आर्किमिडीज़
सेराक्यूस के आर्किमिडीज़ (यूनानी:; 287 ई.पू. - 212 ई.पू.), एक यूनानी गणितज्ञ, भौतिक विज्ञानी, अभियंता, आविष्कारक और खगोल विज्ञानी थे। हालांकि उनके जीवन के कुछ ही विवरण ज्ञात हैं, उन्हें शास्त्रीय पुरातनता का एक अग्रणी वैज्ञानिक माना जाता है। भौतिक विज्ञान में उन्होनें जलस्थैतिकी, सांख्यिकी और उत्तोलक के सिद्धांत की व्याख्या की नीव रखी थी। उन्हें नवीनीकृत मशीनों को डिजाइन करने का श्रेय दिया जाता है, इनमें सीज इंजन और स्क्रू पम्प शामिल हैं। आधुनिक प्रयोगों से आर्किमिडीज़ के इन दावों का परीक्षण किया गया है कि दर्पणों की एक पंक्ति का उपयोग करते हुए बड़े आक्रमणकारी जहाजों को आग लगाई जा सकती हैं।
आमतौर पर आर्किमिडीज़ को प्राचीन काल का सबसे महान गणितज्ञ माना जाता है और सब समय के महानतम लोगों में से एक कहा जाता है। उन्होंने एक परवलय के चाप के नीचे के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए पूर्णता की विधि का उपयोग किया, इसके लिए उन्होंने अपरिमित श्रृंखला के समेशन का उपयोग किया और पाई का उल्लेखनीय सटीक सन्निकट मान दिया। उन्होंने एक आर्किमिडीज सर्पिल को भी परिभाषित किया, जो उनके नाम पर आधारित है, घूर्णन की सतह के आयतन के लिए सूत्र दिए और बहुत बड़ी संख्याओं को व्यक्त करने के लिए एक सरल प्रणाली भी दी।
आर्किमिडीज सेराक्यूस की घेराबंदी के दौरान मारे गए जब एक रोमन सैनिक ने उनकी हत्या कर दी, हालांकि यह आदेश दिया गया था कि उन्हें कोई नुकसान नहीं पहुंचना चाहिए। सिसरो आर्किमिडिज़ का मकबरा, जो एक बेलन के अंदर अन्दर स्थित गुंबद की तरह है, पर जाने का वर्णन करते हैं कि, आर्किमिडीज ने साबित किया था कि गोले का आयतन और इसकी सतह का क्षेत्रफल बेलन का दो तिहाई होता है (बेलन के आधार सहित) और इसे उनकी एक महानतम गणितीय उपलब्धि माना जाता है।
उनके आविष्कारों के विपरीत, आर्किमिडीज़ के गणितीय लेखन को प्राचीन काल में बहुत कम जाना जाता था। एलेगज़ेनडरिया से गणितज्ञों ने उन्हें पढ़ा और उद्धृत किया, लेकिन पहला व्याख्यात्मक संकलन "सी." तक नहीं किया गया था। यह 530 ई. में मिलेटस के इसिडोर ने किया, जब छठी शताब्दी ई. में युटोकियास ने आर्किमिडीज़ के कार्यों पर टिप्पणियां लिखीं और पहली बार इन्हें व्यापक रूप से पढने के लिये उपलब्ध कराया गया। आर्किमिडीज़ के लिखित कार्य की कुछ प्रतिलिपियां जो मध्य युग तक बनी रहीं, वे पुनर्जागरण के दौरान वैज्ञानिकों के लिए विचारों का प्रमुख स्रोत थीं, हालांकि आर्किमिडीज़ पालिम्प्सेट में आर्किमिडीज़ के द्वारा पहले से किये गए अज्ञात कार्य की खोज 1906 में की गयी थी, जिससे इस विषय को एक नयी अंतर्दृष्टि प्रदान की कि उन्होंने गणितीय परिणामों को कैसे प्राप्त किया।
आर्किमिडीज का जन्म 287 ई.पू. सेराक्यूस, सिसिली के बंदरगाह शहर में मैग्ना ग्रासिया की एक बस्ती में हुआ था। उनके जन्म की तारीख, बीजान्टिन यूनानी इतिहासकार जॉन ज़ेतज़ेस के कथन पर आधारित है, इसके अनुसार आर्किमिडीज़ 75 वर्ष तक जीवित रहे।  "द सेंड रेकोनर" में, आर्किमिडीज़ अपने पिता का नाम फ़िदिआस बताते हैं, उनके अनुसार वे एक खगोल विज्ञानी थे, जिसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है। प्लूटार्क ने अपनी "पेरेलल लाइव्ज़" में लिखा कि आर्किमिडीज़ सेराक्यूस के शासक, राजा हीरो से सम्बंधित थे।  आर्किमिडीज़ की एक जीवनी उनके मित्र हीराक्लिडस के द्वारा लिखी गयी, लेकिन उनका कार्य खो गया है, जिससे उनके जीवन के विवरण अस्पष्ट ही रह गए हैं। उदाहरण के लिए, यह अज्ञात है कि वह शादी शुदा थे या नहीं या उनके बच्चे थे या नहीं। संभवत: अपनी जवानी में आर्किमिडीज़ ने अलेक्जेंड्रिया, मिस्र में अध्ययन किया, जहां वे सामोस के कोनन और सायरीन के इरेटोस्थेनेज समकालीन थे।  उन्हें उनके मित्र की तरह सामोस के कोनन से सन्दर्भित किया जाता था, जबकि उनके दो कार्यो ("यांत्रिक प्रमेय की विधि" और "केटल समस्या (the Cattle Problem)") का परिचय इरेटोस्थेनेज के संबोधन से दिया जाता था।"[20]"
आर्किमिडीज की मृत्यु "c" 212 ई.पू. दूसरे पुनिक युद्ध के दौरान हुई जब रोमन सेनाओं ने जनरल मार्कस क्लाउडियस मार्सेलस के नेतृत्व में दो साल की घेराबंदी के बाद सेराक्यूस शहर पर कब्ज़ा कर लिया।  प्लूटार्क के द्वारा दिए गए लोकप्रिय विवरण के अनुसार, आर्किमिडीज़ एक गणितीय चित्र पर विचार कर रहे थे, जब शहर पर कब्ज़ा किया गया।
एक रोमन सैनिक ने उन्हें आकर जनरल मार्सेलस से मिलने का आदेश दिया, लेकिन उन्होंने यह कहकर इनकार कर दिया कि उन्हें अपनी समस्या पर काम पूरा करना है।  इससे सैनिक नाराज हो गया और उसने अपनी तलवार से आर्किमिडीज़ को मार डाला। प्लूटार्क आर्किमिडीज़ की मृत्यु का भी एक विवरण देते हैं जिसमें यह कहा गया है कि संभवतया उन्हें तब मार दिया गया जब वे एक रोमन सैनिक को समर्पण करने का प्रयास कर रहे थे।  इस कहानी के अनुसार, आर्किमिडीज गणितीय उपकरण ले जा रहे थे और उन्हें इसलिए मार दिया गया क्योंकि सैनिक ने सोचा कि ये कीमती सामान है। कहा जाता है कि आर्किमिडीज़ की मृत्यु से जनरल मार्सेलस बहुत क्रोधित हुए, क्योंकि वे उन्हें एक अमूल्य वैज्ञानिक सम्पति मानते थे और उन्होंने आदेश दिए थे कि आर्किमिडीज़ को किसी भी प्रकार का नुकसान नहीं पहुंचाया जाना चाहिए।
माना जाता है कि आर्किमिडीज़ के अंतिम शब्द थे, "मेरे वृतों को परेशान मत करो (Do not disturb my circles)" (), यहां वृतों का सन्दर्भ उस गणितीय चित्र के वृतों से है जिसे आर्किमिडीज़ उस समय अध्ययन कर रहे थे जब रोमन सैनिक ने उन्हें परेशान किया।  इन शब्दों को अक्सर लैटिन में "Noli turbare circulos meos" के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन इस बात के कोई भरोसेमंद प्रमाण नहीं हैं कि आर्किमिडिज़ ने ये शब्द कहे थे और ये प्लूटार्क के द्वारा दिए गए विवरण में नहीं मिलते हैं।
आर्किमिडीज के मकबरे पर उनका पसंदीदा गणितीय प्रमाण चित्रित किया हुआ है, जिसमें समान उंचाई और व्यास का एक गोला और एक बेलन है। आर्किमिडीज़ ने प्रमाणित कि गोले का आयतन और सतह का क्षेत्रफल बेलन (आधार सहित) का दो तिहाई होता है।  75 ई.पू. में, उनकी मृत्यु के 137 साल बाद, रोमन वक्ता सिसरो सिसिली में कोषाध्यक्ष के रूप में सेवारत थे। उन्होंने आर्किमिडीज़ के मकबरे के बारे में कहानियां सुनी थीं, लेकिन स्थानीय लोगों में से कोई भी इसकी स्थिति बताने में सक्षम नहीं था। अंततः उन्होंने इस मकबरे को सेराक्यूस में एग्रीजेंटाइन गेट के पास खोज लिया, यह बहुत ही उपेक्षित हालत में था और इस पर बहुत अधिक झाडियां उगीं हुईं थीं।  सिसरो ने मकबरे को साफ़ किया और इसके ऊपर हुई नक्काशी को देख पाए और उस पर शिलालेख के रूप में उपस्थित कुछ छंदों को पढ़ा. आर्किमिडीज़ के जीवन के मानक संस्करणों को उनकी मृत्यु के लम्बे समय बाद प्राचीन रोम के इतिहासकारों के द्वारा लिखा गया। पोलिबियस के द्वारा दिया गया सेराक्यूस की घेराबंदी का विवरण उनकी "यूनिवर्सल हिस्ट्री (Universal History)" में आर्किमिडीज़ की मृत्यु के लगभग 70 वर्ष के बाद लिखा गया और इसे बाद में प्लूटार्क और लिवी के द्वारा एक स्रोत के रूप में प्रयुक्त किया गया। यह एक व्यक्ति के रूप में आर्किमिडीज़ पर थोड़ा प्रकाश डालता है और उन युद्ध मशीनों पर ध्यान केंद्रित करता है, जिन्हें माना जाता है कि उन्होंने शहर की रक्षा करने के लिए बनाया था।
आर्किमिडीज़ के बारे में सबसे व्यापक रूप से ज्ञात तथ्य (anecdote) यह बताता है कि किस प्रकार से उन्होंने एक अनियमित आकृति के एक वस्तु के आयतन को निर्धारित करने के लिए विधि की खोज की।  विट्रूवियस के अनुसार, राजा हीरो II के लिए एक लौरेल व्रेथ के आकार का एक नया मुकुट बनाया गया था और आर्किमिडीज़ से यह पता लगाने के लिए कहा गया कि यह मुकुट शुद्ध सोने से बना है या बेईमान सुनार ने इसमें चांदी मिलायी है।  आर्किमिडीज़ को मुकुट को नुकसान पहुंचाए बिना इस समस्या का समाधान करना था, इसलिए वह इसके घनत्व की गणना करने के लिए इसे पिघला कर एक नियमित आकार की वस्तु में नहीं बदल सकता था।  नहाते समय, उन्होंने देखा कि जब वे टब के अन्दर गए, टब में पानी का स्तर ऊपर उठ गया और उन्होंने महसूस किया कि इस प्रभाव का उपयोग मुकुट के आयतन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। व्यवहारिक प्रयोजनों के लिए पानी को संपीडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए डूबा हुआ मुकुट अपने आयतन की बराबर मात्रा के पानी को प्रतिस्थापित करेगा। मुकुट के भार को प्रतिस्थापित पानी के आयतन से विभाजित करके, मुकुट का घनत्व प्राप्त किया जा सकता है। यदि इसमें सस्ते और कम घनत्व वाले धातु मिलाये गए हैं तो इसका घनत्व सोने से कम होगा।  फिर क्या था, आर्किमिडीज़ अपनी इस खोज से इतने ज्यादा उत्तेजित हो गए कि वे कपडे पहनना ही भूल गए और नग्न अवस्था में गलियों में भागते हुए चिल्लाने लगे "यूरेका (Eureka)!" (यूनानी: "εὕρηκα!," अर्थ "मैंने इसे पा लिया!")
सोने के मुकुट की कहानी आर्किमिडीज़ के ज्ञात कार्यों में प्रकट नहीं होती है। इसके अलावा, पानी के विस्थापन के मापन में आवश्यक सटीकता की अत्यधिक मात्रा के कारण, इसके द्वारा वर्णित विधि की व्यवहारिकता पर सवाल उठाये गए हैं। संभवत: आर्किमिडीज़ ने एक ऐसा हल दिया जो जलस्थैतिकी में आर्किमिडीज़ के सिद्धांत नामक सिद्धांत पर लागू होता है, जिसे वे अपने एक ग्रन्थ "ऑन फ्लोटिंग बोडीज़ (on Floating Bodies)" में वर्णित करते हैं।
इस सिद्धांत के अनुसार एक तरल में डूबी हुई वस्तु पर एक उत्प्लावन बल (buoyant force) लगता है जो इसके द्वारा हटाये गए तरल के भार के बराबर होता है।  इस सिद्धांत का प्रयोग करते हुए, सोने के मुकुट के घनत्व की तुलना ठोस सोने से करना संभव हो गया होगा, इसके लिए पहले मुकुट को सोने के एक नमूने के साथ एक पैमाने पर संतुलित किया गया होगा, फिर तंत्र को पानी में डुबाया गया होगा।  यदि मुकुट सोने से कम घना था, इसने अपने अधिक आयतन के कारण अधिक पानी को प्रतिस्थापित किया होगा और इस प्रकार इस पर लगने वाले उत्प्लावन बल की मात्रा नमूने से अधिक रही होगी।  उत्प्लावकता में यह अंतर पैमाने पर दिखायी दिया होगा। गैलीलियो ने माना कि "संभवतया आर्किमिडीज़ ने इसी विधि का उपयोग किया होगा, चूंकि, बहुत सटीक होने के साथ, यह खुद आर्किमिडीज़ के द्वारा दिए गए प्रदर्शन पर आधारित है।"
इंजीनियरिंग के क्षेत्र में आर्किमिडीज़ के द्वारा किये गए कार्य का एक बड़ा हिस्सा, उसके अपने शहर सेराक्युज़ की जरूरतों को पूरा करने से ही हुआ। यूनानी लेखक नौक्रातिस के एथेन्यूस ने वर्णित किया कि कैसे राजा हीरोन II ने आर्किमिडीज़ को एक विशाल जहाज, "सिराकुसिया (Syracusia)" डिजाइन करने के लिए कहा, जिसे विलासितापूर्ण यात्रा करने के लिए, सामान की सप्लाई करने के लिए और नौसेना के युद्धपोत के रूप में प्रयुक्त किया जा सके।  माना जाता है कि "सिराकुसिया" प्राचीन काल का सबसे बड़ा जहाज था।  एथेन्यूस के अनुसार, यह 600 लोगों को ले जाने में सक्षम था, साथ ही इसकी सुविधाओं में एक बगीचे की सजावट, एक व्यायामशाला और देवी एफोर्डाईट को समर्पित एक मंदिर भी था। चूंकि इस आकार का एक जहाज पतवार के माध्यम से पानी की एक बड़ी मात्रा का रिसाव करेगा, इस पानी को हटाने के लिए आर्किमिडीज़ का स्क्रू बनाया गया।
आर्किमिडीज़ की मशीन एक उपकरण थी, जिसमें एक बेलन के भीतर घूर्णन करते हुए स्क्रू के आकार के ब्लेड थे। इसे हाथ से घुमाया जाता था और इसक प्रयोग पानी के एक निकाय से पानी को सिंचाई की नहर में स्थानांतरित करने के लिए भी किया जा सकता था। आर्किमिडीज़ के स्क्रू का उपयोग आज भी द्रव और कणीय ठोस जैसे कोयला और अनाज को पम्प करने के लिए किया जाता है। रोमन काल में विट्रूवियस के द्वारा वर्णित आर्किमिडीज़ का स्क्रू संभवतया स्क्रू पम्प पर एक सुधार था जिसका उपयोग बेबीलोन के लटकते हुए बगीचों (Hanging Gardens of Babylon) की सिंचाई करने के लिए किया जाता था।
आर्किमिडीज का पंजा (The Claw of Archimedes) एक हथियार है, माना जाता है कि उन्होंने सेराक्यूस शहर की रक्षा के लिए इसे डिजाइन किया था। इसे "द शिप शेकर (the ship shaker)" के नाम से भी जाना जाता है, इस पंजे में एक क्रेन के जैसी भुजा थी, जिससे एक बड़ा धातु का हुक लटका हुआ था।  जब इस पंजे को एक आक्रमण करते हुए जहाज पर डाला जाता था, भुजा ऊपर की ओर उठती थी और जहाज को को उठाकर पानी से बाहर निकालती थी और संभवतः इसे डूबा देती थी।  इस पंजे की व्यवहार्यता की जांच के लिए आधुनिक परिक्षण किये गए हैं और 2005 में "सुपर वेपन्स ऑफ़ द एनशियेंट वर्ल्ड (Superweapons of the Ancient World)" नामक एक टेलीविजन वृतचित्र ने इस पंजे के एक संस्करण को बनाया और निष्कर्ष निकाला कि यह एक कार्यशील उपकरण था।
2 शताब्दी ई. के लेखक लुसियन ने लिखा कि सेराक्यूस की घेराबंदी के दौरान ("c." 214-212 ई.पू.), आर्किमिडीज़ ने आग से शत्रु के जहाजों को नष्ट कर दिया। सदियों बाद ट्रालेज के एन्थेमियास ने जलते हुए कांच का उल्लेख आर्किमिडीज़ के हथियार के रूप में किया। यह उपकरण, कभी कभी "आर्किमिडीज़ कि उष्मा किरण" कहलाता है, इसका उपयोग लक्ष्य जहाज पर सूर्य के प्रकाश को फोकस करने के लिए किया जाता था, जिससे वे आग पकड़ लेते थे।
यह कथित हथियार पुनर्जागरण के बाद से ही बहस का विषय रहा है। रेने डेसकार्टेस ने इसे गलत कह कर ख़ारिज कर दिया, जबकि आधुनिक वैज्ञानिकों ने केवल उन्हीं साधनों का उपयोग करते हुए उस प्रभाव को पुनः उत्पन्न करने की कोशिश की है, जो आर्किमिडीज़ को उपलब्ध थे। यह सुझाव दिया गया है कि बहुत अधिक पॉलिश की गयी कांसे या ताम्बे की परतों का एक बड़ा समूह दर्पण के रूप में कार्य करता है, संभवतया इसी का उपयोग जहाज पर सूर्य के प्रकाश को फोकस करने के लिए किया जाता था।  इसमें परवलय परावर्ती के सिद्धांत का उपयोग किया जाता था, जैसे सौर भट्टी में किया जाता है।
आर्किमिडीज़ उष्मा किरण का एक परीक्षण 1973 में यूनानी वैज्ञानिक लोंनिस सक्कास के द्वारा किया गया।
यह प्रयोग एथेंस के बाहर स्कारामजेस नौसेना बेस पर किया गया। इस समय 70 दर्पणों का उपयोग किया गया, प्रत्येक पर एक ताम्बे की पॉलिश की गयी थी और इसक आकार लगभग 5x3 फीट था (1.5 x 1 मीटर). दर्पण, लगभग 160 फीट (50 मीटर) की दूरी पर एक रोमन युद्धपोत के एक प्लाईवुड की दिशा में रखे गए थे।  जब दर्पणों को ठीक प्रकार से फोकस किया गया, जहाज कुछ ही क्षणों में आग की लपटों में जलने लगा। प्लाईवुड जहाज पर टार के पेंट की पॉलिश थी, जिसने दहन में और अधिक योगदान दिया।
अक्टूबर 2005 में मेसाचुसेट्स प्रोद्योगिकी संस्थान के विद्यार्थियों के समूह ने 127 एक फुट (30 सेंटीमीटर) की वर्गाकार दर्पण टाइलों के साथ एक प्रयोग किया, इन्हें लगभग 100 फीट (30 मीटर) की दूरी पर स्थित लकड़ी के एक जहाज पर फोकस किया।  जहाज के एक स्थान पर लपटें फूट पडीं, लेकिन केवल तब जब आकाश में बादल नहीं थे और जहाज लगभग दस मिनट के लिए इसी स्थिति में बना रहा।  यह निष्कर्ष निकला गया कि यह उपकरण इन परिस्थितियों में एक व्यवहार्य हथियार था। MIT समूह ने टेलीविजन शो "मिथबस्टर्स (MythBusters)", के लिए इस प्रयोग को दोहराया, जिसमें लक्ष्य के रूप में सेन फ्रांसिस्को में एक लकड़ी की मछली पकड़ने वाली नाव का उपयोग किया गया। एक बार फिर से ऐसा ही हुआ, कम मात्रा में आग लग गयी।
आग पकड़ने के लिए, लकड़ी को अपने ज्वलन बिंदु (flash point) तक पहुंचना होता है, जो लगभग 300 डिग्री सेल्सियस (570 डिग्री फारेन्हाईट) होता है।
जब "मिथबस्टर्स" ने जनवरी 2006 में सेन फ्रांसिस्को के परिणाम का प्रसारण किया, इस दावे को "असफल" की श्रेणी में रखा गया, क्योंकि इस दहन होने के लिए समय की उपयुक्त लम्बाई और मौसम की आदर्श परिस्थितियां अनिवार्य हैं।  इस बात पर भी इशारा किया गया कि क्योंकि सेराक्यूस पूर्व की ओर सूर्य के सामने है, इसलिए रोमन बेड़े को दर्पणों से अनुकूल प्रकाश एकत्रित करने के लिए सुबह के समय आक्रमण करना पड़ता होगा। "मिथबस्टर्स" ने यह भी कहा कि पारंपरिक हथियार, जैसे ज्वलंत तीर या एक गुलेल से भेजे गए तीर, कम दूरी से जहाज को जलने का अधिक आसान तरीका है।
जबकि आर्किमिडीज़ ने लीवर की खोज नहीं की, उन्होंने इसमें शामिल सिद्धांत का कठोर विवरण सबसे पहले दिया। एलेगज़ेनड्रिया के पेप्पस के अनुसार, लीवर्स पर उनके कार्य से उन्होंने टिप्पणी दी: "मुझे खड़े होने की जगह दो और मैं पृथ्वी को गति दे दूंगा." () प्लूटार्क ने इस बात का वर्णन किया कि कैसे आर्किमिडीज़ ने ब्लॉक-और-टैकल (block-and-tackle) घिरनी प्रणाली को डिजाइन किया, जिससे ऐसी वस्तुओं को उठाने में नाविकों ने लीवरेज का सिद्दांत इस्तेमाल किया, जो इतनी भारी थीं कि उन्हें अन्यथा हिलाना भी बहुत मुश्किल होता था।  आर्किमिडीज़ को गुलेल की क्षमता और सटीकता के सुधार का श्रेय भी दिया गया है और पहले पुनिक युद्ध के दौरान उन्होंने ओडोमीटर का आविष्कार किया।  ओडोमीटर को एक गियर से युक्त एक गाड़ी की प्रणाली के रूप में वर्णित किया गया है, जो हर एक मील चलने के बाद एक गेंद को एक पात्र में डालती है।
सिसरो (106-43 ई.पू.) अपने संवाद "डे रे पब्लिका (De re publica)" में संक्षेप में आर्किमिडीज़ का उल्लेख करते हैं, जिसमें सेराक्यूस की घेराबंदी के बाद 129 ई.पू. में हुई एक काल्पनिक बातचीत का चित्रण किया गया है, "c" .कहा जाता है कि 212 ई.पू., जनरल मार्कस क्लाऊडिय्स मार्सेलस (Marcus Claudius Marcellus) रोम में दो प्रणालियां वापस लाये, जिन्हें खगोल विज्ञान में सहायतार्थ प्रयुक्त किया जाता था, जो सूर्य, चंद्रमा और पांच ग्रहों की गति को दर्शाता है। सिसरो उसी तरह की प्रणाली का उल्लेख करते हैं जैसी प्रणाली मिलेटस के थेल्स और नीडस के युडोक्सस के द्वारा डिजाइन की गयी।  इस संवाद के अनुसार मार्सेलस ने एक उपकरण को सेराक्यूस से की गयी अपनी निजी लूट के रूप में रखा और अन्य सभी को रोम में टेम्पल ऑफ़ वर्च्यू को दान कर दिया।  सिसरो के अनुसार मार्सेलस की प्रणाली को गेइयास सल्पिकास गेलस के द्वारा ल्युकियास फ्युरियास फिलस को दर्शाया गया, जिसने इसे इस प्रकार से वर्णित किया:
यह एक तारामंडल (planetarium) या ओरेरी (orrery)) का वर्णन है।एलेगज़ेनड्रिया के पेप्पस ने कहा कि आर्किमिडीज़ ने इन निर्दिष्ट प्रणालियों के निर्माण पर एक पांडुलिपि लिखी है (जो अब खो चुकी है) .
इस क्षेत्र में आधुनिक अध्ययन एंटीकाइथेरा प्रणाली पर ध्यान केन्द्रित करता है, यह प्राचीन काल का एक अन्य उपकरण था जिसे संभवतया समान उद्देश्य के लिए डिजाइन किया गया था। इस प्रकार की निर्माणात्मक प्रणाली के लिए अवकल गियरिंग के परिष्कृत ज्ञान की आवश्यकता रही होगी।  इसे एक बार प्राचीन काल में उपलब्ध तकनीक के रेजं के बाहर माना जाता था, लेकिन 1902 में एंटीकाईथेरा प्रणाली की खोज ने सुनिश्चित कर दिया कि इस प्रकार के उपकरण प्राचीन यूनानियों को ज्ञात थे।
हालांकि आर्किमिडीज़ को अक्सर यांत्रिक उपकरणों का डिजाइनर कहा जाता है, उन्होंने गणित के क्षेत्र में भी योगदान दिया।  प्लूटार्क ने लिखा था: "उन्होंने उन शुद्ध विवरणों में अपना पूरा स्नेह और महत्वाकांक्षा डाल दी, जहां जीवन की असभ्य जरूरतों के लिए कोई सन्दर्भ नहीं हो सकता." आर्किमिडीज़ अपरिमित श्रृंखलाओं (infinitesimals) का उपयोग उसी तरीके से कर सकते थे जैसे कि आधुनिक समाकल कलन (integral calculus) में किया जाता है।
विरोधाभास के द्वारा प्रमाण के माध्यम से (reductio ad absurdum), वे उन सीमाओं को निर्दिष्ट करते हुए, सटीकता के एक यादृच्छिक अंश तक किसी समस्या का हल दे सकते थे, जिनमें उत्तर होता था।  यह तकनीक पूर्णता की विधि (method of exhaustion) कहलाती है और उन्होंने इसका प्रयोग पाई (π (pi)) के सन्निकट मान का पता लगाने में किया।
उन्होंने इसके लिए एक व्रत के बाहर एक बड़ा बहुभुज चित्रित किया और व्रत के भीतर एक छोटा बहुभुज चित्रित किया।
जैसे जैसे बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ती है, व्रत का सन्निकटन अधिक सटीक हो जाता है। जब प्रत्येक बहुभुज में 96 भुजाएं थीं, उन्होंने उनकी भुजाओं की लम्बाई की गणना की और दर्शाया कि π का मान 3 (लगभग 3.1429) और 3 (लगभग 3.1408) के बीच था, यह इसके वास्तविक मान लगभग 3.1416 के अनुरूप था। उन्होंने यह भी प्रमाणित किया कि व्रतों का क्षेत्रफल π और व्रत की त्रिज्या के वर्ग के गुणनफल के बराबर था।
एक "व्रत के मापन में", आर्किमिडीज़ 3 के वर्ग मूल के मान को (लगभग 1.7320261) से अधिक और (लगभग 1.7320512) से कम बताते हैं। वास्तविक मान लगभग 1.7320508 है जो बहुत ही सटीक अनुमान है। उन्होंने इस परिणाम को देने के साथ, इसे प्राप्त करने में प्रयुक्त विधि का कोई स्पष्टीकरण नहीं दिया।  आर्किमिडीज़ के कार्य के इस पहलू के कारण जॉन वालिस ने टिप्पणी दी कि वे :"जानबूझ कर अपनी जांच को छुपाना चाहते थे जैसे कि वे अपनी जांच की विधि को रहस्य बना कर रखना चाहते थे, जबकि इसके परिणामों को सबसे सामने लाना चाहते थे। "
"परवलय के वर्ग की गणना" में, आर्किमिडीज़ ने साबित किया कि एक परवलय और एक सीधी रेखा से घिरा हुआ क्षेत्रफल इसके भीतर उपस्थित त्रिभुज के क्षेत्रफल का गुना होता है, जैसा कि दायीं और दिए गए चित्र में दर्शाया गया है। उन्होंने इस समस्या के हल को सामान्य अनुपात से युक्त एक अपरिमित ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया:
यदि इस श्रृंखला में पहला पद त्रिभुज का क्षेत्रफल है, तो दूसरा दो त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है, जिनके आधार दो छोटी छेदिका रेखाएं हैं और इसी प्रकार.  यह प्रमाण श्रृंखला की भिन्नता का उपयोग करता है, जिसका योग है।  "द सेंड रिकोनर" में, आर्किमिडीज़ ने इस ब्रह्माण्ड में उपस्थित मिटटी के कणों की संख्या की गणना करने के लिए एक समुच्चय दिया। ऐसा करने में, उन्होंने इस धारणा को चुनौती दी कि मिटटी के कणों की संख्या इतनी बड़ी है कि इसकी गणना नहीं की जा सकती है।  उन्होंने लिखा: "कुछ लोग, राजा गेलो (गेलो II, हीरो II का पुत्र) सोचते हैं कि मिटटी की संख्या अनंत में अपरिमित है; और मेरा मानना है कि मिटटी न केवल सेराक्यूस और शेष सिसिली में है बल्कि हर उस क्षेत्र में है जहां आवास है या आवास नहीं है। इस समस्या का हल करने के लिए, आर्किमिडीज़ ने असंख्य (myriad) के आधार पर गणना की एक प्रणाली दी।
यह शब्द ग्रीक "murias" से बना है; यह 10,000 की संख्या के लिए है। उन्होंने असंख्य की एक असंख्य घात (100 मिलियन) की एक अंक प्रणाली की प्रस्तावना दी और निष्कर्ष निकाला कि मिटटी के कणों की संख्या जो एक ब्रह्माण्ड को भरने के लिए आवश्यक है वह 8 विजिनटिलीयन, या 8 है।
आर्किमिडीज़ के कार्य को डोरिक यूनानी में लिखा गया, जो प्राचीन सेराक्यूस की बोली है। युक्लीड की तरह आर्किमिडीज़ का लिखित कार्य भी मौजूद नहीं है और उनके सात ग्रंथों की उपस्थिति को जाना जाता है, जिसका सन्दर्भ अन्य लेखकों के द्वारा दिया गया है।  एलेगज़ेनड्रिया के पेप्पस "ऑन स्फीयर मेकिंग (On Sphere-Making)" का और बहुकोणीय आकृति पर किये गए अन्य कार्य का उल्लेख करते हैं, जबकि एलेगज़ेनड्रिया के थियोन "केटोपट्रिक" से अपवर्तन के बारे में एक टिप्पणी का उद्धरण देते हैं।  उसके जीवनकाल के दौरान, आर्किमिडीज़ ने एलेगज़ेनड्रिया में गणितज्ञों के साथ पत्राचार के माध्यम से अपने कार्य को प्रसिद्ध बनाया। आर्किमिडीज़ के लेखन को मिलेटस के बीजान्टिन वास्तुकार इसिडोर के द्वारा संग्रहित किया गया। ("c" .530 ई.), जबकि आर्किमिडीज़ के कार्यों पर टिप्पणियों को छठी शताब्दी ई. में युटोकियास के द्वारा लिखा गया, उन्होंने उनके कार्य के लिए व्यापक दर्शक एकत्रित किये। आर्किमिडीज़ के कार्य को थाबित इब्न क्युर्रा (Thābit ibn Qurra) के द्वारा अरबी में अनुवादित किया गया (836-901 ई.) और सेरामोना के जेरार्ड के द्वारा लैटिन में अनुवादित किया गया ("c." 1114-1187 ई.). पुनर्जागरण के दौरान, ग्रीक और लैटिन में आर्किमिडीज़ के कार्य के साथ, "एडिटियो प्रिन्सेप्स (Editio Princeps)" को 1544 में जोहान हर्वेगन के द्वारा बेसल (Basel) में प्रकाशित किया गया। ऐसा प्रतीत होता है कि वर्ष 1586 के आस पास गैलीलियो गैलीली ने आर्किमिडीज़ के कार्य से प्रेरित होकर वायु और जल में धातुओं का भार ज्ञात करने के लिए जलस्थैतिक तुला का आविष्कार किया।इस कार्य में आर्किमिडीज़ "उत्तोलक के नियम" को स्पष्ट करते हैं, कहते हैं, "उनके भार की व्युत्क्रमानुपाती दूरियों में आयाम साम्यावस्था में हैं।". प्रस्ताव II में, आर्किमिडीज़ दर्शाते हैं की π (pi (पाई)) का मान से अधिक और से कम होता है। बाद वाले आंकड़े (आंकिक मान) को मध्य युग में π (pi) के सन्निकट मान के रूप में प्रयुक्त किया गया। और आज भी इसका उपयोग किया जाता है जब एक रफ मान की आवश्यकता होती है।
यह उन बिन्दुओं का बिन्दुपथ है जो एक ऐसे बिंदु की स्थिति से सम्बंधित है जो समय के साथ एक स्थिर गति से एक ऐसी रेखा पर चलते हुए एक स्थिर बिंदु से दूर जा रहा है जो स्थिर कोणीय वेग के साथ घूर्णन कर रही है।
इसके तुल्य, ध्रुवीय निर्देशांकों ("r", θ) में इसे इस समीकरण के द्वारा वर्णित किया जा सकता है। गोले का आयतन π"r" और बेलन का आयतन का 2π"r" था।
गोले की सतह का क्षेत्रफल 4π"r" , और बेलन की सतह का क्षेत्रफल 6π"r" (दो आधार सहित),  जहां "r" गोले और बेलन की त्रिज्या है।  गोले का आयतन और सतह का क्षेत्रफल बेलन का है।  आर्किमिडीज़ के अनुरोध पर उनके मकबरे पर एक गोला और बेलन बनाया गया है। इस ग्रंथ में आर्किमिडीज शंकु, गोले और परवलय के भागों के क्षेत्रफल और आयतन की गणना करते हैं। यह समकालीन ग्रीक खगोलविदों इरेटोस्थेनेज के इस सिद्धांत को स्पष्ट करने का प्रयास हो सकता है कि पृथ्वी गोल है।  आर्किमिडीज द्वारा वर्णित तरल पदार्थ नहीं हैं, चूंकि वे एक ऐसे बिंदु के अस्तित्व को मानते हैं जिसकी ओर सभी चीजें गोलाकार आकृति उत्पन्न करने के लिए गिरती हैं।
यह शायद जहाज के हुल की आकृति के लिए बनाया गया आदर्श था। इनमें से कुछ सेक्शन पानी के नीचे आधार के साथ तैरते हैं और पानी के ऊपर शीर्ष पर रहते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक आइसबर्ग तैरता है।
आर्किमिडीज़ का उत्प्लावकता का सिद्धांत इस कार्य में दिया गया है, जिसे इस प्रकार से बताया गया है:  वह इसे एक ज्यामितीय श्रृंखला के मान की गणना के द्वरा प्राप्त करते हैं, जिसका योग अनुपात के साथ है।  2003 में स्टैनफोर्ड यूनिवर्सिटी के डॉ॰ रीवील नेत्ज़ के द्वारा प्रकाशित शोध में तर्क दिया गया कि आर्किमिडीज़ यह पता लगाने का प्रयास कर रहे थे कि कितने तरीकों से टुकड़ों को मिला कर एक वर्ग का गोला बनाया जा सकता है।  डॉ॰ नेत्ज़ ने गणना की कि टुकड़ों से 17,152 तरीकों से वर्ग बनाया जा सकता है। व्यवस्थाओं की संख्या 536 है जबकि घूर्णन और प्रतिबिबं के तुल्य परिणामों को शामिल नहीं किया गया है। पहेली संयोजन विज्ञान में प्रारंभिक समस्या के एक उदाहरण को का प्रतिनिधित्व करती है।
ऑसोनियास ने इस पहेली को "ओस्टोमेकियन" कहा है, यह ग्रीक संयुक्त शब्द है जो (ओस्टियन, अस्थि) और (माचे-लड़ाई) से बना है।  इस पहेली को लोकुलस ऑफ़ आर्किमिडीज या आर्किमिडीज के बॉक्स के रूप में भी जाना जाता है।  यह एरेटोस्थेनेज और एलेगज़ेनड्रिया के गणितज्ञों को संबोधित है। आर्किमिडीज़ उन्हें चुनौती देते हैं कि वे सूर्य के झुण्ड में मवेशियों की संख्या की गणना करें, इसके लिए स्वतः डायोफेन्ताइन समीकरण की एक संख्या के हल का उपयोग किया जाये.  इस समस्या का एक और अधिक मुश्किल संस्करण है, जिसमें कुछ उत्तर वर्ग संख्याएं होनी चाहियें. समस्या के इस संस्करण का हल पहले ऐ एम्थर के द्वारा 1880 में किया गया और एक बड़ी संख्या में उत्तर दिया गया जो लगभग 7.760271 था। असंख्य (myriad) की घाट पर आधारित संख्या प्रणाली का उपयोग करते हुए, आर्किमिडीज़ ने निष्कर्ष निकाला कि ब्रह्माण्ड को भरने के लिए आवश्यक मिट्टी के कणों के कणों की संख्या आधुनिक संकेतन में 8 है।  परिचय पत्र कहते हैं कि आर्किमिडीज़ के पिता एक खगोलविज्ञानी थे जिनका नाम फ़िदिआस था। "द सेंड रेकोनर (The Sand Reckoner)" या "समिटेस (Psammites)" एकमात्र उपस्थित कार्य है जिसमें आर्किमिडीज़ खगोलविज्ञान के बारे में अपने विचारों की चर्चा करते हैं। इस कार्य में आर्किमिडीज़ अपरिमित श्रृंखलाओं का उपयोग करते हैं और दर्शाते हैं कि एक नंबर को असंख्य संख्याओं में या असंख्य छोटे छोटे भागों में तोड़ कर कैसे आयतन या क्षेत्रफल का पता लगाया जा सकता है।  आर्किमिडीज़ ने माना कि इस तरीके में औपचारिक कठोरता की कमी है, इसलिए उन्होंने परिणाम पाने के लिए पूर्णता की विधि (method of exhaustion) का भी प्रयोग किया।  "केटल समस्या" की तरह, "द मेथड ऑफ़ मेकेनिकल थ्योरम" को एलेगज़ेनड्रिया में इरेटोस्थेनेज को लिखे गए के पत्र के रूप में लिखा गया।
आर्किमिडीज़ की "book of Lemmas" or "Liber Assumptorum" एक ग्रन्थ है जिसमें वृतों की प्रकृति पर पंद्रह प्रस्ताव दिए गए हैं। इस पाठ्य की प्राचीनतम ज्ञात प्रतिलिपि अरबी में है। विद्वानों टी एल हीथ और मार्शल क्लागेत्त ने तर्क दिया कि यह अपने वर्तमान रूप में आर्किमिडीज़ के द्वारा नहीं लिखा जा सकता, संभवतया अन्य लेखकों ने इसमें संशोधन के प्रस्ताव दिए हैं।  "लेम्मास" आर्किमिडीज़ के प्रारंभिक कार्य पर आधारित हो सकता है, जो अब खो चुका है।
यह दावा भी किया गया है कि एक त्रिभुज के भुजाओं की लम्बाई से क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हीरोन का सूत्र आर्किमिडीज़ के द्वारा ही दिया गया। हालांकि, इस सूत्र के लिए पहले भरोसेमंद सन्दर्भ पहली शताब्दी ई. में एलेगज़ेनड्रिया के हीरोन के द्वारा दिए गए।
सबसे प्राचीन दस्तावेज जिसमें आर्किमिडीज़ का कार्य है, वह है आर्किमिडिज़ पलिम्प्सेस्ट. 1906 में, डेनमार्क के प्रोफ़ेसर, जॉन लुडविग हीबर्ग ने कांस्टेंटिनोपल का दौरा किया और 13 वीं सदी ई. में लिखित प्रार्थना की गोत्स्किन चर्मपत्र की जांच की। उन्होंने पाया कि यह एक पलिम्प्सेस्ट था, एक पाठ्य से युक्त एक दस्तावेज जिसे मिटाए गए पुराने कार्य के ऊपर लिखा गया था।  पलिम्प्सेस्ट को बनाने के लिए उस पर उपस्थित स्याही को खुरच कर निकाल दिया गया और उसका पुनः उपयोग किया गया, यह मध्य युग में इस आम प्रथा थी, क्योंकि चर्मपत्र महंगा होता था। पलिम्प्सेस्ट में उपस्थित पुराने कार्य को विद्वानों ने10 वीं सदी ई में आर्किमिडीज़ के पहले से अज्ञात ग्रन्थ के रूप में पहचाना.  चर्मपत्र सैंकड़ों वर्षों तक कांस्टेंटिनोपल में एक मठ के पुस्तकालय में पड़ा रहा, 1920 में इसे एक निजी कलेक्टर को बेच दिया गया।
29 अक्टूबर 1998 को इसे न्युयोर्क में क्रिस्टी में नीलामी के द्वारा एक अज्ञात खरीददार को 2 मिलियन डॉलर में बेच दिया गया।  पलिम्प्सेस्ट में सात ग्रन्थ हैं, जिसमें मूल ग्रीक में "ऑन फ्लोटिंग बोडीज़ (On Floating Bodies)" की एकमात्र मौजूदा प्रतिलिपि भी शामिल है। यह "द मेथड ऑफ़ मेकेनिकल थ्योरम्स (The Method of Mechanical Theorems)", का एकमात्र ज्ञात स्रोत है, इसे सुइदास से सन्दर्भित किया जाता है और मन जाता है कि हमेशा के लिए खो गया है। "स्टोमेकीयन" को भी पलिम्प्सेस्ट में खोजा गया, जिसमें पिछले पाठ्यों की तुलना में पहेली का अधिक पूर्ण विश्लेषण दिया गया है।
पलिम्प्सेस्ट को अब वाल्टर्स कला संग्रहालय, बाल्टीमोर, मेरीलैंड में रखा गया है, जहां इस पर कई परिक्षण किये गये हैं, जिनमें ओवरराईट किये गए पाठ्य को पढ़ने के लिए पराबैंगनी और प्रकाश का उपयोग शामिल है।
आर्किमिडीज पलिम्प्सेस्ट में ग्रंथ हैं: ऑन द इक्वलिब्रियम ऑफ़ प्लेन्स (On the Equilibrium of Planes), ऑन स्पाईरल्स (On Spirals), मेजरमेंट ऑफ़ अ सर्कल (Measurement of a Circle), ऑन द स्फीयर एंड द सिलिंडर (On the Sphere and the Cylinder), ऑन फ्लोटिंग बोडीज़ (On Floating Bodies), द मेथड ऑफ़ मेकेनिकल थ्योरम्स (The Method of Mechanical Theorems) और "स्टोमेकीयन (Stomachion)" .
चांद की सतह पर एक गड्ढा है जिसे आर्किमिडीज़ के सम्मान में आर्किमिडीज गर्त (29.7° N, 4.0° W) नाम दिया गया है, साथ ही चाँद की एक पर्वत श्रृंखला को भी आर्किमिडीज़ पर्वतमाला (25.3° N, 4.6° W) नाम दिया गया है।  एस्टेरोइड 3600 आर्किमिडीज का नाम भी उनके नाम पर दिया गया है।
गणित में उत्कृष्ट उपलब्धि के लिए फील्ड मेडल में आर्किमिडीज़ का चित्र है, साथ ही उनका एक प्रमाण भी एक गोले और बेलन के रूप में दिया गया है।  आर्किमिडीज़ के सर के चारों ओर लैटिन में लिखा गया है: "Transire suum pectus mundoque potiri" (अपने ऊपर उठाना और दुनिया को पकड़ना)।
आर्किमिडीज़ पूर्वी जर्मनी (1973), यूनान (1983), इटली (1983), निकारागुआ (1971), सैन मैरिनो (1982) और स्पेन (1963) के द्वारा जारी की गयी डाक टिकटों पर भी दिखायी दिए। यूरेका! के विस्मयादिबोधक को आर्किमिडीज़ के सम्मान में कैलिफोर्निया का एक आदर्श वाक्य बनाया गया है। इस उदाहरण में यह शब्द 1848 में सुतर की मिल के पास सोने की खोज से सन्दर्भ रखता है जो केलिफोर्निया गोल्ड रश में सापने आया। नागरिकों से युक्त एक ऐसा आन्दोलन जो संयुक्त राज्य के ओरेगोन राज्य में स्वास्थ्य रक्षा के लिए सार्वभौमिक पहुंच को लक्ष्य बनता है, इसे "आर्किमिडीज़ आन्दोलन" नाम दिया गया है, इसके अध्यक्ष पूर्व ओरेगोन गवर्नर जॉन किट्साबर हैं।
अ. "ऑन स्पाईरल्स (On Spirals)" की प्रस्तावना में पेलुसियम के डोसीथियस को संबोधित किया गया, आर्किमिडीज़ कहते हैं की "केनन की मृत्यु के बाद कई साल गुजर गए हैं". समोस का कोनोन रहते थे सुझाव है कि आर्किमिडीज एक पुराने जब अपने काम से कुछ लिखने आदमी हो सकता है।
ब. आर्किमिडीज़ के ग्रंथों की उपस्थिति केवल अन्य लेखकों के कार्यों के माध्यम से ही ज्ञात होती है: "ऑन स्फीयर मेकिंग" और एलेगज़ेनड्रिया के पेप्पस के द्वारा उल्लेखित बहुकोणीय आकृति पर कार्य; "केटॉपट्रिका", एलेगज़ेनड्रिया के थियोन के के द्वारा उल्लेखित प्रकाशिकी पर कार्य; "प्रिंसिपल्स", ज़ेयुक्सिप्पस को संबोधन और "द सेंड रिकोनर", "ऑन बेलेंसेस एंड लीवर्स", "ऑन सेंटर्स ऑफ़ ग्रेविटी", "ऑन द केलेंडर" .
आर्किमिडीज़ के उपस्थित कार्य में से, टी. एल. हेथ निम्न सुझाव देते हैं, जिन्हें इस क्रम में लिखा गया है: "ऑन द एक्व्लिब्रियम ऑफ़ प्लेन्स I", "द क्वड्राचर ऑफ़ द पेराबोला", "ऑन द एक्व्लिब्रियम ऑफ़ प्लेन्स II", "ऑन द स्फीयर एंड सिलिंडर I", "ऑन स्पाईरल्स", "ऑन कोनोइड्स एंड स्फीरोइड", "ऑन फ्लोटिंग बोडीज़ I, II", "ऑन द मेजरमेंट ऑफ़ अ सर्कल", "द सेंड रिकोनर" .
स. बोयर, कार्ल बेंजामिन, "अ हिस्ट्री ऑफ़ मेथेमेटिक्स" (1991) ISBN 0-471-54397-7 "अरबी विद्वान हमें जानकारी देते हैं कि तीनों भुजाओं के पदों में एक त्रिभुज के क्षत्रफल के लिए परिचित सूत्र, हीरोन का सूत्र कहलाता है- "k" = √("s" ("s" − "a")("s" − "b")("s" − "c")), जहां s अर्द्धपरिधि है-यह हीरोन से सदियों पहले आर्किमिडीज़ को ज्ञात था।  अरबी वैज्ञानिक "थ्योरम ऑफ़ द ब्रोकन कोर्ड का श्रेय भी आर्किमिडीज़ को ही देते हैं"- अरबी लोगों के अनुसार आर्किमिडीज़ ने कई प्रमाण और प्रमेय दीं।