Kompleksiluku
Kompleksilukujen joukko ℂ on reaalilukujen luonnollinen laajennus. Kompleksiluku "z" on muotoa
jossa "x" ja "y" ovat reaalilukuja ja "i" on "imaginaariyksikkö", joka voidaan merkitä formula_2. Lukua "x" kutsutaan kompleksiluvun "reaaliosaksi" (Re(z)) ja lukua "y" vastaavasti sen "imaginaariosaksi" (Im(z)).
Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: formula_3. Jos formula_4, kompleksilukua kutsutaan "puhtaasti imaginaariseksi".
Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä formula_5 ei ole reaalisia juuria, sillä formula_6 on positiivinen kaikilla reaalisilla formula_7:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut formula_8 ja formula_9.
Kompleksilukuja voi laskea yhteen, vähentää toisistaan tai kertoa keskenään soveltamalla liitäntä-, vaihdanta- ja osittelulakeja, sekä yhtälöä formula_10:
kaikilla reaaliluvuilla "x,x',y,y"'
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan "liittoluvun" eli "konjugaatin" avulla. Kompleksiluvun formula_14 liittoluku on formula_15. Määritellään kompleksiluvun "moduuli" eli "itseisarvo" formula_16. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku:
Kompleksilukujen jakolasku sieventyy laventamalla jakajan liittoluvulla kompleksilukujen kertolaskuksi:
Liittolukua merkitään myös formula_19:lla.
Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun formula_20 formula_21:s potenssi on formula_22, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia. Kompleksilukun formula_20 formula_26:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään formula_27. Tällöin formula_28. Tällöin formula_26:s juuri on formula_30, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia.
Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari, se voidaan esittää kaksiulotteisen koordinaatiston pisteenä tai paikkavektorina. Kompleksilukua formula_33 kuvaa tason piste formula_34 ja paikkavektori OP. Koordinaatiston toinen akseli ilmaisee kompleksiluvun reaalikomponentin ja toinen imaginaarikomponentin. Kompleksilukujen ja vektorien yhteenlaskut vastaavat toisiaan. Tasoa, jonka pisteet on määritelty vastaamaan kompleksilukuja, sanotaan "kompleksitasoksi".
Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa formula_35, jossa formula_36 on kompleksiluvun itseisarvo formula_37, ja formula_38 on formula_39:n "argumentti", eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon:
Kompleksilukujen kertolasku voidaan siis jakaa kahteen vaiheeseen: itseisarvojen kertomiseen keskenään, eli paikkavektorin pituuden muutokseen, ja argumenttien yhteenlaskuun, eli vektorin kiertoon. Jakolaskun suhteen voidaan menetellä vastaavalla tavalla sillä erotuksella, että itseisarvojen kertolaskua vastaa jakolasku ja argumenttien yhteenlaskua vähennyslasku.
Kompleksilukujen kertolasku voidaan tulkita geometrisesti myös seuraavasti: Kun kompleksiluku kerrotaan reaaliluvulla, sen paikkavektorin pituus kerrotaan tällä reaaliluvulla, mutta sen suunta pysyy ennallaan tai vaihtuu päinvastaiseksi, jos kerroin on negatiivinen. Kun kompleksiluku kerrotaan imaginaariyksiköllä i, sen paikkavektorin suuntaa kierretään 90 astetta vastapäivään, mutta sen pituus pysyy ennallaan. Kertominen muulla kompleksiluvulla voidaan yhdistää näistä sekä vektorien yhteenlaskusta.
Kompleksilukujen joukossa määriteltyjä analyyttisia funktiota tutkii funktioteoria eli kompleksianalyysi. Funktioiden määrittelyjoukkona käytetään usein laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksitasoon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste.
Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan "Ars Magnassa". Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari.
Kolmannen asteen yhtälöä ratkaistaessa ratkaisukaavan avulla päädytään väistämättä neliöjuuren ottamiseen negatiivisista luvuista, jos yhtälöllä on kolme nollasta poikkeavaa reaalijuurta. Tätä tapausta kutsutaan "casus irreducibilikseksi" , eli "redusoimattomaksi tapaukseksi", sillä ratkaisua ei voi tässä tapauksessa löytää ilman jonkinlaista käsitystä kompleksisten lukujen laskusäännöistä. Cardano laskee "Ars Magnassa" formaalisti tulon formula_42 ja saa oikean tuloksen 40, huolimatta siitä että hän kieltää negatiivisten lukujen neliöjuurten olemassaolon. On muistettava että Cardanon aikaan negatiivisiakaan lukuja ei aina hyväksytty, Cardano itse kutsui niitä nimellä "numeri ficti". René Descartes ei hyväksynyt kompleksisia lukuja ja pilkkasi niitä kutsumalla niitä "imaginaarisiksi" vuonna 1637 julkaistussa "La Géométriessaan".
Leonhard Euler julkaisi vuonna 1748 kirjassaan "Introductio" nykyään Eulerin lauseena tunnetun tärkeän identiteetin, jonka erityistapaus on formula_43. Euler myös otti käyttöön merkinnän formula_44 kuvaamaan lukua formula_45. Aikaisemmin samalla vuosisadalla ranskalainen matemaatikko Abraham de Moivre oli keksinyt toisen tärkeän kompleksilukuihin liittyvän kaavan, de Moivren kaavan, vaikka ei sitä nykyään tunnetussa muodossa esittänytkään.