Aljabar linear
Aljabar linear adalah bidang studi matematika yang mempelajari sistem persamaan linear dan solusinya, vektor, serta transformasi linear. Matriks dan operasinya juga merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear.
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:
dapat dinyatakan dalam "matriks teraugmentasi" sebagai berikut
formula_1
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan "eliminasi Gauss" atau dapat juga dengan cara "eliminasi Gauss-Jordan". Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan "eliminasi Gauss" untuk mengubah bentuk "matriks teraugmentasi" ke dalam bentuk "eselon-baris" tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Matriks dapat dikatakan "Eselon-baris" apabila memenuhi persyaratan berikut :
Contoh:formula_6
"Eliminasi Gauss" adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang "Eselon-baris". Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam "matriks teraugmentasi" dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks "Eselon-baris", lakukan "substitusi balik" untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Contoh:
Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
formula_10
B1 x 1, Untuk mengubah a menjadi 1
formula_12
B2 - 1.B1, Untuk mengubah a menjadi 0
formula_13
B3 - 2.B1, Untuk mengubah a menjadi 0
formula_13
B2 x 1, Untuk mengubah a menjadi 1
formula_15
B3 + 3.B2, Untuk mengubah a menjadi 0
formula_16
B3 x 1/3, Untuk mengubah a menjadi 1 (Matriks menjadi "Eselon-baris")
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu
Kemudian lakukan "substitusi balik" maka didapatkan:
Jadi nilai dari formula_25 , formula_22 ,dan formula_28
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang "Eselon-baris tereduksi". Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam "matriks teraugmentasi" dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks "Eselon-baris tereduksi", maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa "substitusi balik".
Contoh:
Diketahui persamaan linear
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
formula_33
B2 - 2.B1
formula_34
B3 - 2.B1
formula_35
B3 - 3.B2
formula_36
1/8.B3 dan -B2
formula_37
B2 - 4.B3
formula_38
B1 - 3.B3
formula_39
B1 - 2.B2 (Matriks menjadi "Eselon-baris tereduksi")
Maka didapatkan nilai dari formula_40 , formula_41 ,dan formula_42
Yaitu sistem persamaan linear (SPL) yang semua suku konstan atau nilai ruas kanannya adalah nol.
Bentuk umum:
SPL Homogen dapat diselesaikan dengan metode Operasi Baris Elementer.
Maka, SPL Homogen tersebut diubah menjadi matriks:
formula_43
SPL Homogen ini mempunyai dua kemungkinan solusi, yaitu solusi trivial dan non trivial.Contoh:
formula_44
Penyelesaian:
formula_45
B2 - B1, B3 - 2.B1
formula_46
B3 + 3.B2
Det = 1 x 1 x 3 = 3
Karena det ≠ 0, solusi SPL Homogen tersebut trivial yaitu x = x = x = 0.Contoh:
formula_47
Penyelesaian:
formula_48
B2 - B1, B3 - 2.B1
formula_49
B3 + 3.B2
formula_50
B1 - 2.B2
Det = 1 x 1 x 0 = 0
Maka, formula_51 = formula_52t
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari "k" buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah "k" kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika "k" sebarang "skalar" maka "k"A = A "k" adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan "k". Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0.
Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
Hasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ "c" ] berordo m x n di mana
"c" = "a" "b" + "a" "b" + ... + "a" "b"
Sebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal.
Contoh :
formula_53
formula_54
formula_5
secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai
formula_56
Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut :
formula_57=formula_58
formula_59
jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka
formula_60=formula_61
Contoh :
A=formula_62
maka
formula_63=formula_64
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di atas garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks persegi dengan elemen-elemen yang berada di bawah garis diagonal utama nol.
Matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah
Teorema
Contoh :
Matriks segitiga yang bisa di invers
A =formula_67
Inversnya adalah
formula_68=formula_69
Matriks yang tidak bisa di invers
B =formula_70
Matriks kotak A disebut simetris jika formula_71
Contoh matriks simetris
formula_72
formula_73
Teorema
formula_74 adalah simetris
A + B dan A - B adalah simetris
"k"A adalah simetris
formula_75
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka formula_68 adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa formula_71 maka :
formula_78
Yang mana membuktikan bahwa formula_68 adalah simetris.
Produk formula_80 dan formula_81
formula_82 dan formula_83
Contoh
A adalah matriks 2 X 3
A =
formula_84
lalu
formula_85 = formula_86formula_84 = formula_88
formula_80 = formula_84formula_86 = formula_92
Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka formula_80 dan formula_81 juga bisa di inverse
Yang dimaksud dengan "Transpos" dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.
Contoh:
Matriks
Matriks
Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks A
untuk mencari determinan matrik A maka,
Contoh Soal:
Jawab:
Terbagi tiga jenis yaitu:
Pertama buat minor dari a
Kemudian kofaktor dari a adalah
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C=±M untuk membedakan apakah kofaktor pada adalah + atau - maka kita bisa melihat matriks di bawah ini
Begitu juga dengan minor dari a
Maka kofaktor dari a adalah
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
Contoh Soal:
Jawab:
Misalkan ada sebuah matriks A
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
Contoh Soal:
Jawab:
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks A
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
Contoh Soal:
Jawab:
untuk mencari determinan matrik A maka,
Contoh Soal:
Jawab:
Terdapat tiga tipe Operasi Baris Elementer (OBE) dan beberapa sifat determinan matriks.
Namun, hanya satu tipe OBE dan dua sifat determinan yang digunakan untuk menghitung determinan matriks.
Jika A adalah matriks segitiga (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka formula_136 adalah hasil kali elemen diagonal utama matriks tersebut.
Contoh Soal:
Jawab:
formula_138B2-4B1, B3-3B1
formula_139B3-4/3B2
Det(A) = 1x(-3)x(8/3) = -8
Jika A adalah matriks segitiga (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka formula_136 adalah hasil kali diagonal matriks tersebut
Contoh
Bila ada sebuah matriks A
Kofaktor dari matriks A adalah
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau "invers" dari A dan dapat dituliskan formula_146 ( B sama dengan "invers" A ). Matriks B juga mempunyai "invers" yaitu A maka dapat dituliskan formula_147. Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah "invers" dari A maka B = C.
Matriks A =
formula_148
dapat di-"invers" apabila ad - bc ≠ 0
Dengan Rumus =
formula_149
Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-"invers" dan formula_150
Contoh 1:
Matriks
Maka dapat dituliskan bahwa formula_146 (B Merupakan "invers" dari A)
Contoh 2:
Matriks
Karena AB ≠ BA ≠ I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.
Contoh 3:
Matriks
Tentukan Nilai dari A
Jawab:
formula_169
Contoh 4:
Matriks
Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan
Maka
Ini membuktikan bahwa formula_150
Tentukan Nilai dari A
kemudian hitung kofaktor dari matriks A
menjadi matriks kofaktor
cari adjoint dari matriks kofaktor tadi dengan mentranspose matriks kofaktor di atas, sehingga menjadi
formula_183
dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matriks A
formula_185
Tentukan Nilai dari A
Diawali dengan
formula_188
Operasikan Matriks tersebut
formula_189
B2 + B1
formula_190
B3 - 2.B1
formula_191
B3 + 3/2.B1
formula_192
1/4.B2, 2.B3
formula_193
B2 - 5/4.B3
formula_194
B1 - 5.B3
formula_195
B1 - 5.B2
Jika Ax = b adalah sebuah sistem linear "n" yang tidak di ketahui dan det(A)≠ 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik
di mana A adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom dengan matrik b
Contoh soal:
Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini
Jawab:
bentuk matrik A dan b
kemudian ganti kolom dengan matrik b
dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matriks-matriks di atas
maka,
dan,
Jika "A" dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema "equivalent statements", maka "R" = "I", jadi det("R") = 1 ≠ 0 dan det("A") ≠ 0. Sebaliknya, jika det("A") ≠ 0, maka det("R") ≠ 0, jadi "R" tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema "R" = "I", maka "A" adalah dapat diinvers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.
Contoh Soal :
karena det("A") = 0. Maka "A" adalah dapat diinvers.
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan λx-Ax=0, atau dengan memasukkan matriks identitas menjadi
Contoh soal: diketahui persamaan linear
dapat ditulis dalam bentuk
yang kemudian dapat diubah
yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi
sehingga didapat bentuk formula_220
namun untuk menemukan besar dari λ perlu dilakukan operasi
dan dari contoh diperoleh
atau
dan dari hasil faktorisasi di dapat formula_224 dan formula_225
dengan memasukkan nilai λ pada persamaan formula_226, maka "eigenvector" bisa didapat
formula_227
dengan mengasumsikan formula_228 maka didapat formula_229. jadi formula_230
formula_231
dengan mengasumsikan formula_228 maka didapat formula_233. jadi formula_234
Vektor di dalam n-Ruang
Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a.a...a). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n – grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a, a, a) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a, a, a merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, di mana a, a, a merupakan komponen vector. Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n – grup topel (a, a, ..., a) bisa dilihat sebagai antara sebuah “poin umum” atau “vector umum”- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan oleh
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn
Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
Jika u = (u1, u2, ..., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh –u dan dijelaskan oleh
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan oleh
atau, dalam istilah komponen,
Sifat-sifat dari vektor dalam formula_235
jika formula_236 , formula_237 , dan formula_238 adalah vektor dalam formula_235 sedangkan "k" dan "m" adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) "k" ("m" u) = ("k m") u
(f) "k" (u + v) = "k" u + "k" v
(g) ("k" + "m") u = "k" u + "m" u
(h) 1u = u
Perkalian "dot product" formula_240 didefinisikan sebagai
formula_259
 Dalam formula_260. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang formula_235
jika u = formula_262
Maka Panjang vektor u
formula_263
dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v
formula_264
interpolasi polinominal p(x)=ax+ax+...+ax+a adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari data (x,y),(x,y),(x,y),(x,y).
Jika kita tuliskan P(x)=ax+ax+ax+a
bentuk equivalentnya : p(x)=a(x-x)+p(x)=a(x-x)+p(x)=a(x-x)+a
dari kondisi interpolasi p(x)=y maka didapatkan a=y , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=b(x-x)(x-x)(x-x)+b(x-x)(x-x)+b(x-x)+b
inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
p(x)=b
p(x)=bh+b
p(x)=b(h+h)h+b(h+h)+b
p(x)=b(h+h+h)(h+h)h+b(h+h+h)(h+h)+b(h+h+h)+b
sehingga jika kita tuliskan dalam bentuk matrix:
Berdasarkan operator "T:R -> R" yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w="T"(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
"x = -x = -x + 0y"
"x = y = 0x + y"
atau dalam bentuk matrik :
formula_265
Secara umum, operator pada R dan R yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Berdasarkan operator "T:R -> R" yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w="T"(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
"x = x = x + 0y"
"x = 0 = 0x + 0y"
atau dalam bentuk matrik :
formula_266
Persamaan tersebut bersifat linier, maka "T" merupakan operator linier dan matrikx "T" adalah:
formula_267
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R dan R merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam R melalui sudut ɵ disebut operator rotasi pada R. Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut ɵ positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w="T"(x), dimisalkan ɵ adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan "r" adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos Θ ; y = r cos Θ dan w = r cos (ɵ + ɸ) ; w= r sin (ɵ + ɸ)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
w = r cos ɵ cos ɸ - r sin ɵ sin ɸ
w = r sin ɵ cos ɸ + r cos ɵ sin ɸ
kemudian disubtitusi sehingga:
w = x cos Θ - y sin Θ
w = x sin Θ + y cos Θ
Persamaan di atas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan di atas adalah:
formula_268
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret "n + 1" di titik (x,y)..., (x,y). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva "p(x) = aformula_269 + aformula_270 + ... + ax + a" dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
formula_271
karena x diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
formula_272formula_273 = formula_274
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi di mana "n = m". Dengan menganggap "n = m" memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial "p(x)":
formula_275formula_276 = formula_274 (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
formula_278formula_279 = formula_280
Untuk data di atas, kita mempunyai
formula_281formula_279 = formula_283
formula_284
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
formula_285
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
formula_286
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
formula_287
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
formula_288
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
formula_289
Baris ke-4 dibagi dengan 2
formula_290
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
formula_291
Jadi, interpolasinya adalah "formula_292