Hyvinjärjestys
Matematiikassa hyvinjärjestys joukossa "X" on sellainen täydellinen järjestysrelaatio "R", että jokaisella joukon "X" ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio.
Esimerkiksi tavallinen lukujen suuruusvertailu < on hyvinjärjestys luonnollisten lukujen joukossa. Valittiinpa millä ehdolla tahansa osajoukko luonnollisia lukuja, jokin valituista on pienin. Esimerkiksi on olemassa "pienin luonnollinen luku, joka kerrottuna itsellään on yli kymmenen"; tämä on tietysti luku 4.
Tavallinen suuruusvertailu < ei kuitenkaan ole hyvinjärjestys kokonaislukujen tai rationaalilukujen joukossa. Esimerkiksi kokonaislukujen osajoukolla "negatiiviset kokonaisluvut" ei ole pienintä alkiota, vaan kokonaisluvusta voidaan aina vähentää vielä yksi. Rationaalilukujen osajoukolla "nollaa suuremmat luvut" ei ole pienintä alkiota, koska luku voidaan aina jakaa vielä kahdella tai isommalla luvulla.
Kokonaisluvut voidaan hyvinjärjestää esimerkiksi {0, -1, 1, -2, 2, ...}; hyvinjärjestys on siis jonkin joukon järjestysrelaation ominaisuus, ei itse joukon ominaisuus. Joukko-opissa valinta-aksioomasta seuraa, että mikä tahansa joukko voidaan hyvinjärjestää. Tätä kutsutaan "hyvinjärjestysperiaatteeksi". On kuitenkin vaikea kuvitella millainen olisi hyvinjärjestys esimerkiksi reaalilukujen joukossa formula_1. Hyvinjärjestysperiaate ilmoittaa siis hyvinjärjestyksen olemassaolon, mutta ei anna menetelmää sen konstruoimiseksi.
Olkoon formula_2 hyvinjärjestetty positiivisten kokonaislukujen joukko ja olkoot formula_3 ja formula_4 joukon formula_2 osajoukkoja. Nyt formula_6 ja formula_7 ovat myös hyvinjärjestettyjä joukkoja.
Olkoon formula_8 joukkojen formula_6 ja formula_7 yhdiste kuvatulla tavalla. Nyt joukko formula_11 on hyvinjärjestetty siten, että parittomat kokonaisluvut tulevat ensin ja sitten vasta parilliset. Joukko formula_11 voitaisiin hyvinjärjestää myös siten, että järjestys olisi luonnollinen.
Nähdään, että joukkoja pystytään hyvinjärjestämään useammalla kuin yhdellä tavalla. Jokaiseen hyvinjärjestettyyn joukkoon liittyy sen järjestystyypin ilmaiseva ordinaaliluku.
Hyvinjärjestysperiaatteen eli Zermelon väittämän mukaan jokainen joukko voitaisiin siis hyvinjärjestää. Vuosikymmeniä oli kuitenkin todellinen matemaattinen sota siitä, onko kyseinen lause totta vai ei. Modernin joukko-opin perustaja Georg Cantor ilmoitti vuonna 1883 olevansa hyvinjärjestysperiaateen kannalla ja hänen perustelunsa olivat vakuuttavia. Tämän jälkeen Zermelo toi esille Cantorin ajatuksia selkeämmässä muodossa näyttäen, että hyvinjärjestysperiaatteella on monia kauniita seurauksia matematiikassa. Kuitenkin, mitä pidemmälle nämä ajatukset levisivät, sitä enemmän ne saivat vastustusta muilta matemaatikoilta. Ongelmia seurasi siitä, että Zermelo ei osannut antaa esimerkkejä hyvinjärjestyksistä kaikille joukoille. Väittely jatkui, kun vuonna 1904 Julius König luuli ratkaisevansa ongelman lopullisesti todistamalla, ettei joukolle formula_1 voida löytää hyvinjärjestystä. Tämän todistuksen kuitenkin huomattiin olevan täynnä virheitä.
Osoittautui kuitenkin, että hyvinjärjestysperiaatetta ei voida todistaa joukko-opin Zermelon–Fraenkelin aksioomien avulla. Jos näihin kuitenkin lisätään lisäoletus, valinta-aksiooma, siitä seuraa myös hyvinjärjestysperiaate, jota voidaankin pitää yhtenä valinta-aksiooman monista vaihtoehtoisista, keskenään yhtäpitävistä muotoiluista.
Hyvinjärjestysperiaatteen nojalla matemaatikot ovat pystyneet todistamaan useita lauseita, joiden on laajalti ajateltu olevan tosia. Esimerkiksi moderni teoria äärettömistä joukoista pohjautuu hyvinjärjestysperiaatteelle.