Bilangan kompleks
Bilangan kompleks dalam matematika, adalah bilangan yang dinotasikan oleh formula_1, di mana "a" dan "b" adalah bilangan riil, dan "i" adalah suatu bilangan imajiner di mana "i" = −1. Bilangan riil "a" disebut juga "bagian riil" dari bilangan kompleks, dan bilangan real "b" disebut "bagian imajiner". Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai "b" adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real "a".
Sebagai contoh, 3 + 2"i" adalah "bilangan kompleks" dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2"i".
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.
Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana "i" digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis "a" + "bj".
Himpunan bilangan kompleks umumnya dinotasikan dengan C, atau formula_2. Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C dengan menyatakan setiap bilangan real sebagai bilangan kompleks: formula_3.
Bilangan kompleks ditambah, dikurang, dan dikali dengan menggunakan sifat-sifat aljabar seperti asosiatif, komutatif, dan distributif, dan dengan persamaan "i"  = −1:
Pembagian bilangan kompleks juga dapat didefinisikan (lihat di bawah). Jadi, himpunan bilangan kompleks membentuk bidang matematika yang, berbeda dengan bilangan real, berupa aljabar tertutup.
Dalam matematika, adjektif "kompleks" berarti bilangan kompleks digunakan sebagai dasar teori angka yang digunakan. Sebagai contoh, analisis kompleks, matriks kompleks, polinomial kompleks, dan aljabar Lie kompleks.
Definisi formal bilangan kompleks adalah sepasang bilangan real ("a", "b") dengan operasi sebagai berikut:
Dengan definisi di atas, bilangan-bilangan kompleks yang ada membentuk suatu himpunan bilangan kompleks yang dinotasikan dengan C.
Karena bilangan kompleks "a" + "bi" merupakan spesifikasi unik yang berdasarkan sepasang bilangan riil ("a", "b"), bilangan kompleks mempunyai hubungan korespondensi satu-satu dengan titik-titik pada satu bidang yang dinamakan bidang kompleks.
Bilangan riil "a" dapat disebut juga dengan bilangan kompleks ("a", 0), dan dengan cara ini, himpunan bilangan riil R menjadi bagian dari himpunan bilangan kompleks C.
Dalam C, berlaku sebagai berikut:
Bilangan kompleks pada umumnya dinyatakan sebagai penjumlahan dua suku, dengan suku pertama adalah bilangan riil, dan suku kedua adalah bilangan imajiner.
Dengan menganggap bahwa:
dan
maka
Untuk mempersingkat penulisan, bentuk formula_11 juga sering ditulis sebagai formula_12.
Bentuk lain adalah bentuk eksponen, yaitu:
Bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai titik atau vektor posisi pada sistem koordinat dua dimensi yang dinamakan bidang kompleks atau Diagram Argand.
Koordinat Kartesius bilangan kompleks adalah bagian riil "x" dan bagian imajiner "y", sedangkan koordinat sirkulernya adalah "r" = |"z"|, yang disebut modulus, dan φ = arg("z"), yang disebut juga "argumen kompleks" dari "z" (Format ini disebut format mod-arg). Dikombinasikan dengan Rumus Euler, dapat diperoleh:
Kadang-kadang, notasi "r" cis φ dapat juga ditemui.
Perlu diperhatikan bahwa argumen kompleks adalah unik modulo 2π, jadi, jika terdapat dua nilai argumen kompleks yang berbeda sebanyak kelipatan bilangan bulat dari 2π, kedua argumen kompleks tersebut adalah sama (ekivalen).
Dengan menggunakan identitas trigonometri dasar,
dapat diperoleh:
dan
Penjumlahan dua bilangan kompleks sama seperti penjumlahan vektor dari dua vektor, dan perkalian dengan bilangan kompleks dapat divisualisasikan sebagai rotasi dan pemanjangan secara bersamaan.
Perkalian dengan i adalah rotasi 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam (formula_17 radian). Secara geometris, persamaan "i" = −1 adalah dua kali rotasi 90 derajat yang sama dengan rotasi 180 derajat (formula_18 radian).