میانه میانه‌ها
در علوم رایانه، میانهٔ میانه‌ها یک الگوریتم انتخاب بر پایهٔ الگوریتم انتخاب سریع می‌باشد. این الگوریتم، بهینه و در بدترین حالت ممکن برای انتخاب k امین عضو بزرگ یک مجموعه دارای عملکردی خطی می‌باشد. این الگوریتم میانهٔ تقریبی را در مدت زمانی خطی بدست آورده و به عنوان عنصر محوری در اختیار الگوریتم انتخاب سریع قرار می‌دهد.
این الگوریتم می‌تواند به عنوان یک روش برای پیدا کردن عنصر محوری در مرتب‌سازی سریع مورد استفاده قرار گرفته و به یک الگوریتم مرتب‌سازی بهینه با عملکرد در بدترین حالت از formula_1 منجر شود. اگرچه این روش بهینه است، اما در عمل برای از بین بردن سربار محاسبهٔ عنصر محوری؛ این عنصر معمولاً به صورت تصادفی انتخاب می‌شود. میانه میانه‌ها به عنوان یک بازگشت در الگوریتم انتخاب درونگرا مورد استفاده قرار می‌گیرد تا عملکرد بدترین حالت را بهبود بخشد: انتخاب درونگرا با انتخاب سریع شروع می‌شود تا یک عملکرد متوسط را نتیجه دهد، سپس در صورتی که روند اجرا بسیار کند باشد، از میانه میانه‌ها استفاده می‌کند.
این الگوریتم توسط منتشر شد و به همین دلیل برخی از مواقع با نام BFPRT (حروف اول اسم ناشران آن) شناخته می‌شود. در مقالهٔ اصلی از این الگوریتم به اسم PICK و از الگوریتم انتخاب سریع به عنواد FIND یاد شده است.
زمان لازم برای انتحاب سریع به طور میانگین به صورت خطی رشد می‌کند، اما با انتخاب نامناسب عنصر محوری می‌تواند به صورت درجهٔ دو رشد کند. دلیل این امر این است که انتخاب سریع، یک الگوریتم تقسیم و حل است که هر مرحلهٔ آن زمانی از formula_2 روی باقیماندهٔ اعضا لازم دارد. اگر اندازهٔ مجموعه‌ای که الگوریتم انتخاب سریع روی آن جستجو انجام می‌دهد سریع و به صورت نمایی کاهش یابد (با نسبتی ثابت)، منجر به یک سری هندسی با زمانی از formula_2 خواهد شد و در نتیجه در طول زمان به صورت خطی رفتار خواهد کرد. حال اگر اندازهٔ این مجموعه با سرعتی آهسته کم شود، مثلاً به صورت خطی (در بدترین حالت در هر مرحله تنها یک عضو از مجموعه کاسته می‌شود)، جمع تمامی مراحل منجر به زمانی از formula_4 خواهد شد. بدترین حالت، زمانی رخ می‌دهد که کوچکترین عضو مجموعه در هر مرحله به عنوان عنصر محوری انتخاب شود (برای مثال حالتی که برای انتخاب بزرگترین عضو یک مجموعه مرتب شده از انتخاب سریع استفاده شود و در هر مرحله اولین عضو مجموعه را به عنوان عنصر محوری در نظر بگیریم).
اگر به صورت پیاپی عناصر محوری خوبی را انتخاب نماییم همواره زمان اجرایی خطی را حتی در بدترین حالت ممکن خواهیم داشت. عنصر محوری خوب، عنصری است که همواره درصد ثابتی از اعضای مجموعه قبل و بعد از آن وجود داشته باشند تا در هر مرحله تعداد اعضای باقیمانده در مجموعه به صورت نمایی کاهش یابد. میانه همیشه یک عنصر محوری خوب محسوب می‌شود (بهترین گزینه برای مرتب‌سازی و یکی از بهترین گزینه‌ها برای انتخاب).
الگوریتم میانه میانه‌ها، میانه را نه به صورت دقیق، بلکه به صورت تقریبی محاسبه می‌کند. اما این تضمین را می‌دهد که مقدار محاسبه شده بین ۳۰امین و ۷۰امین صدک قرار گرفته باشد؛ بنابراین در هر مرحله تعداد داده‌ها حداقل ۳۰٪ کاهش می‌یابد.
همان‌طور که ذکر شد، میانه میانه‌ها به عنوان یک راه‌حل برای انتخاب عنصر محوری در الگوریتم انتخاب سریع مورد استفاده قرار می‌گیرد و شبه کد آن به صورت زیر است:
همانند انتخاب سریع در الگوریتم میانه میانه‌ها نیز یک زیر رَویه به نام «تقسیم کننده» وجود دارد که می‌تواند یک لیست را به دو بخش (اعضای کوچکتر از یک عنصر خاص و اعضای بزرگتر از آن) تقسیم کند. شبه کد یک تقسیم‌کننده که یک تقسیم بر پایهٔ codice_1 انجام می‌دهد را در زیر می‌توانید مشاهده کنید:
تابع codice_2 بخش اصلی الگوریتم میانه میانه‌هاست. این تابع ورودی (یک لیست به طول n) را به گروه‌هایی با پنج عضو تقسیم کرده و میانهٔ هر گروه را محاسبه می‌کند. سپس به صورت بازگشتی میانهٔ اصلی میانه‌های بدست آمده در قسمت قبل را بدست می‌آورد:
تابع codice_3 میانهٔ یک گروه با حداکثر پنج عضو را انتخاب می‌کند. یک راه ساده برای پیاده‌سازی این تابع استفاده از مرتب‌سازی درجی است.
در نهایت می‌توان عمکرد الگوریتم میانه میانه‌ها را به ۵ مرحله تقسیم کرد:
مرحله ۱: تمامی n عضو به گروه‌های ۵ تایی دسته بندی می‌شوند. (در صورتی که تعداد عضو‌ها به ۵ قابل قسمت نباشد گروه آخر کمتر از ۵ عضو را در خود جای می‌دهد.)
مرحله ۲: میانه هر یک از گروه‌های ایجاد شده پیدا می‌شوند. (ابتدا هر یک از این گروه ها در formula_5 مرتب شده و سپس میانۀ آنها انتخاب می‌شود.)
مرحله ۳: به صورت بازگشتی میانه داده ها انتخاب می‌شود.
مرحله ۴: با استفاده از تابع پارتیشن که میانۀ انتخابی را به عنوان عنصر محوری در ورودی دریافت می‌کند، با فرض اینکه میانۀ انتخابی k امین کوچکترین عضو باشد، داده ها به دو دستۀ k - 1 تایی و n - k تایی تقسیم می‌شوند که تمامی اعضای آنها به ترتیب کوچکتر و بزرگتر از میانۀ انتخابی است.
مرحله ۵: در این مرحله ۳ حالت وجود دارد:
اگر اندیس میانۀ انتخابی برابر i باشد: این عضو به عنوان جواب بازگردانده می‌شود.
اگر اندیس میانۀ انتخابی بزرگتر از i باشد: i امین کوچکترین عضو در بین داده‌های کوچکتر از میانه به عنوان جواب بازگردانده می‌شود.
اگر اندیس میانۀ انتخابی کوچکتر از i باشد: i - k امین کوچکترین عضو در بین داده‌های بزرگتر از میانه به عنوان جواب بازگردانده می‌شود.
از گروه‌ها، نیمی از آنها (=×½) میانه‌هایی کمتر از میانهٔ واقعی (میانه میانه‌ها) و نیمی دیگر از آنها میانه‌هایی بیشتر از آن دارند. در هر یک از گروه‌ها با میانهٔ کمتر از میانهٔ واقعی، ۲ عضو کوچکتر از میانهٔ گروه خود هستند؛ بنابراین در از گروه‌ها حداقل ۳ عضو کوچکتر از میانهٔ اصلی هستند. به صورت مشابه در دیگر از گروه‌ها با میانهٔ بزرگتر از میانهٔ اصلی حداقل ۲ عضو وجود دارند که از میانهٔ گروه خود بزرگتر هستند و در نتیجه از گروه‌ها دارای حداقل ۳ عضو بزرگتر از میانهٔ اصلی هستند؛ بنابراین میانهٔ اصلی حداقل از ×۳ داده‌ها بیشتر و از ×۳ آنها کمتر است؛ بنابراین میانهٔ انتخاب شده بین ۳۰٪ تا ۷۰٪ داده‌ها است:
عنصر قرمز رنگ: میانه میانه‌ها، عناصر خاکستری: اعداد کوچکتر از میانه میانه‌ها، عناصر سفید: عناصر بزرگتر از میانه میانه‌ها
۵ تایی‌های بالا برای وضوح بیشتر به صورت مرتب شده نمایش داده شده‌اند. اما در واقع، از آنجایی که ما تنها به دنبال میانهٔ این ۵ تایی‌ها هستیم مرتب بودن آنها اهمیتی ندارد.
توجه کنید که تمامی عناصر بالا-راست عنصر قرمز رنگ(۳۰٪ کل عناصر) کوچکتر از آن و تمامی عناصر پایین-چپ این عنصر(۳۰٪ کل عناصر)، بزرگتر از آن هستند.
همانطور که در تصویر بالا مشاهده می‌کنید، به جز گروهی که شامل میانۀ انتخابی (x) است و گروه آخر، در نیمی دیگر از گروه‌ها حداقل ۳ عضو وجود دارد که از x کوچکتر هستند. (این ۳ عضو شامل میانه‌های کوچکتر از x و دو عضو کوچکتر از هر میانه، در هر یک از گروه‌ها است) بنابراین: formula_6 به صورت مشابه حداقل 6 - عضو بزرگتر از x هستند. بنابراین مرحله‌ ۵ام حداکثر روی 6 + از داده‌ها بازگشت می‌کند. از طرفی، مراحل ۱، ۲ و ۴ برای اجرا شدن احتیاج به زمانی از formula_2 دارند.‌ ( مرحله ۱: ایجاد گروه‌های با ۵ عضو احتیاج به زمانی از formula_2 دارد، مرحله ۲: مرتب سازی هر گروه ۵ تایی احتیاج به زمانی از formula_9 و مرحله ۴: تقسیم کردن داده ها حول میانه انتخابی احتیاح به زمانی از formula_2 دارد.) مرحله ۳ زمانی از formula_11 را احتیاج داشته و مرحله آخر زمانی کمتر از formula_12 را برای اجرا لازم دارد. با فرض اینکه با n های به قدر کافی کوچک زمان اجرا از formula_9 باشد، میتوان گفت: (n را به دلیلی که مشاهده خواهید کرد حداقل برابر 140 در نظر می‌گیریم) formula_14 با در نظر گرفتن formula_15 به عنوان فرض استقرا می‌توان نوشت: formula_16
formula_17
formula_18
formula_19 در صورتی که جملۀ formula_20 کوچکتر از صفر باشد فرض استقرا برقرار می‌شود و به سادگی میتوان متوجه شد که به ازای formula_21، این جمله کوچکتر از صفر شده و از آنجایی که n از ۱۴۰ بزرگتر است، formula_22 همواره کمتر مساوی ۲ بوده و به همین دلیل به ازای formula_23 خواهیم داشت: formula_24