لم برنساید
در مسائل ترکیبیاتی به وفور مواردی یافت می‌شوند که علاقه‌مند به شمارش تعداد حالت‌های ممکن باشیم. این در حالتی است که عموماً بعضی حالت‌های در نظر گرفته شده با یکدیگر هم ارز هستند و با اعمال تبدیل‌های هم ریخت می‌توان آن‌ها را یکی در نظر گرفت. در این جا ساختار جبری گروه با ویژگی‌های مطلوب بسیار مورد توجه می‌باشد. از این رو داشتن اطلاعات اولیه راجع به این ساختار جبری توصیه می‌شود.
این لم روشی برای شمارش افرازهایی است که در یک مجموعه به وسیله یک گروه از تبدیلات ایجاد می‌شود. این فرمول را ویلیام برنساید در سال ۱۸۹۷ در کتاب خود در مورد گروه‌های متناهی بیان کرد و آن را به فردیناند جورج فروبینیوس نسبت داد. اما پیش از آن نیز کوشی در سال ۱۸۴۵ مسائل مشابهی را از این روش حل کرده بود. اما به هر حال ویلیام برنساید برای اولین بار به شکل یک لم و با اثبات آن را مطرح کرد و کمک شایان توجهی در پیشروی نظریه گروه‌ها کرد.
مجموعه‌ای از اعضا مانند S را در نظر می‌گیریم. گروه G شامل مجموعه‌ای از توابع با دامنه S و برد S و عمل ترکیب دو تابع را در نظر می‌گیریم. در صورت اعمال به دسته‌های هم‌ارزی افراز می‌شود به نحوی که در هر یک از این دسته‌ها، هر عضو تحت عملی در G به سایر اعضای دسته قابل تبدیل است؛ و در عوض به اعضای سایر دسته‌ها قابل تبدیل نیست. رابطه R را به نحو زیر تعریف می‌کنیم: برای o1≤i,j≤ |S|، C,C ∈ S داریم C R C اگر و تنها اگر C = G(C)
رابطه R با کیفیت بالا یک رابطه هم‌ارزی است. زیرا: پس R یک رابطه هم‌ارزی روی S است و آن را به رده‌های هم ارز افراز می‌کند. در نتیجه به راحتی قابل ملاحظه است که: S=S ∩ … ∩ S  C = f(C) ∈ S | f ∈ G,C ∈ S  برای درک بهتر موضوع توجه به مثال فوق ضروری است: مربعی که هر یک از رئوس آن می‌تواند یکی از دو رنگ سیاه یا سفید را بپذیرد در نظر می‌گیریم. هر یک از حالت‌های ممکن را یکی از اعضای مجموعه S در نظر می‌گیریم. به این ترتیب S دارای ۱۶ = 4 عضو می‌باشد. حال مجموعه حرکت‌های سلب دورانی تقارنی را به عنوان مجموعه‌ای از توابع با دامنه و برد S در نظر می‌گیریم. این مجموعه با عنوان G در شکل نمایش داده شده است و شامل اعضای زیر است. هر یک از این تبدیل‌ها را می‌توان به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا نوشت که در هر یک از این دورها عناصر به صورت گردشی جابجا می‌شوند، برای مثال: r = () = 0(12). (۳۴)
π = () = 0(1234) در حالت کلی مشاهده می‌شود که این گروه G آبلی نیست. در صورتی که تبدیل f بر مجموعه S اعمال شود، f را تشکیل می‌دهد. در همین چارچوب به صورت حاصل ضرب دورهای مجزا می‌توان نوشت: π = (C) (C)0
r = (C) (C)0
همان‌طور که مشاهده می‌شود، برای این دو نمونه و نیز سایر تبدیل‌ها، دوری وجود ندارد که بین دو دسته هم‌ارزی عضو مشترک داشته باشد.
در حالت کلی، S مجموعه پیکر بندیهاست و G تبدیل‌هایی که روی S عمل می‌کنند. رابطه R بر S به وسیله xRy تعریف شود، در صورتی که برای πهایی متلق به G باشد، π = y، آن گاه R یک رابطه هم‌ارزی است.
تابع مولد دومتغیره زیر جهت شمارش تعداد پیکر بندی‌های نا هم ارز S برای حالت خاص بحث شده است.
f(r,w) = r + rw + 2rw + rw + w
که ضریب هر جمله تعداد پیکر بندی متمایزی که با i رنگ w و n-i رنگ r می‌توان درست کرد، می‌باشد. به این تابع فهرست الگویی می‌گویند.
در لم (قضیه) ای موسوم به برنساید رابطه‌ای برای شمارش تعداد این پیکر بندی‌های نا هم ارز ارائه شده است: formula_1 که در آن (π)ψ تعدادی از پیکر بندی‌های S است که به وسیله π تثبیت می‌شوند.
به چند طریق می‌توان رئوس مربعی را رنگ آمیزی کرد به نحوی که امکان گردش در فضا وجود داشته باشد؟
برای حل از لم برنساید استفاده می‌کنیم: بنا براین: formula_7
بعضاً از لم برنساید با عنوان قضیه برنساید یاد می‌شود.
در صورتی که قضیه‌ای دیگر در نظریه گروه‌ها وجود دارد که موسوم به قضیه برنساید است.
این قضیه بیان می‌کند که هر گروه که مرتبه آن به شکل formula_8(که p,q اعداد اول و a,b اعداد طبیعی هستند) قابل تجزیه باشد یک گروه حل پذیر است.
نخستین نتیجه‌ای که از این قضیه گرفته می‌شود این است که اگر یک گروه غیر آبلی ساده متناهی داشته باشیم، از مرتبه‌ای تجذیه پذیر به سه عامل اول خواهد بود.