لم زرن
لم زرن یکی از مفیدترین اصولی است که هم ارز اصل انتخاب است، اصلی است که اولین بار در سال ۱۹۱۴ مطرح شد و به نام لم زرن معروف است، لم زرن به صورت زیر مطرح می‌شود: اگر formula_1 یک مجموعه مرتب جزئی باشد، بطوریکه هر زیر مجموعه کاملاً مرتب آن، دارای کران بالا (در A) باشد، آنگاه A دارای عضو ماکزیمال است.
با توجه به اصل ماکزیمالی هاسدورف، formula_2 دارای زیر مجموعه کاملاً مرتبی مانند B است که نسبت به رابطه شمول formula_3 ماکزیمال است. بنا به فرض، B دارای یک کران بالا به نام u است. نشان می‌دهیم که u یک عضو ماکزیمال از A است.اگر عضوی مانند formula_4 وجود داشته باشد، بطوریکه formula_5، آنگاه formula_6، زیر مجموعه کاملاً مرتبی از Aاست که شامل زیر مجموعه ماکزیمال کاملاً مرتب B می‌باشد. در نتیجه می‌بایست formula_7 باشد که نتیجه می‌دهد formula_8. این ثابت می‌کند که u عضو ماکزیمال مجموعه formula_2 است.
لم فوق نمونه‌ای از یک خاصیت وجودی است که ادعا می‌کند عضو ماکزیمال در مجموعه مرتب جزئی خاص وجود دارد.اما اثبات این قضیه، روشی را برای تعیین این عضو ماکزیمال ارائه نمی‌دهد. به عنوان کاربرد لم زرن، قضیه زیر را بیان و اثبات می‌کنیم.
اگر A،Bدو مجموعه غیر تهی باشند، آنگاه تابع یک به یکی از Aبه Bو یا یک تابع یک به یک از Bبه A وجود دارد. اثبات فرض می‌کنیم X مجموعه تمام زوجهای مرتب formula_10 کهformula_11 زیر مجموعه‌ای از A و همچنین formula_12 تابعی یک به یک است، باشند. رابطه formula_13را روی X به طریق زیر تعریف می‌کنیم :
formula_14
مسلما این رابطه ترتیبی جزئی است. به منظور استفاده از لم زرن، باید مطمئن شویم که هر زیر مجموعه کاملاً مرتب formula_15 از X دارای یک کران بالاست. formula_16 یک حدس خوب برای کران بالای مجموعه T، است.
قرار می‌دهیم: formula_17
آنگاه formula_18 طوری است که اگرformula_19، آنگاه formula_20 برای اثبات خوش تعریف بودن formula_18، فرض می‌کنیم که x به زیر مجموعه دیگری مانند formula_22 هم باشدformula_23. آنگاه formula_24 یا formula_25، که در هر حالت داریم formula_26، که نشان می‌دهدformula_27، خوش تعریف است. حال نشان می‌دهیم که formula_18 تابعی یک به یک است.برای این منظور فرض می‌کنیم، به ازای formula_29 خواهیم داشت formula_30. آنگاه دو زوج مرتب formula_31 چنان وجود دارند کهformula_32. دوباره مثل قبل : formula_24 یا formula_25 بدون اینکه در اثبات خللی وارد شود، فرض می‌کنیم formula_24.
از فرض اخیر نتیجه می‌شود formula_36، که و لذا با توجه به یک به یک بودن formula_37 داریمx=y.به این ترتیب اثبات یک به یک بودن formula_27 تکمیل می‌شود. بنابراین: به ازای هر formula_39، داریم formula_40. پس formula_41 در شرایط لم زرن صدق می‌کند و در نتیجه Xدارای عضو ماکزیمال است که آن را به صورت formula_42 مشخص می‌کنیم.در اینجا دو حالت ممکن است اتفاق بیفتد:
۱- formula_43
در این حالت، همان تابع یک به یک مورد نظر است.
۲- formula_44
در این حالت فرض می‌کنیم formula_45 و ادعا می‌کنیم که در این حالت، تابع یک به یک formula_46 در واقع تناظری یک به یک است.(زیرا در غیر این صورت، این تابع پوشا نبود و عضوی مانند formula_47 وجود دارد). حال تابع formula_48 را به صورت formula_49 وformula_50، به ازای هر formula_51 تعریف می‌کنیم. مسلما formula_52، یک به یک است و formula_53. نامساوی اخیر با فرض ماکزیمال بودن formula_54 در تناقض است. لذا formula_46 تناظری یک به یک است و در نتیجه formula_56 تابع یک به یک مطلوب از B به زیر مجموعه formula_57 از A است. به این ترتیب اثبات قضیه تکمیل می‌شود.
اگر A،B دو مجموعه باشند، آنگاه formula_58 یا formula_59.بنابراین اگر m،n دو عدد اصلی متمایز باشند، داریم، n