گروه لی
در ریاضیات، گروه لی ، گروهی است که همزمان منیفلد دیفرانسیل‌پذیر نیز باشد. منیفلد، فضایی است که به‌طور موضعی شبیه فضای اقلیدسی است، در حالی که گروه، فضایی است که مفهوم ضرب و معکوس آن (یعنی تقسیم) را مجردسازی می‌کند. با ترکیب این دو ایده، گروهی پیوسته بدست می‌آید که همزمان می‌توان نقاط آن را در هم ضرب نموده و هر عضو آن نیز معکوس دارد. اگر علاوه بر این خصوصیات، عمل ضرب و معکوس‌گیری هموار (دیفرانسیل‌پذیر) باشند، گروه مورد نظر تبدیل به گروه لی می‌گردد.
گروه‌های لی، مدل طبیعی برای مفهوم تقارن پیوسته ارائه می‌کنند، مثال معروفی از آن، تقارن دورانی در سه بعد است (که با گروه متعامد خاص formula_1 داده می‌شود). گروه‌های لی، به‌طور گسترده در بخش‌های متعددی از ریاضیات و فیزیک نوین مورد استفاده قرار می‌گیرند.
گروه‌های لی اولین بار با مطالعه زیرگروه‌هایی از گروه‌های ماتریس‌های formula_2 معکوس‌پذیر formula_3 و formula_4 روی میدان‌های formula_5 و formula_6 یافت شدند. اکنون این گروه‌ها را گروه‌های کلاسیک می‌نامند، چرا که در حال حاضر این مفهوم از اصل خود بسیار فراتر رفته است. گروه‌های لی را به نام ریاضی‌دان نروژی سوفوس لی (۱۸۴۲–۱۸۹۹ میلادی) نامگذاری کرده‌اند. او کسی بود که بنیان‌های نظریه گروه‌های تبدیلات پیوسته را پی‌ریزی نمود. انگیزه اصلی لی برای معرفی گروه‌های لی، مدل‌سازی تقارن‌های پیوسته ای از معادلات دیفرانسیل بود، دقیقاً به همان ترتیبی که گروه‌های متناهی را در نظریه گالوا جهت مدل‌سازی تقارن‌های گسسته معادلات جبری به کار می‌برند.
براساس موثق‌ترین منبع از تاریخچه ابتدایی گروه‌های لی (هاوکینز، صفحه ۱)، سوفوس لی زمستان ۱۸۷۳–۱۸۷۴ را به عنوان تاریخ تولد گروه‌های پیوسته در نظر گرفت. با این حال، هاوکینز پیش نهاد می‌دهد که «فعالیت تحقیقاتی شگرف لی طی دوره چهارساله از پاییز ۱۸۶۹ تا پاییز ۱۸۷۳» بود که منجر به خلق این نظریه شد (همان مرجع). برخی از ایده‌های اولیه لی در همکاری نزدیک با فلیکس کلاین شکل گرفتند. لی هر روز از اکتبر ۱۸۶۹ تا ۱۸۷۲ با کلاین ملاقات می‌کرد: در برلین از انتهای اکتبر ۱۸۶۹ تا پایان فوریه ۱۸۷۰، و طی دو سال بعدی در پاریس، گوتینگن و ارلانگن (همان مرجع، صفحه ۲). لی بیان نمود که تمام نتایج اصلی تا ۱۸۸۴ بدست آمده بودند. اما طی دهه ۱۸۷۰ میلادی، تمام مقالات او (به جز اولین یادداشت) در ژورنال‌های نروژی منتشر شده بودند، که مانع از شناخته شدن اثر او در بقیه اروپا شد (همان، صفحه ۷۶). در ۱۸۸۴ میلادی، یک ریاضیدان آلمانی به نام فریدریش انگل، برای کار سازمان یافته جهت ارائه نظریه اش در مورد گروه‌های پیوسته، نزد لی آمد. از تلاش‌های او، اثر سه جلدی "Theorie der Transformationsgruppen" حاصل شد که در سال‌های ۱۸۸۸ و ۱۸۹۰ و ۱۸۹۳ میلادی منتشر شدند. اصطلاح "groupes de Lie" اولین بار در ۱۸۹۳ میلادی در رساله شاگرد لی به نام آرتور ترسه (Arthur Tresse) در فرانسه ظاهر شد.
ایده‌های لی از بقیه ریاضیات منزوی باقی نماند. در حقیقت علاقه او به هندسه معادلات دیفرانسیل برای اولین بار از کارهای کارل گوستاو یاکوبی، در مورد نظریه معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول و معادلات مکانیک کلاسیک سرچشمه گرفت. بیشتر کارهای یاکوبی بعد از مرگش در دهه ۱۸۶۰ میلادی منتشر شد، که علاقه‌مندی‌های زیادی را در فرانسه و آلمان برانگیخت (هاوکینز، صفحه ۴۳). اثر لی با عنوان "idée fixe"، نظریه ای از تقارن‌های معادلات دیفرانسیلی را توسعه می‌داد که همان نقش اواریست گالوا برای معادلات جبری را در آنجا ایفا می‌نمود: یعنی، آن‌ها را براساس نظریه گروه‌ها رده‌بندی می‌کرد. لی و سایر ریاضی‌دانان نشان دادند که بیشتر معادلات مهم برای توابع خاص و همچنین چندجمله‌ای‌های متعامد، اغلب از تقارن‌های نظریه گروهی ظهور می‌کنند. در اثر اولیه لی، ایده ای مبنی بر ساخت نظریه ای از "گروه‌های پیوسته" وجود داشت، تا بدین طریق نظریه گروه‌های گسسته که در نظریه فرم‌های ماژولار (پیمانه‌ای) به دست فلیکس کلاین و آنری پوانکاره توسعه یافته بود را تکمیل کند. کاربرد اولیه‌ای که لی در ذهن داشت، مربوط به نظریه معادلات دیفرانسیل بود. براساس مدل نظریه گالوا و معادلات چندجمله‌ای، انگیزه اصلی این بود که با مطالعه تقارن‌ها نظریه ای شکل دهند که کل حوزه مربوط به معادلا دیفرانسیل معمولی را به وسیله آن متحد سازند. با این حال، آرزوی این که نظریه لی تمام معادلات دیفرانسیل معمولی را متحد کند، تحقق نیافت. البته روش‌های تقارنی برای ODEها هنوز هم مورد مطالعه اند، اما در این شاخه نقش غالب را ندارند. نظریه ای به نام نظریه گالوای دیفرانسیلی موجود است، ولی این نظریه توسط دیگرانی چون پیکارد (Picard) و وسیوت (Vessiot) توسعه داده شده و نظریه تربیعات (quadratures)، که انتگرال‌های نامعینی جهت بیان جواب‌ها لازم اند را ارائه می‌کند.
نیروی محرکه دیگری جهت بررسی گروه‌های پیوسته، از سوی ایده‌های برنهارت ریمان تأمین شد. این ایده‌ها مربوط به بنیادهای هندسه بودند که کلاین پیشرفت‌های بیشتری در آن‌ها ایجاد نمود. ازین رو، سه سبک اصلی ریاضیات قرن نوزدهم توسط لی ترکیب شدند تا بدین طریق نظریه جدیدش را پایه‌گذاری کند: ایده تقارن، که توسط گالوا و از طریق مفهوم جبری گروه بیان شد؛ نظریه هندسی و جواب‌های صریح در قالب معادلات دیفرانسیل از مکانیک، که توسط پواسون و یاکوبی ارائه شد؛ و فهم جدیدی از هندسه که در کارهای پلوک، موبیوس، گراسمان و سایرین ظهور یافت و همچنین در بینش انقلابی ریمان در ارتباط با این موضوع به حد اعلای خود رسید.
گرچه که امروزه، سوفوس لی را به درستی به عنوان خالق نظریه گروه‌های پیوسته می‌شناسند، قدم بلندی در پیشرفته نظریه ساختاری آن، توسط ویلهلم کیلینگ شکل گرفت که اثرات عمیقی در پیشرفت‌های بعدی ریاضیات داشت. ویلهلم کیلینگ در ۱۸۸۸ میلادی اولین مقاله از سری مقالات خود را با عنوان "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen" (به معنی: "ترکیب گروه‌های تبدیلی متناهی پیوسته") منتشر ساخت (هاوکینز، صفحه ۱۰۰). اثر کیلینگ که بعد توسط الی کارتان تعمیم یافته و اصلاح شد، منجر به کشف و توسعه این موارد شد: رده‌بندی جبرهای لی نیم-ساده، نظریه فضاهای تقارنی، توصیف هرمان ویل در مورد نمایش‌های گروه‌های لی نیم-ساده و فشرده با استفاده از بالاترین وزن‌ها.
در ۱۹۰۰ میلادی، دیوید هیلبرت، متخصصان نظریه لی را با مسئله پنجمش به چالش کشید. او این مسئله را در کنگره جهانی ریاضی‌دانان در پاریس ارائه نمود.
ویل، موجب بارورسازی اولین دوره از توسعه و پیشرفت نظریه گروه‌های لی شد، چرا که نه تنها نمایش‌های تحویل‌ناپذیر گروه‌های لی نیم-ساده را رده‌بندی کرده و نظریه گروه‌ها را با مکانیک کوانتومی مرتبط نمود، بلکه با شفاف سازی تمایز بین "گروه‌های بی‌نهایت‌کوچک‌ها" (که در حقیقت همان جبرهای لی هستند) و گروه‌های لی واقعی، خود نظریه لی را بر شالوده‌های مستحکمی بنا نهاد و تحقیقات حول توپولوژی گروه‌های لی را آغاز نمود. نظریه گروه‌های لی، در تک‌نگاره‌ای توسط کلاود شوالی، به صورت نظام‌مند و به زبان ریاضیاتی نوین، مورد بررسی مجدد قرار گرفت.
گروه‌های لی، منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر همواری اند و از این نظر می‌توان در مقایسه با حالت کلی تر گروه‌های توپولوژیکی، آن‌ها را با استفاده از حساب دیفرانسیل مطالعه نمود. یکی از ایده‌های اصلی نظریه گروه‌های لی، جایگزین سازی اشیاء "سراسری"، یعنی گروه‌ها با نسخه "موضعی" یا خطی‌سازی شده آن‌ها می‌باشد، که سوفوس لی آنها را «گروه بی‌نهایت کوچک‌ها» می‌نامید و اکنون به جبر لی معروف شده‌اند.
گروه‌های لی نقش بزرگی را در سطوح مختلف و متعددی از هندسه نوین ایفاء می‌کنند. فلیکس کلاین در برنامه ارلانگن اش مدعی شد که می‌توان «هندسه‌های» متنوعی را با تعیین گروه‌های تبدیلی مناسب که خواص هندسی بخصوصی را ناوردا باقی می‌گذارند، مورد بررسی قرار داد. ازین رو، هندسه اقلیدسی متناظر با انتخاب گروه formula_7 از تبدیلات حافظ فاصله روی فضای اقلیدسی formula_8 است، هندسه همدیس متناظر با بزرگ سازی گروه مذکور به گروه همدیس بوده در حالی که در هندسه تصویری، علاقه‌مند به خواص ناوردا تحت گروه تصویری می‌باشند. این ایده بعدها منجر به مفهوم "G"-ساختار شد که در آن "G" گروه لی از تقارن‌های «موضعی» یک منیفلد است.
گروه‌های لی (و جبرهای لی متناظرشان)، نقش مهمی در فیزیک نوین بازی کرده، به طوری که گروه لی اغلب نقش تقارن یک سامانه فیزیکی را بازی می‌کند. در اینجا، نمایش‌های گروه لی (یا نمایش‌های جبر لی اش) از اهمیت ویژه ای برخوردار اند. از نظریه نمایش به‌طور گسترده در فیزیک ذرات استفاده می‌گردد. گروه‌هایی که نمایش‌هایشان از اهمیت خاصی برخوردارند شامل این موارد اند: گروه دورانی formula_1 (یا گروه پوشش مضاعفش formula_10)، گروه یکه خاص formula_11 و گروه پوانکاره.
در سطح «سراسری»، هرگاه یک گروه لی روی یک شیء هندسی چون منیفلد ریمانی یا منیفلد سیمپلکتیک کنش کند، این کنش اندازه‌ای جهت سنجش میزان صلب بودن ارائه کرده و منجر به ساختار جبری غنی ای می‌گردد. حضور تقارن‌های پیوسته، از طریق یک کنش گروه لی روی یک منیفلد بیان شده و قیود قوی ای روی هندسه حاصل از آن قرار داده و آنالیز روی منیفلد را تسهیل می‌سازد. کنش‌های خطی گروه‌های لی، اهمیت ویژه‌ای داشته و در نظریه نمایش مورد مطالعه واقع شده‌اند.
در دهه‌های ۱۹۴۰ و ۱۹۵۰ میلادی، الی کولچین، آرمند بورل و کلاود شوالی متوجه شدند که بسیاری از نتایج بنیادین مربوط به گروه‌های لی را می‌توان به‌طور کاملاً جبری توسعه داد. این کار منجر به نظریه گروه‌های جبری تعریف شده بر روی میدان دلخواه می‌گردد. این بینش، با ارائه ساختار یکپارچه ای برای بسیاری از گروه‌های ساده متناهی و همچنین هندسه جبری، دریچه ای از امکانات جدید را در جبر محض باز نمود. نظریه فرم‌های اتومورفیک، که شاخه مهمی از نظریه اعداد نوین است، به‌طور گسترده با ساختارهای مشابه با گروه‌های لی روی حلقه‌های آدل سروکار دارد؛ در این حوزه، گروه‌های لی "p"-ادیک از طریق ارتباطاتشان با نمایش‌های گالوا در نظریه اعداد، نقش مهمی را ایفا می‌کنند.
گروه لی عبارت است از گروهی که همزمان منیفلد هموار نیز باشد، به گونه ای که عمل ضرب و وارون گروهی، نگاشت‌های همواری باشند. هموار بودن عمل گروهی:
formula_12
بدان معنا است که formula_13 یک نگاشت هموار از منیفلد حاصلضربی formula_14 به formula_15 است. این دو شرط را می‌توان در یک شرط واحد، یعنی هموار بودن نگاشت زیر ترکیب نمود:
formula_16
نگاشت فوق، نگاشت همواری از منیفلد حاصلضربی formula_14 به formula_15 است.formula_21
گروه فوق، یک گروه لی حقیقی چهار بعدی نافشرده، و همچنین زیر مجموعه بازی از formula_22 است. این گروه ناهمبند است که دو مؤلفه همبندی متناظر با مقادیر مثبت و منفی دترمینانش دارا است.formula_25
اضافه کردن زوایا، متناظر با ضرب عناصر formula_24 و زاویه منفی (در تقارن با محور ایکس‌ها) متناظر با عنصر معکوس در این گروه خواهد بود؛ بنابراین هم ضرب و هم معکوس‌گیری، نگاشت‌های دیفرانسیل پذیری می‌باشند.formula_27 اکنون مثالی از یک گروه با تعداد ناشمارا عضو را ارائه می‌کنیم که تحت توپولوژی خاصی گروه لی نباشد. گروه:
formula_28
که در آن formula_29، عدد گنگ "ثابتی" است. این گروه، زیرگروهی از چنبره formula_30 است که نسبت به توپولوژی زیرفضایی، گروه لی نیست. به عنوان مثال، اگر هر همسایگی کوچک دلخواهی چون formula_31 از نقطه ای همچون formula_32 از formula_33 را در نظر بگیریم، بخشی از formula_33 که درون formula_31 قرار می‌گیرد ناهمبند خواهد بود. گروه formula_33 به‌طور مکرر و بدون ملاقات با نقاط قبلی مارپیچی که از آن عبور کرده، حول چنبره مورد نظر پیچیده و ازین رو تشکیل زیرگروه چگالی از formula_30 می‌دهد. با این‌حال، گروه formula_33 را می‌توان مجهز به توپولوژی متفاوتی کرد که در آن فاصله نقاط formula_39 به صورت طول کوتاه‌ترین مسیر در "گروه formula_33" تعریف می‌شود که نقطه formula_41 و formula_42 را به هم متصل می‌کند. در این توپولوژی، formula_33 هومئومورف با خط حقیقی است، به گونه‌ای که هر عنصر آن را می‌توان با عدد formula_44 در تعریف formula_33 یکی‌سازی نمود. براساس این توپولوژی، formula_33 صرفاً گروه اعداد حقیقی تحت ضرب بوده و لذا یک گروه لی است.
گروه formula_33 مثالی از یک «زیرگروه لی» است که بسته نیست. بحثی که در مورد زیرگروه‌های لی در ادامه می‌آید (در بخش مفاهیم پایه‌ای) را ببینید.
فرض کنید formula_48 گروه ماتریس‌های معکوس‌پذیر formula_2 باشد که درایه‌های آن عضوی از formula_6 باشند. هر زیرگروه بسته‌ای از formula_48 یک گروه لی خواهد بود؛ گروه‌های لی از این نوع را گروه‌های لی ماتریسی می‌نامند. از آنجا که بسیاری از مثال‌های جالب از گروه‌های لی را می‌توان به صورت گروه‌های لی ماتریسی محقق ساخت، برخی از کتب درسی همچون هال و راسمن توجه خود را محدود به این دسته از گروه‌ها می‌کنند. محدود کردن تمرکز بر روی گروه‌های لی ماتریسی، تعریف جبر لی و نگاشت نمایی را ساده می‌کند. در زیر مثال‌های استانداردی از گروه‌های لی ماتریسی آمده‌است: تمام مثال‌های پیشین تحت عنوان گروه‌های کلاسیک طبقه‌بندی می‌گردند.
گروه لی مختلط به طریق مشابه و با استفاده از منیفلدهای مختلط به جای منیفلدهای حقیقی تعریف می‌گردد (مثل: formula_71). همین‌طور به طریق مشابه، به جای کامل‌سازی متریک میدان formula_72، می‌توان روی اعداد "p"-ادیک، گروه لی "p"-ادیک تعریف نمود، گروه توپولوژیکی که در آن هر نقطه دارای همسایگی "p"-ادیک می‌باشد.
مسئله پنجم هیلبرت می‌پرسد که آیا به تعویض منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر با منیفلدهای توپولوژیکی یا تحلیلی می‌توان مثال‌های جدید ساخت یا خیر. به نظر می‌رسد که جواب به این سؤال منفی باشد: در ۱۹۵۲ میلادی، گلیسون، مونتگومری و زیپین نشان دادند که اگر "G" یک منیفلد توپولوژیکی با اعمال گروهی پیوسته باشد، آن‌گاه دقیقاً یک ساختار تحلیلی روی "G" وجود دارد که به نظر می‌رسد یک گروه لی باشد (حدس هیلبرت-اسمیت). اگر اجازه دهیم که منیفلد زیرین بی‌نهایت بعدی باشد (مثل منیفلد هیلبرت)، آنگاه به مفهوم گروه لی بی‌نهایت-بعدی می‌رسیم. امکان تعریف نسخه‌های متعددِ مشابه با گروه‌های لی بر روی میدان‌های متناهی وجود دارد که بدین ترتیب بیشترین مثال از گروه‌های ساده متناهی تشکیل می‌گردند.
با کمکم زبان نظریه رسته‌ها، تعریف دقیقی برای گروه‌های لی ایجاد می‌گردد: گروه لی، یک شیء گروهی در رسته منیفلدهای هموار است. این تعریف مهم است، چرا که امکان تعمیم مفهوم گروه‌های لی به ابرگروه‌های لی را فراهم می‌آورد.
گروه لی را می‌توان بدون درنظر گرفتن ساختار دیفرانسیل‌پذیری روی منیفلدها، به صورت گروه توپولوژیکی هاسدورفی تعریف نمود که نزدیک عضو همانی شبیه یک گروه تبدیل است. ما در ابتدا گروه لی خطی ایمرس شده ای را به صورت زیرگروه formula_15 از گروه خطی عام formula_74 چنان تعریف می‌کنیم که:
سپس "گروه لی" به صورت گروهی توپولوژیکی تعریف می‌شود که (۱) نزدیک همانی به گروه لی خطی ایمرس شده به‌طور موضعی یکریخت باشد و (۲) تعداد مؤلفه‌های همبندی آن حداکثر شمارا باشد. نشان دادن معادل بودن تعریف توپولوژیکی مذکور با تعریف رایج عملی فنی است (و خوانندگان مبتدی باید از خواندن آن صرف نظر کنند)، اما به‌طور کلی و نادقیق به صورت زیر خلاصه می‌شود:
تعریف توپولوژیکی گروه‌های لی این گزاره را ایجاب می‌کند: «اگر دو گروه به عنوان گروه‌های توپولوژیکی یکریخت باشند، به عنوان گروه‌های لی نیز یکریخت می‌باشند.» در حقیقت، این گزاره، این اصل کلی را بیان می‌دارد: «"توپولوژی یک گروه لی" به همراه قوانین گروهی، تا حد زیادی هندسه گروه را تعیین می‌کنند».
گروه‌های لی در ریاضیات و فیزیک به فراوانی دیده می‌شوند. گروه‌های ماتریسی یا گروه‌های جبری (به‌طور نادقیق) گروه‌های ماتریسی اند (به عنوان مثال، گروه‌های متعامد و سیمپلکتیک) و این شکل از گروه‌های لی، رایج‌ترین مثال‌ها ازین نوع گروه‌ها می‌باشند.
تنها گروه‌های لی همبند از بعد یک، خط حقیقی (با عمل جمع) و گروه دایره‌ای formula_90 از اعداد مختلط با قدر مطلق ۱ (که عمل جمع در آن ضرب مختلط است) می‌باشند. گروه formula_90 را اغلب به صورت formula_92 نشان داده که گروه ماتریس‌های یکانی formula_93 است.
در دو بعد، اگر توجهمان را به گروه‌های همبند ساده معطوف کنیم، آنگاه می‌توان آن‌ها را براساس جبرهای لی‌شان رده‌بندی کرد. در حد یکریختی، تنها دو جبر لی از بعد دو موجودند. گروه‌های لی همبند ساده متناظر با formula_5 (با عمل گروهی جمع برداری) و گروه آفین دو بعدی، در زیربخش قبلی تحت عنوان «اولین مثال‌ها» توصیف شدند.چندین روش استاندارد جهت ساخت گروه‌های لی جدید از گروه‌های لی قدیمی وجود دارد:
مثال‌هایی از گروه‌هایی که لی "نیستند" (هر گروه که حداکثر تعداد شمارایی عضو داشته باشد را می‌توان به صورت گروه لی ۰-بعدی مجهز به توپولوژی گسسته دید):
می‌توانیم برای هر گروه لی، یک جبر لی مرتبط سازیم. در زیربنای جبر لی، فضای برداری وجود دارد که فضای مماس گروه لی متناظر با آن در عنصر همانی بوده که ساختار موضعی گروه لی را به‌طور کامل دربر دارد. به زبان ساده‌تر، می‌توانیم عناصر جبر لی را به عنوان عناصر گروه لی درنظر بگیریم که «بی‌نهایت نزدیک» به عنصر همانی بوده و کروشه لی جبر لی نیز به جابه‌جاگر دوتا عنصر بی‌نهایت کوچک این چنینی مرتبط است. قبل از ارائه تعریف مجرد، چند مثال در ادامه خواهند آمد:
formula_114formula_117formula_135
که در آن formula_136 با استفاده از تابع نمایی ماتریسی تعریف شده‌است. می‌توان نشان داد که جبر لیِ گروه لی چون formula_15، فضای برداری حقیقی است که تحت عمل کروشه‌گیری بسته‌است formula_138.
کار کردن با تعریف ملموسی که در بالا برای گروه‌های ماتریسی آمده راحت است، اما مشکلات جزئی دارد: برای این که از این تعریف استفاده شود، ابتدا باید یک گروه لی را به صورت گروهی از ماتریس‌ها نمایش داد، در حالی که این نمایش برای تمامی گروه‌های لی امکان‌پذیر نبوده و حتی مستقل بودن جبر لی از نمایشی که به کار می‌بریم هم واضح نیست. برای این که بر این مسائل فایق آییم، تعریف کلی از جبر لی یک گروه لی را ارائه می‌نماییم (در ۴ مرحله):
جبر لی formula_156، متناهی-بعدی بوده و دارای بعدی برابر با منیفلد formula_15 است. جبر لی formula_15، گروه formula_15 را در حد «یکریختی موضعی» تعیین می‌کند، به گونه‌ای که دو گروه لی را موضعاً یکریخت نامند اگر نزدیک عنصر همانی شبیه هم باشند. مسائل مربوط به گروه‌های لی را اغلب، ابتدا با حل مسئله متناظرش در جبرهای لی حل کرده، سپس نتیجه آن برای گروه‌ها اغلب در پی آن به راحتی بدست می‌آیند. به عنوان مثال، برای رده‌بندی گروه‌های لی ساده، اغلب ابتدا به سراغ رده‌بندی جبرهای لی متناظرشان می‌روند.
همچنین ما می‌توانیم ساختار یک جبر لی روی formula_163 را با استفاده از میدان‌های برداری ناوردای راست، به جای میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف کنیم. این منجر به جبر لی یکسانی می‌گردد، چرا که می‌توان جهت یکی‌سازی میدان‌های برداری ناوردای چپ با میدان‌های برداری ناوردای راست، از نگاشت معکوس روی گروه formula_15 استفاده کرد که روی فضای مماس formula_163 به عنوان ۱- عمل می‌کند.
همچنین، ساختار جبر لی روی formula_163 را می‌توان به این صورت توصیف نمود که عمل جابجاگر:
formula_167
روی formula_14، عنصر formula_169 را به formula_170 می‌فرستد، چنان‌که مشتقش عملگر دوخطی روی formula_154 را نتیجه می‌دهد. این عملگر دوخطی در حقیقت نگاشت صفر است، اما مشتق دوم، تحت یکی‌سازی مناسبی از فضاهای مماس، منجربه عملگری می‌شود که در اصول موضوعه کروشه لی صدق کرده و دو برابر چیزی است که از طریق میدان‌های برداری ناوردای چپ تعریف می‌شود.
اگر formula_15 و formula_33 گروه‌های لی باشند، آنگاه هم‌ریختی گروهی چون formula_174 یک هم‌ریختی گروهی هموار خواهد بود. در مورد گروه‌های لی مختلط، چنین هم‌ریختی‌هایی باید نگاشت هولومورف باشند. با این حال، این الزامات کمی سخت‌گیرانه اند؛ مشخص می‌شود که هر هم‌ریختی پیوسته بین گروه‌های لی حقیقی، تحلیلیِ حقیقی اند.
ترکیب دو هم‌ریختی لی مجدداً یک هم‌ریختی بوده و رده تمام گروه‌های لی به همراه این ریخت‌ها، تشکیل یک رسته می‌دهند. به علاوه، هر هم‌ریختی گروه لی، یک هم‌ریختی بین جبرهای لی متناظرشان را القاء می‌کند. فرض کنید formula_175 یک هم‌ریختی گروه لی بوده و formula_176 مشتق آن در همانی باشد. اگر جبرهای لی formula_15 و formula_33 را با فضاهای مماسشان در عناصر همانی بشناسیم، آنگاه formula_176 نگاشتی بین جبرهای لی متناظر خواهد بود:
formula_180
می‌توان نشان داد که formula_176 در حقیقت هم‌ریختی یک جبر لی است (یعنی نگاشت خطی است که کروشه لی را حفظ می‌کند). سپس به زبان نظریه رسته‌ها، تابعگون هم‌وردایی از رسته گروه‌های لی به رسته جبرهای لی داریم که یک گروه لی را به جبر لی اش برده و هم‌ریختی گروه لی را به مشتقش در همانی می‌برد.
دو گروه لی را "یکریخت" نامیده اگر هم‌ریختی دو سویه‌ای بینشان وجود داشته باشد که معکوسش نیز یک هم‌ریختی گروه لی باشد. به‌طور معادل، این هم‌ریختی دیفئومورفیسمی است که هم‌ریختی گروهی نیز می‌باشد.
گروه‌های لی یکریخت، لزوماً جبرهای لی یکریختی نیز دارند؛ سپس پرسیدن این سؤال منطقی خواهد بود که یکریختی رده‌های گروه‌های لی چگونه با یکریختی رده‌های جبرهای لی مرتبط می‌شود.
اولین نتیجه در این جهت، قضیه سوم لی است، که بیان می‌کند هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی (خطی) است. یک راه جهت اثبات قضیه سوم لی، استفاده از قضیه آدو است، که می‌گوید هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، یکریخت با یک جبر لی ماتریسی است. ضمن این که، برای هر جبر لی ماتریسی متناهی-بعدی، یک گروه خطی (گروه لی ماتریسی) وجود دارد که آن جبر، جبرِ لی اش باشد.
از سوی دیگر، گروه‌های لی با جبرهای لی یکریخت، لزوماً یکریخت نیستند. به علاوه، این نتیجه حتی هنگامی که فرض کنیم گروه‌ها همبند هستند نیز درست باقی می‌ماند. به بیان دیگر، ساختار "سرتاسری" روی یک گروه لی توسط جبر لی اش تعیین نمی‌شود؛ به عنوان مثال، اگر formula_182 یک زیرگروه گسسته دلخواه از مرکز formula_15 باشد، آنگاه formula_15 و formula_185 دارای جبرهای یکسانی خواهند بود (برای دیدن مثال‌ها، جدول گروه‌های لی را ببینید). از جمله مثال‌های مهم در فیزیک، گروه‌های formula_10 و formula_1 اند. این دو گروه دارای جبرهای لی یکریخت می‌باشند، اما خود این گروه‌ها یکریخت نیستند، چرا که formula_10 برخلاف formula_1، همبند ساده است.
از سوی دیگر، اگر بر روی گروه‌های لی شرط همبند ساده بودن را قرار دهیم، آنگاه ساختار سرتاسری توسط جبرهای لی اش تعیین می‌گردد: دو گروه لی همبند ساده ای که جبرهای لی یکریخت داشته باشند، یکریخت خواهند بود (زیربخش بعدی را جهت اطلاعات بیشتر در مورد گروه‌های لی همبند ساده ببینید). لذا ممکن است با توجه به قضیه سوم لی، بتوان گفت که تناظر یک-به-یکی بین رده‌های یکریختی جبرهای لی حقیقی متناهی-بعدی و رده‌های یکریختی گروه‌های لی همبند ساده وجود دارد.
گروه لی چون formula_15 را همبند ساده گویند اگر هر کمان بسته (یا حلقه، loop) در formula_15 را بتوان به‌طور پیوسته به یک نقطه در formula_15 منقبض نمود. این مفهوم به دلیل نتیجه زیر، که از فرض همبند ساده بودن استفاده رده، مهم تلقی می‌شود:
قضیه سوم لی می‌گوید که هر جبر لی حقیقی متناهی بعدی، جبر لی یک گروه لی است. از قضیه سوم لی و نتیجه پیشین نتیجه می‌شود که هر جبر لی حقیقی متناهی-بعدی، جبر لی یک گروه لی همبند ساده "یکتا" است.
مثالی از یک گروه همبند ساده، گروه یکانی خاص formula_203 است که به عنوان یک منیفلد، ۳-کره است. از سوی دیگر، گروه دورانی formula_204 همبند ساده نیست (توپولوژی formula_204). شکست formula_204 در همبند ساده بودن، ارتباط تنگاتنگی با تمایز بن اسپین صحیح و اسپین نیم-صحیح در مکانیک کوانتومی دارد. مثال‌های دیگری از گروه‌های لی همبند ساده شامل گروه یکانی خاص formula_207، گروه اسپین (پوشش مضاعف گروه دورانی) formula_208 برای formula_209 و گروه سیمپلکتیک فشرده formula_210.
روش‌های تعیین همبند ساده بودن یا نبودن یک گروه لی، در مقاله گروه‌های بنیادی، گروه‌های لی بحث شده است.
نگاشت نمایی از جبر لی formula_211 مربوط به گروه خطی عام formula_212 به formula_212، توسط ماتریس نمایی تعریف شده و برای ماتریس‌هایی همچون formula_108، به صورت سری توانی معمولی زیر تعریف می‌گردد:
formula_215
اگر formula_15 زیرگروه بسته‌ای از formula_212 باشد، نگاشت نمایی، جبر لی formula_15 را به formula_15 خواهد نگاشت؛ ازین رو، برای تمام گروه‌های ماتریسی نگاشتی نمایی وجود خواهد داشت. هر عضو از formula_15 که به میزان کافی به عنصر همانی نزدیک باشد، تابع نمایی از یک ماتریس در جبر لی خواهد بود.
استفاده از تعریف فوق ساده است، اما این تعریف برای گروه‌های لی که شکل ماتریسی نداشته باشند قابل استفاده نبوده و مشخص نیست که نگاشت نمایی یک گروه لی به نمایشش به عنوان یک گروه ماتریسی، وابستگی ندارد. می‌توانیم هردوی این مشکلات را با استفاده از تعریفی مجرد تر از نگاشت نمایی که برای تمام گروه‌های لی کار می‌کند، حل کنیم. این تعریف در ادامه خواهد آمد.
برای هر بردار چون formula_108 در جبر لی formula_195 از formula_15 (یعنی فضای مماس بر formula_15 در همانی)، می‌توان اثبات کرد که زیرگروه تک-پارامتری یکتایی چون formula_225 چنان وجود دارد که formula_226. زیرگروه تک-پارامتری بودن formula_227، به این معنا است که formula_227 نگاشت همواری به توی formula_15 است و این که برای تمام formula_230 و formula_231:
formula_232
عمل سمت راست رابطه بالا، ضرب گروهی در formula_15 است. شباهت صوری این فرمول با خاصیت توابع نمایی، تعریف زیر را توجیه می‌کند:
formula_234
به نگاشت فوق، نگاشت نمایی گفته می‌شود. این نگاشت، جبر لی formula_195 را به توی گروه لی formula_15 می‌نگارد. این نگاشت، دیفئومورفیسمی بین همسایگی صفر در formula_195 و یک همسایگی از عنصر همانی formula_170 در formula_15 را ارائه می‌نماید. نگاشت نمایی، تعمیمی از تابع نمایی برای اعداد حقیقی (چون formula_5، جبر لی از گروه لی اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب می‌باشد)، اعداد مختلط (چون formula_6، جبر لی از گروه لی اعداد مختلط ناصفر تحت ضرب می‌باشد)، و ماتریس‌ها (چون formula_121، به همراه جابجاگر عادی اش، جبر لی از گروه لی formula_243 می‌باشد) است.
از آنجا که نگاشت نمایی روی برخی از همسایگی‌های formula_244 از formula_170، پوشا است، اغلب به عناصر جبر لی، مولدان بی‌نهایت‌کوچک از گروه formula_15 گفته می‌شود. زیرگروه formula_15 تولید شده توسط formula_244، مؤلفه همانی formula_15 است.
نگاشت نمایی و جبر لی، "ساختار گروه موضعی" هر گروه لی همبند را تعیین می‌کنند. علت آن، فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف است: همسایگی چون formula_31 از عنصر صفر formula_156 چنان موجود است که برای formula_252 داریم:
formula_253
به طوری که جملات حذف شده معلوم بوده و مربوط به کروشه‌های لی روی چهار عضو یا بیشتر می‌شوند. هرگاه formula_108 و formula_255 جابه‌جا شوند، این فرمول به قانون نمایی رایج تقلیل پیدا می‌کند: formula_256
نگاشت نمایی، هم‌ریختی‌های گروه لی را به هم مرتبط می‌سازد؛ یعنی، اگر formula_175 یک هم‌ریختی گروه لی بوده و formula_180، نگاشت القاء شده روی جبرهای لی متناظر با آن باشند، سپس برای تمام formula_259 داریم:
formula_260
به بیان دیگر، نمودار زیر جابجا می‌شود:
نگاشت نمایی از جبر لی به گروه لی همیشه پوشا (بِرو) نیست، حتی اگر گروه مورد نظر همبند باشد (گرچه که برای گروه‌های همبندی که فشرده یا پوچتوان باشند، پوشا است). به عنوان مثال، نگاشت نمایی formula_261، پوشا نیست. همچنین، نگاشت نمایی برای گروه‌های لی بی‌نهایت-بعدی (پایین را ببینید) که روی فضای فرشه formula_262 مدل شده باشند، نه پوشا و نه یک-به-یک اند، حتی برای همسایگی‌های به دلخواه کوچکی از صفر به همسایگی متناظرش از ۱.
زیرگروه لی چون formula_33 از گروه لی formula_15، یک گروه لی است، یعنی زیرمجموعه ای از formula_15 که نگاشت شمول از formula_33 به formula_15 را ایمرژن (جادهنده) و هم‌ریختی گروهی کند. براساس قضیه کارتان، زیرگروه بسته‌ای از formula_15، ساختار هموار یکتایی را می‌پذیرد که آن را تبدیل به زیرگروه لی نشانده شده‌ای در formula_15 می‌کند، یعنی، زیرگروه لی که نگاشت شمول را تبدیل به نشاندن هموار می‌کند.
مثال‌های متعددی از زیرگروه‌های نا-بسته موجودند؛ به عنوان مثال، فرض کنید formula_15 چمبره دو بعدی یا بیشتر بوده و formula_33 زیرگروه تک-پارامتری با "شیب گنگ" باشد، یعنی، زیرگروهی که حول formula_15 بپیچد. سپس هم‌ریختی گروه لی چون formula_273 موجود است به طوری که formula_274. بستار formula_33 زیرچمبره‌ای در formula_15 خواهد بود.
نگاشت نمایی، تناظر یک-به-یکی بین زیرگروه‌های لی همبند از یک گروه لی همبند چون formula_15 و زیرجبرهای جبر لی از formula_15 برقرار می‌سازد. اغلب، زیرگروه متناظر با یک زیرجبر، زیرگروه بسته نیست. هیچ محکی وجود ندارد که صرفاً براساس ساختار formula_15 کار کند و تعیین کند که چه زیرجبرهایی متناظر با زیرگروه‌های بسته‌اند.
یکی از جنبه‌های مهم مطالعه گروه‌های لی، نمایش‌هایشان است، یعنی روشی که (به صورت خطی) روی فضاهای برداری کنش می‌کنند. در فیزیک، گروه‌های لی اغلب اطلاعات مربوط به تقارن‌های یک سامانه فیزیکی را در خود می‌گنجانند. نظریه نمایش کمک می‌کند که از تقارن جهت تحلیل سامانه استفاده شود. به عنوان مثال، معادله وابسته-به-زمانِ شرودینگر در مکانیک کوانتومی را در نظر بگیرید: formula_280. فرض کنید سامانه مذکور دارای تقارن گروه دورانی formula_204 باشد، یعنی عملگر همیلتونی formula_282 روی تابع موج formula_283. با کنش formula_204 جابجا می‌شود (یک مثال مهم از چنین سامانه ای، اتم هیدروژن است که دارای یک مدار کروی است). این فرض لزوماً به معنی این نیست که جواب‌های formula_283، توابع ناوردای دورنی اند، بلکه به این معنی است که "فضای" جواب‌های formula_286 تحت دوران (برای هر مقدار ثابت از formula_287) ناوردا است؛ لذا این فضا، نمایشی از formula_204 را تشکیل می‌دهد. این نمایش‌ها رده‌بندی شده و رده بندیشان منجر به ساده‌سازی قابل توجه مسئله مربوط به اتم هیدروژن می‌شود، به گونه ای که اساساً معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در سه بعد، تبدیل به یک معادله دیفرانسیل معمولی یک بعدی می‌شود.
به‌طور ویژه، حالت مربوط به گروه لی فشرده همبندی چون formula_289 (شامل حالت formula_204 که اخیراً ذکر شد)، مهار شدنی است. در این حالت، هر نمایش متناهی-بعدی از formula_289 به جمع مستقیم نمایش‌های تحویل ناپذیر تجزیه می‌گردد. نمایش‌های تحویل‌ناپذیر نیز توسط هرمان ویل رده‌بندی شده‌اند. این رده‌بندی براساس «بیشترین وزن» نمایش است. این رده‌بندی ارتباط نزدیکی با رده‌بندی نمایش‌های یک جبر لی نیم-ساده دارد.
همچنین می‌توان نمایش‌های یکانی (در حالت کلی بی‌نهایت-بعدی) از یک گروه لی دلخواه (که لزوماً فشرده نیست) را نیز مطالعه نمود. به عنوان مثال، امکان توصیف ساده نسبی از نمایش‌های گروه formula_261 و نمایش‌های گروه پوانکاره وجود دارد.