円周率
円周率（えんしゅうりつ）は、円の周長の直径に対する比率として定義される数学定数である。通常、ギリシア文字 で表される。数学をはじめ、物理学、工学といった様々な科学分野に出現し、最も重要な数学定数とも言われる。
円周率は無理数であり、その小数展開は循環しない。円周率は、無理数であるのみならず、超越数でもある。
円周率の計算において功績のあったルドルフ・ファン・コーレンに因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは、小数点以下35桁までを計算した。小数点以下35桁までの値は次の通りである。
円周率を表すギリシア文字 は、ギリシア語 （ペリメトロス）あるいは （ペリペレイア）の頭文字から取られた。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 をウィリアム・オートレッドは1631年に著した著書において半円の円弧部分の長さを表す文字として用い、アイザック・バローは論文において半径 の円周の長さとして用いた。 (1706) やレオンハルト・オイラーらにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった。日本では「パイ」と発音する。
数 を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「アルキメデス数」（）、「ルドルフ数」（、）などがある。一般にドイツ語を除いたヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない。
なお、「」の字体は、表示環境によってはキリル文字の  に近い などと表示されることがある。
また、文字「」は、数学では他に素数計数関数や基本群・ホモトピー群にも用いられる。またある種の写像を表すときにも慣習的に用いられる。
平面幾何学において、円周率 は、円の周長の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を , 直径を としたとき、
である。全ての円は互いに相似なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。
ところが、この定義は円の周長を用いているため、曲線の長さを最初に定義していない解析学などの分野では、 が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを の定義とすることが多い。この際の の定義の一般なものとして、三角関数 が を取るような の最小値の2倍とするもの、級数による定義、定積分による定義などがある。後述の#円周率に関する式も参照。
円周の直径に対する比率が円の大きさに依らず一定であり、それが 3 より少し大きい程度だということは古代エジプトやバビロニア、インド、ギリシアの幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 の円板の面積が であることも知られていた。さらに、アルキメデスは正角形を用いて半径 の球の体積が であることや、この球の表面積が （その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出し、約1000年後、祖沖之（五世紀、中国）が小数点以下第6位まで弾き出した。
14世紀インドの数学者・天文学者であるサンガマグラーマのマーダヴァは次のような の級数表示を見いだしている（ライプニッツの公式）：
これは逆正接関数 のテイラー展開の での実現になっている。マーダヴァはまた、
を用いて の値を小数点以下11桁まで求めている。
17世紀。ドイツのルドルフ・ファン・コイレンが億角形を使い、小数点以下第35位まで計算。1699年（または1706年）にエイブラハム・シャープが小数点以下第72～127位まで求めた。
18世紀フランスの数学者アブラーム・ド・モアブルは、コインを 回投げたときに表が 回出る確率は、 が十分大きいとき、ある定数 を取ると、
で近似できることを、 における数値計算により見いだした。この正規分布の概念は1738年に出版されたド・モアブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ド・モアブルの友人のジェイムズ・スターリングは後に、 であることを示した。
1751年にヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、 が でない有理数ならば正接関数 の値は無理数であることを示し、その系として は無理数であることを導いた。さらに1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンは が超越数であることを示し、円積問題（与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を作図する問題）は解くことができないことを導いた。
1873年、ウィリアム・シャンクスが小数点以下第707位まで計算（ただし途中で計算ミス）。
20世紀以降、コンピュータの発達により、計算された円周率の桁数は飛躍的に増大した。1949年に、ジョン・フォン・ノイマンはコンピュータ ENIAC を使い72時間かけて、円周率を2037桁まで計算した。その後の数十年間、さまざまな計算機科学者によって計算は進められ、1973年には100万桁を超えた。この進歩は、スーパーコンピュータの開発だけによるものではなく、効率のよいアルゴリズムが考案されたためである。そのうちの最も重要な発見の一つとして、1960年代の高速フーリエ変換がある。これにより、多倍長の演算が高速に実行できるようになった。
2016年の時点では、円周率は小数点以下22兆4591億5771万8361桁まで計算されている。
は無理数である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは1761年にヨハン・ハインリッヒ・ランベルトが証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は1806年にルジャンドルによって補われた。
したがって、円周率のコンピュータによる計算や暗唱、10進法における各数字 (0, 1, …, 9) の出現頻度は、興味の対象となる。
さらに、 は超越数である。つまり、有理数係数の代数方程式の根とはならない。これは1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンによって証明された（リンデマンの定理）。特に、整数から四則演算と冪根をとる操作だけを有限回組み合わせて の正確な値を求めることはできないことが分かる。
は現在小数点以下10兆桁を超える桁まで計算されている。そして、分かっている限りでは 0 から 9 までの数字がランダムに現れているようには見えるが、はっきりと乱数列であるか否かは実は分かっていない。たとえば が正規数であるかどうかも分かっていない。正規数であれば の10進表示において、各桁を順に取り出して得られる数列：
には、0 から 9 が均等に現れるはずだが分かっておらず、それどころか、0 から 9 がそれぞれ無数に現れるのかどうかすら分かっていない。もし仮に正規数でないとすれば、乱数列でもないということになる。
5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りである。全てほぼ等しく（約0.0005%の違いに収まる）、最も多いのは 8 で、最も少ないのは 6 である。ロジスティック写像 により帰納的に定まる数列 を考える。初期値 を 以上 以下に取るとき、そのほとんど全てで、次が成り立つ。
 の桁を記憶術に頼らずに暗記する方法が各種存在している。
日本語では、語呂合わせにより、長い桁を暗記するのも比較的簡単である。有名なものとして、以下がある。
英語圏では語呂合わせがうまくいかないため、単語の文字数で覚える方法がある。
これらのような覚え方は多くあり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌に合わせたもの、数値を文字に置き換えて1,000桁近く覚える方法などがある。
2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日 - 7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。2006年10月3日午前9時 - 10月4日午前1時30分（16時間30分）の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。原口はこれをギネス世界記録に申請したが、2017年現在に至るまで認定されていない。
『ギネス世界記録』によれば、円周率暗唱の世界記録は2015年10月21日に7万30桁を暗唱したインド人、スレシュ・クマール・シャルマ (Suresh Kumar Sharma) が記録したものである。
円という日常でもよく知られた図形についての単純な定義でありながら、小数部分が無限に続くという不思議さから、数学における概念の中で最もよく知られたものの一つである。
小数点以下1000桁までの値