Neliöjuuri
Neliöjuuri on matematiikkaan, sekä aritmetiikkaan että algebraan, liittyvä laskutoimitus. Luvun formula_1 neliöjuuri formula_2 on se ei-negatiivinen luku, joka itsellään kerrottuna on formula_1. Esimerkiksi kokonaisluvun formula_4  formula_5 neliöjuuri on formula_6.
Sana "neliöjuuri" viittaa "neliöyhtälön juureen". Yllä esitetty ongelma voidaan algebrassa pukea yhtälöksi formula_7,  jonka ratkaisu on  formula_8. Tällainen yhtälö on perinteisesti ratkaistu neliöjuuren avulla, vaikka ennen muinoin ei negatiivisia lukuja annettukaan tulokseksi.
Neliöjuuri määritellään aritmetiikassa yhtälön sijasta ensin mainitulla tavalla:
eli (vasemmalta oikealle) "formula_10  on  formula_11:n neliöjuuri, mikäli  formula_11  on  formula_13  ja  formula_10  on ei-negatiivinen".
Luku on neliöluku, jos se voidaan esittää kokonaisluvun neliönä. Neliölukujen neliöjuuret ovat luonnollisia lukuja. Esimerkiksi formula_15 on formula_16:n neliöluku ja siten
Vaatimus, että neliöjuuren tulos on positiivinen eli formula_20, tulee aina muistaa ja siihen voi myös määritelmän takia vedota.
Muiden luonnollisten lukujen, jotka eivät olleet neliölukuja, neliöjuuret ovat irrationaalisia. Siten alkulukujen neliöjuuret ovat irrationaalilukuja, samoin erilaisten alkulukujen tulojen neliöjuuret muodostavat irrationaaliluvut. Lopulliseksi rationaalisuusehdoksi voidaan muotoilla: "Jos luonnollisen luvun kaikki tekijät ovat neliölukuja, on luvun neliöjuuri luonnollinen luku".
Edellinen päättely johtuu seuraavasta tulon neliöjuuren laskulaista:
Siksi  formula_24  on tekijän  formula_25  takia irrationaalinen.
Nollan neliöjuuri on nolla, koska
Negatiivisilla kokonaisluvuilla neliöjuuri ei ole määritelty reaalilukujen joukossa. Jos merkitään yksinkertaisesti 
missä formula_29 on imaginääriyksikkö, voidaan negatiivisen luvun arvo laskea "tulon neliöjuuren" avulla
Saatu imaginääriluku toteuttaa määritelmän molemmat ehdot
Rationaalilukujen neliöjuuria voi laskea murtolukumerkinnän avulla. Silloin tulee soveltaa osamäärän neliöjuuren laskukaavaa:
Positiivisen luvun formula_38 neliöjuuri formula_39 on rationaalinen, mutta formula_40 taas irrationaalinen. Negatiivisten rationaalilukujen neliöjuuret ovat nytkin imaginäärilukuja.
Reaalilukujen neliöjuuret voidaan laskea tarkasti jonkin algebrallisen yhtälön tai neliöjuurien laskukaavan avulla. Tulos on silloinkin irrationaalinen ja joskus harvoin ratio- tai kokonaisluku. Jos neliöjuuren likiarvo riittää, voidaan soveltaa erilaisia numeerisia laskumenetelmiä, joita on ohjelmoitu laskimiin. Laskimen tulos, joka lasketaan 10 desimaalin tarkkuudella, on tosiasiassa vain rationaaliluku ja siten neliöjuuren tarkan arvon likiarvo. Negatiivisen reaaliluvun neliöjuuri on imaginaariluku. Vanhin tunnettu numeerinen laskumenetelmä on yli 2500 vuotta vanha babylonialainen iteraatiomenetelmä, joka on ensimmäinen alla esitellyistä algoritmeistä.
Reaaliluvun neliöjuuren arvon voi laskea käyttämällä eksponenttifunktioita seuraavaan tapaan:
Päättymättömällä Taylorin sarjalla voi laskea luvun neliöjuuren, kunhan lisäys formula_1 on formula_44:
Olkoot formula_11 ja formula_10 reaalilukuja, jolloin ne voivat olla myös rationaali- ja kokonaislukuja. Lausekkeiden sieventämisessä voidaan hyödyntää muun muassa seuraavia laskulakeja:
Suomen kouluissa on opetettu pitkään, että lausekkeessa oleva neliöjuuri tulee laventaa pois nimittäjästä. Tähän oli syynä se, että ennen taskulaskinten aikakautta mahdollinen likiarvon laskeminen oli helpompaa, jos monidesimaalinen juuren likiarvo oli jaettavana eikä jakajana. Laskinten yleistyttyä tämä perustelu on menettänyt merkityksensä, mutta neliöjuuren laventamista osoittajaan vaaditaan usein edelleen.
Kompleksiluvut formula_48 ovat reaaliluvun formula_11 ja imaginaariluvun formula_50  summa  formula_51. Kompleksiluvun neliöjuuren määrittämiseksi kannattaa se muuttaa napakoordinaatiston esitysmuotoon kaavalla
ja soveltaa tähän de Moivren kaavaa
missä k = 0 ja 1. Kompleksilukujen neliöjuuria on siten kaksi yhtä aikaa eli  formula_54   ja   formula_55.
Jos kompleksilukua merkitään potenssimuodossa
saadaan neliöjuureksi
Imaginaariyksikön, ja muidenkin kompleksilukujen, neliöjuuri voi laskea merkitsemällä ensin
ja muodostamalla siitä yhtälöparin kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosasta:
Saadaan kaksi arvoa
Neliön lävistäjän ja sivun pituuksien suhde on formula_61. Jos neliön sivut ovat formula_62, on lävistäjä suoraan formula_61. Kuution, jonka sivut ovat 1, avaruuslävistäjä on formula_64.
Neliön pinta-alan formula_65 avulla saadaan neliön sivun formula_66 pituudeksi formula_67.
Pythagoraan lauseen mukaan jos suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat "a" ja "b", sen hypotenuusan pituus on formula_68.
Tasasivuisen kolmion korkeus on sen sivun pituus kerrottuna luvulla formula_69, ja sen pinta-ala on sen sivun neliö kerrottuna luvulla formula_70.
Kahden luvun formula_11  ja  formula_10 geometrinen keskiarvo eli keskiverto on formula_73 . Se toteuttaa verrannon formula_74.
Kahden peräkkäisen luonnollisen luvun neliöjuurien erotus on sitä pienempi, mitä suuremmista luvuista on kysymys. Eli kun esim. kolmea peräkkäistä lukua merkitään formula_75:
Neliöjuuri tunnettiin laskuoperaationa muinaisissa sivilisaatioissa, joissa käytiin kauppaa ja rakennettiin runsaasti. Tällaisia seutuja olivat Kaksoisvirran maan niin sanotut babylonialaiset valtakunnat, jossa opetettiin neliöjuuren laskemista ainakin 2000 eaa. - 600 eaa. Näiden nuolenpääkirjoitusta sisältäneitä savitauluja opittiin lukemaan vasta 1930-luvulla. Eräässä savitaulusta vuodelta 1800 eaa. - 1600 eaa., joka on Yalen yliopiston kokoelman taulu numero 7289, on merkitty formula_77:n likiarvoksi 1;24,51,10 (seksagesimaalijärjestelmä) eli 1,414222 (desimaalijärjestelmä). Tämä arvo poikkeaa tarkasta arvosta 0,000 008. Babylonialainen algoritmi neliöjuuren ratkaisemiseksi oli varsin moderni, ja se on selostettu alempana. Edellä mainittu tulos on saatu alkuarvauksella 1;30, jolla on sitten iteroitu kahdesti.
Kaksoivirran maan naapurikansoja idässä ja pohjoisessa olivat persialaiset, elamilaiset ja induslaiset. Vaikka he kaikki oppivat kirjoittamaan hyvin varhain, ei kahdelta ensin mainitulta ole jäänyt vanhoja matematiikkaa esittelevia kirjoituksia. Induskulttuuri ilmeisesti säilyttivät babylonialaisten matematiikan taitoja, mutta vasta 500-luvulta jaa. on säilynyt tekstejä. Vaikka vaikutteita oli haettu Välimereltä, ja annettukin sinne, on intialaisten matematiikassa ollut omaperäisiä piirteitä. Aryabhata kirjoitti tehtäväkokoelmia, joissa hän tarjosi matemaattisia pähkinöitä ja esitteli laskualgoritmeja runollisesti esitettynä monelta eri alalta. Näiden joukossa olivat tavat laskea neliöjuuri ja kuutiojuuri eri kokonaisluvuille.
Ennen Kaksoisvartain maan kansojen savitaulujen tulkintaa oletettiin vasta antiikin kreikkalaisten keksineen neliöjuuren laskemiseen käytettävän algoritmin. Kunnia neliöjuuren laskemiseen keksimisestä on annettu Heronille (100 jaa.) tai Arkhytaalle (428 - 365 eaa.). Vaikka kreikkalaisten muistiinpanoissa viitattiin muinaiseen Egyptiin matematiikan keksimisen kehtona, eivät egyptiläiset tunteneet löydettyjen papyruksien valossa Pythagoraan lausetta eivätkä liioin neliöjuurten laskualgoritmia.
Arabit valloittivat laajat alueet 600-luvulta lähtien ja he omaksuivat nopeasti valloittamiensa kulttuurien hedelmiä. He hankkivat käsiinsä muun muassa helleenien ja hellenistien käsikirjoituksia ja käänsivät niitä arabiaksi. Pian tämän jälkeen he antoivat voimakkaan panoksensa matematiikan edelleen kehittämiseksi. Euroopassakin varsin kuuluisaksi tullut Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi kirjoitti useita teoksia. Näissä hän esitteli intialaiset numerot, hellenistien unohtuneet geometrian taidot ja tietenkin juuren käyttö algebran laskuissa.
Myös kiinalainen matematiikka on hyvin vanhaa. Sitä esitellään 300 - 200 eaa. kirjoitetuissa kahdessa opuksessa, joiden sisältöä on säilynyt nykypäiviin asti. Toisessa, nimeltään "Tšiu-tšang suan-su" eli "Yhdeksän matematiikan taitoja käsittelevää lukua", on nykyihmisellekin tuttuja neliö- ja kuutiojuuren laskusääntöjä. Siinä merkittiin juuret desimaalijärjestelmän avulla kaavojen  formula_78  ja  formula_79  mukaisesti, jotta laskut olisivat helpompia suorittaa.
Neliöjuuren symbolia formula_80 käytettiin ensimmäisen kerran 1525 Christoph Rudolff'in kirjassa "Coss". Se on oletettavasti muotoutunut pienestä r-kirjaimesta. Latinan sana "radix" tarkoittaa juurta.
Neliöjuurelle voi saada likiarvoja erilaisten kaavojen ja algoritmien avulla.
Esimerkiksi muinaiset babylonialaiset käyttivät seuraavaa algoritmia laskiessaan formula_81:
Lasketaan tämän avulla likiarvo neliöjuuri kahdelle, formula_61:Jatketaan loputtomiin. Neljän askeleen jälkeen saatiin likiarvo 1,41421, missä on viisi oikeaa desimaalia.
Tämä algoritmi voidaan kirjoittaa myös lukujonomuodossa:
Määritelty lukujono (a) lähestyy arvoa formula_61, kun n lähestyy ääretöntä.
Haarukoinnilla tarkoitetaan välien puolittamista siten, että haluttu arvo on aina jommassakummassa puolikkaassa. Haetaan esimerkkinä taas likiarvo luvulle formula_61.
kaksi väliä: [a,c] = [1,25 ; 1,375], [c,b] =[1,375 ; 1,5]. Koska (1,375) ≈ 1,89 < 2, formula_61 ∈ [1,375 ; 1,5].
Neliöjuurta voi arvioida algebrallisella kaavalla.
Tiedetään, että (a+ (b/2a)) = a + b + (b/4a). Kun a >0 ja b>0 ja c = a + b, saadaan luvun c neliöjuurelle arvion formula_90.
Kaava (1) √(a + b) ≈ a + (b/2a)
Esimerkiksi: √7 = √(2+3) ≈ 2 + 3/(2*2) = 11/4 = 2,75.
Toinen kaava (2) √(a - b) ≈ a - (b/2a).
Toistamalla tätä menettelyä ja valitsemalla kaava (1) (jos saatu juuri on liian pieni) ja kaava (2) (jos liian suuri) saadaan parempia ja parempia rationaalisia likiarvoja neliöjuuren arvolle.
Esimerkin jatkoa:
Koska (2,75) > (2,7) = 7,29 > 7, valitsemme kaava (2).
√7 = √((11/4) - (9/16)) ≈ (11/4) - (9/16) / (22/4) = 233/88 ≈ 2,648.
Ja niin edelleen.
(laskin) formula_91 ≈ formula_92...
Neliöjuuren ja muiden juurten voi laskea tuttua jakolaskualgoritmia muistuttavalla tavalla. "Juurikulma" perustuu tutulle identititeetille:
Algoritmin etuna on se, että jokaisen askeleen jälkeen saadaan oikea desimaali ja sitä myötä täsmällinen rationaalinen likiarvo.
"Juurikulman" perustana oleva algoritmi voidaan selittää seuraavasti:
Lukuja 1, 4, 9, 16, 25... sanotaan neliöluvuiksi. Neliöluvut ovat niin sanottuja kuviolukuja.
Neliölukujen avulla saadaan mielenkiintoinen tapa laskea neliöjuuria. Se perustuu siihen, että jokainen neliöluku on peräkkäisten parittomien lukujen summa. Tämä nähdään esimerkiksi algebrallisesti:
formula_106.
Selvemmin mainittu yhteys nähdään esimerkiksi alla olevasta kuviosta:
Ja niin edelleen.
Sama toimii toiseenkin suuntaan: vähentämällä luvusta parittomia lukuja saadaan luvun neliöjuuri tai sen likiarvo.
Esimerkki formula_107:
Yllä olevassa esimerkissä vähennys meni tasan, ja saatiin tarkka arvo. Samalla algoritmilla voidaan kuitenkin laskea myös likiarvoja juurelle.
Esimerkki formula_109: