프로베니우스 사상
가환대수학과 체론에서, 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, )은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.
가환환 formula_1의 환의 표수가 formula_2이며, formula_3가 소수라고 하자. 그렇다면 formula_1의 프로베니우스 사상 formula_5은 다음과 같다.
이는 환 준동형을 이룬다. 이는
이기 때문이다.
소수 formula_3가 주어졌을 때, 유한체 formula_9 위의 스킴 formula_10가 주어졌다고 하자. formula_11의 임의 아핀 부분 스킴 formula_12에 대하여, formula_13는 formula_14-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 formula_9-스킴 사상 formula_16을 formula_11의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다. 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.
여기서 formula_19는 formula_9-스킴의 범주 formula_21의 항등 함자이다.
formula_9-스킴 formula_23 위의 스킴 formula_24가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_23의 절대 프로베니우스 사상 formula_26와의 올곱을 취하면
를 정의할 수 있다. 이는 함자
를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대()라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
을 산술 프로베니우스 사상()이라고 한다.
만약 formula_23의 절대 프로베니우스 사상 formula_26이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, formula_23가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 formula_34에 대한 올곱
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
을 기하 프로베니우스 사상()이라고 한다.
formula_9-스킴 formula_23 위의 스킴 formula_24가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 formula_41이 존재한다.
이를 상대 프로베니우스 사상()이라고 한다. 이는 자연 변환
을 이룬다.
물론, formula_44라면 (또는 보다 일반적으로 formula_45라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.
소수 표수의 가환환 formula_1 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 formula_1가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.
양의 표수의 체 formula_14에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 formula_14가 완전체인 것이다.
유한체 formula_9 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마의 소정리).
양의 표수 formula_2의 체 formula_53 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 formula_54의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 formula_3차 다항식의 근의 수는 formula_3개 이하이며, formula_57는 이미 formula_3개의 근을 이루므로, formula_14 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 formula_9이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 formula_2의 정역 formula_62에 대해서, 항상 분수체 formula_63를 취할 수 있으므로, 표수 formula_3의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 formula_9이다.
유한체 formula_9의 유한 확대 formula_68의 갈루아 군은 순환군이다.
프로베니우스 자기 동형
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.
마찬가지로, 유한체 formula_71의 유한 확대 formula_72의 갈루아 군은 순환군
이며, 프로베니우스 자기 동형의 formula_74제곱
은 그 생성원을 이룬다.
유한체 formula_76 위의 스킴 formula_77가 주어졌다고 하자.
유한체 formula_76은 완전체이므로 formula_76의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, formula_80 및 formula_81은 formula_11와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 formula_11 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.
이제, formula_11의 formula_76-점들의 집합 formula_86 위에는 갈루아 군 formula_69(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
또한, formula_86 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.
이 두 작용은 서로 일치한다.
따라서, 산술 프로베니우스 사상 formula_91은 formula_76-점의 집합 위의 갈루아 군 formula_93의 작용을 나타낸다.
유한체 formula_9 위의 스킴 formula_95가 주어졌다고 하자. formula_96 위의 작은 에탈 위치 formula_97를 생각하자. 그렇다면, formula_11 위의 상대 프로베니우스 사상
과 기하 프로베니우스 사상
은 토포스 formula_97 위의 같은 기하학적 사상
특히, formula_97 위의 아벨 군 값의 층 formula_104이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 formula_104의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소()라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
대수적 정수환 formula_110의 유일한 극대 아이디얼을 formula_111라고 하고, formula_112의 유일한 극대 아이디얼을 formula_113라고 하자.
그렇다면, 잉여류체 formula_114와 formula_115는 둘 다 유한체이며,
이다. (여기서 formula_117는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
가 존재하며, 이를 formula_109의 프로베니우스 원소라고 한다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
formula_128가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 formula_129은 formula_128를 고정시킨다. 즉, formula_128에서의 분해군()
은 갈루아 군 formula_129 전체이다.
이 경우,
를 만족시키는 유일한 원소
가 존재한다. (여기서 formula_136는 formula_128진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 formula_9인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 formula_128의 프로베니우스 원소 formula_140라고 한다.
유한체 계수의 유리 함수체 formula_141의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, formula_142는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 formula_141는 완전체가 아니다.
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.