Lineaarinen riippumattomuus
Lineaarinen riippumattomuus on eräs matematiikan ja erityisesti lineaarialgebran keskeisimpiä teemoja. Tärkeytensä vuoksi se tulee käsitteenä vastaan myös puhtaan matematiikan ulkopuolella, esimerkiksi kvanttimekaniikassa, jossa kantafunktioilla on keskeinen merkitys.
Olkoon formula_1 joukko vektoreita ja formula_2 joukko jonkin kerroinkunnan alkioita, tavallisesti reaalilukuja. Sanotaan, että vektorit formula_3 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos lauseke
pätee jos ja vain jos "kaikki" kertoimet formula_5 ovat nollia. Jos jokin tai jotkin kertoimista eivät ole nollia, sanotaan vektoreiden olevan lineaarisesti riippuvia. Käytännössä lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa sitä, ettei yksikään vektoreista ole joukon muiden vektoreiden monikertojen summa eli lineaarikombinaatio. Esimerkiksi vektorit
ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia, sillä
on mahdollista vain silloin, kun formula_9. Jos kuitenkin otetaan mukaan kolmas vektori
saadaan lineaarikombinaatio
joka toteutuu silloin, kun formula_12 ja formula_13, joten vektorit eivät ole lineaarisesti riippumattomia. Kaikkien annetussa vektoriavaruudessa lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukko määrittelee vektoriavaruuden kannan. Vaikka kanta ei olekaan yksikäsitteinen (sillä jos esimerkiksi formula_14 on kanta, myös formula_15 on kanta), kantavektoreiden lukumäärä avaruudessa on vakio, ja se määrää tutkittavan vektoriavaruuden dimension. Edellisessä esimerkissä avaruuden dimensio on kaksi.
Samaan tapaan kuin vektoreille lineaarinen riippumattomuus voidaan määritellä yleisemminkin funktioille. Olkoot formula_16 joukossa formula_17 määriteltyjä funktioita ja formula_2 kerroinkunnan alkioita. Vektoreiden tapaan funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia, jos
kaikilla formula_20, vain silloin, kun kaikki kertoimet ovat nollia. Funktioiden lineaarinen riippumattomuus on olennaista, jos halutaan tietää, muodostavatko ne funktioavaruuden kannan. Funktioavaruuden dimensio määräytyy niin ikään lineaarisesti riippumattomien funktioiden lukumäärästä. Erotuksena vektoriavaruuteen on kuitenkin se, että on helppoa määritellä ääretöndimensioisia funktioavaruuksia käyttämällä kantana esimerkiksi ortogonaalisia polynomeja.
Lineaarialgebrassa usein tulee vastaan tilanne, jossa annettujen olioiden, vektorien tai muiden sellaisten lineaarinen riippuvuus tai riippumattomuus on todettava. Tyypillisesti tämä palautuu kysymykseen yhtälöryhmän ratkaisemisesta. Esimerkiksi, jos halutaan tietää, ovatko vektorit
lineaarisesti riippumattomia, on ratkaistava yhtälöpari
Tämän tulokseksi saadaan formula_24 ja formula_25, joten vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia. Mikä tahansa nollasta eroava arvo "x":lle tai "y":lle olisi puolestaan merkinnyt lineaarista riippuvuutta. Matriisilaskennasta on tunnettua, että yhtälöparin ratkaisun olemassaolon kertoo myös yhtälöryhmästä kirjoitettu determinantti. Niinpä voidaan kirjoittaa determinantti sellaiselle matriisille, jonka pystyriveinä ovat tutkittavat vektorit
Koska determinantti "ei ole" nolla, vektorit eivät ole toistensa lineaarikombinaatioita ja ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia.
Jatkuvien funktioiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen voidaan käyttää Wronskin determinanttia. Joukolle funktioita formula_27 se määritellään funktioista ja niiden derivaatoista muodostuvaksi determinantiksi
Funktiot ovat lineaarisesti riippumattomia kaikilla niillä "x":n arvoilla, joilla determinantti ei ole nolla. Wronskin determinantti on tärkeä differentiaaliyhtälöiden teoriassa. Jos formula_29 on "N" funktiota sisältävä joukko diskreettejä funktioita, niiden lineaarista riippuvuutta testaa Casoratin determinantti
Koska Casoratin determinantin kahden vaakarivin erotus on derivaatan diskreetti analogia, kyseessä on Wronskin determinantin suora yleistys. Myös tässä tapauksessa funktiot formula_31 ovat lineaarisesti riippumattomia, jos determinantti eroaa nollasta.