스피너
군 표현론과 양자역학에서, 스피너()란 넓은 의미에서 로런츠 대수의 표현 가운데 텐서가 아닌 것들이다. 이들은 반홀수의 스핀을 지니고, (3차원 이상의 시공에서) 페르미온을 나타낸다. 좁은 의미에선 이 가운데 스핀이 ½인 것을 지칭하는데, 이는 차원에 따라 디랙 스피너(), 바일 스피너(), 마요라나 스피너(), 마요라나-바일 스피너() 등이 있다.
텐서는 시공의 차원에 관계없이 비슷하나, 스피너의 종류와 성질은 시공의 차원에 따라 판이하게 다르다. 다만 8차원마다 같은 종류의 스피너가 반복되는데, 이를 보트 주기성()이라 한다. 또한 텐서는 다양한 차원을 지닐 수 있지만, 스피너는 formula_1꼴의 차원을 지닌다.
일반적으로, (체 formula_2에 대한) 벡터 공간 formula_3와 계량 형식 formula_4가 주어졌을 때, 스피너 표현은 회전 (로런츠) 대수 formula_5의 표현 가운데 텐서 표현이 아닌 것이다. 스피너는 스피너 표현의 원소다.
스피너 표현은 클리퍼드 대수를 통하여 나타낼 수 있다. 클리퍼드 대수 formula_6는 formula_3에 의하여 생성되고,
를 만족하는 대수다. 편의상 formula_9인 경우를 먼저 생각하자. formula_10라고 놓자.
formula_11이 짝수일 경우, formula_12는 복소 행렬 대수 formula_13와 동형이고, formula_11이 홀수인 경우 formula_15과 동형이다. 즉 formula_1 차원의 복소 표현 formula_17이 존재한다. 클리퍼드 대수 formula_6는 교환자 formula_19에 따라 리 대수를 이룬다. 리 대수 formula_5가 formula_12의 부분 리 대수를 이룸을 보일 수 있다. 따라서 formula_17는 formula_5의 표현을 이룬다. 이를 디랙 스피너 표현()이라고 부른다.
formula_5 복소표현으로서, 디랙 표현은 formula_11이 홀수면 기약(旣約, irreducible)표현이지만, formula_11이 짝수면 가약(可約, reducible)표현으로서 formula_27차원의 표현 formula_28로 나뉜다. 짝수 차원에서 존재하는 formula_29 표현을 (왼손 및 오른손) 바일 스피너 표현()이라고 부른다.
모든 실수 표현은 복소 표현에 실수 조건을 가하여 얻을 수 있다. 가능한 실수 조건은 차원과 부호수에 따라 다르나, 보트 주기성()을 따른다. 즉 formula_30이면 formula_11차원의 스피너와 formula_32차원의 스피너는 서로 유사하다. 실수 조건이 가능할 경우, 디랙 표현에 실수 조건을 가하면 마요라나 스피너 표현()을 얻고, 바일 표현에 실수 조건을 가하면 마요라나-바일 스피너 표현()을 얻는다. 자세한 사항은 아래 표를 참고하라.
스피너의 성질은 보트 주기성을 따른다. 즉 formula_33차원의 스피너의 종류는 formula_34차원과 같으나, 그 크기는 16배 더 크다. 또한 다른 부호수의 경우, 부호수가 formula_35일 경우 복소 표현은 formula_36 차원 유클리드 공간의 스피너와 같으나, 그 실수 조건은 formula_37차원 유클리드 공간과 유사하다. 예를 들어 (3,1) 차원 (민코프스키 공간)에서는 4차원과 같이 2차원 바일 스피너가 있으나, 2차원과 같이 마요라나 조건을 가할 수 있다. 따라서 1차원~8차원 유클리드 공간에서의 스피너의 종류를 알면 모든 차원에서의 스피너의 종류와 크기를 알 수 있다.
낮은 차원의 유클리드 공간의 가능한 스피너는 다음과 같다.
따라서 스피너의 종류와 크기, 존재 여부는 다음과 같다. 부호수가 formula_35인 formula_39차원의 시공을 생각하자. 이에 따라, formula_10를 정의하자. 이 경우 각종 스피너의 성질은 다음과 같다.
스피너의 존재 여부는 formula_47에 따라 결정된다.
예를 들어, formula_52 차원의 민코프스키 공간은 formula_53이므로, 디랙 스피너, 바일 스피너, 마요라나 스피너가 존재하지만 마요라나-바일 스피너는 존재하지 않는다. 반면 끈 이론에서 등장하는 formula_54차원의 공간에서는 formula_51이므로 모든 종류의 스피너가 존재한다.
이를 표로 적으면 다음과 같다.
여기서 켤레변형이 m이면 켤레변형에 따라 왼손 바일 표현이 오른손으로 바뀌나, s이면 왼손 표현은 왼손으로, 오른손 표현은 오른손으로 변환한다.
좁은 의미에서, 스피너는 로런츠 대수의 1/2표현으로부터 만들어지는 표현을 일컫는다. 로런츠 대수의 1/2표현은 헤르만 바일의 이름을 따 바일 스피너라 한다. 바일 스피너는 왼손과 오른손 두 종류가 있고, 바일 스피너로 나타내어지는 입자는 손지기 페르미온(chiral fermion)이라 부른다. 표준 모형의 중성미자가 이에 해당한다. 손지기 페르미온은 질량을 가질 수 없다. (실제 중성미자는 질량을 가지기 때문에 바일 스피너가 아니다.) 또한 바일 스피너는 손지기 대칭(chiral symmetry)을 깬다.
왼손과 오른손 바일 스피너를 합치면 손지기가 없는 디랙 스피너를 얻는다 (폴 디랙). 디랙 스피너는 질량을 가질 수 있으며, 디랙 스피너로 나타내어지는 디랙 입자는 그 반입자와 다르다. 표준 모형의 쿼크와 전자, 뮤온, 타우온 등이 이에 해당한다.
디랙 스피너 중, 그 왼손과 오른손 부분이 서로 에르미트적으로 관련이 있는 것을 에토레 마요라나의 이름을 따 마요라나 스피너라고 한다. 마요라나 입자는 질량을 가질 수 있으며, 스스로의 반입자이다.
바일 스피너의 경우, 입자물리학에서는 다음과 같은 판데르바르던 표기법을 사용한다.
이 표기법에서, 그리스 소문자 formula_56 및 점을 찍은 그리스 소문자 formula_57 첨자는 1 또는 2의 값을 가지며, 바일 스피너의 두 성분을 나타낸다. 이 경우, formula_56는 왼손 표현 (½,0), formula_57는 오른손 표현 (0,½)를 나타낸다. 보통, 왼손 바일 스피너는 열벡터, 오른손 바일 스피너는 행벡터로 나타낸다.
크로네커 델타로 올리거나 내리는 4차원 벡터 지표와 달리, 스피너 지표는 레비치비타 기호 formula_60으로 올리거나 내린다. 구체적으로, 바일 스피너에서 아랫첨자와 윗첨자 사이를 변환하려면 다음과 같다.
여기서 formula_60은 레비치비타 기호로, 다음과 같다.
열벡터인 왼손 바일 스피너에 에르미트 수반을 취하면 다음과 같이 오른손 바일 스피너를 얻는다. 첨자에 점이 추가되지만, 그 위치가 변하지 않는 것을 알 수 있다.
이 표기법에서, 파울리 행렬의 지표는 다음과 같다.
로 정의하면, 이들에 부여되는 첨자는 다음과 같다.
즉, formula_73는 둘째 첨자에 점이 있지만, formula_74는 첫째 첨자에 점이 있다.
스피너 지표에 대하여 아인슈타인 표기법이 적용된다. 또한, 다음과 같은 쌍의 지표가 존재한다면, 생략할 수 있다.
즉, 점이 없는 지표는 하강하는 쌍을, 점이 있는 지표는 상승하는 쌍을 생략한다. 예를 들어,
이다.
중성미자는 과거에 바일 입자(손지기 페르미온)로 생각되었으나, 중성미자 진동의 발견으로 인해 이 이론은 반증되었다. 아직까지 중성미자가 디랙 입자인지, 마요라나 입자인지는 확인되지 않았다.