क्रमचय
गणित में, क्रमचय (परमुटेशन) की संकल्पना को सूक्ष्म रूप से विभिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है, सभी अर्थ वस्तुओं या मूल्य के क्रमपरिवर्तन (क्रमबद्ध रूप से पुनर्व्यवस्थित करना) की कार्रवाई से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, कुछ मानों (values) के एक सेट को विशेष क्रम में व्यवस्थित करना क्रमचय है। इस प्रकार सेट (1, 2, 3,) के छह क्रमचय हैं अर्थात् [1,2,3], [1,3,2], [2,1,3], [2,3,1], [3,1,2] और [3,2,1].
बीजगणित में और विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, सेट "S" का क्रमचय "S" से स्वंय में द्विभाजन के रूप में परिभाषित है (अर्थात, ऐसा नक्शा जिसमें "S" का हर तत्व ठीक एक बार बिम्ब मूल्य के रूप में घटित होता है). ऐसे नक्शे के लिए "f" का संबंध "S" की उस पुनर्व्यवस्था से है जिसमें "S" तत्व अपने बिम्ब "f" ("S") का स्थान ले लेता है। कॉम्बीनेटॉरिक्स में, परिमित सेट "S" का क्रमचय इसके तत्वों की सूचीबद्ध पुनर्व्यवस्था के रूप में परिभाषित है। इस अर्थ में, "S" का क्रमचय उसके तत्वों की पुनर्व्यवस्था से भिन्न है। प्रारंभिक क्रम वाले सेट "S" के लिए, जैसे "S" =(1,2,3...,"n"), ये दोनो अर्थ लगभग पहचाने जा सकते हैं: इस प्रारंभिक आदेश पर पहले अर्थ में क्रमपरिवर्तन लागू करने से तत्वों का वैकल्पिक क्रम प्राप्त होता है, जो दूसरे अर्थ में क्रमपरिवर्तन है।
किसी वस्तु के भागों की पुनर्व्यवस्था के "कार्य" को, या उससे प्राप्त परिणाम को नामित करने के लिए अनौपचारिक रूप से क्रमपरिवर्तन शब्द का प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार किसी शब्द के वर्णविपर्यय को इसके वर्णो का क्रमपरिवर्तन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, या कह लें कि "X" "Y" +7+"Y" "Z" बहुपदीय "X" "Y" +"Y" "Z" +7 के पदों का क्रमपरिवर्तन (से प्राप्त) है। क्रमपरिवर्तन के कार्य को प्रतीकों का प्रतिस्थापन भी कहा जा सकता है, उदाहरण के लिए जब कहते हैं कि "X", "Y", "Z" की चर राशि के (चक्रीय) क्रमपरिवर्तन द्वारा "X" "Y" +"Y" "Z" +7 से "Y" "Z" +"Z" "X" +7 प्राप्त होता है। एक उपयुक्त सममितीय सामूहिक कार्रवाई को ध्यान में रखते हुए इन कथनों को सटीक अर्थ प्रदान किया जा सकता है
कॉम्बीनेटॉरिक्स में "क्रमपरिवर्तन" के दूसरे अर्थ को कभी कभी विस्तृत किया जाता है। प्राथमिक कॉम्बीनेटॉरिक्स में, "क्रमपरिवर्तन और संयोजन" दो संबद्ध समस्याओं का हवाला देता है, दोनों ही "n" तत्व के सेट से विशिष्ट "k" तत्व के चयन की संभावनाओं पर निर्भर करती हैं, "k" क्रमपरिवर्तन के लिए चयन के क्रम को ध्यान में रखा जाता है, किन्तु "k" -संयोजन के लिए अनदेखा कर दिया जाता है। दरअसल "k" -क्रमपरिवर्तन की गणना का प्रयोग "k" -संयोजन के नंबर formula_1 की गणना की दिशा में एक कदम के रूप में किया जाता है और सेट के क्रमपरिवर्तन की संख्या "n" ! की गणना के रूप में भी (उपर्युक्त उल्लिखित दो के किसी भी अर्थ में) होता है। तथापि "k" -क्रमपरिवर्तन ऐसे क्रमपरिवर्तन के तब तक अनुरूप नहीं होते जब तक "k" = "n", अर्थात, चयन में सभी उपलब्ध तत्व शामिल न हों. क्रमपरिवर्तन की धारणा को भिन्न तरीके से व्यापक बनाने के लिए, एक सेट"S" के स्थान पर, ऐसे परिमित मल्टीसेट "M" के साथ शुरुआत की जा सकती है, जिसमें कुछ मूल्य एक से अधिक बार घटित होते हों. "M" का (मल्टीसेट) क्रमपरिवर्तन "M" के तत्वों का अनुक्रम है जिनमें से प्रत्येक ठीक उतनी बार घटित होता है जितनी बार "M" में. इस प्रकार "M" = [1,1,1,2,3,3] के लिए, [3,1,2,1,1,3] का अनुक्रम "M" का मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन है, किन्तु [3,1,2,1,2,3,1] नहीं है।
लगभग गणित के प्रत्येक क्षेत्र में, क्रमपरिवर्तन कमोबेश प्रमुख रूप से होते हैं। किसी परिमित सेट पर भिन्न क्रम लागू किए जाने से वे उत्पन्न होते हैं, संभवतः क्योंकि ऐसे क्रम को अनदेखा करते हुए हम पता लगाना चाहते हैं कि इस प्रकार कितने विन्यासों की पहचान होती है। इसी तरह के कारणों से कंप्यूटर विज्ञान में कलन गणित की छँटाई के अध्ययन में क्रमपरिवर्तन घटित होता है। बीजगणित में, सममितीय समूह की संकल्पना के माध्यम से क्रमपरिवर्तन का विस्तृत अध्ययन करने के लिए एक संपूर्ण विषय समर्पित किया गया है। इसकी संरचना के लिए महत्वपूर्ण है क्रमपरिवर्तन की रचना की संभावना: अनुवर्ती क्रम में दो पुनर्व्यवस्थाओं को निष्पादित करते हुए, संयोजन तीसरी पुनर्व्यवस्था को परिभाषित करता है।  "n" वस्तु के क्रमपरिवर्तन की संख्या निर्धारित करने का नियम 1150 के आसपास ही हिंदू संस्कृति में उपलब्ध था: भारतीय गणितज्ञ भास्कर द्वारा "लीलावती" में एक अनुच्छेद है जिसका अनुवाद है इकाई से शुरू और वृद्धिमान और कई स्थानों के लिए जारी अंकगणितीय श्रृंखला के बहुगुणन का उत्पाद, विशिष्ट संख्या वाले अंकों का रूपांतर होगा.  क्रमपरिवर्तन की मदद से असंबंधित गणितीय प्रश्नों के पहले अध्ययन का पहला मामला 1770 में सामने आया, जब जोसफ़ लुइस लाग्रेंज ने, बहुपदीय समीकरणों का अध्ययन करते हुए पाया कि समीकरण के मूल के क्रमपरिवर्तन के गुण इसे हल करने की संभावनाओं से संबंधित हैं। इस कार्य से हुए विकास का परिणाम इवरिस गाल्वा, के काम के माध्यम से, गाल्वा सिद्धांत में प्रतिपादित हुआ, जो मूल द्वारा बहुपदीय समीकरणों (अज्ञात में) को हल करने में संभव और असंभव का पूरा विवरण देता है। आधुनिक गणित में इसी तरह की कई स्थितियां हैं, जहां समस्या को समझने के लिए संबंधित क्रमपरिवर्तन के अध्ययन की आवश्यकता होती है।
क्रमपरिवर्तन की संकल्पना का प्रयोग निम्नलिखित सन्दर्भों में किया जाता है।
समूह सिद्धांत (ग्रुप थिअरी) और संबंधित क्षेत्रों में, यादृच्छिक सेटों, अपरिमित का भी क्रमपरिवर्तन होता है। "S" का स्वंय में द्विभाजन सेट "S" का क्रमपरिवर्तन है। यह क्रमपरिवर्तन की अनुमति देता है, जो क्रमपरिवर्तन के समूहों को परिभाषित करता है। अगर "n" तत्वों का परिमित सेट "S" है, तो "n" ! "S" का क्रमपरिवर्तन है।
कॉम्बीनेटॉरिक्स में, एक क्रमपरिवर्तन का अर्थ आम तौर पर एक परिमित सेट से एक बार और केवल एक बार प्रत्येक तत्व से युक्त अनुक्रम समझा जाता है। "अनुक्रम" की अवधारणा "सेट" से इस तरह अलग है कि उसमें अनुक्रम के तत्व एक क्रम में होते है: अनुक्रम का पहला तत्व (जब तक यह खाली न हो) होता है, दूसरा तत्व (यदि उसकी लंबाई 2 से कम नहीं है) और इसी प्रकार क्रमशः होते चले जाते हैं। इसके विपरीत, सेट में तत्वों का कोई क्रम नहीं होता, (1, 2, 3) और (3, 2, 1) एक ही सेट को निरूपित करने के अलग तरीके हैं। इस अर्थ में "n" तत्वों के परिमित "S" सेट का क्रमपरिवर्तन (1,2, ..., "n") से "S" (जिसमें कोई "i" अनुक्रम के "i" -th तत्व से मानचित्रित है) में द्विभाजन, या "S" (जिसके लिए "x" पूरे क्रम के लिए चयन के तुल्य है। इस अर्थ में "n" ! क्रमपरिवर्तन भी "S" का है।
"क्रमपरिवर्तन" शब्द का एक कमजोर अर्थ भी है जो कभी-कभार प्राथमिक कॉम्बीनेटॉरिक्स ग्रंथों में प्रयोग किया जाता है, उन क्रमों को नामोद्धिष्ट करते हुए जिनमें कोई तत्व एक से अधिक बार न आए, किन्तु निर्धारित सेट के सभी तत्वों के प्रयोग की आवश्यकता न पड़े. वास्तव में इसके उपयोग में अक्सर निर्धारित formula_2 आकार के सेट में से लिए गए तत्वों की निर्धारित लंबाई "k" के क्रम पर विचार करना पड़ता है। इन वस्तुओं को बिना दोहराव के क्रम के रूप में भी जाना जाता है, ऐसा शब्द जिससे "क्रमपरिवर्तन" के दूसरे, आम अर्थों के भ्रम से बचा जाता है। "n" के आकार के एक सेट की तत्वों के बिना दोहराव के "k" क्रम की लंबाई की संख्या है  एक संख्या जिसे "n" की "k" -th ह्रासात्मक भाज्य शक्ति के रूप में जाना जाता है और जिसके कईं दूसरे नाम और अंकन प्रचलित हैं।
अगर "M" एक परिमित मल्टीसेट है, तो एक मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन "M" तत्वों का क्रम है जिसमें प्रत्येक तत्व उतनी बार प्रकट होता है जितनी बार "M" में इसकी बहुलता है। यदि "M" के तत्वों की बहुलता (किसी क्रम में ली जाए) formula_4, formula_5, ..., formula_6 है और उनका योग (अर्थात,"M" का आकार) "n" है, तो "M" के मल्टीसेट क्रमपरिवर्तन की संख्या बहुपदीय गुणांक द्वारा दी जाती है
समूह सिद्धांत में, एक सेट के "क्रमपरिवर्तन" का अर्थ है एक द्विभाजित नक्शा, या उस सेट से स्वंय में द्विभाजन. किसी भी सेट "S" के सभी क्रमपरिवर्तन, नक्शे की उत्पाद के रूप में और पहचान की तटस्थ तत्व के रूप में संरचना वाले समूह बनाते हैं। यह "S" का सममितीय समूह है। समरूपता तक, यह सममितीय समूह सेट की गणनीयता पर निर्भर करता है, इसलिए "S" तत्वों की प्रकृति समूह की संरचना के लिए अप्रासंगिक है। परिमित सेटों के मामले में सममितीय समूहों का अध्ययन सबसे अधिक किया गया है, जिस मामले में यह माना जा सकता है कि "S" ={1,2...,{0}n} कुछ प्राकृतिक संख्या "n" के लिए, जो "n" की डिग्री के सममितीय समूह को परिभाषित करता है। सममितीय समूह के किसी भी उपसमूह को क्रमपरिवर्तन समूह कहते है। वास्तव में केली के सूत्र के अनुसार कोई भी समूह क्रमपरिवर्तन समूह के अनुरूप है और प्रत्येक परिमित समूह किसी भी परिमित सममितीय समूह का उपसमूह है। हालांकि, क्रमपरिवर्तन समूहों की अमूर्त क्रमपरिवर्तन समूहों की तुलना में अधिक संरचना होती है और क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में विभिन्न प्रतीति होती है इसलिए समतुल्य होने की ज़रूरत नहीं है।
एक परिमित "S" सेट के क्रमपरिवर्तन के लिए दो मुख्य अंकन पद्धतियां हैं। दो-पंक्तियों वाले अंकन में, एक पहली पंक्ति में "S" के तत्व को सूचीबद्ध करती है और प्रत्येक के लिए क्रमपरिवर्तन के तहत अपने बिम्ब को दूसरी पंक्ति में. उदाहरण के लिए सेट (1,2,3,4,5) का विशेष क्रमपरिवर्तन इस रूप में लिखा जा सकता है:  इसका मतलब है कि "σ" संतुष्ट करता है "σ" (1)=2,"σ" (2)=5, "σ" (3)=4,"σ" (4)=3 और"σ" (5)=1.
वैकल्पिक रूप से, हम चक्र अंकन का उपयोग कर क्रमपरिवर्तन लिख सकते हैं, जो क्रमपरिवर्तन के सफल प्रयोग के प्रभाव पर केंद्रित करता है। यह क्रमपरिवर्तन को चक्र के उत्पाद के रूप में व्यक्त करती है जो क्रमपरिवर्तन की कक्षाओं (कम से कम दो तत्वों के साथ) के अनुरूप होता है; चूंकि पृथक कक्षाएं शिथिल होती हैं, इसे सामान्य रूप से क्रमपरिवर्तन का "शिथिल चक्रों में अपघटन" कहते हैं। यह इस प्रकार काम करता है: "S" के कुछ "X" तत्व से शुरू करके, अनुक्रम लिखते हैं "σ" के तहत क्रमिक बिम्ब का ("x" "σ" ('x" ") "σ" ("σ" ('x" ")) ...), जब तक बिम्ब "X" न हो जाए, जिस बिंदु पर कोष्ठक बंद कर दिए जाते हैं। लिखे गए मान का सेट "x" की कक्षा बनाता है ("σ" के अंतर्गत) और कोष्ठकबद्ध अभिव्यक्ति "σ" का समानुरूप चक्र देती है। तो "S" के "x" तत्व को चुनना जारी रहता है जो पहले से लिखी गई कक्षा में नहीं है और कि और संगत चक्र को लिखते हैं और यह क्रम जारी रहता है जब तक "S" के सभी तत्व लिखे गए चक्र से संबद्ध नहीं होते हैं या "σ" के नियत बिंदु नहीं होते. चूंकि हर नए चक्र के लिए प्रारंभ बिंदु अलग अलग तरीकों से चुना जा सकता है, सामान्यतः एक ही क्रमपरिवर्तन के लिए कई अलग अलग चक्र अंकन हैं; उदाहरण के लिए ऊपर वाले में एक उदाहरण है
"σ" का हर चक्र ("x" "x" ... "x" ) अपने आप में एक क्रमपरिवर्तन का प्रतीक है, अर्थात जो इस कक्षा में "σ" के सम मूल्य लेता है (तो यह चित्रित करता है "x" को "x" के लिए और "x" को "x" ), "S" के सभी तत्वों को स्वंय में चित्रित करते हुए. कक्षा के "l" आकार को चक्र की लंबाई कहा जाता है। "σ" की पृथक कक्षाएं परिभाषा से शिथिल हैं, तो तदनुरूपी चक्र रूपांतरित हो जाते हैं और "σ" इसके चक्रों का उत्पाद है (किसी भी क्रम में). इसलिए चक्र अंकन में चक्र के संयोजन की क्रमपरिवर्तन की संरचना के अंकन के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जिस कारण से क्रमपरिवर्तन का नाम "अपघटन". यह अपघटन अनिवार्य रूप से अद्वितीय है: उत्पाद में चक्रों के पुनर्क्रम के अलावा, "σ" को चक्रों के उत्पाद (शायद "σ" के चक्रों से असंबंधित) के रूप में लिखने का कोई तरीका नहीं है जिसकी कक्षाएं शिथिल हों. चक्र अंकन कम अद्वितीय है क्योंकि प्रत्येक चक्र अलग अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में दिया गया है जहां (5 1 2) (1 2 5) जैसे चक्र को निरूपित करता है किन्तु (5 2 1) एक अलग क्रमपरिवर्तन को निरूपित करेगा).
आकार 1 की एक कक्षा ("S" में एक निश्चित बिंदु "x") का तदनुरूपी चक्र नहीं है, चूंकि यह क्रमपरिवर्तन "x" और साथ ही "S" के हर अन्य तत्व को ठीक करेगा, दूसरे शब्दों में यह पहचान होगी, "x" से स्वतंत्र रूप में. यह संभव है चक्र अंकन में ("x") शामिल करें ताकि "σ" बल दे कि "σ" "x" को तय करता है (और कॉम्बीनेटॉरिक्स में यह सम मानक है, जैसा कि चक्र और नियत बिंदुओं में वर्णित है), पर यह (समूह सैद्धांतिक)"σ" के अपघटन में कारक के अनुरूप नहीं है। अगर "चक्र" की अवधारणा में क्रमपरिवर्तन की पहचान शामिल करें, तो इससे शिथिल चक्रों में क्रमपरिवर्तन के अपघटन की अद्वितीयता (क्रम तक) नष्ट हो जाएगी. पहचान क्रमपरिवर्तन का शिथिल चक्रों में अपघटन खाली उत्पाद है; इसका चक्र अंकन खाली होगा, इसलिए इसकी बजाए "e" जैसी अंकन पद्धति इस्तेमाल की जाएगी.
लंबाई के दो चक्रों को प्रतिस्थापन कहा जाता है; ऐसे क्रमपरिवर्तन केवल दो तत्वों की जगह बदलते हैं।
दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद कार्य के रूप में उनकी संरचना के रूप में परिभाषित है, दूसरे शब्दों में "σ·"π" " वह कार्य है जो सेट के किसी भी "x" तत्व का "σ" ("π" ("x")) में चित्रण करता है। ध्यान दें कि कार्य का अनुप्रयोग लिखने के ढंग की वजह से सबसे दायां क्रमपरिवर्तन पहले तर्क पर लागू होता है। कुछ लेखक पहले सबसे बाएं कारक को लागू करना पसंद करते हैं, पर उसके लिए क्रमपरिवर्तन उनके तर्क की "दायीं" ओर लिखा जाना चाहिए, उदाहरणार्थ प्रतिपादक के रूप में, "x" पर लागू "σ" "x" लिखा जाता है; तो उत्पाद परिभाषित किया गया है "x" =("x" ) के द्वारा. हालांकि यह क्रमपरिवर्तन गुणा करने के लिए एक "अलग" नियम देता है; यह लेख वहां परिभाषा का उपयोग करता है जहां सबसे दाएं क्रमपरिवर्तन को पहले लागू किया जाता है।
चूंकि दो द्विभाजनों की संरचना हमेशा एक और द्विभाजन देती है, दो क्रमपरिवर्तन का उत्पाद फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। कार्य संरचना सहयोगात्मक होती है, इसलिए क्रमपरिवर्तन पर उत्पाद संचालन है:("σ·π")·"ρ" ="σ" ·("π·ρ"). इसलिए क्रमपरिवर्तन के उत्पाद आमतौर पर कोष्ठक के बिना लिखे जाते हैं और वे आमतौर पर एक डॉट या उत्पाद को चिह्नित करने वाले अन्य निशान के भी बिना लिखे जाते हैं
पहचान क्रमपरिवर्तन, जो सेट के प्रत्येक तत्व को स्वंय में ही चित्रित करता है, इस उत्पाद का तटस्थ तत्व है। दो पंक्तियों वाले अंकन में, पहचान है
चूंकि द्विभाजन के व्युत्क्रम हैं, इसलिए क्रमपरिवर्तन के भी हैं और "σ" का व्युत्क्रम "σ" है जो फिर से एक क्रमपरिवर्तन है। स्पष्ट रूप से, जब भी "σ(x)" ="y" एक का "σ" ("y")="x" भी है। दो पंक्तियों वाले अंकन में व्युत्क्रम दो लाइनों (और कॉलम की छँटाई यदि कोई पहली पंक्ति को क्रम में देना चाहता हो) को परस्पर बदल कर प्राप्त किया जा सकता है उदाहरण के लिए चक्र अंकन में प्रत्येक चक्र में तत्वों के क्रम को पलटने से इसके व्युत्क्रम के लिए चक्र अंकन प्राप्त कर सकते हैं।
एक सहयोगात्मक उत्पाद, एक तटस्थ तत्व और इसके सभी तत्वों के लिए व्युत्क्रम से "S" के सभी क्रमपरिवर्तन के सेट का समूह बनाता है जिसे "S" का सममितीय समूह कहा जाता है।
एक परिमित सेट के प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को प्रतिस्थापन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, हालांकि एक दिए गए क्रमपरिवर्तन के लिए कई तरह के भाव मौजूद हो सकते हैं, उनके बीच प्रतिस्थापन की सम संख्या और विषम संख्या दोनों भाव के साथ अभिव्यक्ति नहीं हो सकती. सभी क्रमपरिवर्तन सम या विषम रूप में वर्गीकृत हैं, किसी भी अभिव्यक्ति में उनके प्रतिस्थापन की समता के अनुसार.
चक्र अंकन में लिखे क्रमपरिवर्तन गुणा की विधि कठिन है और उत्पाद के चक्र संरचित किए जा रहे क्रमपरिवर्तन से पूरी तरह अलग हो सकते हैं। हालांकि चक्र संरचना संरक्षित है "σ" के क्रमपरिवर्तन के अन्य क्रमपरिवर्तन "π" के संयुग्म के विशेष मामले में, जिसका अर्थ है उत्पाद "π·σ·π" का निर्माण. यहाँ परिणाम का चक्र अंकन प्राप्त किया जा सकता है "σ" का चक्र अंकन लेकर उसकी सभी प्रविष्टियों में "π" लागू कर.
कॉम्बीनेटॉरिक्स में "n" तत्वों के साथ सेट "S" का क्रमपरिवर्तन किसी क्रम में (हर तत्व एक बार घटता है) "S" के तत्वों की सूची है। इसे सेट (1, 2, ...,"n") से "S" में औपचारिक द्विभाजन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ध्यान दें कि यदि "S" (1, 2, ...,"n") के बराबर है तो यह परिभाषा समूह सिद्धांत की परिभाषा से मेल खाती है। आमतौर पर (1, 2 ... "n") के बजाए तत्वों के क्रम से सुसज्जित किसी भी सेट का इस्तेमाल कर सकते हैं।
कॉम्बीनेटॉरिक का गुण जो क्रमपरिवर्तन की समूह सैद्धांतिक व्याख्या से संबंधित है और जिसे "S" के कुल क्रम का उपयोग किए बिना परिभाषित किया जा सकता है, वह क्रमपरिवर्तन "σ" की चक्र संरचना है। यह "n" के चक्रों की लंबाई का वर्णन करते हुए "σ" का विभाजन है। यहाँ "σ" के हर तय बिंदु के लिए विभाजन में भाग "1" है। एक क्रमपरिवर्तन जिसका कोई निश्चित बिंदु नहीं है उसे अव्यवस्था कहा जाता है।
अन्य कॉम्बीनेटॉरिक्स के गुण सीधे "S" के क्रम से संबंधित है और जिस तरह से क्रमपरिवर्तन इससे संबंधित हो. इस तरह के कई गुण हैं।
"n" के "σ" के क्रमपरिवर्तन का "आरोह" "i" < "n" की स्थिति है जहां निम्नलिखित मूल्य वर्तमान की तुलना में बड़ा है।
उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन 3452167 का आरोह है (स्थिति पर) 1,2,5,6.
इसी तरह, अवरोह एक स्थिति है "i" < "n" के साथ "σ" > "σ" +1, इसलिए formula_12 के साथ प्रत्येक या तो "σ" का आरोह है या अवरोह.
"k" आरोह के साथ "n" के क्रमपरिवर्तन की संख्या "इल्यूरियन संख्या" formula_13 है, यह भी "k" आरोह के साथ "n" के क्रमपरिवर्तन की संख्या है.
एक क्रमपरिवर्तन का"आरोही" रन उस क्रमपरिवर्तन का भरा हुआ वृद्धिमान समीपस्थ अनुक्रम है जिसे दोनों ओर से बढ़ाया जा सकता है, यह क्रमिक आरोही के अधिकतम अनुक्रम के अनुरूप है (बाद वाला खाली हो सकता है: दो क्रमिक अवरोही के बीच 1 लंबाई का आरोही रन अभी भी है).
उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन 2453167 के आरोही रन 245, 3 और 167 है, जबकि इसका एक वृद्धिमान परिणाम 2367 है।
अगर एक क्रमपरिवर्तन के "k" − 1 अवरोही रन हैं, तो यह "k" आरोही रन का संघ होना चाहिए. इसलिए "n" का क्रमपरिवर्तन "k" आरोही रन के साथ वही है जो "k" − 1 आरोही के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या formula_14 का है.
क्रमपरिवर्तन "σ" का "व्युत्क्रम" स्थितियों की जोड़ी (i,j) है जिसमें क्रमपरिवर्तन की प्रविष्टियांउलट क्रम में हैं: formula_15 और formula_16. तो एक अवरोही सिर्फ दो आसन्न स्थितियों पर एक व्युत्क्रम मात्र है। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन "σ" = 23154 के तीन व्युत्क्रम हैं:(1,3), (2,3), (4,5), प्रविष्टियों के जोड़े (2,1), (3,1), (5, 4) के लिए.
कभी कभी एक व्युत्क्रम को ऐसे मूल्य के जोड़े ("σ" ,"σ" ) के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका क्रम उलट है, इससे व्युत्क्रम की "संख्या" के लिए कोई अंतर नहीं पड़ता और यह जोड़ा (उलट) भी उपर्युक्त अर्थ में "σ" उलट क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम है। व्युत्क्रम की संख्या डिग्री के लिए एक महत्वपूर्ण उपाय है जिसके लिए क्रमपरिवर्तन की प्रविष्टियां क्रम से बाहर हैं, "σ" और "σ" के लिए वही है। "k" व्युत्क्रम वाले क्रमपरिवर्तन को व्वयवस्थित करने के लिए (अर्थात इसे पहचान क्रमपरिवर्तन में परिणत करना), आसन्न प्रतिस्थापन को क्रमिक रूप से लागू करके (दाएं-गुणा द्वारा), सदैव संभव है और ऐसे प्रचालनों के "k" अनुक्रम की आवश्यकता होती है। इसके अलावा आसन्न प्रतिस्थापन के कोई भी उचित चुनाव काम करेंगे: इसके लिए पर्याप्त होता है हर कदम पर "i" का प्रतिस्थापन चुनना और जहां "i" अब तक परिशोधित क्रमपरिवर्तन का अवरोही है (ताकि प्रतिस्थापन इस विशेष अवरोही को हटायें यद्यपि यह अन्य अवरोही बना सकता है).
"k" व्युत्क्रम के साथ "n" के क्रमपरिवर्तन की संख्या महोनियन संख्या के द्वारा व्यक्त की जाती है, यह उत्पाद के विस्तार में "X" का गुणांक है  जिसे "q" -भाज्य ["n" ]! ("X" के एवजी q) के रूप में भी जाना जाता है।
इस खंड में, सेट "S" का "k" -क्रमपरिवर्तन "S" के "k" विशिष्ट तत्वों का व्यवस्थित अनुक्रम है। उदाहरण के लिए, दिए गए वर्णों का सेट