కెప్లర్ సమీకరణము
భౌతిక శాస్త్రము ప్రకారం, ఒక కక్ష్యలో తిరుగుతున్న వస్తువు పై కక్ష్య కేంద్ర బలాలు, వివిధ జ్యామితి ధర్మములను కెప్లర్ యొక్క సమీకరణము తెలియజేస్తుంది.
కెప్లర్ సమీకరణమును మొదటిగా జోహన్నెస్ కెప్లర్ (Johannes Kepler) చే తన ఆస్ట్రొనమి నొవ (Astronomia nova) లోని 60వ అధ్యయనము నుండి 1609 లో తీసుకొనబడినది మరియు 1621 లో కోపర్నికన్ ఆస్ట్రొనమి తన పరకాష్ట పుస్తకం V నుండి తీసుకొనబడింది. కెప్లర్ తన సమీకరణానికి ఒక పరిష్కార పద్ధతిని ప్రతిపాదించారు.ఈ సమీకరణము చరిత్రలో, భౌతిక మరియు గణిత శా స్త్రములో, ముఖ్యముగా ఖగోళ యాంత్రిక శాస్త్రములో ముఖ్యమైన పాత్రను పోషించింది.
=సమీకరణము=
కెప్లర్ సమరణము
ఇక్కడ M అనునది సగటు వైపరీత్యము, E అనునది ఉత్కేంద్ర కేంద్రము, మరియు ε అనునది వైపరీత్యము.'ఉత్కెంద్ర కేంద్రము ' E ఒక కెప్లారియన్ కక్ష్యలో కదిలే ఒక బిందువు యొక్క స్థానమును గణించడంలో సహాయపడుతుంది.ఉదాహరణకు, ఒక వస్తువు periastron గుండా సమయము t=t0 వద్ద, అక్షాంశాలు x=a (1-e), y=0, వద్ద వెళుతూ ఉంటే, ఆ సమయములో ఆ వస్తువు యొక్క స్థానమును కనుగొనవచ్చు, లేదా మొదట సగటు విపరీత్యమును M = n (t-t0) అను సూత్రమును ఉపయొగించి కనుగొనవచ్చు, ఇప్పుడు కెప్లర్ సమీకరణమును ఉపయొగించి E ను కనుగొనవచ్చు, తరువాత అక్షాంశాలను కనుగొనాలి.
కెప్లర్ సమీకరణమును బీజాతీత సమీకరణము అని అంటారు ఎందువలనంటె సైన్ (sine ) అనునది బీజాతీత ప్రమేయము.బీజగణితము పరంగా E ను కనుగొనలెము.సంఖ్యా విశ్లేషణ మరియు శ్రేణి విస్తరణ సాధారణముగా E ను కనుగొడానికి అవసరము.
=ప్రత్యామ్నాయ రూపాలు=
కెప్లర్ సమీకరణకు అనేక రుపాలు ఉన్నాయి.ప్రతీ రూపము కక్ష్య యొక్క నిర్దిష్ట రకముతో సంబంధము కలిగి ఉంటుంది.ప్రామణిక కెప్లర్ సమీకరణము దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యల కోసము ఉపయొగిస్తారు (0 ≤ ε < 1) .అతివలయ కెప్లర్ సమీకరణమును అతివలయ కక్ష్యల్లో ఉపయొగిస్తారు (ε = 1) .ε = 1 చేసినప్పుడు, కెప్లర్ సమీకరణము ఒక కక్ష్యకు సంబంధం ఉండదు. ε = 0, చేసినప్పుడు కక్ష్య వృత్తాకారముగా ఉంటుంది.పెరుగుతున్న ε దీర్ఘ వృత్తము లోని బల్లపరపుగ ఉన్న వృత్తముకు కారణమౌతుంది.ε=1 చేసినప్పుడు, కక్ష్య పూర్తిగా చదునుగా ఉంటుంది. కక్ష్య మూసి ఉంటే అది ఒక వృత్తఖండములా కనిపిస్తుంది, లేదా కక్ష్య తెరచి ఉంటె ఒక కిరణములా ఉంటుంది.
అతివలయ కెప్లర్ సమీకరణము ఎమనగా:
ఇక్కడ H అనునది అతివలయ ఉత్కేంద్ర కేంద్రము.ఈ సమీకరణము, కెప్లర్ యొక్క సమీకరము వర్గమూలము -1 తో గుణించగా వచ్చును.i=√ (−1) ఊహాత్మక విభాగం కోసము ఉపయోగిస్తారు.E స్థానములో iH పెట్టి అనగా,
పొందుటకు ఉపయొగిస్తారు.
వ్యాసార్ధ కెప్లర్ సమీకరణము ఎమనగా:
ఇక్కడ t అనునది కాలమును సూచిస్తుంది.మరియు x అనునది x-అక్షము గుండా ఉండు దూరము.ఈ సమీకరణము కెప్లర్ సమీకరణమును 1/2 తో గుణించడం ద్వారా వచ్చును.
మరియు ε=1 పెట్టగా,
ను ఇస్తుంది.
=విలోమ సమస్య=
E నుండి M ను లెక్కించగా అది సూటిగా ఉంటుంది.అయితే M నుండి E ను లెక్కించడం కొంత సవాలుగా ఉంటుంది.
కెప్లర్ యొక్క సమీకరణమును E ద్వారా పరిష్కరించవచ్చు.కెప్లర్ సమీకరణము యొక్క పరిష్కారము రెండు టెలర్ శ్రేణుల నుండి వచ్చింది.
కెప్లర్ సమీకరణము యొక్క నాలుగు శతాబ్దాల సాహిత్యంలో చిరస్థాయిగా నిలిచిపొంది.కెప్లర్ తనకుతానుగా ఒక అనుమానాన్ని వ్యక్తం చేసారు.అది ఎమనగా సాధారణ పరిష్కారము కనుగొడానికి అవకాశము ఎంత అని.
విలోమ కెప్లర్ సమీకరణము, కెప్లర్ సమీకరణము యొక్కఅన్నీ వాస్తవ విలువల యొక్క εను పరిష్కరిచుటకు ఉంది.
నాణ్యతా పరీశీలన:
ఈ వరుసను, విలోమ వరుస చర్యలతో గణితమును పునరుద్ధరించారు.
విలోమ వ్యాసార్ద కెప్లర్ నియమము ఎమనగా:
నాణ్యత పరీశీలన:
ఫలితము సాధించుట కొరకు:
=విలోమ సమస్య యొక్క సంఖ్యా పరమైన అంచన=
ఎక్కువ ఆవర్తనాలను విలోమ సమస్య చర్య యొక్క వర్గమూలము కనిపెట్టడం ద్వారా సంఖ్యాపరంగా గణిచవచ్చు.
దీనిని న్యూటన్ పద్ధతి ద్వారా కూడా చేయవచ్చు.
గమనిక E మరియు M లు రేడియన్ల గనణలో ప్రమాణాలుగా ఉంటయి.