Paraabeli
Paraabeli () on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.
Olkoon "l" tason suora ja "P" piste, joka ei ole suoralla "l". Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta "l" että pisteestä "P". Suoraa "l" kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä "P" (myös "F") polttopisteeksi.
Paraabelin "akseli" on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin "huippu" on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.
Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa formula_1. Tässä kertoimet "a", "b" ja "c" ovat reaalilukuja ja lisäksi "a" on nollasta eroava.
Kertoimen "a" merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos formula_2, aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas formula_3, aukeaa paraabeli alaspäin.
Paraabelin formula_1 huippupisteen "x"-koordinaatti on
Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio formula_6 ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen "y"-koordinaatti on
Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö formula_8. Kertoimen "a" merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.
Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on formula_9 ja jonka johtosuora on muotoa formula_10, pätee yhtälö
Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on formula_12. Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion formula_13 parametrit formula_14 ja formula_15.
Parametri formula_16 vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin formula_16 arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella formula_16:lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella formula_16:lla varustetun alaspäin.
Parametri formula_20 vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion formula_13 kuvaajan huippupiste siirtyy formula_20:n vaihdellessa funktion formula_23 kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin formula_24 huippupisteen koordinaatit formula_25 ja formula_26 toteuttavat yhtälön
formula_27
ja ovat siis funktion formula_23 kuvaajalla.
Tarkastellaan paraabelia formula_29, missä formula_30.
Pisteen formula_31 kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä
Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.
Jos formula_33, ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta
Kun yo. yhtälön juurrettava formula_35 saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia.
Kun formula_36, missä formula_37, on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä
Tarkastellaan paraabelin formula_39, missä formula_40, peilaamista huippupisteen formula_41 kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa:
(1) Peilataan paraabeli ensin formula_42-akselin suhteen. Tämä vaihtaa formula_42-koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin formula_44, jonka huippu on pisteessä formula_45.
(2) Siirretään näin saatua paraabelia formula_44 pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen. Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan formula_47. Tämä on selvää, koska huippupisteen formula_48-koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta formula_42-koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin
formula_50
eli
formula_51.
Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä formula_52, siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.
Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin formula_53.
Esimerkki. Paraabelin formula_54 peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis formula_55.
Paraabelin formula_24 "kääntämisen" kaava on siis: formula_53.