اتم هیدروژن
اتم هیدروژن یک تک اتم عنصر شیمیایی هیدروژن است. از نظر الکتریکی خنثی است و دارای یک بار مثبت یا پروتون و یک بار منفی یا الکترون است که با کمک نیروی کولن به هسته پیوند خورده‌است. هیدروژن اتمی سازندهٔ جرم ۷۵٪ عنصرهای جهان است. (بیشتر جرم جهان به صورت عنصرهای شیمیایی نیست-به صورت مادهٔ باریونی است-که از مادهٔ تاریک و انرژی تاریک ساخته شده‌است)
در زندگی روزانه در زمین اتم هیدروژن یا هیدروژن تک اتمی به سختی پیدا می‌شود ولی برخلاف آن هیدروژن دوست دارد با دیگر عنصرها یا با خودش آمیخته شود و گاز هیدروژن (مولکول دواتمی) را بسازد.
پیوند H - H یکی از قوی‌ترین پیوندهای شیمیایی است و آنتالپی گسستگی آن در ۲۹۸ کلوین، می‌باشد. از آنجایی که پیوند H - H بسیار قوی است، جداسازی هیدروژن بسیار دشوار است مگر در دماهای بالا. برای نمونه در دمای ۳۰۰۰ کلوین درجهٔ جداسازی هیدروژن تنها ۷٫۸۵٪ است. فراوان‌ترین ایزوتوپ این عنصر، هیدروژن-۱ یا پروتیم یا هیدروژن سبک است. این ایزوتوپ هیچ نوترونی ندارد. ( تنها اتم بدون نوترون و پایدار ) دیگر ایزوتوپ‌های هیدروژن مانند دوتریوم، نوترون بیشتری دارد. رابطه‌هایی که در پایین آورده شده‌است برای هر سه ایزوتوپ هیدروژن کار می‌کند. تنها مقدار ثابت ریدبرگ گوناگون است و برای هر ایزوتوپ باید اصلاح شود.
اتم هیدروژن در مکانیک کوانتوم و نظریهٔ میدان‌های کوانتومی از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.
در ۱۹۱۴ نیلز بور با در نظر گرفتن چند فرض ساده‌کننده توانست بسامدهای طیفی هیدروژن را بدست آورد. فرض‌هایی که بور کرد پایهٔ مدل بور بود. همهٔ این فرض‌ها درست نبود اما در نهایت بور را به مقدار انرژی درستی رساند. در سال‌های ۱۹۲۵ تا ۱۹۲۶ درستی نتایج بور در بسامدها و ترازهای انرژی، توسط مکانیک کوانتوم و با بهره‌گیری از معادلهٔ شرودینگر نشان داده شد. معادلهٔ شرودینگر تراز انرژی هیدروژن و از آن بسامدهای خط‌های طیفی هیدروژن را محاسبه می‌کرد. همچنین با کمک این معادله می‌شد تابع موج الکترون‌ها (ابر الکترونی) را هم برای چندین حالت کوانتومی به‌دست آورد و در نتیجهٔ آن برای ویژگی ناهمسانگردی پیوندهای اتمی توضیحی پیدا کرد، چیزی که مدل بور در آن ناتوان بود.
معادلهٔ شرودینگر را می‌توان برای اتم‌ها و مولکول‌های پیچیده‌تر هم به‌کار بُرد.
حل معادلهٔ شرودینگر (معادلات موج) برای اتم هیدروژن با بهره‌گیری از این واقعیت است که نیروی کولن پدید آمده توسط هسته، همسانگرد است (از نظر شعاعی در فضا متقارن است و تنها به فاصله از هسته بستگی دارد).
تراز انرژی هیدروژن و از جملهٔ آن ریزساختار از رابطهٔ زیر بدست می‌آید: که در آن "α" ثابت ریزساختار و "j" عددی است برابر گشتاور زاویه‌ای مقدار ویژه‌است. مقدار ثابت ریدبرگ نام دارد و از مدل بور می‌توان آن را به‌دست آورد: در این رابطه، "m" جرم الکترون و "q" بار الکترون است. "h" ثابت پلانک و "ε" ثابت گذردهی خلأ است.
ثابت ریدبرگ با کمک معادلهٔ زیر با ثابت ریزساختار رابطه پیدا می‌کند:
این ثابت بیشتر در فیزیک اتمی در یکای انرژی ریدبرگ کاربرد دارد:
مقدار دقیق ثابت ریدبرگ در بالا با این فرض است که هسته نسبت به الکترون دارای جرم بی‌نهایت است. برای هیدروژن-۱، هیدروژن-۲ (دوتریوم) و هیدروژن-۳ (تریتیوم) این ثابت باید اندکی اصلاح شود تا بتوان در سامانه به جای جرم ساده شدهٔ الکترون، جرم کاهش یافته را به‌کار برد. البته چون هسته بسیار سنگین تر از الکترون است، می‌توان گفت مقدار این دو یکسان است. ثابت ریدبرگ "R" برای یک اتم هیدروژن (با یک الکترون) برابر است با:formula_5 که در آن "formula_6" جرم الکترون و M جرم هستهٔ اتم است. برای هیدروژن-۱ مقدار formula_7 در حدود ۱/۱۸۳۶ است. این مقدار برای دوتریوم و تریتوم به ترتیب ۱/۳۶۷۰ و ۱/۵۴۹۷ می‌باشد.
در دستگاه مختصات کروی، تابع موج عمود بر سطح شده (نرمال شده) عبارت است از:
که در آن:
مقدار ویژه برای عملگر گشتاور زاویه‌ای به قرار زیر است: