چانه‌زنی
چانه‌زنی یا به‌طور عامیانه‌تر چک و چانه زدن اصطلاحاً به معنی اصرار هر یک از دو طرف معامله در مراعات سود خویش است. سماجت فروشنده در پایین نیاوردن قیمت جنس و تقاضای مکرر خریدار در کاستن بهای آن و گفتگوی فروشنده و مشتری بر سر بهای جنس مورد معامله را چانه‌زنی می‌گویند.
در اقتصاد دو دلیل اصلی برای مطالعه وضعیت‌های چانه‌زنی وجود دارد. اولین دلیل کاربردی این است که بسیاری از فعالیت‌های مهم و مورد علاقه بشر (فعالیت‌های اقتصادی، اجتماعی و سیاسی) در قالب وضعیت‌های چانه زنی هستند.
در زمینه اقتصاد، مبادلات اقتصادی که بیشتر فعالیت‌های اقتصادی انسان‌ها را تشکیل می‌دهند، وضعیت چانه زنی هستند. در عرصه اجتماعی شرایط چانه زنی بسیاری در رابطه زوج‌ها با هم وجود دارد. در حیطه سیاست، به توافق رسیدن نمایندگان احزاب مختلف مجلس در مورد یک لایحه، بیانگر وضعیت چانه زنی است. دومین دلیل نظری مطالعه نظریه چانه زنی درک شرایطی است که در توسعه تئوری اقتصاد بازارها، اساسی هستند.
نظریه چانه‌زنی به مطالعه وضعیت‌های چانه زنی می‌پردازد. نظریه بازی‌ها ابزار مناسبی برای مطالعه این وضعیت‌ها که نقش مهمی در زندگی بشر ایفا می‌کنند در اختیارمان قرار می‌دهد. ابتدا با یک مثال یک وضعیت چانه زنی را تعریف می‌کنیم. فرض کنید فرد formula_1، خانه‌ای دارد که ارزش این خانه برای او ۵۰ میلیون تومان است (کمترین قیمتی که او حاضر است خانه‌اش را بفروشد ۵۰ میلیون تومان می‌باشد) و ارزش این خانه برای فرد formula_2، ۷۰ میلیون تومان است (بیشترین قیمتی که او حاضر است خانه را از فرد formula_1 بخرد ۷۰ میلیون تومان می‌باشد). اگر معامله بین فرد formula_1 و formula_2 در قیمتی بین ۵۰ میلیون تومان و ۷۰ میلیون تومان صورت گیرد، هر دوی آن‌ها از این معامله سود خواهند کرد؛ بنابراین هر دو انگیزه دارند که معامله انجام شود. اما هرچه قیمت بیشتر باشد به نفع فروشنده formula_1 و هرچه قیمت کمتر باشد به نفع خریدار formula_2 خواهد بود؛ بنابراین علاوه بر اینکه هر دو انگیزه دارند این معامله صورت بگیرد، دارای منافع متضاد در محدوده قیمت معامله نیز هستند. هر مبادله‌ای بین دو نفر (دو سازمان)، مانند مثال بالا، که برای طرفین مبادله سود به همراه داشته باشد ولی منافع آن‌ها روی یکی از اجزای مبادله به نوعی متضاد باشد، معرف یک وضعیت چانه زنی خواهد بود. به‌طور کلی یک وضعیت چانه زنی، وضعیتی است که دو طرف معامله (دو بازیکن)، انگیزه مشترکی برای همکاری دارند ولی دارای ترجیحات متضادی در مورد اینکه چگونه این همکاری شکل بگیرد هستند. در واقع بازیکنان متقابلاً از توافق روی یکی از نتایج ممکن معامله، نسبت به عدم توافق سود می‌برند ولی انگیزه‌های آن‌ها روی مجموعه خروجی‌های امکان‌پذیر این معامله متضاد است. چانه زنی به‌طور معمول فرایندی زمان بر است که در آن طرفین پیشنهادهایی به یکدیگر می‌دهند و در مورد پذیرش پیشنهاد همتای خود فکر می‌کنند. اگر بازیکنان عاملی در اختیار داشته باشند که به آن‌ها در رسیدن به توافق کمک کند (برای مثال این عامل می‌تواند اطلاعاتی در مورد ترجیحات بازیکن دیگر یا کسی باشد که وظیفه اش جوش دادن معامله باشد) در این صورت توافق آن‌ها حاصل چانه زنی نبوده و از محدوده نظریه چانه زنی خارج می‌شود. توجه اصلی نظریه چانه زنی، خصوصیات توزیع خروجی معامله و به‌طور خاص بهینه بودن خروجی است. به عنوان مثال اگر در یک وضعیت چانه زنی طرفین به توافق نرسند، با توجه به تعریف چانه زنی، این خروجی بهینه نخواهد بود. همچنین اگر بازیکنان بعد از تأخیری که برای آن‌ها هزینه به همراه دارد مبادله کنند خروجی، بهینه نخواهد بود. توافق حقوق به دست آمده پس از کاهش چشم گیر تولید به دلیل اعتصاب کارگران یا به امضا رسیدن توافق صلح بعد از مرگ انسان‌ها در جنگ، مثال‌هایی برای خروجی غیر بهینه چانه زنی هستند.
یک وضعیت چانه زنی غالباً یک بازی است که خروجی (outcome) آن به استراتژی‌های چانه زنی هر دو بازیکن بستگی دارد. اینکه توافق صورت می‌گیرد یا نه و اگر صورت می‌گیرد، جزئیات این توافق، همگی بستگی به رفتار هر دو بازیکن در روند چانه زنی خواهد داشت؛ بنابراین طبیعی است که برای مطالعه وضعیتهای چانه زنی از نظریه بازی استفاده کنیم. به‌طور خاص یک وضعیت چانه زنی را می‌توان به صورت یک بازی شاخه‌ای (Extensive form game) در نظر گرفت. اگر اطلاعات نامتقارن بین طرفین وجود نداشته باشد، در حالت استاتیک می‌توان تعادل نش (Nash Equilibrium) بازی را بررسی کرد و در حالت دینامیک، تعادل‌های نش زیربازی‌های (Subgame nash equilibrium) آن قابل بررسی هستند. همچنین اگر بازی دارای اطلاعات نامتقارن باشد، در حالت استاتیک، تعادل‌های نش بیزی (Baysian Nash Equilibrium) و در حالت دینامیک تعادل‌های نش بیزی کامل بازی (Perfect Baysian Nash Equilibrium) قابل بررسی هستند.
یک جواب چانه زنی را به نوعی می‌توان فرمولی تفسیر کرد که خروجی یکتایی برای هر وضعیت چانه زنی ای که متعلق به یک رده خاص است مشخص می‌کند. در این مقاله جواب‌های چانه زنی ای را مطالعه خواهیم کرد که توسط جان نش (John Nash) در سال ۱۹۵۰ معرفی شده‌اند. جواب نش چانه زنی با یک فرمول نسبتاً ساده معرفی می‌شود که قابل اعمال روی رده‌ای گسترده از وضعیت‌های چانه زنی می‌باشد. جواب‌های نش دارای اساس استراتژیک هستند و مدل‌های قابل پذیرش مختلفی در قالب نظریه بازی برای وضعیت‌های چانه زنی موجود است که درجه اهمیت جواب‌های نش را تصدیق می‌کنند. به‌طور کلی جواب نش یک وضعیت چانه زنی، توافقی است که طی آن حاصل ضرب مطلوبت افراد، بیشینه می‌شود. نکته قابل توجه توافق نش، بهینه پرتو بودن آن است. به این مفهوم که نمی‌توان به توافقی دست یافت که مطلوبیت هر دوی بازیکنان بیشتر از مطلوبیت حاصل از توافق نش برای آنان باشد.
دو بازیکن formula_8 با یکدیگر برای تقسیم کیکی با سایز formula_9 چانه می‌زنند. مجموعه توافق‌های ممکن آن‌ها به صورت formula_10 می‌باشد به طوری که formula_11 به ترتیب، سهم فرد formula_8 از کیک است. برای هر formula_13، مطلوبیت فرد formula_14 از به دست آوردن سهم formula_15 از کیک برابر است با formula_16. به طوری که formula_17 (تابع مطلوبیت فرد formula_14) تابعی اکیداً صعودی و مقعر(concave) است. اگر بازیکنان به توافق نرسند، آنگاه بازیکن formula_14 مطلوبیتی به اندازه formula_15 به دست خواهد آورد به طوری که formula_21. همچنین توافق formula_22 وجود دارد که formula_23 است، تا مطمئن شویم یک توافق سودآور برای طرفین موجود است و این مسئله در قالب چانه زنی قرار دارد. زوج مطلوبیت formula_24 نقطه عدم توافق (Disagreement point) نام دارد. برای تعریف جواب نش این وضعیت چانه زنی ابتدا مجموعه همه جفت مطلوبیت‌های ممکن که با توافق طرفین قابل دستیابی هستند را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
formula_25
مطلوبیت دلخواه formula_15 را برای بازیکن formula_27 ثابت در نظر بگیرید به طوری که formula_28 باشد. طبق فرض اکیداً یکنوا بودن formula_15، سهم یکتای formula_13 از کیک وجود دارد که formula_31، یعنی formula_32. formula_33 تابع وارون formula_15 می‌باشد که تابعی اکیداً صعودی و محدب با دامنه formula_35 و برد formula_36 است. بنابراین formula_37 مطلوبیتی خواهد بود که نصیب formula_2 می‌شود، اگر formula_27 مطلوبیت formula_15 را انتخاب کند. پس: formula_41
در واقع formula_42، نمودار(Graph) تابع formula_43 خواهد بود. لم:نابع formula_44 تابعی اکیداً نزولی و مقعر است. اثبات: مطلوبیت‌های دلخواه formula_45 را برای بازیکن formula_27 ثابت در نظر بگیرید به طوری که formula_47. formula_33 اکیداً صعودی است، پس formula_49 و این نتیجه می‌دهد که formula_50، بنابراین formula_51 و این یعنی formula_44 اکیداً نزولی است. حال formula_53 را ثابت در نظر بگیرید.formula_15 مقعر است، پس:
formula_55
که:
formula_56
حال چون formula_33 محدب است، پس:
formula_58
که:
formula_59
formula_60
حال چون formula_15 اکیداً صعودی است، با توجه به روابط فوق نتیجه می‌شود:
formula_62
و این یعنی formula_44 تابعی مقعر است. اکنون به بررسی جواب نش این مدل چانه زنی می‌پردازیم. جواب نش چانه زنی (Nash Bargaining Solution-NBS) وضعیت چانه زنی تقسیم کیک، زوج مطلوبیت یکتای formula_64 است که مسئله بهینه‌سازی زیر را حل می‌کند:
formula_65
به طوری که:formula_66 مسئله بهینه‌سازی فوق دارای جواب یگانه‌ای است، زیرا عبارت formula_67 پیوسته و اکیداً شبه مقعر(Strictly Quasi-concave) است، formula_44 اکیداً نزولی و مقعر است و مجموعه formula_69 ناتهی است. حال چون formula_70، پس در جواب نش(NBS)، بازیکنان به توافق formula_71 خواهند رسید. حال سعی می‌کنیم با استفاده از شرایط مشتق مرتبه اول جواب نش را بیشتر بشناسیم: چون جواب نش formula_64 طوری است که formula_70، پس:
formula_74
بنابراین طبق شرایط مشتق مرتبه اول خواهیم داشت:
formula_75
تساوی‌های فوق به‌طور شهودی به این مفهوم هستند که جواب نش نقطه‌ای است که در آن یکی از منحنی‌های هم مقدار formula_67 (مقدار ثابتformula_77) بر منحنی تابع formula_44 مماس می‌شود.
فرد formula_79 می‌تواند مقدار ثابتی(formula_9) پول را بدزدد. اگر او اقدام به دزدیدن پول کند، با احتمال formula_81 توسط پلیس formula_82 دستگیر خواهد شد. این پلیس فاسد است و در صورت دستگیری formula_79 با او روی مقدار رشوه‌ای که formula_79 باید پرداخت کند (formula_85) تا جرمش گزارش نشود چانه خواهد زد. مجموعه امکان‌پذیر توافق‌ها در این چانه زنی مجموعه تقسیم‌های مختلف پول دزدیده شده به دو قسمت است. یعنی این مجموعه برابر است با:formula_86. پلیس جرم را گزارش خواهد کرد اگر و تنها اگر formula_79 با او به توافق نرسد. همچنین محتمل است که پرداخت رشوه برای formula_79 نسبت به دستگیر شدن، مناسب تر است. نقاط عدم توافق (Disagreement points) برابر formula_89 هستند که formula_90 معرف نرخ مجازات است. همچنین مطلوبیت هر یک را از به دست آوردن formula_91 واحد پول برابر formula_91 در نظر بگیرید. بنابراین:
formula_93
formula_94
حال اگر دقت کنید می‌بینید این وضعیت چانه زنی حالت خاصی از مسئله تقسیم کیک است و طبق نتایج به دست آمده از شرایط مشتق مرتبه اول خواهیم داشت:
formula_95 formula_96 formula_97 formula_98
همان‌طور که مشاهده می‌کنید نرخ مجازات رابطه‌ای مستقیم با میزان رشوه در جواب نش مسئله دارد. حال اگر formula_79 تصمیم به دزدیدن پول بگیرد با احتمال formula_81، پلیس او را می‌گیرد و به اندازه formula_101، از پول برای formula_79 باقی می‌ماند و با احتمال formula_103 توسط formula_82 دستگیر نمی‌شود و کل پول از آن او خواهد شد. پس در این حالت میانگین انتظاری(امید ریاضی) پولی که formula_79 به دست می‌آورد برابر است با:
formula_106
و اگر formula_79 پول را ندزدد هیچ پولی به دست نخواهد آورد؛ بنابراین اگر formula_108 باشد، formula_79 پول را نمی‌دزدد:
formula_110
ولی با توجه به فرضیات مدل می‌دانیم: formula_111. و این به این معنی است که formula_112 همواره از ۱ کوچکتر است و هرگز نمی‌تواند بزرگتر مساوی ۲ شود. پس جواب نش این مدل پیش‌بینی می‌کند که formula_79 قطعاً پول را خواهد دزدید و اهمیت این جواب زمانی آشکار می‌شود که آزمایش‌های انجام شده پیش‌بینی جواب نش را تصدیق می‌کنند!