ریشه دوم
در ریاضیات، ریشهٔ دوم یا جذر یا رادیکال یک عدد حقیقی غیرمنفی formula_1 به صورت formula_2 نشان داده می‌شود و نتیجهٔ آن عددی حقیقی غیر منفی است که مجذورش (عدد حاصل از ضرب یک عدد در خودش) برابر formula_1 است.
برای مثال، جذر عدد ۹ برابر ۳ است (به صورت formula_4 نمایش می‌یابد) زیرا داریم: formula_5
جذر اغلب در هنگام حل معادله درجه دوم یا معادله‌های به شکل formula_6 استفاده می‌شود، زیرا متغیر formula_1 به توان دو رسیده‌است.
طبق قانون بنیادی جبری، دو جواب برای ریشهٔ دوم یک عدد وجود دارد (این دو جواب در ریشهٔ دوم عدد صفر با هم یکی هستند). برای هر عدد حقیقی مثبت دو جواب برای ریشهٔ دوم وجود دارد که این دو جواب عددی هستند که یک بار منفی و یک بار مثبت است (به شکل formula_8).
ریشهٔ دوم اعدادی که مربع کامل نیستند همواره عددی گنگ است، یعنی اعداد را نمی‌توان به صورت کسری از دو عدد صحیح گویا کرد. برای مثال، formula_9 را نمی‌توان دقیقاً به صورت formula_10 نوشت، که در آن formula_11 و formula_12 اعدادی صحیح هستند. در هر حال این عدد اندازه قطر مربعی به ضلع یک است. از مدت‌های گذشته، عدد formula_9 را عددی گنگ می‌دانستند و آن را به فیثاغورث نسبت می‌دادند.
نماد ریشهٔ دوم (formula_14) برای اولین بار در قرن شانزدهم استفاده شد. به نظر می‌رسد که این علامت از حرف کوچک r برگرفته شده‌است، که بیانگر واژه لاتین "radix" به معنای ریشه است. این عبارت برای تمام formula_1 و formula_19های نامنفی به طوری که هر دو صفر نباشند صحیح است.امروزه روش‌های بسیاری برای محاسبه ریشه دوم وجود دارد، بعضی از آن‌ها را می‌توان بر روی کاغذ انجام داد و بعضی از آن‌ها هم با ماشین، البته همه ماشین‌حساب‌ها دارای دکمه رادیکال نیستند.
اغلب برای حساب کردن ریشه دوم از بعضی برنامه‌های صفحه‌گسترده کامپیوتر و برخی دیگر از نرم‌افزارها استفاده می‌شود. نرم‌افزارهای کامپیوتری قابلیت محاسبه توابع نمایی و لگاریتم طبیعی را دارند و با استفاده از آن ریشه دوم formula_1 را محاسبه می‌نمایند، به شکل زیر:
formula_56
برای محاسبه ریشه دوم می‌توان از خط‌کش مهندسی یا جدول لگاریتم کمک گرفت.
رایج‌ترین روش محاسبه ریشه دوم بر روی کاغذ، استفاده از «روش بابلی» است. این روش از یک عملیات ساده استفاده می‌کند، و هر چه این روش را بیشتر انجام دهید به جواب نزدیک‌تر خواهید شد. برای پیدا کردن formula_57، ریشه دوم عدد formula_1:
مربع هر عدد منفی یا مثبت، عددی مثبت و مربع صفر همان صفر است. با این حال از هیچ عدد منفی نمی‌توان جذر گرفت. اما در یک سیستم اعداد بزرگ به نام اعداد مرکب، می‌توان از اعداد منفی هم ریشه دوم گرفت. برای این کار باید نوع جدیدی از عدد را با عنوان یکای مجازی تعریف کرد، که برابر با جذر عدد -۱ است. این عدد معمولاً به صورت formula_63 (گاهی اوقات "j") نمایش می‌یابد. از علامت زیر برای نمایش ریشه دوم عدد منفی formula_64 استفاده می‌کنیم:
formula_65
زیرا:
formula_66.
در این صورت آرگومان formula_63 می‌تواند هم منفی و هم مثبت باشد. یکی از اشکالات استفاده از اعداد مرکب این نیست که اعداد منفی و مثبت معنی خود را از دست می‌دهند. این هم مشکلی جدید ایجاد می‌کند: ما نمی‌توانیم formula_68 را به عنوان ریشه دوم مثبت formula_69 تعریف کنیم.
برای هر عدد غیر صفر formula_69 همواره دو عدد formula_71 وجود دارد که در عبارت "w" = "z" صدق کند. تعریف معمول √"z" به این صورت است: اگر formula_72 در مختصات قطبی با formula_73 صدق کند، آن گاه داریم formula_74. همان‌طور که گفته شد، تابع ریشه دوم در همه جب هولومورفیک است به غیر از اعداد حقیقی غیرمثبت (که در این نقاط [پیوسته] هم نیست). سری تیلور formula_75 برای اعداد مرکب formula_1 به طوری که |"x"| مستطیل شکل باشد، می‌توان از فرمول زیر استفاده نمود:
formula_77
به یاد داشته باشید که چون تابع ریشه دوم در نقاط مرکب گسسته‌است، formula_78 نمی‌تواند همواره صحیح باشد؛ زیرا چندین «مثال نقض» برای آن وجود دارد، مثلاً عبارت زیر نشان می‌دهد که -۱ = ۱:
formula_79
سومین مساوی را نمی‌توان اثبات کرد.
اگر چه آن قضیه تنها در -۱ نادرست است (در اعداد بزرگ‌تر از آن صحیح است)، √("zw") = ±√("z")√("w") برای ± یعنی + یا - صحیح است. به یاد داشته باشید که √("c") = ±"c"، و در نتیجه √("a""b") = ±"ab" و √("zw") = ±√("z")√("w") که در آن "a" = √("z") و "b" = √("w") است.
اگر formula_80 یک ماتریس مثبت تعریف‌شده یا یک عملگر باشد، در این صورت ماتریس مثبت تعریف‌شده یا عملگر formula_81 وجود دارد که در "B" = "A" صدق کند، و تعریف می‌کنیم √"A" = "B".
به طوری کلی، برای هر ماتریس معمولی یا عملگر formula_80، عملگر formula_81 وجود دارد که در "B" = "A" صدق کند.
در وضعیت‌هایی که بخواهیم تعداد بی شمار ریشه دوم یک عدد را به دست آوریم، مانند:
formula_84
جواب یک عدد گویاست. عدد گویا را می‌توان با قرار دادن formula_1 در زیر رادیکال به دست آورد به صورت:
formula_86
اگر این سئوال را حل می‌کنیم، به جواب "x" = ۲ می‌رسیم. از این تقریب می‌توانیم در هر جایی که "n"> ۰ استفاده کنیم:
formula_87
همین رویه را می‌توان به صورت زیر داشت:
formula_88
این روش برای تمام مقادیر formula_11، یک مقدار formula_1 گویا می‌دهد، مانند:
formula_91
ریشه دوم می‌تواند به صورت منحنی ساخته شود. اقلیدس روشی را برای بدست آوردن میانگین هندسی دو عدد مختلف ساخته‌است: Proposition II.۱۴ و Proposition VI.۱۳. میانگین هندسی دو عدد formula_35 و formula_93 برابر است با formula_94 و در صورتی که formula_95 باشد می‌توان از formula_96 استفاده کرد.
چنین روشی را رنه دکارت هم گفته بود، که می‌توانید آن را در تمرین دوم صفحه دوم ببینید. اگر چه دکارت هیچ ادعایی برای اینکه مطلبی جدید را آورده نداشت و همه افراد آن را از آن اقلیدس می‌دانستند.برای بدست آوردن جذر تقریبی اعداد ابتدا باید ببینیم که آن عدد بین کدام یک از مجذورهای کامل قبل و بعد وجود دارد؛ فرضاً جذر تقریبی عدد ۵۶ را می‌خواهیم حساب کنیم.
عدد ۵۶ بین دو عدد ۴۹ و ۶۴ که مجذور کامل هستند قرار دارند. پس:
formula_98
formula_99
formula_100در هند باستان، استفاده از ریشه دوم به سولبا سوتراس برمی گردد، که حدود ۵۰۰–۸۰۰ سال قبل از میلاد بوده‌است. اولین روش برای یافتن ریشه دوم عدد ۲ و ۳ توسط بودایانا سولبا سوترا ارائه شده بود. آریاباتا در آریاباتیا (قسمت ۲٫۴) هم روشی برای به دست آوردن ریشه دوم اعداد چندرقمی داده بود.
د.ا. اسمیت در کتاب تاریخ ریاضی گفته‌است، «در اروپا چنین روش‌هایی (برای پیدا کردن ریشه دوم و مربع یک عدد) قبل از کاتنو (۱۵۴۶) استفاده نمی‌شده‌است. او روش‌هایی را برای به دست آوردن ریشه دوم، با استفاده از روش آریاباتا ارائه کرده بود.»