رگرسیون خطی
رگرسیون خطی یا تنازل خطی یا وایازی خطی یکی از روش‌های تحلیل رگرسیون است. رگرسیون یک نوع مدل آماری‌ست برای پیش‌بینی یک متغیر از روی یک یا چند متغیر دیگر. رگرسیون خطی نوعی تابع پیش‌بینی‌کننده خطی است که در آن متغیر وابسته — متغیری که قرار است پیش‌بینی شود — به صورت ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل پیش‌بینی می‌شود، بدین معنی که هر کدام از متغیرهای مستقل در ضریبی که در فرایند تخمین برای آن متغیر به‌دست آمده ضرب می‌شود؛ جواب نهائی مجموع حاصل‌ضرب‌ها به علاوه یک مقدار ثابت خواهد بود که آن هم در فرایند تخمین به‌دست آمده‌است. ساده‌ترین نوع رگرسیون خطی، رگرسیون خطی ساده است که بر خلاف رگرسیون خطی چندگانه، تنها یک متغیر مستقل دارد. نوع دیگر رگرسیون خطی رگرسیون خطی چندمتغیره است که در آن به جای پیش‌بینی یک متغیر وابسته چندین متغیر وابسته پیش‌بینی می‌شود.
فرایند تخمین سعی می‌کند ضرایبِ مدل رگرسیون خطی را به گونه‌ای انتخاب کند که با داده‌های موجود همخوانی داشته باشد، یعنی پیش‌بینی‌ها به مقادیر رؤیت شده در داده‌ها نزدیک باشند و یکی از مهم‌ترین مسائل در رگرسیون خطی، به حداقل رساندن اختلاف بین این دو است. راه‌های مختلفی برای حل این مسئله وجود دارد. در روش‌های احتمالی، مدل‌های رگرسیون خطی سعی در برآورد توزیع احتمال شرطیِ متغیر وابسته (و نه توزیع احتمال توأم) دارند که از آن طریق آماره‌ای از متغیر وابسته را به عنوان پیش‌بینی نهایی به‌کار می‌برند. از متداول‌ترین آماره‌های مورد استفاده میانگین است، اگر چه سایر آماره‌ها نظیر میانه یا چندک‌ها نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند.
یکی دیگر از روش‌های متداول تخمین، روش کمترین مربعات است که در آن مجموع مربع تفاضل پیش‌بینی‌ها و داده‌های وابسته کمینه می‌شود. این روش مستلزم پیدا کردن وارونه ضرب خارجی ماتریس تمام داده‌های مستقل با ماتریس ترانهادهٔ آن است، فرآیندی که می‌تواند به علت وارونه‌ناپذیری ماتریس نهائی و کمبود داده پرهزینه و ناکارا باشد. از این رو عموماً از روش‌های جایگزین مانند گرادیان کاهشی تصادفی استفاده می‌شود. با اینکه روش کمترین مربعات از متداول‌ترین روش‌های تخمین مدل رگرسیون خطی است اما روش‌های دیگری مانند کمترین قدرمطلق‌ها (که در آن مجموع قدرمطلق تفاضل پیش‌بینی و داده وابسته به عنوان تابع هزینه در نظرگرفته می‌شود) یا تخمین جریمه یافتهٔ کمترین مربعات (مانند جریمهٔ نُرمِ formula_1 و جریمهٔ نُرمِ formula_2) نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.
روش تخمین از طریق کمترین مربعات با روش تخمین میانگین از طریق اعمال برآورد درست‌نمایی بیشینه بر متغیر وابسته شرطی با در نظر گرفتن یک سری مفروضات معادل خواهد بود. این روش احتمالی برای محافظت مدل از بیش‌برازش نیز مورد استفاده قرار می‌گیرد، به این شکل که در تخمین مدل، احتمال پسین به جای تابع درست‌نمایی بیشینه می‌شود و احتمال پیشین به پارامترهایی که نُرمِ کمتری دارند احتمال بالاتری اختصاص می‌دهد. در نتیجه مدل نهائی پارامترهایی را فراخواهد گرفت که بزرگ نیستند و این به نوبهٔ خود باعث حفاظت مدل از بیش‌برازش می‌شود. روش استفادهٔ برآورد درست‌نمایی احتمال پسین معادل روش تخمین جریمه یافتهٔ کمترین مربعات است.
رگرسیون خطی به‌طور گسترده‌ای در علوم زیستی، رفتاری، اجتماعی، دارایی، اقتصاد و محیط زیست مورد استفاده قرار می‌گیرد. همچنین رگرسیون خطی و مشتقات آن یکی از ابزارهای شناخته شده و پرکاربرد در یادگیری ماشین هستند. با وجود کاربرد زیاد رگرسیون خطی در علوم مختلف، این روش محدودیت‌هایی هم دارد. بسیاری از مسائل پژوهشی در علوم اجتماعی در قالب مدلهای رگرسیون نمی‌گنجند و یک متغیر خروجی ندارند (مانند تجزیه و تحلیل خوشه‌ای برای آشکار ساختن گروه‌های منسجم در داده‌ها). همچنین رگرسیون خطی برای پیدا کردن علّیت بین متغیرهای مستقل و وابسته ابزار مناسبی نیست.
رگرسیون خطی یک مدل آماری برای پیش‌بینی یک یا چند متغیر از روی یک یا چند متغیر دیگر است. به متغیرهایی که پیش‌بینی بر روی آن انجام می‌شود متغیر وابسته و به متغیرهایی که پیش‌بینی به کمک آن‌ها انجام می‌شود متغیرهای مستقل می‌گویند. متغیرهای وابسته را معمولاً با formula_3 و متغیرهای مستقل را با formula_4 نمایش می‌دهند. اگر تنها یک متغیر مستقل وجود داشته باشد مدل رگرسیون خطی را ساده و در غیر این صورت چندگانه می‌نامند. همچنین اگر به جای پیش‌بینی یک متغیر وابسته چندین متغیر وابسته پیش‌بینی شود، مدل رگرسیون خطی را چندمتغیره می‌نامند. واژهٔ «رگرسیون» وام‌واژه‌ای از زبان فرانسوی است و به معنی «برگشت» یا «پس‌گرایی» است؛ این واژه اولین بار توسط فرانسیس گالتون برای توصیف رابطهٔ خطی بین قد فرزندان و والدین‌شان مورد استفاده قرار گرفت. به‌طور دقیق‌تر او از اصطلاح «برگشت (رگرسیون) به میانگین» برای توصیف این رابطه استفاده کرد.
اگر فرض کنیم که تنها یک متغیر وابسته و چندین متغیر مستقل وجود داشته باشند، برای سهولت کار همهٔ متغیرهای مستقل را در یک بردار formula_5 می‌گنجانیم. اگر متغیر وابسته مقادیر عددی بگیرد مسئلهٔ مدل‌سازی «رگرسیون» نام می‌گیرد، و در غیر این حالت (یعنی وقتی متغیر وابسته رسته‌ای باشد) به آن «دسته‌بندی آماری» گفته می‌شود.
استفاده از رگرسیون خطی از قرن نوزدهم میلادی شروع شد. اولین بار رگرسیون خطی در قالب کمترین مربعات و در کارهای آدرین ماری لژاندر و کارل فریدریش گاوس ارائه شد. این دو مستقل از یکدیگر و با استفاده از رگرسیون خطی، حرکت سیارات و ستاره‌های دنباله‌دار را پیش‌بینی کردند. گاوس بعدها نظریهٔ کمترین مربعات و قضیه گاوس-مارکوف را در سال ۱۸۲۱ منتشر کرد. کارل پیرسون بعدتر روش گاوس را توسعه داد. او توزیع احتمال مشترک متغیر وابسته و متغیرهای مستقل را توزیع گاوسی فرض کرد. رانلد فیشر اما بعد از او نشان داد که توزیع احتمال شرطی متغیر وابسته به شرط متغیرهای مستقل باید توزیع گاوسی باشد و نه توزیع احتمال مشترک آنها.
استفاده از واژه رگرسیون به اواخر قرن نوزدهم بر می‌گردد. در آن زمان فرانسیس گالتون برای پیدا کردن رابطهٔ قد فرزندان و والدین از روش رگرسیون استفاده کرد. داده‌ها به او نشان دادند که والدین بلند قد معمولاً فرزندان کوتاه‌قدتری نسبت به خود دارند و بالعکس. او این رابطه را با یک خط نشان داد (که با یک شیب و یک عرض از مبدأ تعریف می‌شد). اگر چه این خط تمام داده‌ها را بر روی خود نمی‌گنجاند ولی میانگین قد فرزندان را بر حسب قد والدینی که قد یکسانی داشتند تخمین می‌زد. اصطلاح رگرسیون در ابتدا فقط برای روش تخمین قد فرزندان از روی قد والدین به کار می‌رفت ولی به تدریج عمومیت پیدا کرد و برای تخمین میانگین یک متغیر وابسته با استفاده از ترکیب خطی چندین متغیر مستقل به کار برده شد.
از لحاظ تاریخی رگرسیون خطی معمولاً از روش کمترین مربعات یا استنباط فراوانی گرایانه تخمین زده می‌شد ولی بعدها روشهای دیگری نیز مورد استفاده قرار گرفت. کاربرد اولیهٔ رگرسیون خطی در علوم پایه و علوم تجربی بود و آدولف کوتله استفاده از این روش را در علوم اجتماعی متداول کرد و گسترش داد.
در دهه‌های ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ اقتصاددانان از ماشین‌حساب الکترومکانیکی برای تخمین مدل رگرسیون خطی استفاده می‌کردند. قبل از دههٔ ۱۹۷۰، گاهی اوقات یک شبانه‌روز ساعت طول می‌کشد تا نتیجه یک رگرسیون دریافت شود.
معمولاً چند پیش‌فرض برای استفاده از رگرسیون خطی در نظر گرفته می‌شود. اگر اختلاف بین متغیر وابسته و پیش‌بینی مدل را «خطا» یا «مانده» بنامیم، آنگاه مفروضات زیر باید در مدل‌سازی رگرسیون خطی برقرار باشند:
فرق رگرسیون خطی با سایر مدل‌های رگرسیون در این است که در این مدل رابطهٔ بین متغیرهای مستقل و متغیر وابسته یک رابطهٔ خطی فرض می‌شود. رگرسیون خطی، که خود نوعی تابع پیش‌بینی‌کنندهٔ خطی است، پیش‌بینی متغیر وابسته را از حاصل‌جمع ضرب متغیرهای مستقل در یک سری ضرایب به‌دست می‌آورد. در رگرسیون خطی ساده که تنها یک متغیر مستقل وجود دارد، پیش‌بینی متغیر وابسته شکل یک خط مستقیم به خود می‌گیرد؛ در رگرسیون خطی با دو متغیر شکل پیش‌بینی یک صفحه خواهد بود، و در رگرسیون خطی با بیش از دو متغیر مستقل پیش‌بینی متغیر وابسته به صورت یک اَبَرصفحه خواهد بود.
رگرسیون خطی ساده میزان اثر یک متغیر مستقل بر یک متغیر وابسته را می‌سنجد و همبستگی رابطهٔ بین آن‌ها را مورد سنجش قرار می‌دهد.
مثلاً تحلیل رگرسیونی سادهٔ زیر با formula_6 نقطه، متغیر مستقل formula_7 و ضرایب formula_8 و formula_9 خطی است:
در عبارت پیشین formula_11 مقدار خطاست و پانویس formula_12 شمارهٔ هر مشاهده (هر جفت formula_7 و formula_14) را نشان می‌دهد. با داشتن مجموعه‌ای از این نقطه‌ها می‌توان مدل را به دست آورد:
formula_15
عبارت formula_16 «مانده» نام دارد و تخمینی است از اختلاف بین مقدار محاسبه شده و مقدار واقعی متغیر وابسته: formula_17. برای تخمین این مدل رگرسیون باید سه پارامتر تخمین زده بشوند: دو ضریب formula_8 و formula_9 و مانده (formula_16). روش رایج برای به‌دست‌آوردن پارامترها، روش کمترین مربعات است. در این روش پارامترها را با کمینه‌کردن مجموع مربعات خطا به دست می‌آورند:
formula_21
در مورد رگرسیون ساده، پارامترها با این روش برابر خواهند بود با:
formula_22 formula_23 که در آن formula_24 و formula_25 میانگین formula_4 و formula_3 هستند.
معمولاً زمانی می‌توان از رگرسیون استفاده کرد که یک همبستگی بین متغیرهای مستقل و وابسته وجود داشته باشد. این همبستگی را می‌توان به عنوان مثال از ضریب همبستگی پیرسن که عددی در بازه formula_28 است به‌دست‌آورد. ضریب همبستگی مثبت به این معنی است که با افزایش یک متغیر، متغیر دیگر هم افزایش می‌یابد و بالعکس، اما ضریب همبستگی منفی نشان‌دهنده رابطه معکوس بین دو متغیر است یعنی با افزایش یکی دیگری کاهش می‌یابد و بالعکس. ضریب صفر به این معنی است که هیچ رابطه‌ای بین دو متغیر نیست و دو متغیر نسبت به هم مستقلند.
هدف مدل‌های همبستگی بررسی میزان رابطهٔ دو یا چند متغیر است. رگرسیون اما به دنبال پیش‌بینی یک یا چند متغیر براساس یک یا چند متغیر دیگر است. به بیان دیگر، همبستگی میزان و شدت رابطهٔ متغیرها را نشان می‌دهد اما رگرسیون معادله‌ای را برای پیش‌بینی متغیرها ارائه می‌کند.
آنچه در خروجی نتایج رگرسیون و همبستگی باعث ایجاد تفاوت می‌شود آن است که در همبستگی همیشه اثرات متغیرها به صورت دو به دو مورد سنجش قرار می‌گیرد اما در یک مدل رگرسیون اثرات متغیرها به صورت همزمان بررسی می‌شود. یعنی در همبستگی رابطه متغیر formula_29 با متغیر formula_30 به وجود یا عدم وجود متغیر formula_31 ارتباطی ندارد اما اما در رگرسیون تأثیر متغیر formula_29 بر متغیر formula_30 به وجود یا عدم وجود متغیر formula_31 بستگی دارد (به شرط آن که متغیر formula_31 هم در مدل رگرسیون به کار گرفته شود؛ چنین مدل رگرسیون خطی را «چندگانه» می‌نامند).
در بسیاری از مسائل رایج رگرسیون، ورودی چندمتغیره است. اگر فرض کنیم متغیر ما formula_36 بُعد دارد، یعنی formula_37، مسئلهٔ رگرسیون به یک مسئلهٔ بهینه‌سازی برای پیدا کردن formula_38 پارامتر تبدیل می‌شود، به این معنی که ما یک پارامتر چندمتغیره به اسم formula_39 داریم و سعی می‌کنیم که متغیر وابسته که همان formula_3 است را با بردار formula_5، تخمین بزنیم که یعنی formula_42. حال اگر یک بعد دیگر به متغیر formula_5 اضافه کنیم و مقدارش را همیشه عدد ثابت formula_44 در نظر بگیریم (formula_45) و formula_5 را به صورتِ formula_47 تغییر دهیم، تخمینی که از formula_3 داریم در واقع ضرب نقطه‌ای بردار ورودی و بردار پارامترهای ماست یعنی formula_49. حال فرض کنیم که تعداد مثال‌هایی که قرار است برای تخمین پارامترها استفاده کنیم formula_50 است و این مثال‌ها را به این شکل نمایش دهیم formula_51. در چنین مدلی پارامتر بهینه آن پارامتری است که یک تابع هزینه را به حداقل برساند و تخمین‌های ما را به متغیر وابسته بسیار نزدیک کند. تابع هزینه را با جمع مربع تفاضل تخمین‌ها با متغیر وابسته تعریف می‌کنیم، به این شکل که formula_52، و با این حساب پارامتر بهینه عبارت است از:
formula_53 در این روش برای به‌دست آوردن formula_54 یا همان پارامتر بهینه، از تابع formula_55نسبت به formula_56 گرادیان می‌گیریم و این گرادیان را برابر صفر قرار می‌دهیم و پارامتر بهینه را به‌دست می‌آوریم. از آنجا که تابع formula_55 نسبت به formula_56 تابعی کاملاً محدب است، در نقطهٔ کمینهٔ این تابع، گرادیان صفر خواهد بود و این روش پارامتر بهینه را به‌دست می‌دهد. برای تسهیل کار، شکل تابع را با به‌کارگیری چند ماتریس ساده می‌کنیم. دو ماتریس برای این کار نیاز داریم: ماتریس formula_29 و ماتریس formula_30. ماتریس formula_29 ماتریس ورودیهای چندمتغیرهٔ ماست. در این ماتریس هر سطر معادل یک نمونه از دادهٔ ماست، مثلاً سطر formula_12ام برابر است با formula_12امین نمونه ورودی ما یعنی بردار formula_64، از اینرو formula_29 یک ماتریس formula_66 خواهد بود. ماتریس formula_30 از طرف دیگر برابر است با مجموعه متغیرهای وابسته در دادهٔ ما. سطر formula_12ام این ماتریس برابر است با متغیر وابسته برای formula_12امین نمونهٔ داده ما یا همان formula_14. ماتریس formula_30 یک ماتریس formula_72 است. با کمک این دو ماتریس می‌توان تابع هزینه را به شکل ذیل تعریف کرد:
formula_73 حال گرادیان این تابع را نسبت به formula_56 پیدا می‌کنیم که می‌شود:
formula_75 با برابر قرار دادن گرادیان با صفر پارامتر بهینه به‌دست می‌آید:
formula_76 در روش کمترین مربعات معمولاً برای جلوگیری از از بیش‌برازش یا مقابله با مشکل عدم وارونپذیریِ formula_77 از روش تنظیم تیخونوف، کمترین مربعات جزئی، یا رگرسیون مؤلفه‌های اصلی استفاده می‌شود.
کمترین مربعات جزئی یکی از روش‌های جلوگیری از از بیش‌برازش یا مقابله با مشکل عدم وارونپذیریِ formula_77 است. این روش متناوباً مولفه‌هایی متعامد (formula_79 در پایین) که ترکیبی خطی از مقادیر متغیرهای مستقل (formula_80 در پایین) هستند تولید می‌کند و در نهایت راه حل کمترین مربعات را بر روی این بردارها اعمال می‌کند. ضرایب این مولفه‌ها با ضرب نقطه‌ایِ مقادیر متغیرهای وابسته و مستقل برابر است. مقادیر متغیرهای مستقل در ابتدای کار استاندارد شده‌اند به این معنی که میانگین صفر و واریانس یک دارند. در پایان هر مرحله مقادیر متغیرهای مستقل نسبت به مولفه آن مرحله متعامد می‌شوند. این کار باعث می‌شود که در پایان تمام مولفه‌ها نسبت به هم متعامد باشند و ضریب رگرسیون مولفه formula_81 با formula_82 برابر باشد. الگوریتم تولید مولفه‌ها برای formula_83 به شکل پایین است (formula_84 از روش اعتبارسنجی متقابل محاسبه می‌شود): formula_85 از آنجا که formula_86 یا همان مقدار پیش‌بینی شده، ترکیبی خطی از formula_87‌ها است و خود formula_87‌ها هم ترکیبی خطی از مقادیر متغیرهای مستقل هستند، در نهایت مدل رگرسیون ترکیبی خطی از مقادیر متغیرهای مستقل خواهد بود.
روش پارامتر تخمین پارامتر بهینه از طریق کمترین مربعات ممکن است چند اشکال اساسی داشته باشد. یکی آنکه محاسبهٔformula_89 ممکن است زمانبر باشد. بُعدِ ماتریس مربعی formula_77 برابر است با formula_91 و اگر مقدار formula_36 زیاد باشد زمان محاسبه معکوس این ماتریس می‌تواند مسئله ساز شود. به علاوه این ماتریس ممکن است اساساً معکوس پذیر نباشد. از این رو روش‌های کاراتر و سریعتری برای تخمین پارامتر بهینه مورد استفاده قرار می‌گیرد. یکی از این روش‌ها روش گرادیان کاهشی تصادفی است. در این روش هر بار یک مثال را به‌صورت اتفاقی از نمونه‌های داده انتخاب کرده، گرادیان تابع هزینه را حساب می‌کنیم و کمی در جهت خلاف گرادیان پارامتر را حرکت می‌دهیم تا به یک پارامتر جدید برسیم. گرادیان جهت موضعی بیشترین افزایش را در تابع به ما نشان می‌دهد، برای بیشترین کاهش موضعی در خلاف جهت گرادیان باید حرکت کرد. اینکار را آنقدر ادامه می‌دهیم که گرادیان به اندازه کافی به صفر نزدیک شود. به‌جای اینکه داده‌ها را به‌صورت تصادفی انتخاب کنیم می‌توانیم به ترتیب داده شماره formula_93 تا داده شماره formula_94 را انتخاب کنیم و بعد دوباره به داده اولی برگردیم و این کار را چندین بار تکرار کنیم تا گرادیان تابع به اندازهٔ کافی به صفر نزدیک شود. از لحاظ ریاضی این کار را می‌توان به شکل پایین انجام داد: پارامتر formula_56 را در ابتدا به‌صورت تصادفی مقدار دهی می‌کنیم و بعد برای داده formula_12 ام و تمامی formula_97‌ها، یعنی از formula_98 تا formula_99 تغییر پایین را اعمال می‌کنیم، دراینجا formula_100 همان مقداری است که در جهت گرادیان هربار حرکت می‌کنیم و formula_101 مشتق جزئی داده formula_12 ام در بُعد formula_97 ام است:
formula_104
همچنان که پیشتر گفته شد، برای به‌دست آوردن پارامتر بهینه formula_54 می‌بایست تابع هزینه یعنی formula_55 را به حداقل برسانیم. می‌توان به همین پارامتر بهینه از روش برآورد درست‌نمایی بیشینه هم رسید. فرض می‌کنیم که متغیر وابسته یعنی formula_3 یک متغیر تصادفی است که مقدارش از یک توزیع طبیعی (توزیع گاوسی) پیروی می‌کند. این توزیع احتمال، واریانس ثابتی به اسم formula_108 دارد ولی میانگین آن ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل یعنی formula_47 است. به عبارت دیگر میانگین آن برابر است با formula_110. با احتساب میانگین و واریانس، توزیع متغیر وابسته عبارت است از formula_111. حال اگر فرض کنیم داده‌ها نسبت به یکدیگر مستقل هستند آن گاه تابع درست‌نمایی برای تمام داده‌ها می‌شود:
formula_112 حال باید به دنبال پارامتری باشیم که این تابع بزرگنمایی را بیشینه کند. از آنجا که تابع لگاریتم مطلقاً صعودیست، به‌جای بیشینه کردن این تابع لگاریتمش را هم می‌شود بیشینه کرد و پارامتر بهینه را از آن طریق پیدا کرد:
formula_113 پارامتر بهینه از این طریق برابر است با:
formula_114 به این ترتیب پارامتری که formula_115 را بیشینه می‌کند همان پارامتری است که formula_55 را به حداقل می‌رساند. این یعنی در رگرسیون خطی نتیجهٔ روش کمترین مربعات با روش برآورد درست‌نمایی بیشینه یکی است.
پیچیدگی مدل‌های پارامتری با تعداد پارامترهای مدل و مقادیر آن‌ها سنجیده می‌شود. هرچه این پیچیدگی بیشتر باشد خطر بیش‌برازش برای مدل بیشتر است. پدیدهٔ بیش‌برازش زمانی رخ می‌دهد که مدل به‌جای یادگیری الگوهای موجود در داده، خود داده را به خاطر می‌سپارد. در این حالت، مدل برای آن مجموعه دادهٔ به‌خصوص خوب عمل می‌کند اما برای داده‌های مشابه دیگر عملکرد خوبی ندارد، که یعنی عمل یادگیری به خوبی انجام نشده‌است. برای جلوگیری از بیش‌برازش در مدل‌های خطی مانند رگرسیون خطی یا رگرسیون لجستیک، یک «جریمه» به تابع هزینه اضافه می‌شود تا از افزایش زیاد پارامترها جلوگیری شود. به این کار تنظیم مدل گفته می‌شود. دو راه متداول تنظیم مدل‌های خطی روش‌های formula_2 و formula_1 هستند. در روش formula_2 ضریبی از نُرمِ formula_2 به تابع هزینه اضافه می‌شود و در روش formula_1 ضریبی از نُرمِ formula_1 که همان نُرمِ اقلیدسی است به تابع هزینهٔ اضافه می‌شود. نام روش‌های formula_2 و formula_1 از نُرمی که در این روش‌ها به تابع هزینه اضافه می‌شود گرفته شده‌است.
در تنظیم مدل به روش formula_2 تابع هزینه را به این شکل تغییر می‌دهیم:
formula_126
این روش تنظیم مدل که به روش لَسو نیز شهرت دارد باعث می‌شود که بسیاری از پارامترهای مدل نهائی صفر شوند و مدل به اصلاح خلوت شود.
در تنظیم مدل به روش formula_1 که به رگرسیون ستیغی نیز شهرت دارد تابع هزینه را به این شکل تغییر می‌دهیم:
formula_128
در روش تنظیم از طریق formula_1 سعی می‌شود طول اقلیدسی بردار formula_130 کوتاه نگه داشته شود. formula_131 در هر دو روش formula_2 و formula_1 یک عدد مثبت است که میزان تنظیم مدل را معین می‌کند. هرچقدر formula_131کوچکتر باشد جریمهٔ کمتری برای بزرگی نرم بردار پارامترها یعنی formula_56 محاسبه می‌شود. مقدار بهینهٔ formula_131 از طریق آزمایش بر روی بخشی از داده‌ها پیدا می‌شود که در یادگیری مدل دخالت داده نشده‌اند؛ به این بخش از داده‌ها، دادهٔ اعتبار یا مجموعهٔ اعتبارسنجی گفته می‌شود.
با استفاده از ضرایب لاگرانژ می‌توان اثبات کرد که تنظیم مدل formula_2 و formula_1 نوعی بهینه‌سازی مقید هستند. در تنظیم مدل formula_2 تابع هزینه به نحوی کمینه می‌شود که نرمِ formula_2 از یک مقدار مشخصی که بستگی به formula_131 دارد بیشتر نشود. به همین نحو، تنظیم مدل formula_1 تابع هزینه را همزمان با مقید کردن نرم formula_1 کاهش می‌دهد. اگر به جای روش برآورد درست‌نمایی بیشینه از روش بیشینه‌سازی احتمال پسین استفاده شود ساختار «تنظیم مدل» به دست می‌آید. اگر مجموعهٔ داده را با formula_144 و پارامتری که به دنبال تخمین آن هستیم را با formula_56 نمایش بدهیم، طبق قانون بیز احتمال پسین یعنی formula_146متناسب خواهد بود با حاصلضرب درست‌نمایی یعنی formula_147 و احتمال پیشین یعنی formula_148:
formula_149 از این رو:
formula_150 معادلهٔ خط پیشین نشان می‌دهد که برای یافتن پارامتر بهینه فقط کافیست که احتمال پیشین را نیز در معادله دخیل کنیم. اگر احتمال پیشین را یک توزیع گاوسی با میانگین صفر و کوواریانس formula_151در نظر بگیریم به معادلهٔ پایین می‌رسیم:
formula_152 با ساده کردن این معادله به جواب زیر می‌رسیم که در آن formula_131 برابر است با formula_154:
formula_155 این جواب برابر با نتیجهٔ تنظیم مدل با نرم formula_1است.
به‌طور مشابه، اگر احتمال پیشین را از نوع توزیع لاپلاس با میانگین صفر در نظر بگیریم به تنظیم مدل با نرم formula_2 خواهیم رسید.
معمولاً تعدادِ زیادِ متغیرهای مستقل، تعبیرپذیری مدلِ نهائی را دچار مشکل می‌کند. مضاف بر این بعضی از متغیرهای مستقل ممکن است باعث کاهش دقت مدل شوند. به همین دلیل حذف این متغیرها و استفاده از تنها یک زیرمجموعه بهینه از متغیرهای مستقل می‌تواند مدلی با کارایی بالاتری تولید کند. روشهای مختلفی برای انتخاب متغیرها وجود دارد. یکی از ساده‌ترین راه‌ها محاسبه تابع هزینه به ازای تمام زیرمجموعه‌های ممکن و انتخاب زیرمجموعه بهینه با کمترین میزان هزینه است. در این روش مسئله رگرسیون خطی باید به ازای تمامی زیرمجموعه‌ها، یعنی formula_158 بار، حل شود. از این‌رو این روش معمولاً برای مسائلی که داده‌های زیادی دارند یا تعداد متغیرهای مستقل آن بزرگ است (معمولاً formula_159) راه حل مناسبی نیست. روشهای پیش‌رو و پس‌رو که متناوباً متغیرهای مستقل را انتخاب یا حذف می‌کنند یا روشهای کوچک سازی که از طریق اعمال محدودیت بر روی پارامترها میزان تأثیرگذاری آنها را در مدل نهائی مهار می‌کنند، راه‌های بهتری برای انتخاب متغیر هستند.
در روش پیش‌رو، ابتدا عرض از مبدأ از طریق محاسبه میانگین مقادیر متغیر وابسته به‌دست می‌آید، سپس به تناوب در هر مرحله متغیری که باعث بیشترین کاهش تابع هزینه می‌شود به مدل افزوده می‌شود. به زبان دقیق‌تر در مرحله formula_160، یک متغیر از متغیرهای مستقل که تا به حال انتخاب نشده به formula_161 متغیر منتخب اضافه می‌شود. در نهایت بهترین زیرمجموعه از میانِ formula_36 زیرمجموعه‌ای که متناوباً ساخته شده با استفاده از اعتبارسنجی متقابل محاسبه می‌شود. برای تسریع انتخاب متغیر مستقل بهینه در هر مرحله می‌توان از تجزیه کیوآر استفاده کرد. روش پس‌رو مانند روش پیش‌رو عمل می‌کند با این تفاوت که در ابتدا تمام متغیرهای مستقل مورد استفاده قرار می‌گیرند و در هر مرحله یک متغیر مستقل حذف می‌شود. بهترین متغیر برای حذف در هر مرحله متغیری است که کمترین امتیاز طبیعی را داشته باشد.
در روشهای کوچک سازی که همان روشهای تنظیم مدل است، سعی بر این است که برای جلوگیری از بیش‌برازش، میزان تأثیرگذاری پارامترها مهار شود. به همین منظور مسئله بهینه‌سازی به یک بهینه‌سازی مقید تغییر داده می‌شود تا نُرمِ formula_2 یا formula_1 از یک مقدار معینی زیادتر نشود. در روش کوچک سازی formula_2 مسئله بهینه‌سازی به عبارت پایین تغییر شکل می‌دهد که معادل تنظیم مدل لسو است. این روش باعث می‌شود که مدل نهائی به اصطلاح خلوت شود و ضریب بسیاری از متغیرها صفر گردد.formula_166به صورت مشابه در روش کوچک سازی formula_1، مسئله بهینه‌سازی با معادله پایین برابر خواهد بود که معادل رگرسیون ستیغی است. این روش باعث می‌شود که ضرایب رگرسیون زیاد بزرگ نشوند.formula_168
رگرسیونهای خطی که بر کمترین مربعات استوارند، معمولاً سعی دارند که میانگین متغیر وابسته را بر اساس توزیع شرطی این متغیر و با کمک ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل تخمین بزنند. در مقایسه، رگرسیون چندک هدف را بر محاسبه یک یا چند چندکِ متغیر وابسته می‌گذارد. رگرسیون چندک معمولاً با داده‌های پرت بهتر از رگرسیون معمولی کار می‌کند و پیش‌فرضهای کمتری دارد من‌جمله اینکه توزیع شرطی متغیر وابسته ضرورتاً لازم نیست توزیعی طبیعی باشد. همچنین رگرسیون چندک در مسائلی به کار می‌رود که هدف بدست آوردن توزیع مشروط متغیر وابسته باشد نه فقط یک آماره از آن مانند میانگین؛ چه که با استفاده از چندک‌های یک توزیع می‌توان کل توزیع را تقریب زد. اگر formula_169 تابع توزیع تجمعیِ متغیر formula_30 باشد، و formula_171 عددی در formula_172 باشد، آنگاه چندک مرتبط با این عدد به این شکل تعریف می‌شود:  formula_173
می‌توان نشان‌داد که:
formula_174
که در اینجا formula_175است. حال اگر تابع توزیع تجمعی را نداشته باشیم و فقط formula_94 نمونه از توزیع متغیر داشته باشیم آنگاه چندک متغیر را با بهینه‌سازی پایین می‌توان به‌دست‌آورد. formula_177
این مسئله بهینه‌سازی با کمک برنامه‌ریزی خطی حل می‌شود.
اگر formula_171با formula_179 برابر باشد، رگرسیون خطی، میانه را تخمین خواهد زد و تابع هزینه به مجموع قدر مطلق تفاضل پیش‌بینی و داده وابسته تغییر شکل می‌یابد: formula_180 رگرسیون چندک در علوم بوم‌شناسی کاربرد فراوانی دارد. معمولاً به علت پیچیدگی و تعداد زیاد عوامل تأثیرگذار در یک رویداد طبیعی، توزیع‌های شرطی متغیرهای وابسته اغلب واریانس بالا و غیر همسانی دارند که باعث می‌شود رابطه بین متغیرهای مستقل و میانگین توزیع شرطی ضعیف شود؛ تقریب کل توزیع شرطی با استفاده از تخمین خطی چندک‌های توزیع شرطی حاوی اطلاعات بیشتری برای پژوهشگران این رشته‌است و این تقریب از طریق رگرسیون چندک به دست می‌آید.
در رگرسیون کمترین زاویه که به آن رگرسیون لارس هم گفته می‌شود، ضرایب رگرسیون در یک فرایند افزایشی به شکل زیر تخمین زده می‌شوند:
رگرسیون لارس مانند رگرسیون لَسو باعث می‌شوند مدل نهائی خلوت شود و بسیاری از ضرایبِ مدل صفر شود. این مدل برای داده‌هایی بُعد بالا مورد استفاده قرار می‌گیرد.
رگرسیون خطی با وزنهای موضعی همانند کمترین مربعات کار می‌کند با این تفاوت که مسئله پیش‌بینی برای هر کدام از داده‌های جدید متفاوت خواهد بود. در رگرسیون خطی معمولی یک بار مدل تخمین زده می‌شود و بعد برای پیش‌بینی داده‌های جدید از آن استفاده می‌شود. در مدل رگرسیون خطی با وزنهای موضعی اما برای هر داده جدید یک تخمین جدید رخ خواهد داد به گونه‌ای که داده‌های آموزشیِ نزدیکتر به داده جدید وزن بالاتری در مسئله بهینه‌سازی بگیرند و رگرسیون خطی به صورت موضعی انجام شود:  formula_192 در اینجا formula_193 وزن موضعی داده جدید formula_5 را با داده آموزشی formula_195 نشان می‌دهد که با فاصله این دو داده نسبت به هم نسبت عکس دارد مانند نمونه پایین:  formula_196 در این نوع رگرسیون داده‌های آموزشی که به داده جدید نزدیکترند وزن بیشتری خواهند گرفت و داده‌های دورتر عملاً نادیده گرفته می‌شوند.
در رگرسیون خطی تعمیم یافته برای پیش‌بینی متغیر وابسته یک ترکیب خطی از نگاشتی از متغیرهای مستقل را در نظر می‌گیرند نه خود آن متغیرها را. به بیان دیگر:
formula_197 در این تابع، formula_198 از فضای formula_199 بُعدی به یک فضای formula_200 بُعدی از طریق نگاشت formula_201 منتقل شده‌است و سپس در آن فضا مقادیر جدید از طریق ترکیبی خطی با هم ترکیب شده‌اند. به عنوان مثال در رگرسیون خطی ساده می‌توان چندین متغیر جدید را از طریق یک چند جمله‌ای درجه formula_200 تولید کرد و سپس رگرسیون خطی را بوسیله آنها انجام داد، که این کار معادل نگاشت متغیر مستقل به یک فضای formula_200 بعدی و انجام رگرسیون در آن فضاست: formula_204 رگرسیون خطی تعمیم‌یافته را می‌توان زمانی به کار برد که رابطهٔ بین متغیر وابسته و مستقل یک خط راست نباشد اما بتوان از طریق یک انگاشت آن را به خطی راست تبدیل کرد. به عنوان مثال برای پیش‌بینی میزان تنش در یک سازه ساختمانی از رگرسیون چند جمله‌ای استفاده می‌کنند چه که رابطهٔ متغیر مستقل و وابسته خطی نیست و شباهت بیشتری به یک تابع درجه دو دارد.
مدل سلسله مراتبی (یا مدل چند سطحی) مدل رگرسیونی است که پارامترهای آن بر اساس خوشه یا سطحی که داده به آن تعلق دارد ممکن است تغییر کند. به عنوان مثال در مسئله پیش‌بینی میزان سلامتی فرد از طریق مقدار درآمد او، از آنجا که افرادی که در یک محله زندگی می‌کنند میزان درآمد و سلامتی آنها به هم وابستگی بیشتری نسبت به بقیهٔ افراد دارد، بهتر است هر محله مدل رگرسیونِ جداگانه خود را داشته باشند. در این مثال یک مدل رگرسیون خطی در سطح اول (سطح فرد در محله) ساخته می‌شود که بعضی یا همه پارامترهای آن می‌تواند برای هر محله متفاوت باشد. پارامترهای متفاوت می‌تواند خود از یک مدل رگرسیون دیگر در سطح دوم (سطح محله‌ها) یا به‌صورت تصادفی تخمین زده شوند.
اگر محلهٔ formula_97، formula_206 داده (فرد) داشته باشد، آنگاه برای این محله باید دو پارامتر formula_207 و formula_208 را پیدا کرد. برای داده formula_12 (formula_210) رابطه میان میزان درآمد فرد (formula_211) و میزان سلامتی او (formula_212) را به صورت پایین نشان می‌دهیم؛ در اینجا formula_213 مقدار خطای تصادفی است که معمولاً از یک توزیع طبیعی پیروی می‌کند:
formula_214
حال می‌توان یا formula_207 یا formula_208 یا هر دو را برای هر محله متفاوت در نظر گرفت. این تفاوت می‌تواند تصادفی مدل‌سازی شود یا خود از یک مدل رگرسیون خطی دیگر که دارای یک یا چند متغیر مستقل در سطح دو (سطح محله) است برآورد شود. اگر فرض کنیم هر دوی formula_207 و formula_208 از یک مدل رگرسیون دیگر می‌آیند آنگاه می‌توان به صورت پایین آنها را تخمین زد؛ در این دو معادله formula_219 یک متغیر مستقل در سطح دو (سطح محله) است که به عنوان نمونه می‌تواند میزان ثروت محله باشد و formula_220 و formula_221 خطاهای تصادفی است.
formula_222 formula_223 از مدل رگرسیون خطی می‌توان برای تحلیل رابطه متغیرهای مستقل با متغیر وابسته استفاده کرد. اگر یک متغیر مستقل مانند formula_182 را در نظر بگیریم و بقیه متغیرهای مستقل را ثابت فرض کنیم، ضریب این متغیر یعنی formula_184، میانگین تغییر formula_3 در ازای تغییر یک واحد در formula_182 را نشان می‌دهد که معادل میانگین مشتق جزئی formula_3 نسبت به formula_182 یا همان شیب خط رگرسیون با ثابت گرفتن سایر متغیرهای مستقل است. از این تأثیر با عنوان «تأثیر منحصر به فرد» formula_182 بر روی formula_3 نیز یاد می‌شود. از طرفی دیگر «تأثیر حاشیه‌ای» formula_182 بر روی formula_3 از طریق رگرسیون خطی ساده (مدلی که فقط یک متغیر مستقل به اسم formula_182 دارد) به‌دست می‌آید.
این امکان وجود دارد که با وجود تأثیر حاشیه‌ای بزرگ، تأثیر منحصر به فرد متغیر formula_182 تقریباً صفر باشد. این در شرایطی اتفاق خواهد افتاد که بعضی از متغیرهای مستقل دیگر بتوانند متغیر وابسته را به خوبی پیش‌بینی کنند و سهم formula_182 در مقایسه با سایر متغیرها ناچیز باشد. از طرف دیگر، این امکان نیز وجود دارد که با وجود تأثیر حاشیه‌ای تقریباً صفر، تأثیر منحصر به فرد formula_182 بزرگ باشد. این اتفاق زمانی رخ می‌دهد که سایر متغیرها میزان زیادی از تغییر formula_3 را توضیح می‌دهند و نقش formula_182 نقشی تکمیلی است. در این حالت متغیر formula_182 بخشی از formula_3 را که توسط سایر متغیرها توضیح‌ناپذیر است توضیح می‌دهد.
معمولاً بعد از تخمین مدل رگرسیون، عیب‌یابی مدل رگرسیونی صورت می‌گیرد. در این عیب‌یابی معمولاً پیش‌فرضهای رگرسیون خطی مورد راستی‌آزمایی قرار می‌گیرند و داده‌هایی که تأثیر بی‌مورد در مدل نهائی داشته‌اند شناسایی می‌شوند. برای بررسی پیش‌فرضهای رگرسیون خطی از چندین نمودار و معیار استفاده می‌شود. از نمودار چندک-چندک می‌توان برای مقایسه بین چندک‌های مانده‌های استاندارد شده و چندک‌های توزیع طبیعی استاندارد و بررسی پیش‌فرض توزیع طبیعی مانده‌ها استفاده کرد. در صورت برقرار بودن پیش‌فرض، نمودار باید کم و بیش یک خط راست با زاویهٔ ۴۵ درجه نسبت به محورهای نمودار باشد. برای بررسی پیش‌فرض خطی بودن رابطه پارامترها و متغیر وابسته نموداری از مانده‌ها و مقادیر پیش‌بینی شده ترسیم می‌شود، اگر رابطه بین این دو گروه یک خط راست نباشد، پیش‌فرض نقض شده‌است. از این نمودار همچنین می‌توان برای بررسی واریانس‌همسانی مانده‌ها استفاده کرد. در نهایت برای پیدا کردن داده‌هایی که تأثیر بی‌مورد در مدل رگرسیون دارند از معیاری به اسم فاصله کوک استفاده می‌شود. این معیار تأثیر هر داده را بر ضرایب نهائی مدل رگرسیون -با تخمین یک مدل جدید بدون آن داده و مقایسه آن با مدل قبلی- می‌سنجد. داده‌هایی که فاصله کوک آنها از یک آستانه از پیش تعیین شده بیشتر است تأثیری منفی بر مدل رگرسیون دارند.
رگرسیون خطی به‌طور گسترده‌ای در علوم زیستی، رفتاری و اجتماعی برای توصیف روابط احتمالی بین متغیرها مورد استفاده قرار می‌گیرد و از مهترین ابزارها برای این کار است. رگرسیون خطی همچنین در قیمت‌گذاری دارایی‌های سرمایه‌ای و تحلیل و اندازه‌گیری خطر سرمایه‌گذاری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این مدل مستقیماً از ضریب بتا در مدل رگرسیون خطی به دست می‌آید که بازده سرمایه را به بازده تمام دارایی‌ها با ریسک بالا مربوط می‌کند. همچنین در علم اقتصاد رگرسیون خطی یکی از مهم‌ترین و پراستفاده‌ترین ابزارهاست. به عنوان مثال، برای پیش‌بینی هزینه مصرف، هزینه سرمایه‌گذاری ثابت، سرمایه‌گذاری موجودی، خرید صادرات کشور، هزینه برای واردات، تقاضا برای نگهداری دارایی‌های نقد، تقاضای کار، و عرضه نیروی کار از این مدل استفاده می‌شود. در علوم محیط زیست نیز رگرسیون خطی کاربردهای گسترده‌ای دارد. برای نمونه در کانادا، از رگرسیون خطی برای پیش‌بینی اثرات زیست‌محیطی کارخانه‌های کاغذسازی و معادن فلزات بر روی ماهی‌ها و مناطق دریابُن استفاده می‌کنند. رگرسیون خطی در علم پزشکی نیز کاربرد دارد. به عنوان مثال اولین تحقیقاتی که رابطه استعمال دخانیات و مرگ و میر را نشان می‌داد از مدل رگرسیون خطی استفاده می‌کرد. رگرسیون خطی در تخمین خط روند نیز کاربرد دارد. خط روند، سیر تغییرات یک سری داده را در یک بازه زمانی طویل‌المدت نشان می‌دهد. معمولاً به صورت چشمی سیر صعودی یا نزولی بودن این تغییرات را می‌توان تشخیص داد ولی برای محاسبه دقیق‌تر شیب این تغییرات از رگرسیون خطی استفاده می‌شود. در مواردی که سیر تغییرات را با یک چندجمله‌ای تخمین می‌زنند از رگرسیون خطی تعمیم یافته استفاده می‌کنند. همچنین رگرسیون خطی و مشتقات آن یکی از ابزارهای شناخته شده و پرکاربرد در شاخه‌های هوش مصنوعی مخصوصاً در شاخه یادگیری ماشین است.
گرچه رگرسیون خطی ابزاری بسیار انعطاف‌پذیر برای تحقیقات علوم مختلف است، اما بدون محدودیت هم نیست. همه مسائل پژوهشی در قالب مدلهای رگرسیون نمی‌گنجد، به ویژه مسائلی که یک متغیر خروجی ندارند. به عنوان نمونه، تجزیه و تحلیل خوشه‌ای یک ابزار آماری است که برای آشکار ساختن گروه‌های منسجم (یا خوشه‌ها) در داده‌ها به کار می‌رود. رگرسیون مدل مناسبی برای کشف این نوع الگو در داده‌ها نیست.
از آنجا که رگرسیون بر پیشینی متغیر خروجی (متغیر وابسته) متمرکز است، این شبهه ممکن است ایجاد شود که وجود رابطه بین متغیرهای مستقل و وابسته در مدل رگرسیون دال بر علیت این رابطه است. این نوع تعمیم نتایج مدل رگرسیونی نادرست است، و برای تحلیل علیت باید از روش‌های آماری و تحقیقی دیگری بهره جست.
در استفاده از مدل رگرسیون برای استنباط آماری نیز محدودیت‌هایی می‌تواند وجود داشته باشد. برای ارائهٔ استنباط معتبر، داده‌ها باید نمونه‌ای تصادفی از یک جمعیت باشند یا در مطالعهٔ تجربی مورد نظر تصادفی شده باشند. بیشتر نمونه‌ها در علوم اجتماعی این شرط را برآورده نمی‌کنند و استفاده از مدل رگرسیون برای تحلیل آن‌ها خالی از اشکال نیست. البته، این یک انتقاد از خود رگرسیون نیست بلکه از طراحی مطالعات تجربی و محدودیت‌های استنباط آماری با نمونه‌گیری غیر تصادفی است. با وجود همهٔ این محدودیت‌ها، رگرسیون و مدل‌های تعمیم‌یافتهٔ آن همچنان ابزاری فوق‌العاده مفید برای پژوهشگران علوم مختلف محسوب می‌شوند.
رگرسیون خطی برای بسیاری از مسائل مدل مناسبی نیست. این امکان وجود دارد که چندین مجموعه دادهٔ کاملاً متفاوت، مدل رگرسیون خطی یکسانی داشته باشند. چهارتایی آنسکوم نمونهٔ کلاسیک این حالت است. چهارتایی آنسکوم متشکل از چهار مجموعه داده‌است که نمودارهای کاملاً متفاوتی دارند ولی مدل رگرسیون خطی آنها کاملاً یکسان است. یک مجموعه در این مجموعهٔ چهارتایی (بالا سمت راست در شکل) دارای یک رابطهٔ کاملاً غیر خطی بین متغیرهاست. در یک مجموعه دیگر (پایین سمت چپ در شکل) با اینکه یک رابطهٔ خطی بین متغیرها حاکم است ولی به علت وجود یک دادهٔ پرت، مدل رگرسیون خطی به دست آمده نامناسب است. نهایتاً در یک مجموعه دیگر (پایین سمت راست در شکل) بین متغیرهای وابسته و مستقل هیچ همبستگی وجود ندارد ولی به علت وجود یک دادهٔ پرت، ضریب همبستگی این دو متغیر بالاست و یک مدل رگرسیون نامناسب برای پیش‌بینی متغیر وابسته تخمین زده شده‌است.