量子力学の数学的定式化
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。
量子力学において系 の（純粋）量子状態は、状態ベクトルと呼ばれる単位ベクトルによって表現され、状態ベクトルとその定数倍のなすベクトル空間を状態空間という。状態空間はヒルベルト空間という数学的概念によって定式化される。そこで本節ではヒルベルト空間の定義を述べる。
formula_1を複素ベクトル空間とする。任意のformula_2に対して以下の性質を満たす二項演算子formula_3をformula_1上の内積もしくは計量という：
複素ベクトル空間上に内積を一つ指定してできる組formula_10を複素計量ベクトル空間という。
複素計量ベクトルの元formula_11に対し、内積formula_12に対応するformula_13のノルムformula_14を
により定義し、formula_16の間の距離を
により定義するとformula_1はこの距離に関して距離空間の公理を満たす。この距離空間が完備であるとき、複素計量ベクトル空間formula_19を複素ヒルベルト空間、あるいは単にヒルベルト空間という。紛れがなければ以下内積formula_12を省略し、記号formula_1だけでヒルベルト空間を表すものとする。特に断りがない限り、本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを考える。
上述の定義より、内積formula_22は、第二成分に関しては線形であるが、第一成分に対しては反線形性
が成立する。なお、ここで提示した内積の定義は量子力学では一般的なものだが、数学の文献では、ここに載せたのとは逆に、第一成分に対して線形、第二成分に対して反線形であるものを用いる事が多い。
ヒルベルト空間formula_25、formula_26に対し、全単射線形写像formula_27で
が全てのformula_29に対して成立するものが存在するとき、formula_25とformula_26は同型であるという。
可分な無限次元ヒルベルト空間は同型を除いて１つしか存在しない。すなわち以下が成立する：
本項ではヒルベルト空間として可分なもののみを取り扱う。よって本項で登場するヒルベルト空間で次元が無限のものは全て同型である。
量子力学では以下の仮定を課す：
本節では以降、こうした量子力学の仮定を幾つか述べるが、新井の本やHallの本など多くの本ではこうした仮定の事を公理(axiom)と呼んでいる。しかしこうした仮定は数学的な意味での公理ではないので、本項ではその事を明確化するため、F15に従い、「公理」と呼ばず「仮定 (postulate)」と呼ぶものとする。
すでに述べたように(可分な)無限次元ヒルベルト空間は全て同型なので、任意に一つ無限次元ヒルベルト空間を持って来れば、原理的にはそのヒルベルト空間を状態空間とみなした量子力学を定式化できる。しかし通常の量子力学では、物理的な解釈をわかりやすくするため、"L"空間というヒルベルト空間を用いて量子力学を展開する事が多い。そこで本節では"L"空間の定義を述べる。
formula_36を自然数とし、formula_37とする。formula_38からformula_39への関数
で積分概念が定義可能な関数を可測関数という（厳密な定義は可測関数の項目を参照）。さらに可測関数で
となるものを上のL関数という。そして
と定義し、上の内積を
により定義すると、組formula_45はヒルベルト空間をなすことが知られている。このヒルベルト空間を上のL空間という。粒子が個からなる系の場合、各粒子が3次元分の自由度を持つので、の場合の"L"空間を利用すれば量子力学を自然に展開できる。
上ではの場合に"L"空間を定義したが、一般にが可測空間であれば"L"空間を定義できることが知られている。特にがの開集合や閉集合であれば、上の"L"空間を定義できる。したがって例えば（ポテンシャルの壁に遮られるなどして）粒子が有限の区間の内部しか動けないようなケースに対しても、の場合の"L"空間を利用できる。
以上で述べたように、量子力学の数学的定式化にはヒルベルト空間、特に"L"空間の概念が有効である。しかしこれは、物理学者が量子力学で用いている議論の全てをヒルベルト空間上で数学的に正当化できる事を意味しているわけではない。
例えば物理学者が量子力学の記述に通常用いるデルタ関数は、そもそも通常の意味での関数ではないので、"L"空間には属さない。後の章で"L"空間にさらに元を添加する事でデルタ関数をも取り扱う数学的手法についても述べるが、この手法は万能ではなく、例えばデルタ関数同士の積が定義できないという欠点を抱える。よって特にデルタ関数同士の内積を定義できず、デルタ関数を添加した空間はヒルベルト空間にはならない。
こうした数学的な困難を避けるため、以降の議論は、基本的にデルタ関数のような「関数もどき」は慎重に排除した上で展開するものとする。
ヒルベルト空間上で定義可能な関数のクラスとして最も自然なものの一つに有界作用素があり、量子力学における主要概念の一つであるユニタリ作用素は有界作用素の一つである。そこで本節では有界作用素の概念とユニタリ作用素の概念を定式化する。
formula_25、formula_26をヒルベルト空間とする。線形作用素formula_48が有界作用素であるとは、実定数が存在し、任意のformula_49に対し、
が成立する事を言う。ここでformula_51はformula_52の内積に対応するノルムである。が有界とは限らないとき、を非有界作用素という。
線形作用素が有界である必要十分条件は、が連続であることである。したがって有界線形作用素とは、連続線形作用素と言い換えても良い。
formula_1をヒルベルト空間とする。全射線形作用素formula_54が任意のformula_55に対し、
を満たすとき、をユニタリ作用素という。
上記の条件をみたすときは、明らかには単射なので、は全単射である事になる。したがってユニタリ作用素とはformula_1から自分自身への同型写像（自己同型写像）である。
なお、formula_1が有限次元の場合には、単射性から全射性が従うため、ユニタリ作用素の定義において全射という条件は必要ない。しかしformula_1が無限次元の場合には、全射ではない単射線形作用素も存在するため、全射の条件は必須となる。
定義から明らかに次が成立する：
本節では共役ベクトル空間の概念を定義することでディラックのブラベクトル、ケットベクトルの概念を数学的に定式化し、さらにリースの表現定理を導入することで、ブラベクトルの概念を別の角度から眺める。
ヒルベルト空間formula_1で使われている足し算「」、（スカラーとの）掛け算「」、および内積formula_22を明示して、formula_1をformula_63と書くことにし、、formula_64に対し、
と定義すると、formula_66もヒルベルト空間になる。ここでformula_67はの複素共役である。formula_66をformula_63のという。定義より、共役ベクトル空間は掛け算以外は元の空間と同一である。以下、掛け算を明示しなくても共役ベクトル空間を区別できるようにするため、formula_1の共役ベクトル空間をformula_71と表記する。またformula_72がformula_71の元である事が文脈から明らかな場合は、formula_74を略記して単にformula_75と表記する。
ヒルベルト空間formula_1上の内積formula_22は、第一成分に対して反線形、第二成分に対して線形であった。しかし内積の第一成分を共役ベクトル空間をformula_71とみなして
だとすれば、内積formula_22は、第一成分、第二成分双方に関して線形である事になるので便利である。そこで量子力学ではformula_1の元とformula_71の元とを区別して考え、formula_71の元をブラベクトル、formula_1の元をケットベクトルと呼ぶ。
ブラベクトルformula_85に対し、線形作用素
を考えると、コーシー＝シュワルツの不等式
より、この作用素は有界作用素である。実は複素数値の有界作用素はこの形のものに限られる事が知られている：
なおformula_1が有限次元であれば上に述べた事実は自明であるが、無限次元であってもこの事実が成り立つ所にこの定理の主眼がある。以上の事実から、ブラベクトルと複素数値の有界作用素は１対１に対応する。
既に述べたように作用素が有界である事はその作用素が連続である事を意味している為、有界性はヒルベルト空間上の作用素の最も自然な概念の一つである。しかし量子力学で用いられる作用素の多くは有界ではないし、しかもformula_1の部分領域でしか定義できない。この原因は、量子力学で用いられる作用素の多くが微分を用いて定義されており、微分作用素が有界でもなければformula_1全域で定義できるわけでもない事にある。
幸運な事に、これら量子力学で用いる作用素は「稠密に定義された可閉作用素」という、比較的扱いやすいクラスに属している事が知られている。そこで本節では、まず「稠密に定義された」という概念と「可閉」という概念を定式化する。
次に本節では、この「稠密に定義された可閉作用素」の概念をベースとして、量子力学におけるオブザーバブルの概念を定式化する。すなわち、稠密に定義された可閉作用素の共役作用素の概念を定式化し、共役作用素の概念を用いて自己共役作用素の概念を定式化し、最後に量子力学におけるオブザーバブルの概念を自己共役作用素により定式化する。
オブザーバブルは状態空間の全域で定義されているとは限らないが、状態空間の稠密部分集合上では定義が可能である。そこでまず、稠密に定義された作用素の概念を導入する。formula_25、formula_26をヒルベルト空間とする。formula_25の部分集合で定義された線形作用素formula_98がformula_25で稠密に定義されているとは、がformula_25の稠密部分集合である事を言う。とくにformula_101が成立しているとき、はformula_25の全域で定義されているという。
本項では参考文献新井、H13と同様、以下、線形作用素formula_98がformula_25で稠密に定義されている場合は、これを略記して、
と書き表す。
稠密に定義された２つの線形作用素formula_106が、　かつを満たすとき、はの拡大であるといい、
と書き表す。
有界作用素に関しては、次の重用な性質が知られている：
したがって有界作用素に限定すれば、稠密に定義されている事は全域で定義されている事と実質的な差がない。しかし量子力学で用いる作用その多くは有界ではないので、この定理を用いる事ができない。
稠密に定義された線形作用素formula_48が以下を満たすとき、は閉作用素であるという：
また稠密に定義された線形作用素formula_48が、拡大formula_114でが閉作用素であるものを持つとき、は可閉作用素であるという。が可閉作用素であるとき、の拡大線形作用素formula_114で上記の性質を満たす（包含関係に関する）最小のものformula_116が必ず存在することが知られており、formula_116をの閉包作用素という。が可閉作用素である必要十分条件は、任意の点列に対し、のときかつであればが成立する事である。
formula_48を稠密に定義された線形作用素とする。ベクトルformula_119に対し、以下の性質を満たすformula_120を考える：
このようなformula_123は常に存在するとは限らないが、存在すれば一意である事を示せる。そこで
とし、線形写像を
により定義し、をの共役作用素という。
が有界とは限らない時、が稠密に定義されていたとしてもが稠密に定義されることもが成り立つ事も保証されない。これらを保証するには、が可閉である事が必要である：
formula_1をヒルベルト空間とし、formula_129を稠密に定義されているとは限らない線形作用素とする。
明らかに次が成立する：
しかし逆向きは一般には成り立たない。与えられた作用素が自己共役かどうかを決定する問題を自己共役性の問題といい、それだけで一冊の本が書けるほど難しい問題である。
次が知られている：
したがって以下、が本質的に自己共役な場合には、紛れがなければとformula_116を混用する。
共役作用素の定義より、
すでに述べたように、が可閉作用素である必要十分条件はが稠密に定義されることであった。よって上述した事実より特に以下が成立する：
対称作用素の閉包は以下のように具体的に書き表す事ができることが知られている：
さらに、
自己共役作用素は必ず掛け算作用素として表現できる事が知られている（掛け算作用素によるスペクトル定理）：
量子力学では以下の仮定を課す：
オブザーバブルに関する仮定：量子力学におけるオブザーバブルは自己共役作用素として表現される。
本節では
の場合に対して、オブザーバブルの具体例を述べる。
量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。まず記法を導入する。非負整数からなるベクトルに対し、
とする。
非負整数に対し、
の形で書ける作用素を微分作用素という。ここでは局所自乗可積分な関数である。なおの定義において、の項formula_144は倍する演算子とみなす。
本節の目標は、微分作用素のうち性質の良いものをformula_140上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分formula_146はformula_147が可微分でなければそもそも定義できないので、単純にをformula_140の元に作用させることはできない。そこでformula_140の部分集合を
と定義すると次が成立する：
微分作用素は上で明らかに定義可能であり、しかもの元をに写すので、微分作用素をformula_140上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。
実数値可測関数
に対して線形作用素を
と定義し、の閉包を掛け算作用素という。ここで
である。
特にでという形の掛け算作用素を第位置作用素という。
掛け算作用素は自己共役作用素である。実際可測性から
なのでは稠密に定義された作用素であり、しかも明らかには対称作用素である。さらにformula_160とすれば、任意のformula_161に対し、formula_162をみたすので、
である。formula_161の任意性より、これはformula_166 a.eを意味する。の自乗可積分性との定義より、formula_167である。よってであり、掛け算作用素は自己共役作用素である。
線形作用素
の閉包を第運動量作用素という。
は本質的に自己共役である事が知られている。より一般に
という形で書ける微分作用素は本質的に自己共役である。特に
の閉包として書ける軌道角運動量作用素も自己共役である。
()の形の微分作用素が自己共役である事の証明は本項の範囲を超えるため省略するが、が対称作用素である事は以下のように示すことができる。に対し、部分積分の公式から
である。()の形の微分作用素はformula_176の実数係数多項式であるので、
が成立する。の定義域はformula_140で稠密だったので、これはが対称作用素である事を意味する。
量子力学では時刻に依存するかもしれないポテンシャルと呼ばれる実数値局所可積分関数を固定し、シュレディンガー作用素と呼ばれる作用素
を考える。ここでは何らかの定数で、物理的には番目の粒子の質量を表す。または次元であり、物理学的なセッティングではである。各時刻に対しシュレディンガー作用素は常に対称作用素であるが、本質的に自己共役であるか否かはポテンシャルによる。
時間非依存かつ一粒子のシュレディンガー作用素
に関しては、以下の条件をみたすときには本質的に自己共役である事が知られている：
また時間非依存かつ一粒子のハミルトニアンが以下の条件を場合もハミルトニアンは本質的に自己共役である：
量子力学を定式化するため、ディラックはデルタ関数
を導入した。数学的に見た場合、このような「関数」は存在しないものの関数概念を一般化した「超関数」の概念を使う事でデルタ関数を数学的に定式化でき、これによりディラックの議論をある程度の部分まで数学的に正当化ができる（全ての議論を正当化できるわけではない。詳細後述）。そこで本稿では超関数の概念を導入し、デルタ関数を超関数の概念を使って定式化し、超関数の性質を調べる。
本節では超関数の概念を定式化するのに必要な概念を導入する。
とする。
さらに、に対し、及び級関数に対し、
と定義する。級関数が
という性質を満たすとき、を急減少関数といい、上の急減少関数全体の集合formula_186と書き、formula_186をシュワルツ空間という。
明らかに
である。また前述したようにはの稠密部分空間なので、次の事実が成り立つ：
定義から明らかなようにformula_186は次を満たす
よって特に、位置作用素や運動量作用素はformula_186の元をformula_186の元に写す。
の元の列およびformula_186の元の列の収束性を定義する。
以下の2条件を満たす時、の元の列はの元に収束するという：
(の閉包作用素)を考え、多項式を
と定義すると、以下が成立することが知られている：
ここではを乗じる掛け算作用素である。よって特に運動量作用素
（の閉包作用素）は
を満たす。倍する掛け算作用素は位置作用素であったことから、上式は換算プランク定数を除いて位置作用素と運動量作用素が移り合うことを意味する。
スペクトルとは、有限次元における固有値・固有ベクトルの理論の「無限次元版」であり、量子力学では物理量を観測する時に得られる値の集合となる。本節の目標は、ヒルベルト空間上定義された自己共役作用素のスペクトルの概略を述べる。
無限次元におけるスペクトル理論について述べる前に、まず有限次元の固有値の性質を調べる。がformula_208の固有値である事は明らかに
を意味し、これはは単射ではない事を意味する。formula_1が有限次元であれば線形写像が単射である事は全射である事と同値なので、がの固有値である事はが全単射でない事と同値である。したがってがの固有値ではない場合、は全単射である為、
が存在し、逆にが存在すればはの固有値ではない。
しかし無限次元の場合には
が存在するため、このような単純な関係は存在しない。スペクトル理論は、上述のような作用素の存在を考慮した上で、固有値・固有ベクトルの理論を適切に「無限次元化」したものである。
これまで同様formula_1をヒルベルト空間とし、formula_208を稠密に定義された（有界とは限らない）閉作用素とし、を複素数とする。恒等写像は全域で定義されているので、もと同一の定義域を持つ作用素として定義できる。
が全単射である複素数全体の集合をと書き、のレゾルベント集合といい、その補集合formula_215をのスペクトルという。さらにスペクトルに属するをのスペクトル点であるという。なお、本稿で述べているレゾルベント集合を狭義のレゾルベント集合と呼び、「レゾルベント集合」という語には別の意味を与えているテキストも存在するので注意されたい。
がレゾルベント集合に属していればformula_214は全単射なので、の逆写像
が定義できる。をのにおけるレゾルベントという。が閉作用素の場合、は必ず有界である事が知られている。なお本稿ではが閉作用素の場合に限定してレゾルベント集合を定義したが、が閉作用素でない場合にレゾルベント集合の定義を拡張する際は、が全単射になり、しかもが有界になるの全体をレゾルベント集合と定義する。
スペクトルの定義より、がに属する場合、は全単射でない。すなわちは「全射でない」かもしくは「単射でない」事を意味する。の元のうち、が単射でない複素数全体の集合をと書き、をの点スペクトルという。がの元であれば明らかに
であるので、
となるでないformula_220が存在する。すなわち点スペクトルの元はの固有値である。の元に対し、formula_221のでない元をのに対応する固有ベクトルといい、formula_222をの多重度という。
有限次元の場合と違い、が単射であるにも関わらず、全射ではない事が起こりうる。よってformula_223は一般には空集合ではない。formula_223の詳細については後述する。
スペクトルに属するのうち、が単射でないもの全体が点スペクトルであった。それ以外のの元、すなわちが単射ではあるが全射でないものは２つのタイプに分類できる。が単射であるが全射でなく、しかもその像
が値域formula_1で稠密になる全体の集合をと書き、の連続スペクトルという。一方が単射であるが全射でなく、しかもformula_225がformula_1で稠密ではないもの全体の集合をと書き、の剰余スペクトルという。
がの剰余スペクトルもしくは連続スペクトルに属していれば、は単射であるので、の像formula_225の上定義された逆写像formula_230を定義できる。この意味において、レゾルベント集合においてもの逆写像が定義できるので、この意味で剰余スペクトルや連続スペクトルはレゾルベント集合に類似しているが、違いは逆写像の定義域にある。レゾルベント集合においてはformula_230はformula_1の全域で定義され、しかも（が閉作用素であれば）formula_230は必ず有界である。それに対し連続スペクトルの場合はformula_230のformula_1の稠密部分空間で定義されているに過ぎず、しかもformula_230は有界ではない。さらに剰余スペクトルにおいてはformula_230の定義域はformula_1で稠密ですらない。
以上で定義した概念をまとめると次のようになる。まず全空間はレゾルベント集合とスペクトルにより、
と互いに交わらない和として書き表す事ができ、さらにスペクトルは点スペクトルと連続スペクトルと剰余スペクトルにより、
と互いに交わらない和として書き表せる。なお連続スペクトルは本稿で述べたのとは別の定義があり、その定義を採用した場合には連続スペクトルと剰余スペクトルは排他的になるとは限らない。
点スペクトル以外ではが単射になるので、の像の上で逆写像formula_230が定義できるが、剰余スペクトルではformula_230の定義域は有界ではなく、連続スペクトルでは稠密に定義されているが有界ではなく、レゾルベント集合では全域で定義されていてしかも有界である。
本節では以下、formula_208を（稠密に定義された有界とは限らない）自己共役作用素とする。このときは実数体の閉部分集合である事が知られている。またの元は必ずしも点スペクトルではないため、formula_244がとなるが存在するとは限らないが、formula_244をいくらでもに近く取る事ができる：
なお上の後半の性質を満たす全体の集合をと書き、近似スペクトルという。したがって上述の事実は、自己共役作用素のスペクトルは近似スペクトルと一致する事を意味する。さらに次が成立する事が知られている：
以上をまとめると、
が成立する。
スペクトル分解とは、有限次元ベクトル空間における線形作用素の固有値分解を無限次元に拡張したものであるが、単純に有限次元の固有値分解を無限次元に拡張することはできない。これは無限次元の場合、有限次元と違って連続スペクトルが存在し、連続スペクトルには点スペクトル（＝固有値）と違い、対応する固有ベクトルが存在しないことに起因する。
本稿では自己共役作用素をスペクトル分解する方法として、以下の３種類を紹介する：
これら３つのスペクトル分解のうちで、量子力学において通常用いられるスペクトル分解の定式化、すなわちデルタ関数を用いたスペクトル分解に最も近いのは最後にあげたゲルファントの三つ組によるものである。しかしこのゲルファントの三つ組によるスペクトル分解は、すべての自己共役作用素に対して適応できるわけではないという欠点を持つ上、この手法でスペクトル分解するには数学的な準備が必要となる。そこでこの手法によるスペクトル分解は後の節にまわし、本節では残り２つのスペクトル分解を紹介する。
formula_1が有限次元の場合、formula_1を
のように直和として表記可能である。ここではformula_1上の自己共役作用素であり、formula_253は固有値に対応する固有空間である。さらに任意のformula_254に対し、
である。
一方formula_1が無限次元の場合には、は非可算無限個のスペクトル点を持ちうるので、単純に上式を無限次元に拡張する事はできない。しかしベクトル空間の「直和」の代わりに「直積分」という概念を用いる事で無限次元の場合も同種の公式が成立する事が知られており、これをの直積分によるスペクトル分解と呼ぶ。本節では直積分の概念を数学的に定式化し、直積分を用いて上式を無限次元の場合に拡張する。
まず直積分の概念を定式化する。を可測な集合とし、formula_257を（有限次元または無限次元の可分な）ヒルベルト空間の族とし、formula_253上の内積をformula_259と書き表す。さらにをな上の測度とする。formula_260で
を満たすもので、「可測」（詳細後述）なものをformula_257の切断(section)と呼ぶ。さらに２つの切断formula_260、formula_264に対し、との内積を
により定義することができる。自分自身との内積formula_266が有限になる切断全体のなすベクトル空間を考え、このベクトル空間を測度に関してほとんど至る所等しい切断を同一視する事で得られるベクトル空間を
と表記し、formula_257のによると呼ぶ。直積分は前述した内積に関して完備であることが知られており、よって直積分はヒルベルト空間になる。
前節でペンディングしていたformula_260の可測性の定義を述べる。formula_260可測性を定義するには、formula_257に技術的な付加構造を加える必要がある（よって直積分はformula_257にこの付加構造を付け加えた場合のみ定義可能である）。以下の3条件を満たす可算個の切断の組formula_273が存在するとき、formula_273をformula_257の同時正規直交基底(simultaneous orthonormal basis)といい、formula_257と同時正規直交基底formula_273の組を可測構造(measurability structure)つきのヒルベルト空間族という：なお、写像formula_281が可測であるときは、formula_257は必ず同時正規直交基底を持つことが知られている。
formula_257上の可測構造を一つ固定したとき、以下の性質を満たす切断formula_260は可測であるという：
formula_1をヒルベルト空間とし、をformula_1上の自己共役作用素とする。このときのスペクトル上のσ-有限測度と可測構造つきヒルベルト空間族formula_288が存在し、次の事実が成り立つことが知られている（直積分によるスペクトル定理）
上述の定理はformula_1が無限次元の場合も、formula_1をの「固有空間」formula_253の直積分に分解でき、しかも直積分の元のによる像の「formula_253成分」であるはの「formula_253成分」を「固有値」倍したものになっている事を意味するように見えるので、formula_253をに対応するの一般化した固有空間、formula_253の元をに対応するの一般化した固有ベクトルであるとみなし得る。実際、スペクトル点においてであれば、formula_300に対し切断を
により定義すると、写像
は
を満たすので、formula_305の元はのでない固有ベクトルになる。しかしの場合にはが恒等的にである為、formula_300は通常の意味での固有空間にはならない。
直積分によるスペクトル定理は、掛け算作用素によるスペクトル定理から容易に従う。実際、掛け算作用素によるスペクトル定理より、formula_1は何らかの空間formula_308と同型で、はformula_308上で実数値関数formula_310を乗じる作用素として表現できるので、の像である実数直線上に測度を入れれば、
と表記できる。formula_312がでないの集合がと一致する事を容易に確認できるので、上記の積分をに制限すれば、直積分によるスペクトル定理が従う。
本節では、非有界作用素のスペクトル分解に必要となるスペクトル測度という概念を定式化する。まず、スペクトル測度の概念を定式化する動機を与える為に、有限次元における固有値分解を復習する。
formula_1を有限次元のヒルベルト空間とし、をformula_1上の自己共役作用素とする。有限次元の場合、自己共役作用素は必ず固有値分解可能な事が知られている。すなわちの固有値をとし、これらの固有値に対応する固有空間をとすると、formula_1の元は必ず
と表現でき、
が成立する。そこでformula_1の元のへの射影変換をとすると、明らかに
が成立する。
スペクトル測度は、以上の考察を無限次元に拡張する事を可能にする概念であり、のボレル可測部分集合に対し、formula_1の閉部分線形空間への正射影変換を対応させる。スペクトル測度の概念を直観的に説明するため、再び有限次元の場合を考えると、とスペクトルの共通部分がformula_320であるとき、スペクトル測度によるの像は、formula_1の元をformula_1の部分空間
に射影する射影変換である。
スペクトル測度の概念を厳密に定式化する。なお、スペクトル測度の概念それ自身は、のスペクトルとは無関係に定義する。スペクトル測度の概念がのスペクトルと結びつくのは、後述するスペクトル定理においてである。formula_324をformula_1の元をformula_1の閉部分線形空間に対応させる正射影作用素全体の集合とする。すなわち
さらにformula_329を上のボレル加法族とする。直観的にはこのは、自己共役作用素のスペクトルやレゾルベントの取りうる値の集合である。
写像formula_330が以下の３性質を満たすとき、をスペクトル測度、正射影作用素値測度、もしくは単位の分解という：
formula_336をスペクトル測度とするとき、次の事実が成り立つことが知られている。ここでformula_337はformula_338の内積である：
上述のように定義される測度をと書くとき、による（有界とは限らない）可測関数のルベーグ積分は何らかの非有界線形作用素を用いて、
と書ける事が知られている。この線形作用素を
と表記し、スペクトル測度によるの作用素値積分("operator-valued integral")という。
なお任意の可測関数に対しはformula_338で稠密であることが知られているので、作用素値積分はformula_338上稠密に定義された線形作用素である。またが実数値可測関数の場合は作用素値積分は必ず自己共役作用素になる事も知られている。
formula_1をヒルベルト空間するとき次の事実（スペクトル測度によるスペクトル分解定理）が成り立つ事が知られている：
なお、はのレゾルベント集合上でになる事が知られているので、上述の積分をformula_350と書き表す事もできる。
スペクトル分解定理は前述した有限次元の場合の固有値分解
の無限次元版である。実際、ディラック測度を
により定義し、スペクトル測度を
とすれば、両者が一致する事を確認できる。
スペクトル測度によるスペクトル分解定理は直積分によるスペクトル定理から容易に従う。実際、直積分によるスペクトル定理からformula_1は直積分formula_355として表現できるので、に対してをformula_356とすればよい。ここではの特性関数である。
を何らかの物理量を表す自己共役作用素とし、をのスペクトル測度とする。量子力学では以下を仮定する：
直積分を使うと、上の仮定をより直観的に表現できる。状態空間formula_338をのスペクトルでスペクトル分解して
と直積分で書き表し、を直積分の切断として
と書き表すと、直積分とスペクトル測度の関係により、状態にある系でを観測した観測値がボレル集合formula_358に属している確率は
に一致する。
また簡単な計算により、を観測した観測値の期待値が
となる事を確かめられる。
量子力学では以下を仮定する：
上述の仮定では観測値が固有値、すなわち点スペクトルに属していた場合の事を述べているが、観測値が連続スペクトルに属していた場合については何も規定していない事に注意されたい。
前節までで見たように、状態空間formula_338が無限次元である場合のスペクトル分解においては連続スペクトルが生じるため、全てのスペクトル点に対して対応する「固有関数」が存在するわけではないという困難を抱える。そこでディラックは、状態空間formula_338にデルタ関数のような超関数を添加し、これら超関数を一種の固有関数だとみなす事でこの困難を解消する道筋を建てた。
本節では、このディラックのアイデアを拡張することで得られるゲルファントの三つ組の概念を用いて、自己共役作用素をスペクトル分解する方法を説明する。
ゲルファントの三つ組の定義の基本的な雛形は、（緩増加）超関数の概念である。そこで、まず、緩増加超関数の定義を振り返る。今シュワルツ空間formula_186からヒルベルト空間formula_140へは自然な単射
が存在する。formula_64に対し、写像を
と定義すると、
なので、写像
を定義する事ができ、は反線形写像となる。
以上の議論を踏まえ、より一般に位相の定義されたベクトル空間formula_377からヒルベルト空間formula_1への連続な単射
があるとき、formula_377の双対空間formula_381を
と定義すると、シュワルツ空間formula_186のときと同様の方法により、反線形写像
を定義できる。formula_386がformula_1で稠密なとき、このようにしてできた三つ組
を、formula_389をformula_377に付随するもしくはrigged Hilbert spaceという。
写像
は反線形な埋め込み写像なので、formula_1、formula_381の共役線形空間をそれぞれformula_71、formula_395とすると、
はいずれも線形な埋め込みとなる。
物理学的に見た場合、formula_1、formula_71はそれぞれブラベクトル、ケットベクトルの空間であったので、それを含んでいるformula_381、formula_395もやはり（一般化された意味での）ブラベクトル、ケットベクトルの空間とみなすことにする。
既に述べたように、連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」はformula_1やformula_71の中には存在しなかった。そこでブラベクトル、ケットベクトルの空間をformula_1やformula_71より広い空間であるformula_381やformula_395へと拡張し、formula_381やformula_395から連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を探す、というのがゲルファントの三つ組の基本的なアイデアである。
とくにformula_410である場合は、formula_381は緩増加超関数の空間formula_412に一致するので、「固有ベクトル」としてformula_381からデルタ超関数を選ぶ事ができる。したがってこの場合は、ゲルファントの三つ組のアイデアはディラックの元々のアイデアと合致する。
先に進む前にゲルファントの三つ組に関する諸概念を定義する。
formula_381の元はformula_377の線形写像なので、formula_381の元とformula_377の元の内積を
によって定義する。をformula_1の元とするとき、
となるので、上述した内積はformula_1上の内積と両立する。
以下、"formula_422にはweak-*位相を入れたものを考える。すなわち"formula_422の点列"とformula_422の元が全てのformula_425に対し"
を満たすとき、はに収束するという""。
ディラックがデルタ関数を量子力学に導入したそもそもの動機は、デルタ関数を位置作用素に対する「固有ベクトル」とみなすというものであった。すなわち、第方向の位置作用素
に形式的に
を代入すると、この関数は以外でになる事から、
であり、したがってはformula_430の「固有値」に対応する「固有ベクトル」であるとみなせるのである。数学的に見た場合、ヒルベルト空間formula_140において自己共役作用素formula_430はそもそも固有値を持たないし、当然それに対応する固有ベクトルも存在しない。しかしこれはそもそもデルタ関数がformula_140に属さない事に起因しており、ゲルファントの三つ組の概念を用いれば、こうしたデルタ関数による固有値・固有ベクトルの概念を正当化できる。本節ではまず、固有値概念の一般化であるスペクトルの概念を定式化し、ゲルファントの三つ組においてスペクトルに対応する固有ベクトル概念に相当する一般化固有ベクトルの概念を定式化する。
formula_389をゲルファントの三つ組とし、をformula_1上の自己共役作用素とする。本節の目標はformula_1よりも広い空間であるformula_381からの固有ベクトルを探す事にあるが、そもそもはformula_1上でしか定義されていないので、formula_381の元をの固有ベクトルとみなすには、まずの定義域をformula_381上に拡張する必要がある。
そこでとして以下の２性質を満たすものを考える""。なおこの２性質を満たすとき、はformula_389に付随するゲルファントの三つ組と両立するという：
が上述の性質を満たす時、formula_444に対し、写像を
により定義すると、前述の２性質からこの定義はwell-definedであり、formula_446となる事を確かめられる。よってformula_381上の線形写像
が定義できる。
上述のように定義したは埋め込み写像と
という関係を満たすという意味での拡張になっている。実際、任意のformula_450に対し、の対称性から
であるので、の任意性から上述の事実が従う。
そこで
を満たすformula_444を、の一般化固有値に対する一般化固有ベクトルという。なお、formula_444なので、ここでいう「一般化固有ベクトル」はブラベクトルであるが、共役線形空間を考えることで、ケットベクトルの空間formula_395上にも同様に一般化固有ベクトルの概念を考える事ができる。formula_449であったので、の通常の意味での固有ベクトルは一般化固有ベクトルでもある。
定義から明らかなように、一般化固有ベクトルの定義はformula_389に依存している。と両立するformula_389は複数考えられるので、formula_389の取り方に依存して異なる一般化固有ベクトルの概念が存在する事になる。
有限次元のベクトル空間の場合、自己共役作用素の固有値分解を行うと、ベクトル空間上の任意のベクトルは、固有ベクトルの線形和として書き表す事ができる事が知られている。この性質を満たす時、自己共役作用素は固有ベクトルの完全系を持つというが、一般化固有ベクトルの場合も類似した完全系の概念を考える事ができる。
実数に対し、一般化固有値に属する一般化固有ベクトル全体の集合(すなわちの（一般化）固有空間)
を考える。formula_461に対し、との内積
のへの制限写像
はの双対空間の元である：
有限次元空間の場合であればformula_465は「の方向成分」に相当するものであるので、formula_461にformula_465の族
を対応させる写像
が単射になる時、はformula_389に関して一般化固有ベクトルの完全系を持つという。
なお、が運動量作用素である場合は、上述した写像formula_470は、フーリエ変換と自然に同一視できる事が知られている（詳細後述）。そこで上述した写像のことを一般化フーリエ変換という。
完全形の概念はweak-*位相の言葉を用いても定式化できることが知られている：
formula_476の場合に対し、運動量作用素と位置作用素の一般化固有ベクトルを調べる。
運動量作用素
がformula_478と両立する事は既に述べた。formula_479に対し、
とすると、一般化固有値対するformula_481の一般化固有ベクトルformula_482は
を満たすので、任意のformula_484に対し、
となる。よって
という微分方程式の解がformula_482となる。したがって
という形のものは全て解となる。ここで上式右辺はformula_490を乗じて積分する超関数を表す。またこれ以外に解がない事も知られている。
以上の議論からformula_491の一般化固有値に対応する一般化固有空間は
である。これは一次元空間なので、formula_493である。したがってformula_494に対し、
は、
である。すなわちformula_497をformula_498倍する写像である。したがってformula_491に関するformula_494の一般化フーリエ変換
は自然に
と同一視できる。これはformula_494をフーリエ変換したものに相当する。これがformula_468を一般化フーリエ変換と呼ぶ理由である。
位置作用素
とformula_479に対し、
とすると、formula_508の一般化固有値対する一般化固有ベクトルformula_482は
を満たすので、
デルタ関数の定数倍
がこの解になる事を簡単に確認でき、しかもこれ以外に解がない事も知られている。
以上の議論からformula_513の一般化固有値に対応する一般化固有空間は
である。これは一次元空間なので、formula_493である。したがってformula_494に対し、
は、
である。すなわちformula_519をformula_520倍する写像である。したがってformula_521に関するformula_494の一般化フーリエ変換
は自然に
と同一視でき、これはformula_72それ自身と同一視できる。よってformula_521に関するformula_494の一般化フーリエ変換はformula_72それ自身である。
本節ではformula_389に付随するゲルファントの三つ組に対するスペクトル定理について述べる。このスペクトル定理は、formula_377が核型フレシェ空間、もしくはより一般に核型局所凸空間の場合に対して成立する。核型局所凸空間の定義はテクニカルなものなので、本項ではその定義について述べるのは避けるが、重要なのは以下の集合がいずれも核型局所凸空間になるという事である：
formula_377を核型局所凸空間であるとし、をformula_389と両立する自己共役作用素とする。このとき、次が成立する次が成立する（ゲルファントの三つ組によるスペクトル定理）：
既に述べたように完全系は一般化フーリエ変換であるとみなせるが、このようにみなした場合最後の式はプランシュレルの定理に対応している。
なお、スペクトル分解が固有値分解の「無限次元版」であったことを考えると、上述したスペクトル定理における積分区間を全体ではなくに置き換えたほうが自然である。しかしformula_381におけるのスペクトルはformula_1におけるのスペクトルより大きくなる事があるので、積分区間のをに置き換えられない。をに置き換えられるとき、formula_389はにtightly riggingしているという。
本節では、ポテンシャルが時間に依存しない場合に対する系の時間発展について述べる。
formula_1を状態空間とし、formula_1上の自己共役作用素を任意に固定し、ハミルトニアンと呼ぶことにする。量子力学ではがformula_548という形で書き表せる場合を扱うが、本節の議論はが必ずしもこの形でなくとも成立する。formula_64に対し、以下の形の微分方程式をシュレディンガー方程式と呼ぶ：
ここで微分は強微分の意味で考える。すなわち
を満たすformula_553が存在する時、formula_554をにおけるformula_555の強微分といい、
と書き表す。量子力学では、formula_64の時間発展がシュレディンガー方程式に従う事を仮定する。
が有界作用素であれば、シュレディンガー方程式を以下のように解くことができる。まず
と定義すると、右辺が一様作用素位相で収束する事をの有界性から示すことができる。そこで
と定義する。これを形式的に微分すると、
となり、シュレディンガー方程式を満たす事になる。詳細は省略するが、この形式的な議論は数学的にも正当化可能である。
しかしが有界作用素ではない場合はテイラー展開
は一般には意味を持たない。実際、たとえがformula_1で稠密に定義されていたとしてもformula_564はformula_1で稠密になるとは限らない為、上述のテイラー展開が意味を持つ集合は非常に小さくなってしまうかもしれない。またたとえがformula_566に入っていたとしても、formula_567が収束するとは限らない。
そこで本節ではテイラー展開に頼らずformula_568を定義する作用素解析という手法を導入し、formula_568に関するストーンの定理を導入する事で上述の問題を解決する。
formula_1を状態空間とし、をformula_1上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。スペクトル測度によるスペクトル定理より、スペクトル測度が一意に存在し、formula_572が成立する。
そこで有界可測関数formula_573に対し、線形作用素を
により定義する事ができる。この手法により線形作用素を定義する手法を作用素解析("operational calculus")という。特に関数として指数関数を選ぶことで、
を定義できる。
作用素解析により、
と定義すると、はユニタリ変換であり、しかも準同型性を満たす。すなわち任意のformula_577に対し、
が成立する事が知られている。さらにはに関して強連続である。すなわち任意のformula_64と任意のformula_580に対し、
である。
一般にformula_1上のユニタリ変換の族formula_583で準同型性と強連続性とを満たすものを強連続１パラメータユニタリ群という。
実は強連続１パラメータ変換は、上述した指数関数のものに限られる事が知られている（）：
写像formula_591により、formula_1上の自己共役作用素に強連続１パラメータ変換を対応させる事ができる。逆にformula_583に対してその無限小生成元対応させる事で、強連続１パラメータ変換に自己共役作用素を対応させる事ができる。実は両者は逆写像の関係になっており、自己共役作用素と強連続１パラメータ変換は１対１に対応する：
formula_1を状態空間とし、をformula_1上の（有界とは限らない）自己共役作用素とする。このときformula_597を作用素解析の手法により定義し、
とする。前節で述べた事と強微分の定義から、
が成立する。さらに作用素解析の定義より、
である。最後の等号は作用素値積分の定義より従う。よって
となり、はシュレディンガー方程式の解となる。
これまで我々はいわゆるシュレディンガー描像で時間発展を記述してきた。すなわち任意のオブザーバブルは時間に関して不変であり、状態ベクトルの方が
により
と時間発展するとみなしてきた。一方同じ時間発展をハイゼンベルク描像で記述することも可能である。この場合状態ベクトルは時間に対して不変であり、オブザーバブルの方が
と時間発展するとみなせる。
をformula_1上の自己共役作用素とし、をformula_1上の自己共役作用素で、
を満たすものとし、
を取り、
とすると、これまでの議論から、formula_615が任意のformula_616に対して成立し、しかも
が成立する事が示せる。ここで上式左辺の時間微分は強微分である。
一般に自己共役作用素の族formula_618と、formula_1の元に対し、
という形のformula_618に関する方程式をハイゼンベルクの運動方程式という。上述したformula_622に関する議論は、ハイゼンベルグの運動方程式の解が存在する十分条件を示した事になる。
formula_1を状態空間とし、formula_1上の（有界とは限らない）自己共役作用素をハミルトニアンとして固定し、
とする。
formula_626を強連続１パラメータユニタリ変換群とし、をその無限小生成元とする。
このとき次の３つは同値である：
これは以下に述べる理由により量子力学におけるネーターの定理であるとみなせる。
まず最初の条件formula_628は、ハミルトニアンが強連続１パラメータユニタリ変換群formula_626に対して不変である事を示している。すなわち、によって記述される系は対称性formula_626を持つ。
一方２番目の条件はformula_630の左辺はハイゼンベルク描像で見たときのの時間発展であるので、この条件は対称性formula_626を定義する無限小生成元が運動の不変量である事を意味している。
解析力学におけるネーターの定理は系の対称性の無限小変換が運動の不変量になり、その逆も成り立つというものだったので、上述した２条件の同値性は量子力学におけるネーターの定理であると解釈できる。なお３番目の条件は、時間発展してから対称性formula_638で系を動かす行為と、対称性formula_638で系を動かしてから時間発展する事とが同一である事を意味している。
なお、ほとんどの物理の教科書では、上述した量子力学におけるネーターの定理を時間微分と交換子を用いて記述しているが、そのような記述方法は作用素の定義域に関する多くの問題点を含む。
formula_1上のユニタリ変換全体の集合をformula_641と表記すると、強連続１パラメータユニタリ変換群formula_626は実数にユニタリ変換を対応させる準同型写像
とみなす事ができる。解析力学におけるネーターの定理はこうした実数からの写像だけでなく、一般の有限次元リー群からの写像に対しても成立していた。そこで本節では量子力学における有限次元リー群のネーターの定理を見出す。有限次元リー群からformula_641への写像
で準同型性
と強連続性
とを満たすものをのformula_1上のユニタリ表現という。なおここで「強」連続と呼ぶのは、弱位相における連続性と区別するためである。
formula_650をのリー環とし、をformula_650の元とする時、
とすると、formula_626は強連続１パラメータユニタリ変換群になるので、ストーンの定理より、
を満たす自己共役作用素が存在する。よってformula_650の元に自己共役作用素を対応させる写像
が定義可能である。
formula_1上の自己共役作用素をハミルトニアンとして固定し、
とすると、強連続１パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理から、以下の３つは同値である：
これが一般のリー群に関するネーターの定理であるが、強連続１パラメータユニタリ変換群に関するネーターの定理と違い、さらにformula_650のリー括弧に関しても、以下の性質が言える事である：
なお、自己共役作用素の括弧積
はformula_668がformula_1の稠密部分集合になる場合にしか自己共役作用素ならないが、formula_1のユニタリ表現の場合には
を満たすformula_1の稠密部分集合が必ず存在する事が知られているので、括弧積は必ず自己共役作用素となる。
位置作用素formula_673と運動量作用素formula_674は、状態空間formula_140の稠密部分集合formula_186で定義された作用素である。よってこれらの交換子もformula_1の稠密部分集合formula_186上で定義可能であり、以下の関係式（正準交換関係）を満たす。ここでは単位行列であり、formula_679はクロネッカーのデルタである：
なおBLT定理より、これらの交換子はformula_1の全域に拡張可能であり、上式はformula_1の全域で成立する。
''（「ストーン＝フォン・ノイマンの定理」とも）は、正準交換関係のやや強いバージョンである「ヴァイルの関係式」を満たす有限個の「既約な」作用素の組は同型を除いて、位置作用素と運動量作用素に限られるというものである。
なお、フォン・ノイマンの一意性定理を示すには、「ヴァイルの関係式」をはじめとした正準交換関係よりも強い仮定を課す事が必須であり、正準交換関係を満たすにも関わらずフォン・ノイマンの一意性定理が成立しない反例で、物理的にも興味深い例が存在する。
フォン・ノイマンの一意性定理を定式化するために必要な概念を定義する。
formula_1上の自己共役作用素formula_685に対し、正準交換関係を指数関数の上に乗せた下記の式をヴァイルの関係式という''：
通常の正準交換関係の場合には、formula_690の定義域の共通部分がformula_1で稠密でないとそもそも交換子が定義できないという問題を抱えていたが、ヴァイルの関係式の場合、formula_690を指数関数の上に乗せた結果出来上がるユニタリ変換を取り扱っており、しかもBLT定理よりこれらのユニタリ変換の定義域はformula_1全体であるので、こうした定義域の問題は起こらない。
正準交換関係をヴァイル関係式で表す事を、正準交換関係のヴァイル表現という。なお、一般には通常の正準交換関係よりもヴァイルの関係式の方が強い制約条件であり、両者は同値ではない。
formula_1上の自己共役作用素formula_685がヴァイル表現として規約であるとは、formula_696の共通の不変真部分閉空間がformula_697のみである事をいう。すなわち閉部分空間formula_698が
をみたすなら
である事をいう。
次の事実をフォン・ノイマンの一意性定理という：
フォン・ノイマンの一意性定理は、量子力学に重要なリー群であるハイゼンベルグ群を用いる事でより簡潔に表現できる。
次のハイゼンベルグ群とは、
に以下のような積を入れる事で定義されるリー群である：
ここでformula_710、formula_711はformula_712上の内積である。
ハイゼンベルグ群が量子力学で重要なのは、対応するリー環（ハイゼンベルグリー環）が正準交換関係（でformula_713にしたもの）を満たすからである。すなわち、次のハイゼンベルグリー環は、
と表記でき、のとき、のとき、のときそれぞれ、座標軸formula_715の事をformula_716、formula_717、formula_718と書くと、これらのリー・ブラケットは
を満たす。
まずフォン・ノイマンの一意性定理の仮定をハイゼンベルグ群を用いて表現する。formula_338をヒルベルト空間とし、formula_722をformula_338上のユニタリ作用素全体の集合とする。
を
を満たす強連続な写像とし、さらに
とする。するとフォン・ノイマンの一意性定理の条件であるヴァイルの関係式は、が準同型である事を意味している。すなわちヴァイルの関係式を満たすはハイゼンベルグ群の強連続なユニタリ表現である。このように見た時、ヴァイル表現に関する規約性の条件は、このヴァイル表現が規約である事と同値である。なお、ハイゼンベルグ群のニタリ表現の事をシュレディンガー表現という。
一方、フォン・ノイマンの一意性定理の結論部分は、このユニタリ表現が同型を除いて一意であり、その唯一のユニタリ表現によるformula_727の像がそれぞれ
まとめると、以下の結論が得られる：
Mackeyはより弱い条件のもとフォン・ノイマンの一意性定理を示している：
よって特に、（可分性を仮定しなかったにも関わらず）formula_1が可分である事が従う。