کسر
کسر (از لاتین "fractus" به معنی "شکسته")، نمایشگر جزئی از یک کل یا به‌طور کلی تر، هر تعداد از اجزای مساوی با هم است. هنگام صحبت‌های روزمره، کسر را جهت توصیف این که چه تعداد از اجزایی با اندازه‌های مشخص وجود دارند، به کار می‌برند، مثل: یک دوم، هشت پنجم، سه چهارم. کسر رایج، متعارف یا ساده (مثال‌ها: formula_1 و formula_2) شامل یک صورت (Numerator) است که بالای خط قرار می‌گیرد (یا قبل از اسلش، مثل: )، و مخرج (Denominator) ناصفری که زیر آن خط قرار داده می‌شود. صورت‌ها و مخرج‌ها در کسرهایی که "رایج" نیستند نیز به کار می روند، انواع کسرهای غیر رایج شامل این مواردند: کسرهای مرکب، کسرهای مختلط (با اعداد مختلط اشتباه نشود)، و اعداد مخلوط.
نمایش کسر به صورت یک خط افقی و یک عدد در بالا و یک عدد در پایین می‌باشد. عدد بالایی "صورت کسر" و عدد پایینی "مخرج کسر" نامیده می‌شود.
formula_3
در اینجا ۲ صورت کسر و ۴ مخرج کسر می‌باشد. کسر متعارفی نوعی خاصی از کسر است که بنا بر تعریف، هم صورت و هم مخرج آن اعداد صحیح هستند (مخرج باید مخالف صفر باشد). به عنوان مثال، اعداد formula_4 و formula_5 کسر متعارفی هستند، ولی formula_6 و formula_7 کسر متعارفی نمی‌باشند.
کسر متعارفی formula_8 را در نظر بگیرید. اگر صورت از مخرج کسر بزرگتر باشد، یعنی داشته باشیم a>b، کسر از یک (واحد) بزرگتر است. در این صورت formula_8 را کسر بزرگتر از واحد (Improper Fraction) می‌نامند. گاهی کسرهای بزرگتر از واحد را به صورت عدد مخلوط نشان می‌دهند.
برعکس، اگر در کسر formula_8 صورت از مخرج کوچکتر باشد، یعنی aاعشاری، یک کسر متعارفی است که مخرج آن ۱۰ یا توانی از ۱۰ است. اغلب برای نمایش کسرهای اعشاری از علامت ممیز (/) استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی formula_11 را می‌توان به صورت ۰/۱ نشان داد. همچنین کسر formula_8 را می‌توان با ضرب صورت و مخرج در مقدار ۵ به صورت formula_13 یا ۰/۶۰ و حتی به طور خلاصه‌تر ۰/۶ نشان داد. کسرهای اعشاری را با نماد علمی نیز می‌توان نشان داد.
برای نمایش اعداد اعشاری که دارای بی‌نهایت رقم تکرار شونده اعشار هستند، از کسر متعارفی استفاده می‌شود. برای مثال کسر متعارفی formula_14 بیانگر مقدار …۰/۳۳۳۳ است.
اگر مخرج کسر قابل تبدیل به ۱۰۰ باشد می‌توان اعداد را به صورت درصدی (Percentage) یا به صورت نماد ٪ نیز نشان داد. برای مثال کسر متعارفی formula_15 همان مقدار ۵٪ است و formula_16 مقدار ۲۹٪ را نشان می‌دهد.
اگر با تقسیم صورت بر مخرج، به باقی‌مانده صفر برسیم، کسر را مولد اعشار مختوم می‌نامند. این حالت در زمانی رخ می‌دهد که مخرج کسر فقط شامل عامل‌های ۲ یا ۵ یا هر دو باشد.
کسرهای وجود دارند که در آن‌ها حاصل تقسیم صورت بر مخرج، باقی‌مانده صفر نخواهند داشت. به این ترتیب عدد اعشاری حاصل، مختوم نخواهد بود. برای مثال کسرهایی نظیر formula_14 و formula_18 یک عدد اعشاری با مقدار اعشار متناوب ایجاد می‌کنند. ارقام تکرار شده در تناوب عدد اعشاری را دوره گردش می‌نامند. از آنجایی که مخرج این گونه کسرها دارای عامل‌های اول به غیر از ۲ و ۵ هستند، تقسیم صورت بر مخرج، باقی‌مانده صفر نخواهند داشت.
formula_19 و formula_20
در این گونه کسرها، با تجزیه مخرج به عوامل اول به ارقام ۲ یا ۵ و یک یا چند عدد اول دیگر می‌رسیم. در این صورت عدد اعشاری شامل دو قسمت تکراری با گردش و بدون گردش خواهد بود. برای مثال کسر formula_21 از این گونه کسرها محسوب می‌شود، زیرا مخرج آن به عامل‌های ۵ و ۳ تجزیه می‌شود.
formula_22
معمولاً کسرهای متعارفی بزرگتر از ۱ را به صورت اعداد مخلوط نشان می‌دهند. در این حالت عدد مخلوط شامل یک قسمت عدد صحیح و یک کسر متعارفی کوچکتر از واحد است. قسمت عدد صحیح همان خارج قسمت تقسیم و صورت کسر، باقی‌مانده تقسیم و مخرج کسر متعارفی نیز مقسومٌ علیه خواهد بود.
formula_23
اگر مخرج کسری صفر باشد، مانند formula_24 آن کسر تعریف نشده است.
کسر متعارفی در جریان اندازه‌گیری و زمانی پدید آمد که ناچار شدند واحد اندازه‌گیری را بشکنند؛ چرا که برای ادامه اندازه‌گیری، نتوانستند از واحد استفاده کنند. این موضوع، به ویژه از پیدایش کسرهای مشخص، پیش از پیدایش مفهوم کلی کسر، روشن می‌شود.
زمان زیادی لازم بود تا «نیم» و «یک چهارم» به صورت ۱/۲ و ۱/۴ برای هر نوع واحدی (طول، حجم، وزن، زمان) به کار رود.
در هزاره دوم پیش از میلاد بود که بشر توانست از کسر، همچون بخشی از واحد، استفاده کند. در بابل کهن، حتی نمادهای خاصی برای برخی کسرهای متعارفی وجود داشت.
گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می‌باشد و در ریاضی هر شمار کسری مانند و یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت را یک عدد گویا می‌نامیم. مانند ۲-، ۰، ۳+ ،۲/۳ -، ۲۵/- که به ترتیب به شکل کسرهای می‌توان نوشت. به‌طور کلی هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر نوشت، به‌طوری‌که صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد یک عدد گویا می‌گویند. مجموعه اعداد گویا را با حرف Q حرف اول کلمهٔ Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می‌دهند.
ضرب کسر دارای انواع مختلفی است از جمله: ضرب عدد در کسر ( ضرب کسر در عدد) و ضرب کسر در کسر
ابتدا به عدد مخرج یک می دهیم و سپس صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شود. formula_25
این مورد دقیقاً شبیه ضرب عدد در کسر می باشد و ابتدا باید به عدد مخرج یک بدهیم و سپس در هم ضرب کنیم. formula_26
در این نوع ضرب صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب می شوند. formula_27
دقت کنید در کسر های که به صورت عدد مخلوط هستند، ابتدا عدد مخلوط را به کسر تبدیل کنید و سپس ضرب را انجام دهید. formula_28
برای تقسیم دو کسر متعارفی می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب نوشت و عملیات را مطابق با عملیات ضرب انجام داد. برای این کار کافی است که کسر مقسوم علیه را به صورت معکوس در آورده و در مقسوم ضرب کنیم.
formula_29
اگر مخرج همه کسرها با هم مشابه است، صورت تمام کسرها را با هم جمع می شوند. مخرج نیز همان مخرج یکسان کسرها میباشد.
formula_30
دو مخرج (یا هر چند تا که هست) را در هم ضرب کرده تا مخرج مشترک به دست بیاید. اگر یکی از مخرج ها به بقیه مخرج ها بخش پذیر بود، کافی است آن مخرج به عنوان مخرج مشترک انتخاب شود. صورت ها متناسب با مخرج مشترک، بزرگ می شوند. در این حالت صورت کسرها با هم جمع می شوند.
formula_31تاریخ ریاضیات (تألیف: پرویز شهریاری)