مقدارویژه و بردارویژه
در جبر خطی، یک بردارویژه یا بردار مشخصه یک تبدیل خطی، یک بردار ناصفر است که وقتی آن تبدیل خطی رویش اعمال شود، حاصل برابر اسکالری ضرب در آن بردار خواهد بود (این کار باعث تغییر مقیاس، یا تغییر اندازه بردار می‌شود، ولی جهت آن را تغییر نمی‌دهد). مقدارویژه متناظر با یک بردار ویژه که اغلب به صورت formula_1 نشان داده می‌شود، همان اسکالری است که در توصیف بردار ویژه ضرب شد.
از نظر هندسی، یک بردارویژه متناظر با یک مقدارویژه حقیقی ناصفر، به سمتی اشاره می‌کند که توسط تبدیل خطی مورد نظر کشیده می‌شود، همچنین مقدارویژه متناظر با این بردار ویژه نیز فاکتوری است که توسط آن کشیدگی صورت گرفته. اگر مقدارویژه منفی باشد، جهت برعکس می‌شود. به بیان نادقیق، در فضای برداری چند بعدی، بردارویژه دوران نمی‌کند.
اگر formula_2 یک تبدیل خطی از فضای برداری formula_3 به خودش، روی میدانی چون formula_4 باشد، و formula_5 یک بردار ناصفر در formula_3 باشد، آنگاه formula_5 یک بردارویژه formula_2 است اگر formula_9 ضریب اسکالری از formula_5 باشد. بدین شکل:
که در آن formula_1 یک اسکالر در formula_4 است که به آن مقدارویژه، مقدار مشخصه یا ریشه مشخصه متناظر با formula_5 نیز می‌گویند.
برای یک پایه خاص، تناظر مستقیمی بین ماتریس‌های مربعی n-در-n و تبدیلات خطی از یک فضای برداری n-بعدی به خودش وجود دارد. ازین رو، در یک فضای برداری متناهی-بعدی، به‌طور معادل می‌توان مقادیر و بردار ویژه‌ها را با استفاده از زبان ماتریس‌ها یا زبان تبدیلات خطی توصیف نمود.
اگر formula_3 یک فضای برداری متناهی-بعدی باشد، تعریف فوق معادل است با:
که در آن formula_17 نمایش ماتریسی formula_2 و formula_19 بردار مختصاتی formula_5 است.
مقدارویژه و بردارویژه اغلب در تحلیل تبدیلات خطی بروز پیدا می‌کنند. پیشوند انگلیسی "-eigen" در انگلیسی از کلمه "eigen" آلمانی گرفته شده (هم‌خانواده با کلمه انگلیسی "own") که در آلمانی به معنای «مناسب»، «مشخصه»، «خود» می‌باشد. در اصل، از این مفاهیم جهت مطالعه محورهای اصلی دوران اجسام صلب استفاه می‌شد، اما بعد کاربردهای گسترده‌تری چون این موارد پیدا کردند: تحلیل پایداری، تحلیل ارتعاش، اوربیتال‌های اتمی، تشخیص چهره و قطری سازی ماتریس.
اساساً بردار ویژه ای چون formula_21 از یک تبدیل خطی formula_2، برداری ناصفر است با این ویژگی که اگر formula_2 بر آن اعمال شود، تغییر جهت ندهد. اعمال formula_2 به بردارویژه مورد نظر، تنها مقیاس بردار ویژه را به نسبت formula_1 تغییر می‌دهد (یعنی طول آن را تغییر می‌دهد)، به formula_1 مقدارویژهٔ بردارویژه formula_21 گویند. این شرط را می‌توان با معادله زیر بیان کرد:
که به آن معادله ویژه گویند. در کل، formula_1 ممکن است هر اسکالری باشد. به عنوان مثال، formula_1 ممکن است منفی باشد، در این صورت، بردارویژه جهت تحت تغییر مقیاس تغییر جهت می‌دهد، همچنین مقدار ویژه ممکن است صفر یا یک عدد مختلط باشد. تصویر مونا لیزا در اینجا، مثالی تصویری و شهودی ازین بحث است. تبدیل خطی در این مثال را نگاشت برشی می‌نامند. نقاط نیمه بالایی به سمت راست جابجا شده‌اند و نقاط نیمه پایینی به سمت چپ. میزان جابجایی نقاط متناسب با این است که به چه میزان از محور افقی فاصله دارند؛ بنابراین بردارهایی که به هر نقطه از تصویر اصلی اشاره کرده بودند، با این تبدیل (بسته به موقعیتشان) طولانی‌تر یا کوتاه‌تر می‌شوند. نقاطی که در طول محور افقی قرار دارند هیچ تغییر موقعیتی نمی‌دهند و جابجا نمی‌شوند؛ لذا، هر برداری که مستقیماً به راست یا چپ اشاره کنند و مؤلفه عمودیشان صفر باشد، بردار ویژه ای برای این تبدیل محسوب می‌شوند، چون تحت این تبدیل تغییر جهت نمی‌دهند. به علاوه، چنین نگاشتی باعث تغییر طول نیز نمی‌شود.
در فضاهای برداری متناهی، می‌توانیم مسئله مقدارویژهٔ را به شیوهٔ ضرب ماتریسی بنویسیم. ماتریس مربعی formula_31 نگاشت خطی است. بردار ناصفر formula_32 را بردارویژه formula_31 و عدد formula_34 را مقدارویژه آن می‌گوییم، چنانچه معادله ماتریسی زیر بین آن‌ها برقرار باشد: formula_35 در معادله ماتریسی حاضر دو مجهول وجود دارد: بردارویژه formula_32 و مقدارویژه formula_34. پس حل یکتایی برای آن وجود ندارد.
برای نمونه:
ماتریس زیر را در نظر می‌گیریم:
معادله ماتریسی بالا خواهد شد:
ابتدا معادله را به صورت همگن درآورده و بردار
را که قرار است بردار ویژه ما باشد در فاکتور قرار می‌دهیم:
در واقع ما از ماتریس همانی (یکه) دوبعدی به‌خاطر حفظ طبیعت ماتریسی جمله‌ها استفاده کرده‌ایم. پس از ضرب formula_39 در ماتریس همانی و تفریق دو ماتریس داریم:
معادله ماتریسی حاصل حالتی خاص دارد. به منظور مقایسه و جهت وضوح در ادامه، معادله اسکالر بسیار ساده زیر را در نظر می‌گیریم:
که در اینجا formula_40 عددی ثابت است. متغیر مجهول formula_41، تنها و تنها، زمانی جواب غیر از صفر اختیار می‌کند که داشته باشیم:
که در این صورت، هر عددی جواب این معادله است.
برای معادله ماتریسی هم درست همین حالات را داریم؛ یعنی، برای وجود جواب‌های غیر صفر به بردار ویژه
لازم است که دترمینان ماتریس ضرایب صفر شود، و اقناع همین شرط است که به شکل‌یابی معادله مشخصه ماتریس formula_43 می‌انجامد. پس، داریم:
با حل این معادله درجه دوم دو جواب زیر برای دو مقدار ویژه ماتریس مفروض به‌دست می‌آیند:
تجزیه مقادیر ویژه را می‌توان تکنیکی بسیار مؤثر و قوی در تبدیل پیچیدگی به سادگی دانست. با نگاهی دقیق به این معادله می‌شود رمز این توانائی را تا حدودی دید:
ضرب ماتریس formula_31 در بردار formula_32 در سمت چپ (عملی سنگین) به ضرب تنها و تنها یک اسکالر ساده در همان بردار (عملی سبک و سریع) در سمت راست تقلیل یافته‌است.
اگر قرار باشد بردار A در ماتریس T به میزان n بار ضرب شود عمل به توان رساندن T از نظر محاسباتی بسیار پرهزینه و زمان‌بر است. اگر ماتریس T قطری باشد به توان رساندن ماتریس T برابر با، به توان‌رساندن قطر ماتریس است. در صورتی که T قطری نباشد برای کاهش حجم محاسبات و ساده‌سازی، باید از مقدار ویژه و بردار ویژه استفاده کرد.
توابع پیوسته ریاضی را می‌توان بردارهایی با تعداد بی‌نهایت مؤلفه در نظر گرفت، که در فضایی بی‌نهایت بعدی جای گرفته باشد. عمل‌گرهای قابل اعمال بر این‌گونه بردارها هم بی‌نهایت بعدی بوده و استفاده از مقدار ویژه‌های آن‌ها نقشی کارسازتر و پراهمیت‌تر به خود می‌گیرد.
به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم: formula_46 در این‌جا عمل‌گر formula_47 بر روی تابع مشتق‌پذیر formula_48 عمل نموده و تابع formula_49 را به دست داده‌است.
مقدارهای ویژه مرتبط با آن به همان صورتی که در مورد ماتریس‌ها دیدیم معرفی می‌شوند: formula_50 در این‌جا به سبب بی‌نهایت بودن بعد فضا، به جای بردار ویژه، عبارت تابع ویژه را داریم. در واقع در جستجوی توابعی هستیم که مشتق مرتبه اول آن‌ها مضربی از خودشان است. با اندکی توجه در می‌یابیم که عمومی‌ترین پاسخ در این‌جا عبارت است از: formula_51 چرا که داریم: formula_52 از همین نقطه است که مهم‌ترین و فراگیرترین تبدیل فیزیک ریاضی -تبدیل فوریه- تولد می‌یابد.