미적분학
미적분학(微積分學, )은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭은 "무한소 해석학"이다. 미적분학은 속도, 가속도 같은 일정하게 변하는 양들의 값을 구한다. 그 값들은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양(Shape)에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산과 그 활용에 대한 학문이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 학문이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 국소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 국소적인 양의 집적을 다루는 분야이다.
미분은 특정 함수의 어떤 지점에서의 접선, 혹은 접평면을 구하는 연산이다. 다시 말하면, 미분은 원래는 복잡한 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 것이다. 그렇기 때문에 미분은 선형사상이 된다.(단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장 선상에 있다.
적분은 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다.(단, 이때는 절댓값 기호를 씌워서 곡선 또는 곡면을 x축위로 꺾어올렸을때의 상태이다.)(실제 적분의 기하학적인 의미는 y좌표, 즉 길이들의 합이다.) 그러나 적분의 의미는 오랫동안 확실하게 파악되지 못하고 있었다. 적분의 확실한 정의를 내린 사람은 베른하르트 리만이 최초이다. 리만이 생각한 적분을 정식화한 것을 리만 적분이라고 한다.
미분과 적분은 완전히 별개의 개념이지만, 밀접한 연관성을 갖는다. 변수가 하나인 경우, 하나가 나머지의 역연산이 된다. 이를 미적분학의 기본정리라고 부른다.
적분을 이끌어내기 위한 몇 가지 아이디어들은 고대에서부터 시작됐지만 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지 않았다. 모스크바 수학 파피루스(Moscow mathematical papyrus)에서 적분의 목표 중 하나인 부피계산법들이 나와있으나 이것들은 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스(Eudoxus)가 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법을 사용했고 아르키메데스는 이 방법을 발전시킨 발견적 교수법이라는 적분과 비슷한 방법을 만들었다. 중국에서는 유휘가 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스의 에우독소스와 같은 방법을 발명하였다.
중세 시대에는 인도에서 미적분학의 기초가 다져졌다. 14세기 인도 수학자 마다바(Mādhava of Sañgamāgrama)와 케랄라 학파(Kerala school of astronomy and mathematics)가 테일러 급수, 무한급수의 근사법, 수렴에 대한 적분판정법, 미분의 초기형태, 비선형 방정식 풀이를 위한 방법, 곡선 아래부분이 차지하는 넓이가 적분값과 같다는 이론 등 미적분을 위한 많은 요소들을 기술하였다.
페르마는 무한소 오차항이 있어도 등호가 성립된다는 것을 보여주는 adequality 개념을 소개했다. 무한소 미적분과 유한차 미적분의 결합은 두 번째 미적분학 기본정리가 증명되고 2년이 지나서 존 월리스(John Wallis), 아이작 배로(Issac Barrow)와 제임스 그레고리(James Gregory)에 의해 1670년경에 완성됐다.
아이작 뉴턴은 그가 수리물리학 문제를 풀 때 사용했던 이상한 형태의 곱의 미분법, 연쇄법칙, 고계도 미분계수의 개념, 테일러 급수와 해석함수를 공개했다. 하지만 그가 출판물로 낼 때는 그 시대의 수학적 표현방법에 맞게 그의 아이디어와 동등한 의미를 지니는 기하적 표현으로 그의 아이디어를 적어냈다. 뉴턴은 그의 책 자연철학의 수학적 원리에서 거론한 행성의 운동, 회전하는 유체 표면의 모양, 지구의 편평도, 사이클로이드에서 미끄러지는 물체의 운동 같은 문제들을 푸는 데 미적분을 사용했다. 뉴턴은 미적분과 함께 함수의 급수를 실수의 범위로 확장했고 테일러 급수의 원칙들을 이해하고 있었다. 하지만 그는 그가 이뤄낸 모든 발견을 출판하지는 않았고 이 시대에 무한소를 이용한 방법은 여전히 평이 좋지 않았다.
그의 아이디어들은 뉴턴이 자신을 표절했다고 고소한 고트프리트 라이프니츠에 의해서 참된 무한소 미적분으로 체계화됐다. 뉴턴은 그를 표절자로 여겼지만, 현재는 그도 독립적인 미적분의 발명자라는 것이 밝혀졌다. 그는 무한소를 다루는 규칙들을 명확하게 정리했고 2계도 이상의 미분을 가능하도록 해줬으며 곱의 미분법과 연계법칙을 미분 적분 형태로 모두 만들었다.
앞에서 말했듯이 뉴턴과 라이프니츠는 모두 미적분의 발명가로 인정받고 있다. 하지만 둘의 미적분의 성격은 다르다. 뉴턴은 미적분을 물리학에서 활용한 첫 번째 사람으로, 라이프니츠는 오늘날 사용하는 미적분 표기법의 대부분을 만든 사람으로 여겨진다. 또 라이프니츠는 뉴턴과는 달리 형식을 중시해서 알맞은 표현법을 만들어내는데 며칠을 쓰는 일도 종종 있었다고 한다. 두 사람의 미적분에서 규정한 기본적인 사항들로는 미분과 적분의 법칙들, 2계도 이상에서의 미분, 다항 함수 급수의 근사에 대한 개념들이 있다. 그런데 이 시대에 미적분학의 기본정리들은 이미 알려져 있었다.
라이프니츠가 그의 결과를 발표하고 뉴턴이 그의 아이디어에 대해서 권리를 주장하자 수학자들 사이에서는 어떤 사람을 미적분학의 발명가로 인정을 해야 하느냐는 주제로 큰 논란이 일었다. 뉴턴이 최초로 결과를 이끌어 낸 사람이지만 출판을 한 것은 라이프니츠가 처음이었기 때문이다. 뉴턴은 라이프니츠가 자신이 출판하지 않고 왕립학회에서 공유한 노트들에서 아이디어를 훔쳤다고 주장했다. 이 논란 때문에 영국 수학자들과 유럽 대륙의 수학자들이 오랫동안 갈라지게 되고 이는 영국 수학에 큰 손실을 초래했다. 현재는 뉴턴과 라이프니츠의 논문에 대한 면밀한 조사 덕분에 그들이 독립적으로 결론을 이끌어 냈다는 것이 밝혀졌다. 라이프니츠는 적분에서부터 뉴턴은 미분에서부터 시작해서 결과를 도출해냈다.
이 시대 이후에 수많은 수학자들이 미적분학 발전에 크게 공헌했다. 첫 번째로 가장 성공적이었던 업적 중 하나로 마리아 아녜시가 1748년에 쓴 무한과 유한 분석이 있다.
미적분학에서 기초(foundations)는 정확하고 엄밀한 공리와 정의들의 발전을 말한다. 초기 미적분학에서 사용한 무한소는 엄밀하지 않은 것으로 생각되었기에 많은 작가들에게 특히 미셸 롤과 조지 버클리(George Berkeley)에게 맹렬하게 비난 받았다. 버클리는 그가 1734년에 출판한 《해석학자》()라는 책에서 무한소를 ‘사라진 값들의 유령’()이라고 묘사했다. 미적분학의 엄밀한 기초를 도출해내는 일은 그 세기 동안 뉴턴과 라이프니츠를 따르는 수학자들이 제공했고 오늘날까지도 연구활동이 있는 분야다.
콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 포함한 다수의 수학자들이 무한소의 사용이 정당하는 것을 증명하려고 시도했지만 그것은 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다.
현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다.
일반적으로 극한의 개념을 미적분학의 기초로 두지만 극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 비표준해석학이 대안책이다. 1960년대에 만들어진 로빈슨의 접근법은 뉴턴과 라이프니츠가 사용했던 개념인 무한소와 무한수로 실수체계를 늘린 체계를 사용한다. 그 결과로 나온 수를 초실수라고 부른다. 초실수는 미적분학의 일반적인 법칙들을 라이프니츠의 방식처럼 이끌어 낼 수 있다.
함수 formula_1 란 집합 formula_2안에 있는 원소 formula_3가 집합 formula_4에 있는 정확히 한 원소, formula_5에 대응되는 규칙을 말한다. 여기서 집합 formula_2는 정의역이라하고 formula_4는 공역이라고 한다. 또한 정의역에 있는 임의의 수를 나타내는 기호를 독립변수, 공역에 있는 원소를 나타내는 기호를 종속변수라고 한다.
함수를 표현하는 방법에는 말로 설명하는 방법, 표를 이용하는 방법, 그래프를 이용하는 방법, 대수학적 식으로 표현하는 방법 등이 있다.
formula_8는 formula_3가 formula_10로 다가갈 때 formula_11가 formula_12로 다가간다는 것이다. 극한에는 좌극한과 우극한이 존재하는데 좌극한이란 formula_13가 formula_10보다 작은 곳에서 formula_10로 다가갈 때 formula_11가 다가가는 값을 의미하고 우극한은 반대로 formula_17가 formula_18보다 큰 곳에서 다가간다. 좌극한과 우극한은 기호로 각각 formula_19, formula_20라고 표시한다. 극한값이 formula_12라는 것과 좌극한과 우극한 모두 formula_12라는 것은 필요충분조건이다.formula_23는 formula_3가 formula_10로 다가갈 때 formula_26는 무한히 커진다는 것이고 formula_27는 무한히 작아진다는 것이다.
극한의 더 정확한 수학적 정의는 입실론-델타 논법이다. formula_8는 모든 양수 formula_29에 대해 만약 formula_30 면 formula_31인 formula_32가 존재한다는 것이다. 이 말을 기호로 나타내면 다음과 같다.
이 방법을 이용하여 여러가지 극한들을 정의하면 다음과 같다.
formula_48가 상수이고 formula_49 와 formula_50가 존재할 때 다음 성질들을 만족한다.formula_71에서 정의된 함수 formula_26가 다음의 조건을 만족할 때 formula_26는 formula_70인 점에서 연속이라고 한다. (formula_75)
함수 formula_26가 정의역에 존재하는 모든 formula_3에서 연속일 때, formula_26는 연속함수라고 한다.
정의역 이외의 formula_3에 대해서 불연속이더라도, 함수의 연속성에는 영향을 미치지 않는다. 예를 들어, formula_86은 formula_87 이외의 모든 점에서 연속이다. formula_87에서는 함숫값이 정의되지 않아 불연속이지만, formula_89은 정의역에 있지 않는 수이므로 함수 formula_26는 연속함수이다.
함수 f(x)가 모든 정의역에서 연속이면, 정의역의 모든점 formula_91에 대해서 ε-δ 논법에 의해 모든 ε>0에 대해 00이 존재한다. 만약 모든 formula_91에 대해서 δ가 같다면, 즉, δ가 formula_91에 변화에 따르지 않고 오직 ε의 변화에만 따른다면, 이 함수 f(x)가 균등연속(Uniformly continuous)이라고 한다.
함수 f(x)가 formula_96에서 불연속이지만 formula_97를 적절히 정했을 때 연속이 될 수 있다면, formula_26는 formula_96에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다고 표현한다.
예를 들어 formula_100라면, formula_87인 점에서 함숫값이 정의되지 않아 불연속이다. 그러나 formula_102로 극한값이 존재하므로 만약 formula_103로 함숫값을 정하면 불연속성이 제거될 수 있다. 따라서 함수 formula_26는 x=0인 점에서 제거 가능한 불연속성을 지닌다.
그래프 formula_105에서 점formula_106을 통과하는 접선은 기울기 formula_107를 가진다. 여기서 formula_108라고 하면 formula_109가 된다. 함수 formula_5의 도함수 formula_111란 formula_112를 의미한다. 도함수 표현법에는 formula_113 등이 있다. 도함수를 한번 더 미분한 것을 이계도함수라고 한다. 이계도함수의 표현법에는 formula_114 등이 있다.이계도함수를 또 한번 더 미분한 것을 삼차도함수라고 하고 이것은 formula_115 등으로 표현한다. formula_116를 formula_117번 미분한 것은 formula_118 등으로 표현한다.
함수 formula_1가 formula_18에서 미분 가능하다는 말은 formula_121가 존재한다는 것이다. 구간formula_122에서 미분가능하다는 말은 구간 내의 모든점에서 미분가능하다는 것이다. 함수 formula_116가 점 formula_18에서 미분 가능하다는 말은 formula_18에서 연속하다는 것이다. 미분 불가능한 경우에는 좌미분계수formula_126와 우미분계수formula_127값이 다르거나 불연속하거나 수직 접선을 가지고 있다는 것이다. 수직접선이란 formula_128일 때 formula_10에서 수직 접선을 가진다.
formula_48는 상수이고 formula_60는 미분 가능할 때 다음을 만족한다.
formula_139이다. 이것을 이용하여 삼각함수의 미분을 할 수 있다. 삼각함수들의 미분은 다음과 같다.
formula_146가 formula_3에서 미분가능하고 formula_1가 formula_149에서 미분가능하면 formula_150는 formula_13에서 미분가능하고 formula_152로 표현된다. 이것을 다른방식으로 표현하면 formula_153와 formula_154가 미분가능한 함수면 formula_155이다.
일반적으로 함수는 formula_156로 표현된다. 하지만 formula_157 나 formula_158와 같이 표현되는 음함수도 존재한다. 이런 함수를 미분할 때는 이 함수를 formula_105형태로 바꿀 필요 없이 음함수 미분법을 사용하면 된다. 이 방법은 양변을 모두 formula_3에 대하여 미분을 한 뒤, formula_161에 대한 방정식을 풀면 된다. 예를 들어 formula_157는 양변을 formula_3로 미분하면 formula_164가 돼서 formula_165가 된다.
지수함수 formula_166를 정의를 이용해 미분하면 formula_167이다. 이때 formula_168이므로 formula_169이다. 이때 formula_170이 되는 formula_18를 formula_172라고 한다. 즉, formula_173이고 formula_174이다.formula_175일 때, formula_176라고 정의한다. 이때 formula_10를 밑이라고 하는데 밑이 formula_172 인 로그를 자연로그라고하고 formula_179라고 표현한다. 즉, formula_180이다. formula_181를 formula_182임을 이용하여 미분하면 formula_183임을 알 수 있다. 이 자연로그의 미분을 이용하여 일반적인 밑을 가지는 지수, 로그 함수의 미분을 구하면 다음과 같다.
모든 formula_186에 대하여 formula_187일 때 함수 formula_188를 구간 formula_189에서의 formula_1의 역도함수(부정적분)라고 한다.
여기서 F가 f의 부정적분이면 일반적으로 F+C도 f의 부정적분이다. 여기서 C는 임의의 상수이다.
함수 f가 구간 [a,b]에서 정의된 연속함수 일 때, 구간 [a,b]를 동일한 n개의 폭 formula_191으로 분할하여, 이 n개의 부분구간들의 끝점들을
formula_192이라하자. formula_193에 속하도록 표본점 formula_194을 잡자. 이 때 formula_195가 존재하면, 그 값을 a로부터 b까지의 f의 정적분formula_196이라고 하고, 함수 f는 구간 [a,b]에서 적분 가능하다고 한다. 이 때 표본점은 각구간의 끝점 또는 중점으로 잡는다.
일반적으로 함수f가 구간 [a,b]에서 유한개의 불연속점을 가지면 f가 구간[a,b]에서 적분 가능하다.
1. formula_1972. formula_198 (단, formula_48는 임의의 실수)3. formula_2004. formula_201
5. formula_202인 formula_3에 대해서 formula_204이면 formula_205이다.
6. formula_202인 formula_3에 대해서 formula_208이면 formula_209이다.
7. formula_202인 formula_3에 대해서 formula_212이면 formula_213이다.
8. formula_214이면 formula_215
함수 formula_1가 구간 formula_217에서 연속이면, formula_218, formula_202로 정의된 함수 formula_220는 formula_217에서 연속이고 formula_222에서 미분가능하며, formula_223이다.
함수 formula_1가 닫힌 구간 formula_217에서 연속이면, formula_226이다.
여기에서 formula_188는 formula_1의 임의의 역도함수, 즉 formula_229이다.
함수 formula_154가 미분 가능하고, 그 치역이 구간 I이며 함수 f가 구간 I에서 연속이면,
formula_231이다.
정적분에 대해 변형시키면,
함수 g'이 [a,b]에서 연속이고, 함수 f가 formula_154의 치역에서 연속이면,
formula_233이다.
두 미분가능한 연속 함수 formula_26와 formula_149에 대해서, 적분 구간이 formula_236 일 때, 부분적분법은 다음과 같이 표현할 수 있다.
이때 우변의 첫째 항은 다음을 나타낸다.
이 법칙은 다음과 같이 미분의 곱셈 법칙과 미적분학의 기본정리로 증명할 수 있다.
부정적분의 경우에는 다음과 같다.
또는, 짧게 줄여서 다음과 같이 표현하기도 한다.
여기서, formula_241이고, formula_242이다.
[a,b]안의 모든 x에 대하여 f,g가 연속이고, formula_26≥formula_149일 때, 곡선formula_156,formula_246와 직선 formula_70,formula_248로 둘러싸인 영역의 넓이 A는
formula_249로 정의된다.
S를 formula_70와 formula_248에 놓인 입체도형이라 하자. x를 지나고 x축에 수직인 평면 P에 있는 S의 절단면의 넓이가 A(x)이고, A가 연속이라면
S의 부피(V)는
formula_252이다.
회전체의 경우, 위의 방법으로는 부피를 구하기 어려운 경우가 많다. 회전체의 부피의 경우, 아래와 같은 방법을 이용한다.
곡선 formula_156와 formula_70및 formula_248로 둘러싸인 영역을 formula_256축을 둘레로 회전시킬때 생기는 회전체의 부피는 다음과 같다.
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258
등비수열의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_259
formula_260
무한급수는 위의 formula_261, 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. formula_117이 무한대로 갈 때, 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다.
무한급수의 수렴을 판정하는데는 비교판정법, 적분판정법, 일반항판정법, 멱근판정법, 비율판정법등이있다.
주어진 수열 formula_263와 변수 formula_3에 대해서 formula_265를 수열 a로부터 얻은 멱급수라고 부른다.
formula_266가 존재한다고 하자.
이때, 이 수열의 멱급수는 formula_267일 때 수렴한다.
원점 formula_89을 포함하는 구간I에 대해서 정의된 n번 미분가능한 함수 f:I→R 에 대하여formula_269
formula_1의 formula_117차 근사 다항식이라하고,formula_272
를 formula_117차 테일러 나머지 항이라고 하자.그리고 원점 근방에서 정의된 무한번 미분 가능한 함수 formula_26에 대하여 멱급수
formula_275
를 formula_1의 테일러 급수라고 한다. 테일러 급수가 원래 함수에 수렴할 필요충분조건은
formula_277
이다.