Ekvivalenssiluokka
Ekvivalenssiluokka on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko formula_1, missä formula_2 on joukon formula_3 ekvivalenssi­relaatio ja formula_4.
Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A "tekijä­joukoksi" relaation "R" suhteen, ja sitä merkitään "A" / "R".
Kun joukolla "A" on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.
Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio "~", jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio "a" kuuluu, käytetään merkintää formula_11, ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa "~" alkion "a" kanssa eli "ekvi­valentteja" alkion "a" kanssa:
Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää "R", voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon "a" kuuluu, käyttää myös merkintää formula_13. Sitä sanotaan myös "a":n "R"-ekvi­valenssi­luokaksi.
Kaikkien "X":n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation "R" suhteen käytetään merkintää formula_14, ja sitä sanotaan "X":n tekijäjoukoksi "R":n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä "X" modulo "R". Surjektiota formula_15 joukosta "X" joukolle "X"/"R", joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan "kanoniseksi surjektioksi" tai "kanoniseksi projektioksi".
Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan "sektioksi". Jos tälle sektiolle käytetään merkintää "s", saadaan formula_16 jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle "c". Alkiota "s"("c") sanotaan "c":n edustajaksi. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi.
Toisinaan jotakin seltiota sektio on "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan "kanonisiksi edustajiksi". Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa formula_17, jos formula_18 on jaolloinen annetulla kokonais­luvulla "n", jota sanotaan "modulukseksi". Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin "n", ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää 'a" mod "n" voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun "a" jaetaan "n":llä).Jokainen alkio formula_21 kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan ["x"]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat ["x"] ja ["y"] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon "X" osituksen: jokainen "X":n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan. Kääntäen jokaista "X":n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa "x" ~ "y", jos ja vain jos "x" ja "y" kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.
ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, ettäJokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos "~" on joukon "X" ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon "X" alkioita niin, että "s" ja "t" yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos "s" ~ "t". Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.
Olkoon "~" on "X":n ekvi­valenssi­relaatio ja "P" jokin sellainen joukon "X" alkioiden ominaisuus, että jos "x" ~ "y" ja alkiolla "x" on ominaisuus "P", myös alkiolla "y" on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta "P" sanotaan relaation "~" invariantiksi tai että ominaisuus "P" on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.
Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa "f" on kuvaus joukosta "X" joukkoon "Y". Jos "f("x") = "f"("x"" aina, kun "x" ~ "x", kuvausta "f" sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka "luokkainvariantiksi" tai lyhyemmin "invariantiksi" relaation ~ suhteen.
Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että ""f" on "yhteensopiva" relaation ~ kanssa.
Jokainen funktio "f" ; "X" → "Y" määrittelee samalla myös lähtöjoukossa "X":n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa "x" ~ "x", jos ja vain jos "f"("x" = "f"("x"). ekvi­valenssi­luokan "x" muodostavat kaikki ne "X":n alkiot, jotka kuvautuvat "f"("x"):lle, toisin sanoen luokka ["x"] on joukon {"f"(x")} alkukuva. Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen "f" kerneliksi.
Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon "X" ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation "~" suhteen) maalijoukon "Y" ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation "~" suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi "X":stä "Y":hyn.
Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.
Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.