مشتق توابع مثلثاتی
مشتق‌گیری از تابع‌های مثلثاتی یک فرایند ریاضی است که برای یافتن مشتق یک تابع مثلثاتی یا نرخ تغییرات آن برحسب متغیر، انجام می‌شود. مشتق همه تابع‌های مثلثاتی را می‌توان برحسب مشتق سینوس و کسینوس به دست آورد. زیرا همه این تابع‌ها را می‌توان به صورت تابعی از سینوس یا کسینوس بیان کرد. قاعده خارج قسمت برای مشتق‌گیری از تابع مورد نظر به کار می‌رود. مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی با استفاده از مشتق ضمنی و مشتق تابع‌های معمول مثلثاتی، قابل محاسبه است.
به‌طور خلاصه، مشتق تابع‌های مثلثاتی و مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی را می‌توان در جدول زیز نشان داد: برای اثبات مشتق‌ها نخست باید چند قضیه مهم حد که در استخراج رابطه برای مشتق‌ها مورد نیاز هستند، اثبات شوند.
نمودار سمت چپ، یک دایره به مرکز "O" و شعاع "r" را نشان می‌دهد. زاویه θ در مرکز دایره قرار دارد و از دو شعاع "OA" و "OB" ساخته شده‌است. از آن‌جایی که می‌خواهیم θ را به سمت صفر میل دهیم، آن را یک مقدار کوچک مثبت در نظر می‌گیریم.
اکنون دو مثلث "OAB" و "OAC" و قطاع دایره‌ای "OAB" بین آن‌ها را در نظر می‌گیریم. از روی شکل به سادگی می‌توان گفت که نامعادله زیر بین مساحت این سه شکل برقرار است:
برپایه تابع‌های مثلثاتی، مساحت مثلث‌ها به دست می‌آید: مساحت قطاع "OAB" که روبرو به زاویه θ است، نیز برابر است با .
با جایگذاری مقادیر بالا در نامعادله، داریم:
از آن‌جایی که شعاع دایره بزرگتر از صفر است، می‌توان طرف‌های نامعادله را بر r تقسیم کرد. هم‌چنین با توجه به این که زاویه θ بزرگ‌تر از صفر است، سینوس آن نیز بزرگ‌تر از صفر می‌باشد و می‌توان طرف‌های نامعادله را بر sinθ نیز تقسیم کرد؛ بنابراین، نامعادله به صورت زیر در می‌آید:
در نامعادله دوم خط بالا، طرف‌های نامعادله معکوس شدند و از آن‌جایی که هر سه طرف مثبت هستند، پس از معکوس کردن، علامت نامساوی نیز عکس می‌شود. اگر از این نامعادله را در نزدیکی صفر حد بگیریم: اکنون با استفاده از قضیه فشردگی، می‌توان حد در x→۰ را به دست آورد. از آن‌جایی که این تابع بین دو تابع دیگر قرار دارد که حد هر دو در صفر، برابر یک است، پس حد این تابع نیز برابر با یک خواهد بود: برای مقدارهای منفی نزدیک به صفر نیز می‌توان از ویژگی فرد بودن تابع سینوس استفاده کرد:
در این بخش، از نتیجه بخش پیشین استفاده می‌شود. برخلاف سینوس، کسینوس در نزدیکی صفر، همواره مثبت است؛ بنابراین علامت θ در محاسبه، اهمیتی ندارد. اتحاد را می‌توان به صورت نیز نوشت؛ بنابراین با دانستن این که حد حاصل‌ضرب با حاصل‌ضرب حدها برابر است، حد بالا به صورت زیر در می‌آید:
با بهره گرفتن از حد تابع سینوس، فرد بودن تابع تانژانت و این که حد حاصل‌ضرب با حاصل‌ضرب حدها برابر است، داریم:
برای به دست آوردن مشتق تابع سینوس، از تعریف مشتق استفاده می‌کنیم: با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه (sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α) داریم: با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):
برای محاسبه مشتق تابع کسینوس، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم: با سود بردن از اتحاد داریم: با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند):
برای بهره بردن از قاعده زنجیری در محاسبه مشتق تابع کسینوس، از مشتق تابع سینوس (که بالاتر به دست آمده) و اتحاد زیر استفاده می‌کنیم: با مشتق‌گیری از دو طرف اتحاد بالا داریم: استفاده از قاعده زنجیری، با در نظر گرفتن دو تابع به صورت نتیجه می‌دهد: بازنویسی رابطه بالا، منجر به رابطه زیر می‌شود: بنابراین نشان دادیم که
برای محاسبه مشتق تابع تانژانت، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم: با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه () داریم: پس از تبدیل حد حاصل‌ضرب به حاصل‌ضرب حدها: اکنون از حد تابع تانژانت و به صفر میل کردن تانژانت در نزدیکی صفر، بهره می‌بریم: رابطه بالا را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت:
می‌توان مشتق تابع تانژانت را با قاعده زنجیری نیز به دست آورد: صورت کسر، بنابر قضیه فیثاغورس، برابر ۱ است. در نتیجه:
برای محاسبه مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی، متغیر "y" را به عنوان تابع وارون مثلثاتی در نظر می‌گیریم که مشتق‌گیری از آن، مد نظر است. با مشتق‌گیری ضمنی و حل معادله برای ، مشتق تابع وارون برحسب "y" پیدا می‌شود. برای تبدیل به تابعی بر حسب "x" می‌توانیم از اتحادهای مثلثاتی مانند قضیه فیثاغورس بهره بگیریم.
تابع وارون سینوس را به صورت (y=arcsin(x در بازه تعریف می‌کنیم؛ بنابراین sin(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای داریم:
با جایگذاری formula_26 و سپس (x=sin(y در معادله بالا:
تابع وارون کسینوس را به صورت (y=arccos(x در بازه تعریف می‌کنیم؛ بنابراین cos(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای داریم:
با جایگذاری formula_32 و سپس (x=cos(y در معادله بالا:
تابع وارون تانژانت را به صورت (y=arctan(x در بازه تعریف می‌کنیم؛ بنابراین tan(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای داریم:
طرف چپ:
طرف راست:
بنابراین
با جایگذاری (x=tan(y در معادله بالا:
تابع وارون کتانژانت را به صورت (y=arccot(x در بازه تعریف می‌کنیم؛ بنابراین cot(y)=x. اکنون با استفاده از مشتق ضمنی و حل آن برای داریم:
با جایگذاری formula_44 در معادله بالا:
با جایگذاری (x=cot(y در معادله بالا: