애로의 불가능성 정리
사회 선택 이론에서 애로의 불가능성 정리(Arrow's impossibility theorem, 일반 가능성 정리(General Possibility Theorem) 또는 애로의 역설(Arrow’s paradox))는 투표자들에게 세 개 이상의 서로 다른 대안이 제시될 때, 어떤 투표 제도도 공동체의 일관된 선호순위(ranked preferences)
를 찾을 수 없다는 것, 즉 애로 정리에서 제시된 몇 가지 기준을 충족하면서, 선호의 '완전성'(completeness)과 '이행성'(transitiveness)을 만족시킬 수 있는 사회 후생 함수(social welfare function)를 찾을 수 없다는 것을 의미한다. 이론 경제학자인 케네스 애로의 이름을 따서 정리의 이름이 붙여졌다. 그는 그의 박사논문 'A Difficulty in the Concept of Social Welfare'에서 이 정리를 설명했고 51년 그의 책 'Social Choice and Individual Values' 덕분에 널리 알려졌다. 1972년 애로는 경제 '일반 균형 모델'(general equilibrium theory)과 '사회적 후생론'(welfare theory)을 개척한 공로를 인정받아 그 해 노벨 경제학상의 공동 수상자로 선정됐다.
애로는 '정의 영역 배제 불가능'(unrestricted domain, 보편성 원칙), '비 독재'(non-dictatorship, 투표권의 동등한 영향력), '만장일치(파레토 원칙)', '무관한 선택대상으로부터의 독립'(independence of irrelevant alternatives, IIA)을 투표 제도가 만족해야 될 조건으로 제시했다.
'기바드-새터스웨이트 정리'(Gibbard–Satterthwaite theorem)는 이를 확장해 선거가 갖는 함의를 해석하였다.
간단히 설명하면, 불가능성 정리는 어떤 투표 제도를 선택해도 다음과 같은 세 가지 "공정성" 기준을 만족시킬 수 없다는 것을 증명한다.
만약 각각의 대안에 임의의 선호 값을 부여한다면(기수(基數)적 효용), 불가능성 정리를 우회하는 공동체 결정이 가능하다. 하지만 애로는, 다른 많은 경제학자들과 같이, 기수적 효용(cardinal utility)이 사회 후생을 평가하는 의미있는 도구라고 생각하지 않았고, 따라서 선호순위를 바탕으로 불가능성 정리를 도출했다.
선호를 바탕으로 한 애로의 공리(公理, axiom)적 접근법은, 하나의 통일된 틀안에서 거의 모든 사회 제도를 분석할 수 있는 도구를 제시한다. 이런 점에서, 애로의 공리적 접근은 개별 제도를 하나씩 다루는 그 이전의 '투표 이론'에서 (질적으로) 한단계 발전한 방법이라고 볼수 있다. 따라서, 일부 학자들은 사회 선택 이론의 새로운 패러다임이 애로의 정리에서 시작됐다고 평가한다.
공동체 구성원의 선호를 한데 묶을 필요성은 여러 학문 분야에서 제기된다. '후생 경제학'에서는 사회적으로 용인되고 안정적인 분배 체계를 정하는데 필요하고, '의사 결정론'에서는 경제 주체가 (몇 가지 조건들을 만족시키면서) 합리적인 의사 결정을 내리는데 필요하다. 또 개별 유권자의 선호에서 공동체 의사 결정을 도출하는 장치인 '투표'를 연구하는데도 사회적 선호에 대한 논의가 필요하다.
애로는 여러 대안들이 주어졌을 때 경제 주체가 내리는 선택을 관찰하고, 이를 통해 개인의 선호순위(a preference order)를 이끌어 낼 수 있다고 보았다. 또, 개인을 포함한 모든 의사결정 주체는 주어진 대안에 대해 각각 고유한 선호 체계를 갖는다고 가정했다. 따라서 애로의 정리는 사회 구성원이 가지고 있는 다양한 선호순위를 하나의 통일된 "사회" 선호순위로 전환시킬 수 있는 사회 후생함수(social welfare function 또는, 선호 결합 규칙 preference aggregation rule)을 찾기 위해 노력한다. 정리는 다음과 같이 (공정한 선거가 갖춰야 하는) 몇 가지 투표의 조건들을 가정한다.
애로의 정리는, 두 명 이상의 의사결정 주체에게 세개 이상의 대안이 주어진다면 위의 조건을 모두 만족하는 사회 후생함수를 도출할 수 없다고 말한다.
1963년 정리에서는 단조성과 비강제성 조건을 파레토 효율조건으로 대체했다:
"단조성, 비강제성, IIA 조건"은 "파레토 효율"을 내포하지만, 반대로 "파레토 효율, 비강제성, IIA"는 "단조성"을 의미하지 않기 때문에 수정된 1963년 정리는 좀 더 강력하다고 할 수 있다. 즉, 정리가 충족시켜야 될 조건이 덜 제약적이므로 이 정리를 보다 많은 사안들에 보편적으로 적용할 수 있게 된다.
애로의 정리는 수학적 결과이지만, 이를 종종 단순하게 해석하기도 한다: ""공정한 투표란 없다", "순위를 매기는 모든 투표방법은 오류가 있다.", 또는 "오류가 없는 투표는 오직 독재뿐이다."" 정리를 단순화 시킨 위와 같은 표현은 원문의 내용과 거리가 있다. 정확히 말해, 불가능성 정리는 어떠한 (선호순위만이 투표에 영향을 미치고, 여러번 투표를 시행해도 동일한 결과를 도출할 수 있는) 확정적 투표 제도도 애로가 제시한 조건을 모두 동시에 만족시킬 수 없다는 것을 말한다.
애로가 자신의 조건들을 언급하면서 "공정성"이란 단어를 사용한 것은 사실이다. 또 파레토 효율이나 비강제성 요구는 많은 사람들에게 합리적인 가정으로 여겨진다.
일부 학자들은 IIA 가정을 약화시키는 것이 정리의 역설을 우회하는 한 방법이라고 본다. 이들 학자들은 IIA가 너무 강한 조건이라고 주장하며, 그 예로 대부분의 현실적 투표제도가 IIA조건을 만족시키지 못한다고 말한다. 또, IIA조건 위반은 단순히 선호가 순환성(cyclic preference)을 보이는 경우에도 가능하다는 점을 지적한다.
유권자들이 다음과 선호순위를 갖고 있다고 가정해보자:
A와 B를 두고 투표할때, 유권자 1·3은 A에 투표하고 유권자 2만 B에 투표한다. 따라서 다수결을 통해 이 공동체는 A 보다는 B를, B 보다는 C를, 그리고 C 보다는 A를 선택한다: 어떤 두 대안을 비교하더라도, '가위 바위 보'와 같은 선호체계를 갖는다. 이경우, (사회 선호가 전이성 혹은 비순환성을 갖는다고 전제했을때.) 가장 많은 득표를 얻은 후보가 승리하는 다수결의 원칙을 적용한 "그 어떤" 선호 결합 규칙(사회 후생함수)도 IIA를 만족시키지 못한다.
귀류법을 이용해 이것을 증명하기 위해, (반대로) 선호 결합 규칙이 IIA를 만족한다고 해보자. 다수결 원칙이 존중되기 때문에, 투표를 통해 이 공동체는 A 보다는 B를, B 보다는 C를, 그리고 C 보다는 A를 선호하는 것으로 나타난다. 따라서 선호의 순환성이 나타나고, 사회 선호가 전이성을 만족한다는 가정에 위배된다.
결국, 애로의 정리가 실제로 보이는 것은, 어떤 다수결 원칙의 투표도 "사소하지 않은" 게임이라는 것과 투표 행위의 결과를 예측하기 위해서는 대부분의 경우 게임 이론을 도입해 분석해야 된다는 것이다. 우리가 게임 이론의 '균형'이란 개념을 도입한다고 해서 다양한 규범적 조건들을 만족시킬수 있다는 것을 의미하지는 않는다. 실제로, 선호순위 체계에서 균형점으로 매핑하는 과정은 '사회 선택 규칙'에 따르게 되고, 이런 사회 선택 규칙의 유용성은 사회 선택 이론(social choice theory)에서 다뤄진다.
이런 결론은 게임이 꼭 효율적 균형을 갖는 다고 볼수없기 때문에 실망스러울수도 있다: 누구도 최선이라고 인정하지는 않는 후보에게, 모두가 선거에서 (차선으로) 그 후보에 투표할 수 있다.
formula_1를 여러 대안들의 집합으로, formula_2을 전체 유권자(또는 의사결정 조건)의 수라고 해보자. formula_1의 모든 전순서 집합은 formula_4로 표시한다.
formula_5로 표시된 사회 후생함수(선호 결합 규칙)는 대안 집합 formula_1에 대한 여러 유권자들의 선호를 단일한 선호순위로 결합하는 함수이다. Note that by definition, a "social welfare function" as defined here satisfies the Unrestricted domain condition. Restricting the range to the social preferences that are never indifferent between distinct outcomes is probably a very restrictive assumption, but the goal here is to give a simple statement of the theorem. Even if the restriction is relaxed, the impossibility result will persist.
또, formula_2-튜플의 formula_8는 유권자들의 선호를 표시한 "선호 프로필"을 나타낸다. 이경우 (가장 강력하고 간단한 형태의) 애로의 정리는 대안 집합인 formula_1에 두개 이상의 항목이 있을때 다음 세가지 조건이 동시에 성립할 수 없다는 것을 보인다:
이 부분은 예일 대학교의 존 지나코폴리스(John Geanakoplos)가 애로의 정리를 설명한 부분을 옮긴것이다. 우리의 목표는 그 어떤 사회 선택 제도도 "보편성", "만장일치", codice_1조건을 만족한다면 독재일 수밖에 없다는 것을 보이는 것이다.
어떤 공동체에게 세 가지 대안이 주어졌다고 하자. 우리는 이 대안들을 각각 A, B, C라고 부른다. 또 모든 사람들이 B를 가장 덜 선호한다고 해보자. 이 말은 모든 사람들이 B보다 다른 대안을 선호한다는 것이다. 만장일치 조건에 의해서, 이 공동체는 B보다 다른 대안을 선호해야만 한다. 구체적으로, 이 사회는 B보다 A와 C를 더 좋아한다. 이런 상황을 "프로필" 1이라고 부르자.
반대로, 만약 모든 사람들이 다른 대안보다 B를 좋아한다면, 이 사회는 만장일치로 다른 어떤 대안보다 B를 선호할 것이다. 만약 "프로필" 1에서
(자의적이지만, 체계적인 순서로) 구성원 한 명씩 B에 대한 선호를 가장 밑바닥에서 최고 순위로 올려 나간다고 가정한다면, 종국에는 B가 공동체에서 가장 선호되는 대안으로 바뀔 것이고 특정 시점에서 B에 대한 사회적 선호순위가 (가장 밑바닥에서) 상승하는 것을 관찰할 수 있다. 이 경우 B에 대한 사회 선호순위가 상승하도록 만드는 한 구성원이 존재하고, 이런 유권자를 "결정적" 투표자라고 부른다.
이제 우리는 "결정적" 투표자 "n"이 B에 대한 선호를 바닥에서 최상으로 바꿀 때, B에 대한 사회 선호순위도 바닥에서, 중간 지점이 아니라, 최상으로 변경된다는 것을 보이고자 한다.
이것을 증명하기 위해, 만약 위의 명제가 사실이 아닐 때 벌어질 일을 생각해보자. 이 경우 투표자 "n"이 B에 대한 선호도를 최상으로 바꿨을 때, (즉, formula_30의 유권자들은 B를 가장 선호하고, formula_31의 유권자들은 여전히 B에 대한 선호가 바닥일때) 이 공동체는 B보다 선호되는 어떤 대안(A라고 하자)과 B보다 선호되지 않는 또 다른 대안(C라고 하자)이 존재할 것이다.
이제 만약 모든 유권자가 C에 대한 선호를 A보다 위에 놓게 된다면, 이 사회는 A와 C의 비교에서 만장일치로 C를 선택할 것이다. 그러나 IIA에 따르면, C에 대한 선호를 (A보다 높게) 바꾸는 것이 B와 C의 비교에 아무런 영향을 주어서는 안 된다. 이 말은, B가 가장 선호되거나 선호되지 않는 대안 중 하나이기 때문에, C나 A를 바꾸는 것이 B와의 비교에서 선호순위를 바꾸지 않고 B가 C보다 선호되도록 한다.
비슷한 논리로, IIA가정에 따르면 C와 A를 바꾸는 것이 A와 B의 비교에 아무런 영향을 주지 않고 이 사회는 여전히 B보다 A를 더 좋아한다. 사회 선호순위에서 C는 A보다 높고, A는 B보다 높기 때문에, C는 B보다 순위가 높아야만 한다. 따라서 우리는 "모순"에 도달하게 되고, 보이고자 하는 결론에 도달하게 된다: formula_30의 유권자들이 B에 대한 선호를 최하에서 최상으로 수정할때, B에 대한 사회 선호순위도, 중간 지점이 아니라, 최하에서 최상으로 변한다.
주목할 점은 "프로필" 1이 아닌 다른 선호 "프로필" 1”에 적용했을때, B에 대한 선호도 변경하는 순서가 바뀌지만 않는다면 "결정적" 투표자 "n"은 그대로라는 것이다. 즉, "결정적" 투표자는 어떤 "프로필"을 사용하는냐가 아니라, 선호 변경 순서에 의해 결정된다.
만약 우리가 B와 다른 대안 하나의 조합에만 집중해 본다면, 선호를 변경하는 과정에서, 모든 사람에 대해 프로필 1에서 시작하던 아니면 프로필 1”에서 시작하던 이 조합안의 선호는 변하지 않는다. 따라서 IIA에 의해, 조합안의 선호는 변화하지 않아야 한다. 이런 사실이 모든 대안에 똑같이 적용되기 때문에, 프로필 1”에서 프로필 1과 마찬가지로 B의 순위는 "n"이전에는 바닥에, "n"이후에는 최상에 놓이게 된다.