Brakistokroni
Fysiikassa ja matematiikassa brakistokroni (kreikk. βράχιστος χρόνος "(brákhistos khrónos)", "lyhyin aika") on tason käyrä, jota pitkin liikkuva kappale kulkee kahden pisteen välisen matkan lyhyimmässä ajassa. Oletuksena on, että kappale joutuu kulkemaan tietyn voiman (esimerkiksi painovoima) vaikutuksessa.
Kysymystä siitä, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleelta kuluu vähiten aikaa kahden pisteen välillä, sanotaan brakistokroniongelmaksi. Vakiovoiman vaikutuksessa liikkuvan kappaleen brakistokroniongelman ratkaisi ensimmäisenä Johann Bernoulli vuonna 1696.
Tarkastellaan formula_1-massaista kappaletta, joka sijaitsee aloitushetkellä levossa pisteessä formula_2. Kappaleeseen vaikuttaa jokaisella ajanhetkellä gravitaatiovoima formula_3, missä formula_4 on gravitaatiokentän putoamiskiihtyvyys (vektori). Kaikki vastusvoimat oletetaan merkityksettömän pieniksi. Pyritään selvittämään, minkä muotoista käyrää pitkin kappaleella kuluu lyhyin aika päästä pisteeseen formula_5 (joka oletettavasti ei sijaitse suoraan pisteen formula_2 "alla"). Ratkaisun saavuttaminen vaatii hiukan variaatiolaskentaa.
Kiinnitetään tarkastelua varten kaksiulotteinen koordinaatisto. Voidaan olettaa, että origo sijaitsee pisteessä formula_2 ja että gravitaatiovoima on formula_8-akselin suuntainen. Ts.
formula_9
Koska gravitaatiokenttä on konservatiivinen, pätee jokaisella ajanhetkellä formula_10, missä formula_11 on kappaleen kineettinen energia ja formula_12 on potentiaalienergia. Määritellään potentiaalienergian nollatasoksi formula_13-akseli, ts. formula_14. Koska kappale lähtee levosta, on koko ajan formula_15. Kappaleen kineettinen energia on formula_16 ja potentiaalienergia on formula_17 (potentiaalienergia on negatiivinen, koska kappaleen lähtökorkeus valittiin nollatasoksi). Tällöin kappaleen nopeus on
formula_18.
Aika, joka kappaleelta kuluu kulkea pisteestä formula_2 pisteeseen formula_5 on:
formula_21
missä käytettiin derivaattaa formula_22. Nyt pyritään minimoimaan muuttuja formula_23. Tähän tarkoitukseen käytetään Eulerin yhtälöä. Määritellään uusi funktio edellisen integraalin integrandina:
formula_24.
Eulerin yhtälö antaa välttämättömän ehdon sille, että ajalle formula_23 on olemassa ääriarvo:
formula_26
Välttämätön ehto on, että yhtälö (1) toteutuu. Nyt, koska formula_27, niin yhtälö (1) sievenee muotoon:
formula_28,
mikä on derivaatan laskusääntöjen nojalla yhtäpitävää sen kanssa, että
formula_29,
missä formula_30 on uusi vakio. Toisaalta
formula_31
Korotetaan tämä neliöön, jolloin
formula_32
Yhtälö (2) on differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on:
formula_33.
Integraali ratkeaa muuttujanvaihdolla: olkoon uusi muuttuja formula_34 siten, että
formula_35.
Tällöin formula_36 ja edelleen formula_37. Sijoitetaan tämä yhtälöön (3) ja ratkaistaan integraali:
formula_38
missä formula_39 on integroimisvakio. Jos integrointivakio asetetaan nollaksi, on tuloksena parametrisoitu käyrä:
formula_40
Tämä käyrä saadaan kulkemaan pisteen formula_5 kautta muokkaamalla vakiota formula_42. Lähtöpisteessä (origo) formula_43.
Eulerin yhtälö osoittaa, että tämä käyrä on formula_23:n ääriarvokohta. Kuten dynaamisten systeemien variaatiolaskennassa yleensä, löydettiin tässäkin minimikohta. Ongelmaa ajatellen on selvää, ettei kyseessä voi olla maksimikohta, sillä käyrä voisi olla myös äärettömän pitkä saavuttamatta koskaan pistettä formula_5. Näin ollen brakistokroniongelma on ratkaistu.
"Pääartikkeli: Sykloidi"
Osoittautuu, että brakistokroniongelman ratkaisukäyrä on "sykloidi":
formula_46
joka syntyy, kun formula_42-säteisen ympyrän kehällä oleva piste piirtää ratakäyränsä formula_48-tasoon ympyrän vieriessä pitkin formula_13-akselia. Parametri formula_34 kuvaa tässä tapauksessa ympyrän kiertokulmaa lähtöhetkeen nähden. Sykloidi toistuu samanlaisena aina parametrin jaksolla formula_51 (radiaania).