نظریه پیچیدگی محاسباتی
نظریهٔ پیچیدگی محاسباتی (Computational complexity theory) شاخه‌ای از نظریهٔ محاسبات، علوم نظری رایانه و ریاضی است که به بررسی دشواری حل مسائل به وسیلهٔ رایانه (به عبارت دقیق‌تر به صورت الگوریتمی) می‌پردازد. این نظریه بخشی از نظریهٔ محاسباتی است که با منابع مورد نیاز برای حل یک مسئله سروکار دارد.
عمومی‌ترین منابع، زمان (مقدار زمان مورد نیاز برای حل مسئله) و فضا (مقدار حافظه مورد نیاز) می‌باشند. از سایر منابع می‌تواند به تعداد پردازنده‌های موازی (در حالت پردازش موازی) و… اشاره کرد. اما در اینجا عوامل بالا مورد بحث نیستند. باید به این نکته توجه داشت که نظریه پیچیدگی با نظریه قابل حل بودن متفاوت است. این نظریه در مورد قابل حل بودن یک مسئله بدون توجه به منابع مورد نیاز آن، بحث می‌کند. مواردی هست که می‌دانیم یک مسئله جواب دارد ولی راه حل و روش حل آن هنوز ارائه نگردیده و گاهی علاوه بر مشکل مذکور حتی با در دست داشتن راه حل، منابع و ابزار لازم جهت پیاده‌سازی آن مسئله را نداریم.
بعد از این نظریه که بیان می‌کند کدام مسائل قابل حل و کدام مسائل غیرقابل حل هستند، این سؤال به نظر طبیعی می‌رسد که درجه سختی مسئله چقدر است. نظریه پیچیدگی محاسبات در این زمینه‌است.
برای سادگی کار مسئله‌ها به کلاس‌هایی تقسیم می‌شوند، طوری که مسئله‌های یک کلاس از حیث زمان یا فضای مورد نیاز با هم مشابهت دارند. این کلاس‌ها در اصطلاح کلاس‌های پیچیدگی خوانده می‌شوند.
بعضی منابع دیگری که در این نظریه مورد بررسی قرار می‌گیرند، مثل عدم تعین صرفاً جنبهٔ آموزشی دارند ولی بررسی آن‌ها موجب درک عمیق‌تر منابع واقعی مثل زمان و فضا می‌شود.
معروف‌ترین کلاس‌های پیچیدگی، P و NP هستند که مسئله‌ها را از نظر زمان مورد نیاز تقسیم‌بندی می‌کنند. به‌طور شهودی می‌توان گفت P کلاس مسئله‌هایی است که الگوریتم‌های سریع برای پیدا کردن جواب آن‌ها وجود دارد. اما NP شامل آن دسته از مسئله‌هاست که اگرچه ممکن است پیدا کردن جواب برای آن‌ها نیاز به زمان زیادی داشته باشد اما چک کردن درستی جواب به وسیلهٔ یک الگوریتم سریع ممکن است. البته کلاس‌های پیچیدگی به مراتب سخت‌تری از NP نیز وجود دارند.
دقیقاً برابر بودن مسائل کلاس P با مسائل کلاس NP، یکی از مهم‌ترین سؤال‌های بدون جواب علوم کامپیوتری است. به بیانی دیگر اگر همیشه به این سادگی بتوان صحت یک راه‌حل را بررسی کرد، آیا پیدا کردن راه‌حل نیز می‌تواند به آن سادگی باشد؟ برای این سؤال یک جایزه ۱ میلیون دلاری از طرف انسیتیتو ریاضی Clay در نظرگرفته شده‌است. ما هیچ دلیلی برای قبول کردن آن نداریم ولی بین نظریه‌پردازان نیز این باور وجود دارد که باید جواب این سؤال منفی باشد. همچنین دلیلی برای رد کردن آن نیز وجود ندارد.
پیچیدگی زمانی یک مسئله تعداد گام‌های مورد نیاز برای حل یک نمونه از یک مسئله به عنوان تابعی از اندازهٔ ورودی (معمولاً به وسیلهٔ تعداد بیت‌ها بیان می‌شود) به وسیلهٔ کارآمدترین الگوریتم می‌باشد. برای درک بهتر این مسئله، فرض کنید که یک مسئله با ورودی n بیت در n² گام حل شود. در این مثال می‌گوییم که مسئله از درجه پیچیدگی n² می‌باشد. البته تعداد دقیق گام‌ها بستگی به ماشین و زبان مورد استفاده دارد. اما برای صرف نظر کردن از این مشکل، نماد O بزرگ (Big O notation) معمولاً بکار می‌رود. اگر یک مسئله پیچیدگی زمانی از مرتبه (O(n² روی یک کامپیوتر نمونه داشته باشد، معمولاً روی اکثر کامپیوترهای دیگر نیز پیچیدگی زمانی از مرتبه (O(n² خواهدداشت. پس این نشانه به ما کمک می‌کند که صرف نظر از یک کامپیوتر خاص، یک حالت کلی برای پیچیدگی زمانی یک الگوریتم ارائه دهیم.
پیچیدگی محاسباتی:
هنگامی که یک الگوریتم خاص را تحلیل می‌کنیم، پیچیدگی زمانی (یا حافظه‌ای) یا مرتبه پیچیدگی زمانی آن را تعیین می‌کنیم. عبارت است از مطالعهٔ تمام الگوریتم‌های امکانپذبر برای حل یک مسئله مفروض است. در تحلیل پیچیدگی محاسباتی کوشش می‌کنیم تا حد پایینی کارایی همه الگوریتم‌ها را برای یک مسئله مفروض به دست آوریم. تحلیل پیچیدگی محاسباتی را با مطالعهٔ مسئله مرتب‌سازی معرفی می‌کنیم. دو دلیل برای انتخاب مسئله وجود دارد. نخست چند الگوریتم ابداع شده‌اند که مسئله را حل می‌کنند. با مطالعه و مقایسه این الگوریتم‌ها، دیدی از چگونگی انتخاب از میان چند الگوریتم برای یک مسئله و بهبود بخشیدن به یک الگوریتم مفروض به دست می‌آوریم. دوم، مسئله مرتب‌سازی یکی از معدود مسائلی است که در بسط الگوریتم‌هایی با پیچیدگی زمانی نزدیک به حد پایینی از آن موفق بوده‌است.
تا این بخش از مقاله مسائلی معرفی شدند که اگر بتوان روشی برای حل آن‌ها حدس زد، در زمان نزدیک به زمان خطی یا حداقل در زمان چند جمله‌ای برحسب ورودی می‌توانستیم صحت راه‌حل را بررسی کنیم؛ ولی NP-Completeها مسائلی هستند که اثبات شده به سرعت قابل حل نیستند. در تئوری پیچیدگی NP-Completeها دشوارترین مسائل کلاس NP هستند و جزء مسائلی می‌باشند که احتمال حضورشان در کلاس P خیلی کم است. علت این امر این می‌باشد که اگر یک راه‌حل پیدا شود که بتواندیک مسئله NP-Complete را حل کند، می‌توان از آن الگوریتم برای حل کردن سریع همه مسائل NP-Complete استفاده کرد. به خاطر این مسئله و نیز بخاطر اینکه تحقیقات زیادی برای پیدا کردن الگوریتم کارآمدی برای حل کردن اینگونه مسائل با شکست مواجه شده‌اند، وقتی که مسئله‌ای به عنوان NP-Complete معرفی شد، معمولاً اینطور قلمداد می‌شود که این مسئله در زمان Polynomial قابل حل شدن نمی‌باشد، یا به بیانی دیگر هیچ الگوریتمی وجود ندارد که این مسئله را در زمان Polynomial حل نماید. کلاس متشکل از مسائل NP-Complete با نام NP-C نیز خوانده می‌شود.
مسائلی که در تئوری قابل حل شدن می‌باشند ولی در عمل نمی‌توان آن‌ها را حل کرد، محال یا ناشدنی می‌نامند. در حالت کلی فقط مسائلی که زمان آن‌ها به صورت Polynomial می‌باشد و اندازه ورودی آن‌ها در حد کوچک یا متوسط می‌باشد قابل حل شدن می‌باشند. مسائلی که زمان آن‌ها به صورت توانی (EXPTIME-complete) می‌باشند به عنوان مسائل محال یا ناشدنی شناخته شده‌اند. همچنین اگر مسائل رده NP جز مسائل رده P نباشند، مسائل NP-Complete نیز به عنوان محال یا نشدنی خواهند بود. برای ملموس‌تر شدن این مسئله فرض کنید که یک مسئله formula_1 مرحله لازم دارد تا حل شود (n اندازه ورودی می‌باشد). برای مقادیر کوچک n=۱۰۰ و با در نظر گرفتن کامپیوتری که formula_2 (10 giga) عملیات را در یک ثانیه انجام می‌دهد، حل کردن این مسئله زمانی حدود formula_3 سال طول خواهد کشید، که این زمان از عمر فعلی جهان بیشتر است!
به دلیل این که تعداد مسائل NP-Complete بسیار زیاد می‌باشد، شناختن این گونه مسائل به ما کمک می‌کند تا دست از پیدا کردن یک الگوریتم سریع و جامع برداریم و یکی از روش‌های زیر را امتحان کنیم:
یک مسیر ساده در یک گراف به مسیری اطلاق می‌شود که هیچ راس یا یال تکراری در آن وجودنداشته‌باشد. برای پیاده‌سازی مسئله ما به این احتیاج داریم که بتوانیم یک سؤال بلی/خیر طراحی کنیم. با داشتن گراف G، رئوس s و t و عدد k آیا یک مسیر ساده از s به t با حداقل k یال وجوددارد؟ راه‌حل این مسئله جواب سؤال خواهد بود. چرا این مسئله NP می‌باشد؟ چون اگر مسیری به شما داده شود، به راحتی می‌توان طول مسیر را مشخص نمود و آن را با k مقایسه کرد. همه این کارها در زمان خطی و صد البته در زمان Polynomial قابل انجام می‌باشد. اگر چه می‌دانیم که این مسئله آیا در کلاس P می‌باشد یا نه، با این حال روش خاصی برای پیدا کردن مسیری با ویژگی‌های ذکر شده نیز بیان نشده‌است؛ و در حقیقت این مسئله جز NP-Completeها می‌باشد، پس می‌توان به این نتیجه نیز رسید که الگوریتمی کارآمد با چنان عملیات وجود ندارد. الگوریتم‌هایی وجود دارند که این مسئله را حل می‌کنند، به عنوان مثال همه مسیرهای موجود و ممکن را بررسی نموده و نتایج مقایسه شوند که آیا این مسیر مسئله را حل می‌کند یا نه. اما تا آنجایی که می‌دانیم، الگوریتمی با زمان Polynomial برای حل این مسئله وجود ندارد.