جذر ماتریس
در ماتریس‌ها نیز همانند اعداد مفهوم ریشه دوم گرفتن قابل تعریف است. در ریاضیات به ویژه در حساب بردارها و معادلات چند متغیره ریشه یا جذر ماتریس دارای کاربردهای فراوان است. ماتریس B را ریشه یا جذر ماتریس A می‌گوییم هر گاه B.B=A باشد.
به‌طور کل هر ماتریس مفروض می‌تواند تعداد زیادی جذر یا ریشه دوم داشته باشد. به عنوان مثال ماتریس formula_1 دارای ریشه‌های formula_2 و formula_3 و همین‌طور دو قرینه جمعیشان می‌باشد. مثال دیگر ماتریس یکهٔ formula_4 است که دارای بینهایت ریشهٔ دوم متقارن به صورت formula_5 formula_6 formula_7 formula_8 formula_9 و formula_10 بوده، که در آن s,r،t هر سه‌گانه فیثاغورثی است یعنی هر مجموعه‌ای از عدد صحیح مثبت که formula_11 باشد.
یک ماتریس مثبت معین نیز دقیقاً یک ریشه معین مثبت دارد که آن را می‌توان ریشه دوم اصلی آن خواند. ریشه دوم یک ماتریس می‌تواند متشکل از اعداد صحیح یا اعداد گویا باشد. به عنوان مثال formula_12 دارای ریشه دوم formula_13 و همچنین ریشه یformula_14 که یک ماتریس صحیح است می‌باشد. مثال ماتریس یکه مذکور نیز مثال دیگری است که در آن یک ماتریس صحیح دارای برخی ریشه‌های مختلط است.
ریشه دوم یک ماتریس قطری D نیز خود یک ماتریس قطری است که عناصر روی قطر اصلی آن هریک جذر عنصر روی قطراصلی ماتریس D هستند. این مسئله پایه‌ای برای نوعی متد محاسبه ریشه دوم ماتریس است که آن را روش قطری سازی می‌نامند.
ماتریس n×n A قطری شدنی است اگر ماتریسی نامنفرد مانند V وجود داشته باشد که formula_15 . این مسئله تنها وقتی میسر است که ماتریس A دارای n بردار ویژه باشد. در این صورت ماتریس V ماتریسی می‌تواند باشد که بردارهای ویژه مذکور ستون‌های آن باشند. پس formula_16 و بنابراین ریشه دوم A می‌شود:
formula_17
که در آن formula_18 ریشه دوم formula_18 است.
مثال ماتریس formula_20 می‌تواند به صورت formula_21 قطری شود که در آن formula_22 و formula_23 D یک ریشه دوم به صورت formula_24 دارد و در نتیجه formula_25 محدودیت این روش این است که تنهابرای ماتریس‌های قطری شدنی قابل کاربرد است. برای ماتریس‌های قطری نشدنی می‌توان از فرم نرمال جردن ماتریس کمک گرقت.
یک روش دیگر برای به دست آوردن ریشه دوم یک ماتریس n×n روش دنمان بیورز است که مبتنی بر یک سری محاسبات مکرر می‌باشد. برای محاسبه ریشه دوم ماتریس مفروض A، ماتریس‌های "Y" = "A" و "Z" = "I" را داریم که در آن "I" یک ماتریس یکه n×n است. بر اساس محاسبات مکرر در این روش داریم:
formula_26
با تکرار این محاسبات ماتریس formula_27 به "A" و همین‌طور ماتریس formula_28 به معکوس آن یعنی "A" میل می‌کند. اگرچه ضمانتی برای همگرا شدن این ماتریس‌ها حتی در صورت دارا بودن ریشه دوم وجود ندارد؛ ولی در صورت همگرایی هدف روش در محاسبه ریشه دوم برآورده می‌شود.
روش مکرر مشهور دیگر برای محاسبهٔ جذر ماتریس بر گرفته از متد بابلی برای محاسبه جذر اعداد حقیقی است. فرض کنیم با "X" = "I"باشد که l در آن یک ماتریس یکه n×n است. داریم:
formula_29
اگرچه باز هم مانند روش دنمان- بیورز ضمانتی برای همگرا شدن formula_30 وجود ندارد. اما درصورت همگرایی حاصل به "A" میل می‌کند. مزیت این روش نسبت به روش دنمان-بیورز این است که برای هر مرحله تنها به یک بار محاسبه معکوس ماتریس نیاز داریم. با این وجود احتمال عدم همگرایی در این روش نسبت به روش قبل بیشتر است.
روش معمولاً ساده‌تری که برای محاسبهٔ ریشه دوم یک ماتریس k×k مانند A می‌توان از آن بهره برد استفاده از فرمولAv=λv است که در آن V بردار ویژه خاص متناظر با مقدار ویژه خاص λ است. می‌توان فرمول بالا را برای ماتریس A به توان n مثبت صحیح و هم چنین n=۱/۲ به صورت زیر بسط داد؛ لذا خواهیم داشت:
formula_31
و برای n=۱/۲ داریم
formula_32
لذا با محاسبه هریک از مقادیر و بردارهای ویژه و حل یک معادله چند مجهولی می‌توان مقدار جذر ماتریس A را به دست آورد.