فاز بری
اتصال و انحنای فاز بری از طریق مفاهیم خیلی عمیقی به هم مرتبط می‌باشند؛ این ارتباط می‌تواند از طریق یک پتانسیل میدان موضعی معیار که به فاز بری اختصاص داده می‌شود، ملاحظه شود. این مفاهیم که در سال ۱۹۸۴ توسط Michael berry مطرح شد، تأکیدی دارد بر این مسئله که چگونه فازهای هندسی یک مفهوم واحد قدرتمند در شاخه‌های مختلف کلاسیکی و کوانتومی برقرار می‌کنند.
این‌چنین فازهایی که به‌دست‌آمده‌اند از طریق فاز بری باید شناخته‌شده باشند. فاز بری یک‌فاز کوانتومی است که به‌صورت مؤثر در سیستم‌هایی که سیر تکاملی دوره‌ای دارند به وجود می‌آید که این‌یک تصحیح قابل‌توجه به نظریه بی‌در روی کوانتومی بسیار تنگاتنگ و نزدیک با تقریب بورن است.
باسلیقگی آنالیز عمومی وکلی بری باعث شده است که کاربردهای زیادی در ارتباط با موضوعات اتمی، ماده چگال، هسته‌ای فیزیک ذرات بنیادی و هم‌چنین اپتیک پیدا کند. در اینجا ما ابتدا کلیاتی رو راجع به فازبری و سپس ارتباط آن با اثر بوهم آهارانوف را بیان می‌کنیم.
در کوانتوم مکانیک فاز بری در یک سیر تحول دوره‌ای بی‌دررو به وجود می‌آید. نظریهٔ عایق‌های کوانتومی بی‌دررو در سیستم‌هایی که هامیلتونی آن‌ها formula_1 به یک پارامتر formula_2 که بازمان تغییر می‌کند بستگی دارد، ویژه‌مقدار formula_3 در هرجایی از مسیر که تغییرات زمانی به‌اندازه کافی کوچک و آهسته است نا تبهگن باقی می‌ماند. بنابراین یک سیستم که در آغاز دریک ویژه‌مقداراست در لحظات بعدی در ویژه‌مقدارمطابق با هامیلتونی باقی خواهد ماند. در سراسر این فرایند ویژه‌حالت در زمان t می‌تواند به شکل زیر نوشته شود: formula_4
درجایی که اولین عبارت یک عامل فاز دینامیکی است و دومین عبارت یک عبارت هندسی است که formula_5 فاز بری خوانده می‌شود. در موردی از یک تکامل دوره‌ای در اطراف یک مسیر بستهٔ formula_6 این‌چنین که formula_7 فاز بری مسیر بسته formula_8 به‌صورت :
formula_9 خواهد بود. . یک مثال از یک چنین سیستم فیزیکی درجایی است که یک الکترون در امتداد یک مسیر بسته حرکت می‌کند که یک حرکت سیکلوترونی است که جزئیات آن در یک صفحهٔ فاز بری نشان داده‌شده است که در اینجا باید فاز بری در نظر گرفته شود تا شرایط کوانتیده کردن درست به دست آید. یک مثال از یک چنین سیستم فیزیکی درجایی است که یک الکترون در امتداد یک مسیر بسته حرکت می‌کند که یک حرکت سیکلوترونی است که جزئیات آن در یک صفحهٔ فاز بری نشان داده‌شده است که در اینجا باید فاز بری در نظر گرفته شود تا شرایط کوانتیده کردن درست به دست آید.
یکی دیگر از مسائلی که علاقه زیادی به آن‌هم ازنظر مفهومی و هم ازنظر آزمایشگاهی وجود دارد اثر بوهم آهارانوف است که در این مطلب به معرفی اثر بوهم آهارانوف که به‌وسیلهٔ بری داده‌شده است می‌پردازیم.
موقعیت نشان داده‌شده در شکل را در نظر بگیرید که در آن‌یک میدان مغناطیسی محصورشده در داخل یک لوله با شار Q و یک جعبه که در موقعیت R از لوله قرار دارد و ذرات باردار q در داخل جعبه محصورشده‌اند. میدان مغناطیسی در هرجایی در بیرون از لولهٔ حاوی شار و به‌طور خاص در داخل جعبه صفر شده است. در اینجا ما formula_10 را پتانسیل برداری در نظر می‌گیریم که آن معمولاً در مناطقی از میدان صفر، صفر نمی‌شود مگر اینکه شار یک مضرب صحیحی از شار کوانتومی یعنی formula_11 باشد. هامیلتونی که ذرات در داخل جعبه را توصیف می‌کند به‌صورت formula_12است و تابع موج مربوط برای یک بردار پتانسیل صفر به شکل formula_13 باانرژی formula_14 مستقل است. هامیلتونی به موقعیت formula_2 جعبه از طریق بردار پتانسیل بستگی دارد و بنابراین فضای پارامترهای ما در این مسئله چیز دیگری به‌غیراز فضای حقیقی نیست. با خروج بخشی از شار داخل لوله اگر ما جعبه را در اطراف یک مسیر دایروی انتقال دهیم فاز بری به‌وسیله رابطهٔ زیر داده خواهد شد: formula_16
همان‌طور که می‌بایست ملاحظه شود ساختار نواری بلوره‌ها یک‌شکل مسطح طبیعی را به وجود می‌آورند که فاز بری در آن قابل‌مشاهده است. در تقریب الکترون مستقل که از برهمکنش الکترون- الکترون صرف‌نظر می‌شود ساختار نواری یک بلوره به‌وسیلهٔ هامیلتونی زیر برای یک الکترون منفرد بیان می‌شود درجایی که پتانسیل formula_17 یک پتانسیل دوره‌ای با بردار ثابت شبکهٔ formula_18 است. formula_19
در نظریهٔ بلوخ توابع موج در شرط مرزی زیر صدق می‌کنند:
formula_20 این شرط مرزی تضمین می‌کند که تمام ویژه‌حالت‌ها در یک فضای هیلبرت یکسان قرار دارند و ما می‌توانیم همچنین منطقهٔ بریلوئن را از طریق فضای پارامتر هامیلتونی انتقال‌یافته formula_21 بشناسیم.
ازآنجایی‌که formula_22 وابسته به تابع پایه مربوط به مشکل بلوخ است تأثیرات فازهای بری متنوع در بلوره مورد انتظار هستند.
برای مثال اگر formula_22 مجبور باشد که در فضای تکانه تغییر کند بنابراین حالت بلوخ یک فاز بری به خودمی گیردکه به شکل:
formula_24 خواهد بود و تأکید می‌کنیم که مسیر formula_6 باید بسته باشد تا فاز بری با یک مفهوم فیزیکی، حاصل شود.
به‌عنوان یک مسئله، موردی از یک اسپین منفرد با مقدار formula_26 در یک میدان مغناطیسی را در نظر می‌گیریم؛ درجایی که هم بیشترین کاربرد بی‌واسطهٔ یک نظریه رسمی در حال حاضر رادار است و هم بیشترین مورد تکرارشونده است که در موقعیت‌های آزمایشگاهی مناسب با آن روبرو شده‌اند. هامیلتونی آن به‌صورت formula_27 در نظر گرفته می‌شود؛ با یک میدان مغناطیسی خارجی formula_28 که از عوامل بیرونی حاصل‌شده است. ویژه مقادیر آن نیز به‌صورت formula_29 با formula_30 عدد صحیح است و برای formula_31، formula_32 ویژه‌حالت وجود دارد که تبهگن و همگی انرژی صفر دارند. فازبری ایجادشده در این مسئله به‌صورت formula_33است که در آن formula_5 زاویه‌ای از جامد موردنظر است که به‌وسیله میدان مغناطیسی در امتداد یک مسیر دایروی توصیف‌شده است.
توجه کنید که فاز بری فقط به عدد کوانتومی n و نه به مقدار s، بستگی دارد. همچنین توجه داشته باشید که formula_35 یک هامیلتونی عمومی که اغلب برای اسپین formula_36 استفاده می‌شود که برای formula_37 قابل‌استفاده نیست. اگر هم یک هامیلتونی عمومی بزرگ‌تر در یک فضای گسترده‌تر در نظر گرفته شود نتیجه ساده‌ای که در بالا به دست آمد ممکن است دیگر به دست نیاید.