付値体
付値体(ふちたい、)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 "K" の乗法付値 formula_1 で付値体になるとき、formula_2 と表す。
付値体 formula_2 に対して、乗法付値 formula_1 がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。
付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。体 "K" 上の乗法付値 formula_1 が離散付値であるとき、付値体 formula_2 を離散付値体という。
離散付値 formula_1 に対する付値環、付値イデアルを formula_14 とおき、 formula_1 の素元を π とし、1 より大きい正数 "q" を
が満たされる様にとると
\right.\right\}\ \ \ \ (n=1,2,\ldots)
であり、便宜的に formula_16 とおくと
は "K" の 0 に対する基本近傍系となる。また、乗法群 formula_17 に対して
\right.\right\}\ \ \ \ (n=0,1,2,\ldots)
とおくと
が成立し、formula_18 は formula_17 の 1 に対する基本近傍系となる。
また、各 "n" に対して、formula_20 は "K" の単数群 formula_21 の部分群となる。これを "n" 次主単数群といい、特に formula_22 を主単数群という。
上記の付値イデアルのベキおよび "n" 次主単数群に対して、以下のことが成立する。
各 formula_23 に対して
が成立する。
付値体 formula_2 の数列 formula_25 がコーシー列または基本列であるとは、任意の正数 ε に対して、ある整数 "N" が存在して、"N" より大きい任意の整数 "m", "n" に対し
が成立することである。任意の "K" のコーシー列が "K" 内の点に収束するとき、"K" は完備であるといい、このとき formula_2 を formula_1 に対する完備体という。
付値体 formula_2 のコーシー列は、"K" 内に収束するとは限らないので、付値体は完備であるとは限らない。例えば、先に付値体の例として挙げた例のうち、formula_6 と formula_8 は、いずれも完備体であるが、formula_10 は完備体ではない。
任意の付値体 formula_2 に対して、以下の条件を満たす完備体 formula_33 が存在する。これを "K" の完備化という。
任意の付値体 formula_2 に対して、完備体は付値体として同型を除いて唯一存在する。
完備体 formula_2 が離散付値体、つまり formula_1 が離散付値である場合を考える。
すると、"K" の 0 ではない元 α は、以下の形に一意的に表現される：
但し、formula_45 は、formula_1 の剰余体 formula_47 の 0 を含む完全代表系、formula_48 は formula_1 の素元である。
特に π を素元とし、formula_50 とすれば
と表される。付値イデアルを formula_51 としたとき、上記の展開のことを "K" の formula_52 進展開という。
例として、"p"進体 formula_53 の元 α は
と表現される。これを "p"進体の"p"進展開という。
付値体 formula_54 は、formula_55 によって完備であり、"L" を "K" の代数拡大体とすると、 formula_55 は、"L" に一意的に延長が可能である。もし、"L" が "K" の有限次拡大であるならば、"L" の乗法付値を formula_57 とおくと、"L" は formula_57 で完備となり、
が成立する。但し、"n" は "L" の "K" に対する拡大次数である。
注意として、"L" が "K" の無限次代数拡大体であるとき、"L" が完備になるとは限らない。
例えば、"p"進体の代数閉包は完備ではない。
アルキメデス付値に対する完備体 "K" は、実数体または複素数体に同型である（オストロフスキーの定理）。
さらに、"K" のアルキメデス付値 formula_1 による位相体とすると、"K" から実数体もしくは複素数体の中への同型写像 σ と、ある正数 ρ が存在して、
と表される。但し formula_60 は実数体もしくは複素数体の絶対値とする。
さらに τ を "K" から複素数体の中への同型写像としたとき、
非アルキメデス付値に対する完備体の性質として、以下のものが挙げられる。
(1) 非アルキメデス付値に対する完備体 formula_2 内のコーシー列 formula_65 の収束点を α としたとき、α が 0 でないならば、十分大きな全ての "n" に対して
が成立する。
(2) 非アルキメデス付値体 formula_2 の完備化を formula_67 とする。このとき、"K" が代数閉体であるならば、formula_68 も代数閉体である。
このことから、例えば、"p"進体 formula_53 の代数閉包を formula_70 とし、"p"進付値をこの代数閉包に延長したもので完備化した体を formula_71 とおくと、 formula_71 は代数閉体となる。
非アルキメデス付値体 formula_2 が完備であるとする。このとき、ヘンゼルの補題と呼ばれる非常に有用な命題が成立する。
ヘンゼルの補題
"K" の formula_1 の付値環、付値イデアル、剰余体を formula_75 とする。"R" 係数多項式 formula_76 は、以下の条件を満たすとする：
このとき、"R" 係数多項式 formula_80 formula_81 が存在して
が成立する。
つまり、"K" 係数多項式の可約性が、"K" よりも単純な体である剰余体上での可約性に帰着される。
ヘンゼルの補題を用いて、以下のことが示される。（さらなる応用例はヘンゼル体を参照のこと）
以下において、"K" を非アルキメデス付値 formula_1 による完備体とし、"R" を付値環、formula_83 を付値イデアルとする。
である。
非アルキメデス付値体に対して、付値が離散付値である場合、以下のことが成立する。
位相体 "K" は離散付値 formula_1 によって完備であるとする。formula_1 の剰余体の標数を formula_103 としたとき
(1) "K" の標数が "p" と等しいとき
(2) "K" の標数が 0 であるとき
非アルキメデス付値による完備体で得られる結果の多くは、その証明にヘンゼルの補題が使われているが、ヘンゼルの補題は完備体でなくても成立する場合がある。その様な体上では、完備体で得られた多くの結果が成り立つことになる。ヘンゼルの補題が成立する付値体のことをヘンゼル体という。また、与えられた付値体 formula_2 の拡大体で、乗法付値 formula_1 の延長でヘンゼル体になるとき、その体のことを、付値 formula_1 に関する体 "K" のヘンゼル化という。付値体 formula_2 がヘンゼル体であるとき、formula_1 をヘンゼル付値、formula_1 の付値環をヘンゼル付値環という。任意の非アルキメデス付値体に対する完備化は必ず存在するので、ヘンゼル化も存在する。
非アルキメデス付値体 formula_2 に対する完備化を formula_113 とする。formula_114 の "K" における分離閉包を formula_68 とおき、formula_116 の formula_68 への制限を formula_118 とおくと、付値体 formula_67 では、ヘンゼルの補題が成立する。よって、formula_67 は formula_1 に関する体 "K" のヘンゼル化となる。
完備化という手法をとらずに純粋に代数的な手法でヘンゼル化を得ることができる。
非アルキメデス付値体 formula_2 の分離閉包を formula_123 とし、formula_1 の formula_123 への延長を formula_118 とする。formula_123 の formula_118 に対する分解群を
とし、この分解群に対する formula_129 の分解体を
とおけば、formula_130 は、formula_1 に関する体 "K" のヘンゼル化となる。
先にも述べた様に、完備体の性質の多くの性質はヘンゼル体でも成立している。先に挙げたヘンゼルの補題から得られる結果以外で、ヘンゼル体でも成立する性質(当然完備体でも成立する)をいくつか挙げる。が成立する。但し、"n" は "L" の "K" に対する拡大次数である。
上記の逆、つまり、任意の代数拡大体への延長が唯一である様な非アルキメデス付値体はヘンゼル体であることが知られている。と分解する。すると、任意の正数 ε に対して、正数 δ が存在して、
の "r" 個の根 formula_138 に対して
が成立する。
逆に "K" を分離閉体とすると、"K" の任意の非アルキメデス付値に対して、ヘンゼル体となる。を満たす任意の多項式に対して、formula_76 は formula_83 の元を根として含むことである。
以下において、特に断らない限り、"K" を非アルキメデス付値 formula_55 に対してヘンゼル体であるとし、"K" の有限次または無限次の代数拡大体 "L" に対して、formula_55 の延長が同値なものを除いて唯一存在するので、それを formula_57 とおき、formula_145 をそれぞれ formula_146 における付値環としたとき、"L" として、formula_147 が formula_148 の分離拡大である様な "K" の代数拡大体とする。例えば、"K" を"p"進体とすれば、"K" の任意の代数拡大体 "L" に対して、上記の条件は全て満たされる。
"L" を "K" の有限次または無限次代数拡大体とし formula_57 の formula_55 に対する分岐指数が 1 であるならば、"L" を "K" の不分岐拡大体、formula_151 は不分岐であるという。
このことは、"L" が有限次代数拡大体であるとき、formula_152 を満たすことと同値であり、formula_153 としたとき、"L" を "n" 次の不分岐拡大体という。
不分岐拡大について、以下のことが成立する。
(1) "L" が "K" の不分岐拡大体であるとき、"K" を含む任意の "L" の部分体も "K" の不分岐拡大体である。
(2) "K" の剰余体 formula_148 の標数 "p" が正であるとき、有限次代数拡大体 "L" が "K" の不分岐拡大体である必要十分条件は、"p" と互いに素な正整数 formula_155 が存在して
となることである。但し formula_156 は、1 の formula_157 乗根とする。特に "K" に "p" と互いに素な正整数に対する 1 のベキ乗根全てを添加した体は、"K" の最大不分岐拡大体である
(3) formula_158 を "K" の代数閉包に含まれる有限次代数拡大とし、formula_159 とおく。このとき、formula_151 が不分岐であれば、formula_161 も不分岐である。
(4) formula_162 が "K" の不分岐拡大体であるならば、合成体 formula_163 も "K" の不分岐拡大体である。
"K" の（有限次ないし無限次）代数拡大体 "E" に対して、"E" に含まれる "K" の不分岐拡大体全ての合成は、包含関係で最大な "K" の不分岐拡大体であり、これを formula_164 の最大不分岐部分拡大という。
特に "K" の代数閉包 formula_123 に対して、formula_129 の最大不分岐部分拡大を "K" の最大不分岐拡大体という。
formula_151 の最大不分岐拡大 "T" に対して、以下のことが成立する。
この項では、"K" の formula_55 に対する剰余体 formula_148 の標数 "p" は正であるとする。
"L" を "K" の "n" 次代数拡大体で、"K", "L" は初めに述べた条件を満たすとする。"T" を formula_151 の最大不分岐部分拡大としたとき、formula_172 が満たされるならば、"L" を "K" の"n" 次の順分岐拡大体、formula_151 は順分岐または分岐が穏やかであるという。"L" が無限次拡大体のとき、formula_174 の任意の有限次部分拡大体に対して、拡大次数が "p" と互いに素となるとき、順分岐と定める。
"L" が有限次拡大体で、formula_57 に対する分岐指数 "e" と剰余次数 "f" に対して、formula_176 を満たすのであれば、formula_151 が順分岐であることは、formula_178 が成り立つことを意味する。
特に、"K" の formula_55 に対する剰余体が有限体であるとき、formula_151 が不分岐であるならば、順分岐である。
順分岐拡大について、以下のことが成立する。
(1) "L" を "K" の有限次代数拡大体とし、"T" を formula_151 の最大不分岐部分拡大としたとき、"L" が "K" の順分岐拡大である必要十分条件は、"p" と互いに素な正整数 formula_155 と "K" の元 formula_183 が存在して
となることである。
(2) formula_158 を "K" の代数閉包に含まれる有限次代数拡大とし、formula_159 とおく。このとき、formula_151 が順分岐であれば、formula_161 も順分岐である。
(3) formula_162 が "K" の順分岐拡大体であるならば、合成体 formula_163 も "K" の順分岐拡大体である。
"K" の（有限次ないし無限次）代数拡大体 "E" に対して、"E" に含まれる "K" の順分岐拡大体全ての合成は、包含関係で最大な "K" の順分岐拡大であり、formula_164 の最大順分岐部分拡大という。
特に "K" の代数閉包 formula_123 に対して、formula_129 の最大順分岐部分拡大を "K" の最大順分岐拡大体という。
formula_151 の最大不分岐部分拡大 "T" および最大順分岐部分拡大 "V" に対して、以下のことが成立する。
と表される。
"L" を "K" の有限次代数拡大体で、初めに述べた条件を満たし、さらに formula_57 の formula_55 の分岐指数 "e"、剰余次数 "f" に対して、formula_199 が満たされているとする。いま分岐指数 "e" を formula_200 と表し、
"T", "V" をそれぞれ formula_151 の最大不分岐部分拡大、最大順分岐部分拡大とすれば、"K", "T", "V", "L" の値群・剰余体・分岐指数・剰余次数の間には、以下の様な関係が成立する。
上記において、特に formula_202 かつ formula_203 であるとき、formula_151 は完全分岐であるといい、formula_205 のとき（つまり formula_151 が順分岐ではないとき）、formula_151 は激分岐であるという。
有限次代数拡大体 formula_151 が特にガロア拡大体であるとする。
今、formula_209 を "L" の付値環、付値イデアルとしたとき、各 formula_210 に対して、formula_211 の元を動かさないような formula_151 の同型写像の集合を
とおくと、formula_213 は formula_214 の部分群となる。
特に formula_215 に対して、formula_216 を剰余体 formula_147 の formula_148 上の自己同型写像全体とすれば
であり、formula_215 は可解群となる。
さらに、formula_151 が完全分岐であるならば、formula_221 であり、十分大きな全ての "i" に対して、formula_213 は恒等写像しか含まない。従って formula_214 は可解群となる。