Atom bakhidrogen
Suatu ion lirhidrogen (; disebut pula ion mirip hidrogen) merupakan inti atom yang memiliki satu elektron dan karenanya isoelektronik dengan hidrogen. Ion-ion tersebut membawa muatan positif formula_1, di mana formula_2 adalah nomor atom. Contoh dari ion lirhidrogen diantaranya He, Li, Be dan B. Karena ion lirhidrogen adalah sistem dwipartikel dengan interaksi yang bergantung hanya pada jarak antar kedua partikel tersebut, persamaan Schrödingernya (non-relativistik) dapat diselesaikan dalam bentuk analitik, seperti halnya persamaan Dirac (relativistik). Persamaan ini adalah fungsi satu-elektron dan dirujuk sebagai "orbital atom bakhidrogen".
Sistem lainnya dapat pula dirujuk sebagai atom bakhidrogen (; disebut pula atom mirip hidrogen atau atom hidrogenik), seperti muonium (suatu elektron yang mengorbit muon), positronium (elektron dan positron), beberapa atom eksotik) (dibentuk oleh partikel lain), atau atom Rydberg (di mana satu elektron dalam keadaan berenergi tinggi yang memperlihatkan bagian atom yang tersisa sebagai muatan titik).
Dalam penyelesaian persamaan Schrödinger, yang bersifat non-relativistik, orbital atom bakhidrogen merupakan eigenfungsi dari operator momentum sudut satu-elektron L dan komponen "z"-nya "L". Suatu orbital atom bakhidrogen secara unik diidentifikasi melalui nilai bilangan kuantum utama "n", bilangan kuantum momentum sudut "l", serta bilangan kuantum magnetik "m". Eigennilai energinya tidak bergantung pada "l" atau "m", namun hanya bergantung pada "n". Karena itu, harus ditambahkan dua bilangan kuantum spin bernilai "m" = ±½, memberi tempat bagi prinsip Aufbau. Prnsip ini membatasi nilai yang diizinkan bagi empat bilangan kuantum dalam konfigurasi elektron dari atom banyak-elektron. Dalam atom bakhidrogen seluruh orbital terdegenerasi dengan "n" dan "l" tetap, "m" dan "s" bervariasi dalam berbagai nilai untuk membentuk suatu kelopak atom.
Persamaan Schrödinger bagi atom atau ion atomik dengan lebih dari satu elektron belum dapat diselesaikan secara analitis, karena kesulitasi komputasi yang disebabkan oleh interaksi Coulomb antar elektron-elektron tersebut. Metode numerik harus diterapkan agar memperoleh (hampiran) fungsi gelombang atau sifat-sifat lain dari perhitungan mekanika kuantum. Karena simetri sferis (dari Hamiltonian), total momentum sudut J dari sebuah atom adalah kuantitas yang terjaga. Banyak prosedur numerik yang dimulai dari hasil kali orbital atom yang merupakan eigenfungsi dari operator satu-elektron L dan "L". Bagian radial dari orbital atom tersebut terkadang berupa tabel numerik atau terkadang berupa orbital Slater. Melalui penggandengan momentum sudut eigenfungsi banyak-elektron J (dan kemungkinan S) dapat dibangun.
Dalam perhitungan kimia kuantum orbital atom bakhidrogen tidak dapat dijadikan sebagai dasar ekspansi, karena mereka tidak lengkap. Keadaan kontinum terintegralkan-tak kuadrat (E > 0) harus dimasukkan untuk memperoleh suatu himpunan yang lengkap, yaitu, untuk membentangkan seluruh ruang Hilbert satu-elektron.
Dalam pemodelan yang paling sederhana, orbital atom dari ion lirhidrogen adalah penyelesaian bagi persamaan Schrödinger dalam suatu potensial simetris sferis. Dalam kasus ini, istilah potensial merupakan potensial yang dinyatakan dalam hukum Coulomb:
di mana
Setelah menuliskan fungsi gelombang sebagai hasil kali fungsi:
(dalam koordinat bola), di mana formula_5 adalah harmonik sferis, maka akan diperoleh persamaan Schrödinger berikut:
di mana formula_7 adalah, kira-kira, massa dari elektron (lebih tepatnya, massa tereduksi sistem yang terdiri dari elektron dan inti), dan formula_8 adalah konstanta Planck tereduksi.
Berbagai nilai "l" menghasilkan penyelesaian dengan momentum sudut yang berbeda, di mana "l" (suatu bilangan bulat taknegatif) adalah bilangan kuantum dari momentum sudut orbital. Bilangan kuantum magnetik "m" (memenuhi formula_9) adalah proyeksi (terkuantisasi) dari momentum sudut orbital pada sumbu-"z".