Kolmioluku
Kolmioluku on luonnollista lukua oleva määrä pisteitä, jotka pinnalle tasavälein aseteltuna muodostavat tasasivuisen kolmion. Kymmenen ensimmäistä kolmiolukua ovat 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45 ja 55.
Suurempia kolmiolukuja voidaan muodostaa pienemmistä lisäämällä niihin riittävästi pisteitä:
Rekursiivisesti ilmaistuna kolmioluku formula_1 on 
Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa rekursiivisessa yhtälössä luku formula_3
Kolmioluvut ovat yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.
Kolmioluvut formula_1 saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan formula_5 peräkkäistä luonnollista lukua yhteen:
Merkintä formula_7 tarkoittaa binomikerrointa, jonka arvo on sama kuin formula_8:sta alkiosta muodostettavien parien lukumäärä.
Kolmiolukuja esiintyy satunnaisesti jokaisella matematiikan alalla. Alla on kerrottu esimerkkejä eräistä kolmiolukujen ominaisuuksista.
Keilat asetetaan kolmioluvun formula_9 tapaan tetraktyksen muotoon. Biljardipallot kootaan kolmiokehykseen aloitusasemaan kolmioluvun formula_10 tapaan.
Pedon luku on kolmioluku formula_11 666. Se on suurin kolmioluku, jonka lukuesityksessä kaikki numerot ovat samat.
Kolmioluvut ovat "sukua toisilleen", joten niillä on rekursiivisia suhteita. Seuraavia kolmiolukujen välisiä ominaisuuksia tunnetaan. 
Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden erotus on kuutioluku formula_12. 
Esimerkiksi, kun n = 3, saadaan formula_14
Peräkkäisten kolmiolukujen neliöiden summa on kulmioluku.
Kun esimerkiksi n = 3, saadaan formula_16
Seuraavat kolmiolukujen identiteetit on helppo ymmärtää oheisista piirroksista. Menetelmä on yksinkertainen ja antaa olettaa, että muitakin kolmiolukuja voidaan muodostaa yhdistelemällä eri suuruisia kolmioita suuremmiksi kolmioiksi.
Kun lasketaan yhteen peräkkäiset parittomat luvut, saadaan kahden peräkkäisen kolmioluvun summa.
Summa on arvoltaan myös neliöluku, kuten jäljempänä todetaan.
Kolmioluvuilla on myös kytkentöjä muihin kuviolukuihin. Kahden peräkkäisen kolmioluvun summa on aina neliöluku formula_20: 
Tämä voidaan havaita suoraan pistekuvioista, joista on alla kaksi esimerkkiä.
Neliölukuja voi muodostaa useammastakin kolmioluvusta.
Toinen vastaava esimerkki on
Jos lasketaan yhteen pariton määtä kolmiolukuja seuraavasti
saadaan tulokseksi neliöluku.
Joka toinen kolmioluku on kuusikulmioluku formula_24: formula_25
Jokainen viisikulmioluku formula_26 on kolmasosa kolmioluvusta: formula_27
Jos formula_28 on seitsenkulmioluku, saadaan lausekkeen arvoksi formula_29, joka on kolmioluku formula_30.
Peräkkäisten kuutiolukujen summa on kolmioluvun neliö:
Peräkkäisten parittomien kuutiolukujen summa antaa kolmioluvun:
Friedrich Gauss on todistanut oikeaksi Pierre de Fermat'n monikulmiolukujen teoreeman, jonka mukaan kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun summana.
Kaikki luvun formula_33 jakajat ovat muotoa formula_34 ja samoin on laita lukujen formula_35, jotka ovat kaikki muotoa formula_36. Muotoa formula_37 olevilla luvuilla on jakajina luvut formula_38 ja formula_39 eli niiden lukuesitys päättyy numeroon 1 tai 9.
Parilliset täydelliset luvut "P" ovat kolmiolukuja formula_40, jossa "p" on alkuluku. Kaikki formula_41 ovat muotoa formula_42 missä formula_1 on kolmiluku indeksillä, joka on muotoa formula_44
Kombinatoriikassa formula_5-henkisen ryhmän parinmuodostus voidaan tehdä formula_46 monella tavalla. Lukumäärä on sama kuin kolmioluku formula_47
Kolmiolukuja formula_48 voidaan pitää additiivisena vastineena lukujen kertomalle, jossa on vastaavasti formula_49
Kolmioluvut ilmaantuvat seuraavaan määrättyyn integraaliin:
Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen formula_51 kolmioranennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua.
Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa käsitellen muun muassa täydellisiä lukuja, kuviolukuja ja alkulukuja. Hänen todistusmenetelmänsä avasivat lukujen maailman tehokkaasti ja samalla tuli perustettua lukuteoria.
Gottfried Wilhelm Leibniz laski kolmiolukujen käänteislukujen sarjan arvon. Kun summassa oli n termiä, tuli summaksi formula_52 ja kun termejä oli äärettömästi tuli sarjan arvoksi 2.
Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää korkeintaan kolmen kolmioluvun avulla. Augustin-Louis Cauchy todisti saman yleisellä tasolla, jolloin jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana.