چندوجهی
چندوجهی یک شیء صلب هندسی در فضای سه بعدی است که وجه‌هایی صاف (هر وجه در یک صفحه) و ضلع‌ها یا یال‌هایی واقع بر خط راست دارد. تا کنون تعریف واحدی برای آن ارائه نشده‌است. چهاروجهی از انواع هرم است و مکعب نمونه‌ای از یک شش وجهی است. چندوجهی می‌تواند محدب یا غیر محدب باشد.
چندوجهی‌هایی مثل هرم و منشور را با می‌توان اکستروژن (بیرون کشیدن) چندضلعی‌های دوبعدی ساخت. تنها تعداد محدودی از چندوجهی‌های محدب با وجوه منتظم و شکل گوشه‌های برابر می‌تواند وجود داشته باشد که شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی می‌شود. برخی اجسام ارشمیدسی را می‌توان با بریدن هرم راس اجسام افلاطونی ساخت.
به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری مانند گنبدهای ژئودزیک و اهرام از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود. اخیراً نیز به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی افزایش یافته‌است. برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری و هیدروکربن‌های افلاطونی و همچنین برخی شعاعیان شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. از اجسام افلاطونی در ساخت تاس نیز استفاده می‌شود.
چندوجهی‌ها ویژگی‌ها و انواع گوناگونی دارند و در گروه‌های تقارنی مختلفی جای می‌گیرند. با اعمالی روی هر چندوجهی می‌توان چندوجهی‌های دیگری ساخت. بعضی از آنها با هم روابطی دارند. چندوجهی‌ها از عصر حجر مورد توجه بوده‌اند.
چندوجهی‌های محدب به خوبی تعریف شده و خوش-تعریف‌اند به طوری که چندین تعریف معادل دارند. با این حال، تعریف صوری ریاضیاتی از چندوجهی‌هایی که لزوماً محدب نیستند مشکل‌ساز بوده‌است. بسیاری از تعاریف چندوجهی‌ها را در چهارچوب‌هایی خاص ارائه نموده‌اند، به طوری که برخی از سایرین مستحکم بوده و توافقی جهانی بر سر این که کدام یک را انتخاب کنند وجود ندارد. برخی از این تعاریف، اشکالی را که اغلب دیگران به عنوان چندوجهی برشمرده‌اند را مستثنی می‌کنند (همچون چندوجهی‌های خود-متقاطع) یا شامل اشکالی‌اند که اغلب به عنوان چندوجهیِ معتبر در نظر گرفته نمی‌شوند (همچون جامداتی که مرزهایشان منیفلد نیستند). چنانچه برانکو گرونباوم نیز مشاهده نمود:
با این وجود برسر این مسئله توافق نظر وجود دارد که «چندوجهی» شکلی در فضای سه‌بعدی است که شامل تعداد محدودی وجه تخت، ضلعِ راست، و رأس است به‌گونه‌ای که در هر ضلع دقیقاً دو وجه به هم برسند و در هر رأس دستکم سه رأس و سه وجه با هم برخورد کنند. هرگاه دو وجه در خطی که ضلع هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن خط «ضلع کاذب» و هرگاه سه ضلع در نقطه‌ای که گوشه هیچ وجهی نیست تقاطع کنند به آن نقطه «رأس کاذب» گویند. معمولاً فضای محصور شده در درون این وجه‌ها (حجم) نیز جزء چندوجهی به‌شمار می‌رود.
از این تعاریف می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:
در همه این تعاریف، یک چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ کلی تر در هر تعداد ابعاد قابل درک است. به عنوان مثال، یک چندضلعی جسمی دو بعدی دارد و هیچ وجهی ندارد، در حالی که یک چهار پلیتوپ دارای یک بدنه چهار بعدی و یک مجموعه اضافی از «سلول» های سه بعدی است. با این حال، برخی از متون مربوط به هندسه ابعاد بالاتر از اصطلاح «چندوجهی» برای معنای دیگری استفاده می‌کنند: نه یک پلیتوپ سه بعدی، بلکه شکلی است که به نوعی با یک پلیتوپ متفاوت است. به عنوان مثال، برخی منابع چندضلعی محدب را به عنوان محل تلاقی بسیاری از نیم فضاها و یک پلیتوپ را به صورت چندوجهی کراندار تعریف می‌کنند. در این مقاله تنها به چندوجهی ۳ بعدی پرداخته شده‌است.
هر چندوجهی دارای سه نوع زاویه است که عبارتند از:
«سطح چندوجهی» حاصل به‌هم پیوستن تعداد محدودی وجه چندضلعی تخت است و ملزوما فضایی را محصور نمی‌کند. در سطوح چندوجهی می‌توان اضلاع مرزی و رئوس مرزی (تنها در زمانی که سطح چندوجهی شامل فقط یک وجه باشد) داشت.
اخیراً به علت استفاده از اشکال علاقه به سطوح چندوجهی در معماری افزایش یافته‌است.
چندوجهی محدب چندوجهی ای است که جسمی محدب را مشخص می‌کند. این شرایط را می‌توان به روشهای مختلف معادل بیان کرد:
چند وجهی غیر محدب را گاهی مقعر می‌نامند.
رئوس و ضلع‌های چندوجهی گرافی را تشکیل می‌دهند که اسکلت چند وجهی نامیده می‌شود. به عنوان مثال، اسکلت چهار وجهی یک گراف کامل با ۴ راس است.
اسکلت چند وجهی محدب یک گراف مسطح است و به همین دلیل قضیه چندوجهی اویلر (که در ادامه توضیح داده خواهد شد) در آن صدق می‌کند: در واقع می‌توان گراف را از یک نقطه داخلی چندوجهی بر روی هر کره ای که در آن نقطه قرار دارد نمایش داد و سپس با استفاده از تصویر کردن استریوگرافیک به روی صفحه نمایش داد. گراف یک چندوجهی پیچیده‌تر ممکن است مسطح نباشد. تورِ (Net) یک چند وجهی، شکل مسطحی است که از تعدادی چندضلعی در امتداد برخی طرفها تشکیل شده‌است، که می‌تواند در فضا خم شود تا بسته شود و یک چند وجهی تشکیل دهد. تور ابزاری کاربردی برای ساخت چندوجهی کاغذی است.
در سال ۱۹۷۵، جی.سی. شپارد پرسید که آیا هر چندوجهی محدب حداقل دارای یک تور ساده است؟ این سؤال که به عنوان حدس دورر یا مسئله تور دورر یا حدس شپارد نیز شناخته می‌شود، بی پاسخ مانده‌است. خصوصیات توپولوژیکی چندوجهی آن ویژگی‌هایی است که فقط شکل جهانی آن را توصیف می‌کند. به عنوان مثال چندوجهی‌های محدب همه دارای فرم توپولوژیکی یکسان هستند: آنها «از نظر توپولوژیکی» برابر با یک کره هستند. این چندوجهی‌ها ساده نامیده می‌شوند. برای چندوجهی‌های ساده فرمول مهمی به نام قضیه چندوجهی اویلر وجود دارد که در ادامه به آن پرداخته خواهد شد.
رویه یک چندوجهی اتحاد وجوه آن است. در برخی موارد، مانند بیست وجهی بزرگ نشان داده شده در شکل، این وجوه‌ها می‌توانند تلاقی کنند و در نتیجه شکل پیچیده‌ای را تشکیل می‌دهند. وقتی این اتفاق می‌افتد، ممکن است مشخص نباشد که کدام قسمت جسم از فضا در واقع توسط وجه‌ها «در نظر گرفته شده» است. این پدیده مشابه پدیده‌ای است که در فضای ۲بعدی برای چندضلعی‌های ستاره ای رخ می‌دهد.
در بیشتر موارد مورد مطالعه، وجه‌ها با هم تلاقی ندارند و در واقع رویه‌ای را تشکیل می‌دهند که از نقطه نظر توپولوژیک قابل مطالعه است: یعنی شکل جهانی آن توصیف می‌شود، با نادیده گرفتن زوایای تشکیل شده به صورت محلی توسط ضلع‌ها و رئوس مختلف. یک رویه همیشه بخشی از فضا را مشخص می‌کند.
از نظر توپولوژیک، یک سطح در فضا بیش از هر چیز با «تعداد قطعات جدا شده» و «تعداد سوراخ» مشخص می‌شود. وقتی این قطعه از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ روزنه ای نداشته باشد، معادل کره است. قطعات جداگانه و تعداد حفره‌ها در ریاضیات به ترتیب با مفهوم فضای متصل و جنسیت متصل شده رسمی می‌شوند. چندوجهی دارای سوراخ دارای رویه ای به شکل چنبره است.
برخی از چندوجهی‌ها دارای دو طرف مشخص در سطح خود هستند. به عنوان مثال، می‌توان به داخل و خارج یک مدل کاغذی چندوجهی محدب رنگ متفاوتی داد (اگرچه رنگ داخلی از دید پنهان خواهد شد). این چندوجهی‌ها جهت دار هستند. همین امر در مورد چندوجهی‌های غیر محدب و غیر خود-متقاطع نیز صدق می‌کند. برخی از چندوجهی‌های غیر محدب خود-متقاطع می‌توانند به همان شیوه رنگی شوند اما مناطق آنها زیر و رو می‌شود به طوری که هر دو رنگ زده شده در خارج در مکان‌های مختلفی ظاهر می‌شوند. اینها هنوز هم جهت دار در نظر گرفته می‌شوند. با این حال، برای برخی دیگر از چندوجهی‌های خود-متقاطع با وجه‌های چندضلعی‌های ساده، رنگ آمیزی دو طرف هر وجه با دو رنگ متفاوت به طوری که وجه‌های مجاور دارای رنگ‌های ثابت باشند امکان‌پذیر نیست. در این حالت گفته می‌شود که چندوجهی جهت ناپذیر است. برای چندوجهی با وجه‌هایی که از هم عبور می‌کنند، ممکن است مشخص نباشد که وجه‌های مجاور به‌طور یکسان رنگ آمیزی می‌شوند، اما برای این چند وجهی‌ها هنوز هم می‌توان با در نظر گرفتن یک مجموعه سلول توپولوژیکی با همان اتفاقات بین رئوس، ضلع‌ها و وجه‌های آن جهت دار بودن یا نبودن چندوجهی را مشخص کرد.
مشخصه اویلر مشخصه‌ای است که با حرف یونانی خی (formula_1) نشان داده شده و در ابتدا برای چندوجهی‌ها و به شکل زیر تعریف شد:
که "V", "E" و "F" به‌ترتیب تعداد رأس‌ها، اضلاع و وجه‌های چندوجهی هستند.
قضیه چندوجهی اویلر بیان می‌کند همواره مشخصه اویلر چندوجهی‌های محدب برابر ۲ است. جدول زیر قضیه چندوجهی اویلر را روی برخی چندوجهی‌های محدب بررسی می‌کند:
برای اشکال پیچیده‌تر، مشخصه اولر مربوط به تعداد سوراخ‌ها و عوامل دیگر است و کمتر از ۲ خواهد بود.
مشخصه اویلر چندوجهی‌های ستاره ای متغیر است. جدول زیر مشخصه اویلر برخی چندوجهی‌های ستاره ای را بیان می‌کند:
چندوجهی چنبرواری نوعی چندوجهی است که علاوه بر چندوجهی بودن یک چنبروار نیز هست و دارای ۱ یا بیش از یک سوراخ است. چندوجهی چنبرواری به عنوان مجموعه‌هایی از چندضلعی‌ها تعریف می‌شود که در ضلع‌ها و رئوس آن به هم می‌رسند و یک منیفولد را تشکیل می‌دهند؛ یعنی هر ضلع باید دقیقاً توسط دو چندضلعی احاطه شود و پیوند اجزا در هر راس باید یک چرخه منفرد باشد که بین ضلع‌ها و چندضلعی‌هایی که در آن راس قرار دارند متناوب باشد. برخی از نویسندگان عبارت «چندوجهی چنبرواری» را به معنای دقیق تر نوعی چندوجهی که از نظر توپولوژیکی معادل چنبره (با یک سوراخ) است محدود می‌کنند. در یک چندوجهی چنبرواری با N سوراخ مشخصه اویلر نامثبت بوده و برابر با "V" − "E" + "F" = ۲ − ۲"N" می‌باشد.
چندوجهی‌ها بر اساس تعداد وجوهشان و بر اساس یونانی کلاسیک دسته‌بندی و نامگذاری می‌شوند؛ مثلاً tetrahedron (چهاروجهی) به معنی چندوجهی با چهار وجه، pentahedron (پنج‌وجهی) به معنی چندوجهی با پنج وجه، hexahedron (شش‌وجهی) به معنی چندوجهی با شش وجه است و الی آخر به همین شکل نامگذاری می‌گردند.
برای هر رأس می‌توان یک شکل گوشه تعریف کرد که شکل چندوجهی را در اطراف رأس مشخص می‌کند. تعاریف دقیق متغیرند، اما می‌توان شکل گوشه را شکلی تعریف کرد که در اثر بریدن راس چندوجهی پدید می‌آید. اگر چندضلعی حاصل از این فرایند منتظم باشد، رأس منتظم شمرده می‌شود.
نماد رأس یا پیکربندی رأس علامتی اختصاری برای نشان دادن شکل گوشه یک چندوجهی یا کاشی کاری به عنوان دنباله ای از وجه‌ها در اطراف یک راس است. برای چندوجهی‌های یکنواخت فقط یک نوع شکل گوشه وجود دارد و بنابراین پیکربندی راس کاملاً چند وجهی را تعریف می‌کند.
نماد راس به عنوان دنباله ای از اعداد ارائه شده‌است که تعداد اضلاع وجه‌های اطراف راس را نشان می‌دهد. علامت گذاری «a.b.c» یک راس را توصیف می‌کند که دارای ۳ وجه در اطراف آن است که a و b و c ضلع دارند.
برخلاف محل شروع، ترتیب مهم است؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ با ۵٫۳٫۵٫۳ برابر امّا با ۳٫۳٫۵٫۵ متفاوت است. عناصر تکرار شده را می‌توان برای نشان دادن جمع کرد؛ مثلاً ۳٫۵٫۳٫۵ را می‌توان به شکل (۳٫۵) نمایش داد.
دوگان‌های یکنواخت که وجه متقارنند، می‌توانند با علامات اختصاری مشابهی با پیکربندی رأس که پیکربندی وجه نامیده می‌شود نشان داده شوند. این نمادها با یک V برای اختلاف نشان داده می‌شوند. این نماد به شکل شمارش متوالی تعداد وجوهی که در رئوس اطراف وجه قرار دارند مشخص می‌شوند. مثلاً پیکربندی وجه دوازده لوز وجهی V۳٫۴٫۳٫۴ یا (۳٫۴)V است.
جامدات چندوجهی دارای یک مقدار مشخص به نام حجم هستند که میزان فضای اشغال شده را اندازه‌گیری می‌کند. خانواده‌های ساده چندوجهی‌ها ممکن است فرمول‌های ساده ای برای حجم خود داشته باشند. به عنوان مثال، حجم اهرام، منشورها و موازی السطوح‌ها را می‌توان به راحتی بر اساس طول ضلع یا مشخصات دیگر بیان کرد.
حجم چندوجهی‌های پیچیده‌تر ممکن است فرمول‌های ساده ای نداشته باشند. با تقسیم چندوجهی به قطعات کوچکتر، حجم این چند وجهی‌ها محاسبه می‌شود. به عنوان مثال، می‌توان حجم یک چند وجهی منتظم را با تقسیم آن به هرم‌های برابر محاسبه کرد، به این شکل که که هر هرم دارای یک وجه از چندوجهی به عنوان قاعده و مرکز چندوجهی به عنوان راس آن است.
به‌طور کلی، می‌توان از قضیه دیورژانس استخراج کرد که حجم یک جامد چندوجهی توسط آن داده می‌شود:formula_3 که در آن مجموع روی وجوه F چندوجهی است، formula_4 نقطه ای دلخواه روی وجه F بوده، formula_5 بردار واحد عمود بر F به سمت بیرون چندوجهی و نقطه ضرب ضرب داخلی است.
نماد اشلفلی نوعی نشانه گذاری برای پلیتوپهای منتظم، از جمله چندوجهی‌های منتظم است.
چندوجهی‌های منتظم به شکل {p,q} نشانه گذاری می‌شوند که در آن q نماد اشلفلی شکل گوشه‌ها بوده و p هم نماد اشلفلی چندضلعی هر وجه است.
نماد اشلفلی چندضلعی منتظم محدب به شکل {p} است که در آن p تعداد اضلاع است. نماد اشلفلی چندضلعی منتظم مقعر (ستاره ای) به شکل {p/q} است که در آن p تعداد رئوس و q تعداد اضلاع میان دو رأس در وصل کردن رئوس چندضلعی محدب منتظم برای ساختن آن است.
چندوجهی‌هایی که نماد اشلفلی آنها قرینه باشند، دوگان یکدیگرند.
کاکستر با افزودن یک بعد عمودی به نماد اشلفلی، استفاده از نماد اشلفلی را به چندوجهی شبه منتظم گسترش داد. در اینجا نماد اشلفلی بعضی چندوجهی‌های نیمه منتظم و شبه منتظم دیده می‌شود: در دو بعد، قضیه بولیای - گروین می‌گوید که می‌توان هر چندضلعی را با برش دادن آن به قطعات چندضلعی‌های کوچکتر و مرتب‌سازی مجدد آنها، به چندضلعی ای دیگر با همان مساحت تبدیل کرد. سؤالی مشابه برای چندوجهی موضوع سومین مسئله هیلبرت بود. ماکس دن با نشان دادن اینکه برخلاف مورد ۲بعدی، چندوجهی‌هایی با حجم برابر وجود دارند که نمی‌توان آنها را به چندوجهی‌های کوچکتر تقسیم کرد و دوباره به هم چسباند و به هم تبدیل کرد، این مسئله را حل کرد. برای اثبات این دن مقدار دیگری را که با چندوجهی مرتبط است، به نام ناوردای دن (Dehn invariant)، کشف کرد، به این ترتیب که دو چندوجهی تنها زمانی قابل تجزیه و تبدیل به هم هستند که دارای حجم یکسان و ناوردای دن ثابت باشند. بعداً توسط سیدلر ثابت شد که تنها مانع تشریح این است: «هر دو چندوجهی "اقلیدسی" با همان حجم و ناوردای دن را می‌توان برش داد و دوباره به یکدیگر مونتاژ کرد.» ناوردای دن یک عدد نیست، بلکه یک بردار در یک فضای برداری بی‌نهایت بعدی است.
یکی دیگر از مسائل هیلبرت - هجدهمین مسئله هیلبرت - مربوط به چندوجهی‌هایی است که فضا را مفروش می‌کنند. هر چندوجهی از این دست باید دارای ناوردای دن صفر باشد.
بسیاری از چندوجهی‌های مورد مطالعه بسیار متقارن هستند، یعنی با انعکاس یا چرخش فضا، شکل ظاهری آنها تغییر نمی‌کند. هر یک از این تقارن‌ها ممکن است محل یک راس، وجه یا ضلع معین را تغییر دهد، اما مجموعه تمام رئوس (به همین ترتیب وجوه، اضلاع) بدون تغییر است. مجموعه تقارن‌های چندوجهی را گروه تقارن آن می‌نامند.
گفته می‌شود که تمام اجزایی که توسط تقارن‌ها بر روی یکدیگر قرار می‌گیرند، یک مدار تقارن را تشکیل می‌دهند. به عنوان مثال، تمام وجه‌های مکعب در یک مدار قرار دارند، در حالی که تمام ضلع‌ها در مدار دیگر قرار دارند. اگر تمام اجزا یک بعد معین، مثلاً تمام وجه‌ها، در یک مدار قرار بگیرند، گفته می‌شود که شکل در آن مدار متقارن است. به عنوان مثال، یک مکعب وجه -متقارن است، در حالی که یک مکعب بریده شده دارای دو مدار تقارن وجه است.
بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد با نام تقارن مرتبط با چند وجهی نامگذاری شده‌اند. این گروه‌های تقارنی شامل: تقارن‌های دست‌سان تقارن انعکاسی ندارند از این رو دارای دو شکل متقارن هستند که بازتابی از یکدیگر هستند.
برای هر چندوجهی محدب، دوگانی وجود دارد که: چندوجهی‌های دوگان با هم جفت هستند، به این معنی که دوگان دوگانشان خودشان است. بعضی چندوجهی‌ها خود دوگانند، یعنی اینکه دوگانشان متجانس با خودشان است. چندوجهی‌های انتزاعی هم دوگان دارند که دارای مشخصه اویلر و جهت‌گیری مشابه با چندوجهی اولیه هستند. با این حال شکل حاصل از دوگانگیشان یک چندوجهی دوگان را توصیف نمی‌کند، بلکه فقط ساختار ترکیبی آن را مشخص می‌کند. برای بعضی تعریف‌ها از چندوجهی‌های انتزاعی هندسی، چندوجهی‌های انتزاعی وجود دارند که دوگانشان یک چندوجهی هندسی نیست.
چندوجهی‌ای است که همه رئوس آن روی دو صفحه موازی قرار گیرند. وجوه جانبی آن می‌توانند ذوزنقه یا مثلث باشد. خانواده‌های منشوروارها عبارتند از:
حجم منشوروار از رابطه formula_6 حاصل می‌شود که در آن V حجم، A و A مساحت دو وجه موازی، A مقطعی از تقاطع منشوروار با وسط صفحه بین دو وجه موازی و h ارتفاع است.
در زیر انواع منشوروارها شرح داده شده.
«هرم» از گونه‌های شناخته‌شدهٔ چندوجهی است. هرم به‌طور کلی از یک قاعدهٔ چندضلعی B واقع در صفحهٔ P تشکیل می‌شود که رئوس آن به‌وسیلهٔ وجه‌های مثلثی‌شکل به نقطهٔ v که روی صفحهٔ P نیست متصل شده‌اند. با این حساب یال M هر هرم، سطحی چندوجهی با وجوه مثلثی خواهد بود. برای ساختن یک هرم می‌توان از اکستروژن مرکزی بهره برد. در اکستروژن مرکزی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی همگرا به سوی یک نقطه (v) کشیده می‌شوند و شکل نهایی هرم به شکل چندضلعی B و جای نقطهٔ v وابسته است.گُوِه نوعی چندوجهی است که وجوه آن شامل دو مثلث و سه ذوزنقه است. گوه دارای ۵ وجه، ۹ ضلع و ۶ رأس است.
از انواع منشور است که از شش وجه متوازی‌الاضلاع ساخته شده. دارای ۱۲ رأس و ۸ ضلع است. حجم متوازی السطوح مقابل با حجم V به وسیله بردارهای formula_9 و formula_10 و formula_11 شکل زیر محاسبه می‌گردد:
می‌دانیم:formula_12 و:formula_13 که در اثر یکی شدن:منشور چندوجهی‌ای است که وجه‌های بالا و پایینش چندضلعی‌های همنهشت (مساوی) باشند که در صفحه‌هایی موازی هم قرار دارند. رئوس وجه‌های بالا و پایین یک منشور با پاره‌خط‌هایی به هم وصل می‌شوند. بااین‌حساب هر یک از وجه‌های جانبی منشور یک متوازی‌الاضلاع است و یال ایجادشده یک سطح چندوجهی است. اگر وجه‌های بالای منشور با خط‌های عمود بر صفحهٔ شامل وجه پایینی آن به وجه پایینی وصل شده باشد، حاصل حالت خاصی از منشور موسوم به «منشور راست» است که در آن همهٔ وجه‌های جانبی مستطیل هستند. اگر وجوه بالا و پایین یک منشور هم مستطیل باشند منشور راست خاصی به نام مکعب مستطیل تشکیل می‌شود.
برای ساختن یک منشور می‌توان از اکستروژن موازی بهره برد. در اکستروژن موازی رئوس چندضلعی B در صفحهٔ p در راستای خطوطی موازی کشیده می‌شوند.منشور یکی از خانوادهای منشوروار است.
همچنین در منشوری راست با قاعده n-ضلعی منتظم با طول ضلع s و ارتفاع h نیز همواره روابط زیر برقرارند:پادمنشور نوعی چندوجهی است که دارای دو قاعده همنهشت و موازی، اما پیچ خورده بوده که توسط تعدادی مثلث به هم وصل شده‌اند.گنبد نوعی چندوجهی است که از اتصال دو چندضلعی که یکی از آنها دو برابر دیگری ضلع دارد که وسیله زنجیره ای از مثلث‌ها و مستطیل‌ها حاصل می‌شود. یک گنبد را می‌توان منشوری دید که در آن تعداد اضلاع یکی از قاعده‌ها با ادغام رأس‌های مجاور نصف شده‌است.
یک هرم ناقص یا بریده هرمی به‌طور معمول بخشی از یک مخروط یا هرم است که بین یک یا دو صفحه موازی برش داده می‌شود و از انواع منشوروار است. هرم ناقص قائم، برش موازی هرم قائم یا مخروط قائم است. یک هرم ناقص n-پهلو متشکل از n وجه ذوزنقه و ۲تا وجه n-ضلعی است.پایهٔ ابلیسک نمونهٔ یک بریدهٔ هرمی است.
formula_22
مساحت کل A هرم ناقصی که قواعدش n-ضلعی‌های منتظم اند از رابطه زیر به دست می‌آید:
چندوجهی که همه وجوه آن چندضلعی‌های منتظم همنهشت بوده و به‌طور یکسان دور هر وجه قرار گرفته‌اند. در کل ۹ چندوجهی منتظم وجود دارد که شامل ۵ چندوجهی منتظم محدب (اجسام افلاطونی) و ۴ چندوجهی مقعر منتظم (چندوجهی‌های کپلر پوآنسو) هستند.
چندوجهی‌های منتظم محدب را اجسام افلاطونی گویند.
تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
اجسام افلاطونی ویژگی‌های زیر را دارا می‌باشند:
هر چندوجهی منتظم مقعر را چندوجهی کپلر-پوآنسو گویند.
چهار چندوجهی کپلر-پوآنسو وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
گروهی از چندوجهی‌های محدبی هستند که وجوه آنها چندضلعی‌های منتظم باشند، هرچند لزوماً از یک نوع نباشند، در رأس به‌طور یکسان به هم برسند و جزء اجسام افلاطونی و منشورها و پادمنشورها نباشند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
اجسام کاتالان یا دوگان‌های ارشمیدسی اجسامی هستند که از دوگان کردن (وصل کردن وسط وجوه مجاور) اجسام ارشمیدسی به دست می‌آیند. به ازای هر جسم ارشمیدسی یک جسم کاتالان وجود دارد که مشخصاتشان در جدول آورده شده.
چندوجهی یکنواخت (Uniform Polyhedron) دارای چندضلعی‌های منتظم به عنوان وجه است و رأس-متقارن است. از این رو می‌توان گفت که همه رئوس آن با هم همنهشتند.
چندوجهی یکنواخت ممکن است منتظم باشد (اگر هم وجه و هم ضلع متقارن باشد)، شبه منتظم باشد (اگر ضلع-متقارن باشد اما وجه-متقارن نباشد) یا نیمه منتظم باشد (اگر نه ضلع-متقارن باشد و نه وجه-متقارن). نیازی به محدب بودن نیست، بنابراین بسیاری از چندوجهی‌های یکنواخت ستاره ای هستند.
دو خانواده شامل بی‌نهایت چندوجهی یکنواخت وجود دارد، همراه با ۷۵ چند وجهی دیگر: پس تعداد چندوجهی‌های یکنواخت که فقط منشور و پادمنشور نیستند برابر ۷۵=۵+۱۳+۴+۵۳ است.
اجسامی محدبی که وجوه آنها چندوجهی‌های منتظم بوده، اما شامل اجسام افلاطونی و اجسام ارشمیدسی و اجسام منشوری و اجسام پادمنشوری نمی‌باشند. اگرچه محدودیتی آشکار وجود ندارد که هر چند ضلعی منظم نمی‌تواند وجه یک جسم جانسون باشد، اما وجه‌های اجسام جانسونی که وجه‌هایشان یکسان نیست، همیشه ۳، ۴، ۵، ۶، ۸ یا ۱۰ ضلعی هستند. در کل ۹۲ جسم جانسون وجود دارد.
چندوجهی‌های محدبی هستند که از وجوه شش ضلعی و پنج ضلعی ساخته شده و توسط مایکل گلدبرگ در سال ۱۹۳۷ توصیف شدند. همه چندوجهی‌های گلدبرگ سه ویژگی زیر را دارا می‌باشند: این نوع چندوجهی‌ها همیشه ۱۲ وجه پنج ضلعی دارند.
چندوجهی ژئودزیک نوعی چندوجهی محدب است که وجوه آن مثلثند. از آنجا که این نوع چندوجهی‌ها دوگان چندوجهی‌های گلدبرگ هستند، بنابرین در هر راس ۶ وجه مثلثی به هم می‌رسند، به جز ۱۲ رأس که در آنها ۵ وجه به هم می‌رسند.
دلتاوجهی نوعی چندوجهی است که همه وجوهش مثلث متساوی الاضلاع باشند. نام آن از حرف یونانی دلتا (Δ) که شبیه مثلث است گرفته شده. بی شمار دلتاوجهی وجود دارد اما از میان آنها فقط ۸ تا محدب هستند که دارای ۴، ۶، ۸، ۱۰، ۱۲، ۱۴، ۱۶ و ۲۰ وجه هستند و شامل ۳ جسم افلاطونی و ۵ جسم جانسون می‌باشند. اما هیچ دلتاوجهی محدبی با ۱۸ وجه وجود ندارد. مشخصات دلتاوجهی‌های محدب در جدول زیر آورده شده: یک دوهرم n-ضلعی یک چندوجهی است که از پیوستن دو عدد هرم n-ضلعی به دست می‌آید. یک دوهرم n-ضلعی دارای ۲n وجه مثلثی، ۳n یال و ۲ + n راس است.
فقط سه نوع دوهرم می‌توانند یال‌های برابر داشته باشند (که این بدان معناست که همه وجوه مثلث متساوی الاضلاع هستند و بنابراین آن دوهرم‌ها دلتاوجهی هستند): دوهرم‌های مثلثی، مربعی و پنج ضلعی. بی دوهرم مربعی با ضلع‌های یکسان یا هشت وجهی منتظم، در میان اجسام افلاطونی شمرده می‌شود. دوهرم‌های مثلثی و پنج ضلعی با ضلع‌های یکسان در میان اجسام جانسون (J12 و J13) قرار می‌گیرند.
یک پاددوهرم n-ضلعی دوگان یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی بوده و دارای ۲n وجه همنهشت و متقارن کایت پیچ خورده و ۴n یال و ۲ + ۲n رأس هست. با تقارنی بالاتر وجوه آنها تبدیل به کایت می‌شود. می‌توان پاددوهرمی n-ضلعی را به دو عدد هرم و یک پادمنشور با قاعده n-ضلعی تقسیم کرد.
برای ۲=n شکل حاصل به لحاظ هندسی برابر با چهاروجهی بوده و در صورتی که ۳=n باشد وجوه کایت چندوجهی حاصل لوزی است و در نتیجه پاددوهرم مثلثی نوعی لوزوجه است.
چندوجهی انعطاف‌پذیر چندوجهی‌ای بدون هیچ ضلع مرزی است که می‌تواند شکل خود را به‌طور مداوم تغییر داده در حالی که اشکال تمام وجه‌های آن بدون تغییر است. در بعد ۳ چنین چندوجهی‌ای نمی‌تواند محدب باشد (این امر در ابعاد بالاتر نیز برای سایر پلیتوپ‌ها صادق است). «حدس قوی بیلوز» یا (آن طور که پس از اثباتش در سال ۲۰۱۸ نامیده می‌شود) «قضیه قوی بیلوز» بیان می‌کند ناوردای دن هر چندوجهی انعطاف‌پذیر در حال انعطاف ناورداست.
با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. سنگ نمک گاهی در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد (شکل ۱) و بلورهای فلئوریت شبیه هشت‌وجهی‌اند (شکل ۲) پیریت هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود (شکل ۳).
در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب "اشکال هنری در طبیعت" برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند (شکل ۴). برخی ویروس‌ها نظیر ویروس هرپس سیمپلکس (عامل تبخال) شکلی شبیه بیست وجهی دارند (شکل ۵).
هیدروکربن افلاطونی هیدروکربنی است که ساختار آن با یکی از پنج جسم افلاطونی مطابقت دارد، در این صورت اتمهای کربن جایگزین رئوس آن می‌شوند، پیوندهای کربن - کربن جایگزین ضلع‌های آن می‌شوند و در صورت لزوم اتم‌های هیدروژن نیز وجود دارد (شکل ۶). بیست وجهی بریده شده در ساختار فولرن باکمینستر کاربرد دارد (شکل ۷). موضوع دیگر کمپلکس‌های معدنی است. بیشتر ساختارهای آنها از الگوی نقاط روی کره (یا مثل اینکه اتم مرکزی در وسط یک چندوجهی قرار داشته باشد که رأس‌های آن شکل محل لیگاند‌ها دیگر هستند)، جایی که هم پوشانی مداری (بین اوربیتال‌های لیگاند و فلز) و دافعه‌های لیگاند و لیگاند منجر به هندسه‌های منظم خاصی می‌شوند. بیشترین هندسه‌های مشاهده شده در زیر ذکر شده‌است، اما موارد زیادی وجود دارد که از یک هندسه منظم منحرف می‌شوند، به عنوان مثال به دلیل استفاده از لیگاند از انواع متنوع (که منجر به طول پیوند نامنظم می‌شود؛ اتم‌های هماهنگی از الگوی نقاط روی کره پیروی نمی‌کنند)، به دلیل اندازه لیگاندها یا به دلیل اثرات الکترونیکی:
از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود (اشکال ۱و۲). بیست وجهی بریده شده در ساختار توپ فوتبال کاربرد دارد (شکل ۳). به دلیل سادگی ساختن، در غالب آثار معماری از چندوجهی‌ها استفاده می‌شود؛ مثلاً در گنبدهای ژئودزیک ژئودزیک‌ها با هم تلاقی می‌کنند و عناصر مثلثی شکل را تشکیل می‌دهند مانند چندوجهی‌های ژئودزیک (اشکال ۴و۵و۶). اهرام در بسیاری از نقاط جهان وجود دارند. به عنوان مثال اهرام مصر بناهایی باستانی واقع در مصر هستند. منابع حداقل ۱۱۸ هرم را در مصر شناسایی می‌کنند. در دوره پادشاهی قدیم و میانه بیشتر آنها به عنوان مقبره برای فراعنه کشور و همسایگان آنها ساخته شده‌است. اهرام ثلاثه (شکل ۱) و هرم جوزر (شکل۲) از آن دسته اند. ساکنان بین‌النهرین اولیه‌ترین ساختارهای هرمی را به نام زیگورات ساختند (شکل ۳).با آنکه نام هرم با مصر گره خورده، ملت سودان ۲۲۰ هرم باقیمانده دارد (شکل ۴). تعدادی از فرهنگ‌های آمریکا مرکزی نیز سازه‌هایی به شکل هرم ساخته‌اند. اهرام آمریکا مرکزی معمولاً پله پله می‌شدند و معابد در بالای آن قرار داشتند که بیشتر شبیه زیگورات‌های بین‌النهرین بودند تا اهرام مصر (اشکال ۵و۶). به جز اینها اهرام در تمدن‌های دیگری نیز ساخته می‌شدند.
در چندوجهی‌ها، بریدن عملیاتی که طی آن رئوس چندوجهی قطع شده و به جای هر راس وجه جدیدی ایجاد می‌شود. این اصطلاح از نامهای کپلر برای اجسام ارشمیدسی گرفته شده‌است.
نوع خاصی از برش، بریدن یکنواخت است، یک عمل برش که به یک پلیتوپ منتظم (در اینجا چندوجهی منتظم) اعمال شده و یک چندوجهی با وجوه منتظم با طول ضلع‌های مساوی ایجاد می‌کند. درجاتی از آزادی در اندازه بریدن وجود نداشته و این یک هندسه ثابت را نشان می‌دهد، دقیقاً مانند چندوجهی‌های منتظم. شکل زیر نشان می‌دهد چگونه چند عمل بریدن یکنواخت متوالی مکعب را ابتدا به اجسام ارشمیدسی و سپس هشت وجهی تبدیل می‌کند و برعکس:
ستاره ای کردن عملیاتی است که توسط کپلر در سال ۱۶۱۹ تعریف شده‌است: این کار شامل گسترش برخی از وجه‌های چندوجهی به نقطه ای است که آنها دوباره به هم می‌رسند. با این عملیات، چندوجهی‌های کپلر از دوازده وجهی منتظم ساخته شدند، دو تا از چهار چندوجهی که امروزه به عنوان چندوجهی‌های کپلر-پوآنسو شناخته می‌شوند. هشت وجهی ستاره ای یک ستاره هشت وجهی منتظم و ترکیب دو چهاروجهی منتظم است.
در زیر برخی از ستاره‌ها آورده شده‌است: یکی هشت وجهی ستاره ای، و سه مورد دیگر دوازده وجهی‌های ستاره ای منتظم (موارد اول و سوم از چندوجهی‌های کپلرند). مورد آخر چندوجهی حاصل از یک بار ستاره ای کردن بیست وجهی است:
برخی از چندوجهی‌ها می‌توانند به عنوان آجر برای پر کردن فضا بدون ایجاد سوراخ استفاده شوند، همان چیزی که در کندوها اتفاق می‌افتد: چنین عملیاتی را مفروش سازی می‌نامند. چندوجهی‌ها در یک قالب در امتداد وجه‌هایشان مجاورند. در میان اجسام افلاطونی، تنها چندوجهی ای که قادر به مفروش سازی است مکعب است. در میان اجسام ارشمیدسی، دوازده لوز وجهی و هشت وجهی بریده شده این توانایی را دارند. از هشت وجهی و چهاروجهی منتظم می‌توان به صورت جفت برای مفروش سازی استفاده کرد.
گسترش عملی روی چندوجهی است که در آن وجوه به صورت شعاعی از هم جدا می‌شوند و وجوه جدید در رئوس و اضلاع تشکیل می‌شوند. این عمل را می‌توان با حفظ وجه‌ها در همان موقعیت اما کاهش اندازه آنها تصور کرد. چندوجهی حاصل از گسترش یک چندوجهی، چندوجهی ای است یکنواخت، دارای وجوه آن چندوجهی، وجوه دوگانش و وجوه مربعی جدید در محل ضلع‌های چندوجهی اولیه است. جدول زیر گسترش برخی چندوجهی‌ها را نمایش می‌دهد:
در هندسه، اسناب عملی است که روی چندوجهی اعمال می‌شود. این اصطلاح از نامهای یوهانس کپلر برای دو جسم ارشمیدسی - مکعب اسناب و دوازده وجهی اسناب - گرفته شده‌است. به‌طور کلی، اسناب‌ها دارای تقارن دستسانی (کایرالیتی) با دو شکل هستند: با جهت‌گیری عقربه‌های ساعت یا خلاف جهت عقربه‌های ساعت. با نام‌های کپلر، یک اسناب را می‌توان نوع دیگر گسترش یک چندوجهی منتظم دانست: حرکت دادن وجه‌ها از یکدیگر، چرخاندن آنها در مرکز آنها، افزودن چندضلعی‌های جدید که در راس‌های اصلی قرار دارند و اضافه کردن جفت مثلث‌هایی که بین ضلع‌های اصلی قرار دارند. کاکسیتر این مفهوم را به پلیتوپ‌های یکنواخت گسترش داد. سه تصویر سمت راست عمل اسناب را روی برخی چندوجهی‌ها و دو تصویر سمت چپ ارتباط بین چندوجهی گسترش داده شده و اسناب برخی چندوجهی‌ها را نشان می‌دهند:
در چندوجهی‌ها، تناوب که بریدگی جزئی نیز نامیده می‌شود، عملی است که در اثر آن رئوس چندوجهی یکی در میان برداشته می‌شوند. از آنجا که در اثر تناوب تعداد اضلاع نیز همانند رئوس نصف می‌شود، پس فقط می‌تواند روی چندوجهی‌هایی که تعداد اضلاع همه وجوهشان زوج است صورت گیرد. جدول زیر برخی چندوجهی‌ها (راست) و تناوبشان (چپ) را نشان می‌دهد:
چندوجهی‌ها در اشکال معماری اولیه مانند مکعب‌ها و مکعب مستطیل‌ها ظاهر شدند. همچنین اولین اهرام مربع القاعده مصر باستان نیز از عصر حجر به جا مانده‌است.
اتروسک‌ها حداقل در مورد بعضی چندوجهی‌های منتظم پیش از یونانیان آگه بودند که از کشف یک دوازده وجهی اتروسکی ساخته شده از سنگ صابون در مونته لوفا مشهود است. وجه‌های آن که با طرح‌های مختلف مشخص شده بود، به برخی از محققان نشان می‌دهد که ممکن است از آن به عنوان قالب بازی استفاده شده باشد.
نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی (چندوجهی‌های منتظم محدب) را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. اجسام ارشمیدسی نام خود را از ارشمیدس گرفته‌اند، که در یک اثر از دست رفته دربارهٔ آنها بحث کرد. پاپوس اسکندرانی به آن اشاره می‌کند، با بیان اینکه ارشمیدس ۱۳ چندوجهی را ذکر کرده‌است.
لیو هوی یکی از بزرگترین عوامل کمک به هندسه چندوجهی بود. به عنوان مثال، او دریافت که می‌توان گوه ای با قاعده مستطیل و دو طرف شیب دار را به یک هرم و یک گوه چهاروجهی تقسیم کرد. وی همچنین دریافت که می‌توان یک گوه با قاعده ذوزنقه و دو طرف شیب دار را به دو گوه چهاروجهی جدا کرد که توسط هرم جدا شده‌است.
ابوالوفا محمد بوزجانی در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان بود. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.
هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو در کلیسای جامع سنت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی در تصویرسازی‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است. در دوران رنسانس، هنرمندان و ریاضیدانان "اشکال خالص" را با تقارن بالا بها می‌دادند و در حدود سال ۱۶۲۰ یوهانس کپلر کشف مجدد ۱۳ جسم ارشمیدسی را به پایان رسانده بود.
بیشتر چندوجهی کپلر – پوآنسو، به نوعی قبل از کپلر شناخته شده بودند. یک دوازده وجهی ستاره ای کوچک در تارسیای مرمر (تخته خاتم) در کف کلیسای سنت مارک، ونیز، ایتالیا وجود دارد. قدمت آن از قرن پانزدهم میلادی است و گاهی اوقات آن را به پائولو اوچلو نسبت می‌دهند.
دوازده وجهی‌های ستاره ای بزرگ و کوچک که گاهی اوقات آن را چندوجهی‌های کپلر نیز می‌نامند، برای اولین بار توسط یوهانس کپلر در حدود سال ۱۶۱۹ به شکل منتظم مشاهده شدند.
در سال ۱۸۰۹، لوئیس پوآنسو با جمع کردن پنج ضلعی‌های ستاره ای در اطراف هر راس، چندوجهی‌های کپلر را دوباره کشف کرد. او همچنین چند ضلعی محدب را در اطراف رئوس ستاره جمع کرد تا دو ستاره منتظم دیگر، بیست وجهی بزرگ و دوازده وجهی بزرگ را کشف کند. برخی از افراد این دو را چند وجهی پوآنسو می‌نامند. پوآنسو نمی‌دانست که آیا همه چندوجهی‌های ستاره ای منتظم را کشف کرده‌است یا خیر.
چندوجهی‌های کپلر – پوآنسو را می‌توان از اجسام افلاطونی با فرایندی به نام ستاره‌ای کردن ساخت. بیشتر ستاره‌ها منتظم نیستند. مطالعه ستاره‌های اجسام افلاطونی توسط هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر و دیگران در سال ۱۹۳۸، با مقاله‌ای که اکنون به ۵۹ بیست وجهی مشهور است، شتاب بیشتری گرفت.
در سال ۱۷۵۰ لئونارد اویلر برای اولین بار ضلع‌های یک چند وجهی را در نظر گرفت، به او اجازه داد فرمول چندوجهی خود را که مربوط به تعداد رئوس، ضلع‌ها و وجوه است کشف کند. این نشانه تولد توپولوژی بود. هنری پوانکاره ایده‌های اصلیش را در اواخر قرن نوزدهم توسعه داد. این امر باعث شد بسیاری از مسائل دیرینه دربارهٔ اینکه چندوجهی چیست، حل و فصل شوند.
ماکس بروکنر خلاصه ای از کارهای مربوط به چندوجهی، از جمله بسیاری از یافته‌های خود را در کتاب «Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte» در سال ۱۹۰۰ به زبان آلمانی منتشر کرد، اما کمتر شناخته شد.
در همین حال، کشف ابعاد بالاتر منجر به ایده چندوجهی به عنوان یک نمونه سه بعدی از پلیتوپ عمومی تر شد.