خیام
عُمَر خَیّام نیشابوری (نام کامل: غیاث‌الدین ابوالفتح عُمَر بن ابراهیم خَیّام نیشابوری) (۴۴۰ – ۵۱۷ ه‍.ق) که خیامی، خیام نیشابوری و خیامی النّیسابوری هم نامیده شده‌است، همه‌چیزدان، فیلسوف، ریاضی‌دان، ستاره‌شناس و شاعر رباعی‌سرای ایرانی در دورهٔ سلجوقی است. گرچه جایگاه علمی خیام برتر از جایگاه ادبی اوست و لقبش «حجّةالحق» بوده‌است، ولی آوازهٔ وی مدیون رباعیاتش است که شهرت جهانی دارد. "رباعیات خیام" به بیشترِ زبان‌های زنده برگردان شده‌است. آوازهٔ وی در غرب به‌طور مشخص بیشتر مدیون ترجمهٔ ادوارد فیتزجرالد از رباعیات او به زبان انگلیسی است.
یکی از برجسته‌ترین کارهای وی را می‌توان سروسامان دادن و سرپرستی محاسبات گاه‌شماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام‌الملک، که در دورهٔ پادشاهی ملک‌شاه سلجوقی (۴۲۶–۴۹۰ هجری قمری) بود، دانست؛ محاسبات منسوب به خیام در این زمینه، هنوز معتبر است و دقتی به مراتب بالاتر از گاه‌شماری میلادی دارد. وی در ریاضیات، نجوم، علوم ادبی، دینی و تاریخی استاد بود. نقش خیام در حل معادلات درجهٔ سوم و مطالعاتش دربارهٔ اصل پنجم اقلیدس نام او را بعنوان ریاضی‌دانی برجسته در تاریخ علم ثبت کرده‌است. نوپیدا کردن نظریه‌ای دربارهٔ نسبت‌های هم‌ارز با نظریهٔ اقلیدس نیز از مهمترین کارهای اوست.
شماری از تذکره‌نویسان، خیام را شاگرد ابن‌سینا و شماری نیز او را شاگرد امام موفق نیشابوری خوانده‌اند. صحت این فرضیه که خیام شاگرد ابن‌سینا بوده‌است، بسیار دور از ذهن می‌نماید، زیرا از دیدِ زمانی با هم تفاوت زیادی داشته‌اند. خیام در جایی ابن‌سینا را استاد خود می‌داند، ولی این استادی ابن‌سینا، جنبهٔ معنوی دارد.
در کتاب‌های کهنی که زندگی خیام و کارهای او را بیان کرده‌اند، اختلاف‌های بسیاری؛ به‌ویژه در تاریخ تولد و مرگ او وجود دارد. نخستین منبعی که به‌طور گسترده خیام را معرفی کرده‌است، "چهار مقالهٔ" نظامی عروضی، نوشته‌شده نزدیک ۵۵۰ قمری است. دومین زندگی‌نامهٔ خیام را ابوالحسن علی بیهقی، در ۵۵۶ قمری، در کتاب "تتمهٔ صوان الحکمه" یا "تاریخ الحکما" نوشته‌است. نظامی عروضی و ابوالحسن بیهقی، هردو هم دوره خیام بوده و او را از نزدیک دیده‌اند.
دیگر متون کهنی که کم و بیش مطالبی دربارهٔ خیام و آثارش در آن‌ها یافت می‌شود عبارتند از:
بدیع‌الزمان فروزانفر "رسالهٔ نحو القلوب" قشیری (درگذشتهٔ ۴۶۵ قمری)، و "رسالهٔ الزاجر للصغار" زمخشری را کهن‌ترین بن مایه‌ها دربارهٔ خیام و زندگی او می‌داند.
صادق هدایت نخستین کسی در ایران دانسته شده‌است که برای تشخیص رباعیات اصیل خیام دست به کاری پژوهشی زده‌است. هدایت دو اثر دربارهٔ خیام منتشر کرده‌است: مقالهٔ «مقدمه‌ای بر رباعیات خیام» در سال ۱۳۰۳ خورشیدی و کتاب "ترانه‌های خیام" در سال ۱۳۱۳ خورشیدی. تاکنون نوشته‌های گوناگونی دربارهٔ این دو نوشته، و نقش هدایت در خیام‌شناسی پدید آمده‌است.
در سال ۱۳۲۱ خورشیدی محمدعلی فروغی و قاسم غنی کتاب "رباعیات حکیم خیام نیشابوری" را منتشر کردند که شامل پیش گفتاری نسبتاً طولانی است و در آن ۱۸۷ رباعی از میان رباعیات منسوب به خیام، اصیل تشخیص داده شده‌است. در این کتاب، دیدگاه کسانی که رباعیات خیام را دلیل کفر او دانسته‌اند نقد شده و بر دین‌داری و حیرت او در کار جهان و معمای هستی تأکید شده‌است. این رویکردهای فروغی و غنی در میان خیام‌پژوهان ایرانی جایگاه ویژه‌ای یافت و پژوهشگرانی چون اسماعیل یکانی در "عمر خیام نادرهٔ ایام" (۱۳۴۲ خورشیدی)، علی دشتی در "دمی با خیام" (۱۳۴۴ خورشیدی)، محمدمهدی فولادوند در "خیام‌شناسی" (۱۳۴۷ خورشیدی)، جعفر آقایان چاووشی در "سیری در افکار علمی و فلسفی حکیم عمر خیام نیشابوری" (۱۳۵۸ خورشیدی)، علیرضا ذکاوتی قراگزلو در "عمر خیام نیشابوری حکیم و شاعر" (۱۳۷۷ خورشیدی) و … خیام را با همان رویکرد معرفی کرده‌اند.
برپایهٔ پژوهش حسن‌لی و حسام‌پور، از سال ۱۳۰۰ خورشیدی تا پایان سال ۱۳۸۰ خورشیدی ۴۲۵ مقاله دربارهٔ خیام در ایران منتشر شده‌است. از این شمار، بیشترین مقاله‌ها دربارهٔ «زندگی، شخصیت و شعر خیام» بوده‌است (۱۶۶ مقاله) و به موضوع‌هایی مانند «زیبایی‌شناسی شعر» (۱ مقاله)، «نسخه‌شناسی» (۸ مقاله)، و «بررسی آثار کلامی و فلسفی خیام» (۱۸ مقاله) کم‌تر پرداخته شده‌است. در همان بازهٔ زمانی ۷۰ کتاب در پیوند با خیام در ایران منتشر شده بوده‌است.
عمر خیام در سدهٔ پنجم هجری قمری در نیشابور زاده شد. فقه را در میان‌سالی در محضر امام موفق نیشابوری آموخت؛ حدیث، تفسیر، فلسفه، حکمت و ستاره‌شناسی را فرا گرفت. برخی نوشته‌اند که او فلسفه را مستقیماً از زبان یونانی فرا گرفته بود.
در نزدیک سال ۴۴۹ (هجری قمری) زیر پوشش و سرپرستی ابوطاهر، قاضی‌القضات سمرقند، کتابی دربارهٔ معادله‌های درجهٔ سوم به زبان عربی نوشت تحت نام "رساله فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله" و از آن‌جا که با خواجه نظام‌الملک طوسی رابطه‌ای نیکو داشت، این کتاب را پس از نگارش به خواجه تقدیم کرد. پس از این دوران خیام به دعوت پادشاه جلال‌الدین ملک‌شاه سلجوقی و وزیرش نظام الملک به اصفهان می‌رود تا سرپرستی رصدخانهٔ اصفهان را به‌عهده گیرد. او هجده سال در آن‌جا مقیم می‌شود. به مدیریت او زیج ملکشاهی آماده می‌شود و در همین سال‌ها (نزدیک ۴۵۸) طرح سر و سامان دادن گاه‌شمار را تنظیم می‌کند. خیام گاه‌شمار جلالی یا تقویم جلالی را دسته‌بندی کرد که به نام جلال‌الدین ملک‌شاه شهره است، ولی پس از مرگ ملک‌شاه این گاه‌شماری کاربستی نیافت. در این دوران خیام به عنوان ستاره‌شناس در دربار خدمت می‌کرد هرچند به ستاره‌شناسی باوری نداشت. در همین سال‌ها (۴۵۶) خیام مهم‌ترین و تأثیرگذارترین اثر ریاضی خود را با نام "رساله فی شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس" را می‌نویسد و در آن خطوط موازی و نظریهٔ نسبت‌ها را شرح می‌دهد. همچنین گفته می‌شود که خیام هنگامی که سلطان سنجر، پسر ملک‌شاه در کودکی به آبله گرفتار بوده وی را درمان نموده‌است. پس از درگذشت ملک‌شاه و کشته شدن نظام‌الملک، خیام مورد بی‌مهری قرار گرفت و کمک مالی به رصدخانه (زیج) قطع شد بعد از سال ۴۷۹ خیام اصفهان را به قصد اقامت در مرو که به عنوان پایتخت جدید سلجوقیان انتخاب شده بود، ترک کرد. احتمالاً رساله‌های "میزان الحکم" و "قسطاس المستقیم" را در آن‌جا نوشت. "رسالهٔ مشکلات الحساب" (مسائلی در حساب) نیز احتمالاً در همین سال‌ها نوشته شده‌است. غلامحسین مراقبی گفته‌است که خیام در زندگی زن نگرفت و همسر برنگزید.
مرگ خیام را میان سال‌های ۵۱۷–۵۲۰ هجری قمری می‌دانند که در نیشابور رخ داد. گروهی از تذکره‌نویسان نیز مرگ او را سال ۵۱۶ نوشته‌اند، ولی پس از بررسی‌های لازم مشخص گردیده که تاریخ مرگ وی سال ۵۱۷ هجری قمری بوده‌است. آرامگاه وی هم‌اکنون در شهر نیشابور، در باغی که آرامگاه امامزاده محروق در آن واقع می‌باشد، قرار گرفته‌است.
در زمان خیام فرقه‌های گوناگون سنی و شیعه، اشعری و معتزلی سرگرم بحث‌ها و مجادلات اصولی و کلامی بودند. قشرهای مختلف فیلسوفان را پیوسته به کفر متهم می‌کردند. تعصب، بر فضای جامعه چنگ انداخته بود و کسی جرئت ابراز دیدگاهٔ خود را نداشت - حتی امام محمد غزالی نیز از اتهام کفر در امان نماند. اگر به سیاست‌نامهٔ خواجه نظام‌الملک بنگریم، این اوضاع کاملاً بر ما روشن خواهد بود. در آن‌جا، خواجه نظام‌الملک همهٔ باورمندان به مذهبی خلاف مذهب خود را به شدت می‌کوبد و همه را منحرف از راه حق و ملعون می‌داند. در زمینه‌های سیاسی نیز رخدادهای مهمی در دوره خیام رخ داد: در اوایل دوران زندگی خیام، ابن سینا و ابوریحان بیرونی به پایانِ عمر خود رسیده بودند. نظامی عروضی سمرقندی او را «حجة الحق» و ابوالفضل بیهقی «امام عصر خود» لقب داده‌اند. از خیام به عنوان جانشین ابن‌سینا و استاد بی‌بدیلِ فلسفه طبیعی (مادی) ریاضیات، منطق و متافیزیک یاد می‌کنند.
"حکیم حجة الحق"، "خواجه"، "امام"، "الفیلسوف حجة الحق"، "خواجه امام"، "حکیم جهان و فیلسوف گیتی"، "الشیخ الامام"، "الشیخ الاجل حجة الحق"، "علامهٔ خواجه"، "قدوهٔ الفضل"، "سلطان العلماء"، "ملک الحکماء"، "امام خراسان"، "من اعیان المنجّمین"، "الحکیم الفاضل الاوحد"، "خواجهٔ حکیم"، "الحکیم الفاضل"، "نادرهٔ فلک"، "تالی ابن سینا"، "حکیم عارف به جمیع انواع حکمت به ویژه ریاضی"، "مسلط بر تمامی اجزای حکمت و ریاضیات و معقولات"، "در اکثر علوم خاصه در نجوم سرآمد زمان"، "فیلسوف الوقت"، "سیدالمحقّقین، ملک الحکماء"، "الادیب الاریب الخطیر"، "الفلکی الکبیر"، "حجة الحق والیقین"، "نصیرالحکمة و الدین"، "فیلسوف العالمین"، "نصرة الدّین"، "الحیر الهمام"، "سیّدالحکماءالمشرق و المغرب"، "السیّدالاجل"، "فیلسوف العالم"، "به‌طور قطع در حکمت و نجوم بی‌همتا"، "علامهٔ دوران"، "بر دانش یونان مسلط" و غیره.
در افسانه‌ای دیگر، چنین آمده که روزی خیام با شاگردان از نزدیکی مدرسه‌ای می‌گذشتند. شماری، دست به کارِ بازسازی آن آموزشگاه بودند و چارپایانی، پیوسته بارهایی (شامل سنگ و خشت و غیره) را به داخل مدرسه می‌بردند و بیرون می‌آمدند. یکی از آن چارپایان از وارد شدن به مدرسه می‌ترسید و هیچ‌کس نمی‌توانست آن را وارد مدرسه کند. چون خیام این اوضاع را دید، جلو رفت و در گوش چارپا چیزی گفت. سپس چارپا آرام شد و داخل مدرسه شد. پس از این‌که خیام بازگشت، شاگردان پرسیدند که ماجرا چه بود؟ خیام بازگفت که آن خر، یکی از محصلان همین مدرسه بوده و پس از مردن، به این شکل درآمده و دوباره به دنیا بازگشته‌است (اشاره به نظریهٔ تناسخ) و می‌ترسید که وارد مدرسه بشود و کسی او را بشناسد و شرمنده گردد. من این موضوع را فهمیدم و در گوشش خواندم:
و چون متوجه شد که من او را شناخته‌ام، به درون مدرسه رفتن تن درداد.
بنا به روایتی، خیام و حسن صباح و خواجه نظام‌الملک به سه یار دبستانی معروف بوده‌اند که هریک در بزرگسالی به راهی رفتند. حسن، رهبری فرقهٔ اسماعیلیه را بر عهده گرفت؛ خواجه نظام‌الملک، سیاست‌مداری بزرگ شد؛ و خیام، شاعر و اندیشمندی گوشه‌گیر شد که در آثارش اندیشه‌های نو و دلهره و اضطرابی از فلسفهٔ هستی و جهان وجود داشت.
برپایهٔ داستان سه یار دبستانی این سه در زمان کودکی با هم قرار گذاشته بودند که هر کدام اگر به جایگاهی رسید آن دو دیگر را یاری رسانَد. هنگامی که نظام‌الملک به وزیری سلجوقیان رسید به خیام فرمانروایی بر نیشابور و گرداگرد آن سامان را پیشنهاد کرد، ولی خیام گفت که سودای ولایت‌داری ندارد. پس نظام‌الملک ده‌هزار دینار ماهیانه برای او تعیین کرد تا در نیشابور به او پرداخت کنند.
چنان‌که محمدعلی فروغی در پیش گفتار تصحیح خود از خیام اشاره کرده‌است: این داستان سند معتبری ندارد، و تازه اگر راست باشد، حسن صباح و خیام هر دو باید بیش از ۱۲۰ سال عمر کرده‌باشند، که بسیار دور از ذهن است. به‌علاوه، هیچ‌یک از هم دوره‌های خیام هم به این داستان اشاره نکرده‌است.
با توجه به یکی از رباعیات خیام دربارهٔ چرخش جهان و سیارات و حیران و سرگردان بودن آدمی در این میان، بسیاری از محققان ادبی و علمی معتقدند که خیام سالها قبل از دانشمندان مشهوری همچون گالیله و کوپرنیک می‌دانسته که سیارات درحال گردش به دور خورشید می‌باشند. در این شعر این‌چنین آمده‌است که:
ادوارد فیتز جرالد ترجمهٔ خود از اشعار خیام، شاعر، ریاضی‌دان و منجم ایرانی را «رباعیات عمر خیام» نامیده‌است. در اهمیت رباعیات خیام همین بس که مارک تواین نیز آن را می‌ستاید؛ مارک تواین در زندگی‌نامهٔ خود نوشتش که به تازگی به چاپ رسیده، فاش می‌سازد که قصد داشته‌است گلچینی از ترجمهٔ فیتز جرالد از رباعیات خیام را، اساس و سرلوحهٔ کارهای خود قرار دهد. در زمان تواین ترجمه فیتز جرالد از اثر خیام، بی‌اندازه مشهور شده بود، چون روح تقدیر و تقدیر گرایی، قرن نوزدهم میلادی را فراگرفته بود.
رباعی پیش‌نوشته خیام بسیار مورد توجه محققان بوده‌است؛ و اینک ترجمه فیتز جرالد از آن: ادوارد بایلز کاول(EdwardBylesCowell)، دوست و استاد زبان فارسی فیتز جرالد، در همان سال‌ها رونوشت خود از رباعیات خیام را منتشر ساخت و در آن این عبارت را این گونه ترجمه کرد: «تصویر یک فانوس خیال». این استعاره در اینجا شبیه به «سایه بازی» است، اما در اصل به «فانوس خیال» اشاره دارد. نخستین نمونهٔ پروژکتور اسلایدی در اواخر قرن شانزدهم میلادی اختراع شد. آتاناز کیرشر (AthanasiusKircher) و کریستین هوگنز (ChristiaanHuygens)، به عنوان مخترعان فانوس خیال در جهان شناخته شده‌اند؛ مشهور است که کیرشر اصل آن را در سال ۱۶۴۶ میلادی اثبات کرده و هوگنز که دانشمند و نظریه‌پرداز امواج نور است، یکی از این فانوس‌های خیال را در سال ۱۶۵۹ میلادی ساخته؛ یعنی مدتها بعد از این شعر خیام.
س.ا. کانسوا گفته: «در تاریخ ریاضی سده‌های ۱۱ و ۱۲ [میلادی]، و شاید هم بتوان گفت در تمام سده‌های میانه، حکیم عمر خیام متولد نیشابور خراسان نقش بِسزایی داشته‌است.»
پیش از کشف رسالهٔ خیام در جبر، شهرت او در مشرق‌زمین به‌واسطهٔ اصلاحات سال و ماه ایرانی و در غرب به‌واسطهٔ ترجمهٔ رباعیاتش بوده‌است. اگر چه کارهای خیام در ریاضیات (به ویژه در جبر) به صورت منبع دست اول در بین ریاضی‌دانان اروپایی سدهٔ ۱۹ میلادی مورد استفاده نبوده‌است، می‌توان رد پای خیام را به واسطهٔ طوسی در پیشرفت ریاضیات در اروپا دنبال کرد. کهن‌ترین کتابی که از خیام نامی به میان آورده و نویسندهٔ آن هم‌دورهٔ خیام بوده، نظامی عروضی مؤلف چهار مقاله است؛ ولی او خیام را در ردیف منجمین ذکر می‌کند و اسمی از رباعیات او نمی‌آورد. با این وجود جورج سارتن با نام بردن از خیام به عنوان یکی از بزرگ‌ترین ریاضی‌دانان قرون وسطی چنین می‌نویسد: او نخستین کسی بود که نشان داد معادلهٔ درجهٔ سوم ممکن است دارای بیش از یک پاسخ باشد یا این که اصلاً جوابی نداشته باشند. «آنچه که در هر حالت پنداشته شده رخ می‌دهد بستگی به این دارد که آن مقاطع مخروطی که وی از آن‌ها استفاده می‌کند در هیچ نقطه یک‌دیگر را برش ندهند، یا در یک یا دو نقطه یکدیگر را برش ندهند.». گفته: خیام «نخستین کسی بود که گفت معادلهٔ درجهٔ سوم را نمی‌توان عموماً با تبدیل به معادله‌های درجهٔ دوم حل کرد، ولی می‌توان با بکار بردن مقاطع مخروطی به حل آن دست یافت.» همچنین گفته: «در مورد جبر، کار خیام در ابداع نظریهٔ هندسی معادلات درجهٔ سوم موفق‌ترین کاری است که دانشمندی مسلمان انجام داده‌است.».
یکی دیگر از آثار ریاضی خیام "رسالة فی شرح ما اشکل من مصادرات اقلیدس" است. او در این کتاب اصول موضوعهٔ هندسهٔ اقلیدسی اصل موضوعهٔ پنجم اقلیدس را دربارهٔ قضیهٔ خطوط متوازی که شالودهٔ هندسهٔ اقلیدسی است، مورد مطالعه قرار داد و اصل پنجم را اثبات کرد. به نظر می‌رسد که تنها نسخه کامل باقی‌مانده از این کتاب در کتابخانهٔ لایدن در هلند قرار دارد. خیام در این کتاب نسبت به اصول هندسهٔ اقلیدسی که صدها سال کتاب درسی سراسر دنیا بود، شک کرد. باید قبول کرد که ایجاد هندسهٔ غیر اقلیدسی برای آن دوره بسیار زود بوده‌است؛ زیرا تمامی مسائل آن زمان با استفاده از هندسهٔ اقلیدسی قابل حل بودند. بیش از ۷۰۰ سال بعد، همان روش خیام مبنای کار لباچفسکی (۱۷۹۲–۱۸۵۶ میلادی) در ساختن هندسهٔ غیر اقلیدسی قرار گرفت که با فاصلهٔ کمی مورد استفادهٔ اینشتین (۱۹۵۵–۱۸۷۹ میلادی) قرار گرفت.
در نیمهٔ نخست سدهٔ هیجدهم میلادی، ساکری پایه نظریهٔ خود را دربارهٔ خطوط موازی بر مطالعهٔ همان چهارضلعی دوقائمهٔ متساوی‌الساقین که خیام پنداشته بود قرار می‌دهد و کوشش می‌کند که پنداشته شده‌های حاده و منفرجهبودن دو زاویهٔ دیگر را رد کند.» درکتاب دیگری از خیام که اهمیت ویژه‌ای در تاریخ ریاضیات دارد رسالهٔ مشکلات الحساب (مسائلی در حساب) هرچند خود این رساله هرگز پیدا نشد ولی خیام خود به این کتاب اشاره کرده‌است و ادعا می‌کند قواعدی برای بسط دوجمله‌ای formula_1 کشف کرده و اثبات ادعایش به روش جبری در این کتاب است. بنابرین از دیگر دست‌آوردهای وی موفقیت در تعیین ضرایب بسط دو جمله‌ای (بینوم نیوتن) است که البته تا سدهٔ قبل نامکشوف مانده بود و به احترام سبقت وی بر اسحاق نیوتن در این زمینه در بسیاری از کتب دانشگاهی و مرجع این دو جمله‌ای‌ها «دو جمله‌ای خیام-نیوتن» نامیده می‌شوند. نوشتن این ضرایب به صورت منظم مثلث خیام-پاسکال را شکل می‌دهد که بیانگر رابطه‌ای بین این ضرایب است.
به هر حال قواعد این بسط را تا formula_2 طوسی (که بیشترین تأثیر را از خیام گرفته‌بود) در کتاب «جوامع الحساب» آورده‌است. روش خیام در به دست آوردن ضرایب منجر به نام‌گذاری مثلث حسابی این ضرایب به نام مثلث خیام شد، انگلیسی زبان‌ها آن را به نام مثلث پاسکال می‌شناسند که البته خدشه‌ای بر پیشگامی خیام در کشف روشی جبری برای این ضرایب نیست.
یکی از برجسته‌ترین کارهای خیام را می‌توان سروسامان دادن گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام‌الملک، که در دورهٔ پادشاهی ملک‌شاه سلجوقی (۴۲۶–۵۹۰ هجری قمری) بود، دانست. وی بدین منظور مدار گردش کرهٔ زمین به دور خورشید را تا ۱۶ رقم اعشار محاسبه نمود. سروسامان دادن در ۲۵ فروردین ۴۵۸ هجری خورشیدی (۳ رمضان ۴۷۱ هجری قمری) انجام شد.
خیام در مقام ریاضی‌دان و ستاره‌شناس پژوهش‌ها و نوشته‌های مهمی دارد. از جمله آن‌ها "رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله" است که در آن از جبر عمدتاً هندسی خود برای حل معادلات درجه سوم استفاده می‌کند. او معادلات درجه دوم را از روش‌های هندسی اصول اقلیدس حل می‌کند و سپس نشان می‌دهد که معادلات درجه سوم با قطع دادن مقاطع مخروطی با هم قابل حل هستند. برگن باور دارد که که «هر کس که ترجمهٔ انگلیسی [جبر خیام] به توسط کثیر را بخواند استدلالات خیام را بس روشن خواهد یافت و نیز، از نکات بسیار جالب توجهی در تاریخ انواع گوناگون معادلات مطلع خواهد شد.» مسلم است که خیام در رساله‌هایش از وجود پاسخ‌های منفی و موهومی در معادلات آگاهی نداشته‌است و جواب صفر را نیز در نظر نمی‌گرفته‌است.
تاکنون از خیام پنج رساله فلسفی یافت شده‌است که عبارت اند از: فی الکون و التکلیف، فی الوجود، الضیاء العقلی فی موضوع العلم الکلی، الجواب عن ثلاث مسائل؛ ضروره التضاد فی العالم و الجبر و البقا و در علم کلیات وجود. از این میان تنها رساله در علم کلیات وجود به فارسی بوده و سایرین به زبان عربی می‌باشند. همچنین خیام به درخواست جمعی از دانشمندان اصفهانی در سال ۴۷۲ هجری قمری ترجمه ای به فارسی از خطبه توحیدیه ابن سینا انجام داده‌است.
در سفری به شیراز در سال ۴۷۳ هجری قمری خیام نامه ای از ابونصر محمد بن عبدالرحیم سفری، قاضی القضات فارس - که زمانی شاگرد ابن سینا بوده‌است - دریافت می‌کند که حاوی دو مسئله در باب «کون» و «تکلیف» بود. آن گاه خیام در فرصت اندکی که در اختیار داشت، رساله کوتاهی را به رشته تحریر درآورد که می‌توان آن را چکیده و آرای بسیاری از فیلسوفان دوره اسلامی در دو مقوله مذکور دانست. در این رساله خیام بحث را از مبانی منطقی آغاز، و به اجمال گذری بر مسئله «کون» می‌کند و سرانجام به مسئله «تکلیف» می‌پردازد. رساله الضیاء العقلی فی موضوع العلم الکلی نوشتاری دربارهٔ اثبات اصالت ماهیت، به معنای ذات و اعتباریت وجود می‌باشد که موضوع اصلی رساله فی الوجود است و خیام برای اثبات این نظریه، برهان‌هایی اقامه کرده و به دفع اشکالاتی پرداخته که فیلسوفان پیشین، بدین تفصیل بدان‌ها نپرداخته‌اند. رساله در علم کلیات وجود یا «سلسله الترتیب» آخرین رساله فلسفی خیام و تنها اثر برجای مانده از او به زبان فارسی است که در چند فصل تشکیل یافته. این اثر در پاسخ به درخواست یکی از وزیران سلجوقی، که بارها تحریر رساله ای در علم کلیات را از خیام طلب کرده بود، به رشته تحریر درآمد. براساس شواهد تاریخی این رساله احتمال نزدیک به سال ۵۰۰ هجری قمری نوشته شده‌است.
خیام ریاضی موسیقی را نیز واکاوی کرده‌است و در "القول علی اجناس الذی بالاربعه" مسئلهٔ تقسیم یک چهارم را به سه فاصله مربوط به مایه‌های بی‌نیم‌پرده، با نیم‌پردهٔ بالارونده، و یک چهارم پرده را شرح می‌دهد.
خیام زندگی‌اش را به عنوان ریاضیدان و فیلسوفی شهیر سپری کرد، در حالی‌که هم دوره‌هایش از رباعیاتی که امروز مایه شهرت و افتخار او هستند بی‌خبر بودند. هم دوره‌های خیام نظیر نظامی عروضی یا ابوالحسن بیهقی از شاعری خیام یادی نکرده‌اند. صادق هدایت در این باره می‌گوید.
گویا ترانه‌های خیام در زمان زیستنش به دلیل خشک مغزی مردم پنهان بوده و دسته‌بندی نشده و تنها بین یکدسته از دوستان همرنگ و صمیمی او شهرت داشته یا در حاشیهٔ جنگ‌ها و کتب اشخاص باذوق به گونه اب قلم‌انداز چند رباعی از او ضبط شده، و پس از مرگش منتشر گردیده‌است. قدیمی‌ترین کتابی که در آن از خیام شاعر یادی شده‌است، کتاب "خریدة القصر" از عمادالدین اصفهانی است. این کتاب به زبان عربی و در سال ۵۷۲ یعنی نزدیک به ۵۰ سال پس از مرگ خیام نوشته شده‌است. کتاب دیگر "مرصادالعباد" نجم‌الدین رازی است. این کتاب نزدیک ۱۰۰ سال پس از مرگ خیام در ۶۲۰ هجری قمری تصنیف شده‌است نجم‌الدین صوفی متعصبی بوده که از نیش و کنایه به خیام به خاطر افکار کفرآمیزش دریغ نکرده‌است. کتاب‌های کهن (پیش از سدهٔ نهم) که اشعار خیام در آن‌ها آمده‌است و مورد استفادهٔ تصحیح کنندگان قرار گرفته‌اند علاوه بر "مرصادالعباد" از قرار زیرند: "تاریخ جهانگشا" (۶۵۸ ق)، "تاریخ گزیده"ٔ حمدالله مستوفی (۷۳۰ ق)، نزهة المجالس (۷۳۱ ق)، مونس الاحرار (۷۴۱ ق). جنگی از منشآت و اشعار که سعید نفیسی در کتابخانهٔ مجلس شورای ملی جنگ یافت و در سال ۷۵۰ هجری قمری کتابت شده‌است و همچنین مجموعه‌ای تذکره‌مانند که قاسم غنی در کتابخانهٔ شورای ملی یافت که مشتمل بر منتخب‌های اشعار سی شاعر است و پنج رباعی از خیام در میان آن‌ها وجود دارد دارد.
با کنار گذاشتن رباعیات تکراری، ۵۷ رباعی به دست می‌آید. این ۵۷ رباعی که نزدیک درستی انتساب آن‌ها به خیام روشن است کلیدی برای درست کردن و شناختن سره از ناسره به دست تصحیح کنندگان می‌دهد. با کمک این رباعی‌ها زبان شاعر و روش فلسفی وی تا اندازهٔ زیادی آشکار می‌شود. زبان خیام در شعر طبیعی و ساده و بی‌آلایش است و در شعر پیرو کسی نیست. وانگهی؛ هدف خیام از سرودن رباعی "شاعری" به معنی رایج نبوده‌است بلکه به واسطهٔ داشتن ذوق شاعری نکته‌بینی‌های فلسفی خود را در قالب شعر بیان کرده‌است
شهرت خیام در غرب به عنوان شاعر مرهون ادوارد فیتزجرالد انگلیسی‌است که با ترجمهٔ شاعرانهٔ رباعیات وی به انگلیسی، خیام را به جهانیان شناساند. با این حال در مجموعهٔ خود اشعاری از خیام آورده‌است که به قول هدایت نسبت آن‌ها به خیام جایز نیست.
تا پیش از تصحیحات علمی مجموعه‌هایی که با نام رباعیات خیام وجود داشت؛ مجموعه‌هایی مغشوش از آرای متناقض و افکار متضاد بود به‌طوری‌که به قول صادق هدایت «اگر یک نفر صد سال عمر کرده باشد و روزی دو مرتبه کیش و مسلک و عقیدهٔ خود را عوض کرده باشد قادر به گفتن چنین افکاری نخواهد بود.». بی‌مبالاتی نسخه‌نویسان و اشتباه کاتبان همیشه در بررسی نسخه‌های خطی دیده می‌شود. اما در مورد خیام گاه اشعارش را به‌عمد تغییر داده‌اند تا آن را به مسلک تصوف نزدیک کنند. هدایت حتی می‌گوید یک علت مغشوش بودن رباعیات خیام این است که هر کس می‌خوارگی کرده‌است و رباعی‌ای گفته‌است از ترس تکفیر آن را به خیام نسبت داده‌است. مشکل دیگری که وجود دارد این است که بسیاری به پیروی و تقلید از خیام رباعی سروده‌اند و رباعی ایشان بعدها در شمار رباعیات خیام آمده‌است.
نخستین تصحیح معتبر رباعیات خیام به دست صادق هدایت انجام گرفت. وی از نوجوانی دلبستهٔ خیام بود تدوینی از رباعیات خیام صورت داده بود. بعدها در سال ۱۳۱۳ هجری خورشیدی آن را مفصل‌تر و علمی‌تر و با مقدمه‌ای طولانی با نام "ترانه‌های خیام" به چاپ رسانید. تصحیح معتبر بعدی به دست محمد علی فروغی در سال ۱۳۲۰ به انجام رسید. لازم است ذکر شود که اروپاییان نظیر ژوکوفسکی، فردریش روزن و کریستنسن دست به تصحیح رباعیات زده بودند اما منتقدان بعدی شیوهٔ تصحیح و حاصل کار ایشان را چندان معتبر ندانسته‌اند.
احمد شاملو روایتی از ۱۲۵ رباعی خیام در کتابی به نام "ترانه‌ها روایت: احمد شاملو" ارائه داده‌است.
صادق هدایت در "ترانه‌های خیام" دسته‌بندی کلی‌ای از مضامین رباعیات خیام ارائه می‌دهد و ذیل هر یک از عناوین رباعی‌های مرتبط با موضوع را می‌آورد:
برخی فارسی شناسان بر این باورند که رباعیات خیام تازیانه‌ای بر زاهدان ریاکار است. «عبدالرضا مدرس زاده» قائم مقام انجمن بین‌المللی ترویج زبان و ادبیات فارسی اعتقاد دارد خیام در اشعارش بی‌اعتباری دنیا و ناپایداری هستی موقت انسان را در زندگی اش به تصویر می‌کشاند. زبان تند و تیز خیام در رباعیات، تازیانه‌ای بر زاهدان دروغین و ریاکار است.
صادق هدایت بر این باور است که حافظ از تشبیهات خیام بسیار استفاده کرده‌است، تا حدی که از متفکرترین و بهترین پیروان خیام به‌شمار می‌آید. هر چند که به نظر او افکار حافظ به فلسفهٔ خیام نمی‌رسد، اما بنا به نظر صادق هدایت حافظ این نقص را با الهامات شاعرانه و تشبیهات رفع کرده‌است و برای نمونه به قدری شراب را زیر تشبیهات پوشانده که تعبیر صوفیانه از آن می‌شود. اما خیام این پرده پوشی را ندارد. برای نمونه حافظ دربارهٔ بهشت سخن می‌گوید:
اما خیام بدون پرده‌پوشی می‌گوید:
اندیشه‌های متعالی خیام که بر خلاف تصور رایج، نه تنها نیستی گرایانه نیست بلکه بر بنیان غنیمت شمردن حیات این جهانی و پرهیز از پیش داوری‌های محض استوار است و به صورتی روشن دربردارنده مفاهیمی همچون احترام به طبیعت و دوری جستن از خودپسندی مبتنی بر جهل است در شعر شاعران و نویسندگان پساخیامی به صورت برجسته بروز و ظهور داشته‌است. از این میان می‌توان به اشعار و نوشته‌های معاصرینی همچون صادق هدایت، نصرت رحمانی، نیما یوشیج، ایرج زبردست، کامران سخن پرداز، ایرج صف‌شکن، و … اشاره کرد که اندیشه‌های مذکور را با ساختی نوتر ارائه کرده‌اند. موریس بوشور از غیر ایرانیانی است که کاملاً تحت تأثیر افکار خیام درآمده و نمایشنامهٔ رؤیای خیام هماهنگی فکری او را با شاعر ایرانی به خوبی نشان می‌دهد. همچنین ارمان رنو و آندره ژید هم از او مایه گرفته‌اند. دو کامارگو شاعر برزیلی نیز افکار خیام را در قالب شعر نو ریخت و متن اسپانیایی آن‌ها را در سراسرآمریکای لاتین و متن فرانسوی را در اروپا رواج داد. دیگر از کسانی که از خیام الهام گرفته‌اند یا او را تمجید کرده‌اند؛ عبارتند از: «آندره ژید»، «ژان لاهور»، «شارل گرولو»، «مارک برنارد» و «ژان شاپلن».
بعضی او را به عنوان یک شاعر حکیم عارف‌منش و بعضی دیگر او را به عنوان یک شاعر بی‌اعتقاد به همه چیز و مادی‌اندیش محض معرفی کرده‌اند. نجم‌الدین رازی با توجه به محتوای الحادی رباعیات خیام اظهار نظرهایی منفی دربارهٔ او دارد. در مقابل، کسانی دیگر درصدد تبرئهٔ او برآمدند و رباعیاتی از قول او ساختند که حاکی از پشیمانی و توبهٔ او باشد. کسانی هم – بیشتر در دورهٔ معاصر – درصدد برآمدند که بگویند اصلاً این رباعی‌ها از خیام نیست، و از شخص دیگری به همین نام است. نجم‌الدین رازی، به عنوان نخستین فرد، در کتاب خود ("مرصادالعباد") اشاره‌های بسیار تند و صریح نسبت به خیام دارد و با توجه به محتوای رباعیات او می‌گوید که این آدمی بوده‌است مادی‌مآب و دارای انحراف فکری، و دو رباعی به عنوان شاهد از او نقل می‌کند و می‌گوید که این‌ها شعرهایی است حاکی از بی‌اعتقادی نسبت به مبانی دینی و یکی از آن‌ها این است:
می‌گوید؛ خیام با توجه به این سروده اعتقاد دارد که خدا ما را خلق کرد. اگر یک ترکیب خوبی از آفرینش هستیم، پس چرا ما را در «کم‌وکاست» یعنی رنج و محنت انداخت؟ اگر هم ترکیب بدی هستیم، پس تقصیر کیست؟ کسی که ما را خلق کرده در واقع این‌طور خلق کرده، ما که خود به اراده خود نیامدیم، به اراده خود ساخته نشدیم، پس تقصیری نداریم و مجازات هم دربارهٔ ما و عذاب ما معنی پیدا نمی‌کند.
جلال آل احمد دربارهٔ خیام می‌گوید: «[خیام] در شعرش مدام به این می‌خوانَد که تو هیچی و پوچی؛ و آن‌وقت طرف دیگرِ سکهٔ این احساس پوچی، این آرزوی محال نشسته که «گر بر فلکم دست بُدی چون یزدان برداشتمی من این فلک را زمیان…» و الخ؛ و حاصل شعرش شک و اعتراض و درماندگی؛ اما همه در مقابل عالم بالا و در مقابل عالم غیب؛ و انگارنه‌انگار که دنیای پایینی هم هست و قابل عنایت؛ و غم شعر او ناشی از همین درماندگی؛ و همین خود راز ابدیت رباعیات [است].»
خیام آثار علمی و ادبی بسیاری تألیف کرده‌است:ریاضیات: فلسفه: فیزیک: نجوم: تاریخ: جغرافیا: موسیقی: ادبیات:
سایر:
او میزان الحکم را دربارهٔ فیزیک و لوازم الامکنه را در دانش هواشناسی نوشت.
نوروزنامه دیگر اثر ادبی اوست، در پدیداری نوروز و آیین پادشاهان ایرانی و اسب و زر و قلم و شراب که در حدود ۴۹۵ هجری قمری نگاشته شده‌است.
کتاب جبر و مقابله خیام با تلاش دانش پژوهان اروپایی در سال ۱۷۴۲ در یکی از کتابخانه‌های لیدن یافته شد. این کتاب را در ۱۸۱۵ تنی چند از دانشمندان فرانسوی ترجمه و منتشر کردند.
"رساله فی کلیه الوجود" و "رساله الاوصاف للموصوفات" همان ""رساله در علم کلیات وجود"" است.
در جهان خیام به عنوان یک شاعر، ریاضیدان و اخترشناس شناخته شده‌است. هرچند که اوج شناخت جهان از خیام را می‌توان پس از ترجمه شعرهای وی به وسیله ادوارد فیتزجرالد دانست. این در حالی است که بسیاری از پژوهشگران شماری از شعرهای ترجمه‌شده به وسیله فیتزجرالد را سروده خیام نمی‌دانند و این خود سبب تفاوت‌هایی در شناخت خیام در نگاه ایرانی‌ها و غربی‌ها شده‌است. تأثیرات خیام بر ادبیات غرب از مارک توین تا تی. اس. الیوت او را به نماد فلسفه شرق و شاعر محبوب روشنفکران جهان تبدیل کرده‌است.
بعد از فیتزجرالد، فرانسویان با ترجمه رباعیات او به معرفی خیام در جهان غرب کمک کردند. در سال ۱۸۷۵ میلادی گارسن دوتاسی خاورشناس معروف فرانسوی تعداد ۱۰ رباعی از خیام را به فرانسه برده بود این در حالی بود که حدود ده سال قبل یعنی در سال ۱۸۶۷ نیکولاس، کنسول سفارت فرانسه در رشت اولین ترجمه رباعیات را به فرانسه ارائه کرده بود. او برخلاف عقیده فیتزجرالد که بر وجهه شاعری خیام تأکید داشت، خیام را یک صوفی قلمداد می‌کرد همین بی‌خبری از فکر خیام موجب شد که تئوفیل گوتیه او را شاعری رند حساب کند. نظر گوتیه نسبت به خیام و شرح و تفصیل اشعارش موجب شد که فرانسویان نسبت به این شاعر ایرانی علاقهٔ زیادی نشان دهند.
ارنست رنان با تأیید نظر فیتزجرالد، خیام را شاعری توانا در حفظ هویت آریایی می‌دانست. وی هوش و قدرت خیام را در بیان الفاظ بعضاً کفرآمیز در قالب اشعار عرفانی به تقیه نسبت داده‌است. آندره ژید هم با رباعیات خیام از طریق ترجمه فیتزجرالد آشنا بود بازتاب بعضی از مفاهیم رباعیات خیام را می‌توان در کتاب مائده‌های زمینی او مشاهده کرد.
ولادیمیر پوتین، مارتین لوتر کینگ و آبراهام لینکن همیشه قبل از خواب رباعیات خیام می‌خواندند.
دولت جمهوری اسلامی ایران در ژوئن ۲۰۰۹ به عنوان نشانی از پیشرفت علمی صلح‌آمیز ساختمان-مجسمه‌ای به شکل چهارتاقی که ترکیبی از سبک‌های معماری و تزئینات هخامنشی و اسلامی در آن دیده می‌شود را به دفتر سازمان ملل متحد در وین هدیه داد که در محوطهٔ آن در سمت راست ورودی اصلی قرار داده شده‌است. در این چهارتاقی مجسمه‌هایی از چهار فیلسوف ایرانی خیام، ابوریحان بیرونی، زکریا رازی و ابوعلی سینا قرار دارد. همچنین، در فروردین ۱۳۹۵، به همت مدیر انجمن بین‌المللی فرهنگ ایران، طی مراسمی از مجسمه خیام نیشابوری، ساخت استاد حسین فخیمی در دانشگاه اوکلاهما آمریکا با حضور گسترده دوستداران فرهنگ و هنر ایران زمین پرده برداری شد. در این مراسم دیوید بورن، رئیس فعلی دانشگاه اوکلاهما، فرماندار سابق ایالت اوکلاهما و سیاست‌مدار دموکرات آمریکایی، نیز سخنرانی نمود و از اقدامات انجام شده تقدیر کرد.