エルミート多様体
数学では、エルミート多様体（）はリーマン多様体の複素類似である。より詳しく述べると、エルミート多様体は各々の（正則）接空間上に滑らかに変化するエルミート内積をもつ複素多様体である。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。
複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。
任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造の選択にしか依存しない基本 2-形式(fundamental 2-form)、もしくはコシンプレクティック構造(cosymplectic structure)を導入することができる。基本形式は常に非退化である。これが閉形式である（こすなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本形式の両方が積分可能であれば、 ケーラー構造を持つ。
滑らかな多様体(smooth manifold) formula_1 上の複素ベクトルバンドル formula_2 におけるエルミート計量(Hermitian metric)は、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断
であって、formula_4 の任意の元 formula_5 に対し
であり、formula_4 の任意の 0 でない元 formula_8 に対し
を満たすような切断として表すことができる。
エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。
エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 formula_10 を用いて
と表わされる。ここに formula_12 は正定値エルミート行列の成分である。
（概）複素多様体 formula_1 上のエルミート計量 formula_14 は、基礎となっている滑らかな多様体上にリーマン計量 formula_15 を定義する。計量 formula_15 は formula_14 の実部
で定義される。
形式 formula_15 は(complexified)接バンドル formula_20 上の対称双線型形式である。formula_15 は自身の共役と等しいので、formula_22 上の実形式の複素化となる。formula_22 上での formula_15 の対称性と正定値性は、対応する formula_14 の性質から従う。局所正則座標では、計量 formula_15 は
と表わすことができる。
formula_14 には次数 (1,1) の複素微分形式 formula_29 を付随させることもできる。形式 formula_29 は formula_14 の虚部のマイナス1倍
として定義される。再び、formula_29 はその共役と等しいので、これは formula_22 上の実形式の複素化である。形式 formula_29 は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、formula_29 は
と表わされる。
座標表現から明らかなように、3つの形式 formula_14、formula_15、formula_29 のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 formula_15 と付随する形式 formula_29 とは概複素構造 formula_43 により次のように関係している: すべての複素接ベクトル formula_44 と formula_45 に対し、
エルミート計量 formula_14 は formula_15 と formula_29 から等式
によって復元できる。3つの形式 formula_14、formula_15、formula_29 は概複素構造 formula_43 を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル formula_44 と formula_45 に対し、
である。
従って、（概）複素多様体 formula_1 上のエルミート構造は、
のいずれかで特定することができる。
多くの著者が formula_15 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。
すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 formula_1 上の任意のリーマン計量 formula_15 が与えられると、明らかに概複素構造 formula_43 と整合するような新しい計量 formula_70 を、次のように構成することができる:
概複素多様体 formula_1 上のエルミート計量を選ぶことは、formula_1 上の(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、formula_74 からユニタリ群 formula_75 への formula_1 の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M の(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。
すべてのエルミート多様体 formula_1 は、formula_15 により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 formula_29 によって
として与えられる。ここに formula_81 は formula_29 と自身との formula_83 重のウェッジ積である。従って、体積形式は formula_1 上の実 formula_85-形式である。局所正則座標では、体積形式は
により与えられる。
エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。
エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 formula_29 が閉形式
となるエルミート多様体である。この場合、形式 formula_29 をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。
随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意ののシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。
ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。
formula_90 を実 formula_91 次元の概エルミート多様体とし、formula_92 を formula_15 のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は formula_1 がケーラーとなる同値な条件である。
これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「(2 out of 3)」の性質に対応する。
特に、formula_1 がエルミート多様体であれば、条件 formula_103 が一見、非常に強く見える条件 formula_104 と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。