기하학적 양자화
양자역학에서, 기하학적 양자화(幾何學的量子化, )는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 양자화하는 체계적인 방법이다.
대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
고전적 관측가능량들은 formula_3 위의 함수로 나타내어진다.
기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.
심플렉틱 형식 formula_4가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, )을 만족시킨다고 하자.
즉, formula_6의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.) 이 경우, formula_3 위에 다음 조건을 만족시키는 복소 선다발 formula_8이 존재한다.
여기서 formula_10은 1차 천 특성류이다. 또한, 이 선다발에 접속(connection) formula_11를 정의하여, 그 곡률 formula_12이 다음을 만족시키게 할 수 있다.
준양자 구조(準量子構造, )는 이와 같은 구조 formula_14이다. 만약 심플렉틱 다양체 formula_1가 준양자화 조건을 만족시킨다면, (선다발 동형사상에 대하여) 유일한 준양자 구조가 존재한다.
준양자 구조 formula_16을
이므로, 이는
와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 formula_23는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는
이다. 양자역학의 경로 적분은 formula_25에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의
으로 생각할 수 있다. 따라서, formula_27 극한은 formula_28, 즉 반고전적() 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.
다양체 formula_3 위의 극성화(極性化, )는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 formula_30의 부분다발 formula_31이다.
극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 formula_39에 대하여, formula_40는 formula_16의 제곱 적분 가능(square-integrable) 단면 가운데, formula_35의 방향으로 일정한 단면들이다.
이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화()가 양자역학의 상태 공간이다.
여기서 "제곱 적분 가능 단면"이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. formula_35는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간() formula_45를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 formula_3으로부터 유도된 측도가 존재한다. formula_47을 만족시키는 단면의 경우 formula_45 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 formula_45 위에 유도된 측도에 대한 것이다.
양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자역학적 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조()를 정의해야 한다.
심플렉틱 다양체 formula_1의 접다발 formula_51은 심플렉틱 구조로 인해 formula_52 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 formula_53는 formula_54의 연결 두 겹 피복군이다. (formula_55이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 formula_1의 메타플렉틱 구조는 접다발의 formula_52 구조를 메타플렉틱 구조 formula_58로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)
준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 formula_59과 그 위에 정의된 formula_16의 단면 formula_61이다. formula_62는 formula_63 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 formula_40의 원소 formula_65로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 formula_66 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.
기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.
공변접다발의 경우, 심플렉틱 형식 formula_71에 대한 심플렉틱 퍼텐셜
이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, formula_73는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소 선다발
은 자명하고, 그 위에 formula_75를 성분으로 가지는 접속을 정의할 수 있다.
이 경우, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.
따라서 힐베르트 공간은 formula_63 위의 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간
과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은
으로 대응된다.
그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 formula_81배)인 켈러 다양체 formula_3을 생각하자. 이 경우, formula_6에 대응하는 해석적 선다발 formula_8이 존재하며, 그 위에 곡률이 formula_85인 접속을 정의할 수 있다.
켈러 다양체의 복소 구조를 사용하여, 복소화 접다발 formula_30를 다음과 같이 분해할 수 있다.
여기서 formula_88는 정칙 벡터장들의 다발이고, formula_89는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를
로 잡을 수 있다. 이에 따라서,
은 formula_92의 (제곱적분가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은
에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.
구체적으로, 위상 공간이 formula_95차원 유클리드 공간 formula_96
인 계를 생각하자. 이를 공변접다발
으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜
에 대응하는 접속은 다음과 같다.
극성화
에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.
반대로, 운동량 방향의 극성화
에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.
즉,
의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.
평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.
구체적으로, 위상 공간이 formula_95차원 유클리드 공간 formula_96인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.
여기에 복소구조를 주어
으로 생각하고, 켈러 극성화
를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L 함수 formula_114가운데
인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는
의 꼴이며, 여기서 formula_117는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.
이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.
이들은 formula_120차원 조화 진동자의 formula_121번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간()이라고 한다.
리만 구 formula_122 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻는다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 formula_123의 인자 formula_124에 대응하는 선다발 formula_125로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.
이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여
이다. 이는 스핀 formula_128의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, formula_123를 formula_130로 치환하여야 한다.)
보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 formula_131 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 formula_124에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간
을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.
보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 formula_3 위에, 양의 정수 formula_135에 대하여 곡률이 formula_136가 되는 복소수 해석적 선다발 formula_137이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지
가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 formula_123에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.
여기서 formula_141은 토드 특성류이다.
특히, formula_3이 복소수 formula_120차원이라면
이 되므로, 고전 극한 formula_145에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 formula_146에 수렴하는 것을 알 수 있다.