Piilomuuttujateoria
Piilomuuttujateoriat ovat fysikaalisia teorioita, joiden mukaan fysikaalisen systeemin kvanttitila,
sellaisena kuin se kvantti­mekaniikassa esitetään, ei kuvaa systeemiä täydellisesti. Toisin sanoen
piilo­muuttuja­teorioiden kannattajien mukaan kvantti­mekaniikka on lopulta epä­täydellinen, ja täydellisen teorian tulisi kuvata kaikkea
systeemin käyttäytymistä ja välttää täten kvantti­mekaniikalle ominainen indeterminismi. Tiettyjen mittausten epä­tarkkuus
on kvantti­mekaniikan vallitseville tulkinnoille ominainen piirre, ja mittaustarkkuuden rajan osoittaa kvantita­tiivisesti
Heisenbergin epätarkkuusperiaate.
Piilomuuttujateorioiden kuuluisin puolesta­puhuja oli Albert Einstein, joka esitti vasta­väitteitä kvantti­mekaniikan
perustavalle toden­näköisyys­luonteelle ja ilmaisi ajatuksensa tunnetulla lauseella: "Olen vakuuttunut siitä, että Jumala ei heitä arpaa." Einstein, Podolsky ja Rosen väittivät, että kvantti­mekaniikkaan oli lisättävä "todellisuuden elementit", toisin sanoen piilo­muuttujat, jotta lomittumiset voitaisiin selittää ilman kauko­vaikutuksia. Myöhemmin Bellin teoreema osoitti, että tietyn tyyppiset "lokaalit" piilomuuttujateoriat ovat mahdottomia, tai tapahtumien on kehityttävä epälokaalisti. Muuan kuuluisa ei-lokaali teoria on de Broglien-Bohmin teoria.
Yleisesti hyväksytyn Kööpen­haminan tulkinnan mukaan kvantti­mekaniikka on ei-deterministinen, mikä
merkitsee, että se ei yleensä ennusta mittausten tuloksia varmuudella. Sen sijaan se osoittaa, millä toden­näköisyydellä saadaan mikäkin tulos, ja havaittavien suureiden mittaus­tarkkutta rajoittaa epätarkkuusperiaate. Herää kysymys, onko kvantti­mekaniikan taustalla kenties jokin syvempi todellisuus, joka olisi kuvattava perustavammalla teorialla, joka aina ennustaisi mittausten tulokset varmasti: jos jokaisen atomaarisen hiukkasen ominaisuudet tunnettaisiin tarkasti, koko systeemin kehitystä voitaisiin kuvata deterministi­sellä mallilla samaan tapaan kuin klassisessa fysiikassa.
Toisin sanoen on ajateltavissa, että kvantti­mekaniikan tavan­omainen tulkinta on epä­täydellinen luonnon kuvaus. Se, mitkä
muuttujat on käsitettävä taustalla oleviksi "piilo­muuttujiksi", riippuu fysikaalisen kuvauksen tasosta. Esimerkiksi jos kaasua kuvataan lämpötilan, paineen ja tilavuuden käsittein, yksittäisten atomien nopeudet jäävät piilo­muuttujiksi.). De Broglien–Bohmin teoriaa kannattavat fyysikot väittävät, että maailman­kaikkeuden havaitun toden­näköisyys­luonteen taustalla on deterministinen, objektiivinen perustava taso, piilo­muuttujat. Toiset sen sijaan uskovat, ettei kvantti­mekaniikan taustalla ole mitään syvempää determinististä tasoa — kokeet ovat osoittaneet suuren joukon piilo­muuttuja­teorioita yhteen­sopimattomiksi havaintojen kanssa.
Kööpenhaminan tulkinta ei ole filosofisessa mielessä realistinen, toisin sanoen sen mukaan fysikaaliset suureet kuten
hiukkasen sijainti ja liike­määrä eivät ole sellaisenaan olemassa ja kehity mittaus­prosessista riippumatta. Realistiset tulkinnat,
jotka tietyssä määrin sisältyivät jo Feynmanin fysiikkaan, olettavat, että hiukkasilla on tietyt liike­radat.
(Feynmanin diagrammit jakautuvat usein useampaan haaraan, joita ei sellaisenaan havaita; vain diagrammi kokonaisuudessaan
esittää havaittavaa tapahtumaa.) Tällaisen näkemyksen mukaan nämä radat ovat melkein aina jatkuvia, mikä
seuraa toisaalta valon­nopeuden äärellisyydestä ja toisaalta, mikä vielä merkittävämpää, vähimmän vaikutuksen peri­aatteesta, jonka Dirac on tuonut kvantti­mekaniikkaan. Mutta jatkuva liike jo matemaattisen määritelmänsä mukaan edellyttää determinististä liikettä ainakin tietyllä aika­välillä ja niinpä realismi on modernissa fysiikassa sekin yksi syy etsiä ainakin rajoitetusta determinismiä ja näin ollen piilo­muuttuja­teoriaa, mikäli sellainen on olemassa.
Vaikka determinismi oli alkujaan merkittävimpiä motiiveja, jotka saivat fyysikot etsimään piilo­muuttuja­teorioita, on yritetty laatia myös ei-deterministisiä piilo­muuttuja­teorioita, jotka nekin yrittävät selittää kvantti­mekaniikan formalismin taustalla piilevää oletettua todellisuutta. Sellainen on esimerkiksi Edward Nelsonin stokastinen mekaniikka.
Kesäkuussa 1926 Max Born julkaisi "Zeitschrift für Physikissä" artikkelin "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" 
("Törmäysilmiöiden kvanttimekaniikka"), jossa hän ensimmäisenä selvästi esitteli toden­näköisyys­tulkinnan Erwin Schrödingerin saman vuoden alussa käyttöön ottamalle aaltofunktiolle. Born päätti artikkelinsa toteamukseen:
Tässä tulee esiin koko kysymys determinismistä. Kvantti­mekaniikassa ei ole sellaista suuretta, joka jokaisessa yksittäisessä tapauksessa kausaalisesti määrittäisi törmäyksen seuraukset; mutta myöskään koe­tulosten perusteella ei toistaiseksi ole mitään syytä uskoa, että atomilla olisi joitakin sisäisiä ominaisuuksia, jotka määrittäisivät törmäyksen tuloksen yksi­selitteisesti. Pitäisikö meidän toivoa myöhemmin löytävämme sellaiset ominaisuudet ... ja määrittää ne yksittäisissä tapauksissa. Vai pitäisikö meidän uskoa, että teorian ja koetulosten yhteen­sopivuus — myös mahdottomuus esittää ehdot kausaaliselle kehitykselle — on ennalta määrätty sopu­sointu, joka perustuu siihen, ettei sellaisia ehtoja ole? Olen itse taipuvainen hylkäämään determinismin atomien maailmassa. Mutta tämä on filosofinen kysymys, johon nähden fysikaaliset perustelut yksinään eivät ole riittäviä.
Einstein vastasi tähän:
Kvanttimekaniikka on hyvinkin huomion arvoinen. Mutta sisäinen ääni kertoo minulle, että se ei vielä ole oikeilla raiteilla. Teoria antaa paljon, mutta se tuskin johtaa meitä lähemmäksi Sen Vanhan salaisuuksia. Itse olen joka tapauksessa vakuuttunut siitä, että "Hän" ei pelaa arpapeliä.
Pian lausuttuaan kuuluisan kommenttinsa "Jumala ei pelaa arpapeliä" Einstein yritti muotoilla determinstisen vasta­ehdotuksen
kvanttimekaniikalle. Preussin tiedeakatemian kokouksessa Berliinissä 5. toukokuuta 1927 hän esitteli teoriaansa käsittelevän artikkelin "Bestimmt Schrödinger's Wellenmechanik die Bewegung eines Systems vollständig oder nur im Sinne der Statistik?" 
(“Määrittääkö Schrödingerin aaltomekaniikka systeemin liikkeen täydellisesti vai ainoastaan tilastollisessa mielessä?”).
Viidennessä Solvay-konferenssissa Belgiassa lokakuussa 1927, missä olivat läsnä ajan kaikki huomattavimmat teoreettiset fyysikot, Louis de Broglie esitteli oman versionsa deterministiseksi piilo­muuttuja­teoriaksi, ilmeisesti tietämättömänä siitä, että Einstein oli aiemmin samana vuonna yrittänyt vastaavaa. De Broglien teorian mukaan jokaiseen hiukkaseen liittyi kätketty pilottiaalto, joka ohjaa sen liike­rataa avaruudessa. Konferenssissa erityisesti Wolfgang Pauli arvosteli teoriaa tavalla, johon de Broglie ei kyennyt asian­mukaisesti vastaamaan. De Broglie hylkäsikin pian teoriansa.
Samassa viidennessä Solvay-konferenssissa Max Born ja Werner Heisenberg pitivät esitelmän, jossa he tekivät yhteen­vedon aiheen muutaman edellisen vuoden aikana tapahtuneesta suunnattomasta kehityksestä. Esitelmänsä loppu­päätelmänä he julisivat:
[V]aikka emme pidäkään .. sähkö­magneettisen kentän kvantti­mekaanista käsittelyä ... vielä loppuun saakka kehitettynä, pidämme kvantt­imekanikkaa suljettuna teoriana, jonka perustavia fysikaalisia ja matemaattisia oletuksia ei enää voida muuttaa . ... Kysymyksestä 'kausaalilain pätevyydestä' meillä on tämä mielipide: niin kauan kuin otetaan huomioon vain kokeet, joka voidaan suorittaa tähän mennessä saadun fysikaalisen ja kvantti­mekaanisen kokemuksen perusteella, oletus peri­aatteellisesta indeterminismistä, jota tässä pidetään perustavana, on sopusoinnussa koetulosten kanssa.
Vaikka Einsteinin viidennessä Solvay-konferenssissa Bornille ja Heisenbergille esittämät vastaukset eivät ole säilyneet kirjallisessa muodossa, hänen tiedetään haastaneen kvantti­mekaniikan täydellisyyden epä­­virallisissa keskusteluissa aterioiden aikana. Tällöin hän esitti ajatuskokeita, joiden oli määrä osoittaa, ettei kvanttimekaniikka voinut olla täydellisesti oikeassa. Samoin hän teki kuudennessa Solvay-konferenssissa vuonna 1930. Kummallakin kerralla Niels Bohrin katsotaan yleensä onnistuneesti puolustaneen kvanttimekaniikkaa löytämällä virheitä Einsteinin todisteluissa.
Bohrin ja Einsteinin väliset väittelyt huipentuivat vuonna 1935, kun Einstein lopulta esitti yleensä parhaana pidetyn todistelunsa kvantti­mekaniikan täydellisyyttä vastaan. Einstein, Podolsky ja Rosen ehdottivat, että "täydellinen" kuvaus olisi määriteltävä sellaiseksi, joka yksi­käsitteisesti määrittää kaikkien mitattavien ominaisuuksien arvot. Einstein esitti tällöin käytetystä todistelusta myöhemmin seuraavan yhteenvedon:
Ajatellaan mekaanista systeemiä, joka kohdistuu kahdesta rajoitetun ajan keskenään vuoro­vaikuttavasta osa­systeemistä A ja B. Olkoon formula_1-funktio (toisin sanoen aaltofunktio ennen vuoro­vaikutusta annettu. Silloin Schrödingerin yhtälöstä saadaan myös formula_1-funktio vuoro­vaikutuksen jälkeen. Määritetään nyt fysikaalisen systeemin tila A niin tarkasti kuin mittauksilla on mahdollista. Silloin kvantti­mekaniikka tekee mahdolliseksi määrittää mittaustulosten ja koko systeemin formula_1-funktion perusteella formula_1-funktio myös osasysteemille B. Tämä määritys antaa kuitenkin tuloksen, joka riippuu siitä, mitkä A:n fysikaaliset ominaisuudet (observaabelit) on mitattu (esimerkiksi koordinaatit tai liikemäärä). Koska vuoro­vaikutuksen jälkeen B:llä voi olla vain yksi fysikaalinen tila, jonka ei voi järkevästi katsoa riippuvan siitä, mitkä mittaukset on tehty systeemissä A, joka nyt on erillään B:stä, voidaan päätellä, että formula_1-funktio ei yksi­käsitteisesti ilmoita fysikaalista tilaa. Tämä samaan systeemin B tilaan liittyvä useamman formula_1-funktion yhdistelmä osoittaa jälleen, että formula_1-funktiota ei voida tulkita yhden systeemin fysikaalisen tilan (täydelliseksi) kuvaukseksi.
Bohr vastasi Einsteinin haasteeseen tähdentämällä, että komplementaarisuusperiaatteen mukaan yksi Einsteinin mittaus­toimitusta koskevista oletuksista ei päde kvantti­mekaniikassa: kvantti­mekaaninen mittaus ei ainoastaan anna tietoa fysikaalisesta systeemistä vaan myös "valmistaa" sen:
Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin [todistelu] sisältää moni­selitteisyyttä siltä osin kuin se koskee ilmaisun "millään tavoin häiritsemättä systeemiä" merkitystä. ... [J]o tällä asteella [siis esimerkiksi mitattaessa lomittuneeseen pariin kuuluvaa hiukkasta] kysymys on oleellisesti juuri niistä ehdoista, joiden mukaan määräytyvät systeemin tulevaa kehitystä koskevat mahdolliset ennusteiden tyypit. Koska nämä ehdot kuuluvat osana minkä tahansa sellaisen ilmiön kuvaukseen, johon ilmaisua "fysikaalinen todellisuus" voidaan asian­mukaisesti liittää, näemme, että mainitut kirjoittajat eivät ole esittäneet pätevää perustelua päätelmälleen, että kvantti­mekaaninen kuvaus olisi oleellisesti epä­täydellinen.
Kvanttimekaniikka ei myöskään ole "lokaallinen", mikä oleellisesti johtuu siitä, että systeemin tilaa esittää Hilbertin vektori formula_8, jolla on arvonsa avaruuden jokaisessa pisteessä, formula_9. Tässä tapauksessa Einstein oli siis selvästi väärässä, vaikka hän ei tarkasti määrittänytkään sen kvantti­mekaanisen formalismin seurauksia, jotka aiemmin oli jätetty huomioon ottamatta.
Myöhemmin monet teoreettiset fyysikot ovat esittäneet useita täysin toisistaan poikkeaviakin selityksiä sille, miksi Einsteinin, Podolskyn ja Rosenin todistelu ei ole pätevä.
Vuonna 1964 John Bell todisti kuuluisan teoreemansa, joka osoittaa, että jos lokaaleja piilo­muuttujia on olemassa, tiettyjen lomittumista koskevien kokeiden tulokset toteuttavat Bellin epäyhtälön. Jos sen sijaan lomittumisesta aiheutuvia tilastollisia korrelaatioita ei voi selittää lokaaleilla piilo­muuttujilla, Bellin epäyhtälö ei toteudu. Toinen vastaavan­laisen tuloksen, jonka perusteella piilo­muuttujien olemassa­olo voidaan kokeellisesti selvittää, antaa Kochenin-Speckerin teoreema.
Alain Aspect, Paul Kwiat ja muutamat muut fyysikot ovat suorittaneet kokeita, jotka osoittivat, että nämä epäyhtälöt rikkoutuvat aina 242 standardipoikkeaman tasolle saakka, mikä merkitsee erin­omaista tieteellistä varmuutta. Täten kaikki lokaalit piilo­muuttuja­teoriat on osoitettu vääriksi, mutta ei-lokaalit piilo­muuttuja­teoriat ovat edelleen mahdollisia. Teoreettisesti voisi tosin olla kokeellisia ongelmia, jotka vaikuttavat tuloksen pätevyyteen.
Gerard 't Hooft on kyseen­alaistanut Bellin teoreeman pätevyyden superdeterminismin perusteella ja esittänyt ehdotuksia lokaaleiksi deterministisiksi malleiksi.
Edellyttäen, että Bellin teoreema pitää paikkansa, jokaisen deterministisen piilo­muuttuja­teorian, joka on sovitettavissa yhteen kvantti­mekaniikan kanssa, on oltava ei-lokaalinen, mikä merkitsee, että se, mitä jossakin paikassa A tapahtuu, voi välittömästi ja samanaikaisesti vaikuttaa siihen, mitä toisessa paikassa B tapahtuu, ennen kuin paikasta A valon­nopeudella lähtetetty signaali ehtisi paikkaan B. Nykyisin tunnetuin tunnetuin piilomuuttujateoria, fyysikko ja filosofi David Bohmin alun perin vuonna 1952 julkaisema "kausaalinen" tulkinta, on "ei-lokaalinen piilo­muuttuja­teoria". Bohm esitti laajennettuna oleellisesti saman idean, jonka Louis de Broglie oli hänen tietämättämään esittänyt jo vuonna 1927, mutta hylännyt, ja sen vuoksi teoriaa sanotaan yleisesti "de Broglien—Bohmin teoriaksi". Bohm oletti, että on olemassa sekä kvanttihiukkanen, esimerkiksi elektroni, että sen liikettä hallitseva kätketty "ohjausaalto". Niinpä tämän teorian mukaan elektronit ovat selvästi hiukkasia — kun kaksoisrakokoe suoritetaan, kunkin elektronin liike­rata kulkee jomman­kumman raon kautta. Lisäksi rako, jonka kautta kukin elektroni kulkee, ei määräydy sattuman­varaisesti, vaan sitä ohjaa kätketty ohjaava aalto, mikä johtaa havaittuun aalto­kuvioon.
Tämä näkemys ei ole ristiriidassa sen kanssa, että paikalliset tapahtumat, joita käytetään sekä klassisessa atomi­teoriassa että suhteellisuusteoriassa, sillä Bohmin teoria, kuten kvantti­mekaniikkakin, on yhä lokaalisti kausaalinen, toisin sanoen informaation siirtoa rajoittaa yhä valonnopeus, mutta se sallii ei-lokaalit korrelaatiot. Se korostaa holistisempaa näkemystä maailmasta, jonka eri osat ovat riippuvaisia toisistaan ja vaikuttavat toisiinsa. Itse asiassa Bohm itse korosti kvantti­teorian holisista luonnetta viimeisinä vuosinaan, kun hän kiinnostui Jiddu Krishnamurtin ajatuksista.
Bohmin tulkinnan mukaan ei-lokaali kvanttipotentiaali sisältää oletuksen kätketystä järjestyksestä, joka ohjaa hiukkasia ja joka saattaa itse olla tulos jostakin toisesta pääteltävissä olevasta järjestyksestä, "superimplikaattisesta järjestyksestä", joka organisoi kenttää. Nykyisin Bohmin teoriaa pidetään yhtenä monista kvantti­mekaniikan tulkinnoista, joka antaa kvantti­mekaanisille laskuille realistisen eikä vain positivistisen tulkinnan. Jotkut pitävät sitä yksin­kertaisimpana selityksenä kvantti-ilmiöille. Kuitenkin se väistämättä on luonteeltaan piilomuuttujateoria Bohmin teoriaa käsitellään perusteellisimmin hänen kirjassaan, jonka Basil Hiley julkaisi hänen kuolemansa jälkeen.
Mahdollisena heikkoutena Bohmin teoriassa on, että monet tutkijat kuten Einstein, Pauli ja Heisenberg ovat pitäneet sitä teennäisenä. Itse asiassa Bohm itsekin oli samaa mieltä teoriansa alku­peräisestä versiosta. Se oli tarkoituksella muotoiltu antamaan ennusteita, jotka kaikilta osin olivat yhtäpitävät tavan­omaisen kvantti­mekaniikan kanssa. Bohmin alkuperäisenä tarkoituksena ei ollutkaan tehdä vakavaa vasta­ehdotusta vaan ainoastaan osoittaa, että piilo­muuttuja­teoriat todella ovat mahdollisia. Täten se tarjosi vasta­esimerkin John von Neumannin kuuluisalle todistukselle, jonka oli yleisesti katsottu osoittavan, ettei mikään deterministinen teoria voi tuottaa kvantti­mekaniikan tilastollisia ennusteita. Bohm ilmoitti, ettei hän pitänyt teoriaansa hyväksyttävänä, koska se edellytti ohjaus­aaltojen olevan abstraktissa moni­ulotteisessa konfiguraatio­avaruudessa, ei normaalissa kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Hän toivoi, että teoria johtaisi uusiin näkemyksiin ja kokeisiin, joiden tuloksena lopulta saataisiin hyväksyttävä teoria ; tarkoituksena ei siis ollut esittää determinististä, mekaanista näkemystä vaan osoittaa, että oli mahdollista esittää ajatuksia taustalla piilevän todellisuuden ominaisuuksista, mitä kvantti­mekaniikan tavan­omainen tulkinta ei salli.
Huhtikuussa 2011 Manuel S. Morales esitti American Physical Societyn kokouksessa tutkimus­tuloksensa, jotka hän oli jo julkaissut saman vuoden tammikuussa. Hänen mukaansa oli olemassa yksi­selitteisiä kokeellisia todisteita absoluuttisesta determinismistä. Kaksitoista vuotta kestäneessä kokeessa, joka päättyi vuonna 2012 Morales osoitti epäilyksettömästi, että kokeen tekijä ei voi vapaasti valita mittauksen asetuksia, koska ei ole ennalta olemassa sellaisia alku­ehtoja, jotka tekisivät mahdollista valita, suoritetaanko jokin koe suoraan yhdellä potentiaalilla vai epä­suorasti useammalla potentiaalilla. Kokeita käsittelevällä verkko­sivulla Morales totesi: "Valintatapahtumat voivat vain tulla olemaan, ja jotta se voisi tapahtua, niiden rakenteen on oltava luonnon sisäisten mekanismien ennalta määräämä. Tämä merkitsee, että kaksi toisensa pois­sulkevaa ja yhdessä kaiken kattavaa valinta­tekoa olisivat lokaaleja piilomuuttujia, ja niinpä nämä muuttujat eivät voi olla olemassa lokaalisti havaittavina tai mitattavina fysikaalisina tiloina. Toisin sanoen, miten teko tulee suoritetuksi, on ennalta määrätty. Sen sijaan teon olemassa­olo sinänsä ei ole ennalta määrätty. Osoittautuu, että Albert Einstein oli itse asiassa oikeassa käsityksessään piilomuuttujista, jotka tarjoisivat todellisuuden täsmällisemmän kuvauksen. Sen sijaan hän oli väärässä käsityksessään siitä, miten ne voitaisiin löytää."
Elokuussa 2011 Roger Colbeck ja Renato Renner julkaisivat todistuksen, että mikään kvantti­mekaniikan laajennus, käyttipä se piilo­muuttujia tai ei, ei voi antaa tarkempia ennusteita kokeiden tuloksille, edellyttäen että havaintojen tekijä voi vapaasti valita mittaus­menetelmät. Heidän mukaansa, mikäli mittausmenetelmät voidaan vapaasti valita, kvantti­teoria todella on täydellinen.
Tammikuussa 2013 Giancarlo Ghirardi ja Raffaele Romano julkaisivat mallin, joka olettamalla toisen­laisen käsityksen vapaasta valinnasta johtui tulokseen, joka kumosi Colbeckin ja Rennerin väitteen lähes kaikkien kaksi­jakoisten kaksi­tasoisten systeemien tilojen osalta tavalla, joka mahdollisesti on kokeellisesti osoitettavissa.