고른 다면체
고른 다면체는 정다각형을 면으로 가지고 점추이(그 꼭짓점에서 추이적이다. 즉, 어떤 꼭짓점에서 다른 어떤 꼭짓점으로 등거리 맵핑이 있다)인 다면체이다. 모든 꼭짓점은 합동인 것과 같다.
고른 다면체는 (면추이와 변추이일 경우) 정다면체일 수 있고, (변추이이지만 면추이가 아닐 경우) 준정다면체이거나 (변추이도 면추이도 아닌 경우)반정다면체일 수 있다. 면과 꼭짓점은 볼록할 필요는 없어서, 많은 고른 다면체는 별 다면체이다. 다른 75개와 두 가지의 무한한 고른 다면체의 분류가 있다.존 스킬링(John Skilling)이 발견한 큰 두번다듬은 이중마름모십이면체 (스킬링의 형태)를 포함해서, 모서리의 쌍이 일치하는 많은 불가능한 고른 다면체가 있다.
고른 다면체의 쌍대다면체는 면추이이고 꼭짓점 도형이 정다각형이고, 일반적으로 (고른) 쌍대다면체와 나란하게 분류된다. 정다면체의 쌍대는 정다면체이고, 아르키메데스의 다면체의 쌍대는 카탈랑의 다면체이다.
고른 다면체의 개념은 높은(낮은) 차원의 도형에 적용되는 고른 다포체의 개념의 특별한 경우이다.
는 고른 다면체를 정다각형 면을 가지는 점추이 다면체로 정의했다. 이들은 다면체를 다각형의 각 변이 다른 다각형의 변의 길이와 같아서 다면체의 적절한 진부분집합이 같은 특성을 가지는 다각형들의 유한집합으로 정의했다. 다각형에 따라서 암묵적으로 3차원 유클리드 공간에 있는 다각형을 의미한다; 이것들은 비볼록하거나 서로 교차하는 것이 가능하다.
고른 다면체의 개념의 일부 일반화가 있다. 만약 연결성 가정이 없어지면, 정육면체 5개의 결합과 같이 다면체 여럿으로 분리될 수 있는 고른 결합체를 얻을 수 있다. 만약 다면체는 불가능하지 않다는 구현화 조건이 없으면, 소위 불가능한 고른 다면체를 얻는다. 이것들은 다면체의 더 일반적인 정의가 필요하다. 은 다면체에 대한 보다 복잡한 정의를 내었고 는 다면체에 대한 더 간단하고 더 일반적인 정의를 주었다: 그들의 용어에서 다면체는 불가능하지 않은 3차원 구현화가 가능한 2차원 추상다포체이다. 여기서 추상다포체는 다양한 조건을 만족하는 그 "면"들의 부분 순서 집합이고, 구현화는 그 꼭짓점을 공간으로 보내는 함수이며, 추상다포체의 어떤 두 구분되는 면이 구분되는 구현화를 가질 경우에 구현화는 불가능하지 않다.
불가능한 경우는 다음과 같다:
기둥형이 아닌 비볼록 형태 57개는 슈바르츠 삼각형에서 위토프 구성으로 만들어졌다.
별 다면체에 속한다. 별다각형을 밑면으로 하는 각기둥과 엇각기둥을 제외하면 57개가 된다.
한 모서리가 세 면이상에 속할 수 있는 다면체이다.
볼록한 고른 다면체는 위토프 생성 연산자와 원래 형태간의 관계를 통해 이름을 지을 수 있다.
졸록한 고른 다면체의 세부사항은 아래에 각 대칭군에서 위토프 구성으로 주어졌다.
위토프 생성에서, 낮은 대칭 형태에서 만들어진 것과 중복되는 것이 있다. 정육면체는 정다면체이면서 사각기둥이다. 정팔면체는 정다면체이자 엇삼각기둥이며 사각쌍뿔이다. 많은 다면체는 다른 생성 방법에서 중복되며 다르게 색칠된다.
위토프 생성은 고른 다면체와 구면위의 고른 타일링에 동일하게 적용하므로 그림은 둘 다 주어졌다. 구면 타일링은 호소헤드론과 이면체와 같은 불가능한 다면체를 포함한다.
이 대칭군은 삼차원의 점군의 대칭으로 생성되고, 각각은 기본 삼각형 ("p" "q" "r")로 나타난다. 이 때, "p" > 1, "q" > 1, "r" > 1 이고 이다.
정다면체 대칭군은 이면체를 제외하고 다음의 3가지가 있다나머지 비반사 형태는 변이 짝수개인 다각형으로 덮인 다면체에 교대 연산을 적용해서 생성된다.
각기둥과 그 이면체 대칭을 따라, 구면 위토프 생성은 불가능한 정다면체 두 그룹을 만든다 – "이면체"와 호소헤드론이다. 이면체는 면이 둘 뿐이고, 호소헤드론은 꼭짓점이 둘 뿐이다. 깎은 정"호소헤드론"은 각기둥을 만든다.
아래의 기둥형이 아닌 볼록한 고른 다면체는 대칭 형태의 표에서 1–18까지 색인되어있다.
기둥형의 무한한 집합에 대해서는 네 족만을 색인해놓았다:
나머지 비반사 형태들은 짝수개의 변을 가지는 면으로 이루어진 다면체에 교대 연산자를 적용하여 생성된다.
각기둥과 그 이면체 대칭을 따라, 구면 위토프 생성 과정은 불가능한 정다면체의 두 분류를 만든다 – "이면체"와 호소헤드론이다. 이면체는 면이 둘 뿐이고, 호소헤드론은 꼭짓점이 둘 뿐이다. 호소헤드론을 깎으면 각기둥이 생간다.
아래의 볼록한 고른 다면체는 각기둥이 아닌 형태에 대해서 대칭 형태의 표에 1-18까지 색인하여 나타냈다.
기둥 형태의 무한집합에 대해서는 네 족으로 색인을 했다:
그리고 이면체 대칭의 표본이다:
구면에서 정사면체 대칭은 고른 다면체 5개를 만들고, 다듬음 연산자를 통해 여섯번째 형태를 만든다.
정사면체 대칭은 한 꼭짓점은 거울이 두 개 있고, 다른 두 꼭짓점은 거울이 세 개 있는 기본 삼각형 (3 3 2)로 나타난다. 이것은 콕서터 군 A또는 [3,3]과 콕서터 다이어그램 으로도 나타낼 수 있다.
삼각형이 24개가 있으며, 삼방육면체의 면에서, 구면에 교대로 색칠해서 나타냈다:
구면에서 정팔면체 대칭은 고른 다면체 7개를 만들고, 교대 연산을
하면 7개 더 만든다. 이 형태중 여섯 개는 위에 있는 정사면체 대칭 표의 내용과 중복된다.
정팔면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울 개수로 (4 3 2)인 기본 삼각형으로 나타난다. 콕서터 군으로 B또는 [4,3]과 콕서터 다이어그램 으로 표시할 수 있다.
삼각형이 48개가 있으며, 육방팔면체의 면과 구면에 교대로 색칠해서 나타냈다:
구면에서 정이십면체 대칭은 고른 다면체 7개를 만들고, 교대 연산을 통해 하나를 더 만든다. 하나만이 위의 정사면체나 정팔면체 대칭 표와 중복된다.
정이십면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울의 개수로 (5 3 2)인 기본 삼각형으로 나타낼 수 있다. 콕서터 군으로 G이나 [5,3]과 콕서터 다이어그램 으로 나타낼 수 있다.
삼각형이 120개가 있으며, 육방이십면체의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:
구면에서 이면체 대칭은 두 종류의 무한 고른 다면체 집합(각기둥과 엇각기둥)을 만들고, 구면에서 타일링으로만 존재하는 불가능한 두 종류의 다면체 그룹, 호소헤드론과 이면체를 만든다.
정이십면체 대칭은 꼭짓점에 있는 거울의 개수로 (p 2 2)인 기본 삼각형으로 나타낼 수 있다. 콕서터 군으로 I(p)이나 [n,2]와 기둥형의 콕서터 다이어그램 으로 나타낼 수 있다.
아래에는 D ... D 까지 처음 다섯가지 이면체 대칭을 나타냈다. 이면체 대칭 D는 "4n"차이고, 쌍각뿔의 면과 구의 적도와 n개의 등간격의 경도로 나타난다.
기본 삼각형은 8개가 있으며, 사각쌍뿔(정팔면체)의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:
기본 삼각형은 12개가 있으며, 육각쌍뿔의 면과 구면에서 교대로 색칠해서 나타냈다:
기본 삼각형은 16개가 있으며, 팔각쌍뿔의 면으로 나타냈다:
기본 삼각형은 20개가 있으며, 십각쌍뿔면에서 나타냈다:
기본 삼각형은 24개가 있다.