عدد پی
عدد formula_1 (با تلفظ در انگلیسی و «پی» در فارسی)، یک ثابت ریاضیاتی است. این ثابت به صورت نسبت محیط دایره به قطرش تعریف شده و تعاریف معادل مختلفی نیز دارد. این عدد در بسیاری از فرمول‌های ریاضیاتی، در تمام زمینه‌های ریاضیات و فیزیک ظاهر می‌شود. قدیمی‌ترین استفاده از حرف یونانی formula_1 جهت نمایش نسبت محیط دایره به قطرش، توسط ریاضیدان ویلزی به نام ویلیام جونز در ۱۷۰۶ میلادی بر می‌گردد. این ثابت تقریباً برابر با ۳٫۱۴۱۵۹ بوده و برخی مواقع به آن ثابت ارشمیدس هم گفته می‌شود.
از آنجا که formula_1 یک عدد گنگ است، نمی‌توان آن را به صورت کسر متعارفی بیان کرد، گرچه که کسرهایی چون را اغلب جهت تخمین آن به کار می‌برند. گنگ بودن آن را می‌توان به‌طور معادل اینگونه بیان کرد: نمایش مبنای ده (دسیمال) آن پایان ناپذیر بوده و هیچگاه الگوی تا ابد تکرار شونده ای نخواهد داشت. ارقام مبنای ده (و مبناهای دیگر) آن ظاهراً تصادفی بوده و حدس زده می‌شود که در نوع خاصی از تصادفی بودن آماری صدق می‌کند.
مشخص شده که formula_1 یک عدد متعالی است: یعنی ریشه هیچ چندجمله ای با ضرایب گویا نیست. متعالی بودن formula_1 ایجاب می‌کند که حل چالش باستانی تربیع دایره با خط‌کش و پرگار غیرممکن باشد.
تمدن‌های باستانی شامل مصریان و بابلیان، نیاز به تخمین‌های نسبتاً دقیقی از formula_1 برای محاسبات عملی داشتند. حدود ۲۵۰ قبل از میلاد بود که ریاضیدان یونانی به نام ارشمیدس، الگوریتمی را جهت تخمین formula_1 با دقت دلخواه ایجاد کرد. در قرن پنجم بعد از میلاد، ریاضیدانان چینی عدد formula_1 را تا هفت رقم اعشار تخمین زدند، در حالی که ریاضیدانان هندی به تخمین پنج رقمی دست یافته و هردو نیز از فنون هندسی در این تخمین‌ها بهره جستند. اولین فرمول دقیق برای formula_1، بر اساس سری‌های نامتناهی بود که هزار سال بعد کشف شد. این کشف در ریاضیات هند و طی کشف سری ماداوا-لایبنیتس (Madhava-Leibniz) حاصل شد.
به زودی، ابداع حسابان منجر به محاسبه صدها رقم از formula_1 شد که جهت استفاده در تمامی انواع محاسبات علمی کفایت می‌کرد. با این حال، در قرن ۲۰م و ۲۱م میلادی، ریاضیدانان و دانشمندان کامپیوتری به دنبال رهیافت‌های تازه ای رفته‌اند که در ترکیب با افزایش قدرت محاسباتی، نمایش ارقام formula_1 را به چندین تریلیون رقم توسعه داده‌اند. در حقیقت انگیزه اولیه و اصلی محاسبات جهت یافتن ارقام عدد formula_1، تبدیل این فرایند به نمونه آزمایشی جهت توسعه الگوریتم‌های کارا برای محاسبه سری‌های عددی، و همچنین عطش شکستن رکوردهاست. چنین محاسبات گسترده‌ای که در این فرایند به کار می‌رود، جهت آزمودن سوپرکامپیوترها و الگوریتم‌های ضرب با دقت بالا نیز به کار رفته‌اند.
از آنجا که مقدماتی‌ترین تعریف عدد formula_1، مربوط به دایره است، انبوهی از فرمول‌های مثلثاتی و هندسی دیگری نیز که برای آن یافته شده، فرمول‌هایی اند که با دایره‌ها، بیضی‌ها و کره‌ها در ارتباط اند. در آنالیز ریاضی مدرن تر، این عدد با استفاده از خواص طیفی دستگاه اعداد حقیقی، به صورت مقدارویژه یا تناوب توابع تعریف می‌گردد، بدون ارجاعی به هندسه. بنابر این در حوزه‌هایی از ریاضیات و علوم که در ظاهر ارتباط کمی با هندسه و دایره دارند، همچون نظریه اعداد و آمار و همچنین تقریباً در تمامی شاخه‌های فیزیک، عدد formula_1 ظهور پیدا می‌کند. حضور formula_1 در همه جا، هم در داخل جامه علمی و هم خارج آن، باعث شده که این عدد تبدیل به یکی از معروف‌ترین ثوابت ریاضیاتی گردد.
نمادی که ریاضیدانان برای نمایش نسبت محیط دایره به قطر آن به کار می‌برند حرف کوچک یونانی formula_1 است که «پی» تلفظ می‌شود و حرف اول کلمهٔ یونانی «پریمتروس» (به معنی محیط) است. کاربرد ریاضیاتی حرف کوچک پی (یا π در قلم‌های سنزسریف) با کاربرد حرف بزرگ پی (یعنی ) فرق دارد. حرف بزرگ پی برای نمایش ضرب دو دنباله استفاده می‌شود و کاربرد آن مشابه کاربرد در مجموع‌یابی است.
غالباً به‌عنوان نسبت محیط یک دایره formula_17 به قطر formula_18 تعریف می‌شود. یعنی: نسبت formula_19 صرف‌نظر از اندازهٔ دایره ثابت است. مثلاً اگر قطر دایره دو برابر شود، محیط آن هم دو برابر خواهد شد و نسبت formula_19 ثابت خواهد ماند. این تعریف به‌شکل ضمنی از هندسه اقلیدسی (مسطح) استفاده می‌کند؛ یعنی بااین‌که مفهوم دایره را می‌توان به هندسه نااقلیدسی تعمیم داد، این «دایره»ها دیگر لزوماً در معادلهٔ formula_21 صدق نخواهند کرد.
مقدار محیط دایره برابر است با طول قوسی که پیرامون دایره قرار دارد و این کمیت را می‌توان مستقل از هندسه و با استفاده از مفهوم حددر حساب دیفرانسیل و انتگرال محاسبه کرد. برای مثال، می‌توان طول قوس نیمهٔ بالایی دایرهٔ واحد، که معادلهٔ آن در دستگاه مختصات دکارتی برابر با است، را مستقیماً به شکل انتگرال زیر انتگرال حساب کرد:
این تعریف با استفاده از انتگرال را نخستین بار کارل وایرشتراس در ۱۸۴۱ به کار برد.
تعریف دیگری از عدد پی:
formula_22
این گونه تعاریف پی که به مفهوم محیط و به‌شکلی ضمنی به انتگرال وابسته‌اند امروزه در ادبیات علمی رایج نیستند. به گفتهٔ راینهولد رمرت دلیل آن این است که در آموزش حسابان در مدارس حساب دیفرانسیل معمولاً پیش از حساب انتگرال قرار می‌گیرد و از این رو به تعریفی از نیاز است که به دومی وابسته نباشد. یکی از این تعریف‌ها، که به ریچارد بالتزر منسوب است و ادموند لانداوآن را مشهور کرده‌است، از این عبارت است: دو برابر کوچکترین عددی است که در آن تابع کسینوس برابر ۰ است. کسینوس را می‌توان مستقل از هندسه به عنوان یک سری توانی, یا به‌عنوان ریشهٔ یک معادله دیفرانسیل تعریف کرد.
به همین ترتیب، , را می‌توان با استفاده از ویژگی‌های تابع نمایی مختلط، , ار متغیر مختلط تعریف کرد. مانند کسینوس، تابع نمایی مختلط را می‌تواند به چند شکل تعریف کرد. ازین‌رو مجموعهٔ اعداد مختلطی که در آن برابر یک است عبارت خواهد بود از یک تصاعد حسابی (موهومی) به صورت:
و فقط یک عدد حقیقی با این ویژگی وجود دارد. گونه‌ای انتزاعی‌تر از همین ایده، که از مفاهیم پیچیدهٔ ریاضیاتی توپولوژی وجبر استفاده می‌کند، قضیهٔ ذیل است: تنها یک (به تقریب خودریختی) تابع پیوسته یک‌ریختی وجود دارد که دامنه‌اش گروه R/Z از اعداد حقیقی تحت اعداد صحیح و بردش گروه ضربی اعداد مختلط قدر مطلق یک باشد و عدد برابر نصف بزرگی مشتق این هم‌ریختی است.
عددی گنگ است؛ یعنی نمی‌توان آن را به صورت یک عدد گویا (نسبت دو عدد صحیح) نوشت. گاه از کسرهایی مثل formula_23 برای تقریب استفاده می‌شود، ولی هیچ کسری برابر مقدار دقیق نیست. از آن‌جا که گنگ است، نمایش ده‌دهی آن تعداد نامتناهی رقم دارد و به شکل مختوم یا ده‌دهی متناوب نیست. اثبات‌های مختلفی برای گنگ بودن وجود دارد که غالباً مبتنی بر استفاده از حسابان و روش‌های تعلیق به محالند. هنوز معلوم نیست که را تا به چه اندازه‌ای می‌توان با استفاده از عدد گویا تقریب کرد (مقیاس گنگی آن محاسبه نشده‌است)؛ ولی بنابر تخمین‌ها مقیاس گنگی آن از مقیاس گنگی formula_24 یا formula_25 بزرگتر ولی از مقیاس گنگی اعداد لیوویل کوچک‌تر است.
ارقام اعشار هیچ الگوی مشخصی ندارند و شرایط تصادف آماری و اعداد نرمال را احراز می‌کنند. با این حال نرمال بودن ثابت نشده‌است. با ابداع کامپیوتر، تعداد انبوهی از ارقام برای تحلیل‌های آماری در دسترس ریاضی‌دانان قرار گرفت. یاسوماسا کانادا با انجام تحلیل‌های آماری روی ارقام آن‌ها را با شرایط نرمال هماهنگ دانست و نشانی از وجود الگو در آن‌ها نیافت. بنابر قضیه میمون نامتناهی، هر وقت دنباله‌ای تصادفی از ارقام به اندازه کافی بزرگ باشد، بخشی از آن شامل دنباله‌هایی است که به نظر غیر تصادفی می‌رسند. یک نمونهٔ دنباله‌های تصادفی در دنبالهٔ ارقام که به نظر غیرتصادفی می‌رسند از رقم ۷۶۲م در نمایش اعشاری آغاز می‌شود و در فولکلور ریاضی به نقطه فاینمن موسوم است.
می‌توان ثابت کرد که یکی از عددی متعالیاست، به این معنی که هیچ معادله جبری غیرثابت با ضرایب گویا (مثلاً) وجود ندارد که جوابش پی باشد.
از تعالی دو نتیجهٔ مهم می‌شود گرفت: یکی اینکه را نمی‌توان با استفاده از ترکیب متناهی اعداد گویا و ریشهٔ دوم (مانند یا ) بیان کرد. ثانیاً از آنجا که اعداد متعالی ترسیم‌پذیر نیستند، تربیع دایره با استفاده از خط‌کش و پرگار غیرممکن است، یعنی نمی‌توان تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار مربعی رسم کرد که مساحت آن برابر مساحت دایره‌ای معین باشد. تربیع مربع یکی از مهمترین مسائل هندسی در گذر تاریخ بوده‌است و با اینکه در ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمن نشان داد که پی عددی متعالی است و تربیع دایره غیرممکن است، هنوز برخی ریاضی‌دانان آماتور تلاش می‌کنند آن را حل کنند و گاه ادعا می‌کنند آن را حل کرده‌اند.
مانند همهٔ اعداد گنگ، ثابت نمی‌توان به صورت یک کسر متعارفی ساده (کسر معمولی، که صورت و مخرج آن اعداد صحیح هستند) نمایش داد. بااین‌حال همهٔ اعداد گنگ، از جمله را می‌توان با استفاده از سلسله‌ای نامتناهی از کسرهای تودرتو، موسوم به کسر مسلسل، نشان داد:
با قطع کردن این کسر مسلسل در هر مرحله، می‌توان تقریبی گویا از به‌دست‌آورد؛ چهار انقطاع و تقریب گویای اول این کسر مسلسل عبارتند از ۳، ۲۲/۷، ۳۳۳/۱۰۶، و ۳۵۵/۱۱۳. این اعداد شناخته‌شده‌ترین و پراستفاده‌ترین تقریب‌های عدد پی هستند. هر تقریبی که به این شکل به‌دست بیاید «بهترین تقریب گویا» در آن مخرج است، به این مفهوم که از هر عدد گویا با مخرج برابر یا کمتر به نزدیک‌تر است. از آن‌جا که عددی متعالی است، بنابر تعریف عدد جبری نیست و نمی‌تواند عدد گنگ درجه دو باشد. ازین‌رو کسر مسلسل دوره‌ای ندارد. بااین‌که در کسر مسلسل معمولی (که در بالا آمده‌است) هیچ الگوی مشخصی نیست، ریاضی‌دانان چند کسر مسلسل عام (کسر مسلسلی با صورت یا مخرج مختلط) برای آن کشف کرده‌اند که الگوی مشخصی دارند، ازآن‌جمله: =3+\textstyle \cfrac{1^2}{6+\textstyle \cfrac{3^2}{6+\textstyle \cfrac{5^2}{6+\textstyle \cfrac{7^2}{6+\textstyle \cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}} \\[8pt]
برخی از تقریب‌های عبارتند از:هر عدد مختلط می‌توان با استفاده از دو عدد حقیقی نمایش داد. در دستگاه مختصات قطبی، یک (شعاع یا "r") برای نمایش فاصلهٔ از مبدأ مختصاتی صفحه مختلط و عدد دیگر (زاویه یا ) برای نمایش چرخشی در خلاف جهت عقربه‌های ساخت از خط حقیقی مثبت به شکل زیر استفاده می‌شود: که در آن یکه موهومی‌ای است که در صدق می‌کند. حضور مداوم در آنالیز مختلط را می‌توان با رفتار تابع نمایی متغیر مختلط مرتبط دانست، که به‌شکل زیر با فرمول اویلر توصیف می‌شود:
که در آن عدد e پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این فرمول رابطه‌ای بین توان‌های موهومی و نقاط روی محیط دایره واحد که مرکز در مبدأ مختصاتی صفحهٔ مختلط قرار دارد برقرار می‌کند. با قرار دادن = در فرمول اویلر می‌توان اتحاد اویلر را به‌دست‌آورد. سرشناسی این اتحاد نزد ریاضی‌دانان از آن رو است که پنج تا از مهم‌ترین ثابت‌های ریاضی را در خود دارد:
محاسبه می‌شوند.
در بابل کهن بین ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد عدد پی را به صورت = ۳٫۱۲۵ تخمین زدند. در مصر باستان نیز بین ۱۶۰۰ تا ۱۸۵۰ سال پیش از میلاد () ≈ ۳٫۱۶۰۵ برآورد کردند. عدد پی عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی‌دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه‌ها راجع به مساحت دایره بوده‌است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریهٔ پاپیروس است که می‌گفت: اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "۳٫۱۶" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است.
تقریب اعشاری عدد پی
پس از آن که مشخص شد که عدد پی، عددی گنگ است؛ اولین نظریه در مورد مقدار تقریبی عدد پی توسط ارشمیدس بیان شد. این نظریه بر پایه تقریب زدن مساحت دایره به وسیلهٔ یک شش ضلعی منتظم محیطی و یک شش ضلعی منظم محاطی استوار است.
ریاضیدانان اروپایی در قرن هفدهم به مقدار واقعی عدد پی نزدیک‌تر شدند. از جمله این دانشمندان جیمز گریگوری بود که برای پیدا کردن مقدار عدد پی از فرمول زیر استفاده کرد: formula_26
یکی از مشکلاتی که در این روش وجود دارد این است که برای پیدا کردن مقدار عدد پی تا ۶ رقم اعشار باید پنج میلیون جمله از سری فوق را با هم جمع کنیم.
طبق محاسبهٔ کامپیوتری سری فوق، تعداد سری و اعشار محاسبه شده مطابق زیر است:
ارقام بالا نشان می‌دهد که این الگوریتم رشد نمایی شدیدی دارد که زمان زیادی را می‌تواند برای محاسبهٔ ارقام بسیار بالا صرف نماید.
در سال ۱۷۶۱ لامبرت ریاضیدان سوئیسی ثابت کرد که عدد پی گنگ است و نمی‌توان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. همچنین در سال ۱۸۸۲ فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که عدد پی یک عدد جبری نیست و نمی‌تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند (همانند عدد e). کشف گنگ بودن عدد پی، به سال‌ها تلاش ریاضی‌دانان برای تربیع دایره پایان داد.
در اوایل قرن هجدهم ریاضیدان دیگری به نام جان ماشین فرمول گریگوری را اصلاح کرد که این فرمول امروزه نیز در برنامه‌های رایانه‌ای برای محاسبه عدد پی مورد استفاده قرار می‌گیرد. این فرمول به صورت زیر است:
formula_27
با استفاده از این فرمول یک انگلیسی به نام ویلیام شانکس مقدار عدد پی را تا ۷۰۷ رقم اعشار محاسبه کرد، در حالیکه فقط ۵۲۷ رقم آن درست بود.
با آن که همه ریاضیدانان می‌دانند که عدد پی گنگ است و هرگز نمی‌توان آن را به طور دقیق محاسبه کرد اما ارائه فرمول‌ها و مدل‌های محاسبه عدد پی همواره برای آنها از جذابیت برخوردار بوده است. بسیاری از آنها همه عمر خود را صرف محاسبه ارقام این عدد کردند اما هرگز نتوانستند تا پیش از ساخته شدن کامپیوتر این عدد را بیش از هزار رقم اعشار محاسبه کنند.
امروزه مقدار عدد پی با استفاده از پیشرفته‌ترین رایانه‌ها تا میلیون‌ها رقم محاسبه شده‌است و تعداد این ارقام هنوز در حال افزایش است. اولین محاسبه کامپیوتری در سال ۱۹۴۹ انجام گرفت و این عدد را تا ۲۰۰۰ رقم محاسبه کرد و در اواخر سال ۱۹۹۹ یکی از سوپر کامپیوترهای دانشگاه توکیو این عدد را تا ۲۰۶٬۱۵۸٬۴۳۰٬۰۰۰ رقم اعشار محاسبه کرد.
از سال ۱۹۸۸ روز ۱۴ مارس را در آمریکا روز عدد پی نام نهاده‌اند و جشن می‌گیرند. روزهای دیگری نیز برای عدد پی در دیگر کشورها تعیین شده و مراسمی برای معرفی عدد پی و اهمیت آن برگزار می‌شود.
در قرن نهم هجری، غیاث‌الدین جمشید کاشانی، ریاضی‌دان دانشمند ایرانی، در "رسالة المحیطیه" که دربارهٔ دایره نوشت، عدد پی را با ۱۶ رقم درست پس از ممیز یافت که تا ۱۸۰ سال بعد کسی نتوانست آن را گسترش دهد."مرتبط: " از آن‌جا که ارتباط نزدیکی با دایره دارد، می‌توان در بسیاری از فرمول‌های هندسه و مثلثات، به ویژه فرمول‌هایی که مربوط به دایره، کره، یا بیضی می‌شوند رد پای آن را دید. همچنین در فرمول‌های دیگر علوم از جمله ریاضیات تحلیلی، نظریه اعداد، فیزیک، آمار، احتمالات، مهندسی، و زمین‌شناسی دیده می‌شود.