Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin, eli Spearmanin rho, on ei-parametrinen (jakaumasta riippumaton) tilastollisen riippuvuuden mitta, jota käytetään tutkittavien muuttujien välisen korrelaation mittaamiseen. Tunnusluku on saanut nimensä kehittäjänsä Charles Spearmanin mukaan.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin ei reagoi parametrien suuriin poikkeamiin yhtä voimakkaasti kuin esimerkiksi Pearsonin korrelaatiotesti. Spearmanin korrelaatiotestissä täydellistä positiivista korrelaatiota vastaa luku 1 ja täydellistä negatiivista korrelaatiota luku -1.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimen laskemiseksi tarvitaan jokin havaintoaineisto. Olkoon tutkittavina muuttujina formula_1 ja formula_2 satunnaismuuttujia, joiden havainnot ovat toisistaan riippumattomia. Tällöin havaintoaineisto koostuu muuttujan x havaittujen arvojen formula_3 ja vastaavasti muuttujan y havaittujen arvojen formula_4 muodostamista pareista formula_5.
Muuttujien havaitut arvot järjestetään suuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan ja arvoihin liitetään järjestysnumerot:
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin lasketaan kaavalla
missä formula_11.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin, formula_12, voi saada arvoja väliltä +1 ja -1. Kertoimen arvon ollessa lähellä arvoa +1, muuttujien välillä vallitsee voimakas positiivinen riippuvuus. Tämä tarkoittaa, että toisen muuttujan arvon kasvaessa myös toisen muuttujan arvo kasvaa. Vastaavasti korrelaatiokertoimen arvon ollessa lähellä arvoa -1, vallitsee muuttujien välillä voimakas negatiivinen riippuvuus. Tällöin toisen muuttujan arvon kasvaessa toisen muuttujan arvo pienenee. Korrelaatiokertoimen arvon lähestyessä arvoa 0, muuttujien keskinäinen riippuvuus vähenee. Kertoimen arvon ollessa 0, merkitsee se, ettei lineaarista riippuvuutta ole.
Täytyy muistaa, että Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin, kuten muut korrelaatioanalyysit, käytetään pääasiassa mittaamaan kahden eri muuttujan lineaarisen yhteyden voimakkuutta. Se ei siis kerro selitettävän ja selittävän muuttujien välisestä kausaalisesta yhteydestä.
Tilastollisen merkitsevyystason testaamisella pyritään tutkimaan ja mahdollisesti sulkemaan pois sattuman vaikutus kahden muuttujan väliseen riippuvuuteen. Korrelaatiokertoimen p-arvo, eli todennäköisyys havaita vähintään näin poikkeavia testisuureen arvoja nollahypoteesin ollessa totta, voidaan laskea seuraavan testisuureen avulla.
missä formula_14 noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein formula_15.
Olkoon, että halutaan tutkia erään kalalajin massan yhteyttä sen pituuteen, eli korreloiko kalan massa sen pituuteen. Alla olevaan taulukkoon on kerätty satunnaisesti havaintoaineisto, joka koostuu kymmenestä massan ja pituuden muodostamista pareista.
Seuraavaksi tulee järjestää jokaisen sarakkeen tutkimusaineisto pienimmästä luvusta suurimpaan ja antaa jokaiselle vastaava järjestysluku. Sarakkeen formula_7 viereen luodaan uusi sarake formula_6, johon tulee havainnon formula_7 järjestysnumero. Vastaavasti sarakkeen formula_9 havaintojen järjestysnumeroille luodaan sarake formula_8. Mikäli kahden tai useamman aineiston järjestysluku on sama, tällöin niille tulee antaa niiden varaamien järjestyslukujen keskiarvo. Taulukossa nähdään, että formula_7-sarakkeessa luku 90 toistuu kahdesti. Luku 90 on kyseisessä sarakkeessa kolmanneksi pienin luku, mutta koska se toistuu kahdesti, se on varannut sijat 3 ja 4. Tällöin tulee luvulle 90 annetaan järjestysluvuksi järjestyslukujen 3 ja 4 keskiarvo. Samoten luku 100 on toistunut kahdesti. Koska se on varannut sijat 5 ja 6, tulee sen järjestysluvuksi 5.5. Sama tapa on toistettu muiden toistuvien lukujen tapauksessa. Mikäli luku toistuu kolmesti, järjestysluvuksi annetaan tällöin sen kolmen varaaman sijan keskiarvo.
Lopuksi täytyy vielä laskea järjestyslukujen erotus formula_11. Luodaan uusi sarake formula_23, johon tulee jokaisen rivin järjestyslukujen erotus, sekä myös sarake formula_24, jossa erotus korotetaan toiseen.
Summaamalla sarakkeen formula_24 kaikki alkiot yhteen saadaan,
Nyt voidaan laskea Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin,
Saatiin siis Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimeksi formula_28. Voidaan sanoa, että tämän kalalajin massan ja pituuden välillä vallitsee voimakas positiivinen korrelaatio, eli pituuden kasvaessa myös massa kasvaa.
Testataan seuraavaksi saatua korrelaatiokerrointa 5%:n merkitsevyystasolla. Olkoon nollahypoteesi formula_29, että pituuden ja massan välillä ei ole riippuvuutta. Vaihtoehtoisena hypoteesina formula_30 olkoon, että pituuden ja massan välillä on korrelaatio, oli se sitten positiivinen tai negatiivinen. Tällöin vaihtoehtoinen hypoteesi on kaksisuuntainen. Eli asetelma on
Lasketaan testisuure,
Testisuure formula_14 noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein formula_15. Testisuuretta vastaava p-arvo lasketaan jakaumasta formula_36 ja, koska vaihtoehtoinen hypoteesi on kaksisuuntainen, testisuureen arvoa vastaava p-arvo on
Laskettu p-arvo 0.002% on paljon pienempi kuin asetettu 5% ja tällöin nollahypoteesi hylätään ja vaihtoehtoinen hypoteesi jää voimaan.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokertoimen merkitsevyyttä voidaan tutkia myös kriittisten arvojen avulla. Esimerkiksi kaksisuuntaisessa testissä merkitsevyystason ollessa 5% ja n=10, korrelaatiokertoimen on oltava vähintään 0.6485 jotta se jäisi voimaan.
Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin on Pearsonin korrelaatiokertoimen erityistapaus. Spearmanin järjestyskorrelaatiossa mitattavien muuttujien arvot on korvattu järjestysluvuilla. Spearmanin järjestyskorrelaatio ei reagoi parametrien poikkeamille lineaarisuudesta yhtä voimakkaasti kuin Pearsonin korrelaatiotesti, koska Spearmanin järjestyskorrelaatio mittaa kahden satunnaismuuttujan välistä monotonista riippuvuutta. Pienen hajonnan omaavien muuttujien osalta molemmat korrelaatioanalyysit antavat lähes samanlaiset arvot.
Pearsonin korrelaatio perustuu normaalisuusoletukseen, kun taas Spearmanin järjestyskorrelaatio ei, koska se on ei-parametrinen.
Eräs toinen ei-parametrinen menetelmä on Kendallin järjestyskorrelaatiokerroin (Kendallin tau). Kun aineiston normaalisuudesta on epävarmuutta, on parempi käyttää Kendallin tai Spearmanin järjestyskorrelaatiokerrointa. Sekä Kendallin että Spearmanin järjestyskorrelaatiokerroin sopivat järjestys-, välimatka- ja suhdeasteikollisille muuttujille.