解析的整数論
数学において、解析的整数論（かいせきてきせいすうろん、）あるいは解析的数論、解析数論とは、整数についての問題を解くために解析学の手法を用いる、数論の一分野である。解析数論の始まりはペーター・グスタフ・ディリクレ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) がディリクレの算術級数定理の最初の証明を与えるためにディリクレの "L"-関数を導入したときであるとしばしば言われている。（素数定理やリーマンのゼータ関数を含む）素数に関する結果や（ゴールドバッハの予想やウェアリングの問題のような）の結果が広く知られている。
解析的数論は、用いる手法の基本的な違いよりは解こうとする問題の種類によって、2つの主要な部分に分割することができる。
解析的数論の多くは素数定理に触発された。("x") を素数個数関数とする。これは任意の実数 "x" に対して "x" 以下の素数の個数を与える関数である。例えば、10以下の素数は4つ (2, 3, 5, 7) あるから、(10) = 4 である。素数定理は、"x" / log "x" が次のような意味で ("x") の良い近似であるという定理である。すなわち、2つの関数 ("x") と "x" / log "x" の"商"の "x" → ∞ のときの極限は1である：
これは素数分布の漸近法則として知られている。
アドリアン＝マリ・ルジャンドル (Adrien-Marie Legendre) は1779年か1798年に次のことを予想した。("a") は関数 "a"/(A log "a" + "B") によって近似される、ただし "A" と "B" は不明な定数。数論についての彼の本の第二版 (1808) において彼は "A" = 1 および "B" = −1.08366 というより正確な予想をした。カール・フリードリヒ・ガウス (Carl Friedrich Gauß) は同じ問題を考えた：エンケ (Encke) への手紙 (1849) から60年近くあとのガウス自身の回想によれば、「1792年か1793年に」、彼は彼の対数表に「"a" (= ∞) 以下の素数 formula_2」と短いメモを書いた（15歳か16歳であった）。しかしガウスがこの予想を出すことはなかった。1838年、ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) は（ガウスに伝えた級数と僅かに異なる形で）彼自身の近似関数、対数積分 li("x") を考えついた。ルジャンドルとディリクレの公式どちらからも、上に述べた予想である ("x") と "x" / log "x" が漸近的に等しいということが導かれるが、商の代わりに差を考えるとディリクレの近似の方がかなり良いことが判明した。
ヨハン・ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレ (Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet) は解析的数論の創始者であると考えられている。この分野で彼はいくつかの深い結果を発見し、それらの証明においていくつかの基本的な道具を導入し、そのうち多くは後に彼の名前が付けられている。彼は1837年にディリクレの算術級数定理を出版した。このとき彼は代数的な問題に取り組むために解析学の考えを用い、したがって解析数論の分野を創設した。定理の証明において彼はディリクレ指標や "L"-関数を導入した。1841年、彼は算術級数定理を整数からガウスの整数環 formula_3 へと一般化した。
1848年と1850年の2つの論文において、ロシア人数学者パフヌティ・リヴォーヴィッチ・チェビシェフ (, Pafnuty Lvovich Chebyshev) は素数分布の漸近法則を証明しようとした。彼の仕事は、1859年のリーマンの名高い研究論文に先だって、（早くも1737年のレオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) の研究がそうであったように実変数 "s" に対して）ゼータ関数 ζ("s") を用いたことは注目に値する。そして彼は漸近法則より僅かに弱い形、すなわち、"x" → ∞ のときの ("x")/("x"/log "x") の極限が存在しさえすれば、その極限は1に等しくなければならないことの証明に成功した。彼はまた無条件ですべての "x" に対してこの比は上下から2つの明示的に与えられる1に近い定数によっておさえられることを証明できた。チェビシェフの論文は素数定理を証明してはいないが、彼の ("x") の評価は、任意の整数 "n" ≥ 2 に対して "n" と 2"n" の間に素数が存在するというベルトランの仮説を彼が証明するには十分であった。
ベルンハルト・リーマン (Bernhard Riemann) は現代の解析数論に有名な寄与をいくらかした。1編の短い論文（数論の主題に関してリーマンが発表した唯一の論文）において彼はリーマンゼータ関数を研究し素数分布の理解におけるその重要性を確立した。リーマンはゼータ関数の性質について一連の予想をし、そのうちの1つが有名なリーマン予想である。
リーマンのアイデアを拡張して、素数定理の2つの証明がジャック・アダマール (Jacques Hadamard) と (Charles Jean de la Vallee-Poussin) によって独立に得られ、同じ年 (1896) に出現した。どちらの証明も複素解析の手法を用い、証明の主要なステップとして、リーマンのゼータ関数 ζ("s") は、"s" = 1 + "it", "t" > 0 の形のすべての複素数 "s" に対して、非零であることを証明した。
1950以降の最も大きな技術的変化は、特に乗法的な問題における、"篩法"の発展である。篩法は本質的に組み合わせ論的であり、極めて変化に富む。組み合わせ論の極端な分野は今度は上界と下界の値についての解析的整数論における価値に大きく影響を受けている。別の最近の発展は (probabilistic number theory) であり、確率論の手法を用いて素因数の個数のような数論的関数の分布を評価する。
解析数論の発展はしばしばより早い時期の技術を精錬したものであり、誤差項を減らしたり適用範囲を広げたりする。例えば、ハーディ (Hardy) とリトルウッド (Littlewood) の は複素平面の単位円の近くの冪級数に適用することを考えていた。今では有限個の指数関数の和のことばで考えられている（つまり単位円上ではあるが冪級数は捨てられた）。ディオファントス近似の必要性は、母関数ではない補助的な関数のためであり――その係数は鳩ノ巣原理を用いて構成される――多変数複素関数論を巻き込む。ディオファントス近似や超越数論の分野は、テクニックがモーデル予想に適用されるところにまで拡大している。
解析的整数論における定理と結果は、代数的や幾何学的ツールがより適切であるような構造的な結果となるとは、必ずしも言えない。実際、それらは以下の例で説明するように、解析的整数論は様々な理論的な函数の漸近境界や見積もりを与える。
ユークリッドは、無限個の素数が存在することを示したが、ある数、特に大きな数が素数であるか否かを決める充分な方法を見つけることは非常に困難である。関連はするがより容易な問題は、素数の分布を漸近的に求めることである。すなわち、与えられた数より小さい数にどのくらいの個数の素数が存在するかの大まかな記述である。中でも、ガウスは、素数の大きなリストを作成した後、大きな数 "N" に等しいか小さい素数の数は、積分の値
に近いであろうと予想した。
1859年、リーマンは複素解析と現在はリーマンのゼータ函数として知られている特別な有理型函数を使い、実数 "x" に等しいか小さい素数の数の解析的表現を導き出した。注目すべきことに、リーマンの公式の主要項は、上の積分に値に一致し、ガウスの予想は相当に信頼すべきであることを示した。リーマンはこの表現の中のエラー項が、従って素数の分布に仕方が、ゼータ函数の複素零点に密接に関連することを発見した。リーマンのアイデアと、さらにゼータ函数の零点上の乗法をさらに得ることにより、ジャック・アダマール(Jacques Hadamard)と(de la Vallée-Poussin)は、ガウス予想の証明をなんとか完成した。特に、彼らは、
とすると、
となることを証明した。
この注目すべき結果は、現在、素数定理として知られている。素数定理は解析的整数論の中心的な結果である。大まかに言うと、素数定理は、与えられた大きな数 "N" に対し、"N" 以下の素数の数は、およそ "N"/log("N") であるという定理である。
さらに一般的には、同じ問題を任意の算術級数、整数 "n" に対して "a" + "nq" の中の素数の数について問うことができる。数論への解析的方法の最初の適用のひとつとして、ディリクレは任意の "a" と "q" が互いに素な算術級数は無限に多くの素数を含むことを証明した。素数定理はこの問題へも一般化することができる。
とし、"a" と "q" を互いに素とすると、
が成り立つ。
また、多くの広くて深い予想が数論には存在し、その証明は現在のテクニックをもってしても困難に思われる。たとえば、双子素数問題では、"p" + 2 が素数であるような素数 "p" が無限個存在するかという問題である。(Elliott–Halberstam conjecture)を仮定すると、素数 "p" であって、12以下のある正の偶数 "k" に対し、"p" + "k" が素数となるようなものが無限に存在することが、最近、証明された。また、無条件に（つまり、証明されていない予想に依存せずに、）素数 "p" であって246 以下のある正の偶数 "k" に対し "p" + "k" が素数となるようなものが無限に存在することも、示された。
加法的整数論の最も重要な問題のひとつは、ウェアリングの問題である。この問題は任意の に対して正の整数 を、制限された数の 乗数の和として
と表すことができるかどうかを問う問題である。
平方 の場合には、ラグランジェの四平方定理により1770年に答えが与えられ、任意の正の整数が高々つの平方数の和として表されることが証明された。一般的な場合はダヴィット・ヒルベルトにより、代数的な手法を使い、明確な境界を与えることなしに1909年に証明された。重要な躍進は、ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとジョン・エデンサー・リトルウッドによるこの問題への解析的手法の応用である。この手法は、(circle method)として知られていて、 乗数の最小の個数を与える函数 の明確な上界を与える。例として、(Ivan Matveyevich Vinogradov)の評価
がある。
ディオファントス問題(Diophantine problem)は、多項式の等式の整数解に関係している。解の分布を、つまり、高さあるいは「サイズ」のある測度に従う解を数えることである。
重要な例は、(Gauss circle problem)で、この問題は、
を満たす整数点についての問題である。
幾何学的なことばでは、平面の原点を中心とする半径 "r" の円が与えられると、円の内部か円周上には整数格子点がいくつあるだろうかという問題である。formula_14 とすると、formula_15 となるときに答えが formula_16 となることを証明することは、さほど難しくはない。繰り返すが、解析的整数論へ到達する難しい部分は、エラー項 E(r) 特殊な上界を得る部分である。
ガウスにより、formula_17 が示された。一般に、"O"("r") エラー項は、区分的に滑らかな境界を持つ任意の有界平面領域の拡張した領域を、単位円（もしくは閉じた単位円板）へと置き換えることが可能である。さらに、単位円を単位四方形へ置き換えると、一般的な問題のエラー項は線型函数 "r" と同じ大きさとなるので、円の場合のある formula_18 に対して formula_19 の形の(error bound)を取ることは、非常に重要な改善である。これへ最初に到達したのは、1906年のヴァーツラフ・シェルピンスキー(Wacław Sierpiński)で、彼は formula_20 であることを示した。1915年、ハーディとエドムント・ランダウ(Edmund Landau)は、formula_21 とすることはできないことを示した。これ以後、固定されたformula_22 に対して formula_23 となるような実数 formula_24 が存在することを示すことが目標となった。
2000年、(Martin Huxley)は、 で formula_25 であることを示した。この結果は出版された中では最良の結果である。
乗法的整数論の最も有益なツールは、ディリクレ級数であり、ディリクレ級数は、
の形の無限級数により定義される複素変数の函数である。
係数 formula_27 の選択に依存して、この級数は、至るところ発散したり、どこでも収束したり、平面のある半分で発散したりする。多くの場合、級数が至るところでは収束しない場合でも、級数の定義する正則函数は、全複素平面上の有理型函数へ解析接続することができる。このような乗法的問題における函数の有用性は、形式的な等式
においても発揮される。従って、2つのディリクレ級数の積の係数は、元の係数の(multiplicative convolution)である。さらに、部分和やタウバー型定理(Tauberian theorem)のようなテクニックは、ディリクレ級数の解析的乗法から係数についての乗法を得ることに使うことができる。このように乗法的函数に見積もりに共通な方法は、ディリクレ級数として（もしくは対合の等式を使いより単純なディリクレ級数の積として）表現し、複素函数としてディリクレ級数を試し、元の函数についての情報へ解析的な情報を書き換えるという方法である。
オイラー(Euler)は、算術の基本定理が（少なくとも形式的には）オイラー積
を意味することを示した。素数の無限性のオイラーによる証明は、"s" = 1 の左辺での項の発散を使い（いわゆる調和級数）、純粋に解析的結果を得ている。オイラーはまた、整数の性質の研究を目的として解析的議論、特に生成べき級数を構成することを最初に使った。これが解析的整数論の始まりであった。
後日、リーマンは、この複素数の値の "s" の函数を考え、"s" = 1 で単純な極を持ち全平面上の有理型函数へ拡大することができることを示した。今日、この函数はリーマンゼータ函数として知られていて、ζ("s") と記す。この函数に関する多くの文献があり、函数はより一般的なディリクレのL-函数の特殊な場合である。
解析的整数論の学者は、素数定理のような近似の補正に興味を持っていることがある。この場合、補正は "x"/log "x" よりも小さい。π("x") についてのリーマンの公式は、近似の補正項がゼータ函数の零点の項の中に表現されることを示している。"On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude"で、リーマンは ζ のすべての「非自明」な零点は直線 formula_32 の上にあることを予想したが、このステートメントの証明は未だ提示されていない。この有名で長い間研究されている予想は、リーマン予想として知られていて、数論の深い意味を持っている。実際、多くの重要な定理が予想が正しいとする前提の下で証明されている。たとえば、リーマン予想を前提として、素数定理の補正項は formula_33 である。
20世紀初め、ゴッドフレイ・ハロルド・ハーディ(G. H. Hardy)とジョン・エデンサー・リトルウッド(Littlewood)は、リーマン予想を証明する試みの中でゼータ函数についての多くの結果を証明した。実際、1914年、ハーディはクリティカルライン
の上に、無限に多くの零点があることを証明した。このことは、クリティカルライン上の零点の密度を記述するいくつかの定理を導いた。
専門的な話題については、以下の本が特に有名である
まだ本の形になっていないトピックもある。例えば、(i) モンゴメリの pair correlation conjecture およびそれに端を発する研究、(ii) 素数間の小さなギャップに関する Goldston, Pintz, Yilidrim の新しい結果、(iii) 任意の長さの素数の等差数列が存在することを示すグリーン・タオの定理。