행렬의 합동
선형대수학에서, 행렬의 합동(合同, )은 두 행렬이 같은 이차 형식의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다.
체 formula_1 위의 두 formula_2 행렬 formula_3에 대하여, 만약 다음을 만족시키는 가역 행렬 formula_4가 존재한다면, formula_5가 서로 합동이라고 한다.
여기서 formula_7는 전치 행렬이다. 행렬의 합동은 동치 관계를 이룬다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1를 원소로 하는 대칭 행렬 formula_9은 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 formula_4가 존재한다.
0이 아닌 대각 원소의 개수 formula_12는 formula_13의 계수와 같다.
행렬의 크기에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.
우선, formula_14 행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이다.
이제, formula_15 행렬에 대하여 성립한다고 가정하고 formula_2 행렬 formula_13에 대하여 성립함을 증명하자. 영행렬은 이미 자기 자신이 대각 행렬이므로, formula_18인 경우만을 생각하자. 그렇다면, formula_19인 formula_20이 존재한다. 만약 formula_21라면, formula_13의 formula_23번째 행에 formula_24번째 열을 더한 뒤, 다시 formula_23번째 열에 formula_24번째 열을 더하여 얻는 행렬 formula_27은 원래 행렬과 합동이며, formula_23번째 대각 원소는 formula_29이며, 체의 표수가 2가 아니므로 formula_30이다. 즉, 일반성을 잃지 않고 formula_31라고 할 수 있다. 만약 formula_32이라면, formula_13의 1번째 행과 formula_23번째 행을 교환한 뒤, 1번째 열과 formula_23번째 행을 교환하여 얻는 행렬 formula_36은 원래의 행렬과 합동이며, 1번째 대각 원소가 formula_37이므로, 일반성을 잃지 않고 formula_38라고 할 수 있다. 즉, formula_13가 formula_40를 만족시킨다고 보아도 무방하다. 이제 다시 다음과 같은 일련의 기본 행 연산의 합성을 생각하자.
그렇다면, formula_42는 원래 행렬과 합동이며,
이 성립한다. 또한, 그 오른쪽 아래의 부분 행렬 formula_44은 formula_15 행렬이므로 수학적 귀납법의 가정에 따라 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 formula_46 및 formula_47가 존재한다.
따라서, formula_13는 다음과 같은 대각 행렬과 합동이다.
대칭 쌍선형 형식 formula_53가 있다고 하자. 증명하려는 바는 formula_54 (formula_55)인 기저 formula_56의 존재이다.
벡터 공간의 차원에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.
1차원의 경우는 자명하다.
formula_57차원의 경우에 대하여 성립한다고 가정하고, formula_58차원의 경우에 대하여 증명하자. formula_59인 경우는 자명하므로, formula_60의 경우만을 생각하자. 이 경우, formula_61인 formula_62가 존재한다. (그렇지 않다면, formula_63이며 formula_1의 표수가 2가 아님에 따라 formula_59이므로 모순이다.) 그렇다면, formula_66를 직교 여공간
에 제한시켰을 때 여전히 쌍선형 형식을 이루므로, 수학적 귀납법의 가정에 따라, formula_54 (formula_69)인 formula_70의 기저 formula_71이 존재한다. 또한, 직교 여공간의 정의에 따라,
이며, formula_73는 formula_74의 기저를 이룬다.
이차 형식이 0인 경우 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이므로, 0이 아닌 이차 형식에 대하여 증명하면 된다.
체 formula_1의 표수가 2가 아니므로, 그 위의 이차 형식은 다음과 같은 꼴이다.
이차 형식의 변수의 개수 formula_58에 대한 수학적 귀납법을 사용하자.
1변수의 경우, 이미 자기 자신이 제곱합 꼴이다.
formula_57변수에 대하여 성립한다고 가정하고 formula_58변수에 대하여 증명하자. 만약 계수가 0이 아닌 제곱항을 가진다면, 일반성을 잃지 않고 formula_80라고 하자. 그렇다면, 이차 형식을 다음과 같이 변형할 수 있다.
오른쪽의
는 formula_57변수 이차 형식이므로, 제곱합이 되는 가역 변수 변환이 다음과 같이 존재한다.
또한, 변수 formula_87를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 이러한 변수 변환은 가역 변환이며, 원래의 이차 형식을 제곱합으로 만든다.
만약 모든 제곱항의 계수가 0이라면, 이차 형식이 0이 아니라고 전제하였으므로, 일반성을 잃지 않고 formula_89이라고 하자. 그렇다면, 가역 변수 변환
을 통해 원래의 이차 형식은
로 바뀌며, 이는 계수가 0이 아닌 제곱항이 있는 이차 형식이므로 다시 가역 변수 변환을 통해 제곱합으로 만들 수 있다.
표수가 2가 아닌 체 위의 대칭 행렬에 일련의 서로 전치 기본 행 연산의 쌍들을 가하여 그와 합동인 대각 행렬로 만들 수 있다. 실수 대칭 행렬의 경우 고윳값을 대각 원소로 하는 대각 행렬을 취하면 된다.
복소수 대칭 행렬 formula_96는 1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 동치이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 formula_97가 존재한다.
1의 개수 formula_12는 합동의 완전한 불변량이다.
실수 대칭 행렬 formula_100는 1, -1, 0을 대각 원소로 하는 대각 행렬과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 formula_101가 존재한다.
1의 개수 formula_103와 -1의 개수 formula_104는 합동의 완전한 불변량이다. 이를 실베스터 관성 법칙이라고 한다.
대칭 쌍선형 형식 formula_53가 다음을 만족시키는 기저 formula_73를 갖는다고 하자.
다음을 보이는 것으로 족하다.
우선, formula_66는 formula_112에 제한시켰을 때 양의 정부호 형식이며, formula_113에 제한시켰을 때 음의 정부호 형식임은 자명하다.
이제, formula_114가 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간 formula_115를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
이는 만약 formula_117이며 formula_118이며 formula_119이며 formula_120이라면,
이므로, formula_123이며,formula_124이기 때문이다. 따라서 formula_125이다. 또한 formula_126 역시 양의 정부호 형식이므로, formula_103는 formula_66의 제한이 양의 정부호 형식이 되는 부분 공간의 최대 차원이며, formula_103는 유일하다.
귀류법을 사용하여, 두 이차 형식
이 서로 동치이며, formula_132라고 가정하자. 또한, 이 둘 사이의 가역 선형 변환이 다음과 같다고 하자.
그렇다면, formula_132이므로, 연립 일차 방정식
은 0이 아닌 해 formula_140를 가진다. 이 경우,
이며, 이는 모순이다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 반대칭 행렬 formula_9는 formula_9는 몇 개의 formula_145 행렬 formula_146과 하나의 영행렬의 직합과 합동이다. 즉, 다음을 만족시키는 가역 행렬 formula_4가 존재한다.