فضای هیلبرت
مفهوم ریاضیاتی فضای هیلبرت، که به افتخار دیوید هیلبرت نامگذاری شده، مفهوم فضای اقلیدسی را تعمیم می‌دهد. این فضا، روش‌های جبر برداری و حسابان را از صفحه اقلیدسی دو بعدی و فضای اقلیدسی سه بعدی، به فضاهایی با هر تعداد متناهی یا نامتناهی بعدی توسعه می‌دهد. یک فضای هیلبرت فضای برداری مجردی است که دارای ساختار ضرب داخلی بوده و امکان اندازه‌گیری شدن طول و زاویه را می‌دهد. به علاوه، فضای هیلبرت کامل است: یعنی در این فضا به میزان کافی حد وجود داشته لذا می‌توان از تکنیک‌های حسابان استفاده کرد.
فضاهای هیلبرت به صورت طبیعی و مکرر، به شکل فضای بی‌نهایت بعدی توابع در ریاضیات و فیزیک ظاهر می‌شوند. اولین فضاهای هیلبرت ازین نقطه نظر در دههٔ اول قرن بیستم توسط دیوید هیلبرت، ارهارد اشمیت و فریگیس ریسز مورد مطالعه قرار گرفتند. این فضاها ابزارهای اجتناب ناپذیری در نظریات معادلات مشتقات جزئی، مکانیک کوانتومی، تحلیل فوریه (که شامل کاربردهای آن در پردازش سیگنال و انتقال حرارت می‌شود) و نظریه ارگودیک می‌باشد (که ریاضیات زیربنایی ترمودینامیک را ارائه می‌دهد). جان فون نویمن عبارت «فضای هیلبرت» را برای مفهوم مجردی که کاربردهای گسترده‌ای داشت ایجاد نمود. موفقیت فضاهای هیلبرت راه را برای عصر ثمربخش آنالیز تابعی هموار نمود. جدا از فضاهای اقلیدسی کلاسیک، مثال‌هایی از فضاهای هیلبرت شامل فضاهای توابع مربع-انتگرال پذیر، فضاهای دنباله ای، فضاهای سوبولف شامل توابع تعمیم یافته و فضاهای هاردی از توابع هولومورفیک می‌شود.
شهود هندسی نقش مهمی را در بسیاری از جنبه‌های نظریه فضای هیلبرت بازی می‌کند. موجودات دقیقاً مشابهی از قضیه فیثاغورث و قانون متوازی‌الأضلاع در فضای هیلبرت نیز حضور دارند. در سطوح عمیق‌تر، تصویر عمودی بر روی زیر فضاها (مشابه ارتفاع مثلث‌ها) نقش مهمی در مسائل بهینه‌سازی و دیگر جنبه‌های این نظریه بازی می‌کند. در مقایسه با مختصات کارتزین در صفحه، یک عنصر از یک فضای هیلبرت را می‌توان به صورت منحصر به فردی توسط مختصات و با توجه به مجموعه ای از محورهای مختصات (یک پایه متعامد نرمال) مشخص کرد. زمانی که مجموعه محورها نامتناهی شمارا باشند، فضای هیلبرت را می‌توان به صورت دنباله نامتناهی که مربع-جمع پذیر هستند تصور نمود. در متون قدیمی اینگونه فضاهای اخیر را به عنوان فضای هیلبرت در نظر می‌گیرند. به‌طور مشابه عملگرهای خطی روی یک فضای هیلبرت نیز اشیاء نسبتاً ملموسی هستند: در موارد خوبی، این عملگرها تبدیلات ساده ای هستند که فضا را در جهت‌های دو به دو متعامد با ضریب‌های متفاوت می‌کشند به گونه ای که با مطالعه طیفشان می‌توان آن‌ها را دقیق تر شناخت.
قبل از توسعهٔ فضاهای هیلبرت، تعمیم‌های دیگری از فضاهای اقلیدسی وجود داشت و ریاضیدانان و فیزیکدانان با آن آشنا بودند. بخصوص ایدهٔ فضای خطی مجرد کشش‌هایی را تا پایان قرن نوزدهم ایجاد کرد: این‌ها فضاهایی هستند که عناصرشان را می‌توان با هم جمع کرده و اسکالرها را در آن ضرب کرد (اسکالرهایی چون اعداد حقیقی یا مختلط) بدون این که لزوماً این عناصر مفهومی بیرونی چون بردارهای «هندسی» مکان و گشتاور در دستگاه‌های فیزیکی داشته باشند. دیگر اشیاء مطالعه شده توسط ریاضیدانان در ابتدای قرن بیستم، بخصوص فضای دنباله ای (شامل سری‌ها) و فضای توابع را می‌توان به‌طور طبیعی به عنوان فضاهای خطی در نظر گرفت. به عنوان مثال می‌توان توابع را با هم جمع کرده یا در اسکالر ضرب کرد، و این عملیات از قوانین جبری جمع و ضرب اسکالر بردارها تبعیت می‌کنند.
در دهه اول قرن بیستم میلادی، پیشرفت‌های موازی منجر به معرفی فضاهای هیلبرت شدند. اولین این پیشرفت‌ها مشاهده ای بود که در حین مطالعات دیوید هیلبرت و ارهارد اشمیت بر روی معادلات انتگرالی رخ داد، این مشاهده بدین صورت بود: دو تابع حقیقی مقدار formula_1 و formula_2 روی بازه formula_3 ضرب داخلی دارند که به صورت زیر تعریف می‌شود: این ضرب داخلی بسیاری از خواص آشنای ضرب داخلی در فضای اقلیدسی را داراس. بخصوص ایدهٔ خانواده توابع معامد نیز درینجا معنا پیدا می‌کند. اشمیت شباهت این ضرب داخلی با ضرب داخلی معمولی را به کار گرفت تا مشابه تجزیه طیفی یک عملگر به فرم: که در آن formula_6 یک تابع پیوسته و متقارن با متغیرهای formula_7 و formula_8 هست را اثبات کند. نتیجهٔ کار او بسط توابع ویژه است که تابع formula_6 را به صورت یک سری به شکل زیر درمی‌آورد: که در آن formula_11 ها متعامد هستند یعنی formula_12 برای تمام formula_13 ها. برخی مواقع هر کدام از جملات این سری را جواب‌های ضرب ابتدایی گویند. با این حال، بسط توابع ویژه ای وجود دارند که به شکل مناسبی به تابع مربع-انتگرال پذیری همگرا نباشند؛ لذا عنصر مفقوده ای که از وجود شرط همگرایی اطمینان حاصل می‌کند همان خاصیت کامل بودن فضاست.