قضیه رمزی
در علم ترکیبیات قضیهٔ رمزی بیان می‌کند که در رنگ آمیزی یال‌های هر گراف کامل (گراف ساده‌ای که در آن هر رأس به تمامی رئوس دیگر به وسیلهٔ یک یال متصل است) به اندازهٔ کافی بزرگی می‌توان زیر گراف‌های کامل تک رنگ یافت. در رنگ آمیزی با دو رنگ قضیهٔ رمزی بیان می‌کند که برای هر جفت از اعداد صحیح و مثبت formula_1 کوچکترین عدد مثبت formula_2 وجود دارد به گونه‌ای که برای هر گراف کامل با formula_2 راس که یال‌های آن با دو رنگ قرمز و آبی رنگ آمیزی شده باشند، زیرگراف کاملی با formula_4 راس وجود دارد که کاملاً آبی شده باشد یا زیر گراف کاملی با formula_5 راس وجود دارد که کاملاً قرمز شده باشد. در این جا formula_2 به عدد صحیحی دلالت می‌کند که به formula_4 و formula_5 وابسته‌است.
قضیهٔ رمزی یک دست‌آورد بنیادین در علم ترکیبیات است. F. P. Ramsey اولین نسخهٔ این دست‌آورد را به اثبات رساند. این مسئله قضیهٔ ترکیبیاتی را بنیان نهاد که امروزه آن را قضیهٔ رمزی می‌نامند. در این کاربرد سؤال این است که آیا زیرمجموعه‌های تک رنگی یافت می‌شوند که در این زیرمجموعه‌ها تمام یال‌های متصل به هم از یک رنگ باشند.
بسطی از این قضیه برای هر تعداد رنگ متناهی به جای دو رنگ به کار می‌رود. به‌طور دقیق تر این قضیه بیان می‌کند که برای هر تعداد رنگ داده شدهٔ c وهر مجموعه از اعداد صحیح داده شدهٔ formula_9 عدد formula_10 به گونه‌ای وجود دارد که اگر یال‌های گراف کاملی از مرتبه formula_10 با c رنگ متفاوت، رنگ آمیزی شود آن گاه برای مقادیری از i بین ۱ تا c گراف مورد نظر باید شامل زیرگراف کاملی از مرتبهformula_12باشد که تمام یال‌های آن به رنگ i هستند. مورد خاصی که در بالا به آن اشاره شد برای c=۲ اتفاق می‌افتد. (formula_13، formula_14)
تصور کنید که یال‌های یک گراف کامل با ۶ راس با دو رنگ آبی و قرمز رنگ آمیزی شده باشد. حال یک راس مثلاً راس v را انتخاب کنید. ۵ یال به v متصل هستند و از این رو بنابر اصل لانه کبوتری حداقل ۳ تا از آن‌ها باید همرنگ باشند. بدون کاسته شدن از کلیت مسئله می‌توان فرض کرد که حداقل ۳ یال که از راس v به راس‌های r,s،t متصل اند آبی هستند (در غیر این صورت جای رنگ‌های قرمز و آبی عوض می‌شود) اگر هر یک از یال‌های (r, s), (r, t), (s, t) نیز آبی باشد آن گاه ما یک مثلث از یال‌های آبی داریم. در غیر این صورت یعنی اگر هیچ‌یک از یال‌های ذکر شده آبی نباشند هر سهٔ این یال‌ها قرمز خواهند بود و ما یک مثلث به رنگ قرمز خواهیم داشت.
از آن جایی که این استدلال را برای هر رنگ آمیزی می‌توان به کار برد، هر گراف کامل formula_15 شامل یک formula_16 تک رنگ است و از این رو R(۳٬۳) ≤ ۶. نسخهٔ عمومی این قضیه، قضیهٔ آشنایان وغریبه‌ها نامیده می‌شود.
یک اثبات جایگزین با استفاده از روش دوگونه شماری بدست می‌آید. این روش بدین صورت پیش می‌رود: تعداد سه تایی‌های مرتب از راس‌های x,y،z را که در آن یال (x,y) قرمز و (y,z) آبی هستند، بشمارید. اولاً هر راس داده شده در میان ۰×۵=۰ یا ۱×۴=۴ یا ۲ × ۳ = ۶ تا از سه تایی‌های مرتب خواهد بود؛ بنابراین حداکثر ۶×۶=۳۶ تا از این سه تایی‌ها وجود دارد. دوما برای هر مثلث (x,y،z) غیر تک رنگ دقیقاً ۲ تا از این سه تایی‌ها وجود دارد؛ بنابراین حداکثر ۱۸ تا مثلث غیر تک رنگ وجود دارد؛ بنابراین حداقل ۲ تا از ۲۰ مثلث موجود در formula_15 تک رنگند.
برعکس، می‌توان یک formula_18 را با دو رنگ، رنگ آمیزی کرد بدون این که هیچ formula_16 تک رنگی ایجاد شود که نشان می‌دهد R(۳٬۳)> ۵.
ابتدا قضیه را برای حالت رنگ آمیزی با دو رنگ با استفاده از استقرا روی r+s اثبات می‌کنیم. از روی تعریف واضح است که برای هر n ای R(n, ۱) = R(1, n) = ۱. این پایهٔ استقراست. ما اثبات خواهیم کرد که formula_20 وجود دارد و این کار را با یافتن یک محدودهٔ صریح برای آن انجام خواهیم داد. فرض استقرای ما این است که formula_21،formula_22 وجود دارد.
ادعا: formula_23. یک گراف کامل با formula_24 راس را در نظر بگیرید. راس v از گراف داده شده را انتخاب کنید و راس‌های باقی‌مانده را به دو مجموعهٔ M و N تفکیک کنید به گونه‌ای که هر راسی همانند w در مجموعهٔ M باشد اگر یال (v, w) آبی باشد و w در N باشد اگر که یال (v, w) قرمز باشد.
حال با استفاده از اصل لانه کبوتری داریم: formula_25 یا formula_26اگر M دارای زیرگراف کامل formula_27 به رنگ قرمز باشد آن گاه گراف اولیه نیز شامل این بخش می‌شود و مسئله حل شده‌است. در غیر این صورت M دارای زیرگراف کامل formula_28 است و بنابراین بنا بر تعریف M, M اجتماع {v} دارای زیرگراف کامل formula_29 به رنگ آبی است. برای حالت دیگر نیز استدلال مشابه‌است.
پس ادعای ما درست است و ما اثبات را برای رنگ آمیزی با دو رنگ کامل کردیم. اکنون می‌خواهیم نتایج حالت کلی در رنگ آمیزی با c رنگ را به اثبات برسانیم. از استقرا استفاده می‌کنیم. ما نتایج مورد نظرمان را برای c=۱(بدیهی) و c=۲ (طبق مطالب گفته شده در بالا) داریم. حال c>۲ را در نظر می‌گیریم.
ادعا:formula_30
توجه کنید که عبارت سمت راست تنها دارای عدد رمزی برای c-۱ رنگ و ۲ رنگ است و از این رو طبق فرض استقرا عددی متناهی مانند t وجود دارد. پس اثبات ادعایمان برای اثبات قضیه کافی است.
گرافی با t راس را در نظر بگیرید و یال‌های آن را با c رنگ، رنگ آمیزی کنید. حال خود را به کور رنگی بزنید و وانمود کنید که رنگ c-1 و رنگ c رنگ‌های یکسانی هستند. پس در این وضعیت گراف با c-1 رنگ، رنگ آمیزی شده‌است. بنابر فرض استقرا این گراف شامل formula_31 تک رنگ است که رنگ i در بازهٔ formula_32 قرار دارد یا شامل یک formula_33 رنگ شده با رنگ‌های تیره‌است. در حالت اول کار ما به پایان رسیده‌است. در حالت دوم دیدگاه خود را مورد بازبینی قرار می‌دهیم و می‌بینیم که بنا بر تعریف formula_34 ما باید یا یک گراف formula_35 که به تمامی با تک رنگ (c-1) رنگ شده داشته باشیم یا یک گراف formula_36 که با تک رنگ c رنگ شده باشد. در هر دو حالت اثبات کامل است.
اعداد formula_20 در قضیهٔ رمزی (و بسط یافتهٔ آن‌ها در موارد با بیش از دو رنگ) تحت عنوان اعداد رمزی شناخته می‌شوند. یک حد بالا برای formula_38 را، می‌توان از اثبات قضیه استخراج کرد و سایر استدلال‌ها نیز حد پایین برای آن ارائه می‌کنند. (نخستین حد پایین توسط Paul Erdős با استفاده از روش احتمالاتی به دست آمد) هر چند شکاف بزرگی میان مقادیر حد پایین و حد بالا وجود دارد. من تبع آن تعداد بسیار اندکی از r وsها هستند که ما برای آن‌ها مقدار دقیق formula_20 را می‌دانیم. محاسبهٔ حد پایین L برای formula_20 معمولاً نیازمند ارائهٔ یک رنگ آمیزی گراف formula_41 با دو رنگ قرمز و آبی است به‌طوری‌که هیچ زیرگراف آبی formula_29 و هیچ زیرگراف قرمز formula_27 در آن یافت نشود. هر چند که بررسی حالت‌های مختلف رنگ آمیزی گراف formula_44 با افزایش مقدار n از نظر محاسباتی بسیار پیچیده خواهد شد. تعداد حالت‌های رنگ آمیزی رشدی بالاتر از رشد نمایی(exponentially) دارد.
در حال حاضر حتی مقدار دقیق formula_45 شناخته شده‌است هر چند که از قبل می‌دانستیم که مقدار آن بین ۴۳(توسط Geoffrey Exoo) و 49 (Brendan McKay، وStanisław Radziszowski) قرار دارد. احتمال داده می‌شود که مقدار دقیق formula_46 برای همیشه مجهول بماند. Paul Erdős می‌گوید:
" بیگانگانی (نیروهای خارجی) را تصور کنید که بسیار نیرومندتر از ما بر روی زمین هستند و از ما خواسته‌اند که مقدار formula_47 را محاسبه کنیم و در غیر این صورت سیارهٔ ما را نابود خواهند کرد. در این حالت ما باید تمام کامپیوترها و ریاضی دان هایمان را به کار بگیریم و برای یافتن مقدار مورد نظر به شدت تلاش کنیم. حال به جای این تصور کنید که از ما خواسته شده تا مقدار formula_48 را محاسبه نماییم، در این وضعیت ما باید تمام تلاشمان را برای نابود کردن بیگانگان به کار ببریم!"
مقدار formula_20 برای مقادیر r و s تا ۱۰ در جدول زیر نشان داده شده‌است. از آن جایی که در بسیاری از موارد مقدار دقیق را نمی‌دانیم، بهترین حدود یافت شده در جدول به نماش گذاشته شده‌است. formula_20 برای مقادیر r و s کوچک‌تر از ۳ به صورت R(1,s) = ۱و R(2,s) = s برای تمام مقادیرs داده شده‌است.
در جدول یک تقارن ناچیز در میان قطر نیز وجود دارد. جدول فوق از جدول بزرگ‌تری که توسط Stanisław Radziszowski تألیف شده، اقتباس شده‌است. در سال ۲۰۱۲ قضیه formula_51 را Geoffrey Exoo اثبات کرد.
یک عدد رمزی رنگارنگ یک عدد رمزی است که در آن برای رنگ آمیزی از ۳ رنگ یا بیشتر استفاده می‌شود. فقط یک عدد رمزی رنگارنگ وجود دارد که مقدار دقیق آن شناخته شده‌است و آن R(3,3،3) = ۱۷ است.
برای اثبات این مسئله، یالی از یک گراف کامل را در نظر بگیرید که با ۳ رنگ قرمز، سبز و زرد رنگ آمیزی شده‌است. حال می‌خواهیم ببینیم این گراف باید حداقل چند راس داشته باشد که شرایط قضیهٔ رمزی برایش بر قرار باشند. پس معادلاً می‌توانیم ببینیم حداکثر تعداد رئوس باید چند باشد که شرایط قضیهٔ رمزی بر قرار نشود. پس فرض کنید که یال مورد نظر هیچ مثلث هم رنگی را تشکیل نمی‌دهد. یک راس دلخواه v را انتخاب کنید. مجموعهٔ رئوسی که یک یال سبز به v داده‌اند را در نظر بگیرید. این مجموعه همسایگی سبز راس v نامیده می‌شود. همسایگی سبز v نمی‌تواند شامل هیچ یال سبزی باشد، زیرا در غیر این صورت مثلث سبزی وجود خواهد داشت که متشکل از دو نقطهٔ انتهایی آن یال سبز و راس v خواهد بود. پس یال‌های رنگ آمیزی شده در همسایگی سبز v تنها با دو رنگ قرمز و زرد رنگ آمیزی شده‌اند. از آن جایی که R(3,3) = 6است همسایگی سبز v می‌تواند حداکثر شامل ۵ راس باشد. به‌طور مشابه همسایگی‌های قرمز و زرد v نیز هر کدام حداکثر می‌توانند ۵ راس داشته باشند. از آن جایی که هر راس به جز خود v در یکی از همسایگی‌های سبز، قرمز یا زرد v قرار گرفته، گراف کامل حداکثر می‌تواند ۱ + ۵ + ۵ + ۵ = ۱۶ راس داشته باشد. در نتیجه داریم: R(3,3،3) ≤ 17
برای این که ببینیم R(3,3،3) ≥ 17کافی است یال‌های یک گراف کامل با ۱۶ راس را با سه رنگ متفاوت رنگ آمیزی کنیم و در عین حال از ایجاد مثلث‌های تک رنگ بپرهیزیم. به این نتیجه خواهیم رسید که دقیقاً دو روش برای رنگ آمیزی K16 با این شرایط وجود دارد که آن‌ها را رنگ آمیزی تابیده (معوج) و ناتابیده می‌نامیم. هر دو روش رنگ آمیزی در شکل سمت چپ در بالا نشان داده شده‌است. شکل بالایی رنگ آمیزی ناتابیده و شکل پایینی رنگ آمیزی تابیده را نشان می‌دهد. بدین ترتیب، مشخص می‌شود که گراف K16 را می‌توان طوری با ۳ رنگ رنگ آمیزی کرد که هیچ k3 تک رنگی ایجاد نشود.
پس R(3,3،3)=17.
اگر شما هر رنگی از رنگ‌های تابیده یا ناتابیدهٔ گراف formula_52 را انتخاب کنید و گرافی را در نظر بگیرید که یال‌هایش دقیقاً یال‌هایی با همان رنگ ویژه باشد آن گاه به گراف Clebsch دست خواهیم یافت.
دقیقاً دو روش برای رنگ آمیزی یال‌های گراف formula_53 با سه رنگ وجود دارد به گونه‌ای که از ایجاد مثلث‌های تک رنگ پرهیز کنیم. این گراف را می‌توان با حذف کردن هر راس دلخواه از گراف تابیده یا ناتابیدهٔ K16 که به‌طور مطلوب رنگ آمیزی شده، به دست آورد.
علاوه بر این دقیقاً ۱۱۵ یال برای رنگ آمیزی formula_54 با سه رنگ وجود دارد به گونه‌ای که در آن از ایجاد مثلث‌های تک رنگ جلوگیری شود.ویکی‌پدیای انگلیسی