원환 다양체
대수기하학에서, 원환 다양체(圓環多樣體, )는 대수적 원환면 formula_1을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.
체 formula_2가 주어졌다고 하자.
formula_2 위의 원환 다양체 formula_4는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채()라는 데이터로 표현될 수 있다.
강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, ) formula_15은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.
다면뿔 formula_20의 면()들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.
부채 formula_29는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.
강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 formula_20의 격자점 formula_40들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 formula_41는 다면뿔 formula_20의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 formula_20의 쌍대뿔 formula_44 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 formula_45를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.
다면뿔 formula_20에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 formula_49의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.
부채 formula_29에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.
꼭짓점이 격자점 formula_51인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 formula_52차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 formula_52차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 formula_52차원 면이 공유하는 formula_55차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.
즉, 다면체 formula_56에 대응되는 원환 다양체 formula_57에 대하여, 표준적인 전사 함수
가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 formula_59에 대응되는 올은 (만약 formula_60가 formula_41차원 면에 속한다면) formula_62의 꼴이다. formula_56의 (유일한) 내부는 formula_57의 자리스키 조밀 열린집합 formula_65에 해당하며, 따라서 formula_66이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.
두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.
원환 다양체의 특이점 해소() 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 만약 formula_90이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.
편의상 유클리드 공간 formula_67의 표준 기저를 formula_92으로 표기하자.
formula_93은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 부채에 대응된다.
formula_96의 쌍대뿔은 formula_97이며, 이는
에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는
이다.
다음과 같은, 하나의 뿔만으로 생성되는 부채를 생각하자.
즉, 이는 formula_67의 “2분면”이다.
이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저
에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 formula_103차원 복소수 아핀 공간
이다.
예를 들어, 아핀 평면 formula_105는 다음과 같은 부채에 대응된다.
다음과 같은 formula_107 속의 부채를 생각하자.
즉, 그 뿔들은 다음과 같다.
이 경우, formula_112의 쌍대뿔은 formula_113 자신이며, 그 모노이드 대수는
이다. 마찬가지로
formula_115의 경우
이다. 또한, formula_117의 모노이드 대수는
이다. 환 준동형
에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 formula_120의 부분 집합 formula_121
이다. 따라서, 이는 formula_122와 formula_123를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 공간 formula_124을 정의한다.
보다 일반적으로, formula_67의 표준 기저 formula_126가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
을 정의하고, 다음과 같은 formula_128개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.
즉, 이 부채는 formula_130의 formula_131개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다.
이 경우, 각 formula_132는 아핀 공간 formula_133에 대응되며, 이들을 붙이면 복소수 사영 공간 formula_134을 얻는다.
예를 들어, 사영 평면 formula_135는 다음과 같은 부채에 대응된다.
이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.
보다 일반적으로, 모든 사영 공간은 원환 다양체이며, formula_103차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 formula_103차원 단체이다.
코니폴드는 다음과 같은 formula_139 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.
이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 formula_141 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.
다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 formula_142를 나타낸다. (2차 순환군 formula_143은 formula_144와 같이 작용한다.)
이 2차원 뿔 formula_146는 스스로의 쌍대뿔이며, formula_147과 formula_148과 formula_149에 의하여 생성된다.
이므로, 이는 아핀 대수다양체
를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.
오비폴드
위의 다항 함수들은 세 불변량
에 의하여 생성되며, 이들은
를 만족시킨다. 따라서 이는 위의 아핀 대수다양체와 같다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_155을 나타낸다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_157을 나타낸다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_159을 나타낸다.
원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.