Hamiltonin mekaniikka
Hamiltonin mekaniikka on irlantilaisen William Rowan Hamiltonin vuonna 1833 esittämä lähestymistapa klassiseen mekaniikkaan. Se muistuttaa jonkin verran Lagrangen mekaniikkaa ja useimmissa oppikirjoissa Hamiltonin mekaniikan käsittelyyn siirrytäänkin Lagrangen mekaniikan tulosten kautta. Hamiltonin mekaniikka voidaan kuitenkin johtaa myös kokonaan Lagrangen mekaniikasta riippumatta, symplektisten monistojen teorian pohjalta. Tämän vuoksi se muodostaa aidosti erilaisen lähestymistavan.
Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Aivan erityisen tehokkaaksi työkaluksi se on osoittautunut kvanttimekaniikassa, jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja Hamiltonin operaattoreihin.
Olkoon formula_1 tutkittavan systeemin (yleistetyt) paikkakoordinaatit ja formula_2 vastaavat yleistetyt nopeudet. Nyt systeemiä kuvaa Lagrangen funktio formula_3. Määritellään uusi, hieman nopeutta muistuttava suure, konjugoitu impulssi
Kannattaa huomata, että suoraviivaisen liikkeen tapauksessa formula_5:t ovat nopeuksia ja konjugoitu impulssi vastaa täsmälleen kappaleen liikemäärää. Pyörimis­liikkeen tapauksessa formula_5:t ovat kulmanopeuksia ja konjugoidun impulssin määritelmä vastaa kappaleen pyörimismäärää. Konjugoitu impulssi on siis eräänlainen liikemäärän yleistys.
Määritellään nyt uusi funktio
jota kutsutaan systeemin Hamiltonin funktioksi (engl. "Hamiltonian"). Tämän funktion avulla saadaan kirjoitettua systeemiä kuvaavat liikeyhtälöt.
sekä
Kaksi ensimmäistä yhtälöä ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Ne muodostavat jokaista systeemiin kuuluvaa kappaletta kohti 2N ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ryhmää. Tämä ei kuitenkaan yleensä haittaa, sillä 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen on ryhmänäkin huomattavasti helpompaa kuin korkeamman kertaluvun yhtälöt, joiden ratkaisemiseen Newtonin ja Lagrangen lähestymistavat johtavat. Lisäksi osoittautuu, että Hamiltonin yhtälöiden muoto on matemaattiselta kannalta aivan erityisen oivallinen, sillä yhtälöillä on syvällinen yhteys kvanttifysiikkaan.
Viimeinen yhtälö ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että formula_11 riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti. Toisin sanoen Hamiltonin funktio on säilyvä suure muutoin paitsi niissä hyvin epä­tavallisissa poikkeus­tapauksissa, joissa aika esiintyy funktiossa. Voidaankin osoittaa, että Hamiltonin funktio vastaa systeemin kokonaisenergiaa.
Tarkastellaan kappaletta, jonka kineettinen energia on
ja johon kohdistuu potentiaalienergia
missä formula_14 on kappaleen massa ja formula_15 vakio. Systeemiä kuvaava Lagrangen funktio on (ks. artikkeli Lagrangen mekaniikka)
ja koordinaattia formula_17 vastaava yleistetty impulssi saadaan derivoimalla formula_18:n suhteen:
Hamiltonin funktion kirjoittamista varten täytyy ratkaista tästä formula_18 impulssin formula_21 avulla, jolloin saadaan formula_22 ja sijoitetaan
Tämä formula_11 on systeemiä kuvaava Hamiltonin funktio, jota derivoimalla voidaan kirjoittaa lopulliset Hamiltonin yhtälöt:
Tässä tapauksessa yhtälöpari ratkeaa helposti analyyttisesti, kun derivoidaan ensimmäinen yhtälö ajan suhteen ja sijoitetaan se jälkimmäiseen. Tulokseksi saadaan liikeyhtälö
jonka ratkaisuna on