تابع فی اویلر
در نظریه اعداد تابع فی اویلر یا formula_1 تابعی است که تعداد اعداد طبیعی کوچکتر از "n" که نسبت به "n" اول اند را می‌شمارد. اگر "n" یک عدد طبیعی مثبت باشد، آنگاه formula_1 برابر است با تعداد اعداد طبیعی "k" در بازه ۱ تا n به‌طوری‌که gcd("n", "k") = ۱. تابع فی اویلر یک تابع ضربی است، بدین معنی که اگر دو عدد "m" و "n" نسبت به هم اول باشند آنگاه formula_3. برای مثلاً (۹)φ برابر ۶ است. زیرا اعداد ۱، ۲، ۴، ۵، ۷ و ۸ نسبت به ۹ اول هستند.
تابع فی اویلر نقش کلیدی در تعریف سیستم رمزنگاری RSA دارد.
لئونارد اولر این تابع را در سال ۱۷۶۳ معرفی کرد. در آن زمان او هنوز نماد خاصی برای این تابع تعیین نکرده بود. بعدها لئونارد اویلر با مطالعه بیشتر تابع فی، حرف یونانی π را برای آن برگزید. نماد استاندارد φ بعدها توسط گاوس استفاده شده‌است.
چندین راه برای محاسبه این فرمول وجود دارد.
این تابع بیان می‌کند که که در آن formula_5 یک عدد اول است به‌طوری‌که formula_6 بر formula_5 بخش پذیر است.
مقدار تابع فی برابر است با مقدار تبدیل فوریه گسسته ب.م.م در ۱: مقدار حقیقی این فرمول برابر است با: توجه کنید که برخلاف دو فرمول دیگر در این فرمول نیازی به دانستن عوامل اول n نیست. اما چون فرمول شامل محاسبه ب.م.م n و همه اعداد مثبت کمتر از n است در نهایت به تجزیه n نیاز خواهیم داشت.
فرمول کلاسیک اویلر این فرمول به روش‌های مختلف قابل اثبات است.
برای n>1 می‌توان تابع فی را به عنوان یک حد تابع زتای ریمان محاسبه کرد که در این فرمول
formula_12 تابع زتای ریمان است، formula_13 تابع موبیوس است، formula_14 عدد نپر است، و d مقسوم علیه است.
۹۹ مقدار اولیه این تابع در جدول و نمودار زیر قابل مشاهده است.
خط y = n-1 یک کران بالا برای تابع است و زمانی رخ می‌دهد که n اول باشد.
بیان می‌کند: اگر n و a نسبت به هم اول باشند آنگاه در حالت خاصی که n عدد اول باشد این قضیه به قضیه کوچک فرما معروف است. این قضیه از قضیه لاگرانژ نتیجه می‌شود.
سیستم رمزنگاری RSA بر روی همین قضیه بنا شده است: بیان می‌کنید که معکوس تابع formula_16 در واقع همان تابع formula_17 است که e معکوس ضربی d به پیمانه formula_1 است.
اشنایدر دو رابطه پیدا کرد که نسبت طلایی و تابع فی و تابع موبیوس را به هم مرتبط می‌کرد. در فرمول‌های زیر formula_32 نسبت طلایی است.
این روابط به صورت زیر هستند: formula_33 و از کم کردن این دو نتیجه می‌شود با اعمال تابع نمایی به هر دو طرف رابطه به یک رابطه برای عدد نپر می‌رسیم اثبات بر پایه دو فرمول زیر است:
سری دیریکله برای تابع فی را می‌توان بر حسب جملات تابع زتای ریمان به صورت زیر نوشت همچنین تابع مولد سری لامبرت به صورت زیر است که در ان اندازه q کمتر از ۱ است. هر دو روابط بالا با استفاده ضرب سری‌های پایه و با استفاده از فرمول‌های محاسبه تابع فی قابل اثبات هستند.
در سال ۱۹۵۰ سومایاجولو اثبات کرد و
در سیستم RSA ابتدا دو عدد اول بزرگ p و q را انتخاب می‌کنیم. سپس مقادیر n=pq و k=formula_1 را محاسبه می‌کنیم؛ و دوعدد e و d را پیدا می‌کنیم به‌طوری‌که ed به پیمانه k برابر ۱ باشد. n و e به عنوان کلید عمومی اعلان می‌شوند و n و d به عنوان کلید خصوصی مخفی نگاه داشته می‌شود.
یک پیام مانند عدد مثبت m به صورت S = m mod n رمزگذاری می‌شود.
برای رمزگشایی مقدار t = S mod n محاسبه می‌شود. قضیه اویلر نشان می‌دهد که اگر t کمتر از n باشد آنگاه t=m.
سیستم RSA به خطر خواهد افتاد اگر بتوانیم عدد n را تجزیه کنیم یا بتوانیم مقدار تابع فی را بدون تجزیه n بدست بیاوریم.
اگر p اول باشد آنگاه formula_44. لیمر در سال ۱۹۳۲ سؤال زیر را مطرح کرد:
آیا عدد مرکب n وجود دارد به‌طوری‌که formula_45؟
در سال ۱۹۳۳ لیمر اثبات کرد که اگر n وجود داشته باشد آنگاه حتماً باید فرد باشد و باید حداقل ۷ عامل اول داشته باشد. در سال ۱۹۸۰ کوهن و هاگیس اثبات کردند که n>10 و باید حداقل ۱۴ عامل اول داشته باشد. بعدها هاگیس نشان داد که اگر n بر ۳ بخش پذیر باشد آنگاه n>10 و باید حداقل ۲۹۸۸۴۷ عامل اول داشته باشد.
حدس: هیچ عددی مانند n وجود ندارد به‌طوری‌که برای هر عدد دیگر مانند m داشته باشیم formula_46. اگر یک مثال نقض برای این گزاره پیدا شود آنگاه می‌توان نشان داد که بی‌نهایت مثال نقض برای این گزاره وجود دارد. می‌توان نشان داد که کوچکترین مثال نقض برای این گزاره در مبنای ۱۰ بیش از ۱۰ میلیارد رقم دارد.