Jatkuva funktio
Jatkuvuus on funktioon liittyvä topologinen peruskäsite. Intuitiivisesti funktio on jatkuva, jos sen arvot eivät muutu äkillisesti minkään pisteen ympäristössä. Tällaisen funktion kuvaaja on silloin yhtenäinen eikä katkea missään kohdassa. On kuitenkin tapauksia, jossa funktio on jatkuva vaikka kuvaajan ulkonäkö on poikkeava. Jatkuvuuden tarkempi määrittäminen vaatiikin matemaattisempia käsitteitä. Funktion jatkuvuus voidaan määritellä usealla eri tavalla, riippuen siitä miten yleisellä tasolla funktioita halutaan tarkastella.
Intuitiivisesti funktion formula_1 jatkuvuus tietyssä pisteessä formula_2 tarkoittaa sitä, että formula_3 on "lähellä" arvoa formula_4 aina, kun piste formula_5 on lähellä pistettä formula_6. Tähän intuitioon perustuu nk. jatkuvuuden formula_7-määritelmä (kreikk. "epsilon" ja "delta"), joka on seuraava:
Olkoon formula_8 väli, formula_9 ja formula_10. Funktio formula_11 on jatkuva pisteessä formula_6, jos "kaikilla" formula_13 "on olemassa" formula_14 siten, että
formula_15,
kun formula_16 ja formula_17.
Luku formula_14 riippuu tapauskohtaisesti joko formula_19:sta, formula_11:stä, formula_6:sta tai kaikista näistä. Luku formula_13 ei saa riippua funktiosta tai pisteestä, sillä määritelmän ehdon tulee täyttyä "kaikilla" formula_13 (siis erityisesti hyvin pienillä formula_19:n arvoilla). Käytännössä formula_7-määritelmä tarkoittaa sitä, että formula_19:n pienuudesta huolimatta jatkuvan funktion formula_11 graafi jää aina suorien formula_28 ja formula_29 väliin pisteen formula_6 lähellä.
Funktio formula_31 on jatkuva pisteessä formula_32, jos ja vain jos sen raja-arvo tässä pisteessä on olemassa ja on yhtä suuri funktion arvon kanssa tässä kohdassa. Jotta raja-arvo olisi olemassa pisteessä formula_32, on vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen oltava yhtä suuret tässä pisteessä:
formula_34.
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukkonsa pisteessä, eli siinä ei ole epäjatkuvuuskohtia. Funktion jatkuvuus on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Toisin sanoen derivoituva funktio on aina jatkuva, mutta jatkuva funktio ei ole aina derivoituva.
Jatkuvia funktioita voidaan konstruoida muista jatkuvista funktioista yhteenslaskun, kertolaskun ja tietyissä tapauksissa jakolaskun avulla. Jos formula_8 on väli, formula_9 sekä formula_10 ja formula_38 jatkuvia funktioita pisteessä formula_6, niin:Olkoot formula_61 ja formula_62 metrisiä avaruuksia. Funktio formula_63
on jatkuva pisteessä formula_64 (metriikoiden formula_65 ja formula_66 suhteen), jos jokaista positiivilukua formula_67 kohti on olemassa positiiviluku formula_68 siten, että formula_69 aina kun formula_70. Muodollisesti ilmaistuna funktio formula_71 on jatkuva pisteessä formula_72, jos
formula_73
Funktio on jatkuva, jos se on jatkuva jokaisessa joukon formula_74 pisteessä. Kun tarkastellaan joukkoja formula_74 ja formula_76 topologisina avaruuksina, joissa topologiat ovat metriikoiden formula_65 ja formula_66 indusoimia, niin yllä esitetyt määritelmät yhtyvät.
Funktio formula_79, missä formula_80 ja formula_81 ovat topologisia avaruuksia, on jatkuva pisteessä formula_82, jos ja vain jos jokaista pisteen formula_83 ympäristöä formula_84 kohti on olemassa pisteen formula_85 ympäristö formula_86 siten, että formula_87. Funktio formula_88 on jatkuva funktio, jos se on jatkuva jokaisessa avaruuden formula_80 pisteessä. Yhtäpitävästi, funktio formula_88 on jatkuva, jos ja vain jos jokaisen formula_81 avoimen joukon formula_84 alkukuva formula_93 on avoin avaruudessa formula_74.