Matematiikan kauneus
Matematiikan kauneudella tarkoitetaan sitä, että monet matemaatikot saavat esteettistä mielihyvää työstään ja matematiikasta yleensäkin ja kuvaavat tätä tunnetta sanomalla matematiikkaa (tai jotain sen osa-aluetta) ”kauniiksi”. Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa taiteeksi, ja sitä verrataan erityisesti musiikkiin tai runouteen. Bertrand Russell luonnehti matematiikan kauneutta seuraavasti:
Paul Erdős luonnehti matematiikan sanoinkuvaamattomuutta kirjoittaessaan: "Miksi numerot ovat kauniita? Yhtä hyvin voisi kysyä, miksi Beethovenin 9. sinfonia on kaunis. Jos joku ei näe syytä, kukaan ei voi sitä hänelle selittää. Minä "tiedän" numeroiden olevan kauniita. Jos ne eivät ole kauniita, ei mikään muukaan ole."
Matemaatikot luonnehtivat erityisen onnistunutta matemaattista todistusta elegantiksi tai tyylikkääksi. Tapauksesta riippuen sillä voidaan tarkoittaaEleganttia todistusta etsiessään matemaatikot usein hakevat erilaisia, toisistaan riippumattomia tapoja tuloksen todistamiseksi — ensimmäisenä löydetty ei välttämättä ole paras (kuten sokkelossa ensimmäisenä perille vievä reitti ei välttämättä ole lyhin). Eniten erilaisia todistuksia on luultavasti löydetty Pythagoraan lauseelle: sille on esitetty satoja todistuksia.
Myös neliönjäännöslauseelle on löydetty monia eri todistuksia — yksin Carl Friedrich Gauss julkaisi lauseelle kahdeksan eri todistusta.
Vastavuoroisesti tuloksia, jotka ovat loogisesti oikeita mutta jotka vaativat työläitä laskelmia, ylettömän huolellisia menetelmiä, erittäin perinteisiä lähestymistapoja tai jotka edellyttävät lukuisia erityisen voimakkaita aksioomia tai aikaisempia tuloksia, ei yleensä luonnehdita "eleganteiksi", vaan niitä kuvataan pikemminkin "rumiksi" tai "kömpelöiksi".
Tähän liittyy Occamin partaveitsi, jonka mukaan teoriasta tulee karsia kaikki ylimääräiset tekijät eli niiden tulee olla mahdollisimman yksinkertaisia.
Matemaatikot näkevät kauneutta tuloksissa, jotka muodostavat yhteyksiä kahden matematiikan osa-alueen välille, vaikka niillä ei ensisilmäyksellä näyttäisi olevan mitään yhteistä. Näitä tuloksia kuvataan usein "syvällisiksi" tai "syviksi" (engl. "deep").
Vaikka on vaikeaa löytää yksimielisyyttä siitä, onko jokin tulos syvällinen vai ei, muutamiin esimerkkeihin viitataan usein. Yksi on Eulerin identiteetti:
Kaava sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1:n ja 0:n. Se yhdistää matemaattisen analyysin, geometrian ja algebran. Yhtälössä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen. Fyysikko Richard Feynman kutsuu tätä "matematiikan merkittävimmäksi lauseeksi".
Nykyaikaisiin esimerkkeihin kuuluvat modulaarisuuslause, joka tuo tärkeän yhteyden elliptisten käyrien ja modulimuotojen välille (Andrew Wiles ja Robert Langlands saivat tästä työstään Wolfin palkinnon), ja "Hirviömäinen pontikka" ("Monstrous moonshine"), joka yhdistää "Hirviöryhmän" ("Monster group") modulimuotoihin säieteorian kautta (Richard Borcherds palkittiin työstään Fieldsin mitalilla).
Syvällisen vastakohta on "triviaali". Triviaali lause voi olla tulos, joka voidaan johtaa itsestään selvällä ja suoraviivaisella tavalla toisista tunnetuista tuloksista tai joka koskee vain tiettyä osaa määrätystä joukosta, kuten tyhjä joukko. Joskus kuitenkin lause voi olla kyllin omaperäinen, että se voidaan luokitella "syväksi", vaikka sen todistus onkin melko ilmeinen.
Numeroiden ja symbolien käsittelystä saatavaa tyydytystä tarvitaan kenties kaikessa matematiikassa.
Koska matematiikkaa tarvitaan tieteessä ja tekniikassa, on todennäköistä, että mikä tahansa teknologinen yhteiskunta tukee tätä estetiikkaa, ainakin sen tieteenfilosofiassa, jos ei muualla.
Voimakkain kokemus matemaattisesta kauneudesta tulee useimmille matemaatikoille siitä, että he aktiivisesti harjoittavat sitä. Matematiikasta ei voi nauttia tai harjoittaa sitä passiivisesti. Siinä ei ole roolia tarkkailijalle, yleisölle tai katsojalle. Bertrand Russell viittasi matematiikan "karuun kauneuteen".
Joillain matemaatikoilla on se mielipide, että matematiikan tekeminen on lähempänä löytämistä kuin keksimistä. Esimerkiksi:
Nämä matemaatikot uskovat, että matematiikan yksityiskohtaisten ja tarkkojen tulosten voidaan järkevästi olettaa olevan tosia täysin riippumatta universumista, jossa elämme. He voivat esimerkiksi väittää teorian luonnollisista luvuista olevan perustavalaatuisesti pätevä riippumatta kontekstista. Jotkin matemaatikot ovat laajentaneet tämän näkemyksen matemaattisesta kauneudesta vielä pitemmälle lähestyen mystiikkaa.
Pythagoras (sekä hänen koulukuntansa pythagoralaisuus) uskoivat numeroiden kirjaimelliseen olevaisuuteen. Irrationaalilukujen olemassaolon löytyminen oli heille šokki – heille sellaisten numeroiden olemassaolo, joita ei voitu esittää kahden luvun suhteena, oli luonnossa oleva virhe. Nykyajan näkökulmasta katsottuna Pythagoraan numeroiden mystinen käsittely oli paremminkin numerologiaa kuin matematiikkaa.
Platonin filosofiassa on olemassa kaksi maailmaa: todellinen fyysinen maailma, jossa me elämme, ja toinen, abstrakti maailma, joka sisältää muuttumattoman totuuden – johon kuuluu myös matematiikka. Hän uskoi todellisen maailman olevan vain abstraktin maailman heijastuma.
Galileo Galilein kerrotaan sanoneen: "Mathematiikka on kieli, jolla Jumala kirjoitti Universumin."
Unkarilainen mathemaatikko Paul Erdős (vaikkakin ateisti) puhui kuvitellusta kirjasta, johon Jumala on kirjoittanut kaikki kauneimmat matemaattiset todistukset. Kun Erdős halusi erityisesti korostaa jotain todistusta, hän toi ilmi, että "Tämä löytyy Kirjasta!" Tämä näkemys tuo ilmi sen idean, että matematiikka – olennaisena perustuksena, jolle universumimme lait on perustettu – on luonnollinen ehdokas sille, mikä on personoitu Jumalaksi eri uskonnoissa.
Ranskalainen filosofi Alain Badiou väittää ontologiaa matematiikaksi. Hän myös uskoo, että matematiikan, runouden ja filosofian välillä on syvä yhteys.
Joissain tapauksissa filosofit ja muut tieteenharjoittajat, jotka ovat käyttäneet matematiikkaa laajasti hyväkseen, ovat tehneet päättelyissään loikkia kauneuden ja fyysisen totuuden välillä virheellisisiksi osoittautuneilla tavoilla.
Esimerkiksi Johannes Kepler uskoi yhdessä vaiheessa, että silloin tunnettujen planeettojen radat olivat Jumalan järjestämiä muistuttamaan viiden Platonin kappaleen järjestystä. Koska Platonin kappaleita on vain viisi, Keplerin hypoteesi salli vain kuusi planeettarataa, ja oli todistettu vääräksi Uranuksen löytyessä.
1970-luvulla Abraham Moles ja Frieder Nake analysoivat linkkejä kauneuden, informaation käsittelyn (information processing) ja informaatioteorian välillä. 1990-luvulla Jürgen Schmidhuber kehitti matemaattisen teorian katsoja-riippuvaisesta subjektiivisesta kauneudesta, joka perustuu algoritmiseen informaatioteoriaan: kauneimmilla verrattavissa olevilla kohteilla on lyhyimmät algoritmit (esim. ) suhteessa siihen, mitä tarkkailija jo tietää.
Kuvataiteessa ja arkkitehtuurissa esiintyvä kultainen leikkaus on sommittelun perussääntöjä. Muodot, joissa esiintyy kultainen leikkaus, koetaan yleisesti esteettisesti miellyttäviksi.
Tessellaation avulla voidaan täyttää kaksiulotteinen taso geometrisen muodon toistamisella aukkoja jättämättä. M. C. Escher sai niihin inspiraation tutkiessaan Alhambran koristeluja.
Fraktaali on itsesimilaarinen joukko, eli se näyttää samalta tai samankaltaiselta, katsoi sitä millä suurennoksella tahansa. Fraktaaleja voidaan suurentaa rajatta. Niillä on yksityiskohtia kaikissa mittakaavoissa eli yksityiskohdat jatkuvat äärettömiin. Fraktaaleista voidaan laatia taideteoksia ohjelmoitavan tietokonegrafiikan keinoin.