CR多様体
数学において、CR多様体（CRたようたい、）とは，微分可能多様体で，複素数空間の中の実超曲面の幾何構造をモデル化したものである．
CR は，コーシー・リーマン，あるいは，複素 (Complex)・実 (Real)の省略形である．
CR多様体のモデルは複素数空間 formula_1 内の領域の滑らかな境界である.
領域 formula_2 の滑らかな境界formula_3 について, 次で定義される(complexified)された接束 formula_4 の部分ベクトル束 formula_5 を考えよう:
formula_6
ここで, formula_7 は formula_1 の正則接束を表すとする. このとき, formula_5 は次を満たす:
ただし, formula_12 は formula_5 の複素共役とする.
CR多様体とは，微分可能多様体 formula_3 とその上の(complexified)された接束 formula_4 の部分ベクトル束 formula_5 で次の条件を満たすものの組 formula_17 のことである:
ここで, formula_12 は formula_5 の複素共役とする. このとき，ベクトル束 formula_5 を多様体 formula_3 上のCR構造という．
formula_5 の階数 formula_26 をCR次元, formula_27 をCR余次元という．
CR余次元が1のとき, formula_17 は超曲面型(hypersurface type)であるという.
formula_3 を超曲面型のCR多様体とする．レヴィ形式 formula_30 は，直線束
に値を持つ formula_5 上で定義された(vector valued form)で，
により与えられる．formula_30 は，可積分条件により，formula_35 と formula_36 が formula_5 の切断へどのように拡張するかには依存せず，formula_5 上の半双線型形式を定義する．この形式 formula_30 は，同じ形で束 formula_40 上のエルミート形式へ拡張できる．この拡張された形式も，レヴィ形式と呼ばれることもある。
代わりに，レヴィ形式は双対性の言葉で特徴付けることもできる．"V" を消滅させる複素余接束の部分直線束を考えると，
となる．各々の切断 α∈Γ("H M" ) に対し，
とする．形式 "h" は α を伴う複素数値エルミート形式である．
多様体が超曲面型でない場合も，レヴィ形式の一般化が存在する．ただし，この場合，値は直線束でなく，ベクトル束となる．よって，レヴィ形式ではなく，構造のレヴィ形式の集まりという。
超曲面型の抽象的CR多様体について，レヴィ形式はその上に擬エルミート計量を与える．この計量は，正則接ベクトル上で定義されているだけでなく，退化している．
formula_3 が超曲面型の CR 多様体で単一の函数 formula_44 で定義されているとする．このとき，formula_3 のレヴィ形式((Eugenio Elia Levi)の名に因む)とは、エルミート 2-形式
のことを指す．レヴィ形式は formula_5 上の計量を定める．formula_3 は，formula_30 が正定値であるとき，強擬凸(strictly pseudoconvex)と呼ばれ，formula_30 が半正定値のときは擬凸(pseudoconvex)と呼ばれる．CR多様体の理論の解析的な存在性と一意性の結果の多くは，レヴィ形式の強擬凸性によるものである．
この命名は擬凸領域の研究から来ている: formula_3 が formula_1 内の(強)擬凸領域の境界であることと，CR多様体として(強)擬凸であることは同値である．
まず，接コーシー・リーマン作用素 formula_53 を定義しよう．複素多様体の境界として実現されるCR多様体について，この作用素は formula_54 の境界制限とみなすことができる．また，一般のCR多様体について(複素多様体の境界として実現されない場合も含めて)，定義することができる．これは Webster 接続を用いて記述される．作用素 formula_53 は複体をなす，すなわち，formula_56 が成立する．この複体のことを接コーシー・リーマン複体，あるいは，コーン・ロッシ複体という．この複体とそのコホモロジー群についての基本的な文献として，Joseph. J. Kohn と Hugo Rossi によるものが挙げられる.
作用素 formula_53 により消える関数をCR関数といい，正則関数のアナロジーになっている．また，CR関数の実部をCR多重調和関数という．
接コーシー・リーマン複体に付随して，CR幾何学と多変数複素解析学において基本的な対象となるコーンラプラシアン formula_58 が次で定義される:
formula_59
ここで，formula_60 は formula_53 のformula_62 についての形式的共役を表すとする(体積形式は，CR構造に付随する接触形式から誘導されるものとする)．作用素 formula_58 は，非負自己共役である．コンパクトな強擬凸CR多様体について，作用素 formula_58 は正の離散固有値をもつ．その核空間は，CR関数から構成されるため，無限次元である．もし，作用素 formula_58 の正の固有値全体が正定数により下から抑えられていた場合，閉値域をもつ．
具体例として，ハイゼンベルク群(Heisenberg group)の作用素 formula_53 を考察してみよう．通常のハイゼンベルク群 formula_67 について，その上の左不変な正則ベクトル場
formula_68
を考える．ここで，formula_69 とする．このとき，関数 formula_70 "について，"
formula_71
が成立する．ここで，formula_72 は formula_73 の複素共役を表すとする．関数については formula_60 は 0 であるから，ハイゼンベルク群における関数についてのコーンラプラシアンは次で与えられる:
formula_75
さて，次の交換子の計算に注意する:
formula_76
ただし，formula_77 とする. 上の等式を用いれば，簡単な計算によって，コーンラプラシアンが次のように書き換えられることがわかる:
formula_78
右辺の1番目の項は，実作用素である(実際に，コーンラプラシアンの実部となっている)．これをサブラプラシアンといい，formula_79 で表すことが多い．部分積分から，非負であることがすぐにわかる．このとき，formula_80 と表すこともできる．
CR幾何学の基本的な問題のひとつとして，与えられたCR多様体が，複素数空間の実部分多様体として実現できるかという問題(CR埋め込み問題)がある．
大域的なCR埋め込み問題について，実5次元以上のコンパクトな強擬凸CR多様体については，Louis Botet de Monvel により肯定的に解決された．
実3次元の場合は，反例が存在する: 3次元球面 formula_81 の自然なCR構造を摂動したものは大域的に埋め込むことができない．この例は，Rossi の例と呼ばれる(実際には, Hans Grauert により構成された).
局所的なCR埋め込み問題について，実3次元の場合には， Louis Nirenberg による反例が存在する．実7次元以上の場合は，倉西正武(実9次元以上の場合)と赤堀隆夫(実7次元の場合)により肯定的に解決された．
実5次元の場合の局所的なCR埋め込み問題は，未解決である．