함수의 극한
해석학에서, 함수의 극한()은 독립 변수가 일정한 값에 한없이 가까워질 때, 함수의 값이 한없이 가까워지는 값이다. 함수의 극한은 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있다. 실수를 비롯한 거리 공간의 경우, 함수의 극한 개념은 엡실론-델타 논법을 사용하여 엄밀히 정의된다. 임의의 위상 공간에서도 함수의 극한을 정의할 수 있다.
열린구간 formula_1 및 실수 함수 formula_2에 대하여, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_5이다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
정의에 따라, formula_3에서 formula_4의 극한은 formula_3 부근에서 formula_4의 행위와 상관이 있으나, formula_3에서의 함숫값과 상관 없으며, 심지어 formula_3에서 정의되었는지와 상관 없다.
단측 극한(單側極限, ) 또는 한쪽 극한은 보다 더 약한 개념의 극한이며, 좌극한(左極限, )과 우극한(右極限, )으로 나뉜다. 이들은 다음과 같이 정의된다. 실수 함수 formula_18에 대하여, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 좌극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_5이다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
비슷하게, 실수 함수 formula_28에 대하여, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 우극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_5이다.
또한, 이를 다음과 같이 표기한다.
정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. 열린구간 formula_38 및 실수 함수 formula_39 및 formula_38의 부분 집합 formula_41 및 그 극한점 formula_42에 대하여, 부분 집합 formula_43의 범위에서 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_46이다.
좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 formula_52인 열린구간 formula_1가 존재한다면, 이는 일반적인 극한과 동치이며, 이 경우 기호 formula_54를 생략할 수 있다.
실수 점 대신 무한대 점에서의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 실수 함수 formula_55에 대하여, 무한대에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_57이다.
비슷하게, 실수 함수 formula_62에 대하여, 음의 무한대에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_64이다.
실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 formula_1 및 실수 함수 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 무한대라고 하며, formula_73라 표기한다.
비슷하게, formula_4가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 음의 무한대라고 하며, formula_81라 표기한다.
이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다.
극한의 종류가 많으므로 가장 일반적인 경우만을 생각하자. (좌극한 · 우극한 · 범위 안 극한 · 무한대에서의 극한 · 무한대 극한의 성질도 이와 비슷하다.)
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하다. 이는 함수의 극한에 표기 formula_86를 사용할 수 있는 이유이다.
열린구간 formula_1 및 실수 함수 formula_2에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
간단하게 절댓값을 풀고 묶는 과정이다.
(충분조건) 모든 양의 실수 formula_101에 대해 formula_102을 만족하는 어떤 양의 실수 formula_103가 존재한다. 이 때 formula_104의 두가지 경우가 존재한다.첫 번째 경우 formula_105이고 두 번째 경우 formula_106이다. 따라서 좌극한과 우극한의 정의에 의하여 formula_107이다.그러므로 formula_10은 formula_107의 충분조건이다.
(필요조건) 모든 양의 실수 formula_101에 대해 formula_111와 formula_112를 만족하는 어떤 양의 실수 formula_113가 존재한다.formula_103를 formula_115로 잡아주면, formula_116이다. 이때 formula_117라면 formula_118이다.마찬가지로 formula_119라면 formula_120이다. 따라서 극한의 정의에 의하여 formula_10이다.그러므로 formula_10은 formula_107의 필요조건이다.
어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 함수는 그 점에서 국소 유계 함수이다. 즉, 열린구간 formula_1 및 formula_3에서 극한이 존재하는 함수 formula_2에 대하여, 항상 다음을 만족시키는 빠진 근방 formula_127 및 양의 실수 formula_59이 존재한다.
함수의 극한은 순서를 보존한다. 즉, 열린구간 formula_1 및 formula_3에서 극한이 존재하는 함수 formula_133에 대하여, 서로 대우인 다음 두 성질이 성립한다.
귀류법을 이용한다. 결론을 부정하여 formula_140이라 가정하자. 극한의 5번째 성질에 의하여 formula_141이다. 가정에 의하여 formula_142이므로 극한의 정의에 의하여 formula_143를 만족하는 어떤 양의 실수 formula_103가 존재한다. 어떤 수의 절댓값은 그 수보다 크거나 같으므로 formula_145이다. 정리하면 formula_146이므로 이는 전제에 대해 모순이다. 그러므로 formula_147이다.
함수의 극한은 사칙 연산을 보존한다. 즉, 열린구간 formula_1 및 formula_3에서 극한이 존재하는 함수 formula_133에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.
만약 추가로 어떤 빠진 근방 formula_127에서 항상 formula_155이라면,
함수의 극한의 엄밀한 정의인 엡실론-델타 논법을 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
그 밖에, 함수의 극한에 대하여 로피탈의 정리가 성립한다.
함수의 극한의 예는 다음과 같다.
다음과 같은 등위 무한소 기호를 도입하자.
그렇다면, 다음과 같은 관계들이 성립한다.
유클리드 공간 formula_243의 연결 열린집합 formula_244 및 함수 formula_245에 대하여, 점 formula_246에서 함수 formula_247의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 formula_248이다.
또한, 점 formula_246에서 함수 formula_247의 다중 극한은 반복적으로 각각의 변수에 대하여 극한을 취한 것이다. 즉, 다음과 같다. (다중 극한과 극한은 서로 필요 조건도 아니고 충분 조건도 아니다.)
비슷하게 다른 종류의 극한을 정의할 수 있다. 즉, 유클리드 공간 formula_243의 연결 열린집합 formula_257 및 함수 formula_258 및 formula_259의 부분 집합 formula_260 및 그 극한점 formula_261에 대하여, 집합 formula_43의 범위에서 점 formula_246에서 함수 formula_247의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 formula_265이다.
두 유클리드 공간 사이의 함수의 극한에 대하여, 실수와 비슷한 성질들이 성립한다. 즉, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다면, 이는 유일하며, 그 점을 포함하는 어떤 열린 공에서 유계 함수이다. 어떤 점에서 두 함수의 극한이 존재한다면, 그 함수의 선형 결합의 극한은 함수의 극한의 선형 결합과 같다. 또한, 어떤 점에서 함수의 극한이 존재한다는 것은 극한과 닿지 않는 모든 수열의 극한을 보존한다는 것이다. 공역이 1차원 유클리드 공간(즉 실수 공간)인 경우, 극한은 순서를 보존하며, 샌드위치 정리가 성립한다.
연결 열린집합 formula_244 및 함수 formula_245 및 점 formula_273에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
이에 따라, 다변수 함수의 극한의 개념은 공역이 실수 공간인 경우로 귀결된다.
함수가 극한을 갖는 점에서 다중 극한을 가질 필요는 없으며, 반대로 다중 극한을 가지는 점에서 극한을 가질 필요는 없다. 예를 들어, 함수
는 검증
에 따라, formula_279에서 극한을 갖지 못하지만, 다중 극한 1을 갖는다.
또한, 함수
는 검증
에 따라, formula_279에서 극한 0을 갖지만, 다중 극한을 갖지 못한다.
그러나, 만약 일반 극한과 다중 극한이 모두 존재한다면, 둘은 서로 같다.
두 거리 공간 formula_285, formula_286 사이의 함수 formula_287에 대하여, 점 formula_288에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 점 formula_290이다.
같은 집합 위의 서로 다른 거리 함수에 대하여 서로 다른 함수의 극한을 정의 내릴 수 있다. 구분이 필요한 경우, 거리 함수 formula_295에 대한 함수의 극한을 formula_296와 같이 표기하자. 특히, 노름 formula_297에 의해 유도되는 거리 함수에 대한 함수의 극한을 formula_298와 같이 표기하자.
두 거리 공간 formula_285, formula_286 사이의 함수 formula_287 및 점 formula_302에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이에 따라, 거리 공간 위의 함수의 극한은 공역이 (표준적인 거리 함수를 갖춘) 실수 공간인 경우로 귀결된다.
연결 열린집합 formula_244 및 함수 formula_245 및 점 formula_273에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
즉, 유클리드 공간 위의 L 노름 (formula_308)에 대한 함수의 극한은 서로 동치이다. 그러나, 이는 무한 차원의 경우 성립하지 않는다.
라이프니츠는 곡선위에 있는 한 점의 기울기를 나타내기 위해 함수의 극한을 도입하였다.