ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明は、イギリスの数学者アンドリュー・ワイルズによる楕円曲線に関するモジュラリティ定理の特殊な場合の数学的証明である。と組み合わせることでフェルマーの最終定理の証明を与える。フェルマーの最終定理とモジュラリティ定理は双方ともに当時の知識だけで証明することは現実的にほぼ不可能だと考えられており、同時代の数学者の多くは証明することは難しいと考えていた。
ワイルズは1993年6月23日水曜日、「モジュラー形式、楕円曲線およびガロワ表現（Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations.）」と題されたケンブリッジ大学の彼の講演にて最初に証明を発表した。しかし、1993年9月、この証明は誤りが含まれていることが判明した。1年後、1994年9月19日月曜日、ワイルズが 「（自身の）今までの職務においてもっとも重要な瞬間（"the most important moment of [his] working life"）」と呼ぶアイデアを得た。彼はこれに関して「言い表し難いほど美しく…とてもシンプルでかつエレガント（"so indescribably beautiful... so simple and so elegant"）」なアイデアと語っており、これによって証明を数学者のコミュニティが受容する水準にまで正すことができた。この正しい証明は1995年に発表された。
ワイルズの証明は代数幾何学・数論のテクニックを多数使用しており、これらの数学分野の派生を多く含んでいる。また、彼の証明はスキームの圏や岩澤理論などのフェルマーが知りえなかった20世紀以降のテクニックを含む現代代数幾何学の一般的な構成を使用している。
証明を含む2本の論文は129ページの長さであり、証明を構成するのにワイルズは7年を費やした。ジョン・コーツはワイルズの証明を数論の最高の成果の1つであると述べ、ジョン・ホートン・コンウェイはワイルズの証明は20世紀を代表する証明だと述べた。ワイルズのフェルマーの最終定理証明への戦略は、の特殊な場合に関するモジュラリティ定理を証明をすることであり、強力なモジュラリティのというテクニックを確立し、他の数々の問題に対しても全く新しいアプローチの道を開いた。フェルマーの最終定理の解決に対して、ワイルズはナイトの称号を与えられた他、2016年のアーベル賞等の名誉が与えられた。ワイルズがアーベル賞を受賞することが発表されたとき、はワイルズの業績を「素晴らしい証明（"Stunning proof"）」と表現した。
1637年に書き表されたフェルマーの最終定理は以下を満たす3つの自然数 "a", "b", "c" が存在しないことを述べている。
ただし "n" は2より大きい数 ("n" > 2) である。
フェルマーの最終定理の発表からワイルズの最終的解決まで350年以上が経っており、多数の数学者・アマチュアが "n" > 2 の場合および特定の指数に限定された場合の双方でフェルマーの定理を証明しようと試みた。およそ400万までの n に関しては、当初は手計算、のちにコンピューターによって正しいことが確認された。しかし一般的な証明はおろかそのような証明に至るヒントすら見つからなかった。
当時フェルマーの最終定理とは関連しないと考えられていた議論にて、1950-60年代の日本の数学者である志村五郎が同じく日本の谷山豊から着想を得て、当時研究されていた最先端の数学的概念である楕円曲線とモジュラー形式が（両者は全く異なる概念であると考えられていたにも関わらず）互いにつながりを持っている可能性があるという予想を唱えた。
谷山と志村が提出したこの予想はこれら二つの数学的概念が実際は数学的に同じものであり、見方が異なるだけであるというものであった。谷山と志村の予想は「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」ということを述べており、後に谷山・志村予想として知られるようになった。西洋においてはこの予想がアンドレ・ヴェイユの1967年の論文によって広く知られるようになったため、しばしば谷山・志村・ヴェイユ予想と呼ばれている。
1980年頃までには楕円曲線の予想を構成するための多くのエビデンスが積み上げられていた。これらの予想は広く真であると考えられていたが何らかの確たる証拠があったわけではなく、（これらの予想が真ならば）理論的に素晴らしく首尾一貫したものであり、なおかつ魅力的な数学的概念を提示するがために広く真であると信じられていた。予想のうちいくつかは間違っている可能性もあった。
当時、谷山・志村予想には証明が存在せず、証明に至るアプローチを見つけることすら絶望視されていた。このような背景もあり、証明あるいはそれに至るアプローチの発見すら絶望視されたまま谷山・志村予想は数学上の重要な未解決問題のまま数十年残り続けた。
谷山・志村によってはじめて予想が発表されてからおよそ50年後、ワイルズの研究の成果により状況が大きく進展してようやく証明され、この予想は現在モジュラリティ定理として知られている。
上記の議論とは独立に、1960年代後半、Yves Hellegouarchがフェルマー予想の解("a","b","c")を全く別の数学的概念である楕円曲線と関連付けることを思いついた。この曲線は("x", "y")座標平面上の以下の関係を満たすすべての点によって構成されている。
このような楕円曲線は特殊な性質をもっている。これは等式の数に高次の指数が出現するためであり、また"a" + "b" = "c"もまた "n"次の指数であるためである。
1982-1985年において、ゲルハルト・フライはHellegouarchの曲線の特殊な性質に着目し、これは現在と呼ばれている。フライ曲線はモジュラーでない楕円曲線がフェルマーの最終定理に対する反例を与えることになるというアイディアを提示することでフェルマーの最終定理と谷山・志村予想の橋渡しとなった。
より平易な言葉で言えば、フライの研究はフェルマーの最終定理を否定するような数の組("a", "b", "c", "n")は、谷山・志村予想を否定することも可能であろうと考えるに足るような理由を与えた。よって、もし谷山・志村予想が真であれば、フェルマーの最終定理を否定するような数の組も存在しないであろう。よってフェルマーの最終定理もまた真であろうと考えられるのである。
そのため、谷山・志村予想を証明・反証した場合はフェルマーの最終定理もまた同時に証明・反証されることになるのである。
1985年にはジャン・ピエール・セールがフライ曲線がモジュラーでないことを部分的に証明した。セールは完全な証明を与えなかったので、証明に欠けていた部分はとして知られるようになった。これは現在、として知られている。セールの主な関心は（谷山・志村予想を暗示する）モジュラーガロワ表現上のセール予想というもっと野心的な予想にあった。セールの証明は完璧ではなかったものの、半安定状態の楕円曲線とフェルマーの最終定理のつながりをほぼ確実なものとするに至った。
上記の戦略に従えばフェルマーの最終定理を証明するには2つのステップを踏む必要がある。1つはセールの部分的な証明を拡張し、フライの直感が正しいことを示すこと。つまり、上記の楕円曲線（フライ曲線）がもし存在するのであれば、それがモジュラーではないことを示すことである。証明の完全でない、欠けていた部分（イプシロン予想）はジャン・ピエール・セールによるものである。2つ目は谷山・志村予想を証明することである。あるいは完全に証明せずとも、少なくともフライ曲線を含む楕円曲線（半安定楕円曲線）に関して谷山・志村予想を証明することである。
1986年夏、ケン・リベットはイプシロン予想を証明することに成功し、これはとして知られるようになった。リベットの論文は1990年に発表された。リベットはこの証明を遂げたことで、同時にフェルマーの最終定理とリベットの定理の関係性をも証明したのである。つまり、フライが示唆したように、半安定楕円曲線に対して谷山・志村予想を証明することは、リベットの定理と組み合わせることで、フェルマーの最終定理を証明することになることが確定したのだった。
しかしながら、このようなセールとリベットによる研究の進展とは裏腹に、上記で述べられたフェルマーの最終定理へのアプローチは広く現実的には適用不可だと考えられていた。これは谷山・志村予想が当時知られていた知識だけでは全く証明できそうにないと見られていたためである。例えば、ワイルズのかつての指導者であるジョン・コーツは「（谷山・志村予想は）全く証明できそうにない」と述べたし、ケン・リベットは「（自分自身も）証明ができないだろうと考えていた大勢のうちの１人」であるとしていた。