Black–Scholes-malli
Black–Scholes-malli, Black–Scholes–Merton-malli tai BSM-malli on rahoituksessa käytettävä optioiden hinnoittelumalli, jonka ovat kehittäneet tutkijat Fischer Black ja Myron Scholes vuonna 1973 ilmestyneessä tieteellisessä artikkelissaan: "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Black & Scholes (1973) optioiden hinnoittelumalli tarjoaa ratkaisun "eurooppalaisen" osakkeen osto-option hinnan määrittelemiselle. Tutkijoiden Black & Scholes (1973) mukaan option arvo riippuu useasta eri tekijästä: "kohde-etuuden arvosta", "lunastushinnasta", "riskittömästä korkokannasta", "erääntymisajasta" sekä kohde-etuuden "tuoton volatiliteetista".
Tieteellinen perusta optioiden hinnoittelumallin syntymiselle juontaa juurensa 1960- ja 1970-lukujen taitteeseen. Tuohon aikaan professorit Fischer Black & Myron Scholes (1972, 1973) alkoivat kehittämään matemaattista yhtälöä eurooppalaisen option arvon määrittämiseksi ja myöhemmin Robert Merton (1973) kehitti ja laajensi mallia. Rahoituksen akateeminen yhteisö on pitänyt tutkijoiden Black & Scholes (1973) ja Mertonin (1973) kehittämää optioiden hinnoittelumallia "tieteellisenä läpimurtona" ja sillä on ollut "merkittävä vaikutus" siihen miten kaupankäynnin kohteena olevia optiosopimuksia vielä nykypäivänäkin hinnoitellaan rahoitusmarkkinoilla. Tutkijat Myron Scholes ja Robert Merton palkittiinkin optioiden hinnoitteluteorian parissa tehdystä työstä taloustieteiden Nobel-palkinnolla vuonna 1997. BSM-mallin seurauksena laajamittainen optiokaupankäynti johdannaispörsseissä oli mahdollista.
Ennen "eurooppalaisen" osto-option matemaattisen hinnoittelumallin tasapainoyhtälön johtamista, tutkijat Black & Scholes (1973) tarkastelivat "ideaaleja olosuhteita" teoreettisen mallinsa tueksi ja tekivät muutamia yksinkertaistavia oletuksia rahoitusmarkkinoista ja option kohde-etuudesta.
Näillä taustaoletuksilla tutkijat Black & Scholes (1973: 644) johtavat eurooppalaisten optioiden hinnoittelumallinsa matemaattisen yhtälön:
formula_1
missä
formula_2 = osto-option nykyinen arvo
formula_3 = option kohde-etuuden eli osakkeen nykyinen hinta
formula_4 = normaalijakauman kertymäfunktion arvo
formula_5 = option toteutus- tai lunastushinta (engl. "strike price" tai "exercise price")
formula_6 = luonnollisen logaritmin kantaluku, eli Neperin luku
formula_7 = riskitön korkokanta muunnettuna jatkuvalla korkolaskulla vuotuiseksi
formula_8 = option voimassaoloaika vuosina ennen sopimuksen erääntymistä eli maturiteettia
formula_9 = kohde-etuuden tuoton volatiliteetti
lisäksi komponentit formula_10 ja formula_11 ovat
formula_12
formula_13
eli lyhyemmin ilmaistuna
formula_14
Oheisella kaavalla voimme laskea eurooppalaisen osto-option teoreettisen arvon viiden tekijän funktiona. Intuitiivisestikin tarkasteltuna osto-option hinta formula_2 on yhtä suuri kuin kohde-etuutena olevan osakkeen nykyinen hinta formula_3, josta vähennetään option lunastushinnan nykyisyyteen diskontattu arvo formula_17.
Taulukko 1. Eurooppalaisten ja amerikkalaisten optiosopimusten teoreettiseen arvoon vaikuttavat tekijät
Kuten taulukosta 1 voimme havaita, muuttujien arvon kasvaminen vaikuttaa joko option arvoa alentavasti (miinusmerkki, formula_18), option arvoa kasvattamalla (yhteenlaskumerkki, formula_19) tai vaikutus option arvoon on tuntematon tai arvaamaton (kysymysmerkki, formula_20). Esimerkiksi markkinakorkojen nouseminen kasvattaa väistämättä myös Black & Scholes (1973) -hinnoittelumallin diskonttauskorkoa, mikä taas puolestaan johtaa option toteutushinnan nykyarvon laskemiseen kasvattaen osto-option arvoa ja heikentäen myyntioption arvoa. Kohde-etuuden hinnanvaihtelun eli volatiliteetin kasvu sen sijaan lisää sekä osto- että myyntioption teoreettista arvoa, oli kyseessä sitten eurooppalainen tai amerikkalainen optiosopimus.