Fungsi gamma
Di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks. Yaitu, jika "n" adalah bilangan bulat positif, maka:
Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen:
Fungsi integral ini diperluas oleh kekontinuan analitik terhadap semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak-positif (di mana fungsi ini memiliki kutub-kutub yang sederhana), menghasilkan fungsi meromorfik yang kita sebut fungsi gamma.
Fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang, dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika, serta kombinatorika.
Fungsi gamma dapat dipandang sebagai solusi bagi persoalan interpolasi berikut ini:
Plot beberapa faktorial pertama memperjelas bahwa kurva tersebut dapat dilukis, tetapi akan lebih baik jika diketahui sebuah rumus yang secara tepat menggambarkan kurva tersebut, di mana banyaknya operasi tidak bergantung kepada ukuran  "x". Rumus sederhana untuk faktorial, "n"! = 1 × 2 × … × "n", tidak dapat digunakan secara langsung untuk nilai-nilai pecahan "x" karena ia hanya akan sahih ketika "x" merupakan bilangan asli ("yakni", bilangan bulat positif). Tidak terdapat solusi sederhana untuk faktorial; sembarang paduan perjumlahan, perkalian, perpangkatan, fungsi eksponensial, atau logaritma dengan sebuah bilangan tetap dari suku-suku yang terlibat tidak akan cukup untuk menyatakan "x"!. Hampiran Stirling secara asimtotik sama dengan fungsi faktorial untuk nilai x yang cukup besar. Adalah dimungkinkan untuk menentukan rumus umum faktorial dengan menggunakan alat seperti integral dan limit dari kalkulus. Solusi yang baik untuk masalah ini adalah fungsi gamma.
Terdapat tak-hingga banyaknya perluasan kontinu faktorial ke bilangan-bilangan takbulat: terdapat tak-hingga banyaknya kurva yang dapat dilukis melalui sembarang himpunan titik-titik yang terkucil. Fungsi gamma adalah solusi yang paling praktis, bersifat analitik (kecuali untuk bilangan bulat tak-positif), dan fungsi gamma dapat dikarakterisasi dalam beberapa cara. Meskipun demikian, fungsi gamma bukanlah satu-satunya fungsi analitik yang memperluas faktorial, karena jika dilakukan penambahan suatu fungsi analitik yakni nol pada bilangan bulat positif akan memberi fungsi lain dengan sifat itu.
untuk "x" yang sama dengan bilangan real positif. Teorema Bohr–Mollerup membuktikan bahwa sifat-sifat ini, bersama-sama dengan asumsi bahwa "f" konveks logaritmik (alias: "superkonveks"), menentukan "f" secara unik untuk "input" bilangan real positif. Dari sana, fungsi gamma dapat diperluas ke nilai-nilai real dan kompleks (kecuali bilangan bulat negatif dan nol) dengan menggunakan kekontinuan analitik "f" yang unik.
Notasi Γ("z") digunakan atas jasa Legendre. Jika bagian real bilangan kompleks "z" adalah positif (Re("z") > 0), maka integral
di mana formula_5 merupakan konstanta Euler–Mascheroni.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahwa definisi Euler memenuhi persamaan fungsional (1) di atas.
Sebuah parametrisasi fungsi gamma diberikan dalam suku-suku polinom Laguerre yang diperumum,
Dalam cara yang berbeda, dapat ditunjukkan bahwa
dengan bagian real "z" lebih besar daripada 1.