2차원 등각 장론
수학과 물리학에서, 2차원 등각 장론(二次元等角場論, )은 등각 장론의 2차원에서의 특수한 경우이다. 즉, 2차원 시공간에 존재하며, 비라소로 대수라는 무한 차원 리 대수 대칭을 갖는 양자장론이다. 2차원 등각 장론은 고차원 등각 장론에서 찾을 수 없는 여러 특수한 성질을 가진다. 끈 이론 및 응집물질물리학에서 쓰인다.
비라소로 대수는 formula_1 (formula_2)과 formula_3로 인하여 생성되는 대수로, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.
중심 원소 formula_3가 0인 대수를 비트 대수()라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다. 이는 고전적으로 다음과 같은 벡터장들로 의하여 생성된다.
임의의 정칙 사상 formula_8에 대하여, 장들은 일반적으로 복잡하게 변환한다. 그 가운데, 일차장()들은 다음과 같이 변환한다.
여기서 formula_10는 일차장 formula_11의 등각 무게()라고 한다. 또한, 이들로부터 스핀 formula_12와 차원() formula_13를 다음과 같이 정의한다.
일차장의 변환이 잘 정의되기 위해서는 스핀과 차원이 둘 다 정수여야 한다. 다만, 무게 formula_10 자체는 정수일 필요가 없다.
일차장들은 에너지-운동량 텐서 formula_17와 다음과 같은 연산자 곱 전개를 가진다.
즉, 모든 formula_20에 대하여, 일차장들은 formula_1, formula_22에 의하여 상쇄된다.
반대로,
이다. 일차장의 조건에서, 모든 양의 formula_29 대신 formula_30인 경우의 조건만을 적용시키면, 준일차장()의 개념을 얻는다. 즉, 일차장은 [[비라소로 대수]] 전체에 대하여 잘 변환하는 반면, 준일차장은 비라소로 대수의 대역적 부분 대수 formula_31에 대하여 잘 변환한다.
일차장에 formula_32 (formula_20)을 가하여, 다양한 이차장()들을 정의할 수 있다. 즉, 만약 formula_34가 일차장이라면 다음은 모두 이차장이다.
주어진 일차장 formula_34로부터 정의되는 이차장들을 formula_34의 자손(
자손, )이라고 한다.
formula_32을 가하면 무게 formula_39가 formula_29만큼 증가하고, 마찬가지로 formula_41을 가하면 무게 formula_42가 formula_29만큼 증가한다. 일차장과 여기에 음수 차수 비라소로 연산자들을 가하여 얻은 이차장들의 집합을 베르마 가군이라고 하며, 베르마 가군의 무게는 그 일차장의 무게이다. 무게가 formula_10인 베르마 가군에서, 무게가 formula_45인 이차장들의 수는
이다. 여기서 formula_47는 분할수 함수이다. 다만, 베르마 가군의 원소 가운데 노름이 0 또는 음수인 경우는 물리적 힐베르트 공간에 포함시키지 않는다.
항등 연산자(진공) formula_48은 일차장이며, 그 무게는 formula_49이다. 에너지-운동량 텐서 formula_17, formula_51는 formula_48의 자손이며, 구체적으로 다음과 같다.
비라소로 대수의 표현은 중심 원소 formula_3의 값에 따라 분류된다. 표현이 어떤 최고 무게() "h"로부터 생성되는 경우를 최고 무게 표현()이라고 한다. 유니터리 기약 최고 무게 표현은 그 중심 원소 "c"와 최고 무게 "h"로 분류된다. 유니터리 표현의 경우
이다. 가능한 formula_3의 값들은 다음과 같다. formula_58인 경우, 모든 formula_59에 대한 표현 formula_60가 존재한다. formula_61인 경우에는 다음과 같은 값들만이 존재한다.
후자의 경우를 최소 모형이라고 한다.
준일차장들의 푸리에 전개는 다음과 같이 쓴다.
이에 따라, formula_68은 무게 formula_69을 갖는다. formula_70와 formula_71의 값은 부여하는 경계 조건에 따라서 달라진다.
무게가 formula_72인 일차장 formula_73에 대하여,
이다. 이 경우, formula_76이 정의돼야 하므로
이며, 또한
이다. 즉, formula_79는 formula_80의 생성 연산자이다.
모드 성분 formula_68의 에르미트 수반은 다음과 같다.
2차원에서는 무한 차원의 비라소로 대수로 인하여 무한히 많은 수의 보존량이 존재하며, 따라서 그 구조가 매우 제한돼 있다. 구체적으로, 양자장론은 상관 함수로 기술되는데, 2차원 등각 장론에서는 이 상관함수를 비라소로 대수와 워드-다카하시 항등식()을 써서 엄밀하게 구할 수 있다. 이러한 의미에서 2차원 등각 장론은 해를 구할 수 있으며(), 2차원 통계역학 계 또는 1+1차원 양자계를 이해하는 데 있어서 강력한 도구다.
2차원에서는 (유클리드 계량 부호수에서의) 등각 구조가 복소 구조와 같다. 따라서, 2차원 유클리드 등각 장론에서의 공간은 리만 곡면의 구조를 가지며, 공간의 좌표는 통상적으로 복소 좌표 formula_83로 나타낸다. 즉, 벡터 formula_84가 주어지면
로 정의한다. 통상적으로 (반)정칙적인 미분을 다음과 같이 정의한다.
이 경우, 고전적인 등각 대칭은 다음과 같은 비트 대수()에 의하여 생성된다.
이들은 다음과 같은 대수를 만족시킨다.
양자화 후에는 여기에 변칙적인 항이 추가돼 비라소로 대수가 된다.
다른 모든 양자역학적 모형과 마찬가지로, 등각 장론의 상태 공간 formula_92는 복소 벡터 공간을 이루며, 이 가운데 하나의 진공 상태
가 존재한다.
그레임 시걸은 등각 장론을 함자의 개념을 사용하여 다음과 같이 정의하였다. 원(circle)을 대상으로, 리만 곡면에 의한 보충 경계를 사상으로 하는 범주 formula_94를 생각하자. 또한, formula_95는 힐베르트 공간의 범주다. 그렇다면, (2차원) 등각 장론은 특수한 함자 formula_96이다. 여기서 이 함자는 양 범주의 특정한 성질들을 보존하여야 한다.
높은 차원에서는 등각군은 유한차원이지만, 2차원의 시공에서는 그 등각군이 무한차원이다. 좀 더 정확하 말하면, SO(2,2) 아래에서의 등각 변환군은 정칙 함수의 등각 사상의 변환군(무한 차원 리 군)으로 확장되고, 이를 생성하는 리 대수는 (무한 차원의) [[비라소로 대수]]다. (유클리드 계량 텐서의 경우) 정칙과 반정칙 비라소로 대수 두 복사본이 존재한다. (로렌츠 계량텐서의 경우 이는 오른쪽 및 왼쪽 모드에 해당한다.) 등각 장론의 상태 공간(힐베르트 공간)은 (중심 확장을 포함한) [[비라소로 대수]]의 가군을 이룬다. 해밀토니언이 음수의 값을 가질 수 없으므로, 이는 최고 가중 가군()이어야 한다.
비라소로 대수의 중심 원소 formula_3는 등각 대칭의 변칙적 파괴를 나타낸다. 이에 따라, formula_98이면 등각군은 formula_99에 의하여 생성되는 뫼비우스 부분군으로 깨진다.
물리학적으로, 비라소로 대수의 생성원 formula_100은 에너지-운동량 텐서의 푸리에 성분들로 나타난다. 2차원 양자장론의 에너지-운동량 텐서 formula_101는 2×2 대칭 행렬이므로 일반적으로 3개의 성분을 가지는데, 2차원 등각 장론의 경우 에너지-운동량 텐서의 대각합이 0이므로 2개의 성분밖에 없다. 이들은 formula_102 기저로 다음과 같이 쓸 수 있다.
또한,
임을 보일 수 있다. 즉, 에너지-운동량 텐서 formula_109를 formula_17, formula_51로 나타낼 수 있다.
에너지-운동량 텐서의 푸리에 성분을 다음과 같이 정의하자.
이는 또한 경로적분법으로 다음과 같이 표현할 수도 있다.
그렇다면 이들은 비라소로 대수를 따르게 된다. 에너지-운동량 텐서의 에르미트성에 따라서
이다.
2차원 등각 장론의 1차장 formula_118는 다음과 같은 연산자 곱 전개를 갖는다.
이러한 꼴의 연산자 곱 전개는 국소장이 1차장이 될 필요충분조건이다.
2차원 등각 장론의 분배 함수는 특별한 성질들을 가진다. 분배 함수를 정의하기 위해서는, 우선 진동 모드들을 이산화(discretization)하기 위하여 공간을 축소화한다. 즉, 공간에 주기적인 경계 조건을 주어, 원으로 만든다. 또한, 시간에도 주기적인 경계 조건을 주자. 이 경우, 시간의 주기는 온도의 역수가 된다. 이에 따라, 2차원 등각 장론의 분배 함수를 계산하려면, 등각 장론을 (복소 구조가 주어진) 원환면, 즉 타원 곡선 위에 정의하면 된다.
타원 곡선의 복소 구조는 상반평면의 한 원소
로 나타내어진다. 또한, 모듈러 군의 작용에 따라, 같은 궤도에 속한 formula_122는 같은 복소 구조를 나타낸다.
따라서, 등각 장론의 분배 함수 formula_125는 formula_122, formula_127에 대한 함수이며, 또한 위와 같은 모듈러 변환에 대하여 불변이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 정의된다.
여기서
모듈러 불변인 등각 장론은 타원 곡선(종수 1 리만 곡면) 위에 정의될 수 있다. 또한, 모듈러 불변 등각 장론은 임의의 종수의 리만 곡면 위에 정의할 수 있다. 즉, 고차 종수에서의 제약들은 종수 1에서 완전히 나타난다.
2차원의 경우, 구체적으로, 등각 무게가 각각 formula_133인 연산자 formula_134들의 2점 상관 함수는 다음과 같은 꼴이다.
여기서 formula_137, formula_138이다. 반면 4점 이상의 상관 함수는 등각 대칭에 의하여 완전히 결정되지 않는다. 이는 타이히뮐러 공간 formula_139은 formula_140이면 더 이상 0차원이 아니기 때문이다. 즉, 리만 구의 등각 대칭(뫼비우스 변환)을 사용하여 임의의 3개의 점을 원하는 위치로 고정시킬 수 있지만, 4번째의 점은 이렇게 고정시키지 못한다.
2차원 등각 장론의 경우, 모듈러 불변성을 사용하여, 매우 높은 에너지 formula_141에서의 상태 밀도 formula_142가 다음과 같은 꼴임을 보일 수 있다.
여기서 "c"는 등각 장론의 중심 원소다. 즉, 그 로그를 취하면 2차원 등각 장론의 엔트로피는 다음과 같다.
이를 카디 엔트로피 공식()이라고 한다. 이 공식은 끈 이론에서 블랙홀 엔트로피를 계산할 때 쓰인다.
임의의 2차원 양자 장론에 대하여, "c"라는 값이 존재한다. 이는
이는 재규격화군에 따라 높은 에너지의 물리가 잊혀지므로 그에 따라 자유도가 감소하는 것으로 해석할 수 있다. 이를 formula_3-정리()으로 일컫는다.
등각 장론은 등각 대칭 말고도 다른 대역적인 대칭을 가질 수 있다. 예를 들어, 이론이 콤팩트 리 군 formula_151 꼴의 대칭을 가진다고 하자. 즉, 이 경우 대칭의 생성원들 formula_152 (formula_153)은 formula_151의 리 대수 formula_155값을 가진 연산자들이며, 이들은
꼴의 교환 관계를 만족시킨다.
그러나 등각 장론이 대칭 formula_151를 가질 경우, 대칭의 생성원뿐만 아니라, 대칭에 따른 보존류 formula_158들도 연산자 곱 전개에 의하여 대수를 이룬다. 이 보존류들은 무게가 1인 1차장들이며, 이들의 푸리에 급수를
로 정의하면
가 된다. 이들의 교환 관계는 다음과 같다.
이들은 무한 차원 리 대수를 이루며, 이를 아핀 리 대수 또는 카츠-무디 대수()라고 부른다.} 여기서 formula_162는 이론마다 다른 정수이며, 아핀 리 대수의 레벨()이라고 한다.
대표적으로, 과녁 공간이 리 군 formula_151인 시그마 모형을 생각할 수 있다. 이 경우, 적절한 항들을 추가시키면 이론을 등각 장론으로 만들 수 있다. 이러한 모형을 베스-추미노-위튼 모형이라고 하며, 리 군 속에서 움직이는 끈을 나타낸다.
2차원 등각 장론의 가장 간단한 예는 하나의 자유 스칼라장을 포함하는 모형이다.
실수 스칼라장 formula_164를 포함하는, 다음과 같은 작용을 생각하자.
그렇다면 스칼라장 formula_166는 다음과 같은 2점 함수를 가진다.
이 작용의 오일러-라그랑주 방정식
을 사용하여, formula_166를 다음과 같이 분해할 수 있다.
이 경우, 이들은 다음과 같은 2점 함수를 가진다.
이 경우 formula_173의 2점 함수는
이므로, formula_34, formula_176는 1차장이 아니지만 formula_173, formula_178는 1차장을 이루는 것을 알 수 있다. 또한, formula_179도 1차장을 이룬다. 즉, 이론의 1차장들과 그 무게는 다음과 같다.
이 이론의 중심 전하는 formula_180이다. 보다 일반적으로, formula_29개의 스칼라장을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 formula_182이다. 이는 끈 이론에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 보손 끈 이론에서는 시공간의 각 차원마다 이에 해당하는 실수 스칼라장이 존재한다. formula_183 유령 등각 장론이 formula_184이며, 끈 이론의 일관성을 위하여 총 중심 전하가 formula_185이어야 하므로, 총 26개의 차원(스칼라장)이 존재해야 한다. 즉, 보손 끈 이론은 26차원의 시공간에서 존재한다.
자유 스칼라장 등각 장론을 복소 구조 모듈러스가 formula_121인 타원곡선 위에 정의하면, 그 분배 함수는 다음과 같다.
여기서 formula_188는 데데킨트 에타 함수다. 인자 formula_189는 끈 이론에서 끈의 질량 중심의 운동량 모드에 해당한다. 이는 다른 진동 모드와 달리 (축소화하지 않은 시공간에서) 국한돼 있지 않으므로, 다른 진동 모드와 달리 특별히 다뤄진다.
자유 스칼라장 모형을 약간 변화시켜, 축소화 자유 스칼라장을 생각할 수 있다. 이 경우, formula_164를 실수값 대신 formula_191 값을 가진 장으로 생각한다. 여기서 formula_192은 formula_166의 주기이다. 끈 이론에서는 이는 시공간을 반지름이 formula_194이게 축소화하는 것에 해당한다. 이 경우, formula_179 꼴의 1차장들은
로 국한된다. 또한, 이 경우 (등각 대칭을 깨고) 퍼텐셜을 추가한다면 감음수에 따른 솔리톤 상태가 존재한다. 예를 들어, 사인-고든 모형이 이에 해당한다.
축소화 스칼라장을 복소 구조 모듈러스가 formula_121인 타원곡선에 축소화시켰을 때, 그 분배 함수는 다음과 같다.
여기서
이 분배 함수는 축소화 주기를
과 같이 치환하여도 바뀌지 않는다. 이는 끈 이론의 T-이중성에 해당한다.
하나의 페르미온 formula_203을 포함하는 등각 장론의 중심 전하는 formula_204이다. 보손화를 통해, 두 개의 페르미온은 하나의 보손과 같다는 사실을 보일 수 있다.
페르미온의 경우 느뵈-슈워츠 경계 조건()과 라몽 경계 조건() 두 가지 가능한 경계 조건이 있다. 이들의 구체적인 형태는 공간의 좌표에 따라 달라진다. 공간을 formula_205로 잡고, 무한 과거가 formula_206, 무한 미래가 formula_207인 좌표를 쓸 수도 있고, 대신 formula_208로 하여, 무한 과거가 formula_209, 무한 미래가 formula_210인 좌표를 쓸 수도 있다. 이 경우, 등각 무게가 formula_211인 페르미온 장 formula_212의 경계 조건은 다음과 같다.
이다. 즉, 평면("z")에서는 반주기적이고, 원기둥("w")에서는 주기적이다.
formula_217로 좌표를 바꾸면, 무게가 반정수이기 때문에 경계 조건이 주기적에서 반주기적으로 바뀌게 된다.
복소 구조가 formula_122인 타원 곡선에서, 자유 페르미온의 분배 함수는 다음과 같다.
여기서 formula_220는 야코비 세타 함수다.
이렇게 GSO 사영을 가하고 느뵈-슈워츠 경계 조건 및 라몽 경계 조건 둘 다 포함시키지 않으면, 분배 함수는 모듈러 변환에 더 이상 불변이지 않게 된다. 즉, 등각 장론의 일관성에 의하여 GSO 사영이 불가피하다. 끈 이론에서는 이 과정을 통해 타키온 바닥 상태가 없어지게 된다.
유령장은 끈 이론에서 (초)등각 대칭을 게이지 고정시킬 때 등장하는 파데예프-포포프 유령장이다. 유령장들의 등각 장론에 등장하는 1차장들은 다음과 같다.
여기서 formula_229는 임의의 매개변수이다. 이 경우 에너지-운동량 텐서는 다음과 같다.
여기서 만약 formula_231, formula_3가 가환수이면(보스-아인슈타인 통계를 따르면) −, 반가환수이면 (페르미-디랙 통계를 따르면) +를 취한다.
이 이론의 중심 전하는 다음과 같다 (복부호 동순).
이 밖에도 대표적인 2차원 등각 장론으로는 다음이 있다.
아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로()가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 ()가 도입하였다.
1984년에 알렉산드르 아브라모비치 벨라빈()과 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 알렉산드르 자몰롯치코프가 2차원 등각 장론을 현대적으로 정의하고, 그 대표적인 성질들을 제시하였다.
끈 이론에서, 비라소로 대수는 끈의 에너지-운동량 텐서의 (빛원뿔 좌표계에서의) ++, −−원소의 진동모드 전개로 등장한다. (닫힌 끈의 경우엔 이들이 각각 다른 비라소로 대수를 이루나, 열린 끈의 경우에는 하나의 비라소로 대수밖에 없다.) 미분동형사상(좌표 변환) 불변성에 의하여 물리적 상태에서는 에너지-운동량 텐서가 (고전적으로) 0이 되어야 하므로, 고전적으로 formula_234이다. 이를 양자화하면, 오직
만을 만족시키면 된다. 여기서 formula_237는 임의의 실재하는 상태고, formula_238는 이론에 따라 다른 상수다. (보존 끈 이론에서는 formula_239이고, 초끈 이론에서는 NS의 경우에는 formula_240, R의 경우에는 formula_241이다.)
보손 끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 formula_242인 반가환수 유령장들 formula_243이 존재한다. 이에 따라, 보손 끈 이론의 유령장들의 중심 전하는
이다. 이에 따라서 보손 끈 이론은 26차원에 존재한다.
초끈 이론에서는 등각 대칭의 게이지 고정을 통하여 위의 formula_242 반가환수 유령뿐만 아니라, 초등각 대칭의 게이지 고정에 의한, formula_246의 가환수 유령장들이 존재한다. (초대칭의 생성원은 반가환수이므로, 이에 대응하는 유령장은 그 반대 통계를 따른다.) 이 경우 전자를 bc" 유령으로, 후자를 βγ" 유령으로 부른다. "βγ" 유령장들의 중심 전하는
이므로, 유령장들의 총 중심 전하는 −26+11=15이다. 각 차원에서는 하나의 보손("c"=1)과 하나의 페르미온("c"=1/2)이 존재하므로, 초끈 이론은
차원의 시공간에 존재한다.
formula_249 초끈 이론은 세계면 이론이 2차원 formula_250 초등각 장론인 초끈 이론이다. 이 경우 유령장들은 다음과 같다.
formula_250 초대칭의 초다중항은 하나의 복소 스칼라와 하나의 복소 페르미온으로 이루어져 있으므로, 이는 formula_258이다. 즉, formula_250 초끈 이론은
개의 초다중항을 포함한다. 하나의 초다중항은 두 개의 실수 스칼라장을 포함하므로, formula_250 초끈 이론의 임계 차원은 4차원이다. 이 경우 일반적으로, 시공간은 복소 2차원 켈러 다양체를 이루며, 계량 부호수는 (4,0)이거나 (2,2)여야 한다.
일반적으로 임계 현상은 등각 장론에 의하여 나타내어지며, 특히 2차원 계의 임계 현상은 2차원 등각 장론에 의하여 나타내어진다. 2차원 계의 경우 평균장 이론이 적용되지 않는 경우가 많으며, 이러한 경우 2차원 등각 장론의 기법으로 임계 현상을 설명할 수 있다. 예를 들어, 이징 모형의 경우 4차원 이상에서는 평균장 이론이 잘 적용되지만, 2차원에서는 적용되지 않는다. 이 경우, 2차원 등각 장론의 하나인 최소 모형으로 그 임계 현상을 설명할 수 있다. (3차원의 경우는 현재에도 잘 이해되지 않고 있다.)