الگوریتم بلمن–فورد
الگوریتم بلمن-فورد الگوریتم پیمایش گراف است که مسئلهٔ کوتاهترین مسیر از مبدأ واحد را برای گراف‌های وزن‌داری که وزن یال‌ها ممکن است منفی باشد حل می‌کند.
الگوریتم دَیکسترا مسئلهٔ مشابهی را در زمان اجرای کمتر حل می‌کند، اما در آن الگوریتم می‌بایست وزن یال‌ها اعداد نامنفی باشند. بنابراین در عمل الگوریتم بلمن-فورد فقط برای گراف‌هایی که یال با وزن منفی دارند استفاده می‌شود.
قبل از توضیح الگوریتم لازم به ذکر است که اگر گراف دوری با مجموع وزن منفی داشته باشد که از مبدأ قابل دست‌یابی باشد، مسئلهٔ کوتاهترین مسیر جوابی نخواهد داشت، چراکه با پیمایش آن دور به هر تعداد بار دلخواه، مسیرهایی با وزن کمتر و کمتر حاصل خواهد شد.
ساختار اصلی الگوریتم بلمن-فورد مشابه الگوریتم دایکسترا است. اجرای الگوریتم 1-|V| دنبالهٔ formula_1 چنان تعریف می‌شود که برای هر رأس formula_2، مقدار formula_3 در پایان مرحلهٔ formula_4ام برابر وزن کوتاهترین گذر از مبدأ به formula_2 است با این شرط اضافه که تعداد یال‌های این گذر حداکثر formula_4 باشد. بنابراین در پایان مرحلهٔ (1-|V|)ام formula_3 برابر وزن کوتاهترین مسیر از مبدأ به formula_2 خواهد بود (در واقع چون دور با مجموع وزن منفی نداریم، کوتاهترین گذر با حداکثر 1-|V| یال از مبدأ به formula_2، همان کوتاهترین مسیر از مبدأ به formula_2 در گراف خواهد بود).
اساس کار الگوریتم آزادسازی (Relaxation) همهٔ یال‌های گراف در هر مرحله‌است. آزادسازی یال formula_11 به این معناست که اگر formula_12 آنگاه قرار می‌دهیم formula_13. با این اوصاف اگر آزادسازی همهٔ یال‌ها را برای بار |V|ام هم تکرار کنیم و بعد از این مرحله هم دنبالهٔ formula_1 تغییر کند، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که گراف دور منفی‌ای دارد که از مبدأ قابل دست‌یابی است. بنابراین الگوریتم بلمن-فورد توانایی تشخیص دور منفی را نیز دارد.
همانطور که گفته شد الگوریتم بلمن-فورد توانایی تشخیص دور منفی را نیز دارد. بنابراین الگوریتم را به گونه‌ای پیاده‌سازی می‌کنند که در صورت تشخیص دور منفی مثلاً مقدار بولی True برگرداند.
یک پیاده‌سازی نوعی به این شرح است:
می توان درستی را با استفاده از استقرای ریاضی نشان داد.
لم. بعد از "i" بار تکرار حلقه:  اثبات.  ابتدا حالت پایه استقرا را در نظر بگیریم که در آن codice_1. در این حالت codice_2 که درست است. به ازای تمامی گره‌های غیر از مبنا "u" داریم codice_3 که درست است؛ چون که هیچ مسیری از مبنا به این گره‌ها با طول مسیر صفر وجود ندارد.
ابتدا قسمت اول را اثبات می کنیم.  با فرض استقرا فرض کنیم codice_4 طول مسیری از مبنا به "u" باشد. در اینصورت codice_5 طول مسیری از مبنا به "v" است.
برای قسمت دوم، طول کوتاه‌ترین مسیر از مبنا به "u" با حداکثر تعداد i یال را در نظر بگیریم. فرض کنیم "v" گرهی قبل از "u" در طول این مسیر باشد، در اینصورت کوتاه‌ترین مسیر به "v" با تعداد i-1 یال است. بنابه فرض استقرا بعد از i-1 تکرار حلقه، کوتاه‌ترین مسیر تا "v" حداکثر به طول همین مسیر است(با i-1 یال). در اینصورت چون در "i"-امین تکرار حلقه codice_6 با codice_4 مقایسه می‌شود حتماً کوتاه‌ترین مسیر با تعداد i یال در i امین تکرار پیدا خواهد شد.
توجه کنید که در چنین درختی که مسیر شامل حلقه نداریم، حداکثر طول مسیر برابر با formula_22 است. لذا الگوریتم مورد نظر بعد از اتمام جواب بهینه را بدست خواهد داد.
مشخص است که در formula_22 مرحله، در هر مرحله formula_24 عملیات بر روی یال‌ها انجام می‌شود. پس formula_25 پیچیدگی زمانی الگوریتم بلمن-فورد خواهد بود.
انتشارات مختلفی از الگوریتم بل من فورد در پروتکل Distance vector routing مورد استفاده قرار گرفته بود. برای مثال پروتکل RIP یکی از الگورتیم‌هایی است که انتشار یافته‌است چون تعدادی از گره‌ها (مسیر یاب ها) را با یک سیستم خود مختار درگیر می‌کند. یک مجموعه شبکه IP که معمولاً به وسیلهٔ یک ISP مالکیت می‌شود شامل این گام‌ها می‌شود: ۱- هر گره مسافت بین خودش و تمام گره‌هایی که در داخل AS اند را محاسبه می‌کند و در جدولی اطلاعات را ذخیره می‌کند . ۲- هر گره جدول اش را به تمام نودهای مجاورش ارسال می‌کند. ۳- وقتی یک گره جدول مسافت را از گره مجاور خودش دریافت می‌کند، کوتاهترین مسیرها را به تمام بقیه گره‌ها محاسبه می‌کند و جدول خودش را برای بازتاب تغییرات بروز می‌کند. اشکال اصلی الگوریتم بل من فورد در این تنظیمات عبارتست از : - به‌خوبی مقیاس (نسبت) نمی‌کند. - تغییر در توپولوژی شبکه به سرعت انعکاس داده نمی‌شود چون آپدیت شدن گره به گره منتشر می‌شود. - محاسبه تا بی‌نهایت ( اگر لینک یا گره در انتقال به یک گره غیرقابل دسترس از بعضی از مجموعه دیگر گره‌ها شکست بخورد، آن گره‌ها ممکن است برای همیشه به تدریج تخمین مسافتشان به آن گره افزایش پیدا کند و در ضمن ممکن است مسیر loop باشد.)
در انتشار سال ۱۹۷۰، Jin.Y.Yen یک توسعه از الگوریتم بل من فورد را برای گراف بدون حلقه با وزن منفی تشریح کرد. توسعه Yen ابتدا کمی نوبت خطی انحصاری بر روی تمام رئوس و بعد تمام قسمت‌های مجموعه تمام یال‌ها در یکی از ۲ زیر مجموعه نشان داد. اولین زیر مجموعه Ef۱ شامل تمام رئوس (Vi،Vj) که iمسئله کوتاهترین مسیر ممکن تک منبعی داشت.