Muuttuvamassainen systeemi
Muuttuvamassainen systeemi tarkoittaa mekaniikassa sellaista kappaletta tai systeemiä, jonka massa muuttuu ajan kuluessa. Tällaisen systeemin liikeyhtälöä ei voi johtaa dynamiikan peruslain yhtälöstä formula_1, sillä siinä massa pysyy vakiona. Sen sijaan voidaan käyttää dynamiikan peruslaista yleistä muotoa, jonka mukaan systeemiin tai kappaleeseen kohdistuva voima on yhtä suuri kuin systeemin tai kappaleen liikemäärän derivaatta ajan suhteen: formula_2. Yleisessä muodossaan muuttuvamassaisen kappaleen liikeyhtälö on
formula_3,
missä
Erityisesti raketeissa termi formula_5 tarkoittaa raketin palokaasujen nopeutta rakettiin itseensä nähden. Yhtälö formula_1 on erikoistapaus, joka saadaan yleisestä liikeyhtälöstä asettamalla massa vakioksi (jolloin formula_10), sillä formula_11.
Yleinen liikeyhtälö muuttuvamassaiselle kappaleelle tai systeemille voidaan yrittää johtaa lähtien liikkeelle dynamiikan peruslaista ja kirjoittamalla liikemäärä massan ja nopeuden tulona:
formula_12.
Nyt on huomattava, että tässä formula_7 ei tarkoita yhden kappaleen nopeutta, vaan se riippuu systeemissä olevien massallisten kappaleiden nopeuksista. Tämän vuoksi tulon derivoimissäännön käyttäminen suoraan dynamiikan peruslakiin johtaa virheelliseen liikeyhtälöön:
formula_14
Tämä liikeyhtälö on virheellinen, koska se ei ole Galilei-invariantti: Esimerkiksi, jos muuttuvamassaiseen kappaleeseen ei kohdistu ulkoisia voimia (formula_15), sen täytyy Newtonin 1. lain nojalla pysyä levossa koordinaatistossa, jossa kappale oli alun perinkin levossa. Toisaalta toisessa koordinaatistossa, josta katsottuna kappale liikkuu nopeudella formula_7, kappaleeseen näyttäisi kohdistuvan kiihdyttävä "voima" formula_17.
Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu formula_6-massaisesta kappaleesta, joka ajanhetkellä formula_19 liikkuu ulkopuolisen tarkastelijan inertiaalikoordinaatistossa nopeudella formula_7 (ks. oheinen kuva). Ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa systeemin liikemäärä on tällöin
formula_21.
Ajanhetkellä formula_22 kappaleesta irtoaa infinitesimaalisen pieni osanen, jonka massa on formula_23. Olkoon irtoavan osan nopeus ulkopuolisen tarkastelijan koordinaatistossa formula_24. Irtoamisen jälkeen alkuperäisen kappaleen massa on formula_25 ja nopeus on formula_26. Toisaalta alkuperäisen kappaleen massan muutos on
formula_27,
sillä sen massa pienenee. Irtoamisen jälkeen systeemin liikemäärä on liikemäärän säilymislain nojalla kappaleen ja irronneen osan liikemäärien summa:
formula_28
Termi formula_29 on kahden infinitesimaalisen muutoksen tulona hyvin pieni, joten se voidaan jättää pois. Liikemäärän infinitesimaalinen muutos on
formula_30
Seuraavaksi käytetään dynamiikan peruslakia, jonka mukaan kappaleeseen kohdistuva kokonaisvoima on yhtä suuri kuin kappaleen liikemäärän aikaderivaatta:
formula_31.
Termi formula_32 on irronneen kappaleen nopeus suuremman kappaleen koordinaatistosta tarkasteltuna. Merkitään formula_33, jolloin saadaan lopullinen liikeyhtälö:
formula_3.
Sama yhtälö voidaan johtaa myös tarkastelemalla tilannetta, jossa alkuperäisen kappaleen massa kasvaa, kun siihen kiinnittyy pieni formula_35-massainen kappale. Tällöin formula_36.
"Pääartikkeli: Tsiolkovskin laki"
Tarkastellaan avaruusrakettia, joka liikkuu rakettimoottorinsa avulla tyhjässä avaruudessa siten, että siihen ei kodistu ulkoisia voimia. Oletetaan raketin liike yksiuloitteiseksi, jolloin nopeusvektorit voidaan korvata skalaareilla (vauhti). Olkoon raketin ja kyydissä olevan polttoaineen yhteismassa aluksi formula_37 ja raketin vauhti aluksi formula_38. Oletetaan, että raketin palokaasujen vauhti (rakettiin nähden) on koko ajan vakio formula_39 (vauhti on negatiivinen, koska palokaasut liikkuvat raketista katsottuna eri suuntaan). Raketin liikeyhtälö on tällöin
formula_40,
missä formula_41 on raketin ja sen sisältämän polttoaineen massa ja formula_42 raketin vauhti ajanhetkellä formula_43. Poistetaan aikariippuvuus kertomalla liikeyhtälön kumpikin puoli formula_44:llä:
formula_45.
Järjestellään termejä ja integroidaan yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa formula_37, nopeus formula_38) ja mielivaltainen ajanhetki (massa formula_48, nopeus formula_49):
formula_50
Tästä saadaan kaava raketin nopeudelle sen kokonaismassan funktiona:
formula_51.
Tämä tunnetaan myös Tsiolkovskin lakina.
Tarkastellaan rakettia, joka lähtee avaruuteen maanpinnalta. Oletetaan raketin nousevan koko ajan pystysuoraan, jolloin nopeusvektorit voidaan edellisen esimerkin tavoin korvata vauhdeilla. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että laukaisun jälkeen raketti polttaa polttoainettaan muuttumattomalla nopeudella formula_52 (kilogrammaa sekunnissa) ja että pakokaasujen vauhti rakettiin nähden on koko ajan vakio formula_39. Olkoon raketin massa ennen lähtöä formula_37.
Nousun aikana rakettiin vaikuttaa koko ajan maapallon gravitaatio, ja oletetaan, että rakettiin ei kohdistu muita ulkoisia voimia, jolloin
formula_55,
missä formula_41 on raketin massa ja formula_57 on maapallon putoamiskiihtyvyys (miinusmerkki, koska positiivinen formula_58-suunta valitaan positiiviseksi). Raketin liikeyhtälö on tällöin
formula_59,
missä formula_42 on raketin vauhti ajanhetkellä formula_43. Järjestellään termejä uudelleen:
formula_62.
Yhtälössä on nyt liikaa muuttujia ratkaisua ajatellen, joten poistetaan aikariippuvuus käyttämällä tietoa formula_63:
formula_64.
Integroidaan saatu yhtälö puolittain integrointirajoina alkuhetki (massa formula_37, nopeus 0) ja mielivaltainen ajanhetki (massa formula_48, nopeus formula_67):
formula_68
Aikariippuvuus saadaan sijoittamalla saatuun yhtälöön raketin massa ajan funtiona (kun formula_19 on laukaisusta kulunut aika):
formula_70.
Raketin nopeus ajan funktiona on tällöin
formula_71.