ కొరకు ఒక సంఖ్యా భారాన్ని ఇస్తుంది; ఈ పేజ్ రాంక్ గూగుల్ దృష్టిలో ఒక సైట్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను సూచిస్తుంది. రిక్టర్ స్కేల్ లాంటి లాగరిథమిక్ స్కేల్ మీద సిద్దాంతరీత్యా సంభావ్యత నుండి పేజ్ రాంక్ ను పొందుతుంది. ఒక కచ్చితమైన పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ ఇంచుమించుగా అది స్వీకరించే లింకుల పరిమాణం మీద అలానే లింకులు అందించే పేజీల యొక్క పేజ్ రాంక్ మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇతర అంశాలు, ఉదా. పేజీ మీద శోధించే పదాల యొక్క సామీప్యం మరియు గూగుల్ టూల్బార్ చేత వాస్తవంగా ఆ పేజీకి ఎన్నిసార్లు వెళ్ళారనే నివేదిక కూడా పేజ్ రాంక్ ను ప్రభావితం చేస్తుంది. తెలివిగా మోసగించటం, నకలు మరియు స్పాండెక్సింగ్ను నిరోధించటం కొరకు, ఏ ఇతర అంశాలు పేజ్ రాంక్ ను ప్రభావితం చేస్తాయనే కచ్చితమైన వివరాలను గూగుల్ అందించలేదు.
పేజీ మరియు బ్రిన్ యొక్క వాస్తవమైన పేపర్ నుండి అనేక విద్యాసంబంధ పేపర్లు పేజ్ రాంక్ గురించి ప్రచురితమయ్యాయి. అభ్యాసంలో, పేజ్ రాంక్ ఉద్దేశం మోసానికి గురికాగలదిగా నిరూపించబడింది, మరియు విస్తృతమైన శోధనను తప్పుగా పేజ్ రాంక్ ను అధికం చేయటాన్ని మరియు తప్పుగా అధికం కావించబడిన పేజ్ రాంక్ తో దత్తాంశాల నుండి లింకులను అలక్ష్యం చేసే మార్గాలను గుర్తించటానికి వెచ్చించారు.
వెబ్ పేజీల కొరకు లింకు ఆధార రాంకింగ్ అల్గోరిథంలలో జోన్ క్లెయిన్బెర్గ్ కనుగొన్న HITS అల్గోరిథం (Teoma చేత ఉపయోగించబడింది మరియు ఇప్పుడు Ask.com ఉపయోగిస్తుంది), IBM CLEVER ప్రణాళిక, మరియు TrustRank అల్గోరిథం ఉన్నాయి.
పేజ్ రాంక్ ను స్టాన్‌ఫర్డ్ విశ్వవిద్యాలయంలో లారీ పేజ్ (అందుచే ఈ పేరు "పేజ్" -రాంక్) మరియు సెర్గీ బ్రిన్ చేత సెర్చ్ ఇంజన్ యొక్క కొత్త రకం గురించి చేసిన పరిశోధనా ప్రణాళికలో భాగంగా కనుగొన్నారు. ఈ ప్రణాళికలో పేజ్ రాంక్ ను వివరిస్తున్న యొక్క మొదటి పేపర్ మరియు గూగుల్ శోధనా యంత్రం యొక్క ఆరంభ యధాతధంగా 1998లో ప్రచురించారు: దానితర్వాత కొద్దికాలానికే, పేజ్ మరియు బ్రిన్ గూగుల్ను స్థాపించారు, గూగుల్ సెర్చ్ ఇంజన్ మద్దతుగా ఉన్న సంస్థ ఇది. గూగుల్ సెర్చ్ ఫలితాల యొక్క రాంకింగ్ నిర్ణయించే అనేక అంశాలలో ఒకటిగా పేజ్ రాంక్ అన్ని గూగుల్ వెబ్ సెర్చ్ ఇంజన్ సాధనాలకు ఆధారంగా అందించటం కొనసాగించింది.
1950లలో పెన్నిసిల్వేనియా విశ్వవిద్యాలయం లోని యూగెన్ గార్ఫీల్డ్ చేత సిటేషన్ అనాలిసిస్ అభివృద్ధి చేయబడింది, మరియు హైపర్ సెర్చ్ను మస్సిమో మర్చియోరి చేత పడువ విశ్వవిద్యాలయంలో చేయబడింది(గూగుల్ స్థాపకులు వారి వాస్తవ పేపర్ లో గార్ఫీల్డ్ మరియు మర్చియోరి యొక్క కృషిని ఉదహరించారు). అదే సంవత్సరంలో పేజ్ రాంక్ ను పరిచయం చేశారు (1998), జోన్ క్లెయిన్బెర్గ్ HITS మీద తాని ముఖ్యమైన కృషిని ప్రచురించాడు.
2010లో ఒక 1941 పేపర్ ద్వారా హార్వర్డ్ ఆర్ధికవేత్త మరియు 1973 నోబెల్ గ్రహీత వాస్సిలీ లెయాన్టీఫ్ను పేజ్ రాంక్ యొక్క పునః రీతి యొక్క ఆరంభ తెలివిగల మార్గదర్శిగా గుర్తించింది.
పేజ్ రాంక్ అనేది సంభావ్యత పంపిణీ, లింకుల మీద ఒక వ్యక్తి యాదృచ్ఛికంగా నొక్కి ఏ పేజీకైనా వచ్చే అవకాశాన్ని తెలుపటానికి ఉపయోగపడుతుంది. ఏ పరిమాణంలోనైనా ఉన్న దత్తాంశాల యొక్క సేకరణల కొరకు పేజ్ రాంక్ ను లెక్కిస్తారు. అనేక పరిశోధనా పత్రాలలో పంపిణీని సమానంగా లెక్కింపు విధానం యొక్క ఆరంభం వద్ద సేకరణలో ఉన్న దత్తంశాల మధ్య సమానంగా పంపిణీ చేయబడుతుంది. పేజ్ రాంక్ లెక్కింపుల కొరకు అనేక పాస్లు కావాలి, వీటిని "మరల చెప్పటాలు" అంటారు, ఈ సేకరణ నుండి ఉజ్జాయింపు పేజ్ రాంక్ విలువలను వాటి అతి సమీపంలో నున్న సిద్దాంతపరమైన నిజ విలువతో సవరణ చేయడం జరుగుతుంది.
సంభావ్యతను సంఖ్యా విలువ 0 నుండి 1 మధ్యలో చూపిస్తారు. 0.5 సంభావ్యతను సాధారణంగా ఏదైనా జరగటం యొక్క "50% అవకాశం"గా తెలియచేస్తారు. అందుచే, 0.5 పేజ్ రాంక్ అంటే ఒక వ్యక్తి యాదృచ్ఛికంగా లింకు మీద క్లిక్ చేసే అవకాశం 50% ఉందని, దీనిని పేజ్ రాంక్ 0.5తో దత్తాంశంకు పంపబడుతుంది.
నాలుగు వెబ్ పేజీలు ఉన్న ఒక చిన్న విశ్వాన్ని ఊహించుకోండి : A, B, C మరియు D . పేజ్ రాంక్ యొక్క ఆరంభ ఉజాయింపులను సమానంగా ఈ నాలుగు దత్తాంశాలకు విభజించబడుతుంది. అందుచే, ప్రతి డాక్యుమెంట్ అంచనావేయబడ్డ పేజ్ రాంక్ 0.25తో ఆరంభమవుతుంది.
పేజ్ రాంక్ ఆరంభ విలువల యొక్క వాస్తవ విధానం కేవలం 1 ఉన్నాయి. దీనర్ధం ఏమనగా అన్ని పేజీల యొక్క మొత్తం వెబ్ మీద ఉన్న మొత్తం పేజీల సంఖ్యగా ఉంటుంది. పేజ్ రాంక్ యొక్క శైలులు (క్రిందనున్న సూత్రాలను చూడండి) 0 మరియు 1 మధ్య సంభావ్యత పంపిణీగా భావించబడుతుంది. ఇక్కడ సులభ సంభావ్యత పంపిణీ ఉపయోగించబడుతుంది-అందుచే దీని ఆరంభ విలువ 0.25 ఉంటుంది.
ఒకవేళ పేజీలు B, C, మరియు D ప్రతీది A కు జతచేయ బడుతుంది, ప్రతిదీ 0.25 పేజ్ రాంక్ A కు అందించారు. ఈ సులభతరమైన విధానంలో మొత్తం పేజ్ రాంక్ PR( ) కు A ను చేరుస్తారు ఎందుకంటే మొత్తం లింకులు A ను సూచిస్తాయి.
ఇది 0.75 ఉంటుంది.
తర్వాత, ఒకవేళ పేజ్ B కూడా పేజీ C తో, మరియు పేజీ D కి మూడుపేజీలకు లింకులు కలిగి ఉంది. "లింకు-వోట్ల యొక్క విలువ పేజీ మీద బయటకు వెళ్ళే లింకులు మీద విభజించబడతాయి" . అందుచే, పేజీ B ఓటు విలువ 0.125కు పేజీ A కు ఉంటుంది మరియు ఓటు విలువ 0.125కు C కు ఇస్తుంది. కేవలం మూడొంతుల D యొక్క పేజ్ రాంక్ A యొక్క పేజ్ రాంక్ కొరకు లెక్కిస్తారు (ఇంచుమించుగా 0.083).
ఇతర మాటలలో, బయటకు వెళ్ళే లింకు చేత చర్చించే పేజ్ రాంక్ డాక్యుమెంట్ యొక్క సొంత పేజ్ రాంక్ స్కోరును బయటకు వెళ్ళే లింకులు L( ) సామాన్య సంఖ్యలచే విభజించబడుతుంది (కచ్చితమైన URLలు కొరకు లింకులు ఒక డాక్యుమెంట్ కు కేవలం ఒకసారే లెక్కించబడతాయని భావించబడుతుంది).
సామాన్యమైన సందర్భంలో, ఏదైనా పేజీ కొరకు పేజ్ రాంక్ విలువ u ను ఇలా చూపించవచ్చు:
అనగా. ఒక పేజీ కొరకు పేజ్ రాంక్, B సమితి యొక్క బయట ఉన్న ప్రతి v పేజీ కొరకు పేజ్ రాంక్ విలువల మీద పేజీ u కొరకు పేజ్ రాంక్ గా ఉంటుంది, (ఈ సమితిలో అన్ని పేజీలు పేజీ u తో జతచేయబడి ఉంటాయి), v పేజీ నుండి "L" ("v" ) యొక్క లింకులు విభజించబడతాయి.
పేజ్ రాంక్ సిద్దాంతం యదార్ధం కాని యాదృచ్ఛికంగా లింకుల మీద క్లిక్ చేసే సర్ఫర్ ను లెక్కిస్తుంది, ఫలితంగా క్లిక్ చేయటాన్ని ఆపుతుంది. ఒక వ్యక్తి కొనసాగించే ఏ శ్రేణిలోనైనా సంభావ్యతను నియంత్రణ అంశం "d" . అనేక అధ్యయనాలు వివిధ నియంత్రణా అంశాలను పరీక్షించాయి, కానీ సాధారణంగా భావించేది ఏమంటే నియంత్రణా కారకాన్ని 0.85 దగ్గర ఏర్పరుస్తారు.
నియంత్రణా కారకాన్ని 1 నుండి తీసివేస్తారు (మరియు అల్గోరిథం యొక్క కొన్ని విచరణంలలో, ఫలితాన్ని సేకరణలోని డాక్యుమెంట్ల సంఖ్యచేత ("N" ) భాగించ బడుతుంది) మరియు ఈ సంఖ్యను నియంత్రణా కారకం మరియు లోనికి వచ్చే పేజ్ రాంక్ స్కోర్ల మొత్తం యొక్క లబ్ధానికి కూడతారు. అనగా,
ఏ పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ మిగిలిన పేజీల యొక్క పేజ్ రాంక్ల నుండి పెద్ద మొత్తంలో తీసుకుంటారు. నియంత్రణా కారకం పొందిన విలువను తిరోగమనంలో సవరణ చేస్తుంది. అయినప్పటికీ అసలైన పేపర్ కొంచం మార్పుగా సమీకరణాన్ని ఇచ్చింది, ఇది కొంత అయోమయానికి దారితీసింది:
ఈ రెంటికీ ఉన్న వ్యత్యాసం ఏమంటే మొదటి సూత్రంలో పేజ్ రాంకుల విలువల మొత్తం ఒకటిగా ఉంటుంది, అయితే రెండవ సూత్రంలో ప్రతి పేజ్ రాంక్ "N" చేత హెచ్చించబడుతుంది మరియు మొత్తం "N" అవుతుంది. పేజ్ మరియు బ్రిన్ యొక్క పేపర్ ప్రకటనలో "అన్ని పేజ్ రాంకుల మొత్తం ఒకటి" అని తెలిపింది మరియు ఇతర గూగుల్ ఉద్యోగులు వాదిస్తూ పైన తెలిపిన వాటిలో మొదటి రకానికి మద్దతునిచ్చింది.
గూగుల్ ప్రతిసారీ ఇది వెబ్ లో చూసినప్పుడు పేజ్ రాంక్ స్కోరును తిరిగి లెక్కిస్తుంది మరియు దాని సూచికను తిరిగి నిర్మిస్తుంది. గూగుల్ దాని సేకరణలో డాక్యుమెంట్ల సంఖ్యను పెంచడంతో, అన్ని డాక్యుమెంట్ల కొరకు పేజ్ రాంక్ యొక్క ఉజ్జాయింపు తగ్గుతుంది.
"యాదృచ్చిక సర్ఫర్" యొక్క నమూనాను ఈ సూత్రం వాడుతుంది, ఇతను యాదృచ్ఛిక పేజీ మీద అనేకసార్లు వెళుతూ మరియు క్లిక్ చేస్తూ విసుగు చెంది ఉంటాడు. పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ విలువ అవకాశాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది, అది యాదృచ్ఛిక సర్ఫర్ ఆ పేజీ మీదకి ఒక లింకు మీద క్లిక్ చేయడం వల్ల వెళతాడు. దీనిని మార్కోవ్ చైన్గా అర్ధం చేసుకోవచ్చు, ఇందులో పరిస్థుతులు పేజీలు, మరియు మారేకాలాలు మరియు పేజీల మధ్య లింకులు అన్నీ ఒకేవిధమైన అవకాశం కలిగి ఉన్నాయి.
ఒకవేళ ఒక పేజీకి ఇతర పేజీలతో సంబంధం లేకపోతే, అది వదిలివేయబడుతుంది మరియు అందుచే యాదృచ్ఛిక సర్ఫింగ్ విధానం నుండి తొలగించబడుతుంది. అయినప్పటికీ, పరిష్కారం చాలా సులభతరమైనది. ఒకవేళ సర్ఫర్ వదిలివేయబడిన పేజీకి వెళితే, యాదృచ్ఛికంగా అది ఇంకొక URLను తీసుకుంటుంది మరియు తిరిగి సర్ఫింగ్ చేయటం కొనసాగిస్తుంది.
పేజ్ రాంక్ లెక్కించేటప్పుడు, అవుట్ బౌండ్ లింకులు లేని పేజీలు  సేకరణలో ఉన్న మిగిలిన అన్ని పేజీలతో జతచేయబడినట్లు భావించబడుతుంది. వాటి పేజ్ రాంకు స్కోర్లు మిగిలిన ఇతర పేజీలలో విభజన చేయబడుతుంది. ఇంకొక రకంగా, వలివేయని పేజీలతో చాలా స్పష్టంగా ఉంటుంది, ఈ యాదృచ్ఛిక రాకపోకలు వెబ్ లోని అన్ని నోడ్లకు అవశేష విలువ సాధారణంగా"d " = 0.85తో జతచేయబడతాయి, సగటు అతని లేదా ఆమె బ్రౌజరు బుక్ మార్క్ లక్షణంతో పౌనఃపున్యం నుండి అంచనావేయబడుతుంది.
సమీకరణం క్రిందివిధంగా ఉంటుంది:
ఇక్కడ formula_9 తీసుకున్న దానిలోని పేజీలు, formula_10 అనేది formula_11తో జతచేసిన పేజీల సమితి, formula_12 అనేది పేజీ మీద అవుట్ బౌండ్ లింకుల సంఖ్య formula_13, మరియు "N" అనేది మొత్తం పేజీల సంఖ్య.
పేజ్ రాంక్ విలువలు సవరించబడిన ఆసన్నకోణ మాత్రిక యొక్క అధికంగా ఉన్న ఈజెన్ సదిశ యొక్క ప్రవేశాలు. ఇది పేజ్ రాంక్ ను ముఖ్యంగా ఒక ఉదాత్త మాత్రికగా చేస్తుంది: ఈజెన్ సదిశలో
R సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం
ఇక్కడ ఆసన్నకోణ విధి formula_16 0 ఒకవేళ పేజీ formula_11 formula_13కు జతచేయకపొతే, మరియు సామాన్యీకరణం అయితే, ప్రతిదాని "i" కొరకు
అనగా. ప్రతి దొంతి యొక్క మూలకాల మొత్తం 1 వరకు ఉంటుంది (ఇంకా వివరాల కొరకు క్రిందనున్న లెక్కింపు విభాగం చూడండి). ఈ ఈజెన్ సదిశ కేంద్రీయత కొలమానం యొక్క చలనరాశిని సాధారణంగా నెట్వర్క్ విశ్లేషణలో ఉపయోగిస్తారు.
పై సవరించిన ఆసన్నకోణ మాత్రిక యొక్క పెద్ద ఈజెన్ గాప్ వల్ల,
పేజ్ రాంక్ ఈజెన్ సదిశ యొక్క విలువలు ఉజ్జాయింపు చేయటానికి చాలా వేగంవంతంగా ఉంటాయి (కేవలం కొన్ని పునరుక్తాలు అవసరమవుతాయి).
మర్కోవ్ సిద్దాంతం ఫలితంగా, పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ ను చాలా సార్లు క్లిక్ చేసిన తర్వాత ఆ పేజీకి వచ్చిన సంభావ్యతగా తెలపబడుతుంది. ఇది సమాంతరంగా జరుగుతుంది formula_20 ఇక్కడ formula_21 దాని క్లిక్ల యొక్క సంఖ్య దానియొక్క పేజ్ బాక్ నుండి కావలసినది పొందడానికి ఆశాంసితగా ఉంటుంది (లేదా యాదృచ్ఛిక దూకుళ్ళు).
దీనిలో ఉన్న ముఖ్య సమస్య ఏమంటే ఇది పాత పేజీలను సమర్ధిస్తుంది, చాలా మంచిదానికి కూడా అది ప్రస్తుతం ఉన్నదానిలో భాగం కాకపొతే ఎక్కువ లింకులు ఉండవు (ఒక సైట్ విపరీతంగా పేజీల సమితులతో జతకాబడింది, వికీపెడియా లాంటిది). గూగుల్ డైరక్టరీ (ఓపెన్ డైరక్టరీ ప్రాజెక్ట్ యొక్క వ్యుత్పన్నం) వాడుకదారులను వర్గాలలో పేజ్ రాంక్ చేత వేరుచేయబడిన ఫలితాలను చూడటానికి అనుమతిస్తుంది. గూగుల్ డైరక్టరీ అనే ఈ ఒక్క సేవను మాత్రమే గూగుల్ అందిస్తోంది, ఇందులో పేజ్ రాంక్ నేరుగా ప్రదర్శనా క్రమాన్ని నిర్ణయిస్తుంది. గూగుల్ యొక్క ఇతర శోధనా సేవలలో (దాని ప్రాథమిక వెబ్ సెర్చ్ వంటివి) శోధన ఫలితాలలో చూపించిన పేజీల యొక్క సంబంధిత స్కోర్లను కొలవటానికి పేజ్ రాంక్ ను వాడతారు.
పేజ్ రాంక్ లెక్కింపును పెంచటానికి అనేక వ్యూహాలను ప్రతిపాదించబడతాయి.
పేజ్ రాంక్ ను మోసంచేయడానికి అనేక వ్యూహాలను పటిష్ఠమైన ప్రయత్నాలలో సెర్చ్ ఫలితాల రాంకింగ్లు మెరుగుపరచటానికి మరియు ప్రకటనల లింకులను చూడటానికి నియమించబడతాయి. ఈ వ్యూహాలు పేజ్ రాంక్ అభిప్రాయం యొక్క విశ్వాసాన్ని గట్టిగా దెబ్బతీశాయి, వెబ్ సంఘం చేత నిజంగా ఏ డాక్యుమెంట్ కు అధిక విలువనిచ్చారో నిర్ణయించటాన్ని కోరుతుంది.
గూగుల్ లింక్ ఫారంలను దండిస్తుందని పేరొందింది మరియు ఇతర పధకాలు కృత్రిమంగా పేజ్ రాంక్ ను పెంచడానికి ఆకృతి చేశారు. డిసెంబరు 2007లో గూగుల్ "చురుకుగా" చెల్లించిన టెక్స్ట్ లింకులను అమ్మే సైట్ల మీద జరిమానా విధించింది. ఎలా గూగుల్ లింకు ఫారంలను మరియు ఇతర పేజ్ రాంక్ మోసంచేసే సాధనాలను గుర్తిస్తుంది అనేది గూగుల్ యొక్క వర్తక రహస్యాలలో ఒకటి.
సంక్షిప్తంగా, పేజ్ రాంక్ ను పునరుక్తిలాగా లేదా బీజీయ పద్దతిలో లెక్కించవచ్చు. ప్రత్యామ్నాయంగా, 
పవర్ పునరుక్తి పద్దతి, లేదా పవర్ పద్దతిని, నియమించవచ్చు.
ముందున్న సందర్భంలో, formula_22 వద్ద, ఒక ఆరంభ సంభావ్యత పంపిణీ ఊహించబడుతుంది, సాధారణంగా
ప్రతిసారీ, పైన వివరించిన విధంగా చెప్పబడుతుంది, పొందుతుంది
లేదా మాత్రిక సంకేతంలో ఉంటుంది 
ఇక్కడ
formula_26 మరియు formula_27 అనేది పొడవు యొక్క దొంతి సదిశ formula_28 కేవలం ఒకట్లును కలిగి ఉంటుంది.
మాతృకను formula_29 ఇలా నిర్వచించవచ్చు 
అనగా.,
ఇక్కడ
formula_32 ఆసన్నకోణం యొక్క పటాన్ని సూచిస్తుంది మరియు formula_33 అనేది వికర్ణ మాత్రిక వికర్ణంలో బాహ్య కోణాలతో ఉంటుంది.
చిన్న formula_34 కొరకు లెక్కింపు ముగిస్తుంది 
అనగా., ఏకీభవించటం ఊహించబడుతుంది.
తర్వాత సందర్భంలో, formula_36 కొరకు (అనగా., స్థిర స్థితిలో ఉంటుంది ), పైన సమీకరణం (*) చదువుతుంది 
సమాధానం ఇవ్వబడుతుంది 
సమానమైన మాత్రికతో ఉంటుందిformula_39.
సమాధానం నిలిచి ఉంటుంది మరియు formula_40కు అసాధారణంగా ఉంటుంది. దీనిని formula_29 చేత సూచించబడుతుంది, దానిని స్టోచస్టిక్ మాత్రికచే నిర్మించబడుతుంది మరియు అందుచే ఈజెన్ విలువ పెర్రోన్-ఫ్రోబినియాస్ సిద్దాంతం వల్ల సమానంగా ఉంటుంది.
ఒకవేళ మాత్రిక formula_29 అనేది ఒక సంక్రమ సంభావ్యత, అనగా., దొంతి-స్టోచస్టిక్ లో దొంతులు 
కేవలం సున్నాలు లేకుండా మరియు formula_43 అనేది సంభావ్యతా పంపిణీగా ఉంటుంది (అనగా., formula_44), Eq. (**) ఇది సమానంగా 
అందుచే పేజ్ రాంక్ formula_43 అనేది formula_47 యొక్క ప్రధాన ఈజెన్సదిశ. వేగవంతమైన మరియు సులభతరమైన 
ఇది లెక్కించటానికి పవర్ పద్దతిని వాడబడుతుంది: స్వేచ్ఛాయుత సదిశతో మొదలవుతుంది formula_48, ఆపరేటర్ formula_47 వరుసక్రమంలో అమలుచేస్తారు, అనగా.,
వరకు
Eq. (***) కుడి వైపున ఉన్న వివరణలో ఉన్న మాత్రికను ఈ విధంగా అన్వయించవచ్చు 
ఇక్కడ formula_53 అనేది ఆరంభ సంభావ్యతా పంపిణీ. ప్రస్తుత సందర్భంలో
చివరగా, ఒకవేళ formula_29 దొంతులను సున్నా విలువలతో కలిగి ఉంటే, వాటి బదులుగా 
సంభావ్యతా సదిశ 
formula_53 ఉంటుంది. వేరొక మాటల్లో 
ఇక్కడ మాత్రిక formula_58ను ఈ విధంగా నిర్వచించారు 
తో 
ఈ సందర్భంలో, formula_29ను ఉపయోగించి పైన లెక్కింపులు అదే పేజ్ రానక్ ను ఇస్తుంది ఒకవేళ వారి 
ఫలితాలు సామాన్యీకరణ చేస్తే:
లెక్కింపును చేయటానికి వాడే నిర్మాణం మీద ఆధారపడి, పద్దతుల యొక్క కచ్చితమైన అమలు, మరియు ఫలితం యొక్క కావలసిన యదార్ధత, మూడు పద్దతుల యొక్క లెక్కింపు సమయం చాలా మారతాయి. సాధారణంగా ఒక లెక్కింపు చాలా సార్లు చేయవలసి వస్తే (అనగా., పెరుగుతున్న నెట్వర్క్ల కొరకు) లేదా నెట్వర్క్ పరిమాణం పెద్దదిగా ఉంటే, బీజీయ లెక్కింపు మందగమనంతో ఉంటే మరియు మాత్రిక యొక్క విలోమం వల్ల మెమొరీ హంగ్రీ, పవర్ పద్దతి చాలా సమర్ధవంతంగా ఉంటుంది.
గూగుల్ టూల్ బార్ యొక్క పేజ్ రానక్ లక్షణం వెళ్ళిన పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ ను పూర్ణ సంఖ్యగా 0 మరియు 10 మధ్యలో చూపిస్తుంది. అత్యంత ప్రజాదరణ పొందిన వెబ్ సైట్లు పేజ్ రాంక్ 10ని కలిగి ఉంటాయి. స్వల్పాతి మైనవి పేజ్ రాంక్ 0 కలిగి ఉంటాయి. గూగుల్ టూల్ బార్ పేజ్ రాంక్ విలువను కనుగొనటానికి క్లుప్తమైన పద్దతిని వెల్లడి చేయలేదు, పూర్వం దీనిని ముందు పేర్కొన్న సైట్ కు వెళ్ళడం ద్వారా కనుగొనే అవకాశం ఉండేది: http://www.google.com/search?client=navclient-auto&ch=6-1484155081&features=Rank&q=info:http://www.wikipedia.org/ (సూచన: ఈ లింకు గూగుల్ ఎర్రర్ ను సేవల ఉల్లంఘన క్రింద 2010.01.23 నాటికి చూపిస్తుంది ) ఇక్కడ www.wikipedia.org అనేది వెబ్ సైట్ పేరు.
క్రిందున్న ఒక పంక్తి జావా స్క్రిప్ట్ URL ప్రతిక్షేపణాన్ని చేస్తుంది మరియు బుక్ మార్క్లెట్ లాగా ఏ బ్రౌజరు బుక్ మార్క్ బార్లో నైనా వాడటానికి ఉపయోగపడుతుంది (ఇందులో గూగుల్ క్రోం ఉంటుంది, ఇది ప్రస్తుతం జతకాబడిన గూగుల్-టూల్ బార్ ను కలిగి లేదు):
గూగుల్ టూల్ బార్ నవీకరణ దాదాపు ఒక సంవత్సరంలో 5 సార్లు చేశారు, తరచుగా ముగిసిన తేదీ విలువలను చూపిస్తుంది. దీనిని చివరగా నూతనీకరణాన్ని 13/14 ఫిబ్రవరి 2010న చేశారు.
SERP (సెర్చ్ ఇంజన్ రిజల్ట్స్ పేజ్) అనే వాస్తవ ఫలితాన్ని కీ వర్డ్ విచారణకు బదులుగా సెర్చ్ ఇంజన్ తిరిగి అందిస్తుంది. SERPలో వెబ్ పేజీలకు సంబంధించిన టెక్స్ట్ స్నిప్పెట్లుతో లింకుల యొక్క జాబితాలను కలిగి ఉంటుంది. వెబ్ పేజ్ యొక్క SERP రాంక్ SERP మీద సంబంధిత లింకు యొక్క స్థానాన్ని సూచిస్తుంది, ఇక్కడ అధిక స్థానంలో ఉంటే అధిక SERP రాంక్ గా భావించబడుతుంది. వెబ్ పేజ్ యొక్క SERP రాంక్ పేజ్ రాంక్ కొరకే పనిచేయడమే కాకుండా, అది పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్న మరియు సవరణలు కొనసాగిన అంశాల సమితి మీద ఆధారపడుతుంది, సాధారణంగా దీనిని ఇంటర్నెట్ మార్కెటర్ల చేత "గూగుల్ లవ్"గా సూచింపబడుతుంది. SEO (సెర్చ్ ఇంజన్ ఆప్టిమైజేషన్) అనేది వెబ్ సైట్ కొరకు అత్యధిక SERP రాంక్ లేదా వెబ్ పేజీల సమితిని పొందే లక్ష్యంతో ఉంటుంది.
గూగుల్ డైరక్టరీ పేజ్ రాంక్ అనేది ఒక 8-విభాగ కొలమానం. ఈ విలువలను గూగుల్ డైరక్టరీలో చూడవచ్చు.
గూగుల్ టూల్ బార్లా కాకుండా ఇది పేజ్ రాంక్ విలువను గ్రీన్ బార్ యొక్క మౌస్ ఓవర్ చేత చూపించబడుతుంది, గూగుల్ డైరక్టరీ పేజ్ రాంక్ ను సంఖ్యా విలువగా చూపించాడు, కేవలం గ్రీన్ బార్ గా చూపిస్తుంది.
అయితే టూల్ బార్ లో చూపించిన పేజ్ రాంక్ కచ్చితమైన పేజ్ రాంక్ నుండి దాదాపు అన్ని సైట్లకు పొందినట్టుగా భావించబడుతుంది, (గూగుల్ చేత ప్రచురణ కావడానికి కొంచం ముందు), ఈ విలువను అతి సులభంగా మోసం చేయవచ్చని గమనించాలి. ముందున్న లోపం ఏమనగా HTTP 302 బదుల నుండి లేదా "రిఫ్రెష్" మెటా ట్యాగ్ నుండి తిరిగి ఏ తక్కువ పేజ్ రాంక్ అయినా అధిక పేజ్ రాంక్ కు పంపినప్పుడు, లక్ష్యంగా ఉన్న పేజీ యొక్క తక్కువ పేజ్ రాంక్ ను పొందడానికి దారితీస్తుంది. సిద్దాంతంలో ఒక నూతన PR 0 పేజీ లోనికివచ్చే లింకులు లేకుండా గూగుల్ హోం పేజీకి తిరిగి పంపవచ్చు - ఇందులో PR 10 - మరియు తర్వాత నూతన పేజీ యొక్క PRను ఉన్నత శ్రేణిలో PR10గా ఉంటుంది. ఈ నకలు మెళుకువను, 302 గూగుల్ జాకింగ్ అని కూడా అంటారు, ఇది బాగా విధానంలో పరిచయం ఉన్న వైఫల్యం లేదా బగ్. ఏ పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ అయినా వెబ్ మాస్టర్ ఎంపిక యొక్క అధిక లేదా అల్ప సంఖ్యకు నకలు చేస్తారు మరియు కేవలం గూగుల్ కు మాత్రమే పేజీ యొక్క వాస్తవ పేజ్ రాంక్ కు వెళ్ళే సౌకర్యం ఉంది. సాధారణంగా URL కొరకు ప్రశ్నించబడే పేజ్ రాంక్ తో గూగుల్ సెర్చ్ కొరకు నకలు కనుగొనబడుతుంది, ఎందుకంటే ఈ ఫలితాలు పూర్తి వైవిధ్యమైన సైట్ యొక్క URLను (తిరిగి పంపబడినది) ఫలితాలలో చూపించారు.
సెర్చ్-ఇంజన్ ఆప్టిమైజేషన్ అవసరాలు కొరకు, కొన్ని సంస్థలు అధిక పేజ్ రాంక్ లింకులను వెబ్ మాస్టర్లకు అమ్మచూపుతుంది. అధిక-PR పేజీల నుండి ఉన్న లింకులు విలువైనవిగా భావించబడతాయి, అవి చాలా వ్యయంతో కూడుకున్నవి. అతిక్రమించిన మార్కెటింగ్ వ్యూహానికి లింకు ప్రకటనల కంటెంట్ పేజీల నాణ్యత మీద కొనటానికి మరియు సంబంధిత సైట్లు ట్రాఫ్ఫిక్ నడపడానికి మరియు వెబ్ మాస్టర్ యొక్క లింకు ప్రాముఖ్యాన్ని పెంచటానికి ఇవి ప్రతిభావంతంగా ఉంటాయి. అయినప్పటికీ, ఒకవేళ వారు లింకులను పేజ్ రాంక్ మరియు పరపతి కోసం అమ్మటం కనుగొంటే వారి లింకుల విలువ తగ్గిస్తామని గూగుల్ బహిరంగంగా వెబ్ మాస్టర్లను హెచ్చరించింది (ఇతర పేజీల యొక్క పేజ్ రాంక్ల యొక్క లెక్కింపును మర్చిపోయారు). లింకులు కొనటం మరియు అమ్మటం అనే పద్దతి వెబ్ మాస్టర్ సంఘంలో విరివిగా చర్చించబడింది. గూగుల్ స్పాన్సర్ చేసిన లింకుల మీద నో ఫాల్లో HTML అట్రిబ్యూట్ ఉపయోగించమని వెబ్ మాస్టర్లకు సలహా ఇచ్చింది. మాట్ట్ కుట్ట్స్ ప్రకారం, గూగుల్ ఈవిధానంతో ఆడాలనుకునే వెబ్ మాస్టర్ల గురించి ఆందోల చెందింది, మరియు దాని ద్వారా నాణ్యత తగ్గి మరియు గూగుల్ సెర్చ్ ఫలితాల యొక్క సంబంధం తగ్గుతుంది.
వాస్తవమైన పేజ్ రాంక్ అల్గోరిథం పేరొందిన యాదృచ్ఛిక సర్ఫర్ మాదిరిని ప్రతిబింబిస్తుంది, యాదృచ్ఛికంగా లింకుల మీద క్లిక్ చేసినప్పుడు ఒక కచ్చితమైన పేజీ యొక్క పేజ్ రాంక్ ను సిద్దాంతపరమైన సంభావ్యత నుండి పొందబడుతుంది. అయిననూ, వాస్తవ వాడుకదారులు యాదృచ్ఛికంగా వెబ్ లో సర్ఫ్ చేయరు, కానీ వారి ఇష్టం మరియు అభిప్రాయ పరంగా లింకులను అనుసరిస్తారు. పేజ్ రాంకింగ్ మాదిరి ఒక కచ్చితమైన పేజీ యొక్క ప్రాముఖ్యాన్ని ఎన్నిసార్లు నిజంగా నిజమైన వాడుకదారులచే వెళ్ళబడిందనే విధిగా ఉండటాన్ని "కావాలనుకునే సర్ఫర్ మాదిరి" గా పిలుస్తారు. గూగుల్ టూల్ బార్ వెళ్ళిన ప్రతి పేజీ కొరకు సమాచారాన్ని పంపుతుంది, మరియు తద్వారా పేజ్ రాంక్ ను లెక్కించడం కొరకు కావాలనుకున్న సర్ఫర్ మాదిరి ఆధారం మీద అందిస్తుంది. గూగుల్ చేత నో ఫాల్లో అట్రిబ్యూట్ యొక్క పరిచయం స్పాండెక్సింగ్ను ఎదిరిస్తుంది, అది వెబ్ మాస్టర్లు సామాన్యంగా వారి సొంత పేజ్ రాంక్ ను పెంచుకోవటానికి బయటకు వెళ్ళే లింకు మీద ఉపయోగిస్తారు. ఇది వాస్తవ లింకుల యొక్క నష్టాన్ని వెబ్ లో ఉండేవారు అనుసరించటానికి నష్టాన్ని కలిగిస్తుంది, దాని ద్వారా వాస్తవ పేజ్ రాంక్ అల్గోరిథం శక్తివంతమైన నమ్మలేని యాదృచ్ఛిక సర్ఫర్ మాదిరి మీద ఆధారపడుతుంది. గూగుల్ టూల్ బార్ చేత వాడుకదారుల బ్రౌజింగ్ అలవాట్ల గురించి సమాచారం కొంతవరకు నో ఫాల్లో అట్త్రిబ్యూట్ చేత సమాచార నష్టం కొరకు అందించబడుతుంది. పేజీ యొక్క SERP రాంక్, పేజీ యొక్క అసలైన స్థానాన్ని శోధన ఫలితాలలో నిర్ణయిస్తుంది, ఇది యాదృచ్ఛిక సర్ఫర్ మాదిరి యొక్క కలయిక (పేజ్ రాంక్) మరియు కావాలనుకునే సర్ఫర్ మాదిరికి (బ్రౌజింగ్ అలవాట్లు) తోడూ ఇతర కారకాలు మీద ఆధారపడి ఉంటుంది .
పేజ్ రాంక్ యొక్క ఒక శైలి ఈ మధ్యనే సాంప్రదాయ ఇన్స్టిట్యూట్ ఫర్ సైంటిఫిక్ ఇన్ఫర్మేషన్ (ISI) ప్రభావ కారకంకు ప్రతిగా ప్రతిపాదించింది, మరియు దీనిని eigenfactor.org వద్ద అమలుచేసింది. కేవలం మొత్తం ఉదహరింపులను పత్రిక కొరకు లెక్కించకుండా, ప్రతి ఉదహరింపు యొక్క "ప్రాముఖ్యత"ను పేజ్ రాంక్ ఫ్యాషన్లో నిర్ణయిస్తారు.
ఇదేవిధమైన పేజ్ రాంక్ యొక్క నూతన వాడకంకు డాక్టరేట్ విద్యా కార్యక్రమాలు వారి పట్టభద్రులను విభాగాల స్థానాల యొక్క రికార్డుల మీద ఆధారపడి ఉంటాయి. పేజ్ రాంక్ పదాలలో, విద్యా శాఖలు ఒకరి నుండి ఒకరిని నియమించుకుంటూ జతకాబడి ఉంటాయి (మరియు వారి నుంచి వారే).
పేజ్ రాంక్ ను స్థలాలకు రాంక్ ఇవ్వడానికి లేదా వీధులలోలో యెంత మంది వ్యక్తులు (బాటసారులు లేదా వాహనాలు)వ్యక్తిగత స్థలాలకు లేదా వీధులకు వస్తారనేది ఊహించబడుతుంది.. పదసంబంధ శాఖలో దీనిని పద భావ అనిశ్చిత కు వాడబడుతుంది మరియు స్వయంగా రాంక్ వర్డ్ నెట్ సిన్సెట్స్ ప్రకారం బలంగా శాఖ లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ప్రతికూలత లేదా అనుకూలత వంటివి. 
పేజ్ రాంక్ లాంటి ధైర్యవంతమైన బరువుచూసే పద్దతి వీలైన చదివే జాబితాలను వికీపీడియా యొక్క లింకు ఆకృతి మీద అందచేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. 
వెబ్ లో ఉండేవారు పేజ్ రాంక్ ను ముఖ్యమైన మాత్రికలలాగా, URL కు తర్వాత వెబ్ వెళ్ళే సమయంలో ఉపయోగించవచ్చు. ఆరంభ చర్యలలో ఒక పేపర్
,ఇందులో గూగుల్ ను "URL ఆర్దరింగ్ ద్వారా సమర్ధవంతమైన సందర్శనం"
, ఇది వివిధ ముఖ్యమైన మాత్రికల యొక్క వాడకంను చర్చిస్తూ యెంత లోతుగా, మరియు గూగుల్ యొక్క సైట్ యెంత వరకు క్రాల్ చేస్తుందనే దానిని లెక్కిస్తుంది. పేజ్ రాంక్ ఈ ముఖ్యమైన మాత్రికలలో ఒకటిగా చెప్పడమైనది, అయిననూ URL కొరకు లోపలి వచ్చే మరియు బయటకు వెళ్ళే ఇతరమైనవి జాబితాకాబడతాయి, మరియు URLకు సైట్ మీద రూట్ డైరక్టరీ నుండి దూరాన్ని ఇస్తుంది.
పేజ్ రాంక్ ను ఇంకనూ బ్లోగో స్పియర్ వంటి వాటిమీద మొత్తం వెబ్ పద్దతి గా సంఘం మీద స్పష్టమైన ప్రభావంను కొలవటానికి వాడబడుతుంది. ఈ విధానం అందుచే పేజ్ రాంక్ ను స్కేల్-ఫ్రీ నెట్వర్క్ ఉదాహరణ యొక్క ప్రతిబింబంను కేంద్రీకరణ యొక్క పంపిణీని కొలవడానికి పేజ్ రాంక్ వాడబడుతుంది.
ఏ ఆర్ధికవ్యవస్థలోనైనా, పేజ్ రాంక్ యొక్క మార్చబడిన శైలిని జాతులను లెక్కించటానికి ఉపయోగిస్తారు, అవి పర్యావరణం యొక్క ఆరోగ్య కొనసాగింపుకు అవసరమైనవి.
2005 ఆరంభంలో, గూగుల్ నూతన విలువ"నో ఫాల్లో " ను HTML లింకు మరియు యాంకర్ మూలకాల యొక్క రెల్ ఆట్రిబ్యూట్ కొరకు ప్రవేశపెట్టింది, అందుచే వెబ్ సైట్ అభివృద్ధి చేసేవారు మరియు బ్లాగర్లు పేజ్ రాంక్ యొక్క అవసరాల కొరకు గూగుల్ భావించని లింకులను చేయవచ్చు — పేజ్ రాంక్ విధానంలో 'ఓటు'గా ఏర్పడని లింకులు ఉన్నాయి. నోఫాల్లో సంబంధం స్పాం డెక్సింగ్ ను ఎదిరించటానికి ఒక ప్రయత్నంను జతచేసింది.
ఉదాహరణగా, వ్యక్తులు ముందుగానే అనేక సందేశ-బోర్డు పోస్టులను లింకులతో వారి వెబ్ సైట్లకు కృత్రిమంగా వారి పేజ్ రాంక్ పెంచి ఏర్పరుస్తారు. నోఫాల్లో విలువతో, సందేశ-బోర్డ్ అధికారులు వారి స్వయంగా చేర్చబడిన "రెల్='నోఫాల్లో '" కోడును పోస్ట్లలో అన్ని హైపెర్లింకులుకు మారుస్తారు, అందుచే అట్లాంటి పోస్టల ద్వారా ప్రభావితం కాబాడటం నుండి పేజ్ రాంక్ ను రక్షిస్తుంది. అయినప్పటికీ వైదొలగే ఈ పద్దతి, కూడా అనేక లోపాలను కలిగి ఉంది, వీటిలో నిజమైన వ్యాఖ్యానాలకు లింకు విలువను తగ్గించడం వంటివి ఉన్నాయి. (చూడండి: బ్లాగ్స్ లో స్పాం#నోఫాల్లో)
వెబ్ సైట్లో పేజీలలో పేజ్ రాంక్ యొక్క ప్రవాహాన్ని మనుషులచే నియంత్రించే ప్రయత్నంలో, చాలా మంది వెబ్ మాస్టర్లు పేజ్ రాంక్ స్కల్ప్టింగ్ అనబడే అభ్యాసం చేస్తారు - వెబ్ సైట్ యొక్క కొన్ని అంతర్గత లింకుల మీద నోఫాల్లో ఆట్రిబ్యూట్ ను వ్యూహాత్మకంగా పెట్టే పని, దానిద్వారా వెబ్ మాస్టర్ ముఖ్యంగా భావించే ఆ పేజీల వైపు పేజ్ రాంక్ ను పంపిస్తుంది. ఈ మెళుకువను నోఫాల్లో ఆట్రిబ్యూట్ ప్రవేశం నుండి వాడబడింది, కానీ ఈ మెళుకువ దాని ప్రభావమును కోల్పోయిందని చాలా మంది భావించారు.
2009 అక్టోబరు 14న, గూగుల్ ఉద్యోగి సుసాన్ మొస్క్వా సంస్థ దాని యొక్క వెబ్ మాస్టర్ టూల్ విభాగం నుండి పేజ్ రాంక్ ను తొలగించినట్లు ధ్రువీకరించారు. ఆమె తెలిపినదానిలో భాగంగా, "మేము చాలా కాలం నుండి ప్రజలకు చెప్తున్నాం వారు పేజ్ రాంక్ మీద అంట దృష్టి పెట్టట్లేదు అని; చాలా మంది సైట్ యజమానులు ట్రాక్ చేయడానికి ఇది చాలా ముఖ్యమైన మాత్రికగా చూస్తారు, అది నిజం కాదు." 
పేజ్ రాంక్ ఇంకనూ గూగుల్ టూల్ బార్ వెబ్ సాధనం మీద మొస్క్వా యొక్క ధ్రువీకరణ తర్వాత కూడా రెండు రోజులు ప్రదర్శించారు, మరియు మార్చి 2010 నాటికి ఇంకనూ అలానే ఉంది.