環 (数学)
数学における環（かん、）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。
環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。
また、環論は基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。
環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。
もっともよく知られた環の例は整数全体の成す集合 Z に、通常の加法と乗法を考えたものである。すなわち Z は所謂「環の公理系」と呼ばれる種々の性質を満たす。
乗法が可換律を満たすから、整数の全体は可換環である。
環とは、集合 "R" とその上の二つの二項演算、加法 +: "R" × "R" → "R" および乗法 ∗: "R" × "R" → "R" の組 ("R",+,∗) で、「環の公理系」と呼ばれる以下の条件を満たすものを言う（環の公理系にはいくつか異なる流儀があるが、それについては後で触れる）。
が成り立つものをいう。乗法演算の記号 ∗ は普通省略されて、"a" ∗ "b" は、"ab" と書かれる。
よく知られた整数全体の成す集合 Z, 有理数全体の成す集合 Q, 実数全体の成す集合 "R" あるいは複素数全体の成す集合は通常の加法と乗法に関してそれぞれ環を成す。また別な例として、同じサイズの正方行列全体の成す集合も行列の和と乗法に関して環を成す（この場合の環としての零元は零行列、単位元は単位行列で与えられる）。
（中身は実際には何でもよいから）一元集合 {0} に対して、演算を
で定めるとき、({0}, +, ×) が環の公理を満たすことはすぐに分かる（これを自明環という）。実際、任意の和も積もただ一つ 0 にしかならないので、加法や乗法が閉じていて分配律を満たすのは明らかであるし、零元も単位元もともに 0 であって、0 の加法逆元は 0 自身である。自明環は零環の自明な例になっている。
公理的な取り扱いにおいて、文献によってはしばしば異なる条件を公理として課すことがあるので、そのことに留意すべきである。環論の場合例えば、公理として「環の乗法単位元が加法単位元と異なる」という条件 1 ≠ 0 を課すことがある。これは特に「自明な環は環の一種とは考えない」と宣言することと同じである。
もっと重大な差異を生む流儀として、環には「乗法の単位元の存在を要求しない」というものがある。これを認めると、例えば偶数であるような整数の全体 2Z も通常の加法と乗法に関する環となると考えることができる（実際にこれは乗法単位元の存在以外の環の公理を全て満足する）。乗法単位元の存在以外の環の公理を満足する環は、しばしば擬環 とも呼ばれ、あるいは多少おどけて（ring だけれども乗法単位元 "i" が無いからということで）"rng" と書かれることもある。これと対照的に、乗法単位元を持つことを強調する場合には、単位的環や単位環 あるいは単位元を持つ環 などと呼ぶ。ただし、非単位的環を単位的環に埋め込むことは常にできる（単位元の添加）ということに注意。
他にも大きな違いを生む環の定義を採用する場合があり、例えば、環の公理から乗法の結合性を落として、非結合環あるいは分配環と呼ばれる環を考える場合がある。本項では特に指定の無い限りこのような環については扱わない。
集合 Z を数 0, 1, 2, 3 からなる集合とし、後に述べるような加法と乗法を定めるものとする（任意の整数 "x" に対して、それを 4 で割った余り "x" mod 4 の成す剰余類環）。この Z がこれらの演算に関して環を成すことは簡単に確認できる（特に興味を引く点はない）。まずは、Z が加法に関して閉じていることは表を見れば（0, 1, 2, 3 以外の元は出てこないから）明らかである。Z における加法の結合性と可換性は整数全体の成す環 Z の性質から導かれる（可換性については、表の主対角線に対する対称性からも一見して直ちにわかる）。0 が零元となることも表から明らかである。任意の元 "x" のマイナス元が常に存在することも、それを整数とみての (4 - "x") mod 4 が所要のマイナス元であることからわかる（もちろん表を見ても確かめられる）。故に Z は加法の下でアーベル群になる。同様に Z が乗法に関して閉じていることも右側の表からわかり、Z における乗法の結合性は（可換性も）Z のそれから従い、1 が単位元を成すことも表を見れば直ちに確かめられる。故に Z は乗法の下モノイドを成す。Z において乗法が加法の上に分配的であることは、Z におけるそれから従う。まとめれば、確かに Z が与えられた演算に関して環を成すことがわかる。環の加法や乗法に関する定義からの直接的な帰結として、環の様々な性質が導かれる。
特に、定義から ("R", +) はアーベル群であるから、加法単位元の一意性や各元に対する加法逆元の一意性など群論の定理を適用して得られる性質はたくさんある。乗法についても同様にして単元に対する逆元の一意性などが示される。
しかし、環においては乗法と加法を組み合わせた様々な特徴的性質も存在する。例えば、
などが任意の環において示される。以下、"R" は乗法について可換とは限らず、必ずしも単位元を持たないものとする。
"R" の部分集合 "S" が "R" における加法と乗法について環になっているとき、"S" は部分環であるという。ただし、"R" が単位的であるときは、"S" が（単位的環としての）部分環であるためには "S" が "R" における単位元を含むことを課す。
"R" の元のうちでほかのどんな元との積も可換になっているようなものを集めた集合 "Z"("R") は"R"の中心とよばれる。"Z"("R") は "R" の可換な部分環になっている。
"R" の部分集合 "I" が加法について閉じていて、"x" ∈ "R", "y" ∈ "I"ならば "xy" や"yx"がかならず "I" に入っているとき、"I" を両側イデアルという。（したがって両側イデアルは単位元を持つとは限らない環である。）イデアル "I" が与えられているとき、"x" − "y" ∈ "I" で "R" に同値関係を定義することができる。さらに同値類の間に自然な演算を定義できて、環になることが分かる。この環を "R" の "I" による剰余環といい、"R"/"I" と書く。
環準同型とは環における乗法と加法に対して可換であるような写像である。単位的環 "R" から単位的環 "R" への（単位的環）準同型 "f" とは、
が成り立つような "R" から "R" への写像のことをいう。ここで、1 は "R" の単位元、 1' は"R" の単位元をそれぞれ表している。準同型 "f" が全単射であるとき、同型（写像）と呼び、"R" と "R" は同型であるという。準同型の核はイデアルになり、次の準同型定理が成り立つ；
"A" が単位的可換環で "f"("X") が "A" に係数を持つ一変数多項式であるとする。"A" を係数とする一変数多項式環 "A"["X"] の、"f"("X") によって生成される単項イデアル ("f") による商を "R" とすると、"R" から "A" への環準同型を考えるということは "A" における "f" の根を考えることと同値になる。
環の研究の源流は多項式や代数的整数の理論にあり、またさらに19世紀中頃に超複素数系が出現したことで解析学における体の傑出した価値は失われることとなった。
1880年代にデデキントが環の概念を導入し、1892年にヒルベルトが「数環」 という用語を造って「代数的数体の理論」("Die Theorie der algebraischen Zahlkörper," Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, Vol. 4, 1897.) を発表した。ハーヴェイ・コーエンによれば、ヒルベルトは "circling directly back" と呼ばれる性質を満たす特定の環に対してこの用語を用いている。
環の公理論的定義を始めて与えたのは、フレンケルで、"Journal für die reine und angewandte Mathematik" (A. L. Crelle), vol. 145, 1914. におけるエッセイの中で述べている。1921年にはネーターが、彼女の記念碑的論文「環のイデアル論」において、可換環論の公理的基礎付けを初めて与えている。
環が与えられたとき、それを用いて新しい環を作り出す一般的な方法がいくつか存在する。
感覚的には環の剰余環は群の剰余群の概念の一般化である。より正確に、環 ("R", +, · ) とその両側イデアル "I" が与えられたとき、剰余環あるいは商環 "R/I" とは、"I" による（台となる加法群 ("R", +) に関する）剰余類全体の成す集合に
という演算を入れたものをいう。ただし、"a", "b" は "R" の任意の元である。
("R", +, ·) を環とし、"R" 上の実質有限列（有限個の例外を除く全ての項が 0 となるような無限列）の全体を
とおく。ただし、ここでは非負整数（特に 0 を含む）の意味で N を用いているものと約束する。"S" の演算 + : "S" × "S" → "S" および · : "S" × "S" → "S" を、"a" = ("a") および "b" = ("b") を "S" の任意の元として、
と定めると、("S", +, ·) は環となる。これを環 "R" 上の多項式環と呼ぶ。
"S" の元 (0, 1, 0, 0, …) を "X" とすれば、多項式環としての "S" は "R"["X"] と書くのが通例である。これにより、"S" の元 "f" = ("f") は 
と "R" に係数を持つ多項式の形に書ける。従って "S" は "R" 上の "X" を不定元とする多項式全体に、標準的なやり方で加法と乗法を定義したものと見なすことができる。通常はこれを同一視して、ここでいう "S" を "R"["X"] と書いて、"R" における演算も "S" における演算も特に識別のための符牒を省略する。
"r" を固定された自然数とし、("R", +, ·) を環として、
が挙げられる。
一意分解整域 (UFD) の理論も環論では重要である。実質的に算術の基本定理の類似を満たす環が一意分解環ということになる。
環 "R" が一意分解整域であるとは2番目の条件は "R" の「非自明」な元の既約元への分解を保証するものであり、3番目の条件によってそのような分解は「単元を掛ける違いを除いて」一意的である。一意性について、単元を掛けてもよいという弱い形を採用するのは、そうしないと有理整数環 Z が UFD とならないからというのが理由のひとつとしてある（単元を掛けてはいけないとすると (−2) = 2 = 4 は 4 の「相異なる」二つの分解を与えるが、−1 と 1 は Z の単元だから、二つの分解は同値になる）。ゆえに、整数環 Z が UFD となるというのは、自然数についての（本来の）算術の基本定理からの簡単な帰結である。
任意の環に対して素元および既約元を定義することはできるが、この二つの概念は一般には一致しない。しかし、整域において素元は必ず既約である。逆は、UFD については正しい。
一意分解整域と他の環のクラスとの関係としては、たとえば任意のネーター環は先ほどの条件の1番目と2番目を満足するが、一般には3番目の条件を満足しない。しかし、ネーター環において素元の全体と既約元の全体が集合として一致するならば、3番目の条件も成り立つ。特に主イデアル整域は UFD である。
環は非常に重要な数学的対象であるにもかかわらず、その理論の展開には様々な制約がある。例えば、環 "R" の元 "a", "b" に対して、"a" が零元でなく "ab" = 0 が成り立つとしても、"b" は必ずしも零元でない。特に、"ab" = "ac" で "a" が零元でないということから、"b" = "c" を帰結することができない。このような事実の具体的な例としては、環 "R" 上の行列環を考えて、"a" を零行列ではないような非正則行列とすればよい。しかし、環に対して更なる条件を課すことで、今の場合の問題は取り除くことができる。すなわち、考える環を整域（零因子を持たない非自明な可換環）に制限するのである。しかしこれでもなお、零元でない任意の元で割り算ができるかどうかは保証されないといったような問題は生じる。例えば整数環 Z は整域を成すが、整数 "a" を整数 "b" で割るというのは整数の範囲内では必ずしもできない（整数 2 で整数 3 は割り切れず環 Z からはみ出してしまう）。この問題を解決するには、零元以外の任意の元が逆元を持つ環を考える必要がある。すなわち、体とは、環であって、その零元を除く元の全体が乗法に関してアーベル群となるようなものである。特に体は割り算が自由にできることから整域となる（つまり零因子を持たない）。すなわち、体 "F" の元 "a", "b" に対して、商 "a"/"b" は "ab" によって矛盾無く定まる。
環 ("R", +, · ) が整域であるとは ("R", +, · ) が可換環で、零因子を持たないことを言う。さらに環 ("R", +, · ) が体 であるとは、零元でない元の全体が乗法に関してアーベル群を成すことを言う。非可換環の研究は現代代数学（特に環論）の大きな部分を占める主題である。非可換環はしばしば可換環が持たないような興味深い不変性を示す。例えば、非自明な真の左または右イデアルを持つけれども単純環である（つまり非自明で真の両側イデアルをもたない）ような非可換環が存在する（例えば体（より一般に単純環）上の2次以上の正方行列環）。このような例から、非可換環の研究においては直感的でないような考え違いをする可能性について留意すべきであることがわかる。
ベクトル空間の理論を雛形にして、非可換環論における研究対象の特別な場合を考えよう。線型代数学においてベクトル空間の「スカラー」はある体（可換可除環）でなければならなかった。しかし加群の概念ではスカラーはある抽象環であることのみが課されるので、この場合、可換性も可除性も必要ではない。加群の理論は非可換環論において様々な応用があり、たとえば環上の加群を考えることで環自身の構造についての情報が得られるというようなことも多い。環のジャコブソン根基の概念はそのようなものの例である。実際これは、環上の左単純加群の左零化域全ての交わりに等しい（「左」を全部いっせいに「右」に変えてもよい）。ジャコブソン根基がその環の左または右極大イデアル全体の交わりと見ることもできるという事実は、加群がどれほど環の内部的な構造を反映しているのかを示すものといえる。確認しておくと、可換か非可換かに関わらず任意の環において、すべての極大右イデアルの交わりは、すべての極大左イデアルの交わりに等しい。従って、ジャコブソン根基は非可換環に対してうまく定義することができないように見える概念を捉えるものとも見ることができる。
非可換環は数学のいろいろな場面に現れるため、活発な研究領域を提供する。たとえば、体上の行列環は物理学に自然に現れるものであるにもかかわらず非可換である。あるいはもっと一般にアーベル群の自己準同型環はほとんどの場合非可換となる。
非可換環については非可換群同様にあまりよく理解されていない。例えば、任意の有限アーベル群は素数冪位数の巡回群の直和に分解されるが、非可換群にはそのような単純な構造は存在しない。それと同様に、可換環に対して存在する様々な不変量を非可換環に対して求めるのは困難である。例えば、冪零根基は環が可換であることを仮定しない限りイデアルであるとは限らない。具体的な例として、可除環上の "n"-次全行列環の冪零元全体の成す集合は、可除環のとり方によらずイデアルにならない。従って、非可換環の研究において冪零根基を調べることはないが、冪零根基の非可換環上の対応物を定義することは可能で、それは可換の場合には冪零根基と一致する。
最もよく知られた非可換環のひとつに、四元数全体の成す可除環が挙げられる。
任意の環はアーベル群の圏 Ab におけるモノイド対象である（Z-加群のテンソル積のもとでモノイド圏として考える）。環 "R" のアーベル群へのモノイド作用は単に"R"-加群である。簡単に言えば "R"-加群はベクトル空間の一般化である（体上のベクトル空間を考える代わりに、「環上のベクトル空間」とでもいうべきものを考えている）。
アーベル群 ("A", +) とその自己準同型環 End("A") を考える。簡単に言えば End("A") は "A" 上の射の全体の成す集合であり、"f" と "g" が End("A") の元であるとき、それらの和と積は
で与えられる。+ の右辺における "f"("x") + "g"("x") は "A" における和であり、積は写像の合成である。これは任意のアーベル群に付随する環である。逆に、任意の環 ("R", +, · ) が与えられるとき、乗法構造を忘れた ("R", +) はアーベル群となる。さらに言えば、 "R" の各元 "r" に対して、右または左から "r" を掛けるという操作が分配的であることは、それがアーベル群 ("R", +) 上に群の準同型（圏 Ab における射）となるという意味になる。"A" = ("R", +) とかくことにして、"A" の自己同型を考えれば、それは "R" における右または左からの乗法と「可換」である。言い換えれば End("A") を "A" 上の射全体の成す環とし、その元を "m" とすれば "m"("rx") = "rm"("x") という性質が成り立つ。これは "R" の任意の元 "r" に対して、"r" の右乗法による "A" の射が定まると見ることもできる。"R" の各元にこうして得られる "A" の射を対応させることで "R" から End("A") への写像が定まり、これは実は環の同型を与える。この意味で、任意の環はあるアーベル "X"-群の自己準同型環と見なすことができる（ここで "X"-群というのは"X" を作用域に持つ群の意味である。要するに、環の最も一般的な形は、あるアーベル "X"-群の自己準同型環であるということになる。