Himpunan (matematika)
Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya "S", "A", atau "B", sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil ("a", "c", "z"). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tidak membatasi bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah ini menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai paradoks, contohnya adalah himpunan berikut:
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
Himpunan {"apel, jeruk, mangga, pisang"} memiliki anggota-anggota "apel", "jeruk", "mangga", dan "pisang". Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai himpunan kosong.
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Dari suatu himpunan, misalnya "A" = {"apel, jeruk, mangga, pisang"}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan "A". Himpunan-himpunan ini disebut sebagai himpunan bagian dari "A". Jadi dapat dirumuskan:
"B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A."
Kalimat di atas tetap benar untuk "B" himpunan kosong. Maka formula_10 juga subhimpunan dari "A".
"Untuk sembarang himpunan A,"
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari "A" adalah "A" sendiri.
"Untuk sembarang himpunan A,"
Istilah "subhimpunan" dari "A" biasanya berarti mencakup "A" sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari "A", tetapi bukan "A" sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
Himpunan bagian sejati dari "A" menunjuk pada "himpunan bagian" dari "A", tetapi tidak mencakup "A" sendiri.
Kebalikan dari "subhimpunan" adalah superhimpunan, yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
Himpunan "A" dan "B" disebut sama, jika setiap anggota "A" adalah anggota "B", dan sebaliknya, setiap anggota "B" adalah anggota "A".
atau
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan "A" dan "B" adalah sama. Pertama, buktikan dahulu "A" adalah subhimpunan "B", kemudian buktikan bahwa "B" adalah subhimpunan "A".
Himpunan kuasa atau himpunan pangkat ("power set") dari "A" adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari "A". Notasinya adalah formula_17.
Jika "A" = {"apel, jeruk, mangga, pisang"}, maka formula_17:
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari "A" adalah 2 pangkat banyaknya anggota "A".
Suatu himpunan disebut sebagai kelas, atau keluarga himpunan jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan formula_20 adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan "A", maka himpunan kuasanya, formula_17 adalah sebuah keluarga himpunan.
Contoh berikut, formula_22 bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota "c" yang bukan himpunan.
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan formula_23 adalah 4. Himpunan formula_24 juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
Dua buah himpunan "A" dan "B" memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan "A" pada "B". Karena dengan mudah kita membuat fungsi formula_25 yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan "A" ke "B", maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan formula_26, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut denumerabel. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas formula_27.
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh formula_28.
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas formula_27, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas formula_31. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas formula_31, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah formula_33.
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.
Jika formula_35 maka:
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa formula_41 dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari "S". Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta "S", maka setiap himpunan bagian dari "S" bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. Bilangan biner menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap digitnya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota "S", sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan "S" = {"a, b, c, d, e, f, g"}, "A" = {"a, c, e, f"}, dan B = {"b, c, d, f"}, maka:
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti union (gabungan), interseksi (irisan), dan komplemen (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan operasi bit untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler Pascal dan juga Delphi.
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/30/Venn0111.svg/220px-Venn0111.svg.png
Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan setara dengan "A" atau "B", dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan "A" ataupun "B".
Contoh:
Beberapa sifat dasar gabungan:
Operasi irisan setara dengan "A" dan "B". Irisan merupakan himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika , maka "A" dan "B" dapat dikatakan "disjoint" (terpisah).
Contoh:
Beberapa sifat dasar irisan:
Operasi pelengkap setara dengan bukan "A" atau . Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.
Contoh:
Beberapa sifat dasar komplemen:
Ekstensi dari komplemen adalah diferensi simetris (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan "A" dan "B" atau menghasilkan
Contohnya, diferensi simetris antara: