Negatiivinen luku
Negatiivinen luku on nollaa pienempi luku. Lukujen negatiivisuus ja epänegatiivisuus ovat kompleksi-, reaali-, rationaali- ja kokonaislukujen ominaisuuksia. Suurin negatiivinen kokonaisluku on −1. Negatiivisia lukuja merkitään etumerkillä − (miinus).
Luonnolliset luvut ja yhteenlaskuoperaattori yhdessä muodostavat vaihdannaisen monoidin formula_1. Tässä monoidissa alkioilla ei ole käänteisalkiota, eikä myöskään yhteenlaskun käänteistoimitus, vähennyslasku, ole määritelty kaikille lukupareille. Sen takia luonnollisten lukujen monoidi laajennetaan kokonaislukujen ryhmäksi formula_2, jossa jokaisella luvulla on vastaluku, ja vähennyslasku on määritelty kaikille kokonaislukupareille.
Negatiiviset ja tietysti myös epänegatiiviset rationaaliluvut saadaan, kun kokonaislukujen ryhmää laajennetaan kertolaskulla renkaaksi ja renkaasta kertolaskun käänteisoperaattorilla, jakolaskulla, kunnaksi. Reaaliluvut voidaan konstruoida rationaaliluvuista esim. Dedekindin leikkauksilla.
Jokaista positiivista lukua vastaa yksikäsitteinen negatiivinen luku (ja kääntäen), joka on sen vastaluku. Toisin sanoen jokaista reaalilukua formula_3 on olemassa jokin reaaliluku formula_4, joka toteuttaa ehdon formula_5. Se, että vastaluku välttämättä on myös yksikäsitteinen nahdään olettamalla, että formula_6 ja formula_7. Silloin formula_8. Vastaluvun yksikäsitteisyys oikeuttaa sen, että luvun formula_9 vastalukua merkitään symbolilla, joka riippuu vain formula_9:stä; luvun formula_9 vastaluvun merkki on formula_12. Kun positiivisia lukuja on tapana merkitä ilman etumerkkiä: 1, 2, 4598, 0,75 jne, niin numeroin kirjoitetun negatiivisen luvun ensimmäinen merkki on formula_13: formula_14 jne.
Merkintöjä yhteenlaskuissa negatiivisten lukujen ja ylipäätään vastalukujen kohdalla voidaan lyhentää poistamalla niiden ympäriltä sulut ja +-merkki:
Tämä vastaa vähennyslaskua. Vastaavasti negatiivisia lukuja vähentäessä voidaan poistaa molemmat miinusmerkit, jolloin kyseessä on jälleen yhteenlasku:
Positiivisen ja negatiivisen luvun tulo tuottaa negatiivisen luvun. Sen sijaan kahden negatiivisen luvun tulo tuottaa, kuten yllä, positiivisia lukuja:
Sama pätee jakolaskuun:
Esim.
Negatiivisilla luvuilla ei ole reaalisia neliöjuuria, vaan kompleksisia.
Esim.
jossa formula_22 on imaginääriyksikkö.
Vaikka kirjoituksia negatiivisista luvuista ei ole säilynyt, saattoivat ne olla yleisessä käytössä, ainakin laskuteknisesti kirjanpitolaskennassa. Ensimmäinen kiinalainen maininta negatiivisista luvuista löydetään kirjasta "Tšiu-tšang suan-su" (Yhdeksän matematiikan taitoa käsittelevää kirjaa, noin 202 eaa. – 220 jaa.), jossa on mainittu myös paljon vanhempaakin materiaalia. Siinä selostetaan laskusauvojen käyttöä. Niillä oli kahdet värit sen mukaan, oliko sauvaa esittävä luku negatiivinen (musta) tai positiivinen (punainen). Kirjassa on myös esimerkkejä yhtälöryhmistä, joista saadaan negatiivisia juuria.
Egyptiläis-kreikkalainen Diofantos (noin 200-luvulla jaa.) kutsui sellaisia laskuja absurdeiksi, joiden tulos oli negatiivinen. Esimerkiksi yhtälön 4x + 20 = 0 juuret eivät merkinneet mitään eikä niitä kannattanut yrittää ymmärtää.
Bakhshalin käsikirjoituksessa (noin 300–400 jaa.) negatiivisia juuria käytettiin siten, että ne merkittiin luvun viereen merkityllä +-merkillä. Myöhemmin 500-luvulla jaa. negatiivisuutta ilmaistiin ympyröimällä suure tai luku. Kun 700-luvulla käytettiin negatiivisia lukuja, ne esiteltiin ”velkoina”. Brahmagupta (598–670 jaa.) kirjassaan "Brahma-Sphuta-Siddhanta" (628 jaa.) käsitteli negatiivisia toisen asteen yhtälön juuria. Positiiviset luvut olivat ”aarteita”, negatiiviset ”velkoja” ja nollaa hän kutsui sanalla ”sifer”. Hän luetteli kerto-, jako-, yhteen- ja vähennyslaskujen merkkisäännöt. Esittäessään Diofantoksen lineaaristen yhtälöiden kaikki kokonaislukuratkaisut mukana olivat myös negatiiviset juuret.
Arabit, jotka omaksuivat intialaiset numeromerkit ja laskujärjestelmän, käyttivät negatiivisuuden merkkinä luvun yläpuolista pistettä jo 900-luvulla. Abū al-Wafā' al-Būzjānī käänsi Diofantoksen Aritmetican arabiaksi ja käytti teksteissään negatiivisia lukuja. Omar Khaijamin käytti yhtälöissään negatiivisia kertoimia (vähennyslaskua), mutta ei hyväksynyt negatiivisia juuria tuloksiksi.
Euroopassa negatiivisuus alkoi tulla hyväksytyksi teknisenä ”temppuna” 1600-luvun jälkeen, vaikka jo 1200-luvulla Fibonacci käytti kirjassaan "Liber Abaci" negativisuutta kauppamatematiikassa tappion merkkinä. Hänen teostaan ei kuitenkaan painettu yleiseen käyttöön ja idea jäi omaksumatta. Ranskalainen Nicolas Chuquet esitteli negatiiviset eksponentit ja niiden matematiikan, mutta hänenkin kirjansa julkaisiin vasta 1800-luvulla. Gerolamo Cardano (1501–1576) esitti kirjassaan "Arts Magna" (suom. Suuri taito eli algebran säännöt, kirja I, 1545) kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät. Hän esitti näiden yhtälöiden kaikki juuret ja huomautti, että eräät juuret olivat negatiivisia, irrationaalisia ja saattoivat sisältää negatiivisen luvun juuria (imaginaariluvut).
Vasta symbolisten laskulausekkeiden merkitsemisen tullessa yleiseksi alettiin kirjoittaa lukujen välissä laskumerkkejä sanojen et eli & (+) ja minus (−) sijasta. Miinus lyhennettiin yksinkertaisesti formula_23 tai formula_24.