معادله مربعی
در جبر، معادله مربعی (که "quadratus" در لاتین به معنای مربع است) (یا معادله درجه دو)، هر معادله‌ای است که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نوشت:
که در آن x یک نامعلوم (یا متغیر، مجهول و ...) و formula_2 نمایشگر اعداد معلوم‌اند با این شرط که 0 formula_3. اگر formula_4، آنگاه این معادله خطی است و دیگر مربعی نخواهد بود، چرا که دیگر جمله formula_5 وجود نخواهد داشت. اعداد formula_2 را ضرایب معادله، ثوابت نامیده می‌شوند.
مقادیر x هایی که در معادله صدق کنند را "حل" (یا "جواب") معادله یا "ریشه‌ها" یا "صفرها"ی طرف چپ عبارت می‌نامند. یک معادله مربعی حداکثر دو جواب دارد. اگر هیچ جواب حقیقی نداشته باشد، دو جواب مختلط خواهد داشت. اگر تنها یک جواب داشته باشد، اصطلاحاً گفته می‌شود که دارای ریشه مضاعف است. پس می‌توان در حالت کلی دو جواب مختلط برای معادله مربعی در نظر گرفت؛ و در حالتی که ریشه مضاعف دارد، جواب‌های آن را دوتا جواب برابر هم انگاشت. معادله مربعی را در حالت کلی می‌توان به صورت زیر فاکتورگیری کرد:
که در آن r و s بترتیب حاصل ضرب و حاصل جمع جواب‌های x هستند. مربع کامل کردن معادله مربعی به فرم استاندارد منجر به فرمول‌های مربعی برحسب ضرایب formula_2 می‌شود. جواب‌های مسائلی که برحسب معادلات مربعی قابل بیان‌اند، حداقل تا ۲۰۰۰ قبل از میلاد شناخته شده بودند.
چون معادله مربعی فقط با یک متغیر سروکار دارد به آن "تک متغیره" گویند. معادله مربعی تنها شامل توان‌های نامنفی x است. ضمن این که چندجمله‌ای درجه-دویی است، چرا که بزرگترین توانش برابر ۲ است.
معادلات درجه دو با روش‌های آزمون و خطا، فاکتورگیری و تجزیه، روش مربع کامل، روش هندسی، روش خوارزمی، نمودار تابع (رسم نمودار)، روش دلتا، روش نیوتون و روش‌های دیگر حل می‌شوند.
در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در [معادله] قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر.
روش آزمون و خطا در واقع دادن عدد به معادله برای پیدا کردن جواب می‌باشد. در این روش باید سعی کنیم مقادیر را چنان انتخاب کنیم که ما را به سمت صفر راهنمایی کند. برای این کار بهترین راه پیدا کردن یک جواب مثبت و یک جواب منفی برای حاصل معادله می‌باشد. با محدود کردن این بازه خود را به جواب نزدیکتر می‌کنیم. در نهایت باید به جوابی که در معادله صدق می‌کند برسیم. این روش حل معمولاً به ما جواب تقریبی می‌دهد.
این روش موقعی کارایی مناسبی دارد که بتوان به طریقی با تقسیم کل معادله بر ضریب جمله formula_9 دو ثابت formula_10 و formula_11 ای به دست آورد که بین آن‌ها رابطه‌ای به شکل formula_12 و formula_13 به‌سرعت به ذهن‌مان برسد. به این روش که منتج شده از اتّحاد ریاضیاتی معروف به جمله مشترک است، روش حل تجزیه‌ای گفته می‌شود. معادله بر اساس این اتحاد به شکل formula_14 در می‌آید و در این حالت به‌آسانی با برابر صفر قرار دادن هر پرانتز به جواب‌های formula_15 می‌رسیم.
مثال: می‌خواهیم معادله formula_16 را حل کنیم. ابتدا دو طرف را بر دو تقسیم می‌کنیم تا ضریب formula_9 یک شود. سپس در صدد یافتن m و n برمی‌آییم. formula_18 همان‌طور که می‌بینیم formula_19 یعنی به عبارتی جمع دو عدد می‌شود، ۴- و ضربشان هم، ۳ پس جواب‌ها به صورت formula_20 می‌باشند.
این روش بر مبنای یکی از معروف‌ترین اتّحادهای ریاضی، معروف به اتحاد مربع دوجمله‌ای به دست آمده‌است. برای هر دو عبارت ریاضی مثل A و B این اتحاد به این صورت ارائه می‌گردد: formula_21
حال ما باید formula_22 را به صورت formula_23 در نظر بگیریم و formula_24 را به صورت formula_25 و از آنجا formula_26 را به دست آورده و مقدار formula_27 را از طرف چپ معادله کم و زیاد کنیم و پس از مرتب کردن و فاکتورگیری، معادله را به شکل
formula_28 درآوریم؛ که درصورتی معادله جواب حقیقی دارد که formula_29 مقداری مثبت یا صفر شود.
مثال: می‌خواهیم formula_30 را حل کنیم. formula_31 و سپس نتیجه می‌شود: formula_32 و داریم: formula_33 و از آنجا به دست می‌آوریم: formula_34
اگر یک معادله درجه دو به صورت زیر باشد: راه حل عمومی آن به این شکل است:
که نماد "±" به معنی هر دو است. formula_38 هر دو جواب‌هایی از معادله درجه ۲ هستند.
در صورتی که formula_40 کوچکتر از صفر باشد، معادله جواب حقیقی ندارد و در صورتی که برابر صفر باشد دو حل به یک حل تبدیل شده و گفته می‌شود معادله یک ریشه مضاعف دارد.
اعداد ثابت formula_41 و formula_42 به ترتیب بیانگر جمع و ضرب دو ریشه هستند.
در این روش دو نکته حائز اهمیت است:
مثال:
formula_44 formula_54 ⇒ formula_55  مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولاً در ریاضیات مجموع ریشه‌ها را با s و ضرب ریشه‌ها را با p نمایش می‌دهند. مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آیند:
formula_56
formula_57
formula_58
formula_59
formula_60
formula_61
formula_62
formula_63
formula_64