حد (ریاضی)
حد در ریاضیات عبارت است از مقداری که یک تابع یا یک دنباله به آن نزدیک می‌شود هنگامی که ورودی آن یا ایندکس آن به مقداری ثابت نزدیک می‌شود. به عبارت دیگر، در حد، مقادیری از تابع سنجیده میشوند که برای دامنه آن مقدار مطلق و قابل شناسایی وجود ندارد، و اعدادی بسیار نزدیک به یک عدد خاص(که آن عدد خاص میتواند جزء دامنه تابع نباشد) یا اعدادی بسیار بزرگ (بینهایت) مقدار سنجی میشوند. فرض کنید در تابع f مقدار متغیر به یک عدد ثابت به نام a میل کند (یعنی به آن نزدیک شود ولی به آن نرسد) آن‌گاه اگر مقدار تابع آن، به عددی ثابت به نام L میل کند، L حد تابع f در نقطهٔ a خواهد بود؛ گرچه a می‌تواند در دامنهٔ تابع وجود نداشته باشد. به عبارت خیلی ساده‌تر می‌توان گفت حد یک تابع برای یک عدد معین روی محور xها، به ما نشان می‌دهد که در صورت قرار دادن مجموعه اعدادی که در همسایگی خیلی خیلی نزدیک آن عدد معین هستند در xهای ضابطه تابع، yها به چه عددی خیلی خیلی نزدیک می‌شوند (تابع در نهایت به چه عددی خواهد رسید).
کاربرد مفهوم حد در ریاضی در توصیف مقداری است که یک تابع یا دنباله به آن نزدیک می‌شود، هنگامی که ورودی آن تابع یا شمارندهٔ آن دنباله به مقداری مشخص نزدیک می‌شود. حد یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال و در حالت کلی در آنالیز ریاضی است و در تعریف پیوستگی، مشتق و انتگرال کاربرد دارد. موضوع حد، به منظور بیان رفتار یک تابع می‌پردازد و می‌تواند رفتار آن را در نقاط روی صفحه یا در بی‌نهایت هم ارزیابی کند.
مفهوم حد یک دنباله به حالت کلی تر حد شبکهٔ مکان‌شناسی گسترش می‌یابد و ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد.
ریاضی‌دانان پیش از آنکه مفهوم دقیق‌تر حد را ارائه کنند، در مورد آن مجادله‌های بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه ارشمیدس مقدار تقریبی را با استفاده از پیرامون چند ضلعی‌های منتظم محاط در دایره به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می‌یابد به دست می‌آورد. در قرون وسطی نیز تا دورهٔ رنسانس مفهوم حد برای بدست آوردن مساحت شکل‌های گوناگون بکار گرفته می‌شد.
در نوشتار ریاضی حد را گاهی به صورت lim نمایش می‌دهند مانند lim("a") = "a"، گاهی با یک پیکان رو به راست (→) نمایش می‌دهند مانند: "a" → "a" و گاهی هم به فارسی "حد" می‌نویسند.
فرض کنید "f"("x") تابعی حقیقی و "c" عددی حقیقی باشد. عبارت
بدین معنا است که اگر "x" به‌اندازهٔ کافی به "c" نزدیک شود مقدار "f"("x") به‌اندازهٔ دلخواه به نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد از هنگامی که به نزدیک می‌شود برابر است.»
کوشی در ۱۸۲۱ و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که « به‌اندازهٔ دلخواه به نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار کم‌کم در بازهٔ جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق چنین می‌نویسیم: .عبارت «هنگامی که به‌اندازهٔ کافی به نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد؛ یعنی عضو یکی از دو بازهٔ یا است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: . نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان و بیشتر از صفر است و است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ از کمتر از است.
توجه داشته باشید که تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر formula_2 باشد. در حقیقت حتی نیازی نیست که در تعریف شده باشد.
برای نمونه اگر داشته باشیم:
آنگاه تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه به ۱ نزدیک می‌شود، متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود:
بنابراین، مقدار به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم.
به عبارت دیگر formula_4
یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی‌نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:هرگاه مقدارهای بی‌نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد به ازای های رو به بی‌نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:
این روش به روش اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که بار اول توسط ریاضیدان آلمانی کارل وایرشتراس عنوان شد. با استفاده از آن حد را چنین تعریف می‌کنیم: گوییم formula_7 در نقطه‌ای مانند formula_8 دارای حد formula_9 است اگر به ازای هر عدد مثبت formula_10 عدد مثبتی مثل formula_11 موجود باشد به‌طوری‌که اگر formula_12، آنگاهformula_13.
به عبارت دیگر برای هر formula_14 یک formula_15 وجود داشته باشد، که برای هر formula_16 با خاصیت formula_17، داشته باشیم formula_18.
برای تعریف غیر صوری باید گفت حد تابع formula_7 ،formula_20 است اگر وقتی formula_21، formula_7 به حد formula_9 نزدیک بشود، یا formula_7 در formula_25 دارای حد formula_9 است، اگر هنگامی که formula_27 به formula_25 میل می‌کند، formula_7 به formula_9 نزدیک شود.
اثبات formula_31 :
برای هر formula_14 یک formula_15 وجود دارد به شکلی که:
formula_34 اگر formula_35
یا formula_36 اگر formula_35
با استفاده از مربع (مجذور) هر دو سمت می‌توانیم عبارت قبلی را به شکل زیر بنویسیم:
formula_38 اگر formula_35
بنابراین formula_40
و این formula_41 را اثبات می‌کند.
دنبالهٔ روبرو را در نظر بگیرید: می‌توان دریافت که اعداد این دنباله به عدد ۱٫۸ نزدیک می‌شوند. ۱٫۸ حد این دنباله‌است.
فرض کنید دنباله‌ای از عددهای حقیقی است. آنگاه می‌توان گفت عدد حقیقی حد این دنباله‌است هرگاه:
یعنی:
به ازای هر عدد حقیقی می‌توان یک عدد طبیعی پیدا کرد به گونه‌ای که برای تمام آنگاه .
عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت قدر مطلقی برابر است با فاصلهٔ میان و . همهٔ دنباله‌ها دارای حد نیستند، اگر دنباله ای حد داشت به آن "همگرا" و اگر نداشت "واگرا" می‌گوییم. می‌توان نشان داد که دنباله‌های همگرا، حد یکتا دارند.
حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.