코사인 법칙
기하학에서, 코사인 법칙(cosine法則, )은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다.
삼각형 formula_1의 세 각 formula_2가 마주하는 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_5은 삼각 함수의 하나인 코사인이다. 이를 코사인 법칙이라고 한다.
코사인 법칙을 통해 삼각형의 두 변과 그 사잇각으로부터 제3의 변을 구할 수 있다. 또한, 삼각형의 세 변으로부터 세 각을 다음과 같이 구할 수 있다.
코사인 법칙에서 formula_7가 직각일 경우, formula_8이므로, 다음과 같은 피타고라스의 정리를 얻는다.
유클리드의 《원론》 2권 명제12 및 명제 13은 코사인 법칙과 동치인 명제를 서술한다.
레기오몬타누스는 1462~3년에 작성한 《삼각형에 대하여》()에서 (제1) 구면 코사인 법칙을 제시하였다. 프랑수아 비에트는 1579년 저서 《표준 수학》()에서 제2 구면 코사인 법칙을 제시하였다.
그림과 같이, formula_7를 둔각으로 하는 둔각 삼각형 formula_1의 높이선 formula_12를 긋자. 그렇다면, formula_13는 formula_14를 직각으로 하는 직각 삼각형이므로, 피타고라스의 정리에 따라 다음이 성립한다.
또한, formula_16이므로, 다음이 성립한다.
마지막 두 항을 직각 삼각형 formula_18에 대한 피타고라스의 정리를 통해 정리하면 다음을 얻는다.
이로써 유클리드의 《원론》 2권 명제12가 증명된다. 코사인의 정의에 따라
이므로, 코사인 법칙
이 formula_7가 둔각일 경우 성립함을 알 수 있다. formula_7가 예각일 경우의 증명은 이와 비슷하다.
삼각형의 세 변을 각각 높이선으로 안에서 또는 밖에서 나누면 다음을 얻는다.
세 등식의 양변에 각각 formula_3를 곱하면 다음을 얻는다.
이제 첫째 등식에 둘째 등식을 더한 뒤 셋째 등식을 빼면 다음을 얻는다.
이로써 코사인 법칙이 증명된다.
다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, 벡터 formula_33의 길이는 각각 formula_3이며, 벡터 formula_35와 formula_36 사이의 각도는 formula_7이다. 따라서, 코사인 법칙을 벡터의 스칼라곱의 성질에 따라 다음과 같이 간단히 증명할 수 있다.
단위 구면 위의 구면 삼각형 formula_1의 세 각 formula_2가 마주하는 세 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_43은 각각 코사인, 사인이다. 이를 (제1) 구면 코사인 법칙(第一球面cosine法則, )이라고 한다. 이에 대한 쌍대 명제는 다음과 같다.
이를 제2 구면 코사인 법칙(第二球面cosine法則, )이라고 한다.
이 둘은 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
다음과 같은 벡터들을 정의하자.
즉, formula_48는 각각 formula_7 위의 formula_50를 향하는 단위 접벡터이다. 그렇다면, formula_48 사이의 각도는 formula_7이다. 또한, formula_53는 각각 평면 formula_54의 정규 직교 기저를 이루므로, formula_55를 각각 다음과 같이 분해할 수 있다.
따라서, 다음이 성립한다.
단위 구면의 중심을 formula_59라고 하자. 또한, 다음과 같은 세 벡터를 정의하자.
그렇다면, formula_33의 길이는 모두 1이며, formula_62 사이의 각도는 formula_63이며, formula_64 사이의 각도는 formula_65이며, formula_66 사이의 각도는 formula_67이다. 따라서, 벡터곱 formula_68, formula_69, formula_70의 길이는 각각 formula_71, formula_72, formula_73이다. 또한, formula_68와 formula_69 사이의 각도는 formula_76이며, , formula_77와 formula_70 사이의 각도는 formula_79이며, formula_80와 formula_81 사이의 각도는 formula_7이다. 이제, 비네-코시 항등식에 따라 다음이 성립함에 주의하자.
여기에 위의 결과들을 대입하면 다음을 얻는다.
이로써 제1 구면 코사인 법칙이 증명된다.
제1 구면 코사인 법칙을 formula_1의 극삼각형 formula_86에 적용하면, 다음에 따라 제2 구면 코사인 법칙을 얻는다.
가우스 곡률 -1의 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 formula_1의 세 각 formula_2이 마주하는 변이 각각 formula_3라고 하면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_93는 각각 쌍곡 코사인, 쌍곡 사인이다. 이를 (제1) 쌍곡 코사인 법칙((第一)雙曲cosine法則, )이라고 한다. 마찬가지로, 다음이 성립한다.
이를 제2 쌍곡 코사인 법칙(第二雙曲cosine法則, )이라고 한다.
이 두 법칙은 각각 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
특히, formula_7가 직각일 경우의 제1 쌍곡 코사인 법칙은 쌍곡 피타고라스 정리가 된다.
복소 평면 formula_99 위의 열린 단위 원판 formula_100 위에서 푸앵카레 원판 모형을 취하자. 쌍곡 삼각형 formula_101의 세 각의 크기를 formula_2, 세 변의 길이를 formula_3라고 하자. formula_104 위에 적절한 등거리 변환을 가하여 formula_105을 각각 원점 0, 양의 실수 formula_106, 허수부 formula_107가 0보다 큰 복소수 formula_108로 옮길 수 있다. 등거리 변환의 성질에 따라 새로운 삼각형 formula_109의 세 변 및 세 각은 원래의 삼각형 formula_101와 같으므로, 새로운 삼각형 formula_109에 대하여 증명하는 것으로 족하다. 쌍곡 거리의 정의에 따라, 세 변은 다음과 같다.
여기서 formula_115은 자연 로그이며, formula_116은 복소수의 절댓값이다. 이 셋을 다음과 같이 변형할 수 있다.
여기서 formula_120는 쌍곡 탄젠트이다. 쌍곡선 함수의 항등식을 사용한 뒤 위의 결과를 대입하여 정리하면 다음을 얻는다.
쌍곡 사인 법칙에 나오는 비율의 구체적인 값은 다음과 같다.
이에 따라 각 formula_2의 사인 값은 다음과 같다.
또한, 제1 쌍곡 코사인 법칙에 따라 formula_2의 코사인 값은 다음과 같다.
따라서, 다음이 성립한다.
마지막 등호에는 항등식 formula_133이 사용되었다. 이로써 제2 쌍곡 코사인 법칙이 증명된다.
평면 코사인 법칙은 제1 구면 및 쌍곡 코사인 법칙의 극한이다. 제1 쌍곡 코사인 법칙의 경우, 푸앵카레 원판의 반지름이 formula_134일 경우, 제1 쌍곡 코사인 법칙은 다음과 같이 된다.
이 경우, formula_136일 때 쌍곡 거리 formula_137는 유클리드 거리의 2배 formula_138로 수렴하며, 쌍곡각 formula_139은 유클리드 각 formula_140로 수렴한다. 테일러 정리에 따라 다음이 성립한다.
이를 법칙에 대입하면 다음을 얻는다.
다음에 주의하여, 양변에 formula_145을 곱한 뒤 극한 formula_136을 취하고 다시 양변에 4를 나누자.
그러면 평면 코사인 법칙을 얻는다.
제2 쌍곡 코사인 법칙
에 극한 formula_136을 취하면 다음과 같은 자명한 항등식이 된다.
이는 formula_154이므로 자명하다. 따라서 유클리드 기하학에는 제2 코사인 법칙이 존재하지 않는다.