Konstruoituva luku
Tason piste on konstruoituva, jos se voidaan konstruoida geometrisesti käyttäen harppia ja viivainta. Luvun sanotaan olevan konstruoituva luku, jos sitä vastaava piste tavanomaisessa euklidisessa koordinaatistossa on konstruoituva.
Geometristen konstruktiotehtävien suorittaminen koordinaatistossa mahdollistaa myös analyyttisen geometrian hyödyntämisen konstruktiotehtävien tutkimiseen. Lisäksi 1800-luvulla keksittiin soveltaa konstruktiotehtäviin kuntien teoriaa, jolloin käyttöön saatiin algebran työvälineitä. Näin voitiin todistaa mahdottomiksi ongelmia, joita oli menestyksettömästi yritetty ratkaista yli kahden vuosituhannen ajan.
Olkoon formula_1 joukko tason pisteitä. Harpin ja viivaimen avulla suoritettavat konstruktiot koostuvat kahdesta operaatiosta:
Näin syntyvien suorien ja ympyröiden leikkauspisteiden sanotaan olevan "konstruoituvia joukosta" formula_1. Yleisemmin sanotaan, että piste formula_7 on "konstruoituva joukosta" formula_1 mikäli on olemassa sellaiset pisteet formula_9, että formula_10 on konstruoituva joukosta formula_11 kaikilla formula_12.
Konstruktion alussa on siis annettu joukko formula_1 pisteitä, joihin sovelletaan yllä mainittuja kahta operaatiota. Näin syntyvät kuviot (suorat ja ympyrät) voivat leikata toisiaan, jolloin syntyy uusia pisteitä formula_10, joita voidaan käyttää seuraavissa operaatioissa.
Geometrisissa konstruktioissa alussa annettujen lukujen koordinaatit ovat yleensä rationaalilukujen joukosta formula_15, mutta operaatioiden suorittaminen voi tuottaa koordinaateiksi lukuja, jotka eivät ole rationaalisia. Hyödylliseksi lähestymistavaksi osoittautuukin soveltaa kuntalaajennusten teoriaa tutkimalla kunkin konstruoidun pisteen koordinaatteja vastaavaa joukon formula_15 kuntalaajennusta.
Harppia ja viivainta käyttämällä aritmeettiset operaatiot muuttuvat visuaalisiksi. Jo pelkän viivaimen avulla voidaan suorittaa neljä peruslaskutoimitusta: summa, erotus, tulo ja osamäärä. Voidaan osoittaa, että näiden operaatioiden avulla voidaan konstruoida koko rationaalilukujen joukko formula_15, kun annettuna on jana, jonka pituus on 1.
Konstruoituvien lukujen määrä kasvaa entisestään, kun viivaimen avuksi otetaan harppi: tällöin voidaan laskea myös annetun luvun neliöjuuri. Huomattavaa on, että näin päästään myös rationaalilukujen ulkopuolelle: esimerkiksi luvun 2 neliöjuuri ei ole rationaalinen, vaikka se on konstruoituva (ks. kuva). Jokainen rationaaliluku on siis konstruoituva, mutta kaikki konstruoituvat luvut eivät ole rationaalilukuja.
Harpin ja viivaimen avulla suoritetuissa operaatioissa kukin luku esitetään sitä vastaavan mittaisen janan avulla.
Kahden luvun formula_18 ja formula_19 summa formula_20 lasketaan asettamalla lukujen formula_18 ja formula_19 mittaiset janat peräkkäin. Summa formula_20 on näin syntyvän yhteisjanan pituus.
Lukujen formula_18 ja formula_19 erotus formula_26 lasketaan asettamalla lukujen formula_18 ja formula_19 mittaiset janat sisäkkäin niin, että janojen päätepisteet ovat samat. Erotus formula_26 on janoista pidemmän se jäljelle jäävä osa, jota lyhyempi jana ei yllä peittämään (kuvassa merkitty sinisellä).
Lukujen formula_18 ja formula_19 tulo formula_32 lasketaan hyödyntämällä yhdenmuotoisia kolmioita. Piirretään kaksi suoraa, jotka leikkaavat toisiaan, ja asetetaan luvun formula_18 mittainen jana ensimmäiselle suoralle ja lukua formula_19 vastaava jana toiselle. Asetetaan seuraavaksi luvun 1 mittainen jana toiselle suoralle niin, että sen alkupiste on suorien leikkauspisteessä. Piirretään suora, joka yhdistää lukua 1 vastaavan janan päätepisteen lukua formula_18 vastaavan janan päätepisteeseen. Kun lopuksi piirretään tämän äsken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua formula_19 vastaavan janan päätepisteen kautta, se leikkaa toista alussa piirretyistä suorista kohdassa, jota voidaan merkitä vaikkapa kirjaimella formula_37. Tällöin syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista nähdään, että formula_38 joten formula_39 (kuvassa sinisellä).
Osamäärän formula_40 laskeminen muistuttaa tulon laskemista. Piirretään jälleen kaksi toisiaan leikkaavaa suoraa, joista toiselle asetetaan luvun formula_18 mittainen jana, ja toiselle luvun formula_19 mittainen jana. Asetetaan toiselle suoralle luvun 1 mittainen jana. Piirretään nyt suora lukua formula_19 vastaavan janan päätepisteestä lukua formula_18 vastaavan janan päätepisteeseen (tuloa laskettaessa suora piirrettiin "lukua 1" vastaavan janan päätepisteestä lukua formula_18 vastaavan janan päätepisteeseen). Kun lopuksi piirretään äsken piirretyn suoran kanssa yhdensuuntainen suora lukua 1 vastaavan janan päätepisteen kautta, se leikkaa toista alkuperäisistä suorista kohdassa formula_37. Syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista nähdään, että formula_47, eli formula_48
Luvun formula_18 neliöjuuren konstruoimiseen vaaditaan viivaimen lisäksi myös harppia. Asetetaan lukua formula_18 vastaavan janan alkuun (tai loppuun) luvun 1 mittainen jana, ja piirretään ympyrä, jonka halkaisija on äsken saatu jana formula_51. Piirretään lisäksi jana formula_37 lukuja formula_18 ja 1 vastaavien janojen kohtauspisteestä ympyrän kehälle, ja yhdistetään tämä kehän piste janan formula_51 päätepisteisiin. Muodostuu kolmio, joka on Thaleen lauseen mukaan suorakulmainen. Ennen kaikkea muodostuu kaksi yhdenmuotoista kolmiota, joiden vastinsivujen suhteista saadaan formula_55, joten formula_56, ja edelleen formula_57
Geometriset konstruktiot voidaan ilmaista kuntateorian kielellä varsin luontevasti. Tarkasteluun nostetaan konstruoitujen pisteiden koordinaatit, ja eritysesti ne kunnat, joihin koordinaatit kuuluvat. Tyypillisesti geometrisissa konstruktioissa lähtöpisteiksi ja rakennusalustaksi otetaan rationaalilukujen kunta formula_15.
Suoritettaessa konstruktioita harpin ja viivaimen avulla syntyy uusia pisteitä, ja kuten edellä nähtiin, niiden koordinaatit eivät välttämättä ole enää rationaalisia. Liitetään siis jokaiseen uuteen konstruoituun pisteeseen formula_59 algebrallinen kuntalaajennus formula_60, joka on pienin mahdollinen kunta, joka sisältää sekä rationaaliluvut että juuri konstruoidut luvut formula_61 ja formula_62.
Kuntalaajennuksen asteella tarkoitetaan laajennuksen dimensiota vektoriavaruutena. Voidaan osoittaa, että tämä aste on aina yhtä suuri kuin laajennuksen minimipolynomin aste.
Esimerkkinä voidaan tarkastella laajennuksen formula_63 astetta. Jos luvun formula_64 minipolynomi joukossa formula_15 olisi astetta 1, minimipolynomin olisi oltava formula_66. Tämä polynomi ei kuitenkaan ole rationaalikertoiminen, joten laajennuksen asteen on oltava suurempi kuin 1. Toisaalta formula_64 on toisen asteen polynomin formula_68 juuri, joten se on luvun 2 neliöjuuren minimipolynomi joukossa formula_15. Laajennuksen formula_63 aste on siis 2, ja merkitään formula_71.
Erityisesti voidaan osoittaa, että mikäli piste on konstruoituva, niin sitä vastaavan kuntalaajennoksen asteen on aina oltava jokin luvun 2 potenssi, eli jos piste formula_72 on konstruoituva, niin formula_73 jollain formula_74. Tätä erittäin tärkeää tietoa voidaan hyödyntää menestyksekkäästi tutkittaessa onko jokin konstruktio mahdollista suorittaa harpin ja viivaimen avulla.
Konstruoituvaa lukua vastaavan algebrallisen kuntalaajennuksen asteen on oltava luvun 2 potenssi, ja toisaalta kuntalaajennuksen aste on yhtä suuri kuin laajennuksen minimipolynomin aste. Kun siis halutaan osoittaa jokin geometrinen konstruktiotehtävä mahdottomaksi, etsitään vastaesimerkiksi jokin luku formula_75, jonka olisi pakko olla konstruoituva, jotta tehtävä voitaisiin suorittaa onnistuneesti. Tämän jälkeen tarkastellaan kuntalaajennuksen formula_76 astetta etsimällä lukua formula_75 vastaava minimipolynomi. Mikäli tämän minimipolynomin aste ei ole jokin luvun 2 potenssi, konstruktio on mahdoton.
Näin voidaan osoittaa mahdottomiksi monia ongelmia, jotka olivat vaivanneet matemaatikkoja vuosituhansia antiikin Kreikasta asti. Alla olevassa taulukossa on listattu antiikin kolme suurta ongelmaa ja kullekin lyhyesti vastaesimerkki, joka osoittaa ongelman mahdottomaksi.