Nelivektori
Nelivektori on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä., Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti.
Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.
Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.
Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.
Nelivektori "A" on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:
Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, "i" = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: "a" = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä.
Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana e, e, e ja komponentteina "A", "A", "A" käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:
vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa
sylinterikoordinaatistoa,
tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.
On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa
niin, että
Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa formula_7. Kovariantti neli­vektori formula_8 saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori formula_9 metrisellä tensorilla formula_10:
Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:
missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten 
orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.
Kanta voidaan esittää rivivektoreina:
niin että:
Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.
Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin formula_15 mukaisesti:
Indeksimerkintöjä käytetettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:
ja kovariantit komponentit seuraavasti:
missä matriisilla formula_15 on komponentit "Λ" rivillä "µ" ja sarakkeella "ν,", ja sen käänteismatriisin Λ komponentit ovat "Λ" rivillä "µ" ja sarakkeella "ν,".
Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: formula_20, tässä formula_21 on 4x4-matriisi
formula_22.
Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon formula_23. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis formula_24.
Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.
Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää
matriisin Λ komponentit ovat:
missä "d" on Kroneckerin delta ja "e" on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.
Jos rotaatio tapahtuu vain "z"-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi "z"-akselin ympäri:
Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella v (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta "c" seuraavasti:
Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin Λ komponentit ovat:
missä formula_32 on Lorentzin tekijä
ja "δ" on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.
Kun liike tapahtuu ainoastaan "x"-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon
missä käytetään rapiditeettia formula_35 , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:
Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.
Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:
ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ komponenteittain:
Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:
Kahden nelivektorin A ja B sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:
missä formula_41 on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:
missä tapauksessa η tarkoittaa rivillä "µ" ja sarakkeessa "ν" olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla. Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa A:n ja B:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:
tai matriisimuodossa:
kun taas A:n ja B:n kovarianteille komponenteille pätee:
tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.
Nelivektorin A sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:
Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.
Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti
karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.
Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen
tai matriisimuodossa:
Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke
yhteen vertailu­järjestelmään, missä "C" on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja
toisessa vertailu­järjestelmässä, missä "C"′ on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä. Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:
toisin sanoen:
Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; A ja A′ liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin B and B′. Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.
Näillä merkkisäännöillä vektorin A normi on:
Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| < 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nolla­vektori, jos ||A|| = 0.
Jotkut kirjoittajat määrittelevät formula_41:n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:
matriisimuodossa:
On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:
toisessa sen sijaan:
joten:
ja näin ollen "C" saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi "A".n ja "B":n avulla. Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.
Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:
Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||A|| > 0, ajan­luontoinen, jos ||A|| > 0 ja nollavektori, jos ||A|| = 0.
Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:
Tässä "A":t ovat A:n duaalivektorin "A"* komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan A:n "kovarianteiksi koordinaateiksi", kun taas alkuperäisiä komponentteja "A" sanotaan sen "kontra­varianteiksi koordinaateiksi".
Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia "d"A ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla "dλ":
missä kontravariantit komponentit ovat:
ja kovariantit koordinaatit:
Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.
Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:
Tässä r on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos "r on aika­koordinaatin "t" funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen r = r"'("t"), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan "t" muuttuessa. Määritelmä "X" = "ct" merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä. Nämä koordinaatit ovat tapahtuman "paikka­neli­vektorin" komponentit. "Siirtymä­neli­vektori" määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":
Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on
mikä "määrittelee" Minkowskin aika-avaruudessa intervallin "s" ja itseis­ajan "t", jotka ovat invariantteja. Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:
mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin d"s" ja differentiaalisen itseis­ajan d"t", mutta tämä normi on myös:
niin että:
Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja 
aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan "t" suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella "cdt", jolloin saadaan:
missä u = "d"r/"dt" on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit "x", "y", "z" ja koordinaattiaika "t"', ja
on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:
Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.
Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta formula_74, ja avaruudellisesta gradientista formula_75. Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:
On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:
Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:
jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.
Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.
Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:
Geometrisesti U on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:
Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus "c":
Normi voidaan esittää myös muodossa:
josta saadaan edelleen:
mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi.
Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:
missä a = "d"u/"dt" kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska U:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:
kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.
Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on "m"', neliliikemäärä määritellään:
missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:
ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:
Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:
ja myös:
mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:
Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.
Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:
missä "P" on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja f kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa "m" on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:
Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos:
Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo q väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:
missä "T" on absoluuttinen lämpötila ja "k" lämmönjohtavuus.
Baryonien vuo on:
missä "n" on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja
"U" on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.
Entropiaa vastaava nelivektori, "nelientropia", määritellään:
missä "s" on entropia baryonia kohti ja "T" absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa.
Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.
Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, "nelivirta", määritellään seuraavasti:
missä j on virrantiheys ja ρ varaustiheys.
Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:
missä a on vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.
Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:
missä "ν" on aallon taajuus ja formula_101 aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:
joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.
Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan "t" ja pituuteen "r" kääntäen verrannollisia suureita,
kulma­taajuutta "ω" ja aaltovektoria "k". Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, "neliaaltovektoriksi":
Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:
Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:
missä "h" on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:
ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio
saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:
Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla ("m" = 0) tästä saadaan:
tai ||k|| = "ω"/"c". Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on "ω"/"c" aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori formula_101.
Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:
missä "ρ" on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori "'j" on "toden­näköisyys­virta". Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ­ja kvanttikenttäteoriassa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.
Jos energia korvataan energiaoperaattorilla ja liikemäärä neliliikemäärän liikemääräoperaattorilla, saadaan
relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä käytetty neliliikemääräoperaattori.
Nelivektori "A" voidaan määritellä myös käyttämällä Paulin matriiseja kantana, jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja:
tai eksplisiittisesti:
Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan unitaarinen matriisi, siis sellainen, jonka transpoosi ja kompleksikonjugaatti ovat samoja kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin determinantti on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:
Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä kanta­vektoreina sovelletaan fysikaalisen avaruuden algebrassa, ja se on esimerkki Cliffordin algebrasta.
Aika-avaruuden algebra on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös gamma-matriisit voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät Diracin yhtälössä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.
Feynmanin slash-notaatio on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille A gammamatriisien avulla:
Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ja relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa. Diracin yhtälössä ja muissa
rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä esiintyy muotoa
olevia termehä, joissa energia­komponentti "E" ja liike­määrä­komponentit ("p","p", "p") korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.