피타고라스의 정리
기하학에서, 피타고라스의 정리(, )는 직각 삼각형의 빗변의 제곱이 두 직각변의 제곱의 합과 같다는 정리이다.
직각 삼각형의 두 직각변 formula_1와 빗변 formula_2 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다. 이를 피타고라스의 정리라고 한다.
즉, formula_2의 제곱은 formula_5와 formula_6의 제곱의 합이다. 다시 말해, formula_2를 변으로 하는 정사각형의 넓이는 formula_5를 변으로 하는 정사각형의 넓이와 formula_6를 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합이다.
피타고라스의 정리는 직각 삼각형의 직각변 formula_1와 빗변 formula_2 가운데 둘을 알 때 남은 하나를 구하는 형식으로 쓸 수 있다.
여기서 formula_15가 음이 아닌 실수일 때, formula_16는 formula_15의 음이 아닌 제곱근을 나타낸다.
피타고라스의 정리의 관계를 만족시키는 세 양의 정수의 쌍을 피타고라스 삼조라고 한다. 예를 들어, formula_18는 피타고라스의 수이다.
피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있다.
유클리드는 원론에서 피타고라스의 정리를 다음과 같이 증명하였다.
그림에서, formula_19와 formula_20, formula_21는 모두 정사각형이다. formula_22를 지나는 formula_23의 수선은 정사각형 formula_19를 직사각형 formula_25과 formula_26으로 나눈다.
삼각형의 넓이는 '1/2 × 밑변 × 높이'이므로, 삼각형 formula_27의 넓이는 정사각형 formula_20의 넓이의 절반이다. 마찬가지로, 삼각형 formula_29의 넓이는 정사각형 formula_19의 빨간색 부분의 넓이의 절반이다.
삼각형 formula_27를 formula_32를 중심으로 시계 방향으로 90도 회전하면 삼각형 formula_29를 얻으므로, SAS에 따라 삼각형 formula_27와 formula_29는 합동이다. 서로 합동인 삼각형의 넓이는 같으므로, 삼각형 formula_27와 formula_29의 넓이는 같다.
따라서, 정사각형 formula_20의 넓이는 직사각형 formula_25의 넓이와 같다. 마찬가지로, 정사각형 formula_21의 넓이는 정사각형 formula_26의 넓이와 같다. 따라서, 정사각형 formula_20와 formula_21의 넓이의 합은 정사각형 formula_19의 넓이와 같다.
피타고라스의 정리는 삼각형의 닮음을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
그림에서, formula_45는 formula_22를 지나는 빗변 formula_23의 수선이다.
삼각형 formula_48와 formula_49는 각 formula_32를 공유하는 직각 삼각형이므로, AAA에 따라 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 formula_51와 formula_49는 서로 닮음이다. 따라서, 대응변에 대한 비례식이 다음과 같이 성립한다.
즉, 다음이 성립한다.
이 두 식을 합하면 피타고라스의 정리를 얻는다.
피타고라스의 정리는 대수학의 방법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
그림과 같이, 직각변이 formula_1, 빗변이 formula_2인 4개의 직각 삼각형을 적절히 배열하여 큰 정사각형을 만들 수 있다.
이 큰 정사각형은 formula_60를 변으로 하므로 그 넓이는 formula_61이다. 또한, 이는 formula_2를 변으로 하는 작은 정사각형의 넓이 formula_63와 직각 삼각형의 넓이 formula_64의 4배의 합과 같다.
이를 정리하면 피타고라스의 정리를 얻는다.
미국의 20대 대통령 제임스 가필드는 다음과 같은 방법으로 피타고라스의 정리를 증명했다.
두 평행한 변의 길이가 각각 formula_1이고 이 두 변과 수직인 변의 길이가 formula_68인 사다리꼴의 넓이는 다음 공식을 따른다.
formula_69
그림에서 삼각형 1, 2의 면적은 각각 formula_70이고, 두 삼각형의 면적의 합은 formula_71이다.
삼각형 3의 면적은 formula_72이므로
이를 정리하면 피타고라스의 정리를 얻는다.
formula_3
피타고라스의 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 만약 삼각형의 세 변 formula_74가 formula_3를 만족시킨다면, 이 삼각형은 반드시 formula_2를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.
피타고라스의 정리의 역은 다음과 같이 증명할 수 있다.
삼각형 formula_49에서, 각 formula_78의 대변 formula_74가 formula_3를 만족시킨다고 하자.
임의의 점 formula_81을 취하자. formula_81를 꼭짓점으로 하는 직각을 그리자. 직각의 두 변에서 각각 적절한 formula_83를 취하여, formula_84이며, formula_85이도록 만들자.
그렇다면, formula_86는 formula_1를 직각변으로 하는 직각 삼각형이다. 피타고라스의 정리에 따라 그 빗변은 formula_2이다. SSS에 따라 삼각형 formula_49와 formula_86는 서로 합동이다. 따라서 각 formula_22는 각 formula_81와 같이 직각이다. 즉, formula_49는 formula_2를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.
임의의 삼각형의 세 변 formula_74 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 코사인 법칙이라고 한다.
여기서
코사인 법칙에 formula_100를 취하면 피타고라스의 정리를 얻는다.
직교 좌표계의 두 점 formula_101 사이의 거리는 다음과 같다.
보다 일반적으로, formula_103차원 유클리드 공간 formula_104의 두 점 formula_105 사이의 거리는 다음과 같다.
내적 공간 formula_107의 두 벡터 formula_108가 직교한다고 하자. (즉, formula_109이라고 하자.) 그렇다면, 이 두 원소의 노름과 둘의 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 노름 공간 위의 피타고라스의 정리라고 한다.
보다 일반적으로, formula_103개의 벡터 formula_112가 쌍마다 직교한다고 하자. (즉, formula_113가 대각 행렬을 이룬다고 하자.) 그렇다면, 이들의 노름과 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
바빌론인은 많은 쌍의 피타고라스 삼조를 알고 있었다.
검증되지 않은 일화에 따르면, 이집트인은 밧줄을 formula_115비율로 매듭내어 직각삼각형을 만들었다.
피타고라스 학파는 피타고라스 삼조를 구하는 방법을 고안하였다. 즉, 홀수 formula_116에 대하여, formula_117는 피타고라스 삼조이다. 또한, 피타고라스 학파의 히파소스는 이 과정에서 통약 불가능 비율을 발견하였다고 여겨진다.
에우클레이데스는 원론에서 피타고라스의 정리를 서술 및 증명하였으며, 이는 발견된 최초의 증명이다.
인도인 역시 피타고라스의 정리를 "직사각형의 대각선의 제곱은 두 이웃변의 제곱합과 같다"는 내용으로서 알고 있었다. 이는 적절한 모양의 제단을 만드는 데 응용되었다.
유휘는 《구장산술주》에서 원주율을 계산하는 데 피타고라스의 정리를 사용하였다.
피타고라스 학파가 피타고라스의 정리를 발견 및 증명하였는지는 확실하지 않다. 프로클로는 원론의 주해를 쓸 때, 정리의 발견과 최초 증명에 대한 공로를 피타고라스에게 돌렸다. 이에 대하여, 모리스 클라인은 다음과 같이 적었다.