Alkeet
Alkeet (, usein , harvemmin ) on kreikkalaisen matemaatikon Eukleideen noin vuonna 300 eaa. laatima geometrian oppikirja. Teos koostuu 13 kirjasta, joissa on määritelmiä, postulaatteja, aksioomia, teoreemoja ja teoreemojen todistuksia. Siinä käsitellään lähinnä euklidista geometriaa ja sen ajan lukuteoriaa. "Stoikheia" on vanhin säilynyt aksiomaattinen deduktiiviseen päättelyyn perustuva teos.
"Alkeet" on yksi kaikkien aikojen menestyksellisimpiä teoksia. Se levisi monina käsikirjoituksina, jotka luonnollisesti jonkin verran poikkesivat toisistaan ja sisälsivät kommentteja, lisäyksiä ja virheitä, ja kirjapainotaidon keksimisen jälkeen sitä painettiin ainakin yli tuhat erikielistä versiota. Käsikirjoitukset perustuivat yleensä Theon Aleksandrialaisen 300-luvun lopulla toimittamaan versioon. 1800-luvulla löydetyn alkuperäisemmän lähteen perusteella "Alkeiden" perustekstin julkaisi tanskalainen J. L. Heiberg 1883–1888.
Eukleides laati teoksensa noin vuonna 300 eaa. Eukleides ei kirjoittanut kaikkia todistuksia itse, vaan "Alkeet" on kokoomateos toisten matemaatikkojen tuloksista. Teoksen tarkoituksena oli koota kreikkalaisen geometrian saavutukset yksiin kansiin. Eukleides ei ollut ensimmäinen joka yritti tätä, vaan samaa oli yrittänyt häntä aiemmin Hippokrates Khioslainen. 800 vuotta myöhemmin elänyt Proklos kertoo kommentaarissaan seuraavaa: ”"Eukleides, joka kokosi "Alkeet", keräsi monia Eudoksoksen ja paranteli Theaitetoksen lauseita. Siinä ohella hän todistaa kiistattomasti sellaisia väitteitä, joita hänen edeltäjänsä olivat vain vaivalloisesti kyenneet todistamaan."” Eukleides sekoitettiin Platonin aikaiseen Sokrateen oppilaaseen Eukleides Megaralaiseen, minkä vuoksi Alkeetkin kuviteltiin osaksi Megaralaisen tuotantoa.
Vaikka Ciceron tiedetään tunteneen teoksen sisällön, ei sitä tiettävästi käännetty latinaksi ennen kuin sen teki varhaiskeskiajalla elänyt filosofi Boëthius. Arabien tietoon teos tuli Bysantin kautta noin vuoden 760 aikoihin Eukleideen oppilaan laatimana versiona. Käännöksen teoksesta kirjoitti Harun al-Rašid noin vuoden 800 paikkeilla. Ensimmäinen kirjapainossa tehty teos ilmestyi vuonna 1482 (perustui Giovanni Campanon vuoden 1260 painokseen), mistä lähtien teos on käännetty useille eri kielille. Kirjasta tuli Boëthiuksen käännöksen jälkeen osa keskiaikaisen quadriviumin oppisisältöä.
Antiikkisia kopioita Alkeista on säilynyt, mutta niiden laatu vaihtelee runsaasti, eivätkä ne ole läheskään kokomittaisia. Analysoimalla säilyneitä kopioita on saatu selville alkuperäisen teoksen sisältöä. Kommentaarit ja skoliat ovat olleet myös ensiarvoisen tärkeitä lähteitä.
"Alkeet" jakautuu 13 kirjaksi. Se sisältää yhteensä 465 propositiota eli lausetta, jotka muodostavat koko Eukleidesta edeltävän ajan matematiikan alkeiden yleisesityksen. Suuri osa teoksen sisällöstä on peräisin Eukleideen edeltäjiltä.
"Alkeiden" I kirja esittää ensin joukon geometristen käsitteiden määritelmiä. Sen jälkeen seuraavat viisi postulaattia ja viisi aksioomaa eli yleisesti hyväksyttyä totuutta.
Postulaatit ovat sisällöltään geometrisia: Aksioomat puolestaan ilmaisevat universaaleja totuuksia:I kirjan propositiot käsittelevät kolmioiden ja monikulmioiden sekä yhdensuuntaisten suorien perusominaisuuksia. 5. propositio on tullut tunnetuksi nimellä "pons asinorum", aasinsilta. Siinä Eukleides todistaa ovelalla mutta ilmeisesti aloittelijalle vaikeasti ymmärrettävällä tavalla, että tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret. II kirja esittelee kreikkalaisen geometrisen algebran, mm. toisen asteen yhtälön geometrisen ratkaisun. III kirja käsittelee ympyröitä. Mielenkiintoinen on ympyrän kehän ja sen tangentin välisen "kulman" käsittely. IV kirjan aiheena
ovat ympyrän sisään ja ympäri piirretyt moni­kulmiot. V kirja esittelee Eudoksoksen suhdeopin. Suhdeoppi on tarpeen VI kirjassa, jossa käsitellään yhden­muotoisuutta.
Paitsi alkeisgeometrian aksiomaattista käsittelyä "Alkeet" sisältää kirjoissa VII, VIII ja IX koko joukon alkuaan pythagoralaista lukuteoriaa, esimerkiksi Eukleideen algoritmin kahden luvun suurimman yhteisen tekijän tai kahden suureen yhteisen mitan löytämiseksi ja klassisen kauniin todistuksen alkulukujen lukumäärän rajattomuudesta. Tämä saattaa olla Eukleideen oma oivallus.
"Alkeiden" kirjoista laajin on kirja X, joka sisältää erinäisten irrationaalis­tyyppisten suureiden luokittelun. Viimeiset kirjat käsittelevät avaruusgeometriaa ja kappaleiden tilavuuden määrittämistä Eudoksoksen tyhjennysmenetelmää käyttäen. Ne huipentuvat todistukseen täsmälleen viiden säännöllisen monitahokkaan, Platonin kappaleen olemassaolosta ja näiden kappaleiden tilavuuksien laskemiseen.
"Alkeiden" merkitys on paitsi sisällössä myös deduktiivisessa esitystavassa. Kaikki lauseet johdetaan suoraan tai välillisesti määritelmistä, postulaateista ja aksioomista. Yleisenä tiedonmuodostusmenetelmänä aksiomattis-deduktiivinen metodi on lähtöisin Aristoteleelta. Eukleideen järjestelmä ei täytä nykyaikaisia matemaattisen täsmällisyyden vaatimuksia, vaan Eukleides huomaamattaan käyttää todistuksissaan lausumattomia lisäoletuksia: esimerkiksi oletusta, että kaksi samansäteistä ympyrää, joiden keskipisteiden etäisyys on halkaisijaa pienempi, leikkaavat toisensa. Kuitenkin itse aksiomaattis–deduktiivinen metodi on tullut matematiikan vakiintuneeksi esitystavaksi.
Erityisen merkityksen tuli saamaan Eukleideen viides postulaatti eli ns. paralleeliaksiooma (vaikka se onkin siis postulaatti, eikä aksiooma), jonka itsestäänselvyys ei ole läheskään niin kiistaton kuin muiden postulaattien. Monet matemaatikot yrittivät eri aikoina johtaa paralleelipostulaatin muista aksioomista. Vasta 1800-luvulla nämä yritykset osoitettiin mahdottomiksi, samalla kun konstruoitiin ns. epäeuklidisia geometrioita, joissa paralleelipostulaattia ei ole lainkaan tai sen korvaa jokin muu suorien yhdensuuntaisuutta koskeva oletus.