کوواریانس
کواریانس یا هم‌وَردایی ، در آمار و نظریه احتمالات یک مقیاس برای اندازه‌گیری «تغییر توأم» دو متغیر تصادفی است. کوواریانس موقعی مثبت است که مقادیر بزرگتر یک متغیر به صورت عمده با مقادیر بزرگتر متغیر دیگر متناظر باشد، و همین تناظر برای مقادیر کوچکتر هم برقرار باشد (یعنی متغیرها تمایل به رفتار مشابه داشته باشند). در حالت مقابل، موقعی که مقادیر بزرگتر یک متغیر به صورت عمده با مقادیر کوچکتر دیگری متناظر باشد (یعنی متغیرها گرایش به رفتار معکوس داشته باشند) کوواریانس منفی است. از این رو علامت کوواریانس نشان‌دهنده نوع گرایش در رابطه خطی بین متغیرها است. تفسیر کردن اندازه کوواریانس ساده نیست زیرا کوواریانس نرمال‌سازی نشده‌است، و از این رو بستگی به اندازه متغیرها دارد. ، ضریب همبستگی نام دارد، و اندازه این ضریب قدرت رابطه خطی را نشان می‌دهد.
باید بین این موارد تمایز قایل شد: (۱) کوواریانس دو متغیر تصادفی که یک پارامتر جمعیت است و می‌توان آن را به صورت یک ویژگی از توزیع احتمال توأم دید، (۲) کوواریانس نمونه که علاوه بر کاربردی که در توصیف‌کردن نمونه دارد برای مقدار تخمینی پارامتر جمعیت هم از آن استفاده می‌شود.
کوواریانس اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها formula_1 و formula_2 هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:
چنان‌که دو متغیر تصادفی مستقل باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.
فرهنگستان زبان فارسی، وَردیدن از ریشه باستانی وَرت (وَرتیدن: ریخت باستانی فعل "گردیدن")، را به‌جای فعل to vary برگزیده است و از آن، مشتقات وردایی (variance)،وردش (variation)، وردا (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariannce)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.
همپراکنش، قرابتی با همبستگی دارد؛ یعنی اگر همپراکنش دو تابع صفر باشد، یعنی همبستگی آنها صفر است و این یعنی کلا از هم مستقل هستند. برعکس؛ بالا بودن مقدار همپراکنش چه به صورت منفی و چه به صورت مثبت، مبین آن است که این دو تابع به نوعی به هم وابسته اند. بیشترین مقدار همپراکنش زمانی است که یک تابع خطی بین آن دو تابع قابل تعریف باشد. در این صورت یک متغیر را می‌توان تابع متغیر دیگر دانست و به جای این که مقادیر آن دو را حفظ کرد، می‌توان مقادیر یکی به علاوه رابطه آنها را در نظر آورد؛ مثلاً اگر دسته اول جدول یک، درجه حرارت اجاق در ساعات مختلف یک روز بر حسب فارنهایت باشد و دسته دوم اعداد دیگری از این اجاق داشته باشیم و بین این دو دسته یک رابطه خطی به صورت دسته اول منهای سی و دو و کلا ضربدر هجده دهم باشد، خوب! دسته دوم همان دسته اول است منتها بر حسب سیلیسیوس است و نیازی به حفظ آن نیست!
اگر formula_4 متغیرهای تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و formula_5 اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:
می‌توانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه‌ای برای محاسبهٔ آن پیدا کنیم
اگر formula_13 متغیرهای تصادفی و formula_14 اعدادی ثابت باشند آنگاه:
اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده می‌شوند. اگر دو متغیر تصادفی formula_16 مستقل باشند آنگاه کواریانس آنها صفر است. این موضوع را می‌توان به این صورت نتیجه گرفت که چون formula_17 پسformula_18. عکس این موضوع صحیح نیست، به این معنا که ممکن است کواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد (formula_18) ولی الزاماً آن دو متغیر تصادفی مستقل از هم نباشند.
اگر formula_20 را formula_21 و formula_22 را formula_23 در نظر بگیریم آنگاه
formula_24
در اینجا عضو formula_25 ماتریس برابرِ هم وردای formula_26امین عضو formula_20 و formula_28امین عضو formula_22 است، به زبان ریاضی formula_30.