함수
수학에서, 함수(函數, ) 또는 사상(寫像, )은 첫 번째 집합의 임의의 한 원소를 두 번째 집합의 오직 한 원소에 대응시키는 대응 관계이다.
함수 formula_1는 다음과 같은 튜플 formula_2이다.
이 튜플이 다음 공리들을 만족시켜야지만 함수라고 한다.
다시 말해, 함수는 정의역의 각 원소를 정확히 하나의 공역 원소에 대응시킨다. 이러한 formula_13를 formula_14라고 쓰며, 이러한 formula_13들의 집합을 치역이라고 한다. 치역은 공역의 부분 집합이나, 공역보다 작을 수 있다.
사상은 보통 함수의 동의어로 쓰이나, 추상대수학에서는 더 좁은, 범주론에서는 더 넓은 뜻을 갖는다.
표기 formula_16는 formula_1가 정의역 formula_3, 공역 formula_5를 갖는 함수라는 뜻이다.
표기 formula_20는 formula_21와 같은 뜻이다.
함수를 정의역과 공역을 생략하여 다음과 같이 표기하기도 한다.
구체적인 함수를 나타내는 방법은 여러 가지가 있다. 정의역의 원소가 유한 개일 경우, 각 원소가 공역의 어느 원소와 대응하는지를 표 따위에 열거하여 나타낼 수 있다. 함숫값을 구하는 공식이나 알고리즘이 존재한다면, 이를 통해 나타낼 수도 있다. 함수의 정의역과 공역이 모두 실수 집합이나 복소수 집합의 부분 집합이라면, 함수의 그래프를 통해 나타낼 수도 있는데, 직관적인 반면 정확성이 떨어질 수 있다.정의역이 formula_3, 공역이 formula_5인 함수 formula_16가 주어졌다고 하자.
만약 formula_1가 정의역의 서로 다른 원소를 항상 공역의 서로 다른 원소로 대응시킨다면, formula_1를 단사 함수 또는 일대일 함수라고 한다. 예를 들어, 함수
는 단사 함수이다. 그러나 각 자연수가 이를 2로 나눈 나머지로 대응되는 함수는 단사 함수가 아니다. 모든 홀수를 1, 모든 짝수를 0으로 대응시키기 때문이다.
만약 formula_1가 공역의 모든 원소에게 정의역의 적어도 하나의 원소를 대응시킨다면, (즉, 치역이 공역과 같다면,) formula_1를 전사 함수 또는 위로의 함수라고 한다. 예를 들어, 함수
는 전사 함수이다.
만약 formula_1가 동시에 단사 함수이자 전사 함수라면, formula_1를 전단사 함수 또는 일대일 대응이라고 한다. 예를 들어, 함수
는 전단사 함수이다.
단사 함수와 전사 함수 사이에는 특별한 함의 관계가 존재하지 않는다. 예를 들어, 상술 formula_1는 단사 함수이지만, 전사 함수가 아니다. 또한, 상술 formula_64는 전사 함수이지만, 단사 함수가 아니다.
정의역이 실수 집합 formula_65인 함수 formula_66를 실변수 함수(實變數函數, )라고 한다. 공역이 실수 집합 formula_65인 함수 formula_68를 실숫값 함수(實數-函數, ) 또는 실함수(實函數, )라고 한다. 실변수 실숫값 함수에 대하여, 단조함수 · 홀함수와 짝함수 · 주기 함수 등의 개념을 정의할 수 있다. 단조함수는 대략 그래프가 오른쪽으로 갈수록 줄곧 상승하거나 줄곧 하강하는 함수이다. 전자를 단조 증가 함수, 후자를 단조 감소 함수라고 한다. 예를 들어, formula_69는 단조 증가 함수이며, formula_70는 단조 감소 함수이다. 홀함수는 그래프가 원점에 의하여 중심 대칭인 함수, 짝함수는 그래프가 y축에 의하여 반사 대칭인 함수이다. 예를 들어, formula_71는 홀함수, formula_72은 짝함수이다. 주기함수는 대략 그래프가 x축의 방향의 벡터에 의한 평행 이동 대칭을 갖는 함수이다. 삼각 함수가 대표적이다.
정의역이 복소수 집합 formula_73인 함수 formula_74를 복소변수 함수(複素變數函數, )라고 한다. 공역이 복소수 집합 formula_73인 함수 formula_76를 복소값 함수(複素-函數, ) 또는 복소함수(複素函數, )라고 한다. 복소변수 복소값 함수에 대해서도 주기 함수의 개념이 존재한다.
함숫값은 유한 가지의 서로 다른 경우에 서로 다른 공식으로 나타내야 할 수 있는데, 이러한 함수를 조각마다 정의된 함수(-定義-函數, )라고 한다. 예를 들어, 다음과 같은 함수는 조각마다 정의되었다.
일반적으로, 매끄러운 다양체 formula_79 사이의 함수 formula_16에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 정의역의 분할 formula_81이 존재한다면, formula_1를 조각마다 ~ 함수라고 한다.
예를 들어, 정의역이 실수 구간인 경우, 정의역의 분할은 구간 분할이어야 한다. 예를 들어, formula_88의 분할의 한 가지 예는 다음과 같다.
'~'에 여러 가지 함수의 성질을 대입할 수 있다. 예를 들어, 다음과 같다.
함수가 아니지만 '함수'라는 이름이 붙은 부분 정의 함수와 다가 함수의 개념이 존재한다.
함수의 정의역의 모든 원소는 그에 대응하는 상을 반드시 가져야 한다. 예를 들어, 각 실수 formula_90를 또 다른 실수 formula_91에 대응시키는 관계 formula_92는 formula_65와 formula_65 사이의 함수가 아니다. 1의 상이 정의되지 않았기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 정의역 formula_95을 갖는 함수 formula_96로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 formula_3와 formula_5 사이의 부분 정의 함수는 formula_3의 어떤 부분 집합 formula_100를 정의역으로 하며, formula_5를 공역으로 하는 함수 formula_102로 정의된다. 이 경우, 상술 formula_92는 formula_65와 formula_65 사이의 부분 정의 함수이지만, formula_65와 formula_65 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 전함수(全函數, )라고 불러 부분 정의 함수와 구별하기도 한다.
함수의 정의역의 원소에 대응하는 상은 반드시 유일해야 한다. 예를 들어, 절댓값이 1 이하인 실수 formula_108를 방정식 formula_109의 해 formula_110로 대응시키는 관계 formula_92는 formula_65와 formula_65 사이의 함수가 아니다. 모든 formula_114은 두 개의 상 formula_115에 대응하기 때문이다. 그러나, 이를 새로운 공역 formula_116을 갖는 함수 formula_117로서 간주할 수 있다. 일반적으로, 집합 formula_3와 formula_5 사이의 다가 함수는 formula_3를 정의역, formula_5의 멱집합 formula_122를 공역으로 하는 함수 formula_123로 정의된다. 이 경우, 상술 formula_92는 formula_65와 formula_65 사이의 다가 함수이지만, formula_65와 formula_65 사이의 함수가 아니다. 보통의 함수를 일가 함수(一價函數, )라고 불러 다가 함수와 구별하기도 한다.
집합 formula_129 및 함수 formula_16에 대하여,
를 formula_132의 상이라고 하며, formula_133로 쓴다. 집합 formula_134 및 함수 formula_16에 대하여,
를 formula_137의 원상이라고 하며, formula_138로 쓴다. 치역은 곧 정의역의 상 formula_139이다.
함수 formula_16가 주어졌다고 하자. 만약 formula_1가
를 만족한다면, 이에 따른, 정의역과 공역은 뒤바뀌고, 대응 관계는 방향만 뒤바뀐 함수
가 존재한다. 이를 formula_1의 역함수이라고 한다. 역이 존재하는 함수를 가역 함수라고 한다. 어떤 함수가 가역 함수일 필요 충분 조건은, 전단사 함수라는 것이다.
예를 들어, 지수 함수는 가역 함수이며, 그 역함수는 로그 함수이다.
함수 formula_16의 공역과 함수 formula_148의 정의역이 같다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 formula_149를 두 함수 formula_1와 formula_64의 합성이라고 한다.
즉, 먼저 formula_3의 원소를 formula_1에 따라, formula_1의 공역이자 formula_64의 정의역인 formula_5의 원소에 대응시키고, 다시 이를 formula_64에 따라 formula_160의 원소로 대응시킨다.
예를 들어, formula_161와 formula_162의 합성은 formula_163이다.
함수 formula_16 및 정의역의 부분 집합 formula_100가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 formula_166를 formula_1의 formula_132로의 제한(制限, )이라고 한다.
즉, 원래 대응 방식을 유지하되, 정의역을 formula_132로 줄인 함수이다.
두 함수 formula_16와 formula_173가 다음 두 조건을 만족시키면, formula_1가 formula_64의 제한이라고 하며, formula_64가 formula_1의 확장이라고 한다.
두 함수 formula_16와 formula_173가 다음 조건을 만족시키면, 서로 일치한다고 한다.
두 함수 formula_16와 formula_173가 서로 일치한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같이 정의된 함수 formula_189를 formula_1와 formula_64의 합집합이라고 한다.
마찬가지로, 쌍마다 일치 함수족 formula_194의 합집합을 다음과 같이 정의할 수 있다.
물론, 함수의 합집합은 서로 일치하지 않는 경우에도 이항 관계로서 정의할 수 있으며, 이 이항 관계가 함수일 필요충분조건은 일치성이다.
정의역과 공역이 같은 함수들에 대한 점별 연산을 공역 위의 연산으로부터 유도할 수 있다. 예를 들어, 두 실숫값 함수 formula_197의 점별 합(點別合, ) formula_198은 다음과 같은 함수이다.
마찬가지로, 점별 곱(點別-, ) formula_200은 다음과 같은 함수이다.
삼각함수와 같은 특정 함수에 대한 연구는 오래전부터 있어 왔다. 16세기 라이프치히 대학교의 수학 교수이자 코페르니쿠스의 《천구의 회전에 관하여》가 출간되는데 큰 역할을 하였던 레티쿠스는 1596년 《팔라티누스 삼각형 서(書)》()에서 삼각함수표를 정리하여 발표하기도 하였다. 그러나 당시의 연구는 현재의 함수 정의에 확립되어 있는 관계에 대한 개념이 없이 단순히 계산의 편의를 도모하기 위한 것이었다. 한편, 르네 데카르트는 직교좌표계를 이용하여 오늘날 함수의 관계식에 해당하는 방정식을 그래프로 표현하는 방법을 제시하였다.
17세기에 도입한 대부분의 함수는 함수 개념이 충분히 인식되기 이전에는 곡선, 특히 운동 궤적으로서 연구되었다. 1667년, 제임스 그레고리()는 논문 《원과 쌍곡선의 구적법에 대하여》()에서 함수를 다른 양들에 대한 대수 연산 및 극한 연산을 통해 얻는 양으로 정의하였다. 1665년부터, 아이작 뉴턴은 줄곧 "플루언트"()라는 용어로 변수 간 관계를 지칭하였다. 1673년, 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 오늘날 쓰이는 용어인 "펑크션"()을 곡선 위 점에 따라 변화하는 양으로 정의하였다. 1697년, 요한 베르누이는 함수를 상수와 변수가 대수 연산 및 초월 연산을 통해 구성하는 양으로 정의하였으며, 1698년에 라이프니츠의 용어를 채택하였다. 1714년, 라이프니츠는 저서 《역사》()에서 함수를 변수에 의존하는 양으로 정의하였다. 그러나, 그는 여태 미분 가능한 함수만을 다루었다.
레온하르트 오일러는 1734년에 오늘날 쓰이는 표기법 formula_14를 도입하였다. 또한, 오일러는 1748년에 저서 《무한 해석 도입》()에서 함수를 변수와 상수로 구성된 임의의 해석적 수식으로 정의하였으며, 1775년에 저서 《미분학 도입》()에서 변수에 의존하며 그 변화에 따라 변화하는 또 다른 변수로 정의하였다.
1797년, 실베스트르 프랑수아 라크루아()는 저서 《미분과 적분에 대하여》()에서 수식으로 표현될 필요가 없는, 더 넓은 함수의 개념을 도입하였으며, 5차 방정식의 근이 5차 방정식의 계수의 함수라는 예시를 들었다. 1811~15년, 조제프루이 라그랑주는 저서 《역학 해석》()에서 "함수"라는 용어를 거의 모든 유형의 함수에서 사용하였다.
조제프 푸리에는 함수가 해석적 수식으로 표현될 수 있을 필요가 없다고 주장하였으나, 동시에 모든 함수는 푸리에 급수로 표현될 수 있다고 주장하였다. 그러나, 그는 여태 임의의 유한 구간에서 유한 개의 불연속점만을 갖는 함수만을 다루었다.
1837년, 페터 구스타프 르죈 디리클레는 논문 《완전히 임의인 함수의 사인 및 코사인 함수 표현에 대하여》()에서, formula_13가 formula_26의 함수라는 것을 formula_26의 주어진 구간에서의 임의의 값에 formula_13의 유일한 값이 대응하는 것으로 정의하였으며, formula_13가 formula_26에 따라 어떤 법칙을 통해 결정되거나, 수학 공식으로 표현될 필요는 없다고 설명하였다. 이는 오늘날에도 사용되는 정의이다.
함수의 현대적 정의는 게오르크 칸토어가 제기한 집합론에 기반한 것이다. 버트런드 러셀은 집합을 기반으로 수학의 공리를 재서술하면서 함수 역시 이를 기반으로 재정의하였다.
이선란은 저서 《대수학》()에서 오늘날 한국어 및 중국어에서 쓰이는 용어인 "함수"()를 최초로 사용하였다. 일본어에서는 "" 글자가 1946년 상용 한자 목록에 포함되지 않았으므로, 일본어에서 같은 음을 갖는 글자 "関"를 사용하여 "칸스우"()로 표기하게 되었다. 이선란은 《대수학》에서 함수를 변수를 포함하는 변수로 정의하며, 여기서 "함"()은 "포함"(包含)을 뜻한다. 즉,