커누스 윗화살표 표기법
커누스 윗화살표 표기법(Knuth's up-arrow notation)은 도널드 커누스가 1976년에 개발한 아주 큰 수를 표기하는 방법이다. 이 표기법은 아커만 함수와 특히 하이퍼 연산 수열과 매우 밀접한 관련이 있으며, 곱셈은 반복되는 덧셈으로 볼 수 있고, 거듭제곱도 반복되는 곱셈으로 볼 수 있다는 사실에 기반해서 아이디어를 얻었다. 이런 방식으로 계속하면 테트레이션(반복된 거듭제곱)과 보통 커누스 윗화살표 표기법으로 표시되는 하이퍼 연산 수열의 나머지로 이어진다. 이 표기법은 명시적으로 쓸 수 있는 수보다 훨씬 더 큰 수를 간단하게 표기할 수 있다.
윗화살표 한 개는 거듭제곱(반복되는 곱셈)을 의미하고, 한 개 이상의 윗화살표는 한 개 적은 화살표를 반복하는 것을 의미한다.
예를 들어,
이 표기법의 일반적인 정의는 다음과 같다(정수 "a"와 음이 아닌 정수 "b","n"에 대해서):
덧셈, 곱셈, 그리고 거듭제곱의 일반 산술 연산은 자연적으로 다음과 같이 하이퍼 연산의 수열로 확장된다.
자연수에 의한 곱셈은 덧셈의 반복으로 정의된다:
예를 들면,
자연수 지수 formula_7에 의한 거듭제곱은 곱셈의 반복으로 정의되며, 커누스는 윗화살표 한 개로 표기했다:
예를 들면,
연산의 수열을 거듭제곱을 넘어서 확장하기 위해서 커누스는 거듭제곱의 반복(테트레이션)을 의미하는 “이중 윗화살표” 연산을 정의했다:
예를 들면,
여기와 아래의 계산은 오른쪽에서 왼쪽으로 일어난다, 왜냐하면 커누스 윗화살표 연산(거듭제곱과 같은)은 Right associative 연산으로 정의했기 때문이다.
이 정의에 의해서,
이것만 해도 상당히 큰 수가 나오지만 커누스는 이 표기법을 확장했다. 커누스는 테트레이션의 반복(펜테이션)을 의미하는 “삼중 윗화살표” 연산을 정의했다:
잇따라 “사중 윗화살표“ 연산은 펜테이션의 반복(헥세이션)을 의미한다:
그리고 계속된다. 일반적인 규칙은 formula_18중 윗화살표 연산은 right-associative (formula_19)중 윗화살표 연산으로 확장할 수 있다는 것이다. 기호적으로는
예시:
formula_23의 표기는 일반적으로 formula_24에서 윗화살표가 "n"개인 것을 나타낸다. 사실 formula_23는 하이퍼 연산으로 "a" ["n"+2] "b"이다. 예를 들어, formula_26는 39 [4] 14 ("[4]"는 테트레이션을 의미한다)로 쓸 수 있지만 39 [2] 14 = 39 × 14 = 546인 것은 아니다. 비슷하게, formula_27은 77 [79] 77이지 77 [77] 77이 아니다.
formula_28와 같은 표현에서, 거듭제곱의 표기법은 보통 지수 formula_7를 밑 formula_30의 윗 첨자로 쓴다. 하지만 많은 프로그래밍 언어나 이메일같은 환경은 윗첨자 조판을 지원하지 않는다. 이런 환경에서 선형 표기법인 formula_31를 적용했다. 윗화살표는 '다음을 지수로 올린다'는 것을 제시한다. 문자 인코딩에서는 윗화살표를 포함하지 않기 때문에 캐럿(^)을 대신해서 쓴다.
윗첨자 표기법formula_28는 일반화에 도움이 되지 않는다, 이것이 커누스가 인라인 표기법 formula_31를 대신에 쓴 이유이다.
formula_23는 윗화살표 n개의 더 짧은 표기법이다. 따라서 formula_35이다.
formula_36를 익숙한 윗첨자 표기법으로 쓰려고 하면 거듭제곱의 탑을 얻게 된다.
"b"가 변수면 (또는 너무 크면), 거듭제곱의 탑은 점들과 탑의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.
이 표기법으로 계속하면, formula_39는 각각이 위의 탑의 높이를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택으로 쓸 수 있다.
또 "b"가 변수거나 너무 클 경우에는 스택도 점들과 스택의 높이를 나타내는 표시로 써야 할 수 있다.
더 나아가서, formula_42는 각각이 왼쪽의 스택의 갯수를 나타내는 거듭제곱의 탑의 스택의 열로 쓸 수 있다:
또다시 일반적으로:
이것은 formula_23을 어떤 "a", "n"과 "b"에 대해서든지 (비록 이것이 분명히 더 번거롭지만) 반복되는 거듭제곱의 반복외는 거듭제곱으로 부정적으로 나타낼 수 있다는 것을 나타낸다.
테트레이션 표기법 formula_46는 여전히 기하학적 표현 (이것을 "테트레이션의 탑"이라고 부른다)을 사용하지만 이 다이어그램을 약간 간단하게 만든다.
결국, 한 예로 네 번째 아커만 수 formula_50는 다음과 같이 나타낼 수 있다:
어떤 수는 너무 커서 커누스 윗화살표 표기법으로 쓰기에도 버거울 수 있다. 그러면 "n"중 화살표 연산 formula_52이나 동동한 하이퍼 연산이 유용하다 (그리고 화살표의 갯수가 변수일 때를 나타낼 때도 유용하다).
어떤 수는 너무 커서 이 표기법도 충분하지 않을 수 있다. 그러면 콘웨이 연쇄 화살표 표기법을 쓸 수 있다: 세 원소들의 연쇄 화살표는 다른 표기법과 동일하지만, 길이가 4 이상이면 더 강력하다.
보통 커누스 윗화살표는 비교적 작은 수에, 연쇄 화살표나 하이퍼 연산은 더 큰 수에 써야 한다고 주장한다.
윗화살표 표기법은 공식적으로 formula_54인 모든 정수 formula_55에 대해서 다음과 같이 정의된다.
이 정의는 곱셈을 기본 연산으로 두고formula_57, 거듭제곱 formula_58을 곱셈의 반복으로, 테트레이션 formula_59을 거듭제곱의 반복으로, 등등을 얻는다. (이 정의는 더 기본적인 두 함수가 없는것을 제외하고 하이퍼 연산 수열과 동등핟다. 여기서 없는 함수는 다음수와 뎃셈으로, 이 함수를 포함하려면 정의를 더 복잡하게 하는 추가 시작값을 필요로 한다.)
모든 윗화살표 연산(평범한 거듭제곱 formula_31를 포함해서)은 right associative이다. 즉, 수식의 오른쪽에서 왼쪽으로 계산한다. 
formula_61 —— not formula_62.
formula_63 is formula_64 —— not formula_65
right-associativity 때문에 formula_66일 때 다음과 같다
formula_67
각 formula_30는 화살표 연산의 왼쪽 항으로 나타나고 (화살표 연산은 가환이 아니기 때문에 이 점은 중요하다), formula_69는 함수 formula_70를 "b"번 합성한 것으로 썼다. formula_71이기 때문에, 원래 정의를 formula_54인 모든 정수 formula_55에 대해 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다:
formula_75을 계산하는 것은 무한한 표에서 재기술 할 수 있다. formula_76을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 2로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
이 표는 formula_77과 formula_18이 약간 밀린 것과 모든 값에 3이 더해진 것을 제외하고는 아커만 함수의 표와 같다.
formula_79을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 3으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
formula_80을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 4로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
formula_81을 가장 윗 행에 채우고, 왼쪽 열에 10으로 채운다. 표의 값을 결정하기 위해서는 바로 왼쪽의 값을 얻어서 이전 행의 그 값의 위치에 있는 값을 얻는다.
2 ≤ "n" ≤ 9일 때 formula_82의 수치적인 순서는 "m"이 가장 우선적인 사전식 순서여서 이 8열에서 수치적인 순서는 단순히 행의 순서대로인 것을 보라. 3 ≤ "n" ≤ 99인 97열에도 마찬가지로 적용이 되고, "m" = 1에서 시작하면 3 ≤ "n" ≤ 9,999,999,999까지 가능하다.
루벤 루이스 굿스타인은 커누스 화살표와 다른 표기법 시스템을 가지고 formula_83으로 표기한 하이퍼 연산 수열을 이용해서 음이 아닌 정수에 대한 기수법을 만들었다. 대괄호 ([1], [2], [3], [4], ... )를 각각의 하이퍼 연산formula_83을 나타낸다고 하면 소위 "b"를 밑으로 하는 정수 "n"의 "k"단계 "완전 hereditary 표현"은 처음 "k" 하이퍼 연산과 0, 1, ..., "b" − 1의 자릿수와 밑인 "b" 자신을 포함하는 숫자들만을 이용해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:이 부분의 나머지는 하이퍼 연산을 표현하기 위해 윗첨자로 사용한다.
계산할 때 고차 연산에 높은 우선도를 부여해서 불필요한 괄호를 피할 수 있다; 따라서,
1단계 표현은 b [1] X의 형태를 하고, "X"도 이 형태이다.
2단계 표현은 b [2] X [1] Y의 형태를 하고, "X","Y"도 이 형태이다.
3단계 표현은 b [3] X [2] Y [1] Z의 형태를 하고, "X","Y","Z"도 이 형태이다.
4단계 표현은 b [4] X [3] Y [2] Z [1] W의 형태를 하고, "X","Y","Z","W"도 이 형태이다.
그리고 계속된다.
밑이 "b"인 "hereditary" 표현의 종류에서, 밑 자신이 {0, 1, ..., "b"-1}의 "자릿수"처럼 표현에서 나타난다는 점을 주목하라. 이 표현은 문자가 밑을 "b"로 표시했을 때 "일반적인" 이진법과 비교된다. 예를 들어, 일반적인 이진법에서는 6 = (110) = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0이고 밑이 2인 3단계 hereditary 표현은 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0)이다. hereditary 표현은 [1] 0, [2] 1, [3] 1, [4] 1, 등등의 요소를 제거해서 간략하게 만들 수 있다. 예를 들어, 위의 밑이 2인 6의 3단계 표현은 2 [3] 2 [1] 2로 간단히 할 수 있다.
예:
266의 밑이 2인 유일한 1, 2, 3, 4, 그리고 5단계 표현은 다음과 같다:
커누스 윗화살표는 그레이엄 수 G(4)를 표기할 때 사용되고 있다. 그레이엄 수는 이름이 붙은 자연수 중에서 수학적 의미를 갖고 있는 가장 큰 수이다.
formula_85 (여기서 윗화살표의 개수는 G(4)개이다.)