Hausdorffin mitta
Hausdorffin mitta on separoituvassa metrisessä avaruudessa määritelty mitta. Sen avulla voidaan määritellä mielivaltaisen metrisen avaruuden osajoukon ulottuvuus, eli ns. joukon Hausdorffin dimensio. Hausdorffin mitta on kehitetty Carathéodoryn konstruktion avulla.
Olkoon formula_1 separoituva metrinen avaruus ja formula_2. Määritellään jokaisella formula_3 funktio formula_4,
formula_5
Luku formula_6 on joukon halkaisija. Voidaan osoittaa, että kaikilla formula_3 funktio formula_8 on ulkomitta X:ssä. Huomataan, että jos formula_9, niin formula_10 kaikilla formula_11. Näin ollen rajafunktio formula_12,
formula_13
on olemassa. Tätä funktiota kutsutaan (s-ulotteiseksi) Hausdorffin ulkomitaksi. Se on myös ulkomitta, mikä voidaan osoittaa käyttämällä sitä tietoa, että formula_8 on ulkomitta kaikilla formula_3. Hausdorffin ulkomitan rajoittumaa formula_16-mitallisiin joukkoihin kutsutaan Hausdorffin mitaksi, joka on Carathéodoryn lauseen nojalla mitta.
Helposti nähdään, että formula_17 on lukumäärämitta.
Jos formula_18 ja formula_19, niin formula_20, missä joukko formula_21.
Jos formula_18 ja formula_23 on affiini isometria, niin formula_24.
Voidaan osoittaa, että suoristuvan kaaren formula_25 1-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta on sama kuin sen pituus. Tämä esimerkiksi erottuu Hausdorffin ulkomitan eduksi Lebesguen ulkomittaan nähden, sillä suoristuvan kaaren 1-ulotteinen Lebesguen ulkomitta on usein ääretön ja 2-ulotteinen Lebesguen ulkomitta 0.
Voidaan osoittaa, että formula_16 on rajoitettuna formula_16-mitallisiin joukkoihin säännöllinen Borelin mitta.
Koska Euklidinen avaruus formula_28 on separoituva (formula_29 on numeroituva ja sen sulkeuma on formula_28), niin voimme määritellä myös siellä s-ulotteisen Hausdorffin ulkomitan. Kuitenkin jos valitsemme ulottovuudeksi s = n, niin n-ulotteinen Hausdorffin ulkomitta formula_31 ei ole sama funktio kuin n-ulotteinen Lebesguen ulkomitta formula_32. Kuitenkin voimme osoittaa, että on olemassa vain dimensiosta n riippuva positiivinen vakio formula_33, jolla formula_34. Joskus itse asiassa Hausdorffin ulkomitta määritellään normeeramalla heti se tällä vakiolla. Voidaan osoittaa, että dimensiolla n kyseinen vakio formula_35 missä formula_36 on ns. (reaalinen) Gamma-funktio: formula_37, formula_38. Tästä laskemalla saadaan esimerkiksi, että formula_39:ssä vakio c(1) = 1, joten formula_40.
Lebesguen mitta avaruudessa formula_41 on kehitetty mittamaan kappaleita, joilla on intuitiivisesti nähtynä "n-ulotteista" massaa. Lebesguen mitta näkee joukkojen kokoa dimensioonsa suhteutettuna ja ilmoittaa sen arvossaan. Esimerkiksi n-ulotteinen Lebesguen mitta antaa n-ulotteiselle kuulalle positiivisen ja äärellisen mitan. Tämä on odotettavissa intuitiivisestikin. Toisaalta jos valitsemme esimerkiksi m-ulotteisen levyn, missä m < n, niin n-ulotteinen Lebesguen mitta antaa heti tälle joukolle mitakseen nollan. Voisi siis ajatella, että tutkittu pinta ei sisällä n-ulotteista massaa lainkaan. Kuitenkin jos mittaamme tätä pintaa m-ulotteisella Lebesguen mitalla, voimme saada positiivista ja äärellistä mittaa jos annettu levy on suorassa. Vastaavasti kääntäen voimme yrittää taas mitata m-ulotteisella Lebesguen mitalla n-ulotteista kuulaa, missä edelleen m < n, ja nyt saamme kuulan mitaksi äärettömän. Nyt voisi siis ajatella, että n-ulotteinen kuulan sisältää äärettömän paljon m-ulotteista massaa. Intuitiivisesti tätä voisi ajatella sillä, että m-ulotteisia "levyjä" pitäisi pinota jopa ylinumeroituvan monta kappaletta, jotta ne täyttäisivät koko n-ulotteisen kuulan. Tällöin siis myös m-ulotteista mittaa kertyisi levyjen myötä äärettömän paljon.
Hausdorffin mitalla esiintyy tällainen vastaava piirre. Voimme aina löytää jonkin optimin "dimension", jolla annettua joukkoa kannattaa mitata mahdollisen äärellisen ja positiivisen mitan toivossa. Jokaiselle joukolle tämä dimensio on yksikäsitteinen ja se intuitiivisesti kuvaa joukon geometrista kokoa. Erona nyt vain Lebesguen mitan tapaukseen on se, että tämä dimensio voi olla muukin kuin kokonaisluku.
Täsmällisemmin tämän dimension määrittely alkaa seuraavasta ominaisuudesta:
Voidaan osoittaa, että jokaisella formula_11 on olemassa yksikäsitteinen luku formula_43, jolla
formula_44
Tätä yksikäsitteistä lukua d kutsutaan joukon A Hausdorffin dimensioksi. Formaalimmin määriteltynä joukon A Hausdorffin dimensio on luku
formula_45
Tämän luvun olisi voinut myös määritellä lukuina formula_46, formula_47 ja formula_48.
Erityisesti siis tiedämme, että jos formula_49, niin formula_50.
Tästä seuraa, että tyypillisten n-ulotteista Lebesguen mitan massaa sisältävien joukkojen Hausdorffin dimensio on yhtä kuin n, sillä aikaisemmin totesimme, että on olemassa positiivinen vakio formula_33, jolla formula_34.
Joukon Hausdorffin dimensio voi olla myös muukin kuin luonnollinen luku. Esimerkiksi on olemassa joukkoja, kuten esimerkiksi fraktaalit, joilla usein Hausdorffin dimensio on yli niiden topologisen dimension. Esimerkiksi Cantorin joukon topologinen dimensio on 0, mutta voidaan osoittaa, että sen Hausdorffin dimensio on luku formula_53