유도 함자
호몰로지 대수학에서, 왼쪽 유도 함자(-誘導函子, )와 오른쪽 유도 함자(-誘導函子, )는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.
유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(超誘導函子, ) 또는 초코호몰로지(超cohomology, )라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.
사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1에서, 임의의 대상 formula_2에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.
여기서 formula_4는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 formula_5의 단사 분해()이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 formula_9가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1의 대상 formula_2에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 formula_12에 대한 상을 생각하자.
formula_12는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, formula_15는 완전열이었지만, formula_16은 더 이상 완전열이 아니다. formula_16의 코호몰로지를 formula_12의 오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.
특히, formula_21이다.
보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 formula_23가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.
이를 공사슬 복합체 formula_25의 단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 formula_26에 대하여, 왼쪽 완전 함자 formula_9는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다.
formula_12의 오른쪽 초유도 함자()의 값은 formula_25의 단사 분해 formula_15의 상 formula_31의 코호몰로지이다.
서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 formula_34는 가법 함자임을 보일 수 있다.
단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 formula_35의 왼쪽 유도 함자() formula_36도 유사하게 정의할 수 있다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1에서, 대상 formula_2의 사영 분해() formula_39를 생각하자.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 formula_9의 왼쪽 유도 함자 formula_44는 formula_5의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 속의 자연수 차수 사슬 복합체 formula_49가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.
이를 사슬 복합체 formula_51의 사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 formula_9의 왼쪽 초유도 함자()
는 formula_51의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.
모형 범주 formula_58이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 formula_58의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 formula_61의 동형 사상으로 대응시킨다.
모형 범주에서 올뭉치를 formula_62, 쌍대올뭉치를 formula_63, 약한 동치를 formula_64로 표기하자. 시작 대상은 formula_65이며, 끝 대상은 formula_66로 표기하자.
모형 범주 formula_58에서 범주 formula_68로 가는 함자 formula_69가 formula_58의 올대상 사이의 약한 동치를 formula_8의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 formula_72에 대하여, 그 올분해()
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_12의 오른쪽 초유도 함자 formula_75는 다음과 같다.
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 formula_61위에 정의된다.
모형 범주 formula_58이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
가 존재한다.
모형 범주 formula_58에서 범주 formula_68로 가는 함자 formula_69가 formula_58의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 formula_8의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 formula_72에 대하여, 그 쌍대올분해
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_12의 왼쪽 초유도 함자 formula_89는 다음과 같다.
모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.
약한 동치의 모임이 주어진 범주 formula_92 및 함자 formula_93가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 formula_94 및 포함 함자 formula_95를 정의할 수 있다. 그렇다면, formula_12의 왼쪽 유도 함자 formula_97는 (만약 존재한다면) formula_12의 formula_99에 대한 오른쪽 칸 확대이다.
오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 formula_101에 대하여 자연 변환의 성분 formula_102이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 formula_103의 쌍대올 분해 formula_104의 상 formula_105이다.
마찬가지로, formula_12의 오른쪽 유도 함자 formula_107는 (만약 존재한다면) formula_12의 formula_99에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 formula_101에 대하여 자연 변환의 성분 formula_111이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 formula_103의 올 분해 formula_113의 상 formula_114이다.
원래 함자 formula_12는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
의 상
은 완전열이다. 따라서, formula_119은 단사 사상이며,
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, formula_121이다.
만약 formula_103가 단사 대상이라면, 단사 분해를
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상
의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 formula_125에 대하여 formula_126이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.
왼쪽 완전 함자 formula_93 및 formula_92의 짧은 완전열
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 formula_93 및 formula_92의 짧은 완전열
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.