Symmetriset komponentit
Symmetriset komponentit tarkoittavat tässä kolmivaiheisen sähköjärjestelmän epäsymmetristen tilojen laskemisessa käytettäviä symmetrisiä komponenttijärjestelmiä. Laskelmat helpottuvat kun ne voidaan suorittaa symmetrisillä komponenttijärjestelmillä. Menetelmä perustuu siihen, että mikä tahansa kolmivaiheinen epäsymmetrinen järjestelmä voidaan esittää kolmen symmetrisen kolmivaihejärjestelmän summana. Sähköverkon epäsymmetrisiä tiloja esiintyy erityisesti erilaisissa vikatapauksissa. Tällaisia ovat esimerkiksi maasulku, kahden vaiheen välinen oikosulku ja johtimen katkeaminen. Symmetristen komponenttien käyttö edellyttää, että verkko itsessään on symmetrinen, toisin sanon eri vaiheiden impedanssit ovat yhtäsuuret.
Symmetrisiä komponenttijärjestelmiä ovat: Myötä-, vasta- ja nollajärjestelmä. Myötäjärjestelmässä on vaihejärjestys sama kuin alkuperäisessä verkossa. Vastajärjestelmässä kaksi vaihetta on vaihdettu keskenään ja verkon pyörimissuunta on näin ollen vaihdettu vastakkaiseksi. Nollajärjestelmässä kaikki vaihesuureet ovat samanvaiheisia ja samansuuruisia. Seuraava kuva havainnollistaa tilannetta. Siinä on vasemmalla puolella alkuperäinen epäsymmetrinen kolmivaihejärjestelmä (A,B,C) ja oikealla puolella sen korvaavat symmetriset järjestelmät. Vaiheiden suureet (A,B,C) voivat olla joko jännitteitä (U,U,U) tai virtoja (I,I,I).
Muunnoskaava symmetrisistä järjestelmistä epäsymmetriseen järjestelmään voidaan esittää matriiseilla seuraavasti.
Tässä on käytetty symmetrisistä järjestelmistä vain formula_2-vaiheen arvoja. Muut vaiheet saadaan tarvittaessa vaihekertoimella formula_3. Kaavassa lasketaan yhteen kunkin verkon vastaavat vaihesuureet. Vaihekerroin kääntää osoitinta formula_4 vastapäivään. Matriisissa oleva formula_5 puolestaan kääntää osoitinta formula_6. Vaihekertoimen numeerinen arvo on formula_7. Merkitään jatkossa kaavassa olevaa vaihekertoimista formula_8 muodostuvaa matriisia merkinnällä formula_9.
Käänteismuunnos saadaan kertomalla yllä olevan yhtälön molemmat puolet kerroinmatriisin formula_9 käänteismatriisilla formula_11, jolloin päädytään seuraavaan muunnoskaavaan. Tällä voidaan laskea epäsymmetrisen järjestelmän symmetriset komponenttijärjestelmät.
Tässä on laskettu jälleen vain formula_13-vaiheen arvot. Muita ei todellisuudessa tarvitakaan, koska symmetriset kolmivaihejärjestelmät voidaan käsitellä yksivaiheisina.
Otetaan yksinkertainen kuvan mukainen tapaus. Siinä symmetristä kuormaa syöttävän johdon vaiheen formula_14 johdin on katkenut. Oletetaan syöttävä verkko jäykäksi, jolloin formula_13 ja formula_16 vaiheiden jännitteet säilyvät ennallaan ja formula_14 vaiheessa kuormaan vaikuttaa, aluksi meille tuntematon, vikatilanteen jännite formula_18. Näin syntyy tilanne, jossa symmetristä kuormaa syöttää epäsymmetrinen kolmivaihejännite formula_19.
Symmetriset komponentit saadaan kertomalla epäsymmetriset jännitteet matriisilla formula_11.
Kukin näin laskettu symmetrinen komponenttijärjestelmä vaikuttaa alkuperäiseen kuormaan. Niiden kohtaamat impedanssit kuitenkin poikkeavat toisistaan. Seuraavassa kuvassa on kunkin komponenttijärjestelmän sijaiskytkennät. Kussakin järjestelmässä vaikuttaa niiden omat jännitteet ja virrat. Huomion arvoista on että nollajärjestelmässä vaihejännitteet ja vaihevirrat ovat keskenään yhtä suuria ja samanvaiheisia. Tässä niitä on merkitty A-vaiheen osoittimilla.
Käydään seuraavassa läpi jokainen järjestelmä erikseen. Koska sekä jännitteet, että kuorma ovat symmetrisiä, voidaan laskut tehdä yksivaiheisina.
Myötäjärjestelmä, jossa vaihejärjestys on sama kuin alkuperäisessä verkossa näkee samat impedanssit kuin alkuperäinen syöttöverkko. Tällöin formula_22:n kohtaama impedanssi on verkon myötäimpedanssi formula_23. Tähän on vielä lisättävä nollajohdon impedanssi formula_24. Myötäjärjestelmän impedanssi kokonaisuudessaan on formula_25. Myötäjärjestelmän impedanssi sisältää normaalin verkon yhden vaiheen impedanssin vikakohdasta katsottuna. Pyörivistä kolmivaihekoneista (sähkömoottorit, generaattorit) siihen kuuluvat niiden myötäimpedanssit.
Vastajärjestelmä, jossa vaihejärjestys on vastakkainen alkuperäiselle verkolle näkee niin sanotun vastaimpedanssin. Tämä poikkeaa myötäimpedanssista siinä, että verkossa olevat moottorit ja generaattorit pyörivät vastakkaiseen suuntaan kuin jännitteet. Vastaimpedanssi on muutoin sama kuin myötäimpedanssi, mutta siihen kuuluvat pyörivistä koneista niiden vastaimpedanssit. Vastajärjestelmässä impedanssi on formula_26.
Nollajärjestelmä poikkeaa edellisistä sikäli, että siinä kaikissa vaiheissa vaikuttaa sama jännite. Tämän vuoksi nollajohdossa kulkee kolminkertainen virta joten nollajohdon impedanssi on otettava kolminkertaisena. Nollakomponentti siis kohtaa impedanssin formula_27.
Kirjoittamalla impedanssit matriisimuotoon saadaan laskettua symmetristen järjestelmien virrat vikakohdassa.
Todellisiin virtoihin vikakohdassa päästään kertomalla virtojen symmetriset komponentit muunnoksella formula_9.
Yhdistämällä yhtälöt saadaan.
Tässä yhtälössä kaikki impedanssit ovat tunnettuja samoin tietysti vaihekerroin. Tuntemattomia ovat vaiheen formula_14 vikatilanteen jännite formula_18 sekä vikatilanteen virrat formula_34 ja formula_35. Muut vikatilanteen suureet ovat tunnettuja: formula_36 koska johdin on poikki ja jännitteet formula_37 ja formula_38 ovat samat kuin ennen vikaa, koska oletettiin jäykkä verkko. Näin ollen meillä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta, joten tuntemattomat suureet on ratkaistavissa.
Kerrotaan seuraavaksi keskenään impedansseja ja vaihekertoimia sisältävät matriisit. Koska tästä tulisi melko hankalan näköinen matriisi, niin otetaan käyttöön seutaavat lyhennysmerkinnät:
Nyt voidaan kirjoittaa:
Matriisin alimmalta riviltä saadaan kun formula_43:
Tästä saadaan vikatilanteen jännite vaiheessa formula_14:
Tuntemattomat virrat saadaan matriisiyhtälön kahdelta ylimmältä riviltä:
Näin on saatu laskettua kaikki vikatilanteessa vaikuttavat jännitteet ja virrat.