Lämpösäteily
Lämpösäteily on sähkö­magneettista säteilyä, jonka saa aikaan aineessa olevien varattujen hiukkasten lämpöliike. Kaikki aine, jonka lämpötila poikkeaa absoluuttisesta nolla­pisteestä, lähettää lämpö­säteilyä. Kun kappaleen lämpötila on korkeampi kuin absoluuttinen nollapiste, atomien välisisissä törmäyksissä atomien tai molekyylien liike-energia muuttuu. Tämä saa aikaan varausten kiihtyvää liikettä ja/tai dipolien värähtelyjä, joiden tuloksena syntyy sähkö­magneettista säteilyä, ja säteilyn laaja spektri kuvastaa sitä laajaa energian ja kiihtyvyyksien jakaumaa, joka samassakin lämpötilassa esiintyy.
Huoneenlämpötilassa olevien kappaleiden lämpö­säteily on näkymätöntä infrapunasäteilyä, mutta yli 500 °:n lämpötilassa osa siitä on näkyvää valoa, vielä korkeammassa lämpötilassa jopa ultraviolettisäteilyä. Esimerkiksi hehkulamppujen ja tulenliekkien lähettämästä lämpö­säteilystä merkittävä osa on näkyvää valoa. Sen sijaan infra­puna­säteily on näkymätöntä, mutta se voidaan havaita infrapunakameralla.
Lämpö­säteily on konvektion ja johtumisen ohella lämmön kolmas siirtymistapa. Esimerkiksi lähellä suurta nuotiota oleva henkilö tuntee tulen­liekeistä lähtevän säteilyn lämmittävän vaikutuksen, vaikka ympäröivä ilma olisi hyvinkin kylmää.
Auringon valo on Auringon kuuman plasman lähettämää lämpö­säteilyä. Myös Maa lähettää lämpö­säteilyä, mutta paljon pienemmällä intensiteetillä ja spektri­jakaumalla; niinpä Maan säteily on käytännöllisesti katsoen kokonaan infrapuna­säteilyä, koska Maan lämpötila on alempi. Auringon säteilyn absorboituminen ja Maan avaruuteen lähettämä lämpö­säteily ovat keskeisimmät prosessit, jotka määräävät Maan lämpötilan ja ilmaston.
Jos säteilevä kappale täyttää mustan kappaleen määritelmän mukaiset ehdot termo­dynaamisessa tasa­painossa, sen lähettämää säteilyä sanotaan "mustan kappaleen säteilyksi". Planckin laki kuvaa mustan kappaleen säteilyn spektriä, joka riippuu vain kohteen lämpötilasta. Wienin siirtymälaki osoittaa säteilyn aallonpituusjakauman huippukohdan, ja Stefanin–Boltzmannin laki säteilyn intensiteetin.
Lämpö­säteily on sähkö­magneettisia aaltoja, joita kaikki aine lähettää, kun sen lämpötila on absoluuttista nollapistettä korkeampi. Sen syntyessä lämpöenergia muuttuu sähkömagneettiseksi energiaksi. Lämpöenergia on aineen atomien ja molekyylien sattumanvaraiseen liikkeeseen liittyvää liike-energia. Kaikki aine koostuu hiukkaisista, joilla on liike-energiaa, ja ne vuorovaikuttavat keskenään. Atomeissa ja molekyyleissä on varauksellisia hiukkasia, protoneja ja elektroneja, ja hiukkasten kineettiset vuoro­vaikutukset johtavat varausten kiihtyviin liikkeisiin ja dipolivärähtelyihin. Se vuorostaan saa aikaan toisiinsa kytkeytyviä sähkö- ja magneetti­kenttiä, joiden tuloksena syntyy fotoneja, joista kappaleen pinnalta säteilevä energia koostuu. Sähkömagneettinen säteily, esimerkiksi valo, ei edellytä väli­aineen läsnäoloa edetäkseen, vaan se etenee avaruuden tyhjiössäkin kuinka kauas tahansa, ellei tiellä ole esteitä.
Lämpö­säteilyn ominaisuudet riippuvat monista sitä lähettävän pinnan ominaisuuksista kuten sen lämpötilasta, sen absorptiokyvystä ja spektraalisesta emissiokyvystä kuten Kirchhoffin lämpö­säteilylaki osoittaa. Säteily ei ole monokromaattista, toisin sanoen sillä ei kauttaaltaan ole sama taajuus, vaan siinä eri fotoneilla on eri suuri energia, ja niiden energia- ja taajuus­jakauma muodostaa säteilyä luonnehtivan spektrin. Jos säteilevä kappale ja sen pinta ovat termo­dynaamisessa tasa­painossa ja pinnan absorptiokyky on täydellinen kaikilla aallon­pituuksilla, sitä sanotaan mustaksi kappaleeksi. Musta kappale on myös täydellinen säteilyn lähettäjä eli emittoija. Sellaisten täydellisten lähettäjien säteilyä sanotaan mustan kappaleen säteilyksi. Kappaleen lähettämän säteilymäärän suhdetta samassa lämpötilassa olevan mustan kappaleen säteilymäärään sanotaan kappaleen emissiivi­syydeksi, ja näin ollen mustan kappaleen emissiivisyys on 1.
Kaikkien kappaleiden absorptio-, emissio- ja heijastuskyky riippuvat säteilyn aallon­pituudesta. Kappaleen lähettämän sähkö­magneettisen säteilyn aallon­pituus­jakauma taas riippuu sen lämpötilasta. Esimerkiksi tuore lumi, joka heijastaa hyvin näkyvää valoa (heijastavuus noin 0,90), nähdään valkoisena siitä heijastuvan auringonvalon vaikutuksesta, jonka aallon­pituus­jakauman huippu on noin 0,5 mikrometrin kohdalla. Kun sen lämpötila on –5 °C, sen oman lämpö­säteilyn aallon­pituus­jakauman huippu on 12 mikrometrin kohdalla, ja tällä aallon­pituudella lumen emissiivisyys on noin 0,99.
Mustan kappaleen lähettämän säteilyn tehon taajuus­jakaumaa kuvaa Planckin laki. Kussakin lämpötilassa on tietty taajuus "f", jonka kohdalla säteilyteho on suurimmillaan. Wiein siirtymälain mukaan tämä taajuus, jonka kohdalla jakauman huippu on, on suoraan verrannollinen kappaleen absoluuttiseen lämpötilaan "T". Auringon fotosfäärin, jonka lämpötila on noin 6 000 K, lähettämästä säteilystä suurin osa on näkyvän valon taajuusalueella. Maan ilmakehä päästää lävitseen suuren osan näkyvästä valosta, ja Maan pinnalle saapuvasta valosta osa absorboituu, osa heijastuu. Maan pinta vuorostaan lähettää lämpö­säteilyä ja käyttäytyy kutakuinkin sellaisen mustan kappaleen tavoin, jonka lämpötila on 300 K, jota sitäkin vastaa tietty taajuusjakauman huippukohta. Näillä pienemmillä taajuuksilla ilmakehä läpäisee säteilyä huonommin, ja suurin osa Maan lähettämästä säteilystä absorboituu ilmakehään tai siroaa siinä. Vain pieni osa säteilystä pääsee ilmakehän läpi avaruuteen saakka. Tämä ilmakehän läpäisykyvyn riippuvuus säteilyn taajuudesta saa aikaan kasvihuoneilmiön. Jos ilmakehän koostumus pysyy muuttumattomana, tämä ilmiö osaltaan pitää ilmaston vakaana, mutta jos kasvihuonekaasujen pitoisuudet muuttuvat, seurauksena voi olla ilmastonmuutos: niiden pitoisuuden kasvaessa (kuten nykyisin on tapahtumassa) ilmasto voi lämmetä maailmanlaajuisesti.
Hehkulampun säteilyn spektri on osittain päällekkäinen sekä Auringon että Maan säteilyspektrin kanssa. Osa volframilangan lähettämistä fotoneista vastaa mustan kappaleen 3 000 kelvinin lämpötilassa lähettämää säteilyä, ja ne ovat näkyvää valoa. Suurin osa energiasta poistuu lampusta kuitenkin fotoneina, joiden aallonpituus on suurempi; ne eivät mahdollista näkemistä, mutta lampun ympärillä olevaa tilaa. Aina kun sähkömagneettinen säteily ensin emittoituu ja sitten absorboituu, lämpöä siirtyy. Tähän perustuvat myös esimerkiksi mikroaaltouunit ja laserleikkaus.
Toisin kuin lämmön johtumisessa ja kuljettumisessa (konvektiossa), lämpö­säteilyssä siirtyvä lämpö voidaan linssien tai peilien avulla keskittää pienelle alueelle. Tähän perustuukin keskitetty aurinkovoima. Periaatteessa tähän käy mikä tahansa kupera linssi, mutta vain Fresnelin linssi on käytännöllinen, kun linssin on oltava hyvin suuri. Sekä linssien että koverien peilien avulla vesi voidaan saada höyrystymään auringon valossa hyvinkin nopeasti. Esimerkiksi PS10-aurinkovoimalaa kuumennetaan peileistä heijastuvalla auringon valolla, ja päiväsaikaan se voi kuumentaa veden jopa 285 °C:n lämpötilaan.
Vaaleat ja valkoiset pinnat sekä metallit absorboivat vähemmän näkyvää valoa ja lämpenevät siten vähemmän kuin muut pinnat, mutta muutoin kappaleen väri ei paljonkaan vaikuta siihen, minkä verran se lämpenee muiden lähellä olevien tavanomaisissa lämpötiloissa olevien kappaleiden vaikutuksesta tai itse lämmittää niitä, sillä tällaisten kappaleiden lähettämän säteilyn taajuus­jakauman huippu on infrapuna-alueella kaukana näkyvän valon taajuusalueelta. Kappaleiden emissiivi­syydellä näillä taajuuksilla ei ole juuri mitään tekemistä sen kanssa, minkä väriseltä se näyttää; itse asiassa tällä kaukoinfrapunan alueella useimmilla kappaleilla on suuri emissiivisyys. Niinpä vaatteiden väri ei muulloin kuin suorassa auringon paisteessa juuri vaikuta siihen, kuinka lämpimiltä ne tuntuvat, eikä myöskään rakennusten ulkoseinien värillä ole suurta lämpö­taloudellista vaikutusta muulloin kuin auringon paistaessa suoraan niihin.
Poikkeuksena edellisestä ovat kiiltävät metallipinnat, joilla on pieni emissiivisyys sekä näkyvillä että kauko­infrapuna­säteilyn taajuuksilla. Sellaisten pintojen avulla voidaan siis vähentää lämmön siirtymistä kumpaankin suuntaan. Esimerkiksi avaruus­alukset eristettään tavallisesti tällaisella moni­kerros­eristyksellä.
Myös rakennusten ikkunat on yritetty tehdä sellaisiksi, että ne lähettäisivät ulkoilmaan mahdollisimman vähän säteilyä. Tämä kuitenkin edellyttää jo kehittyneempää teknologiaa, sillä vaikka tällaisilla ikkunoilla tuleekin olla pieni emissiivisyys, niiden tulee kuitenkin päästää näkyvä valo lävitseen.
Nanostuktuureilla, joilla on spektrin suhteen selektiiviset lämpö­eminanssi­ominaisuudet, on monia teknisiä sovelluksia energian tuotannossa ja tehokkaassa käytössä, esimerkiksi valokennojen ja rakennusten jäähdytyksessä. Näissä sovelluksissa tarvitaan suurta emitanssia niillä aallon­pituus­alueilla, jotka vastaavat ilmakehän läpi­näkyvyys­ikkunaa 8 ja 13 mikrometrin välillä. Selektiivinen emitteri, joka säteilee voimakkasti tällä aallon­pituus­alueella, asetetaan täten selkeän taivaan alle, jolloin se käyttää hyvin kylmää ulko­avaruutta lämpö­nieluna.
Lämpö­säteilyä luonnehtivat seuraavat neljä perusominaisuutta:
Planckin laki kuvaa lämpö­säteilyn yleisiä ominaisuuksia vain, kun kaikkien kappaleiden läpimitta ja pintojen kaarevuussäde on paljon suurempi kuin säteilyn aallonpituus, joka 300 kelvinin lämpötiloissa on tyypillisesti 8–25 mikrometriä. Itse asiassa edellä onkin lämpö­säteilystä puhuttaessa oettu huomioon vain säteilevät aallot, toisin sanoen kaukainen kenttä eli sähkömagneettiset aallot. Pienemmillä etäisyyksillä on sovellettava tarkempaa sähkömagnetismin teoriaa. Niinpä vaikka lämpö­säteily yleensä on täysin inkoherenttia, kun etäisyys säteilevästä pinnasta on säteilyn aallonpituutta suurempi, hyvin lähellä pintaa se voi olla sekä ajallisesti että paikallisesti jokseenkin koherenttia.
Viime vuosikymmeninä on sekä teoreettisesti että kokeellisesti osoitettu, että Planckin säteilylaki ei päde lämmön siirtyessä säteilyn välityksellä kohteesta toiseen, kun niiden välinen etäisyys on nanometrien suuruusluokkaa. Poikkeama Planckin lain mukaisesta ennusteesta voi olla jopa useita suuruusluokkia, jos säteilyä lähettävällä ja vastaanottavalla pinnalla on polarisaatiotiloja, jotka voivat kytkeytyä kylmien ja kuumien esineiden väliseen tilaan.
Lämpö­säteilyn spektri poikkeaa Planckin lain mukaisesta myös suurilla etäisyyksillä, jos sitä lähettävä kappale itsessään on hyvin pienikokoinen.
Tarpeeksi voimakas lämpö­säteily voi, paitsi lämmittää, muutoinkin muuttaa, käytännössä usein vahingoittaa sitä pintaa tai kappaletta, johon se osuu. Aika, mikä tähän menee, riippuu sen kappaleen aika- ja pinta-alayksikköä kohti vastaan­ottamasta lämpö­määrästä. Vastaanotetun säteilyn eri intensiteeteillä vaikutukset ovat seuraavat:
Lämpö­säteily on yksi lämmön pää­asiallisista siirtymis­mekanismeista; muut ovat konvektio eli kuljettuminen sekä lämmön johtuminen. Lämpö­säteilystä aiheutuvaa kappaleen energian vaihtoa kuvaa yhtälö:
Tässä formula_2 osoittaa, kuinka suuren osuuden siihen osuvasta säteilystä kappale absorboi esittää, formula_3 kuinka suuren osan se heijastaa ja formula_4 kuinka suuren osan se päästää lävitseen. Nämä osuudet riippuvat säteilyn aallon­pituudesta funktioita. Kirchhoffin säteilylain mukaan spektraalisen absorption osuus kullakin aallonpituudella on yhtä suuri kuin kappaleen emissiivisyys formula_5 samalla aallonpituudella. Kappaletta sanotaan mustaksi kappaleeksi, jos kaikilla aallonpituuksilla on
Tavanomaisissa olosuhteissa huoneenlämmössä ihminenkin luovuttaa merkittävästi energiaa lämpö­säteilyn vuoksi. Ihmisen ihon emissiivisyys onkin lähellä arvoa 1.0. Tämä infrapunasäteilynä menetetty energia saadaan kuitenkin osittain takaisin, koska ihminen myös absorboi ympärillään olevien kappaleiden säteilemää energiaa; erotus korvautuu aineen­vaihdunnassa syntyvällä lämmöllä. Jäljempänä esitettävien kaavojen avulla voidaan laskea, että kun ihmisen pinta-ala on noin 2 m ja lämpötila noin 307 K (34 °C), ihmisestä lähtee jatkuvasti säteilyä noin 1 000 watin teholla. Sisätiloissa, jossa lämpötila on 296 K (23 °C), hän tästä takaisin huoneen seinistä, katosta ja muiden ympäröivien esineiden lähettämänä säteilynä, joten nettomääräinen lämmön poistuminen on vain noin 100 wattia. Tämä lämmön siirtyminen riippuu kuitenkin suuresti myös muista tekijöistä, esimerkiksi vaatetuksesta, joka vähentää lämmön johtumista ja samalla lämmön poistumista ihmisestä. Kun lisäksi ympäröivien esineiden emissiivisyys vaihtelee, vain täysin harmaiden eli sellaisten esineiden säteilyteho, joiden emissiivisyys on riippumaton säteilyn aallon­pituudesta, on käytännössä arvioitavissa Stefanin–Boltzmannin lain avulla. Tällaista "ideaalisesti laskettavissa olevaa" tilannetta ei käytännössä esiinny, joskin lämpö­taloudellisissa laskelmissa usein "oletetaan" ympäristön olevan tämän mallin mukainen. Näin saadaan kuitenkin hyviä likiarvoja, sillä useimmiten poikkeama Stefanin–Boltzmannin lain mukaisiin ratkaisuihin nähden on varsin pieni.
Sellaisetkaan kappaleet, jotka näyttävät valkoisilta, koska ne heijastavat lähes kaiken näkyvän valon, eivät välttämättä heijasta kaikkea infrapuna­säteilyä, ja näin ollen niiden emissiivisyyskään ei infrapuna-alueella ole lähellä arvoa 1. Akryyli- ja uretaanipohjaisten valkoisten maalien emissiivisyys huoneilmassa on noin 93 %, mikä merkitsee, että ne absorboivat suurimman osan infrapunasäteilystä, vaikka heijastavatkin hyvin näkyvää valoa. Huoneenlämmössä ne säteilevätkin valkoisesta väristään huolimatta lähes mustan kappaleen tavoin. Toisaalta myös asuin­huoneistojen lämpöpatterit on tavallisesti maalattu valkoisiksi, mutta ne eivät ole niin kuumia, että niiden lämpö­säteilyllä olisi mainittavaa merkitystä, vaan lämpö siirtyy niistä huoneilmaan johtumalla metallisen patterin läpi, ja näin ollen niiden lämmitys­teho ei olisi juuri suurempi, vaikka ne olisi maalattu mustiksikin.
Useamman kappaleen välisen säteilystä aiheutuvan lämmön siirtymisen laskeminen, kun mukana saattaa olla myös onteoita, edellyttää yhtälöryhmän ratkaisemista radiositeettimenetelmällä. Näissä laskuissa probleeman geometrinen puoli pelkistetään joukoksi lukuja, joita sanotaan näkymä­tekijöiksi ja jotka osoittavat, kuinka suuri osa minkin kappaleen lähettämästä säteilystä osuu mihinkin muuhun kappaleeseen. Tällaisia laskelmia sovelletaan lämmitykseen tarkoitettujen aurinkopaneelien, keittimien ja uunien suunnittelussa sekä myös säteenseurantaan perustuvassa tietokone­grafiikassa.
Kun auringon lämpöä käytetään hyväksi, voidaan käyttää valikoivasti säteilyä absorboivia pintoja. Esimerkiksi kasvihuoneen katto ja seinät ovat suurimmaksi osaksi lasia. Lasi päästää lävitseen näkyvän valon ja lähi-infrapuna­säteilyn, mutta ei kauko­infrapuna­säteilyä, jonka aallon pituus on suurempi kuin 3 µm. Lasi siis päästää auringon valon lävitseen, minkä vuoksi se on läpinäkyvää. Niinpä kasvihuoneen lasiseinät myös päästävät Auringon lämmittävän säteilyn sisään, mutta sisällä olevien kasvien ja muiden lähellä huoneen­lämpötilaa olevien kappaleiden säteilyä se ei päästä lävitseen ulos. Niinpä se ikään kuin vangitsee lämpöä kasvi­huoneen sisään. Tätä sanotaan kasvihuoneilmiöksi, ja sama ilmiö on havaittavissa myös esimerkiksi aurinkoiseen paikkaan pysäköidyssä autossa. Valikoivia pintoja voidaan käyttää myös aurinko­energian keräimissä. Kuinka paljon ne vaikuttavat, voidaan havaita vertailemalla auringon­säteilyn lämmittämien levyjen tasapaino­lämpötiloja. Auringon suuntaan nähden kohtisuoraan pintaan osuu säteilyä keskimäärin 1350 W/m²:n intensiteetillä, joskin tämä niin sanottu aurinkovakio hieman vaihtelee eri vuodenaikoina Maan radan eksentrisyyden vuoksi. Jos levy oletetaan mustaksi kappaleeksi, sen pinnalta lähtevä säteilyteho on tällöin yhtä suuri kuin sen saama Auringon säteilyteho, kun sen lämpötila on 393 K (120 °C). Mutta jos pinta on valikoiva niin, että sen emissiivyys on näkyvällä valolla noin 0,9 mutta aallonpituudeltaan yli 2,0 mikrometrin infrapunasäteilyllä lähellä nollaa, tämä tasapainolämpötila on noin 1250 K (977 °C). Yksinkertaisuuden vuoksi tässä laskelmassa ei ole oetettu huomioon konvektiosta aiheutuvaa lämmön siirtymistä eikä sitä, että ilmakehä ja pilvet absorboivat osan auringon säteilystä, mutta todellisiin tilanteisiin voidaan silti soveltaa samaa teoriaa.
Jotta mahdollisimman vähän lämpöä poistuisi pinnalta, esimerkiksi lasi-ikkunasta ulkoilmaan, se voidaan peittää sisäpuolelta kirkkaalla heijastavalla alvolla, jolla on alhainen emissiivisyys. Sellaisena voidaan käyttää jopa mikro­skooppisen ohutta, lähes näkymätöntä metalli- tai metalli­oksidi­kerrosta. Tällaisen kalvon avulla voidaan rajoittaa ikkunasta ulos virtaavan lämpösäteilyn määrää ja siten saada lämpö paremmin pysymään sisällä rakennuksessa.
Mustan kappaleen lämpö­säteilyn teho pinnan avaruuskulma- ja taajuusyksikköä kohti on Planckin lain mukaan:
tai aallonpituuksien avulla ilmaistuna
missä formula_9 on vakio.
Matemaattisesti tämä kaava saadaan laskemalla spektrin energiajakauma kvantittuneessa sähkömagneettisessa kentässä, joka on täydellisessä termodynaamisessa tasapainossa säteilevän kappaleen kanssa. Yhtälö voidaan johtaa kaikkien mahdollisten taajuuksien äärettömänä summana. Kunkin fotonin energia, formula_10, kerrotaan tätä taajuutta vastaavien tilojen lukumäärällä ja todennäköisyydellä, että kukin näistä tiloista on miehitetty.
Kun edellä esitetty yhtälö integroidaan taajuuden formula_11 suhteen, saadaan Stefanin–Boltzmannin lain mukainen säteilyteho:
missä verrannollisuuskerroin formula_13 on Stefanin–Boltzmannin vakio ja formula_14 säteilevän pinnan ala.
Aallonpituuden formula_15, jonka kohdalla lähtevän säteilyn intensiteetti on suurimmillaan, ilmoittaa Wienin siirtymälaki:
missä vakio "b" on noin 2,897729 · 10 mK.
Käsiteltäessä pintoja, jotka eivät ole mustia kappaleita, on otettava huomioon emissiivisyystekijä formula_17, joka yleensä riippuu myös taajuudesta. Tämä tekijä on kerrottava säteilyn spektrin kaavalla ennen integrointia. Jos se voidaan käsittää vakioksi, saatu tehon kaava sisältää emissiivisyystekijän formula_5 vakiotekijänä:
Tämänkaltaista teoreettista mallia, jossa taajuudesta riippumaton emissiivisyystekijä on pienempi kuin täydellisellä mustalla kappaleella, sanotaan usein "harmaaksi kappaleeksi". Esimerkiksi grafiittia voidaan käytännössä pitää harmaana kappaleena. Jos emissiivisyys riippuu taajuudesta, säteilyn kokonaisteho riippuu myös emissiivisyyttä taajuuden funktiona esittävän kuvaajan muoossa, mutta yleensä sille ei ole olemassa yksinkertaista lauseketta. Jos kuitenkin emissiivyys on likipitäen vakio lähellä sitä aallonpituutta, jonka kohdalla intensiteetti on suurimmillaan, harmaan kappaleen mallia voidaan käyttää säteilyn kokonaisteholle hyvänä likiarvona, sillä suurin osa lähtevästä säteilystä on aallonpituudeltaan lähellä tätä huippukohtaa ja näin ollen säteilytehoa taajuuden funktiona esittävän käyrän huippuosa dominoi integraalia.
Kaikissa edellä esitetyissä yhtälöissä lämpötila tarkoittaa niin sanottua "absoluuttista lämpötilaa". Toisin sanoen se on ilmoitettava asteikolla, jonka nollapisteenä on absoluuttinen nollapiste, käytännössä kelvineinä, ei siis esimerkiksi celsiusasteina.
Edellä esitetyissä yhtälöissä esiintyvät seuraavat vakiot:
"Nettomääräinen" lämmön siirtyminen pinnalta toiselle saadaan vähentämällä ensimmäiseltä pinnalta lähteneen ja toiselle pinnalle osuneen säteilyn määrästä toiselta pinnalta lähteneen ja ensimmäiselle pinnalle osuneen säteilyn määrä.missä formula_14 on pinnan ala, formula_22 on energiavuo (lähtevän säteilyn määrä pinta-alayksikköä kohti), ja formula_23 on näkymätekijä pinnalta 1 pinnalle 2. Käyttämällä näkymätekijöiden vastavuoroisuusehtoa formula_24 ja Stefanin–Boltzmannin laki, formula_25 saadaan
missä formula_13 on Stefanin–Boltzmannin vakio ja formula_28 lämpötila. Jos formula_29 on negatiivinen, lämpöä siirtyy nettomääräisesti pinnalta 2 pinnalle 1.
missä formula_31 ja formula_32 ovat pintojen emissiivisyydet.
Erikoistapauksissa kuten esimerkiksi yhdensuuntaisten levyjen, samankeskisten pallopintojen tai sisäkkäiden lieröiden välillä siirtyvän lämmön määrälle voiaan johtaa yksinkertaisempia lausekkeita.