تابع پیوسته
در ریاضیات، تابع پیوسته تابعی است که در مقادیر خروجی خود تغییرات ناگهانی (به آن ناپیوستگی هم می گویند) نداشته باشد. به طور دقیق تر، یک تابع پیوسته است اگر تغییرات به دلخواه کوچک در خروجی آن را بتوان با محدود کردن ورودی به مقادیری خاص تضمین کرد. اگر تابعی پیوسته نباشد به آن "ناپیوسته" گویند. تا قرن ۱۹م میلادی، ریاضیدانان به طور عمده به مفهوم شهودی پیوستگی تکیه می کردند، در طی قرن نوزدهم بود که تلاش هایی جهت ایجاد تعریف صوری پیوستگی برحسب formula_1 و formula_2 صورت گرفت.
پیوستگی توابع یکی از مفاهیم بنیادی و مرکزی در توپولوژی است، که در ادامه به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی این مقاله به حالت خاصی که ورودی و خروجی تابع اعداد حقیق اند پرداخته خواهد شد. شکل قوی تر پیوستگی، پیوستگی یکنواخت است. به علاوه، این مقاله به بحث در مورد تعریف پیوستگی توابع، در حالت کلی تر بین فضاهای متری خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، به‌خصوص در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی را به اسم پیوستگی اسکات می شناسند. دیگر اشکال پیوستگی نیز وجود دارند ولی در این مقاله به آن ها پرداخته نمی‌شود.
به عنوان مثالی از توابع پیوسته، تابع formula_3 که نشان دهنده ارتفاع یک گل بر حسب زمان است را می توان در نظر گرفت. در مقایسه، تابع formula_4 که نشانگر مقدار پول در حساب بانکی بر حسب زمان است را می توان تابعی ناپیوسته در نظر گرفت، چرا که در آن "پرش" هایی در نقاطی که مقداری پول به حساب واریز یا از آن بیرون کشیده می شود وجود خواهد داشت. تعریف اپسیلون-دلتا از پیوستگی اولین بار توسط برنارد بولزانو در ۱۸۱۷ داده شد. آگوستین لویی کوشی پیوستگی formula_5 را به این صورت تعریف کرد: هر افزایش بی نهایت کوچکی چون formula_6 در متغیر مستقل formula_7، همیشه منجر به افزایش بی نهایت کوچک formula_8 در متغیر وابسته formula_9 شود (به عنوان مثال "Cours d'Analyse" صفحه ۳۴ را ببینید). کوشی مقادیر بی نهایت کوچک را بر حسب متغیر ها بیان کرد، و این تعریف از پیوستگی قرابت نزدیکی با تعریف بی‌نهایت‌کوچک‌هایی که امروزه استفاده می شوند داشت (بحث میکرو پیوستگی را ببینید). تعریف صوری و تمایز بین پیوستگی نقطه ای و پیوستگی یکنواخت اولین بار توسط بولزانو در دهه ۱۸۳۰ میلادی ارائه شد، اما اثر او تا دهه ۱۹۳۰ انتشار نیافت.
تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a)  باشد. در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته‌ است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.
تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:یک تابع حقیقی، که تابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است را می توان با نموداری در صفحه کارتزین نمایش داد؛ به طور نادقیق می توان گفت که چنین تابعی پیوسته است اگر نمودار آن منحنی باشد که در آن پاره شدگی و شکاف نبوده و دامنه آن کل اعداد حقیقی باشد. در ادمه تعریف دقیق تر ریاضیاتی ارائه خواهد شد.
تعریف دقیق پیوستگی برای توابع حقیقی اغلب در اولی درس حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) بر اساس مفهوم حد ارائه می شود. ابتدا، یک تابع چون formula_10 بر حسب formula_7 را "در نقطه formula_12" در اعداد حقیقی پیوسته می گویند اگر حد formula_13 با نزدیک شدن به formula_12 برابر formula_15 باشد؛ آنگاه کل یک "تابع" را "پیوسته" گویند اگر در تمام نقاطش پیوسته باشد. تابعی را "ناپیوسته" گویند (یا آن را دارای "ناپیوستگی" گویند) گویند اگر در نقطه ای پیوسته نباشد. به این نقاط "ناپیوستگی"های آن تابع می گویند.
تابع حقیقی formula_10 پیوسته است، اگر به ازای هر دنباله formula_17 که formula_18، نتیجه بگیریم formula_19. ادوارد هاینه ریاضی‌دان آلمانی این تعریف را ارائه داده‌است.
یکی دیگر از مفاهیم مجرد، مفهوم پیوستگی توابع بین فضاهای توپولوژیکی است که در آن عموماً به طور صوری مفهوم فاصله نقاط (همچون فضاهای متری) تعریف نشده است. یک فضای توپولوژیکی، مجموعه ای چون formula_20 مجهز به ساختار توپولوژی روی آن است، این ساختار مفهوم گوی های باز در فضاهای متری را مجرد کرده به گونه ای که هنوز می توان در مورد مفهوم همسایگی یک نقطه صحبت کرد. اعضای یک فضای توپولوژی را زیرمجموعه های باز formula_20 گویند (نسبت به ساختار توپولوژی روی آن تعریف می شوند).
تابعی چون formula_22 بین دو فضای توپولوژی formula_20 و formula_24 پیوسته است اگر برای هر مجموعه باز formula_25، تصویر معکوس:
زیرمجموعه بازی از formula_20 باشد. یعنی formula_10 یک تابع بین دو مجموعه formula_20 و formula_24 است (نه روی عناصر formula_31)، اما پیوستگی formula_10 به ساختار توپولوژی تعریف شده روی formula_20 و formula_24 بستگی دارد.
به طور معادل می توان گفت که تصویر عکس هر مجموعه بسته (که متمم مجموعه های باز اند) از formula_24 در formula_20 هم بسته است.
مثلاً اگر formula_20 توپولوژی گسسته باشد، تمام توابعی چون formula_38 پیوسته خواهند بود.