همریختی
در جبر مجرد، همریختی یا همومورفیسم ، نگاشتی است بین دو ساختار جبری (مانند دو گروه، حلقه یا فضای برداری). هر هم‌ریختی که یک به یک و پوشا باشد را یک‌ریختی می‌نامیم. کلمهٔ همومرفیسم در زبان یونان باستان از کلمهٔ "ὁμός (homos)" به معنی "«یکسان»" و "μορφή (morphe)" به معنی "«ریخت»" یا "«شکل»" گرفته شده‌است.
هم‌ریختی فضاهای برداری را نگاشت‌های خطی، و مطالعه‌شان را جبر خطی گویند.
مفهوم هم‌ریختی تحت عنوان ریخت، به ساختارهای بسیار دیگری که بنیان مجموعه ای ندارند یا حتی جبری نیستند نیز تعمیم یافته‌است. این تعمیم نقطه آغازین نظریه رسته‌هاست.
هم‌ریختی می‌تواند یک‌ریختی، درون‌ریختی، خودریختی و … نیز باشد. (ادامه مقاله را ببینید). هر کدام از این‌ها را می‌توان به گونه‌ای تعریف کرد که به هر کلاس از ریخت‌ها نیز تعمیم یابد.
یک هم‌ریختی، نگاشتی بین دو ساختار جبری از یک سنخ می‌باشد که عملیات ساختارها را حفظ می‌کند؛ یعنی نگاشتی چون formula_1 بین دو مجموعه formula_2 که هردو به یک ساختار و در نتیجه به یک عملگر مجهز باشند، چنان‌که اگر formula_3 عملی روی این ساختار باشد (در اینجا برای ساده‌سازی فرض می‌کنیم که عملگر مد نظر یک عملگر دوتاییست)، آنگاه برای هر formula_4 در formula_5 داریم:
می‌گویند formula_7 عملیات را حفظ می‌کند یا با آن سازگاری دارد.
به‌طور صوری، نگاشتی چون formula_8 یک عملیات formula_9-تایی چون formula_10 را که بر روی هردوی formula_5 و formula_12 تعریف شده‌است، حافظ ساختار است اگر برای تمام formula_4 در formula_5 داشته باشیم:
عملیاتی که باید تحت هم‌ریختی‌ها حفظ شوند شامل عملیات ۰-تایی، یعنی ثوابت نیز می‌شود. زمانی که ساختارهای مذکور عنصر همانی داشته باشند، عنصر همانی دامنه باید به عنصر همانی متناظر با آن در هم‌دامنه نگاشته شود.
به عنوان مثال:
ممکن است یک ساختار جبری بیش از یک عمل داشته باشد و برای حفظ هر کدام از آن عمل‌ها نیاز به یک هم‌ریختیست؛ لذا نگاشتی که فقط برخی از آن عمل‌ها را حفظ کند هم‌ریختی ساخار نیست، بلکه صرفاً هم ریختی آن ساختار تحت عمل‌های حفظ شده می‌باشد. به عنوان مثال، نگاشتی بین مونوئیدها که عمل مونوئید را حفظ کرده اما عنصر همانی را حفظ نکند یک هم‌ریختی مونوئیدی نیست، بلکه صرفاً یک هم‌ریختی نیم‌گروهیست.
اعداد حقیقی تشکیل یک حلقه می‌دهند که در آن هم عمل جمع وجود دارد و هم عمل ضرب. مجموعه تمام ماتریس‌های formula_16 نیز تحت اعمال جمع و ضرب ماتریسی تشکیل یک حلقه می‌دهند. اگر ما تابعی بین این دو حلقه (اعداد حقیقی و ماتریس‌های formula_16) به صورت زیر تعریف کنیم:
که در آن formula_19 یک عدد حقیقیست، آنگاه formula_7 هم‌ریختی بین حلقه‌ها خواهد بود، چرا که formula_7 هم جمع را حفظ می‌کند:
هم ضرب را:
به عنوان مثالی دیگر، اعداد مختلط ناصفر را در نظر بگیرید، این اعداد مانند اعداد حقیقی ناصفر تحت عمل ضرب تشکیل یک گروه می‌دهند (صفر از هردوی این گروه‌ها باید حذف شود چرا که معکوس ضربی ندارد، که از شرایط ضروری گروه‌هاست). تابعی مثل formula_7 از اعداد مختلط ناصفر به اعداد حقیقی ناصفر به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
یعنی formula_26 قدرمطلق عدد مختلط formula_27 است. آنگاه formula_7 هم‌ریختی گروه‌هاست، چرا که ضرب را حفظ می‌کند:
توجه کنید که formula_7 را نمی‌توان به هم‌ریختی حلقه ای بسط داد (هم‌ریختی حلقه ای از اعداد مختلط به اعداد حقیقی)، چرا که جمع را حفظ نمی‌کند:
به عنوان مثالی دیگر، درون تصویر نمودار هم‌ریختی formula_7ی از مونوئید formula_33 به formula_34 نشان داده شده. به علت مختلف بودن اعمال دوتایی این دو ساختار، خاصیت هم‌ریختی formula_7 به صورت formula_36 نشان داده می‌شود و داریم formula_37.
یک جبر ترکیبیاتی formula_5 روی میدان formula_39 که به فرم مربعی باشد را "نرم" نامیده که به صورت formula_40 است و یک هم‌ریختی گروهی از گروه ضربی formula_5 به گروه ضربی formula_39 می‌باشد.
هر هم‌ریختی formula_43 یک رابطه هم‌ارزی formula_44 را روی formula_45 بدین صورت تعریف می‌کند که formula_46 اگر و تنها اگر formula_47. رابطه formula_44 را هسته‌ی formula_7 گویند. این رابطه، یک رابطه هم‌ارزی روی formula_45 است. مجموعه خارج قسمتی formula_51 را می‌توان به گونه ای طبیعی، با تعریف عملیات بین دسته‌های هم‌ارزی formula_52 مجهز به همان ساختار کرد. درین صورت، تصویر formula_45 در formula_54 تحت هم‌ریختی formula_7 لزوماً یک‌ریخت با formula_51 می‌باشد، حقیقت اخیر یکی از قضایای یک ریختیست. زمانی که ساختار جبری مد نظر برای برخی از عمل‌ها گروه باشد، کلاس هم‌ارزی formula_57 مربوط به عنصر همانی این عمل برای تعیین و مشخصه سازی رابطه کافیست. در این صورت، خارج قسمت رابطه هم‌ارزی به صورت formula_58 نمایش داده می‌شود (به صورت "formula_45 به هنگ formula_57" یا "formula_45 به پیمانه formula_57" خوانده می‌شود). همچنین در این صورت، بیشتر به formula_57 هسته formula_7 می‌گویند تا formula_44. هسته‌های هم‌ریختی از نوع یک ساختار جبری داده شده، طبیعتاً خود مجهز به ساختاریست. این ساختارِ مربوط به هسته، هم سنخ با ساختار جبری است که بر روی آن کار می‌کنیم (صورت و مخرج‌های کسر)، مثلاً اگر صورت و مخرج کسر از نوع گروه آبلی، فضای برداری یا مدول باشد خارج قسمت ما نیز از همین نوع است، اما به خاطر ویژگی‌های خاصی که دارد معمولاً اگر هسته یک هم‌ریختی گروهی باشد به آن زیر گروه نرمال و اگر هسته هم‌ریختی حلقه ای باشد بدان ایده‌آل گویند (در مورد حلقه‌های ناجابجایی، هسته‌ها ایده‌آل‌های دوسویه هستند).
چندین نوع از هم‌ریختی‌ها برای خود نام‌های خاصی دارند، که تعمیمشان به ریخت‌های نظریه رسته‌ها نیز از همین نام‌ها بهره می‌برند.
یک یک‌ریختی بین دو ساختار جبری هم‌سنخ را اغلب به صورت هم‌ریختی دوسویه تعریف می‌کنند.
در بستر عام تر نظریه رسته‌ها، یک‌ریختی به صورت ریخت تعریف می‌شود، ریختی که دارای معکوسیست که خود آن هم ریخت باشد. در مورد ساختارهای جبری خاص، این دو تعریف معادل هستند، گرچه که ممکن است برای ساختارهای غیر جبری که دارای مجموعه زیرین باشند این دو تعریف متفاوت باشد.
به‌طور دقیق تر اگر:
formula_8
یک (هم) ریخت باشد، دارای معکوس است اگر وجود داشته باشد:
formula_67
چنان‌که:
اگر formula_5 و formula_12 دارای مجموعه زیرین باشند و formula_8 دارای معکوس formula_72 باشد، آنگاه formula_7 دوسویه است. در حقیقت formula_7 یک به یک است، چرا که formula_75 نتیجه می‌دهد formula_76 و formula_7 پوشاست چرا که برای هر formula_78 در formula_12 داریم formula_80 و formula_78 تصویر عنصری از formula_5 است.
برعکس، اگر formula_8 یک هم‌ریختی دو سویه بین ساختارهای جبری باشد، فرض کنید formula_67 نگاشتی باشد چنان‌که formula_85 عنصر منحصر به فردی چون formula_78 از formula_5 بوده چنان‌که formula_88. در نتیجه داریم formula_89 و formula_90، و تنها چیزی که باقی می‌ماند این است که نشان دهیم formula_72 یک هم‌ریختیست. اگر formula_92 یک عمل دوتایی این ساختار باشد، برای هر جفت formula_4 از عناصر formula_12 داریم:
و لذا formula_72 با formula_92 سازگار خواهد بود. اثبات آن برای هر عمل چندتایی دیگر هم مشابه عمل دوتاییست، و از آن نتیجه می‌گیریم که formula_72 یک هم‌ریختیست.
این اثبات برای ساختارهای غیر جبری کار نمی‌کند. به عنوان مثال، برای فضاهای توپولوژیکی، ریخت را نگاشت پیوسته گویند، و معکوس نگاشت پیوسته دو سویه لزوماً پیوسته نیست. یک‌ریختی در فضاهای توپولوژی را همسان‌ریختی یا نگاشت دوپیوسته (نگاشتی که هم خودش و هم معکوسش پیوسته باشند) گویند.
یک درون‌ریختی، هم‌ریختیست که دامنه اش برابر با هم دامنه‌اش باشد، یا به‌طور کلی تر ریختی که منبع آن با هدفش برابر باشد.
درون‌ریختی‌های یک ساختار جبری، یا شیئی از یک رسته تحت عمل ترکیب تشکیل مونوئید می‌دهد.
درون‌ریختی‌های یک فضای برداری یا یک مدول تشکیل یک حلقه می‌دهد. در حالتی که در بستر فضاهای برداری یا مدول‌های آزاد متناهی بعد کار می‌کنیم، انتخاب پایه، یک‌ریختی حلقه‌ای بین حلقه درون‌ریختی‌ها و حلقه ماتریس‌های مربعی هم بعد القاء می‌کند.
یک خودریختی، درون‌ریختیست که علاوه بر درون‌ریختی، یک‌ریختی نیز می‌باشد.
خودریختی‌های یک ساختار جبری یا یک شیء از یک رسته، تحت عمل ترکیب، تشکیل گروه می‌دهد که به آن گروه خودریختی‌های آن ساختار می‌گوییم.
بسیاری از گروه‌هایی که بر روی آن‌ها نامی قرار داده شده، خود گروه خودریختی از یک ساختار جبری اند. به عنوان مثال، گروه خطی عمومی formula_99 گروه خودریختی فضاهای برداری formula_100 بعدی روی یک میدان formula_9 می‌باشد.
گروه‌های خودریختی میدان‌ها توسط اواریسته گالوا به منظور مطالعه ریشه چند جمله‌ای‌ها معرفی شدند و اکنون پایه نظریه گالوا می‌باشند.
برای ساختارهای جبری، تک‌ریختی‌ها عمدتاً به صورت هم‌ریختی‌های یک به یک تعریف می‌شوند.
در حالت کلی تر، در نظریه رسته‌ها، یک تک‌ریختی به صورت ریختی تعریف می‌شود که خاصیت چپ حذف شدنی دارد. این بدین معناست که (هم) ریختی formula_8 تک ریختیست اگر برای هر جفت formula_103 از ریخت‌ها از هر شیء درون رسته formula_104 به شیء formula_5 از formula_106 نتیجه بگیریم که formula_107.
در جبر، بروریختی‌ها را اغلب به صورت هم‌ریختی‌های پوشا تعریف می‌کنند. از سوی دیگر، در نظریه رسته‌ها، بروریختی‌ها را به صورت ریخت‌هایی تعریف می‌کنند که خاصیت راست حذف شدنی دارند. این بدین معناست که (هم) ریختی formula_108 بروریختیست اگر برای هر جفت formula_109 از ریخت‌هایی که از شیء formula_12 به هر شیء دیگری از رسته formula_104 می‌روند از formula_112 نتیجه بگیریم که formula_107.