Ympyrä
Ympyrä on geometriassa kaikkien niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä (ympyrän keskipisteestä) on pienempi, tai yhtä suuri kuin ympyrän säde r. Kehän pisteeltä toiselle kulkevaa janaa kutsutaan "jänteeksi". "Halkaisija" on jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Ympyrän pyörähdyskappale sen keskipisteen kautta kulkevan suoran ympäri on pallo.
Ympyrän voidaan ajatella olevan erikoistapaus ellipsistä, joka on ympyrän ohella yksi kartioleikkauskuvio.
Ympyräksi kutsutaan usein myös ympyrän kehän sisään jäävää tason osaa eli ympyräkiekon aluetta. Muun muassa metristen avaruuksien topologiassa ja kompleksianalyysissä alueesta käytetään nykyisin yleensä termiä kiekko.
Piirin ja halkaisijan suhde on vakio, pii, joka merkitään kreikkalaisella kirjaimella formula_1.
Ympyrän kehän (piirin) pituus formula_2 saadaan kaavasta:
Voidaan myös ilmaista säde formula_4 ja halkaisijan formula_7 avulla, eli formula_8:
Ympyrän sisään jääneen alueen pinta-ala formula_10 saadaan kaavasta: 
Jos ympyrän kehän pituus formula_2 tunnetaan, voidaan pinta-ala formula_10 laskea kaavasta:
Jos ympyrän halkaisija formula_7 ja kehän pituus formula_2 tunnetaan, voidaan
pinta-ala laskea (ilman lukua formula_20) kaavasta:
Jos tarkastellaan vakiomittaisia sulkeutuvia käyriä, 
on ympyrä sellainen käyrän muoto, 
joka sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen pinta-alan.
Matemaattisesti tämä isoperimetrisen epäyhtälön nimellä kulkeva tulos voidaan muotoilla seuraavasti. Olkoon formula_2 sulkeutuvan, jatkuvan ja itseään leikkaamattoman tasokäyrän eli Jordanin käyrän pituus ja formula_10 sen
rajaaman äärellisen tasoalueen pinta-ala. Tällöin
missä yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun kyseessä on ympyrä.
Ympyrän kaari tarkoittaa ympyrän kehän osaa. Esim. sektori tai segmentti jakaa ympyrän kehän kahteen kaareen.
Ympyrän kaaren pituus saadaan jakamalla kaaren rajaavan keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän kehän pituuden kaavalla formula_3.
Ympyrän sektori tarkoittaa ympyrän kahden säteen ja niiden ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Ympyrän sektorin pinta-ala saadaan jakamalla sektorin rajaavien säteiden muodostaman keskuskulman asteluku 360 asteella ja kertomalla se tämän jälkeen ympyrän pinta-alan kaavalla formula_11.
Ympyrän segmentti tarkoittaa ympyrän jänteen ja sen ympyrästä rajaaman kaaren sisälle jäävää aluetta.
Olkoon piste (x,y) ympyrän keskipiste, r ympyrän säde ja piste (x,y) mikä tahansa koordinaatiston piste. Jokaisen ympyrän kehän pisteen etäisyys ympyrän keskipisteestä on ympyrän säde eli r. Kuvitellaan suorakulmainen kolmio, jonka terävinä kulmina on pisteet (x,y) ja (x,y). Kolmion hypotenuusan pituus eli pisteiden etäisyys on Pythagoraan lauseen mukaan
Koska etäisyyden tulee olla r, saadaan
Korottamalla yhtälö puolittain toiseen saadaan hieman kätevämpi muoto
Josta saadaan poistamalla sulut potensseista ympyrän yhtälön normaalimuoto:
Jos ympyrän keskipiste on pisteessä (0,0), ts. origossa, on ympyrän yhtälö
joka on parametrimuodossa:
Napakoordinaattiesitys origokeskiselle ympyrälle on yksinkertaisesti: r = vakio
Kun ympyrän yhtälö tunnetaan, voidaan sen pinta-ala ja kehän pituus laskea myös integroimalla. Lisäksi voidaan johtaa kaavat pallon tilavuudelle ja pinta-alalle.
Jos kolmen pisteen koordinaatit, esimerkiksi kolmion kärjet, ovat konsykliset ja merkitään formula_34 formula_35 ja formula_36, voidaan ympyrän yhtälö kirjoittaa determinantilla
joka on evaluoituna
missä
"x:n" kerroin formula_40 saadaan matriisista
jättämällä formula_42 termejä sisältävä sarake pois (vastaavasti formula_43:n suhteen) determinantista
ja
ja vakiotermi "c"
Ympyrän yhtälö voidaan esittää keskipistemuodossa
missä keskipisteen koordinaatit ovat
ja
sekä säde
Ympyrän kehäkulmaksi kutsutaan sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärkipiste on ympyrän kehällä ja jonka molempien kylkien osana on jänne tai jonka toisen kyljen osana on jänne ja toinen kyki on tangentilla. Keskuskulma taas tarkoittaa sellaista ympyrän kulmaa, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. Tangenttikulma tarkoittaa kulmaa, joiden kyljet ovat tangenteilla.
Piirrettäessä neljä samanlaista ympyrää sivuamaan toisia siten, että ympyröiden keskipisteet muodostavat neliön, on ympyröiden väliin jäävän alueen (merkitty harmaalla) pinta-ala
missä r on kunkin ympyrän säde.
Ympyrän ympärille voidaan piirtää tiiviiksi ryhmäksi kuusi muuta samanlaista ympyrää siten, että kukin lisätty ympyrä sivuaa kahta muuta ja keskusympyrää.
Mikäli ympäröivien ympyröiden säde on kaksi kertaa niin suuri kuin keskusympyrän säde r, ympäröivien ympyröiden määräksi tulee viisi. Jos ympäröivien ympyröiden säde on r/2, niitä mahtuu kuvioon kymmenen.
Mikäli ympyrällä ja neliöllä on viisi yhteistä pistettä kuvan osoittamalla tavalla, niin ympyrän säteen ja neliön sivun suhde on 5/8.
Sellaisten pisteiden ura, jotka ovat yhtä kaukana ympyrästä ja x-akselista, on paraabeli. Kuvioita on kaksi, ja niitä kuvaavat yhtälöt