Fermat’n suuri lause
Fermat’n suuri lause, Fermat’n viimeinen teoreema tai lyhyesti Fermat’n lause on matemaatikko Pierre de Fermat’n 1600-luvulla esittämä lukuteoreettinen väite:
Väite pitää paikkansa, mutta tämän todisti vasta Andrew Wiles 1900-luvulla. Väite pysyi siis yli 300 vuotta todistamattomana. Lausetta kutsutaan "suureksi" erotukseksi Fermat’n pienestä lauseesta, joka käsittelee kokonaan eri asiaa.
Fermat kirjoitti kuuluisan lauseensa vuonna 1637 Diofantoksen "Arithmetican" marginaaliin. Väittämän alapuolelle hän kirjoitti latinaksi: ""Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet"" (Olen keksinyt väittämälle ihmeellisen todistuksen, mutta marginaalissa ei riitä sille tilaa). Lause löytyi Fermat’n kuoltua vuonna 1665. Fermat’n oma kappale kirjasta on kuitenkin kadonnut.
Mahdollisesti Fermat tarkasteli potenssitaulukoita ns. nexus-lukujen eli perättäisten kokonaislukujen saman potenssin erotusten summana. Kun kokonaislukujen potenssit kirjoitetaan nexus-lukujen summana muotoon formula_1 ... formula_2, on helppo huomata että vain neliötaulukossa (n=2) nexus-lukujen ja niiden perättäissummien joukossa on neliöitä. Kuutiotaulukon (n=3) nexus-lukujen tai niiden perättäissummien joukossa ei koskaan ole kuutioita. Samoin kaikkien korkeampien potenssien taulukoissa nexus-lukujen ja nexus-summien joukossa ei koskaan esiinny kokonaislukujen vastaavia potensseja. Tämä on helppo osoittaa myös geometrisesti, koska kaikkien kokonaislukujen parillisten eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöitä ja parittomien eksponenttien osoittamat potenssit ovat aina neliöjonoja. Näiden sivut ovat myös samojen kantalukujen alempia potensseja, jotka voidaan kirjoittaa samoin edelläkuvattuun 1+nexussumman muotoon. Sen sijaan kahden kokonaisluvun saman potenssin erotuksesta tai summasta muodostetun ko. potenssia edustavan neliön tai neliöjonon sivujen pituutta tai pinta-alaa on mahdoton kirjoittaa minkään kokonaisluvun ko. potenssia edustavan 1+ nexussumman muotoon, koska ne jäävät aina kahden perättäisen kokonaisluvun ko. potenssin välille. Siten kahden kokonaisluvun saman potenssin erotus (eli etäisyys kyseisessä potenssitaulukossa) on aina nexus-luku tai perättäisten nexus-lukujen summa, joka ei voi olla minkään kokonaisluvun vastaava potenssi, jos n on kahta suurempi kokonaisluku. Tällainen havainto on "suuren lauseen" kanssa yhdenmukainen ja mahdollinen selitys sille, että "demonstraatio" ei mahtunut marginaaliin. Fermat ehkä perusti "demonstraationsa" ja "todistuksensa" kahden luvun summan symmetriaan: Summan muodostavat kaksi lukua ovat aina symmetrisesti summan puolikkaan molemmin puolin eli keskeltä taitetulla summajanalla samalla vaakaviivalla a--A--b. Tämä pitää paikkansa kokonaisluvuilla ja kokonaislukujen neliöillä, mutta ei enää kuutioilla ja korkeammilla potensseilla, joten nk. Pytagoraan lause a^n+b^n=c^n voi toteutua kokonaisluvuilla,jos n=2, mutta ei, jos n=3 tai suurempi kokonaisluku, kuten Fermat nk. suuressa lauseessa kirjoittaa.
Lauseen tekee merkittäväksi se, että se oli viimeinen todeksi osoitettu Fermat’n luoma teoreema. Suurimmassa osassa lauseistaan Fermat oli kirjoittanut marginaaliin viitteitä oman todistuksensa kulkuun. Näiden viitteiden avulla myöhempi todistaminen helpottui huomattavasti, mutta Fermat’n suuren lauseen kanssa oli aloitettava alusta.
Fermat’n suurta lausetta oli yritetty todistaa moneen kertaan aikaisemminkin. Useaan kertaan tunnetutkin matemaatikot ovat väittäneet pystyvänsä sen todistamaan, mutta aina todistuksessa on ollut virhe. Vain muutama vuosi ennen Wilesin todistusta väitti japanilainen matemaatikko Yoichi Miyaoka todistaneensa lauseen, mutta todistuksesta löytyi lopulta virhe. Osia Fermat’n suuresta lauseesta oli kuitenkin pystytty todistamaan. Esimerkiksi Euler oli todistanut Fermat’n suuren lauseen kun potenssi formula_3 on formula_4 tai formula_5.
Myöhemmin Fermat’n suuren lauseen ratkaisemisesta luvattiin palkkio, jota useat matemaatikot ja sitäkin useammat maallikot tavoittelivat. Ajatus siitä, että Fermat oli itse väittänyt 1600-luvun osaamisellaan pystyvänsä lauseen todistamaan, antoi myös maallikolle rohkaisun. Tuon ajan matemaattisen tiedon omaksuminen ei ole mahdoton tehtävä.
Englantilainen Andrew Wiles todisti Fermat’n suuren lauseen vuonna 1995 työskenneltyään todistuksen parissa seitsemän vuotta. Toisin kuin Fermat kuuluisassa marginaalissaan kirjoitti, hän ei todennäköisesti ollut löytänyt virheetöntä todistusta: Wiles käytti todistuksessaan modernia matematiikkaa – erityisesti algebrallisessa geometriassa esiintyviä modulimuotoja ja elliptisiä käyriä – mikä oli 1600-luvun matemaatikkojen tavoittamattomissa.
Wilesin todistus teoreemalle perustui monilta osin muiden matemaatikkojen pohjustukseen. Todistuksen kulku on pääpiirteissään seuraava: Fermat’n suuri lause on voimassa eksponenteilla formula_6 ja formula_7. On riittävää osoittaa, että lause on voimassa alkulukueksponenteilla formula_8. On myös riittävää olettaa, että formula_9, formula_10 ja formula_11 on parillinen. Tarkastellaan elliptistä käyrää formula_12, jonka määrittelee yhtälö formula_13. Nyt on voimassa lause: Jos formula_14 on puolivakaa elliptinen käyrä yli rationaalilukujen ja formula_15 on formula_14:n konduktori, on formula_14 modulimuoto ja tasoa formula_15. Tämän mukaan formula_19 on modulimuoto. Mutta tällöin formula_20:n formula_21-torsiopisteiden muodostama ryhmä olisi tasoa kaksi oleva modulimuoto. Kuitenkaan ei ole olemassa nollasta poikkeavaa modulimuotoa, jonka taso on yksi tai kaksi.
Loppuvaiheessa myös Nick Katz ja Richard Taylor auttoivat Wilesiä viimeistelemään todistuksen.
Todistukseen siis käytettiin monia vasta 1900-luvulla kehitettyjä matematiikan menetelmiä, eivätkä useimmat matemaatikot ja tiedehistorioitsijat enää usko, että Fermat'lla olisi ollut pitävää todistusta lauseelle kaikilla eksponenteilla formula_3.
Todistuksen tarina on lähes yhtä erikoinen kuin itse lause. Wiles työskenteli seitsemän vuotta yksinomaan itse vihjaamatta edistyksestään kenellekään. Vasta loppuvaiheessa Katz Princetonin yliopistosta auttoi Wilesiä. Kun hän julkisti todistuksensa pitämällä kolme luentoa Cambridgen yliopistossa 21.–23. kesäkuuta 1993, hän hämmästytti yleisöä lukuisilla uusilla ideoilla ja konstruktioilla. Luennon jälkeen matemaatikot tutkivat todistusta tarkemmin ja löysivätkin päättelyssä olleen aukon. Wiles ja Taylor miettivät noin vuoden yrittäessään korjata todistusta. Syyskuussa 1994 he saivat lopulta aukon paikatuksi käyttämällä hyväkseen niin sanottua Iwasawan teoriaa.
Tässä osiossa esitetään matemaattinen todistus Fermat’n suurelle lauseelle tapauksessa formula_24 Todistuksessa tarvitaan seuraavia matemaattisia käsitteitä: suurin yhteinen tekijä (syt), jaollisuus ja kongruenssi. Huomaa yhteys Pythagoraan lauseeseen. 
Olkoon
formula_25 ja formula_26
Tällöin yleinen ratkaisu yhtälölle
formula_27
on
formula_28 formula_29 ja formula_30
missä formula_31 ja formula_32 ovat eri pariteettia olevia luonnollisia lukuja. Lisäksi formula_33 ja formula_34.
Edelleen jokaista tällaista paria formula_35 vastaa tarkalleen yksi kolmikko formula_36, joka toteuttaa ehdot (1) ja (2).
Todistus: Oletetaan, että yhtälö (2) pätee ehdoilla (1). Edellä nähtiin, että formula_37 on pariton, ja selvästi myös formula_38 on pariton ja formula_39.
Näin ollen formula_40 ja formula_41 ovat kokonaislukuja ja
formula_42.
Muutoin olisi olemassa formula_43 siten että formula_44 ja formula_45,
jolloin formula_46 eli formula_47 ja formula_48, ja seuraisi ristiriita.
Yhtälön (2) nojalla
formula_49
ja molempien puolten alkulukuhajotelmia tarkastelemalla huomataan, että yhtälön oikeanpuoleisten tekijöiden on oltava neliöitä, koska niiden suurin yhteinen tekijä on 1.Täten
formula_50
joillekin
formula_51 formula_52 joille formula_53 ja formula_54
On myös voimassa kongruenssi
formula_55 (mod 2)
mistä nähdään, että alkiot formula_31 ja formula_32 ovat eri pariteettia. Kongruenssin formula_58 (mod 2) näkee todeksi sijoittamalla alkioiden formula_31 ja formula_32 tilalle luvut 0 ja 1 eri kombinaatioina.
Täten kaikki yhtälön (2) ratkaisut, jotka toteuttavat ehdot (1), ovat muotoa
formula_28 formula_29 ja formula_63
missä formula_31 ja formula_32 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot
formula_33 ja formula_67
Ratkaisu (6) nähdään todeksi yhtälöiden (4) ja (5) avulla.
Oletetaan toisaalta, että formula_31 ja formula_32 ovat eri pariteettia ja toteuttavat ehdot (7), ja että kaavat (3) ovat voimassa. Silloin
formula_70
missä
formula_71 formula_72 formula_73 ja formula_74
Edelleen, jos formula_75, niin
formula_76
Vähentämällä ja summaamalla edelliset toisistaan saadaan formula_77 ja formula_78.
Koska formula_33, niin formula_80 tai formula_81. Koska muuttuja formula_37 on pariton, on luvun formula_83 oltava formula_84. Näin ollen formula_85.
Täten jos ratkaisu formula_36 tunnetaan, niin sitä vastaavat yksikäsitteiset formula_31 ja formula_32, jotka saadaan yhtälöistä (5). Toisaalta jokaista ehdot (7) toteuttavaa eri pariteettista paria formula_35 vastaa yksikäsitteinen yhtälön (2) ratkaisu formula_36, joka saadaan yhtälöistä (3).
Tästä seuraa, että jokaista paria formula_35 vastaa tarkalleen yksi kolmikko formula_36.