الگوریتم تطابق رشته با زمان خطی
الگوریتم تطابق رشته با زمان خطی توسط دانلد کنوت و وان پرت و همچنین جیمز ه. موریس به صورت مستقل پرداخته شد، اما این سه فرد با هم آن را منتشر کردند. به همین خاطر به الگوریتم KMP نیز مشهور است. این الگوریتم در میان رشته S وجود کلمه W را بررسی می‌کند، به‌طوری‌که وقتی یک عدم مطابقت اتفاق می‌افتد، خود کلمه اطلاعات کافی را در بردارد تا محلی را که مطابقت بعدی ممکن است از آنجا شروع شود، با آزمایش دوبارۀ حروف تطبیق داده شده قبلی تعیین کند.
توجه: "در این مقاله رشته‌ها با استفاده از آرایه‌های مبتنی بر صفر نمایش داده می‌شوند؛ به گونه‌ای که حرف 'C' در formula_1 به صورت formula_2 نشان داده می‌شود."
برای نشان دادن جزئیات این الگوریتم، یک اجرا (تقریباً ساختگی) از آن را بررسی می‌کنیم. در هر زمان دلخواهی، الگوریتم در یک حالت مشخص‌شده با دو عدد صحیح m و i قرار دارد. به‌طوری‌که هرکدام به ترتیب موقعیتی در S را مشخص می‌کنند که شروع یک "تطابق" ممکن برای W و "اندیسی" از W است که نشان می‌دهد کدام کاراکتر در حال حاضر تحت بررسی است. در ابتدای اجرا الگوریتم به این شکل است:
codice_1
با مقایسۀ پی‌درپی کاراکترهای W با کاراکترهای "متناظر" از S ادامه می‌دهیم و اگر کاراکترها یکسان بودند به کاراکتر بعدی آن می‌رویم. در مرحلۀ چهارم formula_3 یک فاصله و formula_4 کاراکتر 'D' است که این یک عدم تطابق است. به جای اینکه دوباره جستجو را از formula_5 شروع کنیم، در نظر می‌گیریم که 'A' بین موقعیت‌های 0 و 3 فقط در اندیس 0 از S دیده شده‌است؛ از این رو با دانستن این مطلب و اینکه آن کاراکترها قبلاً بررسی شده‌اند، می‌دانیم که اگر دوباره آن‌ها بررسی کنیم، هیچ موقع یک تطابق دیگر را پیدا نخواهیم کرد. پس به کاراکتر بعدی می‌رویم و m را برابر 4 و i را برابر 0 در نظر می‌گیریم. (از آنجایی که m + i – T[i] = 0 + 3 – 0 = 3 و T[0] = -1 پس m برابر 4 خواهد بود.)
codice_2
در اینجا تقریباً به یک تطابق دست پیدا می‌کنیم، اما در formula_6 formula_7 اختلاف مشاهده می‌شود. با این حال در انتهای تطابق از "AB" گذر کردیم که می‌تواند شروع یک تطابق جدید باشد، پس باید این را در نظر بگیریم. همانطور که از قبل می‌دانیم، این کاراکترها با دو کاراکتر قبل از موقعیت فعلی تطابق داشتند، پس نیاز نیست که دوباره بررسی شوند؛ به راحتی m = 8 و i = 2 قرار داده و تطابق کاراکتر فعلی را ادامه می‌دهیم. پس به این شکل هم کاراکترهای تطابق داده‌شدۀ قبلی از S و هم از W را حذف می‌کنیم.
codice_3
جستجو بلافاصله متوقف می‌شود، هرچند از آنجایی که رشته دارای فاصله نیست، مانند قبل به اول W بازمی‌گردیم و جستجو را از کاراکتر بعدی S آغاز می‌کنیم: m = 11 و i = 0.
codice_4
دوباره به یک تطابق برای "ABCDAB" دست پیدا کردیم، اما کاراکتر بعدی ('C') با کاراکتر آخر W یعنی 'D' مطابقت ندارد. مانند قبل m را برابر 15 و i را برابر 2 در نظر می‌گیریم و تطابق را از موقعیت فعلی ادامه می‌دهیم.
codice_5
در این مرحله موفق به یافتن تطابقی که شروعش از کاراکتر formula_8 است می‌شویم.
مثال بالا همۀ اجزای الگوریتم را در بر دارد. فرض می‌کنیم یک جدول "تطابق جزئی" T (که در پایین توضیح داده شده) داریم که مشخص می‌کند از کجا باید به دنبال یافتن شروع یک تطابق جدید باشیم. درایه‌های جدول T نشان می‌دهند که اگر تطابقی از formula_9 شروع شود و هنگام مقایسۀ formula_10 با formula_11 شکست بخورد، مطابقت بعدی ممکن است از اندیس formula_12 رشتۀ S آغاز شود. (که formula_13 مقدار "برگشتن"ای است که ما نیاز داریم بعد از یک عدم مطابقت انجام دهیم.) اینجا دو مفهوم داریم: اول، formula_14 که نشان می‌دهد اگر در formula_15 عدم مطابقت داریم، نمی‌توانیم برگردیم و باید کاراکتر بعدی را بررسی نماییم. دوم، با وجود اینکه مطابقت احتمالی از اندیس formula_12 "آغاز" می‌شود، مانند مثال بالا، نیاز نیست که هیچ‌کدام از formula_13 کاراکتر بعد از آن را بررسی کنیم، پس جستجو را از formula_18 ادامه می‌دهیم. شبه‌برنامهی سادۀ زیر الگوریتم جستجوی KMP را نشان می‌دهد:
با فرض داشتن جدول T، الگوریتم KMP دارای پیجیدگی formula_19 است که k طول رشتۀ S و O نماد O بزرگ می‌باشد. به جز مخارج کلی وارد شده هنگام وارد شدن به تابع و خارج شدن از آن، همۀ محاسبات در حلقۀ while انجام می‌گیرد که در اینجا کرانی از تعداد تکرارهای این حلقه را محاسبه خواهیم کرد. برای انجام این کار باید اول یک مشاهدۀ کلیدی روی ماهیت T داشته باشیم. این جدول برای این ساخته شده که نشان دهد اگر تطابقی از formula_9 شروع شود و هنگام مقایسۀ formula_10 با formula_11 شکست بخورد، مطابقت بعدی ممکن است از formula_23 آغاز شود. به‌طور خاص، تطابق احتمالی بعدی باید در اندیسی بالاتر از m رخ دهد، پس formula_24 را به m اضافه می‌کند و همانطور که دیده می‌شود، این همواره یک عدد مثبت می‌باشد. در نتیجه محل m از شروع تطابق احتمالی فعلی افزایش می‌یابد. حال اگر m + i = k باشد، حلقه تمام می‌شود، پس هر شاخه از حلقه می‌تواند حداکثر k بار اجرا شود. از آنجایی که هر شاخه به ترتیب m یا m + i را افزایش می‌دهند و m ≤ m + i، اگر m = k باشد، پس قطعاً m + i ≥ k. در نتیجه چون حداکثر افزایش را دارد، باید قبلاً شرط m + i = k برقرار شده باشد، پس هر کدام از راه‌ها می‌تواند انجام شده باشد.
در نتیجه حلقه حداکثر 2k بار اجرا می‌شود که نشان می‌دهد پیچیدگی زمانی الگوریتم formula_19 است.
هدف از ساختن این جدول آن است که الگوریتم هیچ کاراکتری از S را بیش از یک بار مطابقت ندهد. یک مشاهدۀ کلیدی دربارۀ ماهیت یک جستجوی خطی که اجازه می‌دهد این کار انجام شود، آن است که با بررسی کردن قطعه‌ای از رشتۀ اصلی در مقابل یک "قطعۀ ابتدایی" از طرح اصلی، خواهیم دانست که دقیقاً از چه اندیس‌هایی یک مطابقت احتمالی جدید شروع خواهد شد. در واقع یک جستجو از قبل روی طرح انجام خواهیم داد و یک لیست از همۀ موقعیت‌های احتمالی ارائه می‌کنیم. به‌طوری‌که از حداکثر تعداد کاراکتر گذر کند، در حالی که هیچ تطابق احتمالی را از دست ندهد.
می‌خواهیم بتوانیم برای هر موقعیت در W، طول بلندترین قطعۀ ابتدایی ممکن از W را پیدا کنیم که از آن موقعیت آغاز شده اما آن را شامل نمی‌شود، به جای اینکه قطعۀ کاملی را در نظر بگیریم که از formula_15 آغاز شده و عدم مطابقت داشته‌است. از این رو formula_13 دقیقاً طول بلندترین قطعۀ ابتدایی ممکن و "مناسب" از W است که همچنین یک قطعه از زیررشته‌ای است که پایانش در formula_28 می‌باشد. قرارداد می‌کنیم که رشتۀ خالی طول 0 را دارد. از آنجایی که یک عدم تطابق از ابتدای طرح یک حالت خاص است (هیچ امکانی برای بازگشت نیست)، formula_14 در نظر می‌گیریم، همان‌طور که در بالا توضیح داده شد. ابتدا مثال "W = "ABCDABD را بررسی می‌کنیم. خواهیم دید که همان روال الگوریتم جستجوی اصلی را پیش می‌گیرد و به همان دلایل کارا است. در نظر می‌گیریم: formula_14. برای یافتن formula_31، باید یک پسوند مناسب از "A" کشف کنیم که یک پیشوند از W هم هست. اما هیچ پسوند مناسبی از "A" نداریم پس formula_32 و به همین شکل formula_33.
با formula_34 ادامه می‌دهیم. توجه می‌کنیم که یک میان‌بر برای بررسی کردن "همه‌ی" پسوندها وجود دارد: فرض می‌کنیم یک پسوند مناسب یافته‌ایم که پیشوند مناسب نیز هست و در formula_35 با طول 2 تمام می‌شود (تا حداکثر ممکن)؛ سپس اولین کاراکتر یک پیشوند مناسب از پیشوند مناسب W است، از این رو خودش یک پیشوند مناسب است و در formula_36 تمام می‌شود که قبلاً تعیین شده که نمی‌تواند در حالت formula_37 اتفاق بیفتد. از این رو در هر مرحله، راه میان‌بر آن است که تنها در صورتی نیاز به بررسی پسوند به اندازۀ داده‌شدۀ m + 1 داریم که یک پسوند معتبر از اندازۀ m در مرحلۀ قبل یافت شده باشد. (به‌طور مثال formula_38)
در نتیجه نیاز نیست درگیر یافتن زیررشته‌هایی به طول 2 شویم و مانند حالت قبل تنها یکی با طول 1 شکست می‌خورد، پس: formula_39.
به formula_40 یعنی 'A' می‌رویم. همان منطق نشان می‌دهد که بلندترین زیررشته‌ای که ما نیاز به بررسی آن داریم دارای طول 1 است، و با اینکه در این حالت 'A' کار "می‌کند"، به خاطر بیاورید که ما به دنبال قطعه‌هایی هستیم که "قبل از" کاراکتر فعلی تمام می‌شوند. از این رو formula_41.
حال کاراکتر بعدی یعنی formula_40 را که همان 'B' است بررسی می‌کنیم. منطق زیر را پیش می‌گیریم:
اگر یک زیررشته را که از قبل از کاراکتر formula_40 آغاز می‌شود و تا formula_44 ادامه دارد بخواهیم پیدا کنیم، آنگاه به‌طور خاص خودش یک قطعۀ ابتدایی مناسب خواهد داشت که در formula_40 تمام و قبل از آن شروع می‌شود، که با این واقعیت در تضاد است که ما قبلاً فهمیده‌ایم 'A' خودش جلوترین وقوع از یک قطعۀ مناسب است که در formula_40 تمام می‌شود. پس نباید قبل از formula_40 را جستجو کنیم تا یک رشتۀ پایانی برای formula_44 پیدا کنیم. در نتیجه formula_49.
در نهایت، خواهیم دید که کاراکتر بعدی در قطعۀ موردنظر که از formula_50 آغاز می‌شود، 'B' خواهد بود، که در واقع همان formula_44 است. به علاوه همین استدلال مانند بالا نشان می‌دهد که نیازی نیست قبل از formula_40 را بررسی کنیم تا یک قطعه برای formula_7 پیدا کنیم، پس formula_54.
پس به این ترتیب جدول زیر را پر می‌کنیم:
بقیۀ مثال‌ها جذابتر و پیچیده‌تر هستند:
مثال بالا تکنیک‌های کلی برای ساختن جدول با کمترین تلاش را نشان می‌دهد. قاعدۀ کلی برای جستجوی سراسری آن است که: بیشتر کارها قبلاً در هنگام یافتن موقعیت فعلی انجام شده‌است، پس اعمال کمی باید هنگام خروج از آن انجام شود. تنها پیچیدگی جزئی آن است که در ابتدای کار این منطق به اشتباه، زیررشته‌های نامناسبی از رشته می‌دهد. این مشکل ضرورت یک مقداردهی اولیه را نشان می‌دهد.
پیچیدگی الگوریتم جدول از formula_55 است که n طول رشتۀ W می‌باشد. به جز مقداردهی اولیۀ انجام‌شده، همۀ کارها در یک حلقۀ while انجام شده‌است. کافیست نشان دهیم این حلقه در زمان formula_55 اجرا می‌شود که با بررسی مقادیر pos و pos - cnd به‌طور هم‌زمان قابل اثبات است. در اولین شاخه، هم pos و هم cnd به‌طور هم‌زمان در حال افزایشند، پس pos - cnd محفوظ است. اما به‌طور طبیعی pos در حال افزایش است. در شاخۀ دوم، cnd با formula_57 جایگزین می‌شود. در شاخۀ سوم، pos در حال افزایش و cnd بدون تغییر است، پس pos و pos - cnd هر دو افزایش می‌یابند. از آنجایی که pos ≤ pos - cnd، در هر مرحله یا pos یا یک کران پایین از pos افزایش می‌یابد؛ در نتیجه چون الگوریتم زمانی که pos = n باشد، به پایان می‌رسد، باید حداکثر بعد از 2n بار تکرار حلقه کار تمام شود. (چون pos - cnd از 1 آغاز می‌شوند.) پس پیچیدگی الگوریتم جدول از formula_55 می‌باشد.
از آنجایی که دو قسمت الگوریتم به ترتیب دارای پیچیدگی formula_19 و formula_55 هستند، در کل پیچیدگی الگوریتم از formula_61 می‌باشد.
بدون توجه به تعداد تکرار یک طرح در W یا S، این پیچیدگی‌ها همواره یکسان هستند.