గణిత శాస్త్ర చరిత్ర
గణిత శాస్త్ర చరిత్ర గా తెలిసిన అధ్యయన రంగాన్ని ప్రాథమికంగా గణిత శాస్త్రంలో ఆవిష్కరణల యొక్క మూలాలు తెలుసుకునేందుకు జరిపే పరిశోధనగా చెప్పవచ్చు, కొద్ది మేర, పూర్వకాలానికి చెందిన గణిత శాస్త్ర పద్ధతులు మరియు సంజ్ఞామానంపై అధ్యయనంగా కూడా దీనిని చెప్పుకోవచ్చు.
ఆధునిక యుగానికి మరియు ప్రపంచవ్యాప్తంగా పరిజ్ఞాన విస్తరణ జరగడానికి ముందు కొత్త గణిత శాస్త్ర పరిణామాలకు సంబంధించిన రాతపూర్వక ఉదాహరణలు కొన్ని ప్రదేశాల్లో మాత్రమే తెరపైకి వచ్చేవి. అందుబాటులో ఉన్న అత్యంత పురాతన గణిత శాస్త్ర మూలగ్రంథాలుగా "ప్లింప్టన్ 322" (బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్రం సుమారుగా 1900 BC, "మాస్కో గణిత శాస్త్ర తాళపత్రాలు" (ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్రం సుమారుగా 1850 BC), మరియు "రింద్ గణిత శాస్త్ర తాళపత్రాలు" (ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్రం సుమారుగా 1650 BC) గుర్తింపు పొందాయి. ఈ గ్రంథాలన్నింటిలో పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ప్రస్తావించబడింది, ప్రాథమిక అంక గణితం మరియు క్షేత్ర గణితం తరువాత అభివృద్ధి చెందిన అత్యంత పురాతన మరియు విస్తృతమైన గణిత శాస్త్ర పరిణామంగా ఈ సిద్ధాంతం ప్రాచుర్యం పొందింది.
గ్రీకు మరియు హెలెనిస్టిక్ సంస్కృతులు గణిత శాస్త్రం యొక్క పద్ధతులను (ఆధారసహిత వ్యవకలన వాదం మరియు గణిత శాస్త్ర కఠినత) బాగా మెరుగుపరచడంతోపాటు, దీనికి సంబంధించిన అంశాలను విస్తరించాయి. స్థానబల వ్యవస్థ వంటి ప్రారంభ అంశాలతో చైనీయుల గణిత శాస్త్రం కూడా గణిత శాస్త్రాభివృద్ధికి దోహదపడింది. హిందూ-అరబిక్ అంకెల వ్యవస్థ మరియు దీనిని వినియోగించేందుకు ఉద్దేశించిన నిబంధనలు ఈ రోజు ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి, తొలి సహస్రాబ్ది AD కాలంలో ఈ వ్యవస్థ భారతదేశంలో అభివృద్ధి చేయబడింది, ఇస్లామిక్ గణిత శాస్త్రం ద్వారా ఇది పశ్చిమ దేశాలకు విస్తరించబడింది. వరుసక్రమంలో, ఇస్లామిక్ గణిత శాస్త్రం ఈ నాగరికతలకు తెలిసిన గణిత శాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి చేయడంతోపాటు, విస్తరించింది. గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అనేక గ్రీకు మరియు అరబిక్ గ్రంథాలు ఈ తరువాత లాటిన్‌లోకి అనువదించబడ్డాయి, మధ్యయుగ యూరప్‌లో గణిత శాస్త్రం మరింత అభివృద్ధి చేయబడేందుకు ఈ అనువాదాలు దోహదపడ్డాయి.
పురాతన కాలం నుంచి మధ్యయుగ కాలం వరకు, తరచుగా కొన్ని శతాబ్దాల స్తబ్దత నడుమ గణిత శాస్త్ర సృజనాత్మకత వెలుగుచూసేది. 16వ శతాబ్దంలో ఇటలీ పునరుజ్జీవనోద్యమంలో ప్రారంభమైన కొత్త గణిత శాస్త్ర పరిణామాలు, నూతన శాస్త్రీయ అన్వేషణలతో సంకర్షణ చెందే ప్రక్రియలు బాగా జోరందుకున్నాయి, ఇది ఈ రోజుకు కూడా కొనసాగుతోంది.
గణిత శాస్త్ర ఆలోచన యొక్క మూలాలు అంకె, పరిమాణం, ఆకృతికి సంబంధించిన భావనల్లో ఉన్నాయి. జంతు జ్ఞానానికి సంబంధించిన ఆధునిక అధ్యయనాలు మానవులకు ఈ భావనలు అనుపమానమైనవిగా నిరూపించాయి. వేటగాళ్లు-సంగ్రాహకుల సమాజాల్లో ఇటువంటి భావనలు రోజువారీ జీవితంలో భాగంగా ఉండేవి. కాలంతోపాటు క్రమక్రమంగా అభివృద్ధి చెందిన అంకెకు సంబంధించిన భావన ఈ రోజుకు కూడా కొన్ని భాషల్లో స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది, "ఒకటి", "రెండు" మరియు "అనేకం" మధ్య భేదం సంరక్షించబడింది, అయితే రెండు కంటే ఎక్కువ సంఖ్యల మధ్య భేదం మాత్రం కనుమరుగైంది.
అత్యంత పురాతన గణిత శాస్త్ర వస్తువుగా లెబాంబో ఎముక గుర్తింపు పొందింది, దీనిని స్విట్జర్లాండ్‌లోని లెబాంబో పర్వతాల్లో గుర్తించారు, ఇది దాదాపుగా 35,000 BC కాలానికి చెందినదని భావిస్తున్నారు. ఇది బబూన్ అని పిలిచే పురాతన కాలానికి చెందిన గండు కోతి యొక్క కాలిలో వెలుపలి ఎముక (బహిర్జంఘిక), దీనిపై ఉద్దేశపూర్వకంగా 29 వైవిధ్యభరిత గాట్లు పెట్టబడివున్నాయి. మహిళలు వారి యొక్క రుతు చక్రాలను గుర్తించేందుకు, లెక్కించేందుకు దీనిని ఉపయోగించినట్లు ఆధారం ఉంది: ఎముకపై లేదా రాయిపై ఒక ప్రత్యేకమైన గుర్తుతోపాటు 28 నుంచి 30 గాట్లు ఉన్నాయి. ఆఫ్రికా మరియు ఫ్రాన్స్‌ల్లో కూడా చరిత్రపూర్వ కృత్రిమ వస్తువులు గుర్తించబడ్డాయి, వీటిని 35,000 మరియు 20,000 సంవత్సరాల మధ్య కాలానికి చెందినవిగా భావిస్తున్నారు, వీటితో సమయాన్ని కొలిచేందుకు ప్రారంభ ప్రయత్నాలు జరిగినట్లు పరిగణిస్తున్నారు.
నైలు నది జన్మస్థానానికి (ఈశాన్య కాంగో) సమీపంలో దొరికిన ఐషాంగో ఎముక సుమారుగా 20,000 సంవత్సరాల పూర్వకాలానికి చెంది ఉంటుందని భావిస్తున్నారు, ఈ ఎముకపై మూడు నిలువు వరుసల్లో గుర్తులు చెక్కబడి ఉన్నాయి. ప్రధానాంకాల క్రమాలు లేదా ఆరు నెలలు కలిగివుండే చంద్రమాన క్యాలండర్‌కు సంబంధించిన ప్రారంభ రుజువును ఐషాంగో ఎముకపై ఉన్న గుర్తులు చూపిస్తున్నట్లు భావనలు వ్యక్తమయ్యాయి. 5వ సహస్రాబ్ది BCకి చెందిన రాజవంశపూర్వ ఈజిప్టు పౌరులు చిత్రాల రూపంలో క్షేత్రగణిత నమూనాలను రూపొందించారు. 3వ సహస్రాబ్ది BCకి చెందిన ఇంగ్లండ్, స్కాట్లాండ్‌లోని మెగలితిక్ స్మారక కట్టడాలు వాటి యొక్క నమూనాల్లో వృత్తాలు, దీర్ఘవృత్తాలు మరియు పైథాగరియన్ త్రిభుజాలు వంటి క్షేత్రగణిత ఆలోచనలు కలిగివున్నాయి.
బాబిలోనియన్ల గణిత శాస్త్రం ప్రారంభ సుమేరియన్ల నుంచి హెలెనిస్టిక్ కాలం వరకు మెసపటోమియా (ఆధునిక ఇరాక్) పౌరులకు సంబంధించిన అన్ని గణిత శాస్త్ర పద్ధతులను సూచిస్తుంది. అధ్యయన ప్రదేశంగా బాబిలోన్ ప్రధాన పాత్ర పోషించడంతో దీనికి బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్రం అనే పేరు వచ్చింది, హెలెనిస్టిక్ కాలంలో ఇది కనుమరుగైంది. ఈ కాలంలో హెలెనిస్టిక్ గణిత శాస్త్రం వృద్ధి చెందేందుకు గ్రీకు మరియు ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్రాలతో బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్రం విలీనమైంది. అరబ్ సామ్రాజ్యం పరిధిలో, మెసపటోమియా, ముఖ్యంగా బాగ్దాద్‌ మరోసారి ఇస్లామిక్ గణితశాస్త్ర అధ్యయనానికి ముఖ్యమైన కేంద్రంగా అవతరించింది.
ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్రంలోని మూలాలు అక్కడక్కడా లభించగా, దీనికి విరుద్ధంగా బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్ర పరిజ్ఞానం 400లకుపైగా మట్టి పలకల నుంచి నిర్వచించబడింది, వీటికి సంబంధించిన సాక్ష్యాలు 1850వ దశకం నుంచి వెలికితీయబడ్డాయి. మట్టి తడిగా ఉన్నప్పుడు క్యోనీఫామ్ లిపిలో రాసిన పలకలను ఆవంలో పెట్టి కాలుస్తారు లేదా ఎండలో పెట్టి వేడి చేస్తారు. వీటిలో కొన్ని సరీకృత నగిషీలతో కనిపిస్తాయి.
మెసపటోమియాలో ప్రారంభ నాగరికతను నిర్మించిన పురాతన సుమేరియన్ల కాలంలోనే తొలి రాతపూర్వక గణిత శాస్త్ర సాక్ష్యం లభించింది. 3000 BC నుంచి వారు తూనికలు, కొలతలకు సంబంధించిన శాస్త్రం యొక్క సంక్లిష్ట వ్యవస్థను అభివృద్ధి చేశారు. సుమారుగా 2500 BC తరువాత నుంచి, సుమేరియన్లు మట్టి పలకలపై గుణకార పట్టికలు రాయడంతోపాటు, క్షేత్ర గణిత అభ్యాసాలు మరియు భాగాహార లెక్కలను పరిష్కరించారు. బాబిలోనియన్ అంకెలకు సంబంధించిన సాక్ష్యాలు కూడా ఈ కాలానికి చెందినవిగా గుర్తించారు.
దొరికిన మట్టి పలకల్లో ఎక్కువ భాగం 1800 నుంచి 1600 BC కాలానికి చెందినవిగా గుర్తించబడ్డాయి, భిన్నాలు, బీజగణితం, వర్గ మరియు ఘన సమీకరణాలు మరియు క్రమ విలోమ జతలు లెక్కించడం (ప్లింప్టోన్ 322 చూడండి) వంటి అంశాలు ఈ మట్టి పలకలు తెలియజేస్తున్నాయి. ఈ పలకలు గుణకార పట్టికలు మరియు సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాలు పరిష్కరించే పద్ధతులు కూడా కలిగివున్నాయి. బాబిలోనియన్ల కాలానికి చెందిన YBC 7289 పలక √2 యొక్క విలువను ఐదు దశాంశ స్థానాల వరకు కచ్చితంగా సూచించే ఒక మదింపు లెక్కను కలిగివుంది.
బాబిలోనియన్ల గణిత శాస్త్రం ఒక షష్ట్యంశ (బేస్-60) సంఖ్యా మానాన్ని ఉపయోగించి రాయబడి ఉంది. దీని నుంచి ఆధునిక రోజుల్లో ఉపయోగించబడుతున్న నిమిషంలో 60 సెకన్లు, గంటలో 60 నిమిషాలు, ఒక వృత్తంలో 360 (60 x 6) డిగ్రీలు నిర్వచించబడ్డాయి, ఒక డిగ్రీలో భిన్నాలు సూచించేందుకు సెకెన్లు మరియు నిమిషాల యొక్క చాపాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దీనిని వాడుతున్నారు. 60కి అనేక విభాజకాలు ఉన్న వాస్తవం సాయపడటంతో బాబిలోనియన్ల గణిత శాస్త్రం అభివృద్ధి పరచబడింది. ఈజిప్షియన్లు, గ్రీకులు, మరియు రోమన్లకు భిన్నంగా బాబిలోనియన్లు వాస్తవ స్థాన-బల వ్యవస్థను కలిగివున్నారు, ఇందులో దశాంశ వ్యవస్థలో మాదిరిగా ఎడమవైపు వరుసలో రాయబడే అంకెలు పెద్ద విలువలను కలిగివుంటాయి. అయితే వారికి దశాంశ బిందువుకు సమసూచి లేకపోవడంతో, తరచుగా ఒక గుర్తు యొక్క స్థాన బలాన్ని సందర్భాన్ని బట్టి ఊహించాల్సి వచ్చేది.
ఈజిప్షియన్ భాషలో రాయబడిన గణిత శాస్త్రాన్ని ఈజిప్ట్‌కు చెందిన గణిత శాస్త్రంగా పరిగణించబడుతోంది. హెలెనిస్టిక్ కాలం నుంచి, ఈజిప్షియన్ పరిశోధకులు రాత భాషగా ఈజిప్టు భాష స్థానాన్ని గ్రీకు భాష ఆక్రమించింది, ఈ పరిణామం తరువాత హెలెనిస్టిక్ గణిత శాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి పరిచేందుకు గ్రీకు మరియు బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్రంలో ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్రం విలీనమైంది. ఈజిప్ట్‌లో గణిత శాస్త్ర అధ్యయనం తరువాత అరబ్ సామ్రాజ్యం పరిధిలో ఇస్లామిక్ గణిత శాస్త్రంలో భాగంగా కొనసాగింది, ఈ సమయంలో ఈజిప్షియన్ పరిశోధకులకు అరబిక్ రాత భాష అయింది.
మాస్కో తాళపత్రాలు ఇప్పటి వరకు లభించిన అత్యంత పురాతనమైన గణిత శాస్త్ర గ్రంథాలుగా గుర్తింపు పొందాయి, ఈజిప్షియన్ మధ్య సామ్రాజ్యం హయాంకు చెందిన ఈ తాళపత్రాలు సుమారుగా 2000–1800 BCకి చెందినవిగా గుర్తించారు. అనేక ఇతర పురాతన గణిత శాస్త్ర గ్రంథాలు మాదిరిగా, ఇవి ఈ రోజుల్లో "పద సమస్యలు" లేదా కథ "సమస్యలు"గా పిలవబడుతున్న గణిత శాస్త్ర అంశాలను కలిగివున్నాయి, వినోదానికి ఉద్దేశించి ఇవి అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి. ఖండం (తునక) యొక్క ఘనపరిమాణం తెలుసుకునే పద్ధతిని తెలియజేస్తున్న కారణంగా ఒక సమస్య ప్రాధన్యత సంతరించుకుంది: "మీరు: ఒక మొండి పిరమిడ్ యొక్క నిలువు ఎత్తు 6, మూలం ఎత్తు 4, మరియు అగ్రభాగం ఎత్తు 2 అని చెప్పినట్లయితే. ఈ 4కు వర్గం చేస్తే, ఫలితం 16. 4ను రెట్టింపు చేస్తే, ఫలితం 8. 2ను వర్గం చేయాలి, ఫలితం 4. తరువాత 16, 8, 4 కూడిక చేయాలి, ఫలితం 28. 6లో మూడో వంతు తీసుకోవాలి, ఫలితం 2. 28ని రెట్టింపు చేయాలి, ఫలితం 56. ఫలితం 56 వచ్చింది. దీనిని సరైన ఫలితంగా మీరు గుర్తించవచ్చు."
ఆర్‌హింద్ తాళపత్రాలు (సుమారుగా 1650 BC ) రూపంలో మరో ప్రధాన ఈజిప్షియన్ గణిత శాస్త్ర గ్రంథాలు వెలికితీయబడ్డాయి, దీనిని అంక గణితం మరియు క్షేత్ర గణితంలో అధ్యాపన చేతి పుస్తకంగా చెప్పవచ్చు. అంతేకాకుండా ఈ తాళపత్రాల్లో గుణకారం, భాగాహారం మరియు ఏకాంక భిన్నాలతో పని చేసేందుకు అవసరమైన ప్రదేశ సూత్రాలు మరియు పద్ధతులు తెలియజేస్తుంది, వీటితోపాటు సంక్లిష్ట మరియు ప్రధానాంకాలు; అంక గణితం, క్షేత్ర గణితం మరియు సరళావర్త సగటులు వంటి ఇతర గణిత శాస్త్ర పరిజ్ఞానం కూడా ఇందులో చూడవచ్చు; మరియు ఎరాటోస్తనీస్ జల్లెడ మరియు పరిపూర్ణ సంఖ్య సిద్ధాంతం (అనగా, 6) ను సులభంగా అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది ఉపయోగపడుతుంది. తొలి క్రమ సరళ సమీకరణాలు  తోపాటు అంక గణిత మరియు క్షేత్ర గణిత శ్రేణులను (జ్యామితీయ శ్రేణులు)  పరిష్కరించడం ఎలాగో ఈ తాళపత్రాలు చూపిస్తున్నాయి.
అంతేకాకుండా, ఆర్‌హింద్ తాళపత్రాల్లో ఉన్న మూడు క్షేత్ర గణిత అంశాలు వైశ్లేషిక జ్యామితిని సులభంగా అర్థం చేసుకోవడం ఎలాగో సూచిస్తాయి: (1) మొదటి మరియు మొట్టమొదటి అంశం, formula_1 యొక్క కచ్చితమైన స్థూలమానాన్ని ఒక శాతం కంటే తక్కువ పరిధిలో ఎలా తెలుసుకోవాలో సూచిస్తుంది; (2) రెండొవ అంశం, వృత్తంలో చతురస్రాన్ని నిర్మించడం వంటి సమస్యకు పురాతన ప్రయత్నాన్ని సూచిస్తుంది; (3) మూడొవ అంశం ద్వారా కాటాంజెంట్‌ను తొలిసారి ఉపయోగించినట్లు తెలుస్తోంది.
చివరగా, బెర్లిన్ తాళపత్రాలు (ఇవి సుమారుగా 1300 BC   కాలానికి చెందినవి), ఇవి ఈజిప్షియన్లు ద్వితీయ-క్రమ అంక గణిత సమీకరణాన్ని పరిష్కరించగలిగారని తెలియజేస్తున్నాయి .
సుమారుగా 600 BC మరియు AD 300 మధ్య కాలంలో గ్రీకు భాషలో రాయబడిన గణిత శాస్త్రాన్ని గ్రీకు గణిత శాస్త్రంగా పరిగణిస్తున్నారు. ఇటలీ నుంచి ఉత్తర ఆఫ్రికా వరకు, తూర్పు మధ్యధరా ప్రాంతంలో వ్యాపించివున్న నగరాల్లో గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు జీవించినట్లు తెలుస్తోంది, అయితే వారు సంస్కృతి మరియు భాష కారణంగా ఏకతాటిపైకి వచ్చారు. గ్రీకు గణిత శాస్త్రం అలెగ్జాండర్ చక్రవర్తి తరువాతి కాలానికి సంబంధించిన గ్రీకు గణిత శాస్త్రాన్ని కొన్నిసార్లు హెలెనిస్టిక్ గణిత శాస్త్రంగా పరిగణిస్తున్నారు.
థాలెస్ (సుమారుగా 624–c.546 BC కాలం) మరియు పైథాగరస్ (సుమారుగా 582– 507 BC కాలం) లను ప్రారంభ గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులుగా గుర్తించబడుతున్నారు. వారు ఎవరిచేత ప్రభావితమయ్యేరనేది వివాదాస్పదంగా ఉన్నప్పటికీ, బహుశా వారు ఈజిప్షియన్ మరియు బాబిలోనియన్ గణిత శాస్త్రం నుంచి స్ఫూర్తి పొందినట్లు భావిస్తున్నారు. లెజెండ్ ప్రకారం, ఈజిప్టు గురువుల వద్ద గణిత శాస్త్రం, క్షేత్ర గణితం మరియు ఖగోళ శాస్త్రం నేర్చుకునేందుకు పైథాగరస్ ఈజిప్టుకు వెళ్లినట్లు తెలుస్తోంది.
పిరమిడ్ల ఎత్తును మరియు తీరం నుంచి నౌకలు ఎంత దూరంలో ఉన్నాయో తెలుసుకునే లెక్కలను పరిష్కరించడానికి థాలెస్ క్షేత్ర గణితాన్ని ఉపయోగించాడు. పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం యొక్క తొలి సాక్ష్యం మాత్రం పైథాగరస్ పేరు మీద లభించింది, అయితే ఈ సిద్ధాంతం సుదీర్ఘ చరిత్ర కలిగివుంది.
పైథాగరస్ తెలియజేసిన, అతని పేరు మీద ఉన్న సిద్ధాంతం పైథాగరియన్ త్రిభుజాలను క్షేత్ర గణితపరంగా కాకుండా అంక గణితపరంగా నిర్మించిందని యుక్లిడ్‌పై మాట్లాడుతూ ప్రొక్లస్ పేర్కొన్నాడు. ప్లేటో అకాడమీ "ఇక్కడ అడుగుపెట్టిన ఎవరూ క్షేత్ర గణితంలో అసమర్థులుగా ఉండకుండా చేస్తామనే" నినాదాన్ని కలిగివుంది.
పైథాగరియన్లు (పైథాగరస్ అనుచరులు) అనిష్ప సంఖ్యలు ఉన్నాయని నిరూపించారు. యుడోక్సస్ (408–సుమారుగా 355 BC కాలం) శోషణ పద్ధతిని అభివృద్ధి చేశాడు, దీనిని ఆధునిక సమాకలనం యొక్క పూర్వగామిగా చెప్పవచ్చు. అరిస్టాటిల్ (384—సుమారుగా 322 BC కాలం) తొలిసారి తర్క శాస్త్రం యొక్క సూత్రాలను రాశాడు. యూక్లిడ్ (సుమారుగా 300 BC కాలం) ఈ రోజుకు కూడా గణిత శాస్త్రంలో ఉపయోగించబడుతున్న నిర్వచనం, ధర్మము, సిద్ధాంతం, రుజువు అంశాలకు ప్రారంభ ఉదాహరణలను అందజేశాడు. శృంగాకారాలపై కూడా ఆయన అధ్యయనం చేశాడు. ఆయన రాసిన "ఎలిమెంట్స్" అనే పుస్తకం 20వ శతాబ్దం మధ్యకాలం వరకు పశ్చిమ దేశాల్లో విద్యావంతులందరికీ సుపరిచితంగా ఉండేది. క్షేత్ర గణితంలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతం వంటి సిద్ధాంతాలతోపాటు, రెండు యొక్క వర్గం అనిష్ప సంఖ్య మరియు అనంతం వరకు ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయని అనేందుకు ఆధారాన్ని కూడా "ఎలిమెంట్స్" కలిగివుంది. ఎరాటోస్తనీస్ జల్లెడ (సుమారుగా 230 BC కాలం) ను ప్రధాన సంఖ్యలు గుర్తించేందుకు ఉపయోగించాడు.
సైరాకుస్‌కు చెందిన ఆర్కిమెడిస్ (సుమారుగా 287–212 BC కాలం) అనంత శ్రేణిని కలపడం ద్వారా పరవలయం యొక్క చాపం కింద వైశాల్యాన్ని లెక్కించేందుకు శోషణ పద్ధతిని ఉపయోగించాడు, దీని ద్వారా Pi యొక్క అత్యంత కచ్చితమైన స్థూలమానాన్ని ఇవ్వగలిగాడు. ఆర్కిమెడిస్ తన పేరు కలిగివున్న సర్పిలం, పరిభ్రమణం యొక్క ఉపరితలాల ఘనపరిమాణాలు కనుగొనేందుకు సూత్రాలు మరియు బాగా పెద్ద సంఖ్యలను సూచించేందుకు ఒక సూక్ష్మ పద్ధతిపై కూడా అధ్యయనం చేశాడు.
చైనీయుల గణిత శాస్త్రం షాంగ్ రాజవంశం (1600–1046 BC) నుంచి కొనసాగుతోంది, ఇది తాబేలు కవచంపై గీయబడిన సంఖ్యలు కలిగివుంది  . ఈ సంఖ్యలు దశాంశ సంజ్ఞామానం ద్వారా తెలియజేయబడ్డాయి. ఉదాహరణకు, 123 అనే సంఖ్యను (పైనుంచి కిందకు)1 యొక్క గుర్తు తరువాత 100 గుర్తు, ఆపై 2 యొక్క గుర్తు, తరువాత 10 యొక్క గుర్తు, చివరగా 3 యొక్క గుర్తుతో రాయబడివుంటుంది. ఈ సమయానికి ప్రపంచంలో అందుబాటులో ఉన్న అత్యంత అధునాతన సంఖ్యా వ్యవస్థగా ఇది గుర్తింపు పొందింది, "సువాన్ పాన్" లేదా (చైనీయుల పలక) పై గణనలు చేసేందుకు ఈ సంఖ్యా వ్యవస్థ వీలు కల్పించింది. "సువాన్ పాన్" కనుగొన్న సమయం అస్పష్టంగా ఉంది, అయితే దీనిని ఉపయోగాన్ని ధృవీకరించే ఆధారాలు మాత్రం AD 190 నుంచి లభ్యమయ్యాయి, జు యూ యొక్క "సప్లిమెంటరీ నోట్స్ ఆన్ ది ఆర్ట్ ఆఫ్ ఫిగర్స్‌"లో సంబంధిత ప్రస్తావన ఉంది.
చైనాలో, 212 BCలో అధికారంలో ఉన్న ఖిన్ షి హువాంగ్ (షి హువాంగ్-టి) అనే చక్రవర్తి ఖిన్ సామ్రాజ్యంలో అధికారిక గుర్తింపు ఉన్నవాటిని మినహాయించి అన్ని పుస్తకాలను బూడిద చేయాలని ఆదేశించాడు. ఈ నిబంధన అన్నిచోట్లా అమలు కాలేదు, అయితే పురాతన చైనీయుల గణిత శాస్త్రం గురించి తక్కువ వివరాలు మాత్రమే అందుబాటులో ఉండటానికి ఈ ఆదేశం కారణమైంది. పశ్చిమ ఝౌ రాజవంశం (1046 BC నుంచి) నుంచి, పుస్తకాల కాల్చివేత ఆదేశాన్ని తప్పించుకున్న అత్యంత పురాతన గణిత శాస్త్రం గ్రంథం "I చింగ్‌"లో తత్వ శాస్త్రం, గణిత శాస్త్రం మరియు మార్మిక ప్రయోజనాలకు 8 ద్వియాంశ 3-టుపుల్స్ (ట్రైగ్రామ్స్) మరియు 64 ద్వియాంశ 6-టుపుల్స్ (హెక్సాగ్రామ్స్) ఉపయోగించడం జరిగింది. విరిగిన మరియు దృఢమైన రేఖలతో ద్వియాంశ టుపుల్స్ రాయబడ్డాయి, వీటిని వరుసగా యిన్ (స్త్రీ) మరియు యాంగ్ (పురుష) లతో సూచించారు (కింగ్ వెన్ శ్రేణిని చూడండి).
చైనాలో అత్యంత పురాతన క్షేత్ర గణిత శాస్త్ర ఆధారాలు మోహిస్ట్ సాధికారిక సాహిత్యం సుమారుగా 330 BC కాలంలో లభించాయి, వీటిని మోజి (470–390 BC కాలం) అనుచరులు సంగ్రహించారు. "మో జింగ్" భౌతిక శాస్త్రంతో సంబంధం ఉన్న అనేక రంగాల యొక్క వివిధ దృక్కోణాలను వర్ణించారు, గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించి కూడా కొద్దిమేర సమాచారాన్ని సృష్టించాడు.
పుస్తకాల కాల్చివేత తరువాత, హాన్ రాజవంశం (202 BC–220 AD) అప్పటికి కోల్పోయిన చాలా వరకు గణిత శాస్త్ర గ్రంథాలను తిరిగి రూపొందించే కార్యక్రమం చేపట్టింది. పునరుద్ధరించబడిన గ్రంథాల్లో ముఖ్యమైనది "ది నైన్ ఛాప్టర్స్ ఆన్ ది మ్యాథమ్యాటికల్ ఆర్ట్", పూర్తి శీర్షిక AD 179 కాలానికి తెరపైకి వచ్చింది, అయితే ముందుగా ఉన్న ఇతర శీర్షికల్లో భాగంగా ఇది నిలిచిపోయింది. ఇది వ్యవసాయం, వ్యాపారం, చైనీయుల పగోడా గోపురాల ఎత్తు ఆద్యంతాలు మరియు కొలత నిష్పత్తులు, ఇంజనీరింగ్, సర్వేయింగ్ తదితర అంశాలకు సంబంధించిన 246 పద సమస్యలు కలిగివుంది, అంతేకాకుండా లంబకోణ త్రిభుజాలు మరియు πకి సంబంధించిన వివరాలు కూడా ఇందులో ఉన్నాయి. ఘనపరిమాణంపై కావెలిరీ సిద్ధాంతం యొక్క ఉపయోగాన్ని కూడా ఇది సూచించింది, దీని తరువాత దాదాపుగా వెయ్యి సంవత్సరాలకు కావెలిరీ పశ్చిమ దేశాల్లో తన పేరు మీద ఉన్న సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించాడు. ఇది పైథాగరస్ సిద్ధాంతానికి గణిత శాస్త్ర రుజువును మరియు గాసియన్ విలోపనానికి గణిత సూత్రాన్ని సృష్టించింది. లీ హుయ్ 3వ శతాబ్దం AD కాలంలోనే దీనికి సంబంధించిన సమాచారాన్ని తెలియజేశాడు.
అంతేకాకుండా హాన్ రాజవంశ కాలానికి చెందిన ఖగోళ శాస్త్రజ్ఞుడు మరియు పరిశోధకుడు జాంగ్ హెంగ్ (AD 78–139) piకి కూడా ఒక సూత్రీకరణ ప్రతిపాదించాడు, ఇది లీ హుయ్ యొక్క గణనకు విభిన్నంగా ఉంటుంది. జాంగ్ హెంగ్ Piకి తాను కనిపెట్టిన సూత్రాన్ని గోళం యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనేందుకు ఉపయోగించాడు. గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, సంగీత సిద్ధాంతకర్తగా గుర్తింపు పొందిన జింగ్ ఫాంగ్ (78–37 BC) రచనలు కూడా అందుబాటులో ఉన్నాయి; పైథాగరియన్ కామా ఉపయోగించడం ద్వారా జింగ్ 53 జస్ట్ ఫిప్త్లు 31 ఆక్టేవ్‌లు రెండూ దాదాపుగా సమానమేనని గుర్తించాడు. ఈ పరిణామం 53 ఈక్వల్ టెంపర్‌మెంట్‌ను కనిపెట్టేందుకు దోహదపడింది, జర్మనీకి చెందిన నికోలస్ మెర్కాటర్ 17వ శతాబ్దంలో లెక్కించే వరకు దీనికి సంబంధించిన గణనలు ఇంత కచ్చితంగా ప్రపంచంలో మరెక్కడా జరగలేదు.
చైనీయులు మ్యాజిక్ స్క్వేర్ మరియు మ్యాజిక్ సర్కిల్స్‌గా తెలిసిన సంక్లిష్ట సంయోగ చిత్రాలు కూడా ఉపయోగించారు, యాంగ్ హుయ్ (AD 1238–1398) చేత పురాతన కాలంలోనే వీటికి సంబంధించిన వర్ణనలు మరియు సంపూర్ణ సమాచారం తెలియజేయబడింది. దక్షిణ మరియు ఉత్తర రాజవంశాలు పాలించిన కాలానికి చెందిన జు చోంగ్‌జీ (5వ శతాబ్దం) π యొక్క విలువను పలు దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్కించాడు, సుమారుగా 1000 ఏళ్లపాటు ఇది πకి అత్యంత కచ్చితమైన విలువగా ఉపయోగించబడింది.
పునరుజ్జీవనోద్యమం సందర్భంగా ఐరోపాకు చెందిన గణిత శాస్త్రాలు బాగా వృద్ధి చెందడం ప్రారంభమైన తరువాత కూడా, ఐరోపా మరియు చైనీయుల గణిత శాస్త్రాలు వేర్వేరు సంప్రదాయాలుగా కొనసాగాయి, ఇదే సమయంలో చైనీయులు గణిత శాస్త్ర ఫలితాలు క్షీణత జరిగింది, 16వ శతాబ్దం నుంచి 18వ శతాబ్దం వరకు మట్టెయో రిక్కీ వంటి జెస్యూట్ మిషనరీల కారణంగా రెండు సంప్రదాయాలు గణిత శాస్త్ర ఆలోచనలను ఇచ్చిపుచ్చుకున్నాయి.
భారత ఉపఖండంపై ప్రారంభ నాగరికతగా గుర్తింపు పొందిన సింధూ లోయ నాగరికత 2600 మరియు 1900 BCలో సింధూ నది పరీవాహ ప్రాంతంలో వృద్ధి చెందింది. వీరి నగరాలు క్షేత్ర గణిత నిబంధనలతో నిర్మించబడ్డాయి, అయితే ఈ నాగరికతకు సంబంధించిన గణిత శాస్త్ర గ్రంథాలేవీ ప్రస్తుతం అందుబాటులో లేవు.
భారతదేశంలో ప్రారంభ ఆశ్మ యుగం (ఇనుప యుగం) కాలంలో వేద గణిత శాస్త్రం ప్రారంభమైంది. "శతపథ బ్రాహ్మణ" (సుమారుగా 9వ శతాబ్దం BC) π యొక్క విలువను మదింపు చేసింది, మరియు సులభ సూత్రాలు (సుమారుగా 800–500 BC కాలం) అనిష్ప సంఖ్యలు, ప్రధాన సంఖ్యలు, రూల్ ఆఫ్ త్రీ మరియు క్యూబ్ రూట్‌లు ఉపయోగించిన క్షేత్ర గణిత అంశాలుగా గుర్తింపు పొందాయి; ఇవి 2 యొక్క వర్గ మూలం లక్షలో ఒక భాగం వరకు లెక్కించాయి; ఇవి ఇచ్చిన చతురస్రం వైశాల్యానికి దాదాపుగా సమానమైన ఒక వృత్తాన్ని నిర్మించేందుకు ఉపయోగించాల్సిన పద్ధతిని అందించడంతోపాటు, సరళ మరియు వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించాయి; అంక గణితపరంగా పైథాగరియన్ త్రయాలను అభివృద్ధి చేసేందుకు మరియు పైథాగరియన్ సిద్ధాంతానికి వివరణను మరియు సంఖ్యాపరమైన రుజువును అందజేశాయి.
"సూర్య సిద్ధాంతం" (సుమారుగా 400) సైన్, కొసైన్, మరియు ఇన్వర్స్ సైన్ వంటి త్రికోణమితి ప్రమేయాలను పరిచయం చేసింది మరియు నక్షత్రాల వాస్తవ కదలికలు గుర్తించేందుకు ఉపయోగపడే సూత్రాలను అందించింది, దీని ద్వారా ఆకాశంలో వాటి వాస్తవ స్థానాలు తెలుసుకునేందుకు వీలు ఏర్పడింది. పూర్వగ్రంథాల నుంచి సేకరించి, ఈ గ్రంథంలో వివరించబడిన విశ్వశాస్త్ర కాల చక్రాలు ఒక సగటు నక్షత్ర సంవత్సరం యొక్క విలువను 365.2563627 రోజులుగా చూపిస్తున్నాయి, ఒక నక్షత్ర సంవత్సరం యొక్క ఆధునిక విలువ 365.25636305 రోజులతో పోలిస్తే ఈ విలువ 1.4 సెకన్లు మాత్రమే ఎక్కువగా చూపిస్తుంది. మధ్యయుగ కాలం సందర్భంగా ఈ గ్రంథాలు అరబిక్ మరియు లాటిన్‌లోకి అనువదించబడ్డాయి.
ఆర్యభట్టా, 499లో, వెర్సైన్ ప్రమేయాన్ని పరిచయం చేశాడు, సైన్ యొక్క తొలి భారతీయ త్రికోణమితి పట్టికలు రూపొందించాడు, బీజగణితం, ఇన్ఫినిటెసిమల్స్ (అతిసూక్ష్మ రాశులు) మరియు అవకలన సమీకరణాలు మరియు ఆధునిక పద్ధతులకు సరిసమానమైన ఒక పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ సమీకరణాలకు పూర్తి సంఖ్యాపరమైన పరిష్కారాలు కనుగొనే సంవిధానాలను మరియు క్రమసూత్ర పద్ధతులు అభివృద్ధి చేశాడు, అంతేకాకుండా సూర్య కేంద్ర వ్యవస్థ గురుత్వాకర్షణ ఆధారిత కచ్చితమైన ఖగోళ సంబంధ గణనలు వృద్ధి చేశాడు. అతను రాసిన "ఆర్యభట్టియా" గ్రంథం యొక్క 8వ శతాబ్దానికి చెందిన ఒక అరబిక్ అనువాదం, 13వ శతాబ్దానికి చెందిన ఒక లాటిన్ అనువాదం అందుబాటులో ఉన్నాయి. 62832/20000 = 3.1416కి సమానమైన ఒక π విలువను అతను ప్రతిపాదించాడు. 14వ శతాబ్దంలో, మాధవ సంగమగ్రామ అనే భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు మాధవ–లెబ్నిజ్ శ్రేణిని కనిపెట్టాడు, మరియు 21 పదాలను ఉపయోగించి π యొక్క విలువను 3.14159265359గా ప్రతిపాదించాడు.
7వ శతాబ్దంలో, బ్రహ్మగుప్తుడు తనపేరు మీద ప్రసిద్ధి చెందిన బ్రహ్మగుప్తసిద్ధాంతం, బ్రహ్మగుప్త గుర్తు మరియు బ్రహ్మగుప్తు సూత్రం కనిపెట్టాడు మరియు తొలిసారి "బ్రహ్మ-స్ఫుత-సిద్ధాంతం"లో చలరాశి మరియు దశాంశ అంకెగా సున్నా ఉపయోగాన్ని స్పష్టం చేయడంతోపాటు మరియు హిందూ-అరబిక్ సంఖ్య వ్యవస్థను వివరించాడు. ఈ భారతీయ గ్రంథం యొక్క అనువాదం నుంచి (సుమారుగా 770 కాలంలో) ఇస్లామిక్ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈ సంఖ్యా వ్యవస్థను పరిచయం చేశారు, వీటిని వారు అరబిక్ అంకెలుగా స్వీకరించారు. ఇస్లామిక్ పరిశోధకులు ఈ సంఖ్యా వ్యవస్థ యొక్క పరిజ్ఞానాన్ని 12వ శతాబ్దంలో ఐరోపాకు తీసుకెళ్లారు, తదనంతరం దీనికి పూర్వం ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఉన్న పురాతన సంఖ్యా వ్యవస్థలన్నింటి స్థానాల్లోకి ఈ సంఖ్యా వ్యవస్థ వచ్చి చేరింది. 10వ శతాబ్దంలో, పింగళ గ్రంథాలపై హలాయుధా వ్యాఖ్యానం ఫిబోనాక్కీ శ్రేణి మరియు పాస్కల్స్ త్రిభుజంపై ఒక అధ్యయనాన్ని కలిగివుంది, మాతృక నిర్మాణాన్ని ఇది వర్ణించింది.
12వ శతాబ్దంలో, భాస్కరా తొలిసారి అవకలన కలనానికి నాంది పలికాడు, దీనితోపాటు నిష్పాదక, అవకలన గుణకం మరియు అవకలనం ధర్మాలను అభివృద్ధి పరిచాడు. రోలెస్ సిద్ధాంతాన్ని (సగటు విలువ సిద్ధాంతంలో ఒక ప్రత్యేక సందర్భం) కూడా ప్రతిపాదించాడు, పెల్స్ సమీకరణంపై అధ్యయనం చేయడంతోపాటు, సైన్ ప్రేమేయం యొక్క నిష్పాదకాన్ని పరిశోధించాడు. 14వ శతాబ్దం నుంచి, మాధవ మరియు ఇతర కేరళ పాఠశాల గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అతని యొక్క ఆలోచనలను మరింత అభివృద్ధి పరిచారు. గణిత శాస్త్ర విశ్లేషణ మరియు ఫ్లోటింగ్ పాయింట్ సంఖ్యలు వంటి భావనలను వారు అభివృద్ధి పరిచారు మరియు సగటు విలువ సిద్ధాంతం, ఒక్కో పదం చొప్పున సమాకలనం, ఒక వక్రరేఖ పరిధిలోని ప్రదేశం మరియు దాని యొక్క అనిష్పాదకం లేదా సమాకలన మధ్య సంబంధం, కూడికకు సమాకలన పరీక్ష, సరళేతర సమీకరణాలకు పరిష్కారం కోసం పునరుత్థాన పద్ధతులు మరియు అనంత శ్రేణికి ఒక సంఖ్య, ఘాతక శ్రేణి, టేలర్ శ్రేణి మరియు త్రికోణీయ శ్రేణి వంటి కలన శాస్త్ర సమగ్ర వృద్ధికి మూల భావనలు వీరు వృద్ధి చేశారు. 16వ శతాబ్దంలో, జ్యేష్టదేవ కేరళ పాఠశాల అభివృద్ధి చేసిన పరిణామాలు మరియు సిద్ధాంతాలను "యుక్తిభాసా"లో సమగ్ర పరిచాడు, ప్రపంచంలో మొట్టమొదటి అవకలన కలన శాస్త్ర గ్రంథంగా ఇది గుర్తింపు పొందింది, ఇందులో సమాకలన కలనం వంటి అంశాలు కూడా చేర్చబడ్డాయి. రాజకీయ అనిశ్చితి కారణంగా 16వ శతాబ్దం చివరి నుంచి 20వ శతాబ్దం వరకు భారతదేశంలో గణిత శాస్త్ర పురోగతి నిలిచిపోయింది.
పర్షియా, మధ్యప్రాచ్య, మధ్య ఆసియా, ఉత్తర ఆఫ్రికా, ఐబేరియా, మరియు భారతదేశంలోని కొన్ని భాగాల్లో ఇస్లామిక్ సామ్రాజ్యం ఏర్పాటు చేయబడటంతో 8వ శతాబ్దంలో గణిత శాస్త్రంలో గణనీయమైన పురోగతి సాధ్యపడింది. గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించి రాయబడిన దాదాపుగా అన్ని ఇస్లామిక్ గ్రంథాలు అరబిక్ భాషలో ఉన్నప్పటికీ, వీటిని అరబ్బులు రాయకపోవడం గమనార్హం, హెలెనిస్టిక్ ప్రపంచంలో కూడా ఇలాంటి పరిస్థితి ఉండేది, వీరి గ్రంథాలు కూడా గ్రీకులో రాయబడినప్పటికీ, వాటిని ఎక్కువగా గ్రీకులు రాయలేదు, ఇస్లామిక్ ప్రపంచంలో కూడా అరబ్-యేతర పరిశోధకులు అరబిక్‌ను తమ రాత భాషగా ఉపయోగించారు. అరబ్బులతోపాటు గణిత శాస్త్ర ప్రపంచం అభివృద్ధికి పర్షియన్లు విశేష కృషి చేశారు.
9వ శతాబ్దంలో, హిందూ-అరబిక్ అంకెలపై మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులపై అనేక ముఖ్యమైన పుస్తకాలు రాశాడు. 825 కాలంలో రాయబడిన అతని పుస్తకం "ఆన్ ది కాలిక్యులేషన్ విత్ హిందూ న్యూమరల్స్", అల్-కిండి గ్రంథాలు భారతీయ గణిత శాస్త్రం మరియు భారతీయ సంఖ్యామానాలు పశ్చిమ దేశాలకు వ్యాప్తి చెందడంలో కీలకపాత్ర పోషించాయి. "అల్గారిథం" (క్రమసూత్ర పట్టిక) అనే పదం అతను ఉపయోగించిన అల్గోరిత్మి అనే పదాన్ని లాటిన్‌లోకి అనువదించడంతో ఏర్పడింది, ఇదిలా ఉంటే "ఆల్జీబ్రా" అనే పదం అతని రాసిన ఒక గ్రంథం "Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala" ("ది కాంపెండియస్ బుక్ ఆన్ కాలిక్యులేషన్ బై కంప్లీషన్ అండ్ బాలెన్సింగ్" ) శీర్షిక నుంచి ఉద్భవించింది. అల్-ఖ్వారిజ్మీని "బీజగణిత పితామహుడి"గా పరిగణిస్తున్నారు, ఈ విభాగానికి అతను మూలాధారాలను అందించాడు. ధన మూలాలతో వర్గ సమీకరణలకు బీజగణిత పరిష్కారం కనుగొనేందుకు అతను కూలంకష వివరణను అందించాడు, మొట్టమొదట బీజగణితాన్ని ప్రాథమిక రూపంలో బోధన చేసిన, దాని అభివృద్ధికి కృషి చేసిన వ్యక్తిగా కూడా అతను గుర్తింపు పొందాడు. భాగాహారం చేసిన పదాలను సమీకరణం యొక్క రెండోవైపుకు మార్చడానికి సంబంధించిన, అంటే, సమీకరణం యొక్క రెండు భాగాల్లో ఉన్న సమ విలువలను రద్దు కొట్టివేయడం (రద్దు చేయడం) వంటి "తగ్గింపు" మరియు "సమీకరణ"ల యొక్క ప్రాథమిక పద్ధతిని ఆయన పరిచయం చేశాడు. ఈ చర్యను అల్-ఖ్వారిజ్మీ మొదట "అల్-జబర్‌" గా వర్ణించాడు. అతను ప్రతిపాదించిన బీజగణితం "పరిష్కరించాల్సిన సమస్యల శ్రేణితో సంబంధం లేకుండా, సమీకరణాలకు అన్ని సాధ్యమయ్యే మాతృకలను అందించే జతలు కలిగిన మొదటి పదాలతో వివరణ ప్రారంభమవుతుంది, దీని నుంచి స్పష్టంగా వాస్తవ వస్తు అధ్యయనం స్థాపించబడుతుంది." అతను ఒక సమీకరణాన్ని దాని సొంత లక్ష్యం కోసం అధ్యయనం చేశాడు మరియు "సాధారణ పద్ధతిలో, ఇప్పటివరకు ఒక సమీకరణం సులభంగా సమస్యను పరిష్కరిస్తున్న క్రమంలో బయటపడలేదు, అనంత శ్రేణి సమస్యలను పరిష్కరించేందుకు ప్రత్యేకంగా ఇది అభివృద్ధి చేయబడింది."
"అల్-ఫాఖ్రీ" గ్రంథంలో అల్ కరాజీ బీజగణితాన్ని మరింత అభివృద్ధి చేశాడు, అస్పష్టమైన పూర్ణాంక ఘాతాలు మరియు పూర్ణాంక మూలాల విలువలను కూర్చేందుకు ఆయన పరిశోధనపద్ధతిని విస్తరించాడు. గణిత శాస్త్ర ఆగమనం యొక్క తొలి ఆధారం అల్-కరాజీ సుమారుగా 1000 AD కాలంలో రాసిన పుస్తకంలో కనిపించింది, ద్విపాద సిద్ధాంతం, పాస్కల్స్ త్రిభుజం, మరియు సమాకలన ఘనాల మొత్తాన్ని నిరూపించేందుకు అల్-కరాజీ దీనిని ఉపయోగించాడు. బీజగణిత కలనానికి సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేసిన తొలి వ్యక్తి అల్-కరాజీ అని గణిత శాస్త్ర చరిత్రకారుడు ఎఫ్. వోయెప్కే, ప్రశంసించాడు. 10వ శతాబ్దంలో, అబ్దుల్ వాఫా టాంజెంట్ ప్రమేయాన్ని అభివృద్ధి చేయడంతోపాటు, డియోఫాంటస్ యొక్క రచనలను అరబిక్‌లోకి అనువదించాడు. నాలుగో ఘాతాలు యొక్క మొత్తాన్ని కనుగొనేందుకు సూత్రాన్ని ప్రతిపాదించిన తొలి గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా బిన్ అల్-హయథమ్ పరిగణించబడుతున్నాడు, ఆయన ఎటువంటి సమాకలన ఘాతాల యొక్క మొత్తాన్నైనా కనుగొనేందుకు ఉపయోగపడే సాధారణ సూత్రాన్ని గుర్తించడం ద్వారా సాధారణ వినియోగానికి అనువైన పద్ధతిని ఆయన ఉపయోగించాడు. పారాబొలాయిడ్ యొక్క ఘనపరిమాణాన్ని కనుగొనేందుకు ఆయన సమాకలనం నిర్వహించాడు, ఈ పద్ధతి ద్వారా నాలుగో డిగ్రీ వరకు బహుపదుల సమాకలనాల యొక్క ఫలితాన్ని క్రమపరచగలిగాడు. ఈ విధంగా ఆయన బహుపదుల సమాకలనాలకు సాధారణ సూత్రాన్ని గుర్తించేందుకు దగ్గరగా వచ్చాడు, అయితే అల్ కరాజీ తన పరిశోధనల్లో నాలుగో డిగ్రీ కంటే ఎక్కువగా పరిమాణం కలిగివున్న బహుపదులను విస్మరించాడు.
11వ శతాబ్దంలో, ఒమర్ ఖయ్యమ్ "డిస్కషన్స్ ఆఫ్ డిఫికల్టీస్ ఇన్ యూక్లిడ్" అనే పుస్తకం రాశాడు, యూక్లిడ్స్ "ఎలిమెంట్స్", ముఖ్యంగా సమాంతర స్వీకృత సిద్ధాంతంలో లోపాలు ఈ పుస్తకంలో ప్రస్తావించాడు, వైశ్లేషిక క్షేత్ర గణితం మరియు యూక్లిడ్-యేతర క్షేత్రగణిత విభాగాలకు పునాది వేశాడు. ఘన సమీకరణలకు సాధారణ క్షేత్ర గణిత పరిష్కారాన్ని కనుగొన్న తొలి వ్యక్తిగానూ ఆయన పరిగణించబడుతున్నాడు. క్యాలెండర్ సంస్కరణలో కూడా అతను ప్రభావవంతమైన పాత్ర పోషించాడు.
12వ శతాబ్దానికి చెందిన, షరాఫ్ అల్-దిన్ అల్-తుసీ ప్రమేయం అనే అంశాన్ని పరిచయం చేసిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా మరియు ఘన బహుపదుల యొక్క నిష్పాదకాన్ని కనిపెట్టిన తొలి వ్యక్తిగా పరిగణించబడుతున్నాడు. ధనాత్మక పరిష్కారాలు కలిగివుండని ఘన సమీకరణాలను పరిష్కరించేందుకు నిష్పాదక ప్రమేయం మరియు వక్ర రేఖల యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్ట విలువల వంటి అవకలన కలన సంబంధ పద్ధతులను ఆయన "సమీకరణాల గ్రంథాల్లో" అభివృద్ధి పరిచాడు.
13వ శతాబ్దంలో, నసీర్ అల్-దిన్ తుసీ (నసీరుద్దీన్) గోళాకార త్రికోణమితిలో పురోభివృద్ధికి కారకుడయ్యాడు. అంతేకాకుండా యూక్లిడ్ యొక్క సమాంతర స్వీకృత సిద్ధాంతంపై ప్రభావవంతమైన రచనలు చేశాడు. 15వ శతాబ్దంలో, ఘియాత్ అల్-కషి 16వ దశాంశ స్థానం వరకు π విలువను లెక్కించాడు. "n" వ మూలాలు గణించేందుకు కషి ఒక క్రమసూత్ర పట్టికను కూడా అభివృద్ధి చేశాడు, అనేక దశాబ్దాలపాటు అభివృద్ధి చేయబడిన పద్ధతుల్లో ఇది ఒక ప్రత్యేకత కలిగివుంది, తరువాత రుఫినీ మరియు హోర్నెర్‌లు కూడా దీనిని అభివృద్ధి చేశారు.
ప్రసిద్ధి చెందిన ఇతర ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞుల్లో అల్-సమావల్, అబుల్-హసన్ అల్-ఉఖ్లిడిసి, జంషిద్ అల్ కషి, థాబిట్ బిన్ ఖుర్రా, అబు కమీల్ మరియు అబు సాహ్ అల్-కుహి తదితరులు ఉన్నారు.
ఈ కాలంలో ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సాధించిన ఇతర ఘనతలను పరిశీలిస్తే.. బీజగణితం మరియు క్రమసూత్ర పట్టికల అభివృద్ధి (ముహమ్మద్ బిన్ ముసా అల్-ఖ్వారిజ్మీ చూడండి), గోళాకార త్రికోణమితి అభివృద్ధి, అరబ్బాంకాలకు దశాంశ బిందు సంజ్ఞామానం చేర్చడం, సైన్‌తోపాటు అన్ని ఆధునిక త్రికోణమితి ప్రమేయాలు కనిపెట్టడం, అల్-కిండి గూఢలిపి విశ్లేషణ మరియు పౌనఃపున్య విశ్లేషణలను పరిచయం చేయడం, బిన్ అల్-హయథమ్ వైశ్లేషిక క్షేత్ర గణితాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, బీజ గణిత జ్యామితికి ఒమర్ ఖయ్యమ్ అంకురార్పణ చేయడం, యూక్లిడ్ సిద్ధాంతాల ఆధారిత క్షేత్ర గణితం మరియు సమాంతర స్వీకృత సిద్ధాంతం నసీర్ అల్-దిన్ అల్-తుసి చేత తొలిసారి ఖండించబడటం, యూక్లిడ్ సిద్ధాంతేతర క్షేత్ర గణితం కోసం సదర్ అళ్-దిన్ తొలి ప్రయత్నం, అల్-ఖలాసాది చేత బీజగణిత సంజ్ఞామానం అభివృద్ధి జరగడం మరియు బీజగణితం, అంకగణితం, కలన గణితం, గూఢలిపి శాస్త్రం, క్షేత్ర గణితం, సంఖ్యా సిద్ధాంతం మరియు త్రికోణమితి విభాగాల్లో పడిన అనేక ముందడుగులు కనిపిస్తాయి.
15వ శతాబ్దంలో ఒట్టోమన్ సామ్రాజ్యం ఏర్పడిన తరువాత ఇస్లామిక్ గణిత శాస్త్రంలో పురోభివృద్ధి నిలిచిపోయింది.
ఆధునిక గణిత శాస్త్రజ్ఞులతో పోలిస్తే, పూర్తిగా భిన్నమైన కారణాలతో మధ్యయుగ కాలంలో ఐరోపా దేశాల్లో గణిత శాస్త్రంపై ఆసక్తి పెరిగింది. ప్లేటో యొక్క "టైమాస్" మరియు దేవుడు "సకల రాశులను కొలత, సంఖ్య, పరిమాణంపరంగా క్రమపరిచాడని వెల్లడించే" అప్రసిద్ధమైన బైబిల్ మార్గం ("బుక్ ఆఫ్ విజ్డమ్‌" లో) తరచుగా నిర్దుష్టపరిచిన ప్రకృతి సృష్టి క్రమాన్ని అర్థం చేసుకునేందుకు గణిత శాస్త్రం కీలకమైంది, గణితంపై ఆసక్తి పెరిగేందుకు దీనిని ఒక ప్రధాన కారణంగా చెప్పవచ్చు.
అంక గణితం, క్షేత్ర గణితం, ఖగోళ శాస్త్రం మరియు సంగీతం అభ్యాసాన్ని వర్ణించేందుకు "క్వాడ్రివియం" అనే పదాన్ని వెలుగులోకి తీసుకొచ్చిన బోయెథియస్ గణిత శాస్త్రానికి పాఠ్యపుస్తకాల్లో చోటు కల్పించాడు. ఆయన గ్రీకు భాషలోని నికోమాచుస్ యొక్క "ఇంట్రడక్షన్ టు అర్థమెటిక్‌"కు ఒక ఉచిత అనువాదం "De institutione arithmetica" ను; గ్రీకు మూలాల నుంచి సేకరించిన "De institutione musica" ను; మరియు యూక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్" నుంచి వరుస రచనా భాగాలను రాశాడు. ఆయన యొక్క రచనలు ప్రయోగాత్మకంగా కాకుండా సిద్ధాంతపరంగా ఉన్నాయి, గ్రీకు మరియు అరబిక్ గణిత శాస్త్రాలు పుంజుకునే వరకు ఆయన రచనలు గణిత శాస్త్ర అధ్యయనానికి మూలంగా ఉండేవి.
చెస్టెర్‌కు చెందిన రాబర్ట్ అరబిక్ నుంచి లాటిన్‌లోకి అనువదించిన అల్-ఖ్వారిజ్మీ యొక్క "ది కాంపెడియస్ బుక్ ఆన్ కాలిక్యులేషన్ బై కంప్లీషన్ అండ్ బాలెన్సింగ్", మరియు బాత్‌కు చెందిన అడెలార్డ్, కారిన్తియాకు చెందిన హెర్మన్, క్రెమోనాకు చెందిన గెరార్డ్‌లు వివిధ భాషల్లోకి అనువదించిన యూక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్" పూర్తి గ్రంథం వంటి శాస్త్రీయ అరబిక్ గ్రంథాలు కోసం 12వ శతాబ్దంలో ఐరోపా దేశాలకు చెందిన పరిశోధకులు స్పెయిన్ మరియు సిసిలీ దేశాలకు వెళ్లారు.
ఈ కొత్త మూలాలు గణిత శాస్త్రంలో నూతనోత్తేజాన్ని తీసుకొచ్చాయి. ఫిబోనాక్కి 1202లో రాసిన "లిబెర్ అబాసి" ఐరోపాలో దాదాపుగా వెయ్యేళ్ల తరువాత, అంటే ఎరాటోస్తనీస్ కాలం తరువాత తొలి ప్రాధాన్య గణిత శాస్త్ర గ్రంథంగా గుర్తింపు పొందింది, ఇది 1254లో నవీకరించబడింది. ఈ గ్రంథం హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యామానాన్ని ఐరోపాకు పరిచయం చేసింది, అంతేకాకుండా దీనిలో అనేక ఇతర గణిత శాస్త్ర సమస్యలు చర్చించబడ్డాయి.
విస్తృత స్థాయి సమస్యలను పరిశోధించేందుకు పద్నాలుగో శతాబ్దంలో కొత్త గణిత శాస్త్ర పద్ధతుల అభివృద్ధి చోటుచేసుకుంది. స్థానిక చలనాన్ని కూడా గణిత శాస్త్రం అభివృద్ధికి దోహదపడిన మరో ప్రధాన అంశంగా చెప్పుకోవచ్చు.
శక్తి (F), నిరోధాల (R) నిష్పత్తి జ్యామితీయ అనుపాతంలో పెరుగుతుంటే వేగం (V) అంకగణిత అనుపాతంలో పెరుగుతుందని థామస్ బ్రాడ్వార్డిన్ ప్రతిపాదించాడు. కొన్ని నిర్దిష్ట ఉదాహరణలతో బ్రాడ్వార్డిన్ ఈ ప్రతిపాదనను వ్యక్తపరిచాడు, అయితే సంవర్గమానం ప్రకారం ఇప్పటికీ ఈ ప్రతిపాదనను సమర్థించడం సాధ్యపడలేదు, అయితే ఆయన ప్రతిపాదనను మూస పద్ధతిలో రాయడం ద్వారా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
V = log (F/R). అల్-కిండి మరియు విల్లానోవాకు చెందిన అర్నాల్డ్‌లు ఉపయోగించిన ఒక గణిత శాస్త్ర పద్ధతిని ఒక భిన్నమైన శారీరక సమస్యకు ఇచ్చే మందు పరిమాణాన్ని లెక్కించేందుకు అన్వయించడానికి బ్రాడ్వార్డిన్ యొక్క విశ్లేషణను ఒక ఉదాహరణగా చెప్పవచ్చు.
అవకలన కలనం మరియు అవధులు వంటి గణిత శాస్త్ర పద్ధతులు అందుబాటులో లేని రోజుల్లో... 14వ శతాబ్దానికి చెందిన ఆక్స్‌ఫోర్డ్ గణిత మేధావుల్లో ఒకరైన విలియం హేటెస్‌బరీ "[ఒక వస్తువు] చేత సూచించబడే మార్గం ద్వారా, అది స్థిరంగా, ఒకేవిధమైన వేగంతో కదులుతున్నట్లు అయితే , సద్య వేగాన్ని లెక్కించేందుకు ప్రతిపాదన చేశాడు".
హేటెస్‌బరీ మరియు ఇతరులు గణిత శాస్త్రపరంగా స్థిర వర్ధమాన చలనంలో ఉన్న ఒక వస్తువు ప్రయాణించగలిగే దూరాన్ని లెక్కించగలిగారు (ఈ రోజుల్లో దీనిని సమాకలనం ద్వారా చేస్తున్నారు), "స్థిరంగా [వేగాన్ని] అందుకుంటున్న లేదా కోల్పోతున్న ఒక కదులుతున్న వస్తువు ఒక [దూరాన్ని] పూర్తి చేసేందుకు పట్టే సమయం, ఇదే సగటు [వేగం]తో నిరంతరం కదులుతున్నప్పుడు ఆ వస్తువు అదే దూరాన్ని అందుకునేందుకు పట్టే సమయం రెండూ పూర్తిగా సమానంగా ఉంటాయని వారు పేర్కొన్నారు".
ప్యారిస్ విశ్వవిద్యాలయంలోని నికోలే ఒరెస్మే మరియు ఇటలీకి చెందిన గియోవాన్నీ డి కాసాలీ స్వతంత్రంగా ఈ సంబంధానికి రేఖా చిత్ర ప్రదర్శన కూడా అందించారు, గీత కింద ప్రదేశం స్థిరమైన త్వరణాన్ని చూపిస్తుందని, ఇది మొత్తం ప్రయాణించిన దూరాన్ని సూచిస్తుందని వారు పేర్కొన్నారు. యూక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్‌" పై తరువాత ఒరెస్మే చేసిన గణిత శాస్త్ర వ్యాఖ్యానాల్లో దీనికి సంబంధించి మరింత వివరణాత్మక సాధారణ విశ్లేషణను చూడవచ్చు, ఇందులో ఆయన ప్రతి అనుక్రమ కాల వృద్ధితోపాటు వస్తువు యొక్క ఏదో ఒక లక్షణం (వేగం పెరగడం లేదా తగ్గడం) బేసి సంఖ్యల్లో వృద్ధి చెందుతుందని ప్రదర్శించాడు. బేసి సంఖ్యల యొక్క మొత్తం సరి సంఖ్య అవుతుందని యూక్లిడ్ సిద్ధాంతం సూచిస్తుండటంతో, వస్తువు పొందిన మొత్తం లక్షణ వృద్ధి కాలం యొక్క వర్గానికి సమానంగా ఉంటుందని ప్రతిపాదించాడు.
ఐరోపా ఖండంలో పునరుజ్జీవనోద్యమం ప్రారంభ సమయంలో, గణిత శాస్త్రం రోమన్ సంఖ్యలను ఉపయోగిస్తూ, గుర్తులకు బదులుగా బంధాలను పదాలతో వ్యక్తపరుస్తూ ప్రతిబంధకమైన సంజ్ఞామానంతో పరిమితంగా ఉండేది: కూడిక గుర్తు, సమాన గర్తు అందుబాటులో లేవు మరియు "x" ఉపయోగం అసలు తెలియదు.
16వ శతాబ్దంలో గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ప్రపంచంలో ఎక్కడా పూర్వమూలాలు లేని అధునాతన పద్ధతులను సృష్టించడం మొదలు పెట్టారు, ఈ రోజు వరకు ఇవి వాడుకలో కొనసాగుతున్నాయి. వీటిలో మొదటిది ఘన సమీకరణాలుకు సాధారణ పరిష్కారం, దీనిని సుమారుగా 1510 సంవత్సరంలో స్కిఫివన్ డెల్ ఫెర్రో ఉపయోగించాడు, అయితే ఇది తొలిసారి గెరోలామో కార్డానో యొక్క "అర్స్ మాగ్నా"లో న్యూరెంబెర్గ్‌లోని జొహనెస్ పెట్రియస్ చేత ప్రచురించబడింది, ఇందులో కార్డానో యొక్క విద్యార్థి లోడొవికో ఫెరారీ అందించిన సాధారణ ద్వివర్గ సమీకరణం కూడా చేర్చారు.
ఈ సమయం నుంచి, భౌతిక శాస్త్రంలో సమకాలీన పురోగతుల నుంచి లబ్ధి పొందుతూ మరియు దానికి సాయపడుతూ గణిత శాస్త్రం వేగంగా వృద్ధి చెందింది. ముద్రణ రంగంలో పురోభివృద్ధి గణిత శాస్త్రం ముందడుగు వేసేందుకు బాగా దోహదపడింది. పెయుర్‌బాచ్ యొక్క "Theoricae nova planetarum" (1472), దీని తరువాత వాణిజ్య అంక గణితంపై మరో పుస్తకం ట్రెవిసో అర్థమెటిక్ (1478), మరియు ఆపై రాట్‌డోల్ట్ చేత 1482లో ముద్రణ మరియు ప్రచురణ చేయబడిన గణిత శాస్త్రంపై తొలి పూర్తిస్థాయి పుస్తకం యూక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్" ముద్రణ చేయబడిన ప్రారంభ గణిత శాస్త్ర పుస్తకాలుగా గుర్తింపు పొందాయి.
నౌకాగమన శాస్త్రం యొక్క అవసరాలు మరియు పెద్ద ప్రదేశాల యొక్క కచ్చితమైన చిత్ర పటాల అవసరాలు బాగా పెరిగిపోవడంతో త్రికోణమితి గణిత శాస్త్రంలో ప్రధాన శాఖగా వృద్ధి చెందింది. బార్తోలోమాయెస్ పిటిస్కస్ అనే జర్మన్ త్రికోణమితి నిపుణుడు తొలిసారి "ట్రిగనోమెట్రియా" అనే పదాన్ని ఉపయోగించాడు, 1595నాటి అతని పుస్తకం ఇదే పేరును కలిగివుంది. మరో జర్మనీ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు రెజియోమోటానస్ యొక్క సైన్ మరియు కొసైన్‌ల పట్టిక 1533లో ప్రచురితమైంది.
శతాబ్దం చివరి సమయానికి, రెజియోమోటానస్ (1436–76), సైమన్ స్టెవిన్ (1548–1620) మరియు ఇతరుల కృషి ఫలితంగా గణిత శాస్త్రం హిందూ-అరబిక్ సంఖ్యలను ఉపయోగించి రాయడం ప్రారంభమైంది, దీనికి ప్రస్తుతం వాడుకలో ఉన్న సంజ్ఞామానానికి పెద్దగా తేడాలేవీ కనిపించవు.
ఐరోపావ్యాప్తంగా 17వ శతాబ్దంలో గణిత శాస్త్ర మరియు విజ్ఞాన శాస్త్ర ఆలోచనలు అత్యంత వేగంగా వృద్ధి చెందడంతోపాటు, కొంత పుంతలు తొక్కాయి. ఇటలీకి చెందిన గెలీలియో హాలెండ్ నుంచి దిగుమతి చేసుకున్న ఒక బొమ్మను ఆధారంగా చేసుకొని తయారు చేసిన ఒక టెలిస్కోప్‌ను ఉపయోగించి గురుడు యొక్క కక్ష్యలో ఉపగ్రహాలను కనిపెట్టాడు. డెన్మార్క్‌కు చెందిన టైకో బ్రాహే ఆకాశంలో గ్రహాల యొక్క స్థానాలను వర్ణిస్తూ అపారమైన గణిత శాస్త్ర సమాచారాన్ని సమీకరించాడు. అతని విద్యార్థి, జర్మనీకి చెందిన జోహనెస్ కెప్లెర్ ఈ సమాచారం ఆధారంగా పని చేయడం ప్రారంభించాడు. కెప్లెర్‌కు గణనల్లో సాయం చేసే చర్యల్లో భాగంగా స్కాట్లాండ్‌లో జాన్ నేపియర్ తొలిసారి సహజ సంవర్గమానాలు కనిపెట్టాడు. గ్రహాల చలనాల యొక్క గణిత సూత్రాలు ఏర్పాటు చేయడంలో కెప్లెర్ విజయవంతమయ్యాడు. ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, తత్వవేత్త రెనే డెస్కార్టెస్ (1596–1650) వైశ్లేషిక క్షేత్రగణితాన్ని అభివృద్ధి చేశాడు, దీని ద్వారా గ్రహాల కక్ష్యలను కార్టీజియన్ అక్షాల్లో గ్రాఫ్‌పై గీసేందుకు వీలు ఏర్పడింది.
అనేక మంది పూర్వగాములు కనిపెట్టిన అంశాలు ఆధారంగా, ఇంగ్లండ్‌కు చెందిన ఐజాక్ న్యూటన్ కెప్లెర్స్ సూత్రాలను వివరించే భౌతిక శాస్త్ర సిద్ధాంతాలను కనిపెట్టాడు, ప్రస్తుతం కలన గణిత శాస్త్రంగా తెలిసిన అంశాలను ఏకతాటిపైకి తీసుకొచ్చాడు. స్వతంత్రంగా, జర్మనీలో గాట్‌ఫ్రైడ్ విల్‌హెల్మ్ లెబ్నిజ్ కలన గణిత శాస్త్రాన్ని అభివృద్ధి చేశాడు, అతను సృష్టించిన కలన సంజ్ఞామానంలో ఎక్కువ భాగం ఈ రోజుకు కూడా వాడుకలో ఉంది. విజ్ఞాన శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్రం ఒక అంతర్జాతీయ ప్రయత్నంగా మారాయి, ఈ ప్రయత్నం త్వరగానే ప్రపంచవ్యాప్తంగా విస్తరించింది.
అంతేకాకుండా ఆకాశం అధ్యయనాలను గణిత శాస్త్రాన్ని ఉపయోగించడం ప్రారంభమవడంతోపాటు, పియర్ డి ఫెర్మాట్ మరియు బ్లేయిస్ పాస్కల్ కృషి ఫలితంగా అనువర్తిత గణిత శాస్త్రంలోకి కొత్త విభాగాలకు విస్తరించబడింది. పాస్కల్ మరియు ఫెర్మాట్‌లు సంభావ్య సిద్ధాంతం యొక్క పరిశోధనలకు మరియు జూదంపై వారి యొక్క చర్చల్లో కాంబినేటరిక్స్ సంబంధిత నియమాలకు ప్రాథమిక వేదికను సిద్ధం చేశారు. తన యొక్క పణంతో పాస్కల్ కొత్తగా అభివృద్ధి చేసిన సంభావ్య సిద్ధాంతాన్ని మతానికి అంకితం చేసిన ఒక జీవితం కోసం వాదించేందుకు ఉపయోగించడానికి ప్రయత్నించాడు, విజయం యొక్క సంభావ్యత చాలా తక్కువ ఉన్నప్పటికీ, ప్రతిఫలాలు అనంతంగా ఉంటాయనే ఫలితాన్ని ఇందుకు ఆధారంగా చేసుకున్నాడు. దీని వలన కొంత వరకు, 18వ–19వ శతాబ్దంలో వినియోగ సిద్ధాంతం అభివృద్ధికి సంబంధించిన సంకేతాలు ముందుగానే గోచరించాయి.
లియోన్‌హార్డ్ యూలర్‌ను 1700వ శతాబ్దంలో అత్యంత ప్రభావవంతమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడిగా చెప్పుకోవచ్చు. సెవెన్ బ్రిడ్జెస్ ఆఫ్ కోనిగ్స్‌బర్గ్ సమస్యతో రేఖాచిత్ర సిద్ధాంతం యొక్క అధ్యయనాన్ని గుర్తించడం వద్ద నుంచి అనేక ఆధునిక గణిత శాస్త్ర పదాలు మరియు సంజ్ఞామానాలు ప్రామాణీకరించడం వరకు ఆయన కృషి కనిపిస్తుంది. ఉదాహరణకు, మైనస్ 1 యొక్క వర్గ మూలాన్ని ఆయన "i" అనే గుర్తుతో సూచించాడు, ఒక వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతకు మరియు దాని యొక్క వ్యాసానికి గల నిష్పత్తిని formula_1 అనే గ్రీకు అక్షరంతో సూచించి ప్రాచుర్యం కల్పించాడు. అనేక సిద్ధాంతాలు మరియు సంజ్ఞామానాలు కనిపెట్టడం ద్వారా సంస్థితి శాస్త్రం, రేఖాచిత్ర సిద్ధాంతం, కలన గణితం, కాంబినేటరిక్స్ మరియు సంక్లిష్ట విశ్లేషణ యొక్క అధ్యయనాలపై విశేష కృషి చేశాడు.
సంఖ్యా సిద్ధాంతం, బీజగణితం, అవకలన కలనం మరియు చలత్వాల కలనం విభాగాలకు మార్గదర్శనం చేసిన జోసెఫ్ లూయిస్ లాగ్రాంజ్ మరియు నెపోలియన్ హయాంలో ఖగోళ యాంత్రిక శాస్త్రం మరియు గణాంక శాస్త్రాలకు పునాదులు వేయడంపై విశేష కృషి చేసిన లాప్లేస్‌లను 18వ శతాబ్దానికి చెందిన ఇతర ప్రముఖ ఐరోపా గణిత శాస్త్రజ్ఞులుగా చెప్పుకోవచ్చు.
19వ శతాబ్దవ్యాప్తంగా గణిత శాస్త్రం బాగా వియుక్తమైంది. 19వ శతాబ్దంలో జీవించిన కార్ల్ ఫ్రైడ్‌రిచ్ గాస్ (1777–1855). విజ్ఞాన శాస్త్రంలో విశేష కృషి చేయడంతోపాటు, స్వచ్ఛమైన గణిత శాస్త్రం కోసం విప్లవాత్మకమైన కృషిసల్పాడు, క్షేత్రగణితంలో సంక్లిష్ట చలరాశుల యొక్క ప్రమేయాలు మరియు శ్రేణి యొక్క కూడికలను అభివృద్ధి చేశాడు. బీజగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం మరియు వర్గ అన్యోన్య సూత్రాలకు తొలిసారి ఆమోదయోగ్యమైన ఆధారాలను సూచించాడు.
ఈ శతాబ్దంలో యూక్లిడియన్ క్షేత్రగణితం యొక్క సమాంతర స్వీకృత సిద్ధాంతానికి ప్రాధాన్యత కరువవడంతోపాటు, యూక్లిడ్ సిద్ధాంతేతర క్షేత్రగణితం రెండు రూపాల్లో అభివృద్ధి చెందింది. 
రష్యా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు నికోలాయ్ ఇవనోవిచ్ లోబాచెవ్‌స్కీ, అతని ప్రత్యర్థి, హంగేరి గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జోనాస్ బోల్యాయ్ స్వతంత్రంగా ఒకేరకమైన సమాంతరాలు కనిపించని అతివలయ క్షేత్రగణితంపై అధ్యయనం చేయడంతోపాటు, దానిని నిర్వచించారు. ఈ క్షేత్రగణితంలో త్రిభుజంలో కోణాల మొత్తం 180° మరియు దాని కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. దీని తరువాత 19వ శతాబ్దంలోనే జర్మనీ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు బెర్నార్డ్ రీమాన్ చేత దీర్ఘవృత్త క్షేత్రగణితం అభివృద్ధి చేయబడింది; దీనిలో సమాంతరాలు కనిపించవు మరియు ఒక త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం 180° కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. అంతేకాకుండా రీమాన్ రీమానియన్ క్షేత్రగణితాన్ని కూడా అభివృద్ధి చేశాడు, ఇది మూడు రకాల క్షేత్రగణితాన్ని ఏకతాటిపై తేవడంతోపాటు, వీటిని చాలా వరకు సాధారణీకరిస్తుంది, ఆయన మనుఫోల్డ్ అనే అంశాన్ని కూడా నిర్వచించాడు, ఇది వక్రరేఖలు మరియు ఉపరితలాలు వంటి ఆలోచనలను సాధారణీకరిస్తుంది.
ఎంతో ప్రాధాన్యత కలిగిన వియుక్త బీజగణితానికి 19వ శతాబ్దంలోనే బీజాలు పడ్డాయి. జర్మనీలో హెర్మాన్ గ్రాస్‌మాన్ మొదటి రకానికి చెందిన ఒక సదిశరాశి అంతరాళాలను సృష్టించాడు, ఐర్లాండ్‌కు చెందిన విలియం రోవాన్ హామిల్టన్ నాన్‌కమ్యుటేటివ్ ఆల్జీబ్రాను అభివృద్ధి చేశాడు. బ్రిటన్‌కు చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జార్జి బూలే ఒక బీజగణిత ఆలోచన చేశాడు, దీనిని ఇప్పుడు బూలియన్ ఆల్జీబ్రా అని పిలుస్తున్నారు, ఇందులో 0 మరియు 1 రెండు అంకెలు మాత్రమే ఉంటాయి, ఇందులో 1 + 1 = 1 అనేది బాగా ప్రసిద్ధి చెందింది. గణిత శాస్త్ర తర్కం ప్రారంభానికి బూలియన్ ఆల్జీబ్రా మూలమని చెప్పవచ్చు, కంప్యూటర్ సైన్స్‌లో ఇది ముఖ్యమైన అనువర్తనాలు కలిగివుంది.
ఆగస్టిన్-లూయిస్ కాచీ, బెర్నార్డ్ రీమాన్ మరియు కార్ల్ వీయెర్‌స్ట్రాస్ కలన గణితాన్ని మళ్లీ అభివృద్ధి చేయడంతోపాటు, దానిని బాగా విస్తృతపరిచారు.
అంతేకాకుండా, తొలిసారి, గణిత శాస్త్ర అవధులు కూడా అన్వేషించబడ్డాయి. నార్వేకు చెందిన నీల్స్ హెర్నిక్ అబెల్, మరియు ఫ్రాన్స్‌కు చెందిన ఎవరిస్టే గాలోయిస్ నాలుగు కంటే ఎక్కువ డిగ్రీ కలిగిన బహుపదుల సమీకరణాలను పరిష్కరించేందుకు ఎటువంటి సాధారణ బీజగణిత పద్ధతి లేదని నిరూపించారు. 19వ శతాబ్దానికి చెందిన ఇతర గణిత శాస్త్రజ్ఞులు అనియత కోణాన్ని సమత్రిఖండనం చేసేందుకు, ఇవ్వబడిన ఘనచతురస్రం కంటే రెట్టింపు పరిమాణం కలిగిన ఘనం యొక్క పార్శ్వాన్ని నిర్మించేందుకు లేదా ఇవ్వబడిన వృత్తం యొక్క వైశాల్యానికి సమానమైన చతురస్రాన్ని నిర్మించేందుకు స్ట్రైట్‌ఎడ్జ్ (స్కేలు) మరియు దిక్సూచి మాత్రమే సరిపోవని నిరూపించేందుకు దీనిని ఉపయోగించుకున్నారు. ఈ సమస్యలన్నింటినీ పరిష్కరించేందుకు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు పురాతన గ్రీకుల కాలం నుంచి నిష్ఫలమైన యత్నాలు చేశారు.
వివిధ బహుపాద సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు కనుగొనేందుకు అబెల్ మరియు గాలోయిస్‌లు పరిశోధనలు చేశారు, ఈ క్రమంలో వారు సమూహ సిద్ధాంతం మరియు వియుక్త బీజగణితం యొక్క అనుబంధ శాఖలు మరింత అభివృద్ధి చేసేందుకు పునాదులు నిర్మించారు. 20వ శతాబ్దంలో భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇతర శాస్త్రజ్ఞులకు సౌష్ఠవ అధ్యయనానికి సమూహ సిద్ధాంతం సరైన మార్గంగా కనిపించింది.
19వ శతాబ్దం చివరలో, జార్జి కాంటర్ సమితి సిద్ధాంతాన్ని తెరపైకి తెచ్చాడు, ఇది అత్యంత కచ్చితమైన అనంతం యొక్క కల్పనను అందించింది, తరువాత ఇది అన్నిరకాల గణిత శాస్త్రంలో ఉమ్మడి భాషగా మారింది. కాంటర్ యొక్క సమితి సిద్ధాంతం మరియు పియానో, L. E. J. బ్రౌవెర్, డేవిడ్ హిల్‌బెర్ట్, బెర్‌ట్రాండ్ రసెల్, మరియు A.N. వైట్‌హెడ్ చేతుల్లో గణిత శాస్త్ర తర్కం అభివృద్ధి చెందడంతో గణిత శాస్త్ర పునాదులుపై సుదీర్ఘకాల చర్చ ప్రారంభమైంది.
19వ శతాబ్దంలో అనేక జాతీయ గణిత శాస్త్ర సంఘాలు ఏర్పడ్డాయి: 1865లో లండన్ మ్యాథమ్యాటికల్ సొసైటీ, 1872లో Société Mathématique de France, 1884లో Circolo Mathematico di Palermo, 1883లో ఎడిన్‌బర్గ్ మ్యాథమ్యాటికల్ సొసైటీ, మరియు 1888లో అమెరికన్ మ్యాథమ్యాటికల్ సొసైటీ ఏర్పాటయ్యాయి.
20వ శతాబ్దంలో గణిత శాస్త్రం ఒక ప్రధాన వృత్తిగా రూపాంతరం చెందింది. ప్రతి ఏటా, గణిత శాస్త్రంలో వేలాది కొత్త Ph.D.లు ఇవ్వబడుతున్నాయి, పరిశ్రమలో మరియు బోధనా విభాగంలో ఉద్యోగాలు అందుబాటులోకి వచ్చాయి. ముందు శతాబ్దాలను పరిశీలిస్తే, ప్రపంచంలో అతికొద్ది మంది మాత్రమే సృజనాత్మక గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కనిపిస్తారు. ఎక్కువ భాగం, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సుసంపన్నులు ఉదాహరణకు నేపియర్, లేదా సంపన్నుల అండ ఉన్నవారు ఉదాహరణకు గాస్ కనిపిస్తారు. పౌరియర్ వంటి అతికొద్ది మంది మాత్రమే విశ్వవిద్యాలయాల్లో బోధన ద్వారా ప్రధాన జీవనోపాధి పొందారు. సరైన ఆర్థిక స్థితి పొందలేకపోయిన నీల్స్ హెన్‌రిక్ అబెల్ పోషకాహారలోపం మరియు క్షయ వ్యాధి కారణంగా ఇరవై-ఆరేళ్ల వయస్సులోనే మరణించాడు.
అధ్యయనం సాగిన అనేక విభాగాల్లో మాదిరిగానే, శాస్త్రీయ యుగంలో పరిజ్ఞాన విస్పోటనం విశేషాధ్యయనానికి దారితీసింది: గణిత శాస్త్రంలో ఈ రోజు వందలాది ప్రత్యేక విభాగాలు ఉన్నాయి, తాజాగా గణిత శాస్త్ర విభాగాల వర్గీకరణ 46 పేజీలకు చేరుకుంది. అనేక మ్యాథమ్యాటికల్ జర్నల్‍‌లు ప్రచురించబడ్డాయి, శతాబ్దం చివరినాటికి వరల్డ్ వైడ్ వెబ్ అభివృద్ధి చేయబడటంతో ఆన్‌లైన్ ప్రచురణ అభివృద్ధి చెందింది.
1900 సంవత్సరంలో జరిగిన ఇంటర్నేషనల్ కాంగ్రెస్ ఆఫ్ మ్యాథమ్యాటిషియన్స్ సందర్భంగా డేవిడ్ హిల్‌బెర్ట్ తన ప్రసంగంలో గణిత శాస్త్ర సంబంధ 23 అపరిష్కృత సమస్యలను వెల్లడించాడు. ఈ సమస్యలు, గణిత శాస్త్రంలో అనేక విభాగాలకు విస్తరించివున్నాయి, ఎక్కువ భాగం 20వ శతాబ్దపు గణిత శాస్త్ర పరిశోధనలకు ఇవి ప్రధాన కేంద్రాలు అయ్యాయి. ఈ రోజు వరకు 10 సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి, మరో 7 పాక్షికంగా పరిష్కరించబడ్డాయి, 2 ఇప్పటికీ అపరిష్కృతంగానే మిగిలివున్నాయి. మిగిలిన 4 సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయని లేదా అపరిష్కృతంగా ఉన్నాయని ఏదో ఒకటి కచ్చితంగా చెప్పేందుకు వీలు లేకుండా సూత్రీకరించబడ్డాయి.
ప్రసిద్ధ చారిత్రక ప్రతిపాదనలు (ఊహలు) చివరకు ఆధారసహితంగా నిరూపించబడ్డాయి. 1976లో, వోల్ఫ్‌గాంగ్ హాకెన్ మరియు కెన్నెత్ యాపెల్ నాలుగు వర్ణాల సిద్ధాంతాన్ని నిరూపించేందుకు కంప్యూటర్‌ను ఉపయోగించారు. ఇతరులు కనిపెట్టిన పరిజ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి ఆండ్ర్యూ విల్స్ 1995లో ఫెర్మాట్ యొక్క చివరి సిద్ధంతాన్ని నిరూపించాడు. పాల్ కోహెన్ మరియు కుర్ట్ గోడెల్‌లు సమితి సిద్ధాంతం యొక్క ప్రామాణిక ధర్మాలు యొక్క సమవాయ ప్రతిపాదన స్వతంత్రమైనదని నిరూపించారు (అయితే దీని ఆమోదయోగ్యత ప్రశ్నార్థకంగా ఉంది). 1998లో థామస్ కాలిస్టెర్ హాలెస్ కెప్లెర్ ప్రతిపాదనను నిరూపించాడు.
గణిత శాస్త్ర సహకారంలో అసాధారణ పరిమాణం మరియు ఆస్కారాలు చోటుచేసుకున్నాయి. ఒక ప్రసిద్ధ ఉదాహరణ ఏమిటంటే పరిమిత సాధారణ సమూహాల వర్గీకరణ (దీనిని "బృహత్తర సిద్ధాంతం" అని కూడా పిలుస్తారు), 1955 మరియు 1983 మధ్యకాలంలో దీని యొక్క నిరూపణకు 100 మంది రచయితలు 500లకుపైగా కథనాలు వెలువరించారు, దీనికి వేలాది కాగితాలు నిండిపోయాయి. జీన్ డియుడోన్ మరియు ఆండ్ర్యూ వీల్‌లు కూడా భాగస్వాములుగా ఉన్న ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుల సమూహం ఒకటి "నికోలస్ బౌర్బాకీ" అనే మారుపేరుతో తెలిసిన అన్ని గణిత శాస్త్ర అంశాలను ఏకతాటిపైకి తెచ్చి వివరించేందుకు ప్రయత్నించారు. దీని ఫలితంగా వచ్చిన అనేక డజన్లకొద్ది సంచికలు గణిత శాస్త్ర విద్యపై వివాదాస్పద ప్రభావాన్ని చూపాయి.
ఐన్‌స్టీన్ అవకలన క్షేత్రగణితాన్ని సాధారణ సాపేక్షత్వంలో ఉపయోగించడంతో, అది స్వతంత్ర విభాగంగా అవతరించింది. గణిత శాస్త్ర తర్కం, సంస్థితి శాస్త్రం మరియు జాన్ వాన్ న్యూమాన్ యొక్క క్రీడా సిద్ధాంతం వంటి మొత్తం గణిత శాస్త్ర కొత్త విభాగాలు గణిత పద్ధతుల్లో సమాధానమివ్వగలిగిన వివిధ రకాల ప్రశ్నలను మార్చివేశాయి. సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి అన్ని రకాల నిర్మాణాలు సంగ్రహించబడ్డాయి మరియు వాటికి మెట్రిక్ స్పేస్‌లు, టోపోలాజికల్ స్పేస్‌లు, ఇతరాల వంటి పేర్లు ఇవ్వబడ్డాయి. గణిత శాస్త్రజ్ఞులు చేసే విధంగా, వియుక్త నిర్మాణం భావన కూడా దానతంటదే సంక్షేపించబడింది, ఇది వర్గ సిద్ధాంతానికి దారితీసింది. గ్రోథెన్‌డియెక్ మరియు సెర్రె షీఫ్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి బీజగణిత జ్యామితికి కొత్త హంగులు జోడించారు. పాయిన్‌కేర్ 1890వ దశకంలో ప్రారంభించిన గతి శాస్త్ర వ్యవస్థల విశేష అధ్యయనంలో కూడా పెద్దఎత్తున నవీకరణలు జరిగాయి. 19వ శతాబ్దం చివరి భాగం మరియు ప్రారంభ 20వ శతాబ్దంలో ప్రమాణ సిద్ధాంతం అభివృద్ధి చెందింది. లెబెస్గ్యూ ఇంటెగ్రల్, కోల్మోగోరోవ్ యొక్క సంభావ్యత సిద్ధాంత విస్పష్టీకరణ, మరియు ఎర్గోడిక్ థియరీ వంటివాటిని ప్రమాణాల అనువర్తనాలుగా చెప్పవచ్చు. నాట్ థియరీ బాగా విస్తరించబడింది. ఇతర విభాగాల్లో ప్రమేయ విశ్లేషణ, లారెంట్ ష్వార్జ్ యొక్క పంపిణీ సిద్ధాంతం, స్థిర బిందు సిద్ధాంతం, ఏకైకత్వ సిద్ధాంతం మరియు రెనే థామ్ యొక్క కాటాస్ట్రోప్ థియరీ, నమూనా సిద్ధాంతం, మరియు మాండెల్‌బ్రోట్ యొక్క భిన్నాలు ఉన్నాయి.
కంప్యూటర్ సంబంధ పరిజ్ఞానాలు నిరంతర వృద్ధి, నవీకరణల కారణంగా, మొదట యాంత్రిక సారూప్య యంత్రాలు మరియు తరువాత అంక వైద్యుత యంత్రాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి, విస్తృత ఉత్పత్తి, పంపిణీ మరియు ప్రసారానికి సహకరించే భారీమొత్తంలో సమాచారాన్ని నిర్వహించడంలో ఇవి పరిశ్రమకు ఉపయోగపడ్డాయి, దీనిని నిర్వహించేందుకు గణిత శాస్త్రంలో కొత్త విభాగాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి: అవి అలెన్ టరింగ్ యొక్క కంప్యూటబిలిటీ థియరీ; కాంప్లెక్సిటీ థియరీ; క్లాడే షానోన్ యొక్క ఇన్ఫర్మేషన్ థియరీ; సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్; డేటా అనాలసిస్; ఆప్టిమైజేషన్ మరియు కార్యకలాపాల పరిశోధన ఇతర విభాగాలు. గడిచిపోయిన శతాబ్దాల్లో గణిత శాస్త్రానికి సంబంధించిన అధ్యయనాలు ఎక్కువగా కలన గణితం మరియు అవిచ్ఛిన్న ప్రమేయాలపై జరిగేవి, అయితే గణన మరియు సమాచార ప్రసార వ్యవస్థలు అభివృద్ధి చెందడంతో వివిక్త అంశాలు మరియు రేఖాచిత్ర సిద్ధాంతంతోపాటు కాంబినేటరిక్స్ విస్తరణకు ప్రాధాన్యత బాగా పెరిగింది. కంప్యూటర్ల యొక్క వేగం మరియు సమాచార సంవిధాన సామర్థ్యం కారణంగా పెన్సిల్ మరియు కాగితంపై గణనలు చేస్తే బాగా సమయం తీసుకునే గణిత శాస్త్ర సమస్యలను పరిష్కరించడం చాలా సులభమైంది, దీని కోసం సంఖ్యా విశ్లేషణ మరియు సింబాలిక్ కంప్యూటేషన్ వంటి విభాగాలు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి.
ఇదే సమయంలో, గణిత శాస్త్రం యొక్క అవధుల గురించి లోతైనా అధ్యయనాలు చేయబడ్డాయి. 1929 మరియు 1930 సంవత్సరాల్లో ధనాత్మక సహజ సంఖ్యల కూడిక మరియు గుణకారానికి సంబంధించిన అన్ని ప్రకటనల యొక్క వాస్తవికత లేదా అవాస్తవికతలు నిరూపించబడ్డాయి, వాటిని నిర్ధారణ చేసే వీలు ఏర్పడింది, అంటే క్రమసూత్ర పద్ధతిలో కూడా గుర్తించవచ్చు. 1931లో, కుర్ట్ గోడెల్ ఇది ధనాత్మక సహజ సంఖ్యల కూడిక మరియు గుణకారానికి అనుకూలం కాదని గుర్తించాడు; ఈ వ్యవస్థను పియానో అర్థమెటిక్‌గా గుర్తిస్తారు, వాస్తవానికి ఇది అసంపూర్ణమైనది. (పియానో అంక గణితం ప్రధాన సంఖ్యల యొక్క సంజ్ఞామానంతోపాటు సంఖ్యా సిద్ధాంతం ధర్మాలకు న్యాయం చేస్తుంది.) గోడెల్ యొక్క రెండు అసంపూర్ణ సిద్ధాంతాలు ఫలితంగా పియానో అంక గణితం (విశ్లేషణ మరియు క్షేత్ర గణితం యొక్క అన్ని అంశాలు) కలిగిన ఎటువంటి గణిత శాస్త్ర వ్యవస్థలో అయినా వాస్తవం చివరకు నిరూపణను తోసిపుచ్చుతుంది, అంటే వ్యవస్థలో నిరూపించలేని వాస్తవ సూత్రీకరణలు ఉన్నాయి. అందువలన గణిత శాస్త్రం గణిత తర్కంగా పరిగణించబడలేదు మరియు గణిత శాస్త్రంలో పరిపూర్ణత మరియు స్థిరత్వం చూడాలనే డేవిడ్ హిల్‌బెర్ట్ కల చెదిరిపోయింది.
20వ శతాబ్దానికి చెందిన గణిత శాస్త్రంలో ప్రసిద్ధి చెందిన వ్యక్తుల్లో ఒకరైన స్వీయార్జిత విద్యావంతుడు శ్రీనివాస అయ్యంగార్ రామానుజన్ (1887–1920) 3000లకుపైగా సిద్ధాంతాలను ప్రతిపాదించాడు లేదా నిరూపించాడు, అత్యంత సంక్లిష్ట సంఖ్యలు, విభాగ ప్రమేయం మరియు దాని యొక్క అసింప్టోటిక్స్ మరియు మోక్ థీటా ప్రమేయాల ధర్మాలను వివరించాడు. గామా ప్రమేయాలు, మాడ్యులర్ ఫామ్‌లు, విపరిణామ శ్రేణి, అతిజ్యామితీయ శ్రేణి మరియు ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతం తదితర విభాగాల్లో ఆయన ప్రధాన పరిశోధనలు చేశాడు.
పాల్ ఎర్డోస్ చరిత్రలో మరే ఇతర గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చేయని స్థాయిలో గణిత శాస్త్ర పరిశోధక పత్రాలను వెలువరించాడు, అతను వందలాది మంది సహాయకులతో కలిసి పనిచేశాడు. కెవిన్ బాకోన్ గేమ్‌కు సమానమైన ఒక క్రీడను గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కలిగివున్నారు, ఇది ఎర్డోస్ నెంబర్‌కు దారితీసింది. ఒక వ్యక్తి మరియు పాల్ ఎర్డోస్ మధ్య సహకార సంబంధాన్ని ఇది వర్ణిస్తుంది, గణిత శాస్త్ర పత్రాల యొక్క ఉమ్మడి కర్తృత్వాన్ని తెలిపేందుకు దీనిని ఉపయోగిస్తారు.
2000లో, క్లే మ్యాథమ్యాటిక్స్ ఇన్‌స్టిట్యూట్ మిలీనియం ప్రైజ్ ప్రాబ్లమ్స్‌ను ప్రకటించింది, 2003లో పాయిన్‌కేర్ ప్రతిపాదనను గ్రిగోరీ పెరెల్‌మాన్ నిరూపించాడు.
దాదాపుగా అన్ని మ్యాథమ్యాటికల్ జర్నల్స్ ఇప్పుడు ముద్రణ రూపాలతోపాటు, ఆన్‌లైన్ రూపాలను కూడా కలిగివున్నాయి, అంతేకాకుండా అనేక ఆన్‌లైన్ ఆధారిత జర్నల్స్ కూడా ప్రారంభమయ్యాయి. ఓపెన్ యాక్సస్ పబ్లిషింగ్‌కు ఆదరణ బాగా పెరుగుతోంది, తొలిసారి ఇది arXivతో ప్రాచుర్యంలోకి వచ్చింది.