Vektori
Vektori on suure, jolla on suuruus ja suunta. Matematiikassa vektori on vektoriavaruuden alkio. Tyypillisesti vektori on "n":n muun alkion (usein reaali- tai kompleksilukujen) järjestetty joukko. Alkioiden lukumäärä "n" ilmaisee myös vektorin ulottuvuuden. Tällainen vektori on matriisin erikoistapaus eli matriisi, jonka leveys on yksi.
Yksinkertainen esimerkki on nopeusvektori, jonka suuruus on vauhti ja suunta etenemissuunta.
Laajemmassa merkityksessä vektorin ei kuitenkaan tarvitse olla järjestetty lukujoukko eikä muukaan järjestetty joukko, vaan vektoreita voivat olla mitkä tahansa oliot, joiden välillä vektoriavaruuden laskutoimitukset on määritelty. Tämä vektorien yleiskäyttöisyys on tehnyt lineaarialgebrasta tehokkaan matemaattisen työkalun.
Vektorit voidaan merkitä lihavoiduilla kirjaimilla, esimerkiksi formula_1 tai merkitsemällä vektorisuureen tunnuksen yläpuolelle oikealle osoittava nuoli, esimerkiksi formula_2.
Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Käytettyjen vektorien alkiot ovat reaalilukuja. Tasogeometriassa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa avaruusgeometriassa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen reaaliluvun järjestettyinä joukkoina. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0.
Geometriassa vektorilla voidaan kuvata annetun pisteen sijaintia suhteessa toiseen pisteeseen. Pisteen paikkavektori kuvaa sen sijainnin suhteessa koordinaatiston origoon, ja sen alkioina ovat pisteen koordinaattien arvot. Fysiikassa esimerkiksi nopeus on vektorisuure, ja sen itseisarvo, vauhti, on skalaari. Fysiikan eri aloilla tärkeitä vektorisuureita ovat myös kiihtyvyys ja voima sekä sähkö- ja magneettikenttien voimakkuudet.
Mikäli vektori on järjestetty joukko, se voidaan esittää muodossa: 
jossa kaikki alkiot formula_4 kuuluvat johonkin joukkoon. Joskus tilan säästämiseksi vektorit kirjoitetaan vaakavektoreina muodossa formula_5 tai tulkitaan matriisin transpoosiksi formula_6.
Yleisiä vektoriavaruudelle määriteltyjä laskutoimituksia ovat vektoreiden formula_7summa:
sekä kerroinkunnan alkiolla kertominen formula_9:
Näiden lisäksi usein vektoriavaruuksissa määritellään normi, joka on vektorin pituuden yleistys
Tällöin vektoreiden sanotaan muodostavan normiavaruuden.
Vektoreille voidaan myös määritellä pistetulo, joka ilmaisee vektoreiden samansuuntaisten komponenttien tulon. Pistetulo merkitään muodossa
missä formula_13 on vektoreiden välinen kulma.
Pistetuloa voidaan merkitä symbolilla
sillä pistetulo on erikoistapaus sisätulosta ja pistetulolla täydennettyä vektoriavaruutta kutsutaankin sisätuloavaruudeksi.
Jos kaikki "n"-ulotteisen vektorin 
alkiot formula_16 ovat reaalilukuja ts. formula_17, niin a on reaaliarvoinen vektori, merkitään formula_18.
Vastaavasti jos kaikki alkiot ovat kompleksilukuja, on vektori kompleksiarvoinen vektori, eli formula_19
Jos vektori kuuluu avaruuteen formula_20 voidaan se piirtää myös koordinaatistoon. Jos vektori piirretään alkamaan origosta (paikkavektori), sen kärkipiste osoittaa komponenttien lukuarvojen mukaista koordinaatiston pistettä. Eli esim. vektorin
kärki on pisteessä (7, -5). Vastaava suhde löytyy myös avaruuden formula_22 vektoreilla kolmiulotteiseen koordinaatistoon. Usein nämä vektorit rinnastetaankin koordinaatiston pisteisiin. Kyseessä on kuitenkin tarkkaan ottaen eri asia.
Reaaliavaruudessa formula_23 laskutoimituksille on käytössä seuraavat määritelmät.
Kaksi reaaliavaruuden vektoria lasketaan yhteen laskemalla niiden vastaavat alkiot yhteen:
Vastaavasti vektorista vähennetään toinen vektori vähentämällä ensimmäisen vektorin kustakin alkiosta jälkimmäisen vektorin vastaava alkio:
Samoin kuin reaalilukujen, myös vektorien yhteenlasku noudataa vaihdanta- ja liitäntälakia, toisin sanoen vektoreillekin pätee:
ja
Tason tai kolmiulotteisen avaruuden vektorien yhteenlaskulla on yksinkertainen geometrinen tulkinta. Piirretään samasta pisteestä alkamaan vektoreita "a" ja "b" vastaavat suuntajanat sekä suunnikas, jonka kahtena sivuna ne ovat. Tällöin vektorien summa vastaa samasta pisteestä lähtevää suunnikkaan lävistäjää.
Vektori kerrotaan reaaliluvulla eli skalaarilla kertomalla sen jokainen alkio kyseisellä skalaarilla.
Jos kerroin a on positiivinen, tuloksena saatavaa vektoria esittävä jana on samansuuntainen alkuperäisen kanssa, mutta sen pituus on alkuperäiseen verrattuna "a"-kertainen. Jos "a" on negatiivinen, saatu vektori on alkuperäiseen nähden vastakkaissuuntainen, ja vastaavan janan pituus on "-a"-kertainen.
Vektorin x pituus formula_29 eli normi määritellään vektorin alkioiden (formula_30) neliöiden summan neliöjuurena lausekkeella
Jos vektorin pituus on 1, sitä sanotaan yksikkövektoriksi.
Erityisen tärkeitä ovat koordinaattiakselien suuntaiset yksikkövektorit. Tavallisesti käytetään tasossa formula_20 ja kolmiulotteisessa avaruudessa formula_22 x-akselin suuntaiselle yksikkövektorille merkintää formula_34 ja y-akselin suuntaiselle merkintää formula_35, kolmiulotteisessa avaruudessa lisäksi z-akselin suuntaiselle merkintää formula_36. Tällöin tason vektori
voidaan kirjoittaa myös muotoon formula_38
ja vastaavasti kolmiulotteisen avaruuden vektori
muotoon formula_40
Pistetulo on kahden vektorin välinen erikoistapaus sisätulosta. Se yleistyy suoraan formula_41-ulotteisen avaruuden vektoreille.
Vektoreille x = ai + bj + ck ja y = di + ej + fk pistetulo voidaan laskea myös kaavalla "vektoreiden x ja y pistetulo" = ad + be + cf.
Pistetulo noudattaa vaihdanta- ja osittelulakia, toisin sanoen jos "a", "b" ja "c" ovat vektoreita, pätee:
ja
Liitäntälaki sen sijaan ei ole mielekäs, koska pistetulo on skalaari eikä sen ja vektorin välinen pistetulo ole määritelty.
Jos voima vaikuttaa liikkeen suuntaan, työ ("W") voidaan laskea pelkkänä voiman ("F") ja matkan ("s") tulona:
Jos voima on eri suuntainen kuin liike, työ pitää laskea voimavektorin ja liikevektorin pistetulona:
Ristitulo on esimerkki ulkoisesta tulosta. Se on määritelty ainoastaan formula_22:n ja formula_50:n vektoreille
missä e on vektoreita x ja y (siis näiden määrittelemää tasoa) vastaan kohtisuora yksikkövektori (eli vektori, jonka normi formula_52) ja vektorit x, y ja e muodostavat oikeakätisen koordinaatiston, toisin sanoen ristitulovektorin suunta määräytyy oikean käden säännön mukaisesti.
Määritelmästä seuraa, että ristitulo ei noudata vaihdantalakia, vaan sen etumerkki vaihtuu, jos sen tekijät vaihdetaan keskenään:
Karteesisessa koordinaatistossa x,y ja z akselien suuntaisilla yksikkövektoreilla formula_54 määriteltyjen vektoreiden formula_55 ja formula_56 ristitulo voidaan laskea determinantin avulla:
Erityisesti koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien ristitulot ovat:
Mikäli vektorit ovat yhdensuuntaiset, on niiden ristitulo nolla.
Perusfysiikassa ristitulo esiintyy esim. voiman momentin kaavassa.
Kolmelle vektorille a = "(a, a, a)", b = "(b, b, b)" ja c = "(c, c, c)" määritellään "skalaarikolmitulo" eli lyhemmin "kolmitulo" "V" seuraavasti:
Skalaarikolmitulon itseisarvo on sama kuin vektorien a, b ja c muodostaman suuntaissärmiön tilavuus, ja se voidaan laskea myös seuraavasti:
Esimerkki selkokielellä tasogeometrian näkökulmasta.
Liikutaan XY-koordinaatistossa. Lähdetään liikkeelle origosta (0,0), kuljetaan ensin "kaksi ylös ("vektori "formula_69) ja sitten kaksi oikealle" (vektori formula_70), jolloinka päädytään pisteeseen (2,2).
Vektorien muutosta ilmaistaan muuttujilla "i" ja "j", jossa "i" ilmoittaa x-akselin suuntaista liikkumista, ja "j" y-akselin suuntaista liikkumista.
Lasketaan muutokset: formula_71 . Yhteenlaskulla saadaan: formula_72, poistamalla kirjaimet saadaan loppupiste (2,2).