波動関数
波動関数（はどうかんすう、）は、もともとは波動現象一般を表す関数のことだが、現在では量子論における状態（より正確には純粋状態）を表す複素数値関数のことを指すことがほとんどである。量子論における状態については量子状態を参照。
ここでは量子状態を表す状態ベクトルから波動関数を定義する。ただし状態ベクトルと波動関数は等価であるため（後述）、扱いやすさなどの点から量子状態を表すものとして波動関数を用いることも多い。
あるオブザーバブルを表すエルミート演算子 formula_1 を考え、その固有値が離散的であるとする。エルミート演算子formula_1の性質として全ての固有ベクトルの集合 formula_3 は完全系であるため、任意の状態ベクトル formula_4 を formula_3 の線形結合（重ね合わせ）として表すことができる。展開係数を formula_6 とおくと、
この展開係数 formula_6を「基底 formula_3 表示での波動関数」と呼ぶ。
またエルミート演算子の固有ベクトルは互いに直交する（ように選べる）。formula_3 が規格化されているものとすると、この式と formula_11 との内積をとることで formula_11 にかかる展開係数が得られる。
このように基底を一つに決めると、状態ベクトルと波動関数は片方が分かればもう片方を求めることができ、一対一対応の関係になっている。したがって波動関数は、その変数が決まっているときには状態ベクトルと等価である。このため波動関数は量子状態を表す関数として用いられる。
一般的に量子状態は複素ヒルベルト空間上のベクトルで表されるため、波動関数は一般的に複素数関数である。
基底として、位置を表す演算子 formula_14 の固有ベクトル、つまり位置が定まった状態の全体 formula_15 を選んだ場合、任意の状態を formula_15 の重ね合わせで表現できる。この重ね合わせ係数 formula_17 を「座標表示での波動関数」、「シュレーディンガーの波動関数」などと呼ぶ。
重ね合わせ係数 formula_17 を定めれば formula_4 は一意的に決まるので、formula_4 の代わりに formula_17 を用いても状態を表すことができる。
基底として、運動量を表す演算子 formula_23 の固有ベクトル、つまり運動量が定まった状態の全体 formula_24 を選んだ場合、formula_25 を「運動量表示での波動関数」と呼ぶ。
ここでは関数のラベルとして位置表示と同じ文字 formula_27 を用いたが、その関数形は全く異なることに注意。
ボルンの規則によると、ある状態formula_28における物理量（オブザーバブル）formula_29の測定をしたとき、その測定値の確率分布は次のように、物理量formula_30による表示をした波動関数formula_31の絶対値の二乗となる。このような二乗すると確率を与えるものを確率振幅と呼ぶ。
例えば、ある状態formula_28における運動量formula_34の測定を数多くした時、測定値が「運動量を表すエルミート演算子formula_35の固有値の一つformula_36」である確率は
に収束する。
他にも波動関数formula_38の（絶対値の）二乗は、「その状態 formula_39 において時刻 formula_40 で位置 formula_41 の測定をしたとき、測定値のバラつきを表す確率分布が formula_42 である」ということなので、「時刻 formula_43 における、位置 formula_44 での存在確率」と解釈される（位置formula_41の固有値が離散的である場合）。
しかし、そのためには、全空間のどこかで観測される確率は1 (100％) であることから、
のように規格化される。位置の観測量が連続的に与えられている場合、「ある一点formula_47での存在確率formula_48」は意味を成さない。そのような場合、formula_48は、存在確率ではなく、「小区間 formula_50 の中に観測される、存在確率 "密度"」として扱われ、規格化条件も和から積分へ変わる。
積分変数が位置formula_47になっていて、長さの次元を持つことからも分かる通り、物理量の固有値が連続的に存在する場合（連続スペクトル）、対応する確率分布の次元は、無次元ではなく、物理量の逆の次元、この場合は「formula_53（長さの逆数）」になる。このとき、formula_48は「単位長さ当たりの確率」、すなわち確率密度として解釈される。
離散スペクトルと連続スペクトルの規格化条件を見比べてみると、それぞれの波動関数の次元は異なることがわかる。
2つの異なる状態を表す波動関数 formula_55 と formula_56 の線形結合をとることで、新たな状態 formula_57 を作ることができる。これを重ね合わせという。
この性質は、古典的な波における干渉と同様のものである。
逆に、ある状態をいくつかの状態の重ね合わせに分解することもできる。重ね合わせに関する有名な思考実験にシュレーディンガーの猫がある。
波動関数の時間変化は、次の式に従う。
この式は時間に依存するシュレーディンガー方程式と呼ばれる。この時間変化はユニタリー変換であり、時間変化しても確率が保存されている。
物理量を表すエルミート演算子の固有関数は、その物理量の固有状態と呼ばれる。固有状態は、物理量が確定した値をもつような状態である。
特に重要なのは、全エネルギーを表すハミルトニアンの固有関数であり、エネルギー固有状態と呼ばれる。ハミルトニアンの固有値方程式は時間に依存しないシュレーディンガー方程式と呼ばれる。
化学や物性物理学の分野では、エネルギー固有状態は軌道（関数）とも呼ばれる。
波動関数formula_61で表される状態に対して、物理量formula_62の測定を行ったとする。ボルンの規則によれば測定値はformula_62の固有値のいずれかであり、今回は測定値がformula_64であったとする。すると測定後の波動関数は、その固有値に対応する固有状態formula_65に瞬時に変化する。
このような観測による瞬時の状態変化は、上述のシュレーディンガー方程式で表される時間変化とは全く異質のものである。この現象は波動関数の収縮と呼ばれる。
波動関数とは端的に言うと「物体の『状態』そのものの波動」であり、この事は物体の状態（例えば「犬がおなかをすかせています…」ということでさえも）が波で表されることを示しており、また波は重ね合わせの原理（波1と波2が同時に存在できる）を満たすため、原理的には物体が同時に複数の相異なる状態を取りえる（シュレーディンガーの猫）ことを示す。そのことが「本当に同時に複数の状態を取っている」のか、「人間には認識できない超光速で状態が転移し続けている」のかは議論が分かれる所である。
しかし実際に1回の実験で観測される物体の状態はただ一つであるし、また我々の日常での実感でも、この重ね合わせの原理は矛盾しているように思える。
その矛盾を回避する為に現在まで多くの解釈が与えられた。
その中で数学的に等価であり、しかし物理的に全く異なる二つの有力な解釈が「コペンハーゲン解釈」「エヴェレット解釈」である。詳しくは当該項目を参照のこと。
コペンハーゲン解釈では、「観測者」の実行する「観測」による「波動関数の収縮」が、物体の観測される状態をただ一つに決定するとされた。しかしその「観測者」の満たすべき資質や波動関数の収縮速度が光速を超える事などが問題となった。エヴェレット解釈では「波動関数の収縮」を必要とはしない。しかし我々が住む日常世界の他に全く異なる並行世界が存在することを期待させるために、様々な空想を生んだ。近年、「デコヒーレンス（The Quantum Decoherence、異なる量子状態間の干渉が断ち切られる現象）」の発見によって「波動関数の収縮」あるいは「並行世界の消滅」の機構は説明されつつある。しかしそれでも「波動関数の実在性」そのものに関する解答は存在していない。
波動関数が実在する物理現象なのかどうかは、今でも分かっていない。人が「質量は実在するか?」と聞かれれば間違いなくそうだと答えるだろう（しかし質量は本来抽象的な物理量である）。しかし、波動関数の場合には位相速度が光速を超えること、また「波動関数の収縮」速度が光速を超えるか超えないか、が問題となる。EPRパラドックスとして知られており、量子的な現象はそのような性質を持つものである、と一般には解されているが、「実在する物理現象だとすると、その収縮速度は光速を超えられないこと」であり「これは重大なパラドックスを引き起こす」とする向きもある（反対に、この事から波動関数の物理的実在を否定することもできる）。