هم‌دسته
هم‌دسته‌ها در نظریه گروه‌ها، از مفاهیم اساسی برای تعریف گروه خارج قسمت هستد و در سراسر نظریه گروه‌ها به آن‌ها بر خورد می‌کنیم.
مفهوم هم‌دسته‌ها در حقیقت یک بیان کلی است و هم مجموعه‌ها بر دو نوع هم‌دسته‌های راست و هم‌دسته‌های چپ تعریف می‌شوند.
فرض کنید G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد. رابطه formula_1 موسوم به رابطه راست همنهشتی (یا برای تاکید، رابطه راست همنهشتی به هنگ H) را روی G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
به سادگی می‌توان تحقیق کرد که این رابطه یک رابطه هم ارزی روی G تعریف می‌کند. حال برای هر g∈G کلاس هم ارزی g نسبت به رابطه راست همنهشتی را با [g] نشان می‌دهیم و داریم:
پس:
حال با تغییر در نماد گذاری قرار می‌دهیم:
این مجموعه را اصطلاحاً، هم‌دسته‌ها(هم دسته) راست H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.
با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم:توجه داشته باشید که خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است چون H=He.و
به عنوان مثال گروه {Z = {۰، ۱، ۲، ۳ را در نظر بگیرید.  وضوحاً لازم به محاسبه H+۲ و H+۳ نیست چون هر یک از آن‌ها بنابر خواص پیش تر ذکر شده به ترتیب با H+۰ و H+۱ برابر هستند.
در مثال فوق مشاهده می‌کنید که تعداد اعضای هم مجموعه‌های راست متمایز H در G با هم برابر است. آیا همواره چنین است؟ قضیه زیر به این پرسش پاسخ مثبت می‌دهد.
این مطلب نتیجه‌ای مهم و در عین حال ساده در بر دارد و آن این است که چون خود H نیز یک هم‌دسته‌ها راست G است، برای هر g∈G تعداد اعضای Hgبا تعداد اعضای H برابر است. یعنی تعداد عناصر همه هم مجموعه‌های H در G برابر با تعداد عناصر H است. این مطلب خصوصاً در اثبات قضیه لاگرانژ نقش اساسی ایفا می‌کند.
طبیعی است که همانطور هم‌دسته‌ها راست زیرگروه H از گروه G را تعریف کردیم، هم‌دسته‌ها چپ آن را نیز تعریف کنیم. برای این منظور رابطه formula_14 موسوم به رابطه چپ همنهشتی(یا برای تاکید، رابطه چپ همنهشتی به هنگ H)، را روی گروه G به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
در این صورت همانند رابطه راست همنهشتی، این رابطه نیز یک رابطه هم ارزی در G است و برای هر g∈G کلاس هم ارزی g عبارت است از:
که باز با تغییر نماد گذاری این مجموعه را با
نشان می‌دهیم و آن را یک هم‌دسته‌ها چپ H در G تولید شده توسط g می‌گوییم.با توجه به تعریف و خواص کلاس‌های هم ارزی، خواص زیر را برای هر a،b∈G داریم:توجه داشته باشید، چون eH=H پس H نیز یک هم‌دسته‌ها چپ در G است.
همانطور که میان هم مجموعه‌های راست H در G، تناظر یک به یک برقرار است میان هم مجموعه‌های چپ H در G نیز یک تناظر یک به یک برقرار است. به عبارت دقیق تر اگر aH،bH دو هم‌دسته‌ها چپ متمایز H در G باشند، تابع formula_20 با ضابطه برای هر ah∈aH، formula_21 یک تناظر یک به یک است.
بنابراین دیدم که چگونه با تعریف یک رابطه هم ارزی روی گروه G هم مجموعه‌های راست و چپ را به عنوان کلاس‌های هم ارزی تعریف کردیم. نکته جالب توجه این است چون یک رابطه هم ارزی روی یک مجموعه، آن مجموعه را به کلاس‌های هم ارزی خود افراز می‌کند، که اگر H زیرگروه گروه G باشد، در این صورت مجموعه همه هم مجموعه‌های متمایز H در G(راست یا چپ) یک افراز برای G می‌باشند. این مطلب اساس قضیه لاگرانژ را تشکیل می‌دهد.
نکته جالب و در مورد هم مجموعه‌های راست و چپ زیرگروه H از گروه G این است که تعداد آن‌ها با هم برابر است. به عبارت دقیق تر قضیه زیر را داریم.این مطلب نشان می‌دهد در بسیاری از موارد در اثبات قضایا و تعاریف، تفاوت چندانی میان هم مجموعه‌های راست و چپ H در G وجود ندارد. یک نمونه از این موارد تعریف اندیس زیرگروه است.
اگر G یک گروه و H زیرگروهی از G باشد، در این صورت تعداد هم دسته های(راست یا چپ) H در G را اندیس یا شاخص H در G می‌گوییم و آن را با نمادهای [G:H] یا (i(H نشان می‌دهیم.
از جمله مهم‌ترین مفاهیم در نظریه گروه‌ها زیرگروه نرمال می‌باشد که به کمک هم مجموعه‌ها تعریف می‌شوند.
فرض کنید G یک گروه باشد. در این صورت رده‌ای از زیر گروه‌های G دارای این ویژگی هستند که هم مجموعه‌های راست و چپ آن‌ها به ازای هر عضو G یکسان است. این زیرگروه‌های خاص از G را زیرگروه‌های نرمال می‌نامیم.
بنابر این زیرگروه H از گروه G را نرمال می‌گوییم اگر برای هر g∈G داشته باشیم gH=Hg.