Interpolaatio
Interpolaatio eli interpolointi on numeerisessa matematiikassa menetelmä, jossa lasketaan uusia arvoja tunnettujen arvojen väliin jollakin menetelmällä.
Tekniikassa ja tieteessä on tavallinen tilanne, että tarkasteltavasta ilmiöstä saadaan mitattua muutamia koetuloksia tai kerättyä tilastollinen otos. Ne edustavat tutkittavaa ilmiötä kuvaavan funktion arvoja muutamissa kohdissa. Näistä arvoista tulisi estimoida eli interpoloida funktion arvo halutussa kohdassa, joka jää muuttujien tunnettujen arvojen väliin. Interpoloinnissa voidaan käyttää apuna käyränsovitusta tai regressioanalyysiä.
Funktion approksimoinnissa halutaan käyttää vaikeasti käsiteltävän tai työläästi laskettavan funktion lausekkeen sijasta yksinkertaisempaa lauseketta. Silloin voidaan laskea kohdefunktiosta muutama arvo, joihin luodaan interpolaatio sovittamalla siihen yksinkertaisempaa funktiota. Toinen tapa on vaatia approksimaatiolta samanarvoisuutta tärkeissä pisteissä ja että approksimaatiolla on samoja ominaisuuksia kohdefunktion kanssa (esimerkiksi samoja derivaattoja). Koska interpoloivan funktion arvot poikkeavat hieman alkuperäisen funktion arvoista, syntyy tästä interpolaatiovirhettä. Approksimoinnin hyödyt saattavat kuitenkin ylittää siitä koituvat haitat.
Esimerkeissä käytetään seitsemässä kohdassa mitattuja funktion arvoja. Ne on lueteltu taulukossa alla ja esitetty viereisessä kuvaajassa.
Interpolointi mahdollistaa eri tapoja estimoida funktion arvoja tunnettujen pisteiden välistä, kuten esimerkiksi kohdassa x = 1,5.
Puuttuvien funktion arvojen estimointiin löytyy lukuisia eri interpolointimenetelmiä. Niiden antamat tulokset vaihtelevat, joten tekijän tulisi harkita käytettävän algoritmin ominaisuuksia, jotta tulokset olisivat tarkoituksenmukaiset. Huomiota tulisi kiinnittää ainakin seuraaviin asioihin: Kuinka tarkasti estimaatit seuraavat luonnollista ilmiötä? Kuinka paljon tarvitaan esitietoa? Kuinka työlästä on laskea algoritmin vaatimat välivaiheet? Kuinka sileä on interpoloitu käyrä?
Helpoin tapa estimoida puuttuvia arvoja on etsiä lähin piste ja kopioida sen arvo funktion arvoksi. Yhden muuttujan tapauksissa on olemassa muita parempia ja lähes yhtä yksinkertaisia menetelmiä, kuten esimerkiksi lineaarinen interpolaatio. Useamman muuttujan tapauksissa tällä menetelmällä säästää paljon vaivaa ja on niissä tapauksissa varteenotettava interpolointimenetelmä.
Lineaarinen interpolaatio on eräs vanhimpia interpolaatiomenetelmiä, jossa sovitetaan suora annettujen pisteiden välille. Usean pisteen tapauksissa, jokainen peräkkäinen pistepari voidaan yhdistää suoralla ja tuloksena on jatkuva murtoviiva. Menetelmä on matemaattisesti helppo ja sitä on käytetty tietokonesimulaatioissa runsaasti.
Sen laajennus on bilineaarinen interpolaatio, jossa tason vierekkäiset pisteet (kolme tai neljä pistettä) muodostavat konveksin interpoloitavan monikulmion. Jokainen monikulmion sisäosan pisteeseen voidaan määrittää kolmella lineaarisella interpolaatiolla funktion arvo. Samaa ideaa soveltamalla kolmeen ulottuvuuteen syntyy kuusitahkoisen särmiön sisään trilineaarinen interpolaatio, jossa särmiön sisäpisteet voidaan luontevasti interpoloida. Menetelmä on vapaa sovellettavaksi vieläkin korkeampiin ulottuvuuksiin.
Polynomisessa interpolaatiossa annettujen pisteiden kautta pakotetaan kulkemaan polynomi. Kahden satunnaisesti asetetun pisteen kautta voidaan pakottaa kulkemaan vähintään ensimmäisen asteen polynomi ja kolmen satunnaisesti astetetun (mutta ei-kollineaarisen) pisteen kautta vähintään toisen asteen polynomi. Interpoloitava polynomi, jonka asteluku on vähintään pisteiden lukumäärä, ei ole enää yksikäsitteinen. Mikäli suuri pistejoukko noudattaa matalampiasteisen polynomin sääntöä, voidaan sitä käyttää interpoloimiseen.
Seuraavat polynomiset interpolointimenetelmät ovat yleisesti tunnettuja: