ప్రధాన సంఖ్యలలో జంటలు
ప్రధాన సంఖ్యలలో జంటలు
ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అనేవి 1 చేత గాని, తమ చేతే కాని మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగించడానికి లొంగేవి అని నిర్వచనం. (లేదా, ఒకటి తప్ప మరి యే ఇతర సంఖ్య చేతను తెగని సంఖ్యలు.) ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..., వగైరాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలే. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యలకి భాజకాలు (divisors) లేవు. ఈ నిర్వచనంతో సరి సంఖ్యలు (2 తప్ప) ప్రధాన సంఖ్యలు కావు. అదే విధంగా 3 చేత, 4 చేత, 5 చేత, ..., భాగించబడేవి ఏవీ ప్రధాన సంఖ్యలు కాజాలవు. ఇలా మినహాయించుకుంటూ పోగా మిగిలేవే ప్రధాన సంఖ్యలు.
వీటి గురించి పురాతన కాలంలో గ్రీకులకి తెలుసు. పైథాగరస్ (Pythagoras) కాలంలో (క్రీ. పూ. 500 – 300) వీటికి ఒక రకం పవిత్రత అంటగట్టేరు. యూక్లిడ్ రోజుల నాటికి (క్రీ. పూ. 300) ప్రధాన సంఖ్యల గురించి మనకి ఎన్నో విషయాలు తెలిసిపోయాయి. యూక్లిడ్ తన “ఎలిమెంట్స్” తొమ్మిదవ పుస్తకంలో ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయని ఋజువు చేసేడు. యూక్లిడ్ అంకగణితానికి మూల స్తంభం అనదగ్గ మరొక సిద్ధాంతాన్ని కూడా ఋజువు చేసేడు: ప్రతి పూర్ణాంకాన్ని (1 ని మినహాయించి) ఏకైక ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం (product) గా రాయవచ్చు. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3. మరొక ఉదాహరణ 42 = 2 x 3 x 7. కాని 60 కి 2, 3, 10 ప్రధాన కారణాంకాలు కావు. కానీ 60 ని కూడా ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చు: 60 = 2 x 2 x 3 x 5. నిజానికి “ఏ పూర్ణ సంఖ్యని అయినా సరే కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా రాయవచ్చు” అని ఋజువు చెయ్యవచ్చు.
రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని – ఎంత పెద్దవైనా సరే – కనుక్కోవడం పెద్ద కష్టం కాదు కాని, ఒక సంఖ్యకి ప్రధాన సంఖ్యలయిన కారణాంకాలు (prime factors) కనుక్కోవడం చాల కష్టం. అంతర్జాలంలో వార్తలని సురక్షితంగా పంపడానికి ఈ లక్షణం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. వివరాలు చెప్పుకుంటూ పోతే దారి తప్పుతాం. ప్రధాన సంఖ్యలు మన జీవితంలో ఉపయోగపడే సందర్భం ఇదొకటి అని చెప్పుకోడానికి ఉదాహరణగా ఈ విషయం ప్రస్తావించవచ్చు.
క్రీ. పూ. 200 నాటికి ఇరాటోస్తనీస్ (Eratosthenes) అనే గ్రీకు ఆసామీ అంకెలన్నిటిని “ఒక జల్లెడలో వేసి జల్లిస్తే” పైన ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలే పద్ధతిని కనిపెట్టేడు. తరువాత 17 వ శతాబ్దం వచ్చే వరకు ప్రధాన సంఖ్యల గురించి కొత్త విషయాలు ఏవీ ఎవ్వరూ ఆవిష్కరించలేదు. అదొక అంధకార యుగం. తరువాత ప్రధాన సంఖ్యల దశ మళ్లా పుంజుకుంది. ఈనాటి వరకు మనకి తెలిసిన విషయాలు అన్నీ స్మరించుకుంటూ పోడానికి ఇది స్థలమూ కాదు, వేళా కాదు. కాని కొన్ని ముఖ్యమైన విషయాలని టూకీగా పరిశీలిద్దాం.
ఇప్పుడు కొన్ని ప్రత్యేకమైన ప్రధాన సంఖ్యల పేర్లు చూద్దాం. వీటి వెనక ఉండే గణిత సూత్రాలు, రుజువులు అర్థం కాకపోయినా పరవా లేదు.ఇలా సరదా కబుర్లు చాల సేపు చెప్పుకోవచ్చు.
ఒక సరళరేఖ మీద సమాన దూరాలలో చుక్కలు పెట్టి, వాటి పక్క 0, 1, 2, 3, ..., అనుకుంటూ నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని సూచించినప్పుడు దానిని "సంఖ్యా రేఖ (number line) అంటారు. ఈ సంఖ్యా రేఖ మీద ప్రధాన సంఖ్యలని, మాటవరసకి, ఎర్ర రంగులో రాసేం అనుకుందాం. అప్పుడు గీత మొదట్లో చాల ఎర్ర రంగు సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 47 అనే పదహారు సంఖ్యలు 50 కంటే చిన్నవయిన ప్రధాన సంఖ్యలు. సంఖ్యా రేఖ మీద వంద వరకు వెళితే, అంటే 1 నుండి 100 మధ్యలో, ఇరవై అయిదు ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. లెక్కించి చూసుకొండి. వెయ్యి వరకు వెళితే 168 ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. అంటే, సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపించడం పలచబడుతుంది, లేదా ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత తగ్గుతుంది. ఈ పలచబడడం గురించి ఈ దిగువ ఇచ్చిన చిన్న ఉపమానం చూడండి.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలతోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక - పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాలకోసం ఇరుగునా, పొరుగునా చూస్తే దొరకడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం “దేశాంతరాలు” దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి "గూగోల్ ప్లెక్స్" (అంటే, 10 గూగోల్ సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన సంఖ్య) దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ "గూగోల్" దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, "గూగోల్ ప్లెక్స్" అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)
ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. (The whole numbers can be produced using nothing but primes.) ఇటువంటి లక్షణాలు ఉండబట్టే ఈ క్షేత్రాన్ని దున్నుతూన్న కొద్దీ వజ్రాలు పుట్టుకొస్తున్నాయి.
ఈ వ్యాసానికి ముఖ్య కారణం చర్చించే ముందు మరొక్క సంగతి తెలుసుకుందాం. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యల తరచుదనం (frequency) లేదా సాంద్రత (density) తగ్గిపోతుంది అని కదా మొదట్లో చెప్పుకున్నాం; అంటే, వాటి మధ్య ఖాళీ లేదా మొర్రి లేదా విరామం (gap) పెరుగుతూ కనిపిస్తుంది. ఈ పెరుగుదలలో ఏదైనా ఒక బాణీ ఉందా అనేది ఆసక్తికరమైన పరిశోధనా అంశమే! ప్రస్తుతానికి ఆ విషయాన్ని కూడా పక్కకి పెట్టి మరొక సంబంధిత అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతపరంగా లెక్క కట్టినప్పుడు 360,000 చుట్టుపట్ల ఈ విరామం సగటున 12.8 “అంకెల దూరం” ఉంటుంది. (గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య "N" అయితే ఆ చుట్టుపట్ల విరామం విలువ సగటున “నేచురల్ లాగరిథం అఫ్ N,” ("ln N"), అయి ఉంటుంది.) అనగా, ఎక్కడ చూసినా ఈ సగటు విలువ కంటే ఎక్కువలు, తక్కువలు కూడా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి. ఉదాహరణకి సంఖ్యా రేఖ మీద 360,000 చుట్టుపట్ల వచ్చే ఈ ప్రధాన సంఖ్యల జంటలని ఈ దిగువ జాబితాలో చూడండి.కనుక ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏది చెప్పినా ఆషామాషీగా చెబితే కుదరదు; కొంచెం జాగ్రత్తగా చెప్పాలి.
సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయని యూక్లిడ్ ఏనాడో అన్నాడు కదా. కాని ఆయన కవల ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏమీ చెప్పలేదు. గణితశాస్త్రంలో ఒక శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) – అంటే, ఇంకా రుజువు కాని ఫలితం – ప్రకారం ఇటువంటి కవల ప్రధాన సంఖ్యలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట. ఆ మాటకొస్తే జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు, షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు..., వగైరాలు కూడా సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట.
ఇప్పుడు మే నెల 2013 లో ఈటాంగ్ జాంగ్ () ఈ దిశలో అధిరోహించిన శిఖరం గురించి తెలుసుకుందాం. ఈయన ఆవిష్కరించిన కొత్త విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా "ప్రధాన సంఖ్యలు 'వాటి మధ్య కనిపించే విరామం (gap) ఒక పరిమితమైన అవధి దాటకుండా' అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి" అని. ఎన్నిట? అనంతమైనన్ని! (ఈ ఫలితాన్ని ఇంగ్లీషులో, The number of prime pairs that are less than a bound apart is infinite అని రాయవచ్చు.) దీని సారాంశం అర్థం కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులలోకి కొద్దిగానైనా వెళ్లాలి. సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయి అన్న విషయం మనందరికీ తెలిసిన విషయమే. ఇప్పుడు జాంగ్ వచ్చి “ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే విరామం నియమితం” (bounded) అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు. ఇంకా నిర్ధిష్టంగా చెప్పాలంటే, ఆ విరామం విలువ 70,000,000 దాటదు.” (There are infinitely many pairs of prime numbers that differ by 70 million or less.) ఇది సామాన్యులకి అందుబాటు కాని విషయమే అయినా గణిత ప్రపంచంలో పతాక శీర్షిక అయి కూర్చుంది.
జాంగ్ చూపించిన దారి వెంట తర్కించుకుంటూ వెళితే మరొక ఉపయుక్తమైన ఫలితం వెంటనే దొరికింది. పైన చెప్పిన అనంతమైన శ్రేఢిలో వచ్చే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య వచ్చే విరామానికి ఒక గరిష్ఠ అధో అవధి (greatest lower bound లేదా infimum) ఉందిట. అది 70,000,000 కంటె ఖచ్చితంగా తక్కువేనట. (అనగా, ఇంగ్లీషులో చెప్పాలంటే the number of prime pairs that are less than 70 million units apart is infinite.) ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో మళ్లా చెబుతాను. p, p అనేవి ఒకదాని తరువాత మరొకటి వచ్చేవి అయిన రెండు ప్రధాన సంఖ్యలు అనుకుందాం. అప్పుడు p – p = g అనేది ఈ రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య ఉండే విరామం (gap). ఈ విరామం విలువ అనంతం కాదు అన్నది మొదటి ఫలితం. ఈ విరామం విలువ 70 మిలియన్లు కంటె తక్కువ అన్నది విశేషాంశం. ఈ సందర్భంలో ఈ 70,000,000 ని అవధి (bound) అంటారు. ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో ఈ దిగువ అసమీకరణం (inequality) ద్వారా చెప్పవచ్చు: limit as n goes to infinity of the infimum of g is less than 70 million. ఇదే విషయాన్ని సంప్రదాయిక గణిత పరిభాషలో రాసినప్పుడు ఈ దిగువ అసమీకరణంలో చూపినట్లు ఉంటుంది:
ఇప్పుడు జాంగ్ సాధించిన ఫలితాన్ని మరొక విధంగా చెప్పవచ్చు. ఒక అవధిని తీసుకొని, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రధాన జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. ఆ అవధి 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది.
గణితంలో ఇటువంటి అవధులని నిర్ణయించడం చాల ముఖ్యమైన పని. ఈ ఫలితాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని మరికొందరు ఈ అవధి (bound) ని 246 కి, తరువాత 16 కి కుదించగలిగేరు. అనగా, ఆ అవధి 16 కన్నా తక్కువ అని కూడా నిరూపించారు! అంటే ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకొన్నా, ఆ సంఖ్య కన్నా పైన – ‘16 కంటె తక్కువ దూరం ఉన్న’ ప్రధాన జంటలు మనకి దొరుకుతాయి. మరెవ్వరైనా ఈ అవధిని 2 కి కుదించగలిగితే ఎప్పటినుంచో వాడుకలో ఉన్న కవల ప్రధాన సంఖ్యల శిష్టాభిప్రాయం () నిజం అవుతుంది. ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం? కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది.
కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అని నిర్ణయం జరిగిపోతే అదే తర్కంతో జ్ఞాతులు, షష్ఠ్యంతరాలు, వగైరాలు అన్నీ కూడా అనంతమే అని రుజువు చెయ్యటం తేలిక. అంటే, మీరు ఏ సరి సంఖ్య ఇచ్చినా సరే ఆ సంఖ్య నిర్దేశించిన దూరంలో ఉండే జంట ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్న మాట!
కుతూహలం ఉన్న వారికి 2,003,663,613 × 2 − 1 and 2,003,663,613 × 2 + 1 అనేవి కవల ప్రధాన సంఖ్యలకి మరొక ఉదాహరణ. అలాగే 3,756,801,695,685 x 2 -1 and 3,756,801,695,685 x 2 -1 అనేవి కవలలకి మరొక ఉదాహరణ. ఈ కవలలలో 2,00,700 (రెండులక్షల ఏడువందలు) దశాంశ అంకెలు ఉన్నాయి!
ఇంత కథా చెప్పి జాంగ్ ఈ ఫలితాన్ని ఎలా సాధించేరో చెప్పనేలేదు కదూ? ఇరాటోస్తనీస్ () జల్లెడ వంటి సాధనాన్నే ఈయనా ఉపయోగించేరు. ఆ వివరాలు అన్నీ కావలసిన వారు ఈ దిగువ ఇచ్చిన ఆధారాలు చదవండి.
1. Maggie McKee, “First proof that infinitely many prime numbers come in pairs: Mathematician claims breakthrough towards solving centuries-old problem,” Nature: Breaking News, 14 May 2013
2. Zhang, Yitang. "Bounded gaps between primes," Annals of Mathematics (Princeton University and the Institute for Advanced Study). Retrieved August 16, 2013. http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07
3. Erica Klarreich, “Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap,” Quanta Magazine, May 19, 2013, https://www.quantamagazine.org/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/
4. Jordan Ellenberg, The Beauty of Bounded Gaps: A huge discovery about prime numbers — and what it means for the future of mathematics, Math Horizons, Sep 2013, pp 5–7, www.maa.org/mathhorizons
5. Erica Klarreich, “Mathematicians Make a Major Discovery About Prime Numbers,” Quanta Magazine, Dec 22, 2014, https://www.quantamagazine.org/
6. Alec Wilkinson, “The Pursuit of Beauty: Yitang Zhang Solves a Pure-math Mystery,” The New Yorker, Feb 2, 2015, http://www.newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
7. Twin Prime Conjecture, Encyclopedia Britannica, http://www.britannica.com/topic/twin-prime-conjecture
8. ఉపాధ్యాయుల వేంకట సత్యనారాయణ, “కచిక పదాలు,” తెలుగు వెలుగు, తానా సభల ప్రత్యేక జ్ఞాపిక, పుటలు 105-107, 1985
9. వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, "ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు," ఈమాట అంతర్జాల పత్రిక, జూలై 2015, http://eemaata.com/em/issues/201507/6980.html