అనిష్ప సంఖ్య
గణితశాస్త్రంలో, అనిష్ప సంఖ్య అనేది భిన్నం "p" /"q"గా వ్యక్తీకరించబడని ఏదైనా ఒక వాస్తవ సంఖ్య, ఇక్కడ "p" మరియు "q"లు పూర్ణాంకాలు, "q" పూర్ణాంకేతరం కాబట్టి ఇది నిష్ప 
సంఖ్య{/5ion. అనియతంగా, అనిష్ప సంఖ్య సాధారణ భిన్నంగా వ్యక్తీకరించబడలేదని దీనర్థం. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీన్ని నిర్వచనంగా తీసుకోనప్పటికీ, అనిష్ప సంఖ్యలు లేక అహేతుక సంఖ్యలు ముఖ్యంగా తొలగించబడుతున్న లేదా పునరావృతమవుతున్న దశాంశాలుగా వ్యక్తీకరించబడలేవు. వాస్తవ సంఖ్యలు అగణ్యాలని (మరియు నిష్ప సంఖ్యలు గణ్యాలని) చెప్పిన కాంటర్ నిరూపణ ఫలితంగా, దాదాపు అన్ని వాస్తవ సంఖ్యలు అనిష్ప సంఖ్యలు అని చెప్పబడుతోంది. బహుశా, అనిష్ప సంఖ్యలకు చక్కటి నిదర్శనం π, e మరియు √2.
రెండు పంక్తుల విభాగాల పొడవు యొక్క నిష్పత్తి అహేతుకం కాగా, పంక్తి విభాగాలు కూడా "తారతమ్యం తెలియనివి"గా చెప్పబడుతున్నాయి, అంటే ఇవి సాధారణంగా ఏ కొలమానాన్ని పంచుకోవని దీనర్ధం. ఈ అర్థంలో ఒక పంక్తి విభాగం "I" యొక్క "కొలమానం" ఒక పంక్తి విభాగం "J", ఇది "J" యొక్క మొత్తం కాపీల సంఖ్య "I" లాగా ఒకే పొడవును చివరి దాకా ఆవరించి ఉంటుందనే అర్థంలో "I"ని "కొలుస్తుంది"
అనిష్ప లేక అహేతుక భావనను క్రీస్తు పూర్వం 7వ శతాబ్ది కాలం నుంచే భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పరిపూర్ణంగా ఆమోదించారు, ఉదాహరణకు మానవ (c. 750–690 BC) 2 మరియు 61 వంటి కొన్ని సంఖ్యల వర్గ మూలాలని కచ్చితంగా నిర్ణయించలేమని భావించాడు.
అనిష్ప సంఖ్యల ఉనికికి సంబంధించిన తొలి నిరూపణ పైథాగరియన (బహుశా మెటాపోంటమ్ నగరానికి చెందిన హిప్పాసస్‌) కి వర్తించబడుతోంది, పంచముఖ నక్షత్రం పార్శ్వాలను గుర్తిస్తున్నప్పుడు బహుశా వీటిని కనుగొని ఉంటారు.
ఈ పొడవులలో కొన్నింటిలోకి మరియు ఇతరాలలోకి సమానంగా అమరిపోయే కొన్ని చిన్న, విభజించలేని విభాగం ఒకటి తప్పనిసరిగా ఉంటుందని ఆనాటి-ప్రస్తుత పైథాగరన్ పద్ధతి పేర్కొనవచ్చు. అయితే, వాస్తవానికి సాధారణ కొలమాన విభాగం అంటూ ఏదీ లేదని, అలాంటిది ఉందన్న భావన వాస్తవానికి వైరుధ్యభరితమైందని క్రీస్తు పూర్వం 5వ శతాబ్ది నాటి హిప్పాసస్ తార్కికంగా నిర్ణయించాడు. ఒక రెండు వైపులా సమాన పొడవు కలిగిన కుడి త్రికోణం యొక్క కుడి కోణానికి ఎదురుగా ఉండే కుడి త్రికోణ పార్శ్వం నిజంగా చేతికి సమానంగా ఉన్నట్లయితే, అలాంటి కొలమానపు యూనిట్ తప్పనిసరిగా సరి, బేసిలను కలిగి ఉండాలని, ఇది అసాధ్యమని అతడు నిరూపించాడు. అతడి వాదనలోని తర్కం ఇలా ఉంటుంది:
గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈ నిష్పత్తిని కొలవలేనటువంటి ప్రమాణం "అలోగోస్" లేదా వ్యక్తీకరించలేని ప్రమాణంగా పేర్కొన్నారు. అయితే హిప్పాసస్ అతడి ప్రయత్నాలను పైకెత్తలేదు: ఒక పూర్వ గాథ ప్రకారం, అతడు తన ఆవిష్కరణను సముద్ర మీద ఉండగా కనుగొన్నాడట. “…విశ్వంలోని మొత్తం దృగంశం పూర్ణ సంఖ్యలు వాటి నిష్పత్తుల స్థాయికి కుదించవచ్చని చెప్పిన సిద్ధాంతాన్ని పూర్వపక్షం చేస్తున్న అంశాన్ని ప్రపంచానికి అందించినందుకు గాను” తన తోటి పైధాగరన్ సహచరులు అతడిని వెంటనే ఓడనుంచి తోసివేశారట. ఈ ఆవిష్కరణకు గాను హిప్పాసస్‌ను ప్రవాసానికి పంపించారని మరొక పూర్వగాథ చెబుతోంది. అయితే హిప్పాసస్‌కు ఏ గతి పట్టనప్పటికీ, అతడి ఆవిష్కరణ మాత్రం పైథాగరన్ గణిత శాస్త్రానికి పెను సమస్యను తీసుకుని వచ్చింది, సంఖ్య, జ్యామితి రెండు విడదీయరానివని, తమ సూత్రానికి ఇవి పునాది అని వారు అంతవరకు ప్రతిపాదిస్తూ వచ్చిన భావనను అది పెకిలించివేసింది.
17 వరకు పూర్ణ సంఖ్యల యొక్క కరణీయ సంఖ్యల లోని అహేతుకతను సైరీన్‌కు చెందిన థియోడొరస్ నిరూపించాడు కాని, అతడు ఉపయోగించిన బీజగణితం 17 యొక్క వర్గమూలానికి వర్తించలేకపోయినందున అతడు అక్కడే ఆగిపోయాడు.
అహేతుక మరియు సహేతుక నిష్పత్తులు రెండింటినీ పరిగణనలోకి తీసుకున్న అనురూప సూత్రాన్ని యుడోక్సస్ వృద్ధి చేసినంత వరకు అనిష్ప సంఖ్యలకు సంబంధించి దృఢమైన గణితశాస్త్ర పునాది రూపొందించబడలేదు. పరిమాణం లేదా ప్రమాణం అనేది " సంఖ్య కాదు కాని, పంక్తి విభాగాలు, కోణాలు, ప్రాంతాలు, పరిమాణాలు మరియు నిరంతరం మారుతూ ఉండే సమయం వంటి అంశాలను సూచిస్తుంది. పరిమాణాలు 4 నుంచి 5 వరకు ఉన్నవిధంగా ఒక విలువ నుంచి మరొక విలువకు మారిపోయే సంఖ్యలకు వ్యతిరేకంగా ఉంటాయి." సంఖ్యలు ఒక అతి చిన్న, విభజించలేని విభాగంతో కూడి ఉంటాయి, పరిమాణాలు అనేవి అపరిమితంగా కుదించబడతాయి. ఎందుకంటే పరిమాణాలకు ఎలాంటి పరిమాణాత్మక విలువలు కేటాయించబడవు. అప్పుడు యుడోక్సస్, రెండు నిష్పత్తుల మధ్య సమానత్వం లాగా, ఒక నిష్పత్తిని దాని పరిమాణం మరియు నిష్పత్తి రెండింటితో నిర్వచించడం ద్వారా కొలువదగిన, కొలువలేని నిష్పత్తులను రెండింటినీ పరిగణనలోకి తీసుకోగలిగాడు. పరిమాణాత్మక విలువలను (సంఖ్యలు) సమీకరణ నుంచి తీసివేయడం ద్వారా, అతడు అనిష్ప సంఖ్యను సంఖ్యగా వ్యక్తీకరించే ప్రమాదం నుంచి తప్పించుకున్నాడు. “యుడోక్సస్' సిద్ధాంతం, కొలువలేని నిష్పత్తులకు సంబంధించి తార్కిక పునాదిని అందించడం ద్వారా గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు జ్యామితి శాస్త్రంలో అద్భుతమైన ప్రగతిని సాధించడానికి చక్కగా ఉపకరించింది." యూక్లిడ్' రచించిన "ఎలిమెంట్స్" బుక్ 10 అనిష్ప పరిమాణాల వర్గీకరణకు అంకితమైంది.
మధ్య యుగాలలో, అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల ద్వారా వృద్ధి చేయబడిన బీజగణితం అనిష్ప సంఖ్యలను "బీజగణిత అంశాలు"గా లెక్కించడాన్ని అనుమతించింది. అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు "సంఖ్య" మరియు "పరిమాణం" భావనలను వాస్తవ సంఖ్యలకు సంబంధించిన సాధారణ భావనలో కలిపివేశారు, యూక్లిడ్ నిష్పత్తుల భావనను వీరు విమర్శించి, మిశ్రమ నిష్పత్తుల సిద్ధాంతాన్ని వృద్ధి చేశారు మరియు సంఖ్యా భావనను నిరంతర పరిమాణ నిష్పత్తులకు పొడిగించారు. ఎలిమెంట్స్ బుక్ 10పై పర్షియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్-మహాని (d. 874/884) చేసిన వ్యాఖ్యలో, వర్గ అనిష్పాలు మరియు క్యూబిక్ అనిష్పాలను పరిశీలించి, వర్గీకరించాడు. ఇతడు నిష్ప మరియు అనిష్ప పరిమాణాలకు నిర్వచనాలను అందించాడు, వీటిని తను అనిష్ప సంఖ్యలుగా గుర్తించాడు. ఇతడు వీటిని స్వేచ్ఛగా పరిశీలించాడు కాని, కింద సూచించిన విధంగా వాటిని జ్యామితీ నియమాలతో వివరించాడు:
పరిమాణాలను పంక్తులుగా పేర్కొన్న యూక్లిడ్ భావనకు భిన్నంగా, అల్-మహాని పూర్ణాంకాలును, భిన్నాలను సహేతుక పరిమాణాలుగా, వర్గ మూలాలు మరియు ఘన వర్గాలను అహేతుక పరిమాణాలుగా గుర్తించాడు. ఇతడు అనిష్ప లేదా అహేతుకత భావాన్ని అంకగణితపరమైన దృష్టితో పరిచయం చేశాడు, ఎందుకంటే అతడు కింది అహేతుక పరిమాణాలను అనుసరించాడు:
ఈజిప్ట్‌కి చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అబు కమాల్ షూజా ఇబిన్ అస్లామ్ (c. 850–930) అనిష్ప సంఖ్యలను వర్గ సమీకరణలకు పరిష్కారాలుగా లేదా సమీకరణలో గుణకాలుగా ఆమోదించిన మొట్టమొదటి వ్యక్తి. ఇవి తరచుగా వర్గమూలాల రూపంలో, ఘన రూపాల్లో మరియు ఫోర్త్ రూట్‌ల రూపంలో ఉంటాయి. 10వ శతాబ్దంలో, ఇరాకీ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్ హషిమి అనిష్ప సంఖ్యలకు సాధారణ ప్రమాణాలు (జ్యామితీయ ప్రమాణాలకు కాకుండా) అందించాడు, ఎందుకంటే ఇతడు గుణకం, భాగహారం ఇతర అంకగణిత చర్యలను గుర్తించాడు. అబు జాఫర్ అల్-ఖాజిన్ (900–971) నిర్దిష్టమైన పరిమాణంగా ప్రతిపాదిస్తూ సహేతుక, అహేతుక పరిమాణాలకు నిర్వచనం అందించాడు:
ఈ భావనలలో చాలావాటికి 12వ శతాబ్దిలో లాటిన్ అనువాదాలు వచ్చాక యూరోపియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఎట్టకేలకు ఆమోదించారు. (ఉత్తర ఆఫ్రికా) లోని మాఘ్రెబ్ ప్రాంతానికి చెందిన అరబ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్ హస్సార్ 12వ శతాబ్దంలో ఇస్లామిక్ వారసత్వ చట్టంపై ప్రత్యేక కృషి చేశాడు, ఇతడు భిన్నాలకు ఆధునిక సంకేత గణిత శాస్త్ర సంజ్ఞామానంని వృద్ధి చేశాడు, దీనిలో లవం మరియు హారం ఒక అడ్డుగీతతో వేరు చేయబడ్డాయి. భిన్నానికి సంబంధించిన ఈ సంకేతమే, తర్వాత 13వ శతాబ్దిలో ఫిబోనస్సీ కృషిలో కనిపించింది. 14 నుంచి 16 శతాబ్దాల కాలంలో, సంగమాగ్రమ మాధవ మరియు కేరళ ఖగోళ మరియు గణిత శాస్త్ర శాఖ, "pi" వంటి పలు అనిష్ప సంఖ్యలకు అపరిమిత వరుసలను మరియు త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లకు అహేతుక విలువలను కనుగొన్నారు. జ్యేష్టదేవ తన "యుక్తిభాస" రచనలో ఈ అపరిమిత వరుసలకు ప్రమాణాలను అందించాడు.
17వ శతాబ్దిలో అబ్రహామ్ డె మోవ్రె, మరియు ప్రత్యేకించి లియోన్‌హార్డ్ యులర్‌ల చేతిలో ఇమేజినరీ సంఖ్యలు శక్తివంతమైన సాధనాలుగా మారాయి. పందొమ్మిదో శతాబ్దిలో మిశ్రమ సంఖ్యల సూత్ర ముగింపు అహేతుకాల విభజనీకరణకు బీజగణితం మరియు బీజాతీత సంఖ్యలను సంక్రమింపజేసింది. బీజాతీత సంఖ్యల ఉనికి మరియు అనిష్పాల సూత్రంపై శాస్త్రీయ అధ్యయనం యొక్క పునరుజ్ఝీవనాలకు చెందిన ప్రమాణం యూక్లిడ్ కాలం నుంచి నిర్లక్ష్యం చేయబడింది. 1872లో కార్ల్ వైయర్‌స్ట్రాస్ సూత్రాలను (అతడి శిష్యులు కొసాక్), హైనె ("క్రెలె", 74), జార్గ్ కాంటర్ (అన్నాలెన్, 5), మరియు రిచ్చర్డ్ డెడెకిండ్ ప్రచురించారు. హైనె వదిలిపెట్టిన అంశాన్నే 1869లో మెరే స్వీకరించాడు కాని, ఈ సూత్రం సాధారణంగా 1872 సంవత్సరంలోనే వెలుగులోకి వచ్చినట్లుగా ప్రస్తావించబడింది. వైవర్‌స్ట్రాస్ పద్ధతిని 1880లో సాల్వటోర్ పించెర్లె పూర్తిగా ముందుకు తీసుకు వచ్చాడు మరియు రచయిత తదుపరి రచన (1888) ద్వారా దానికి (1894) లో పాల్ టాన్నెరీ చేసిన సమ్మతి పత్రం ద్వారా డెడెకిండ్ అదనపు ప్రాధాన్యతను పొందాడు. వైయర్‌స్ట్రాస్, కాంటర్, హైనె అపరిమిత సంఖ్యలపై ఆధారపడి తమ ధియరీలను రూపొందించగా, డెడెకిండ్ వాస్తవసంఖ్యల వ్యవస్థలోని కట్ (స్కినిట్) భావనపై తన థియరీని రూపొందించాడు, ఇతడు అన్ని నిష్ప సంఖ్యలను నిర్దిష్ట లక్షణాలు కలిగిన రెండు గ్రూపులుగా విభజించాడు. ఈ సబ్జెక్ట్ వైయర్‌స్ట్రాస్, క్రొనెకెర్ (క్రెల్లె, 101), మరియు మెరే చేతుల్లో తదుపరి చేర్పులు పొందింది.
నిరంతరాయ భిన్నాలు, అనిష్ప సంఖ్యలకు సన్నిహితంగా ఉంటాయి (మరియు కాటాల్డీ, 1613 కారణంగా), యూలర్ చేతుల్లో ఇవి మరింత మెరుగు దిద్దుకున్నాయి పైగా, పందొమ్మదవ శతాబ్ది ప్రారంభంలో లాగ్రాంజె రచనల ద్వారా ఇవి ప్రాధాన్యత సంతరించుకున్నాయి. డిరిక్లెట్ కూడా జనరల్ థియరీకి జోడింపు చేశాడు, ఈ సబ్జెక్టుకు పలువురు శాస్త్రజ్ఞులు తమవైన అప్లికేషన్లను జోడించారు కూడా.
π సహేతుకంగా ఉండదని లాంబెర్ట్ (1761) లో నిరూపించాడు మరియు "n" సహేతుకమైనది అయితే ("n" = 0కానట్లయితే) "e" అహేతుకంగా ఉంటుంది. లాంబెర్ట్ ప్రమాణం తరచు అసంపూర్తి సూత్రంగా చెప్పబడుతున్నప్పటికీ, ఆధునిక మదింపు దీన్ని సంతృప్తికరంగా చెబుతూ బలపరుస్తోంది, వాస్తవానికి దాని కాలంలో ఇది అసాధారణమైన కచ్చితత్వంతో ఉండేది. బెస్సెల్–క్లిఫోర్డ్ ఫంక్షన్‌ని ప్రవేశపెట్టిన తర్వాత లెజెండ్రె (1794) πని అహేతుకమైనదని చూపించే ప్రమాణాన్ని అందించాడు, కనుక ఇది తదనుగుణంగా πని కూడా అహేతుకంగా ప్రతిపాదిస్తుంది. బీజాతీత సంఖ్యల ఉనికి మొదటి సారిగా లియోవెల్లె (1844, 1851) ద్వారా ప్రతిపాదించబడింది. తరువాత, జార్జ్ కాంటర్ (1873) లో మరొక భిన్నమైన పద్ధతిలో వీటి ఉనికిని అందించాడు, యధార్థాలలో ప్రతి విరామం కూడా బీజాతీత సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుందని ఇది చూపించింది. చార్లెస్ హెర్మిట్ (1873) మొదటగా "e" బీజాతీతసంఖ్యను నిరూపించాడు, మరియు ఫెర్డినాండ్ వాన్ లిండెమాన్ (1882), హెర్మిట్ నిర్ధారణలనుంచి మొదలై πకి ఆ సంఖ్యనే చూపించాడు. లిండెమాన్ నిరూపణను వైయర్‌స్ట్రాస్ (1885) మరింతగా సులభతరం చేశాడు, దీన్ని డేవిడ్ హిల్బర్ట్ (1893), మరింత మెరుగుపర్చగా, చివరగా అడోల్ఫ్ హుర్విజ్ మరియు పాల్ ఆల్బర్ట్ గోర్డాన్ ప్రాథమిక సూత్రంగా రూపొందించారు.
2 యొక్క వర్గమూలంలో తొలి సంఖ్య అనిష్పంగా రుజువు చేయబడింది మరియు ఆ కథనం అనేక నిరూపణల సంఖ్యను కలిగి ఉంది. గోల్డెన్ రేషియో తదుపరి అత్యంత ప్రసిద్ధ వర్గమూల అనిష్పం మరియు ఈ కథనంలో దాని అహేతుకతకు సంబంధంచిన సాధారణ నిరూపణ ఉంది. అన్ని వర్గేతర సహజ సంఖ్యల వర్గమూలం అహేతుకం మరియు దీనికి నిరూపణ వర్గమూల అహేతుకతలలో ఉంది.
2 యొక్క వర్గమూలపు అహేతుకత దాన్ని నిష్పంగా నిర్ధారించడం, మరియు ఒక వైరుధ్యాన్ని సాధారణీకరించడం ద్వారా నిరూపించవచ్చు, ఇది రిడక్టియో యాడ్ అబ్సర్డమ్ ద్వారా వాదన అని పిలువబడుతుంది. ఒక బేసి పూర్ణాంకపు వర్గమూలం ఎల్లప్పడూ బేసి సంఖ్యగానే ఉంటుందనే వాస్తవానికి కింది వాదన రెండు సార్లు అప్పీల్ చేస్తుంది.
√2 సహేతుకం అయినట్లయితే అది పూర్ణాంకాలైన "m", "n" లకు "m/n" రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది తప్ప రెండింటి రూపాలను కాదు. తరువాత "m" = 2"n" , అందుచేత "m" సరిసంఖ్య, చెప్పండి "m" = 2"p" . అందుచేత 4"p" = 2"n" so 2"p" = "n" , కాబట్టి "n" కూడా సరి సంఖ్యే, ఇది వైరుధ్యం.
రెండు యొక్క వర్గమూలానికి పై నిరూపణను 1798లో గాస్ నిరూపించిన అంకగణితం యొక్క ప్రాథమిక థీరమ్‌‌ను ఉపయోగించి సాధారణీకరించవచ్చు. ప్రతి పూర్ణాంకం ప్రధానాంకంలో విశిష్ట ఫ్యాక్టరైజేషన్ కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా, ఒక నిష్ప సంఖ్య పూర్ణాంకం కానట్లయితే, అప్పుడు దానిలోని ఏ సమగ్ర శక్తి కూడా పూర్ణాంకం కాలేదు, తక్కువ ప్రమాణాలలో హారంలో తప్పక ఒక ప్రధానాంకం ఉంటుంది, ఒక్కో పవర్‌ని పెంచినప్పుడల్లా ఇది లవంగా విభజించబడదు. అందుచేత, ఒక పూర్ణాంకం మరొక పూర్ణాంకం యొక్క సరైన "k" పవర్ కానట్లయితే, అప్పుడు దాని "k" వర్గమూలం అనిష్పంగా ఉంటుంది.
బహుశా అతి సులభంగా అనిష్పంగా నిరూపించబడిన సంఖ్యలు కొంతవరకు సంవర్గమానాలుగా ఉంటాయి. ఇక్కడ రిడక్టో యాడ్ అబ్సర్డమ్ ద్వారా నిరూపణ ఉంది, దీని ప్రకారం అంశ 3 అనిష్పం. ఈ అంశం 3 ≈ 1.58 > 0 అని గుర్తించండి
అంశం 3 నిష్పమని గుర్తించండి. సానుకూల పూర్ణాంకాలు "m" మరియు "n" కోసం మనం కలిగి ఉన్నాము
ఇది ఇలా మొదలవుతుంది
అయితే, ఏదైనా సానుకూల పూర్ణాంక శక్తిగా పెంచబడిన 2 సంఖ్య తప్పనిసరిగా సరి సంఖ్యగానే ఉంటుంది (ఎందుకంటే ఇది 2 చేత విభజించబడుతుంది) మరియు సానుకూల పూర్ణాంక శక్తిగా పెంచబడిన 3 సంఖ్య తప్పనిసరిగా బేసి సంఖ్యగానే ఉంటుంది (ఎందుకంటే దాని ప్రధానాంశాలు 2గా ఉంటాయి.) స్పష్టంగానే, ఒక పూర్ణాంకం ఒకే సమయంలో సరిసంఖ్యగానూ, బేసి సంఖ్యగానూ ఉండదు: మనకు ఇక్కడ ఒక వైరుధ్యం ఉంది. మనం ఇక్కడ తీసుకున్న ఏకైక భావన ఏదంటే, అంశం 3 సహేతుకం (మరియు పూర్ణాంకాల లబ్దంతో వ్యక్తీకరించబడుతుంది. "m" /"n"లు "n" ≠ 0) వ్యతిక్రమం అంటే ఈ భావన తప్పక అబద్ధం అని అర్థం, ఉదా. అంశం 3 అనిష్పం. మరియు ఇది పూర్ణాంకాల లబ్దంతో ఎన్నటికీ వ్యక్తీకరించబడదు "m" /"n" with "n" ≠ 0.
అంశం 2 వంటి సందర్భాలు ఒకే విధంగా వ్యవహరింబడవు.
దాదాపు అన్ని అనిష్ప సంఖ్యలూ బీజాతీత సంఖ్యలు మరియు అన్ని బీజాతీత సంఖ్యలు అనిష్పాలు: బీజాతీత సంఖ్యలపై కథనం పలు ఉదాహరణలను ఇస్తుంది. "r" ≠ 0 నిష్పమయితే, "e" and π అనిష్పాలు; "e" అనిష్పం.
అనిష్ప సంఖ్యలను నిర్మించే మరొక పద్ధతి అనిష్ప బీజగణిత సంఖ్యలు, ఉదా. పూర్ణాంక లబ్దాలతో కూడిన బహుపద గణిత సమాసాలు: లబ్దాలు
"a" పూర్ణాంకాలుగా ఉన్న చోట బహుపద గణిత సమీకరణంతో ప్రారంభమవుతుంది. ఒకవేళ ఇక్కడ "p" ("x" ) = 0 తో కూడిన వాస్తవ సంఖ్య "x" ఉందని మీకు తెలిసినట్లయితే, (ఉదాహరణకు "n" బేసి సంఖ్యగా, "a" పూర్ణేతరంగా ఉంటున్నట్లయితే, అప్పుడు మధ్యంతర థీరమ్ విలువగా ఉంటుంది) ఈ బహుపద గణిత సమీకరణం యొక్క ఏకైక సంభావ్య నిష్ప వర్గాలు "r" /"s"లో ఉంటాయి, "r" అనేది ఇక్కడ "a" యొక్క విభాజకంగా మరియు "s" అనేది "a" యొక్క విభాజకంగాను ఉంటుంది: అక్కడ అనంతంగా అటువంటి అనేక కేండిడేట్లు ఉంటాయి, వాటిని మీరు స్వయంగా తనిఖీ చేయవచ్చు. ఒకవేళ వీటిలో ఏ ఒక్కటీ "p" యొక్క వర్గం కానట్లయితే అప్పుడు "x" అనిష్పంగా ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, ఈ పద్థతి "x" = (2 + 1) అనిష్పమని చూపించడానికి ఉపయోగించబడగలదు: మనకు ("x" − 1) = 2 ఉన్నాయి, అందుచేత "x" − 2"x" − 1 = 0, వీటిలో చివరి బహుపద గణిత సమీకరణం ఎలాంటి నిష్ప వర్గాలను కలిగి లేదు (తనిఖీ చేయవలసిన ఏకైక కేండిడేట్లు ±1).
ఎందుకంటే బీజగణిత సంఖ్యలు క్షేత్రాన్ని ఏర్పరుస్తాయి, అనేక అనిష్ప సంఖ్యలు బీజాతీత మరియు బీజగణిత సంఖ్యల సమ్మేళనం నుంచి నిర్మించబడతాయి. ఉదాహరణకు 3π + 2, π + √2 మరియు "e" √3లు అనిష్ప సంఖ్యలు (మరియు బీజాతీత సంఖ్యలు కూడా).
ఒక అనిష్ప సంఖ్య యొక్క దశాంశ విస్తరణ నిష్ప సంఖ్య లాగా కాకుండా ఎన్నటికీ పునరావృతం కాదు లేదా ముగింపు కాదు.
దీన్ని చూపేందుకు, ఒకవేళ మనం పూర్ణాంకం "n"ని "m" ద్వారా విభాగించామనుకోండి (ఇక్కడ "m" పూర్ణేతరం). "n" యొక్క విభాజకానికి "m" ద్వారా దీర్ఘ విభాజకం వర్తించబడినప్పుడు, "m" రిమైండర్లు మాత్రమే సంభావ్యమవుతాయి. 0 ఒక రిమైండర్‌గా కనిపించినట్లయితే, దశాంశ విస్తరణ తొలగిపోతుంది. 0 ఎన్నటికీ సంభవించనట్లయితే, అప్పుడు క్రమసూత్ర పద్ధతి ఎలాంటి రిమైండర్‌ని ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు ఉపయోగించకుండా "m" − 1 దశలను చాలావరకు నడుపుతుంది. తర్వాత, రిమైండర్ తప్పక మళ్లీ మళ్లీ వస్తుంది, తరువాత దశాంశ విస్తరణ పునరావృతమవుతుంది.
ఇందుకు విరుద్ధంగా, ఒకవేళ మనం పునరావృత దశాంశాన్ని ఎదుర్కొన్నట్లయితే, ఇది రెండు పూర్ణాంకాల యొక్క భాగమని మనం రుజువు చేయగలము. ఉదాహరణకు:
ఇక్కడ రెపిటెండ్ పొడవు 3. మనం 10 ద్వారా హెచ్చించాము:
మనం పునరావృత భాగం యొకక్ 10 టు ది పవర్ ఆఫ్ లెంగ్త్‌తో హెచ్చించాము కాబట్టి, మనం డిజిట్లను దశాంశ బిందువుకు ఎడమ భాగం వైపుకు అనేక స్థానాలలోకి మార్చాము. కాబట్టి, 1000"A" యొక్క ఒక కోసం "A" యొక్క ఒక కొసతో సరిగ్గా సరిపోతుంది. ఇక్కడ 1000"A" and "A" రెండూ కూడా చివరలో 162ని పునరావృతం చేస్తాయి.
అందుచేత, మనం "A"ని రెండువైపుల నుండి తీసివేసినప్పుడు, 1000"A" యొక్క చివరి కొస "A" యొక్క చివరి కొసను రద్దు చేస్తుంది:
అప్పుడు
(135 అనేది 7155 మరియు 9990 యొక్క గొప్ప ఉమ్మడి విభాజకం of). ప్రత్యామ్నాయంగా, 0.5 = 1/2 అవుతున్నందున, లవాన్ని హెచ్చించడం ద్వారా మరియు హారాన్ని 2 తో హెచ్చించడం ద్వారా భిన్నాలను క్లియర్ చేయవచ్చు:
(27 అనేది 1431 మరియు 1998 యొక్క గొప్ప ఉమ్మడి విభాజకం).
బాటమ్ లైన్, 53/74 ఒక పూర్ణాంకాల శేషం మరియు అందుచేత ఇది ఒక సహేతుక సంఖ్య.
ఇక్కడ సుప్రసిద్ధ శుద్ధ ఉనికి లేదా నిర్మాణాత్మక రుజువు రాహిత్యం ఉంది:
అక్కడ రెండు అనిష్ప సంఖ్యలు "a" మరియు "b" ఉన్నాయి, వీటిలో "a" అనేది నిష్ప సంఖ్య. నిజానికి, √2 నిష్పసంఖ్య అయితే, అప్పుడు "a" = "b" = √2 తీసుకోండి. లేకపోతే, "a"ని నిష్పల సంఖ్య √2 and "b" = √2 గా తీసుకోండి. అప్పుడు "a" = (√2) = √2 = √2 =
2 అనేది నిష్ప సంఖ్య.
పై వాదన రెండు కేసుల మధ్య నిర్ణయించనప్పటికీ, √2 బీజాతీత సంఖ్య కాబట్టి అనిష్ప సంఖ్య అని గెల్ఫోండ్–స్కెనైడర్ థెరోమ్‌ని విధిస్తుంది.
π + "e" లేదా π − "e" అనిష్ప సంఖ్యా కాదా అనేది తెలియడం లేదు. నిజానికి, నాన్ జీరో పూర్ణాంకాల జంట "m" and "n" లేనే లేదు, ఇది "m" π + "ne" అనిష్ప సంఖ్య లేదా కాదు అని తెలుస్తుంది. పైగా, {π, {0}e} సెట్ Q పై బీజగణితపరంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుందా అనేది తెలియడం లేదు.
2, π, π, కాటలాన్స్ స్థిరరాశి, లేదా యూలర్-మాస్కెరోని గమ్మా స్థిరరాశి γ నిష్పల సంఖ్యలా అనేది తెలియడం లేదు.
యధార్థాలు అగణ్య సమితిగా ఏర్పడినందువల్ల,
నిష్ప సంఖ్యలు గణ్య ఉపసమితిగా ఉంటాయి, అనిష్ప సంఖ్యల
కాంప్లిమెంటరీ సెట్ గణించదగనిది.
సాధారణ (యూక్లిడీన్) దూర పంక్షన్ "d" ("x", "y" ) = |"x" − "y" | కింద, యధార్థ సంఖ్యలు మెట్రిక్ స్పేస్ మరియు అందుచేత స్థల వర్ణణాత్మక స్పేస్‌ కూడా. యూక్లిడియన్ డిస్టెన్స్ ఫంక్షన్‌ని నిరోధించడం అనేది అనిష్ప సంఖ్యలకు మెట్రిక్ స్పేస్ రూపం ఇస్తుంది. అనిష్ప సంఖ్యల సబ్‌స్పేస్ మూయబడనందున,
పొందుపర్చబడిన మెట్రిక్ పూర్తి కాలేదు. అయితే, G-డెల్టా సెట్‌—i.e.గా ఉన్నందున, ఒక కంప్లీట్ మెట్రిక్ స్పేస్ లోని బహిరంగ సబ్ సెట్‌ల గణించదగిన ఖండనరేఖ, అనిష్ప సంఖ్యల స్పేస్ అనేది స్థల వర్ణనాత్మక సంపూర్తిగా ఉంటుంది: అంటే, ఏ అనిష్పసంఖ్యలు పూర్తవుతాయనే దానికి అనుగుణంగాయూక్లిడియన్ మెట్రిక్ యొక్క నిరోధంగా అదే స్థల వర్ణనశాస్రంతో పాటు అనిష్పసంఖ్యలలో మెట్రిక్ ఉంది. G-డెల్టా సెట్‌ల గురించి పైన చెప్పబడిన సత్యం గురించి తెలుసుకోకుండానే ఎవరైనా దీన్ని చూడవచ్చు: ఒక అనిష్ప సంఖ్య యొక్క కొనసాగించబడిన భిన్నం విస్తరణ అనేది, అనిష్ప సంఖ్యల స్పేస్ నుంచి అన్ని సానుకూల పూర్ణాంకాల వరుసల వరకు హోమియోమోర్ఫిజంని నిర్ణయిస్తుంది, దీన్ని పూర్తి మెట్రైజబుల్‌గా చూడవచ్చు.
పైగా, అన్ని అనిష్ప సంఖ్యల సెట్ ఒక డిస్‌కనెక్ట్ చేయబడిన మెట్రైజబుల్ స్పేస్‌. వాస్తవానికి, అనిష్పసంఖ్యలనేవి క్లోపెన్ సెట్లకు ప్రాతిపదికను కలిగి ఉంటుంది కాబట్టి స్పేస్ ఒక జీరో-డైమెన్షనల్.