Reaalinen projektiivinen taso
Reaalinen projektiivinen taso on eräs ei-orientoituva pinta eli kaksi­ulotteinen monisto, jolla on keskeinen merkitys varsinkin projektiivisessa geometriassa, mutta myös muilla matematiikan aloilla. Tällaista pintaa ei voi tehdä tavallisessa kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ellei sen sallita leikkaavan itseään. Sillä on kuitenkin keskeisiä sovelluksia geometriassa, sillä eräs tapa konstruoida reaalinen projektiivinen taso on määritellä se formula_1:n origon kautta kulkevien suorien joukkona.
Reaalinen konstruktiivinen taso voidaan määritellä tai konstruoida useilla eri tavoilla, mutta kaikissa tapauksissa sille voidaan määritellä yhtäläinen geometrinen tai topologinen struktuuri.
Reaalista projektiivista tasoa ei kuitenkaan voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen formula_2, minkä vuoksi sen kaltaista pintaa ei voida tehdä konkreettisesti esimerkiksi paperista taivuttamalla, leikkaamalla ja liimaamalla. Yleistetyn Jordanin käyrälauseen mukaan nimittäin jokainen formula_2:n umpinainen pinta jakaa avaruuden kahteen osaan, sisä- ja ulko­puoleen, mutta ei-orientoituvana, yksi­puolisena pintana reaalinen projektiivinen taso ei tällä tavoin jaa avaruutta. Näin ollen jokainen jatkuva kuvaus reaaliselta projektiiviselta tasolta avaruuteen formula_2 "leikkaa itsensä", toisin sanoen projektiivisella tasolla on toisistaan erillisiä pisteitä, joita tässä kuvauksessa kuitenkin vastaa sama piste.
Alun perin reaalinen projektiivinen taso on muodostettu lisäämällä tavalliseen euklidiseen tasoon joukko "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa. Jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti tasoon lisätään yksi tällainen "äärettömän kaukainen" eli ideaalipiste, jossa suorien ajatellaan kohtaavan. Toisaalta kunkin suoran ajatellaan johtavan kummassakin suunnassa "samaan" ideaalipisteeseen, minkä vuoksi niitä lisätään kutakin yhden­suuntaisten suorien joukkoa kohti vain yksi, ei kaksi. Jos suoraa pitkin kuvitellaan kuljettavan ideaali­pisteeseen saakka ja jatketaan sieltä edelleen eteen­päin, päädytään lopulta vastakkaisesta suunnasta takaisin lähtö­pisteeseen.
Tämän konstruktion vuoksi reaalista projektiivista tasoa sanotaan usein myös "laajennetuksi euklidiseksi tasoksi". Sitä ei kuitenkaan pidä sekoittaa funktioteoriassa paljon käytettyyn laajennettuun kompleksi­tasoon, josta se eroaa oleellisesti monessa suhteessa. Laajennetussa kompleksi­tasossa on normaaliin tasoon lisätty vain yksi piste, reaalisessa projektiivisessa tasossa sen sijaan äärettömän monta. Reaalinen projektiivinen taso ei myöskään ole homeo­morfinen pallopinnan kanssa, laajennettu kompleksi­taso sen sijaan on.
Projektiivisen avaruuden Eulerin karakteristika on 1, minkä vuoksi myös sen demigenus (ei-orientoituva genus eli Eulerin genus) on 1.
Topologisesti avoin yksikkökiekko eli niiden tason pisteiden muodostama alue, joiden etäisyys origosta on annettua pituus­yksikköä pienempi, on homeo­morfinen koko tason kanssa. Napa­koordi­naatteja käyttäen taso voidaan kuvata avoimelle yksikkö­kiekolle esimerkiksi seuraavasti:
Tässä kuvauksessa tason jokaisen pisteen kuvapiste on origoon nähden samassa suunnassa kuin alku­peräinen piste, mutta kaikki pisteet kuvautuvat yksikköympyrän sisä­puolelle. Mikään tason piste ei kuvaudu ympyrän kehälle, mutta mitä kauempana alku­peräinen piste on origosta, sitä lähemmäksi ympyrän kehää se kuvautuu.
Kun projektiivisen tason ideaali­pisteiden ajatellaan olevan "äärettömän kaukana", tässä konstruktiossa on luonnollista ajatella niiden kuvautuvan ympyrän kehälle. Kun kuitenkin jokainen suora johtaa kummassakin päässään samaan ideaali­pisteeseen, on ympyrän kehän vastakkaiset pisteet ajateltava samastetuiksi keskenään. Toisin sanoen on suljetun yksikkö­kiekon pisteiden joukossa on määriteltävä ekvivalenssirelaatio siten, että kiekon sisä­pisteet ovat ekvivalentteja vain itsensä kanssa, mutta kehän vastakkaiset pisteet myös toistensa kanssa. Tällöin reaalisen projektiviisen tason "pisteet" ovat itse asiassa tämän relaation ekvivalenssi­luokkia, joista kuhunkin kuuluu yksi tai kaksi alku­peräisen yksikkö­kiekon pistettä. Avaruuden topologia määritellään tämän ekvivalenssi­relaation mukaisena tekijätopologiana. 
Toisaalta koska suljettu yksikkö­kiekko on homeo­morfinen myös neliön formula_6 kanssa, voidaan reaalinen projektiivinen taso topo­logisesti muodostaa myös neliön avulla. Tämä voidaan suorittaa kahdessa vaiheessa: ensin samastetaan kukin y-akselilla oleva piste (0,y) neliön oikeassa reunassa olevan pisteen (1, 1-y) kanssa, jolloin saadaan Möbiuksen nauha. Tämän jälkeen samastetaan vielä x-akselilla olevat pisteet suoralla y=1 olevien pisteiden kanssa, mikä voidaan tehdä kahdella tavalla. Jos pisteet (x, 0) ja (x, 1) samastetaan keskenään, saadaan Kleinin pullo. Jos sen sijaan pisteet (x, 0 ja (1-x, 1) samastetaan keskenään, saadaan reaalinen projektiivinen tasoa.
Möbiuksen nauha voidaan tällä tavoin aivan konkreettisestikin toteuttaa, joskin käytännössä neliön sijasta on käytettävä pitkää ja kapeaa suorakulmiota. Jos tällaisen suora­kulmion muotoista nauhaa kierretään keskeltä puoli kierrosta ja liimataan sen jälkeen sen vastakkaiset päät yhteen, saadaan Möbiuksen nauha. Sitä vastoin sen enempää Kleinin pulloa kuin projektiivista tasoakaan ei voida vastaavalla tavalla konkreettisesti muodostaa.
Reaalinen projektiivinen taso voidaan konstruoida myös käyttämällä lähtö­kohtana pallo­pintaa. Määritellään pallon isoympyrät "suoriksi" ja vastakkaisten eli antipodisten pisteiden parit "pisteiksi". On helppo osoittaa, että tällainen struktuuri toteuttaa kaikki yleisen projektiivisen tason määritelmän edellyttämät ehdot:Tässä konstruktiossa siis jokainen pallopinnan piste samastetaan vastakkaisen eli antipodisen pisteensä kanssa. Täten saadaan reaalinen projektiivinen taso, jonka "pisteet" itse asiassa ovat kahden vastakkaisen pisteen muodostamia pareja.
Toisin sanoen projektiivinen avaruus on tekijäavaruus, joka saadaan määrittelemällä pallo­pinnan pisteiden joukossa ekvivalenssirelaatio ~, jossa x ~ y, jos ja vain jos joko y = x tai y = −x.
Voidaan osoittaa, että näin muodostettu projektiivinen taso on homeo­morfinen edellä neliön avulla konstruoidun projektiivisen tason kanssa. Toisaalta tämä konstruktio osoitta selvemmin kuin edelliset, ettei "äärettömän kaukaisten" pisteiden muodostama "äärettömän kaukainen suora" ole topo­logisesti mitenkään erikois­asemassa reaalisen projektiivisen tason muihin suoriin nähden.
Jokaista pallopinnan vastakkaisten pisteiden paria vastaa yksikäsitteisesti yksi pallon keskipisteen kautta kulkeva suora ja kääntäen, nimittäin näiden pisteiden kautta kulkeva suora. Reaalinen projektiivinen onkin homeomorfinen myös sellaisen topologisen avaruuden kanssa, jonka "pisteet" ovat formula_1:ssa origon kautta kulkevia suoria.
Edellä muodostettu kuvaus pallopinnalta reaaliselle projek­tiiviselle tasolle on itse asiassa kaksi­lehtinen peitekuvaus. Tästä seuraa, että reaalisen projek­tiivisen tason perusryhmä on kerta­lukua 2 oleva syklinen ryhmä, siis kokonais­luvut modulo 2. Ryhmä voidaan generoida ylempänä olevassa kuvassa näkyvän silmukan "AB" avulla.
Vaikka reaalista projektiivista tasoa ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin "immersioida". Immersio on jatkuva kuvaus, jossa lähtö­avaruuden, tässä tapauksessa projek­tiivisen tason, jokaisella pisteellä on ympäristö, johon rajoitettuna kuvaus on upotus. Boyn pinta on eräs sellainen immersio.
Jos Boyn pintaa kuvataan monitahokkaalla, siinä on aina vähintään yhdeksän sivu­tahkoa.
Jakob Steinerin roomalainen pinta on eräs projektiivisen tason havainnollistus kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Siinä se leikkaa itsensä, toisin sanoen on olemassa pisteitä, jotka projektiivisella tasolla ovat erillisiä mutta joita roomalaisella tasolla vastaa sama piste.
Tetrahemiheksaedri on projektiivista tasoa kuvaava monitahokas, 
jolla on sama perus­rakenne kuin Steinerin roomalaisella pinnalla.
Projektiiviselle tasolle on olemassa useita tasoprojektioita. Vuonna 1874 Felix Klein tutki kuvausta
formula_8
Projektiivisen puoli­pallon keskeisprojektio tasolle antaa tulokseksi tavallisen, jäljempänä kuvatun äärettömän projektiivisen tason.
Reaalisen projektiivisen tason pisteet voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Pisteellä on homogeeniset koordinaatit ["x" : "y" : "z"], missä koordinaattien 
["x" : "y" : "z"] and ["tx" : "ty" : "tz"] katsotaan tarkoittavan samaa pistettä, olipa "t" mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Pisteet, joiden koordinaatit voidaan esittää muodossa ["x" : "y" : 1], muodostavat tavanomaisen tason formula_1, jota sanotaan projektiivisen tason äärellisen osan, kun taas pisteet, joiden koordinaatit ovat ["x" : "y" : 0], ovat niin sanottuja "äärettömyydessä olevia pisteitä" eli "ideaalipisteitä", jotka muodostavat äärettömyydessä olevan suoran. Homogeeniset koordinaatit [0 : 0 : 0] eivät vastaa mitään pistettä.
Myös tason suorat voidaan esittää homogeenisilla koordinaateilla. Projektiivisella suoralla, joka vastaa avaruudessa formula_2 tasoa "ax" + "by" + "cx" = 0, on homogeeniset koordinaatit ("a" : "b" : "c"). Täten koordinaatit ("a" : "b" : "c") ja ("da" : "db" : "dc") vastaavat samaa suoraa eli ovat ekvivalentit, olipa "d" mikä luku tahansa, ei kuitenkaan nolla. Niinpä saman suoran eri yhtälöt, jotka ovat muotoa "dax" + "dby" + "dcz" = 0, antavat samat homogeeniset koordinaatit.
Piste ["x" : "y" : "z"] on suoralla ("a" : "b" : "c"), jos "ax" + "by" + "cz" = 0. Niinpä suorat, joiden koordinaatit ovat ("a" : "b" : "c"), missä "a" ja "b" eivät molemmat ole nollia, vastaavat tavan­omaisen tason suoria, koska niihin kuuluu pisteitä, jotka eivät ole äärettömyydessä. Koordinaatteja (0 : 0 : 1) vastaa äärettömyydessä oleva suora, sillä siihen kuuluvat vain ne pisteet, joilla "z" = 0.
Jokainen suora projektiivisella tasolla P voidaan esittää yhtälöllä "ax" + "by" + "cz" = 0. Jos luvuista "a", "b" ja "c" muodostetaan pysty­vektori ℓ ja parametreista "x", "y", "z" pysty­vektori x, edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa myös matriisimuodossa:
Käyttämällä vektorimerkintää voidaan sen sijasta kirjoittaa myös:
Yhtälö "k"(xℓ) = 0 (missä "k" on skalaari, ei nolla), kuvaa tasoa, joka kulkee origon kautta avaruudessa formula_2, ja "k"("x") kuvaa origon kautta kulkevaa suoraa. Kolmi­ulotteisen avaruuden formula_2 origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat sen lineaarisia ali­avaruuksia.
Projektiivisella tasolla P suoran yhtälö on "ax" + "by" + c = 0, ja kertomalla tämä yhtälö jollakin vakiolla "k" voidaan siitä muodostaa minkä tahansa tason yhtälö, joka on kohtisuorassa "x", "y" -tason kanssa.
"Normalisoidut" homogeeniset koordinaatit saadaan valitsemalla "z" = 1. Kaikki pisteet, joilla "z" = 1, muodostavat tason. Kuvitellaan, että tätä tasoa katsotaan pisteestä käsin, joka on kauempana origosta "z"-akselilla ja että sinne on merkitty kaksi yhden­suuntaista suoraa. Siitä pisteestä käsin, jossa katsoja on, katsoja voi (näkökyvystään riippuen) nähdä tasosta vain rajallisen alueen, jonka rajat oheisessa kaaviossa on merkitty punaisella. Jos katsoja etääntyy kyseisestä tasosta "z"-akselia pitkin mutta katsoo koko ajan origoon päin, hän näkee tasosta suuremman osan. Katsojan näkökentässä alkuperäiset pisteet ovat siirtyneet. Tätä siirtymää voidaan kuvata jakamalla homogeeniset koordinaatit jollakin vakiolla. Oikella olevassa kuvassa ne on jaettu kahdella, joten "z":n arvoksi saadaan 0,5. Jos katsoja menee tarpeeksi kauas, se alue, johon hän on kiinnittänyt katseensa, näyttää lopulta kaukaisuudessa olevalta pisteeltä. Samalla kuitenkin yhden­suuntaisista suorista näkyy yhä suurempi osa. Nämä suorat kohtaavat äärettömyydessä olevalla suoralla (suoralla, joka kulkee origon kautta tasossa "z" = 0). Tason "z" suorat ovat ideaalisia pisteitä. Taso "z" = 0 on äärettömyyessä oleva suora.
Homogeeninen piste (0, 0, 0) on siellä, minne kaikki todelliset pisteet päätyvät, kun tasoa katsotaan äärettömän kaukaa. Se on tasolla "z" = 0 oleva suora, jossa yhden­suuntaiset suorat kohtaavat.
Yhtälössä xℓ = 0 on kaksi pystyvektoria. Kumpi tahansa niistä voidaan pitää vakiona ja antaa toiselle eri arvoja. Jos piste x pidetään vakiona ja kertoimelle ℓ annetaan eri arvoja, saadaan muita saman pisteen kautta kulkevia suoria. Jos taas kerroin pidetään vakiona ja vaihdetaan pistettä "x", saadaan muut samalla suoralla olevat pisteet. Vektori "x" vastaa pistettä, koska käytettävät akselit ovat "x"-, "y"- ja "z"-akseli. Jos sen sijaan kertoimia kuvattaisiin akseleilla, joille käytettäisiin merkintää "a", "b" ja "c", pisteistä tulisi suoria ja suorista pisteitä. Jos todistetaan jotakin käyttämällä akseleja "x", "y" ja "z", sama argumentti pätee myös akseleille "a", "b" ja "c". Tätä ominaisuutta sanotaan projektiivisen tason duaalisuudeksi.
Yhtälöllä xℓ = 0 lasketaan kahden pysty­vektorin sisätulo. Kahden vektorin sisä­tulo on nolla, jos vektorit ovat orto­gonaaliset. Projektiivisella tasolla P pitseiden "x" ja x kautta kulkeva suora voidaan esittää pysty­vektorina ℓ, joka toteuttaa yhtälöt xℓ = 0 ja xℓ = 0, toisin sanoen pysty­vektorina ℓ, joka on orto­gonaalinen x:n ja x:n kanssa. Sellainen vektori saadaan ristitulolla: näiden pisteiden kautta kulkevan suoran homo­geeniset koordinaatit saadaan yhtälöstä x × x. Kahden suoran leikkaus­piste löydetään duaalisuus­periaatetta käyttämällä samaan tapaan, suoria kuvaavien vektorien risti­tulolla ℓ × ℓ.
Vaikka reaalista projektiivista avaruutta ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen euklidiseen avaruuteen, voidaan se kuitenkin upottaa neli- tai useampi­ulotteiseen avaruuteen. Projektiivinen taso formula_13 on pallopinnan
tekijäavaruus ekvivalenssirelaation ("x", "y", "z") ~ (−"x", −"y", −"z") suhteen, jossa anti­podiset pisteet ovat ekvi­valentit. Tarkastellaan funktiota formula_2 → formula_16: ("x", "y", "z") ↦ ("xy", "xz", "y"−"z", 2"yz"). Rajoitetaan tämä kuvaus pallo­pinnalle S, ja koska sen jokainen komponentti on parillisen asteen homogeeninen polynomi, se saa saman arvon pallopinnan S missä tahansa kahdessa vastakkaisessa eli anti­podisessa pisteessä. Täten saadaan kuvausformula_17 → formula_16. Tämä kuvaus on lisäksi upotus. On huomattava, että tämä upotuksesta voidaan muokata myös kuvaus formula_2:een, joka kuitenkaan ei ole upotus vaan immersio; tällöin tuloksena saadaan roomalainen pinta.
Liimaamalla yhteen projektiivisia tasoja perä­jälkeen saadaan ei-orientoituvia pintoja, joilla on korkeampi demigenus. Liimaaminen suoritetaan leikkaamalla jokaisesta pinnasta pieni kiekko ja samastamalla ("liimaamalla") niitä rajoittavat ympyrän­kehät. Liimaamalla täten kaksi projek­tiivista tasoa yhteen saadaan Kleinin pullo.