Funktion raja-arvo
Funktion raja-arvo on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, "funktion raja-arvoilla" tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio "suppenee" (muutoin "hajaantuu") kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.
Raja-arvo on latinaksi "limes", mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä
joka luetaan ""funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p"".
Sen toinen merkintätapa on
joka luetaan edelliseen tapaa.
Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää raja-funktion arvon käsitettä. Jos funktion arvoa "f(p)" ei voi taikka saa laskea tietyllä luvulla "p", voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun "p" viereisiä) lukuja "x". Mitä pienempi on lukujen "p" ja "x" välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo "f(x)" vastaisi kuviteltua funktion arvoa "f(p)" (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut "x" poikkeavat luvusta "p", sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle "L", ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen "x" arvojen lähestyessä luvun "p" arvoa.
Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono formula_3, joka lähestyisi lukua "p" lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla formula_4 laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono formula_5. Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.
Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun
missä "L" on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on "oikeanpuoleinen raja-arvo" ja toinen "vasemmanpuoleinen raja-arvo", on raja-arvo olemassa ja sen arvo on "L" eli
Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio formula_8 on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa (formula_9) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja formula_10 niin, että formula_11 Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli
Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan formula_13. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli
Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.
Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä epsilon-delta-tekniikka. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon (formula_15) ja delta (formula_16) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.
Funktion formula_17 realilukuarvoinen määrittelyjoukko on formula_18 niin, että formula_19 on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku "p", eli formula_20 (luku "p" voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo "L" kohdassa "p", jos kaikilla luvuilla formula_21 on aina olemassa luku formula_22 siten, että 
Siis, valittiinpa positiivinen luku formula_15 kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku formula_16 siten, että kaikilla korkeintaan formula_16:n etäisyydellä olevilla luvuilla formula_27 ovat funktion formula_28 arvot korkeintaan formula_15:n etäisyydellä raja-arvosta "L". Toistamalla formula_15:n pienentämisen, tulisi myös formula_16 pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun formula_16:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun formula_15.
Funktiolla formula_34 on toki olemassa arvo luvulla formula_35, joka on formula_36. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo "L", kun luvut "x" lähestyvät lukua "p = 3". Siis osoitetaan, että (lähde:)
Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon "L = 9" erotuksen suuruuden ylärajaksi formula_15 siten, että
missä formula_21. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa "p = 3" tulee "x" valita, että ollaan korkeintaan formula_15:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä
ja kun "x" on riittävän lähellä arvoa "p = 3", on 
ja
Nyt huomataan että formula_15 ja formula_16 riippuvat toisitaan. Siis
kunhan
jolloin valitaan formula_49
Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun formula_15:ia pienennetään, pienenee myös formula_16. Erityisesti, valitsemalla "x" luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla "x" riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.
Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen "x" ja "p" erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, "x" lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.
Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut "x" ovat lukua "p" suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua "p" oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo formula_52. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja
Raja-arvon "L" yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua "p" lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut "x" ovat aina lukua "p" pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot
Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.
Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se
jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa ""kun x lähestyy plus ääretöntä""). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se
jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa ""kun x lähestyy miinus ääretöntä""). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa "L" luvulla. Tällöin sanotaan, että ""funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L"". Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos
jos tulos kasvaa rajatta ja 
jos tulos vähenee rajatta.
Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä
määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla
eli funktion arvo formula_28 on formula_15:n etäisyydellä raja-arvosta "L", kun muuttuja "x" on ylittänyt rajan formula_63. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa "L", kunhan muuttuja "x" kasvatetaan tarpeeksi suureksi.
Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa formula_64) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun "z" moduuli lasketaan formula_65 Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla formula_66
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_64, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_68) määriteltyä kompleksifunktiota formula_69, pystytään joskus määrittämään funktion formula_70 raja-arvo
Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue "G" voi olla pisteen formula_68 ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku "z" voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua formula_68 mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun formula_68 määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina
Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku "L" kohdassa formula_68, jos kaikilla luvuilla formula_21 on aina olemassa luku formula_22 siten, että
Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä "p", mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion formula_80 arvo:
Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.
Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä formula_82. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena
Jos funktioilla formula_28 ja formula_85 on olemassa raja-arvot (formula_86), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:
Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.
Yhdistetyillä funktioilla
Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon moderni tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan ""Cours d'analyse"" (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.