تفاضل متقارن
در ریاضیات،تفاضل متقارن دو مجموعه، مجموعه‌ای از اعضای آنهاست به گونه‌ای که آن اعضا در یکی از دو مجموعه هست و در اشتراک آن دو وجود ندارد.
تفاضل متقارن دو مجموعهٔ A و B، معمولاً به صورت‌های زیر نمایش داده می‌شود:
یا
یا
برای مثال، تفاضل متقارن دو مجموعهٔ formula_4و formula_5 می‌شود: formula_6.
تفاضل متقارن مجموعهٔ تمام دانش آموزان و مجموعهٔ خانم‌ها، تمام دانش آموزان مرد و تمام خانم‌هایی که دانش آموز نیستند را شامل می‌شود.
مجموعه توانی هر مجموعه با عملگر تفاضل متقارن، یک گروه آبلی را تشکیل می‌دهد؛ که مجموعه تهی عضو خنثی گروه و هر عضوی از این گروه، معکوس خودش است.
مجموعه توانی هر مجموعه‌ای، با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود، به علاوه، در این حلقه، اشتراک، به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید.
تفاضل متقارن برابر است با اجتماع دو مکمل نسبی، یعنی:
و همچنین آن را می‌توان به شکل اجتماع دو مجموعه، منهای، اشتراک آن دو نشان داد:
یا با عملوند XOR:
به طور خاص، formula_10.
تفاضل متقارن دارای خاصیت شرکت پذیری و جا به جایی است:
بنابراین، تکرار تفاضل متقارن روی چند مجموعه، یک مجموعه از اعضایی است که، در تعداد فردی از مجموعه‌ها آمده‌اند.
تفاضل متقارن از دو تفاضل متقارن تکراری، یک تفاضل متقارن تکراری از به هم پیوستن دو چندمجموعه‌ای است، که برای هر مجموعه دوتایی، هردو می‌توانند جابه جا شوند.
این اشاره دارد به نوعی نامساوی مثلثی:اجتماع تفاضل متقارن A و B، و تفاضل متقارن B و C، شامل تفاضل متقارن A و C می‌شود. (البته در نظر داشته باشید که برای قطرتفاضل متقارن، قضیه نامساوی مثلث لزوماً برقرار نیست)
مجموعه تهی عضو خنثی است، و هر مجموعه‌ای وارون خودش است:
روی هم رفته، مشاهده می‌شود که مجموعه توانی هر مجموعه X یک گروه آبلی می‌شود اگر از تفاضل متقارن به عنوان عملگر استفاده شود.
چون هر عضوی در این گروه وارون خودش است، در حقیقت این یک فضای برداری (خطی) روی میدان با دو عضو Z است. اگر X متناهی باشد، پس یک مجموعه یکتا تک عضوی پایهٔ این فضای برداری را تشکیل می‌دهد، و در نتیجهبُعد آن برابر است با تعداد اعضای X. این ساختار در تئوری گراف برای تعریف فضای چرخشیگراف استفاده می‌شود.
خاصیت پخشی اشتراک در تفاصل متقارن:
و این نشان می‌دهد که، مجموعه توانی هر مجموعه‌ای، با تفاضل متقارن یک حلقه بولی می‌شود، به علاوه، در این حلقه، اشتراک، به عنوان ضرب حلقه به حساب می‌آید. این یک نمونه بارز از حلقه بولی است.
سایر ویژگی‌های تفاضل متقارن:
تفاضل متقارن را در جبر بولی، می توان این گونه تعریف کرد:
ویژگی‌های این عمل، مانند تفاضل متقارن مجموعه‌ها است.
طبق موارد گفته شده، تفاضل متقارن چندمجموعه شامل اعضایی است که در تعداد فردی از مجموعه‌ها آمده باشند.
بدیهی است که، این تنها زمانی تعریف خوبی است که هر عضوی از اجتماع formula_29 توسط تعداد محدودی از اعضای M شرکت کرده باشند.
فرض کنید formula_30 یک چندمجموعه‌ای است که formula_31. آن گاه فرمولی برای formula_32 وجود دارد، که تعداد اعضا در formula_33، تنها بر حسب اشتراک اعضای M داده شده است.
که در نظرگرفتنِ formula_35 n، دلالت می‌کند بر این که formula_36 زیر مجموعه‌ای از اعضای متمایزformula_37 است، از آن وجود دارد formula_38.
مادامی که مفهوم «اندازه» مجموعه وجود دارد، تفاضل متقارن بین دو مجموعه می‌تواند به عنوان مقیاس «مسافت» بین آن دو در نظر گرفته شود. رسمی‌تر اینکه، اگر اندازه μ یک سیگما متناهی در جبر سیگماتعریف شود، تابع در Σ شبه متریک است.d متریک می‌شود اگر Σ پیمانه رابطه هم‌ارزی در نظر گرفته شود،X ~ Y اگر و فقط اگر formula_40. در نتیجه فضای متریک تفکیک‌پذیر است اگر و فقط اگر (L(μ تفکیک‌پذیر باشد.
در نظر بگیرید formula_41 چند فضای اندازه باشد و formula_42 و formula_43.
تفاضل متقارن اندازه پذیر است:formula_44.
می‌نویسیم:formula_45اگر و فقط اگر formula_46. رابطهٔ "formula_47" روی مجموعه‌های formula_48 اندازه پذیر، هم‌ارزی است.
می‌نویسیم formula_49 اگر و فقط اگر به هر formula_50 وجود دارد formula_51 مانند formula_52. رابطه "formula_53" یک ترتیب جزئی روی خانوادهٔ زیرمجموعه‌های A است.
می‌نویسیم:formula_54 اگر و فقط اگر formula_49 وformula_56. رابطهٔ "formula_47" رابطهٔ هم‌ارزی بین زیرمجموعه‌های formula_48 است.
«بستار متقارن» از formula_59، مجموعه‌ای از همهٔ مجموعه‌های formula_48 اندازه پذیر است که formula_47 هستند به برخی formula_50. بستار متقارن از formula_59، formula_59 را دربردارد. اگر formula_59 تابع جبر سیگما از formula_48 باشد، بنابراین بستار متقارن از formula_59 است.
formula_45 اگر و فقط اگر formula_69 formula_70-a.e.
ترجمه http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_difference