Funktio
Funktio eli kuvaus kertoo olioiden välisistä riippuvuussuhteista.
Formaalisti funktio formula_1 joukolta formula_2 joukkoon formula_3 on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon formula_2 alkioon täsmälleen yhden joukon formula_3 alkion. Funktiota merkitään yleensä symbolilla formula_6.
Funktioon formula_7 liittyviä joukkoja kutsutaan formula_1:n "lähtö"- eli "määrittelyjoukoksi" (formula_2) ja "maalijoukoksi" (formula_3). Jos formula_11, niin sanotaan, että formula_12 on joukon formula_13 funktio. Määrittelyjoukon alkioita kutsutaan usein funktion "argumenteiksi". Sitä, että formula_1:n argumenttiin formula_15 liittämä arvo on formula_16, merkitään yleensä formula_17, eli funktion formula_12" kuva-alkio". Esimerkiksi asetetaan kuvitellussa tilanteessa formula_1:n määrittelyjoukoksi formula_13 nelihenkinen perhe. formula_13 on nyt siis ihminen-tyyppisistä alkioista koostuva joukko, jossa on neljä alkiota. Asetetaan sitten maalijoukoksi formula_22 kaikkien mahdollisten suomalaisten etunimien joukko. Koska jokaiseen ihmiseen voimme liittää jonkin yksikäsitteisen etunimen, niin voimme muodostaa funktion formula_12 nelihenkisen perheen ja kaikkien etunimien joukon välille. Tämän funktion argumentit ovat perheenjäseniä ja arvot perheenjäsenten etunimet.
Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisin funktiotyyppi on sellainen, jossa lähtö- ja maalijoukot ovat lukujoukkoja ja funktion määrittelevä vastaavuus voidaan ilmaista laskutoimituksin. Tällöin on tavallista, joskin muodollisesti epäkorrektia, nimetä funktio määrittelyjoukon yleiseen alkioon kohdistuvan laskutoimituksen osoittavalla kaavalla, esimerkiksi "funktio formula_24".
formula_25, jolla formula_26, on funktio reaalilukujen joukossa. Tässä funktio formula_12 liittää jokaiseen reaalilukuun luvun itsensä, ks. Identtinen funktio.
formula_28, jolla formula_29. Nyt funktio formula_30 liittää jokaiseen reaalilukuun tämän luvun neliön.
formula_31, jolla formula_32, on kahden muuttujan funktio (ks. alla). Funktio formula_33 liittää jokaiseen reaalilukupariin lukujen neliöiden summan.
Yleensä edellä annettu määritelmä riittää pitkällekin menevissä matematiikan tutkimuksissa ja sovelluksissa. Kuitenkin on tarpeellista joskus määritellä funktio täsmällisemmin kuin lausein ja sanoin. Olkoot jälleen formula_2 ja formula_3 joukkoja. Tällöin näiden karteesisen tulon osajoukko formula_36 on "funktio, "jos sille pätevät ehdot
formula_37
ja
formula_38.
Toisin sanoen pari formula_39 on funktion formula_1 alkio, jos ja vain jos jokaisella kuva-alkiosta formula_41 poikkeavilla alkioilla formula_42 pari formula_43 ei ole funktion formula_1 alkio. Siispä funktiossa kukin formula_2:n alkio esiintyy tarkalleen kerran formula_12:n parin ensimmäisenä alkiona. Funktio on siis erikoistapaus yleisemmistä kaksipaikkaisista relaatioista. Eksaktin määritelmän avulla funktiot formula_12 ja formula_30 ovat samat, kun ne ovat sama joukko, eli pätee formula_49.
Olkoon joukko formula_50 ja joukko formula_51.
Nyt näiden karteesinen tulo on joukko formula_52.
Funktiot joukossa formula_53 ovat osajoukot:
Funktiota on yleensä tapana mahdollisuuksien puitteissa kuvata myös visuaalisesti. Tämän mahdollistaa funktion "kuvaajan" käsite. Täsmällisesti jos formula_68 on funktio, niin sen kuvaaja on karteesisen tulon formula_53 osajoukko
formula_70
Funktion kuvaaja koostuu siis määrittelyjoukon alkion ja vastaavan arvojoukon alkion muodostamista pareista. Funktion kuvaajan määritelmä on identtinen yllä esitetyn funktion eksaktin määritelmän kanssa.
Esimerkiksi funktion formula_71, kuvaaja on määritelmän mukaan karteesisen tulon formula_72 osajoukko
formula_73
Tässä tapauksessa koska joukko formula_72 on tavallinen 2-ulotteinen euklidinen avaruus formula_75, niin voidaan funktion formula_12 kuvaajaa hahmottaa visuaalisesti sijoittamalla tasoon kuvaaja-joukon pisteet kuten oheisessa kuvassa näkyy.
Jos formula_77, formula_78 ja formula_79, niin on määriteltävissä funktio formula_80 siten, että formula_81. Funktio formula_82 on funktioista formula_1 ja formula_84 yhdistetty funktio ja sitä merkitään formula_85.
Jos esimerkiksi formula_86, formula_87 ja formula_88, niin formula_89 ja formula_90.
Kun funktion lähtöjoukko on hahmotettavissa useamman joukon karteesiseksi tuloksi, on usein tapana puhua usean muuttujan funktiosta tai vektorimuuttujan funktiosta. Jos formula_91, niin funktion formula_77 alkioon formula_93 liittämää kuva-alkiota formula_94 merkitään yleensä formula_95. Esimerkiksi ilmanpaine formula_96 tietyssä paikassa formula_97 ja tietyllä hetkellä on neljän muuttujan (kolme paikkakoordinaattia ja aika) reaaliarvoinen funktio formula_98. Tutumpi esimerkki on yhteenlaskufunktio formula_99: lukuparin formula_100 yksikäsitteinen kuva-alkio formula_101 on lukujen formula_102 ja formula_103 summa, ja sitä merkitään yksinkertaisemmin formula_104 (ks. Laskutoimitus).
Vastaavasti funktion palauttama arvo voi olla usean joukon karteesisen tulon alkio. Tällöin on tapana puhua vektoriarvoisesta funktiosta. Esimerkiksi joen virtaussuunta tasokartalla ja nopeus (kaksi arvoa) voidaan ilmoittaa joen suulta mitatun etäisyyden funktiona formula_105, missä formula_106 on jokin vakio . Erityisesti fysiikassa vektoriarvoisen funktion sijasta puhutaan yleensä "vektorikentästä". Esimerkiksi sähkökenttää voi kuvata funktio, joka liittää tiettyyn paikka- ja aika-avaruuden pisteeseen kentän suunnan, eli kyseessä on kuvaus formula_107.
Olkoon formula_108 funktio eli kuvaus.
formula_111
Toisinaan kuvajoukkoa merkitään ilman sulkeita: formula_112. Funktion kuvajoukko on siis maalijoukon formula_113 osajoukko ja se koostuu niistä formula_113:n kuva-alkioista, joille määrittelyjoukon osajoukon formula_2 alkiot kuvautuvat kuvauksessa formula_1. Jos asetamme osajoukoksi formula_2 koko määrittelyjoukon formula_118, ei välttämättä vastaava kuvajoukko formula_119 ole koko maalijoukko formula_120. Esimerkiksi funktion formula_121, formula_122, määrittelyjoukon kuva formula_123, joka on maalijoukon formula_124 aito osajoukko.
formula_127
Funktion alkukuva on siis määrittelyjoukon formula_118 osajoukko ja se koostuu niistä formula_118:n alkioista, jotka kuvautuvat joukon formula_3 alkioille kuvauksessa formula_1. Yksittäisen alkion formula_132 alkukuva on formula_133. Jos asetetaan osajoukoksi formula_3 koko maalijoukko formula_113, niin vastaava alkukuva on koko määrittelyjoukko. Koko määrittelyjoukko voi kuitenkin olla jonkin maalijoukon aidon osajoukon alkukuva. Esimerkiksi funktion formula_121, formula_122, maalijoukon osajoukon formula_138 alkukuva on formula_124 eli koko määrittelyjoukko.
Matematiikassa ja sen sovelluksissa tavallisimpia reaalimuuttujan formula_93 funktioita kutsutaan alkeisfunktioiksi. Alkeisfunktioita ovat ensinnäkin polynomit eli funktiot, jotka määritellään muuttujasta ja vakioista yhteen- ja kestolaskun avulla muodostetuilla laskulausekkeilla. Polynomifunktion formula_96 yleinen muoto on 
formula_142
Polynomifunktioiden erikoistapauksia ovat vakiofunktiot formula_143, missä formula_144 on jokin vakio, ja identtinen (reaalimuuttujan) funktio formula_145. Rationaalifunktiot formula_146 määritellään lausekkein, joissa voi esiintyä yhteen- ja kertolaskun lisäksi myös jakolaskuja. Rationaalifunktion laskulauseke voidaan aina saattaa muotoon
formula_147
eli kahden polynomifunktion osamaaräksi. Koska nimittäjä voi olla nolla, rationaalifunktion määrittelyjoukko ei yleensä voi olla koko reaalilukujen joukko. Kun funktion lausekkeen muodostamisessa saa käyttää myös juurenottoja, funktio on algebrallinen funktio.
Algebrallisten funktioiden lisäksi alkeisfunktioihin luetaan eksponenttifunktiot, logaritmifunktiot, trigonometriset funktiot käänteisfunktioineen ja kaikki näistä yhdistämällä muodostetut funktiot.
Algebrassa voidaan funktioille lisäksi määritellä "ytimen" käsite, joka on osoittautunut esimerkiksi isomorfisuuden tutkimisessa hyödylliseksi välineeksi.
Olkoon seuraavassa "G" ja "G´" ryhmiä ja formula_148 jokin funktio.formula_150
missä merkintä formula_151 tarkoittaa arvojoukon formula_152 nolla-alkiota. Toisin sanoen funktion ydin koostuu niistä määrittelyjoukon alkioista, jotka kuvautuvat nolla-alkiolle. Funktion ydin on siis erityisesti nolla-alkion muodostaman yksiön alkukuva. Esimerkiksi funktion formula_121, formula_122, ydin koostuu pelkästä luvusta 0 sillä formula_155 jos ja vain jos formula_156.
Erityisesti funktionaalianalyysissä hyödyllinen käsite on funktion kantaja. Jos funktion määrittelyjoukko on topologinen avaruus ja arvojoukko on reaali- tai kompleksilukujen joukko, funktion kantaja on joukon formula_157 (formula_158) sulkeuma eli pienin kyseisen joukon sisältävä suljettu joukko.
Sanan "funktio" etymologia perustuu latinan verbiin "fungi", 'tehdä, toimia, toimittaa'. Sanaa sen matemaattisessa merkityksessä käytti ensimmäisenä saksalainen G. W. Leibniz vuonna 1694. Sveitsiläinen Johann Bernoulli käytti vuonna 1718 merkintää formula_159. Merkintää formula_94 käyttivät ensi kerran ranskalainen "Alexis Claude Clairaut" (1713–1765) ja sveitsiläinen Euler vuonna 1734. Funktiolla ymmärrettiin pitkään laskulausekkeen tulosta, mutta jo Eulerilla esiintyy ajatus funktiosta minä hyvänsä lukujen välisenä yhteytenä. Saksalainen Dirichlet esitti vuonna 1837 olennaisesti nykyisen funktion määritelmän, joka ei sido funktiota lukujen laskutoimituksiin.
Erityisesti Cauchyn, Riemannin ja Weierstrassin havainnot kompleksilukumuuttujan kompleksilukuarvoisista funktioista synnyttivät 1800-luvulla funktioteoriaksi kutsutun matematiikan osa-alueen. Sen tutkimus on ollut elinvoimaista Suomessa 1900-luvulla.
Funktiolle on määritelty paljon erilaisia ominaisuuksia: