ホッジ構造
数学では、（William Vallance Douglas Hodge）の名前に因んで付けられたホッジ構造（）とは、滑らかでコンパクトなケーラー多様体のコホモロジー群にホッジ理論が与えた代数構造と同様の、線形代数のレベルの代数構造である。混合ホッジ構造（）は、ホッジ構造のすべての複素多様体（たとえ特異点を持ったり、非であったとしても）への一般化で、1970年にピエール・ドリーニュ（Pierre Deligne）により定義され、。ホッジ構造の変形（）とは、多様体によってパラメトライズされたホッジ構造の族であり、最初にフィリップ・グリフィス（P. A. Griffiths）により1968年に研究された。これらのすべての概念は、さらに1989年に斎藤盛彦により複素多様体の上の混合ホッジ加群（）へと一般化された。
ウェイト n の純粋ホッジ構造 (n ∈ Z)（pure Hodge structure with weight n） とは、アーベル群 H とその複素化 H の複素部分空間 H の直和への分解のことをいう。ここに p + q = n であり、H の複素共役は H であるという性質を持っている。
（これと）同値な定義は、H の直和分解をホッジフィルトレーション（Hodge filtration）に置き換えることにより得られる。ホッジフィルトレーションは、複素部分空間 FH (p ∈ Z) によって得られる H の有限な減少で、条件
を満たす。これら2つの関係は次の2つの条件で与えられる。
例えば、X がコンパクトなケーラー多様体とし、H = H("X",Z) を X の整数係数の n 番目のコホモロジー群とすると、H = H(X, C) は、n 番目の複素係数のコホモロジー群となり、ホッジ理論を使い上記のような H の直和分解を得る。これらの結果をウェイト n の純粋ホッジ構造と定義する。他方、(Hodge-de Rham spectral sequence)を考えると、FH での降順のフィルトレーションも得るので、H を、第二のフィルトレーションとして考えることができる。
代数幾何学への応用としては、複素射影多様体の周期の分類を考えることができる。すべての H のウェイト n のホッジ構造の集合はあまりに大きすぎるが、リーマン双線型写像を使い、それを最終的には小さくし扱いやすくすることができる。この場合の双線型写像をホッジ・リーマンの双線型写像という。ウェイト n の偏極ホッジ構造はホッジ構造 (H, H) と H 上の非退化整数双線型形式 Q の2つからなる（偏極）。偏極とは H の線型性での拡張であり、次の3つの条件を満たすものを言う。
ホッジフィルトレーションでは、これらの条件は次を意味する。
ここに C は、H 上のヴェイユ作用素で H 上の C=i で与えられる。
もう一つのホッジ構造の定義は、複素ベクトル空間の上の Z-次数と周回群（circle group）
U(1)の作用との間の同値性から定義することができる。この定義では、複素数 C の乗法群の作用は、2-次元の実代数的トーラスとみなすことができ、H の上に与えられる。 この作用は、実数 a が a として作用するという性質を持つ。部分空間 H は、z ∈ C が formula_8 による乗法として作用する部分空間となる。
モチーフの理論では、コホモロジーがさらに一般的な係数を持つことが可能となることが重要である。ホッジ構造の定義は実数の体 R の（Noetherian）部分環を固定することにより変形される。このためには A ⊗R は体である必要がある。すると、ウェイト n の純粋ホッジ A-構造が、上記（のホッジ構造）と同様に定義され、Z
を A に置き換えることができる。B の部分環 A に対するホッジ A-構造と B-構造とを関係付ける基底の変換と制限という自然な函手が存在する。
ヴェイユ予想を基礎として、1960年代にはジャン＝ピエール・セール（Jean-Pierre Serre）は特異点をもつ（簡約（reducible）でもよい）完備ではない代数多様体であっても、'仮想ベッチ数'を持つはずであることに気づいた。詳しくは、任意の代数多様体 "X" に多項式 P(t) を対応させることができ、次の性質を持つことが可能であることに気づいた。
となる。
が成り立つ。この多項式を仮想ポアンカレ多項式と呼ぶ。
そのような多項式の存在は、一般的な（特異点を持った非完備な）代数多様体のコホモロジーのホッジ構造の類似が存在することから導出可能である。新しい特徴は、一般の多様体の n 次コホモロジーがあたかも異なるウェイトに対応する部分をもっているかのように見えることである。このことがアレクサンドル・グロタンディーク（Alexander Grothendieck）をモチーフ(Motive)（の存在）という予想を含む理論へと導き、ホッジ理論の拡張研究への動機を与えた。この理論はピエール・ルネ・ドリーニュ（Pierre Deligne）の仕事で頂点をなした。彼は混合ホッジの概念を導入し、それらを解決するテクニックを開発し、それらの構成を与えた（広中平祐のに基礎をおき、それらをl-進コホモロジーを関連付け、ヴェイユ予想の最後の部分を証明した）。
（混合ホッジ構造の）定義への動機付けとして、2つの非特異な成分 X と X から構成される簡約可能な複素代数曲線 X の場合を考える。これらの成分は、横断的に点 Q と Q で交わることとする。さらに、各々の成分はコンパクトではないが、点 P...,P を付け加えることでコンパクト化できるものとする。曲線 X の（コンパクトな台を持つ）第一コホモロジー群は、第一ホモロジー群の双対であり、可視化することが容易である。この群には3つのタイプの1-サイクルがある。第一には、各々の穴（puncture） P の周りの小さなループを表す元 α （に対応する1-サイクル）が存在する。また第二に、別な元 β が存在し、この成分のコンパクト化された第一コホモロジーから来る（1-サイクルが存在する）。X, k = 1, 2 の中の1-サイクルの X の中のあるサイクルへの持ち上げ（lift）は標準的ではなく、これらの元は α を法(modulo)として決定される。結局、最初の2つのタイプを法(modulo)として、群は組み合わせ的な（第三の1-サイクル）γ によっても決定される。γ は Q から Q へある成分 X に沿っていき、他のコンポーネント X に沿って戻ってくる。これは H(X) が、次の増加するフィルトレーションを持つことを示唆している。
この連続する商 W / W は、スムースで完備多様体のコホモロジーに起源を持つので、（純粋）ホッジ構造を持っていて、異なるウェイトで作用する。
アーベル群 H の上の混合ホッジ構造は、複素ベクトル空間 H （H の複素化）上の有限の減少するフィルトレーション F であり、ホッジフィルトレーション（Hodge filtration）と呼ばれる。また有理ベクトル空間 H = H ⊗Q （有理数へのスカラーを拡張することで得られる）より有限な増加するフィルトレーション W も得られ、ウェイトフィルトレーション（Weight filtration）と呼ばれる。これは複素化された空間の上の F によって引き起こされるフィルトレーションとともにあるウェイトフィルトレーション（増加するフィルトレーション）について H の n 番目の次数付き商が、すべての n についてウェイト n の純粋ホッジ構造であるということを要求することとなる。ここに
として記号を定義し、この商の上に引き起こされるフィルトレーションは次の式によって定義される。
ふり返って考えると、コンパクトケーラー多様体のコホモロジー全体は、混合ホッジ構造を持っていることが分かる。ここではウェイトフィルトレーション W の n 番目の空間が、n に等しいかまたは小さな次数の（有理係数の）コホモロジー群の直和であるので、従って、コンパクトな複素数体の場合の古典的ホッジ理論は、複素コホモロジーの上で二重に次数を持った理論と考えることができる。二重次数付きコホモロジーは、ある方法で整合性を保つ増加するフィルトレーション F と、減少するフィルトレーション W の2つ（のフィルトレーション）を定義する。一般に、コホモロジー空間全体は2つのフィルトレーションを持っているが、もはや直和分解から出来上がったコホモロジーではない。純粋ホッジ構造の第三の定義との関係では、混合ホッジ構造は、群 C の作用を使って記述することは不可能ということができる。ドリーニュの重要な発見は、混合ホッジ構造の場合には、さらに複雑な非可換な準代数的な群が存在して、淡中の定式化を使うことと同じ効果を発揮しうるということである。
ここで、混合ホッジ構造のモルフィズムを定義することができる。これはフィルトレーション F と W と整合性を持ち、次の定理を証明することができる。
さらに、（混合）ホッジ構造の圏は、多様体の積に対応するテンソル積と整合性を持ち、内部 Hom や 双対対象 とも整合性をもち、この圏を淡中圏みなすことができる。 により、この圏はある群の有限次元表現の圏に同値である。ドリーニュとミルン（James S. Milne）は以上ことを明らかにした。
ドリーニュは任意の代数多様体の n 番目のコホモロジー群が、標準的な混合ホッジ構造を持つことを証明した。この構造は、函手的であり、多様体の積（(Künneth theorem)）やコホモロジーの積との整合性を持っている。完備で非特異な多様体 X に対しては、この構造はウェイト n の純粋（ホッジ構造）であり、ホッジフィルトレーションはド・ラーム複体の（hypercohomology）を通して定義することができる。
証明の概要は、非コンパクトなことと、特異点を持つことに注目するという2つの部分から構成される。どちらの部分も（広中による）特異点解消を本質的なに使用する。特異点を持つ場合、多様体は単体的なスキームに置き換えられ、さらに複雑な代数へ至り、（コホモロジーに対し）複体上のホッジ構造のより技術的な考え方が使われる。ホッジ構造や混合ホッジ構造を基礎とする機構は、アレクサンドル・グロタンディークにより予想されたモチーフという理論に対しては、大部分が未だに予想にとどまっている。非特異代数多様体 "X" の数論的な情報は、l-進コホモロジーに作用するフロベニウス元の固有値にエンコードされているが、複素代数多様体として考えた "X" から生ずるホッジ構造を共通にあるものを持っている。セルゲイ・ゲリファンド（Sergei Gelfand）とユーリ・マーニン（Yuri Manin）は1988年に彼らの著作 "Methods of homological algebra" の中で、他のコホモロジー群の上に作用しているガロア対称性とは異なり、形式的ではあるが「ホッジ対称性」の原点は非常に神秘的であると指摘している。ホッジ対称性はド・ラームコホモロジー上にの非完全な群 formula_18 の作用を通して表現される。従って、この神秘性はミラー対称性の発見と定式化という深さを持っている。
ホッジ構造の変形（Variation of Hodge structure） (,) は、複素多様体 X によりパラメトライズされたホッジ構造の族を言う。詳しくは、複素多様体 X 上のウェイト n のホッジ構造の変形は、X の上の有限生成アーベル群の局所定数層 S と、次の2つの条件を満たす S ⊗ O 上の減少するホッジフィルトレーションから構成される。
ここに S ⊗ O の上の自然な（平坦）接続は、S 上の平坦接続と O 上の平坦接続 d により引き起こされる。O は X 上の正則函数の層であり、Ω は X の上の1-形式の層である。この自然な平坦接続は、 ∇ であり、従ってで記述することができる．
混合ホッジ構造の変形 は同じ方法で定義することができ、次数を付け加えるか、もしくはフィルトレーション W に S を加える。
ホッジ加群は複素多様体の上のホッジ構造の変形の一般化である。ホッジ加群は多様体の上のホッジ構造の層のようなものとインフォーマルには考えることができる。詳細な定義 () は技術的で複雑である。特異点を持った多様体に対しては、混合ホッジ加群への一般化がいくつかある。
各々のスムースな複素多様体に対して、これに付随する混合ホッジ加群のアーベル圏がある。これらは形式的に多様体の上の層の圏のような振る舞いをする。例えば、多様体間の射 f は、層の射のように、混合ホッジ加群（の導来圏）の間の函手 formula_19 を引き起こす。