평탄 주접속
미분기하학에서, 평탄 주접속(平坦主接續, )은 곡률이 0인 주접속이다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_5의 주접속
에 대하여, 곡률
을 정의할 수 있다. 만약 formula_8이라면, formula_9를 formula_5의 평탄 주접속이라고 한다.
보다 일반적으로, 이러한 개념은 ∞-주다발/제르브에 대하여 일반화될 수 있다. 편의상, ∞-리 군 대신 그 국소 형태인 L∞-대수를 사용하자. (이는 기본군을 잊어 범피복군을 취하는 것에 해당한다.)
구체적으로, 매끄러운 다양체 formula_1과 L∞-대수 formula_12가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 formula_12 값의 1차 미분 형식의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 단순히 실수 미분 등급 대수의 준동형
이다 (정의역은 formula_12의 베유 대수, 공역은 formula_1의 미분 형식의 대수).
이 경우, 매끄러운 다양체 위의 formula_12-접속은 다음과 같은 가환 그림으로 정의된다.
여기서
이 가환 그림의, 맨 위의 수평 사상은 게이지 불변량을, 가운데의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜을, 맨 아래의 수평 사상은 게이지 퍼텐셜의 게이지 변환을 각각 나타낸다.
이 가운데, 평탄 formula_12-주접속은 모든 게이지 불변량이 0이 되는 경우이다. 즉, 이 경우 (완전열이 아닐 수 있는) 공사슬 복합체
가 존재한다.
만약 밑공간 formula_1 위에 복소구조나 심플렉틱 구조와 같은 추가 기하학적 구조가 존재한다면, 그 위의 평탄 주접속 모듈러스 공간은 이들 구조를 상속받을 수 있다.
만약 formula_1에 복소구조
가 존재한다고 하면, formula_38 위에도 역시 다음과 같은 복소구조가 존재한다. 임의의 formula_39를 formula_40의 원소로 나타내면,
여기서, 우변의 formula_43는 formula_1의 복소구조다.
formula_2의 리 대수가 불변 양의 정부호 이차 형식 formula_46을 갖춘 가약 리 대수라고 하자. (반단순 리 대수의 경우 이는 킬링 형식 formula_47의 스칼라배다.)
만약 formula_1에 심플렉틱 구조
가 주어졌다고 하면, 평탄 주접속의 모듈러스 공간 formula_50 역시 심플렉틱 구조를 가진다.formula_38는 자연스러운 심플렉틱 구조를 가진다. 구체적으로, 임의의 formula_52의 접공간의 원소 formula_53가 주어졌다고 하자. 이들을 formula_12
로 정의할 수 있다. 평탄성에 의하여 이는 게이지 불변임을 보일 수 있다.
만약 formula_1이 켈러 다양체이라면, formula_57는 심플렉틱 구조와 복소구조를 가지며, 이 둘은 호환되어 켈러 구조를 이룬다. 특히, formula_1이 리만 곡면일 때 이 경우가 해당한다.
formula_2가 콤팩트 반단순 리 군이라고 하자.
콤팩트 곡면 formula_60 위의 평탄 formula_2-주접속들의 게이지 변환에 대한 동치류들의 모듈러스 공간은 대수학적으로
이다. 여기서 formula_63는 formula_60의 기본군이고, formula_65은 군 준동형들의 공간이며, formula_66는 동치관계 formula_67에 대한 동치류를 취하는 것이다. 예를 들어, formula_2가 아벨 군이면
이다. 여기서 formula_70는 formula_60의 곡면 종수이다. 반면, formula_2가 콤팩트 반단순 리 군인 경우, formula_52은 복잡한 위상을 가진다.
곡면 formula_60의 기본군은 다음과 같이 표시된다.
따라서, formula_76의 한 원소는 formula_63의 생성원 formula_78의 각 원소의 상을 지정하여 나타낼 수 있다. 이는 formula_79개의 좌표가 필요하다. 물론, 여기에 formula_80은 formula_81개의 제약을 가하고, 또한 formula_2의 켤레 작용 formula_67 또한 차원을 formula_81만큼 축소시키므로, 모듈러스 공간의 차원은
이다. 여기서 formula_86는 formula_60의 오일러 지표다.
평탄 주접속은 곡률이 0이므로, 국소적으로 자명하며, 그 홀로노미에 의하여 완전히 분류된다. 구체적으로, formula_1이 연결 공간일 경우, 임의의 점 formula_89에 대하여, 특정한 게이지에서, 평탄 주접속의 홀로노미는 다음과 같은 군 준동형을 홀로노미(윌슨 고리)로서 유도한다.
게이지 변환에 따라서, formula_1 위의 평탄 주접속들의 모듈러스 공간은 몫공간
이다. 여기서 formula_2의 작용은 다음과 같은 공액류 작용이다.
평탄 주접속들의 모듈러스 공간은 일반적으로 매끄러운 다양체가 아닐 수 있다.
특히, 만약 formula_2가 아벨 군일 경우 이는 단순히 formula_96이며, 만약 formula_97이 원환면일 경우 이는 formula_98이다.
연결 단일 연결 매끄러운 다양체 formula_1을 생각하자. 그 위의 formula_2-주다발은 (동형 아래) 유일하며, 그 속의 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 한원소 공간이다.
특히, 구 formula_101의 경우, 이는 (자명한 켈러 다양체 구조를 갖춘) 한원소 공간
이다.
원환면 formula_103의 경우, 반단순 리 군 formula_2에 대하여
이다. 여기서 formula_106는 formula_2의 카르탕 부분군(최대 아벨 부분군)이며, formula_108는 formula_109에 작용하는 바일 군이다.
formula_110 위의 formula_111 주다발의 평탄 주접속을 생각하자. 이 경우, formula_112개의 가환 홀로노미들은 formula_112개의 서로 가환하는 formula_114 유니터리 행렬
을 정의한다. 이들은 가환 행렬족이므로, 이들을 동시에 대각화하여
로 놓을 수 있다. 이제
로 놓으면, 잉여 게이지 변환(바일 군 formula_119의 작용)은 formula_120 위에 순열로 작용한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 다음과 같은, 원환면 위의 짜임새 공간으로 주어진다.
formula_122 대신 formula_123의 경우도 마찬가지이지만, 이 경우 formula_124 대신
이다. 즉, 이 경우 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 다음과 같은 짜임새 공간이다.
formula_111의 경우와 마찬가지로, formula_128의 경우, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 (formula_110의 아벨 군 구조에 대한) 합이 0인, formula_110 위의 formula_131개의 점들에 대한 짜임새 공간이다.
특히, formula_133일 때, formula_134 위에 타원 곡선의 구조를 부여하면, 이 formula_131개의 점들은 formula_134 위의, 차수 formula_131의 인자를 정의하며, 이들은 formula_1 위의, 차수 formula_131의 복소수 선다발 formula_140의 단면의 사영 동치류와 일대일 대응한다. 즉, 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 복소수 사영 공간
이다. 리만-로흐 정리에 의하여, formula_142의 차수가 formula_131이므로, 그 차원은
이다. 즉,
이다.
formula_146의 경우도 마찬가지지만, 덧셈 아벨 군 formula_147 대신 곱셈 아벨 군 formula_148가 들어가게 된다.
물리학에서, 리만 곡면 위의 평탄 주접속의 모듈러스 공간은 천-사이먼스 이론의 위상 공간으로서 등장한다.