چندجمله‌ای‌های برنشتاین
در زمینه ریاضی تجزیه و تحلیل عددی ، چند جمله ای برنشتاین ، که به نام سرگئی ناتانوویچ برنشتاین نامگذاری شده است، چند جمله ای در فرم برنشتاین ترکیبی خطی از چند جمله ای های برنشتاین است .
روش عددی پایدار برای ارزیابی چند جمله ای ها به شکل برنشتاین به نام الگوریتم de Casteljau وجود دارد.
چند جمله ای های برنشتاین برای اولین بار توسط برنشتاین در اثبات سازنده قضیه تقریب Weierstrass استفاده شد. با ظهور گرافیک رایانه ای ، چند جمله های برنشتاین ، محدود به فاصله [0 ، 1] ، به شکل منحنی های بزیر شناخته شدند. "n"+ چند جمله ای های درجه 1 برنشتاین به عنوان "n" تعریف می شوند
جایی که formula_2 ضریب دوجمله ای است . به عنوان مثال ، formula_3
اولین چند جمله های اساسی برنشتاین برای ترکیب مقدارهای 1 ، 2 ، 3 یا 4 با هم عبارتند از:
چند جمله ای های پایه برنشتاین درجه "n حداکثر" مبنایی را برای فضای برداری از چند جمله ای های درجه  "n" با ضرایب واقعی تشکیل می دهد. ترکیبی خطی از چند جمله ای مبتنی برنشتاین
در فرم درجه Bernnstein چند جمله ای یا چند جمله ای Bernstein از درجه  "n" نامیده می شود. ضرایب formula_6 ضرایب برنشتاین یا ضرایب بزیر نامیده می شوند.
از اولین چند جمله ای های مبتنی برنشتاین در زیر آمده است که از بالا، دارای فقط یک جمله هستند:
چند جمله ای های برنشتاین دارای ویژگی های زیر است:"ƒ" را به عنوان یک تابع پیوسته در بازه [0، 1] چند جمله ای برنشتاین را در نظر بگیرید
می توان نشان داد که
به طور یکنواخت در فاصله [0 ، 1]
چند جمله ای های برنشتاین یک روش برای اثبات قضیه تقریب Weierstrass ارائه می دهد که هر تابع مداوم با ارزش واقعی در یک بازه واقعی [ "a" ، "b" ] را می توان با توابع چند جمله ای formula_52بیش از یکنواخت تقریب زد  .
در بیانی عمومی تر برای یک تابع با "K" مستمر مشتق
علاوه بر این
یک مقدار ویژه "B" ؛ عملکرد ویژه مربوط به آن چند جمله ای درجه است "ک"
این اثبات از اثبات اصلی برنشتاین در سال 1912 پیروی می کند. همچنین به فلر (1966) یا کورالوف و سینا (2007) مراجعه کنید.
فرض کنید "K" است متغیر تصادفی به عنوان تعداد موفقیتها در "n را" مستقل توزیع برنولی با احتمال "x" از موفقیت در هر آزمایش به؛ به عبارت دیگر ، "K" دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای "n" و "x" سپس مقدار مورد انتظار را داریم formula_55 و
طبق قانون ضعیف تعداد زیادی نظریه احتمال ،
برای هر "δ" > 0 علاوه بر این، این رابطه دارای یکنواخت در "X،" که می توان از اثبات آن از طریق دیده نابرابری چبیشف ، با توجه به که واریانس  "K،" برابر "×" (1 − "X)" است، از بالا توسط از "x" محدود بدون در نظر گرفتن.
از آنجا "ƒ" مستمر بودن در یک فاصله زمانی بسته و کراندار، باید یکنواخت پیوسته در آن بازه، یک نوشتار بیانیه ای از فرم
بصورت یکنواخت در "x" . با در نظر گرفتن اینکه "ƒ" محدود است (در فاصله زمانی مشخص) فرد می تواند انتظار را بدست آورد
بصورت یکنواخت در "x" . بدین منظور یکی مجموع انتظار را به دو قسمت تقسیم می کند. در یک قسمت تفاوت از "ε" فراتر نمی رود. این بخش نمی تواند بیش از "ε کمک کند" . در قسمت دیگر این اختلاف از "ε" فراتر می رود ، اما از 2 "M" فراتر نمی رود ، جایی که "M" حد بالایی برای | است "ƒ" (x) | این قسمت نمی تواند بیش از 2 "M" برابر احتمال کوچک اختلاف بیش از "ε باشد" .
سرانجام ، یکی مشاهده می کند که مقدار مطلق تفاوت بین انتظارات هرگز از انتظار مقدار مطلق اختلاف فراتر نمی رود و
اثبات احتمال را می توان به روش ابتدایی ، با استفاده از ایده های احتمالی اساسی ، اما با تأیید مستقیم ادامه داد:
هویت های زیر را می توان تأیید کرد:
(3) formula_61
(2) formula_62
(3) formula_61
در واقع ، با قضیه دو جمله ای
و این معادله را می توان دو بار به formula_65 . هویت (1) ، (2) و (3) با استفاده از تعویض به راحتی دنبال می شود formula_66 .
در این سه هویت ، از علامت چند جمله ای مبانی فوق استفاده کنید
و اجازه دهید
بنابراین ، توسط هویت (1)
به طوری که
از آنجا که "f" یکنواخت پیوسته است ، داده می شود formula_71 ، وجود دارد formula_72 به طوری که formula_73 هر زمان که formula_74 . علاوه بر این ، با تداوم ، formula_75 . اما بعد
اولین جمع کمتر از ε است. از طرف دیگر ، با هویت (3) در بالا ، و از آن زمان formula_77 ، جمع دوم با 2 "M" بار محدود می شود
که آن را زیر چند جمله ای "f" تمایل به "F" یکنواخت.
چند جمله ای های Bernstein را می توان به ابعاد تعمیم داد. چند جمله ای های بدست آمده به شکل در ساده ترین حالت فقط محصولات فاصله واحد در نظر گرفته می شوند. اما ، با استفاده از تبدیل های آفینی خط ، چندین جمله های برنشتاین را می توان برای محصولات . برای یک تابع مداوم روی محصول برابر برابر واحد ، اثبات اینکه می تواند به طور یکسان تقریب شود
گسترش مستقیم اثبات برنشتاین در یک بعد است.