تکانه
تَکانه، (ترجمه از لفظ فرانسوی quantité de mouvement) یا مومنتوم از کمیت‌های برداری در فیزیک است. در واقع کمیتی است که میزان نیروی لازم برای توقف جسم را توصیف می‏‏‏‎‏‎‏‎کند. این کمیت در تعریف قانون دوم نیوتون مورد استفاده قرار گرفت. حاصل‌ضرب جرم شیء در سرعت برداری آن در هر لحظه، تکانه شیء در آن لحظه است؛ یعنی:
که در آن، formula_2 جرم، formula_3سرعت و formula_4 تکانه است. در دستگاه SI، تکانه بر حسب واحد kg. m/s اندازه‌گیری می‌شود. تکانه کمیتی برداری است پس هم دارای اندازه و هم دارای جهت است. در تعریف بالا فقط حرکت انتقالی مد نظر است؛ از این‌رو، می‌توان از ابعاد شیء صرف نظر کرده و آن را به عنوان یک ذره به حساب آورد. در واقع این تعریف اینگونه میسر می شود که برای مثال برای توقف جسمی با سرعت بیش‏‎‏‎‌تر و با جرم برابر باید نیروی بیش‏‎‎‌تری وارد کنیم و یا با نیروی ثابت، زمان بیش‌تری نیرو وارد کنیم تا آن را متوقف کنیم و از طرف دیگر در سرعت برابر و جرم متفاوت باید به جسم با جرم بیش‌تر نیروی بیش‌تری وارد کنیم و یا دوباره با نیروی ثابت، زمان بیش‌تری نیرو وارد کنیم. برای مثال متوقف کردن توپ با سرعت 30 کیلومتر بر ساعت توسط دست یک بازیکن را با متوقف کردن تریلی در حال حرکت با 30 کیلومتر بر ساعت توسط دیواری بتنی مقایسه کنید.
از آنجا که در مطالعهٔ حرکت دورانی با مفهوم مشابهی موسوم به تکانهٔ زاویه‌ای روبرو می‌شویم، از عبارت "تکانهٔ خطی" به جای تکانه استفاده می‌کنیم.حال فهمیدیم تکانه یا همان اندازه ضربه به دو پارامتر m و v بستگی دارد و از طرفی، نیروی برابر با آن (که توانستیم با آن بر سرعت و جرم مقابله کنیم ) با زمان وارد شدن نیرو "t" و اندازه نیرو "F" رابطه دارد. حال می نویسیم تغییرات لحظه ای تکانه "dp" با میزان زمان گذشته "dt" با ضریبی از جنس نیرو "F" رابطه دارد:
formula_5
و این فرمول نهایتا به درک ما از تاثیر نیرو بر شتاب جسم انجامید :
formula_6
بطوریکه :
formula_1
پس :
formula_6
برای شتاب داریم:
formula_6 پس داریم:
formula_10
و این نتیجه نهایی تاثیر نیروی وارده بر جرم را بر شتاب نشان می دهد.به این نکته هم توجه کنید که تکانه کمیتی موضعی است، بدین معنا که در هر نقطه از مسیر حرکت یا در هر لحظه مقدارش تعریف می شود.
تکانهٔ خطی یک سیستم بس ذره‌ای (سیستم متشکل از دو یا چند ذره) به صورت حاصل جمع تکانه‌های خطی تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم تعریف می‌شود:
مرکز جرم یک سیستم بس ذره‌ای به صورت زیر تعریف می‌شود:
که در آن، formula_13 جرم کل سیستم (مجموع جرم‌های همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم) است:
با توجه تعریف به بردار سرعت، اگر از طرفین معادلهٔ بالا نسبت به زمان مشتق بگیریم، به نتیجهٔ زیر می‌رسیم
بنابراین، به جای مطالعهٔ حرکت تک تک ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم، می‌توان فرض کرد که ذره‌ای با جرم کل formula_16 در مرکز جرم سیستم قرار گرفته و با سرعت formula_17 در حال حرکت است. تکانهٔ خطی این ذره برابر تکانهٔ خطی کل سیستم خواهد بود:
با مشتق‌گیری از رابطهٔ بالا نسبت به زمان، قانون دوم نیوتون برای سیستم بس ذره‌ای به شکل حاصل می‌شود:
طرف چپ معادلهٔ بالا نشان دهندهٔ برآیند همهٔ نیروهای داخلی و خارجی وارد بر همهٔ ذرات تشکیل دهندهٔ سیستم است. در یک سیستم formula_20 ذره‌ای، هر یک از ذرات تشکیل دهنده، هم تحت تاثیر محیط و هم تحت تاثیر formula_21 ذرهٔ دیگر (همهٔ ذرات سیستم به جز خودش) است. پس هر ذره، علاوه بر نیروهایی که از طرف محیط سیستم به آن وارد می‌شود، formula_21 نیرو از formula_21 ذرهٔ داخل سیستم دریافت می‌کند.
در این معادله، formula_25 برآیند نیروهای خارجی وارد شده به ذرهٔ formula_26ام و formula_27 نیروی وارد شده از ذرهٔ j ام به ذرهٔ i ام هستند. بنا به قانون سوم نیوتن، اگر ذرهٔ j ام نیروی formula_27 را به ذرهٔ i ام وارد کند، ذرهٔ i ام نیز نیروی formula_29 را به ذرهٔ j ام وارد خواهد کرد. در نتیجه، در محاسبهٔ نیروی کل وارد بر کل سیستم N ذره‌ای، علاوه بر نیروهای خارجی، N نیروی داخلی هم داریم که دو به دو همدیگر را حذف می‌کنند؛ بنابراین،
یعنی این که، نیروهای داخلی سیستم اثری بر رفتار کل سیستم ندارند و در مطالعهٔ دینامیک سیستم کافی است فقط نیروهای خارجی را در نظر بگیریم.
اگر هیچ نیروی خارجی بر سیستم اثر نکند یا برآیند نیروهای خارجی وارد بر سیستم صفر باشد، تکانهٔ خطی سیستم با گذشت زمان ثابت می‌ماند. به زبان ریاضی:
نتیجهٔ حاصل به قانون پایستگی تکانهٔ خطی معروف است. هم نیرو و هم تکانهٔ خطی کمیت‌هایی برداریند، بنابراین در هر جهتی که مؤلفهٔ نیروی برآیند صفر باشد مؤلفهٔ تکانهٔ خطی در آن جهت با گذشت زمان پایسته می‌ماند (مستقل از این که در جهات دیگر پایسته هست یا نه). به عنوان نمونه، در دستگاه مختصات دکارتی سه بعدی، که
هر یک از مؤلفه‌های نیرو صفر باشند مؤلفهٔ متناظر تکانهٔ خطی پایسته خواهد بود؛ فارغ از این که دو مؤلفهٔ دیگر پایسته هستند یا نه. نیروی پیشرانه ی حاصل از موتور جت و پدیدهٔ پس زنی تفنگ نمونه‌هایی از اثر قانون پایستگی تکانهٔ خطی می‌باشند. در هر دوی این مثال‌ها، جزئی از سیستم، به بهای پرتاب جزء دیگر در یک جهت، در جهت مخالف پس زده می‌شود.
در موتور جت سوخت با هوای وارد شده از دهانهٔ جلویی موتور مخلوط می‌شود و گاز متراکم داغی در اثر سوختن حاصل می‌گردد. گاز داغ و بدنهٔ موتور اجزای تشکیل دهندهٔ یک سیستم دو جزئی هستند. این سیستم دو جزئی تکانهٔ خطی مشخصی دارد؛ وقتی گاز داغ با فشار به سمت بیرون هدایت می‌شود، تکانهٔ خطی هر دو جزء تغییر می‌کند. چون نیروهای مبادله شده بین گاز و موتور نیروهای داخلی سیستم دو جزئی هستند و هیچ نیروی خارجی در امتداد حرکت موتور جت بدان وارد نمی‌شود، تکانهٔ خطی کل سیستم دو جزئی ثابت می‌ماند؛ بنابراین، تغییر تکانهٔ اجزاء به گونه ایست که کل تغییرات صفر باشد؛ اگر formula_34 و formula_35 به ترتیب نشان دهندهٔ تغییرات تکانهٔ خطی گاز و بدنه باشند، داریم:
به ازای تغییر سرعتی که به تودهٔ گاز خروجی در یک جهت داده می‌شود خود موتور جت در جهت مخالف شتاب می‌گیرد.
پدیدهٔ پس زنی تفنگ را هم به همین ترتیب می‌توان مورد بحث قرار داد. فرض کنید قبل از شلیک، تفنگ و گلوله هر دو ساکن باشند؛ اگر جرم تفنگ و گلوله را، به ترتیب با M و m، و سرعت‌های آن دو بعد از شلیک را به ترتیب با V و v نشان دهیم:
پس، در اثر شلیک گلوله، تفنگ سرعتی در خلاف جهت شلیک گلوله و متناسب با نسبت جرم گلوله به تفنگ پیدا می‌کند. قانون پایستگی تکانهٔ خطی، با این که در این مقاله به صورت نتیجه‌ای از قانون دوم نیوتن بیان شده، در واقع یکی از قوانین پایه‌ای طبیعت است.
یک جسم ساکن در حالت سکون با اعمال یک نیروی درونی منفجر می‌شود و به تکه‌هایی با اندازه‌های مختلف تبدیل می‌شود که هر کدام با زاویه، جرم و سرعت معینی به یک جهت خاص شروع به حرکت می‌کنند. با استفاده از قانون بقای تکانه جرم اولیه با مجموع جرم‌های تکه‌ها برابر و سرعت تکه‌ها نیز منحصر بفرد می‌باشند، با تجزیه حرکت به مولفه‌های قائم و افقی و قرار دادن در معادله بقای تکانه پارامترهای مورد نظر قابل محاسبه می‌باشند.
در جسم متحرک سرعت تکه‌ها ضریب یا نسبتی از سرعت اولیه جسم هستند و همانند مسئله جسم ساکن با تجزیه حرکت به مولفه‌های قائم و عمود برهم قابل محاسبه می‌باشند یعنی بقای تکانه را برای هر راستا جدا بررسی می‌کنیم.
formula_38
formula_39
در نظریهٔ نسبیت خاص، تکانهٔ خطی به شکلی بازتعریف می‌شود که قانون پایستگی تکانهٔ خطی برقرار باشد.
p=m/√1-v^2/c^۲
موشک از قانون پایستگی تکانه متولد شده. در واقع تغییر حجم سوخت در اثر واکنش در زمان کم منجر به formula_40 بسیار یزرگ می شود که این سرعت جرم تنها می تواند واحد کوچکی از جرم بر ثانیه را به دلیل کوچک بودن خروجی خارج سازد که با توجه به جرمی که می تواند خارج شود می توان سرعت موشک را بدست اورد. Wikipedia contributors, "Momentum," Wikipedia, The Free Encyclopedia, https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Momentum&oldid=664207561 (بازبینی ۲۹ مه ۲۰۱۵).