مسئله مقدار مرزی
مسئله مقدار مرزی عنوان دسته‌ای از مسائل ریاضیات است که در آن‌ها به حل معادلات دیفرانسیلی می‌پردازند که پاسخ معادله می‌باید در نقاط مرزیِ یک مجموعهٔ مفروض، شرایط مشخص‌شده را دارا باشد. جواب یک مسئله مقدار مرزی، پاسخی از معادله‌ی دیفرانسیل است که شرایط مرزی مسئله را ارضا می‌کند. مسائل مقدار مرزی در شاخه‌های مختلفی از فیزیک ظاهر می‌شوند. مسائلی شامل معادلات موج، مثلاً یافتن مدهای نرمال اغلب به عنوان یک مسئله‌ی مقدار مرزی شناخته می‌شود. دسته‌ی بزرگی از مسائل مهم مقدار مرزی، مسئله‌های اشتورم- لیوویل هستند.  مثالی از یک مسئلهٔ مقدار مرزی به صورت
را در نظر بگیرید که هدف حل آن برای یافتن تابع مجهول formula_2 با استفاده از شرایط اولیهٔ است. بدون داشتن شرایط مرزی، جواب عمومی معادله به صورت زیر قابل محاسبه است: با در نظر گرفتن شرط formula_5
که نتیجه می‌دهد formula_7؛ و با توجه به شرط formula_8 داریم:
پس formula_10. همانطور که مشخص است، با اعمال شرایط مرزی از جواب عمومی به یک جواب اختصاصی رسیدیم که در این مورد به صورت زیر خواهد بود:
معادلات دیفرانسیل، شرایط مرزی به آن دسته از شرایطی گفته می‌شود که در یک مسئله مقدار مرزی اعمال می‌شود.
شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل به آن دسته از شرایطی اطلاق می‌شود که روی پاسخ معادله در مرزها اعمال می‌شود.
شرط مرزی دیریکله یا شرط مرزی نوع اول ، دسته‌ای از شرایط مرزی است که به افتخار دیریکله هنگامی که این شرط را بر معادلات دیفرانسیل جزیی و معادلات دیفرانسیل عادی اعمال کرد تا جواب مسئله را پیدا کند، نام‌گذاری شده است. در علوم کاربردی به شرط مرزی دیریکله، شرط مرزی ثابت نیز گفته می‌شود.
formula_12 در ناحیه formula_13
formula_14 روی ناحیه formula_15
معادله‌ی دیفرانسیل عادی زیر را در نظر بگیرید.
formula_16
شرط مرزی دیریکله برای این معادله برای formula_17 به فرم زیر است.
formula_18 formula_19
که formula_20 و formula_21 مقادیر ثابت اند.
معادله‌ی دیفرانسیل جزئی زیر را در نظر بگیرید.
formula_22
که در این‌جا formula_23 عملگر لاپلاسین است. شرط مرزی دیریکله روی ناحیه‌ی formula_24 به فرم زیر است.
formula_25
f(x) تابعی است که روی formula_15 تعریف می‌شود.
شرط مرزی نویمن، دسته‌ی دیگری از شرایط مرزی است که پس از نویمن به خاطر تلاش‌هایش برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی و عادی با اعمال این شرط بر روی مشتق پاسخ نام‌گذاری شده است. برای معادله‌ی دیفرانسیل عادی formula_27 شرط مرزی نویمن در بازه‌ی [a,b] به فرم formula_28 و formula_29است، که formula_30 و formula_31 مقادیر ثابت اند.
در معادله‌ی دیفرانسیل جزئی formula_32 که formula_23 عملگر لاپلاسین است، شرط مرزی نویمن به صورت زیر است.
formula_34 formula_35
که n بردار نرمال سطح formula_15 و f(x) تابع اسکالر است.مشتق جهتی طبق رابطه‌ی زیر تعریف می‌شود:
formula_37
که formula_38 عملگر گرادیان است.
شرط مرزی روبین پس از تلاش‌های ویکتور گوستاو روبین، برای حل معادلات دیفرانسیل عادی و جزئی با شرط مرزی‌ای که ترکیب خطی از پاسخ و مشتق پاسخ است، به نام روبین نام‌گذاری کرده‌اند. شرط مرزی روبین ترکیبی از شرط مرزی دیریکله و شرط مرزی نیومن است. به شرط مرزی روبین، شرط مرزی امپدانس نیز گفته می‌شود. این نام‌گذاری به علت کاربردهای این شرط در الکترومغناطیس صورت گرفته است.
اگر formula_24 ناحیه‌ی تعریف معادله‌ی دیفرانسیل formula_40و formula_41 مرز آن باشد، شرط مرزی روبین عبارت است از:
formula_42
ثوابت a و b غیرصفر هستند و تابع g روی formula_41 تعریف شده است. u پاسخی از معادله‌ی دیفرانسیل روی formula_24 است و formula_45 مشتق جهتی روی formula_15 است. درحالت عمومی a و b می‌توانند تابع باشند. در یک بعد formula_47، شرط مرزی روبین به فرم زیر درمی‌آید.
formula_48 formula_49 مسائل مقدار مرزی در معادلات دیفرانسیل عادی به معادلات انتگرال فردهلم منجر می‌شود . معادله‌ی دیفرانسیل عادی زیر را در نظر بگیرید. می‌خواهیم این معادله را به همراه شرایط مرزی‌اش به یک معادله‌ی انتگرال تبدیل کنیم.
formula_50
formula_51
با انتگرال‌گیری از طرفین معادله‌ی بالا از a تاx و استفاده از شرط مرزیformula_52 مشاهده می‌کنیم
formula_53
در این‌جا C ثابت انتگرال‌گیری است. با دوباره انتگرال گرفتن از رابطه‌ی بالا داریم:
formula_54
با تبدیل انتگرال دوگانه بالا به انتگرال یگانه داریم:
formula_55
ثابت C در این معادله می‌تواند با استفاده از شرط مرزی formula_56 تعیین شود. در نهایت فرم معادله انتگرال فردهلم برای مسئله‌ی مقدار مرزی به شکل زیر است.
formula_57
که این معادله را میتوان به فرم formula_58 نوشت.در این رابطه تابع f(x) به شکل زیر است:
formula_59
و formula_60 هسته‌ی معادله انتگرال به صورت زیر تعریف می‌شود.
formula_61 formula_62 formula_63 formula_64معادلات دیفرانسیل معادلات انتگرالی