Turvallinen alkuluku
Turvallinen alkuluku on alkuluku, joka on muotoa 2"p" + 1, missä "p" on myös alkuluku. (Kääntäen, alkuluku "p" on Sophie Germainin alkuluku.) Ensimmäiset turvalliset alkuluvut ovat
Turvallinen alkuluku "q" (pois lukien luku 7) on myös muotoa 6"k" − 1 tai vastaavasti "q" ≡ 5 (mod 6) — kun "p" > 3. Samankaltaisesti turvallinen alkuluku "q" (pois lukien luku 5), voidaan ilmaista muodossa 4"k" − 1 tai vastaavasti muodossa "q" ≡ 3 (mod 4) — tämä pätee sillä ("q" − 1) / 2 täytyy olla pariton luonnollinen luku. Yhdistämällä molemmat muodot huomaamme, että turvallinen alkuluku "q" > 7 tulee olla myös muotoa 12"k"−1 tai vastaavasti "q" ≡ 11 (mod 12).
Näitä alkulukuja kutsutaan "turvallisiksi" johtuen niiden kytköksistä vahvoihin alkulukuihin. Alkuluku on vahva alkuluku, jos sen arvo on suurempi kuin sitä lähinnä suuremman ja pienemmän alkuluvun keskiarvo tai toisin määriteltynä "q" on vahva alkuluku, jos molemmilla ja on suuri alkulukutekijä. Koska turvallinen alkuluku on muotoa , on luvulla luonnollisesti suuri alkulukutekijä, nimittäin "p", ja näin ollen turvallinen alkuluku "q" täyttää osan vahvan alkuluvun kriteereistä. Luvun, jossa "q" on alkulukutekijänä, tekijöihinjakoon kuluva aika erilaisilla menetelmillä laskettuna riippuu osittain luvun alkulukutekijöiden koosta. Tämä pätee esimerkiksi käytettäessä Pollard rho-, Williamsin "p" + 1 - tai Pollardin "p" - 1 -menetelmää. Tehokkaimmat kokonaislukujen tekijöihinjakoon kehitetyt menetelmät eivät kuitenkaan riipu luvun alkulukutekijöiden koosta. Tätä ominaisuutta hyödynnetään salakirjoitusmenetelmissä: esimerkiksi RSA-salausalgoritmi hyödyntää vahvoja alkulukuja.
Turvalliset alkuluvut ovat tärkeitä salakirjoitusmenetelmissä, koska niitä voidaan hyödyntää diskreetteihin logaritmeihin perustuvissa tekniikoissa kuten Diffie-Hellman-avaimenvaihtoprotokollassa.
Turvallisia alkulukuja, jotka noudattavat tiettyjä kongruensseja voidaan käyttää näennäissatunnaislukujen luomiseen Monte Carlon simulaatiossa.
Ei ole olemassa erityistä alkulukutestiä turvallisille alkuluvuille, kuten vaikkapa Fermatin alkuluvulle ja Mersennen alkuluvulle on. Pocklingtonin kriteereitä voidaan kuitenkin käyttää todistamaan, että luku 2"p"+1 on alkuluku kunhan on ensin osoitettu "p":n olevan alkuluku.
Pois lukien luku 5, ei ole olemassa Fermatin alkulukua, joka olisi myös turvallinen alkuluku. Koska Fermatin alkuluvut ovat muotoa "F" = 2 + 1, seuraa siitä, että ("F" − 1)/2 on kahden potenssi.
Pois lukien luku 7, ei ole olemassa Mersennen alkulukua, joka olisi myös turvallinen alkuluku. Tämä seuraa yllä mainitusta turvallisen alkuluvun ominaisuudesta, jonka mukaan kaikki turvalliset alkuluvut, pois lukien luku 7, ovat muotoa 6"k" − 1. Mersennen alkuluvut ovat muotoa 2 − 1, mutta 2 − 1 = 6"k" − 1 johtaisi siihen, että 2 on jaollinen luvulla 6, mikä on mahdotonta.
Ensimmäisen lajin Cunninghamin ketjun kaikki termit viimeistä lukuun ottamatta ovat Sophie Germainin alkulukuja, joten jokainen termi ketjussa ensimmäistä lukuun ottamatta on turvallinen alkuluku. Turvalliset alkuluvut, jotka päättyvät lukuun 7, eli ovat muotoa 10"n" + 7, ovat viimeisiä termejä niiden esiintyessä kyseisissä ketjuissa, sillä 2(10"n" + 7) + 1 = 20"n" + 15 on jaollinen luvulla 5 eli ei ole alkuluku.
Jos turvallinen alkuluku "q" on kongruentti luvulle 7 modulo 8, on se Mersennen luvun jakaja, ja sillä on "q":ta vastaava Sophie Germainin alkuluku eksponenttina.
Suurin löydetty turvallinen alkuluku on . Tämä turvallinen alkuluku ja sitä vastaava Sophie Germainin alkuluku löydettiin huhtikuussa 2012.