جبر مجموعه‌ها
جبر مجموعه‌ها خواص و قوانین مجموعه، تقاطع و متمم و روابط برابری و شمول مجموعه‌ها را بیان می‌کند. همچنین روشی اصولی برای ارزیابی عبارات و انجام محاسبات شامل این عملیات و روابط فراهم می‌کند. هر مجموعه‌ای تحت عملیات نظریه مجموعه‌ها یک جبر بولی را تشکیل می‌دهد. (عملگر formula_1 همان اجتماع، عملگر formula_2 همان اشتراک و عملگر متمم بیانگر متمم مجموعه است.)
جبر مجموعه‌ها مجموعه‌ای نظری مشابه جبر اعداد است. درست مانند جمع حسابی و ضرب که دارای خاصیت انجمنی(شرکت پذیری) و جا به جایی اند، اجتماع و اشتراک نیز این خواص را دارند . درست مانند رابطه ی حسابی "کوچکتر مساوی" که خواص بازتابی، پاد متقارن و متعدی است، در نظریهٔ مجموعه‌ها نیز عملگری به نام "زیرمجموعه بودن" دارای این خواص است.
جبر مجموعه ها، جبری از عملیات اجتماع، اشتراک و متمم، و روابط برابری و شمول نظریهٔ مجموعه‌ها است. برای یک آشنایی ساده با مجموعه ها، به مقالات مجموعه (ریاضی) نگاه کنید، برای یک آشنایی بیشتر و عمیق تر، نظریه طبیعی مجموعه‌ها را ببینید ، و برای بررسی دقیق و کامل نظریهٔ مجموعه ها، نظریه مجموعه‌ها را ببینید.
عملیات باینری اجتماع(∪) و اشتراک(∩) خواصی را به وجود آورده اند که برخی از این خواص یا "قوانین" دارای نام‌های به خصوص و مشهوری هستند: قانون پخشی:
شباهت بین اجتماع و اشتراک مجموعه ها، و جمع و ضرب اعداد، کاملاً قابل توجه است. مانند جمع و ضرب، عملیات اجتماع و اشتراک دارای خواص جابجایی و شرکت‌پذیری هستند، و اشتراک بر روی اجتماع پخش پذیر است.البته بر خلاف جمع و ضرب، اجتماع نیز بر روی اشتراک پخش پذیر است.
دو قانون دیگر شامل مجموعه‌های خاصی با نام مجموعه ی تهی (∅) و مجموعه جهانی (U) می‌شود؛ که متمم یکدیگرند. مجموعه ی تهی هیچ عضوی ندارد، و مجموعه ی جهانی است شامل همهٔ اعضای امکان پذیر است (در یک زمینه خاص).
قوانین هویت (همراه با قوانین جابجایی) می گویند که، درست مثل 0 و 1 برای جمع و ضرب، ∅ و U عناصر هویت برای اجتماع و اشتراک‌اند.
بر خلاف جمع و ضرب، اجتماع و اشتراک عناصر معکوس ندارند. با این حال قوانین مکمل، باعث به وجود آمدن خاصیتی بنیادی از عمل یگانی متمم که تا حدودی شبیه معکوس است، می‌شود.
پنج قانون یادشده - جابجایی، شرکت پذیری، پخش پذیری، هویت و متمم – تمام جبر مجموعه‌ها را در بر می‌گیرد، به این معنا که هر گزاره معتبر در جبر مجموعه‌ها می‌تواند از آن‌ها استنتاج شود.
توجه داشته باشید که اگر قوانین مکمل به قانون formula_13 تقلیل داده شود، این دقیقاً همان جبر منطق خطی است.
هر جفت از خواص مطرح شده در بالا را می‌توان با جایگزینی ∪ به جای ∩ و برعکس و همچنین ∅ به جای U و برعکس، به یکدیگر تبدیل نمود.
اینها مثال‌هایی از یکی از ویژگی‌های بسیار مهم و قدرتمند جبر مجموعه‌ها یعنی، اصل دوگانگی است، که ادعا می‌کند که برای هر عبارت درست در مورد مجموعه ها، عبارت دوگان توسط تبادل اجتماع‌ها و اشتراک‌ها و همچنین تبادل U و ∅ به دست می‌آید که این عبارت نیز درست است. اگر دوگان یک عبارت با خود عبارت برابر باشد، عبارت را خود-دوگان می گوییم.
گزاره زیر، شش قانون مهم دیگر از جبر مجموعه‌ها -شامل اجتماع‌ها و اشتراک ها- را بیان می‌کند. گزاره 3: هر زیر مجموعه‌ای از مجموعه ی جهانی "U"، مانند "A" و "B"، خواص زیر را دارا می‌باشند: همانطور که در بالا اشاره شد، هر یک از قوانین مندرج در گزاره 3 را می‌توان از پنج قانون بنیادی استنتاج کرد. به عنوان مثال، یک اثبات برای قانون همانی اجتماع در زیر بیان شده‌است.
"اثبات:"
اثبات زیر نشان می‌دهد که دوگان اثبات فوق، اثبات "دوگان قانون همانی برای اجتماع"، یعنی "قانون همانی برای اشتراک" است.
"اثبات:"
اشتراک دو مجموعه را می‌توان با عملگر "تفاضل دو مجموعه" بیان کرد: formula_20
گزاره ی زیر چند قانون مهم تر در باب متمم‌ها را بیان می‌کند:
گزاره ی 4 : فرض کنید "A" و "B"، زیرمجموعه‌هایی از مجموعه ی جهانی U باشند:
توجه کنید که مکمل دوتایی، خود-دوگان است.
گزاره ی بعدی، که آن هم خود-دوگان است، بیان می‌کند که متمم یک مجموعه تنها مجموعه‌ای است که قوانین متمم برایش صادق است. به عبارت دیگر، متمم توسط قوانین متمم مشخص می‌شود.
گزاره ی 5 : فرض کنید "A" و "B"، زیرمجموعه‌هایی از مجموعه ی جهانی U باشند:
گزاره ی زیر بیان می‌کند که شمول دارای خاصیت ترتیب است:
گزاره ی 6 : "B" ، "A" و "C" سه مجموعه هستند:
گزاره زیر می گوید که برای هر مجموعه S، مجموعه توانی S، یک توری محدود است، و از این رو همراه با قوانین توزیع و متمم فوق، نشان داده می‌شود که یک جبر بولی است.
گزاره ی 7: اگر "B" ، "A" و "C" سه زیرمجموعه از "S" باشند:
گزاره ی زیر بیان می‌کند که عبارت formula_30 معادل عبارت‌های دیگر از جمله اشتراک، اجتماع و مکمل است.
گزاره ی 8 : برای هر دو مجموعه ی "A" و "B" عبارت‌های زیر همگی معادل اند:
گزاره فوق نشان می دهد که رابطه ی شمول می‌تواند با عملگرهای اجتماع یا اشتراک مشخص شود. این به این معناست که نظریهٔ شمول به وضوح غیرضروری است.
گزاره ی زیر شامل چند خاصیت پیرامون اصل متمم است.
گزاره ی 9 : برای هر مجموعه ی جهانی "U" و زیرمجموعه‌های "B" ، "A" و "C" از این مجموعه داریم: