삼각측량법
삼각측량법은 측량 구역을 삼각형으로 분할하여 각 지점의 수평위치를 결정하는 측량법의 하나이다. 공공측량표준작업규정에서는 "1등, 2등, 3등, 4등 기본 삼각점 또는 기설 기준 삼각점을 기준으로
공공측량표준작업규정에서 정한 방법이나 정도로써 그 점의 위치를 결정하는 작업"이라고 정의한다. 그 점과 두 기준점이 주어졌으면, 그 점과 두 기준점이 이루는 삼각형에서 밑변과 다른 두 변이 이루는 각을 각각 측정하고, 그 변의 길이를 측정한 뒤, 사인 법칙 등을 이용하여 일련의 계산을 수행함으로써, 그 점에 대해 좌표와 거리를 알아내는 방법이다.
삼각측량법은 측량, 항해, 측정, 천체측량학, 로켓 공학 등에 쓰이며, 무기(대포 등)의 방향 설정에도 쓰인다.
삼각측량은, 기준이 되는 한 변만 거리를 측정하고 나머지는 각만 측정하여 측점들의 위치를 계산하기 때문에, 멀리 떨어져 있는 점이라도 망원경으로 시준만 가능하다면 지형이나 거리에 제약에 관계 없이 측량을 할 수
있다는 장점이 있다.
다음의 법칙들이 사용되었다. (유클리드 기하에서만 성립한다.)AC와 BC를 다음과 같이 구할 수 있다.
RC는 다음과 같이 구할 수 있다.
삼각측량에 필요한 삼각점들을 연결하여 여러 개의 삼각형들이 만들어지는데 이를 삼각망이라 한다. 삼각망은 정삼각형에 가까운 것이 바람직하며 내각이 25 ~ 130도 사이에 있는 것이 좋다. 삼각망의 종류엔 단열 삼각망, 사변형 삼각망, 유심 삼각망이 있다.
삼각형을 일렬로 연결하여 폭이 좁고 길이가 긴 형태로 만들면 단열 삼각망이 된다. 하천, 도로, 철도, 노선, 터널같은 폭이 좁고 길이가 긴 지형에 적합하게 쓰인다. 정밀도는 떨어지나 신속한 측량이 가능하다.
삼각형을 연결하여 사변형으로 만든 다음, 사변형을 연속적으로 이어가는 형태를 사변형 삼각망, 또는 사변형망이라고 한다. 측량 면적이 작고 조건식 수가 많아 조정이 복잡하고 시간이 많이 걸리나, 정밀도가 높다. 폭이 좁고 길이가 긴 지형이면서 높은 정밀도를 요하는 경우 사용한다.
삼각형의 측점 하나를 중심으로 삼각형이 둘러싸면서 측량하는 형태를 유심 삼각망이라고 한다. 방대한 지역의 측량에 적절하며, 단열 삼각망과 사변형망의 중간 정도 정밀도를 가진다.표지는 삼각측량 이전에 미리 측점의 위치를 표시해두는 물건이다. 영구표지, 일시표지, 임시표지가 있다.
기계의 위치, 영구표지의 위치, 측표의 위치는 정확히 연직선 상에 놓여야 편심에 의한 오차가 생기지 않는다. 그러나 실제 삼각측량을 하다보면 종종 현장 여건때문에 측표를 영구표지로부터 편심거리 e만큼 떨어뜨려 설치해야 하는 경우가 있다. 예를 들어 A점이 정확한 영구표지가 있는 점이라고 하고, B, C점에서 A점을 관측할 수 없어 P점에 측표를 세웠다고 할 경우, 편심 보정은 다음 과정으로 실시한다.
여기서 α는 기지값, δ, δ는 미소한 값이므로, formula_13라 할 수 있고 사인법칙에 의해
측량 결과가 허용오차 이내에 있는 경우 조건식을 이용하여 관측각을 조정하게 된다. 조건식은 각조건, 변조건, 점조건이 있다.
삼각망의 종류에 따라 조정 방법이 약간씩 달라진다. 조정 과정 중 오차를 배분할 때 단위 또는 절단오차에 의해 정확하게 오차를 배분할 수 없는 경우가 있는데, 이때는 90°에 가까운 각에 잔여오차를 배분하는 것으로 한다. 예를 들어 10″를 세 각에 배분해야 할 때, 우선 3″씩 배분하고 남은 1″를 90°에 가장 가까운 한 각에 배분해준다.
사변형 망 조정에는 엄밀법과 근사법이 있다. 토목공학에서는 근사법이 더 간편하고 자주 사용된다.
각 조건은 다음 세 가지이다.
식의 좌우변이 같아야 오차가 없는 것이나, 오차가 생긴다고 하고, 각 식의 오차들을 ε, ε, ε라고 하자. 같은 기계로, 같은 정도로 관측하는 경우 경중률이 없으므로 발생 오차를 관측 횟수로 나누어 균등분배한다. 즉, formula_17씩 배분하여 조정각을 구한다.변조건에 의한 조정은 우선 각조건에 의해 조정된 조정각에 log sin을 취한 후 10을 더하고, 다음으로 정의되는 표차(tabular difference, d)를 구한다. 표차는 소수점 아래 8자리에서 반올림하여 7자리까지 나타낸다.
다음으로 ε를 구한다.
변조건 조정량은 formula_28이며, 이 값을 ε가 음수이면 홀수각에 조정량만큼 더해주고, 짝수각에는 조정량만큼 빼주면 된다. 변조건 조정까지 끝났으면 각들을 다 더해서 내각의 합인 360°가 나오는지 확인한다. 점조건은 사변형 망에서 사용되지 않는다.
각조건은 삼각형 내각의 합은 180°임을 이용한다. 삼각망을 구성하는 각각의 삼각형 내각의 합을 구한 뒤, 180°와의 차이만큼 삼각형을 이루는 세 각에 분배해준다.
방향각조건에 의한 조정은 검기선의 방향각 기지값이, 기선으로부터 계산해서 나온 검기선 방향각과 동일해야 한다는 것을 근거로 실시한다. 방향각은 다음 원리로 계산된다. (n은 삼각형 수)
α, β, γ각에 대해 조정량은 다음과 같다.
다음으로 변조건에 의한 조정을 실시한다. 변조건에 의한 조정은 γ를 제외하고 α, β에 대해서만 실시한다. 첫번째 측선 길이를 L, n번째 측선 길이를 L이라 할 때
조정량 ν를 적용한 조정각을 구했으면 삼각형마다 사인법칙을 적용하여 변 길이를 구한다.
유심다각망은 각조건, 방향각조건, 측점조건, 변조건에 의한 조정을 해준다. 각조건은 각 삼각형의 내각의 합이 180도가 되어야 한다는 것이다. 단열삼각망에서와 같은 방법으로 조정한다.
방향각조건에 의한 조정은 기선의 방향각을 기초로 계산한 각 변의 방향각이 이미 알고 있는 방향각과 같아야 한다는 것을 이용하여 실시한다. 오차가 발생하고, 정도가 같은 측정을 했다면 보정량 ν는 마지막 측선까지 중심각 수 n으로 과부족량 ε를 나누어주어 분배한다.
측점조건에 의한 조정은 다각형 중앙의 점 주위의 각을 모두 합하면 360도가 되어야한다는 것을 이용한다. 360도가 안 된다면 과부족량을 중심각 수 n으로 나누어서 조정해준다.
변조건에 의한 조정은 처음 기선의 길이와 계산을 통해 최종적으로 얻는 같은 위치의 변 길이가 같아야 한다는 것을 이용한다. 조정할 때는 중심각은 계산에 사용되지 않는다. 즉 삼각형 부분에서 다각형의 중심을 구성하는 각을 제외한 나머지 두 각만 이용한다. 기선의 길이를 b, 계산을 통해 나온 변 길이가 b, 다각형의 가장자리를 구성하는 두 각을 α, β라고 하면 다음 과정으로 조정을 진행한다.
b, b은 서로 같아야 한다. 즉
양변에 로그를 취하여 변조건에 의해 발생하는 오차 ε를 계산한다.
표차 d를 계산하고, 조정량을 계산한다.