Funktioteoria
Funktioteoria eli kompleksianalyysi tutkii analyyttisiä funktioita, integrointia ja kuvauksia kompleksitasossa. Funktioteoria keskittyy derivoituvien (differentioituvien) kompleksimuuttujan funktioiden (analyyttisten eli holomorfisten funktioiden) tutkimiseen. Analyyttisten funktioiden teoria perustuu ratkaisevasti kompleksiseen integrointiin, joka huipentuu "residylaskentaan" (ranskaksi "calcul des résidus", "jäännöslaskenta").
Suomessa on pitkät perinteet funktioteorian tutkimisessa. Tutkimussuunnan toi Suomeen Ernst Lindelöf, ja kansainvälistä huippua alalla ovat edustaneet mm. Rolf Nevanlinna ja ainoa suomalainen Fieldsin mitalisti, Lars Ahlfors.
Kompleksimuuttujan formula_1 funktion formula_2 sanotaan olevan analyyttinen kompleksitason alueessa formula_3, jos funktio on yksikäsitteisesti määritelty kyseisessä alueessa ja jos sillä on äärellinen derivaatta alueen formula_3 jokaisessa pisteessä. Tämä analyyttisen funktion määritelmä on peräisin kompleksifunktioiden teorian perustajalta Augustin Louis Cauchy'lta. Kompleksisen funktion derivaatta määritellään vastaavalla tavalla kuin reaalifunktion derivaatta. Erotusosamäärä vain muodostetaan silloin kompleksiluvuilla määritellylle funktiolle, ja rajankäynti derivaatan arvon saavuttamiseksi tapahtuu kompleksilukualueella eli
Tässä siis myös luku formula_6 on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva.
Bernhard Riemann määritteli analyyttisen funktion toisella tavalla Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiden toteutumisen avulla. Molemmat määritelmät ovat kuitenkin yhtäpitävät. Riemann lähti liikkeelle siitä, että kompleksifunktio
missä formula_8, voidaan esittää kahden reaalimuuttujan formula_9 ja formula_10 avulla käyttäen kompleksifunktion jakamista reaali- ja imaginääriosiin. Kompleksifunktio formula_11 on analyyttinen alueessa formula_3, jos "osafunktiot" formula_13 ja formula_14 ovat derivoituvia aluetta formula_3 vastaavalla reaalisella tasoalueella ja toteuttavat siellä osittaisdifferentiaaliyhtälöt
Näitä yhtälöitä sanotaan Cauchyn–Riemannin differentiaaliyhtälöiksi ja niistä seuraa, että funktioilla formula_13 ja formula_14 on kaikkien kertalukujen jatkuvat osittaisderivaatat kyseisessä alueessa.
Analyyttisyyden määritelmä on yksinkertainen, mutta merkitsee erittäin vahvaa ja rajoittavaa ehtoa kompleksifunktion ominaisuuksille. Se edellyttää muun muassa sitä, että kahden reaalimuuttujan funktiot formula_13 ja formula_14 toteuttavat niin sanotun Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön (lyhyesti Laplacen yhtälön) kahdessa ulottuvuudessa
Laplacen yhtälön kautta määriteltyjä funktioita, jotka siis ovat kompleksimuuttujan "reaaliarvoisia" funktioita, sanotaan harmonisiksi funktioiksi.
Jos kompleksifunktiolla on olemassa integraalifunktio eli funktio, jonka derivaatta kyseinen kompleksifunktio on, niin integraalifunktio on analyyttinen. Tässä tapauksessa alkuperäisen kompleksifunktion käyräintegraali alueessa formula_3 riippuu vain käyrän päätepisteistä eikä siitä, mitä reittiä pitkin integrointi tehdään. Erityisesti käyräintegraali suljetun käyrän ympäri on aina nolla.