平方根
平方根（へいほうこん、）とは、数に対して、平方すると元の値に等しくなる数のことである。与えられた数を面積とする正方形を考えるとき、その数の平方根の絶対値がその一辺の長さであり、一つの幾何学的意味付けができる。また、単位長さと任意の長さ "x" が与えられたとき、長さ "x" の平方根を定規とコンパスを用いて作図することができる。二乗根（にじょうこん）、自乗根（じじょうこん）とも言う。
数 "a" に対して、"a" = "b" を満たす "b" を "a" の平方根という。"a" がどのような数の範囲であるかによって、この概念は、意味を持つかどうかということを含め、さまざまな点で差異が生じるということに注意が必要である。
0 の平方根は 0 のみである。また、どんな正の数 "a" に対しても平方根は正と負の2つ存在し、そのうち正である方を根号（こんごう、radical symbol）formula_1 を用いて
と表し「正の（あるいは非負の）平方根」（; 主平方根）と呼ぶ（文脈上紛れのおそれの無いと思われるときは「正の」を省略することもある）。このとき、もう一方の「負の平方根」は formula_3 と表すことができる。また、2つの平方根を併せて formula_4 と表記することもできる。例えば、16 の平方根は ±4、すなわち +4 と −4 の2つであり、formula_5は正である 4 の方を表す。formula_6 は、0 の唯一の平方根 0 を意味すると約束する。根号に関するこれらの規約は、非負の実数の範囲でのみ通用する便宜的なものであることに注意を要する。
負の数の平方根は、考える数の範囲を複素数まで拡大すれば定義できる。また、数とは限らず、もっと一般にいくつかの数学的対象についても、それぞれに意味のある仕方で平方根が定義されるものがある（正定値行列など）。
"a" が正の整数でも、"a" の平方根は整数とは限らない。例えば formula_7 は小数表示すると 3.162277660168… と小数部分が循環せず、無理数である。平方根が整数であるような整数は平方数に限られる。そうでない整数の平方根は無理数となる（無限降下法または素因数分解の可能性・一意性から証明される）。正の整数や小数の平方根の小数表示を求めるには、開平法という筆算による方法が知られている。
"a" = "x""y" ("x", "y" > 0) と表せるならば、その正の平方根について:formula_2= formula_9が成り立つから、正の整数 "a" が平方因子を持つ場合は、根号内がより小さい表示にできる。 例えば 18 = 3 × 2 であるから、formula_10 と表せる。
比較的小さな数の平方根については、概数を知る必要がしばしばあることから、以下のような小数部分の数桁目までの語呂合わせが知られている。
実数 "x" に対して、"x" ≥ 0 であり、
が成り立つ。ここで |"x"| は "x" の絶対値である。また、"x" と "y" が非負のときには
が成り立つ。これらは（証明を述べれば明らかであるが）非負の実数に対してその非負の平方根が一意に定まるということに依存して成立しており、後述するように、根号内が負の数や虚数のときは、一般には成り立たない。
また、非負実数 "x" に対しては、その冪乗と冪根について
が成り立ち、特に
と定めることは（指数の表示 1/2 = 2/4 = 3/6 = … に依らずに一定という意味で）well-defined で、指数法則とも整合する。
入力 "x" に対してその非負の平方根 formula_23 を返す函数 formula_24 を非負実数全体の集合 R ∪ {0} 上で定義されていると考えた正の平方根函数
は（函数として well-defined で）、それ自身への全単射になる。正の平方根函数のグラフと負の平方根函数
のグラフの和集合は、二次函数 "y" = "x" のグラフと直線 "y" = "x" に関して線対称な放物線に等しい。
正の平方根函数 √ は連続かつ "x" > 0 で微分可能であり、導関数は
原始関数の一つは
で与えられる。また、収束冪級数としての二項展開
が |"x"| < 1 で成り立つ。
"x" > 0 に対して自然数 "n" に関して帰納的に
（"x" および根号の個数は "n"）と定めると、函数列 "f" は漸化式
に従い、"f"("x") > 0 が "α"("x") > 0 に収束するならば "α"("x") − "α"("x") − "x" = 0 でなければならないから、
が成り立つ。
"a" < 0 の場合は、"a" の平方根は実数でなく、はっきりと指定することができない。複素数の範囲では、"a" の平方根の1つを "b" とすると、"x" = "a" の解は ("x" + "b")("x" − "b") = 0 より "x" = ±"b" で、"a" の平方根は2つあると分かる。そこで、記号 formula_2 は +"b", −"b" のどちらを指すかが問題となる。
−1 の平方根の1つ（どちらでもよい）をあらかじめ指定しておき、それを "i" で表す（虚数単位と呼ぶ）。これにより、"a" の平方根は formula_34 と表せるから、
と定めることにする。例えば formula_36 である。
正の数の平方根においてよく知られる計算法則
は、"a" < 0 かつ "b" < 0 のとき成立しない。実際、左辺は
なので、この場合
が正しい。
四元数や八元数においては、複数の虚数単位を定義し、"a" の平方根は2個より多くなる。
有理数体 Q（有理数全体（負の数も含む））上で定義される函数
において、その値域は（虚数も含めた）代数的数（の一部）からなる。有理数の平方根が再び有理数となるならば、その有理数は（有理数の範囲での）平方数であるという。有理数内で平方数とならない有理数 "d" に対して は二次の無理数であって、Q に を付け加えて得られる体（たい）は二次体と総称される。
"a" が 0 でない複素数のとき、 "b" = "a" を満たす複素数 "b" は2個存在する。"a" の極形式を
とすると、"b" の動径の2乗が "r"、"b" の偏角の2倍が "θ" であるから、
と定義すると、これは "a" に対して一意に定まり、() = "a" を満たす。これを "a" の平方根の主値（しゅち、principal value）という。この主値により定義される平方根函数
は、実軸の負の部分を除くガウス平面 C の全域で至る所正則である。しかし実軸の負の部分上では連続でさえない。これを2枚のガウス平面を実軸の負の部分で張り合わせた平方根函数のリーマン面上で考えるならば、至る所解析的である。
一般に、正方行列 に対して、 を満たす正方行列 を の平方根行列と呼び、記号で あるいは と表す。平方根行列は存在するとは限らず、存在しても1つだけの場合や複数個の場合、無限個存在する場合がある。例えば、二次単位行列 は無数の平方根を持つ。ただしその中で正定値となるのはただ一つ 自身である。
また、半正定値複素 (resp. 実) 正方行列 に対して、（あるいは ここに はエルミート共軛）を満たす（正方とは限らない）任意の行列 をしばしば、 の非エルミート (resp. 非対称) 平方根 ("non-Hermitian (resp. symmetric) square root") と呼ぶ（とくに適当な三角行列となるときコレスキー因子 (Cholesky factor)とも呼ぶ）。 がそれ自身エルミート（実係数の場合は対称）ならば、これは上で述べた平方根の概念と一致する。任意の正定値エルミート行列 に対し、それ自身正定値エルミートとなる平方根は一意であり、これを主平方根 (unique square root, principal square root)と呼ぶが、しばしば記号 や は専ら主平方根を表すために予約されることに注意すべきである。また、正定値エルミート行列の任意の非エルミート平方根は、ユニタリ行列を掛ける分の不定性を持つが、これは正実数の場合に、（正値の主平方根が一意に決まること、および）主平方根に を掛けたものがその平方根のすべてであることと対応している。
このような半正定値行列の平方根の計算および一意性の証明には、エルミート作用素に関するスペクトル論（固有値分解）や特異値分解あるいはコレスキー分解などが利用できる。
（可換）整域の各元が二つより多くの平方根を持つことはない。実際、乗法の可換性により が成り立つことに注意すれば、 が同じ元の平方根であるとき , ゆえに零因子を持たないことから または であることが従う。後者は、二つの平方根が互いに加法逆元の関係にあることを言っているのだから、すなわち一つの元の平方根は（存在すれば）符号の違いを除いて一意である。特に、整域において零元 の平方根は 自身のみである。
標数 の可換体において、各元の平方根は一つ持つ（各元が自身を加法逆元にもつことに注意せよ）か、全く持たないかの何れかとなる（標数 の有限体においては任意の元が一意な平方根を持つ）。それ以外の任意の標数の体においては、先の段落のとおり任意の非零元が二つの平方根を持つか全く持たないかの何れかとなる。
奇素数 と適当な正整数 に対し と置く。-元体 の非零元が平方剰余であるとは、その平方根が に属することを言い、さもなくば平方非剰余であるという。この体において 個の元が平方剰余であり、 個が非剰余である（零元はいずれのクラスにも属さないことに注意）。平方剰余元の全体は乗法に関して群を成す。この性質は代数的整数論において広く用いられる。
一般の環において、 の平方根 を のことと定めるならば、一般には平方根は符号を除いて一意とは限らない。
たとえば合同類環 を考えれば、この環において単位元 は相異なる四つの平方根を持つ（具体的には ）。他方、元 は平方根を持たない。詳細は平方剰余の項を参照されたい。
他の例として四元数体 において、 は を含む無数の平方根を持つ。実は の平方根の全体はちょうど集合
であり、したがって各平方根は絶対値が等しく、この集合は三次元空間内の二次元単位球面を描く。四元数#−1 の平方根も参照。
零元 の平方根は、定義により、 自身または零因子である。四元数体のような可除環では零因子が存在しないから、一般に の平方根は のみである。しかし、零因子が存在しうる一般の環では必ずしもそうでないことは、反例として任意の自然数 に対する を考えればよい（この場合、 は零因子であり、実際に を満たす）。