Egyptiläinen murtoluku
Egyptiläinen murtoluku on rationaaliluku, joka esitetään ykkösen tasaosien eli resiprookkimurtolukujen summana. Egyptiläiset murtoluvut ovat yli 4 000 vuotta vanhaa matematiikkaa Niilin alueelta.
Vuonna 1858 skotlantilainen nuorukainen Henry Rhind osti Egyptistä torikauppiaalta thebalaisesta haudasta löydetyn papyruskäärön, joka tunnetaan nimellä Rhindin papyrus ja joka Rhindin kuoleman jälkeen ajautui British Museumiin Lontooseen. Käärössä esitellään egyptiläisten käyttämä murtolukujärjestelmä, joka on vertailun kannalta ja monissa käytännön tilanteissa yksinkertaisempi kuin nykymatematiikan käyttämä rationaalinen muoto. Muinaiset egyptiläiset tunsivat murtoluvuista vain ykkösen tasaosat, kuten luvut 1/2, 1/3 ja 1/4. He ilmaisivat kaikki murtoluvut tällaisten egyptiläisten murtojen summina, vieläpä niin, että yhteenlaskettavat olivat aina keskenään erilaisia. Esimerkiksi:
Apuna käytettiin erilaisia taulukoita.
Eräs tapa muuntaa tavallinen ykköstä pienempi (positiivinen) murto edellä mainitunlaiseksi summaksi on ahne algoritmi: Murrosta erotetaan ensimmäiseksi yhteenlaskettavaksi mahdollisimman suuri murto 1/"m", jäännöksestä toinen mahdollisimman suuri murto 1/"n" ja niin edelleen niin kauan, ettei mitään jää. Menettely todella päättyy aina jossain vaiheessa, minkä todisti vuonna 1202 italialainen Fibonacci. Seuraavana esimerkki ahneen algoritmin tuottamasta esityksestä:
formula_1.
Kuten esityksestä ilmenee, ei ahne algoritmi ole aina kaikkein lyhin tapa esittää rationaaliluku resiprookkimuodossa.
Egyptiläiset murtolukuesitykset voivat nykyajan matematiikan harrastajan
tai tutkijan mielestä tuntua lähinnä historialliselta kuriositeetilta.
Niillä voisi kuitenkin olla nykyajan tietoliikenteen tietoturvan 
kannalta erittäin ajankohtainen merkitys.
Monet julkisen avaimen infrastruktuurin (PKI) salakirjoitusmenetelmät nojautuvat siihen, että suurten kokonaislukujen kertominen keskenään on tietokoneilla erittäin helposti suoritettavissa, kun taas päinvastainen operaatio, suurten kokonaislukujen tekijöihinjako on erittäin vaikeaa. Tunnetuin esimerkki tällaisesta algoritmista on RSA.
RSA-menetelmän julkisen avaimen moduuliosa formula_2 on kahden suuren, esimerkiksi 100-200 -numeroisen alkuluvun tulo, formula_3. Jos alkuluvut formula_4 ja formula_5 tunnetaan, salakirjoitusjärjestelmän murtaminen on helposti suoritettavissa.
Oletetaan, että tunnetaan jollakin positiivisella kokonaisluvulla
formula_6, missä luku formula_7 ei ole jaollinen 
luvuilla formula_4 tai formula_5, 
luvun formula_10 egyptiläinen murtolukuesitys.
Olkoon 
missä formula_12.
Tällöin
ts.
Siten formula_4 jakaa välttämättä jonkin luvun formula_16
ja formula_5 jakaa jonkin luvun formula_18.
Jos ko. egyptiläinen murtolukuesitys on satunnaisesti valittu, on
hyvin todennäköistä, että formula_19.
Tällöin luvun n alkutekijät saadaan selville laskemalla luvun
formula_2 suurimmat yhteiset tekijät kunkin luvuista 
formula_21 kanssa.
Egyptiläisten murtolukujen tekijöihinjakomenetelmän etuna muihin tekijöihinjakomenetelmiin nähden on se, että
-murtolukuesitysten laskemiseen ei tarvita luvun formula_2 tekijöihinjakoa
-menetelmä hyödyntää sitä, että peruslaskutoimitukset (samoin kuin
modulaariaritmetiikan perusoperaatiot) ovat helposti suoritettavissa
normaalipituisia RSA-avaimia huomattavastikin suuremmilla (esimerkiksi
kymmeniätuhansia numeroita sisältävillä) kokonaisluvuilla.
Osoitamme vielä, että luvulla formula_23, missä formula_3 on kahden
parittoman alkuluvun tulo, on aina olemassa egyptiläinen murtolukuesitys,
joka 'erottelee' tekijät formula_4 ja formula_5.
Helposti todetaan nimittäin, että
missä
ja