ツェラーの公式
ツェラーの公式（ツェラーのこうしき、）とは西暦（グレゴリオ暦またはユリウス暦）の年・月・日から、その日が何曜日であるかを算出する公式である。クリスティアン・ツェラー () が考案した。ユリウス通日を求め、そこから曜日を求める計算と本質は同じである。
formula_1 年 formula_2 月 formula_3 日の曜日を求める。
ただし、1月と2月は、前年のそれぞれ13月・14月として扱う。たとえば、年1月1日・2月1日は、-1年13月1日・14月1日とする。また、紀元前 formula_4 年は西暦 formula_5 年として扱う。たとえば、紀元前1年・前2年・前3年は、0年・－1年・－2年となる。
曜日を表す formula_6 は次の式で求められる：
formula_8 はグレゴリオ暦 () かユリウス暦 () かで変わる項で、
ただし
formula_12はxを超えない（x以下）の最大の整数（床関数）、formula_13 は formula_14 を formula_15 で割った剰余である。formula_16 と formula_17 は、（西暦が4桁の場合）西暦の上2桁と下2桁を表す中間変数で、たとえば年なら、それぞれfloor ( / 100 )と% 100になる。
formula_6 は、0～6で土曜日～金曜日を表す。現在標準的な ISO 8601 の formula_19（1～7で月曜日～日曜日）を求めるには、次の式
を使う。
これらの計算式は、それぞれの暦を過去または未来に延長して使うならば、有効範囲の限界はない。ただし、歴史上の日付を扱うには、現代使われているグレゴリオ暦に切り替わった日付に注意が必要である。詳細はグレゴリオ暦#グレゴリオ暦の各国・各地域における導入を参照。さらに西暦4年3月1日以前は閏年の規則が異なるので、ユリウス暦の公式も適用できない。
コンピュータの多くの環境では負数の剰余を保証しないので、整数の合同関係を使って
と変形する。
西暦0年（紀元前1年）3月1日以前に対する場合、formula_16 と formula_17 を求める式にも修正が必要である。適度に大きい100の倍数を formula_1 に足して、負にならないようにする。
ツェラーの公式はフェアフィールド () の公式の変形である。以下に、グレゴリオ暦を例に、その変形過程を記載する。
1年1月1日（0年13月1日） ～ y 年 m 月 d の日数を求める。ただし、m = 1, 2 の場合は、y = y － 1, m = m + 12とし、1年を、3月1日 ～ 14月28日（閏年は29日）と再定義する。
1年1月1日（0年13月1日）を含めた、y 年 m 月 d 日迄の日数は以下の通り。
1年1月1日（0年13月1日） ～ 1年2月28日（0年14月28日）
・・・　　31 + 28 （日）
1年3月1日 ～ ( y － 1 ) 年14月末日（この時点では閏年は考慮しない）
・・・　　365 ( y － 1 ) （日）
1年1月1日（0年13月1日） ～ ( y － 1 ) 年14月末日の閏年の回数
・・・　　[ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 4 ) ] - [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 100 ) ] + [ ( 1 + ( y － 1 ) ) / 400 ) ]
= [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] （日）
y年3月1日 ～ y 年 ( m － 1 ) 月末日
・・・　　[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 （日）　（以下表を参照）
y 年 m 月1日 ～ y 年 m 月 d 日
・・・　　d （日）
　　※3月1日 ～ ( m － 1 )月末日迄の日数と、[ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 の値は完全に一致している。
従って、1年1月1日 ～ y 年 m 月 d 日の日数は、上記全てを合算した、
31 + 28 + 365 ( y － 1 ) + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 306 ( m + 1 ) / 10 ] － 122 + d
formula_25
・・・　　【※】／ Fairfield の公式
となる。
曜日は７日間で循環しているので、上記【※】式の 7 の剰余を求めることで、曜日が判明する。即ち、
formula_26
・・・　　【I】
である。
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す
（現行のグレゴリオ暦は、1582年10月15日に、この日を金曜日であるとして施行されたがこの日を起点に、遡ってグレゴリオ暦を適用すると、1年1月1日は月曜日となるため h の値が表す曜日がこのような並びになる）
【I】式が 7 の剰余である事を利用すると、以下の通り変形できる。
h = ( 7 ( 52 y - 62) + y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7
= (　　　　　　　　　　y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 ] + 6 + d )　mod　7
ここで、[ ] （ガウス記号）の性質（ [ a ] + b = [ a + b ] , ただし b は整数）を利用すると、
h = ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 153 ( m + 1 ) / 5 + 6 ] + d )　mod　7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 153 + 30 ) / 5 ] + d )　mod　7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 153 m + 183 ) / 5 ] + d )　mod　7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ ( 35 ( 4 m + 5 ) + 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
= ( y + [ y / 4 ] - [ y / 100 ] + [ y / 400 ] + [ 7 ( 4 m + 5 ) + ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
さらに、h が 7 の剰余であることを利用して、
formula_27
・・・　　【II】
が導き出される。
y = 100 C + Y ( 0 ≦ Y ≦ 99, C, Y は整数)と置くと、（II）式は以下の通り変形される。
h = ( 100 C + Y + [ ( 100 C + Y ) / 4 ] - [ ( 100 C + Y ) / 100 ] + [ ( 100 C + Y ) / 400 ] + [ ( 13 m + 8 ) / 5 ] + d )　mod　7
= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 － 1 ] + d )　mod　7
= ( 100 C + Y + [ 25 C + Y / 4 ] - [ C + Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] － 1 + d )　mod　7
= ( 100 C + Y + 25 C + [ Y / 4 ] - C - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
= ( 124 C + Y 　　　　 + [ Y / 4 ] 　 　 - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
= ( ( 7 * 17 ) C + 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
h が 7 の剰余であることを利用して、
h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] - [ Y / 100 ] + [ C / 4 + Y / 400 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
ここで、0 ≦ Y ≦ 99より、0 ≦ Y / 100 ≦ 0.99, 0 ≦ Y / 400 ≦ 0.2475 であり、
[ Y / 100 ] = 0
また、C / 4 の小数部分は、0, 0.25, 0.5, 0.75 の何れかの値を取る為、C / 4 + Y / 400 の小数部分は、高々 0.75 + 0.2475 = 0.9975 であり、
[ C / 4 + Y / 400 ] = [ C / 4 ]
としてよい。よって、
h = ( 5 C + Y + [ Y / 4 ] + [ C / 4 ] + [ ( 26 m + 26 ) / 10 ] + d － 1 )　mod　7
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日、土曜日を表す（【I】式の場合と同様）。
演算（項）数を減らすためこの式の被除数に 1 加算すると
formula_28
・・・　　【III】
となる。
このとき、h のとり得る値は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 で、順に土曜日、日曜日、月曜日、火曜日、水曜日、木曜日、金曜日を表す（被除数に 1 加算しているため【I】式の場合と比べ、１日分のずれが生じた）。
【証明終】