Turunan waktu
Turunan waktu () adalah suatu turunan atau derivatif dari sebuah fungsi terhadap waktu, biasanya ditafsirkan sebagai laju perubahan nilai fungsi itu. Variabel yang menyatakan waktu biasanya ditulis sebagai formula_1.
Berbagai notasi telah digunakan untuk menyatakan turunan waktu. Biasanya digunakan Notasi Leibniz:
Notasi singkat yang umum, biasanya dalam fisika adalah 'over-dot', yaitu:
Turunan waktu yang lebih tinggi juga digunakan: turunan kedua terhadap waktu ditulis sebagai:
dengan singkatannya formula_5.
Secara umum, turunan waktu sebuah vektor, misalnya:
didefinisikan sebagai vektor yang komponen-komponennya merupakan turunan dari komponen-komponen vektor aslinya. Jadi,
Turunan waktu adalah konsep kunci dalam fisika. Misalnya, untuk suatu perubahan posisi formula_8, turunan waktunya formula_3 adalah kecepatannya, dan turunan keduanya terhadap waktu, formula_5, adalah percepatan. Meskipun turunan lebih tinggi kadang kala juga digunakan: turunan ketiga posisi terhadap waktu dikenal sebagai "sentakan".
Sejumlah besar persamaan fundamental dalam fisika melibatkan kuantitas turunan waktu pertama dan kedua. Banyak kuantitas fundamental lain dalam sains adalah turunan waktu satu sama lain:
dan seterusnya
Hal yang umum dijumpai dalam fisika adalah turunan waktu dari suatu vektor, seperti kecepatan atau perpindahan. Dalam menangani derivatif tersebut, baik besaran maupun orientasi dapat tergantung dari waktu.
Misalnya, ada suatu partikel bergerak dalam jalur sirkuler atau melingkar. Posisinya diberikan oleh vektor perpindahan formula_11, terhadap sudut "θ", dan jarak radial "r", sebagaimana didefinisikan dalam gambar:
Untuk keperluan contoh ini, ketergantungan waktu disertakan dengan setting . Perpindahan (posisi) pada waktu "t" adalah:
Bentuk ini menunjukkan gerakan yang diberikan oleh r("t") adalah suatu lingkaran dengan jari-jari "r" karena "besaran" r("t") diberikan oleh
menggunakan identitas trigonometri dan di mana formula_15 adalah hasil perkalian skalar biasa.
Dengan bentuk perpindahan ini, kecepatan dapat dihitung. Turunan waktu vektor perpindahan adalah vektor kecepatan. Secara umum, turunan suatu vektor adalah vektor yang terdiri dari komponnen-komponen di mana masing-masing adalah turunan dari komponen bersangkutan pada vektor aslinya. Jadi, dalam hal ini, vektor kecepatan adalah:
Jadi kecepatan partikel itu "nonzero" (bukan nol) meskipun besaran posisi (yaitu, jari-jari jalur gerakan) konstan. Kecepatan ini diarahkan tegak lurus dari perpindahan, yang dihitung menggunakan perkalian skalar:
Jadinya percepatan atau akselerasi adalah turunan waktu kecepatan:
Percepatan diarahkan ke dalam, ke arah aksis rotasi, menunjuk arah berlawanan dengan vektor posisi dan tegak lurus terhadap vektor kecepatan. Percepatan ke arah dalam ini disebut percepatan sentripetal.
Dalam ekonomi, banyak model teoretis evolusi berbagai variabel ekonomi dikonstruksi dalam continuous time sehingga menggunakan turunan waktu. Contohnya exogenous growth model. Salah satu situasi melibatkan dan turunan waktunya, . Sejumlah contoh:Kadang-kadang turunan waktu variabel flow dapat muncul dalam suatu model:Kadang pula muncul turunan waktu dari suatu variabel yang berbeda dengan contoh-contoh di atas karena tidak diukur dalam satuan mata uang: