مسئله تقسیم‌بندی
در علم کامپیوتر مسئله تقسیم‌بندی به مسئله امکان تقسیم یک "مجموعه با تکرار" از اعداد طبیعی به دو زیرمجموعهٔ "S" و "S" اطلاق می‌گردد به طوری که حاصل جمع اعداد این دو زیرمجموعه با هم برابر باشد. اگرچه این مسئله ان‌پی کامل است اما یک راه‌حل در با استفاده از برنامه‌ریزی پویا برای آن وجود دارد. همچنین راه‌حل‌های اکتشافی برای حل بسیاری از نمونه‌های آن وجود دارد(چه بهینه و چه تقریبی). به همین دلیل این مسئله به عنوان "ساده‌ترین مسئله سخت" شناخته شده‌است.
یک حالت بهینه‌سازی از این مسئله نیز وجود دارد که به تقسیم یک مجموعه با تکرار به دو زیرمجموعهٔ "S" و "S" می‌پردازد به نحوی که تفاوت حاصل جمع اعضای این دو زیر. مجموعه کمینه شود.
با داشتن مجموعه
توجه کنید که این راه‌حل یکتا نیست زیرا {"S" = {3,1,1 و {"S" = {2,2,1 راه‌حل دیگری برای این مسئله می‌باشد.
در حالتی که اندازه مجموعه و نیز حاصل جمع اعداد داخل آن به قدری بزرگ نباشند که مشکلات ذخیره‌سازی به وجود آورند، این مسئله به وسیله برنامه‌ریزی پویا قابل حل خواهد بود.
فرض کنید ورودی الگوریتم به شکل زیر است:
"S = x", ..., "x"
متغیر N را مجموع تمام اعضای داخل "S" در نظر بگیرید. در ادامه الگوریتمی ارائه خواهیم داد که مشخص می‌کند آیا زیرمجموعه‌ای از S وجود دارد که حاصل جمع اعضای آن formula_1 شود یا خیر. اگر چنین زیرمجموعه‌ای وجود داشته باشد:
( "p" ("i","j" را "صحیح" قرار می‌دهیم اگر زیرمجموعه‌ای از { "x", ..., "x"} وجود داشته باشد که حاصل جمع عضوهایش برابر "i" شود و در غیر این صورت آن را برابر "غلط" قرار می‌دهیم.
پس ( "p" (formula_1, "n" صحیح است اگر و تنها اگر یک زیرمجموعه از "S" وجود داشته باشد که حاصل‌جمع اعضای آن formula_1 باشد. پس هدف این الگوریتم محاسبه ( "p" (formula_1, "n" است. به توجه به این مطلب به رابطه بازگشتی زیر می‌رسیم:
دلیل این امر این است که زیرمجموعه‌ای از S با اعداد "x", ..., "x" وجود دارد که حاصل‌جمع عضوهای آن برابر "i" است، اگر و تنها اگر حداقل یکی از عبارات زیر صحیح باشد:
الگوریتم به این نحو کار می‌کند که یک جدول با formula_1 سطر و "n" ستون حاوی مقادیر بازگشتی می‌سازد. هنگامی که کل جدول ساخته شد، مقدار ( "p" (formula_1, "n" را در خروجی برمی‌گرداند. در شکل زیر یک نمونه از جدول "P" را ملاحظه می‌نمایید. در صورتی که مقدار یک خانه از جدول به مقدار خانه دیگری وابسته باشد، یک پیکان از خانه دوم به اول در شکل رسم شده‌است.
در شکل زیر جدول "P" را برای مجموعهٔ {"S" = {3,1,1,2,2,1 مشاهده می‌کنید.
پیچیدگی زمانی این الگوریتم formula_12 می‌باشد که formula_13 تعداد اعضای مجموعه در ورودی است و formula_14 حاصل‌جمع این عضوها می‌باشد.
در این الگوریتم که روی اعضای مجموعه که به صورت نزولی مرتب شده‌اند اجرا می‌شود، هر عضو داخل زیرمجموعه‌ای می‌رود که مجموع اعضایش کوچکتر است. این الگوریتم هنگامی که مقادیر اعضا برابر یا کمتر از تعداد آن‌ها باشد در مجموعه باشد، به خوبی کار می‌کند. زمان اجرای این الگوریتم formula_15 است.
بدیهی است که این الگوریتم ممکن است درست عمل نکند. برای مثال برای مجموعه {"S" = {5, 5, 4, 3, 3 الگوریتم حریصانه زیرمجموعه‌های {"S" = {5, 4 و {"S" = {5, 3, 3 را انتخاب می‌کند در حالی که پاسخ صحیح {"S" = {5, 5 و {"S" = {4, 4, 4 است.
این روش جوابی به اندازه ۴/۳ برابر جواب بهینه را می‌دهد. یعنی اگر این الگوریتم دو جواب formula_16 و formula_17 را بدهد، آنگاه:
formula_18
در زیر شبه‌کد الگوریتم حریصانه آورده شده‌است.
یکی دیگر از الگوریتم‌های اکتشافی الگوریتم تفاضلی است که در هر مرحله دو عدد از مجموعه انتخاب می‌کند و آن‌ها را با تفاضلشان جایگزین می‌کند. این در واقع به معنای قرار دادن این دو عدد در دو زیرمجموعه مجزا می‌باشد بدون اینکه مشخص شود هرکدام از آن‌ها داخل کدام زیرمجموعه می‌شوند. این الگوریتم بهتر از الگوریتم حریصانه عمل می‌کند اما همچنان برای نمونه‌هایی از مسئله که در آن تعداد اعضای مجموعه به صورت نمایی هستند جواب خوبی نمی‌دهد.
مجموعه‌های که یک یا هیچ تقسیم‌بندی برای آن‌ها وجود ندارد، نسبت به اندازه ورودی‌شان مشکل‌ترین هستند. هنگامی که مقادیر اعضا نسبت به اندازه مجموعه کوچک است، احتمال تقسیم‌بندی بهینه بیشتر است. پس می‌گوییم مسئله دستخوش تغییر فاز شده‌است بدین معنا که برای بعضی از مجموعه‌ها محتمل و برای برخی دیگر غیر محتمل است.
اگر m را تعداد بیت‌های مورد نیاز برای نشان دادن اعداد داخل مجموعه باشد و n اندازه مجموعه باشد، بنابراین شرط formula_19 به جواب‌های زیادی منتهی می‌شود در حالی که formula_20 دارای جواب‌های کمتر و در برخی موارد بدون جواب است. در نتیجه هرچه n و m بیشتر می‌شوند، احتمال تقسیم‌بندی بهینه بین ۰ و ۱ در نوسان است.
حالت دیگری از مسئله تقسیم‌بندی به نام وجود دارد که مسئله تقسیم مجموعه "S" به "S"|/3| زیرمجموعه با مجموع‌های برابر است. این مسئله با مسئله تقسیم‌بندی متفاوت است و هیچ راه‌حل شبه چندجمله‌ای برای آن وجود ندارد مگر .http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem