Logaritmi
Luvun formula_1 formula_2-kantainen logaritmi formula_3 tarkoittaa lukua, jonka osoittamaan potenssiin luku formula_2 on korotettava, että saataisiin formula_1. Esimerkiksi formula_6, koska formula_7.
Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktio. Toisin sanoen luvun logaritmin määrittelee ekvivalenssi
Eräille logaritmeille on omat nimensä ja merkintänsä. Kymmenkantaisen logaritmifunktion eli "Briggsin logaritmin" tunnus on "lg":
Luonnollisen logaritmi­funktion, jonka kantalukuna on Neperin luku "e", tunnus on "ln":
Luonnollinen logaritmi on tärkeä funktio varsinkin differentiaali- ja integraalilaskennassa. Sen merkitys perustuu etenkin siihen, että sen derivaatta on varsin yksinkertainen funktio, 1/x.
Useissa sovelluksissa esiintyvän 2-kantaisen eli binäärisen logaritmifunktion tunnus on "ld" (= logarithmus dualis):
Merkinnän "log," jossa kantalukua ei siis ole merkitty näkyviin, merkitys ei ole vakiintunut. Toisaalla se tarkoittaa logaritmia, jonka kantaluku on mielivaltainen. Toisaalla se taas on luonnollisen tai 10-kantaisen logaritmin merkintä. Erityisesti laskimissa näppäin "log" tarkoittaa nimenomaan 10-kantaista logaritmia. Tietojenkäsittelytieteessä ja tietoliikenteessä "log" tarkoittaa usein 2-kantaista logaritmia.
Logaritmit kehittivät samoihin aikoihin toisistaan riippumatta skotlantilainen John Napier ja sveitsiläinen Jobst Bürgi.
Seuraavissa kaavoissa formula_12 Logaritmeille on aina voimassa
riippumatta "a":n arvosta. Määritelmän perusteella on helppo osoittaa, ettäTarvittaessa myös kantaluku on helppo vaihtaa toiseksi ("a":sta "b":ksi), sillä
Logaritmeja tarvitaan sellaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, jossa eksponentti on tuntematon. Täten niiden avulla voidaan laskea, missä ajassa jokin eksponentiaalisesti kasvava tai vähenevä suure saa tietyn arvon. Sellaisia suureita ovat esimerkiksi korkoa korolle kasvava rahamäärä sekä myös radioaktiivisen aineen jäljellä oleva määrä tietyn ajan kuluttua.
Eri yhteyksissä useita suureita mitataan logaritmisella asteikolla. Esimerkkejä ovat:
Myös musikaalinen sävelasteikko on itse asiassa logaritminen asteikko, sillä sävelkorkeus nousee aina yhden oktaavin, kun äänen taajuus kaksinkertaistuu. Jokaista muutakin intervallia vastaa tietyn suuruinen taajuuksien suhde.
Ennen kuin taskulaskimet 1970-luvulla yleistyivät, logaritmeilla oli noin 300 vuoden ajan ollut suuri merkitys laskutoimitusten apuvälineinä. Tämä käyttö perustui edellä esitettyyn kaavaan, jonka mukaan lukujen tulon logaritmi on sama kuin tekijöiden logaritmien summa:Jos siis on käytettävissä taulukko eri lukujen logaritmeista, voidaan täten kerto- ja jakolasku korvata yhteen- ja vähennyslaskulla, jotka ovat suurillakin luvuilla paljon helpompi suorittaa kynällä ja paperilla kuin edelliset. Kertolasku voidaan suorittaa katsomalla taulukosta tekijöiden logaritmit, lasketaan ne yhteen ja katsotaan sitten, minkä luvun logaritmi summa on. Jakolasku taas voidaan suorittaa katsomalla taulukosta jaettavan ja jakajan logaritmit, vähentämällä jälkimmäinen edellisestä ja katsomalla sitten, minkä luvun logaritmi erotus on.
Logaritmitaulukkoja on julkaistu kirjoina, joissa ovat esimerkiksi lukujen 1000 – 9999 10-kantaiset eli Briggsin logaritmit. Muiden kuin tällä välillä olevien lukujen logaritmit saadaan lisäämällä tai vähentämällä näistä luku, joka osoittaa, kuinka monta kertaa annettu luku on kerrottava tai jaettava 10:llä, jotta tulos olisi tällä välillä. Esimerkiksi lg 20 = lg 2000 - 2, koska luvusta 20 saadaan luku 2000 kertomalla se luvulla 10 kaksi kertaa. Vastaavasti lg 5 = lg 5000 - 3.
Myös laskutikku perustuu samoihin logaritmifunktion ominaisuuksiin.
Logaritmeja apuna käyttäen voidaan laskea erilaisia sijoitukseen ja osallistujamäärään perustuvia rankingpistejärjestelmiä esimerkiksi turnauspokerissa.