Viidennen asteen yhtälö
Algebrassa viidennen asteen yhtälö on polynomiyhtälö, jossa esiintyvän tuntemattoman muuttujan korkein asteluku on viisi eli on muotoa:
Toisin kuin asteluvultaan tätä pienemmillä polynomiyhtälöillä, viidennen ja sitä korkeamman asteen yhtälöillä ei ole kompleksilukujen joukossa yleistä ratkaisukaavaa, joka olisi lausuttavissa kertoimien a, b, c, d ja e äärellisenä juurilausekkeina. Tämä nähdään esimerkiksi siitä, että polynomin
Galois'n ryhmä Q:ssa on S5, joka ei ole ratkeava. Ratkaisukaavan löytymättömyyden todisti norjalainen matemaatikko Niels Henrik Abel vuonna 1824.
Koko kysymyksenasettelu voidaan ymmärtää monella tavalla väärin.
Ensinnäkin ratkaisu on olemassa, kyse on vain ratkaisun muodosta. Kun yhtälö on viidettä tai yleisemmin paritonta astetta, yhtälön ratkaisuista ainakin yksi on sitä paitsi reaaliluku.
Toiseksi tarkka likiarvo ratkaisuille ei ole erityisen vaikea laskea. Yksinkertaisesti joskin tehottomasti reaalilukuratkaisun löytää puolitushaulla.
Kolmanneksi on selvää, että "joillakin" yhtälöillä ratkaisu on esitettävissä juurenoton ja peruslaskutoimitusten avulla; yhtälön formula_4 ratkaisu on tietenkin formula_5. Tosin juurtamalla ratkeavia 5. asteen yhtälöitä on tietyssä mielessä äärettömän vähän verrattuna ratkeamattomiin.
Neljänneksi on tarkennettava ratkaisu äärelliseen määrään laskutoimituksia. Seuraava todistus ei estä mahdollisen äärettömän ketjujuurtamisen avulla saatavan ratkaisun mahdollisuutta.
Lopuksi juurenotto on vain yksi funktio, eikä missään periaatteellisessa erikoisasemassa. Muiden funktioiden avulla viidennen asteen yhtälökin on ratkaistavissa.
Ratkeamattomuutta ei voi todistaa tutkimalla yhtä juurta kerralla, vaan ideana on tutkia kaikkia juuria kerralla. Epämuodollisesti kuvaten viidennen asteen yhtälön viisi juurta voivat muodostaa solmun, joka ei juurenotoilla aukea. Neljästä juuresta ei saada solmua joka ei aukeisi, jonka vuoksi 4. asteen yhtälölle on yleinen ratkaisukaava.
Todistuksessa tarvitaan kahta algebrallista rakennetta: kuntaa ja ryhmää. Ongelma siirretään ensin polynomista kuntiin ja kuntalaajennuksiin. Kuntalaajennuksiin voidaan määritellä automorfismeja, ja nämä muodostavat ryhmän.
Jotkut ryhmät ovat vaihdannaisia, toiset eivät. Jokainen juurenotto vastaa kuntalaajennusta. Tällaista kuntalaajennusta vastaava ryhmä ei ole välttämättä vaihdannainen, mutta se voidaan tietyllä tapaa nähdä kootuksi vaihdannaisista osista. Näin juurenottojen ketjua vastaava kuntalaajennusten ketjukin koostuu vaihdannaisista osista. Tällaista vaihdannaisista osista koostuvaa ryhmää kutsutaan ratkeavaksi. Voidaan todistaa, että jotkut ryhmät eivät ole ratkeavia, eli niitä ei voi koota vaihdannaisista osista. Toisaalta voidaan polynomin määräämän kuntalaajennuksen automorfismien ryhmä laskea tietämättä juuria, ja jos se osoittautuu olevan ratkeamaton ryhmä, ei vastaavan polynomin juuria voi esittää peruslaskutoimitusten ja juurtamisten avulla.
Kunta on epäformaalisti kuvattuna neljän peruslaskutoimituksen suhteen suljettu joukko, jossa osittelulaki pätee. Esimerkiksi rationaaliluvut ovat kunta.
Myös joukko formula_6 on kunta, siis suljettu laskutoimitusten suhteen. Ensimmäisenä käännetään väite "yhtälön formula_7 ratkaisut ovat formula_8" muotoon "Yhtälön formula_7 juuret löytyvät kunnasta formula_6, joka on kunnan formula_11 laajennus".
Keskiajan lopulla 4. asteen yhtälön ratkaisukaava löydettiin melko pian 3. asteen kaavan jälkeen. Viidennen asteen yhtälöstäkin saatiin Tschirnhausin muunnoksella hävitettyä 4. ja 3. asteen termit ja päästiin siis muotoon formula_13. Myöhemmin keksittiin vielä keino hävittää 2. asteen termi. Lupaavasta alusta huolimatta tämä ei auttanut - nykyään tiedetään, että yleistä ratkaisukaavaa ei ole edes muotoa formula_14 olevalle kaavalle.
Kolmannen ja neljännen asteen kaavat olivat jossain määrin erillisiä, "hatusta vedettyjä". Joseph-Louis Lagrange kehitti menetelmän, joka yhtenäisti nämä kaavat. Yksinkertaistaen 4. asteen yhtälö palautettiin 3. asteen yhtälöön ja se puolestaan 2. asteen yhtälöön. Kun samaa menetelmää käytettiin 5. asteen yhtälössä, tulos olikin 6. asteen yhtälö. Tämän voi nähdä vihjeenä siihen suuntaan, että ratkaisua ei ole.
Ensimmäisen todistuksen ongelman ratkeamattomuudelle esitti Paolo Ruffini. Todistuksessa oli aukko. Se oli kuitenkin ensimmäinen kerta, jolloin selvästi lähdettiin ongelman ratkaisemisen sijaan todistamaan ratkaisemattomuutta. Tämä oli merkittävä ajattelutavan muutos.
Ruffinin työtä tuntematta ratkeamattomuuden todisti Niels Henrik Abel. Todistus oli pätevä, mutta ei vastannut täsmällisesti siihen, milloin yhtälöllä on ratkaisu juurtamalla ja milloin ei.
Viimeiseen kysymykseen täsmällisen vastauksen antoi Évariste Galois, joka samalla aloitti ryhmäteoriana tunnetun matematiikan alan. Galois'n ratkaisu perustui juurien permutaatiohin. Nykyisen esitystavan kuntalaajennusten automorfismien ryhmien kautta kehitti Emil Artin.