الگوریتم جستجوی عمق اول
در نظریهٔ گراف، جستجوی عمق اول یک الگوریتم پیمایش گراف است که برای پیمایش یا جستجوی یک گراف به کار می‌رود. روش جستجوی عمق اول برای پیمایش گراف، همان‌طور که از نامش پیداست «جستجوی رأس‌های عمیق‌تر در گراف تا زمانی که امکان دارد» است.
الگوریتم از یک راس دلخواه (ریشه در درخت‌های ریشه‌دار) شروع می‌کند و در هر مرحله همسایه‌های رأس جاری را از طریق یال‌های خروجی رأس جاری به ترتیب بررسی کرده و به محض روبه‌رو شدن با همسایه‌ای که قبلاً دیده نشده باشد، به صورت بازگشتی برای آن رأس به عنوان رأس جاری اجرا می‌شود. در صورتی که همهٔ همسایه‌ها قبلاً دیده شده باشند، الگوریتم عقب‌گرد می‌کند و اجرای الگوریتم برای رأسی که از آن به رأس جاری رسیده‌ایم، ادامه می‌یابد. به عبارتی الگوریتم تا آنجا که ممکن است، به عمق بیشتر می‌رود و در مواجهه با بن‌بست عقب‌گرد می‌کند. این فرایند تا زمانی که همهٔ رأس‌های قابل دستیابی از ریشه دیده شوند ادامه می‌یابد.
همچنین در مسائلی که حالات مختلف متناظر با رئوس یک گراف‌اند و حل مسئله مستلزم یافتن رأس هدف با خصوصیات مشخصی است، جستجوی عمق اول مفید است. در هر گام، الگوریتم در صورت امکان به اولین همسایهٔ دیده نشده یک رأس در گراف جستجو می‌رود تا به رأسی برسد که همهٔ همسایگانش دیده شده‌اند که در حالت اخیر، الگوریتم به اولین رأسی بر می‌گردد که همسایهٔ داشته باشد که هنوز دیده نشده باشد. این روند تا جایی ادامه می‌یابد که رأس هدف پیدا شود یا همهٔ مولفهٔ همبندی گراف پیمایش شود. البته پیاده‌سازی هوشمندانهٔ الگوریتم با انتخاب ترتیب مناسب برای بررسی همسایه‌های دیده نشدهٔ رأس جاری به صورتی که ابتدا الگوریتم به بررسی همسایه‌ای بپردازد که به صورت موضعی و با انتخابی حریصانه به رأس هدف نزدیک‌تر است، امکان‌پذیر خواهد بود که در کاهش زمان اجرا مؤثر است.
برای اجرای الگوریتم، از یک پشته استفاده می‌شود. بدین ترتیب که هر بار با ورود به یک رأس دیده نشده، آن رأس را در پشته قرار می‌دهیم و هنگام عقب‌گرد رأس را از پشته حذف می‌کنیم؛ بنابراین در تمام طول الگوریتم اولین عنصر پشته رأس در حال بررسی است.
وقتی در گراف‌های بزرگی جستجو می‌کنیم که امکان ذخیرهٔ کامل آن‌ها به علت محدودیت حافظه وجود ندارد، در صورتی که طول مسیر پیمایش شده توسط الگوریتم که از ریشه شروع شده، خیلی بزرگ شود، الگوریتم با مشکل مواجه خواهد شد. در واقع این راه‌حل ساده که «رئوسی را که تا به حال دیده‌ایم ذخیره کنیم» همیشه کار نمی‌کند. چرا که ممکن است حافظهٔ کافی نداشته باشیم. البته این مشکل با محدود کردن عمق جستجو در هر بار اجرای الگوریتم حل می‌شود که در نهایت به الگوریتم جستجوی عمق اول عمیق‌کننده تکراری خواهد انجامید.
پیمایش با انتخاب رأس formula_1 به عنوان ریشه آغاز می‌شود. در هر گام که در راس formula_2 قرار داشته باشیم، ابتدا آن راس به عنوان یک رأس دیده شده برچسب می‌خورد. رأس دلخواه دیده نشده formula_3 از همسایگان formula_2 انتخاب شده و الگوریتم به صورت بازگشتی از formula_2 فرایند خود را ادامه می‌دهد. اگر در رأسی مانند formula_6 قرار گرفتیم که همهٔ همسایگانش دیده شده‌اند، اجرای الگوریتم را برای آن رأس خاتمه می‌دهیم. روند الگوریتم تا مادامی که همهٔ همسایگان formula_7 دیده نشده باشند ادامه می‌یابد.  ورودی گراف formula_8 و راس formula_2 از گراف formula_8 نسخهٔ بازگشتی الگوریتم به این شکل است: و یک نسخهٔ غیر بازگشتی الگوریتم به این قرار است:
مشخص است که الگوریتم، هر یال در گراف بدون جهت را دقیقاً دو بار (یک بار به به هنگام بررسی هر یک از دو انتها) و هر یال در گراف جهت‌دار را دقیقاً یک بار پیمایش می‌کند. همچنین هر رأس قابل دسترسی از ریشه دقیقاً یک بار بازدید خواهد شد. بنابراین پیچیدگی زمانی جستجوی عمق اول (|O(|V|+|E خواهد بود.
یکی از کاربردهای این الگوریتم تشخیص وجود دور است. در گراف ساده، برای این کار رویهٔ عادی جستجو عمق اول را در پیش می‌گیریم، تنها با این تفاوت که یک لیست نشانه و یک لیست پدر می‌سازیم که در ابتدا برای هر کدام از رئوس به ترتیب مقادیر نادرست و اشاره‌گر تهی دارد، زیرا در ابتدای امر هیچ‌کدام از رئوس دیده نشده‌اند و پدر آن‌ها در جنگل فراگیری که قرار است این الگوریتم بسازد، نامشخص است.
سپس در هر مرحله بررسی می‌شود که اگر رأس کنونی v که به وسیله رأس u پیدا شده‌است، قبلاً نشانه‌گذاری شده بود و خود v پدر u نبود، در این صورت یک یال بازگشت پیدا شده‌است که نشان می‌دهد گراف دور دارد. در غیر این صورت رأس v نشانه گذاری شده و پدر آن رأس u می‌شود. در صورتی که تا پایان مراحل اجرا هیچ یال بازگشت‌ای پیدا نشد، یعنی گراف بدون دور است.
در زیر پیاده‌سازی این روش به وسیله زبان پایتون آماده است. class Graph:
[[پرونده:DFS finding cycle.gif|بندانگشتی|400px|مراحل پیدا کردن دور در گراف ساده به وسیله الگوریتم جستجوی عمق اول]] [[رده:الگوریتم‌های جستجو]] [[رده:الگوریتم‌های گراف]] [[رده:الگوریتم‌های مرتبه چندجمله‌ای]] [[رده:ویکی‌سازی رباتیک]]