Paritas nol
Nol adalah bilangan genap. Dengan kata lain, "paritas"—penggambaran dari sebuah bilangan bulat sebagai genap atau ganjil—genap. Cara paling sederhana untuk membuktikan bahwa nol bahkan adalah memeriksa bahwa nol cocok dengan definisi "genap": nol adalah bilangan bulat kelipatan dari 2, tepatnya 0 × 2. Sebagai hasilnya, nol memiliki semua sifat-sifat yang mencirikan bilangan genap: 0 habis dibagi oleh 2, 0 diapit dari kedua sisi dengan angka ganjil, 0 adalah jumlah dari sebuah bilangan bulat (0) dengan dirinya sendiri, dan himpunan 0 benda dapat dibagi menjadi dua himpunan dengan imbang.
Nol juga mengikuti pola-pola yang dibentuk oleh bilangan genap. Paritas aturan aritmetika, seperti "genap - genap = genap", memerlukan 0 menjadi genap. Nol adalah elemen identitas penjumlahan dari kelompok bilangan bulat genap, dan merupakan kasus awal ynag mendefinisikan secara rekursif bilangan asli lainnya. Penerapan dari rekursi ini, mulai dari dari teori graf sampai komputasi geometri bergantung pada nol sebagai bilangan genap. Tidak hanya 0 habis dibagi 2, 0 habis dibagi oleh setiap pangkat dari 2, yang relevan dalam angka biner sistem yang digunakan oleh komputer. Dalam hal ini, 0 adalah bilangan "paling genap".
Di kalangan masyarakat umum, paritas dari nol menjadi simpang siur. Di percobaan waktu reaksi, orang lebih lambat untuk mengidentifikasi 0 sebagai genap dibandingkan 2, 4, 6, atau 8. Beberapa siswa dari matematika—dan beberapa guru—berpikir bahwa zero adalah ganjil, atau keduanya (genap dan ganjil), atau bukan keduanya. Peneliti di bidang pendidikan matematika mengusulkan bahwa kesalahpahaman ini bisa menjadi kesempatan belajar. Belajar persamaan seperti 0 × 2 = 0 dapat mengatasi keraguan siswa untuk menyatakan 0 sebagai bilangan dan menggunakannya dalam aritmetika. Diskusi kelas dapat mengarahkan siswa untuk memahami prinsip-prinsip dasar dari penalaran matematis, seperti pentingnya definisi. Mengevaluasi paritas yang nomor ini adalah contoh awal dari tema dalam matematika: abstraksi dari konsep yang umum, ke kurang umum.
Standar definisi dari "bilangan genap" dapat digunakan untuk langsung membuktikan bahwa nol adalah genap. Bilangan disebut "genap" jika merupakan kelipatan bilangan bulat dari 2. Sebagai contoh, alasan 10 bilangan bulat adalah bahwa hal itu sama dengan 5 × 2. Dengan cara yang sama, nol merupakan kelipatan bilangan bulat dari 2, yaitu 0 × 2, jadi nol bilangan bulat.
Nol sebagai bilangan bulat dapat juga dijelaskan tanpa mengacu pada definisi formal. Penjabaran berikut menjelaskan gagasan bahwa nol bilangan genap menggunakan konsep dasar bilangan. Dari konsep ini, seseorang dapat memberikan alasan untuk definisi—dan penerapannya dalam angka nol..
Nol adalah bilangan, dan bilangan digunakan untuk menghitung. Diberikan sebuah himpunan objek, orang menggunakan bilangan untuk menjelaskan berapa banyak benda-benda yang ada dalam himpunan. Nol adalah banyaknya tanpa benda; dalam penjelasan formal, nol adalah banyaknya dari benda-benda di dalam himpunan kosong. Konsep paritas digunakan untuk membuat kelompok dua benda. Jika benda-benda dalam suatu himpunan dapat dibagi menjadi dua kelompok, dan tidak ada yang tersisa, maka jumlah benda genap. Jika ada benda yang tersisa, maka jumlah benda ganjil. Himpunan kosong berisi dua kelompok kosong, dan tidak ada objek yang tersisa dari pengelompokan ini, jadi nol genap.
Ide-ide ini dapat digambarkan dengan menggunakan benda yang berpasangan. Sulit untuk menggambarkan dua kelompok kosong, atau untuk menekankan ketiadaan sisa objek, sehingga hal ini membantu untuk menarik kelompok lainnya dan untuk membandingkan mereka dengan nol. Misalnya, dalam kelompok lima objek, ada dua pasang. Yang lebih penting, ada sisa objek, sehingga 5 adalah ganjil. Di kelompok empat benda-benda, tidak ada sisa objek, sehingga 4 adalah genap. Dalam kelompok hanya satu objek, tidak ada pasangan, dan ada sisa objek, sehingga 1 adalah ganjil. Dalam kelompok objek nol, tidak ada sisa-sisa objek, sehingga 0 genap.
Ada lagi definisi konkrit dari genap: jika benda dalam suatu himpunan dapat ditempatkan ke dalam dua kelompok dengan ukuran yang sama, maka jumlah benda adalah genap. Definisi ini setara dengan yang pertama. Jadi, nol genap karena himpunan kosong dapat dibagi menjadi dua kelompok dengan masing masing nol benda.
Bilangan juga dapat divisualisasikan sebagai titik pada garis bilangan. Ketika genap dan angka ganjil dibedakan satu sama lain, muncul pola yang jelas, terutama jika bilangan negatif juga digunakan:
Genap dan angka ganjil saling bergaintan. Mulai dari genap, menghitung naik atau turun dua langkah mencapai angka genap lainnya, dan tidak ada alasan untuk melewatkan nol.
Dengan pengenalan perkalian, paritas dapat didekati dengan cara yang lebih formal menggunakan ekspresi aritmetika. Setiap bilangan bulat adalah salah satu dari bentuk (2 × ▢) + 0 atau (2 × ▢) + 1; mantan angka-angka yang genap dan yang terakhir adalah ganjil. Misalnya, 1 adalah ganjil karena 1 = (2 × 0) + 1, dan 0 adalah karena bahkan 0 = (2 × 0) + 0. Membuat meja dari fakta-fakta ini kemudian memperkuat garis bilangan gambar di atas.
Definisi istilah matematika, seperti "genap" yang berarti "bilangan bulat kelipatan dari dua", pada akhirnya adalah sebuah konvensi. Tidak seperti "genap", beberapa istilah matematika sengaja dibangun untuk mengecualikan hal sepele atau kasus degenerasi. Bilangan prima adalah contoh yang terkenal. Sebelum abad ke-20, definisi bilangan prima tidak konsisten, dan matematikawan hebat seperti Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley, dan Kronecker menulis bahwa 1 adalah bilangan prima. Dalam definisi modern dari "bilangan prima" adalah "bilangan bulat positif dengan tepat 2 faktor", maka 1 bukan bilangan prima. Definisi ini dapat dirasionalisasi dengan mengamati bahwa ini lebih sesuai dengan teroema matematika yang menyangkut bilangan prima. Misalnya, teorema fundamental aritmetika lebih mudah ketika 1 tidak dianggap sebagai prima.
Dengan cara yang sama, kita dapat mendefinisikan istilah "genap" yang tidak sesuai dengan nol. Namun, dalam kasus ini, definisi baru yang akan membuat lebih sulit untuk menyatakan teorema mengenai bilangan genap. Efeknya dapat dilihat di teorema fundamental aritmetika. Yang paling relevan adalah aturan yang menyangkut penambahan, pengurangan, dan perkalian:
Dengan memasukkan nilai-nilai yang sesuai ke sisi kiri dari aturan ini, dapat menghasilkan 0 pada sisi kanan:
Aturan di atas akan menjadi tidak benar jika nol bukan bilangan genap. Setidakknya aturan tersebut harus diubah. Misalnya, salah satu studi menegaskan bahwa angka genap yang dipahami sebagai bilangan bulat kelipatan dua, tapi nol "bukan genap ataupun ganjil". Dengan demikian, panduan aturan untuk genap dan angka ganjil mengandung pengecualian:
Membuat pengecualian untuk nol dalam definisi kegenapan memaksa untuk membuat pengecualian pada aturan untuk angka genap. Dari perspektif lain, menggunakan aturan yang dipatuhi oleh bilangan genap positif dan membutuhkan bahwa mereka terus berlaku untuk bilangan bulat memaksa definisi umum dan kegenapan dari nol.