Harmoninen funktio
Harmoninen funktio on vähintään kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen matemaattinen funktio "f": "U" → formula_1, joka on määritelty jossakin avaruuden formula_2 avoimessa osajoukossa "U"
ja joka toteuttaa Laplacen yhtälön
Tämä kirjoitetaan yleensä muotoon
tai
Koska kompleksitaso formula_6 voidaan samastaa avaruuden formula_7 kanssa, harmonisen funktion käsite on käyttökelpoinen myös, kun määrittely­joukkona on jokin kompleksitason alue. Tällöin kyseessä on kompleksimuuttujan reaaliarvoinen funktio. Kompleksitasossa jokaisen analyyttisen funktion reaali- ja imaginaariosa ovat harmonisia funktioita.
Harmonisilla funktiolla on suuri merkitys myös matemaattisessa fysiikassa ja stokastisten prosessien teoriassa.
Staattisen sähkökentän potentiaali alueella, jossa ei ole varausta, on paikan harmoninen funktio. Jos varaukset ovat keskittyneet joko erillisiin pisteisiin, käyrille tai pinnoille, potentiaalia esittää harmoninen funktio, jonka määrittelyalue U käsittää koko avaruuden formula_8 lukuun ottamatta niitä kohtia, joissa varaukset ovat. Varausten kohdalla funktiolla on singulariteetti, jossa se ei ole määritelty.
Esimerkkejä tällaisista kolmen reaalimuuttujan harmonisista funktioista, jotka samalla kuvaavat sähkökenttää eri tilanteissa, esitetään seuraavassa taulukossa. Siinä "r" tarkoittaa lukua, jonka neliö on formula_9. Funktio on määritelty alueella, joka käsittää koko avaruuden singulariteettia lukuun ottamatta.
Kaikki nämä voivat kuvata myös gravitaatiokentän potentiaalia tilanteessa, jossa massat ovat keskittyneet singulariteetteihin.
Vastaavia esimerkkejä voidaan esittää myös tasossa formula_7. Esimerkiksi funktio
on harmoninen, ja se on määritelty alueessa formula_12. Tämä funktio kuvaa pitkällä suoralla johtimella olevaa varausta ympäröivän sähkökentän potentiaalia tai myös pitkää lieriömäistä massaa ympäröivää gravitaatiopotentiaalia.
Kuten nämä esimerkit osoittavat, fysiikassa esiintyvät harmoniset funktiot määräytyvät niiden singulariteettien ja reunaehtojen perusteella. Harmoniseen funktioon, jolla on singulariteetti, voidaan kuitenkin lisätä mikä tahansa koko formula_2:ssä määritelty harmoninen funktio, jolloin saadaan toinen harmoninen funktio, jolla on sama singulariteetti, ja näin ollen singulariteetti ei määritä harmonista funktiota yksikäsitteisesti. Jos kuitenkin edellytetään, että funktion raja-arvo argumenttien lähestyessä ääretöntä on nolla, singulariteetti määrittää funktion yksikäsitteisesti, mikä seuraa Liouvillen lauseesta.
Esimerkkejä "n" muuttujan harmonisista funktioista ovat:Annetussa avoimessa joukossa "U" määriteltyjen harmonisten funktioiden joukkoa voidaan pitää Laplacen operaattorin Δ ytimenä tässä joukossa, ja näin ollen se muodostaa vektoriavaruuden, jonka kerroinrenkaana on formula_1. Toisin sanoen harmonisia funktioita lasketaan yhteen, vähennetään toisistaan tai kerrotaan vakiolla, saadaan jälleen harmonisia funktioita.
Jos "f" on harmoninen funktio alueessa "U", myös "f":n kaikki osoittaisderivaatat ovat harmonisia funktioita alueessa "U". Laplacen operaattori Δ ja osittaisderivaattaoperaattori kommutoivat tässä funktioluokassa.
Harmoniset funktiot muistuttavat monessa suhteessa kompleksilukujen holomorfisia funktioita. Kaikki harmoniset funktiot ovat analyyttisiä, toisin sanoen ne voidaan lokaalisti ilmaista potenssisarjana. Tämä pätee yleensäkin kaikille elliptisille operaattoreille, joista Laplacen operaattori on tärkeä esimerkki.
Harmonisten funktioiden tasaisesti suppenevan jonon raja-arvo on myös harmoninen funktio. Tämä seuraa siitä, että jokainen jatkuva funktio, joka toteuttaa keskiarvoperiaatteen, on harmoninen. Käsitellään esimerkkinä alueessa
(−∞, 0) × formula_1 määriteltyä funktiojonoa formula_19. Sarjan funktiot ovat harmonisia, ja se suppenee tasaisesti on harmoninen ja suppenee tasaisesti kohti nollafunktiota. Kuitenkaan sen osittaisderivaatat eivät suppene tasaisesti kohti nollafunktiota. Tämä esimerkki osoittaa, että todistettaessa, että jokin raja-arvo on harmoninen, on viitattava keskiarvo-ominaisuuteen ja jatkuvuuteen.
Jokaisen holomorfisen funktion reaali- ja imaginaariosa tasossa formula_6 eli formula_7 ovat harmonisia funktioita. Näiden sanotaan muodostavan parin harmonisia konjugaatti­funktiota. Kääntäen jokainen funktio "u", joka on harmoninen jossakin tason formula_6 avoimessa osajoukossa Ω, on "lokaalisti" jonkin holomorfisen funktion reaaliosa. Tämä seuraa siitä, että kun kompleksiluku kirjoitetaan muodossa "z" = "x" + "iy", kompleksinen funktio "g"("z")  := "u" − i "u" on holomorfinen Ω:ssa, koska se toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt. Sen vuoksi "g":llä on lokaalinen primitiivi "f", ja "u" on "f":n reaaliosa tiettyyn vakioon saakka, sillä "u" on formula_23:n reaaliosa.
Vaikka tämä yhteys harmonisten ja holomorfisten funktioiden välillä pätee vain kahden reaalimuuttujan tapauksessa, useammankin muuttujan harmonisilla funktioilla on holomorfisten funktioiden kanssa monia yhteisiä ominaisuuksia. Ne ovat reaalimuuttujien funktioina analyyttisiä, niitä koskee maksimiperiaate ja keskiarvoperiaate. Myös singulariteettien poistuvuutta koskeva tulos ja Liouvillen lause pätevät niille vastaavalla tavalla kuin kompleksitason holomorfisille funktioille.
Laplacen yhtälöstä seuraa harmonisille funktioille useita merkittäviä ominaisuuksia.
Harmoniset funktiot ovat äärettömän monta kertaa differentoituvia. Samalla ne ovat reaalianalyysin mielessä analyyttisia funktioita.
Harmonisille funktioille pätee seuraava "maksimiperiaate": jos "K" on "U":n kompakti osajoukko, funktion "f" rajoittumalla "K":hon saa suurimman ja pienimmän arvonsa "K":n reunalla. Jos "U" on yhtenäinen, tästä seuraa, ettei funktiolla "f" voi olla lokaalista maksimia tai minimiä, ellei se ole vakio. Vastaava ominaisuus on subharmonisilla funktioilla.
Jos "B"("x", "r") on pallo, jonka keskipiste on "x" ja säde "r" ja joka kokonaan sisältyy avoimeen alueeseen formula_24, niin harmonisen funktion "u": Ω → formula_1 arvo "u"("x") pallon keskipisteessä on sama kuin sen arvojen keskiarvo pallon pinnalla; tämä keskiarvo on samalla "u":n keskiarvo pallon sisällä. Toisin sanoen
missä ω on yksikköpallon pinta-ala "n"-ulotteisessa avaruudessa ja σ "n"-1 -ulotteinen pintamitta.
Kääntäen kaikki lokaalisti integroituvat funktiot, jotka toteuttavat keskiarvo­periaatteen pallon sisällä, ovat sekä äärettömän monta kertaa differentoituvia että harmonisia.
Tätä keskiarvolausetta voidaan yleistää seuraavasti: Jos "h" on pallosymmetrinen funktio, jolla on sellainen kantaja alueessa "B"("x","r"), että ∫"h" = 1, niin "u"("x") = "h" * "u"("x"). Toisin sanoen voidaan muodostaa "u":n painotettu keskiarvo pisteen ympärillä ja ratkaista "u"("x"). Erityisesti jos funktioksi "h" valitaan jokin äärettömän monta kertaa jatkuvasti differentoituva funktio, "u":n arvo voidaan ratkaista missä pisteessä tahansa, vaikka tunnettaisiin vain, kuinka "u" käyttäytyy jakaumanana. Tämän osoittaa Weylin lemma.
Olkoon "u" ei-negatiivinen harmoninen funktio rajoitetulla alueella Ω. Silloin jokaisessa yhtenäisessä joukossa
Harnackin epäyhtälö 
pätee jollakin vakiolla "C", joka riippuu vain "V":stä ja alueesta Ω.
Singulariteetti eli erikoispiste on piste, jossa funktio ei ole määritelty. Singulariteetti on "poistuva", jos funktiolla on raja-arvo kyseisessä pisteessä, muussa tapauksessa se on "oleellinen".
Samoin kuin analyyttisille, myös harmonisille funktioille pätee seuraava tulos singulariteettien poistuvuudesta.
Jos harmoninen funktio "f" on määritelty alueessa Ω yhtä pistettä "x" lukuun ottamatta, toisin sanoen alueessa formula_29 of R, ja jos funktio lisäksi on rajoitettu, sillä on raja-arvo pisteessä "x" Jos lisäksi funktion määrittelyalue laajennetaan käsittämään myös piste "x" ja sen arvoksi tässä pisteessä määritellään sen raja-arvo, funktio on harmoninen myös tässä pisteessä ja siten koko alueessa Ω.
Jos koko formula_1:ssa määritelty harmoninen funktio "f" on joko ylhäältä tai alhaalta rajoitettu, se on vakio. Vastaava Liouvillen lause pätee myös kompleksi­muuttujien analyyttisille funktioille.
Edward Nelson esitti tälle erityisen lyhyen todistuksen, joka perustuu edellä mainittuun keskiarvo-ominaisuuteen. 
Olkoon annettu kaksi pistettä. Valitaan kaksi kuula, joiden keskipisteinä ne ovat ja joilla on yhtä suuri säde. Jos säde on tarpeeksi suuri, kuulat ovat suurelta osin päällekkäin, ja toisesta kuulasta toisen ulkopuolella olevan osan tilavuuden suhteellinen osuus koko kuulan tilavuudesta voi olla kuinka pieni tahansa. Koska "f" on rajoitettu, sen keskiarvot kummassakin kuulassa voivat olla kuinka lähellä toisiaan tahansa, kunhan vain niiden säde valitaan tarpeeksi suureksi, ja täten "f":llä on sama arvo missä tahansa kahdessa pisteessä.
Funktio, tai yleisemmin matemaattinen distribuutio, on heikosti harmoninen, jose toteuttaa Laplacen yhtälön
heikossa muodossa. Heikosti harmoninen funktio saa melkein kaikkialla saman arvon kuin jokin vahvasti harmoninen funktio, ja erityisesti se on sileä. Heikosti harmoninen distribuutio on nimenomaisesti vahvasti harmoniseen funktioon liittyvä distribuutio ja näin ollen sekin on sileä. Tämä tulos on nimeltään Weylin lemma.
Laplacen yhtälölle on muitakin heikkoja muotoilua, jotka usein ovat käyttökelpoisia. Yksi niistä on Dirichletin periaate, joka kuvaa Sobolevin avaruuden "H"(Ω) harmoniset funktiot funktioina, jotka minimoivat Dirichletin energiaintegraalin
lokaalisten variaatioiden osalta, toisin sanoen kaikkien sellaisten funktioiden formula_33 
osalta, joille "J"("u") ≤ "J"("u" + "v") pätee kaikilla arvoilla formula_34 tai yhtäpitävästi kaikilla arvoilla formula_35
Harmoniset funktiot voidaan määritellä millä tahansa Riemannin monistolla käyttämällä Laplacen–Beltramin operaattoria Δ. Tässä yhteydessä funktiota sanotaan harmoniseksi, jos 
Monet euklidisen avaruuden alueilla määriteltyjä harmonisia funktioita koskevat tulokset pätevät yleisemmässäkin tapauksessa, muun muassa keskiarvoperiaate (geodeettisilla palloilla), maksimi­periaate ja Harnackin epäyhtälö. Keskiarvolausetta lukuun ottamatta nämä ovat helposti todistettavissa yleisiä lineaarisia toisen asteen elliptisiä osittais­differentiaali­yhtälöitä koskevien vastaavien tulosten avulla.
Kaksi kertaa jatkuvasti differentioituvia funktioita, jolle pätee Δ"f" ≥ 0, sanotaan subharmonisiksi. Maksimiperiaate pätee myös
subharmonisille funktioille, monet muut harmonisia funktioita koskevat tulokset sen sijaan eivät. Voidaan osoittaa, että funktio "f" on
subharmoninen, jos ja vain jos alueella, jossa se on määritelty, jokaisen pallopinnalle on olemassa sellainen harmoninen funktio "g", 
että "f"("x") = "g"("x") jokaisessa pisteessä "x", joka sijaitsee pallon pinnalla, mutta "f"("x")" <= "g"("x")
jokaisessa pisteessä "x", joka sijaitsee pallon sisällä.
Muuan harmonisten funktioiden teorian yleistys on Riemannin monistoilla määriteltyjen harmonisten muotojen teoria, joka liittyy kohomologian. Harmonisten funktioiden yleistyksiä ovat myös vektoriarvoiset harmoniset funktiot, jotka ovat harmonisia kuvauksia yhdeltä Riemannin monistolta toiselle. Ne ovat samalla Dirichletin yleistetyn energiafunktionaalin kriittisiä pisteitä. Niihin kuuluvat erikois­tapauksena myös harmoniset funktiot, mikä tulos tunnetaan Dirichletin periaatteena. Tällaiset harmoniset kuvaukset esiintyvät minimaalisten pintojen teoriassa. Esimerkiksi Riemannin monistolla käyrät voidaan määritellä kuvauksina joltakin formula_1:n väliltä monistolle, ja tällöin kyseessä on harmoninen kuvaus, jos ja vain jos käyrä on geodeettinen viiva.
Jos "M" ja "N" ovat kaksi Riemannin monistoa, harmoninen kuvaus 
määritellään Diricletin energian kriittisenä pisteenä
missä on "u":n differentiaali, ja normin määrittävät "M":n ja "N":n metriikat tensoritulojen joukossa "T"*"M" ⊗ "u" "TN".
Tärkeitä harmonisten kuvausten erikois­tapauksia ovat minimi­pinnat, jotka ovat juuri pintojen harmonisia upotuksia kolmi­ulotteiseen euklidiseen avaruuteen. Yleisemmin minimaaliset alimonistot ovat monistojen harmonisia upotuksia toisiin. Harmoninen koordinaatisto ovat harmoninen diffeomorfismi monistolta jollekin yhtä moni­ulotteisen euklidisen avaruuden avoimelle alueelle.