실수의 구성
수학에서 실수 체계를 정의하는 방법은 다양하다. '실수 공리' 문단에서는 실수를 완비순서체로서 공리화하였다. 집합론 공리 하에, 실수 공리계를 만족하는 실수 모형이 존재하며, 임의의 두 모형이 동형임을 보일 수 있다. 대부분의 실수 모형은 순서체로서의 유리수 체계의 기본적 성질을 이용하여 구성되었다.
실수의 모형은 집합 formula_1, formula_1의 서로 다른 두 원소 formula_3, formula_1 상의 두 이항연산 formula_5(각각 덧셈, 곱셈이라고 한다), 그리고 formula_1 상의 이항관계 formula_7로 이루어져 있으며 다음 성질을 만족한다.첫번째 성질은 체 공리, 둘째와 셋째를 합쳐서 순서 공리, 넷째는 (데데킨트) 완비성 공리라고 한다.
유리수는 순서체, 즉 체 공리와 순서 공리를 만족하는 수 체계이지만, 데데킨트 완비성 공리는 만족하지 않는다. 이는 완비성이 실수의 근본적인 성질임을 엿보여 준다. 데데킨트 완비성으로부터 아르키메데스 성질을 유추할 수 있다. 아래 문단에 실수 공리의 몇가지 모형이 제시되어 있다. 실수 공리의 임의의 두 모형은 서로 동형이다. 즉, 완비순서체는 동형의 의미 하에 유일하다.
여기서 임의의 두 모형 formula_56이 동형이라는 것은, 체 연산과 순서를 모두 보존하는 전단사 함수 formula_57가 존재한다는 것, 즉 다음을 만족하는 함수 formula_58가 존재한다는 것이다.실수의 각 구성은 수학적으로나 역사적으로나 중요성이 크다. 앞의 세 개는 각각 게오르크 칸토어/찰스 메레, 리하르트 데데킨트, 카를 바이어슈트라스/오토 슈톨츠에 의한 것으로 모두 몇년 간격으로 나타났으며, 각각의 장단점이 존재한다. 이 세가지 구성의 주된 동기는 수학 교육이다.
거리 공간의 모든 코시 수열을 수렴하게 만드는 정석적 방법은 완비화를 통해 거리 공간에 새로운 점을 추가하는 것이다. formula_1은 formula_71의 거리 formula_72에 대한 완비화로 정의된다. 다른 거리에 대한 formula_71의 완비화는 p진수 참고.
유리수 코시 수열, 즉 임의의 유리수 formula_74에 대해 자연수 formula_75이 존재해 임의의 formula_76에 대해 formula_77임을 만족하는 유리수열 formula_78의 집합을 formula_79이라 두자. 두 코시 수열의 덧셈, 곱셈, 순서를 다음과 같이 정의한다.
formula_79에 정의한 '두 수열 사이의 거리가 0으로 수렴한다'는 동치관계는, 앞서 정의한 덧셈, 곱셈, 순서와 양립하며, 동치류들의 집합 formula_1이 모든 실수 공리를 만족하는 것을 보일 수 있다. 유리수 formula_84를 수열 formula_85의 동치류로 재정의함으로써 formula_71를 formula_1에 끼워넣을 수 있다.
'formula_88가 동치이거나, 자연수 formula_75이 존재하여 임의의 formula_90에 대해 formula_91이다'는 순서관계 formula_92를 통해 실수 간의 순서 관계를 정립할 수 있다.
이러한 구성에서 모든 실수 formula_93는 유리수 코시 수열로 표현될 수 있다. 그러나 이러한 표현은 유일하지 않다. formula_93로 수렴하는 유리수 코시 열 모두가 formula_93의 한 표현이다. 여기에서 하나의 실수를 여러가지 수열로 근사할 수 있다는 관점이 보여진다.
이 구성에서 최소 상계 공리가 성립함은 다음과 같이 증명할 수 있다. formula_96를 formula_1의 공집합이 아닌 부분집합이라 두고, 상계 formula_98가 존재한다고 하자. formula_98가 유리수라고 가정해도 무방하다. formula_96가 공집합이 아니므로 어떤 유리수 formula_101과 어떤 formula_102가 존재하여 formula_103을 다음과 같이 정의한다. formula_104이 만약 formula_96상계가두 수열 모두 유리수 코시 수열이며, 서로 동치이다. 이로부터 실수 formula_108를 얻는다. formula_109에 대한 귀납법에 의해 다음이 성립한다.첫번째 결론에 의해 formula_96의 임의의 상계 formula_115에 대하여, formula_116이고, 두번째 결론에 의해 formula_117는 formula_96의 상계이다. 따라서 formula_117는 formula_96의 최소상계이며 formula_7는 완비적이다.
십진법으로 표현된 실수는 자연스럽게 코시 수열로 바꿔 나타낼 수 있다. 예를 들어 formula_122의 십진법 표기 3.1415...는 코시 수열 formula_123의 동치류로 해석된다. 또 0.999... = 1은 코시 수열 formula_124, formula_125이 동치라는 의미로 이해할 수 있다.
유리수의 완비화에 의한 실수 구성의 장점 중 하나는, 실수에 국한되지 않고 다른 거리 공간에도 적용 가능하다는 것이다.
순서체 상의 데데킨트 절단 formula_126는, 아래로 닫혀있고 최대원소가 없는 집합 formula_53와 위로 닫힌 집합 formula_128로 이루어진, 순서체의 분할이다. 데데킨트 절단을 실수로 두어 실수 체계를 구성할 수 있다. 데데킨트 절단 formula_126는 간단히 formula_53로 나타내도 되는데, 이는 formula_128가 formula_53에 의해서만 결정되기 때문이다. 따라서 실수를 그보다 작은 유리수 전체의 집합이라 생각할 수 있다. 자세히 말해, 실수 formula_84은 아래 조건을 만족하는 formula_71의 부분집합이다.모든 실수의 집합을 formula_1이라 두고 그 위의 순서와 연산을 아래와 같이 구성한다.무리수를 데데킨트 절단으로 표현하는 예로, 2의 양의 제곱근은 집합 formula_170로 표현될 수 있다. formula_53가 실수이며 formula_172임을 위의 정의를 통해 알 수 있다. formula_53가 실수임을 증명하려면 임의의 formula_174에 대해 formula_175가 존재하여 formula_144임을 보여야 한다. formula_177를 취하면 된다. formula_178는 자명하고, 등호의 성립을 보이려면 임의의 유리수 formula_179에 대하여, 양의 유리수 formula_174가 존재하여 formula_181임을 보이면 된다.
이 구성의 장점은 임의의 실수가 유일한 하나의 절단과 대응한다는 점이다.
십진법에 의한 실수의 표기는 시몬 스테빈 때부터 널리 알려졌다. 실수를 그의 (무한) 십진법 전개식으로 정의하고, 0.999...와 1.000... 등을 같은 실수로 정의한 뒤, 실수의 연산과 순서의 정의를 더한다. 십진법에 의한 정의는 코시 열과 데데킨트 절단에 의한 것과 동치이다. 10 외의 다른 밑을 사용해도 무방하다.
이 구성의 장점은, 실수에 대한 처음의 인상과 가까우며, 함수의 급수 전개를 시사한다는 것이다. 모든 실수 모형의 동형성을 증명하는 표준적 방법은 각각의 모델에서 모든 실수의 소수 전개식을 제시하는 것이다.