裁定価格理論
裁定価格理論(さいていかかくりろん、)とは金融資産の期待収益率のクロスセクション構造を記述する理論。により1976年に発表された。金融資産の収益率の分布に対して資産価格モデルの一つである資本資産価格モデル（CAPM）とは異なる仮定を置き、さらに裁定概念を用いることで、CAPMが成立する為に必要な仮定を緩めることに成功している。裁定価格理論は資産価格モデルの類型の一つであるマルチファクターモデルの理論的基礎と見なされ、資産価格理論においては基本的なものの一つである。
任意の金融資産 formula_1 の収益率を formula_2 とする。全ての金融資産の収益率 formula_2 は以下の方程式で決定されると仮定する。
ここで
さらに次を仮定する。
この仮定により、全てのファクター formula_8 は全ての誤差項 formula_10 と無相関(相関係数が0)である。
この時、金融市場における金融資産の数が十分に多いと仮定できるならば、任意の金融資産 formula_1 について次の等式が近似的に成立する。
ただし、formula_16 は安全資産の金利であり、formula_17 は各ファクターに対するリスクプレミアムである。
裁定価格理論においては金融資産の収益率が複数のファクターによって決定されることから、マルチファクターモデル()と呼ばれる。資本資産価格モデル(CAPM)もまた裁定価格理論で説明可能である。というのもファクターに市場ポートフォリオの収益率を選択すればよいからである。
裁定価格理論は資本資産価格モデル(CAPM)が持つ理論的な制約を緩めたモデルとして登場した。CAPMの仮定の一つである投資家が平均分散分析を行う為には金融資産の収益率の同時分布が正規分布であるか、もしくは投資家の期待効用関数が2次関数の形式を取らなくてはならず、制約的で非現実的であった。この点に問題意識を持ったステファン・ロスは収益率の分布をあらかじめファクターに依存した形にすることで、これらの仮定を必要としない裁定価格理論を発表したのである。ロスの裁定価格理論はロバート・マートンの異時点間CAPM(ICAPM)と同様にマルチファクターモデルの理論的基礎として認識されている。
以下の記述はに基づく。ここで金融市場には金融資産が formula_18 個存在し、formula_19 でさらに formula_18 は十分大きいと仮定する。次の3つを満たす資金の投資比率を表す任意のポートフォリオ formula_21 を考える。
条件3.は条件1.と2.を満たすポートフォリオを作ることが出来れば、そのポートフォリオへの投資を確率収束させるようなレベルで小さくとればよいので、そこまで制約的な仮定ではない。
この時、このようなポートフォリオの収益率 formula_30 は、formula_18 が十分大きければ、条件2.と3.より
と近似できる。しかし、条件1.よりポートフォリオ formula_22 は無費用で組成できるので、無裁定条件からformula_34 が成立しなくてはならない。この等式が条件1.-3.を満たす全てのポートフォリオ formula_22 について成立する事から、ベクトル formula_36 は formula_18 次元ユークリッド空間における全ての要素が1であるベクトルとベクトル formula_38 によって張られる formula_39 次元部分ベクトル空間に含まれなくてはならない。つまり、ある実数 formula_40 が存在して任意の formula_1 について以下を満たす。
もし金融市場に安全資産が存在すれば、その利子率 formula_16 は
と表せる。よって上の定数についての関係式を用いれば formula_45 であることが分かる。さらに任意の formula_25 について次のポートフォリオ formula_47 を考える。
すると、このポートフォリオの期待収益率 formula_49 は
となる。よって formula_51 となる。この時、ポートフォリオ formula_52 の収益率は formula_53 となる。ポートフォリオ formula_52 がよく分散されているならば右辺の個別リスクの項は無視することが出来る。したがってポートフォリオ formula_52 は金融市場での収益率の変動がファクター formula_56 と同じであるポートフォリオと見なすことができるために formula_57 はファクター formula_56 のリスクプレミアムと見なせる。
ステファン・ロスが1976年に発表した論文では上述の条件3.に関する議論のように、個別リスクを無視できるという点について直観的な議論がなされていた。そこでGur Huberman が1982年に発表した論文では極限での振る舞いに関して数学的に厳密な議論がなされ、金融資産の数 formula_18 が無限大に発散すれば、個別の金融資産のリスクプレミアムに対する式の誤差は0に確率収束し、金融資産全体で見ても誤差が一定の範囲に収まることが示された。また、Philip Dybvig の研究やMark Grinblatt との研究において金融資産が有限個の場合の誤差評価がなされている。
裁定価格理論で注意すべきなのは、ファクターが何であるかを裁定価格理論で決めることは不可能であるという事である。金融資産の収益率がファクターと個別リスクの線形結合からなるということは裁定価格理論の結果ではなく仮定であるので、その仮定を成すファクターに何が選ばれ得るべきかは裁定価格理論から導くことは出来ないのである。この事から、ユージン・ファーマは異時点間CAPM(ICAPM)も含めたマルチファクターモデルが事後的にデータに合うファクターを探すための論拠になっていると批判した。特にファーマが裁定価格理論と異時点間CAPMをフィッシングライセンス()と比喩的に表現したことから、このようなデータマイニングを正当化するマルチファクターモデルをフィッシングライセンスと呼ぶことがある。しかし、後にファーマ自身もファーマ＝フレンチの3ファクターモデルを提案し、マルチファクターモデルの有用性を主張するようになる。
裁定価格理論のよく知られた実証研究として、とステファン・ロスが1980年に発表した論文とNai-Fu Chen, Richard Roll, ステファン・ロスが1986年に発表した論文がある。 ではファクター数とファクターローディングの特定に因子分析が用いられている。彼らはデータによる実証分析から裁定価格理論の成立に肯定的な結果を得ている。 の研究では消費や原油価格などのいくつかのマクロ経済変数をファクターとしてあらかじめ推測しておいて統計的検証を行っている。この二つの研究は裁定価格理論の実証研究においては最初期のものになるが、実証研究の方法論としては対照的である。
以上の方法論の違いと関連する事として以下のことが挙げられる。裁定価格理論と異時点間CAPMは共にマルチファクターモデルであるが、実証研究上においてはファクター選択の論理に差が生まれるとされる。この事をは次のように説明している。裁定価格理論は統計的な検証を行う事でより説明力の高いファクターを探し出すという方法を取る。逆に異時点間CAPMはあらかじめ将来の収益率に影響を与えうると想定されるファクターを決めておいて、それが実際にデータを説明できるかどうかの統計的な検証を行う。しかしこの差は実践上では些細なことだと思われてきたとCochrane は述べている。というのもそれぞれの理論に関連した影響力のある実証研究論文でもこの概念の取り違えがあると思われるからである。 の研究は裁定価格理論の実証研究の代表例の一つであるが、収益率に影響のあるマクロファクターを事前に選別していることから異時点間CAPM的である。ユージン・ファーマとによるファーマ＝フレンチの3ファクターモデルは、その発表論文において追加ファクターは異時点間CAPMの状態変数のように見なせると述べられているが、実際のところ統計的検証を重ねて時価総額と簿価時価比率(PBRの逆数)という2つのファクターの特定に至ったのでより裁定価格理論に近い部分がある。Cochrane は裁定価格理論は相対的な価格付けが行われていて、異時点間CAPMは絶対的な価格付けが行われていると見なせるのではないかとも述べている。