모스 이론
미분위상수학에서, 모스 이론(Morse理論, )은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 formula_1의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지라고 한다.
formula_1이 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 formula_3이 있다고 하자. formula_4의 임계점들은 formula_4의 기울기가 0인 formula_1의 부분 집합이다. 이를
로 표기하자.
formula_8에 속하는 formula_1의 부분 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1의 접다발을 어떤 임의의 리만 계량을 사용하여 formula_12 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다.
이 경우, formula_17 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬
을 정의할 수 있으며, 이를 formula_19에 제한할 수 있다. 이 경우, formula_4의 formula_12에 대한 모스-보트 지표(Morse-Bott指標, ) formula_22는 formula_23의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 formula_17의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 formula_14인 경우, formula_26는 단순히 헤세 행렬 formula_27의 음의 고윳값의 수이다. 이를 formula_28라고 쓰며, formula_4의 formula_30에서의 모스 지표(Morse指標, )라고 한다.
매끄러운 함수 formula_3가 다음 조건들을 만족시킨다면, formula_4를 모스-보트 함수(Morse-Bott函數, )라고 한다.
이 경우, 각 formula_43를 formula_4의 임계 부분 다양체(臨界部分多樣體, )라고 한다.
또한, 매끄러운 함수 formula_3에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 모스 함수라고 한다.
매끄러운 함수 formula_47의 공간 formula_48 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
이 프레셰 위상을 formula_50 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 리만 계량에 의존하지 않는다.
이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 formula_48의 조밀 집합을 이룬다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 formula_55에 대하여 부분 공간
을 정의할 수 있다. 이는 사실 경계다양체를 이룬다.
그렇다면, 임의의 formula_57, formula_58이 formula_4의 임계점을 포함하지 않는다면, formula_60와 formula_61는 서로 미분 동형이다.
따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 formula_4의 값이 항상 서로 다르다면, formula_4는 모스 함수 formula_4는 다양체 formula_1와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 formula_74인 특이점은 formula_74차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다.
매끄러운 다양체 formula_1 위의 모스-보트 함수 formula_4가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 모스-보트 다항식()을 정의할 수 있다.
이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 formula_4가 모스 함수일 경우, 이를 모스 다항식()이라고 한다.
이제, formula_1이 콤팩트 가향 다양체이며, 각 formula_81 또한 모두 가향 다양체라고 하자. (만약 formula_4가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, 모스-보트 부등식에 따르면,
가 되는, 자연수(음이 아닌 정수) 계수의 다항식
이 존재한다.
여기서
는 formula_1의 푸앵카레 다항식이다.
특히, 만약 formula_87일 경우
이 된다. 여기서 formula_89은 오일러 지표이다. (만약 formula_4가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
formula_4가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면,
이다. 즉, formula_74차 임계점의 수는 formula_74차 베티 수의 상계를 이룬다. (이 역시 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
formula_95차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) formula_96차원 초구
를 생각하자. 이 경우, 높이 formula_98는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점
을 가지며, formula_100는 북극, formula_101는 남극에 해당한다. 이 경우, formula_100의 모스 지표는 formula_96이며, formula_101의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 formula_96차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다.
2차원 원환면 formula_106을 3차원 유클리드 공간에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다.
이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선,
이다. 임의의 두 점 formula_108을 골랐을 때,
는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다.
보다 일반적으로, 종수 formula_113의 콤팩트 가향 곡면 formula_114를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 formula_115개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 formula_116라고 할 때,
이다. 이것이 정의하는 세포 복합체 구조에서, formula_120는 formula_121의 표준적 기저에 해당한다.
반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 formula_122가 존재한다. 이 경우
원의 푸앵카레 대항식은
이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은
이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은
이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, formula_128이다).
1차원 이상의 매끄러운 다양체 위에서, 상수 함수를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, 이산 공간)의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.)
임의의 다양체 formula_1, formula_130 및 formula_1 위의 함수 formula_4에 대하여, formula_133 위에 formula_134를 정의할 수 있다. 만약 formula_130이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 formula_4가 모스 함수라면 formula_137는 모스-보트 함수를 이룬다.
마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리 와 제임스 클러크 맥스웰 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.
마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다. 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.
이후 스티븐 스메일 · 라울 보트 · 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다.