درخت ای‌وی‌ال
الگوریتم علوم رایانه، درخت ای‌وی‌ال ، یک نوع درخت جستجوی دودویی خود متوازن‌کننده‌است و اولین ساختار داده‌ای از این نوع می‌باشد که اختراع شد. در یک درخت ای‌وی‌ال اختلاف ارتفاع دو زیر شاخهٔ هر گره حداکثر برابر یک است؛ بنابراین به این درخت، درخت با ارتفاع متوازن نیز گفته می‌شود. توجه کنید که عملیات درج، حذف و جستجو در یک درخت ای‌وی‌ال در بدترین حالت و حالت متوسط به اندازه formula_1 خواهد بود به‌طوری‌که n تعداد گره‌های درخت می‌باشد. در عملیات درج و حذف ممکن است نیاز باشد که درخت به وسیله چرخش درخت‌ها، یک یا چند بار متوازن گردد.
عنوان AVL TREE از اول نام‌های دو مخترع آن به نام‌های G.M. Adelson-Velsky و E.M. Landis، که مقاله خود را در سال ۱۹۶۲ با موضوع «یک الگوریتم برای سازماندهی اطلاعات» منتشر کردند گرفته شده‌است.
درخت‌های ای‌وی‌ال غالباً با درخت‌های قرمز-سیاه مقایسه می‌شود. دلیل آن این است که هر دو داده ساختار قادر به انجام یک مجموعه از عملیات یکسان می‌باشند. در درخت‌های قرمز-سیاه نیز زمان لازم برای انجام عملیات اساسی به اندازه formula_1است. درخت‌های ای‌وی‌ال برای کاربردهای وسیع و گسترده جستجو بهتر از درخت‌های قرمز-سیاه هستند. الگوریتم‌های متوازن کردن درخت‌ها در بسیاری از دوره‌های علوم رایانه ظاهر شده و مورد استفاده قرار می‌گیرد.
ضریب توازن هر گره، تفاضل ارتفاع زیردرخت چپ آن گره از ارتفاع زیردرخت راست آن گره است. برای راس formula_3 داریم:
formula_4
هر گره ای که ضریب توازن آن برابر ۱، ۰ یا ۱- باشد به عنوان گره متوازن در نظر گرفته می‌شود. هر درخت جست‌وجوی دودویی که تمام راس‌های آن متوازن باشند درخت ای‌وی‌ال است.
با دانستن تعریف یک درخت ای‌وی‌ال و ضریب توازن، با اضافه شدن گره جدید و تغییر ارتفاع، می‌توان یک درخت ای‌وی‌ال را متوازن نگه داشت. دقت شود که نیازی به نگه داشتن ارتفاع دقیق هر گره نیست. تنها کافی است برای هر گره ضریب توازن را نگه داریم. در روش قدیمی برای هر گره دو بیت نگه داشته می‌شد ولی تحقیقات بعدی نشان داد که تنها یک بیت برای هر گره کافی است. به این صورت که برای در هر گره تفاضل ارتفاع گره با از ارتفاع پدرش ذخیره می‌شود و همان‌طور که واضح است این مقدار همواره برابر ۱ یا ۲ است. ارتفاع هر درخت ای‌وی‌ال با تعداد n گره همواره در محدوده زیر قرار دارد:
formula_5
که در آن با تعریف عدد طلایی formula_6 ، formula_7 و formula_8 . دلیل این محدوده این است که هر درخت ای‌وی‌ال با ارتفاع h، حداقل به تعداد "F" – 1 گره دارد که در آن F دنباله فیبوناتچی است.
به‌طور کلی عملیات اساسی در درخت‌های ای‌وی‌ال شامل همان عملیاتی که در درختهای جستجوی دودویی انجام می‌شود می‌باشد، اما اصلاحات وتغییرات به صورت فراخوانی یک یا چند باره چرخش درخت خواهد بود که به باز ذخیره کردن ارتفاع زیر درخت کمک می‌کند.
اگر ضریب توازن تمام گره‌ها ۱-، ۰ یا ۱ باشد درخت در حال حاضر متوازن است و هیچ چرخش دیگری نیاز ندارد.
اگر ضریب توازن یک گره ۲ یا ۲- شود، درخت با ریشه این گره نامتوازن است و چرخش درخت نیاز است. حداکثر دو چرخش برای متوازن کردن درخت نیاز خواهد بود.
چهار حالت اساسی برای محاسبه وجود دارد که دو تای آن‌ها متناسب، یا به عبارت دیگر متقارن با دو حالت دیگر است.
برای سادگی ریشه زیر درخت نامتوازن را P، فرزند سمت راست آن را R، و فرزند سمت چپ را L بنامید. اگر ضریب توازن P مساوی ۲ بود یعنی زیر درخت سمت راست سنگین تر از زیر درخت سمت چپ است و باید ضریب توازن فرزند سمت راست بررسی شود. اگر ضریب توازن (R)برابر ۱ است، این بدان معنا است که درج در سمت راست آن گره رخ داده و یک چرخش درخت به چپ با محوریت ریشه P است. اگر ضریب توازن R برابر ۱- باشد، این بدان معنا است که درج در سمت چپ گره اتفاق افتاده‌است. در این حالت نیاز به دو بار چرخش می‌باشد. اولین چرخش به سمت راست با محوریت R به عنوان ریشه و سپس یک چرخش به سمت چپ با محوریت P است. مراحل کامل متوازن کردن در بخش متوازن‌سازی توضیح داده خواهد شد. for (X = parent(Z); X != null; X = parent(Z)) { // Loop (possibly up to the root) // Unless loop is left via break, the height of the total tree increases by 1. اگر گره یک برگ باشد می‌توان آن را حذف کرد. در غیر این صورت آن را با بزرگ‌ترین گره در زیر درخت سمت چپش یا با کوچک‌ترین گره در زیر درخت سمت راستش جایگزین می‌کنیم و محل جایگزینی را به خاطر می‌سپاریم. سپس آن گره را (که حالا حداکثر یک بچه دارد) در محل جایگزینی به راحتی حذف می‌کنیم. بعد از حذف گره مسیری را که از سمت محل جایگزینی به طرف ریشه است را پیمایش می‌کنیم و ضریب‌های توازن را در صورت لزوم اصلاح می‌کنیم. (این عمل را بازیابی مسیر می‌نامیم). اگر در طول مسیر در یک گره ضریب توازن ۲ یا ۲- شود؛ این بدان معنا است که زیر درخت با ریشه آن گره نامتوازن است و برای متوازن شدن نیاز به چرخش می‌باشد. هزینه صرف شده برای حذف کردن برابر جمع هزینه‌های لازم برای جستجو و بازیابی مسیر است که هر دو به اندازه formula_1 می‌باشد. در نتیجه هزینه لازم برای حذف نیز از مرتبه formula_1 می‌باشد. عملیات چرخش در قسمت متوازن‌سازی توزیح داده شده‌است. class Node
class AVLTree
جستجو در درخت ای‌وی‌ال همانند جستجو در در خت دودویی نامتوازن است. به دلیل توازن ارتفاع درخت هزینه جستجو در بدترین حالت برابر formula_1 است. هیچ شرط خاصی برای رعایت کردن وجود ندارد و در طول جستجو ساختار درخت تغییری نمی‌کند. (می توان جستجو در درخت ای‌وی‌ال را در تباین با جستجو در درخت گسترده دانست که در آن ساختار درخت در حین جستجو تغییر می‌کند) اگر هر گره ارتفاع زیر درخت خود را نیز ذخیره کند، هر گره می‌تواند در زمان formula_1 نیز بازیابی شود. گره قبل و بعد هر گره در درخت ای‌وی‌ال در یک زمان ثابت سرشکن قابل دسترسی است. در موارد محدودی حدود formula_13پیوند پیمایش می‌شود. در اکثر موارد یک پیوند و در حالت سرشکن دو پیوند پیمایش می‌شود.
اگر در هنگام اجرای یک عملیات (درج یا حذف) روی یک درخت ای‌وی‌ال ضریب توازن یک گره ۲ یا ۲- شود، (از محدوده مجاز ۱ تا ۱- خارج شود) آن درخت نیازمند عمل متوازن‌سازی خواهدبود. فرض کنید گره ای که ضریب توازنش از محدوده مجاز خارج شده‌است X و فرزند بزرگتر آن (با ارتفاع بیشتر) Z باشند. توجه شود که می‌دانیم زیر درخت Z یک درخت ای‌وی‌ال است. علت عدم توازن X در عمل درج، اضافه شدن یک نود به Z، و در عمل حذف، حذف شدن یک نود از بچه‌های برادر Z است.
اگر فرزندان Z را ZR(فرزند راست) و ZL(فرزند چپ) بنامیم چهار حالت پیش می‌آید:
در دو حالت اول (راست راست و چپ چپ) نیاز به تک-چرخش و در دو حالت دیگر نیاز به دو-چرخش است.
در شکل مقابل یک نمونه از مشکل راست راست با یک چرخش چپ حل شده‌است.
همان‌طور که مشاهده می‌شود با تغییر سه یال و به روز رسانی دو ضریب توازن، این درخت دوباره متوازن شده‌است.
در چرخش چپ، همان‌طور که ملاحظه می‌شود، گره‌های سمت راست X و چپ Z تغییری نمی‌کنند. پدر X به جای X به Z وصل می‌شود. X و Z جایشان را با هم عوض می‌کنند. (رابطه پدر فرزندی جابجا می‌شود) و در نهایت فرزند چپ Z به راست X وصل می‌شود.
یک نمونه کد از چرخش چپ: node *rotate_Left(node *X, node *Z) {
در شکل مقابل وضیت چپ راست نمایش داده شده‌است.
در این حالت ابتدا با جابحا کردن Y و Z به یکی از حالات چپ چپ یا راست راست می‌رسیم و سپس با یک چرخش درخت را متوازن می‌کنیم.
نمونه کد: ode *rotate_RightLeft(node *X, node *Z) {
درخت‌های ای‌وی‌ال و قرمز-سیاه، هر دو از نوع درخت‌های جستجوی دودویی خود متوازن‌کننده هستند، بنابراین از نظر قانون ریاضی تفاوتی ندارند. عملیات برای متوازن کردن آن‌ها متفاوتند اما هر دو در زمان ثابتی انجام می‌شوند. تفاوت بین آ ن‌ها در میزان ارتفاعشان است. برای یک درخت به سایز n:
درخت ای‌وی‌ال دارای توازن بیشتری نسبت به درخت قرمز-سیاه‌است یا به عبارت دیگر بسیار متوازن تر از درخت قرمز-سیاه‌است، که این منجر به این می‌شود که حذف و درج کردن به صورت کند، اما بازیابی در زمان سریع تری انجام شود.