Lukujärjestelmä
Lukujärjestelmä tarkoittaa kokonaisvaltaista tapaa, jolla luvut "sanotaan", "kirjoitetaan" tai "koodataan". Muinaisina aikakausina ihmiset ovat keksineet lukuisia erilaisia tapoja ilmaista lukumääriä. Nykyinen laajalle levinnyt tapa käyttää 10-kantaista kantalukujärjestelmää ja paikkamerkintää ei ole tälläkään hetkellä ainoa tapa esittää lukuja, mutta se lienee tehokkain ja monikäyttöisin esitystapa.
Lukujärjestelmät vaihtelevat aikakausien, etnisten ryhmien, kielten ja tilanteiden mukaan. Esimerkiksi ranskalainen nimeää tietyt lukusanat eri tavalla kuin hän muodostaa ne numeroilla. Englantilainen saattaa käyttää matematiikassa desimaalijärjestelmää, mutta mittaustulosten käsittelyssä hän voi siirtyä käyttämään duodesimaalijärjestelmää. Tietokoneiden ohjelmoijat saattavat käyttää kolmea kantalukujärjestelmää rinnakkain.
Kantalukujärjestelmä hyödyntää kiinteän kantaluvun tuomaa säännöllisyyttä yhdistettynä paikkamerkintään, jolla luvun esitystapa pelkistyy yksinkertaiseksi.
Suomenkin kouluissa opetettava kymmenkantainen desimaalijärjestelmä on tunnetuin kantalukujärjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10, 11, 12, 13..., 19, 20, 21..., 30...,40...,50... ja 99. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10 = 9 + 1, 11 = 1•10 + 1..., 32 = 3•10 + 2... . Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 346 = 3•10² + 4•10 + 6.
Tietotekniikan takia yleinen binäärijärjestelmä on kaksikantainen kantalukujärjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0 ja 1. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10 ja 11. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10 = 1 + 1 ja 11 = 1•2 + 1 (desimaalijärjestelmässä). Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 101 = 1•2² + 0•2 + 1. Jotta lukija tunnistaisi eri kantalukujärjestelmien lukuesitykset, merkitään sen kantaluku alaindeksinä viimeisen numeron alakulmaan. Siten voidaan edelliset kaksi esimerkkiä kirjoittaa 2-kantainen 10 on 10 = 1 + 1 = 2, joka on 10-kantainen 2. Sitten 2-kantainen 101 on 101 = 1•(2) + 0•2 + 1 = 5, joka on 10-kantainen 5.
Toinen tietotekniikan yleistämä on heksadesimaalijärjestelmä, joka on 16-kantainen järjestelmä. Siinä pienet luvut esitetään yksinumeroisena merkintänä 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E ja F. Kaksinumeroiset merkinnät ovat 10, 11, 12, 13..., 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21..., 2E, 2F, 30...,40...,90..., A0, A1..., AF, B1..., ja FF. Ne tulkitaan luvuksi, joka lasketaan 10 = 15 + 1 = 16, 1F = 1•16 + 15 = 31..., 32 = 3•16 + 2 = 50... . Kolminumeroisten lukujen arvot lasketaan esimerkiksi 346 = 3•(16) + 4•16 + 6 = 838.
On mahdollista rakentaa myös muihin kuin kokonaislukuihin perustuvia lukujärjestelmiä. Esimerkiksi piin potenssisarjalle (n + nπ + nπ + ...) perustuva lukujärjestelmä pystyy merkitsemään täsmällisesti joidenkin irrationaalisten funktioiden arvoja. Silloin 32 = 3•π + 2 = (3•π + 2).
Monet kantalukujärjestelmästä poikkeavat lukujärjestelmät saattavat kantaa sisällään kehityskaarensa varrelta mukanaan tuomia erityispiirteitä. Muinaisia piirteitä ovat esimerkiksi additiivinen tapa muodostaa pienet numerot. Näissä voidaan havaita jäänteitä muinaisesta tavasta laskea lukuja. Jotkut etniset ryhmät käyttivät kaksilukujärjestelmää, jolloin tunnettiin vain kaksi lukusanaa ("yksi" ja "kaksi"), toiset kehittyneempää kolmilukujärjestelmää (lukusanat "yksi", "kaksi" ja "kolme"), hyvin monet viisilukujärjestelmää ja niin edelleen. Luku viisi saatettiin ilmaista "kaksi kaksi yksi", jolloin lukusanat laskettiin yhteen. Tällaista tapaa kutsuttiin additiiviseksi tavaksi laskea, mutta kirjoitetuissa kielissä additiiviseksi merkinnäksi. ***
Roomalaiset numerot perustuivat additiiviseen merkintään, koska luvun arvo saatiin laskemalla yhteen numeroiden arvot. Jos luku kirjoitettiin XIII tarkoitti se lukua (X = 10 ja I = 1) 10 + 1 + 1 + 1 = 13. Vuosiluku MMXV tarkoitti 1000 + 1000 + 10 + 5 = 2015. Joskus luvusta tuli pitkä, esimerkiksi MDCCCLXXXVIII eli 1888, mutta toistuvan numeron kertoimia ei käytetty koskaan.
Muitakin additiivista merkintää hyödyntäviä kansoja on ollut. Babylonialaisten numerot perustuivat vain kahden numeroon: 1 ja 10. Näitä kahta merkkiä toistamalla geometrisesti ryhmittäen muodostettiin luvut 1 - 59. Luvun arvo laskettiin laskemalla 10:t ja 1:t yhteen. Tätä tehotonta merkintää seurasi kuitenkin älykäs oivallus, kun keksittiin merkitä 60:ä suurempia luvut paikkamerkintää hyödyntäen.
Myös Maya-intiaanien luvut perustuivat additiivisuuteen. Piste vastasi lukua 1 ja viiva lukua 5. Pisteitä ja viivoja yhdistelemällä voitiin muodostaa luvut 1-19 additiivisesti. Myös mayat kiersivät roomalaisia vaivanneet pitkien lukujen ongelman ottamalla käyttöön paikkamerkinnän 20:tä suuremmille luvuille.
Nykyaikaisia piirteitä ovat pienten additiivisesti muodostettujen numeroiden korvaaminen yksittäisillä numerosymboleilla. Kreikkalaisten attikalaiset luvut olivat additiivisesti muodostettuja ja korvattiin myöhemmin joonialaisilla luvuilla. Esimerkiksi attikalainen luku ΔΔΠII (10 + 10 + 5 + 1 + 1) eli 27 kirjoitettiin myöhemmin joonialaisesti κζʹ (20 + 7). Jokainen luku 1-9 merkittiin eri numerolla, joten I → α, II → β, III → γ, IIII → δ, Π → ε, ΠI → ϝ, ΠII → ζ, ΠIII → η ja ΠIIII → θ. Kymmenluvut saivat vielä omat kirjaimet ι(10), κ(20), λ(30), μ(40), ν(50), ξ(60), ο(70), π(80) ja ϟ(90). Sadoille 100, 200..., 900 annettiin loput aakkosista ja tuhannet 1000, 2000... merkittiin taas α, β...
Joonaialaisilla numeroilla oli omaksujansa muun muassa armenialaissa, heprealaisissa ja intialaisissa. Ainakin joonialaisia ja intialaisia lukujärjestelmiä kehitettiin edelleen karsimalla tuhansia, satoja ja kymmeniä merkitsevät numerot ja käyttämällä vain numeroita 1-9 paikkamerkinnän turvin.
Kielissä saattaa olla jäänteitä vanhoista lukujärjestelmistä, vaikka lukujärjestelmä olisi vaihtunutkin. Englannissa lukusanat "eleven" ja "twelve" poikkeavat muista lukusanoista "thirteen", "fourteen" ja niin edelleen. Nämä ovat jäänteitä 12-järjestelmästä, joita monet englantilaiset mittayksiköt edelleen seuraavat. Lukusana 11 tarkoittaa suomeksi "yksi jäljellä" ja 12 "kaksi jäljellä", jolla tarkoitettiin jäljellä olevien sormien lukumäärää joka puuttui kaikkien 10 sormen jälkeen.
Ranskan kielessä on säilynyt piirteitä 20-järjestelmästä. Seitsemääkymmentä pienemmät lukusanat noudattelevat kymmenjärjestelmää, mutta lukusanat 70–99 muodostetaan poikkeavasti. Luku 70 on ranskaksi "soixante-dix" (60 + 10), 80 "quatre-vingt" (4•20) ja 90 "quatre-vingt-dix" (4•20 + 10). Englannissa oli vielä keskiajalla käytössä saksista lainattu "score" (20) ja Raamatun King James -versiossa sanotaan "three-score years and ten" tarkoittaen 70 vuotta.