దీర్ఘ చతురస్రం
యూక్లీడియన్ చదరం జ్యామితిలో, ఒక దీర్ఘచతురస్రం అనేది నాలుగు లంబ కోణాలతో ఏదైనా చతుర్భుజం. "దీర్ఘచతురస్రాకార" అనే పదాన్ని అరుదుగా ఒక చతురస్రం కాని దీర్ఘ చతురస్రాన్ని సూచించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ABCD శీర్షాలతో ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని వలె సూచించవచ్చు.
పరస్పర ఖండిత దీర్ఘచతురస్రం అని పిలవబడేది రెండు వికర్ణాలతో పాటు ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క రెండు విరుద్ధ కోణాలను కలిగి ఉన్న ఒక పరస్పర ఖండిత (స్వీయ-పరస్పరచ్ఛేదం) చతుర్భుజం. దీని కోణాలు లంబ కోణాలు కావు. గోళాకార, దీర్ఘవత్తకార మరియు అతివలయ వంటి ఇతర జ్యామితీలు సమాన పొడవు మరియు లంబ కోణాలు కాని సమాన కోణాల విరుద్ధ భుజాలతో దీర్ఘచతురస్రాలు అని పిలిచే వాటిని కలిగి ఉంటాయి.
దీర్ఘచతురస్రాలు పలు పలకల సమస్యను ఎదుర్కొంటున్నాయి, అంటే దీర్ఘచతురస్రాలచే మైదానంలో పలకలను ఉంచడం లేజా బహుభుజులతో ఒక దీర్ఘచతుర్రసానికి పలకలను పర్చడం.
ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని సమాన పొడవును మరియు ఒకదానికొకటి సమాంతరంగా ఉండే రెండు భుజాలను కలిగి ఉండే ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క ఒక ప్రత్యేక నిదర్శనంగా చెప్పవచ్చు.
ఒక దీర్ఘచతురస్రంగా కూడా పిలిచే ఒక సమాంతర చతుర్భుజాన్ని ఒక విషమ చతుర్భుజం (ఉత్తర అమెరికాలో ఒక అర్థ సమాంతర చతుర్భుజం అని పిలుస్తారు) యొక్క ఒక ప్రత్యేక నిదర్శనంగా చెప్పవచ్చు, దీనిలో కనీసం రెండు ఎదురెదురు భుజాల సమాంతరంగా ఉంటాయి.
ఒక దీర్ఘచతురస్రంగా భావించే ఒక విషమ చతుర్భుజం ఒక కుంభాకార రూపం. దీని ద్వారా గీసిన ఏదైనా సరళరేఖ (మరియు ఒక అంచు లేదా మూలకు స్పర్శాంశం కాదు) దాని సరిహద్దును తాకినప్పుడు అది రెండు సమాన భాగాలు అవుతుంది.
ఒక కుంభాకార చతుర్భుజం మరియు ఒక దీర్ఘ చతురస్రాన్ని
డె విల్లైర్స్ సులభంగా ఒక దీర్ఘ చతురస్రం అనేది ప్రతి ఎదురెదురు భుజాల జత ద్వారా సమరూప అక్షాలతో ఏదైనా చతుర్భుజంగా పేర్కొన్నాడు. ఈ వివరణ లంబ కోణ దీర్ఘ చతురస్రాలు మరియు పరస్పర విచ్ఛేదన దీర్ఘ చతురస్రాలు రెండింటినీ కలిగి ఉంది. ప్రతి ఒకటి ఒక వ్యతిరేక భుజాల జంట నుండి సమాంతరంగా మరియు సమాన దూరంలో సమతుల్య అక్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు మరొకటి ఈ భుజాలకు లంబ సమద్విఖండన రేఖ అవుతుంది, కాని పరస్పర విచ్ఛేదన దీర్ఘ చతురస్రం సందర్భంలో, మొట్టమొదటి అక్షం అది ఖండించే ఏ ఒక్క భుజానికి ఒక సమాంత అక్షం కాదు.
ప్రతి ఒక్కటి ఒక వ్యతిరేక భుజాల జంట గుండా రెండు సమరూప అక్షాలతో చతుర్భుజాలు ఒక వ్యతిరేక భుజాల జంట ద్వారా కనీసం ఒక సమరూప అక్షం కలిగిన ఉన్నత స్థాయి చతుర్భుజాలకు చెందినవి. ఈ చతుర్భుజాలు సమద్విబాహు విషమ చతుర్భుజం మరియు పరస్పర విచ్ఛేద సమద్విబాహు విషమ చతుర్భుజాన్ని (సమద్విబాహు విషమ చతుర్భుజం వలె ఒకే శీర్షిక అమరికతో పరస్పర విచ్ఛేద చతుర్భుజాలు) కలిగి ఉంటుంది.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం అనేది చక్రీయం: అన్ని మూలలు ఒకే ఒక వృత్తంలో ఉంటాయి.
ఇది సమకోణీయం: దాని అన్ని మూల కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి (ప్రతి ఒక్కటి 90 డిగ్రీలు).
ఇది ఐసోగనల్ లేదా సకర్శక శీర్షం: అన్ని మూలలు ఒకే సమరూప కక్ష్యలో ఉంటాయి.
ఇది రెండు పరావర్తన సమరూపత మరియు 2 స్థాయికి చెందిన భ్రమణ సమరూపతలను కలిగి ఉంటుంది (180° ద్వారా).
ఒక దీర్ఘచతురస్రం యొక్క ద్వంద్వ క్రమభుజి కింది పట్టికలో చూపిన విధంగ్ ఒక సమచతుర్భుజం.
రెండు వికర్ణాలు సమాన పొడవును కలిగి ఉంటాయి మరియు ఒకదానికొకటి ఖండించుకుంటాయి. ఈ రెండు లక్షణాలతో ప్రతి చతుర్భుజాన్ని దీర్ఘ చతురస్రంగా చెప్పవచ్చు.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం అనేది సరళరేఖాత్మకం: దాని భుజాలు లంబ కోణాల్లో కలుసుకుంటాయి.
ఒక చతురస్రం కాని దీర్ఘ చతురస్రం 5 డిగ్రీస్ ఆఫ్ ఫ్రీడమ్, వీటిలో స్థానం కోసం 2, భ్రమణ విన్యాసానికి ఒకటి, మొత్తం పరిమాణానికి 1 మరియు ఆకారానికి 1.
ఒకదానిలో ఒకటి సరిపోని రెండు దీర్ఘ చతురస్రాలను పోల్చదగని చతురస్రాలుగా చెప్పవచ్చు.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం formula_1 పొడవు మరియు formula_2 వెడల్పు ఉంటే
దీర్ఘ చతురస్రాల కోసం ఐసోపెరిమెట్రిక్ సిద్ధాంతం ఒక చట్టుకొలత గల అన్ని దీర్ఘ చతురస్రాల్లో చతురస్రం పెద్ద వైశాల్యాన్ని కలిగి ఉంది.
లంబ వికర్ణాలతో ఏదైనా చతుర్భుజం యొక్క భుజాల మధ్య బిందువులు ఒక చతురస్రాన్ని రూపొందిస్తాయి.
చక్రీయ చతుర్భుజాల జపనీస్ సిద్ధాంతం ఒక చక్రీయ చతుర్భుజ శీర్షాలచే గుర్తించబడే నాలుగు త్రికోణాల కేంద్రాల్లో ఒక దీర్ఘచతురస్రాన్ని రూపొందించడానికి మూడింటిని తీసుకుంటుందని పేర్కొంటుంది.
పరస్పర విచ్ఛేదన (స్వీయ-ఖంఢన) చతుర్భుజాలు రెండు వికర్ణాలతోపాటు పరస్పరం విచ్ఛేదన రహిత చతుర్భుజాల రెండు వ్యతిరేఖ భుజాలను కలిగి ఉంటాయి. అదే విధంగా, ఒక పరస్పర విచ్ఛేదన దీర్ఘ చతురస్రం అనేది రెండు వికర్ణాలతోపాటు ఒక దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క రెండు వ్యతిరేక భుజాలను కలిగి ఉన్న ఒక పరస్పర విచ్ఛేద చతుర్భుజంగా చెప్పవచ్చు. ఇది దీర్ఘ చతురస్రం వలె ఒకే శీర్షాల అమరికను కలిగి ఉంటుంది. ఇవి ఒకే ఒక శీర్షంతో రెండు సమరూప త్రికోణాలుగా కనిపిస్తాయి కాని రేఖాగణిత విభజనను ఒక శీర్షం వలె పరిగణించరు.
ఒక పరస్పర విచ్ఛేదన చతుర్భుజం కొన్నిసార్లు ఒక విల్లు ముడి లేదా సీతాకోక చిలుకతో సరిపోలుస్తారు. వక్రీకృత ఒక త్రిమితీయ దీర్ఘ చతురస్ర తీగ చట్రం ఒక విల్లు ముడి ఆకృతిని పొందగలదు. ఒక పరస్పర విచ్ఛేద దీర్ఘ చతురస్రాన్ని కొన్నిసార్లు ఒక "కోణీయ అష్టకం"గా పిలుస్తారు.
ఒక పరస్పర విచ్ఛేదన దీర్ఘ చతురస్ర అంతర్గత భాగంలోని ప్రతి త్రికోణంలో చుట్టిన క్రమాన్ని సవ్యదిశ మరియు అపసవ్యదిశ ఆధారంగా +/-1 యొక్క ఒక బహుభుజి సాంద్రత ఉండవచ్చు.
ఒక పరస్పర దీర్ఘ చతురస్రం సమకోణీయం కాదు. ఏదైనా పరస్పర విచ్ఛేద చతుర్భుజం వలె దాని అంతర్గత కోణాల మొత్తం (రెండు లఘు మరియు రెండు ప్రతివర్తిత కోణాలు) 720°.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం మరియు ఒక పరస్పర విచ్ఛేద దీర్ఘ చతురస్రాలు క్రింది లక్షణాలతో చతుర్భుజాలుగా చెప్పవచ్చు:
ఘన జ్యామితిలో, ఒక సమతలంలో (చదును) లోని ఏదైనా చిత్రం అసమాంతరంగా ఉంటుంది. ఒక వక్రీకృత దీర్ఘ చతురస్రం అనేది సమాన పొడవు గల వ్యతిరేక భుజాలు మరియు నాలుగు సమాన లఘు కోణాలతో ఒక అసమాన చతుర్భుజం. ఒక జీను ఆకార దీర్ఘ చతురస్రం అనేది దాని కేంద్రం గుండా పోతున్న ఒక సమతలం ఎగువన మరియు దిగువన ఒక సమాన దూరాన్ని మార్చే శీర్షాలతో ఒక "వక్రీకృత దీర్ఘ చతురస్రం" , ఇది దాని కేంద్రం వద్ద జీను బిందువుతో అంతర్గతం కనిపించే దాని కనిష్ట ఉపరితలానికి పేరు గుర్తించబడింది. ఈ వక్రీకృత దీర్ఘ చతురస్రం యొక్క కుంభాకార పై భాగం అనేది ఒక విసమాక్ష డిస్ఫెనోయిడ్ అని పిలిచే ఒక ప్రత్యేక చతుర్ముఖిగా చెప్పవచ్చు. ("వక్రీకృత దీర్ఘ చతురస్రం" అనే పదాన్ని 2D గ్రాఫిక్స్‌లో ఒక "మార్చే" సాధనాన్ని ఉపయోగించి ఒక దీర్ఘ చతురస విరూపణాన్ని సూచించడానికి కూడా ఉపయోగిస్తారు. దీని ఫలితంగా ఒక సమాంతర చతుర్భుజం లేదా ఒక అర్థ సమాంతర చతుర్భుజం/విషమ చతుర్భుజం ఏర్పడుతుంది.) ""
గోళీయ జ్యామితిలో, ఒక గోళాకార దీర్ఘ చతురస్రం అనేది నాలుగు అంచులు వలె పెద్ద వృత్తం యొక్క వృత్తచాపాలను గల ఒక చిత్రం, ఇవి 90 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువగా సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటుంది. వ్యతిరేక వృత్తచాపాలు సమాన పొడవును కలిగి ఉంటాయి. యుక్లీడియన్ ఘన జ్యామితిలో ఒక గోళం యొక్క ఉపరితలం అనేది దీర్ఘవృత్తాకార జ్యామితి విషయంలో నాన్-యుక్లీడియన్ ఉపరితలంగా చెప్పవచ్చు. గోళీయ జ్యామితి అనేది దీర్ఘవృత్తాకార జ్యామితి యొక్క సాధారణ రూపం.
దీర్ఘవృత్తాకార జ్యామితిలో, ఒక దీర్ఘవృత్తాకార దీర్ఘ చతురస్రం అనేది 90 డిగ్రీల కంటే ఎక్కువగా సమాన కోణాలను కలిగి ఉన్న దీర్ఘ వృత్తాకార చాపాల నాలుగు అంచుల గల దీర్ఘ వృత్తాకార సమతలంలో ఒక చిత్రం. వ్యతిరేక వృత్తచాపాలు సమాన పొడవును కలిగి ఉంటాయి.
అతివలయ జ్యామితిలో, ఒక అతివలయ దీర్ఘ చతురస్రం అనేది అతివలయ సమతలంలో ఒక చిత్రం, దీని నాలుగు అంచులు అతివలయ వృత్తచాపాలు, ఇవి 90 డిగ్రీల కంటే తక్కువగా సమాన కోణాలను కలిగి ఉంటుంది. వ్యతిరేక వృత్తచాపాలు సమాన పొడవును కలిగి ఉంటాయి.
దీర్ఘ చతురస్రం అనేది ఇటుకపనిలో పలు ఆవర్తన సహసంబంధ నమూనాల్లో ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ఈ ఐసోగానల్ ఇటుకులు:
చతురస్రాలు, దీర్ఘ చతురస్రాలు లేదా త్రికోణాలతో ఇటుకలతో చేసిన ఒక దీర్ఘ చతురస్రాన్ని వరుసగా ఒక "చతురస్రాకార", "దీర్ఘ చతురస్రాకార" లేదా "త్రికోణాకార" (లేదా "త్రికోణ") దీర్ఘ చతురస్రంగా పిలుస్తారు. ఇటుకలతో నిర్మించిన దీర్ఘ చతురస్రం అనేది 
ఉపయోగించిన ఇటుకలు ఒకేలా మరియు పరిమిత సంఖ్యలో ఉండి మరియు ఏ రెండు ఇటుకలు సమాన పరిమాణంలో లేకుంటే, అది "ఖచ్చితం" అవుతుంది. ఇటువంటి రెండు ఇటుకలు సమాన పరిమాణాన్ని కలిగి ఉంటే, ఆ ఇటుక ఆకృతిని "అసంపూర్ణం"గా చెబుతారు. ఒక కచ్చితమైన (లేదా అసంపూర్ణ) త్రికోణాకార దీర్ఘ చతురస్రంలో, త్రికోణాలు లంబ త్రిభుజాలు అయ్యి ఉండాలి.
ఒక దీర్ఘ చతురస్రం ఒక పరిమిత సంఖ్యలోని అసమాన చతురస్రాలచే ఇటుకలతో అమర్చినప్పుడు మాత్రమే, అది సమాన భుజాలను కలిగి ఉంటుంది. ఇదే విధంగా ఇటుకులు అసమాన సమద్విబాహు లంబ కోణాలకు సాధ్యమవుతుంది.
సమాన దీర్ఘ చతురస్రం కాని పాలెయోమినోలచే ఎక్కువగా ఆకర్షించే ఇతర ఇటుకలతో నిర్మించిన దీర్ఘ చతురస్రాలు అన్ని భ్రమణాలు మరియు పరావర్తనాలను అనుమతిస్తాయి. ఇవి సమానమైన పాలియోబోలోల ఇటుకలతో కూడా నిర్మించబడతాయి.