Itseiskiihtyvyys
Itseiskiihtyvyys (ominaiskiihtyvyys, engl. "proper acceleration") on suhteellisuusteorian suure, jolla kuvataan hiukkaseen kiinnitetyn kiihtyvyysanturin mittaamaa ja hiukkasen kokemaa fysikaalista kiihtyvyyttä. Itseiskiihtyvyyden suuruus, eli vektorin normi, on Lorentz-invariantti skalaari ja siten riippumaton havaitsijan koordinaatistosta. Kiihtyvää liikettä ja havaitsijoita voidaan käsitellä täsmällisesti erityisellä suhteellisuusteoriallakin ilman siirtymistä yleiseen suhteellisuusteoriaan, mutta yleisen suhteellisuusteorian muotoilu antaa täydentävän kineettisen kuvauksen ekvivalenssiperiaatteesta ja itseiskiihtyvyyden osuudesta suhteellisuusteorioissa.
Koordinaatistokiihtyvyys (engl. "coordinate acceleration") määritellään jonkin valitun koordinaatiston suhteen. Kun hiukkaseen ei vaikuta ulkoisia vuorovaikutuksia (Newtonin I laki), on hiukkasen itseiskiihtyvyys nolla, vaikka jonkin ei-inertiaalikoordinaatiston suhteen hiukkasella olisikin koordinaatistokiihtyvyys.
Kun kiihtyvään hiukkaseen kiinnitetään inertiaali, jossa kullakin ajanhetkellä hiukkasen hetkellinen nopeus on nolla (hetkellisesti mukana liikkuva inertiaali, hetkellinen lepokoordinaatisto), on itseiskiihtyvyys sama kuin tuon hetkellisen inertiaalin koordinaatistokiihtyvyys.
Yleisen suhteellisuusteorian vapaassa pudotuksessa havaitsijan itseiskiihtyvyys on nolla, koska liikerata seuraa aika-avaruuden geodeesia. Jos ulkoinen vuorovaikutus poikkeuttaa havaitsijan inertiaalisesta liikkeestä, kokee havaitsija itseiskiihtyvyyden. Gravitaatiossa vapaassa pudotuksessa kiihtyvyysanturi ei siis näytä kiihtyvyyttä. Toisaalta maan pinnalla havaitsijan liikerata poikkeaa geodeesilta, jolloin kiihtyvyysanturin lukema, itseiskiihtyvyys, poikkeaa nollasta.
Suhteellisuusteoriassa hiukkaseen liitettäviä suureita ovat mm. skalaarit sekä kolmi- ja nelivektorit. Merkitään kolmiulotteisia vektoreita formula_1 ja neliulotteisia formula_2.
Erityisessä suhteellisuusteoriassa hiukkasen liikerataa kuvataan maailmanviivalla, joka on Minkowskin avaruuden parametrisoitu käyrä. Hiukkaseen kiinnitetty kello näyttää itseisaikaa (ominaisaika, engl. "proper time") formula_3. Valitaan jokin inertiaali, ja otetaan kaksi lähekkäistä pistettä (aika-avaruuden tapahtumaa) maailmanviivalta. Merkitään koordinaattien erotusta nelivektorilla formula_4, jonka pituuden neliö formula_5 on Lorentz-invariantti intervalli. Jos koordinaatistoksi valitaan hetkellinen lepokoordinaatisto, jossa formula_6, niin formula_7. Tästä nähdään, että formula_8 on Lorentz-invariantti eli kaikille havaitsijoille sama.
Nopeus formula_9 määritellään paikan derivaattana koordinaatistoajan suhteen, ja kiihtyvyys formula_10 nopeuden derivaattana koordinaatistoajan suhteen .
Lorentz-kerroin on
formula_11
Nelinopeus määritellään nelipaikkavektorin derivaattana itseisajan suhteen:
formula_12, missä formula_13 on paikkavektori valitussa inertiaalissa.
Itseisnopeus (ominaisnopeus, engl. "proper velocity", tunnus usein myös w tai η) poikkeaa nopeudesta formula_14 siten, että se määritellään paikan derivaattana hiukkasen itseisajan suhteen:
formula_15
Tässä etäisyys mitataan valitussa inertiaalissa ja aika hiukkaseen kiinnitetyllä kellolla. Mittareferenssien erosta johtuen määritelmä vaikuttaa epäkäytännölliseltä, mutta se voidaan ajatella kellojen synkronoinnista vapaaksi nopeudeksi.
Itseisnopeus saadaan ilmaistua koordinaatistoajan suhteen käyttämällä Lorentz-kerrointa formula_16, jolloin
formula_17
Itseisnopeus ei sellaisenaan ole Lorentz-invariantti.
Nelinopeus voidaan ilmaista komponenttimuodossa formula_18. Vektori osoittaa maailmanviivan tangentin suuntaan, ja sen pituuden neliö on vakio ||U|| = U ⋅ U = c. Vektorin pituus on siis aina vakio, ja geometrisesti se on maailmanviivan yksikkötangenttivektori.
Nelikiihtyvyys määritellään nelinopeuden derivaattana itseisajan suhteen:
formula_19
Sama komponenttimuodossa:
formula_20,
missä formula_21 on Lorentz-kerroin nopeudella formula_22 ja vastaavasti formula_23 on Lorentz-kertoimen derivaatta koordinaatistoajan t suhteen:
formula_24.
Erikoinen ominaisuus on se, että nopeus formula_14 ja kiihtyvyys formula_26 (kolmivektoreita) esiintyvät nelikiihtyvyydessä sekä aika- että avaruuskomponenteissa.
Edellinen nelikiihtyvyyden kaava on yleispätevä, ja sovellettavissa myös pyörimisliikkeeseen tai vastaaviin tilanteisiin. Voidaan osoittaa, että nelikiihtyvyys formula_27 ja nelinopeus formula_28 ovat aina ortogonaalisia. Geometrisesti formula_27 on maailmanviivan kaarevuusvektori, joka kuvaa sen poikkeamista suorasta viivasta.
Erikoistapauksessa, jossa formula_30 ja formula_31, eli hiukkasen kiihtyessä x-akselin suunnassa, saadaan
formula_32.
Hetkellisesti mukana liikkuvassa lepokoordinaatistossa formula_33ja formula_34, jolloin
formula_35.
Nelikiihtyvyys on nolla, kun lepokoordinaatistossa kolmikiihtyvyys on nolla.
Nelikiihtyvyyteen liittyvä Lorentz-invariantti suure on skalaaritulo formula_36.
Hyödynnetään kolmea kaavaa
formula_37 ,
formula_38 ja
formula_39
siten, että merkitään formula_40nopeuden formula_41 sitä komponenttia, joka on yhdensuuntainen kiihtyvyydelle formula_26, ja vastaavasti kohtisuoraa komponenttia formula_43, jolloin skalaaritulo formula_44.
formula_45
missä formula_46
Tuloksesta formula_47nähdään, että skalaaritulo on aina negatiivinen.
Määritellään itseiskiihtyvyysvektori formula_48 seuraavasti:
formula_49
Nyt itseiskiihtyvyysvektorin pituuden neliöksi saadaan formula_50, joka on selvästi Lorentz-invariantti ja kaikille havaitsijoille sama. Nelikiihtyvyys formula_27 kuvaa geometrisesti maailmanviivan poikkeamista suorasta viivasta, joten tämän avulla määritelty itseiskiihtyvyys kuvaa hiukkasen "tuntemaa" kiihtyvyyttä sen liikkuessa maailmanviivaansa pitkin ja siirtyessään "hetkellisestä lepokoordinaatistosta seuraavaan".
Kun hiukkasen nopeus formula_41 ja kiihtyvyys formula_26 ovat yhdensuuntaisia, itseiskiihtyvyys on
formula_54
Tässä itseiskiihtyvyys on itseisnopeuden derivaatta koordinaatistoajan (ei itseisajan) suhteen. Lineaariselle kiihtyvyydelle pätee itseiskiihtyvyyden ja koordinaatistokiihtyvyyden välillä formula_55
Nopeuden ja kiihtyvyyden Lorentz-invariantteja skalaareja ovat
formula_56ja formula_57.
Valonnopeudella liikkuvalle hiukkaselle itseiskiihtyvyys on määrittelemätön.
Vastaavasti relativistisessa kvanttielektrodynamiikan teoriassa (QED) hiukkanen on olemassa hiukkasena emissiossa ja absorptiossa, mutta valonnopeudessa aaltopakettina ilman määriteltyä kulkureittiä.