Yhtenäisyys
Yhtenäisyys on yksi topologisen avaruuden ominaisuuksista. Avaruuden sanotaan olevan yhtenäinen, jos siinä ei ole kahta sellaista erillistä ei-tyhjää avointa joukkoa, joiden yhdiste on koko avaruus. Jos avaruus ei ole yhtenäinen, se on "epäyhtenäinen".
Toisin sanoen avaruus M on epäyhtenäinen, jos se koostuu mielivaltaisten, ei-tyhjien avointen joukkojen
pistevieraista unioneista eli on olemassa sellaiset M:n avoimet osajoukot A ja B, että
Yhtenäisyyttä vahvempi ominaisuus on polkuyhtenäisyys.
Topologisen avaruuden "X osajoukko on yhtenäinen joukko"', jos se "X":n aliavaruutena on yhtenäinen avaruus.
Esimerkiksi taso on yhtenäinen avaruus, mutta jos siitä poistetaan yksi molemmissa päissä äärettömiin ulottuva suora, jäljelle jäävä tason osa on epäyhtenäinen. Myös jos tasosta poistetaan kahden samankeskisen ympyrän väliin jäävä rengas­mainen alue, jäljelle jäävä tason osa on epä­yhtenäinen, samoin kahden erillisen suljetun kiekon yhdiste.
Topologisen avaruuden "X" sanotaan olevan epäyhtenäinen, jos se on kahden erillisen ei-tyhjän avoimen joukon yhdiste. Muussa tapauksessa "X":n sanotaan olevan yhtenäinen. Topologisen avaruuden osajoukkoa sanotaan yhdisteeksi, jos se on yhtenäinen alkuperäisen avaruuden aliavaruutena. Joskus määritellään lisäksi, että tyhjä joukko ainut­laatuisine topologioineen ei ole yhtenäinen, mutta tässä artikkelissa ei noudateta tätä käytäntöä.
Topologiselle avaruudelle "X" seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:Seuraavassa järjestysrelaationa käytetään joukkojen inkluusiota, toisin sanoen joukon A sanotaan olevan "suurempi" kuin B, jos B on A:n osajoukko. Ei-tyhjän joukon edellä sanotussa mielessä suurimpia yhtenäisiä osajoukkoja (jotka siis eivät ole minkään yhtenäisen joukon aitoja osajoukkoja) sanotaan avaruuden yhtenäisiksi komponenteiksi tai lyhemmin komponenteiksi.
Jokaisen topologisen avaruuden "X" komponentit muodostavat "X":n osituksen: ne ovat erillisiä ja ei-tyhjiä, ja niiden unioni on koko avaruus.
Jokainen komponentti on alku­peräisen avaruuden suljettu osajoukko. Tstä seuraa, että jos niiden lukumäärä on äärellinen, ne kaikki ovat myös avoimia joukkoja. Jos komponentteja on äärettömän monta, asia ei kuitenkaan välttämättä ole näin; esimerkiksi rationaalilukujen joukon komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen (yhden luvun) eivätkä ole avoimia.
Olkoon formula_4 se topologisen avaruuden "X" komponentti, johon piste "x" kuuluu, ja formula_5 kaikkien sellaisten joukkojen leikkaus, joihin "x" kuuluu ja jotka ovat sekä avoimia että suljettuja. Sitä sanotaan "x":n kvasi­komponentiksi. Silloin formula_6. Pisteen "x" kvasi­komponentti sisältyy siis kokonaisuudessaan samaan avaruuden komponenttiin. Jos avaruus on kompakti Hausdorff-avaruus tai lokaalisti yhtenäinen, kaikkien pisteiden kvasi­komponentit ovat samalla myös avaruuden komponentteja.
Jos avaruuden kaikki komponentit käsittävät kukin vain yhden pisteen, sitä sanotaan täysin epä­yhtenäiseksi.
Tälle sukua on käsite "täydellinen separaatio". Avaruudella "X" sanotaan olevan "täydellinen separaatio", jos sen mille tahansa kahdelle pisteelle "x" ja "y" voidaan valita erilliset avoimet ympäristöt "U" ja "V", niin että formula_7, formula_8 ja formula_9. Jos avaruudella on täydellinen separaatio, se on selvästikin täysin epäyhtenäinen, mutta ei välttämättä päin vastoin. Esimerkkinä voidaan käsitellä avaruutta, joka saadaan muodostamalla rationaalilukujen joukosta formula_10 kaksi kopiota ja yhdistämällä ne samastamalla kummankin muun joukon kaikki toisiaan vastaavat pisteet nollaa lukuun ottamatta. Tuloksena saatu avaruus varustettuna tekijätopologialla on täysin epäyhtenäinen. Tarkastelemalla kahta nollapisteen kopiota voidaan kuitenkin todeta, että kyseessä ei ole täydellinen separaatio. Itse asiassa tämä avaruus ei ole edes Hausdorff-avaruus, ja avaruudella voi olla täydellinen separaatio vain, jos se on Hausdorff-avaruus.
Topologisessa avaruudessa "X" polku pisteestä "x" pisteeseen "y" on sellainen jatkuva kuvaus "f" väliltä [0,1] "X":ään, että "f"(0) = "x" ja "f"(1) = "y". Se, että on olemassa polku pisteestä "x" pisteeseen "y", on avaruuden pisteiden välinen ekvivalenssirelaatio, ja tämän ekvivalenssi­relaation ekvivalenssi­luokkia sanotaan avaruuden polku­komponenteiksi. Avaruutta "X" sanotaan polkuyhtenäiseksi, jos siinä on vain yksi polku­komponentti eli mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa polulla. Joskus määritellään tässäkin erikseen, että tyhjä joukko ei ole polkuyhtenäinen.
Jokainen polkuyhtenäinen avaruus on yhtenäinen. On kuitenkin olemassa yhtenäisiä avaruuksia, jotka eivät ole polku­yhtenäisiä; sellaisia ovat esimerkiksi pitkä suora "L"* sekä topologin sinikäyrä.
Reaalilukujen joukon formula_11 osajoukot kuitenkin ovat yhtenäisiä, jos ja vain jos ne ovat polkuyhtenäisiä. Tällaisia joukkoja ovat yksialkioiset joukot sekä avoimet, suljetut ja puoliavoimet välit, mukaan luettuna sellaiset välit, jotka jommassa­kummassa tai molemmassa päässä ulottuvat äärettömyyteen.
Myös formula_12:n ja formula_24:n avoimet osajoukot ovat yhtenäisiä, jos ja vain jos ne ovat polku­yhtenäisiä. Samoin on laita äärellisten topologisten avaruuksien osajoukkojen.
Avaruutta "X" sanotaan kaariyhtenäiseksi, jos sen mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää "kaarella", toisin sanoen sellaisella polulla "f" joka on homeomorfismi yksikkövälin [0, 1] ja sen kuvan "f"([{0, 1] välillä. Voidaan osoittaa, että jokainen Hausdorff-avaruus, joka on polku­yhtenäinen, on myös kaariyhtenäinen. Esimerkki avaruudesta, joka on polku­yhtenäinen mutta ei kaariyhtenäinen, saadaan lisäämällä ei-negatiivisten reaalilukujen joukkoon [0, ∞) toinen nollapiste 0'. Tässä avaruudessa voidaan määritellä osittainen järjestysrelaatio määrittämällä, että 0'järjestystopologialla", joka saadaan asettamalla avoimet välit ("a", "b") = {"x" | "a" [0, "a") = {"x" | 0 ≤ x [0', "a") = {"x" | 0' ≤ "x" kannaksi. Näin saatu avaruus on T-avaruus, mutta ei Hausdorff-avaruus. Selvästikin tämän avaruuden pisteet 0 ja 0' voidaan yhdistää polulla, mutta ei kaarella.
Topologista avaruutta sanotaan lokaalisti yhtenäiseksi pisteessä "x", jos jokainen pisteen "x" ympäristö sisältää yhtenäisen avoimen ympäristön. Avaruus on lokaalisti yhtenäinen, jos sillä on yhtenäisten joukkojen muodostama kanta. Voidaan osoittaa, että avaruus "X" on lokaalisti yhtenäinen, jos ja vain jos sen jokaisen avoimen osajoukon jokainen komponentti on avoin. Topologin sinikäyrä on esimerkki yhtenäisestä avaruudesta, joka ei ole lokaalisti yhtenäinen.
Vastaavasti topologista avaruutta sanotaan lokaalisti polku­yhtenäiseksi, jos sillä on polku­yhtenäisten joukkojen muodostama kanta. Lokaalisti polku­yhtenäisen avaruuden avoin osajoukko on yhtenäinen, jos ja vain jos se on polkuyhtenäinen. Tämä on yleistys edellä esitetystä tuloksesta, jonka mukaan formula_12 ja formula_24 ovat lokaalisti polku­yhtenäisiä. Myös kaikki topologiset monistot ovat lokaalisti polku­yhtenäisiä.
Sen enempää lokaalista yhtenäisyydestä kuin lokaalista polku­yhtenäisyydestä­kään ei välttämättä seuraa yhtenäisyys eikä polku­yhtenäisyys. Esimerkiksi avaruus formula_27, joka on kahden avoimen välin yhdiste, on lokaalisti yhtenäinen ja lokaalisti polku­yhtenäinen, mutta ei yhtenäinen eikä polku­yhtenäinen.
Yhtenäisten joukkojen leikkaus ei välttämättä ole yhtenäinen.
Myöskään yhtenäisten joukkojen yhdiste ei välttämättä ole yhtenäinen. Tarkastellaan esimerkkinä yhtenäisten joukkojen kokoelmaa formula_28, joiden yhdiste on formula_29. Jos formula_30 on epäyhtenäinen ja formula_31 avaruuden formula_30 separaatio, jossa formula_33 ja formula_34 ovat erillisiä avoimia joukkoja formula_30:ssä, jokaisen formula_36:n sisältyy kokonaan joko joukkoon formula_33 tai formula_34, sillä muussa tapauksessa formula_39 ja formula_40 muodostaisivat formula_36:n separaation, mikä on vastoin oletusta, että se on yhtenäinen.
Tämä merkitsee, että jos yhdiste formula_30 on epäyhtenäinen, kokoelma formula_28 voidaan jakaa kahteen alikokoelmaan niin, että alikokoelmien yhdisteet ovat erillisiä ja avoimia joukkoja formula_30:ssä, kuten oheisessa kuviossa. Eräissä erityistapauksissa tästä seuraa, että yhtenäisten joukkojen yhdiste "on" yhtenäinen. Erityisesti:Yhtenäisten joukkojen joukkoerotus ei välttämättä ole yhtenäinen. Kuitenkin jos "X"⊇"Y" ja niiden erotus "X"\"Y" epäyhtenäinen (ja voidaan siten muodostaa kahden avoimen joukon yhdisteenä formula_53), on unionin "Y" ja jokaisen "X"\"Y":n komponentin leikkaus yhtenäinen.
Tämä voidaan todistaa seuraavasti:
Tehdään vastaoletus, että "Y"∪"X1" ei ole yhtenäinen. Silloin se voitaisiin muodostaa kahden erillisen avoimen joukon yhdisteenä: "Y"∪"X1" = "Z1"∪"Z2". Koska "Y" on yhtenäinen, sen täytyy kokonaisuudessaan sisältyä jompaankumpaan näistä komponenteista. Nyt tiedetään, että:
Viimeisessä yhdisteessä yhdistetyt joukot ovat erillisiä ja avoimia "X":ssä, ja näin ollen olemassa "X":n separaatio, mikä on ristiriidassa sen kanssa, että "X" on yhtenäinen. Näin ollen "Y"∪"X1":n täytyy olla yhtenäinen.mot.Graafeilla on lokaalisti polku­yhtenäisiä osajoukkoja, nimittäin ne osajoukot, joiden sisällä mitkä tahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää sen kaarista muodostuvalla polulla. Mutta aina ei ole mahdollista muodostaa pisteiden joukolle topologiaa, jossa samat joukot olisivat yhtenäisiä. Esimerkiksi 5-syklissä se ei käy päinsä, kuten ei missään muussakaan "n"-syklissä, kun "n" on pariton ja suurempi kuin 3.
Näin ollen yhtenäisyyden käsite voidaan muotoilla riippumatta avaruuden topologiasta. Tämän ymmärtämiseksi tarkastellaan niiden konnektiivisten avaruuksien kategoriaa, jotka muodostuvat konnektiivisuus­aksioomat toteuttavien yhtenäisten osajoukkojen kokoelmien joukoista; niiden morfismeja ovat ne funktiot, jotka kuvaavat yhtenäiset joukot yhtenäisiksi joukoiksi. Topologiset avaruudet ja graafit ovat tällöin molemmat erikois­tapauksia konnektiivisista avaruuksista; itse asiassa äärellisiä konnektiivisia avaruuksia ovat äärelliset graafit ja vain ne.
Toisaalta jokainen graafi voidaan yksikäsitteisellä tavalla muuntaa topologiseksi avaruudeksi käsittelemällä sen solmuja pisteinä ja kaaria yksikkövälin kopioina. Tällöin voidaan osoittaa, että graafi on yhtenäinen (graafi­teoreettisessa mielessä), jos ja vain jos se on yhtenäinen topologisenä avaruutena.
Topologisille avaruuksille on olemassa vahvempia yhtenäisyyden mjuotoja, esimerkiksi: