リー群
リー群（リーぐん、）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。
"G" を台集合とする実リー群とは、"G" には実数体上有限次元かつ可微分な実多様体の構造が定められていて、"G" はまた群の構造を持ち、さらにその群の演算である乗法および逆元を取る操作が多様体としての "G" 上の写像として可微分であるもののことである。このような構造が入っているという前提の下で、通常は「"G" はリー群である」というように台を表す記号を使ってリー群を表す。また、実数（実多様体）を複素数（複素多様体）にとりかえて複素リー群の概念が定まる。
リー群の定義を圏論の言葉で述べれば、リー群とは可微分多様体の圏の群対象のことであるということができる。
複素数体 C 上の二次特殊線型群 "SL"(2, C) などは複素リー群の例である。また、直交群や斜交群は、成分の属する体の直積位相からの相対位相に関して多様体とみるとリー群である。このような行列からなるリー群は総じて（代数的）行列群あるいは線型代数群と呼ばれる一類に属する。
一般化として、台となる多様体が無限次元であることを許すことにより無限次元リー群が同様の方法で定義される。また、類似物として係数の属する体を"p"-進数体にとりかえて "p"-進リー群が定義される。あるいは係数体を有限体に取り替えれば、リー群の有限な類似物としてリー型の群が豊富に得られるが、これらは有限単純群の多くの部分を占めるものである。また、可微分多様体を用いる代わりに解析多様体や位相多様体を台にすることもできるが、それによって新たなものが得られるというわけではない。事実、アンドリュー・グリーソン、ディーン・モントゴメリ、レオ・ジッピンらは1950年代に次のことを証明している。すなわち、"G" が位相多様体であって、連続な群演算をもつ群でもあるならば、"G" 上の解析的構造が唯一つ存在して、"G" をリー群にすることができる（ヒルベルトの第５問題あるいはヒルベルト-スミス予想）。
いくつかの例と、それらに関連する数学や物理学の分野について触れる。
リー群から新たなリー群を作り出す標準的な方法がいくつか挙げられる。たとえば、
リー群で無いものの例を挙げる：
リー群の分類法の一つは、その代数的な性質によるものである。例えば、単純リー群、半単純リー群、可解リー群、冪零リー群、可換リー群は、その群としての単純性、半単純性、可解性、冪零性、可換性に従った分類である。また、リー群の多様体としての性質による分類もある。連結性やコンパクト性に着目して、連結リー群、単連結リー群、あるいはコンパクトリー群などを考えることができる。リー群は標準的に、離散リー群、単純リー群、可換リー群に以下のように分解される： ここでリー群 "G" に対して
とすると、次の正規列がえられる：
そしてこのとき、
これにより、リー群に対する問題の一部（たとえばリー群のユニタリ表現を求める問題など）は連結単純リー群の同種の問題に帰着して考えることができる。
リー群に対して、その単位元における接空間（を台となるベクトル空間としてそれに積を定義したもの）としてリー環を対応付けることができる。このリー環は、もとのリー群の局所的な構造を完全に反映しており、リー群に付随するリー環と呼ばれる。このリー環の元は、略式的には（ユークリッド空間内にある曲面の古典的な接平面に対するイメージをそのまま反映して）リー群の単位元に無限に近いところにある元であると見ることができるし、リー環の括弧積はそのような無限小の交換子が定めるものと考えることができる。厳密な定義に先立って例を挙げる：
可換リー群 R のリー環はちょうど R に括弧積を、任意の "A", "B" に対して
とおくことによって与えたものである。一般に、付随するリー環の括弧積が恒等的に 0 となることは対応するリー群が可換群であることに同値である。
一般線型群 "GL"(R) のリー環は全行列環 "M"(R) に
なる括弧積を入れたものである。
"G" が "GL"(R) の閉部分群なら、"G" のリー環は略式的に "M"(R) に属する行列 "m"であって 1 + ε"m" が "G" に属すようなもの全体からなるものと見ることができる。ここで ε は正の無限小で、ε = 0 となるもの（もちろん実数ではない）である。例えば直交群 "O"(R) （"AA" = 1 となる行列 "A" の全体）に付随するリー環は
あるいは ε = 0 と考えると同じことだが
となる行列 "m" の全体からなる。
上で与えた即物的な定義は安直で使い易いものであるが、いくつか問題がある。たとえば、この定義を考える前にリー群を行列群として表現できている必要があるが、任意のリー群を考えるときにはそんなことはできないし、また表現の仕方によらず対応するリー環が定まるかどうかということはまったく明らかなことではない。これらの問題はリー群に付随するリー環の一般的な定義を与えることで回避される。定義以下のような考察に従って与えられる：
リー群に付随するリー環は有限次元で、とくに元のリー群と同じ次元を持つ。リー群 "G" に付随するリー環 "g" は局所同型の違いを除いて一意に定まる。ここで、二つのリー群が「局所同型」であるとは、単位元の適当な近傍を選ぶと、その上で同型対応がとれることをいう。リー群に対する問題は、対応するリー環に対する問題を先に解決し、その結果を用いることによって（通常は簡単に）解決されるということがよくある。例えば、単純リー群の分類問題は対応するリー環の分類をまず済ませることによって解決される。
左不変ベクトル場を用いる代わりに右不変ベクトル場を用いても、単位元における接空間 "T" にリー環の構造を入れることができるが、この場合も左不変ベクトル場を用いたと同じリー環が定まる。これは、リー群 "G" 上で逆元をとる写像を考えると、それを移行して右不変ベクトル場と左不変ベクトル場が対応付けられ、特に接空間 "T" 上では −1 を乗じる操作として作用することから従う。
接空間 "T" 上のリー環構造は次のように記述することもできる： 直積リー群 "G" × "G" 上の交換子作用素
は ("e", "e") を "e" に写すので、その微分は "T" 上の双線型作用素を引き起こす。この双線型作用素は実際には零写像なのだが、接空間との厳密な同一視の元で、二階微分はリー括弧積の公理を満たす作用素を引き起こし、それは左不変ベクトル場を用いて定義される場合のちょうど二倍に等しい。
"G", "H" をリー群（実なら双方とも実、複素なら双方とも複素）とする。写像 "f": "G" → "H" がリー群の準同型であるとは、"f" は抽象群としての群準同型であって、かつ "f" が解析的であるときにいう。ただし、"f" が「解析的」であるという条件を「連続」であるという条件に弱めても定義としては同値になることが示せる。文脈上リー群の準同型であると明らかなときは単に準同型とよぶ。リー群準同型の合成はまたリー群準同型である。全ての実リー群のなす類、あるいは全ての複素リー群のなす類に、それぞれの意味でのリー群準同型を射と見なしてリー群の圏ができる。二つのリー群が同型であるとは、その間に全単射なリー群準同型で、その逆写像もまたリー群準同型になるようなものが存在することをいう。同型なリー群同士を区別する必要は実用上はなく、それらは単に元の表し方が異なるだけだと考えられる。
リー群の準同型 "f": "G" → "H" は付随するリー環たちの間の準同型
を引き起こす。したがって、リー群をそれに付随するリー環へ移す対応 "Lie" は関手である。
アドの定理の一つの形は、有限次元リー環は行列リー環に同型であると述べられる。有限次元の行列リー環に対しては、それを付随するリー環にもつような線型代数群（行列リー群）が存在するので、したがってどんな抽象リー環もある行列のリー群のリー環として記述することができる。
リー群の大域的構造をそのリー環によって完全に記述することは一般にはできない。たとえば "Z" を "G" の中心に属する任意の離散群としてやると、 "G" と "G"/"Z" は同じリー環をもつ。しかしながら連結リー群に関しては、それが単純、半単純、可解、冪零あるいは可換となることが、付随するリー環の対応する性質が成り立つことに同値であるということができる。
リー群が単連結であることを仮定すると、その大域的構造はそのリー環によって完全に決定される。任意の有限次元リー環 "g" に対して、単連結リー群 "G" でそのリー環が "g" であるものが同型を除いて唯一つ定まる。さらに、リー環の準同型は対応する単連結リー群の間の準同型へ一意的に持ち上げられる。
リー環 "M"(R) からリー群 "GL"(R) への指数写像は通常の冪級数として、行列 "A" に対して
によって定められる。"G" が "GL"(R) の部分群ならば、この指数写像は "G" のリー環を "G" のなかへ写す。したがって、任意の行列のリー群に対して指数写像を考えることができる。
この指数写像の定義は扱いやすいが、行列群ではないリー群に対しては定義されていないし、指数写像が行列群としての表し方に依らないかどうかについては自明なことではない。これは以下のように抽象的な指数写像の定義を与えることで解決することができる。
リー環 "g" の任意のベクトル "v" は、1 を "v" へと写す R から "g" への線型写像（これをリー環準同型と考えることができる）を定める。R は単連結リー群 R のリー環になっているので、これは対応するリー群の間の準同型 "c": R → "G" を引き起こす。これは "s", "t" ∈ R に対して
を満たす（右辺は "G" における乗法である）。この式と指数関数が満たす公式との類似性から、
とおくと、行列群に対しては今の定義は先の定義と同じものを定めることが確かめられる。これを指数写像と呼ぶ。作り方からこれはリー環 "g" を対応するリー群 "G" のなかへ写すことが判る。指数写像は、リー環 "g" の零元 0 の近傍からリー群 "G" の単位元 "e" の近傍への可微分同相写像である。実数全体が成す可換リー環 R は正の実数全体が乗法に関して成すリー群 R に付随するリー環になっているので、指数写像は実数に対する指数関数の一般化になっていることがわかる。同様に複素数全体が成す可換リー環 C が非零な複素数全体が乗法に関して成すリー群 C のリー環であることから、指数写像は複素数に対する指数関数の一般化にもなっている。もちろん、正方行列全体 "M"(R) が通常の交換子をリー括弧積として成すリー環が、リー群 "GL"(R) のリー環であることから指数写像は行列の指数関数の一般化でもある。
指数写像がリー群 "G" の単位元 "e" の適当な近傍 "N" の上への写像であるので、付随するリー環の元は "G" 上の無限小生成作用素 (infinitesimal generator) と呼ばれる。"N" の生成する "G" の部分群は "G" の単位成分である。
指数写像とリー環は連結リー群の局所群構造を決定する。実際、リー環 "g" の零元の適当な近傍 "U" で、"u", "v" が "U" の元ならば
が成り立つ（）。ここで、省略した項は判っていて、4 つ以上の元のリー括弧積が関係するものである。"u" と "v" が可換なときはこれは簡約されて、見慣れた指数法則の式 exp("u") exp("v") = exp("u" + "v") となる。
リー環からリー群への指数写像は必ずしも全射とはならない。群が連結であってもそれは同じである（連結群がさらにコンパクトか可解であるならば全射になる）。 例えば、"SL"(R) の指数写像は全射にはならない。
リー群は定義から有限次元である。しかし、有限次元性を除けばリー群に酷似した群というものがたくさん存在する。これらの群に対する一般論は少ないが、いくつかの例では研究がなされ結果が得られている。[[Category:リー群論|*]]
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