超準解析
は、あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。
超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始せられた。 彼は次のように記述している：
[...] 無限に小さいあるいは無限小の量という概念は我々の直観に自然に訴えかけるように見える。何れにせよ、無限小の使用は、微分学・積分学の黎明期において、広く普及した。相異なる2つの実数の差が無限に小さくなることはないという [...] 異論に対して、ゴットフリート・ライプニッツは、無限小の理論は理想的数――それは実数と比較して無限に小さかったり無限に大きかったりするものであるが、"後者（訳注：実数）と同じ性質を有する"――の導入を含意するものであると主張した。
ロビンソンはこのライプニッツのはの先駆けであるとしている。ロビンソンは次のように続ける：
しかしながら、彼も、彼の弟子たちや後継者たちも、このようなシステムに繋がる合理的な進展（訳注：そのような原理を合理化するもの）を得なかった。その結果、無限小の理論は徐々に評判を落としてゆき、最終的には古典的な極限の理論に取って代わられた。
ロビンソンはさらに次のように続ける：
本書では、ライプニッツのアイデアが完全に正当なものであり、古典解析やその他の多くの数学の分科に対する新奇で実りあるアプローチに繋がることを示す。我々の方法の鍵は、現代モデル理論の基盤にある、数学の言語と数学的構造との間の関係の詳細な分析によって齎される。
1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。
順序体 formula_1 の非零元が無限小であるとは、その絶対値が formula_2（formula_3 は標準的自然数）の形をした如何なる formula_1 の元よりも小さいことをいう。無限小を持つ順序体は非アルキメデス的であるという。もっと一般に、超準解析は超準モデルと移行原理に基づくあらゆる形態の数学をいう。実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
ロビンソン自身のアプローチはそれら実数体の超準モデルに基づく。彼のこの分野に関する古典的・基礎的な本 "Non-standard Analysis" は1966年に出版され、現在も販売されている。 88ページにおいて、ロビンソンは次のように書いている：
算術の超準モデルの存在はトアルフ・スコーレム（1934）によって発見された。スコーレムの手法は超冪構成を予示するものである [...]
無限小計算を展開するには幾つかの技術的問題を解決しなければならない。例えば順序体に無限小を付け加えたものを構成するだけでは不十分である。これに関連するアイデアにまつわる議論は超実数の記事を参照。
本節では超実数体 formula_5 の最も簡明な定義のひとつを概説する。formula_5 を実数体、formula_7 を自然数の成す半環とする。また、formula_8 によって実数列の成す集合を表す。体 formula_9 は formula_8 の適当な商（後述）として定義される。いま formula_7 上の非単項超フィルター formula_12 を取る。とくに formula_12 はフレシェフィルターを含む。次の2つの実数列を考える
このとき formula_15 と formula_16 が同値であるということを、それらが超フィルターに属す集合上で一致すること、あるいは同じことであるが、次の式によって定義する：
この同値関係による formula_18 の商がひとつの超実数体（a hyperreal field）formula_19 を与える。この状況を簡単に formula_20 と表す。
超準解析を考えることには少なくとも3つの理由（歴史的、教育的、技術的）がある。
ニュートンとライプニッツによる無限小解析の最も初期の成果の多くは "infinitesimal number" や "vanishing quantity" といった表現を用いて定式化されていた。超実数の記事で注意されているように、それらの定式化はジョージ・バークリーなどから広く批判を受けた。無限小を使用した解析学の整合的な理論の構築が問題であったが、これを満足のいく仕方で成し遂げた最初の人物がアブラハム・ロビンソンである。
1958年にクルト・シュミーデンとは論文 "Eine Erweiterung der Infinitesimalrechnung" ("An Extension of Infinitesimal Calculus") を出版した。この論文は無限小を含む環の構成法を提案したものである。この環は実数列達から構成される。2つの数列が同値と看做されるのは、それが高々有限個の要素だけ異なっているときである。算術演算は要素毎に定義される。しかしながら、このようにして構成された環は零因子を含み、よって体を成さない。
ハワード・ジェローム・キースラー、デイビット・トールやその他の教育者らは、無限小の使用は学生達にとって"イプシロン-デルタ"アプローチよりもより直感的かつ容易に解析学的概念を把握することができるものである、と主張する。このアプローチはしばしば、対応するイプシロン-デルタで定式化された証明よりも、より易しい証明を提供する。大抵の単純化は、次のような超準算術の大変簡単な法則を適用することから得られる：
および後で述べる移行原理である。
超準解析の別の教育的な応用はエドワード・ネルソンによる確率過程の取り扱いである。
幾つかの最近の研究は、超準解析の概念を用いた解析学、とくに統計学や数理物理学における極限過程の研究において為されている。セルジオ・アルベヴェリオらはそれらの幾つかの応用について論じている。
超準解析には2つの非常に異なったアプローチがある：ひとつは意味論的あるいはモデル論的アプローチであり、もうひとつは構文論的アプローチ（公理論的アプローチ）である。これらのアプローチはどちらも解析学以外の、数論、代数やトポロジーを含む、他の数学の領域に適用される。
ロビンソンによる超準解析の元々の定式化は「意味論的アプローチ」のカテゴリーに分類される。彼が一連の論文で行ったように、これは理論のモデル（とくに飽和モデル）の研究に基づく。ロビンソンの仕事が最初に現れてから、Elias Zakonは上部構造と呼ばれる純粋に集合論的な対象を用いたより単純な意味論的アプローチを開発した。このアプローチでは、「理論のモデル」は集合 formula_21の「上部構造」 formula_22 と呼ばれる対象で置き換えられる。上部構造 formula_22 から始めて、超冪構成を用いて、写像 formula_24 を伴い、移行原理を満たす、別の対象 formula_25 を構成することができる。写像 formula_26 は formula_22 と formula_25 の形式的性質を関連付ける。さらに、飽和性のより簡素な形である可算飽和性を考えることもできる。この簡素化されたアプローチはモデル理論やロジックの専門家ではない数学者が超準解析を使用する場合により適している。
「構文論的アプローチ」はロジックとモデル理論に関して遥かに少ない理解と使用を要する。このアプローチは1970年代半ばに数学者によって開発せられた。ネルソンは（IST）と彼が呼ぶ完全に公理的な超準解析の定式化を導入した。ISTは二項帰属関係 formula_29 に関するツェルメロ＝フレンケル集合論（ZFC）に新しい単項述語「標準的」を追加する。この新しい述語は、集合論的宇宙の要素達に適用可能なものであって、それに関する推論の為の幾つかの公理を伴う。
構文論的な超準解析は数学者が通常当たり前と考える集合構成原理（形式的には内包原理として知られる）の適用において細心の注意を要する。ネルソンが指摘するように、IST内の推論における誤りは「非合法な集合構成」によるものである。例えば、ちょうど標準的自然数からなる集合はISTにおいては存在しない（ここで「標準的」は新たに導入した述語の意味に解する）。非合法な集合構成を回避するために、部分集合の定義にはZFCの述語だけを使用しなければならない。
構文論的アプローチの別の例としてはヴォピェンカによって導入されたがある。これはZF公理系よりも超準解析と両立的な集合論的公理を探るものである。
アブラハム・ロビンソンの書 "Non-standard analysis" は1966年に出版された。この本で開発された幾つかのトピックは、彼の1961年の同名の論文（Robinson 1961）で既に与えられている。この本は、超準解析の最初の完全な取扱いを含むことの他にも、詳細な歴史的な章を含んでいる。そこでロビンソンは、無限小が矛盾した量であるという超準解析以前（pre-NSA）の認識に基づく、数学の歴史に関する広く信じられている幾つかの見解に挑戦している。ロビンソンは、連続関数の級数の収束に関するオーギュスタン＝ルイ・コーシーの "Cours d'Analyse" にある "sum theorem" が誤りであるという考え方に挑み、この"定理"の仮定に無限小に基く解釈を与えて正しい定理になるようにすることを目論んだ。
アブラハム・ロビンソンとは、ヒルベルト空間上のいかなる多項式的コンパクト線型作用素も不変部分空間を持つことを示すのに、超準解析を用いた。
ヒルベルト空間 formula_30 上の所与の作用素 formula_31 に対して、formula_31 の反復による formula_30 の点 formula_16 の軌道を考える。グラム・シュミットの正規直交化法を（この軌道に）適用することで formula_30 の正規直交系 formula_36 が得られる。いま formula_37 を formula_30 の"座標"部分空間からなる増大列とする。formula_31 の formula_36 に関する表現行列 formula_41 は殆ど上三角（almost upper diagonal）、つまり、係数 formula_42 だけが対角下（sub-diagonal）に於いて非零である。バーンスタインとロビンソンは、もし formula_31 が多項式的コンパクトならば、超有限添数 formula_44 があって、行列係数 formula_45 が無限小となることを示す。次に、formula_46 の部分空間 formula_47 を考える。もし formula_48 が有限なノルムを持つなら、formula_49 は formula_47 に無限に近い。
いま formula_51 を formula_47 上の作用素 formula_53 とする。ここで formula_54 は formula_47 への直交射影である。formula_56 を formula_57 がコンパクトとなるような一次以上の複素係数多項式とする。部分空間 formula_47 は内的かつ超有限次元である。有限次元複素線形空間における上三角化可能性に対して移行原理を適用することで、formula_47 の内的な正規直交基 formula_60 を上手く取ることにより、対応する formula_61-次元部分空間 formula_62 が formula_63-不変となるようにできる。formula_64 で formula_62 への射影を表すものとする。ある有限ノルムの非ゼロベクトル formula_66 に対し、formula_67 は非ゼロ、もしくは formula_68 と仮定して構わない。formula_57 がコンパクトであることから、formula_70 は formula_67 に無限に近く、したがって formula_72（無限小の緩みを許せば）であることが分かる。いま formula_73 を formula_74 なる最大の添字とすれば、formula_75 に無限に近い標準元の成す空間が望みの不変部分空間となる。
バーンスタイン＝ロビンソンの論文のプレプリントを読んだ上で、ポール・ハルモスは彼らの証明を標準的な手法で以って再解釈した。 どちらの論文も "Pacific Journal of Mathematics" の同じissueに立て続けに載っている。ハルモスによる証明で使われた幾つかのアイデアは、もっと後のquasi-triangular作用素に関するHalmosの仕事に再び現れている。
（他の応用は）既に知られた結果の再解釈や再証明の流れに沿って得られている。とくに興味深いものとして、釜江による個別エルゴード定理の証明や、ファン・デン・ドリスとウィルキー によるの扱いがある。
超準解析はラリー・マネヴィッツとが変換群に関する結果を証明する為に使用している。離散円周群 formula_76 は有限巡回群 formula_77 たちの和集合と見做すことが出来る。ここで formula_77 の formula_79 は formula_76 の formula_81 に対応する。その意味で各有限巡回群は formula_76 の「局所化」と見做しうる。いま formula_83 を距離を持つコンパクト連結多様体とする。全ての有限巡回群 formula_84 が formula_83 に忠実かつ formula_86-リプシッツに作用しているとしよう。彼らはこのとき離散円周群 formula_76 もまた formula_83 に忠実かつ formula_86-リプシッツに作用することを示した。印象的に述べるならば、局所的な群作用があれば、大域的な群作用もある、ということである。この証明では、全ての正整数で割り切れるような無限大超自然数 formula_90 を取れば、formula_76 が超有限巡回群 formula_92 に埋め込めることが用いられている。（なぜならどんな有理数も分母が formula_90 の形に通分できるから。）移行原理によれば formula_92 は formula_95 に忠実かつ formula_86-リプシッツに作用している。その作用を適当に変形することで、formula_76 の formula_83 への忠実かつ formula_86-リプシッツな作用が得られる。
しかしながら、超準解析の真の寄与は、超準集合論の新たな拡張された言語を用いた概念や定理の中にある。新たな応用のうちには、確率、流体力学、測度論、滑らかでない解析や調和解析などへの新しいアプローチがある。
確率過程の理論への超準解析の応用もある（とくにブラウン運動をランダムウォークとして構成するもの）。Albeverio et.al.はこの研究領域への優れた導入が含まれる。
超準解析の基本的な手法である超積構成はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されている。
数学教育への応用として、はを著した。 これはをカバーし、無限小元を含む超実数を用いた微分・積分計算を構築した。これらの超準解析の応用は有限超実数 formula_100 の標準部の存在に拠っている。formula_100 の標準部分 formula_102 は formula_100 に無限に近い標準実数である。キースラーが用いた視覚化の装置のひとつは、無限に近い点を区別する為の、無限拡大率を持つ仮想的な顕微鏡である。キースラーの本は現在絶版であるが、彼のウェブサイトから無料で利用できる（下記の参考文献を参照）。
超準解析の優美さや幾つかの側面からの魅力にもかかわらず、批判もまた表明されている。、アラン・コンヌ、ポール・ハルモスによる批判はにある。
任意の集合 formula_21 が与えられたとき、formula_21 の上部構造（superstructure）とは次のように帰納的に定義される集合 formula_22 である：
つまり formula_21 の上部構造は formula_21 から始めて、formula_21 の冪集合を formula_21 に添加していく操作を繰り返し、それによって得られた列の和集合を取ることで得られる。実数たちの上部構造は沢山の数学的構造を含む：例えば、全ての可分距離空間や距離化可能位相線型空間の同型なコピーを含む。実質的には、解析学者が興味を持つ全ての数学が formula_114 の中で展開できる。
超準解析の道具立ては集合 formula_9 と写像 formula_116 で幾つかの追加の性質を満たすものである。それらの原理を定式化するために、最初に幾つかの定義を述べる。
論理式が有界であるとは、その論理式に現れるどの量化子も、それぞれある集合上に制限されていること、すなわち、次の何れかの形をしているときにいう：
例えば、論理式
は有界である：全称量化された変数 は 上を走り, 存在量化された変数 は の冪集合上を走る。他方で、
は有界でない。なぜなら "y" の量化が制限されていないからである。
集合 "x" が内的とは、ある formula_121 に対して formula_122 となることをいう。formula_121 ならば formula_124 自身が内的である。
超準解析の基本的な論理的枠組みを定式化しよう：超積を用いることで、このような写像 formula_26 が存在することが示せる。formula_114 の元は標準的と呼ばれる。formula_9 の元は超実数と呼ばれる。
記号 formula_135 で非標準自然数を表すものとする。拡大原理によれば、これは formula_136 の上位集合になっている。集合 formula_137 は空でない。このことを見るためには、可算飽和性を次の内的集合の列に適用する：
列 formula_139 は空でない減少列であるから、所望の結果を得る。
幾つかの定義から始める：超実数 formula_140 が無限に近いとは、次が成り立つことをいう：
超実数 formula_100 が無限小（infinitesimal）であるとは、それが 0 に無限に近いことである。例えば、もし formula_3 が自然数でない超自然数、つまり、formula_144 の元であるならば、formula_2 は無限小である。超実数 formula_100 が限定（limited）または有限（finite）とは、その絶対値がある標準自然数で抑えられる（より小さい）ことである。有限超実数の全体は、全ての実数を含むような、formula_147 の部分環を成す。この環において、無限小超実数の全体はイデアルを成す。
有限超実数の成す集合や無限小超実数の成す集合は formula_148 の外的な部分集合である。これの意味するところは（実際的な場面においては）内的集合に限定された有界量化は、これらの集合を亙ることはできないということである。
例：超実平面 formula_149 は内的であり、平面ユークリッド幾何のモデルである。他方、各座標を有限値に限定したもの（デーン平面の類似）は外的であり、平行線公準を破る。例えば formula_150 を通り無限小の傾きを持つどんな直線も formula_151 軸と平行である。
定理. いかなる有限超実数 formula_100 も、ある一意的な標準実数 formula_102 に無限に近い。これにより定まる写像 formula_154 は有限超実数の成す環から formula_5 への環準同型になっている。
この写像 formula_154 もまた外的である。
超実数の標準部を考えるひとつの方法はデデキント切断の言葉を用いることである；どんな有限超実数 formula_157 も、formula_157 未満からなる標準実数の集合 formula_159 と、formula_157 より大きい超準実数からなる集合 formula_161 の対 formula_162 を考えることによって、切断を定める。この切断に対応する（一意的な）実数は formula_157 の標準部の条件を満たすことが確かめられる。
連続性の直観的な特徴付けとして次のものがある：
定理. 区間 formula_164 上の実数値関数 formula_165 が連続であるのは、区間 formula_166 内のどんな超実数 formula_151 に対しても formula_168 が成り立つとき、かつそのときに限る。（詳しく微小連続の項を参照）
同様に、
定理. 実数値関数 formula_165 が実数値 formula_151 において微分可能であるのは、任意の無限小超実数 formula_171 に対して、標準部