పైథాగరస్ సిద్ధాంతం
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం గణిత శాస్త్రంలో త్రికోణమితి విభాగానికి చెందిన ఒక సిద్ధాంతం. దీనిని గ్రీకు గణిత శాస్త్రవేత్త అయిన పైథాగరస్ ప్రతిపాదించాడు. ఈ సిద్ధాంతం మీద ప్రపంచంలో ఎంతోమంది పరిశోధనలు చేసి పి.హెచ్.డి పట్టాలు పుచ్చుకున్నారు. ఒకానొక అంచనా ప్రకారం ఈ సిద్ధాంతానికి 70 దాకా ఉప సిద్ధాంతాలు ఉన్నాయి.
ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం యొక్క వర్గం, మిగతా రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానం. ఉదాహరణకు c అనేది కర్ణము యొక్క పొడవు, మరియు a, b లు ఇతర భుజాల యొక్క పొడవులైతే
లేదా c ని సాధించాలంటే
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం మీద నిర్మించిన చతురస్రపు వైశాల్యం మిగిలిన రెండు భుజాల మీద నిర్మించిన చతురస్రాల వైశాల్యాల మొత్తానికి సమానం అన్న సూత్రం పైథాగరస్ పుట్టక పూర్వం నుండీ, బహుశ ఒక వెయ్యేళ్ల పాటు, అనేక దేశాలలోని గణిత వేత్తలకు అనేక మందికి తెలుసు. భారతీయులకి తెలుసు, బాబిలోనియాలో తెలుసు, చైనాలో తెలుసు. కాని ఈ సూత్రం పైథాగొరోస్ పేరు మీదుగా నిలవడానికి ఒక ముఖ్య కారణం ఉంది. అదేమంటే... ఈ వెయ్యి సంవత్సరాల పాటూ వారికి ఎదుటపడ్డ లంబకోణ త్రిభుజాల విషయంలో ఈ సూత్రం పనిచేస్తుందని మాత్రమే తెలుసు. కాని వారికి తారస పడని అనంతమైన లంబకోణ త్రిభుజాల విషయంలో కూడా ఈ సూత్రం పనిచేస్తుందా అన్న ప్రశ్నని వారిలో ఎవ్వరూ పరిశోధించి నట్లు లేదు. అంటే ? పైథాగొరోస్ అన్నది ఏమిటంటే... చదునుగా ఉన్న సమతలం మీద మనం గీయగలిగే ప్రతీ లంబకోణ త్రిభుజం – ఇవి అనంతమైనవి. ఈ సూత్రం అన్నింటిలోను పనిచేస్తుందని నిరూపించేడు. ఆ త్రిభుజాన్ని మనం చూసినా, చూడకపోయినా, ఈ లక్షణం ప్రదర్శించి తీరుతుందని ఆయన తార్కికంగా ఋజువు చేసేడు. అందుకే ఈ సిద్ధాంతం పైథాగరస్ సిద్ధాంతం అయింది.
పర దేశీయులు కనిపెట్టిన సూత్రంగా చెప్పబడుతున్న 'పైథాగరస్ సిద్దాంతంగా చెప్పబడు తున ఈ సిద్దాంతానికి మన భాస్కరాచార్యుడు తన కాలంలో ( అనగా పైథాగరస్ కన్నా ముందె) చెప్పిన ఒక శ్లోకం చూడండి. (ఆ శ్లోకంలోని ఒక లెక్క ఇది.) " వంశాగ్ర మూలాంతర భూమి వర్గో వంశోదృతస్తేన వృఘగ్యుతోనౌ | వంశౌతదర్దే భవత: క్రమేణ వశస్య ఖండే శ్రుతికోటి రూపే :
ఈ శ్లోకానికి వివరణ: కోటి (లంబ) కర్ణాల సంకలితం, భుజం, తెలియగా లంబాన్ని కర్ణాన్ని వేరు పరచుటకై సూత్రం: ఈ శ్లోకం తాత్పర్యం: కొంత ఎత్తున విరిగి పడి పోకుండా నేల వ్రాలిన వెదురు గడ భూమితో చేరి లంబ కోణం త్రిభుజం రూపానికి అనుకృతి అయినది. విరగక ముందున్న వెదురు పొడవు కర్ణ లంబాల యోగం, విరిగిన చోట ఎత్తు లంబం. వ్రాలిన భాగం కర్ణము. భూమి వర్గాన్ని వంశం (వెదురు గడ ప్రమాణం) తో బాగించి ఈ లబ్ధాన్ని వేరుగా వంశానికి కలిపి, తీసి వేసి వచ్చిన ఫలితాన్ని, సగం చెస్తే కర్ణము మరియు లంబ రూపంలో వున్న వంశ (వెదురు) ఖండాల కొలతలు తెలుస్తాయి. దత్తాంశాలు: కర్ణం A B లంబం A C కలిసి 32 . భూమి + 16. ఈ సూత్రానుసారం, లంబం = A C = 1/2 ( 32-=16 squire by 3) = 12 మూరలు, కర్ణం AD = 1/2 ) 32+16 squire/ 32) సమాధానం = 20 మూరలు ఇదెంత సులభ గ్రాహ్యమో మరొక్క సారి అవగాహన చేసుకొని పరిశీలించండి. దీన్ని బట్టి మనకు అర్థమయ్యేదేమంటే... గతంలో ... భారతదేశంలో.. సంస్కృత భాష దేవ భాష యని, దానిని నిమ్న జాతులెవ్వరు నెర్వ రాదని, చదవరాదని నియమం వుడేది. కనుక అందులోని మహత్తర విషయాలు బహ్య ప్రపంచానికి తెలియక అలా అంధకారంలో వుండి పోయాయి.
అస్తి స్థంబతే బిలం తదుపరి క్రీడాశిఖండి స్థిత:, స్థంబే హస్తన వోచ్చితే త్రిగుణిత స్తంభ ప్రమాణాంతరే, దృష్ట్యాహిం బిలామావ్రజంత మపతాల్ తర్విక్ సతస్యోపరీక్షితం బ్రూహితయోర్చిలాత్ కతికర: సామ్యేన గత్యోర్యతి: ||
సమస్యకు వివరణ
తాత్పర్యం: సమతల భూమి పై 9 మూరల ఎత్తు గల స్తంభం క్రింద
నే ఒక సర్ప బిలం ఉంది. స్థబానికి 27 మూరల దూరంలో ఒక పాము బిలం వైపు వస్తున్నది. స్థంబాగ్రం పై కూర్చున్న ఒక నెమలి పామును చూసి కర్ణ మార్గంగా దూకి వచ్చి పామును మధ్యలోనే పట్టివేసింది. పాము - నెమలి ఒకే వేగంతో పయనించాయను కుంటే బిలానికి ఎంత దూరంలో నెమలి పామును పట్టుకో గలిగింది.
వివరణ: AC స్తంభం. = 9 మూరలు. A = నెమలి స్థానం. D = సర్ప స్థానం, C = సర్ప బిలం. (పాము, నెమలి ఈ రెండిటది సమాన వేగం.) అంటే A B = B C = C మరియు C D = C B +B D = a + c సూత్రం ప్రకార: భుజం a = 1/2 (CD - AC squire/CD కర్ణం c = 1/2 ( CD + AC squire) కాబట్టి... a = 1/2 (27 - 81/27) = 12 కనుక పాము బిలానికి 12 మూరల దూరంలో వుండగా నెమలి దాన్ని పట్టుకొన్నది. సూత్రం వుపయోగించ కుండా:... చేయాలంటే... a + c = 27, b = 9, a = ? c = 27 _ a కాబట్టి a squire + 9 squire = ( 27 _ a) squire _ 27 square _2.27m a+ 9 squire therefore a = 27 squire by 2.27 = (27 + 9) (27 _9) by 2.27 = 12.
ఈ సిద్దాంతం రుజువు చేయడానికి చాలా రకాల పద్ధతులు ఉన్నాయి... అందులో ఒకటి ఈ దిగువన పొందుపరచటం జరిగింది.
ఒక చతురస్త్రం A తీసుకోండి...అలాగే చతురస్త్రం B ని A లోపల ఉన్నట్టు ఊహించండి...B యొక్క భుజము x పొడవు అనుకోండి..
B, A లోపల ఎలా ఉందంటే B యొక్క శీర్షం A యొక్క భుజాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజించేటట్టు ఉంది...ఈ రెండు భాగాల పొడవులను y, z అనుకోండి..
______\/_________
y z
పైన చెప్పిన విధంగా మీరు బొమ్మ గీస్తే మీకు ఎలా కనిపిస్తుందంటే A చతురస్త్రం లోపల నాలుగు త్రిభుజాలు, ఒక చత్రురస్త్రం (B) ఉన్నట్టు ఉంటుంది..
A యొక్క వైశాల్యం = B యొక్క వైశాల్యం + 4 (ఒక్కొక్క త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం)
దీన్ని విశదీకరిస్తే y2+z2+2yz = x2+2yz
రిజల్ట్ y2 + z2 =x2
అంటే ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల (కర్ణం కాకుండా మిగిలినవి) పొడవు వర్గాల మొత్తం దాని కర్ణం పొడవు వర్గానికి సమానం