ماتریس تصادفی
در ریاضیات یک ماتریس تصادفی (ماتریس احتمال، ماتریس انتقال، ماتریس جایگزینی یا ماتریس مارکوف هم نامیده می‌شود) ماتریس مورد استفاده برای توصیف انتقال‌های یک زنجیره مارکوف است. هر یک از درایه‌های این ماتریس عدد حقیقی غیرمنفی است که احتمال را نشان می‌دهد. این ماتریس در نظریه احتمال ،آمار، ریاضی مالی و جبر خطی و همچنین علوم کامپیوتر و ژنتیک جمعیت کاربرد دارد. تعاریف متعددی و انواع ماتریس تصادفی:
به همین شیوه می‌توان بردار تصادفی (بردار احتمال نیز نامیده می‌شود) را تعریف کرد؛ که برداری است با مقادیر حقیقی غیرمنفی و مجموع formula_1. بنابراین هر سطر از ماتریس تصادفی راست (یا ستون از ماتریس تصادفی چپ) یک بردار تصادفی است.
قرارداد رایج در ادبیات ریاضی دانان انگلیسی زبان این است که از بردار سطری ماتریس تصادفی راست و احتمالات استفاده کنند تا بردار ستونی ماتریس تصادفی چپ و احتمالات؛ در این مقاله از این قرارداد رایج استفاده شده‌است.
یک ماتریس تصادفی زنجیره مارکوف formula_5 با تعداد حالات محدود از فضای formula_6 "را توصیف می‌کند".
اگر احتمال حرکت از حالت formula_7 به حالت formula_8 در یک مرحله زمانی را با عبارت formula_9 ماتریس تصادفی formula_10 با استفاده از formula_11 با عنصر ردیف formula_7 و ستون formula_8 مشخص خواهد شد،
با توجه به اینکه مجموع احتمال گذار از حالت formula_7 به تمام حالات دیگر باید formula_1 باشد، این ماتریس یک ماتریس تصادفی راست، پس حاصل ضرب دو ماتریس تصادفی راست نیز یک ماتریس تصادفی راست است. به ویژه توان formula_18 ماتریس تصادفی راست formula_10، formula_20 نیز یک ماتریس تصادفی راست است. احتمال انتقال از حالت formula_7 به حالت formula_8 در دو گام با عنصرformula_23 از مربع ماتریس formula_10: در کل احتمال انتقال رفتن از هر حالت به حالت دیگر در زنجیره مارکوف با ماتریس formula_10 و در "k" مرحله با ماتریس formula_20.
توزیع اولیه با بردار سطری نمایش داده می‌شود.
بردار احتمال مانا formula_28 که به عنوان یک توزیع تعریف می‌شود، به صورت یک بردار سطری نوشته می‌شود، که با اعمال ماتریس انتقال تغییر نمی‌کند؛ به عبارت دیگر، این بردار به صورت توزیع احتمال روی مجموعه formula_29 تعریف می‌شود. این بردار، بردار ویژه ماتریس احتمال متناظر با مقدار ویژه formula_1 می‌باشد: شعاع طیفی راست هر ماتریس تصادفی راست حداکثر formula_1 می‌باشد. علاوه بر این، هر ماتریس تصادفی راست یک بردار ویژه ستونی بدیهی متناظر با مقدار ویژه formula_1 دارد: بردار formula_1 می‌باشند. همان‌طور که مقادیر ویژه چپ و راست یک ماتریس مربعی یکسان هستند، هر ماتریس تصادفی، حداقل یک بردار ویژه سطری متناظر با مقدار ویژه formula_1 دارد و اندازه مطلق بزرگترین مقادیر ویژه‌اش formula_1 است. در نهایت طبق قضیه مقدار ثابت براوئر (اعمال شده به مجموعه محدب فشرده از تمام توزیع‌های احتمال مجموعه متناهی formula_29) حاکی از آن است که بردارهای ویژه چپی هم وجود دارند که بردار احتمال مانا باشند.
از سوی دیگر قضیه پرون-فربنیوس تضمین می‌کند که هر ماتریس تصادفی کاهش ناپذیر چنین بردار مانایی دارد و اندازه مطلق بزرگترین مقدار ویژه اش همیشه formula_1 است. این قضیه را نمی‌توان به‌طور مستقیم به این ماتریس‌ها اعمال کرد، زیرا لازم نیست کاهش ناپذیر باشند.
به‌طور کلی ممکن است چندین بردار مانا وجود داشته باشند. هرچند، برای ماتریس با مقادیر مثبت آرایه (یا به‌طور کلی تر برای ماتریس تصادفی کاهش ناپذیر غیرپریودیک) این بردار منحصر به فرد است و با استفاده از حد زیر می‌توان آن را بدست آورد: که formula_40 عنصر formula_8 از بردار سطری formula_28. به بیان دیگر در دراز مدت، احتمال بودن در حالت formula_8 مستقل از حالت اولیه formula_7. نتیجه هر دوی این محاسبات بردار مانای یکسانی خواهد بود و این نتیجه از نظریه ارگودیک است، که به صورت عمومی در طیف گسترده‌ای از سیستم‌های دینامیکی اتلافی درست است: سیستم در طول زمان به یک حالت ایستا تکامل می‌یابد.
به‌طور شهودی، یک ماتریس تصادفی، نشان دهنده یک زنجیره مارکوف است؛ با اعمال ماتریس تصادفی به توزیع احتمال، جرم احتمال توزیع اولیه را با حفظ جرم کلی مجدداً توزیع می‌کند. اگر این روال برای زنجیره مارکوف به صورت مداوم تکرار شود، توزیع به توزیع مانا همگرا خواهد شود.
فرض کنید شما یک تایمر و یک ردیف از پنج جعبه مجاور دارید؛ در زمان صفر یک گربه در جعبه اول و یک موش در جعبه پنجم قرار گرفته‌اند. با جلو رفتن زمان تایمر، گربه و موش هر دو به صورت تصادفی پرشی به یکی از جعبه‌های مجاورشان خواهند داشت. برای مثال اگر گربه در جعبه دوم و موش در جعبه چهارم باشد، "احتمال اینکه با گذر یک مرحله از زمان تایمر، گربه در جعبه اول و موش در جعبه پنجم قرار گیرد "یک چهارم "است". اگر گربه در جعبه اول و موش در جعبه پنجم باشد، با احتمال formula_1 با گذر یک مرحله از زمان، گربه در جعبه دو و موش در جعبه چهار خواهد بود. اگر گربه و موش به داخل جعبه یکسانی پرش داشته باشند، گربه موش را می‌خورد و بازی تمام خواهد شد. متغیر تصادفی formula_46 نشان دهند تعداد مراحل زمانی است که موش در بازی زنده خواهند ماند.
زنجیره مارکوفی این بازی formula_47 حالت دارد که هر حالت نشان دهنده موقعیت گربه و موش در بازی است. توجه داشته باشید گرچه شمارش عادی تعداد حالات formula_48 خواهد بود، اما تعدادی از آن‌ها حالات غیرممکن هستند: چون موش نمی‌تواند شماره کوچکتری از شماره گربه داشته باشد (که معنی ماوس را اشغال گربه جعبه و جان سالم به در برد به گذشته حرکت می‌کند) یا اینکه مجموع دو شماره آن‌ها باید همیشه زوج باشد. ضمناً formula_49 حالت منجر به مرگ مو خواهند شد و این سه حالت را ترکیب کرده و یک حالت در نظر می‌گیریم: برای نمایش احتمال انتقال این سیستم از ماتریس تصادفی استفاده می‌کنیم (سطرها و ستون‌های این ماتریس با شماره حالات ممکن ذکر شده در بالا شماره گذاری شده‌اند. حالت قبل از انتقال به صورت ردیف و حالت پس از انتقال به صورت ستون در نظر گرفته می‌شود).
حالت اولیه گربه هر حالتی که باشد، در نهایت گربه موش را می‌گیرد (با احتمال formula_1) و یک حالت مانای پیشنهادی formula_64 است. برای محاسبه میانگین دراز مدت یا امید متغیر تصادفی formula_65، برای هر حالت formula_66 و زمان formula_67 سهم formula_68 وجود دارد. بقا را می‌توان با یک متغیر باینری با formula_69 برای حالت بقا و formula_70 برای حالت اختتام نشان داد. حالت‌های با formula_70 در میانگین دراز مدت دخیل نیستند.
حالت formula_47 یک حالت جذب است، توزیع زمان جذب، توزیع فاز-نوع گسسته است. فرض کنید سیستم با حالت formula_52 شروع شود که آن را با بردار formula_74 نشان می‌دهیم. حالاتی که در آن‌ها موش می‌میرد، در میانگین بقا تأثیری نخواهند داشت و می‌توان حالت formula_47 را نادیده گرفت. حالت اولیه و ماتریس انتقال را می‌توان به صورت زیر کاهش داد: و که در آن formula_79 ماتریس همانی و formula_1 بردار ستونی تماماً ۱ می‌باشد (نقش جمع‌کننده روی حالات را دارد).
از آن جایی که هر حالت فقط برای یک مرحله زمانی اشغال خواهد شد، زمان مورد انتظار بقای موش جمع احتمال اشغال روی تمام حالات بقا و مراحل زمانی است. ممان‌های مرتبه بالاتر با عبارت زیر تعیین می‌شوند