호모토피 군
대수적 위상수학에서, 호모토피 군(homotopy群, )은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 formula_1.
두 위상 공간 formula_2, formula_3에 대하여, formula_4는 formula_5 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 마찬가지로, 점을 가진 공간 formula_6, formula_7에 대하여, formula_8는 점을 보존하는 formula_5 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.
임의의 점을 가진 공간 formula_6의 formula_11차 호모토피 군() formula_12은 다음과 같다.
여기서 formula_14은 (임의로 밑점을 준) formula_11차원 초구이다.
아벨 군 formula_16 및 양의 정수 formula_17에 대하여,
피터슨 공간() formula_18은 유일한 차원에서 주어진 축소 코호몰로지를 갖는 위상 공간이다.
만약 formula_16가 유한 생성 아벨 군이며 formula_21라면 피터슨 공간은 항상 존재하며, 추가로 formula_22이라면 그 호모토피 유형은 formula_23에 의하여 유일하게 결정된다. (그러나 formula_16가 유한 생성 아벨 군이 아니라면 피터슨 공간은 존재하지 않을 수 있다.)
formula_25에 임의로 밑점을 잡았을 때, formula_16 계수의 formula_11차 호모토피 군() formula_28는 다음과 같다.
초구 formula_14은 (formula_31일 경우) 피터슨 공간 formula_32이므로, formula_33이다.
점을 보존하는 호모토피류의 집합 formula_8의 군의 구조는 H-군() 및 H-쌍대군()의 개념을 통해 정의된다.
(점을 가진) H-군은 점을 가진 공간의 호모토피 범주 formula_35에서의 군 대상이며, H-쌍대군은 그 반대 범주 formula_36에서의 군 대상이다. 보다 구체적으로, H-군 formula_37는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이들은 군의 정의와 유사한 공리들을 만족시키지만, 모든 법칙은 "호모토피 아래" 성립한다. 예를 들어, 결합 법칙은 일반적으로 엄격히 성립하지 않지만, 다음과 같은 "호모토피 결합 법칙"이 성립한다.
마찬가지로, H-쌍대군 formula_43는 H-군의 정의에서 사상의 방향을 모두 뒤집은 것이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.
예를 들어, 모든 위상군은 H-군을 이룬다. 초구의 경우, H-군을 이루는 것은 formula_47, formula_48, formula_49밖에 없으며, 이들은 모두 리 군을 이룬다. (formula_50은 단위 팔원수의 집합으로 생각한다면 항등원을 갖는 마그마를 이루지만, 이는 H-군을 이루지 못한다.)
양의 정수 차원의 초구는 자연스럽게 H-쌍대군을 이룬다. 구체적으로, formula_31일 경우 formula_14 위에는 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다.
그렇다면, formula_55차원 세포 formula_62에 대한 몫공간 formula_63을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.
이 몫공간 함수 formula_65을 쌍대곱셈으로 삼으면, formula_14은 H-쌍대군을 이룬다.
보다 일반적으로, 임의의 점을 가진 공간 formula_2에 대하여, 그 축소 현수 formula_68는 H-군을 이루며, 마찬가지로 그 고리 공간 formula_69는 H-쌍대군을 이룬다. 구체적으로, formula_69 위의 곱셈은 다음과 같다.
여기서
이다. 마찬가지로, 임의의 점을 가진 공간 formula_2에 대하여, 축소 현수 formula_76 위의 쌍대곱셈은 다음과 같다.
여기서 formula_78는 분쇄곱이며 formula_40는 쐐기합이다. 초구의 경우 formula_80이므로, 초구의 H-쌍대군 구조는 현수의 쌍대군 구조의 특수한 경우이다.
또다른 예로, 에일렌베르크-매클레인 공간
을 생각하자. 위 호모토피 동치에 의하여, 모든 아벨 군 formula_16 및 자연수 formula_11에 대하여 에일렌베르크-매클레인 공간 formula_84은 H-군을 이룬다. 마찬가지로, 피터슨 공간 formula_85의 경우
이 성립한다. 따라서, 유한 생성 아벨 군 formula_16 및 formula_22의 경우 피터슨 공간 formula_18은 항상 H-쌍대군을 이룬다.
호모토피 군들 위에는 다양한 대수적 구조들이 존재한다.
일반적으로, 만약 formula_2가 H-쌍대군의 구조를 가지거나, formula_3가 H-군의 구조를 가진다면 호모토피류 집합 formula_8은 군의 구조를 가진다. 구체적으로, 만약 formula_3가 곱셈 formula_94에 대한 H-군이며, formula_95라면, formula_8 위의 군 연산 formula_97는 formula_98의 호모토피류이다.
마찬가지로, 만약 formula_2가 쌍대곱셈 formula_101에 대한 H-쌍대군이며, formula_95라면, formula_8 위의 군 연산 formula_97는 formula_105의 호모토피류이다.
특히, 축소 현수 formula_108와 고리 공간 formula_109는 서로 수반 함자를 이루므로
이며, 이 경우 formula_111의 H-군 구조를 통한 군 구조와 formula_68의 H-쌍대군 구조를 통한 군 구조는 서로 일치한다.
호모토피류 집합이 군을 이루는 특수한 경우는 다음과 같다.
(정수 계수) 호모토피 군 formula_1의 경우 formula_114이라면 초구는 H-쌍대군을 이루므로 군의 구조를 가진다. (그러나 경로 연결 성분의 집합 formula_115은 formula_3가 H-군이 아니라면 일반적으로 군을 이루지 않는다.) 이 군 연산은 구체적으로 다음과 같다. 우선, 초구 formula_14은 하이퍼큐브 formula_118의 경계를 한 점으로 이어붙여 얻을 수 있다.
따라서, 연속 함수 formula_121의 호모토피류는 다음과 같은, 하이퍼큐브를 정의역으로 하는 함수들의 호모토피류로 나타낼 수 있다.
이러한 두 함수 formula_124가 주어졌을 때, 군의 이항 연산을 다음과 같이 정의하자.
이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 군의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.
formula_126인 경우 (기본군) 이는 아벨 군이 아닐 수 있지만, formula_21일 경우 모든 호모토피 군은 아벨 군이다.
유한 생성 아벨 군 formula_16 및 formula_22에 대하여, 피터슨 공간 formula_18은 H-쌍대군을 이루므로,
계수를 가진 호모토피 군 formula_28은 자연스럽게 군의 구조를 가진다. 만약 추가로 formula_132라면 이는 아벨 군을 이룬다.
아벨 군 formula_16 계수의 축소 코호몰로지는 에일렌베르크-매클레인 공간 formula_84으로 표현된다.
에일렌베르크-매클레인 공간은 항상 H-아벨 군의 구조를 가지므로, 축소 코호몰로지는 항상 아벨 군을 이룬다.
프로이덴탈 현수 정리에 따르면, 만약
다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
따라서, 이 경우 formula_4는 자연스럽게 군을 이룬다.
호모토피 군은 특이 호몰로지 formula_145과 관련이 있다. 후레비치 정리()에 의하여, 후레비치 준동형()이라는 자연스러운 함수
가 존재하며, formula_31일 경우 이는 군 준동형을 이룬다.
후레비치 준동형은 함자
사이의 자연 변환
을 이룬다. (만약 formula_151일 경우, 함자의 공역을 아벨 군의 범주 formula_152 대신 집합의 범주 formula_153로 놓아야 한다.) 따라서 축소 현수 formula_108에 대하여
가 가환한다.
세르 올뭉치 formula_156에서, 밑점 formula_157을 고르자. 또한, formula_158가 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 호모토피 군들에 대한 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
여기서 formula_160에 대한 사상들은 군 준동형이 아니라 단순히 함수이지만, 이는 여전히 완전열을 이룬다 (즉, 상이 핵과 일치한다).
경로 연결 공간 formula_2의 호모토피 군들 위에는 화이트헤드 괄호()라는 다음과 같은 연산이 존재한다.
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 연속 함수
가 주어졌다고 하자. 초구의 곱공간 formula_165은 쐐기합 formula_166에 formula_167-세포룰 붙여 얻을 수 있다. 이 붙임 사상을
라고 하자. 만약 formula_169이라면 formula_170는 밑점을 보존하게 잡을 수 있다. 이를 formula_171와 formula_172의 쐐기합
과 합성하여
를 정의할 수 있다.
그렇다면, formula_175와 formula_176의 화이트헤드 괄호는 다음과 같다.
화이트헤드 괄호는 반대칭이며, formula_179-쌍선형이며, [[야코비 항등식]]을 만족시킨다. 그러나 화이트헤드 괄호는 일반적으로 교대 연산이 아니므로 (즉, formula_180일 수 있다) 정수환 위의 [[리 대수]]를 이루지 않는다. 다만, [[꼬임 부분군]]에 대하여 몫을 취하면 이는 [[정수환]] 위의 [[등급 리 대수]]를 이룬다. 이때, formula_181의 등급을 formula_182로 잡아야 한다.
[[점을 가진 공간]] formula_6의 [[기본군]] formula_184은 고차 호모토피 군 formula_12 (formula_31) 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, 따라서 고차 호모토피 군은 [[기본군]]의 [[군의 가군|가군]]을 이룬다.
구체적으로, formula_2 속의 두 점 formula_188 및 이를 잇는 곡선
이 주어졌다고 하자. 구의 밑점의 포함 함수 formula_192는 닫힌 [[상 (수학)|상]]을 가진 포함 함수이므로 공변올뭉치()를 이룬다. 즉, 호모토피 확대 성질을 만족시킨다. 따라서, formula_193와 formula_194 사이의 [[호모토피]] formula_189를 formula_196에서 formula_197 사이의 [[호모토피]]로 유일하게 확대할 수 있다. 이에 따라, formula_170는 서로 다른 밑점에 대한 호모토피 군 사이의 [[동형]]
을 정의하며, 이는 formula_170의 [[호모토피류]]에만 의존한다. 특히, formula_201일 경우, formula_202가 되며, 따라서 formula_184는 formula_12 위에 작용한다.
formula_126일 경우, [[기본군]]의 스스로 위의 [[군의 작용|작용]]은 [[켤레류|켤레]] 작용 formula_206이다. (기본군의 formula_160 위의 작용은 자명하다.)
기본군의 모든 차수 호모토피 군에 대한 작용이 자명한 [[점을 가진 공간]]을 단순 공간()이라고 한다. 특히, 단순 공간의 기본군은 (켤레 작용이 자명하므로) [[아벨 군]]이어야 한다.
호모토피 군은 호모토피 불변량이다. 즉, 같은 [[호모토피 유형]]을 가진 두 [[점을 가진 공간]]의 호모토피 군은 서로 동형이다.
0차 호모토피 "군" (사실 집합) formula_208는 formula_209에 의존하지 않으며, formula_2의 [[경로 연결 성분]]들의 집합과 같다. 만약 formula_2가 [[리 군]]의 구조를 갖는다면, formula_115는 자연스럽게 군의 구조를 갖는다.
1차 호모토피 군은 [[기본군]]이라고 부른다. 2차 이상의 호모토피 군은 항상 [[아벨 군]]이지만, 기본군은 일반적으로 아벨 군이 아니다.
호모토피 군은 일반적으로 원점에 의존하나, 만약 공간이 [[경로 연결 공간]]이라면 원점에 의존하지 않는다.
위상 공간 formula_2와 formula_3가 주어지면, 다음이 성립한다.
[[특이 호몰로지]]는 [[쐐기합]]과 같은 [[당김 (범주론)|당김]]에 대하여 간단하지만, [[밂 (범주론)|밂]]에 대해서는 복잡하다. 반면 호모토피 군은 밂에 대하여 간단하지만 당김에 대하여 복잡하다. 특히, 공간들의 [[쐐기합]]의 호모토피 군은 일반적으로 복잡하다. 다만, [[기본군]]의 경우, 쐐기합의 기본군은 군의 [[자유곱]]이다. [[초구]]의 [[쐐기합]]의 기본군은 힐튼 정리()에 의하여 주어진다.
보다 일반적으로, [[존 밀너]]는 힐튼 정리를 다음과 같이 힐튼-밀너 정리()로 일반화하였다. 이에 따르면, 연결 [[CW 복합체]] formula_216이 주어졌을 때, 그 [[쐐기합]] formula_217의 [[현수 (위상수학)|현수]] formula_218의 [[고리 공간]]
은 formula_220들의 [[분쇄곱]]의 [[고리 공간]]들의 특정한 무한 [[곱공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.
[[연결 공간|연결]] [[매끄러운 다양체]] formula_16에 [[리 군]]의 구조를 줄 수 있다면, 그 호모토피 군은 항상 다음과 같은 성질을 보인다.
또한, formula_16의 짝수 차수 호모토피 군은 모두 [[꼬임 부분군|꼬임 성분]]밖에 없다. (즉, 짝수 차수 [[유리수]] 계수 호모토피 군은 0차원이다.) 이는 [[유리수 호모토피 이론]]을 사용하여 보일 수 있다.
[[리 군]] formula_16의 극대 콤팩트 부분군 formula_227가 주어졌을 때, formula_16는 formula_229로의 [[변형 수축]]을 가지며 ([[이와사와 겐키치]] 증명), 따라서 서로 [[호모토피 동치]]이다. (리 군은 여러 개의 극대 콤팩트 부분군을 가질 수 있지만, 이들은 모두 서로 [[호모토피 동치]]이다.) 따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 콤팩트 리 군의 경우로 귀결된다.
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리 군]]에 대하여, 이와 [[유리수 호모토피 이론|유리수 호모토피 동치]]인 [[초구]]들의 [[곱공간]]이 존재한다. 즉, 계수 formula_230의 콤팩트 리 군 formula_16에 대하여, 어떤 [[연속 함수]]
가 존재하여, formula_171는 유리수 계수 호모토피 군의 동형을 유도한다.
따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 [[초구]]의 호모토피 군의 계산으로 귀결된다. 후자는 일반적으로 매우 어렵다.
[[기본군]]은 [[자이페르트-판 캄펀 정리]]를 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 반면, 고차 호모토피 군의 계산은 (심지어 [[초구]]와 같은 간단한 경우에도) 일반적으로 매우 어렵다.
[[한원소 공간]] formula_235의 경우, 모든 호모토피 군은 [[자명군]]이다. (즉, 0차 호모토피 군은 [[한원소 집합]]이다.)
보다 일반적으로, [[비이산 공간]] formula_237에서 임의의 점을 밑점으로 잡자. 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는 모든 함수는 [[연속 함수]]이며, 따라서 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는, 같은 정의역을 갖는 모든 함수들은 같은 [[호모토피류]]에 속한다. 따라서, [[비이산 공간]]의 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.
[[이산 공간]] formula_237에서 임의의 점 formula_239을 밑점으로 잡자. 이산 공간을 [[공역]]으로 하는 [[연속 함수]]는 [[국소 상수 함수]] 밖에 없다. [[하이퍼큐브]] formula_118은 [[연결 공간]]이므로, [[이산 공간]]formula_237 위의 호모토피 군 formula_242은 다음과 같다.
즉, formula_245는 formula_237와 표준적인 [[일대일 대응]]을 가지며, 고차 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.
[[원환면]] formula_247의 호모토피 군은 다음과 같다.
이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 비구면 공간()이라고 한다.
[[초구]] formula_251의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 [[구 (기하학)|구]]의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.
일반적으로, [[연결 공간|연결]] [[리 군]] formula_16의 호모토피 군은 다음과 같다.
흔히 쓰이는 [[리 군]]의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 [[보트 주기성]]에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.
1차 호모토피 군인 [[기본군]]은 [[앙리 푸앵카레]]가 1895년에 정의하였다.
[[에두아르트 체흐]]는 1932년 [[취리히]] [[국제 수학자 대회]]에서 최초로 고차 호모토피 군을 정의하였으나, 고차 호모토피 군이 [[기본군]]과 달리 모두 [[아벨 군]]이라는 사실이 밝혀지면서 체흐는 이 개념의 연구를 포기하였다.
이후 [[폴란드]]의 [[비톨트 후레비치]]()가 1935년에 고차 호모토피 군의 개념을 재발견하였고, [[후레비치 준동형]]을 정의하였다. 1941년에 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]는 호모토피 군 위의 화이트헤드 괄호를 정의하였다.
[[아벨 군]] 계수를 가진 호모토피 군은 프랭클린 폴 피터슨(, 1930~2000)이 1956년 박사 학위 논문에서 도입하였다.
[[분류:호모토피 이론]]