Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
formula_1
dengan
formula_2
Huruf-huruf "a", "b" dan "c" disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat "a" adalah koefisien dari formula_3, koefisien linier "b" adalah koefisien dari "x", dan "c" adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.
Nilai-nilai "a", "b" dan "c" menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang "xy".
Ilustrasi grafik-grafik persamaan kuadrat dengan berbagai variasi nilai "a". "b" dan "c" dapat dilihat pada gambar diatas.
Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai "a", "b" dan "c" suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk
formula_4
Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa
formula_5.
Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk
formula_1
dapat dituliskan menjadi
formula_7.
Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu
formula_8
dan
formula_9.
Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.
Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
bagi kedua ruas untuk mendapatkan formula_11
Pindahkan formula_13 ke ruas kanan
sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.
Pindahkan formula_16 ke ruas kanan
lalu samakan penyebut di ruas kanan.
Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.
Pindahkan formula_20 ke ruas kanan
sehingga didapat rumus kuadrat
Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:
yang disebut sebagai "diskriminan" atau juga sering disebut "determinan" suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf "D".
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien "riil" dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:
Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu "x" atau garis "y = 0".
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat (formula_26) dengan suatu garis mendatar (formula_27). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
formula_28
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang "x" di mana nilai-nilai "y" berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat "a":
dengan formula_35 merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila formula_36 bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah formula_37 (nilai riil)-nya.
Akar-akar dari persamaan kuadrat adalah juga pembuat nol dari fungsi kuadrat tersebut:
dikarenakan akar-akar tersebut merupakan nilai formula_39 yang memberikan
Jika "a", "b", dan "c" adalah bilangan riil, dan domain dari formula_41 adalah himpunan bilangan riil, maka pembuat nol dari formula_41 adalah eksak koordinat-"x" di saat titik-titik tersebut menyentuh sumbu-x.
Mengikuti pernyataan di atas, bahwa jika diskriminan berharga positif, kurva persamaan kuadrat akan menyentuh sumbu-x pada dua buah titik (dua buah titik potong), jika berharga nol, akan menyentuh di satu titik dan jika berharga negatif, kurva tidak akan menyentuh sumbu-x.
Persamaan fungsi kuadrat : formula_43
dimana f(x) = y maka titik balik (titik puncak) fungsi kuadrat adalah (formula_44 , formula_45).Dari bentuk umum persamaan kuadrat,
anggapan bahwa formula_49 adalah 0 maka:
maka titik balik adalah (formula_44 , formula_45).Persamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat