لگاریتم
لُگاریتم یک عدد در یک پایه، برابر با توانی از پایه‌است که آن عدد را می‌دهد. برای نمونه لگاریتم ۱۰۰۰ در پایهٔ ۱۰، برابر با ۳ است. چون ۱۰ × ۱۰ × ۱۰ = ۱۰۰۰ یا به بیان کلی‌تر اگر" x = b" باشد آنگاه لگاریتم "x" در پایهٔ "b" برابر با "y" خواهد بود و به زبان ریاضی آن را به صورت formula_1 نمایش می‌دهیم. مانند: formula_2
لگاریتم نخستین بار از سوی جان نپر در اوایل سده ۱۷ میلادی به عنوان وسیله‌ای برای آسان‌تر کردن محاسبات، معرفی شد؛ که به سرعت از سوی دانشمندان و مهندسان پذیرفته شد و برای آسان‌تر کردن و سریع‌تر کردن محاسبه جدول‌های لگاریتم اعشاری و خطکش‌های لغزنده ایجاد شدند و مورد استفاده قرار گرفتند. تمامی این ابزارها بر پایهٔ این مفهوم که «لگاریتم حاصل ضرب برابر است با مجموع لگاریتم‌ها»، ساخته شده بودند:
مفهوم امروزی لگاریتم از تلاش‌های لئونارد اویلر در قرن ۱۸ گرفته شده‌است؛ او توانست مفهوم لگاریتم را با مفهوم تابع نمایی پیوند دهد.
لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را لگاریتم اعشاری می‌نامند که کاربرد بسیار زیادی در مهندسی دارد. لگاریتم در مبنای ثابت e یا عدد نپر ≈ ۲٫۷۱۸ را لگاریتم طبیعی می‌نامند. این لگاریتم در ریاضیات محض به ویژه حساب دیفرانسیل و انتگرال بسیار کاربرد دارد. لگاریتم دو دویی نیز در مبنای ۲ نوشته می‌شود و کاربرد زیادی در علوم رایانه دارد.
به کمک مقیاس لگاریتمی، می‌توان اندازه‌های بسیار بزرگ را در ابعاد بسیار کوچکتری نشان داد برای نمونه دسی‌بل یکایی لگاریتمی است که برای نشان دادن فشار صدا و نسبت ولتاژ کاربرد دارد. در شیمی نیز پ هاش که معیاری برای نشان دادن میزان اسیدی بودن مایعات است در مقیاس لگاریتمی بیان می‌شود. همچنین لگاریتم در نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی و در برخی شکل‌های هندسی مانند برخالها کاربرد دارد. از دیگر کاربردهای آن می‌توان به فاصله در موسیقی و رابطه‌های شمارش اعداد اول اشاره کردهمچنین در محاسبه زمان اجرای الگوریتم‌های برنامه‌های کامپیوتری استفاده می‌شود.
تابع توان وارون تابع لگاریتم است و لگاریتم مختلط، تابع وارون تابع نمایی به کار رفته در اعداد مختلط است. لگاریتم گسسته نیز در رمزنگاری کلید عمومی استفاده می‌شود.
انگیزهٔ ساخت لگاریتم، داشتن وارون تابع توان بوده‌است. برای نمونه، توان سوم ۲، ۸ است چون ۸ = ۲ × ۲ × ۲ = ۲ پس لگاریتم ۸ در پایهٔ ۲، ۳ می‌شود.
توان سوم عددی مانند "b" برابر است با ۳ بار ضرب "b" در خودش. حال اگر "b" به توان یک عدد طبیعی مانند "n" برسد به معنی "n" بار ضرب کردن "b" در خودش است که به صورت زیر نمایش می‌دهیم
در صورتی که "n" عدد طبیعی نباشد، آنگاه "b" جواب دیگری خواهد داشت. مانند ۱- که "b" برابر معکوس "b" است. برای جزئیات بیشتر، شامل فرمول توان را ببینید یا یک رساله مقدماتی.
لگاریتم عددی مانند "y" در پایهٔ "b" عبارت است از یافتن عددی که اگر "b" به توان آن عدد برسد برابر با "y" شود. به عبارت دیگر جواب "x" معادلهٔ زیر برابر با لگاریتم "y" در پایهٔ "b" خواهد بود.
پایهٔ "b" باید یک عدد حقیقی مثبت و نامساوی ۱ باشد و "y" نیز باید یک عدد مثبت باشد.
برای نمونه ۴ = (۱۶) log چون ۱۶ = ۲ × ۲ × ۲ × ۲ = ۲ برای توان‌های منفی نیز لگاریتم معتبر است مانند:
چون
(۱۵۰) log تقریباً برابر است با ۲٫۱۷۶ عددی میان ۲ و ۳ چون ۱۵۰ خود عددی است میان ۱۰۰ = ۱۰ و ۱۰۰۰ = ۱۰ همچنین در هر پایه‌ای formula_10 و formula_11 چون به ترتیب: formula_12 و formula_13 است.
رابطه‌های مختلفی به عنوان قوانین لگاریتم وجود دارند که می‌توانند میان فرمول‌های لگاریتمی رابطه برقرار کنند.
لگاریتم حاصل ضرب چند عدد برابر است با مجموع لگاریتم‌های تک تک آن عددها. لگاریتم نسبت دو عدد (تقسیم) برابر است با تفاضل لگاریتم آن دو عدد. لگاریتم توان "p" ام یک عدد برابر است با "p" برابر لگاریتم آن عدد. لگاریتم ریشهٔ "p" ام یک عدد برابر است با لگاریتم آن عدد تقسیم بر "p". جدول زیر قوانین لگاریتم را همراه با یک نمونه نشان داده‌است:
می‌توان formula_14 را به صورت غیرمستقیم با گرفتن لگاریتم "x" و "b" در یک پایهٔ دلخواه مانند "k" بدست آورد، به این ترتیب که:
بیشتر ماشین حساب‌هایی که در دسترس اند لگاریتم را تنها در مبنای ۱۰ و عدد نپر محاسبه می‌کنند و لگاریتم در پایه‌های دیگر را به کمک رابطهٔ بالا محاسبه می‌کنند::
همچنین اگر عددی مانند "x" و مقدار لگاریتم آن را در یک مبنای نامشخص "b" داشته باشیم formula_17 حال می‌توان مبنای نامشخص "b" را به ترتیب زیر محاسبه کرد:
پایه‌های ویژهٔ لگاریتم عبارتند از ۱۰، ۲ و عدد e (عدد گنگی تقریباً برابر با ۲٫۷۱۸۲۸) در آنالیز ریاضی لگاریتم در پایهٔ عدد e بسیار کاربرد دارد، لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان بوسیلهٔ ماشین حساب‌های دستی که در اختیار است به آسانی محاسبه کرد:
لگاریتم در پایهٔ ۱۰ را می‌توان به آسانی با شمردن تعداد رقمهای یک عدد بدست آورد. برای نمونه (۱۴۳۰) log تقریباً برابر است با ۳٫۱۵ چون ۱۴۳۰ چهار رقم دارد پس لگاریتم آن در پایهٔ ۱۰ باید عددی میان ۳ و ۴ باشد. لگاریتم در پایهٔ ۲ در علوم رایانه مورد استفاده قرار می‌گیرد چون در آن از دستگاه اعداد دودویی استفاده می‌شود.
جدولی که در ادامه قرار داده شده‌است علامت‌هایی که برای نشان دادن تابع لگاریتم کاربرد دارند و جایی که هر نوع لگاریتم مورد استفاده قرار می‌گیرد را نشان داده‌است. در بسیاری موارد اگر بتوان از روی نوشته تشخیص داد تنها از نماد لگاریتم استفاده می‌کنند و از نوشتن پایهٔ آن خودداری می‌کنند. در جدول زیر نمادی ستون «نماد ISO» مربوط به پیشنهادی است که از سوی سازمان بین‌المللی استانداردسازی داده شده‌است. (ISO ۳۱–۱۱)  ویراسنا، ریاضی‌دان هندی از کسانی بود که با مفهومی به نام "ardhaccheda" کار کرد. "ardhaccheda" یعنی تعداد دفعاتی که می‌توان ۲ را نصف کرد. برای نمونه برای توان‌های دقیق ۲ این کار برابر با لگاریتم گرفتن در مبنای ۲ بود؛ وی همچنین لگاریتم در پایهٔ دیگر اعداد صحیح مانند لگاریتم در پایهٔ ۳ ("trakacheda") و در پایهٔ ۴ ("caturthacheda") را نیز معرفی کرد. مایکل استیفل در سال ۱۵۴۴ میلادی در نورنبرگ "Arithmetica integra" را منتشر کرد، در این نوشته جدولی از اعداد صحیح و توان‌های ۲ داده شده بود، این جدول به عنوان نسخهٔ اولیهٔ جدول لگاریتم شمرده می‌شود.
روش لگاریتم‌گیری در سال ۱۶۱۴ از سوی جان نپر در کتابی با عنوان "Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio" (توصیفی بر قانون شگفت‌انگیز لگاریتم) ارائه شد. همچنین ژو بورجی نیز جداگانه روش لگاریتم‌گیری را پیدا کرده بود اما آن را شش سال پس از نپر منتشر کرد.
نپر، با استفاده از روش تقسیم‌های متوالی توانسته بود عبارت formula_23 را به ازای "L"های میان ۱ تا ۱۰۰ محاسبه کند. جواب این عبارت برای ۱۰۰ = "L" تقریباً برابر است با ۰٫۹۹۹۹۹ = ۱ - ۱۰ و ۰٫۹۹۵ ≈ ۰٫۹۹. این محاسبات که ۲۰ سال طول کشید، باعث شد تا او بتواند به ازای هر عدد "N" در بازهٔ ۵ تا ۱۰ میلیون، بتواند عدد "L" را پیدا کند که در رابطهٔ زیر صدق کند:
نپر ابتدا نام «"عدد ساختگی"» را بر "L" نهاد ولی پس از مدتی واژهٔ «"لگاریتم"» "logarithm" را معرفی کرد و آن را بر عددی گذاشت که نمایندهٔ یک نسبت است: واژهٔ "λόγος" برابر "logos" به معنی «نسبت» است و واژهٔ "ἀριθμός" برابر "arithmos" به معنی «عدد» است. بوسیلهٔ عبارت زیر می‌توان مفهوم پیشین لگاریتم را با مفهوم امروزی لگاریتم طبیعی مرتبط کرد:
با تقریب خوبی داریم:
این دست‌آورد خیلی زود مورد تحسین گستردهٔ دیگران قرار گرفت، به همین دلیل با تلاش دانشمندانی چون بوناونتورا کاوالیری (Bonaventura Cavalieri) از ایتالیا، ادموند ونگت (Edmund Wingate) از فرانسه، زو فنگزوئو (Xue Fengzuo) از چین و… مفهوم لگاریتم همه جا فراگیر شد. در سال ۱۶۴۷ گرگوآر دو سن-ونسان توانست مفهوم لگاریتم را با یک چهارم هذلولی مرتبط کند، با فرض آنکه سطح formula_27 زیر منحنی هذلولی به ازای ۱ = x تا t در رابطهٔ زیر صدق می‌کند:
لگاریتم طبیعی اولین بار از سوی نیکولاس مرکاتور در مقالهٔ "Logarithmotechnia" که در سال ۱۶۶۸ منتشر کرد، توضیح داده شد. البته پیش از او جان اسپیدل که یک معلم ریاضی بود در سال ۱۶۱۹ جدولی از لگاریتم طبیعی را گردآوری کرده بود. در حدود سال ۱۷۳۰ لئونارد اویلر تابع نمایی و لگاریتم طبیعی را به گونهٔ زیر تعریف کرد:
همچنین اویلر نشان داد که این دو تابع وارون یکدیگرند.
با ساده‌سازی محاسبات پیچیده، از لگاریتم می‌توان در دانش پیشرفته مانند اخترشناسی، نقشه‌برداری، هوانوردی و… کمک گرفت. پیر سیمون لاپلاس دربارهٔ لگاریتم گفته‌است: وسیلهٔ کلیدی که پیش از در دسترس قرار گرفتن ماشین حساب و رایانه برای محاسبهٔ لگاریتم از آن استفاده می‌شد و بوسیلهٔ آن بود که ارزش لگاریتم روشن شد، "جدول لگاریتم" بود. چنین جدولی برای اولین بار بوسیلهٔ هنری بریگز در سال ۱۶۱۷ بلافاصله پس از ابتکار نپر ایجاد شد. پس از آن جدول‌های وسیع تر و دقیق تری نوشته شد. در این جدول‌ها مقدار formula_31 و formula_32 برای هر عدد x در یک بازهٔ مشخص با دقت مشخص و برای پایه‌های مشخص (معمولاً پایهٔ ۱۰) نوشته شده بود. برای نمونه در اولین جدول بریگز، لگاریتم طبیعی اعداد صحیح میان ۱ تا ۱۰۰۰ با دقت ۸ رقم اعشار نوشته شده بود. از آنجایی که تابع formula_33 وارون formula_31 است به آن پادلگاریتم می‌گویند. لگاریتم ضرب و تقسیم دو عدد را همیشه به صورت جمع و تفاضل لگاریتم‌های آن‌ها نشان می‌دادند. ضرب و تقسیم عبارت داخل لگاریتم را می‌توان بوسیلهٔ تابع پادلگاریتم یا خود جدول بدست آورد:
و
زمانی که رایانه در دسترس نیست، جستجوی جدول‌های لگاریتم و استفاده از جمع و تفریق لگاریتم‌ها بسیار آسان‌تر از روش‌های ساده‌سازی مانند روش "Prosthaphaeresis" است. روش یاد شده بر پایهٔ اتحادهای مثلثاتی است. شمارش توان‌ها و ریشه‌های اعداد به انجام عمل ضرب و تقسیم و جستجوی جدول به ترتیب زیر کاهش یافته‌است:
و
در بسیاری از جدول‌ها برای محاسبهٔ لگاریتم بخش اعشاری و بخش صحیح را از یکدیگر جدا می‌کردند مانند نمونهٔ زیر:
وسیلهٔ دیگری که برای شمارش لگاریتم کاربرد داشت، خط‌کش لغزان بود.
مدت کوتاهی پس از کشف لگاریتم از سوی نپر، ادموند گونتر خط‌کشی (معیاری) برای بدست آوردن لگاریتم ایجاد کرد که لغزان نبود و به کمک آن می‌شد لگاریتم‌ها را بدست آورد. پس از او ویلیام اوترد روش پیشرفته‌تری را پیشنهاد کرد که دارای یک جفت لگاریتم‌هایی بود که در دو لبهٔ خط‌کش قرار داده شده بود و با لغزاندن دو لبهٔ خط‌کش می‌شد لگاریتم مورد نظر را به دست آورد. تا سال ۱۹۷۰ این خط‌کش وسیلهٔ محاسبه‌گر مهمی برای مهندسان و دانشمندان بود؛ چون به کمک آن، با دقت کافی و بسیار سریع تر از جدول‌ها، می‌شد لگاریتم عدد را به دست آورد.
مطالعهٔ بیشتر در بحث لگاریتم نیازمند مطرح کردن مفهوم "تابع" است. یک تابع مانند یک قانون عمل می‌کند که اگر یک عدد ورودی داشته باشد، در مقابل یک خروجی تولید می‌کند. مانند تابع توان "x" ام عدد حقیقی "b" که به صورت زیر نوشته می‌شود:
برای درک تابع لگاریتم باید نشان داد که معادلهٔ زیر:
دارای راه حل و جواب یکتای "x" است به شرطی که y بزرگتر از صفر باشد و "b" بزرگتر از صفر و نامساوی ۱ باشد. برای اثبات این مطلب باید از قضیهٔ مقدار میانی در حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد. این قضیه نشان می‌دهد که اگر تابع پیوسته‌ای دو مقدار "m" و "n" را تولید کند، هر مقداری میان این دو عدد را نیز به دلیل پیوستگی می‌تواند تولید کند. یک تابع را زمانی پیوسته می‌دانیم که در هیچ نقطه‌ای ار آن «پرش» نداشته باشیم و بدون بلندکردن قلم از روی کاغذ بتوانیم خم آن را بکشیم. می‌توان نشان داد که در تابع formula_42 نیز همین ویژگی وجود دارد، برای هر y> ۰ که میان دو مقدار formula_43 و formula_44 به ازای x و x قرار داشته باشد طبق قضیهٔ مقدار میانی می‌توان یک "x" پیدا کرد که formula_45 باشد؛ بنابراین برای معادلهٔ formula_46 یک جواب پیدا شد که می‌توان گفت تنها جواب این معادله‌است چون تابع f برای b> ۱ اکیداً صعودی و برای b میان ۰ و ۱ اکیداً نزولی است.
جواب پیدا شده برای این معادله همان لگاریتم "y" در پایهٔ "b" است.
اگر قرینه تابع formula_47 برابر با formula_48 باشد نسبت به محور yها قرینه هم هستند.
اگر قرینه تابع formula_47 برابر با formula_50 باشد نسبت به محور xها قرینه هم هستند.
لگاریتم تابع توانی برای هر عدد "x" به صورت زیر نوشته می‌شود:
اگر پایهٔ توان و لگاریتم هر دو "b" باشد جواب نهایی رابطهٔ بالا قطعاً خود "x" خواهد بود. همچنین اگر عدد مثبت "y" را داشته باشیم، رابطهٔ زیر نیز برقرار خواهد بود:
بنابراین در هر دو صورت می‌توان دو تابع توانی و لگاریتم را ترکیب کرد و دوباره به مقدار اولیه رسید. پس لگاریتم در پایهٔ "b" تابع وارون است.
دو تابع وارون همواره با یکدیگر ارتباط دارند به این ترتیب که خم‌های آن‌ها قرینهٔ یکدیگر نسبت به خط y = x است (مانند شکل) همچنین در تابع formula_31 اگر "x" به سمت مثبت بی‌نهایت برود مقدار تابع لگاریتم نیز به ازای "b> ۱" به سمت مثبت بی‌نهایت خواهد رفت در این حال می‌گوییم تابع formula_31 اکیداً صعودی است. به ازای "b  ۱" به سمت منفی بی‌نهایت می‌رود و برای "b مشتق formula_58 برابر با formula_59 است، با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی و قاعدهٔ زنجیری به این نتیجه می‌رسیم که مشتق formula_60 برابر است با:
که این شیب خط مماس در نقطهٔ x بر خم formula_60 است که برابر است با formula_63. همچنین مشتق formula_64 برابر با formula_65 است که به این معنی است که پادمشتق formula_65 همان formula_67 است. اگر به جای "x" حالت کلی formula_68 را در نظر بگیریم، در این حالت خواهیم داشت:
گاهی برای بدست آوردن مشتق تابع" f" از formula_70 استفاده می‌کنند که به این کار مشتق‌گیری لگاریتمی می‌گویند. پادمشتق لگاریتم طبیعی formula_64 برابر است با:
رابطه‌های مرتبط با دیگر پایه‌های لگاریتم با استفاده از فرمول لگاریتم طبیعی که در بالا گفته شد بدست می‌آید.
لگاریتم طبیعی "t" برابر است با انتگرال formula_73 از ۱ تا "t":
به عبارت دیگر formula_75 برابر است با سطح میان محور "x"ها و نمودار تابع formula_76 از ۱ = x تا formula_77 (شکل مقابل). این مطلب، از نتایج قضیهٔ اساسی حسابان و اینکه مشتق formula_78، formula_76 است، می‌باشد. عبارت سمت راست این رابطه را می‌توان به عنوان تعریفی برای لگاریتم طبیعی در نظر گرفت. فرمول‌های ضرب و توان لگاریتمی را می‌توان از این تعریف نتیجه گرفت. برای نمونه formula_80 را می‌توان به صورت زیر نتیجه گرفت:
بخش نخست تساوی انتگرال را به دو بخش جدا می‌شکند و بخش دوم تساوی، تغییر متغیر می‌دهد (formula_82). در نگاره‌ای که در پایین نشان داده شده‌است، سطح زیر منحنی که برابر با انتگرال بالا است به دو ناحیهٔ آبی و زرد تقسیم شده‌است. در قسمت آبی همان‌طور که خم در جهت "x" کشیده شده ("t" برابر شده) به همان اندازه هم در جهت عمودی دچار جمع شدگی شده‌است بنابراین سطح زیر منحنی سمت راست که انتگرال "f"("x") = ۱/"x" از ۱ تا "u" است با سطح زیر آن از "t" تا "tu" برابر است. پس روی شکل سمت چپ نشان داده شد که formula_83 یا سطح زیر منحنی برابر است با مجموع formula_84 و formula_85 (سطح زرد و آبی)
رابطهٔ توان formula_86 را نیز به همین ترتیب می‌توان اثبات کرد:
در تساوی دوم تغییر متغیر formula_88 را داریم.
مجموع وارون‌های اعداد طبیعی:
که سری هارمونی نام دارد، به لگاریتم طبیعی بسیار نزدیک است: هرگاه "n" به سمت بی‌نهایت برود، تفاضل زیر:
به عددی معروف به ثابت اویلر-مسکرونی، همگرا می‌شود. این ارتباط در تحلیل عملکرد الگوریتم‌هایی مانند مرتب‌سازی سریع کمک می‌کند.
در بعضی موارد مانند ۳ = (۱۰۰۰) log محاسبهٔ لگاریتم بسیار آسان است. در حالت کلی لگاریتم را به کمک سری‌های توانی یا ابزارهای محاسباتی-هندسی یا به کمک بازیابی جدول لگاریتم که پیش از این محاسبه شده و دقت کافی دارد، محاسبه می‌کنند. همچنین برای محاسبهٔ formula_91 می‌توان از الگوریتم لگاریتم‌های دودویی که به صورت بازگشتی و بر پایهٔ مربع‌های پشت هم از "x" عمل می‌کند استفاده کرد:
روش تقریبی نیوتن که یک روش تکرار شونده برای حل تقریبی معادلات است، می‌تواند برای بدست آوردن مقدار لگاریتم مفید باشد؛ چون تابع وارون لگاریتم، تابع نمایی با تقریب خوبی قابل محاسبه‌است. در صورتی که تنها ابزار در دسترس ابزار جمع و اعداد پایهٔ دو باشد، می‌توان با جستجو در میان جدول CORDIC یا «روش رقم به رقم» روش‌های مناسبی برای محاسبهٔ لگاریتم پیدا کرد.
برای هر عدد حقیقی "z" که میان کوچکتر از ۲ و بزرگتر از صفر است رابطهٔ زیر برقرار است:
با استفاده از روابط زیر formula_94 را می‌توان دقیق‌تر بدست آورد:
برای نمونه، تقریب سوم به ازای "z" = ۱٫۵ نتیجه برابر با ۰٫۴۱۶۷ خواهد بود که تقریباً ۰٫۱۱ بیشتر از ۰٫۴۰۵۴۶۵ = (۱٫۵) ln است. در حساب دیفرانسیل غیر پیشرفته، formula_94 را به عنوان حد این نوع سری‌ها در نظر می‌گیرند؛ که به آن بسط تیلور لگاریتم طبیعی به ازای "z" = ۱ می‌گویند.
سری دیگر برپایهٔ تابع وارون تانژانت هذلولوی (وارون تانژانت هیپربولیک) است، این سری برای اعداد مختلط "z" با بخش حقیقی مثبت است که به صورت زیر نوشته می‌شود:
با استفاده از مفهوم جمع (سیگما) می‌توان این سری را به گونهٔ دیگری نوشت:
این سری از سری تیلور که در بالا گفته شد گرفته می‌شود ولی خیلی زودتر از تیلور همگرا می‌شود. به ویژه زمانی که "z" عددی نزدیک ۱ باشد. برای نمونه برای "z" = ۱٫۵ سه جملهٔ اول سری دوم با خطایی برابر با ۱۰ × ۳ تقریباً می‌توان گفت تقریباً برابر با (۱٫۵)ln است. اینکه به ازای "z"های نزدیک به ۱ سری زودتر همگرا می‌شود را می‌توان به کمک رابطهٔ زیر نشان داد:
فرض کنید "تقریباً" formula_99 و رابطهٔ زیر را نیز داریم:
هرچه مقدار لگاریتم "z" دقیق‌تر باشد باید formula_102 به صفر نزدیک تر باشد در نتیجه A به ۱ نزدیک‌تر است. مقدار "A" به کمک سری‌های نمایی محاسبه می‌شود که این سری‌ها، اگر "y" بزرگ نباشد، خیلی زود همگرا می‌گردند.
برای آسان‌تر کردن محاسبهٔ formula_94 می‌توان آن را به مقدارهای کوچکتر خُرد کرد به این ترتیب که بگوییم a × 10 = z و لگاریتم آن را به صورت formula_104 بنویسیم.
از روش مشابهی می‌توان استفاده کرد تا به کمک آن لگاریتم اعداد صحیح را بدست آورد:
اگر لگاریتم عدد بزرگ "n" معلوم باشد، می‌توان لگاریتم "n" + ۱ را با همگرایی سریع سری بالا بدست آورد.
با کمک میانگین حسابی-هندسی می‌توان با دقت خوبی لگاریتم طبیعی عددی مانند "x" را بدست آورد. میزان تقریب آن برابر با formula_106 است. این رابطه از سوی ریاضیدان آلمانی کارل فریدریش گاوس پیشنهاد شد.
در اینجا "M" نماد میانگین حسابی-هندسی است که از تکرار محاسبهٔ میانگین حسابی و ریشهٔ دوم ضرب دو عدد (میانگین هندسی) بدست می‌آید. همچنین "m" از راه انتخابی مانند زیر بدست می‌آید:
هم میانگین حسابی-هندسی و هم ثابت‌های π و (۲)ln به کمک سری‌هایی که زود همگرا می‌شوند قابل محاسبه‌اند.
مفهوم لگاریتم کاربردهای زیادی در بیرون و درون دنیای ریاضی دارد. برخی از پیشامدهای لگاریتم در طبیعت، بیشتر به مفهوم نامتغیر مقیاس مرتبط است. برای نمونه هر خانهٔ پوستهٔ بدن آبزی ناتیلوس تقریباً رونوشتی از خانهٔ کناری آن است که با یک ضریب ثابت مقیاس یافته‌است و یک مارپیچ لگاریتمی را ساخته‌است. قانون بنفورد در توزیع شمارگان (رقم‌ها) را هم می‌توان با مفهوم نامتغیر مقیاس توضیح داد. همچنین مفهوم لگاریتم به بحث خودهمانندی هم مرتبط است. برای نمونه پردازش لگاریتمی کمک می‌کند تا برای حل یک مسئله، نخست آن را به دو مسئلهٔ همانند کوچکتر بخش کنیم سپس جواب دو بخش را به هم پیوند دهیم. شکل‌های هندسی خودهمانند که در آن‌ها بخش‌هایی از شکل متناسب با سراسر آن است هم به لگاریتم وابسته‌اند. مقیاس لگاریتمی مقیاسی بسیار پرکاربردی برای بررسی کمّی تغییرات پدید آمده در مقدار اصلی است. افزون بر این چون تابع رشد بسیار کندی دارد به ویژه برای "x"های بزرگ می‌توان داده‌های علمی در بازه‌های بزرگ را به خوبی فشرده کرد. همچنین پیش می‌آید که در بسیاری از فرمول‌های علمی مانند معادلهٔ فنسک، معادلهٔ نرنست و… از ویژگی‌های لگاریتم بهره برد.
کمیت‌های علمی بیشتر به صورت لگاریتم کمیت‌های دیگر ارائه می‌شوند به عبارت دیگر برای نشان دادن آن‌ها از "مقیاس لگاریتمی" بهره برده می‌شود، برای نمونه دسی‌بل چنین است. برای نشان دادن تراز توان صداها در صداشناسی یا جذب نور در میدان طیف‌سنجی و نورشناسی یا در بیان نسبت سیگنال به نویز و توضیح میزان صداهای نامطلوب به سیگنال‌های بامعنی به دسی‌بل نیاز است. همانند آنچه گفته شد، نسبت سیگنال بالایی به نویز برای ارزیابی کیفیت صدا یا فشرده‌سازی تصویر بسیار کاربرد دارد که در آن هم از لگاریتم بهره برده می‌شود.
لگاریتم با مفهوم ارتفاع و فاصله در موسیقی هم مرتبط است. در سامانهٔ ارتفاع‌هایی که همهٔ جفت نت‌ها، نسبت بسامد برابر دارند، نسبت بسامد تنها به فاصلهٔ میان دو ارتفاع بستگی دارد و نه به آن بسامد ویژه یا ارتفاع هر یک عدد نت. برای نمونه: نت لا بسامد ۴۴۰ هرتزی دارد و نت سی بمول بسامد ۴۶۶ هرتزی. فاصلهٔ میان این دو نت یک نیم ارتفاع نام دارد. همچنان که میان نت سی بمول و نت سی با بسامد ۴۹۳ هرتز هم همین‌طور است. برپایهٔ آنچه گفته شد نسبت این بسامدها به صورت زیر است: از این رو می‌توان از لگاریتم برای توضیح فاصله‌ها بهره برد: یک فاصله در نیم-ارتفاع با گرفتن لگاریتم نسبت بسامد در پایهٔ یا در پایهٔ ۲ اندازه‌گیری می‌شود. پایه دوم برای توصیف دقیق‌تر به کار می‌رود چرا که از آن برای temperamentهای نامساوی بهره گرفته می‌شود.
لگاریتم طبیعی ارتباط نزدیکی با شمارش اعداد اول دارد. این مطلب موضوعی مهم در نظریهٔ اعداد است. برای هر عدد صحیح "x" شمار عددهای اول کوچکتر یا مساوی "x" را با نمایش می‌دهند. نظریهٔ اعداد اول می‌گوید که تقریباً برابر است با: با در نظر گرفتن این مطلب که برای "x"هایی که به بی‌نهایت می‌رود نسبت به کسر بالایی به یک نزدیک می‌شود. از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که احتمال اول بودن یک عدد دلخواه میان یک و "x" با وارون تعداد رقم‌های دهدهی "x" متناسب است. یک برآورد خیلی بهتر با کمک انتگرال لگاریتمی زیر بدست می‌آید: حدس ریمان یکی از کهن‌ترین حدسهای ریاضی است که در مقایسهٔ و کاربرد دارد. نظریهٔ اردوش-کاک به توضیح شمار عامل‌های اول می‌پردازد که در آن از مفهوم لگاریتم طبیعی کمک گرفته شده‌است.
لگاریتم "n" فاکتوریل، "n"! = ۱ · ۲ ·... · "n" چنین است: از این برای بدست آوردن تقریب استرلینگ، یک تقریب برای "n"های بزرگ، استفاده می‌شود.
عدد مختلط "a" جواب معادلهٔ زیر، یک "لگاریتم مختلط" است. "z" عددی مختلط است. یک عدد مختلط را به صورت "z = x + iy" نمایش می‌دهیم که "x" و "y" هر دو عددی حقیقی و "i" یکهٔ موهومی است. چنین عددی را می‌توان با یک نقطه بر روی صفحهٔ مختلط نمایش داد (مانند روبرو). فرم قطبی نمایش دهندهٔ عدد ناصفر مختلط "z" است که قدر مطلق آن برابر است با فاصلهٔ "r" تا مبدأ مختصات و زاویهٔ میان خط گذرا از "z" و مبدأ با محور "x" زاویهٔ مربوط به این عدد مختلط است. قدر مطلق "z" همان "r" است که برابر است با:
چون φ' = φ + ۲π پس هم φ و هم 'φ هر دو زاویهٔ مربوط به "z"اند. تنها یک φ است که در رابطهٔ صدق می‌کند که به آن آرگومان اصلی گفته می‌شود و به صورت نمایش داده می‌شود. گاهی هم به صورت تعریف می‌شود. با بهره‌گیری از تابع‌های مثلثاتی سینوس و کسینوس یا شکل نمایی اعداد مختلط به ترتیب به رابطه‌های زیر می‌رسیم، "r" و φ را بالاتر تعریف کردیم:
در آغاز معادله‌ای را بیان کردیم که در آن توان "a" ام "e" برابر با "z" می‌شد. با توجه به آنچه گفته شد، مقدار "a" برابر خواهد بود با: در این رابطه، "n" هر عدد صحیحی می‌تواند باشد.