قانون هوک
قانون هوک در فیزیک، مکانیک و دانش مواد کشسانی (الاستیسیته)، تقریبی است نشان دهندهٔ آن که تغییر طول یک ماده با بار وارد بر آن رابطهٔ خطی دارد. بسیاری از مواد تا زمانی که نیرو از حد کشسانی آن‌ها کمتر باشد با تقریب خوبی از این قانون پیروی می‌کنند. انحراف از قانون هوک با افزایش میزان تغییرشکل زیاد می‌شود به‌طوری‌که در تغییرشکل‌های زیاد، با خارج شدن ماده از دامنه کشسان خطی، این قانون کاربرد خود را از دست می‌دهد. موادی که قانون هوک برای آن‌ها تقریب مناسبی باشد، مواد کشسان خطی یا «مواد هوکی» نام دارند. ساده شدهٔ قانون هوک بیان می‌دارد که کرنش با تنش رابطهٔ مستقیم دارد:
که در آن: وقتی چنین رابطه‌ای برای ماده‌ای برقرار باشد، می‌توان گفت که آن ماده "رفتار خطی" دارد و اگر نتایج آن را بر روی یک نمودار نمایش دهیم می‌بینیم که نتایج به صورت یک خط راست بدست آمده‌اند. علامت منفی در سمت راست رابطهٔ بالا به این دلیل است که نیروی بازگردانندهٔ فنر و جابجایی فنر همواره در جهت مخالف یکدیگر عمل می‌کنند. مثلاً اگر فنر به سمت راست افزایش طول پیدا کند نیروی بازگردانندهٔ آن در سوی مخالف و به سمت چپ یعنی در جهت جمع شدن فنر وارد می‌شود.
قانون هوک پس از قرن ۱۷ میلادی به نام فیزیکدان بریتانیایی رابرت هوک نام‌گذاری شد. وی ابتدا در سال ۱۶۶۰ با عنوان مقلوب لاتین ارائه کرد و در سال ۱۶۷۸ راه حلش را با عنوان رمزی "Ut tensio, sic vis" به معنی هرچقدرجابجایی همانقدر نیرو، منتشر کرد.
موادی که پس از وارد شدن یک نیرو و تغییر شکل به سرعت به حالت اولیهٔ خود بازمی‌گردند و مولکول‌ها و اتم‌های آن‌ها نیز به حالت اولیه و تعادل پایدار پیشین خود بازمی‌گردند، معمولاً از قانون هوک پیروی می‌کنند.
یک میله از جنس یک مادهٔ کشسان را می‌توان مانند یک فنر خطی در نظر گرفت، طول میله "L" و سطح مقطع آن "A" است. افزایش طول میله (کرنش) آن به صورت خطی با تنش کششی "σ" وارد بر آن نسبت خطی ثابت دارد. وارون این نسبت خطی را مدول الاستیسیته "E" می‌نامند؛ بنابراین:
یا
مواد تا زمانی که در بازهٔ کشسانی خود باشند (تنش‌های وارد بر آن‌ها کمتر از تنش تسلیم باشد) از قانون هوک پیروی می‌کنند. در مقابل موادی مانند کائوچو را مواد غیرهوکی می‌نامند در این مواد ویژگی کشسانی ماده به تنش وارد بر آن وابسته‌است و به دمای محیط و نرخ بارگذاری نیز حساس است.
در تغییرشکل‌های کوچک زاویه‌ای، رابطه هوک به صورت زیر بیان می‌شود:
که در آن، "τ" تنش برشی اعمال شده بر ماده، "γ" کرنش زاویه‌ای (برابر تانژانت زاویه پیچش)، و "G" مدول برشی ماده تحت تنش است. رابطه کرنش زاویه‌ای با زاویه پیچش (θ) به صورت زیر است:
از قانون هوک در ترازوهای فنری، تحلیل تنش و مدل سازی مواد و … استفاده می‌شود.
می‌توان از "معادلهٔ فنر" به عنوان پر کاربردترین بیان قانون هوک یاد کرد. قانون هوک برای فنر بیان می‌دارد که نسبت نیروی بازگردانندهٔ وارده از سوی فنر به میزان تغییر شکل فنر برابر است با مقدار ثابتی معروف به "ثابت فنر" یا "k" با یکای نیرو بر طول:
علامت منفی در رابطهٔ بالا به این دلیل است که بردارهای نیرو و جابجایی در خلاف جهت یکدیگر بر این سامانه اثر می‌کنند. نیروی بازگردانندهٔ فنر در برابر هر نوع تغییر شکل مقاومت می‌کند و تلاش می‌کند تا فنر را دوباره به حالت تعادل پیشین خود بازگرداند. کارمایه یا انرژی پتانسیل ذخیره شده در فنر برابر است با:
که برابر است با انرژی لازم برای اینکه کم‌کم فنر جمع شود یا انتگرال نیرو روی جابجایی. یادآوری می‌شود که مقدار انرژی پتانسیل فنر همواره بزرگتر از صفر است.
انرژی ذخیره شده را می‌توان به صورت یک نمودار سهمی روی محور "U-x" نمایش داد. وقتی که فنر در جهت محور x کشیده یا فشرده می‌شود (در هر دو حالت) انرژی پتانسیل آن افزایش می‌ یابد. فنر همواره تلاش می‌کند تا با بازگرداندن خود به حالت تعادل انرژی پتانسیلش را آزاد کند (از دست بدهد) درست مانند توپی که از یک بلندی رها می‌شود و انرژی پتانسیل گرانشی خود را از دست می‌دهد (می‌کاهد).
اگر جرم "m" به انتهای یک فنر بسته شود و پس از کشیده شدن رها گردد، در حالت آرمانی که اصطکاک نداشته باشیم و جرم فنر نسبت به جرم "m" ناچیز باشد، فنر و جرم همواره نوسان خواهند کرد که سرعت زاویه‌ای آن برابر خواهد بود با:
بسامد آن برابر است با:
"تذکر:" رابطه‌های بالا با این فرض گفته شد که فنر بیش از بازهٔ کشسان خود کشیده نشده‌باشد که در غیر این صورت فنر دچار تغییر شکل همیشگی (بدون بازگشت) می‌شود.
دو فنر را می‌توان به شکل سری یا مواری به یک جرم وصل کرد، که در زیر این دو حالت با یکدیگر مقایسه شده‌اند.
وقتی که با تنش‌های سه بعدی کار می‌کنیم، از تانسور چهارتایی formula_9 به شکل formula_10 که دارای ۸۱ ضریب الاستیسیته‌است باید استفاده کرد تا بتوان میان تانسور تنش formula_11 یا (σ") و تانسور کرنش formula_12 یا (formula_13) ارتباط برقرار کرد.
اگر عبارت بالا را به همراه جزئیاتش بنویسیم به شکل زیر خواهد بود (با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین):
تانسور formula_9 را تانسور سختی یا تانسور الاستیسیته می‌نامند. به دلیل تقارن تانسورهای تنش و کرنش، در تانسور سختی تنها ۲۱ ضریب از یکدیگر مستقل‌اند. از آنجایی که یکای تنش همان یکای فشار است و کرنش، یکایی ندارد، پس یکای تمامی درایه‌های تانسور سختی formula_10، همان یکای تنش خواهد بود.
عبارت عمومی قانون هوک را می‌توان شبیه رابطهٔ میان تنش و کرنش نوشت:
تانسور formula_19 را تانسور انطباق می‌نامند.
ویژگی مواد همسان این است که آن‌ها در جهت‌های مختلف ویژگی‌های یکسان از خود نشان می‌دهند؛ بنابراین معادلات فیزیکی که برای مواد همسان نوشته می‌شود باید مستقل از دستگاه مختصات باشد. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. می‌توان تانسور کرنش را بوسیلهٔ اثر آن و دلتای کرونکر formula_20 به شکل زیر نمایش داد:
با استفاده از جبر تانسورها خواهیم داشت:
که formula_23 تانسور یکهٔ درجه دو است. در سمت راست تساوی، عبارت formula_24 به معنی تانسور کرنش حجمی است و عبارت formula_25 به معنی تانسور اعوجاج یا تانسور کرنش برشی یا تانسور انحرافی است.
عمومی‌ترین شکل قانون هوک برای مواد همسان به صورت ترکیب خطی این تانسورها نوشته می‌شود:
در عبارت بالا، "K" مدول حجمی، و "G" مدول برشی است.
با استفاده از مدول الاستیک، می‌توان رابطهٔ بالا را بیشتر گسترش داد، در نتیجه دیگر نوشتار تانسوری قانون هوک عبارت است از:
که در آن formula_28 و formula_29 ثابت‌های لامه اند، formula_23 تانسور یکه و formula_31 تانسور یکهٔ درجهٔ چهار است. با توجه به دستگاه مختصات کارتزین:
رابطهٔ معکوس عبارت است از:
بنابراین تانسور انطباق در رابطهٔ formula_34، عبارت خواهد بود از:
با استفاده از مدول یانگ و ضریب پواسون، قانون هوک برای مواد همسان را چنین می‌توان نوشت:
در نتیجه کرنش در جهت‌های مختلف را می‌توان به شکل زیر نوشت:
که در آن "E" مدول الاستیسیته و formula_38 ضریب پواسون است. قانون هوک در قالب ماتریسی برای مواد همسان عبارت است از:
که در آن formula_40 کرنش برشی است. معکوس رابطه چنین است:
با استفاده از ثابت‌های لامه، رابطهٔ بالا را ساده می‌کنیم:
در اثر تنش‌های صفحه‌ای، تنش در بعد سوم به شکل formula_43 خواهد بود؛ در این صورت قانون هوک به شکل زیر ارائه می‌شود:
وارون رابطه به صورت زیر خواهد بود:
تقارن تانسور تنش کوشی (formula_46) و قانون هوک در حالت کلی (formula_47) می‌رساند که formula_48 خواهد بود. به روش مشابه، از تقارن تانسور کرنش‌های بسیار کوچک می‌توان نتیجه گرفت که formula_49. این تقارن‌ها را تقارن خردِ تانسور سختی می‌نامند (formula_9).
آنگاه که گرادیان تغییرشکل‌ها و تنش کوشی با هم کار کنند، رابطهٔ تنش - کرنش را می‌توان از تابع چگالی انرژی تغییر شکل‌ها (formula_51) بدست آورد:
از دلخواه بودن ترتیب دیفرانسیل‌ها می‌توان نتیجه گرفت که formula_53 که این را تقارن بزرگ تانسور سختی می‌نامند. تقارن خُرد و تقارن بزرگ تانسور سختی نتیجه می‌دهد که تانسور سختی تنها ۲۱ درایهٔ مستقل (جزء سازندهٔ مستقل) دارد.
معمول است که قانون هوک برای مواد نامسان را به صورت ماتریسی نیز توضیح دهند که آن را مفهوم وویت نیز می‌نامند. برای این کار باید از تقارن تانسورهای تنش و کرنش استفاده کرد و آن‌ها را به صورت یک بردار شش بُعدی در یک دستگاه مختصات متعامد (formula_54) به صورت زیر توضیح داد:
آنگاه تانسور سختی (formula_9) را می‌توان چنین نوشت:
قانون هوک به گونهٔ زیر نوشته می‌شود:
به روش مشابه تانسور (formula_19) انطباق را چنین می‌توان نوشت:
اگر یک مادهٔ کشسان خطی (الاستکیک خطی) را از حالت مرجع به حالتی دیگر دوران دهیم، آن ماده در برابر دوران متقارن باقی می‌ماند اگر اجزای تانسور سختی را نیز باید با توجه به حالت جدید دوران داد
که در آن formula_62 اجزای یک ماتریس متعامد دوران به نام formula_63 است. رابطهٔ مشابه برای وارون‌ها نیز وجود دارد.
در جبر ماتریس‌ها داریم که اگر ماتریس تغییر یافته (به صورت وارون یا دوران) خود وابسته به ماتریس‌های دیگر باشد، اجزای آن خود دچار تغییر شکل می‌شوند. برای نمونه اگر:
آنگاه
همچنین اگر ماده نسبت به ماتریس تغییر شکل formula_63 متقارن باشد، آنگاه:
مواد راست‌محور دارای سه صفحهٔ راست تقارن‌اند. اگر بردارهای پایهٔ (formula_54) بردارهای نرمال صفحهٔ تقارن باشند، بنابراین رابطه‌های تغییر دستگاه مختصات به صورت زیر وارد می‌شوند:
وارون رابطهٔ بالا چنین نوشته می‌شود:
که در آن: در "صفحهٔ تنش" formula_79 است. قانون هوک برای یک مادهٔ راست‌محور به صورت زیر در می‌آید:
وارون رابطه خواهد بود:
یک مادهٔ همسان جانبی با چرخش نسبت به یک محور تقارن همسان باقی می‌ماند. برای چنین ماده‌ای اگر formula_82 محور تقارن باشد، قانون هوک چنین نوشته می‌شود:
معمول است که formula_84 را محور تقارن در نظر بگیرند، حال وارون رابطه چنین خواهد بود:
تغییر شکل‌های خطی مواد کشسان را می‌توان به مفهوم فرایند بی‌دررو نزدیک دانست. با فرض این وضعیت و برای فرایندهای شِبهِ ایستا، قانون اول ترمودینامیک برای یک حجم تغییر شکل یافته به صورت زیر گفته می‌شود:
که در آن formula_87 انرژی درونی افزایش یافته و formula_88 کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی خارجی است. اجزای کار را می‌توان به صورت زیر از هم جدا کرد:
که در آن formula_90 کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی سطحی است و formula_91 کار انجام شده بوسیلهٔ نیروی حجمی است. اگر formula_92 تغییرات میدان جابجایی formula_93 در حجم باشد؛ در نتیجه دو بخش کار خارجی به صورت زیر توضیح داده می‌شود:
که در آن formula_95 بردار نیروی سطحی و formula_96 بردار نیروی حجمی و formula_97 نشان دهندهٔ یک حجم و formula_98 نشانهٔ سطح آن است. حال از رابطهٔ تنش formula_99 (که در آن formula_100 بردار عمود بر سطح رو به بیرون formula_98 است) استفاده می‌کنیم و خواهیم داشت:
با تبدیل انتگرال سطحی به انتگرال حجمی با استفاده از نظریهٔ دیورژانس خواهیم داشت:
با کاربرد تنش کوشی:
داریم:
از تعریف کرنش و معادلات تعادل بدست می‌آید که:
بنابراین می‌توان نوشت:
پس برای تغییرات چگالی انرژی درونی داریم:
یک مادهٔ کشسان ماده‌ای است که در آن تمامی انرژی درونی برابر است با انرژی پتانسیل نیروهای درونی (همچنین آن را انرژی تغییر شکل‌های کشسان نیز می‌نامند) بنابراین چگالی انرژی درونی تابعی از تغییر شکل‌ها formula_109 می‌باشد. تغییرات انرژی درونی را به صورت زیر می‌توان نوشت:
از آن جایی که تغییرات کرنش دلخواه است، رابطهٔ تنش - کرنش یک مادهٔ کشسان به صورت زیر داده می‌شود:
برای یک مادهٔ کشسان خطی، کمیت formula_112 یک تابع خطی از formula_12 است پس می‌توان آن را به شکل زیر نوشت:
که در آن formula_9 یک تانسور مرتبه چهارم از ثابت‌های ماده‌است که آن را تانسور سختی نیز می‌نامند.