바탈린-빌코비스키 대수
이론물리학과 수학에서, 바탈린-빌코비스키 대수()는 게이지 이론을 BRST 양자화할 때 등장하는 대수이다.
(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수
가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자
및 초괄호
를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.
이 위의 연산자
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 formula_7차 formula_8등급 미분 연산자()라고 한다.
여기서 초괄호에서 formula_11 및 formula_6로 간주한다.
예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우
인 것이다. 1차 미분 연산자는
인 것이다. 즉,
이며, 이는 [[곱의 법칙 (미적분학)|곱의 법칙]]이다.
홀수 등급 2차 미분 연산자 formula_16는
를 만족시킨다.
등급 가환 결합 대수
및 formula_19 위의 [[사슬 복합체]] 구조
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
이를 formula_23항 거스틴해버 괄호라고 한다. 예를 들어
이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,
는 [[L∞-대수]]를 이룬다.
물론, 만약 formula_28이 formula_7차 미분 연산자라면, 오직 formula_30만이 0이 아닐 수 있다.
바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 [[거스틴해버 대수|거스틴해버 괄호]]() 또는 반괄호() formula_31를 정의할 수 있다.
이는 다음과 같은 성질들을 따른다.
바탈린-빌코비스키 대수 formula_37는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
바탈린-빌코비스키 대수는 [[게이지 이론]]의 [[양자화 (물리학)|양자화]]에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.
게이지 이론이 장 formula_41와 고전적 [[작용 (물리학)|작용]] formula_42에 의해 정의된다고 하자. 또한, 이 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자.
여기서 formula_44는 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다.
이다. 여기서 formula_46는 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은
등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.
그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환 formula_50에 대응하는 유령장 formula_51을 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 및 물리적 장 formula_41에 대응하는 반대장(反對場, ) formula_53, formula_54를 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 유령수(幽靈數, )라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, formula_55차 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 formula_55, 그리고 유령수 formula_57에 대응하는 반대장은 유령수 formula_58을 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다.
즉, 장들은 유령수에 따라 [[등급환|등급대수]]를 이룬다.
모든 장들을 통칭해
로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.
또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.
이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 formula_63와 formula_64는 각각 좌·우미분이다.
고전적 [[작용 (물리학)|작용]] formula_65는 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 및 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다.
여기서 formula_67는 formula_55개의 유령장의 곱을 포함하며, 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, formula_69의 유령수는 0이다.
이렇게 교정된 작용 formula_69는 다음과 같은 고전 으뜸 방정식()을 만족시킨다.
이로부터 formula_69를 완전히 계산할 수 있다.
이 경우, 이론의 [[BRST 대칭]]은
의 꼴이다. 이 경우 자동적으로
이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.
formula_76임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지
를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 formula_78의 원소이다. 고전적인 연산자 formula_79가 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다.
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 formula_82를 선택하자. 이를 게이지 고정 페르미온()이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.
게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 [[보조장]]들을 추가하여야 한다.
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 [[경로 적분]]의 [[측도]] 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 [[필요충분조건]]은
이다. 예를 들어, [[양-밀스 이론]]의 경우 이 조건이 성립한다.
만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 formula_85에 비례하게 된다. 즉, formula_86으로 놓으면,
이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식()은
이다. 다음 표현은 위와 [[동치]]이다.
이다. 이를 전개하면
등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.
피적분량 formula_93를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다. 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분
를 고려하면 양자 으뜸 방정식
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 formula_96가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로
가 성립해야 한다. 이는 [[스토크스 정리]]와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 [[짜임새 공간]]) 위에서, formula_98를 [[다중벡터]](multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도 formula_99를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, formula_100는 경로 공간 위의 미분형식이고, 그 [[외미분]]은 바탈린-빌코비스키 연산자 formula_16이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 [[부분적분]]에 따라, 임의의 부분공간 formula_102 위의 적분은
이고, 또한 만약 formula_104이라면
는 formula_102의 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, formula_102의 [[호몰로지류]]에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 formula_108가 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다.
로런츠 지표는 formula_109로, 게이지 리 대수 지표는 formula_110로 쓰자.
비가환 [[양-밀스 이론]]의 경우, 게이지장 formula_111는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 formula_113 및 반대장 formula_114, formula_115가 존재한다. 작용
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 formula_118와 유령수 0의 보손 formula_119를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자.
그렇다면 게이지 고정 페르미온
를 삽입한다. 여기서 formula_122는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.
"p"차 [[미분형식 전기역학]]의 경우, "p"차 미분형식 게이지 퍼텐셜 formula_124는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.
여기서 formula_128는 formula_8차 [[미분형식]]이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.
유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.
이고리 아니톨리예비치 바탈린()과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키()가 [[초중력]]을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 [[끈 장론]] 등을 양자화하는 데 쓰였다.
[[분류:수리물리학]]
[[분류:양자장론]]
[[분류:대수]]
[[분류:심플렉틱 기하학]]