Subharmoninen funktio
Subharmoniset funktiot ovat matematiikassa tärkeä funktioiden luokka, jota käytetään varsinkin osittaisdifferentiaaliyhtälöiden teoriassa, kompleksianalyysissa ja potentiaaliteoriassa. Subharmoniset funktiot ovat kahden tai useamman reaalimuuttujan taikka yhden tai useamman kompleksimuuttujan reaaliarvoisia funktioita.
Intuitiivisesti subharmoniset funktiot ovat verrattavissa yhden muuttujan konvekseihin funktioihin, joiden kuvaaja on alaspäin kupera. Jos konveksin funktion kuvaaja leikkaa jonkin suoran kahdessa pisteessä, sen kuvaaja on näiden pisteiden välillä kyseisen suoran alapuolella. Samaan tapaan, jos subharmonisen funktion arvot jonkin pallon pinnalla ovat enintään yhtä suuret kuin jonkin harmonisen funktion arvot samalla pallopinnalla, subharmonisen funktion arvot pallon sisälläkin ovat enintään yhtä suuret kuin kyseisen harmonisen funktion.
Vastaavalla tavalla määritellään superharmoniset funktiot; määritelmässä vain korvataan sana "enintään" (tai "pienempi tai yhtä kuin") sanalla "vähintään" (tai "suurempi tai yhtä kuin"). Vaihtoehtoisesti superharmoniset funktiot voidaan määritellä niinkin, että sellaisen arvo on kaikkialla jonkin subharmonisen funktion arvon vastaluku, ja tästä syystä jokaista subharmonisten funktioiden yleistä ominaisuutta vastaa ilmeisellä tavalla jokin superharmonisten funktioiden yleinen ominaisuus.
Muodollisesti subharmoniset funktiot määritellään seuraavasti. Olkoon formula_1 jokin euklidisen avaruuden formula_2 osajoukko ja olkoon
ylhäältä toispuolisesti jatkuva funktio. Tällöin funktiota formula_4 sanotaan "subharmoniseksi", jos jokaisessa suljetussa pallossa formula_5, jonka keskipiste on formula_6 ja säde formula_7 ja joka kokonaan sisältyy joukkoon formula_1, jokaiselle pallossa formula_5 määritellylle reaaliarvoiselle jatkuvalle ja harmoniselle funktiolle, joka toteuttaa epäyhtälön formula_10 kaikilla pallon pinnan formula_11 pisteillä formula_12, pätee formula_10 kaikilla formula_14
Edellä olevan määritelmän mukaan myös funktio, jonka arvo on kaikkialla −∞, on subharmoninen, mutta toisinaan määritelmää rajoitetaan niin, että tämä funktio suljetaan käsitteen ulkopuolelle.
Funktiota formula_15 sanotaan "superharmoniseksi", jos formula_16 on subharmoninen.Subharmonisilla funktioilla on erityisen suuri merkitys kompleksianalyysissä, jossa ne liittyvät läheisesti holomorfisiin funktioihin.
Kompleksiluku "x" + "yi" voidaan käsittää reaalilukupariksi ("x","y") ja sen mukaisesti jokainen kompleksimuuttujan funktio kahden reaalimuuttujan funktioksi. Näin ollen edellä esitettyjä subharmonisen ja superharmonisen funktion määritelmiä voidaan soveltaa myös kompleksimuuttujien reaaliarvoisiin funktioihin. Voidaan osoittaa, että kompleksimuuttujan funktio, joka on määritelty alueella formula_24, on subharmoninen, jos ja vain jos jokaiselle suljetulle kiekolle formula_25, jonka keskipiste on formula_26 ja säde formula_7 pätee
Tätä tulosta käytetään toisinaan kompleksitason subharmonisen funktion määritelmänäkin. Intuitiivisesti tämä merkitsee, että subharmonisen funktion ei missään pisteessä ole suurempi kuin sen arvojen keskipiste kyseistä pistettä ympäröivän ympyrän kehällä. Tätä seikkaa voidaan käyttää sen todistamiseen, että maksimiperiaate pätee subharmonisille funktioille.
Jos formula_29 on holomorfinen funktio, niin
on subharmoninen funktio, kun määritellään, että formula_31:n arvo formula_29:n nollakohdissa on −∞.
Tästä seuraa, että 
on subharmoninen jokaisella arvolla "α" > 0. Tällä tuloksella on huomattava merkitys Hardyn avaruuksien teoriassa, etenkin avaruuden "H" kannalta, kun 0 < "p" konvekseihin funktioihin on helposti todettavissa samoin kuin tulos, jonka mukaan subharmoninen funktio formula_29, joka alueessa formula_35 on vakio imaginaariakselin suunnassa, on konveksi reaaliakselin suuntaisessa ja päinvastoin.
Jos funktio formula_15 on subharmoninen jollakin kompleksitason alueella formula_37 ja funktio formula_38 on samalla alueella harmoninen, sanotaan, että formula_38 on formula_15:n harmoninen majorantti alueessa formula_37, jos formula_15≤formula_38 koko alueella formula_37. Tätä epäyhtälöä voidaan pitää formula_15:n kasvuehtona.
Olkoon "φ" subharmoninen, jatkuva ja ei-negatiivinen funktio kompleksitason avoimella osajoukolla "Ω", johon suljettu yksikkökiekko "D"(0, 1) kokonaisuudessaan sisältyy. Funktion "φ" "radiaalinen maksimaalifunktio" (rajoitettuna yksikkökiekkoon) määritellään yksikköympyrän kehällä seuraavasti:
Jos "P" merkitsee Poissonin ydintä, subharmonisuudesta seuraa:
Voidaan osoittaa, että jos funktion "φ" rajoittumalle yksikkökiekkoon T käytetään merkintää "φ", edellä olevassa epäyhtälössä esiintyvä integraali on pienempi kuin tämän rajoittuman Hardyn–Littlewoodin maksimaalifunktion arvo pisteessä
e 
mistä seuraa, että 0 ≤ "M" "φ" ≤ "φ". Tunnetusti Hardyn–Littlewoodin operaattori on rajoitettu alueessa "L"(T), kun 1 < "p" < ∞. Tästä seuraa, että jollekin yleiselle vakiolle "C" pätee:
Jos "f" on "Ω":ssa holomorfinen funktio ja 0 < "p" < ∞, edellä esitetty epäyhtälö pätee myös arvolla "φ" = |"f"|. Edellä sanotusta seuraa, että Hardyn avaruus "H" toteuttaa ehdon
Jonkin verran työläämmin voidaan mys osoittaa, että "F":llä on radiaaliset raja-arvot "F"(e) melkein kaikkialla yksikkökiekossa, ja dominoivan suppenemisen lauseesta seuraa edelleen, että "F", joka määritellään lausekkeella "F"(e) = "F"("r"e), suppenee kohti "F":ää
avaruudessa "L"(T).
Subharmonisen funktion käsite voidaan yleistää myös mielivaltaiselle Riemannin monistolle.
Olkoon "M" on Riemannin monisto ja formula_51 ylhäältä toispuoleisesti jatkuva funktio. Oletetaan, että jokaiselle avoimelle osajoukolle formula_52 ja jokaiselle harmoniselle funktiolle "f", joka "U":n reunalla toteuttaa epäyhtälön formula_53, pätee kaikkialla "U":ssa epäyhtälö formula_53. Tällaista funktiota "f" sanotaan "subharmoniseksi".
Tämä määritelmä on yhtäpitävä ylempänä esitetyn kanssa. Riemannin monistoillakin kahdesti differentoituva funktio on subharmoninen, jos ja vain jos se toteuttaa kaikkialla epäyhtälön formula_55, kun formula_22 on Laplacen operaattori.