Diskreetti tasainen jakauma
}}Diskreetti tasainen jakauma () eli symmetrinen jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä symmetrisen diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Tasainen jakauma viittaa arvojen esiintymistodennäköisyyksiin, jotka ovat kaikille samat. Sille on olemassa vastaavan niminen tasainen jakauma, joka on jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma. Suomalaisen lukiokoulutuksen matematiikan opetuksessa diskreetti tasainen jakauma muodostaa yleisimmän ryhmän esimerkkejä satunnaismuuttujien opetuksessa.
Satunnaisilmiö tuottaa "n" erilaista alkeistapausta, joiden todennäköisyydet ovat symmetrisesti samat. Muodostetaan niistä satunnaismuuttuja formula_2 numeroimalla tapaukset juoksevasti. Silloin satunnaismuuttujan jakauma voidaan merkitä esimerkiksi
missä parametri n määrittää perusjoukon formula_4lukumäärään. Saman satunnaisilmiön "modifioitu" satunnaismuuttuja saa lukuarvot formula_5 ja se voidaan merkitä
Kun halutaan huomioida poikkeavat numeeriset rajat, voidaan ne kirjoittaa kahdella parametrilla a ja b siten, että
jolloin perusjoukossa formula_8 on formula_9 alkeistapausta.
Muita käytettyjä merkintöjä ovat
Periaatteessa satunnaismuuttuja voisi tuottaa arvoja, jotka eivät sijaitse lukusuoralla tasaisin välein, vaan sijoittuen sille mielivaltaisesti formula_11. Arvojen todennäköisyydet olisivat kuitenkin symmetrisesti yhtä suuret. Jos satunnaisilmiön alkeistapaukset eivät ole lukuja, rittää todeta jakauman todennäköisyyksien symmetrisyys. Mikään ei estä numeroimasta epäsäännöllisesti sijaitsevat lukuarvot uudelleen, jolloin edellisistä merkinnöistä on apua.
Kolikonheitolla mielletään olevan tasainen diskreetti jakauma, sillä kahden tuloksen, "kruunan" ja "klaavan", todennäköisyydet ovat samat (ainakin likimain). Jos tulokset, kruuna ja klaava, muutetaan vastaavasti lukuarvoiksi 0 ja 1, saadaan satunnaismuuttuja. Näiden arvojen todennäköisyydet ovat siis kumpikin formula_12 ja jakaumaa merkitään formula_13.
Esimerkiksi nopanheitossa kukin arpakuution tahko esiintyy yhtä yleisesti. Jos formula_2 on satunnaismuuttuja, jonka lukuarvoja ovat silmäluvut, on sen perusjoukko formula_15 ja sen suuruus kuusi. Kukin arvo esiintyy siten todennäköisyydellä formula_16. Sen sijaan kahden nopan heitossa silmälukujen summa ei enää ole tasianen, sillä summat esimerkiksi summa 7 esiintyy todennäköisyydellä formula_16 ja summa 2 todennäköisyydellä formula_18. Jakaumaa merkitään esimekiksi formula_19.
Alla olevat ominaisuudet esitetään satunnaismuuttujan jakaumalle formula_20, jonka perusjoukon formula_21 suuruus on n.
Diskreetin tasaisen jakauman todennäköisyysfunktio poikkeaa nollasta vain yksittäisissä pisteissä eli satunnaismuuttujan perusjoukon arvoilla. Sitä kutsutaan myös pistetodennäköisyysfunktioksi ja merkitään
Diskreetin tasaisen jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio, jonka välillä formula_23 olevat arvot voidaan laskea lausekkeesta
Merkintä formula_25 tarkoittaa lattiafunktiota. Kun formula_26, on formula_27, ja kun formula_28, on formula_29. Se on kussakin pisteessään oikealta puolelta jatkuva funktio.
Yleisessä tapauksessa odotusarvo formula_30 on
joka vastaa lukujen keskiarvoa.
Kun jakauma on formula_32, on odotusarvo välin päätepisteiden avulla ilmaistuna
ja peräkkäisten lukujen tapauksessa formula_34 saadaan
Yleisessä tapauksessa varianssi formula_36 on
missä formula_30 on odotusarvo.
Se voidaan ilmaista myös välin päätepisteiden avulla
tai peräkkäisten lukujen tapauksessa
Keskihajonta saadaan varianssin neliöjuuresta