బీజగణితం
బీజగణితం గణితశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, ఇది పరిక్రియలు మరియు సంబంధాలు, నియమాలు మరియు పదాలు, బహుపదులు, సమీకరణాలు మరియు బీజగణిత నిర్మాణాలు సహా, వాటి నుంచి ఉద్భవించే నిర్మాణాలు మరియు భావాలపై అధ్యయానాన్ని గురించి వివరిస్తుంది. క్షేత్రగణితం, విశ్లేషణ, సంస్థితిశాస్త్రం, సమ్మేళనము (కాంబినేటరిక్స్) మరియు సంఖ్యా వాదముతో కలిపి బీజగణితాన్ని ఔపపత్తిక గణితశాస్త్రంలోని ప్రధాన విభాగాల్లో ఒకదానిగా పరిగణిస్తారు. బీజగణితంలో ఒక భాగాన్ని ప్రాథమిక బీజగణితం అని పిలుస్తారు, ఇది ఉన్నత విద్యా పాఠ్యాంశాల్లో భాగంగా ఉంది మరియు ఇందులో సంఖ్య లకు సంబంధించిన చలరాశుల అంశాలు పరిచయం చేయబడతాయి. ఈ చలరాశుల ఆధారిత వివరాలను సంఖ్యలకు అనువర్తింపజేసే, సంకలనం వంటి పరిక్రియలకు సంబంధించిన నియమాలను ఉపయోగించి అనుసంధానం చేయవచ్చు. దీనిని సమీకరణ సాధన వంటి వివిధ తర్కాలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు. ప్రాథమిక బీజగణితం మరియు వివిధ పరిక్రియా నియమాలను ఉపయోగించినప్పుడు మరియు సంఖ్యలు కాని అంశాలకు పరిక్రియలను వర్తింపజేసినప్పుడు వచ్చే ఫలితాలపై అధ్యయనాల కంటే బీజగణితం బాగా విస్తృతమైనది. సాధారణీకరించదగిన సంకలనం మరియు గుణకారాలకు సంబంధించిన సరైన నిర్వచనాలు సమూహాలు, వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు వంటి నిర్మాణాలకు దారితీస్తాయి.
ఆల్జీబ్రా (బీజగణితం) అనే పదం అరబిక్ భాష (అల్-జబర్, అక్షరాలా الجبر, " పునస్థాపనం" ) నుంచి ఉద్భవించింది, దీని యొక్క పద్ధతుల్లో ఎక్కువ భాగం అరబిక్/ఇస్లామిక్ గణితశాస్త్రం నుంచి వచ్చాయి, వాటి మూలాలను దీనికి పూర్వ సంప్రదాయాల్లో గుర్తించవచ్చు, ముఖ్యంగా పురాతన భారతీయ గణితశాస్త్రంలో వీటి మూలాలు కనిపిస్తాయి, భారతీయ గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రభావం ముహమ్మద్ బిన్ ముసా అల్-ఖ్వారిజ్మ (c. 780-850) పై స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని నేర్చుకున్నాడు, తన యొక్క అంకగణిత గ్రంథం, "కితాబ్ అల్-జామ్’వాల్ తఫ్రీఖ్ బి హిసాబ్ అల్-హిందీ" ("బుక్ ఆన్ ఎడిషన్ అండ్ సబ్‌స్ట్రాక్షన్ ఆఫ్టర్ ది మెథడ్ ఆఫ్ ది ఇండియన్స్" ) ద్వారా ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని ముస్లిం ప్రపంచానికి పరిచయం చేశాడు. ఆయన తరువాత అల్-కితాబ్ అల్-ముహ్తాసార్ ఫి హిసాబ్ అల్-జబర్ వా-ల్-ముఖాబలా" (" ది కాంపెడియస్ బుక్ ఆన్ కాల్క్యులేషన్ బై కంప్లీషన్ అండ్ బాలెన్సింగ్"), క్షేత్రగణితం మరియు అంకగణితంల నుంచి బీజగణితం స్వతంత్ర గణితశాస్త్ర విభాగంగా సుస్థిరమయ్యేందుకు ఈ గ్రంథం ఉపయోగపడింది."
బీజగణితం యొక్క మూలాలను పురాతన బాబిలోనియన్ల గణితశాస్త్రంలో గుర్తించవచ్చు, ఒక క్రమసూత్ర పద్ధతిలో గణనలు చేయగల ఒక ఆధునిక అంకగణిత వ్యవస్థను బాబిలోనియన్లు అభివృద్ధి చేశారు. సరళ సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు మరియు అనిర్దిష్ట సరళ సమీకరణాలు ఉపయోగించి ఈ రోజు పరిష్కరిస్తున్న సమస్యలకు పరిష్కారాలను గణించేందుకు బాబిలోనియన్లు సూత్రాలను అభివృద్ధి చేశారు. వీరికి విరుద్ధంగా, మొదటి సహస్రాబ్ది వి సిలో ఈజిప్ట్, గ్రీకు మరియు చైనా దేశాలకు చెందిన అనేక మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సాధారణంగా ఇటువంటి సమస్యలను క్షేత్రగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించేవారు. "ఆర్‌హింద్ గణితశాస్త్ర తాళపత్రాలు", యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్|యూక్లిడ్ యొక్క "ఎలిమెంట్స్", మరియు "ది నైన్ ఛాప్టర్స్ ఆఫ్ ది మాథమ్యాటికల్ ఆర్ట్" వంటి గ్రంథాల్లో ఇవి వర్ణించబడ్డాయి. నిర్దిష్ట సమస్యల పరిష్కారాలను సమీకరణాల వివరణ మరియు పరిష్కారానికి సంబంధించిన మరింత సాధారణీకరించిన వ్యవస్థల్లోకి అన్వయించేందుకు సూత్రాలను (నియమాలను) సాధారణీకరించడానికి "ఎలిమెంట్స్‌"లో ప్రస్తావించబడిన గ్రీకుల క్షేత్రగణిత వివరాలు వేదికను అందజేశాయి. మధ్యయుగ ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని సాకారం చేశారు.
అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన హీరో మరియు డియోఫాంటస్ వంటి హెలెనిస్టిక్ (గ్రీకు నాగరికతకు చెందిన) గణిత శాస్త్రజ్ఞులు , బ్రహ్మగుప్తా వంటి భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఈజిప్టు మరియు బాబిలోన్ గణిత సంప్రదాయాలను కొనసాగించారు, అయితే డియోఫాంటస్ యొక్క "ఆర్థమెటికా" మరియు బ్రహ్మగుప్తుని యొక్క "బ్రహ్మస్ఫుట సిద్ధాంతం" ఉన్నత స్థాయిలో ఉన్నాయి. ఉదాహరణకు, వర్గ సమీకరణాల యొక్క తొలి పూర్తి అంకగణిత సాధన (సున్నా మరియు రుణాత్మక సాధనలతోసహా) బ్రహ్మగుప్తుడు రాసిన పుస్తకం "బ్రహ్మస్ఫుటసిద్ధాంతం"లో వర్ణించబడింది. తరువాత, అరబిక్ మరియు ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మరింత ఆధునిక స్థాయికి చెందిన బీజగణిత పద్ధతులను అభివృద్ధి చేశారు. డియోఫాంటస్ మరియు బాబిలోనియన్లు సమీకరణాల సాధనలకు ఎక్కువగా ప్రత్యేక తాత్కాలిక పద్ధతులను ఉపయోగించినప్పటికీ, సాధారణ పద్ధతులను ఉపయోగించి సమీకరణాలను సాధించిన ప్రప్రథమ వ్యక్తిగా అల్-ఖ్వారిజ్మీ గుర్తింపు పొందాడు. సరళ అనిర్దిష్ట సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు, ద్వియాంశ అనిర్దిష్ట సమీకరణాలు మరియు బహు చలరాశులు కలిగిన సమీకరణాలను ఆయన సాధించాడు.
"ఆల్జీబ్రా" అనే పదం ""అల్-జబర్ , الجبر" " అనే అరబిక్ పదం నుంచి ఉద్భవించింది, ఈ పదాన్ని ' పుస్తకం పేరు నుంచి స్వీకరించారు ', ఈ పుస్తకాన్ని ఆంగ్లంలో "ది బుక్ ఆఫ్ సమ్మరీ కాన్సర్నింగ్ కాల్క్యులేటింగ్ బై ట్రాన్స్‌పొజిషన్ అండ్ రిడక్షన్" అని పిలుస్తారు, ఈ పుస్తకాన్ని ఇస్లామిక్ పర్షియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, (ఆయనను "బీజగణిత పితామహుడి"గా పరిగణిస్తారు), 820లో రాశారు. "అల్-జబర్" అనే పదానికి ""పునరేకీకరణ"" అనే అర్థం వస్తుంది. 
గ్రీకు నాగరికతకు చెందిన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు డియోఫాంటస్‌ను సంప్రదాయబద్ధంగా "బీజగణిత పితామహుడి"గా గుర్తిస్తున్నారు, అయితే ఇటీవల కాలంలో "అల్-జబర్" నియమాలను కనుగొన్న అల్-ఖ్వారిజ్మీని బీజగణిత పితామహుడిగా గుర్తించడంపై పెద్ద చర్చ జరుగుతోంది. "అల్-జబర్‌" లో కనిపించే బీజగణితం "అర్థమెటికా" తో పోలిస్తే ప్రాథమిక స్థాయికి కొంచెం ఎక్కువగా ఉందని, "అర్థమెటికా" లో బీజగణిత వివరాలు బాగా ఆధునీకరించబడి ఉండగా, "అల్-జబర్‌" లో పూర్తిగా అలంకారికంగా ఉందని డియోఫాంటస్‌కు మద్దతు ఇచ్చేవారు వాదిస్తున్నారు. "అల్-జబర్" అనే పదం చేత మొదట సూచించబడిన "కుదింపు" మరియు "సమం చేయడం" (భాగహారం చేయగలిగిన పదాలను సమీకరణం యొక్క మరోవైపుకు బదిలీ చేయడం, అంటే, సమీకరణం రెండువైపులా ఉన్న సమాన పదాలను రద్దు చేయడం) వంటి పద్ధతులను పరిచయం చేయడంతోపాటు, మరియు వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించేందుకు పూర్తి వివరణ ఇవ్వడం, వీటికి క్షేత్రగణిత రుజువులు అందించడంతోపాటు, బీజగణితాన్ని స్వతంత్ర గణిత శాస్త్ర విభాగంగా సుస్థిరపరిచారని అల్-ఖ్వారిజ్మీకి మద్దతు పలికేవారు వాదిస్తున్నారు. అతను ప్రతిపాదించిన బీజగణితం "పరిష్కరించాల్సిన సమస్యల శ్రేణితో సంబంధం లేకుండా, సమీకరణాలకు అన్ని సాధ్యమయ్యే మాత్రికలను అందించే జతలు కలిగిన మొదటి పదాలతో వివరణ ప్రారంభమవుతుంది, దీని నుంచి స్పష్టంగా వాస్తవ వస్తు అధ్యయనం స్థాపించబడుతుంది." అతను ఒక సమీకరణాన్ని దాని సొంత లక్ష్యం కోసం అధ్యయనం చేశాడు మరియు "సాధారణ పద్ధతిలో, ఇప్పటివరకు ఒక సమీకరణం సులభంగా సమస్యను పరిష్కరిస్తున్న క్రమంలో బయటపడలేదు, అనంత శ్రేణి సమస్యలను పరిష్కరించేందుకు ప్రత్యేకంగా ఇది అభివృద్ధి చేయబడింది."[78]
పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఒమర్ ఖయ్యుం బీజీయ క్షేత్రగణితానికి పునాదులు నిర్మించిన వ్యక్తిగా గుర్తింపు పొందాడు, ఆయన ఘన సమీకరణానికి సాధారణ క్షేత్ర గణిత పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నాడు. మరో పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, షరాఫ్ అల్-డిన్ అల్-తుసీ వివిధ ఘన సమీకరణాల సందర్భాలకు బీజీయ మరియు సంఖ్యా సాధనలు కనుగొన్నాడు. అంతేకాకుండా ఆయన ప్రమేయం అనే భావనను అభివృద్ధి చేశాడు. భారతీయ గణిత శాస్త్రజ్ఞులు మహావీరుడు మరియు భాస్కరాచార్యుడు II, పర్షియా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అల్-కారాజీ, మరియు చైనా గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు జు షిజీ వివిధ ఘన, ద్విఘాత, పంచఘాత మరియు అధిక-ఘాత బహుపద సమీకరణాలను సంఖ్యా పద్ధతుల్లో సాధించారు. వైశ్లేషిక క్షేత్రగణితాన్ని కనిపెట్టిన రెనె డెస్కార్టెస్ ఆధునిక బీజగణిత సంజ్ఞామానాన్ని కూడా పరిచయం చేశాడు, ఆయన రాసిన లా జియోమెట్రీ పుస్తకం 1637లో ముద్రితమైంది.
ఘన మరియు ద్విఘాత సమీకరణాలకు సాధారణ బీజగణిత సాధన ద్వారా బీజగణితంలో మరింత పురోభివృద్ధి సాధ్యపడింది, దీనికి సంబంధించిన అభివృద్ధి 16వ శతాబ్దం మధ్యకాలంలో సాధించబడింది. నిర్ధారకం అనే ఆలోచన జపాన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు కోవా సెకి చేత 17వ శతాబ్దంలో అభివృద్ధి చేయబడింది, దీని తరువాత పదేళ్లకు గాట్‌ఫ్రైడ్ లెబ్నిజ్ సమకాలీనమైన సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలను మాత్రికలను ఉపయోగించి సాధిం చేందుకు నిర్ధారకం పై ఆలోచనలు చేశారు. గాబ్రియెల్ గ్రామెర్ కూడా 18వ శతాబ్దంలో మాత్రికలు మరియు నిర్ధారకాలపై కొంత కృషి చేశారు. 19వ శతాబ్దంలో వియుక్త బీజగణితం అభివృద్ధి చేయబడింది, ఇది ప్రాథమికంగా ఇప్పుడు గాల్వా వాదము మరియు నిర్మాణాత్మక సాధనగా పిలుస్తున్న అంశాలపై దృష్టి పెట్టింది.
బీజగణితాన్ని స్థూలంగా ఈ కింది విభాగాలుగా వర్గీకరించవచ్చు:
అధునాతన అధ్యయనం యొక్క కొన్ని కోణాల్లో, బీజగణిత నిర్మాణంతో అవిరుద్ధంగా ఉండే క్షేత్రగణిత నిర్మాణం (ఒక కొలమానం లేదా ఒక సంస్థితిశాస్త్రం) సమక్షంలో సమూహాలు, వలయాలు, క్షేత్రాలు వంటి సిద్ధాంతపరమైన బీజగణిత వ్యవస్థలను మరియు ఒక క్షేత్రం యొక్క బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తారు. ఈ జాబితా ప్రమేయ విశ్లేషణ యొక్క అనేక విభాగాల్లో విస్తరించి ఉంది:
ప్రాథమిక బీజగణితాన్ని బీజగణితం యొక్క ప్రారంభ రూపంగా పరిగణించవచ్చు. అంక గణితం యొక్క ప్రాథమిక నియమాలకు మించి గణితశాస్త్రంపై ఎటువంటి అవగాహనలేని విద్యార్థులకు దీనిని బోధిస్తారు. అంక గణితంలో, సంఖ్యలు మరియు వాటి అంక గణిత క్రియలు (+, −, ×, ÷ వంటివి) మాత్రమే ఉంటాయి. బీజగణితంలో, సంఖ్యలను తరచుగా గుర్తులతో ("a", "x", or "y" ) సూచిస్తారు. ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది, ఎందుకంటే:
బహుపది (మరింత సమాచారం కోసం బహుపదులు అనే వ్యాసాన్ని చూడండి) అనేది ఒక సమాసం, దీనిని సంకలనం, వ్యవకలనం మరియు గుణకారం వంటి క్రియలను ఉపయోగించి ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ చలరాశులు మరియు స్థిరాంకాల ద్వారా నిర్మిస్తారు (ఇక్కడ పదేపదే గుణకారం చేయాల్సిన ఒకేరకమైన చలరాశిని ప్రామాణికంగా ఒక స్థిరాంక-రుణాత్మకేతర పూర్ణాంక ఘాతంతో ఘాతీయ ప్రక్రియగా సూచిస్తారు). ఉదాహరణకు, "x" + 2"x" − 3 అనేది ఒక బహుపది, ఇది "x" అనే ఒక చలరాశిని కలిగివుంది.
బీజగణితంలో ఒక ముఖ్యమైన తరగతికి చెందిన సమస్యలు ఏమిటంటే ఇవ్వబడిన బహుపదిని ఇతర బహుపదుల ఉత్పత్తిగా వ్యక్తపరచడం, వీటిని బహుపదుల కారణాంకీకరణంగా పిలుస్తారు. ఉదాహరణకు, పైన పేర్కొన్న బహుపదిని ("x" − 1) ("x" + 3) అనే కారణాంశాలుగా విడదీయవచ్చు. ఏక చలరాశి కలిగిన ఒక బహుపది మూలాలకు బీజగణిత సమాసాలను గుర్తించడం కూడా ఇటువంటివాటికి సంబంధించిన సమస్యల పరిధిలోకి వస్తాయి.
ప్రాథమిక బీజగణితంలో కనిపించే పరిచయ అంశాలను మరియు అంక గణిత సంఖ్యలను వియుక్త బీజగణితం మరింత సాధారణ అంశాలకు విస్తరిస్తుంది.
సమితులు : వివిధ రకాల సంఖ్యలను మాత్రమే పరిగణలోకి తీసుకోవడానికి బదులుగా, వియుక్త బీజగణితం "సమితుల" యొక్క మరింత సాధారణ భావనను ఉపయోగిస్తుంది: అన్ని వస్తువులను (మూలకములు అని పిలుస్తారు) సముదాయపరిచేందుకు ఆధారంగా చేసుకున్న లక్షణం, ఒక సమితికి నిర్ణీతమై ఉంటుంది. సజాతీయ సంఖ్యల అన్ని సముదాయాలను సమితులు అంటారు. సమితులకు ఇతర ఉదాహరణలు ఏమిటంటే, 2x2 మాత్రికల సమితి, అన్ని ద్వితీయ-శ్రేణి బహుపదుల సమితి ("ax" + "bx" + "c" ), ఒక తలంలోని అన్ని ద్విమాత్రిక సదిశరాశుల సమితి, మాపంలో "n" పూర్ణాంక సమూహంగా పరిగణించబడే చక్రీయ సమూహాల వంటి వివిధ పరిమిత సమూహాలు ఈ సమితులకు ఇతర ఉదాహరణలు. సమితి వాదం అనేది తర్కశాస్త్రంలో ఒక విభాగం, సాంకేతికంగా ఇది బీజగణితంలో భాగం కాదు.
ద్వియాంశ పరిక్రియలు : "ద్వియాంశ క్రియ"ను ఇచ్చేందుకు సంకలనం (+) యొక్క భావనను సంక్షేపిస్తారు, ∗ అనవచ్చు. సమితి లేకుండా ద్వియాంశ పరిక్రియ యొక్క భావన అర్థరహితం, ఎందుకంటే సమితి ఆధారంగానే పరిక్రియను నిర్వచిస్తారు. "S" అనే సమితిలో రెండు సంఖ్యలు "a" మరియు "b"లు ఉంటే, ఆ సమితిలో "a" ∗ "b" మరో మూలకం అవుతుంది; ఈ నియమాన్ని సమాపకం అని పిలుస్తారు. మాత్రికలు, సదిశరాశులు మరియు బహుపదుల సంకలనం మరియు గుణకారం మాదిరిగా వేర్వేరు సమితులపై నిర్వచించినప్పుడు సంకలనం (+), వ్యవకలనం (-), గుణకారం (×), మరియు భాగహారం (÷) ద్వియాంశ పరిక్రియలు అవుతాయి.
గుర్తింపు సంఖ్యలు : ఒక క్రియలో ఒక "గుర్తింపు సంఖ్య" భావనను ఇచ్చేందుకు సున్నా మరియు ఒకటి సంఖ్యలను సంక్షేపిస్తారు. సంకలనానికి సున్నాను గుర్తింపు సంఖ్యగా, ఒకటిని గుణకారానికి గుర్తింపు సంఖ్యగా పరిగణిస్తారు. సాధారణ ద్వియాంశ పరికర్త ∗కు గుర్తింపు సంఖ్య "e" "a" ∗ "e" = "a" మరియు "e" ∗ "a" = "a" లను తప్పనిసరిగా సంతృప్తి పరచాలి. ఇది సంకలనానికి "a" + 0 = "a" మరియు 0 + "a" = "a" మరియు గుణకారానికి "a" × 1 = "a" మరియు 1 × "a" = "a" ఆధారంగా ఉంటుంది. సమితి మరియు పరికర్త మేళనాలు అన్నీ గుర్తింపు సంఖ్యను కలిగివుండవు; ఉదాహరణకు, ధనాత్మక సహజ సంఖ్యల (1, 2, 3, ...) సంకలనానికి ఎటువంటి గుర్తింపు సంఖ్య ఉండదు.
విలోమ సంఖ్యలు : రుణాత్మక సంఖ్యలు "విలోమ సంఖ్యలు" అనే అంశాన్ని తెరపైకి తీసుకొచ్చాయి. సంకలనానికి, "a" యొక్క విలోమం −"a" అవుతుంది, గుణకారానికి విలోమం 1/"a" అవుతుంది. సాధారణ విలోమ సంఖ్య "a" తప్పనిసరిగా "a" ∗ "a" = "e" మరియు "a" ∗ "a" = "e" అనే లక్షణాన్ని సంతృప్తిపరచాలి.
సహార్థకత్వం : పూర్ణ సంఖ్యల (పూర్ణాంకాలను) సంకలనం సహార్థకత్వం అని పిలిచే ధర్మాన్ని కలిగివుంది. అంటే, సంకలనం చేసే సంఖ్యలను సమూహపరచడం మొత్తం విలువను ప్రభావితం చేయదు. ఉదాహరణకు: సాధారణంగా, దీనిని ("a" ∗ "b" ) ∗ "c" = "a" ∗ ("b" ∗ "c" ) గా చూపించవచ్చు. వ్యవకలనం లేదా భాగహారం లేదా ఆక్టోనియన్ గుణకారంలలో మినహా, ఈ ధర్మాన్ని అనేక ద్వియాంశ క్రియల్లో ఉపయోగిస్తారు.
దిక్పరివర్తనం : పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం దిక్పరివర్తనం (కమ్యుటేటివిటీ) అనే ధర్మాన్ని కూడా కలిగివుంది. అంటే, సంకలనం చేసే సంఖ్యల క్రమం మొత్తం విలువను ప్రభావితం చేయదు. ఉదాహరణకు: 2+3=3+2. సాధారణంగా, దీనిని "a" ∗ "b" = "b" ∗ 
"a" రూపంలో రాయవచ్చు. కేవలం కొన్ని ద్వియాంశ క్రియలు మాత్రమే ఈ ధర్మాన్ని కలిగివుంటాయి. పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనం మరియు గుణకారాలకు దీనిని వర్తింప జేయవచ్చు, మాత్రిక గుణకారం లేదా చతుష్టయ గుణకారంలలో ఈ ధర్మాన్ని వర్తింపజేయలేము.
పైన పేర్కొన్న అంశాలను కలపడం ద్వారా గణిత శాస్త్రంలో అత్యంత ముఖ్యమైన నిర్మాణాల్లో ఒకటి ఏర్పడుతుంది: అది సమూహం . ఒక సమూహాన్ని "S" అనే సమితి మరియు ఏక ద్వియాంశ క్రియ ∗ల కలయికగా చెప్పవచ్చు, దీనిని మీకు కావాల్సినట్లుగా నిర్వచించవచ్చు, అయితే ఈ కింది ధర్మాలను మాత్రం పాటించాలి:
ఒక సమూహం దిక్పరివర్తకం అయితే-అంటే, "a" మరియు "b" అనేవి "S" సమితిలో ఏవైనా రెండు సంఖ్యలు అనుకుంటే, "a" ∗ "b" అనేది "b" ∗ "a"కి సమానమవుతుంది-అప్పుడు ఆ సమూహాన్ని అబెలియన్ అని చెబుతారు.
ఉదాహరణకు, సంకలన క్రియలో ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యల సమితిని సమూహం అంటారు. ఈ సమూహంలో, గుర్తింపు సంఖ్య 0 మరియు "a" అనే ఏదైనా సంఖ్య యొక్క విలోమం దాని యొక్క రుణాత్మక విలువ, −"a" అవుతుంది. "a", "b" మరియు "c" అనే ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్యలకు ("a" + "b" ) + "c" = "a" + ("b" + "c" ) అవుతుంది కాబట్టి సహార్థకత్వం అవసరం తీరుతుంది.
సున్నాయేతర కరణీయ సంఖ్యలు (నిష్ప సంఖ్యలు) గుణకారంతో ఒక సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాయి. ఎటువంటి కరణీయ సంఖ్య "a"కు 1 × "a" = "a" × 1 = "a" కావున, ఇక్కడ, గుర్తింపు సంఖ్య 1 అవుతుంది. "a" × 1/"a" = 1 కావున, "a" యొక్క విలోమం 1/"a" అవుతుంది.
అయితే, గుణకార క్రియలో పూర్ణ సంఖ్యలు, సమూహాన్ని ఏర్పాటు చేయలేవు. ఇది ఎందుకంటే, సాధారణంగా, ఒక పూర్ణ సంఖ్య యొక్క గుణకార విలోమం మరొక పూర్ణ సంఖ్య కాలేదు. ఉదాహరణకు, 4 ఒక పూర్ణ సంఖ్య, అయితే దాని యొక్క గుణకార విలోమం ¼, పూర్ణ సంఖ్య కాదు.
సమూహాల యొక్క సిద్ధాంతాన్ని సమూహ సిద్ధాంతంలో అభ్యసిస్తారు. పరిమిత సాధారణ సమూహాల వర్గీకరణను ఈ సిద్ధాంతం వలన ఏర్పడే ప్రధాన ఫలితంగా పరిగణించవచ్చు, ఇవి ఎక్కువగా 1955 మరియు 1983 మధ్యకాలంలో ప్రచురించబడ్డాయి, పరిమిత సాధారణ సమూహాలను స్థూలంగా 30 ప్రాథమిక రకాలుగా వర్గీకరించేందుకు ఈ ప్రయత్నం జరిగింది.
పాక్షిక సమూహాలు, క్వాసి సమూహాలు మరియు మోనాయిడ్‌లు కూడా సమూహాలను పోలిన నిర్మాణాలే, అయితే ఇవి బాగా సాధారణంగా ఉంటాయి. ఇవి ఒక సమితి మరియు ఒక సంవృత ద్వియాంశ క్రియను కలిగివుంటాయి, అయితే ఇవి ఇతర నియమాలను పాటించాల్సిన అవసరం లేదు. ఒక పాక్షిక సమూహం అనేది ఒక "సహార్థక" ద్వియాంశ క్రియ, అయితే ఇది ఒక గుర్తింపు సంఖ్యను కలిగివుండకపోవచ్చు. మోనాయిడ్ అనేది ఒక పాక్షిక సమూహం, దీనికి గుర్తింపు ఉంటుంది, అయితే దీనిలోని ప్రతి సంఖ్యకు విలోమం ఉండకపోవచ్చు. క్వాసి సమూహం అనేది విశిష్ట క్రియకు ముందు లేదా తరువాత మరో సంఖ్యగా మార్పు చెందగల ఏదైనా సంఖ్యను కలిగివుండే నియమాన్ని సంతృప్తి పరుస్తుంది; అయితే ద్వియాంశ క్రియ సహార్థకంగా ఉండకపోవచ్చు.
అన్ని సమూహాలు మోనాయిడ్‌లు అవుతాయి మరియు అన్ని మోనాయిడ్‌లను పాక్షిక సమూహాలుగా పరిగణించవచ్చు.
సమూహాలు ఏక ద్వియాంశ క్రియను మాత్రమే కలిగివుంటాయి. వివిధ రకాల సంఖ్యల యొక్క ప్రవర్తనను పూర్తిగా వివరించేందుకు, రెండు క్రియలు కలిగిన నిర్మాణాలను అధ్యయనం చేయాల్సిన అవసరం ఉంది. వీటిలో అత్యంత ముఖ్యమైనవి ఏమిటంటే వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు.
పంపిణీ ధర్మం సంఖ్యలకు "పంపిణీ సూత్రాన్ని" సాధారణీకరించింది, మరియు క్రియను వర్తింపజేయాల్సిన క్రమాన్ని ఇది నిర్దేశిస్తుంది, (అగ్రత అని పిలుస్తారు). పూర్ణ సంఖ్యలు మరియు లకు ×ను +పై "పంపిణీ"గా (డిస్ట్రిబ్యూటివ్) పరిగణిస్తారు.
ఒక వలయం +పై × డిస్ట్రిబ్యూటివ్‌తో రెండు ద్వియాంశ క్రియలు (+) మరియు (×) కలిగివుంటుంది. తొలి పరికర్త (+) పరిధిలో ఇది ఒక "అబెలియన్ సమూహాన్ని" ఏర్పాటు చేస్తుంది. రెండో పరికర్త (×) పరిధిలో ఇది సహార్థకం, అయితే దీనికి గుర్తింపు లేదా విలోమం కలిగివుండాల్సిన అవసరం లేదు, అందువలన భాగహారానికి అనుమతి ఉండదు. సంకలనాత్మక (+) గుర్తింపు సంఖ్యను 0గా రాస్తారు మరియు "a" యొక్క సంకలనాత్మక విలోమాన్ని −"a"గా రాస్తారు.
పూర్ణ సంఖ్యలను ఒక వలయానికి ఉదాహరణగా చెప్పవచ్చు. పూర్ణ సంఖ్యలు దానిని సమాకలన ప్రదేశం గా మార్చే అదనపు ధర్మాలను కలిగివుంటాయి.
క్షేత్రాన్ని 0తో సహా, అన్ని సంఖ్యలు × కింద ఒక "అబెలియన్ సమూహాన్ని" ఏర్పాటు చేసే అదనపు ధర్మం కలిగిన ఒక "వలయం"గా చెప్పవచ్చు. గుణకారాత్మక (×) గుర్తింపును 1గా రాస్తారు మరియు "a" యొక్క గుణకారాత్మక విలోమాన్ని "a" గా రాస్తారు.
కరణీయ సంఖ్యలు, నిజ సంఖ్యలు మరియు సంక్లిష్ట సంఖ్యలను క్షేత్రాలకు ఉదాహరణలుగా చెప్పవచ్చు.
"బీజగణితం" అనే పదాన్ని వివిధ బీజీయ నిర్మాణాలు కోసం ఉపయోగిస్తారు: