위상 양자장론
물리학과 수학에서, 위상 양자장론(位相量子場論, , 약자 TQFT)은 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론이다. 입자 물리학과 끈 이론, 응집물질물리학과 대수적 위상수학, 매듭 이론에서 쓰인다.
대부분의 양자장론은 그 관측가능량(상관 함수 등)이 시공간의 계량 텐서(중력장)에 의존한다. 관측가능량이 계량 텐서에 의존하지 않는 양자장론을 위상 양자장론이라고 한다.
오늘날 알려진 위상 양자장론은 시바르츠형()과 코호몰로지형(,
또는 위튼형 )) 크게 두 종류가 있다.
시바르츠형 위상 양자장론은 계량 텐서를 포함하지 않는 작용으로 나타내어진다. formula_1차원 시공간에서, formula_1차 미분형식을 적분하려면 계량 텐서가 필요하지 않다. 따라서 미분 형식을 장으로 하는 이론을 적을 수 있다. 이런 모형에는 천-사이먼스 이론과 BF 모형 등이 있다.
알베르트 시바르츠가 1977년에 최초의 시바르츠형 위상 양자장론을 발표하였고, 다음과 같은 꼴이다.
여기서 formula_4는 1차 미분형식이고, formula_5은 3차원 시공간이다. 이 모형을 비아벨 게이지 대칭에 대하여 일반화하면 천-사이먼스 이론을 얻는다.
코호몰로지형 위상 양자장론 또는 위튼형 위상 양자장론은 일반적으로 계량 텐서를 포함하는 이론에 위상 뒤틂()을 가하여 만든다.
에드워드 위튼이 1988년 최초의 예를 발표하였다. 위튼은 4차원 formula_6 초대칭 게이지 이론에 위상 뒤틂을 가하여, 이 이론이 도널드슨 불변량을 재현함을 보였다.
시바르츠형 위상 양자장론은 특성류를 기반으로 하여, 일반적인 (위상) 다양체 위에 정의할 수 있지만, 코호몰로지형 위상 양자장론은 그 매끄러운 다양체 구조를 필요로 한다. 즉, 서로 위상동형이지만 다른 미분 구조를 가진 두 매끄러운 다양체를 코호몰로지형 위상 양자장론으로 구별할 수 있다.
"d"차원 코호몰로지형 위상 양자장론은 푸앵카레 대칭의 표현을 갖춘 힐베르트 공간 formula_7와, 다음과 같은 두 연산자 formula_8로 구성된다.
여기서 formula_11는 병진(translation) 대칭의 생성원이다. 이 두 연산자 formula_8는 스칼라/벡터 "초대칭"으로 생각할 수 있다. (일반적인 초대칭 연산자는 스칼라나 벡터가 아니라 스핀 ½의 스피너이다.) 또한, 진공 상태 formula_13가 formula_14에 대하여 불변이라고 하자 (즉, 초대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않는다).
그렇다면 formula_14를 BRST 연산자로 생각하여, 물리적 힐베르트 공간 formula_17을 formula_14에 대한 코호몰로지로 정의한다.
또한, formula_7 위의 연산자들에 대해서도 formula_21에 대한 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우, 관측 가능량들의 공간은 formula_14에 대한 연산자 코호몰로지이다. 즉, 물리적인 관측 가능량은 formula_14에 대하여 닫혀 있다.
주어진 물리적 스칼라 연산자 formula_24에 대하여, formula_25를 가해 다음과 같은 연산자들을 추가로 정의할 수 있다.
formula_27는 formula_28차 미분형식을 이루며, 다음과 같은 내림 방정식()을 만족시킨다. 이는 야코비 항등식으로부터 유도할 수 있다.
따라서 formula_30의 경우, formula_27는 formula_14에 대하여 닫혀 있지 않고, 관측 가능량을 이루지 않는다. 다만, 시공간 formula_5의 임의의 formula_28차 호몰로지 formula_35에 대하여 모자곱을 취하면 이는 관측 가능량을 이루게 된다. 즉,
은 관측 가능량이다. 따라서, 다음과 같은 꼴의 상관 함수들을 계산할 수 있다.
예를 들어, 도널드슨 불변량을 이러한 형태의 상관 함수로 나타낼 수 있다.
마이클 아티야는 위상 양자장론을 수학적으로 정의하기 위하여 다음과 같은 공리계를 제안하였다. 이에 따라, formula_38차원 위상 양자장론은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이들은 다음과 같은 공리들을 만족시킨다.
일반적인 양자역학과 달리, 위상 양자장론의 상태 공간 formula_41에는 내적이 일반적으로 주어져 있지 않다. 일반적으로, 양자역학에서는 관측가능량 및 해밀토니언을 정의하기 위하여 에르미트 연산자의 개념이 필요하고, 이를 정의하려면 상태공간과 그 쌍대공간의 동형사상 formula_72이 필요하다. 그러나 위상 양자장론에서는 해밀토니언이 항상 0이므로 이 개념이 필요없다.
초대칭 이론의 위상 뒤틂은 2차원~4차원에서 가능하다.
2차원 formula_73 초등각 장론의 R대칭은 U(1)이며, 두 개의 위상 뒤틂이 존재한다. 이를 A-뒤틂() 및 B-뒤틂()라고 하며, 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형을 이렇게 뒤틀면 두 개의 위상 끈 이론을 얻는다. 이들 사이에는 거울 대칭이라는 관계가 존재한다.
4차원 formula_74 초대칭은 SU(2) R대칭을 가지므로, 유일한 위상 뒤틂을 갖는다. SU(2) 초대칭 게이지 이론을 뒤틀면 도널드슨 이론을 얻는다.
코호몰로지형 위상 양자장론의 대표적인 예는 위상 formula_75 초대칭 게이지 이론의 위상 뒤틂이다. formula_75 양-밀스 이론의 대칭군은
이다. 여기서 SU(2)×SU(2)=Spin(4)는 (유클리드) 로런츠 대칭이며, SU(4)는 R대칭이다. 초전하 formula_78는 표현
를 따른다. (SU(2) 표현은 스핀 formula_80으로 표기하였고, 다른 군의 표현은 그 차원을 굵은 글씨로 표기하였다.) 따라서, 위상 뒤틂은 군 준동형
에 의하여 정의되며, 이 가운데 초전하 formula_78의 성분 가운데 적어도 하나가 새 로런츠 군에 대하여 스칼라가 되어야 한다. 이러한 위상 뒤틂은 3가지가 있으며, 다음과 같다.
바파-위튼 뒤틂 · 마커스 뒤틂은 간혹 각각 A-뒤틂 및 B-뒤틂으로 불리기도 한다.
장들의 분해는 다음과 같다.
도널드슨-위튼 뒤틂()에서는 formula_83 대칭을
으로 깬 뒤, 두 SU(2) 가운데 하나를 로런츠 군 formula_85와 섞어 얻는다. 이에 따라, 남은 formula_86는 맛깔 대칭, formula_87는 유령수 대칭이 된다. 이 깨짐 아래, formula_88의 표현들은 다음과 같이 깨진다.
바파-위튼 뒤틂() 또는 A-뒤틂()에서는 formula_83 대칭군을 우선
로 깬 뒤, 두 SU(2) 성분 가운데 하나를 오른쪽 로런츠 군 formula_85와 섞는다. 따라서, 나머지 한 SU(2) 부분군은 SU(2) 유령수 대칭군 formula_94로 남게 된다. R대칭의 깨짐에 따라서, SU(4)의 표현들은 다음과 같은 formula_95 표현으로 깨진다.
유령수 대칭이 SU(2) 단순군이므로, 바파-위튼 뒤틂에서는 (다른 뒤틂과 달리) 유령수가 변칙적이지 않다.
마커스 뒤틂() 또는 B-뒤틂()은 도널드슨-위튼 뒤틂에서 남아 있던 SU(2) 맛깔 대칭을 왼쪽 로런츠 대칭 SU(2)과 한 번 더 뒤틀어 얻는다. 이에 따라 U(1) 유령수 대칭만이 남게 된다.
3차원에서는 formula_98 초대칭은 2개의 초전하를 갖고, R대칭은 formula_99이 된다. 이 경우, 위상 뒤틂을 위해서는 formula_100이어야 한다.
3차원 formula_75에서, R대칭은 formula_102이다. 3차원 formula_75에서, 벡터 초장의 formula_104 표현은 다음과 같다. (SU(2) 표현은 스핀으로 표현하였다.)
따라서, 뒤튼 후의 로런츠 군 formula_105을 formula_106의 대각선 부분군으로 잡거나, formula_107의 대각선 부분군으로 잡을 수 있다. 2차원 위상 끈 이론과 유사하게, 전자는 A-뒤틂(), 후자는 B-뒤틂()이라고 한다.
초켈러 다양체 위의 3차원 시그마 모형의 경우, A-뒤틂은 카푸스틴-비아스 모형(), B-뒤틂은 로잔스키-위튼 모형() 이라고 한다. 3차원 초대칭 게이지 이론의 B-뒤틂은 블라우-톰프슨 모형()이라고 한다.
3차원 formula_108 이론의 위상 뒤틂은 총 4가지가 있다.