ప్రస్తారణ
గణితశాస్త్రంలో, ప్రస్తారణ (పర్మ్యుటేషన్) అనే భావాన్ని కొద్దిగా భిన్నమైన అనేక అర్థాలతో ఉపయోగిస్తున్నారు, ఈ అర్థాలన్నీ వస్తువులు లేదా విలువలను ప్రస్తారించే (తారుమారు చేయడం) (ఒక క్రమ పద్ధతిలో పునరమరిక) చర్యను సూచిస్తాయి. అనియతంగా, ఒక విలువల సమితిలోని విలువలను ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమర్చడాన్ని ప్రస్తారణ అంటారు. దీని ప్రకారం {1,2,3} సమితికి ఆరు ప్రస్తారణలు ఉంటాయి, అవి [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2], మరియు [3,2,1].
బీజగణితంలో మరియు ముఖ్యంగా సమూహ సిద్ధాంతంలో, "S" అనే ఒక సమితి యొక్క ప్రస్తారణను, "S" నుంచి దానివరకు (ప్రస్తారణ సమితి) ఒక బైజక్షన్‌గా (ఉమ్మడి మూలకాలు లేని సమితిగా) నిర్వచించవచ్చు (అంటే, పటం లో "S" యొక్క ప్రతి విలువకు సరిగ్గా సమానమైన ఒక ప్రతిరూప విలువ ఉంటుంది. ఇటువంటి "f" అనే ఒక పటం "S" యొక్క పునరమరికతో అనుబంధం కలిగివుంటుంది, "S"లో ప్రతి విలువ దాని యొక్క ప్రతిరూపం "f" ("s" ) స్థానాన్ని పొందుతుంది. కాంబినేటరిక్స్ (నిర్దిష్ట ప్రమాణాలు సంతృప్తిపరిచే వస్తువుల (సాధారణంగా పరిమిత) సమితులను అధ్యయనం చేసే గణిత శాస్త్ర విభాగం)లో, ఒక పరిమిత సమితి "S" యొక్క ప్రస్తారణను దాని యొక్క మూలకాలను ఒక జాబితా రూపంలో క్రమపరచడంగా నిర్వచించవచ్చు. ఈ కోణంలో, "S" యొక్క ప్రస్తారణలు దాని యొక్క మూలకాల పునరమరిక చేత సరిగ్గా విభేదించుకుంటాయి. "S" ={1,2,3...,{0}n} వంటి ఒక ప్రాథమిక క్రమంతో ఇవ్వబడిన "S" అనే సమితికి దాదాపుగా ఈ రెండు అర్థాలను గుర్తించవచ్చు: మొదటి కోణంలో ఈ ప్రాథమిక క్రమానికి ప్రస్తారణను అమలు చేయడం ద్వారా మూలకాల యొక్క ఒక ప్రత్యామ్నాయ క్రమాన్ని పొందవచ్చు, రెండో కోణంలో కూడా ఇది ప్రస్తారణ అవుతుంది.
ప్రస్తారణ అనే పదాన్ని అరుదుగా ఒక వస్తువు లేదా దాని యొక్క ఫలితం యొక్క పునరమరిక "చర్య"ను సూచించేందుకు కూడా ఉపయోగిస్తారు. ఒక పదం యొక్క పొడిపేరును దానియొక్క పదాల ప్రస్తారణగా నిర్వచించవచ్చు లేదా "X" "Y" +7+"Y" "Z"ను "X" "Y" +"Y" "Z" +7 అనే బహుపది యొక్క ప్రస్తారణగా చెప్పవచ్చు. ప్రస్తారణ చర్యను గుర్తుల ప్రతిక్షేపణగా కూడా సూచించవచ్చు, ఉదాహరణకు "X", "Y", "Z" అనే చరరాశుల యొక్క ఒక (చక్రీయ) ప్రస్తారణ ద్వారా "X" "Y" +"Y" "Z" +7 నుంచి "Y" "Z" +"Z" "X" +7 పొందడాన్ని కూడా ప్రస్తారణగా పరిగణిస్తున్నారు. ఒక సముచిత సౌష్టవ సమూహ చర్యను పరిగణనలోకి తీసుకోవడం ద్వారా ఈ ప్రకటనలు సరైన అర్థాన్ని ఇస్తాయి.
కాంబినేటరిక్స్‌లో ప్రస్తారణ యొక్క రెండో కోణం కొన్నిసార్లు విస్తృతంగా ఉంటుంది. ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్‌లో, ప్రస్తారణలు మరియు మేళనాలు అనే పేరు రెండు సంబంధిత సమస్యలను సూచిస్తుంది, "n" మూలకాలు ఉన్న ఒక సమితి నుంచి "k" విశిష్ట మూలకాలను ఎంపిక చేసే సంభావ్యతలను లెక్కించడాన్ని ఇది సూచిస్తుంది, ఇక్కడ "k" -ప్రస్తారణలకు ఎంపిక క్రమాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటారు, అయితే "k" -మేళనాలకు మాత్రం దీనిని విస్మరిస్తారు. వాస్తవానికి "k" -ప్రస్తారణలను లెక్కించడాన్ని "k" -మేళనాలు సంఖ్యను formula_1 లెక్కించే చర్యగా మరియు ఒక సమితి ప్రస్తారణల యొక్క సంఖ్య "n" !ను లెక్కించే చర్యగా ఉపయోగిస్తారు (పైన పేర్కొన్న రెండు అర్థాల విషయంలో). అయితే "k" = "n" అయితేనే "k" -ప్రస్తారణలు అటువంటి ప్రస్తారణలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అంటే, అందుబాటులోని అన్ని మూలకాల ప్రమేయం ఉన్న ఎంపిక సందర్భంలోనే ఇది వర్తిస్తుంది. ప్రస్తారణ భావన యొక్క ఒక భిన్నమైన విస్తృత కోణంలో, "S" అనే సమితితో కాకుండా, ఒక పరిమిత బహుళసమితి "M"తో ప్రారంభించవచ్చు, దీనిలో కొన్ని విలువలు ఒకసారి కంటే ఎక్కువసార్లు ఉండవచ్చు. "M"లో పునరావృతమైన మూలకాలకు సమానమైన సంఖ్యలో మూలకాలు కలిగివున్న "M" యొక్క మూలకాల శ్రేణిని "M" యొక్క (బహుళసమితి) ప్రస్తారణగా నిర్వచించవచ్చు. అంటే "M" =[1,1,1,2,3,3]కు [3,1,2,1,1,3] అనే శ్రేణి "M" యొక్క ఒక బహుళసమితి ప్రస్తారణ అవుతుంది, [3,1,2,1,2,3,1] దాని ప్రస్తారణ కాదు.
ప్రస్తారణలు అధిక లేదా తక్కువ ఉన్నత మార్గాల్లో జరుగుతుంటాయి, దాదాపుగా అన్ని గణిత శాస్త్ర విభాగాల్లో వీటిని గుర్తించవచ్చు. ఇటువంటి క్రమాలు మరియు గుర్తించిన ఎన్ని అమరికలు ఉన్నాయో తెలుసుకునే అవసరాలను విస్మరించాలనుకున్నప్పుడు, నిర్దిష్ట పరిమిత సమితులను పరిగణలోకి తీసుకున్నప్పుడు వాటిపై వివిధ క్రమాల్లో తరచుగా ప్రస్తారణలు ఏర్పడతాయి. ఇటువంటి కారణాల వలన కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో క్రమసూత్ర పట్టికల విభజన అధ్యయనంలో ప్రస్తారణలు అవసరమవతాయి. బీజగణితంలో, సౌష్టవ సమూహం భావన ద్వారా ఒక సంపూర్ణ పాఠ్యాంశం ప్రస్తారణల ప్రస్తారణల సమగ్ర అధ్యయనానికి ఉద్దేశించబడింది. దీని యొక్క నిర్మాణానికి ప్రస్తారణల కూర్పు సాధ్యత కీలకంగా ఉంది: వరుసగా రెండు ఇచ్చిన పునరమరికలను నిర్వహించడం ద్వారా, మేళనం ఒక మూడో పునరమరికను నిర్వచిస్తుంది.
"n" వస్తువుల ప్రస్తారణ సంఖ్యలను గుర్తించేందుకు ఉద్దేశించిన నియమం సుమారుగా 1150 కాలంలో హిందూ సంస్కృతిలో కనిపెట్టబడింది: భారత గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భాస్కర రాసిన "లీలావతి"లో ఈ కింద అనువదించబడిన ఉదాహరణ భాగం ఉంది ఒక అంకెతో ప్రారంభమై, సమకలనం ద్వారా పెరుగుతూ మరియు అనేక స్థానాలకు కొనసాగే అంక శ్రేణి యొక్క గుణకార లబ్దాన్ని నిర్దిష్ట అంకెలతో కూడిన సంఖ్యా భేదాలుగా సూచించవచ్చు.
1770లో మొట్టమొదటిసారి గణితశాస్త్రంతో సంబంధం లేని ప్రశ్నలపై ప్రస్తారణల సాయంతో అధ్యయనం జరిగింది, ఈ సమయంలో జోసఫ్ లూయిస్ లాగ్రాంజ్ బహుపది సమీకరణాల అధ్యయనంలో, ఒక సమీకరణ మూలాలు యొక్క ప్రస్తారణల లక్షణాలు దాని పరిష్కార సాధ్యతలతో అనుబంధం కలిగివుంటాయని గుర్తించబడింది. చివరకు దీనిని ఎవరిస్ట్ గాలోయిస్ సృష్టించిన గాలోయిస్ సిద్ధాంతంలో ఉపయోగించడం జరిగింది, ఇది రాశుల ద్వారా బహుపది సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సాధ్యాలు మరియు అసాధ్యాలకు సంబంధించిన సంపూర్ణ వర్ణనను తెలియజేస్తుంది. ఆధునిక గణితశాస్త్రంలో ఇటువంటి అనేక సారూప్య పరిస్థితులు ఉంటున్నాయి, దీనిలో ఒక సమస్యను అర్థం చేసుకునేందుకు దానికి సంబంధించిన కొన్ని ప్రస్తారణలను అధ్యయనం చేయాల్సిన అవసరం ఉంటుంది.
ప్రస్తారణ భావనను ఈ కింది సందర్భాల్లో ఉపయోగిస్తారు.
సమూహ సిద్ధాంతం మరియు సంబంధిత అంశాల్లో, అనంత సమితుల, అనియత సమితుల ప్రస్తారణలను పరిగణలోకి తీసుకుంటారు. "S" అనే ఒక సమితి యొక్క ప్రస్తారణను, "S" నుంచి ప్రస్తారణ సమితి వరకు బైజక్షన్‌గా పరిగణిస్తారు. ఇది ప్రస్తారణలను కూర్చేందుకు వీలు కల్పిస్తుంది, ఇవి ప్రస్తారణల సమూహాల నిర్వచనానికి వీలు కల్పిస్తాయి. "S" అనేది "n" మూలకాలతో కూడిన ఒక పరిమిత సమితి అయినట్లయితే, "n" ! ప్రస్తారణలు "S"కు ఉంటాయి.
కాంబినేటరిక్స్‌లో, ప్రస్తారణ అనేది సాధారణంగా ఒక పరిమిత సమితి నుంచి ప్రతి మూలకాన్ని కలిగివున్న ఒక శ్రేణిగా అర్థం చేసుకోబడుతుంది. "శ్రేణి" యొక్క భావన "సమితి" భావనకు ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది, ఒక శ్రేణి యొక్క మూలకాలు ఒక వరుసలో కనిపిస్తాయి; శ్రేణిలో మొదటి మూలకం (ఖాళీ శ్రేణి కానట్లయితే), ద్వితీయ మూలకం (శ్రేణి పొడవు 2 కంటే తక్కువగా ఉండనట్లయితే) మరియు ఇలా కొనసాగింపు ఉంటాయి. దీనికి విరుద్ధంగా, ఒక సమితిలో మూలకాలకు ఎటువంటి క్రమం ఉండదు; {1, 2, 3} మరియు {3, 2, 1}లను ఒకే సమితిని సూచించే భిన్న మార్గాలుగా చెప్పవచ్చు. ఈ కోణంలో "n" మూలకాలు గల ఒక పరిమిత సమితి "S" యొక్క ప్రస్తారణ {1, 2, ..., {0}n} నుంచి "S" (దీనిలో ఏదైనా "i"ని శ్రేణి యొక్క "i" -వ మూలకంగా గుర్తిస్తారు) వరకు లేదా "S" పై ఒక మొత్తం క్రమం యొక్క ప్రత్యామ్నాయం వరకు (శ్రేణిలో "y" కంటే ముందు "x" వచ్చినట్లయితే "x" "n" ! ప్రస్తారణలు "S"కు ఉంటాయి.
ప్రస్తారణ అనే పదానికి ఒక బలహీనమైన అర్థం కూడా ఉంది, దీనిని కొన్నిసార్లు ప్రాథమిక కాంబినేటరిక్స్ గ్రంథాల్లో ఉపయోగిస్తుంటారు, ఒకసారి కంటే ఎక్కువసార్లు కనిపించని మూలకాలు ఉన్న శ్రేణులను సూచించేందుకు, అయితే ఇచ్చిన సమితి నుంచి అన్ని మూలకాలను ఉపయోగించాల్సిన అవసరం లేకుండా ఈ అర్థాన్ని ఉపయోగిస్తున్నారు. వాస్తవానికి ఈ ఉపయోగం తరచుగా ఇచ్చిన formula_2 సమితి పరిమాణం నుంచి మూలకాల నిర్దిష్ట పొడవు "k" యొక్క శ్రేణులను పరిగణలోకి తీసుకోవడంతో ముడిపడివుంది. ఈ వస్తువులను పునరావృత్తి లేని శ్రేణులు గా కూడా గుర్తిస్తారు, ఈ పదం సాధారణంగా ఇతర ప్రస్తారణ అర్థాలతో గందరగోళాన్ని తొలగిస్తుంది. "n" పరిమాణం ఉన్న ఒక సమితిలో పునరావృత్తి లేని మూలకాల యొక్క "k" పొడవున్న శ్రేణుల సంఖ్య
ఈ సంఖ్య "n" యొక్క "k" -వ పతన క్రమగుణిత ఘాతం అవుతుంది, మరియు దీనికి అనేక ఇతర పేర్లు మరియు భావాలు ఉపయోగంలో ఉన్నాయి.
"M" అనేది ఒక పరిమిత బహుళసమితి అయితే, ఒక బహుళసమితి ప్రస్తారణ "M" యొక్క మూలకాల శ్రేణి అవుతుంది, దీనిలో సరిగ్గా "M"లో ఉన్నన్నిసార్లు మూలకాలు కనిపిస్తాయి. "M" యొక్క మూలకాల బహుత్వాలు (ఒక క్రమంలో తీసుకుంటే) formula_4, formula_5, ..., formula_6 మరియు వాటి మొత్తం (అంటే, "M" పరిమాణం) "n" అయితే, బహుపది గుణకం ద్వారా ఇవ్వబడిన "M" అనే బహుళసమితి ప్రస్తారణల సంఖ్య
సమూహ సిద్ధాంతంలో, ఆ సమితి నుంచి ప్రస్తారణ సమితిపైకి ఉన్న ఒక బైజెక్టివ్ పటం లేదా బైజెక్షన్‌ను ఒక సమితి యొక్క "ప్రస్తారణ"గా పరిగణిస్తారు. ఏదైనా ఇవ్వబడిన సమితి "S" యొక్క అన్ని ప్రస్తారణలు లబ్దంగా పటాల మేళనం మరియు తటస్థ మూలకంగా గుర్తింపుతో ఒక సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాయి. ఇది "S" యొక్క సౌష్టవ సమూహం . ఏకరూపత వరకు, ఈ సౌష్టవ సమూహం సమితి యొక్క మౌలికతపై మాత్రమే ఆధారపడుతుంది, అందువలన "S" యొక్క మూలకాల ప్రవృత్తి సమూహం యొక్క నిర్మాణానికి అసంబంధంగా ఉంటుంది. పరిమిత సమితుల విషయంలో సౌష్టవ సమూహాలను ఎక్కువగా అధ్యయనం చేస్తారు, అందువలన ఈ సందర్భంలో ఏదో ఒక సహజ సంఖ్య"n"కు "S" ={1,2...,{0}n}గా భావించవచ్చు, ఇది "n" స్థాయి సౌష్టవ సమూహాన్ని నిర్వచిస్తుంది. ఒక సౌష్టవ సమూహం యొక్క ఏదైనా ఉపసమూహాన్ని ప్రస్తారణ సమూహం గా పిలుస్తారు. వాస్తవానికి కాయ్‌లేస్ సిద్ధాంతం ద్వారా ఏదైనా సమూహం ఒక ప్రస్తారణ సమూహంతో మరియు ఒక పరిమిత సౌష్టవ సమూహం యొక్క ఉపసమూహానికి ప్రతి పరిమిత సమూహానికి ఏకరూపత కలిగివుంటుంది. అయితే, ప్రస్తారణ సమూహాలు వియుక్త సమూహాల కంటే మరింత నిర్మాణాన్ని కలిగివుంటాయి, అందువలన ఒక ప్రస్తారణ సమూహంగా ఒక సమూహం యొక్క వివిధ అనుభవాలు సమానంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు.
ఒక పరిమిత సమితి "S" యొక్క ప్రస్తారణలకు రెండు ప్రధాన సంజ్ఞామానాలు ఉన్నాయి. రెండు-వరుసల సంజ్ఞామానంలో, "S" యొక్క మూలకాలను మొదటి వరుసలో రాస్తారు, ప్రతి మూలకానికి దాని యొక్క ప్రస్తారణ ప్రతిరూపాన్ని దిగువన రెండో వరుసలో రాస్తారు. ఉదాహరణకు {1,2,3,4,5} అనే సమితి యొక్క ఒక ప్రస్తారణను ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు:
దీనర్థం ఏమిటంటే "σ" అనేది "σ" (1)=2, "σ" (2)=5, "σ" (3)=4, "σ" (4)=3, మరియు "σ" (5)=1లను సంతృప్తి పరుస్తుంది.
ప్రత్యామ్నాయంగా, చక్రీయ సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించి మనం ప్రస్తారణను రాయవచ్చు, ప్రస్తారణను వరసుగా వర్తింపజేసే ప్రభావంపై ఇది దృష్టి పెడుతుంది. ఇది (కనీసం రెండు మూలకాలు గల) ప్రస్తారణ కక్ష్యలకు అనుగుణంగా ఉన్న వలయాలు యొక్క లబ్దాన్ని ప్రస్తారణగా వ్యక్తపరుస్తుంది; ప్రత్యేకమైన కక్ష్యల్లో ఉమ్మడి మూలకాలు ఉండవు కాబట్టి, దీనిని ప్రస్తారణ యొక్క ఉమ్మడి మూలకాలులేని వలయాల వియోగంగా సూచిస్తారు. ఇది ఈ కింది విధంగా కనిచేస్తుంది: తో "S" యొక్క "x" అనే మూలకంతో ప్రారంభమైతే, శ్రేణిని "σ" పరిధిలో వరుస ప్రతిరూపాల యొక్క ("x" "σ" ("x" ) "σ" ("σ" ("x" )) ...)గా ప్రతిరూపం "x" అయ్యే వరకు రాయవచ్చు, ఈ దశలో కుండలీకరణం నిలిపివేయబడుతుంది. కింద రాసిన సమితి విలువలు "x" యొక్క కక్ష్యను ("σ పరిధిలో) నిర్మిస్తాయి, కుండలీకరణ సమాసం "σ" " యొక్క అనుగుణమైన చక్రాన్ని ఇస్తుంది. తరువాత అప్పటికే రాసిన కక్ష్యలోలేని "S" లోని "x" అనే మూలకాన్ని ఎంచుకుంటారు, తద్వారా , మరియు అనుగుణమైన చక్రాన్ని రాయవచ్చు, చక్రానికి లేదా "σ" యొక్క నిర్దిష్ట బిందువులకు చెందిన "S" యొక్క అన్ని మూలకాలను రాసేవరకు దీనిని కొనసాగిస్తారు. ప్రతి కొత్త చక్రానికి ప్రారంభ బిందువును వివిధ మార్గాల్లో గుర్తించవచ్చు కాబట్టి, సాధారణంగా ఒకే ప్రస్తారణకు అనేక వివిధ చక్రీయ సంజ్ఞామానాలు ఉన్నాయి; ఉదాహరణకు పైనపేర్కొన్న సమితిని ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు
"σ" యొక్క ("x" "x" ... "x" ) ప్రతి చక్రం దానియొక్క సొంత పరిధిలో ఒక ప్రస్తారణను సూచిస్తుంది, ఈ కక్ష్యలో "σ" మాదిరిగానే ఒకే విలువలను తీసుకుంటుంది (అందులన ఇది కు "x" నుంచి "x" వరకు, మరియు "x" to "x" లను గుర్తిస్తుంది), ఇదిలా ఉంటే "S" యొక్క అన్ని ఇతర మూలకాలను వాటికవే గుర్తిస్తుంది. కక్ష్య యొక్క పరిమాణం "l"ను చక్రం యొక్క పొడవుగా పిలుస్తారు. "σ" యొక్క ప్రత్యేక కక్ష్యలు డిజ్‌జాయింట్ (ఉమ్మడి మూలకాలు లేని సమితి)లుగా ఉంటాయి, అనుబంధ వలయాలు సులభంగా స్థానమార్పులు చెందుతాయి, మరియు "σ" వాటి వలయాల లబ్దంగా చెప్పవచ్చు (ఏ క్రమంలో తీసుకున్నా). అందువలన వలయ సంజ్ఞామానంలో వలయాల కేంద్రీకరణను ప్రస్తారణల సంవిధాన మూలార్థంగా వివరించవచ్చు, కనుక ప్రస్తారణకు పంపిణీ పేరును కూడా సూచించవచ్చు. ఈ పంపిణీ ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది: లబ్దంలో వలయాల పునరమరిక కాకుండా, ఉమ్మడి మూలకాలు లేని కక్ష్యలు ఉన్న వలయాల యొక్క లబ్దంగా "σ"ను రాసేందుకు మరే ఇతర మార్గాలు లేవు. వలయ సంజ్ఞమానం తక్కువ విలక్షణత కలిగివుంటుంది, అందువలన ప్రతి వలయాన్ని అనేక రకాలుగా రాయవచ్చు, ఉదాహరణకు పైదాన్ని తీసుకుంటే, (5 1 2) ఒకే వలయాన్ని సూచిస్తుంది, (1 2 5) (అయితే (5 2 1) ఒక భిన్నమైన ప్రస్తారణను సూచిస్తుంది).
1 పరిమాణం ఉన్న కక్ష్య ("S"లో ఒక స్థిర బిందువు "x" )కు ఎటువంటి సమానమైన వలయం ఉండదు, ఈ ప్రస్తారణ "S" యొక్క ప్రతి మూలకంతోపాటు "x"ను స్థిరపరుస్తుంది, మరోరకంగా చెప్పాలంటే "x"కు స్వతంత్రంగా ఇదే దానియొక్క గుర్తింపుగా ఉంటుంది. "x"ను "σ" గుర్తించేలా చేసేందుకు ("x" )ను "σ" యొక్క వలయ సంజ్ఞమానంలో చేర్చడం సాధ్యపడుతుంది (మరియు వలయాలు మరియు స్థిర బిందువులలో వర్ణించిన విధంగా, కాంబినేటరిక్స్‌లో కూడా ఇది ప్రమాణంగా ఉంటుంది), అయితే "σ" యొక్క పంపిణీలో (సమూహ సిద్ధాంతం) ఒక ప్రమేయానికి ఇది అనుగుణంగా ఉండదు. గుర్తింపు ప్రస్తారణను చేర్చేందుకు "వలయం" యొక్క భావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, అప్పుడు అది ఉమ్మడి మూలకాలు లేని సమితుల వలయాల్లో ఒక ప్రస్తారణ పంపిణీ యొక్క విలక్షణతను పాడుచేస్తుంది. గుర్తింపు ప్రస్తారణ యొక్క ఉమ్మడి మూలకాలు లేని వలయాల పంపిణీ ఒక ఖాళీ లబ్దంగా ఉంటుంది; దానియొక్క వలయ సంజ్ఞమానం ఖాళీగా ఉంటుంది, అందువలన "e" వంటి ఇతర సంజ్ఞామానాన్ని సాధారణంగా దీనికి బదులుగా ఉపయోగిస్తుంటారు.
పొడవు రెండుగా ఉన్న వలయాలను ట్రాన్స్‌ఫొజిషన్‌లగా పిలుస్తారు; ఇటువంటి ప్రస్తారణల్లో కేవలం రెండు మూలకాల యొక్క స్థానాలు మాత్రమే మారతాయి.
రెండు ప్రస్తారణల యొక్క లబ్దాన్ని ప్రమేయాలుగా వాటి యొక్క మిశ్రమంగా నిర్వచించవచ్చు, మరోరకంగా చెప్పాలంటే "σ" ("π" ("x" ))కు సమితి యొక్క ఏదైనా మూలంకం "x"ను గుర్తించే ప్రమేయం "σ·π" . ప్రమేయ అనువర్తనను రాసే మార్గం కాబట్టి, కుడివైపు ప్రస్తారణను మొదట వాదనకు వర్తింపజేస్తారు. కొందరు రచయితలు ఎడమవైపు ప్రమేయాన్ని మొదట వర్తింపజేయడానికి ప్రాధాన్యత ఇస్తారు, అయితే ఈ చివరకు ప్రస్తారణలను వాటి వాదనకు "కుడివైపు" రాస్తారు, ఉదాహరణకు ఒక ఘాతాంకంగా, "x" పై ఉన్న "σ"ను "x" గా రాస్తారు; తరువాత లబ్దాన్ని "x" =("x" ) ద్వారా నిర్వచిస్తారు. అయితే ఇది ప్రస్తారణలను గుణించేందుకు ఒక "భిన్నమైన" నియమాన్ని ఇస్తుంది; ఈ వ్యాసం మొదట కుడివైపు ప్రస్తారణను వర్తింపజేసిన నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తుంది.
రెండు ఉమ్మడి మూలకాలు లేని సమితుల సంవిధానం ఎల్లప్పుడు మరో ఉమ్మడి మూలకాలులేని సమితిని ఇస్తుంది కాబట్టి, రెండు ప్రస్తారణల యొక్క లబ్దం కూడా తిరిగి ఒక ప్రస్తారణ అవుతుంది. ప్రమేయ సంవిధానం ఒక అనుబంధం కాబట్టి, ప్రస్తారణలపై లబ్ద చర్య: ("σ·π" )·"ρ" ="σ" ·("π·ρ" ) అవుతుంది. అందువలన, ప్రస్తారణల లబ్దాలను సాధారణంగా కుండలీకరణలాు లేకుండా రాస్తారు; వీటిని సాధారణంగా చుక్క లేదా లబ్దాన్ని సూచించే ఇతర చిహ్నం లేకుండా కూడా రాస్తుంటారు
సమితి యొక్క ప్రతి మూలకాన్ని తనలో కలిగివుండే గుర్తింపు ప్రస్తారణ ఈ లబ్దానికి తటస్థ మూలకం అవుతుంది. రెండు-వరుసల సంజ్ఞమానంలో, గుర్తింపు
ఉమ్మడిమూలకాలు లేని సమితులు విలోమాలు కలిగివుంటాయి కాబట్టి, "σ" యొక్క ప్రస్తారణలు మరియు విలోమం "σ" తిరిగి ప్రస్తారణ అవుతుంది. స్పష్టంగా చెప్పాలంటే, "σ" ("x" )="y" అయినప్పుడల్లా, "σ" ("y" )="x" కూడా ఉంటుంది. రెండు-వరుసల సంజ్ఞామానంలో విలోమాన్ని రెండు వరుసల వినిమయం ద్వారా పొందవచ్చు (మరియు ఇచ్చిన క్రమంలో మొదటి వరుస ఉండాలనుని కోరుకుంటే, వరుసలను క్రమంలో అమర్చవచ్చు). ఉదాహరణకు
చక్రీయ సంజ్ఞామానంలో దానియొక్క విలోమాన్ని పొందేందుకు ప్రతి చక్రంలోని మూలకాల క్రమాన్ని తిరిగవేయవచ్చు.
ఒక అనుబంధ లబ్దం ఉండటం వలన, ఒక తటస్థ మూలకం మరియు దానియొక్క అన్ని మూలకాల విలోమాలు "S" యొక్క అన్ని ప్రస్తారణల సమితిని ఒక "సమూహం"గా మారుస్తాయి, దీనిని "S" యొక్క సౌష్టవ సమూహమంటారు.
ఒక పరిమిత సమితి యొక్క ప్రతి ప్రస్తారణను ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌ల (బదలాయింపుల) లబ్దంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు.
అంతేకాకుండా ఒక ఇచ్చిన ప్రస్తారణకు ఇటువంటి అనేక సమాసాలు ఉండవచ్చు, వాటిలో ఎన్నడూ సమాసాలు ఒక సరి సంఖ్యతో, ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌లు ఒక బేసి సంఖ్యతో ఉండవు. ఏదైనా అటువంటి సమాసంలో ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌ల సమానత్వం ఆధారంగా, అన్ని ప్రస్తారణలను అందువలన సరి లేదా బేసిగా వర్గీకరించవచ్చు.
ప్రస్తారణలను గుణించడాన్ని చక్రీయ సంజ్ఞామానంలో రాయవచ్చు, దీనికి సులభంగా వివరించే క్రమం ఉండదు, చక్రాల యొక్క లబ్దం ఏర్పడిన ప్రస్తారణల్లోని చక్రాల లబ్దానికి పూర్తిగా భిన్నంగా ఉంటుంది. అయితే ఒక ప్రస్తారణ "σ" మరో ప్రస్తారణ "π" ద్వారా వినిమయం చేయబడినటువంటి ప్రత్యేక సందర్భంలో చక్రీయ నిర్మాణం సంరక్షించబడుతుంది, అంటే ఏర్పడే లబ్దం "π·σ·π" . ఇక్కడ ఫలితం యొక్క చక్రీయ సంజ్ఞమానాన్ని "σ"కు చక్రీయ సంజ్ఞమానాన్ని తీసుకోవడం మరియు దానిలో అన్ని ప్రవేశాంశాలకు "π"కు వర్తింపజేయడం ద్వారా పొందవచ్చు.
కాంబినేటరిక్స్‌లో "n" మూలకాలు ఉన్న "S" అనే ఒక సమితి యొక్క ఒక ప్రస్తారణను "S" యొక్క మూలకాలను ఒక క్రమంలో (ప్రతి మూలకం ఒకసారి మాత్రమే ఉండేవిధంగా) రాయడంగా చెప్పవచ్చు. దీనిని { 1, 2, ..., {0}n } నుంచి "S" వరకు ఒక ఉమ్మడి మూలకాలు లేని సమితిగా నిర్వచించవచ్చు. { 1, 2, ..., {0}n }కు "S" సమానంగా ఉంటే ఈ నిర్వచనం సమూహ సిద్ధాంతంలో నిర్వచనానికి ఏకీభవిస్తుంది. మరింత సాధారణంగా { 1, 2, ..., {0}n }కు బదులుగా దానియొక్క ములకాల సంపూర్ణ క్రమంతో ఉన్న ఏదైనా సమితిని ఉపయోగించవచ్చు.
"S" యొక్క ఒక సంపూర్ణ క్రమాన్ని ఉపయోగించకుండా నిర్వచించదగిన మరియు ప్రస్తారణల యొక్క సమూహ సిద్ధాంత వివరణకు సంబంధించిన ఒక సంయోగ లక్షణాన్ని "σ" అనే ఒక ప్రస్తారణ యొక్క చక్రీయ నిర్మాణంగా చెప్పవచ్చు. దీనిని "n" యొక్క ఈ విభజనగా చెప్పవచ్చు, ఇది "σ" యొక్క చక్రాల పొడవును వర్ణిస్తుంది. ఇక్కడ "σ" యొక్క ప్రతి స్థిర బిందువుకు విభజనలో "1" అనే భాగం ఉంటుంది. ఎటువంటి స్థిర బిందువు లేని ఒక ప్రస్తారణను అపవిన్యాసంగా పిలుస్తారు.
అయితే ఇతర సంయోగ లక్షణాలు "S" యొక్క క్రమంతో మరియు దానితో సంబంధాన్ని ఏర్పరిచే ప్రస్తారణ మార్గంతో ప్రత్యక్ష సంబంధం కలిగివుంటాయి. ఇక్కడ అనేక రకాల ఇటువంటి లక్షణాలు ఉన్నాయి.
"n" యొక్క ఒక ప్రస్తారణ "σ" "ఆరోహణ"ను ఏదైనా "i" < "n" స్థానంగా చెప్పవచ్చు, ఇక్కడ తరువాతి విలువ ప్రస్తుత విలువ కంటే పెద్దదిగా ఉంటుంది. అది, "σ" = "σ" "σ" ..."σ" , "σ" < "σ" అయితే, "i" ఒక ఆరోహణ అవుతుంది.
ఉదాహరణకు, 3452167 అనే ప్రస్తారణకు 1,2,5,6 అనే (స్థానాల వద్ద) ఆరోహణలు ఉంటాయి.
ఇదే విధంగా, "σ" > "σ" తో "i" < "n" స్థానం ఒక అవరోహణ అవుతుంది, అందువలన formula_12తో ప్రతి "i", "σ" యొక్క ఒక ఆరోహణ లేదా అవరోహణ అవుతుంది.
"k" ఆరోహణలతో "n" యొక్క ప్రస్తారణల సంఖ్య యూలేరియన్ సంఖ్య formula_13 అవుతుంది; ఇది "k" అవరోహణలతో "n" యొక్క ప్రస్తారణల సంఖ్య అవుతుంది.
ఏ చివరకు విస్తరించలేని ప్రస్తారణ యొక్క ఒక ఖాళీగాలేని పెంపొందే సన్నిహిత క్రమాన్ని ఒక ప్రస్తారణ యొక్క "ఆరోహణ క్రమం" అంటారు; వరుస ఆరోహణల ఒక గరిష్ఠ క్రమానికి ఇది అనుగుణంగా ఉంటుంది (తరువాతి క్రమం ఖాళీగా ఉండవచ్చు: రెండు వరుస అవరోహణల మధ్య పొడవు 1 ఉండే ఒక ఆరోహణ క్రమం ఉంటుంది). దీనికి విరుద్ధంగా ఒక ప్రస్తారణ యొక్క "పెంపొందే ఉపక్రమం" దానికి సన్నిహితంగా ఉండాల్సిన అవసరం లేదు: ఇది కొన్ని స్థానాల విలువలను మినహాయించడం ద్వారా ప్రస్తారణ నుంచి పొందిన మూలకాల యొక్క ఒక పెంపొందే క్రమం.
ఉదాహరణకు, 2453167 అనే ప్రస్తారణకు 245, 3, మరియు 167 అనే ఆరోహణ క్రమాలు మరియు పెంపొందే ఉపక్రమం 2367 ఉంటాయి.
ఒక ప్రస్తారణకు "k" - 1 అవరోహణలు ఉంటే, అది తప్పనిసరిగా "k" ఆరోహణ క్రమాల యొక్క సంయోగంగా ఉంటుంది అందువలన, "k" ఆరోహణ క్రమాలు గల "n" యొక్క ప్రస్తారణల సంఖ్య "k" − 1 అవరోహణలు గల formula_14 ప్రస్తారణల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది.
ప్రస్తారణ యొక్క ప్రవేశాంశాలు వ్యతిరేక క్రమంలో, అంటే formula_15 మరియు formula_16, ఉండే స్థానాల ("i","j" ) జత "σ" ప్రస్తారణ యొక్క "విలోమం" అవుతుంది. అందువలన ఒక అవరోహణ కేవలం రెండు పక్కపక్క స్థానాల యొక్క విలోమం అవుతుంది. ఉదాహరణకు, "σ" = 23154 అనే ప్రస్తారణకు మూడు విలోమాలు ఉంటాయి: ప్రవేశాంశాల జతలు (2,1), (3,1), (5,4)లకు విలోమాలు (1,3), (2,3), (4,5),
కొన్నిసార్లు విలోమాన్ని తారుమారు చేయబడిన ("σ" ,"σ" ) విలువల జతగా నిర్వచించవచ్చు; దీని వలన విలోమాల "సంఖ్య" విషయంలో ఎటువంటి మార్పు ఉండదు, ఈ జత (విలోమం చేయబడిన) పై దృక్కోణంలో విలోమ ప్రస్తారణ "σ" కు విలోమం కూడా అవుతుంది. క్రమం బయటవున్న ఒక ప్రస్తారణ యొక్క ప్రవేశాంశాల స్థాయికి విలోమాల సంఖ్య ఒక ముఖ్యమైన ప్రమాణంగా ఉంటుంది; ఇవి "σ" మరియు "σ" కు సమానంగా ఉంటాయి. సన్నిహత మార్పిడులను వరుసగా అమలు చేయడం ద్వారా (కుడి-గుణకారం చేత) క్రమంలో "k" యొక్క విలోమాలతో (అంటే, గుర్తింపు ప్రస్తారణగా దీనిని మార్చడం) ఒక ప్రస్తారణను తీసుకురావడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యపడుతుంది, ఇటువంటి క్రియలకు "k" అనే ఒక శ్రేణి అవసరమవుతుంది. అంతేకాకుండా సన్నిహిత (ఆసన్న) మార్పులు పనిచేసేందుకు 
ఏదైనా ఆమోదయోగ్యమైన ఏదైనా ప్రత్యామ్నాయం ఏమిటంటే: "i" మరియు యొక్క బదిలీకి సంబంధించిన ప్రతి దశ ఎంపికను ఇది సంతృప్తి పరుస్తుంది, ఇక్కడ "i" అనేది ఇప్పటివరకు మార్పు చేసిన ప్రస్తారణ యొక్క ఒక అవరోహణ (అందువలన ఇతర అవరోహణలను సృష్టించినప్పటికీ, బదిలీ ఈ నిర్దిష్ట అవరోహణను తొలగిస్తుంది). ఈ పరిణామం 1 స్థాయికి విలోమాల సంఖ్యను తగ్గించే ఇటువంటి బదిలీని అమలు చేసిన కారణంగా ఏర్పడుతుంది; ఈ సంఖ్య సున్నా కాకుండా ఉన్నంతవరకు, ప్రస్తారణ గుర్తింపు ప్రస్తారణ కాదు, అందువలన దీనికి కనీసం ఒక అవరోహణ ఉంటుంది. బబుల్ సార్ట్ మరియు ఇన్సర్షన్ సార్ట్‌లను ఒక శ్రేణిని క్రమంలో అమర్చేందుకు ఈ ప్రక్రియకు ఉదాహరణలుగా చెప్పవచ్చు. అప్పుడప్పుడు ఈ ప్రక్రియ ఏదైనా ప్రస్తారణ "σ"ను పక్కపక్క ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌ల లబ్దంగా రాయడాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుంది; దీనికి అటువంటి ట్రాన్స్‌‍పొజిషన్‌ల యొక్క ఏదైనా శ్రేణిని విలోమం చేయవచ్చు, ఇది "σ"ను గుర్తింపు ప్రస్తారణగా మారుస్తుంది. వాస్తవానికి, "σ"ను గుర్తింపు ప్రస్తారణగా మార్చే పక్కపక్క ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌ల యొక్క అన్ని క్రమాలను లెక్కించడం ద్వారా "σ"ను పక్కపక్క ట్రాన్స్‌పొజిషన్‌ల లబ్దంగా రాయబడే కనీస పొడవు ఉన్న అన్ని సమాసాల యొక్క (విలోమం తరువాత) ఒక సంపూర్ణ జాబితాను పొందవచ్చు.
"k" విలోమాతో "n" అనే ప్రస్తారణల సంఖ్యను ఒక "మాహోనియన్ సంఖ్య"గా వ్యక్తీకరించవచ్చు, ఇది లబ్దం యొక్క విస్తరణలో "X" యొక్క గుణకం
దీనిని q-క్రమగుణితం ["n" ]!గా కూడా ("X" స్థానంలో "q" తీసుకోబడింది) గుర్తిస్తారు.
ఈ విభాగంలో, "S" అనే సమితి యొక్క "k" అనే ప్రస్తారణను "S" యొక్క "k" ప్రత్యేక మూలకాల క్రమపద్ధతిలో అమర్చిన క్రమంగా చెప్పవచ్చు. ఉదాహరణకు ఇచ్చిన అక్షరాల సమితి [C, E, G, I, N, R], క్రమం ICE అనేది ఒక 3-ప్రస్తారణ అవుతుంది, RING మరియు RICE 4-ప్రస్తారణలు అవతాయి, NICER మరియు REIGN 5-ప్రస్తారణలు, CRINGE 6-ప్రస్తారణ అవుతుంది; ఈ క్రమం అన్ని అక్షరాలను ఉపయోగించుకుంటుంది కాబట్టి సాధారణ సంయోగ కోణంలో ఇది ఇచ్చిన సమితి యొక్క ఒక ప్రస్తారణ అవుతుంది. మరోవైపు ENGINE అనేది ప్రస్తారణ కాదు, ఎందుకంటే దీనిలో E మరియు N అనే అక్షరాలు పునరావృతమయ్యాయి.
"n"ను "S" యొక్క పరిమాణంగా అనుకుంటే, అది ఎంపికకు అందుబాటులో ఉన్న మూలకాల సంఖ్య అవుతుంది. "k" అనే ఒక ప్రస్తారణను నిర్మించడంలో క్రమంలో మొదటి మూలకానికి "n" సంభావ్య ప్రత్యామ్నాయాలు ఉంటాయి, అందువలన ఇది 1-ప్రస్తారణల సంఖ్య అవుతుంది, ఒకసారి దీనిని ఎంచుకుంటే అప్పుడు ఇక్కడ "S" యొక్క మూలకాలు ఉంటాయి, అందువలన రెండో మూలకాన్ని మార్గాల్లో ఎంచుకోవచ్చు, అప్పుడు సంభావ్య 2-ప్రస్తారణల సంఖ్య మొత్తం "n" × ("n" − 1) అవుతుంది. క్రమంలోని ప్రతి వరుస మూలకానికి, సంభావ్యతలు ఇలా పోయోకొద్ది తగ్గిపోతాయి
"n" -ప్రస్తారణల సంఖ్యను దీని నుంచి కనుగొనవచ్చు (ఇది "S" యొక్క అన్ని మూలకాలను కలిగివుంటుంది, అందువలన "S" యొక్క ప్రస్తారణలు):
గణితశాస్త్రంలో చాలా అరుదుగా కనిపించే సంఖ్య ""n" !", దీనిని ""n" క్రమగుణితం"గా పిలుస్తారు. ఈ "n" -ప్రస్తారణలు "S" యొక్క మూలకాల పునరావృతంలేని అత్యంత పొడవైన క్రమాలు, "k" > "n" అయినప్పుడు పై సూత్రం ప్రకారం "k" -ప్రస్తారణల సంఖ్య సున్నా అవుతుంది.
"n" మూలకాల ఒక సమితి యొక్క "k" -ప్రస్తారణల సంఖ్యను కొన్నిసార్లు "P" ("n" ,"k" )గా లేదా ఇటువంటి సంజ్ఞమానంతో సూచించవచ్చు (సాధారణంగా "n" మూలకాల ఒక సమితి యొక్క "k" -సంయోగాల సంఖ్యకు సంజ్ఞామానంతో ఉంటుంది, దీనిలో ""P" " స్థానంలో ""C" " ఉంటుంది). "k" -ప్రస్తారణలను లెక్కించే సందర్భంలో మినహా, ఇతర సందర్భాల్లో ఈ సంజ్ఞామానాన్ని అరుదుగా ఉపయోగిస్తారు, అయితే సంఖ్యకు సమాసాన్ని అనేక ఇతర పరిస్థితుల్లో కూడా సృష్టించవచ్చు. "n" వద్ద ప్రారంభమవడంతోపాటు, అంచెలంచెలుగా క్షీణించే "k" ప్రమేయాల యొక్క ఒక లబ్దంగా ఉండటం వలన దీనిని "n" యొక్క "k" -వ క్షీణించే క్రమగుణిత ఘాతాంకంగా పిలుస్తారు:
పోచామ్మెర్ సంకేతంలో వివరించినట్లుగా దీనికి అనేక ఇతర పేర్లు మరియు సంజ్ఞామానాలు ఉపయోగిస్తున్నారు. "k" ≤ "n" అయినప్పుడు క్రమగుణిత ఘాతాంకాన్ని అదనపు ప్రమేయాలతో పూర్తి చేయవచ్చు: "n"  × ("n"  − "k" )! = "n" !, ఇది రాతకు అనుమతిస్తుంది
కుడిచేతివైపు "k" -ప్రస్తారణల సంఖ్య వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది, అయితే సంక్షిప్త క్రమగుణిత సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగించడం దీని అసలు ప్రయోజనం. హారంలోని అన్ని ప్రమేయాలు లవంలో కూడా ఉన్నట్లయితే, "k" ప్రమేయాల యొక్క లబ్దాన్ని మరింత పెద్ద లబ్దాల గుణకంగా వ్యక్తీకరించడం సమర్థవంతమైన విధానం కాదు; గణన యొక్క ఒక పద్ధతిగా దీనిలో అధికమైన లేదా చుట్టుముట్టే దోషాలు సంభవించే అవకాశం ఉంది. "k" > "n"గా ఉన్నప్పుడు సమాసాన్ని నిర్వచించలేమని గుర్తించుకోవాలి, ఇటువంటి సందర్భాల్లో "k" -ప్రస్తారణల యొక్క "n" సంఖ్య 0 అవుతుంది.
0 ≤ "N" < "n" !తో ఒక పూర్ణాంకం "N" ద్వారా "n" యొక్క ప్రస్తారణలను వివరించేందుకు ఒక మార్గం ఏమిటంటే, సంఖ్య మరియు ఒక క్రమాన్ని ఒక ప్రస్తారణ యొక్క సాధారణ ప్రాతినిధ్యం మధ్య మార్చేందుకు అనుకూల పద్ధతులు ఇవ్వబడ్డాయి. ఇది కక్ష్యా ప్రస్తారణల యొక్క అత్యంత సంక్షిప్త ప్రస్తారణలను ఇస్తుంది, కంప్యూటింగ్‌లో "N"ను ఒక యంత్ర పదంలో ఉంచేందుకు వీలుగా "n" చిన్నదైతే ఆకర్షణీయంగా ఉంటుంది; 32-బిట్ పదాలకు దీనర్థం "n" ≤ 12కాగా, 62-బిట్ పదాలకు దీనర్థం "n" ≤ 20 అవుతుంది. ఈ మార్పిడిని "d" , "d" , ..., "d" , "d" అనే సంఖ్య క్రమం యొక్క మధ్యంతర రూపం ద్వారా చేయవచ్చు, ఇక్కడ "d" అనేది "i" కంటే తక్కువ విలువ ఉన్న రుణాత్మకేతక పూర్ణాంకం (ఇక్కడ "d" ను మినహాయించవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది ఎల్లప్పుడూ 0గానే ఉంటుంది, అయితే ఒక ప్రస్తారణను సులభంగా వివరించేందుకు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది). సాధారణంగా క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతి లో "N" యొక్క వ్యక్తీకరణను మొదటి దశగా చెప్పవచ్చు, ఇది కేవలం "మిశ్రమ అంశ" ప్రాతినిధ్యం మాత్రమే, ఇక్కడ సంఖ్యలు "n" ! వరకు ఉంటాయి వరుస అంకెల మూలాలు "n", , ..., 2, 1. రెండో దశలో ఒక లెహ్మెర్ సంకేతం లేదా (దాదాపుగా సమానమైన) ఒక విలోమ పట్టికగా ఈ క్రమాన్ని వర్ణిస్తారు.
"σ" అనే ప్రస్తారణకు లెహ్మెర్ సంకేతం లో "d" అనే సంఖ్య మొదటి పదం "σ" కు ప్రత్యామ్నాయాన్ని సూచిస్తుంది, సంఖ్య "d" రెండో పదం యొక్క ప్రత్యామ్నాయానికి ప్రాతినిధ్యం వహిస్తుంది
సమితి యొక్క మిగిలిన మూలకాల్లోని "σ" ముందుకు వస్తుంది. సరిగ్గా చెప్పాలంటే, ప్రతి "d" అనేది "σ" కంటే తక్కువగా ఉండే "మిగిలిన" ములకాల సంఖ్యను ఇస్తుంది. "σ" అనే ఒక తరువాతి పదానికి లోబడి మిగిలిన ములకాలు ఉండాయి కాబట్టి, "d" అనే సంఖ్య ఒక చిన్న సూచికగా "i" ప్రమేయం ఉన్న ("i","j" ) "విలోమాల"ను గణిస్తుంది ("i" < "j" మరియు "σ" > "σ" అయినప్పుడు "j" విలువల సంఖ్య). "σ"కు విలోమ పట్టిక బాగా సమానంగా ఉంటుంది, అయితే ఇక్కడ "d" విలోమాల సంఖ్య ("i","j" )ను గణిస్తుంది, ఇక్కడ "k" = "σ" అనేది రెండు విలువల్లో చిన్న విలువగా విలోమ క్రమంలో కనిపిస్తుంది. "n" రోథీ పటం ద్వారా "n"తో రెండు సంకేతీకరణలను చూడవచ్చు, దీనిలో ("i","σ" ) వద్ద చుక్కలు ప్రస్తారణ యొక్క ప్రవేశాంశాలను సూచిస్తాయి, ("i","σ" ) వద్ద అడ్డగుణకార చిహ్నం విలోమం ("i","j" )ను సూచిస్తుంది; విలోమాల నిర్వచనం ద్వారా దాని యొక్క నిలువు వరసలో ("j","σ" ) చుక్కకు ముందుగా మరియు దాని యొక్క అడ్డు వరుసలో ("i","σ" ) చుక్కకు ముందుగా ఏదైనా క్రమంలో అడ్డగుణకార చిహ్నం కనిపిస్తుంది. లెహ్మెర్ సంకేతం వరుస అడ్డు వరుసలను దాటివెళ్లే సంఖ్యలను సూచిస్తుంది, ఇదిలా ఉంటే విలోమ పట్టిక వరుస నిలువు వరుసలను దాటివెళ్లే సంఖ్యలను సూచిస్తుంది; లెహ్మర్ సంకేతం విలోమ ప్రస్తారణను తెలియజేస్తుంది.
ఒక లెహ్మెర్ సంకేతం "d" , "d" , ..., "d" , "d" ను సమర్థవంతంగా ఒక క్రమపరిచిన "S" సమితి యొక్క ప్రస్తారణగా మార్చడాన్ని, "S" యొక్క మూలకాలను ఆరోహణ క్రమంలో రాయడంతో ప్రారంభించవచ్చు, "σ" సమితిలో 1 నుంచి "n"కు పెరిగే "i"కు "d" ఇతరాల ద్వారా ముందుగా జాబితాలో మూలకం వస్తుంది, ఈ ములకాన్ని జాబితా నుంచి తొలగించాలి. సదృశ ప్రస్తారణలోకి "d" , "d" , ..., "d" , "d" అనే విలోమ పట్టినను మార్చేందుకు, "d" నుంచి "d" వరకు సంఖ్యలమీదగా రావాలి, ప్రాథమికంగా ఖాళీ శ్రేణిలోకి అతిపెద్ద సంఖ్యల నుంచి చిన్నవాటి వరకు "S" యొక్క మూలకాలను చేర్చాలి; విలోమ పట్టిక నుంచి "d" సంఖ్యను ఉపయోగించడం వలన ఈ దశలో "S" నుంచి మూలకం శ్రేణిలోకి ప్రవేశపెట్టబడుతుంది, ఇక్కడ ఇది అప్పటికే ఉన్న "d" మూలకాలకు ముందుగా వస్తుంది. ప్రత్యామ్నాయంగా ప్రవేశ పట్టిక నుంచి సంఖ్యలను మరియు "S" యొక్క మూలకాలు రెండూ ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక క్రమంలో ఉండే విధంగా సంవిధానం చేయవచ్చు, "n" ఖాళీ స్థానాల అడ్డువరుసతో ప్రారంభమై, ప్రతి దశ వద్ద "S" నుంచి మూలకాన్ని ఒక ఖాళీ స్థానంలో ఉంచుతారు, ఇది ఇతర ఖాళీ స్థానాల్లో "d"కు ముందుగా ఉంటుంది.
క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతిలోకి వరుస తటస్థ సంఖ్యలను మార్చడం ద్వారా లెక్సికోగ్రాఫిక్ ఆర్డర్‌లో ఆ శ్రేణులు వస్తాయి (ఏదైనా మిశ్రమ మూల సంఖ్యా పద్ధతి సందర్భంలో మాదిరిగా), తరువాత వాటిని ప్రస్తారణలుగా మార్చడం లెక్సికోగ్రఫిక్ ఆర్డరింగ్‌ను సంరక్షిస్తుంది, అందజేసిన లెహ్మెర్ సంకేత వివరణను ఉపయోగిస్తారు (విలోమ పట్టికలను ఉపయోగించి, ఒక భిన్నమైన క్రమాన్ని పొందవచ్చు, ఇక్కడ ప్రవేశాంశాలు 1 కాకుండా మొదటి ప్రవేశాంశాల విలువ స్థానం ద్వారా ప్రస్తారణల పోల్చడం ప్రారంభిస్తారు). క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతి ప్రాతినిధ్యంలో సంఖ్యల మొత్తం ప్రస్తారణల యొక్క విలోమాల సంఖ్యను ఇస్తుంది, ఈ మొత్తం యొక్క సమానత్వం ప్రస్తారణకు సంతకాన్ని ఇస్తుంది. అంతేకాకుండా విలోమ పట్టికలో సున్నాల యొక్క స్థానాలు ఎడమ నుంచి కుడివైపుకు ప్రస్తారణ యొక్క గరిష్ఠ స్థాయిని ఇస్తాయి (ఉదాహరణ 6, 8, 9), లెహ్మెర్ సంకేతంలోని సున్నాల స్థానాలు కుడి నుంచి ఎడమకు గరిష్ఠ స్థాయిని సూచిస్తాయి (ఉదాహరణకు 1, 2, 5 విలువల యొక్క 4, 8, 9 స్థానాలు); ఇది అన్ని ప్రస్తారణల్లో ఇటువంటి గరిష్ఠ స్థాయిల యొక్క పంపిణీని లెక్కించేందుకు వీలు కల్పిస్తుంది. లెహ్మెర్ సంకేతం "d" , "d" , ..., "d" , "d" తో ఒక ప్రస్తారణలో అనే ఒక ఆరోహణ ఉంటుంది, అయితే మరియు అయినప్పుడు మాత్రమే.
కంప్యూటింగ్‌‍లో ఇచ్చిన విలువల క్రమం యొక్క ప్రస్తారణలను సృష్టించాల్సిన అవసరం రావొచ్చు. దీనిని నిర్వహించేందుకు స్వీకరించే ఉత్తమ పద్ధతులు కొన్ని, యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న, ప్రస్తారణలు లేదా ఒక నిర్దిష్ట క్రమం అవసరమైనప్పుడు అన్ని ప్రస్తారణలపై ఆధారపడివుంటుంది. ఇచ్చిన క్రమంలో ప్రవేశాంశాల మధ్య సమానత్వం సాధ్యపడుతుందా అనే మరో ప్రశ్నను కూడా పరిగణలోకి తీసుకోవాలి; సాధ్యపడితే, క్రమం యొక్క విలక్షణ బహుళసమితి ప్రస్తారణలను మాత్రమే సృష్టించాలి.
"n" యొక్క ప్రస్తారణలను సృష్టించేందుకు ఉత్తమ మార్గం లెహ్మెర్ సంకేతానికి విలువలను సృష్టించడం ("n" ! వరకు పూర్ణాంకాల క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతి ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా), వీటిని అనుగుణమైన ప్రస్తారణలుగా మార్చడం. ఇదిలా ఉంటే తరువాతి దశను, నేరుగా, అమలు చేయడం కష్టం, ఎందుకంటే దీనికి ఒక కక్ష్యా స్థానం వద్ద ఒక క్రమం నుంచి ప్రతి ఎంపిక మరియు తొలగింపు యొక్క "n" చర్యలు అవసరమవతాయి; క్రమం యొక్క స్పష్టమైన ప్రాతినిధ్యాలు ఒక విన్యాసం లేదా అనుబంధ జాబితా, మార్పిడిని నిర్వహించేందుకు రెండింటికి (వేర్వేరు కారణాలతో) "n" /4 చర్యలు అవసరమవతాయి. "n" చిన్న విలువగా ఉండేందుకు అవకాశం ఉండటంతో (ముఖ్యంగా అన్ని ప్రస్తారణల సృష్టి అవసరమైనట్లయితే) అది పెద్ద సమస్య కాబోదు, అయితే యాదృచ్ఛిక మరియు క్రమపద్ధతిలో సృష్టి రెండింటికి దీనికంటే మెరుగైన ఫలితాన్ని ఇచ్చే సులభమైన ప్రత్యామ్నాయాలు ఉన్నాయి. ఈ కారణంగా, లెహ్మెర్ సంకేతాన్ని "O" ("n" log"n" ) సమయంలో ప్రస్తారణగా మార్చేందుకు ప్రత్యేక సమాచార నిర్మాణాన్ని అమలు చేయడానికి సాధ్యమైన మార్గమైనప్పటికీ ఇది ఉపయోగకరంగా ఉండదు.
"n" విలువలు ఉన్న ఇచ్చిన క్రమం యొక్క అనిర్దిష్ట ప్రస్తారణలను సృష్టించేందుకు, శ్రేణికి క్రమరహితంగా ఎంచుకున్న "n" యొక్క ప్రస్తారణను అమలు చేయడం లేదా శ్రేణి యొక్క ప్రత్యేక (బహుళ సమితి) ప్రస్తారణల నుంచి ఒక అనిర్దిష్ట మూలకాన్ని ఎంచుకోవడం ఏదైనా ఒకే ఫలితాన్ని ఇస్తుంది. పునరావృతమయ్యే విలువల సందర్భం ద్వారా కూడా అనేక విలక్షణ "n" ప్రస్తారణలు ఉంటాయి, ఇవి ఇదే ప్రసారించే క్రమంలో ఫలిస్తాయి, ఇటువంటి ప్రస్తారణల యొక్క సంఖ్య ప్రతి సంభావ్య ఫలితానికి సమానంగా ఉంటుంది. "n" ! సంఖ్య వృద్ధి కారణంగా పెద్ద "n"కు ఆచరణ సాధ్యంకాని క్రమబద్ధమైన సృష్టి మాదిరిగా కాకుండా, అనిర్దిష్ట సృష్టికి "n" చిన్న విలువ అని భావించేందుకు ఎటువంటి కారణం కనిపించదు.
అనిర్దిష్ట ప్రస్తారణను సృష్టించేందుకు ప్రాథమిక ఆలోచన ఏమిటంటే "n" ! యొక్క అనిర్దిష్ట విలువ వద్ద సృష్టించడం పూర్ణాంకాల క్రమాలు "d" ,"d" ...,"d" , ను సంతృప్తి పరుస్తాయి ("d" ఎప్పడు సున్నా కావున దానిని మినహాయించవచ్చు కాబట్టి) మరియు దీనిని ఒక ఉమ్మడి మూలకాలలేని సమితికు అనుగుణంగా ఒక ప్రస్తారణగా మార్చవచ్చు. తరువాత అనురూప్యతకు (విలోమ) క్రమాన్ని ఒక లెహ్మెర్ సంకేతంగా వివరించవచ్చు, ఇది 1938లో ప్రచురించబడిన ఒక నిర్మాణ పద్ధతిని ఇస్తుంది, దీనిని రోనాల్డ్ ఎ. ఫిషెర్ మరియు ఫ్రాంక్ యాటెస్ ప్రచురించారు.
కంప్యూటర్ అమలు సమస్యాత్మకంగా లేని సమయంలో, లెహ్మెర్ సంకేతాన్ని సమర్థవంతంగా ప్రస్తారణగా మార్చడంలో పైన వివరించిన సమస్య కారణంగా ఈ పద్ధతి ఇబ్బందులు ఎదుర్కొంది. దీనిని ఒక భిన్నమైన ఉమ్మడి మూలకాలు లేని అనురూప్యతను ఉపయోగించి పరిష్కరించవచ్చు: శ్రేణిలోని "i" మిగిలిన మూలకాల్లో ఒక మూలకాన్ని ఎంపిక చేసేందుకు "d" ను ఉపయోగించిన తరువాత ("i" యొక్క క్షీణిస్తున్న విలువలకు), తదుపరి మూలకాలను ఒక స్థానానికి తరలించడం ద్వారా శ్రేణిని సంక్షిప్త పరచడం మరియు మూలకాన్ని తొలగించడం కంటే, చివరకు మిగిలిన మూలకంతో మార్పిడి చేయవచ్చు. అందువలన అసలు క్రమంలో మాదిరిగా ఒకే విధమైన క్రమంలో అవి అందుబాటులో ఉండనప్పటికీ, ఎంపికకు మిగిలిన మూలకాలు ప్రతి సమయంలోనూ ఒక వరుస క్రమాన్ని సృష్టిస్తాయి. పూర్ణాంకాల యొక్క క్రమాన్ని ప్రస్తారణల్లో గుర్తించడం కొంతవరకు సంక్లిష్టంగా ఉంటుంది, అయితే సరిగ్గా ఒక మార్గంలో ఒక తక్షణ ప్రవేశం ద్వారా ప్రతి ప్రస్తారణను సృష్టించేందుకు దీనిని ఉపయోగిస్తారు. ఎంపిక చేసిన మూలకం తుది మిగిలిన మూలకం అయినప్పుడు, ఇచ్చిపుచ్చుకునే క్రియను ఆపివేస్తారు. ఇది తరచుగా పరిస్థితికి ముందస్తు పరీక్షలో సంభవించదు, అయితే తుది మూలకం ఎంపికలో కచ్చితంగా చేర్చాలి, తద్వారా అన్ని ప్రస్తారణలను సృష్టించవచ్చని భరోసా ఇవ్వవచ్చు.
"a" [0], "a" [1], ..., "a" ["n" − 1] యొక్క అనిర్దిష్ట ప్రస్తారణను సృష్టించేందుకు సంబంధించిన క్రమసూత్ర పద్ధతిని ఈ కింది విధంగా బూటకపు సంకేతంలో వర్ణించవచ్చు:
ఒక ఇచ్చిన శ్రేణి యొక్క అన్ని ప్రస్తారణలను క్రమమైన పద్ధతిలో సృష్టించేందుకు అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి; త్వరలో రాబోతున్న ది ఆర్ట్ ఆఫ్ కంప్యూటర్ ప్రోగ్రామింగ్‌లో క్నుత్ ఒక గణనీయమైన భాగాన్ని వీటి చర్చకు కేటాయించాడు.
సులభమైన మరియు వశ్యమైన ఒక సంప్రదాయ క్రమసూత్ర పద్ధతి లెక్సికోగ్రఫిక్ క్రమంలో, ఇది ఉన్నట్లయితే, తరువాతి ప్రస్తారణను గుర్తించడంపై ఆధారపడివుంటుంది. ఇది పునరావృతమయ్యే విలువలను కూడా నిర్వహించగలదు, ఈ సందర్భానికి ఇది విలక్షణ బహుళసమితి ప్రస్తారణలను ఒక్కోదానికి సృష్టిస్తుంది. లెక్సికోగ్రఫిక్ క్రమంలో లెహ్మెర్ సంకేతానికి విలువలను సృష్టించడం కంటే సాధారణ ప్రస్తారణలకు కూడా మరింత సమర్థవంతంగా ఇది పనిచేస్తుంది (క్రమగుణిత సంఖ్యా పద్ధతిని ఉపయోగించడం ద్వారా) మరియు వాటిని ప్రస్తారణలుగా మారుస్తంది. దీనిని ఉపయోగించేందుకు క్రమాన్ని (బలహీనంగా) పెరుగుతున్న క్రమంలో క్రమపరచడం చేస్తారు (ఇది దాని యొక్క లెక్సికోగ్రఫిక్‌పరంగా కనిష్ఠ ప్రస్తారణను ఇస్తుంది) మరియు ఒక్కొక్కటి గుర్తించే కొద్ది తరువాతి ప్రస్తారణకు ఇది పునరావృతం చేయబడుతుంది. ఈ పద్ధతిని భారతదేశంలో 14వ శతాబ్దంలో నారాయణ పండిట్ వివరించారు, ఈ తరువాత నుంచి ఇది తరచుగా ప్రస్తావించబడుతూనే ఉంది.
ఈ కింద క్రమసూత్ర పద్ధతి ఒక ఇచ్చిన ప్రస్తారణ తరువాత లెక్సికోగ్రఫికల్‌గా తరువాతి ప్రస్తారణను సృష్టిస్తుంది. ఇది ఇచ్చిన ప్రస్తారణను మారుస్తుంది.మొదటి దశ తరువాత, "k" తరువాత స్థానంలో ఉండే మూలకాలు అన్నీ ఒక బలహీన క్షీణించే క్రమాన్ని సృష్టిస్తాయని గుర్తించవచ్చు, అందువలన ఈ మూలకాల యొక్క ఎటువంటి ప్రస్తారణ లెక్సికోగ్రఫిక్ క్రమంలోకి మారలేదు; ఇది సాధ్యపడాలంటే "a" ["k" ]ను పెంచాలి. రెండో దశలో "a" ["l" ] అనే అతిచిన్న విలువను గుర్తించి దానిని "a" ["l" ]తో మారుస్తారు, వాటిని ఇచ్చిపుచ్చుకోవడంతో మూడో దశలో "k" తరువాతి స్థానంలో ఒక బలహీన క్షీణత క్రమంలో శ్రేణిని విడిచిపెడుతుంది. నాలుగో దశలో ఈ శ్రేణిని విలోమం చేయడం ద్వారా లెక్సికోగ్రఫిక్‌పరంగా కనిష్ఠ ప్రస్తారణ సృష్టించబడుతుంది, మొత్తం క్రమంలో ప్రాథమిక దశ యొక్క తరువాతి లెక్సికోగ్రఫిక్ క్రమం ఏర్పడుతుంది.
అనేక సైంటిఫిక్ కాలిక్యులేటర్‌లు "n" యొక్క "k" -ప్రస్తారణల సంఖ్యను గణించేందుకు అవసరమైన ప్రమేయం కలిగివుంటాయి, ఇది nPr లేదా అనేకవాటిపై PERM అనే పేర్లతో ఉంటుంది. ప్రస్తారణల ఉపయోగం వీటిలో తరచుగా మెనూస్ యొక్క అనేక అంచెల ద్వారా అందుబాటులో ఉంటుంది; దీనికి ఏ విధంగా ప్రాప్తి పొందాలనేది కాలిక్యులేటర్‌తోపాటు ఇచ్చే మద్దతు పత్రంలో ఉంటుంది.
అనేక స్ప్రెడ్‌షీట్ సాఫ్ట్‌వేర్‍లు కూడా "n" యొక్క "k" ప్రస్తారణలను లెక్కించే క్రియలు కలిగివుంటాయి, అనేక ప్రసిద్ధ స్ప్రెడ్‌షీట్‌లలో ఈ క్రియను PERMUT పేరుతో పిలుస్తారు. ఆపిల్ యొక్క నంబర్స్ '08 సాఫ్ట్‌వేర్‌లో మాత్రం ఇటువంటి క్రియను నిర్వహించే అవకాశం లేదు అయితే దీనిని ఆపిల్ యొక్క నంబర్స్ '09 సాఫ్ట్‌వేర్ ప్యాకేజీలో పరిష్కరించారు.
ప్రస్తారణలను టర్బో కోడ్‌ల వంటి ఎర్రర్ డిటెక్షన్ అండ్ కరెక్షన్ యొక్క ఇంటెర్లీవర్ భాగంలో ఉపయోగిస్తారు,
ఉదాహరణకు 3GPP లాంగ్ టర్మ్ ఎవాల్యూషన్ మొబైల్ టెలీకమ్యూనికేషన్ ప్రమాణం ఈ భావాలను ఉపయోగిస్తుంది (3GPP టెక్నికల్ స్పెసిఫికేషన్ 36.212 ను చూడండి).
కొన్ని కోరుకున్న లక్షణాలను సంతృప్తిపరిచే ప్రస్తారణ యొక్క వేగవంతమైన తరానికి ఇటువంటి అనువర్తనాలు ఊతం ఇస్తున్నాయి. ఇటువంటి పద్ధతుల్లో ఒకటి ప్రస్తారణ బహుపదుల ఆధారంగా ఉంది.