Todennäköisyydet generoiva funktio
Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus "tgf") on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.
Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.
Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo
Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja
jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan formula_3 arvoille formula_4. Muuttuja formula_5 on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan formula_5 arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.
Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos formula_7. Siten arvo formula_8 on sallittu arvo. Sen sijaan arvo formula_9 ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä
Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa formula_11, sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä formula_12 merkitään siksi formula_13. Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.
Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään
Yleisessä tapauksessa, missä formula_15, saadaan
Erityistapauksessa, jossa formula_17 ja niiden todennäköisyydet vastaavasti formula_18, tulee generoivasta funktiosta
josta saadaan
kunhan formula_21
Yleisessä tapauksessa, missä formula_15, saadaan
sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.
Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja formula_24 kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta formula_25 ja formula_26 merkitsemällä formula_27, voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla
Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo
Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla
Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti:
Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
ja sen arvo ykkösessä antaa
eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
ja sen arvo ykkösessä on
eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi.
Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan 
eli r:s tekijämomentti.
Erityistapauksessa, jossa formula_40 ja niiden todennäköisyydet vastaavasti formula_41, saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet formula_42. Generoiva funktio on nyt
ja sen ensimmäinen derivaatta on
Sijoittamalla siihen formula_8 saadaan
kun tilanteessa "formula_47" huomataan formula_48 Toinen derivaatta antaa
ja sijoittamalla taas formula_8 saadaan
Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua
Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: "todennäköisyydet generoiva funktio".
Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun formula_53 todennäköisyydellä formula_54. Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio
jolla on ominaisuus
eli todennäköisyyksien summa on yksi.
Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:
Derivaatta kohdassa yksi on
ja
Toinen derivaatta kohdassa yksi on
ja
Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta