حذف سور
حذف سور یکی از ویژگی‌های «جبری» مورد بررسی در منطق ریاضی (در نظریهٔ مدلها) است. تئوریِ formula_1 دارای حذف سور است (یا سورها را حذف می‌کند) هرگاه هر فرمولی به پیمانهٔ آن معادلی بدون سور داشته باشد.
مصداقِ ملموسی از حذف سور، فرمول تعیین‌کنندهٔ ریشه داشتن یا نداشتن یک معادلهٔ درجهٔ ۲ در اعداد حقیقی است: formula_2
حذف سور به دلایل گوناگون اهمیت دارد که برخی از آن‌ها را در ادامه ذکر کرده‌ایم. نخست، برای این که مطالعهٔ مجموعه‌های تعریف‌شدنی را آسان‌تر می‌کند: اگر تئوری formula_3 دارای حذف سور باشد، برای بررسی مجموعه‌های تعریف شدنی در مدل‌های آن، تنها کافی است مجموعه‌های تعریف‌شده با ترکیبات بولیِ فرمول‌های اتمی را در نظر بگیریم. دوم این که حذف سور، مطالعهٔ جبری مدل‌ها را ساده می‌کند. اگر formula_3 دارای حذف سور باشد، آن‌گاه برای هر دو مدلِ formula_5 از آن، اگر formula_6 زیرساختاری از formula_7 باشد، آن‌گاه formula_6 زیرساختاری مقدماتی از formula_7 است، یعنی هر جملهٔ مرتبهٔ اول با پارامتر در formula_6 اگر در formula_7 درست باشد، آن‌گاه در formula_6 نیز درست است. سوم این که، بررسی کامل بودنِ یک تئوری، در صورت حذف سور پذیرفتن آن، آسان‌تر است. منظور از تئوریِ کامل، تئوری‌ای است که در آن هر جملهٔ داده‌شده یا نقیض آن اثبات شدنی است. از این رو اگر روندی تصمیم‌پذیر برای اثبات حذف سور داشته باشیم، اثبات تصمیم‌پذیر بودن یک تئوری نیز در حالتی که حذف سور داشته باشد، آسان‌تر است. چهارمین اهمیت حذف سور، فراهم آوردن توصیف جبری ملموس برای برخی تئوری‌ها و بدینسان برقرار کردن پیوند میان جبر و نظریهٔ مدل است. برای مثال، بررسی ساختار یا مدل تولید شده توسط یک مجموعهٔ داده شده، یا بررسی بستارِ جبری یک مجموعهٔ داده شده، در تئوری‌ای که حذف سور داشته باشد، به مراتب آسان‌تر است. این نکته در مثال‌های جبری، مانند میدان‌های بستهٔ حقیقی و میدان‌های بستهٔ جبری راحت‌تر به چشم می‌آید.
تئوریِ formula_3 در زبانِ formula_14 «دارای حذف سور است»، یا «سورها را حذف می‌کند» هرگاه برای هر فرمولِ formula_15 فرمولی بدون سور مانند formula_16 پیدا شود که formula_17
با به روش‌های مقدماتی منطقی، فرمول بدون سورِ formula_18 را می‌توان به صورت formula_19 یا formula_20 در نظر گرفت که در آن هر formula_21 فرمولی اتمی یا نقیض یک فرمول اتمی است.
معادلاً تئوری formula_1 دارای حذف سور است، هرگاه «زیرساختارْکامل» باشد. یعنی برای هر مدلِ formula_23 و هر زیرساختارِ formula_24 تئوریِ formula_25 در زبانِ formula_26 (زبانی که با افزودن ثابت برای ازای هر عنصرِ formula_27 به زبان تئوریِ formula_1 به دست آمده باشد) یک تئوریِ کامل باشد. منظور از formula_29 مجموعهٔ همهٔ جمله‌های بدون سورِ با پارامتر در formula_27 است. از این رو، همان‌گونه که در مقدمه اشاره شد، اگر formula_1 دارای حذف سور باشد و formula_32 و formula_33 آن‌گاه formula_34. ولی عکس این گفته برقرار نیست. در واقع این ویژگی، «مدلْ‌کامل» بودن نام دارد. «زیرساختارْکامل بودن» معادل «حذف سور» است و «مدل‌ْ‌کاملْ بودن» با «معادل بودن هر فرمول، با فرمولی فقط دارای سورهای وجودی» معادل است.
نیز تئوریِ formula_1 حذف سور می‌پذیرد اگروتنهااگر هر تایپ کاملی در آن با فرمول‌های بدون سور آن تایپ کاملاً تعیین شود. به بیان دیگر، برای هر formula_36 در مدل هیولا و هر زیرمجموعهٔ formula_27 از مدل هیولا، اگر formula_38 آن‌گاه formula_39؛ که منظور از formula_40 مجموعهٔ همهٔ فرمول‌های بدون سور با پارامتر در formula_27 است که formula_42 آن‌ها را برآورده می‌کند.
داشتن حذف سور، تنها در یک «زبان معقول» حائزِ اهمیت است. این زبان عموماً بهینه‌ترین زبانی است که ویژگی‌های جبری یک تئوری را بتواند بیان کند. اگر جز این بخواهد باشد، هر تئوری‌ای با اضافه کردن محمول برای هر فرمول دارای سور به زبان، دارای حذف سور می‌شود. به بیان واضح‌تر اگر برای هر فرمولِ formula_43 محمول formula_44 را به زبان و جملهٔ formula_45 را به تئوری بیفزاییم، به یک تئوری دارای حذف سور می‌رسیم.
ساختارِ به‌ظاهرسادهٔ formula_46 سورها را حذف مسئلهٔ حذف سور برای این ساختار، هم‌ارزِ مسئلهٔ ناکامل بودن اصول پئانو برای حساب است که گودل آن را ثابت کرده‌است. نیز به بیان دیگر، این مسئله معادل مسئلهٔ وجود یک زیرمجموعهٔ بازگشتی شمارش‌پذیر از formula_47 است که بازگشتی نباشد. در واقع زیرمجموعه‌های بازگشتی‌ِ شمارش‌پذیرِ formula_47 دقیقاً آنهایند که با فرمولهای formula_49 تعریف می‌شوند که در آن formula_50 یک چندجمله‌ای در formula_51 باشد.
برخلافِ حسابِ پئانو، «حسابِ پِرِسْبِرگِر» دارای حذف سور است. حساب پرسبرگر، به بیان ساده حسابی است که از تئوریِ کاملِ ساختار formula_52 به دست می‌آید که در آن تعبیرِ محمولِ formula_53 زیرمجموعهٔ formula_54 از formula_55 است. نتیجهٔ تأمل‌برانگیزِ حذف سور حساب پرسبرگر این است که بر خلاف formula_56 که گرفتار دشواری‌های قضیهٔ ناتمامیت گودل است، ساختارِ formula_57 تصمیم‌پذیر است. حساب پرسبرگر دارای یک اصل‌بندی ساده است که ویژگی‌های گروه جمعیِ ترتیبیِ formula_57 را به همراه تعبیرِ formula_53ها بیان می‌کند.
تئوریِ کاملِ ساختارِ formula_60 سورها را حذف می‌کند (تارسکی). این حذف سور، نتایج جبری و توپولوژیک بااهمیتی در پی دارد. نخست این که تئوریِ کامل این ساختار، دقیقاً تئوری میدان‌های بستهٔ حقیقی است. میدان‌های بستهٔ حقیقی، میدانهایی هستند که در آنها formula_61 مجموع مربعات نباشد. و هیچ توسیع جبری‌ای نداشته باشند که در آن formula_61 مجموع مربعات باشد.
بنا به حذف سور، اصل‌بندی زیر برای میدان‌های بستهٔ جبری، «کامل» است و از این رو میدان‌های بسته‌جبری دقیقاً مدلهای تئوریِ کاملِ ساختارِ formula_60 هستند. نیز تئوری زیر، «مدل‌کامل» و تصمیم‌پذیر است.
مجموعه‌های تعریف شدنی با فرمول‌های بدون سور در میدان‌های بستهٔ جبری، دقیقاً «مجموعه‌های شبه‌جبری» هستند. یعنی آن‌هایی که به گونهٔ زیر تعریف شوند: formula_66 که در آن formula_67ها و formula_68 چندجمله‌هایی در formula_69 هستند. از آنجا که سورهای وجودی تصویر مجموعه‌ها روی محورها را به دست می‌دهند، حذف سورِ میدان‌های بستهٔ جبری در واقع، معادل این گفته‌است که «در میدانهای بستهٔ جبری، هر تصویر هر مجموعهٔ شبه‌جبری، خود نیز مجموعه‌ای شبه‌جبری است. در واقع، حذف سور، راهبردی بود تارسکی برای اثبات این قضیه پیش گرفت.
از دیگر نتیجه‌های حذف سور برای میدانهای بستهٔ جبری، این است که این میدانها «کمینهٔ ترتیبی» هستند (اُمینیمال). یعنی مجموعه‌های تعریف شدنی با یک متغیر در آنها، اجتماعی متناهی از نقطه‌ها و بازه‌های باز هستند (و از این رو بنا به قضیهٔ تقسیم سلولی، مجموعه‌های تعریف شدنی در ابعاد بزرگتر، اجتماعی متناهی از سلول‌ها هستند). ترتیب‌کمینگی این ساختار، ارتباط سودمندی میان نظریهٔ مدل و تویولوژی برقرار می‌کند.
تئوری میدان بستهٔ حقیقی formula_70 بهمراه «جرم توابع تحلیلی حقیقی» و جمع و ضرب و کمتریِ تحدید شده، مدل‌کامل است، یعنی هر فرمولی در آن معادل فرمولی به صورت formula_71 است که در آن formula_72 فرمولی بدون سور است. (وَن‌ْ دِنْ دریز) به بیان دیگر، اگر با formula_73 خانوادهٔ همهٔ توابع تحلیلیِ حقیقیِ محدود شده به بازهٔ بستهٔ formula_74 را نشان دهیم، و با formula_75 تابع تغییردادهٔ شدهٔ تقسیم را که هر جا formula_76 باشد تعریف شده‌است، تئوریِ ساختارِ formula_77 سورها را حذف می‌کند.
در نتیجهٔ حذف سور به راحتی می‌توان نشان داد که ساختار یادشده، کمینهٔ ترتیبی است. نیز اهمیت دیگر حذف سور در این ساختار این است، که اثباتی نظریهٔ مدلی برای قضیهٔ هندسیِ «گابْرییِلُف» فراهم می‌آورد. بنا بر قضیهٔ گابرییلف، مکمل هر مجموعهٔ زیرْتحلیلی در formula_70 مجموعه‌ای زیرْتحلیلی است. مجموعه‌های زیرتحلیلی، با گرفتن تصاویرِ مجموعه‌های شبه‌تحلیلی روی محورها به دست می‌آیند. نیز، مجموعه‌های شبه‌تحلیلی، دقیقاً مجموعه‌هایی هستند که در ساختارِ formula_79 بدون سور تعریف می‌شوند.
تئوری کاملِ ساختار formula_80 سورها را حذف می‌کند (رابینسون). تئوری این ساختار، از این رو، معادل با تئوری میدان‌های بستهٔ حقیقی با مشخصهٔ صفر است. در نتیجهٔ حذف سور، تئوری میدان‌های بستهٔ جبری مدلْ‌کامل است و تئوری میدان‌های بستهٔ جبری با مشخصهٔ formula_50 (که formula_50 می‌تواند بی‌نهایت نیز باشد) کامل است.
حذف سور در میدان‌های بستهٔ جبری نیز نتایج جبری خوشایندی به دست می‌دهد. در واقع حذف سور در این میدان‌ها معادل قضیهٔ «شُوالی» است که می‌گوید «تصویر هر مجموعهٔ ساخته‌شدنی تحت یک نگاشت چندجمله‌ای مجموعه‌ای ساخته‌شدنی است». مجموعه‌های ساخته‌شدنی در میدان‌های بستهٔ جبری، ترکیبات بولی متناهیِ مجموعه‌های بستهٔ زاریسکی هستند. به بیان دیگر، آن‌ها مجموعه‌های «تعریف‌شدنی» با فرمول‌های بدون سور در یک میدان بستهٔ جبریند. طبیعی است که تصویر آن‌ها تحت نگاشت‌های چندجمله‌ای، دوباره تعریف شدنی، و بنا به حذف سور، بدون‌سورتعریف‌شدنی، و از این رو ساخته‌شدنی است.
نیز حذف سور (در واقع مدل‌کاملی نتیجه‌شونده از آن) اثبات آسانی برای قضیهٔ ریشه‌های هیلبرت (نول‌اِشتِلِنْ‌سَتز) فراهم می‌آورد. بنا به این قضیه، در میدان‌های بستهٔ جبری، مجموعه‌های بستهٔ زاریسکی در تناظر یک‌به‌یکند با ایده‌آل‌های رادیکال در حلقهٔ چندجمله‌ای‌های متناظر.
نتیجهٔ دیگرِ حذف سور در میدان‌های بستهٔ جبری، این است که آن‌ها بسیارکمینه هستند. یعنی اگر formula_83 یک میدان بستهٔ جبری باشد، هر زیرمجموعهٔ تعریف شدنی از formula_83 یا خودْ یا مکملش متناهی است (یعنی این مجموعه را می‌توان تنها با نمادِ تساوی تعریف کرد).
تئوریِ ساختارِ formula_85 یک تئوری مدل‌ْکامل است (ویلکی)؛ یعنی هر فرمول در آن معادلی دارد که تنها دارای سوروجودی است. نکتهٔ تأمل‌برانگیز این است که در این جا تابع نمایی، محدود در نظر گرفته نشده‌است و بنابراین این قضیه از قضیهٔ ون‌دِن‌دریز برای formula_86 نتیجه نمی‌شود. نیز بنا به حذف سور، این تئوری ترتیب‌کمینه است. اگر «حدس شانوئل» درست باشد، این تئوری، تصمیم‌پذیر است. حدس شانوئل این است که اگر formula_87 روی formula_70 مستقل «خطی» باشند، آن‌گاه مرتبهٔ تعالی میدانِ formula_89 حداقل، formula_90 است. تصمیم‌پذیری تئوریِ formula_91 موردِ سؤالی از تارسکی بوده‌است.
فرض کنید formula_1 تئوری «زوجهای چگال از میدانهای بستهٔ حقیقی» باشد (این تئوری، کامل است). به بیان دیگر زوج formula_93 مدلی از formula_1 است اگروتنهااگر formula_95 و formula_96 دو میدان بستهٔ حقیقی در زبانِ formula_97 باشند و formula_96 در formula_95 چگال باشد؛ یعنی هر بازهٔ باز که دو سر آن عناصرِ formula_95 باشند، دارای نقطه‌ای در formula_96 باشد. این تئوری را می‌توان تئوریِ کاملِ ساختارِ formula_102 دانست که در آن منظور از formula_103 میدان بستهٔ حقیقی متشکل از همهٔ عناصر جبری روی formula_104 است و خطِ بالایِ formula_70 یعنی این میدان به همراه جمع و ضرب و کمتری و صفر و یک. تئوریِ formula_1 در زبانِ formula_107 که در آن formula_50 یک نماد محمولی یک ظرفیتی برای میدانِ کوچکتر است، دارای حذف سوری این‌چنین است: هر فرمولی در این زبان، معادل ترکیبی بولی از فرمولهایی به صورت formula_110 است که در آن formula_111.
تئوری یادشده، ترتیب کمینه نیست ولی همچنان از لحاظ توپولوژیک خوش‌رفتار است: هر مجموعهٔ باز از formula_70 که در ساختار formula_102 تعریف شدنی باشد، اجتماعی متناهی از بازه هاست. در واقع هر مجموعهٔ باز تعریف شدنی در این ساختار، در خودِ formula_114 تعریف شدنی است. نیز هر زیرمجموعه از formula_115 که در این ساختار تعریف شدنی باشد، اشتراکِ formula_103 با زیرمجموعه‌ای چون formula_117 از formula_70 است که با فرمولی در formula_119 تعریف شده باشد. نیز هر زیرمجموعه‌ای چون formula_120 از formula_70 که در این ساختار تعریف‌شدنی باشد تجزیه‌ای به‌گونهٔ formula_122 دارد که در آن هر formula_123 یا یک بازهٔ بازِ زیرمجموعهٔ formula_120 است یا یک نقطه است، یا یک بازهٔ باز به‌گونه‌ای است که formula_125 و formula_126 در formula_127 چگال است. مشابه این گفته برای مجموعه‌های تعریف شدنی در ابعاد بالاتر نیز برقرار است (تجزیهٔ سلولی چگال و مکمل‌ْچگال). در نتیجه formula_47 در این ساختار تعریف شدنی نیست و این امر برای در امان بودن از دشواری‌های ناتمامیت، در ساختارهای نظریهٔ مدلی اهمیت دارد.
تئوری میدان‌های ارزیابی‌ِ بستهٔ جبریِ که در آن مشخصهٔ میدانِ اصلی و میدانِ خارج‌قسمتی تبیین شده‌است، در زبانِ به دست آمده از اجتماع زبان میدان‌ها با محمول دوظرفیتیِ formula_129، سورها را حذف می‌کند (رابینسون).
در حالت کلی‌تر، میدان‌های ارزیابیِ (نه لزوماً بستهٔ جبری) هنسلیِ دارای مؤلفهٔ زاویه‌ای، به گونهٔ formula_130 را در زبان سه‌بخشیِ formula_131 مطالعه می‌کنند که حامل سه بخش برای میدان اصلی و میدان خارج‌قسمتی و گروه ارزیابی‌هاست. نگاشت ارزیابی با نماد formula_132 نشان داده شده‌است. نیز formula_133 نگاشت مؤلفهٔ زاویه‌ای، یک همومرفیسم گروه ضربی است که نگاشت کانونیِ formula_134، را «روی عناصرِ یکهٔ formula_135» گسترش می‌دهد. در این زبان می‌توان نشان داد که میدان‌های ارزیابی هنسلی دارای مؤلفهٔ زاویه‌ای و با مشخصهٔ صفر برای میدان خارج‌قسمتی، سورها را از میدانِ اصلی، یعنی formula_83، حذف می‌کنند. به بیان دیگر، اگر دو میدان ارزیابیِ formula_130 و formula_138 داشته باشیم و بدانیم که formula_139 و formula_140 آنگاه formula_141.
حذف سور تبعات خوشایند زیادی نیز برای میدان‌های ارزیابی دارد. برای مثال، تئوری میدان‌های بستهٔ جبریِ با مشخصهٔ مشخص، سی‌کمینال (سی‌مینیمال) است. یعنی مجموعه‌های تعریف شدنی در آن ساختاری درخت‌مانند دارند.
نیز در میدان‌های ارزیابیِ بستهٔ جبری، گروه ارزیابی‌ها و میدان خارج‌قسمتی، هر یک «ثابت‌ْنشانده» هستند. یعنی زیرمجموعه‌هایی از آن‌ها را که در کل ساختار تعریف‌شدنی باشند می‌توان در خودِ ساختار گروه، یا در خودِ ساختارِ میدان و بدون کمک‌گیری از بقیهٔ زبان تعریف کرد. این نکته دربارهٔ میدان‌های ارزیابیِ هنسلی دارای مشخصهٔ خارج‌قسمتیِ صفر و دارای مؤلفهٔ موضعی نیز درست است.
پیدا کردن معادل بدون سور به روش مستقیم و با دستکاری فرمولها، برای یک فرمول پیچیدهٔ دارای سور همواره عملی‌ترین راه آزمودن حذف سور نمی‌تواند باشد، به ویژه وقتی که زبان دارای چندین بخش است و فرمول‌ها بسیار پیجیده‌اند. عموماً حذف سور را با کمک گرفتن از «محکهای جبری» زیر می‌آزمایند. تئوری formula_1 دارای حذف سور است اگر و تنها اگر برای هر دو مدلِ formula_143 و هر زیرساختارِ مشترک از این‌دو مانند formula_144 هر فرمولِ formula_145 که عطفی از فرمول‌های اتمی (فرمول‌های ساخته شده با کمک تساوی و نقیض و ترم‌ها و رابطه‌های زبان) است و پارامترهای formula_146 در آن از formula_27 می‌آیند، داشته باشیم formula_148
همان‌گونه که در تعریف حذف سور اشاره شد، برای این که یک تئوری حذف سور بپذیرد، باید تایپ‌های کامل عناصر را تایپ‌های بدون سور آن‌ها به دست بدهند. فرض کنید formula_149 و formula_150 مدلهایی بسیار اشباع باشند و formula_151 و formula_152. بامهارتهای اولیهٔ نظریهٔ مدلی می‌توان نشان داد که formula_153 اگر و تنها اگر زیرساختاری از formula_149 که formula_146 آن را تولید می‌کند با زیرساختاری از formula_150 که formula_157 آن را تولید می‌کند، ایزومرف باشد. یادآوری می‌کنیم که formula_158 نشانگر تایپ بدون سور است. نیز formula_159 هرگاه یک نگاشت مقدماتی جزئی داشته باشیم که formula_146 را به formula_157 ببرد.
هرگاه یک «راژمان رفت و برگشتی» از ایزومرفیسم‌های میان زیرساختارهای formula_149 و formula_150 وجود داشته باشد که ایزومرفیسم میان ساختار تولید شده توسط formula_146 در formula_149 و ساختار تولید شده توسط formula_157 در formula_150 در میان آن‌ها باشد، آن‌گاه formula_159.
به بیان دقیق‌تر، موارد زیر با هم معادلند:اگر تئوریِ formula_1 دو شرط جبری زیر را برآورد، آن‌گاه سورها را حذف می‌کند:
موارد زیر با هم معادلند (تعاریف در ادامه آمده‌است).
تئوریِ formula_1 را «کامل» می‌خوانند هرگاه هر جمله‌ای یا نقیضِ آن از formula_1 نتیجه شود. اگر formula_1 کامل باشد و formula_23 آن‌گاه formula_1 با تئوریِ کاملِ formula_273 هم‌ارز است. یعنی هر ویژگی‌ای که در یکی از مدلهای formula_1 برقرار باشد، در همهٔ مدل‌های دیگر نیز برقرار خواهد بود. به بیان دیگر، اگر formula_1 کامل باشد و formula_32 آن‌گاه formula_277؛ یعنی formula_95 و formula_96 هم‌ارز مقدماتی هستند.
هرگاه formula_1 کامل باشد، می‌توان مدلی بسیار بزرگ از آن را برای کار اندر آن برگزید و و آن را مدل «هیولا» خواند و همهٔ مدل‌ها را زیرمدلی از مدل هیولا دانست. نیز بررسی تایپ‌ها عموماً در تئوری‌های کامل و در مدل هیولا صورت می‌پذیرد.
اگر formula_1 دارای حذف سور باشد و مدلی داشته باشد که در سایر مدل‌های دیگر، مقدماتی نشانده شود، آنگاه formula_1 کامل است. کامل بودن بسیاری از تئوریها، مانند میدان‌های بستهٔ حقیقی و میدان‌های بستهٔ جبری، با کمک این نکته ثابت می‌شود.
همان‌گونه که در تعریف گفتیم، تئوریِ formula_1 دارای حذف سور است اگر و تنها اگر برای هر مدل formula_23 و هر زیرساختارِ formula_24 تئوریِ formula_286 یک تئوری کامل باشد.
بسیاری از تئوری‌ها کامل نیستند ولی ویژگی‌ای را نزدیک به کامل‌بودن دارا هستند که آن را «مدل‌کامل» بودن می‌خوانند.
تئوریِ formula_1 را مدل‌ْکامل می‌خوانند هرگاه برای هر مدلِ formula_23 تئوریِ formula_289 در زبان formula_290 یک تئوری کامل باشد. منظور از formula_291 مجموعهٔ همهٔ جمله‌های بدون سورِ درست در formula_95 است و منظور از formula_290 زبانی است که با افزودن ثابت برای عنصرِ formula_95 به زبانِ تئوریِ formula_1 به دست آمده باشد. به بیان دیگر، تئوریِ formula_1 مدل‌کامل است اگروتنهااگر هر مدل از آن بستهٔ وجودی باشد؛ یعنی اگر formula_23 و formula_43 یک فرمول بدون سور باشد و formula_299 آن گاه برای هر formula_261 داریم formula_301. نیز به بیان دیگر، تئوریِ formula_1 مدل‌کامل است اگروتنهاگر برای هر دو مدلِ formula_299 داشته باشیم formula_34؛ یعنی formula_95 زیرمدلی مقدماتی از formula_96 باشد. تئوریِ formula_1 مدل‌کامل است اگروتنهااگر هر فرمولی در آن معادلی با فقط سور وجودی داشته باشد. به بیان دیگر هر فرمول با متغیرِ آزادِ formula_308 معادلی به گونهٔ formula_309 داشته باشد. که در آن formula_72 فرمولی بدون سور است.
از آنجا که «تایپ» مفهومی مقدماتی است (یعنی هر تایپ در یک گسترش مقدماتی برآورده می‌شود) به مدل‌کامل بودن یک تئوری برای بررسی تایپ‌های آن در مدل هیولا نیاز است. اگر formula_1 حذف سور داشته باشد، مدل‌ْکامل است.
برای بررسی راحت‌ترِ ویژگی‌های تئوری‌های ناکامل، می‌توان «همپای مدلی» آن‌ها را در صورت وجود بررسی کرد که مدل‌ْکامل است. تئوریِ formula_312 را «همپای مدلی» تئوری formula_1 می‌خوانیم هرگاه formula_312 مدل‌ْکامل باشد و formula_315. منظور از formula_266 مجموعهٔ همهٔ جمله‌های با سور عمومی است که از formula_1 نتیجه می‌شوند. به بیان دیگر، formula_315 یعنی هر مدل از formula_1 را بتوان به یک مدل از formula_312 گستراند و هر مدل از formula_312 را به یک مدل از formula_1. همپای مدلی یک تئوری لزوماً همیشه موجود نیست، ولی در صورت وجود، یکتاست. تئوریِ formula_1 دارای همپای مدلی است، اگروتنهااگر کلاس همهٔ مدل‌های بسته‌ٔوجودیِ آن، کلاسی مقدماتی باشد. در واقع همپای مدلیِ formula_1، تئوری‌ِ این کلاس مقدماتی است. مدلِ formula_23 را «بستهٔ وجودی» می‌خوانند هرگاه برای هر formula_299 و هر فرمولِ بدون سورِ formula_327 که در آن formula_261 داشته باشیم formula_329.
اگر formula_312 همپای مدلیِ formula_1 باشد و formula_1 دارای «ویژگی پیوندی» (همان گونه که در زیر آمده‌است) باشد، آن‌گاه formula_312 را «مکمل مدلیِ» formula_1 می‌خوانیم. مکمل‌ِ مدلی یک تئوری به داشتن حذف سور نزدیک است؛ از آن رو که مکملِ مدلیِ یک تئوری با اصل‌بندیِ جهانی (formula_335) دارای حذف سور است.
نیز formula_312 مکمل مدلیِ formula_1 است. اگروتنهااگر همپای مدلی formula_1 باشد و برای هر formula_23 تئوریِ formula_340 در زبان formula_290 یک تئوری کامل باشد.
تئوریِ formula_1 دارای «ویژگیِ پیوندی» است. هرگاه هر دو مدل آن را که دارای زیرمدلی مشترک باشند بتوان به هم پیوند زد. به بیان دقیق‌تر هرگاه formula_343 سه مدلِ formula_1 باشند و formula_345 و formula_346 دو نشاندن باشند، آنگاه یک مدلِ formula_96 از formula_1 و دو نشاندنِ formula_349 و formula_350 موجود باشند که formula_351.
ویژگی پیوندی با حذف سور رابطهٔ نزدیکی دارد. نخست توجه کنید که «پیوند» در حالت مقدماتی همیشه ممکن است؛ یعنی اگر formula_343 سه ساختار باشند و formula_353 برای formula_354 دو «نشاندن مقدماتی» باشند، آنگاه یک ساختارِ formula_96 به همراه نشاندن‌های مقدماتی formula_356 پیدا می‌شوند که formula_351. از آنجا که در حضور حذف سور، هر زیرمدلی، زیرمدلی مقدماتی است رابطهٔ میان ویژگی پیوندی و حذف سور توجیه شدنی است.
در واقع موارد زیر با هم معادلند: