行列の平方根
行列の平方根(ぎょうれつのへいほうこん)とは平方すると元の行列となる行列のこと。
n×nの正方行列 A に対して　A = B を満たす行列 B を行列 A の平方根行列という。
実数formula_10の平方根formula_11がformula_12で求まることと同様に、
n次実数値正方行列formula_13の全ての特性根の実数部分が正である場合、
行列対数関数をformula_14と定義し（cは任意の正数、級数が収束すればformula_15に係らず同じ値に収束する）
行列指数関数をformula_16と定義すれば（formula_17はn次実数値正方行列）、
2乗するとformula_13となりかつ全ての特性根の実数部分が正となる行列formula_9は、
formula_20により計算できる。
上記のことは、次のことから言える。
複素数formula_21についてformula_22はformula_23のformula_24を中心とするテイラー展開であるが、その収束域はformula_25であるので、formula_26を十分大きく取れば、formula_21の実数部分が正であれば収束する。このため、n次実数値正方行列formula_13の全ての特性根の実数部分が正である場合、formula_13のジョルダン標準形をformula_30とすると、
formula_14
formula_32
formula_33
も収束する。
一方、複素数formula_21についてformula_35はformula_36のテイラー展開であるが、その収束域は複素数全域であるので、
formula_16も同様にジョルダン標準形を考えれば収束することが言える。
また、formula_38
formula_39のため、
formula_40、①
また、formula_41の特性根の実数部分が全て正になることは、formula_13の全ての特性根の実数部分が正であることと、formula_13の特性根formula_44に対しformula_41の特性根formula_46が対応すること（フロベニウスの定理）から言える。即ち、formula_44の極座標表示をformula_48但しformula_49とすると、formula_50この実数部分を見れば、formula_51が言える。
なお、①　formula_52の証明については、ジョルダン細胞formula_53、すなわち対角成分がformula_44で、その１つ上の成分が1で、他の成分がゼロの上三角行列についてformula_55が言えれば良い。
formula_53は、対角成分がformula_44で、そのformula_58上の成分が「対角成分をformula_58回formula_44で微分しformula_61で割ったもの」になっている。
formula_62は、対角成分がformula_63で、そのformula_58上の成分が「対角成分をformula_58回formula_44で微分しformula_61で割ったもの」になっている。
このため、これらを線形結合したformula_53の多項式行列は、対角成分のformula_58上の成分が「対角成分をformula_58回formula_44で微分しformula_61で割ったもの」になる。
この性質は、formula_73にも当てはまる。
formula_74の対角成分は、formula_75であり、formula_73の対角成分はformula_77である。このため対角成分より1つ上の成分は「対角成分を1回formula_44で微分し1!で割ったもの」だから1であり、その他の成分はゼロである。このためformula_55である。
ここでは、「formula_13の全ての特性根の実数部分は正」「formula_9の全ての特性根の実数部分は正」という条件下での一意性を示す。行列は複素数値行列とみなし、複素数formula_44の平方根のうち、実数部分が正のものをformula_83、もう一方をformula_84と表記する。
formula_44をformula_13の固有値（複素数値行列のため特性根と一致）とする。その広義固有空間に含まれるベクトルformula_87すなわちformula_88を考える。formula_89を、全ての特性根(固有値)の実数部分が正である行列とし、formula_90を満たすとする。
formula_88
formula_92
formula_93
formula_89の全ての特性根(固有値)の実数部分は正のためformula_95
よって、formula_96このため、Aの広義固有空間に含まれるベクトルとBの広義固有空間に含まれるベクトルは一致する。このため、formula_13をジョルダン標準形にする行列formula_98を使い、formula_99と表わされ、ただしformula_100は対角線上に正方行列の小行列が並びそれ以外はゼロの行列で、各小行列はformula_13のジョルダン細胞に対応する上三角行列である。
formula_102をジョルダン細胞（対角成分がformula_44でその１つ上が1その他の成分がゼロの行列）とすると、2乗してformula_53となる上三角行列は、
まず対角成分がformula_83、その１つ上がformula_106、その１つ上がformula_107
と順次決まるため、一意性が言える。
例の節で揚げられた行列との関係を見ておく。
例１:formula_1、例２：formula_4、例３：formula_5 これらの行列は、いずれも特性根（かつ固有値）0を持つため、formula_111が収束せず定義できない。これはまた、formula_112が定義できないことからも言える。このため、これらの例では、行列対数関数、行列指数関数を使って行列の平方根を算出することは出来ない。
例４：formula_113の特性根は1のみであり、1>0のためformula_114は計算できてformula_115である。一方、formula_8の特性根は±1であり、行列対数関数、行列指数関数を使って計算する場合の「formula_9の全ての特性根の実数部分は正」という条件とは異なるものとなっている。
なお、行列対数関数、行列指数関数を使ってformula_118の平方根を計算すればformula_119である。
例５の半正定値行列とは、実数値対称行列でその特性根が全てゼロまたは正の実数となるものである。実数値対称行列は、特性根がすべて実数となるので、特性根と固有値は一致する。固有値がゼロの場合、行列対数関数は定義できないため計算できない。
一方、formula_13が正定値行列の場合、即ち実数値対称行列でその特性根が全て正の実数となるものの場合は、行列対数関数は計算でき、formula_41は正定値行列となる。これはformula_13が実数値対称行列なら、formula_123も実数値対称行列となり、その１次結合の極限であるformula_111も実数値対称行列となり、formula_41も実数値対称行列となる。formula_41の特性根の実数部分は正となるが、実数値対称行列の特性根は実数となるため、特性根は正の実数となり、正定値行列であることが言える。
行列指数関数は、階乗で割っているため、そのまま計算すれば非常に早く収束する。固有値を求めて計算する方法は、固有値を求めるのに却って計算時間がかかってしまう。また最小多項式を使ってformula_127の次数を制限する方法は、各formula_128の係数が無限級数となるため却って計算が複雑化する。
収束判定は、次のようになる。まずformula_129とノルムを定義する。打切り誤差は
formula_130
ここで、formula_131とすればformula_132ならformula_133なので、
formula_134
許容誤差をformula_135とすれば、formula_136かつformula_131が言えれば収束したと言える。
行列対数関数は、収束判定が難しいが、先に精度の高い行列指数関数を作っておき、formula_138項までの行列対数関数の和を、行列指数関数に入れて、元の行列との誤差を計測して、許容誤差に入ったかで収束判定を行う方法がある。
行列対数関数が定義されるためには、「n次実数値正方行列formula_13の全ての特性根の実数部分が正」である必要があるが、全ての特性根の値を調べることは容易ではない。このため「n次実数値正方行列formula_13の全ての特性根の実数部分が正」であることの十分条件が分かればよい。
十分条件の一つとしては、
formula_13が確率推移行列の場合（formula_142、formula_143の場合）
formula_144ならば、formula_13の全ての特性根の実数部分が正
がある。
別の十分条件の一つとしては、
formula_13が確率推移行列の場合（formula_142、formula_143の場合）
全ての対角成分がformula_149超(formula_150)ならば、formula_111は収束する
がある。
理由は、formula_152とノルムを定義すれば。
formula_153
formula_154
formula_15は正ならばいくつでも良いので、以下formula_156とすると、
formula_157formula_158
このため、formula_159
級数が絶対収束するため、formula_160は収束する。
行列対数関数formula_111が存在すれば、
Aのn乗根：formula_162
Aの実数t乗：formula_163
Bをn次実数値正方行列として、Aの行列B乗：formula_164
などが計算される。