리 대수
리 대수(Lie代數, )는 리 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 좀 더 엄밀히 말하면, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다.
가환환 formula_1 위에 정의된 리 대수 formula_2는 formula_1-가군 formula_4와 다음을 만족하는 선형 변환 formula_5로 이루어진다.
이 이항 연산은 리 괄호(Lie括弧, )로 불린다. 리 대수의 준동형은 리 괄호를 보존하는 선형 변환이다.
만약 formula_1에서 2의 역원 formula_14이 존재한다면 (예를 들어, formula_1가 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 즉 모든 formula_16에 대하여 formula_17인 성질로 대체할 수 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 더 강한 조건이다.)
통상적으로 리 대수는 흑자체 소문자 formula_18 등으로 나타낸다.
정수환 formula_19 위의 리 대수를 리 환(Lie環, )이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다.
가환환 formula_1 위의 리 대수 formula_4의 부분 리 대수() formula_22는 리 괄호에 대하여 닫힌 formula_1-부분 가군이다. 즉, formula_24이며 formula_25이다.
가환환 formula_1 위의 리 대수 formula_4의 리 대수 아이디얼 formula_28는 formula_29를 만족하는 formula_1-부분 가군이다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수다. 이는 군론의 정규부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 몫 리 대수() formula_31를 정의할 수 있다. 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 수 있는 것처럼, 등급 리 대수(等級Lie代數, )의 개념을 정의할 수 있다.
가환 모노이드 formula_32가 주어졌다고 하자. 가환환 formula_1 위의, formula_34 등급을 갖는 등급 리 대수 formula_35는 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 리 괄호가 등급을 보존하는 리 대수이다. 즉,
이다.
리 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 리 대수는 실수 또는 복소수 리 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 리 군에 대하여, 그 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 리 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 리 대수는 유일한 연결 단일 연결 리 군의 동형류에 표준적으로 대응한다.
통상적으로, 주어진 리 군의 리 대수는 리 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 리 대수는 formula_38이다.
리 군과 달리, 주어진 체 formula_1 위의 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 이 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다.
이는 formula_1 위의 벡터 공간의 대수 구조에 리 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 리 대수의 개념이나 리 대수의 직접곱을 정의할 수 있다. 유한 개의 리 대수의 직접곱은 직합과 같다.
이 밖에도, 다음과 같은 리 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
리 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 수 있다. 리 대수의 대수 구조 다양체 formula_49, formula_50가 주어졌을 때, 그 곱 formula_51는 formula_50의 원소들의, formula_49에 속한 리 대수 아이디얼에 대한 리 대수 확대로 구성된다.
주어진 체 formula_1 위의 리 대수와 리 대수 준동형의 범주 formula_55는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
리 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 둘 다 직합이다. 리 대수의 범주는 영 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 리 대수이다. 리 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 리 대수 준동형 formula_56의 핵은 formula_57의 원상 formula_58이며, 이는 리 대수 아이디얼을 이룬다. formula_59의 여핵은 그 치역 formula_60를 포함하는 가장 작은 리 대수 아이디얼에 대한 몫 리 대수이다. (이러한 리 대수 아이디얼은 유일하다.)
리 대수의 범주는 아벨 군의 범주 formula_61 위의 풍성한 범주()이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 리 대수가 존재하므로, 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다.
체 formula_1 위의 단위 결합 대수의 범주 formula_63에서 체 formula_1 위의 리 대수의 범주 formula_55로 가는 망각 함자
가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자
이다.
리 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 리 오퍼라드() formula_68가 존재한다. 즉, 체 formula_1 위의 리 대수는 formula_1-벡터 공간의 범주 위의 formula_68-대수이다. 마찬가지로, formula_1-초 벡터 공간의 범주 위의 formula_68-대수는 리 초대수라고 한다.
다른 오퍼라드와 마찬가지로, 리 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 수 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 수 있다. 이를 L∞-대수라고 한다.
가환환 formula_1 위의 리 대수 formula_4의 중심(中心, ) formula_76은 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.
이는 아벨 리 대수를 이루며, 또한 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다.
가환환 formula_1 위의 리 대수 formula_4의 리 대수 아이디얼 formula_80가 주어졌을 때, 몫 리 대수() formula_81를 정의할 수 있다. formula_1-가군으로서, formula_81는 몫가군 formula_81이다. 이 위의 리 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다.
이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다.
가환환 formula_1 위의 두 리 대수 formula_4, formula_22가 주어졌을 때, 그 직합 formula_89를 정의할 수 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 그 위의 리 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다.
보다 일반적으로, formula_1-리 대수의 집합 formula_94이 주어졌을 때, 그 직합
를 정의할 수 있다. 마찬가지로, formula_1-리 대수의 집합 formula_94이 주어졌을 때, 그 직접곱
를 정의할 수 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 더 크다.
실수체 위의 리 대수의 직합·직접곱은 리 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 리 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 수 없다.
군에 대하여 군의 확대를 정의할 수 있는 것처럼, 리 대수의 확대(擴大, )를 다음과 같이 정의할 수 있다. 리 대수의 범주에서는 영 대상과 핵 · 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 수 있다. 리 대수의 짧은 완전열
이 주어졌다면, formula_100를 formula_4의 formula_22로의 확대라고 한다. 만약 formula_103가 formula_100의 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) 중심 확대(中心擴大, )라고 한다.
군에 대하여 반직접곱을 정의할 수 있는 것처럼, 두 개의 리 대수의 반직접합()을 정의할 수 있다. 리 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다.
구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_1-벡터 공간 formula_110 위에 다음과 같은 리 대수 구조를 정의하자.
이를 formula_4와 formula_22의 formula_116에 대한 반직접합이라고 하며, formula_117로 표기한다. 만약 formula_116가 상수 함수 0이라면, 이는 리 대수의 직합과 같다.
군의 반직접곱과 마찬가지로, 리 대수의 반직접합에 대하여 분할 완전열
이 존재한다. 즉, formula_106은 formula_121의 리 대수 아이디얼을 이룬다.
체 formula_1 위의 리 대수 formula_4 위의 미분(微分, )은 다음과 같은 formula_1-선형 변환이다.
이는 다음과 같은 곱의 법칙을 만족시켜야 한다.
리 대수 formula_4 위의 미분들의 벡터 공간을 formula_128라고 쓰자. 이 위에 다음과 같은 리 괄호를 부여한다면 이 역시 리 대수를 이루며, 이를 미분 리 대수() formula_128라고 한다.
이는 formula_131의 부분 리 대수를 이룬다. 만약 formula_4가 아벨 리 대수라면 formula_133이다.
formula_134일 경우, formula_128는 리 대수의 (리 군인) 자기 동형군 formula_136의 리 대수와 같다. 즉, 리 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 수 있다.
임의의 원소 formula_137에 대하여, 딸림표현 formula_138는 미분을 이룬다. 이러한 미분을 내부 미분(內部微分, )이라고 한다.
우선 다음 성질을 정의하자.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
다음을 보일 수 있다.
아벨 리 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 리 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 리 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 리 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 리 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 리 대수의 분류는 매우 어렵다.
3차원 이하의 실수 리 대수에 대하여, 비앙키 분류()라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다.
임의의 체 formula_1에 대하여, 2차원 이하의 리 대수는 다음 네 가지밖에 없다.
2차원에서의 유일한 비아벨 실수 리 대수는 다음과 같이 생각할 수 있다.
모든 3차원 실수 리 대수는 단순 리 대수이거나 가해 리 대수이다. 3차원 단순 리 대수는
실수 반단순 리 대수는 formula_158와 formula_159 두 개가 있다. 전통적으로 formula_158는 VIII형, formula_161는 IX형으로 불린다.
3차원 실수 가해 리 대수는 아벨 리 대수의 반직접합 formula_162으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 작용
는 2×2 실수 정사각 행렬 formula_165에 의하여 완전히 결정된다. formula_166과 formula_167 (formula_168, formula_169)는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 리 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 formula_166의 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 I형~VII형으로의 이름이 붙어 있다.
이 가운데 I형은 아벨 리 대수이며, II형은 하이젠베르크 대수 formula_172이자 2차원 갈릴레이 대수 formula_173이다. 이 둘은 위 분류 가운데 유일한 멱영 리 대수들이다. III형은 직합 formula_174와 같다. V형은 평면의 닮음 변환군(, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 리 대수 formula_175이며, VI형은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 formula_176와 같으며, VII형은 2차원 유클리드 대수 formula_177와 같다. II형과 VI형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. VI형과 VII형은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 리 대수에 대응한다.
즉,
일 경우, formula_179로 잡으면 그 리 괄호는 구체적으로 다음과 같다.
3차원의 복소수 리 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 더 간단하다.
3차원 복소수 단순 리 대수의 경우, formula_182 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 VIII/IX형으로 불린다.
3차원 복소수 가해 리 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 이 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI형과 VII 형이 같아진다.
레비 분해에 따라, 리 대수의 분해는 가해 리 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 체 위의, 4차원 이하의 리 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다.
가환환 formula_1 위의 자명한 가군 formula_150 위에, 자명한 리 괄호 formula_186를 준다면 이는 리 대수를 이룬다. 이는 리 대수의 범주의 영 대상이다.
보다 일반적으로, 가환환 formula_1 위의 가군 formula_188 위에 자명한 리 괄호 formula_189을 준다면 이 역시 리 대수를 이룬다. 이를 아벨 리 대수()라고 한다. 만약 formula_1가 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 리 군의 리 대수이다.
가환환 formula_1 위의 단위 결합 대수 formula_192가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_193 위에 다음과 같이 리 괄호를 환 교환자로 정의하면, formula_193는 리 대수를 이룬다.
특히, formula_1 위의 formula_197 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 리 대수는 일반 선형 대수 formula_198이다.
가환환 formula_1 위의 (결합 대수가 아닐 수 있는) 대수 formula_193가 주어졌다고 하자. formula_193 위의 미분들의 집합을 formula_202라고 쓰자. formula_202 위에 다음과 같은 리 괄호를 교환자로서 정의하자.
그렇다면 formula_205 역시 미분을 이룸을 알 수 있다. 이 리 괄호에 대하여 formula_202는 formula_1-리 대수를 이룬다.
리 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 자유 리 대수()를 정의할 수 있다. 집합 formula_208 위의 자유 리 대수를 formula_209라고 하고, formula_208 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 formula_211라고 하자. 그렇다면 formula_209는 자연스럽게 formula_211의 부분 집합을 이루며, formula_211는 formula_209의 보편 포락 대수이다. formula_209는 formula_211 속의, formula_208로 생성되는 부분 리 대수이다.
매끄러운 다양체 formula_219 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 formula_220은 리 미분에 대하여 리 대수를 이룬다.
리 군 formula_221 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 리 대수 formula_222를 이룬다. 즉, formula_222는 formula_224의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
심플렉틱 다양체 formula_225 위의 매끄러운 함수 formula_226에 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자.
그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 formula_228는 formula_229-리 대수를 이룬다. formula_230의 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 리 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, formula_228는 해밀턴 벡터장들로 구성된 formula_220의 부분 리 대수로 생각할 수 있다.
보다 일반적으로, 푸아송 다양체 formula_233가 주어졌을 때, formula_228는 formula_229-리 대수를 이룬다.
표수가 0인 체 formula_1 위의 형식적 멱급수환 formula_237을 생각하자. 이 가환환 위의 미분은 formula_238차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 수 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 formula_239은 리 대수를 이룬다. formula_239의 부분 리 대수를 형식적 벡터장 리 대수()라고 한다.
두 형식적 벡터장 리 대수 formula_241가 formula_237의 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 좌표 변환 아래 동치()라고 한다.
formula_243의 차수는 다음과 같다.
여기서 우변에서 formula_245이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, formula_246가 된다. 따라서, 형식적 벡터장 리 대수 formula_4 속에서, 차수가 0 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 formula_248는 부분 리 대수를 이룬다. formula_249의 formula_250 속의 여차원은 formula_238 이하이다. 만약 formula_249의 여차원이 formula_238이라면, formula_250을 추이적 형식적 벡터장 리 대수()라고 한다.
1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 리 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 두 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다.
이 가운데 추이적 형식적 벡터장 리 대수는 formula_261, formula_262, formula_263 세 개이다.
대수적으로 닫힌 체 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 리 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체 formula_1 위의 반단순 리 대수는 모두 분류되었다. 반단순 리 대수는 단순 리 대수들의 직합이며, 단순 리 대수는 formula_265, formula_266, formula_267, formula_268 4개의 무한 족과 formula_269, formula_270, formula_271, formula_272, formula_273 5개의 예외 단순 리 대수로 분류된다.
표수 0인 대수적으로 닫힌 체 formula_1 위의 반단순 리 대수 formula_4 속에 카르탕 부분 대수 formula_276를 잡자. 그렇다면, formula_277 속의 formula_4의 근계 formula_279를 생각하자. 그렇다면, 단순 리 대수의 구조론에 따라 formula_4는 formula_281-등급 리 대수를 이룬다. 구체적으로, formula_282의 등급은
이다.
군 formula_221 속의 한 중심렬
이 주어졌다고 하자. 즉, 모든 formula_286에 대하여
라고 하자. 그렇다면, formula_288은 모두 아벨 군을 이룬다. 이 몫군들의 직합을 생각하자.
이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 이 위에 다음과 같이 리 괄호를 군 교환자로 정의하자.
그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 리 환을 이룬다.
점을 가진 공간 formula_291 위의 호모토피 군 formula_292 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다.
이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 리 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 군
을 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 리 대수를 이룬다.소푸스 리가 리 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"()으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 리 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 리 대수의 비앙키 분류를 제시하였다.
1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도()가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비()가 증명하였다.