نقاله
نقاله وسیله‌ای است که به اشکال گوناگون مانند دایره، نیم‌دایره، مربع یا مستطیل ساخته می‌شود و لبه آن برحسب واحدهای اندازه‌گیری زاویه مانند درجه شصت‌قسمتی یا گراد مدرج می‌گردد.نقاله یکی از پر مصرف‌ترین ابزار در انواع رسم‌ها و ریاضی است و از آن برای کشیدن انواع چهار ضلعی‌ها وزاویه هاو... استفاده می‌شود همچنین این وسیله برای خواندن زاویه در معماری و نقشه کشی نیز کاربرد وسیعی دارد.
از دوران یک نیم خط یک ناحیه‌ای به وجود می‌آید که به آن زاویه می‌گویند. این دوران می‌توان در جهت عقربه‌های ساعت یا در جهت خلاف آن باشد ولی در مثلثات جهت دوران برای ایجاد یک زاویه جهت پادساعتگرد است و چنین زاویه‌ای را زاویه مثلثاتی می‌گویند. اگر نیم خطی را حول راسش چنان دوران دهیم که دوباره به نقطه شروع دوران بازگردد یک زاویه کامل یا تمام صفحه به وجود می‌آید. پس یک دایره خود یک زاویه کامل (دوران کامل) است یعنی ۳۶۰ درجه. همچنین اگر نیم خط را چنان دوران دهیم که یک مسیر یک نیم دایره به مرکز راستش راطی کند یک زاویه نیم صفحه به وجود می‌آید. زاویه را با نام بردن راس یا نام بردن راس و دو ضلعش می‌خوانند.
واحدهای اصلی برای اندازه‌گیری زاویه عبارتند از: درجه، گراد و رادیان که در اینجا به تعریف و توضیح آن‌ها می‌پردازیم:
اگر محیط یک دایره دلخواه را به ۳۶۰ قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک درجه می‌نامند. به عبارت دیگر یک درجه یک سیصد و شستم محیط یک دایره است. تصویر
برای نمایش درجه از علامت استفاده می‌شود. لذا می‌توان گفت:
پس به این ترتیب در این مقیاس، زاویه تمام صفحه که یک دور کامل است برابر ۳۶۰ درجه و زاویه نیم صفحه برابر ۱۸۰ درجه است.
اجزای درجه: همان گونه که می‌دانید معمولاً هر واحد دارای اجزایی می‌باشد. درجه نیز به عنوان یک واحد اندازه‌گیری دارای اجزایی می‌باشد که عبارتند از دقیقه و ثانیه.(این اجزا گاهی آرک دقیقه:Arc minute و آرک ثانیه:Arc second نیز گفته می‌شوند) هر دقیقه برابر است با یک شصتم درجه.
هر ثانیه برابر یک شصتم دقیقه یا یک سه هزار و شسصدم درجه.
به عنوان مثال اگر اندازه زاویه‌ای ۳۷ درجه و ۳۰ دقیقه و ۱۵ ثانیه باشد می‌نویسیم:
اگر محیط یک دایره را به ۴۰۰ قسمت مساوی تقسیم کنیم هر قسمت را یک گراد می‌گویند. به عبارت دیگر یک چهارصدم دوران کامل، زاویه‌ای به اندازه یک گراد پدیدمی‌آورد. گراد گاهی گون نیز گفته می‌شود. برای نمایش گراد از نماد «gr» استفاده می‌شود. لذا می‌توان گفت:
پس به این ترتیب در این مقیاس اندازه زاویه تمام صفحه یا یک دور کامل ۴۰۰ گراد و اندازه زاویه نیم صفحه برابر ۲۰۰ گراد خواهد بود.
اجزای گراد: اجزای گراد عبارتند از دسی گراد(dgr)، سانتی گراد(cgr)، میلی گراد(mgr) که هر کدام به ترتیب یک دهم گراد، یک صدم گراد و یک هزارم گراد می‌باشند.
به عنوان مثال اگر اندازه زاویه‌ای ۳۷ گراد و ۲ دسی گراد و ۸ میلی گرا باشد می‌نویسیم: استفاده از این واحد برای زاویه در ریاضیات بسیار کم است.
دایره‌ای به شعاع L را در نظر بگیرید. می‌دانیم محیط این دایره است. یک رادیان اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول کمان روبرو به آن برابر شعاع دایره است. تصویر
برای نمایش رادیان از نماد«rad» استفاده می‌کنیم. بنابراین محیط هر دایره برحسب رادیان رادیان است و زاویه نیم صفحه برابر رادیان است. و لذا: که در آن P محیط دایره است. با استفاده از تعریف رادیان می‌توان نتیجه گرفت که اگر طول کمان روبرو به زاویه برابر s و شعاع دایره r باشد آنگاه اندازه زاویه تتا بر حسب رادیان را می‌توان با یک تناسب ساده چنین محاسبه کرد:
تصویر
به عنوان مثال می‌خواهیم بدانیم اندازه زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره که طول آن کمان محیط دایره است چند رادیان است؟ روش حل بدون استفاده از فرمول (اساس یافتن فرمول فوق) به این صورت است: r=طول شعاع اگر طول کمان برابر باشد آنگاه اندازه زاویه برابر است با رادیان حال اگر طول کمان برابر باشد اندازه زاویه چقدر می‌شود؟
تبدیل واحدهای اندازه‌گیری زاویه به یکدیگر: دایره‌ای به شعاع r و زاویه را در دایره در نظر بگیرید: تصویر
فرض کنید اندازه زاویه برحسب درجه D، برحسب گراد G و برحسب رادیان R باشد. با استفاده از تناسب داریم: ۱- طول کمان اندازه زاویه برحسب درجه
۲- طول کمان اندازه کمان برحسب گراد
۳--__ طول کمان اندازه زاویه برحسب رادیان
از تساوی‌های فوق رابطه زیر نتیجه می‌شود:
به عنوان مثال اگر اندازه زاویه‌ای برابر ۲۰ گراد باشد اندازه این زاویه بر حسب درجه و رادیان به این صورت محاسبه می‌شود:
انواع زاویه‌ها: زاویه‌ها را با توجه به مقدارشان به این صورت طبقه‌بندی می‌کنند: