Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai ""adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari."" Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.
Jika terdapat suatu untai abjad "abcd", maka untai itu dapat dituliskan kembali dengan urutan yang berbeda: "acbd", "dacb", dan seterusnya. Selengkapnya ada 24 cara menuliskan keempat huruf tersebut dalam urutan yang berbeda satu sama lain.
Setiap untai baru yang tertulis mengandung unsur-unsur yang sama dengan untai semula "abcd", hanya saja ditulis dengan urutan yang berbeda. Maka setiap untai baru yang memiliki urutan berbeda dari untai semula ini disebut dengan permutasi dari "abcd".
Untuk membuat permutasi dari "abcd", dapat diandaikan bahwa terdapat empat kartu bertuliskan masing-masing huruf, yang hendak kita susun kembali. Juga terdapat 4 kotak kosong yang hendak kita isi dengan masing-masing kartu:
Maka kita dapat mengisi setiap kotak dengan kartu. Tentunya setiap kartu yang telah dipakai tidak dapat dipakai di dua tempat sekaligus. Prosesnya digambarkan sebagai berikut:
 "Kartu Kotak"
 "Kartu Kotak"
 "Kartu Kotak"
 "Kartu Kotak"
 "Kartu Kotak"
Di setiap langkah, kita memiliki sejumlah pilihan yang semakin berkurang. Maka banyaknya semua kemungkinan permutasi adalah 4×3×2×1 = 24 buah.
Jika banyaknya kartu 5, dengan cara yang sama dapat diperoleh ada 5×4×3×2×1 = 120 kemungkinan. Maka jika digeneralisasikan, banyaknya permutasi dari "n" unsur adalah sebanyak formula_1.
Setiap permutasi dapat kita kaitkan dengan barisan bilangan yang disebut sebagai barisan bilangan inversi. Setiap unsur dalam permutasi dikaitkan dengan sebuah bilangan yang menunjukkan banyaknya unsur setelah unsur tersebut, yang posisinya salah.
Sebagai contoh, salah satu permutasi dari untai "abcdefg" adalah "dacfgeb". Maka untuk setiap unsur "dacfgeb" dapat dibuat bilangan inversinya:
Maka barisan bilangan inversi dari "dacfgeb" adalah 3, 0, 1, 2, 2, 1, 0.
Barisan bilangan inversi dapat dimengerti sebagai sebuah sistem bilangan, yang setiap digitnya memiliki sifat:
dan
Sistem bilangan ini disebut sebagai faktoradik. Masing-masing faktoradik dapat diubah maupun dibentuk dari bilangan desimal. Ini berguna untuk dapat menghasilkan permutasi ke-"k" dari sebuah untai.
Permasalahan umum yang terdapat seputar membangkitkan permutasi adalah:
Diberikan sebuah untai "S", tentukan:
Terkadang kita hanya ingin menyusun ulang sejumlah elemen saja, tidak semuanya. Permutasi ini disebut permutasi-"k" dari "n" benda. Pada contoh untai "abcd", maka permutasi-2 dari "abcd" (yang semuanya ada 4 unsur) adalah sebanyak 12:
Sedangkan permutasi-3 dari untai yang sama adalah sebanyak 24:
Banyaknya kemungkinan permutasi seperti ini adalah
Terkadang tidak semua unsur dalam permutasi dapat dibedakan. Unsur-unsur ini adalah unsur-unsur yang identik atau sama secara kualitas. Suatu untai "aabc" terdiri dari 4 macam unsur, yaitu "a, b", dan "c" tetapi unsur "a" muncul sebanyak dua kali. Kedua "a" tersebut identik. Permutasi dari "aabc" adalah berjumlah 12:
Ini bisa dimengerti sebagai permutasi biasa dengan kedua unsur "a" dibedakan, yaitu a dan a:
Total permutasi dari untai "aabc" adalah sebanyak 4! = 24. Tetapi total permutasi ini juga mencakup posisi "a" dan "a" yang bertukar-tukar, yang jumlahnya adalah 2! (karena "a" terdiri dari 2 unsur: "a" dan "a"). Dengan demikian jika dianggap "a" = "a" maka banyak permutasinya menjadi 4! dibagi dengan 2!. Cara menghitung ini dapat digeneralisasikan:
Untuk untai "S" sepanjang "n" yang mengandung satu macam unsur identik sebanyak "k":
Lebih umum lagi, jika panjang untai adalah "n", mengandung "m" macam unsur yang masing-masing adalah sebanyak "k", "k", ..., "k", maka:
atau
Sebagai contoh, untai "aaaaabbcccdddddd" terdiri dari 5 "a", 2 "b", 3 "c", dan 6 "d", maka banyaknya permutasi yang dapat dibentuk:
Dalam permutasi biasa, misalnya "abcd", setiap unsur hanya muncul satu kali, sehingga
Unsur yang identik tersebut tidak perlu benar-benar identik, tetapi bisa merupakan unsur yang berbeda, tetapi ada kualitas tertentu yang kita anggap sama dari kedua unsur tersebut. Sebagai contoh, huruf "A" dan huruf "a" bisa dianggap identik untuk keperluan tertentu.
Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.
Pada susunan di atas, kita dapat membaca untai tersebut sebagai salah satu dari untai-untai berikut:
Cara membaca untai "abcdefgh" dalam susunan melingkar tersebut bermacam-macam, maka setiap macam cara kita anggap identik satu sama lain.
Permutasi siklis dapat dihitung dengan menganggap bahwa satu elemen harus ditulis sebagai awal untai.
Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah "n", dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah "n"-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak formula_10.