Kaidah darab
Dalam kalkulus, kaidah darab (Bahasa Inggris: product rule), atau sering disebut hukum Leibniz (lihat turunan), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) fungsi yang terdiferensialkan.
Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:
atau dalam notasi Leibniz:
Kaidah ini ditemukan oleh Gottfried Leibniz yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan diferensial. Argumen Leibniz adalah sebagai berikut: Jika "u"("x") dan "v"("x") adalah dua fungsi "x" yang terdiferensialkan. Maka diferensial dari "uv" adalah
Oleh karena ("du")("dv") adalah "dapat diabaikan" (i.e. paling tidak kuadratis pada "du" dan "dv"), Leibniz berkesimpula bahwa
dan ini merupakan bentuk diferensial dari kaidah darab. Jika kita membaginya dengan "dx", kita mendapatkan
yang dapat ditulis dengan "notasi prima" sebagai
Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat limit dan definisi turunan sebagai limit dari hasil bagi beda Newton.
Misalkan
dan "f" and "g" masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap "x". Maka
Perbedaannya:
adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan
Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:
Oleh karena itu, persamaan (1) adalah sama dengan
Jika semua limit pada (5) ada, maka persamaan (4) sama dengan
Sekarang
karena "f"("x") tetaplah konstan ketika "w" → "x";
karena "g" terdiferensialkan pada "x";
karena "f" terdiferensialkan pada "x";
karena "g" kontinu pada "x" (Teorema lainnya mengatakan fungsi yang terdiferensialkan haruslah kontinu)
Kita dapat berkesimpulan bahwa persamaan (5) sama dengan
Misalkan "f" = "uv" dan "u" dan "v" adalah positif. Maka
Diferensialkan dua sisi:
kalikan sisi kiri dengan "f" dan sisi kanan dengan "uv",
Pembuktian ini dapat dilihat di . Perlu diperhatikan bahwa karena "u", "v" haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).
Pembuktian ini bergantung pada kaidah rantai dan sifat-sifat fungsi logaritma natural.
Kaidah darab dapat dianggap sebagai kasus khusus dari kaidah rantai untuk beberapa variable.
Kaidah darab dapat dirampatkan ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:
Untuk sekumpulan fungsi formula_23:
Kaidah ini juga dapat dirampatkan menjadi kaidah Leibniz untuk turunan lebih tinggi dari hasil kali dua faktor: jika "y" = "uv" dan "y" menandakan turunan ke-"n" dari "y", maka
Lihat pula koefisien binomial dan teorema binomial yang mirip dengan perampatan ini.
Untuk turunan parsial lebih tinggi:
dengan indeks "S" merupakan deret 2 dari subhimpunan dari {1, ..., "n"}. Misalkan "n" = 3:
Jika "X", "Y", dan "Z" adalah ruang Banach (yang meliputi ruang Euclide) dan "B" : "X" × "Y" → "Z" adalah operator bilinear kontinu. Maka "B" terdiferensialkan dan turunannya pada titik ("x","y") di "X" × "Y" adalah peta linear "D""B" : "X" × "Y" → "Z"
Dalam aljabar abstrak, kaidah darab digunakan untuk men"defnisi"kan apa yang disebut sebagai turunan dan tidak sebaliknya.
Dalam fungsi vektor, kaidah darab akan berubah sedikit dikarenakan sifat antikomutatif pada hasil kali vektor. Sehingga:
dan bukannya