Murtoluku
Murtoluku on kahden kokonaisluvun osamääräksi kirjoitettu luku. Murtoluvut kirjoitetaan muodossa
formula_1
tai "". Murtoluvuissa jaettavaa ("m") sanotaan "osoittajaksi" ja jakajaa ("n") nimittäjäksi. Kaikki rationaaliluvut voidaan esittää murtolukuina, eli murtoluku on eräs rationaaliluvun esitystapa.
Murtolukua, jonka osoittaja on itseisarvoltaan pienempi kuin nimittäjä, sanotaan "varsinaiseksi murtoluvuksi". Päinvastaisessa tapauksessa on kyseessä "epämurtoluku". Jokainen positiivinen varsinainen murtoluku on arvoltaan pienempi kuin 1, epämurtoluku taas suurempi kuin 1. Jos osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, murtoluku on arvoltaan tasan 1. Murtoluvun käänteisluku saadaan vaihtamalla sen osoittaja ja nimittäjä keskenään. Esimerkiksi luvut formula_2 ja formula_3 ovat toistensa käänteislukuja. Varsinaisen murtoluvun käänteisluku on siis epämurtoluku ja päinvastoin. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1.
Lukua 1 suuremmat rationaaliluvut ilmaistaan usein myös ns. "sekalukuina" eli kokonaisluvun ja varsinaisen murtoluvun summana; tällöin kuitenkin yhteenlaskumerkki (+) jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi luku formula_3 on sekalukuna formula_5.
"Yksikkömurtoluvuiksi" kutsutaan murtolukuja, joiden osoittaja on 1. Suomen kielessä yksikkömurtolukujen nimet muodostetaan lisäämällä nimittäjää vastaavan järjestyslukusanan jälkeen sana -osa. Esimerkiksi formula_6 on kolmasosa (tai yksi kolmasosa). Pieniä nimittäjiä vastaaville yksikkömurtoluvuille käytetään myös nimityksiä, joissa nimittäjää vastaavaan kardinaalilukusanaan lisätään johdin "-nnes", esimerkiksi formula_6 on "kolmannes". Luku formula_8 on kuitenkin nimeltään "puoli".
Muut murtoluvut lausutaan sanomalla ensin osoittaja, sen jälkeen nimittäjää vastaava yksikkömurtoluku partitiivimuodossa. Esimerkiksi formula_9 on "kaksi kolmasosaa" eli "kaksi kolmannesta".
Monissa muissa kielissä, esimerkiksi englannissa, yksikkömurtolukujen niminä (kun nimittäjä on vähintään 3) käytetään vastaavia järjestyslukusanoja sellaisenaan.
Murtoluvun arvo ei muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tällaista murtoluvun muuntamista toiseen muotoon sanotaan laventamiseksi ja kerrointa "laventajaksi". Murtoluvun arvo ei myöskään muutu, jos sen osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Tällaista muuntamista sanotaan supistamiseksi ja lukua, jolla ne jaetaan, "supistajaksi".
Murtoluvun määritelmän mukaan osoittaja ja nimittäjä tulee olla kokonaislukuja. Siksi murtoluku voidaan supistaa vain luvulla, joka on osoittajan ja nimittäjän yhteinen tekijä.
Tavallisimmin tällainen murtoluku supistetaan niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä. Esimerkiksi murtoluku formula_10 voidaan supistaa muotoon formula_9, koska lukujen 8 ja 12 suurin yhteinen tekijä on 4. Murtoluku saadaan siten "sievimpään muotoonsa" eli murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ovat mahdollisimman pienet kokonaisluvut.
Kun murtolukuja vertaillaan tai niitä lasketaan yhteen, ne lavennetaan "samannimisiksi", toisin sanoen siten, että murtoluvuilla on "yhteinen nimittäjä", joka on alkuperäisten murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen jaettava. Kerto- ja jakolaskussa laventaminen ei ole tarpeellista.
Murtoluvuista, joilla on sama positiivinen nimittäjä, on se suurempi, jolla on suurempi osoittaja. Murtoluvuista, joissa sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia ja joilla on sama osoittaja, on se suurempi, jolla on pienempi nimittäjä. Niinpä esimerkiksi formula_12 on pienempi kuin formula_13, mutta formula_12 on suurempi kuin formula_15.
Murtoluvut ovat yhtäsuuret, jos niillä on sievimpään muotoonsa supistettuna samat esitykset. Esimerkiksi formula_16 ja formula_9 ovat yhtä suuret, koska formula_16 voidaan supistaa kahdella ja saadaan formula_9. Samansuuruus selviää käytännössä myös supistamalla tai laventamalla murtoluvut samannimisiksi, jolloin osottajat tulevat myös samoiksi.
Jos murtoluvuilla ei ole samaa osoittajaa eikä samaa nimittäjää, ne voidaan laventaa samannimisiksi, jolloin niistä se on suurempi, jolla on suurempi osoittaja. Jos murtoluvut lavennetaan siten, että niillä on sama osoittaja, on se murtoluku suurempi, jolla on pienempi nimittäjä.
Kahden murtoluvun väliin voidaan luoda yksinkertaisesti uusi murtoluku yksinkertaisesti. Esimerkiksi formula_12 on pienempi kuin formula_21. Silloin formula_22 on uusi murtoluku, joka on samalla isompi kuin formula_12 ja pienempi kuin formula_24 eli formula_25.
Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, lasketaan yhteen laskemalla niiden osoittajat yhteen; nimittäjä pysyy ennallaan. Samoin murtoluvusta vähennetään toinen murtoluku vähentämällä ensimmäisen murtoluvun osoittajasta jälkimmäisen osoittaja; nimittäjä pysyy tällöinkin ennallaan. Niinpä esimerkiksi formula_26 ja formula_27.
Jos murtoluvuilla on eri nimittäjä, ne on ensin lavennettava samannimisiksi, minkä jälkeen osoittajat lasketaan yhteen tai vähennetään. Summana tai erotuksena saatu murtoluku supistetaan, jos mahdollista.
Murtoluvut kerrotaan keskenään kertomalla niiden osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään.
"Esimerkki: formula_28"
Murtolukujen jakolaskuun on käytössä pari käyttökelpoista tapaa:
1. Kerrotaan ensimmäinen murtoluku jälkimmäisen käänteisluvulla
2. Kerrotaan ristiin – ensimmäisen osoittajan (nimittäjän) ja jälkimmäisen nimittäjän (osoittajan) tulo muodostaa vastauksen osoittajan (nimittäjän)
Rationaaliluvut voidaan esittää myös desimaalilukuina ja arvoltaan yli yhden olevat murtoluvut myös sekalukuina. Päättyvät desimaali­luvut ovatkin itse asiassa murtolukuja, joiden nimittäjä on jokin 10:n potenssi; esimerkiksi formula_29.
Murtolukua vastaava desimaaliluku on päättyvä vain, jos sen nimittäjä supistamisen jälkeen ei ole jaollinen muulla alkuluvulla kuin 2 ja 5. Muussa tapauksessa sitä vastaa päättymätön jaksollinen desimaaliluku.