Begriffsschrift
Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (”Käsitekirjoitus: aritmetiikan mukaan rakennettu puhtaan ajattelun formaalinen kieli”) on Gottlob Fregen vuonna 1879 julkaisema lyhyt logiikan alan teos. "Begriffsschrift", joka käännetään yleensä ”käsitekirjoitukseksi”, on kirjassa esitetyn formaalin logiikan järjestelmän nimi.
"Begriffsschriftin" voi hyvin katsoa olleen logiikan alan merkittävin teos sen jälkeen kun Aristoteles perusti alan. Fregen motivaatio kehittää oma formaalinen lähestymistapansa logiikkaan muistutti Gottfried Leibnizin motivaatiota kehittää omaa "calculus ratiocinatoriaan". Frege hyödynsi loogista kalkyyliään tutkiessaan matematiikan perustaa seuranneen neljännesvuosisadan aikana.
Fregen järjestelmä vastaa nykyaikaista toisen kertaluvun logiikkaa, ja se esitteli kvantifioidut muuttujat ja kvanttorit logiikkaan ensimmäisen kerran. Fregen käyttämä notaatio poikkesi kuitenkin nykyisestä huomattavasti: hän käytti hyvin idiosynkraattista kaksiulotteista merkintätapaa, jossa konnektiivit ja kvanttorit on piirretty kaavoja yhdistävillä viivoilla, kun nykyään ne merkitään puolestaan sellaisilla symboleilla kuin ¬, ∧, ∨, ∃ ja ∀. Esimerkiksi implikaatio ”B implikoi A:n” eli formula_1 merkittiin Fregen notaatiossa .
Ensimmäisessä luvussa Frege määritteli perusajatukset ja merkintätavat, kuten väittämä, universaalikvanttori, konditionaali, negaatio ja "merkki sisällön identiteettisyydelle" eli ekvivalenssi formula_2.
Esimerkiksi konditionaalin Frege määritteli seuraavasti (luku I, §5):
Toisessa luvussa Frege määritteli yhdeksän väittämistään, väittämät 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 ja 58, aksioomiksi, sanomalla niiden — sellaisina kuin ne on tarkoitettu ymmärrettäviksi — ilmaisevan totuuksia. Nykyaikaisella merkintätavalla ilmaistuna hänen aksioomansa olivat:Aksioomat (1)-(3) määrittävät implikaation. (4)-(6) määrittävät negaation. (7) ja (8) määrittävät identiteetin; (7) on Leibnizin laki; (8) sanoo, että identiteetti on refleksiivinen. (9) määrittää universaalikvanttorin. Kaikki muut väittämät todistettiin dedusoimalla näistä aksioomista.
"Begriffschrifft" käytti kolmea päättelysääntöä. Kaksi niistä, modus ponens ja yleistyssääntö, ovat eksplisiittisiä, kun taas korvaussääntöä ei ole määritelty eksplisiittisesti. Modus ponensin avulla voidaan johtaa formula_12 lauseista formula_13 ja formula_14. Yleistyssäännön avulla voidaan johtaa formula_15 lauseesta formula_16, jos muuttuja 'x' ei esiinny 'P':ssä. Korvaussääntö on paljon monimutkaisempi, ja Frege käyttää sitä tavoilla, joiden pätevyys ei ole ilmiselvää.
Kolmas luku käsittelee sarjateoriaa. Sen tulokset ovat selvästi tarkoitettuja käytettäväksi Fregen myöhemmässä aritmetiikan perusteiden tutkimustyössä.
"Begriffsschriftissä" esitetty toisen kertaluvun logiikan muotoilu oli ensimmäinen muotoilu mistään logiikasta, joka pystyi käsittelemään merkityksellistä osaa matematiikasta tai inhimillisestä kielestä. Kaikki myöhempi työ formaalin logiikan alalla on enemmän tai vähemmän velkaa teokselle.
Pieni jäänne Fregen notaatiosta on säilynyt todistuksissa käytetyssä symbolissa formula_17, joka on johdettu Fregen symboleista ”Inhaltsstrich” ── ja ”Urteilsstrich” │. Frege käytti niitä teoksessaan yhdistetyssä muodossa ├─ esittämään, että väittämä on tautologisesti tosi. Hän käytti merkintää ”Definitionsdoppelstrich” │├─ esittämään, että väittämä on määritelmä.
Ludwig Wittgenstein kunnioitti Fregeä teoksessaan "Tractatus logico-philosophicus" käyttämällä termiä "Begriffsschrift" synonyyminä loogiselle formalismille.