مدل‌های سیر تکاملی دی‌ان‌ای
مدل‌های زیادی مبتنی بر زنجیرهٔ مارکوف، برای مدل‌سازی سیر تکاملی دی‌ان‌ای ارائه شده‌است. معمولاً مدل‌های جانشینی ارایه‌شده با هم در پارامترهایی که برای توضیح نرخ جانشینی یک نوکلئوتید در طول تکامل دی‌ان‌ای در نظر گرفته می‌شوند، متفاوت هستند. این مدل‌ها معمولاً در آنالیز فیلوژنتیک مولکولی استفاده می‌شوند. به‌طور خاص از مدل‌های ارائه شده در برآورد درست‌نمایی بیشینهی درخت و تخمین فاصلهٔ تکاملی میان توالی‌ها با داشتن فواصل مشاهده‌شده در میان آن‌ها، استفاده می‌شود. روش‌های مبتنی بر درست‌نمایی بیشینه به مدل وابسته هستند به‌طوری‌که اگر بخشی از اطلاعات موجود در داده‌ها را در نظر نگیرد، نتایج این روش بسیار ضعیف خواهد بود. مدل‌های مبتنی بر مارکوف در تحلیل داده‌ها تنها جانشینی در یک توالی را در نظر گرفته و حذف و اضافه شدن در توالی را نادیده می‌گیرند.
رویکردهای مختلفی برای ساخت درخت فیلوژنی و تخمین فاصلهٔ زمانی میان موجودات وجود دارد. روش‌ها را می‌توان به ۳ دستهٔ زیر تقسیم کرد: یکی از مدل‌های پرکابرد برای استفاده از درست‌نمایی بیشینه استفاده از مدل مارکوف در تغییر جایگاه‌های توالی در طول زمان است. مدل‌های تکاملی دی‌ان‌ای توضیح دهندهٔ وضعیت تکاملی دی‌ان‌ای به عنوان رشته‌ای شامل ۴ حرف هستند. مدل‌های مارکوف به‌طور دقیق نحوهٔ ایجاد جهش یا عمل انتخاب طبیعی را توضیح نمی‌دهند، بلکه نرخ نسبتی جهش‌ها را در رشتهٔ دی‌ان‌ای مدل می‌کنند. به‌طور مثال در تغییرات توالی‌ها، نابرابری احتمال جهش‌ها و احتمال از بین رفتن اللهای ناسازگار با محیط، مسئول نرخ بالای جایگزینی انتقالی نسبت به تراگشت در رشته‌های در حال تغییر هستند. در حالی که در مدل Kimura80 که در ادامه توضیح داده شده‌است، تأثیر احتمال نابرابر جهش‌ها و احتمال از بین رفتن الل‌های ناسازگار با محیط تنها در پارامتری در نظر گرفته شده‌است که نرخ نسبی جایگزینی انتقالی را به تراگشت مدل می‌کند.
تحلیل‌های تکاملی توالی‌ها برای مقیاس‌های زمانی مختلفی انجام شده‌است، از این رو بیان مدل‌ها به کمک نرخ لحظه‌ای تغییر وضعیت جایگاه‌های توالی قابل قبول است. ماتریس Q که در ادامه آورده شده‌است، نشان دهندهٔ این نرخ تغییر در میان وضعیت‌های تعریف‌شده در مسئله است. در صورتی که بدانیم که وضعیت شروع در یک جایگاه از توالی کدام است (وضعیت هر جایگاه برای یک توالی از دی‌ان‌ای نوع نوکلئوتید موجود در آن جایگاه است)، آن‌گاه می‌توان به کمک ماتریس Q در مدل و فاصلهٔ زمانی میان جد و فرزند، احتمال تعداد تغییرها و احتمال رسیدن به هر کدام از وضعیت‌های تعریف‌شده را استخراج کرد. جزییات مربوط به رسیدن از ماتریس نرخ به ماتریس احتمال در مدل‌های ریاضیاتی جانشینی توضیح داده می‌شود. در نظر گرفتن نرخ آنی در مدل، باعث بی‌نیازی آن از محاسبهٔ پارامترهای سطوح درخت فیلوژنی به صورت جداگانه برای هر سطح می‌شود، زیرا احتمال رسیدن از حالت ابتدایی به حالت انتهایی به صورت مستقیم محاسبه می‌گردد.
مدل‌های شرح داده شده در این صفحه، تغییرات یک حرف از مجموعه‌ای از حروف را نشان می‌دهند. در چنین مدل‌هایی برای تحلیل تغییرات کل توالی با فرض این که رشته شامل متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان است، هر حرف مستقل از سایر حروف رشته تحلیل می‌شود. فرض استقلال را می‌توان با در نظر گرفتن فرضیهٔ تأثیرناپذیری هر حرف از سایر حروف در تکامل رشته‌ها، توجیه کرد. در صورتی که تأثیر اولیهٔ انتخاب طبیعی بر روی تغییرات توالی باعث محدود کردن برخی جایگاه‌های خاص در توالی شود، می‌توان از مدل‌های دیگری استفاده کرد که نرخ نسبی جایگزینی هر حرف نسبت به حروف دیگر را محاسبه کرده و با استفاده از پارامترهای دیگری در مدل، واریانس تغییرات نرخ‌های جایگزینی را کنترل می‌کند.
زنجیره‌های مارکوف پیوسته زمان دارای ماتریس انتقال با پارامتر t هستند. اگر formula_1 نمایندهٔ وضعیت‌ها در مدل باشند، آنگاه ماتریس انتقال میان وضعیت‌های مسئله به شکل formula_2 است که در آن هر مؤلفه formula_3 نشان‌دهندهٔ احتمال تغییر وضعیت formula_4 به وضعیت formula_5 در زمان formula_6 است.
مثال: می‌خواهیم فرایند جایگزینی را در توالی دی‌ان‌ای به صورت پیوسته زمان مدل کنیم (مثلاً Jukes-Cantor, Kimura و غیره). ماتریس انتقال مربوط به آن به شکل زیر خواهد بود:
formula_7
که در آن بلوک‌های ۲ × ۲ بالا-چپ و پایین-راست، مربوط به احتمال جایگزینی انتقالی و بلوک‌های ۲ × ۲ بالا-راست و پایین-چپ مربوط به احتمال‌های تراگشت هستند.
فرض: اگر در لحظهٔ formula_8 زنجیرهٔ مارکوف در وضعیت formula_9 باشد، آن‌گاه احتمال آن‌که در لحظهٔ formula_10 در وضعیت formula_11 باشیم وابسته به مقادیر formula_11 و formula_6 و formula_5 است، بنابراین می‌توانیم این احتمال را به شکل formula_15 بنویسیم.
قضیه: ماتریس انتقال پیوسته زمان دارای خاصیت زیر است:
formula_16
توجه داشته باشید: ممکن است بین دو معنی کلمهٔ انتقال اشتباه به وجود بیاید. (i) در زمینهٔ زنجیرهٔ مارکوف، انتقال به معنی جابه‌جایی میان دو وضعیت است. (ii) در زمینهٔ تغییر در نوکلئوتیدها در توالی دی‌ان‌ای، جایگزینی انتقالی به معنی جابه‌جایی میان دو پورین (A↔G) یا میان دو پیریمیدین (C↔T) است (برای اطلاعات بیش‌تر به صفحهٔ جایگزینی انتقالی مراجعه کنید). جابه‌جایی میان یک پورین و یک پیریمیدین تراگشت نامیده می‌شود.
توالی دی‌ان‌ای با طول ثابت m را در نظر بگیرید که با جانشینی بازها در طول زمان تغییر پیدا می‌کند. فرض کنید که فرایندهای انجام شده روی m مکان در توالی به صورت مارکوفی مستقل و دارای توزیع یکسان باشند. برای هر مکان مشخص داریم:
که formula_18 ماتریس احتمال وضعیت‌های formula_19 در زمان formula_6 هستند. از طرف دیگر مجموعهٔ وضعیت‌های مسئله به شکل زیر است:
فرض کنید برای دو وضعیت مجزای formula_22 در توالی مقدار formula_23 نشان‌دهندهٔ نرخ انتقال میان وضعیت formula_24 به وضعیت formula_25 باشد. به‌طور مشابه برای هر formula_24 داریم: formula_27 تغییرات در توضیح احتمال formula_28 وقتی که زمان به اندازهٔ formula_29 زیاد می‌شود به شکل زیر است (formula_29 مقدار کوچکی است):
به عبارت دیگر، در دیدگاه فراوانی گرایانه، فراوانی وضعیت formula_32 در زمان formula_33 برابر فراوانی در زمان formula_6 منهای تعداد حالت‌هایی است که از وضعیت formula_32 تغییر کرده‌اند، به اضافهٔ تعداد حالت‌هایی است که به formula_32 تغییر وضعیت داده‌اند.
به‌طور مشابه، عبارت‌های پیشین برای احتمال‌های formula_37 برقرار است. می‌توانیم به‌طور فشرده بنویسیم: formula_38 که در آن:
یا به‌طور مشابه: formula_40
که در آن formula_41 ماتریس نرخ است. توجه داشته باشید که در تعریف، جمع ستون‌های ماتریس formula_41 برابر صفر است. برای یک فرایند مانا که formula_41 به زمان وابسته نیست، معادلات تفاضلی به کمک ماتریس توان قابل حل است:
اگر تمام احتمال انتقال‌ها مثبت باشد،formula_46، به این معنی که تمام وضعیت‌های formula_47 با هم قابل جابه‌جا شدن باشند، آن‌گاه زنجیرهٔ مارکوف، دارای یک توزیع مانای یکتای formula_48است که هر formula_49نسبت زمانی است که بعد از اجرای مارکوف تا زمان بی‌نهایت در وضعیت formula_24گذرانده شده‌است. چنین زنجیرهٔ مارکوفی ارگادیک نامیده می‌شود. در تکامل دی‌ان‌ای، با فرض فرایندهای مشابه برای هر مکان، فراوانی‌های مانای، formula_51، به عنوان نقطهٔ تعادل هر وضعیت در نظر گرفته شده‌است.
زمانی که توزیع کنونی formula_52 همان توزیع ایستا formula_53 باشد، آن‌گاه می‌توان گفت formula_54، به کمک معادلات دیفرانسیل بالا داریم:
formula_55
تعریف: یک فرایند مارکوف بازگشت‌پذیر در زمان است اگر در وضعیت پایدار، احتمال تغییر وضعیت از formula_24 به formula_25 برابر با احتمال تغییر وضعیت از formula_25 به formula_24 باشد (هرچند که احتمال حضور در هرکدام از وضعیت با یک‌دیگر متفاوت باشند). بنابراین خواهیم داشت: تمام فرایندهای ایستا بازگشت‌پذیر نیستند، هرچند تقریباً تمام مدل‌های تحولی دی‌ان‌ای فرض بازگشت‌پذیری در زمان را در نظر می‌گیرند (و این فرض، فرضی منطقی و متناسب با مسئله است). بر اساس فرض بازگشت‌پذیری در زمان متغیر جدید formula_61 تعریف می‌شود؛ بنابراین به راحتی می‌توان مشاهده کرد که:
تعریف: متغیر متقارنformula_63 جابه‌جایی‌پذیری میان وضعیت‌های formula_24 و formula_25 نامیده می‌شود. به معنای دیگر formula_66 نسبت حالت‌هایی از formula_24 که از طریق formula_25 به formula_24 رفته‌اند.
نتیجه: ۱۲ درایهٔ خارج از قطر ماتریس تغییر وضعیت (formula_41) می‌تواند توسط ۹ عدد مشخص شوند که ۶تای آن‌ها توسط متغیر جابه‌جایی پذیری و ۳تای دیگر توسط فراوانی ایستای formula_49 مشخص می‌شود. توجه داشته باشید که مجموع تکرارهای ایستا برابر ۱ بوده و مجموع هر سطر از formula_41 برابر ۱ است.
با مقایسهٔ توالی‌های موجود، می‌توان واگرایی توالی‌ها را مشخص کرد. منظور از واگرایی میزان تفاوت توالی‌های مورد آزمایش است. اندازه‌گیری واگرایی، اطلاعاتی را دربارهٔ تعداد تغییراتی که در طول مسیر جدایی توالی‌ها به‌وجود آمده‌است، به ما می‌دهد. با شمارش سادهٔ تعداد اختلاف‌ها (فاصلهٔ همینگ) میان توالی‌ها، معمولاً تعداد جایگزینی‌های موجود در توالی کم‌تر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود. تخمین دقیق تعداد تغییرات صورت گرفته مشکل بوده و معمولاً ضروری نیست. به جای این محاسبه، طول مسیرهای روی درخت فیلوژنی به عنوان میانگین تعداد تغییرات در هر بخش از توالی در نظر گرفته می‌شود. طول مسیر برابر حاصلضرب زمان مسیر در میانگین نرخ جانشینی است. هرچند که این حاصل‌ضرب قابل تخمین است، اما با مشخص بودن واگرایی توالی‌ها، نرخ تغییر و زمان مسیر به‌طور مستقل قابل اندازه‌گیری نبوده و تنها حاصل‌ضرب آن‌ها مشخص است.
تعریف صورت گرفته از ماتریس نرخ جهش (formula_41) در این صفحه مقدار نسبی جانشینی‌ها را مشخص می‌کند، اما این ماتریس طوری مقیاس‌گذاری نشده‌است که شاخه‌ای با طول ۱ به‌طور میانگین دارای یک تغییر باشد. این تغییر مقیاس می‌تواند با تغییر مقیاس ماتریس توسط طول شاخهٔ درخت صورت بگیرد. اگر β نشان‌دهندهٔ فاکتور مقیاس و ν نشان‌دهندهٔ طول شاخه باشد (که از طریق میانگین تعداد جایگزینی‌ها در هر نقطه از توالی اندازه‌گیری می‌شود)، آن‌گاه βν در فرمول‌های احتمالی انتقال، به جای μt استفاده می‌شود. قابل توجه است که ν پارامتری است که از داده‌ها تخمین زده می‌شود و به عنوان طول شاخه در نظر گرفته می‌شود، و β عددی است که از طریق ماتریس نرخ جهش محاسبه شده و یک پارامتر جداگانه نیست.
مقدار پارامتر β می‌تواند با گذاشتن این شرط که میانگین نرخ شار هر وضعیت برابر ۱ باشد، به دست بیاید. مقادیر روی قطر ماتریس نرخ (ماتریس Q)، برابر حاصل‌ضرب مقدار ۱- در نرخ خروج از وضعیت است. برای مدل‌های برگشت‌پذیر در زمان، نقطهٔ تعادل وضعیت‌های تعریف شده را (که برای وضعیت i همان formula_74 است) می‌دانیم؛ بنابراین می‌توان متوسط نرخ تغییر را با محاسبهٔ جمع حالت‌های خارج شده از هر وضعیت با وزنی متناسب با تعداد مکان‌هایی که به‌طور متوسط انتظار می‌رود در هر کلاس باشد، محاسبه کنیم. در این محاسبات β را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
به‌طور مثال در مدل Jukes-Cantor پارامتر مقیاس‌گذاری برابر 4/(3μ) است زیرا نرخ خروج از هر وضعیت برابر 3μ/4 است.
مدل JC69 ساده‌ترین مدل جانشینی موجود است. از جمله فرض‌های این مدل برابری تعداد تکرار هر کدام از بازهای موجود در توالی دی‌ان‌ای formula_76 و برابری نرخ جهش در تمام آن‌ها است؛ بنابراین تنها پارامتری که در این مدل استفاده می‌شود formula_77 است که برابر نرخ کلی جانشینی در این مدل است. همان‌طور که پیش از گفته شد، این متغیر در زمان تغییر میانگین نرخ به ۱، به عدد ثابت تبدیل می‌شود.
هنگامی که طول شاخه، ν، بر اساس متوسط تعداد تغییرات در هر مکان از توالی اندازه‌گیری می‌شود، داریم:
formula_80
formula_81
این مدل را می‌توان به عنوان تلفیقی از مدل‌های گسترش‌یافتهٔ Kimura80 و Felsentein81 در نظر گرفت. مدل HKY85 میان نرخ جایگزینی انتقالی و تراگشت با کمک پارامتر κ تفاوت قایل می‌شود و از سوی دیگر اجازه می‌دهد تا فراوانی پایهٔ میان بازهای مختلف متفاوت باشد formula_82 [مدل F84 در سال ۱۹۸۴ با پارامترهای دیگری با در نظر گرفتن عدم برابر احتمال‌های پایه توسط Felsenstein ارائه شد]. ماتریس نرخ تغییرات در این مدل به شکل زیر است:
formula_83
در صورتی که طول شاخه، ν، را با کمک متوسط تعداد تغییرات صورت گرفته در هر حرف از توالی بیان کنیم داریم:
formula_84
formula_85
formula_86
formula_87
formula_88
و فرمول برای سایر حالت‌های ممکن از وضعیت‌ها را می‌توان با جایگزینی احتمال مناسب به دست آورد.
T92 یک مدل سادهٔ ریاضیاتی برای تخمین تعداد جانشینی‌های نوکلئوتیدها در هر مکان توالی میان دو توالی دی‌ان‌ای با گسترش مدل Kimura80 بوده، به‌طوری‌که نسبت به پیوند G+C متمایل است. این روش زمانی کاربردی است که جایگزینی انتقالی-تراگشت بالایی وجود داشته و نسبت به G+C متمایل باشد مانند حالتی که در دی‌ان‌ای میتوکندری مگس سرکه اتفاق می‌افتد.
با داشتن مقدار formula_89 داریم:
formula_90
formula_91
ماتریس تغییرات بازها به شکل زیر است:
formula_92
فاصلهٔ تکاملی میان دو رشتهٔ بی‌رمز بر اساس این مدل به شکل زیر است:
formula_93
که در آن formula_94 و formula_95 محتوای GC است.
این مدل تفاوت میان دو حالت جایگزینی انتقالی را در نظر می‌گیرید، به این معنی که (A  G) می‌تواند نرخ متفاوتی نسبت به (CT) داشته باشد، اما تراگشت‌ها دارای نرخ برابر هستند (هرچند نرخ تراگشت می‌تواند عددی متفاوت از نرخ‌های جایگزینی انتقالی باشد).
در این مدل، احتمال هرکدام از پایه‌ها می‌توانند متفاوت باشند formula_96.
formula_97
این مدل، بی‌طرف‌ترین مدل با استقلال میان حروف و نواحی محدود است که اجازهٔ برگشت‌پذیری در مدل وجود دارد. مدل برای اولین بار توسط Simon Tavaré در سال ۱۹۸۶ توضیح داده شد.
پارامترهای مدل GTR شامل برداری از احتمالات پایدار برای پایه‌های مختلف به شکل formula_89 است. ماتریس ارتباط میان وضعیت‌های حروف توالی به شکل زیر است:
formula_99
که در آن
formula_100
پارامترهای بالا پارامترهای جایگزینی انتقالی هستند.
بنابراین، GTR نیازمند ۶ پارامتر جانشینی است بوده و ۴ پارامتر برای مقادیر تعادل نهایی است. با توجه به روابط میان پارامترها، تعداد پارامترها می‌تواند به ۹ پارامتر به اضافهٔ پارامتر formula_77 (تعداد جانشینی‌ها در واحد زمان) کاهش پیدا کند.
به‌طور کلی برای محاسبهٔ تعداد پارامترها، باید تعداد درایه‌های بالای قطر اصلی در ماتریس را شمارش کنیم، به‌طور مثال برای formula_102 وضعیت ممکن در یک مکان از توالی formula_103و سپس formula_102 وضعیت برای نقاط تعادل اضافه شده و چون formula_77 ثابت در نظر گرفته می‌شود، یکی از این تعداد کم می‌شود.