الگوریتم ارسال-برچسب
الگوریتم ارسال-برچسب یکی از کارآمدترین الگوریتم‌ها برای محاسبهٔ یک مسئله بیشینه جریان است. الگوریتم عمومی دارای پیچیدگی زمانی formula_1 است، در حالی که پیاده‌سازی آن با قانون شیوهٔ رأس‌ها به صورت FIFO دارای زمان اجرای formula_2، با شیوهٔ انتخاب فعال‌ترین رأس دارای پیچیدگی زمانی formula_3 و با پیاده‌سازی با کمک داده‌ساختار درخت پویای ترجان و اسلیتور دارای زمان اجرای formula_4 است. مجانباً این الگوریتم، از الگوریتم ادموند-کارپ که زمان اجرای آن formula_5 است کاراتر است.
شبکه جریان formula_5 داده شده که دارای ظرفیت (به انگلیسی: capacity) از گره "u" تا گره "v" است که به صورت formula_7 داده شده، دارای منبع (به انگلیسی: " s " (source و چاهک (به انگلیسی: " t " (sink است. می‌خواهیم بیشترین میزان جریان را که می‌شود درون شبکه از "s" به "t" فرستاد را بیابیم. دو نوع عملیات روی گره‌ها انجام می‌شود: "push" و "relabel". به‌طور کلی داریم:
بعد از هر گام الگوریتم، جریان یک پیش جریان (به انگلیسی: preflow) است که شرایط زیر را دارد: توجه داشته باشید که آخرین وضعیت یک پیش‌جریان از وضعیت متناظر برای یک جریان مجاز در یک در یک شبکه جریان منظم، مجزاست.
ملاحظه می‌کنیم که طولانی‌ترین مسیر ممکن از "s" به "t" دارای بزرگی formula_20 گره است. بنابراین باید امکان. پذیر باشد که "ارتفاع" (به انگلیسی: "height") را به گره‌های هر جریان مجاز اختصاص دهیم، formula_21 و formula_22، و اگر یک جریان مثبت از "u" به "v" وجود داشت، formula_11. حال که ما ارتفاع گره‌ها را تعیین کردیم، جریان در شبکه به حرکت در می‌آید (مانند جریان آب بر روی پستی و بلندی). بر خلاف الگوریتم‌هایی مانند فورد-فالکرسون، جریان در طول شبکه، لزماً یک جریان مجاز در اجرای الگوریتم نیست.
به‌طور خلاصه، ارتفاع‌های گره‌ها (به جز "s" و "t") تعیین شده‌اند، و جریان بین گره‌ها فرستاده می‌شود، تا زمانی که تمام جریان‌های ممکن به "t" برسند. سپس می‌توانیم افزایش ارتفاع گره‌های درونی را ادامه دهیم تا تمام جریان‌هایی که درون شبکه رفته‌اند ولی به "t" نرسیده‌اند، به سمت "s" بازگردند. یک گره قبل از پایان کار می‌تواند به ارتفاع formula_24 برسد، بنا بر این، طولانی‌ترین مسیر ممکن که به "s" بر می‌گردد ولی شامل "t" نیست دارای طول formula_25 است و formula_21. ارتفاع "t" روی صفر نگه داشته می‌شود.
یک push از "u" به "v" به معنی فرستادن قسمتی از جریان اضافی ورودی به "u" به سمت "v" است. برای رخ دادن یک "push" باید سه شرط رعایت شود:
یک عمل "relabel" روی یک گره، افزایش ارتفاع آن است تا جایی که حداقل از یکی از گره‌هایی که به آن ظرفیت قابل استفاده دارد ارتفاع بیشتری پیدا کند. شرط‌هایی که برای یک "relabel" وجود دارد: هنگام انجام relabel روی "u"، باید formula_10 را با کم‌ترین مقدار، مقداردهی کنیم به‌طوری‌که برای بعضی "v"ها که formula_34 است، formula_11.
"push-relabel" در حالت کلی چیدمان زیر را دارد:
زمان اجرای برای این الگوریتم در حالت کلی برابر formula_1 است.
در "relabel رو به جلو" (به انگلیسی: "relabel-to-front")، عمل "تخلیه" (به انگلیسی: "decharge") روی گره "u" به صورت زیر است:
برای این کار لازم است که برای هر گره، بدانیم از زمان آخرین "relabel کردن" کدام گره‌ها بررسی نشده‌اند.
در "الگوریتم relabel رو به جلو"، ترتیب "push" و "relabel" بدین صورت است:
زمان اجرای الگوریتم "relabel رو به جلو" برابر formula_2 است. الگوریتم برچسب رو به جلو : الگوریتم ارسال برچسب به ما اجازه می‌دهد که عملیات اصلی را با هر زمان اجرایی بدست آوریم. به هر حال می‌توانیم مسئلهٔ بیشینه شاره را سریع تر از زمان اجرای formula_39 بدست آوریم. اکنون می‌خواهیم الگوریتم برچسب رو به جلو که یک الگوریتم ارسال-برچسب با زمان اجرای formula_39 را بررسی کنیم که به همان خوبی زمان اجرای formula_39 و بهتر برای شبکه‌های چگال است. در این الگوریتم فهرستی وجود دارد که شامل همهٔ رأس‌های شبکه به جز مبدأ و مقصد است. این الگوریتم فهرست را پیمایش می‌کند و یک راس را می‌گیرد و آن را تخلیه می‌کند و عملیات ارسال بر چسب را تا زمانی که آن راس دیگر افزایش ارتفاع ندارد روی آن انجام می‌دهد. به‌طور مداوم و با تکرار این کار را بر روی رأس‌های فهرست انجام می‌دهد. زمانی که راسی برچسب‌گذاری شد به جلوی فهرست می‌رود و الگوریتم کار پیمایش را از اول شروع می‌کند. به این علت است که این الگوریتم برچسب رو به جلو نام گرفته‌است.
راس سرشار u با push کردن همهٔ جریان‌های اضافی اش در میان یال‌های مجاز به رأس‌های همسایه تخلیه می‌شود. راس U اگر لازم باشد برچسب‌گذاری می‌شود. کد تخلیهٔ راس سرشار مطابق زیر است:
DISCHARGE(u)
در این الگوریتم فهرستی وجود دارد که شامل همهٔ رأس‌های شبکه به جز s و t (مبدا و مقصد) است. روند پیشروی این الگوریتم نشان می‌دهد که فهرست همسایه‌های رأس‌های درون فهرست "N[u]) " l) برای هر راسی درست شده‌است. این همچنین نشان می‌دهد که [next[u اشاره به راسی دارد که U را در فهرست l دنبال می‌کند پس مشخص است اگر که راس u آخرین راس در فهرست l باشد next[u]=null. این الگوریتم به این صورت عمل می‌کند که:
RELABEL-TO-FRONT(G, s, t) 10 then move u to the front of list L 11 u ← next[u]
در شکل‌های زیر مثالی برای این الگوریتم آورده شده که توضیح آن آورده شده‌است.
در قسمت a شبکهٔ جریان‌ها قبل از اولین تکرار در حلقه نشان داده شده‌است. ۲۶ مقدار جریان از مبدأ s خارج شده در سمت راست فهرست L که شامل همهٔ رأس‌ها غیر از مبدأ و مقصد است نشان داده شده که در حالت اول راس u را x می‌گیریم زیر هر راس در فهرست L رأس‌های همسایه قرار داده شده‌است. راس x تخلیه می‌شود به ارتفاع ۱ برچسب‌گذاری می‌شود. ۵ واحد از جریان اضافی به y داده می‌شود. و ۷ مقدار باقی‌مانده به T وارد می‌شود. x برچسب‌گذاری شده پس به سر فهرست باز می‌گردد. در قسمت b پس از x راس بعدی که تخلیه می‌شود راس y است شکل عمل تخلیهٔ y را با جرئیات نشان داده. y برچسب‌گذاری شده پس دوباره به سر فهرست می‌آید. در قسمت y x , c را در فهرست دنبال می‌کند. پس راس x دوباره تخلیه می‌شود x برچسب‌گذاری نمی‌شود پس در فهرست باقی می‌ماند و به سر فهرست نمی‌آید. در قسمت d راس z راس x را دنبال می‌کند پس تخلیه می‌شود و به ارتفاع ۱ برچسب‌گذاری می‌شود و همهٔ ۸ مقدارش به راس t می‌رود سپس به ابتدا ی فهرست l می‌رود چرا که برچسب‌گذاری شده حال در قسمت e راس y راس z را دنبال می‌کند پس راس y باید تخلیه شود ولی چون هیچ جریان اضافی ندارد راس x تخلیه می‌شود و y سر جایش در فهرست باقی می‌ماند. ولی چون x هم جریانی ندارد آن هم در فهرست می‌ماند و این الگوریتم به ته فهرست L می‌رسد و تمام می‌شود. هیچ راسی با جریان اضافی نداریم پس جریان بالا بیشینه جریان است. به همین ترتیب توسط الگوریتم بالا بیشینه شاره را با زمان formula_42 پیدا کردیم.
پیاده‌سازی با پایتون:
توجه داشته‌باشید که پیاده‌سازی بالا چندان کارآمد نیست. این پیاده‌سازی از [[الگوریتم ادموند-کارپ]] حتی برای گراف‌های پرتراکم کندتر است. [[رده:الگوریتم‌ها]] [[رده:الگوریتم‌های گراف]] [[رده:شبکه شاره]] [[رده:نظریه گراف]]