선형 푸아송 다양체
리 군론에서, 선형 푸아송 다양체(線型Poisson多樣體, )는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수의 쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 쌍대딸림표현 궤도(雙對딸림表現軌道, )라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다. 이 경우, 키릴로프 지표 공식(Кириллов指標公式, )에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포의 푸리에 변환으로 주어진다.
유한 차원 실수 벡터 공간 formula_1 위에 푸아송 다양체 구조 formula_2가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
그렇다면, 쌍대 공간 formula_4 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.
반대로, 유한 차원 실수 리 대수 formula_6가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간 formula_7 위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의 formula_8 및 formula_9에 대하여,
여기서
이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.
즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.
리 지수 사상에 따라 formula_12가 되는 단일 연결 리 군 formula_13를 정의할 수 있다. 그렇다면, formula_7는 물론 리 군 formula_13의 표현
을 갖춘다. 구체적으로, 임의의 formula_17 및 formula_9에 대하여,
이다. 여기서 formula_21는 딸림표현이다.
formula_7의 심플렉틱 잎들은 formula_7 속의, formula_13의 작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도()라고 한다.
formula_13가 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면, formula_13의 유니터리 기약 표현들의 집합은 formula_27의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도 formula_28가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해 formula_13의 유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.
또한, 이 경우 표현 formula_30의 지표는 formula_28의 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.
formula_13가 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면, formula_13의 쌍대딸림표현 궤도들은 formula_13의 바일 방의 점과 일대일 대응한다.
콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면,
가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도
는 심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식 formula_45가 존재한다.
그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서
단일 연결 반단순 리 군 formula_13의 리 대수 formula_35를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간
은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간인 리 대수
를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여
이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.
원 formula_56은 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라
으로 놓을 수 있다. 또한, formula_35의 킬링 형식을 사용하여 formula_59이므로
이다. 이 공간
은 원 위의 자명한 formula_13-주다발의 주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우, formula_63는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체 formula_64 위의 작용은 게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발의 주접속의 게이지 변환 동치류들의 공간 formula_65이다.
아벨 리 대수 formula_35를 생각하자. 그렇다면, formula_7 위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.
구체적으로,
이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군 formula_69은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.
이 기약 표현은 점 formula_71으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표
는 부피 형식(formula_73에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.
formula_74(3차원 직교군의 리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. (formula_35가 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식 formula_76에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.
즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름 formula_78의 구이다. 이는 formula_79의 바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.
formula_80일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며, formula_81일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계 formula_82에서
이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.
이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은 formula_84에 해당하며, formula_85이다.
이 경우, 스핀 formula_86에 대하여,
이며,
이다.
여기서 정적분
을 사용하였다.
이 경우, 야코비안은
이다.
즉, 스핀 formula_91에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.
사실, 스핀 formula_91의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로
가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.
단일 연결 멱영 리 군인 하이젠베르크 군
을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.
3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적
을 사용한다면, formula_98의 쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간 formula_99 속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.
이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.
따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.
선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎과 기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.