반군
추상대수학에서, 반군(半群, )은 결합 법칙을 따르는 하나의 이항 연산이 부여된 대수 구조이다.
반군 formula_1은 다음과 같은 데이터로 구성되는 대수 구조이다.
formula_4은 항등원을 가질 필요가 없다. 항등원을 갖는 반군을 모노이드라고 한다. 즉, 반군과 모노이드의 관계는 유사환과 환의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.
즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
두 반군 formula_2, formula_6 사이의 반군 준동형(半群準同型, )은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_7이다.
모든 모노이드는 반군이므로, 두 모노이드 사이의 반군 준동형을 생각할 수 있다. 두 모노이드 사이의 모든 모노이드 준동형은 반군 준동형이지만, 두 모노이드 사이의 반군 준동형은 모노이드 준동형이 아닐 수 있다 (즉, 항등원을 항등원으로 대응시키지 않을 수 있다).
반군 formula_2의 부분 집합 formula_11가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_6를 formula_2의 부분 반군(部分半群, )라고 한다.
모노이드의 모든 부분 모노이드는 부분 반군이지만, 모노이드의 부분 반군은 부분 모노이드가 아닐 수 있다 (즉, 항등원을 포함하지 않을 수 있다).
반군 formula_2 속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군 formula_17을 formula_2의 왼쪽 아이디얼()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음 조건을 만족시키는 부분 반군 formula_17을 formula_2의 오른쪽 아이디얼()이라고 한다.
왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼인 부분 반군을 아이디얼()이라고 한다. 모노이드의 아이디얼은 부분 모노이드를 이룰 필요가 없다 (즉, 1을 포함하지 않을 수 있다). 이는 환의 환론적 아이디얼이 부분환을 이룰 필요가 없는 것과 마찬가지다.
반군 formula_2의 부분 반군의 몫반군을 formula_2의 인자()라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_27가 존재한다면, 이를 formula_2의 왼쪽 영원()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_31가 존재한다면, 이를 formula_2의 오른쪽 영원()이라고 한다.
왼쪽 영원이자 오른쪽 영원인 원소를 영원()이라고 한다. 왼쪽 영원과 오른쪽 영원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 영원은 만약 존재한다면 유일하다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_35가 존재한다면, 이를 formula_2의 왼쪽 항등원()이라고 한다.
반군 formula_2 속에서, 다음과 같은 원소 formula_39가 존재한다면, 이를 formula_2의 오른쪽 항등원()이라고 한다.
왼쪽 항등원이자 오른쪽 항등원인 원소를 항등원()이라고 한다. 왼쪽 항등원과 오른쪽 항등원은 일반적으로 유일하지 않지만, (양쪽) 항등원은 만약 존재한다면 유일하다. 이렇게 양쪽 항등원을 갖는 반군을 모노이드라고 한다.
반군 formula_2 속에서 formula_43를 만족시키는 원소 formula_44를 멱등원()이라고 한다. 왼쪽 영원 · 오른쪽 역원 · 왼쪽 항등원 · 오른쪽 항등원은 모두 항상 멱등원이다.
유한 반군은 항상 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 보다 일반적으로, 모든 원소의 차수가 유한한 반군은 적어도 하나 이상의 멱등원을 갖는다. 이는 하나의 원소로 생성되는 모든 유한 반군은 멱등원을 갖기 때문이다.
반군 formula_2 속의 원소 formula_44에 대하여, 만약 formula_47가 되는 원소 formula_48가 존재한다면, formula_49를 정칙원()이라고 하고, formula_50를 formula_49의 유사역원()이라고 한다. 유사역원은 일반적으로 유일하지 않다.
반군 formula_1가 주어졌을 때, 집합 formula_2 위에 다음과 같은 다른 이항 연산 formula_54을 줄 수 있다.
그렇다면 formula_57는 반군을 이룬다. 이를 formula_1의 반대 반군(反對半群, )이라고 하고, formula_59으로 쓴다.
반대 모노이드나, 군론의 반대군이나, 환론의 반대환은 반대 반군의 특수한 경우이다.
군의 경우 모든 군은 스스로의 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이지만, 반군의 경우 일반적으로 스스로의 반대 반군과 동형이 아니다. (가환 반군은 물론 스스로의 반대 반군과 같다.)
반군 formula_2 위의 합동 관계 formula_61는
를 만족시키는 formula_2 위의 동치 관계이다. 반군 위의 합동 관계가 주어졌을 때 몫반군(-半群, ) formula_64을 정의할 수 있다. 군이나 유사환의 경우와 달리, 반군의 경우 합동 관계는 일반적으로 정규 부분군이나 유사환 아이디얼과 같은 부분 집합으로 나타내어지지 않는다.
몫반군의 특별한 경우로, 반군 formula_2의 아이디얼 formula_17가 주어졌을 때, 동치 관계
는 합동 관계를 이루며, 따라서 몫반군 formula_68를 정의할 수 있다. 이러한 꼴의 몫반군을 리스 몫반군()이라고 한다. 만약 formula_69가 공집합이 아니라면, formula_68는 항상 영원 formula_71를 가진다. 만약 formula_72이라면 formula_73이며, 반대로 formula_74라면 formula_75은 자명군이다.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 직접곱을 정의할 수 있다. 이는 반군과 반군 준동형의 범주에서의 범주론적 곱이다. 구체적으로, 반군들의 집합 formula_76의 직접곱 formula_77은 집합으로서 곱집합과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
각 formula_79의 성질은 formula_80에게 다음과 같이 유전된다.
두 반군 formula_87, formula_88 및 formula_88의 formula_87 위의 작용 formula_91이 주어졌을 때, 반직접곱 formula_92를 정의할 수 있다.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 여러 개의 반군들의 자유곱을 정의할 수 있으며, 이는 반군의 범주의 쌍대곱이다. 반군의 자유곱은 모노이드의 자유곱과 다르다. 즉, 각 성분들의 항등원이 모노이드 자유곱에서는 한 원소로 합쳐지지만, 반군 자유곱에서는 그렇지 않다.
반군 formula_2가 주어졌을 때, formula_94에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 formula_94는 반군을 이루며, 새로 추가한 원소 formula_97은 그 속의 영원을 이룬다. 만약 formula_2가 모노이드라면 formula_94 역시 모노이드이다.
반군 formula_2가 주어졌을 때, 그 멱집합 formula_101 위에 다음과 같은 이항 연산을 주자.
그렇다면 formula_101는 반군을 이룬다. formula_101는 항상 영원을 가지며, 이는 공집합이다. 또한, formula_105 역시 반군을 이룬다.
만약 formula_2가 모노이드라면 formula_101 역시 모노이드이다.
군론의 화환곱()을 반군에 대하여 일반화할 수 있다. 즉, 두 반군 formula_2, formula_6와 formula_6가 왼쪽에서 작용하는 집합 formula_111가 주어졌을 때, 화환곱 formula_112는 집합 formula_113 위에 주어진 반군이다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
작용을 갖춘 반군들에 대하여, 화환곱은 결합 법칙을 따른다.
군론의 케일리 정리와 마찬가지로, 반군에 대하여 케일리 정리가 성립한다. 즉, 임의의 반군 formula_2에 대하여, 어떤 집합 formula_111 위의 완전 변환 모노이드 formula_117로 가는 단사 반군 준동형
이 존재한다. 또한, 만약 formula_2가 유한 반군이라면 formula_111 역시 유한 집합으로 잡을 수 있다.
반군 formula_2의 부분 반군 가운데 부분군인 것들은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
구체적으로, formula_2의 극대 부분군 formula_125에 대하여, formula_126는 formula_2의 멱등원을 이룬다. 반대로, 임의의 멱등원 formula_128에 대하여, formula_129에 대한 역원을 갖는 모든 원소들의 집합
은 formula_129를 항등원으로 하는 극대 부분군이다.
공집합이 아닌 모든 유한 반군은 항상 하나 이상의 멱등원을 가진다. (모노이드의 경우 항등원이 멱등원이므로 이는 자명하게 성립한다.) 그러나 이는 무한 반군에 대하여 성립하지 않는다.
다음과 같은 특별한 종류의 반군들의 모임이 존재한다.
유한 반군에 대하여, 크론-로즈 정리()라는 구조 정리가 존재한다. 이에 따르면, 모든 유한 반군 formula_2는 유한 단순군과 비자명군을 포함하지 않는 유한 반군들의 화환곱의 부분 반군의 몫반군이다. 즉, 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.
여기서
가환 반군의 경우, 다음과 같은 구조 정리가 존재한다.
임의의 가환 반군 formula_2에서 가환 멱등 반군 formula_149으로 가는 반군 준동형 formula_150이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
임의의 가환 반군 formula_2에 대하여, formula_64이 가환 멱등 반군이 되는 가장 섬세한 합동 관계 formula_61가 존재하며, formula_2는 formula_64에 대한 등급 반군을 이룬다. 또한, 각 formula_164에 대하여, 동차 성분 formula_165는 모두 아르키메데스 반군을 이룬다.
따라서, 가환 반군의 분류는 가환 멱등 반군의 분류와 아르키메데스 반군의 분류로 귀결된다. 가환 멱등 반군은 공집합이 아닌 유한 부분 집합이 항상 최소 원소를 갖는 부분 순서 집합과 동치이다. 이 경우 부분 순서는 formula_166와 같다.
모든 모노이드는 반군이다. 따라서 모든 군은 반군이다. 모든 유사환 formula_167에 대하여, formula_168은 반군을 이룬다. (formula_169는 아벨 군이므로 역시 반군이다.) 모든 격자 formula_170에 대하여, formula_171와 formula_172 역시 각각 가환 멱등 반군을 이룬다. (만약 formula_149이 최대 원소 또는 최소 원소를 갖지 않는다면, 둘 가운데 하나는 모노이드를 이루지 않는다.)
임의의 음이 아닌 정수 formula_174에 대하여, formula_175는 덧셈에 대하여 가환 반군을 이룬다. formula_176이라면 이는 모노이드가 아니다.
공집합 formula_177 위에 유일한 이항 관계를 준다면, 이는 자명하게 반군을 이룬다. 이를 공반군(空半群, )이라고 하며, 이는 모노이드가 아니다.
집합 formula_2에 원소 formula_97을 추가한 분리합집합 formula_94 위에 다음과 같은 이항 연산을 상수 함수로 정의하자.
그렇다면 formula_94은 반군을 이룬다. 이를 영반군(零半群, )이라고 한다. 만약 formula_2가 공집합이 아니라면 이는 모노이드를 이루지 않는다. (만약 formula_2가 공집합이라면 이는 자명군을 이룬다.)
아벨 군 위에 곱셈을 모두 0으로 정의하여 영 유사환을 정의할 수 있는데, 그 곱셈 반군은 영반군이다.
반군의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 이에 대한 자유 대수를 정의할 수 있다. 집합 formula_2 위의 자유 반군(自由半群, )은 formula_2 위의 클레이니 스타 (자유 모노이드) formula_187에서, 길이가 0인 문자열 formula_188 (항등원)을 제거한 반군 formula_189이다.
한원소 집합으로 생성되는 자유 반군은 양의 정수의 덧셈 반군 formula_190과 동형이다.
마찬가지로 자유 가환 반군(自由可換半群, )을 정의할 수 있다. 집합 formula_2 위의 자유 가환 모노이드는 formula_2의 원소들로 구성된 유한 중복집합들의 모노이드이며, formula_2 위의 자유 가환 반군은 이 가운데 공집합을 제거한 것이다.
집합 formula_2 위에 다음과 같은 두 이항 연산을 정의하자.
그렇다면 formula_197과 formula_198는 각각 반군을 이룬다. formula_197를 왼쪽 영원 반군(), formula_197를 오른쪽 영원 반군()이라고 한다.
왼쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 왼쪽 영원이자 오른쪽 항등원이다. 오른쪽 영원 반군에서, 모든 원소는 오른쪽 영원이자 왼쪽 항등원이다.
왼쪽 · 오른쪽 영원 반군은 formula_2가 한원소 집합이 아니라면 모노이드를 이루지 않는다.
하나의 원소로 생성되는 반군은 항상 가환 반군이며, 다음 두 경우 가운데 하나와 동형이다.
마찬가지로, 하나의 원소로 생성되는 모노이드는 항상 가환 모노이드이며, 다음 두 경우 가운데 하나와 동형이다.
크기가 formula_174인 반군의 동형류의 수는 다음과 같다. (formula_226. 모노이드와 그 반대 모노이드는 일반적으로 서로 동형이 아니라고 간주한다.)
만약 반군과 그 반대 반군을 동치로 놓았을 때, 동치류의 수는 다음과 같다. (formula_226)
만약 반군과 그 반대 반군을 동치로 놓았을 때, 정확히 1개의 멱등원을 갖는 반군의 동치류의 수는 다음과 같다.
정확히 2개의 멱등원을 갖는 반군의 동형류의 수는 다음과 같다.
크기가 formula_174인 가환 반군의 동형류의 수는 다음과 같다.
크기가 0인 반군은 공반군 밖에 없고, 크기가 1인 반군은 자명군 밖에 없다. 크기가 2인 반군은 총 5개가 있다.
크기가 3인 반군은 총 24개가 있다. 이 가운데 모노이드가 아닌 것은 17개이며, 다음과 같다. 아래 목록에서 표시는 반군의 표시이며, 영원의 경우 항상 0으로 표기하며 이에 대한 관계 (formula_236 등)는 생략하였다.
1904년에 장아르망 드 세기에(, 1862~1935)가 최초로 반군()이라는 용어를 사용하였으나, 드 세기에는 이를 오늘날과 달리 "소거 반군"의 뜻으로 사용하였다. 1908년에 해럴트 힐턴(, 훗날 해럴드 심프슨()으로 개명, 1876~1974)은 최초로 영어 문헌에서 "반군"()이라는 용어를 사용하였으며, 힐턴은 반군을 오늘날과 같이 정의하였다.
반군에 대한 최초의 (자명하지 않은) 정리들은 하인리히 브란트(, 1886~1954)의 1926년 논문과 안톤 카시미로비치 수시케비치(, 1889~1961)의 1928년 논문이다. 앨프리드 호블리첼 클리퍼드(, 1908~1992)는 수시케비치의 구조 정리들을 일반화하였다.
데이비드 리스(, 1918~2013)는 1947년에 역원 반군()의 개념을 도입하였고, 예브게니 세르게예비치 랴핀(, 1914~2005)와 고든 프레스턴(, 1925~2015)은 그 이론을 발전시켰다. 이 밖에도, 제임스 알렉산더 그린(, 1926~2014), 존 매킨토시 하위(, 1936~2011) 등이 반군 이론에 공헌하였다. 특히, 그린은 1951년에 그린 관계를 도입하였다.
사무엘 에일렌베르크(1913~1998)와 마르셀폴 쉬첸베르제(, 1920~1996)는 반군 이론을 자동기계 이론에 응용하여 발전시켰다. 특히, 쉬첸베르제는 1957년에 쉬첸베르제 군을 도입하였다.
크론-로즈 정리는 미국의 케네스 크론()과 존 루이스 로즈(, 1937~)가 1965년 박사 학위 논문에서 발표하였다.
1961년~1967년에 클리퍼드와 프레스턴은 당시 알려진 반군 이론을 체계화하여, 반군 이론에 대한 최초의 책을 출판하였다.