Teori order
Teori order () atau teori tatanan (= teori keteraturan) adalah suatu cabang matematika yang meneliti pandangan intuitif manusia terhadap tatanan atau keteraturan dengan menggunakan hubungan biner. Teori ini memberikan kerangka formal untuk mengungkapkan pernyataan-pernyataan seperti "ini lebih kecil dari itu" atau "ini mendahului itu". Dalam artikel ini diperkenalkan bidang ini dan memberikan definisi dasar.
Tatanan dapat dijumpai di mana-mana dalam matematika atau bidang-bidang terkait seperti sains komputer. Tatanan pertama yang sering didiskusikan dalam sekolah dasar adalah tatanan baku pada bilangan asli misalnya "2 lebih kecil dari 3", "10 lebih besar dari 5", atau "Apakah Toto mempunyai lebih sedikit kue daripada Siti?". Konsep intuitif ini dapat dikembangkan kepada tatanan-tatanan dalam himpunan bilangan yang lain, seperti bilangan bulat dan bilangan real. Konsep "lebih besar dari" atau "lebih kecil dari" suatu bilangan lain adalah salah satu intuisi dasar dalam sistem bilangan secara umum, meskipun orang juga tertarik untuk mengetahui perbedaan (yaitu pengurangan) dua bilangan, yang tidak diberikan oleh tatanan. Contoh umum lain adalah tatanan (atau urutan leksikografi) kata-kata dalam suatu kamus.
Bagian ini memperkenalkan sejumlah himpunan tertata yang dibangun di atas konsep-konsep teori himpunan, aritmetika, dan relasi biner.
Tatanan merupakan relasi biner khusus. Misalkan "P" adalah suatu himpunan dan ≤ adalah relasi terhadap "P", maka ≤ merupakan "tatanan parsial" ("partial order") jika bersifat , , dan , yaitu untuk setiap "a", "b" dan "c" dalam "P", didapatkan:
Suatu himpunan dengan tatanan parsial di dalamnya dikatakan himpunan dengan tatanan parsial ("partially ordered set"), poset, atau hanya himpunan tertata ("ordered set") jika maknanya sudah jelas. Dengan memandang sifat-sifat ini, langsung dapat dilihat tatanan yang sudah dikenal dalam bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan real yang semuanya adalah tatanan dalam makna di atas. Namun, ada juga sifat tambahan tatanan total ("total order"), yaitu untuk setiap "a" dan "b" dalam "P", didapatkan:
Tatanan-tatanan ini dapat juga disebut tatanan linear ("linear order") atau rantai ("chain"). Banyak tatanan klasik bersifat linear, tetapi tatanan subset pada himpunan memberi contoh kapan hal ini tidak benar. Contoh lain dapat diberikan dari relasi divisibilitas "|". Untuk dua bilangan asli "n" dan "m", ditulis "n"|"m" jika "n" dibagi oleh "m" tanpa sisa. Dapat dengan mudah dilihat bahwa ini menghasilkan tatanan parsial.
Dalam suatu himpunan dengan tatanan parsial ada sejumlah elemen yang berperan penting. Contoh paling dasar adalah "elemen terkecil" dalam suatu poset. Misalnya, 1 adalah elemen terkecil dari bilangan bulat positif dan himpunan kosong adalah himpunan terkecil di bawah tatanan subset. Secara formal, suatu elemen "m" merupakan elemen terkecil jika:
Notasi 0 sering dijumpai pada elemen terkecil, meskipun tidak melibatkan bilangan apapun. Namun, dalam tatanan suatu himpunan bilangan, notasi ini tidak tepat dan bahkan menimbulkan kerancuan, karena bilangan 0 tidak selalu yang terkecil. Contohnya adalah pada tatanan divisibilitas |, di mana 1 adalah elemen terkecil karena bilangan itu membangi semua bilangan yang lain. Sebaliknya, bilangan 0 merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh semua bilangan lain. Jadi bilangan 0 merupakan elemen terbesar dari tatanan tersebut. Istilah lain untuk "terkecil" dan "terbesar" adalah "terendah" ("terbawah", "paling dasar"; "bottom") dan "tertinggi" ("teratas"; "top") dan juga "nol" ("zero") dan "unit" ("satuan").
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, tatanan sangat banyak ditemuai dalam matematika. Namun, penyebutan eksplisit paling awal mengenai tatanan parsial dapat dilacak setelah abad ke-19. Dalam konteks ini karya George Boole dianggap sangat penting. Di samping itu Charles Sanders Peirce, Richard Dedekind, dan Ernst Schröder juga membahas konsep teori order.
Istilah ""poset"" sebagai singkatan dari ""partially ordered set"", yaitu "himpunan dengan tatanan parsial", digagas oleh dalam edisi kedua bukunya yang berpengaruh "Lattice Theory".