میدان شکافنده
در جبر مجرد، میدان شکافنده برای یک چندجمله‌ای با ضرایب موجود در میدان، کوچکترین توسیع میدانی برای آن میدان است که در آن چندجمله‌ای به جدا یا تجزیه می‌شود.
میدان شکافنده برای یک چندجمله‌ای در میدان F میدان توسیع یافته از F است که شامل ریشه‌های چندجمله‌ای نیز هست، درحقیقت کوچک‌ترین میدانی است که شامل میدان F و تمام ریشه‌های چندجمله‌ای مورد نظر می‌باشد. به عبارت دیگر چندجمله‌ای موردنظر در این میدان به عبارت‌های درجه یک تجزیه می‌شود.
یک میدان شکافنده برای یک چندجمله‌ای "p"("X") روی یک میدان "K" برابر توسیع میدان "L" برای "K" است که در آن "p" به عوامل خطی عامل‌بندی می‌شود
که در آن formula_2 است و برای هر formula_3 داریم formula_4 که "a"ها الزاماً متمایز نیستند به این حالت که ریشه‌های a، میدان L را روی K تولید می‌کند. توسیع L یک گسترش با درجه کمینه روی K است که در آن p قابل تجزیه است. می‌توان نشان داد که میدان‌های شکافنده وجود دارد و نیز این میدان به دلیل یکریختی یکتا است. میزان آزادی در آن یکریختی را گروه گالوا برای p می‌نامیم (اگر فرض کنیم که است).
یک گسترش "L" که یک "p"("X") روی "K" است یک توسیع نرمال برای "K" نامیده می‌شود.
اگر به ما یک میدان بسته جبری "A" داده شود که شامل "K" باشد، یک میدان شکافنده یکتا "L" از "p" بین "K" و "A" موجود است، که توسط ریشه‌های "p" تولید شده‌است. اگر "K" یک زیرمیدان از اعداد مختلط باشد، وجود این میدان شکافنده بدهی است. از جهت دیگر، وجود بستارهای جبری توسط «انتقال به حد»، از میدان شکافنده اثبات می‌شود، که نیاز به یک اثبات مستقل دارد تا از جلوگیری شود.
اگر به ما یک "K"′ از "K" داده شود، بستار گالوا "L" از "K"′ نوعی میدان شکافنده است، و بنابراین یک توسیع گالوا از "K" است که شامل "K"′ بوده که به صورت بدیهی کمینه است. چنین بستار گلویسی باید شامل یک میدان شکافنده برای همه چندجمله‌ای‌های "p" روی "K" باشد که چندجمله‌ای‌های کمینه روی "K" از عناصر "a" از "K"′ است.
از زمان یونان باستان، یافتن ریشه‌های چندجمله‌ای‌ها یک مسئله مهم بوده‌است. با این حال، بعضی از چندجمله‌ای‌ها (مثل روی ، یعنی اعداد حقیقی)، هیچ ریشه‌ای ندارد. با ساخت میدان شکافنده برای چنین چندجمله‌ای می‌توان ریشه‌های چندجمله‌ای را در میدان جدید یافت.
فرض کنید "F" یک میدان باشد، و "p"("X") یک چندجمله‌ای در حلقه چندجمله‌ای "F"["X"] از درجه "n" باشد. فرایند کلی برای ساخت "K"، یعنی میدان شکافنده "p"("X") روی "F"، آن است که یک زنجیره از میدان‌ها را به صورت formula_5 بسازیم، به این صورت که "K" یک گسترش برای "K" باشد که شامل یک ریشه جدید از "p"("X") است. به دلیل آنکه "p"("X") حداکثر "n" ریشه دارد، این ساخت حداکثر نیاز به "n" گسترش دارد. گام‌های ساخت "K" به این صورت است:
عامل غیرقابل‌تجزیه "f"("X") که در ساخت خارج‌قسمت استفاده شده‌است، می‌تواند به صورت اختیاری انتخاب شود. اگرچه انتخاب‌های متفاوت از عوامل ممکن است منجر به ترتیب‌های زیرمیدان متفاوتی شود، اما میدان‌های شکافنده نتیجه شده یکریخت هستند.
به این دلیل که "f"("X") غیرقابل‌تجزیه است، ("f"("X")) یک ایده‌آل بیشینه برای "K"["X"] است و "K"["X"]/("f"("X")) در واقع یک میدان است. بعلاوه، اگر فرض کنیم که formula_7 یک تصویر طبیعی از حلقه به خارج‌قسمت آن باشد، آنوقت از این‌رو π("X") یک ریشه برای "f"("X") و "p"("X") است.
درجه یک گسترش منفرد formula_9 برابر درجه عامل غیرقابل‌تجزیه "f"("X") است. درجه گسترش ["K" : "F"] توسط رابطه formula_10 داده می‌شود و حداکثر برابر "n"! است.
همان‌طور که در بالا ذکر شد، حلقه خارج‌قسمت "K" = "K"["X"]/("f"("X")) موقعی یک میدان است که "f"("X") غیرقابل‌تجزیه باشد. عناصر آن به این حالت است
که در آن "c" در "K" هستند و α = π("X") است. (اگر "K" را به صورت یک فضای برداری روی "K" درنظر بگیریم، آنوقت توان‌های α برای یک پایه می‌سازد.)
عناصر "K" را می‌توان چندجمله‌ای‌هایی در α از درجه کمتر از "n" درنظر گرفت. جمع در "K" توسط قواعدی برای جمع چندجمله‌ای و ضرب توسط ضرب چندجمله‌ای در پیمانه "f"("X") به دست می‌آید؛ یعنی، برای "g"(α) و "h"(α) در "K" حاصلصرب برابر "g"(α)"h"(α) = "r"(α) است که در آن "r"("X") برابر باقیمانده "g"("X")"h"("X") تقسیم بر "f"("X") در "K"["X"] است.
باقیمانده "r"("X") توسط تقسیم طولانی چندجمله‌ای‌ها قابل محاسبه است، با این حال، یک قاعده کاهشی مستقیم وجود دارد که می‌توان از آن برای محاسبه "r"(α) = "g"(α)"h"(α) به صورت مستقیم استفاده کرد. اول فرض کنید
این چندجمله‌ای روی یک میدان است از این رو می‌توان بدون فقدان عمومیت، "f"("X") را تکین درنظر گرفت. اکنون α یک ریشه برای "f"("X") است، بنابراین
اگر حاصلضرب "g"(α)"h"(α) یک جمله α با داشته باشد، آن را به صورت زیر می‌توان کاهش داد:
به عنوان یک مثال از قاعده کاهشی، فرض کنید "K" = Q["X"] برابر حلقه چندجمله‌ای‌ها با ضرایب گویا باشد، و فرض کنید "f"("X") = "X" − ۲ باشد. فرض کنید formula_15 و "h"(α) = α +1 دو عنصر Q["X"]/("X" − ۲) باشد. قاعده کاهشی که توسط "f"("X") داده می‌شود برابر است با α = ۲ بنابراین
حلقه چندجمله‌ای R["x"] و را درنظر بگیرید. حلقه خارج‌قسمتی توسط داده می‌شود. درنتیجه، عناصر دارای حالت هستند، که در آن "a" و "b" به R تعلق دارند. برای فهم مطلب، توجه کنید که به این دلیل که در نتیجه , ، ، و غیره. و از این رو، برای مثال است.
عملیات‌های جمع و ضرب به این شیوه به دست می‌آید که اول از جمع و ضرب معمولی استفاده می‌کنیم، و سپس توسط هم‌نهشتی به پیمانه آن را کاهش می‌دهیم، یعنی به کمک این واقعیت که ، , ، و غیره؛ بنابراین: اگر ما را با ("a","b") تعیین نماییم، آنوقت می‌توان فهمید که جمع و ضرب توسط این روابط به دست می‌آید
می‌توان ادعا کرد که، به عنوان یک میدان، خارج‌قسمت با اعداد مختلط C یکریخت است. یک عدد مختلط معمول، حالت را دارد که در آن "a" و "b" اعداد حقیقی هستند و است. جمع و ضرب توسط زیر به دست می‌آید
اگر را با ("a","b") تعیین کنیم، آنوقت می‌توان فهمید که جمع و ضرب به صورت زیر به دست می‌آید
محاسبات قبل نشان می‌دهد که جمع و ضرب در و C به یک روش رفتار می‌کنند. در واقع، می‌توان دید که تناظر بین و C که توسط داده می‌شود، یک همریختی در رابطه با جمع و ضرب است. بدیهی است که تناظر هم یک‌به‌یک و هم پوشا است؛ یعنی یک همریختی دو سویه است، که یعنی یک یکریختی است. این منجر به این می‌شود که، همان‌طور که ادعا کردیم:
در ۱۸۴۷ کوشی از این دیدگاه برای تعریف اعداد مختلط استفاده کرد.
فرض کنید میدان اعداد گویا و باشد. هر ریشه برابر ضربدر یک ریشه مکعبی واحد است؛ بنابراین، اگر ریشه مکعبی واحد را توسط این نشان دهیم
هر میدان شامل دو ریشه متمایز از ، شامل خارج‌قسمت بین دو ریشه مکعبی متمایز از واحد هم خواهد بود. این خارج‌قسمت یک «ریشه مکعبی اساسی واحد» (یا ω یا formula_28) است. این منجر به آن می‌شود که میدان شکافنده از شامل ω شود، همچنین شامل حقیقی از ۲ باشد؛ به صورت برعکس، هر توسیع از که شامل این عناصر باشد، شامل همه ریشه‌های خواهد بود؛ بنابراین
توجه کنید که برای اعمال طرح «فرایند ساخت» بخش قبل، به این مثال، باید با formula_30 شروع کنیم و میدان formula_31 را بسازیم. این میدان، یک میدان شکافنده نیست، بلکه شامل یک ریشه است. با این حال، چندجمله‌ای formula_32 روی formula_33 قابل کاهش نیست، و در واقع:
توجه کنید که formula_35 یک نامعین نیست، و در واقع یک عنصر از formula_33 است. اکنون، با ادامه فرایند، به formula_37 می‌رسیم، که در واقع یک میدان شکافنده است و توسط formula_38-مبنا formula_39 پوشش داده می‌شود. توجه کنید که اگر این را با فرمول formula_40 بالا مقایسه کنیم، می‌توان یافت که formula_41 و formula_42 است.