호모토피
대수적 위상수학에서, 호모토피() 또는 연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.
위상 공간 formula_1, formula_2 사이의 두 연속 함수
사이의 호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 formula_5이다.
두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 호모토픽() 또는 연속 변형적(連續變形的)이라 하며 formula_8와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 호모토피류(homotopy類, )라고 한다. 연속 함수 formula_9의 호모토피류는 보통 formula_10라고 쓴다.
상수 함수에 호모토픽한 함수를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.
모든 위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 formula_12나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 formula_13가 있다.)
formula_12에서는 지수 대상의 법칙
이 성립한다. 여기서 formula_16는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. formula_17는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, formula_12에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.
위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 formula_34가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 formula_35에 대하여, 그 사이의 사상 집합 formula_36는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.
같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 formula_37이 주어졌다고 하자. 이는 formula_36 속의 두 점
을 이룬다. 이 경우, formula_9와 formula_41 사이의 호모토피는 formula_9와 formula_41를 잇는, formula_36 속의 경로이다. 이는 formula_36 위의 동치 관계를 이룬다. 호모토피류는 formula_36의 경로 연결 성분이다.
고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나
formula_12 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.
보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 formula_49를 사용할 수도 있다.
호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우, 왼쪽 호모토피()와 오른쪽 호모토피()라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다.
편의상, 올뭉치는 formula_50로, 쌍대올뭉치는 formula_51로, 약한 동치는 formula_52로 표기하자.
임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다.
여기서 formula_54은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다).
모형 범주 formula_55에서, 대상 formula_1의 기둥 대상() formula_57는 쌍대 대각 사상 formula_53의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" formula_21의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조()를 준 경우 formula_21는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조()에서 formula_21는 매우 좋은 기둥 대상이다.
두 사상 formula_37 사이의 왼쪽 호모토피()는 어떤 기둥 대상 formula_57에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 formula_68이다.
이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 왼쪽 호모토피()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 정의역 formula_1가 쌍대올대상일 경우, 사상 formula_37에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 왼쪽 호모토픽()하다고 한다.
임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다.
여기서 formula_16은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 formula_55에서, 대상 formula_1의 경로 공간 대상() formula_86는 대각 사상 formula_82의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 formula_89의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.
두 사상 formula_37 사이의 오른쪽 호모토피()는 어떤 경로 공간 대상 formula_86에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 formula_95이다.
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 오른쪽 호모토피()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 formula_2가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 오른쪽 호모토픽()하다고 한다.
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 호모토픽하다고 한다.
또한, 주어진 쌍대올대상 formula_1에 대하여, 임의의 올대상 formula_2으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, formula_2에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 formula_2에 대하여, 임의의 쌍대올대상 formula_1에서 formula_2로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, formula_1에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 formula_122에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.
위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다.
또한, 이 경우 고전적 기둥 formula_21은 (만약 formula_1가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 formula_89은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.
다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.
위상 공간 formula_1, formula_2 및 formula_1의 부분 공간 formula_129이 주어졌을 때, 두 연속 함수 formula_37 사이의 호모토피 formula_5가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_132를 formula_129에서 고정된 호모토피()라고 한다.
formula_9와 formula_41가 formula_129을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.
부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.
이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 formula_2 위의 경로 formula_141에 대하여, formula_142을 고정한 호모토피를 경로 호모토피()라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 formula_143로 쓴다.
두 위상 공간 formula_1, formula_2 사이의 두 매장 formula_37 사이의 호모토피 formula_5가 다음 조건을 만족시킬 경우, formula_132를 아이소토피()라고 한다.