Kvaternio
Kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden imaginääriakselin formula_1 sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia formula_1 formula_3 ja formula_4. Kvaterniot voidaan myös ymmärtää reaaliluvun ja kolmiulotteisen vektorin yhdistelmäksi. Kvaternio on muotoa formula_5, jossa formula_6, formula_7, formula_8 ja formula_9 ovat reaalilukuja ja formula_1, formula_3 ja formula_4 ovat peruskvaternioita. Imaginääristen peruskvaternioiden laskusäännöt määrittää kaava
Reaali- ja kompleksiluvuista poiketen kvaterniot eivät ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään keksijänsä Hamiltonin kunniaksi merkillä formula_14. Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko Sir William Rowan Hamilton vuonna 1843. Myöhemmin kehitetyt vektorit ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.
Toisin kuin aikaisemmat lukualueen laajennukset, kvaternioita ei kehitetty tarpeesta saattaa minkääntyyppistä yhtälöä ratkeavaksi, vaan tavoitteena oli laajentaa lukualuetta kahdesta ulottuvuudesta kolmeen. Kvaterniot lopulta keksinyt matemaatikko Sir William Rowan Hamilton oli esittänyt kompleksiluvut järjestettyinä lukupareina, josta oli käsitteellisesti lyhyt matka järjestettyihin lukukolmikoihin. Hamilton etsi kompleksilukujen yleistystä, jonka avulla voitaisiin määritellä kertolasku, jolla olisi yhteys kolmiulotteiseen kiertoon samaan tapaan kuin tavallisten kompleksilukujen kertolaskulla on yhteys kiertoon kompleksitasolla. Kolmikoilla tämä ei kuitenkaan onnistu, eikä Hamiltonin onnistunut määritellä luvuille formula_15 kertolaskua, joka vastaisi vektorin kiertoa, ja voidaankin osoittaa että tämä ei ole edes mahdollista.
Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan formula_16 yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi formula_17 ≠ formula_18, vaan formula_19. Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – liitäntä-, vaihdanta-, ja osittelulaki – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut epäeuklidisten geometrioiden myötä.
Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota. 1900-luvun puoliväliin tultaessa muun muassa Oliver Heavisiden ja Willard Gibbsin kehittämät vektorialgebra ja -analyysi olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.
Nykyään kvaternioita käytetään tietokonegrafiikassa ja siihen liittyvässä geometrisessa tutkimuksessa kiertojen ja esineiden suunnan esittämiseen, sillä ne vaativat muita esitystapoja kuten matriiseja vähemmän tilaa ja niiden laskutoimitukset ovat tehokkaampia.
Kvaternio on järjestetty reaalilukunelikko formula_20. Peruskvaterniota formula_21 vastaa reaaliluku 1, kun taas peruskvaternioille formula_22, formula_23 ja formula_24 on annettu symbolit formula_25, formula_26 ja formula_27.
Kvaternion kertominen skalaarilla eli reaaliluvulla on vaihdannainen operaatio ja vastaa vektorin kertomista skalaarilla:
Kvaternioiden yhteen- ja vähennyslaskut ovat analogisia vektorien yhteen- ja vähennyslaskujen kanssa:
Yhteenlasku on vaihdannainen. Kvaternion vastaluku on
Yllä olevia laskusääntöjä käyttäen voidaan kvaterniot esittää peruskvaternioiden summana:
Kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen, mutta olettamalla että se on assosiatiivinen (kuten se onkin), voidaan Hamiltonin kaavasta
johtaa seuraava peruskvaternioiden kertotaulu:
Mielivaltaisten kvaternioiden formula_32 ja formula_33 kertolasku voidaan laskea yllä olevilla säännöillä:
Kvaternioiden jakolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin kvaternion formula_34 "konjugaatti" eli "liittoluku" formula_35 ja huomataan, että kun kvaternio kerrotaan liittoluvullaan, saadaan kvaternion "modulin" eli "itseisarvon" formula_36 neliö:
Kvaternioiden jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi laventamalla nimittäjän liittoluvulla:
Kvaternion formula_39 argumentti formula_40 on kvaternion ja yksikköskalaarin 1 välinen kulma ja se lasketaan
Kvaternion merkkifunktio formula_42 palauttaa kvaternion suuntaisen yksikkökvaternion ja se lasketaan
Kun rinnastetaan kvaternio (1,0,0,0) reaalilukuun 1 ja peruskvaterniot formula_1, formula_3, formula_4 suorakulmaisen kolmiulotteisen koordinaatiston yksikkövektoreihin, voidaan kvaterniot esittää skalaarin ja vektorin summana:
Kvaterniota jonka skalaariosa formula_48, kutsutaan puhtaaksi kvaternioksi, vektorikvaternioksi tai yksinkertaisesti vektoriksi. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on skalaarikvaternio tai pelkkä skalaari. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen piste- ja ristitulon välillä on yhteys
jossa
Kun formula_52, eli kun kvaterniot formula_53 ja formula_54 ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon
josta saadaan risti- ja pistetulolle identiteetit
Seuraavat tavalliset funktiot voidaan määritellä kvaterniomuuttujille formula_56 ja formula_57.
Eksponentti- ja logaritmifunktiot voidaan määritellä kvaternioille, sillä kvaterniot muodostavat jakoalgebran.
Nämä luetellaan viimeisinä koska määrittelyssä tarvitaan kvaternioarvoisia hyperbolisia käänteisfunktioita.