Limit
Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan sifat dari suatu fungsi, saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga. Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.
Dalam pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus, dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah.
Jika "f"("x") adalah fungsi real dan "c" adalah bilangan real, maka:
berarti "f"("x") dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan "L" dengan cara membuat nilai "x" dekat dengan "c". Dalam contoh ini, "limit dari "f"("x"), bila "x" mendekati "c", adalah "L"". Perlu diingat bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun "f"("c") formula_2 "L". Bahkan, fungsi "f"("x") tidak perlu terdefinisikan pada titik "c".
Kedua contoh dibawah ini menggambarkan sifat ini.
Sebagai contoh, formula_3 pada saat "x" mendekati 2. Dalam contoh ini, "f"("x") mempunyai definisi yang jelas pada titik 2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:
Semakin "x" mendekati 2, nilai "f"("x") mendekati 0.4, dan karena itu formula_4.
Dalam kasus di mana formula_5, "f" disebut kontinyu pada "x" = "c".
Namun, kasus ini tidak selalu berlaku.
Sebagai contoh,
Limit "g"("x") pada saat "x" mendekat 2 adalah 0.4 (sama seperti "f"("x")), namun formula_7; "g" tidak kontinyu pada titik "x" = 2.
Atau, bisa diambil contoh di mana "f"("x") tidak terdefinisikan pada titik "x" = "c".
Dalam contoh ini, pada saat "x" mendekati 1, "f"("x") tidak terdefinisikan pada titik "x" = "1" namun limitnya sama dengan 2, karena makin "x" mendekati 1, "f"("x") makin mendekati 2:
Jadi, "x" dapat dibuat sedekat mungkin dengan "1", asal bukan persis sama dengan "1", jadi limit dari formula_9 adalah "2".
Sebuah limit didefinisikan secara formal sebagai berikut: Bila formula_10 adalah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung titik formula_11 (dengan kemungkinan pengecualian pada titik formula_11) dan formula_13 adalah bilangan real, maka
berarti bahwa untuk setiap formula_15 terdapat formula_16 yang untuk semua formula_17 di mana formula_18, berlaku formula_19.
Konsep yang berkaitan dengan limit saat "x" mendekati sebuah angka adalah konsep limit saat "x" mendekati tak terhingga, baik positif atau negatif. Ini bukan berarti selisih antara "x" dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun, artinya adalah "x" menjadi sangat besar (untuk tak terhingga) atau sangat kecil (untuk tak terhingga negatif).
Sebagai contoh, lihat formula_20.Semakin "x" membesar, nilai "f"("x") mendekati 2. Dalam contoh ini, dapat dikatakan bahwa
Perhatikan barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 ... Kita dapat mengamati bahwa angka-angka tersebut "mendekati" 1.8, limit dari barisan tersebut.
Secara formal, misalkan "x", "x", ... adalah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil "L" sebagai "limit" barisan ini dan menuliskannya sebagai
yang artinya
Secara intuitif ini berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |"x" − "L"| adalah jarak antara "x" dan "L". Tidak semua barisan memiliki limit. Bila ada, kita menyebutnya sebagai "konvergen", bila tidak, disebut "divergen". Dapat ditunjukkan bahwa barisan konvergen hanya memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Di sisi lain, limit sebuah fungsi "f" pada "x", bila ada, sama dengan limit barisan "x" = "f"("x" + 1/"n").