ノルム剰余同型定理
数学の一分野である代数的K-理論において、ノルム剰余同型定理(norm residue isomorphism theorem)（または、ブロッホ・加藤の予想(Bloch-Kato conjecture)）は、長らく待ち望まれていたミルナーのK-理論やエタールコホモロジーに関係する結果である。ジョン・ミルナー(John Milnor)は、この定理の特別な場合は正しいであろうと見通しを述べていて、この問題はミルナー予想として知られていた。一般の場合の予想は、スペンサー・ブロッホと加藤和也により予想され、ブロッホ・加藤の予想(Bloch–Kato conjecture)、もしくは、（L-函数の特殊値におけるブロッホ・加藤の予想と区別するために）モチーフ的ブロッホ・加藤の予想(motivic Bloch–Kato conjecture)として知られるようになった。ミルナーの予想はウラジミール・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)により証明された。後日、ヴォエヴォドスキーは、一般的なブロッホ・加藤の予想も証明した。ヴォエヴォドスキーは、多くの高度な斬新な(Markus Rost)の結果を使い、双方の結果を証明した。
体 "k" の可逆な整数 ℓ に対し、写像
formula_1
が存在する。ここに formula_2 は "k" のある分離拡大での1の ℓ-乗根のなす群とする。この写像は、同型 formula_3 を導く。これが "K"-理論に関連していることの最初のヒントは、formula_4 が群 "K"("k") であることである。テンソル積をとり、エタールコホモロジーを適用すると、写像 formula_5 を拡張する写像
を得る。
これらの写像は、formula_7 のすべての元 "a" に対し、formula_8 が 0 となるという性質を持つ。これはミルナーのK-理論の定義関係式である。特に、ミルナーK-理論は、次の環の次数付き部分であると定義される。
ここに、formula_10 は乗法群 "k" のテンソル代数であり、商は formula_11 の形をしたすべての元で生成される両側イデアルで割って得られる。従って、写像 formula_12 は、写像
を通して、分解する。この写像はガロア記号(Galois symbol)、あるいはノルム剰余(norm residue)写像と呼ばれる。mod-ℓ 係数のエタールコホモロジーは ℓ-トーション群であるので、この写像はさらに formula_14 を通して分解する。
ノルム剰余同型定理（もしくは、ブロッホ・加藤の予想）は、体 "k" と "k" で可逆な整数 ℓ に対し、ミルナーのK-理論から mod-ℓ エタールコホモロジーへのノルム剰余写像
は同型であるという定理である。 の場合がミルナー予想であり、 がメルクリエフ・サスリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)である。
体のエタールコホモロジーは、ガロアコホモロジーに同一視できるので、この予想は、体 "k" のミルナーのK-群の ℓ 番目の乗法的余捩れ(cotorsion)（ ℓ-可除元全体の部分群による商）が1の ℓ-乗根のガロア加群に係数を持つ "k" のガロアコホモロジーに等しいであろうという予想である。予想のポイントは、ミルナーのK-群には成立することが容易に分かるが、ガロアコホモロジーで成立するか直ちに分からない性質、あるいはその逆の性質があることである。ノルム剰余同型定理は、同型の片側の対象に適用可能なテクニックを，もう一方の側の対象へ適用することを可能にする。
"n" が 0 である場合は自明であり、 の場合は容易にヒルベルトの定理90から従う。 と の場合は、 で証明された。重要な前進は で ℓ が任意の場合である。この場合は、 で証明され、メルクリエフ・サスリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)として知られている。後日、メルクリエフ(Merkurjev)とサスリン(Suslin)と、それとは独立にロスト(Rost)は、 と の場合に証明した。 .
名称「ノルム剰余」は、元来、ヒルベルト記号 formula_16 に起源を持ち、この記号は "k" のブラウアー群に値を持つ（体がすべての1の ℓ-乗根を持つとき）。ここでの使い方は、標準の局所類体論の類似で、「高次」類体論の一部であると期待されている（未だ未開発であるが）。
ノルム剰余同型定理は、を含んでいる。この予想は、ベイリンソン・リヒテンバウム予想と、かつては呼ばれていた。
"X" を formula_17 を含む体の上の滑らかな多様体とする。ベイリンソン(Beilinson)とリヒテンバウム(Lichtenbaum)は、(motivic cohomology)群 formula_18 は、"p"≤"q" のとき、エタールコホモロジー群 formula_19 と同型であろうと予想した。この予想は、現在は証明され、ノルム剰余同型定理と同値である。
現在、この予想の証明の出発点は、 と による一連の予想にある。彼らは、モチーフ的複体(motivic complexes)、つまり、(motivic cohomology)にコホモロジーが関連する層の複体が存在することを予想した。これらの複体の予想される性質の中で、の 3つの性質が重要である。非常に特別な場合に，これらはノルム剰余写像が同型になることを導く．証明の本質的な特徴は、「ウェイト」（予想にあるコホモロジー群の次元に等しい）を導出することにあり、導出の段階では、単にブロッホ・加藤の予想のステートメントだけではなく、ベイリンソン・リヒテンバウム予想の大半を含むような一般的なステートメントが解明されることも要求される。また、証明の中で、既に証明されたステートメントの導出段階を証明するため、より強いステートメントとにすることも必要となる。このときに、強化されたステートメントは、新しい数学の非常に大きな発展が必要であった。
ミルナー予想の最初の証明は、1995年のウラジーミル・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)のプレプリント にあり、(Morava "K"-theory)の代数的類似というアイデアに動機を持っている（この代数的モラヴァのK-理論は、後日、シモーネ・ボルゲーシ(Simone Borghesi)) により構成された）。1996年のプレプリントで、ヴォエヴォドスキーはモラヴァのK-理論の代数的類似の代わりに，(algebraic cobordism)を導入し、当時は証明されていないそれらの性質（後日これらの性質は証明された）を使うことで、モラヴァの K-理論を素描から取り去ることを可能とした。1995年と1996年のプレプリントの構成は正しいことが知られているが、最初のミルナー予想の完全な証明はいくらか異なる枠組みを使っている。
ブロッホ・加藤の予想の全証明が出てくる枠組みもある。この証明は、1996年のプレプリントの後、数ヶ月後にウラジーミル・ヴォエヴォドスキーが考え出した。この枠組みを実現することは、特別な一連の性質を持つ代数多様体を作る方法を見つけることと同時に、(motivic homotopy theory)の分野での本質的な前進が必要とされた。モチーヴィックホモトピー理論からの証明には、次の性質が必要である。最初の 2つの構成は、2003年にウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより開発され、1980年代終わりには得られていた結果を合わせ、ミルナー予想を再証明するには充分であった。
2003年には、またもや、ヴォエヴォドスキーがウェブ上に、一般的な定理の証明をほぼ含んだものプレプリントを公開した。このプレプリントは元々の 3つのスキームに従うものであったが、3つのステートメントを誤っていた。これらのステートメントのうち 2つは、モチーフ的スティンロッド代数の性質に関連していて、上記の 3つの事実を必要としていたが、3番目は「ノルム多様体」に関する知られていない性質を必要とした。これらの多様体が1997年のヴォエヴォドスキーが既に定式化していた必要とされる性質と多様体自体は、1998年から2003年にマーカス・ロスト(Markus Rost)により構成されていた。必要となる性質の彼らの証明は、2006年に(Andrei Suslin)と(Seva Joukhovitski)により完成された。
上の第三の性質は、モチーフ的ホモトピー論での新しいテクニックの開発が必要であった。目標は、極限あるいは余極限との交換関係を前提としない函手がある形式の対象の間の弱同値を保存することの証明であった。主要な困難のひとつは、弱同値の研究の標準的アプローチがブースフィールド・キレン分解と(model category)構造を基礎としていて、それでは不十分であることであった。他の方法が開発される必要があり、この仕事はヴォエヴォドスキーにより2008年に完成された。
これらのテクニックの開発の道筋では、ヴォエヴォドスキーの2003年の証明なしで使われている第一のステートメントが誤りであることが判明した。証明はステートメントの正しい形に調整する小さな変更が必要であった。ヴォエヴォドスキーはモチーフ的(Eilenberg-MacLane space)に関する主定理の証明の最終的詳細の仕事をやり続け、(Charles Weibel)は、変形すべき証明を正しくするアプローチを考案した。ウェイベルは2009年にも彼の開発した修正とヴォエヴォドスキーの構成をまとめる論文を出版した。