Bilangan kuantum azimut
Bilangan kuantum azimut adalah bilangan kuantum untuk suatu orbital atom yang menentukan momentum sudut orbital dan menggambarkan bentuk orbital. Bilangan kuantum azimut adalah bilangan kuantum kedua dari seperangkat bilangan kuantum yang menjelaskan unik dari sebuah elektron (bilangan kuantum lainnya adalah bilangan kuantum utama, yang diikuti , , dan ). Ini juga dikenal sebagai bilangan kuantum momentum sudut orbital, bilangan kuantum orbital atau bilangan kuantum kedua, dan dilambangkan sebagai ℓ.
Terdapat empat bilangan kuantum yang terkait dengan keadaan energi elektron suatu atom yaitu: "n", "ℓ", "m", dan "m". Semuanya menyatakan keadaan kuantum yang lengkap dan unik dari elektron tunggal dalam suatu atom, dan menyusun atau orbitalnya. Fungsi gelombang dari persamaan Schrödinger mengurangi tiga persamaan yang jika dipecahkan, mengarah pada tiga bilangan kuantum pertama. Oleh karena itu, persamaan untuk tiga bilangan kuantum pertama kesemuanya saling terkait. Bilangan kuantum azimut muncul dalam penyelesaian bagian polar dari persamaan gelombang seperti ditunjukkan di bawah. Untuk membantu pemahaman tentang konsep azimut ini, mungkin juga bermanfaat untuk meninjau , dan/atau sistem koordinat matematis alternatif selain sistem koordinat Kartesius. Umumnya, sistem koordinat sferis paling cocok untuk model sferis, sistem silindris untuk tabung, kartesius untuk volume secara umum, dan seterusnya.
Momentum sudut elektron atom, "L", berhubungan dengan bilangan kuantumnya "ℓ" sesuai persamaan berikut:
dengan "ħ" adalah tetapan Planck tereduksi, L adalah operator momentum sudut orbital dan formula_2 adalah fungsi gelombang elektron. Bilangan kuantum "ℓ" selalu bilangan bulat positif: 0, 1, 2, 3, dst. Sementara banyak buku teks pengantar tentang mekanika kuantum dengan L mengacu pada dirinya sendiri, L tidak memiliki makna sebenarnya kecuali penggunaannya sebagai . Bila mengacu pada momentum sudut, lebih baik menggunakan bilangan kuantum "ℓ".
Orbital atom memiliki bentuk khas yang dilambangkan dengan huruf. Dalam ilustrasi, huruf s, p, dan d menggambarkan bentuk orbital atom.
Fungsi gelombang mereka berbentuk harmonis sferis, dan dijelaskan oleh polinomial Legendre. Berbagai orbital yang berkaitan dengan nilai "ℓ" yang berbeda kadang-kadang disebut sub-kelopak, dan (terutama untuk alasan historis) disebut dengan huruf, sebagai berikut:
Masing-masing keadaan momentum sudut yang berbeda dapat menampung 2(2"ℓ" + 1) elektron. Hal ini karena bilangan kuantum ketiga "m" (dapat dianggap sebagai proyeksi kuantisasi dari vektor momentum sudut pada sumbu z) bergerak dari −"ℓ" ke +"ℓ" dalam satuan bilangan bulat, sehingga terdapat kemungkinan keadaan sebanyak 2"ℓ" + 1. Setiap orbital "n", "ℓ", "m" yang berbeda dapat ditempati oleh dua elektron dengan spin yang berlawanan (diberikan oleh bilangan kuantum "m" = ±½), menghasilkan 2(2"ℓ" + 1) elektron secara keseluruhan. Orbital dengan "ℓ" lebih tinggi daripada yang diberikan dalam tabel sangat dimungkinkan, namun nilai tersebut mencakup semua atom yang sejauh ini telah ditemukan.
Untuk nilai tertentu dari bilangan kuantum utama "n", nilai "ℓ" yang mungkin berada pada kisaran mulai 0 sampai n – 1; sehingga, kelopak "n" = 1 hanya memiliki satu subkelopak s dan hanya dapat menampung 2 elektron, kelopak "n" = 2 memiliki satu subkelopak s dan satu subkelopak p dan dapat menampung 8 elektron secara keseluruhan. Kelopak "n" = 3 memiliki subkelopak s, p, dan d dan memiliki maksimum 18 elektron, dan seterusnya. Secara umum, jumlah elektron maksimum pada tingkat energi ke-"n" adalah 2"n".
Bilangan kuantum momentum sudut, "ℓ", mengatur jumlah simpul planar yang melalui nukleus. Simpul planar dapat dijelaskan dalam gelombang elektromagnetik sebagai titik tengah antara puncak dan lembah, yang mempunyai magnitudo nol. Pada orbital s, tidak ada simpul yang melalui nukleus, sehingga bilangan kuantum azimutnya adalah 0. Pada orbital p, satu simpul melintasi nukleus dan oleh karena itu "ℓ" memiliki nilai 1. "L" memiliki nilai  "ħ".
Terdapat bilangan kuantum momentum sudut "ℓ" dan deret yang mengikutinya, bergantung pada nilai "n". Panjang gelombang berikut ini adalah untuk atom hidrogen:
Diberikan momentum sudut total terkuantisasi formula_3 yang merupakan jumlah dari dua momentum sudut individual terkuantisasi formula_4 dan formula_5,
bilangan kuantum formula_7 yang terkait dengan magnitudonya dapat berkisar dari formula_8 hingga formula_9 dengan tahapan bilangan bulat di mana formula_10 dan formula_11 adalah bilangan kuantum yang sesuai dengan besaran momentum sudut individunya.
Momentum sudut orbital tidak lagi bergerak Hamiltonan, juga tidak berputar, karena dalam atom. Sehingga, ini berubah dari waktu ke waktu. Namun, momentum sudut total J bergerak Hamiltonan secara konstan. J didefinisikan melalui
L menjadi momentum sudut orbital dan S adalah spin. Momentum sudut total memenuhi hubungan komutasi yang sama seperti momentum sudut orbital, yaitu
dari persamaan berikut
dengan "J" mewakili "J", "J", dan "J".
Bilangan kuantum yang menggambarkan sistem, yang konstan dari waktu ke waktu, sekarang "j" dan "m", didefinisikan melalui aksi J pada fungsi gelombang formula_2
Sehingga "j" berhubungan dengan norma momentum sudut total dan "m" terhadap proyeksi di sepanjang sumbu tertentu.
Seperti halnya momentum sudut dalam mekanika kuantum, proyeksi J sepanjang sumbu lain tidak dapat didefinisikan bersama dengan "J", karena mereka tidak bergerak.
"j" dan "m", bersama-sama dengan paritas dari , menggantikan tiga bilangan kuantum "ℓ", "m" dan "m" (proyeksi spin sepanjang sumbu tertenu). Bilangan kuantum sebelumnya dapat dikaitkan dengan yang lebih baru.
Selanjutnya, vektor eigen dari "j", "s", "m" dan paritas, yang juga merupakan vektor eigen dari Hamiltonan, adalah kombinasi linear vektor eigen dari "ℓ", "s", "m" dan "m".Bilangan kuantum azimut diturunkan dari model atom Bohr, dan diajukan oleh Arnold Sommerfeld. Model Bohr berasal dari analisis spektroskopi atom yang dikombinasikan dengan model atom Rutherford. Tingkat kuantum terendah ditemukan memiliki momentum sudut nol. Orbit dengan momentum sudut nol dianggap sebagai muatan berosilasi dalam satu dimensi dan disebut orbit "pendulum". Dalam tiga dimensi, orbit menjadi bulat tanpa simpul yang melintasi nukleus, serupa (dalam keadaan energi terendah) dengan tali "skipping" yang berosilasi dalam satu lingkaran besar.