Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio tai eksponentiaalifunktio on matematiikassa transsendenttisiin alkeisfunktioihin kuuluva funktio. Se on määritelty kaikille reaaliluvuille ja saa arvoksi positiivisia reaalilukuja. Eksponenttifunktio kertoo, mikä on tietyn, "kantaluvuksi" kutsutun vakion arvo korotettuna muuttujan määräämään potenssiin. Kantaluku voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku paitsi ykkönen.
Eksponenttifunktio, jonka kantaluku on Neperin luku formula_1, on matematiikassa hyvin tunnettu funktio. Joskus eksponenttifunktiolla viitataan nimenomaan tähän formula_1:n eksponenttifunktioon.
Eksponenttifunktion käänteisfunktio on logaritmifunktio. Kantaluvun formula_1 logaritmifunktiota sanotaan luonnolliseksi logaritmiksi. Mikä tahansa eksponenttifunktio voidaan esittää formula_1:n eksponenttifunktion ja logaritmifunktion yhdistettynä funktiona.
Matemaattisesti ilmaistuna eksponenttifunktio määritellään seuraavasti:
Kun kantalukuna on Neperin luku formula_1, voidaan käyttää jompaakumpaa seuraavista merkinnöistä:
Jälkimmäistä merkintää käytetään etenkin yhdistetyissä funktioissa, joissa eksponenttiin pelkän muuttujan formula_11 paikalle on sijoitettu jokin monimutkaisempi muuttujan formula_11 funktio.
Mielivaltaisen kantaluvun formula_13 eksponenttifunktio voidaan esittää tällaisena yhdistettynä funktiona seuraavasti:
missä formula_15 merkitsee luonnollista logaritmia.
Kantaluvun formula_1 eksponenttifunktion formula_16 Taylorin sarja on
Tätä sarjakehitelmää voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on kompleksiluku.
Eksponenttifunktio voidaan kirjoittaa myös raja-arvona seuraavasti:
Näissä määritelmissä formula_21 on luonnollinen luku, formula_11 on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja formula_23 on kertoma.
Koska eksponenttifunktio kuuluu alkeisfunktioihin ja on määritelty kaikilla muuttujan x reaalisilla arvoilla, on se kaikkialla jatkuva.
Funktion kuvaaja (x,y)-koordinaatistossa on myös kaikkialla x-akselin yläpuolella, sillä eksponenttifunktio voi kantaluvusta riippumatta saada vain positiivisia arvoja.
Lisäksi kuvaajalta tunnetaan nämä kaksi pistettä:Näin ollen eksponenttifunktion kuvaaja kulkee aina pisteiden formula_28 ja formula_29 kautta.
Jos kantaluku formula_30, niin kuvaaja on aidosti kasvava. Oikealle mentäessä kuvaaja nousee kohti äärettömyyttä. Vasemmalle mentäessä kuvaaja lähestyy x-akselia yläpuolelta, mutta koska funktio ei voi saada arvoksi nollaa, kuvaaja ei koskaan saavuta x-akselia. Niinpä x-akseli on kuvaajan vaakasuora asymptootti ja funktion raja-arvo positiivisessa äärettömyydessä on äärettömyys, negatiivisessa äärettömyydessä nolla. Raja-arvot ovat siis matemaattisesti ilmaistuna seuraavat:
Jos taas formula_33, niin kuvaaja on kasvaa päinvastaiseen suuntaan: Kuvaaja lähestyy oikealle mentäessä x-akselia yläpuolelta ja vasemmalle mentäessä äärettömyyttä. Tällöinkin x-akseli on siis kuvaajan asymptootti, mutta eri suunnassa. Raja-arvot ovat seuraavat:
Eksponenttifunktion derivaatta on seuraava:
Koska kantaluku formula_13 on vakio, derivaatta on siis alkuperäinen eksponenttifunktio vakiolla kerrottuna. Kantaluvun formula_1 tapauksessa formula_39, joten
Kantaluvun formula_1 eksponenttifunktion derivaatta on siis eksponenttifunktio itse. Tämä ominaisuus on ainutlaatuinen reaalilukumuuttujien reaalilukuarvoisilla funktioilla. Ominaisuudella on seuraavat seuraukset:Kantaluvun formula_1 eksponenttifunktion erikoisasema matematiikassa ja monissa matemaattisissa sovelluksissa johtuu juuri tästä derivaatan ominaisuudesta.
Kompleksialueelle eksponenttifunktio määritellään saman sarjakehitelmän avulla, joka pätee myös reaalisille argumenteille:
Jos kantalukuna on jokin muu reaaliluku "a", määritellään eksponenttifunktio formula_45 seuraavasti:
Kantaluvun "a" on kuitenkin oltava positiivinen reaaliluku, muussa tapauksessa eksponenttifunktio ei ole yksikäsitteisesti määriteltävissä.
Samaan tapaan myös trigonometriset funktiot laajennetaan kompleksialueeseen Taylorin sarjakehitelmien avulla. Kompleksialueessa eksponenttifunktion ja trigonometriset funktiot yhdistää toisiinsa Eulerin kaava,
Kompleksiselle eksponenttifunktiolle pätevät seuraavat laskusäännöt:
Olkoot formula_48:
Erityisesti formula_1:n eksponenttifunktiota hyödynnetään lukuisissa matemaattisissa sovelluksissa. Esimerkiksi monet differentiaaliyhtälöt, kuten Schrödingerin yhtälö ja Laplacen yhtälö, johtavat formula_1:n eksponenttifunktioihin. Samoin todennäköisyyslaskennan Rencontre-ongelma ratkeaa formula_1:n eksponenttifunktion avulla.
Mallinnettaessa sellaisia mitattavia ilmiöitä, joissa ilmiön kulloinenkin muutosnopeus on suoraan tai kääntäen verrannollinen ilmiön sen hetkiseen arvoon, sopii muotoa
oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä formula_58 on ajanhetki ja formula_59 on reaalilukuvakio. Tällöin suureen sanotaan kasvavan tai pienenevän eksponentiaalisesti riippuen siitä, onko vakio "c" positiivinen vai negatiivinen. Jos pääomalle maksetaan jatkuvasti korkoa korolle, se kasvaa ajan myötä eksponentiaalisesti. Myös esimerkiksi Thomas Malthusin esittämässä rajoittamattomassa väestönkasvumallissa vakio on positiivinen, eli hänen mallinsa mukaan väkiluku pyrkii kasvamaan eksponentiaalisesti. Hajoavan radioaktiivisen aineen määrää esittävissä funktioissa vakio puolestaan on negatiivinen eli jäljellä olevan aineen määrä pienenee eksponentiaalisesti.