Konstruoituva monikulmio
Konstruoituva monikulmio on säännöllinen monikulmio, joka voidaan piirtää geometrisella konstruktiolla eli ainoastaan harppia ja viivoitinta käyttäen. Esimerkiksi säännöllinen viisikulmio voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella, kun taas säännöllistä seitsenkulmiota ei voida. Konstruoituvia monikulmioita on olemassa äärettömän monta, mutta niistä sellaisia, joissa sivujen lukumäärä on pariton, tunnetaan vain 31 erilaista.
Säännöllinen kolmi- ja nelikulmio eli tasasivuinen kolmio ja neliö sekä säännöllinen kuusikulmio on helppo konstruoida harpilla ja viivoittimella. Säännöllisen viisi­kulmion konstruointi on jo hankalampaa, mutta jo antiikin Kreikan matemaatikot tunsivat menetelmän, jolla se voidaan tehdä. Lisäksi he osasivat konstruoida säännöllisen moni­kulmion, jonka sivujen lukumäärä on kaksi kertaa niin suuri kuin annetussa säännöllisessa moni­kulmiossa. Tämä herätti kysymyksen: voidaanko "kaikki" säännölliset monikulmiot konstruoida harpilla ja viivoittimella? Jos ei, mitkä "n"-kulmiot (missä "n" on sivujen lukumäärä) voidaan täten konstruoida, mitkä ei?
Carl Friedrich Gauss todisti vuonna 1796, että säännöllinen 17-kulmio on konstru­oituva. Viisi vuotta myöhemmin hän kehitti Gaussin jaksojen teorian teoksessaan "Disquisitiones Arithmeticae". Tämä teoria teki hänelle mahdolliseksi muotoilla riittävän ehdon säännöllisen moni­kulmion konstru­oitu­vuudelle. Hän väitti, että sama ehto oli myös välttämätön, mutta hän ei koskaan julkaissut todistusta tälle väitteelle. Täydellisen todistuksen esitti Pierre Wantzel vuonna 1837. Tulos tunnetaan "Gaussin-Wantelin lauseena":
Fermat’n alkuluvut ovat alkulukuja, jotka voidaan esittää muodossa formula_1 (Itse asiassa kaikki alkuluvut, jotka voidaan esittää muodossa formula_2, missä "n" on kokonais­luku, ovat samalla Fermat’n alkulukuja, sillä jos "n" ei ole kahden potenssi, se voidaan esittää tulona formula_3, missä formula_4 on kahden potenssi ja "p" jokin pariton luku. Jos luvulle formula_4 käytetään merkintää "q", saadaan formula_6, ja kun "1" on pariton, formula_7 on aina jaollinen formula_8:lla, olipa "q" mikä positiivinen kokonais­luku tahansa.)
Geometrinen probleema voidaan palauttaa puhtaasti luku­teoreettiseen probleemaan käyttämällä hyväksi sitä seikkaa, että "n"-kulmio on konstruoituva, jos ja vain jos kulman formula_9 on konstruoituva luku, toisin sanoen sille voidaan esittää tarkka arvo neljän aritmeettisen perus­lasku­toimituksen sekä neliöjuurien toton avulla. Yhtäpitävästi "n"-kulmio on konstruoituva, jos "n":nnen syklotomisen polynomin nollakohdat ovat konstruoituvia.
Gaussin–Wantzelin lause voidaan ilmaista seuraavasti:
Tunnettuja Fermat’n alkulukuja ovat vain seuraavat viisi:
Koska Fermat’n alkuluvuista voidaan muodostaa 31 kombinaatiota, joissa niitä on yhdestä viiteen, on 31 tunnettua konstruoituvaa monikulmiota, joiden sivujen lukumäärä on pariton.
Seuraavista 26 Fermat’n luvusta, "F":stä "F":een, yksikään ei ole alkuluku. "F":sta ja sitä suuremmista Fermat’n luvuista asiaa ei tiedetä.
Säännöllinen "n"-kulmio on siis konstruoituva, jos luku "n" on esimerkiksi jokin seuraavista:
kun taas se ei ole konstuoitavissa harpilla ja viivoittimella, jos "n" on jokin seuraavista:
Koska tunnettuja Fermat’n alkulukuja on viisi, tunnetaan 31 lukua, jotka ovat yhden tai useamman toisistaan poikkeavan Fermat’n alkuluvun tuloja ja näin ollen 31 konstruitavaa monikulmiota, joissa sivujen lukumäärä on pariton. Nämä luvut ovat 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 . John Conway totesi kirjassaan "The Book of Numbers", että jos nämä luvut kirjoitetaan binäärilukuina, ovat samat, jotka muodostavat modulaariaritmeettisen Pascalin kolmion modulo 2 ensimmäiset 32 riviä, lukuun ottamatta ensimmäistä, jossa on vain luku 1 ja joka vastaa "yksikulmiota". Niinpä tällaisessa kolmiossa ykköset muodostavat approksimaation Sierpinskin kolmiolle. Tämä malli ei kuitenkaan päde enää pidemmälle, sillä seuraava Fermat’n luku on yhdistetty luku (4294967297 = 641 · 6700417), ja niinpä seuraavat rivit eivät vastaa konstruoituvia moni­kulmioita. Ei tiedetä, onko suurempia Fermat’n alkulukuja edes olemassa, ja näin ollen ei myöskään tiedetä, kuinka monta sellaista konstruoituvaa monikulmiota on olemassa, joissa sivujen lukumäärä on pariton. Jos Fermat’n alkulukuja on olemassa "q" kappaletta, on olemassa 2-1 sellaista monikulmiota.
Modulaariaritmeettinen Pascalin kolmio modulo 2 sisältää vain lukuja 0 ja 1, ja se saadaan tavanomaisesta Pascalin kolmiosta vaihtamalla siinä kaikki parittomat luvut lukuun 1 ja kaikki parilliset luvut lukuun 0. Seuraavassa on kolmion kymmenen ensimmäistä riviä sekä niiden oikealla puolella eri rivit binääriluvuiksi tulkittuina ja muunnettuina kymmenjärjestelmään:
Myöhempien Galois’n teoria koskevien tutkimusten valossa näiden todistusten perusteet ovat käyneet entistä selvemmiksi. Analyyttisen geometrian avulla on helppo todistaa, että konstruoituvien janojen pituuksien on oltava sellaisia, että ne saadaan perusjanojen pituuksista kertomalla ne sellaisilla luvuilla, jotka saadaan ratkaisemalla jokin sarja toisen asteen yhtälöitä. Tällaiset pituudet muodostavat kunta­laajennukseen, joka saadaan suorittamalla useita neliöllisiä laajennuksia. Tästä seuraa, että konstuktioiden muodostaman kunnan aste peruskunnan suhteen on aina kahden potenssi.
Säännöllisten "n"-kulmioiden muodostamassa erityis­tapauksessa kysymys palautuu kysymykseen pituuksien
konstruoituvuudesta. Nämä ovat trigono­metrisia lukuja ja niin ollen algebrallisia lukuja. Kukin tällainen luku kuuluu "n":nteen syklotomiseen kuntaan — ja itse asiassa sen reaaliseen alikuntaan, joka on totaalisesti reaalinen kunta ja samalla rationaalikertoiminen vektoriavaruus, jonka Hamelin ulottuvuus on
missä f("n") on Eulerin φ-funktio. Wantzelin tulos seuraa laskuista, jotka osoittavat, että f("n") on kahden potenssi vain siinä tarkoitetuissa tapauksissa.
Gaussin konstruktiolle, kun Galois’n ryhmä on 2-ryhmä, tästä seuraa, että sillä on jono aliryhmiä, joiden alkioiden lukumäärät ovat
ja joista jokainen on seuraavan aliryhmä, mikä on helppo todistaa induktiolla, kun ryhmät ovat Abelin ryhmiä. Sen vuoksi syklotomisella kunnalla on sarja alikuntia, joista kunkin aste on 2 potenssiin edellisen sarjan aste. Sellaisten kuntien generaattorit voidaan muodostaa Gaussin jaksojen teorian avulla. Esimerkiksi 17-kulmiolla on tällaiset jaksot, joista yksi saadaan kahdeksan yksikköjuuren summa, toinen vastaavasti neljän ja kolmas kahden yksikköjuuren summana, joka ovat
Jokainen näistä juurista on jonkin sellaisen toisen asteen yhtälön ratkaisu, joka voidaan muodostaa edellisestä. Lisäksi näiden yhtälöiden ratkaisut ovat reaalilukuja, eivät kompleksisia, joten periaatteessa ne voidaan ratkaista geometrisella konstuktiolla, sillä tämä kaikki voidaan suorittaa pelkästään täysin reaalisen kunnan sisällä.
Täten Gaussin tulos voidaan ymmärtää nykyisin käsittein; suorittamalla ratkaistavilla yhtälöillä laskutoimituksia jaksot voidaan neliöidä ja verrata niitä alempiin jaksoihin täysin algoritmisin menetelmin.
Kaikista tunnetuista konstruoituvista moni­kulmioista tiedetään myös, "miten" ne voidaan konstruoida harpilla ja viivoittimella. Jos "n" = "p"·"q", missä "p" = 2 taikka "p" ovat "q" keskenään jaottomia, "n"-kulmio voidaan konstruoida "p"- ja "q"-kulmioiden avulla.
Täten riittää selvittää, miten voidaan konstruoida sellaiset "n"-kulmiot, joissa "n" on Fermat’n alkuluku.
Vasemmalta oikealle: säännöllisen 15-, 17-, 257- ja 65537-kulmion konstruktiot. Vain ensimmäinen vaihe 65537-kulmion konstruktiosta on merkitty, muiden konstruktiot on esitetty kokonaisuufessaan.
Edellä on käsitelty klassisia geometrisia konstruktioita, jotka voidaan suorittaa ainoastaan harppia ja viivoitinta käyttämällä. Muutkin kostruktiot tulevat mahdollisiksi, jos sallitaan myös muita työvälineitä. Esimerkiksi niin sanotuissa neusis-konstruktioissa käytetään myös "merkittyä" viivainta. Konstruktiot ovat matemaattisia idealisaatioita ja oletetaan, että ne voidaan suorittaa tarkasti.
Jos harpin ja viivoittimen lisäksi on käytettävissä väline, jolla kulma voidaan jakaa kolmeen yhtä suureen osaan, säännöllinen "n"-kulmio voidaan konstruoida, jos ja vain jos 
formula_12, missä "r, s, k" >= 0 ja missä luvut "p" ovat toisistaan eroavia Pierpontin alkulukuja (eli muotoa formula_13 olevia alkulukuja) ja suurempia kuin 3. Näin voidaan konstruktiot säännölliset 3-kulmiot kuten 9-, 27- ja 81 ja niin edelleen sekä myös esimerkiksi 7- ja 13-kulmiot. Tällä