تابع پوشا
در ریاضیات تابع formula_1 را پوشا می‌نامیم، هرگاه هر عضو مانند formula_2 با یک عضو مانند formula_3 متناظر شده باشد، به گونه‌ای که formula_4. تابع formula_5 ممکن است بیشتر از یک عضو از formula_6 را به یک عضو خاص از formula_7 تصویر کند.
واژهٔ پوشا و واژه‌های مرتبط یک به یک و دوسویی توسط نیکلا بورباکی، تخلص گروهی از ریاضی دانان اساساً فرانسوی قرن بیستمی که کتاب‌های متعددی در مورد توضیح ریاضیات پیشرفته مدرن نوشتند، در سال ۱۹۳۵ معرفی شدند. واژهٔ پوشا به این معنی است که تصویر دامنهٔ تابع کاملاً برد تابع را می‌پوشاند.
تابع پوشا تابعی است که تصویر آن برابر بردش می‌باشد. یا به‌طور معادل تابع formula_5 با دامنهٔ formula_6 و برد formula_7 پوشا است اگر به ازای هر formula_2 وجود داشته باشد حداقل یک formula_3 که formula_4. توابع پوشا برخی اوقات با یک پیکان راست پیما دو سر نمایش داده می‌شوند، مانند f: X ↠ Y.
formula_1، آنگاه formula_5 پوشا است اگر
formula_16.
به ازای هر مجموعهٔ formula_6 تابع همانی بر روی formula_6 پوشا است.
تابع formula_19 با ضابطهٔ f(n) = n mod 2 (تابعی که اعداد زوج را به صفر و اعداد فرد را به یک تصویر می‌کند) تابعی پوشا است.
تابع formula_20 با ضابطهٔ formula_21 پوشا (و حتی دو سویی) است، چون به ازای هر عدد حقیقی formula_22 formula_23 ای وجود دارد به گونه‌ای که formula_4.
تابع formula_20 با ضابطهٔ f(x) = x3 - 3x پوشا است زیرا تصویر معکوس هر عدد حقیقی formula_22 مجموعه جواب معادلهٔ درجه سه x3-3x-y=۰ است و هر چند جمله‌ای درجهٔ سه با ضرایب حقیقی حداقل یک ریشهٔ حقیقی دارد. اگر چه این تابع یک به یک (و در نتیجه دوسویی) نیست زیرا برای مثال تصویر معکوس formula_27 مجموعهٔ formula_28 است. (درحقیقت، تصویر معکوس این تابع به ازای هر formula_29 بیشتر از یک عضو دارد)
تابع formula_30 با ضابطهٔ g(x) = x² پوشا نیست زیرا هیچ عدد حقیقی مانند formula_31 وجود ندارد که x² = -۱. اگرچه تابع formula_32 با ضابطهٔ g(x) = x² (با برد تحدید شده) پوشا است زیرا به ازای هر formula_22 از برد formula_7 (اعداد حقیقی نامنفی) حداقل یک formula_31 در دامنه formula_6 (اعداد حقیقی) وجود دارد، به گونه‌ای که x² = y.
تابع لگاریتم طبیعی ln: (0,+∞) → R یک نگاشت پوشا و حتی دوسویی از مجموعهٔ اعداد حقیقی مثبت به مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی است. وارون این تابع، تابع نمایی، پوشا نیست زیرا بردش مجموعهٔ اعداد حقیقی مثبت و دامنه اش معمولاً مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی در نظر گرفته می‌شود. The matrix exponential is not surjective when seen as a map from the space of all n×n matrices to itself. It is, however, usually defined as a map from the space of all n×n matrices to the general linear group of degree n, i.e. the group of all n×n invertible matrices. Under this definition the matrix exponential is surjective for complex matrices, although still not surjective for real matrices.
افکنش از یک ضرب دکارتی A * B به یکی از عواملش پوشا است.
در یک بازی ویدئویی سه بعدی بردارها به وسیلهٔ یک تابع پوشا بر روی یک نمایشگر صفحه تخت دو بعدی تصویر می‌شوند.
یک تابع دوسویی است اگر و تنها اگر پوشا و یک به یک باشد.
اگر چه یک به یک بودن تابع از روی نمودارش قابل تشخیص است اما پوشا بودن یا نبودن یک تابع را نمی‌توان از روی نمودارش متوجه شد.
تابع formula_37 لright inverse تابع formula_1 گفته می‌شود اگر برای هر formula_39، formula_2. ن(g توسط f خنثی می‌شود). به عبارت دیگر g یک right inverse لf است اگر ترکیب f و g ل(fog) تابعی همانی با دامنهٔ formula_7 باشد. نیازی نیست که g لcomplete inverse لf باشد زیرا ترکیب f و g به صورت gof ممکن است تابع همانی با دامنهٔ formula_6 نباشد. به عبارت دیگر f، لg را خنثی یا معکوس می‌کند اما لزوماً نمی‌تواند توسط g معکوس شود.
هر تابعی با یک right inverse لزوماً پوشا است. گزارهٔ هر تابع right inverse یک right inverse دارد با اصل موضوع انتخاب معادل است.
برای مثال، در شکل اول، تابع formula_43 ای وجود دارد به گونه‌ای که formula_44. همچنین تابعی مانند formula_5 وجود دارد به گونه‌ای که formula_46.
کاردینالیتی دامنهٔ یک تابع پوشا بزرگتر یا مساوی کاردینالیتی بردش است: اگر formula_1 یک تابع پوشا باشد، در نتیجه تعداد اعضای formula_6 حداقل برابر تعداد اعضای formula_7 است.
مخصوصاً اگر formula_6 و formula_7 متناهی و باتعداد اعضای برابر باشند، آنگاه formula_1 پوشا است اگر و تنها اگر یک به یک باشد.
ترکیب توابع پوشا همیشه پوشا است:اگر f و g هر دو پوشا باشند و برد g برابر دامنه f باشد، آنگاه تابع fog پوشا است. برعکس، اگر تابع fog پوشا باشد، آنگاه f پوشا است (اما g لزوماً پوشا نیست). این خواص از توابع پوشا در ردهٔ مجموعه‌ها به هر epimorphism در هر ردهٔ دیگری قابل تعمیم‌اند.
هر تابعی را می‌توان به یک تابع پوشا و یک تابع یک به یک تجزیه کرد: به ازای هر تابع formula_53 وجود دارد تابعی پوشا مانند formula_1 و تابعی یک به یک مانند formula_55 به گونه‌ای که formula_56. به منظور مشاهده این، formula_7 را (z)اhهایی تعریف می‌کنیم که formula_58. لThese sets are disjoint and partition X. در نتیجه f هر x را به عضوی از Y که آن را شامل می‌شود، می‌برد و g هر عضو Y را به نقطه‌ای از Z می‌برد که h نقاطش را می‌برد؛ بنابراین f پوشا است به دلیل اینکه یک projection map است و g طبق تعریف یک به یک است.