Borromeon renkaat
Borromeon renkaat on symmetrisesti järjestynyt kuvio, jossa on kolme toisiinsa linkittyvää ympyrää. Kun yhden renkaan poistaa, koko kuvio purkautuu. Borromeon renkaita käytetään esimerkiksi kuvaamaan yhtenäisyyden voimaa, mistä syystä kuvio esiintyy heraldisena symbolina. Renkaita on käytetty myös uskonnollisissa yhteyksissä, jolloin kuvio symboloi Pyhää kolminaisuutta.
Matemaattisesti kuviossa on kolme topologista ympyrää, jotka linkittyvät toisiinsa ja muodostavat Brunnin linkin. Borromeon renkaat on yksinkertaisin Brunnin linkki: Jos yhden kolmesta renkaasta poistaa, kaksi muuta eivät enää ole kytköksissä toisiinsa vaan niistä tulee irrallisia. Näin yksi rengas pelkästään "lepää" toisen päällä. Kun kuviota tarkastelee kaksi rengasta kerrallaan, yksikään kahden renkaan elementti ei ole toisiinsa kiinnittynyt Hopfin linkillä. Mutta kun renkaita tarkastelee kolmen renkaan kokonaisuutena, ovat kaikki renkaat toisiinsa kytköksissä.
Borromeon renkaisiin liittyvät kytkökset eli Brunnin linkki ja Hopfin linkki, ovat saaneet nimensä saksalaisten matemaatikkojen Hermann Brunnin ja Heinz Hopfin mukaan.
Borromeon renkaat on maalattu italialaisen Borromeon perheen sukuvaakunaan. Italiassa ja osin Sveitsin puolella olevan Maggiorejärven Borromeonsaarista kolme kuuluu suvulle. Näistä Isola Bellan saarella sijaitsee suvun barokkilinna "Palazzo Borromeo", jonka rakennutti 1600-luvulla Vitaliano Borromeo (1620–1690). Monissa paikoissa sekä talossa että puutarhassa (mm. kukkaruukun koristeena) on nähtävissä tämä rengassymboli. Renkaat eivät kuitenkaan limity toisiinsa vain yhdellä tavalla; tiluksilla on nähtävissä linkityksestä ainakin neljä eri versiota. Renkaat voivat "ylittää" ja "alittaa" toisiaan eri tavoin. Renkaiden limittäminen on tarkkaa ja virhe on helppo tehdä, sillä kaikissa versioissa Brunnin linkki ei toteudu: jos yhden renkaista poistaa, kaksi muuta voivatkin yhä olla Hopfin linkillä toisissaan kiinni.
Vitaliano Borromeoa ei kuitenkaan voi pitää itse kuvion keksijänä. Jo viikingit käyttivät samalla lailla linkittyvää symbolia, joka tosin ei muodostunut ympyröistä vaan kolmioista. Symboli on nimeltään Valknut ja se tunnetaan myös nimellä Odinin kolmio. Odinin kolmiosta on kaksi versiota. Toinen niistä rakentuu samoin kuin Borromeon renkaat, kun taas toinen on apilasolmun tai triquetran kaltainen. Ne ovat silti selvästi sukua toisilleen. Apilasolmu tai triquetra on päättymätön viiva, kuvion voi esimerkiksi piirtää yhdellä vedolla nostamatta kynää välillä paperista.
Vaikka Borromeon renkaat ovat kuvattavissa, kyseessä on havaintoharha eli illuusio. Tasossa olevista suorista renkaista ei pysty käytännössä muodostamaan borromeo-mallista kuviota kolmiulotteisena, sillä renkaat joko taipuisivat tai särkyisivät. Sen sijaan kolmioista kuvion pystyy tekemään. Australialainen kuvanveistäjä John Robinson on luonut veistoksen nimeltä ""Intuition"", jossa on metallista tehdyt "Borromeon kolmiot". Robinson teki veistoksen mallin myös pahvista. Pahvinen kolmiulotteinen malli ei kuitenkaan kestä omaa painoaan vaan sortuu litteäksi kuvioksi. Veistos on lahjoitettu Cambridgen yliopiston yhteydessä toimivalle Isaac Newton Instituutille (The Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences).
Borromeon renkaiden tapaan asettuvia kuvioita voi siis muodostaa myös kolmioista, mutta myös muunlaisista objekteista. Tällaisia voi nähdä esimerkiksi Heraldisissa symboleissa. Ranskalaisen Diane de Poitiers'n (1499–1566) tunnus muodostuu puolikuu-kuvioista. Bangorin tuomiokirkossa on vaakunakilpi, jossa on käytetty käärmeitä vastaavalla tavalla. Englannin Somersetissa sijaitsee Farleigh Hungerfordin linna, jonka ornamenteissa on Borromeon renkaiden sijaan sirppejä.
Japanilaisessa taiteessa ympyrät ovat tyyliteltyjä siten, että yhteen limittyvät kuviot esittävät renkaan sijasta jotakin muuta objektia, kuten lintua, bambua tai tomoeta (pilkkua muistuttava kuvio) tai rengas on polygoni, joka näyttää kuusikulmaiselta mutterilta. Kuviot kuitenkin liittyvät toisiinsa Borromeon tapaan.
Kolmisäikeinen letti eli palmikko on Borromeon renkaiden tavoin yksi versio Brunnin linkistä. Jos letistä poistetaan yksi säie, koko letti purkautuu. Letissä tehdään ylityksiä ja alituksia, kuten renkaissa. Jos letin muodostavien säikeiden päät kiinnitettäisiin yhteen, jokainen säie muodostaa lenkin eli renkaan.
Useissa logoissa on käytetty Borromeon renkaita sinällään tai osana kokonaisuutta. Yksi tällainen on yhdysvaltalaisen P. Ballantine and Sons Brewing Companyn Ballantine-oluiden etiketit ja logo. Kunkin renkaan sisällä on yksi sana, jolla yritys haluaa kuvata oluttaan: "purity" (puhtaus), "body" (täyteläisyys) ja "flavour" (maku). Ballantine Ale on tehnyt symbolin niin tunnetuksi, että Yhdysvalloissa rengaskuvio tunnetaan nimellä Ballantinen renkaat. Legendan mukaan yrityksen perustaja Peter Ballantine sain idean käyttää Borromeon renkaita yhtiön symbolina, kun hän oli huomannut toisiinsa limittyvät kondensoituneesta vedestä muodostuneet renkaat, jotka olutlasit olivat jättäneet pöydälle.