పై
పై ("Pi") లేదా π అనేది చాలా ముఖ్యమైన ఒకటి. దీని విలువ సుమారుగా 3.14159.
లో ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యం, మరియు అదే వృత్తం యొక్క అర్ధ వ్యాసం యొక్క వర్గంల నిష్పత్తిని "పై" అనే గుర్తుతో సూచిస్తారు. గణితం, సైన్సు, ఇంజినీరింగ్ వంటి అనేక శాస్త్రాలలో వాడే సమీకరణాలలో "π" గుర్తు తరచు వస్తూంటుంది.
"పై" అనేది ఒక కరణీయ సంఖ్య () - అంటే రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తి లేదా 'భిన్నం' గా దానిని తెలుపలేము. తత్ఫలితంగా పై యొక్క దశాంక రూపం (decimal representation) ఎప్పటికీ ముగియదు లేదా పునరుక్తి కాదు. అంతే కాదు. అది ఒక కూడాను. అంటే పూర్ణ సంఖ్యలతో పరిమితమైన algebraic operations ద్వారా (వర్గీకరణ, వర్గమానము, కూడిక, హెచ్చవేత వంటివి) 'పై' విలువను సాధించలేము. గణిత శాస్త్రం చరిత్రలో 'పై' విలువను మరింత నిర్దిష్టంగా కనుగోవడానికి ఎన్నో ప్రయత్నాలు జరిగాయి. ఈ సంఖ్య పట్ల, దాని భావాలు, రహస్యాల పట్ల సాంస్కృతికంగా కూడా చాలా fascination నెలకొంది.
'చుట్టుకొలత'ను ఆంగ్లంలో "perimeter" అంటారు. దీనికి గ్రీకు పదం "περίμετρος". ఆ పదంలోని మొదటి అక్షరమైన πను ఈ విలువకు సంకేతంగా గణిత శాస్త్రవేత్త విలియమ్ జోన్స్ బహుశా 1706లో మొదటిగా వాడి వుండవచ్చును. తరువాత కొంత కాలానికి లియొనార్డ్ ఆయిలర్ ద్వారా ఇది బహుళ ప్రచారంలోకి వచ్చింది. దీనిని కొన్ని సందర్భాలలో వృత్త స్థిరరాశి ("circular constant") అనీ, ఆర్కిమెడీస్ స్థిరరాశి (కాని ఇది ఆర్కిమెడీస్ సంఖ్య కాదు), "లుడోల్ఫ్ సంఖ్య" అనీ కూడా ప్రస్తావిస్తారు.
పైన చెప్పినట్లుగా గ్రీకు భాషలో చుట్టుకొలతను περιφέρεια (periphery) లేదా περίμετρος (perimeter) అంటారు. ఆ పదాలలో వాడి మొదటి అక్షరం ద్వారా "పై" అనబడే π వాడుకలోకి వచ్చింది. πకి యూనీకోడ్ సంకేతం U+03C0.
, π నిర్వచనం - ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలత మరియు వ్యాసముల నిష్పత్తి:
ఇక్కడ గమనించ వలసిన విషయం ఏమిటంటే / నిష్పత్తి ఆ వృత్తంయొక్క సైజును బట్టి మారదు. వ్యాసం రెట్టింపు అయితే చుట్టుకొలత కూడా రెట్టింపు అవుతుంది. కనుక / నిష్పత్తి అదే ఉంటుంది. ఆవిలువే 'పై'. అన్ని వృత్తాలలో ఉన్న దీనికి కారణం.
మరో విధంగా 'పై' విలువను ఇలా చెప్పవచ్చును - ఒక వృత్తం యొక్క వైశాల్యానికి, ఆ వృత్తపు అర్ధవ్యాసం భుజంగా కలిగిన చతురస్రం వైశాల్యానికి ఉన్న నిష్పత్తి.:
రేఖా గణితపు యొక్క పొడవు, వైశాల్యాలతో సంబంధం లేకుండా ఇతర విధాలుగా కూడా 'పై'ను నిర్వచింపవచ్చును. ఉదాహరణకు: త్రికోణమితి ఫంక్షన్ "కొసైన్" ద్వారా. ("x") = 0 అయ్యే అతి తక్కువ ధనసంఖ్య "x"కు రెట్టింపు విలువ. 'పై' విలువను నిర్వచించే మరొకొన్ని సమీకరణాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.
π ఒక కరణీయ సంఖ్య - అంటే దానిని రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తిగా తెలుపడం సాధ్యం కాదు. ఈ విషయం 1761లో ఋజువు చేశాడు. 20వ శతాబ్దంలో integral calculus కంటే ఎక్కువ పరిజ్ఞానం లేకుండానే ఈ విషయాన్ని ఋజువు చేసే విధానం కనుగొనబడింది. వీటిలో కనుగొన్న విధానం ఎక్కువ మందికి తెలుసు. ఇలాంటిదే కాని అంతకు ముందే ఒక ఋజువు ద్వారా తెలుపబడింది.
అంతే కాకుండా π ఒక కూడాను. ఈ విషయం 1882లో ఋజువు చేశాడు. దీని అర్ధం ఏమంటే - coefficients గా కలిగిన ఏ ‌కూ π అనేది ఒక ‌గా ఉండడం జరుగదు. π యొక్క ఈ transcendence కారణంగా అది కాదు. అంటే ఏమిటి? - రేఖా గణితంలో ల ద్వారా గోయడానికి సాధ్యమైన అన్ని బిందువులూ constructible numbers. ఒక సాధ్యం కాదు. అనగా కేవలం compass మరియు straightedge లు మాత్రమే వినియోగిస్తూ ఒక వృత్తానికి సమానమైన వైశాల్యం కలిగిన చతురస్రాన్ని నిర్మించడం సాధ్యం కాదు.
π యొక్క విలువ 50 వరకు ఇలా ఉంది.:
"పై" విలువను 10 వేల కోట్ల (ట్రిలియన్ అనగా (10)) స్థానాలవరకు గుణించారు. కాని సాధారణంగా వాడే లెక్కలకు (ఉదాహరణకు వృత్తం యొక్క వైశాల్యం కనుగోవడానికి) ఒక డజను కంటే మించిన స్థానాల విలువ అవుసరపడదు. ఉదాహరణకు లో పట్టే ఎంత పెద్ద వృత్తం చుట్టుకొలతనయినా గాని 39 స్థానాల 'పై' విలువతో గనుక లెక్కిస్తే వచ్చే ఫలితంలోని అంచనాల వ్యత్యాసం యొక్క సైజు కంటే మెరుగుగా ఉంటుంది. .
π ఒక కరణీయ సంఖ్య గనుక దాని దశాంశ సంఖ్యలు ఎంతకూ ముగియవు లేదా . ఈ గుణం వల్ల 'పై' అంటే గణిత శాస్త్రజ్ఞులకూ, సామాన్యులకూ చాలా ఉత్సుకత కలుగజేస్తుంది. గడచిన కొద్ది శతాబ్దాలలో పై విలువ కనుగోవడానికీ, దాని ఇతర లక్షణాలు కనుగోవడానికీ ఎన్నో ప్రయత్నాలు జరిగాయి.
π విలువను empirical గా కొలిచే విధానం ఇది - ఒక పెద్ద వృత్తాన్ని గీడి, దాని వ్యాసాన్ని, చుట్టుకొలతను కొలవాలి. చుట్టుకొలత విలువను వ్యాసం విలువతో భాగించాలి. ఆ వచ్చే విలువే π అవుతుంది. ఎంత పెద్ద వృత్తం గీసినా, లేదా ఎంత చిన్న వృత్తం గీసినా ఈ విలువ మారకూడదు. మరొక్క రేఖా గణిత విధానాన్ని ఆర్కిమెడీస్ కనుక్కొన్నాడు. r అనే అర్ధ వ్యాసంతో ఒక వృత్తాన్ని గీయాలి. ఆ వృత్తం యొక్క వైశాల్యం కనుక్కోవాలి. ఇందుకు వృత్తం లోపల సమ బహుభుజి (Inscribed regular polygon) ని గీసి, ఆ సమభుజి వైశాల్యాన్ని కనుగొనాలి. సమభుజి యొక్క భుజాలు ఎన్ని ఎక్కువగా ఉంటే వృత్తం యొక్క వైశాల్యం అంత నిర్దిష్టంగా వస్తుందన్నమాట. ఈ వృత్తం వైశాల్యం A అనుకొందాము. అదే వృత్తం అర్ధ వ్యాసం యొక్క వర్గం (దాని పొడవుకు సమానమైన సమ చతురస్రం యొక్క వైశాల్యం) r = B అనుకోండి. ఈ "A" మరియు "B" ల యొక్క నిష్పత్తి విలువ π అవుతుంది.
రేఖా గణితంతో సంబంధం లేకుండా π విలువను కేవలం పూర్తి గణిత విధానాలలో కూడా గణించవచ్చును. కాని వీటిలో చాలా విధానాలు అర్ధం చేసుకోవడానికి త్రికోణమితి, కలన గణితంలలో గణనీయమైన పరిజ్ఞానం కావలసి వస్తుంది. కాని కొన్ని సరళమైన పద్ధతులు కూడా ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు :
ఈ సిరీస్ వ్రాయడానికి, లెక్కపెట్టడానికి అంత కష్టం కాదు గాని దాని ద్వారా π విలువ ఎందుకు వస్తుందనేది అంత తేలికగా అర్ధమయ్యే విషయం కాదు. అంతే కాకుండా, ఈ సిరీస్ చాలా నిదానంగా converge అవుతుంది. 300 terms దాకా వెళితే కూడా π విలువ రెండు దశాంశ స్థానాల వరకు కచ్చితంగా రాదు.
ఈ లీబ్నిజ్ సిరీస్ ని మొదటిగా 15వ శతాబ్దానికి చెందిన మాధవ సంఘమాగ్రమ కనుగొన్నారు. ఈయన ప్రసిద్ధ భారతదేశ ఖగోళ గణిత శాస్త్రవేత్త. వీరు లీబ్నిజ్ కంటే 300 సంవత్సరాలక్రితమే కనుగొన్నారు. కావున ఈ శ్రేణిని మాధవ - లీబ్నిజ్ సిరీస్ అనికూడా అంటారు.