유효 작용
양자장론에서, 유효 작용(有效作用, )은 고전적인 작용을 양자역학적인 효과를 고려하여 수정한 것이다. 고전적인 작용은 고전적 장의 범함수인데 반해, 유효작용은 양자론적 장의 진공 기댓값 formula_1의 범함수다. 대개 기호 formula_2로 나타낸다.
고전역학에서는 운동 방정식을 최소 작용 원리로 계산할 수 있다. 그러나 양자론에서는 최소 작용 원리는 단순히 경로 적분을 근사할 뿐이다. 그러나 고전적 작용을 유효 작용으로 바꾸면 고전적인 경우와 같이 유효 작용에 최소 작용 원리를 사용하여 진공 기댓값의 운동 방정식을 정확히 계산할 수 있다.
샘마당(source field) formula_3에 대한 분배 함수
를 생각하자. 에너지 범함수 formula_5는
와 같이 정의한다. 이는 통계역학의 자유 에너지에 해당하는 값이다.
마당 formula_7의 진공 기댓값 formula_8은 다음과 같이 에너지의 도함수로 쓸 수 있다.
이 식은 formula_1가 formula_3에 대한 범함수로 주어진다는 것을 의미하는데, 이를 역으로 사용하여 formula_3를 formula_1에 대한 범함수로 간주할 수 있다. 이를 바탕으로 르장드르 변환을 하면 유효 작용 formula_2를 얻는다.
만약 진공이 병진불변이라면, 유효작용을 장의 (범함수가 아니라 일반) 함수인 유효퍼텐셜 formula_16로 나타낼 수 있다.
분배 함수 "Z[J]"가 상관함수의 생성함수고, 에너지 formula_5가 연결상관함수 (connected correlation function)의 생성함수인 것처럼, 유효 작용은 1점기약(一點旣約, one-point irreducible) 상관함수의 모함수다.
즉, 유효작용은 다음과 같은 식으로 써질 수 있는데, 이 식에 등장하는 유효작용의 n계 미분항 formula_19가 기약상관함수라는 말이다. 이런 식으로 상관함수를 미분을 통해 생성할 수 있기 때문에, 상관함수의 생성함수 또는 모함수라고 부른다.
여기서 formula_21는 다음과 같으며,
formula_23는 formula_24일 때의 장의 진공기대값 formula_25를 의미한다.
유효작용의 2계 미분항 formula_26와 에너지 범함수 formula_5로부터 얻은 2점 연결상관함수 formula_28 사이의 관계를 다음과 같이 찾을 수 있다. 
따라서 둘은 formula_30의 관계를 가진다.
위의 식에서 formula_31는 범함수적으로 이해되어야 하며, 이는 formula_31라는 범함수가 formula_33와 같은 형태로 간주되어 formula_34의 역행렬의 역할을 수행하는 것으로 이해되야 함을 의미한다. 이는 formula_35도 마찬가지이다. 이러한 맥락에서 formula_31라는 범함수는 다음과 같이 정의된다.
이와 같은 formula_31의 정의로부터, formula_39의 식을 유도할 수 있다.
잘 알려진 대로, 양자장론이 다루는 대부분의 물리적 2점 연결상관함수는 운동량 formula_41을 기저로 선택한 표현에서 1입자기약 (1PI, 1 Particle Irreducible) 함수를 이용해서 나타낼 수 있으며, formula_42 이론의 경우, 그 표현은 formula_43이다. 여기서 formula_44는 formula_42 이론의 1입자기약 함수이다.
따라서, formula_42 이론의 경우에 formula_47는 formula_48의 꼴을 가진다. 이때, formula_49는 2점 기약상관함수을 이루는 파인만 도형 중 상호작용의 효과가 없는 항으로 생각될 수 있고, formula_44는 2점 기약상관함수를 이루는 파인만 도형 중 상호작용의 효과가 있는 항으로 생각될 수 있으며, 이 둘이 합해 기약 상관함수를 이룬다고 생각할 수 있다.
유효작용의 3계 미분항 formula_51와 3점 연결상관함수 formula_52의 관계는 다음과 같이 구할 수 있다.
여기서 formula_54의 범함수 미분은, 앞서 정의한 역범함수의 정의로부터 구할 수 있다. 역범함수의 정의가 되는 식의 양변을 미분하면, 우변의 델타함수는 함수 formula_55에 대해 상수이므로 0이 된다. 미분한 좌변은 다음과 같다.
위의 식에 formula_57을 적분해주면, 다음과 같다.
앞서 구한 formula_51와 formula_52 사이의 관계를 정리하면 다음과 같다.
잘 알려졌다시피, 좌변의 연결상관함수는 모든 연결된 파인만 도형의 합으로 생각될 수 있다. 우변을 보면 세 개의 formula_62가 x, y, z 점에서 뻗어나가고 있는데, 이 2점 연결상관함수부분을 제외하면 formula_63만이 남는다. 한편, 우변에서 연결상관함수를 제외하는 것은, 좌변이 의미하는 모든 연결 파인만 도형의 합에서 외부 다리(external leg)를 절단(amputate)하는 것과 동등하며, 이를 절단함으로써 남는 것은, 한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합이다. 그런데 이는 기약함수의 정의와 같으므로, 따라서 좌변의 formula_63은 3점 기약함수의 값에 해당한다.
유효작용의 일반적인 n계도 미분항이 n점 기약함수와 일치하는지 여부도 3점 기약함수와 비슷한 방법으로 알 수 있다. n점 연결상관함수를 유효작용의 미분항으로 표현하면, 유효작용의 n계도 미분항부터 3계 미분항까지의 여러 미분항과 2점 연결상관함수를 각기 곱한 것들의 합으로 주어지는데, 3점 기약함수에서 본 것과 같이, 그 각각의 파인만 도형에서의 성질을 생각하면, n계도 미분항은 '한 개의 선분을 자름으로써 두 부분으로 나누어질 수 없는 파인만 도형들의 합'과 일치함을 볼 수 있다.
예를 들어, 4점 연결상관함수는 유효작용의 미분항으로 다음과 같이 표현할 수 있다.
이 식에서는 아인슈타인 표기법(Einstein convention)을 이용했다. 여기서 2점 기약함수의 역함수가 2점 연결상관함수라는 점과 유효작용의 3계 미분항이 3점 기약함수라는 점을 이용하면, 우변의 첫 세 개항은 a,b,c,d의 네 개의 점 중 두 개의 점씩 짝지어 3점 기약상호작용을 하고, 각각의 3점 기약상호작용에서 남는 점을 서로 이은 파인만 도형에 해당함을 알 수 있다. 따라서 남은 네번째 항에 있는 유효작용의 4계 미분항은 4점 기약함수라는 것을 알 수 있다.
일반적으로, n점 연결상관함수는 4점 연결상관함수와 같이, 2점 연결상관함수를 선분으로 갖고, 3, 4, ..., n점 기약상관함수를 선분이 모이는 점으로 갖는, 나무 파인만 도형(tree level Feynmann diagram)의 합으로 이루어진다. 이는 고전적인 작용 formula_66를 갖고 수행한 양자역학적 계산, 즉 고리 파인만 도형을 포함하는 계산이 양자역학적인 유효작용 formula_67을 갖고 수행한 고전적인 계산, 즉 나무수준 파인만 도형으로 수행한 계산과 일치함을 의미한다.
또한 2점 기약함수에서 얻은 양자역학적인 보정항 formula_44는 유효작용의 장에 대한 이차항들은 고전적인 작용으로부터 질량의 재규격화와 장세기의 재규격화를 가한 것임을 의미한다. 이와 같이 고전적인 작용의 각 항에 양자역학적인 보정, 즉 재규격화를 가한 것이 유효작용에 등장하는 각 항들이다. 이렇듯 양자역학적으로 보정된 항들을 갖는 유효작용으로부터 수행한 고전적인 나무수준 계산으로 여러가지 물리현상을 해석할 수 있다.
유효작용 formula_2은 양자요동의 크기를 나타내는 formula_70에 대해서 건드림 전개를 할 수 있다.
formula_70의 크기를 0으로 보내는 극한에서, 분배함수 formula_72는 전적으로 다음 조건을 만족하는 마당 formula_73에 의해 그 값이 결정된다.
formula_73는 마당 formula_7이 formula_77를 작용으로 갖을 때 구해지는 고전역학적인 해이다.
formula_78의 극한에서, 유효작용 formula_2과 일반적인 작용 formula_66사이의 관계는 다음과 같다.
또한 이 극한에서, 마당의 진공기대값 formula_1와 마당의 고전적인 해 formula_73사이의 관계는 다음과 같다.
마지막 등호는 마당의 고전적인 해 formula_73가 고전적인 해로써 만족해야 했던 조건을 이용했다.
그러므로 formula_78의 극한에서, 마당의 진공기대값 formula_1은 마당의 고전적인 해 formula_73와 일치하며, 유효작용 formula_2은 일반적인 작용 formula_92와 일치한다. 이를 유효작용의 평균장근사라고 부르기도 한다.
formula_70를 0은 아니지만 작은 수로 간주하면, 즉 formula_70에 대해 건드림 전개를 하면, 유효작용은 일반적인 작용에 formula_70에 의한 보정값이 더해진다. 이를 위해서는 마당을 마당의 고전적인 해 formula_73와 그에 더해지는 양자 요동 formula_97의 합으로 생각해야 한다.
이로써 formula_99를 근사적으로 전개하면 다음과 같다.
마당의 고전적인 해 formula_73가 고전적인 해로써 만족해야 하는 조건을 이용하면, formula_102은 0임을 알 수 있다. 그렇다면 분배 함수는 다음과 같다.
가우스 적분formula_104의 범함수 적분으로의 확장을 생각하면, 우항은 다음과 같다.
식을 고쳐쓰면,
그러므로 유효작용와 일반적인 작용 사이의 관계는 다음과 같다.
마당의 진공기대값 또한 formula_108 꼴로 간주하고, 위 식 우변의 formula_73를 formula_1에 대해 치환하고, 항들을 정리하면 다음과 같다.
이를 1-고리 근사(one-loop approximation)이라고 부르기도 한다.
유효작용의 formula_70에 대한 1차항을 1-고리 근사라고 부르는 이유는, 1차항을 파인만 도형으로 접근해보았을 때 그것이 1-고리 도형에 해당하기 때문인데, 이 사실을 두가지 접근으로 확인할 수 있다.
첫번째 접근은, 유효작용의 정의식 formula_81의 좌변과 우변을 각각 formula_70에 대해 전개해본 뒤, 좌변과 우변을 비교하는 방법이다. 우변은 이미 0차항 계산과 1차항 계산을 통해 전개해보았다. 좌변을 상관함수에 대해 테일러 전개해보면 다음과 같다.
여기서 formula_117는 n점 연결상관함수이다.
상호작용 라그랑지안 formula_118을 섭동적으로 전개할 경우, 상호작용 라그랑지안 formula_118 하나 당 formula_120의 인자가 하나씩 곱해진다. 섭동적으로 전개된 상호작용 라그랑지안의 갯수는 파인만 도형의 꼭지점(vertex)의 갯수에 해당한다. 또한 파인만 도형의 전파인자(propagator) 하나 당 자유 라그랑지안 formula_121의 역에 해당하는 그린 함수 외에 formula_122 인자가 하나씩 곱해진다. 따라서
여기서 formula_124는 자유 라그랑지안 formula_121만을 고려할 때의 연결상관함수이다.
따라서 formula_126개의 꼭지점과 formula_127개의 전파인자를 갖는 임의의 formula_128점 파인만 도형은 formula_129에 기여하는 측면에서 다음과 같은 formula_130의 차수를 갖는다.
파인만 도형이 갖는 고리의 갯수 formula_132은 운동량보존을 이용하여, 내부 전파인자(Internal propagator)와 꼭지점의 갯수로부터 계산할 수 있다. 연결 파인만 도형의 경우, 고리의 갯수는 내부 전파인자의 갯수 formula_133에서 꼭지점의 갯수 formula_126를 빼고 1을 더한 수 formula_135이다. 연결 파인만 도형의 경우, formula_136일 때 뿐이며, 이 경우 formula_137이고 formula_130의 차수 또한 formula_139으로 0이다. 그외의 연결 파인만 도형의 경우, 전체 전파인자의 갯수 formula_127에서 formula_128을 뺀 것이 내부 전파인자의 갯수 formula_133이므로, 어떤 임의의 파인만 도형이 갖는 formula_130의 차수는 formula_144이 된다. 따라서 유효작용의 formula_130에 대한 건드림 전개의 formula_132번째 항은 formula_147개의 고리를 가진 연결 파인만 도형의 합과 동등한 관계가 있다.
두번째 접근은, 직접 formula_70에 대한 1차항을 파인만 도형으로 풀어보는 것이다. formula_42 이론의 경우에 1차항은,
이다. 이를 formula_42 상호작용 항에 대해 건드림 전개를 해보면,
전파인자에 해당하는 값을 formula_153로 적으면,
formula_155 연산자를 풀어보면, 테일러 전개한 각 항들이 1-고리 도형에 해당함을 확인할 수 있다.