コリオリの力
コリオリの力（コリオリのちから、）とは、回転座標系上で移動した際に移動方向と垂直な方向に移動速度に比例した大きさで受ける慣性力（見かけ上の力）の一種であり、コリオリ力、転向力（てんこうりょく）ともいう。1835年にフランスの科学者ガスパール＝ギュスターヴ・コリオリが導いた。
回転座標系における慣性力には、他に、角速度変化に伴うオイラー力と回転の中心から外に向かって働く遠心力がある。
コリオリの力を例を使って解説する。慣性系で静止している質点を、等速で回転する座標系から観測する場合を考える。この際、その質点は等速円運動をしている。回転座標系では、見かけの力である遠心力が円運動の中心から離れる方向に働くことが知られている。また、等速円運動では質点の加速度の向きは、常に円の中心向きである。ところが回転座標系でニュートンの運動方程式が成り立つと仮定すると、みかけの力の遠心力を考えただけではこの加速度を得ることができない。回転座標系で等速円運動を続けるためには、物体に中心向きの見かけの力が働いている必要がある。この物体の運動方向を変える力がコリオリの力である。
コリオリの力を実感するには、フィギュアスケーターのように回転しながら、重り（500 g程度でよい）を持った手を「前にならえ」の要領で前に突き出したり胸元にしまったりを繰り返すと分かりやすい。左回りに回転している場合、腕を前方に突き出す時には重りが右方向に引っ張られるように感じ、腕を胸元にしまうときには左方向に吸い込まれるように感じる。この、重りの進行方向からみて右にずれる方向に働いている見かけ上の力が、コリオリの力である。
コリオリの力を工学的に利用した装置として、角速度を測るジャイロ（角速度計）や流量計などがある。
地球は東向きに自転している。そのため、低緯度の地点から高緯度の地点に向かって運動している物体には東向き、逆に高緯度の地点から低緯度の地点に向かって運動している物体には西向きの力が働く。北半球では右向き、南半球では左向きの力が働くとも言える。例としては、以下のものがある。
ここからは地球の自転によるコリオリの力の大きさを数学的に記述する。地球の角速度をformula_2とすると緯度formula_3の地平面での角速度は、formula_4となるため、地球の自転によるコリオリの力の大きさは物体の速さをformula_5として
formula_6
で表される。formula_7はコリオリ因子と呼ばれる。
コリオリの力が与える影響を考える一例として、コリオリの力を一番強く受ける北極において時速formula_8のボールをピッチャープレートとホームベースの距離formula_9の間で投げたとする。地球の角速度formula_10はformula_11であるから、コリオリの力による加速度の大きさは
formula_12
である。通過するのにかかる時間formula_13はformula_14であるから等加速度運動とみなすとずれの距離formula_15は
formula_16
つまりformula_17にも満たない。また北極より緯度の小さい地域ではコリオリの力の影響はさらに小さくなる。日常生活の中で地球の回転によって生じるコリオリの力は非常に小さなものなのである。
次に北極において秒速formula_1の砲弾を距離formula_19先まで飛ばすときのコリオリの力による影響を考える。先ほどと同様に考えると、コリオリの力による加速度の大きさは
formula_20
であり、通過するのにかかる時間ｔはformula_21であるから等加速度運動とみなすとずれの距離formula_15は
formula_23
したがってformula_24ものずれが生じる。このように大規模な運動では地球の回転によって生じるコリオリの力は大きな影響を及ぼすのである。
慣性系formula_25に対して原点のまわりを一定の角速度formula_26で回転する座標系formula_27で質点Pに力formula_28が働く場合を考える。
あるベクトルformula_29の成分が
慣性系では
formula_30
回転座標系では
formula_31
と表されるとき図1,2よりformula_29はformula_33を原点Oのまわりにformula_34だけ回転したものになるので
formula_35
と表される。
formula_36
と定義する。すると質点formula_37の位置ベクトルformula_38と回転座標系でみたベクトルformula_39の関係は
formula_40
と表される。
両辺を時刻formula_13で微分して
formula_42
さらにformula_13で微分して
formula_44
……(1)
formula_45
ここでは formula_46 を用いた。
ベクトルformula_28と回転座標系でみたベクトルformula_48の関係は
formula_49 ……(2)
と表される。
運動方程式formula_50に(1)と(2)を代入して
formula_51
両辺にformula_52をかけて
formula_53formula_54
式変形して
formula_55
すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力formula_28のほかにformula_57とformula_58の力が働いているように見える。
このformula_58は、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度formula_60の方向と回転軸の方向formula_10の両方に垂直である。
formula_57は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。
以下では、地球の公転は無視し、地球は半径formula_63の球形とする。
静止座標系として、地球の中心を原点とし、地軸の北極方向をformula_64軸、赤道面をformula_65平面とする座標系を考える。
次に、地球表面の点で、地球の自転とともに動くを観測点formula_37を考える。
formula_67
ただし、formula_63は地球の半径、formula_69は観測点formula_37の緯度、formula_10は地球の自転の角速度formula_72、formula_13は時刻、formula_74は時刻formula_75におけるformula_37の位置を表すパラメータだが、以下コリオリの力に関係ないのでformula_77とする。
回転座標系として、formula_37を原点とし、次の3つの単位ベクトルで張られる座標系を考える。
この座標系で、時刻formula_13における質点formula_80の位置が、formula_81成分formula_82、formula_83成分formula_84、formula_85成分formula_86で表記されたとする。（以下formula_13は省略する。）
静止系で表すと
formula_88
である。
以下時間での微分をformula_89で表す。
formula_93
formula_94
静止系では運動方程式が成り立つため、質点formula_80の質量をformula_96、掛かる力をformula_97とすると、
formula_98
formula_99
ここで、
formula_100
は、この回転座標系での加速度であり、
formula_101
が、この座標系での「みかけの力」即ち慣性力になる。
上で示した
を使えば、
formula_105
この部分は、広義のコリオリの力に対応する部分であり、
ことを示している。
これは、formula_83とformula_85で張られた平面（観測点formula_37を通り地軸に直交する平面）での2次元のコリオリの力に一致する。
なお、
formula_117
は、
質点formula_80から地軸に下ろした垂線の足から、質点formula_80までの方向ベクトルがformula_120であることを考えれば、質点formula_80にかかる「みかけの力」遠心力である。
次に、上記の回転座標系では、北極星の方向、天頂から真南へ角度formula_69だけ傾けた方向を座標軸とするので不便だから、別の座標系を考える。
formula_37を原点とし、次の3つの単位ベクトルformula_124、formula_125、formula_126で張られる座標系とする。
基底変換は行列で表すと、
formula_127
formula_128
formula_129座標系の座標
formula_130
が、
formula_131座標系の座標
formula_132
と同じ点を表すには、
formula_133
のため
formula_134
でなければならない。
formula_69は時間には依存しないため、
formula_136
formula_137
運動方程式を書き換えれば、
formula_99
について、
formula_139
上記は加速度の項である。
formula_140
上記は広義のコリオリの力の項である。
formula_141
上記は遠心力の項である。
ここで、広義のコリオリの力の項を見ると、
ことが分かる。
このうち、天頂方向の速度と力を捨象した、
と言える。これがコリオリの力である。接平面内であれば、どの方向の速度ベクトルでも北方向と東方向の速度ベクトルの合成で作れるため、「formula_164×速度」だけの接平面内の「みかけの力」がかかることが分かる。
3次元の場合のコリオリの力をまとめると、次の3段階で導出されていることが分かる。ここで、接平面formula_166内の東向き（自転方向の向き）の大きさformula_5の速度ベクトルについて考えれば、それを平面formula_168に射影しても変わらずに大きさformula_5であり、平面formula_168内のコリオリの力は、大きさformula_178、方向は東と直交し地軸から遠ざかる方向であり、それを接平面formula_166に射影すると、コリオリの力（の接平面formula_166内の成分）は、大きさformula_181、方向は南となる。
接平面formula_166内の北向きの大きさformula_5の速度ベクトルについて考えれば、それを平面formula_168に射影すると大きさはformula_185となり、平面formula_168内のコリオリの力は、大きさformula_181、方向は東であり、それを接平面formula_166に射影すると、コリオリの力は変わらず、大きさformula_181、方向は東となる。
接平面formula_166内の大きさformula_5の任意の方向の速度ベクトルは、東方向と北方向の速度ベクトルの一次結合で表せるため、その接平面formula_166内のコリオリの力は、大きさformula_181、方向は北極側から見て速度ベクトルの方向から90度時計回りに回転した方向となることが分かる。