클리퍼드 대수
환론에서, 클리퍼드 대수(Clifford代數, )는 이차 형식에 의하여 정의되는 결합 대수의 한 종류이다. 복소수체와 사원수환의 일반화이며, 외대수의 양자화로 여길 수 있다.
클리퍼드 대수의 개념은 다양하게 정의될 수 있다.
가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 위의 이차 형식 formula_3가 주어졌다고 하자. 그렇다면 클리퍼드 대수 formula_4는 다음 공리를 만족시키는, formula_2를 포함하는 가장 일반적인 formula_1-단위 결합 대수다.
즉, 범주론적으로 클리퍼드 대수는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
formula_1 위의 단위 결합 대수들의 범주 formula_9에서, formula_10를 만족시키는 임의의 대수 formula_11가 주어지면, 다음 그림을 가환시키는 유일한 대수 준동형 formula_12가 존재한다.
여기서 formula_14는 보통 생략한다.
이는 이차 공간(이차 형식을 갖춘 가군)의 범주 formula_15에서 단위 결합 대수의 범주로 가는 함자를 정의한다.
클리퍼드 대수는 구체적으로 다음과 같다.
여기서 formula_21는 formula_2에 대한 formula_1-텐서 대수
이며,
는 formula_26에 의하여 생성되는 양쪽 아이디얼이다.
이 경우
이므로, 두 벡터 원소의 반교환자는 formula_28의 연관 쌍선형 형식과 같다.
텐서 대수 formula_21는 자연스러운 자연수 등급을 갖는다.
클리퍼드 대수는 텐서 대수의 몫인데, 이 경우 몫을 취하는 아이디얼(로 정의되는 동치 관계)은 일반적으로 자연수 등급을 보존하지 않는다. 다만, 이 아이디얼은 formula_31 등급을 보존한다. 즉,
을 정의했을 때, 클리퍼드 대수를 구성하는 아이디얼은 위 formula_34 구조를 보존하며, 따라서 클리퍼드 대수는 formula_1 위의 formula_31-등급 대수를 이룬다.
특히, 클리퍼드 대수 formula_39에서, 짝수 등급 부분 대수 formula_40 역시 클리퍼드 대수를 이룬다. 만약
라면,
이다.
비록 텐서 대수의 자연수 등급은 등급으로서 살아남지 못하지만, 이는 클리퍼드 대수 위의 자연수 오름 여과를 정의한다. 구체적으로, 텐서 대수 formula_21의 등급으로 정의되는 오름 여과
를 생각하자. 그렇다면,
이다. 클리퍼드 대수를 정의하는 아이디얼 formula_48은 이 여과와 호환된다. 구체적으로, formula_49는 formula_50의 아이디얼을 이룬다. 따라서, 자연스럽게 몫대수 formula_39 위에도 여과
가 존재하며, 따라서 클리퍼드 대수는 자연수 오름 여과를 갖는다.
이 여과로부터 정의되는 자연수 등급 대수는 외대수와 표준적으로 동형이다.
가환환 formula_1 위의 클리퍼드 대수 formula_39 위에, 다음과 같은 자기 동형이 존재한다.
(만약 가환환 formula_1의 표수가 2라면 이는 항등 함수이다.) formula_58는 항등 함수이므로 이는 대합을 이룬다.
마찬가지로, formula_39 위에 다음과 같은 반자기 동형()이 존재한다.
(여기서 formula_62는 반대환을 뜻한다.) formula_63와 formula_64는 서로 가환하며, 이 둘을 합성하면 다음과 같은 클리퍼드 수반()을 얻는다.
formula_66와 formula_67 역시 대합을 이룬다.
이 연산들은 formula_68 등급이 formula_69인 원소 formula_70에 대하여 다음과 같다.
즉, 이는 formula_74에 대하여 다음과 같이 의존한다.
가환환 formula_1 위의 클리퍼드 대수 formula_39 위에 다음과 같은 쌍선형 형식 및 이차 형식을 정의할 수 있다.
여기서 formula_79은 formula_68 등급에서, 등급 0의 성분으로의 사영을 뜻한다.
이는 다음 성질을 만족시킨다.
만약 formula_28가
라면 (즉, formula_85라면),
가 된다. 따라서, 만약 formula_2가 반단순 가군이라면 formula_88이므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다. 따라서, formula_2가 반단순 가군일 때 클리퍼드 대수의 분해는 formula_28가 비특이 이차 형식인 경우로 귀결된다. 특히, formula_1가 체(또는 유한 개의 체들의 직접곱)라면, 모든 가군은 반단순 가군이 되므로 위와 같은 분해를 사용할 수 있다.
formula_1가 체이며, formula_2가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이고, 그 차원이 formula_94이라고 하자. 그렇다면, 클리퍼드 대수 formula_39는 formula_96차원 벡터 공간이다. formula_97이 formula_2의 기저라고 하자. 그렇다면 formula_39의 기저는 다음과 같이 주어진다.
체 formula_1 위의 클리퍼드 대수 formula_39는 formula_1-가군으로서 외대수 formula_104와 동형이다. 만약 formula_105일 경우 formula_106는 외대수 formula_107와 대수로서 동형이지만, formula_108일 경우 외대수와 대수로서 다르다. 따라서, 클리퍼드 대수는 외대수의 일종의 양자화로 생각할 수 있다.
가환환 formula_1 위의 유한 생성 사영 가군 formula_110 위의 비퇴화 이차 형식 formula_28의 클리퍼드 대수 formula_112는 등급 아즈마야 대수()이다. 또한, 만약 모든 소 아이디얼 formula_113에 대하여 formula_114가 짝수 계수 formula_115-자유 가군이라면, formula_112는 짝수형 등급 아즈마야 대수이며, 반대로 만약 모든 소 아이디얼 formula_113에 대하여 formula_114가 홀수 계수 formula_115-자유 가군이라면, formula_112는 홀수형 등급 아즈마야 대수이다. (여기서 formula_115는 국소화이다.)
특히, 만약 formula_1가 표수가 2가 아닌 체라면, formula_39는 등급 중심 단순 대수()이다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_134 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 formula_39는 (유한 차원 formula_1-벡터 공간이므로) 항상 아르틴 환이다. 또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
또한, formula_39는 2개 이하의 단순환의 직접곱이다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_134 위의 모든 이차 형식은 대각화할 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴로 놓을 수 있다.
이렇게 놓았을 때, 클리퍼드 대수 formula_39의 중심은 다음과 같다.
가환환 formula_1, formula_148과 환 준동형 formula_149 및 formula_1-가군 formula_110 및 그 위의 이차 형식 formula_28가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_153의 스칼라 확대 formula_154의 클리퍼드 대수는 다음과 같은 formula_31-등급 formula_148-대수이다.
클리퍼드 대수의 특정 가역원들은 클리퍼드 군이라는 군을 이룬다. 핀 군과 스핀 군은 클리퍼드 군의 부분군을 이룬다.
가환환 formula_1 및 임의의 두 formula_31-등급 formula_1-단위 결합 대수 formula_161, formula_162가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위에 다음과 같은 formula_31등급 formula_1-단위 결합 대수의 구조를 부여할 수 있다.
여기서 formula_169 및 formula_170은 등급이 0 및 1인 성분들의 부분 집합이다. 이 formula_31등급 formula_1-단위 결합 대수를 formula_173으로 표기하자.
가환환 formula_1 위의 두 이차 공간 formula_175, formula_176이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 직합 formula_177 위의 클리퍼드 대수는 formula_31-등급 formula_1-단위 결합 대수로서 다음과 동형이다.
따라서, 클리퍼드 대수의 분류는 직합으로 분해할 수 없는 이차 공간 위의 클리퍼드 대수의 분류로 귀결된다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 formula_94차원 벡터 공간 formula_2 위의 비퇴화 이차 형식 formula_28로 정의되는 클리퍼드 대수 formula_39는 등급 중심 단순 대수()이며, 이에 대하여 완전한 분류가 존재한다. 이는 다음과 같다.
아르틴-웨더번 정리에 의하여, 체 formula_1 위의 formula_96차원 중심 단순 대수는 어떤 formula_1-중심 단순 대수인 formula_211차원 나눗셈환 formula_212 위의 행렬환 formula_213과 동형이다.
formula_214가 복소수체이며, formula_175가 비퇴화 이차 형식이 주어진 유한 차원 복소수 벡터 공간이라고 하자. 복소수의 경우, 부호수의 개념이 존재하지 않고, 오직 formula_216만 고려하면 된다. 이에 대한 클리퍼드 대수를 formula_217로 쓰면, 이는 formula_218-단위 결합 대수로서 다음과 같다.
즉, 다음과 같은 주기 2의 보트 주기성이 존재한다.
특히, 낮은 차원의 경우 이는 다음과 같다.
formula_224가 실수체이며, formula_2가 유한 차원 실수 벡터 공간이고, formula_28가 부호수가 formula_227인 비퇴화 이차 형식이라고 하자. 이 경우, 이에 대한 클리퍼드 대수를 formula_228로 쓰자. 낮은 차원의 실수 클리퍼드 대수들은 다음과 같다.
또한, 다음과 같은 주기 8의 보트 주기성이 성립한다.
이에 따라, 모든 유한 차원 및 부호수에서의 실수 클리퍼드 대수를 분류할 수 있다.
즉, 실수 클리퍼드 대수 formula_228들은 다음과 같은 클리퍼드 시계(Clifford時計, )로 나타낼 수 있다.
즉, formula_228는 formula_240이 가리키는 방향에 적힌 대수 위의 행렬 대수이며, 행렬 대수의 크기는 formula_241으로부터 계산할 수 있다. 예를 들어, formula_242일 때
이다.
홀수 표수의 유한체 formula_244 위의 formula_94차원 벡터 공간 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식
이 주어졌다고 하자. 이 경우
을 정의하자.
이 경우, 클리퍼드 대수는 다음과 같다.
홀수 표수 유한체 위의 양의 유한 차원 벡터 공간 위에는 정확히 두 개의 이차 형식(의 동형류)가 존재하므로, 이 경우 이차 형식은 그 클리퍼드 대수만으로 구별할 수 있다.
표수 2에서는 등급 텐서곱 formula_248이 일반 텐서곱 formula_249과 같다. 표수 2의 유한체 formula_250 위의 formula_251차원 벡터 공간 위의 모든 비퇴화 이차 형식은 다음과 같은 두 2차원 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
이 경우 formula_254 및 formula_255 둘 다 formula_1 위의 중심 단순 대수를 이룬다. 따라서, formula_251차원 벡터 공간 위의 임의의 비퇴화 이차 형식 formula_28의 클리퍼드 대수는 행렬환과 동형이다.
formula_260 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 임의의 이차 형식 formula_28는 다음과 같이 비퇴화 이차 형식 formula_262과 다음 두 퇴화 이차 형식 가운데 하나와의 직합으로 표현할 수 있다.
formula_264 및 formula_265 둘 다 외대수와 동형이다. 후자의 경우, 구체적으로 클리퍼드 대수
에서 formula_267로 놓으면 formula_268이므로 이는 단위 결합 대수로서 외대수 formula_269와 동형이다.
가환환 formula_1 위의 클리퍼드 대수 formula_39는 특수한 경우 다음과 같다.
만약 formula_277가 1차원 자유 가군이며, formula_278라면, formula_279이다. 따라서, 이 경우는 formula_280의 동치류 formula_281에 의하여 분류된다.
만약 추가로 formula_1가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체라면,
이다. 구체적으로, formula_284일 경우
를 정의한다면,
이므로 formula_287가 된다.
체 formula_1 위의 2차원 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식에 의하여 정의되는 클리퍼드 대수는 사원수형 대수(, )라고 한다.
체 위의 사원수형 대수는 환으로서 항상 나눗셈환을 이루거나 또는 2×2 formula_1 위의 행렬환 formula_290과 동형이다. 후자의 경우, 분할 사원수형 대수(, )라고 한다.
formula_1가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 그 위의 사원수형 대수는 다음과 같이 표기한다.
보통 (사원수와 마찬가지로) formula_293로 표기한다.
formula_1가 표수가 2가 아닌 체일 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
사원수의 환 formula_299는 실수체 위의 사원수형 대수 formula_300이다.
복소해석학의 여러 성질들을 클리퍼드 대수 값을 갖는 함수에 대하여 일반화할 수 있다.
유클리드 공간 formula_301 속의 열린집합 formula_302 위의 formula_303 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이러한 함수에 대하여 디랙 연산자
를 생각할 수 있다 (formula_306는 formula_301의 정규 직교 기저). 만약 formula_308가
를 만족시킨다면, formula_308를 왼쪽 정칙 함수()라고 하며, 만약 formula_308가
를 만족시킨다면, formula_308를 오른쪽 정칙 함수()라고 한다.
디랙 연산자의 제곱은
이므로, formula_315는 라플라스 연산자 formula_316의 일종의 제곱근이다.
클리퍼드 대수 값의 함수에 대하여 일종의 코시의 적분 정리가 성립한다. 즉,
그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서
또한, 다음이 성립한다.
여기서
는 formula_334차원 단위 초구의 넓이이다.
리만 구 formula_335 위의 등각 변환은 복소수 계수의 뫼비우스 변환
로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, formula_337 위의 등각 변환은 클리퍼드 대수 formula_338 계수의 뫼비우스 변환
으로 나타내어진다. 이 경우, 2×2 행렬
를 등각 변환의 알포르스-팔렌 행렬()이라고 한다. 2×2 행렬
특히, 이 경우 뫼비우스 변환의 역원은 다음과 같다.
위상 K이론은 클리퍼드 대수와 깊은 관련이 있다. 구체적으로, KO-이론의 주기 8의 보트 주기성은 실수 클리퍼드 대수의 주기 8의 보트 주기성과 관련되고, 마찬가지로 KU-이론의 주기 2의 보트 주기성은 복소수 클리퍼드 대수의 주기 2의 보트 주기성과 관련된다.
양자장론에서, 4차원 디랙 스피너를 다룰 때 등장하는 디랙 행렬 formula_347 (formula_348)들의 곱은 복소수 클리퍼드 대수 formula_349를 생성한다. 마찬가지로, 3차원 스피너를 다룰 때 등장하는 파울리 행렬 formula_350들은 formula_351를 만족시키며, 클리퍼드 대수 formula_352를 이룬다. 스피너의 벡터 공간은 이와 같은 클리퍼드 대수 위의 가군을 이룬다.
영국의 기하학자 윌리엄 킹던 클리퍼드가 도입하였다. 클리퍼드는 1876년 3월 10일에 런던 수학회()에서 〈기하학적 대수의 분류에 대하여〉()라는 제목의 강의를 하였으며, 그 미출판 원고는 클리퍼드 사후에 발견되었다. 1878년에 클리퍼드는 미국의 수학 저널에 관련 논문을 출판하였다.
루돌프 립시츠는 클리퍼드와 독자적으로 1880년에 클리퍼드 대수를 발견하였고, 또 클리퍼드 군을 최초로 사용하였다.
알포르스-팔렌 행렬은 오스트리아의 카를 테오도어 팔렌()이 1902년에 도입하였고, 이후 핀란드의 라르스 알포르스가 재발견하였다.
1964년에 마이클 아티야 · 라울 보트 · 아놀드 새뮤얼 샤피로()는 클리퍼드 대수가 위상 K이론과 깊은 관련이 있음을 발견하였다.