붙임 공간
위상수학에서, 붙임 공간(-空間, )은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 밂이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 쌍대올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 밂을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 붙임 공간()을 사용하여야 한다.
마찬가지로, 당김 공간(-空間, )은 위상 공간과 연속 함수의 범주에서의 당김이다. 이는 두 함수 가운데 하나가 올뭉치일 경우 잘 작동하지만, 그렇지 않을 경우는 호모토피 이론적으로 잘 작동하지 않는다. (즉, 호모토피 범주에서의 당김을 이루지 않는다.) 이러한 경우, 호모토피 당김 공간()을 사용하여야 한다.
같은 정의역을 가진 두 연속 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 formula_2 위에 다음과 같은 이항 관계를 정의하자.
이는 일반적으로 대칭 관계도, 추이적 관계도 아니다. 이를 포함하는 가장 작은 동치 관계를 formula_4라고 표시하자. 즉, formula_5에 대하여, formula_6라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
마찬가지로, formula_8에 대하여 formula_9이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
마찬가지로, formula_11에 대하여 formula_12이라는 것은 다음과 같은 지그재그가 존재함을 뜻한다.
formula_14와 formula_15의 formula_16 및 formula_17를 통한 붙임 공간은 분리합집합의 다음과 같은 몫공간이다.
이는 위상 공간의 범주의 밂을 이룬다.
붙임 공간의 구성에 따라, 붙임 공간은 formula_19의 위상에 의존하지 않는다. 따라서, formula_19에 formula_16와 formula_17에 대한 시작 위상을 부여하거나 이산 위상을 부여할 수 있다.
붙임 공간은 formula_16나 formula_17 가운데 하나가 쌍대올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 붙임 공간을 사용하여야 한다.
연속 함수
가 주어졌을 때, 호모토피 붙임 또는 이중 사상 기둥()은 다음과 같다.
이 경우, 표준적인 함수
는 (비호모토피 붙임 공간과 달리) 쌍대올뭉치를 이룬다.
같은 공역을 가진 두 연속 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간()은 다음과 같은, 곱공간 formula_30의 부분 공간이다.
이는 위상 공간의 범주의 당김을 이룬다.
이 경우, 표준적 연속 함수
가 존재하지만, 이들은 일반적으로 올뭉치가 아니다.
당김 공간은 formula_16나 formula_17 가운데 하나가 올뭉치가 아니라면 호모토피 이론적으로 좋은 성질을 갖지 않는다. 이 문제를 해결하려면 호모토피 당김 공간을 사용하여야 한다.
같은 공역을 가진 두 연속 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한 당김 공간()은 다음과 같은, 곱공간 formula_37의 부분 공간이다.
여기서 formula_39는 (콤팩트-열린 집합 위상을 부여한) 경로 공간이다.
연속 함수 formula_40가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_41에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 formula_42은 한원소 공간이다.)
이에 대한 붙임 공간은 formula_15의 몫공간 formula_44이다. 그러나 이는 일반적으로 각종 분리 공리를 따르지 않는다.
반면, 호모토피 붙임 공간은 다음과 같은 뿔로 구성된다.
이를 사상뿔(寫像-, )이라고 한다. 만약 formula_14와 formula_15가 각종 분리 공리를 만족시킨다면, 그 사상뿔 역시 각종 분리 공리를 만족시킨다. 이는 호모토피 범주에서의 "몫공간"으로 생각할 수 있다. 사상뿔은 몫공간보다 더 나은 성질을 보이므로, 상대 호몰로지 formula_48는 보통 포함 함수 formula_49의 사상뿔의 축소 호몰로지로 정의된다.
특히, formula_50이며 formula_51일 경우, 이는 formula_14 위의 뿔() formula_53이 된다.
연속 함수 formula_40가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_55에 대한 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다. (여기서 formula_56는 항등 함수이다.)
붙임 공간은 다음과 같은 formula_2의 몫공간이며, 이는 formula_15와 위상 동형이다.
호모토피 붙임 공간은 다음과 같이, formula_14 위의 기둥을 formula_15에 붙인 것이다.
이를 사상기둥(寫像-, ) formula_63라고 한다.
이 경우, 변형 수축
이 존재하며, 따라서 formula_63와 formula_15는 서로 호모토피 동치이다. 또한,
는 쌍대올뭉치를 이룬다. 따라서, 모든 함수는 쌍대올뭉치 및 호모토피 동치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 쌍대올분해()이다.
특히, formula_50이고 formula_51일 경우 사상기둥은 단순히 기둥 formula_71이 된다.
다음과 같은, 곱공간의 사영 사상의 (호모토피) 붙임 공간을 생각하자.
이에 대한 붙임 공간은 한원소 공간이다. (이는 곱공간 사영 사상이 쌍대올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 반면, 이에 대한 호모토피 붙임 공간
은 formula_14와 formula_15의 이음이라고 하며, 일반적으로 축약 가능 공간이 아니다.
특히, 0차원 초구 formula_76와의 이음은 현수 formula_77라고 한다. 마찬가지로, 한원소 공간과의 이음은 뿔 formula_78을 이룬다.
연속 함수 formula_40가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_80에 대한 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다. (여기서 formula_56는 항등 함수이다.)
당김 공간의 경우는 이는 formula_30의 부분 공간 위상을 부여한 formula_16의 그래프
이며 따라서 formula_14와 위상 동형이다.
호모토피 당김 공간의 경우, 이는
를 이루며, 이를 사상 경로 공간(寫像經路空間, ) 또는 사상 쌍대기둥()이라고 한다. 그렇다면, 가환 그림은 다음과 같다.
여기서 formula_88는 formula_14와 약한 호모토피 동치이며 formula_90는 올뭉치이다. 따라서, 모든 함수는 호모토피 동치 및 올뭉치의 합성으로 분해할 수 있다. 이는 위상 공간의 모형 범주에서의 올분해()이다.
위상 공간 formula_14의 두 점 formula_8가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 (호모토피) 당김 공간을 생각할 수 있다.
당김 공간은 단순히 한원소 공간이다. (이는 점 포함 사상이 올뭉치와 매우 다르기 때문이다.) 그러나 호모토피 당김 공간은 더 많은 정보를 가진다. 구체적으로, 이는 formula_14 위의, formula_95에서 formula_96으로 가는 경로들의 공간이다. 만약 formula_97이라면, 이 호모토피 당김 공간의 경로 연결 성분들은 기본군 formula_98을 이룬다.
점을 가진 공간 formula_99, formula_100가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 (호모토피) 붙임 공간을 생각할 수 있다.
붙임 공간은 쐐기합 formula_102이다. 호모토피 붙임 공간은
이다. 즉, 선분 formula_104의 양끝에 formula_14와 formula_15를 각각 점에서 붙인 것이다. 이는 쐐기합과 호모토피 동치이다.