Trigonometria
Trigonometria (, kolmekulmainen, ja , "métron", mitata), kolmiomitanto, on kolmioita ja kulmia käsittelevä matematiikan ala.
Trigonometrian perustana on se tosiasia, että kaikki suorakulmaiset kolmiot, joissa on suoran kulman lisäksi toinen yhtä suuri kulma, ovat keskenään yhdenmuotoisia. Koska yhdenmuotoisten kolmioiden vastinsivujen suhteet ovat samat, suorakulmaisen kolmion sivujen suhteet määräytyvät vain kolmion (ei-suorasta) kulmasta. Nämä suhteet ovat siis pelkästään kulman funktioita .
Suorakulmaisen kolmion formula_1, formula_2, kolmesta sivusta formula_3, formula_4 ja formula_5 voidaan muodostaa kuusi suhdetta. Nämä on tapana nimittää kulman formula_6 funktioiksi seuraavasti:
sin(formula_7) on formula_8 eli kulman formula_7 vastakkainen sivu jaettuna hypotenuusalla;
cos(formula_7) on formula_11 eli viereinen sivu jaettuna hypotenuusalla ja
tan(formula_7) on formula_13 eli vastainen jaettuna viereisellä.
Lisäksi formula_14 on formula_7:n kotangentti, formula_16 on formula_7:n sekantti ja formula_18 on formula_7:n kosekantti.
Näiden suhteiden eli trigonometristen funktioiden arvoja on aikojen kuluessa taulukoitu ja muita menetelmiä niiden tuottamiseksi kehitetty. Trigonometristen funktioiden, erityisesti sinin ja kosinin, arvojen tuntemus ja sinilauseen ja kosinilauseen käyttö tekevät mahdolliseksi kolmion tuntemattomien osien laskemisen, kun kolmiosta tunnetaan vähintään kaksi osaa, joista ainakin yksi on kolmion sivun pituus.
Trigonometrialla on monia sovelluksia esimerkiksi tähtitieteessä, tilastotieteessä, kemiassa, arkkitehtuurissa, meteorologiassa ja kartografiassa.
Suorakulmaisessa kolmiossa formula_1, formula_2, sivujen suhteisiin vaikuttaa vain terävän kulman formula_6 (formula_23) suuruus, ei kolmion koko. Kolmion pisintä sivua formula_5 kutsutaan sen hypotenuusaksi, lyhempiä sivuja formula_3 formula_7:n vastaiseksi ja formula_27 formula_7:n viereiseksi kateetiksi. Näitä sivujen suhteita nimitetään kulman trigonometrisiksi funktioiksi.
Kateettien ja hypotenuusan pituuksien välillä olevaa yhteyttä formula_29 kutsutaan nimellä Pythagoraan lause. Se on erikoistapaus kosinilauseesta.
Yleensä käytetään vain kahta tai kolmea ensimmäistä funktiota, koska kotangentti, sekantti ja kosekantti saadaan tangentin, kosinin ja sinin (vastaavasti) käänteisarvoina ja tangentti on sinin ja kosinin osamäärä.
Piirretään suorakulmaiseen xy-koordinaatistoon yksikköympyrä eli ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja säde on yksi, ja tarkastellaan ympyrän kehän tason ensimmäisessä neljänneksessä sijaitsevaa pistettä formula_30. Jos formula_31-akselin ja pisteen origoon yhdistävän janan välinen kulma on formula_32, niin sinin ja kosinin määritelmän perusteella formula_33 ja formula_34. Tämä antaa aiheen laajentaa sinin ja kosinin määritelmät myös sellaisille kulmille formula_32, jotka eivät toteuta ehtoa formula_36. Määritelmä syntyy sijoittamalla kulma niin, että sen kärki on origo ja oikea kylki on positiivinen formula_31-akseli. Jos vasen kylki leikkaa yksikköympyrän pisteessä formula_38, asetetaan formula_39 ja formula_40. Kun formula_32:n ajatellaan syntyvän kiertona positiivisesta formula_31-akselista vastapäivään eli positiiviseen kiertosuuntaan, kun formula_32 on positiivinen, ja myötäpäivään eli negatiiviseen kiertosuuntaan, kun formula_32 on negatiivinen, saadaan määritelmä koskemaan kaikkia kulmia (tai kiertoja).
Muut trigonometriset funktiot ovat sinin ja kosinin suhteita tai käänteislukuja. Niiden yleiset määritelmät palautuvat siis sinin ja kosinin yleiseen määritelmään. Koska sini ja kosini saavat tietyillä kulmilla arvon 0, niin tangentti, kotangentti, sekantti ja kosekantti eivät ole määriteltyjä kaikilla kulmilla.
Koska kulmia mitataan eri yksiköin, on trigonometristen funktioiden avulla laskettaessa otettava huomioon käytettävä mittayksikkö (asteet, piirut, radiaanit jne.). Silloin, kun trigonometrisia funktioita käytetään alkuperäisestä geometrisesta yhteydestään irrotettuina, oletetaan yleensä, että niiden argumentit ovat paljaita lukuja. Kulmiin palautettuna tämä tarkoittaa kulman yksikköä radiaani eli ns. absoluuttista kulman yksikköä.
Sini-ja kosinifunktion arvot voidaan laskea niiden sarjakehitelmistä kaikilla reaaliluvuilla formula_31:
Näistä sarjoista voidaan johtaa myös muiden trigonometristen funktioiden sarjakehitelmiä, esimerkiksi
Näissä formula_52:t ovat ns. "Bernoullin lukuja" ja formula_53:t ns. "Eulerin lukuja".
formula_54
formula_55
formula_56
Trigonometristen funktioiden monikertaisten kulmien kaavat (esimerkiksi formula_57) voidaan johtaa De Moivren kaavalla.
formula_58
formula_59
Yleensä trigonometrialla tarkoitetaan vain tasopinnalle sijoitettuja kolmioita käsittelevää matematiikkaa. Pallotrigonometria käsittelee kolmioita, jotka muodostuvat pallon isoympyröiden kaarista. Pallokolmion kulmien ja sivujen suuruus ilmaistaan kulmamitoin. Pallotrigonometrialla on runsaasti sovelluksia tähtitieteessä.