환의 스펙트럼
가환대수학과 대수기하학에서, 가환환의 스펙트럼()은 환의 모든 소 아이디얼의 집합이다. 기호는 formula_1. 가환환의 스펙트럼은 자연스러운 위상(자리스키 위상)과 가환환 값 층 구조를 지녀, 국소환 달린 공간을 이룬다. 이는 스킴으로 간주할 수 있으며, 이를 아핀 스킴()이라고 한다. 아핀 스킴은 아핀 대수다양체를 일반화한 개념이다.
고전적 대수기하학은 복소수체 formula_2와 같은, 대수적으로 닫힌 체를 주로 다룬다. 이 경우, 대수다양체는 체에 대하여 유한생성되는 대수와 대응된다. 대수적으로 닫히지 않은 실수체 formula_3 또는 유한체 따위를 다루기 위해서는, 보다 더 일반적인 환들을 기하학적으로 해석하여야 한다. 알렉산더 그로텐디크는 모든 가환환을 기하학적으로 해석하여야 한다고 제안하였다.
대수적으로 닫힌 체의 경우, 다양체의 점들은 극대 아이디얼에 대응되게 된다. 그러나 극대 아이디얼은 일반적인 체에 대하여서는 사용하기 힘들다. 임의의 가환환 준동형 formula_4가 주어지면, 이는 역으로 formula_5의 기하학적 점들을 formula_6의 기하학적인 점들로 보내야 한다. 그러나 극대 아이디얼의 원상은 극대 아이디얼이 아닐 수 있다. 따라서, 그로텐디크는 극대 아이디얼 대신 소 아이디얼을 점으로 취급하였다. 소 아이디얼의 원상은 항상 또다른 소 아이디얼이기 때문이다. 범주론적으로 말하자면, 소 아이디얼들의 집합을 취하는 연산은 함자성을 가진다.
소 아이디얼은 극대 아이디얼보다 더 일반적인 개념으로, 이는 고전적인 점 말고도 모든 부분 대수다양체에 대응하는 점들을 추가하는 것에 해당한다. 이렇게 더해진 점들은 일반점()이라고 한다. 임의의 가환환의 소 아이디얼들의 집합에 위상수학적인 구조(자리스키 위상) 및 기하학적 구조(구조층)을 부가하여, 가환환을 기하학적인 공간으로 취급할 수 있다. 이를 환의 스펙트럼이라고 하며, 이렇게 얻는 기하학적 대상을 아핀 스킴이라고 한다. 보다 일반적인 스킴들은 아핀 스킴들을 짜깁기하여 만들 수 있다.
가환환 formula_6의 스펙트럼 formula_8는 집합으로서 formula_6의 소 아이디얼들의 집합이다. 이는 가환환의 범주 formula_10의 반대 범주에서 집합의 범주로 가는 함자
를 정의한다. 이 함자에서, 환 준동형 formula_12의 상은 다음과 같은 함수이다.
즉, formula_14 함자는 소 아이디얼을 그 원상으로 대응시킨다. (이는 소 아이디얼의 원상이 또다른 소 아이디얼이므로 가능하다.)
가환환의 스펙트럼은 단순한 집합이 아니라, 다음과 같이 국소환 달린 공간의 구조를 줄 수 있다. 즉, 이 함자는 사실 국소환 달린 공간의 범주로 가는 함자
를 정의한다.
가환환 formula_6의 스펙트럼 formula_1에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. formula_1의 아이디얼 formula_19에 대하여, formula_20가 formula_19를 포함하는 모든 소 아이디얼의 집합이라고 하자. 자리스키 위상에서, 닫힌집합들은 formula_22들이다. 이에 따라 가환환의 스펙트럼은 자연스럽게 위상 공간을 이룬다.
자리스키 위상 아래, 가환환의 스펙트럼은 항상 콤팩트 공간이며 콜모고로프 공간이다. 대부분의 경우 가환환의 스펙트럼은 하우스도르프 공간이 아니다. 만약 formula_6이 뇌터 환이라면 formula_1은 뇌터 공간()이며, 그 역도 성립한다. 가환환의 스펙트럼과 위상동형인 위상 공간을 스펙트럼 공간(spectrum空間, )이라고 한다.
가환환의 스펙트럼에는 위상뿐만 아니라 가환환 값의 층의 구조가 존재한다. 이 층 구조를 구조층()이라고 한다. formula_25에 대하여, formula_26가 formula_27를 포함하지 않는 소 아이디얼들의 집합이라고 하자. 그렇다면 formula_28는 자리스키 위상의 기저를 이룬다. 이제 구조층 formula_29 (formula_30는 formula_8의 자리스키 열린집합의 부분 순서 범주, formula_10는 가환환의 범주)는 다음과 같다.
여기서 formula_34는 formula_6의 formula_36에 대한 국소화다.
임의의 소 아이디얼 formula_37에서의 줄기 formula_38는 formula_39에서의 국소화이다.
이는 항상 국소환이므로, formula_8는 국소환 달린 공간을 이룬다.
아핀 스킴()은 어떤 (1이 있는) 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다. 즉, 위상 공간으로서 가환환의 스펙트럼의 자리스키 위상과 위상동형이고, 또한 그 층의 구조가 서로 동형이다. 국소적으로 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간을 스킴이라고 한다.
아핀 스킴은 스킴을 정의하기 위한 기본적인 벽돌과 같다. 예를 들어, 매끄러운 다양체를 유클리드 공간들을 이어붙여 정의하듯, 일반적인 스킴은 아핀 스킴들을 이어붙여 정의한다. 미분기하학에서 '작은 열린집합'들이 코호몰로지가 0이 되어서 여러가지 좋은 성질들을 만족하듯이, 아핀 스킴들은 아주 비슷한, 독특한 코호몰로지 성질들을 가진다. 그래서 코호몰로지의 관점에서 보았을 때, 아핀 스킴들을 스킴의 ‘충분히 작은 열린집합’으로 보는 것은 아주 자연스러운 일이 된다.
이러한 아핀 스킴의 정의는 알렉산더 그로텐디크가 정의하였으며, 이러한 언어의 개발은 대수기하학의 발달에 지대한 공헌을 하였다. 아핀 스킴의 개념은, 기존의 아핀 대수다양체의 개념을 포함하면서 일반화한 개념이다. 이 경우, 다항식환의 소 아이디얼 formula_42으로 정의되는 고전적인 아핀 대수다양체에 대응하는 아핀 스킴은 몫환의 스펙트럼 formula_43에 대응한다.
Spec은 반변함자를 이루므로, 아핀 스킴들의 범주는 (1을 가진) 가환환들의 범주 formula_10의 반대 범주 formula_45와 동치이다.
위상 공간 formula_46에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 스펙트럼 공간()이라고 한다.
자명환의 스펙트럼은 공집합인 위상 공간 formula_56이다. 이는 크룰 차원이 0인 아핀 스킴이며, 모든 스킴들의 범주의 시작 대상이다.
체 formula_57의 스펙트럼은 formula_58이다. 즉, 하나의 점(영 아이디얼)만을 포함한다. 그 구조층은 formula_59, formula_60 (자명환)이다. 이는 크룰 차원이 0인 아핀 스킴이다. 이 경우, formula_58 위의 줄기는 formula_57이다.
소수 formula_63에 대하여, 정수환의 몫환 formula_64의 소 아이디얼은 formula_65밖에 없다. 따라서, 그 스펙트럼은 한원소 공간이다. formula_65에서의 줄기는 formula_64 자체이다. (formula_64에서 formula_65에 속하지 않는 모든 원소는 이미 가역원이므로, 국소화는 자명하다.)
보다 일반적으로, 임의의 양의 정수 formula_70에 대하여, formula_71는 중국인의 나머지 정리에 따라 formula_64 꼴의 가환환들의 직접곱이므로, formula_73는 formula_57의 각 소인수 formula_75에 대하여 하나의 점을 갖는 이산 공간이며, 크룰 차원이 0이다. 이 경우, formula_75에서의 줄기는 formula_77이다.
정수의 환 formula_78의 스펙트럼 formula_79를 생각하자. 집합으로서, formula_80의 원소는 아디디얼들 formula_81 (formula_57는 0 또는 소수 2,3,5,7,…)이다. 여기에 자리스키 위상에 따라, 닫힌집합들은 formula_83 (formula_84는 소수의 유한 집합) 또는 formula_79 전체이다. 즉, formula_86을 제외한 다른 모든 점들은 닫혀 있다. formula_87은 닫혀 있지 않고, 그 폐포는 formula_88 전체이다. 이러한 점(그 폐포가 공간 전체인 점)을 일반점이라고 한다.
formula_79는 크룰 차원이 1인 아핀 스킴이며, 이는 스킴의 범주의 끝 대상이다.
일반적으로, 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 스펙트럼은 크룰 차원이 1인 아핀 스킴이다.
formula_57가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면 다항식환 formula_91을 생각하자. 이 환의 스펙트럼의 원소들은 아핀 대수다양체 formula_92와 일대일 대응한다. 이들은 다음과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.
formula_57가 대수적으로 닫히지 않은 체라고 하고, formula_101가 그 대수적 폐포라고 하자. 그렇다면 포함 사상 formula_102이 있고, (Spec은 반변함자이므로) 이는 아핀 스킴 사이의 사상 formula_103을 발생시킨다.
예를 들어, formula_104을 생각하자. 이 경우, formula_105의 극대 아이디얼 formula_106의 원상은 다음과 같은 아이디얼이다.
따라서, formula_104의 점들은 다음과 같다.
(1차원의 경우에는 자명하지 않은 부분 대수다양체가 없다.) 따라서, 1차원 실수 아핀 스킴은 닫힌 복소 반평면 formula_119으로 해석할 수 있다.
일반적으로, formula_120는 formula_121의 갈루아 군 formula_122의 작용에 대한 몫공간(궤도들의 집합)으로 생각할 수 있다. formula_123의 경우, 갈루아 군의 작용은 formula_124이므로, 그 몫공간은 닫힌 복소수 상반평면이다.
정수 계수 다항식환 formula_125의 스펙트럼 formula_126을 생각하자. 편의상, 포함 사상 formula_127에 대응되는 스킴 사영 사상
을 생각하자. 이는 전사 함수이므로, formula_126의 점은 formula_79의 한 점에 대응된다. (즉, formula_125의 소 아이디얼 formula_132의 경우, 최다 한 개의 소수 formula_63에 대하여 formula_134가 성립하며, 이 경우 formula_132는 formula_136에 대응된다. 만약 아무 소수 formula_63에 대하여 이것이 성립하지 않는다면, formula_132는 formula_139에 대응된다.)
즉, 다음 두 가지가 있다.
즉, 이는 정리하면 높이에 따라 다음과 같다.
즉, 그 점들은 일종의 2차원 좌표로 표현될 수 있다. (물론, 실제로 formula_125의 크룰 차원은 2이다.)
이 표에서, 닫힌점은 검은 색이며, 닫힌점이 아닌 점은 붉은 색이다. 높이가 1인 점(의 폐포)은 이 ‘곡면’ 속의 일종의 곡선으로 여길 수 있다.