룽게-쿠타 방법
수치 해석에서, 룽게-쿠타 방법(Runge-Kutta方法, )은 미분 방정식 중 초기값 문제를 푸는 방법 중 하나이다.
1900년 경 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였다.
일반적으로 사용하는 룽게-쿠타 방법은 4차 룽게-쿠타 방법으로 보통 "RK4" 라고 쓴다. 별다른 수식어 없이 룽게-쿠타 방법을 쓴다고 말한다면 대체로 4차 룽게-쿠타 방법을 쓴다는 뜻이다.
다음과 같이 정의된 초기값 문제를 두자:
y는 시간 t에 대한 미지의 함수이며, 우리가 근사하려는 것이다. y의 변화인 formula_2는 t와 y자신으로 이루어진 함수이고, 초기시간 formula_3에 대응하는 y의 초기값은 formula_4이며, 함수 f와 formula_3, formula_4의 값은 주어져 있다.
이제 h > 0 인 단계 크기로 다음을 정의한다.
n = 0, 1, 2, 3, ... 에서, 다음을 사용한다.
여기서 formula_9이란 formula_10 의 RK4 근사 항이며, 다음 단계의 값(formula_9)은 현재 단계의 값(formula_12)에 네 구간의 크기 h의 증분치들의 가중평균을 더한 값이다.
네 증분을 평균을 낼 때, 중간 부분에서 더 많은 무게의 증분이 더해진다. 만약 함수 formula_21가 formula_14에 대하여 독립적이라면, 미분방정식은 단순한 적분이 되어 RK4는 심프슨 공식이 된다.
RK4 방법은 4차 해법이다. 이는 각 단계에서의 오류는 점근 표기법으로 formula_23, 총 누적 오류는 formula_24라는 것을 의미한다.
룽게-쿠타 방법은 위에서 설명된 RK4 방법의 일반화이다. 이것은 다음과 같이 주어진다.
이때 각 formula_26는 다음과 같다.
특정한 방법을 지정하기 위해서는, 정수 "s" (각 단계들의 수) 가 주어져야 하고, 각각의 계수들 "a" (1 ≤ "i" < "j" ≤ "s"), "b" ("i" = 1, 2, ..., "s"), "c" ("i"=2, 3, ..., "s") 가 필요하다. 행렬 ["a"]는 "룽게-쿠타 행렬" 이며, "b" 와"c" 는 알려져 있듯이 "무게" 와 "마디" 이다.
이 값들은 "Butcher 테이블" 이라는 기억장치 내에서 배열되어있다.
룽게-쿠타 방법은 다음을 만족할 때 일관성이 있다.
만약 하나가 특정 차수 "p",즉 지역 절단 오차가 formula_30이 되도록 이 방법이 요구되면 거기에는 또한 부수적인 요구사항이 있다. 이것은 절단오차의 정의에 의해서 나타난다. 예를 들어 2차 방법은 formula_31, formula_32,formula_33 일 때 차수가 2이다.
일반적으로, s단계의 explicit 룽게-쿠타 방법이 p의 차수를 가진다면, formula_34이고, 만약 formula_35일 때는 formula_36이다. s단계 explicit 룽게-쿠타 방법이 열린문제에서 p의 차수를 가지기 위해서는 최소한의 s가 필요하다. 몇 개의 알려진 값들은 다음과 같다.
RK4는 이 방법에 맞아들어가며, 그 테이블은 다음과 같다.
이 룽게-쿠타 방법에서의 약간의 변형을 준 방법은 쿠타에 의해서 연구되었고 3/8법칙 이라고 불린다. 이 방법의 가장 큰 장점은 다른 일반적인 방법들보다 오차계수가 작은 것이나, 이 방법은 매 단계마다 조금 더 많은 FLOP(부동 소숫점 연산)들이 필요하다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다.
그러나, 가장 간단한 룽게-쿠타 방법은 (전방)오일러 방법이다. 공식은 formula_40이다. 이것은 오직 한 단계 뿐인 explicit 룽게-쿠타 방법이다. 대응되는 테이블은 다음과 같다.
간단한 예로 두 단계의 2차 방법인 중간점 방법을 보면 다음과 같다.
대응되는 테이블은 다음과 같다.
두 단계의 2차 룽게-쿠타 방법은 중간점 방법 밖에 없는 것은 아니다. 이런 종류의 방법은 α에 의해 다음과 같이 매개변수화되어 있다.formula_44
그 Butcher 테이블은 다음과 같다.
이 때 formula_46일 때는 중간점 방법이 되며, formula_47일 때는 호인의 방법이 된다.
예를 들어 α=2/3인 두 단계의 2차 룽게 쿠타 방법을 보자, 이것은 라슬톤 방법 이라고 알려져있다. 테이블은 다음과 같이 주어져 있다.
대응되는 등식은 다음과 같다.
다음의 초기치 문제를 풀기 위하여 이 방법을 사용한다.
"h" = 0.025의 크기로 구간을 잡으면 이 방법은 네 단계가 필요하다.
이 방법의 결과는 다음과 같다:
수치해석적 결과는 밑줄친 값들이다.
Adaptive한 방법은 단일 룽게-쿠타 방법의 지역적인 절단 오차의 추정치를 찾기 위해 고안되었다. 이것은 테이블에서 차수가 formula_52와 formula_53인 두 방법들을 가져서 이루어졌다.
낮은 차수의 단계는 다음과 같이 주어진다.
formula_55가 높은 차원의 방법에서도 같다면 오차는 다음과 같다.
오차는 formula_57이다. 이런 종류의 Butcher 테이블은 formula_58의 값을 얻기 위하여 확장 되었다.
룽게 쿠타 펠버그 방법은 차수가 5와 4인 두 방법을 가지고 있다. 그 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
하지만 가장 간단한 adaptive 룽게-쿠타 방법은 2차인 호인의 방법과 1차인 오일러 방법과 결합되어 있다. 그 확장된 Butcher 테이블은 다음과 같다:
오차 추정은 단계 크기를 제어하기 위해 사용된다.
다른 adaptive 룽게-쿠타 방법은 Bogacki–Shampine 방법(3과 2의 차수), Cash–Karp 방법과 Dormand–Prince 방법(둘 다 5,4의 차수)이 있다.
위에서 언급된 모든 룽게-쿠타 방법들은 모두 explict 방법들이다. explict 룽게-쿠타 방법은 일반적으로 딱딱한 방정식에는 맞지 않는다. 왜냐하면 그들의 절대적인 안정성의 범위가 작기 때문이다; 특히, 그 식들은 한정되어 있다. 이 문제는 편미분방정식의 솔루션에서 특히 중요하다.
explict 룽게-쿠타 방법의 불안정성은 implicit한 방법을 만들게 되었다. implicit 룽게-쿠타 방법은 다음의 형태를 가진다.
이 때,
explict 방법간의 차이는 explict 방법은 시그마의 위에 "i" - 1이 들어간다는 것이다. 이것은 Butcher 테이블에서도 나타난다: explict 방법의 계수들의 행렬은 하 삼각 행렬이다. implicit 방법은 시그마 위에 "s"가 올라가고 계수들의 행렬은 다음과 같이 삼각행렬이 아니다.
이 차이는 매 단계마다, 대수적인 방정식의 시스템을 풀어야 한다는 점이다. 이것은 계산비용을 상당히 증가시킨다. "m"개의 성분이 있는 미분방정식을 "s"단계의 방법을 사용하면 대수적인 방정식은 "ms"개의 성분이 있다.이것은 implict한 선형 다단계 방법(ODE들의 다른 방법)과 대조된다: implicit한 "s"단계의 선형 다단계 방법은 "m"개의 성분을 가진 방정식을 풀기 위해서 단계수가 늘어나도 시스템의 크기가 늘어나지 않는다
가장 간단한 implicit 룽게-쿠타 방법은 역 오일러 방법이다:
Butcher 테이블은 다음과 같다.
이 Butcher 테이블에 대응하는 식은 다음과 같다.
이것은 위에서 나온 역 오일러 방법의 형태로 바꿀 수 있다.
다른 implicit 룽게-쿠타 방법의 예는 사다리꼴 법칙이다. 그 Butcher 테이블은 다음과 같다.
사다리꼴 법칙은 배열 방법이다. 모든 배열 방법들은 모두 implicit 룽게-쿠타 방법이지만 모든 implicit룽게-쿠타 방법은 배열 방법이 아니다.
Gauss-Legendre 방법은 가우스 구적법에 기반한 배열 방법이다. "s"단계의 Gauss-Legendre 방법은 차수가 2"s"이다(따라서 임의의 높은 차수의 방법들이 구성될 수 있다).두 단계의 방법(차수는 4이다)의 Buther 테이블은 다음과 같다:
explicit한 룽게-쿠타 방법에 비교하여 implicit 방법의 장점은 안정도가 특히 딱딱한 방정식에서 높다는 것이다. 다음의 선형 방정식 "y"'=λ"y"를 고려해 보자. 룽게-쿠타 방법을 가용하면 이 식은 다음formula_71의 반복으로 줄며, "r"은 다음과 같다.
여기서 "e"는 1들의 벡터를 나타낸다. 함수 "r"은 "안정도 함수"라고 불린다. 만약 이 방법이 "s"단계라면 "r"은 차수 "s"의 두 다항식의 몫의 형태를 띈다. explicit 방법은 순상삼각행렬인 행렬 "A"를 가진다. 이것은 det("I"-"zA") = 1이라는 것을 의미하며 그 안정도 함수는 다항함수이다.
위의 선형방정식은 formula_73이고 formula_74일 때, 수치적 해법은 0이 된다. 이런"z"들의 집합은 "절대 안정성의 영역"이라고 부른다. 특히 이 방법은 모든 실수부가 음인 z가 절대 안정성의 영역 안에 있을 때 A-안정하다고 불린다. explicit 룽게-쿠타 방법의 안정도 함수는 다항함수이기 때문에 explicit 룽게 쿠타 방법은 A-안정할 수 없다.