పరిమాణం
గణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రంలో, ఒక అంతరాళము లేదా వస్తువుయొక్క పరిమాణం అనేది అనధికారికంగా అందులోని ప్రతి బిందువునీ తెలియజెప్పడానికి కావలసిన కనీస నిరూపకాల సంఖ్య. కాబట్టి ఒక రేఖకు ఒకే పరిమాణం ఉంటుంది, ఎందుకంటే దానిపై ఏదైనా బిందువుని తెలియజెప్పడానికి ఒక నిరూపకం చాలు. ఒక సమతలం లేదా స్తూపము లేదా గోళముయొక్క ఒక ఉపరితలం రెండు పరిమాణాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే దానిపైని ఏదైనా బిందువుని తెలియజెప్పడానికి రెండు నిరూపకాలు అవసరమవుతాయి (ఉదాహరణకు, ఒక గోళంపై బిందువుని గుర్తించడానికి, మీకు దాని అక్షాంశం మరియు దాని రేఖాంశం, రెండూ అవసరం). ఒక ఘనము, ఒక స్తూపము లేదా ఒక గోళము లోపలి భాగం మూడు-పరిమాణాలను కలిగి ఉంటుంది, ఎందుకంటే ఈ ప్రదేశాలలోని ఏదైనా బిందువుని గుర్తించడానికి మూడు నిరూపకాలు అవసరమవుతాయి.
భౌతికమైన పదాల్లో, "పరిమాణం" అనేది మొత్తం అంతరాళం యొక్క భాగమైన స్వరూపం (చూ. ఘనపరిమాణం) మరియు కాలంలో దాని స్థానం (దీనిని "t" -అక్షంపై అదిశరాశిగా గుర్తిస్తారు), మరియు వస్తువుల అంతర్భాగంలో అంతరాళ స్వరూపం —అణువు మరియు క్షేత్రం అనే రెండు భావనలకూ సహసంబంధం కలిగిన స్వరూపాలు, ద్రవ్యరాశిసంబంధిత ధర్మాల ఆధారంగా చర్య జరుపుతాయి, మరియు ఇవి వివరణలో ప్రాథమికంగా గణితపరమైనవి. ఇవి లేదా ఇతర అక్షాలు ఒక బిందువు లేదా స్వరూపాన్ని, ఇతర వస్తువులు మరియు సంఘటనలతో, దాని వైఖరి మరియు సంబంధాన్ని ప్రత్యేకంగా గుర్తించేందుకు చెప్పవచ్చు. కాలం కలిగిన భౌతిక సిద్ధాంతాలు, సామాన్య సాపేక్షత వంటివి, 4-పరిమాణాలు కలిగిన "అంతరాళ -కాలం"లో పనిచేస్తాయని చెప్పబడుతుంది, (దీనిని మిన్కోవ్స్కి అంతరాళంగా నిర్వచిస్తారు). రాశి క్షేత్రం మరియు శ్రేణి సిద్ధాంతాల వంటి ఆధునిక సిద్ధాంతాలు "అధిక-పరిమాణంలు" కలిగి ఉండే అవకాశం ఉంది. రాశి యంత్రగతిలో స్థితి-అంతరాళం అనేది అనంత-పరిమాణాల కార్య-అంతరాళ ము.
పరిమాణం అనే భావన కేవలం భౌతిక వస్తువులకు చెందింది కాదు. గణితం మరియు విజ్ఞాన శాస్త్రాల్లో ఎన్నో కారణాల వలన అధిక-పరిమాణ అంతరాళాలు సంభవిస్తాయి, తరచుగా లాగ్రెంజియన్ లేదా హమిల్టనియన్ యంత్రగతిలో లాగా ఆకృతి అంతరాళాలు; ఇవి మనం నివసించే భౌతిక అంతరాళంతో సంబంధం లేని నైరూప్య అంతరాళాలు.
గణితంలో, ఒక వస్తువు యొక్క పరిమాణం అనేది ఆ వస్తువు ఉన్న అంతరాళంతో సంబంధం లేని, స్వభావసిద్ధ ధర్మం. ఉదాహరణకు: ఒక తలంలోని ఏకాంశ వృత్తం, రెండు కార్టీజియన్ నిరూపకాలద్వారా గుర్తించవచ్చు, కానీ ఒక్క నిరూపకం (ధ్రువ నిరూపక కోణం) సరిపోతుంది, కాబట్టి ఈ వృత్తం 2-పరిమాణాల తలంలో ఉన్నప్పటికీ 1-పరిమాణం కలదిగా చెప్పవచ్చు. ఈ పరిమాణంయొక్క "స్వభావసిద్ధ" భావన అనేది సామాన్య ఉపయోగంలో పరిమాణంయొక్క గణిత భావన నుండి ముఖ్యమైన తేడా. ఇవి తెలుసుకుని ఉండడం మంచిది.
యూక్లిడియన్ "n" -అంతరాళపు "E" యొక్క పరిమాణం "n" . ఇతర రకాల అంతరాళాలకు వర్తించేందుకు ప్రయత్నించినప్పుడు, ఈ ప్రశ్న ఉత్పన్నం కావచ్చు “"E" ను "n" -పరిమాణాలు కలదిగా చేసేది ఏమిటి?" ఒక సమాధానం ఏమిటంటే, ఒక "E" స్థిరమైన బంతిని "ε" వ్యాసార్థం కలిగిన చిన్న బంతులతో తయారు చేయడానికి, "ε" పరిమాణం కలిగిన అటువంటి చిన్న బంతులు అవసరమవుతాయి. ఈ పరిశీలన ద్వారా మిన్కోవ్స్కి పరిమాణం మరియు దాని మరింత మెరుగైన రూపం, హౌస్డార్ఫ్ పరిమాణం నిర్వచనాన్ని పొందవచ్చు. కానీ ఈ ప్రశ్నకు ఇతర సమాధానాలు ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, "E" బంతియొక్క సరిహద్దు స్థానికంగా "E" గా కనిపించవచ్చు మరియు దీని ద్వారా ప్రేరక పరిమాణం భావన మొదలవుతుంది. ఈ భావనలు "E" ను అంగీకరించినప్పటికీ, ఇవి మరింత సాధారణ అంతరాళాలను గమనించినప్పుడు వేరుగా కనిపిస్తాయి.
టెసెరాక్ట్ అనేది నాలుగు-పరిమాణాల వస్తువుకు ఉదాహరణ. గణితం పరిధికి వెలుపల "పరిమాణం" అనే పదం వాడుక ఇలా ఉంటుంది: "ఒక టెసెరాక్ట్ "నాలుగు పరిమాణంలను కలిగి ఉంటుంది," " అని చెప్పబడినా, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సామాన్యంగా దీనిని: "టెసెరాక్ట్ "లో పరిమాణం 4, గా ఉంటుంది" " లేదా: "టెసెరాక్ట్ యొక్క పరిమాణం 4 గా"ఉంటుంది" " అని చెబుతారు.
అధిక పరిమాణాల భావన రెనీ డేస్కార్టస్ కాలానికి చెందినా, అధిక-పరిమాణాల జ్యామితి యొక్క ప్రధాన అభివృద్ధి కేవలం 19వ శతాబ్దంలో మొదలయింది, ఇది ఆర్థర్ కేలే, విలియం రోవాన్ హమిల్టన్, లుడ్విగ్ స్క్లాఫ్లి మరియు బెర్న్హార్డ్ రీమాన్ల పరిశోధనల ద్వారా జరిగింది. రీమాన్ యొక్క 1854 హాబిలిటేషన్స్క్రిప్ట్, స్క్లాఫీ యొక్క 1852 "థియరీ దర్ వీల్ఫాచేన్ కొంటిన్యుతాట్", హమిల్టన్ యొక్క 1843 క్వాటర్నియన్స్ ఆవిష్కరణ మరియు కేలే బీజగణితం నిర్మాణాలు అధిక-పరిమాణంల జ్యామితి ప్రారంభానికి గుర్తులుగా నిలిచాయి.
ఈ ఖండికలో మిగిలిన భాగం మరిన్ని ముఖ్యమైన పరిమాణాల నిర్వచనాల్ని పరిశీలిస్తుంది.
ఒక సదిశరాశి అంతరాళంయొక్క పరిమాణం అనేది అంతరాళానికి ఏదైనా ఆధారంలో సదిశరాశుల సంఖ్య, అంటే ఏదైనా సదిశరాశిని తెలియజేయడానికి అవసరమయ్యే నిరూపకాల సంఖ్య. పరిమాణం యొక్క ఈ భావన (ఒక ఆధారం యొక్క ప్రాధాన్యత) తరచూ పరిమాణం యొక్క ఇతర భావనల నుండి భేదం తెలియడానికి "హమేల్ పరిమాణం" లేదా "బీజగణిత పరిమాణం"గా పిలువబడుతుంది.
ఒక సంధాయక భౌతికాకృతి మానిఫోల్డ్ అనేది యూక్లిడియన్ "n" -అంతరాళంతో స్థానికంగా సారూప్యం కలిగి ఉంటుంది, మరియు "n" సంఖ్యను మానిఫోల్డ్ యొక్క పరిమాణంగా చెబుతారు. ప్రతి సంధాయక భౌతికాకృతి మానిఫోల్డ్ కూ విభిన్నంగా నిర్వచించిన పరిమాణం ఉంటుందని చూపవచ్చు.
జ్యామితి భౌతికాకృతి క్షేత్రంలో మానిఫోల్డ్ ల సిద్ధాంతం అనేది, 1 మరియు 2 పరిమాణాలు మామూలుగా ప్రాథమికం, అధిక-పరిమాణంల సందర్భాలు 'పని' చేయడానికి ఒక అదనపు అంతరాళం కలిగి ఉండడం అనే లక్షణాలను కలిగి ఉంటుంది; మరియు "n" = 3 మరియు 4 అనేవి ఒక విధంగా అత్యంత క్లిష్టమైనవి. ఈ పరిస్థితి నాలుగు వేర్వేరు నిరూపణ పద్ధతులు ప్రయోగించే పాయిన్కేర్ ఉజ్జాయింపులో స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.
ఏదైనా సాధారణ భౌతికాకృతి అంతరాళం "X" కు, "X" యొక్క లేబెస్గ్ కవరింగ్ పరిమాణం అనేది "n"గా నిర్వచింపబడుతుంది, ఇక్కడ "n" అనేది క్రిందివి వర్తించే అత్యల్ప పూర్ణ సంఖ్య: ఏదైనా తెరిచిన కవర్కు తెరిచిన శుద్ధి ఉంటుంది (ప్రతి మూలకం మొదటి కవర్ లోని మూలకం యొక్క ఉపసమితి అయిన ఒక రెండవ తెరిచిన కవర్), ఇందులో ఏ బిందువూ "n" + 1 మూలకాలకన్నా ఎక్కువలో ఉండదు. ఈ సందర్భంలో మనం పరిమాణం"X" = "n" అని వ్రాస్తాము. "X" అనే మానిఫోల్డ్ కు, పైన చెప్పిన పరిమాణంతో ఇది కలుస్తుంది. అటువంటి పూర్ణసంఖ్య "n" ఏదీ లేనప్పుడు, "X" యొక్క పరిమాణం అనంతమని చెప్పవచ్చు, మరియు మనం పరిమాణం"X" = ∞ అని వ్రాస్తాము. మనం "X"కు −1 పరిమాణం ఉందని చెపుతాము, అంటే కేవలం "X" ఖాళీ అయినప్పుడు మాత్రమే, పరిమాణం "X" = −1 అవుతుందని గమనించాలి. కవరింగ్ పరిమాణం యొక్క ఈ నిర్వచనం సామాన్య అంతరాళం తరగతి నుండి అన్ని టైకోనోఫ్ అంతరాళాలకు, కేవలం నిర్వచనంలోని "తెరిచిన" అనే పదాన్ని "కార్యగతంగా తెరిచిన " ద్వారా భర్తీ చేయడం ద్వారా విస్తరించవచ్చు.
పరిమాణం యొక్క ప్రేరక నిర్వచనాన్ని ఈ విధంగా చెప్పవచ్చు. ఒక బిందువుల నిర్ణీత సమితిని (ఒక బిందువుల పరిమిత సమూహం వంటిది) 0-పరిమాణం కలదిగా భావించండి. ఒక 0-పరిమాణం వస్తువును ఏదైనా పరిమాణంలో లాగడం ద్వారా, మనకు 1-పరిమాణం వస్తువు లభిస్తుంది. 1-పరిమాణం వస్తువును ఒక "క్రొత్త పరిమాణం"లో లాగడం ద్వారా, మనకు 2-పరిమాణాల వస్తువు లభిస్తుంది. సామాన్యంగా మనకు "n+1" -పరిమాణాల వస్తువు, ఒక "n" పరిమాణంగల వస్తువును ఒక "క్రొత్త" పరిమాణంలోనికి లాగడం ద్వారా లభిస్తుంది.
ఒక భౌతికాకృతి అంతరాళం యొక్క ప్రేరక పరిమాణం అనేది "చిన్న ప్రేరక పరిమాణం" లేదా "పెద్ద ప్రేరక పరిమాణం"ను సూచించవచ్చు, మరియు ఇది తెరచిన సమితుల సరిహద్దుల పరిమాణాల ఆధారంగా ప్రేరక నిర్వచనాన్ని అందించే విధంగా, బంతులకు "n" పరిమాణాల సరిహద్దులు ఉంటాయనే సిద్ధాంతంపై ఆధారపడింది.
సంక్లిష్ట స్వరూపం కలిగిన సమితులకు, ముఖ్యంగా ఫ్రాక్టల్లకు, హౌస్డార్ఫ్ పరిమాణం ఉపయోగకరం. హౌస్డార్ఫ్ పరిమాణం అనేది అన్ని మెట్రిక్ అంతరాళాలకూ నిర్వచింపబడుతుంది మరియు, హమేల్ పరిమాణంలా కాకుండా, పూర్ణసంఖ్యలు కాని వాస్తవ విలువలను కూడా సాధించవచ్చు. ఇదే ఆలోచన యొక్క రూపమే బాక్స్ పరిమాణం లేదా మిన్కోవ్స్కి పరిమాణం. సామాన్యంగా, అధికంగా సక్రమం కాని సమితులకు పని చేసేవి మరియు పూర్ణసంఖ్యలు కాని ధన వాస్తవ విలువలను సాధించే ఫ్రాక్టల్ పరిమాణంల నిర్వచనాలు ఉన్నాయి.
ప్రతి హిల్బెర్ట్ అంతరాళం ఒక ఆర్థోనార్మల్ ఆధారాన్ని అనుమతిస్తుంది, మరియు ఒక ప్రత్యేక అంతరాళానికి ఏవైనా రెండు ఆధారాలు ఒకే ప్రాధాన్యతను కలిగి ఉంటాయి. ఈ ప్రాధాన్యతను హిల్బెర్ట్ అంతరాళంయొక్క పరిమాణంగా పిలుస్తారు. ఈ పరిమాణం కేవలం అంతరాళం యొక్క హమేల్ పరిమాణం పరిమితమైనప్పుడే పరిమితమవుతుంది, మరియు ఈ సందర్భంలో పై పరిమాణాలు కలుస్తాయి.
శాస్త్రీయ భౌతిక శాస్త్రం సిద్ధాంతాలు మూడు భౌతిక పరిమాణాలను వివరిస్తాయి: ఒక అంతరాళంలోని ప్రత్యేక బిందువు నుండి, మనం పైకి/క్రిందికి, ఎడమ/కుడికి, మరియు ముందుకు/వెనుకకు కదలగలిగే ప్రాథమిక పరిమాణాలు. మరే ఇతర పరిమాణంలోనైనా కదలిక కేవలం ఈ మూడింటినీ ఉపయోగించి చెప్పవచ్చు. క్రిందికి కదలడం అనేది ఋణాత్మక దూరానికి పైకి కదలడం వంటిదే. ఐమూలగా పైకి మరియు ముందుకు కదలడం అనేది పరిమాణం పేరు సూచించిన విధంగానే; "అంటే", పైకి మరియు ముందుకు సరళ సమ్మేళనంలో కదలడం. అతి సామాన్య రూపంలో: ఒక రేఖ ఒక పరిమాణంను, ఒక తలం రెండు పరిమాణాలను, మరియు ఒక ఘనం మూడు పరిమాణాలను సూచిస్తాయి. (చూడండి అంతరాళం మరియు కార్టీజియన్ నిరూపక వ్యవస్థ.)
ఐహిక పరిమాణం అనేది కాలానికి చెందిన పరిమాణం. ఈ కారణంగానే, కాలాన్ని తరచూ "నాల్గవ పరిమాణం"గా చెప్పడం జరుగుతుంది, కానీ దీని అర్థం దానిని అంతరాళ పరిమాణంగా చెప్పడం కాదు. ఒక ఐహిక పరిమాణం అనేది భౌతికమైన మార్పును కొలిచే ఒక మార్గం. మూడు అంతరాళ పరిమాణాల నుండి దీనిని భిన్నంగా చూడడం ఎలాగంటే అది కేవలం ఒకటి, మరియు మనం కాలంలో స్వేచ్చగా సంచరించడం వీలుకాదు కానీ ఒక పరిమాణంలో అంతఃకరణంలో కదలవచ్చు.
భౌతిక శాస్త్రంలో వాస్తవానికి నమూనాగా ఉపయోగించే సమీకరణాలు కాలాన్ని మనుష్యులు సామాన్యంగా ఊహించినట్టూ ప్రస్తావించవు. శాస్త్రీయ గతియంత్ర సమీకరణాలు కాలం ఆధారంగా అనురూపాలు, మరియు రాశి గతియంత్ర సమీకరణాలు సామాన్యంగా కాలం మరియు ఇతర పరిమాణాలు (ఆవేశం మరియు సమానత్వం వంటివి) వ్యతిక్రమం చేసినప్పుడే అనురూపం అవుతాయి. ఈ నమూనాలలో, కాలం ఒక పరిమాణంలో ప్రవహించడం అనే ఊహ ఉష్ణగతిక సూత్రాలనుండి వచ్చింది (మనం కాలం పెరిగే జడోష్ణత పరిమాణంలో ప్రవహిస్తుందని ఊహిస్తాము).
కాలాన్ని ఒక పరిమాణంగా ప్రస్తావించడంలో అత్యుత్తమమైనది పాయిన్కేర్ మరియు ఐన్స్టీన్యొక్క ప్రత్యేక సాపేక్షత (మరియు సామాన్య సాపేక్షతకు పొడిగింపబడింది), ఇది ఊహాత్మక అంతరాళం మరియు కాలాన్ని, అంతరాళకాలంగా పిలువబడే ఒక నాలుగు-పరిమాణాల మానిఫోల్డ్ భాగంగా మరియు ప్రత్యేక, మామూలు సందర్భాన్ని మిన్కోవ్స్కి అంతరాళంగా పరిగణిస్తుంది.
శ్రేణి సిద్ధాంతం మరియు M-సిద్ధాంతం వంటివి వరుసగా భౌతికమైన అంతరాళం సామాన్యంగా నిజానికి 10 మరియు 11 పరిమాణాలను కలిగి ఉంటాయని భావిస్తాయి. ఈ అదనపు పరిమాణాలు అంతరాళపరమైనవి. మనం కేవలం మూడు అంతరాళ పరిమాణాలను తెలుసుకోగలం, మరియు అదనపు పరిమాణాల వాస్తవాన్ని ఎలాంటి భౌతిక ప్రయోగాలూ ద్రువపరచలేదు. ఒక సాధ్యమైన వివరణ ఏమిటంటే అంతరాళం అనేది అదనపు పరిమాణంలలో అణుస్థాయికన్నా తక్కువలో అది "చుట్టుకున్నట్టూ", బహుశా క్వార్క్/శ్రేణి స్థాయి పరిమాణం లేదా తక్కువలో ప్రవర్తిస్తుంది.
సాహిత్యంలో ఎంతో ప్రాథమిక పద్ధతిలో బహుశా "పరిమాణం" అనే పదాన్ని "లక్షణం", "స్వభావము", "గుణము", లేదా "పరిమాణం" వంటి పదాలకు అతిశయోక్తి పర్యాయపదంగా వాడడం జరుగుతుంది. తరచూ ఈ అతిశయోక్తి పూర్తి సాహితీపరమైనది, ఉదాహరణకు "అతడు ఎంతగానో 2-పరిమాణాల వ్యక్తి" అని చెప్పడం యొక్క అర్థం అతడు ఏమిటి "అన్న" విషయాన్ని వెంటనే మనం చూడవచ్చు. దీనికి విరుద్ధంగా 3-పరిమాణాల వస్తువులకు దృష్టికి కనిపించని అంతర్భాగం ఉంటుంది, మరియు మరింత పరిశీలన తరువాతే చూడగలిగే వెనుకభాగం ఉంటుంది.
విజ్ఞాన కల్పన పుస్తకాలలో తరచూ సమాంతర విశ్వాలు, ప్రత్యామ్నాయ విశ్వాలు, లేదా ఇతర జీవన తలాలగురించి చెప్పేటప్పుడు పరిమాణం అనే భావనను చెప్పడం జరుగుతుంది. ఈ ప్రయోగం, సమాంతర/ప్రత్యామ్నాయ విశ్వాలు/జీవతలాలకు ప్రయాణించడానికి, ప్రామాణికమైనవి కాక వేరొక వైపు/పరిమాణంలో ప్రయాణించాలనే ఆలోచన నుండి ఉత్పన్నమయింది. మొత్తానికి, ఇతర విశ్వాలు/తలాలు మన స్వంత వాటికంటే కొద్ది దూరంలోనే ఉన్నాయి, కానీ ఈ దూరం అనేది నాల్గవ (లేదా ఉన్నతం) అంతరాళ (లేదా అంతరాళం కాని) పరిమాణం, ప్రామాణికమైనది కాదు.
నిజమైన జ్యామితి పరిమాణం గురించి ఎంతో ప్రసిద్ధి చెందిన విజ్ఞాన కల్పనా నవలికల్లో ఒకటి మరియు అటువంటి విషయాలను పరిశీలించడం ప్రారంభించే వారికి తరచూ ప్రారంభ స్థానంగా చెప్పబడేది, ఎడ్విన్ A. అబ్బాట్ వ్రాసిన 1884 నవల "ఫ్లాట్ ల్యాండ్" . ఐజాక్ అసిమోవ్, సిగ్నేట్ క్లాసిక్స్ 1984 ప్రచురణకు తన ముందుమాటలో, "ఫ్లాట్ ల్యాండ్"ను "పరిమాణాలను తెలుసుకునే పద్ధతుల గురించి అత్యుత్తమ పరిచయం"గా అభివర్ణించాడు.
ఇతర పరిమాణాల ఆలోచన ఎన్నో ప్రారంభ విజ్ఞాన కల్పనా కథల్లో చెప్పబడింది, ముఖ్యంగా, ఉదాహరణకు మైల్స్ J. బ్రూయర్యొక్క “ది అపెండిక్స్ అండ్ ది స్పెక్టకిల్స్” (1928) మరియు ముర్రే లీన్స్టర్యొక్క “ది ఫిఫ్త్-డైమెన్షన్ కాటపుల్ట్” (1931) లలో కనిపిస్తుంది; మరియు కొన్ని 1940ల విజ్ఞాన కల్పనల్లో కనిపించింది. ఇతర పరిమాణాల గురించి చెప్పిన కొన్ని అద్భుత కథలు రాబర్ట్ A. హీన్లీన్యొక్క 1941 ' —అండ్ హి బిల్ట్ ఎ క్రూకేడ్ హౌస్ ', ఇందులో ఒక కాలిఫోర్నియా ఆర్కిటెక్ట్ ఒక ఇంటిని ఒక టెసెరాక్ట్ యొక్క మూడు-పరిమాణాల రూపంపై ఆధారపడి తయారు చేస్తాడు, మరియు రెండూ 1951లో విడుదలైన అలన్ E. నౌర్స్యొక్క "టైగర్ బై ది టైల్" మరియు "ది యూనివర్స్ బిట్వీన్". మరొక ఉదాహరణ మడేలీన్ ఎల్'ఎంగెల్యొక్క నవల "ఎ రింకిల్ ఇన్ టైం" (1962), ఇందులో 5వ పరిమాణాన్ని "విశ్వాన్ని టెసెరాక్ట్ చేయడానికి," లేదా మరింత స్పష్టంగా, అంతరాళం సగానికి "మడవడం" ద్వారా త్వరగా అందులో కదలడానికి మార్గంగా చెప్పడం జరిగింది.
1783లో, కాంట్ ఇలా వ్రాసాడు: "ఎక్కడైనా అంతరాళం అనేది (అది స్వయంగా మరొక అంతరాళానికి సరిహద్దు కానప్పుడు) మూడు పరిమాణాలను కలిగి ఉంటుంది మరియు సామాన్యంగా అంతరాళం మరిన్ని పరిమాణాలను కలిగి ఉంటుంది అనేది ఒక బిందువు వద్ద మూడు సరళ రేఖల కన్నా ఎక్కువ లంబ కోణాల్లో ఒకదానినొకటి ఖండించుకోవన్న ప్రతిపాదనపై ఆధారపడింది. ఈ ప్రతిపాదనను భావనల నుండి చూపలేము, కానీ వెంటనే కల్పన మరియు స్వచ్చమైన ఊహపై "కల్పన ద్వారా" ఆధారపడుతుంది ఎందుకంటే అది సైద్ధాంతికంగా (ప్రదర్శకంగా) ఖచ్చితమైనది."