معادله اویلر-لاگرانژ
در حساب وردشی، معادلهٔ اویلر-لاگرانژ (که با نام‌هایِ معادلهٔ اویلر یا معادلهٔ لاگرانژ هم شناخته می‌شود.) نام یک معادلهٔ دیفرانسیل شناخته شده‌است. جواب‌هایِ این معادلهٔ دیفرانسیل، تابع‌هایی هستند که یک تابعی معین را تعادلی می‌کنند. این معادلهٔ دیفرانسیل را لئونارد اویلر، ریاضیدانِ سوئیسی و ژوزف لویی لاگرانژ، ریاضیدانِ ایتالیایی در دههٔ ۱۷۵۰ میلادی به دست آوردند. از آن‌جایی که یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطهٔ بیشینه یا کمینه‌ی موضعیِ خود تعادلی می‌شود، معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، زمانی کاربردی است که بخواهیم مسئله‌ای مربوط به بهینه‌سازی را حل کنیم و در آن یک تابعیِ معین داده شده و می‌خواهیم این تابعی را کمینه یا بیشینه کنیم. این قضیه قابلِ مقایسه با قضیه فرما در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که می‌گوید یک تابعِ مشتق‌پذیر، در نقطه‌ای اکسترممِ موضعیِ دارد که مشتق آن صفر شود. در مکانیک لاگرانژی، به خاطرِ اصلِ همیلتونیِ کمترین کنش، تغییرهایِ یک سیستمِ فیزیکی با جوابِ معادلهٔ اویلر-لاگرانژ برایِ آن رفتارِ آن سیستم توصیف می‌شود. در مکانیک کلاسیک، این اصل معادل با قانون‌هایِ حرکتِ نیوتون است، هر چند که این مزیت را دارد که در هر سیستمی با مختصات تعمیم‌یافته، فرمِ آن تغییر نمی‌کند و در نتیجه برایِ تعمیم دادن بسیار مناسب‌تر است.
معادلهٔ اویلر-لاگرانژ در دههٔ ۱۷۵۰ میلادی، به وسیلهٔ اویلر و لاگرانژ به دست آمد، زمانی که آن‌ها مشغولِ حلِ مسئلهٔ خم هم‌زمانی بودند. مسئلهٔ منحنی هم‌زمانی دربارهٔ این است که چه‌طور می‌توان منحنی‌ای پیدا کرد که اگر از رویِ آن منحنی توپی را رها کنیم، زمانِ رسیدنِ توپ به پایینِ منحنی مقدارِ ثابتی باشد و فرقی نکند که توپ را از چه ارتفاعی از منحنی به پایین رها کرده‌ایم. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و جواب را برایِ اویلر فرستاد. این دو به کمکِ هم، متدِ لاگرانژ را گسترش دادند و در حلِ مسئله‌هایِ مکانیک به کار گرفتند، تلاشی که در نهایت به خلقِ مکانیک لاگرانژی ختم شد. به علاوه مکاتبه‌هایِ آن‌ها، به خلقِ کاملِ "حسابِ وردشی" منجر شد. نخستین بار در سالِ ۱۷۶۶، اویلر بود که این نام را برایِ تکنیک‌های‌شان به کار برد.
معادلهٔ لاگرانژ، معادله‌ای است که هدفِ حل کردنِ آن، یافتن تابعی چون q است که ویژگی این تابع q، آن است اگر در انتگرالِ زیر قرار بگیرد، آن را اکسترمم می‌کند:
formula_1
بخش‌هایِ مختلفِ این انتگرال عبارت‌اند از: در این صورت معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، معادلهٔ زیر است که هر تابعِ qای که در آن صدق کند، مقدارِ انتگرال را اکسترمم می‌کند:
در رابطهٔ بالا، "L" مشتقِ جزئیِ L نسبت به formula_2 و "L" مشتقِ جزئیِ L نسبت به formula_4 می‌باشد.
یک مثالِ استاندارد این است که تابعی پیدا کنید که از نقطهٔ "a" به نقطهٔ "b" برود و کمترین مسیرِ ممکن را طی کند. ("f"("a") = "c" و "f"("b") = "d") اولین کاری که باید بکنیم، این است که انتگرالی پیدا کنیم که حلِ آن طولِ مسیر را به دست بدهد. به این ترتیب با مشتقِ جزئی گرفتن از انتگرال‌ده، می‌توانیم تابعی که انتگرال را کمینه یا بیشینه می‌کند بیابیم.
"dl" که طولِ یک جزء از مسیر است به کمکِ قضیه فیثاغورس به شکلِ زیر به دست می‌آید:
با جایگذاریِ آن در انتگرال داریم:
اگر از "dx" فاکتور بگیریم و آن را از زیرِ رادیکال بیرون بیاوریم و به یاد داشته باشیم که "dy/dx" همان مشتق تابعِ f است، در نهایت رابطهٔ زیر را خواهیم داشت:
با توجه به نتیجهٔ بالا در این مثال formula_15 تابعی است که باید از آن انتگرال‌گیری کنیم. حال به کمکِ رابطهٔ اویلر-لاگرانژ باید تابعِ yای را پیدا کنیم که انتگرالِ "L" را کمینه می‌کند. مشتق‌هایِ جزئیِ "L" عبارت‌اند از:
با جایگذاریِ این دو مقدار در معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، به دست می‌آوریم:
به عبارت دیگر، ثابت کردیم که کوتاه‌ترین مسیر ممکن بینِ دو نقطه، خطِ راستی است که از این دو می‌گذرد.
برای اینکه معادلهٔ حرکت را برای یک سیستم معین (شرط آن است که سیستم پایستار باشد) به دست آوریم، به کمک این معادله می‌توانیم از این روش بهره ببریم:حرکت یک ذرهٔ منفرد تحت میدانِ یک نیروی پایستار (مثلاً تحتِ نیروی گرانش) به کمک اصل همیلتون معین می‌شود که می‌گوید در هر حرکت فیزیکی، کنش همواره کمینه خواهد بود. رابطهٔ کنش برای سیستم تک‌ذره‌ای فعلی عبارت است از: که (x("t" مکان ذره در زمان "t" است و نقطهٔ بالای یک متغیر از نمادگذاری نیوتون به دست آمده و منظور از آن مشتق زمانی یک متغیر است. به عبارت دیگر (ẋ("t" نشان‌دهندهٔ همان سرعت (v("t" است. در معادلهٔ بالا "L" نشان‌دهندهٔ لاگرانژین است (تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل) که از رابطهٔ زیر به دست می‌آید: که در آن: در این حالت، لاگرانژین تابع صریح آرگومان اول خود (t) محسوب نمی‌شود. بنا به قضیهٔ نودر، چنین تقارنی در سیستم از قانون‌های پایستگی ناشی می‌شود. به شکلِ خاص، عدم وابستگی لاگرانژین به زمان، پایستگی انرژی را نتیجه می‌دهد. اگر از لاگرانژین بالا، مشتق پاره‌ای بگیریم خواهیم داشت: که نیرو برابر است با F = −∇"U" (منفی گرادیان انرژی پتانسیل) که از تعریف انرژی پایستار نتیجه می‌شود و p تکانه می‌باشد. با این جایگذاری‌ها در معادلهٔ اویلر لاگرانژ، در نهایت به یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم برای مسیر حرکت ذره می‌رسیم: که صورت‌بندی قانون دوم نیوتون است. به عبارت دیگر معادلهٔ اویلر-لاگرانژ، صورت‌بندی دیگری برای معادلهٔ دوم حرکت نیوتون است.
اثباتِ حالت یک‌بعدی معادلهٔ اویلر-لاگرانژ یکی از اثبات‌های کلاسیک در تاریخ ریاضیات است. این اثبات مبتنی بر لم بنیادین حساب وردشی است. می‌خواهیم تابع‌ای همچون formula_31 را بیابیم که دارای این دو ویژگی باشد: به علاوه فرض می‌کنیم که formula_35 دارای مشتق‌های مرتبهٔ اول پیوسته باشد. (می‌شد این فرض را در نظر نگرفت و تنها مشکلی که پیش می‌آید، آن است که اثبات دشوارتر می‌شود.) اگر formula_31 با حفظ شرایط مرزی، تابعیِ فوق را اکسترمم کند، پس هر اختلال کوچک در f (یعنی تغییر کردن مقدار f در نقطه‌های غیرمرزی حتی به مقدار کوچک) باعث می‌شود که مقدار formula_37 یا کمتر شود (اگر formula_31 ماکسیمم‌کننده بوده باشد) یا زیادتر. (اگر formula_31 مینیمم‌کننده بوده باشد) فرض کنیم تابعی که از اختلال روی formula_31 ایجاد می‌شود به این فرم باشد: formula_41 که formula_42 عددی ثابت با مقداری کوچک است و formula_43 تابعی مشتق‌پذیر است که اگر بخواهد شرایط مرزی formula_31 را تغییر ندهد، لزوماً باید در این شرط صدق کند: formula_45. حال تعریف می‌کنیم: که در آن: formula_47 . حال آنچه که باید محاسبه کنیم، مشتق کل formula_48 نسبت به "ε" است. از قاعده‌های مشتق تام داریم: بنابراین: اگر "ε" = 0 باشد، در این صورت "g" = "f"، "F = F(x, f(x), f'(x))" و "J"  دارای مقدار اکسترمم می‌باشد:
در گام بعدی از انتگرال‌گیری جزء به جزء برای جملهٔ دوم انتگرال‌ده بهره می‌بریم و خواهیم داشت:
به کمک شرط‌های مرزیِ formula_45 خواهیم داشت:
و حال بهره‌گیری از لم بنیادین حساب وردشی به سادگی نتیجهٔ دلخواهِ ما را به دست می‌دهد: