هم‌گشت
هَم‌گَشت یا کانوُلوشِن در ریاضیات یا به‌طور دقیق‌تر آنالیز تابعی، یک عملگر ریاضی است که بر روی دو تابع f و g عمل می‌کند. هم‌گشت مشابه تابع هم‌بستگی است. کاربردهای این عملگر شامل آمار، بینایی رایانه‌ای، پردازش تصویر، پردازش سیگنال، مهندسی برق و معادلات دیفرانسیل می‌شود. به هم‌گشت، هم‌آمیخت و پیچیدگی هم گفته شده است.
هم‌گشت را می‌توان برای توابعی از گروه‌های غیر از فضای اقلیدسی تعریف کرد. در حالت خاص، هم‌گشت دوره‌ای (Cyclic Convolution) را می‌توان برای توابع متناوب تعریف کرد، و هم‌گشت گسسته را می‌توان برای توابع صحیح تعریف کرد. چنین تعمیم‌هایی از هم‌گشت دارای کاربردهایی در زمینه تحلیل عددی، جبر خطی عددی، و پردازش سیگنال‌های گسسته دارند.
عمل
به ازای
formula_2،
حالت خاص ضرب ترکیبی است که ریاضیدان ایتالیایی ویتو ولترا آن را مطرح کرده‌است.
هم‌گشت اصولاً به نام "Faltung" (که همان Folding انگلیسی به معنی تا کردن است)، توسط یک ریاضیدان آلمانی به نام گوستاو دوچ معرفی شد.
هم‌گشت دو تابع ƒ و g به صورت ƒ*g نوشته می‌شود. این تعریف به صورت انتگرال حاصلضرب دو تابع که یکی از آن‌ها نسبت به محور عمودی مختصات برعکس شده و روی آن یکی می‌لغزد تعریف می‌شود. با این تعریف، هم‌گشت یک نوع خاص از تبدیل انتگرالی است.
هم‌گشت را می‌توان به عنوان میانگین وزنی تابع (ƒ(τ با مومنتوم t در نظر بگیریم که وزن‌ها توسط (g(−τ به اندازه t جابجا می‌شوند (لغزش می‌کنند). با تغییر t، تابع وزنی قسمت‌های مختلف تابع ورودی را برجسته می‌کند. به‌طور کلی، اگر f و g بر روی R توابع با مقدار مختلط باشند، آنگاه هم‌گشت را می‌توان به صورت انتگرال زیر تعریف کرد:
وقتی یک تابع g متناوب باشد (که T دوره تناوب آن است)، آنگاه برای تابع ƒ (به‌طوری‌که ƒ∗g وجود داشته باشد)، هم‌گشت نیز متناوب و یکتا خواهد بود:
که t یک مقدار انتخاب است. جمع، یک بسط متناوب از تابع ƒ خوانده می‌شود.
اگر g بسط متناوب یک تابع دیگر (مثلاً g) باشد، آنگاه رابطه ƒ∗g را هم‌گشتِ دوره‌ای ƒ و g می‌نامند.
هم‌گشت برای دو تابع گسسته ƒ، g که بر روی مجموعه اعداد صحیح Z تعریف شده‌است، انتگرال گسسته ƒ و g با رابطه زیر بدست می‌آید:
زمانی که دو چندجمله‌ای را ضرب می‌کنیم، ضرایب حاصلضرب توسط هم‌گشت توالی ضرایب اصلی بدست می‌آید، که برای جلوگیری از ایجاد جمله‌های تعریف نشده با عدد صفر بسط داده می‌شوند؛ این عمل تحت عنوان ضرایب دو چند جمله‌ای شناخته می‌شود.
وقتی تابع g متناوب است (با تناوب N)، آنگاه برای تابعی مانند ƒ، به‌طوری‌که ƒ∗g وجود داشته باشد، هم‌گشت متناوب و یکتا خواهد بود:
حاصل این مجموع بر روی k را بسط دوره‌ای تابع ƒ می‌نامند.
اگر g بسط دوره‌ای یک تابع دیگر باشد، g، آنگاه عبارت ƒ∗g را هم‌گشت دوره‌ای ƒ و g می‌نامند.
زمانی که طول زمانی غیرصفر هر دو تابع ƒ و g به محدوده [0, N-۱] مقید شود، آنگاه ƒ∗g به صورت زیر کاهش خواهد یافت:
نماد formula_10 برای هم‌گشت دوره‌ای یادآور هم‌گشت بر روی گروه دوره‌ای یک integers modulo N است.
در برخی حالات، هم‌گشت گسسته می‌تواند به هم‌گشت دوره‌ای تبدیل شود تا بتوان از خواص هم‌گشت برای اجرای تبدیل سریع توسط کامپیوتر بهره برد. برای مثال، هم‌گشت توالی رقمی یک عمل بسیار مهم ضرب اعداد چند رقمی است، که در نتیجه می‌تواند به صورت بهینه‌ای با تکنیک‌های تبدیل پیاده‌سازی شود(; ).
مرسوم‌ترین الگوریتم هم‌گشت سریع، از الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع (FFT) قضیه هم‌گشت دوره‌ای استفاده می‌کنند. در حالت خاص، هم‌گشت دوره‌ای دو توالی با طول محدود را می‌توان با اعمال FFT هر کدام، ضرب نقطه به نقطه، و سپس اعمال FFT معکوس بدست آورد. در نتیجه انواع هم‌گشت تعریف شده در بالا را به صورت بهینه می‌توان با استفاده از تکنیک‌هایی همراه با افزودن و/یا کاهش صفر خروجی پیاده‌سازی کرد. الگوریتم‌های هم‌گشت سریع دیگر، مثل ، نیز از تبدیل فوریه سریع در دیگر استفاده می‌کنند.
هم‌گشت دو تابع با مقدار مختلط بر روی R
خوش تعریف است، تنها اگر ƒ و g به اندازه کافی در بینهایت افت سریع خواهد داشت که انتگرال آن وجود داشته باشد. شرایط وجود هم‌گشت تا حدودی ما را به اشتباه می‌اندازد، زیرا یک انفجار (blow up) در تابع g در بینهایت به راحتی با افت سریع تابع ƒ در بینهایت جبران می‌شود. در نتیجه مسئله وجود هم‌گشت شامل شرایط دیگری بر روی ƒ و g می‌شود.
اگر ƒ و g توابع ریاضی باشند، آنگاه هم‌گشت آن‌ها وجود دارد، و همچنین تابع بدست آمده کاملاً پشتیبانی شده و پیوسته می‌باشد . اصولاً اگر یکی از توابع (مثلاً ƒ) کاملاً پشتیبانی شده و دیگری باشد، آنگاه ƒ∗g خوش تعریف و پیوسته خواهد بود.
هم‌گشت ƒ و g وجود دارد اگر ƒ و g هر دو توابع انتگرال‌پذیر لِبِسگ (در ) باشند؛ در این حالت ƒ∗g نیز انتگرال‌پذیر است . این بیان، یک نتیجه‌گیری از است. به همین صورت، اگر ƒ ∈ L(R) و g ∈ L(R) که ۱ ≤ p ≤ ∞، آنگاه ƒ∗g ∈ L(R) و
در حالت خاص p= ۱، این رابطه نشان می‌دهد که L یک تحت هم‌گشت است (و تساوی دو طرف برقرار است اگر f و g در تمام نقاط غیر منفی باشند).
به‌طور کلی‌تر، بیان می‌کند که هم‌گشت یک نگاشت دوطرفه پیوسته بین فضاهای L مناسب است. به‌طور خاص، اگر ۱ ≤ p,q،r ≤ ∞ رابطه زیر را ارضا کنند
آنگاه
در نتیجه، هم‌گشت نگاشت دوطرفه پیوسته از L×L به L است.
علاوه بر توابع با پشتیبانی کامل و توابع انتگرال‌پذیر، توابعی که دارای سرعت نزول سریع در بینهایت هستند نیز می‌توانند تحت هم‌گشت قرار بگیرند. یکی از ویژگی‌های مهم هم‌گشت آن است که اگر ƒ و g هر دو سریعاً نزولی باشند، آنگاه ƒ∗g نیز به سرعت نزول می‌کند. با در نظر گرفتن این واقعیت که هم‌گشت معمولاً با دیفرانسیل‌گیری همراه است (به خصوصیات مراجعه کنید)، باعث می‌شود که کلاس تحت هم‌گشت بسته باشند.
تحت برخی شرایط، می‌توان هم‌گشت یک تابع با یک توزیع، یا دو توزیع را تعریف کرد. اگر ƒ یک تابع کاملاً پشتیبانی شده باشد و g یک توزیع باشد، آنگاه ƒ∗g یک تابع نرم است که توسط فرمول توزیعی زیر تعریف می‌شود
در حالت کلی‌تر، می‌توان تعریف هم‌گشت را بسط داد که به‌طور یکتا، قانون زیر حتی در حالتی که ƒ یک توزیع باشد، و g یک توزیع کاملاً پشتیبانی شده در نظر بگیریم، بر قرار باشد :
هم‌گشت هر دو μ و ν از ، اندازه λ است که با رابطه زیر تعریف می‌شود:
این رابطه زمانی که μ و ν را توزیع در نظر بگیریم با هم‌گشت‌های تعریف شده در بالا مطابقت دارد؛ همچنین برای هم‌گشت توابع L وقتی که μ و ν نسبت به اندازه لِبِسگ مطلقاً پیوسته باشند.
همچنین، هم‌گشت اندازه‌ها نسخه دیگری از نامعادله یونگ که در زیر آمده‌است را ارضا می‌کنند
formula_18
که نُرم، اندازه است. از آنجا که فضای اندازه تغییر محدود یک فضای باناخ است، با هم‌گشت اندازه می‌توان مشابه روش‌های استاندارد که قابل اعمال به توزیع‌ها نیست برخورد کرد.
هم‌گشت یک ضرب را بر روی فضای برداری توابع انتگرال‌پذیر است. این حاصلضرب خواص ریاضی زیر را ارضا می‌کند، که به معنی آن است که فضای توابع انتگرال‌پذیر با حاصل هم‌گشت یک جبر جابجا پذیر است بدون . دیگر فضاهای برداری توابع، مثل فضای توابع پیوسته کاملاً پشتیبانی شده، تحت هم‌گشت هستند، و در نتیجه جزء جبرهای جابه‌جاپذیر هستند.؛ خاصیت انجمنی با یک عدد اسکالر به ازای هر عدد حقیقی (مختلط)formula_23هیچ عمل جبری توابع، یک عامل خنثی در ضرب را برای هم‌گشت ایجاد نمی‌کنند. کمبود عامل خنثی در ضرب عملاً مشکل بزرگی به حساب نمی‌آید، زیرا زیرا اکثر توابعی که هم‌گشت روی آن‌ها انجام می‌شود را می‌توان با یک توزیع دیراک مورد هم‌گشت قرار داد، یا حداقل (مثلاً برای حالت L) می‌توان را برای آن در نظر گرفت . ولی فضای برداری توزیع‌های کاملاً پشتیبانی شده، اجازه حضور عامل خنثی در ضرب را تحت هم‌گشت به ما می‌دهند. به خصوص اینکه
که δ توزیع دلتا است.
؛ عنصر معکوس
برخی توزیع‌ها برای هم‌گشت یک عنصر معکوس دارند، S، که با رابطه زیر تعریف می‌شوند
مجموعه‌ای از توزیع‌های معکوس پذیر یک را تحت هم‌گشت تشکیل می‌دهند.
مزدوج مختلط؛ formula_26
اگر ƒ و g توابع انتگرال‌پذیر باشند، آنگاه انتگرال هم‌گشت آن‌ها در تمام فضا، از حاصلضرب انتگرال آن‌ها بدست می‌آید:
این رابطه از بر گرفته شده‌است. نتیجه مشابهی نیز برقرار است در صورتی که ƒ و g فقط توابع قابل اندازه‌گیری غیر منفی باشند توسط بیان می‌شود.
در حالت یک متغیری داریم
که d/dx همان مشتق است. به‌طور کلی، در حالتی که توابعی از متغیرهای مختلف داشته باشیم، فرمول مشابهی با استفاده از مشتق پاره‌ای برقرار است.
یک نتیجه خاص این رابطه ان است که هم‌گشت را می‌توان به شکل یک عمل «هموار کنندگی» نگاه کرد: هم‌گشت ƒ و g به تعداد مرتبه‌ای که ƒ و g قابل دیفرانسیل‌گیری هستند، قابل دیفرانسیل‌گیری است.
این خاصیت تحت شرایطی برقرار است که ƒ و g مطلقاً انتگرال‌پذیر باشند و به عنوان یکی از نتایج حداقل یکی از آن‌ها دارای (L). برای مثال، زمانی که ƒ مشتق پذیر پیوسته با پشتیبانی کامل باشد، و g یک تابع دلخواه و انتگرال‌پذیر محدود باشد،
قضیه هم‌گشت بیان می‌دارد که:
که formula_32 بیان‌کننده تبدیل فوریه تابع formula_33 است، و formula_34 یک عدد ثابت است که وابسته به تبدیل فوریه است (به «» مراجعه کنید). برخی نسخه‌های دیگر این قضیه برای تبدیل لاپلاس، ، تبدیل z و برقرار است.
هم‌گشت در بسیاری از کاربردهای مهندسی و ریاضی دیده می‌شود؛