متغیر تصادفی
در آمار و احتمال، متغیر تصادفی متغیری است که مقدار آن از اندازه‌گیری برخی از انواع فرایندهای تصادفی بدست می‌آید. به‌طور رسمی‌تر، متغیر تصادفی تابعی است از فضای نمونه به اعداد حقیقی. به‌طور مستقیم متغیر تصادفی توصیف عددی خروجی یک آزمایش است (مثل برآمدهای ممکن از پرتاب دو تاس (۱و۱) و (۱و۲) و غیره).
متغیرهای تصادفی به دو نوع گسسته (متغیر تصادفی که ممکن است تعداد محدود یا توالی نامحدودی از مقادیر را بگیرد) و پیوسته (متغیری که ممکن است هر مقدار عددی در یک یا چند بازه را بگیرد) طبقه‌بندی می‌شوند. مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی می‌تواند نشان‌دهندهٔ برآمدهای آزمایشی که هنوز انجام نشده یا مقادیر بالقوهٔ یک کمیت که مقدارهای موجود آن نامطمئن هستند (مثلاً در نتیجه اطلاعات ناقص یا اندازه‌گیری نادقیق) باشد. یک متغیر تصادفی می‌تواند به عنوان یک کمیت که مقدارش ثابت نیست و مقادیر مختلفی را می‌تواند بگیرد در نظر گرفته شود و توزیع احتمال برای توصیف احتمال اتفاق افتادن آن مقادیر استفاده می‌شود.
متغیرهای تصادفی معمولاً با اعداد حقیقی مقداردهی می‌شوند؛ ولی می‌توان انواع دلخواهی مانند مقدارهای بولی، اعداد مختلط، بردارها، ماتریس‌ها، دنباله‌ها، درخت‌ها، مجموعه‌ها، شکل‌ها، منیفلدها، توابع و فرایندها را در نظر گرفت. عبارت المان تصادفی همه این نوع مفاهیم را دربرمی گیرد.
متغیرهای تصادفی که با اعداد حقیقی مقداردهی می‌شوند، در علوم برای پیش‌بینی براساس داده‌های بدست آمده از آزمایش‌های علمی استفاده می‌شوند. علاوه بر کاربردهای علمی، متغیرهای تصادفی برای آنالیز بازی‌های قمار و پدیده‌های تصادفی به وجود آمدند. در چنین مواردی تابعی که خروجی را به یک عدد حقیقی می‌نگارد معمولاً یک تابع همانی یا به‌طور مشابه یک تابع بدیهی است و به‌طور صریح توصیف نشده‌است. با این وجود در بسیاری از موارد بهتر است متغیر تصادفی را به صورت توابعی از سایر متغیرهای تصادفی در نظر بگیریم که دراینصورت تابع نگاشت استفاده شده در تعریف یک متغیر تصادفی مهم می‌شود. به عنوان مثال، توان دو یک متغیر تصادفی با توزیع استاندارد (نرمال) خود یک متغیر تصادفی با توزیع کی دو است. شهود این مطلب بدین صورت است که تصور کنید اعداد تصادفی بسیاری با توزیع نرمال تولید کرده و هرکدام را به توان دو برسانیم و سپس هیستوگرام داده‌های بدست آمده را بکشیم در اینصورت اگر داده‌ها به تعداد کافی باشند، نمودار هیستوگرام تابع چگالی توزیع کی دو را با یک درجه آزادی تقریب خواهد زد.
در برخی از کتاب‌های قدیمی‌تر به جای «متغیر تصادفی» اصطلاح‌های «"متغیر شانسی"» و «"متغیر استوکاستیکی"» هم به کار رفته‌است.
انواع متغیر تصادفی گسسته: ۱. برنولی ۲. دو جمله‌ای ۳. دو جمله‌ای منفی ۴. پواسون ۵. هندسی ۶. فوق هندسی ۷. زتا انواع متغیر تصادفی پیوسته:۱. تکنواخت ۲. نمایی ۳. نرمال ۴. گاما ۵. بتا ۶. کشی 7. t استیودنت
با توجه به وضع شمارایی فضای نمونه‌ای S، متغیر می‌تواند گسسته یا پیوسته باشد. اگر S متناهی یا نامتناهی شمارا باشد متغیر تصادفی X گسسته و اگر ناشمارا باشد X پیوسته خواهد بود.
یک توزیع همچنین می‌تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد.
/* انواع */ متغیر تصادفی گسسته: متغیر تصادفی پیوسته:
متغیرهای تصادفی گسسته:
متغیر تصادفی برنولی: یک برد وباخت ساده است؛ که مربوط به یک آزمایش برد و باخت ساده است و فقط مقادیر ۰٬۱ را می‌پذیرد. احتمال موفقیت را با p و احتمال شکست را با q نشان می‌دهند. مثال: در یک سکهٔ سالم احتمال ظاهر شدن شیر ۲برار احتمال ظاهر شدن خط است اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده در یکبار پرتاب سکه باشد جدول احتمال xرا تشکیل دهید.
متغیر تصادفی دوجمله ای: از تکرار آزمایش برنولی تعداد nبار متغیر تصادفی دو جمله‌ای حاصل می‌شود. مثال:یک سکه سالم ۳بار پرتاب می‌شود (یا ۳سکه پرتاب می‌شود) اگر xتعداد شیرهای ظاهر شده باشد مجموع مقادیر x عبارت است از: {۰٬۱٬۲٬۳}=(p(x
متغیر تصادفی هندسی (متغیر هندسی): اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا اولین موفقیت ظاهر شود تعداد دفعات تکرار آزمایش را متغیر تصادفی است که متغیر تصادفی هندسی نامیده می‌شود. مثال:یک سکه سالم آنقدر پرتاب می‌شود تا اولین شیر ظاهر شود احتمال آزمایش پس از ۱۰دفعه پرتاب تا زمانی که متوقف شود.
متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی: اگر یک آزمایش برنولی آنقدر تکرار شود تا kاُمین موفقیت ظاهر شود آنگاه تعداد دفعات تکرار آزمایش یک متغیر تصادفی است، که متغیر تصادفی دوجمله‌ای منفی نامیده می‌شود. مثال:یک سکهٔ سالم آنقدر پرتاب می‌شود که (سومین) شیر ظاهر شود، احتمال متوقف شدن آزمایش در پرتاب هشتم.
متغیر تصادفی فوق هندسی: اگر در جامعه‌ای به حجم K ,N نفر دارای یک ویژگی بخصوص باشند و از این جامعه یک نمونه به حجم n انتخاب کنیم در صورتی که تعداد اعضای نمونه که دارای آن ویژگی هستند را با x نشان دهیم آنگاه x یک متغیر تصادفی است که متغیر تصادفی فوق هندسی نامیده می‌شود. مثال: ۲۵٪ پنالتی‌های یک بازیکن بسکتبال وارد سبد نمی‌شود احتمال اولین پنالتی داخل سبد پس از ۶پرتاب.
متغیر تصادفی پواسون: تعداد آزمایش‌های تصادفی که در یک محدوده مشخص رخ می‌دهد متغیر تصادفی پواسون نامیده می‌شود. مثال: تعداد پست‌های خالی که (در طول یک سال) در دیوان عالی ایجاد می‌شود.
نتایج ممکن برای آزمایش پرتاب سکه شیر و خط است پس { شیر، خط }=formula_1 می‌توانیم متغیر تصادفی formula_2 را به صورت زیر تعریف کنیم
formula_3
اگر فرض کنیم که احتمال شیر یا خط آمدن یکسان و برابر formula_4 است آنگاه تابع جرمی احتمال (pmf) به صورت زیر است.
formula_5
برای توصیف نتیجه یک پرتاب تاس نیز می‌توان از متغیر تصادفی استفاده کرد فضای حالت را به شکل مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶}=formula_1 زیر در نظر می‌گیریم اگر متغیر تصادفی X را مساوی با نتیجه تاس تعریف کنیم آنگاه:
formula_7
و pmf این متغیر به صورت زیر خواهد بود.
formula_8
به عنوان یک مثال برای حالت پیوسته یک دیسک گردان که با چرخش خود می‌تواند جهتی را در افق مشخص کند در نظر بگیرید می‌توانیم جهت را با شمال و شمال شرق و … نشان دهیم اما متداول‌تر است که جهات را به اعداد حقیقی نسبت دهیم. برای این کار فرض می‌کنیم که نتیجه آزمایش را با زاویه‌ای که با سمت شمال می‌سازد توصیف کنیم در این صورت متغیر تصادفی می‌تواند مقادیر بازه (۰٬۳۶۰] را بگیرد. در این حالت اگر X را به عنوان متغیر تصادفی برابر با زاویه با شمال قرار دهیم احتمال وقوع هر X حقیقی برابر ۰ خواهد بود اما احتمال انتخاب شدن یک بازه مقداری بزرگتر از صفر خواهد بود برای مثال احتمال این که X در بازه [۰٬۱۸۰] قرار داشته باشد برابر ۰٫۵ است. در این حالت به جای استفاده از تابع جرمی احتمال از تابع چگالی احتمال استفاده می‌کنیم و می‌گوییم که چگالی احتمال X برابر ۱/۳۶۰ است و احتمال قرار گرفتن X در بازه‌ای به طول L برابر L/۳۶۰ است در حالت کلی برای حساب کردن احتمال قرار گرفتن X در یک بازه باید از تابع چگالی احتمال روی آن بازه انتگرال بگیریم.
یک مثال برای حالت مختلط این است که سکه را برتاب کنیم و در صورت این مه نتیجه شیر بود دیسک را بجرخانیم اگر نتیجه خط بود X=-۱ و اگر شید بود X برابر با زاویه با شمال است در این صورت احتمال X=-۱ برابر ۰٫۵ خواهد بود و احتمال حالت پیوسته را نیز با توجه به مثال قبل می‌توان حساب کرد (چگالی احتمال برابر ۱/۷۲۰ است).
تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به شکل زیر تعریف می‌شود.
formula_9
به عبارتی این تابع احتمال این که نتیجه از عددی خاص کوچکتر باشد را به ما می‌دهد. برخی از خواص این تابع در زیر آمده‌است.
۱-تابع formula_10 تابعی صعودی است.
۲- formula_11 formula_12 (حد در بی‌نهایت)
۳- formula_13 formula_14
اگر X یک متغیر تصادفی روی formula_15 باشد و formula_16 باشد آنگاه formula_17 نیز یک متغیر تصادفی روی formula_15 خواهد بود. تابع توزیع تجمعی formula_19 از رابطه زیر تبعیت می‌کند
formula_20
اگر g معکوس پذیر باشد یعنی "g وچود داشته باشد و با فرض صعودی بودن g می‌توان به رابطه زیر رسید.
formula_21
با فرض معکوس‌پذیری و مشتق‌پذیری می‌توان با مشتق گرفتن از دو طرف رابطه بالا نسبت به y رابطه‌ای بین دو تابع چگالی احتمال نیز پیدا کرد که به شکل زیر است.
formula_22.
اکر رابطه معگوس‌پذیری برقرار نباشد اما تعداد ریشه‌های g برای هر مقدار y تعداد شمارایی باشد (یعنی تعداد محدود یا شمارا نامحدودی ریشه برای "(y = g(x" داشته باشیم) رابطه بین دو تابع چگالی احتمال به صورت زیر در می‌آید.
formula_23
که "(x = g(y".
فرض کنید که X یک متغیر تصادفی پیوسته و حقیقی مقدار باشد و Y" = "X".
اگر "y" تابع مولد گشتاور یکسانی دارند در توزیع مساوی هستند.
این تساوی در صورتی برقرار است که احتمال تفاوت X و Y صفر باشد.
دو متغیر تصادفی X و Y مساوی هستند اگر به عنوان تابع روی فضای نمونه یکسان باشند
formula_38 http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Random_variable&oldid=437209168
Sheldon Ross ,Introduction to Probability Models Tenth Edition page 25