Leonhard Euler
Leonhard Paul Euler (lausunta: [], 15. huhtikuuta 1707 Basel – 18. syyskuuta 1783 Pietari) oli sveitsiläinen matemaatikko ja fyysikko, joka vietti suurimman osan elämästään Venäjällä ja Preussissa (nykyisessä Saksassa). Häntä pidetään yhtenä kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista. Euler käytti ensimmäisenä käsitettä funktio (Gottfried Leibniz määritteli käsitteen 1694). Tämän lisäksi Euler aloitti muun muassa ja variaatiolaskennan perusteiden tutkimisen. Häneltä ovat peräisin myös monet nykyisin käytettävät merkinnät, muun muassa summan, piin ja imaginaariyksikön merkintä.
Euler oli matemaattinen nero jo lapsena. Hän oli professorina Pietarissa ja myöhemmin Berliinissä. Euler oli luultavasti kaikkien aikojen tuotteliain matemaatikko, ja hän hallitsi 1700-luvun matematiikkaa (Eulerin aikakausi). Hän kirjoitti elämänsä aikana noin 25 kirjaa, tutkielmaa ja noin 850 julkaisua. Euler tuotti vuosittain keskimäärin 800 sivua tieteellistä tekstiä, unohtamatta hänen laajaa kirjeenvaihtoverkostoaan. Postuumisti on julkaistu lähes 400 Eulerin kirjoitusta. On arvioitu, että noin neljännes tai jopa kolmannes kaikista tuon ajan fysiikkaan, matematiikkaan, mekaniikkaan, tähtitieteeseen ja navigointiin liittyvistä kirjoituksista on Eulerin kirjoittamia. Viimeiset seitsemäntoista elinvuottaan Euler oli täysin sokea, mutta se ei estänyt häntä kirjoittamasta tieteellistä tekstiä.
Yksi tunnetuimmista Eulerin töistä on niin sanottu Eulerin identiteetti, jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Euler tunnetaan erityisesti matemaatikkona, mutta hän tutki myös fysiikkaa. Erityisesti hänen alaansa kuuluivat optiikka, magnetismi, sähkö ja mekaniikka. Hänen mielipiteensä valon luonteesta oli päinvastainen kuin Isaac Newtonin: Eulerin mukaan valo on aaltoliikettä eikä koostu hiukkasista, kuten Newton oli esittänyt teoksessaan "Opticks". Eulerin artikkelit olivat tärkeässä osassa valon aaltoteorian yleistymisessä.
Euler syntyi sveitsiläisessä Baselin kaupungissa vuonna 1707. Hänen vanhempansa olivat naapurikylän Riehenin kalvinistisen kirkon pastori Paul Euler ja Marguerite Brucker, joka oli baselilaisen sairaalapastorin tytär. Taustalla vaikuttanut uskonnollisuus ohjasi Euleria koko hänen elämänsä ajan. Leonhard kasvoi kahden sisaren kanssa; perheen toinen poika syntyi vasta 1719. Eulerin ollessa vain vuoden vanha perhe muutti Baselin liepeille Rieheniin, missä hän vietti suurimman osan lapsuuttaan. Eulereilla oli ennestään läheinen suhde sveitsiläiseen Bernoulli-sukuun. Matematiikasta itsekin kiinnostunut Eulerin isä oli muun muassa käynyt Jakob Bernoullin luennoilla opiskellessaan Baselin yliopistossa teologiaa. Paul ja Johann Bernoulli asuivat opiskeluaikoinaan Jakobin luona jonkin aikaa. Bernoulleilta Eulerin isä oppi niin paljon matematiikkaa, että kykeni opettamaan poikaansa.
Euler aloitti koulunsa Baselin latinakoulussa luultavasti vuonna 1713. Tuona aikana hän asui äitinsä puoleisen isoäidin luona. Eulerin kiinnostus matematiikkaa kohtaan oli herännyt hänen isänsä antaman opetuksen ansiosta. Latinakoulussa ei opetettu lainkaan matematiikkaa, mutta isä hankki Leonhardille yksityisopettajaksi matematiikasta kiinnostuneen teologin Johann Burckhardtin, joka myös kuului Johann Bernoullinn ystäviin. Eulerin suunnitelmat olivat alusta alkaen olleet vahvasti suuntautuneet matematiikkaa kohti, mikä näkyi hänen verrattomissa taidoissaan verrattuna muihin saman ikäisiin. Eulerin isällä oli kuitenkin muita suunnitelmia poikansa varalle. Hän halusi Eulerin kulkevan hänen jalanjälkiään ja tienaavan leipänsä kirkon palveluksessa. Hän lähetti poikansa Baselin yliopistoon opiskelemaan teologiaa.
Euler aloitti opinnot pienessä Baselin yliopistossa isänsä toiveiden mukaisesti 13-vuotiaana eli vuonna 1720. Siellä hän suoritti alimman tutkinnon (1722) ja sai maisterin arvon vuonna 1723. Seuraavana vuonna Euler piti julkisen maisterinesitelmän, jossa verrattiin René Descartesin ja Isaac Newtonin filosofisia käsityksiä. Vuonna 1723 Euler aloitti teologian opinnot. Pian Johann Bernoulli huomasi Eulerin lahjakkuuden. Kiireiden vuoksi Bernoullilla ei ollut mahdollisuutta antaa Eulerille yksityistä opetusta, mutta hän antoi paljon ohjeita, joiden turvin Euler kykeni omatoimisesti jatkamaan eteenpäin. Euler sai käydä joka lauantaipäivä Bernoullin luona, mikäli hänen eteensä tuli ylitsepääsemättömiä ongelmia. Euler tiesi vahvuutensa olevan matematiikassa, jolle hän nyt halusi omistautua täysin, ja lopetti papinopinnot tyystin. Bernoulli sai isän taipumaan, ja Euler sai isältään luvan aineen vaihdolle.
Euler päätti opintonsa vuonna 1726. Hänen väitöstyönsä koski äänen etenemistä. Työn nimi oli "De Sono". Baselin vuosina Euler luki useita matemaattisia töitä, kuten Pierre Varignon, Descartesin, Newtonin, Galileo Galileiin, Frans van Schootenin, Jacob Bernoullin, Jakob Hermannin, Brook Taylorin ja John Wallisin työt. Vuonna 1727 Euler lähetti tieteellisen työn Pariisin tiedeakatemian Grand Prize -palkinnon ehdokkaaksi. Palkinto meni kuitenkin Pierre Bouguerille, ja Euler tuli toiseksi. Saavutus oli kuitenkin varsin hyvä vasta valmistuneelle matemaatikolle. Myöhemmin hän voitti palkinnon yhteensä kaksitoista kertaa. Eulerin oli kuitenkin löydettävä työpaikka turvatakseen elantonsa. Tällainen työpaikka vapautui Pietarista Venäjän tiedeakatemiasta, kun Nicolaus II Bernoulli, toinen Johann Bernoullin kahdesta pojasta, kuoli heinäkuussa 1726. Euler sai työpaikan Venäjän tiedeakatemian lääketieteelliseltä osastolta jo marraskuussa 1726, mutta sanoi matkustavansa Venäjälle vasta seuraavan vuoden keväällä. Eulerilla oli viivytykseen lähinnä kaksi syytä: hän halusi ensin perehtyä aiheeseen, jota tulisi Venäjällä opettamaan, ja toisaalta hänellä oli mahdollisuus saada professuuri Baselin yliopistosta, koska yliopiston fysiikan professori oli kuollut. Heti, kun Euler sai tiedon, ettei häntä oteta Baselin yliopiston virkaan, hän järjesti matkan Venäjälle.
Euler lähti Baselista 5. huhtikuuta 1727. Hän matkusti veneellä Reinin jokea pitkin Saksaan ja Saksan halki hevosvankkureilla. Lyypekistä hän jatkoi matkaa laivalla. Pietariin hän saapui 17. toukokuuta 1727. Tiedeakatemia oli toiminut vasta lyhyen aikaa, sen perusti Pietari Suuri 28. tammikuuta 1724. Pietari Suuri kuoli jo seuraavana vuonna. Venäjän keisarikuntaa hallitsi hänen vaimonsa, keisarinna Katariina I. Katariina I kuitenkin kuoli samana päivänä kun Euler saapui Pietariin, ja Venäjän tiedeakatemia oli samalla vähällä joutua lakkautetuksi. Euler onnistui tästä huolimatta saamaan viran akatemiasta, mutta hän sai sen matematiikan osastolta. Olosuhteet olivat Eulerille poikkeuksellisen hyvät, hän solmi useita ystävyyksiä aikansa merkittävimpien matemaatikkojen kanssa.
Vielä samana vuonna Euler aloitti asepalveluksensa suorittamisen Venäjän laivastossa lääkintäluutnanttina. Euler oli armeijassa vuodet 1727–1730. Hän luopui tehtävistään armeijassa, koska oli saanut fysiikan professuurin akatemiasta, ja sen johdosta hänestä tuli akatemian vakinainen jäsen. Bernoulli piti hallussaan matematiikan professuuria, mutta vuonna 1733 hän päätti matkustaa Baseliin, Sveitsiin, ja jätti virkansa Venäjällä. Bernoullin seuraajaksi valittiin Euler. Matematiikan professuurin saaminen oli Eulerin kannalta taloudellinen helpotus, nyt hänellä oli varaa mennä naimisiin. Euler ja venäläisen maalarin tytär Katharina Gsell solmivat avioliiton 7. tammikuuta 1734. Katharina oli Eulerin tapaan kotoisin sveitsiläisestä perheestä. Avioliittoon syntyi yhteensä kolmetoista jälkeläistä, joista kuitenkin vain viisi eli aikuisikään asti. Aikuiseksi selviytyneitä olivat Johann Albrecht, Karl Johann, Katharina Helene, Christoph ja Charlotte.
Eulerin varsinaiset matemaattinen työ alkoi 1730-luvun puolivälissä useiden artikkeleiden sekä "Mechanica"-teoksen (1736–1737) julkaisun myötä. "Mechanicassa" Euler esittelee newtonilaista dynamiikkaa matemaattisen analyysin muodossa ensimmäistä kertaa. Samoihin aikoihin hänen terveydentilansa alkoi heikentyä selvästi. Vuonna 1735 Euler sairastui kovaan kuumeeseen ja oli kuolemaisillaan. Euler salaili tiukasti tietoa sairastumisestaan perheeltään sekä Bernoulleilta siihen asti kunnes oli täysin toipunut.
Euler oli saanut paljon mainetta voittamiensa Grand Prize -palkintojen ansiosta. Maineen myötä Euleria pyydettiin Berliiniin töihin, mutta hän ei ottanut tarjousta vastaan. Venäjän poliittinen ilmapiiri muuttui kuitenkin nopeasti, ja erityisesti ulkomaalaisilla oli hankalaa pitää työpaikkansa. Siksi Euler muutti mielensä Berliinin suhteen. Euler lähti Pietarista 19. kesäkuuta 1741 ja saapui Berliiniin Fredrik II:n kutsumana 25. heinäkuuta.
De Maupertuis, josta tuli Eulerin hyvä ystävä, oli Preussin tiedeakatemian johtaja. Akatemia perustettiin vuonna 1744, ja myös Euler oli hankkeessa vahvasti mukana. Akatemia-aikanaan Euler työskenteli ahkerasti. Hän muun muassa laati kalentereita ja piirsi karttoja, joita hän myi eteenpäin. Kartoista saadut tulot menivät akatemian hyväksi. Akatemian lisäksi hän työskenteli Preussin hallituksen neuvonantajana.
Euler asui Berliinissä noin 25 vuotta, ja tuona aikana hän kirjoitti 380 artikkelia. Artikkeleista tunnetuimmat ovat "Introductio in analysin infinitorum" (1748), jossa hän esittelee funktion käsitteen, ja "Institutiones calculi differentialis" (1755), jossa hän käsittelee differentiaalilaskentaa. Artikkeleiden aiheet olivat hyvin monipuolisia: hän kirjoitti muun muassa Kuun ja planeettojen radoista, tykeistä ja ballistiikasta, laivanrakennuksesta ja navigoinnista. Hän myös julkaisi kolmiosaisen yleistajuisen teoksen, jossa hän käytti apuna Preussin prinsessan kanssa käytyä kirjeenvaihtoa. Teos julkaistiin nimellä "Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta" (Lettres à une Princesse d’Allemagne, kirjeet vuosilta 1760–62, teos julkaistu 1768–72). Vaikka Euler asui Berliinissä, siteet Venäjälle eivät katkenneet. Hän sai edelleen palkkaa Venäjältä, ja sillä rahalla hän osti kirjoja ja työvälineitä Venäjän tiedeakatemialle. Euler myös kirjoitti raportteja akatemialle ja koulutti nuoria venäläisiä.
De Maupertuis'n kuoltua vuonna 1759 Eulerista tuli akatemian johtaja, vaikka hänelle ei annettu virallisesti johtajan titteliä. Hyvistä alkuasetelmista huolimatta Euler riitaantui Preussin kuninkaan kanssa, ja kuningas olisikin halunnut antaa johtajuuden ranskalaiselle Jean le Rond d’Alembertille. D'Alembert kuitenkin kieltäytyi matkustamasta Berliiniin. Euler katsoi parhaimmaksi poistua Berliinistä ja palasi Pietariin.
Eulerin näkö heikkeni jatkuvasti hänen uransa aikana. Näköongelmat alkoivat ensimmäisinä Pietarin vuosina 1730-luvun puolivälissä. Omaelämäkerrassaan Euler kertoo näköongelmiensa johtuneen liiallisesta työstä kartografisten töiden parissa. Ronald Calinger väittää Eulerin elämäkerrassa hänen silmäongelmiensa alkaneen jo aiemmin, ehkä samoihin aikoihin kuin hänen sairastamansa kuume, ja näköongelmat olivat vain seurausta hänen sairastumisestaan.
Eulerin ollessa Saksassa hänen näkönsä heikkeni entisestään. Hänen oikean silmänsä näkö oli niin huono, että Preussin kuningas Fredrik II Suuri nimitti häntä kykloopiksi. Eulerin parempaan vasempaan silmään tuli vuonna 1771 harmaakaihi. Muutama viikko kaihin havaitsemisen jälkeen Eulerista tuli täysin sokea. Harmaakaihi kyllä operoitiin, mutta leikkaus ei auttanut näköä säilymään kuin muutaman päivän ajan. Eulerin tuottamien tieteellisten tekstien kannalta tarkastellen sokeus ei kuitenkaan haitannut: hän kykeni laskemaan laskuja erinomaisen muistinsa ansiosta ja pystyi esimerkiksi toistamaan Vergiliuksen "Aeneis"-eepoksen alusta loppuun ilman epäröintiä. Hän pystyi myös kertomaan teoksen jokaisen sivun ensimmäisen ja viimeisen rivin.
Euler tuotti lähes puolet kaikista artikkeleistaan ollessaan sokea. Hän ei selvinnyt tästä yksin, vaan häntä auttoivat hänen poikansa Johann Albrecht Euler, joka oli nimitetty Venäjän tiedeakatemiaan fysiikan professoriksi, sekä Christoph Euler, jonka ura oli puhtaasti sotilaallinen. Myös suomalainen Anders Johan Lexell ja sveitsiläinen Nicolaus Fuss olivat tärkeitä.
Euler saapui Pietariin vuonna 1766, hyvin heikkonäköisenä ja muutama vuosi ennen lopullista sokeutumistaan. Eulerin asunto paloi vuonna 1771. Hän itse pelastui ja onnistui pelastamaan merkittävän osan tieteellisistä töistään, mutta hänen vaimonsa menehtyi tulipalossa. Viisi vuotta myöhemmin hän solmi uuden avioliiton ensimmäisen vaimon sisarpuolen, Salome Abigail Gsellin, kanssa.
Aamulla 18. syyskuuta 1783 Euler oli pitämässä lapsenlapselleen matematiikan oppituntia. Lounaan jälkeen hän vietti muutaman tunnin laskien kuumailmapallojen liikettä. Tämän jälkeen hän keskusteli assistenttinsa kanssa vasta löydetyn Uranuksen radasta. Noin kello viiden aikaan hän oli puistossa leikkimässä lapsenlastensa kanssa. Hän sai aivohalvauksen ja kuoli noin kello yhdentoista aikaan illalla.
Euler esitteli useita uusia matemaattisia merkintöjä, jotka levisivät laajempaan käyttöön. Ehkä merkittävin Eulerin käyttämä merkintä on funktion merkitseminen muodossa "f(x)", jota hän käytti ensimmäisen kerran vuonna 1734. Euler esitteli myös trigonometristen funktioiden nykyaikaiset merkintätavat. Tosin jo ennen Euleria William Oughtred oli käyttänyt merkintöjä "sin" ja "cos" sinin ja kosinin merkitsemiseen. Muita Eulerin käyttämiä merkintöjä ovat kreikkalaisen Σ-kirjaimen (sigma) käyttäminen summan merkitsemiseen (vuonna 1755) ja pientä "i"-kirjainta imaginaariyksikön merkitsemiseen (vuonna 1777). Neperin luvun tunnus "e" tulee Eulerin sukunimen ensimmäisestä kirjaimesta. Luvun tunnusta hän käytti ensimmäisen kerran vuonna 1727. Euleria pidetään usein ensimmäisenä matemaatikkona, joka käytti ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen ilmoittamiseen π-kirjainta. Piin käyttö yleistyi Eulerin jälkeen, mutta hän ei käyttänyt sitä ensimmäisenä. William Jones ehdotti piitä ensimmäisenä tähän tarkoitukseen.
Muita Eulerin käyttämiä merkintöjä ovat muutoksen merkitseminen kreikkalaisella Δ-kirjaimella, R- ja r-kirjaimet kolmion ympäri ja sisälle piirretyn ympyrän säteinä ja kirjaimet a, b, c kolmion ABC sivujen pituuksina.
Differentiaalilaskenta oli 1700-luvun matematiikantutkimuksen suurimpia osa-alueita, ja Bernoulli-suvun matemaatikot olivat sen ajan tärkeimmät differentiaalilaskennan tutkijat. Bernoullien vaikutuksesta differentiaalilaskennasta tuli myös Eulerin mielenkiinnon kohde. Vaikka Eulerin todistukset eivät välttämättä vastaa nykyisenlaista ankaraa todistamismenetelmää, ne johtivat kuitenkin useisiin edistysaskeliin.
Matemaattisessa analyysissa Euler tunnetaan erityisesti potenssisarjojen kehittämisestä.
Venäjän tiedeakatemiassa vaikuttanutta Christian Goldbachia voidaan pitää vastuullisena siitä, että Euler kiinnostui myös lukuteoriasta. Hänen varhaisimmat saavutuksensa lukuteorian alalla perustuivat ranskalaisen Pierre de Fermat’n töihin. Euler kehitti Fermat'n ajatuksia, mutta samalla hän kumosi joitakin Fermat'n keksimiä otaksumia.
Euler todisti muun muassa Newtonin identiteetit ja Fermat'n pienen lauseen. Vuonna 1772 Euler todisti, että luku 2−1=2 147 483 647 oli Mersennen alkuluku.
Euler onnistui vuonna 1736 ratkaisemaan niin sanotun Königsbergin silta -ongelman. Preussilaisen Königsbergin kaupungin (nykyään Kaliningrad, Venäjä) läpi virtaa Pregoljajoki. Joessa on kaksi suurta saarta, joita yhdistää seitsemän siltaa mantereeseen. Kysymys kuului, onko mahdollista kulkea kaikkien seitsemän sillan kautta täsmälleen yhden kerran ja palata takaisin lähtöpaikkaan? Euler todisti ensimmäisenä, ettei tämä ole mahdollista. Siltaongelman ja Eulerin mukaan on nimetty verkkoteorian käsite "Eulerin ketju" tai "polku", jolla ymmärretään sellaista kulkua yli verkon kaikkien särmien, että kukin särmä tulee ylitetyksi kerran.
Verkkoteoriaan liittyy läheisesti myös Eulerin monitahokaslause, Eulerin havaitsema yhteys moni­tahokkaan sivu­tahkojen, kärkien ja särmien luku­määrien välillä.
Euler havainnollisti syllogististä päättelyä suljettujen käyrien avulla (1768). Tällaisia diagrammeja kutsutaan nykyään Eulerin diagrammeiksi.
Euler auttoi Euler-Bernoullin palkkiyhtälön kehittämisessä. Yhtälöstä tuli yksi insinööritieteiden peruskivistä.