フェルミエネルギー
量子力学や物性物理学においてフェルミエネルギー (Fermi energy)あるいフェルミ準位（Fermi level）とは、相互作用のないフェルミ粒子系（理想フェルミ気体）の絶対零度formula_1での化学ポテンシャル（または電気化学ポテンシャル）のことであり、通常formula_2と表される。
フェルミエネルギーは量子統計力学、物性物理学、半導体物理学などの分野で用いられる。
半導体工学などでは、有限温度の理想フェルミ気体の化学ポテンシャルについても「フェルミエネルギー（またはフェルミ準位）」と呼ぶこともある。
また「フェルミエネルギー」と「フェルミ準位」は同義語として扱うことが多いが、理想フェルミ気体の化学ポテンシャルを、絶対零度では「フェルミエネルギー」、有限温度では「フェルミ準位」と区別して呼ぶこともある。このように定義した場合、絶対零度でフェルミ準位とフェルミエネルギーは等しくなる。
熱力学的平衡にある理想フェルミ気体において、エネルギーが である準位を占有するフェルミ粒子の個数の統計的期待値は、次のフェルミ分布で表される。
ここで は温度、 はボルツマン定数、 は化学ポテンシャルである。分布のプロットを右図に示す。 が 1 に近づくほど、この状態が占有される確率は高くなる。 が 0 に近づくほど、この状態が空になる確率は高くなる。
絶対零度（基底状態）では、フェルミ分布は階段関数になり、その不連続点がフェルミエネルギーである。
フェルミエネルギー にエネルギー準位が存在する場合、 は絶対零度での占有数の統計的期待値が1/2になるエネルギー準位に等しく、「絶対零度での電子の占有確率が1/2になるエネルギー」とも言われる。フェルミ準位に状態があれば ()、その状態は50%の占有される確率を持つ。
またフェルミエネルギー にエネルギー準位が存在する場合、フェルミエネルギーより高いエネルギー準位の絶対零度での占有数が0であることがわかる。よってフェルミエネルギーは「絶対零度におけるフェルミ粒子によって占められた準位のうちで最高の準位のエネルギー」とも言える。ただしフェルミエネルギーに準位が存在しない場合、最も高いエネルギーを持つ粒子のエネルギーとフェルミエネルギーは一致しなくなる。半導体や絶縁体の場合がこれに相当する。
一辺が"L"である箱の中にN個のフェルミ粒子（スピン1/2）があるときを考える。
この場合を表すモデルは、1次元の無限に深い長さ"L"の井戸型ポテンシャルである。
この井戸型ポテンシャル中のフェルミ粒子のエネルギー準位は量子数"n"でラベル付けされる。
ここでformula_7はフェルミ粒子が箱から受けるポテンシャルエネルギーである。
それぞれのエネルギー準位formula_8でスピン1/2（上向きスピン）と−1/2（下向きスピン）という異なる2つの状態が可能であるため、2つの粒子が同じエネルギーformula_8を占有することができる。しかしパウリの排他原理により、3つ以上の粒子は同じエネルギーformula_8を占有できない。絶対零度（基底状態）では全エネルギーが最低である電子配置をとり、"n" = "N"/2までの全てのエネルギーは占有され、"n" = "N"/2よりエネルギーが高い準位は全て空である。
フェルミエネルギーの基準をformula_7となるように定義すると、奇数個の電子("N" − 1)または偶数個の電子("N")のフェルミエネルギーは次のように与えられる。
ここで一辺が長さ"L"である3次元立方体の箱を考える（無限に深い井戸型ポテンシャルを参照）。
これは金属中の電子を記述するのに良いモデルとなる。
ここで状態は3つの量子数 "n", "n","n"でラベル付けされている。
1粒子エネルギーは、
"n", "n", "n"は正の整数、mはフェルミ粒子（この場合は電子）の質量である。同じエネルギーをもつ複数の状態がある（たとえばformula_14）。"N"個の相互作用のないスピン1/2のフェルミ粒子をこの箱に入れる。このフェルミエネルギーを計算するために、"N"が大きい場合を見てみる。
ベクトルformula_15を導入すると、それぞれの量子状態はエネルギー
をもつｎ空間の点に対応する。
formula_17は通常のユークリッド長さの二乗formula_18を表す。
エネルギーが"E" +  "E"以下の状態の数は、
"E" +  "E"が正であるｎ空間の領域での半径formula_19の球の中にある状態の数に等しい。
基底状態におけるこの数は、系のフェルミ粒子の数に等しい。
2つのスピン状態があるため因子２がつき、全ての"n"が正である領域には球の1/8だけがあるため、因子1/8がつく。
よって
よってフェルミエネルギーは次式で与えられる。
これから（"L" を"V"に置き換えると）フェルミエネルギーは体積あたりの粒子数（個数密度）formula_23で決まることがわかる。
formula_24個のフェルミ粒子のフェルミ球の全エネルギーは次式で与えられる。
よって電子の平均エネルギーは次のように与えられる。
3次元の等方的な場合のフェルミ面は、フェルミ球として知られる。
formula_27次元の体積積分を使うと、状態密度は、
粒子数を求めることにより、フェルミエネルギーを抽出できる。
よって
ここでformula_31は内部ヒルベルト空間の次元であり、スピンformula_32の場合は2である。
固体のバンド理論では、電子のエネルギー固有状態はバンド構造を形成する。結晶中の電子のエネルギーはバンド構造を形成する。電子はバンド構造中の1粒子エネルギー固有状態 "" を占有する。この1粒子描像は近似ではあるが、電子のふるまいの理解を容易にし、正しく適用すれば一般的に正しい結果を与える。
物質のバンド構造中の の位置は、電子のふるまいを決定する上で重要となる。フェルミ準位は現実のエネルギー準位に必ずしも対応しておらず（絶縁体でのフェルミ準位はバンドギャップの中にある）、バンド構造の存在も必要としない。
金属中の自由電子模型では、金属中の電子はフェルミ気体を作ると考えることができる。金属のフェルミエネルギーは、絶対零度の金属中の電子をバンドの底から詰めていき、その数が系の全電子数になったところの電子のエネルギーである。
金属や半金属、縮退半導体では、 は非局在バンドの中にある。 近くの多数の状態は熱的に活性で、容易に電流を運ぶ。
金属の伝導電子の数密度formula_23はおよそ10から10 electrons/mであり、通常の固体物質での原子の典型的な密度でもある。
この数密度からフェルミエネルギーを求めると、次のオーダーになることがわかる。
半導体や絶縁体の場合、フェルミエネルギーが伝導帯と価電子帯の間のバンドギャップの中にあり、エネルギー準位が存在しない。よって金属などでは成り立っていた「フェルミエネルギー ＝ フェルミ粒子が占有している最も高いエネルギー準位」は、半導体・絶縁体では成り立たない。またフェルミエネルギーでのフェルミ分布関数の値1/2に、占有数の期待値という意味は無い。
真性半導体のフェルミエネルギーformula_35は、伝導帯のエネルギーformula_36、価電子帯のエネルギーformula_37、有効状態密度formula_38、formula_39を用いて次のように表される。
ここで は電気素量。
上記の議論から、電子は単純な経路が与えられたとき ' が高い点（低電圧）から低い点（高電圧）に移動することがわかる。この電子の流れは、低い を（帯電またはその他の反発効果により）増加させ、同様に高い を低下させる。その結果、2つの物質の ' は同じ値に落ち着く。このことは、次の電子回路の平衡状態に関する重要な事実を与える。
このことは、平衡状態では（電圧計で測定される）2点間の電圧はゼロであることも意味している。ここでの熱力学的平衡は、回路が内部で接続されており、バッテリーやその他の電源を含んでおらず、温度の変動も無い必要があることに注意。