Hyperreaaliluku
Hyperreaalilukujen järjestelmä on eräs tapa käsitellä äärettömiä ja äärettömän pieniä eli infinitesimaalisia kvantiteetteja. Hyperreaaliluvut tai epästandardit reaaliluvut, formula_1, ovat reaalilukujen formula_2 laajennus, joka sisältää suurempia lukuja kuin mikään muotoa
Sellaiset luvut ovat äärettömiä ja niiden käänteisluvut on infinitesimaaleja. Termin "hyperreaali" esitteli Edwin Hewitt 1948.
Reaalilukujen laajennukseen hyperreaalilukuihin kuuluvat siis tavallisten reaalilukujen lisäksi äärettömän suuret ja äärettömän pienet luvut eli infinitesimaalit. Nämä voidaan määritellä seuraavasti:
Nollasta eroava luku formula_4 on äärettömän tai infinitesimaalisen pieni eli siis infinitesimaali, jos 
formula_5
Kääntäen infinitesimaalin formula_4 käänteisluku formula_7 on äärettömän suuri tai ääretön tarkoittaen täsmällisesti, että formula_8
Ja vastaavasti äärettömän formula_9 käänteisluku formula_10 on infinitesimaali.
Hyperreaaliluvut noudattavat siirtoperiaatetta, Leibnizin heuristisen jatkuvuuden lain täsmällistä versiota. Siirtoperiaate sanoo, että väitteet formula_2:ssä ovat päteviä formula_1:ssä. Esimerkiksi, yhteenlaskun vaihdantalaki, formula_13, pätee hyperreaaliluvuille aivan kuin se pätee myös reaaliluvuille; kuten formula_2 on reaalisesti suljettu kunta, joka tarkoittaa vain yksinkertaisesti kuntaa, jolla on oleellisesti samat ominaisuudet kuin reaalilukujen kunnalla, siten on myös formula_1. Samoin kuten formula_16 kaikille kokonaisluvuille formula_17, on yhtä lailla voimassa formula_18 kaikille hyperkokonaisluvuille formula_19. Siirtoperiaate on Łośin teoreeman seuraus vuodelta 1955.
Hyperreaalilukujen ja erityisesti siirtoperiaatteen sovellusta analyysin ongelmiin kutsutaan epästandardiksi analyysiksi. Yksi välitön sovellus on analyysin peruskäsitteiden kuten derivaatan ja integraalin määrittely jollakin tapaa yksinkertaisemmin. Täten formula_20:n derivaatta tulee muotoon formula_21 infinitesimaalille formula_22, missä formula_23 merkitsee funktion standardiosaa, joka liittää jokaiseen äärelliseen hyperreaalilukuun yksikäsitteisen äärettömän lähellä olevan reaaliluvun. Integraali määritellään vastaavasti sopivan äärettömän summan standardiosana.
Differentiaali- ja integraalilaskentaa eli infinitesimaalilaskentaa enteilivät jo Arkhimedeen (noin 250 eaa.) käyttämät menetelmät (esimerkiksi tyhjennysmenetelmä) antiikin Kreikan aikana. Infinitesimaalin idealla, mutta myös epäilyllä infinitesimaaleihin liittyvien argumenttien luotettavuudesta, on pitkä historia alkaen jo antiikin Kreikan matemaatikoista. Infinitesimaalin tunsi jo Arkhimedes, mutta infinitesimaalin käsite oli hänen mielestään siinä määrin epätyydyttävä, että hän korvasi infinitesimaalin käytön matemaattisissa todistuksissa muilla menetelmillä kuten ekshaustio- eli tyhjennysmenetelmällä, jolla voidaan muodostaa täsmällisiä todistuksia ja määrittää pinta-aloja ja tilavuuksia tarvitsematta mennä varsinaisesti infinitesimaaleihin, raja-arvoihin tai muihin äärettömyyttä käyttäviin prosesseihin.
Historiallisesti differentiaali- ja integraalilaskennan katsotaan kehittäneen Gottfried Leibniz ja Isaac Newton toisistaan riippumatta 1600-luvun lopulla. Molempien käyttämät päättelyt perustuivat infintesimaalin käsitteeseen, joka esiteltiin suuruutena, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku olematta silti nolla. Funktion formula_20 derivaatta määriteltiin tuolloin seuraavasti:
formula_25. (*)
Isaac Newton puhui derivaatan eli hänen terminologiansa mukaan fluksionin ideasta lopullisena yhteytenä häviävien osien välillä. Infinitesimaali oli kuitenkin käsitteenä epäselvä eikä sitä ei ollut määritelty täsmällisesti, minkä vuoksi eri matemaatikot ymmärsivät infinitesimaalin käsitteen eri tavoin.
Tästä huolimatta markiisi Guillaume de l’Hôpital otti infinitesimaalin kuitenkin täyteen käyttöön ja julkaisi ensimmäisen infinitesimaalilaskennan oppikirjan.
Infinitesimaalin käsitteen epätäsmällisyyteen kohdistettiin kuitenkin kritiikkiä, ja se huipentui piispa George Berkeleyn kritiikkiin, jonka hän esitti kirjansa The Analyst (1734) loppusanoissa:
"And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And what are these same evanescent Increments? They are neither finite Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?" eli suomeksi
"Ja mitä ovat nämä fluksiot? Kadonneiden lisäysten nopeuksia? Ja mitä ovat nämä samat kadonneet lisäykset?
Ne eivät ole äärellisiä kvantiteetteja, eivät äärettömän pieniä kvantiteetteja, eivät vielä mitään.
Eikö meidän pitäisi kutsua niitä menneiden kvantiteettien haamuiksi?".
Berkeleyn mielestä sama kritiikki, joka kohdistetaan teologeihin, jotka pohdiskelevat epätäsmällisiä ja määrittelemättömiä asioita kuten enkeleitä tulisi kohdistaa infinitesimaalin takia myös matemaatikoihin, joiden pitäisi edustaa eksaktia tiedettä. Piispa Berkeley ja infinitesimaalin epätäsmällisyyden vastustajat olivat oikeassa eli infinitesimaalin käsitettä ei oltu hyvin määritelty ja siinä oli ristiriitoja. Otetaan näistä ristiriidoista esimerkiksi funktion formula_26 derivaatan laskeminen:
Käytetään derivaatan laskemiseksi Leibnizin ja Newtonin aikaista derivaatan määritelmää (*):
formula_27 ja funktion formula_26 derivaatta on tunnetusti formula_29 nykyaikaisten menetelmien pohjalta.
Eli siis formula_30, joka on ristiriita ( formula_31 on infinitesimaali, joka on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku, mutta ei ole nolla). Tämä tarkoittaisi sitä, että infinitesimaaleilla ei voitaisi laskea samalla tavoin kuin tavallisilla äärellisillä luvuilla.
Näiden ristiriitojen vuoksi infinitesimaalin käsitettä yritettiin määritellä täsmällisesti, jota yritti muun muassa A. L. Cauchy siinä onnistumatta. Mutta Cauchy kuitenkin väitti, että infinitesimaalin avulla voitaisiin todistaa, että jos formula_32 on jono jatkuvia funktioita sellaisia, että formula_33 kaikilla formula_34 niin silloin funktio formula_35 olisi jatkuva. Tämä ei kuitenkaan pitäisi paikkaansa, vaan todellisuudessa tulokseen vaadittaisiin, että formula_32 suppenee tasaisesti. Tämä sekaannus antaa aiheen ajatella, että infinitesimaaleja ei tarkkaan ottaen pitäisi käyttää ollenkaan.
Myöhemmin 1800-luvulla muun muassa Karl Weierstrass määritteli differentiaali- ja integraalilaskennan käsitteet kuten raja-arvo ja reaaliluku täsmällisesti. Kun raja-arvo oli määritelty täsmällisesti, derivaatta voitiin määritellä sen avulla tarkasti käyttämättä infinitesimaaleja.
Tämän analyysin aritmetisoinniksi kutsutun historiallisen vaiheen myötä infinitesimaalin käsite poistuikin tarkasta teoreettisesta käytöstä turhana ja sekavana. Tästä huolimatta infinitesimaalia käytettiin kuitenkin tehokkaana ajattelun työvälineenä sen intuitiivisuuden vuoksi esimerkiksi hahmotettaessa mielessä miten koulusta tuttu pyörähdyskappale lasketaan. Tällaiseen tarkoitukseen infinitesimaalin käsite oli sopiva, joten mitä väliä vaikka se oli epätäsmällinen. Ankaran täsmälliseen teoreettiseen käyttöön se ei kuitenkaan enää kelvannut, vaan infinitesimaalien käytön oli korvannut raja-arvon täsmällinen formula_37-määritelmä.
Infinitesimaali teki kuitenkin paluun täsmälliseen matematiikkaan 1960-luvulla, jolloin Abraham Robinson julkaisi kirjansa Non-standard analysis, jossa hän osoitti, että infinitesimaali voitiin sittenkin määritellä täsmällisesti ja on olemassa tavallisten eli standardien äärellisten reaalilukujen laajennus, jossa on äärettömän pieniä lukuja eli infinitesimaaleja ja äärettömän suuria lukuja ja tämä reaalilukujen laajennus noudattaa lisäksi tavallisia reaalilukujen laskulakeja. Aksiomatisoimalla infinitesimaalit Robinson antoi oikeutuksen niiden täysimittaiselle käytölle matematiikassa ja toteutti samalla Leibnizin vanhan idean. Robinsonin määrittelemä infinitesimaali oli sopusoinnussa myös Karl Weierstrassin raja-arvon formula_37-määritelmän kanssa. Tätä Robinsonin konstruoimaa reaalilukujen joukon laajennusta kutsutaan hyperreaalilukujen joukoksi.
Hyperreaalilukujen käsittely voitaisiin aloittaa melko suoraan pitämällä reaalilukujen ominaisuudet tunnettuina reaalilukujen aksioomien pohjalta, koska hyperreaaliluvut muodostavat reaalisesti suljetun kunnan eli sen ominaisuudet periytyvät reaaliluvuilta itseltään. Mutta hyperreaaliluvut voidaan myös konstruoida luonnollisista luvuista alkaen. Luonnollisista luvuista lähtien tehdyn konstruktion etuja ovat ainakin ne, että saadaan parempi kuva siitä, mitä hyperreaaliluvut oikeastaan täsmällisesti ottaen ovat ja nähdään hyperreaalilukujen konstruointi luonnollisista luvuista lähtevän laajentumisprosessin yhtenä vaiheena, joka on jollakin tavoin analoginen aikaisempien laajentumisvaiheiden kanssa.
Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan laajentaa ottamalla lähtökohdaksi vaikkapa yhtälön ratkaisun. Yhtälö formula_39 ei ratkea aina luonnollisten lukujen formula_40 joukossa, vaan se täytyy laajentaa kokonaislukujen joukoksi formula_41, jossa yhtälö ratkeaa aina. Ja edelleen yhtälö formula_42 ei ratkea aina kokonaislukujen joukossa, vaan se on laajennettava rationaalilukujen formula_43 joukoksi. Konstruktiot voidaan tehdä tarkasti ekvivalenssirelaation avulla, mutta yksityiskohdat sivuutetaan.
Esitetään seuraavaksi hyperreaalilukujen käsittelyssä tarvittavat tärkeät käsitteet ja tulokset:
Konstruoidaan seuraavaksi Cantorin menetelmällä Dedekind-täydellinen Arkhimedeen ehdon täyttämä järjestetty reaalilukujen kunta rationaaliluvuista formula_51.
Merkitään C:llä rationaalilukujen Cauchyn jonojen joukkoa. Jos jonot formula_52, niin silloin sanotaan, että ne ovat ekvivalentit ja merkitään formula_53. Voidaan tarkistaa välittömästi, että kyseessä on ekvivalenssirelaatio.
Määritellään, että reaaliluvut ovat rationaalilukujen Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkia edellä määritellyn ekvivalenssirelaation formula_54 suhteen eli siis formula_55 sisältävä ekvivalenssiluokka. Näille reaaliluvuiksi määritellyille ekvivalenssiluokille voidaan määritellä tutut reaalilukujen laskutoimitukset ja osoittaa, että ne ovat hyvinmääritellyt eli laskutoimituksen lopputulos ei riipu ekvivalenssiluokkien edustajien valinnasta.
Konstruktioprosessissa formula_56 uusi laajempi rakenne on aina jollain tapaa "täydellisempi" kuin edellinen: formula_57:ssä ei onnistu aina vähennyslasku, mutta formula_58:ssa onnistuu; formula_58:ssa taas jakolasku on ongelmallinen, mikä taas korjaantuu formula_51:ssa; formula_51 taas ei ole Cauchy-täydellinen, mutta formula_2 on. Mutta sitten herää vielä kysymys, että onko mahdollista formula_2:n olevan Dedekind-täydellisyydestään huolimatta vielä jotenkin "epätäydellinen"? Sellaiseksi puutteeksi voitaisiin lukea vaikkapa se, että formula_2:ssä ei ole olemassa pienintä positiivista reaalilukua. Tätä voidaan yrittää ratkaista niin, että lisätään formula_2:ään uusia infinitesimaalisisa alkiota, jotka ovat pienempiä kuin mikä tahansa reaaliluku.
Konstruoidaan siis seuraavaksi hyperreaaliluvut reaaliluvuista käsin. Tavoitteena on määritellä hyperreaaliluvut reaalilukujen ekvivalenssiluokkina eli samalla periaatteella, millä aiemmatkin lukukonstruktiot on tehty. Olkoon siis formula_66 ääretön jono reaalilukuja. Tätä varten vaaditaan, että jokaisella reaaliluvulla formula_67 joukko formula_68 on riittävän suuri. On osoittautunut, että joukko on riittävän suuri, jos se kuuluu riittävän suurien joukkojen kokoelmaan nimeltä filtteri formula_69:
Lisäksi, jos pätee ehto
niin silloin formula_69 on ultrafiltteri.
Muita tärkeitä käsitteitä tässä yhteydessä ovat:
Seuraavaksi voidaankin jo esittää hyperreaalilukujen konstruktio ultrapotenssimenetelmällä:
Jokaista reaalilukua formula_90 vastaa hyperreaalilukujen joukossa oleva ekvivalenssiluokka formula_91. Muotoa 
formula_92 olevaa hyperreaalilukua sanotaan standardiksi hyperreaaliluvuksi. Hyperreaaliluvut, jotka eivät ole standardeja ovat epästandardeja hyperreaalilukuja eli siis kaikki joukon formula_93 alkiot. 
Epästandardit hyperreaaliluvut ovat siis niitä varsinaisia hyperreaalilukuja, jotka sisältävät jollain tavalla äärettömyyden. Ne voivat olla joko äärettömiä, äärellisiä tai infinitesimaalisia:
Tässä esityksessä jokainen reaaliluku formula_34 on samastettu vastaavalla standardin hyperreaaliluvun formula_101 kanssa, joka on vakiojonon formula_102 ekvivalenssiluokka. Tällaisella luonnollisella samaistuksella formula_2 on formula_1 :n alikunta.
Hyperreaaliluvut formula_34 ja formula_106 ovat äärettömän eli infinitesimaalisen lähellä toisiaan, jos erotus formula_107 on infinitesimaali. Tällöin voidaan merkitä formula_108. On myös voimassa lause, joka vaikuttaa intuitiivisesti olevan tosi ilman sen täsmällistä todistamista:
Jos formula_34 on äärellinen hyperreaaliluku, on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku formula_110. Tämän jälkeen voidaan määritellä:
Hyperreaalilukujen formula_1 äärelliset alkiot formula_69 muodostavat renkaan ja sen yksikäsitteinen maksimaalinen ihanne formula_126 koostuu formula_1:n infinitesimaaleista; osamäärärengas formula_128 on isomorfinen reaalilukujen kanssa. Tästä saadaan homomorfismi formula_129, jonka ydin koostuu infinitesimaaleista ja joka kuvaa jokaisen formula_69:n alkion formula_34 yksikäsitteiseksi reaaliluvuksi formula_117, joka eroaa formula_34:stä infinitesimaalisen vähän ja tämä infinitesimaalinen erotus on ihanteessa formula_126. Toisin sanoen jokainen äärellinen epästandardi hyperreaaliluku on äärimmäisen lähellä jotain yksikäsitteistä reaalilukua; tarkemmin jos formula_34 on äärellinen epästandardi hyperreaaliluku, niin on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku formula_136 sellainen, että formula_137 on infinitesimaali. Reaaliluku formula_136 on formula_34:n standardiosa eli intuitiivisesti sama kuin hyperreaaliluvun formula_34 lähin reaaliluku lukusuoralla. Homomorfismi on järjestyksen säilyttävä ja käyttäytyy hyvin algebrallisesti ja järjestysteoreettisesti.Hyperreaalilukujen järjestelmän ideana on laajentaa reaaliluvut formula_2 järjestelmäksi formula_1, johon kuuluvat infinitesimaaliset ja äärettömät luvut ja jossa kaikki algebran aksioomat olisivat voimassa. Eli siis mikä tahansa väite muodossa "jokaiselle luvulle formula_34...", joka on tosi reaaliluvuille, olisi tosi myös hyperreaaliluvuille. Esimerkiksi aksioomaa, joka sanoo, että "jokaiselle luvulle formula_151" voitaisiin yhä soveltaa. Sama olisi tosi useamman luvun kvantifioinneille, esim., "jokaiselle luvulle formula_152." Tätä ominaisuutta kuljettaa väitteet reaaliluvuilta hyperreaaliluvuille kutsutaan siirtoperiaatteeksi. Kuitenkin väitteet muodossa "jokaiselle lukujen joukolle formula_126 ..." eivät siirry. Ainoat eroavat ominaisuudet hyperreaalilukujen ja reaalilukujen välillä ovat ne, jotka pohjautuvat joukkojen yli kvantifiointiin tai muuhun korkeampaan rakenteeseen kuten funktioihin ja relaatioihin, jotka tyypillisesti konstruoidaan joukkojen avulla. Jokaisella reaalisella joukolla, funktiolla ja relaatiolla on luonnollinen hyperreaalinen laajennuksensa, joka täyttää samat ominaisuudet.
Siirtoperiaate ei kuitenkaan tarkoita, että formula_2 and formula_1 käyttäytyisivät täysin samanlaisesti. Esimerkiksi, formula_1:ssä on olemassa sellainen olio formula_157 , että
Merkinnät ei-reaalisille kvantiteeteille ilmestyivät analyysin historiassa kahdessa kontekstissa: infinitesimaaleina kuten formula_31 ja symbolina formula_161, käytettynä esimerkiksi epäoleellisten integraalien integrointirajoina.
Esimerkkinä siirtoperiaatteesta: väite, että jokaiselle nollasta eroavalle luvulle formula_162, joka on tosi jokaiselle reaaliluvulle ja joka on siirtoperiaatteen vaatimassa muodossa on tosi myös hyperreaaliluvuille. Tämä osoittaa, ettei ole mahdollista käyttää sellaista geneeristä eli yleisluontoista symbolia kuten formula_161 kaikille hyperreaalisille kvantiteeteille hyperreaalisessa järjestelmässä; äärettömät kvantiteetit eroavat suuruudeltaan muista äärettömistä kvantiteeteista ja infinitesimaalit muista infinitesimaaleista.
Vastaavasti sopimuksen formula_164 käyttö on epävalidia, koska siirtoperiaatteessa nollalla jakamista ei ole määritelty. Tarkka vastine tällaiselle laskelmalle olisi, että jos formula_4 on infinitesimaali sitten formula_166 on ääretön.
Jokaiselle äärelliselle hyperreaaliluvulle formula_34 määriteltiin sen standardiosa formula_136 yksikäsitteisenä reaalilukuna, joka eroaa formula_34:stä ainoastaan infinitesimaalisesti. Funktion formula_170 derivaattaa ei määritellä tavalliseen tapaan muodossa formula_171 vaan formula_171:n standardiosana.
Etsitään esimerkiksi funktion formula_26 derivaatta formula_174. Olkoon formula_31 infinitesimaali. Sitten
Standardiosan käyttö derivaatan määritelmänä on tarkka vaihtoehto perinteiselle infinitesimaalin neliön laiminlyömiselle. Yllä olevan differentioinnin kolmannen rivin jälkeen, tyypillinen metodi Newtonista läpi 19:n vuosisadan on yksinkertaisesti hylätä formula_176 termi. Hyperreaalisessa järjestelmässä formula_177, koska formula_31 on nollasta eroava ja siirtoperiaatetta voidaan soveltaa väitteeseen, että minkä tahansa nollasta eroavan luvun neliö on nollasta eroava. Kuitenkin infinitesimaali formula_176 on äärettömän pieni verrattuna toiseen infinitesimaaliin formula_31; tämä tarkoittaa, että hyperreaalinen järjestelmä sisältää infinitesimaalisten kvantiteettien hierarkian.