هم‌نهشتی (نظریه اعداد)
نظریه هم‌نهشتی یا حساب پیمانه‌ای سیستمی برای محاسبه با اعداد صحیح است که به‌وسیله کارل فردریش گاوس در کتاب رساله حساب در سال ۱۸۰۱ معرفی شد.
مفهوم همنهشتی را می‌توان به عنوان پالایشی برای نظریه بخش پذیری دانست و به‌وسیله آن می‌توان مفاهیم بنیادی را در نظریه اعداد مورد مطالعه قرار داد که بدون استفاده از آن بیان و اثبات بسیاری از مطالب در نظریه اعداد دشوار یا غیرممکن خواهد بود. بعلاوه همنهشتی‌ها می‌توانند خیلی شبیه به معادلات مورد بحث قرار بگیرند و از این رو رابطه‌ای شبیه به تساوی ایجاد خواهند کرد.
به همین دلیل گاوس نماد formula_1 را برای همنهشتی معرفی نمود. یکی از کاربردهای مهم همنهشتی‌ها در حل معادلات سیاله است. مفهوم همنهشتی در موارد بسیاری در زندگی ما مشهود است. یکی از کاربردهای آشنا همنهشتی‌ها در زندگی روزمره استفاده از ۲۴ ساعت در شبانه روز است. به‌طور کلی هر پدیده‌ای که به صورت دوره‌ای رخ می‌دهد بیانگر کاربردی از همنهشتی است.گوییم عدد a به پیمانه (سنج) m با b همنهشت است و می‌نویسیم
از آنجا که با توجه به این تعریف هر دو عدد طبیعی به پیمانه m=۱ با هم همنهشت می‌باشند، پیمانه را معمولاً عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک در نظر می‌گیریم. بعلاوه برای سهولت در نوشتار گاهی نماد formula_6 را برای نمایش همنهشتی به پیمانه m استفاده می‌کنیم.
اگر a و b به پیمانه m همنهشت نباشد می‌نویسیم formula_7
به عنوان مثال formula_8 چرا که formula_9 ولی formula_10. وقتی می گوئیم m,aرا عاد می کند یعنیm=ak
همنهشتی به پیمانه دلخواه m یک رابطه را روی مجموعه اعداد صحیح تعریف می‌کند. این رابطه را به صورت formula_11 نشان می‌دهیم و برای هر دو عدد صحیح a,b به صورت:
تعریف می‌کنیم.
با کمی دقت متوجه می‌شویم این رابطه یک رابطه هم‌ارزی روی مجموعه اعداد صحیح است.
از ۱و۲و۳ نتیجه می‌شود رابطه formula_11 یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند و برهان تمام است.
حال که رابطه formula_11 یک رابطه هم‌ارزی روی اعداد صحیح تعریف می‌کند، طبیعی است که به دنبال کلاس‌های هم‌ارزی آن باشیم. در این راه به خاصیت جالبی از رابطه formula_11 پی خواهیم برد.
اگر برای هر عدد صحیح a کلاس هم‌ارزی a به پیمانه m را با نماد formula_25 نشان دهیم، داریم:
پس
ولذا
در نتیجه
برطبق قوانین حاکم بر کلاس‌های هم‌ارزی برای هر دو عدد صحیح a,b داریم formula_30 اگر و فقط اگر formula_15
همانند همه روابط هم‌ارزی، رابطه هم‌ارزی formula_11 مجموعه اعداد صحیح را به کلاس‌های هم‌ارزی خود افراز می‌کند.
با کمی دقت در کلاس‌های هم‌ارزی این رابطه به سادگی می‌توان نشان داد که رابطه formula_11 مجموعه اعداد صحیح را به دقیقاً m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند. مجموعه خارج قسمت (مجموعه همه کلاس‌ها هم‌ارزی) رابطه هم‌ارزی به پیمانه formula_11 را با formula_35 نشان می‌دهیم و آن را مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m می‌نامیم.
این مجموعه را بنابر مطلب قبل می‌توان به صورت formula_36 نشان داد.
وضوحاً هر عدد صحیح با یکی از اعضای formula_35 به پیمانه m همنهشت است.
دیدیم که رابطه همنهشتی به پیمانه m مجموعه اعداد صحیح را به m کلاس هم‌ارزی افراز می‌کند و مجموعه خارج قسمت آن مجموعه اعداد صحیح به پیمانه m است که به صورت زیر تعریف می‌شود:
اعمال روی formula_35 برای هر formula_40 به صورت زیر تعریف می‌شود. به سادگی می‌توان تحقیق نمود که formula_35 به همراه این اعمال تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را می‌دهد. این بحث در همنهشتی‌های جبری بسیار اهمیت دارد.
به عنوان نمونه مورد ۱ را اثبات می‌کنیم. چون بنابه فرض formula_15 پس m|a-b و چون formula_45
پس m|c-d بنابر خوص رابطه عاد کردن داریم (m|(a-b)+(c-d پس (m|(a+c)-(b+d ولذا formula_46
مورد ۲ نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.
قضیه فوق را می‌توان به بیش از دو رابطه همنهشتی نیز تعمیم داد. به عبارت دیگر به سادگی به استقراء ثابت می‌شود اگر برای هر i=1,2,3.. ,n formula_51 آنگاه: دو قضیه اخیر به خوبی شباهت میان رابطه همنهشتی را با رابطه تساوی را نشان می‌دهد. اما این دو رابطه در برخی موارد دارای تفاوت می‌باشد.
به عنوان مثال می‌دانیم که دو طرف یک رابطه تساوی را می‌توان بر عددی صحیح ناصفر تقسیم نمود. اما آیا این خاصیت در مورد رابطه همنهشتی به پیمانه دلخواه m صادق است؟
قضیه زیر بیان می‌کند در تقسیم طرفین یک رابطه همنهشتی بر یک عامل مشترک طرفین پیمانه دچار تغییر می‌شود.آنگاهاما چون (d=(c,m پس formula_62 و در نتیجه بنابر لم اقلیدس formula_63 پس
پس اگر c عددی صحیح ناصفر باشد که formula_65، اگر formula_58 آنگاه formula_67
همان‌طور که اشاره شد رابطه نزدیکی میان رابطه همنهشتی و نظریه بخش پذیری وجود دارد. در حقیقت نظریه همنهشتی را می‌توان به عنوان پالایشی برای نظریه بخش پذیری دانست. قضایای زیر به خوبی این رابطه را نشان می‌دهد. چون formula_15 پس m|a-b ولذا به ازای عدد صحیح q داریم(1) a=b+mq. باقی‌مانده تقسیم b بر m را r می‌نامیم. بنابر قضیه تقسیم عدد صحیح k موجود است که (2) b=mk+r.
از (۱) و (۲) داریم
پس باقی‌مانده تقسیم a برm برابر r است.
حال فرض می‌کنیم باقی‌مانده تقسیم a و b بر m برابر r باشد. در این صورت بنابر قضیه تقسیم اعداد صحیح k و q وجود داردند که a=mq+r و b=mk+r پس (a-b=m(q-k ولذا m|a-b پس formula_15
دستگاه‌های کامل مانده‌ها در نظریه همنهشتی به ویژه در حل معادلات همنهشتی نقش اساسی دارند. به عبارت دقیق‌تر در نهایت برای حل یک معادله همنهشتی کافی است جواب‌ها را در میان اعضای یک دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه همنهشتی مورد نظر جستجو کنیم.
در تعریف زیر سه شرط را برای دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه دلخواه m بیان می‌کنیم ولی به سادگی می‌توان تحقیق کرد هر یک از دو شرط زیر دیگری را نتیجه می‌دهد؛ لذا در متون مختلف ممکن است هر یک از این دو شرط را به عنوان تعریف ذکر کنند.
ساده‌ترین دستگاه کامل مانده‌ها به پیمانه m مجموعه {A={0,1,2,3... ,m-۱ است. در حقیقت قضیه زیر را داریم:
مجموعه A از اعداد صحیح را یک دستگاه مخفف مانده‌ها (د. م. م یا دمم) به پیمانه m می‌گوییم هرگاه واجد شرایط زیر باشد: