Poincarén otaksuma
Poincarén otaksuma eli Poincarén konjektuuri on puhtaasti matemaattinen otaksuma, jonka mukaan jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen n-monisto on homeomorfinen n-pallon kanssa.
Poincarén otaksuma liittyy topologiaan, jossa tutkitaan pintojen samankaltaisuutta. Otaksumassa on kysymys siitä, ovatko tietyn tyyppiset pinnat perusrakenteeltaan samanlaisia kuin pallon pinta. Otaksuman mukaan tiettyjä n-ulotteisen pallon ominaisuuksia omaava monisto onkin n-ulotteinen pallo.
Henri Poincaré päätteli vuonna 1900, että missä tahansa ulottuvuudessa yksinkertaisin kappale on aina tasainen pallo ilman koloja. Yksiulotteisessa se on piste, kaksiulotteisessa ympyrä, kolmiulotteisessa pallo ja niin edelleen. Konjektuurissa on kyse tämän todistamisesta kaikille ulottuvuuksille. Sen teki Grigori Perelman vuonna 2002 erikoistapauksena Thurstonin geometrisointiotaksumasta.
Tapaukset n=0 tai n=1 ovat triviaaleja, n=2 on klassinen, n=3 Perelmanin todistama, n=4 todisti Freedman vuonna 1982 (ja sai todistuksestaan vuoden 1986 Fieldsin mitalin), n=5 todisti Zeeman vuonna 1961, n=6 todisti Stalling vuonna 1962 ja tapaukset n>6 Smale vuonna 1961. Smale onnistui kuitenkin myöhemmin löytämään uuden todistuksen tapauksille n>4.
Poincarén otaksuma kuuluu Clay-instituutin niin sanottuihin Millennium-ongelmiin eli miljoonan dollarin ongelmiin. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai vastaesimerkistä miljoona Yhdysvaltain dollaria. Huhtikuussa 2002 Dunwoody esitti lauseelle lupaavan oloisen todistusyrityksen, josta löytyi kuitenkin virhe. Perelman onnistui kuitenkin todistuksessaan, ja nykyään Perelmanin todistusta pidetään oikeana. Matematiikassa on kuitenkin tapana tutkia huolella ja kauan kuuluisten ongelmien lupaavilta tuntuvia ratkaisuyrityksiä.
Poincarén otaksumasta saattaa tulla ensimmäinen ratkaistu Millennium-ongelma. Loppuvuodesta 2002 Grigori Perelmanin Steklovin matematiikan instituutista huhuttiin löytäneen todistuksen. Hänen otaksuttiin todistaneen myös yleisemmän otaksuman, Thurstonin geometrisointiotaksuman, joka näin ollen viimeistelisi Richard Hamiltonin alulle paneman työn. Vuonna 2003 Perelman teki aiheesta julkaisun ja antoi aiheesta sarjan luentoja Yhdysvalloissa. Useiden vuosien ja matemaatikkojen yhteistyön ansiosta matemaatikot totesivat Perelmanin todistuksen oikeaksi. Kesäkuussa 2006 "Asian Journal of Mathematics" julkaisi Cao Huaidongin (Lehigh’n yliopisto, Pennsylvania) ja Zhu Xipingin (Zhongshanin yliopisto, Kiina) paperin, jossa oli täydennetty Perelmanin tuloksia. Julkaisun on varmistanut oikeaksi muun muassa Fieldsin mitalisti Shing-Tung Yau.
Poincarén otaksumassa mietitään, minkä muotoinen on maailmankaikkeus, avaruus. Koska avaruutta on mahdotonta katsoa ulkoa päin, täytyy sen muoto yrittää selvittää sisältä käsin. Esimerkissä matkaan lähetetään raketti, johon on kiinnitetty äärettömän pitkä köysi. Raketin kierrettyä maailmankaikkeuden, se palaa takaisin maahan, jolloin maassa olevilla ihmisellä on köyden kummatkin "päät". Mitä tapahtuisi, jos maassa olevat ihmiset alkaisivat hinata köyttä takaisin maahan? Tulisiko köysi kokonaisuudessaan takaisin maahan, vai jäisikö se kiinni avaruuteen? Köysi juuttuisi kiinni avaruuteen, jos avaruus on "donitsin" muotoinen. Poincarén konjektuuri sen sijaan olettaa köyden palaavan takaisin maahan ja Perelman todisti näin käyvän.
Kun köysi palaa takaisin maahan, kertoo se avaruuden muodon olevan pallomainen.
Australialaisessa tiedeohjelmassa konjenktuuri yksinkertaistetaan näin: 
Ohjelmassa valotetaan asiaa kuution muotoisella ilmapallolla, joka puhallettuna on pallo. Jos ihmisestä yrittäisi tehdä ilmapallon, hänestä ei tulisikaan palloa, vaan donitsi (suusta alkaa donitsin reikä, joka kulkee ihmisen läpi). Eli pallo on "yhdesti yhtenäinen" mutta donitsi ei.