Neutraalialkio
Joukon formula_1 alkio formula_2 on neutraalialkio eli identiteetti jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation formula_3 suhteen, jos laskutoimituksien tulokset ovat formula_4 tai formula_5. Alkiolla formula_2 ei näytä olevan vaikutusta tulokseen eli sen vaikutus on neutraali. Kirjain formula_2 tulee saksankielisestä sanasta "Einheit".
Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on luku 1, sillä mikä tahansa reaaliluku formula_8 kerrottuna yhdellä on luku formula_8 itse eli formula_10 Tämän vuoksi neutraalialkiota kutsutaan myös kertolaskun yksikköalkioksi eli ykkösalkioksi. Reaalilukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0, koska nollan lisääminen lukuun formula_8 on luku formula_8 eli formula_13 Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös yhteenlaskun nolla-alkioksi.
Olkoon operaatio formula_3 joukossa formula_1 määritelty binäärioperaatio, jota on tapana merkitä parina formula_16. Neutraalialkiosta voidaan käyttää seuraavia nimityksiä. Joukon formula_1 alkio formula_2 on "vasemmanpuoleinen neutraalialkio", jos formula_4 kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla formula_8. Samoin, jos formula_5 kaikilla joukkoon formula_1 kuuluvilla alkioilla formula_8, on formula_2 "oikeanpuoleinen neutraalialkio".
Jos formula_16 on monoidi, on neutraalialkio sekä "vasemman- että oikeanpuoleinen" ja sitä kutsutaan "molemmanpuoleiseksi neutraalialkioksi" tai yksinkertaisesti pelkäksi "neutraalialkioksi". Tällöin on voimassa formula_26
Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Jos vallan erikoinen laskutoimitus formula_27 määritellään seuraavasti: formula_28 kun formula_29 Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan formula_30 Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä formula_31 on tilanne päinvastainen.
Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista formula_32, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille formula_33, kun laskutoimitus määritellään formula_34
Jos laskutoimituksella on sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen neutraalialkio, on sen oltava sama alkio. Helppoja esimerkkejä on reaalilukujen nolla-alkio yhteenlaskun tapauksessa (formula_35) ja ykkösalkio kertolaskun tapauksessa (formula_36). Keksimällä esimerkiksi sellainen laskutoimitus, jossa reaaliluvuilla lasketaan formula_37 siten, että formula_38 Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä formula_39 ja formula_40
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että ("S",×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä "v":llä ja oikeaa "o":lla. Tällöin "v" = "v" × "o" = "o". Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.
Luvun formula_8 käänteisalkio formula_42 ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion formula_2 eli formula_44. Jos parilla formula_16 on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.