పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం
గణితశాస్త్రంలో, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం (అమెరికా ఆంగ్లం లో) లేదా పైథాగరస్ సిద్ధాంతం (బ్రిటిష్ ఆంగ్లం లో) అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాల మధ్య (యూక్లిడియన్ జ్యామితి నిబంధన ప్రకారం) - ఒక సంబంధంగా చెప్పవచ్చు. దీని ప్రకారం:
ఏదైనా ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో, కర్ణం (అనగా, లంబ కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం) యొక్క వర్గం మిగిలిన రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ఈ సిద్ధాంతాన్ని, ఈ క్రింది విధంగా, సమీకరణం రూపంలో వ్రాయవచ్చు:
దీనిలో "c" కర్ణం (hypotenuse) యొక్క పొడవును సూచిస్తుంది, "a", "b"లు మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులను సూచిస్తాయి.
ఈ సిద్దాంతాన్ని మొట్టమొదట ఆవిష్కరించి, రుజువు చేసిన వ్యక్తి గ్రీక్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పైథాగరస్ అని బహుళ ప్రచారంలో ఉన్న సంప్రదాయం.. ఈ సిద్ధాంతం పైథాగరస్ కంటే ముందే కనుగొనబడిందనడానికి చారిత్రకమైన ఆధారాలు ఉన్నాయి. ఎప్పుడో (బాబీలోనియా గణితశాస్త్రజ్ఞులు ఈ సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకున్నారనడానికి సరైన రుజువు ఉంది. చైనాలోను, భారతదేశంలోను కూడా ఈ సూత్రం తెలుసున్నట్లు దాఖలాలు ఉన్నాయి. అయినా ఈ ఫలితం పైథోగరస్ పేరు మీదుగానే నిలిచింది. గణిత సంప్రదాయం అవిరామంగా పాశ్చాత్య ప్రపంచంలో కొనసాగినట్లు ప్రాచ్య ప్రపంచంలో సాగలేదనిన్నీ అందువల్ల ఈ సిద్దాంతాన్ని ఆవిష్కరించిన ఘనత పైథాగరస్ కే న్యాయంగా చెందుతుందని కొందరి వాదన. ఉత్తరోత్తర్యా పాశ్చాత్య ప్రపంచం ప్రాచ్య ప్రపంచాన్ని అధీనం చేసుకుని పాలించిన కాలంలోనే ఈ చరిత్రలు అన్నీ పాశ్చాత్యులే రాసేరు కనుక వారు కొంత వివక్ష చూపేరని వాదించే ప్రాచ్యులూ ఉన్నారు. వాదోపవాదాలు ఎలా ఉన్నా ఈ ఫలితం 2000 సంవత్సరాలుగా పైథోగరస్ పేరు మీదనే చెలామణీ అవుతోంది. 
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో "c"ని కర్ణం యొక్క పొడవుగా, "a", "b" లను మిగిలిన రెండు భుజాల పొడవులగా అనుకుంటే, సిద్ధాంతాన్ని క్రింది సమీకరణ రూపంలో చెప్పవచ్చు:
లేదా, "c" కోసం ఈ విధంగా పరిష్కరించవచ్చు.
"c"కి ఒక విలువ ఇచ్చినట్లయితే, మిగిలిన రెండు భుజాల్లో ఒకదాని పొడవును కనుగొనడానికి ఈ క్రింది సమీకరణలను (ఇవి ముందు దానికి ఉప సిద్ధాంతాలు) ఉపయోగించవచ్చు:
లేదా
ఈ సమీకరణం ఒక లంబ కోణ త్రిభుజంలోని మూడు భుజాల మధ్య ఒక సాధారణ సంబంధాన్ని తెలుపుతుంది కనుక ఏవైనా రెండు భుజాల పొడవుల తెలిస్తే, మూడవ భుజం యొక్క పొడవును కనుగొనవచ్చు. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క సాధారణీకరణం ఏమిటంటే కొసైన్‌ల సూత్రం, ఇది రెండు భుజాల పొడవులు మరియు వాటి మధ్య కోణం పరిమాణాన్ని ఉపయోగించి, ఏదైనా త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం యొక్క పొడవును గణించడానికి అనుమతిస్తుంది. రెండు భుజాల మధ్య కోణం లంబ కోణం అయితే, ఇది పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా గణించవచ్చు.
ఈ సిద్ధాంతం మరే ఇతర సిద్ధాంతాలు కలిగి లేని ఎక్కువ రుజువులను కలిగి ఉంది (ఆ విలక్షణానికి వర్గ అన్యోన్యత సూత్రం కూడా పోటీదారుగా ఉందని చెప్పవచ్చు). ఈలీషా స్కాట్ లూమిస్ వ్రాసిన "పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం" పుస్తకంలో 367 రుజువులు ఉన్నాయి.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క పలు ప్రమాణాలు వలె, ఇది రెండు సారూప్య త్రిభుజాల యొక్క భుజాల అనుపాతం ఆధారంగా ఉంటుంది.
చిత్రంలో చూపినట్లు "C" వద్ద లంబ కోణంతో "ABC" అనేది ఒక లంబకోణ త్రిభుజంగా భావించండి. ఇప్పుడు "C" నుండి "AB" అనే భుజం మీదకి ఒక లంబ రేఖని దింపి అది "AB"ని ఎక్కడ ఖండించుకుంటున్నాదో ఆ ఖండన బిందువుకి "H" అనే పేరును పెట్టండి. కొత్త త్రిభుజం "ACH" పాత త్రిభుజం "ABC"కి సారూప్యంగా ఉంటుంది. ఎందుకంటే ఒకటి, రెండు త్రిభుజాలలోను ఒక లంబ కోణం ఉంది. రెండు, రెండు త్రిభుజాలలోనూ "A" ఉమ్మడి కోణం. కనుక, రెండు త్రిభుజాల్లోనూ మూడవ కోణం సమానంగా ఉంటుంది. ఇదే వివరణ ప్రకారం, CBH త్రిభుజం కూడా "ABC"కి సారూప్యంగా ఉంటుంది. ఈ సారూప్యతల వల్ల ఈ దిగువ చూపిన ఈ రెండు నిష్పత్తులకు కారణమవుతాయి:
వీటిని క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు
ఈ రెండు సమానతలను కలపడం ద్వారా, మనం దీనిని పొందవచ్చు
మరో విధంగా చెప్పాలంటే, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం:
యూక్లిడ్ యొక్క "మూలకాలు" పుస్తకం 1లోని ఉపపాదన 47లో, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది పంక్తులతో సహా ఒక వాదంతో నిరూపించబడింది. "A" వద్ద లంబకోణంతో "A", "B", "C" అనేవి ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలుగా భావించండి. "A" నుండి కర్ణానికి ఎదురుగా కర్ణంపైన ఉన్న చతురస్రంలోకి ఒక లంబాన్ని గీయండి. ఆ రేఖ కర్ణంపై చతురస్రాన్ని రెండు దీర్ఘచతురస్రాలుగా విభజిస్తుంది, ప్రతి ఒక్కటీ రెండు భుజాలపై ఉన్న ఒక్కొక చతురస్రం వలె సమాన పరిధిని కలిగి ఉంటాయి.
సూత్రం నిరూపణకు, మనకి క్రింది నాలుగు ప్రాథమిక సూత్రాలు అవసరం:దీనిని అనుసరించడానికి సులభతరం చేసే ఈ ప్రమాణానికి నేపథ్యంలోని అంతర్బుద్ధి ఆలోచన ఏమిటంటే ఎగువ చతురస్రాలను సమాన పరిమాణంతో సమాంతర చతుర్భజం వలె మారుస్తారు, తర్వాత మళ్లీ స్ధిరమైన వైశాల్యంతో దిగువ చతురస్రంలోకి ఎడమ మరియు కుడి దీర్ఘచతురస్రాల్లో మారుస్తారు. 
ఈ ప్రమాణం క్రింది విధంగా ఉంటుంది:
ఈ ప్రమాణం యూక్లిడ్ యొక్క "మూలకాల"లో ఉపపాదన 1.47 వలె కనిపిస్తుంది.
జేమ్స్ A. గార్ఫీల్డ్ (తర్వాత యునైటెడ్ స్టేట్స్ అధ్యక్షుడు) బీజ గణిత ప్రమాణాల ఒక నవలను వ్రాశాడు:
అర్థ సమాంతర చతుర్భజం వైశాల్యం
దీనిలో formula_11 అనేది ఎత్తు మరియు formula_12 మరియు formula_13లు సమాంతర భుజాల పొడవులను సూచిస్తాయి.
ఈ చిత్రంలోని అర్థ సమాంతర చతుర్భజం యొక్క వైశాల్యం
త్రిభుజం 1 మరియు త్రిభుజం 2లు ఒక్కొక్కటి formula_15 వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి.
మరియు త్రిభుజం 3 formula_16 వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంది మరియు ఇది కర్ణం వర్గంలో సగం ఉంటుంది.
అప్పుడు అర్థ సమాంతర చతుర్భజం యొక్క వైశాల్యం
ఈ రెండు వైశాల్యాలు సమానంగా ఉండాలి, కనుక
formula_18
formula_19
formula_20
కనుక కర్ణం వర్గం = ఇతర రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం:
formula_21
ఈ ప్రమాణంలో, కర్ణంపైన చతురస్రంతో పాటు త్రిభుజాల యొక్క నాలుగు నకళ్లను ఇతర రెండు భుజాలపై ఉన్న చతురస్రాలతో పాటు త్రిభుజాల యొక్క నాలుగు నకళ్లు వలె సమాన ఆకారంలోకి కూర్చవచ్చు. ఈ ప్రమాణం చైనా నుండి రికార్డ్ చేయబడింది.
పైన పేర్కొన్న యుక్లిడ్ ప్రమాణంలో వలె అదే రేఖాచిత్రం నుండి, మనం మూడు సారూప్య చిత్రాలను చూడవచ్చు, ప్రతి ఒకటి "ఎగువన ఒక త్రిభుజంతో ఒక చతురస్రం" వలె ఉంటాయి. రెండు చిన్న త్రిభుజాలతో పెద్ద త్రిభుజాన్ని చేసిన కారణంగా, దీని వైశాల్యం రెండు చిన్న త్రిభుజాల మొత్తం వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది. సారూప్యతచే, మూడు చతురస్రాలు మూడు త్రిభుజాలు వలె ఒకదానికి ఒకటి సాపేక్షంగా సమాన అనుపాతంలో ఉంటాయి మరియు దీనితో భారీ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం రెండు చిన్న చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.
పునర్విన్యాసానికి ఒక ప్రమాణం లక్ష్య చిత్రం మరియు యానిమేషన్ ద్వారా అందించబడుతుంది. లక్ష్య చిత్రంలో, ప్రతి పెద్ద చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం . రెండింటిలోనూ, నాలుగు సమాన త్రిభుజాల వైశాల్యాన్ని తీసివేయబడుతుంది. మిగిలిన వైశాల్యాలు మరియు "c" లు సమానంగా ఉంటాయి. Q.E.D.
ఈ ప్రమాణం చాలా సులభం, కాని ఇది "ప్రాథమికం" కాదు, అంటే ఇది యుక్లిడీయన్ జ్యామితి యొక్క ప్రాథమిక స్వత సిద్ధాంతాలు మరియు సిద్ధాంతాలపై మాత్రమే ఆధారపడదు. నిర్దిష్టంగా, త్రిభుజాలు మరియు చతురస్రాల వైశాల్యానికి ఒక సూత్రాన్ని అందించడం చాలా సులభం, కాని ఆ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం, దాని భాగాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానమని రుజవు చేయడం సులభం కాదు. నిజానికి, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని రుజువు చేయడంతో పోలిస్తే అవసరమైన లక్షణాలను రుజువు చేయడం చాలా కష్టం (లెబెస్గ్యూ కొలమానం మరియు బానాచ్-తర్స్కీ వైరుధ్యాన్ని చూడండి). నిజానికి, ఈ క్లిష్టత అన్ని సాధారణ యుక్లీడియన్ ప్రమాణాల్లో ఉపయోగించే రంగాలను ప్రభావితం చేస్తుంది; ఉదాహరణకు, లంబ కోణ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి అది సమాన ఎత్తు మరియు ఆధారంతో ఉన్న ఒక దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యంలో సగం ఉందని భావించాలి. ఈ కారణంగా, జ్యామితికి సిద్ధాంతాలతో కూడిన పరిచయాలు సాధారణంగా త్రిభుజాల సారూప్యతపై ఆధారంగా మరొక రుజువును ఉపయోగిస్తాయి (పైన చూడండి).
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క మూడవ గ్రాఫిక్ లక్ష్య చిత్రం (కుడివైపుకు పసుపు మరియు నీలంలో) చతురస్రం యొక్క భుజాల భాగాలను కర్ణం యొక్క చతురస్రంలోకి పూరిస్తుంది. ఒక సంబంధిత ప్రమాణం ప్రకారం పునఃఅమర్చిన భాగాలు అసలైన వాటితో సమానం ఉంటాయని తెలుస్తుంది మరియు సమానమైన భాగాలు మొత్తం సమానం కాబట్టి అనుబంధిత వైశాల్యాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఆ చతురస్రాన్ని ఫలితంగా చూపడానికి కొత్త భుజాల పొడవు "c"కి సమానమని తప్పక చూపాలి. ఈ ప్రమాణాన్ని వర్తించడానికి అనుబంధిత భుజం మరింత చిన్నది కావడానికి చిన్న చతురస్రాన్ని మరిన్ని భాగాలుగా విభజించడానికి ఒక మార్గాన్ని అందించాలని గమనించండి.
ఈ ప్రమాణానికి క్రింది తర్కంచే ఒక బీజీయ చరరాశి అందించబడుతుంది. మూలలో సమాన లంబ కోణ త్రిభుజాలతో ఉన్న ఒక పెద్ద చతురస్రం యొక్క లక్ష్య చిత్రాన్ని చూస్తే, ఈ నాలుగు త్రిభుజాల్లో ప్రతి ఒక్కదాని వైశాల్యం దాని "C" భుజం పొడవుతో ఒక కోణంచే అందించబడుతుంది.
ఈ త్రిభుజాల్లో ప్రతి దాని యొక్క "A" -వైపు కోణం మరియు "B" -వైపు కోణాలను పరిపూరకమైన కోణాలుగా చెప్పవచ్చు, మధ్యలోని నీలం పరిధిలో ఉన్న ప్రతి దాని కోణం ఒక లంబ కోణం, ఈ ప్రాంతాన్ని భుజం పొడవు "C"తో ఒక చతురస్రం చేస్తుంది. ఈ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం "C" అవుతుంది. ప్రతి దాని యొక్క వైశాల్యాన్ని కలిపి ఈ విధంగా పేర్కొంటారు:
అయితే పెద్ద చతురస్రం భుజాల పొడవు అయితే, మనం దాని వైశాల్యాన్ని వలె కూడా గణించవచ్చు, ఇది కు విస్తరిస్తుంది.
ఒక భుజంలోని మార్పులు కర్ణంలో ఎలాంటి మార్పులకు కారణమవుతుందో క్రింది రేఖాచిత్రంలో చూసి, ఒక చిన్న కలనగణితాన్ని ఉపయోగించి అధ్యయనం చేయడం ద్వారా పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవచ్చు.
"a" భుజంలోని "da" మార్పు యొక్క ఫలితంగా,
త్రిభుజాల సారూప్యతచే మరియు అవకలన మార్పుల కోసం జరుగుతుంది. కనుక
చరరాశులను వేరు చేసిన తర్వాత.
"b" భుజంలో మార్పులకు రెండవ పదాన్ని జోడించడం వలన ఫలితంగా సంభవిస్తుంది.
ఏకీకరణం క్రింది దాన్ని అందిస్తుంది
"a" = 0 అయ్యినప్పుడు "c" = "b" అవుతుంది, కనుక "స్థిరాంకం" "b" అవుతుంది. కనుక
మీరు చూస్తున్నట్లు, మార్పులు మరియు భుజాల మధ్య నిర్దిష్ట అనుపాతం కారణంగా ఈ వర్గాలు ఏర్పడ్డాయి, భుజాల్లో మార్పుల యొక్క స్వతంత్ర తోడ్పాటు యొక్క ఫలితంగా మొత్తం ఏర్పడుతుంది, ఇది జ్యామితీయ ప్రమాణాలకు రుజువు కాదు. ఇవ్వబడిన అనుపాతం నుండి, భుజాల్లోని మార్పులు భుజాలకు విలోమాను పాతంలో ఉంటాయని ప్రదర్శించబడింది. అవకలన సమీకరణం ఈ సిద్ధాంతం సంబంధిత మార్పుల కారణంగా సూచిస్తుంది మరియు దాని ఉత్పాదన దాదాపు రేఖా సమాకలనిని గణించడానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ఈ పరిమాణాలు "da" మరియు "dc"లు వరుసగా "a" మరియు "c" ల్లో అపరిమిత చిన్న మార్పులకు సమానంగా ఉంటాయి. కాని మనం బదులుగా వాస్తవ సంఖ్యలు Δ"a" మరియు Δ"c" లను ఉపయోగిస్తే, అప్పుడు వారి పరిమాణాలు సున్నాకు సమీపించడంతో వారి నిష్పత్తి పరిమితి "da" /"dc", ఒక ఉత్పన్నం మరియు "c" /"a"కు కూడా చేరుకుంటుంది, త్రిభుజాల భుజాల పొడవుల నిష్పత్తి మరియు అవకలన సమీకరణం ఫలితంగా వస్తుంది.
ఈ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యం కూడా వాస్తవం:
ఈ విపర్యం యుక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్‌"లో కూడా కనిపిస్తుంది. ఇది కోసైన్‌ల సూత్రం (క్రింది సాధారణీకరణంలో చూడండి) ఉపయోగించి లేదా క్రింది ప్రమాణంచే నిరూపించవచ్చు:
"ABC" అనేది సాధ్యమయ్యే "a", "b" మరియు "c" భుజాల పొడవులతో ఒక త్రిభుజంగా భావించండి. మనం "a" మరియు "b" భుజాల మధ్య కోణాన్ని లంబ కోణంగా నిరూపించాలి. మనం "a" మరియు "b" పొడవైన భుజాల మధ్య లంబ కోణంతో మరొక త్రిభుజాన్ని రూపొందించండి. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ త్రిభుజం యొక్క కర్ణం కూడా "c" పొడవును కలిగి ఉంటుంది. రెండు త్రిభుజాలు ఒకే "a", "b" మరియు "c" భుజాల పొడవులను కలిగి ఉన్న కారణంగా, అవి సమానం మరియు కనుక అవి తప్పక ఒకే కోణాన్ని కలిగి ఉండాలి. కనుక మన మౌలిక త్రిభుజంలోని భుజాలు పొడవులు "a" మరియు "b" మధ్య కోణం ఒక లంబకోణంగా నిర్ధారించబడింది.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యం ఒక పరిణామం సాధారణంగా చెప్పాలంటే ఇది ఒక త్రిభుజం, లంబ కోణ త్రిభుజమా, గురు కోణ త్రిభుజమా లేదా లఘుకోణ త్రిభుజమా తెలుసుకోవడానికి క్రింది వాటిని ఉపయోగించవచ్చు. ఇక్కడ మూడు భుజాల్లో పొడవైనదిగా "c" ఎంపిక చేయబడింది:ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ అయ్యేలా మూడు ధనాత్మక పూర్ణాంకాలు "a", "b" మరియు "c" కలిగి ఉంటుంది. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే, ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ మూడు భుజాలు పూర్ణాంక పొడవులతో ఉన్న ఒక లంబ కోణ త్రిభుజపు భుజాల పొడవులను సూచిస్తుంది. ఉత్తర ఐరోపాలోని మెగాలిథిక్ స్మారకాల నుండి కనుగొన్న రుజువు ప్రకారం ఇటువంటి ట్రిపుల్స్ వ్రాయడానికి ముందే ఆవిష్కరించబడ్డాయని తెలుస్తుంది. ఇటువంటి ఒక ట్రిపుల్‌ను సాధారణంగా గా వ్రాస్తారు. కొన్ని ప్రజాదరణ పొందిన ఉదాహరణలుగా మరియు లను చెప్పవచ్చు.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క పరిణామాల్లో ఒకటి 2 యొక్క వర్గమూలం వంటి అసమానమైన పొడవులు (ie. వాటి నిష్పత్తి అనిష్ప సంఖ్య) నిర్మించవచ్చు. ఒక విలువకు సమానమైన రెండు భుజాలు ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం కర్ణం పొడవు 2 యొక్క వర్గమూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. 2 యొక్క వర్గమూలం అనిష్ప సంఖ్య అనే రుజువు ప్రతి ఒక్కటి నిష్ప సంఖ్య అనే చిరకాల నమ్మకానికి వ్యతిరేకంగా ఉంది. రెండు యొక్క వర్గమాలం అనిష్ప సంఖ్య అని మొట్టమొదటిగా నిరూపించిన కీర్తినార్జించిన వ్యక్తి హప్పాసుస్ ప్రకారం, ఒక పరిణామం వలె సముద్రంలో మునిగిపోయాడు.
కార్టీసియన్ అక్షాంశాల మధ్య దూరం సూత్రం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ద్వారా పేర్కొనబడింది. ("x" , "y" ) మరియు ("x" , "y" ) లు సమతలంపై బిందువులు అయితే, యుక్లిడీయన్ దూరం అని పిలిచే, వాటి మధ్య దూరాన్ని క్రింది విధంగా చెప్పవచ్చు
మరింత సాధారణంగా, యుక్లిడీయన్ "n" -స్పేస్‌లో, రెండు బిందువులు formula_32 మరియు formula_33 మధ్య యుక్లిడీయన్ దూరాన్ని పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించే క్రింది విధంగా పేర్కొనవచ్చు:
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని యుక్లిడ్ తన "ఎలిమెంట్స్‌లో సాధారణీకరించాడు:"
ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం భుజాలపై ఇలాంటి చిత్రాలను (యుక్లీడియన్ జ్యామితి) నిర్మిస్తే, అప్పుడు రెండు సమాన త్రిభుజాల వైశాల్యాల మొత్తం పెద్ద త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యానికి సమానంగా ఉంటుంది.
ఏదైనా త్రిభుజంలో భుజాల పొడవుకు సంబంధించి పలు సాధారణ సిద్ధాంతాల్లో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఒక ప్రత్యేకమైనదిగా చెప్పవచ్చు, కొసైన్‌ల సూత్రం:
క్లిష్ట అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లో రెండు సదిశరాశులు v మరియు w లను ఇస్తే, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలోకి మారుతుంది:
ప్రత్యేకంగా, v మరియు w లు లంబకోణాలు అయినప్పుడు ||v + w || = ||v || + ||w || అవుతుంది, అయితే విపర్యం నిజం కావల్సిన అవసరం లేదు.
గణిత శాస్త్ర ప్రేరణను ఉపయోగించి, మునుపటి ఫలితాన్ని జత లంబకోణీయ సదిశరాశుల ఏదైనా పరిమిత సంఖ్యకు విస్తరించవచ్చు. v , v , ..., v అనేవి 1 ≤ "i" < "j" ≤ "n"కు  = 0 అయ్యేలా ఒక అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లో సదిశరాశులుగా భావించండి. అప్పుడు
"అనంత-మితీయ" స్థిర అంతర్గత ఉత్పత్తి స్పేస్‌లకు ఈ ఫలితం యొక్క సాధారణీకరణాన్ని పార్సెవాల్స్ ఐడెంటిటీ వలె పిలుస్తారు.
సదిశరాశుల గురించి పైన పేర్కొన్న సిద్ధాంతాన్ని ఘన జ్యామితి పదాల్లో మళ్లీ వ్రాసినట్లయితే, అది క్రింది సిద్ధాంతంగా మారుతుంది. AB మరియు BC సరళరేఖలు B వద్ద ఒక లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే మరియు BC మరియు CDలు C వద్ద ఒక లంబ కోణాన్ని ఏర్పరిస్తే మరియు AB మరియు BC సరళరేఖలను కలిగి ఉన్న ఆధారానికి CD లంబంగా ఉంటే, అప్పుడు AB, BC మరియు CDల పొడవుల మొత్తం AD వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ నిరూపణ అప్రధానం.
త్రిమితీయకు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క మరొక సాధారణీకరణం డే గౌయాస్ సిద్ధాంతంగా చెప్పవచ్చు, దీనికి పేరు జీన్ పాల్ డె గౌయా డె మాల్వేస్ నుండి తీసుకోబడింది: ఒక చతుర్ముఖిలో ఒక మూల లంబ కోణాన్ని (ఒక ఘనం వలె ఒక మూల) కలిగి ఉంటే, అప్పుడు లంబ కోణ మూలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజం యొక్క వైశాల్యం వర్గం, మిగిలిన మూడు ముఖాల వైశాల్య వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.
నాలుగు మరియు అధిక మితీయాల్లో కూడా ఈ సిద్ధాంతాల సదృశ్యాలు ఉన్నాయి.
మూడు లఘు కోణాలు ఉన్న ఒక త్రిభుజంలో, "α" + "β" > "γ" వర్తిస్తుంది. కనుక, "a" + "b" > "c" అవుతుంది.
ఒక గురు కోణం ఉన్న ఒక త్రిభుజంలో "α" + "β" < "γ" వర్తిస్తుంది. కనుక, "a" + "b" < "c" అవుతుంది.
ఈ ఉపపాదన ఈ భాషలో లఘు కోణ, లంబ కోణ మరియు గురు కోణ త్రిభుజాల గురించి అని ఎడ్స్గెర్ డిజ్క్స్‌ట్రా పేర్కొన్నాడు:
ఇక్కడ "α" అనేది "a" భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం, "β" అనేది "b" భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం మరియు "γ" అనేది "c" భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం అవుతాయి.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యుక్లిడీయన్ జ్యామితి స్వత సిద్ధాంతాల నుండి నిర్వచించబడింది మరియు యథార్థానికి, పైన పేర్కొన్న పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క యుక్లిడీయన్ రూపంలో నాన్-యుక్లిడీయన్ జ్యామితి లేదు. (వాస్తవానికి ఇది యుక్లిడీయన్ సమాంతర (ఐదవ) ప్రతిపాదనకు సమానంగా ఉన్నట్లు చూపబడింది.) ఉదాహరణకు, గోళీయ జ్యామితిలో, యూనిట్ గోళం యొక్క ఒక ఆక్టంట్ సరిహద్దులో ఉన్న లంబ కోణ త్రిభుజం మొత్తం, మూడు భుజాల మొత్తం formula_38కు సమానంగా ఉంటుంది; ఇది యుక్లిడీయన్ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉల్లంఘిస్తుంది ఎందుకంటే formula_39.
దీని అర్థం అది నాన్-యుక్లిడీయన్ జ్యామితిలో ఉంది, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం తప్పక యుక్లిడీయన్ సిద్ధాంతం నుండి వేరొక రూపాన్ని తీసుకోవాలి. ఇక్కడ రెండు సందర్భాలను ఆలోచించాలి - గోళీయ జ్యామితి మరియు అతిశయ సమాంతర జ్యామితి; యుక్లిడీయన్ సందర్భంలో వలె ప్రతి సందర్భంలోనూ, ఫలితం తగిన కొసైన్‌ల సూత్రం నుండి వస్తుంది:
"R" వ్యాసార్థం గల ఒక గోళంలో ఏదైనా లంబ కోణ త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలో ఉంటుంది
ఈ సమీకరణాన్ని కొసైన్‌ల గోళీయ సూత్రం ఒక ప్రత్యేక సందర్భం వలె నిర్వచించవచ్చు. కొసైన్ ఫంక్షన్‌కు మాక్లాయురిన్ క్రమాన్ని ఉపయోగించి, వ్యాసార్థం "R" అనంతానికి పెరిగినట్లు చూపవచ్చు, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క గోళీయ రూపం యుక్లిడీయన్ రూపంగా మారుతుంది.
అతిశయ చిత్రికలో (గాస్సియన్ వక్రత −1) ఏదైనా లంబ కోణ త్రిభుజానికి, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం క్రింది రూపంలో ఉంటుంది
ఇక్కడ cosh అనేది అతిశయ కొసైన్. అతిశయ కొసైన్‌కు మాక్లాయురిన్ క్రమాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, ఒక అతిశయ త్రిభుజం చాలా చిన్నది అయ్యినట్లు చూపవచ్చు (i.e., "a", "b", మరియు "c"లు అన్ని సున్నాగా మారినట్లు), పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క అతిశయ రూపం యుక్లిడీయన్ రూపంగా మారుతుంది.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని కార్టీసీయన్ అక్షాంశాల ఉపరితలంలోని రెండు బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుగొనడానికి ఉపయోగించబడుతుంది మరియు అన్ని అక్షాంశాలు స్థిర సంఖ్యలు అయినప్పుడు మాత్రమే ఇది చెల్లుబాటు అవుతుంది: ("a", "b" ) మరియు ("c", "d" ) బిందువుల మధ్య దూరం √ ( ("a" − "c" ) + ("b" − "d" ) ) గా చెప్పవచ్చు. సంకీర్ణ అక్షాంశాలతో, ఈ సూత్రం పనిచేయదు ఉదా. {0,1} మరియు \\ & = \sqrt{(p+iq)(p-iq) + (r+is)(r-is)} \\ & = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2 + s^2} \end{align}
ఇక్కడ formula_42 అనేది formula_43 సంకీర్ణ సంయోజకం.
ఉదాహరణకు, సంకీర్ణ సంయోజకాన్ని తీసుకోకుంటే, (0, 1) మరియు ("i", 0) బిందువుల మధ్య దూరం 0 అవుతుంది. కాని దూరం
సిద్ధాంతం యొక్క చరిత్రను నాలుగు భాగాలుగా విభజించవచ్చు: పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ పరిజ్ఞానం, లంబ కోణ త్రిభుజ భుజాల మధ్య సంబంధంపై పరిజ్ఞానం, సమీప కోణాల మధ్య సంబంధంపై పరిజ్ఞానం మరియు సిద్ధాంతం యొక్క ప్రమాణాలు.
ఈజిప్ట్‌లోని మరియు ఉత్తర ఐరోపాలోని దాదాపు 2500 BC నుండి మెగాలిథిక్ స్మారకాలు పూర్ణాంక భుజాలతో లంబ కోణ త్రిభుజాలను కలిగి ఉన్నాయి. 
బార్టెల్ లీన్డెర్ట్ వ్యాన్ డెర్ వాయిర్డెన్ అభిప్రాయం ప్రకారం ఈ పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ బీజగణిత శాస్త్రంతో కనుగొనబడ్డాయి.
2000 మరియు 1786 BC మధ్య వ్రాసిన వాటి ప్రకారం, మిడిల్ కింగ్‌డమ్ ఈజిప్టీయన్ పాపేరుస్ "బెర్లిన్ 6619" ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్ పరిష్కారంగా ఉండే ఒక సమస్యను కలిగి ఉంది.
1790 మరియు 1750 BC మధ్య హమ్మురబీ ది గ్రేట్ యొక్క హయాంలో వ్రాయబడిన మెసోపోటామియా పలక "ప్లింప్టాన్ 322" పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌కు సన్నిహితంగా సంబంధించిన పలు నమోదులను కలిగి ఉంది.
పలువురు చెప్పినట్లు 8వ శతాబ్ద BC మరియు 2వ శతాబ్ద BCల మధ్య భారతదేశంలో "బౌధయానా సుల్బా సూత్ర" బీజ గణిత శాస్త్రం పరంగా కనుగొన్న ఒక పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ జాబితా, పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క ఒక ప్రకటన మరియు ఒక సమద్విబాహు లంబ కోణ త్రిభుజానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క జ్యామితీయ నిరూపణలను కలిగి ఉంది.
"అపాస్తంబా సుల్బా సూత్ర" (దాదాపు 600 BC) ఒక వైశాల్య గణనను ఉపయోగించి సాధారణ పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం నిరూపణను కలిగి ఉంది. వ్యాన్ డెర్ వాయిర్డెన్ "ఇది తప్పక మునుపటి సాంప్రదాయాలు ఆధారంగా వచ్చిందని" నమ్మాడు. ఆల్బెర్ట్ బుర్క్ ప్రకారం, ఇది సిద్ధాంతం యొక్క వాస్తవిక నిరూపణగా చెప్పవచ్చు; అతను మరింత చెబుతూ, పైథాగరస్ భారతదేశంలోని అరక్కోణాన్ని సందర్శించి, దాని నకలు చేశాడని పేర్కొన్నాడు.
సాధారణంగా ఇవ్వబడే తేదీలు 569–475 BCలో పైథాగరస్ యుక్లిడ్‌పై ప్రోక్లోస్ వ్యాఖ్యానం ప్రకారం పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌ను రూపొందించడానికి బీజగణిత శాస్త్ర పద్ధతులను ఉపయోగించాడు. అయితే ప్రోక్లోస్ 410 మరియు 485 AD మధ్య వ్రాశాడు. సర్ థామస్ L. హీత్ ప్రకారం, పైథాగరస్ జీవనం తర్వాత ఐదు సంవత్సరాలు వరకు పైథాగరస్‌కు ఆ సిద్ధాంతం కేటాయించలేదు. అయితే, ప్లుటార్చ్ మరియు సిసెరో వంటి రచయితలు ఈ సిద్ధాంతాన్ని పైథాగరస్‌కు కేటాయించినప్పుడు, వారు ఆ కేటాయింపు విస్తృత వ్యాప్తి చెందినదిగా మరియు ఎటువంటి సంశయం లేనిదిగా సూచించారు.
400 BC కాలంలో, ప్రోక్లోస్ ప్రకారం, ప్లాటో బీజ గణితం మరియు జ్యామితీలను కలిపి పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్‌ను కనుగొనడానికి ఒక పద్ధతిని అందించాడు. దాదాపు 300 BC కాలంలో, యుక్లిడ్ "ఎలిమెంట్స్‌"లో, సిద్ధాంతం యొక్క పురాతన సజీవ సిద్ధాంతాలతో కూడిన నిరూపణ ఉంది.
500 BC మరియు 200 AD మధ్యకాలంలో వ్రాయబడిన, చైనీస్ పాఠం "చౌ పెయి సుయాన్ చింగ్" (周髀算经), ("గ్నోమోన్ యొక్క అంక గణిత ప్రామాణిక గ్రంథం మరియు ది సర్క్యూలర్ పాథ్స్ ఆఫ్ హెవెన్" ) పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి ఒక దృశ్యమాన నిరూపణను కలిగి ఉంది - దీన్ని చైనాలో (3, 4, 5) త్రిభుజానికి "గూగు సిద్ధాంతం" (勾股定理) వలె పిలుస్తారు. 202 BC నుండి 220 AD వరకు హాన్ రాజవంశ సమయంలో, "ది నైన్ చాప్టెర్స్ ఆన్ ది మ్యాథమెటికల్ ఆర్ట్‌"లో లంబ కోణ త్రిభుజాలతో పైథాగరియన్ ట్రిపుల్స్ కనిపించాయి.
మొట్టమొదటిసారిగా చైనాలో (దీనిని ఇక్కడ ప్రత్యామ్నాయంగా "షాంగ్ గాయో సిద్ధాంతం" (商高定理) అని పిలుస్తారు, ఈ పేరు జూయు యొక్క డ్యూక్ జ్యోతిష్కుడు పేరు నుండి తీసుకోబడింది మరియు గణిత శాస్త్ర సేకరణ జోయు బి సుయాన్ జింగ్‌లో నిర్వచించబడింది) మరియు భాస్కర సిద్ధాంతం అనే పేరుతో భారతదేశంలో ఉపయోగించినట్లు నమోదు చేయబడింది.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఒకసారి కనుగొనబడిందా లేదా పలు సార్లు కనుగొనబడిందా అనే విషయంపై పలు వాదనలు ఉన్నాయి. బోయెర్ (1991) సులబా సూత్రాస్‌లో కనుగొనబడిన మూలకాలు మెసోపోటామియాన్ ఉత్పత్తి అయ్యి ఉండవచ్చని భావించాడు.
పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం చరిత్ర పరంగా పలు ప్రసార మాధ్యమాల్లో సూచించబడింది.
!" స్కేర్‌క్రో ప్రదర్శించిన "పరిజ్ఞానం" సరైనది కాదు. ఖచ్ఛితమైన ప్రకటన ఏమిటంటే "ఒక లంబ కోణ త్రిభుజం భుజాల వర్గం మొత్తం మిగిలిన భుజం వర్గానికి సమానంగా ఉంటుంది."
!" (వర్గమూలాల గురించి వ్యాఖ్య సరి చేయబడకుండా అలాగే మిగిలిపోయింది.)