리만 적분
실해석학에서, 리만 적분(Riemann積分, )은 닫힌구간에 정의된 실숫값 함수의 적분의 종류이다. 베른하르트 리만이 정의하였다. 대략, 정의역 구간을 작은 구간으로 잘게 나눠, 각각의 작은 구간 위의 넓이를 직사각형의 넓이를 통해 근사한다. 구간을 잘게 나눌수록 실제 넓이와의 오차가 줄어드는데, 이 과정에 극한을 취하면 실제 넓이를 얻는다. 다르부 적분(Darboux積分, )은 리만 적분과 동치이면서 더 단순한 기법을 사용하는 적분이다. 대략, 각각의 직사각형을 임의로 취하는 대신, 각각의 극대 및 극소 넓이의 직사각형을 취하여, 상계와 하계의 차이를 좁혀가며 근사한다.
닫힌구간 formula_1의 분할(分割, )은 유한 집합 formula_2이다. 편의상 그 원소들을 다음과 같이 표기한다.
이는 닫힌구간 formula_1를 내부가 쌍마다 서로소인 닫힌구간 formula_5들로 분할하는 방법에 대응한다. 닫힌구간 formula_1의 분할 formula_7의 태그()는 분할된 각 구간의 대표 원소들로 구성된 튜플 formula_8이다. 또한, formula_7의 메시() formula_10는 분할된 구간들의 최대 길이이다. 즉, 다음과 같다.
닫힌구간 formula_1의 두 분할 formula_13가 formula_14를 만족시키면, formula_15가 formula_7의 세분(細分, )이라고 한다. 즉, 이는 formula_15가 formula_7를 더 잘게 분할하여 얻을 수 있는지를 나타낸다. 또한, formula_7와 formula_15의 공통 세분 formula_21은 두 분할 모두의 세분인 분할 가운데 가장 잘지 않은 하나이다.
예를 들어, 닫힌구간 formula_22을 3등분하는 분할 0 < 1/3 < 2/3 < 1은 각 구간의 길이가 1/3이므로 메시가 1/3이며, 2등분 분할 0 < 1/2 < 1과의 공통 세분은 0 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1이다. (1/6, 1/2, 5/6)은 3등분 분할의 한 가지 태그이다.
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 함수 formula_26의 분할 formula_7 및 태그 formula_28에 대한 리만 합은 다음과 같다.
주어진 함수의 주어진 분할에 대한 리만 합은 (태그가 유일하지 않으므로) 유일하지 않다.
예를 들어, 다음과 같은 리만 합을 정의할 수 있다.
함수 formula_23에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_37가 존재한다면, formula_26를 formula_1 위의 리만 적분 가능 함수라고 하고, formula_40를 formula_26의 formula_1 위의 리만 적분이라고 한다.
이는 통상적인 의미의 극한이 아니다. formula_10의 하나의 값에 여러 가지 리만 합이 대응하기 때문이다. 즉, 이 극한은 다음 조건과 동치이다.
리만 적분 값 formula_40를
와 같이 표기하며, 리만 적분 가능 함수의 집합을 formula_53와 같이 표기한다. 적분 상한이 적분 하한보다 작지 않은 경우의 리만 적분을 다음과 같이 추가 정의한다.
다음 대상들이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 함수 formula_26의 분할 formula_7에 대한 (다르부) 상합((Darboux)上合, ) formula_60은 다음과 같다. (여기서 formula_61와 formula_62는 각각 상한과 하한의 기호이다.)
마찬가지로, 함수 formula_26의 분할 formula_7에 대한 (다르부) 하합((Darboux)下合, ) formula_66은 다음과 같다.
또한, 함수 formula_26의 분할 formula_7에 대한 (다르부) 진폭은 다음과 같다.
다르부 상합과 다르부 하합은 리만 합의 상계와 하계를 제시한다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
다르부 상합은 항상 다르부 하합 이상이며, 둘의 차이는 세분을 취할수록 좁혀진다. 즉, 항상 다음이 성립한다.
둘째 명제는 formula_15가 다음과 같은 꼴인 경우를 보이는 것으로 족하다.
이 경우,
첫째 명제는 둘째 명제를 사용하여 다음과 같이 보일 수 있다.
함수 formula_23의 formula_1 위의 (다르부) 상적분((Darboux)上積分, )은 다음과 같이 두 가지 값으로 정의될 수 있으며, 이 두 값은 서로 같다.
에 대하여,
따라서,
(유계 함수의) 다르부 상적분과 다르부 하적분은 항상 존재한다. 다르부 상적분과 다르부 하적분이 일치한다면, formula_26를 다르부 적분 가능 함수라고 하고, 그 다르부 상적분과 다르부 하적분을 formula_26의 다르부 적분이라고 한다. 다르부 적분 가능성 및 다르부 적분 값은 리만 적분 가능성 및 리만 적분 값과 완전히 일치한다.
리만 적분 가능 함수는 항상 유계 함수이다.
함수 formula_23가 무계 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 분할 formula_7에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_87이 존재한다.
따라서,
이며, formula_26는 리만 적분 가능 함수일 수 없다.
유계 함수 formula_23에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. (여기서 formula_92는 르베그 외측도, formula_93는 상극한, formula_94는 하극한이다.)
필요 조건: formula_23가 리만 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_45에 대하여, 리만 적분의 정의에서의 formula_107가 존재한다. 또한, 다음을 만족시키는 분할 formula_7와 두 태그 formula_109를 취할 수 있다.
따라서,
충분 조건: formula_23가 다르부 적분 가능 함수라고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_45에 대하여, 다르부 적분의 정의에서의 formula_116가 존재한다. 따라서, 임의의
에 대하여,
다음 항등식에 의하여 성립한다.
다음 부등식에 의하여 성립한다.
formula_26의 불연속점 집합을 formula_124라고 하자.
필요조건: 임의의 formula_125 및 formula_101에 대하여, 다음을 만족시키는 분할 formula_7가 존재한다.
따라서,
즉,
충분조건: 임의의 formula_45 및 formula_101을 취하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는, formula_133의 열린구간 가산 덮개 formula_134가 존재한다.
또한, 임의의 연속점 formula_136에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_137이 존재한다.
이로부터, formula_1의 열린 덮개
를 얻으며, 이는 르베그 수 formula_141을 갖는다. formula_142인 분할 formula_7를 취하자. 그렇다면, 각 formula_5은 덮개의 어떤 원소에 포함되는데, formula_145일 경우, 이 덮개 원소는 formula_146 꼴일 수 없다. 즉, 이 경우 반드시 formula_147 꼴의 원소에 포함된다. 따라서,
특히, 연속 함수는 항상 리만 적분 가능 함수이다. 불연속점 집합이 유한 집합이거나 가산 무한 집합인 함수 역시 거의 어디서나 연속 함수에 속하므로 리만 적분 가능 함수이다. 단조 함수 역시 많아야 가산 개의 불연속점을 가지므로 리만 적분 가능 함수이다.
리만 적분 가능 함수는 다음과 같은 연산들에 대하여 닫혀있다.
또한, 일부 경우 자연스러운 공식이 성립한다. 즉, 닫힌구간 formula_40 위의 리만 적분 가능 함수 formula_153 및 정의역 속 점들 formula_154에 대하여, 다음이 성립한다.
그러나, 리만 적분 함수는 몫과 함수의 합성에 대하여 닫혀있지 않다. 예를 들어, 두 리만 적분 가능 함수의 몫은 무계 함수일 수 있다. 또한, formula_22 위의 리만 적분 가능 함수
를, 역시 formula_22 위의 리만 적분 가능 함수인 토메 함수의 왼쪽에 합성하면, 디리클레 함수를 얻는데, 이는 formula_22 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다. 하지만 왼쪽의 함수가 연속 함수라면 합성된 함수는 리만 적분 가능 함수이다. 즉,
리만 적분 가능 함수는 균등 극한이 아닐 수 있는 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 또한, 코시 열 극한에 대하여 닫혀있지 않다. 즉, 리만 적분 가능 함수의 공간은 완비 "L" 공간이 아니다.
리만 적분에 대한 미적분학의 제1 기본 정리는 다음과 같다. 리만 적분 가능 함수 formula_23에 대한 다음 함수를 생각하자.
그렇다면, formula_166는 립시츠 연속 함수이다. 따라서, formula_166는 거의 어디서나 미분 가능 함수이며, 모든 미분 가능점에서 formula_168이다. 만약 추가로 formula_26가 연속 함수라면, formula_166는 연속 미분 가능 함수이며, 임의의 formula_171에 대하여 formula_168를 만족시킨다, 즉, formula_26의 원함수이다.
리만 적분에 대한 미적분학의 제2 기본 정리는 다음과 같다. 함수 formula_23가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
리만 적분에 대한 미적분학 제2 기본 정리는 적분 가능 함수를 전제하여야 한다. 즉, 부정적분 가능 함수는 리만 적분 가능 함수일 필요가 없다.
제곱 함수 formula_178의 0에서 1까지의 리만 적분은 formula_35등분 분할에 대한 오른쪽 리만 합을 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
제곱 함수 formula_178는 연속 함수이므로, 부정적분 가능 함수이자 리만 적분 가능 함수이다. 따라서, 그 리만 적분을 미적분학의 기본 정리를 통해 다음과 같이 구할 수 있다.
디리클레 함수
는 formula_22 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다. 구간을 아무리 잘게 분할해도, 각각의 구간 안에는 유리수가 존재하며, 또한 각각의 구간 안에는 무리수가 존재한다. 따라서 다음과 같은 두 가지 리만 합을 취할 수 있다.
리만 합의 극한이 존재할 수 없으므로, 리만 적분 가능 함수가 아니다. 사실, formula_22 위의 다르부 상적분과 다르부 하적분은 다음과 같다.
다음과 같은 함수를 생각하자.
그렇다면,
이므로, formula_26는 formula_193 위의 부정적분 가능 함수이다. 그러나, formula_26는 formula_193 위의 무계 함수이므로, formula_193 위의 리만 적분 가능 함수가 아니다.
볼테라 함수의 도함수는 유계 함수이지만, 리만 적분 가능 함수가 아니다.
리만 적분이 정의되려면, 유계 함수와 유계 구간이 전제되어야 하는데, 이상 적분은 이러한 전제를 완화시켜 무계 함수와 무계 구간에 대한 적분을 일부 허용한다.
실수선에 정의된 함수 대신 높은 차원의 유클리드 공간에 정의된 함수를 사용하면, 리만 중적분을 얻는다.
항등 함수의 미분 대신 임의의 증가 함수의 미분소를 사용하면, 리만-스틸티어스 적분을 얻는다. 조르당 측도 대신 르베그 측도를 사용하면, 르베그 적분을 얻는다. 실수 함수의 예를 들면, 함수가 나타내는 영역을 '세로로' 잘게 쪼개 적분을 구하는 리만 적분과는 달리, 르베그 적분은 함수가 나타내는 영역을 '가로로' 잘개 쪼개 적분을 구한다.