انتگرال
در ریاضیات، انتگرال ، روشی برای اختصاص اعداد به توابع است؛ به گونه‌ای که جابجایی، مساحت، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده‌های بی‌نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال‌گیری یکی از دو عمل مهم در حساب دیفرانسیل و انتگرال است، که عمل دیگر آن(عمل معکوس) دیفرانسیل‌گیری یا همان مشتق‌گیری است. برای تابع داده شده‌ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه formula_1 از خط حقیقی، انتگرال معین: به‌طور صوری به عنوان مساحت علامت‌دار ناحیه‌ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده‌است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از آن می‌کاهند.
عملیات انتگرال‌گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن یک مقدار ثابت)، معکوس عملیات دیفرانسیل‌گیری است. بدین منظور، اصطلاح "انتگرال" را می‌توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، یعنی تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده‌ی f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می‌شود:
انتگرال‌هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می‌گیرند از نوع "انتگرال معین" اند. قضیه اساسی حساب، دیفرانسیل‌گیری را به انتگرال معین ارتباط می‌دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازهٔ formula_1 باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه مساوی است با:
اصول انتگرال‌گیری به‌طور مستقل توسط اسحاق نیوتون و گوتفرید ویلهلم لایبنیز در اواخر قرن هفدهم میلادی قاعده‌بندی شد، آن‌ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل‌هایی با عرض‌های بی‌نهایت کوچک می‌دیدند. برنارد ریمان تعریف دقیقی از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرایند حد گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می‌زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده‌تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال‌گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده‌است و بازه انتگرال‌گیری formula_1 در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال‌گیری را به هم متصل می‌کند جایگزین شده‌است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می‌شود.
اولین تکنیک نظام مندی که قادر به تعیین انتگرال، روش افنا بود که توسط ستاره‌شناس یونان باستان، اودوکسوس (حدود ۳۷۰ قبل از میلاد) معرفی شد. در این روش مساحت‌ها و حجم‌ها به تعداد نامتناهی تکه که مساحت یا حجم هر کدام از آن تکه‌ها معلوم بود تقسیم‌بندی می‌شدند. ارشمیدس این روش را ارتقاء داده و از آن در قرن سوم قبل از میلاد استفاده کرد تا مساحت‌های سهمی و دایره را به کمک آن بدست آورد.
روش مشابهی به‌طور مستقل در حدود قرن سوم بعد از میلاد توسط میو هوی در چین بدست آمد، او از این روش برای بدست آوردن مساحت دایره استفاده کرد. این روش بعدها در قرن پنجم میلادی توسط ریاضیدانان پدر و پسر چینی یعنی زو چونگژی و زو گنگ برای بدست آوردن حجم یک کره (; ) مورد استفاده قرار گرفت.
در خاورمیانه، حسن ابن الهیثم (نام لاتین شده او Alhazen است) (۹۶۵–۱۰۴۰ میلادی) فرمولی برای جمع توان‌های چهارم بدست آورد. او از این فرمول برای بدست آوردن چیزی استفاده کرد که اکنون می‌دانیم انتگرال آن تابع است، وی از آن برای محاسبه حجم یک سهمی گون استفاده نمود.
تا قرن هفدهم میلادی پیشرفت مهمی در حساب انتگرال صورت نگرفت. در این زمان بود که روش کاوالیری یعنی روش تقسیم ناپذیرها، و همچنین کارهای فرما، بنیانگذاری حساب مدرن را کلید زدند. کاوالیری در فرمول‌های مربع کاوالیری خود، انتگرالهای formula_7 را تا درجه n=۹ محاسبه کرد. قدم‌های بعدی در اوایل قرن هفدهم میلادی توسط بارو و توریسلی برداشته شد، آن‌ها اولین نشانه‌های ارتباط انتگرال و دیفرانسیل را ارائه نمودند. بارو اولین اثبات قضیه اساسی حساب را ارائه داد. والیس روش کاوالیری را برای محاسبه انتگرال‌های توان‌های عمومی x تعمیم داد، به گونه ای که شامل توان‌های منفی و حتی توان‌های کسری نیز می‌شد.
در قرن هفدهم میلادی، با اکتشافات مستقل قضیه اساسی حساب توسط لایبنیز و نیوتون، پیشرفت عمده ای در انتگرال‌گیری به‌وجود آمد. لایبنیز کار خود در ارتباط با حساب را قبل از نیوتون منتشر کرد. این قضیه ارتباطی بین انتگرال‌گیری و دیفرانسیل‌گیری را اثبات می‌کند. این ارتباط، از ترکیب سادگی نسبی دیفرانسیل‌گیری استفاده کرده و از آن در جهت فرایند انتگرال‌گیری استفاده می‌کند. به‌خصوص، قضیه بنیادی حساب امکان حل دسته وسیع تری از مسائل را می‌دهد. چارچوب ریاضیاتی جامعی که هردوی لایبنیز و نیوتون به‌وجود آوردند از نظر اهمیت در یک سطح هستند. با استفاده از مفهوم حساب بی‌نهایت کوچک‌ها، امکان تحلیل دقیق توابع با دامنه‌های پیوسته فراهم گشت. این چارچوب در نهایت منجر به ایجاد حسابان شد، ضمن این که نماد انتگرال‌گیری در حسابان به‌طور مستقیم از کارهای لایبنیز برگرفته شده‌است.
درحالی که نیوتون و لایبنیز رهیافت نظام مندی به انتگرال‌گیری ارائه نمودند، کارهای آن‌ها فاقد درجه ای از استواری و استحکام ریاضیاتی بود. بیشاپ برکلی، حمله بیاد ماندنی به روش افزایش ناپدید شونده نیوتون کرد و آن را «ارواح کمیت‌های مرده» نامید. با توسعه حد، حسابان مجهز به بنیان مستحکمی گشت. ابتدا انتگرال‌گیری با کمک حدود توسط ریمان از نظر ریاضیاتی مستحکم شد. گرچه که تمام توابع تکه به تکه پیوسته در بازه ای کراندار ریمان-انتگرال پذیرند، اما مثلاً به‌طور خاص در بستر آنالیز فوریه با توابعی سروکار داریم که بر اساس روش ریمانی انتگرال پذیر نیستند، لذا به مرور با توسعه تعریف انتگرال‌گیری، مثل فرمول انتگرال‌گیری لبگ، توابع بیشتری در دایره توابع انتگرال پذیر قرار گرفتند و بدین طریق نظریه اندازه (زیر شاخه ای از آنالیز حقیقی) شکل گرفت. تعاریف دیگر انتگرال که هردو رهیافت ریمانی و لبگ را بسط می‌دهند نیز پیشنهاد شده‌اند. این رهیافت‌ها بر اساس سیستم اعداد حقیقی بوده و امروزه رایج اند، اما رهیافت‌های دیگری نیز وجود دارند که بر اساس دستگاه اعداد فراحقیقی بنیان نهاده شده‌اند و از بخش استاندارد (مربوط به آنالیز غیر استاندارد) جمع بی‌نهایت ریمانی برای تعریف انتگرال استفاده می‌کنند.
از مهم‌ترین تعاریف در انتگرال می‌توان از انتگرال ریمان و انتگرال لِبِگ است. انتگرال ریمان به‌وسیله برنهارد ریمان در سال ۱۸۵۴ ارائه شد که تعریف دقیقی را از انتگرال ارائه می‌داد تعریف دیگر را هانری لبگ ارائه داد که طبق این تعریف شرایط تعویض‌پذیری حد و انتگرال با شرط مساوی ماندن عبارت، ارائه می‌کرد. از دیگر تعاریف ارائه شده در زمینه انتگرال می‌توان به انتگرال ریمان–استیلتیس اشاره کرد. پس به‌طور خلاصه سه تعریف زیر از مهم‌ترین تعاریف انتگرال می‌باشند:
اکثر روش‌های اساسی حل انتگرال بر پایه قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال بنا نهاده شده‌است که بر طبق آن داریم:
به این نکته توجه کنید که انتگرال واقعاً پاد مشتق نیست (یک عدد است) اما قضیه اساسی به ما اجازه می‌دهد تا از پاد مشتق برای محاسبه مقدار انتگرال استفاده کنیم. معمولاً پیدا کردن پاد مشتق تابع f کار ساده‌ای نیست و نیاز به استفاده از تکنیک‌های انتگرال‌گیری دارد این تکنیک‌ها عبارت‌اند از:
روش‌هایی دیگر نیز وجود دارد که برای محاسبه انتگرالهای معین به کار می‌رود همچنین می‌توان بعضی از انتگرال‌ها با ترفندهایی حل کرد برای مثال می‌توانید به انتگرال گاوسی مراجعه کنید.
محاسبه سطح زیر نمودار به‌وسیله مستطیل‌هایی زیر نمودار. هر چه قدر عرض مستطیل‌ها کوچک می‌شوند مقدار دقیق تری از مقدار انتگرال بدست می‌آید.
انتگرال‌های معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال‌گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آن‌ها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند.
انتگرال‌ها در واقع مساحت محصور در زیر نمودار هستند و در فیزیک می‌توان برای کاربردهای زیادی تعریف کرد مانند کار انجام شده در یک فر آیند ترمودینامیکی از انتگرال رابطه فشار و حجم به دست می‌آید. اما به‌طور کلی می‌توان آن را تغییرات کمیت حاصل ضرب افقی و عمودی نمودار نامید مثلاً: در یک رابطه کمیت‌ها را تحلیل ابعادی می‌کنیم مثلاً رابطه سرعت و زمان را به صورت زیر نوشته می‌شود: سپس دو تحلیل را در هم ضرب می‌کنیم: پس مساحت محصور در زیر نمودار برابر با تغییرات طول (جابجایی) است.