Arkhimedeen lause
Reaalilukuja koskevan Arkhimedeen lauseen mukaan jokaista reaalilukua "r" kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku "k" siten, että
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E".
Jos "r" < 0, on triviaalisti 1 haluttu luku "k". Voidaan siis olettaa, että "r" ≥ 0. Merkitään nyt joukkoa "S" =: {"k" kuuluu kokonaislukuihin | "k" ≤ "r" } eli "S" on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen mukaan joukolla "S" on maksimi, merkitään "W" =: max "S". Valitaan "k" = "W" + 1. Nyt "k" ei voi kuulua "S":ään ja "k" > "r" (jos ei, niin "k" ≤ "r" eli "k" kuuluisi joukkoon "S", mikä on ristiriita).
Arkhimedeen lauseesta seuraa, että jokaista reaalilukua "x" > 0 kohtaan on olemassa luonnollinen luku "n" siten, että x > 1/n.
Todistus:
Olkoon "x" > 0 reaaliluku. Arkimedeen lauseesta seuraa, että on olemassa luonnollinen luku "n" siten että "n" > 1/"x" (koska 1/"x" on reaaliluku sekä positiivinen). Tästä seuraa suoraan, että "x" > 1/"n".
Kahden erisuuren reaaliluvun ("a", "b") välissä on aina rationaaliluku ("r") sekä irrationaaliluku ("i") ja molempia vieläpä äärettömän monta eli "b" > "a", "b" > "r" > "a", "b" > "i" > "a".
Todistus:
Merkitään "x" =: "b" - "a", ("x" > 0). Arkhimedeen lauseesta seuraa, että on olemassa luonnollinen luku "n" siten että: "x" > 1/"n" (> 0). Joukolla "E" := {"k" kuuluu kokonaislukuihin | "k" >= "nb"} on olemassa minimiarvo. Merkitään "p" = min "E". Nyt "p" - 1 ei kuulu joukkoon "E" ja täytyy myös päteä "p" - 1 < "nb". Eli ("p" - 1)/"n" < "b". Nyt "r" := ("p" - 1)/"n" on etsitty rationaaliluku.
"p"/"n" ≥ "b" ⇒ "p"/"n" - "x" ≥ "b" - "x" = "a". "p"/"n" - 1/"n" > "p"/"n" - "x" ≥ "a"
joten
"b" > "p"/"n" - 1/"n" > "a".
Osoitetaan, että kyseisiä rationaalilukuja on äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään lukuja mikä tahansa haluttu lukumäärä "n".
Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku "r" siten että "b" > "r" > "a".
Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon ["b" > "r" > "a"] on olemassa "n" - 1 kappaletta (⇐⇒ "b" > "r" > ... > "r" > "a")
Induktio-askel: on olemassa (edellä todistetun lauseen nojalla) luku "r" siten että "b" > "r" > "r" (> "a") ⇒ haluttuja lukuja löydetään "n" kappaletta ("b" > "r" > ... "r" > "a") valittiin "n" kuinka suureksi tahansa.
Etsitään lukujen "a" ja "b" välistä irrationaaliluku:
Yllä olevan todistuksen nojalla on olemassa kaksi rationaalilukua "r" ja "r" siten, että "a" < "r" < "r" < "b". Merkitään "s" =: "r" - "r" eli "s" on positiivinen rationaaliluku. Nyt 0 < "s"/sqr(2) < "s". Merkitään "z" =: "r" + "s"/sqr(2) ⇒ "a" < "z" < "b" ja "z" on irrationaaliluku. Yllä olevan induktion kaltaisella todistuksella osoitetaan, että irrationaalilukuja löydetään rajattomasti.