قضیه فیثاغورس
قضیهٔ فیثاغورس در هندسه اقلیدسی است که بر اساس آن، در یک مثلث راست‌گوشه (قائم‌الزاویه)، همواره مجموع مربع‌های دو ضلع برابر با مربع وتر است.
این قضیه به نام ریاضی‌دان یونانی فیثاغورس نامگذاری شده‌است.
وارون این قضیه نیز درست است، به عبارت دیگر، اگر formula_1 باشد، مثلث قائم‌الزاویه است. اثبات عکس قضیه فیثاغورس را به اقلیدس نسبت داده‌اند.
این قضیه بارها به روش‌های مختلف هندسی و جبری اثبات شده‌است که برخی از این اثبات‌ها به هزاران سال گذشته برمیگردند.
اگر "c" طول وتر مثلث راست‌گوشه باشد و "a" و "b" طول دو ضلع دیگر آن، قضیهٔ فیثاغورس را به شکل رابطهٔ زیر می‌نویسیم:
و اگر مقدار "a" و "b" معلوم باشد "c" را به این شکل بدست می‌آوریم:
و اگر "c" معلوم باشد و یکی از دو ضلع "a" یا "b" نامعلوم، آن‌ها را اینگونه بدست می‌آوریم:
یا
رابطه فیثاغورس به روش ساده ای اضلاع مثلث قائم‌الزاویه را به هم ربط می‌دهد، به طوریکه اگر طول دوضلع معلوم باشد طول ضلع سوم را می‌توان به دست آورد. پیامد دیگر این قضیه این است که در هر مثلث قائم‌الزاویه، طول وتر بیشتر از هر یک از دو ضلع دیگر، ولی کمتر از مجموع دو ضلع دیگر است.
یکی از تعمیم‌های قضیهٔ فیثاغورس قانون کسینوس‌ها (قانون کاشانی) است، که امکان محاسبهٔ طول هر یک از اضلاع هر نوع مثلثی را با داشتن دو ضلع دیگر و زاویهٔ بین آن دوضلع را می‌دهد. اگر زاویه بین دو ضلع دیگر قائمه باشد، قانون کسینوس‌ها تبدیل به قانون فیثاغورس می‌شود.
قضیهٔ فیثاغورس، قضیه‌ای است که بیش از هر قضیهٔ دیگری اثبات دارد، در کتاب "قضیه فیثاغورس" حدود ۳۷۰ اثبات برای این قضیه آورده شده‌است.
این اثبات بر اساس نسبت تناسب میان دو مثلث متشابه بیان شده‌است. به این معنی که اگر دو مثلث متشابه داشته باشیم، "نسبت" طول‌های هر دو ضلع متشابه میان دو مثلث ثابت است.
همان گونه که در شکل نشان داده شده‌است، فرض کنید "ABC" مثلثی راست‌گوشه است و "C" زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) است. حال ارتفاع مثلث را از گوشهٔ "C" بر وتر "AB" رسم می‌کنیم و نقطهٔ برخورد را "H" می‌نامیم. نقطهٔ "H" وتر را به دو بخش "d" و "e" تقسیم می‌کند.
مثلث جدید "ACH" و مثلث "ABC" با یکدیگر متشابه‌اند. چون هر دو یک زاویهٔ ۹۰ درجه دارند (طبق تعریف ارتفاع مثلث) و زاویهٔ "A" در هر دو مشترک است؛ از این می‌توان نتیجه گرفت که زاویهٔ سوم "θ" در هر دو یکسان است (در شکل نشان داده شده‌است). به دلیل مشابه مثلث "CBH" نیز با مثلث "ABC" متشابه است. به دلیل تشابه مثلث‌ها، روابط زیر برقرار خواهد بود:
عبارت سمت چپ، برابر است با کسینوس زاویهٔ "θ" و سمت راست برابر است با سینوس زاویهٔ "θ".
این نسبت‌ها را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:
اگر دو تساوی را با یکدیگر جمع کنیم، خواهیم داشت:
که همان تساوی قضیهٔ فیثاغورس خواهد بود:
روش گفته شده اثبات دانتزیگ، "Dantzig" بود که یک روش ریاضی بوده و بر اساس طول‌ها می‌باشد. این اثبات در تاریخ علم، نقشی قابل توجه داشته‌است. اما سؤالی که اینجا مطرح است این است که چرا اقلیدوس از این روش استفاده نکرده و برای اثبات آن روش دیگری را از خود گفته‌است. یک گمان این است که اثبات با استفاده از مثلث‌های متشابه نیاز به دانستن تئوری تناسب‌ها داشته که تا آن زمان هنوز مورد بحث قرار نگرفته بود.
خلاصهٔ اثباتی که در کتاب اصول هندسهٔ اقلیدس نوشته شده چنین است: مربع بزرگ را به دو مستطیل سمت چپ و سمت راست تقسیم می‌کنیم. یک مثلث ساخته شده‌است که مساحتش نصف مساحت مستطیل سمت چپ است. سپس یک مثلث دیگر ساخته می‌شود که مساحتش نصف مساحت مربع سمت چپ است. می‌توان نشان داد که این دو مثلث با یکدیگر مساوی‌اند در نتیجه مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. به دلیل مشابه، مطلب گفته شده برای مستطیل سمت راست و مربع دیگر نیز برقرار است. اگر دو مستطیل را کنار هم قرار دهیم تا یک مربع روی وتر مثلث تشکیل دهند، می‌بینیم که مساحت مربع بزرگ (مربعی که روی وتر تشکیل شد) با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر برابر است. جزئیات این مطلب در ادامه گفته شده‌است.
فرض کنید "A" و "B" و "C" سه گوشهٔ یک مثلث راست‌گوشه‌اند که زاویهٔ "A" در آن ۹۰ درجه است. خطی را عمود از گوشهٔ "A" بر روی وتر "BC" رسم می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا ضلع پایین مربع کشیده شده روی وتر را قطع کند. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که هریک از این مستطیل‌ها مساحتی برابر با مساحت مربع‌های رسم شده بر روی دو ضلع زاویهٔ "A" دارند.
برای ادامهٔ اثبات نیاز به دانستن چند نکته است: هر یک از دو مربع بالایی با یکی از آن دو مثلثِ هم نهشت مرتبط است و هر یک از این مثلث‌ها نیز به نوبهٔ خود با یکی از مستطیل‌های سازندهٔ مربع پایینی ارتباط دارد. ادامهٔ اثبات: این اثباتی بود که در کتاب "اصول هندسهٔ اقلیدوس" به عنوان گزاره ۴۷ در کتاب ۱ آمده‌است. و بیان می‌دارد که مساحت مربع ساخته شده روی وتر، برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر. اثبات اقلیدوس یک اثبات "مساحتی" است و برخلاف اثبات دانتزیگ وابسته به مساحت‌ها است و نه طول‌ها. این روش کاملاً با اثبات بوسیلهٔ تشابه مثلث‌ها که احتمال داده می‌شود روش مورد استفادهٔ خود فیثاغورس بوده، متفاوت است.
در نگارهٔ پویای سمت چپ، مساحت کل و مساحت مثلث‌ها همگی ثابت است؛ بنابراین، مساحت کل ناحیهٔ سیاه رنگ، ثابت است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع "c" را می‌توان به دو مربع با ضلع‌های "a" و "b" تقسیم کرد و نشان داد که:
اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با "c" دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های "a" و "b" تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با "a" و "b" خواهد بود؛ بنابراین است.
نگارهٔ سوم سمت راست، نیز خود یک اثبات است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک.
قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان با استفاده از چیدن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان با ضلع‌های "a" و "b" و "c" درون یک مربع با ضلع "c" به صورت جبری اثبات کرد. مثلث‌ها یکسانند و مساحتی برابر با formula_11 دارند. مربع کوچک ضلعی برابر با "b − a" و مساحتی برابر با " (b − a)" به این ترتیب مساحت مربع بزرگ برابر خواهد بود با:
و چون این مربع ضلعی برابر با "c" دارد پس مساحتی برابر با " c" خواهد داشت، می‌توان نتیجه گرفت:
همان گونه که در پایین نگاره می‌توان دید، اثبات مشابه دیگری وجود دارد که در آن با استفاده از بازچینی چهار مثلث یکسان به دور مربعی به ضلع "c" به نتیجه می‌رسد. با این کار مربع بزرگتری به ضلع "(a+b)" و در نتیجه با مساحت" (a+b)" تشکیل می‌شود. چهار مثلث و مربع با ضلع "c" مساحتی برابر با مساحت مربع بزرگتر دارد.
با جابجایی عبارت پشت تساوی خواهیم داشت:
اثبات دیگری برای این قضیه ارائه شده‌است که آن را به جیمز آبرام گارفیلد نسبت می‌دهند. در این اثبات به‌جای مربع از یک ذوزنقه استفاده می‌شود. بخشی از این ذوزنقه از دو نیم کردن (به صورت قطری) مربعی که در اثبات دوم در بالا گفته شد تشکیل شده‌است. مساحت ذوزنقه برابر با نصف مساحت آن مربع است:
مربع داخلی نیز دو نیم شده‌است، ادامهٔ اثبات به همان روش مشابه‌است با این تفاوت که عامل formula_17 را اضافه‌تر دارد؛ که با دو برابر کردن کل عبارت به آسانی حذف می‌شود.
یک راه اثبات فیثاغورس، نگاه به این مطلب است که با تغییر طول یکی از اضلاع مثلث، در اندازهٔ وتر چه تغییری صورت می‌گیرد، این کار را باید با استفاده از حساب دیفرانسیل و انتگرال انجام داد. این نوع اثبات را اثبات به روش اندازه‌گیری می‌نامند و از نوع اثبات دانتزیگ است که در آن به اندازه‌گیری طول‌ها می‌پردازند و نه مساحت‌ها.
همان‌گونه که در شکل نشان داده شده‌است، می‌توان از دو مثلث راست‌گوشهٔ ADP و AQP استفاده کرد تا حدهای بالایی و پایینی نسبت دیفرانسیل را معلوم کرد؛ بنابراین حد را می‌توان از گرفت. از نتیجهٔ مشتق می‌توان برای اثبات فیثاغورس استفاده کرد.
از مثلث ABC:
حال مثلث ADP را رسم می‌کنیم، سپس:
همان گونه که در قسمت بالای نگاره نشان داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از "AD"> Δ"c" نتیجه گرفت، با ترکیب cos "θ" در عبارت بدست می‌آید:
پس از آن مثلث راست‌گوشهٔ AQP را تشکیل می‌دهیم (قسمت پایین نگاره) چون هر دو مثلث AQP و PBC یک زاویهٔ formula_21 دارند، پس:
همان‌گونه که در نگارهٔ پایینی نمایش داده شده‌است، آخرین نامساوی که می‌توان از نتیجه گرفت، با ترکیب دو نامساوی که از مثلث‌های ADP و AQP بدست آمد، ایجاد می‌شود:
حال حدهای بالایی و پایینی نسبت را در اختیار داریم. وقتی که به سمت صفر میل کنند، نسبت به مشتق تبدیل می‌شود و حد بالایی و حد پایینی یکی می‌شود و خواهیم داشت:
که انتگرالی برابر با مقدار زیر خواهد داشت:
آنگاه که "a" = ۰ و "c" = "b" باشد، مقدار ثابت جواب انتگرال برابر با خواهد بود؛ بنابراین استدلال قضیهٔ فیثاغورس اثبات شد.
درستی وارون قضیهٔ فیثاغورس را می‌توان اثبات کرد. برای هر سه عدد مثبت "a" و "b" و "c" که در عبارت صدق کنند؛ می‌توان مثلثی پیدا کرد با طول ضلع‌های "a" و "b" و "c" که حتماً دارای زاویه‌ای راست (۹۰ درجه) میان ضلع‌های "a" و "b" است.
چنین اعدادی را اعداد فیثاغورسی می‌نامند. بیان دیگر وارون قضیه عبارت است از: برای هر مثلثی با اضلاع "a" و "b" و "c" اگر باشد آنگاه زاویهٔ میان اضلاع "a" و "b" برابر با ۹۰ درجه خواهد بود.
بیان استفاده شده در کتاب اصول اقلیدوس (کتاب اول، گزاره ۴۸): اگر مربع یکی از اضلاع مثلثی برابر باشد با مجموع مربع‌های دوضلع دیگر، آنگاه زاویهٔ تشکیل شده با آن دو ضلع، یک زاویهٔ راست است.
درستی این مطلب را می‌توان با استفاده از قانون کسینوس‌ها اثبات کرد.
فرض کنید "ABC" مثلثی با اضلاع "a" و "b" و "c" باشد که . حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان "a" و "b" زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های "a" و "b" و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با "c" = √("a" + "b") داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های "a" و "b" در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است.
با استفاده از وارون قضیهٔ فیثاغورس می‌توان به آسانی پیدا کرد که یک مثلث زاویهٔ راست، تند یا بازدارد. اگر بزرگترین ضلع یک مثلث را "c" نامگذاری کنیم، بر اساس نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت است (اگر چنین نباشد یعنی مثلثی تشکیل نشده‌است) حال با استفاده از وارون قضیه فیثاغورس و نامساوی مثلث‌ها می‌توان گفت:
ادسخر دیکسترا برای تشخیص زاویهٔ مثلث‌ها پیشنهاد زیر را داده‌است:
که در آن "α" زاویهٔ مقابل به ضلع "a" و "β" زاویهٔ مقابل به ضلع "b" و "γ" زاویهٔ مقابل به ضلع "c" است؛ و sgn عبارت تابع علامت می‌باشد.
اعداد فیثاغورسی به سه عددی می‌گویند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c را فیثاغورسی گویند هرگاه "a + b = c" باشد. اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث راست‌گوشه را تشکیل می‌دهند. بررسی‌ها نشان داده‌است که بناهایی در شمال اروپا وجود داشته که در آن‌ها از ویژگی اعداد فیثاغورسی استفاده می‌شده‌است و آن‌ها پیش از شناخت این قضیه، از اعداد فیثاغورسی استفاده می‌کرده‌اند و آن‌ها را می‌شناختند. نمونه‌های پرکاربرد این اعداد عبارتند از: (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳).
در زیر فهرستی از بعضی از اعداد فیثاغورسی نوشته شده‌است:
برای هر عدد مختلط
formula_28
قدر مطلق آن عدد بدین صورت است:
formula_29
پس سه مقدار x ,r و y با استفاده از قانون فیثاغورس مرتبط هستند:
formula_30
که r به صورت عددی مثبت یا صفر تعریف می‌شود ولی x و y می‌توانند منفی یا مثبت یا صفر باشند. از لحاظ هندسی r فاصلهٔ z از مبدأ در صفحه مختلط است.
این را می‌توان تعمیم داد تا فاصله بین دو نقطهٔ z و z را یافت. این فاصله به این صورت به دست می‌آید:
formula_31
که با استفاده از قضیه فیثاغورس می‌توان نوشت:formula_32
رابطهٔ فاصله در مختصات دکارتی از قضیه فیثاغورس نشات می‌گیرد. اگر (x, y) و (x, y) نقاطی در صفحه باشند، فاصلهٔ بین آن‌ها که فاصله اقلیدسی نامیده می‌شود به این صورت به دست می‌آید:
formula_33
به‌طور کلی تر در فضای اقلیدسی n بعدی فاصلهٔ بین دو نقطه ی، formula_34 و formula_35 از تعمیم قضیه فیثاغورس به این صورت تعریف می‌شود:
formula_36
اگر به جای فاصله اقلیدسی، مربع فاصلهٔ اقلیدسی به کار برده شود، معادلهٔ زیر به دست می‌آید:
formula_37
قضیهٔ فیثاغورس حالتی از قانون کسینوس‌ها است که در آن زاویهٔ بین دو خط ۹۰ درجه است.
قانون کسینوس‌ها بیان می‌کند که اگر دو خط به طول a و b در راس O، تشکیل زاویه formula_38 بدهند، طول خطی که انتهای آن‌ها را به هم وصل می‌کند، از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
formula_39
بنابراین، هر گاه زاویه formula_38 برابر ۹۰ درجه باشد مقدار formula_41 صفر شده و در نتیجه، قضیهٔ فیثاغورس بدست می‌آید: formula_1 کپلر دربارهٔ قضیه فیثاغورس نوشته‌است: