Kantalukujärjestelmä
Kantalukujärjestelmä on lukujärjestelmä, jossa luku esitetään yksikäsitteisessä muodossa kertoimen ja kantaluvun eri potenssien tulona. Luvun esitysmuodossa kirjoitetaan näkyviin vain potenssien kertoimet ja jätetään potenssimerkinnät pois, jotta merkintä olisi tiivis ja helppokäyttöinen.
Esitysmuotoa kutsutaan kantaluvun paikkamerkinnäksi, sillä merkinnässä jokainen numero liittyy sijaintinsa mukaan tiettyyn kantaluvun potenssiin.
Jos paikkamerkinnässä käytetään kantalukuna lukua 10, tarkoittaa luvun paikkamerkintä "1234" lukua, joka saadaan laskemalla 1•10 + 2•10 + 3•10 + 4•10. Tämä merkitään ilmaisemalla samalla merkinnän kantaluku oikeassa alakulmassa eli 1234.
Jos käytetään kantalukua 5, tarkoittaa paikkamerkintä "233" lukua 2•5 + 3•5 + 3•5. Tämä merkitään 233 = 68.
Kantaluvun ollessa 10, ilmaistaan murto-osat käyttäen 0,1 = formula_1, 0,01 = formula_2 ja niin edelleen. Kantaluvun negatiivinen eksponentti tarkoittaa potenssilaskennassa kantaluvun käänteislukua. Käänteisluvut ovat yksikkömurtolukuja, joilla murto-osat voidaan ilmaista. Paikkamerkintä 0,234 takoittaa 2•10 + 3•10 + 4•10.
Kantaluvun ollessa 5, tarkoittaa 0,234 = 2•5 + 3•5 + 4•5 = 0,552.
Lukujärjestelmässä, jonka kantaluku on (ykköstä suurempi) positiivinen luku "k", mikä tahansa luku "x" ilmaistaan kantaluvun "k" potenssien summana
missä indeksi "i" saa kaikki kokonaislukuarvot ja luvun numerot d ovat kokonaislukuja välillä 0.."k"-1, (eli formula_4). Kantaluku "k" on yleensä positiivinen kokonaisluku.
Kokonaislukujärjestelmässä luku kirjoitetaan paikkamerkintänä numeroiden jonona formula_5, missä pilkun vasemmalla puolella olevat numerot muodostavat luvun kokonaisosan ja oikealla puolella olevat sen murto-osan (desimaalijärjestelmässä "desimaaliosan"). Kokonaislukuosasta jätetään merkitsemättä alkunollat. Voidaan osoittaa, että tällä tavalla voidaan ilmaista kaikki erilaiset reaaliluvut, kunhan numeroiden merkitsemiseen on riittävästi tilaa ja aikaa. Desimaalijärjestelmässä pilkku merkitään toisissa maissa myös desimaalipisteellä.
Kantaluvusta riippuen luvulle saadaan erilainen esitys eri lukujärjestelmissä.
"Huomautus: x = 1 eli mikä tahansa luku (x ei saa olla 0) korotettuna potenssiin nolla on yksi."
10-järjestelmässä lukujen painoarvo menee seuraavasti (10:llä jaolliset painoarvot): ... 1000, 100, 10, 1 ... esimerkiksi
Heksadesimaalijärjestelmässä taas on heksadesimaaliluvulla 10 jaolliset painoarvot (eli 16-jaolliset): ... 4096, 256, 16, 1. Esimerkiksi
Näin ollen esimerkiksi jos muutamme luvun 1024 heksadesimaaliluvuksi, voimme käsitellä sitä seuraavasti:
Katsomme suurimman painoarvoluvun joka on silti pienempi kuin 1024, tässä tapauksessa 256. Kerromme sen niin suurella luvulla kuin mahdollista, että se ei silti ylitä tavoittelemaamme lukua. saadaan luku 4.
eli siis 1024 = 4·256.
Heksadesimaalilukuna 256 = 100 joten 4·100 = 400 joka on tavoittelemamme luku.
Toisena esimerkkinä voidaan ottaa luku 7386. se on 1·16 + 12·16 + 13·16 + 10·16
Tästä saadaan siis luku 1CDA
Jakoalgoritmia voidaan helposti soveltaa kymmenlukujärjestelmässä olevien kokonaislukujen esittämiseksi eri lukujärjestelmissä. Muissa lukujärjestelmissä olevat luvut täytyy ensin muuntaa kymmenlukujärjestelmään ennen jakoalgoritmin soveltamista. Sovellus toimii seuraavanlaisesti:
Seuraavassa perusteellinen esimerkki siitä, kuinka tapahtuisi luvun 1024 muuntaminen heksadesimaaliluvuksi. a=1024 , b=16
Lopputulos luetaan alhaalta ylöspäin, eli 1024 on siis 400.
Yhtä yksinkertaisesti voimme esimerkiksi muuttaa luvun 78162, kuusikymmenlukujärjestelmään. a=78162 , b=60
Kuusikymmenlukujärjestelmää käytetään lähinnä ajan mittaamiseen (sekunnit ja minuutit). Jos alkuperäinen kymmenlukujärjestelmässä ollut luku oli sekunneissa, lopputulos on 21 tuntia 42 minuuttia ja 42 sekuntia.
Kantaluvusta riippumatta luvuilla "yksi nolla" (10) kertominen ja jakaminen on äärimmäisen helppoa.
esimerkiksi
Yhteen- ja vähennyslaskutkaan eivät ylitsepääsemättömiä ole. Kyseessä on vain tottumuskysymys. Periaatteessa yhteenlasku on aivan yhtä yksinkertaista erikantaisilla luvuilla. Ihmiset ovat vain tottuneet käyttämään 10-järjestelmää.