편미분
벡터 미적분학과 미분기하학에서, 편미분(偏微分, )은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 표기
는 변수 formula_2에 대한, 함수 formula_3의 편미분을 뜻한다. 표기
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다.
편미분 기호는 ∂이다. 1770년 이래 니콜라 드 콩도르세가 편차분 기호로서 사용하였으며, 이는 발견된 최초의 수학적 사용이다. 1786년에 아드리앵마리 르장드르가 편미분 기호로서 도입하였다. 다만 뒷날 그는 이 기호를 버려두었다. 1841년에 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 기호를 재도입하였다.
하나 이상의 변수를 갖는 함수 formula_5가 주어졌다고 가정하자. 예를 들어,
이 함수의 그래프는 유클리드 공간 속 곡면을 정의한다. 곡면 속 점마다 무한히 많은 접선이 존재한다. 편미분은 이런 접선 가운데 하나를 골라, 그 기울기를 구하는 것이다. formula_7-평면이나 formula_8-평면과 평행하는 접선(즉, formula_9나 formula_2를 상수로 놓아 얻는 접선)은 특히 중요도가 높다. 점 formula_11에서 formula_7-평면과 평행하는 접선의 기울기를 구하자. formula_9를 상수로 볼 때, 곡면 위에 놓인 곡선을 얻는다. 그 곡선 방정식에서 formula_9를 상수로 보아 미분을 구하면, 점 formula_11에서 곡선의 기울기가 다음과 같다는 것을 알 수 있다.
대입을 통해, 점 formula_17에서 formula_7-평면과 평행하는 접선의 기울기는 3이라는 것을 알 수 있다. 즉, 점 formula_17에서
즉, 점 formula_17에서 formula_22의 formula_2에 대한 편미분은 3이다.
함수 formula_5는 변수 하나의 함수들의 족으로서 재해석할 수 있다. 다시 말해, 모든 formula_9 값은 변수 하나의 함수
에 대응한다. 만약 formula_9의 값을 formula_28와 같이 선택해 고정시킨다면, formula_5는 함수
를 결정한다. formula_31가 상수이지 더 이상 변수가 아니며, 따라서 formula_32는 변수 formula_2 하나만을 갖는다. 따라서, 일변수 함수의 미분을
와 같이 적용할 수 있다. 이는 모든 formula_2 값의 함수이며, 이 논의는 모든 formula_28 값에 적용시킬 수 있다. 따라서 이로부터, 모든 formula_2 값 및 formula_9 값을 변수로 갖는 함수
을 얻을 수 있다. 이는 함수 formula_5의, 변수 formula_2에 대한 편미분이다.
연결 열린집합 formula_42에 정의된 실숫값 함수 formula_43 및 점 formula_44에 대하여, 점 formula_45에서 함수 formula_5의 변수 formula_47에 대한 편미분은 다음과 같은 극한이다.
편미분은 다음과 같이 정의할 수도 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.
여기서
어떤 formula_44에서 formula_5의 formula_47에 대한 편미분이 존재한다면, 점 formula_45에서 formula_5가 formula_47에 대해 편미분 가능하다고 한다. 모든 formula_61에서 formula_5의 formula_47에 대한 편미분이 존재한다면, formula_5가 formula_65에서 formula_47에 대해 편미분 가능하다고 한다. 이 경우, 편미분은 정의역이 formula_65, 공역이 formula_68인 함수이며, 이를
로 표기한다.
(어떤 점 또는 모든 점에서) 함수 formula_5가 모든 변수에 대해 편미분 가능할 경우, formula_5의 기울기는 각 변수에 대한 편미분을 좌표로 갖는 벡터이다.
방향 미분(方向微分, )은 편미분의 가벼운 일반화이다. 좌표축과 평행하는 방향의 함수 변화를 다루는 편미분과 달리, 방향 미분은 임의의 방향의 함수 변화를 다룬다.
다음과 같은 대상들이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 점 formula_45에서 formula_5의 방향 formula_78에 대한 방향 미분은 다음과 같은 극한이다.
여기서
이다.
함수 formula_5의 고계 편미분(高階偏微分, )은 편미분의 편미분이나 편미분의 편미분의 편미분 등등을 뜻한다.
예를 들어, 독립 변수 formula_82의 함수 formula_83에 대하여, formula_2에 대한 편미분은 다음과 같이 표기한다.
이를 다시 formula_2나 formula_9로 편미분하면, 이계 편미분을 얻으며, 다음과 같이 표기한다.
비슷하게, formula_5를 formula_9나 formula_22로 편미분하고, 다시 formula_2나 formula_9나 formula_22로 편미분할 수 있다.
일반적으로, 연결 열린집합 formula_42에 정의된 실숫값 함수 formula_43를 변수 formula_98로 formula_99번, 변수 formula_100로 formula_101번, ..., 변수 formula_102로 formula_103번(인접하지 않는 두 변수는 같을 수 있다) 편미분하는 것은 formula_104계 편미분이며, 다음과 같이 표기한다.
용어 혼합 편미분(混合偏微分, )은 서로 다른 두 변수에 대한 이계 편미분을 뜻한다. 예를 들어, 위에서 formula_5의 formula_2에 대한 편미분의 formula_9에 대한 편미분은 혼합 편미분이다.
많은 경우 편미분 변수 순서는 교환 가능하며, 이 경우 편미분은 다중지표를 사용하여 다음과 같이 표기할 수 있다.
물론, 이들 편미분 가운데 일부 또는 전부는 정의역의 일부 또는 전부에서 존재하지 않을 수 있다.
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수가 전미분 가능하다면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수의 모든 편미분과 모든 방향 미분이 존재한다. 또한, 다음이 성립한다.
(어떤 점이나 모든 점에서) 함수의 모든 편미분이 존재하고, 모두 연속 함수라면, (그 어떤 점이나 모든 점에서) 그 함수는 전미분 가능하다. 이 경우 함수가 연속 미분 가능하다고 한다.
편미분 교환 법칙에 따르면, 연결 열린집합 formula_42에 정의된 함수 formula_43 및 그 두 변수 formula_2, formula_9에 대하여, 만약 formula_5가 formula_117함수라면, formula_5의 formula_2와 formula_9에 대한 혼합 편미분은 서로 같다. 즉,
formula_122라고 하고 formula_123라고 하자. 그렇다면 formula_124이다. 전제에 의하여 formula_125는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 formula_126와 formula_127사이에는 formula_128를 만족하는 formula_129가 존재한다. formula_130이다. 평균값 정리를 다시 한 번 적용하면 formula_131는 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 formula_132와 formula_133사이에는 formula_134를 만족하는 formula_135가 존재한다. 따라서 formula_136이고, formula_137이다. formula_138는 연속이므로 formula_139이다. 비슷한 방법으로 계산해보면 formula_140이므로 formula_141이다.
밑면의 반지름이 r이고 높이가 h인 원뿔의 부피 V는 다음과 같다.
여기에서 V를 r에 대해 편미분하면 다음과 같은 식이 얻어진다.
또한, V를 h에 대해 편미분하면 다음 식이 얻어진다.