اسپیروگراف
اسپیروگراف یا چرخ‌نگار که در ایران با نام دوایر جادوییِ اقلیدس شناخته می‌شود، نوعی اسباب‌بازی است که برای کشیدن اَشکال هندسیِ پدیدآمده از منحنیهای ریاضی با روشِ درون‌چرخه‌زاد به‌کار می‌رود. اسپیروگراف اولین بار به‌دست دنیس فیشر گسترش یافت و در سال ۱۹۶۵ به بازار ارائه شد.
از واژهٔ اسپیروگراف برای نام بردن از گسترهٔ ابزارهایی که برای کشیدن چنین اشکالی به‌کار می‌روند هم استفاده می‌شود. حتی می‌تواند برای نامیدن منحنی‌های درون‌چرخه‌زاد نیز به‌کار رود. اسپیروگراف از زمان خریده شدنِ شرکت دنیس فیشر به‌دست شرکت اسباب‌بازی‌سازی هازبرو، یک نشان تجاری ثبت‌شدهٔ شرکت هازبرو است.
ابزاری با نام اسپیروگراف ابتدا در سال‌های ۱۸۸۱ تا ۱۹۰۰ به‌دست ریاضیدانی به نام برونو آباکانویچ برای به‌دست‌آوردن مساحت زیر منحنی ساخته شد. اسباب‌بازی‌های کشیدنِ اَشکال با چرخ‌دنده حداقل از سال ۱۹۰۸ وجود داشته‌اند؛ در این سال‌ها تبلیغات ابزاری با نام «مارولوس وندرگراف» با کارکردی مشابه در کاتالوگ فروشگاه سیرز چاپ می‌شده‌است. مجلهٔ "مکانیک پسران" در سال ۱۹۱۳ نوشتاری چاپ کرد که چگونگی ساخت ماشینی برای کشیدن وندرگراف را توضیح می‌دهد. اما اسپیروگرافِ امروزی به‌دست مهندس انگلیسی، دنیس فیشر، گسترش یافته و اولین بار در سال ۱۹۶۵ در نمایشگاه بین‌المللی اسباب‌بازی نورنبرگ نمایش داده شد. پس از آن، در شرکت خودِ او ساخته شد و امتیاز پخش آن به شرکت اسباب‌بازی کنر داده شد که در سال ۱۹۶۶ فروش آن را در آمریکا با تبلیغ اسباب‌بازی نوآورانهٔ کودکان شروع کرد.
در سال ۱۹۶۸، «کنر» اسباب‌بازی «اسپیروتات» را ساخت که نسخه‌ای ساده‌شده از اسپیروگراف برای کودکانِ پیش از دبستان بود.
اسپیروگراف شامل قطعاتی است که معمولاً آن‌ها را با پلاستیک می‌سازند و به‌صورت دایرهای یا دایره‌های بزرگ توخالی، مثلثی، میلهای و غیره هستند. در اطراف همهٔ آن‌ها دندانههایی وجود دارد که باعث می‌شود در داخل یا محیط دایره‌های بزرگ بتوان آن‌ها را چرخاند. در داخل قطعات معمولاً سوراخ‌هایی وجود دارد که محل قرار گرفتن نوک قلم است و اَشکال مختلف از آن‌ها ایجاد می‌شود.
دایرهٔ ثابت formula_1 با شعاع formula_2 را در نظر بگیرید. دایرهٔ کوچک‌تر formula_3 با شعاع formula_4 در داخل دایرهٔ اول به‌صورت مماس بر آن می‌گردد. فرض کنید که نقطهٔ formula_5 در داخل دایرهٔ کوچک‌تر در فاصلهٔ formula_6 از مرکز آن قرار گرفته‌باشد. فرض می‌کنیم که نقطهٔ formula_5 ابتدا بر محور Xها بوده‌است. طرح حاصل از اسپیروگراف از خط سیر نقطهٔ formula_5 در داخل دایرهٔ بزرگ به‌دست می‌آید.
حال دو نقطه را در نظر بگیرید. نقطهٔ formula_9 بر دایرهٔ formula_1 نقطه‌ای است که دو دایره همیشه با هم در آن در تماس هستند. نقطهٔ formula_11 بر دایرهٔ formula_3 جابجا می‌شود و محل اولیهٔ آن همان نقطهٔ formula_9 است. با گرداندن formula_3 به‌صورت خلاف عقربه‌های ساعت در داخل دایرهٔ formula_1، دایرهٔ کوچک‌تر نسبت به مرکزِ خود به‌صورت موافق عقربه‌های ساعت می‌چرخد. فاصله‌ای را که نقطهٔ formula_11 بر دایرهٔ کوچک‌تر می‌پیماید، با فاصله‌ای که نقطهٔ formula_9 بر دایرهٔ بزرگ‌تر می‌پیماید برابر است.
پارامترِ formula_18 را میزان زاویهٔ پیمایش‌شده توسط نقطهٔ مماس و formula_19 را میزان چرخش دایرهٔ formula_3 در نظر می‌گیریم و ازآنجایی‌که میزان مسافت پیموده‌شده دو دایره برابر است، داریم: formula_21
یا:
formula_22 formula_23 را مرکز دایرهٔ formula_3 در دستگاه مختصات مطلق در نظر گرفته و formula_25 شعاع مماس مرکز دایرهٔ درونی است:
formula_26 مختصات نقطهٔ formula_5 در دستگاه مختصات جدید برابرِ formula_28 است:
formula_29 برای به‌دست آوردن مختصات نقطهٔ تماس formula_5 در دستگاه مختصات قبلی داریم:
formula_31 حال، رابطهٔ بین formula_18 و formula_19 را جای‌گذاری می‌کنیم تا مختصات نقطهٔ مماسِ formula_5 را تنها براساس یک پارامترِ formula_18 داشته‌باشیم: formula_36 در نظر می‌گیریم که:
formula_37 و formula_38 پارامترِ formula_39 نشان‌دهندهٔ میزان دوریِ formula_5 از مرکز دایرهٔ درونی، و پارامترِ formula_41 نشان‌دهندهٔ میزان بزرگیِ دایرهٔ درونی نسبت به دایرهٔ بیرونی است.  می‌دانیم که: formula_42
پس معادلات مماس را چنین به‌دست می‌آوریم: formula_43