دیوید هیلبرت
دیوید هیلبرت (، ۲۳ ژانویه ۱۸۶۲ – ۱۴ فوریه ۱۹۴۳)، ریاضی‌دان آلمانی و از مشهورترین ریاضی‌دانان قرن نوزدهم و آغاز قرن بیستم بود. او از تأثیرگذارترین ریاضی‌دانان در پیدایش و گسترش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت است. از کارهای دیگر او، بنیان‌گذاری و گسترش آنالیز تابعی است.
او در کونیگس‌بِرگ زاده شد و در سال ۱۸۸۴ از دانشگاه این شهر دکترا گرفت و نزدیک ده سال را به تدریس در آن دانشگاه گذراند. سپس در ۱۸۹۵ به استادی دانشگاه گوتینگن رسید و تا پابان عمر در این شهر زیست.
داویت هیلبرت در ۲۳ ژانویهٔ ۱۸۶۲ در کونیگس‌برگ، شهری در پروس شرقی (روسیهٔ کنونی)، زاده شد و در ۱۴ فوریهٔ سال ۱۹۴۳ در شهر گوتینگن، آلمان درگذشت. او تنها فرزند اتو و ماریا هیلبرت بود و در پاییز ۱۸۷۲ وارد دبیرستان فِریدریکس‌کُولِگ (Friedrichskolleg)، همان مدرسه‌ای که ایمانوئل کانت ۱۴۰ سال پیش در آن تحصیل کرده‌بود، شد. اما پس از مدتی، از آنجا ناراضی شد و آنجا را ترک کرد. او در پاییز ۱۸۷۹ از دانشگاه هومبولت برلین دانش‌آموخته شد و در پاییز ۱۸۸۰ در دانشگاه کونیگس‌برگ ثبت نام کرد. از بهار ۱۸۸۲ با دوستان بااستعداد خود یعنی هرمان مینکوفسکی و آدولف هورویتس (دانشیار در گُوتینگِن) که با آن‌ها تبادل علمی ثمربخشی داشت آشنا شد.
در ۱۸۸۵ با پایان‌نامه «خواص ثابت ویژه شکل دوتایی توابع هارمونیک» زیر نظر فردیناند فون لیندمن دکترا گرفت. او در سال‌های ۱۸۹۵–۱۸۸۶ همان‌جا استاد بود. در سال ۱۸۹۲ با کِته یِرُش، دختر یک تاجر در همان شهر، ازدواج کرد. آن‌ها گفتند که می‌خواهند با استقلال از ثروت پدرش زندگی کنند.
وی از سال ۱۸۸۶ تا ۱۸۹۵ در ٔدانشگاهِ آلبرتوس-کونیگس‌بِرگ ریاضیات درس می‌داد و دورهٔ کاری پربار خود را در سال‌های ۱۸۹۵ تا ۱۹۳۰ در دانشگاه گوتینگن سپری کرد.
هیلبرت در سال ۱۸۹۵ با دخالت فلیکس کلاین به نمایندگی از او، استاد ریاضی دانشگاه گوتینگن شد، همان‌جا که در آن زمان بهترین مرکز تحقیقات ریاضیات در جهان بود. هیلبرت کتاب «مبانی هندسه» را در سال ۱۸۹۹ منتشر کرد که هدف آن مربوط کردن "اصول موضوعهٔ هندسه" به "اصل حساب" بود. وی در این کتاب به شرح نتیجه‌های بررسی‌های خود در این زمینه پرداخته‌است.
یکی از مهم‌ترین کارهای وی در صورت‌بندی اصول هندسهٔ اقلیدسی (و به‌طور کلی هندسهٔ اصل موضوعی) است. هیلبرت بنیان‌گذار یکی از مکاتب اصلی فلسفهٔ ریاضی با نام «صورت‌گرایی»، در آغاز قرن بیستم بوده‌است؛ در حقیقت این مکتب بعد از پایان مطالعات وی در اصول موضوعی هندسه بنیان گذاشته‌شد. هیلبرت در کشف و گسترش بسیاری از ایده‌ها، نظریه‌ها و اصول در حوزه‌های مختلف هندسه نقش داشته‌است.
اصل توازی هیلبرت (یا اصل توازی هیلبرت برای هندسهٔ اقلیدسی) چنین است: «هر چه باشد خط L و هر چه باشد نقطهٔ A غیر واقع بر خط L و P صفحهٔ شامل A و L باشد. آن گاه حداکثر یک خط در صفحهٔ P، گذرا از A موجوداست که شامل هیچ نقطه‌ای از L نیست.»
به بیانی ساده‌تر:
دو خط با هم موازی اند هرگاه همدیگر را نبرند، یعنی نقطه‌ای پیدا نشود که بر هر دو خط واقع باشد.
اصل توازی: به ازای هر خط و هر نقطه غیر واقع برآن یک و تنها یک خط به موازات خط مذکور وجود دارد که از نقطه مورد نظر می‌گذرد.
خود اقلیدس اصل توازی را این‌گونه بیان کرده‌است:
هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را ببُرد و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد اگر این خط را امتداد دهیم سرانجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است یکدیگر را می‌بُرند.
هیلبرت هم‌چنین علاقهٔ ویژه‌ای به برخی زمینه‌های فیزیک داشت و کارهای مهمی نیز در آن‌ها کرده‌است. این علاقه به‌ویژه در ارتباط وی با اینشتین و در راستای صورت‌بندی «نسبیت عام» نمود داشته‌است. هیلبرت را اغلب ریاضی‌دانی محض می‌دانند، اما او رئیس سمینار فیزیک اتمی مشهور گوتینگن بود که تأثیر بسیاری بر توسعهٔ نظریهٔ کوانتوم داشت.
هیلبرت، «اصول هندسه» (آلمانی: Grundlagen der Geometrie) را در سال ۱۸۹۹ نوشت که در آن به اصول موضوعهٔ هیلبرت پرداخت و آن را جایگزین اصول موضوعهٔ اقلیدس، که جنبه سنتی داشت و هنوز در کتاب‌های درسی آن زمان استفاده می‌شد، و به دور از کاستی‌های آن، کرد. در همین حال و به‌طور مستقل از او، نوزده دانشجوی آمریکایی رابرت لی مور به چاپ مجموعه‌ای از اصول موضوعه پرداخته بودند که برخی از این اصول، در روی‌کرد مور و هیلبرت بودند. روی‌کرد هیلبرت، اصول موضوعه را به سوی مدرن‌شدن برد. در این کار هیلبرت ابتدا مفاهیم تعریف‌نشده مانند نقطه، خط، تجانس جفت از نقاط، تجانس زاویه‌ها و خط و فضا را برشمرد و سپس هر دو هندسه یعنی هندسه مسطحه اقلیدس و هندسه فضایی را در یک سیستم متحد کرد.
در سال ۱۹۰۰ و در کنگرهٔ بین‌المللی ریاضی دانان، هیلبرت فهرستی از ۲۳ مسئله را پیش نهاد، که با قرار گرفتن حل این مسئله‌ها در صدر هدف‌های ریاضی‌دان‌ها، مسیر پیشرفت ریاضیات در قرن بیستم تعیین شد. از میان مسئله‌های معروف هیلبرت، تاکنون ۱۸ مسئله حل شده‌اند. از پنج مسئله دیگر، یکی تا حدی حل شده، دو مسئله حل‌نشده مانده‌اند، صورت یک مسئله مبهم است و یک مسئله هم به زمینه‌ای جز ریاضیات، به فیزیک، مربوط می‌شود.
هیلبرت یکی از بنیان‌گذاران ریاضیات قرن بیستم و آفرینندهٔ مکتب صورت‌گرایی در ریاضیات است، که بر ریاضیات این قرن اثر زیادی گذاشته‌است. یکی از دستاوردهای اساسی او در صورت‌گرایی و در مبانیِ هندسه است، که برخلاف مبانی اصل موضوعیِ نسبتاً شهودی‌تر اقلیدس، در بنا کردن هندسه بر پایهٔ اصلِ موضوعیِ محض مطرح شده‌است. کارهای او در ریاضی، عمیق و متنوع است. از جمله می‌توان نظریه ناورداها، نظریه میدان‌های جبری و تحقیق در مبانی هندسه و ریاضیات، و معادلات انتگرالی و فیزیکی را برشمرد. او سهم بزرگی در آنالیز ریاضی داشت. فضای برداری بی‌نهایت-بُعدی او که به فضای هیلبرت (Hilbert space) مشهورند، راه را برای آنالیز تابعی گشود.
در سال ۱۹۰۰، هیلبرت در دومین کنگره بین‌المللی ریاضی‌دانان در پاریس در یک سخنرانی از مسائل ریاضیات سخن گفت و پس از آن هرمان ویل دربارهٔ آن مسائل چنین گفت: «هرکس این مسائل را حل کند به کلاس افتخاری ریاضیدانان وارد می‌شود.» در همین سال هیلبرت، یک ریاضیدان برجسته در آلمان شد. او برای حل مسائل اساسی در نظریهٔ پایایی و مقاله‌ای مهم در نظریه اعداد در سال ۱۸۹۶ مشهور شد. در سال ۱۸۹۹ به درخواست کلاین، او کتاب مبانی هندسه را برای تجلیل از مقام گاوس و وبر در گوتینگن به چاپ رساند. آدولف هورویتس در نامه‌ای به هیلبرت دربارهٔ این کتاب نوشت: «شما با نوشتن این کتاب کوچک زمینهٔ شگرفی از تحقیقات را باز کردی که می‌توان آن را ریاضیات اصل موضوعه نامید که بسیار فراتر از قلمرو هندسه است. او در این سخنرانی ۲۳ مسئله در ریاضیات را برشمرد: