Funktion differentiaali
Differentiaali on matematiikassa reaaliarvoisen funktion eräs sen muutosnopeutta määrittelevän lausekkeen tai mitan nimitys. Differenssi, joka tarkoittaa funktion todellista muutosta, jaetaan muutoksen lineaariseen osaan, eli "differentiaaliin", ja "korjaustermiin". Differentiaalin käsite on keskeisessä osassa differentiaalilaskennassa ja esimerkiksi derivaatan määritelmässä.
Differentiaalit esitteli ensimmäisenä Gottfried Wilhelm Leibniz, jonka heuristinen ja intuitiivinen ajatus oli esittää dy äärimmäisen pienenä suureen y muutoksena. Muutos dy oli pienempi kuin mikään reaaliluku, mutta ei kuitenkaan aivan nolla. Tällaisia lukuja on kutsuttu infinitesimaaleiksi ja niiden käytön perinne juontaa Euroopassa Kreikan antiikkiin. Yhdessä muuttujan x muutoksen dx kanssa voitiin nyt esitellä muutosnopeus dy/dx, joka kutsutaan Leibnizin merkinnäksi derivaatalle. Vaikka luvut dy ja dx olisivatkin äärimmäisen pieniä lukuja ei osamäärä dy/dx sitä ole.
Koska infinitesimaalien käyttöä kritisoitiin voimakkaasti 1700- ja 1800-luvuilla, julkaisi Augustin-Louis Cauchy uuden differentiaalin määritelmän, joka ei enää käyttänyt infinitesimaalin käsitteitä määrittelyn perusteinaan. Sen sijaan se määriteltiin derivaatan avulla, joka taas määriteltiin raja-arvon avulla. Tästä alkoi kehitys, joka tarkensi analyysin käsitteiden perusteita tehden tästä matematiikan haarasta laajemmin hyväksytyn.
Infinitesimaaleista ei kuitenkaan päästy eroon. Monissa fysiikan ja tekniikan alalla sitä käytetään rinnakkain raja-arvoon perustuvan matematiikan rinnalla. Haluttomuus luopua infinitesimmaleista johtunee niillä laskemisen vaivattomuudesta.
Yhden muuttujan tapauksessa (viereinen kuvaaja) tarkastelupisteeseen piirretty tangentti erottaa differenssistä formula_1 (kuviossa RS) differentiaalin formula_2 (RQ), joka jää kuviossa tangentin alle. Differentiaali on siten funktion muutoksessa sen lineaarinen komponentti ja se kuvaa melko tarkasti funktion muutosta tarkastelupisteen lähellä. Differenssi, joka on funktion todellinen muutos, on melkein saman suuruinen kuin differentiaali. Korvaamalla differenssi differentiaalilla tehdään pieni virhe. Raja-arvotilanteessa, kun väli formula_3 lyhenee melkein nollaksi, pienenee virhe hyvin pieneksi, joten tarkastelupisteessä differentiaalia voisi käyttää erotusosamäärän lausekkeessa (derivaatan määrittämiseksi) yhtä hyvin kuin differenssiäkin. Monesti funktion kulkua tarkastelupisteessä kuvataankin tangenttisuoralla, jonka derivaatta on sama kuin funktion käyrällä. Differentiaalit liittyvätkin muutostarkasteluihin, joissa funktion käyrä tai pinta korvataan tangentin suuntaisilla vektoreilla. Funktion differenssit lasketaan silloin likiarvoilla
Funktion muuttumista voidaan tutkia laskemalla sen arvoja eri muuttujan "x" arvoilla. Kun funktion formula_5 arvo lasketaan arvolla formula_6, saadaan formula_7 Siirrytään sopivan matkan formula_8 etäisyydelle ja lasketaan uusi funktion arvo formula_9 Funktion arvojen differenssi formula_10 ( eli erotus) pisteessä formula_6 on 
Usein tämä merkitään myös
Merkitään virhefunktiota formula_14 ja havaitaan, että se riippuu muuttujan arvosta "x" ja siirtymästä "h". Silloin erotusosamäärän ja derivaatan erotus tarkoittaa virhettä, joka tehdään, kun erotusosamäärän arvolla korvataan derivaatan tarkkaa arvoa. Virhe lasketaan siten