معادله دیفرانسیل
در ریاضیات، معادله دیفرانسیل نوعی معادلهٔ ریاضی است که دارای یک (یا چند) تابع مجهول از یک یا چند متغیّر مستقل و مشتقهای آن توابع (با مرتبه‌های مختلف) است.
این معادلات در مدل‌سازی ریاضیاتی بسیاری از پدیده‌های طبیعی کاربرد دارند. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان "معادلات دیفرانسیل" می‌یابند. از جمله کاربردهای آن می‌توان به مدارهای الکتریکی، سرعت حدّی، غلظت مواد شیمیایی و رشد جمعیّت اشاره کرد. "معادلات دیفرانسیل" همچنین در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربردهای فراوانی دارند.
هر زمان که نرخ تغییرات یک (یا چند) تابع رابطه‌ای با خود یا متغیّرهای خود داشته باشد، آن پدیده با معادلهٔ دیفرانسیل مدل‌سازی می‌شود.
به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم به وسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطهٔ بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را می‌دهند. در چنین شرایطی می‌توانیم حرکت جسم را در قالب یک "معادلهٔ دیفرانسیلی" که در آن مکان ناشناختهٔ جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.
برای بسیاری از معادلات دیفرانسیل، ممکن است جوابی وجود نداشته باشد یا جوابشان یکتا نباشد. در صورتی که جواب یکتا وجود داشته باشد نیز، در اکثر مواقع اثبات می‌شود که جواب به صورت یک تابع مقدّماتی قابل بیان نیست.
به عنوان مثال، جواب معادلهٔ دیفرانسیل formula_1 را "تابع انتگرال سینوس" می‌نامیم formula_2. با وجود این که این تابع یک تابع مقدّماتی نیست، همهٔ خصوصیات این تابع با کامپیوتر قابل محاسبه اند (که در این مورد با توابع مثلّثاتی و نمایی تفاوتی ندارد).
در حقیقت، تابع نمایی نیز به این صورت تعریف می‌شود: تابعی که در معادلهٔ دیفرانسیل formula_3 صدق کند را formula_4 می‌نامیم (formula_5). در نتیجه ریاضی‌دانان جواب معادلات دیفرانسیل پرکاربرد را نامگذاری می‌کنند. به عنوان مثالی دیگر می‌توان به توابع بسل اشاره کرد.
بنابرین، جواب اکثر معادلات دیفرانسیل خود یک تابع جدید است که با "روش‌های عددی (تقریبی)" و کامپیوتری (مانند روش‌های رونگه-کوتا) حل می‌شوند (از روش‌های دیگر عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد).
در صورتی که جواب یک معادله وجود داشته باشد و یکتا باشد و به صورت یک تابع مقدّماتی قابل بیان باشد، برای پیدا کردن آن از روش‌های حل تحلیلی استفاده می‌شود (تنها برای ساده‌ترین معادلات دیفرانسیل جواب صریح وجود دارد).
در این حالت نیز یک راه حل کلّی برای حل تمام معادلات دیفرانسیل (قابل حل تحلیلی) وجود ندارد. دلیل این موضوع می‌تواند این باشد که هنوز چنین راه حلّی کشف نشده باشد یا این که چنین راه حل کلّی وجود نداشته باشد. به همین دلیل این معادلات به چند دسته تقسیم می‌شوند که برای هر کدام راه حلّی کشف شده‌است.
بعضی از معادلات دیفرانسیل در هیچ‌کدام از این دسته‌ها نیز قرار نمی‌گیرند و راه حلّی (تحلیلی) برای آنها وجود ندارد. در این میان روش‌های نیمه‌تحلیلی نیز وجود دارد که از آنها می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل اشاره کرد.
در نتیجه، برای حل یک معادلهٔ دیفرانسیل ابتدا باید بررسی کنیم که آیا جواب یکتا برای آن وجود دارد یا خیر و سپس این که در چه شاخه‌ای قرار دارد. اگر برای شاخهٔ مورد نظر حل تحلیلی وجود داشت، از آن روش استفاده می‌کنیم و در غیر این صورت از روش‌های عددی استفاده می‌کنیم. مسلّماً اگر جواب عددی برایمان کافی باشد، می‌توانیم از همان ابتدا از روش عددی استفاده کنیم.
در حل مسائل کلّی به "ثابت انتگرال" برمی‌خوریم. به عنوان مثال:
formula_6
به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع formula_7 (به ازای هر formula_8) باشد. به عبارتی دیگر تابع formula_9 ممکن است formula_10 یا formula_11 یا موارد مشابه باشد.
در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ formula_9 را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم formula_13 از این موضوع نتیجه می‌گیریم:
formula_14
به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم (formula_15) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته (formula_13)، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم.
معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:
هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.
اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را "خطی" و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.
به عنوان مثال، معادلهٔ formula_19 خطی است ولی معادلهٔ formula_20 غیرخطی است.
به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل "خطی‌سازی" می‌گویند.
از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد.
مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.
به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ formula_19 یک است و مرتبهٔ formula_22 دو است.
همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.
یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند.
از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.
"معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل" گروهی از "معادلات دیفرانسیل" هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر formula_18 تابعی مجهول از متغیّر formula_17 باشد، یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن formula_25 می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):
formula_26
به عنوان مثال formula_27 یک "معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل" است (formula_28) و حل آن ما را به formula_29 می‌رساند.
یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:
formula_30
برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهمترین آنها می‌توان به "مرتبه اول خطی" و "مرتبه اول تفکیک‌پذیر" اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.
"قضیهٔ پیکارد-لیندلوف" : این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر formula_25 پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر formula_32 است.
در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی formula_25 نداشته باشد.
اگر توابع formula_25 و formula_35 در یک مربّع فرضی (مثل formula_36) پیوسته باشند،
بازه‌ای از formula_17 (مثل formula_38) وجود دارد که معادلهٔ formula_39 (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.
توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.
در صورتی که درجهٔ formula_9 و formula_41 یک باشد به آن خطی گوییم.
در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه formula_42 می‌رسیم (formula_43 و formula_44 و formula_45 ثابت و formula_46 تابعی از formula_47) و برای پیدا کردن formula_46 باید از "معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی" کمک بگیریم.
معادلهٔ دیفرانسیل برنولی معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت formula_49 نوشت.
برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر formula_50 به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:
formula_51
"معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر" معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد (formula_52 و formula_53 دلخواه):
formula_54
برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:
formula_55
با فرض این که formula_56 و formula_57 پادمشتق formula_25 و formula_59 باشند:
formula_60
طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:
formula_61
در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:
formula_62
در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به formula_17 داریم:
formula_64
به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:
formula_65
اگر یک "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل" را به فرم formula_30 بنویسیم، در صورتی که توابع formula_67 و formula_68 هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن است.
به عبارتی دیگر formula_69 و formula_70.
توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع (formula_71) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.
حال درصورتی که formula_72:
formula_73
به عبارتی دیگر formula_41 را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر formula_75 بیان کرد (formula_25 یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر formula_77 به معادلات "تفکیک‌پذیر" تبدیل کرد.
به عنوان مثال، معادلهٔ formula_78 را می‌توان به صورت formula_79 نمایش داد (پس همگن است). با فرض formula_77، می‌توان معادله را به صورت formula_81 تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل "معادلات تفکیک‌پذیر" است.
اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم formula_82 یا formula_83 باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد.
جواب‌های دو معادله دومجهولی formula_84 و formula_85 به صورت زیر به دست می‌آید (اگر formula_86):
formula_87
سپس با تغییر متغیّر formula_88 و formula_89 می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد:
formula_90
در صورتی که نرخ رشد یک تابع (formula_18) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، "خودگردان" نامیده می‌شود: formula_92
"معادلهٔ رشد نمایی" ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.
این معادلات را می‌توان به فرم formula_93 نوشت (formula_94 یک عدد و formula_9 تابعی از formula_47 است) و جواب آن برابر formula_97 است.
"معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست" از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد.
به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.
این معادلات را می‌توان به فرم formula_98 یا به شکل معمول‌ترِ formula_99 نوشت (formula_100).
به ثابت formula_101 "نرخ رشد ذاتی" گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی formula_102) که formula_103 است، formula_104 می‌شود.
به ثابت formula_105 "حد اشباع" یا "ظرفیّت تحمّل محیطی" گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به formula_105 میل می‌کنند.
حل این معادلات به صورت زیر است:formula_107formula_108
اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم formula_30 بنویسیم، با فرض این که formula_110 و formula_111 مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)،
معادلهٔ مورد نظر "کامل" است اگر و تنها اگر formula_112.
به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند formula_113 وجود داشته باشد که formula_114 و formula_115. در آن صورت formula_116 می‌شود.
برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:
formula_117
در نتیجه با قرار دادن formula_118 به جواب می‌رسیم.
در بعضی موارد که معادلهٔ formula_30 کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک "عامل انتگرال‌ساز" (مثل formula_120) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده (formula_121) کامل باشد.
مشکل این ترفند در پیدا کردن "عامل انتگرال‌ساز" مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:
formula_122
امّا پیدا کردن formula_120 با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً formula_120 یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که formula_125 باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض formula_120 به دست آمد و معادلهٔ formula_127 طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس formula_128 می‌توان به جواب رسید.
معادلهٔ formula_129 کامل نیست. formula_130 و formula_131.
برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس formula_125 استفاده می‌کنیم:
formula_133
معادلهٔ جدید به صورت formula_134 به دست می‌آید.
باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.
تابعی مانند formula_113 وجود دارد که formula_136 و formula_137.
formula_138
از طرفی می‌دانستیم که formula_137. پس:
formula_140
formula_141
برای حل معادلات کامل باید از formula_142 استفاده کرد:
formula_143
در ادامه می‌توان formula_9 را بر حسب formula_17 به دست آورد.
همچنین توجّه داشته باشید که formula_120 یکتا نبود. به عنوان مثال formula_147 یک "عامل انتگرال‌ساز" دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.مدل‌سازی ریاضیاتی