فرایند لوی
در نظریه احتمال، فرایند لوی که به نام ریاضیدان فرانسوی پل لوی نامیده شده‌است، یک فرایند تصادفی با افزایش‌های مستقل ثابت است. این فرایند حرکت یک نقطه که جابه‌جایی‌های پی‌درپی آن به صورت تصادفی و مستقل هستند و از نظر آماری در زمان‌های مختلف با طول برابر یکسان هستند. در نتیجه یک فرایند لوی ممکن است به عنوان ولگشت زمان پیوسته آنالوگ بررسی شود.
شناخته شده‌ترین نمونه فرایند لوی، فرایندهای حرکتی براونی و فرایندهای پواسون هستند. به جز حرکت براونی با رانش، سایر فرایندهای لوی مسیرهای ناپیوسته مسیرهای دارند.
یک فرایند تصادفی formula_1 یک فرایند لوی، نامیده می‌شود اگر خواص زیر را داشته باشد: اگر formula_11 یک فرایند لوی باشد آنگاه ممکن است یک نمونه از formula_11 ساخته شود به نحوی که formula_13 است به صورت قریب به یقین، پیوسته از راست با حد چپ باشد.
یک فرایند تصادفی زمان پیوسته، متغیر تصادفی "X" به هر نقطه "t" ≥ ۰ در زمان نسبت می‌دهد. در نتیجه این فرایند، یک تابع تصادفی از "t است". افزایش‌های این فرایندها برابرست با تفاوت "X" − "X" در زمان‌های مختلف "t" مستقل هستند. به صورت کلی، هر تعداد افزایشی که به بازه‌های مستقل زمانی نسبت داده می‌شوند، با فرض مستقل بودن دو به دوی بازه‌ها مستقل هستند.
یک افزایش ثابت است اگر توزیع احتمال هر افزایش "X" − "X" تنها به طول "t" − "s" از فاصله زمانی وابسته باشد و افزایش‌ها در بازه زمانی با طول برابر، یکسان توزیع شده باشد.
اگر formula_11 یک فرایند وینر باشد، احتمال توزیع "X" − "X"، توزیع طبیعی با امید ریاضی ۰ و واریانس "t" − "s است".
اگر formula_11 فرایند پواسون باشد، احتمال توزیع "X" − "X" یک توزیع پواسون با امید ریاضی λ("t" − "s") که در آن λ> ۰ نرخ این فرایند است.
توزیع یک فرایند لوی دارای خاصیت بی‌نهایت تقسیم‌پذیری است: با هر عدد صحیح "n" قانون یک فرایند لوی در زمان t می‌تواند به صورت قانون n متغیر تصادفی مستقل که دقیقاً افزایش‌های فرایندهای لوی در فواصل زمانی "t"/"n" که مستقل هستند و توزیع یکسانی دارند در نظر گرفته شود. برعکس برای هر توزیع بی‌نهایت تقسیم‌پذیر formula_16 یک فرایند لوی formula_11 قانون formula_18 را برپایه formula_16 مشخص می‌کند.
در هر فرایند لوی، با گشتاور محدود، nمین گشتاور formula_20 یک تابع چند جمله‌ای از "t است"; این توابع یک نوع دوجمله‌ای را مشخص می‌کنند:
توزیع یک فرایند لوی توسط تابع مشخصه آن، که فرمول توسط فرمول لوی–خینشین (به صورت عمومی برای تمام توزیع‌های بی‌نهایت تقسیم‌پذیر) مشخص می‌شود: اگر formula_22 یک فرایند لوی باشد، آنگاه تابع مشخصه formula_23 به فرم زیر است: که در آن formula_25، formula_26 formula_27 تابع مشخصه و formula_28 یک معیار سیگما-محدود به نام معیار لوی از formula_11 یک فرایند لوی می‌تواند با داشتن سه جزء مستقل مشخص شود: یک رانش خطی، یک حرکت براونی و یک برهم نهی مستقل (محور) از فرایندهای پواسون با اندازه پرش متفاوت؛ formula_31 نشان دهنده میزان ورود (شدت) از فرایند پواسون با سایز پرش از اندازه formula_32. این سه مؤلفه و در نتیجه نمایش لوی–خین‌شین به‌طور کامل توسط سه‌تایی لوی–خین‌شین formula_33. به صورت ویژه، تنها فرایند پیوسته لوی (غیرقطعی)، حرکت براونی با رانش است.
هر فرایند لوی ممکن است به مجموع یک حرکت براونی، یک رانش خطی و فرایند پرش خالص که تمامی پرش‌ها را با فرایند لوی خالص داده شده‌است، تجزیه شود. عبارت آخر را می‌توان به عنوان یک برهم نهی از ترکیب فرایندهای پواسون مرکزی بررسی کرد. نتیجه به عنوان تجزیه لوی–ایتو شناخته می‌شود. .
با توجه به سه‌گانه لوی formula_33 سه فرایند مستقل لوی وجود دارند که در همان احتمال فضا formula_35 با formula_36 با formula_37 قرار دارند. به این ترتیب که: فرایند تعریف شده با formula_42 یک فرایند لوی با سه‌تایی روبرو است. formula_33.
فرایند formula_44 می‌تواند به عنوان جمع دو فرایند مستقل زیر مشخص شود. یک فرایندهای خالص پرش با میانگین صفر با شرط جهش کمتر از formula_45 در مقدار مطلق و یک ترکیب فرایند پواسون که جهش‌های با قدر مطلق بزرگتر از یک را توصیف می‌کند.