Kaidah diferensiasi
Kaidah diferensiasi (atau Aturan diferensiasi; ) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung derivatif suatu fungsi dalam kalkulus. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat Tabel turunan.
Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi bilangan real (R) yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika — termasuk bilangan kompleks (C).
Untuk fungsi-fungsi "f" dan "g" dan bilangan real "a" dan "b" apapun, turunan fungsi terhadap "x" dapat ditulis
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
Kasus-kasus khusus meliputi:
Untuk fungsi-fungsi "f" dan "g", turunan fungsi "h"("x") = "f"("x") "g"("x") terhadap "x" dapat ditulis
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
Turunan dari fungsi "h"("x") = "f"("g"("x")) terhadap "x" dapat ditulis
Dalam ini ditulis sebagai:
Namun, dengan melonggarkan penafsiran "h" sebagai suatu fungsi, dapat ditulis lebih sederhana sebagai
Jika fungsi "f" mempunyai suatu fungsi invers "g", yaitu dan , maka
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
Jika formula_13, untuk bilangan bulat "n" apapun maka
Kasus-kasus khusus meliputi:
Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun.
Turunan dari "h"("x") = 1/"f"("x") untuk fungsi "f" (yang "tidak menghilang"; "nonvanishing") manapun adalah:
Dalam notasi Leibniz ini ditulis sebagai:
Kaidah timbal balik ("reciprocal rule") dapat diturunkan dari kaidah rantai ("chain rule") dan kaidah pemangkatan (kaidah pangkat; "power rule").
Jika "f" dan "g" adalah fungsi, maka:
Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus "f"("x") = 1.
Kaidah pemangkatan elementer menggeneralisasi luas. Kaidah pemangkat yang paling luas adalah "kaidah pemangkatan fungsional" ("functional power rule"): untuk fungsi-fungsi "f" dan "g" apappun,
di mana kedua sisi didefinisikan dengan baik.
Kasus-kasus khusus:
perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua "c", tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
persamaan di atas adalah benar untuk semua "c", tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks.
Turunan logaritmik adalah cara lain untuk menyatakan kaidah diferensiasi logaritma suatu fungsi (menggunakan kaidah rantai):
Adalah lazim untuk mendefinisikan lebih lanjut suatu fungsi tangen inversi dengan dua argumen, formula_26. Nilainya terletak dalam rentang formula_27 dan mencerminkan kuadran dari titik formula_28. Untuk kuadran pertama dan keempat (yaitu formula_29) maka formula_30. Turunan parsialnya adalah
Misalkan dibutuhkan untuk menghitung turunan terhadap "x" dalam fungsi
di mana fungsi-fungsi formula_32 dan formula_33 keduanya kontinu dalam formula_34 dan formula_35 dalam wilayah tertentu bidang formula_36, termasuk formula_37 formula_38, dan fungsi-fungsi formula_39 dan formula_40 keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk formula_38. Maka untuk formula_42:
Rumus ini merupakan bentuk umum dari dan dapat diturunkan menggunakan
Ada sejumlah kaidah untuk menghitung turunan ke-"n" suatu fungsi, di mana "n" adalah sebuah bilangan bulat positif. Di antaranya:
Jika "f" dan "g" dapat diturunkan "n" kali, maka
di mana formula_45 dan himpunan formula_46 terdiri dari semua solusi bilangan bulat bukan negatif dari persamaan Diophantine formula_47.
Jika "f" dan "g" dapat diturunkan "n" kali, maka
Kaidah-kaidah ini ditulis dalam banyak buku, baik kalkulus elementer maupun lanjutan, dalam matematika murni maupun terapan. Notasi dalam halaman ini (selain pada rujukan-rujukan di atas) dapat dijumpai dalam: