ترکیب (ریاضی)
ترکیب در حوزه ریاضیات مفهوم نزدیکی با جایگشت دارد. یک جایگشت (تبدیل) تعداد حالات چیده شدن تعدادی معین از اعضای یک مجموعه در مکان‌هایی معین است، در حالی که یک ترکیب تعداد حالات انتخاب تعدادی معین از اعضای یک مجموعه است.
به هر انتخاب غیر مرتب formula_1 شیء از formula_2 شیء داده شده یک ترکیب formula_1 شیء از این formula_2 شیء گفته می‌شود
ترکیب را با نمادهای formula_5 نمایش می‌دهند و آن را انتخاب formula_1 از formula_2 می‌خوانند.
می خواهیم از مجموعه {formula_8} که تمامی اعضایش "متمایز"ند یک زیر مجموعه formula_1 عضوی انتخاب کنیم. برای این کار ابتدا سعی می کنیم تا formula_1 عضو از این مجموعه را در یک ردیف به دنبال هم قرار دهیم که این همان جایگشت formula_1 تایی از بین formula_2 عضو است که بنابر محاسبه جایگشت ها تعداد حالات انجام این کار برابر با formula_13 است. با کمی دقت می‌توان دریافت که در حین این عملیات ما هم formula_1 عضو از بین formula_2 عضو مجموعه اصلی انتخاب کردیم و هم آن‌ها را در یک ردیف چیدیم، در حالی که برای به دست آوردن تعداد ترکیب formula_1 تایی از بین formula_2 عضو تنها باید formula_1 عضو انتخاب کرده و بخش دوم یعنی چیدن آن‌ها در یک ردیف را انجام ندهیم. برای رسیدن به این مطلوب باید در نظر داشت که هر formula_1 عضو {formula_20} به تعداد formula_21 جایگشت ایجاد می‌کنند که در ترکیب این جایگشت‌ها حالات تکراری محسوب می‌شوند در نتیجه باید پاسخ بر formula_21 تقسیم شود:
formula_23
formula_24
formula_25 formula_26
formula_27
فرض کنید ۱۰ نوع کارت مختلف داریم (روی هر کارت شکل متفاوتی وجود دارد) و از هر نوع کارت به تعداد بی نهایت (البته به دلایلی که در ادامه آمده به جای واژهٔ بی‌نهایت می‌توان از ۵ استفاده کرد) در دسترس داریم. حال تعداد راه‌هایی که می‌توان ۵ کارت از بین کل کارت‌ها انتخاب کرد برابر است با تعداد جواب‌های معادله زیر:
formula_28 در معادلهٔ بالا formula_29ها نمایندهٔ ۱۰ نوع کارت هستند و از آنجا که باید مجموع کارت‌ها ۵ شود، در سمت راست معادله عدد ۵ آمده‌است. حال هر جواب این معادله با یک جواب از مسئلهٔ اصلی (مسئلهٔ کارتها) متناظر است مثلاً جواب formula_30، formula_31 ،formula_32 در مسئلهٔ کارت‌ها به این معنا است که از کارت نوع ۱ به تعداد ۲ عدد، از کارت نوع ۲ به تعداد ۱ عدد و از کارت نوع ۱۰ تعداد ۲ عدد و از سایر کارت‌ها هیچی انتخاب نکرده‌ایم و به‌طور بلعکس جوابی که در مورد کارت‌ها در خط بالا مطرح شد خود یک جواب برای معادله به‌شمار می‌آید.
حال که تناظر بین هر جواب معادله و مسئلهٔ کارت‌ها مشخص شد می‌خواهیم به دنبال محاسبهٔ تعداد جواب‌های معادله فوق باشیم.
می خواهیم پاسخ معادلهٔ زیر را بیابیم:
formula_33 formula_34 ادعا می کنیم که هر جایگشت دلخواه که با formula_35 تا formula_36 و formula_1 تا formula_38 نوشته شود با یکی از جوابهای معادله فوق متناظر است. به این صورت که برای هر جایگشت دلخواه از formula_38 و formula_36ها تعداد formula_38 هایی که قبل از اولین formula_36 آمده نشان دهنده جوابی برای formula_43 است و تعداد Uهای بین اولین و دومین formula_36 نشان دهنده عدد متناظر با formula_45 است ... و در نهایت تعداد formula_38های بعد از آخرین formula_36 نشان دهنده مقدار formula_48 می‌باشد.
مثلاً برای معادله formula_28 جایگشت زیر معادل با جواب  formula_30، formula_31 ،formula_32 است:
formula_53 S  formula_54 S  formula_55 S ... S  formula_56 می دانیم که تعداد جایگشت‌های باتکرار برای formula_35 عنصر یکسان و formula_1 عنصر یکسان دیگر در یک ردیف برابر است با: formula_59 بنابراین تعداد ترکیب‌های با تکرار برابر با مقدار فوق می‌باشد.
پس تعداد جواب مسئله کارت‌ها برابر است با : formula_60آروین ساعی اشجعی