Sorites-paradoksi
Sorites-paradoksi (< , "sōros", kasa, pino; adj. , "sōritēs") tai Eubulideen paradoksi on kielellinen paradoksi, joka syntyy monien predikaattien epämääräisyydestä: emme osaa sanoa täsmällisesti missä vaiheessa jokin pienistä eroista kasautuva ominaisuus muuttuu toiseksi tai lakkaa olemasta.
Paradoksia kuvataan yleensä hiekkakasalla; paradoksi rakentuu siitä, mikä on hiekkakasa; kun meillä on olemassa hiekkakasa, ja otamme siitä yhden hiekanjyvän pois, se on yhä hiekkakasa, josta voimme ottaa hiekanjyvän ilman että se lakkaa olemasta hiekkakasa. Tätä jatkettaessa loputtomiin törmätään kuitenkin ristiriitaan, koska hiekkakasassa ei ole ääretöntä määrää hiekanjyväsiä. Pinoparadoksin voi rakentaa myös toiseen suuntaan; yksi hiekanjyvä ei ole hiekkakasa. Jos lisätään yhteen toinen jyvä, saadaan kaksi jyvää, mutta tämäkään ei ole vielä kasa. Jossain vaiheessa hiekanjyvät kuitenkin muodostavat kasan.
Sorites-paradoksi ei ole looginen paradoksi, siinä ei ole sisäistä ristiriitaa. Tämä paradoksi ratkeaa kielen tulkitsemisen kautta. Paradoksissa viitataan kielen ilmaisujen "hiekkakasa" eri sisältöihin. Emme voi eksaktisti määrittää missä vaiheessa kasa muuttuu yksittäisten hiekanjyvien joukoksi. Tämän vuoksi jos päättelyketju osoittaa jotain asiaa ristiriitaiseksi ja joutuu pinoparadoksiin, ei asia ole virheellinen, vaan sen sijaan itse päättelyketju on virheellinen.
Paradoksin ensimmäinen muotoilu on laitettu Eubulideen nimiin.
Kuvitellaan hiekkakasa, josta poistetaan yksittäin hiekanjyviä. Voidaan muodostaa argumentti seuraavilla premisseillä:
Jos kummatkin premissit hyväksytään, toisen premissin toistuva soveltaminen niin, että hiekkakasa pienenee jokaisella kierroksella yhdellä hiekanjyvällä, pakottaa myöntämään myös sen, että yksi ainoa hiekanjyvä muodostaa hiekkakasan.
Koska useimmat kuitenkin kieltäisivät johtopäätöksen, se voidaan torjua kieltämällä jompikumpi premisseistä. Joku voisi esittää vastaväitteen, ettei 1 000 000 hiekanjyvää muodosta hiekkakasaa. Luku 1 000 000 on kuitenkin sattumalta valittu suuri luku, ja argumentti pätisi mille tahansa suurelle luvulle. Tällöin olisi kiellettävä kokonaan se, että ylipäätään on olemassa hiekkakasoja. Muun muassa Peter Unger on omaksunut tämän lähestymistavan.
Vaihtoehtoisesti voidaan kieltää toinen premissi. Tällöin voidaan väittää, ettei jokaiselle hiekkakasalle päde se, että siitä voidaan poistaa yksi hiekanjyvä niin, että tuloksena on edelleen hiekkakasa. On myös mahdollista väittää, että myös yksi hiekanjyvä (tai jopa nolla hiekanjyvää) muodostaa hiekkakasan.
Soritesparadoksia voidaan kuvata myös siten, että kun poistamme tukasta hiuksen, pysyy tukka tukkana; samalla kuitenkin jossain vaiheessa nypintää henkilö muuttuu kaljuksi.
Eubulides esitti tämän niin päin, että yksihiuksinen mies on kalju, samoin kaksihiuksinen, mutta mihin vedetään raja, kuinka monta hiusta miehellä tulee olla, ettei hän enää ole kalju? Paradoksin nimi oli "falakros" eli kaljun miehen paradoksi.
Paradoksi voidaan esittää myös monilla muilla ominaisuuksilla, kuten ”pituus”, ”rikkaus”, ”vanhuus”, ”sininen” ja niin edelleen. Bertrand Russell on esittänyt artikkelissaan ”Vagueness” kaiken luonnollisen kielemme ja jopa loogisten konnektiivien olevan samalla tavalla epämääräisiä.
Yleinen ensimmäinen vastaus paradoksin ratkaisuksi on ehdottaa jonkin kiinteän minimirajan asettamista hiekanjyvien määrälle, jotta niiden kokonaisuus olisi hiekkakasa. Jos kiinteä raja asetettaisiin esimerkiksi 10 000 hiekanjyvään, voitaisiin väittää, että alle 10 000 hiekanjyvän kokonaisuus ei olisi hiekkakasa ja yli 10 000 hiekanjyvän kokonaisuus olisi hiekkakasa.
Näin hiekkakasa voidaan määritellä induktiivisesti hiekanjyvien vähentämisen sijaan, seuraavalla tavalla:
ja säätää ensimmäisessä premississä esiintyvä hiekkakasan pienin mahdollinen hiekanjyvien määrä jollekin hyväksytylle tasolle.
Tällainen ratkaisu on kuitenkin epätyydyttävä, koska 9 999 ja 10 001 hiekanjyvän kokonaisuudella ei vaikuta olevan merkittävää eroa. Mikään raja, miten tahansa se asetetaankaan, johtaa takaisin samanlaiseen epämääräisyyteen kuin alkuperäisessä tilanteessakin. Rajan tarkkuus hämää, mutta ei poista epämääräisyyttä. Rajan määrittäminen ei myöskään vastaa sitä, miten käytämme luonnollista kieltä hiekkakasoista puhuessamme.
Timothy Williamson ja Roy Sorensen ovat ehdottaneet, että kiinteät rajat ovat kyllä olemassa, mutta ne ovat välttämättä tuntemattomia.
Supervaluationismi on semantiikka, joka on tarkoitettu viittauksen kohdetta vailla olevien singulaaristen termien ja epämääräisyyden käsittelyyn. Ajatellaan esimerkiksi lausetta ”Pegasos pitää lakritsista”, jossa Pegasoksella ei ole viittauksen kohdetta. Mikä lauseen totuusarvo olisi? Pegasos-myyttikään ei tarjoa mitään ratkaisua. Toisaalta voimme ajatella lausetta ”Pegasos pitää lakritsista tai Pegasos ei pidä lakritsista”, joka on muotoa formula_1 (eli "Lp" tai ei-"Lp"). Eikö jälkimmäinen lause olisi aina tosi, riippumatta lauseen muusta sisällöstä? Supervaluationismin mukaan sen tulisi olla.
Rosanna Keefen mukaan muotoa ”jokin on "F"” oleva väittämä voi olla tosi vaikkakaan mikään sen substitutionaalinen instanssi ei ole tosi. Esimerkiksi, vaikka ei ole olemassa mitään sellaista pituutta "h", jolla väittämä ”ihmiset joiden pituus on "h" ovat pitkiä, mutta ihmiset joiden pituus on "h" - 0,1 mm eivät ole pitkiä” olisi tosi, sen eksistenssikvantifioitu muoto ”on olemassa pituus "x" niin, että ihmiset joiden pituus on "x" ovat pitkiä, kun taas ihmiset, joiden pituus on "x" - 0,1 mm eivät ole pitkiä” on tosi. Vastaavasti universaalikvantifioitu väittämä voi olla epätosi ilman, että mikään sen substitutionaalinen instanssi on epätosi.
Kun Sorites-paradoksi esitetään joukkona ehtolauseita, joku lauseista on aina epätosi, ja muiden joukossa voi olla lauseita, jotka eivät ole enempää tosia kuin epätosiakaan. Keefen mukaan Sorites-paradoksin tapauksessa supervaluationismi välttää paradoksin, koska sen ei tarvitse hyväksyä kaikkia premissejä.
Toinen lähestymistapa on käyttää moniarvoista logiikkaa. Kahden loogisen tilan, ”kasa” ja ”ei-kasa”, sijasta voidaan käyttää kolmiarvoista järjestelmää, esimerkiksi ”kasa”, ”epävarma” ja ”ei-kasa”. Kolmiarvoinen järjestelmä ei kuitenkaan ratkaise varsinaista ongelmaa täysin, koska tällöin seuraa kysymys, mihin vedetään raja toisaalta ”kasan” ja ”epävarman” välille, ja toisaalta ”epävarman” ja ”ei-kasan” välille. Kolmas totuusarvo voidaan ymmärtää esimerkiksi ”totuusaukkona” ("truth gap").
Sumea logiikka mahdollistaa loogisten tilojen jatkumon, jossa on äärettömän monta totuusarvoa. Jatkumo voidaan jakaa alueisiin, jotka vastaavat esimerkiksi sellaisia luokkia kuin ”varmuudella kasa”, ”enimmäkseen kasa”, ”osittain kasa”, ”hieman kasa” ja ”ei kasa”.
Eräs lähestymistapa on käyttää hystereesiä. Se voidaan määritellä muistin omaavaksi järjestelmäksi, joka voi olla miten monessa tilassa tahansa. Järjestelmällä voi olla tieto siitä, minkälaisesta tilasta hiekkakasa lähti. Samansuuruisia hiekkamääriä voidaan tällöin pitää kasoina tai ei, riippuen siitä, mikä niiden historia on. Jos suuri hiekkakasa (joka on eittämättä kasa) pienenee vähitellen, se säilyttää asemansa kasana silloinkin, kun sen tämänhetkinen hiekan määrä on vain muutamia hiekanjyviä. Jos tämä tila kuitenkin jatkuu pitkään, se voi menettää kasan asemansa.
Sanan ”kasa” merkitys voidaan yrittää asettaa vetoamalla konsensukseen. Tällöin voitaisiin katsoa, että hiekanjyvien kokonaisuus on hiekkakasa siinä suhteessa, kuinka monta prosenttia ihmisistä pitäisi sitä kasana.
Ryhmä ihmisiä voi päättää, että:
Näiden kahden ääripään välillä yksittäiset ryhmän jäsenet voivat olla eri mieltä siitä, voidaanko hiekanjyvien kokonaisuutta pitää hiekkakasana. Näin hiekanjyvien kokonaisuutta ei voida varmuudella määritellä kasaksi tai ei-kasaksi, vaan kyseessä on enemmän todennäköisyyden kaltainen tilanne.