Ruang topologi
Dalam topologi dan subbidang matematika terkait, ruang topologi dapat didefinisikan sebagai sebuah himpunan titik-titik beserta hubungan ketetanggaan antara titik-titik tersebut. Pentingnya konsep topologi adalah, ia dapat memberikan ide yang persis tapi umum kepada konsep-konsep kedekatan dan kekontinuitasan. Ruang topologi adalah struktur yang memperkenankan kita untuk memformalkan konsep seperti konvergensi, keterhubungan dan kontinuitas.
Terdapat beberapa cara lain yang setara dalam mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan, misalnya melalui himpunan terbuka atau melalui himpunan tertutup. Definisi-definisi ini mungkin tidak seintuitif definisi ketetanggaan, namun seringkali definisi lain secara logis lebih sederhana dan untuk beberapa kasus memberikan metode yang paling baik untuk mendefinisikan sebuah topologi atas sebuah himpunan.
Kebergunaan konsep topologi ditunjukkan dengan banyaknya definisi yang setara, sehingga diperlukan pemilihan definisi yang cocok untuk masing-masing aplikasi. Definisi yang paling sering digunakan adalah melalui himpunan terbuka, tetapi definisi yang lebih intuitif mungkin melalui hubungan ketetanggaan.
Definisi ini dicetuskan oleh Felix Hausdorff. Misalkan "X" adalah sebuah himpunan, dengan anggota-anggotanya yang sering kali disebut "titik-titik", meski sebenarnya bisa obyek matematis apapun. "X" boleh himpunan kosong. Pilih sebuah fungsi N yang menyematkan kepada setiap titik "x" sebuah koleksi N("x") keluarga subhimpunan dari "X". Anggota-anggota dari N("x") disebut ketetanggaan dari "x" terhadap N (atau cukup, "ketetanggaan dari x"). Fungsi N disebut topologi ketetanggaan jika aksioma-aksioma di bawah terpenuhi; dan pasangan (X, N) adalah sebuah ruang topologi.Tiga aksioma pertama dari hubungan ketetanggaan memiliki maksud yang jelas. Aksioma ke-empat memiliki peran penting dalam menentukan struktur topologi ketetanggaan N, yaitu menentukan hubungan ketetanggaan dari titik-titik yang berbeda.
Contoh umum dari hubungan ketetanggaan adalah sistem ketetanggaan pada garis bilangan riil, dimana "N" adalah ketetanggaan dari sebuah bilangan riil "x" jika ia memuat sebuah interval terbuka yang memiliki "x" sebagai anggotanya.
Dengan struktur demikian, sebuah subhimpunan "U" dari "X" disebut subhimpunan terbuka jika "U" merupakan ketetanggaan bagi seluruh anggotanya.
Diberikan himpunan tak-kosong "X", suatu koleksi "formula_1" yang berisikan himpunan-himpunan bagian dari "X" dikatakan topologi pada "X", jika ia memenuhiPasangan "formula_8" dikatakan ruang topologi, dengan koleksi "formula_1" disebut sebagai topologi pada "X", serta anggota "formula_1 "disebut sebagai himpunan terbuka dari "X".
Menggunakan hukum de Morgan, aksioma-aksioma di atas yang menggunakan himpunan terbuka dapat diubah menjadi aksioma-aksioma menggunakan himpunan tertutup:Menggunakan aksioma-aksioma ini topologi pada "X" ditentukan oleh koleksi "formula_1" keluarga subhimpunan tertutup dari "X" dengan komplemennya adalah himpunan terbuka.
Ada banyak cara lain yang setara untuk mendefinisikan topologi pada sebuah himpunan, atau dengan kata lain, definisi melalui hubungan ketetanggaan, himpunan terbuka, maupun himpunan tertutup dapat dibangun kembali dari konsep lain dan masih mematuhi aksioma-aksioma tersebut. Misalnya, melalui aksioma penutupan Kuratowski, dan titik-titik akumulasi dari kumpulan jala.