사슬 복합체
호몰로지 대수학에서, 사슬 복합체(-複合體, )는 일련의 멱영 사상들을 갖춘, 아벨 범주의 대상들의 열이다. 이를 사용하여 호몰로지 대수학 및 호몰로지 · 코호몰로지의 개념을 추상적으로 정의할 수 있다.
아벨 범주 formula_1가 주어졌다고 하자. (예를 들어, 아벨 군이나 가군, 또는 아벨 군 값을 갖는 층 등이 있다.)
formula_1 속의 사슬 복합체 formula_3는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
이 경우, 사상 formula_13은 경계 사상(境界寫像, )라고 하고, formula_14의 원소는 "i"차 사슬()이라고 한다. formula_15인 "i"차 사슬 formula_16을 formula_17차 순환(formula_17次循環, )이라고 한다.
공사슬 복합체(共사슬複合體, }) formula_19는 유사하지만, 첨자의 위치와 화살표의 방향이 반대이다.
이 경우, 사상 formula_21은 공경계 사상(共境界寫像, )라고 하고, formula_22의 원소는 "i"차 공사슬(formula_17次共사슬, )이라고 한다. formula_24인 "i"차 공사슬 formula_25을 formula_17차 공순환(formula_17次共循環, )이라고 한다.
formula_1 속의 사슬 복합체들과 이들 사이의 사슬 사상들의 범주는 formula_29라고 한다. 마찬가지로, 공사슬 복합체들과 공사슬 사상들의 범주는 formula_30라고 한다. 물론, 이 둘은 (차수를 formula_31로 대응시킬 때) 같은 범주를 표기하는 서로 다른 두 방법일 뿐이지만, 용도에 따라 두 표기법 가운데 하나가 더 선호되는 경우가 많다.
아벨 범주 formula_1 속의 두 사슬 복합체 formula_33, formula_34 사이의 사슬 사상(사슬寫像, ) formula_35은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
마찬가지로, 공사슬 복합체 사이의 공사슬 사상 또한 같은 방식으로 정의된다. 아벨 범주 formula_1 속의 두 공사슬 복합체 formula_43, formula_44 사이의 공사슬 사상() formula_45은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
사슬 복합체와 사슬 사상의 범주는 formula_52 또는 formula_53로 표기된다. 이는 사슬을 뜻하는 또는 복합체를 뜻하는 를 딴 것이다.
임의의 두 사슬 복합체 formula_54에 대하여, 그 사이의 사슬 사상의 집합
위에는 사슬 호모토피라는 동치 관계가 존재한다. 사슬 사상의 호모토피류는 유도 범주의 사상을 이룬다.
formula_29의 다음과 같은 부분 범주들이 흔히 사용된다.
아벨 범주 formula_1 속의 사슬 복합체
와 정수 formula_65가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_66의 formula_67차 현수(formula_67次懸垂, ) formula_69는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
즉, 각 성분의 차수를 formula_67만큼 추가하고, 만약 formula_67가 홀수라면 경계 사상에 음부호를 붙인 것이다.
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 따라서, 아벨 범주에서 정의되는 모든 연산들이 정의될 수 있다.
예를 들어, 두 사슬 복합체 formula_74 의 직합 formula_75은 다음과 같다.
마찬가지로, 사슬 복합체 사상
의 핵
및 여핵
및 상
및 여상
이 성분별로 정의된다.
사슬 복합체 formula_89의 경우, 호몰로지
를 정의할 수 있다. 이 경우, 모든 경계 사상을 0으로 잡으면 이는 사슬 복합체를 이룬다. 만약 사슬 복합체 대신 공사슬 복합체를 사용하는 경우, 이 연산은 코호몰로지라고 불린다.
두 사슬 복합체 formula_91, formula_92 사이의 유사동형(類似同型, )은 다음과 같은 사슬 사상 formula_93이다.
서로 동형인 두 사슬 복합체는 유사동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
가환환 formula_96 위의 결합 대수 formula_97 위의 formula_98-쌍가군들의 아벨 범주 formula_99
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 formula_101를 정의할 수 있다.
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체 formula_107를 formula_91와 formula_92의 텐서곱이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.
이 텐서곱의 항등원은 다음과 같은, 하나만의 성분을 갖는 사슬 복합체이다.
그렇다면, formula_116은 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 마찬가지로,
역시 각각 대칭 모노이드 범주를 이룬다.
특히, formula_120 속의 모노이드 대상을 미분 등급 대수라고 한다.
또한, formula_99의 두 사슬 복합체 formula_91, formula_92에 대하여, 다음과 같은 내적 사상 대상(內的寫像對象, )
을 정의할 수 있다.
이에 따라, 쌍가군 범주 위의 사슬 복합체 범주 formula_127는 닫힌 모노이드 범주를 이룬다.
사슬 복합체의 범주 formula_29에서, 유사동형들을 동형 사상이 되게 국소화하면, 유도 범주 formula_129를 얻으며, 표준적 함자
가 존재한다.
사슬 복합체의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 사슬 복합체의 호모토피 범주 및 유도 범주는 가법 범주이지만 일반적으로 아벨 범주가 아니다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 formula_57에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 formula_59에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
이 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주는 유도 범주이다.
아벨 범주 위의 단체 대상 formula_135에 대하여, 항상 정규화 사슬 복합체 formula_136라는 사슬 복합체를 대응시킬 수 있다. 이는 함자를 이루며, 사실 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 formula_57와 단체 대상의 범주 formula_138 사이의 동치 및 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
이를 돌트-칸 대응이라고 한다.
마찬가지로, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 formula_59는 쌍대 단체 대상의 범주 formula_141와 동치이며, 또한 이는 모형 범주의 퀼런 동치를 이룬다.
아벨 범주 formula_1 위의 사슬 복합체의 범주 formula_29 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, )라고 한다.
(공)사슬 복합체의 개념은 대수적 위상수학에서 호몰로지·코호몰로지를 정의하기 위하여 개발되었다. 대수적 위상수학에서는 위상 공간의 특이 호몰로지를 정의하기 위하여 특이 사슬 복합체라는 사슬 복합체를 정의한다. 이후 사슬 복합체의 개념은 층 코호몰로지 · 군 코호몰로지 등 다른 코호몰로지 이론의 발달로 더 중요해졌으며, 호몰로지 대수학의 발달로 추상적으로 정의되었다.