Tiheysfunktio
Tiheysfunktio ( ) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava todennäköisyysfunktio. Tiheysfunktiolla on läheinen yhteys tilastotieteessä käytettävään histogrammiin, jolla havainnollisetaan luokitellun aineiston arvojen jakautumista. Tiheysfunktioiden arvot eivät itsessään ole todennäköisyyksiä, mutta tiheysfunktion avulla voidaan laskea todennäköisyydet käyttämällä määrättyä integraalia. Tiheysfunktio määrittelee satunnaismuuttujan täysin, ja sen avulla voidaan määrittää satunnaismuuttujan kaikki ominaisuudet.
Satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio on tiheysfunktiolle yläkäsite, jossa diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio on tiheysfunktiolle rinnakkaiskäsite. Tiheys- ja pistetodennäköisyysfunktioilla on varsin erilaiset ominaisuudet ja matemaattiset vaatimukset, joten on perusteltua kutsuakin näitä eri nimillä. Tiheysfunktion nimitykset muilla kielillä ovat suomalaisen nimityksen kanssa vastaavia, mikä voidaan todeta esimerkiksi (eli PDF), (eli WDF) tai .
Tiheysfunktiota kutsutaan joskus myös "todennäköisyyden massafunktioksi", jotta nimityksen mieleyhtymä todennäköisyyden kasautumisesta tietyille arvoalueille korostuisi. Samaa yritetään kenties tiheys-sanan käytöllä. Muutamilla muilla käsitteillä, kuten esimerkiksi momenteilla, etsitään kenties vertailukohtia mekaniikasta.
Normaalijakauman tiheysfunktion kuvaajaa kutsutaan yleisesti "kellokäyräksi" tai "Gaussin käyräksi".
Satunnaismuuttuja formula_1 on jatkuva, jos on olemassa sellainen funktio formula_2, että kaikille reaaliakselin väleille formula_3 on 
Tätä funktiota formula_5 kutsutaan tiheysfunktioksi. Satunnaismuuttujan jatkuvuuden edellytys on, että mitkä tahansa todennäköisyydet tulee voida laskea tiheysfunktion määrättyjen integraalien avulla yksikäsitteisellä tavalla. Samalla käy ilmi tiheysfunktion kytkentä todennäköisyyteen.
Kukin yksittäinen satunnaismuuttujan arvo on alkeistapaus. Kaikki mahdolliset alkeistapukset muodostavat yhdessä perusjoukon. Kun ajatellaan tiheysfunktiota, on sen määrittelyjoukko ja satunnaismuuttujan perusjoukko sama joukko. Yksittäiset määrittelyjoukon kohdat ovat satunnaismuuttujan alkeistapauksia. Tapahtumaa, joka koostuu usein useista alkeistapauksista, merkitään tavallisesti lukujoukkona esimerkiksi lukuvälinä. Lukuvälit rajaavat perusjoukosta suuren osan alkeistapauksista itseensä ja loput perusjoukon alkeistapauksista muodostavat vastatapahtuman. Määritelmä esittää, miten lukuvälin arvojen muodostama tapahtumasta voidaan laskea sen todennäköisyys.
Tiheysfunktio voidaan määritellä myös kertymäfunktion (katso alla) derivaattanakin
mikäli se vain on derivoituva funktio.
Todennäköisyyksien laskemiseksi tulee tiheysfunktiosta ottaa määrätty integraali. Tämä voi tulla vaivalloiseksi tai se voi olla jopa mahdotontakin, sillä kaikille tiheysfunktioille integraalia ei voida määrittää lausekkeen muodossa (esimerkiksi normaalijakauma). Näiden tapausten todennäköisyydet lasketaan numeerisen analyysin avulla likiarvoina ja tulokset kootaan taulukoiksi.
Toistuvan integroimisen välttää antamalla todennäköisyydet valmiiksi integroituna lausekkeena, jota kutsutaan kertymäfunktioksi formula_7. Kertymäfunktion avulla todennäköisyydet saadaan funktioiden arvojen aritmeettisilla laskutoimituksilla. Yleisin tapa on määrittää todennäköisyys tapahtumana, joka sisältää alkeistapaukset tiettyyn arvoon formula_8 asti:
Esimerkiksi eksponenttijakaumassa satunnaismuuttujan formula_1 tiheysfunktio on
joka on määritelty formula_12. Sen kertymäfunktio formula_7 saadaan määritettyä integroimalla se ensin välin formula_14 yli
Kun ylärajaksi merkitään formula_16, saadaan kertymäfunktion lauseke
Kertymäfunktiolla voidaan nyt laskea todennäköisyys integroimatta kertaakaan (parametrilla formula_18)
Vaikka kertymäfunktio on todennäköisyyksien laskemisessa käytännöllisempi, tarvitaan tiheysfunktiota edelleen tunnuslukujen laskemisessa.
Tasaisen jatkuvan jakauman tiheysfunktio saa saman arvon kaikkialla perusjoukkonsa alueella. Mitä leveämpi on perusjoukko, sen pienempiä ovat tiheysfunktion arvot. Jos tiheysfunktio saa arvoja väliltä formula_20, tulee tiheysfunktion arvoksi 0,25, sillä formula_21 Tasaisen jakauman tiheysfunktion arvot välillä formula_3 ovat aina välin pituuden käänteisluku eli formula_23.
Tiheysfunktio voidaan ajatella syntyvän satunnaismuuttujan antamien arvojen eli ulostulojen tilastollisesta histogrammista. Kun ulostulojen määrää kasvatetaan hyvin suureksi, voidaan luokittelua tihentää ja silloin pylväistä tulee hyvin kapeita. Kapeiden pylväiden yläpäät piirtävät melko sileän käyrän, joka tulee pylväiden kaventamisprosessin edetessä lähestymään tiheysfunktiota. Tiheysfunktio edustaa sellaista "histogrammia", jossa on ääretön määrä ulostuloja ja olemattoman kapeat luokat. Histogrammilla voidaan laskea prosentteina erilaisien tapahtumien osuuksia, joita voidaan tulkita tilastollisen todennäköisyyden tulkinnan mukaan todennäköisyyksien likiarvoiksi. Histogrammin alue ja tiheysfunktion alle jäävä alue voidaan siten tulkita samaksi asiaksi. Pinta-alaa, joka jää tiheysfunktion käyrän alle, kutsutaan joskus "todennäköisyysmassaksi". Tiheysfunktion arvo formula_24 tietyssä kohdassa formula_8 kertoo vain "todennäköisyysmassan" korkeuden kyseisessä kohdassa x-akselia.
Tiheysfunktiolta vaaditaan yleisesti, että
kaikille reaaliluvuille. Tämä varmistaa sen, että määrätyt integraalit eli todennäköisyydet olisivat positiivisia tai ainakin ei-negatiivisia.
Määrätyn integraalin ominaisuuksista johtuen funktion äärellinen määrä epäjatkuvuuskohtia ei vielä estä integraalin laskemista. Integraalilaskennossa jokainen yksittäisen pisteen integraali saa arvokseen nolla, joten äärellinen määrä puuttuvia pisteitä ei pienennä määrätyn integraalin arvoa. Asia muuttuu silloin, jos epäjätkuvuuskohtia on numeroituvasti tai ylinumeroituvasti ääretön määrä.
Mikä tahansa funktio ei voi olla tiheysfunktio. Ei-negatiivisuuden lisäksi tiheysfunktion avulla muodostettavat todennäköisyydet tulisivat kaikki olla satunnaismuuttujan todennäköisyyksien mukaisia. Tämä ominaisuus johtaa myös siihen, että koko perusjoukon sisältävän välin formula_27 todennäköisyys ja samalla tiheysfunktion määrätyn integraalin arvo tällä välillä on yksi:
Tämä ehto normittaa funktion. Eräissä tapauksissa jälkimmäinen päätepiste voi olla ääretön tai ensimmäinen päätepiste voi olla "miinus ääretön". Silloin tulee myös epäoleellinen integraali toteuttaa ehdon
Diskreetin satunnaismuuttujan kullakin yksittäisellä arvolla on nollasta poikkeava todennäköisyys. Tämä johtuu satunnaismuuttujan perusjoukon äärellisestä tai numeroituvasti äärettömästä koosta. Tämän perusteella kukin lukuarvo esiintyy "kohtuullisen" usein satunnaismuuttujan ulostulojen joukossa. Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumassa mahdollisia reaalilukuarvoisia arvoja on ylinumeroituvasti ääretön määrä, jolloin yksittäisen lukuarvon esiintyminen on "äärimmäisen harvinaista". Usein tulkitaankin, että sen esiintymistodennäköisyys on "nolla". Tässä on kuitenkin ristiriita käytännön kanssa, sillä satunnaismuuttujahan antaa aina tulokseksi joitakin lukuarvoja. Ainakaan näiden arvojen todennäköisyys ei voi olla "tasan nolla", sillä silloinhan niitä ei esiintyisi ollenkaan. Koska yksittäiset satunnaismuuttujan arvot ovat selvästi mahdollisia, mutta kuitenkin äärimmäisen epätodennäköisiä, voi niiden todennäköisyyttä pitää "melkein nollana". Syntyvä paradoksi kierretään välttämällä jatkuvien satunnaismuuttujien tapauksissa yksittäisten tapauksien todennäköisyyksien laskemista ja summaamista.
Todennäköisyyksiä lasketaankin vain tapahtumille, jotka muodostavat lukusuoralla välejä formula_30. Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin välin sisältävistä luvuista, lasketaan määrättyllä integraalilla 
Huomaa, että edellisen selostuksen nojalla voidaan pitää seuraavia todennäköisyyksiä yhtäsuurina:
sillä avoimella välillä puuttuvan päätepisteen lisäys on todennäköisyydessä vain "nollan" lisäämistä tulokseen. Tämän ymmärtää helposti määrätyn integraalin ominaisuudesta, jossa
Integraalin sisältävä määritelmä on käytännöllinen myös sen vuoksi, että se sallii tiheysfunktiolle joitakin yksittäisiä, eli äärellisen määrän, epäjatkuvuuskohtia ilman, että integraalin laskemisessa tulisi ongelmia.
Jos epäoleelliset integraalit ovat olemassa, voidaan laskea myös
Todennäköisyys, että seuraava satunnaismuuttujan arvo on jokin perusjoukon luvuista, on luonnollisesti yksi (tapahtuu aina). Välin rajat voidaan merkitä äärettömän kauaksi toisistaan, vaikka perusjoukko voikin olla rajoitettu. Tällöin 
raja-arvon määrittämässä mielessä.
Jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukuja on lukuisia. Odotusarvo merkitään ja määritellään 
Kyseessä on epäoleellinen integraali ja se on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti. Mikäli perusjoukko on rajoitettu esimerkiksi välille formula_3, voidaan odotusarvo laskea määrätyllä integraalilla
Odotusarvoa kutsutaan myös "ensimmäiseksi momentiksi", sillä se on ensimmäinen pitkässä momenttien sarjassa. Yleinen määritelmä "n:nelle momentille" on
Keskusmomenteiksi tai keskeismomentiksi kutsutaan niitä odostusarvoja, jotka lasketaan erotuksista formula_41 Ne määritellään muuten samalla tavalla kuin tavalliset momentit eli origomomentit: 
Näistä "toinen keskusmomentti" on varianssi:
josta saadaan neliöjuurella keskihajonta
Kaikki momentit saadaan momentit generoivasta funktiosta