Deret pangkat
Deret pangkat (satu variabel) dalam matematika adalah deret tak terhingga dalam bentuk
dengan "a" melambangkan koefisien suku ke-"n", "c" adalah konstanta dan "x" berubah-ubah di sekitar "c" (karena alasan ini kadang-kadang deret seperti ini dikatakan "berpusat" di "c"). Deret ini biasanya berupa deret Taylor dari suatu fungsi.
Pada banyak keadaan "c" sama dengan nol, contohnya pada . Dalam hal tersebut deret pangkat mengambil bentuk yang lebih sederhana:
Deret pangkat biasanya ditemukan dalam analisis matematika, tetapi juga dapat ditemukan pada kombinatorika (dengan nama fungsi pembangkit), dan pada teknik elektro (dengan nama transformasi Z).
Setiap polinomial dapat diekspresikan dengan mudah sebagai sebuah deret pangkat di sekitar pusat "c", meskipun kebanyakan koefisien akan sama dengan nol karena suatu deret pangkat mempunyai elemen yang tak terhingga banyaknya menurut definisi. Misalnya, polinomial formula_3 dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat sekitar pusat formula_4 sebagai
atau sekitar pusat formula_6 sebagai
atau sesungguhnya sekitar pusat "c" manapun. Deret pangkat dapat dipandang seperti "polinomials dengan derajat tak terhingga," meskipun deret pangkat bukanlah polinomial.
Rumus deret geometri
valid untuk formula_10, merupakan salah satu contoh paling penting untuk deret pangkat, sebagaimana rumus fungsi eksponensial
dan rumus sinus
valid untuk semua bilangan real x.
Semua deret pangkat ini juga merupakan contoh untuk deret Taylor.
Pangkat negatif tidak diizinkan dalam deret pangkat, misalnya formula_13
tidak dianggap sebagai suatu deret pangkat (meskipun merupakan suatu ). Demikian pula, pangkat pecahan seperti formula_14 tidak diizinkan (tetapi lihat ). Koefisien-koefisien formula_15 tidak diizinkan untuk bergantung kepada formula_16, jadi misalnya:
Deret pangkat akan bersifat konvergen untuk sejumlah nilai variabel "x" dan dapat bersifat divergen untuk yang lain. Semua deret pangkat "f"("x") dalam pangkat ("x"-"c") akan bersifat konvergen pada "x" = "c". (Nilai yang benar "f"("c") = "a" membutuhkan penafsiran ekspresi 0 sama dengan 1.) Jika "c" bukan satu-satunya titik konvergen, maka pasti ada satu bilangan "r" di mana 0 < "r" ≤ ∞ sedemikian sehingga deret itu menjadi konvergen kapan saja |"x" − "c"| < "r" dan divergen bilamana |"x" − "c"| > "r". Bilangan "r" disebut suatu deret pangkat; secara umum dihitung sebagai:
atau, secara ekuivalen,
formula_19
Bilamana dua fungsi "f" dan "g" didekomposisi menjadi deret pangkat sekitar pusat "c" yang sama, deret pangkat dari jumlah atau selisih kedua fungsi itu dapat dihitung masing-masing dengan penjumlahan atau pengurangan. Yaitu, jika:
maka
Dengan definisi yang sama seperti di atas, hasil kali dan hasil bagi deret pangkat dari kedua fungsi itu dapat diperoleh sebagai berikut:
Urutan formula_26 dikenal sebagai urutan formula_15 dan formula_28.
Untuk pembagian, perhatikan:
dan kemudian gunakan koefisien-koefisien pembanding di atas.
Bilamana suatu fungsi dinyatakan sebagai deret pangkat, maka fungsi itu dapat dihitung diferensialnya pada ranah konvergensi. Dapat dihitung diferensial dan integral dengan mudah dengan mengerjakan setiap elemen secara terpisah:
Kedua deret ini memiliki jari-jari konvergensi yang sama dengan deret asalnya.
Sebuah fungsi "f" didefinisikan pada sejumlah "U" dari R atau C disebut analitik jika secara lokal dihitung sebagai deret pangkat konvergen. Ini berarti bahwa setiap "a" ∈ "U" mempunyai terbuka "V" ⊆ "U", sedemikian sehingga ada suatu deret pangkat dengan pusat "a" yang konvergen ke "f"("x") untuk setiap "x" ∈ "V".
Dalam , diupayakan untuk menangkap makna deret pangkat tanpa dibatasi pada bilangan real dan kompleks, serta tanpa membutuhkan pembicaraan mengenai konvergensi. Ini mengarah kepada konsep , suatu konsep yang sangat bermanfaat dalam .
Suatu kepanjangan teori ini dibutuhkan untuk tujuan . Deret pangkat di sini didefinisikan sebagai suatu deret tak terhingga dengan bentuk
di mana "j" = ("j", ..., "j") adalah vektor bilangan asli; koefisien "a" biasanya adalah bilangan real atau kompleks, dan pusat "c" = ("c", ..., "c") serta argumen "x" = ("x", ..., "x") biasanya adalah vektor real atau kompleks. Notasi multi-index yang lebih sederhana dapat ditulis
Misalkan α adalah suatu multi-indeks untuk deret pangkat"f"("x", "x", …, "x"). Tingkatan ("order") dari deret pangkat "f" didefinisikan sebagai nilai terkecil |α| sedemikian sehingga "a" ≠ 0, atau 0 jika "f" ≡ 0. Khususnya, untuk deret pangkat "f"("x") dalam variabel tunggal "x", tingkatan "f" adalah pangkat terkecil dari "x" dengan koefisien bukan-nol. Definisi ini mudah dikembangkan ke .