Bode-diagrammi
Bode–diagrammin avulla voidaan tarkastella systeemien dynaamista käyttäytymistä taajuuden funktiona. Sen kehitti Hendrik Wade Bode (1905–1982) työskennellessään Bell Laboratoriesilla 1930-luvulla. Sitä käytetään erityisesti sähkötekniikassa järjestelmien ja suotimien käyttäytymisen mallintamiseen. Bode–diagrammi koostuu kahdesta yleensä logaritmiselle taajuusasteikolle piirretystä kuvaajasta, vaihevasteesta ja itseisarvovasteesta. Vaihevasteesta ilmenee järjestelmän tulo- ja lähtösuureen välinen viive. Vaihesiirto ilmaistaan yleensä asteina tai radiaaneina. Itseisarvovaste kuvaa systeemissä tapahtuvaa vahvistusta taajuuden funktiona, ja se esitetään yleensä desibeleissä.
Bode–diagrammi on taajuusvasteen graafinen esitysmuoto.
Bode–diagrammi piirretään systeemistä muodostetun siirtofunktion avulla, joka esimerkiksi vastuksesta ja kondensaattorista koostuvalle alipäästösuodattimelle näyttää seuraavalta:
Yhtälö kuvaa arvolla K vahvistettua alipäästösuodinta, jossa on resistanssi R ja kondensaattori C sarjassa (katso siirtofunktion muodostaminen tarkempaa selvitystä varten). Siirtofunktiosta saadaan määritettyä systeemin rajataajuus, kertaluku, vahvistus sekä kaistanleveys, jotka ilmennetään Bode–diagrammilla.
Rajataajuus ω (luonnollinen kulmataajuus) kuvaa systeemin itseisarvovasteessa kohtaa, jossa systeemin vahvistus on muuttunut 3 dB. Rajataajuus ilmenee käytännössä esimerkiksi sähkötekniikassa suotimilla siten, että alipäästösuodin suodattaa rajataajuutta ylemmät taajuudet ja ylipäästösuodin suodattaa rajataajuutta alemmat taajuudet.
Systeemin kertaluku määräytyy sähköisessä järjestelmässä reaktiivisten komponenttien määrän mukaan. Jos esimerkiksi systeemissä on yksi kondensaattori ja yksi kela sarjassa, on systeemi toista kertalukua. On huomattava, että mikäli systeemin komponentit ovat rinnan, voidaan niiden ajatella olevan yksi ekvivalenttinen reaktiivinen komponentti, ja tällöin systeemi on ensimmäistä kertalukua. Yhden kertaluvun systeemi voi kääntää systeemin vaihetta enintään 1*90°, toisen kertaluvun systeemi 2*90° jne. 
Systeemin vahvistus laskee rajataajuuden jälkeen n*20 dB/dekadi, missä n = systeemin kertaluku.
Systeemin vahvistus ilmaistaan Bode-diagrammissa desibeleinä. Vahvistus saadaan desibeleistä kertoimeksi "A" yhtälöllä "A" = 10, missä "G" on vahvistus desibeleissä ja "A" on lähtö- ja tulosuureiden suhde. Kerroin "A" voidaan muuttaa desibeleiksi yhtälöllä "G" = 20log("A"). Jos systeemin vahvistus on negatiivista, vaihevaste kääntyy 180°.
Bode-diagrammin hahmottelu voidaan aloittaa, kun tunnetaan systeemin siirtofunktio. Siirtofunktiosta voidaan määrittää systeemin vahvistus, nollat ja navat. Nollat ovat siirtofunktion osoittajan nollakohtia ja navat nimittäjän nollakohtia. Bode-diagrammissa Y-akselilla on joko itseisarvo dB-asteikolla esitettynä tai vaihe lineaarisella asteikolla esitettynä. X-akselilla taas on logaritminen taajuusasteikko. Yleisimmin Bode-diagrammit piirretään tietokoneavusteisesti.
Erikoistapauksessa, jossa nolla tai napa ovat origossa, vahvistus muuttuu koko ajan 20 dB/dek. Nollan tapauksessa se kasvaa ja navan tapauksessa laskee. Vaihe puolestaan pysyy +90°:ssa, jos nolla on origossa ja -90°:ssa, jos napa on origossa.
Piirretään alla olevan siirtofunktion bode-diagrammi.
Tehdään siirtofunktiolle Fourier-muunnos.
Edellä olevasta yhtälöstä saadaan perustapaukset:
Asetetaan seuraavat yhtälöt ja ratkaistaan nollakohdat.
Origossa sijaitseva napa aiheuttaa vahvistuksen laskun koko taajuusalueella, joten ainoastaan vahvistuskäyrän muoto tunnetaan, muttei sen sijaintia. Sijainti voidaan selvittää laskemalla vahvistus jollakin tietyllä taajuudella. Esimerkiksi kulmataajuudella ω=1rad/s saadaan vahvistukseksi 6,82 dB.
Bode-diagrammi
Tämän jälkeen itse Bode-diagrammi voidaan piirtää hyödyntämällä yllä olevien kuvien vaihe- ja vahvistusvasteiden funktioita G(jω).
Bode-diagrammista voidaan määrittää vahvistus - ja vaihevara, joiden avulla voidaan arvioida systeemin stabiiliutta. Vahvistusvara ilmoittaa paljonko avoimen piirin vahvistusta voi lisätä, ennen kuin suljetusta systeemistä tulee epästabiili. Vaihevara taas kertoo paljonko avoimen piirin vaihesiirtoa voidaan lisätä, ennen kuin systeemistä tulee epästabiili.
Vaihevasteesta voidaan nähdä taajuus, jolla vaihe saavuttaa -180°. Merkitään tätä taajuutta "f". Tämän taajuuden kohdalta voidaan itseisarvovasteesta katsoa kyseistä taajuutta vastaava vahvistus. Jos |"f"| = 0 dB, systeemi on epästabiili. Jos |"f"| < 0 dB, systeemi on stabiili. |"f"|:n vastaavan vahvistuksen ja vahvistuksen 0 dB erotusta kutsutaan vahvistusvaraksi.
Toinen samankaltainen stabiiliuden mitta on vaihevara. Itseisarvovasteesta voidaan nähdä taajuus, jolloin vahvistuksen arvo on 0 dB. Merkitään tätä taajuutta "f". Tämän taajuuden kohdalta voidaan vaihevasteesta katsoa taajuudella tapahtuva vaihesiirto. Jos "f":n vaihe on > -180°, systeemi on stabiili, muutoin epästabiili. "f":n vastaavan vaiheen ja -180°:n erotusta kutsutaan vaihevaraksi.
Systeemin stabiiliutta voidaan edelleen tarkastella esimerkiksi Nyqvistin stabiiliuskriteerin avulla.