Matriisi
Matriisi on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.
Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on m kappaletta rivejä ja n kappaletta sarakkeita kutsutaan "tyypin formula_1 matriisiksi" ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:
Rivillä i ja sarakkeessa j olevaa matriisin alkiota merkitään formula_3 tai formula_4. Lävistäjäalkio on alkio, jolla i=j.
"Yksikkömatriisi" formula_5 on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. formula_6 yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla formula_7. Tällöin pätee formula_8, kun formula_9, ja muuten formula_10.
"Nollamatriisi" formula_12 on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.
"Neliömatriisilla" on yhtä monta riviä ja saraketta.
"Lävistäjämatriisi" (engl. "diagonal matrix") on neliömatriisi jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille formula_13 pätee että formula_14 kun formula_15:
1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.
Matriisia, jossa on "m" vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja "n" saraketta, kyseessä on vaakavektori.
Matriisin A transpoosi (merk. A) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:
jos formula_17, niin formula_18.
Matriisi on symmetrinen jos se on sama kuin transpoosinsa, eli formula_19.
Matriisi formula_20 kerrotaan skalaarilla formula_21 siten, että jokainen formula_22:n alkio kerrotaan skalaarilla c:
Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.
Matriisien formula_24 ja formula_25 summa on 
formula_26
Tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakarivien ja toisen matriisin pystyrivien pistetuloista. Olkoon matriisi "A" kokoa formula_27 ja "B" kokoa formula_28. Tällöin matriisien "A" ja "B" tulo "AB" on kokoa formula_1. Nyt 
formula_30
missä kukin formula_31 on matriisin "A" vaakavektori, ja formula_32 matriisin "B" pystyvektori. On tärkeää huomata, että matriisin "A" sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin "B" vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.
formula_33
formula_34
formula_35
Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille formula_22, formula_37 ja formula_38, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:
Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: formula_51
On huomattava, että "yleisesti" formula_52, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.
Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin formula_22 determinantti merkitään:
Matriisin formula_22 alimatriisi formula_4 saadaan poistamalla matriisista formula_57:s vaakarivi ja formula_58:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia formula_59 sanotaan alkion formula_3 alideterminantiksi.
Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia.
Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:
Matriisin formula_61 determinantti on
,jossa formula_63 on eräs formula_64:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja
Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3...,"n"}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.
Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi formula_66 determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:
,jossa "A" on determinantti matriisista, joka saadaan kun poistetaan "A":sta "i":s rivi ja "j":s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.
Esimerkki:
Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo formula_77 matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:
,jossa vakio "c" määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja formula_79 ovat "A":sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus "c":hen näkyy alla:"Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa."
määritellään alkion formula_83 komplementti eli kofaktori
Matriisin formula_85 adjungoitu matriisi saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään
Neliömatriisia formula_22 sanotaan singulaariseksi, jos formula_88. Jos formula_89, matriisi on ei-singulaarinen (=säännöllinen).
Ei-singulaariselle matriisille formula_22 pätee
Tulosta käytetään määrittelemään matriisin käänteismatriisi.
Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta formula_93 vastaa tietty formula_1 kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.
Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.
Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on formula_95 ehtoa ja formula_96 tuntematonta muuttujaa, on muotoa:
Sama voidaan esittää matriisilla formula_24 ja formula_96-pituisilla vektoreilla formula_99 ja formula_100 lyhyesti muodossa formula_101:
formula_102
Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.
Neliömatriisi formula_13 on "säännöllinen" eli "kääntyvä" mikäli on olemassa matriisi formula_104 siten että formula_105 ja formula_106. Muussa tapauksessa matriisi formula_22 on "singulaarinen". Matriisia formula_37 kutsutaan matriisin formula_22 käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla formula_110. Säännölliset formula_6-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat renkaan yhteen- ja kertolaskun suhteen jota merkitään formula_112. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.
Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä formula_113 on formula_96 ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis formula_22 on formula_6 neliömatriisi. Matriisin formula_13 säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli formula_22 on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori formula_100 mikä hyvänsä. Mikäli formula_22 on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin formula_100 arvosta.
Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on että matriisi formula_22 on säännöllinen jos ja vain jos formula_123.
Englanninkielisen sanan "Matrix" tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850:
Sana ( ’kohtu’ < "mater" ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja ”kuin saman vanhemman kohdusta” (”as from the womb of a common parent”).