Matematika murni
Secara umum, matematika murni (Inggris: "pure mathematics") adalah matematika yang sepenuhnya termotivasi lebih pada sebab dan akibat, alasan, berbandingkan sebagai sebuah aplikasi. Hal ini dibedakan dengan oleh adanya ketelitian, abstraksi dan keindahan. Dari abad kedelapan belas dan seterusnya merupakan kategori yang diakui bagi kegiatan matematika, kadang-kadang dicirikan sebagai matematika spekulatif, dan terdapat perbedaan adanya kecenderungan lain untuk memenuhi kebutuhan navigasi, astronomi, fisika, teknik, dan seterusnya.
Matematikawan Yunani Kuno termasuk di antara yang paling awal untuk membuat perbedaan antara matematika murni dengan matematika terapan. Plato membantu menciptakan kesenjangan antara "aritmetika" yang sekarang disebut teori bilangan dengan "logistik" yang saat sekarang disebut "aritmetika".
Plato beranggapan bahwa logistik (aritmetika) sesuai dengan kebutuhan pengusaha dan peperangan yang dikatakannya "dengan belajar "seni bilangan" atau para pengusaha dan peperangan tidak akan pernah bisa mengetahui bagaimana dengan keadaan susunan kekuatan yang sebenarnya" dibandingkan dngan aritmetika (teori bilangan) yang lebih sesuai bagi kebutuhan para filsuf "karena telah mempunyai untuk muncul dari lautan perubahan dan berusaha untuk menangkap kebenaran".
Euclid dari Alexandria, ketika ditanya oleh salah seorang siswaya tentang apa kegunaan untuk belajar mengenai geometri lalu Euclid meminta kepada pelayannya untuk memberikan "threepence" kepada siswa tersebut sambil mengatakan bahwa karena siswa tersebut mempunyai kebutuhan yang dapat membuat keuntungan dari apa yang siswa tersebut pelajari sedangkan seorang matematikawan Yunani yang bernama Apollonius dari Perga ketika ditanya tentang manfaat atas bagian dari kaidahnya di dalam Buku IV Conics dengan bangga ia menegaskan sebagai berikut 
They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason.
And since many of his results were not applicable to the science or engineering of his day, Apollonius further argued in the preface of the fifth book of "Conics" that the subject is one of those that "...seem worthy of study for their own sake."
Istilah itu sendiri diabadikan dalam judul lengkap Sadleirian Profesor Matematika Murni kadang-kadang disebut pula sebagai Sadlerian Chair, sebagai pencetus (sebagai profesor) pada pertengahan abad kesembilan belas. Gagasannya tentang disiplin terpisah "matematika murni" mungkin telah muncul pada saat itu.
Generasi dari Gauss tidak dapat menyentuh perbedaan antara "murni" dengan "terapan". Kemudian pada tahun-tahun berikutnya, spesialisasi dan profesionalisasi (terutama di Weierstrass pendekatan untuk melakukan analisis matematis) telah membuka celah yang menjadikannya menjadi lebih jelas.
Pada awal abad keduapuluh para matematikawan yang mengambil metode aksioma lebih dipengaruhi oleh pemeikiran dari David Hilbert. Perumusan logis matematika murni yang diusulkan oleh Bertrand Russell dalam bentuk struktur pembilang proposisi akan tampak lebih dan masuk akal karena sebagian besar matematika telah menjadi axiomatik dan dengan demikian semua harus tunduk pada kriteria sederhana dari pembuktian yang setepat-tepatnya.
Bahkan dalam pengaturan aksiomatik setepat-tepatnya menambahkan tidak ada ide pembuktian. Matematika murni, menurut pandangan yang dapat dinisbahkan kepada kelompok Bourbaki adalah apa yang telah dibuktikan. Matematikawan murni akan menjadi kemungkinan bila dicapai dengan melalui pelatihan.
Salah satu konsep sentral dalam matematika murni adalah pada ide umum, matematika murni sering tampak menampilkan kecenderungan secara umum. Secara umum memiliki banyak manifestasi yang berbeda, seperti membuktikan kaidah di bawah asumsi yang lebih lemah atau mendefinisikan struktur matematis dengan menggunakan asumsi yang lebih sedikit. Meskipun kadang-kadang ditempuh umum atau dinilai demi kepentingannya akan tetapi dapat memiliki kelebihan tertentu, seperti termasuk:Dampak umum pada intuisi terdapat ketergantungan antara subjek dan masalah preferensi pribadi atau gaya belajar, pada umumnya sering dipandang sebagai penghalang bagi intuisi, meskipun sebenarnya dapat berfunsi berlaku sebagai bantuan terhadap hal tersebut, terutama bila dapat memberikan ketersediaan bahan analogi untuk yang sudah memiliki intuisi yang baik.
Sebagai contoh umum yang utama yakni dalam Program Erlangen ikut melibatkan perluasan geometri guna mengakomodasi geometri non-Euclidean yang termasuk di dalamnya bidang topologi dan bentuk lain dari geometri, bila dilihat dari geometri sebagai ruang studi bersama dengan himpunan dari transformasi.
Studi tentang bilangan yang disebut sebagai aljabar pada awal pendidikan tingkat sarjana kemudian meluas menuju pada aljabar abstrak lalu pada tingkat selanjutnya dalam studi tentang fungsi yang disebut pula sebagai kalkulus dan bila diteruskan pada tingkatan selanjutnya akan mendapatkan analisis matematis dan analisis fungsional. Masing-masing cabang ini tampak lebih kepada matematika abstrak yang akan memiliki banyak bidang sub-spesialisasi dan pada hakekatnya terdapat banyak hubungan antara matematika murni dengan disiplin keilmuan matematika terapan.
Dalam praktik perkembangan ini menyebabkan terjadinya penyimpangan yang sangat tajam dari fisika, khususnya terjadi antara tahun 1950-1980 yang kemudian mendapatkan kritikan, antara lain oleh Vladimir Arnold atau Hilbert yang banyak sekali melakukan kirikannya yang lalu disusul kemudian oleh Poincaré. Inti perdebatan ini tampaknya belum tampak dapat diselesaikan (dasar kontroversi tidak terlihat pada segi padangan kumpulan teori) bila dalam untaian teori dapat saling menarik sedangkan dalam matematika mempunyai ciri-ciri tersendiri yang dapat menarik kembali kepada bukti sebagai pusat.