مدل خودهمبسته
در آمار و پردازش سیگنال، مدل خود همبسته ، نوعی از فرایند تصادفی است که غالباً جهت مدلسازی و پیش‌بینی انواع مختلفی از پدیده‌های طبیعی و اجتماعی به کار می‌رود.
عبارت (AR(p به مدل خودهمبستهٔ مرتبهٔ p اشاره دارد و به صورت زیر تعریف می‌شود:
formula_1
که formula_2 پارامترهای مدل،formula_3 عدد ثابت و formula_4 نوفه سفید می‌باشد. عددثابت formula_3 در بسیاری از مواقع جهت سادگی حذف می‌شود. یک مدل خودهمبسته می‌تواند به صورت خروجی یک فیلتر پاسخ ضربه با قطب‌های نامحدود که ورودی آن نوفهٔ سفید است، در نظرگرفته شود.
اعمال برخی محدودیت‌ها بر پارامترهای این مدل، برای فرایند مانا بودن آن الزامی است. برای مثال فرایند (AR(۱ با φ| ≥ ۱| مانا نخواهد بود. به صورت کلی‌تر، برای اینکه مدل (AR(p مانا باشد، ریشه‌های چندجمله‌ای formula_6 باید درون دایرهٔ واحد قرار گیرند، یعنی برای هر ریشهٔ formula_7 باید داشته باشیم: formula_7|نوفه‌ی سفید با میانگین صفر و واریانس formula_11 می‌باشد. (توجه کنید که زیرنویس formula_12 کنارگذاشته شده‌است.) این فرایند ماناست در صورتی‌که formula_13، زیرا در آن صورت مشابه خروجی یک فیلتر پایدار که وردی آن نوفهٔ سفید است، می‌باشد. اگر formula_14 در آنصورت formula_15 واریانس نامحدود خواهد داشت، و بنابراین مانا نخواهد بود. در نتیجهٔ فرض formula_13، میانگین (formula_17 برای تمام مقادیر formula_18 یکسان خواهد بود. با قراردادن میانگین برابر formula_19 خواهیم داشت:
formula_20
و در نتیجه:
formula_21
به صورت خاص اگر formula_22، در آن صورت میانگین برابر صفر خواهد بود. نشان داده می‌شود که واریانس برابر خواهد بود با:
formula_23
که formula_24 واریانس formula_4 می‌باشد. اتوکواریانس برابر خواهد بود با:
formula_26 که فرم لورنتزین تابع چگالی طیفی را نتیجه می‌دهد:
formula_27
که formula_28 فرکانس زاویه‌ای متناسب با ثابت زمانی formula_29 می‌باشد. نمایش دیگر برای formula_15 از طریق جایگزین کردن formula_31 با formula_32 در فرمول اصلی formula_15 بدست می‌آید. با formula_34 بار تکرار این جایگزینی خواهیم داشت:
formula_35
با میل کردن "N" به سمت بینهایت، formula_36 به صفر میل کرده و خواهیم داشت:
formula_37
در آن صورت formula_15 به صورت مجموعه‌ای از جملات اخلال به علاوهٔ میانگین ثابت درمی‌آید. در واقع این نمایش معادل یک میانگین متحرک از مرتبهٔ بینهایت، formula_39 خواهد بود. اگر formula_4 یک فرایند گوسی باشد، formula_15 نیز فرایند گوسی خواهد بود. در حالات دیگر، قضیه حد مرکزی بیان می‌کند که formula_15، زمانی‌که formula_43 مقداری نزدیک به یک داشته باشد، به صورت تقریبی توزیع نرمال خواهد داشت.
مدل (AR(p با معادلهٔ زیر داریم:
formula_44
یک تناظر مستقیم میان پارامترهای formula_2 و تابع کواریانس فرایند وجود دارد، این تناظر می‌تواند به گونه‌ای معکوس شود که پارامترها از روی تابع خودهمبستگی (که از کواریانس‌ها بدست می‌آید) تعیین و محاسبه شوند. این محاسبه از طریق حل معادلات "یول-واکر" انجام می‌شود:
formula_46
که با "p" + 1، "m" = 0, ... , "p" معادله خواهیم داشت. formula_47 تابع خودهمبستگی "X"و formula_24 انحراف معیار فرایند جملهٔ اخلال ورودی و formula_49 تابع دلتای کرونکر، ضربهٔ کرونکر، است.
از آنجا که قسمت آخر معادله، formula_49، تنها در زمانی‌که "m" = ۰ باشد، غیر صفر است، معادله غالباً از طریق نمایش ماتریس برای "m"> 0 حل می‌شود، در این صورت خواهیم داشت:
formula_51
برای "m" = ۰ داریم:
formula_52
که به اما اجازه می‌دهد formula_11 را حل کنیم.
معادلات بالا، معادلات یول-واکر، از طریق جایگزین کردن کواریانس‌های نظری با مقادیر تخمین زده شده، یک مسیر برای تخمین پارامترهای مدل (AR(p فراهم می‌کنند. یک راه برای محاسبهٔ کواریانس‌های تخمین زده شده استفاده از برازش حداقل مربعات، رگرسیون خطی، مقادیر"X" بر "p" مقدار قبلی خود می‌باشد.
معادلهٔ معرف فرایند (AR(p:
formula_54
با ضرب هر دو طرف معادله در "X" و گرفتن امید انتظاری خواهیم داشت:
formula_55
بنابر تعریف تابع خودهمبستگی داریم: formula_56. مقادیر جملهٔ اخلال از یکدیگر مستقل بوده و "X" به ازای "m"> 0، مستقل از ε است، یعنی برای "m"> 0 داریم:، E[ε"X"] = ۰. برای "m" = ۰:
formula_57
برای "m" ≥ ۰ داریم:
formula_58
بعلاوه داریم:
formula_59
از جایگذاری معادلهٔ بالا در معادلهٔ formula_47، معادلات یول-واکر تولید می‌شود، برای "m" ≥ ۰:
formula_61
برای "m" <0 داریم:
formula_62