E (상수)
상수 formula_1는 탄젠트 곡선의 기울기에서 유도되는 특정한 실수로 무리수이자 초월수이다. 스위스의 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 따 오일러의 수로도 불리며, 로그 계산법을 도입한 스코틀랜드의 수학자 존 네이피어를 기려 네이피어 상수라고도 한다. 또한, formula_1는 자연로그의 밑이기 때문에 자연상수라고도 불린다. formula_1는 π, 1, 0, i 등과 함께 수학의 중요한 상수로 취급된다. 예컨대,오일러의 공식formula_4에서 그렇다.
"e"는 다음의 극한식으로 표현되는 값이다.
"e"는 다음과 같이 표현할 수도 있다.
"e"는 무리수이기 때문에 십진법으로 표현할 수 없고 근삿값만을 추정할 수 있다. 소수로 나타낸 "e"의 근삿값은 대략 다음과 같다.
"e"가 계산된 최초의 기록은 1618년 존 네이피어에 의해 발간된 로그표이다. 그러나 네이피어는 로그 계산의 과정에서 나온 결과 값만을 간단히 다루었을 뿐 "e"를 상수로 취급하지는 않았다. 네이피어의 로그는 formula_13 과 동치이다. 이를 오일러가 정의하여 오늘날까지 사용하고 있는 로그함수 정의로 옮기면 네이피어의 로그는
인 로그함수 이다. 위의 로그에서 사용된 밑은 "e"의 역수인 와 매우 가까운 근삿값이다. 후일 윌리엄 오트리드가 네이피어의 로그표를 사용하여 로그 계산자를 만들었지만 그 역시 "e"를 특별한 상수로 취급하지는 않았다. "e"가 특정한 상수임을 발견한 사람은 야코프 베르누이이다. 그는 복리 이자의 계산이 다음과 같은 극한을 취할 수 있다는 것을 발견하였다.
베르누이는 위의 식이 수렴한다는 것과 그것이 특정한 값이 된다는 것을 발견하였다. 물론 그 값은 "e"이다.
베르누이가 정리한 위의 급수를 처음으로 상수로서 표현한 사람은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠이다. 라이프니츠는 1690년에서 1691년 사이에 크리스티안 하위헌스에게 쓴 편지에서 이 급수를 “b”로 표현하였다. 한편, 오일러는 1727년에서 1728년 사이에 이 상수를 "e"로 표현하여 사용하기 시작하였다. e 라는 표기가 정식 출판물에 처음 등장한 것은 1736년 출판된 오일러의 《메카니카》이다. 그 이전에는 수학자 마다 여러 알파벳을 사용하여 이 상수를 표기하였으나 《메카니카》의 출판이후 "e"로 표기하는 것이 관례가 되었다.
복리 적금의 원리합계는 다음의 식과 같이 계산할 수 있다.
예를 들어 1,000원을 예금하였을 때의 복리 합계는 이율에 따라 다음과 같이 계산 된다.
위의 식을 이용하면 원리합계가 목표하는 금액이 되기 위해서 얼마의 기간이 필요한 지 계산할 수 있다. 예를 들어 1천원을 복리 5%로 예금할 때 원리합계가 1억원을 넘기 위해서는 236년이 걸린다. 또한, 위의 표를 보면 이율과 기간 사이에 일정한 관계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 일정 기간이 지났을 때의 원리합계는 특정한 비율을 나타내게 된다. 베르누이는 기간이 n 일때 이율을 이라 하면, 이 원리 합계의 극한이 다음과 같이 네이피어의 로그표에 사용된 밑에 점근한다는 것을 발견하였다.
1714년 영국의 수학자 로저 코츠는 자연 로그 함수를 복소수로 확장할 경우 다음과 같은 삼각함수의 관계식으로 표현될 수 있다는 것을 발견하였다.
1740년 레온하르트 오일러는 이 식을 지수함수로 변형하여 다음과 같이 나타내었다.
이를 오일러의 공식이라 한다.
오일러의 공식은 복소평면에서 삼각함수와 지수함수의 관계를 설명하고 있다. 이러한 사실은 복소수를 복소평면 위의 한 점으로 표현할 수 있다는 것을 시사한다. 하지만 코츠나 오일러 모두 이러한 발상을 했음에도 불구하고 복소평면을 일반화하지는 않았다. 복소수를 복소평면의 한 점으로 표현하기 시작한 것은 오일러 공식이 발표된 뒤 50여년이 지난 때부터 였다.
오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다.
절댓값이 1 보다 작은 어떤 수 x에 대해 다음과 같은 무한 차수 다항식이 성립한다.
삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다.
한편 formula_22인 지수함수의 테일러 급수는
이다. 이때, formula_24라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.
위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면
가 된다. 위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다.
이 때, "x"에 π 를 대입하면
이 되고, 이를 오일러의 등식이라 한다.
"e"는 대수적 방정식의 해가 될 수 없는 초월수이다. 1873년 프랑스의 수학자 샤를 에르미트에 의해 "e"가 초월수임이 증명되었다. "e"가 초월수임을 증명하는 방식은 귀류법에 의한 것으로 만일 "e"가 대수적인 수라고 가정하면 다항식을 구성하는 계수가 무한히 약분되는 모순이 생긴다는 것을 보이는 것이다.
또한 "e"는 무리수이기도 하다. 이에 대한 증명은 다음과 같다.
먼저 "e"의 테일러 전개는
이 성립한다.
이제 "e"를 유리수라 가정하면 양의 정수 "p", "q"에 대해
가 되어야 한다. 따라서,
이어야 하고 이 부등식의 각 변에 formula_34를 곱하면
이 된다. 한편, "e" = 라 가정하였으므로
이 된다. 이에 따라 "q"!"e"와 "q"!"X"는 양의 정수가 되어야 하므로 formula_37 역시 양의 정수가 되어야 한다. 그런데 위의 식 (1)에서 formula_37는 0보다 크고 1보다 작다고 하였으므로 이는 자연수가 될 수 없다. 따라서 "e"는 두 양의 정수의 비, 즉 유리수로 나타낼 수 없는 무리수이다.
"e"의 근삿값은 다음과 같은 연분수의 전개를 통하여 계산할 수 있다.
테일러 전개를 이용한 formula_1의 근삿값 계산 결과는 다음과 같다.
를 사용하여 8차항까지 더하면
위 계산은 소수점 아래 4자리까지 유효하다. 계승이 증가함에 따라 역수는 빠르게 formula_46 에 접근하므로 몇 차례의 계산으로도 formula_1에 매우 근접한 근삿값을 구할 수 있다.
한편 formula_48인 지수함수의 테일러 급수는
이다.
"e"는 함수의 미분과 적분에서 특별하게 취급된다. "e"에 대한 임의 차원의 지수함수인 formula_51 는 이를 미분한 도함수가 다시 자기 자신이 되는 함수이다. 또한, 곡선 formula_51에 대한 formula_53 에서 formula_10까지 아래 넓이는 "e"이다.
먼저 formula_51의 미분을 보면,
이다. 이에 대한 증명은 다음과 같은 계산을 통해 확인할 수 있다.
한편 오른쪽 그림과 같은 formula_60의 그래프에서 formula_53 에서 formula_10까지 아래 넓이는,
"e"를 밑으로 하는 로그인 자연로그는 여러 분야에 두루 쓰인다. 로그함수는 정의에 의해 여러 밑을 가질 수 있지만, 일반적으로 밑을 따로 표기하지 않은 formula_64 는 자연로그를 뜻했다. 하지만 상용로그와 헷갈리는 문제 때문에 현재는 formula_65로 표기한다. 로그함수 formula_66의 도함수는 formula_67 이다. 즉,
이고,
이다. 이는 "e"를 밑으로 한 자연로그의 가장 큰 특징으로 지수가 등차적으로 증가할 때 로그곡선의 기울기는 등비적으로 감소한다는 의미가 된다.
"e"를 밑으로 하는 자연로그는 여러가지 증정도과 밀접한 관련을 보인다. 대표적인 것으로는 자연수에서 주어진 수가 충분히 클때 1에서 부터 주어진 수까지의 소수의 개수는 로그함수에 점근한다는 소수 정리가 있다. 리만 가설에서 출발한 이 정리는 1896년 프랑스의 자크 아다마르와 벨기에의 발레 푸생이 서로 독자적인 연구를 통하여 증명하였다.
이외에도 자연로그는 물리와 화학 등 여러 자연 과학의 변화량에서 사용된다. 다음은 자연로그가 자연 과학에 사용된 예이다.
"e"와 연관된 여러 문제가 아직 해결되지 않았다. 대표적인 문제로는 오일러-마스케로니 상수 γ 가 무리수나 초월수인지를 밝히는 것인데, 아직까지 증명되지 않고 있다. γ 는 조화 급수와 자연로그의 차에 대한 극한으로 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다. 
"e"의 소수 아래 첫 500자리는 아래와 같다. (줄당 100자리)