Ryhmä (algebra)
Ryhmä on tärkein yhden joukon ja yhden laskutoimituksen muodostama algebrallinen rakenne. Joukon on oltava laskutoimituksen suhteen suljettu siten, että laskutoimituksen tulos kuuluu samaan joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen (mutta ei välttämättä vaihdannainen), laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Tyyppiesimerkki ryhmistä on kokonaisluvut ja yhteenlasku, jossa neutraalialkio on nolla ja käänteisalkio vastaluku.
Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta.
Ryhmä tarkoittaa epätyhjää joukkoa formula_1, jossa on määritelty binäärioperaatio formula_2 ja joka toteuttaa seuraavat ehdot:Jos lisäksi on voimassa
sanotaan, että ryhmä on kommutatiivinen eli vaihdannainen ja siten "Abelin ryhmä".
Ryhmä merkitään joko formula_8 tai formula_9.
Monoidi on määritelmän ehdot 1-3 täyttävä rakenne, joten ryhmä voidaan määritellä monoidiksi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Yhtäpitävästi ryhmä voitaisiin määritellä myös luupiksi, jonka laskutoimitus on liitännäinen.
Ryhmäteoriassa käytetään myös seuraavia merkintöjä:
Kaikilla ryhmillä on muun muassa seuraavat ominaisuudet:
Ryhmän alkion potenssi määritellään kuten alkeisaritmetiikassa:
Potenssilla on seuraavat laskusäännöt (m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m ≥ 1, n ≥ 1):
Ryhmille voidaan määritellä ensinnäkin totuusarvoisia ominaisuuksia ja nämä ominaisuudet voivat muodostaa hierarkioita. Voidaan tutkia esimerkiksi onko jokin ryhmä vaihdannainen tai onko se ratkeava. Jokainen vaihdannainen ryhmä on aina myös ratkeava, mutta kääntäen sama ei päde; siis vaihdannaiset ryhmät ovat ratkeavien ryhmien aliluokka.
Ryhmistä voidaan etsiä tietyt ehdot täyttäviä osajoukkoja. Näistä tärkein on aliryhmä: sellainen ryhmän osa, joka on itsessään ryhmä saman laskutoimituksen suhteen. Toinen esimerkki on ryhmän keskus, niiden alkioiden joukko, jotka ovat vaihdannaisia kaikkien alkioiden kanssa. Aliryhmiä voi ryhmällä olla useita, keskus on näistä yksi.
Uusia ryhmiä voidaan muodostaa esimerkiksi "jakamalla" ryhmä jollain normaalilla aliryhmällään, jolloin tulosta kutsutaan tekijäryhmäksi. Esimerkki tästä on 
"jakaa" kaikki kokonaisluvut kymmenellä jaollisilla luvuilla, jolloin tekijäryhmä on luvut 0-9 varustettuna yhteenlaskulla josta otetaan viimeinen numero.
Esimerkki 1. Joukko "G" = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä.
Näytetään, että joukko "G" täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4:
Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:
Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen.
Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon "G". Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i.
Ehto 4. Joukon alkioiden käänteisalkiot ovat 1⁻¹ = 1, (-1)⁻¹ = -1, i⁻¹ = -i ja (-i)⁻¹ = i, ja ne kuuluvat joukkoon "G".
Joukko "G" siis täyttää kaikki ryhmän määritelmän ehdot 1–4, joten "G" on ryhmä.
Esimerkki 2. Kokonaislukujen joukko on Abelin ryhmä binäärioperaattorin formula_14 suhteen (neutraalialkio on luku formula_15 ja käänteisalkio on kunkin luvun "vastaluku".) Kokonaisluvut eivät kuitenkaan muodosta ryhmää kertolaskun suhteen, sillä vastalukuehto ei toteudu.
Esimerkki 3. Imaginaarilukujen joukko muodostaa niin ikään ryhmän yhteenlaskun suhteen. Ryhmän muodostamiseen kertolaskun suhteen on useita esteitä: ryhmä ei ole suljettu, ykkösalkio ei kuulu ryhmään (se olisi formula_16, mutta formula_16 ei ole imaginaariluku).
Esimerkki 4. Reaalilukujen joukko ilman nollaa, formula_18 on ryhmä kertolaskun suhteen. Luku nolla täytyy jättää pois koska sillä ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on luku formula_16.
Esimerkki 5. Kompleksilukujen formula_20 joukko, eli kompleksitason yksikköympyrä muodostaa ryhmän kertolaskun suhteen. Ryhmän neutraalialkio on formula_21.
Esimerkki 6. Neliömatriisit, joiden determinantti on formula_16, muodostavat matriisikertolaskun suhteen ryhmän, joka ei ole kommutatiivinen.
Matriisiryhmät muodostuvat matriiseista ja ryhmäoperaationa toimii matriisitulo. "Yleinen lineaariryhmä" "GL"("n", R) on matriisiryhmä, joka muodostuu kääntyvistä "n×n" reaalisista matriiseista. Sen aliryhmiä nimitetään "matriisiryhmiksi" tai "lineaariryhmiksi" Tärkeä esimerkki matriisiryhmästä on "erityinen ortogonaaliryhmä" "SO"("N")". Se kuvaa rotaatioita "n"-ulotteisessa avaruudessa.
"Esitysteoria" on sekä ryhmäkäsitteen sovellus että tärkeä väline ryhmien luonteen ymmärtämiseksi.
Lineaariesitykset ovat laaja ryhmien esityksen luokka. Lineaariesityksessä ryhmä vaikuttaa vektoriavaruuteen, kuten 3-dimensioiseen euklidiseen avaruuteen R. Ryhmän "G" esitys "n"-dimensioisessa reaalisessa vektoriavaruudessa on ryhmähomomorfismi
ryhmästä yleiseen lineaariryhmään. Ryhmän esitykset muuttavat abstraktin ryhmäoperaation matriisituloksi, jolloin myös ryhmätoimituksen eksplisiittinen lasku onnistuu.