مرکز جرم
در صورتی که ذرات سیستم تا حدودی آزادانه در کنار هم باشند، مانند مجموعه ساچمه‌هایی که از تفنگ ساچمه‌ای شلیک شده، مرکز جرم نقطه‌ای در فضا و بین گلوله‌ها است که ممکن است روی هیچ‌کدام از آن گلوله‌ها واقع نباشد. مرکز جرم یک جسم همیشه روی مرکز هندسی آن نیست؛ و نقطهٔ دیگری می‌تواند مرکز جرم جسم باشد.
مرکز جرم یک سیستم از ذرات میانگین وزن‌دار مکان‌های آن ذرات است.
سیستم کلی ما شامل n ذره به جرم‌های formula_1 است که بردار مکان آنها، به ترتیب عبارتند از formula_2 . مرکز جرم این سیستم نقطه‌ای است به بردار مکان formula_3 که از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:
formula_4 در اینجا m جرم کلی سیستم است. بدیهی است که تعریف بالا با سه معادلهٔ زیر برابر است: formula_5
که y, x و z مقادیر گرانیگاه را در فضا مشخص خواهند کرد.مفهوم مرکز ثقل اولین بار توسط ارشمیدس مطرح شد. ارشمیدس نشان داد که نیروی پیچشی (گشتاور) اعمال شده روی یک اهرم به وسیله قرار دادن وزنه‌ها روی نقاط گوناگون در امتداد اهرم همان نیرویی است که به اهرم وارد می‌شد اگر تمام وزنه‌ها روی یک نقطه قرار می‌گرفت-مرکز ثقل آنها-. در مورد حرکت اجسام شناور روی آب او نشان داد که جهت جسم شناور جهتی است که مرکز ثقل جسم را کمتر می‌کند. (مرکز ثقل جسم در آن جهت کمتر است) او تکنیک‌های ریاضی را بسط داد برای پیدا کردن مراکز ثقل اجسام دارای چگالی یکنواخت_ اشکال_خوش تعریف. به ویژه یک مثلث و یک نیمکره و یک مخروط یا هرم _ناقص_یک قطع مخروطی دایروی.
در قرون وسطی تئوری‌های راجع به مرکز ثقل بیشتر توسعه داده شد توسط ابوریحان بیرونی، عبدالرحمن صوفی، عمر خیام و خزینی.
معادلات حرکت زیر بر پایهٔ این فرض بنا شده‌اند که یک سیستم از ذرات وجود دارد که به وسیلهٔ نیروهای داخلی و خارجی کنترل شده‌است. یک نیروی داخلی نیرویی است که به وسیلهٔ فعل و انفعالات ذرات داخل سیستم ایجاد شده‌است. و یک نیروی خارجی نیرویی است که از خارج از سیستم سرچشمه می‌گیرد و عمل می‌کند روی یک یا چند ذره داخل سیستم. نیروی خارجی لازم نیست حتماً ناشی از یک جسم یکنواخت باشد. برای هر سیستمی که هیچ نیروی خارجی به آن وارد نمی‌شود، گرانیگاه با سرعت ثابت حرکت می‌کند. این قانون برای همهٔ سیستم‌ها با نیروهای داخلی کلاسیک شامل میدان‌های مغناطیسی، میدان‌های الکتریکی، واکنش‌های شیمیایی و غیره به کار برده می‌شود. به عبارت دیگر این قانون درست است برای هر نیروی داخلی که صورت ضعیف قانون سوم نیوتون در آن صدق می‌کند. نیروی حرکت آنی مجموع برای هر سیستم از ذرات به وسیلهٔ فرمول زیر داده شده‌است:
P=MVcm
جاییکه M نماد جرم کل وVcm سرعت گرانیگاه باشد. این سرعت می‌تواند محاسبه شود به وسیلهٔ اندازه‌گیری زمان گرفته شده از مکان گرانیگاه. یک فرمول شبیه به قانون دوم نیوتون هست: F=Macm وقتی F نماد مجموع تمام نیروهای خارجی باشد و acm نمادی باشد برای شتاب گرانیگاه.
مَرکَز ثِقْل یا گِرانیگاه یک جسم، نقطه‌ای است که گشتاور ناشی از میدان گرانشی، حول آن نقطه صفر می‌شود. در شرایطی که میدان گرانشی یکنواخت باشد، مرکز ثقل با مرکز جرم یکسان خواهد بود، اما در حالت کلی و در میدان‌های غیریکنواخت، مرکز جرم می‌تواند از گرانی‌گاه منحرف شود. برای مثال، برای یک ماهواره در مدار زمین، گرادیان میدان گرانشی بین دو قسمت دورتر و نزدیک‌تر ماهواره به زمین، می‌تواند یک گشتاور روی ماهواره ایجاد کند. در چنین شرایطی توجه یه تفاوت مرکز جرم و مرکز ثقل الزامی است.
این موضوع حداقل از دو طریق قابل مشاهده‌است: R × Mg = ∑ mi ri × g
در مورد مرکز جرم (center of mass) که آن را با c.m نشان می‌دهیم، برای دستگاه ذرات زیر داریم:
formula_6
که در حالت کلی برای یک جسم صلب به صورت زیر در می‌آید:
formula_7
اما در مورد مرکز ثقل یا گرانیگاه (center of gravity) که آن را با G نمایش می‌دهیم، برای دستگاه ذرات زیر داریم:
formula_8
که در حالت کلی برای یک جسم صلب به صورت زیر در می‌آید:
formula_9