مدل‌های سری زمانی مالی
مدل‌های سری زمانی مالی، در اقتصاد سنجی به مدلی گفته می‌شود که فرض بر این دارد که واریانس error termها یا innovationها یک تابع از اندازه error termهای دوره‌های زمانی قبل است: معمولاً واریانس با مربع innovationهای قبلی مرتبط است. چنین مدلی معمولاً ARCH نامیده می‌شود (Engle, 1982)، البته علامت‌های اختصاری دیگری هم برای مدل‌های بر همین پایه بکار برده می‌شود. مدل‌های ARCH معمولاً برای سری‌های زمانی مالی بکار برده می‌شود که دسته بندی‌های نوسانی بر پایه زمان - که دوره‌های با نوسان با دوره‌های بدون نوسان همراه می‌شوند - را نشان می‌دهند.
اگر formula_1 نشان دهنده error termها باشد و فرض شود formula_2 وقتی که formula_3، سری formula_4 به صورت زیر مدل می‌شود؛
formula_5
که در آن formula_6 , formula_7
مدل (ARCH(q را می‌توان با حداقل مربعات تخمین زد. یک متودولوژی برای پیدا کردن طول لگ errorها در ARCH استفاده از Lagrange multiplier است که توسط (Engle (1982 ارائه شده. این رویه به صورت زیر است:
اگر مدل (autoregressive moving average (ARMA را برای واریانس errorها فرض بگیریم، مدل generalized autoregressive conditional heteroscedasticity GARCH, Bollerslev 1986 را خواهیم داشت.
در این حالت مدل (GARCH(p, q که در آن p مرتبه formula_15 در مدل GARCH و q مرتبه formula_16 را در این مدل نشان می‌دهد) به صورت زیر نشان داده می‌شود
formula_17
معمولاً در اقتصاد سنجی وقتی برای heteroscedasticity تست می‌کنیم، بهترین راه تست White است. هرچند هنگامی که با داده‌های سری زمانی کار می‌کنیم، این به معنی تست برای errorها در مدل ARCH یا در مدل GARCH است.
قبل از GARCH مدل EWMA بود که مدل GARCH جانشین آن شد، هرچند برخی افراد از هر دو این مدل‌ها استفاده می‌کنند. مشخصات مدل (GARCH(p, q
طول لگ p در مدل (GARCH(p, q از سه قدم بدست می‌آید؛
GARCH غیر خطی که (GARCH(1,1 غیر خطی نامتقارن نیز نامیده می‌شود توسط Engle و Ng در 1993 معرفی شد.
formula_25 formula_26.
برای بازده سهام مقدار پارامتر formula_27 معمولاً به صورت مثبت تقریب زده می‌شود. در این مورد این پارامتر اثر اهرمی را نشان می‌دهد و این مفهوم را دارد که بازده منفی، بی ثباتی در آینده را بیشتر از همان مقدار بازده مثبت، افزایش می‌دهد.
این مدل را نباید با مدل NARCH که توسط Higgins و Bera در 1992 ارائه شد اشتباه گرفت.
Integrated Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity یا IGARCH ورژن محدود شده مدل GARCH است که جمع پارامترهای آن برابر واحد می‌شود و بنابراین یک ریشه واحد (unit root) در GARCH وجود دارد. قید آن به صورت زیر می‌باشد.
formula_28
exponential general autoregressive conditional heteroscedastic یا (EGARCH) توسط Nelson 1991 مدل شده که یک فرم دیگر از GARCH است. به‌طور تفصیلی (EGARCH(p,q به صورت زیر مشخص می‌شود
formula_29
که در آن formula_30، formula_31 واریانس مشروط و formula_32، formula_33، formula_34، formula_35 و formula_36 ضرایب و formula_37 می‌تواند متغیر نرمال باشد یا از توزیع تعمیم یافته errorها بدست آمده باشد. فرموله کردن formula_38 به ما اجازه می‌دهد که علامت و مقدار formula_37 اثر مشخصی روی نوسانات داشته باشد. این امر به‌طور خاص در زمینه قیمت گذاری دارایی‌ها سودمند است.
از آنجا که formula_40 ممکن است منفی شود قید دیگری روی پارامترها نمی‌گذاریم.
GARCH-in-mean یا (GARCH-M) یک ترم heteroscedasticity به معادله میانگین اضافه می‌کند و به صورت زیر مشخص می‌شود:
formula_41
که residualها formula_42 به این صورت معرفی می‌شوند؛
formula_43
Quadratic GARCH QGARCH توسط Sentana 1995 ارائه شد که برای مدل کردن اثرات نامتقارن شوک‌های منفی و مثبت بکار می‌رود. برای یک مثال از مدل (GARCH(1,1 که در آن روند residual عبارتست از
formula_44
که در آن formula_45 به صورت i.i.d است و داریم؛
formula_46
همانند (QGARCH، Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH که توسط Glosten, Jagannathan و (Runkle (1993 مدل شد، عدم تقارن در پروسه GARCH مدل می‌کند که پیشنهاد می‌کند formula_47 را مدل کنیم که در آن formula_45 i.i.d است.
formula_49
که اگر formula_50 باشد formula_51 است. و اگر formula_52 باشد formula_53 است.
نهایتاً (Threshold GARCH (TGARCH که توسط (Zakoian (1994 مدل شده همانند GJR GARCH است و مشخصه آن شرطی بودن انحراف معیار است به جای شرطی بودن واریانس:
formula_54
که در آن اگر formula_55 باشد formula_56 است و اکر formula_57 باشد formula_58 است. همچنین formula_59 است اگر formula_57 باشد و formula_61 است اگر formula_55 باشد.