직교군
군론에서, 직교군(直交群, )은 주어진 체에 대한 직교 행렬의 리 군이다.
체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_2 위에 비퇴화 이차 형식
가 주어졌다고 하자. (만약 formula_1의 표수가 2가 아니라면, 이는 formula_2 위의 대칭 비퇴화 쌍선형 형식과 같다.) 그렇다면, 직교군 formula_6는 formula_2 위의 가역 선형 변환들 가운데, formula_8를 보존하는 것들로 구성된 군이다.
이는 대수적 조건이므로, 직교군은 체 formula_1에 대한 대수군이다. 또한, 만약 formula_1가 실수체나 복소수체라면, 직교군은 리 군을 이룬다.
만약 formula_2가 formula_13차원 벡터 공간이며, formula_8가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 formula_15로 쓴다.
실베스터 관성 법칙에 의하여, 실수체 formula_16 위의 비퇴화 이차 형식은 계량 부호수 formula_17에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 formula_18와 같이 쓴다.
직교군에서 2차 순환군으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
이 준동형을 딕슨 불변량(Dickson不變量, )이라고 한다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면 이는 행렬식 formula_21과 같다. (표수가 2인 체의 경우, 모든 직교행렬의 행렬식은 1이다.)
특수직교군(特殊直交群, ) formula_22는 딕슨 불변량의 핵이다.
즉, 딕슨 불변량이 0인 직교 행렬의 리 군이다. 만약 체의 표수가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 리 군이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족한다.
특수직교군 formula_25에 대하여, 그렇다면 다음 짧은 완전열을 만족시키는 유일한 연결 리 군 formula_26이 존재한다.
이 리 군을 스핀 군()이라고 한다.
formula_28일 경우, 스핀 군은 특수직교군의 범피복 공간이다. (formula_29일 경우는 물론 formula_30이고, 그 범피복 공간은 formula_31이다.)
마찬가지로, 직교군의 두 겹 피복군인 핀 군()을 정의할 수 있다. 스핀 군과 핀 군은 다음과 같은 가환 그림을 만족시키며, 이 가환 그림에서 모든 행과 열은 짧은 완전열을 이룬다.
실수체 또는 복소수체 위의 직교군은 리 군을 이루며, 이에 대응하는 리 대수를 정의할 수 있다. 이는 formula_33 또는 formula_34와 같이 쓴다 (formula_35).
formula_36는 formula_37 정사각 실수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이며, formula_38는 정사각 복소수 반대칭 행렬들로 구성된 리 대수이다.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_2 위의 이차 형식 formula_8의 직교군 formula_6에 대하여, 스피너 노름()은 다음과 같은 군 준동형이다.
여기서 formula_46는 formula_47에 대한 반사이며, 다음과 같이 정의된다.
직교군의 모든 원소는 이와 같은 반사의 합성으로 나타낼 수 있다.
formula_49은 다음과 같은 특수한 실수 형태를 갖는다. 이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다.
우선, 체 formula_1 위의 formula_51차원 벡터 공간 formula_2 위에 심플렉틱 구조
가 주어졌다고 하자. 적절한 기저에서 이는
의 꼴이다. 그렇다면,
위에 다음과 같은 조건을 가할 수 있다.
즉, formula_57를 formula_58 행렬로 간주하였을 때, 다음 조건이다.
마찬가지로,
이다.
그렇다면, 실수 리 대수 formula_61는 formula_49의 실수 형태이다.
체 formula_1에 대한 직교군의 중심은 다음과 같다.
만약 formula_1의 표수가 2가 아니라면, 중심의 크기는 2이며, 만약 formula_1의 표수가 2라면 중심의 크기는 1이다. 체의 표수가 2가 아닐 때, 만약 formula_13이 짝수라면 중심의 두 원소 모두 특수직교군에 속하지만, formula_13이 홀수라면 그렇지 않다.
중심에 대하여 몫군을 취하면, 사영 직교군()
을 얻는다.
마찬가지로, 스핀 군의 중심은 다음과 같다.
복소수 리 군 formula_73는 formula_74일 경우 단순 리 군이다. 단순 리 군의 분류에서, 이는 만약 formula_75이라면 formula_76에, 만약 formula_77라면 formula_78에 해당하며, 그 딘킨 도표는 다음과 같다.
formula_25는 formula_73의 콤팩트 실수 형식이다. 분해 실수 형식은 짝수 차수에서는 formula_83이며, 홀수 차수에서는 formula_84이다.
formula_85의 극대 원환면은 다음과 같다.
여기서
는 2×2 회전 행렬이다. formula_88의 극대 원환면은 다음과 같다.
formula_88의 바일 군은 반직접곱
이다. 여기서 formula_92는
와 같이 작용하며, 순열 formula_94는
와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 formula_96의 원소는 블록 대각 행렬
이며, formula_99의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 formula_100 순열 행렬에 formula_101번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.
formula_85의 바일 군은 반직접곱
이다. 포함 관계
아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
이며, formula_106는 다음과 같다.
실수 직교군 formula_108은 formula_109차원의 리 군이며, 콤팩트 공간이다. 두 개의 연결 성분을 가지며, 이들은 각각 행렬식 formula_110인 실수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 연결 공간인 실수 특수직교군 formula_25를 이룬다.
복소수 직교군 formula_112은 복소수 formula_109차원(실수 formula_114차원)의 복소수 리 군이자 대수군이다. formula_115인 경우, 복소수 직교군은 콤팩트하지 않다. 복소수 직교군은 두 개의 연결 성분을 가지며, 이는 각각 행렬식이 formula_110인 복소수 직교행렬들로 구성된다. 그 중 행렬식이 +1인 성분은 복소수 특수직교군 formula_73를 이룬다.
실수 또는 복소수 특수직교군의 기본군은 다음과 같다.
이에 따라, 실수 특수직교군의 범피복 리 군을 취하면 formula_29에서는 formula_31를, formula_28에서는 스핀 군 formula_26을 얻는다.
부정부호 실수 직교군 formula_123 (formula_124)는 네 개의 연결 성분을 가지며,
이다. 여기서 한 formula_126는 formula_127차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정되며, 다른 하나는 formula_128차원 부분 공간에서의 방향에 의하여 결정된다. formula_129는 두 개의 연결 성분을 가지며, 이 경우
이다. formula_129의 연결 부분군을 formula_132라고 한다.
부정부호 실수 직교군의 기본군은 다음과 같다.
호프 올뭉치
로 인하여, 만약 formula_135이라면
이다. 즉, 직교군의 호모토피 군들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.
이 주기성을 보트 주기성()이라고 한다. 불안정 호모토피 군은 낮은 차원에서는 직접 계산할 수 있으며, 다음과 같다. (굵은 지그재그 아래의 칸들은 안정 호모토피 군, 위의 칸들은 불안정 호모토피 군들이다.
특수직교군 및 스핀 군의 호모토피 군은 다음과 같이 다르다.
다음과 같은 무한 직교군 formula_141을 범주론적 쌍대극한으로 정의할 수 있다.
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 고리 공간과 호모토피 동치이다.
무한 차원 분해 가능 실수 힐베르트 공간 formula_145의 직교군 formula_146는 formula_141와 다르다. 작용소 노름에 의한 위상을 주었을 때, formula_146는 축약 가능 공간이며, 따라서 모든 호모토피 군이 자명하다.
모든 formula_13에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
또한, 예외 단순군에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 예외적 동형()을 보인다.
formula_192가 표수가 2가 아닌 유한체라고 하자. 이 경우, 주어진 차원의 벡터 공간 formula_193 위의 비퇴화 이차 형식은 정확히 두 개의 동형류가 있다..
홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 formula_194에 대하여 이 두 이차 형식은 서로 비례한다. 즉, 이 두 동형류는 formula_195과 formula_196의 꼴이다 (formula_197는 제곱수가 아닌 임의의 원소). 따라서 이 경우 직교군 formula_198은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, 플러스형과 마이너스형 두 종류로 분류된다. 비트 지표가 formula_199인 것을 플러스형, formula_200인 것을 마이너스형이라고 한다. 플러스형과 마이너스형에 대응하는 직교군들은 각각 formula_201라고 쓴다.
표수가 2가 아닌 유한체 formula_192 (formula_203, formula_127 소수)의 직교군의 크기는 다음과 같다.
표수가 2인 체 위의 직교군은 다음과 같은 특수한 성질을 보인다.
구체적으로, 표수 2인 체 위의 이차 형식의 연관 대칭 쌍선형 형식은 교대 쌍선형 형식이므로, 이에 대응하는 심플렉틱 군의 부분군이다.
직교군은 물리학에서 널리 응용된다. SO(3) 및 그 피복군 Spin(3)는 3차원 공간의 회전을 나타내며, 그 표현론은 양자역학에 핵심적이다.
특수 상대성 이론에서는 민코프스키 공간의 (중심을 고정시키는) 대칭군인 부정부호 직교군 O(3,1)이 핵심적인 역할을 하며, 이 군을 로런츠 군이라고 한다. 로런츠 군의 표현론은 상대론적 양자장론에서 핵심적이다. 더 시터르 공간 및 반 더 시터르 공간의 대칭군 역시 부정부호 직교군 O(4,1) 및 O(3,2)이다.
등각 장론에서, formula_17-차원 시공간의 등각 대칭군은 formula_209이다. 이 대칭군이 반 더 시터르 공간의 대칭군과 같다는 사실은 AdS/CFT 대응성에서 핵심적인 역할을 한다.
이 밖에도, SO(10)은 대통일 이론의 게이지 군으로 쓰인다.