Pilottiaalto
Pilottiaaltoteoria on teoreettisessa fysiikassa Louis de Broglien vuonna 1927 esittämä, 
ensimmäinen tunnettu esimerkki piilomuuttujateoriasta. Sen nykyinen versio, de Broglien–Bohmin teoria, on edelleen valtavirran ulkopuolinen yritys selittää kvanttimekaniikka deterministiseksi teoriaksi, jolloin vältetään sellaiset ongelmalliset käsitteet kuin aalto-hiukkas-dualismi, yhtäkkinen aaltofunktion romahtaminen ja Schrödingerin kissaparadoksi.
De Broglien–Bohmin teoria on yksi monista kvanttimekaniikan tulkinnoista. Se käyttää samaa matematiikkaa kuin muut kvanttimekaniikan tulkinnat. Näin ollen se ei ole enempää ristiriidassa kokeellisten tulosten kanssa kuin muutkaan tulkinnat.
Kun Y. Couderin 2000-luvulla teki kokeita kvanttimekaanisten systeemien kanssa analogisilla hydrodynaamisilla systeemeillä, voitiin ”konkreettisen” pilottiaallon katsoa ilmaantuneen.
Vuonna 1926 laatimassaan tutkielmassa Max Born esitti, että Schrödingerin yhtälön mukainen aaltofunktio kuvaa todennäköisyystiheyttä sille, että hiukkanen löytyy tietyltä alueelta.
Tästä ajatuksesta de Broglie kehitti pilottiaaltoteorian ja muodosti ohjaavaa aaltoa esittävän funktion.
Vuonna 1932 John von Neumann väitti todistaneensa kaikki piilomuuttuja­teoriat mahdottomiksi. Kolme vuotta myöhemmin Grete Hermann osoitti tämän todistuksen pätemättömäksi, mihin fyysikot eivät kuitenkaan kiinnittäneet huomiota yli 50 vuoteen. Mutta vuonna 1952 David Bohm, joka oli tyytymätön yleisesti hyväksyttyyn tulkintaan, otti de Broglien pilottiaaltoteorian uudelleen puheeksi. Bohm kehitti pilottiaaltoteorian muotoon, jota nykyisin kutsutaan de Broglien–Bohmin teoriaksi.
Useimmat fyysikot olisivat tuskin kiinnittäneet huomiota de Broglien–Bohmin teoriaan, ellei sitä olisi kannattanut John Stewart Bell, joka myös kumosi sille esitetyt vastaväitteet. Vuonna 1987 John Bell löysi Grete Hermannin tutkielman ja osoitti fyysikoiden yhteisölle, että Paulin ja von Neumannin vastaväitteet olivat itse asiassa todistaneet vain, ettei pilottiaaltoteoria noudata lokaalisuusperiaatetta.
Jotkut fyysikot pitävät nykyäänkin de Broglien–Bohmin teoriaa vakavasti otettavana haastajana vallitsevalle kööpenhaminalaiselle tulkinnalle, mutta kysymys on yhä kiistanalainen.
Yves Couder työtovereineen on äskettäin löytänyt makroskooppisen pilottiaaltosysteemin "kävelevien pisaroiden" muodossa. Tämä systeemi käyttäytyy pilottiaaltojen tavoin, joiden aikaisemmin oli oletettu esiintyvän vain mikroskooppisissa ilmiöissä.
Pilottiaaltoteoria kuuluu piilomuuttujateorioihin. Näin ollen:
Hiukkasten paikka ja liikemäärä oletetaan piilomuuttujiksi. Pilottiaaltoteoriassa oletetaan, että näillä suureilla tosin on olemassa tarkat arvot, mutta ne voidaan mitata vain tietyllä rajallisella tarkkuudella, koska mittauksen suorittaminen auttamattomasti häiritsisi systeemiä vähintään tietyn verran.
Hiukkasjoukkoon liittyy aineaalto, joka kehittyy Schrödingerin yhtälön osoittamalla tavalla. Jokaisella hiukkasella on oma deterministinen liikeratansa, jota ohjaa aaltofunktio. Koko hiukkasjoukon tiheyttä kuvaa aaltofunktion suuruus. Hiukkaset eivät vaikuta aaltofunktioon, joka voi esiintyä myös tyhjänä aaltofunktiona.
Teoria valaisee sitä epälokaalisuutta, joka sisältyy implisiittisesti kvanttimekaniikan ei-relativistisiin muotoiluihin, ja tämän epälokaalisuuden avulla se pystyy toteuttamaan Bellin teoreeman.
Pilottiaaltoteoria osoittaa, että on mahdollista muotoilla realistinen ja deterministinen piilomuuttujateoria, jonka kokeelliset seuraukset ovat samat kuin tavanomaisen kvanttimekaniikan.
Hintana on kuitenkin se, että teoria on korostetusti epälokaalinen. Toisin sanoen teorian mukaan se, mitä yhdessä paikassa (A) tapahtuu, voi välittömästi ja saman­aikaisesti vaikuttaa siihen, mitä toisessa paikassa (B), mahdollisesti hyvinkin kaukana tapahtuu, jo ennen kuin paikasta A valon­nopeudella lähetetty signaali ehtisi paikasta A paikkaan B. Piilo­muuttujien luonteesta ja Bellin teoreemasta kuitenkin aiheutuu, ettei tällaisia kauko­vaikutuksia ole mahdollista käyttää hyväksi valoa nopeampaan tiedon­siirtoon.
De Broglien–Bohmin pilottiaallon johtamiseksi elektronille muodostetaan ensin sen kvanttiteoreettinen Lagrangen funktio
missä formula_2 on kvanttivoimaan liittyvä potentiaali (aaltofunktio työntää hiukkasta). Tämä integroidaan yhtä tiettyä reittiä pitkin, nimittäin sitä reittiä, jota elektroni todellisuudessa kulkee. Tällöin Bohmin propagaattorille saadaan seuraava lauseke:
Tämän propagaattorin avulla elektronin liikerata kvanttipotentiaalin formula_2 vaikutuksesta voidaan ajan funktiona voidaan määrittää tarkasti.
Pilottiaaltoteoria perustuu Hamiltonin–Jacobin dynamiikkaan, ei Hamiltonin tai Lagrangen mekaniikkaan. Hamiltonin–Jacobin yhtälöstä
on mahdollista johtaa Schrödingerin yhtälö seuraavasti:
Tarkastellaan klassista hiukkasta, jonka paikkaa ei tunneta tarkasti. Näin ollen sitä on käsiteltävä tilastollisesti, toisin sanoen vain todennäköisyystiheys formula_6 tunnetaan. Kokonais­toden­näköisyys luonnollisesti säilyy eli formula_7 kaikilla hetkillä formula_8. Tämän vuoksi sen on toteutettava jatkuvuusehto
missä formula_10 on hiukkasen nopeus.
Klassisen mekaniikan Hamiltonin–Jacobin muotoilussa nopeuden ilmaisee lauseke formula_11,
missä formula_12 on Hamiltonin–Jacobin yhtälön ratkaisu
Yhtälöt formula_14 ja formula_15 voidaan yhdistää yhdeksi kompleksiseksi yhtälöksi ottamalla käyttöön 
kompleksinen funktio formula_16. Silloin edelliset kaksi yhtälöä voidaan saattaa muotoon
formula_18
Tämä on ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö, jossa on mukana ylimääräinen potentiaali, kvanttipotentiaali formula_2, 
toisin sanoen kvanttivoiman potentiaali, joka on likimäärin verrannollinen aaltofunktion amplitudin kaarevuuteen.
De Broglien mukaista aineaaltoa esittää ajasta riippuva Schrödingerin yhtälö:
Kompleksinen aaltofunktio voidaan esittää muodossa:
formula_21
Kun tämä sijoitetaan Schrödingerin yhtälöön, voidaan johtaa kaksi uutta reaalimuuttujien välistä yhtälöä. Niistä ensimmäinen on todennäköisyystiheyden formula_22 jatkuvuusyhtälö:
missä nopeuskentän määrittelee ohjausyhtälö
Pilottiaaltoteorian mukaan pistemäinen hiukkanen ja aineaalto ovat molemmat todellisia ja erillisiä fysikaalisia olioita. Sen sijaan, että kvantti­mekaniikan standardi­tulkinnan mukaan aalto­funktio on vain abstrakti "toden­näköisyys­aalto", pilotti­aaltoteorian mukaan kyseessä on todellinen fysikaalinen aalto, joka ohjaa hiukkasten liikettä ohjaus­yhtälön mukaisesti hieman samaan tapaan kuin meren aallot ohjaavat pinnalla kelluvien kappaleiden liikettä ja vaikuttavat uimarien ja laivojenkin liikkeeseen.
Tavanomainen kvanttimekaniikka ja pilotti­aalto­teoria perustuvat samaan osittaisdifferentiaaliyhtälöön. Keskeisin ero on siinä, että tavan­omaisessa ­kvantti­mekaniikassa Schrödingerin yhtälön mukainen aaltofunktio tulkitaan Bornin postulaatin mukaisesti, jonka mukaan kappaleen sijainnin todennäköisyys­tiheyden ilmaisee aaltofunktion amplitudin neliö formula_25. Pilottiaaltoteoria pitää ohjausyhtälöä peruslakina ja Bornin sääntöä siitä johdettuna käsitteenä.
Toinen yhtälö on muunneltu Hamiltonin–Jacobin yhtälö vaikutukselle formula_26:
missä Q on yhtälön
määrittelemä kvanttipotentiaali. Jos Q jätetään pois laskuista, tuloksena saadaan klassisen pistehiukkasen Hamiltonin–Jacobin yhtälö. (Tarkkaan ottaen tämä pätee vain semiklassisella rajalla, koska superpositioperiaate pätee edelleen ja siitä voidaan päästä eroon vain, jos jokin mekanismi, esimerkiksi vuorovaikutus ympäristön kanssa, saa aikaan dekoherenssin.) Niinpä kvanttipotentiaali saa aikaan kaikki kvanttimekaniikalle tyypilliset, mystisiltä vaikuttavat ilmiöt.
On myös mahdollista yhdistää Hamiltonin–Jacobin yhtälö ja ohjausyhtälö, jolloin saadaan näennäisesti Newtonin mekaniikkaa muistuttava liikeyhtälö:
missä hydrodynaaminen aikaderivaatta määritellään seuraavasti:
Schrödingerin yhtälö monen kappaleen aaltofunktiolle formula_31 on:
Kompleksinen aaltofunktio voidaan esittää muodossa:
Pilottiaalto ohjaa hiukkasten liikettä. Tällöin j:nnen hiukkasen ohjausyhtälö on:
Näin j:nnen hiukkasen nopeus riippuu nimenomaisesti muiden hiukkasten sijainnista. Tämä merkitsee, että teoria on ei-lokaalinen.
Lucien Hardy ja John Stewart Bell ovat korostaneet sitä, että kvanttimekaniikan de Broglien–Bohmin kuvassa voi esiintyä myös tyhjiä aaltoja, joita niitäkin esittää avaruudessa ja ajassa leviävä aaltofunktio, mutta jotka eivät kuljeta energiaa eivätkä liikemäärää eivätkä liity mihinkään hiukkaseen. Samaa käsitettä Albert Einstein oli nimittänyt "aaveaalloiksi" tai "aavekentiksi" ).
Tyhjiä aaltofunktioita koskevasta kysymyksestä on kiistelty. Sitä vastoin kvanttimekaniikan monimaailmatulkinnoissa ei tyhjiä aaltofunktiota tarvita.