Kokonaisalue
Rengasta formula_1 kutsutaan kokonaisalueeksi (), jos formula_1 on kommutatiivinen eikä formula_1:ssä ole nollanjakajia. Monet kiinnostavat renkaat ovat kokonaisalueita, muun muassa kokonais- ja reaaliluvut sekä jäännösluokkarenkaat formula_4, missä "m" on alkuluku. Kokonaisalueet käyttäytyvät monessa suhteessa samankaltaisesti kuin kokonaisluvut, joita voidaan pitää kokonaisalueiden perusesimerkkinä. Muun muassa "n"-asteisella polynomilla on korkeintaan "n" juurta kokonaisalueen ja kokonaisalueissa on voimassa supistamislaki formula_5.
Alkion formula_6 monikerta on formula_7, missä yhteenlaskettavia on "n" kappaletta. Jos kokonaisalueen "D" alkion "a" monikerta formula_8 on nolla jollakin positiivisella kokonaisluvulla "n", kun "a" on nollasta poikkeava, niin jokaisella "D":n alkiolla "b" tulo "nb" on nolla. Tämä nähdään seuraavasti: Olkoon "a" nollasta poikkeava kokonaisalueen "D" alkio ja olkoon "D":n karakteristika "n". Tällöin formula_9, joten jos formula_10, niin täytyy olla formula_11, koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia. Kertomalla tämä "b":llä ja kirjoittamalla lauseke vastaavalla tavalla auki päädytään yhtälöön formula_12.
Koska jokainen kokonaisalue on rengas, niin pienintä edellä mainitun kaltaista lukua "n" sanotaan kokonaisalueen karakteristikaksi ja merkitään char("D") = "n". Jos tällaista lukua ei ole, merkitään char("D") = 0. Karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. Tämä nähdään seuraavasti: Oletetaan, että char("D") = "n", formula_13. formula_14. Tällöin formula_15 ja koska kokonaisalueessa ei ole nollanjakajia, on formula_16 tai formula_17. Tarvittaessa muuttujat uudelleen nimeämällä saadaan formula_18. Luku "n" on kuitenkin karakteristikan määritelmän mukaan pienin tällaisen ehdon toteuttava luku, eli formula_19. Siispä luvulla "n" ei voi olla epätriviaaleja tekijöitä.
Luokittelu eri karakteristikan mukaan on tärkeä tapa jaotella kokonaisalueita. Erityisen suuri ero on niiden kokonaisalueiden välillä, joiden karakteristika on nolla (äärettömien) ja joiden karakteristika on alkuluku. Jos kokonaisalueen "D" karakteristika on nolla, on "D":ssä äärettömän monta alkioita. Esimerkiksi kuntalaajennukset käyttäytyvät eri lailla riippuen siitä, onko alkukunnan karakteristika ääretön vai äärellinen. Ero tulee näkyviin esimerkiksi kuntalaajennusten yhteydessä.
Keskeinen äärellisiä kokonaisalueita koskeva tulos on se, että jokainen äärellinen kokonaisalue on kunta.
Toisin sanoen sen jokaisella nollasta eroavalla alkiolla on käänteisalkio.
Tulos voidaan perustella seuraavasti:
Olkoon formula_1 äärellinen kokonaisalue, formula_21 kokonaisalueen formula_1 alkioiden lukumäärä ja formula_6 jokin sen nollasta eroava alkio.
Olkoot formula_24 kokonaisalueen "R" erisuuret alkiot. Tällöin myös alkiot formula_25 ovat keskenään erisuuria.
Jos nimittäin olisi formula_26 erisuurilla indeksien formula_27 ja formula_28 arvoilla, niin olisi formula_29. Tällöin formula_30 ja formula_6 olisivat kokonaisalueen formula_1 nollasta eroavia nollanjakajia. Tämä on ristiriita. Alkiot formula_33 käyvät siis läpi kaikki kokonaisalueen formula_1 alkiot. Erityisesti formula_35 jollakin formula_36. Alkio formula_37 on tällöin alkion formula_6 käänteisalkio.