Satunnaismuuttuja
Satunnaismuuttuja ( ) eli stokastinen muuttuja on todennäköisyyslaskennan peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää "lukua". Jos tunnetaan satunnaismuuttujan taustalla olevan satunnaisilmiön perusjoukko, on satunnaismuuttuja funktio, joka liittää jokaiseen perusjoukon alkeistapaukseen formula_1 reaaliluvun. Funktion formula_2 tulee kuitenkin olla mitallinen funktio. Yleensä satunnaismuuttujan merkinnästä jätetään argumentti formula_1 merkitsemättä eli kirjoitetaan formula_4.
Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Satunnaismuuttujan laskemistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujat, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppisiksi.
Sana satunnaismuuttuja lyhennetään joskus s.m.. Yleisin tapa merkitä satunnaismuuttujaa on käyttää suuria aakkosia (esimerkiksi formula_5). Toisinaan näkee myös alleviivattuja pieniä kirjaimia (esimerkiksi formula_6) tai lihavoituja pieniä kirjaimia (kuten x). Kun viitataan satunnaismuuttujan arvoon, merkitään se esimerkiksi formula_7.
Alkeistapaukset voidaan koodata satunnaismuuttujiksi käyttämällä yksinkertaisia funktioita. Lantinheitossa perusjoukko on formula_8 ja siitä voidaan luoda satunnaismuuttuja formula_5 määrittelemällä esimerkiksi:
Toisessa esimerkissä kahden nopan heitossa tulokseksi halutaan molemman nopan silmälukujen summa. Silloin perusjoukon alkeistapaukset muodostuvat noppien silmälukupareista formula_11 joista muodostetaan satunnaismuuttuja formula_12: formula_13 Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_14 Nämä esimerkit olivat "yksinkertaisia satunnaismuuttujia", koska perusjoukko oli kooltaan äärellinen.
Seuraava satunnaismuuttuja muodostuu tapauksista, joita voi olla numeroituvasti ääretön määrä. Heitetään kolikkoa, kunnes saadan ensimmäisen kerran kruuna. Jos kruuna saadaan heti, merkitään satunnaismuuttujan formula_15 arvoksi nolla. Jos saadaan aluksi klaava ja sitten kruuna, merkitään satunnaismuuttujan arvoksi yksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko on silloin formula_16
Esimerkiksi tikanheitto voidaan tulkita jatkuvaksi satunnaisilmiöksi, sillä jokainen osuma seinään ja tauluun voidaan tulkita x-koordinaatiston pisteeksi formula_17. Tason pisteitä on nyt ylinumeroituvasti ääretön määrä ja samoin on myös satunnaismuuttujan arvoja. Jos määritellään satunnaismuuttuja formula_18 siten, että formula_19 kun origo on napakympissä, saadaan Borel-joukko niistä formula_20-säteisistä ympyrälevyistä, missä formula_21 Satunnaismuuttuja saa silloin arvot formula_22
Satunnaismuuttuja saa yleensä arvot suljetulta väliltä formula_23, puoliavoimelta väleiltä formula_24 tai formula_25 taikka avoimelta väliltä formula_26, missä rajat ovat äärellisiä tai äärettömiä.
Satunnaismuuttuja formula_27 on mitallinen funktio formula_28, missä määrittelyjoukko formula_29 on todennäköisyyslaskennassa käytettävä perusjoukko ja funktion arvojoukkona ovat reaaliluvut. Jos siis alkeistapaus formula_1 oletetaan valituksi, on satunnaismuuttujan arvo formula_2yksikäsitteisesti määritelty, joten siinä mielessä se ei ole "satunnainen" eikä "muuttuja". Kuvauksen arvojoukko (eli kuva) voi olla reaalilukujen osajoukko formula_32. Satunnaismuuttujan kuvaus yksittäisillä alkeistapauksen tai tapahtuman arvoilla on silloin formula_33 Alkeistapaus tai tapahtuma voidaan ilmaista tämän käänteiskuvauksena formula_34
Funktio tulee olla mittallinen eli formula_35-mitallinen kuvaus. Tämä tarkoittaa sitä, että jokaisen perusjoukon osajoukko kuuluu sigma-algebraan formula_35. Vain silloin formula_37 on varmasti tapahtuma eli formula_38, joka kuuluu aina Borel-joukkoon.
Satunnaismuuttujaa on määritelty myös siten, että se on mitallinen funktio todennäköisyysavaruudesta formula_39 mitta-avaruuteen formula_40
"Todennäköisyysjakauma", usein yksinkertaisesti vain "jakauma", määrittelee satunnaismuuttujien arvojen esiintymistodennäköisyydet ja samalla sen käyttäytymisen oleellisimman piirteen. Satunnaismuuttujat luokitellaankin niiden todennäköisyysjakaumiensa mukaisesti eri tyyppeihin. Jakauma voidaan määritellä kahdella eri tavalla: todennäköisyys- eli tiheysfunktiolla tai kertymä- eli jakaumafunktiolla. Eri tavat ovat hyödyllisiä eri tilanteissa, mutta kummastakin funktiosta voidaan johtaa kaikki satunnaismuuttujan ominaisuudet. Jakaumien rakenteet eroavat toisistaan vielä sen mukaan, onko satunnaismuuttuja diskreetti vai jatkuva.
Todennäköisyysfunktiot ovat diskreettisellä ja jatkuvalla satunnaismuuttujilla varsin erilaiset.
Diskreettisten satunnaismuuttujien jakauma on luettelo, jossa jokaiseen satunnaismuuttujan arvoon formula_41 liitetään todennäköisyyden arvo formula_42. Usein käytetty merkintätapa on 
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.
Diskreettien satunnaismuuttujien todennäköisyyksiä kutsutaan myös pistetodennäköisyyksiksi.
Esimerkiksi kahden nopan heitossa, jossa satunnaismuuttujana on noppien silmälukujen summa, saadaan satunnaismuuttujan arvojen perusjoukoksi formula_43 Kuten oheisesta kuvaajasta voi nähdä, noudavat seuraavat pistetodennäköisyydet sen todennäköisyysjakaumaa: formula_44 ja formula_45
Todennäköisyysjakauman todennäköisyyksien summa 
tulee aina olla yksi.
Jatkuvien satunnaismuuttujien todennäköisyysfunktio on tiheysfunktio formula_47 (joskus formula_48), joka saa satunnaismuuttujan arvoalueella vain positiivisia arvoja ja muualla se saa arvokseen nolla. Se ei voi saada missään negatiivisia arvoja.
Tiheysfunktion arvot eivät ole todennäköisyyksiä. Jatkuvan satunnaismuuttujan arvot ovat reaalilukuja, joita on yleensä ylinumeroituvasti ääretön lukumäärä. Usein tulkitaankin, että yksittäisen alkeistapauksen satunnaismuuttujan arvon esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa. Satunnaismuuttuja antaa tulokseksi joitakin arvoja, joten ainakaan niiden todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla". Silloinhan niitä ei esiintyisi. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, on niiden todennäköisyys "melkein nolla".
Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka ovat satunnaismuuttujan arvojen lukuvälejä formula_23. Tapahtuman lukuvälissä on ylinumeroituvasti ääretön määrä alkeistapauksia, joiden yhteinen todennäköisyys on äärellinen. Tällä lukuvälillä formula_23 otettu tiheysfunktion määrätty integraali onkin todennäköisyyttä merkitsevä numeerinen arvo:
Koko tiheysfunktion yli otettu määrätty integraali on aina arvoltaan yksi
koska sille välille jäävät kaikki alkeistapaukset.
Kertymäfunktio eli jakaumafunktio formula_53 määritellään siten, ettei määrättyä integrointia enää tarvita todennäköisyyksiä laskettaessa. On olemassa useita erilaisia kertymäfunktion määrittelytapoja. Yleisin on kuitenkin määrittää todennäköisyys tapahtumalle, joka sisältää kaikki alkeistapaukset vasemmaltapäin päätearvoon formula_54 asti. Sekä diskreettisille että jatkuville satunnaismuuttujille tämä tarkoittaa 
Todennäköisyys tapahtumalle formula_23 on silloin laskettavissa ilman määrättyä integrointia
Kertymäfunktiot ovat kasvavia funktioita, jotka saavat vain arvot
Diskreettisillä satunnaismuuttujilla kertymäfunktiot ovat porrasfunktioita, jotka kasvavat joka "portaalla". Jatkuvilla satunnaismuuttujilla kuvaaja on yleensä kasvavia ja sileä käyriä. Jos kertymäfunktio on derivoituva, saadaan sen derivaatasta tiheysfunktio
Satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumat riippuvat yleensä vain muutamista parametreista, joilla on usein jokin käytännön merkitys. Esimerkiksi monissa jakaumissa tulee tietää vain sen "keskiarvo". Tämä parametri tunnetaan matematiikassa odotusarvona (merkitään formula_60), jotka toisinaan kutsutaan ensimmäiseksi momentiksi. Muita parametrejä voivat olla esimerkiksi varianssi (merkitään formula_61, toinen momentti) tai vinous (kolmas momentti). Jakauman tarvitsemia parametreja on muitakin, mutta vaihtelevat jakaumittain.