複素線積分
複素解析における線積分（せんせきぶん）とは、複素平面内の道に沿った積分であり、特に道が単純閉曲線の場合の線積分を周回積分（しゅうかいせきぶん）ということがある。
線積分は複素解析の手法である留数計算と密接に関連している。
線積分のひとつの使い方として、実変数だけの方法を使うことでは容易には分からない、実数直線に沿った積分の計算がある。
線積分の方法は以下を含む。
これらの積分や和を求めるために、これらのうちのひとつ、あるいは、複数を組み合わせた、また、極限をとる様々な方法を使うことができる。
複素解析において、積分路は複素平面内の曲線の一種である。路に沿う積分では、積分路がその上で積分が適切に定義できる曲線の正確な定義を与える。複素平面内の曲線は、実数直線の閉区間から複素平面への連続関数 として定義される。
曲線のこの定義は、直感的な概念と一致するが、閉区間からの連続関数による径数付けを含む。このより正確な定義により、曲線が積分に有用なためにもたなければならない性質が何であるかを考えることができる。以下の小節では、積分できる曲線を、向きを与えることができる有限個の連続曲線から作ることのできるものだけに絞る。さらに、「断片」は互いに交わらない場合だけを考え、各断片は有限の（消えない）連続微分を持つと仮定する。これらの仮定は次のような曲線だけを考えることと対応する。例えばペンによって、切れ目なく一筆書きで、曲線の新しい断片を始める時だけ止まり、ずっとペンは持ち上げないように、たどることができる。
積分路はしばしば向き付けられた滑らかな曲線のことばで定義される。これらは、滑らかな曲線の「断片」の正確な定義を与え、積分路は断片からなる。
滑らかな曲線とは、曲線 であって、微分が消えず連続で、各点が一度だけ通過される（ が単射である）ものである、ただし終点が始点と一致する場合 だけは例外である。終点が始点と一致するような場合には、曲線は閉曲線と呼ばれ、関数は他のいたるところ単射でなければならず、微分はその一致する点で連続でなければならない 。閉でない滑らかな曲線はしばしば滑らかな弧と呼ばれる。
曲線のにより曲線上の点に自然な順序が入る： のとき は より"小さい"。このことは向き付けられた滑らかな曲線 の概念を導く。特定の径数付けに依存しない曲線を考えるのが最も有用である。このことは同じ方向を持つ滑らかな曲線の同値類を考えることによってなされる。すると方向をもつ滑らかな曲線は、ある滑らかな曲線の像である複素平面の点の集合に（径数付けから定まる）自然な順序をいれたものとして定義できる。点のすべての順序付けが滑らかな曲線の自然な順序であるわけではないことに注意。実は、与えられた滑らかな曲線は、そのような順序付けを2つしかもたない。また、ひとつの閉曲線は任意の点を終点として持つことができるが、滑らかな弧の終点となるのは2点のみである。
積分路はその上で路に沿う積分を定義する曲線のクラスである。積分路は向き付けられた滑らかな曲線の有限列 からなる向き付けられた曲線であって、すべての に対して の終点が の始点と一致するようなものである（そうすると向きが上手く定まる）。積分路はすべての向き付けられた滑らかな曲線を含む。また、複素平面の一点も積分路と考える。記号 が曲線をつないで新しい曲線を作ることを表すためにしばしば用いられる。したがって 個の断片からなる積分路 を
と書くことができる。
複素関数 の路に沿う積分（, 曲線に沿う積分、線積分）は、実数値関数の積分の一般化である。複素平面内の連続関数に対し、路に沿う積分は線積分の類似で定義することができる。最初に向き付けられた滑らかな曲線に沿った積分を実数値のパラメータの上の積分のことばで定義するのである。より一般的な定義は、区間の分割との類似による積分路の分割とリーマン積分のことばにより与えることができる。どちらの場合も路に沿う積分は積分路を構成する向き付けられた滑らかな曲線上の積分の和として定義される。
積分路の終点が始点と一致するとき、路に沿う積分を周回積分ということがある。
この方法で路に沿う積分を定義するためにはまず実変数上の複素数値関数の積分を考えなければならない。 を実変数 の複素数値関数とする。 の実部と虚部はしばしばそれぞれ と と書かれる、つまり
である。すると複素数値関数 の区間 上の積分は次で与えられる：
と記され、
によって与えられる。
この定義は well defined である。つまり、結果は選ばれた径数付けに依存しない。右辺の実積分が存在しない場合には に沿う積分は存在しないと言われる。
リーマン積分の複素変数の関数への一般化は実数からの関数に対する定義との完全な類似でなされる。向き付けられた滑らかな曲線 の分割は 上の有限個の順序付けられた点の集合と定義される。その曲線上の積分は分割の点での関数値の有限和の極限である。極限は分割の連続する2点の（複素平面での）距離（分割の幅）の最大値が に行くようにとる。
直接的な方法は多変数解析学における線積分の計算と類似の手法による積分計算を含む。これは以下の手法を用いることを意味する：
複素解析における基本的な結果は の周回積分が であることである、ただし積分路は単位円周を反時計回りに一周するものをとる（あるいは についての任意の正の向きのジョルダン曲線でもよい）。単位円周の場合には積分
を計算する直接的な方法がある。この積分の計算では、単位円周 を で径数付けしたものを積分路として使う。すると であり、積分は次のように計算される。
路に沿う積分を計算するために積分定理を用いることもしばしばある。これは実数値関数が路に沿う積分の計算と一緒に同時に計算されることを意味する。
コーシーの積分公式や留数定理のような積分定理は以下の手法において一般的に用いられる：
次の積分を考える：
この積分を計算するために、次の複素数値関数を見る：
この関数は と に特異点を持つ。積分路として実数値積分を含む積分路を選ぶ。ここでは実数直線上に境界の直径（ から まで）を持つ半円が便利である。この積分路を と呼ぶ。
2つのやり方がある。コーシーの積分公式を使う方法と留数の手法によるものである：
次に注意：
したがって
さらに次が成り立つ：
閉曲線の囲む領域内に二位の極 があるため、コーシーの積分公式を用いて、
半円の弧を と呼ぶことにすれば、 上の積分が のとき に収束することを示す必要がある。 を用いて
ただし は 上の の上界であり、 は の長さである。今
である。したがって
の周りでの のローラン展開を考える（ は考える必要のある唯一の特異点である）。すると
となる（この級数の導出はの計算例を参照）。
留数が であることは見た目から明らかである（これを確かめるには、上の等式に を掛けたものを考え、コーシーの積分公式を用いて両辺を積分すると、第二項のみが でない値となる）。よって留数定理より
したがって前と同じ結果が得られた。
余談ではあるが、"他の"特異点 を囲む半円を取らなかったことについて疑問が生じ得る。正しい向きに動いて実軸に沿って積分するには、その積分路は時計回り、つまり負の方向にまわらなければならず、積分全体の符号が逆になる。
これは級数による留数の手法の使用に影響しない。
積分
（確率論においてコーシー分布の特性関数のスカラー倍として生じる）は初等解析学のテクニックでは困難である。それを次の積分路 に沿った線積分の極限として表示することにより計算しよう：実数直線を から まで沿って行き、 を中心とする半円に沿って から まで反時計回りに行く。 を よりも大きく取って、虚数単位 が曲線の内側に入るようにする。線積分は
である。 は整関数（複素平面のどこにも特異点を持たない）だから、この関数は分母 が になる点でのみ特異点を持つ。 であるから、それは あるいは でのみ起こる。これらの点のうち1つだけが積分路で囲まれる領域に含まれる。 の における留数は
である。留数定理により、
となる。積分路 は「まっすぐな (straight)」部分と曲がった弧 (arc) とに分けられるので
でありしたがって
となる。 のとき
であることを示すことができる。よって のとき
である。 のときは ではなく をまわる弧を用いた類似の議論によって
が示される。よって最終的に次を得る：
（ のときは積分はただちに実数値の解析学の手法が使えてその値は である。）
Certain substitutions can be made to integrals involving trigonometric functions, so the integral is transformed into a rational function of a complex variable and then the above methods can be used in order to evaluate the integral.
As an example, consider
We seek to make a substitution of "z" = "e". Now, recall
and
Taking "C" to be the unit circle, we substitute to get:
The singularities to be considered are at 3"i", −3"i". Let "C" be a small circle about 3i, and "C" be a small circle about −3"i". Then we arrive at the following:
The above method may be applied to all integrals of the type
where "P" and "Q" are polynomials, i.e. a rational function in trigonometric terms is being integrated. Note that the bounds of integration may as well be π and -π, as in the previous example, or any other pair of endpoints 2π apart.
The trick is to use the substitution formula_35 where formula_36 and hence
This substitution maps the interval [0, 2π] to the unit circle. Furthermore,
and
so that a rational function "f"("z") in "z" results from the substitution, and the integral becomes
which is in turn computed by summing the residues of formula_41 inside the unit circle.
The image at right illustrates this for
which we now compute. The first step is to recognize that
The substitution yields
The poles of this function are at 1 ± √2 and −1 ± √2. Of these, 1 + √2 and −1 −√2 are outside the unit circle (shown in red, not to scale), whereas 1 − √2 and −1 + √2 are inside the unit circle (shown in blue). The corresponding residues are both equal to −"i"√2/16, so that the value of the integral is
Consider the real integral
We can begin by formulating the complex integral
We can use the Cauchy integral formula or residue theorem again to obtain the relevant residues. However, the important thing to note is that "z" = "e", so "z" has a branch cut. This affects our choice of the contour "C". Normally the logarithm branch cut is defined as the negative real axis, however, this makes the calculation of the integral slightly more complicated, so we define it to be the positive real axis.
Then, we use the so-called "keyhole contour", which consists of a small circle about the origin of radius ε say, extending to a line segment parallel and close to the positive real axis but not touching it, to an almost full circle, returning to a line segment parallel, close, and below the positive real axis in the negative sense, returning to the small circle in the middle.
Note that "z" = −2 and "z" = −4 are inside the big circle. These are the two remaining poles, derivable by factoring the denominator of the integrand. The branch point at "z" = 0 was avoided by detouring around the origin.
Let γ be the small circle of radius ε, Γ the larger, with radius "R", then
It can be shown that the integrals over Γ and γ both tend to zero as ε → 0 and "R" → ∞, by an estimation argument above, that leaves two terms. Now since "z" = "e", on the contour outside the branch cut, we have gained 2π in argument along γ (by Euler's Identity, "e" represents the unit vector, which therefore has π as its log. This π is what is meant by the argument of "z". The coefficient of 1/2 forces us to use 2π), so
This section treats a type of integral of which
is an example.
To calculate this integral, one uses the function
and the branch of the logarithm corresponding to formula_52.
We will calculate the integral of "f"("z") along the keyhole contour shown at right. As it turns out this integral is a multiple of the initial integral that we wish to calculate and by the Cauchy residue theorem we have
Let "R" be the radius of the large circle, and "r" the radius of the small one. We will denote the upper line by "M", and the lower line by "N". As before we take the limit when "R" → ∞ and "r" → 0. The contributions from the two circles vanish. For example, one has the following upper bound with the ML-lemma:
In order to compute the contributions of "M" and "N" we set formula_55 on "M" and formula_56 on "N", with 0 < "x" < ∞:
which gives
We seek to evaluate
This requires a close study of
We will construct "f"("z") so that it has a branch cut on [0, 3], shown in red in the diagram. To do this, we choose two branches of the logarithm, setting
and
The cut of "z" is therefore (−∞, 0] and the cut of (3−"z") is (−∞, 3]. It is easy to see that the cut of the product of the two, i.e. "f"("z"), is [0, 3], because "f"("z") is actually continuous across (−∞, 0). This is because when "z" = −"r" < 0 and we approach the cut from above, "f"("z") has the value
When we approach from below, "f"("z") has the value
But
so that we have continuity across the cut. This is illustrated in the diagram, where the two black oriented circles are labelled with the corresponding value of the argument of the logarithm used in "z" and (3−"z").
We will use the contour shown in green in the diagram. To do this we must compute the value of "f"("z") along the line segments just above and just below the cut.
Let "z" = "r" (in the limit, i.e. as the two green circles shrink to radius zero), where 0 ≤ "r" ≤ 3. Along the upper segment, we find that "f"("z") has the value
and along the lower segment,
It follows that the integral of
along the upper segment is −"iI" in the limit, and along the lower segment, "I".
If we can show that the integrals along the two green circles vanish in the limit, then we also have the value of "I", by the Cauchy residue theorem. Let the radius of the green circles be ρ, where ρ < 1/1000 and ρ → 0, and apply the ML-inequality. For the circle "C" on the left, we find
Similarly, for the circle "C" on the right, we have
Now using the Cauchy residue theorem, we have
where the minus sign is due to the clockwise direction around the residues. Using the branch of the logarithm from before, clearly
The pole is shown in blue in the diagram. The value simplifies to
We use the following formula for the residue at infinity:
Substituting, we find
and
where we have used the fact that −1 = "e" for the second branch of the logarithm. Next we apply the binomial expansion, obtaining
The conclusion is that
Finally, it follows that the value of "I" is
which yields
関数の積分表現 (integral representation) とは路に沿う積分を含む関数の表示である。様々な積分表現が多くの特殊関数に対して知られている。積分表現は理論的な理由で重要となり得る。例えば解析接続や関数等式やときには数値評価を与える。
例えば、リーマンのゼータ関数 のディリクレ級数を用いたもともとの定義
は に対してのみ有効である。しかし
（ただし積分は 上する）はすべての複素数 に対して有効である。