حساب گزاره‌ای
حساب گزاره‌ها یا حساب گزاره‌ای (به انگلیسی: Propositional calculus) سامانه‌ای است صوری (formal) که به نمایش مواد و اصول منطق گزاره‌ای می‌پردازد. گزاره‌ها و ترکیب آن با ادوات منطقی شکل می‌گیرد. گزاره‌های مورد توجه منطق گزاره‌ها فقط گزاره‌های خبری‌ست. در منطق کلاسیک یا "منطق دو ارزشی"، گزاره‌ها دارای ارزش درست یا غلط هستند.
تذکر: بعضی منطق‌دان‌ها منطق گزاره‌ها را منطق جمله‌ها خواندند، ولی، به نظر می‌رسد با توجه به تفاوت زبانی "گزاره" و "جمله" و اینکه گزاره، فقط به جمله خبری گفته می‌شود، عبارت "منطق گزاره‌ها" صحیح‌تر است.
با وجود اینکه منطق گزاره‌ای (یا معادلا "حساب گزاره‌ای ") توسط فلاسفه ماقبل مورد اشاره قرار گرفته بود توسط رواقیون به یک منطق سوری توسعه یافت و خریسپیوس آن را گسترش داد. این منطق متمرکز بر گزاره‌ها بود. این پیشرفت با منطق قیاسی سنتی که مبتنی بر روابط است متفاوت بود. با این وجود با گذر زمان منطق گزاره‌ای توسعه یافته توسط رواقیون دیگر مورد فهم نبود و در نتیجه این سیستم توسط پیتر آبلارد بازآفرینی شد.
منطق گزاره‌ای در نهایت توسط منطق نمادین اصلاح شد .گوتفرید لایبنیتس به خاطر کارهایش در حساب دیفرانسیل و انتگرال استدلالی به عنوان بنیان‌گذار منطق نمادین شناخته می‌شود. با وجود این که آثار او اولین در نوع خود به حساب می‌آمد اما برای جامعهٔ علمی ناشناخته بود. در نتیجه بسیاری از پیشرفت‌های حاصله به لایبنیتس به‌طور کاملاً مستقل از او توسط منطق گرایانی مانند جرج بول و آگوستوس دمورگان دوباره به دست آمد.
درست همان گونه که منطق گزاره‌ای به نوعی یک پیشرفت در مقایسه با سیستم قدیمی تر منطق قیاسی است، منطق محمولاتی ابداع شده توسط گوتلاب فرگ هم پیشرفتی در مقایسه با منطق گزاره‌ای به حساب می‌آید. منطق محمولاتی به عنوان " تلفیقی از ویژگی‌های شاخص منطق قیاسی و منطق گزاره‌ای " توصیف شده‌است، در نتیجه آغازگر دورانی تازه در تاریخ منطق است. با این وجود پیشرفت‌های جدید در منطق گزاره‌ای بعد از فرگ هم انجام گرفته‌است از جمله کسر طبیعی، درخت‌های درستی و جدول ارزش. کسر طبیعی توسط گرهارد گنتزن و جان لوکاسویچ ابداع شده‌است اما در مورد منشأ اختراع جدول درستی بحث و اختلاف نظر وجود دارد.
ایده‌های پشت جدول ارزش در نوشته‌های هر دو فرگ و برتراند راسل یافت شده‌اند با این حال ساختار جدولی (یعنی قرار دادن مقادیر درستی در جدول‌ها) عمدتاً به لودویگ ویتگنشتاین، امیل لئون پست یا هر دو نسبت داده می‌شود (مستقل از یکدیگر). جدا از فرگ و راسل دیگرانی که به داشتن نظریاتی ماقبل جدول‌های درستی شناخته می‌شوند عبارتند از فیلو، بول، چارلز سندرز پرس و ارنست شرودر. همچنین علاوه بر پست و ویتگنشتاین ساختار جدولی را منتسب به افرادی چون لوکاسویچ، شرودر، آلفرد نورث وایت‌هد ،ویلیام استنلی جوونز، جان ون و کلارنس اروینگ لوویس می‌دانند. در نهایت بعضی چون جان شاشکی این‌گونه نتیجه‌گیری می‌کنند که «بدیهی است که هرکسی می‌تواند مخترع جدول ارزش شناخته شود».
به‌طور کلی، یک حساب سیستم صوری است که از مجموعه‌ای از عبارات نحوی، یک زیرمجموعهٔ مشخص از این عبارات (اصول) به علاوهٔ مجموعه‌ای از قواعد صوری تشکیل شده که یک رابطهٔ زوج مرتبی خاص را، به قصد آن که به عنوان یک هم نهشتی منطقی دریافت شود، روی فضای عبارات تعریف می‌کند.
هنگامی که قرار است سیستم صوری یک نظام منطقی باشد عبارات باید به صورت احکام برداشت شوند، قواعد شناخته شده به عنوان قوانین استنتاج معمولاً درستی نگهدار هستند. در این ساختار قوانین (که ممکن است شامل اصول شوند) می‌توانند برای به دست آوردن (استنتاج) فرمول‌هایی که بیانگر احکام درست هستند از فرمول‌های داده شده بر اساس احکام درست مورد استفاده قرار گیرند.
مجموعه اصول ممکن است تهی، یک مجموعه متناهی ناتهی، یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی یا طرحواره‌ای از اصول باشد. صرف و نحو صوری به‌طور بازگشتی عبارات و فرمول‌های خوش فرم زبان را توصیف می‌کند. به علاوه ممکن است یک معناشناسی داده شود که درستی و ارزشگذاری را تعیین کند (همان تفسیرها).
زبان یک منطق گزاره‌ای تشکیل شده از موارد زیر است:
۱- مجموعه‌ای از نمادهای ابتدایی که با الفاظ مختلف از جمله فرمول‌های اتمی، جا نگهدارها، ورتنده‌های گزاره‌ای یا متغیر شناخته می‌شوند.
۲- مجموعه‌ای از عملگرها که با نام‌هایی مانند رابط‌های منطقی یا عملگرهای منطقی شناخته می‌شوند.
یک فرمول خوش ساخت می‌تواند یک فرمول اتمی یا هر فرمول دیگری که می‌تواند بر اساس فرمول‌های اتمی و با استفاده از عملگرها در حوزهٔ قوانین نحوی ساخته شود باشد.
ریاضی دانان گاهی اوقات میان ورتنده‌های گزاره‌ای، متغیرهای گزاره‌ای و طرح‌واره تمایز قایل می‌شوند. ورتنده‌های گزاره‌ای یک گزارهٔ خاص را نمایش می‌دهند در حالی که متغیرهای گزاره‌ای تمام مجموعه فرمول‌های اتمی را فرا می‌گیرند. رایج است که ورتنده‌های گزاره‌ای را با formula_1, formula_2 و formula_3 و متغیرهای گزاره‌ای را با formula_4 , formula_5 و formula_6 نشان دهند. برای طرح‌واره هم معمولاً از حروف الفبای یونانی formula_7, formula_8, formula_9 استفاده می‌شود.
شرح ذیل حدود یک حساب گزاره‌ای استاندارد را مشخص می‌کند. فرموله سازی‌های بسیاری وجود دارند که همه تقریباً در اصل یکسانند اما دارای تفاوت‌هایی در جزییات زیر هستند:
۱- زبان، که در واقع مجموعهٔ خاصی از نمادهای ابتدایی و عملگر هاست.
۲- مجموعهٔ اصول یا فرمول‌های مشخص
۳- مجموعه قواعد استنتاج
می‌توانیم هر گزاره داده شده را با یک حرف که آن را یک ثابت گزاره‌ای می‌نامیم نمایش دهیم که این کار متناظر با نمایش دادن اعداد با حروف الفبا در ریاضیات است برای مثال formula_10. لازم است که تمام گزاره‌ها دقیقاً یکی از دو ارزش ممکن یعنی صحیح یا غلط را داشته باشند. برای مثال formula_11 را گزاره‌ای در نظر بگیرید که " بیرون باران می‌بارد ". این گزاره اگر باران ببارد صحیح و در غیر این صورت غلط خواهد بود.
با شروع از نقیض عملگرهای درستی را تعریف می‌کنیم. برای نمایش نقیض formula_5 از formula_13 استفاده می‌کنیم، که می‌تواند تکذیب گزاره formula_5 تلقی شود. در مثال فوق formula_13 بیان می‌کند که «الان بیرون باران نمی‌بارد». زمانی که formula_5 درست باشد، formula_13 غلط است و زمانی که formula_13 درست باشد،formula_5 غلط خواهد بود. formula_20 همواره همان مقدار درستی formula_5 را دارد.
یک تابع درستی است که از دو گزاره ساده‌تر مثلاً formula_5 و formula_4 ، یک گزاره مرکب می‌سازد. ترکیب عطفی formula_5 و formula_4 به صورت formula_26 نوشته می‌شود و بصورت " formula_5 و formula_4 " آن را می‌خوانیم. برای هر دو گزاره‌ای چهار وضعیتِ ممکن از مقادیر درستی وجود دارد:
1- formula_5 درست و formula_4 درست باشد
2- formula_5 درست و formula_4 غلط باشد
3- formula_5 غلط و formula_4 درست باشد
4- formula_5 غلط و formula_4 غلط باشد
ترکیب عطفی formula_5 و formula_4 در مورد یک درست و در سایر موارد غلط است. هنگامی که formula_5 گزاره‌ای باشد که «بیرون باران می‌بارد» و formula_4 گزاره‌ای باشد که «یک جبههٔ هوای سرد در اطراف کانزاس است»، formula_26 تنها زمانی درست است که:
بیرون باران ببارد و یک جبههٔ هوای سرد در اطراف کانزاس باشد.
اگر بیرون باران ببارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس نباشد formula_26 غلط خواهد بود.
اگر بیرون باران نبارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس باشد formula_26 غلط خواهد بود.
اگر بیرون باران نبارد و جبههٔ هوای سرد در کانزاس نباشد formula_26 غلط خواهد بود.
ترکیب فصلی از آن جهت که یک گزاره مرکب از دو گزاره ساده‌تر تولید می‌کند مشابه ترکیب عطفی است. ترکیب فصلی را به formula_45 نمایش می‌دهیم که "formula_5 یا formula_4" خوانده می‌شود.
این گزاره بیان می‌کند که یا formula_5 یا formula_4 یا هردو درست هستند؛ بنابراین در مثال‌های بالا ترکیب فصلی formula_5 و formula_4 در تمام موارد غیر از مورد چهارم درست است. طبق مثال قبلی ترکیب فصلی بیان می‌کند که یا باران می‌بارد یا یک جبهه هوای سرد بر فراز کانزاس است.
توجه شود که ترکیب فصلی باید به نوعی استفاده از واژه "یاً را شبیه‌سازی کند اما بیشتر شبیه "یا عمومی" است، که برای نشان دادن صحیح بودن حداقل یکی از دو گزاره استفاده می‌شود. پس ترکیب فصلی با "یا انحصاری" در زبان انگلیسی که نشان دهنده درست بودن دقیقاً یکی از دو گزاره است تفاوت دارد. به عبارت دیگر "یا انحصاری" زمانی که هر دو گزاره formula_5 و formula_4 درست باشند غلط خواهد بود (مانند مورد اول). مثالی از یا انحصاری به شکل زیر خواهد بود: "شما می‌تواند پاستا یا سالاد بخورید، نه هر دو را". معمولاً در گفتگوهای عادی زبانی عبارت "ولی نه هر دو" حذف می‌شود اما به‌طور ضمنی مورد نظر است. در ریاضیات همیشه منظور از یا همان "یا عمومی است"، در صورتی که "یا انحصاری مورد نظر باشد به‌طور صریح، احتمالاً با استفاده از "xor" مشخص می‌شود
ترکیب شرطی نیز دو گزاره ساده‌تر را با هم ترکیب می‌کند و آن را با formula_54 نمایش می‌دهیم که خوانده می‌شود "اگر formula_5 آنگاه formula_4". گزاره سمت چپ "شرط مقدم" و گزاره سمت راست "شرط موخر" خوانده می‌شود (از آنجا که ترکیب فصلی و عطفی شرکت پذیر هستند چنین مشخصه‌ای برای آن‌ها تعریف نمی‌شود).
منطق گزاره‌ای نسبت به عملگرهای درستی نگهدار بسته است. یعنی برای هر گزاره formula_7, formula_58 هم یک گزاره است. برای مثال برای هر دو گزاره formula_7 formula_60, formula_61 هم یک گزاره است که به‌طور مشابه برای ترکیب فصلی، ترکیب شرطی و ترکیب دو شرطی هم برقرار است. این بیان می‌کند که از آنجا که formula_26 یک گزاره است می‌تواند با گزاره‌ای دیگر عطف شود. برای نمایش دادن این رابطه باید با استفاده از پرانتزها مشخص کنیم که کدام گزاره‌ها با هم عطف می‌شوند. برای نمونه formula_63 یک رابطه خوش ساخت نیست زیرا نمی‌دانیم که داریم formula_26 با formula_6 عطف می‌کنیم یا formula_5 با formula_67. بنابراین یا باید بنویسیم formula_68 تا اولی را نمایش دهیم با باید بنویسیم formula_69 تا نشان دهیم که شکل دوم مد نظر بوده‌است. با ارزیابی شرایط درستی در می‌یابیم که هر دو عبارت شرایط درستی یکسانی دارند و به‌طور جامع تر هر گزاره‌ای که با چینش دلخواهی از ترکیب ای عطفی ساخته شود، صرف نطر از جایگاه پرانتزها مقادیر درستی ثابتی خواهد داشت. این به خاطر آن است که ترکیب عطفی خاصیت پخشی دارد اما این موضوع نباید باعث شود وجود پرانتزها را بی‌دلیل بدانیم. به عنوان نمونه مقادیر درستی عبارت formula_70 با عبارت formula_71 یکسان نیست، بنابراین این‌ها عبارت‌های متفاوتی هستند که با توجه به قرارگیری پرانتزها از هم متمایز می‌شوند. خواننده می‌تواند این موضوع را با استفاده از جدول درستی تحقیق کند.
نکته: برای هر تعداد دلخواه از ورتنده‌های گزاره‌ای می‌توانیم مجموعه متناهی از حالت‌های ممکن برای مقادیر درستی آن‌ها را ارائه دهیم. یک راه ساده برای تولید این لیست استفاده از جداول درستی است. برای هر مجموعه formula_72 تایی از ورتنده‌های گزاره‌ای از حروف formula_5, formula_4, …, formula_75 استفاده می‌کنیم. در زیر این لیست formula_76 ردیف خالی می‌گذاریم. زیر formula_5 نیمهٔ اول ردیف‌ها را با «درست» (T) و نیمهٔ دوم را با «غلط» (F) پر می‌کنیم. زیر formula_4 یک چهارم را با T، یک چهارم بعدی را با F، یک چهارم سوم را با T و در نهایت یک چهارم آخر را با F پر می‌کنیم. ستون بعدی برای هر یک هشتم ردیف‌ها، ستون بعد تر برای هر یک شانزدهم و در نهایت ستون آخر برای هر ردیف بین مقادیر T و F نوسان می‌کند. این فرایند یک لیست کامل از نگاشت‌های درستی ممکن برای گزاره‌های اولیه را ارائه می‌دهد.
حساب گزاره‌ای می‌تواند یک استدلال را به عنوان مجموعه‌ای از گزاره‌ها تعریف کند. یک استدلال معتبر مجموعه‌ای از گزاره هاست که آخرین آن‌ها بر اساس بقیه نتیجه می‌شود. هر گزاره‌ای که در تعریف فوق صدق نکند مردود شناخته می‌شود. ساده‌ترین استدلال معتبر وضع مقدم است، که نمونه‌ای از آن در ذیل آمده‌است: این مجموعه‌ای از سه گزاره است که گزاره سوم از دو گزاره قبلی نتیجه می‌شود. به دو گزاره اول «فرض» و به گزاره سوم «نتیجه» می‌گوییم. می‌گوییم گزاره دلخواه formula_3 از مجموعه گزاره‌های formula_81 نتیجه می‌شود اگر زمانی که تمام گزاره‌های formula_81 درست باشند formula_3 هم درست باشد. در استدلال بالا برای هر formula_5 و formula_4 هنگامی که formula_54 و formula_5 درست باشند، لزوماً formula_4 هم درست خواهد بود. توجه شود که زمانی که formula_5 درست باشد حالت‌های ۳و۴ از جدول درستی را نمی‌توانیم در نظر بگیریم. هنگامی که formula_54 درست باشد هم حالت دوم را نمی‌توانیم در نظر بگیریم پس تنها حالت ۱ باقی می‌ماند که هم formula_5 و هم formula_4 درست هستند؛ بنابراین formula_4 بر اساس فرض‌ها نتیجه می‌شود.
بقیه شکل‌های استدلال علی رغم سادگی لزوماً مورد نیاز نیستند. در کنار مجموعهٔ کاملی از اصول وضع مقدم برای اثبات تمام استدلال‌های دیگر در حساب گزاره‌ای کافی است. توجه شود که این وضع د
ویژگی برجسته استدلال در حساب گزاره‌ای آن است که می‌توان بر اساس استدلال‌های ثابت شده، استدلال‌های درست جدید به دست آورد. در اولین مثال بالا، با دو فرض داده شده نمی‌توان در مورد درستی formula_4 اظهار نظری کرد اما بعد از استدلال درستی formula_4 نتیجه‌گیری می‌شود؛ بنابراین یک نظام قیاسی را به صورت مجموعهٔ تمام گزاره‌هایی که می‌توانند از هم نتیجه‌گیری شوند تعریف می‌کنیم. برای نمونه بر پایه مجموعه گزاره‌های formula_97، می‌توانیم سامانه قیاسی formula_98 را که جامع تمام گزاره‌های نتیجه شونده از formula_2 است تعریف کنیم. تصریح همواره مفروض است بنابراین formula_100 . همچنین بر اساس عضو اول و آخر formula_2 و نیز وضع مقدم، formula_6 نتیجه می‌شود پس formula_103. از آنجا که هنوز اصول به حد کافی غامض را معرفی نکرده‌ایم نمی‌توانیم نتیجه‌گیری دیگری داشته باشیم؛ بنابراین با وجود اینکه عمده سیستم‌های استنتاجی مورد مطالعه در حساب گزاره‌ای قادر به نتیجه‌گیری formula_104 هستند، این سیستم ضعیف تر از آن است که بتواند چنین گزاره‌ای را ثابت کند.
یک حساب گزاره‌ای یک سیستم صوری formula_105 است به‌طوری‌که:
مجموعهٔ "آلفا" formula_106 یک مجموعهٔ متناهی از اعضا موسوم به "نمادهای گزاره‌ای" یا "متغیرهای گزاره‌ای" است. از نظر نحوی این‌ها ساده‌ترین عناصر سازنده زبان نحوی formula_107 یا همان " فرمول‌های اتمی" هستند. در مثال‌های پیش رو اعضای formula_106 را عمدتاً با حروف formula_109, formula_110, formula_111 و … نشان می‌دهیم.
مجموعهٔ "امگا" formula_112 یک زیرمجموعهٔ متناهی از اعضا موسوم به " عملگرها یا رابط‌های منطقی است. مجموعهٔ formula_112 به شکل زیر به زیرمجموعه‌های مستقل افراز مجموعه می‌شود:
در این افراز، formula_115 مجموعهٔ عملگرها از Arity formula_116 است.
در حساب شناخته شده تر گزاره‌ای، formula_112 را معمولاً به شکل زیر افراز می‌کنیم:
مرسوم است که مقادیر ثابت درستی را عملگرهایی از مرتبه صفر در نظر می‌گیریم، بنابراین:
بعضی مؤلفان از نماد تیلدا(~)، به جای ¬ و بعضی دیگر از آمرسان (&) یا پیشوند K با جای ∧ استفاده می‌کنند. نمادگزاری برای مجموعهٔ مقادیر منطقی حتی متنوع تر است، به گونه‌ای که نمادهای {false, true}, {F, T}, or formula_121 در متون مختلف به جای {۰, ۱} استفاده می‌شوند.
مجموعهٔ «زتا» formula_122 یک مجموعهٔ متناهی از قواعد ترادیسی است که در کاربردهای منطقی اصطلاحاً قوانین استنتاج خوانده می‌شوند.
مجموعه «یوتا» formula_123 یک مجموعهٔ متناهی از نقاط اولیه است که وقتی قرار است به‌طور منطقی مفهوم شوند اصل موضوعی خوانده می‌شوند.
زبان formula_107، که با مجموعهٔ روابط خوش ساختش شناخته می‌شود، به‌طور استقرایی بر اساس قوانین زیر تعریف می‌شود:
۱- بر اساس قانون ۱، formula_109 یک رابطه است.
۲- بر اساس قانون ۲، formula_126 یک رابطه است.
۳- بر اساس قانون ۱، formula_110 یک رابطه است.
۴- بر اساس قانون ۲، formula_128 یک رابطه است.
فرض کنیم formula_129، به‌طوری‌که formula_106, formula_112, formula_122, formula_123 به صورت زیر تعریف شده‌اند:
فرض کنیم formula_156، به‌طوری‌که formula_106, formula_112, formula_122, formula_123 به صورت ذیل الذکر تعریف شده‌اند: در این مثال از حساب گزاره‌ای، هدف این است که قوانین استنتاج، برگرفته از قوانین استنتاج دستگاه موسوم به دستگاه نتیجه‌گیری طبیعی باشند. دستگاهی که در اینجا ارائه می‌شود فاقد هرگونه نقطه ابتدایی است. یعنی در تفسیر این دستگاه از عملیات منطقی، قضایا را از مجموعه‌ای تهی به عنوان اصول موضوعی استنتاج می‌شوند.
دستگاه گزاره‌ای ما دارای ده قانون نتیجه‌گیری است. این قوانین به ما اجازه می‌دهند تا از مجموعه‌ای از فرمول‌ها که به صورت پیش‌فرض درست تلقی شده‌اند، فرمول‌های صحیح دیگری را نتیجه بگیریم. نه قانون اول صرفاً بیان می‌کنند که چگونه می‌توان بعضی فرمول‌های خوش ساخت را از برخی دیگر نتیجه گرفت. اما آخرین قانون از استدلالی مبتنی بر فرض استفاده می‌کند، به این معنا که در پیش‌فرض این قانون، موقتاً فرض می‌کنیم که فرضیه‌ای اثبات نشده بخشی از فرمول‌های استنتاج شده ما باشد، تا امکان نتیجه گرفتن یک فرمول خاص دیگر را بررسی نماییم. از آنجا که نه قانون اول این کار را نمی‌کنند، آن‌ها را قوانین "غیر فرض محور" (به انگلیسی "non-hypothetical") می‌خوانند و قانون دهم را قانون "فرض محور" (به انگلیسی hypothetical) نامیده‌اند.
در توصیف قوانین استنتاج، ممکن است برای سادگی در زبان فراتر از گزاره‌ها (به انگلیسی metalanguage: سیستمی برای گزاره‌هایی راجع به گزاره‌ها) از نماد جدید formula_168 استفاده کنیم. این نماد، اختصاراً به معنی «نتیجه می‌دهد» می‌باشد و قالب استفاده از این نماد به صورت formula_169 است، که در آن formula_98 مجموعه‌ای (نه لزوماً ناتهی) از فرمولهاست که فرض (مقدم) نامیده می‌شوند، و formula_8 فرمولی است که نتیجه (یا مؤخر) نام دارد. قانون استنتاجی که formula_169 بیان می‌کند، به این معنی است که اگر تمام گزاره‌های عضو formula_98 قضیه باشند (یا مقدار درستی آن‌ها با اصول موضوعی یکسان باشد)، آنگاه formula_8 نیز یک قضیه خواهد بود. توجه نمایید که طبق تعریف عطف (به انگلیسی Conjunction introduction) خواهیم داشت که هرگاه formula_98 بیش از یک فرمول را شامل شود، می‌توان بی سادگی آن را به کمک عطف یا «و» منطقی آن‌ها را به یک گزاره مرکب کاهش داد. پس به این ترتیب می‌توان formula_98 را به جای یک مجموعه به صورت یک گزاره معرفی نماییم. مطلب دیگر آن که هرگاه formula_98 تهی باشد ممکن است آن را برای راحتی ننویسیم.یکی از استفاده‌های اصلی حساب گزاره‌ای، هنگامی که آن را معادل عملیات منطقی تفسیر نماییم، تشخیص روابط هم‌ارزی منطقی بین روابط گزاره‌ای است. این روابط هم‌ارزی به کمک قوانین استنتاج موجود تشخیص داده می‌شوند که به دنباله‌های آن‌ها "اثبات" یا "استنتاج" گفته می‌شود.
در ادامه، یک اثبات به صورت دنباله‌ای از خطوط شماره دار ارائه می‌شود که هر خط آن تنها یک رابطه را دربردارد، و به همراه آن "دلیل" یا "توجیه" صحت این رابطه نیز آمده‌است. هر پیش‌فرض برای استدلال، یعنی چیزی که به عنوان فرض از قبل پذیرفته شده، در ابتدای دنباله فهرست شده و به عنوان یک «پیش فرض» در محل توجیه موردنظر علامت‌گذاری شده‌است. نتیجه، در سطر پایانی بیان شده‌است. یک اثبات هنگامی کامل است که هر سطر، پیرو خط‌های پیشین با به‌کارگیری درست قوانین استنتاج باشد. (به عنوان یک راهکار متفاوت از این دستگاه، می‌توان روش نمودار تحلیل (درخت درستی)، یا به انگلیسی proof-trees، را معرفی نمود)رابطه formula_228 را به این صورت تفسیر کنید که "به فرض درستی formula_2، نتیجه می‌گیریم formula_2". همچنین، رابطه formula_231 را بخوانید «بدون هیچ فرضی نتیجه گرفتن formula_2، نشان می‌دهد formula_2"، یا "این یک راستگو (تاتولوژی) است که formula_2 نتیجه می‌دهد formula_2"، یا به عبارت دیگر "این همواره صحیح است که formula_2 نتیجه می‌دهد formula_2".
ویژگی بسیار مهم این مجموعه قوانین، "صحت" و "کامل بودن" آن است. به بیان شهودی، این بدان معنی است که قوانین درست هستند و به قوانین دیگری نیز نیاز نداریم. این ادعا را می‌توان همان‌طور که در ادامه خواهد آمد به صورت قاعده مند تری درآورد.
ما "نگاشت درستی" را به صورت تابعی تعریف می‌کنیم که متغیرهای گزاره‌ای را به یکی از مقادیر درست یا نادرست می‌نگارد، یا به عبارتی به هر گزاره یکی از مقادیر درست یا نادرست را نسبت می‌دهد. به‌طور شهودی، نگاشت درستی را می‌توان به صورت توصیف یک "حالت امور" یا "دنیای ممکن" تعبیر کرد، که در آن برخی جملات صحیح هستند و باقی نادرست هستند. پس مفهوم "معناشناسی روابط" را می‌توان این‌گونه به‌طور قاعده مند تعریف نمود که برای کدام «حالت امور» آن روابط درست تلقی می‌شوند، که تعریف زیر حاکی از همین موضوع است.
تعریف می‌کنیم که یک "نگاشت درستی" مانند formula_238، رابطه‌ای خوش ساخت (که قبل تر در همین متن تعریف شده‌است) را با قوانین زیر اقناع می‌کند:
با داشتن این تعاریف، اکنون می‌توانیم به‌طور قاعده مند تعریف نماییم، این که مجموعه‌ای چون formula_266 از روابط، دلیل بر رابطه formula_245 باشد به چه معناست. باز به‌طور شهودی این جمله هنگامی درست است که در تمام دنیاهایی که با توجه به درستی روابط formula_266 ممکن هستند، formula_245 نیز برقرار باشد. به عبارتی، در هر حالتی از امور که مجموعه روابط formula_266 در آن برقرار باشد، رابطه formula_245 نیز درست باشد. بر اساس این تعریف شهودی، به این تعریف قاعده مند خواهیم رسید: می‌گوییم مجموعه formula_266 از رابطه‌های خوش ساخت، "به لحاظ معنایی دلیل بر رابطه خوش ساخت formula_245 است"، هنگامی که هر نگاشت درستی که تمام رابطه‌های عضو formula_266 را اقناع می‌کند، formula_245 را نیز اقناع نماید.
در پایان، "دلالت بر اساس قواعد ترکیب" را این گونه تعریف می‌کنیم که formula_266 به لحاظ ترکیبی دلیل بر formula_245 است، هنگامی که بتوان formula_245 را بر اساس قوانین استنتاج (که قبل تر توضیح داده شد) در متناهی مرحله از روابط مجموعه formula_266 نتیجه گرفت؛ بنابراین می‌توانیم به‌طور دقیق صحت و کامل بودن را مطابق زیر تعریف نماییم: برای مجموعه قوانین فوق، این دو شرط برقرار هستند.