عملگرهای خلق و فنا
عملگرهای خلق و فنا، عملگرهای ریاضی هستند که کاربردهای گسترده‌ای در مکانیک کوانتومی، بخصوص در مطالعه نوسانگرهای هارمونیک و سیستم‌های چند ذره‌ای دارند. یک عملگر فنا تعداد ذرات یک حالت مشخص را کاهش می‌دهد. یک عملگر خلق تعداد ذرات یک حالت مشخص را افزایش می‌دهد، و به عملگر فنا متصل است. در بسیاری از زیر مجموعه‌های رشته فیزیک و شیمی از این عملگرها به جای تابع‌های موج استفاده می‌شود که به کوانتش ثانویه معروف است.
عملگرهای خلق و فنا می‌توانند روی حالتهای انواع مختلف ذرات تأثیر بگذارند. برای مثال در تئوری شیمی کوانتومی، بر حالتهای الکترون تأثیر می‌گذارد. همچنین واکنش ویژه‌ای در مقابل عملگرهای پله‌ای برای نوسانگرهای هارمونیک کوانتومی دارند. در مرحله بعدی عملگرهای افزاینده به عنوان عملگرهای خلق در نظر گرفته می‌شود؛ که یک کوانتوم انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه می‌کند، (به همین شکل برای عملگر کاهنده). آن‌ها می‌توانند برای نشان دادن فوتون‌ها به کار روند.
ریاضیات مربوط به عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها با عملگرهای نوسانگر هارمونیک کوانتوم یکسان است. برای مثال جابجایی عملگرهای خلق و فنا که مربوط به حالت یکسان بوزونها هستند، برابر یک است. در حالی که سایر جابجایی‌ها صفر است. با این وجود برای فرمیون‌ها معادله‌های ریاضی متفاوت است و جابجایی‌ها معکوس است.
در زمینه نوسانگر هارمونیک کوانتوم، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را به عنوان عملگرهای خلق و فنا در نظر می‌گیریم که کوانتوم ثابت انرژی را به سیستم نوسانگر اضافه یا کم می‌کنند. عملگرهای خلق و فنا برای بوزون‌ها (اسپین صحیح) و فرمیون‌ها (اسپین نیمه صحیح) متفاوت است. زیرا تابع موج آن‌ها دارای خواص هندسی متفاوتی هستند.
نخست مورد ساده‌تر بوزونی نوسانگر هارمونیک کوانتومی را در نظر بگیرید.
کار را با معادله شرودینگر برای زمان یک بعدی مستقل نوسانگر کوانتومی هارمونیک، شروع کنید:
و معادله شرودینگر برای نوسانگر می‌شود:
توجه کنید که مقدار formula_4 همان انرژی بدست آمده برای کوانتوم نوری است و پرانتزها در هامیلتونی را می‌توان بدین شکل نوشت:
دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن تأثیر آن‌ها بر تابع قراردادی (f(q ساده کرد:
که بیان می‌کند:
بنابراین:
و معادله شرودینگر برای نوسانگر با جابجایی معادله بالا و ترتیب مجدد فاکتورگیری از formula_9 بدین شکل در می‌آید:
اگر ما تعریف کنیم:
را به عنوان عملگر خلق یا افزاینده و
را به عنوان عملگر فنا یا کاهنده،
سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید:
این بسیار آسان‌تر از شکل اولیه است. ساده کردن بیشتر این معادله، فرد را قادر می‌سازد تا تمام خواص فهرست بندی شده تا بحال را بدست آورد.
با فرض اینکه
formula_14
که در آن عملگر "P" همان عملگر تکانه بدون بعد است، خواهیم داشت:
و
توجه داشته باشید که این‌ها بیان می‌کنند:
در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح نرمال ریاضی، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g. formula_19) با خودالحاقی formula_20. اما در مورد عملگرهای نرمال، در ارتباط با جابجایی formula_21 i.e با formula_22 خواهد بود. با formula_22 یک در بینهایت r.h.s معادله قبلی به جای صفر جایگزین خواهد شد؛ که در نتیجه یک مجموعه یکسان ویژه تابع یا ویژه توزیع را برای formula_24 و formula_25 خواهد داشت. در حالی که در اینجا ویژه تابع‌ها و ویژه مقدارهای عملگرهای p و q وجود ندارند.
بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، عملگر هامیلتونی می‌تواند بیان شود بعنوان:
formula_28 و formula_29 رابطه‌های جابجایی زیر را با هامیلتونی می‌دهد.[۴]
از این رابطه‌ها می‌توان برای پیدا کردن ویژه حالت نوسانگر هارمونیک کوانتومی استفاده کردو با فرض اینکه formula_32 یک ویژه حالت هامیلتونیformula_33 است. با استفاده از این رابطه‌های جابجایی می‌توان نشان داد که[۵]:
این مسئله نشان می‌دهد که formula_36 و formula_37 همچنین ویژه حالت هامیلتونی با ویژه مقدارهای formula_38 و formula_39 می‌باشند.
این مسئله عملگرهای formula_28 و formula_41 را به عنوان عملگرهای کاهنده و افزاینده عین ویژه حالتها مشخص می‌کند. تفاوت انرژی بین دو ویژه حالت formula_42 است.
حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد، formula_43. سپس از هامیلتونی برحسب عملگرهای افزاینده و کاهنده استفاده می‌کنیم
تابع موج در طرف راست / عبارت غیر صفر است. این حالت انرژی حالت پایه را می‌دهد: formula_45. این مسئله امکان تشخیص ویژه مقدار هر ویژه حالتformula_32بوجود می‌آورد. مانند[۶]
علاوه بر این می‌توان نشان داد عملگری که در اول ذکر شد یعنی عملگر عددی formula_48 مهم‌ترین نقش را در کاربردها ایفا می‌کند. در حالی که دومین عملگر formula_49 را می‌توان با formula_50 جابجا کرد. پس فرد به سادگی چنین بدست می‌آورد:
حالت پایه formula_52 نوسانگر هامونیک کوانتومی را می‌توان با ایجاد این حالت بدست آورد که:
اگر تابع موج بشکل یک معادله دیفرانسیلی نوشته شود واجد چنین شرایطی خواهد بود:
که حل آن بشکل زیر است:
مقدار ثابت c نرمالیزاسیون formula_56 را می‌توان از formula_57 با استفاده از انتگرال گاوسی بدست آورد.
معادله‌های ماتریسی عملگرهای خلق و فنا بدست آمده از مدل نوسانگر هارمونیک کوانتومی چنین می‌باشند:
با جابجایی به طرف پایین عملگرهای پله‌ای بدست می‌آیند که می‌توان از طریق رابطه‌های formula_60 و formula_61. آن‌ها را بدست آورد. تابع‌های موج تابع‌های نوسانگر هارمونیک کوانتومی بوده و برخی اوقات مبنای ددی نامیده می‌شوند.
عملگرهای استنتاج شده در بالا در واقع یک نمونه ویژه از یک طبقه کلی‌تر از عملگرهای خلق و فنا هستند. /ساده‌ترین شکل عملگرها واجد شرایط زیر هستند.
فرض کنید "H" فضای ذره‌ای هیلبرت است برای بدست آوردن هندسه بوزونی CCR به هندسه به وجود آمده با ("a"("f" به ازای هر "f" در "H" مراجعه کنید. عملگر ("a"("f" عملگر فنا است و نقشه (۰)"a" غیر خطی است. مجاور آن ("a"("f" است که در "H" خطی است.
برای یک بوزون؛formula_62
که در آن از علامت برا – کت استفاده می‌کنیم.
برای یک فرمیون ضد جابجایی چنین است:
یک هندسه CAR.
به زبان فیزیکی ("a"("f" یک ذره را در حالت «کت» از بین می‌برد(i.e. annihilates). در حالی که ("a"("f" یک ذره را در حالت «کت» ایجاد می‌کند.
حالت خلأ میدان آزاد وضعیتی بدون ذره است. به عبارتی دیگر:
که در آن «کت صفر» وضعیت خلأ است.
اگر "کت" نرمالیزه شود به‌طوری‌که " براکت =۱ " و سپس ("a"("f") "a"("f" تعداد ذرات در حالت " کت " را می‌دهد.
وضیح علگرهای خلق و فنا همچنین برای تجزیه و تحلیل معادلات /معمول کنش و واکنش سفید بوده‌است. برای مثال قسمتی که در آن گازی با مولکول‌های A پخش شده و در برخورد واکنش نشان می‌دهد و یک محصول را به وجود می‌آورد. برای اینکه ببینیم این نوع واکنش را چگونه می‌توان با فرمول عملگرهای خلق و فنا توضیح داد ذرات formula_67 را در محل formula_68 در شبکه یک بعدی در نظر بگیرید. هر ذره به‌طور مستقل پخش می‌شود، به‌طوری‌که این احتمال که یکی از آن‌ها محل را در زمان‌های کوتاه formula_69 ترک کند به نسبت formula_70 است، برای مثال formula_71 برای رفتن به چپ و formula_71 برای رفتن به راست. تمام ذرات formula_73 با احتمال formula_74 ثابت خواهند ماند. حال می‌توانیم کار ذرات را در شبکه به عنوان `ket' با فرم "کت n2 ,n1... " توضیح دهیم. یک تغییر کوچک عملگرهای خلق و فنا لازم است، به‌طوری‌که:
و
این تغییر رابطه جابجایی را حفظ می‌کند.
اما به ما این امکان را می‌دهد که رفتار خالص پخش ذرات را بدین شکل بنویسیم:
دوره واکنش با توجه به اینکه ذرات formula_73می‌توانند به صورت مختلف formula_80 واکنش نشان دهند، کاهش می‌یابد. به‌طوری‌که احتمال فنا شدن یک جفت formula_81 بوده و احتمال اینکه هیچ جفتی از بین نرود formula_82 است؛ که می‌دهد:
بدست می‌آید:
سایر واکنش‌ها را می‌توان به روشی مشابه در اینجا گنجاند.
این نوع عبارت به ما اجازه می‌دهد که از روش‌های نظری میدان کوانتومی را در تجزیه و تحلیل سیستم‌های واکنش – پخش استفاده کنیم.
در تئوری‌های میدان کوانتومی و مسایل /چندگانه فرد بامجموع عبارات formula_85 که در آن formula_86 اعداد مرکب هستند کار می‌کند. در حالی که formula_87 عملگرهای خلق و فنا هستند که ویژه مقدارهای عملگرهای عددی را افزوده یا کاهش می‌دهند؛ برای یک formula_88 در شباهت با نوسانگر هارمونیک. شاخص‌های formula_68 رفتار زمان فضایی را منعکس کرده و دارای رده بالاتری هستند، e.g. چهار برابر ذرات بدون اسپین. عملگرهای عددیformula_90تمام مقدارهای صحیح غیرمنفی را می‌گیرند، formula_91 و رابطه‌های جابجایی غیر جزئی چنین هستند: formula_92 که در آن [. .] جابجایی است در حالی که formula_93 دلتای کرونکر است.
این مسئله برای بوزون‌ها صحت دارد، در حالی که برای فرمیون‌ها جابجاگر بایستی با غیرجابجاگر جایگزین شوند، formula_94 در نتیجه در مورد فرمیونها، عملگر عددی formula_90 تنها دارای ویژه مقدارهای ۰ و ۱ است.