مدل رشد رمزی
مدل رشد رمزی، یک مدل رشد نئوکلاسیک است که بر پایه کارهای فرانک رمزی بنا شده است و و تیالینگ کوپمانس آن را توسعه داده‌اند. فرانک رمزی که که از شاگردان کینز بوده است در سال ۱۹۲۸، زمانی که کشورهای غربی با رکود بزرگ مواجهه بودند، یک مدل بهینه‌سازی پویا را برای توضیح رفتار اقتصادی در حوزه تعیین سطح پس‌انداز ارائه کرد که نسخه‌های به روز شده آن با عنوان مدل رمزی در اقتصاد رشد مورد استفاده قرار گرفت و بهبود بخشیده شد. بر خلاف مدل رشد سولو، در مدل رمزی انتخاب میزان پس‌انداز، بر اساس تصمیمات سطح خرد بین بنگاه و مردم تعیین می‌شود لذا نرخ پس‌انداز دیگر ثابت نیست و می‌تواند تا رسیدن به نرخ بلند مدت خود تغییر کند.
این مدل دارای دو نسخه اصلی برنامه‌ریزی متمرکز و اقتصاد بازار است؛ و با فرض طول عمر نامحدود آحاد مردم، بازار رقابتی، بازده ثابت به مقیاس تابع تولید و همگن بودن مطلوبیت آحاد مردم نتایج هر دو نسخه یکی است.
در این بخش مدل رمزی در حالت برنامه‌ریزی متمرکز ارائه می‌شود. در مدل برنامه‌ریزی متمرکز چنین فرض می‌شود که دیکتاتوری خیرخواه به بهینه‌سازی تابع رفاه اجتماعی می‌پردازد. این برنامه‌ریز مرکزی با اشراف کامل بر ترجیحات یک یک آحاد جامعه توان نمایندگی آنها را دارد و لذا انتخاب وی بهترین انتخابی است که آحاد اقتصادی نیز در پی آن است.
فرض می‌شود جمعیت با نرخ formula_1 در طول زمان رشد می‌کند، تولید با استفاده از دو نهاده سرمایه و نیروی کار صورت می‌گیرد و رشد تکنولوژی نیز برابر formula_2 است. تولید انجام شده در اقتصاد به مصرف یا سرمایه‌گذاری اختصاص می‌یابد و سرمایه‌گذاری صورت گرفته نیز از یک سو موجودی سرمایه را افزایش می‌دهد و از سوی دیگر استهلاک آن را کاهش می‌دهد (معادله جریان سرمایه).
formula_3
formula_4 نسبت سرمایه‌گذاری به نیروی کار- سرمایه‌گذاری مؤثر- بوده و تولید سرانه نیز برابر formula_5 است.
از سوی دیگر، برنامه‌ریز مرکزی رجحان‌های مصرفی طول عمر نامحدود جامعه را که همان ارزش حال مطلوبت حاصل از مصرف است را نمایندگی می‌کند. این ترجیحات در قالب تابع مطلوبیت سرانه طول عمر زیر نشان داده شده می‌شود که در آن formula_6 عامل تنزیل ارزش مصرفی کالا و خدمات است؛ و formula_7 تابعی غیر منفی مقعر و صعودی در سطح مصرف سرانه است. formula_8 پارامتر نرخ رجحان زمانی است که فرض می‌شود اکیداً مثبت بوده و در حالت عمومی کمتر از واحد است.
formula_9
فرض می‌شود برنامه‌ریز مرکزی خیرخواهی وجود دارد که هدف وی حداکثرسازی مطلوبیت آحاد مردم است. آنچه باید انجام گیرد تعیین زنجیره‌ای از مصرف سرانه است که در هر لحظه از زمان نیز معادله جریان سرمایه، صدق کند.
formula_10
formula_11
لذا تابع همیلتونین ارزش حال به صورت زیر خواهد بود که بیشنه سازی آن معادل بیشنه سازی تابع هدف مشروط به قید مذکور است.
formula_12
با مشتق گیری نسبت به formula_13 خواهیم داشت.
formula_14
با مشتق گیری نسبت به formula_15 خواهیم داشت.
formula_16
که اگر از این رابطه نسبت به زمان مشتق گرفته شود و با استفاده از رابطه قبل و ضرب و تقسیم می‌توان نشان داد.
formula_17
عبارت formula_18 کشش مطلوبیت نهایی حاصل از مصرف نسبت به تغییرات مصرف است و با فرض اینکه تابع باشد خواهیم داشت.
formula_19
مفهوم اقتصادی رابطه دوم این است که چون با کاهش یک واحدی مصرف جاری و سرمایه‌گذاری آن می‌توان به مقدار بیشتری از تولید (امکان مصرفی) آتی، معادل formula_20 دست یافت که این مقدار بیش از نارضایتی حاصل از چشم پوشی از مصرف حال، یعنی مجموع نرخ رجحان زمانی و اثر کاهنده رشد جمعیت، رشد تکنولوژی و استهلاک بر مصرف سرانه مؤثر formula_21، در ازای به تعویق انداختن مصرف است؛ لذا تصمیم عقلایی آن است که مصرف به تعویق افتاد. این رفتار از سوی برنامه‌ریز مرکزی تا جائی ادامه می‌یابد که نامساوی به برابری تبدیل شود.
آنچه تا به حال به دست آمده، تخصیص پویایی از مقادیر مصرف بود که حداکثر رفاه اجتماعی را به همراه می‌آورد. حال با درنظرگرفتن روابط در کنار هم دستگاه دیفرانسیلی حاصل می‌شود که توضیح دهنده عملکرد دینامیک این نظام اقتصادی در تخصیص درآمد بین مصرف و سرمایه‌گذاری خواهد بود. آنچه سبب می‌شود در این مدل، تغییرات مصرف سرانه نیز با دینامیکی مستقل نسبت به تغییرات موجودی سرمایه سرانه استخراج شود، وجود مکانیزم تعیین درون زای پس‌انداز توسط برنامه‌ریز مرکزی است.
formula_3
formula_19
با توجه به ماهیت غیر خطی دستگاه معادلات، امکان به دست آوردن حل تحلیل آن وجود ندارد. به همین دلیل می‌بایست با در نطر گرفتن مقادیر تعادلی بلندمدت و جهت‌های حرکت دو متغیر، با استفاده از دیاگرام فاز، به ارزیابی متغییرهای حالت (مصرف) و جریان (سرمایه) پرداخته شود. شرایط تعادل بلندمدت عبارت است از وضعیتی که در آن متغییرهای درونزای مدل، یعنی مصرف و موجودی سرمایه میلی به تغییر نداشته باشند، به عبارتی دیگر تغییرات آنها برابر صفر باشد.
رابطه نشان می‌دهد که در وضعیت تعادل بلند مدت، تولید نهایی سرمایه سرانه معادل مجموع نرخ رجحان زمانی و نرخ رشد جمعیت و رشد تکنولوژی و استهلاک است.
formula_24
formula_25
منحنی formula_26 عبارت است از مکان هندسی نقاطی که سرمایه تغییر نمی‌کند که با توجه به تقعر تابع تولید، دارای شکلی مقعر بوده و به جز محور مختصات محور افقی را نیز قطع می‌کند. formula_27 معادله نیز تنها یک جواب دارد که مکان هندسی آن، خطی عمودی در سطح خواهدformula_28 بود.
همان‌طور که در نمودار مشخص است، در نواحی سمت راست formula_27، سطح موجودی سرمایه بیش از موجودی سرمایه بهینه بوده و در نتیجه تولید حاشیه‌ای سرمایه سرانه کمتر از مقداری است که برابری formula_25 را برقرار سازد.
آنگونه که از نمودار بر می‌آید، دو ناحیه همگرایی و دو ناحیه واگرایی وجود دارد. نقطه تعادل E مورد نظر سیاستگذاران است چرا که وضعیت متناظر با بهترین شرایط رفاهی جامعه است. برنامه‌ریز مرکزی برای ایجاد تعادل در اقتصاد، به گونه ایی که از هر گونه واگرایی اجتناب شود، می‌بایست شرایط اقتصادی را روی مسیر همگرایی مانند مسیر ss قرار دهد به عبارت دیگر با توجه به میزان انباشت سرمایه، k، مقدار مصرف و به تبع آن میزان پس‌انداز از روی نمودار ss به دست می‌آید.