Potenssi
Potenssi on matemaattinen lyhennysmerkintä, jolla esitetään saman luvun toistuva kertolasku. Esimerkiksi kolmen 2:n tulo formula_1 lyhennetään formula_2. Toistuvaa lukua kutsutaan "kantaluvuksi" ja toiston lukumäärää "eksponentiksi", jolloin merkinnässä formula_2 luku 2 on kantaluku ja luku 3 on eksponentti. Tällöin sanotaan, että luku 2 "korotetaan potenssiin" 3. Arkipäiväisemmin sanotaan myös "kaksi potenssiin kolme", "kaksi kolmanteen potenssiin" tai lyhyemmin "kaksi kolmanteen".
Yleisesti voidaan merkitä kantaluvun formula_4 korottamista potenssiin formula_5: formula_6. Merkintää voidaan lukea myös "a potenssiin n", "a n:nteen potenssiin" tai "a:n n:s potenssi".
Luvun formula_4 toista potenssia eli formula_8 kutsutaan usein luvun formula_4 "neliöksi" ja vastaava kolmatta potenssia formula_4 "kuutioksi." Siten merkintä formula_11 voidaan lausua "luvun neljä neliö" eli "neljän neliö" ja formula_12 "luvun neljä kuutio" eli "neljän kuutio".
Erityisesti laskimissa käytetään luvun kymmenen potensseille erityistä merkintäänsä. Esimerkiksi formula_13 merkitään 1E+2, joka tarkoittaa formula_14. Luku 1 on siis kerroin, kirjain E ilmoittaa, että on kyse kymmenen potensseista, ja +2 tarkoittaa kymmenen positiivista eksponenttia kaksi. Vastaavasti merkittäisiin esimerkiksi formula_15 muodossa 2,3E+6.
Potenssi ei ole vaihdannainen kuten yhteen- tai kertolasku. Esimerkiksi, ja , mutta , kun taas .
Potenssi ei ole myöskään liitännäinen. Esimerkiksi
Jos sulkeita ei ole merkitty, lasketaan potenssit alkaen ylimmästä eksponentista:
Edellä esitetty potenssin havainnollinen tulkinta voidaan kirjoittaa muodollisesti seuraavasti. Olkoon formula_4 reaaliluku ja formula_5 positiivinen kokonaisluku. Tällöin määritellään formula_23 ja formula_24, kun formula_25.
Tulon tekijöiden lukumääriä tarkastelemalla voidaan todistaa seuraavat laskusäännöt päteviksi, kun formula_4 ja formula_27 ovat reaalilukuja sekä formula_28 ja formula_5 positiivisia kokonaislukuja:
Potenssin tulkinta kertolaskun kautta ei kerro, mitä luvun nollas potenssi olisi: eihän ole olemassa tuloa, jossa on 0 tulon tekijää. Mikäli halutaan, että luku voidaan korottaa myös nollanteen potenssiin, täytyy sopia, mitä nollannella potenssilla tarkoitetaan.
Periaatteessa tämä sopimus voitaisiin tehdä täysin mielivaltaisesti, mutta useimmissa tapauksissa edellä esitetyt potenssin laskusäännöt eivät pätisi nollansilla potensseilla. Kun sovelletaan toista laskusääntöä potenssiin formula_35, jossa formula_4 on nollasta eroava reaaliluku, saadaan
formula_37.
Siis luvun nollannen potenssin on oltava aina 1, mikäli halutaan laskusäännön formula_38 pätevän myös tapauksessa formula_39. Siksi määritellään
formula_40
kaikilla nollasta eroavilla reaaliluvuilla formula_4. Näin määritellen myös muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa nollansille potensseille.
Luvun nolla nollannelle potenssille laskusäännöt eivät kuitenkaan anna vastaavia rajoitteita. Siksi formula_42 onkin epämääräinen muoto eli se jätetään yleisesti määrittelemättä. Joissain erikoistapauksissa kuten binomikaavan ja potenssisarjojen yhteydessä määritellään kuitenkin toisinaan formula_43.
Samoin kuin nollas potenssi määritellään myös negatiiviset kokonaislukupotenssit pyrkimällä säilyttämään potenssin laskusäännöt. Olkoon formula_5 positiivinen kokonaisluku ja formula_4 nollasta eroava. Jotta sääntö formula_38 pätisi myös, kun formula_47, tulee olla
formula_48
Toisin sanoen määritellään luvun formula_4 formula_5:s negatiivinen kokonaislukupotenssi luvun formula_51 käänteisluvuksi. Näin määritellen ovat muutkin potenssin laskusäännöt voimassa negatiivisen kokonaislukueksponentin tapauksessa.
Seuraavaksi yleistetään potenssin käsite kaikille rationaalisille eksponenteille, jotta voidaan puhua esimerkiksi potensseista formula_52 ja formula_53. Vaaditaan yhä, että edellä esitellyt potenssin laskusäännöt säilyvät voimassa.
Olkoon formula_5 positiivinen kokonaisluku ja formula_4 positiivinen reaaliluku. Laskusäännön formula_56 nojalla on määriteltävä siten, että
formula_57
Siis formula_58 on se luku, jonka formula_5:s potenssi on formula_4 itse. Tällaista lukua kutsutaan luvun formula_4 formula_5:nneksi juureksi. Määritellään sen tähden
formula_63
Olkoon sitten formula_28 mikä tahansa kokonaisluku. Vaatimalla, että potenssin potenssia koskeva laskusääntö pätee myös potenssille formula_65, saadaan
formula_66
Tämän mukaisesti määritellään siis formula_67 kaikilla formula_68. Myös kaikki muut potenssin laskusäännöt ovat voimassa tällaisella rationaalisen eksponentin määrittelyllä.
Rationaalisen eksponentin tapauksessa on esitetty rajoitus formula_69. Siis esimerkiksi formula_70 ja formula_71 eivät ole määriteltyjä lausekkeita. Jos kantaluvulle formula_4 sallittaisiin negatiivisia arvoja, jouduttaisiin seuraavanlaiseen ristiriitaan:
formula_73
Koska formula_74, on joko kiellettävä murtolukueksponenttien laventaminen (ja myös supistaminen) tai sitten rajoituttava vain ei-negatiivisiin kantalukuihin. Jälkimmäinen valinta on luonnollisempi.
Myöskään nolla ei ole sovelias arvo rationaalipotenssin kantaluvulle. Jos nimittäin eksponentti on negatiivinen, päädytään jakamaan nollalla.
Potenssiinkorotus on edellä määritelty siten, että eksponentti voi olla mikä rationaaliluku hyvänsä. Voidaan osoittaa, että mitä tahansa irrationaalilukua voidaan arvioida mielivaltaisen tarkasti rationaaliluvuilla. Siksi jokaista irrationaalilukua formula_75 kohden on olemassa rationaalilukujen jono formula_76 siten, että jono suppenee kohti lukua formula_75. Tällöin myös jono formula_78 suppenee riippumatta positiivisesta reaaliluvusta formula_4. Irrationaalinen potenssi voidaan täten määritellä raja-arvona
formula_80
Voidaan osoittaa, että potenssin laskusäännöt ovat voimassa myös irrationaalisen eksponentin tapauksessa. Näin on potenssiinkorotus määritelty kaikilla eksponentin reaalisilla arvoilla. Irrationaalinen eksponentti voidaan määritellä myös infimumin ja supremumin avulla seuraavasti. Olkoon formula_75 irrationaaliluku.
Kun formula_82, määritellään
formula_83
Kun formula_84, määritellään
formula_85
Potenssifunktiossa potenssimerkinnän kantaluku on muuttuja ja eksponentti vakio. Potenssifunktiot ovat yksinkertaisia funktioita, joilla on kuitenkin lukuisia sovelluksia mallinnuksessa. Eksponenttifunktiossa potenssimerkinnän eksponentti on muuttuja ja kantaluku vakio. Myös eksponenttifunktiolla on monia sovelluksia, minkä takia näitä funktioita voidaan pitää tärkeimpinä yleisfunktioina matematiikassa.