四色定理
四色定理（よんしょくていり／ししょくていり、）とは、厳密ではないが日常的な直感で説明すると「平面上のいかなる地図も、隣接する領域が異なる色になるように塗り分けるには4色あれば十分だ」という定理である。
これを「地図の塗り分け」とすると、例えば飛び地を所属地と常に同じ色にしなければならない、とした場合、何色あっても足りない、といった問題などがあるので、まず、日常的な直感から離れた表現で記述し直すと「境界線によって囲まれたいくつかの領域からなる平面図形があり、境界線の一部を共有する（隣り合った）領域は異なった色で塗らなければならない、としたとき、4色あれば十分である」となる。
グラフ理論でとらえると、
という定理になる（後述）。
なお、境界線ではなく、点のみを共有する領域は隣り合っているものとはみなされず、互いに同色で塗ってもよい（飛び地と同様に、これもやはり何色あっても足りなくなる。現実の地図では稀だが、有名なものでは米国に、1点に4州が接する「フォー・コーナーズ」という地点がある）。また平面だけでなく、球面の場合も同様である（平面の地図に、全周囲となる領域を加え、それを反対側の1点に集めるようにして球にすればよい。逆も同様）。しかし、ドーナツや「繋がったドーナツ」のような、穴がある形状の表面については同様とはいかない（これも後述）。
証明される前は四色問題と呼ばれることもあり、1975年に証明されたのだが、未証明の期間が長かったため現在でも四色問題と呼ばれることがある。
3つの境界線が1点に集まっている場所があるため、3色必要であることはただちに明らかである。続いて、ある領域の周囲にいくつかの領域がある場合（日本地図では長野県のような場合）を考える。周囲の領域の個数が偶数であれば3色で塗り分けできるが（長野県の場合はそうなる）、奇数個の領域で囲まれている場合は3色での塗り分けは不可能で、どうしても4色が必要である。そして、4色あればどんな場合でも塗り分け可能なのか？　ということが問題である。
前述のように、グラフ理論により「平面グラフは4彩色可能である」という定理となる（証明もグラフ理論によってなされている）。参考例を図に示すが、まず、地図の境界線をグラフの辺、境界線が接続する点をグラフの頂点としたグラフを作る。その双対グラフにおける頂点の彩色が、元の地図の塗分けと同じ問題となる。
また、このような領域の塗り分けが有限の色数で必ず可能となるのは平面（二次元）以下の次元までであり、三次元以上では領域の取り方次第でいくらでも色数が必要な例が作れる。
1852年に法科学生のフランシス・ガスリーが数学専攻である弟のフレデリック・ガスリーに質問したのを発端に問題として定式化され、19世紀後半になって数学者がその話を聞いて証明を試みたが、多くの数学者の挑戦をはねのけ続けていた。
1879年、アルフレッド・ブレイ・ケンプによる証明が『アメリカ数学ジャーナル』誌上で発表された。この証明は妥当と見なされていたが、1890年になってパーシー・ヒーウッドにより不備が指摘された。しかし、ケンプの証明で使われた論理に沿って、地図を塗り分けるには5色で十分であることが証明された。4色で十分かどうかは、グラフ理論における最も有名な未解決問題として残った。
1976年にケネス・アッペル () とヴォルフガング・ハーケン () は、ヘーシュ(Heinrich Heesch)により考案された「放電」と呼ばれる手続きを改良し、コンピュータを利用して約2000個の（後に1400個あまりに整理された）可約な配置からなる不可避集合を見出し、四色定理を「証明」するに至った。
これは一応は認められたが、人手による実行が（事実上）不可能なほどの複雑なプログラムの実行によるものであることから、ハードウェアやソフトウェア（コンピュータやそのプログラム）のバグの可能性などの懸念から、その確実さについて疑問視する向きもあった。
しかしその後、1996年にニール・ロバートソン (Neil Robertson) らによりアルゴリズムやプログラムの改良が行われ、より簡易な手法（従来の放電手続きよりシンプルな放電手続きを考案し、不可避集合の数を1405個から633個に抑えた）による再証明が行われるなど、第三者による複数の改良された証明が行われ、証明は確実視されるようになっていった。2004年にはジョルジュ・ゴンティエ (Georges Gonthier) が定理証明系Coqを用いて、よりシンプルな証明を行うなど、コンピュータの応用手法の洗練により、より確かな手続きで証明が行われるなどしているため、現在では四色問題は解決していると捉えられている。
四色定理の証明法は次の2段階に分けられる。
実際、もし四色問題の反例となる、塗り分けに5色以上必要なグラフがあったとしたなら、その中でノードの個数が最小のものを考える。すると、1.よりこのグラフは不可避集合に属するサブグラフを含む。2.により、このサブグラフを除いた、より小さなグラフが既に四色問題の反例を与える。しかし、それは最小反例をとってきたという仮定に反する。
アッペルとハーケンはコンピュータによる実験を繰り返し、プログラムを何度も書き換えながら、可約なグラフから成る約2,000個のグラフからなる不可避集合を求めた。当時の大型汎用コンピュータであるIBM System/370を1,200時間以上使用したといわれている。
複雑に思える問題に対して簡潔にまとまった比較的短い証明（解答）を、エレガントな証明（解答）と言うことがある。四色定理のある種「力業な証明」は、これと対極にあるものとして揶揄を込めて「エレファント（象）」な証明とも言われた。5色による塗り分けが可能であることの証明が簡潔なものであるのと対照的である。
その後アルゴリズムは改良されたが、現在でもコンピュータを使用しない証明は得られていない。それどころか完全に自然言語を離れて、プログラムにバグがないことも含めた四色定理の証明全体をコンピュータに打ち込んで証明検査器Coqにチェックさせた仕事がある。またコンピュータを使うこと以上に、証明の構成法自体が四色定理の解決に特化されており、他の問題との関係性に乏しいことも数学者の間で人気がない理由となっている。
一般に種数 "g" ≥ 0 の閉曲面（わかりやすく言えば、穴が "g" 個あるドーナッツ）を塗り分けるのに最低限必要な色の数は、1890年にヒーウッドによって
と予想された。"g" ≥ 1 に対してこの予測が正しいことは、リンゲルとヤングスにより1968年に証明された。
トーラス（円環、いわゆるドーナッツの形）上のグラフは、7色で彩色可能である。
「与えられた地図Gに対し、Gを3色で塗り分けできるかどうかを決定せよ」という問題を3彩色問題という。四色問題のときと同じく隣り合う土地を同じ色で塗ってはならない。
3彩色問題はNP完全問題の一つであることが知られている。
解決される少し前であった1975年、一つのハプニングがあった。数学パズル（）で有名なマーティン・ガードナーが『Scientific American』の「Mathematical Games」という自身のコーナーの中に、四色問題の反例だという（五色が必要だ、と主張する）、境界線のパターンを載せたのである。
「なぜか世間の注意をひかなかった6つの衝撃の発見」と題する4月号のこの記事は、実のところエイプリルフールの冗談であり、他の内容もやはりラマヌジャンの定数（ほとんど整数#ラマヌジャンの定数を参照）など、一見びっくりする数学ジョークというものであった。そして「四色問題の反例」は、実はマクレガーによる数学パズル問題で、一見では四色での塗り分けは不可能に見えるが、実際に塗り分けを試みるとさほど難航することもなく解ける（かもしれない）というものである。そのため、塗り分けできたぞという手紙が千通以上も寄せられることになった、という。