Projektiivinen taso
Projektiivinen taso on geometrinen struktuuri, joka laajentaa tason käsitettä. Tavallisella euklidisella tasolla kaksi suoraa tavallisimmin leikkaa toisensa yhdessä pisteessä, mutta on myös suoria, yhden­suuntaisia suoria, jotka eivät leikkaa. Projek­tiivinen taso voidaan käsittää tavalliseksi tasoksi, johon on lisätty "äärettömän kaukaisia" pisteitä, joissa yhden­suuntaiset suorat leikkaavat. Täten "mitkä tahansa" kaksi suoraa leikkavat toisensa aina yhdessä ja vain yhdessä pisteessä.
Tämän matematiikan haaran kehityksen panivat alulle renessanssiajan kuva­taiteilijat kehittäessään perspektiivipiirustuksen tekniikkaa.
Tavallisimmin projektiivisella tasolla tarkoitetaan reaalista projektiivista tasoa, jota sanotaan myös "laajennetuksi euklidiseksi tasoksi". Sillä on huomattava merkitys, paitsi projek­tiivisessa geometriassa, myös algebrallisessa geometriassa ja topologiassa. Sille käytetään eri yhteyksissä muun muassa merkintöjä , RP tai "P"(R). Yleisemmässä merkityksessä projektiivisella tasolla tarkoitetaan mitä tahansa struktuuria, joka toteuttaa jäljempänä esitetyssä määritelmässä asetetut ehdot. Sellaisia on reaalisen projektiivisen tason lisäksi useita muitakin, sekä äärettömiä kuten kompleksinen projektiivinen taso että äärellisiä kuten Fanon taso.
Projektiivinen taso on kaksi­ulotteinen projektiivinen avaruus, mutta kaikkia projektiivisia tasoja ei voida upottaa kolmi­ulotteiseen projektiiviseen avaruuteen. Tämä upotusominaisuus seuraa Desarguesin lauseesta.
Projektiivinen taso muodostuu joukosta pisteitä, joukosta suoria sekä pisteiden ja suorien välisestä relaatiosta, jota sanotaan insidenssiksi, joille seuraavat ehdot ovat voimassa:Toinen ehto merkitsee, että ei ole yhdensuuntaisia suoria. Viimeinen ehto sulkee pois niin sanotut "degeneroituneet". Termiä "insidenssi" käytetään pisteiden ja suorien välisen relaation symmetrisen luonteen korostamiseen. Tämän vuoksi projek­tiivisessa geometriassa käytetään yleensä ilmaisua "piste "P" on insidentti suoran "l" kanssa", vaikka tällä itse asiassa tarkoitetaan, että "piste "P" on suoralla "l"" tai "suora "l" kulkee pisteen "P" kautta", mutta
Tavanomainen euklidinen taso voidaan laajentaa projektiiviseksi tasoksi seuraavasti:Tätä laajennettua rakennetta sanotaan "laajennetuksi euklidiseksi tasoksi" tai reaaliseksi projektiiviseksi tasoksi. Edellä kuvattua menetelmää sen muodostamiseksi sanotaan "projektiiviseksi täydennykseksi" tai "projektivisioinniksi".
Muuan esimerkki äärellisestä projektiivisesta tasosta käsittää kolmetoista pistettä ja kolmetoista suoraa. Pisteille käytetään merkintöjä P...,P ja suorille m...,m. Insidenssi­relaation määrittelee seuraava taulukko. Taulukon rivit merkitsevät pisteitä ja sarakkeet suoria. Ykkönen ("1") rivillä "i" ja sarakkeessa "j" merkitsee, että piste P on suoralla "m", kun taas tyhjä ruutu merkitsee, että piste ei ole kyseisellä suoralla (eli piste ja suora eivät ole insidentit). Taulukko on esitetty Paige-Wezlerin normaali­muodossa.
Sen osoittamiseksi, että tämä toteuttaa projektiivisen tason ehdot, tarvitsee vain todeta, että jokaisella kahden rivin muodostamaa paria kohti on yksi ja vain yksi yhteinen sarake, jolla merkintä "1" esiintyy kummallakin rivillä, ja että jokaista kahden sarakkeen muodostamaa paria kohti on yksi ja vain yksi yhteinen rivi, jolla merkintä "1" esiintyy kummallakin sarakkeella. Taulukosta voidaan myös valita useita neljän pisteiden joukkoja, esimerkiksi P,P,P ja P, jotka toteuttavat kolmannen ehdon. Tätä esimerkkiä sanotaan "kertaluvun 3 projektiiviseksi tasoksi".
Yksin­kertaisin projektiivinen taso on Fanon taso, jossa on vain seitsemän pistettä ja seitsemän suoraa. Sitä esittää oheinen kaavio, jossa mustat kiekot tarkoittavat tason seitsemää pisteitä, kuusi janaa ja ympyrä tason seitsemää suoraa.
Reaalisen projektiivisen tason äärettömyydessä oleva suora näyttää olevan luonteeltaan täysin erilainen kuin tason muut suorat. Näin ei geometrisesti kuitenkaan ole. Sama projektiivinen taso voidaan konstruoida toisellakin tavalla, joka osoittaa, ettei mikään suora ole erikois­asemassa muihin verrattuna. Tässä konstruktiossa reaalisen projektiivisen tason "pisteet" vastaavat suoria, jotka kulkevat kolmi­ulotteisen euklidisen avaruuden origon kautta, ja projektiivisen avaruuden "suoria" vastaavat niitä kolmiulotteisen avaruuden tasoja, joihin origo sisältyy. Tämä idea voidaan yleistää ja täsmentää seuraavasti.
Olkoon "K" mikä tahansa jakorengas (vinokunta). Merkitään kaikkien tämän jakorenkaan alkoiden muodostamien kolmikoiden ("x" = ("x", "x", "x") joukkoa "K":lla. "K" on siis karteesinen tulo käsitettynä vektori­avaruudeksi. Jokaiselle "K" alkiolle "x", nolla-alkiota (0, 0, 0) lukuun ottamatta, määritellään origon ja "x":n kautta kulkeva "suora" "K":n osajoukkona seuraavasti:
Oletetaan, että "x" ja "y" ovat "K":n lineaarisesti riippumattomia alkioita, toisin sanoen nille pätee, että vain jos . Samaan tapaan edellisen kanssa määritellään origon, "x"n ja "y":n kautta kulkeva "taso" "K":n osajoukkona
Tämä taso sisältää useita origon kautta kulkevia suoria, jotka saadaan kiinnittämällä "k" ja "l" ja ottamalla mukaan tuloksena saatujen vektorien monikerrat. Mitkä tahansa luvut "k" ja "l", joiden suhde on sama, vastaavat samaa suoraa.
Projektiivinen taso "K":n yli, jota merkitään PG(2,"K") tai "K"P, sisältää pisteinään kaikki "K":n origon kautta kulkevat suorat (jokainen niistä on yksiulotteinen vektorialiavaruus). 
PG(2, "K"):n osajoukko "L" on "suora" PG(2,"K'):ssa, jos "K":ssa on taso, jonka suorien joukko on sama kuin "L" (kaksiulotteinen vektorialiavaruus).
Että tämä konstruktio tuottaa projektiivisen tason, todistetaan usein lineaarialgebrassa harjoitus­tehtävänä.
Vaihtoehtoisesti tämä konstruktio voidaan tulkita algebrallisesti seuraavasti. Projektiivisen tason pisteet ovat ekvivalenssirelaation "x ~ kx kaikilla "K":n pisteillä k"
määrittelemiä ekvivalenssi­luokkia joukossa "K" ∖ {(0, 0, 0)}. Projektiivisen tason suorat määritellään aivan samoin kuin edellä.
Projektiivisen avaruuden PG (2, "K") pisteen koordinaatteja ("x", "x", "x") sanotaan homogeenisiksi koordi­naateiksi. Jokainen kolmikko ("x", "x", "x") vastaa jotakin avaruuden PG(2,"K") pistettä, paitsi kolmikko (0, 0, 0), joka ei vastaa mitään pistettä. Jokaista PG(2,"K"):n pistettä kohti on kuitenkin useita tällaisia kolmikoita.
Jos "K" is a topologinen avaruus, voidaan "K"P:n topologia määritellä tulotopologiana, aliavaruuden topologiana tai tekijätopologiana.
Reaalinen projektiivinen taso formula_2P saadaan, kun jakorenkaaksi "K" valitaan reaalilukujen kunta formula_2. Suljettuna, epäorientoituvana 2-monistona sitä käytetään topologiassa perustavana esimerkkinä.
Tarkastellaan tässä konstruktiossa origo­keskeistä yksikkö­palloa kolmi­ulotteisessa avaruudessa formula_4:ssa. Tässä konstruktiossa jokainen avaruuden formula_4 suora leikkaa pallo­pinnan kahdessa vastakkaisessa pisteessä, jotka ovat toistensa antipodeja. Koska avaruuden formula_4 suora vastaa projektiivisen tason formula_2P pistettä, saadaan formula_2P:lle sama malli samastamalla pallo­pinnan anti­podiset pisteet keskenään. formula_2P:n suoria ovat pallopinnan isoympyrät, joissa vastakkaiset pisteet on samastettu. Tämä kuvaus on samalla elliptisen geometrian standardi malli.
Kompleksinen projektiivinen taso formula_10P saadaan, kun jako­renkaaksi "K" valitaan kompleksilukujen kunta formula_10. Se on suljettu kompleksinen 2-monisto ja näin ollen suljettu, orientoituva 4-monisto. Se samoin kuin muita kuntia vastaavat projektiiviset tasot ovat perustavia esimerkkejä algebrallisessa geo­metriassa.
Myös kvaternioiden jakorenkaan formula_12 yli voidaan vastaavalla tavalla muodostaa projektiivinen taso formula_12P.
Wedderburnin lauseen mukaan äärelliset jakorenkaat ovat kommutatiivisia ja näin ollen kuntia. Niinpä äärellisten jako­renkaiden yli muodostettuja projektiivisia tasoja sanotaan "kuntatasoiksi". Jos "K" on äärellinen kunta, jossa on "q" = "p" alkiota, missä "p" on alkuluku, saadussa projektiivisessa tasossa on "q" + "q" + 1 pistettä. Näille kunta­tasoille käytetään yleensä merkintää PG(2,"q"), missä PG tulee sanoista projektiivinen taso, 2 on ulottuvuus ja "q" tason "kerta­luku", joka on yhtä pienempi kuin pisteiden lukumäärä millä tahansa suoralla. Edellä mainittua Fanon tasoa merkitään täten PG(2,2), kun taas ylempänä mainittu 13 pisteen taso on PG(2,3).
Desarguesin lause pätee projektiivisilla tasoilla, jos ja vain jos taso voidaan konstruoida kolmi­ulotteisena vektori­avaruutena jonkin jakorenkaan eli vinokunnan yli. Näitä tasoja sanotaan Desarguesin tasoiksi Girard Desarguesin mukaan. Reaalinen ja kompeksinen projektiivinen taso sekä edellä mainittu kertaluvun 3 projektiivinen taso ovat Desarguesin tasoja. On kuitenkin myös projektiivisia tasoja, joita ei voida näin konstruoida ja jotka näin ollen eivät ole Desarguesin tasoja. Sellainen on esimerkiksi Moultonin taso. Merkintä PG(2,"K") on varattu Desarguesin tasoille.