킬링 벡터장
리만 기하학에서, 킬링 벡터장(Killing vector場, )은 주어진 리만 다양체의 등거리 변환의 무한소 생성원인 벡터장이다. 즉, 리만 다양체의 대칭을 나타낸다. 킬링 벡터들은 리 대수를 이루며, 이는 다양체의 등거리 변환군의 리 대수로 생각할 수 있다.
일반화 리만 다양체 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 벡터장 formula_2에 대하여, 리 미분
을 정의할 수 있다. 이는 (0,2)-텐서장들의 벡터 공간 위의 선형 변환을 정의한다.
만약
이 성립한다면, formula_5를 formula_1의 킬링 벡터장 formula_2이라고 한다. 보다 추상적으로, 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 선형 변환
의 핵이다. 즉, 두 킬링 벡터장들의 합은 킬링 벡터장이며, 킬링 벡터장들의 상수 스칼라와의 곱 역시 킬링 벡터장이다.
formula_4을 국소 좌표계로 쓰면 다음과 같다.
여기서 formula_11는 공변 미분이다. 즉, 킬링 벡터장의 조건은 공변 상수 벡터장의 조건(formula_12)을 약화시킨 것이다.
formula_1의 등거리 변환들은 (유한 차원) 리 군
을 이루며, 킬링 벡터장들은 등거리 변환군의 리 대수 formula_15를 이룬다.
일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5가 주어졌을 때, 부분 집합 formula_18을 formula_5의 킬링 지평선(Killing地平線, )이라고 한다. 이는 일반적으로 특이점을 가져 다양체가 아닐 수 있다.
정의에 따라, 모든 킬링 벡터장은 등각 벡터장이다.
일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장들의 벡터 공간은 리 대수를 이룬다. 즉, 두 킬링 벡터장의 리 괄호 역시 킬링 벡터장이다. 같은 차원과 부호수를 갖는 두 일반화 리만 다양체 formula_1, formula_22에 대하여, 표준적으로
이다.
formula_24개의 연결 성분을 갖는, formula_25차원의 일반화 리만 다양체의 킬링 리 대수의 차원은 formula_26 이하이다. (이 상한은 예를 들어 유클리드 공간·초구·쌍곡 공간·민코프스키 공간·더 시터르 공간·반 더 시터르 공간 및 이들의 분리합집합에 의하여 포화된다.)
콤팩트 리만 다양체 formula_1에 대하여, 다음이 성립한다.
일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5의 발산은 0이다.
formula_5의 2차 공변 미분은 다음과 같이 리만 곡률 텐서에 비례한다.
특히, formula_5의 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 리치 곡률 텐서에 비례한다.
특히, 아인슈타인 방정식의 진공해의 경우 formula_40이며, formula_41의 라플라스-벨트라미 연산자는 0이다. 물리학적으로, 이는 formula_41가 진공 맥스웰 방정식을 만족시키는 것을 의미하며, 또한 formula_41는 로렌츠 게이지 조건 formula_35 역시 자동적으로 만족시킨다. 이 사실을 통해 아인슈타인-맥스웰 계의 일부 해를 구할 수 있다.
일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5와 측지선
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
즉, 킬링 벡터장 formula_5가 주어졌을 때, 속력과 킬링 벡터장의 내적 formula_51는 측지선을 따라 변하지 않는 물리량이다.
마찬가지로, 일반 상대성 이론에서는 뇌터 정리에 따라 각 킬링 벡터장에 대응하는 보존 법칙이 존재한다. 구체적으로, 에너지-운동량 텐서 formula_52를 생각할 때,
이므로, 임의의 벡터장 formula_55에 대하여
이다. 따라서, 만약 formula_55가 킬링 벡터장이라면 formula_58는 공변 보존류이다.
킬링 지평선의 경우, 대응하는 표면 중력을 정의할 수 있다.
구체적으로, 일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5가 주어졌을 때, 항상 다음 조건을 만족시키는 함수
가 존재하며, 이 formula_62를 킬링 지평선 formula_18의 표면 중력이라고 한다.
이 등식은 다음과 같이 쓸 수도 있다.
위 등식의 좌변은 일종의 "가속도"이므로, formula_62를 일종의 "중력장"으로 해석할 수 있다.
일부 경우, formula_62는 사실 킬링 지평선 위의 상수 함수임을 보일 수 있다.
formula_69차원 로런츠 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5가 주어졌다고 하자. 또한, formula_5가 formula_73에서 시간꼴 벡터장이라고 하자 (즉, formula_74). 그렇다면, 다음과 같은 꼴의 국소 좌표계 formula_75를 정의할 수 있다.
여기서 formula_77는 양의 정부호 이차 형식이며, formula_78이며, 또한 formula_79와 formula_80와 formula_77는 formula_82에만 의존하고, formula_83에 의존하지 않는다. 이 경우, formula_77를 궤도 공간 계량(軌道空間計量, )이라고 한다.
킬링 벡터장의 개념을, 접다발 대신 다른 벡터 다발의 단면에 대하여 일반화할 수 있다.
유사하게 킬링 텐서 및 킬링 스피너장을 정의할 수 있다. 예를 들어, 킬링 2-텐서장 formula_85는 다음을 만족한다.
켈러 다양체는 리만 구조와 더불어 복소 구조를 갖춘다. 따라서, 켈러 다양체의 대칭은 복소 구조를 보존시키는 특수한 킬링 벡터장에 의하여 주어진다. 이를 정칙 킬링 벡터장(正則Killing vector場, )라고 한다. 켈러 다양체의 접다발 formula_88은 정칙적 부분 formula_89과 반정칙적 부분 formula_90으로 나뉜다. 정칙 킬링 벡터장은 formula_89의 단면이다.
formula_92가 켈러 다양체 formula_93 위의 정칙 킬링 벡터장이라고 하자. 그렇다면 킬링 방정식은 다음과 같다.
이에 따라, formula_5는 국소적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 formula_98는 킬링 퍼텐셜()이라고 불리는, 국소적으로 정의된 실수 함수다. 이는 운동량 사상의 한 예로 볼 수 있다.
공변 상수 벡터장 (즉, formula_99인 벡터장 formula_5)은 정의에 따라 킬링 벡터장이다.
일반화 리만 다양체 formula_1의 킬링 벡터장 formula_5 및 국소 좌표계 formula_103이 주어졌으며, 계량 텐서 formula_104의 성분이 formula_105에 의존하지 않는다고 하자.
그렇다면, 벡터장
은 킬링 벡터장이다.
formula_108차원 시공간의 슈바르츠실트 계량
에서, formula_110는 킬링 벡터이며, 이는 시간 변화에 대한 대칭에 대응한다. 이에 대한 킬링 벡터는
이 되는 곳, 즉 formula_112이며, 이는 (일반) 사건 지평선과 일치한다.
이 밖에도, 슈바르츠실트 계량은 formula_113 대칭에 대응하는 킬링 벡터들을 갖는다.
마찬가지로, 3+1차원 커 계량
은 두 킬링 벡터
를 가지며, 이는 각각 시간 변화에 대한 대칭과 블랙홀의 회전에 대한 대칭에 대응한다.
전자에 대응하는 킬링 지평선은
의 두 해에 위치한다. 이는 2차 방정식이므로 두 해를 갖는데, 더 안쪽의 킬링 지평선은 사건 지평선이며, 더 바깥쪽의 킬링 지평선은 작용권의 경계이다.
2차원 민코프스키 공간
에서, 킬링 벡터장
를 생각하자. 이는
이므로 킬링 벡터장을 이룬다. 이 경우, 킬링 지평선은
인데, 이는 formula_124에서 매끄럽지 않다.
빌헬름 킬링이 1892년에 도입하였다.
킬링은 킬링 벡터장의 조건에 대하여 특별한 이름을 붙이지 않았으나, 이후 1926년 저서에서 루서 팔러 아이전하트(, 1876~1965)가 이 조건을 "킬링 방정식"()이라고 지칭하였다.