Distribusi Maxwell-Boltzmann
Dalam fisika, khususnya mekanika statistik, distribusi Maxwell-Boltzmann yang menggambarkan kecepatan partikel dalam gas, di mana partikel bergerak bebas antara tumbukan kecil , tetapi tidak berinteraksi satu sama lain, sebagai fungsi suhu dari sistem, massa partikel, dan kecepatan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas. Tidak ada perbedaan antara keduanya dalam perkembangan dan hasilnya
Ini merupakan distribusi probabilitas untuk kecepatan sebuah partikel yang berwujud gas - Besaran dari vektor kecepatan, yang berarti pada suhu tertentu, partikel akan memiliki kecepatan yang dipilih secara acak dari distribusi, tapi lebih cenderung berada dalam satu rentang dari beberapa kecepatan yang lain
Distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk gas ideal di dalam kesetimbangan termodinamika dengan efek kuantum yang dapat diabaikan dan di kecepatan non-relativistik. Ini membentuk dasar dari teori kinetik gas, yang memberikan penjelasan sederhana dari banyak sifat gas fundamental, termasuk tekanan dan difusi Namun ada perluasan untuk kecepatan relativistik, lihat distribusi Maxwell-Juttner di bawah ini.
Distribusi ini dinamai dari nama James Clerk Maxwell dan Ludwig Boltzmann.
Biasanya distribusi Maxwell-Boltzmann mengacu pada kecepatan molekul, tetapi juga berlaku untuk distribusi momentum dan energi dari molekul.
Untuk jumlah vektor 3-dimensi, komponennya diperlakukan independen dan terdistribusi normal dengan rata-rata sama dengan 0 dan standar deviasi dari " a ". jika "X" didistribusikan sebagai formula_8, maka
disebut sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann dengan parameter " a ". Terlepas dari skala parameter " a ", distribusi identik dengan distribusi chi yang memiliki 3 derajat kebebasan.
Turunan asli oleh Maxwell diasumsikan bahwa ketiga arah akan memikiki perilaku yang sama, tetapi turunan selanjutnya yang dikembangkan oleh Boltzmann mematahkan asumsi ini dengan teori kinetik. Distribusi Maxwell-Boltzmann (untuk energi) sebagian besar dapat langsung diturunkan dari distribusi Boltzmann untuk energi (lihat juga statistik Maxwell-Boltzmann dari mekanika statistik):
dimana:
Ingat bahwa kadang-kadang persamaan di atas ditulis tanpa faktor degenerasi "g". Dalam hal ini "i" akan menentukan keadaan masing-masing, bukan satu set keadaan "g" yang memiliki energi "E" yang sama. Karena vektor kecepatan dan kecepatan berkaitan dengan energi, maka persamaan 1 dapat digunakan untuk menurunkan hubungan antara suhu dan kecepatan molekul dalam gas. Penyebut dalam persamaan ini dikenal sebagai fungsi partisi kanonik.
Berikut ini adalah turunan yang berbeda dari turunan yang dijelaskan oleh James Clerk Maxwell dan kemudian digambarkan dengan sedikit asumsi berdasarkan Ludwig Boltzmann. Sebaliknya turunan ini mirip dengan pendekatan Boltzmann pada tahun 1877.
Untuk kasus sebuah "gas ideal" yang terdiri dari atom- atom yang tidak berinteraksi pada keadaan dasar, semua energinya berada dalam bentuk energi kinetik, dan "g" konstan untuk semua "i". Hubungan antara energi kinetik dan momentum untuk partikel yang besar adalah
dimana "p" adalah kuadrat dari vektor momentum
p = ["p", "p", "p"]. Dengan demikian persamaan 1 dapat ditulis sebagai:
dimana"Z" adalah fungsi partisi, sesuai dengan penyebut pada persamaan 1. Dalam persamaan ini "m" adalah massa molekul gas,"T" adalah suhu termodinamika dan"k" adalah konstanta Boltzmann. Distribusi "N"/"N" sebanding terhadap fungsi probabbilitas densitas "f" untuk menemukan molekul dengan nilai-nilai komponen momentum ini, maka:
Konstanta normalisasi "c", dapat ditentukan dengan melihat kemungkinan bahwa sebuah molekul pasti memiliki nilai "momentum" 1. Oleh karena itu integral dari persamaan 4 untuk "p","p", dan "p" harus 1.
Dapat ditunjukkan bahwa:
Mengganti Persamaan 5 ke persamaan 4 menghasilkan:
Distribusi ini adalah produk dari tiga variabel independen yang terdistribusi normal formula_16, formula_17, dan formula_18, dengan variansi formula_19. Selain itu, dapat dilihat bahwa besarnya momentum akan didistribusikan sebagai distribusi Maxwell-Boltzmann, dengan formula_20.
Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk momentum (atau sama untuk vektor kecepatan) dapat diperoleh lebih mendasar menggunakan teorema-H pada kesetimbangan dalam kerangka teori kinetik.
Menggunakan "p"² = 2"mE", dan fungsi distribusi untuk besaran momentum (lihat di bawah), kita mendapatkan persamaan distribusi energi:
Karena energi yang sebanding dengan jumlah kuadrat dari tiga komponen momentum yang terdistribusi normal, distribusi ini adalah distribusi gamma dan distribusi chi-kuadrat dengan tiga derajat kebebasan.
Pada teorema equipartisi, energi ini dibagi rata di antara ketiga derajat kebebasan, sehingga energi per derajat kebebasan yang didistribusikan sebagai distribusi chi-kuadrat memiliki satu derajat kebebasan:
dimana formula_23 adalah energi per derajat kebebasan. Pada kesetimbangan, distribusi ini akan berlaku untuk sejumlah derajat kebebasan. Misalnya, jika partikelnya merupakan dipol massa yang kaku, partikel tersebut akan memiliki tiga derajat kebebasan translasi dan dua derajat kebebasan rotasi tambahan. Energi dari setiap derajat kebebasan akan dijelaskan sesuai dengan distribusi chi-kuadrat dengan satu derajat kebebasan, dan total energi akan didistribusikan menurut distribusi chi-kuadrat dengan lima derajat kebebasan. Hal ini memiliki implikasi pada teori specific heat gas.
Distribusi Maxwell-Boltzmann juga dapat diperoleh dengan menganggap gas menjadi jenis gas kuantum.
Mengetahui bahwa densitas probabilitas vektor kecepatan "f" sebanding dengan fungsi densitas probabilitas momentum oleh
dengan menggunakan p = mv maka kita mendapatkan
yang merupakan distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann. Probabilitas untuk menemukan partikel dengan vektor kecepatan dalam elemen yang sangat kecil ["dv", "dv", "dv"] dengan vektor kecepatan v = ["v", "v", "v"] adalah
Seperti momentum, distribusi ini dipandang sebagai produk dari tiga variabel independen terdistribusi normal yaitu formula_27, formula_28, and formula_29, namun dengan variansi formula_30. Hal ini dapat juga menunjukkan bahwa distribusi vektor kecepatan Maxwell-Boltzmann untuk vektor kecepatan ["v", "v", "v"] adalah produk dari distribusi untuk masing-masing arah:
dimana distribusi untuk satu arah adalah
Setiap komponen dari vektor kecepatan memiliki distribusi normal dengan rata-rata formula_33 dan standar deviasi formula_34, sehingga vektor memiliki distribusi normal 3-dimensi, disebut juga distribusi "multinormal", dengan rata-rata formula_35 dan standar deviasi formula_36.
Biasanya, kita lebih tertarik pada kecepatan molekul daripada vektor kecepatan komponennya. Distribusi Maxwell-Boltzmann untuk kecepatan diambil dari distribusi vektor kecepatan, di atas. Perhatikan bahwa kecepatan adalah
dan kenaikan volumenya sebesar
dimana formula_39 dan formula_40 adalah "arah" (azimut dari vector kecepatan) dan "path angle" (elevasi sudut dari vektor kecepatan). Integrasi vektor kecepatan dari fungsi densitas probabilitas normal di atas, selama berada di arah (dari 0 hingga formula_41) dan path angle (dari 0 hingga formula_42),dengan substitusi kecepatan untuk jumlah kuadrat komponen vektor, menghasilkan fungsi densitas probabilitas
untuk kecepatan. Persamaannya menjadi Maxwell distribution dengan parameter distribusi formula_44.
Kita seringkali lebih tertarik dalam jumlah seperti kecepatan rata-rata partikel daripada distribusi sebenarnya. Kecepatan rata-rata, kecepatan yang paling mungkin (mode), dan akar kuadrat rata-rata dapat diperoleh dari sifat distribusi Maxwell.
Kecepatan relatif diartikan sebagai formula_45, dimana formula_46 adalah kecepatan yang paling mungkin. Distribusi kecepatan relatif memungkinkan perbandingan gas yang berbeda, bergantung pada suhu dan berat molekul.
Walaupun persamaan di atas memberikan distribusi untuk kecepatan atau, dengan kata lain, sebagian kecil waktu dari molekul yang memiliki kecepatan tertentu, kita seringkali lebih tertarik pada jumlah seperti kecepatan rata-rata daripada distribusi keseluruhan.
Kecepatan yang paling mungkin, "v", adalah kecepatan yang paling mungkin dimiliki oleh setiap molekul (dengan massa yang sama "m" ) dalam sistem dan sesuai dengan nilai maksimum atau mode dari "f"("v"). Untuk menemukannya, kita menghitung "df"/"dv", mengubahnya ke nol dan mencari nilai untuk "v"
sehingga dihasilkan:
Dimana "R" adalah konstanta gas dan "M" = "N" "m" adalah massa molar dari molekul.
Untuk nitrogen diatomik (N, komponen utama dari udara) pada suhu kamar (300 K), hal ini menghasilkan
Kecepatan rata-rata adalah rata-rata matematika dari distribusi kecepatan
Akar kuadrat rata-rata dari kecepatan, "v" adalah akar kuadrat dari kecepatan kuadrat rata-rata:
Typical speeds dihubungkan sebagai berikut:
Ketika suhu gas meningkat dan "kT" mendekati atau melewati "mc", distribusi probabilitas untuk formula_53 dalam relativistik Maxwellian untuk gas dinyatakan dengan distribusi Maxwell–Juttner:
dimana formula_55 formula_56 dan formula_57 adalah fungsi Bessel dari jenis kedua yang dimodifikasi.
Alternatif lainnya dapat juga ditulis dalam bentuk momentum sebagai berikut:
dimana formula_59. Persamaan Maxwell-Juttner adalah kovarian, tetapi tidak dapat dibuktikan, dan temperatur gas tidak bervariasi dengan kecepatan total gas.