Riemannin integraali
Riemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin määriteltävissä. Sen avulla voi määrittää pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja.
Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle jäävän pinta-alan jakamiseen äärettömän pieniin paloihin. Sillä on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eivät ole Riemann-integroituvia.
Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.
Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio.
Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat formula_1, formula_2 ja formula_3, sekä käyrä formula_4, missä formula_5 on funktio formula_6. Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos formula_5 saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:
formula_8
Funktion formula_5 halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.
Tämä määrittely tehdään jakamalla väli formula_10 osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran formula_3 ja käyrän formula_4 väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion formula_5 arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion formula_5 maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.
Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon formula_15. Välin formula_10 "formula_17-välinen jako" on lukujono 
formula_18, 
jolle pätee formula_19 kaikilla formula_20, formula_21 ja formula_22. Tällöin välit formula_23, missä formula_20, muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin formula_10 osituksen.
Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia formula_26, ja lisäksi oletetaan, että formula_26 on formula_28-jakoinen, missä siis formula_29 on luonnollisten lukujen jono. Jaon formula_26 jakopisteitä merkitään symbolilla formula_31, missä formula_32, eli toisin sanoen
formula_33.
Jaon formula_26 "pisin jakoväli" on luku
formula_35.
Jako formula_36 on jaon formula_37 "tihennys", jos formula_38, eli jaossa formula_36 on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa formula_40. Jakojen jono formula_41 on "tihenevä", jos jokainen jako formula_36 on sitä edeltävän jaon formula_43 tihennys.
Olkoon formula_26 välin formula_10 jako, ja jono 
formula_46
sellainen, että formula_47 kaikilla formula_48.
Olkoon formula_5 funktio formula_50. Funktion formula_5 jakoa formula_26 pisteissä formula_53 vastaava Riemannin summa on
formula_54.
Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on formula_55 ja korkeus formula_56. Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle formula_57 voidaan kaikille tiheneville jakojonoille formula_58 valita pisteet formula_59 siten, että vastaava Riemannin summien jono formula_60 ei suppene.
Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden formula_53 valinnasta.
Olkoon jakojen jono formula_58 tihenevä ja formula_63, kun formula_64. Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä formula_10. Sanotaan, että "funktion formula_5 Riemannin summilla on raja-arvo" formula_67, jos jokaiselle luvulle formula_68 on olemassa luvut formula_69 ja formula_70 siten, että
formula_71, kun formula_72,
ja formula_73 on yksikäsitteinen kaikilla jonolla formula_74. Jos Riemannin summilla on raja-arvo formula_73, niin funktio formula_5 on Riemann-integroituva välillä formula_10 ja sen Riemannin integraali on luku formula_73. Tällöin merkitään
formula_8.
Tässä merkintätavassa funktiota formula_5 kutsutaan "integrandiksi".
Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.
Olkoon formula_5 reaalifunktio formula_50. Funktion formula_5 Darboux'n yläsumma jaolla formula_26 on
formula_85.
Vastaava Darboux'n alasumma on
formula_86.
Olkoon jakojen jono formula_58 tihenevä ja formula_63, kun formula_64. Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot formula_90 ja formula_91, monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
formula_92.
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
formula_93.
Funktio formula_5 on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
formula_95.
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion formula_5 Darboux'n integraaliksi yli välin formula_10.
Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos formula_5 on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
formula_99.
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.
Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös formula_100 ja formula_101, joissa P on välin jako.
Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko formula_102 sellainen, että formula_103, formula_104 reaalifunktio formula_105 ja formula_106 sen rajoittuma välille formula_10. Jos formula_108 on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että formula_104 on Riemann-integroituva välillä formula_10, ja funktion formula_104 Riemannin integraaliksi yli välin formula_10 määritellään
formula_113.
Lisäksi määritellään
formula_114
ja
formula_115.
Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.
Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.
Olkoon funktio formula_116 Riemann-integroituva kaikilla väleillä formula_117. Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo
formula_118
on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion formula_5 epäoleellinen integraali yli välin formula_10 on
formula_121.
Funktiolle formula_122 epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.
Olkoon funktio formula_123 Riemann-integroituva kaikilla väleillä formula_124. Jos raja-arvo
formula_125
on olemassa, niin funktion formula_5 epäoleellinen integraali yli välin formula_127 on
formula_128.
Samoin määritellään funktiolle formula_129
formula_130.
Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.
Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.Jos funktio formula_5 on Riemann-integroituva välillä formula_10, niin
formula_148.
Jos formula_5 on jatkuva välillä formula_10, niin on olemassa sellainen formula_151, että
formula_152.
Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.
Jos funktiot formula_5 ja formula_104 ovat Riemann-integroituvia välillä formula_10, formula_156 ja
formula_157,
niin
formula_158.
Jos formula_5 on jatkuva välillä formula_10, niin on olemassa sellainen formula_151, että
formula_162.
Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.
Olkoon formula_163 jono Riemann-integroituvia funktioita formula_50.
Jos formula_163 suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
formula_166.
Jos sarja
formula_167 suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
formula_168.
Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.
Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos formula_5 on välillä formula_10 jatkuva funktio ja formula_171 jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö
formula_172.
Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin
formula_173
arvo. Koska funktiolle
formula_174
pätee
formula_175,
niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos
Olkoon formula_5 jatkuva funktio reaalivälillä formula_177. Jos formula_178 funktio formula_179, jonka derivaatta on jatkuva ja jolle formula_180 ja formula_181, niin
formula_182
Tässä siis muuttujan formula_178 tilalle sijoitetaan muuttujan formula_184 kuvaus formula_185, eli identtisen kuvauksen formula_186 tilalle sijoitetaan kuvaus formula_187. Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus formula_178 ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.
Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin
laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.
Sijoitetaan muuttujan formula_178 tilalle kuvaus formula_191. Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin
Koska 
rajoiksi saadaan
Sijoittamalla nämä arvot ja formula_200 muuttujanvaihtokaavaan, saadaan
Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska formula_202 saadaan:
Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on
Sijoittamalla formula_205 seuraa:
Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos
Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon formula_5 ja formula_104 derivoituvia sekä derivaatat formula_210 ja formula_211 Riemann-integroituvia välillä formula_10. Tällöin
formula_213
Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:
Valitaan osittaisintegrointikaavassa
Tällöin
Osittaisintegrointikaavan mukaan:
Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.
Tasokuvion, joka jää suorien formula_1 ja formula_2 sekä x-akselin ja jatkuvan funktion formula_222 kuvaajan formula_4 sisäpuolelle, pinta-ala on
formula_224.
Yleisemmin, jos formula_5 ja formula_104 ovat jatkuvia funktioita formula_50 ja formula_228, niin niiden kuvaajien sekä suorien formula_1 ja formula_2 väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on
formula_231.
Olkoon formula_5 tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus
,missä formula_178 ja formula_235 ovat kuvauksia formula_50, joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä formula_10. Tällöin käyrän formula_5 pituus on:
formula_239
Jos formula_240 on jatkuva funktio, niin suorien formula_1 ja formula_2 ja käyrän formula_4 x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on
formula_244.
Jos formula_5 on funktio formula_246, joka on positiivinen välillä formula_247 ja jonka derivaatta on jatkuva välillä formula_10, niin käyrän formula_4 pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on
formula_250.
1.
Integraalin pienin arvo on formula_257, ja se on paraabelin kaaren alueella t:n arvolla formula_258.
2. 
formula_259
Esimerkki liittyy esim. kolikon heittämiseen, missä kruunan todennäköisyys on p ja klaavan näin ollen 1-p. Kolikkoa on heitetty n kertaa ja saatu k kruunaa ja n-k klaavaa.