거울 대칭
끈 이론과 호몰로지 대수학에서, 거울 대칭()은 서로 다른 두 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 끈 이론이 서로 동형인 현상이다. T-이중성을 일반화한 것으로 볼 수 있다.
초끈 이론은 10차원에서 존재하는 이론이다. 4차원에서의 초대칭을 보존하려면 이론을 6차원 칼라비-야우 다양체에 축소화하여야 한다.
거울 대칭에 따르면, (거의) 모든 칼라비-야우 다양체 formula_1에 대하여, 이에 대응하는 공간 formula_2가 존재한다. 이들의 돌보 코호몰로지 formula_3는 다음 관계를 만족한다.
이에 따라, formula_1에 축소화한 IIA형 초끈 이론은 formula_2에 축소화한 IIB형 초끈 이론과 동형이다.
거울 대칭의 대표적인 예는 N=(2,2) 게이지 선형 시그마 모형이다. 게이지 선형 시그마 모형은 게이지 보손을 포함하는 초다중항()과 물질을 포함하는 손지기 초다중항(), 그리고 비틀린 손지기 초다중항()을 이루는 장세기()의 페예-일리오풀로스 항을 가진다. 거울 대칭은 손지기 초다중항과 비틀린 손지기 초다중항을 서로 맞바꾼다. 호리 겐타로()와 캄란 바파는 2차원 게이지 선형 시그마 모형에 대하여 거울 대칭을 증명하였다.
이에 따라, 과녁 공간이 2차원 구인 비선형 시그마 모형은 사인-고든 모형과 대응하고, 보다 일반적으로 과녁 공간이 복소 사영 공간인 비선형 시그마 모형은 아핀 도다 모형()에 대응한다.
일반적으로, 칼라비-야우 다양체 위의 2차원 formula_7 초대칭 비선형 시그마 모형 (또는 란다우-긴즈부르크 모형)은 두 가지로 위상적 뒤틀림을 가해 위튼형 위상 양자장론을 이룰 수 있다. 이를 각각 A모형()과 B모형()이라고 한다. 거울 대칭은 A모형과 B모형을 관계짓는다. 이 때, 이 두 시그마 모형의 과녁 공간은 일반적으로 다르다. 즉, 거울 대칭은 서로 다른 칼라비-야우 다양체를 관계짓는다.
이들 위상 시그마 모형을 세계면 이론으로 하는 끈 이론을 위상 끈 이론이라고 한다. 거울 대칭은 위상 끈 이론으로 확장된다.
3차원 formula_8 (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭은 케네스 인트릴리가토어()와 나탄 자이베르그가 1996년에 제안하였다. 이에 따라, 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간의 쿨롱 가지()는 이에 대응하는 모형의 모듈러스 공간의 힉스 가지()에 대응한다. 즉, 대응은 다음과 같다.
이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다.
아미하이 하나니()와 에드워드 위튼은 곧 이는 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다. 이 과정에서 하나니와 위튼은 하나니-위튼 전이를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다.
스트로민저-야우-재슬로(SYZ) 가설()은 거울 대칭 짝을 T-이중성으로 해석하는 가설이다. SYZ 가설에 따르면, 거울 대칭 짝을 가지는 모든 복소 "n"차원 칼라비-야우 다양체는 T (실수 "n"차원 원환면) 올화()를 가지며, 이 올들은 특수 라그랑주 부분 다양체를 이룬다. 거울 대칭쌍 formula_9는 같은 공간 formula_10 위의 원환면 올다발 formula_11, formula_12를 이루며, 임의의 올 formula_13에 대하여 formula_14와 formula_15는
의 관계를 가진다. 이는 "n"차원 원환면 올에 T-이중성을 가하는 것으로 해석할 수 있다.
SYZ 가설(보다 일반적으로, 거울 대칭 자체)은 임의의 칼라비-야우 다양체에 대하여 성립하지 않고, 오직 칼라비-야우 다양체의 족(family)의 특정한 극한에서만 성립한다. 이는 큰 복소 구조 극한()인데, 이는 부피를 고정시키고 복소 구조 모듈러스 공간의 경계로 극한을 취하는 것이다. 예를 들어, 복소 구조와 켈러 구조를 갖춘 실수2차원 원환면(타원 곡선) formula_18의 경우, 원환면의 넓이를 고정시키며 복소 구조 formula_19의 극한 formula_20를 취하면 원환면은 길쭉하고 가는 직선으로 수렴하게 된다. 거울 대칭은 복소 구조와 켈러 구조를 맞바꾸므로, 큰 복소 구조 극한은 큰 부피 극한()에 대응한다.
물리학적으로, SYZ 가설은 IIB종 초끈 이론의 BPS D3-막의 모듈러스 공간을 사용하여 유도된다. D3-막이 BPS이려면, 막은 3차원 특수 라그랑주 부분 다양체를 이루어야 한다. 따라서, D3-막의 모듈러스 공간은 D3-막의 가능한 위치들의 공간 formula_10와, 주어진 위치에서 D3-막의 순수 게이지 윌슨 고리들의 공간으로 이루어진다. 후자는 수학적으로 평탄한 U(1) 접속들의 집합이며, D3-막의 모양이 formula_22라면 코호몰로지 formula_23에 의하여 주어진다. formula_24에 축소화한 IIB종 초끈 이론의 D3-막은 거울 대칭을 통해 formula_25에 축소화한 IIA종 초끈 이론의 D0-막과 같아야 한다. 즉, formula_24에서의 D3-막의 모듈러스 공간은 formula_25에서의 D0-막의 모듈러스 공간과 같아야 한다. 그러나 후자는 formula_25이다. 즉, formula_25는 올다발 formula_30 구조를 가지며, 그 올은 formula_17가 된다.
SYZ 가설은 1996년에 앤드루 스트로민저와 야우싱퉁, 에릭 재슬로()가 발표하였다.
막심 콘체비치는 호몰로지 대수학을 사용하여 거울 대칭을 수학적으로 엄밀하게 정의하였다. 이를 호몰로지 거울 대칭() 이 공로로 콘체비치는 기본물리학상을 2012년 수상하였다.
호몰로지 거울 대칭의 여러 특수한 경우가 증명되었다.
하지만 호몰로지 거울 대칭의 일반적인 증명은 아직 존재하지 않는다.
호몰로지 거울 대칭에 따르면, 거울 대칭 쌍 formula_32 사이에 다음과 같은 관계가 존재한다.
여기서 양변은 다음과 같다.
이 A/B-모형은 위상 끈 이론의 두 종류로, 끈 이론의 위상수학적인 부분만을 나타내는 장난감 모형이다.
거울 대칭의 가장 기본적인 경우는 (복소) 타원 곡선이다. 타원 곡선 formula_35는 위상수학적으로 2차원 원환면이다. 그 복소 구조의 모듈러스 공간은
이다. 여기서 formula_37는 열린 상반평면이며, formula_38는 모듈러 군이다. 만약 타원 곡선 대신 향이 주어진 타원 곡선을 고려하면, 모듈러 군의 두 생성원
가운데 formula_41만이 허용되고, 따라서 복소 모듈러스 공간은
이다.
반면, 그 켈러 구조는 켈러 형식 formula_43에 의하여 결정된다. 그 모듈러스 공간은 타원 곡선의 넓이
으로 나타낼 수 있다. (여기서 formula_45는 타원 곡선의 기본류이다.) 켈러 구조 formula_46에 끈 이론에서 등장하는 캘브-라몽 장 formula_47를 더하여 다음과 같은 복소화 켈러 구조() formula_48를 생각할 수 있다.
복소화 켈러 구조의 모듈러스 공간은 타원 곡선의 "복소화 넓이"에 의하여 분류된다.
즉, 복소화 켈러 구조의 모듈러스 공간(복소화 켈러 뿔 )은 formula_42이다. 따라서 유향 타원 곡선의 복소 구조 모듈러스 공간과 복소화 켈러 구조 모듈러스 공간이 formula_42로 일치함을 알 수 있다.
물리학적으로 한 타원 곡선 위에 축소화한 IIA종 초끈 이론이, 그 복소 구조와 복소화 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 타원 곡선 위에 축소화한 IIB종 초끈 이론과 동형이다. 이 경우의 거울 대칭은 단순히 T-이중성의 특수한 경우이다.
대표적인 예로, K3 곡면 위의 IIA종 끈 이론을 생각하자. K3 곡면의 모듈러스 공간은 총 58차원이다. 이 가운데 formula_53개는 켈러 모듈러스, 나머지 38개는 복소 구조 모듈러스에 해당한다. 여기에, 캘브-라몽 장에 의하여
개의 모듈러스가 추가된다. 이 가운데 formula_55개의 모듈러스는 K3 곡면 켈러 모듈러스와 함께 복소 20차원(실수 40차원)의 모듈러스를 이룬다. 나머지 40개의 모듈러스들은 (일반화) 복소구조 모듈러스로 간주한다. 이 밖에도, 딜라톤에 의한 하나의 모듈러스가 더 있다. 즉, 총 40+40+1=81개의 모듈러스가 존재한다.
거울 대칭은 40개의 (일반화) 복소구조 모듈러스를 40개의 (일반화) 켈러 구조 모듈러스와 맞바꾼다. 즉, K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론은, 복소 구조와 켈러 구조 모듈러스를 맞바꾼 K3 곡면에 축소화한 IIA종 끈 이론과 동형이다. 딜라톤 모듈러스는 바뀌지 않는다.
1990년대 초에 T-이중성을 확장하기 위하여 제안되었다.