Schrödingerin yhtälö
Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikassa käytetty aaltoyhtälö, joka osoittaa, millainen aaltofunktio hiukkaseen liittyy, kun sillä on tietyn suuruinen energia ja se on tietynlaisessa potentiaalissa. Schrödingerin yhtälöllä on olennaisen tärkeä osa kvanttimekaniikan teoriassa, jossa se vastaa merkitykseltään Newtonin toista lakia klassisessa mekaniikassa, sillä molemmat kuvaavat liikettä. Yhtälön kehitti itävaltalainen fyysikko Erwin Schrödinger vuonna 1926.
Yleinen Schrödingerin yhtälö voidaan esittää muodossa
missä formula_2 on paikasta formula_3 ja ajasta formula_4 riippuva aaltofunktio, formula_5 redusoitu Planckin vakio, formula_6 hiukkasen massa, formula_7 sen paikasta riippuva potentiaalienergia ja formula_8 imaginaariyksikkö.
Hamiltonin operaattorin
avulla Schrödingerin yhtälö voidaan kirjoittaa lyhemmin muotoon
Kvanttimekaniikan matemaattisessa formuloinnissa jokainen systeemi esitetään kompleksisessa Hilbertin avaruudessa siten, että jokaista systeemin hetkellistä tilaa vastaa yksikkövektori ko. avaruudessa. Tämä tilavektori esittää todennäköisyyksiä kaikille mahdollisille systeemiin liitettyjen mittausten tuloksille. Systeemin tilan muuttuessa ajan kuluessa tilavektori muuttuu vastaavasti ajan funktiona. Tämä ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö antaa tiedon tilavektorin muutostaajuuden suuruudesta.
Diracin kehittelemää bra-ket-merkintätapaa käyttäen hetkellinen tilavektori ajanhetkellä formula_11 merkitään ket-vektorilla formula_12, tällöin Schrödingerin yhtälö on muotoa
Hamiltonin operaattori kuvaa systeemin kokonaisenergiaa. Kuten voima Newtonin toisessa laissa, Schrödingerin yhtälö ei anna sen tarkkaa muotoa, vaan se pitää muodostaa erikseen systeemin fysikaalisten ominaisuuksien perusteella.
Aaltofunktion formula_14 amplitudia sanotaan todennäköisyysamplitudiksi, koska sen neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen on tietyllä alueella.
Monissa tarkasteluissa oletetaan stationaarinen tila, mikä tarkoittaa, että systeemi on energian (Hamiltonin operaattorin) ominaistilassa. Koska Hamiltonin operaattori määrää systeemin aikakehityksen, ei stationaarisessa tilassa olevan hiukkasen aaltofunktio riipu ajasta. Myös kaikkien mitattavien suureiden odotusarvot ovat ajasta riippumattomia stationaarisessa tilassa.
Kolmiulotteisessa potentiaalissa hiukkasen ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö on muotoa
missä formula_16 on gradientin divergenssi ja formula_17 on systeemin potentiaalienergiaa vastaava operaattori. Yhtälö voidaan kirjoittaa myös muodossa
Schrödingerin yhtälöä ei voida johtaa klassisen fysiikan avulla, vaan se perustuu kokonaan kvanttiteoriaan. Kvanttiteoria sai alkunsa Max Planckin vuonna 1900 esittämästä ja Albert Einsteinin vuonna 1905 edelleen kehittämästä teoriasta, jonka mukaan sähkömagneettiset aallot syntyvät aina tietyn kokoisina "paketteina", kvantteina eli fotoneina, ja yhden fotonin energia riippuu aallon taajuudesta yhtälön
mukaisesti. Täten säteilyllä on sekä aalto- että hiukkas­luonne. Vuonna 1924 Louis de Broglie esitti aine­aalto­hypoteesinsa, jonka mukaan myös ainehiukkasilla, esimerkiksi elektroneilla on aalto-ominaisuuksia. Niillekin pätee yllä mainittu yhtälö, ja lisäksi niiden aallonpituus riippuu liikemäärästä ("p") yhtälön
mukaisesti.
Jo klassisessa fysiikassa aaltoja voidaan kuvata yleisellä aaltoyhtälöllä
missä formula_14 on aallon muotoa esittävä aaltofunktio ja "v" aallon vaihenopeus eli sen taajuuden ja aallonpituuden tulo.
Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö saadaan tästä de Broglien kaavojen avulla seuraavasti. Oletetaan, että hiukkasen massa on "m", nopeus "v" ja kokonaisenergia "E". Tällöin sen liikemäärä on "p = mv", jolloin siihen liittyvän aallon taajuus on edellä sanotun mukaan "f = E/h", aallonpituus formula_23 ja vaihenopeus näiden tulo "v = E / p". Hiukkasen liike-energia saadaan vähentämällä sen kokonaisenergiasta sen potentiaalienergia E = E – U. Koska hiukkasen liikemäärän ja liike-energian välillä vallitsee yhteys
saadaan sen liikemäärälle myös lauseke
ja koska vaihenopeus on "v = E / p = hf / p", saadaan sille lauseke
Aaltofunktio formula_14 on tyypillisesti muotoa
jolloin sen toinen derivaatta ajan suhteen on
Kun tämä sijoitetaan edellä esitettyyn yleiseen aaltoyhtälöön, saadaan
ja kun tähän edelleen sijoitetaan edellä saatu vaihenopeuden lauseke, saadaan
Koska vakiolle h / 2 π käytetään vakiintuneesti merkintää formula_32, sen avulla sekä supistamalla tekijä "f" pois voidaan edellä saatu yhtälö muuntaa muotoon
ja edelleen yleisemmin käytettyyn muotoon
Klassisen fysiikan tuntemissa aalloissa funktio formula_14 vastaa sitä suuretta, jonka vaihteluista aaltoliike muodostuu, ja joka voi olla esimerkiksi pinnan korkeus vesiaalloissa, paine ääniaalloissa tai sähkökentän voimakkuus sähkömagneettisissa aalloissa. Alkujaan ei ollut selvää, mikä on tämän suureen merkitys hiukkasiin liittyvissä aalloissa, mutta myöhemmin kehitetyn todennäköisyys­tulkinnan mukaan tämän aaltofunktion amplitudin neliö osoittaa todennäköisyyden sille, että hiukkanen löytyy kustakin paikasta.
Schrödingerin yhtälön yksinkertaisin tapaus on vapaa hiukkanen, jonka potentiaalifunktio on vakio ja jonka aaltofunktio lisäksi riippuu vain yhdestä paikkakoordinaatista, esimerkiksi formula_36:stä. Tällöin yhtälö yksinkertaistuu muotoon
Tämän differentiaaliyhtälön toteuttavat funktiot ovat:
Nämä funktiot kuvaavat sellaista sinimuotoista aaltoa, jonka aaltovektori on
ja aallonpituus
siis yhtäpitävästi de Broglien teorian kanssa.
Potentiaalifunktio on määritelty nollaksi tietyllä välillä ja äärettömäksi tämän välin ulkopuolella, seinämät ovat ikään kuin pystysuoria. Klassisesti hiukkanen liikkuu kahden jäykän seinämän välissä.
Kun hiukkanen, jonka massa on formula_6, liikkuu yksidimensionaalisen potentiaalin formula_42 alaisena, niin hiukkasen tilafunktio formula_43 toteuttaa yksidimensioisen Schrödingerin yhtälön:
Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti vain muutamassa erikoistapauksessa.
Klassillinen esimerkki on hiukkanen laatikossa (). Energian ominaisarvot muodostavat spektrin:
missä formula_49 on perustilaenergia, energia, jota pienempää ei ole. Nollaenergia ei ole sallittu, koska kvanttihiukkanen ei ole levossa.
Vastaava kolmidimensioinen yhtälö on muotoa:
Koska kyseessä on kolmiulotteinen tapaus, gradientti on formula_51.
Tämä differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista eksaktisti kolmidimensioisessa laatikossa, jossa hiukkasen liike on rajattu tietylle välille kaikkien koordinaattiakselien suunnissa. Jos välit ovat keskenään yhtäsuuria eli laatikko on kuutionmuotoinen, niin tällöin saadaan esimerkki degeneroituneista tiloista. Energian ominaisarvojen spektri on tällöin:
Perustilaenergia on formula_57 ja tämä tila on degeneroitumaton, mutta kolmea seuraavaa ominaisarvoa vastaavien tilojen degeneraatioaste on kolme, mikä tarkoittaa, että yhtä ominaisarvoa kohti on olemassa kolme kokonaisenergialtaan yhtäsuurta mutta eri tavalla jakautunutta tilaa. Ominaisarvoa formula_58 vastaava tila on degeneroitumaton ja ominaisarvoa formula_59 vastaavan tilan degeneraatioaste on kuusi.
Schrödingerin yhtälön tärkeimmät sovellukset liittyvät atomin rakenteeseen. Yksinkertaisin atomi on vetyatomi, jossa on vain yksi elektroni. Elektroni on ytimen sähköisen veto­voiman aikaan­saamassa potentiaali­kuopassa. Sen potentiaali "U" ytimen ympärillä etäisyydellä "r" on jo klassisen sähkö­opin mukaan
missä "e" on alkeisvaraus ja formula_61 sähkövakio.
Tämä potentiaalin lauseke pätee myös kvantti­fysiikassa. Näin ollen vety­atomin ainoan elektronin Schrödingerin yhtälö saadaan muotoon
missä
on vety-ytimen eli protonin ja elektronin muodostaman systeemin redusoitu massa. Miinusmerkki potentiaalin lausekkeessa johtuu siitä, että protonilla ja elektronilla on vastakkais­merkkiset sähkö­varaukset. Redusoitua massaa käytetään tässä elektronin massan sijasta, koska protoni ja elektronin muodostaman systeemin voidaan olettaa pyörivän systeemin yhteisen painopisteen ympäri (tosin näiden hiukkasten suuren massa­eron vuoksi tämä redusoitu massa ei sanottavasti poikkea elektronin massasta).
Vetyatomin aalto­funktio on elektronin sijainnin eli koordinaattien funktio, ja itse asiassa pallo­koordinaatteja käyttämällä se voidaan jakaa kolmeksi funktioksi, joista kukin riippuu vain yhdestä koordinaatista:
missä "R" on radiaalinen funktio ja formula_65 pallo­harmonisia funktioita, joiden aste on "ℓ" ja kertaluku "m". Yhtälön ratkaisut ovat: