등각 장론
양자장론에서, 등각 장론(等角場論, , 약자 CFT)은 등각 변환에 대하여 대칭적인 장론이다. 임의의 시공간 차원에서 정의할 수 있으나, 2차원 등각 장론의 경우는 특별한 성질을 지닌다. 응집물질물리학과 끈 이론에서 쓰인다.
리만 다양체 formula_1의 등각 대칭군 formula_2은 다음과 같은 리 군이다.
즉, 등각 변환은 등거리변환이 되는, 미분동형사상과 바일 변환의 합성이다.
등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다. 우선 계량 부호수가 formula_4인 formula_5차원 유클리드 공간 (formula_6)을 생각하자. 만약 formula_7인 경우, 등각 대칭군은 formula_8을 이룬다. 그 생성자는 다음과 같다.
특수 등각 변환은 반전()과 평행 이동을 합성한 것이다. 여기서 반전이란
를 말한다. 즉 평행 이동
와 같이 쓰면, 특수 등각 변환은
의 꼴이다.
2차원 시공의 경우, (국소적) 등각군은 무한차원이다. 이 경우 등각 다양체는 (국소적으로) 리만 곡면 (1차원 복소 다양체)와 동등하고, 등각 변환은 리만 곡면 위의 정칙변환으로 나타난다. (민코프스키 부호수의 경우 윅 회전을 할 수 있다.) 그 대수는 고전적으로는 비트 대수(), 양자화하면 비라소로 대수로 나타난다.
푸앵카레 대칭과 확대 대칭을 따르는 대부분의 이론들은 특수 등각 대칭 또한 따르므로, "축척 불변"(scale invariance)과 "등각 불변"(conformal invariance)을 구분하지 않는 경우가 많다. 그러나 이에 대한 예외도 존재한다.
등각 장론에서의 장 가운데 일부를 준일차장(準一次場, )라 한다. 준일차장은 등각 변환 SO(p+1,q+1)에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 등각 장론의 모든 장은 준일차장과 그 도함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 준일차장들은 축척 변환 formula_16에 대한 고윳값인 등각 차원 formula_17와, 로런츠 대칭 formula_18의 표현 formula_19에 의해 명시된다.
2차원의 경우, 일차장(一次場, )은 준일차장 가운데 뫼비우스 변환 SO(1,3) 이외에도 임의의 등각 변환에 대하여 자연스럽게 변화하는 장이다. 일차장이 아닌 장은 이차장(二次場, )라 부른다.
푸앵카레 대칭에 대한 위그너 분류와 마찬가지로, 등각 대칭의 유니터리 표현들을 분류할 수 있다. formula_20일 때, 유니터리 등각 준일차장의 가능한 등각 차원은 다음과 같다.
이들 하한들을 유니터리 하한()이라고 하며, 이들은 대체로 자유장에 의하여 포화된다.
이들 하한은 게이지 불변 연산자에만 적용된다. 예를 들어, 자유 전자기 퍼텐셜 formula_21는 벡터임에도 불구하고 차원이 1이다. 하지만 이는 게이지 불변이 아니며, 게이지 불변 연산자인 전자기 텐서 formula_22는 유니터리 하한을 만족시킨다.
formula_23인 경우, 유니터리 하한은 단순히 formula_24이다. formula_25인 경우, 스핀이 formula_26인 표현의 유니터리 하한은
이다.
formula_28인 경우, 스핀이 formula_29인 표현의 유니터리 하한은
이다.
등각 다양체로서, formula_31과 formula_32은 서로 동치이다. 따라서, 초구 formula_33 위에 정의된 등각 장론은 마치 원점을 제거한 유클리드 공간 위에 정의된 것으로 간주할 수 있다. 즉, 유클리드 공간에서의 직교좌표 formula_34가 주어지면, 원점으로부터의 거리 formula_35를 시간으로 삼아 양자화할 수 있다. 이러한 양자화를 방사 양자화(放射量子化, )라고 하며, 이는 일반적인 차원에서의 등각 장론에서 가능하다. 이에 따라, 일반적인 양자장론에서의 시간 순서()와 마찬가지로, 방사 순서() 연산자
를 정의한다. 모든 상관 함수에서는 암묵적으로 방사 순서 연산자가 포함돼 있다. 즉, 아래에서 좌변과 같이 쓰더라도 암묵적으로 우변을 의미한다.
또한, 원점에 국소 연산자를 삽입하는 것은 무한한 과거에서의 경계 조건을 결정하는 것과 같으며, 이는 경로 적분을 통해 현재 상태를 결정한다. 이와 반대로, 주어진 상태에 대하여, 이 상태를 만드는 국소 연산자를 정의할 수 있다. 즉, 등각 장론에서는 가능한 상태들과 가능한 국소 연산자들 사이의 일대일 대응이 존재한다. 이를 이를 상태-연산자 대응성()이라고 한다. 이 정의에 따라서, 진공 상태 formula_38에 대응하는 연산자는 항등 연산자 formula_11이다.
특히, 2차원의 경우 좌표는 보통 복소수 formula_40로 나타내게 된다. 이 경우, formula_41과 formula_42 사이의 등각 동형사상은 지수함수
로 간편하게 나타내어진다. 이 경우, 원점 formula_44 (formula_45)는 무한 과거에 대응하며, 반면 formula_46 (formula_47)는 무한 미래에 해당한다.
이에 따라서, 등각 장론의 상태는 원점 근처에서의 데이터로 나타낼 수 있다. 즉, 국소 연산자 formula_48가 주어지면, 이 연산자를 원점(무한 미래)에 삽입하여, 연산자 formula_49에 대응하는 초기 상태(브라) formula_50를 다음과 같이 정의할 수 있다.
연산자 formula_49가 좌표 변환 formula_53에 대하여
의 꼴로 변환한다고 하면, 연산자 formula_49에 대응하는 최종 상태(켓) formula_56는
가 된다. 무게가 formula_58인 1차장의 경우
의 꼴로 변환하므로,
이다. 1차장이 아닌 장들(예를 들어, 에너지-운동량 텐서 formula_61)의 경우 변환 법칙은 더 복잡하다.
임의의 차원의 등각 장론에서, 2점 및 3점 상관 함수들은 모두 등각 대칭에 의하여 정해진다. 즉, 등각 대칭을 사용하여 임의의 세 점 formula_62을 각각 formula_63로 보낼 수 있다 (formula_64). 다시 말해, 세 개의 점으로는 아무런 등각 불변량을 정의할 수 없다. 반면, 네 개의 점 formula_65이 주어지면 비조화비라는 등각 불변량을 정의할 수 있다. 따라서, 등각 대칭은 3점 함수를 완전히 결정시키지만, 4점 함수는 완전히 결정시키지 못한다.
뇌터 정리 및 워드-다카하시 항등식에 따라, 등각 장론의 에너지-운동량 텐서의 대각합은 0이다. 2차원의 경우, 에너지-운동량 텐서를 진동 모드로 전개할 수 있고, 이에 따라 비라소로 대수를 얻는다.
임의의 2차원 양자 장론에 대하여, "c"라는 값이 존재한다. 이는
이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 formula_66-정리()으로 일컫는다.
최근 고차원에서도 유사한 정리들이 발견되었다. 예를 들어, 4차원의 경우 2011년에 "c"와 유사한 "a"라는 값이 정의되었다.
2차원 등각 장론은 다른 차원의 등각 장론과 현저히 다른 현상을 보인다. 특히, 2차원에서는 등각 대칭이 무한 차원 대수인 비라소로 대수로 확장된다.
4차원 등각 대수는 formula_72 (회전), formula_73 (병진), formula_16 (확대), formula_75 (특수 등각 변환)로 구성된다. 이 가운데 처음 둘은 푸앵카레 대칭을 이룬다. 이들은 다음과 같은 대수를 따른다.
스칼라장의 경우, 이들은 다음과 같이 표현된다.
4차원 formula_86 초대칭 게이지 이론에서는 재규격화군 베타 함수가 하나의 고리를 가진 파인먼 도형을 통해서만 보정된다. (물론 비섭동적으로 순간자에 의한 보정도 있다.) 따라서, 이 1개 고리 베타 함수의 계수가 0이고, 초퍼텐셜이 0이면 이론이 초등각 대칭을 가지게 된다. 베타 함수가 0일 조건은 각 게이지 군에 필요한 수만큼의 페르미온들이 존재해야 하는 것이다. 이는 다음 표와 같다.
초등각 화살집 게이지 이론의 경우, 위 표는 D4-막과 NS5-막을 사용한 하나니-위튼 막 만화()으로 설명할 수 있다. 예를 들어, SU("N") 화살집의 경우, 물질 맛깔의 수는 NS5-막에 붙은 D4-막들의 수에 의해 주어지고, 이 경우 베타 함수는 NS5-막들의 휨에 의해 주어진다. 등각 대칭이 유지될 조건은 NS5-막의 양쪽에 같은 수의 D4-막이 붙어 있어, 양쪽으로의 장력이 서로 같아야 하는 조건이다.
초등각 화살집 게이지 이론들은 가이오토 이중성이라는 이중성들을 보인다. 이는 6차원 (2,0) 초등각 장론 (M5-막의 세계부피 이론)을 리만 곡면에 축소화하여 유도할 수 있다.
대표적인 등각 장론으로는 다음이 있다.
등각 장론은 끈 이론에서 중요하게 쓰인다. 끈의 세계면은 2차원이므로, 그 세계면 위에서는 2차원 장론이 존재한다. 이론의 일관성을 위하여 이 장론은 2차원 등각 장론이어야 한다. (초끈의 경우 이론은 2차원 𝒩=1 초등각 장론이 된다.) 이 장론의 등각 변칙이 시공의 차원을 26차원 (보존 이론) 또는 10차원 (초대칭 이론)으로 정한다. 또한, AdS/CFT 대응성에 따르면 특수한 경우 중력은 (3차원 또는 4차원 등의) 등각 장론과 같다. 따라서 formula_89 양-밀스 이론 등과 같은 등각 장론이 중요한 역할을 한다.
등각 장론은 통계역학에서 침투() 현상 및 일반적인 임계 현상을 다루는 데 응용된다.
하워드 조자이는 실제 세계에서, 4차원 등각 장론을 따르는 입자들이 표준 모형 입자와 공존할 수 있다는 가능성을 제기하였다. 이 경우, 등각 장론을 따르는 장들은 통상적인 입자를 이루지 않으므로, 이러한 물질을 비입자(非粒子, )라고 한다.
등각 장론은 1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈()과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 제창하였다.