Potenssifunktio
Potenssifunktio on muuttujan formula_1 matemaattinen funktio, joka voidaan esittää yleistettynä
missä formula_3 on potenssi ja formula_4 sen eksponentti. Eksponentin arvoa kutsutaan myös potenssin asteeksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä
Potenssifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli formula_6 sievennysongelmien välttämiseksi. Määrittelyjoukko määritetään siten aina tapauskohtaisesti.
Erään potenssifunktion määritelmän mukaan se on tulo äärellisestä lukumäärästä (formula_7 kpl) vakioita formula_8 ja muuttujaa formula_1:
Tämän määritelmän mukaan potenssifunktio, jonka eksponenttina on luonnollinen luku, kuuluu alkeisfunktioihin, sillä se on muodostettu äärellisestä määrästä muuttujia ja vakioita niiden välisillä kertolaskuilla (alkeisoperaatio), ja se on samalla yleisen potenssifunktion erikoistapaus, joka merkitään usein
Tällainen potenssifunktio on samalla myös polynomifunktio, jossa on yksi termi. Useiden eriasteisten potenssien summa muodostaa monitermisen polynomifunktion. Eriasteisten potenssien sarjoja käytetään monissa potenssisarjoissa.
Potenssifunktioita käytetään matemaattisessa mallinnuksessa talouden, tieteen ja tekniikan aloilla. Niillä on polynomifunktioiden oheella merkittävä rooli matematiikan kouluopetuksessa eri maissa.
Edelliset potenssifunktiot voidaan tulkita verrannollisuuden mukaan. Esimerkiksi, kun n = 2, voidaan sanoa, että funktion arvot ovat "suoraan verrannolliset" muuttujan "toiseen potenssiin" eli formula_29.
Eksponenttina voi olla myös negatiivinen kokonaisluku. Koska potenssilaskennassa on määritetty
saadaan myös potenssifunktiolle vastaavasti
Potenssifunktion määrittelyjoukossa on huomioitava nimittäjän rajoitus formula_32. Potenssifunktiolla, jonka asteluku on negatiivinen, on sen vuoksi määrittelyjoukko formula_33.
Kun n = 1, saadaan niin sanottu käänteislukufunktio (tässä: formula_21) 
Tällöin funktion arvot ovat muuttujan arvoon nähden kääntäen verrannolliset.
Jos eksponenttina on rationaaliluku, saadaan
Jos eksponentti on luonnollisen luvun käänteisluku, joka on muotoa
niin potenssifunktio tulkitaan juurifunktioksi:
Juurifunktion määrittelyjoukko riippuu juuren asteluvusta. Jos juuren aste on parillinen, rajoitetaan muuttuja ei-negatiiviseksi eli formula_39. Jos aste on pariton, kuuluvat kaikki luvut määrittelyjoukkoon eli formula_40.
Juurifunktion astelukua voidaan nostaa korottamalla se vielä kokonaislukupotensiin m:
Kun eksponenttina on reaaliluku, määritellään yleisesti
Kun eksponentina on rationaaluku, lasketaan potenssifunktion arvo edellä kuvatulla tavalla. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja, kutsutaan irrationaaliluvuiksi. Kun eksponenttina on irrationaalinen luku, lasketaan potenssifunktion arvo raja-arvon avulla. Koska jokaista irrationaalilukua formula_43 kohden on olemassa rationaalilukujen jono formula_44 siten, että jono suppenee kohti irrationaalilukua formula_43:
Potenssifunktion arvo kohdassa formula_47, kun formula_48 lasketaan silloin
Yleistäen voidaan sanoa, että
Kun potenssifunktioille piirretään kuvaajat xy-koordinaatistoon, merkittään funktion argumentin x arvot x-koordinaateiksi ja funktion arvot y-koordinaateiksi eli formula_51. Kahden potenssifunktion kuvaajat kulkevat saman pisteen kautta, kun niiden kuvaajilla on samalla x-koordinaatilla samat funktion arvot. Yhteiset pisteet voidaan määrittää yhtälöllä (s > r):
Joka tapauksessa kohdassa formula_53 on kaikilla potenssifunktioilla yhteinen piste formula_54, sillä
Yhteisiä pisteitä voi siis olla kaksi tai kolme riippuen potenssifunktioiden asteista. Jos eksponenttit ovat molemmat parillisia tai parittomia, saadaan kaksi kohtaa lisää, ja jos toinen on pariton ja toinen parillinen, saadaan vain yksi kohta lisää, missä on yhteinen piste:
Potenssifunktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvon avulla. Määritelmän tulokset potenssiosalle voidaan esittää helposti muistettavassa muodossa:
Potenssifunktion tavallinen (Rieman-) integraali on siten
tai