E₆
리 군론에서, E는 다섯 개의 예외적 단순 리 군 가운데 하나다. 78차원의 리 군이며, 그 리 대수는 formula_1이다.
E는 팔원수를 사용한 다양한 방법으로 정의할 수 있다.
3×3 팔원수 에르미트 행렬로 구성된 요르단 대수 formula_2가 존재하며, 이는 실수 요르단 대수의 분류에서 유일한 예외적 요르단 대수이다. 이는 실수 27차원 대수이다.
formula_3 위의 행렬식을 다음과 같이 정의하자.
성분으로 표기하면 이는 다음과 같다.
formula_6에서, 3×3 팔원수 에르미트 행렬의 행렬식을 보존하는 부분군은 E의 비콤팩트 형식 E과 동형이다.
두 나눗셈 대수 formula_7, formula_8이 주어졌을 때, 이를 사용하여 프로이덴탈 마방진이라는 리 대수의 작도가 존재한다. E의 리 대수는 formula_9를 사용하여 정의할 수 있다. 구체적으로, 마방진을 사용하여 다음과 같은 벡터 공간에 자연스러운 리 대수를 줄 수 있으며, 이는 E의 리 대수와 같다.
여기서
따라서, E의 차원은 14+64=52+26=78인 것을 알 수 있다.
이 밖에도, E의 실수 형식 E은 "팔원수에 대한 3차원 특수직교군"으로 여길 수 있다. (물론 팔원수는 환을 이루지 않으므로, 팔원수에 대한 특수직교군은 실제로 존재하지 않는다.)
E은 SO(10)×SO(2)를 부분군으로 가지므로, 이를 통해 E를 구성할 수 있다. 구체적으로, Spin(10)은 16차원 바일 스피너를 가지는데, 이에 따라 E의 리 대수를
의 꼴로 구성하여, 두 스피너 사이의 적절한 리 괄호를 정의하면 된다.
이 구성에서 실수 형식을 취하려면, SO(2)를 formula_18 또는 formula_19 가운데 하나로 선택하여야 한다. 즉, 전자의 경우 정의 표현은 1차원 복소수 표현으로 간주되며, 후자의 경우 정의 표현은 2차원 실수 표현이다.
E는 다섯 개의 실수 형식을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (중심이 없는 형태).
E의 주요 극대 부분군들은 다음이 있다.
E는 E 및 E의 부분군이다. 이는 구체적으로 다음과 같다.
E의 콤팩트 형식은 78차원 콤팩트 연결 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.
E의 근계는 72개의 근으로 구성된다. E의 근계는 6차원이지만, 다음과 같이 9차원 벡터로 표현하는 것이 더 대칭적이다. 이 경우, 72=18+27+27개의 근들은 다음과 같다.
이는 E의 딸림표현을 SU(3) 부분군으로 나타낸 것이다. SU(3)의 근계는 2차원이지만, 3차원에서 더 대칭적으로 표현할 수 있다. 이 경우, E의 딸림표현은
으로 분해되는데, 위의 근계는 이를 따른 것이다.
6차원에서는 1라는 고른 폴리토프가 존재하는데, 이는 72개의 꼭짓점, 720개의 변, 2160개의 면, 2160개의 3차원 초면, 702개의 4차원 초면, 54개의 5차원 초면을 가진다. E의 근계의 72개의 근들은 1의 꼭짓점들을 이룬다.
E의 바일 군은 크기가 51840인 유한군이다. 크기가 25920인 유일한 유한 단순군이 존재하는데, E의 바일 군은 그 자기 동형군이다. 크기가 25920인 유일한 유한 단순군은 다음과 같이 나타내어진다.
E의 딘킨 도표는 여섯 개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다().
E의 딘킨 도표는 formula_25 대칭을 가진다. 이에 따라 E의 딘킨 도표를 접으면 F의 딘킨 도표를 얻으며, 이는 E의 F 부분군에 대응한다.
E의 아핀 딘킨 도표는 일곱 개의 꼭짓점을 가지며, 모든 변이 1겹이다. 이 경우, 3개 "팔" 가운데 가장 짧은 팔에 꼭짓점 formula_30이 추가된다. 이에 따라 E 아핀 딘킨 도표는 formula_34 대칭을 갖는다.
E의 기약 표현의 차원들은 다음과 같다 .
여기서 (×"n")은 같은 차원의 서로 다른 기약 표현들이 "n"개 있다는 뜻이다. 기약 표현들의 차원이 자주 중복되는 이유는 E의 딘킨 도표가 대칭적이기 때문이다. E는 사원수 표현을 가지지 않는다. 즉, 모든 표현은 실수 표현이거나 복소수 표현이다.
E의 기본 표현은 27, , 78, 351, , 2925 여섯 개이다. 27 기본 표현은 27차원 예외적 요르단 대수 위의 작용으로부터 유래하며, 복소수 표현이다. 78은 딸림표현이며, 따라서 실수 표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.
E은 E를 부분군으로 가진다. 정확히 말하면, formula_75는 E의 최대 부분군이다. 이 경우, E의 딸림표현 248은 다음과 같이 분해된다.
E의 부분군에 대하여, E의 표현들은 다음과 같이 분해된다.
특히, SO(10)으로 가는 분해는 대통일 이론에서 중요하다.
슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수 formula_83 및 군 formula_84을 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 이는 임의의 가환환 formula_85에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.
특히, 유한체 formula_86에 대한 계수의 슈발레 군 formula_87을 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 두 가지 구성이 가능하다.
이들의 크기는 다음과 같다.
formula_87는 모든 유한체 formula_86에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다 .
formula_101부터는 이는 괴물군보다 더 크다.
E의 딘킨 도표는 formula_25 대칭을 가진다. 유한체 formula_103는 formula_25 프로베니우스 자기 동형 formula_105을 가지며, 이에 따라 슈발레 군을 뒤틀어 스타인버그 군 formula_106 및 그 범피복군 formula_107를 정의할 수 있다. 이들의 크기는 다음과 같다.
formula_110 역시 모든 유한체 formula_86에 대하여 유한 단순군이다. 이 가운데 가장 작은 군들의 크기는 다음과 같다 .
formula_116부터는 이는 괴물군보다 더 크다.
입자물리학에서, E 잡종 끈 이론을 기반으로 하는 현상론적 모형에서는 4차원 유효 이론에서 자연스럽게 E×E 게이지 이론이 발생한다. 이를 SO(10) 대통일 이론과 연결시키려면, 통상적으로 다음과 같은 자발 대칭 깨짐이 존재한다고 추측된다.
이는 E가 자연스럽게 SO(10)을 부분군으로 갖는 것에 의하여 가능하다.
리 대수 formula_1는 빌헬름 킬링이 복소수 단순 리 대수를 분류하면서 발견하였다. 이후 엘리 카르탕이 1894년에 복소수 단순 리 군을 분류하면서 그 존재와 유일함을 엄밀히 증명하였다.
E에 대한 슈발레 군은 레너드 유진 딕슨이 1901년에 발견하였다. 스타인버그 군 E은 로베르트 스테인베르그가 1959년에 발견하였다.