점화식
수학에서 점화식(漸化式) 또는 재귀식(再歸式, )이란 인접한 항들 사이의 관계식을 말한다. 즉, 수열 formula_1 의 각 항 formula_2 이 함수 "f" 를 이용해서
처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 "f" 를 수열 formula_1 의 점화식이라고 하며, 또한, 수열 formula_1 은 점화식 "f" 로 정의된다고 한다.
점화식을 푼다는 것은 귀납적으로 주어진 수열 formula_1 의 일반항 formula_2 을 n 의 명시적인 식(explicit formula)으로 나타내는 것을 말한다.
수열{"a"} 이 점화식에 의해서 정의되고 점화식이 변수가 하나인 함수 "f" 에 의해서
로 나타내지고 있을 때, 이 점화식은 인접 2항간의 점화식이라고 한다.
인접 2항간 점화식중 "f" 가 일차식
일 때, 선형이라고 한다.
계수 "p", "q"가 상수인 2항간 점화식, 즉,
라면, 이 점화식은 다음과 같이 해서 등차수열 혹은 등비수열에 귀착되어 일반항 n 의 식으로 명시적으로 기술할 수 있다.：
"p" = 1 일 때, 점화식은 "a" = "a" + "q"
이며, 이것은 등차수열을 나타낸다.
"p" ≠ 1 일 때, 점화식 "a" = "p" · "a" + "q" 의 특성방정식이라 불리는 "x" = "px" + "q" 의 근을 α 라고 하면, 점화식은
으로 변형할 수 있다. 이것은 일반항이 "b" = "a" - α 로 정의되는 수열{"b"} 이 공비가 "p" 인 등비수열이 된다는 뜻이 되며, "b" 을 "n" 의 식으로 쓸 수 있다. 다시, "a" = "b" + α 이므로, 이것도 "n" 의 식으로 표현이 가능하다.
유명한 하노이의 탑(Tower of Hanoi) 문제가 있다. formula_8 개의 원판을 이동하는 회수를 수열 formula_2으로 정의하자. formula_8 개의 원판을 이동시키기 위해서는 그 위쪽 formula_11개의 원판을 다른 막대로 이동한 후, 맨 아래쪽 원판을 이동하고 다시 formula_11개의 원판을 이동해야 하므로 다음과 같은 점화식이 성립함을 알 수 있다.
선형 점화식이므로 간단하게 일반항이 formula_14임을 알 수 있다.
등차수열이나 등비수열은 인접 2항간 점화식의 매우 특수한 형태이며, 그 정의에 의해 매우 단순한 점화식을 가진다. 즉,
와 같이 된다. 이 등차수열의 점화식에서 상수 d가 공차("공통적인 차이")이다. 이 점화식을 풀면 일반항의 식은 "a" = "a" + ("n" - 1)"d" 이 된다. 마찬가지로
이 등비수열의ff,상수 r 이 공비("공통적인 비율")이다. 이 점화식을 풀면 "a" = "r" · "a" 이란 일반항을 얻을 수 있다.
이러한 경우 적절한 변형을 통해 해결이 가능한 형태로 변형해주는 작업이 필요하다. 몇몇 특수한 경우에 풀이법이 잘 알려져 있다.
이 경우 계차수열(인접한 두 항의 차로 이루어진 수열)이 formula_15이라는 일반항을 알고 있는 상태가 된다. 따라서 그 합을 구하면 즉시 일반항을 알 수 있게 된다. 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 다음 식들을 구성한다.
이므로 변변 모두 더하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.
이 경우 formula_21인 경우와 마찬가지로 점화식에 1 부터 n 까지 차례로 대입하여 변변 곱하면 다음과 같은 일반항을 구할 수 있다.
점화식이 위와 같은 경우 양변을 formula_24으로 나누면 다음과 같이 식을 바꿀 수 있다.
그러면 일반항이 formula_26인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다. 계차수열 formula_27의 합을 이용하여 일반항을 구한다.
점화식이 위와 같은 경우 양변을 formula_29으로 나누면 일반항이 formula_30인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.
점화식이 위와 같은 경우 양변을 formula_32으로 나누면, 일반항이 formula_33인 수열은 p(n) = 1인 경우와 동일함을 확인할 수 있다.
수열 {"a"} 이 점화식에 의해서 정해지며, 점화식이 2 변수 함수 "f" 에 의해서
로 표현될 때, 이 점화식은 인접3항간의 점화식이라고 한다.
인접 3항간 점화식 중 f 가 일차식
일 경우 선형이라고 한다.
상수 계수 선형 인접 3항간 점화식이 다음과 같다고 하자.
이 경우, 특성 방정식(characteristic equation) "x" = "px" + "q" 의 근을 이용해 풀 수 있다.
즉, 특성 방정식 formula_36의 두 해를 formula_37라고 하면, 일반항이 formula_38인 수열은 주어진 점화식을 만족하게 된다. 따라서 초항의 값에 따라 미정계수 formula_39를 결정하면 된다.
이차 방정식의 두 해가 중근이 될 경우 일반항을 formula_40로 두면 마찬가지로 주어진 점화식을 만족하게 된다. 이는 마치 상수계수만을 가진 2계도 선형 제차 미분방정식의 풀이를 연상하게 한다. (본질적으로 동일한 매커니즘이다.)
피보나치 수(Fibonacci numbers)의 경우 초기값 formula_41과 다음과 같은 선형 인접 3항간 점화식으로 정의되어 있다.
이차 방정식 formula_43의 두 해는 formula_44이므로 초항의 값을 대입하면 다음과 같은 일반항을 얻는다.
계수가 상수가 아닌 경우에는 각각의 점화식에 따라 다양한 기법을 적용해야 한다. 양변을 적절한 수로 나누는 등의 시도를 해 볼 수 있다.
완전순열 혹은 교란순열()이라 불리는 수열의 점화식은 다음과 같다.
이 식은 다음과 같이 변형된다.
그러므로 formula_48을 새로운 수열 formula_2으로 정의하면, 다음과 같은 점화식이 된다.
formula_2의 일반항은 즉시 나오므로 다음과 같이 인접 3항간 점화식이 인접 2항간 점화식으로 변형된다.
이 경우 위에서 다룬 인접 2항간 점화식에서 p(n) = n인 꼴이 된다. 양변을 formula_32으로 나누면, 일반항이 formula_54인 수열의 일반항을 알 수 있고 이로써 formula_55의 일반항도 쉽게 유도된다.
p = - q - 1인 경우는 특성방정식을 푸는 번거로운 과정없이 쉽게 답을 구할 수 있다. 점화식은 다음과 같이 변형된다.
그러므로 그 계차수열이 공비가 - q 인 등비수열임을 확인할 수 있다. 계차수열의 일반항을 구해 그것으로부터 즉시 formula_2의 일반항을 이끌어낼 수 있다.
점화식의 계수가 모두 상수인 선형 점화식
의 경우 다음과 같은 특성 방정식의 해를 구하여 일반항을 구한다.
다항 방정식을 이용한 풀이법도 있지만 선형대수학을 이용할 수도 있다. 다음과 같이 수열의 초기항을 고유기저(eigenbasis)로 표현했다고 하자.
이 경우 조르당 표준형(Jordan normal form)을 이용하여 일반항을 구할 수 있다.
만약 행렬이 대각화(diagonalizable)되지 않으면 해법은 좀 더 복잡하게 된다.
피보나치 수의 점화식을 행렬로 표현하면 다음과 같이 된다.
그러므로 일반항은 다음과 같이 된다.
이 행렬은 다음과 같이 대각화 된다. 특성방정식의 formula_64의 두 해를 formula_37라고 두면, 이 두 값이 고윳값이므로
그러므로 일반항은 다음과 같이 정리되며 다항방정식을 이용한 풀이와 동일한 일반항을 얻을 수 있다.
Z 변환 페이지 참조.
점화식 내에 그 수열의 합이 들어있는 경우, 적절한 변형을 하여 인접한 몇 개의 항을 포함하는 점화식으로 바꾸어 준다. 예를 들어,
점화식이 위와 같이 주어진 경우, 다음과 같이 인접 2항간의 점화식으로 변형한다.
수열 formula_1의 formula_8째 항까지의 총합이 formula_72인 경우, formula_73임을 활용하여 인접 2항간의 점화식으로 변형가능한 것도 있다.
비선형의 경우 일반적인 풀이법은 없다. 그러나 몇몇 간단하게 해결되는 경우가 알려져 있다.
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변을 formula_75으로 나누면 수열 {1/formula_2}이 선형 점화식이 됨을 알 수 있다. 이 선형 점화식의 일반항을 구하여 해결한다.
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변에 밑이 2인 로그를 취하면 formula_78와 같이 변형되어 수열 {formula_79}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 따라서 선형 점화식을 풀면 쉽게 해결할 수 있다.
점화식이 위와 같이 주어진 경우 양변의 역수를 취하면 수열 {1/formula_2}이 선형 점화식을 가짐을 알 수 있다. 이 점화식을 풀면 쉽게 일반항을 구할 수 있다.
십진법에 기초하여 정의된 수열의 경우 쉽게 일반항을 구할 수 있는 경우가 있다. 예를 들어, 4가 이전의 항에서 하나씩 늘어가는 방법으로 정의된 수열이 있다고 하자. 즉,
이 경우 일반항은 다음과 같다.
기수법이 다른 경우도 마찬가지 방법을 쓸 수 있다.
점화식이 위와 같이 주어진 경우, n에 대한 식으로 표현하기 어렵다. 그러나 몇몇 값을 대입해보면 이 수열은 주기적으로 같은 값이 반복됨을 알 수 있다. 즉, formula_84 이 세 수가 반복되어 나타난다.
생성함수(generating function)를 이용하여 수열의 일반항을 찾는 것이 가능한 경우가 있다.
formula_85이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
이 수열을 계수로 갖는 다항식 formula_87은 다음 등식을 만족해야 한다.
그러므로 formula_89를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.
formula_91이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
그런데 formula_93 이라는 사실을 이용하여 formula_94임을 알 수 있으므로, 이 수열을 계수로 갖는 다항식 formula_89은 다음 등식을 만족해야 함을 알 수 있다.
마찬가지로 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다.
formula_8번째 피보나치 수를 계수로 갖는 다항식 formula_99는 정의에 의해 다음을 만족해야 함을 즉시 알 수 있다.
그러므로 다음을 얻는다.
방정식 formula_102의 두 근을 formula_103라고 하면 다음과 같이 부분분수로 분해된다.
이것을 무한급수로 표현하면 일반항을 얻을 수 있다.