Aturan Trapesium Rekursif
Aturan Trapesium Rekursif merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik.di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah Riemann.Selanjutnya,menurut Teorema Dasar Kalkulus integral tersebut dapat dihitung dengan rumus,
formula_1
Dengan "F(x)" adalah antiderivatif "f(x)" (yakni "F’(x)=f(x)"). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus di atas, hal itu dikarenakan integran "f(x)"tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik.
Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para ilmuwan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah Aturan Trapesium Rekursif. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif.
Misalkan formula_2
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada formula_3 . Misalkan
formula_4 suatu
partisi sedemikian seihngga formula_5
dengan formula_6 untuk
formula_7. Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
formula_2 terhadap partisi di atas (untuk keperluan
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
menyertakan cacah dan lebar subinterval),
formula_9
Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat
formula_12
formula_14...(3)
Pada (1) berlaku formula_15 , sedangkan pada
(2) berlaku formula_16 ,
sehingga formula_17 , pada (2) sama
dengan formula_18 pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk formula_19 , dan
formula_20 atau
formula_21 Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium formula_22 dengan,
formula_23
dan,formula_24, k=1,2,3...
yang memenuhi hubungan formula_25,
dengan formula_26... (4)
Dalam menghitung hampiran formula_27dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;
formula_28
formula_29
formula_30
formula_31
formula_32
dst
Misalkan kita akan menghitung integral formula_33,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya
function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)
h=b-a;
if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;
else if n>0,
end
Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;
» f=inline(‘exp(x)’)
kemudian akan munncul hasil sebagai berikut
f =
selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,
» T=[];
» for n=0:10,
Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);
T=[T;n Tn];
end
Selanjutnya kita tampilkan nilai T
» T
kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,
T =
Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta