مکانیک شکست
مکانیک شکست، مکانیک مربوط به انتشار ترک در مواد است. از طریق علوم تجربی و تحلیلی مکانیک جامدات برای محاسبه نیروی محرک یک ترک و در نتیجه میزان مقاومت مواد در برابر شکست استفاده می‌شود.
در علم مواد مدرن، مکانیک شکست ابزار مهمی است که برای بهبود عملکرد اجزای مکانیکی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این علم، به منظور پیش‌بینی مکانیزم ماکروسکوپی اجسام، فیزیک رفتارهای تنشی و کرنشی به ویژه تئوری‌های کشش و انعطاف بذیری (موم سانی) را بر روی نواقص کریستالی میکروسکوپی موجود در مواد واقعی، به کار می‌گیرد. فرکتوگرافی به‌طور گسترده‌ای به همراه مکانیک شکست استفاده می‌شود تا دلایل خرابی‌ها را بیابد و نیز پیش‌بینی‌های نظری مربوط به نواقص را با شکست‌های دنیای واقعی تطابق دهد. پیش‌بینی رشد یک ترک به‌طور عمیقی به ویژگی ساختاری بستگی دارد.
ترک در اثر اعمال نیرو به سه روش زیر ایجاد و گسترش می‌یابد:
فرایندهای ساخت مواد، پردازش، ماشین‌کاری و تشکیل، درنهایت ممکن است منجر به نقص در یک جزء مکانیکی شوند. در کلیه سازه‌های فلزی نقص داخلی و سطحی ناشی از فرایند تولید دیده می‌شود. مکانیک شکست عبارت است از تجزیه و تحلیل نقص‌ها برای کشف مواردی که ایمن هستند (یعنی رشد نمی‌کنند) و آنهایی که باعث شکست جسم ترک خورده می‌شوند. حتی با وجود این نقص‌های ذاتی، می‌توان از طریق تجزیه و تحلیل، عملکرد ایمن و مناسب یک ساختار را بدست آورد.
مکانیک شکست می‌کوشد تا به سوالات زیر پاسخ دهد:
مکانیک شکست در جنگ جهانی اول توسط مهندس هوانوردی انگلیس توسعه یافت؛ به‌این‌ترتیب اصطلاح گریفیت کرک برای توضیح در مورد شکست مواد شکننده ساخته شد.کار گریفیت بر مبنای دو واقعیت متناقض بود:
یک نظریه برای پیوند دادن این نتایج متناقض لازم بود. همچنین، آزمایش‌ها روی الیاف شیشه‌ای که خود گریفیت انجام داده‌است، نشان می‌دهد که با کاهش قطر فیبر، تنش شکست افزایش می‌یابد. از این رو استحکام کششی تک محوره، که قبل از گریفیت به‌طور گسترده برای پیش‌بینی شکست مواد استفاده شده بود، نمی‌توانست یک خاصیت مستقل برای مواد باشد. گریفیت اظهار داشت که مقاومت کم شکستگیِ مشاهده شده در آزمایش‌ها و همچنین وابستگی به میزان قدرت، به دلیل وجود نقص‌های میکروسکوپی در شیشه است. برای تأیید فرضیات متناقض، گریفیت نقص مصنوعی را در نمونه‌های شیشه‌ای آزمایشگاهی خود معرفی کرد. نقص مصنوعی به شکل ترک سطحی بود که بسیار بزرگتر از سایر نقص‌های موجود در یک نمونه بود. آزمایش‌ها نشان داد که حاصل مجذور مربع طول عیب (a) در تنش شکست ("σ" ) تقریباً ثابت است که با معادله زیر بیان می‌شود: formula_1
توضیح این رابطه از نظر تئوری کشش خطی، مشکل‌ساز است. نظریه کشش خطی پیش‌بینی می‌کند که تنش (و از این رو فشار) در نوک یک نقص تیز در یک ماده الاستیک خطی نامتناهی است. برای جلوگیری از این مشکل، گریفیت یک روش ترمودینامیکی را برای توضیح این رابطه ارائه داد. گریفیت با حل مشکل کشسانی یک ترک محدود در یک صفحه الاستیک، عبارتی برای ثابت بودن C از نظر انرژی سطح ترک پیدا کرد. به‌طور خلاصه رویکرد بدین گونه بود:
که در آن، E مدول یانگ مواد و γ سطح ماده است. با فرض اینکه E برابر با ۶۲ گیگاپاسکال و Y برابر با ۱ ژول بر متر مربع باشد، تقریب بسیار خوبی از استرس شکست پیش‌بینی شده گریفیت با نتایج آزمایشگاهی برای شیشه، ارائه می‌دهد. به تازگی، نشان داده شد که کاربرد مستقیم معیار گریفیت بر «سلول» عددی منفرد منجر به فرمول بسیار محکمی از روش عنصر مرزی می‌شود.
برای موادِ بسیار تغییر شکل یافته قبل از انتشار ترک، فرمول مکانیکی شکست الاستیک خطی دیگر کاربرد ندارد و یک مدل اقتباس شده برای توصیف زمینه استرس و جابجایی نزدیک به نوک ترک، مانند روی لازم است.
"کارهای گریفیت تا اوایل دهه ۵۰ عمدتاً مورد توجه جامعه مهندسی قرار نمی‌گرفت. دلایل آن بدین شرح است: (الف) در مواد ساختاری واقعی میزان انرژی مورد نیاز برای ایجاد شکست، میزان بالاتری از سطح انرژی مربوط است، و (ب) در مصالح ساختاری همیشه برخی از تغییر شکل‌ها غیرعادی در اطراف جبهه ترک وجود دارد که می‌تواند فرض متوسط الاستیک خطی با فشارهای نامحدود را در نوک ترک بسیار غیرواقعی جلوه دهد."
نظریه گریفیت با داده‌های تجربی برای مواد شکننده مانند شیشه توافق بسیار خوبی را ارائه می‌دهد. برای مواد شکل‌پذیر مانند فولاد، گرچه رابطه formula_3 هنوز هم استفاده می‌شود، ولی انرژی سطح (γ) پیش‌بینی شده توسط نظریه گریفیت معمولاً غیر واقعی است. گروهی که تحت آزمایش در (NRL) در طول جنگ جهانی دوم کار می‌کردند، فهمیدند که انعطاف‌پذیری باید نقش مهمی در شکستگی مواد انعطاف‌پذیر داشته باشد.
در مواد انعطاف‌پذیر (و حتی در موادی که به نظر می‌رسد شکننده است)، یک ناحیه پلاستیکی در نوک ترک ایجاد می‌شود. با افزایش بار اعمال شده، ناحیه پلاستیک تا اندازه ای افزایش می‌یابد که شکاف بزرگ شود و مواد کشیده شده الاستیک در پشت نوک ترک خالی شود. چرخه بارگیری و تخلیه پلاستیک در نزدیکی نوک ترک منجر به اتلاف انرژی به عنوان گرما می‌شود. از این رو، یک اصطلاح اتلاف باید به رابطه تعادل انرژی ابداع شده توسط گریفیت برای مواد شکننده اضافه شود. از نظر جسمی، انرژی اضافی برای رشد ترک در مواد انعطاف‌پذیر نسبت به مواد شکننده مورد نیاز است.
استراتژی ایروین - تقسیم انرژی - دارای دو بخش بود:
که γ انرژی انرژی سطح و Gp اتلاف پلاستیک (و اتلاف منابع دیگر) در واحد سطح رشد ترک است.
نسخه اصلاح شده از معیار انرژی گریفیت می‌تواند بدین صورت نوشته شود formula_5
برای مواد شکننده مانند شیشه، اصطلاح انرژی سطح غالب است و formula_6. در مورد مواد منعطف مانند فولاد، مدت اتلاف پلاستیک غالب است و formula_7. برای پلیمرهای نزدیک به دمای انتقال شیشه، مقادیر واسطه ای G بین ۲ تا 1000 J / m داریم.
یکی دیگر از دستاوردهای مهم ایروین و همکارانش پیدا کردن روشی برای محاسبه میزان انرژی موجود برای شکستگی از نظر تنش بدون علامت و زمینه جابجایی اطراف یک جبهه ترک در یک جامد الاستیک خطی بود. این بیان بدون علامت برای تنش در حالت بارگذاری I مربوط به ضریب شدت استرس K از رابطه formula_8 پیروی می‌کند. جایی که σij تنش‌های کوچک، r فاصله از نوک ترک، θ از نظر سطح شکاف از زاویه و fij عملکردهایی هستند که به هندسه ترک و شرایط بار بستگی دارند. ایروین مقدار K را عامل شدت استرس (تنش) نامید. از آنجا که مقدار fij بی بعد است، فاکتور شدت تنش را می‌توان در واحدهای formula_9 بیان کرد.
وقتی یک شمول در نظر گرفته شود، یک عبارت مجانبی مشابه برای زمینه‌های استرس بدست می‌آید.
ایروین اولین کسی بود که مشاهده کرد که اگر اندازه ناحیه پلاستیک اطراف یک ترک در مقایسه با اندازه ترک کوچک باشد، انرژی مورد نیاز برای رشد ترک به شدت وابسته به وضعیت استرس (منطقه پلاستیک) در نخواهد بود، در نوک ترک. به عبارت دیگر، ممکن است از یک محلول کاملاً الاستیک برای محاسبه میزان انرژی موجود برای شکستگی استفاده شود. برای مثال، نرخ آزادسازی انرژی برای رشد ترک یا میزان آزادسازی انرژی کرنش ممکن است بعنوان تغییر در انرژی کرنش الاستیک در واحد سطح رشد ترک محاسبه شود: formula_10
که در آن U انرژی الاستیک سیستم و a طول ترک است؛ و بار P و جابجایی u هنگام ارزیابی عبارات بالا ثابت هستند.
ایروین نشان داد که برای حالت I شکست (حالت باز) و فاکتور شدت تنش طبق رابطه زیر مرتبطند:
formula_11
در رابطه فوق E مدول یانگ، ν نسبت پواسون، و "K" عامل شدت استرس در حالت I است. ایروین همچنین نشان داد که میزان آزادسازی انرژی کرنش ترک یک مسطح در بدنه الاستیک خطی می‌تواند در مورد حالت I، حالت II (حالت لغزشی) و حالت III (حالت پاره شدن) عوامل شدت تنش برای عمومی‌ترین شرایط بارگیری بیان شود.
بعد، ایروین فرضیه دیگری را اتخاذ کرد که اندازه و شکل ناحیه اتلاف انرژی در طول شکست شکننده تقریباً ثابت است. این فرض نشان می‌دهد که انرژی مورد نیاز برای ایجاد یک سطح شکست، ثابت است که فقط به ماده بستگی دارد. به این خاصیت جدید ماده، چقرمگی شکست نام داده شده و با GIc مشخص می‌شود. امروزه، این عامل شدت تنش بحرانی KIc است، که در شرایط کرنش سطح یافت می‌شود، که در مکانیک شکستگی الاستیک خطی به عنوان یک خاصیت پذیرفته شده‌است.
در تئوری، استرس (تنش) در نوک ترک که شعاع تقریباً صفر است، تمایل به بی‌نهایت دارد. این یک تکینگی استرس در نظر گرفته می‌شود که در برنامه‌های واقعی امکان‌پذیر نیست. به همین دلیل، در مطالعات عددی در زمینه مکانیک شکست، غالباً مناسب است که ترک‌ها را به صورت های غیرتیز نمایان کنید، با یک منطقه وابسته به هندسه از غلظت استرس که جایگزین تکینگی شکاف می‌شود. در واقعیت، غلظت تنش در نوک ترک در مواد واقعی مشخص شده‌است که دارای ارزش محدود اما بزرگتر از تنش اسمی است که بر روی نمونه اعمال می‌شود. معادله‌ای که تنش‌های نزدیک به نوک ترک را ارائه می‌دهد در زیر آورده شده‌است:
formula_12
استرس در نزدیکی نوک ترک ، formula_13، به استرس کاربردی اسمی ، formula_14 و یک عامل اصلاح ، formula_15 (که به هندسه نمونه بستگی دارد) و به‌طور معکوس وابسته به فاصله شعاعی از نوک ترک است. با این وجود، باید نوعی سازوکار یا خاصیت مواد وجود داشته باشد که مانع از انتشار چنین ترک‌هایی به صورت خود به خود شود. فرض این است که تغییر شکل پلاستیک در نوک ترک به‌طور مؤثری نوک ترک را محکم می‌کند. این تغییر شکل در درجه اول به استرس اعمال شده در جهت قابل اجرا (در بیشتر موارد، این جهت y از یک سیستم مختصات دنده ای منظم)، طول ترک و هندسه نمونه بستگی دارد. برای تخمین چگونگی گسترش این ناحیه تغییر شکل پلاستیک از نوک ترک، جورج ایروین استحکام عملکرد مواد را با تنش‌های دور از جهت y در امتداد ترک (جهت x) برابر کرده و برای شعاع مؤثر حل کرد. از این رابطه و با فرض اینکه ترک به ضریب شدت استرس بحرانی بارگیری شود، ایروین عبارت زیر را برای شعاع مطلوب منطقه تغییر شکل پلاستیک در نوک ترک ارائه داد:
formula_16
مدل‌های مواد ایده‌آل نشان داده‌اند که این منطقه از پلاستیک در مرکز نوک ترک قرار دارد. این معادله شعاع تقریبی ایده‌آل از تغییر شکل منطقه پلاستیک را فراتر از نوک ترک می‌دهد، که برای بسیاری از دانشمندان سازه مفید است زیرا تخمین خوبی از نحوه رفتار مواد هنگام تحمل استرس می‌دهد. در معادله فوق، پارامترهای ضریب شدت تنش و شاخص مقاومت به مواد،formula_17 و تنش بازده ، formula_18 ، از آنجا که آنها چیزهای زیادی راجع به مواد و خصوصیات آن و همچنین در مورد اندازه منطقه پلاستیک نشان می‌دهند اهمیت زیادی دارند. به عنوان مثال، اگر formula_19 زیاد باشد، می‌توان نتیجه گرفت که این ماده سخت است، در حالی که اگر formula_18 زیاد باشد، مشخص می‌شود که ماده انعطاف‌پذیر تر است. نسبت این دو پارامتر به شعاع ناحیه پلاستیک اهمیت دارد. به عنوان مثال، اگر formula_18 اندک باشد، نسبت مربع formula_17 به formula_18 بزرگ است، که منجر به شعاع پلاستیکی بزرگتر می‌شود. این بدان معنی است که مواد می‌توانند به‌طور پلاستیکی تغییر شکل دهند، و بنابراین سخت است. این تخمین از اندازه ناحیه پلاستیکی فراتر از نوک ترک می‌تواند برای تحلیل دقیق تر نحوه رفتار یک ماده با وجود ترک استفاده شود.
همان روشی که در بالا برای بارگذاری یک رویداد واحد توضیح داده شده‌است، همچنین برای بارگذاری چرخه ای کاربرد دارد. در صورت وجود ترک در نمونه‌ای که تحت بارگذاری چرخه‌ای قرار دارد، نمونه به‌طور پلاستیکی در نوک ترک تغییر شکل می‌یابد و رشد ترک را به تأخیر می‌اندازد. در صورت اضافه بار یا گشت و گذار، این مدل کمی تغییر می‌کند تا بتواند افزایش ناگهانی استرس را از آنچه قبلاً در آن تجربه شده بود، جبران کند. در یک بار به اندازه کافی زیاد (اضافه بار)، ترک از ناحیه پلاستیکی که در آن قرار دارد خارج می‌شود و ناحیه تغییر شکل پلاستیک اصلی را پشت سر می‌گذارد. حال با فرض اینکه استرس اضافه بار به اندازه‌ای کافی نیاشد که نمونه را بشکند، شکاف دچار تغییر شکل پلاستیک بیشتر در اطراف نوک ترک جدید می‌شود و باعث افزایش ناحیه تنش‌های پلاستیکی باقیمانده می‌شود. این فرایند بیشتر باعث سفت شدن و طولانی‌تر شدن عمر مواد می‌شود زیرا منطقه جدید پلاستیک بزرگتر از آن چیزی است که در شرایط تنش معمول قرار دارد. این به مواد اجازه می‌دهد چرخه‌های بیشتری از بارگذاری را متحمل شوند. این ایده را می‌توان با نمودار آلومینیوم با یک شکاف وسط که در حوادث اضافه بار قرار دارد، بیشتر نشان داد.
اما مشکلی برای محققان NRL به‌وجود آمده‌است زیرا مواد دریایی، به عنوان مثال، فولاد کشتی، کاملاً الاستیک نیستند اما در نوک ترک دچار تغییر شکل پلاستیک قابل توجهی می‌شوند. یک فرض اساسی در مکانیک شکست الاستیک خطی ایروین، بازدهی در مقیاس کوچک است، به شرطی که اندازه منطقه پلاستیک نسبت به طول ترک کوچک باشد. با این حال، این فرض برای انواع خاصی از شکست در فولادهای ساختاری کاملاً محدود کننده است اگرچه چنین فولادهایی می‌توانند مستعد شکست ترد شوند، که منجر به تعدادی از خرابی‌های فاجعه بار شده‌است.
مکانیک شکستگی الاستیک خطی از کاربردهای محدودی برای فولادهای ساختاری استفاده می‌کند و آزمایش مقاومت در برابر شکستگی می‌تواند گران باشد.
به‌طور کلی، شروع و تداوم رشد ترک بستگی به عوامل مختلفی دارد، از جمله خصوصیات فیزیکی مواد، هندسه بدن، هندسه ترک، توزیع بار، میزان بارگیری، بزرگی بار، شرایط محیطی، اثرات زمانی (مانند ویسکوالاستیک یا ویسکوپلاستیسیته)، و ریزساختار. در این بخش، ترک‌هایی را که مستقیماً از کاربرد یک بار در نتیجه یک حالت شکست رشد می‌کنند، در نظر گرفته می‌شود.
با بزرگ شدن ترک‌ها، انرژی با formula_24، به نوک ترک منتقل می‌شود که تابعی از بار اعمال شده، طول ترک (یا منطقه) و هندسه است. علاوه بر این، تمام مواد جامد دارای سرعت ذاتی انتشار انرژی formula_25 هستند، که در آن formula_25 به «انرژی شکست» یا «چقرمگی شکست» مواد گفته می‌شود. اگر شرط زیر برقرار شود، یک ترک رشد خواهد کرد:
formula_27
formula_25 به تعداد بیشماری از فاکتورها، مانند درجه حرارت (به‌طور مستقیم متناسب، یعنی هرچه مواد سردتر باشد، مقاومت در برابر شکست پایین‌تر است و برعکس) به وجود یک یا حالت بارگذاری استرس سطحی، ویژگی‌های ، سرعت بارگذاری، ریزساختار، ‌ها (خصوصاً حفره‌ها)، تاریخچه عملیات حرارتی و جهت رشد ترک.
علاوه بر این، با رشد ترک در بدنه مواد، مقاومت مواد در برابر شکست افزایش می‌یابد (یا ثابت می‌ماند). مقاومت در برابر شکست می‌تواند با ضریب آزادسازی انرژی مورد نیاز برای انتشار یک ترک ، formula_29 که تابعی از طول ترک است formula_29 به هندسه و ریزساختار مواد وابسته باشد. طرح formula_29 در مقابل formula_32 به عنوان نامیده می‌شود.
برای مواد شکننده ، formula_33 یک مقدار ثابت برابر با formula_34. برای سایر مواد ، formula_33 با افزایش formula_32 افزایش می‌یابد، و ممکن است به یک مقدار برسد.
شرط زیر باید به منظور ایجاد یک شکاف با طول formula_37 برای پیشبرد یک طول ترک کوچک رعایت شود:
formula_38
سپس شرط رشد ترک پایدار عبارت است از:
formula_39
در مقابل، شرط رشد ترک ناپایدار به صورت زیر است:
formula_40
در قسمت قبل، فقط رشد ترک در مسیر مستقیم در اثر اعمال بار در یک حالت واحد شکستگی مورد بررسی قرار گرفت. به وضوح آن یک حالت کاملاً ایده‌آل بود؛ در سیستم‌های دنیای واقعی، بارگذاری حالت مختلط (مقداری از بارگذاری حالت I، حالت II و حالت III) اعمال می شود. در بارگذاری با حالت مختلط، ترک ها به طور مستقیم پیش نمی روند. چندین تئوری برای توضیح ایجاد و انتشار ترک در بارگذاری حالت مختلط ارائه شده است، که دو مورد در زیر آورده شده است: ترک با طول formula_41 را در نظر بگیرید که از طریق کشش یکنواخت formula_42 در یک صفحه نامتناهی که در معرض بارهای مختلط Mode-I و Mode-II قرار دارد، به طوریکه formula_43 زاویه بین صفحه ترک اصلی و جهت تنش اعمال شده و formula_44 زاویه بین صفحه ترک اصلی و جهت رشد ترک است. سیه، پاریس و اردوغان نشان دادند كه به دور از نوک ترک در این هندسه بارگذاری مسطح صرفاً formula_45 و formula_46 هستند. علاوه بر این، اردوغان و سیه اصول زیر را برای این سیستم مطرح کردند:این فرضیه حاکی از آن است که شکاف از نوک آن در جهت formula_50 شروع می شود که formula_51 حداکثر است. به عبارت دیگر، ترک از نوک آن در جهت formula_44 شروع می شود و شرایط زیر را برآورده می کند:
formula_53 و formula_54
تنش هوپ یا حلقه بدین صورت نوشته می شود:
formula_55
جایی که formula_56 و formula_57 با توجه به یک سیستم مختصات قطبی که در نوک ترک اصلی قرار دارد، تعیین می شوند. جهت گسترش ترک formula_58 و پوشش شکست (طرح formula_59) با رعایت معیارهای تعیین شده تعیین می شوند. برای بارگذاری خالص حالت دوم (mode-II) formula_58 به صورت formula_61 محاسبه شده است.
نظریه حداکثر تنش هوپ، زاویه گسترش ترک را در نتایج تجربی کاملاً دقیق پیش بینی می کند و را برای پوشش شکست فراهم می کند. ترک با طول formula_41 را در نظر بگیرید که در یک بدنه مسطح بی نهایت در معرض حالت های ثابت mode-I و mode-II که در فاصله بی نهایت اعمال می شوند، قرار دارد. تحت این بارگذاری، ترک با یک طول لرز formula_63 در یک زاویه formula_64 با توجه به ترک اصلی منحرف می شود. وو (Wu) فرض كرد كه ترک های فرعی با زاويه حساس formula_65 انتشار مي يابند که میزان آزادسازی انرژی را در زیر تعریف شده است. وو (Wu) formula_66 و formula_67 را به عنوان ذخیره شده در نمونه های حاوی ترک مستقیم و ترک فرعی یا منحرف شده (یا شکاف Z شکل) تعریف می کند. میزان انرژی آزاد شده که توسط نوک ترک مستقیم هنگام تشکیل ترک فرعی، ایجاد می شود بدین صورت است:
formula_68
بنابراین، ترک منحرف خواهد شد و با زاویه بحرانی formula_69 لرزیده و پخش می شود که معیار حداکثر میزان آزاد سازی انرژی زیر را برآورده می کند:
formula_70
formula_71
formula_72
formula_73 نمی تواند به عنوان یک تابع شکل بسته بیان شود، اما می تواند شبیه سازی عددی را به خوبی تقریب بزند.
برای شکستگی در بارگزاری خالص mode-II، formula_74 محاسبه می شود formula_75، که به خوبی با حداکثر نظریه تنش حلقه قابل قیاس است.
عوامل دیگر نیز می توانند در جهت رشد ترک اثر بگذارند، مانند تغییر شکل مواد در نواحی دور (مانند گردنی شدن necking)، وجود میکرو جداسازی حاصل از نواقص، فشرده سازی، وجود رابط بین دو ماده یا فاز مواد و ناهمسانگردی مواد.
در مواد ناهمسانگرد، چقرمگی شکست با در داخل مواد، تغییر می کند. چقرمگی شکست یک ماده ناهمسانگرد را می توان به عنوان formula_76 تعریف کرد. جایی که formula_77 معیاری از جهت گیری است. بنابراین ، هنگامی که شرایط زیر برآورده شود، یک ترک با زاویه جهت گیری formula_78 رشد می کند:
formula_79 و formula_80
موارد فوق می تواند بیانیه ای از معیار حداکثر میزان آزاد سازی انرژی برای مواد ناهمسانگرد باشد.
بیشتر مواد مهندسی در شرایط عملیاتی که شامل بارهای زیادی هستند، برخی از رفتارهای کششی (elastic) و غیر کششی (inelastic) غیرخطی را نشان می دهند. در چنین موادی ممکن است مفروضات مکانیکی شکست کششی خطی وجود نداشته باشد و به جای آن ها، شرایط زیر حکم فرما باشد:
ناحیه پلاستیکی در نوک ترک ممکن است اندازه ای به همان مقدار اندازه ترک داشته باشد.
بنابراین ، برای مواد الاستیک - پلاستیک، تئوری کلی تری در مورد رشد ترک مورد نیاز است. آن تئوری ها عبارتند از:CTOD فاصله بین چهره های مخالف نوک ترک در موقعیت رهگیری 90 درجه است. موقعیت پشت نوک ترک که در آن فاصله اندازه گیری می شود خودسرانه است اما معمولاً جایی استفاده می شود که دو خط 45 درجه ای که از نوک ترک شروع می شود، صفحات ترک را قطع می کند. این پارامتر در مکانیک شکست برای مشخص کردن بارگذاری در یک ترک استفاده می شود و می تواند مربوط به سایر پارامترهای بارگذاری نوک ترک نیز باشد. از نظر تاریخی، اولین پارامتر برای تعیین مقاومت در برابر شکستگی در ناحیه الاستو-پلاستیک، جابجایی باز شدن نوک ترک (CTOD) یا "باز شدن در راس ترک" بود. این پارامتر توسط ولز (Wells) در طول مطالعات فولادهای ساختاری تعیین شد، که به دلیل مقاومت بالا نمی توان با مدل مکانیکی شکست الاستیک خطی، آن را مشخص نمود. وی خاطرنشان کرد که قبل از وقوع شکستگی ، دیواره های ترک در حال حرکت بودند و آن نوک ترک، پس از شکستگی، به دلیل تغییر شکل پلاستیک، رنجی میان حاد تا گرد شدن داشت. علاوه بر این، گرد شدن نوک ترک در فولادهایی که از مقاومت بالاتری برخوردار هستند، بارزتر بود.
تعدادی تعریف های جایگزین برای CTOD وجود دارد. در دو تعریف رایج، CTOD جابجایی در نوک ترک اصلی و رهگیری 90 درجه است. تعریف اخیر توسط رایس(Rice) پیشنهاد شده و معمولاً برای استنباط CTOD در مدل های اجزای محدود از این نوع استفاده می شود. توجه داشته باشید که اگر نوک ترک در یک نیم دایره قطع شود ، این دو تعریف معادل هستند.
بیشترین اندازه گیری های آزمایشگاهی CTOD بر روی نمونه های لبه شکسته شده در خمش سه نقطه ای انجام شده است. در آزمایشات اولیه از یک قطعه پارو شکل تخت که به داخل شکاف فرو رفته بود استفاده شد. با باز شدن ترک، قطعه پارو شکل چرخید و یک سیگنال الکترونیکی برای یک رسم کننده نمودار x-y ارسال شد. با این حال این روش نادرست بود، زیرا رسیدن به نوک ترک با دسته پارو شکل دشوار بود. امروزه، جابجایی V در دهانه ترک اندازه گیری می شود و با فرض سفت بودن نیمه نمونه ها و چرخش حدود یک نقطه لولا (نوک ترک)، CTOD استنباط می شود.
آزمایش CTOD معمولاً بر روی موادی که قبل از خرابی دچار تغییر شکل پلاستیک می شوند، انجام می شود. مواد آزمایشگاهی کم و بیش شبیه مواد اصلی است، اگرچه ابعاد را می توان به صورت متناسب کاهش داد. بارگیری برای شباهت به بار مورد انتظار انجام می شود. بیش از 3 آزمایش برای به حداقل رساندن هرگونه انحراف تجربی انجام می شود. ابعاد ماده آزمایش باید تناسب را حفظ کند. نمونه روی میز کار قرار می گیرد و یک بریدگی دقیقاً در مرکز ایجاد می شود. ترک باید به گونه ای ایجاد شود که طول نقص حدود نیمی از عمق باشد. باری که روی نمونه وارد می شود به طور کلی یک بار خمشی سه نقطه ای است. برای اندازه گیری دهانه ترک از نوعی فشار سنج به نام گیره گیره دهان استفاده می شود.
یک تلاش اولیه در جهت مکانیک شکست الاستیک-پلاستیک ، منحنی مقاومت در برابر ترک خوردگی (Irwin's crack extension resistance curve)، منحنی مقاومت رشد ترک یا منحنی R بود. این منحنی این واقعیت را تأیید می کند که مقاومت در برابر شکستگی با رشد اندازه ترک در مواد پلاستیکی الاستیکی افزایش می یابد. منحنی R یک نمودار از میزان اتلاف انرژی کل به عنوان تابعی از اندازه ترک است و می تواند برای بررسی روند رشد پایدار ترک و شکست ناپایدار استفاده شود. با این حال ، منحنی R تا اوایل دهه 1970 در کاربردها به طور گسترده مورد استفاده قرار نگرفت. به نظر می رسد دلایل اصلی این باشد که منحنی R به هندسه نمونه بستگی دارد و محاسبه نیروی محرک ترک ممکن است دشوار باشد. در اواسط دهه 1960 (James R. Rice) (سپس در ) و G. P. Cherepanov به طور مستقل اندازه گیری مقاومت جدیدی را برای توصیف مواردی که تغییر شکل کافی نوک ترک وجود دارد، جایی که دیگر از تغییر شکل پلاستیک پیروی نمی کرد، تهیه کردند. تجزیه و تحلیل رایس، که تغییر شکل غیر خطی الاستیک (یا یکنواخت) را قبل از نوک ترک فرض می کند، انتگرال J تعیین می شود. این تجزیه و تحلیل محدود به شرایطی است که تغییر شکل پلاستیک در نوک ترک تا دورترین لبه قسمت بارگیری شده گسترش نمی یابد. همچنین این امر می طلبد که رفتار الاستیک غیر خطی مفروض ماده ، تقریب معقول در شکل و اندازه با پاسخ به بار واقعی ماده است. پارامتر شکست الاستیک-پلاستیک formula_81 تعیین شده است و با استفاده از معادله (3.1) پیوست این مقاله به formula_82 تبدیل می شود. همچنین توجه داشته باشید که رویکرد انتگرال J به نظریه گریفیت برای رفتار الاستیک خطی کاهش می یابد.
تعریف ریاضی J-انتگرال به شرح زیر است:
formula_83
به طوریکه:از زمانی که مهندسان عادت داشتند از formula_82 برای مشخص کردن مقاومت در برابر شکست استفاده کنند ، از رابطه ای برای کاهش formula_81 به آن استفاده شده است:
formula_94
که formula_95 برای تنش صفحه ای و formula_96 کرنش صفحه ای استفاده می گردد.
مدل منطقه منسجم مدلی در مکانیک شکستگی است که در آن شکل گیری شکست به عنوان یک پدیده تدریجی در نظر گرفته می شود و جداسازی سطوح ترک در یک نوک ترک یا منطقه منسجم صورت می گیرد و توسط کشش های منسجم مقاومت می شود. ریشه این مدل را می توان به اوایل دهه شصت توسط دوگدیل (1960) و بارنبلات (1962) ردیابی کرد تا فرایندهای غیرخطی واقع در قسمت جلوی ترک موجود را نشان دهد.
وقتی ناحیه قابل توجهی در اطراف نوک ترک دچار تغییر شکل پلاستیک شده است، می توان از روشهای دیگری برای تعیین احتمال گسترش بیشتر ترک و جهت رشد و انشعاب ترک استفاده کرد. یک تکنیک ساده که به راحتی در محاسبات عددی گنجانده می شود ، روش مدل منطقه منسجم است که مبتنی بر مفاهیمی است که به طور مستقل توسط () و داگدیل (Dugdale) در اوایل دهه 1960 پیشنهاد شده است. رابطه بین مدل های داگدیل-بارنبلات و نظریه گریفیت (Griffith's theory) اولین بار توسط ویلیس (Willis) در سال 1967 مورد بحث قرار گرفت. برابری دو روش در زمینه شکستگی شکننده توسط در سال 1968 نشان داده شد.
اجازه دهید ماده دارای مقاومت تسلیم formula_97 و مقاومت در برابر شکستگی در حالت I formula_98 باشد. بر اساس مکانیک شکست، مواد در اثر تنش formula_99 شکست می خورند. بر اساس قابلیت انعطاف پذیری ، ماده هنگامی حاصل می شود که formula_100. این منحنی ها وقتی formula_101 تلاقی می کنند. این مقدار formula_102 به عنوان اندازه نقص انتقال formula_103 نامیده می شود و به خصوصیات ماده سازه بستگی دارد. وقتی formula_104 ، خرابی توسط بازده پلاستیک اداره می شود ، و وقتی formula_105 خرابی توسط مکانیک شکست کنترل می شود. مقدار formula_103 برای آلیاژهای مهندسی 100 میلی متر و برای سرامیک ها 0.001 میلی متر است. اگر فرض کنیم که فرایندهای تولید منجر به ایجاد نقص در ترتیب میکرومتر شوند، می توان دریافت که سرامیک ها به دلیل شکستگی ناکارآمد می شوند، در حالی که آلیاژهای مهندسی با تغییر شکل پلاستیک از کار می افتند.