ハウスドルフ次元
フラクタル幾何学におけるハウスドルフ次元（ハウスドルフじげん、）は、1918年に数学者フェリックス・ハウスドルフが導入した、が有限な値をとり消えていないという条件に適合する、次元の概念の非整数値をとる一般化である。すなわち、きちんとした数学的定式化のもと、点のハウスドルフ次元は 、線分のハウスドルフ次元は 、正方形のハウスドルフ次元は 、立方体のハウスドルフ次元は である。つまり、旧来の幾何学で扱われるような、滑らかあるいは有限個の頂点を持つ点集合として定義される図形のハウスドルフ次元は、その位相的な次元に一致する整数である。しかし同じ定式化のもとで、フラクタルを含めたやや単純さの少ない図形に対してもハウスドルフ次元を計算することが許されるが、その次元は非整数値を取りうる。大幅な技術的進展がによりもたらされて高度に不規則な集合に対する次元の計算が可能となったことから、この次元の概念はハウスドルフ–ベシコヴィッチ次元としても広く知られている。
初等幾何学で用いられる通常のジョルダン測度（あるいはルベーグ測度）に関して、例えば正方形が二次元であるということは、その三次元より高次のジョルダン測度（つまり、体積および高次元体積）が であり、二次元ジョルダン測度（面積）が正の値を持つ（さらに一次元および零次元のジョルダン測度は形式的に となる）ということを本質的に表している。-次元実内積空間 の -次元ジョルダン測度は、部分集合 に対して、 の球体による充填近似が定める内測度と、球体被覆による近似の定める外測度の一致するとき、その一致する値として定義されるのであった（あるいはルベーグ測度は外測度のみを利用して構成される）が、（定数因子の違いを除けば）-次元ジョルダン測度は一次元ジョルダン測度（長さ）の 個の直積と本質的に同じであり、-次元球（あるいは立方体）の -次元体積は本質的に半径の -乗である。ハウスドルフ次元は、これらの事実を抽象化して、台となる空間を一般の距離空間とし、部分集合の一次元ハウスドルフ測度を距離球体被覆による近似の下限として定まる外測度、また非整数値の に対する -次元距離球体のハウスドルフ測度を一次元測度の -乗（の適当な定数倍）となるように定める。ジョルダン測度の場合と同じく、部分集合 の -次元ハウスドルフ測度は次元 が大きければほとんどすべてに対して零であり、零でなくなるようなギリギリ小さい値として のハウスドルフ次元を定めるのである。
ハウスドルフ次元は、ボックスカウンティング次元（）のより単純だがふつうは同値な後継である。
幾何学的対象 の次元の直観的概念は、その対象内の点を一意に指定するために必要な独立なパラメタの数というものである。しかし、二つのパラメタによって特定される任意の点は、代わりに一つのパラメタによって特定することができる。それは実平面の濃度が実数直線の濃度に等しいという事実（このことは、二つの数の小数展開を織り交ぜて情報量を落とすことなく一つの数を与える論法により示せる）による。空間充填曲線の例が、一つの実数を二つの実数の対に全射（すなわち、任意の対を対象として）かつ連続的に対応付けられることを示すから、一次元の対象は完全により高次の対象を埋め尽くす。
任意の空間充填曲線はいくつかの点を複数回通過するから、連続な逆写像を持たない。すなわち、二次元の上に連続かつ連続的可逆に写すことは不可能である。位相次元とも呼ばれるルベーグ被覆次元はその理由を説明する。この次元が であるとは、小さな開球体による のどのような被覆においても、少なくとも一点は 個の球体が重なるものが存在するときに言う。例えば、線分を小開区間によって被覆するとき、いくつかの点は二つの区間に属さなければならないから、次元 が与えられる。
しかし位相次元は空間の局所的な大きさ（点の近くでの大きさ）に関する非常に粗い測度である。概空間充填曲線は、それが領域の面積をほとんど埋め尽くす場合でさえ、やはりその位相次元は である。フラクタルは整数の位相次元を持つが、それが取り上げる空間の量の意味では、高次元空間のような振る舞いをする。
ハウスドルフ次元は、二点間の距離を勘定に入れた空間（距離空間）の局所的大きさの測度である。 を完全に被覆するために必要な、半径高々 の球体の数 を考えるとき、 が非常に小さければ は を変数とする多項式的に増加する。十分素性の良い に対して、そのハウスドルフ次元 とは を零に近づけるとき が と同程度に増大するものとして一意に定まる数を言う。より精確に言えば、これによりが定義され、その値 が空間の被覆に不十分な増大率と過剰な増大率の間の臨界境界値であるときには、ハウスドルフ次元に一致する。
従来の幾何学および科学で扱われたような滑らかな図形あるいは少ない数の頂点を持つ図形に対して、ハウスドルフ次元は位相次元と一致する整数値となるが、ブノア・マンデルブロはフラクタル（非整数ハウスドルフ次元を持つ集合）が自然界の至る所に見つかることを観測した。マンデルブロは身の回りにあるほとんどの乱雑な形状の真正な理想化は滑らかな理想化図形ではなくて、フラクタルな理想化図形によって述べられるということに気付いたのである:
自然界に生じるフラクタルに対して、ハウスドルフ次元とボックスカウンティング次元は一致する。 はさらにもう一つの多くの図形に対して同じ値を与える同様の概念であるが、これら三種の次元がすべて異なるよく成文化された例外が存在する。
を距離空間とする。 および  に対して、 の -次元ハウスドルフ容積は、半径 の球体 からなる（高々可算な）列による の被覆がとれるときの、半径の -乗和 の: formula_1 と定義される。言い換えれば、formula_2 を満たす半径 を持つ球によって を被覆するときの、 の下限である（ただし、標準的な規約 () に則り、そのような が存在しない場合のハウスドルフ容積は無限大とする)。
のハウスドルフ次元は、ハウスドルフ容積が となるような の下限: formula_3 と定義される。同じことだが、 を の -次元が となるような の下限としても定義できる。これは、 の -次元ハウスドルフ測度が無限大となるような の上限に等しい（ただし、そのような が存在しないときハウスドルフ次元は とする()）。
 を任意の可分距離空間とする。位相的な概念として に対する帰納次元 が再帰的に定義され、常に整数値（または ）をとる。この結果は、もともとはエドワード・マルチェフスキ (1907–1976) が確立したものである。
（ボックスカウント次元）は（少なくとも大きさについては）ハウスドルフ次元と似ており、多くの場合に同じ値を持つ。しかし、 に属する有理数全体の成す集合のハウスドルフ次元が になるのに対し、ミンコフスキー次元は である。ミンコフスキー次元がハウスドルフ次元より真に大きいコンパクト集合さえも存在する。
距離空間 のボレル集合族上定義されたボレル測度 が存在して、全測度が かつ が適当な定数 および 内の任意の球体 に対して成り立つならば、 である。フロストマンの補題によって、部分的な逆が得られる（詳細は当該の項目を参照）。
有限または可算合併 formula_6 に対し、formula_7 が成立することは定義から直接に確かめられる。自己相似性条件によって定義された多くの集合は明示的に決定できる次元を持つ。大まかには、集合 が自己相似であるとは、それが適当な集合値変換 の不動点、すなわち となるときに言う。正確な定義は以下に与える:定理はバナッハの不動点定理を の空でないコンパクト部分集合全体がハウスドルフ距離に関してなす完備距離空間に適用することで得られる。
（特定の場合の）自己相似集合 の次元を決定するためには、縮小写像列 に関する「開集合条件」と呼ばれる技術的な条件を必要とする。
開集合条件は、像 たちが「重なり過ぎない」ことを保証する分離条件になっている。この定理を用いてシェルピンスキーの三角形（シェルピンスキーのガスケット）のハウスドルフ次元を計算することができる。平面 上の を考え、 を を中心とする拡大比 の拡大変換とする。この写像 に対応する空でない唯一の不動点がシェルピンスキーのガスケットであり、次元 は formula_13 の一意な解である。両辺の自然対数を取れば について解くことができて、 を得る。シェルピンスキーのガスケットは自己相似かつ開集合条件を満たすことに注意。一般に、写像 formula_14 の不動点となる集合 が自己相似となるための必要十分条件は、どの二つの交わりに関しても formula_15 が成り立つことである。ただし は のハウスドルフ次元で、 は -次元ハウスドルフ測度とする。これはシェルピンスキーのガスケットの場合には明らか（交わりはちょうど点になるから）であるが、より一般に次も成り立つ: