دستگاه مختصات گرانیگاهی
در هندسه، دستگاه مختصات گرانیگاهی، دستگاهی است که در آن یک نقطه، گرانیگاه مجموعه‌ای از جرم‌ها است؛ جرم‌هایی که در گوشه‌های یک سادک (مانند مثلث، هرم و...) قرار می‌گیرند. مختصات گرانیگاهی گونه‌ای از مختصات همگن است. این دستگاه اولین بار در سال ۱۸۲۷ توسط آگوست فردینانند موبیوس معرفی شد. فرض کنید formula_1 گوشه‌های یک چندوجهی در فضای برداری "A" باشد؛ اگر برای برخی نقاط formula_2 در فضای "A" داشته باشیم:
و حداقل یکی از formula_4 ناصفر باشد، آنگاه می‌توانیم بگوییم که ضرایب (formula_4) مختصات گرانیگاهی formula_2 نسبت به formula_1 هستند. مختصات خود گوشه‌ها عبارت است از formula_8. مختصات گرانیگاهی یکتا نیستند. برای هر "b" ناصفر، (formula_9) نیز مختصات گرانیگاهی "p" است.
وقتی مکان نقاط در دستگاه مختصات منفی نیست، نقطه‌ای مانند formula_2 در یک پوش محدب از formula_1 قرار می‌گیرد؛ این همان چند وجهی (در فضای چندبعدی دلخواه) است که آن نقاط را به عنوان گوشه‌های خود (رأس‌هایش) در بر می‌گیرد.
در مورد یک مثلث، مختصات گرانیگاهی را با نام مختصات مساحتی نیز می‌شناسند. چرا که مختصات نقطهٔ "P" نسبت به مثلث "ABC"، از نسبت (علامت‌دار) مساحت‌های "PBC" و "PCA" و "PAB" نسبت به مثلث اصلی "ABC" تعیین می‌شود. مختصات مساحتی و مختصات سه‌خطی برای هدف‌های مشابه در هندسه کاربرد دارند.
مختصات گرانیگاهی یا مساحتی در کاربردهای مهندسی مانند زیردامنه‌های مثلثی، بسیار مورد استفاده قرار می‌گیرند. همچنین استفاده از این مختصات برآورد انتگرال را بسیار ساده‌تر می‌کند؛ در جدول انتگرال گاوسی نیز معمولاً از این مختصات استفاده می‌شود.
ابتدا مثلث "T" را با سه گوشهٔ formula_12 و formula_13 و formula_14 در نظر می‌گیریم هر نقطه‌ای مانند formula_15 که روی مثلث قرار دارد را می‌توان به صورت مجموع وزنی سه گوشهٔ مثلث نوشت:
که formula_17 و formula_18 و formula_19 مختصات مساحتی‌اند (معمولاً با formula_20 formula_21 formula_22 نمایش داده می‌شوند.) البته با این فرض که:
پس
با توجه به گفته‌های بالا می‌توان نتیجه گرفت که انتگرال تابعی مانند formula_25 روی T برابر خواهد بود با:
توجه داشته باشید که در عبارت بالا، درون یابی خطی وجود دارد. در واقع مختصات مساحتی این اجازه را می‌دهد که از درون‌یابی خطی در تمام نقاط مثلث استفاده کنیم به شرطی که مقدار تابع در تمام گوشه‌های مثلث معلوم باشد.
نقطهٔ داده شدهٔ formula_15 درون یک مثلث را می‌توان با مختصات گرانیگاهی formula_17 و formula_18 و formula_19 نیز نشان داد. برداری مانند formula_15 را که در دستگاه مختصات دکارتی formula_32 قرار دارد، می‌توان به وسیلهٔ گوشه‌های یک مثلث (formula_33, formula_34, formula_35) در مختصات گرانیگاهی به شکل زیر بازنویسی کرد:
با جایگذاری formula_24 در عبارت بالا خواهیم داشت:
پس از مرتب‌سازی می‌شود:
این نگاشت خطی را می‌توان به صورت کوتاه‌تر بازنویسی کرد:
که در آن formula_41 بردار مختصات گرانیگاهی است و formula_42 بردار مختصات دکارتی است و formula_43 یک ماتریس به شکل زیر است:
ماتریس formula_43 یک ماتریس وارون پذیر است، چون formula_46 و formula_47 خود مستقل خطی اند (اگر چنین نبود، آنگاه formula_33 و formula_34, و formula_35 هم راستا بودند و هرگز یک مثلث تشکیل نمی‌دادند.). حال می‌توان عبارت بالا را به شکل زیر بازنویسی کرد:
پیدا کردن مختصات گرانیگاهی آنگاه که formula_43 یک ماتریس 2×2 باشد کار آسانی خواهد بود. در نهایت، عبارت ریاضی لازم برای بازنویسی formula_53 در مختصات گرانیگاهی به صورت زیر خواهد بود:
چون مختصات کرانیگاهی یک تبدیل خطی از مختصات کارتزین است، پس باید، مقادیر در بین اضلاع و روی سطح مثلث به صورت خطی تغییر کند. اگر نقطه‌ای درون مثلث قرار داشته باشد تمام مقادیر در مختصات گرانیگاهی در بازهٔ باز (0,1) جای می‌گیرد؛ اگر یک نقطه بر روی لبه‌های مثلث (اضلاع) قرار داشته باشد حداقل یکی از اعداد مختصات formula_57 صفر خواهد بود در حالی که دیگر اعداد در بازهٔ بستهٔ [0,1] جای دارند. به عبارت دیگر: مختصات گرانیگاهی امکان مناسبی برای درون‌یابی یک تابع روی یک شبکهٔ نامنظم یا شبکه فراهم می‌کند؛ با این فرض که مقدار تابع در تمامی گوشه‌های آن شبکه معلوم باشد. برای درون‌یابی تابعی مانند formula_63 در نقطه‌ای مانند formula_42، در مرحلهٔ اول پیدا می‌کنیم که آن نقطه در کدام یک از جزءهای مثلثی شبکه قرار دارد آنگاه مقدار تابع را در سه گوش آن مثلث پیدا می‌کنیم و بعد نقطهٔ formula_42 را به مختصات گرانیگاهی آن مثلث منتقل می‌کنیم. اگر formula_61 آنگاه، نقطه درون مثلث یا بر روی لبهٔ آن قرار دارد (در بخش پیشین توضیح داده شد). حال مقدار formula_25 را به شکل زیر درون‌یابی می‌کنیم.
این درون‌یابی خطی به صورت خودکار یکه شده‌است، چون: formula_69.
مختصات گرانیگاهی را می‌توان به آسانی در سه بعد گسترش داد. سادک سه بعدی، یک چهاروجهی یا یک چندوجهی است که چهار رویهٔ مثلثی و چهار گوشه دارد. در اینجا باید اولین گوشهٔ formula_33 به مختصات گرانیگاهی formula_71 نگاشته شود، به همین ترتیب برای formula_72 و ...
در این حالت نیز، باز با یک تبدیل خطی روبرو هستیم، باید روندی که در بالا برای مثلث توضیح داده شد را گسترش داد و آن را با توجه به چهاروجهی برای انتقال نقطه‌ای مانند formula_42 بازنویسی کرد.
که در آن formula_75 ماتریسی 3×3 است:
مسئلهٔ پیدا کردن مختصات گرانیگاهی به یک ماتریس 3×3 کاهش یافت. از مختصات گرانیگاهی برای دانستن اینکه آیا یک نقطه درون یک حجم چهاروجهی قرار می‌گیرد یا خیر یا درون‌یابی یک تابع در فضای یک شبکه با خانه‌های چهاروجهی کاربرد دارد. شبکه‌های با خانه‌های چهاروجهی معمولاً در روش اجزاء محدود کاربرد دارد؛ چون استفاده از مختصات گرانیگاهی، درون‌یابی سه بعدی را بسیار آسان می‌کند.