عملگر دل
دل نمادی در ریاضیات، به‌ویژه ریاضیات برداری است و به عنوان یک عملگر دیفرانسیلی در بردارها به کار می‌رود، دل را معمولاً با نماد نابلا (∇) نمایش می‌دهند. هرگاه عملگر دل را بر یک تابع یک‌بعدی اعمال کنیم، بیانگر مشتق استاندارد آن تابع مطابق آنچه در حساب دیفرانسیل و انتگرال تعریف شده‌است خواهد بود. اگر این عملگر بر یک میدان (تابعی که دارای چندین بُعد است) اعمال شود، دل ممکن است بیانگر شیو (شدیدترین شیب محلی) یک میدان اسکالر (یا گاهی میدان برداری مثلاً در معادلات ناویه-استوکس)، دیورژانس یک میدان برداری، یا تاو یک میدان برداری باشد. اینکه دل بیانگر کدامیک از این اعمال است بستگی به نوع اعمالش دارد.
به بیان بهتر، دل یک عملگر مشخص نیست، بلکه یک سنت و نماد ریاضی است که می‌تواند بیانگر یکی از سه عملگر بالا باشد و از آن برای ساده‌نویسی معادلات ریاضی استفاده می‌شود. نماد دل را می‌توان به صورت یک بردار عملگرهای مشتق پاره‌ای تفسیر کرد، به این صورت که سه معنی مختلف آن (شیو، دیورژانس و تاو) را می‌توان به ترتیب با ضرب اسکالرها، ضرب داخلی و ضرب خارجی عملگر دل در میدان دانست.
شیو:formula_1
دیورژانس: formula_2
کرل: formula_3
در دستگاه مختصات دکارتی سه‌بعدیِ R با مختصات ("x", "y"، "z") دل در شکل مشتقات پاره‌ای به صورت زیر ظاهر می‌شود: که در آن formula_5 بردارهای یکه در جهت‌های مربوط هستند.
همچنین دل را می‌توان به فضای اقلیدسی R تعمیم داد به طوری که در دستگاه مختصات دکارتی با مختصات ("x"، "x"، …، "x") دل به صورت زیر خواهد بود: که در آن formula_7 استاندارد پایهٔ این فضا است. به صورت فشرده‌تر می‌توان این فرمول را با استفاده از قرارداد جمع‌زنی اینشتین به صورتِ نوشت. دل را می‌توان در دیگر دستگاه‌های مختصات (برای نمونه دستگاه‌های مختصات استوانه‌ای و کروی) نیز بیان کرد.
دل در بسیاری از عبارت‌های ریاضی برای ساده و کوتاه‌نویسی استفاده می‌شود. کاربردهای اصلی آن در نوشتن گرادیان، دیورژانس، تاو، مشتق جهت‌دار و عملگر لاپلاس است.
به مشتق برداری یک میدان نرده‌ای formula_9، گرادیان یا شیو گویند و این گونه نمایش داده می‌شود:
formula_10
که همیشه در جهت بزرگترین افزایش در formula_9 بوده و اندازهٔ آن برابر آهنگ افزایش در آن نقطه می‌باشد (درست همانند مشتق‌های معمولی)
اهمیت این کوتاه‌نویسی در این است که قاعدهٔ گرادیان ضرب دو میدان برداری همانند مشتق یک بعدی است.
formula_12
هر چند که قاعدهٔ گرادیان ضرب نقطه‌ای دو میدان برداری به این آسانی نیست و به صورت
formula_13
واگرایی یک میدان برداری formula_14 یک تابع اسکالر است که بدین صورت نمایش داده می‌شود:
formula_15
واگرایی را تقریباً می‌توان افزایش در اندازهٔ یک میدان برداری در جهت آن دانست ولی به‌طور دقیق‌تر اندازهٔ گرایش (میل) یک میدان برداری به همگرایی یا واگرایی در یک نقطهٔ است.
جایی که میدان برداری دیورژانس مثبتی دارد نمایانگر یک چشمه است.
و جایی که میدان برداری واگرایی منفی دارد نمایانگر وجود یک چاه در آن نقطه است.
اهمیت به‌کارگیری نشانهٔ دل را در ادامه می‌بینم:
formula_16
البته رابطهٔ ضرب برداری به نظر کمی غیر منطقی می‌آید اما این به خاطر جابه‌جا پذیر نبودن این ضرب است.
formula_17
تاو یک میدان برداری به صورت formula_18 یک تابع برداری است که اینگونه نمایش داده می‌شود:
formula_19
تاو یک میدان برداری برابر است با گشتاور یک چرخ‌دندهٔ کوچک که مرکزش در آن نقطه باشد یعنی چنانچه یک چرخ‌دندهٔ کوچک را در نقطه‌ای از این میدان بگذاریم و بچرخد میدان ما در آن نقطه دارای تاو است که چنانچه این چرخش ساعت‌گرد باشد تاو مثبت و اگر پادساعت‌گرد باشد تاو منفی است.
بدیهی است میدانی که در آن چرخش وجود نداشته باشد تاو صفر دارد.
تاو یک میدان برداری را می‌توان با شبه‌دترمینان زیر نمایش داد:
formula_20
و اما دوباره شگفتی نمادگذاری دل را در قاعدهٔ تاو ضرب:
formula_21
هرچند شوربختانه تاو ضرب بردارها چهرهٔ ساده‌ای ندارد
formula_22
مشتق جهتی یک میدان اسکالر مانند formula_23 در جهتformula_24 اینگونه بیان می‌شود:
formula_25
که آهنگ تغییر میدان formula_9در جهت formula_27 را نشان می‌دهد.
عملگر لاپلاسی یک عملگر اسکالر است که به هر دو میدان اسکالر و برداری می‌تواند اثر کند. در مختصات برداری این عملگر به صورت:
formula_28
لاپلاسی در همه جای ریاضی فیزیک نوین دیده می‌شود، برای نمونه در معادلهٔ لاپلاس، معادلهٔ پواسون، معادلهٔ گرما، معادلهٔ موج و همچنین در معادلهٔ شرودینگر.
جستارهای وابسته