단체 범주
호모토피 이론에서, 단체 범주(單體範疇, )는 공집합이 아닌 유한 정렬 집합들의 범주이며, 첨가 단체 범주(添加單體範疇, )는 공집합을 포함한 모든 유한 정렬 집합들의 범주이다. 임의의 범주 속의 단체 대상(單體對象, )과 첨가 단체 대상(添加單體對象, )은 각각 단체 범주의 반대 범주 또는 첨가 단체 범주의 반대 범주를 정의역으로 하는 함자이다. 이는 일종의 위상을 가지는 대상으로 여길 수 있으며, 이 경우, “위상”은 특이 호몰로지에서의 특이 단체들을 사용하여 대수적으로 나타내어진다. 특히, 집합의 범주 속의 단체 대상은 단체 집합이라고 한다.
단체 범주 formula_1와 첨가 단체 범주 formula_2와 준단체 범주(準單體範疇, ) formula_3는 세 개의 특별한 작은 범주이며, 그 개념은 여러 가지로 정의될 수 있다.
이 세 정의는 모두 서로 동치인 범주를 정의한다.
범주 formula_4의 단체 대상은 단체 범주 위의, formula_5 값을 갖는 준층이다. 즉, 함자 formula_6이다.
마찬가지로, formula_4의 첨가 단체 대상은 첨가 단체 범주 위의, formula_5 값을 갖는 준층이다. 즉, 함자 formula_9이다.
(첨가) 단체 대상의 사상은 준층의 사상, 즉 함자 사이의 자연 변환이다.
단체 대상의 범주는 보통
로 표기되며, 첨가 단체 대상의 범주는 보통
로 표기된다.
단체 집합은 집합의 범주 위의 단체 대상이다. 다른 범주 위의 단체 대상 역시 마찬가지로 불린다. 예를 들어, 단체 아벨 군(單體Abel群, )은 아벨 군의 범주 formula_12 위 단체 대상이다.
모든 정렬 집합과 증가 함수의 범주 formula_13를 생각하자.
첨가 단체 범주 formula_2는 formula_13 가운데, 유한 집합만으로 구성된 충만한 부분 범주이다.
단체 범주 formula_1는 formula_13 가운데, 공집합이 아닌 유한 집합만으로 구성된 충만한 부분 범주이다.
준단체 범주 formula_3는 formula_13 가운데, 공집합이 아닌 유한 집합들만을 대상으로 하며, 단사 함수만을 사상으로 하는, 충만하지 않은 부분 범주이다.
다시 말해, 첨가 단체 범주는 단체 범주에 공집합을 “첨가”한 것이다.
이들은 엄밀히 말하면 작은 범주가 아니지만, 같은 순서형의 정렬 집합은 서로 동형이므로, formula_1 및 formula_2 및 formula_3는 각각 가산 무한 개의 동형류를 갖는다. 구체적으로, formula_2의 동형류들은 자연수(유한 순서수)에 대응하며, formula_1와 formula_3의 동형류들은 양의 정수에 대응한다. 따라서, 이들과 동치인 작은 범주들을 취할 수 있다.
첨가 단체 범주 formula_2는 하나의 모노이드 대상 formula_27로 생성되는 자유 모노이드 범주 formula_28이다. 즉, formula_2의 대상은
의 꼴이며, 사상들은 formula_27의 모노이드 연산
들의 텐서곱들의 합성이다.
첨가 단체 범주 formula_2에서, 시작 대상 formula_35 및 이를 정의역 또는 공역으로 갖는 모든 사상들을 삭제한 충만한 부분 범주를 단체 범주 formula_1라고 한다.
formula_1에서, formula_38를 포함한 모든 사상들을 삭제한 (충만하지 않은) 부분 범주 formula_3를 준단체 범주라고 한다.
첨가 단체 범주의 반대 범주 formula_40는 다음과 같은 작은 범주이다.
이 범주의 사상들은 다음과 같은 사상들의 (유한 개의) 합성으로 주어진다.
이 사상들은 다음과 같은 단체 항등식(單體恒等式, )들을 만족시켜야 한다.
위 정의에서, 기하학적으로 해석이 불가능한 formula_59을 생략하고, formula_60을 생략하면, 단체 범주의 반대 범주 formula_41을 얻는다. 즉, formula_40는 formula_41와 비교했을 때 대상 formula_59(“−1차원 단체”) 및 사상 formula_65(“0차원 단체의 유일한 −1차원 면”)을 추가로 갖는다. 단체 범주의 반대 범주 속에서, 퇴화 사상들을 포함하는 사상들을 삭제한, 충만하지 않은 부분 범주를 준단체 범주의 반대 범주 formula_66라고 한다.
단체 범주 formula_1는 formula_41의 반대 범주이며, 첨가 단체 범주 formula_2는 formula_40의 반대 범주이며, 준단체 범주 formula_3는 formula_66의 반대 범주이다.
이 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
모든 증가 함수 formula_73는 formula_74 및 formula_75와 같은 함수들의 합성으로 나타낼 수 있다.
formula_4가 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주라고 하자. 그렇다면, 쌍대곱 함자
가 존재하며, 자연 동형
이 존재한다. 이에 따라, 자연스럽게 함자
가 존재하며, 이에 따라
는 자연스럽게 단체 집합을 이룬다. 이에 따라, 단체 대상 범주 formula_82는 단체 집합의 데카르트 모노이드 범주 위의 풍성한 범주를 이룬다.
첨가 단체 범주 formula_2의 경우, 다음과 같은 모노이드 범주를 이룬다.
아벨 범주 formula_87 속의 준단체 대상 formula_88을 생각하자. 그렇다면, 면 사상이
이라고 하면, 다음을 정의할 수 있다.
그렇다면, formula_92은 사슬 복합체를 이룬다.
이를 formula_88의 무어 복합체()라고 하며, formula_88의 호몰로지란 이 사슬 복합체의 호몰로지를 뜻한다.
집합과 함수의 범주 속의 단체 대상은 단체 집합이라고 한다. 이는 위상 공간의 조합론적 모형으로 여겨질 수 있으며, 단체 집합의 범주는 그로텐디크 토포스를 이룬다. 이 때문에 단체 집합은 위상 공간을 대체하기 위하여 호모토피 이론에서 널리 쓰인다.
첨가 단체 범주 formula_2는 하나의 원소로 생성되는 자유 모노이드 범주이므로, 다음 세 개념이 서로 동치이다.
특히, 모든 모노이드 대상은 그 반대 범주 속의 단체 대상을 이룬다.
특히, 만약 formula_99가 자기 함자의 범주라고 하자. 그 속의 모노이드 대상은 모나드이며, 이 개념은 반대 범주 formula_100 속의 첨가 단체 대상과 동치이다.
호몰로지 대수학에서 등장하는 막대 복합체와 호흐실트 사슬 복합체는 둘 다 가군 범주 속의 단체 대상을 이룬다.
formula_87가 아벨 범주라고 하고, 그 속의 단체 대상들의 범주를 formula_102라고 하자. 그렇다면, 이 범주는 formula_87 위의, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급을 갖는 사슬 복합체들의 범주 formula_104와 동치이며, 이는 또한 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다. 이를 돌트-칸 대응이라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 범주들을 정의할 수 있다.
그렇다면, 다음 두 모형 범주 사이에 퀼런 동치가 존재하며, 이를 모노이드 돌트-칸 대응()이라고 한다.