Avoin joukko
Avoin joukko on topologian keskeisin peruskäsite. Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet "raja-arvo", "jatkuvuus" ja "yhtenäisyys".
Avoimen joukon käsite on eräänlainen reaalilukujen joukossa määritellyn avoimen välin käsitteen yleistys. Metrisessä avaruudessa avoin joukko määritellään sen metriikan avulla tietyt ehdot toteuttavaksi avaruuden osajoukoksi. Yleisessä topologiassa sen sijaan topologinen avaruus määritellään valitsemalla perusjoukosta kokoelma sen osajoukkoja, joita sanotaan "avoimiksi joukoiksi" ja jotka yhdessä määrittelevät avaruuden topologian.
Metrisessä avaruudessa avaruuden osajoukko "A" on "avoin", jonka jokaisella pisteellä "x" on ympäristö U ("x", formula_1, joka kokonaisuudessaan sisältyy joukkoon "A". Toisin sanoen jokaista joukon "A" pistettä "x" kohti voidaan valita sellainen positiivinen luku ε, että kaikki pisteet, joiden etäisyys "x":stä on pienempi kuin ε, kuuluvat myös joukkoon "A".
Yhtäpitävästi voitaisiin määritellä, että joukko "A" on avoin, jos mikään sen reunapiste ei kuulu joukkoon "A".
Esimerkiksi reaalilukujen joukossa formula_2 avoimia joukkoja ovat avoimet välit, avoimia välejä yhdistämällä saadut joukot, muotoa (a, &infinity) tai (-&infinity, a) olevat avoimet puolisuorat, formula_2 itse sekä tyhjä joukko.
Jokaisessa metrisessä avaruudessa pätee:Avoimien joukkojen leikkaus, jossa on mukana äärettömän monta joukkoa, ei välttämättä ole avoin. Esimerkiksi reaalilukujen joukossa kaikkien avoimien välien ("a" - ε, "a" + ε) leikkaus, kun ε saa kaikki reaalilukuarvot, käsittää vain pisteen "a", eikä se ole avoin.
Annetun metrisen avaruuden "A" kaikki avoimet joukot muodostavat kokoelman, jota sanotaan avaruuden topologiaksi.
Jo metrisissä avaruuksissa avoimen joukon käsitteen avulla voidaan karakterisoisa monia topologisia käsitteitä kuten raja-arvo ja jatkuvuus. Näiden käsitteiden kannalta metriikka sinänsä kuitenkin on epäoleellinen; merkitystä on vain sillä, mitkä joukot ovat avoimia. Tämä on antanut aiheen määritellä yleisempi topologisen avaruuden käsite.
Topologinen avaruus määritellään valitsemalla annetusta joukosta "X" kokoelma sen osajoukkoja, joita nimetään avoimiksi. Tämä kokoelma on valittava niin, että se toteuttaa edellä todetut, jo metrisissä avaruuksissa pätevät tulokset:Tätä avoimien joukkojen kokoelmaa sanotaan joukon "X" topologiaksi.
Samallekin joukolle voidaan määritellä avointen joukkojen kokoelma ja siten sen topologia monella eri tavalla, kunhan se vain täyttää edellä annetut ehdot. Esimerkiksi missä tahansa joukossa voidaan valita sellainenkin topologia, "diskreetti topologia", jossa "kaikki" avaruuden osajoukot ovat avoimia, tai toisaalta myös sellainen, "minitopologia", jossa "vain" avaruus itse ja tyhjä joukko ovat avoimia.
Olkoon formula_4 topologinen avaruus. Tällöin joukko formula_5 on siis avoin, jos ja vain jos formula_6. Toisin sanoen topologisen avaruuden "topologian" alkioita kutsutaan avoimiksi joukoiksi.Avoimiin joukkoihin liittyy oleellisesti ympäristön käsite. Jos formula_7 ja on olemassa avoin joukko formula_8, jolla formula_9, niin joukkoa "U" kutsutaan pisteen "x" ympäristöksi.
Avoin joukko voidaan karakterisoida myös ympäristöjen avulla. Voidaan nimittäin osoittaa, että joukko "U" on avoin, jos ja vain jos jokaisella joukon "U" pisteellä on olemassa ympäristö, joka sisältyy joukkoon "U".
Ympäristöjen ja avoimien joukkojen avulla voidaan helposti määritellä keskeisiä topologian käsitteitä: