Teorema ekuipartisi
Dalam mekanika statistika klasik, teorema ekuipartisi adalah sebuah rumusan umum yang merelasikan temperatur suatu sistem dengan energi rata-ratanya. Teorema ini juga dikenal sebagai hukum ekuipartisi, ekuipartisi energi, ataupun hanya ekuipartisi. Gagasan dasar teorema ekuipartisi adalah bahwa dalam keadaan kesetimbangan termal, energi akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energi yang berbeda; contohnya energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan pada gerak translasi sebuah molekul haruslah sama dengan gerak rotasinya.
Teorema ekuipartisi mampu memberikan prediksi-prediksi yang kuantitatif. Seperti pada teorema virial, teorema ekuipartisi dapat memberikan hasil perhitungan energi kinetik dan energi potensial rata-rata total suatu sistem pada satu temperatur tertentu, yang darinya kapasitas kalor sistem dapat dihitung. Namun, teorema ekuipartisi juga memberikan nilai rata-rata komponen individual energi tersebut, misalnya energi kinetik suatu partikel ataupun energi potensial suatu dawai. Contohnya, teorema ini dapat memberikan prediksi bahwa setiap molekul dalam suatu gas ideal monoatomik memiliki energi kinetik rata-rata sebesar (3/2)"k""T" dalam kesetimbangan termal, dengan "k" adalah tetapan Boltzmann dan "T" adalah temperatur. Secara umum, teorema ini dapat diterapkan ke semua sistem-sistem fisika klasik yang berada dalam kesetimbangan termal tak peduli seberapa rumitnya sekalipun sistem tersebut. Teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menurunkan hukum gas ideal dan hukum Dulong-Petit untuk kapasitas kalor jenis benda padat. Teorema ini juga dapat digunakan untuk memprediksi sifat dan ciri bintang-bintang, bahkan berlaku juga untuk katai putih dan bintang neutron, karena teorema ini berlaku pula ketika efek-efek relativitas diperhitungkan.
Walaupun teorema ekuipartisi memberikan prediksi yang sangat akurat pada kondisi-kondisi tertentu, teorema ini menjadi tidak akurat ketika efek-efek kuantum menjadi signifikan, misalnya pada temperatur yang sangat rendah. Ketika energi termal "k""T" lebih kecil daripada perjarakan energi kuantum pada suatu derajat kebebasan, energi rata-rata dan kapasitas kalor dari derajat kebebasan ini akan lebih kecil daripada nilai energi yang diprediksi oleh teorema ekuipartisi. Derajat kebebasan ini dikatakan menjadi "beku" ketika energi termal lebih kecil daripada perjarakan energi kuantum ini. Contohnya, kapasitas kalor suatu benda padat akan menurun pada temperatur rendah seiring dengan membekunya berbagai jenis gerak yang dimungkinkan. Hal ini berlawanan dengan prediksi teorema ekuipartisi yang memprediksikan nilai kapasitas kalor yang konstan. Fenomena menurunnya kapasitas kalor ini memberikan tanda awal bagi para fisikawan abad ke-19 bahwa fisika klasik tidaklah benar dan diperlukan model ilmiah baru yang lebih akurat dalam menjelaskan fenomena ini. Selain itu, teorema ekuipartisi juga gagal dalam memodelkan radiasi benda hitam (juga dikenal sebagai bencana ultraviolet). Hal ini mendorong Max Planck untuk mencetuskan gagasan bahwa energi yang dipancarkan oleh suatu objek terpancarkan dalam bentuk terkuantisasi. Hipotesis revolusioner ini kemudian memacu perkembangan mekanika kuantum dan teori medan kuantum.
Kata "ekuipartisi" berarti "terbagi secara merata". Kata ini diturunkan dari bahasa Latin æquus ("setara atau sama rata"), dan "partitionem" ("pembagian, porsi"). Konsep awal ekuipartisi adalah bahwa energi kinetik total suatu sistem akan terdistribusikan secara merata ke semua bentuk-bentuk energinya (dilihat secara rata-rata), seketika sistem tersebut telah mencapai kesetimbangan termal. Teorema ekuipartisi juga memberikan prediksi kuantitatif bentuk-bentuk energi ini. Contohnya, teorema ini memprediksikan bahwa tiap atom gas mulia yang berada dalam kesetimbangan termal "T" memiliki energi kinetik translasi sebesar (3/2)"k""T", dengan "k" adalah tetapan Boltzmann. Sebagai konsekuensinya, oleh karena energi kinetik sama dengan 1/2*mass*kecepatan^2, atom yang lebih berat seperti xenon akan memiliki kecepatan rata-rata yang lebih lambat daripada atom yang lebih ringan seperti helium pada temperatur yang sama. Gambar di samping menunjukkan distribusi Maxwell-Boltzmann kecepatan atom dari keempat gas mulia tersebut.
Energi kinetik suatu partikel bermassa "m" dan berkecepatan v adalah
dengan "v", "v" dan "v" adalah komponen Kartesius dari kecepatan v. Di sini, "H" adalah Hamiltonian dan digunakan sebagai simbol energi karena formalisme Hamiltonian memainkan peran pusat dalam perumusan umum teorema ekuipartisi.
Oleh karena energi kinetika bersifat kuadratis terhadap komponen-komponen kecepatan, berdasarkan prinsip kedistribusian merata (ekuipartisi), ketiga komponen ini akan memberikan kontribusi sebesar "k""T" terhadap energi kinetik rata-rata pada kesetimbangan termal. Sehingga energi kinetik rata-rata partikelnya adalah (3/2)"k""T", sebagaimana yang diberikan pada contoh gas mulia di atas.
Secara umumnya, pada gas ideal, total energinya hanya terdiri dari energi kinetik (translasional) berdasarkan asumsi bahwa partikel-partikel gas tersebut bergerak secara independen dari satu sama lainnya dan tidak memiliki derajat kebebasan internal. Teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa energi total rata-rata suatu gas ideal berpartikel sejumlah "N" adalah (3/2) "N k" "T".
Selanjutnya kapasitas kalor gas adalah (3/2) "N k", dan sehingganya kapasitas kalor satu mol partikel gas ideal tersebut adalah (3/2)"N""k" = (3/2)"R", dengan "N" adalah tetapan Avogadro dan "R" adalah tetapan gas. Oleh karena "R" ≈ 2 cal/(mol·K), teorema ekuipartisi memprediksikan bahwa kapasitas kalor molar gas ideal adalah kira-kira 3 cal/(mol·K). Prediksi ini telah berhasil dikonfirmasikan melalui eksperimen.
Energi kinetik purata memungkinkan kita juga untuk menghitung kecepatan akar purata kuadrat "v" dari partikel gas:
dengan "M" = "N""m" adalah massa satu mol partikel gas. Hasil turunan ini dapat diterapkan ke dalam hukum Graham mengenai efusi.
Mirip dengan contoh di atas, molekul yang berotasi sesuai dengan prinsip momen inersia "I", "I" dan "I" memiliki energi rotasi sebesar
dengan "ω", "ω", dan "ω" adalah komponen kecepatan sudut. Dengan prinsip yang sama pada kasus translasi sebelumnya, teorema ekuipartisi mengharuskan bahwa dalam kesetimbangan termal, energi rotasi rata-rata tiap partikel adalah (3/2)"k""T". Teorema ini juga memungkinkan kita menghitung kecepatan sudut rata-rata molekul.
Teorema ekuipartisi juga berlaku kepada energi potensial. Contohnya pada osilator harmonik seperti dawai yang memiliki energi potensial kuadratik
dengan "a" menunjukkan kekakuan dawai dan "q" adalah penyimpangan dari kesetimbangan. Jika sistem berdimensi satu ini bermassa "m", maka energi kinetik "H"-nya adalah
dengan "v" dan "p" = "mv" menunjukkan kecepatan dan momentum osilator. Dengan menggabungkan kedua persamaan di atas akan menghasilkan energi total
Teorema ekuipartisi mengyiratkan bahwa pada kesetimbangan termal, osilator memiliki energi rata-rata
dengan tanda kurung formula_8 menunjukkan rata-rata dari nilai yang dikurungkan.
Hasil penurunan ini berlaku untuk segala jenis osilator harmonik, misalnya pada bandul, molekul yang bergetar, maupun pada osilator elektronik pasif. Menggunakan teorema ekuipartisi, tiap-tiap osilator menerima energi total rata-rata "k""T" dan sehingganya berkonrtibusi sebesar "k" terhadap kapasitas kalor sistem tersebut. Hal ini kemudian dapat digunakan untuk menurunkan rumus derau Johnson–Nyquist dan hukum Dulong–Petit untuk kapasitas kalor benda padat.
Salah satu penerapan teorema ekuipartisi yang penting adalah untuk menurunkan kapasitas kalor jenis benda kristal padat. Tiap-tiap atom pada benda padat ini dapat berosilasi ke tiga arah secara bebas dan independen, sehingga padatan dapat dipandang sebagai sistem yang memiliki 3"N" osilator harmonik sederhana, dengan "N" menunjukkan jumlah atom dalam kekisi kristal tersebut. Oleh karena tiap osilator harmonik memiliki energi rata-rata "k""T", energi total rata-rata padatan itu adalah sebesar 3"Nk""T", dan kapasitas kalornya adalah 3"Nk".
Dengan mengambil nilai "N" sebagai tetapan Avogadro "N", dan menggunakan hubungan "R" = "N""k" antara tetapan gas "R" dengan tetapan Boltzmann "k", hal ini akan menjelaskan hukum Dulong-Petit mengenai kapasitas kalor jenis benda padat, yang menyatakan bahwa kapasitas kalor jenis (per satuan massa) suatu benda padat berbanding terbalik terhadap bobot atomnya. Dalam versi modernya, kapasitas kalor molar suatu benda padat adalah "3R" ≈ 6 cal/(mol·K).
Namun, hukum ini menjadi tidak akurat pada temperatur yang rendah. Hal ini disebabkan oleh efek-efek kuantum. Selain itu, hukum ini juga tidak konsisten dengan hukum ketiga termodinamika, yang menurutnya kapasitas kalor molar zat apapun haruslah menuju nilai nol seiring dengan temperatur sistem menuju nol mutlak. Teori yang lebih akurat kemudian dikembangkan oleh Albert Einstein (1907) dan Peter Debye (1911) dengan memasukkan pertimbangan efek-efek kuantum.
Energi potensial tidaklah selalu bersifat kuadratis. Teorema ekuipartisi menunjukkan bahwa jika derajat kebebasan "x" hanya berkontribusi sebesar "x" terhadap energinya, maka dalam kesetimbangan termal, rata-rata energi bagian tersebut adalah "k""T"/"s".
Contoh penerapan turunan ini misalnya pada sedimentasi partikel-partikel yang disebabkan oleh gravitasi. Bir dapat menjadi kabur disebabkan oleh gumpalan protein yang menghamburkan cahaya. Lama kelamaan, gumpalan-gumpalan ini akan bergerak menuju dasar tabung oleh karena gravitasi. Walau demikian, partikel juga dapat berdifusi melawan gaya gravitasi dan seketika kesetimbangan antara keduanya tercapai, teorema ekuipartisi dapat digunakan untuk menentukan posisi rata-rata suatu gumpalan partikel tertentu yang bermassa apung "m". Untuk sebuah botol bir yang tinggi botolnya tak terhingga, energi potensial gravitasi dirumuskan
dengan "z" adalah ketinggian gumpalan protein dalam botol dan "g" adalah percepatan gravitasi. Oleh karena "s" = 1, rata-rata energi potensial suatu gumpalan protein adalah sama dengan "k""T". Sehingganya, suatu gumpalan protein dengan massa apung 10 MDa (kira-kira sebesar virus) akan mengakibatkan kaburan dengan tinggi rata-rata sekitar 2 cm pada kesetimbangan. Proses sedimentasi menuju kesetimbangan ini dapat dihitung menggunakan persamaan Mason-Weaver.
Bentuk paling umum teorema ekuipartisi menyatakan bahwa di bawah asumsi tertentu, pada suatu sistem fisik yang berfungsi energi Hamiltonian "H" dan berderajat kebebasan "x", persamaan ekuipartisi berikut akan berlaku pada kesetimbangan termal untuk semua indeks "m" dan "n":
"δ" di sini merupakan delta Kronecker, yang nilainya sama dengan satu apabila "m" = "n" atau nol apabila sebaliknya. Tanda kurung pererataan formula_8 diasumsikan sebagai rerata ensembel atas ruang fase ataupun, di bawah asumsi ergodisitas, sebagai rata-rata waktu suatu sistem tunggal.
Teorema ekuipartisi umum ini berlaku baik pada ensembel mikrokanonis, yakni ketika energi total sistemnya adalah konstan, maupun pada ensembel kanonis, yakni ketika sistemnya tersambung kepada penangas kalor yang dapat bertukar energi.
Rumusan umum di atas setara dengan dua rumus berikut:
Apabila derajat kebebasan "x" hanya memiliki suku kuadratis "ax" pada Hamiltonian "H", maka rumus pertama di atas mengimplikasikan
yang nilainya dua kali lebih besar daripada kontribusi yang diberikan oleh derajat kebebasan ini terhadap energi rata-rata formula_15. Sehingga teorema ekuipartisi untuk sistem yang memiliki energi kuadratis akan mudah diturunkan dari rumus umum di atas. Dengan argumen yang sama, apabila 2 digantikan dengan "s", rumus di atas berlaku untuk energi bentuk "ax".
Derajat kebebasan "x". Pengintegralan parsialnya akan menghasilkan relasi
karena suku pertama pada sisi kanan adalah nol.
Substitusi hasil ini kepada persamaan sebelumnya akan menghasilkan
Karena formula_18, maka:
Sehingga kita telah menurunkan perumusam umum teorema ekuipartisi.
yang sangat berguna dalam penerapan-penerapan seperti pada contoh-contoh di atas.