Pierre de Fermat
Pierre di Fermat meninggal pada tahun 1665. Dewasa ini kita mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2.
Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat.
Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .
Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3
Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus.
Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n.
Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n.
Sophie Germain membuktikan kasus pertama dari Teorema Fermat untuk semua n kurang dari 100 dan Legendre memperluas metode yang dikembangkan Germain meliputi semua bilangan kurang dari 197. Dalam tahap ini kasus 2 belum pernah dibuktikan bahkan untuk kasus n = 5, sehingga menjadi jelas bahwa kasus 2 harus diperhatikan lebih serius. Sekarang kasus 2 untuk n = 5 juga terpecah kedalam dua kasus lain.Kasus 2(i) jika bilangan yang habis dibagi 5 tersebut genap dan kasus 2(ii) jika bilangan genap dan bilangan satunya yang habis dibagi 5 berbeda.
Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tetapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).]
Pada tanggal 24 Mei Liouville membaca suarat yang ditujukan pada Acad- emy yang memberikan kepastian. Surat tersebut berasal dari Kummer, menyertakan paper bertahun 1844 yang membuktikan bahwa ketunggalan faktorisasi tidak dipenuhi tetapi dapat diperbaiki dengan memperkenalkan konsep bilangan ideal kompleks yang telah ia kerjakan pada tahun 1846. Kummer telah menggunakan teori barunya untuk mencari kondisi kapan suatu bilangan prima regulear dan telah membuktikan FLT untuk semua bilangan prima regular. Kummer juga menyertakan dalam suratnya ini bahwa 37 akan gagal terhadap kondisi yang ia berikan.
Pada bulan Sepetmber 1847 Kummer mengirimi Dirichlet dan Berlin Academy suatu papaer yang membuktikan bahwa suatu prima p regular (dan dengan demikian FLT benar untuk bilangan tersebut) jika p tidak membagi pembilang dari semua bilangan Bernoulli B2,B4, ...,Bp−3. Bilangan Bernoulli Bn didefinisikan oleh :
Kummer menunjukkan bahwa semua bilangan prima kurang dari 37 adalah regular, tetapi 37 tidak regular karena 37 membagi pembilang dari B32. Bilangan prima kurang dari 100 yang tidak regular hanyalah 37,59, dan 67.Teknik yang lebih cangih digunakan untuk membuktikan FLT untuk bilangan ini. Pekerjaan ini dilakukan dan dilanjutkan oleh Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwangler,Vandiver dan lainnya. Meskipun diharapkan bahwa bilangan prima regular ini takberhingga banyaknya. Pada tahun 1915 Jensen membuktikan bahwa bilangan prima takregular takberhingga banyaknya. Alih-alih mendapatkan hadiah bagi siapa yang memecahkannya, FLT tetap tak terpecahkan. Ia merupakan teorema dengan banyak bukti yang salah. Sebagai contoh 1000 bukti yang salah telah diterbitkan antara tahun 1908 dan 1912. Satu-satunya kemajuan positif adalah hasil komputasi yang menunjukkan bahwa bukti penyangkal hanya bisa didapatkan untuk bilangan yang sangat besar. Dengan menggunakan teknik yang digunakan Kummer, FLT terbukti benar, dengan bantuan komputer untuk n sampai dengan 4 000 000 pada tahun 1993.
Pada tahun 1983 kontribusi besar dibuat oleh Gerd Falting yang membuktikan bahwa untuk n > 2 hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan relative prima x, y, z dengan x^n + y^n = z^n . Ini merupakan langkah besar tetapi bukti bahwa berhingga bilangan adalah 0 tampaknya tidak bisa didapatkan dengan memperluas argumen Falting. Bab terakhir dari cerita ini dimulai pada tahun 1955, meskipun pada tahap ini pekerjaan ini tidak ada kaitannya dengan FLT. Yutaka Taniyama memberikan pertanyaan menyangkut kurva eliptik, yakni kurva yang berbentuk y^2 = x^3 + ax + b dengan a dan b konstanta. Pekerjaan lanjutan oleh Weil dan Shimura menghasilkan suatu konjektur, dikenal sebagai Shimura Taniyama Weil conjecture. Pada tahun 1986 hubungan antara konjektur tersebut dengan FLT dibuat oleh Frey di Saarbrucken yang menunjukkan bahwa FLT jauh dari keingintahuan tak berguna dalam teori bilanagn tetapi pada kenyataannya ia berhubungan dengan sipat dasar yang dimiliki ruang. Pekerjaan lanjutan oleh matematikawan lain menunjukkan bahwa contoh penyangkal FLT juga merupakan contoh penyangkal terhadap Shimura-Taniyama-Weil Conjecture. Bukti dari FLT diselesaikan pada tahun 1993 oleh Andrew Wiles, matematikawan Inggris yang bekerja di Princenton, USA. Wiles memberikan tiga kuliah di Isaac Newton Institute di Cambridge, Inggris. Yang pertama pada hari Senin tanggl 21 Juni, yang kedua pada hari Selasa tanggal 22 Juni. Pada kuliah terakhir yakni pada tanggal 23 Juni 1993 sekitar jam 10.30 pagi Wiles mengumumkan bahwa bukti dari FLT merupakan corollary dari hasil utama yang ia peroleh. Sebenarnya Wiles berhasil membuktikan Shimura-Taniyama-Weil Conjecture untuk suatu contoh kelas, termasuk yang diperlukan untuk membuktikan FLT. Akan tetapi ini bukan akhir dari cerita. Pada tanggal 4 Desember 1993 memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mengatakan The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures.
Pada bulan Maret 1994 Falting menulis kepada Scientific American, mengatakan If it were easy, he would have solved it by now. Strictly speaking, it was not a proof when it was announced Weil, juga kepada Scientific American menuliskan I believe he has had some good ideas in trying to construct the proof but the proof is not there. To some extent, proving Fermat’s theorem is like climbing Everest. If a man wants to climb Everest and falls short of it by 100 yards, he has not climbed Everest.
Sebenarnya, sejak awal tahun 1994 Wiles memulai kolaborasi dengan Richard Taylor dalam usahanya untuk mengisi lubang dalam pembuktian, Namun mereka memutuskan bahwa langkah kunci bukti, menggunakan metode yang digunakan Flach, tidak mungkin bekerja. Mereka mencoba pendekatan baru denagn ketidaksuksesan yang serupa. Pada bulan Agustus 1994 Wiles menghadiri Interna-tional Congress of Mathematicians tetapi tidak pernah mendekati memecahkan kesulitannya. Taylor menyarankan sebagai usaha terakhir untuk memperluas metode Fach seperlunya dan Wiles meskipun yakin bahwa itu tidak akan berhasil, setuju unuk mencobanya terutama untuk meyakinkan Taylor bahwa hal tersebut tidak akan pernah berhasil. Wiles mengerjakannya sekitar dua minggu lamanya, kemudian tiba-tiba suatu inspirasi muncul.
In a flash I saw that the thing that stopped it [the extension of Flach’s method] working was something that would make another method I had tried previously work.
Pada tanggal 6 Oktober, Wiles mengirimkan bukti baru kepada tiga koleganya termasuk Falting.Semua bukti yang diberikan lebih sederhan daripada yang sebelumnya. Falting mengirimkan penyederhanaan terhadap beberapa bagian. Tidak ada bukti dengan tingkat kerumitan seperti ini dijamin benar, jadi sejumlah kecil masih sangsi untuk beberapa waktu. Namun ketika Taylor memberikan kuliah pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last Theorem.