실수의 완비성
실수의 이론에서, 실수의 완비성(實數-完備性, )은 대략 '메꿔질 구멍이 없다'는 의미의, 실수의 핵심적 성질이다. 실수의 연속성(實數-連續性, )이라고도 불리는데, 함수의 연속성과는 다른 개념이다. 공리적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 증명할 필요가 없는 공리이며, 이를 완비성 공리(完備性公理, )라고 한다. 완비성 공리는 순서체 공리와 함께 실수 공리를 이룬다. 구성적으로 정의된 실수에게 있어, 실수의 완비성은 정리이며, 이는 서로 다른 실수 모형으로부터 서로 다른 방법으로 증명된다.
실수의 완비성의 서술 방법은 다양하며, 각기 다른 각도와 강조점이 있다. 상한 공리 또는 최소 상계 공리(最小上界公理, )는 가장 자주 사용되는 형태이며, 이에 따르면 실수 부분 집합이 상계를 가지면 반드시 상한을 가진다. 이와 달리, 유리수는 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 제곱이 2보다 작은 유리수들의 집합은 유리수 상계를 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다.
상한 공리를 비롯한 일부 완비성 공리는 순서체 공리 아래 서로 동치이며, 순서체 공리와 이들 완비성 공리 가운데 하나로부터 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다. 그러나, 일부 완비성 공리는 보다 더 약한 공리이며, 순서체 공리와 이들 가운데 하나로부터 실수의 일부 성질들을 유도할 수 없다. 특히, 아르키메데스 성질을 유도할 수 없는데, 약한 완비성 공리에 아르키메데스 성질을 추가하여 얻는 공리는 상한 공리와 동치이며, 순서체 공리와 함께 실수의 모든 성질들을 유도할 수 있다.
실수의 완비성 공리들은 다음과 같다. 이들 가운데 일부는 서로 동치이지 않다.
실수 부분 집합 formula_1의 한 상계는 다음을 만족시키는 실수 formula_2이다.
실수 부분 집합 formula_1의 상한은 다음 두 조건을 만족시키는 실수 formula_2이다.
비슷하게, 실수 부분 집합의 하계와 하한을 정의할 수 있다.
상한 공리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
상한 공리 가정 아래, 실수 부분 집합 formula_1이 하계를 갖는다고 하자. 그렇다면,
는 formula_8의 하한이다.
비슷하게, 하한 공리 가정 아래 상한 공리를 증명할 수 있다.
단조 수렴 정리는 다음과 같은 서로 비슷하며 동등한 방식으로 서술된다.
바로 위 증명과 비슷하게, 단조 감소하며 하계를 갖는 수열 formula_15은 단조 증가하며 상계를 갖는 수열 formula_16에 대응한다는 데 주의하여 증명할 수 있다.
닫힌구간의 열
이
를 만족한다고 하자. 축소 구간 정리에 따르면,
이게 되는 formula_21이 존재하며, 더 일반적으로, 두 번째 전제를 제거하였을 때,
이게 되는 formula_23이 존재한다.
정리의 앞부분은 뒷부분에 포함되는 더 약한 명제이다.
실수 부분 집합 formula_1에 대하여, formula_25를 만족시키는 실수 부분 집합족 formula_26을 formula_8의 덮개라고 한다.
하이네-보렐 정리에 따르면, 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.
실수 부분 집합 formula_1의 극한점은 서로 동치인 다음 두 조건을 만족시키는 실수 formula_29이다.
극한점 성질에 따르면, 실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다.
실수 코시 수열은 임의의 formula_30에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_35이 존재하는 실수 수열 formula_15이다.
코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.
순서체 공리 아래, 다음 공리들이 서로 동치이다. (즉, 이들 가운데 어느 하나라도 순서체 공리에 추가하면 실수의 한 가지 공리적 정의가 된다.)
또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.
상한 공리 가정 아래, formula_15이 단조 증가하며 상계를 갖는 수열이라고 하자. 그렇다면, 그 집합으로서의 상한 formula_41가 존재한다. 즉,
이며, 임의의 formula_30에 대하여, formula_44은 상계가 아니다. 즉,
이게 되는 formula_35이 존재한다. 따라서, formula_15은 formula_41로 수렴한다.
단조 수렴 정리 가정 아래, 구간의 열 formula_49이 위 두 전제 조건을 만족한다고 하자. 그렇다면, formula_15과 formula_51은
이므로 둘 다 단조 유계 수열이다. 따라서 각자 어떤 formula_23로 수렴한다. 또한, 극한의 순서 보존에 따라,
이며, 따라서 formula_55이다.
이제 formula_56라고 하자. 그러면 formula_57라고 가정하여도 무방하다. 극한의 성질에 따라, formula_58이게 되는 formula_59이 존재하므로, formula_60이다.
(아르키메데스 성질은 바로 아래 증명에서 사용된다.) 축소 구간 정리 가정 아래, 임의의 formula_59에 대하여 formula_62이게 되는 formula_63이 존재한다고 하자. 그렇다면, 구간열
은 축소 구간 정리의 첫번째 전제를 만족한다. 따라서,
이게 되는 formula_23이 존재한다. 또한, 임의의 formula_59에 대하여 formula_68이다. 그러나, formula_69이므로, formula_70, 즉, formula_71, 즉, formula_72인 formula_59이 존재하며, 이는 모순이 된다.
축소 구간 정리 가정 아래, 유계 닫힌구간 formula_74의 어떤 열린 구간 덮개 formula_75가 유한 부분 덮개를 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 이를 등분하여 얻는 두 부분 구간 formula_76와 formula_77 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 formula_78이 존재한다. 마찬가지로, formula_78을 등분하여 얻는 두 부분 구간 가운데, 유한 부분 덮개를 갖지 않는 구간 formula_80가 존재한다. 이를 반복하면, 닫힌구간의 열 formula_81을 얻으며, 아르키메데스 성질(축소 구간 정리로부터 함의된다)에 따라
이므로, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 또한, 그 속의 모든 구간은 유한 부분 덮개를 갖지 않는다. 따라서,
이게 되는 formula_21이 존재하며, 사실
이다. 따라서, formula_86이게 되는 formula_87가 존재한다.
formula_88가 열린 구간이므로, formula_89는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 formula_88의 양끝점과 formula_89와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 formula_92이라고 하자. 그렇다면, formula_93이므로,
이게 되는 formula_59이 존재한다. 이는 formula_96가 formula_97의 덮개라는 의미이며, 이는 formula_97이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다.
하이네-보렐 정리 가정 아래, 어떤 유계 무한 집합 formula_99이 극한점을 갖지 못한다고 하자. 즉, 임의의 formula_29에 대하여,
이게 되는
이 존재한다. 그렇다면,
는 formula_104의 열린 구간 덮개이므로, 유한 부분 덮개
을 갖는다. 이에 따라,
이며, 이는 formula_8가 무한 집합인 데 모순이다.
첫번째 명제 아래, formula_108이 유계 수열이라고 하자.
만약 formula_108에 서로 같은 무한 개의 항이 존재한다면, 당연히 그들은 수렴 부분 수열을 이룬다.
만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, formula_108은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 formula_111를 갖는다. 즉, 임의의 formula_92에 대하여,
은 무한 집합이다. 따라서, 
로 정의된 formula_116은 formula_108의 수렴 부분 수열이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, formula_15이 코시 수열이라고 하자. 그렇다면, 코시 수열의 성질에 따라, 이는 유계 수열이며, 수렴 부분 수열 formula_119를 갖는다. 따라서, 임의의 formula_30에 대하여, 임의의 formula_121에 대하여 formula_122이게 되는 formula_123이 존재한다. 또한, 임의의 formula_38에 대하여 formula_125이게 되는 formula_126가 존재한다. 따라서, 임의의 formula_127에 대하여,
이게 된다. 즉, formula_129이다.
볼차노-바이어슈트라스 정리 가정 아래, 임의의 formula_59에 대하여 formula_62인 formula_63이 존재한다고 하자. 그렇다면, formula_133은 유계 수열이며, 따라서 수렴 부분 수열 formula_134이 존재한다. 극한의 순서 보존에 따라, 임의의 formula_135에 대하여 formula_136이며, 따라서 임의의 formula_59에 대하여 formula_138이다. 그러나, 극한의 정의에 따라 formula_139, 즉, formula_140인 formula_135이 존재하며, 이는 모순이다.
코시 성질 가정 아래, 닫힌구간의 열 formula_49이 축소 구간 정리의 전제를 만족한다고 하자. 그렇다면,
이다. 즉, formula_15, formula_51 모두 코시 수열이며, 따라서 수렴 수열이다. 물론 두 수열의 극한은 같으며, 이를 formula_89라고 하자. 그렇다면, 극한의 순서 보존에 따라
이며, 따라서 formula_148이다.
이제 formula_149이라고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_30에 대하여, formula_151이게 되는 formula_59이 존재하므로,
이다. 따라서, formula_154이다.
축소 구간 정리 및 아르키메데스 성질 가정 아래, formula_155이 상계 formula_156를 갖는다고 하자. 그렇다면, 닫힌구간의 열 formula_157이
와 같이 정의되었을 때, 아르키메데스 성질에 따라, 축소 구간 정리의 전제를 만족한다. 따라서, formula_160인 formula_21이 존재한다. 또한, 임의의 formula_59에 대하여, formula_163은 formula_8의 원소, formula_165은 formula_8의 상계이다.
임의의 formula_3 및 formula_30에 대하여,
인 formula_59이 존재하며,
인 formula_59이 존재하므로, formula_89는 formula_8의 상한이다.
유리수 순서체 formula_175는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지 못한다. 예를 들어, 유리수 상계 formula_176를 갖는 유리수 부분 집합
는 실수 부분 집합으로서는 상한 formula_178을 갖지만, 유리수 상한을 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열
는 실수 수열로서는 원주율 formula_180로 수렴하지만, 유리수에 수렴하지 못한다.