シローの定理
数学、とくに有限群論において、シローの定理 (Sylow theorems) は、ノルウェーの数学者ルートヴィヒ・シロー (Ludwig Sylow) (1872) にちなんで名づけられている定理の集まりであり、与えられた有限群がもつ固定された位数の部分群の個数についての詳細な情報を与える。シローの定理は有限群論の基本的な部分をなし、有限単純群の分類における非常に重要な応用を持つ。
素数 "p" に対し、群 "G" のシロー "p"-部分群（あるいは "p"-シロー部分群）とは、"G" の極大 "p"-部分群である、つまり、"p"-群である（任意の元の位数が "p" の冪である）であるような "G" の部分群であって、"G" の他のどんな "p"-部分群の真部分群でないようなものである。与えられた素数 "p" に対するすべてのシロー "p" 部分群の集合を Syl("G") と書くことがある。
シローの定理はラグランジュの定理の部分的な逆を主張する。ラグランジュの定理は任意の有限群 "G" に対して "G" のすべての部分群の位数（元の個数）は "G" の位数を割り切るというものであり、シローの定理は有限群 "G" の位数の任意の素因数 "p" に対して "G" のシロー "p" 部分群が存在するというものである。有限群 "G" のシロー "p" 部分群の位数は、"n" を "G" の位数における "p" の重複度として、"p" であり、また位数 "p" の任意の部分群は "G" のシロー "p" 部分群である。（与えられた素数 "p" に対して）群のシロー "p"-部分群は互いに共役である。与えられた素数 "p" に対して群のシロー "p"-部分群の個数は mod "p" で 1 と合同である。
それぞれなんらかの意味で極大な部分群の集まりというのは群論においてよくある。ここで驚くべき結果は、Syl("G") の場合には、すべての元が実は互いに同型で、可能な最大の位数を持っているということである： |"G"| = "pm", "n" > 0 で、"p" が "m" を割り切らなければ、任意のシロー "p"-部分群 "P" の位数は |"P"| = "p" である。つまり、"P" は "p"-群であり gcd(|"G" : "P"|, "p") = 1 である。これらの性質は "G" の構造をさらに分析するために利用することができる。
以下の定理は最初ルードヴィヒ・シローによって1872年に提出及び証明され、"Mathematische Annalen" に出版された。
定理１： 有限群 "G" の位数の任意の素因数 "p"（重複度 "n"）に対し、位数 "p" の "G" のシロー "p" 部分群が存在する。
定理１の次の弱いバージョンは最初オーギュスタン゠ルイ・コーシーによって証明され、コーシーの定理として知られている。
系： 有限群 "G" と "G" の位数を割り切る素数 "p" が与えられると、"G" には位数 "p" の元（したがって位数 "p" の部分群）が存在する。
定理２： 有限群 "G" と素数 "p" が与えられると、"G" のすべてのシロー "p"-部分群は互いに共役である、つまり、"H" と "K" が "G" のシロー "p"-部分群であれば、"g""Hg" = "K" なる "G" の元 "g" が存在する。
定理３： "p" を有限群 "G" の位数の素因数で重複度を "n" とする。よって "G" の位数は と書ける、ただし であり "p" は "m" を割らない。"n" を "G" のシロー "p"-部分群の個数とする。すると次が成り立つ：
シローの定理より、素数 "p" に対して、すべてのシロー "p"-部分群は同じ位数 "p" を持つ。逆に、部分群の位数が "p" であれば、それはシロー "p"-部分群であり、従って他のすべてのシロー "p"-部分群と同型である。極大性の条件より、"H" が "G" の任意の "p"-部分群であれば、"H" は位数 "p" のシロー "p"-部分群の部分群である。
定理3による非常に重要な結果として、"n" = 1 という条件は、「"G" のシロー "p"-部分群は正規部分群である」という条件と同値であるというものがある。（4次対称群 "S" のように、正規部分群は持つが、正規なシロー部分群を持たない群も存在する。)
有限群 "G" のシロー "p"-部分群を、|"G"| = "pm", "p" は "m" を割らない、としたとき、位数 "p" の部分群と定義することもある。その場合、定理１は
となる。"H" = 1 とすることによりシロー "p" 部分群の存在も含まれているが、これらを分けてシローの定理を4つとする人もいる。
に対して、シローの定理の類似がある。無限群 "G" のシロー "p"-部分群を、"G" のすべての "p"-部分群の中で包含関係について極大な "p"-部分群（すべての元の位数が "p" 冪）と定義する。ツォルンの補題により、そのような部分群は必ず存在する。
定理： "K" が "G" のシロー "p"-部分群であり、"n" = |Cl("K")| が有限であれば、すべてのシロー "p"-部分群は "K" と共役であり、"n" ≡ 1 mod "p"である（ここで Cl("K") は "K" の共役類）。
シロー部分群とシローの定理の簡単な実例は"n"角形の二面体群"D"である。"n"が奇数の場合、2=2が位数2"n"を割る最大の2のベキであるため、位数2の部分群がシロー部分群である。鏡映によって生成される群が"n"種類存在し、幾何学的にはそれらは回転について共役である(どの対称軸も頂点と辺を通るため)。それに対して、"n"が偶数の場合、群の位数は4で割り切れるため、鏡映によって生成される群はシロー部分群にはならず、2種類の共役類に分解される。幾何学的にはその対称軸が2辺を通るか2頂点を通るかによってどちらの共役類に属するかが決まる。これは外部自己同型と関係しており、""/"n" ラジアンの回転(二面体群の最小の回転の半分)によって表現される。
"q" = "p" 元からなる有限体 F 上の一般線型群を "G" = GL("n", "q") とおく。シローの定理から位数 |"G"| = "q" のシロー "p"-部分群 "U" が存在する。たとえば "n" = 3 のとき
は GL(3, "q") のシロー "p"-部分群で、位数が "q"である。一般の "n" についても同様で、主対角成分が1の上三角行列からなる群は GL("n", "q") のシロー "p"-部分群である。
位数 "n" の群は巡回群に限るような正の整数 "n" がある。たとえば "n" = 15 がそのような数であることがシローの定理を用いることでわかる。ここで "n" | 5 かつ "n" ≡ 1 (mod 3) である。これを満たす唯一の "n" は 1 である。つまり、位数3の部分群はただ1つ存在し、よって正規部分群である (別の共役が存在しないため)。同様に、"n" | 3 かつ "n" ≡ 1 (mod 5) であるため、位数5の部分群は正規部分群となる。3と5は互いに素であるため、これら2つの群の共通部分は自明な群であり、よって "G" は位数3の群と位数5の群の内部直積であるため、位数15の巡回群である。したがって、位数15の群は同型を除いてただ一つである。（このような整数 "n" についてはも参照。）
もっと複雑な例は巡回群ではない最小の単純群の位数に関係する例である。より、ある群の位数が二つの素数の冪の積であれば、その群は可解群であり、特に単純群ではない。これにより位数 30 未満の巡回群でないすべての群は単純群でないことが示される。
もし "G" が位数30の単純群であれば、"n" は 10 (= 2 · 5) を割り切り、"n" ≡ 1 (mod 3) が成り立つ。よって "n" = 1, 10 であり、"G" が単純群なので "n" = 1 とはならないため、"n" = 10 である。よって "G" は互いに異なる10種類の位数3の部分群を持ち、それぞれの部分群は位数3の元を2個持つ。つまり "G" は位数3の元を少なくとも20個持つ。同様に、"n" は 6 を割り切り、"n" ≡ 1 (mod 5) であるため、"n" = 6 である。よって "G" は位数 5 の元を少なくとも 24 (= 4 · 6) 個持つ。しかし "G" の位数は 30 しかないので、矛盾が生じた。よって位数 30 の単純群は存在しない。
次に |"G"| = 42 = 2 · 3 · 7 の場合を考える。"n" は 6 を割り切り、"n" ≡ 1 (mod 7) であるため、"n" = 1 である。よってシロー7-部分群は "G" の正規部分群であり、"G" は単純群ではない。
一方で、|"G"| = 60 = 2 · 3 · 5 の場合は、"n" = 10 と "n" = 6 となることがあり得る。実際に、巡回群でない最小の単純群は5個の元の交代群 Aである。位数は60であり、位数5の巡回置換を24個、位数3の巡回置換を20個持つ。