श्रोडिंगर समीकरण
क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण हमें यह बताता है की किसी भौतिक निकाय की क्वांटम अवस्था समय के अनुसार कैसे बदलती है| इसे ऑस्ट्रिया के भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर द्वारा 1925 में स्थापित तथा 1926 में प्रकाशित किया गया था| चिरसम्मत यांत्रिकी (classical mechanics) में गति की समीकरण (ईक्वेशन ऑफ मोशन) न्यूटन के दूसरे नियम में या ऑयलर लग्रांजी समीकरण के रूप में हमे समय प्रारंभिक स्थिति और सिस्टम के विन्यास के बारे मे बताता है| परंतु क्वांटम यांत्रिकी की मानक व्याख्या में तरंग-फलन हमें भौतिक अवस्था की पूर्ण जानकारी देता है| श्रोडिंगर समीकरण ना केवल परमाणु, आणविक और उपपरमाण्विक अवस्था की जानकारी देता है बल्कि मैक्रो सिस्टम (स्थूल-काय), सम्भवतः पूरे ब्रह्मांड की जानकारी भी देता है|
सबसे सामान्य रूप में समय पर निर्भर समीकरण है, जो एक समय के साथ विकसित प्रणाली का विवरण देती है | : जहां Ψ क्वांटम प्रणाली का तरंग-फलन है| i काल्पनिक इकाई है, ħ क्षीण प्लैंक स्थिरांक है|formula_1 हैमिलटोनियन ऑपरेटर है|
सबसे प्रसिद्ध उदाहरण एक विद्युत क्षेत्र में (लेकिन एक चुंबकीय क्षेत्र में नहीं) चलते हुए एक अकेले कण के लिये एक अनापेक्षिक श्रोडिंगर समीकरण है
जब लुई डी ब्राॅयगली ने अपने डी ब्राॅयगली समिकरण से कण - तरंग द्वैतता को सिद्ध कर दिया, तो वैज्ञानिकों को इस प्रभाव को समझाने के लिए एक नई यांत्रिकी की ज़रुरत पड़ी | यहीं पर श्रोडिंगर ने तरंग यांत्रिकी से प्रेरणा लेकर एक समीकरण का निर्माण किया जो कण - तरंग द्वैतता के कारण दिखाई देने वाले क्वांटम प्रभावों को समझ और समझा जा सके | श्रोडिंगर ने फिर इसे एक न्यूटोनियन कण पर इस्तमाल कर अपने समिकरण को इस दुनिया से जोड़ा |
कल्पना कीजिए कि एक कण जो स्वतंत्र रूप से अंतरिक्ष में घूम रहा है | इस कण के पास शायद गतिज ऊर्जा (kinetic energy) है और शायद किसी बाहरी बल के कारण स्थितिज ऊर्जा (potential energy) भी है | तो किसी भी न्यूटोनियन कण के लिए संपूर्ण यांत्रिक ऊर्जा का समिकरण formula_2 होता है जहाँ formula_3 त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांकों के अनुसार वेग सदिश है अौर formula_4 कण की स्थितिज ऊर्जा है | अाप formula_4 की जगह formula_6 का भी इस्तमाल कर सकते हैं | अगर formula_7 इस वेग वेक्टर के घटकों को माना जाए तो गतिज ऊर्जा के समिकरण को
formula_8
इन घटकों के हिसाब से भी लिखा जा सकता है | अगर समीकरण formula_9 के दाईं ओर पर अंश और हर दोनों को formula_10 से गुणा किया जाए तो
formula_11
जहाँ formula_12 त्रिविमीय कार्तीय निर्देशांकों के अनुसार, गति सदिश के घटक हैं | क्वांटम यांत्रिकी में formula_13 संवेग ऑपरेटर (momentum operator) है, जहाँ पर
formula_14 होता है |
इसे 'डेल् ऑपरेटर' (Del Operator) कहते हैं | इस ऑपरेटर का मूल आंशिक अवकलन में है | अगर यह ऑपरेटर एक खास श्रेणी के फलन (function), जिसे अभिलाक्षणिक फलन (eigenfunction) कहते है, पर कार्य करता है तो इस कार्य का परिणाम वही फलन एक स्थिरांक से गुणित, जिसे अभिलाक्षणिक मान (eigenvalue) कहते है, हो जाता है | अभिलाक्षणिक फलन ऑपरेटर पर निर्भर करता है | यह अभिलाक्षणिक मान इस ऑपरेटर के मामले में कण की गती बताती है | क्वांटम यांत्रिकी में कई ऑपरेटर होते है, यह ऑपरेटर वही चर होते है जो एक कण के लिए प्रयोगों द्वारा मापें जा सकते हैं | इन चरों को 'अवलोकनयोगी' या 'प्रेक्षणीय' (observables) कहते हैं | गति, संवेग, स्थान, स्थितिज ऊर्जा अौर ऊर्जा अवलोकनयोगी चरें हैं |
एक-विमीय, कार्तीय निर्देशांक के formula_15 दिशामें, संवेग ऑपरेटर का समीकरण formula_16 होता है | तो किसी फलन formula_17 पर संवेग ऑपरेटर को लागू करने से अगर
formula_18 मिलता है, तो formula_17 को ऑपरेटर का अभिलाक्षणिक फलन कहते हैं और
formula_20 को formula_17 का अभिलाक्षणिक मान कहते हैं | इस मामले में इस अभिलाक्षणिक मान को 'संवेग अभिलाक्षणिक मान' (momentum eigenvalue) कहते हैं |
तो अब समिकरण formula_22 को
formula_23 लिखा जा सकता है |
श्रोडिंगर ने अपने समीकरण के निर्माण हेतु संवेग ऑपरेटर और कई ऑपरेटरों का आविष्कार कर समिकरण formula_24 में formula_25 के जगह इस्तमाल कर
formula_26
एक नए ऑपरेटर का निर्माण किया जिसे गतिज ऊर्जा का ऑपरेटर भी कह सकते है | समीकरण formula_27 में उपर्युक्त ऑपरेटरों का इस्तमाल कर
formula_28 काल-निर्भर समिकरण मिलता है |
formula_29 काल-स्वतंत्र समिकरण कहते है |
formula_30 को हैमिलटोनियन कहते हैं और इसे formula_31 द्वारा प्रदर्शित किया जाता है |
अगर formula_32 इस हैमिलटोनियन का अभिलाक्षणिक फलन है, तो formula_33 लिखा जाता है |
formula_34 को श्रोडिंगर समीकरण का सार्थक हल देने के लिए कुछ शर्तों को मानना पड़ता है | वे हैं :