Rhindin papyrus
Rhindin papyrus (Rhindin matemaattinen papyrus, RMP, usein myös Ahmesin papyrus tai Ahmosen papyrus), jolla on myös tunnisteet "British Museum 10057" ja "pBM 10058", on matemaattisia probleemoja sisältävä papyruskäärö, jota pidetään parhaana osoituksena muinaisten egyptiläisten matemaattisesta tietämyksestä. Se on nimetty skotlantilaisen antikvaari Henry Rhindin mukaan, joka vuonna 1858 hankki tämän papyruksen Egyptin Luxorista. Papyrusta pidetään yhtenä vanhimmista matemaattisista dokumenteista maailmassa.
Papyrus on ilmeisesti löydetty laittomissa kaivauksissa Ramesseumissa tai sen läheisyydessä, ja se on peräisin noin vuodelta 1650 eaa. tai noin vuodelta 1550 eaa. Sitä säilytetään British Museumissa, joka sai sen haltuunsa vuonna 1865 yhdessä Egyptiläisen matemaattisen nahkakäärön kanssa, jonka Henry Rind myös oli omistanut. Muutamat katkelmat papyruksesta löydettiin kuitenkin vuonna 1922 New Yorkiin päätyneiden lääketieteellisten tekstien kokoelmasta, ja niitä säilytetään nykyisin New Yorkin Brooklyn Museumissa., ja keskeltä 18 cm:n pituinen osa on kadonnut. Moskovan matemaattisen papyruksen ohella se on toinen tunnetuista egyptiläisistä matemaattisista papyruksista. Rhindin papyrus on laajempi, mutta Moskovan matemaattinen papyrus on sitä vanhempi.
Rhindin matemaattinen papyrus on peräisin muinaisen Egyptin toiselta välikaudelta. Sen on kirjuri Ahmes (Ahmose) kopioinut vanhemmasta, 12. dynastian faarao Amenemhat III:n aikaisesta, nyttemmin kadonneesta tekstistä. Se on kirjoitettu hieraattisilla kirjoitusmerkeillä, se on 33 cm korkuinen ja koostuu useista osista, joiden yhteenlaskettu pituus on viisi metriä. Papyrusta alettiin tulkitta ja selvittää matemaattisesti 1800-luvun lopulla. Vielä vuonna 2008 sen matemaattinen tulkinta ei ollut kaikilta osin valmis. Dokumentti on päivätty hyksokuningas Apepi I:n 33. vuotena, mutta sen kääntöpuolella on erillinen osa, joka on päivätty 11. vuotena, todennäköisesti Apepin seuraajan Khamudin hallitsijakautta.
Rhindin papyrus osoittaa, että jo sen kirjoittamisen aikaan oli puhtaan aritmetiikan ohella alettu tutkia myös algebraa. Jo silloin pyrkimyksenä oli ratkaista matemaattisia ongelmia, jossa esiintyy tuntematon suure.
Rhindin papyrus on jaettu kolmeen lukuun. Siinä on kaikkiaan 84 matemaattista probleemaa. Kaikille niille esitetään myös ratkaisut, mutta läheskään kaikkien kohdalla ei selitetä, miten ratkaisuun on päädytty.
Papyruksen alussa Ahmes ilmoittaa sen sisältävän "tarkkoja laskuja asioiden tutkimiseksi ja tietoa kaikista asioista, mysteereistä ja salaisuuksista:" Hän jatkaa:
Tämä kirja kopioitiin vuonna 33 akhetin 4. kuukautena Ylä- ja Ala-Egyptin kuninkaan majesteetin Awserren hallitsijakaudella vanhasta kopiosta, joka oli tehty Ylä- ja Ala-Egyptin kuningas Nimaatren aikana. Kirjuri Ahmose kirjoittaa tämän kopion.
Rhindin papyruksesta on julkaistu useita kirjoja ja artikkeleita, joista muutamat ovat varsin merkittäviä. Rhindin papyruksen julkaisi englanniksi käännettynä ja kommenteilla varustettuna Thomas Eric Peet vuonna 1923. Chace julkaisi vuosina 1927–1929 käännöksen ja suppean yhteenvedon, joka sisälsi myös valokuvia papyruksesta. Myöhemmin yleiskatsauksen Rhindin papyruksesta ovat julkaisseet muun muassa Robins ja Shute vuonna 1987.
Rhindin papyruksen ensimmäinen luku käsittää taulukoita, joihin myöhemmin viitataan, sekä 20 aritmeettista ja 20 algebrallista probleemaa. Probleemat alkavat yksinkertaisista murtolukulausekkeista, joiden jälkeen seuraa täydennysprobleemja ("sekhem") ja lopulta lineaarisilla yhtälöillä ratkaistavia tehtäviä, joita egyptiläisten käsittelemässä muodossa sanotaan "aha"-probleemoiksi.
Ensimmäisen osan papyruksesta vie lukujen 2/"n" taulukko. Siinä murtoluvut 2/"n", missä "n" on pariton luku väliltä 3...101, esitetään yksikkö­murto­lukujen summina. Eräissä tapauksissa murtoluvun 2/"n" esittämiseen yksikkö­murto­lukujen summana tarvitaan neljä murtolukua, esimerkiksi formula_1, mutta ei koskaan useampaa kun neljää. Papyruksessa ilmoitetut murtoluvut yksikkö­murto­lukujen summina ovat:
Muunnostaulukko oli tarpeellinen, sillä egyptiläiset matemaatikot osasivat käyttää laskuissaan ainoastaan egyptiläisiä murtolukuja, jotka olivat ykkösen tasaosia eli muotoa 1/2, 1/3 tai 1/4 ja kaikki muut murtoluvut piti ensin esittää ykkösen tasaosien summana. Ainoana poikkeuksena Egyptissä tunnettiin murtoluku 2/3, jolle oli oma kirjoitusmerkkinsä.
Itse asiassa jokainen murtoluku voidaan esittää äärettömän monella tavalla yksikkömurtolukujen summana. Papyruksesta ei käy suoranaisesti ilmi, millä tavalla juuri nämä esitystavat on muodostettu, mutta on arveltu egyptiläisten käyttäneen lukuteoreettisia menetelmiä.
Tätä taulukkoa seuraa luettelo vastaavista murtolukuesityksistä osamäärille, jotka saadaan, kun luvut 1...9 jaetaan 10:llä. Esimerkiksi 7 jaettuna kymmenellä ilmaistaan seuraavasti:
Näiden taulukoiden jälkeen papyruksessa esitetään kaikkiaan 84 probleemaa, joista ensimmäiset 40 kuuluvat ensimmäiseen kirjaan ja ovat luonteeltaan algebrallisia.
Probleemat 1–6 käsittelevät leivänpalasten jakamista 10 miehen kesken, ja tulokset ilmoitetaan yksikkömurtolukujen summina. Probleemoissa 7–20 osoitetaan, miten lausekkeet 1 + 1/2 + 1/4 ja 1 + 2/3 + 1/3 kerrotaan eri murtoluvuilla.
Probleemat 21–23 ovat täydennysprobleemoja, jota nykyisin ratkaistaisiin yksinkertaisesti murtolukujen vähennyslaskulla. Kirjuri ratkaisi probleeman kertomalla sen kokonaisuudessaan nimittäjien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, minkä jälkeen probleema oli helposti ratkaistavissa ja tulos muunnettiin takaisin murtolukumuotoon.
Probleemat 24–34 ovat niin sanottuja ‘’aha’’ -probleemoja. Nykyisin käsittein ilmaistuina ne ovat itse asiassa ensimmäisen asteen yhtälöitä, joissa yhtälöstä ratkaistava tuntematon suure ilmaistiin egyptin kielen sanalla ‘’aha’’, joka merkitsee "kasaa" tai "kokonaisuutta". Esimerkiksi lause
"Aha", se kokonaan, sen seitsemäs osa, tekee kaikkiaan 19.
merkitsi samaa, mikä nykyisin ilmaistaisiin yhtälöllä:
formula_2
Probleemat 35–38 käsittelevät egyptiläisen tilavuusyksikön, hekatin jakamista murto-osiinsa. Probleemat 39 ja 40 käsittelevät viljasadon jakamista ja niissä käytetään aritmeettisia lukujonoja.
Rhindin papyruksen toinen luku sisältää geometrisia probleemoja. Peet viittasi näihin probleemoihin nimittämällä niitä "mittausprobleemoiksi".
Probleemat 41 – 46 käsittelevät sekä lieriömäisen että suorakulmaisen vilja-aitan tilavuuden määrittämistä. Probleemassa 41 kirjuri laskee lieriömäisen aitan tilavuuden. Kun sen halkaisija (d) ja korkeus (h) tunnetaan, sen tilavuus on Rhindin papyruksen mukaan:
Nykyaikaisin matemaattisin merkinnöin, kun lisäksi halkaisijan "d" sijasta käytetään lieriön sädettä "4" (d = 2r) tämä ilmaistaisiin:
Tässä esiintyvä murtoluku 256/81 on π:lle käytetty likiarvo, noin 3,1605.
Probleemassa 42 tilavuuden laskemiseen käytetään hieman erilaista menetelmää, ja tilavuus ilmaistaan "khar" -yksiköissä.
Nykyaikaisin matemaattisin merkinnöin tämä merkitsee:
Tämä on yhtäpitävä lausekkeen formula_7 kanssa, jossa mittayksikkönä on kuutio-"cubit" kuten edellisessä probleemassa.
Probleemassa 47 annetaan taulukko yksikkömurtolukujen summista, jotka vastaavat 100 vilja-"hekatin" murto-osia, kun tämä määrä viljaa jaetaan luvuilla 10, 20 ja niin edelleen 100:aan saakka. Hekatin ohella käytetään pienempää tilavuusyksikköä "ro", joka oli 1/320 hekatia. Hekat- ja vastaavasti ro -nimisiä mittoja oli kuitenkin useita; tässä tarkoitetaan "suurta hekatia" eli nelinkertaista hekatia ja sen mukaisesti myös "ro" tarkoittaa tässä nelinkertaista "ro":ta eli 1/320 nelinkertaista hekatia. Tällöin tulokset olivat seuraavat:
Probleemat 48–55 käsittelevät erilaisten alueiden pinta-alojen laskemista. Niistä tunnetuimmaksi on tullut probleema 48, joka käsittelee ympyrän pinta-alaa ja jonka on usein sanottu sisältävän yhden varhaisimmista tunnetuista π:n likiarvoista. Siinä ympyrän pinta-alaa, jonka likiarvona käytetään kahdeksankulmion pinta-alaa, verrataan sen ympäri piirretyn neliön pinta-alaan. Neliön jokainen sivu jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan, minkä jälkeen tarkastellaan kahdeksankulmiota, joka saadaan, kun neliön jokaisesta nurkasta poistetaan tasakylkisen kolmion muotoinen alue. Jäljelle jäävä kahdeksankulmio on pinta-alaltaan likipitäen yhtä suuri kuin ympyrä. Tarkemmin sanottuna, jos alkuperäisen neliön sivu oli 9 pituusyksikköä, tämän kahdeksankulmion pinta-ala on: formula_8. Todetaan, että luku 63 on lähellä lukua 64 ja että formula_9. Alkuperäisen neliön pinta-ala sen sijaan oli formula_10 pituusyksikköä. Päättelyä jatketaan probleemassa 50, jossa päädytään siihen, että ympyrän pinta-ala on likipitäen yhtä suuri kuin sellaisen neliön pinta-ala, jonka sivu on kahdeksan yhdeksäsosaa ympyrän halkaisijasta. Jos ympyrän pinta-alalle olisi jo silloin tunnettu lauseke formula_11, tästä olisi saatu π:lle likiarvo formula_12, sen sijaan että nykyisin tunnettu likiarvo alkaa 3,14159.
On pitkälti onnellinen sattuma, että tällä kahdeksankulmaisella kuviolla, jonka pinta-ala on helppo laskea, saadaan ympyrän pinta-alalle näinkin hyvä likiarvo. Itse asiassa jos neliön sivu on "a", on kyseisen kahdeksankulmion pinta-ala 7("a"/3), mistä π:lle saadaan likiarvo 28/9 = 3 1/9, mikä on kauempana oikeasta kuin Rhindin ilmoittama. Kun toisaalta luku 63 korvattiin luvulla 64, tästä saatu virhe vaikutti päinvastaiseen suuntaan ja paransi osaltaan saatua likiarvoa.
Muut probleemat käsittelevät suorakulmioiden, kolmioiden ja puolisuunnikkaiden pinta-alojen määrittämistä.
Toisen luvun viisi viimeistä probleemaa liittyy pyramidien sivutahkojen kaltevuuksiin. Yksi tehtävistä oli seuraava:
Probleeman ratkaisun antaa pohjan sivun puolikkaan suhde sen korkeuteen. Egyptiläiset ilmaisivat tämän suhteen käsitteellä "seked". Nykyaikaisin termein sanottuna pyramidin pohjan sivun puolikkaan ja sen korkeuden suhde on pyramidin seinän kaltevuuskulman kotangentti.
Rhindin papyruksen kolmas luku sisältää viimeiset 84 probleemaa.
Probleema 61 on kaksiosainen. Sen ensimmäisessä osassa on kysymys murtolukujen kertolaskusta. Jälkimmäisessä osassa johdetaan yleinen menetelmä, jolla 2/3 voidaan kertoa millä tahansa murtoluvulla 1/n, kun n on pariton. Nykyaikaisin merkinnöin kaava on:
Probleemat 62–68 ovat yleisiä, luonteeltaan algebrallisia probleemoja. Probleemat 69–78 ovat kaikki eri tyyppisiä niin sanottuja "pefsu" -probleemoja, joissa lasketaan leivän tai oluen väkevyyttä.
Probleemassa 79 lasketaan geometrisen sarjan viiden ensimmäisen termin summa. Siinä mainitaan 7 taloa, joista jokaisessa oli 7 kissaa, jokaista kissaa kohti 7 hiirtä, jokaista hiirtä kohti 7 spelttivehnän siementä, joista jokainen saattoi tuottaa 7 "hekat"-mittaa viljaa, ja kysytään, kuinka paljon kaikkia näitä oli yhteensä. Tehtävä muistuttaa englantilaista lorua ja arvoitusta "As I was going to St Ives", (tosin tässä englantilaisessa arvoituksessa on kompa, jota Rhindin papyruksen tehtävässä ei ole: englantilaisessa arvoituksessa vain kertoja itse oli matkalla St. Ivesiin, kaikki muut sieltä pois.)
Probleemoissa 80 ja 81 lasketaan kuinka monta "hinu"-yksikköä "hekat"in eri murto-osat ovat. Tässä käytetään vain yksikkömurtolukuja, joiden nimittäjät ovat kahden potensseja. Tällaisia sanottiin "Horuksen silmä" -murtoluvuiksi, sillä Horuksen silmän eri osien katsottiin kuvaavan tällaisia murtolukuja.
Kolmessa viimeisessä probleemassa nro 82–84 lasketaan, kuinka paljon rehua siipikarja ja härät tarvitsevat.