معادله دیراک
معادلۀ دیراک، معادله‌ای در مکانیک کوانتومی است که از گسترش معادله شرودینگر برای تابع موج ذرّات به‌دست می‌آید. برتری آن بر معادلۀ شرودینگر در این است که معادلۀ دیراک نظریه نسبیت خاص را نیز در بر می‌گیرد. این معادله را فیزیکدان بریتانیایی پل دیراک پدید آورد. خود دیراک این معادله را بر پایۀ معادله کلاین-گوردون گسترش داد. در این راه او به حالت‌هایی با تکانه زاویه‌ای j=1/2 در طبیعت پی برد. این موضوع به ویژه در دریافت حالت‌های با انرژی منفی کارایی داشت.
معادلۀ شرودینگر در شکل نانسبیتی آن به شکل زیر است:
formula_1
این معادله بر پایۀ پنداشتهای نانسبیتی به‌دست آمده است. در این معادله، وابستگی به زمان خطی است ولی وابستگی به مکان در آن ناخطی است. این معادله نسبت به تبدیلهای گالیله ناورداست اما نسبت به تبدیلهای لورنتز ناوردا نمی‌ماند. افزون بر این معادلهٔ شرودینگر نمی‌تواند اسپین ذرات را پیش‌بینی کند و اسپین را باید دستی در پاسخهای آن نهاد. این ناکاریها فیزیک را به جستجوی معادله‌ای رهنمون کرد که چنین کمبودهایی نداشته باشد. در فیزیک با موردهایی روبرو می‌شویم که باید تصحیحهای نسبیتی را هم در شمار آوریم. از این رو باید به‌دنبال معادله‌ای باشیم که نسبت به تبدیلهای لورنتز ناوردا باشد، چرا که این تبدیلها نسبت به تبدیلهای گالیله فراگیرتر و همگانی‌تریند.
دیراک در پی یافتن معادلۀ شرودینگری به ریخت
formula_2
با همیلتونی  formula_3
بود که عملگرهای formula_4و formula_5در آن نه به سازند فضا زمانی formula_6و نه به مشتق آن (formula_7)وابسته باشد. از سوی دیگر چون formula_8 هرمیتیست، ناگزیر formula_4و formula_5 هم باید هرمیتی باشند، به دیگر سخن
formula_11
باشد. از سوی دیگر همیلتونیformula_8 باید به ریخت انرژی نسبیتی formula_13
باشد. بنابراین formula_14
formula_15 و همچنین
formula_16
پس در پی یافتن معادله‌ موجی با هنج مثبت و هامیلتونی هرمیتی به معادله دیراک دست می‌یابیم که هم نسبت به مکان و هم نسبت به زمان از مرتبه یک است.
معادله دیراک، تابع موجی ذرّات با اسپین نیم یعنی فرمیون‌ها را (مانند الکترون‌ها) بیان می‌کند. ولی معادله کلاین-گوردون برای ذرّات با اسپین صفر (مانند برخی از مزون‌ها) درستست. دیراک همچنین توانست با معادله‌اش، پادماده به‌ویژه پوزیترون را سه سال پیش از یافتن آن‌ها در آزمایش پیش‌بینی کند. چنانچه هیچ نیروی بیرونی درکار نباشد، معادلهٔ دیراک به ریخت زیر نوشته می‌شود:
formula_17
در اینجا formula_18 با نمادنویسی خط مورب فاینمن جمع‌ بسته می‌شود. formula_19 ماتریس‌های 4×4 هستند که به نام ماتریس‌های دیراک شناخته می‌شوند.
formula_20
formula_21 نیز ماتریس‌های پاولی نام دارند.
در الگوی بهنجار ذره‌های بنیادی همهٔ ذره‌های بنیادی اسپین نیم دارند و از معادلهٔ دیراک پیروی می‌کنند. در الگوی بهنجار ذره‌های بنیادی نوترینوها وارون لپتونهای باردار هم‌خانواده‌شان بی‌جرم پنداشته می‌شوند و بنابراین از معادلهٔ دیراک بی‌جرم پیروی می‌کنند. بنا بر نگرهٔ کوانتمی میدان برای به‌دست آوردن معادلهٔ حرکت باید از لاگرانژی میدان آغازید. برای میدانی فرمیونی آزاد مانند formula_22 لاگرانژی دیراک را می‌توان به ریخت زیر نوشت: formula_23 که formula_22 در آن میدانی اسپینوری با چهار سازند است و میدان همیوغ آن formula_25 و نیز عملگر مشتق‌گیر دوسویه formula_26 برابرست با formula_27 و عملگر مشتق‌گیر همسو با پیکان رویش یا تنها بر میدانهای سوی راستش و یا تنها بر میدانها سوی چپش کاراست، بدین‌گونه که formula_28 بوده و همان عملگر مشتق‌گیر همیشگیست. بنابراین بنا بر معادلهٔ اولر لاگرانژ در نگرهٔ کوانتمی میدان داریم:
formula_29
بنابراین با بازکردن لاگرانژی دیراک
formula_30
و گرفتن مشتق از مشتق همیوغ میدان و خود همیوغ میدان و نهادن آن در معادلهٔ اولر لاگرانژ خواهیم داشت:
formula_31
پس
formula_32
و سرانجام به معادلهٔ دیراک می‌رسیم:
formula_33
لاگرانژی دیراک را به ریخت formula_34 هم می‌نویسند که با ریخت نوشته شده در بالا در formula_35 توفیر دارد. ولی بنا بر قضیهٔ گوس انتگرال مشتقی کامل جمله‌ای سطحی می‌باشد که چنین جمله‌ای نسبت به وردش کنش ناورداست و از این رو پیامدی بر معادلهٔ دیراک ندارد.
معادله کلاین-گوردون
معادله شرودینگر