Pascalin simpukka
Pascalin simpukka () on geometriassa vierintäkäyrä, jonka muodostaa ympyrään sidotun pisteen liikerata, kun tämä ympyrä vierii ulkopuolitse toisen samansäteisen ympyrän ympäri. Se voidaan yhtäpitävästi määritellä myös ympyrään sidotun pisteen liikeradaksi, kun suurempi ympyrä vierii pienemmän ympyrän ympäri, jonka säde on puolet suuremman ympyrän säteestä ja tämä pienempi ympyrä on suuremman ympyrän sisällä. Näin ollen Pascalin silmukka kuuluu keskipisteellisten trokoidien, tarkemmin sanottuna epitrokoidien ryhmään.
Nimitys "limaçon" johtuu ranskan kielen sanasta limaçon, joka tarkoittaa etanaa (). Riippuen siitä, missä kohdassa käyrän generoiva piste sijaitsee, sillä voi olla sisä- tai ulkopuolisia silmukoita, mihin sen nimikin viittaa, mutta se voi olla myös sydämen muotoinen tai soikea kupera käyrä. Kardioidi on Pascalin simpukan erikoistapaus, jossa liikkuva piste on pyörivällä ympyrällä. Se on sydämen muotoinen, ja sillä on sisään työntyvä kärkipiste.
Pascalin silmukka on neljännen asteen käyrä.
Simpukkakäyriä tutki ensimmäisenä matemaattisen täsmällisesti Étienne Pascal, Blaise Pascalin isä. Kuitenkin niitä oli jo aikaisemmin tarkastellut saksalainen renessanssiajan taiteilija Albrecht Dürer. Dürerin teoksessa "Underweysung der Messung") ("Mittausoppi") kuvaillaan geometrisia menetelmiä niiden aikaansaamiseksi. Nimen käyrälle antoi Gilles de Roberval, joka käytti sitä esimerkkinä esittäessään, miten annetulle käyrälle piirretään tangentti.
Seuraavassa oletetaan että Pascalin simpukan generointiin käytetyn kiinteän ympyrän keskipiste on origossa ja että se kohta, jossa liikkuva piste on lähimpänä origoa, sijaitsee x-akselilla. Ellei näin ole, simpukka voidaan aina yhdensuuntaissirrolla ja kierrolla saattaa tällaiseen asentoon.
Näillä edellytyksillä Pascalin simpukan yhtälö napakoordinaateissa on
Käyrän yhtälö karteesisissa koordinaateissa saadaan kertomalla molemmat puolet "r":llä (jolloin yhtälön toteuttaa myös origo, vaikkei se yleensä ole käyrällä) ja toteamalla, että koordinaattien välillä on yhteydet formula_2 and formula_3. Yhtälö saadaan tällöin muotoon:
Käyrä voidaan esittää myös parametrimuodossa:
Kompleksitasossa tämä saa muodon
Jos käyrää siirretään vaakasuorassa suunnassa matkan "a"/2 verran, saadaan simpukan yhtälöksi keskipisteellisen trokoidin yhtälö tavanomaisessa muodossaan:
Tämä yhtälö saadaan, kun käyrän keskipiste, kun se käsitetään keskipisteelliseksi trokoidiksi, on origossa.
Erikoistapauksessa, kun "a" = "b", käyrän yhtälö napakoordinaateissa on
jolloin saatu käyrä kuuluu sinusoidaalisten spiraalien ryhmään. Kyseinen käyrä on nimeltään kardioidi.
Tapauksessa formula_11 yhtälön trokoidimuoto yksinkertaistuu muotoon
tai napakoordinaateissa
jolloin saatu käyrä kuuluu ruusukäyrien joukkoon. Tämä käyrä on samalla trisektrix, ja siitä käytetään toisinaan nimitystä simpukkatrisetrix.
Jos formula_14, Pascalin simpukka on muodoltaan yksinkertainen suljettu käyrä. Tässä tapauksessa kuitenkin myös origo toteuttaa käyrälle edellä karteesisissa koordinaateissa esitetyn yhtälön, jonka kuvaajalla täten on yksi erillinen piste.
Kun formula_15, käyrän rajoittama alue on kupera.. Kun formula_16, käyrässä on sisään työntyvä painauma, jossa sillä on kaksi käännepistettä. Kun formula_17, käyrän kaarevuus pisteessä formula_18 on nolla.
Kun formula_19 pienenee suhteessa formula_20, painauma tulee yhä syvemmäksi, kunnes tapauksessa formula_21 tuloksena on kardioidi, jolla ei enää ole käännepisteitä vaan terävä kärki. Kun formula_22, tämä kärki laajenee sisemmäksi silmukaksi ja käyrä leikkaa itsensä origossa. Kun formula_19 lähestyy nollaa, tämän silmukka tulee yhä lähemmäksi käyrän ulompaa osaa, kunnes rajatapauksessa, kun formula_24, tuloksena on ympyrä, joka kierretään kahteen kertaan.
Pascalin silmukan formula_25 sisään jäävän alueen pinta-ala, kun formula_26, on