リー代数の表現
数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合（ベクトル空間の準同型）として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。
考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。
リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。
リー代数 formula_1 の表現は、formula_1 からベクトル空間 V 上の準同型のリー代数への(Lie algebra homomorphism)
であり、交換子をリーブラケットとして持ち、formula_1 の元 x を formula_5 の元 ρ へ写像する。
明らかに、このことは、formula_1 の中のすべての x,y に対し、
であることを意味する。ベクトル空間 V は、表現 ρ とともに、formula_1-加群と呼ばれる（用語を省略し、V を表現ということも多い）。
表現 formula_9 が単射のとき、忠実(faithful)と呼ばれる。
同値な定義であるが、formula_1-加群をベクトル空間 V と双線型写像 formula_11 と定義し、formula_1 の中のすべての x,y と V のすべての v に対して、
であるように定義することもできる。この定義は、x を v = ρ (v) と置くと上の定義に関係付く。
リー代数の表現の最も基本的な例は、リー代数 formula_14 の自分自身の上での随伴表現
である。実際、ヤコビ恒等式により、formula_16 はリー代数の準同型である。
リー代数の表現は自然に発生する。φ: G → H を（実、もしくは、複素）リー群の準同型とし、formula_1 と formula_18 をそれぞれ G と H のリー代数とすると、恒等元上での接空間上の(differential) formula_19 はリー代数の準同型である。特に、有限次元ベクトル空間 V に対して、リー群の表現
は、formula_1 から一般線型群 GL(V) つまり、V の自己準同型の代数へのリー代数の準同型
を決定する。
たとえば、formula_23 とすると、formula_24 の恒等元での微分は、formula_25 の元である。これを formula_26 と表わすと、ベクトル空間 formula_14 上の G の表現 formula_28 を得る。先行して適用すると、リー代数の表現 formula_29 を得る。このことから formula_30 を示すことができる。
以上のステートメントの部分的な逆は、すべての有限次元（実、複素）リー代数の表現は、一意に随伴単連結なリー群の表現へ持ち上げることができることを意味している。従って、単連結なリー群の表現と、それらのリー代数の表現とは 1 対 1 に対応する。
formula_14 をリー代数、V, W を formula_14-加群とすると、線型写像 formula_33 が、formula_14-同変であるとき、つまり、任意の formula_35 に対して、formula_36 であるとき、この線型写像は、formula_14-加群である。f が全単射であれば、formula_38 は、同変であるという。同様に、加群の理論の多くのほかの抽象代数学の構成が、この設定から導き出される。部分加群、商、部分商、直和、ジョルダン・ホルダー系列、など、
V を formula_14-加群とすると、V が次の同値な条件を満たすとき、V を半単純、もしくは完全可約という。（半単純加群を参照）
formula_14 が標数 0 の体上の有限次元半単純リー代数であれば、V は半単純である（(Weyl's complete reducibility theorem)。 リー代数は、随伴表現が半単純であるとき、(reductive)と呼ぶ。このように、半単純リー代数は可約である。V の元 v は、すべての formula_41 に対し formula_42 となるときに、formula_14-不変と呼ぶ。すべての不変な元の集合は、formula_44 と書かれる。formula_45 は左完全函手である。
基礎となるベクトル空間を、V と V とし、表現を ·[·] と ·[·] とした 2つの表現とすると、これらの表現の積は V ⊗ V を基礎となるベクトル空間で、表現は
である。L を実リー群、ρ: L × V → V を L の複素上限とすると、次のようにしてその双対表現と呼ばれる L の別のもうひとつの表現を構成することができる。
V を V の双対ベクトル空間とする。言い換えると、V はV から C へのすべての線型写像の集合で、普通の方法で定義されているが、スカラー倍の定義は、C の任意の z と V の元 ω と V の元 X に対し、formula_47 である。これは通常、半双線型形式 〈·,·〉 つまり、ω[X] として定義された 〈ω,X〉 で書き換えられる。
formula_48 は次のように定義される。L の任意の A、V の ω、V の中の X に対し
とする。これは formula_48 を一意に定義する。
formula_38 を formula_14-加群、formula_14 リー代数とすると、formula_54 は formula_55 と置くことにより、formula_14-加群となる。特に、formula_57 である。任意の体は自明な作用により formula_14-加群となるので、W を基礎体とすると、双対ベクトル空間 formula_59 は formula_14-加群となる。
体 k 上の任意のリー代数 formula_14 に対し、formula_14 の普遍包絡代数と呼ばれるある環を関連させることができる。（PBW定理に従うと、）構成は普遍的で結論的には、formula_14 の表現は、formula_14 の普遍包絡代数の(algebra representation)と 1 対 1 に対応する。この構成は次のようになる。 T をベクトル空間 formula_14 のテンソル代数とする。定義により、formula_66 とこの積は、formula_67 で与えられる。formula_68 を元 formula_69 により生成されるイデアルで割った商環 とする。formula_68 は体 k 上の結合代数であるので、交換子 formula_71 （formula_67 を省略して記載した）を通してリー代数とすることができる。リー代数には formula_73 をひとつのピースの次数を制限することにより標準的な射 formula_74 が存在する。(PBW theorem)は、標準的な射は実際、単射であることを意味している。formula_14 がアーベル的ならば、formula_68 はベクトル空間 formula_14 の対称代数となる。
formula_14 は随伴表現を通して自分自身の上の加群であるので、包絡代数 formula_68 は随伴表現を拡張することで、formula_14-加群となる。しかし、左と右の正則表現を使い、包絡代数をformula_14-加群とすることができる。つまり、記法 formula_82 により、写像 formula_83 は formula_68 の上の formula_14 の表現を定義する。右正則表現も同様に定義される。
formula_14 を標数 0 の体上の有限次元リー代数とし、formula_87 を部分代数とする。formula_88 は formula_68 上へ右から作用しているとすると、任意の formula_90-加群 W に対し、左 formula_68-加群 formula_92 を構成することができ、formula_14-加群として formula_94 と書かれ、W により誘導された formula_14-加群という。この表現は、以下のような普遍的な性質を持ち、実際、この普遍的性質により特徴付けることもできる。任意の formula_14-加群 E に対し、
である。さらに、formula_98 が formula_90-加群の圏から formula_14-加群の圏への完全函手である。これらは formula_68 が formula_88 上の自由右加群である。特に、formula_94 が単純であれば（絶対単純であれば）、W はそれぞれ、単純（絶対単純）である。ここで、formula_14-加群 V が絶対単純とは、formula_105 が任意の体の拡大 formula_106 に対し単純である場合をいう。
誘導が推移的である場合、任意のリー部分代数 formula_107 と任意のリー代数 formula_108 に対し、formula_109 である。誘導表現は、制限と可換である。formula_87 を部分代数、formula_111 を formula_90 に含まれる formula_14 のイデアルとする。formula_114 とし、formula_115 とすると、formula_116 である。
リー代数の表現の最も重要な応用のひとつは、実簡約リー群の表現論である。formula_117 を連結な実半単純線型リー群 G のヒルベルト空間上の表現とすると、2つの自然な作用をもつ。ひとつは、複素化された formula_14 であり、もうひとつは、連結(maximal compact subgroup) K である。formula_117 の formula_14-加群構造は、代数的なホモロジカルな方法を適用することができ、特に、formula_121-加群構造は調和解析を適用でき、そこで連結コンパクト半単純リー群と同じ方法を使うことができる。
半単純リー代数の分類方法と同様に、半単純リー代数の有限次元表現を分類することができる。これは、非常に美しいと広く考えられている分類理論であり、標準的な参考として、 がある。
半単純リー代数の有限次元表現は、完全可約であり、従って、規約な（単純な）表現へ分類することが充分可能である。半単純リー代数は、随伴表現のウェイトのことば、いわゆるルート系(root system)で分類される。同様な方法で、すべて有限次元既約表現はウェイトのことばで理解することができる。詳細は、ウェイト (表現論)を参照。
L を超代数とすると、L の代数上の表現は、（結合的である必要はない）Z 次数付き代数 A である。A はZ 次数付きベクトル空間(graded vector space)上の L の表現であり、加えて、L の元は A 上に (derivation)/(antiderivation) として作用する。
さらに、特に H が L の純粋元であり、x と y が A の純粋元であれば、
である。また、A が[[単位的環|単位的]]であれば、
である。
ところで、リー代数の表現に対し、単純に次数を (−1) を同じべきの因子へ写し、なくすることができる。
（超）リー代数はリー代数であり、それ自身の[[随伴表現]]を持っているので、随伴表現は代数の上の表現である。（反）微分の性質は、(super)[[ヤコビ恒等式]]である。
ベクトル空間が双方とも[[結合多元環|結合代数]]であり、リー代数であり、リー代数自身の上への随伴表現が代数上の表現（つまり結合代数上の微分が作用していると）であれば、このリー代数は(Poisson algebra)である。超リー代数での類似の事実が、(Poisson superalgebra)の考えをもたらす。[[Category:リー環論|ひようけん]]
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