필터 (수학)
순서론에서 필터()는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, )은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.
일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_2 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_2 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.
원순서 집합 formula_9의 필터 formula_2에 대하여, 만약 formula_11가 아이디얼이라면, formula_3를 소 필터(), formula_11를 소 순서 아이디얼()이라고 한다.
원순서 집합 formula_9의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 formula_15을 이루며, 만약 formula_16가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 formula_17 자체이다. 이 경우, formula_18의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, ) 또는 초필터(超filter, )라고 한다.
마찬가지로, 원순서 집합 formula_9의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 formula_20을 이루며, 만약 formula_16가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 formula_22 자체이다. 이 경우 formula_23의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, )라고 한다.
같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 formula_9 속의 필터들의 사슬 formula_26에 대하여, 합집합 formula_27은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 formula_28는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.
예를 들어, 자연수 집합 formula_29에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 formula_30, formula_31를 추가하였을 때,
는 필터이지만,
는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
극대 필터 정리(極大filter定理, )에 따르면, formula_39를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른의 보조정리로 쉽게 증명된다.
마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 formula_9에서, formula_16 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.
격자 formula_42의 부분 집합 formula_43에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
격자 formula_42의 부분 집합 formula_43에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
불 대수 formula_58는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.
또한, 불 대수 formula_58는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.
그렇다면, formula_63의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.
불 대수 formula_63 위의 필터 formula_65에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
집합 formula_16와 상향 원순서 집합 formula_72 및 그물 formula_73가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_74의 꼬리들의 집합
은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터
를 그물 formula_77의 유도 필터()라고 한다.
마찬가지로, 집합 formula_78와 하향 원순서 집합 formula_79 및 함수 formula_80가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_81의 머리들의 집합
은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼
를 formula_84의 유도 순서 아이디얼()라고 한다.
수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.
모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.
집합 formula_16의 멱집합 formula_86의 부분 집합 formula_87가 주어졌을 때, 집합
에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.
만약 formula_90가 상향 원순서 집합이며 formula_91이라면 formula_44 역시 상향 원순서 집합이며,
는 그물을 이룬다.
반대로, formula_90가 하향 원순서 집합이며 formula_96라면 formula_44 역시 하향 원순서 집합이며,
는 그물을 이룬다.
집합 formula_16의 멱집합 formula_86 위의 필터 formula_65에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이이다.
따라서, 집합 formula_16의 멱집합 formula_86 위의 극대 필터 formula_115는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 formula_110는 "대부분"이거나 (formula_107), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (formula_112).
한원소 부분 집합에 대한 주 필터
는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.
기수 formula_120에 대하여, formula_120-완비 극대 필터()는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 formula_65이다.
정의에 따라, 모든 극대 필터는 formula_126-완비 극대 필터이다.
집합 formula_16 위의 극대 필터 formula_65의 완비성 formula_120는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.
만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 formula_126 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.
임의의 하향 원순서 집합 formula_9 속에서, formula_16 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 formula_9 속에서, formula_16 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.
어떤 원소 formula_138를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터()로 부르며,
로 표기한다. 어떤 원소 formula_138를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼()로 부르며,
로 표기한다.
원순서 집합 formula_9의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.
집합 formula_3 및 무한 기수 formula_144에 대하여,
는 formula_3위의 필터를 이룬다. 만약 formula_147이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터()라고 한다.
위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.
순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"()이라는 이름으로 일반화하였다. 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"()이라고 명명하였다.
이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"()와 "초필터"()라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.