Ordinaali
Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestys­luvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen.
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2...,ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, "seuraajaordinaali"', kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan "rajaordinaaleiksi".
Ordinaalit on erotettava kardinaali­luvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaali­luvut vastaavat kääntäen yksi­käsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaali­luvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaali­lukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.
Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883 käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigono­metristen sarjojen yksi­käsitteisyyttä.
Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen "sijainti", kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvin­järjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvin­järjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. hyvin­järjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä "laskevaa" sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osa­joukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon "järjestys­tyypiksi".
Jokaisen ordinaalin määrittelee sitä edeltävien ordinaalien joukko; itse asiassa ordinaalit määritellään nykyisin useimmiten "samastamalla" kukin ordinaali sitä edeltävien ordinaalien joukon kanssa. Esimerkiksi ordinaali 42 on sitä pienempien ordinaalien joukon järjestys­tyyppi; tähän joukkoon kuuluvat ordinaalit 0:sta eli pienimmästä ordinaalista ordinaaliin 41 saakka, joka on 42:n välitön edeltäjä, ja se voidaan samastaa joukon {0,1,2...,41} kanssa. Kääntäen jokainen ordinaalien joukko ("S"), joka on "alaspäin suljettu" (eli jolle pätee, että jos jokin ordinaali α kuuluu joukkoon S ja jos toinen ordinaali β < α, niin myös β kuuluu joukkoon "S"), on itse ordinaali tai voidaan samastaa jonkin ordinaalin kanssa.
On myös äärettömiä ordinaaleja. Pienin ääretön ordinaali on ω, joka on luonnollisten lukujen (äärellisten ordinaalien) järjestystyyppi. Se voidaan edellä mainitulla samastaa luonnollisten lukujen "joukon" kanssa, sillä luonnollisten joukko on hyvin järjestetty, kuten jokainen ordinaalien joukko, ja koska se on alaspäin suljettu, se voidaan samastaa siihen liittyvän ordinaalin kanssa, mikä on täsmälleen se tapa, jolla ω on määritelty.
Ehkä selvempi intuitiivinen käsitys ordinaaleista saadaan tutkimalla joitakin ensimmäisiä niistä. Kuten edellä todettiin, ne alkavat luonnollisista luvuista 0, 1, 2, 3, 4, 5, … "Kaikkien" luonnollisten lukujen jälkeen tulee ensimminen ääretön ordinaali ω, sen jälkeen ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen. (Miten äärettömien ordinaalien yhteen­lasku määritellään, kerrotaan jäljempänä osiossa ordinaalien lasku­toimitukset ; tässä vaiheessa on syytä ajatella ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen vain ordinaalien nimiksi.) Kaikkien tällaisten jälkeen tulee ω·2 (eli ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 ja niin edelleen, kaikkien tällaisten jälkeen ω·3 ja vastaavalla tavalla myöhemmin ω·4. Kaikkien tällä tavoin muodostettujen ordinaalien joukolla (ω·"m"+"n", missä "m" ja "n" ovat luonnollisia lukuja) täytyy itselläänkin olla siihen liittyvä ordinaali, ja se on ω. Edelleen saadaan vastaavalla tavalla ω, ω ja niin edelleen, sekä lopulta ω, ω ja paljon myöhemmin vihdoin ε, joka voidaan esittää raja-arvona muodossa 
Kaikki nämä ovat vielä suhteellisen pieniä, numeroituvien joukkojen ordinaalilukuja. Tätä voidaan jatkaa äärettömän kauas; itse asiassa "äärettömän kauas" onkin juuri se, mihin ordinaalit soveltuvat: joka kerta kun ordinaaleja lueteltaessa sanotaan "ja niin edelleen", tämä sanonta määrittelee suuremman ordinaalin. Pienin ylinumeroituva ordinaali on kaikkien numeroituvien ordinaalien joukko, jolle käytetään merkintää ω.
Hyvin­järjestetyssä joukossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Valinta-aksiooman mukaan tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko on täydellisesti järjestetty ja että siinä ei ole ääretöntä laskevaa jonoa, mikä on ehkä helpommin hahmotettavissa. hyvin­järjestyksen käytännössä tärkein merkitys on siinä, että se mahdollistaa transfinittisen induktion: jos siitä, että jokin ominaisuus on jonkin alkion kaikilla edeltäjillä, seuraa, että se on myös kyseisellä alkiolla, silloin tämä ominaisuus on koko joukon kaikilla alkioilla, edellyttäen, että joukko on hyvin­järjestetty. Tällä on merkitystä myös tieto­tekniikassa: jos jokin laskenta­menetelmä voidaan hyvin­järjestää siten, että jokaista askelta seuraa "alempi" askel, laskenta ei jatku loppumattomiin.
Kahta hyvin­järjestettyä joukkoa "A" ja "B" sanotaan "järjestys­isomorfisiksi", jos jokaista joukon "A" alkiota vastaamaan voidaan asettaa jokin joukon "B" alkio siten, että jos joukon "A" alkio "x" on pienempi kuin joukon "A' " alkio "y", on myös alkiota "x" vastaava alkio joukossa "B" pienempi kuin alkiota "y" vastaava alkio joukossa "B" ja päinvastoin. Tällaista eri joukkojen alkioiden vastaavuutta sanotaan järjestysisomorfismiksi. Järjestys­isomorfiset joukot ovat järjestyksen kannalta saman­laisia, ja niistä voidaankin sanoa, että niiden alkiot on vain "nimetty eri tavoin.". Joukkojen järjestys­isomorfisuus on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Mikäli kahden hyvin­järjestetyn joukon välillä on järjestys­isomorfismi, sellaisia on vain yksi: tämä seikka osaltaan oikeuttaakin pitämään näitä joukkoja oleellisesti samoina ja etsiä isomorfismi­tyypille (luokalle) "kanonista" edustajaa. Ordinaalit ovatkin juuri sellaisia isomorfismi­tyyppien "kanonisia" edustajia, ja niitä voidaankin käyttää jokaisen hyvin­järjestetyn joukon merkitsemis­tapoina.
Muodollisesti jos osittainen järjestys < on määritelty joukossa "S" ja osittainen järjestys bijektio "f", joka säilyttää järjestyksen eli "f"("a") < "f"("b"), jos ja vain jos "a" < "b". Jokainen "hyvin­järjestetty" joukko ("S",ekvivalenssirelaatioon liittyviksi ekvivalenssi­luokiksi. Tähän liittyy kuitenkin se tekninen ongelma, että tämä ekvivalenssi­luokka on liian laaja, jotta sitä voitaisiin käsitellä joukkona joukko-opin tavan­omaisessa Zermelon–Frankelin aksioomiin perustuvassa muotoilussa. Tämä vaikeus on kuitenkin voitettavissa. Ordinaaleja voidaan sanoa joukkojen "järjestys­tyypeiksi".
Ordinaaliluvun alku­peräisessä määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi teoksesta "Principia Mathematica", hyvin­järjestetyn joukon järjestys­tyyppi määritellään kaikkien niiden hyvin­järjestysten joukkona, jotka ovat tämän kanssa järjestys­isomorfisia; toisin sanoen ordinaaliluvut ovat hyvin­järjestettyjen joukkojen muodostamia ekvivalenssi­luokkia. Tämä määritelmä joudutaan kuitenkin hylkäämään Zermelon–Fraenkelin esittämässä ja sitä muistuttavissa joukko-opin aksiomatisoinneissa, koska nämä ekvivalenssi­luokat ovat liian laajoja ollakseen joukkoja. Määritelmää kuitenkin voidaan kuitenkin yhä käyttää tyyppiteoriassa sekä Quinen aksiomaattisessa joukko-opissa (New Foundation) ja sitä muistuttavissa muotoiluissa (joissa se myös tarjoaa sangen yllättävän vaihtoehtoisen ratkaisun suurinta ordinaalia koskevalle Buralin–Fortin paradoksille).
Sen sijaan että ordinaalit määriteltäisiin hyvin­järjestettyjen joukkojen "ekvivalenssi­luokkina", ne määritellään nykyisin yleisimmin tiettyinä hyvin­järjestettyinä joukkoina, jotka (kanonisesti) edustavat kutakin luokkaa. Niinpä jokainen ordinaaliluku on hyvin­järjestetty joukko, ja jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen yhden ja vain yhden ordinaaliluvun kanssa.
Standardi, John von Neumannin esittämä määritelmä kuuluu: "jokainen ordinaali on kaikkien sitä pienempien ordinaalien hyvin­järjestetty joukko". Matemaattisin merkinnöin, λ = [0,λ). Muodollisesti:
Myös luonnolliset luvut ovat tämän määritelmän muokaan ordinaaleja. Esimerkiksi luku 2 kuuluu joukkoon 4 = {0,1,2,3) ja 2 on joukko {0,1), joten se on myös joukon {0,1,2,3} osajoukko.
Transfiniittisella induktiolla voidaan osoittaa, että jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen täsmälleen yhden tällaisen ordinaalin kanssa, toisin sanoen niiden välillä on järjestyksen säilyttävä bijektiivinen kuvaus.
Jokaisen ordinaalin kaikki alkiotkin ovat ordinaaleja. Jos "S" ja "T" ovat kaksi ordinaalia, "S" on "T":n alkio, jos ja vain jos "S" on "T":n aito osajoukko. Lisäksi jos ne ovat kaksi eri ordinaalia, aina joko "S" on "T":n alkio tai "T" "S":n alkio. Lisäksi jokainen ordinaalien joukko on hyvin­järjestetty. Tämä yleistää sen tosiasian, että jokainen luonnollisten lukujen joukon osajoukko on hyvin­järjestetty.
Tästä seuraa, että jokainen ordinaali "S" on joukko, jonka alkiona ovat kaikki "S":ää pienemmät ordinaalit ja vain ne. Esimerkiksi jokaisella ordinaalien joukolla on pienin yläraja eli supremum, joka on se ordinaali, joka saadaan muodostamlla joukon kaikkien ordinaalien unioni. Unioniaksiooman nojalla tämä unioni on olemassa riippumatta siitä, kuinka suuri joukko on kyseessä.
Kaikkien ordinaalien luokka ei ole joukko. Jos se olisi joukko, voitaisiin osoittaa, että se on ordinaali ja näin ollen itsensä jäsen, mikä kuitenkin on ristiriidassa sen kanssa, että jäsenyys on "aidosti" järjestetty. Tämä on Buralin–Fortin paradoksi. Kaikkien ordinaalien luokalle käytetään vaihdellen merkintöjä "Ord", "ON" tai "∞".
Ordinaali on äärellinen, jos ja vain jos sen käänteinen järjesys on myös hyvin­järjestetty, ja näin on asian laita, jos ja vain jos sen jokaisella osajoukolla on suurin alkio.
Nykyisin on esitetty muotakin muotoiluja ordinaalin määritelmäksi. Esimerkiksi jos oletetaan säännöllisyysaksiooma, seuraavat ehdot joukolle "x" ovat yhtäpitävät:
Näitä määritelmiä ei voida käyttää ei-hyvinperustetuissa joukko-opeissa. Joukkoteorioissa, joissa on urelementteja, on lisäksi varmistettava, ettei määritelmä salli urelementtien esiintymistä ordinaaleissa.
Jos α on rajaordinaali ja "X" joukko, kuvausta α:sta "X":ään voidaan sanoa myös α:lla indeksoiduksi "X":n alkioiden jonoksi. Tämä käsite, "transfiniittinen jono" eli "ordinaali-indeksoitu jono" on jonon käsitteen yleistys. Tavallinen jono vastaa tapausta, jossa α = ω.
Transfiniittsen induktion periaate pätee jokaisessa hyvin­järjestetyssä joukossa, mutta se liittyy ennen kaikkea ordinaaleihin. Sen mukaan
Tosin sanoen, jos lause "P"(α) on tosi aina, kun "P"(β) on tosi kaikilla βtransinittiseksi rekursioksi. Todistus, että näin saatu käsite on hyvin määritelty, perustuu trans­finiittiseen induktioon. Olkoon jokin "F" ordinaaleille määriteltävä luokkafunktio. Ideana on, että määriteltäessä "F"(α) mille tahansa ordinaalille α voidaan jo olettaa, että "F"(β) on jo määritelty kaikille ordinaaleille , ja täten "F"(α):lle voidaan esittää lauseke funktion arvojen "F"(β) avulla. Tästä seuraa trans­finiittisellä induktiolla, että on yksi ja vain yksi funktio, joka toteuttaa rekursio­kaavan kaikilla ordinaaleilla α:aan saakka ja se mukaan luettuna.
Esimerkkinä voidaan tarkastella funktiota "F", joka määritellään siten, että "F"(α) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon }, toisin sanoen joukko, johon kuuluvat kaikki arvot "F"(β), kun . Määritelmässä oletetaan, että "F"(β):n tekee tunnetuksi juuri tämä prosessi "F":n määrittelemiseksi vaiheittain. Tämä saattaa vaikuttaa kehämääritelmältä, mutta juuri tämän transfiniittinen rekursio sallii. Itse asiassa "F"(0) on sekin hyvin määritelty, koska ei ole sellaista ordinaalia, että , ja joukko } on tyhjä. Näin ollen "F"(0) on 0, kaikkein pienin ordinaali. Nyt kun "F"(0) on tunnettu, voidaan todeta, että "F"(1) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon {"F"(0)} = {0}, ja niin edelleen. Tämä esimerkki tosin on melko triviaali, sillä juuri trans­finiittisen induktion avulla osoittautuu, että "F"(α) = α kaikilla ordinaaleilla α.
Jokaisella ordinaalilla nollaa lukuun ottamatta on pienin alkio, nolla. Sillä voi olla myös suurin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi ordinaalin 42 suurin alkion 41 ja ordinaalin ω+6 suurin alkio ω+5. Toisaalta ω:lla ei ole suurinta alkiota, sillä ei ole suurinta luonnollista lukua. Jos ordinaalin suurin alkio on α, se on α:ta seuraava alkio, ja sitä sanotaan "seuraajaordinaaliksi" ja merkintään α+1. Kun ordinaalit määritellään von Neumannin mukaisesti, α:n seuraaja on formula_2, sillä sen alkioita ovat α:n alkiot sekä α itse.
Ordinaalia, joka ei ole nolla ja joka "ei" ole seuraajaordinaali, sanotaan "rajaordinaaliksi". Nimitys perustuu siihen, että rajaordinaali todella on topologisessa mielessä, järjestystopologian kannalta, kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo.
Kun formula_3 on ordinaali-indeksoitu jono, jonka indeksoi raja-arvo γ ja jono on "nouseva", toisin sanoen formula_4 whenever formula_5, sen raja-arvo määritellään joukon formula_6 pienimpänä ylärajana, toisin sanoen pienimpänä ordinaalilla, joka on suurempi kuin mikään sen jonoista. Sellainen on aina olemassa. Tässä mielessä raja­ordinaali on itsensä indeksoima kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo. Toisin sanoen se on sitä pienempien ordinaalien joukon supremum.
Toinen tapa määritellä rajaordinaali on sanoa, että α on rajaordinaali, jos ja vain jos
Niinpä esimerkiksi jonossa
ω on rajaordinaali, koska jokaista sitä pienempää ordinaalia, tässä tapauksessa siis jokaista luonnollista lukua kohti on olemassa toinen ordinaali, joka on sitä suurempi mutta yhä pienempi kuin ω.
Näin ollen rajaordinaali on joko nolla, jonkin (vain yhden) toisen ordinaalin seuraaja tai rajaordinaali. Tämä erottelu on tärkeä, koska monet transfiniittisen induktion avulla muotoillut määritelmät perustuvat siihen. Usein kun funktio "F" määritellään transfiniittisella induktiolla kaikille ordinaaleille, määriellään ensin "F"(0) ja "F"(α+1) olettaen, että "F"(α) on tunnettu, minkä jälkeen rajaordinaaleille δ määritellään "F"(δ) niin, että se on "F"(β):n raja-arvo kaikilla βepsilonluvuiksi".
Ordinaalien luokkaa formula_23 sanotaan rajoittamattomaksi eli kofinaaliseksi, jos jokaista ordinaalia formula_7 kohti on olemassa sellainen "C":hen kuuluva ordinaali formula_12, että formula_26. Tällöin luokan on oltava aito luokka, sillä se ei voi olla joukko. Luokkaa sanotaan suljetuksi, jos luokkaan kuuluvien ordinaalien jonon raja-arvo on luokka itse, tai yhtäpitävästi, jos indeksoiva luokkafunktio formula_27 on jatkuva siinä mielessä, että kun formula_28 on rajaordinaali, formula_29 eli luokan formula_28:s ordinaali on funktion arvojen formula_31 raja-arvo, kun formula_32. Tämä merkitsee myös samaa kuin että luokka on topologisessa mielessä suljettu, kun topologana käytetään järjestystopologiaa. Jotta vältettäisiin puhumasta topologiasta aitojen luokkien tapauksessa, asia voidaan yhtäpitävästi ilmaista myös niin, että luokan ja minkä tahansa ordinaalin leikkaus on suljettu tämän ordinaalin järjestys­topologiassa.
Erityisen tärkeitä ovat ne ordinaalien luokkia, jotka ovat sekä suljettuja että rajoittamattomia ja joita toisinaan sanotaan "klubeisi". Esimerkiksi kaikkien raja­ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, sillä jokaista ordinaalia kohti on aina olemassa sitä suurempi raja­ordinaali ja raja­ordinaalien raja-arvo on aina rajaordinaali. Myös addiitiivisesti jakautumattomien ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, samoin formula_33 -ordinaalien luokka ja kaikkien kardinaalien luokka, sitä vastoin kofinaalisten kardinaalien joukko on rajoittamaton, mutta ei suljettu, kun taas jokainen äärellinen ordinaalien joukko on suljettu mutta ei rajoitettu.
Luokka on "stationaarinen", jos sen leikkaus minkä tahansa suljetun rajoittamattoman luokan kanssa on ei-tyhjä. Kaikki luokat, jotka sisältävät osaluokkanaan jonkin suljetun rajoitetun luokan, ovat stationaarisia ja kaikki stationaariset luokat ovat rajoittamattomia, mutta on myös stationaarisia luokkia, jotka eivät ole suljettuja tai joilla ei ole suljettua rajoittamatonta osaluokkaa; sellainen on esimerkiksi kaikkien sellaisten raja­ordinaalien luokka, joilla on numeroituva kofinaalisuus. Koska kahden suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on suljettu ja rajoittamaton, statio­naarisen luokan ja suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on stationaarinen. Kahden statio­naarisen luokan leikkaus voi kuitenkin olla myös tyhjä; näin on laita esimerkiksi, kun muodostetaan leikkaus kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ω, sekä kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ylinumeroituva.
Sen sijaan että nämä määritelmät muotoiltaisiin ordinaalien (aidoille) luokille, ne voidaan muotoilla myös niiden ordinaalien luokille, jotka ovat pienempiä kuin jokin annettu ordinaali formula_7. Rajaordinaalin formula_7 osajoukkoa sanotaan rajoitta­matto­maksi (eli kofinaaliseksi) joukossa formula_7, jos jokainen formula_7:aa pienempi ordinaali on pienempi kuin jokin kyseisen joukon ordinaali. Yleisemmin minkä tahansa ordinaalin formula_7 osajoukkoja voidaan sanoa kofinaaliseksi formula_7:ssa, jos jokainen ordinaali, joa on pienempi kuin formula_7, on pienempi "tai yhtä suuri kuin" jokin tähän joukkoon kuuluva ordinaali. Osajoukkoa sanotaan suljetuksi formula_7:ssa , jos se on suljettu formula_7:n järjestys­topologiassa, toisin sanoen jos joukkoon kuuluvien ordinaalien raja-arvo joko sisältyy tähän joukkoon tai on formula_7 itse.
Ordinaaleilla on kolme yleistä laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus. Jokainen niistä voidaan määritellä oleellisesti kahdella tavalla: joko konstruoimalla eksplisiittisesti määritelty hyvin­järjestetty joukko, joka esittää tätä laskutoimitusta, tai transfinittisella rekursiolla.
Neumannin ordinaalin määritelmään pohjautuen laskutoimitukset voidaan määritellä seuraavasti:
Jokainen ordinaali voidaan esittää yksikäsitteisesti määritellyllä tavalla "Cantorin normaalimuodossa". Siinä jokainen ordinaali esitetään ω:n ordinaalisten potenssien äärellisenä summana. Sitä ei kuitenkaan voida käyttää ordinaalien yleisen mmerkintätavan perustana, sillä esimerkiksi ε olisi määriteltävä itsensä avulla: ε = ω
Nämä eivät kuitenkaan noudata kaikkia luonnollisilla ja myös reaaliluvuilla päteviä laskulakeja. Niinpä seuraavat säännöt eivät päde ordinaalien laskutoimituksille:
Ordinaaleille voidaan määritellä myös niin sanotut "luonnolliset" aritmeettiset operaatiot. Nämä ovat vaihdannaisia, mutta eivät jatkuvia.
Nimbereiksi tulkittuina ordinaaleilla voidaan suorittaa myös nimberien aritmeettisia laskutoimituksia.
Jokaiseen ordinaaliin liittyy tietty kardinaaliluku, sen kardinaliteetti. Jos kahden ordinaalin välillä on bijektio (esimerkiksi ω=1+ω ja ω+1>ω), niihin liittyy sama kardinaali. Jokaisella hyvin­järjestetyllä ordinaalilla, jolla on järjestys­tyyppinään jokin ordinaali, on sama kardinaliteetti kuin tällä ordinaalilla. Pienintä annettuun kardinaaliin liittyvää ordinaalia sanotaan tämän kardinaalin "initiaaliseksi ordinaaliksi". Jokainen äärellinen ordinaali eli luonnollinen luku on initiaalinen, eikä millään muulla ordinaalilla ole samaa kardinaliteettia. Mutta useimmat äärettömät ordinaalit eivät ole initaalisia, sillä moniin äärettömiin ordinaalehin liittyy sama kardinaliteetti. Valinta-aksiooma on yhtäpitävä sen kanssa, että jokainen joukko voidaan hyvin­järjestää, toisin sanoen jokaisella kardinaalilla on initiaalinen ordinaali. Teorioissa, joihin sisältyy valinta-aksiooma, jokaisen joukon kardinaaliluvulla on initiaalinen ordinaali. Kardinaalit voidaankin käsittää ordinaalien erikois­tapauksiksi samastamalla ne initiaalisten ordinaaliensa kanssa, sillä jokainen joukko on yhtä mahtava jonkin (Neumannin mukaan määritellyn) orbitaalin kanssa. Täten ordinaali on kardinaali, jos ja vain jos se ei ole yhtä mahtava minkään itseään pienemmän ordinaalin kanssa.
Yleensä α:nnelle äärettömälle ordinaalille käytetään merkintää formula_47. Sen kardinaliteettia merkitään formula_48. Esimerkiksi ω:n eli ω:n kardinaliteetti on formula_49, joka on myös ω:n ja ε:n kardinaliteetti, sillä nämäkin ovat numeroituvia ordinaaleja. Niinpä jos valinta-aksiooma hyväksytään, ω voidaan samastaa formula_49, paitsi että merkintää formula_49 käytetään, kun on kysymys kardinaaleista ja merkintää ω, kun on kysymys ordinaaleista. (Eri merkintöjä käytetään, koska esimerkiksi formula_52 = formula_49 kardinaalina, mutta formula_54 ordinaalina). Samoin formula_55 on pienin ylinumeroituva ordinaali (sen osoittamiseksi, että sellainen on olemassa, voidaan tarkastella luonnollisten lukujen hyvinjärjestysten ekvivalenssiluokkia: jokainen sellainen määrittelee numeroituvan ordinaalin, ja formula_55 on tämän joukon järjestystyyppi), formula_57 on pienin ordinaali, jonka kardinaliteetti on suurempi kuin formula_58 ja niin edelleen, ja formula_59 on ordinaalien formula_60 raja-arvo, kun arvot "n" ovat luonnollisia lukuja (jokainen kardinaalien raja-arvo on kardinaali, ja niin ollen tämä raja-arvo on itse asiassa ensimmäinen kardinaali, joka on suurempi kuin formula_60).
Cantor käytti kardinaliteettia ordinaalien luokitteluun. Hän nimitti luonnollisia lukuja ensimmäiseksi lukuluokaksi, ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on formula_49 eli numeroituvasti äärettömiä ordinaaleja toiseksi lukuluokaksi ja yleensä ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on cardinality formula_63, "n":nneksi lukuluokaksi.
Ordinaalin formula_7 kofinaalisuus on pienin ordinaali formula_28, joka on jonkin formula_7 "kofinaalisen" osajoukon järjestystyyppi. Joissakin teoksissa kofinaalisuuden käsite määritellään tai sitä käytetään vain rajaordinaaleille. Ordinaalien joukon tai minkä tahansa muun hyvinjärjestetyn joukon kofinaalisuus on tämän joukon järjestystyypin kofinaalisuus.
Niinpä jokaiselle rajaordinaalille formula_7 on olemassa formula_28-indeksoitu aidosti kasvava jono, jonka raja-arvo on formula_7. Esimerkiksi ω²:n kofinaalisuus on ω, koska jonon ω·"m" raja-arvo, missä "m":n arvoina ovat kaikki luonnolliset luvut, on ω, ja yleensäkin jokaisen numeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus on ω. Myös ylinumeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus voi olla ω, esimerkiksi ordinaalilla formula_70, mutta sellaisella voi olla myös ylinumeroituva kofinaalisuus.
Ordinaalin 0 kofinaalisuus on 0, Jokaisen seuraajaordinaalin kofinaalisuus on 1. Jokaisen rajaordinaalin kofinaalisuus on vähintään formula_71.
Ordinaalia, jonka kofinaalisuus on yhtä suuri kuin ordinaali itse, sanotaan "säännölliseksi", ja kaikki sellaiset ovat initiaalisia ordinaaleja. Säännölisten ordinaalien raja-arvo on initiaalisten ordinaalien raja-arvo ja sellaisena aian initiaalinen, joskaan ei välttämättä eikä yleenä säännöllinen. Jos valinta-aksiooma hyväksytään, siitä seuraa, että formula_72 kaikilla α, ja edelleen että ordinaalit 0, 1, formula_71, formula_55 ja formula_57 ovat säännöllisiä, kun taas, 2, 3, formula_70 ja ω ovat esimerkkejä initiaalisista orbitaaleista, jotka eivät ole säännöllisiä.
Jokaisen ordinaalin "α" kofinaalisuus on säännöllinen ordinaali, toisin sanoen "α":n kofinaalisuuden kofinaalisuus on sama kuin "α":n kofinaalisuus. Toisin sanoen kofinaalisuusoperaatio on idempotentti.
Esimerkkinä "hyvin suuresta" äärettömästä, mutta vielä numeroituvasta ordinaalista voidaan mainita ε. Se on pienin ordinaali, joka toteuttaa yhtälön formula_77, ja samalla jonon 0, 1, formula_71, formula_79, formula_80 jne. raja-arvo. Monet ordinaalit voidaan määritellä samaan tapaan jonkin ordinaalifunktion kiintopisteinä. Niinpä formula_81:tta sellaista ordinaalia, jolle pätee formula_77, merkitään formula_83, ja samaan tapaan voitaisiin yrittää löytää formula_81:s sellainen ordinaali, jolle formula_85 ja niin edelleen. Tätä voitaisiin yrittää järjestelmällisesti, mutta miten tahasa ordinaalit määritellään ja konstruoidaankin, aina on olemassa ordinaali, joka on juuri kaikkien tällä tavoin konstruoitujen ordinaalien yläpuolella Ehkä tärkein ordinaali, joka tähän tapaan rajoittaa konstruointijärjestelmää, on Churchin–Kleenen ordinaali formula_86 (joka on numeroituva siitä huolimatta, että sen nimessä esiintyy formula_55). Se on pienin ordinaali, jota tietyssä mielessä ei mitenkään voi esittää laskettavissa olevana funktiona. Myös formula_86:n alapuolella voidaan kuitenkin määritellä huomattavan laajoja ordinaaleja, jotka mittaavat eräiden formaalisten systeemien "todistus­teoreettista vahvuutta"; niinpä esimerkiksi formula_89 mittaa Peanon aksioomeihin perustuvan aritmetiikan vahvutta. Voidaan myös määritellä ordinaaleja, jotka ovat suurempia kuin Churchin–Kleenen ordinaali ja joilla niilläkin on merkitystä useilla logiikan aloilla.
Jokainen ordinaaliluku voidaan muodostaa topologiseksi avaruudeksi varustamalla se järjestystopologialla. Tämä topologia on diskreetti, jos ja vain jos ordinaali on numeroituva kardinaali, toisin sanoen enintään ω. Joukon ω + 1 osajoukko on avoin järjestystopologiassa, jos ja vain jos se joko on kofiniittinen (eli sen komplementti on äärellinen joukko) tai ω ei sisälly siihen alkiona.
Järjestetyn joukon "A" osajoukko "B" on "alaspäin suljettu", jos kaikki "A":n alkiot, jotka ovat pienempiä kuin jokin "B":n alkio, ovat myös "B":n alkioita. Jos jokin ordinaalien joukko on alaspäin rajoitettu, se on itse ordinaali, pienin kyseiseen joukkoon kuulumaton ordinaali.
Esimerkkejä: