Matematika dan arsitektur
Matematika dan arsitektur saling terkait seperti halnya seni lainnya, arsitek menggunakan matematika untuk beberapa alasan. Selain matematika yang dibutuhkan dalam teknik bangunan, para arsitek menggunakan geometri untuk menentukan bentuk ruang bangunan. Dari Pythagoras di abad ke-6 SM, hingga seterusnya; menciptakan bentuk-bentuk yang dianggap harmonis, dalam menyusun bangunan dan lingkungannya yang sesuai dengan prinsip matematika, estetika dan kadang-kadang juga aspek-aspek religius. Menghiasi bangunan dengan benda-benda matematis seperti tesselasi; dan memenuhi fungsi lingkungan, seperti meminimalkan kecepatan angin di sekitar basis bangunan tinggi.
Di Mesir Kuno, Yunani Kuno, India dan dunia Islam; bangunan termasuk piramida, kuil, masjid, istana dan monumen makam ditata dengan proporsi yang spesifik karena alasan agama. Dalam arsitektur Islam, bentuk geometris dan pola ubin geometris digunakan untuk menghias bangunan, baik di dalam maupun di luar bangunan. Beberapa candi Hindu memiliki struktur fraktal, di mana komponen-komponennya menyerupai bentuk keseluruhannya, serta menyampaikan pesan tentang kosmologi Hindu yang tak terbatas. Dalam arsitektur Tiongkok, tulou yang berada di provinsi Fujian berbentuk melingkar, dengan struktur pertahanan komunal. Pada abad ke-21, ornamen matematis juga digunakan untuk menutupi bangunan masyarakat umum.
Dalam arsitektur Renaisans, simetri dan proporsi dengan teliti ditegaskan oleh arsitek seperti Leon Battista Alberti, Sebastiano Serlio dan Andrea Palladio, yang dipengaruhi oleh karya Vitruvius yang berjudul "De architectura" dari Romawi Kuno dan aritmetika Pythagoras dari Yunani Kuno. Pada akhir abad ke-19, Vladimir Shukhov di Rusia dan Antoni Gaudí di Barcelona mempelopori penggunaan struktur hiperboloid di Sagrada Família, Gaudí juga memasukkan paraboloid hiperbolik, tesselasi, lengkungan katener, katenoid, helikoid, dan permukaan teratur. Di abad ke-20, gaya arsitektur modern dan dekonstruktivisme mengeksplorasi berbagai geometri untuk mencapai efek yang diinginkan. Permukaan minimum digunakan semaksimal mungkin sebagai atap penutup yang berbentuk seperti tenda di Bandara Internasional Denver, sementara Richard Buckminster Fuller mempelopori penggunaan struktur kerang tipis yang dikenal sebagai kubah geodesik.
Arsitek Michael Ostwald dan Kim Williams, mempertimbangkan hubungan antara arsitektur dan matematika. Perlu diperhatikan bahwa bidang yang umum dipahami mungkin tampak hanya terhubung sedikit; di mana arsitek adalah profesi yang berkaitan dengan masalah praktis dalam membuat bangunan, sedangkan matematika murni mempelajari jumlah dan benda abstrak lainnya. Tapi, mereka berpendapat bahwa kedua bidang ini sudah sangat terhubung sejak zaman dahulu. Di Romawi Kuno, Vitruvius menggambarkan seorang arsitek adalah orang yang mengenal berbagai disiplin ilmu lainnya, terutama geometri; yang memungkinkannya mengawasi perajin terampil di semua area yang diperlukan, seperti tukang batu dan tukang kayu. Hal yang sama diterapkan pula di Abad Pertengahan, di mana para lulusan belajar aritmetika, geometri dan estetika di samping silabus dasar tata bahasa, logika, dan retorika (trivium) di aula elegan yang dibuat oleh ahli bangunan yang telah membimbing banyak pengrajin. Seorang ahli rancang bangun berada di puncak profesinya, dan diberi gelar arsitek atau insinyur. Di masa Renaisans, quadrivium yang terdiri dari aritmetika, geometri, musik dan astronomi menjadi silabus ekstra yang diharapkan dari generasi Renaisans seperti Leon Battista Alberti. Demikian pula di Inggris, Sir Christopher Wren, yang dikenal saat ini sebagai arsitek pertama, yang juga seorang astronom terkenal.
Williams dan Ostwald selanjutnya mengulas interaksi antara matematika dan arsitektur pada tahun 1500; di mana sosiolog Theodor Adorno, mengidentifikasi tiga kecenderungan di kalangan arsitek yang terdiri dari: menjadi revolusioner dengan memperkenalkan gagasan baru sepenuhnya; atau menjadi reaksioner, dan gagal mengenalkan perubahan; atau menjadi revivalis, yang benar-benar berpandangan mundur. Mereka berpendapat bahwa arsitek telah menghindari pembuktian matematika dalam mendapat inspirasi di zamannya. Ini akan dijelaskan tentang mengapa dalam periode revivalis, Arsitektur Kebangkitan Gothik di Inggris abad ke-19; hanya memiliki sedikit keterhubungan dengan matematika. Sama halnya, mereka mencatat bahwa matematika hampir tidak dijadikan bahan pertimbangan di periode reaksioner seperti Mannerisme di Italia yang terjadi sekitar tahun 1520 hingga 1580, atau gerakan Barok dan Palladian di abad ke-17. Sebaliknya, gerakan revolusioner di awal abad ke-20 seperti aliran Futurisme dan Konstruktivisme secara aktif menolak gagasan lama, serta menghargai matematika yang mengarah pada arsitektur Modern. Menjelang akhir abad ke-20, geometri fraktal dengan cepat digunakan oleh arsitek, seperti halnya dalam ubin aperiodik, yang memberikan kesan atraktif dan memiliki daya tarik bagi bangunan.
Arsitek menggunakan matematika karena beberapa alasan, salah satunya menjauhi penggunaan penting matematika dalam rekayasa bangunan. Pertama, mereka menggunakan geometri karena geometri dapat mendefinisikan bentuk ruang bangunan. Kedua, mereka menggunakan matematika untuk merancang bentuk yang dianggap cantik atau serasi. Sejak zaman Pythagoras dengan falsafah angka religius mereka, arsitek di Yunani Kuno, Romawi Kuno, dunia Islam dan Renaisans Italia telah memilih proporsi binaan lingkungan, yaitu bangunan dan rancangan lingkungannya—yang disesuaikan dengan prinsip matematika dan estetika, serta kadang-kadang juga aspek-aspek religius. Ketiga, mereka menggunakan benda matematis seperti tesselasi untuk menghias bangunan. Keempat, mereka juga menggunakan matematika dalam bentuk pemodelan komputer untuk memenuhi tujuan lingkungan, seperti meminimalkan arus putaran udara di dasar bangunan tinggi.
Seorang arsitek Romawi kuno yang berpengaruh, Vitruvius, pernah berpendapat bahwa desain bangunan seperti kuil bergantung pada dua kualitas, yaitu proporsi dan" symmetria". Proporsi memastikan bahwa setiap bagian bangunan terhubung secara harmonis dengan bagian lainnya. "Symmetria "dalam penggunaan Vitruvius berarti sesuatu yang mendekati modularitas ("modularity") lebih dari simetri cermin, karena hal ini berkaitan dengan perakitan komponen (modular) ke dalam keseluruhan bangunan. Pada Basilika di Fano, dia menggunakan rasio bilangan bulat kecil, terutama bilangan segitiga (1, 3, 6, 10, ...) untuk proporsi struktur menjadi modulus (Vitruvian). Dengan demikian lebar hingga panjang Basilika adalah 1:2; dengan lorong di sekelilingnya setinggi lebarnya, 1:1; kolom setinggi lima kaki dan tingginya lima puluh kaki, 1:10.
Vitruvius menamai tiga kualitas arsitektur yang dibutuhkan dalam "De architectura", pada tahun 15 SM: kekokohan, kegunaan (atau ""commodity"" dalam bahasa Inggris Henry Wotton di abad ke-16), dan sukaria. Hal ini dapat digunakan sebagai kategori untuk mengklasifikasikan bagaimana cara matematika digunakan dalam arsitektur. Kekokohan meliputi penggunaan matematika untuk memastikan sebuah bangunan dapat berdiri, oleh karena itu alat matematika yang digunakan dalam desain yang mendukung konstruksi, misalnya untuk memastikan stabilitas dan pemodelan kinerja. Kegunaan sebagian berasal dari penerapan matematika yang efektif, penalaran dan analisis hubungan spasial dan hubungan lainnya dalam suatu desain. Sukaria adalah atribut yang dihasilkan dari bangunan, yang dihasilkan dari perwujudan hubungan matematis di dalam bangunan; Ini mencakup kualitas estetika, sensual dan intelektual.
Pantheon di Roma telah bertahan utuh, menggambarkan struktur klasik Romawi, proporsi, dan dekorasi. Struktur utamanya adalah kubah, apeks dibiarkan terbuka sebagai lingkaran okulus yang membiarkan cahaya masuk; yang berhadapan dengan barisan tiang pendek dengan pedimen segitiga. Tinggi okulus dan diameter lingkaran interiornya sama, yaitu 43,3 meter (142 ft), sehingga keseluruhan interior pas, dan tepat berada di dalam kubus, serta bagian interiornya bisa menampung bola dengan diameter yang sama. Dimensi ini lebih masuk akal bila diungkapkan dalam unit pengukuran Romawi kuno: Kubahnya membentang 150 kaki Romawi); okulus tersebut berdiameter 30 kaki Romawi; pintu keluar berukuran 40 kaki Romawi yang tinggi. Pantheon tetap menjadi kubah beton terbesar di dunia.
Risalah Renaisans pertama tentang arsitektur ditulis adalah Leon Battista Alberti pada tahun 1450, dengan judul "De re aedificatoria" (Seni Bangunan); Ini menjadi buku cetak pertama tentang arsitektur pada tahun 1485. Sebagian didasarkan pada karya arsitek Vitruvius, "De architectura" dan aritmetika Pythagoras melalui Nicomachus. Alberti memulai dengan sebuah kubus, dan mendapatkan rasio darinya. Selain itu, diagonal wajah memberi rasio 1:√2, sedangkan diameter bola yang membatasi kubus memberikan 1:√3. Alberti juga mendokumentasikan penemuan perspektif linier Filippo Brunelleschi, yang dikembangkan untuk memungkinkan proses desain bangunan yang akan terlihat indah proporsional apabila dilihat dari jarak dekat.
Teks utama berikutnya adalah karya Sebastiano Serlio berjudul "Regole generali d'architettura" (Aturan Umum Arsitektur); volume pertama muncul di Venesia tahun 1537; volume 1545 (buku 1 dan 2) mencakup geometri dan perspektif. Dua metode Serlio dalam membangun perspektif adalah salah, tetapi hal ini tidak menghentikan karyanya yang telah banyak digunakan secara luas.
Pada tahun 1570, Andrea Palladio menerbitkan buku yang berjudul "I quattro libri dell'architettura" (Empat Buku Arsitektur) di Venesia. Buku yang dicetak secara luas ini sebagian besar bertanggung jawab menyebarkan gagasan Renaisans di Italia ke seluruh Eropa, yang dibantu dengan karya pendukungnya seperti diplomat Inggris Henry Wotton, yang karyanya diterbitkan tahun 1624 dengan judul" The Elements of Architecture". Proporsi setiap ruangan di dalam vila dihitung berdasarkan rasio matematika sederhana seperti 3:4 dan 4:5, dan ruangan yang berbeda di dalam rumah saling terkait dengan rasio ini. Arsitek sebelumnya telah menggunakan formula ini untuk menyeimbangkan satu fasad simetris; namun, desain Palladio berhubungan dengan keseluruhan, yang biasanya berbentuk persegi, seperti vila. Palladio mengizinkan sejumlah rasio dalam "Quattro libri ", yang menyatakan:
Pada tahun 1615, Vincenzo Scamozzi menerbitkan risalah Renaisans akhir berjudul "L'Idea dell'Architettura Universale" (Gagasan Arsitektur Universal). Dia berusaha menghubungkan desain kota dan bangunan dengan gagasan Vitruvius dan Pythagoras, dan gagasan Palladio yang lebih baru.
Struktur hiperboloid mulai digunakan menjelang akhir abad ke-19 oleh Vladimir Shukhov untuk tiang, mercusuar dan menara pendingin. Bentuk mencolok keduanya selain kuat, juga menarik secara estetika, dan menggunakan bahan struktural yang ekonomis. Menara hiperboloidal Shukhov pertama dipamerkan di Nizhny Novgorod pada tahun 1896.
Gerakan Arsitektur Modern pada awal abad ke-20 dipelopori oleh Konstruktivisme Rusia, yang menggunakan geometri Euklid "rectilinear" (juga disebut Kartesian). Dalam gerakan De Stijl, bidang horizontal dan vertikal dipandang sebagai sesuatu yang universal. Bentuk arsitekturnya terdiri dari penempatan dua kecenderungan arah secara bersamaan, menggunakan bidang atap, bidang dinding dan balkon, yang meluncur dengan melewati atau saling berpotongan satu sama lain, seperti pada Rumah Rietveld Schröder pada tahun 1924 oleh Gerrit Rietveld.
Arsitek modernis bebas menggunakan kurva dan juga bidang datar. Stasiun Arnos Charles Holden pada tahun 1933 memiliki ruang tiket yang melingkar dari bata dengan atap beton yang datar. Pada tahun 1938, pelukis Bauhaus Laszlo Moholy-Nagy mengadopsi tujuh elemen bioteknik Raoul Heinrich Francé, yaitu bentuk kristal, bola, kerucut, bidang datar, strip (kuboidal), batang (silinder), dan spiral, seperti halnya blok dasar bangunan arsitektur, yang terinspirasi dari alam.
Le Corbusier mengusulkan skala antropometrik dari proporsi dalam arsitektur, di mana Modulor didasarkan pada tinggi badan manusia. Karya Le Corbusier pada tahun 1955, yaitu Chapelle Notre Dame du Haut Le Corbusier menggunakan kurva bentuk bebas yang tidak dapat digambarkan dalam formula matematika. Bentuk-bentuk tersebut terinspirasi dari bentuk-bentuk alamiah seperti bentuk jalannya kapal atau bentuk tangan yang sedang berdoa. Desainnya hanya pada skala terbesar: tidak ada hirarki rinci pada skala yang lebih kecil, dan karenanya tidak memiliki dimensi fraktal. Hal yang sama berlaku untuk bangunan di abad ke-20 yang terkenal lainnya, seperti Gedung Opera Sydney, Bandara Internasional Denver, dan Museum Guggenheim, di Bilbao.
Arsitektur kontemporer, menurut pendapat 90 arsitek terkemuka yang menanggapi Survei Arsitektur Dunia pada tahun 2010, sangat beragam; di mana Museum Guggenheim karya Frank Gehry di Bilbao, dinilai sebagai yang terbaik.
Bangunan akhir Bandara Internasional Denver, yang selesai dibangun tahun 1995, memiliki atap kain yang didukung dengan permukaan minimum (yaitu nilai kelengkungan rata-rata adalah nol) oleh kabel baja. Bangunan ini menimbulkan pegunungan Colorado yang tertutup salju dan tenda-tenda "teepee" penduduk asli Amerika.
Richard Buckminster Fuller adalah arsitek yang terkenal dengan desain struktur kerang tipis yang dikenal sebagai kubah geodesik. Kubah Biosfer Montréal berukuran ; dengan diameter .
Gedung Opera Sydney memiliki atap dramatis yang terdiri dari kubah putih yang membumbung tinggi, yang mengingatkan pada layar kapal; untuk membuatnya memungkinkan didirikan, maka dibangun dengan menggunakan komponen-komponen terstandar, di mana kubah-kubah tersebut semuanya terdiri dari bagian segitiga dari kerang-kerang berbentuk bulat dengan radius sama. Bangunan ini memiliki kelengkungan yang seragam di segala arah.
Gerakan dekonstruksi di akhir abad ke-20 ("Deconstructivism") menciptakan kekacauan yang disengaja dengan apa yang Nikos Salingaros sebut dalam "A Theory of Architecture", sebagai 'bentuk-bentuk acak' ("random" "forms"), dengan kompleksitas tinggi, yang menggunakan dinding-dinding non-paralel, serta kisi yang dilapisi dan kompleks permukaan dua dimensi, seperti pada Gedung Konser Walt Disney dan Museum Guggenheim Frank Gehry, di Bilbao. Hingga abad ke-20, mahasiswa arsitektur diwajibkan untuk memiliki landasan dalam matematika. Salingaros berpendapat bahwa modernisme "yang terlalu sederhana, dan didorong secara politis", yang kemudian menjadi dekonstruktivisme yang "anti-sains", telah efektif memisahkan arsitektur dari matematika. Dia juga percaya bahwa "pembalikan nilai matematis" ini berbahaya, karena "estetika yang menjalar" dari arsitektur non-matematis melatih orang "untuk menolak informasi matematis di lingkungan binaan"; Dia juga berpendapat bahwa hal ini berdampak negatif pada masyarakat.
Piramida Mesir Kuno adalah kuburan yang dibangun dengan proporsi yang dipilih dengan hati-hati, di mana hal ini telah banyak diperdebatkan. kemiringan lereng sekitar 51°85', dan rasio tinggi kemiringan mencapai setengah panjang dasarnya yaitu 1,619, kurang dari 1% dari rasio emas. Hal ini merupakan metode perancangan yang menyiratkan penggunaan segitiga Kepler (sudut muka jenjang 51°49'). Meskipun kemungkinan kemiringan piramida dipilih dari segitiga 3-4-5 (sudut muka jenjang 53°8'), yang dikenal dari Papirus Matematika Rhind (sekitar 1650 -1550 SM); atau dari segitiga dengan rasio dasar terhadap sisi miring 1:4/π (sudut muka jenjang 51°50').
Kemungkinan penggunaan segitiga 3-4-5 yang menghasilkan sudut kanan, seperti bidang dasar piramida, dan pengetahuan teorema Pythagoras yang akan diimplikasikan, telah banyak ditegaskan. Ini adalah konjektur pertama yang ditemukan oleh sejarawan Moritz Cantor pada tahun 1882. Telah diketahui bahwa sudut kanan ditemukan secara akurat di Mesir Kuno; dan para surveyor mereka menggunakan tali pengikat untuk mengukur; Plutarchos mencatatnya dalam "Isis dan Osiris "(sekitar tahun 100 M) bahwa orang Mesir mengagumi segitiga 3-4-5; dan bahwa Papyrus Berlin 6619 dari Kerajaan Pertengahan Mesir (sebelum tahun 1700 SM) dinyatakan sebagai "luas kuadrat 100 sama dengan dua persegi yang lebih kecil. Satu sisi adalah ½ + ¼ sisi yang lain." Sejarawan matematika Roger L. Cooke mengamati bahwa, "Sulit membayangkan ada orang yang tertarik pada kondisi seperti itu, tanpa mengetahui teorema Pythagoras." Berlawanan dengan pendapat ini, Cooke mencatat bahwa tidak ada teks Mesir sebelum 300 SM yang benar-benar menyebutkan penggunaan teorema untuk menemukan panjang sisi segitiga, dan ada beberapa cara sederhana untuk membangun sudut siku-siku. Cooke menyimpulkan bahwa konjektur Cantor masih tetap tidak pasti: dia juga menduga bahwa orang Mesir Kuno mungkin memang tahu teorema Pythagoras, tapi "tidak ada bukti bahwa mereka menggunakannya untuk membangun sudut kanan".
Vaastu Shastra adalah kanon arsitektur dan perencanaan kota India kuno yang menggunakan gambar simetris yang disebut mandala. Perhitungan kompleks digunakan untuk sampai pada dimensi bangunan dan komponennya. Desainnya dimaksudkan untuk memadukan arsitektur dengan alam, fungsi relatif berbagai bagian struktur, dan kepercayaan kuno menggunakan pola geometris (yantra), simetri dan keteraturan arah. Namun, arsitek awal mungkin telah menemukan proporsi matematis dengan tidak sengaja. Ahli matematika Georges Ifrah mencatat bahwa "trik" sederhana dengan tali dan ranting dapat digunakan untuk menyusun bentuk geometri, seperti bentuk elips dan sudut siku-siku.
Matematika fraktal telah digunakan untuk menunjukkan alasan mengapa bangunan yang ada memiliki daya tarik universal dan juga memuaskan secara visual; karena pola-pola ini memberikan ketelitian skala dengan jarak pandang yang berbeda. Misalnya, di gerbang-gerbang gapura tinggi kuil Hindu seperti Kuil Virupaksha di Hampi yang dibangun di abad ke-7, dan yang lainnya seperti Kuil Kandariya Mahadewa di Khajuraho, bagian dan keseluruhannya memiliki karakter yang sama, dengan dimensi fraktal di kisaran 1,7 sampai 1,8. Sekelompok menara kecil (shikhara, lit. 'gunung') tentang menara tertinggi dan berada di tengah; yang mewakili Gunung Kailash yang suci, tempat tinggal Dewa Siwa, menggambarkan pengulangan tak berujung alam semesta dalam kosmologi Hindu. Sarjana studi agama William J. Jackson mengamati pola menara yang dikelompokkan di antara menara-menara kecil, dan dikelompokkan di antara menara yang lebih kecil lainnya, bahwa:
Kuil Meenakshi Amman adalah kompleks dengan beberapa tempat suci, di mana jalan-jalan di Madurai terbentang secara konsentris di sekitarnya sesuai yang ditulis dalam shastra. Keempat pintu gerbang menara tinggi (gapura) memiliki struktur fraktal berulang seperti halnya di Hampi. Pagar di sekeliling masing-masing kuil berbentuk persegi panjang, serta dikelilingi tembok-tembok batu yang tinggi.
Pythagoras (sekitar 569 - 475 SM) dan pengikutnya, orang-orang Pythagoras, berpendapat bahwa "segala sesuatu adalah bilangan". Mereka mengamati harmoni yang dihasilkan oleh nada dengan rasio frekuensi bilangan bulat kecil tertentu, dan berpendapat bahwa bangunan juga harus dirancang dengan rasio semacam itu. Kata Yunani '"symmetria"' awalnya melambangkan harmoni bentuk arsitektur, dengan rasio yang tepat dari detail terkecil bangunan hingga keseluruhan desainnya.
Parthenon berdiameter , lebar dan tinggi ke atas "cornice" (ornamen di atas bangunan atau pilar). Ini memberi rasio lebar dengan panjang 4:9, dan rasio yang sama untuk tinggi dan lebarnya. Menempatkannya bersama-sama memberi nilai tinggi:lebar:panjang 16:36:81 dari angka Pythagoras 4:6:9. Nilai-nilai ini menetapkan modul 0,858 m. Persegi panjang dengan rasio 4:9 dapat dibangun dengan tiga persegi panjang, yang bersebelahan pada sisi dalam dengan rasio 3:4. Setiap setengah persegi panjang kemudian merupakan segitiga kanan 3:4:5 yang tepat, yang memungkinkan sudut dan sisi-sisinya dapat diperiksa dengan simpul yang sesuai. Area bagian dalam ("naos") memiliki hal yang sama dengan proporsi 4:9 (dengan lebar , dan panjang 48,3 m); rasio antara diameter kolom luar, , dan jarak pusatnya, , yang juga 4:9.
Parthenon dianggap oleh penulis seperti John Julius Norwich sebagai "Kuil Dorik paling sempurna yang pernah ada". Penyempurnaan arsitekturnya yang rumit mencakup "korespondensi halus antara lengkungan stilobat, dinding lancip "naos" dan "entasis" kolom"." Entasis "mengacu pada penurunan subtil diameter kolom saat menaik. Stilobat adalah platform tempat kolom berdiri. Seperti di kuil-kuil Yunani klasik lainnya, platform ini memiliki kelengkungan parabolik kecil mengarah ke atas untuk mengalirkan air hujan dan memperkuat bangunan ketika menahan gempa. Oleh karena itu, kolom itu seharusnya condong ke arah luar, tapi ternyata kolom ini sedikit condong ke dalam sehingga jika terus tegak, kolom-kolom ini akan saling bertemu sekitar satu mil di atas pusat bangunan; karena memiliki ketinggian yang sama, kelengkungan tepi stilobat luar ditransmisikan ke arkitraf dan atap di atas: "semua mengikuti aturan yang dibangun dengan kurva yang rumit".
Rasio emas diketahui pada 300 SM, ketika Euklid menggambarkan metode konstruksi geometris. Telah diketahui bahwa rasio emas digunakan dalam desain Parthenon dan bangunan kuno Yunani lainnya, sama halnya dengan patung, lukisan, dan vas bunga. Penulis terkini seperti Nikos Salingaros, bagaimanapun, meragukan semua klaim ini. Percobaan dengan komputer oleh ilmuwan George Markowsky, gagal menemukan bentuk lain untuk persegi panjang emas.
Sejarawan seni Islam Antonio Fernandez-Puertas mengemukakan bahwa Alhambra, sama seperti Masjid Agung Cordoba, dirancang menggunakan kaki atau "'codo"' Hispano-Muslim, sekitar 0,62 meter (2 ft). Di istana Lions of the Lions, proporsinya mengikuti serangkaian akar dalam matematika. Sebuah persegi panjang dengan sisi 1 dan √2 memiliki nilai (dengan teorema Pythagoras) diagonal √3, yang menggambarkan segitiga siku-siku yang dibuat oleh sisi-sisi bangunan; seri berlanjut dengan √4 (dengan rasio 1: 2), √ 5 dan seterusnya. Pola dekoratif juga berbentuk proporsional, √2 menghasilkan persegi di dalam lingkaran dan bintang bersudut delapan, √3 menghasilkan bintang bersudut enam. Tidak ada bukti yang mendukung klaim sebelumnya bahwa rasio emas digunakan di Alhambra. Istana Lions of the Lions dibatasi oleh Aula Dua Suster dan Aula Abelisrajes; bentuk segi enam dapat ditarik dari pusat dua ruangan ini dan keempat sudut di dalam istana Lions of the Lions.
Masjid Selimiye di Edirne, Turki, dibangun oleh Mimar Sinan yang menyediakan ruang di mana mihrab dapat terlihat dari mana saja di dalam gedung. Ruang pusat yang sangat besar diatur sedemikian rupa sehingga berbentuk segi delapan, yang dibentuk oleh delapan pilar besar, dan dibatasi oleh kubah melingkar berdiameter 31,25 meter (102,5 ft) dan tinggi . Segi delapan dibentuk menjadi persegi dengan bentuk empat semi-kubah, dan secara eksternal dibangun oleh empat menara yang sangat tinggi, ukuran tingginya . Denah bangunan tersebut terdiri dari sebuah lingkaran dalam oktagon yang berada dalam persegi.
Arsitektur Mughal, yang dikenal sebagai peninggalan kota kekaisaran Fatehpur Sikri dan juga kompleks Taj Mahal, memiliki tatanan matematis dan estetika tinggi yang didasarkan pada simetri dan harmoni.
Taj Mahal menunjukkan arsitektur Mughal, yang keduanya mewakili surga dan menampilkan kekuasaan Kaisar Mughal, Shah Jahan melalui skala, simetri dan dekorasi mahalnya. Mausoleum dengan marmer putih, dihiasi dengan pietra dura; bangunan-bangunan besar lainnya seperti gerbang besar ("Darwaza-i rauza"), taman dan jalan secara bersamaan membentuk desain hirarkis terpadu. Bangunan tersebut meliputi sebuah masjid pada batu pasir merah di sebelah barat, dan sebuah bangunan Jawab yang hampir identik, yang secara harfiah berarti 'jawaban' berada di sebelah timur, menjaga simetri bilateral kompleks. Kawasan charbagh (taman empat kali lipat) dengan empat bagian yang melambangkan empat sungai surga, dan menampilkan pemandangan dan pantulan mausoleum; yang dibagi menjadi 16 parter.
Kompleks Taj Mahal diletakkan pada sebuah petak, yang terbagi menjadi petak-petak kecil. Sejarawan arsitektur Koch dan Barraud setuju dengan akun tradisional yang memberi lebar kompleks 374 meter Mughal atau gaz, di mana kawasan utama terbagi menjadi tiga persegi berukuran 374-gaz. Ini terbagi di wilayah seperti bazaar dan perhotelan yang terbagi lagi menjadi ruangan-ruangan berukuran 17-gaz; taman dan teras berada pada luas ruang 23 gaz, dan lebar 368 gaz (16 x 23). Mausoleum, masjid dan pondok tamu ditata di atas petak seluas 7 gaz. Koch dan Barraud mengamati bahwa jika sebuah oktagon digunakan berulang kali dalam sebuah kompleks yang bersisi 7 unit, maka akan memiliki lebar 17 unit, yang akan membantu menjelaskan pilihan nilai rasio pada kompleks.
Basilika patriarkal Kristen Hagia Sophia di Bizantium (sekarang Istanbul), dibangun pertama kali pada tahun 537 (dua kali dibangun ulang), selama seribu tahun merupakan katedral terbesar yang pernah didirikan. Hal ini mengilhami banyak bangunan yang didirikan kemudian seperti Sultan Ahmed dan masjid-masjid lain di kota ini. Arsitektur Bizantium mencakup sebuah nave yang dimahkotai oleh kubah bundar dan dua buah kubah-setengah berdiameter sama (), dengan lima kubah kecil lainnya membentuk apse dan empat sudut bulat dari bagian dalam persegi panjang yang luas. Bentuk ini ditafsirkan oleh arsitek abad pertengahan yang merepresentasikan hal-hal duniawi yang berada di bawah (dasar bujur sangkar) dan langit Ilahiah yang berada di atas (kubah bola yang meninggi). Kaisar Yustinianus I menggunakan dua geometri arsitek Isidorus Miletus dan Anthemius dari Tralles; di mana Isidore menyusun karya Archimedes tentang geometri padat, dan dipengaruhi olehnya.
Pentingnya air baptis dalam agama Kristen tercermin dalam skala arsitektur baptisterium. Baptisterium lateran tertua di Roma, dibangun pada tahun 440, menetapkan tren baptisterium oktagonal; di mana bak air pembaptisan di dalam bangunan ini seringkali berbentuk segi delapan, meski baptisterium terbesar berada di Italia, Pisa—yang dibangun antara tahun 1152 dan 1363, berbentuk melingkar, namun bak airnya berbentuk segi delapan. Tingginya 54,86 meter (180 ft), dengan diameter 34,13 meter (112 ft) (nilai rasio 8: 5). Santo Ambrosius menulis bahwa baik air dan baptisterium berbentuk segi delapan "karena ada pada hari ke-8, Dengan kebangkitan Yesus, Kristus melonggarkan ikatan kematian dan menerima orang mati dari kuburan mereka." Santo Agustinus juga menggambarkan hari ke-8 sebagai "kekal ... dikuduskan oleh kebangkitan Kristus". Baptisterium Saint John yang berbentuk oktagonal, di Firenze yang dibangun antara 1059 dan 1128, adalah salah satu bangunan tertua di kota itu, dan merupakan salah satu bangunan dengan tradisi zaman kuno langsung; hal ini sangat berpengaruh pada Renaisans Firenze berikutnya, dengan arsitek utama seperti Francesco Talenti, Alberti dan Brunelleschi; yang digunakan sebagai model arsitektur klasik.
Nomor lima digunakan 'secara luas' pada tahun 1717 oleh Gereja Ziarah St John dari Nepomuk di Zelená hora, dekat Žďár nad Sázavou di Republik Ceko, yang dirancang oleh Jan Blažej Santini Aichel. Nave tersebut berbentuk melingkar, dikelilingi oleh lima pasang kolom dan lima kubah oval yang bergantian dengan apse ogival. Gereja selanjutnya memiliki lima gerbang, lima kapel, lima altar dan lima bintang; sebuah legenda mengklaim bahwa ketika Santo Yohanes dari Nepomuk menjadi martir, lima bintang muncul di atas kepalanya. Arsitektur lima kali lipat juga bisa melambangkan Lima Luka Kudus dan lima huruf dari kata "Tacui" (bahasa Latin: "Saya tetap diam" [tentang rahasia pengakuan dosa]).
Antoni Gaudí menggunakan berbagai struktur geometris, yang beberapa di antaranya adalah permukaan minimum di Sagrada Família, Barcelona, yang mulai dibangun pada tahun 1882 (dan tidak selesai tahun 2015). Struktur ini termasuk bentuk paraboloid hiperbolik dan revolusi hiperboloid, tesselasi, kurva katener, katenoid, helikoid, dan permukaan teratur. Perpaduan geometri yang beragam ini dikombinasikan secara kreatif dengan berbagai cara di sekitar gereja. Misalnya, pada Fasad Pasionis Sagrada Família, Gaudí memasang batu yang ber"cabang" dalam bentuk paraboloid hiperbolik, tanpa tumpang tindih di bagian puncaknya ("directrices"), dan saling bertemu pada satu titik. Sebaliknya, di barisan tiang terdapat permukaan paraboloid hiperbolik yang dengan mulus bergabung dengan struktur lain membentuk permukaan yang tak terbatas. Selanjutnya, Gaudí mengeksplorasi pola alamiah yang matematis pada dirinya sendiri, dengan kolom yang berasal dari bentuk pohon, dan lintel yang terbuat dari basal yang tidak dimodifikasi; namun retak secara alami (akibat pendinginan dari batuan cair) ke dalam kolom heksagonal.
Katedral Saint Mary of the Assumption di San Francisco yang di bangun tahun 1971, memiliki atap pelana yang terdiri dari delapan segmen paraboloid hiperbolik, yang disusun sedemikian rupa sehingga bagian penampang horizontal paling bawah atap adalah persegi dan bagian paling atasnya adalah salib Kristen. Bangunannya berbentuk persegi dengan sisi , dan tingginya . Katedral Brasília yang dibangun tahun 1970 oleh Oscar Niemeyer menggunakan struktur hiperboloid yang berbeda; yang dibangun dari 16 balok beton identik, masing-masing memiliki berat 90 ton, disusun dalam lingkaran yang membentuk hiperboloid revolusi, balok-balok putih tersebut menciptakan bentuk seperti tangan yang sedang berdoa ke surga. Hanya kubah yang terlihat dari luar, dan sebagian besar bangunan berada di bawah tanah.
Beberapa gereja abad pertengahan di Skandinavia berbentuk melingkar, termasuk empat di pulau Denmark, Bornholm. Østerlars Church 1160 adalah salah satu yang tertua, dan memiliki nave yang melingkar di sekitar batu kolom besar yang melingkar, ditembus dengan lengkungan dan dihiasi dengan lukisan dinding. Struktur melingkar memiliki tiga tingkat dan rupanya diberi benteng, Tingkat paling atas digunakan untuk pertahanan.
Bangunan Islam sering dihiasi dengan pola geometris yang biasanya menggunakan beberapa tesselasi matematika, yang terbentuk dari keramik (girih, zellige) yang bisa polos atau dihiasi dengan garis-garis. Bentuk simetri bintang enam, delapan, atau kelipatan delapan titik digunakan dalam pola-pola Islam. Beberapa di antaranya didasarkan pada 'Khatem Sulemani' atau motif segel Salomo, yang berbentuk bintang dengan delapan sudut yang terbuat dari dua persegi, satu diputar 45 derajat, dari arah lain di pusat yang sama. Pola-pola Islam banyak dikembangkan dari 17 kemungkinan grup kristalografi. Edith Müller menunjukkan 11 grup kristalografi yang digunakan dalam dekorasi Alhambra di awal tahun 1944, sementara pada tahun 1986, Branko Grünbaum mengklaim telah menemukan 13 grup kristalografi di Alhambra, dengan menyatakan secara kontroversial bahwa 4 kelompok yang tersisa tidak ditemukan di manapun dalam ornamen Islam.
Menjelang akhir abad ke-20, konstruksi matematika baru seperti geometri fraktal dan ubin aperiodik digunakan oleh arsitek untuk memberikan penutup yang atraktif dan menarik digunakan sebagai ornamen bangunan. Pada tahun 1913, arsitek modernis, Adolf Loos telah menyatakan, "Ornamen adalah sebuah kejahatan", yang mempengaruhi pemikiran arsitektur di akhir abad ke-20. Di abad 21, arsitek kembali mulai mengeksplorasi penggunaan ornamen. Ornamen abad ke 21 sangat beragam. Pusat Konser dan Konferensi Harpa, Henning Larsen, tahun 2011, Reykjavik memiliki dinding batu yang terbuat dari balok kaca besar. Kantor arsitek asing di Ravensbourne College 2010 London, dibuat dengan hiasan tesselasi secara dekoratif; dengan 28.000 ubin aluminium yang telah dianodisasi membentuk ubin berwarna merah, putih dan coklat yang saling terkait pada jendela yang melingkar dengan ukuran yang berbeda. Tesselasi menggunakan tiga jenis ubin, segitiga sama sisi dan dua pentagon yang tidak beraturan. Perpustakaan Kanazawa Umimirai milik Kazumi Kudo menciptakan kisi dekoratif yang terbuat dari balok kecil yang melintang, dan terbuat dari kaca yang dipasang di dinding beton polos.
Arsitektur benteng berkembang dari benteng abad pertengahan, yang memiliki dinding batu tinggi, ke benteng bintang simetris rendah; yang mampu menahan pemboman artileri antara pertengahan abad ke-15 dan ke-19. Geometri bentuk bintang didikte atas kebutuhan untuk menghindari zona mati, dimana infanteri yang menyerang dapat berlindung dari senjata api pertahanan; sisi-sisi pada titik-titik yang diproyeksikan miring, memungkinkan api dapat menyapu tanah, dan memberikan baku tembak (dari kedua sisi) dan melampaui setiap titik proyeksi. Arsitek terkenal yang merancang benteng pertahanan tersebut diantaranya adalah Michelangelo, Baldassare Peruzzi, Vincenzo Scamozzi dan Sébastien Le Prestre de Vauban.
Siegfried Giedion, seorang sejarawan arsitektur, berpendapat bahwa benteng berbentuk bintang memiliki pengaruh formatif terhadap pola kota ideal Renaisans: "Renaisans telah dihipnotis oleh satu tipe kota yang selama satu setengah abad—dari Filarete hingga Scamozzi—terkesan dengan semua skema utopis, yaitu kota berbentuk bintang."
Dalam arsitektur Cina, tulou yang berbentuk melingkar, dan berada di provinsi Fujian; memiliki struktur pertahanan komunal dengan dinding kosong dan satu pintu kayu berlapis besi, beberapa berasal dari abad ke-16. Dindingnya ditutup dengan atap yang meluncur perlahan ke arah luar dan ke dalam, membentuk cincin. Bagian tengah lingkaran adalah halaman berbatu terbuka, yang seringkali dikelilingi oleh galeri kayu setinggi lima tingkat.
Arsitek juga dapat memilih bentuk bangunan untuk memenuhi tujuan lingkungan. Misalnya, Foster and Partners '30 St Mary Axe, London, yang dikenal sebagai "The Gherkin"yang berbentuk seperti mentimun, merupakan sebuah revolusi padat yang dirancang dengan menggunakan pemodelan parametrik. Geometrinya dipilih bukan semata-mata untuk alasan estetika, tapi untuk meminimalkan arus udara yang berputar pada bagian dasarnya. Meskipun permukaan bangunannya melengkung, semua panel kaca yang membentuk kulitnya berbentuk rata, kecuali lensa di bagian atas. Sebagian besar panel berbentuk segiempat, karena dapat dipotong dari kaca segi empat, sehingga meminimalisir pemborosan daripada panel segitiga.
Yakhchal tradisional (lubang es) di Persia berfungsi sebagai pendingin evaporatif; yang berada di atas tanah, dengan struktur berbentuk kubah, namun memiliki tempat penyimpanan es dan terkadang juga makanan di bawah tanahnya. Ruang bawah tanah, serta konstruksi tahan panas tebal dapat mengisolasi ruang penyimpanan sepanjang tahun. Ruang bagian dalam sering didinginkan lebih lanjut dengan "windcatcher". Es tersedia di musim panas untuk membuat "faloodeh" atau makanan penutup beku.