2차원 𝒩=2 초등각 장론
양자장론에서, 2차원 formula_1 초등각 장론(二次元formula_1超等角場論, )은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.
2차원 formula_1 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.
통상적으로, formula_4를 다음과 같이 정의한다.
이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.
이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 formula_6는 formula_7에서 비특이항을 뜻한다.
formula_1 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
여기서 NS 경계 조건의 경우 formula_19이며 R 경계 조건의 경우 formula_20이다.
이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.
NS 대수에서, formula_28, formula_29, formula_30, formula_31, formula_32는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 formula_33이다. 이 리 초대수의 보손 성분 formula_34는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.
R 대수에서, formula_28, formula_30, formula_37, formula_38는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.
이는 콤팩트 리만 다양체에서 formula_42, formula_43, formula_44가 이루는 대수와 같다.
비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, formula_1 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, ) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 formula_46은 다음 조건을 만족시킨다.
초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.
여기서 formula_49 및 formula_50인 것은
이기 때문이다. 또한, formula_52인 것은 라몽 대역 초등각 대수 formula_53의 작용을 대각화시켜, 초1차장 formula_54에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.
다음과 같은 함수들을 정의하자.
formula_64은 formula_65 반평면에 직선을 정의하며, formula_66은 formula_65 반평면에 포물선을 정의한다.
그렇다면, formula_1 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.
formula_69일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. formula_70일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 formula_1 최소 모형에 등장하는 것들이다.
특히, formula_72에서 formula_73이라고 한다면,
이므로, 항상
가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는
이며 (formula_77), R 경계 조건에서는
이다 (formula_79). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.
formula_80이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.
즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 formula_82에만 존재할 수 있다.
유니터리 표현의 분류는 formula_83인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,
이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.
NS 초1차장 가운데 만약
인 상태 formula_90가 있다면,
이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(), − 부호일 경우 반손지기장()이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 formula_92 조건에 의하여
이다.
특별한 경우로, 진공 formula_94일 경우에는
이다.
라몽 초1차장 가운데, 만약 formula_96일 경우,
이 성립한다. 이는 formula_98과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태()라고 한다.
유니터리 라몽 초1차장의 경우 formula_99 조건에 의하여
이다.
2차원 formula_101 초대칭은 초공간 formula_102를 사용하여 나타낼 수 있다. 이 경우, 보손 좌표 formula_103는 복소평면 formula_104로 여겨, 복소수 좌표 formula_105로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 formula_106로 나타낼 수 있다. 이 때
이다. 이 경우, formula_108 및 formula_109은 각각 스핀 formula_110를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수
의 층을 갖는 환 달린 공간이다.
일반적 초장은
와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 formula_113, formula_114을 정의하면 손지기 초장()
및 반손지기 초장(
및 뒤틀린 손지기 초장()
및 뒤틀린 반손지기 초장()
이 존재한다. 이들은 formula_101 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.
정칙 formula_1 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 formula_121 위에
이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, formula_32를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은
인 것들, 즉 (formula_125인 경우) 손지기장 또는 (formula_126인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환() 및 반손지기환()이라는 등급 가환환을 이룬다.
비정칙 formula_101 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.
이 경우, A-뒤틀림은
인 것들을 남기고 (ac환 ), B-뒤틀림은
인 것들을 남긴다 (cc환 ). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기()의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.
formula_1 NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름()이라고 한다.
스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 formula_133에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, formula_20라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, formula_135이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.
스펙트럼 흐름 아래
는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.
여기서
이므로,
이다.
이에 따라, formula_20일 때 손지기장 formula_143은 formula_144인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, formula_135인 경우, 손지기장 formula_143는 반손지기장 formula_147으로 대응된다.
formula_101 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티
를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.
이는 모듈러 군의 S변환
아래 다음과 같이 변환한다.
즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.
이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 formula_156를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, )를 정의할 수 있다.
이는 위튼 지표의 일반화이며, formula_158 및 formula_159에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.
따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 formula_162의 약한 야코비 형식을 이룬다.
2차원 formula_1 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 formula_83을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.
이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 formula_165과 하나의 반손지기 초1차장 formula_166를 갖는다. 즉, 손지기환은 formula_167와 동형이다.
이들로부터 정의되는 formula_1 대수는 구체적으로 다음과 같다. 복소수 보손 formula_169의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 formula_170, formula_171이라고 하고, 복소수 페르미온 formula_172의 모드 전개를 formula_173라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.
그렇다면 다음과 같이 formula_176 formula_1 초등각 대수를 구성할 수 있다.
formula_182인 일련의 formula_1 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 formula_1 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.
단순 리 군 formula_185 및 닫힌 부분군 formula_186가 주어졌으며, formula_187이며, formula_188의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 formula_189는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형()이라는 formula_1 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치()와 스즈키 히사오()가 도입하였다.
복소수 formula_43차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 formula_192인 formula_101 초등각 장론을 이룬다.
임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 (formula_194)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.
formula_1 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 formula_196 진공해를 얻기 위하여 사용된다.
1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다.
그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.