गुणन नियम
कैलकुलस में, गुणन नियम (product rule) दो या अधिक फलनों के गुणनफल का अवकलज निकालने का एक सूत्र है।
गुणन नियम को निम्नलिखित ढंग से अभिव्यक्त किया *آج کی اہم خبریں*
واضح ہوکہ ملک میں عالمی وبا کورونا وائرس کا انفیکشن تیزی سے پھیل رہا ہے اور گزشتہ 24 گھنٹوں میں گورونا وائرس کے 3525 نئے کیسز سامنے آنے کے بعد متاثرین کی تعداد 74ہزار 281 ہوگئی تا ہم راحت کی بات یہ ہے کہ اس دوران 1931 افراد کے صحتیاب ہونے سے صحت یاب ہونے والوں کی تعداد بھی بڑھ کر 24386 ہوگئی متاثرین کی تعداد 74 ہزار سے تجاوز کرگئی جس سے ہندوستان 50 ہزار سے زائد کے کیسز والے ممالک کی فہرست میں 12 ویں مقام پر آگیا ہے ۔ واضح ہوکہ بدھ کے روز اتر پردیش میں کوویڈ ۔19 سے متاثرہ مزید چار افراد کی موت کے ساتھ ریاست میں اس بیماری سے مرنے والے افراد کی تعداد 86 ہوگئی ہے جبکہ پچھلے 24کھنٹے میں ریاست میں کورونا انفیکشن کے 116 نئے کیس بھی رپورٹ ہوئے۔راحت کی بات یہ ہے کہ اب تک 1،965 افراد بازیاب ہوکر گھر جا چکے ہیں۔اس طرح ، ریاست میں کوویڈ 19 کے اب تک 1،707 فعال واقعات ہیں پرنسپل سکریٹری (میڈیکل اینڈ ہیلتھ) امیت موہن پرساد نے بتایا کہ گذشتہ روز ریاست میں 5،405 نمونوں کی جانچ کی گئی تھی مجموعی طور پر 268پول لگائے گئے اور 1،340 نمونوں کا تجربہ کیا گیا جن میں سے 22 نتائج مثبت نکلے۔ واضح ہو کہ وزیر اعظم نریندر مودی نے کورونا وبا کے دور میں پورے ملک کے مختلف سیکٹرس کو سنجیونی دینے کے لئے 20 لاکھ کروڑ روپئے کے راحت پیکیج کا اعلان کیا ہے۔وہیں وزیر خزانہ نرملا سیتا رمن نے کہا کہ انکم ٹیکس میں ٹرسٹ، ایل ایل پی کو سبھی پینڈنگ فنڈ فوری طور پر دیئے جائیں گے۔ مزید کہا کہ 15 ہزار سے کم تنخواہ والوں کو سرکاری مدد دی جائے گی۔ تنخواہ کا 24 فیصد حکومت پی ایف میں جمع کرے گی۔ انہوں نے کہا کہ 2 ہزار 500 کروڑ کی مدد اس کے لئے حکومت کی طرف سے دی جارہی ہے۔ واضح ہوکہ سماج وادی پارٹی کے صدر اکھلیش یادو نے منگل کی رات وزیر اعظم مودی کے قوم سے خطاب میں اعلان کردہ 20 لاکھ کروڑ روپے کے معاشی پیکیج کا جائزہ لیا۔ اکھلیش یادو نے بدھ کے روز کہا تھا کہ ملک کے غریب مزدور اپنی 'آفات' کے انتظامات کی توقع کر رہے تھے ، لیکن انہیں بے نتیجہ مضامین سننے کو ملے۔ اکھلیش نے ٹویٹ کیا ، 'ملک کے مزدور اور غریب اپنی تباہ کاریوں کے انتظامات کرنے کی امید کر رہے تھے ، لیکن انہیں صرف بیکار مضمون ہی سننے کو ملا۔ کیا آدھے گھنٹے سے زیادہ وقت میں سڑکوں پر پھرتے مزدوروں کے لئے تعزیت کے ایک لفظ کا بھی موقع موجود تھا؟ ' انہوں نے مزید کہا ، 'اب لوگ یہ نہیں پوچھ رہے ہیں کہ 20 لاکھ کروڑ روپے میں کتنے زیرو ہیں ، بلکہ وہ پوچھ رہے ہیں کہ اس میں کتنی گول گیندیں ہیں؟' واضح ہوکہ وزیر خزانہ نرملا سیتارامن نے حکومت کی طرف سے جاری کردہ 20 لاکھ کروڑ کے معاشی پیکیج کے بارے میں پریس کانفرنس کی اور بتایا کہ کس شے پر کتنی رقم خرچ ہوگی۔وزیر خزانہ کی پریس کانفرنس کے بعد کانگریس کے سینئر رہنما پی چدمبرم نے حکومت پر حملہ کیا۔سابق وزیر خزانہ پی چدمبرم نے کہا 'ہم ایم ایس ایم ای سیکٹر کے لئے اعلان کردہ معمولی پیکیج کے سوا وزیر خزانہ کے اعلانات سے مایوس ہیں۔وزیر خزانہ نے جو کہا ، اس میں لاکھوں غریب بھوکے مہاجر مزدوروں کے لئے کچھ نہیں ہے جو اپنے گھروں کو جا رہے ہیں۔ واضح ہوکہ حکومت نے نقد بحران سے نبرد آزما مالیاتی وغیر مالیاتی بینکنگ کمپنیوں اور ایچ ایف سی کو مدنظر رکھتے ہوئے ایک بڑا قدم اٹھایا ہے۔وزیر خزانہ نرملا سیتارامن نے کہا کہ غیر بینکاری مالیاتی کارپوریشن (این بی ایف سی)، ایچ ایف سی اور ایم ایف آئی کو قرضوں کی بازاروں میں فنڈ جمع کرنے میں مشکل پیش آرہی ہے۔انکی مدد کے لئے حکومت 30،000 کروڑ روپئے کی خصوصی لیکویڈیٹی اسکیم شروع کرے گی۔حکومت ہند کی طرف سے سلامتی کی ضمانت دی جائے گی۔یہ اسکیم این بی ایف سی،ایچ ایف سی،ایم ایف آئی اور میوچل فنڈز کو لیکویڈیٹی سپورٹ فراہم کرے گی اور مارکیٹ میں لوگوں کے اعتماد میں اضافہ کرے گی۔ اس کے علاوہ وزیر خزانہ نرملا سیتارامن نے این بی ایف سی کے لئے 45،000 کروڑ روپئے کی جزوی کریڈٹ گارنٹی اسکیم کا اعلان کیا ہے۔ واضح ہوکہ کورونا وائرس کے بحران کے پیش نظر حکومت نے انکم ٹیکس دہندگان کو ریٹرن فائل کرنے کو لیکر راحت دی ہے۔ وزیر خزانہ نرملا سیتارامن نے گذشتہ مالی سال (2019-20) کے لئے انکم ٹیکس فائل کرنے کی آخری تاریخ میں توسیع کردی ہے۔مالی سال 2019۔20 کے لئے تمام انکم ٹیکس گوشوارے جمع کروانے کی آخری تاریخ 31 جولائی 2020، اور 31 اکتوبر 2020 سے 30 نومبر 2020 تک بڑھا دی گئی ہے۔صرف یہی نہیں ٹیکس آڈٹ کی آخری تاریخ بھی 30 ستمبر سے بڑھا کر 31 اکتوبر 2020 کردی گئی ہے۔ واضح ہوکہ کورونا وائرس کے انفیکشن کو روکنے کے لئے ملک بھر میں لاک ڈاؤن جاری ہے۔ اور بھوک سے پریشان لوگ گھرلوٹ رہے ہیں جس میں سادھن نہ ہونے اور بےجاسختیوں سے عام لوگوں کی زندگیاں بھی ضائع ہو رہی ہیں۔کل مدھیہ پردیش کے عمریہ سے ایسی ہی ایک دردناک خبر سامنے آئی ہے،ہوایہ کہ ایک بیمار بزرگ کوپولیس نےپاس کے باوجود چھتیس گڑھ کی سرحد عبور نہیں کرنےدی جس سے بزرگ موقع پر ہارٹ اٹیک سے چل بسا. واضح ہوکہ کورونا سے لگنے والے لاک ڈون سے. ملک کی مختلف ریاستوں میں پھنسے لوگوں کو گھروں تک پہنچانے کے لئے ریلوے کی خدمات کا آغاز کردیا گیا ہے۔کل یہ اطلاع بھی آئی ہے کہ ایئر انڈیا ریلوےبھی لوگوں کو گھر لانے کے لئے 19 مئی سے 2 جون کے درمیان خصوصی گھریلو پروازیں شروع کرنے جا رہا ہے۔ ان میں سے زیادہ تر پروازیں دہلی ، ممبئی ، حیدرآباد اور بنگلور سے ہوں گی۔ واضح ہوکہ جواہر لال نہرو یونیورسٹی (جے این یو) کے طالب علم شرجیل امام کی دہلی ہائی کورٹ میں درخواست پر ہائی کورٹ نے دہلی پولیس اور دہلی حکومت کو نوٹس جاری کیا ہے۔شرجیل امام نے نچلی عدالت کے فیصلے کو ہائی کورٹ میں چیلنج کیا ہے،جس میں دہلی پولیس کو عدالت میں تحقیقات کے لئے زیادہ وقت دیا گیا تھا۔عدالت نے پولیس حکومت کو جواب داخل کرنے کے لئے 2 ہفتے کا وقت دیا ہے اور اس معاملے کی اگلی سماعت 10 جون کو مقرر کردی ہے۔شرجیل امام نے اپنی درخواست میں کہا تھا کہ دہلی پولیس کو تحقیقات مکمل کرنے کے لئے 90دن سے زیادہ نہیں دیا جانا چاہئے۔شرجیل امام نے بھی ہائی کورٹ سے اسی بنیاد پر ضمانت دینے کی درخواست کی ہے۔ امام نے اپنی درخواست میں کہا ہے کہ اگر تفتیشی ایجنسی 3 ماہ میں اپنی تحقیقات مکمل کرنے میں ناکام رہی ہے تو پھر ملزم کو ضمانت کا حق ہے۔ واضح ہوکہ وزیر اعظم نریندر مودی نے کورونا وبا کے دور میں پورے ملک کے مختلف سیکٹرس کو سنجیونی دینے کے لئے 20 لاکھ کروڑ روپئے کے راحت پیکیج کا اعلان کیا ہے۔وہیں وزیر خزانہ نرملا سیتا رمن نے کہا کہ انکم ٹیکس میں ٹرسٹ، ایل ایل پی کو سبھی پینڈنگ فنڈ فوری طور پر دیئے جائیں گے۔ مزید کہا کہ 15 ہزار سے کم تنخواہ والوں کو سرکاری مدد دی جائے گی۔تنخواہ کا 24 فیصد حکومت پی ایف میں جمع کرے گی۔ انہوں نے کہا کہ 2 ہزار 500 کروڑ کی مدد اس کے لئے حکومت کی طرف سے دی جارہی ہے۔ https://www.facebook.com/ABD-News-207733003414201/
माना निम्नलिखित फलन का अवकलज निकालना है-
गुणन नियम का उपयोग करते हुए इसका अवकलज निम्नलिखित है-
माना निम्नलिखित फलन का अवकलज निकालना है- इस फलन का अवकलज formula_8 प्राप्त करने के लिये formula_9 को दो फलनों formula_10 तथा formula_11 का गुणनफल के रूप में देखें। अब गुणन नियम का उपयोग करने पर-
यह अवकलज निम्नलिखित सरल रीति से भी निकाला जा सकता है। फलन formula_9 को एक बहुपद के रूप में सरल करके लिखने पर,
ध्यान दें कि दायां पक्ष तीन पदों का योग है जिसका अवकलज तीनों पदों के अवकलज के योग के बराबर होगा। अर्थात-