魔方陣
魔方陣（まほうじん、英：Magic square）とは、 個の正方形の方陣に数字を配置し、縦・横・対角線のいずれの列についても、その列の数字の合計が同じになるもののことである。特に1から方陣のマスの総数 までの数字を1つずつ過不足なく使ったものを言う。
このときの一列の和は、
と計算できる。
1×1の魔方陣は明らかであり、
formula_2
2×2の魔方陣は同じ数字を使用しない限り存在しない。
＜証明＞
formula_3
ゆえに
したがって3×3のものが意味のあると思われる最小の魔方陣になる。
3×3の魔方陣（三方陣）は、対称形を除けば下記の形しか存在しない。各列の合計は15になる。
formula_6
三方陣の暗記法として、
などが知られている。
九星などで用いられる「河図洛書」（洛書）の図は次のとおりであり、上の図の対称形になっている。
また西洋数秘術のサトゥルヌス魔方陣（土星魔方陣）は次の図のとおりである。
4×4の魔方陣は全部で880通り存在する。4×4の魔方陣では、1行と4行を交換し、さらに1列と4列を交換すると別の4×4の魔方陣ができる。同様にして、2行と3行、2列と3列を交換するとまた別の4×4の魔方陣ができる。1行と2行、3行と4行、1列と2列、3列と4列を交換すると外枠の四角と内枠の四角が交換された別の4×4の魔方陣ができる。右の図は、アルブレヒト・デューラーが描いたメランコリアIの中にある魔方陣を拡大したものである。
一例を示す。
formula_7
1970年代から2億7530万5224通り（対称形などをのぞく）存在することが知られている。
一例を示す。
formula_8
6×6の魔方陣は、一般的な作り方は知られていないため、いろいろな人物が独自の方陣を発表している。一例として久留島喜内による魔方陣をあげる。
formula_9
9×9＝81。中心が41で、縦・横・対角線の和がすべて369。中国の程大位の『』（1593年）第12巻には4 - 10次方陣までが説かれており、9次方陣の「九九図」も載っているという（実際の図は丸囲みの漢数字で枠なしだが下図では便宜上変更）。
3次方陣に関連した法則も見られる。計81の数字を9つ（3×3）のブロックに分けて考えた場合、例えば上中のブロックはすべて9の倍数になっている。
formula_10
27×27の魔方陣も可能。27×27＝729。中心が365で、縦・横・対角線の和がすべて9855。
上記の「九九図のブロックごとの座標置換」を丸ごと、下中のブロックに配置。82以降の数を同様の法則で配置していく。それぞれのブロックも魔方陣になっており、中心の数の下一桁は、そのブロックの順序（下図の漢数字）と一致している（ブロックごとに81ずつ数が増える関係）。
奇数次の魔方陣の一般的な作り方はいくつか存在する。どの方法を用いても 3×3 の魔方陣は同じ配列になる。
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下段の中央を1にしたり、左斜めに進める方法もあるが、これらは対称形なのですべて同じ方法。
下図で、A,B,C,D,E には 1,2,3,4,5 を F,G,H,I,J には 0,5,10,15,20を、任意の順に割り当てることで、魔方陣が作れる。
（先にAに3、Fに10を割り当て済みのパターンでは、 残り4種類の数字の配置が自由）
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formula_19
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0と1とを同数だけ要素とした4x4方陣にて　縦・横・対角上の和が一致する組み合わせは、下記のABCDE5通り。
これらを下記のように組合せて　2進数4桁の各位に割り当てれば、0から15までの数からなる4方陣が作れる。さらに全体に1ずつ加算することで、普通の1から16までの数からなる魔方陣が得られる。
A=
formula_32
,B=
formula_33
,C=
formula_34
,D=
formula_35
,E=
formula_36
All1＝
formula_37
Sample: 8*A + 4*B + 2*A' + B' + All1
formula_38　+　formula_39　+　formula_40　+　formula_41　+　formula_37
formula_43
formula_44
4x4魔方陣は880通りあることが知られており、上記の方法にてその6割にあたる528通りを作れる。
特に、AとBとだけを向きを変えて4通り組み合わせることで汎対角方向の数の和も一致する完全魔方陣48種類を作れる。
LUX法は、ジョン・ホートン・コンウェイによって考案された (4n+2)×(4n+2) の魔方陣を作る方法である。
元となる (2n+1)×(2n+1) の魔方陣を用意して、それぞれの値から1を引いて4倍する。
formula_45
(2n+1)×(2n+1)の行列を作り、ど真ん中の行の1つ下の行を"U"、その上の n+1行を"L"、下の n-1行を "X" とする。その後中央の "L" とその下の "U" を入れ替える。
n=1の場合、
formula_46
n=3の場合、
formula_47
n=0の場合は定義できない。
n=2の場合、
formula_48
この行列と元の魔方陣を加えたものを作る。
formula_49
formula_50
を代入すると、求める大きさの魔方陣が完成する。
formula_51
既知の n×n の魔方陣の周りに数字を配置し、(n+2)×(n+2)の魔方陣を作ることができる。この方法は関孝和が1683年に発表している。この方法で作られた方陣は、自動的に親子方陣となる。
偶数次・奇数次のどちらでもこの方法は使用できるが、奇数次・4の倍数次・4の倍数でない偶数次のいずれかで、配置の方法は異なってくる。
西洋数秘術のユピテル魔方陣（木星魔方陣）は次の図のとおりである。各ラインの和は34（女性数の最初2と男性素数17（ピタゴラス学派では不幸とする）の積）になっている。縦、横、斜めのいずれの列も和が等しくなるように数字を並べたばかりでなく、右上、右下、左上、左下のそれぞれ四マスも、中央の四マスも隅の四マスもひとつ残らず和が34になっている。
formula_52
アルブレヒト・デューラーの『メランコリア1』という作品には砂時計隣に4×4の次の図のユピテル魔方陣が描かれている。この魔方陣の中には、偉業を達成した制作年の"1514"が埋め込まれている。
formula_53
一辺nが4以上でかつ n≠4k+2 の時、完全方陣が作成可能である。
斜め方向の和が、対角線以外でも等しくなるような物を完全方陣または汎魔方陣と呼ぶ。
例:
formula_54
この図において斜めの和を見ると、
が成り立っている。
その他、「四隅（上図では6+9+3+16）」の合計が34になる。
さらに、「任意の2×2の固まり」も、34になる（「カド」と「中央」の2×2の固まりの合計は、どんな4×4の魔方陣でも必ず34になる））。
ペントミノ（）の5つの数字の合計が34になるものもある。
また、任意の「斜めの一つ置き」の和は、17になる。上の図では
すべての数を2乗しても、縦・横の和が一定になる物を多重魔方陣（"multimagic square"）と呼ぶ。
例:
formula_55
図は8×8の魔方陣である。各列の数の合計は260になり、この各数を2乗すると、縦横の各列の和は11180になる。
n×n の魔方陣の中央部の (n-2)×(n-2) の部分も魔方陣として成り立っているものを親子魔方陣または同心方陣という。
中央の奇数エリアと、四隅の偶数エリアに分かれているもの。
任意の奇数次において奇数・偶数分離魔方陣を作ることができる。
1を最上段の中央に置き、3以降の奇数を右斜め下方向へ配置していく。
偶数エリアは、すべて縦横それぞれの方向で等差になっている。
n次の魔方陣の中で、中心に対して対称の位置にある2つの数字の和が常に n+1 となるものを対称魔方陣と呼ぶ。
奇数次の場合「ヒンズーの連続方式」「バシェー方式」で作られたものは対称魔方陣となる。4の倍数次の対称魔方陣も既出の方法で作ることができる。4の倍数でない偶数次の対称魔方陣は作ることができない。
奇数次の対称魔方陣の中で、中央を通る4列の数字がそれぞれ等差数列をなしているものをシェフェルの魔方陣という。1935年にシェフェルという人物が発表したのが名前の由来であるが、建部賢弘も同様の性質を持つ魔方陣を発表している。
和がすべて異なるものをヘテロ陣、その和がすべて連続数になっているものをアンチ陣と呼ぶことがある。
縦・横・斜めの和が12から19の例（8がなく10を使用）。
formula_56
以下は乗算した結果が等しくなる例
その1: 2のべき乗{1,2,4}と3のべき乗{1,3,9}を掛け合わせたものの例
縦・横・斜めの積がそれぞれ216である。(216=(1×2×4)×(1×3×9))
formula_57
以下のように分解することで構成要素がより明確になる。
その2: 奇数{1,3,5,7}と2のべき乗{1,2,4,8}を掛け合わせたものの例
縦・横・斜めの積がそれぞれ6720である。(6720=(1×3×5×7)×(1×2×4×8))
formula_58
同様に以下のように分解することで構成要素を明確にできる。
n×nの各行各列に1~nを配置したものをラテン方陣という。これを2つ組合わせることでも魔方陣を作ることが可能である。
数独（ナンバープレース）と呼ばれるペンシルパズルは、これに条件を付加した物である。
易の八卦のうち周易の先天図、帰蔵易（歸藏易:殷王朝の易）、連山易（夏の易）の三図は魔方陣的な図であり、卦に河図洛書と関わる数字を当てた場合、帰蔵図は魔方陣となる。なお連山は風水の羅盤に記載され使用される（便宜上正方形にしたが元図は8角形である）。
サイの目陣とも呼ばれる。