Heisenbergin epätarkkuusperiaate
Heisenbergin epämääräisyysperiaate on Werner Heisenbergin vuonna 1927 esittämä kvanttimekaniikan perusperiaate, jonka mukaan tiettyjen observaabeliparien arvoja ei voida määrittää samanaikaisesti äärettömän tarkasti. Tällaisia observaabelipareja ovat esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä, joille epämääräisyysperiaatteen mukaan pätee kaava
missä formula_2 on hiukkasen paikan epätarkkuus, formula_3 hiukkasen liikemäärän epätarkkuus ja formula_4 on redusoitu Planckin vakio.
Toinen mahdollinen määritelmä on
missä h on Planckin vakio.
Vastaavanlainen epämääräisyysrelaatio on voimassa myös energialle ja ajalle:
missä formula_7 on hiukkasen energian epätarkkuus ja formula_8 sen ajanhetken epätarkkuus, jolloin hiukkasen energia oli tietyn suuruinen.
Periaate ei koske ainoastaan ihmisen tekemää mittausta, vaan sitä, miten suuria suureiden vaihtelut voivat olla kaikissa tilanteissa. Jos hiukkanen pakotetaan pieneen tilaan ulkoisen voiman avulla, jolloin sen paikan epätarkkuutta pienennetään, sen liikemäärä eli samalla nopeus väkisinkin kasvaa. Merkittävä osa voimasta, joka estää atomiytimiä ja atomeja romahtamasta tulee suoraan seurauksena Heisenbergin epätarkkuusperiaatteesta. Sama koskee erittäin tiheitä tähtiä kuten valkoisia kääpiöitä ja neutronitähtiä.
2 mikrometrin (µm) halkaisijan hiukkanen, jonka massa on 10 kg, on rajattu 10 µm pitkään laatikkoon. Millä tarkkuudella hiukkasen nopeus voidaan määrittää?
Mikä olisi saman hiukkasen sijainti jos sen tiedetään olevan täysin levossa?
Yhden 1s elektronikuoren omaavan atomin halkaisija on 1 ångströmi. Mikä on siinä olevan elektronin nopeus?
Ainehiukkasilla kuten elektroneilla aaltomaista luonnetta (ne voivat esimerkiksi diffraktoida) ja niillä on hiukkasmaista luonnetta (ne voivat edetä eteenpäin sädemäisen suoraan ja niitä voidaan havaita esiintyvän yksittäin). Niitä voidaan siksi mallintaa hiukkasten ja aaltojen välimuotoisina "aaltopaketteina", jotka ovat aaltomuotoisia, mutta niiden sijainti on silti rajoittunut tietylle alueelle Δx. Massan m ja nopeuden v hiukkasilla on tietty liikemäärä p=mv. Aaltopaketit eivät ole kuitenkaan täydellinen kuvaus esimerkiksi elektroneista, mutta ne ovat hyödyllinen ajatustyökalu niiden aalto-hiukkasluonteen ajatteluun.
Aaltopaketti muodostuu usean eri taajuusvälin Δf päällekkäisestä aallosta. Aallot voimistavat ja heikentävät toisiaan paikoitellen eli interferoivat keskenään ja lopputulos näkyy yksittäisten aaltojen sijaan aaltopakettina. Aaltopaketin liikkuessa jonkin tilan halki sillä kestää ohittaa jokin tilan piste aikavälin Δt verran. Fourier-analyysillä voidaan todistaa että Δf Δt ≈ 1.
Aikavälillä Δt aaltopaketti liikkuu tilan x-akselia pitkin matkan Δx joka nopeuden kaavalla laskettuna on
formula_11
Yhtälö voidaan muuntaa myös muotoon
formula_12
Siniaalloille pätee yhtälö λf = v, jossa λ on aallonpituus ja f on taajuus. Ainehiukkaselle λ saadaan De Broglien yhtälöllä λ = h/p, jossa h on Planckin vakio. Yhdistämällä nämä saadaan taajuudeksi
formula_13
Oletetaan että liikemäärä p muuntuu Δp verran ja taajuus Δf verran, mutta muutokset ovat erittäin pieniä eli Δp ≪ p ja Δf ≪ f. Tällöin yllä olevan yhtälön Δp ja Δf voidaan pitää differentiaaleina dp ja df. Derivoimalla yhtälö saadaan
formula_14
Yllä oleva Δf- ja ylempänä oleva Δt-yhtälöt voidaan yhdistää
formula_15
Fourier-analyysin mukaan Δf Δt ≈ 1, mutta tämä on pienin arvo, joka voidaan mitata. Todelliset mittaukset antavat suurempia epätarkkuuksia, joten yhtälö on pikemminkin Δf Δt ≥ 1. Käyttämällä tätä tietoa, saadaan yllä olevasta yhtälöstä epätarkkuusperiaatteen kaava
formula_16
y-akselin arvoille Δy ja Δp pätee samanlainen kaava.
Epätarkkuusperiaatetta voi tehdä uskottavaksi esimerkiksi seuraavan kokeen avulla:
Määritettäessä hiukkasen paikkaa esimerkiksi sähkömagneettisen säteilyn avulla on säteilyn aallonpituus samaa suuruusluokkaa tarkkuuden kanssa. Pienempi aallonpituus antaa suuremman tarkkuuden, mutta lisää fotonin energiaa, jolloin mitattavan hiukkasen nopeus muuttuu enemmän. Tästä muutoksesta ei saada tietoa.
Toinen koe perustuu siihen, että myös aine on aalto. Kun elektroni ammutaan hyvin kapeasta aukosta, saadaan tietoa sen paikasta. Mitä kapeampi aukko, sitä kapeampi se alue, josta elektroni on voinut kulkea. Ongelma tarkkuuden lisäämiseen tulee siitä, että elektroni alkaa käyttäytyä aaltomaisesti ja diffraktoituu kapeassa aukossa. Sen liikkeelle ja siten liikemäärälle tulee siis myös komponentti aukon tasoon. Tuloksena on siis, että mitä tarkemmin tiedetään se paikka, josta elektroni meni aukon läpi, sitä enemmän liikemäärä hajoaa aukon tasossa. Jos aukkoa suurennetaan, eli paikkatiedon tarkkuus vähenee, liikemäärän tarkkuus suurenee.
On kuitenkin huomattavaa että epätarkkuusperiaate pätee kaikille mahdollisille mittauksille, erityisesti nk. ideaaliselle mittaukselle eli sellaiselle mittaukselle, joka ei muuta systeemin tilaa ollenkaan. Näin ollen epämääräisyyden katsotaan yleisesti olevan pienten hiukkasten perusominaisuus, eli esimerkiksi hiukkasen paikka ja liikemäärä ovat aina levinneet niin että epämääräisyysperiaate on voimassa.
Epätarkkuusperiaate säätää ne fysikaaliset rajat, joissa klassisen sähkömagnetismin funktioita voidaan soveltaa. Samaten sen avulla voidaan määrätä ne kokoluokat, joilla mikroprosessorin toimintaan alkaa tulla epäluotettavuutta.
Epätarkkuudesta seuraa myös nollapiste-energia, nollaa suurempi energia, joka on systeemin pienin mahdollinen energia. Kaikilla systeemeillä on nollapiste-energia.