پارادوکس دوستی
پارادوکس دوستی اولین بار توسط اسکات فِلد (به انگلیسی: Scott L. Feld) در سال ۱۹۹۱ مطرح شد. این پارادوکس بیان می‌کند که بیشتر انسان‌ها تعداد دوستان کمتری از میانگین تعداد دوستان دوستانشان دارند. این پدیده می‌تواند نمونه‌ای از یک باشد که در آن احتمال وجود کسانی که تعداد زیادی دوست دارند در بین دوست‌های یک فرد بالا است. پارادوکس دوستی ریشهٔ بسیاری از ویژگی‌های شبکه‌های اجتماعی است. به‌طور کلی این پارادوکس در جواب مسائل جامع‌شناسی مانند "چرا دوستانمان از ما ثروتمندتر هستند؟" و سوالاتی از این قبیل نیز مطرح می‌شود. همچنین این پارادوکس در باب دنبال کردن روند شیوع یک بیماری واگیردار هم کاربرد گسترده‌ای دارد.
اگرچه مسئلهٔ دوستی ظاهری متناقض‌نما دارد اما قابل اثبات توسط رابطه‌های ریاضی است و به‌طور مستقیم به نامساوی کوشی-شوارتز و مربوط است.
به‌طور دقیق در اثبات ریاضی این پدیده، شبکهٔ اجتماعی یک گراف سادهٔ بدون جهت formula_1است که formula_2مجموعهٔ رأس‌ها، و نشانگر افراد شبکه، و formula_3مجموعهٔ یال‌های گراف و نشان‌دهندهٔ رابطهٔ دوستی بین دو فرد است. در این اثبات دوستی دوطرفه در نظرگرفته شده‌است. درجهٔ هر رأس formula_4برابر تعداد دوست‌های فرد متناظر آن رأس است.
ابتدا میانگین تعداد دوست‌های یک فرد محاسبه می‌شود به این‌صورت که تعداد کل روابط دوستی (یال‌ها) تقسیم بر تعداد افراد (رأس‌ها می‌شود):
formula_5
سپس برای محاسبهٔ میانگین دوستان دوست یک فرد، فردی را به صورت تصادفی انتخاب کرده و از بین دوستان او نیز به صورت تصادفی یک فرد (رأس) را انتخاب کرده و درجهٔ رأس را محاسبه می‌کنیم. حاصل برابر خواهد بود با:
formula_6
که formula_7برابر واریانس درجهٔ رأس‌ها است. برای گرافی که رأس‌هایش درجه‌های متفاوتی داشته باشند formula_7و formula_9مثبت اند و درنتیجه formula_10که همان صورت پارادوکس دوستی است.
یک روش تحلیل عبارتی که formula_11را نتیجه می‌دهد این است که اگر formula_12نشان‌دهندهٔ دوستی دو فرد formula_13و formula_14باشد آنگاه فرد formula_13ادعا می‌کند دوستی دارد که formula_4 تا دوست دارد. از آنجا که formula_14دقیقاً formula_4 عدد دوست دارد پس formula_4فرد ادعای مشابهی با formula_13دارند، یعنی برای هر فرد formula_14، formula_22 عدد از این ادعای دوستی وجود دارد. حال اگر این مقدار را برای همهٔ رئوس جمع کنیم و تقسیم بر جمع همهٔ درجات (تعداد کل دوستی‌های موجود) کنیم formula_11 بدست می‌آید.
یک اثبات ریاضی دقیق برای بدست آوردن formula_11 به‌صورت زیر است:
اگر درجهٔ رأس formula_25 از یک گراف formula_26رأسی را با formula_27نشان دهیم و formula_28را برابر یک تعریف کنیم هرگاه بین رأس formula_25و formula_30یالی باشد و صفر تعریف کنیم هرگاه یالی نباشد آنگاه داریم:
formula_31
formula_32را میانگین دوستان دوست‌های فرد متناظر رأس formula_25 تعریف می‌کنیم داریم:
formula_34
که در حقیقت درجات همهٔ رئوس همسایهٔ رأس formula_25 را جمع کرده و و تقسیم بر تعداد رئوس همسایه (تعداد دوستان) رأس formula_25 می‌کند. پس برای formula_11می‌توانیم بنویسیم:
formula_38
و از آنجا که داریم:
formula_39
بنابراین:
formula_40
که برابر همان عبارت بالا برای formula_11است.
اگرچه رابطهٔ formula_10 یک رابطهٔ ریاضی قطعی نیست و ممکن است گرافی نزدیک به گراف کامل وجود داشته باشد که در آن صورت اکثر رئوس درجهٔ بیشتری از میانگین درجات رئوس همسایه خود دارند اما پیدایش همچین گرافی در شبکه‌های اجتماعی محتمل نیست.
یکی از نتایج پارادوکس دوستی این است که اگر فردی را به صورت تصادفی از یک شبکهٔ اجتماعی انتخاب کنیم، دوستان این شخص احتمالاً مرکزیت بالاتری نسبت به میانگین دارد. از این ویژگی در دنبال کردن شیوع بیماری‌های واگیردار استفاده می‌شود، به طوری که در عوض بررسی مرکزیت همهٔ رئوس گراف شبکه اجتماعی که کاری پیچیده‌است، فقط افرادی از آن به صورت تصادفی انتخاب شده و دنبال می‌شوند.
کریستاکیس (به انگلیسی: Christakis) در تحقیقی نشان داد که با استفاده از پارادوکس دوستی نحوهٔ شیوع سرماخوردگی را می‌شود دو هفته زودتر از روش عادی پیشبینی، حدس زد. به بیان او:"در روش عادی پیگیری شیوع یک بیماری معمولاً نمونه‌هایی تصادفی از افراد شبکه مورد بررسی قرار می‌گیرند یا افراد پس از بیمار شدن بررسی و دنبال می‌شوند اما این روش تنها بخشی از آن‌چه در حال رخ دادن است را نشان می‌دهد. در مقابل با دنبال کردن دوستان یک گروه تصادفی و مقایسه آنها می‌توان نحوهٔ شیوع یک بیماری را بسیار سریعتر و قبل از این‌که کل شبکه را در بر بگیرد پیشبینی کرد."همچنین تعمیم پارادوکس دوستی بیان می‌کند که پارادوکس دوستی به دیگر ویژگی‌های یک شبکهٔ اجتماعی تعمیم پیدا می‌کند. به‌طور مثال در بررسی انجام شده روی نویسندگان مشخص شده که یک نویسنده معمولاً درآمد، تعداد نشریات و … کمتری نسبت به نویسندگان همکار خود دارد. یا در شبکه‌های مجازی تعداد دنبال‌کننده‌های یک فرد از میانگین دنبال‌کنندگان کسانی که او را دنبال می‌کنند کمتر است. به‌طور مثال ویژگی یاد شده برای ۹۸ درصد از کاربران فیس‌بوک که ۱۰ درصد از جمعیت جهان را در سال ۲۰۱۸ تشکیل می‌دهند، صادق است.
این جدول نشان‌دهندهٔ نتایج تحقیق جیمز کُلمن (به انگلیسی: James Coleman) بر روی رابطهٔ دوستی افراد یک دبیرستان در سال ۱۹۶۱ است که اولین بار مورد بررسی فِلد برای پارادوکس دوستی قرار گرفت. در این سری از داده ۱۴ فرد وجود دارند که تعداد دوستان هر یک و میانگین تعداد دوستان دوست‌های هر فرد مقابل آن ثبت شده‌است. همان‌طور که از جدول بر می‌آید از بین ۱۴ نفر ۹ نفر هستند که دوستانشان به صورت میانگین دوستان بیشتری دارند، در دو نفر این مقدار برابر و فقط در مورد ۳ نفر تعداد دوستان شخص از میانگین تعداد دوستان دوست‌های شخص بیشتر است. به‌طور میانگین افراد ۲٫۶ دوست دارند درحالی‌که دوستان یک شخص به‌طور میانگین ۳٫۲ دوست دارند.
__بافهرست__ __بافهرست__