Tason yhtenevyyskuvaus
Tason yhtenevyyskuvaus eli tason "isometria" on geometriassa euklidisen tason yhtenevyyskuvaus itselleen eli kuvaus, jossa taso­kuvioiden geometriset ominaisuudet kuten janojen pituus ja kulmat säilyvät. Tason yhtenevyys­kuvauksia on neljää tyyppiä: yhden­suuntais­siirto eli translaatio, kierto eli rotaatio (geometria), peilaus suoran suhteen sekä peilauksen ja translaation yhdistettynä kuvauksena muodostettu liukupeilaus. Joskus mainitaan yhtenä yhtenevyys­kuvauksen tyyppinä myös peilaus pisteen suuntaan, joka kuitenkin on sama kuin 90 asteen kierto.
Euklidisen tason yhtenevyys­kuvaukset muodostavat ryhmän, kaksi­ulotteisen euklidisen ryhmän, jossa lasku­toimituksena on kuvausten yhdistäminen. Jokainen tason yhtenevyys­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena enintään kolmesta peilauksesta suorien suhteen.
Translaatiossa ja rotaatiossa säilyy myös "kätisyys", peilauksessa ja liuku­peilauksessa sen sijaan ei, vaan niissä kuvio muuttuu peilikuvakseen tai sen kaltaiseksi.
Tason yhtenevyys­kuvauksia ovat kaikki tavat, joilla tasoa voidaan muuntaa ilman kuvioiden koon tai muodon muutoksia. Voidaan esimerkiksi kuvitella, että tasoa esittää läpi­näkyvä muovi­kalvo pöydällä. Esimerkkejä yhtenevyys­kuvauksista ovat tällöin:
Edellä mainitut ovat esimerkkejä translaatiosta, rotaatiosta ja peilauksesta. Näiden lisäksi on vielä yksi yhtenevyys­kuvausten tyyppi, jota sanotaan "liuku­peilaukseksi" () ja jota käsitellään tarkemmin jäljempänä.
Sen sijaan kalvon taittaminen, leikkaaminen tai sulattaminen eivät vastaa yhtenevyys­kuvauksia, eivät myöskään sen taivuttaminen, venyttäminen tai vääntäminen mutkalle.
Euklidisen tason isometria on etäisyydet säilyttävä kuvaus tasolta itselleen. Toisin sanoen se on kuvaus
jossa jokaiselle tason pisteparille "p", "q" pätee
missä "d"("p", "q") on pisteiden "p" ja "q" välinen tavanomainen euklidinen etäisyys.
Voidaan osoittaa, että tason yhtenevyys­kuvauksia on neljää tyyppiä. On huomattava, että alla olevat kuvaus­tyyppien merkinnät eivät ole täysin standardoituja.
Identtinen kuvaus kuvaa jokaisen pisteen itselleen, toisin sanoen "I"("p") = "p" kaikille pisteille "p". Sekin voidaan käsittää erikois­tapaukseksi sekä translaatiosta että rotaatiosta. Se on ainoa yhtenevyys­kuvaus, joka kuuluu useampaan kuin yhteen edellä luetelluista tyypeistä.
Kaikki tason yhtenevyys­kuvaukset voidaan muodostaa kertomalla orto­gonaalisella matriisilla ja lisäämällä jokin vakio­vektori; jos matriisin determinantti on 1, kyseessä on rotaatio, translaatio tai identtinen kuvaus, ja jos se on −1, on kyseessä liuku­peilaus tai peilaus.
"Satunnainen" yhtenevyys­kuvaus, jota esittää paperi­palan nostaminen pöydältä ja sen palauttaminen sille mieli­valtaiseen kohtaan, on "melkein varmasti" rotaatio tai liuku­peilaus, sillä näillä on kolme vapaus­astetta. Tämä pätee riippumatta todennäköisyysjakaumasta niin kauan kuin θ ja lisätyn vektorin suunta ovat riippumat­tomia ja tasaisesti jakautuneet ja translaatio­vektorin pituudella on jatkuva jakauma. Puhdas translaatio ja puhdas rotaatio ovat erikois­tapauksia, joilla on vain kaksi vapaus­astetta, kun taas identtisellä kuvauksella niitä ei ole yhtään.
Euklidisessa tasossa on seuraavat mahdollisuudet.
Useampien peilaus­suorien lisääminen ei tuo tasossa lisää mahdollisuuksia, sillä ne voidaan aina järjestää uudestaan siten, että osa niistä kumoaa toistensa vaikutukset.
Mikä näistä yhtenevyys­kuvausten tyypeistä kulloinkin on kyseessä, voidaan seuraavan taulukon mukaisesti tunnistaa sen perusteella, säilyttääkö se kätisyyden vai vaihtaako se sen, ja onko sillä ainakin yksi kiinto­piste. (Identtistä kuvausta ei oteta huomioon.)
Tason yhtenevyys­kuvausten ryhmää sanotaan euklidiseksi ryhmäksi. Yhtenevyys­kuvaukset, jotka muodostetaan parittomasta määrästä peilauksia - itse peilaus sekä liukupeilaus - vaihtavat aina keskenään vasemman ja oikean. Yhtenevyys­kuvauksella sanotaan olevan parillinen tai pariton pariteetti riippuen siitä, voidaanko muodostaa yhdistämällä parillisesta vai parittomasta määrästä peilauksia. Parilliset yhtenevyys­kuvaukset - identtinen kuvaus sekä translaatio ja rotaatio, eivät koskaan tee niin. Ne voidaan käsittää tason jäykiksi liikkeiksi, ja ne muodostavat tämän ryhmän normaalin aliryhmän. Sen enempää koko euklidinen ryhmä kuin tämä ali­ryhmäkään eivät ole Abelin ryhmiä; esimerkiksi jos taso peilataan kahden yhdensuuntaisen suoran suhteen eri järjestyksissä, tuloksena on kaksi translaatiota päin­vastaisiin suuntiin.
Koska parillisten kuvausten aliryhmä on normaali, se on homeomorfismin ydin, ja sen tekijäryhmä on iso­morfinen ryhmän kanssa, johon kuuluvat yksi peilaus ja identtinen kuvaus.
Yhtenevyys­kuvausten yhdistäminen muuttaa niiden tyyppejä usein eri tavoin. Identtistä kuvausta voidaan pitää joko kahden peilauksen yhdistettynä kuvauksena tai ei yhdenkään; kummassakaan tapauksessa se ei muuta muiden kuvausten tyyppiä. Kahden peilauksen yhdistäminen antaa tulokseksi trans­laation tai rotaation, tai erikois­tapauksessa identtisen kuvauksen, joka kuuluu triviaalilla tavalla molempiin ryhmiin. Peilaus yhdistettynä jompaan­kumpaan näistä voi palautua yhdeksi peilaukseksi, mutta ellei niin tapahdu, tuloksena on ainoa kolmesta peilauksesta yhdistetty kuvaus, liukupeilaus. Kahden translaation yhdistäminen johtaa aina kuvaukseen, joka itsekin on translaatio. Moni­mutkaisempia ovat tapaukset, joissa ainakin toinen kuvauksista on rotaatio. Tiedämme, että rotaation yhdistäminen joko toiseen rotaatioon tai translaatioon on aina parillinen yhtenevyys­kuvaus. Translaation ja rotaation yhdistettynä kuvauksena saadaan toinen rotaatio, jossa kiertokulma on sama mutta kiinto­piste toinen. Sen sijaan kahden rotaation yhdistetty kuvaus voi olla joko rotaatio tai trans­laatio. Usein sanotaan, että kahden rotaation yhdistetty kuvaus johtaa rotaatioon, ja Euler todisti tätä koskevan teoreeman kolmi­ulotteisessa avaruudessa; tämä kuitenkin pätee vain rotaatioille, joilla on yhteinen kiinto­piste.
Edellä olevan perusteella voidaan yhtenevyys­kuvausten ryhmälle muodostaa uusia ali­ryhmiä. Erään sellaisen muodostavat kaikki trans­laatiot, ja myös kaikki rotaatiot saman pisteen ympäri muodostavat aina ali­ryhmän. Molemmat ovat parillisen ali­ryhmän ali­ryhmiä, ja trans­laatioiden ali­ryhmä on sen normaali ali­ryhmä. Koska trans­laatiot ovat normaali al­iryhmä, ne voidaan sulkea pois, jolloin jäljelle jää sellaisten yhtenevyys­kuvausten aliryhmä, joilla on kiinto­piste, ortogonaalinen ryhmä.
Aliryhmän rakenne tarjoaa toisen keinon, jolla mikä tahansa yhtenevyys­kuvaus voidaan muodostaa:Tämä toimii, koska translaatiot muodostavat kaikkien yhtenevyys­kuvausten normaalin ali­ryhmän, jonka tekijäryhmänä on ortogonaalinen ryhmä, ja rotaatiot annetun pisteen ympäri muodostavat orto­gonaalisen ryhmän normaalin ali­ryhmän, jonka tekijä­ryhmänä on yksi peilaus.
Tähän saakka käsitellyt ali­ryhmät ovat kaikki olleet, paitsi äärettömiä, myös jatkuvia, Lien ryhmiä. Jokainen ali­ryhmä, johon kuuluu ainakin yksi ei-triviaali translaatio, on ääretön, mutta orto­gonaalisella ryhmällä on myös äärellisiä ali­ryhmiä. Esimerkiksi säännöllisen viisikulmion symmetrioita ovat rotaatiot sellaisten kulmien verran, jotka ovat 72°:n (360° / 5) moni­kertoja sekä peilaukset sen sivujen keskinormaalien suhteen. Nämä muodostavat ryhmän D, jossa on 10 alkiota. Sillä on aliryhmä, C, johon kuuluu viisi rotaatiota mutta eivät peilaukset. Nämä ryhmät kuuluvat kahteen perheeseen, D ja C, jotka voidaan muodostaa jokaiselle kokonais­luvulle "n" > 1. Yhdessä nämä perheet muodostavat kaksi­ulotteiset pisteryhmät.
Translaatio ei itsensä kanssa yhdistettynä johda identtiseen kuvaukseen, suoritet­tiinpa se kuinka monta kertaa tahansa, mutta erään yhtenevyys­kuvausten ali­ryhmän muodostavat kaikki translaatiot, jotka saadaan suorittamalla annettu translaatio tai sen käänteiskuvaus mieli­valtaisen monta kertaa. Tämä ryhmä on iso­morfinen kokonaislukujen ryhmän kanssa. Ali­ryhmiä saadaan myös niistä kuvauksista, jotka saadaan toistamalla kahta trans­laatiota, kumpaakin toisistaan riippumatta mieli­valtaisen monta kertaa. Nämä muodostavat tason hilaryhmän.
Näitä kahden­laisia diskreettejä ryhmiä voidaan myös yhdistellä. Diskreetit rotaatiot ja peilaukset annetun pisteen ympäri ja diskreetit trans­laatiot yhdessä muodostavat niin sanottuja friisi­ryhmiä () ja tapetti­ryhmiä (). Mielenkiintoista kylläkin, vain pieni osa ryhmistä, jotka liittyvät kiinteisiin pisteisiin, ovat yhteen­sopivia diskreettien trans­laatioiden kanssa. Itse asiassa tämä yhteen­sopivuus asettaa siinä määrin rajoittavia ehtoja, aina iso­morfis­meja myöten, että on olemassa vain seitsemän erilaista friisi­ryhmää ja 17 erilaista tapetti­ryhmää. Esimerkiksi viisikulmion symmetriat, D, eivät ole yhteen­sopivia trans­laatioiden diskreetin ryhmän kanssa. (Missä tahansa useampi­ulotteisessa avaruudessa on niin ikään vain äärellinen määrä tällaisia kristallo­grafisia ryhmiä, mutta niiden luku­määrä kasvaa nopeasti; esimerkiksi kolmessa ulottuvuudessa on 320 ja neljässä ulottuvuudessa 4783 ryhmää.)
Jos tason pisteitä käsitellään kompleksilukuina, tason yhtenevyys­kuvaukset ovat joko muotoa
tai
missä "a" ja ω ovat eräitä kompleksilukuja ja |ω| = 1. Tämä on helppo todistaa:
jos "a" = "f"(0) ja formula_21 = "f"(1) − "f"(0) ja jos määritellään
on "g" yhtenevyyskuvaus, "g"(0) = 0, ja "g"(1) = 1. Nähdään helposti, että "g" on joko identtinen kuvaus tai kompleksikonjugaatti, ja todistettava lause seuraa tästä sekä siitä, että "f"("z") = "a" + ω"g"("z").
Tämä liittyy yksinkertaisella tavalla edellä esitettyyn tason yhtenevyys­kuvausten luokitteluun sillä