Polynomirengas
Mielivaltaisen renkaan "R" yli otetut polynomit, eli polynomit, joiden kertoimet kuuluvat renkaaseen "R", muodostavat polynomirenkaan formula_1. Ne ovat erittäin tärkeitä muun muassa kuntalaajennusten generoimisessa.
Jos polynomit ajatellaan tuttuun tapaan funktioiksi vaihdannaisessa renkaassa "(R,+,·)", niillä on tavalliseen tapaan määritellyt kuvaustulo ja yhteenlasku: "(fg)(x) = f(x) · g(x)" ja "(f+g)(x) = f(x) + g(x)", jossa + -laskulle merkintöjen yksinkertaistamiseksi on käytetty samaa merkintää sekä funktioiden että alkioiden välillä, vaikka kyseessä tarkkaan ottaen on eri laskutoimitus. Yleensä tästä ei aiheudu sekaannuksia, tarvittaessa niille voidaan käyttää eri merkintöjä. Jos polynomit ajatellaan muodollisina kirjoitelmina, niiden laskutoimitus voidaan määritellä yhtäpitävästi edellisen kanssa:
Määritelmä 1
Kun
formula_2 ja formula_3, missä formula_4, niin
Polynomit muodostavat kommutatiivisen eli vaihdannaisen renkaan näiden laskutoimitusten suhteen, kun nolla-alkiona on vakiopolynomi 0 ja ykkösalkiona vakiopolynomi 1.
Renkaan "R" vaihdannaisuutta tarvittiin polynomien funktiotulkinnassa. Tarkastellaan esimerkkinä ei-vaihdannaista 2×2-reaalimatriisien rengasta formula_7, laskutoimituksina matriisien yhteen- ja kertolasku. Olkoon formula_8 ja formula_9. Tällöin polynomifunktioiden tulo"(A + x)(B + x) = AB + Ax + xB + x²" on aidosti erisuuri kuin määritemän 1 muodollisen tulon lauseke "AB + (A+B)x + x²", sillä kun formula_10, niin formula_11, mutta formula_12. Määritelmän 1 mukaisin laskutoimituksin varustetut polynomit yli ei-vaihdannaisen renkaan "R" käyttäytyvät siis eri tavoin kuin polynomifunktiot yli "R":n. Näin ollen tällaisen polynomirenkaan tutkimisessa ei voida käyttää polynomien funktiotulkintaan pohjaavia menetelmiä. Näiden menetelmien käyttöarvo on niin suuri, että polynomirenkaita käsiteltäessä yleensä oletetaan kerroinrengas vaihdannaiseksi.
Funktiotulkinnan hyödyllisyyden syy on sijoitusperiaate, jonka mukaan jos rengas "R" on vaihdannainen, jokainen polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun "x":n paikalle sijoitetaan mikä tahansa renkaan alkio "c".
Polynomirenkaassa on muiden renkaiden tapaan jaollisuussuhteita alkioiden välillä. Erityisen tärkeässä osassa - erityisesti kuntalaajennusten kannalta - ovat mahdollisimman hieno- ja karkeajakoiset polynomit: toisaalta jaottomat polynomit ja toisaalta sellaiset polynomit, jotka hajoavat kokonaan lineaaristen eli 1. astetta olevien polynomien tuloksi.
Eri polynomirenkaiden jaollisuusluonteissa on tiettyjä yhteisiä piireitä, mutta ensisijaisesti polynomirenkaan "R"["x"] luonteen määrittää rengas "R". Näin siksi, että "R"["x"] sisältää vakiopolynomien (eli astetta 0 olevien polynomien) muodossa "R":n kanssa isomorfisen alirenkaan. Erityisesti "R"["x"] on jaollisuutta ajatellen vähintään yhtä epäsäännöllinen kuin "R". Jos esimerkiksi "R" ei ole yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, ei "R"["x"] voi myöskään olla sellainen, löytyyhän vastoin todistava esimerkki mainitun isomorfismin perusteella jo vakiopolynomien joukosta.
Koska kunnat ovat jaollisuuden suhteen säännöllisimpiä renkaita (kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat jaollisia toisillaan), polynomirenkaat yli kuntien ovat jaollisuuden suhteen säännöllisimpiä renkaita. Niiden jaollisuusominaisuudet ovat pääosin samanlaiset kuin reaalikertoimisten polynomifunktioiden, siis erikoistapauksen formula_13.
Polynomien jaollisuuden tutkiminen perustuu polynomien jakoyhtälöön, jonka esikuvana on kokonaislukujen jakoyhtälö. Mikäli polynomin "b"("x") korkeimman asteen termin kerroin on renkaan "R" yksikkö, polynomi "a"("x") voidaan jakaa "b"("x"):llä siten, että jakojäännöspolynomin aste on "b"("x"):n astetta alhaisempi, toisin sanoen on olemassa polynomit "q"("x") ja "r"("x"), jotka toteuttavat seuraavat kaksi ehtoa:
Olkoon nyt "c" renkaan "R" alkio. Valitsemalla jakoyhtälössä "b"("x") = "x - c" saadaan yhtälö "a"("x") = "q"("x")("x" - "c") + "r", missä "r" = "r"("x") on vakio, sillä sen aste on < 1. Jos nyt "R" on vaihdannainen, voidaan hyödyntää sijoitusperiaatetta asettamalla muodollisen muuttujan "x" paikalle alkio "c", jolloin saadaan edeltävää yhtälöä oikealta vasemmalle lukien "r" + "q"("x")("c" - "c") = "a"("c"), eli "r" = "a"("c"). Siis kaikilla mainitun tyyppisillä "a"("x") ja "c" on olemassa jokin "R"["x"]:n alkio "q"("x"), jolle "a"("x") = "q"("x")("x" - "c") + "a"("c"). Tätä tulosta kutsutaan jäännöslauseeksi. Jäännöslauseen ylivoimaisesti tärkein seuraus on, että mikäli "R":n alkio "c" on polynomifunktion "f"("x") nollakohta, niin lineaarinen polynomi ("x - c") jakaa "f"("x"):n.
Jos rengas "R" on jopa kokonaisalue, on jäännöslause voimassa, sillä kokonaisalueet ovat aina vaihdannaisia. Se myös yleistyy siten, että mikäli "R":n alkiot "c", "c", ... , "c" ovat polynomin "f"("x") erisuuria nollakohtia, niin tulo ("x - c")("x - c")···("x - c") jakaa "f"("x"):n. Tämä nähdään seuraavasti induktiolla "k":n suhteen:
Tällä tuloksella on se merkittävä seuraus, että polynomilla (≠ 0) kokonaisalueen yli voi olla korkeintaan oman asteensa verran nollakohtia. Kääntäen on voimassa, että polynomilla yli renkaan, joka ei ole kokonaisalue "voi olla" tätä enemmän nollakohtia.