Tapahtuma (todennäköisyys)
Tapahtuma () eli joskus vain tapaus on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.
Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia (alkeistapauksia). Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Jotkut alkeistapaukset (kortit) muodostavat joukon, joka voi sisältää vain hertta-kortit. Toinen joukko muodostuu vain kuvakorteista. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa "tapahtumiksi".
Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.
Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset ovat perusjoukoksi kirjoitettuina (silmäluvut numeroina) formula_1 Pelin tiimellyksessä voi tulla tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat "tapahtuman" formula_2 Tapahtuma formula_3 on perusjoukon osajoukko eli joukko-opin merkinnöillä formula_4
Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko formula_5 sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli formula_6 Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin päässä napakympistä muodostavat tapahtuman formula_3, joka voidaan määritellä formula_8
Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi formula_9 Koska perusjoukossa ovat kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti formula_4
Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli formula_11 Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli formula_12
Koska tapahtuman formula_3 osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon formula_3komplementtijoukko formula_15 määritellään formula_16 Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: formula_17 ja vastaavasti formula_18 Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli formula_19 Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: formula_20
Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi kohota suureksi. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni: formula_21 Selvästikin tyhjä joukko sekä kruuna että klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: formula_22Joukossa on alkioina formula_23 osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi formula_24 Nopanheitossa, missä formula_25, on potenssijoukko formula_26 Niistä muodostuu yhteensä formula_27 osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia formula_28 kappaletta.
Joukko-opin merkinnöin formula_29 eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.
Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus formula_30, joka kuuluu tapahtumaan eli formula_31. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan formula_3 kuuluu erilaisia alkeistapauksia formula_30, sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys formula_34. Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, missä mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa formula_35 ja formula_36 Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa formula_37
Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan 1/n. Tapahtuman formula_3 todennäköisyys formula_34 saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää formula_40 perusjoukon kokoon formula_41: