스와미 바라티 크리슈나의 베다 수학
스와미 바라티 크리슈나의 베다 수학 (Swami Bharati Krishna Tirtha's Vedic mathematics)은 인도의 수학자 스와미 바라타 크리슈나 티르타지가 발견하여 정리한 수학이다. 구전(口傳)으로만 전해온 브라만의 경전, 베다(Veda)경전의 계산과 수학에 관련된 수트라(Sutura)의 야타르바 베다(Atharva-veda)의 원문을 모두 해석하고 16개의 수트라 (간략한 형태로 표현된 법칙)과 13개의 술바수트라스(이 법칙의 파생)를 재구성한 베다수학은 인도 지역에서 전통적으로 발전해온 수학이다.하나의 예를 들자면 45+27은 다음과 같은 순서로 계산한다.
40,60,70,72
다음은 베다 수학의 덧셈 방법이다.
비교를 위해 일반 수학의 덧셈 방법을 아래에 제시한다.
다음은 베다수학의 뺄셈 방법이다.
예를 들어, 97-19는 다음과 같이 계산한다.
97 - 19 = 781000-146은 다음과 같이 계산한다.베다 수학의 곱셈 방법은 특별하고 다양하다.
암산:예를 들어 45formula_127은 다음과 같은 순서로 계산한다.
다음은 인도 수학의 곱셈 방법이다.
필산1:교차 곱셈을 한다. 예를 들어, 53formula_177은 다음과 같은 순서로 계산한다.
필산2:보수 계산을 한다. 예를 들어, 88formula_197은 다음과 같은 순서로 계산한다.
일반 수학의 곱셈과 차이점은 덧셈에서도 보았듯이 높은 자리수 부터 먼저 계산해서 아래로 내려간다.
36×11은 다음과 같이 계산한다.
32×19는 다음과 같이 계산한다.
14×45는 다음과 같이 계산한다.
48×25는 다음과 같이 계산한다.
24×75는 다음과 같이 계산한다.
13×12는 다음과 같이 계산한다.
23×22는 다음과 같이 계산한다.
55×75는 다음과 같이 계산한다.
81×89는 다음과 같이 계산한다.
43×63은 다음과 같이 계산한다.
19×21은 다음과 같이 계산한다.
98×97은 다음과 같이 계산한다.
103×104는 다음과 같이 계산한다.
(103 + 4 = 107)
(3 × 4 = 12)
(107 × 100 + 12 = 10712)
제곱의 계산 방법은 다음과 같다.
9의 제곱은 다음과 같이 계산한다.
비슷하게 8 = 64, 7 = 49.
다음은 거듭제곱 계산 예제이다:
이때 위 5개 식에서의 공통 공식은 formula_13이다. 이 공식에서 역시 지수가 10을 넘지 않도록 한다.
이 부분은 사무카야가 같다면 사무카야는 0이다 부분에 나온다.
수학에서 주어진 방정식을 푸는 것은 어려운 일이다. 산스크리트어로는 사무카야라고 부른다. 여기서 언급하는 방정식 역시 베다 수학으로 풀 수 있다. 그 중에서 가장 간단한 일차방정식인 "12"x" - 3"x" = 4"x" + 5"x""를 풀어보자. 여기서 일차방정식의 해 ""x""는 "x" = 0이다. 여기서 사무카야가 같다면 사무카야는 0이다가 베다 수학의 또 한가지 수트라로 나온 것이다. 그리고 또 다른 일차방정식인 ("x" + 7) ("x" + 9) = ("x" + 3) ("x" + 21)을 풀어보자. 이 방정식(사무카야) 역시 수트라의 원리를 이용하면 "7" × 9 = 3 × 21로 나와서 "x" = 0 이 답이 된다. 그렇다면 분수방정식은 어떻게 푸는 건지 분수방정식 1/ (2"x" − 1) + 1/ (3"x" − 1) = 0을 풀어보자. 이것을 일차방정식으로 간략화하면 5"x" – 2 = 0이 나온다. 이 일차방정식의 답은 x = 2/5이다.
그러면 계수가 높고 분수의 분자와 분모가 모두 일차식으로 되어 있는 분수방정식은 어떻게 푸는 건지 아래의 주어진 방정식으로 풀어 보자.
위 분수방정식을 일차방정식화하면 4"x" + 16 = 0이 되어서 답은 "x" = −4가 된다.
이제 이 답이 어떻게 나오는지 알아보자. 베다 수학을 이용하여 위의 분수방정식을 풀 때 필요한 두 가지는 "N", "N", "D", "D"이다. "N"/"D" = "N"/"D"이고 "N" + "N" = "D" + "D" 라면 합은 0이 된다. 위 식에서의 해를 구하기 전에 나오는 답은 "x" 이다. 그리고, 만약 "N" − "D" = "N" − "D"라면 "사무카야"는 0이 된다. 그리고 그 방정식의 해는 제곱근으로 나오며 무리방정식의 형태로 된다.
아래의 주어진 분수방정식과 위에서 언급한 식으로 풀어 보자.
그러면 "D" + "D" = "D" + "D" = 2"x" − 16일 때는 어떻게 되는지 알아보면 답은 "x" = 8이다.
위의 주어진 분수방정식을 간단하게 해 보자. 약분을 하고 분수를 없애면 다음과 같이 정수형의 삼차방정식으로 된다.
여기서 일차방정식으로 줄이면 "x" − 3 + "x" − 9 = 2 ("x" − 6), ("x" − 6) = 0 or "x" = 6이 된다.
그러나 진짜는 위의 방정식을 복소수화시키는 것이므로 formula_17를 복소수화 시키면
이 되어서 일차방정식은 "N" + "D" = "N" + "D" = 2"x" + 8이 되어 "x" = −4가 된다.
아래의 수식은 모두 x와 y의 계수가 보통과 다르게 큰 숫자로 되어 있다. 그러나 잘 보면 아래의 두 개의 식은 비례 관계가 있음을 알 수 있다. 예를 들면 다음과 같다:
위의 두 방정식에서 잘 보면 y의 계수가 위쪽은 7, 아래쪽은 14이므로 1 : 2의 비를 이루고 있음을 알 수 있다.
따라서 나머지 1 : 2, 즉 8과 16은 0이 되어 "x" = 0이 된다. 이렇게 하면 위 연립방정식은 "x" = 0, "y" = 8/7의 해를 갖는다.
(다른 예:
이렇게 x의 계수가 정확한 비가 되지 않을 경우, 비가 없는 경우이므로, 반드시 2로 나누어야 한다!)
이렇게 하여 연립방정식을 만들면
연립방정식 만들기는 아주 쉽다. 아래의 형식을 그대로 따라서 x, y, 그리고 z의 계수를 정하여 만들면 된다:
위에서는 "x" = 1, "y" = 0, "z" = 0.
아래의 방정식은 x와 y의 계수가 서로 바뀌어 있다. 즉 위쪽은 x의 계수가 45, y의 계수가 23이지만, 아래쪽은 x의 계수가 23, y의 계수가 45인 형태이다:
더하면 : 68"x" − 68 "y" = 204 → 68 ("x" − "y") = 204 → "x" − "y" = 3.
빼면 : 22"x" + 22"y" = 22 → 22 ("x" + "y") = 22 → "x" + "y" = 1.
다시 더하면 : 2x = 4이므로 따라서 x = 2가 된다.
또다시 빼면 : – 2y = 2이므로 따라서 y = –1이 된다.
따라서 위 방정식의 해집합은 {2, -1}이 된다.
분수 1/19는 2와 5 모두 나누어떨어지지 않는다. 그러면 직접 1/19를 필산하여 계산하는 수밖에 없다. 그러나 이것은 매우 복잡하고 많은 시간이 걸린다. 2와 5 또는 10 만 있으면 1/19를 구할 수 있다.
일단 맨 처음 1을 쓴다.
그리고 1을 두 배한 수 2를 1 앞에 쓴다.
2를 두 배 곱한 수 4, 4를 두 배 곱한 수 8를 각각 4는 2 앞에, 8은 4 앞에 쓴다.
그렇게 되면 다음과 같이 자리올림수 1이 나온다.
그리고 다시 곱하는데 이때 곱하는 수는 6과 2를 곱하여 12 가 된다. 여기서 자리올림수 1 을 더하여 13을 쓴다.
계속하게 되면 다음과 같이 된다.
지금까지 우리는 9자리 수까지 계산하였다. 계산하여 18 자리가 되어야 한다. 지금까지 계산한 값의 1/2의 자릿수를 최소가 되게 배열하면 다음과 같이 된다.
계산한 결과는 1/19 = 0.052631578947368421 이 된다.
다음은 계산 과정을 나타낸 것이다.
42x5=210 ←
4=2,2=1
43x5=215 ← 홀수6 × 357 = 2142
계산하면, 
7 은 홀수이므로 5를 더한다. 12가 되는데, 10을 초과하므로 2를 쓰고 1은 올림수로 남겨둔다.
5 + 1/2 of 7 (3) + 5 (5를 더한다) + 1 (자리올림) = 14. 4를 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.
3 + 1/2 of 5 (2) + 5 (5를 더한다) + 1 (자리올림) = 11. 1을 쓰고, 1은 올림수로 남겨둔다.
0 + 1/2 of 3 (1) + 1 (자리올림 한다) = 2. 2를 쓴다.ex) 46×7=322이 방법은 어려우므로 차근차근 해 보자.
2,130 × 9 = 19,170