هرم پاسکال
در ریاضیات هرم پاسکال () آرایش سه بعدی از اعداد سه جزیی است؛ که ضرایب بسط سه جمله‌ای و توزیع آن می‌باشد. هرم پاسکال نظیر سه بعدی از مثلث پاسکال دو بعدی، که شامل اعداد دو جمله‌ای و مربوط به بسط دو جمله‌ای و توزیع دو جمله‌ای آن می‌باشد. اعداد دو جمله‌ای و سه جمله‌ای، ضرایب، بسط‌ها، توزیع‌ها، زیر مجموعه‌های ساخت‌های چند جمله‌ای با اسم‌های یکسان می‌باشند. هرم پاسکال با نام دقیق تر «چهار وجهی پاسکال» می‌باشد، زیرا دارای چهار سطح مثلثی است. (اهرام مصر باستان دارای پنج سطح بود: یک پایه مربعی و چهار مثلث اطراف آن)
به دلیل آن که چهاروجهی یک شیء سه بعدی است، ترسیم آن بر کاغذ یا نمایش آن بر صفحه کامپیوتر دشوار است. فرض کنید چهاروجهی به تعدادی سطح یا کف یا قسمت یا لایه‌هایی تقسیم شده‌است. لایه بالایی (راس) با برچسب "لایه ۰". لایه‌های دیگر را می‌توان دربالای سر چهار وجهی که لایه‌های قبلی آن برداشته شده فرض کرد. شش لایه اول آن به صورت زیراست:
لایه‌های چهار وجهی به خوبی نشان داده شدند. پس مثلث پاسکال با چهاروجهی متفاوت شده‌است.اعداد چهار وجهی از بسط سه جمله‌ای مشتق شده‌است. nامین لایه، ماتریسی با ضرایب مجزا[ماتریس ضرایب] (بدون متغیر یا نماها) از عبارت سه جمله‌ای (به عنوان مثال A + B + C) وجود دارد. عبارت سه جمله‌ای، با ضرب خود بسط داده می‌شود.
هر جمله در عبارت اول را در هر جمله در عبارت دوم ضرب می‌شود؛ و سپس ضرایب جملات یکسان (متغیر و نماهای مشابه) را با هم جمع می‌کنیم. در این جا بسط
1"A""B""C" + 4"A""B""C" + 6"A""B""C" + 4"A""B""C" + 1"A""B""C" + 4"A""B""C" + 12"A""B""C" + 12"A""B""C" + 4"A""B""C" + 6"A""B""C" + 12"A""B""C" + 6"A""B""C" + 4"A""B""C" + 4"A""B""C" + 1"A""B""C"
نوشتن بسط بدین صورت آن را قابل فهم تر می‌کند. هم چنین ارتباط بین چهار وجهی را نمایش می‌دهد که با ضرایب لایه چهارم برابر است. توان‌ها، متغیرها و ضرایب اشاره شده که نوشته نشدند، ارتباط دیگری بین چهار وجهی را نمایش می‌دهد. (معمولاً ""B"" برابر B و "1"A"" برابر A و ""C"" برابر ۱ می‌باشد. مجموع نماهای هرجمله برابر شماره(n) لایه بوده(۴ در این مثال). به‌طور عمده، ضرایب را متوان از روی توان‌ها به‌طور مستقیم محاسبه نمود. فرمول مورد نظر ((!"x + y + z")! / ("x"! × "y"! × "z" می‌باشد که به ترتیب "x","y","z" توان‌های "A", "B", "C" می‌باشند. برای لایه ۴ام داریم:
formula_1
formula_2
formula_3
formula_4
formula_5
توان‌های هر جملهٔ بسط به خوبی دیده می‌شود و این فرمول‌ها، ضرایب بسط (با انحصار به هر جمله) و ضرایب چهاروجهی لایه چهارم ساده می‌کنند.
تعداد چهار وجهی‌ها را همچنین می‌توان در توزیع سه جمله‌ای یافت. این یک توزیع احتمال گسسته است که برای تعیین شانس ترکیبی از وقایع با توجه به سه پیش آمد ممکن که رخ می‌دهد؛ تعداد راه‌هایی که وقایع می‌توانند رخ بدهند ضربدر احتمالاتی است که روی می‌دهد. فرمول توزیع سه جمله‌ای به صورت زیر است:
که "x", "y", "z" تعداد دفعاتی است هریک از این سه پیش آمد رخ می‌دهد. "n" تعداد از آزمایش‌های است و برابر است با مجموع "x+y+z" P, P, P احتمالاتی است که هریک از این سه پیش آمد ممکن است رخ دهد. به عنوان مثال، در یک انتخابات سه جانبه، نامزدها این رای‌ها را اخذ کردند: A, 16%; B, 30%; C, 54%. شانس این که گروهی چهار نفره شامل رأی دهندگانی باشد به شرطی که ۱ رأی به "A"و ۱ رأی به "B" و ۲ رأی به "c" داده باشند، چقدر است؟ جواب به شرح زیر است:
عدد ۱۲ ضریب این احتمال است و این تعداد ترکیباتی است که این گروه "۱۱۲" می‌توانند پر کنند. ۱۵ مدل مختلف، این گروه چهار نفره می‌توانند رأی بدهند. عبارات برای همهٔ ۱۵ تای این ضرایب بدین سان است:
formula_6
formula_7
formula_8
formula_9
formula_10 صورت کسر (بالای خط) این کسرها برای همه عبارات یکسان است. این گروه، با حجم نمونه چهار نفره، نشان می‌دهد که ضرایب این ترتیب‌ها را می‌توان در لایه ۴ از چهار وجهی یافت. سه عدد در مخرج (زیر خط) تعدادی از اعضای گروه می‌باشد که به ترتیب به "A"، "B"، "C" رأی دادند. معمولاً برای بیان توابع ترکیبی، از مختصرنویسی به شکل «انتخاب» استفاده می‌شود. (بخوانید انتخاب ۰و۰و۴ از ۴)
formula_11
formula_12
formula_13
formula_14
formula_15 که مقادیر این عبارات، برابر ضرایب لایه چهارم چهاروجهی است؛ که می‌توان آن را به هر لایه با تغییر اندازه نمونه به "n" تعمیم داد. شکل زیر بیان مجموع همه ضرایب لایه "n"ام را ساده‌تر می‌کند. formula_16 = 3.
اعداد هر لایه ("n") در چندوجهی، مجموع سه عدد مجاور لایه قبلی[بالایی] ("1-n") می‌باشد. دیدن این ارتباط، بدون آمیختن لایه‌ها باهم، نسبتاً دشوار است. در زیر اعداد لایه سوم، به صورت مایل، در بین اعداد درشت شده لایه چهارم، جا داده شده‌است.
ارتباط مورد نظر با عدد مرکزی پایین درلایه چهارم نشان داده شده‌است؛ که آن با ۳ عدد از لایه سوم محاصره شده‌است: ۶ از شمال، ۳ از جنوب شرقی و ۳ از جنوب غربی آن. (اعداد در لبه‌ها فقط ۲ عدد مجاور در لایه بالایی خود دارند و اعداد گوشه‌ای فقط یک عدد مجاور خود دارند و به همین دلیل همواره مقدار یک را دارا می‌باشند. اعدادی که نیستند را می‌توان صفر در نظر گرفت؛ پس مشکلی برای تعمیم وجود ندارد) این ارتباط بین لایه‌های مجاور، یک ارتباط خارق‌العاده نیست! در عوض، آن با به انجام رسیدن دو مرحله فرایند بسط سه جمله می‌باشد. در ادامه این مثال، در مرحله اول، هر جملهٔ ("A + B + C")) در عبارت "A + B + C")) ضرب می‌شود. فقط ۳تا از این ضرب‌ها در این میان جالب هستند.
سپس در مرحله دوم، با جمع جملات مشابه (توان و پایه یکسان) داریم: 12"A""B""C" که این جمله‌ای از "A + B + C")) می‌باشد. درحالی که ۱۲ ضریب لایه چهارم چهاروجهی می‌باشد. به صورت نمادین، رابطه جمع به صورت زیر بیان می‌شود: C("x,y،z") = C("x"−1",y،z") + C("x,y"−1",z") + C("x,y،z"−1) که (C("x,y،z" ضریب جمله با توان‌های ترتیبی "x, y, z" و "x+y+z = n" شماره لایه چهار وجهی می‌باشد. این رابطه تنها زمانی که بسط سه جمله‌ای به شکل غیر خطی همانند فرمی که در این بخش (ارتباط بسط سه جمله‌ای) نشان داده شد، مرتب شود، به کار می‌آید.
در هر لایهٔ چندوجهی، همه اعداد به سادگی نسبتی از اعداد مجاور می‌باشند. رابطه در جفت اعداد مجاور افقی در لایه چهارم نشان داده شده‌است:
1   <1:4>   4   <2:3>   6   <3:2>   4   <4:1>   1 4   <1:3>   12   <2:2>   12   <3:1>   4 6   <1:2>   12   <2:1>   6 4   <1:1>   4 1
از آنجا که چهاروجهی دارای تقارن ۳طرفه است، رابطهٔ نسبتی، همانند مسیر افقی، در مسیرهای قطری نیز برقرار است (در هر دو طرف). نسبت‌ها توسط توان‌های جملات مجاور مربوط بسط سه جمله‌ای کنترل می‌شوند. برای مثال، یک نسبت در شکل بالا، ۴ <1:۳> ۱۲ می‌باشد که جملات مربوطه در بسط سه جمله‌ای،
4"A""B""C" و 12"A""B""C"
است. قوانین زیر برای همه ضرایب جفت‌های مجاور جملات در بسط سه جمله‌ای بر قرار است: این قاون برای همهٔ جفت‌های افقی و اریب برقرارست. این رابطه نسبتی (تا حدودی طاقت فرسا) راه دیگری برای محاسبه ضرایب چهار ضلعی را فراهم می‌کند: ضریب جمله مجاور، برابر ضریب جمله فعلی ضربدر توان متغیر با کاهش توانی تقسیم بر توان متغیر با افزایش توانی می‌باشد. نسبت ضرایب مجاور وقتی که با نمادها نشان داده شد، واضح تر بود! هر جمله می‌تواند شمال حداکثر ۶ جمله مجاور باشد.
برای "x" = 0:     C("x,y،z"−۱) = C("x,y"−1",z") × "z / y"     C("x,y"−1",z") = C("x,y،z"−۱) × "y / z" برای "y" = 0:     C("x"−1",y،z") = C("x,y،z"−۱) × "x / z"     C("x,y،z"−۱) = C("x"−1",y،z") × "z / x" برای "z" = 0:     C("x,y"−1",z") = C("x"−1",y،z") × "y / x"     C("x"−1",y،z") = C("x,y"−1",z") × "x / y"
که "(C("x,y،z ضریب و "x,y،z" نماها می‌باشند. در روزهای گذشته، کامپیوترهای شخصی و ماشین حساب‌های جیبی از این شیوه به عنوان میانبر دانش آموز برای نوشتن بسط دوجمله‌ای بدون بسط جبری خسته‌کننده یا محاسبات فاکتوریل ناشیانه استفاده می‌شد. این رابطه نیز تنها زمانی که بسط سه جمله‌ای به شکل غیر خطی همانند فرمی که در این بخش (ارتباط بسط سه جمله‌ای) نشان داده شد، مرتب شود، به کار می‌آید.
می‌دانید که اعداد روی سه یال بیرونی لایه "n"ام چهاروجهی، همانند اعداد سطر "n"ام مثلث پاسکال می‌باشد. با این حال، روابط بین اعداد، بیش از یک نوار عددی می‌باشد. این روابط با مقایسه لایه چهارم چهاروجهی و خط چهارم مثلث پاسکال به خوبی نشان داده خواهد شد.
Pascal's triangle 1 1       1 1       2       1 1       3       3       1 1       4       6       4       1
Tetrahedron Layer 4 1       4       6       4       1 4      12     12      4 6      12      6 4       4 1
با ضرب کردن سطر "n"ام مثلث پاسکال در همهٔ سطرهای خود به‌طوری‌که به ترتیب هرسطر یکی از اعداد را ضریب بگیرد،"n" امین لایهٔ چهار وجهی به دست می‌آید. درمثال زیر، اعداد مثلث پاسکال، مایل، و اعداد هرم درشت‌نویس هستند.
"1" × ۱ = ۱
"1       1" × ۴ = 4       ۴
"1       2       1" × ۶ = 6      12      ۶
"1       3       3       1" × ۴ = 4      12     12      ۴
"1       4       6       4       1" × ۱ = 1       4       6       4       1
ضرایب (۱ ۴ ۶ ۴ ۱) خط چهارم مثلث خیام-پاسکال را تشکیل می‌دهند. این رابطه، راحت‌ترین و سریع‌ترین راه محاسبهٔ هر لایه از چهاروجهی می‌باشد بدون نیاز به محاسبهٔ فاکتوریل که به سرعت اعداد بزرگی را تولید می‌کند. (ماشین حساب‌های اعداد بزرگ و دقیق در محاسبهٔ لایه‌های بزرگتر از ۲۰۰ بسیار کند عمل می‌کنند) اگر ضرایب مثلث خیام-پاسکال با نماد C("i,j") بیان شود و ضرایب چندوجهی با نماد C("n,i،j") که "n" لایه چندوجهی، "i" شماره ردیف و "j" ستون باشد، آنگاه رابطه نمادین به صورت زیر است: C("i,j") × C("n,i") = C("n,i،j")     "i" = 0 to "n, j" = 0 to "i"
جدول زیر ویژگی‌های بسط و توزیع سه جمله‌ای را خلاصه می‌کند و آن‌ها را با بسط و توزیع دوجمله‌ای و چندجمله‌ای مقایسه می‌کند:
نکته اول: سیمپلکس ساده‌ترین شکل هندسی خطی است که در هر بعد وجود دارد. چهاروجهی‌ها و مثلث به ترتیب نمونه در ابعاد ۳ و ۲ می‌باشند. نکته دوم: فرمول در بسط دوجمله‌ای معمولاً بدین شکل بیان می‌شود: ((!"n"! / ("x"! × ("n−x"; که "n−x = y".
لایهٔ تصادفی را می‌توان در یک مرحله با فرمول زیر به دست آورد:
که در آن "b" مبنا و "d" تعداد ارقام هریک از ضرایب چندجمله‌ای مرکزی می‌باشد که
سپس ارقام حاصل آن را با "d(n+1)" بسته‌بندی می‌نماییم؛ به اندازه "d" جدا کرده و و صفرهای پیشرو را حذف می‌کنیم. این روش با تعمیم ابعاد مختلف، می‌تواند اقسام سیمپلکس پاسکال را فرا گیرد.
برای مبنای "b" = 10, "n" = 5, "d" = ۲:
برای مبنای "b" = 10, "n" = 20, "d" = ۹:
با جمع کردن اعداد هر ردیف در لایه "n" در هرم پاسکال، داریم:
که "b" مبنا و "d" تعداد ارقام مجموع ردیف میانی (دارای بیش‌ترین مجموع) برای مبنای b" = ۱۰":
با جمع کردن اعداد هر ردیف در لایه "n" در هرم پاسکال، داریم:
که "b" مبنا و "d" تعداد ارقام مجموع ردیف میانی (دارای بیش‌ترین مجموع) برای مبنای b" = ۱۰":
در ژنتیک، معمولاً از هرم پاسکال برای پیدا کردن نسبت بین ژنوتیپ‌های مختلف در یک عبور مشابه استفاده می‌شود که توسط بررسی خطی که معادل تعداد فنوتیپ (ژنوتیپ + ۱) است انجام می‌شود. این خط همان نسبت خواهد بود. [جزئیات بیشتر مورد نیاز است]