روش شولتسه
روش شولتسه نوعی نظام انتخاباتی تک‌برنده است که برگه‌های رأی در آن به شکل ترجیحی (رتبه‌ای) می‌باشند. این روش را مارکوس شولتسه در سال ۱۹۹۷ ابداع کرد.
روش شولتسه نوعی روش کندورسه است، بدین معنی که اگر نامزدی وجود داشته باشد که در مقابله‌های دوبدو نسبت به تک‌تک نامزدهای دیگر برنده باشد، همان نامزد برنده خواهد بود.
خروجی روش شولتسه نامزدان را رتبه‌بندی می‌کند؛ بنابراین اگر k کرسی موجود باشد، می‌توان از همین روش بدون هیچ تغییری استفاده کرد و k نامزد حائز رتبه‌های بالاتر را بر k کرسی موجود نشاند. برای انتخابات چندبرنده، بدیل رأی انتقال‌پذیر شولتسه نیز پیشنهاد شده‌است.
چندین سازمان از جمله دبیان، اوبونتو، جنتو، نرم‌افزار در خدمت منافع عمومی، بنیاد نرم‌افزار آزاد اروپا، انجمن‌های احزاب دزدان دریایی، و . . . از روش شولتسه استفاده کرده‌اند.
ورودی روش شولتسه مشابه سایر نظام‌های انتخاباتی تک‌برندهٔ ترجیحی است: رأی‌دهندگان نامزدان را نسبت به هم اولویت‌بندی می‌کنند. در ذکر اولویت‌ها تساوی نیز مجاز است. همهٔ نامزدها در برگه‌های رأیْ فهرست شده‌اند و هر رأی‌دهنده با استفاده از اعداد، این فهرست را به ترتیب ترجیحاتش رتبه‌بندی می‌کند: رأی‌دهنده شایسته‌ترین نامزد را در رتبهٔ اول می‌نشاند، و نامزد دوم از لحاظ شایستگی را در رتبهٔ دوم قرار می‌دهد و به همین منوال ادامه می‌دهد. هر رأی‌دهنده مجاز است:
formula_1 را تعداد رأی‌دهندگانی در نظر می‌گیریم که نامزد formula_2 را به نامزد formula_3 ترجیح داده‌اند.
یک "مسیر" از نامزد formula_4 به نامزد formula_5 به "قدرت" formula_6 دنباله‌ای از نامزدان formula_7 با ویژگی‌های زیر تعریف می‌شود:
formula_14، "قدرت قوی‌ترین مسیر" از نامزد formula_15 به نامزد formula_16، مقدار بیشینه‌ای است به قسمی که مسیری از نامزد formula_15 به نامزد formula_16 با آن قدرت وجود داشته باشد. اگر اصلاً مسیری از نامزد formula_15 به formula_16 وجود نداشته باشد، آنگاه formula_21.
نامزد formula_22 از نامزد formula_23 "بهتر" است اگر و فقط اگر formula_24.
نامزد formula_22 یک "برندهٔ بالقوه" است اگر و فقط اگر برای هر نامزد دیگر formula_23 داشته باشیم formula_27.
می‌توان ثابت کرد که formula_28 و formula_29 با هم نتیجه می‌دهند formula_30. بنابراین اطمینان حاصل می‌شود که الف) تعریف بالایی از «"بهتری"» واقعاً معرف یک رابطهٔ ترایا است و ب) همیشه حداقل یک نامزد formula_22 وجود دارد که برای هر نامزد دیگر formula_23 داشته باشیم: formula_27.
در مثال ذیل ۴۵ رأی‌دهنده ۵ نامزد را رتبه‌بندی می‌کنند.
ابتدا می‌بایست مقابله‌های رو-در-رو را محاسبه کرد. مثلاً در مقابلهٔ رو-در-روی formula_15 و formula_16، تعداد formula_45 رأی‌دهنده formula_15 را به formula_16 ترجیح داده‌اند و formula_48 رأی‌دهنده formula_16 را به formula_15. پس formula_51 و formula_52. نتایج کامل مقابله‌های رو-در-رو از قرار زیر است:
رنگ پس‌زمینهٔ سلول formula_53 سبز است اگر formula_54 وگرنه قرمز. در این مثال برندهٔ بلامنازعی وجود ندارد که صرفاً با نگاه‌انداختن به مقابله‌های رو-در-رو آشکار شود.
حالا باید قوی‌ترین مسیرها را مشخص کرد. برای آنکه قوی‌ترین مسیرها به‌آسانی به چشم آیند، نتایج مقابله‌های رو-در-رو در گراف جهت‌دار سمت چپ ترسیم شده‌اند. پیکانی که از رأس formula_4 به formula_5 نشانه رفته‌است برچسب formula_53 دارد. برای پرهیز از شلوغ‌شدن گراف، فقط در صورتی که formula_54 پیکان از رأس formula_4 به formula_5 نشانه رفته‌است (سلول‌های سبز ماتریس). در این مثال formula_61 زیرا قوی‌ترین مسیر از formula_16 به formula_22، مسیر مستقیم است که قدرت ۳۳ دارد. اما formula_64 زیرا قوی‌ترین مسیر از formula_15 به formula_66، مسیر مستقیم formula_67 به قدرت ۲۶ نیست، بلکه مسیر غیرمستقیم formula_68 است که قدرت formula_69 را دارد. قدرت یک مسیر، قدرت ضعیف‌ترین رشتهٔ پیوند است.
جدول زیر قوی‌ترین مسیر از نامزد formula_4 به formula_5 را برای هر جفت از نامزدان با رنگ قرمز نمایش می‌دهد و ضعیف‌ترین رشتهٔ پیوند "مورب" شده‌است.
حال می‌توان خروجی روش شولتسه را معین کرد. مثلاً در مقایسهٔ formula_15 با formula_16 چون formula_74 پس نامزد formula_15 از نامزد formula_16 بهتر است. به عنوان مثالی دیگر formula_77 پس نامزد formula_23 از نامزد formula_22 بهتر است. اگر به همین منوال ادامه دهیم، نتیجه (رتبه‌بندی شولتسه) formula_80 خواهد بود و formula_23 برنده خواهد شد. به عبارت دیگر formula_23 برنده است چون برای هر نامزد دیگر formula_4 داریم formula_84.
تنها مرحلهٔ دشوار در اجرای روش شولتسه، محاسبهٔ قدرت قوی‌ترین مسیرهاست. با وجود این، این مشکل مسئله‌ای مشهور در نظریهٔ گراف‌ها موسوم به مسئلهٔ عریض‌ترین مسیر است. یک روش ساده برای محاسبهٔ قدرت‌ها، بکارگیری بدیل الگوریتم فلوید-وارشال است. الگوریتم در شبه‌کد زیر شرح داده شده‌است:
for i from 1 to C
for i from 1 to C این الگوریتم کاراست و مدت زمان اجرایش متناسب با formula_85 می‌باشد که formula_66 تعداد نامزدان است.
اگر رأی‌دهندگان مجاز به استفاده از تساوی در ترجیحاتشان باشند، خروجی روش شولتسه به چگونگی تفسیر تساوی در تعریف formula_87 بستگی پیدا خواهد کرد. این‌ها دو انتخاب معمولند: الف) formula_88 تعداد رأی‌دهندگانی باشد که اکیداً formula_15 را به formula_16 ترجیح می‌دهند؛ ب) formula_88 تفاضل تعداد رأی‌دهندگانی باشد که (formula_15 را به formula_16 ترجیح می‌دهند) و (رأی‌دهندگانی که formula_16 را به formula_15 ترجیح می‌دهند). اینکه formula_96ها چگونه تعریف شوند در نتیجه تأثیری نمی‌گذارد. روش شولتسه فاقد چرخه است و با فرض اینکه formula_96ها یکتا باشند، تساوی رخ نخواهد داد.
بروز تساوی در رتبه‌بندی شولتسه نامحتمل، اما ممکن است. مارکوس شولتسه، مبدع این روش، پیشنهاد می‌کند که برگهٔ رأی یکی از رأی‌دهندگان به شکل تصادفی انتخاب شود و طبق نظر او، تساوی شکسته شود و در صورت نیاز این کار تکرار شود.
روال دیگری نیز برای تعیین برنده در روش شولتسه وجود دارد که البته کندتر است:
روش شولتسه را مارکوس شولتسه در سال ۱۹۹۷ ابداع کرد. اولین بار در سال‌های ۹۸–۱۹۹۷ و ۲۰۰۰ بر روی این روش در میلینگ‌لیست‌های عمومی بحث شد. بعداً نرم‌افزار در خدمت منافع عمومی (۲۰۰۳)، دبیان (۲۰۰۳)، جنتو (۲۰۰۵)، تاپ‌کُدر (۲۰۰۵)، ویکی‌مدیا (۲۰۰۸)، کی‌دی‌ئی (۲۰۰۸)، بنیاد نرم‌افزار آزاد اروپا (۲۰۰۸)، حزب دزدان دریایی سوئد (۲۰۰۹)، و حزب دزدان دریایی آلمان (۲۰۱۰) از این روش استفاده کردند. روش شولتسه یکی از دو روش مورد استفاده در رأی‌گیری‌های چندنامزدی در ویکی‌پدیای فرانسوی است که در سال ۲۰۰۵ با رأی اکثریت تصویب شد و چندین بار مورد استفاده قرار گرفته‌است.
مارکوس شولتسه در سال ۲۰۱۱ مقاله‌ای دربارهٔ این روش در ژورنال دانشگاهی "رفاه و انتخاب اجتماعی" منتشر کرد.
تاکنون از روش شولتسه برای انتخابات پارلمانی استفاده نشده اما حزب دزدان دریایی سوئد از این روش برای انتخابات مقدماتی پارلمان استفاده کرده‌است. اقبال به این روش از جانب سازمان‌های عمومی رو به افزایش است. برخی از سازمان‌هایی که از این روش استفاده می‌کنند، در زیر فهرست شده‌اند: