Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa tarkoittaa kahden tai useamman muuttujan reaaliarvoisten funktioiden määrätyn integraalin selvittämistä. Moniulotteisen avaruuden määrättyjä integraaleja kutsutaan moninkertaisiksi integraaleiksi, ja niiden määrittäminen perustuu yhden muuttujan määrättyjen integraalien määrittämiseen toistuvasti.
Kaksiulotteisen avaruuden formula_1 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden formula_2 integraaleja kutsutaan "kaksinkertaisiksi integraaleiksi" ja kolmiulotteisen avaruuden formula_3 osajoukoissa määriteltyjen funktioiden formula_4 integraaleja vastaavasti "kolminkertaisiksi integraaleiksi". Yksinkertaisin moniulotteisessa avaruudessa integroinnin sovellus on kolmiulotteisen alueen tilavuuden määrittäminen kaksinkertaisen integraalin avulla.
Tavanomaista, välillä formula_5 määritellyn, yhden muuttujan funktion määrättyä integraalia merkitään yleisesti:
formula_6.
Moniulotteisten avaruuksien integraaleissa merkinnät ovat samankaltaisia. Toisaalta eri lähteissä moninkertaisia integraaleja merkitään eri tavoin. Kahden muuttujan funktion formula_2 integraalia yli tason formula_8 (merkinnästä formula_1 ks. karteesinen tulo) merkitään kaksinkertaisella integraalimerkillä:
formula_10.
Vastaavasti kolmen muuttujan funktion formula_4 integraalia yli avaruuden formula_12 merkitään kolminkertaisella integraalimerkillä:
formula_13.
Useamman kuin kolmen muuttujan funktion integraaleille toistuvia integraalimerkkejä ei enää tilan säästämisen vuoksi käytetä (vrt. moninkertaisten derivaattojen merkintä). Sen sijaan avaruudessa formula_14, missä formula_15, formula_16, määritellyn funktion formula_17 integraalissa käytetään eri lyhennysmerkintöjä:
formula_18,
formula_19.
Joskus kaksin-, kolmin- tai useammankertaista integraalia merkitään myös yksinkertaisella integraalimerkillä (jolloin integraalissa esiintyvän avaruuden ulottuvuus on selvitettävä kontekstista):
formula_20,formula_21 tai formula_22,
missä kahdessa viimeisessä käytetään merkintää formula_23. Kummallakin merkintätavalla on omat hyvät ja huonot puolensa, ja kumpaankin käytetään yleisesti.
Kaksinkertaisen integraalin määritelmä esitetään (yksinkertaisuutensa ja helpommin hahmotettavuutensa takia) siten, kuin se on esitetty lähteessä . Useamman muuttujan funktioiden integrointi määritellään yleisemmin, kuten se on tehty lähteessä . Nämä kaksi määritelmää eivät ole ristiriidassa keskenään.
Olkoon formula_8 suljettu suorakulmio, jonka sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset ja formula_25 rajoitettu kuvaus. Jos formula_26:hen kuuluvat kaikki pisteet formula_27 siten, että formula_28 ja formula_29, niin formula_26:hen voidaan määritellä ositus formula_31 siten, että
formula_32
Ositus formula_31 koostuu formula_34:stä suorakulmiosta formula_35, missä formula_36 ja formula_37, jotka edelleen koostuvat pisteistä formula_27, missä formula_39 ja formula_40. Suorakulmion formula_35 pinta-ala on
formula_42
ja sen lävistäjän pituus on Pythagoraan lauseen nojalla
formula_43.
Määritellään osituksen formula_31 suurimman suorakulmion lävistäjän pituus osituksen normiksi:
formula_45.
Valitaan jokaisesta suorakulmiosta formula_35 mielivaltainen piste formula_47 ja muodostetaan niiden avulla kaksiulotteinen Riemannin summa:
formula_48.
Riemannin summan jokainen termi kuvaa sellaisen suorakulmaisen laatikon tilavuutta, jonka pohja on suorakulmio formula_35 ja korkeus on funktion formula_50 arvo pisteessä formula_47 (siis mikäli formula_52). Näin ollen positiivisille funktioille Riemannin summa approksimoi suorakulmion formula_26 ja funktion formula_50 kuvaajan väliin jäävän avaruuden tilavuutta. Kun laatikoiden lukumäärää kasvatetaan ja vastaavasti pinta-aloja formula_55 pienennetään (jolloin jaon normi formula_56 pienee), muuttuu approksimaatio yhä tarkemmaksi. Kaksinkertaisen integraalin määritelmä perustuukin siihen, että formula_57. Lopullinen määritelmä kuuluu:
Merkintä formula_70 tarkoittaa differentiaalista pinta-alaelementtiä, joka on eräs esitystapa pinta-alan formula_71 raja-arvolle. Pinta-alaelementti voidaan kirjoittaa muodossa
formula_72,
mistä on erityistä hyötyä myöhemmin, kun integraaleja lasketaan iteroimalla.
Olkoon formula_15, formula_74. Joukkoformula_75on avaruuden formula_76 kompakti väli (nk. hypersuorakulmio). Olkoon lisäksi formula_77 rajoitettu funktio. Jos formula_78, niin välin formula_79 jako formula_80 on:
formula_81.
Ts. väli formula_79 voidaan esittää formula_83:n eri osavälin (joista osa voi olla myös surkastunut pisteeksi) formula_84 unioinina. Jos jokaiselle formula_78 on olemassa välin formula_79 jako formula_80, niin joukon formula_88 jako on:
formula_89.
Jako formula_31 määrää formula_91 kappaletta kompakteja jakovälejä formula_92, jotka osittavat välin formula_88. Merkitään mielivaltaista joukon formula_88 pistettä formula_95 sekä kaikilla formula_96:
formula_97 ja
formula_98
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon formula_31 liittyvä "alasumma" kaavalla
formula_100
ja vastaavasti jakoon formula_31 liittyvä "yläsumma" kaavalla
formula_102.
Joukolle formula_88 voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako formula_31 tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos formula_31 on välin formula_88 jako, formula_107 on formula_31:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon formula_31 jakopisteet) ja formula_110 on kummankin edellisen jaon alajako, niin:
formula_111
Tästä seuraa edelleen, että alasummien joukon supremum on korkeintaan yläsummien joukon infimum. Näin ollen, jos formula_31 on joukon formula_88 mielivaltainen jako, niin aina
formula_114.
Tämä määritelmä yhtyy kaksinkertaisen integraalin määritelmään seuraavasti: Olkoon formula_119, formula_120 ja formula_77 on rajoitettu funktio. Tällöin funktio formula_50 on integroituva, jos ja vain, jos "kaikilla" "formula_61 "on olemassa välin formula_88 jako formula_31 siten, että
formula_126.
Yleisesti ottaen joukko, jonka yli integrointi suoritetaan, ei välttämättä ole suorakulmio (tai hypersuorakulmio). Tällöin integrointialuetta voidaan yksinkertaistaa laajentamalla sitä siten, että uusi integrointialue on sellainen (hyper-)suorakulmio, joka sisältää alkuperäisen integrointialueen sekä määrittelemällä integroitava funktio paloittain. Oletetaan nyt, että formula_119 on hypersuorakulmio. Olkoon lisäksi integrointialue formula_128 ja funktio formula_129 rajoitettu. Määritellään funktio formula_130 siten, että:
formula_131
Jos formula_132 on integroituva yli formula_88:n, niin myös funktio formula_50 on integroituva yli formula_135:n ja:
formula_136.
Integraalin arvo ei riipu joukon formula_88 valinnasta, kunhan formula_128.
Olkoon seuraavassa formula_15, formula_14, formula_141, funktiot formula_50 ja formula_143 integroituvia funktioita joukossa formula_135 sekä formula_145 ja formula_146 vakioita. Seuraavat ominaisuudet pätevät moniulotteisille integraaleille:Kaksin- ja kolminkertaisia integraaleja voidaan käyttää erityisesti pinta-alojen ja tilavuuksien määrittämiseen. Tätä ominaisuutta voidaan käyttää myös toisin päin: jos tiedetään integrointialueen pinta-ala tai tilavuus, voidaan integrointia helpottaa tai jopa jättää kokonaan pois. Vastaavasti voidaan käyttää integroitavan funktion symmetriaominaisuuksia, kuten parillisuutta ja parittomuutta.
Olkoon integrointialue formula_8 suorakulmio formula_167, formula_168. Tällöin
formula_169
Määritetään integraalin formula_170 arvo. Ensimmäiseksi havaitaan, että integrointialue on formula_171-tason origokeskinen yksikköympyrä (symmetrinen origon suhteen). Integraali voidaan jakaa kolmeksi eri integraaliksi:
formula_172
Koska integrointialue on origon suhteen symmetrinen ja funktio formula_173 on pariton funktio, niin kuvaajan ja formula_171-tason väliin jäävä tilavuus on yhtä suuri alueissa formula_175 ja formula_176. Parittomuudesta johtuen nämä tilavuudet kumoavat toisensa, jolloin formula_177. Vastaavasti, funktio formula_178 on myös pariton, joten formula_179. Näin ollen
formula_180
Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Sanotaan, että integrointialue formula_8 on
Oletetaan esimerkiksi, että integrointialue formula_26 on säännöllinen formula_182-suunnassa ja sitä rajoittavat suorat formula_183 ja formula_184 sekä käyrät formula_196 ja formula_197 siten, että formula_198 kaikilla formula_28. Funktion formula_200 kuvaajan ja formula_171-tason väliin jäävä avaruus voidaan "viipaloida" formula_202-tason suuntaisilla tasoilla (joissa siis formula_203) pitkin formula_187-akselia. Tällaisen tason pinta-ala saadaan yksiulotteisella määrätyllä integraalilla:
formula_205.
Tällöin kaksinertainen integraali formula_206 saadaan summaamalla differentiaalisen paksujen viipaleiden (pinta-ala formula_207 ja paksuus formula_208) tilavuudet suorien formula_183 ja formula_184 välillä:
formula_211.
Samaa integraalia voidaan merkitä myös:
formula_212 tai
formula_213.
Näin päästään kaksinkertaisten integraalien määrittämiseen iteroimalla:
formula_8 on neliö, jonka määrittelevät rajat formula_227 ja formula_228. Määritetään neliön formula_26 ja tason formula_230 väliin jäävän avaruuden tilavuus. Integrointialue formula_26 on säännöllinen sekä formula_187- että formula_182-suunnissa, joten iterointi voidaan suorittaa kummassa järjestyksessä tahansa.
Integroidaan ensin formula_187- ja sitten formula_182-suunnassa. Integroitaessa formula_187-suunnassa muuttujaa formula_182 kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön formula_26 rajoittaman kappaleen tilavuus on:
formula_239
Integroidaan ensin formula_182- ja sitten formula_187-suunnassa. Integroitaessa formula_182-suunnassa muuttujaa formula_187 kohdellaan kuten vakiota. Tason ja neliön formula_26 rajoittaman kappaleen tilavuus on:
formula_245
Ratkaistaan itegraali formula_246, missä aluetta formula_8 rajaavat suorat formula_248 ja formula_249 sekä käyrä formula_250 (tai formula_251). Alue formula_26 on säännöllinen sekä formula_187- että formula_182-suunnissa. Koska funktiolle formula_255, formula_256 ei voi kirjoittaa antiderivaattaa, täytyy iterointi suorittaa siten, että ensin integroidaan formula_187-suunnassa:
formula_258
Olkoon formula_259 suorakulmainen laatikko siten, että formula_260, formula_261 ja formula_262, missä formula_263, formula_264 ja formula_265 ovat positiivisia vakioita. Ratkaistaan integraali formula_266. Avaruus formula_135 "viipaloidaan" nyt (esimerkiksi) formula_171-tason suuntaisilla tasoilla, jolloin ensimmäisenä integroidaan muuttujan formula_269 suhteen. Nämä "viipaleet" ovat suorakulmioita, joten integrointi niiden yli voidaan myös suorittaa iteroimalla kummassa järjestyksessä tahansa:
formula_270
Kuten yksiulotteisessa tapauksessa, myös moniulotteisen integraalin selvittämistä voidaan tuntuvasti helpottaa muuttujanvaihdolla. Käytetään tässä yksinkertaisuuden vuoksi esimerkkinä integrointia kaksiulotteisessa avaruudessa. Joskus integraalin tai integrointialueen kannalta on luontevampaa käyttää karteesisten koordinaattien formula_187 ja formula_182 sijaan muita koordinaattijärjestelmiä. Oletetaan, että muuttujat formula_187 ja formula_182 voidaan esittää kahden muun muuttujan, formula_275 ja formula_276, funktioina:
formula_277
Tätä funktioparia sanotaan koordinaatistomuunnokseksi formula_278-tason osajoukolta formula_26 formula_171-tason osajoukolle formula_281. Muunnoksen täytyy olla injektio, jotta integrointi muuttujanvaihdolla onnistuisi. Tällöin on olemassa käänteismuunnos
formula_282
joukolta formula_281 joukolle formula_26. Jos funktioilla formula_285 ja formula_286 on olemassa jatkuvat ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja Jacobin determinantti
formula_287
pisteessä formula_288, niin myös käänteismuunnos on injektio pisteen formula_288 ympäristössä. Myös käänteismuunnoksella on olemassa jatkuvat 1. kertaluvun osittaisderivaatat ja nollasta eroava Jacobin determinantti, jolloin
formula_290
Koordinaatistomuunnoksessa joukolta formula_281 (formula_171-tasolta) joukolle formula_26 (formula_278-tasolle) integroitava funktio formula_295, formula_2 muuntuu funktioksi formula_297,
formula_298.
Osoittautuu, että Jacobin determinantin itseisarvo on eri koordinaatistoissa esitettyjen differentiaalisten pinta-alaelementtien suhde:
formula_299
Tällöin kaksinkertainen integraali voidaan ratkaista muuttujanvaihdolla (eli koordinaatistomuunnoksella):
Kolminkertaisen integraalin ratkaiseminen muuttujanvaihdolla käy vastaavalla tavalla:
Tässä Jacobin determinatti on:
formula_333
Eräs käytännöllinen koordinaatistomuunnos kahdessa ulottuvuudessa on vaihtaa karteesiset koordinaatit napakoordinaateiksi:
formula_334
missä formula_335 ja formula_336 (radiaaneina). Tämän koordinaatistomuunnoksen Jacobin determinantti on
formula_337.
Koordinaatistomuunnos on siis injektio kaikkialla paitsi origossa.
Ratkaistaan integraali formula_338, missä integrointialue formula_281 on formula_187-akselin ja suoran formula_341 väliin jäävä osa ympyrärenkaasta formula_342. Muuttujanvaihdon jälkeen integrandi on:
formula_343
Karteesisissa koordinaateissa integrointialue on osa origokeskistä ympyrärengasta, jonka sisäsäde on formula_344 ja ulkosäde formula_345 ja jota raoittavat suorat formula_346 ja formula_347. Napakoordinaateissa nämä rajat ovat vastaavasti formula_348 sekä formula_349 ja formula_350. Integraali on tällöin:
formula_351
missä käytettiin tietoa formula_352.
Määritetään ellipsoidin formula_353 tilavuus, kun formula_353:n määrittelee yhtälö
formula_355,
missä formula_344, formula_357 ja formula_358 ovat vakioita. Käytetään muuttujanvaihtoa
formula_359
jolloin ellipsoidi formula_353 kuvautuu yksikköpalloksi formula_361, jossa
formula_362.
Jacobin determinantti tälle koordinaatistomuunnokselle on:
formula_363
Tällöin ellipsoidin formula_353 tilavuus on (ks. ellipsoidin tilavuus ja pallon tilavuus):
formula_365
Tässä esimerkissä sovellettiin sekä symmetrioiden käyttöä, että muuttujanvaihtoa.formula_369formula_371,
missä formula_372 on kappaleen tiheys pisteessä formula_373.formula_379formula_383
missä formula_384 on kappaleen kokonaismassa. Vektorimuodossa kappaleen massakeskipisteen paikkavektori formula_385 on
formula_386,
missä formula_387.formula_391,
missä formula_392 on differentiaalisen massaelementin formula_393 etäisyys pyörimisakselista formula_390.
formula_398.