아벨 군
군론에서, 아벨 군(Abel群, ) 또는 가환군(可換群, )은 교환 법칙이 성립하는 군이다. 정수환 위의 가군으로 생각할 수 있다.
아벨 군은 다음과 같은 두 가지 방법으로 정의할 수 있다.
두 정의는 서로 동치이다. 교환 법칙을 만족시키는 군 formula_3이 주어졌다면, 여기에
와 같이 정수환의 작용을 정의할 수 있다. 반대로, 정수환 위의 가군 formula_8이 주어졌다면, 정수환의 작용을 잊으면 formula_3는 가환 법칙을 만족시키는 군을 이룬다.
아벨 군 formula_10의 생성 집합(生成集合, ) formula_11은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.
formula_10의 최소 생성 집합(最小生成集合, )은 생성 집합 가운데, 집합의 크기가 가장 작은 것이다. 최소 생성 집합이 유한 집합인 아벨 군을 유한 생성 아벨 군(有限生成Abel群, )이라고 한다.
아벨 군 formula_10의 일차 독립 부분 집합(一次獨立部分集合, ) formula_18는 그 합이 0인 선형 결합이 자명한 선형 결합밖에 없는 부분 집합이다. 즉, formula_19가 유한개의 성분들만 0이 아닌 formula_20개 음이 아닌 정수들의 순서쌍이라고 하면,
일 필요충분조건은 formula_22인 경우다.
아벨 군 formula_10의 계수(階數, ) formula_24는 다음과 같이 두 가지 방법으로 정의될 수 있는 기수이다.
따라서, 유리수 위의 벡터 공간의 경우, 아벨 군으로서의 계수는 유리수 위의 벡터 공간으로서의 차원과 같다.
아벨 군 formula_10의 원소 formula_12 및 소수 formula_31가 주어졌을 때, formula_32의 formula_31-높이() formula_34는 다음과 같다.
아벨 군들의 집합 formula_36이 주어졌다면, 직접곱
를 정의할 수 있다. 이는 군의 직접곱의 특수한 경우이며, 아벨 군들의 직접곱은 항상 아벨 군을 이룬다.
아벨 군들의 집합 formula_36이 주어졌다면, 직합
를 정의할 수 있다. 이는 가군의 직합의 특수한 경우이다. 직합은 직접곱의 부분군이다.
만약 formula_41가 유한 집합이라면 직합은 직접곱과 같으나, 무한 집합이라면 직합은 직접곱의 진부분 집합이다.
임의의 크기의 집합 formula_41에 대하여 다음이 성립한다.
여기서 우변은 기수의 합이다.
아벨 군들의 집합 formula_36이 주어졌다면, 텐서곱
을 취할 수 있다. 이는 가군의 텐서곱의 특수한 경우다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
특히, 모든 아벨 군은 데데킨트 군이므로, 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이다.
아벨 군들의 직접곱은 아벨 군이다. 아벨 군의 부분군은 아벨 군이다. 그러나 아벨 군의 자유곱은 아벨 군이 아니다.
유한 생성 아벨 군의 유한 개의 직합은 유한 생성 아벨 군을 이룬다.
모든 아벨 유한군은 유한 생성 아벨 군이며, 계수가 0이다.
모든 아벨 군 formula_10에 대하여, formula_10의 계수는 formula_10의 최소 생성 집합의 크기보다 같거나 작고, formula_10의 최소 생성 집합의 크기는 formula_10의 크기보다 같거나 작다.
아벨 군 가운데 단순군인 것은 소수 크기의 순환군 formula_51밖에 없다.
아벨 군은 정수환 위의 가군이므로, 가군론을 적용할 수 있다. 가군론적 각종 성질은 아벨 군의 성질에 다음과 같이 대응한다.
아벨 군 formula_10의 (정수환 위의 가군으로서의) 크룰 차원은 다음과 같다.
라고 하자. 그렇다면 formula_10의 크룰 차원은 formula_55의 크룰 차원과 같다. 즉, formula_56일 경우 formula_10의 크룰 차원은 1이며, formula_58인 경우 formula_10의 크룰 차원은 formula_60이며, 0 또는 1이 아닌 경우 formula_10의 크룰 차원은 0이다.
아벨 군 formula_10의 (정수환 위의 가군으로서의) 길이는 그 합성열()의 최대 길이와 같다. 예를 들어, 아벨 유한군 formula_63의 길이는 formula_64의 소인수 분해가
일 때 formula_66이다. 무한 순환군 formula_4의 길이는 무한대이다.
정역 formula_68 위의 가군의 계수는 formula_69이다. 여기서 formula_70는 formula_68의 분수체를 뜻하며, formula_72는 분수체 위의 벡터 공간으로서의 차원이다. 이 경우, 아벨 군의 가군론적 계수는 아벨 군으로서의 계수와 같다.
아벨 군은 정수환 위의 가군이다. 대수기하학적으로, 정수환의 스펙트럼은 다음과 같이, 소수 주 아이디얼을 닫힌 점으로 하는 1차원 스킴이다.
가환환 위의 가군은 가환환의 스펙트럼 위의 가군층을 이룬다. 즉, 아벨 군은 정수환의 스펙트럼 formula_73 위의 층으로 생각할 수 있다. 이 경우, 유한 생성 아벨 군
의 지지 집합은
이다. 가군층의 직합 및 텐서곱은 아벨 군의 직합 및 텐서곱과 같다. 아벨 군 formula_10의, 닫힌 점 formula_77 위에서의 가군층의 올은 유한체 formula_78 위의 벡터 공간
이며, 일반점 formula_80 위에서의 가군층의 올은 유리수 위의 벡터 공간
이다. 즉, 일반점 위에서의 가군층의 차원은 아벨 군의 계수와 같다.
예를 들어, 순환군 formula_82의 지지 집합은 formula_83의 소인수들이다. 만약 formula_82 및 formula_85이 주어졌을 때, 두 아벨 군의 텐서곱은
이 된다. 특히, formula_83과 formula_64이 서로소라면 이는 자명군이 된다. 기하학적으로, 이는 formula_89의 지지 집합은 formula_82의 지지 집합과 formula_85의 지지 집합의 교집합이 되기 때문이다. 두 지지 집합이 겹치지 않는다면, 텐서곱이 항상 0이 된다.
아벨 군을 정수환 위의 가군으로 간주하였을 때, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다.
임의의 아벨 군 formula_10는 자유 아벨 군 formula_93의 몫군 formula_94으로 나타낼 수 있다.
또한, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로, 이는 길이가 1인 사영 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 formula_10의 사영 차원은 다음과 같다.
마찬가지로, 임의의 아벨 군 formula_10은 어떤 나눗셈군 formula_102의 부분군으로 나타낼 수 있다.
또한, 나눗셈군의 몫군은 역시 나눗셈군이므로, 이는 길이가 1인 단사 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 formula_10의 단사 차원은 다음과 같다.
아벨 군과 군 준동형의 범주 formula_109는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 각종 극한과 쌍대극한은 다음과 같다.
다시 말해, 정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이며, 정수환 위의 사영 가군은 자유 아벨 군이다.
아벨 군의 아벨 범주이며, 따라서 다음 성질들이 성립한다.
망각 함자
의 왼쪽 수반 함자가 존재하며, 이는 집합을 그 집합으로부터 생성되는 자유 아벨 군에 대응시킨다. 마찬가지로, 포함 함자
의 왼쪽 수반 함자가 존재하며, 이는 군을 그 아벨화에 대응시킨다.
또한, 아벨 군의 범주에서 유사환의 범주로 가는 충실충만한 함자
가 존재한다. 이는 아벨 군 formula_115를 모든 곱이 0인 유사환 formula_116, formula_117으로 대응시킨다.
폰트랴긴 쌍대성에 의하여, 아벨 군의 범주의 반대 범주는 콤팩트 하우스도르프 아벨 위상군과 연속 군 준동형의 범주와 동치이다.
또한, 아벨 유한군의 범주의 반대 범주는 스스로와 동치이다.
아벨 군의 모임은 하나의 2항 연산(+)과 하나의 1항 연산(−), 하나의 0항 연산(0)을 갖는 대수 구조 다양체이다. 군의 대수 구조 다양체와 마찬가지로, 아벨 군의 합동 관계는 임의의 부분군에 의하여 정의된다 (아벨 군의 경우 모든 부분군이 정규부분군이다).
아벨 군들은 일차적으로 계수 formula_24에 의하여 분류된다. 이는 기수이다.
일반적인 아벨 군은 분류하기 힘들다. 다만, 다음과 같은 부분적인 분류가 존재한다.
모든 아벨 유한군은 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 소분해(素分解, )라고 한다.
여기서 formula_31는 소수이다.
마찬가지로 아벨 유한군을 다음과 같이 표현할 수도 있으며, 이를 불변 인자 분해(不變因子分解, )라고 한다.
여기서
이다 (formula_125는 formula_126가 formula_127의 약수임을 뜻한다).
이 두 분해는 중국인의 나머지 정리를 사용하여 서로 동치임을 보일 수 있다. 구체적으로,
와 같다. 여기서, 만약 formula_131라면 formula_132으로 정의한다.
아벨 유한군은 항상 계수가 0이며, 최소 생성 집합의 크기는 formula_133이다. 즉, 불변 인자 분해에서 항의 수와 같다.
아벨 유한군의 자기 동형군 역시 완전히 알려져 있다.
소분해가 주어진 아벨 formula_31-유한군의 자기 동형군의 크기는 다음과 같다.
여기서 항상
이며,
이다. 임의의 아벨 유한군
의 자기 동형군은
이다.
모든 유한 생성 아벨 군 formula_10는 다음과 같은 형태로 표준적으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다.
여기서 formula_143는 아벨 유한군이며, formula_10의 꼬임 부분군이라고 한다. 자연수 formula_145은 formula_10의 계수와 같다.
꼬임 부분군이 자명군이며, 계수가 1인 아벨 군들은 다음과 같이 완전히 분류된다.
계수가 1인 아벨 군 formula_10가 주어졌다고 하자. 임의의 formula_12 (formula_149)에 대하여, 모든 소수 formula_31에 대한 formula_31-높이들의 수열
을 정의할 수 있다. 임의의 두 원소 formula_1 (formula_154)에 대하여, 계수가 1이므로 항상
인 formula_156이 존재한다 (formula_157). 따라서, 만악 formula_31가 formula_83 또는 formula_64의 소인수가 아니라면, formula_161가 된다. 즉, formula_162와 formula_163는 유한 개의 성분을 제외하고는 서로 일치한다. 이러한 두 formula_164에 대하여
와 같이 동치 관계를 정의하면, 동치류 formula_166는 formula_12에 상관없이 유일하게 정의된다. 이를 formula_10의 형() formula_169라고 하자.
그렇다면, 꼬임 부분군이 없는 계수 1의 두 아벨 군 formula_10, formula_171에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
계수가 2 이상인 아벨 군의 분류는 사실상 불가능한 것으로 생각된다. 계수가 2 이상인, 꼬임 부분군이 자명한 아벨 군의 분류는 계수 1인 경우와 비교할 때 (어떤 집합론적인 엄밀한 의미에서) 훨씬 더 어렵다.
흔히 볼 수 있는 아벨 군의 예로는 다음이 있다.
역사적으로, 군론은 고차 방정식의 해법 가능성 여부에 대한 갈루아 이론으로부터 출발하였다. 이를 연구하던 닐스 헨리크 아벨은 어떤 다항식의 분해체의 갈루아 군이 아벨 군일 경우, 다항식의 해를 거듭제곱근만으로 나타낼 수 있음을 보였다. (이후 에바리스트 갈루아는 사실 갈루아 군이 가해군임이 족함을 보였다. 아벨 군은 가해군의 특수한 경우이다.)
아벨의 업적을 기리기 위하여, 카미유 조르당이 이 개념을 "아벨 군"이라고 명명하였다.