올범주
범주론에서, 올범주(-範疇, , , ) 또는 그로텐디크 올뭉치()는 어떤 유일 올림 성질을 만족시켜서 올뭉치와 같은 성질을 보이는 함자이다. 내림 데이터나 스택을 정의할 때 쓰인다.
올범주의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
이 두 정의 사이의 차이는 “쪼갬”이라는 데이터에 해당한다. 즉, 둘째 정의에 쪼갬의 데이터를 추가하면, 이는 첫째 정의와 동치이다.
위상 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_2 위의 쪼갬을 갖춘 올범주 formula_3는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
보다 일반적으로, 임의의 범주 formula_15가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_2 위의 쪼갬을 갖춘 올범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
함자 formula_28가 주어졌다고 하자. formula_29의 사상 formula_30가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, formula_31를 데카르트 사상(Descartes寫像, , )이라고 한다.
함자 formula_28가 다음 조건을 만족시킨다면, 올범주()라고 한다.
이 경우, formula_31를 formula_49의 formula_2에서의 데카르트 올림()이라고 한다. 데카르트 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
올범주의 쪼갬(, )은 각 formula_51에 대하여 한 올림을 고르되, 만약 formula_49가 항등 사상일 때 항등 사상을 고른 것이다. 이는 선택 공리에 대하여 항상 존재한다. 이에 따라, formula_15의 각 사상 formula_54에 대하여 함자 formula_55가 정의된다.
올범주 formula_28의, 대상 formula_57 위의 올(, , ) formula_58은 formula_59의 원상과 그 사이의 사상들로 구성된, formula_29의 부분 범주이다.
같은 밑범주를 갖는 두 올범주 formula_28, formula_62 사이의 사상은 다음 두 조건을 만족시키는 함자 formula_63이다.
formula_15 위의 (작은) 올범주와 올범주 사상의 범주를 formula_67라고 한다.
두 올범주의 합성은 역시 올범주를 이룬다.
작은 범주의 범주 formula_68에서, 다음과 같은 당김이 주어졌다고 하자.
만약 formula_3가 올범주라면 formula_71 역시 올범주이다. 즉, 올범주성은 당김에 대하여 안정적이다.
올범주 formula_28에서, 만약 formula_15 위에 분해계 formula_74가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
그렇다면, formula_83은 formula_78 위의 분해계를 이룬다. 특히, formula_29가 동형 사상의 모임이며, formula_82이 모든 사상의 모임이라고 하자. 이는 자명하게 분해계를 이루며, 이 경우 formula_79은 모든 데카르트 사상의 모임이며 formula_75은 동형 사상의 원상의 모임이다. 따라서 (동형 사상의 원상, 데카르트 사상)은 올범주의 분해계를 이룬다.
모든 올이 준군을 이루는 올범주를 준군 올범주(準群-範疇, , , )라고 한다. 모든 올이 이산 범주(즉, 항등 사상 밖의 사상을 갖지 않는 범주)인 올범주를 이산 올범주()라고 한다.
두 범주 formula_89, formula_90가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 곱범주 formula_91에서 formula_89 (또는 formula_90)로 사영하는 함자
는 올범주를 이룬다.
범주 formula_89 속의 대상 formula_97에 대한 조각 범주 formula_98를 생각하자. 그렇다면, 사상을 그 정의역으로 대응시키는 망각 함자
는 이산 올범주를 이룬다. 대상 formula_102 위의 올은 사상 모임 (이산 범주) formula_103이다.
이는 사실 표현 가능 준층
에 그로텐디크 구성을 가한 것이다.
범주 formula_89가 모든 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, formula_89의 화살표 범주 formula_107를 생각하자. 사상을 그 공역으로 대응시키는 함자
를 생각하자. 이는 올범주를 이루며, 사상 formula_111의, formula_112 (formula_113)에서의 올림은 다음과 같은 (formula_114에서 formula_115로 가는 formula_107의 사상으로 간주한) 당김이다.
작은 범주의 범주 formula_68로 가는 함자
가 주어졌을 때, formula_89 위의 그로텐디크 구성() formula_121를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_121는 formula_89 위의 올범주를 이룬다. formula_102 위의 올은 작은 범주 formula_126이다.
범주 formula_138를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_138는 가환환 범주 formula_149 위의 올범주를 이룬다. 가환환 formula_141 위의 올은 formula_141-가군들의 범주 formula_152이다.
이는 가환환을 가군 아벨 범주로 대응시키는 함자
에 대한 그로텐디크 구성이다. 즉, 이 올범주의 올은 formula_152이다.
범주 formula_157를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, 스킴의 범주로 가는 망각 함자 formula_166는 올범주를 이룬다. 이는 스킴을 준연접층 아벨 범주로 대응시키는 함자
에 대한 그로텐디크 구성이다. 이 경우, 임의의 두 스킴 사상 formula_169에 대하여, 자연 동형
이 존재한다.
모든 집합은 작은 이산 범주(모든 사상이 항등 사상인 범주)로 생각할 수 있다.
집합의 범주 formula_172로 가는 함자
가 주어졌을 때, formula_89 위의 원소 범주() formula_121를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_121는 formula_89 위의 이산 올범주를 이룬다. formula_102 위의 올은 (이산 범주로 간주한) 집합 formula_126이다.
원소 범주 구성은 함자 formula_191의 치역이 모두 작은 이산 범주일 때의, 그로텐디크 구성의 특수한 경우이다.
모든 부분 순서 집합은 작은 얇은 범주로 생각할 수 있다.
모든 당김을 갖는 작은 범주 formula_89에 대하여, 부분 순서 집합의 범주 formula_193로 가는 다음과 같은 함자를 생각하자.
여기서 formula_197는 formula_2의 부분 대상들의 부분 순서 집합이며, formula_199은 단사 사상의 당김이다 (단사 사상은 당김에 의하여 보존된다). 이에 대하여 그로텐디크 구성을 가할 수 있으며, 이를 부분 대상 올범주 formula_200라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
이는 formula_89 위의 올범주를 이루며, formula_102 위의 올은 formula_197이다.
모든 위상 함자는 정의에 따라 올범주를 이룬다. 이 개념은 사상을 "원천"이라는 도형으로 일반화하여 얻으며, 이 경우 데카르트 사상은 "시작 원천"이라는 개념으로 일반화된다.
올다발의 범주 formula_214을 생각하자. 그 대상은 올다발 formula_215이며, 그 사상은 다발 사상
이다. 이 경우, 밑공간으로 가는 망각 함자
는 올범주이다. 위상 공간 formula_1 위의 올은 formula_1 위의 올다발과, 밑공간에 대하여 항등 함수인 올다발 사상의 범주 formula_222이다.
이 함자의 쪼갬은 사상 formula_223에 대하여 올다발의 당김 함자 formula_224를 고르는 것에 대응한다.
마찬가지로, 벡터 다발의 범주 formula_225 역시 위상 공간의 범주 위의 올범주
를 이룬다.
모든 위상 공간의 범주 대신, 한 위상 공간 formula_2의 열린집합들의 범주 formula_228를 생각하자. 그렇다면 마찬가지로 formula_2의 열린집합에 정의된 올다발 또는 벡터 다발의 범주의 망각 함자
역시 올범주를 이룬다.
범주 formula_232가 다음과 같다고 하자.
즉, 에탈레 공간 구성에 따라서 formula_232는 화살표 범주 formula_241의 부분 범주로 여길 수 있다.
그렇다면, 위상 공간으로 가는 망각 함자는 올범주를 이룬다. 이 경우 위상 공간 formula_2 위의 올은 formula_2 위의 층들의 범주 formula_244이다.
마찬가지로, 임의의 위상 공간 formula_2에 대하여, 그 열린집합의 범주 formula_228 및 열린집합에 정의된 층의 범주 formula_247를 생각할 수 있다. 그렇다면 망각 함자 formula_248 역시 올범주이다.
위 정의에서, 집합 값의 층 대신 군이나 아벨 군이나 환이나 가환환 (또는 일반적으로 대수 구조 다양체) 값의 층을 사용하여도 마찬가지다.
올범주는 《마리 숲 대수기하학 세미나》 1권 (SGA1) 6장에서 도입되었다. 원래 SGA1에서는 "데카르트 사상"을 위의 정의보다 더 약하게 정의하였지만, 이후 더 강한 조건을 만족시키는 정의가 더 널리 쓰이게 되었다. (올범주의 정의는 데카르트 사상의 두 정의에 상관없이 동치이다.)