Homeomorfisme
Dalam cabang matematika bidang topologi, homeomorfisme atau isomorfisme topologi atau fungsi dwikontinu atau dwimalar adalah fungsi kontinu antara ruang topologi yang memiliki fungsi invers yang juga kontinu. Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dua ruang topologi dengan sebuah homeomorfisme antara keduanya disebut homeomorfik. Kata "homeomorfisme" berasal dari kata-kata bahasa yunani "ὅμοιος" ("homoios") = mirip atau sama dan "μορφή" ("morphē") = bentuk, bentuk, diperkenalkan di dalam matematika oleh Henri Poincaré pada tahun 1895.
Secara kasar, sebuah ruang topologi adalah obyek geometri, dengan homeomorfisme-nya adalah tekukan dan regangan secara malar ke bentuk yang baru. Sehingga, persegi dan lingkaran merupakan homeomorfik satu sama lain, tapi tidak dengan kulit bola dan torus. Namun, deskripsi ini dapat menjerumuskan. Beberapa deformasi malar bukanlah sebuah homeomorfisme, misalnya pengkerutan garis menjadi titik. Beberapa homeomorfisme bukanlah deformasi malar, misalkan homeomorfisme antara simpul trefoil dan lingkaran.
Salah satu lelucon matematika yang sering diulang-ulang adalah seorang topologis tidak bisa membedakan antara cangkir kopi dan donat, dikarenakan donat yang cukup lunak dapat dibentuk menjadi cangkir kopi dengan membuat sebuah cekungan yang kemudian dibesarkan sembari menjaga tetap ukuran lubang donat sebagai gagang cangkir.
Sebuah fungsi formula_1 antara dua ruang topologi formula_2 dan formula_3 disebut homeomorfisme jika memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
Fungsi dengan tiga sifat ini disebut juga dwikontinu. Jika terdapat fungsi dengan sifat-sifat tersebut, kita katakan formula_2 dan formula_3 adalah homeomorfik. Sebuah swahomeomorfisme atau otohomeomorfisme merupakan homeomorfisme dari sebuah ruang topologi ke dirinya sendiri. Homeomorfisme membentuk sebuah hubungan kesetaraan dalam sebuah kelas atau keluarga ruang topologi. Kelas kesetaraan ini disebut kelas homeomorfisme.
Syarat ketiga, yaitu formula_21 supaya kontinu, sangat penting. Misalkan sebuah fungsi formula_22 (lingkaran dalam formula_23) yang didefinisikan sebagaiformula_24. Fungsi ini bijektif dan kontinu, tapi bukan merupakan sebuah homeomorfisme (formula_25 bersifat kompak tetapi formula_26 tidak kompak). Fungsi formula_21 tidak kontinu pada titikformula_28, dikarenakan meskipun formula_21 memetakan formula_28 ke formula_31, seluruh tetangga dari titik ini juga mengandung titik-titik yang oleh fungsi invers ini dipetakan dekat dengan formula_32, tapi titik-titik tersebut berada di luar tetangga formula_32.
Homeomorfisme adalah isomorfisme dalam kategori ruang topologi. Dengan demikian, komposisi dari dua homeomorfisme juga merupakan homeomorfisme, dan himpunan dari semua swahomeomorfisme formula_34 membentuk sebuah grup, yang disebut grup homeomorfisme dari "X", yang sering dilambangkan formula_35. Grup ini dapat diberikan topologi, seperti topologi kompak-terbuka, dimana dengan asumsi-asumsi tertentu dapat membuatnya menjadi grup topologis.
Untuk beberapa tujuan, grup homeomorfisme mungkin terlalu besar, tapi dengan hubungan isotopi, kita bisa mengurangi grup ini menjadi grup kelas pemetaan.
Seperti biasanya dalam teori kategori, jika diberikan dua ruang yang saling homeomorfik, ruang homeomorfisme antara keduanya, formula_36adalah sebuah torsor untuk grup homeomorfisme formula_35 dan formula_38dan, dengan menentukan sebuah homeomorfisme antara formula_39 dan formula_40ketiga himpunan dapat diidentifikasi.