دایره محیطی
در هندسه، دایره محیطی (یا Circumcircle) از یک چندضلعی، دایره ای است که از تمام رئوس آن چندضلعی می‌گذرد. مرکز این دایره را «مرکز دایره محیطی» (Circumcenter) و شعاعش را «شعاع دایره محیطی» (Circumradius) می‌نامند.
همه چندضلعی‌ها لزوماً دایره محیطی ندارند. چندضلعی که دایره محیطی داشته باشد را «چندضلعی محاطی» (چون توسط یک دایره احاطه شده)، «چندضلعی دایره‌ای» (Cyclic Polygon)، یا «چندضلعی هم‌دایره» (Concyclic Polygon) نیز می‌نامند، چرا که رئوس آن هم‌دایره اند. تمام مثلث‌ها، تمامی چندضلعی‌های ساده منتظم، تمام مستطیل‌ها، تمام ذوزنقه‌های متساوی الساقین، و همچنین تمام کایت‌های راست‌گوشه جزو چندضلعی‌های محاطی اند.
مفهوم مرتبط با آن، «دایره احاطه‌کننده کمینه» است، یعنی کوچکترین دایره‌ای که خود چندضلعی را کاملاً در بر گیرد، به طوری که مرکز دایره داخل چندضلعی قرار گیرد. هر چندضلعی دارای چنین دایره‌ی منحصربفردی است که می‌توان آن را با الگوریتم زمان-خطی ساخت. حتی اگر یک چندضلعی دارای دایره محیطی باشد، ممکن است این دایره متفاوت با دایره احاطه‌کننده کمینه‌اش باشد. به عنوان مثال، برای یک مثلث منفرجه، قطر دایره احاطه‌کننده کمینه، همان ضلع بزرگ مثلث بوده و دایره مذکور نیز از رأس مقابل این ضلع عبور نمی‌کند.
تمام مثلث‌ها دایره‌ای (یا دوری) اند؛ یعنی، هر مثلث دارای دایره محیطی است.
مرکز دایره محیطی یک مثلث را می توان با ترسیم دو عمود منصف دلخواه از آن بدست آورد. برای سه نقطه غیر-هم‌خط (یعنی رئوس مثلث)، این دو خط نمی‌توانند موازی باشند و مرکز دایره محیطی محل برخوردشان خواهد بود. هر نقطه روی عمود منصف از رأس انتهای ضلع مورد نظر به یک فاصله اند، در نتیجه محل برخوردشان (مرکز دایره محیطی) از هر سه رأس به یک فاصله می‌باشد، لذا شعاع دایره محیطی، فاصله آن از هر سه رأس مثلث است.
روش دیگر جهت تعیین مرکز دایره محیطی این است که دو خط ترسیم شده، به گونه‌ای که هر کدام طبق شکل از دو رأس دلخواه، با زاویه (مجاور با ضلع مشترک بینشان) برابر با °90 منهای زاویه رأس مقابل با ضلع مشترک خارج شوند (در حالتی که زاویه آلفای مربوط به رأس مقابل، زاویه منفرجه‌ای باشد، ترسیم خطی با زاویه منفی به معنای این است که خطوط به سمت خارج مثلث کشیده می‌شوند، چرا که در این حالت مرکز دایره محیطی بیرون مثلث قرار می‌گیرد).
برخی مواقع در ناوبری ساحلی، هنگامی که قطب‌نما در دسترس نباشد، از دایره محیطی مثلث به عنوان روشی جهت بدست آوردن خط موقعیت با استفاده از سکستانت استفاده می شود. زاویه افقی بین دو علامت مشخصه روی زمین، دایره محیطی را براساس موقعیت ناظر تعریف می‌نماید.
در صفحه اقلیدسی، امکان ارائه معادله صریحی از دایره محیطی برحسب مختصات کارتزین رئوس مثلث محاط در آن وجود دارد. فرض کنید:
formula_1
مختصات نقاط "A"، "B"، و "C" باشند. آنگاه دایره محیطی مکان هندسی نقاط formula_2 در صفحه کارتزین خواهد بود که در معادلات زیر صدق می‌کند:
formula_3
معادلات بالا تضمین می‌کنند که همه نقاط A، B، C، و v دارای فاصله مساوی "r" از مرکز مشترک "u" دایره می‌باشند. می‌توان با استفاده از اتحاد قطبش، این معادلات را به شرط ناصفر بودن هسته ماتریس زیر تقلیل داد:
formula_4
لذا، ممکن است بتوان دایره محیطی را به صورت مکان هندسی صفرهای دترمینان این ماتریس توصیف نمود:
formula_5
با استفاده از بسط کوفاکتور، فرض کنید:
formula_6
سپس داریم formula_7 و با فرض این که سه نقطه هم‌خط نباشند (در غیر این صورت دایره محیطی، همان خطی است که می‌توان آن را به عنوان دایره تعمیم یافته ای دید که S آن در بی‌نهایت قرار دارد)، معادله formula_8، به ما مرکز دایره محیطی formula_9 و شعاع دایره محیطی formula_10 را خواهد داد. رهیافت مشابهی امکان بدست آوردن معادلات مربوط به کره محیطی یک چهاروجهی را خواهند داد.
بردار واحد عمود بر صفحه در بر گیرنده دایره به این صورت است:
formula_11
ازین رو، اگر شعاع "r"، مرکز، formula_12، نقطه‌ای روی دایره، formula_13 و بردار نرمال واحد formula_14 از صفحه‌ی شامل دایره داده شده باشد، معادله تک پارامتری دایره که از formula_13 شروع شده و در جهت مثبت (یعنی در جهت راست-دست) حول formula_16 پیش رود، به صورت زیر خواهد بود:
formula_17 معادله ای برای دایره محیطی در مختصات سه‌خطی formula_18 به این صورت است: formula_19. معادله آن در مختصات گرانیگاهی formula_18 به این صورت است: formula_21.
مزدوج ایزوگونال دایره محیطی، خط در بی‌نهایت بوده که در مختصات سه‌خطی به صورت formula_22 و در مختصات گرانیگاهی به صورت formula_23 است.
دایره محیطی یک مثلث که در بعد "d" نشانده شده است را می توان با استفاده از روش تعمیم یافته پیدا نمود. فرض کنید formula_24 و formula_25 و formula_26 نقاط "d"-بعدی بوده که تشکیل مثلث می‌دهند. با انتقال دستگاه شروع می‌کنیم تا formula_26 به مبدأ مختصات منتقل شود:
formula_28
سپس شعاع دایره محیطی، "r"، به این صورت خواهد بود:
formula_29
که در آن formula_30 زاویه داخلی بین formula_31 و formula_32 است. مرکز دایره محیطی، formula_33 به این صورت داده شده است:
formula_34
این فرمول تنها در سه بعد کار می‌کند، چرا که ضرب خارجی در ابعاد دیگر تعریف نشده، اما می‌توان آن را با جایگزین کردن ضرب داخلی با اتحادهای زیر تعمیم داد:
formula_35