قاعده کرامر
در جبر خطی، قاعده کرامر روشی صریحی برای حل دستگاه معادلات خطی ای که تعداد معادلات با تعداد مجهولات برابر و دستگاه جواب منحصر بفرد دارد، است. این روش از دترمینان‌های ماتریس (مربع) ضرایب و ماتریس‌هایی که از جایگزینی یکی از ستون‌های ماتریس ضرایب با بردار سمت راست معادله بدست می‌آید، تعریف می‌گردد. این روش به نام گابریل کرامر (۱۷۰۴–۱۷۵۲) که این روش را برای تعداد دلخواهی از مجهولات در سال ۱۷۵۰ منتشر کرد. اگرچه کولین مک‌لورین نیز در سال ۱۷۴۸ برای موارد خاص این روش را منتشر کرده بود (و احتمالاً در ۱۷۲۹ نیز این روش شناخته شده بود).
دستگاهی با n معادله و n مجهول را نظر بگیرید، که بشکل ماتریسی زیر قابل نمایش است:
که در آن ماتریس formula_1، "n" در "n" و دترمینانش مخالف صفر و بردار formula_2 بردار ستونی متغیرها است.
قضیه بیان می‌کند که در این حالت معادله جواب منحصر بفردی دارد، که مقدار متغیرهایش از رابطه زیر بدست می‌آید:
که در آن formula_4 ماتریس حاصل از جایگذاری بردار ستونی formula_5 در ستون formula_6ام formula_7 می‌باشد.
قاعده کرامر برای معادلات با ضرایب و مجهولات تنها برایاعداد حقیقی نیست و برای هرمیدان تعریف می‌گردد. اخیراً نشان داده شده‌است که قاعده کرامر را می‌توان در زمان formula_8 پیاده‌سازی کرد، که قابل مقایسه با سایر روش‌های رایج برای حل دستگاه معادلات خطی مانند روش حذفی گاوسی می‌باشد.
می‌دانیم که formula_9 پس بنا به خواص دترمینان، ماتریس "A" معکوس دارد. از معکوس داشتن "A" نتیجه می‌گیریم که معادله formula_10 جواب منحصر بفرد formula_11 را دارد.formula_12
برای هر عدد صحیح formula_13 formula_14 را ستون "i"ام ماتریس formula_1 و formula_16 را ستون "i" ام ماتریس همانی formula_17 در نظر بگیرید و formula_18 را ماریسی که از جایگذاری بردار ستونی formula_19 در ستون "i"ام ماتریس همانی بدست می‌آید، در نظر بگیرید.
می‌دانیم ستون "k"ام حاصل ضرب formula_20 برای هر ماتریس formula_21، از ضرب ماتریس formula_1 در ستون "k"ام ماتریس formula_23 بدست می‌آید. پس به‌طور مشابه بدست می‌آید formula_24 بازای formula_25. بنابراین خواهیم داشت:
formula_26
می‌دانیم formula_27 برابر formula_17ای که ستون "i"امش با بردار ستونی "x" تعویض شده‌است، می‌باشد. دترمینان ماتریس formula_27 را بدست می‌آوریم:
formula_30
سپس دترمینان ماتریس حاصل ضرب را بدست می‌آوریم:
formula_31
که از اینجا خواهیم داشت:
formula_32
ابتدا ماتریس "A", "n"×"n" را در نظر می‌گیریم (Adj("A" ماتریس الحاقی ماتریس "A" است و (det("A" قابل محاسبه است و "I" ماتریس همانی است. اگر دترمینان "A" در "R" مخالف صفر باشد، آنگاه معکوس ماتریس "A" برابر است با: اگر "R" یک میدان باشد (مثل میدان اعداد حقیقی) در صورتی که det("A")≠۰ فرمولی برای محاسبه ماتریس معکوس بدست می‌آید. به شرطی که (det("A" یکتا باشداین فرمول برای هر زمانی که "R" یک حلقه جابه جایی باشد برقرار است. اگر (det("A" یکتا نباشد آنگاه "A" ماتریس معکوس ندارد.
دستگاه خطی formula_35 را در نظر می‌گیریم که قالب ماتریسی آن به صورت formula_36 است. فرض می‌کنیم "ad"-"bc"≠۰ باشد.
سپس "x"و "y" را با قاعده کرامر میابیم:
formula_37
این قانون در ماتریس‌های ۳×۳ مشابه است.دستگاهformula_38را در نظر بگيريد كه فرم ماتریسی آن به صورتformula_39است
همچنین مقادیر"x"و "y" و "z" از روابط زیر به دست می‌آیند:
قاعده کرامر برای حل مسائل هندسه دیفرانسیل بسیار مفید است. دو معادله formula_41 و formula_42 را در نظر می‌گیریم. زمانی که "u" و "v" دو متغیر مستقل باشند، "x" را formula_43 و "y" را formula_44 تعریف می‌کنیم. پیدا کردن یک معادله برای formula_45 یک برنامه بدیهی قاعده کرامر است. ابتدا مشتقات "F" و "G" و "x" و "y" را محاسبه می‌کنیم. "dx" و "dy" را در "df" و"dg" جایگزین می‌کنیم و به روابط زیر می‌رسیم: تا زمانی که "u" و "v" دو متغیر مستقل باشند، ضرایب "du" و "dv" حتماً باید صفر باشد. سپس ما می‌توانیم معادلات ضرایب را بنویسیم: حالا با توجه به قاعده کرامر می‌بینیم که: که این فرمول دو جمله از ماتریس ژاکوبی است. همچنین این روابط را می‌توان برای formula_58، formula_59، formula_60 به دست آورد.
قاعده کرامر برای به دست آوردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی ناهمگن با استفاده از روش تغییر پارامترها استفاده می‌شود.
قاعده کرامر تعبیر هندسی دارد که می‌توان از آن برای اثبات یا ساده کردن تصور ماهیت هندسی قاعده کرامر استفاده کرد.
دستگاه معادلات داده شده زیر را در نظر بگیرید: می‌توان دستگاه را به صورت معادله‌ای بین دو بردار در نظر گرفت.
مساحت متوازی‌الاضلاع‌هایی که از روابط formula_63 و formula_64 بدست می‌آیند، را می‌توان از دترمینان دستگاه معادلات بدست آورد:
formula_65
بصورت کلی اگر تعداد متغیرها از معادلات بیشتر باشد، دترمینان formula_66 بردار از طول formula_66 حجم "متوازی السطوح" که از آن بردارها در فضای اقلیدسی formula_66 بعدی ساخته می‌شود، را محاسبه می‌کند.
بنابراین مساحت متوازی‌الاضلاع ای که از formula_69 و formula_64 بدست می‌آید، باید formula_71 برابر مساحت اولی باشد زیرا یکی از اضلاع آن توسط این تابع چند برابر شده‌است. حال مسحات آخرین متوازی‌الاضلاع، با استفاده از اصل کاوالیری، مساحتی برابر با متوازی‌الاضلاعی است که از formula_72 و formula_64 بدست می‌آید.
برابر کردن مساحت‌های آخرین و دومین متوازی‌الاضلاع معادله formula_74 را می‌دهد که قاعده کرامر از آن استفاده می‌کند.
اثباتی کوتاه برای قاعده کرامر می‌توان ارئه داد. فرض می‌کنیم formula_71 دترمینان ماتریس زیر باشد.
از سوی دیگر، فرض کنید ماتریس اصلی ما formula_1 معکوس پذیر باشد، ماتریس formula_78 ستون‌های formula_79 را دارد که formula_80 formula_81-امین بردار ماتریس formula_1 باشد. باید آورید که formula_83 ستون‌های formula_84 را دارا می‌باشد؛ بنابراین ما formula_85 را خواهیم داشت که همان چیزی است که دنبالش می‌گشتیم. اثبات بقیه formula_86 به‌طور مشابه می‌باشد.
یک دستگاه معادله زمانی ناسازگار است که هیچ جوابی ندارد و زمانی نا مشخص است که بیش از یک جواب داشته باشد. برای معادلات خطی دستگاه نامعین بی شمار جواب خواهد داشت (اگر میدان نامحدود باشد). ار آنجاییکه جواب می‌تواند در جمله‌ای از یک یا چند پارامتر بیان شود پس می‌تواند مقادیر دلخواه بگیرد. قاعده کرامر جایی که دترمینان مخالف صفر باشد روی مورد اعمال می‌شود. در مورد مقابل دستگاه بر اساس مقدار دترمینان برای دستگاه‌های ۲×۲ یا نامعین است یا ناسازگار. برای دستگاه‌های ۳×۳ یا بالاتر باید به نکته‌ای اشاره کرد که اگر ماتریس ضریب دترمینان مساوی با صفر باشد اگر صورت کسر دترمینان مخالف صفر بود حتماً این دستگاه ناسازگار است. اگرچه این حرف اشتباه است که :دترمینان‌های مساوی صفر به اینکه دستگاه نامعین است اشاره ندارند. در مثال زیر دترمینان‌ها مساوی صفر هستند ولی دستگاه ۳×۳ هنوز نامعین است. formula_87