Reaaliluku
Reaaliluvut voidaan kuvailla havainnollisesti eri tavoin: yksi tapa on sanoa, että niihin luetaan sekä rationaaliluvut (kuten 2 tai 2/3) että irrationaaliluvut (kuten formula_1 tai neliöjuuri 2). Toinen tapa on taas havainnollistaa reaalilukuja lukusuoran pisteinä. Matematiikassa tarvitaan kuitenkin täsmällistä määritelmää, joten määrittely käydään läpi tässä artikkelissa seuraavaksi.
"Reaalilukujen" joukko formula_2 koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi formula_3 ja formula_4 ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja formula_5 ja formula_6 ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan.
Vaikka tämä määritelmä kelpaa koulumatematiikkaan, se ei ole täsmällinen, koska nyt herää kysymys, mitä "luku" ja "desimaalikehitelmä" tarkoittavat. Siksi reaaliluvut määritellään nykymatematiikassa aivan toisesta lähtökohdasta.
Tarkastellaan abstraktia joukkoa formula_7, jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku formula_8, abstrakti kertolasku formula_9 (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio formula_10. Algebrallinen struktuuri formula_11 on "täydellinen järjestetty kunta" eli "reaalilukujen kunta", jos sillä on seuraavassa mainitut "algebralliset ominaisuudet", "järjestysominaisuudet" ja "täydellisyysominaisuus".
Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla formula_7 mutta ei ole rationaalilukujen joukolla formula_58.
Joukon formula_7 epätyhjä osajoukko formula_60 on "ylhäältä rajoitettu", jos on olemassa sellainen reaaliluku formula_61, että kaikilla formula_62 on formula_63. Tällöin formula_61 on joukon formula_60 "yläraja".
Joukolla formula_58 ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa.
Kun rationaalilukujen joukko formula_58 oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen joukko formula_7 voidaan konstruoida käyttämällä Dedekindin leikkauksia tai Cauchyn jonoja. Edellinen tapa tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään sen kaikkien rationaalisten alalikiarvojen joukkona. Jälkimmäinen tarkoittaa havainnollisesti, että reaaliluku määritellään kaikkina mahdollisina sitä kohti suppenevina rationaalilukujonoina.
Siis, kun formula_58 oletetaan tunnetuksi, reaalilukujen aksioomajärjestelmälle (A1)–(A9), (J1)–(J6), (T) voidaan muodostaa "malli", joten reaaliluvut "ovat olemassa". Voidaan todistaa, että kaikki tämän aksioomajärjestelmän mallit ovat keskenään "isomorfisia", mikä havainnollisesti tarkoittaa, että niiden matemaattinen rakenne on täysin sama ja ne eroavat toisistaan vain merkintöjen osalta.
Cantorin diagonaalimenetelmällä voidaan osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.