Aljabar
Aljabar (dari bahasa arab ""al-jabr"" yang berarti "pengumpulan bagian yang rusak") adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini; aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika. Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern. Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.
Aljabar elementer berbeda dari aritmetika dalam penggunaan abstraksi, seperti menggunakan huruf untuk mewakili angka-angka yang tidak diketahui atau diperbolehkan untuk mengambil banyak nilai-nilai. Misalnya, dalam formula_1 huruf formula_2 tidak diketahui, tetapi hukum inversi dapat digunakan untuk menemukan nilai: formula_3. Dalam , huruf formula_4 dan formula_5 adalah variabel, dan huruf formula_6 adalah konstanta, kecepatan cahaya dalam vakum. Aljabar memberikan metode untuk memecahkan persamaan dan mengekspresikan rumus yang lebih mudah (bagi mereka yang memahami konsepnya) daripada metode konvensional, yaitu menulis semuanya dalam kata-kata.
Kata "aljabar" juga digunakan dalam hal-hal yang lebih spesifik. Jenis khusus dari objek matematika dalam aljabar abstrak disebut "aljabar", kata ini digunakan, misalnya, dalam ungkapan aljabar linear dan topologi aljabar.
Seorang ahli matematika yang melakukan penelitian dalam aljabar disebut aljabarwan, .
Kata "aljabar" berasal dari bahasa arab ("al-jabr" secara harfiah berarti "pengumpulan kembali bagian yang rusak") istilah ini diambil dari judul buku "Ilm al-jabr wa'l-muḳābala" karya matematikawan dan astronom Persia, Al-Khwarizmi. Kosakata ini memasuki bahasa Inggris selama abad kelima belas, baik dari spanyol, italia, atau Pertengahan Latin. Aljabar awalnya disebut prosedur operasi pengaturan patah atau dislokasi tulang. Makna matematisnya pertama kali tercatat pada abad keenam belas.
Kata "aljabar" memiliki beberapa makna dalam matematika, sebagai kata tunggal atau dengan kualifikasi.
Aljabar dimulai dengan perhitungan yang sama dengan aritmetika, dengan huruf digunakan untuk mewakili angka. hal Ini memungkinkan bukti dari sifat-sifat yang benar tanpa memperhatikan angka-angka yang terlibat. Misalnya, dalam persamaan kuadrat
formula_8 bisa menjadi bilangan apapun (kecuali bahwa formula_9 tidak dapat bernilai formula_10), dan rumus kuadrat dapat digunakan untuk dengan cepat dan mudah menemukan nilai-nilai dari kuantitas formula_2 yang tidak diketahui dan memenuhi persamaan. Rumus kuadrat digunakan untuk menyatakan persamaan, dan kemudian menemukan semua solusi dari persamaan tersebut.
Secara historis, dan dalam pengajaran sekarang ini, pengkajian aljabar dimulai dengan memecahkan persamaan seperti persamaan kuadrat di atas. Kemudian muncullah pertanyaan-pertanyaan yang lebih umum, seperti "apakah persamaan memiliki solusi?", "berapa banyak solusi yang dimiliki persamaan?", "apa yang dapat dikatakan tentang sifat dari solusi?". Pertanyaan-pertanyaan ini memicu kemunculan ide-ide tentang bentuk, struktur dan simetri. Sifat-sifat struktural dari objek-objek non-numerik ini kemudian diabstraksi untuk mendefinisikan struktur-struktur aljabar seperti grup, gelanggang, dan medan.
Sebelum abad ke-16, matematika dibagi menjadi dua subbidang, aritmetika dan geometri. Meskipun beberapa metode, yang telah dikembangkan jauh lebih awal, mungkin yang dianggap saat ini sebagai aljabar, munculnya aljabar dan, segera setelah itu, kalkulus infinitesimal sebagai subbidang matematika hanya dari abad 16 atau abad ke-17. Dari paro kedua abad ke-19, banyak hal baru dalam bidang matematika muncul, yang sebagian besar dibuat menggunakan kedua aritmetika dan geometri, dan hampir semuanya menggunakan aljabar.
Hari ini, aljabar telah berkembang hingga mencakup banyak cabang dari matematika, seperti yang dapat dilihat dalam Klasifikasi Subjek Matematika
di mana tak satu pun dari area tingkat pertama (dua digit entri) disebut "aljabar". Hari ini aljabar meliputi bagian 08-sistem-sistem aljabar umum, 12-teori medan dan Polinomial, 13-aljabar komutatif, 15-aljabar linear dan multilinear; teori matriks, 16-aljabar asosiatif, 17-aljabar tak-asosiatif, 18-teori kategori; aljabar homologis, 19-teori-K, dan 20-teori grup. Aljabar juga digunakan secara ekstensif dalam 11-teori bilangan dan 14-geometri aljabar.
Akar aljabar dapat ditelusuri hingga bangsa Babilonia kuno, yang mengembangkan sistem aritmetika lanjut, yang dengannya mereka dapat melakukan perhitungan menurut gaya algoritme. Bangsa Babilonia mengembangkan rumus untuk menghitung solusi dari masalah-masalah yang biasanya diselesaikan hari ini dengan menggunakan persamaan linear, persamaan kuadrat, dan persamaan taktentu. Sebaliknya, sebagian besar orang Mesir era ini, serta Yunani dan Tiongkok pada milenium 1 SM, biasanya menyelesaikan persamaan tersebut dengan metode geometris, seperti yang dijelaskan dalam "Papirus Matematika Rhind", "Elemen Euklides", dan "Sembilan Bab mengenai Seni Matematika". Karya geometris dari Yunani, seperti yang ditulis dalam "Elemen", menyediakan kerangka kerja untuk perumuman rumus melampaui solusi dari soal tertentu menjadi sistem yang lebih umum yang menyatakan dan memecahkan persamaan, meskipun hal ini tidak terealisasi sampai sebelum munculnya Matematika Islam abad pertengahan.
Pada zaman Plato, matematika Yunani telah mengalami perubahan drastis. Orang Yunani menemukan aljabar geometri, di mana suku-suku dinyatakan oleh sisi-sisi dari objek geometri, biasanya garis, yang memiliki huruf-huruf yang berasosiasi dengan mereka. Diofantus (abad ke-3 Masehi) adalah seorang Matematikawan Yunani dari Iskandariyah dan penulis serangkaian buku yang disebut "Arithmetica". Teks-teks ini berurusan dengan penyelesaian persamaan aljabar, dan telah menuntun pada hadirnya persamaan Diofantin dalam teori bilangan.
Tradisi-tradisi yang lebih dini dibandingkan dengan yang dibahas di atas berpengaruh langsung kepada Matematikawan Persia, Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (kira-kira 780–850). Dia kemudian menulis "Buku Ringkasan tentang Perhitungan dengan Pelengkapan dan Penyetimbangan", yang membentuk aljabar sebagai disiplin matematika yang tidak bergantung pada geometri dan aritmetika.
Matematikawan periode Hellenistik, Heron dari Iskandariyah dan Diofantus, juga Matematikawan India seperti Brahmagupta meneruskan tradisi-tradisi Mesir dan Babilonia, meskipun "Arithmetica"-nya Diophantus dan "Brāhmasphuṭasiddhānta"-nya Brahmagupta berada pada tingkatan yang lebih tinggi. Misalnya, solusi aritmetika lengkap pertama (termasuk solusi nol dan negatif) untuk persamaan kuadrat, seperti yang dijelaskan oleh Brahmagupta dalam bukunya "Brahmasphutasiddhanta". Kemudian, Matematikawan Persia dan Arab mengembangkan metode-metode aljabar untuk mencapai derajat kecanggihan yang lebih tinggi. Meskipun Diofantus dan bangsa Babilonia seringkali menggunakan metode "ad hoc" istimewa untuk menyelesaikan persamaan-persamaan, sumbangsih Al-Khwarizmi adalah mendasar. Dia menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat tanpa simbolisme aljabar, bilangan negatif, atau nol, dengan demikian dia harus membedakan beberapa jenis persamaan.
Di dalam konteks di mana aljabar diidentifikasi dengan teori persamaan, Matematikawan Yunani, Diofantus secara tradisional telah dikenali sebagai "bapak aljabar" tetapi dalam waktu yang lebih terkemudian terdapat banyak debat mengenai apakah al-Khwarizmi, yang membentuk disiplin "al-jabr", layak menyandang gelar itu. Mereka yang mendukung poin Diofantus terhadap fakta bahwa aljabar ditemukan dalam "Al-Jabr" adalah sedikit lebih elementer daripada aljabar yang ditemukan dalam "Arithmetica" dan bahwa "Arithmetica" lebih diperingkas, sedangkan "Al-Jabr" sepenuhnya retoris. Mereka yang mendukung poin Al-Khwarizmi terhadap fakta bahwa dia memperkenalkan metode "reduksi" dan "penyetimbangan" (transposisi suku-suku yang diambil ke ruas lain suatu persamaan, yaitu, pencoretan suku-suku yang memiliki variabel dan pangkat sama pada ruas lain suatu persamaan), yang dirujuk oleh "al-jabr" pada mulanya, dan bahwa dia memberikan penjelasan yang panjang-lebar tentang penyelesaian persamaan kuadrat, didukung oleh bukti-bukti geometris, sambil memperlakukan aljabar sebagai disiplin yang merdeka dan memiliki hak sendiri. Aljabarnya juga tidak lagi berurusan "dengan sederet soal untuk diselesaikan, tetapi sebuah eksposisi yang bermula dengan suku-suku primitif di mana kombinasi harus memberikan semua purwarupa yang mungkin untuk persamaan, yang untuk selanjutnya secara eksplisit membentuk objek kajian yang sebenarnya". Dia juga mengkaji persamaan untuk kepentingannya sendiri dan "dalam cara yang umum, sejauh itu tidak hanya muncul dalam penyelesaian masalah, namun secara khusus dipanggil untuk mendefinisikan kelas masalah yang tak terbatas".
Matematikawan Persia lainnya, Umar Khayyām diakui jasanya sebagai pengidentifikasi dasar-dasar geometri aljabar dan penemu solusi geometris umum untuk persamaan kubik. Bukunya "Risalah tentang Peragaan Soal-Soal Aljabar" (1070), yang menetapkan prinsip-prinsip aljabar, adalah bagian dari tubuh Matematika Persia yang sebenarnya dikirimkan ke Eropa. Matematikawan Persia lainnya, Sharaf al-Din al-Tusi, menemukan solusi aljabar dan numerik untuk beberapa kasus persamaan kubik. Dia juga mengembangkan konsep mengenai fungsi. Matematikawan India, Mahavira dan Bhāskara II, Matematikawan Persia Al-Karaji, dan Matematikawan Tiongkok, Zhu Shijie, menyelesaikan beberapa kasus persamaan kubik, kuartik, kuintik, dan persamaan-persamaan polinomial berorde lebih tinggi menggunakan metode numerik. Pada abad ke-13, penyelesaian persamaan kubik oleh Fibonacci adalah wakil dari awal kebangkitan aljabar Eropa. Abū al-Ḥasan ibn ʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) mengambil "langkah-langkah pertama menuju perkenalan simbolisme aljabar". Dia juga menghitung ∑"n", ∑"n" dan menggunakan metode pendekatan berurutan (suksesif) untuk menentukan akar kuadrat. Ketika dunia Islam mengalami kemunduran, dunia Eropa mengalami kebangkitan. Dan pada ketika itulah aljabar berkembang lebih jauh.
Karya François Viète mengenai aljabar baru pada penutupan abad ke-16 adalah sebuah langkah penting menuju aljabar modern. Pada tahun 1637, René Descartes menerbitkan "La Géométrie", menemukan geometri analitis dan memperkenalkan notasi aljabar modern. Peristiwa penting lainnya dalam pengembangan aljabar lebih lanjut adalah penyelesaian aljabar umum untuk persamaan kubik dan kuartik, yang dikembangkan pada pertengahan abad ke-16. Gagasan mengenai determinan dikembangkan oleh matematikawan Jepang Seki Kōwa pada abad ke-17, diikuti secara mandiri oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, untuk tujuan memecahkan sistem persamaan linear simultan dengan menggunakan matriks. Gabriel Cramer juga melakukan beberapa pekerjaan mengenai matriks dan determinan pada abad ke-18. Permutasi dipelajari oleh Joseph-Louis de Lagrange dalam karyanya pada tahun 1770 yang berjudul "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (Refleksi pada resolusi aljabar suatu persamaan), dikhususkan untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan aljabar, di mana dia memperkenalkan resolven Lagrange. Paolo Ruffini adalah orang pertama yang mengembangkan teori dari grup permutasi, dan seperti pendahulunya, juga dalam konteks memecahkan persamaan aljabar.
Aljabar abstrak dikembangkan pada abad ke-19, yang berasal dari ketertarikan dalam memecahkan persamaan, awalnya berfokus pada apa yang sekarang disebut teori Galois, dan pada permasalahan konstruktibilitas. George Peacock adalah pelopor pemikiran aksiomatis dalam aritmetika dan aljabar. Augustus De Morgan menemukan aljabar relasi dalam karyanya "Syllabus of a Proposed System of Logic" (Silabus dari Sistem Logika yang Diusulkan). Josiah Willard Gibbs mengembangkan aljabar dari vektor-vektor dalam ruang tiga-dimensi, dan Arthur Cayley mengembangkan aljabar matriks (ini adalah aljabar tak-komutatif).
Beberapa bidang matematika yang memenuhi klasifikasi aljabar abstrak memuat kata aljabar dalam nama mereka; aljabar linear adalah salah satu contoh. Tetapi ada juga yang tidak, misalnya: teori grup, teori gelanggang, dan teori bidang. Yang berikut ini adalah beberapa bidang matematika yang memuat kata "aljabar" dalam namanya.
Banyak struktur matematika disebut aljabar:
Aljabar elementer adalah bentuk aljabar paling dasar. Aljabar elementer diajarkan kepada siswa/mahasiswa yang dianggap tidak memiliki pengetahuan tentang matematika lebih dari sekadar prinsip-prinsip dasar aritmetika. Di dalam aritmetika, hanya bilangan dan operasi aritmetika (seperti +, −, ×, ÷) yang muncul. Di dalam aljabar, bilangan seringkali diwakili oleh simbol, yang disebut variabel (seperti "a", "n", "x", "y", atau "z"). Ini berguna, karena:
Polinomial atau suku banyak adalah sebuah ekspresi yang merupakan jumlah bilangan berhingga dari suku-suku tak-nol, tiap-tiap suku memuat perkalian dari sebuah konstanta dan sejumlah berhingga variabel yang muncul dengan seluruh pangkat bilangan. Misalnya, "x" + 2"x" − 3 adalah polinomial dalam variabel tunggal "x". Sebuah ekspresi polinomial adalah ekspresi yang dapat ditulis ulang sebagai polinomial, dengan menggunakan sifat-sifat komutativitas, asosiativitas, dan distributivitas perjumlahan dan perkalian. Misalnya, ("x" − 1)("x" + 3) adalah sebuah ekspresi polinomial. Sebuah fungsi polinomial adalah fungsi yang didefinisikan oleh polinomial, atau, secara ekivalen, oleh sebuah ekspresi polinomial. Dua contoh tersebut mendefinisikan fungsi polinomial yang sama.
Dua soal yang penting dan berhubungan di dalam aljabar adalah faktorisasi polinomial, yaitu, mengekspresikan suatu polinomial sebagai perkalian dari polinomial-polinomial lainnya yang tidak dapat difaktorkan lagi, dan komputasi faktor persekutuan terbesar polinomial. Contoh polinomial di atas dapat difaktorkan sebagai ("x" − 1)("x" + 3). Sebuah kelas soal yang behubungan adalah pencarian ekspresi aljabar untuk akar suatu polinomial dalam variabel tunggal.
Telah dianjurkan bahwa aljabar elementer harus diajarkan kepada siswa yang sudah berusia 11 tahun, meskipun dalam waktu dekat ini terdapat kecenderungan semakin lazimnya pengenalan aljabar elementer pada kelas delapan (≈ 13 tahun ±) di Amerika Serikat. Meskipun demikian, di beberapa sekolah Amerika Serikat, aljabar mulai diperkenalkan pada kelas 9.
Sejak tahun 1997, Institut Politeknik dan Universitas Negeri Virginia dan beberapa universitas lain telah mulai menggunakan sebuah model pengajaran aljabar yang sudah dipersonalisasi yang mengombinasikan umpan-balik instan dari peranti lunak komputer terspesialisasi dengan bimbingan satu-satu dan bimbingan kelompok kecil, yang telah mengurangi biaya dan menaikkan capaian siswa.
Aljabar abstrak memperluas konsep-konsep yang biasa ditemukan dalam aljabar elementer dan aritmetika bilangan ke konsep-konsep yang lebih umum. Yang berikut ini adalah konsep-konsep dasar di dalam aljabar abstrak.
Himpunan: Lebih dari sekadar memperhatikan jenis-jenis bilangan yang berbeda-beda, aljabar abstrak berurusan dengan konsep "himpunan" yang lebih umum: sekumpulan objek-objek (disebut elemen) yang dipilih oleh sifat spesifik untuk himpunan. Semua kumpulan jenis-jenis bilangan yang lazim dikenal merupakan himpunan. Contoh himpunan lainnya adalah himpunan semua matrikss dua-kali-dua, himpunan semua polinomial berderajat 2 ("ax" + "bx" + "c"), himpunan semua vektor dua dimensi pada bidang, dan berbagai grup berhingga seperti grup siklis, yang merupakan grup-grup modulo bilangan bulat "n". Teori himpunan adalah sebuah cabang dari logika dan secara teknis bukanlah cabang dari aljabar.
Operasi biner: Maksud perjumlahan (+) diabstraksi untuk memberikan sebuah "operasi biner", katakanlah ∗. Maksud operasi biner menjadi tidak berarti tanpa adanya himpunan tempat operasi didefinisikan. Untuk dua elemen "a" dan "b" dalam himpunan "S", "a" ∗ "b" adalah elemen lain di dalam himpunan; kondisi ini disebut ketertutupan. Perjumlahan (+), perkurangan (−), perkalian (×), dan perbagian (÷) dapat menjadi operasi biner ketika terdefinisi pada himpunan yang berbeda, semisal perjumlahan dan perkalian matriks, vektor, dan polinomial.
Elemen identitas: Bilangan nol dan satu diabstraksi untuk memberikan arti suatu "elemen identitas" untuk sebuah operasi. Nol adalah elemen identitas untuk perjumlahan dan satu adalah elemen identitas untuk perkalian. Untuk suatu operator biner umum ∗ elemen identitas "e" harus memenuhi "a" ∗ "e" = "a" dan "e" ∗ "a" = "a", dan harus tunggal, jika ia ada. Ini berlaku untuk perjumlahan sebagai "a" + 0 = "a" dan 0 + "a" = "a" dan perkalian "a" × 1 = "a" dan 1 × "a" = "a". Tidak semua himpunan dan kombinasi operator memiliki elemen identitas; misalnya, himpunan bilangan asli positif (1, 2, 3, ...) tidak memiliki elemen identitas untuk perjumlahan.
Elemen invers atau unsur balikan: Bilangan negatif memunculkan konsep "elemen invers". Untuk perjumlahan, invers "a" ditulis sebagai −"a"; dan untuk perkalian, invers ditulis sebagai "a". Elemen invers umum untuk dua-pihak "a" memenuhi sifat bahwa "a" ∗ "a" = "e" dan "a" ∗ "a" = "e", di mana "e" adalah elemen identitas.
Asosiativitas: Perjumlahan bilangan bulat memiliki sifat yang dinamakan asosiativitas. Yakni, pengelompokan bilangan yang dijumlahkan tidaklah mengubah hasilnya. Misalnya: . Secara umum, ini menjadi ("a" ∗ "b") ∗ "c" = "a" ∗ ("b" ∗ "c"). Sifat ini juga berlaku pada sebagian besar operasi biner, tetapi tidak untuk perkurangan, atau perbagian, atau perkalian oktonion.
Komutativitas: Perjumlahan dan perkalian bilangan real sama-sama bersifat komutatif. Yakni, urutan bilangan tidaklah mengubah hasil. Misalnya: 2 + 3 = 3 + 2. Secara umum, ini menjadi "a" ∗ "b" = "b" ∗ "a". Sifat ini tidak berlaku untuk semua operasi biner. Misalnya, perkalian matriks dan perkalian kuaternion, kedua-duanya tidak bersifat komutatif.
Penggabungan konsep-konsep di atas memberikan salah satu struktur yang paling penting dalam matematika: grup. Grup adalah kombinasi dari sebuah himpunan "S" dan satu operasi biner ∗, didefinisikan dalam cara apapun yang dipilih, tapi dengan sifat sebagai berikut:
Jika grup ini juga komutatif, yaitu untuk setiap dua anggota "a" dan "b" dari "S", "a" ∗ "b" adalah identik untuk "b" ∗ "a"—maka grup tersebut dikatakan abelian.
Sebagai contoh, himpunan bilangan bulat di bawah operasi perjumlahan merupakan grup. Dalam grup ini, elemen identitas adalah 0 dan invers dari setiap elemen "a" adalah negasinya, −"a". Persyaratan asosiativitas terpenuhi, karena untuk setiap bilangan bulat "a", "b", dan "c", ("a" + "b") + "c" = "a" + ("b" + "c")
Bilangan rasional tak-nol membentuk grup di bawah operasi perkalian. Di sini, elemen identitas adalah 1, karena 1 × "a" = "a" × 1 = "a" untuk setiap bilangan rasional "a". Invers dari "a" adalah 1/"a", karena "a" × 1/"a" = 1.
Meskipun demikian, bilangan bulat di bawah operasi perkalian tidaklah membentuk sebuah grup. Hal ini karena invers perkalian suatu bilangan bulat tidaklah menghasilkan bilangan bulat. Misalnya, 4 adalah bilangan bulat, tetapi invers perkaliannya adalah ¼, yang tentu saja bukan merupakan bilangan bulat.
Teori mengenai grup dipelajari dalam teori grup. Hasil utama dalam teori ini adalah klasifikasi grup-grup sederhana berhingga, sebagian besar diterbitkan antara tahun 1955 dan tahun 1983, yang memisahkan grup-grup sederhana berhingga menjadi kira-kira 30 jenis dasar.
Semigrup, kuasigrup, dan monoid adalah struktur-struktur yang serupa dengan grup, tetapi bersifat lebih umum. Mereka memuat sebuah himpunan dan satu operasi biner tertutup, tetapi tidak perlu memenuhi persyaratan lainnya. Semigrup memiliki operasi biner "asosiatif", tetapi tidak memiliki elemen identitas. Monoid adalah semigrup yang memiliki elemen identitas, tetapi tidak memiliki invers untuk setiap elemen. Kuasigrup memenuhi persyaratan bahwa sembarang elemen dapat diubah menjadi elemen yang lain dengan perkalian-kiri atau perkalian-kanan yang tunggal; tetapi operasi binernya mungkin tidak bersifat asosiatif.
Semua grup adalah monoid, dan semua monoid adalah semigrup.
Grup hanya memiliki satu operasi biner. Untuk menjelaskan sepenuhnya perilaku jenis-jenis bilangan yang berbeda, struktur-struktur dengan dua operator haruslah dipelajari. Yang paling penting darinya adalah gelanggang, dan medan.
Sebuah gelanggang memiliki dua Operasi biner (+) dan (×), dengan × distributif atas +. Di bawah operator pertama (+), ia membentuk "grup abelian". Di bawah operator kedua (×), ia bersifat asosiatif, tetapi tidak harus memiliki identitas atau invers, sehingga perbagian tidaklah diperlukan. Elemen identitas penjumlahan (+) ditulis sebagai 0 dan invers penjumlahan dari "a" ditulis sebagai −a. Perhatikan bahwa operasi tersebut bisa merupakan operasi abstrak apa saja yang didefinisikan.
Sifat distributif memperumum "hukum distributif" untuk bilangan. Untuk bilangan bulat dan dan × dikatakan "distributif" di atas +.
Bilangan bulat adalah contoh dari gelanggang. Bilangan bulat memiliki sifat-sifat penjumlahan yang membuatnya sebagai domain integral, atau daerah bilangan bulat, atau ranah bilangan bulat.
Sebuah medan atau lapangan adalah "gelanggang" dengan sifat perjumlahan bahwa semua elemen tak-nol membentuk "grup abelian" di bawah ×. Identitas perkalian (×) ditulis sebagai 1 dan invers perkalian dari "a" ditulis sebagai "a".
Bilangan rasional, bilangan real, dan bilangan kompleks adalah contoh-contoh lapangan.