Korelasi
Dalam teori probabilitas dan statistika, korelasi, juga disebut koefisien korelasi, adalah nilai yang menunjukkan kekuatan dan arah hubungan linier antara dua peubah acak ("random variable").
Salah satu jenis korelasi yang paling populer adalah koefisien korelasi momen-produk Pearson, yang diperoleh dengan membagi kovarians kedua variabel dengan perkalian simpangan bakunya. Meski memiliki nama "Pearson", metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Francis Galton.
Korelasi ρ antara dua peubah acak "X" dan "Y" dengan nilai yang diharapkan μ dan μ dan simpangan baku σ dan σ didefinisikan sebagai:
Karena μ = E("X"),
σ = E("X") − E("X") dan
demikian pula untuk "Y", maka dapat pula ditulis
Korelasi dapat dihitung bila simpangan baku finit dan keduanya tidak sama dengan nol. Dalam pembuktian ketidaksamaan Cauchy-Schwarz, koefisien korelasi tak akan melebihi dari 1 dalam nilai absolut. Korelasi bernilai 1 jika terdapat hubungan linier yang positif, bernilai -1 jika terdapat hubungan linier yang negatif, dan antara -1 dan +1 yang menunjukkan tingkat dependensi linier antara dua variabel. Semakin dekat dengan -1 atau +1, semakin kuat korelasi antara kedua variabel tersebut.
Jika variabel-variabel tersebut saling bebas, nilai korelasi sama dengan 0. Namun tidak demikian untuk kebalikannya, karena koefisien korelasi hanya mendeteksi "ketergantungan linier" antara kedua variabel. Misalnya, peubah acak "X" berdistribusi uniform pada interval antara -1 dan +1, dan "Y" = "X". Dengan demikian nilai "Y" ditentukan sepenuhnya oleh "X", sehingga "
Koefisien korelasi Pearson merupakan statistik parametrik, dan ia kurang begitu menggambarkan korelasi bila asumsi dasar normalitas suatu data dilanggar. Metode korelasi non-parametrik seperti ρ Spearman and τ Kendall berguna ketika distribusi tidak normal. Koefisien korelasi non-parametrik masih kurang "kuat" bila dibandingkan dengan metode parametrik jika asumsi normalitas data terpenuhi, namun cenderung memberikan hasil distrosi ketika asumsi tersebut tak terpenuhi.
Untuk mendapatkan suatu pengukuran mengenai dependensi data (juga nonlinier), dapat digunakan rasio korelasi yang mampu mendeteksi hampir segala dependensi fungsional.
Banyak orang yang keliru menganggap bahwa informasi yang diberikan dari sebuh koefisien korelasi sudah cukup mendefinisikan struktur ketergantungan (dependensi) antara peubah acak. Namun untuk mengetahui adanya ketergantungan antara peubah acak harus dipertimbangkan pula kopula antara keduanya. Koefisien korelasi dapat didefinisikan sebagai struktur ketergantungan hanya pada beberapa kasus, misalnya dalam fungsi distribusi kumulatif pada distribusi normal multivariat.
Matriks korelasi "n" peubah acak "X", ..., "X" adalah "n"  ×  "n" matrik dimana "i","j" adalah corr("X", "X"). Jika ukuran korelasi yang digunakan adalah koefisien momen-produk, matriks korelasi akan sama dengan matriks kovarians peubah acak yang telah distandarkan "X" /SD("X") untuk "i" = 1, ..., "n". Sehingga, matriks korelasi merupakan matriks definit tak-negatif.
Matriks korelasi selalu simetris, yakni korelasi antara formula_3 dan formula_4 adalah sama dengan korelasi antara formula_4 and formula_3).
Diktum konvensi bahwa "korelasi tak selalu berarti sebab-akibat" dibahas dalam artikel hubungan artifisial ("spurious relationship"). Lihat pula korelasi mengarah ke hubungan sebab-akibat (kekeliruan logis). Bagaimanapun, korelasi tak diasumsukan selalu akausal, meski penyebab tersebut bisa pula tidak diketahui.