Abraham de Moivre
Abraham de Moivre (26. toukokuuta 1667 – 27. marraskuuta 1754) oli ranskalainen matemaatikko, joka tunnetaan erityisesti kehittämästään de Moivren kaavasta, joka yhdistää kompleksiluvut ja trigonometrian. Hän työskenteli myös todennäköisyyslaskennan parissa ja keksi normaalijakauman. De Moivre valittiin vuonna 1697 englantilaisen Royal Societyn jäseneksi. Hän oli Isaac Newtonin, Edmund Halleyn ja James Stirlingin hyvä ystävä.
Vaikka De Moivre joutui kokemaan vainoa uskonnollisista syistä, hän pysyi koko ikänsä "vakaana kristittynä". Hugenottina hän joutui Englantiin, kuten myös hänen työtoverinsa, toimittaja ja kääntäjä Pierre des Maizeaux.
De Moivre kirjoitti todennäköisyysteoriaa käsittelevän kirjan "The Doctrine of Chances", jonka sanotaan olevan uhka­pelurien suosiossa. Hän keksi ensimmäisenä myös Binet'n kaavan, jolla Fibonaccin lukujonon "n":s luku voidaan laskea kultaisen suhteen "φ" "n":nnen potenssin avulla. Hän esitti ensimmäisenä myös keskeisen raja-arvo­lauseen, joka on todennäköisyys­teorian kulmakivi.
Abraham de Moivre syntyi Vitry-le-François'ssa Champagnessa 26. toukokuuta 1667. Hänen isänsä Daniel de Moivre oli kirurgi, joka uskoi koulutuksen arvoon. Vaikka Abraham de Moivren vanhemmat olivat protestantteja, hän kävi ensin Vitryn katolista Kristittyjen veljien koulua (), joka oli poikkeuksellisen suvaitsevainen aikansa usknnollisten kiistojen jakamassa Ranskassa. Kun hän oli 11-vuotias, hänen vanhempansa lähettivät hänet Sedanin protestanttiseen akatemiaan, jossa hän neljän vuoden ajan opiskeli kreikkaa Jacques du Rondelin oppilaana. Protestanttinen Sedanin akatemia oli perustettu vuonna 1579 Françoise de Bourbonin, Henri-Robert de la Marckin lesken aloitteesta.
Vuonna 1682 Sedanin protestanttinen akatemia lakkautettiin, ja de Moivre alkoi opiskella logiikkaa Saumurissa kahden vuoden ajan. Vaikka matematiikka ei kuulunut hänen opintoihinsa, de Moivde luku omin päin erinäisiä matemaattisia teoksia kuten Jean Prestet'n teoksen "Élémens des mathématiques" sekä Christiaan Huygensin lyhyen tutkielman arpapeleistä, "De Ratiociniis in Ludo Aleae". Vuonna 1684 de Moivre muutti Pariisiin opiskelemaan fysiikkaa, ja siellä hän ensimmäisen kerran sai muodollista matematiikan opetusta Jacques Ozananin yksityisoppilaana.
Uskonnolliset vainot kävivät Ranskassa ankariksi, kun Ludvig XIV vuonna 1685 sääti Fontainebleaun ediktin. Se kumosi Nantesin ediktin, joka oli myöntänyt Ranskan protes­tanteille tärkeitä oikeuksia. Fontainebleaun edikti kielsi protestanttiset jumalan­palvelukset ja määräsi, että katolisten pappien oli kastettava kaikki lapset. De Moivre lähetettiin Saint-Martinin luostarin kouluun, jonne viran­omaiset lähettivät protestanttien lapset käännyt­tääkseen heidät katolisuuteen.
Eri lähteissä esiintyy risti­riitaisia tietoja siitä, milloin de Moivre jätti Saint-Martinin luostarin ja muutti Englantiin. Hänen elämä­kertojaan ovat kirjoittaneet sekä katoliset että protes­tanttiset kirjoittajat. Edellisten mukaan hän olisi viettänyt luostari­koulussa vain lyhyen ajan, kun taas jälkimmäisten mukaan häntä olisi pidetty siellä vankina huhtikuun 28. päivään 1688 saakka.
Saapuessaan Lontooseen de Moivre oli pätevä matemaatikko, joka tunsi hyvin monet alan perus­teokset. Tullakseen toimeen de Moivre toimi matematiikan yksityis­opettajana käyden oppilaidensa kotona tai opettaen Lontoon kahviloissa. Hän itse jatkoi matematiikan opintojaan sen jälkeen, kun oli tavannut Devonshiren herttuan ja nähnyt Newtonin vastikään ilmestyneen teoksen "Principia Mathematica". Selailtuaan tätä teosta hän havaitsi sen olevan paljon hänen aikaisemmin lukemiaan kirjoja syvällisempi, ja hän päätti vakaasti lukea sen kokonaan ja ymmärtää sen. Kun hänen kuitenkin oli kierreltävä eri puolella Lontoota oppilaidensa luonna, hänellä ei ollut riittävästi aikaa opiskella, ja niinpä hän repi kirjasta sivuja irti, kuljetti niitä mukanaan taskussaan ja luki niitä luentojensa välillä.
Erään kyseen­alaisen tarinan mukaan Newtonilla olisi viimeisinä vuosinaan ollut tapana pyytää henkilöitä, jotka esittivät hänelle matemaattisia kysymyksiä, kääntymään de Moivren puoleen sanoen: "Hän tuntee kaikki nämä asiat paremmin kuin minä."
Noin vuonna 1692 Moivre ystävystyi Edmond Halleyn ja pian sen jälkeen myös Newtonin kanssa. Vuonna 1695 Halley esitteli Royal Societylle de Moivren ensimmäisen matemaattisen tutkielman, joka käsitteli "Principia Mathematica" -teoksessa käytettyjä fluksioita. Tutkielma julkaistiin samana vuonna sarjassa "Philosophical Transactions". Pian sen julkaisemisen jälkeen de Moivre kehitti myös Newtonin binomilauseesta yleistyksen, multinomilauseen. Vuonna 1697 lause tuli Royal Societyn tietoon, ja de Moivre otettiin seuran jäseneksi saman vuoden marraskuussa.
Kun de Moivre oli hyväksytty Royal Societyyn, Halley rohkaisi häntä kiinnittämään huomionsa tähti­tieteeseen. Vuonna 1705 de Moivre keksi intuitiivisesti, että "jokaisen planeetan keskihakuvoima on suoraan verrannollinen sen etäisyyteen voima­keskuksesta ja kääntäen verrannollinen sen radan evoluutan halkaisijaan ja sen tangenttia vastaan piirretyn kohti­suoran pituuden kuutioon." Toisin sanoen, jos planeetta kiertää elliptistä rataa poltto­pisteen "F" ympäri ja jos sen ollessa pisteessä "M" valitaan radan ulko­puolelta sellainen piste "P", että "PM" on radan tangentti ja "FPM" on suora kulma, keski­haku­voima pisteessä "P" on verrannollinen lausekkeeseen formula_1, missä "R" on planeetan radan kaarevuussäde pisteessä "M". Matemaatikko Johann Bernoulli todisti tämän vuonna 1710.
Menestyksestään huolimatta de Moivrea koskaan nimitetty yliopistolliseen opetusvirkaan, jolloin hän olisi voinut luoda aikaa vievistä ja rasittavista yksityisopettajan toimistaan. Tämä johtui siitä, että hän oli synty­perältään ranskalainen ja Englannissa yliopiston virkoihin nimitettiin tuohon aikaan vain brittejä.
Vuonna 1712 Royal Society nimitti de Moivren jäseneksi komissioon, jonka tehtävänä oli ratkaista kiista siitä, oliko differentiaali ja integraalilaskennan keksinyt Newton vai Leibniz. Komission muut jäsenet olivat MM. Arbuthnot, Hill, Halley, Jones, Machin, Burnet, Robarts, Bonet, Aston ja Taylor.
De Moivre pysyi köyhänä koko ikänsä. Hänen kerrotaan olleen Old Slaughter's Coffee Housen kanta-asiakas. Tässä St. Martin's Lanen varrella sijainneessa kahvilassa hänen väitetään ansainneen hieman rahaa pelaamalla shakkia.
De Moivre tutki toden­näköisyyttä ja matematiikkaa kuolemaansa saakka, ja useat hänen tutkimuksensa julkaistiin vasta hänen kuolemansa jälkeen. Vanhetessaan hän tuli yhä uneliaammaksi ja tarvitsi pidempää yöunta. Usein kerrotun, joskin kyseenalaisen tarinan mukaan hän olisi huomannut nukkuvansa joka yö 15 minuuttia kauemmin kuin edellisenä yönä ja laskenut etukäteen kuolin­päivänsä: hän kuolisi silloin, kun uni on pidentynyt 24 tuntiin, mikä tämän laskelman perusteella olisi tapahtunut 27. marraskuuta 1754. Hän kuolikin Lontoossa juuri mainittuna päivänä. Hänet haudattiin ensin St Martin-in-the-Fieldsiin, mutta myöhemmin hänen ruumiinsa siirrettiin toiseen paikkaan.
De Moivre kehitti analyyttisen geometrian ja toden­näköisyys­laskennan perustavalla tavalla jatkamalla edeltäjiensä, erityisesti Christiaan Huygensin ja useiden Bernoullin sukuun kuuluneiden matemaatikkojen töitä. Hän kirjoitti myös toden­näköisyys­laskennan oppi­kirjan "The Doctrine of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play" ("Oppi mahdollisuuksista: keino tapahtumien toden­näköisyyksien laskemiseen peleissä"). Se oli tämän alan toinen oppikirja; ensimmäinen oli ollut Girolamo Cardanon 1560-luvulla kirjoittama "Liber de ludo aleae" ("Arpapelien kirja"), mutta sitä ei ollut julkaistu ennen kuin vuonna 1663. De Moivren kirja ilmestyi neljänä painoksena: latinaksi vuonna 1711 sekä englanniksi vuosina 1718, 1738 ja 1567. Kirjan myöhempiin painoksiin de Moivre lisäsi vuonna 1733 johtamansa, aiemmin julkaisemattoman tuloksen, jossa binomijakaumaa ensimmäisen kerran approksimoitiin nykyisin normaalijakaumana tai Gaussin käyränä tunnetulla jakaumalla. Tämä oli ensimmäinen keino tietyn suuruisen virheen esiintymisen toden­näköisyyden määrittämiseksi, kun tämä virhe on ilmoitettu käyttämällä jakauman vaihtelu­väliä yksikkönä, ja samalla ensimmäinen toden­näköisen virheen määritys­keino. Hän myös sovelsi näitä teorioita uhkapelejä käsitteleviin probleemoihin ja kuolleisuus­tilastoihin.
Toden­näköisyys­laskennassa tarvitaan usein luvun kertomaa "n!", mutta ennen kuin nykyaikaiset laskimet keksittiin, sen laskeminen suurille luvuille "n" oli hyvin työlästä. Vuonna 1733 de Moivre esitti kaavan, jolla kertomalle voidaan helposti laskea likiarvoja: 
formula_2
Hän esitti myös likiarvon tässä esiintyvälle vakiolle "c", mutta vasta James Stirling totesi, että formula_3 oli yhtä kuin formula_4. Vaikka tämä kaava tunnetaan Stirlingin kaavana, ansio sen keksimisestä siis kuuluu ainakin yhtä suuressa määrin de Moivrelle kuin Stirlingille.
De Moivre julkaisi myös artikkelin "Annuities upon Lives", jossa hän osoitti, miten normaali­jakaumaa voitiin soveltaa tietyn ikäisten henkilöiden kuolleisuutta kuvaaviin tilastoihin. Hän julkaisi asiasta yksin­kertaisen kaavan, jolla voidaan liki­määräisesti laskea, minkä suuruisiin vuotuisiin tuloihin henkilön iän mukaan maksettavat elin­korot johtavat. Tämä muistuttaa niitä kaavoja, joita vakuutusyhtiöt nykyisin käyttävät.
Jotkin Poissonin jakaumaa koskevat tulokset esitti ensimmäisenä de Moivre artikkelissaan "De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus" julkaisu­sarjassa "Philosophical Transactions of the Royal Society" Sen vuoksi joidenkuiden kirjoittajien mielestä tämän jakauman pitäisi kantaa de Moivren nimeä.
Vuonna 1707 de Moivre johti kaavan:
jonka hän pystyi todistamaan kaikille positiivisille kokonais­luvuille "n". Vuonna 1722 hän esitti yleisemmin tunnetun de Moivren kaavan
aluksi kuitenkin vain konjektuurina.
Vuonna 1749 Euler todisti tämän kaavan kaikille reaali­luvuille "n" käyttämällä Eulerin kaavaa, joka tekee todistuksesta melko suora­viivaisen. Tämä kaava on tärkeä, koska se yhdistää toisiinsa kompleksi­luvut ja trigonometrian. Lisäksi siitä voidaan johtaa lausekkeita, joilla voidaan esittää cos("nx") ja sin("nx") cos("x"):n ja sin("x"):n avulla.