Derivaatta
Derivaatta tarkoittaa matematiikassa reaaliarvoja saavan funktion herkkyyttä muutokselle yhden sen riippumattoman muuttujan suhteen. Derivaatta on matemaattisen analyysin peruskäsitteitä. Se johdetaan funktion tietyn välin "keskimääräisestä muutosnopeudesta", jonka arvosta määritetään raja-arvon avulla "muutosnopeus yhdessä kohtaa". Sanaa "derivaatta" käytetään suomessa sekä funktion derivaatan arvon että sen derivaattafunktion synonyyminä.
Jos rajoitutaan yhden muuttujan funktioihin, voidaan muutosnopeuden keskiarvoa kuvata funktion kuvaajan keskimääräiseksi jyrkkyydeksi. Sitä havainnollistetaan esimerkiksi Suomen lukioiden matematiikan oppimäärissä kuvaajan sekantilla (keskimääräinen muutosnopeus), jonka kulmakerroin on kyseisellä välillä funktion jyrkkyyksien likiarvo. Mitä pienempi on sekantin rajaama väli, sitä paremmin sen jyrkkyys vastaa funktion kuvaajan jyrkkyyksiä kyseisellä välillä. Lopulta, kun väliä pienennetään raja-arvon avulla pisteeksi, saadaan derivaatta (muutosnopeus yhdessä kohdassa). Sitä havainnollistetaan yleensä tangentilla, jonka kulmakerroin on derivaatan arvon suuruinen.
Yhden muuttujan derivaatta voidaan yleistää usean muuttujan funktioille, jossa sitä kutsutaan funktion differentiaaliksi, mutta termiä differentiaali voidaan käyttää myös yhden muuttujan funktioille. Differentiaali on funktion kokonaismuutoksen lineaarinen osa, joka esitetään usean muuttujan funktioiden tapauksessa Jacobin matriisin avulla..
Yhden reaalimuuttujan funktion formula_1 derivaatan formula_2 formaalinen määritelmä käyttää aina hyväkseen sen muutosnopeuden raja-arvoa. Seuraavassa funktion muutosnopeutta ilmaistaan sen erotusosamäärällä käyttäen valitun välin päätepisteitä formula_3 ja formula_4
Merkinnällä formula_6 tarkoitetaan suureen formula_7 "arvojen muutosta" tai erotusta formula_8. Välin formula_9 jälkimmäistä päätepistettä formula_4 siirretään lähemmäksi välin ensimmäistä päätepistettä formula_3. Tämä merkitään raja-arvon arvolla
Tällöin voidaan sanoa (jos raja-arvo on olemassa), että funktiolla formula_1 on derivaatan arvo kohdassa formula_3, joka merkitään tavallisesti formula_15.
Toisessa yleisessä määritelmässä erotusosamäärä muodostetaan pisteiden formula_3 ja formula_17 avulla, missä luku formula_18 on pisteiden välinen etäisyys. Sijoittamalla tämä erotusosamäärään saadaan
Nyt väliä formula_20 voidaan raja-arvossa pienentää pienentämällä lukua formula_21, jolloin saadaan (mikäli raja-arvo on olemassa) derivaatan arvo pisteessä formula_3
Derivaattafunktion avulla saadaan selville sellaiset kohdat, joissa alkuperäinen funktio mahdollisesti muuttaa kulkusuuntaansa. Näissä kohdissa derivaattafunktion arvo on nolla (eli funktion kulmakerroin on 0). Derivaattafunktion merkki - ja funktion kulkusuunta - voi vaihtua vain derivaatan nollakohdassa. Mikäli tällaisia kohtia ei ole, on funktio "aidosti kasvava" tai "aidosti vähenevä".
Esimerkiksi kolmannen asteen funktio formula_24 derivoituu sääntöjen mukaisesti muotoon formula_25. Laskemalla derivaattafunktion nollakohdat, jotka ovat formula_26 ja formula_27 saadaan selville kohdat joissa alkuperäinen funktio todennäköisesti vaihtaa kulkusuuntaansa. Lasketaan derivaatan arvo kunkin nollakohdan kummallakin puolella, esimerkiksi pisteissä -2, 0 ja 2. Jos saatu arvo on negatiivinen, on funktion kuvaaja laskeva, jos positiivinen, on funktion kuvaaja nouseva.
Mikäli funktion kulkua tarkasteltaisiin suljetulla välillä formula_28, huomattaisiin, että funktio saisi "suurimman ja pienimmän arvonsa" kyseisissä derivaatan nollakohdissa. Nämä kohdat formula_26 ja formula_27 ovat funktion paikallisia maksimi- ja minimikohtia. Funktiolla ei kuitenkaan ole suurinta tai pienintä arvoa, kun tarkasteluvälinä on koko reaaliakseli, koska sen arvojoukko on negatiivisesta äärettömyydestä positiiviseen äärettömyyteen.
Derivaatta on olemassa pisteessä formula_3, mikäli erotusosamäärän raja-arvo on äärellinen ja se voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Käyttämällä hyväksi toispuoleisen derivaatan käsitteitä, voidaan derivaatan olemassaolo ilmaista niin, että sekä vasemmanpuoleisen että oikeanpuoleisen derivaatan tulee olla olemassa ja niiden arvojen tulisi olla yhtä suuret.
Vaikeasti käyttäytyvillä funktioilla ei riitä erotusosamäärän raja-arvon intuitiivinen sievennys, vaan tarvitaan täsmällisempi "matemaattinen määritelmä". Sellainen on esimerkiksi
Toisin sanoen kaikille ehdotetuille luvuille formula_33 löytyy siitä riippuva luku formula_34 siten, että erotusosamäärän arvot ovat alle formula_35:in päässä raja-arvosta eli derivaatan arvosta, kun muuttujan arvot ovat alle formula_36:n päässä lähestyttävästä arvosta. Mikäli aina lukua formula_35 pienennettäessä, löytyy edellistä pienempi formula_36, voidaan pitää osoitettuna, että raja-arvo tulee löytymään.
Derivaattafunktio tarkoittaa sellaista lauseketta, jolla voi laskea funktion derivaatan arvon kyseisessä kohdassa ilman raja-arvon määritystä. Tällaisen funktion määrittämistä kutsutaan "derivoimiseksi". Derivointifunktiota kutsutaan yleisesti myös "derivaataksi". Derivaattafunktion määrittelyjoukko voi olla sama kuin funktion määrittelyjoukko, mutta toisinaan se on suppeampi väli.
Määritetään funktion formula_1 derivaattafunktio missä funktion määrittelyjoukon pisteessä formula_4 hyvänsä. Niissä pisteissä, missä raja-arvo on määritelty, saadaan derivaattafunktioksi formula_2 (käytetään toista määritelmää)
Tämän derivaattafunktion määrittelyjoukko saadaan, kun raja-arvon kannalta määrittelemättömät kohdat jätetään funktion määrittelyjoukosta pois.
Esimerkiksi funktion formula_43 derivaattafunktio määritetään seuraavasti. Merkitään lausekkeet erotusosamäärään ja määritetään raja-arvo:
Lausekkeella formula_45 voi helposti laskea funktion formula_43 derivaatan arvoja ilman, että raja-arvoa tarvitsee enää määrittää.
Tilanteita, jossa derivaatan arvoa ei voi funktion määrittelyalueelta määrittää, liittyvät esimerkiksi funktion liian suureen jyrkkyyteen. Silloin funktion kuvaajalle piirretty tangentti on pystysuora, jolle ei ole määritelty kulmakerrointa. Jos derivaatta voidaan määrittä kaikissa muissa funktion määrittelyjoukon kohdissa, muodostuu tästä derivaattafunktion määrittelyjoukko. Laajin väli, missä derivaatta on mielekästä määrittää, on funktion oma määrittelyjoukko.
Operaattoria, jolla funktion derivoinnin aikomus ilmaistaan, merkitään derivaatta-operaattorilla. Suomenkin lukiokoulutuksessa on yleisesti käytössä iso D-kirjain. Edellisen esimerkin derivointia merkitään sillä
Toinen yleinen merkintä "pilkku"-merkintä, jossa funktion derivaattafunktiota merkitään
Siinä oletetaan, että lukija tuntee muuttujan, jonka suhteen derivointi suoritetaan. Tämän vuoksi sitä käytetään pääasiassa yhden muuttujan derivoinnissa. Mikäli muuttujana on aika (merkitään "t"), kuten fysiikassa on yleistä, käytetään "piste"-merkintää
Useamman muuttujan funktioissa voidaan suorittaa derivointi yhdelle muuttujalle, joka tulee ilmoittaa lukijalle alaindeksinä tai uudella merkinnällä
Merkinnät formula_51 ja formula_52 tarkoittavat suureiden formula_53 ja formula_54 differenssejä ja nimittäjästä formula_52 voidaan päätellä, minkä muuttujan suhteen derivointi suoritetaan.
Derivaatan arvo jossakin kohdassa formula_56 merkitään vastaavasti formula_57, formula_58, formula_59 tai formula_60
Kun funktion formula_53:n derivaattafunktio on myös derivoituva, voidaan funktiota formula_53 kutsutaan "kahdesti derivoituvaksi". Kahdesti derivoitu funktio eli "toinen derivaatta" määritetään
ja merkitään formula_64, formula_65 tai formula_66. Derivaattafunktioiden derivaattoja tarvitaan monissa sovelluksissa. Silloin voidaan yleistää, että jos formula_53:n formula_68:s derivaattafunktio on derivoituva, niin funktio on "formula_69 kertaa derivoituva", ja sen "formula_69:ttä derivaattaa" merkitään formula_71, formula_72 tai formula_73.
Jos funktion (formula_69:s) derivaatta on olemassa ja jatkuva, niin funktion sanotaan olevan (formula_69 kertaa) jatkuvasti derivoituva. Mikäli funktion formula_69:s derivaattafunktio on olemassa ja jatkuva, sanotaan, että funktio on formula_77-funktio. Jos funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva ja sen jokainen derivaattafunktio on jatkuva, niin funktion sanotaan olevan formula_78-funktio.
Seuraavassa luettelossa on eräiden alkeisfunktioiden derivaattojen muistikaavoja. Siinä ei oteta kantaa funktion ja derivaatan määrittelyjoukkoihin.
Potenssin derivaattafunktio voidaan määrittää derivaatan määritelmän mukaan
jolloin potenssifunktiolle saadaan
Koska
missä formula_82 vastaa kunkin termin binomikerrointa (erityisesti formula_83 ja formula_84), voidaan erotusosamäärä kirjoittaa
Tämän todistuksen ja summaussäännön perusteella voidaan helposti todistaa polynomifunktion formula_89 derivaatta.
Mikäli funktio on alkeisfunktioiden yhdistelmä, kuten niiden summa, erotus, tulo, osamäärä tai yhdistelmä, voidaan niitä derivoida seuraavien sääntöjen puitteissa.
Vakiofunktion formula_90 derivointi voidaan suorittaa määritelmän kautta seuraavasti:
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_92, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_93) määriteltyä kompleksifunktiota formula_94, pystytään joskus määrittämään funktion formula_95 derivaatta.
Derivaatta on olemassa, mikäli formula_95 toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen formula_93 ympäristössä "G" jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
voidaan määrittää yksikäsitteisesti.
Esimerkiksi toisen asteen kompleksifunktio voidaan kirjoittaa auki
Derivaatan olemassaolo voidaan todeta muodostamalla funktion reaali- ja imaginaariosien osittaisderivaatat 
Koska saadut osittaisderivaatat ovat polynomeina jatkuvia ja ne toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt
ja
on funktio formula_106 derivoituva.
Kompleksisten alkeisfunktioiden derivointisäännöt ja yleiset derivointisäännöt säilyvät samanlaisina kuin reaalimuuttujaisilla alkeisfunktioilla.
Yhden muuttujan funktion derivointi voidaan yleistää vektoriarvoisen muuttujan vektoriarvoiseen funktion derivaattaan. Vektorilla voidaan esittää useamman muuttujan funktion määrittelyjoukkoa. Funktion kuvaus on tällöin formula_107. Vektoreissa voidaan käyttää myös kompleksimuuttujia. Derivaatta määritellään tällaisilla funktioilla luonnollisella tavalla.
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä osittaisderivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhden muuttujansa suhteen. Osittaisderivoitaessa yhtä muuttujaa, muita muuttujia kohdellaan kuin vakioita. Sitä käytetään, kun halutaan tietää yhden muuttujan muutoksen vaikutus funktion arvoihin.
Reaaliarvoisille usean muuttujan funktiolle voidaan määritellä suunnattu derivaatta, joka on tavallinen derivaatta yhdessä pisteessä halutussa suunnassa. Kussakin määrittelyjoukon pisteessä voidaan funktiolle määrittää suunnattu derivaatta äärettömän moneen eri suuntaan. Erisuuntaiset derivaatat ovat arvoltaan usein erisuuruisia. Ne voidaan laskea kätevästi käyttäen gradienttia. Sunnatulla derivaatalle voidaan määrittää myös toispuoleinen derivaatta.
Derivointi on hyödyllinen matemaattinen apuneuvo myös teknisissä tieteissä. Seuraavassa yksinkertainen esimerkki derivaatan käytöstä fysiikassa. Oletetaan, että halutaan selvittää vaikkapa putoamiskiihtyvyys formula_108, kun mitataan putoavan pallon putoama matka formula_109 ajan formula_110 funktiona. Tiedetään, että matka voidaan ilmaista
ja nopeus formula_112 on matkan derivaatta ajan suhteen
mistä edelleen kiihtyvyys formula_108 on nopeuden derivaatta ajan suhteen. Toisin sanoen siis matkan toinen derivaatta:
Kun mitattu etäisyys derivoidaan ajan suhteen numeerisesti, saadaan kiihtyvyys. Ajan suhteen derivoitaessa saatetaan joskus myös käyttää derivaatan merkkinä pistettä derivoitavan suureen päällä formula_116 ja formula_117.
Aluksi tutkittiin suureiden muuttumista kun muuttujien arvoa muutettiin. Suureen muutosnopeuden arvo riippui käytettävästä muuttujan arvon muutossuuruudesta ja se saatiin sitä paremmaksi, mitä pienempi oli muutujan muutosväli. Käyttöön otettiin infinitesimaalin käsite. Se vastasi ”pienintä mahdollista muutosta” suureen arvossa. Derivaatta määritettiin siksi funktion arvon muutosnopeudeksi, kun muuttuja muuttui vain infinitesimaalisen vähän. Infinitesimaalit on 1900-luvulta asti korvattu raja-arvon käsitteellä, jossa muutosnopeuden keskiarvo on annetulla välillä korvattu erotusosamäärällä. Kun annettua väliä pienennetään rajatta, saadaan derivaatan arvo erotusosamäärän raja-arvona.
Derivaatan käsitteen esittivät ensimmäisenä Isaac Newton ja Gottfried Leibniz 1600-luvulla. Sanan derivaatta ("johdos") otti käyttöön Joseph-Louis Lagrange 1700-luvun lopulla.