Nagelin piste
Nagelin piste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu "Kimberlingin pisteiden luetteloon" tunnuksella formula_1. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään "Nagelin piste". Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.
Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.
Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.
Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.
Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.
Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat
Pisteen barysentriset koordinaatit ovat
Todistetaan, että kolmion formula_4 mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun formula_5 tangenttipiste on formula_6 ja sivun formula_7 tangenttipiste on formula_8. Nyt janojen formula_9 ja formula_10 pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan formula_11. formula_12
Merkitään kärjen formula_13 vastaisen sivun formula_14 tangenttipistettä formula_15 ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken formula_13 kannalta. Kärjen formula_13 vasemman sivulla kärjessä formula_18 risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on formula_19 (1). Vastaava tilanne on pisteessä formula_20, jossa formula_21 (2). Kun jana formula_9 kirjoitetaan pisteen formula_18 avulla murtoviivana formula_24 ja formula_10 vastaavasti formula_26, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa formula_27 ja formula_28.
Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä formula_13 on vastaiselle sivulle pisteeseen formula_15 yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen formula_20 tai formula_18 kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien formula_20 ja formula_18 osalta, jolloin pisteet formula_35 ja formula_36 ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat formula_37 ja formula_38.
Edelleen, kun esimerkiksi suoran formula_7 janat formula_10 eli formula_26 ja formula_42 eli formula_43 sisältävät yhteisen osan formula_7, ovat myös päät formula_45 ja formula_46 yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa
Cevan lausetta mukaellen
Cevan lauseen mukaan janat formula_54, formula_55 ja formula_56 ovat konkurrentit.