Napakoordinaatisto
Napakoordinaatisto on kaksiulotteinen koordinaatisto, jossa jokainen piste on määritetty kiertokulman formula_1 ja säteen formula_2 funktiona. Napakoordinaatisto on käyttökelpoinen tilanteissa, joissa kahden pisteen välinen suhde on helpoiten määritettävissä kulman ja etäisyyden avulla - tavallisemmassa karteesisessa koordinaatistossa vastaava suhde voidaan määrittää trigonometrian keinoilla.
Säde mittaa pisteen etäisyyttä keskipisteestä, eli karteesisen koordinaatiston origoa vastaavasta navasta. Kiertokulma mittaa kulmaa pisteen ja napa-akselin välillä. Napa-akselia vastaava akseli karteesisessa koordinaatistossa on positiivinen formula_3-akseli.
Jokainen napakoordinaatiston piste voidaan esittää kahdella napakoordinaatilla, jotka ovat formula_2 (etäisyys navasta) ja formula_1 (kiertokulma vastapäivään positiivisesta formula_3-akselista).
Esimerkiksi napakoordinaatiston piste (3, 60°) voidaan piirtää kolmen yksikön päähän navasta 60° säteen kohdalle. Piste (−3, 240°) piirretään samaan pisteeseen, sillä negatiivinen säde vastaa 180 asteen kiertoa.
Napakoordinaatistossa voidaan yhdelle pisteelle antaa ääretön määrä eri koordinaatteja, koska navan ympäri voidaan tehdä kokonaisia kierroksia ilman, että pisteen sijainti muuttuu. Yleisesti piste formula_7 voidaan esittää muodossa formula_8 tai formula_9, jossa formula_10 on mielivaltainen kokonaisluku.
Mielivaltaisia koordinaatteja formula_11 käytetään yleensä esittämään napaa, sillä formula_1-koordinaatin arvosta huolimatta piste, jolle formula_13, sijaitsee aina navassa. Kulmat voidaan napakulmakoordinaatistossa esittää vapaasti joko asteina tai radiaaneina, käyttäen muunnoskaavaa formula_14. Valinta riippuu usein lähinnä asiayhteydestä, sillä esimerkiksi navigoinnissa käytetään usein asteita, kun taas monet fysiikan sovellukset ja lähes kaikki matemaattinen kirjallisuus käyttävät radiaaneja.
Napakoordinaatit formula_2 ja formula_1 voidaan muuntaa karteesisiksi koordinaateiksi formula_3 ja formula_18 käyttämällä trigonometrisiä funktioita sini ja kosini:
Karteesiset koordinaatit formula_3 ja formula_18 voidaan muuntaa napakoordinaatiksi formula_2 Pythagoraan lauseella:
Kiertokulman formula_1 määrittämiseksi tulee ottaa huomioon seuraavat ehdot:
Kulman formula_1 saamiseksi väliltä formula_30 voidaan käyttää seuraavia kaavoja (funktiota formula_33 merkitään joskus formula_34, lähinnä laskimissa)
Kulman formula_1 saamiseksi väliltä formula_37, voidaan käyttää seuraavaa:
Napayhtälöksi kutsutaan algebrallisen käyrän napakulmakoordinaatistossa määrittävää yhtälöä. Monissa tapauksissa yhtälö voidaan määrittää yksinkertaisesti määrittämällä formula_39 muuttujan formula_40 funktiona.
Monet käyrät voidaan ilmaista suhteellisen yksinkertaisina napayhtälöinä, vaikka niiden karteesinen muoto olisikin huomattavasti monimutkaisempi.
Yleinen yhtälö ympyrälle, jonka keskipiste on formula_41 ja säde formula_42, on
Yhtälöä voidaan tietyissä erityistapauksissa yksinkertaistaa, kuten keskipisteen ollessa navassa ja säteen ollessa formula_42:
Säteittäisiä eli navan kautta kulkevia suoria kuvaa yhtälö
jossa formula_47 kuvaa suoran jyrkkyyttä, joka saadaan kaavalla formula_48, jossa formula_49 on suoran kulmakerroin karteesisessa koordinaatistossa. Ei-säteittäiselle suoralle, joka leikkaa kohtisuorasti säteittäisen suoran formula_50 pisteessä formula_41 pätee yhtälö
Ruusukäyrä on kuuluisa kukalta näyttävä käyrä, joka voidaan ilmaista yksinkertaisella napakulmakoordinaatiston yhtälöllä
mille tahansa vakiolle formula_54 sisältäen nollan. Jos formula_49 on pariton kokonaisluku, ruusukäyrän yhtälöt tuottavat formula_49-terälehtisen ruusun, ja jos formula_49 on parillinen kokonaisluku, formula_58-terälehtisen ruusun. Jos formula_49 on rationaaliluku, muttei kokonaisluku, ruusun kaltainen käyrä saattaa muodostua, mutta terälehdet saattavat asettua päällekkäin. Huomioitavaa on, ettei yhtälöä formula_60-terälehtiselle ruusulle voida määrittää. Muuttuja formula_42 kuvaa ruusun terälehtien pituutta.
Arkhimedeen spiraali on kuuluisa Arkhimedeen keksimä kuvio, joka voidaan kuvata myös yksinkertaisella napakoordinaatiston yhtälöllä.
Muuttujan formula_42 arvon muuttaminen kääntää spiraalia, ja muuttujan formula_64 arvon muuttaminen muuttaa spiraalin haarojen välimatkaa. Muuttujien arvot ovat vakiot tietylle spiraalille. Arkhimedeen spiraalilla on kaksi haaraa, toinen arvoille formula_65, ja toinen arvoille formula_66. Haarat yhdistyvät napapisteessä.
Kartioleikkaus, jonka toinen polttopiste on navalla ja toinen 0° säteellä saadaan yhtälöstä
jossa formula_68 on eksentrisyys ja formula_69 on pystysuora etäisyys polttopisteestä kehälle. Jos formula_70, yhtälö määrittelee hyperbelin; jos formula_71, se määrittelee paraabelin; jos formula_72, se määrittelee ellipsin. Edellisen erikoistapauksessa, kun formula_73, yhtälö määrittelee formula_69-säteisen ympyrän.
Jokainen kompleksiluku voidaan esittää kompleksitason pisteenä, ja siten voidaan esittää joko pisteen karteesisen koordinaatiston koordinaatit tai pisteen napakoordinaatiston koordinaatit. Kompleksiluku formula_75 voidaan esittää karteesisessa koordinaatistossa muodossa
jossa formula_77 on imaginääriyksikkö, tai vaihtoehtoisesti napakoordinaatiston muodossa muodossa
ja edelleen muodossa
jossa formula_68 on Neperin luku, kuten Eulerin kaavat osoittavat. (On huomioitava, että kulma formula_1 ilmoitetaan radiaaneissa.)
Kompleksilukujen kerto- ja jakolasku sekä potenssiin korottaminen onnistuu huomattavasti helpommin napakoordinaatistomuotoisilla kompleksiluvuilla kuin normaalimuodossa olevilla.