عمل دوتایی
عمل دوتایی در ریاضیات، محاسبه‌ای است که در آن دو عنصر (که به آن عملوند گفته می‌شود) را ترکیب می‌کند تا یک عنصر دیگر را تولید کند. به صورت صوری‌تر، یک عمل دوتایی یک عملیات با آریتی دو است.
از مهم‌ترین و پرکاربردترین مفاهیم در جبر مجرد است.
شاید تا به حال فرایندهای زیادی را دیده باشید که طی آن دو چیز با هم ترکیب می‌شوند و شی سوم متمایزی را حاصل می‌دهند.
مثلاً تصور کنید در یک کلاس درس معلم کلاس می‌گوید «ب»، «آ» و دانش‌آموزان با هم فریاد می‌زنند «با». این بار معلم می‌گوید «ب»، «و» و این‌بار دانش‌آموزان فریاد می‌زنند «بو» یا در مثالی دیگر در طبیعت مولکول‌های هیدروژن و اکسیژن با هم ترکیب شده و ماده سومی چون آب را پدیدمی‌آورد.
این‌ها همگی نمونه‌هایی از اعمالی دوتایی هستند که در طی آن‌ها دو عنصر شرکت‌کننده عنصر سومی را پدیدمی‌آورند.
اعمال دوتایی و به دنبال آن ساختارهای جبری از مهم‌ترین و مقدماتی‌ترین مفاهیم در جبر مجرد هستند. در ادامه به تعریف دقیق یک عمل دوتایی در جبر می‌پردازیم و ویژگی‌های آن‌ها را بررسی می‌کنیم.
یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G تابعی است چون formula_1 از G×G به توی G که به هر عضو (a,b) از G×G یک عضو یکتا چون C از G را نسبت می‌دهد.
لازم به یادآوری است که G×G حاصل ضرب دکارتی G در خودش است.
با توجه به تعریف یک عمل دوتایی، یک عمل دوتایی چون * روی یک مجموعه ناتهی G باید واجد شرایط زیرباشد:
برای نمایش اینکه، * یک عمل دوتایی تعریف شده در مجموعه ناتهی G باشد می‌نویسم (*،G) و برای هر (a,b) عضو G×G، حاصل عمل * روی زوج مرتب (a,b) را به صورت (a,b)* یا معمول‌تر به فرم a*b نشان می‌دهیم و معمولاً برای سهولت در نوشتن a*b را نیز به صورت ab می‌نویسیم.
همچنین معمولاً یک عمل دوتایی روی یک مجموعه را با دو نماد جمعی + و ضربی. نشان می‌دهیم که نباید آن‌ها را با جمع و ضرب اعداد خلط کرد.
اگر عمل دوتایی را به فرم جمعی نشان دهیم حاصل عمل + را روی (a,b) به صورت a+b نشان می‌دهیم و اگر عمل دوتایی را با نماد ضربی نشان دهیم حاصل عمل را به صورت a.b یا ab نشان می‌دهیم.که همان عمل جمع اعداد صحیح است و به آسانی دیده می‌شود * یک عمل دوتایی است.
اما عمل فوق در اعداد صحیح و اعداد گویا عمل دوتایی نمی‌باشد؛ زیرا به عنوان مثال:
یا
«در مثالهای بالا به علت نداشتن شرط بسته بودن عمل دوتایی نیست»
ولی در مجموعه اعداد حقیقی عمل فوق، یک عمل دوتایی است.
عمل * که در بالا تعریف شده در مجموعه اعداد گویا یک عمل دوتایی نیست. چرا که به ازای a=b جواب a*b تعریف نشده می‌شود.
تعریف کلی:
اگر در یک مجموعه دو عضو a وb انتخاب کنیم و عمل مربوطه (ضرب و جمع و تفریق و تقسیم) را روی آن دو عضو انجام دهیم و حاصل در مجموعه مورد نظر ما وجود داشته باشد در اینصورت می‌گوییم دو عضو a و b نسبت به عمل مربوطه بسته‌است. توجه داشته باشید که لزومی ندارد عضوهای انتخابی متمایز باشند یعنی می‌توانند هر دو یکی باشند. به‌طور مثال در مجموعه {۱٬۲} اگر عضو ۱ را انتخاب کنیم می‌توانیم ۱ را با ۱ در نظر بگیریم (هر دو عضو انتخابی یکی باشند) و بعد با هم جمع کنیم که حاصل برابر ۲ است و در مجموعه مورد نظر وجود دارد، اما اگر ۲ و یک را در نظر بگیریم در اینصورت ۲ +۱ = ۳ و داخل مجموعه وجود ندارد پس مجموعه فرض شده نسبت به عمل جمع بسته نیست. مجموعه {۱و۰و۱-} نسبت به عمل جمع و ضرب بسته‌است. می‌بینید که باید حتماً دو تمام حالات را بررسی کنید چرا که در تعریف گفته شده دو عضو a و b، به این معنی است که هر عضوی می‌تواند باشد و نباید فقط از روی دو عدد در مورد بسته بودن مجموعه نسبت به اعمال اصلی قضاوت کنیم.
مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی formula_2 برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است.
حال مجموعه اعداد صحیح زوج formula_9 که زیرمجموعه‌ای از formula_2 است را در نظر بگیرید. برای هر دو عضو این مجموعه چون m و n چون مجموع دو عدد زوج، عددی زوج است عدد m+n زوج است پس متعلق به مجموعه اعداد صحیح زوج است.
به عبارت برای هر formula_11 داریم formula_12
در این حالت اصطلاحاً می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح زوج تحت عمل جمع بسته‌است.
اما همواره برای هر زیرمجموعه Z چنین نیست؛ به طور مثال، مجموعه اعداد صحیح فرد formula_13 را در نظر بگیرید. مجموع دو عدد صحیح فرد عددی زوج است که دیگر به مجموعه اعداد صحیح فرد تعلق ندارد پس برای هر formula_14 داریم formula_15 در این حالت می‌گوییم مجموعه اعداد صحیح فرد تحت عمل جمع بسته نمی‌باشد.
اگر G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف شده روی G باشد و E زیرمجموعه‌ای ناتهی از G باشد، می‌گوییم E تحت عمل G بسته‌است در صورتی‌که به ازای هر a,b∈E داشته باشیم a*b∈E.
یک عمل دوتایی روی یک مجموعه می‌تواند دارای برخی ویژگی‌های خاص باشد.
فرض کنید * یک عمل دوتایی روی مجموعه ناتهی G باشد. در این صورت می‌گوییم عمل * روی G شرکت‌پذیر است هرگاه برای هر a,b،c متعلق به مجموعه G داشته باشیم: a*(b*c)=(a*b)*c
به عنوان مثال:
formula_2 تحت عمل * شرکت پذیر است. به عنوان نمونه: (a+b)-c = a+(b-c)
عمل * روی formula_2 خاصیت شرکت‌پذیری دارد.
مجموعه (*،G) یک نیم‌گروه است هر گاه عمل * روی G شرکت پذیر باشد. به عنوان مثال مجموعه اعداد طبیعی به همراه عمل جمع یک نیم گروه است ولی مجوعه اعداد صحیح به همراه عمل تفاضل یک نیم گروه نمی‌باشد.
فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد. در این صورت عمل * را روی G جابه‌جایی می‌گوییم هرگاه برای هر دو عضو a و b متعلق به مجموعه G داشته باشیم a*b=b*a.
به عنوان مثال عمل جمع اعداد روی اعداد طبیعی عملی جابه‌جایی است و عمل تفریق روی مجموعه اعداد حقیقی دارای خاصیت جابه‌جایی نمی‌باشد.
فرض کنید G مجموعه‌ای ناتهی و * یک عمل دوتایی تعریف در G باشد. در این صورت عضو e متعلق مجموعه G را عضو خنثی یا همانی G نسبت به عمل * می‌گوییم هرگاه برای هر a متعلق به مجموعه G داشته باشیم: e*a=a*e=a
اگر e عضو G چنان باشد که برای هر a عضو G داشته باشیم a*e=a آنگاه e را عضو خنثی راست می‌گوییم و اگر برای هر a متعلق به G داشته باشیم e*a=aآنگاه e را عضو خنثی چپ می‌گوییم.
به عناون مثال در مجموعه اعداد صحیح به همراه عمل جمع عدد صحیح صفر عضو خنثی عمل جمع است و عضو خنثی ضرب در مجموعه ماتریس‌های مربعی از مرتبه n ماتریس همانی است.
حال ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا یک مجموعه نسبت به یک عمل دوتایی می‌تواند دارای دو عضو خنثی باشد؟ قضیه زیر بیان می‌کند عضو خنثی یک ساختمان جبری در صورت وجود یکتاست.چون e∈G و e عضو خنثی G نسبت به عمل * است داریم
و چون e∈G و e عضو خنثی G است داریم:
که دو تساوی اخیر نشان می‌دهد e=e و حکم ثابت می‌شود.
فرض کنید G یک مجموعه ناتهی و * یک عمل دوتایی روی G باشد و e عضو خنثی G نسبت به عمل * باشد. در این صورت عضو a متعلق به G را نسبت به عمل * وارون پذیر (معکوس پذیر) می‌نامیم هرگاه عضوی چون b موجود باشد که a*b=b*a=e.
همچنین اگر b چنان موجود باشد که a*b=e گوییم b معکوس راست a است و اگر bچنان باشد که b*a=e آنگاه b را معکوس چپ a مِی‌نامیم.