مشتق
مشتق ایدهٔ اصلی حساب دیفرانسیل، بخش اول آنالیز ریاضی است که نرخ تغییرات تابع را نشان می‌دهد. مشتق نیز، نظیر انتگرال، از مسئله‌ای در هندسه، یعنی یافتن خط مماس در یک نقطه از منحنی ناشی شده‌است.
مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد.
در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن مساحت سطح زیر یک نمودار و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند آیزاک بارو معلم آیزاک نیوتون بوده‌است.
اما مفهوم مشتق به شکل امروزی آن، نخستین بار در سال ۱۶۶۶ میلادی توسط نیوتون و به فاصلهٔ چند سال بعد از او، توسط گوتفرید لایب‌نیتس، مستقل از یکدیگر پدید آمد. این دو دانشمند در ادامهٔ کار خود، باز هم به‌طور مستقل، بخش دوم آنالیز ریاضی یعنی حساب انتگرال را عرضه کردند که اساس آن بر عمل انتگرال‌گیری قرار دارد.
نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.
پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوران بعد به آگوستَن لویی کوشی، برنهارد ریمان و برادران برنولی، یعنی یاکوب و یوهان، مربوط می‌شود. گیوم لوپیتال ، دانشمند فرانسوی، در سال ۱۶۹۶ نخستین کتاب درسی مربوط به آنالیز ریاضی را با نام «آنالیز بی‌نهایت کوچک‌ها برای بررسی منحنی‌ها» منتشر کرد که در واقع خلاصه‌ای از درس‌هایی بود که یوهان برنولی به عنوان معلم برای او نوشته بود. در این کتاب، قاعدهٔ رفع ابهام در حد، با استفاده از مشتق نیز آمده که به قاعدهٔ هوپیتال مشهور است ولی در واقع متعلق به یوهان برنولی بوده‌است.
اگر formula_1 نقطه‌ای از نمودار تابع formula_2 و formula_3 نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه formula_4 و شیب خط قاطع عبارت است از:
کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 نامیده می‌شود. اگر formula_7 ثابت نگه داشته شود و formula_9 به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 اگر فقط به formula_7 بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع formula_6 در formula_7 را بدست می‌دهد:
برای تابع formula_6 که در همسایگی نقطهٔ formula_17 تعریف شده‌است، اگر formula_18 وجود داشته باشد، formula_6 در formula_17 مشتق‌پذیر است. این حد (ریاضی) یکتا را با formula_21 نمایش داده و آن را مشتق تابع formula_6 در نقطهٔ formula_17 می‌نامند.
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند.
با تبدیل formula_9 به formula_25 تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود:
لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند.
لایبنیتس در سال ۱۶۷۵ میلادی با استفاده از عملگر تفاضلی formula_27 خارج قسمت تفاضلی formula_28 را به شکل formula_29 نوشت و برای مشتق تابع formula_6 در formula_7 نماد formula_32 را معرفی کرد که به صورت formula_33 نیز نوشته می‌شود. این نماد که نمایش دیفرانسیلی مشتق نامیده می‌شود، برای نمایش مشتق مراتب بالاتر به شکل formula_34 نوشته می‌شود. با استفاده از این نماد تعریف مشتق به صورت formula_35 در می‌آید.
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از formula_36 و برای مشتق دوم از formula_37 استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند.
مشتق تابع formula_6 را با formula_39 نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که formula_39 تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع formula_6 بدست آمده‌است و مقدارش در formula_7 با formula_43 نموده می‌شود. مختصات formula_7 و formula_45 واقع بر نمودار formula_6 با معادلهٔ formula_2 به هم مربوط می‌شوند، و علامت formula_48 نیز برای نمایش formula_43 بکار می‌رود که مقدارش در formula_7 به صورت formula_51 نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط ژوزف لویی لاگرانژ مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت formula_39 (مشتق اول)، formula_53 (مشتق دوم)، formula_54 (مشتق سوم)، formula_55 (مشتق چهارم) … formula_56 (مشتق formula_57ام) نشان می‌دهد.
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق formula_6 را به شکل formula_59 نشان می‌دهد. علامت formula_60 یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که formula_59 تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از formula_6 بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت formula_63 و مقدار آن در formula_7 به صورت formula_65 نوشته می‌شود.
مشتق راست: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_67 تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در formula_68 می‌باشد:
مشتق چپ: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_71 تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد، زیر در صورت وجود، مشتق چپ تابع در formula_68 می‌باشد:
تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد.
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد.
اگر تابع formula_6 در نقطهٔ formula_17 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در formula_68 شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع formula_6 در formula_17 ناپیوسته باشد، آنگاه در formula_17 مشتق‌پذیر نیست.
مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض formula_17 مشتق‌پذیر نیست:
منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع formula_6 داریم:
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند formula_6 را نسبت به تابع دیگری مانند formula_90 بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم.
توابع که به فرم formula_92 هستند را توابع پارامتری می‌نامند. در این حالت، مشتق formula_45 نسبت به formula_7 از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است:
اگر تابع formula_90 در نقطهٔ formula_17 و تابع formula_6 در formula_99 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع formula_100 نیز در formula_17 مشتق‌پذیر است و داریم:
به بیان دیگر، هرگاه formula_45 تابعی از formula_104 و formula_104 تابعی از formula_7 باشد، برای بدست آوردن مشتق formula_45 نسبت به formula_7، مشتق formula_45 نسبت به formula_104 را در مشتق formula_104 نسبت به formula_7 ضرب می‌کنیم.
همچنین به شکل دیگری برای توابع formula_6،formula_45 و formula_104 داریم:
مشتق هر تابع زوج، تابعی فرد است و مشتق هر تابع فرد، تابعی زوج است.
اگر formula_6 تابعی زوج و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
اگر formula_6 تابعی فرد و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت:
اگر formula_6 تابعی پیوسته در بازهٔ formula_129 شامل نقطهٔ formula_17 باشد، آنگاه تابع formula_131 با دامنهٔ formula_129 و با ضابطهٔ:
تابع اولیه یا پادمشتق تابع formula_6 نامیده می‌شود. تابع formula_131 روی formula_129 مشتق‌پذیر است و برای هر formula_137 داریم:
اگر formula_139 آنگاه مشتق تابع formula_104 از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
مشتق جزئی، پاره‌ای یا نسبی، به مشتق تابع چند متغیرهٔ formula_142 نسبت به یکی از متغیرها با ثابت در نظر گرفتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق جزئی را به جای formula_143 با formula_144 نمایش می‌دهند که «دِل»، «دِر» یا «پارشال» خوانده می‌شود. برای مثال، مشتق جزئی تابع formula_145 نسبت به formula_7 به صورت زیر نوشته می‌شود:
به‌طور کلی، حاصل حد زیر، در صورت وجود برابر مشتق جزئی تابع چند متغیرهٔ formula_6 نسبت به formula_149 در formula_150 است:
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی formula_2، رابطهٔ ضمنی آن به صورت formula_153 قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد:
مشتق جزئی تابع formula_160 میزان تغییرات formula_6 را در امتداد محورهای مختصات به دست می‌دهد در حالیکه مشتق جهت‌دار، سویی یا جهتی، میزان تغییرات formula_6 را در امتداد یک بردار دلخواه در فضا حساب می‌کند. اگر formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_164 تعریف شده باشد و formula_165 برداری شامل نقطهٔ formula_166 باشد، مشتق جهت‌دار formula_6 در formula_168 به صورت زیر محاسبه می‌شود:
که در آن نقطهٔ formula_170 باید متعلق به formula_165 باشد و formula_172 فاصلهٔ علامت‌دار formula_166 تا formula_170 است یعنی اگر formula_175 و formula_176 هم‌جهت باشند formula_177 و در غیر این صورت formula_178 در نظر گرفته می‌شود.
مشتق تابع برداری formula_179 با فرض اینکه مؤلفه‌های سمت راست بامعنی باشند، به صورت زیر تعریف می‌شود:
تابع formula_6 بر بازهٔ formula_182 پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های formula_6 بر بازهٔ formula_182 پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضایای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت formula_185 و formula_186 نوشت و از هر کدام به‌طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر formula_187 و formula_188 وجود داشته باشند مشتق تابع برداری formula_104 به صورت زیر نوشته می‌شود:
هرگاه formula_6 تابعی از formula_192 به formula_193 باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار formula_6 در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی formula_6 در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه formula_196 باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند.
برخلاف مشتق جزئی، در محاسبهٔ مشتق کل تابع formula_197 نسبت به متغیر formula_198، متغیرهای دیگر ثابت در نظر گرفته نمی‌شوند بلکه به formula_198 بستگی خواهند داشت و مشتق کل به صورت زیر تعریف می‌شود:
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت formula_7 به صورت زیر محاسبه می‌کند:
اگر تابع formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_17 پیوسته و یک به یک بوده و formula_21 موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع formula_206 در نقطهٔ formula_207 مشتق‌پذیر است و داریم:
تعبیر هندسی: شیب خط مماس بر منحنی formula_206 در نقطهٔ formula_210 برابر است با عکس شیب خط مماس بر منحنی formula_6 در نقطهٔ formula_212. (نقاط formula_213 و formula_214 متناظر هستند)
از قضیهٔ مشتق تابع معکوس، روابط زیر را نیز خواهیم داشت:
اگر تابع formula_6 روی بازهٔ formula_129 مشتق‌پذیر باشد تابع formula_39 خود ممکن است در نقطه‌ای مثل formula_17 مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر formula_220 موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع formula_6 در formula_17 موجود است و آن را با formula_223 نمایش می‌دهیم.
مشتق مراتب بالاتر یک تابع، از تعریف اصلی مشتق بدست می‌آید. به‌طوری‌که با مشتق گرفتن از مشتق اول تابع به مشتق دوم آن می‌رسیم و به همین ترتیب مشتق مراتب بالاتر نیز تعریف می‌شوند. به صورت کلی داریم:
مشتق formula_57ام چند تابع مهم نسبت به formula_7 که formula_17 و formula_228 اعداد ثابت هستند:
قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_182 دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 باشند، آنگاه حاصل‌ضرب formula_237 نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 است و داریم:
اگر تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته، روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر و formula_243 باشد آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن formula_246 است. عدد formula_244 با خاصیت فوق منحصر به فرد نیست و باید یک نقطهٔ درونی بازهٔ formula_182 باشد.
نقاط formula_244 در قضیهٔ رول نقاطی هستند که مماس بر نمودار در آن‌ها خطوط افقی است، یعنی قضیهٔ رول شرایط وجود مماس افقی را برآورد می‌کند.
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته باشد و formula_243 آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ formula_182 وجود دارد.
حالت خاص قضیهٔ رول: اگر فرض کنیم formula_254 با استفاده از قضیهٔ رول می‌توان گفت که بین هر دو ریشهٔ تابع مشتق‌پذیر formula_6 مشتقِ تابع یعنی formula_39 حداقل یک ریشه دارد.
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن:قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن:
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد.
معادلهٔ خط مماس در نقطهٔ formula_273 واقع بر منحنی:
معادلهٔ خط قائم در نقطهٔ formula_273 واقع بر منحنی: معادلهٔ خط مماس بر منحنی از نقطه‌ای خارج از منحنی: اگر بخواهیم از نقطهٔ formula_277 مماسی بر منحنی رسم کنیم، نقطهٔ تماس را formula_278 در نظر می‌گیریم، چون نقطهٔ formula_213 روی منحنی قرار گرفته از منحنی مشتق می‌گیریم و مختصات formula_213 را قرار می‌دهیم تا شیب معادله بدست آید.
در نهایت چون نقطهٔ formula_277 روی خط مماس قرار دارد، در معادلهٔ فوق قرار داده تا یک معادلهٔ یک مجهولی بر حسب formula_17 بدست آید.
نسبت تغییرات دو کمیت را آهنگ تغییر یکی نسبت به دیگری می‌گویند.
آهنگ متوسط تغییرات formula_6 در فاصلهٔ formula_241 عبارت است از:
آهنگ متوسط تغییرات formula_6 نسبت به متغیر formula_7 عبارت است از:
اگر formula_290 تغییرات formula_6 نسبت به تغییرات formula_7 را آهنگ آنی (لحظه‌ای) تغییر formula_6 نسبت به formula_7 گویند.
در برخی موارد دو کمیت (متغیر)، علاوه بر اینکه به هم مربوط‌اند، هر دو به متغیر سومی که معمولاً زمان است، بستگی دارند. در این موارد آهنگ تغییر این دو کمیت، نسبت به کمیت سوم در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، حد تغییرات مسافت پیموده شده به تغییرات زمانی را سرعت لحظه‌ای گویند:
زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم:
برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ formula_297 قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید.
نقطهٔ درونی formula_299 را نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 گویند هرگاه formula_246 یا formula_302 موجود نباشد. ریشه‌های مشتق، نقاط بازگشتی، زاویه‌دار، ناپیوستگی و عطف قائم، همگی جزو نقاط بحرانی تابع محسوب می‌شوند و نقاط ابتدا و انتها بازه به دلیل اینکه نقاط درونی بازه نیستند جزو نقاط بحرانی محسوب نمی‌شوند.
در ضمن، اگر تابع formula_6 روی formula_241 تعریف شده باشد و نقطهٔ formula_244 درون این بازه، اکسترمم مطلق تابع روی این بازه باشد، آنگاه formula_244 نقطهٔ بحرانی formula_6 است. هر نقطهٔ اکسترمم نسبی formula_6 نقطهٔ بحرانی formula_6 نیز هست، در صورتی‌که یک نقطهٔ بحرانی ممکن است نقطهٔ اکسترمم نسبی نباشد.
اگر تابع formula_6 روی بازهٔ formula_182 پیوسته باشد برای بدست آوردن مقادیر formula_312 و formula_313 مطلق ابتدا نقاط بحرانی را در بازه مشخص کرده و در تابع اصلی قرار می‌دهیم سپس formula_314 و formula_315 را نیز بدست می‌آوریم و با مقایسهٔ اعداد بدست آمده، اگر کم‌ترین یا بیش‌ترین مقدار مربوط به حدهای فوق باشد تابع فاقد formula_312 یا formula_313 مطلق است. در غیر این صورت formula_312 یا formula_313 مطلق را مشخص می‌کنیم.
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل formula_244 وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست formula_321 و formula_322 را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود formula_312 یا formula_313 را بررسی کرد.
در تابع پیوستهٔ formula_6، برای هر formula_137 اگر formula_327 آنگاه formula_6 روی formula_129 صعودی اکید است و اگر formula_330 آنگاه formula_6 روی formula_129 نزولی اکید است؛ ولی اگر formula_333 باشد، تابع formula_6 ممکن است صعودی غیر اکید یا صعودی اکید باشد و اگر formula_335 باشد، تابع formula_6 ممکن است نزولی غیر اکید یا نزولی اکید باشد.
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع formula_6 ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع formula_6 پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها پیوسته‌است، تقسیم می‌کنیم و به کمک مشتق وضعیت یکنوایی تابع را در هر بازه مشخص می‌کنیم. سپس نقاط انتهایی هر بازه (یا حد انتهایی هر بازه) را با نقاط ابتدایی بازهٔ بعد (یا حد ابتدایی بازهٔ بعد) مقایسه می‌کنیم.
با فرض اینکه formula_244 نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 است و formula_341 و formula_6 روی formula_182 پیوسته و به جز احتمالاً در formula_244 مشتق‌پذیر باشد:
فرض کنید formula_244 نقطهٔ بحرانی تابع formula_6 و formula_53 موجود باشد:
اگر نمودار تابعی به صورت formula_372 باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 صعودی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به بالاست.
اگر نمودار تابعی به صورت formula_377 باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 نزولی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به پایین است.
اگر جهت تقعر نمودار formula_6 در نقطهٔ formula_244 تغییر کند و مماس نیز داشته باشد، آنگاه formula_244 را نقطهٔ عطف گویند. در بررسی نقطهٔ عطف تابع، سه شرط زیر باید برقرار باشد:
پس برای یافتن نقاط عطف نمودار تابع کافی است، نقاطی که formula_53 در آن‌ها وجود ندارد یا برابر صفر است را تعیین و علامت formula_53 را قبل و بعد از این نقاط و نیز وجود خط مماس را در این نقاط بررسی کنیم.
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام formula_393 و formula_394 در حد استفاده می‌شود به‌طوری‌که اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 مشتق‌پذیر باشند و formula_398 آنگاه:
اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی formula_403 می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای formula_404.
بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و… که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسئله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد.
معادلات دیفرانسیل یک معادله ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل می‌باشد. فرض کنید تابعی معین از , و مشتقات باشد. در این صورت معادله‌ای به فرم زیر:
یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود. در حالت کلی تر فرم "ضمنی" معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد:
به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی قابل حل می‌باشد.
در روابط زیر formula_407،formula_244 و formula_409 اعداد ثابت، formula_45،formula_7،formula_412،formula_104،formula_198 متغیر و formula_415 عدد نپر است.
مشتق تمامی توابع جبری به شکل زیر است:
تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
تقریباً مشتق تمامی توابع نمایی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است:
مشتق یکسری از توابع هذلولوی به صورت زیر می‌باشد: