Felix Klein
Christian Felix Klein () oli saksalainen matemaatikko, joka tunnetaan tutkimuksistaan ryhmäteorian, kompleksianalyysin ja epä­euklidisen geometrian aloilla sekä geometrian ja ryhmäteorian välisten yhteyksien selvittämisestä. Hänen vuonna 1872 aloittamansa Erlangenin ohjelma, joka luokittelee geometriset järjestelmät symmetria­ryhmien mukaan, oli merkitykseltään erittäin tärkeä synteesi aikakauden matematiikasta.
Felix Klein syntyi preussilaisille vanhemmille Düsseldorfissa 25. huhtikuuta 1849. Hänen isänsä, Caspar Klein, toimi Preussin hallituksen virkamiehen sihteerinä Reininmaalla, ja hänen äitinsä oli Sophie Elise Klein. Felix Klein kävi Düsseldorfissa lukion, minkä jälkeen hän vuosina 1865–1866 opiskeli Bonnin yliopistossa matematiikkaa ja fysiikkaa aikoen ryhtyä fyysikoksi. Siihen aikaan Julius Plücker piti Bonnissa hallussaan matematiikan ja kokeellisen fysiikan oppituolia, mutta kun Klein vuonna 1866 tuli hänen assistentikseen, Plückeriä kiinnosti ennen kaikkea geometria. Klein väitteli Plückerin johdolla tohtoriksi Bonnin yliopistossa vuonna 1868.
Plücker kuoli vuonna 1868, jolloin hänen kirjansa viivageometriata oli vielä keskeneräinen. Klein oli ilmeinen valinta henkilöksi, jonka oli määrä saattaa valmiiksi Plückerin teoksen "Neue Geometrie des raumes" toinen osa, ja tässä yhteydessä hän tutustui Alfred Clebschiin, joka oli muuttanut Göttingeniin vuonna 1868. Klein tapasi Clebschin seuraavana vuonna useita kertoja myös Berliinissä ja Pariisissa. Vuonna 1870, Preussin–Ranskan sodan alkaessa, hän oli Pariisissa ja hänen oli poistuttava maasta. Jonkin aikaa hän hoiti lääkintähuollon tehtäviä Preussin armeijaksi, kunnes hänet vuoden 1871 alussa nimitettiin lehtoriksi Göttingenissä.
Vuonna 1872 Klein nimitettiin Erlangen-Nürnbergin yliopiston professoriksi vain 23 vuoden ikäisenä. Tässä Clebsch tuki häntä voimakkaasti ja katsoi hänellä olevan hyvät mahdollisuudet tulla ajan johtavaksi matemaatikoksi. Klein ei perustanut koulukuntaa Erlangeniin, jossa oli vähän opiskelijoita, ja vuonna 1875 hän ottikin mielihyvin vastaan hänelle tarjotun viran Münchenin teknillisessä korkeakoulussa. Siellä hän ja Alexander von Brill pitivät kursseja monille erin­omaisille opiskelijoille, joita olivat muun muassa Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi ja Gregorio Ricci-Curbastro.
Vuonna 1875 Klein meni naimisiin Anne Hegelin kanssa, joka oli filosofi Georg Wilhelm Friedrich Hegelin lapsenlapsi.
Toimittuaan viisi vuotta teknillisessä korkeakoulussa Klein nimitettiin geometrian professoriksi Leipzigissä. Siellä hänen työtovereinaan olivat muun muassa Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study ja Friedrich Engel. Asuessaan Leipzigissä vuodet 1880–1886 hänen elämänsä muuttui täysin. Vuonna 1882 hänen terveytensä romahti, ja vuosina 1883–1884 hän kärsi masennuksesta. Siitä huolimatta hänen tutkimustyönsä jatkui: hän teki hyper­elliptisten sigma­funktioiden alalla uraa­uurtavaa työtä, joka julkaistiin vuosina 1886 ja 1888.
Vuonna 1886 Klein nimitettiin professoriksi Göttingenin yliopistoon. Siitä lähtien eläkkeelle jäämiseensä saakka vuonna 1913 hän yritti tehdä Göttingenistä jälleen maailman johtavan matematiikan tutkimuksen keskuksen. Samaan aikaan hän kuitenkin edelleen johti Lepizigissä toiminutta johtavaa geometrista koulukuntaa, jota hän ei koskaan saanut siirretyksi Göttingeniin. Göttingenissä hän piti monia luentokursseja varsinkin matemaattiseen fysiikkaan liittyvistä aiheista kuten mekaniikasta ja potentiaaliteoriasta.
Tutkimuskeskus, jonka Klein perusti Göttingeniin, toimi mallina parhaille vastaavan­laisille keskuksille kaikkialla maailmassa. Hän pani alulle viikoittaiset keskustelu­tilaisuudet ja perusti matemaattisen lukusalin ja kirjaston. Vuonna 1895 Klein sai David Hilbertin erotetuksi virastaan Königsbergin yliopistossa, minkä jälkeen Hilbert kuitenkin ylläpiti Göttingin mainetta eläkkeelle jäämiseensä saakka vuonna 1932.
Kleinin toimittama "Mathematische Annalen" tuli yhdeksi maailman parhaista matemaattisista aika­kaus­kirjoista. Sen oli perustanut Clebsch, mutta vasta Kleinin johdolla se pystyi kilpailemaan Berliinin yliopiston julkaiseman "Crelle's Journalin" ja lopulta ylittämäänkin sen. Klein kokosi pienen toimitusryhmän, joka kokoontui säännöllisesti ja teki demo­kraattisia päätöksiä. Julkaisu erikoistui kompleksianalyysiin, algebralliseen geometriaan ja ainakin aluksi invarianssiteoriaan, kunnes Hilbert tuhosi viimeksi ­mainitun. Siinä julkaistiin runsaasti tutkimuksia myös reaali­analyysin ja uuden ryhmäteorian aloilta.
Osittain Kleinin ansioista Göttingenin yliopisto alkoi vuonna 1893 ottaa opiskelijoiksi myös naisia. Hän ohjasi myös ensimmäistä naisen Göttingenin yli­opistossa matematiikan alalta tekemää tohtorin­väitös­työtä, jonka teki Grace Chisholm Young, englantilainen nainen, joka oli opiskellut Kleinin kunnioittaman Arthur Cayleyn oppilaana.
Vuoden 1900 aikoihin Klein alkoi kiinnostua koulujen matematiikan opetuksesta. Vuonna 1905 hän vaikutti ratkaisevasti siihen, että opetus­suunnitelmassa suoriteltiin differentiaali- ja integraali­laskennan alkeiden opettamista oppi­kouluissa. Tätä suositusta alettiin vähitellen noudattaa monissa muissakin maissa eri puolilla maailmaa. Vuonna 1908 Rooman kansain­välisessä matemaatikko­kongressissa Klein valittiin matematiikan opetuksen kansain­välisen komission puheen­johtajaksi. Hänen johdollaan komission saksalainen jaosto julkaisi monia teoksia matematiikan opetuksesta Saksassa kaikilla tasoilla.
Lontoon matemaattinen seura myönsi Kleinille De Morganin mitalin vuonna 1893. Vuonna 1885 hänet valittiin Royal Societyn jäseneksi, ja hän sai Copley-mitalin vuonna 1912. Seuraavana hän siirtyi eläkkeelle huonon terveyden­tilansa takia, mutta jatkoi matematiikan opetusta kotonaan vielä muutaman vuoden.
Kleinille myönnettiin salaneuvoksen () arvonimi.
Klein kuoli Göttingenissä vuonna 1925.
Kleinin tutkimukset viivageometriasta ja sen sovelluksista mekaniikkaan luokittelivat toisen asteen käyrät käyttämällä hyväksi Weierstrassin yksinkertaisten jakajien teoriaa.
Klein teki ensimmäiset tärkeät matemaattiset löytönsä vuonna 1870. Yhteisyössä Sophus Lien kanssa hän löysi asymptoottisten käyrien perustavat ominaisuudet Kummerin pinnoilla. He ryhtyivät tutkimaan W-käyriä, jotka ovat invariantteja eräässä projektiivisten muunnosten ryhmässä. Juuri Lie teki Kleinille tutuksi ryhmän käsitteen, jolla hänen myöhemmissä tutkimuksissaan oli keskeinen sija. Klein opiskeli ryhmäteoriaa myös Camille Jordanin johdolla.
Klein keksi hänen mukaansa nimetyn Kleinin pullon, yksipuolisen suljetun pinnan, jota ei voida toteuttaa kolmi­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa mutta joka voidaan ajatella lieriönä, jonka toista päätä on venytetty niin, että se läpäisee lieriön vaipan ja yhtyy lopulta lieriön toiseen päähän "sisä­puolelta." Neli- tai useampi­ulotteiseen avaruuteen se kyllä voidaan upottaa.
1890-luvulla Klein siirtyi tutkimaan matemaattista fysiikkaa, jossa hän ei aikaisemmin ollut edennyt pitkälle, ja hän laati Arnold Sommerfeldin kanssa tutkielman gyros­koopista. Vuonna 1894 hänen aloitteestaan ryhdyttiin laatimaan matematiikan ja sen sovellusten ensyklo­pediaa, "Encyklopädie der mathematischen Wissen­schaften", joka tunnetaan myös Kleinin ensyklopediana. Hanke, joka kesti vuoteen 1935 saakka, tuotti hakuteoksen, jolla on pysyvä arvo.
Göttingenissä Klein teki vuonna 1871 huomattavia tutkimuksia geometrian alalta. Hän julkaisi kaksi tutkielmaa "Niin sanotusta epäeuklidisesta geometriasta", ja niissä hän osoitti, että euklidiset ja epäeuklidiset geometriat voitiin molemmat käsittää erikoistapaukiksi projektiivisesta pinnasta, johon on liitetty tietynlainen kartioleikkaus. Tästä seurasi se huomattava päätelmä, että epäeuklidinen geometria on ristiriidaton, jos ja vain jos euklidinen geometria on sellainen, ja täten hän asetti euklidisen ja epäeuklidisen geometrian samalle perustukselle lopettaen epäeuklidisesta geometriasta käydyn kiistan. Arthur Cayley ei koskaan hyväksynyt Kleinin todistelua vaan piti niitä kehäpäätelmänä.
Kleinin vuonna 1872 laatima yhteenveto geometriasta niiden avaruuden ominaisuuksien tutkimuksena, jotka ovat invariantteja annetussa muunnosryhmässä, tunnetaan nimellä Erlangenin ohjelma, ja se vaikutti syvällisesti matematiikan kehitykseen. Tämä ohjelma sai alkunsa Kleinin virkaan­astujais­esitelmästä Erlangenin professorina, vaikka se ei tuolloin ollutkaan esitelmän aiheena. Tämä ohjelma tavoitteli geometrialle yhtenäistettyä lähestymistapaa, josta on tullut hyväksytty nykyaikainen näkemys. Klein osoitti, että annetun geometrian oleelliset ominaisuudet voidaan esittää muunnosryhmän avulla, johon kuuluvissa muunnoksissa kyseiset ominaisuudet säilyvät. Täten ohjelmassa esitetty geometrian määritelmä soveltui sekä euklidiseen että epäeuklidiseen geometriaan.
Nykyisin Kleinin saavutusten merkitys geometrian kannalta on mitä selvin. Ne ovat tulleet siinä määrin osaksi nykyistä matemaattista ajattelua, että nykyisin on vaikea tajuta, että nekin ovat aikoinaan olleet uutuuksia ja miksi niitä eivät kaikki hänen aikalaisensa heti hyväksyneet.
Klein piti tärkeimpinä saavutuksinaan kompleksianalyysin alalla tekemiään tutkimuksia. Hän havaitsi yhteyden eräiden Riemmannin ideoiden ja invarianssiteorian välillä. Kompleksianalyysiin liittyen hän tutki myös lukuteoriaa, abstraktia algebraa, ryhmäteoriaa, geometriaa useammassa kuin kolmessa ulottuvuudessa sekä differentiaaliyhtälöitä, erityisesti keksimiään elliptisiä modulaarisia funktioita ja auto­morfisia funktioita.
Klein osoitti, että modulaarinen ryhmä siirtää kompleksitason perustavaa aluetta niin, että se tesselloi tason. Vuonna 1879 hän tutki PSL(2,7):n vaikutusta, joka voidaan käsittää modu­laarisen ryhmän kuvaksi, ja johti eräälle nykyisin Kleinin neljännen asteen pinnaksi kutsutulle Riemannin pinnalle eksplisiittisen esityksen. Hän osoitti, että tämä pinta oli käyrä projek­tiivisessa avaruudessa, että sen yhtälö oli
ja että sen symmetriaryhmä oli PSL(2,7), jossa on 168 alkiota. Hänen tutkielmansa "Ueber Riemann's Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale" vuodelta 1882 käsittelee kompleksianalyysiä geometrisesti ja yhdistää potentiaaliteorian ja konformi­kuvaukset. Hän käytti hyväkseen myös virtaus­dynamiikan käsitteitä.
Klein tutki korkeamman kuin neljännen asteen yhtälöitä ja oli erityisen kiinnostunut trans­kendenttisistä menetelmistä yleisen viidennen asteen yhtälön ratkaisemiseksi. Hermiten ja Kroneckerin kehittämillä menetelmillä hän muotoili samankaltaisia tuloksia kuin Brioschi ja sai ongelman täydellisesti ratkaisuksi ikosaedri­ryhmien avulla. Tämä johti hänet laatimaan tutkimuksia myös elliptisistä modulaarisista funktioista.
Vuonna 1884 kirjoittamassaan teoksessa ikosaedristä Klein pani alulle auto­morfisten funktioiden teorian, joka yhdisti algebran ja geometrian. Henri Poincaré oli kuitenkin julkaissut automorfisten funktioiden teorian perusteet jo vuonna 1881, mikä johti ystävällismieliseen kilpailuun heidän välillään. Molemmat yrittivät muotoilla ja todistaa suuren uniformisaatiolauseen, jonka mukaan jokainen yhdesti yhtenäinen Riemannin pinta voidaan kuvata konformisesti joko avoimelle yksikkö­kiekolle, tasolle tai laajennetulle tasolle. Klein onnistui muotoilemaan teoreeman ja yritti todistaa sen. Niihin aikoihin hänen terveytensä kuitenkin romahti, kuten edellä on mainittu.
Klein laati automorfisia- ja elliptisiä modulaarisia funktioita koskevista tutkimuksistaan neliosaisen teoksen Robert Fricken kanssa, mihin meni yli 20 vuotta.