류스테르니크-시니렐만 범주
대수적 위상수학에서, 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, )는 위상 공간의 자연수 값 호모토피 불변량이다. 구체적으로, 어떤 위상 공간 위에 존재할 수 있는, 그 속에서 축약 가능인 집합들로 구성된 열린 덮개의 최소의 크기이다.
류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 (CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여) 서로 동치이다.
점을 가진 공간 formula_1가 주어졌으며, formula_2가 CW 복합체와 호모토피 동치이며, formula_3가 쌍대올뭉치라고 하자.
formula_4의 류스테르니크-시니렐만 범주 formula_5는 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수이다.
만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, formula_8로 놓는다.
영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 formula_9가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.
이를 육면체 공리()이라고 하며, 점을 가진 공간의 모형 범주 formula_10의 경우 성립한다. 이 조건을 그러나 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어, 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 모형 범주 formula_11는 영 대상을 갖지만, 이 모형 범주에서는 육면체 공리가 성립하지 않는다.
이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 formula_2의 formula_13차 부케가르니() 또는 뚱뚱한 쐐기합() formula_14은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.
특히,
이게 된다.
점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.
즉, 이는 formula_22은 곱공간 formula_23에서, 적어도 한 좌표가 밑점 formula_24이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.
formula_4의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 formula_26가 존재하는 최소의 자연수 formula_13이다.
여기서 formula_29은 대각 사상이다.
영 대상을 갖는, 육면체 공리를 따르는 모형 범주 formula_9를 생각하자.
올대상이자 쌍대올대상인 대상 formula_2에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.
여기서
이를 가네아 올뭉치()라고 한다. 이제, formula_2의 류스테르니크-시니렐만 범주 formula_5는
이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) formula_42을 가질 수 있는 최소의 자연수 formula_13이다.
점을 가진 공간의 범주에서, formula_44은 경로 공간 formula_45으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 formula_46이다. 이 경우
으로 잡을 수 있다. (여기서 formula_48는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우
로 잡을 수 있다. 여기서 formula_50는 축소 현수이다.
육면체 공리를 따르는, 영대상을 갖는 모형 범주 속의, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여, 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 이는 또한 formula_10의 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.
류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토픽한 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.
다음이 성립한다. (여기서 formula_52는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)
만약 사상 formula_55가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, formula_56이다.
올뭉치
에 대하여,
이다.
임의의 점을 가진 공간 formula_59의, 크기 2의 열린 덮개
가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.
위상 공간 formula_2가 formula_65-연결 공간이라고 하자. 즉,
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_68는 formula_2의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)
연결 콤팩트 매끄러운 다양체 formula_70 위의 연속 미분 가능 함수 formula_71의 임계점의 집합
의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.
(예를 들어, 초구 formula_74을 유클리드 공간 formula_75의 원점에서의 표준적 초구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 이는 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 이는 위 부등식을 포화한다.) 이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.
일반적으로, 위상 공간 formula_2의, formula_13개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.
그렇다면,
이다.
유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 formula_82를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주
는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 formula_84에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 formula_85의 류스테르니크-시니렐만 범주를
라고 표기하자. 이는 사실 formula_2와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다. 특히, 다음이 항상 성립한다.
또한, 만약 formula_2와 formula_90가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
라자리 아로노비치 류스테르니크(, 1899〜1981)와 레프 겐리호비치 시니렐만(, , 1905〜1938)이 도입하였으며, 함수의 임계점의 수와의 관계를 밝혔다. 시니렐만은 1938년 9월 24일 모스크바에서 자살했으며, 류스테르니크와 시니렐만의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 전후 1947년에 출판되었다.
부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(, 1918〜2004)가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 투도르 가네아(, 1922〜1971)가 도입하였다. 가네아는 사망 직전에 다음과 같은 문제를 제시하였다.
이를 가네아 추측()이라고 한다. 그러나 1998년에 이와세 노리오()가 이 추측에 대한 반례를 제시하였다.