Gamma-matriisit
Matemaattisessa fysiikassa, gamma-matriisit, {γ, γ, γ, γ}, eli Diracin matriisit muodostavat matriisiarvoisen esityksen joukolle ortogonaalisia kantavektoreita aika-avaruuden kontravariantteja vektoreita varten. Cliffordin algebra saadaan näistä.
Näistä muodostetaan myös spinorit, jotka esittävät rotaatioita ja Lorentz-puskuja.
Diracin kannassa neljä kontravarianttia gamma-matriisia on
Gamma-matriisit määrittelevä ominaisuus on Cliffordin algebra eli antikommutaatiorelaatio
missä formula_4 on Minkowskin metriikka jossa on käytetty merkkisopimusta (+ − − −) ja formula_5 on yksikkömatriisi.
Tätä määrittelevää ominaisuutta pidetään enemmän fundamentaalina kuin numeerisia gamma-matriiseja, joten metriikan eri merkkisopimukset (+ − − −), (− + + +) muuttavat gamma-matriisien määritelmää.
Kovariantit gamma-matriisit määritellään
jossa on käytetty Einsteinin summaussääntöä.
Määritelmä ei määrää yksikäsitteisesti gamma-matriiseja.
Paul Dirac löysi gammamatriisit koettaessaan löytää kvanttimekaanista liikeyhtälöä, joka kuvaa spin-1/2 hiukkasia. Klein ja Gordon olivat yrittäneet tätä jo 1926, jolloin he tekivät Schrödingerin tapaan operaattorisijoituksen formula_7 ja formula_8 dispersiorelaatioon
formula_9
Tuloksena ollut Kleinin-Gordonin yhtälö ei antanut positiividefiniittiä todennäköisyystiheyttä ja ennusti väärät energiatasot vetyatomille. Ongelma perustuu toisen kertaluvun derivaattoihin. Ottamalla ensin dispersiorelaatiosta neliöjuuri ja vasta sen jälkeen sijoittamalla saadaan neliöjuuren alla oleva operaattori, minkä käsittely aiheuttaa vaikeuksia.
Dirac linearisoi operaattorineliöjuuren olettamalla, että
formula_10
missä formula_11 on kolmekomponenttinen vektori. Korottamalla yrite toiseen tulisi saada dispersiorelaatio ja samalla ehtoja tekijöille formula_12 ja formula_13. Ehdot ovat
missä "i" ≠ "j". Näitä ehtoja eivät täytä yhtäaikaa mitkään kompleksiluvut. Dirac huomasi, että tietyt matriisit toteuttavat annetut ehdot. Pienimmät annetut ehdot toteuttavat matriisit ovat 4x4-matriiseja. Nykymerkinnöin formula_17 ja formula_18, missä formula_19.
Luonnollisessa yksikköjärjestelmässä Diracin yhtälö voidaan ilmaista muodossa
missäformula_21 on nelikomponenttinen Dirac-spinori. Jos formula_22 olisi nelivektori, se osoittaisi johonkin aika-avaruuden suuntaan ja Diracin yhtälö ei olisi Lorentz-invariantti.
Feynmanin sivallusmerkintä määritellään
Diracin yhtälö on tämän avulla ilmaistuna
Käyttämällä operaattoria formula_25 molemmin puolin, saadaan
eli Kleinin-Gordonin yhtälö. Kuten merkinnästä voi päätellä, Diracin yhtälöä noudattavan hiukkasen massa on "m".
On hyödyllistä muodostaa viides gamma-matriisi neljän gamma-matriisin tulona seuraavalla tavalla:
Vaikka formula_28 käyttää gamma-kirjainta, sitä ei pidetä määritelmän mukaisena gamma-matriisina. Yläindeksi 5 on jäänne ajasta, jolloin formula_29 oli formula_30.
formula_28 voidaan ilmaista vaihtoehtoisesti myös seuraavassa muodossa:
Tässä formula_33 on neliulotteinen yleistys Levi-Civita-symbolille. Viides gamma-matriisi on hyödyllinen käsiteltäessä hiukkasten kätisyyttä eli kiraalisuutta hiukkasfysiikassa. Esimerkiksi Diracin kentän voi projisoida vasen- (L) ja oikeakätisiksi (R) seuraavasti:
Matriisilla on seuraavat ominaisuudet:
Seuraavat gamma-matriiseja koskevat laskusäännöt seuraavat suoraan matriisit määrittelevästä antikommutaatiorelaatiosta, joten ne pätevät missä tahansa kannassa.
Ylläolevien laskusääntöjen todistaminen vaatii kolmen lineaarialgebrasta tutun laskusäännön käyttämistä:
missä "A", "B" ja "C" ovat matriiseja ja "r" on skalaari.
Kvanttikenttäteoriassa usein esiintyvä gamma-matriisin ja nelikomponenttisen vektorin yhdistelmä lyhennetään jättämällä gamma-matriisi merkitsemättä ja piirtämällä kenoviiva vektorin päälle:
Sivallusmerkintään liittyviä laskusääntöjä:
Gamma-matriisit kirjoitetaan joskus blokkidiagonaalimuodossa käyttäen 2x2-yksikkömatriisia, formula_49, ja määrittelemällä
missä "k" on kokonaisluku yhden ja kolmen väliltä ja σ ovat Paulin matriiseja.
Tässä artikkelissa gamma-matriisit on kirjoitettu Diracin kannassa:
Toinen yleisessä käytössä oleva kanta on Weylin kanta, missä formula_52 pysyvät samoina, mutta formula_29 on erilainen, jolloin formula_28 on myös erilainen:
Weylin kanta on hyödyllinen, koska hiukkasfysiikassa kiraaliset kentät saavat siinä yksinkertaisen muodon:
Erityisesti voidaan päätellä
missä formula_58 ja formula_59 ovat vasen- (L) ja oikeakätiset (R) kaksikomponenttiset Weylin spinorit.
Toinen mahdollinen määritelmä Weylin kannalle on
Tällöin kiraaliset kentät saavat hiukan eri muodon:
Toisin sanoen:
missä formula_58 ja formula_59 ovat vasen- ja oikeakätiset kaksikomponenttiset Weylin spinorit, kuten edellä.
On olemassa myös Majoranan kanta, missä kaikki Diracin matriisit ovat imaginaarisia spinorit ovat reaalisia. Paulin matriisien avulla sen voi ilmaista seuraavasti: