چهار سرعت
در فیزیک، به خصوص در نظریه نسبیت (که سرعت در آن از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است.)، چهار سرعت یک سرعت برداری چهار بعدی است و به نوعی می‌توان گفت چهارسرعت ورژن نسبیتی سرعت برداری سه بعدی در فیزیک کلاسیک است. در واقع در فیزیک انرژی‌های بالا و در سرعت‌هایی نزدیک به سرعت نور بردار سرعت سه بعدی جای خود را به بردار سرعت چهار‌ بعدی می‌دهد و به دلیل همین چهار بعدی بودن بردار سرعت در انرژی‌های بالا به آن لقب چهار سرعت (یا بردار چهار سرعت) را داده‌اند.
بردار سرعت در فیزیک کلاسیک سه بعدی است، در فیزیک کلاسیک بردار سرعت به معنی سرعت یک جسم در یک جهت خاص است، مسافتی که جسم متحرکت طی می‌کند تقسیم بر زمان مصرف شده برای طی کردن آن مسافت را سرعت می‌نامیم که برابر است با مشتق بردار مسیر حرکت آن جسم نسبت به زمان:
formula_1
برای تعریف بردار چهار سرعت در نظریه نسبیت ابتدا باید با سرعت آشنا شویم، سرعت ویژه‌ی یک ذره (که با سرعتی نزدیک به سرعت نور حرکت می‌کند.) برابر است با فاصلهٔ پیموده شده توسط آن ذره تقسیم بر زمان ویژه‌ی ذره:
formula_2
سرعت ویژه یک کمیت مرکب است، از این نظر که مسافت طی شده توسط ذره در سیستم آزمایشگاه اندازه‌گیری می‌شود ولی زمان در چارچوب ذره. همان‌طور که مشاهده می‌شود سرعت و سرعت ویژه بوسیلهٔ عامل لورنتس به هم مربوط می‌شوند.
علت استفاده از سرعت ویژه این است که اگر بخواهیم از سیستم آزمایشگاه به یک سیستم در حال حرکت برویم در معادله کلاسیک سرعت هر دو صورت و مخرج باید تبدیل شوند که فقط زحمت شما را زیاد می‌کند، فیزیکدانان ذرات بنیادی خیلی باهوش هستند به همین دلیل سرعت ویژه را تعریف کرده‌اند. چراکه فقط صورت آن نیاز به تبدیل شدن دارد چون زمان ذره τ ناوردا است و نیاز به تبدیل ندارد، سرعت ویژه η در واقع نشانگر سه بعد از چهار بعد بردار چهار سرعت است؛ و بعد چهارم مربوط زمان است.
فرض کنید سوار بر ذره‌ای هستید که در سرعت خیلی بالایی (در واقع سرعتی نزدیک به سرعت نور) حرکت می‌کند، بر طبق نظریه نسبیت، ساعت ذره در حال حرکت نسبت به ساعت آزمایشگاه به کندی حرکت می‌کند (همین‌طور ضربان قلب شما، متابولیسم شما، صحبت کردن شما و حتی فکر کردن شما، همه چیز!). هنگامی که زمان آزمایشگاه به اندازه خیلی کوچکی dt جلو می‌رود، زمان ساعت مچی شما dτ (که فرضاً سوار بر ذره پر سرعتی هستید.) به اندازهٔ مقدار کوچکتری جلو می‌رود:
formula_3 علت این اختلاف عامل لورنتس است.
همان‌طور که متوجه شدید کار کردن با η سرعت ویژه راحت‌تر است. بدین ترتیب تعریف بردار چهار سرعت راحت‌تر است، بردار چهار سرعت برابر است با مشتق چهار بردار نسبت به زمان ذره:
formula_4
اگر استفاده کردن از علائم یونانی (مثل μ که مشخصه چهار بعد مکان-زمان هست) شما را خسته می‌کند، می‌توانید از حروف بزرگ انگلیسی برای بردار سرعت چهار بعدی و از حروف کوچک انگلیسی برای بردار سرعت سه بعدی استفاده کنید:
اکنون همانند چهار بردار به راحتی با استفاده کردن از ماتریس Λ، می‌توان تبدیلات بردار چهار سرعت را به صورت فشرده نمایش داد:
formula_5
همچنین همانند چهار بردار با استفاده از ماتریس تانسور متریک g می‌توان ناوردای بردار چهار سرعت را بدست آورد (که این کمیت ناوردا همان مجذور ثابت سرعت نور است، c²):
برای مطابقت و سازگاری قانون بقای اندازه حرکت با اصل نسبیت، اندازه حرکت را به صورت چهار تکانه تعریف می‌کنند تا قانون بقای اندازه حرکت به قلمرو نسبیت بسط داده شود:
formula_6
در مکانیک سیالات نسبیتی و شبه-سیالات نجومی چهار سرعت به صورت یک میدان برداری تعریف شده‌است، احمد رضا استخر در معادله متریال-ژئودزیک (ببینید چهار شتاب و چهار نیرو) از این نوع چهار سرعت استفاده کرده‌است، مشتق گیری از این نوع چهار سرعت هم باید مشتق هموردا و هم باید مشتق کل باشد (مشتق کل-همورا).
در معادله متریال-ژئودزیک استخر چهار سرعت برداری میدانی به این صورت تعریف شده‌است که (در مکانیک سیالات نسبیتی) چهار سرعت تابعی از چهار بردار نیز هست:
formula_7
نحوه مشتق (یا مشتق کل) گیری از چهار سرعت میدانی نسبت به زمان ذره در مکانیک سیالات نسبیتی به صورت زیر است: