Todennäköisyysfunktio
Todennäköisyysfunktio on todennäköisyyslaskennassa yleisnimitys funktiolle, jonka avulla voidaan määrittää satunnaismuuttujalle sen eri arvoille tai arvojoukoille niiden yleisyyttä vastaavat todennäköisyydet. Todennäköisyyksien määrittämiseen käytetään menetelmiä, joka tyydyttävät todennäköisyysmitan vaatimuksia. Sellaisia ovat klassisen todennäköisyyden, geometrisen todennäköisyyden, tilastollisen todennäköisyyden tai joidenkin muiden pätevien tapojen menetelmät.
Diskreetillä satunnaismuuttujalla todennäköisyysfunktiota kutsutaan pistetodennäköisyysfunktioksi tai vain pistetodennäköisyydeksi. Siinä kukin yksittäinen satunnaismuuttujan perusjoukon arvolla on ei-negatiivinen todennäköisyys.
Jatkuvalla satunnaismuuttujalla tiheysfunktiota saatetaan kutsua todennäköisyysfunktioksi, vaikka tiheysfunktion arvot eivät ole suoraan todennäköisyyksiä. Kukin tapahtuma on lukuväli, jonka todennäköisyys määräytyy tiheysfunktion määrätyllä integraalilla laskettavasta arvosta. Toisinaan todennäköisyysfunktioksi kutsutaan kertymäfunktiota, koska se arvot ovat todennäköisyyksiä. Yleisempää on käyttää näistä kahdesta todennäköisyysjakauman nimitystä. Nimityksien vakiintumattomuuden vuoksi jatkuvien satunnaisilmiöiden yhteydessä käytetäänkin mieluummin tiheys- ja kertymäfunktioiden käsitteitä todennäköisyysfunktion sijasta. Todennäköisyysfunktioksi voidaan määrittää jokin muu funktio, joka laskee todennäköisyydet toisen funktion avulla.
Diskreetillä ja jatkuvalla satunnaismuuttujalla nämä todennäköisyysfunktion määritelmät ovat varsin erilaiset. Muilla satunnaismuuttujilla, jotka ovat esimerkiksi näiden perustyyppien sekoituksia, todennäköisyysfunktiolla on kummankin funktion ominaisuuksia.
Kun otetaan käsittelyyn uusi satunnaisilmiö, tulee ensimmäiseksi määritellä ilmiön perusjoukko eli mitä ulostuloja tai arvoja se tuottaa. Seuraavaksi yritetään arvioida tai laskea kunkin ulostulon tai arvon esiintymisen yleisyyttä eli todennäköisyyttä. Jatkuvassa tapauksessa tuloksena on tiheysfunktio ja diskreetissä tapauksessa se on pistetodennäköisyysfunktio. Sitä taulukkoa tai lauseketta, joka esittää kullekin tapaukselle sen todennäköisyyttä, kutsutaan todennäköisyysfunktioksi. Jatkuvalle tapaukselle tiheysfunktion määrittäminen on vaikeampaa kuin diskreetille tapaukselle.
Nopanheiton tapauksessa on varsin helppo muodostaa todennäköisyysfunktio käyttäen todennäköisyyden klassista lähestymistapaa. Symmetrisessä nopassa on kuusi samanlaista tahkoa, jotka jäävät heitettäessä yhtä yleisesti näkyviin ja niillä on siten sama todennäköisyys esiintyä. Näin voidaan esittää täsmällinen arvo todennäköisyyden suuruudesta, joka on formula_1. Merkitsemällä kullekin nopan ulostulon silmälukujen arvo satunnaismuuttujan formula_2 arvoksi formula_3, voidaan todennäköisyysfunktio formula_4 määrittää ja kirjoittaa
Todennäköisyyksien yhtäsuuruuden takia todennäköisyysjakaumaa kutsutaan symmetriseksi. Todennäköisyysfunktio on diskreetin luonteensa vuoksi pistetodennäköisyysfunktio.
Ihmissikiöiden sukupuolen määräytymismekanismi on monimutkainen biologinen prosessi. Syntyneen lapsen terveyskorttiin merkitään lapsen sukupuoli ja näistä koottujen tilastojen avulla voidaan laskea sukupuolien prosentuaaliset osuudet. On osoittautunut, että suomalaislasten poikien osuudeksi on vakiintunut 51,2% ja tyttöjen 48,8%. Luvut voidaan siirtää suoraan todennäköisyyksiksi, jolloin todennäköisyysfunktion arvot ovat (tilastojen perusteella)
ja
Määrittelyjoukon arvojen ei tarvitse todennäköisyyslaskennassa olla aina lukuja, koska sanat "poika" ja "tyttö" ovat havainnollisempia. Tätäkin todennäköisyysfunktiota voidaan kutsua pistetodennäköisyysfunktioksi.
Onnenpyörän reunaan on merkitty asteikko 60 minuutille. Kun sitä pyöritetään ympäri, pysähtyy se yhtä todennäköisesti mille minuutin kohdalle tahansa. Jos mitataan vielä tarkasti, mihin kohtaan minuuttia se pysähtyy, voidaan ilmoittaa pysähtymiskohta kuinka tarkasti hyvänsä. Pysähtymiskohta on siten satunnaismuuttuja, joka saa arvokseen pysähtymiskohdan mittaluvun, saa reaalilukuarvoja väliltä formula_8 Nämä arvot ovat tasan jakautuneet, kuten "geometrisessä todennäköisyydessä" aina oletetaan.
Onnenpyörään voidaan merkitä erilaisia voittosektoreita, joihin osutaan niiden leveyteen eli kaaren pituuteen verrannollisella todennäköisyydellä. Todennäköisyysfunktion arvot lasketaankin kaaren pituuden formula_9 ja ympyrän kehän pituuden suhteista
formula_10
Jos kaarien määrä on äärellinen tai numeroituvasti ääretön lukumäärä, voidaan todennäköisyysfunktiota pitää pistetodennäköisyysfunktiona. Toisaalta, jos parametrit a ja b voidaan valita vapaasti reaalilukuina, tulee satunnaismuuttujaa kohdella jatkuvana tapauksena.
Edellisessä tapauksessa jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma oli tasan jakautunut, jolloin tiheysfunktio on vakiofunktio. Yleisemmässä tapauksessa näin ei ole ja tiheysfunktion arvot riippuvat satunnaismuuttujan arvoista. Tapahtuma, joka voidaan esittää lukuvälinä formula_11 saa erilaisia todennäköisyyksiä riippuen välin sijainnista perusjoukossa. Todennäköisyys voidaan laskea tiheysfunktion formula_12 määrätyn integraalin avulla ja kertymäfunktion formula_13 erotuksen avulla
Todennäköisyysfunktio on siten kuvaus
missä formula_16 Selvästikin funktio on jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysfunktio, missä todennäköisyydet lasketaan erisuuruisille reaalilukuväleille.
Kukin todennäköisyysfunktion saama arvo on formula_17 Arvot vaihtelevat kuitenkin siten, että niiden summa on aina yksi:
Kaikki perusjoukon arvojen todennäköisyydet muodostavat yhdessä niin sanotun todennäköisyysjakauman. Vain diskreettien ilmiöiden ja satunnaismuuttujien jakaumat muodostuvat pistetodennäköisyyksistä.