عدد طبیعی
اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت اعدادی هستند که از یک شروع و تا بینهایت ادامه دارند و برای شمارش (به‌طور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (به‌طور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {... ،۱٬۲٬۳} است.
برای بودن یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی سه تعریف موجود می‌باشد. در تعریف اول طبق استاندارد ISO 80000-2 عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیر منفی پذیرفته شده‌ است. اما در تعریف دیگر صفر به عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است. پس تنها تفاوت بین اعداد طبیعی و اعداد حسابی وجود صفر در اعداد حسابی است . در ریاضیات، مجموعه شمار نهادی (اعداد طبیعی) را با نماد N نمایش می‌دهند و اعداد صحیح و حسابی به ترتیب با حروف Z و W نمایش داده می‌شوند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای نهادی(طبیعی)، گرفته شده‌است. مجموعه‌ی اعداد طبیعی دارای بی‌شمار عضو می‌باشد.
بنیادی‌ترین ویژگی اعداد طبیعی اصل استقرای ریاضی است. استقرار ریاضی بیان می‌کند که اگر formula_1 به معنای صدق ویژگی P برای عدد x باشد، برای اینکه formula_1 برای همهٔ اعداد طبیعی صدق کند باید:
به‌این‌ترتیب با ترکیب شرط ۱ و ۲ (در حالت خاص formula_6) می‌توان گفت که formula_7 هم صادق است، در نتیجه بنابر شرط ۲ (در حالت خاص formula_8)، formula_9 هم صادق است. واضح است که با تکرار چندبارهٔ این عملیات می‌توان ویژگی P را برای هر عددی ثابت کرد، ازین‌رو formula_4 برای همهٔ اعداد k صادق است.
فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبهٔ n عدد اول وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد؛ بنابراین فرمول: formula_11 برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است (formula_12). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد: formula_13 آن‌گاه: formula_14 formula_15 formula_16 formula_17(تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت) بنابراین فرمول برای formula_18 صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است.
روش صوری‌تر برای بیان استقرای ریاضی (بدون استفاده از «ویژگی»های عدد) این است که A یک مجموعهٔ ناتُهی در نظر گرفته شود و شرط گذاشته شود که به‌این‌ترتیب ثابت می‌شود که A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.
شرط ناتهی بودن مجموعهٔ A به این دلیل است که مجموعه تهی «کوچکترین عضو» ندارد و هر مجموعهٔ ناتهی «کوچکترین عضو» دارد. این اصل را، که به اصل خوش‌ترتیبی موسوم است، می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. فرض شود A «کوچکترین عضو» نداشته باشد و B مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی‌ای باشد که عضو A نیستند. مشخص است که عدد ۱ عضو A نیست (چرا که اگر ۱ عضو A بود A «کوچکترین عضو» داشت)، و علاوه‌براین اگر ۱ تا k عضو A نباشند، k+1 هم عضو A نیست (درغیراین‌صورت k+1 کوچکترین عضو A می‌بود)، پس ۱ تا k+1 در A نیستند. ازین امر نتیجه می‌شود که ۱ تا n برای هر عدد طبیعی n عضو A نیستند و ثابت می‌شود که formula_20.
همچنین می‌توان اصل استقرای ریاضی را با استفاده از اصل خوش‌ترتیبی ثابت کرد. «اصل استقرای ریاضی کامل» را هم می‌توان به عنوان نتیجهٔ اصل استقرای ریاضی به دست آورد. این اصل زمانی به کار می‌آید که برای اثبات formula_21 علاوه بر formula_4 باید formula_23 نیز برای همهٔ اعداد طبیعی formula_24 مفروض باشد. در این حالت بر اساس «اصل استقرای ریاضی کامل»، اگر A مجموعه‌ای از اعداد طبیعی باشد، آنگاه A مجموعهٔ همهٔ اعداد طبیعی است.
تعریف بازگشتی مفهومی نزدیک به اصل استقرای ریاضی است. برای مثال، عدد formula_27 (که «اِن فاکتوریل» خوانده می‌شود) به عنوان حاصل‌ضرب همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n تعریف می‌شود:
formula_28
مفهوم فاکتوریل را می‌توان به شکل دقیق‌تر زیر بیان کرد: حاصل‌جمع همهٔ اعداد طبیعی کوچکتر از یا برابر با n نیز (که با نماد formula_31 نشان داده می‌شود) نیز تعریفی بازگشتی است و می‌توان آن را به شکل زیر بیان کرد:
اصول پئانو خواص حسابی "اعداد طبیعی" که با یک مجموعه N یا formula_34 نمادهای غیر منطقی برای اصول، شامل یک نماد ثابت ۰ و یک نماد تابعی تک متغیره "S "می‌شود.
اصل نخست می‌گوید که ثابت ۰ یک عدد طبیعی است: باقی اصول موضوعه، خواص حسابی اعداد طبیعی را تعریف می‌کنند. اعداد طبیعی، مفروض اند بر اینکه تحت یک تابع «تالی» تک متغیره "S" بسته‌اند.
ابتدایی‌ترین روش برای نمایش یک عدد طبیعی قرار دادن علامت برای هر شی است. بعداً، یک مجموعه از اشیا را می‌توان برای برابری، کمبود یا کمبود آزمایش کرد - با زدن یک علامت و برداشتن یک شی از مجموعه.
نخستین پیشرفت عمده در انتزاع، استفاده از اعداد برای نشان دادن تعداد بود. که اجازه می‌دهد تا سیستم‌هایی برای ثبت تعداد زیاد ساخته شوند. مصریان باستان سیستم قدرتمندی از اعداد را با هیروگلیف مشخص برای ۱، ۱۰ و قدرت ۱۰ تا بیش از ۱ میلیون ایجاد کردند. یک سنگ تراشیده شده در کارناک، که از حدود ۱۵۰۰ سال قبل از میلاد مسیح قدمت دارد و اکنون در موزه لوور پاریس نگه داری می‌شود، ۲۷۶ را ۲ صدها، ۷ ده و ۶ مورد نشان می‌دهد. و به همین ترتیب برای عدد ۴۶۲۲. بابلی‌ها دارای یک سیستم ارزش مکانی بودند که اساساً بر اساس اعداد ۱ و ۱۰ استفاده می‌شود، با استفاده از پایه شصت، به طوری که نماد برای شصت همان نماد برای یک بود - مقدار آن از زمینه تعیین می‌شد.
پیشرفت بعدی توسعه این ایده بود که ۰ را می‌توان به عنوان یک عدد در نظر گرفت. استفاده از یک رقم ۰ در ارزش گذاری مکان (در سایر اعداد) از ۷۰۰ قبل از میلاد توسط بابلی‌ها آغاز شد، آنها وقتی این رقم آخرین نماد این عدد بود، چنین رقمی را حذف کردند.
تمدن اولمک و مایا از اوایل قرن اول قبل از میلاد صفر را به عنوان یک عدد جداگانه به کار بردند، اما این کاربرد فراتر از Mesoamerica گسترش نیافت. استفاده از عدد صفر در دوران معاصر با ریاضیدان هندی Brahmagupta در سال ۶۲۸ میلادی آغاز شد. با این حال، صفر به عنوان یک عدد در محاسبه قرون وسطایی (محاسبه تاریخ عید پاک) استفاده شده‌است، که با Dionysius Exiguus در ۵۲۵ میلادی شروع می‌شود، بدون اینکه با یک عدد مشخص شود (اعداد استاندارد رومی برای ۰ نمادی ندارند). در عوض، nulla (یا فرم جنایی nullae) از nullus، کلمه لاتین «هیچ»، برای نشان دادن مقدار ۰ استفاده شد.
اولین مطالعه سیستماتیک اعداد به عنوان انتزاع معمولاً به فیلسوفان یونانی فیثاغورس و ارشمیدس نسبت داده می‌شود. برخی از ریاضی دانان یونانی با عدد ۱ متفاوت از اعداد بزرگتر برخورد می‌کنند، حتی گاهی اوقات اصلاً به عنوان یک عدد نیستند. به عنوان مثال، اقلیدس ابتدا یک واحد و سپس یک عدد را به عنوان کثرت واحدها تعریف کرد، بنابراین طبق تعریف وی، یک واحد یک عدد نیست و هیچ عدد منحصر به فردی وجود ندارد (به عنوان مثال، هر دو واحد از نامحدود بسیاری از واحدها است a 2)
مطالعات مستقل در مورد اعداد نیز تقریباً در همان زمان در هند، چین و Mesoamerica رخ داده‌است.
در قرن نوزدهم اروپا بحث ریاضی و فلسفی دربارهٔ ماهیت دقیق اعداد طبیعی وجود داشت. مکتبی از ناتورالیسم اظهار داشت که اعداد طبیعی نتیجه مستقیم روان انسان است. هنری پوانکره یکی از طرفداران آن بود، و همچنین لئوپولد کرونکر، که عقیده خود را چنین خلاصه کرد: «خداوند اعداد صحیح را ایجاد کرد، چیزهای دیگر کار انسان است».
در مخالفت با طبیعت گرایان، سازه گرایان نیاز به بهبود دقت منطقی در مبانی ریاضیات داشتند. در دهه ۱۸۶۰، هرمان گراسمن تعریف بازگشتی را برای اعداد طبیعی پیشنهاد کرد، بنابراین اظهار داشت که آنها واقعاً طبیعی نیستند - اما یک نتیجه تعاریف. بعداً، دو کلاس از این تعاریف رسمی ساخته شد. بعداً هنوز نشان داده شد که در اکثر کاربردهای کاربردی برابر هستند.
تعاریف نظری مجموعه ای از اعداد طبیعی توسط فرگه آغاز شد. وی در ابتدا یک عدد طبیعی را به عنوان کلاس تمام مجموعه‌هایی تعریف می‌کند که با یک مجموعه خاص مطابقت یک به یک دارند. با این حال، این تعریف منجر به ایجاد پارادوکسهایی از جمله پارادوکس راسل شد. برای اجتناب از چنین تناقضاتی، فرم گرایی به گونه ای اصلاح شد که یک عدد طبیعی به عنوان یک مجموعه خاص تعریف شود و گفته می‌شود که هر مجموعه ای که می‌تواند با آن مجموعه مکاتبه یک به یک کند، آن تعداد عنصر را دارد.
دسته دوم تعاریف توسط چارلز سندرز پیرس معرفی شد، توسط ریچارد ددکیند پالایش شد و توسط جوزپه پینو بیشتر مورد کاوش قرار گرفت. این رویکرد اکنون حساب Peano نامیده می‌شود. این بر اساس بدیهی سازی خصوصیات اعداد ترتیبی است: هر عدد طبیعی یک جانشین دارد و هر عدد طبیعی غیر صفر یک سلف منحصر به فرد دارد. حساب Peano با چندین سیستم ضعیف نظریه مجموعه مطابقت دارد. یکی از این سیستم‌ها ZFC است که بدیهی بودن آن با نفی جایگزین شده‌است. قضایایی که می‌توانند در ZFC اثبات شوند اما با استفاده از Peano Axioms قابل اثبات نیستند، شامل قضیه گودشتاین است.
با تمام این تعاریف، مناسب است که ۰ (مربوط به مجموعه خالی) به عنوان یک عدد طبیعی باشد. درج ۰ اکنون در بین نظریه پردازان مجموعه و منطق دانان رایج است. زبان‌های رایانه ای هنگام برشمردن مواردی مانند شمارنده‌های حلقه و عناصر رشته‌ای یا آرایه ای، اغلب از صفر شروع می‌شوند.از طرف دیگر، بسیاری از ریاضیدانان سنت قدیمی را برای گرفتن عدد ۱ به عنوان اولین عدد طبیعی حفظ کرده‌اند.