균등 비압축성 오일러 방정식
유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.
리만 계량을 갖춘 경계다양체 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장
과 시간 의존 벡터장
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.
여기서
formula_11는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 formula_11의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 formula_31에 대하여 formula_32와 같이 치환하더라도 formula_33의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 formula_33가 주어지면), formula_11는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.
물리학에서는 보통 압력 formula_36를 중력 퍼텐셜 formula_37와 질량당 일 formula_38로 구분한다.
즉,
이다. 여기서 formula_41는 중력 퍼텐셜 formula_37에 대응하는 중력장이다.
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.
구체적으로, formula_1이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, formula_14의 자기 미분 동형
들의 공간
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 formula_14 위의 벡터장의 리 대수
이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 formula_50 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.
formula_51 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군
이다. 여기서 formula_54은 리만 계량 formula_13로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는
이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.
여기서 formula_58는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 formula_59의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.
이제, formula_60 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.
이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 formula_62 위의 리만 계량을 정의한다.
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.
formula_14이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. formula_60의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)
이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.
그렇다면, 여기에는 formula_60 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
으로부터 자연스러운 이차 형식
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
여기서
구체적으로, 이 방정식은 formula_95에 정의된다. 이를 formula_96 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_97인 임의의 1차 미분 형식 formula_89에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_100은 formula_17의 제약을 위한 보정항이다.
이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다. 즉, 속도장 formula_70에 대하여 음악 동형으로
로 놓으면,
가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.
formula_14이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.
만약 formula_14이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
그렇다면, 임의의 formula_109에 대하여
이므로, 이는 사실 formula_95 위의 실수 값 함수를 정의한다.
마찬가지로, 만약 formula_14이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 formula_114이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107 및 임의의 다항식 formula_116에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
를 정의한다.
공간
은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 formula_62의 쌍대딸림표현을 갖는다. formula_121와 formula_122는 formula_62의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다. 특히, 홀수 차원의 경우, formula_121는 formula_14 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, formula_122는 formula_14의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 뷔르거르스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다.
만약 formula_137일 때, 그 해는 다음과 같다.
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 뷔르거르스 방정식은 요하너스 마르티뉘스 뷔르거르스()의 이름을 땄다.