Infimum
Järjestetyn joukon T osajoukon S infimum eli suurin alaraja on joukon T alkio, joka on suurin kaikista osajoukon S kaikkia alkioita pienemmistä tai yhtä suurista alkioista. Infimum ei välttämättä kuulu osajoukkoon S. Jos joukko sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se myös joukon infimum. Infimum on yksikäsitteinen, jos se on olemassa.
Reaalilukujen joukon osajoukoille infimum määritellään joskus miinus äärettömyydeksi, jos se ei ole olemassa. Tällöin saatetaan sanoa, että kaikille reaalilukujoukoille on yksikäsitteinen infimum.
Jos formula_1 on järjestetty joukko, niin sen infimumia merkitään symbolilla
formula_2, formula_3 tai formula_4.
Vähenevän lukujonon formula_5, jolle siis formula_6, infimumia voi merkitä symbolilla
formula_7.
Alarajan määritelmä. Olkoon formula_8.
Reaaliluku e on joukon S alaraja , jos ja vain jos kaikille formula_9 pätee x ≥ e.
Joukko S on alhaalta rajoitettu jos ja vain jos jokin reaaliluku on sen alaraja.
Infimumin määritelmä. Olkoon edelleen formula_8.
Luku e formula_11 on joukon S infimum eli suurin alaraja,
jos ja vain jos se on suurin joukon S alarajoista eikä mikään suurempi reaaliluku ole joukon S alaraja.
Tällöin merkitään e = inf(S). Siis joukolla S on infimum ja kyseinen infimum on e.
e = inf(S) formula_12
1) e ≤ x kaikilla x formula_13 S eli e on joukon S alaraja.
2) e ≥ m kaikilla joukon S alarajoilla m.
Siis vielä sanallisesti: Reaaliluku e on joukon S infimum jos ja vain jos e on pienempi tai yhtäsuuri kaikkia joukon S alkioita ja e on suurempi tai yhtäsuuri kaikkia muita joukon S alarajoja.
Jos epätyhjällä joukolla S on olemassa infimum, se on yksikäsitteinen. Joukolla voi siis olla enintään yksi infimum.
Todistus. Olkoon inf(S) = e ja inf(S) = e2. Siis e2 on joukon S eräs alaraja. Tällöin infimumin määritelmän nojalla e ≥ e2. Samoin saadaan e2 ≥ e. Siis e = e2.
Jos inf(S) on olemassa niin joukko S on alhaalta rajoitettu. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.
Joukon pienimmän alkion eli minimin on kuuluttava joukkoon kun taas infimumin ei tarvitse kuulua joukkoon. Siis jos infimum on olemassa, se ei välttämättä kuulu joukkoon S. Jos joukko S sisältää pienimmän alkion eli minimin, on se joukon S infimum.
Jos formula_14 ja minS on olemassa niin minS = inf(S).
Todistus. Olkoon olemassa minS = e.
1)e on joukon S alaraja eli kaikilla x formula_15 S pätee x ≥ e.
2)Koska e formula_13 S niin e ≥ inf(S). Toisaalta 1):n nojalla e on joukon S alaraja. Siis e ≤ inf(S). Siis e = inf(S).
Yksinkertaisessakin tapauksessa infimumin määritelmän soveltaminen on melko työlästä. Seuraavien lauseiden avulla infimumia voidaan tutkia yksinkertaisemmalla tavalla.
Lause 1. Olkoon e = inf(S) ja formula_17 > 0. Tällöin on olemassa x formula_13 S, jolle x < e + formula_17
Lause 2. Olkoon S formula_20 ja e formula_21. Tällöin e = inf(S) jos ja vain jos
1) e on joukon S alaraja. Siis x ≥ e kaikilla x formula_15 S.
2) Kaikille formula_23 > 0 formula_24 x formula_15 S, jolle x < e + formula_17
Infimum osoitetaan jollakin seuraavista tavoista tilanteesta riippuen:
a) Jos joukossa S näyttäisi olevan pienin alkio e, osoitetaan kohdat:
1) e formula_27 S.
2) x ≥ e kaikille x formula_13 S.
Tällöin minS = inf(S).
b) Jos joukko S on alhaalta rajoitettu, mutta joukossa ei ole pienintä alkiota, osoitetaan kohdat:
1) x ≥ e kaikille x formula_13 S, jolloin e on S:n eräs alaraja.
2) e + formula_17 ei ole S:n alaraja. Siis e on alarajoista suurin.
Tällöin e = inf(S).
c) Osoitetaan, että joukko ei ole alhaalta rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen pieniä lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa pienempiä lukuja.