عدد مختلط
عدد مختلط یا عدد هم‌تافت عددی به شکل formula_1 است که formula_2 و formula_3 اعداد حقیقی‌اند و formula_4 "یکهٔ موهومی" با خصوصیت formula_4 = -1 است. عدد formula_2 قسمت حقیقی و عدد formula_3 قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود: اعداد حقیقی را می‌توان به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی صفر در نظر گرفت، یعنی عدد حقیقی formula_2 معادل است با عدد مختلط formula_11.
مجموعهٔ اعداد مختلط را به صورت formula_12 تعریف می‌کنیم.
دو عدد مختلط برابرند اگر و تنها اگر بخش‌های حقیقی و موهومی آن‌ها دو به دو با یکدیگر برابر باشند؛ یعنی a + bi = c + di اگر و تنها اگر a = c و b = d. به عبارت دیگر دو عدد مختلط فقط زمانی برابرند که نمایش هندسی آن‌ها یک نقطه باشد.
مجموعه اعداد مختلط معمولاً با formula_13 نشان داده می‌شود. اعداد مختلط نیز می‌توانند جمع، تفریق، و ضرب شوند با در نظر گرفتن معادلهٔ "i" = −1 تقسیم اعداد مختلط را نیز می‌توان تعریف کرد (پایین را ببینید). بنابراین مجموعه اعداد مختلط یک میدان تشکیل می‌دهد که، در مقایسه با اعداد حقیقی، به‌طور جبری بسته‌است.
اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال: بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط "a" + "bi" به‌طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی "a" را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیر میدان از C می‌شود. واحد موهومی "i" عدد مختلط (0, 1) است. منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی formula_19 یافتن عددی است مثل "x + iy" که در تساوی صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم: پس کافی است اعداد "x" و "y" را چنان پیدا کنیم که در روابط formula_20 formula_21 مگر آنکه "c = d = 0" بنابراین formula_22 البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر formula_19 در "c - id" نیز بدست آوریم.
روش دیگر برای نمایش عدد مختلط استفاده از دستگاه مختصات قطبی است؛ در این روش به جای استفاده از x و y از فاصله نقطه P تا مبدأ و زاویه بردار OP با جهت مثبت محور حقیقی بهره می‌بریم. به این ترتیب قدر مطلق (یا اندازه عدد مختلط ) مساوی ست با : formula_24
اگر عدد حقیقی باشد (یعنی اگر ) آنگاه و در این صورت عدد مختلط برابر شکل حقیقی خود می‌شود.
بنابر قضیهٔ فیثاغورس اندازه عدد مختلط برابر است فاصله نقطه P از مبدأ و برابر است با مربع قدر مطلق عدد مختلط : formula_25
که formula_26 مزدوج عدد مختلط است.
آرگومان (که با «فاز» هم شناخته می‌شود) زاویهٔ شعاع OP با جهت مثبت محور حقیقی است و به صورت formula_27 نوشته می‌شود. formula_28
به‌طور معمول روابط ضرب، تقسیم و توان رسانی به شکل قطبی ساده‌تر از نمایش دکارتی آن است. دو عدد مختلط و را در نظر بگیرید؛ با توجه به روابط مثلثاتی زیر:
می‌توان نوشت:
به بیان دیگر قدر مطلق‌ها در هم ضرب و آرگومان‌ها با هم جمع می‌شوند.
از آنجا که دو بخش حقیقی و موهومی با هم برابرند آرگومان برابر ۴۵ درجه یا π/۴ رادیان است. از سوی دیگر مجموع زوایای رئوس منطبق بر مبدأ مثلث‌های قرمز و آبی به ترتیب برابر تانژانت معکوس formula_33 و formula_34 است؛ بنابراین خواهیم داشت:
به همین ترتیب می‌توان تقسیم را هم به صورت زیر نوشت:
فرض کنید n یک عدد طبیعی باشد، عدد مختلط Z را ریشهٔ n ام عدد مختلط داده شدهٔ Z می‌خوانند، هرگاه
formula_37
یکی از مهم‌ترین کاربردهای این اعداد در حل معادلات درجه دوم و سوم است. به عنوان مثال در زمانی که معادله مشخصهٔ یک معادله درجه دوم منفی می‌شود:
formula_38
در مهندسی برق، تبدیل انتگرال فوریه برای تجزیه و تحلیل سیگنال‌ها به‌کار می‌رود. رفتار مقاومتها، خازنها، و القاگرها می‌تواند با استفاده از این راه و با تصور مقاومت‌هایی که مقدارشان به بسامد وابسته باشد (که امپدانس خوانده می‌شوند) یک‌پارچه منظور شود.