Bohrin atomimalli
Bohrin atomimalli on ensimmäinen semikvanttimekanistinen fysikaalinen atomimalli, joka kuvaa atomin pieneksi positiivisesti varautuneeksi ytimeksi, jota elektronit kiertävät eritasoisilla radoilla, kuten planeetat kiertävät Aurinkoa ja kuut planeettoja. Vaikka Bohrin malli osoittautui myöhemmin puutteelliseksi, onnistui se kuitenkin selittämään paljon ilmiöitä. Malli on myös verrattain yksinkertainen, minkä takia Bohrin atomimallia opetetaan vielä nykyäänkin yleisesti yläkouluissa sekä lukioissa.
1900-luvun alkupuolella Ernest Rutherford havaitsi pommittamalla ohutta kultakalvoa heliumytimillä (eli alfahiukkasilla), että atomit koostuivat pienestä ja tiiviistä positiivisesti varautuneesta ytimestä, jota ympäröivät negatiivisesti varautuneet elektronit. Useimmat alfahiukkaset läpäisivät kalvon vaivattomasti, johtaen tulkintaan atomista, joka on enimmäkseen tyhjää tilaa. Kuitenkin jotkut alfahiukkaset taittuivat takaisin kalvosta hyvinkin suurilla kulmilla; kokeen datan perusteella atomiydin olisi korkeintaan formula_1 m. Rutherfordin omin sanoin: ""It was quite the most remarkable event that has ever happened to me in my life. It was almost as if you fire a fifteen-inch shell at a piece of tissue paper and it came back and hit you"". Oli kuitenkin epäselvää, mikseivät negatiiviset elektronit pudonneet positiiviseen ytimeen.
Lisäksi atomien absorptio- ja emissiospektreistä oli jo kauan aikaisemmin huomattu, että jokaisella alkuaineella on sille ominainen karakteristinen spektri eli ne lähettävät valoa vain tietyillä aallonpituuksilla. Esimerkiksi natriumlanka lähettää vain tietyillä spesifisillä aallonpituuksilla valoa, kun atomeille annetaan energiaa esimerkiksi sähköpurkauksen avulla. Klassinen fysiikka ei pystynyt selittämään ilmiötä, mikä ei kuitenkaan ollut estänyt käyttämästä sitä hyväksi alkuaineiden tunnistamisessa.
Niels Bohr ehdotti atomimallia, jossa elektronit kiertävät ellipsiradoilla kompaktia ydintä. Malli siis pitää elektroneita täysinä hiukkasina, vaikka nykyään tiedämme, että elektronit noudattavat aaltohiukkasdualismia. Atomeista yksinkertaisin on vetyatomi, joka koostuu protonista ja sitä kiertävästä elektronista. Koska ydin on positiivisesti ja elektroni negatiivisesti varautunut, vetävät ne toisiaan puoleensa Coulombin voiman ansiosta, samalla tavalla kuin Aurinko vetää Maata (ja Maa Aurinkoa) puoleensa painovoiman vaikutuksesta. Ensimmäinen ongelma tällä mallilla on, että jos elektroni kiertää ydintä kiertoradalla, pitäisi sen lähettää sähkömagneettista säteilyä, koska se on kiihtyvässä liikkeessä ja kiihtyvät varaukset lähettävät sähkömagneettista säteilyä. Tämän säteilyn taajuuden pitäisi olla sama kuin sen kiertoajan käänteisarvo. Siitä kuitenkin seuraisi, että elektroni menettäisi energiaa ja tämän vuoksi sen kiertosäde pieneneisi, kunnes se olisi ytimessä noin formula_2 sekunnin kuluttua. Bohrin atomimalli (1913) kuitenkin onnistui ratkaisemaan tämän ongelman tekemällä lisäoletuksia, postulaatteja, jotka kuitenkin merkitsivät selvää poikkeamista klassisesta fysiikasta.
Bohrin postulaatit:Koska Bohrin malli toimii täydellisesti vain vetyatomille, seuraavassa on implisiittisesti kyse vetyatomista. Jos kyseessä on jonkin muun alkuaineen yksielektroninen ioni, on kaavoissa e korvattava lausekkeella Ze, missä Z on alkuaineen järjestysluku ja Ze ytimen varaus.
Postulaatti 2 on koko mallin ydin. Siitä seuraa, että elektronin säde ja energia ovat kvantittuneet, eli ne voivat saada vain tiettyjä arvoja. Toisinaan näiden kvantittumiset ovat virheellisesti oletettu mallin postulaateiksi, vaikka todellisuudessa ne ovat vain seurausta postulaatista 2. Seuraavassa oletamme, että ydin on massaltaan suuri verrattuna elektroniin, jolloin kiertorata on ympyrä, jonka keskipiste on ytimessä.
Kulmaliikemäärälle formula_7 (1), missä formula_8 = elektronin kiertoradan säde tietylle n, m = elektronin massa sekä v = elektronin tangentiaalinen nopeus ja n = 1, 2, 3, ...
Coulombin voima toimii sentripetaalisena voimana, joten: formula_9 (2)
Eliminoimalla v (1):stä ja (2):sta saadaan: 
eli säde formula_8 on kvantittunut. Määritellään vakio formula_12formula_13, joka tunnetaan Bohrin säteenä, jolloin formula_14 (4).
Koska elektronin kokonaisenergialle formula_15 pätee: 
(2):sta eliminoimalla v saamme
Sijoittamalla tähän (3) saamme
Kaava (5) ennustaa täydellisesti vedyn emissiospektrin. Sen mukaan vety­atomi voi lähettää vain sellaisia fotoneja, joiden energia vastaa kahden energia­tason erotusta. Koska fotonin energian "E" ja aallon­pituuden λ välillä on yhteys formula_19, ovat vedyn spektriviivojen aallonpituudet
formula_20,
missä formula_21 on vedyn Rydbergin vakio.
Bohrin postulaatti kulmaliikemäärän kvantittumisesta (postulaatti 2 yllä) selittää myös, miksei kiihtyvässä liikkeessä oleva elektroni putoa ytimeen säteillen energiansa pois.
Kaavasta (4) seuraa, että elektroni voi olla vain tietyillä säteillä. Mallin pohjalta voidaan teoreettisesti laskea myös elektronin nopeus ja kiertoaika, joskin kvanttimekaniikan myöhempi kehitys osoitti, ettei näillä suureilla ole oleellista merkitystä. Nopeudeksi saadaan:
ja kiertoajaksi
Tasolla n = 1 elektronin nopeus on noin 2.2 x formula_24 m/s, joka on noin sadasosa valonnopeudesta. Näin ollen vetyatomilla ensimmäiseen approksimaatioon ei tarvitse tehdä suhteellisteoreettisia. Toisin on laita raskaammilla alkuaineilla, joiden valenssikuori on n = 6.
Huolimatta Bohrin atomimallin onnistumisista, on se loppujen lopuksi epätarkka.Bohrin malli tunnetaan joskus "puoliklassisena mallina", koska vaikka se sisältääkin joitakin ajatuksia kvanttimekaniikasta, se ei ole täydellinen kvanttimekaaninen kuvaus atomista. Bohr teki kvanttimekanistisen hypoteesin kulmaliikemäärän kvantittoitumisesta, muttei mennyt pidemmälle.
Vuonna 1922 Bohr itse täydensi atomimalliaan eräillä lisäoletuksilla osoittaen, kuinka atomin rakenteen avulla voitiin selittää myös ne jaksolliseen järjestelmään liittyvät säännönmukaisuudet, jotka Mendelejev oli jo puoli vuosisataa aikaisemman havainnut eri alkuaineiden kemiallisissa ominaisuuksissa. Ennen vuotta 1922 oli jo todettu, että kunkin alkuaineen järjestysluku jaksollisessa järjestelmässä on sama kuin sen atomiytimen varaus alkeisvarausyksikköinä, ja näin ollen myös sama kuin sähköttömässä atomissa olevien elektronien lukumäärä. Tämän vuoksi Bohr täydensi atomimalliaan olettamalla, että
Oletusta (2) voitiin myöhemmin tarkentaa niin, että sen pohjalta muotoiltiin Paulin kieltosääntö, kun taas oletus (3) vastaa sitä, mikä nykyisin tunnetaan oktettisääntönä. Tältä pohjalta voitiin selittää ionisidoksen muodostuminen. Gilbert Newton Lewis täydensi teoriaa myöhemmin selittämällä kovalenttisen sidoksen muodostumisen.
Täydelliseen atomin kuvaamiseen tarvitsee käyttää koko kvanttimekaniikan teoriaa, joka muotoutui useiden ihmisten työn tuloksena vuosia Bohrin mallin julkaisun jälkeen. Louis de Broglie esitti vuonna 1924 teorian, jonka mukaan elektronillakin on aaltoluonne, ja sille pätee sama liikemäärän (p) ja aallonpituuden (formula_25 välinen yhteys formula_26 kuin fotonillekin (h on Planckin vakio). Aaltoluvun (k) avulla yhtälö voidaan esittää myös muodossa formula_27formula_28. Sijoittamalla tämän kaavaan (1) saamme formula_29, eli formula_30, jonka voimme tulkita seisovaksi aaltoliikkeeksi. Elektronin kulmaliikemäärän ja samalla energian kvantittuminen selittyy siten, että sen kiertoradalle eli ympyrän kehälle on mahduttava tietty kokonaislukumäärä elektronin aallonpituuksia, jolloin elektroni itse asiassa on seisova aalto. Koska seisova aaltoliike ei välitä energiaa, ei elektroni niin ollen säteile sähkömagneettista säteilyä, ja atomi on vakaa.
Tämä teoria pitää elektroneja aaltoina, jotka luovat 3-ulotteisia seisovan aallon kuvioita atomissa. Aineaallot keksi Louis de Broglie, ja oletettiin, että Bohrin atomimallissa sallittujen (stationaaristen) ratojen kehät olivat aineaaltojen aallonpituuksien monikertoja, mikä tarkoittaa sitä, että elektronien stationaariset radat ovat sellaisia, joilla ne muodostavat seisovia aaltoja. Tämä malli toimi kuitenkin vain vetyatomille.
Seuraava ja ratkaiseva askel oli Schrödingerin yhtälö, jossa hiukkasen tilaa kuvataan todennäköisyysaaltona.