ریشه‌یابی معادلات چندجمله‌ای
ریشه‌یابی معادلات روش‌های یافتن ریشه‌های یک معادله (The roots of an equation) یعنی نقاط تلاقی نمودار آن معادله با محورهای مختصات می‌باشد. به‌طور معمول از آن جا که توابع را در حالت استاندارد y نسبت به x تعریف می‌کنند، ریشه‌های یک معادله را نقاط برخورد معادله با محور xها در نظر می‌گیرند.
برای مثال ریشه‌های معادله فرضی formula_1 نسبت به محور xها در واقع مجموعه‌ای از نقاط اشتراک نمودار معادله با محور xها می‌باشد و چون آن نقاط بر روی محور xها واقع می‌باشند یعنی دارای عرض صفر هستند، بدین منظور باید مقدار x را در معادله‌ای که عرض (y) آن صفر است، درآوریم.
برای حل معادله درجه اول ابتدا باید در نظر گرفت که معادله درجه اول یک تساوی جبری است که بزرگترین توان متغیر آن یک باشد. البته بعضی از معادلات در ابتدا تشخیص درجه آن‌ها مشکل است اما بعد از ساده کردن معادله این کار به راحتی قابل تشخیص است.
از ساده‌ترین معادلات درجه اول عبارت زیر می‌باشد. اگر دروس را ابتدایی به خاطر داشته باشید برای آموزش مفهوم تقسیم این جای خالی‌ها را به شما می دادند.
formula_2
برای پیدا کردن ریشه‌های x یک معادله ی درجه اول باید مقدار x را از حالت کلی معادلات درجه اول به دست آوریم. حالت کلی معادلات درجهٔ اول برابر formula_3 می‌باشد که در آن formula_4 عرض اصلی ، formula_5 عرض اولیه، m شیب نمودار و x متغیر طول نمودار می‌باشد، همچنین در اکثر منابع شکل اصلی معادلات درجهٔ اول به صورت formula_6 نمایش داده می‌شود که در آن h همان عرض اولیه است که به اختصار از کلمهٔ height استفاده می‌شود
روش حل معادلات درجهٔ اول بدین گونه است:
چون می‌خواهیم نقاط تلاقی نمودار با محور xها را پیدا کنیم عرض آن (y) را برابر صفر قرار می‌دهیم و داریم:
formula_7
با حل معادله فوق به ترتیب زیر مقدار x را بدست می‌آوریم:
formula_8
formula_9
و می‌بینیم که مقدار x همواره برابر است با حاصل تقسیم عرض از مبداً معادله بر شیب آن؛ بنابراین هنگامی که عرض از مبداً معادله صفر باشد ریشهٔ معادله نیز صفر است و نمودار معادله از مبداً مختصات خواهد گذشت.
همانند حل معادلات درجهٔ اوّل برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور formula_10ها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن یعنی formula_11 را برابر صفر قرار می‌دهیم، پس داریم:
formula_12
سپس با حل معادلهٔ فوق مقادیر formula_10 را به‌دست می‌آوریم. توجّه کنید که formula_14 نمی‌تواند برابر با صفر باشد زیرا در این صورت معادله از نوع درجهٔ اوّل می‌شود. پس با شرط formula_15 معادله را حل می‌کنیم:
formula_16
اگر ضرب چند عبارت برابر صفر شود، به این معنی است که حداقل یکی از عبارت‌ها صفر است، و از آنجا که ما formula_17 را شرط اوّلیه قرار دادیم، پس آخرین عبارت مانده، یعنی همان عبارت داخل پرانتر صفر است، که داریم:
formula_18
برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می‌کنیم:
formula_19
formula_20
formula_21
formula_22
حالا از طرفین معادله جذر می‌گیریم تا مقدار formula_10 را به‌دست آوریم:
formula_24
formula_25
formula_26
در نتیجه معادله دارای دو ریشهٔ زیر می‌باشد:
formula_27
formula_28
معمولاً عبارت formula_29 را برابر با حرف دِلتای بزرگ formula_30 نمایش می‌دهند، دِلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.
دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند:
در معادلهٔ کلی formula_12
۱) اگر formula_35 باشد، یک ریشه صفر formula_36 و دیگری برابر با formula_37 است.
در معادلهٔ زیر، شرط است formula_15 و formula_39 باشد.
formula_40
و چون formula_35 است پس به‌جای formula_42 می‌نویسیم:
formula_43
و در ادامه:
formula_44
formula_45
formula_46
۲) اگر حاصل جمع formula_47 برابر صفر شود، یعنی formula_48 در این صورت یکی از ریشه‌ها formula_49 و دیگری formula_50 خواهد بود.
اثبات (شرط: formula_51 و formula_48):
formula_26
طبق فرض : formula_48 پس : formula_55
formula_56
خوب است که در بارهٔ ریشهٔ مضاعف بیشتر بدانیم:
از نظر جبری ریشهٔ مضاعف ریشه‌ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشهٔ ساده ریشه‌ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند ((البته در معادلاتی نظیر formula_57 همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می‌کند ولی در دو طرف ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول‌ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول‌ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر ریشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است.
formula_58
formula_59
formula_60
formula_61
formula_62
formula_63
۳) formula_64 : یک ریشه formula_65 و دیگری formula_66 خواهد بود.
اثبات (شرط : formula_15 و formula_68) همانند روش بالا اثبات خواهد شد.
۴) اگر دلتای formula_30 ریشه‌های یک معادله برابر صفر باشد، معادله تنها دارای یک جواب formula_70 خواهد بود. (ریشهٔ مضاعف خواهد داشت، یعنی هردو formula_10 جواب معادله، باهم برابر می‌شوند)
اثبات (شرط : formula_15 و formula_73)
formula_74
formula_75
formula_76
نکته: همان‌طور که می‌دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطهٔ تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها می‌تواند نقطهٔ مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم:
formula_12
با گرفتن مشتق داریم:
formula_78
formula_79
formula_80
همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادلهٔ درجه دوم formula_81 است. ضمن اینکه ضرب دو ریشهٔ معادلهٔ درجه دوم از رابطهٔ formula_82 به‌دست می‌آید. موفق باشید
حدود ریشه‌های یک معادله را می‌توان با چک کردن مقادیر مختلف در آن بدست آورد، اگر:
۱ - اگر تابع در بازهٔ (a,b) پیوسته باشد. ۲ - اگر به ازای دادن دو مقدار formula_83 و formula_84، جواب از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت داد، آن گاه حداقل یک جواب بین formula_83 و formula_84 برای این معادله وجود دارد، بدیهی است که اگر با دادن مقداری جواب صفر گردد همان‌طور که قبلاً گفته شد آن مقدار ریشهٔ معادله است.
فرض کنیم که تابع f با ضابطهٔ formula_87(این معادله از معادلات بسیار معروفی است که با این روش ریشهٔ دیگر آن بین (۰,-۱) حدس زده می‌شود) است و می‌دانیم که نمودار این تابع در بازهٔ [۰,-۱] پیوسته می‌باشد، در این صورت اگر معادله تغییر علامت دهد (از مثبت، منفی یا از منفی مثبت شود) یعنی روی محور عرض‌ها از yهای منفی به yهای مثبت یا از yهای مثبت به yهای منفی رفته است و چون پیوسته است پس حتماً در این بین از y=۰ نیز گذشته‌است پس در این بین ریشه دارد.
ای پیدا کردن حدود ریشه‌هایش شروع به مقدار دهی می‌کنیم:
formula_88
formula_89
formula_90
formula_91
همان‌طور که می‌بینید تابع به ازای (f(-1 مثبت بوده و به ازای (f(0 منفی شده است، پس در این بین تغییر علامت داده و ریشه دارد.
با تکرار این روش می‌توانیم به ریشهٔ معادله نزدیک و نزدیک تر شویم.
همچنین با استفاده از مشتق و روش نیوتن نیز بسته به شرایط می‌توان همین کار را انجام داد که در ادامه بحث خواهد شد
بعد از ارائه گروه گالوا و نظریه گالوا توسط اواریست گالوا، دانشمند فرانسوی، آبل و روفینی در اثبات معروف خودشان اثبات کردند: ۱. فقط در معادلاتی می‌توان تمام ریشه‌ها را به صورت دقیق به دست آورد که گروه گالوا در آن حل پذیر باشند. ۲. در معادلات درجهٔ پنج به بالا (یعنی پنج، شش، هفت و…) نمی‌توان همهٔ ریشه‌ها را به صورت دقیق بر حسب ضرایب مجهول بدست آورد.
برای معادلات درجه بالاتر از روش‌های عددگذاری همچون عددگذاری نیوتون استفاده می‌کنند.
https://tootik.com/solving-the-first-order-equation/