اصل اکسترمال
ریاضی‌دان ورزیده مجهز به یک سری اصول و فنون با دامنه کاربرد وسیع ساده می‌باشد که می‌تواند از آن‌ها در حالت‌های مختلف استفاده نماید. این اصول و فنون وابسته به موضوعی ویژه نبوده و در کلیه شاخه‌های ریاضی قابلیت استفاده را دارند. ریاضی‌دان به این اصول فکر نمی‌کند بلکه به‌طور ناخودآگاه از آن مطلع می‌باشد. یکی از این اصول اصل ناوردایی است؛ و اما اصل اکسترمال زمانی که بحث دربارهٔ تبدیلات است استفاده می‌شود. در این مقاله به بحث دربارهٔ اصل اکسترمال خواهیم پرداخت که دارای کاربردهای پردامنه‌ای می‌باشد. به این اصل "روش متغیر" هم گفته می‌شود. با این روش می‌توان به اثبات‌های بسیار آسان دست یافت.
ابتدا سعی می‌کنیم وجود یک حالت را به اثبات برسانیم. اصل اکسترمم به ما می‌گوید که با انتخاب این حالت سعی کنید برخی حالت‌های ماکزیمم و مینیمم آن را بررسی کنید. حالت حاصل نشان دهنده تقریبی وضعیت خواسته شده‌است هر چند کاملاً با آن منطبق نمی‌نماید. با کمی تغییر روی توابع به حالت اصلی می‌توان رسید.
اگر راه‌های مختلفی برای بهینه‌سازی وجود داشته باشد انتخاب بکی از آن‌ها بسته به نظر ما می‌باشد. اصل اکسترمال بسیار خلاق است و می‌تواند الگوریتم روش ساختن آن حالت را به ما نشان دهد. در اینجا برای تفهیم بیشتر موضوع مثالی می‌آوریم. اما در ابتدا به ۳ اصل معروف می‌پردازیم. اگر formula_8 باشد آنگاه formula_9و اگر formula_10 آنگاه formula_11.
مثال ۱ : n خط حداکثر یک صفحه را به چند بخش تقسیم می‌کند؟
حل : یک نفر مبتدی برای حل این مسئله از اینجا شروع می‌کند که formula_12. در حقیقت با اضافه کردن یک خط به n خط به سادگی به دست می‌آید که formula_13.
در واقع در این استدلال هیچ اشکالی نیست. چون رابطه بازگشتی پایه و اساس این شوره تفکر است، یک مسئله حل کن تجره گرا ممکن است مسئله را در ذهن خود حل نماید. ما به شماره کردن مسئله می‌پردازیم. یکی از اصول شمارش اساسی تناظر یک به یک برقرار کردن است.
اولین سؤال این است آیا می‌توان formula_14 بخش از صفحه را به صورت یک به یک به مجموعه مربوط ساخت که به آسانی بتوان آن را شمرد؟
ترکیب formula_15 نقطه برخورد n خط را به آسانی می‌توان یافت. اما پایین برخورد دقیقاً در یک بخش وجود دارد (اصل اکسترمال) بنابراین formula_15 بخش را با یک نقطه اشتراک داریم، بخش‌ها بدون نقاط اشتراک در کران پایین واقع نمی‌شود، و بک خط افقی را به n+۱ قسمت تقسیم می‌کند. این بخش‌ها را می‌توان به‌طور منحصربه‌فرد به این نقطه خط‌ها نسبت داد؛ بنابراین formula_17 یا formula_18 قسمت بدون یک نقطه اشتراک وجود دارد؛ بنابراین در مجموع داریم:
formula_19
مثال ۲: این مسئله به وسیله سیلوستر در سال ۱۸۹۳ طرح شد و در سال ۱۹۳۳ توسط گالی به روش پیچیده‌ای حل گردید و سپس در سال ۱۹۴۸ درچند خط با اصل اکسترمال توسط کلی حل گردیده‌است. مجموعه محدود شامل نقاطی از صفحه‌است که هر خط گذرنده ازدو نقطه از نقطه سومی می‌گذرد. ثابت کنید تمام نقاط روی یک خط واقع می‌باشند.
حل: فرض کنیم این نقاط هم خط نیستند. زوج (P,L (عبارت است از خطی مانندformula_20 و نقطه‌ای مانند formula_21 غیر واقع بر formula_20. حال نقطه‌ای را در نطر می‌گیریم که فاصله اش از خط می‌نیمم باشد. فرض کنیم formula_23 پای عمودی است که از نقطه formula_21 بر خطformula_20 وارد شده‌است؛ بنابراین بنا به فرض حداقل سه نقطه formula_26 بر خط قرار دارد. فرض کنیم دو نقطه formula_27 وformula_28 در یک طرف formula_23 واقع باشند؛ و فرض کنیم b بهf تاa نزدیکتر باشد آنگاه فاصله b تا ap کمتر از d می‌باشد و این تناقض است.
مثال ۳: در کشور اسکانیا هر شهری به شهر دیگر فقط به وسیلهٔ یک جاده یک طرفه وصل شده‌است. ثابت کنید شهری وجود دارد که از هر شهری به آن مستقیم یا حداکثر به واسطه یک شهر دیگر می‌توان رسید.
حل : فرض کنیم formula_30 حداکثر جاده‌های منتهی به یک شهر باشد؛ و فرض کنیم formula_31 شهری باشد که حداکثر جاده‌ها به آن وصل شده باشد. فرض کنیم formula_32 مجموعه formula_30شهری باشد که به formula_31 متصل هستند و فرض کنیم formula_35 مجموعه تمام شهرهای نامتصل به formula_31 و موجود در formula_32 باشد.
اگر R تهی باشد حکم ثابت است. اگر formula_38 باشد شهری مانند formula_39 وجود دارد که از طریق آن می‌توان به M رسید یعنی X → M → E. اگر چنین formula_40 وجود نداشته باشد، پس به شهرformula_41 می‌توان از طریق شهرهای‌formula_32 و از formula_31 رسید؛ بنابراین formula_44 جاده به formula_41 منتهی می‌شود که یک تناقض نسبت به فرض در مورد formula_31 است؛ بنابراین به هر شهر به‌طور حداکثر به حالت حکم مسئله می‌توان رسید.