سری (ریاضیات)
در ریاضیات، یک سریِ متناظر با یک دنباله مانند formula_1، از مجموع جزئی تمامی اعضای دنبالهٔ formula_1 به دست می‌آید.
سری‌ها به دو صورت formula_3 یا formula_4 نمایش داده می‌شوند.
بررسی سری‌ها بخش بزرگی از حسابان را تشکیل می‌دهد. به علاوه، سری‌ها در رشته‌های بسیاری از ریاضیات از جمله ترکیبیات استفاده می‌شوند. سری‌ها کاربرد بسیاری در رشته‌هایی چون علوم رایانه، فیزیک و مالی دارند.
برای دنباله‌های متناهی با طول formula_5، این مقدار برابر formula_6 تعریف می‌شود.
برای دنباله‌های نامتناهی، این مقدار به کمک حد مجموع جزئی تعریف می‌شود:
formula_7
اگر چنین حدی وجود داشته باشد، سری، همگرا نامیده می‌شود و در غیر این صورت واگرا.
سری‌های حسابی مجموع جزئی یک تصاعد حسابی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:
سری‌های هندسی مجموع اعضای یک تصاعد هندسی است و به صورت زیر نوشته می‌شود:
قضیه: یک سری هندسی همگرا ست اگر و تنها اگر formula_10.
سری هارمونیک یا همساز به صورت زیر نوشته می‌شود:
formula_11
این سری از مثال‌های معروفی ست که دنبالهٔ آن همگرا ست ولی سری واگرا ست.
این سری‌ها تعمیمی از سری همساز هستند: formula_12
این سری‌ها تنها در صورتی همگرا هستند که formula_13 باشد.
این سری‌ها، به عنوان تابعی از formula_14 به «تابع زتای ریمان» معروف اند و به صورت formula_15 نمایش داده می‌شوند.
سری formula_16 یک سری واگرا ست که دنبالهٔ آن نیز واگرا ست.اشتباهی که در این محاسبات وجود دارد این است که فرض شده مقدار سری وجود دارد که فرض نادرستی ست. این مقدار وجود ندارد و سری واگرا ست.
این مسأله از پارادوکس‌های زنون بوده و به شرح زیر است:
هیچ دونده‌ای نمی‌تواند به انتهای مسیر خود برسد زیرا قبل از رسیدن به انتهای مسیر، باید نصف مسیر باقی‌مانده را طی کند.
اگر طول مسیر را واحد در نظر بگیریم، این مسأله معادل این است که هر چه قدر شروع به جمع کردن سری formula_20 کنیم، به مقدار دقیق ۱ نمی‌رسیم.
به عبارت دیگر در دنبالهٔ مجموع جزئی formula_21 هیچ عضو آن برابر ۱ نیست.
این ادّعا غلط است زیرا مقدار سری برابر حد مجموع جزئی ست.
اگر formula_1 همواره مثبت یا همواره منفی باشد:
اگر formula_25، در آن صورت سری formula_26 را «تلسکوپی» می‌نامیم.
قضیه: سری تلسکوپی تنها در صورتی همگرا ست که formula_27 همگرا باشد و در آن صورت: formula_28
برای دنبالهٔ formula_1، سری متناوب آن به صورت formula_30 است.
اگر formula_1 دنبالهٔ مثبت و نزولی با حد صفر باشد، سری متناوب آن همگرا ست. اگر سری formula_4 همگرا باشد، باید formula_44 باشد.
اگر formula_45 یا formula_46 وجود نداشته باشد، سری formula_4 باید واگرا باشد.
این آزمون‌ها تنها در صورتی کاربرد دارند که جملات دنباله‌ها همواره مثبت یا همواره منفی باشند دو آزمون بالا معادل یکدیگر هستند و به مفهوم دیگری مرتبط اند: نماد O بزرگ و تحلیل مجانبی.
تعریف: اگر formula_57، می‌نویسیم formula_67 (یا formula_68) و می‌خوانیم formula_1 و formula_27 «به صورت مجانبی برابر» اند.
تعریف: اگر formula_71، می‌نویسیم formula_72 و می‌خوانیم formula_27 دنبالهٔ formula_1 را «به صورت مجانبی محدود» می‌کند (یا formula_1 از اردر formula_27 است).
طبق تعریف، اگر دو دنباله یکدیگر را به صورت مجانبی محدود کنند، آن دو به صورت مجانبی با یکدیگر برابر اند.
اگر تابع formula_86 همواره مثبت باشد و formula_87 و formula_88، در این صورت دنباله‌های formula_89 و formula_90 یا هر دو همگرا هستند یا هر دو واگرا. کوشی کشف کرد که ممکن است با تغییر آرایش یک سری، مقدار آن تغییر کند. به عنوان مثال سری
formula_99
امّا اگر آرایش این سری را به طوری تغییر دهیم که پس از هر دو مثبت، یک منفی ظاهر شود، به مقدار دیگری می‌رسیم:
formula_100
دقّت کنید که در هر دو سری، هر تقسیم فرد به صورت مثبت و یک بار و هر تقسیم زوج نیز به صورت منفی و یک بار ظاهر می‌شود؛ پس سری دوم به درستی آرایشی از سری اوّل است.
قضیه: هر گونه آرایشی از یک سری مطلقاً همگرا مقدار یکسانی دارد.
همچنین ریمان اثبات کرد که برای هر سری همگرا که مطلقاً همگرا نباشد می‌توان آرایشی معرّفی کرد که در آن مقدار سری تغییر کند.
هر سری به صورت formula_101 را یک سری توانی به مرکز formula_34 می‌نامیم. در نتیجه هر سری به صورت formula_103 را یک سری توانی به مرکز ۰.
سری تیلور یک نوع سری توانی ست.