कौशी-आयलर समीकरण
गणित में, कौशी-आयलर समीकरण (इसे आयलर-कौशी समीकरण और साधरणतया आयलर समीकरण के रूप में भी जाना जाता है।) चर गुणांक सहित रैखिक समघात साधारण अवकल समीकरण है। कभी कभी इसे समविमीय समीकरण के के रूप में भी निर्दिष्ट किया जाता है। इसकी साधारण सरंचना के कारण इस समीकरण को नियत गुणांकों के साथ तुल्य समीकरण से प्रतिस्थापित किया जा सकता है जिसे स्पष्टतया हल किया जा सकता है।
माना "y"("x") अज्ञात फलन "y"("x") का n वाँ अवकलज है। तब "n" कोटि की कौशी-आयलर समीकरण निम्न रूप में प्राप्त होती है
formula_2 रखने पर उपरोक्त समीकरण नियत गुणांक वाली रैखिक अवकल समीकरण के रूप में प्राप्त होती है। वैकल्पिक रूप से आधार हल के रूप में परीक्षार्थ हल formula_3 ले सकते हैं।
सामान्य कौशी-आयलर समीकरण द्वितीय कोटि की समीकरण है, जो भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी के विभिन्न अनुप्रयोगों में प्रयुक्त होती है, जैसे ध्रुवीय निर्देशांकों में लाप्लास समीकरण को हल करते समय। यह निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है :
निम्न हल को उपरोक्त समीकरण का एक हल लेने पर
अवकलन करने पर:
और
वास्तविक समीकरण में ये मान रखने पर :
पुनर्विन्यासित करने पर (चूँकि "x" एक चर राशी है अतः हमेशा शून्य नहीं हो सकता):
उपरोक्त समीकरण को "m" का मान प्राप्त करने के लिए हल करने पर। यहाँ तीन विशेष स्थितियाँ प्राप्त होती हैं :स्थिति #1 में, कौशी-आयलर समीकरण का व्यापक हल निम्न होगा :
स्थिति #2 में, व्यापक हल निम्न प्रकार होगा
यह हल प्राप्त करने के लिए, एक हल "y" = "x" प्राप्त करने के बाद कोटि न्यूनीकरण विधि का उपयोग किया जाता है।
स्थिति #3 में, व्यापक हल निम्न प्रकार दिया जाता है :
यहां formula_15 और formula_16 वास्तविक समाकलन नियतांक हैं।
इस तरह के हल आयलर सूत्र की सहायत से "x" = "e" रखने पर प्राप्त किया जाता है।
निम्न चर प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर
अवकलन करने पर:
ये मान प्रथम समीकरण में रखने पर :formula_22
उपरोक्त समीकरण जो formula_22 में है को इसके अभिलक्षणिक बहुपद के उपयोग से सरलता से हल करने पर
अब, यदि formula_26 और formula_27 बहुपद के मूल हैं, तब हम निम्न दो स्थितियों में हल करेंगे: भिन्न मूल और द्वि-मूल:
यदि मूल एक दूसरे से भिन्न हैं तो तो व्यापक हल निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है
यदि मूल समान हैं तो व्यापक हल निम्न प्रकार दिया जात है
इन दोनों स्थितियों में, हल formula_30, formula_31 रखने पर प्राप्त किया जा सकता है, अतः formula_32। इसलिए प्रथम अवस्था में,
माना
साधारण हल "x" रखने पर:
"x" एक हल होने के लिए आवश्यक है कि या तो "x" = 0, जो साधारण हल देता है या "x" का गुणांक शून्य है। द्विघात समीकरण को हल करने पर हमें  "α" = 1, 3 प्राप्त होता है। अतः व्यापक हल निम्न होगा
यहां कौशी-आयलर समीकरण के सदृश्य अन्तर समीकरण है। किसी स्थिर "m" > 0, के लिए एक अनुक्रम "ƒ"("n") इस प्रकार परिभाषित कारते हैं
formula_39 पर अन्तर संकारक लागू करने पर
इसे "k" बार दोहराने पर
जहाँ superscript अन्तर संकारक के "k" बार दोहराव को प्रदर्शित करता है। इसकी तुलना "x" के "k" वें अवकलज से तुलना करने पर
suggests that we can solve the "N"-th order difference equation
in a similar manner to the differential equation case. Indeed, substituting the trial solution
brings us to the same situation as the differential equation case,
One may now proceed as in the differential equation case, since the general solution of an "N"-th order linear difference equation is also the linear combination of "N" linearly independent solutions. Applying reduction of order in case of a multiple root "m" will yield expressions involving a discrete version of ln,
In cases where fractions become involved, one may use
instead (or simply use it in all cases), which coincides with the definition before for integer "m".