Differenssimenetelmä
Differenssimenetelmät ovat matematiikassa käytettyjä menetelmiä, joilla haetaan likimääräistä ratkaisua differentiaaliyhtälöille käyttäen derivaattaa approksimoivia differenssiyhtälöitä.
Differenssimenetelmillä saadaan likimääräinen ratkaisu differentiaaliyhtälöille korvaamalla derivaatan lausekkeet likimäärin vastaavilla erotusosamäärän lausekkeilla. Määritelmän mukaan funktion ensimmäinen derivaatta on
Luonnollinen valinta derivaatan likimääräiseksi laskemiseksi on siten
käyttäen jotakin pientä arvoa "h":lle. Tätä lauseketta kutsutaan ensimmäisen derivaatan eteneväksi differenssiapproksimaatioksi. Korvaamalla derivaatan lausekkeet differentiaaliyhtälöissä edellisen kaltaisilla kaavoilla voidaan differentiaaliyhtälöille löytää likimääräiset ratkaisut ilman differentiaali- ja integraalilaskentaa.
Mikäli funktio jonka derivaattaa ollaan approksimoimassa on hyvin käyttäytyvä, niin Taylorin lauseen mukaan
missä "n"! on "n":n kertoma ja "R"("a + h") on jäännöstermi, jolla merkitään "n":nnen asteen Taylorin polynomin ja alkuperäisen funktion erotusta. Edelleen, jos käytetään esimerkkinä funktion "f" ensimmäistä derivaattaa, niin Taylorin lauseen mukaan
joka voidaan saattaa muotoon
niin, että formula_6:n ollessa riittävän pieni
Menetelmän virhe määritellään likiratkaisun ja tarkan analyyttisen ratkaisun erotukseksi. Virhelähteitä on kaksi: pyöristysvirhe, joka syntyy tietokoneen pyöristäessä desimaalilukuja sekä diskretointivirhe, joka johtuu siitä, että differenssiyhtälön ratkaisu eroaa tarkasta ratkaisusta, vaikka laskutoimitukset suoritettaisiin täydellisen tarkasti ilman pyöristyksiä.
Ensimmäinen asia käytettäessä differenssimenetelmää ongelman ratkaisemiseksi on ongelman määrittelyalueen diskretointi. Useimmiten määrittelyalue jaetaan tasaväliseksi hilaksi (katso yllä oleva kuva). Tämä tarkoittaa sitä, että differenssimenetelmä tuottaa joukon diskreettejä numeerisia ratkaisuja derivaatalle. Useimmiten ratkaisussa on käytetty aika-askelta.
Menetelmän aiheuttamalle paikalliselle diskretointivirheelle voidaan johtaa yleinen lauseke. Paikallista diskretointivirhettä merkitään tyypillisesti isolla o-kirjaimella ja sillä tarkoitetaan virhettä, kun menetelmää on sovellettu yhden kerran. Se on siis erotus formula_8, kun formula_9 viittaa tarkkaan arvoon ja formula_10 numeerisesti laskettuun likiarvoon. Taylorin polynomin jäännöstermi on käytännöllinen tutkittaessa diskretointivirhettä. Diskretointivirheen määräävin termi voidaan löytää käyttämällä Lagrangen muotoa Taylorin polynomin jäännöstermille, joka on
Jos käytetään taas etenevää differenssiapproksimaatiota ensimmäiselle derivaatalle ja tiedetään, että formula_13, niin
josta saadaan edelleen
ja kun edelleen huomataan, että yhtälön vasen puoli on differenssimenetelmän approksimaatio ja oikea puoli on tarkka arvo lisättynä jäännöstermillä, niin nähdään selvästi, että jäännöstermi on paikallinen diskretointivirhe.
Lopulta saadaan tässä esimerkissä:
Saatu lauseke ymmärretään niin, että paikallinen diskretointivirhe on verrannollinen askeleen kokoon.
Tarkastellaan esimerkkinä ensimmäisen kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä
Ratkaistaessa tätä yhtälöä Eulerin menetelmällä, käytetään hyväksi erotusosamäärän lauseketta
jolla saadaan likimääräinen esitys differentiaaliyhtälölle sijoittamalla ensin yllä oleva u'(x):n lauseke differentiaaliyhtälöön ja muokkaamalla tulosta hiukan algebrallisesti, jolloin saadaan
Viimeisin yhtälö on differenssiyhtälö, jonka ratkaisu antaa likimääräisen ratkaisun differentiaaliyhtälölle.
Tarkastellaan yksiulotteista lämmönjohtumisyhtälöä homogeenisilla Dirichletin reunaehdoilla
Yksi tapa ratkaista tämä yhtälö numeerisesti on approksimoida derivaattoja differenssilausekkeilla. Jaetaan määrittelyalue paikan suhteen käyttäen hilapisteitä formula_23 ja ajassa käyttäen hilapisteitä
formula_24. Oletetaan, että jako on tasavälinen sekä paikassa että ajassa niin, että jakoväli paikan suhteen on "h" ja ajan suhteen "k". Pisteet
esittävät likimääräistä numeerista ratkaisua formula_26:lle.
Käyttämällä etenevää differenssiapproksimaatiota ajan hetkellä formula_27 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikassa formula_28, saadaan yhtälö
Tämä on eksplisiittinen menetelmä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön ratkaisemiseksi.
missä formula_32
Jos siis tunnetaan arvot ajan hetkellä "n", voidaan vastaavat arvot hetkellä "n"+1 laskea käyttäen yllä olevaa yhtälöä. Arvot kohdissa formula_33 ja formula_34 täytyy korvata reunaehdoilla, jotka tässä esimerkissä ovat molemmat nollia.
Tämä eksplisiittinen menetelmä on numeerisesti vakaa ja konvergoi, kun formula_35. Virhe on verrannollinen aika-askeleeseen ja paikka-askeleen neliöön:
Kun käytetään takenevaa differenssiapproksimaatiota ajanhetkellä formula_37 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikkaderivaatalle kohdassa formula_28, niin saadaan yhtälö
Tämä on implisiittinen menetelmä yksiulotteisen lämmönjohtumisyhtälön ratkaisemiseksi.
Termit formula_40 saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöryhmä:
Tämä menetelmä on aina numeerisesti stabiili ja konvergoi, mutta menetelmä on yleensä laskennallisesti raskaampi kuin eksplisiittinen menetelmä, koska jokaisella aika-askeleella on ratkaistava yhtälöryhmä. Virheet ovat verrannollisia aika-askeleeseen ja paikka-askeleen neliöön.
Jos käytetään keskeisdifferenssiä ajanhetkellä formula_42 ja toisen kertaluvun keskeisdifferenssiä paikkaderivaatalle kohdassa formula_28, niin saadaan yhtälö:
Tämä kaava tunnetaan Crank-Nicolson menetelmänä.
Arvot formula_30 saadaan ratkaisemalla lineaarinen yhtälöryhmä:
Tämäkin menettely on aina numeerisesti stabiili ja konvergoi, mutta menettely on yleensä laskennallisesti raskaampi kuin eksplisiittinen menetelmä, koska jokaisella aika-askeleella on ratkaistava yhtälöryhmä. Virheet ovat verrannollisia aika-askeleen neliöön ja paikka-askeleen neljänteen potenssiin:
Reunoilla virhe on kuitenkin usein O("h") eikä O("h").
Yleensä Crank-Nicolson menetelmä on tarkin pienillä aika-askelilla. Eksplisiittinen menetelmä on epätarkin ja se voi olla epävakaa, mutta se on myös helpoin toteuttaa ja on laskennallisesti kevyin. Implisiittinen menetelmä toimii menetelmistä parhaiten, kun aika-askel on suuri.