پدیده‌های کوانتومی ماکروسکوپیک
به‌طور عادی، مکانیک کوانتوم در مقیاس اتمها و ذرات اتمی به کار می‌رود. با این حال، در دماهای پایین، پدیدههایی دیده شده‌است که نشانگر ظهور کوانتوم مکانیک در مقیاس ماکروسکوپیک هستند. شناخته‌شده‌ترین این پدیده‌ها ابرشارگی هلیوم و ابررسانایی هستند که هر دو رفتاری دیدنی به نمایش می‌گذارند. برای نمونه در هر دو حالت ماده می‌تواند با مقاومت صفر جریان یابد. در هلیوم چرخان پیچش‌های کوانتومی شکل می‌گیرند که همه به یک اندازه قوی هستند و می‌توانند در الگوهای زیبایی شکل گیرند.
پدیده‌های کوانتومی ماکروسکوپیک از زیباترین پدیده‌های فیزیک هستند. فصل ۲۱ کتاب درس‌های فاینمن در فیزیک در مورد این مطلب با «این فصل فقط برای سرگرمی است» آغاز می‌شود. در سال‌های ٬۱۹۹۶ ۱۹۹۸ ٬۲۰۰۱، ۲۰۰۳ چهار جایزه نوبل فیزیک به کارهایی در رابطه با این پدیده‌ها داده شد.
پدیده‌هایی که پدیده‌های کوانتومی ماکروسکوپیک خوانده می‌شوند از دو جهت ماکروسکوپیک هستند:
مفهوم اشغال ماکروسکوپیک حالت‌های کوانتومی توسط فریتز لاندن معرفی شد.در اینجا توضیح داده خواهد شد که معنای اشغال حالت پایه توسط تعداد بسیاری از ذرات چیست. تابع موج حالت پایه چنین است:
formula_1
که در آن formula_2 فاز و formula_3 دامنه‌است. تابع موج را نرمال می‌کنیم به طوری که:
formula_4
تعبیر فیزیکی کمیت
formula_5
به تعداد ذرات بستگی دارد. تصویر ۱ ظرفی را دارای تعدادی ذره با حجم کنترلی کوچک Δ"V" در آن نشان می‌دهد. در هر قسمت تعداد ذرات موجود در جعبه کنترلی را حساب می‌کنیم. سه حالت مختلف وجود دارد:
۱. تنها یک ذره وجود دارد. در این حالت حجم کنترلی اکثر اوقات خالی است. هرچند احتمال یافت شدن ذره در این حجم توسط رابطه زیر (همان رابطه قبل) داده می‌شود:
formula_5
این احتمال با Δ"V" متناسب است. عبارت "ΨΨ" چگالی احتمال خوانده می‌شود.
۲. اگر تعداد ذره‌ها کمی بیشتر باشد غالباً چند ذر در جعبه یافت می‌شوند. می‌توان یک مقدار متوسط تعریف کرد، اما نوسان تعداد مورد نظر حول این متوسط زیاد است.
۳. در حالت تعداد بسیار زیاد ذره همیشه تعداد زیادی ذره در جعبه کوچک خواهد بود. نوسان تعداد ذرات حول مقدار متوسط کوچک است. مقدار متوسط متناسب با Δ"V" است و "ΨΨ" اکنون به عنوان چگالی ذرات تعبیر می‌شود.
در کوانتوم مکانیک چگالی احتمال شارش ذره "J" (واحد: ذره بر ثانیه بر متر مربع) می‌تواند از معادله شرودینگر به دست می‌آید:
formula_7
که در آن q بار الکتریکی ذره و formula_8 پتانسیل برداری است.
formula_9
اگر تابع موج به‌طور ماکروسکوپیک اشغال شده باشد آنگاه چگالی احتمال شارش ذره تبدیل به احتمال شارش ذره خواهد شد. سرعت شاره "v" را با استفاده از چگالی شارش جرم تعریف می‌کنیم:
formula_10 چگالی (جرم بر متر مکعب) می‌شود:
formula_11
بنابراین می‌توان نوشت:
formula_12
این رابطهٔ مهم سرعت را که یک مفهوم کلاسیک است را به فاز تابع موج که یک مفهوم کوانتوم مکانیکی است مربوط می‌کند.
در این قسمت چگالش بوز-اینشتین را بررسی می‌کنیم و دمای "T" را که در دمای کمتر از آن پدیده‌های ماکروسکوپیک کوانتومی روی می‌دهد می‌یابیم. یک سیستم شامل یک مول ذره را در نظر بگیریم تعداد ذرات برابر عدد آووگادرو "N" خواهد بود و حجم آن برابر حجم مولار "V" خواهد بود. "چگالی حالت‌ها" توسط رابطهٔ زیر داده می‌شود:
در اینجا "δn" تعداد حالات کوانتوم مکانیکی در یک نوار انرژی از "E" تا "E+δE" است. برای یک گاز ایدئال با ذراتی به جرم "m" و اسپین ۰ چگالی حالت‌ها توسط رابطه زیر داده می‌شود:
که در آن "h" ثابت پلانک است. در آمار بوز-اینشتین در تعداد متوسط ذرات اشغال‌کننده یک حالت کوانتومی برابر است با:
در اینجا "μ" پتانسیل شیمیایی برای هر ذره و "k" ثابت بولتزمان است. با استفاده از این معادلات، "N" می‌شود:
برای اینکه انتگرال در بازه انرژی از ۰ تا ∞ واگرا نشود، باید فرض کنیم:
بنابراین پتانسیل شیمیایی "μ" می‌تواند برحسب تابعی از "T" محاسبه شود. در دماهای بالا طبق انتظار "μ"تابع زتای ریمان نوشته می‌شود: بنابراین معادله ۶ می‌شود: در نتیجه:
یا:
برای مقادیر مربوط به هلیوم مایع (با جرم مولار 0.004 kg/mol و "V"=27.6 cm³/mol) مقدار "T"=3.1 K به دست می‌آید که به مقدار ۲٫۱۷K که نقطه لاندا ("T")است و گذار به ابرشارگی در آن دما اتفاق می‌افتد بسیار نزدیک است. با وجود اینکه هلیوم-۴ یک گاز ایدئال نیست این نتایج نشانهٔ این هستند که ابرشارگی ناشی از چگالش بوز-اینشتین است.