J-不変量
数学では、複素変数 τ の函数としたときのフェリックス・クライン(Felix Klein)の j-不変量 ("j"-invariant)、（もしくは、"j"-函数と呼ぶこともある）とは、複素数の上半平面上に定義された のウェイト 0 のモジュラー函数を言う。"j"-不変量は、
であり尖点（カスプ）で一位の極を持つ以外は正則な、一意的な函数である。
の有理函数はモジュラーであり、実はすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、-不変量は 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている（この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる）。
"j"-不変量がある無限和（下記の "g", "g" を参照）の項で純粋に定義することができるとき、これらは楕円曲線の同型類を考えることが動機となる。C 上のすべての楕円曲線 "E" は複素トーラスであるので、ランク 2 の格子、つまり C の 2 次元格子と同一視できる。格子の互いに平行な反対側の辺を同一視することで、そのようにみなすことができる。複素数を格子に掛けることは格子の回転やスケーリングに対応し、これらは楕円曲線の同型類を保存することがわかり、このことから、格子を 1 と上半平面 H のある元 τ によって生成されると考えてよい。逆に、
と定義すると、この格子はヴァイエルシュトラスの楕円函数を通して、y = 4x − gx - g で定義された C 上の楕円曲線に対応する。このとき、"j"-不変量は、
と定義される。ここにモジュラー判別式(modular discriminant) Δ は
である。
Δ はウェイト 12 のモジュラー形式であることと、"g" はウェイト 4 のモジュラー形式であるのでその3乗はウェイト 12 であることを示すことができる。このようにこれらの商と従って j はウェイト 0 のモジュラ函数であり、特に、SL(2, Z) の作用の下に不変な有理型函数である。以下に説明するように、"j" は全射であり、このことは C 上の楕円曲線の同型類と複素数の間の全単射を与えることを意味する。
2つの変換 τ → τ + 1 と τ → τ はモジュラ群と呼ばれる群を生成し、この群を射影特殊線型群 PSL(2, Z) と同一視する。この群に属する適当な変換
を選択することにより、τ を j の(fundamental region)の中にあり "j" に対して同じ値をとるものに帰着することができる。基本領域は次の条件を満たす τ から構成されている。
函数 "j" (τ) をこの領域へ制限すると、複素数 C のすべての値をちょうど一度だけ取る。言い換えると、C すべての元 "c" に対し、"c" = "j"(τ) となる基本領域の元 τ が一意に存在する。このように、"j" は基本領域を全複素平面へ写像するという性質を持っている。
リーマン面として、基本領域の種数は 0 であり、すべての（レベル 1 の）モジュラ函数は "j" の有理函数であり、逆に、"j" のすべての有理函数はモジュー函数である。言い換えると、モジュラー函数全体のなす体は C("j") である。
"j"-不変量は、多くの注目すべき性質をもっている。
これらの古典的な結果は、虚数乗法論の出発点となっている。
1937年、(Theodor Schneider)は、前に述べた τ が上半平面で二次の無理数であれば j (τ) は代数的数であるということを証明した。加えて、彼は τ が代数的数であるが虚二次体の数でないならば、j (τ) は超越的であることをも証明した。
j-函数は数多くの超越的性質も持っている。(Kurt Mahler)は、1990年代にユーリ・ネステレンコ(Yu. V. Nesternko)とパトリス・フィリポン(Patrice Phillipon)の結果の系として証明された、マーラーの予想とも呼ばれることのある特別な超越性を予想した。マーラー予想とは、τ が上半平面にあればexp(2πiτ) と j (τ) は双方が同時に代数的にはならないであろうという予想である。現在、より強い結果が知られていて、例えば、exp(2πiτ) が代数的であれば次の 3つの数は代数的に独立で、超越的になる。
j の注目性質のいくつかは、q-展開（フーリエ級数展開）に関連していることであり、q' = exp(2πiτ) の項のローラン級数として書かれる。この展開は、
で始まっている。
j が尖点(cusp)で単純極を持つので、q-展開は q 以下の項を持たない。
全てのフーリエ係数は、整数である。いくつかの概整数の結果であり、有名な(Ramanujan's constant) 
がある。
により与えられる。
さらに注目すべきは、q の性の展開のフーリエ係数が(moonshine module)と呼ばれるモンスター群の無限次元次数付き代数表現の次数部の次元であることである。特に、q の係数は、ムーシャイン加群の次数 n の次元となっている。第一の例は(Griess algebra)であり、この代数は次元 196,884 で、項196884q に対応している。この驚くべき観察がムーンシャイン理論の出発点であった。
ムーンシャイン予想の研究は、ジョン・ホートン・コンウェイ(John Horton Conway)と(Simon P. Norton)により種数 0 のモジュラ函数を見つけることに発展した。ジョン・G・トンプソン(John G. Thompson)は、それらが
という形式となるように正規化されているとすると、それのような函数は有限個しか存在しないことを証明した。
λ を(modular lambda function)とし、x = λ(1−λ) と置くと
を得る。
は、ヤコビのテータ函数 formula_15 の比率であり、楕円モジュラス formula_16 の二乗である。 λ が次の(cross-ratio)の 6つの値で入れ替わるときは、j の値は不変である。
j の分岐点は {0, 1, ∞} であるので、(Belyi function)である。
formula_18 と定義し直すと、ヤコビのテータ函数(Jacobi theta function)
から指標付きテータ函数(auxiliary theta functions)を導くことができる。次のように置くこととする。
ここに formula_15 と formula_24 は記法を変えたものとした。すると、ヴァイエルシュトラス定数 g, g とデデキントのエータ函数 η(τ) に対して、
となる。このようにすると、j (τ) を早く計算できる形に書き換えることができる。
付言すると、
であることに注意する。
今までは、j を複素変数の函数として考えてきたが、楕円曲線の同型類の不変量としては、j を純粋に代数的に定義することもできる。
を任意の体の上の平面楕円曲線とすると、
と定義することができ、
と表すと、これは楕円曲線の判別式を表している。
ここで、楕円曲線の j-不変量を
と定義する。
楕円曲線が定義されている体の標数が 2 もしくは 3 でない場合に、この定義は
と書き直すことができる。
j-不変量の逆函数は、超幾何函数 F で表すこともできる（(Picard–Fuchs equation)も参照）。与えられた数値 N に対して τ について式 j(τ) = N を解くためには、少なくとも 4つの方法が知られている。
方法 1: (modular lambda function) λ について 6次の式とする方法。
x = λ(1−λ) とすると 6次は x についての 3次の式となる。すると、λ の 6つの値のどれに対しても、
2014年にはいくつかの特殊値が計算された。
これ以前に示したすべての値は実数である。複素共役のペアは、formula_40 と formula_41 に対し、参考文献のように値に沿って、上記のように対称的になっていると推察される。
4つの特殊値は、2つの複素共役のペアにより与えられる。