زاویه محاطی
زاویهٔ محاطی در هندسه هنگامی ساخته می‌شود که دو خط گذرا از روی دایره (یا در تباهیدگی یک خط قطع کننده و یک خط مماس) با یکدیگر روی پیرامون دایره برخورد کنند.
به بیان ساده‌تر اگر یک زاویه درون یک دایره باشد و ضلع‌های زاویه، دو وتر از دایره باشد که با هم یک نقطهٔ مشترک دارند، چنین زاویه‌ای زاویهٔ محاطی نام دارد. در کتاب سوم اصول اقلیدس، گزاره‌های ۲۰ تا ۲۲، ویژگی‌های این زاویه گفته شده‌است. اگر یک زاویهٔ مرکزی و یک زاویهٔ محاطی هر دو یک کمان از دایره را دربرداشته باشند، اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف زاویهٔ مرکزی خواهد بود.
اگر "O" مرکز دایره باشد، دو نقطهٔ بر روی محیط دایره انتخاب کنید و آن‌ها را به ترتیب "V" و "A" بنامید. "V" را به "O" وصل کنید و آن را ادامه دهید تا با پیرامون دایره در نقطهٔ "B" برخورد کند. چون این خط از مرکز دایره گذشته‌است پس قطر دایره‌است در نتیجه "V" در یک سوی قطر و "B" در سوی دیگر آن جای گرفته‌است. حال زاویه‌ای بکشید که راس آن در نقطهٔ "V" باشد و دو لبهٔ آن از "A" و "B" بگذرد.
نقطهٔ "A" را به "O" وصل کنید. زاویهٔ "BOA" یک زاویهٔ مرکزی است. آن را "θ" بنامید. دو پاره خط "OA" و "OV" با هم برابرند چون هر دو شعاع دایره‌اند. پس مثلث "VOA" متساوی‌الساقین است. در نتیجه دو زاویهٔ "BVA" (زاویهٔ محاطی) و "VAO" با هم برابرند. هر دوی این زاویه‌ها را "ψ" می‌نامیم.
زاویه‌های "BOA" و "AOV" با هم مکمل اند و مجموع آن‌ها ۱۸۰ درجه می‌شود. چون خط "VB" از "O" می‌گذرد و یک خط راست است پس اندازهٔ زاویهٔ "AOV" از رابطهٔ بدست می‌آید.
از سوی دیگر می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه‌است. سه زاویهٔ داخلی مثلث "VOA" عبارتند از: . بنابراین:
۱۸۰° را از دو سوی تساوی کم می کنیم.
که در آن "θ" زاویهٔ مرکزی کمان "AB" است و "ψ" زاویهٔ محاطی همان کمان است که اندازه‌ای برابر با نصف آن دارد.
دایره‌ای با مرکز "O" را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ و "D" را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط "VC" و "VD" را بکشید. زاویهٔ "DVC" یک زاویهٔ محاطی است. حال خط "VO" را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ "E" برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی "DVC"، کمان "DC" نام دارد.
کمان "DC" نقطهٔ "E" را در بر می‌گیرد و می‌دانیم که این نقطه بر روی قطری از دایره قرار دارد. از سوی دیگر زاویه‌های "DVE" و "EVC" هر دو زاویهٔ محاطی‌اند. در بخش پیشین بدست آوردیم که اگر یک ضلع زاویهٔ محاطی از مرکز دایره بگذرد اندازهٔ آن برابر نصف کمان روبروی آن است. حال از داده‌های بخش پیشین بهره می‌گیریم:
پس داریم:
نتیجه می‌گیریم:
حال خط‌های "OC" و "OD" را می‌کشیم. زاویهٔ "DOC" یک زاویهٔ مرکزی است. همچنین زاویه‌های "DOE" و "EOC" هم زاویه‌های مرکزی‌اند؛ و می‌دانیم:
اگر فرض کنیم:
آنگاه:
پیشتر از بخش یک می‌دانیم که formula_13 و formula_14 با توجه به تمامی این داده‌ها و معادلهٔ (۲) بدست می‌آوریم که:
با توجه به رابطهٔ (۱) خواهیم داشت:
دایره‌ای با مرکز "O" را در نظر بگیرید. سه نقطهٔ و "D" را بر روی آن برگزینید. دو پاره خط "VC" و "VD" را بکشید. زاویهٔ "DVC" یک زاویهٔ محاطی است. حال خط "VO" را بکشید و آن را ادامه دهید تا با سوی دیگر دایره در نقطهٔ "E" برخورد کند. کمان روبرو به زاویهٔ محاطی "DVC"، کمان "DC" نام دارد.
می‌دانیم که نقطهٔ "E" که بر روی قطری از دایره جای دارد. همچنین می‌دانیم که زاویه‌های "DVE" و "EVC" هم زاویه‌هایی محاطی‌اند. در بخش‌های پیشین نشان دادیم که اندازهٔ زاویهٔ محاطی که ضلعش از روی مرکز دایره بگذرد برابر نصف کمان روبرویش است. پس خواهیم داشت: اگر فرض کنیم: آنگاه
خط‌های "OC" و "OD" را بکشید. زاویهٔ "DOC" یک زاویهٔ مرکزی است همچنین می‌دانیم که زاویه‌های "DOE" و "EOC" هم زاویه‌هایی مرکزی‌اند. با توجه به آنکه
اگر فرض کنیم آنگاه خواهیم داشت:
با توجه به نکته‌هایی که در بخش یک گفته شد می‌دانیم که formula_13 و formula_28 است. با توجه به این تساوی‌ها و رابطهٔ (۴): پس، از رابطهٔ (۳) خواهیم داشت: