Planckin laki
Planckin laki on sähkömagneettisen kvanttiteorian tärkeimpiä tuloksia. Lain keksi Max Planck tutkiessaan niin sanottua mustan kappaleen säteilyä. Planckin laki on askel eteenpäin Rayleigh-Jeansin laista, joka ei pystynyt selittämään mustan kappaleen säteilyä suurilla taajuuksilla, vaan johti ns. ultraviolettikatastrofin nimellä tunnettuun ilmiöön. Planckin laki antaa mustan kappaleen säteilyn energiatiheysjakauman formula_1 säteilyn taajuuden formula_2 funktiona
missä "h" on Planckin vakio, c valonnopeus, k Boltzmannin vakio, sekä T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila.
Max Planck kehitteli tämän lain alun perin vuonna 1900 (julkaistu vuonna 1901) yrittäessään etsiä teoreettista perustelua kokeellisten tulosten pohjalta johdetuille säteilylaeille (mm. Wienin säteilylaki). Planck huomasi, että yllä mainittu funktio sopi dataan kaikilla aallonpituuksilla huomattavan hyvin.
Rayleigh'n-Jeansin lakia pidetään usein Planckin lähtökohtana, vaikka näin ei ollut: Rayleigh'n-Jeansin laki kehitettiin vasta Planckin esitettyä oma säteilylakinsa. Laki oli kuitenkin erikoisen merkittävä, sillä se perustui vahvaan teoreettiseen pohjaan siinä missä Planck oli joutunut toistaiseksi tyytymään joissain kohdissa "käsien heilutteluun". Rayleigh'n-Jeansin laissa oli kuitenkin ultraviolettikatastrofina tunnettu paha puute. Tämä osoitti termodynamiikan teoreettisen perustan olevan ongelmallinen. Ultraviolettikatastrofi oli peräisin klassisen fysiikan laskelmista, joissa säteilyn oletettiin olevan jatkuvaluonteista. Planck yritti kehittää paremman perusteorian, joka täydentäisi termodynamiikan. Hän laski, että uusi säteilylaki sopii kaikkiin spektroskooppisiin mittauksiin siinä tapauksessa, että kappaleen varautuneiden säteilijöiden eri moodien summa lasketaan olettamalla näiden säteilijöiden energian olevan suoraan verrannollinen taajuuteen.
formula_4
Vastoin yleistä luuloa Planck ei käsitellyt valon vaan aineen ja säteilyn välisen energiavaihdon kvantittumista – ja sitäkin vasta vuonna 1911 Einsteinin ja Lorenzin myötävaikutuksella. Se käy selväksi hänen alkuperäisestä kirjoituksessaan vuodelta 1901 ja tässä paperissa oleviin viittauksiin aikaisempaan työhönsä. Hänen kirjassaan ”Theory of Heat Radiation” (Lämpösäteilyn teoria) on myös selvästi esitetty Planckin vakion viittaavan sähköiseen värähtelijään (Hertzian oscillator). Kvantittumisen käsitteen kehittivät muut sellaiseksi, joka nykyisin tunnetaan kvanttimekaniikkana. Seuraavan askeleen tällä tiellä otti Albert Einstein, joka valosähköistä ilmiötä tutkittuaan ehdotti mallia ja yhtälöä, jossa valoa ei vain emittoitu (lähetetty) vaan myös absorboitiin (vastaanotettiin) paketteina tai fotoneina. Tyydyttävä teoreettinen johto laille saatiin kuitenkin vasta, kun Satyendra Nath Bose ja Einstein 1920-luvulla olivat esittäneet Bosen–Einsteinin statistisen jakaumalain.
Planckin mustan kappaleen säteilylaista on johdettu nykyinen Stefan-Boltzmannin laki.
Missä formula_6 on säteilyn aallonpituus (m), c valonnopeus (m/s), h Planckin vakio (Js), k Boltzmannin vakio (J/K) ja T absoluuttinen lämpötila (K)
Planckin lain johtaminen etenee samalla tavalla kuin Rayleigh-Jeansin lain johtaminen, mutta energia on kvantittunut. Tällä vältetään ultraviolettikatastrofi ja mustan kappaleen kokonaissäteilyteho on äärellinen.
Tarkastellaan vakiolämpötilan T alaisuudessa sähkömagneettisia aaltoja suljetussa kuutiossa, jonka sivun pituus on L. Kuutio toimii siis mustana kappaleena. SM aallot ovat vangittuja laatikkoon, joten ne muodostavat seisovia aaltoja sen sisällä. Sähkömagneettisilla aalloilla on sekä sähkö- että magneettikomponentit. Keskitytään sähkökomponenttiin.
Aaltoyhtälö sähkökomponentille E kolmessa ulottuvuudessa noudattaa: formula_7, missä c = aaltoliikkeen etenemisnopeus, tässä valonnopeus. Voimme ratkaista yhtälön separoimalla muuttujat x-, y-, ja z-suunnissa: formula_8. Huomattakoon, että eksplisiittinen aikariippuvuus on jätetty pois; voimme lisätä sen tosin takaisin myöhemmin, jos tarvitsemme.
Ratkaisua vastaa aaltovektori formula_9 jolle on voimassa formula_10, missä formula_11 on aaltoliikkeen kulmataajuus.
Jokaisessa ulottuvuudessa sovitamme kokonaislukumäärän puolikkaita aallonpituuksia matkalle L: formula_12, formula_13, formula_14, missä l, m, ja n ovat kokonaislukuja. Tästä seuraa formula_15 ja lopuksi formula_16, missä formula_17.
Jokainen kombinaatio ("l", "m", "n") on itsenäinen systeemin moodi.
"Suurelle" järjestelmälle voimme määrittää moodien määrän taajuusintervallille formula_18 laskemalla pisteiden määrän "k"-avaruudessa intervallilla formula_19, joka vastaa intervallia formula_18. Koska "l", "m", ja "n" ovat positiivisia kokonaislukuja, tarvitsee meidän tarkastella vain yhtä kahdeksasosaa "p"-säteisestä pallosta. "p"-säteisen ja d"p"-paksuisen pallomaisen pinnan tilavuus on formula_21, joten moodien määrä oktantissa on formula_22. Koska formula_23 ja formula_24, saamme formula_25. Koska formula_26, eli laatikon tilavuus ja formula_27, voimme kirjoittaa lausekkeen seuraavaan muotoon: formula_28
Sähkömagneettisille aalloille jokaista moodia ("l", "m", "n") vastaa kaksi itsenäistä polarisaatiota, joten formula_29 ja yksikkötilavuutta kohti formula_30.
Valosähköinen ilmiö osoitti, että valo koostuu kvanteista, fotoneista, joiden on energia E suhteessa säteilyn taajuuteen formula_31 kaavan formula_32 mukaisesti, missä "h" on Planckin vakio. Täten moodin energia ei voi ottaa mitä tahansa arvoa, vaan ainoastaan formula_33:n kerrannaisen. Moodin energia on tällöin formula_34, jossa yhdistämme "n" fotonia kyseessä olevaan moodiin.
Olkoot kaikki moodit (ja fotonit) termisessä tasapainossa (absoluuttisessa) lämpötilassa T. Ollakseen termisessä tasapainotilassa systeemin on voitava vaihtaa energiaa moodien kesken ja tämä tapahtuu hiukkasten kesken kappaleen seinissä tai sisällä. Voimme käyttää Boltzmannin jakaumaa määrittämään eri moodien olemassaoloa. Todennäköisyys "p(n)", että moodi "n" energialla "E" on energiallisesti olemassa on
Moodin, jonka taajuus on formula_31 keskienergia on siten
Sijoitetaan formula_38, jolloin saamme
Joten
Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on 
josta