Koordinaatisto
Koordinaatisto on geometrinen järjestelmä alueen kuvaamiseen ja sen mittasuhteiden, sijaintien tai muiden sellaisten ilmoittamiseen.
Koordinaatistossa yksikäsitteistä paikkaa eli pistettä kuvataan koordinaateilla. Koordinaatit voivat olla positiivisia tai negatiivisia. Pisteillä on yhtä monta koordinaattia kuin koordinaatistossa on ulottuvuuksia. Ulottuvuuksien ja niitä vastaavien koordinaattien niminä on useimmiten "x", "y" ja "z". X- ja y-akseleita kutsutaan myös joskus abskissaksi ja ordinaataksi.
"Origo" on suorakulmaisen koordinaatiston nollapiste, jossa kaikkien koordinaattien arvo on nolla ja koordinaatistoakselit leikkaavat toisensa.
Yleisimmin koordinaatistolla tarkoitetaan etenkin matematiikassa "suorakulmaista" eli "karteesista koordinaatistoa". Suorakulmaisessa koordinaatistossa on ulottuvuuksien mukainen määrä akseleita, jotka on nimetty kuvaamansa ulottuvuuden mukaan. Akselit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa yleensä oikeakätisesti, ja ne kulkevat koordinaatiston nollapisteen eli origon kautta sekä leikkaavat toisensa siinä.
Koordinaatistolle on annettu myös "mittayksikkö", ja niinpä kunkin pisteen koordinaatit ilmoittavat matkan, joka kutakin akselia tulee kulkea, jotta päästäisiin merkittyyn pisteeseen. Kun koordinaatistolla kuvataan tasoa, käytetään kahta akselia: vaakasuunnan kuvaamiseen "x"-akselia ja pystysuunnalle "y"-akselia. Kolmiulotteisessa avaruudessa tarvitaan puolestaan kolme akselia: "x"-, "y"- ja "z"-akselit.
Koordinaatit ilmoitetaan merkitsemällä ne sulkeisiin järjestyksessä ("x", "y", "z") ja erottamalla kunkin ulottuvuuden koordinaattiluku pilkulla. Esimerkiksi (2, −3) tarkoittaa, että piste sijaitsee kaksiulotteisen koordinaatiston pisteessä x = 2 ja y = −3 (tässä 2 on ns. abskissa ja −3 ns. ordinaatta). Jos koordinaatit sisältävät desimaalipilkkuja, ne erotetaan toisistaan puolipisteellä, esimerkiksi (4,5; 2,25; −6,8).
"Napakoordinaatistossa" koordinaatit esitetään kiertokulman formula_1 ja säteen formula_2 funktiona. Muunnoskaavat karteesisen ja napakoordinaatiston välillä ovat:
Käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista napakoordinaatteihin voidaan johtaa Pythagoraan lauseen ja trigonometrian avulla:
"Sylinterikoordinaatisto" on kolmiulotteinen koordinaatisto, jossa x- ja y-tasossa käytetään napakoordinaatistoa ja sen lisäksi z-suunnassa karteesista z-koordinaattia. Koordinaatin muodostaa siis kolmikko (φ,r,z).
Käänteismuunnos karteesisesta koordinaatistosta sylinterikoordinaatteihin tapahtuu vastaavalla tavalla kuin napakoordinaatistossa.
"Pallokoordinaatisto" on sylinterikoordinaatiston tapaan kolmiulotteisen avaruuden koordinaatisto. Siinä pisteiden ajatellaan sijaitsevan pallopinnalla. Koordinaatit määrittävät säde r, atsimuuttikulma φ sekä korotus- eli elevaatiokulma θ. Kulmat voidaan ilmoittaa radiaaneina tai asteina. Esimerkiksi tulenohjauksessa käytetään yleisesti korotuskulmaa, joka on rajattu välille formula_5 (tai formula_6) yksikäsitteisyyden saavuttamiseksi. Matemaattisemmissa asiayhteyksissä käytetään yleisemmin korotuskulman komplementtia formula_7, eli z-akselin ja valitun pisteen välistä kulmaa origosta katsoen. Muunnoskaavat karteesiseen koordinaatistoon merkiten tätä kulmaa formula_1:lla ovat:
Vastaavasti käänteismuunnokset karteesisista koordinaateista pallokoordinaatistoon ovat:
Maantieteelliset leveys- ja pituusasteet muodostavat pallokoordinaatiston, jossa korotuskulma formula_11 vastaa leveys- ja atsimuuttikulma formula_12 pituusastetta, jos käytössä on vertausellipsoidin sijaan pallo.