フォノン
フォノン（）、音子、音響量子、音量子は、振動（主に結晶中での格子振動）を量子化した粒子（準粒子、素励起）である。
振幅が大きくなる、つまり振動が激しくなることはフォノンの数が増えることで表される。
フォノンを持つ液体としては、超流動を示すヘリウム4がある。
原子核表面の核子の振動を量子化したものもフォノンと言う。
フォノンとは格子振動を、音波などの弾性波が伝搬する連続的な媒質（弾性体）中の場だと考え、そこに非相対論的な場の量子論を応用して得られる粒子である。通常の粒子としての物質像が適用できない、その意味で仮想的な粒子である。
場の量子論では粒子を「場がエネルギーを得て局在的に振動している状態（波束）」と考える。これにより量子力学では扱えなかった素粒子の生成・消滅などが場の立場から説明でき、また光子のような質量を持たない素粒子なども扱える。
これを結晶格子に応用し、結晶中の局在した振動を粒子として考えたものがフォノンである。その結果、フォノンも光子のように生成や消滅し、質量も存在しない。一般的な量子力学のように粒子数が固定された系の波動関数でフォノンを記述することは難しい。
フォノンは結晶格子という原子の集団がつくる構造に「支えられて」存在している、あるいは結晶格子という構造の上にフォノンという粒子たちが「宿っている」と言ってもいい。原子や電子とは根本的な素性は異なっていても、原理的には1つ、2つと数えられる、各々の粒子がエネルギーや運動量を持っているといった点では光子などと同様に完全に一人前の粒子である。
1次元の量子的な調和振動子は"N"個の同種原子から成る。
これはフォノンを考える上で、最も簡単な量子的モデルである。
このモデルは直ちに2次元、3次元に一般化することができる。
質点の位置は平衡位置からのずれ"x", "x"…として記述される。
（すなわち"x" = 0は、粒子"i"が平衡位置にあることを意味する)
2次元以上の場合では "x"はベクトル量となる。
この系のハミルトニアンは次のように書ける。
ここで"m"は各原子の質量（ここでは全ての原子で等しいと仮定する）、
"x" と"p"はそれぞれ"i"番目の原子の位置演算子と運動量演算子であり、和は最近接において行う。
しかし格子は、粒子のようにふるまう波動としての側面も現れる。
慣習として、変数として粒子の座標の代わりに、基準モードの波数ベクトルを用いたフーリエ空間における波を扱う。
基準モードの数は、粒子数と等しい。
しかし、フーリエ空間は系の周期性を考える上で非常に有用である。
"x"の離散フーリエ変換として定義される"N"個の基準座標Q"、"p"のフーリエ変換として定義される"N"個の共役運動量Π"を導入する。
"k" はフォノンの波数であり、すなわち2を波長で割ったものである。
これらは実空間もしくは波数空間における次の交換関係を満たす。
一般的な結果から、
位置エネルギー項は
ここで
ハミルトニアンは波数空間において次のように書ける
位置変数の間のカップリングは解きほぐされる。"Q" と"Π"がエルミートであれば（これらはそうではない）、変換されたハミルトニアンは"N"個の独立な調和振動子を記述する。
量子化されたあとの形は境界条件に依存する。
簡単のため周期的境界条件が課すと、("N" + 1)番目の原子は1番目の原子と同等になる。
これは物理的には原子鎖の始まりと終わりを繋ぎ合わせることに相当する。
この結果の量子化は次のように書ける。
"n"の上限は波長の最小値から求められ、格子面間隔"a"の2倍となる。
調和振動子の固有値、またはモード"ω"のエネルギー準位は次のように書ける。
このエネルギー準位は等間隔であり、それぞれ次のようになる。
ここで"ħω"は量子的な調和振動子の零点エネルギーである。
次のエネルギー準位に押し上げるためには、正確にエネルギー"ħω"だけが調和振動子の格子に供給されなければならない。
電磁場が量子化されたときのフォトン（光子）との比較から、振動エネルギーの量子はフォノンと呼ばれる。
全ての量子系は波動性と粒子性を同時に示す。
フォノンの粒子性は第二量子化と生成消滅演算子によって理解される。
フォノンの持つエネルギーは格子の熱振動のエネルギーである。調和振動だと見なせる場合は、次のように調和振動子のエネルギーの式と同じ形になる。
formula_11 はプランク定数、formula_12 は振動数、formula_13 はフォノンの数である。和を波数 formula_14 について取る。
フォノン間に相互作用がある場合は、エネルギー準位が等間隔である調和振動子とは見なせないので、このような単純な形にならない。
フォノンは振動そのものを量子化したものであり、質量を持たない。一方で運動量は持っておりformula_15で表される。ただしフォノンの運動量は、一様な空間にある粒子の運動量とは性質が異なる。ネーターの定理によると運動量は系の並進対称性から導出されるため、この違いは並進対称性の違いに由来する。一様な空間は連続的な並進対称性を持つが、結晶では離散的な並進対称性を持っている。この離散的な並進対称性から導かれる（広義の）運動量は、通常の運動量とは区別して結晶運動量と呼ばれる。この違いにより、たとえば運動量保存則は、フォノンの運動量だけでなく結晶の逆格子ベクトルも含まれた形となる。
フォノンによる弾性的中性子散乱では、エネルギーとともに運動量も保存される。非弾性中性子散乱では中性子の入射角と散乱角、およびエネルギー変化を調べることでフォノンの波数と各周波数が求まる。
フォノンはひとつの状態 formula_14 に何個でも存在できる。よってフォノンはボース粒子であり、ボース゠アインシュタイン統計に従う。
フォノンは、音響フォノンと光学フォノンの2つに大別できる。音響フォノンは、隣のフォノンと同じ位相で振動するが、光学フォノンは逆の位相で振動する。また音響フォノンも光学フォノンも電子励起などを介して光と間接的に相互作用する。光学フォノンは双極子モーメントの変化を伴うため、光との相互作用によって直接励起される（光学的に活性である）。音響フォノンは自身は分極を伴わないため、基本的に光学応答に対して直接寄与はしない。音響フォノンによる光散乱をブリルアン散乱と呼び、光学フォノンによる光散乱をラマン散乱と呼ぶ。
フォノンの波数ベクトル（伝播方向）と同じ方向に格子振動する縦波と、垂直に格子振動する横波という2つのモードがある。
formula_17のときformula_18となる分散曲線は音響フォノンによるものである。音響フォノンの分散曲線の傾きformula_19はフォノンの伝搬する群速度である。音響フォノンの分散曲線はformula_17近傍ではformula_14に比例する、つまり一定の群速度となる。これは、音速が波長に比例するという弾性波のもつ性質を表す。
一方で、formula_17のときformula_23となる分散曲線は光学フォノンによるものである。
フォノンの状態密度は、フォノン数を第一ブリュアンゾーンで積分したものである。実験的には、非弾性中性子散乱で求まる。比熱などは、フォノンの状態密度によって決まる（デバイ模型）。
結晶格子のような周期構造中では、フォノンの振動数は制限され離散的になる。又、量子力学の効果で電子の場合と同様に、フォノンもバンド構造（フォノンバンド）を作る。
物質によっては、温度を下げるとフォノン（格子振動）の振幅が小さくなっていって、ある転移温度以下で低温相へ相転移し、フォノンによる格子の変位が凍結した状態となることがある。
これをフォノンのソフト化と言う。
厳密には、格子振動とフォノンは同義ではないが、同じような意味合いで使われることがある。
フォノンによる熱伝導は、フォノンが音速formula_24で飛びまわるとして気体分子運動論を適用したモデルで記述できる。熱伝導率formula_14は、比熱formula_26とフォノンの平均自由行程formula_27で表される。
フォノンの平均自由行程は一般的に温度の関数であり、フォノン散乱についての情報を含んでいる。
格子の位置エネルギーは各原子の平衡位置からの変位についてベキ展開できる。
もし2次の項までとれば、格子振動が調和振動と見なすことができ、フォノン間に相互作用はない。
3次および4次の項が比較的小さく摂動とみなせる場合は、これらを調和フォノンの生成消滅演算子を用いて表すことができる。
非調和振動の影響が大きくなると、3次および4次の項によってフォノン間に相互作用が働き、フォノンの生成や消滅が起こる。
3次の項は3つの演算子の積で、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊するような過程を記述する。
4次の項は2個のフォノンの衝突や、1個のフォノンが2個のフォノンに崩壊する過程などの過程を記述する。
温度がデバイ温度よりはるかに高いときは、非調和性の効果が大きくなり、摂動論が適用できなくなる。よって調和近似で考えたフォノンは、素励起としての意味を失う。
固体ヘリウムのような量子固体では、原子間相互作用のポテンシャルエネルギーが極小値よりかなり大きい。よってポテンシャルの極小点のまわりに小さな振動をしているという調和近似の考えが適用することができない。しかし一方で、中性子非弾性散乱の実験を行うと、フォノンのピークが観測される。よって調和近似の枠を超えて、フォノンの概念を基礎づける必要がある。
自己無撞着フォノン法は、このような量子固体や非調和性の大きい古典的固体に対して有効な方法である。ポテンシャルをformula_29、格子点をformula_30とすると、調和近似では力の定数はポテンシャルの二回微分formula_31で与えられる。一方で自己無撞着フォノン法において力の定数は、(力の定数をパラメータとして含む)調和振動の状態関数formula_32に関するformula_33の期待値で与えられる。
共に質量のないボース粒子であるフォノンと光子の比較を以下に示す。
光子の熱エネルギーの式は、デバイ近似のフォノンの式と似ているが、以下の点が異なる。
フォノンは光子や電子のように、多くの目的で粒子として扱えるので、実用的な応用に利用して操作することができる。フォノンスペクトルは低周波音響から超音波や熱まで広範囲に効果を及ぼすため、フォノニック技術は免震、音響学、熱管理などの広範囲にわたる応用が可能でフォノニック結晶、メタマテリアル、熱電素子、MOEMSなど、さまざまなスケールでフォノンを制御する方法がある。