انرژی پتانسیل الکتریکی
انرژی پتانسیل الکتریکی یا انرژی پتانسیل الکتروستاتیک انرژی پتانسیلی است مرتبط با نیروی‌های پایستار کولن در یک سامانهٔ تعریف‌شده از بارهای نقطه‌ای الکتریکی. انرژی پتانسیل الکتریکی و پتانسیل الکتریکی دو مفهوم کاملاً متفاوت‌اند. مرجع صفر، حالتی است که در آن دو بار نقطه‌ای منفرد در فاصلهٔ بینهایت از هم و به صورت ساکن قرار دارند. حال انرژی پتانسیل الکتریکی سامانه‌ای مانند "U" نسبت به یک مرجع صفر برابر است با: W مقدار کاری که توسط یک عامل خارجی فرضی باید انجام شود تا تک تک بارهای نقطه‌ای را از فاصلهٔ بینهایت به سمت یک سامانهٔ دلخواه با سرعت ثابت جابه‌جا کند. در این روند فرض بر این است که هیچ انرژی جنبشی در بارهای نقطه‌ای ذخیره نمی‌شود. formula_1 گاهی تصور می‌شود که انرژی پتانسیل از یک بار قرار گرفته در میدان الکتریکی ناشی می‌شود درحالی که واقعیت این است که این انرژی به کل آن سامانه که شامل مجموعه‌ای از همهٔ بارهای تولیدکنندهٔ میدان الکتریکی است برمی‌گردد. برای محاسبهٔ مقدار کار لازم برای آوردن یک بار نقطه‌ای در مجاورت سایر بارهای نقطه‌ای که خود ساکن‌اند، کافی است که بدانیم:
میدان ایجاد شده ناشی از باری که در حال جابه‌جا شدن است و مقدار بار سایر بارهای نقطه‌ای برای محاسبهٔ کار، مورد استفاده قرار نمی‌گیرند. هرچند در بسیاری از محیط‌ها از نظر ریاضی ساده‌تر است که تمام انرژی‌های ایجاد شده از تمام جفت‌بارها را با هم جمع کنیم (مانند زیر). الکتروستاتیک، تئوری بدست آمده در قرن‌های ۱۸ و ۱۹ است و فرضیاتی مانند بارهای نقطه‌ای مربوط به دانش آن دوران است. الکتروستاتیک یک تئوری کامل برای تمام ذرات باردار فیزیکی که جهان فیزیکی را می‌سازد نیست؛ ذراتی که در اصل عدم قطعیت هایزنبرگ و سایر قوانین در مکانیک کوانتومی مورد بحث قرار می‌گیرند.
انرژی پتانسیل الکتریکی ایجاد شده از دو بار نقطه‌ای برابر است با انرژی پتانسیل یک بار در پتانسیل الکتریکی ایجادشده توسط دیگری. به عبارت دیگر اگر بار formula_2 پتانسیل الکتریکی formula_3 که خود تابعی از بردار مکان formula_4 است را ایجاد کند، خواهیم داشت: formula_5 هم‌چنین به بیان مشابه خواهیم داشت: formula_6 در نتیجه در حالت کلی اگر formula_7 بار الکتریکی داشته باشیم و فرض کنیم بار formula_8 دارای مکان formula_9 است، انرژی پتانسیل الکتریکی برابر خواهد بود با:
که به ازای هر "i", formula_11 برابر است با پتانسیل الکتریکی تمام بارهای نقطه‌ای موجود به جز باری که در موقعیت formula_9 قرار دارد. "توجه:" ضریب formula_13 که در ابتدای عبارت ریاضی آمده‌است، برای جلوگیری از دو بار محاسبه شدن جفت‌بارهای الکتریکی است، برای مثال فرض کنید formula_7 برابر ۲ باشد یعنی تنها یک جفت، بار الکتریکی داشته باشیم. البته اگر formula_7 برابر با تعداد جفت‌بارها بود طبیعتاً ضریب formula_13 حذف می‌شد.
انرژی پتانسیل الکتریکی سامانه‌ای که تنها شامل یک بار نقطه‌ای الکتریکی است برابر صفر است. چون در آنجا هیچ منبع پتانسیل الکتریکی در مقابل وجود ندارد که نیاز باشد یک عامل خارجی کار انجام دهد و بارهای الکتریکی را از بینهایت تا موقعیت نهایی آن جابه‌جا کند. باید امکان تعامل بین تک بار الکتریکی نقطه ای و پتانسیل الکتریکی خودش را در نظر گرفت اما چون پتانسیل الکتریکی در مکان خود تک بار الکتریکی بینهایت است در نتیجه این «خود-انرژی» از قصد برای برآورد انرژی الکتروستاتیک کل سامانه دز نظر گرفته نمی‌شود؛ به‌علاوه پتانسیل الکتریکی ایجاد شده ناشی از تک بار نقطه‌ای هیج کاری برای جابه‌جایی بار الکتریکی انجام نمی‌دهد در نتیجه می‌توان گفت پتانسیل ناشی از یک تک بار الکتریکی در این بحث از اهمیت چندانی برخوردار نیست.
در نظر بگیرید که بار الکتریکی دومی به اندازهٔ formula_17 در مجاورت بار formula_2 قرار گیرد. پتانسیل الکتریکی formula_19 ناشی از بار formula_2 برابر است با:
که "k" ثابت کولمب است که در سامانهٔ استاندارد بین‌المللی یکاها (SI) مقدار آن برابر است با:
که ثابت الکتریسته formula_23 است، بنابراین خواهیم داشت:
که "formula_25" فاصلهٔ بین دو بار نقطه‌ای است. اگر بارهای نقطه‌ای ناهم‌نام باشند انرژی پتانسیل الکتریکی منفی خواهد بود و اگر هم‌نام باشند انرژی پتانسیل الکتریکی مثبت خواهد بود. انرژی پتانسیل منفی بین دو بار ناهم‌نام به دلیل جاذبهٔ الکتریکی بین آن دو بار است یعنی برای اینکه بارها با سرعت ثابت به سمت هم منتقل شوند به دلیل حضور جاذبه، باید کار منفی توسط عامل خارجی فرضی انجام شود (نیرو در خلاف جهت جابه‌جایی) در نتیجه انرژی پتانسیل منفی خواهد بود. به دلیل مشابه انرژی پتانسیل مثبت به غلت دافعهٔ بین دو بار است.
برای سه بار نقطه‌ای یا بیشتر نیز انرژی پتانسیل الکتریکی سامانه توسط تمام کار انجام شده توسط عامل خارجی برای آوردن تک تک بارهای نقطه‌ای به سمت موقعیت نهاییشان محاسبه می‌شود؛ بنابراین خواهیم داشت:
توجه: اینجا formula_23 ضریب نفوذپذیری فضای خالی (خلاء) است. زمانی که بارها در فضایی غیر از فضای خالی یا هوا باشند ضریب نفوذپذیری برابر با formula_28 خواهد بود که k ضریب گذردهی الکتریکی (ثابت دی‌الکتریک) نام دارد، k نسیت نیروی الکتروستاتیک وارد شونده در فضای آزاد به نیروی وارد شونده به بار در محیط نسبی است.
معادلهٔ انرژی پتانسیل الکتریکی در یک توزیع بار پیوسته در حالتی که میدان الکتریکی داریم نیز قابل استفاده است.قانون گوس برای میدان الکتریکی در حالت دیفرانسیلی به شکل زیر بیان می‌شود:
که در نتیجه خواهیم داشت:
از صورت برداری اتحاد دیورژانس که به شکل زیر است استفاده می‌کنیم:
پس داریم:
با استفاده از قضیهٔ دیورژانس و این فرض که در بینهایت formula_36 است:
در نتیجه، چگالی انرژی یا انرژی در واحد حجم میدان الکتریکی برابر است با:
برخی عناصر در محیط می‌توانند صورتی از انرژی را به صورتی دیگر تبدیل کنند. مثلاً یک مقاومت الکتریکی، انرژی الکتریکی را به گرمایی تبدیل می‌کند و یک خازن آن را در یک میدان الکتریکی ذخیره می‌کند. کل انرژی پتانسیل ذخیره شده در یک خازن از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
در رابطهٔ بالا formula_41 ظرفیت خازن و formula_42 پتانسیل الکتریکی کل می‌باشد.