حلقه (ریاضیات)
یک حلقه در ریاضیات، ساختاری جبری است که میدان‌ را تعمیم می‌دهد: نیازی نیست که ضرب جابجایی‌پذیر باشد، و نیازی نیست تا وارون ضربی وجود داشته باشد. به زبان دیگر، یک "حلقه" یک مجموعه مجهز به دو عمل دوتایی است که ویژگی‌هایی شبیه جمع و ضرب اعداد صحیح را برآورده می‌کند. عناصر حلقه می‌تواند اعدادی مثل عدد صحیح یا عدد مختلط باشد، اما این عناصر می‌تواند اشیای غیرعددی مثل چندجمله‌ای، ماتریس مربعی، تابع و سری توانی هم باشد.
از نظر صوری، یک "حلقه" گروهی آبلی است که عملیات آن "جمع" نامیده شده، به همراه عملگر دوتایی ثانویه که ضرب نام‌دارد و خاصیت شرکت‌پذیری داشته و روی عملگر جمع توزیع‌پذیر است و دارای عنصر همانی ضربی است (این خاصیت اخیر نزد برخی از مؤلفین الزامی نیست، را ببینید). پیرو تعمیم اعداد صحیح، به عملیات گروهی آبلی حلقه ها، "جمع" و به عملگر ثانویه آن "ضرب" گویند.
این که آیا یک حلقه جابجایی است یا خیر (یعنی این که آیا ترتیب ضرب دو عنصر حلقه بر نتیجه ضربشان اثرگذار است یا نه؟)، اثرات ژرفی بر روی رفتار یک شیء جبری دارد. در نتیجه، نظریه حلقه های جابجایی را اغلب جبر جابجایی گویند، که مبحث کلیدی در نظریه حلقه هاست. توسعه جبرجابجایی به میزان چشمگیری از مسائل و ایده هایی که به طور طبیعی در نظریه جبری اعداد و هندسه جبری وجود دارند وام گرفته است. مثال هایی از حلقه های جابجایی شامل این موارد می شود: اعداد صحیح مجهز به عملیات جمع و ضرب، مجموعه چند جمله ای ها به همراه جمع و ضرب بینشان، حلقه مختصاتی یک واریته جبری آفینی و حلقه اعداد یک میدان عددی. مثال هایی از حلقه های ناجابجایی شامل حلقه ماتریس های حقیقی مربعی formula_1 که در آن formula_2، حلقه گروه ها در نظریه نمایش، جبر عملگرها در آنالیز تابعی، حلقه عملگر های دیفرانسیلی در نظریه عملگر های دیفرانسیل و حلقه کوهمولوژی یک فضای توپولوژیکی در توپولوژی.
مفهوم سازی برای حلقه ها در دهه ۱۸۷۰ شروع شد و در دهه ی ۱۹۲۰ تکمیل شد. افرادی که نقش کلیدی در این فرایند داشتند شامل ددکیند، هیلبرت، فرانکل و نوتر بودند حلقه ها را اولین بار به عنوان تعمیم هایی از دامنه های ددکیند، که در نظریه اعداد، حلقه های چند جمله ای و پایا هایی که در هندسه جبری و نظریه پایا ظاهر می شوند، به صورت صوری و رسمی در آوردند. سپس، مشخص شد که مفهوم حلقه ها در دیگر شاخه های ریاضیاتی چون هندسه و آنالیز ریاضی نیز مفیدند.
آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، formula_3 شامل اعداد زیر است: formula_4 خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست.
حلقه، مجموعه ای چون formula_5 است که به عمل های دوتایی + و . مجهز شده به گونه ای که در اصول موضوعه زیر به نام اصول موضوعه حلقه ها صدق کند:
همانطور که در بخش تاریخچه در قسمت پایین توضیح داده شده، بسیاری از مؤلفان از قرارداد دیگری استفاده می کنند که در آن برای یک حلقه وجود عنصر همانی ضربی الزامی نیست. در این مقاله از این قرارداد استفاده شده که وجود عنصر همانی ضربی الزامی است، مگر خلاف آن ذکر شود. مؤلفانی که از قرارداد اخیر (وجود عنصر همانی ضربی) پیروی می کنند، به حلقه هایی که در آن ها عنصر همانی تعریف نشده rng (به صورت "rung" یا رانگ تلفظ می شود) گویند و برخی مواقع به آن حلقه کاذب (pseudo-ring) هم گفته می شود. به عنوان مثال، مجموعه اعداد زوج تحت جمع و ضرب معمولی یک rng (رانگ) است اما حلقه نیست.
عملیات + و . را به ترتیب "جمع" و "ضرب" گویند. معمولاً نماد ضرب یعنی . حذف می شود، لذا کنار هم قرار گرفتن عناصر به صورت ضرب تعبیر می شود. به عنوان مثال formula_43 معنی formula_44 می دهد.
گرچه جمع در حلقه جابجاییست، ضرب حلقه لزوماً جابجایی نیست: formula_45 لزوماً برابر با formula_46 نیست. حلقه هایی که شرط جابجایی ضربی را ارضاء می کنند (مثل حلقه اعداد صحیح) را حلقه جابجایی گویند. کتاب های جبر جابجایی یا هندسه جبری اغلب برای ساده سازی اینگونه قرارداد می کنند که "حلقه" به معنای "حلقه جابجایی" است.
در یک حلقه، نیاز نیست که عناصر دارای معکوس ضربی باشند. یک حلقه جابجایی (نابدیهی) که در آن هر عنصر ناصفر معکوس ضربی داشته باشد را میدان گویند.
گروه جمعی یک حلقه صرفاً مجهز به جمع است. گرچه که تعریف حلقه فرض را بر این می گیرد که گروه جمعی آبلی است، اما این مسئله (آبلی بودن گروه جمعی) را می توان از دیگر اصول موضوعه های حلقه استنباط کرد (یعنی یک اصول موضوعه ی مستقل نیست). اثبات نکته اخیر از طریق فرض وجود عنصر "formula_30" است، پس اثبات آن در rng قابل استفاده نیست (در مورد رانگ ها، حذف فرض جابجایی بودن جمع، باعث می شود که جابجایی بودن ضرب عناصر، یعنی formula_48 را بتوان از بقیه اصول موضعه استنباط کرد).
برخی از مؤلفین حلقه را بدون فرض شرکت پذیری ضربی تعریف می کنند. این تعریف کلی یک حلقه (که لزوماً شرکت پذیر نباشد، و لزوماً یک دار نباشد) هنگامی مفید است که بخواهیم هر جبر را یک حلقه در نظر بگیریم.
برخی از خواص پایه ای یک حلقه فوراً از اصول موضعه بدست می آیند:
همچنین رجوع کنید به: حساب پیمانه ای
مجموعه formula_60 به عملیات زیر مجهز شده است:
آنگاه، formula_62 یک حلقه است: هر اصل موضوع از اصل موضوع متناظرش در formula_3 بدست آمده و این عنصر را اغلب به صورت "x mod 4" یا formula_77 نمایش می دهند که با نماد های formula_78 سازگاری دارند. معکوس جمعی هر عنصر مثل formula_77 در formula_62 به صورت formula_81 است. به عنوان مثال، formula_82.