단면 곡률
리만 기하학에서, 단면 곡률(斷面曲率, )은 특정한 접평면에 대한 방향으로 리만 다양체가 굽는 양을 나타내는 실수이다. 단면 곡률에 상한 또는 하한을 가하면, 리만 다양체의 다양한 미분기하학·미분위상수학적 정보를 유추할 수 있다.
리만 다양체 formula_1 위의 점 formula_2 및 접공간 formula_3의 2차원 부분 벡터 공간 formula_4이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의로 기저
를 고르자. 접벡터 formula_6에 대하여, formula_7 방향의 단면 곡률 formula_8는 다음과 같다.
여기서 formula_10은 리만 곡률 텐서이다. formula_8는 formula_7의 기저 formula_13 및 방향에 의존하지 않음을 보일 수 있다.
리만 다양체 formula_1 위에, 2-그라스만 다발 formula_15을 정의할 수 있다. 즉, 2-그라스만 다발의 formula_2에서의 올은 그라스만 다양체 formula_17이다. 이 경우, 단면 곡률
은 2-그라스만 다발의 전체 공간 위의 실수 값 매끄러운 함수를 이룬다.
리만 다양체 formula_1 및 양의 실수 formula_20가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리만 계량 formula_21에 대하여, formula_22의 formula_23에서의 단면 곡률 formula_24는 다음과 같다.
즉, 단면 곡률의 단위는 리만 곡률과 마찬가지로 [길이]이다.
모든 단면 곡률이 일정한 완비 리만 다양체는 공간 형식(空間形式, )이라고 한다.
모든 연결 단일 연결 공간 형식은 다음 세 가지 가운데 하나이다.
다시 말해, 모든 공간 형식은 쌍곡 공간 · 초구 · 유클리드 공간의 몫공간들의 분리합집합이다.
슈어 보조정리()에 따르면, 2차원이 아닌 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
그러나 이는 2차원에서 성립하지 않는다. 2차원 이하에서 두 번째 조건은 자명하게 성립하지만, 공간 형식이 아닌 2차원 완비 리만 다양체가 존재한다. (1차원에서 이 정리는 자명하게 성립한다.)
슈어 보조정리의 증명은 다음과 같다. 편의상 지표 표기법을 사용하자. 두 번째 조건이 성립한다고 하면,
가 된다. 그런데 이 경우 제2 비안키 항등식은 다음과 같이 된다.
괄호 formula_35에 속한 성분은 리만 계량 formula_36으로 구성되며, formula_37일 경우 항상 0이 아니다. 따라서 formula_38이다.
완비 리만 다양체 formula_39 위의, 측지선으로 구성된, 꼭짓점이 formula_40인 삼각형 formula_41를 생각하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자.
formula_50이 단면 곡률이 formula_51인 부피 형식이라고 하고, formula_52이 formula_50 속의 측지선으로 구성된 삼각형이라고 하자. 또한, 다음 조건들이 성립한다고 하자. (이는 삼각형의 SAS 합동 조건이다.)
그렇다면, 토포고노프 정리()에 따르면 다음이 성립한다.
그로우에-피터슨 유한성 정리()에 따르면, 임의의 차원 formula_58, 실수 formula_59 및 formula_60에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 리만 다양체들의 호모토피 유형들의 수는 유한하다.
이는 카르스텐 그로우에()와 피터 피터슨()이 증명하였다.
치거 유한성 정리()에 따르면, 임의의 자연수 formula_58 및 상수 formula_65에 대하여, 콤팩트 formula_58차원 리만 다양체 가운데
인 것들의 미분 동형류의 수는 유한하다.
매끄러운 다양체 formula_39이 임의의 양의 실수 formula_71에 대하여 다음 조건을 만족시키는 리만 계량 formula_72을 갖는다면, formula_39을 거의 평탄 다양체()라고 한다.
그로모프 거의 평탄 다양체 정리()에 따르면, 임의의 차원 formula_58에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 formula_76가 존재한다.
그로모프-루 정리()에 따르면, 임의의 리만 다양체에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 어떤 영다양체() formula_89에 의한 유한 겹 피복 공간 formula_90이 존재한다.
연결 단일 연결 완비 리만 다양체 formula_39이 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 초구 정리(超球定理, )에 따르면 formula_39은 같은 차원의 초구와 미분 동형이다. (미분 동형인 것을 증명하는 것은 위상 동형인 것을 증명하는 것보다 더 어렵다.) 초구 정리는 구간을 formula_95에서 formula_96로 약화시키면 성립하지 않는다. 예를 들어, 푸비니-스투디 계량을 준 복소수 사영 공간의 단면 곡률은 formula_97이지만, 초구와 미분 동형을 갖지 않는다.
카르탕-아다마르 정리()에 따르면, 다음이 성립한다. 연결 단일 연결 완비 리만 다양체 formula_39의 모든 단면 곡률이 formula_99이라면, formula_39은 유클리드 공간과 미분 동형이다. 따라서, 단면 곡률이 0 이하인 완비 리만 다양체의 구조는 그 기본군에 의하여 완전히 결정되며, 이러한 다양체의 기본군에 대해서는 프라이스만 정리()라는 정리가 존재한다.
콤팩트 리만 다양체 formula_39의 모든 단면 곡률이 formula_26이라면, formula_39 위의 측지선 흐름은 에르고딕하다. (물론, 원환면의 경우 formula_28이지만 이는 성립하지 않는다.)
모든 단면 곡률이 formula_105가 되는 완비 리만 다양체 formula_39은 CAT("κ") 공간을 이룬다. 특히, 만약 formula_107이라면, 그 기본군 formula_108은 그로모프 쌍곡군()을 이룬다.
연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 formula_39의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이라고 하자. 영혼 정리(靈魂定理, )에 따르면, 다음 조건을 만족시키는 부분 다양체 formula_110가 존재한다.
이러한 formula_111를 formula_39의 영혼(靈魂, )이라고 한다.
따라서, 양의 단면 곡률의 완비 리만 다양체의 분류는 콤팩트한 경우의 분류로 귀결된다.
또한, 영혼 추측()에 따르면, 연결 비콤팩트 완비 리만 다양체 formula_39의 단면 곡률이 모든 곳에서 0 이상이며, 또한 모든 방향으로의 단면 곡률이 양수인 점 formula_2이 존재한다면, formula_39의 영혼은 한원소 공간이다. 즉, formula_39은 유클리드 공간과 미분 동형이다. (이름과 달리, 이는 현재 증명된 정리이다.)
단면 곡률이 어디서나 0 초과인 formula_58차원 연결 콤팩트 리만 다양체 formula_39에 대하여, 다음이 성립한다.
그로모프 베티 수 정리()에 따르면, 임의의 차원 formula_58에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 양의 정수 formula_134가 존재한다.
이러한 다양체의 알려진 예는 드물다.
슈어 보조정리는 독일의 수학자 프리드리히 하인리히 슈어(, 1856~1932)가 증명하였다.
카르탕-아다마르 정리는 한스 카를 프리드리히 폰 망골트(, 1854~1925)가 곡면에 대하여 1881년에 증명하였고, 1898년에 자크 아다마르가 같은 정리를 독자적으로 증명하였다. 이후 엘리 카르탕이 1928년에 이를 임의의 차원의 리만 다양체에 대하여 일반화하였다.
싱 정리는 아일랜드의 수학자 존 라이턴 싱(, , 1897~1995)이 1936년에 증명하였다.
마이어스 정리는 미국의 수학자 섬너 바이런 마이어스(, 1910~1955)가 1941년에 증명하였다.
토포고노프 정리는 러시아의 수학자 빅토르 안드레예비치 토포노고프(, 1930~2004)가 증명하였다.
영혼 정리는 1972년에 제프 치거와 데틀레프 그로몰()이 증명하였으며, 같은 논문에서 영혼 추측을 추측하였다. 그리고리 페렐만은 1994년에 영혼 추측을 13쪽 밖에 되지 않는 짧은 논문으로 간단히 증명하였다.
미분 동형에 대한 초구 정리는 2007년에 지몬 브렌들레()와 리처드 숀()이 증명하였다.