군 (수학)
추상대수학에서, 군(群, )은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 여기서 대수 구조는 일련의 연산을 갖춘 집합으로 정의되며, 결합 법칙은 괄호를 넣는 방식이 연산 결과에 영향을 주지 않음을 의미한다. 항등원은 곱셈의 1 또는 덧셈의 0과 같은 성질의 원소이며, 역원은 곱셈에서의 역수 또는 덧셈에서의 반수와 같다.
예를 들어, 정수의 집합과 덧셈의 순서쌍 formula_1은 군을 이루는데, 이는 항등식 formula_2 및 formula_3 및 formula_4이 성립하기 때문이다.
군은 각 원소가 역원을 가지는 모노이드로 정의될 수도 있다. 여기서 모노이드는 결합 법칙과 항등원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조를 말한다.
수학적 대상의 대칭들의 집합은 군을 이루며, 이에 따라 다양한 분야에서 널리 등장하는 개념이다. 군을 연구하는 추상대수학의 분야를 군론(群論, )이라고 한다. 역사적으로 군론은 대수 방정식 이론과 기하학과 수론에서 기원한다.
군은 모든 원소가 가역원인 모노이드이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 이항 연산
가 주어진 집합 formula_7이다.
군은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 결합 마그마 ⇒ 군: formula_18를 왼쪽 항등원이라고 하자. 또한 임의의 formula_11에 대하여, 그 왼쪽 역원 formula_20와 왼쪽 역원의 왼쪽 역원 formula_21를 취하자. 그렇다면,
이다. 즉, formula_24은 항등원이며, formula_20는 formula_26의 역원이다.
공집합이 아닌 결합 유사군 ⇒ 왼쪽 항등원 및 왼쪽 역원을 갖는 결합 마그마: formula_11를 취하자. 그렇다면,
인 formula_18가 존재한다. 임의의 formula_30에 대하여,
인 formula_32가 존재한다. 즉, formula_24은 왼쪽 항등원이다. 왼쪽 역원의 존재는 유사군의 정의에 따라 자명하다.
군의 원소 formula_11의 차수(次數, )는 다음과 같다. 즉, 거듭해서 1이 되는 최소의 지수이거나, 아니면 무한대이다.
간혹, 군 formula_36의 집합의 크기 formula_37를 군의 차수라고 부르기도 한다. 군의 원소의 차수는 만약 유한하다면 항상 군의 크기의 약수이다.
군 formula_36의 부분군 (部分群, )은 formula_36의 부분 집합 formula_40 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것이다.
즉, 역원에 대하여 닫혀 있는 부분 모노이드이다. formula_46가 formula_36의 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다.
정규 부분군은 부분군 가운데 켤레 작용에 대하여 불변인 것이다. 군 formula_36의 부분군 formula_50이 정규 부분군이라는 것은 다음과 같이 표기한다.
정의에 따라, 정규 부분군의 왼쪽 잉여류는 오른쪽 잉여류와 일치한다.
두 군 formula_36, formula_40 사이의 군 준동형 사상(群準同型寫像, )은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_54이다.
준동형 formula_57의 핵과 상은 각각
이다. 여기에서 f의 핵은 G의 정규 부분군(f(gug) = f(g)f(u)f(g) = f(g)1f(g) = f(g)f(g) = 1)이며, 상은 H은 부분군임을 알 수 있다. 준동형사상 f가 단사 함수일 필요충분조건은 ker(f) = {1}이다.
주어진 군들로부터 새로운 군을 만드는 다양한 방법들이 존재한다.
군 formula_7가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 집합 formula_36 위에 다음과 같은 새로운 이항 연산을 정의하자.
그렇다면, formula_64 역시 군을 이룬다. 이를 formula_36의 반대군(反對群, ) formula_66이라고 한다. 이는 모노이드의 반대 모노이드의 특수한 경우이며, 또 군을 하나의 대상을 갖는 범주로 볼 경우 반대 범주의 특수한 경우이다. 반대군 연산은 함자적이다. 즉, 군의 범주 formula_67 위의 자기 함자
를 정의한다. 아벨 군의 반대군은 스스로와 같다. 즉, 아벨 군 위의 항등 함수는 스스로와 그 반대군과의 군 동형을 이룬다.
모든 군은 스스로의 반대군과 다음과 같은 함수를 통해 표준적으로 동형이다.
범주론적으로, 이는 군의 범주 formula_67 위의 항등 함자
와 반대군 함자
사이의 자연 동형을 정의한다.
어떤 군의 정규 부분군이 주어졌을 때, 그 잉여류들은 군을 정의하며, 이를 몫군(-群, )이라고 한다. 이는 몫공간이나 몫환과 같이, 군에 동치 관계를 줘 몫을 취하는 연산이다. 군 formula_36의 정규 부분군, formula_51가 주어졌을 때, 몫군 formula_76은 그 (왼쪽) 잉여류 formula_77 (formula_11)들의 집합이다.
이 집합에는 다음과 같은 군 연산을 줄 수 있다.
이 연산은 formula_50이 정규 부분군일 경우 정의할 수 있고, 이에 따라 몫군 formula_76이 군을 이루는 것을 보일 수 있다.
군들의 집합 formula_83가 주어졌을 때, 직접곱
는 이들의 곱집합에 군의 구조를 준 것이다. 군의 범주에서의 곱이다.
두 군 formula_40, formula_50 및 작용
이 주어졌을 때, 반직접곱
을 정의할 수 있다. 이는 직접곱의 일반화이다.
군 formula_36, formula_40가 주어졌을 때, 자유곱 formula_91은 formula_36와 formula_40로부터 생성되는 가장 일반적인 군이다. 이는 (두 군 다 자명군이 아니라면) 항상 무한군이며 비아벨 군이다. 자유곱은 군의 범주에서의 쌍대곱이다.
이 밖에도, 화환곱() formula_94이나 차파-세프 곱() 등이 존재한다.
모든 군의 항등원은 유일하다. (이는 모노이드의 항등원이 유일하다는 정리의 특수한 경우이다.) 군 formula_36의 원소 formula_11가 주어졌을 때, 임의의 원소 formula_30에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
즉, 군에서는 (일반적인 모노이드와 달리) 왼쪽 역원 · 오른쪽 역원이 서로 일치한다.
군 준동형은 항등원을 항등원으로, 역원을 역원으로 대응시킨다. 즉, 군 준동형 formula_54에 대하여, 다음이 성립한다.
군에 대한 기초적인 정리로는 다음이 있다.
군과 군 준동형의 범주 formula_67은 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다.
군의 범주에서 모노이드의 범주로 가는 망각 함자가 존재하며, 이는 충실충만한 함자이다. 즉, 두 군 사이의 모노이드 준동형은 군 준동형과 같다.
이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 동시에 갖는다.
마찬가지로, 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 충실충만한 망각 함자가 존재하며, 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 집합을 이로부터 생성되는 자유군에 대응시킨다.
군의 범주에서 작은 범주의 범주 formula_110로 가는 충실충만한 포함 함자
가 존재한다. 이는 군 formula_36를, 하나의 대상을 가지고 모든 자기 사상이 가역 사상인 작은 범주에 대응시킨다.
환의 범주에서 군의 범주로 가는 함자
가 존재하며, 이는 환을 그 가역원군에 대응시킨다. 이 함자는 왼쪽 수반 함자
를 갖는데, 이는 군 formula_36를 정수 계수의 군환 formula_116에 대응시킨다.
군들의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 이 경우
을 갖는다. 이 경우, 군의 연산들이 만족시키는 항등식은 다음 다섯 개이다.
군의 대수 구조 다양체에서, 부분 대수는 부분군, 준동형은 군 준동형이며, 합동 관계는 정규 부분군과 일대일 대응한다. 군의 대수 구조 다양체에서, 보편 대수학적 중심은 군의 중심과 같다.
군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 예로는 다음이 있다.
군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 집합은 완비 모듈러 격자의 구조를 갖는다. 구체적으로, 군의 다양체들의 집합 formula_135의 만남과 이음은 다음과 같다.
또한, 군의 대수 구조 다양체들의 부분 다양체들의 집합은 모노이드의 구조를 갖는다. 두 다양체 formula_138, formula_139의 곱은 다음과 같다.
즉, formula_138와 formula_139의 곱은 formula_138의 원소의 formula_139에 대한 군의 확대들의 모임이다. 두 다양체의 곱은 항상 다양체를 이루며, 이 곱에 대한 항등원은 자명군의 다양체 formula_145이며, 또한 모든 군의 다양체 formula_67는 다음과 같이 곱에 대하여 0을 이룬다.
군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 모노이드는 이 두 관계를 제외하고는 자유 모노이드를 이룬다. 즉, formula_149을 갖는 모노이드들의 대수 구조 다양체에서의 자유 원소이다.
군의 대수 구조 다양체의 부분 다양체들의 수는 formula_150에서 formula_151 사이이다.
군 formula_36의 부분군들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합 formula_153은 완비 격자이며 대수적 격자이다. 군 formula_36에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
군 formula_36에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
모든 격자는 어떤 군의 부분군 격자로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 격자 formula_160에 대하여, formula_160과 동형인 부분 격자를 그 부분군 격자에 갖는 군 formula_36가 존재한다. 또한, 모든 유한 격자는 어떤 유한군의 부분군 격자로 나타낼 수 있다.
대표적인 군의 종류로는 다음이 있으며, 이것들 가운데 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
이것들 말고도, 다음과 같은 특별한 종류의 군들이 있다.
추가 구조를 가지는 군은 다음이 있다.
아주 많은 예가 있다.
흔히 볼 수 있는 예로, 지수 함수
는 두 아벨 군 사이의 군 준동형이다. 여기서 formula_173는 덧셈군이며, formula_174은 곱셈군으로 간주한다. 마찬가지로, 복소수체에 대한 지수 함수
역시 군 준동형이다.
역사적으로, 군론은 19세기에 방정식 이론 · 수론 · 기하학의 세 갈래로부터 비롯되었다.
방정식 이론의 주요 목표는 고차 방정식을 거듭제곱근만으로 푸는 것이었다. 4차 이하의 방정식은 이러한 대수적인 해가 존재하지만, 5차 이상의 경우 일반적으로 그렇지 않다. 조제프루이 라그랑주와 파올로 루피니, 닐스 헨리크 아벨 등은 고차 방정식의 해를 이해하기 위하여 자연스럽게 순열들의 군에 대한 각종 정리들을 발견하였고, 루피니와 아벨은 결국 5차 이상의 방정식의 대수적 일반해의 부재를 증명하였다.
에바리스트 갈루아는 아벨의 이론을 추가로 발전시켜, "군"()이라는 용어를 정의하였고, 또 군론을 체론과 연관시킨 갈루아 이론을 제창하였다. 또한, 갈루아는 정규 부분군과 가해군의 개념을 도입하였다.
갈루아의 이론은 갈루아 생전에는 주목받지 못했으나, 갈루아의 사후 카미유 조르당의 《치환과 대수 방정식에 대하여》(, 1870년)나 오이겐 네토()의 《치환 이론과 그 대수학적 응용》(, 1882년) 등이 갈루아의 이론을 널리 전파하였다.
기하학에서, 사영기하학과 비유클리드 기하학의 발견으로, 이러한 기하학들의 구조를 이해하는 체계가 필요하게 되었다. 1872년에 펠릭스 클라인은 이러한 기하들을 그 대칭군을 통해 일관적으로 이해하고자 하였고, 이를 에를랑겐 프로그램이라고 한다. 1884년에 소푸스 리는 오늘날 리 군이라고 불리는 군들을 도입하였고 체계적으로 연구하였다. 이후 빌헬름 킬링과 이사이 슈어 등이 리 군의 연구를 계속하였다.
레온하르트 오일러와 카를 프리드리히 가우스는 합동 산술 및 이차 수체의 덧셈 및 곱셈의 구조를 연구하면서, 다양한 군들의 예를 발견하였다. 이후 레오폴트 크로네커와 에른스트 쿠머는 가우스의 이론을 발전시켰다. 쿠머는 데데킨트 군에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 군인 아이디얼 유군을 도입하였다.
19세기 말에 군론은 수학의 독립적인 분야로 발전하게 되었다. 아서 케일리, 막스 덴, 페테르 루드비 메이델 쉴로브 등은 군론의 기초를 체계적으로 다졌다. 특히 쉴로브는 1872년에 쉴로브의 정리를 증명하였다.
20세기 초에는 대수적 위상수학의 발달로, 기본군의 개념이 발견되면서 이산 무한군의 중요성이 대두되었다. 또한, 임의의 체에 대한 대수군의 이론이 리 군 이론을 바탕으로 하여 발달하였다. 엘리 카르탕은 반단순 리 대수를 완전히 분류하였다.
페르디난트 게오르크 프로베니우스와 이사이 슈어 등은 유한군의 지표론 및 군 표현론을 개발하였고, 슈어 직교 관계, 슈어 보조정리 등을 발견하였다.
1972년에 대니얼 고런스틴은 유한 단순군의 분류를 제창하였다. 이후 이 프로그램은 존 그리그스 톰프슨 · 베른트 피셔() · 즈보니미르 얀코 · 엔리코 봄비에리 · 자크 티츠 · 마이클 애시배커() · 로버트 그리스() 등에 의하여 진행되었고, 1983년에 완결되었다. 이 과정에서 괴물군을 비롯한 수많은 산재군들이 발견되었다.
존 그리그스 톰프슨과 자크 티츠는 2008년에 군론에 대한 업적으로 아벨 상을 수상하였다.
군론은 수학의 여러 분야의 기초가 되었으며, 양자역학 등의 물리학 분야에 많이 응용된다.
군이 추상화할 수 있는 대상은 다양하다. 정수나 실수 내에서의 덧셈 연산은 군의 정의를 만족하며, 어떤 도형을 회전하거나 대칭시키는 등의 동작 또한 군이 된다.