감쇠장
감쇠장(減衰場, ) 또는 소산장(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 소멸파(消滅波, )는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.
일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 formula_1이다. 옴의 법칙에 따르면, formula_2이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.
formula_3
formula_4
formula_5
formula_6
이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.
formula_7
따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.
formula_8
이 때, 고유시간 formula_9는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 formula_10이므로 formula_11이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.
formula_12
formula_4
formula_5
formula_6
이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.
formula_16
formula_17
이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.
formula_18
formula_19
이 때, formula_20이므로, formula_21는 복소수이고, formula_22라고 할 때,
formula_23
formula_24
로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.
formula_25
formula_26
이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.
평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.
조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.
formula_27
이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.
formula_29
formula_30
이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.
formula_31
소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 formula_35에 대한 coupled equation을 준다.
지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor formula_36는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.
formula_37
formula_38
(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, formula_39에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 formula_40에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.
formula_39의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도(formula_42)는 formula_43의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.
이 때, 소멸파는 [formula_44, formula_45] plane으로 진행하며, formula_46 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [formula_44 , formula_46]에서 다루기에 충분하다. 따라서 formula_49 이다.
formula_50
따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.
formula_51
그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 formula_52에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.
formula_53
formula_54
formula_55
여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.
SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [formula_56, formula_57]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.
formula_58
이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
formula_59
formula_60
등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 formula_65 보다 formula_67만큼 작았다. 일반적으로 formula_61는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 formula_69 값에 대해 formula_70값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.
P-wave와 SV-wave는 각각
formula_53
formula_55
에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 formula_73에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.
등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 formula_74를 각각 실수, 허수로 정하였다.
만일 formula_76이 실수이고, formula_77라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.
formula_78
formula_79
위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 formula_76과 formula_81에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,
formula_82
formula_69과 formula_84에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 formula_85이 formula_67보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
formula_87
만일 formula_89이라면 formula_90이므로,
formula_69은 formula_84가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.
만일 formula_93과 formula_94가 formula_95과 formula_70항에 대해 큰 변화를 주고, formula_97항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
formula_98
formula_99의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 formula_93에 의해서 조정된다.
일반적인 TI 모델은 formula_101인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 formula_84에 대해 formula_69를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 formula_69에 대해서 이방성 성분이 formula_84을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.
P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.
formula_106
그리고 formula_107 이므로,
formula_108
이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 formula_63와 같다.
일반적으로 formula_110 는 0보다 크기 때문에 이는 formula_84를 줄이기 때문에, 고정된 formula_69 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.