Nelinopeus
Nelinopeus on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.
Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen "nopeus" sitä vastoin on sen sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.
Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.
Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden ("c") suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.
Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:
formula_1 ajan formula_2 funktiona:
missä luvut formula_4 tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä "t".
Nopeuden formula_5 (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat
Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota formula_7, missä formula_8 merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista formula_9, jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.
Aikadilaatiosta tiedetään, että
missä formula_12 on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:
ja "u" on nopeusvektorin euklidinen normi formula_14:
Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä formula_16 määritellään seuraavasti:
missä formula_18 on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja formula_9 itseisaika.
Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.
Aika "t" ja koordinaattina ilmaistu aika formula_20 vastaavat toisiaan yhtälön
mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan formula_22, suhteen, saadaan nopeuden komponentti formula_23 tapauksessa μ = 0:
Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille formula_251, 2, 3, saadaan:
missä on käytetty yhteyttä
Täten nelinopeudelle formula_28 saadaan:
Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden formula_30, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.