Metode Galerkin
Metode Galerkin
Dalam matematika, khususnya bidang analisis numerik, metode galerkin merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operator kontinu (seperti persamaan differensial) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini mirip penerapannya dengan metode variasi ke ruang fungsi dengan mengubah parsamaannya ke formulasi lemah. Yang secara khusus menerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang pada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali pada penggunaannya, metode Galerkin menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode Petrov-Galerkin atau metode Ritz-Galerkin.
Pendekatan berharga oleh matematikawan Rusia Boris Galerkin.
Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, maka pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.
Contoh-contoh metode Galerkin adalah:
Pengenalan Masalah Abstrak
a. Masalah dalam formulasi lemah
Misalkan kita memasukkan metode Galerkin pada sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu formulasi lemah pada ruang Hilbert yaitu "V", jika diketahui formula_1 sehingga untuk setiap formula_2 maka
adalah benar. Sekarang formula_4 adalah bentuk bilinear (penjelasan yang eksak atas formula_4 akan ditentukan selanjutnya) dan "f" adalah operator linear pembatas pada "V".
b. Diskretisasi Galerkin
Pilih subruang formula_6 dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks "n" menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.
Jika diketahui formula_7 dan untuk setiap formula_8 maka
Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat diubah dan hanya ruangnya yang dapat diubah.
c. Ortogonalitas Galerkin
Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena formula_10 , kita dapat menggunakan formula_11 sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat
Sekarang, formula_13 = "u" – formula_14 adalah galat antara solusi masalah awal "u" dan persamaan Galerkin formula_14 secara berturut-turut.
d. Bentuk Matriks
Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.
Misal formula_16 basis untuk formula_11. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh:
Diketahui formula_7 sehingga
Kita akan mengembangkan formula_20 menjadi basis seperti ini, formula_21 dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh
formula_22 untuk formula_23.
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear formula_24, dimana
e. Matriks Simetrik
Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetrik jika dan hanya jika bentuk bilinear formula_4 adalah simetrik.
f. Analisis dari Metode Galerkin
Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetrik, yaitu:
Karena ini bukan benar-benar sebuah batas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar ini menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode Petrov-Galerkin dibutuhkan dalam kasus non-simetrik.
Analisis dari metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah well-posed problem menurut Hadamard dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. Pada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan sifat dari solusi Galerkin formula_14 .
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
formula_31 untuk konstanta C > 0.
formula_33 untuk konstanta c > 0 .
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam formulasi lemah. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
g. Well-posedness dari metode Galerkin
Karena formula_34 pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi formula_35. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)
Galat formula_13 = "u" – formula_14 antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:
formula_38 formula_39 formula_40 formula_41 formula_42.
Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta formula_40, solusi Galerkin formula_20 adalah mendekati solusi awal "u" sebagai vector lainnya dalam formula_35 . Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang formula_35, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.
i. Bukti
Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk bilinear(pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya formula_47 sehingga:
Bagi dengan formula_49 dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma formula_50.