انرژی ویژه مداری
در بحث مربوط به برهمکنش دو جسم انرژی ویژه مداری (انگلیسی:Specific orbital energy) formula_1 دو جرم در گردش حول گرانیگاه مشترک مجموع ثابتی از انرژی‌های جنبشی (formula_2) و پتانسیل (formula_3) بر جرم کاهش یافته (formula_4) آنهاست که مطابق با معادله قانون بقای انرژی مداری با زمان تغییر نمی‌کند.
که:
یکای اندازه گیره انرژی ویژه مداری در دستگاه بین‌المللی اندازه‌گیری و یکاها اس آی J/kg هم ارز با m·s و معادله ابعادی آن formula_13 است. برای یک مدار بیضوی با خروج از مرکز کمتر از ۱ مقدار انرژی ویژه مداری معادل منفی انرژی اضافه لازم برای شتاب دادن جرم یک کیلوگرمی با سرعت گریز است (سرعتی که آن را در مدار سهمی قرار می‌دهد). برای یک مدار هذلولی این انرژی معادل با مازاد انرژی با علامت مثبت نسبت به مدار سهمی است. در مورد اخیر انرژی ویژه مداری به انرژی شاخص ارجاع شده‌است.
برای یک مدار بیضوی هنگامی که معادلهٔ انرژی ویژه مداری با پایستگی تکانه زاویه‌ای ویژه ترکیب شده و در یکی از نقاط اوج یا حضیص مداری نوشته شود به صورت زیر ساده خواهد شد: که در آن formula_15 پارامتر گرانشی استاندارد کل و formula_16 اندازه یا بزرگی نیم محور بزرگ است. برای نشان دادن این رابطه با نوشتن معادلهٔ انرژی برای نقطه‌ای دلخواه از مدار و تقسیم طرفین تساوی بر مجموع جرم‌ها به رابطهٔ زیر می‌رسیم که در آن همزمان پارامترهای انرژی ویژه مداری و تکانه زاویه‌ای نسبی وجود دارند: از آنجا که این معادلا برای تمامی نقاط مداری صدق می‌کنند می‌توان آن را برای یک نقطه خاص مثلاً نقطه حضیض مداری بکار برد با توجه به اینکه این نقطه ویژه یک نقطهٔ عطف یا بازگشت منحنی است و بردار سرعت مداری هیچ مؤلفهٔ شعاعی ندارد و تنها شامل مؤلفهٔ مماسی است بر بردار شعاع عمود است می‌توان رابطهٔ formula_18 یا معادل آن formula_19 را نوشت که با توجه به این نکته که برای حضیض تساوی formula_20 برقرار است، ادامه می‌دهیم: و با بازنویسی رابطه انرژی برای حضیض مداری ادامه می‌دهیم: برای یک مدار سهمی این معادله به صورت حدی formula_24 ساده می‌شود، و برای مدار هذلولی بسته به علامت formula_16 از رابطه بالا می‌توان استفاده کرد یا آن را به صورت formula_26 بازنویسی کرد؛ با این توجه که در این وضع مقدار انرژی مثبت و بیشتر از صفر است. در حالت اخیر انرژی ویژه مداری برابر است با مازاد انرژی برای مدار سهموی و به انرژی شاخص (formula_27) ارجاع شده. برای این انرژی و سرعت نهایی در فاصله بی‌نهایت دور در مدار هذلولی رابطه زیر را برقرار است: که در مأموریتهای بین سیاره‌ای کاربرد دارد.
خلاصه آنکه اگر بردار شعاع مداری (formula_29) و بردار سرعت مداری (formula_30) در یک نقطهٔ مداری معلوم باشند، با کمک جرم کاهش (formula_31) یافته می‌توان انرژی ویژه مداری (formula_32) را برای تمام نقاط تعیین کرد.
برای یک مدار بیضوی که اندازهٔ نیم محور بزرگ در آن formula_12 است آهنگ تغییرات انرژی مداری با تغییر در بزرگی کمیت اخیر معادل است با: که در آن formula_35 جرم کاهش یافته‌است. در صورتی که پیش فرض خاصی در مورد علامت formula_12 قرارداد نشود هم این رابطه در حالت کلی و برای هر نوع مداری برقرار است.
به ویژه در حالت مدار دایره‌ای، این آهنگ معادل است با نصف شتاب جاذبه محلی یعنی شتاب سقوط برای جسمی در فاصله‌ای به دوری مدار؛ این نتیجه مرتبط است به این حقیقت که برای یک مدار دایره‌ای انرژی کل معادل است با نصف انرژی پتانسیل، با این توجه که انرژی جنبشی خود برابر با منهای یک دوم انرژی پتانسیل است.
اگر جسم مرکزی دارای شعاع formula_37 باشد، در اینصورت انرژی مازاد لازم برای قرار گرفتن در مدار بیضوی نسبت به حالت باقی ماندن بر روی سطح به صورت زیر خواهد بود:
ایستگاه فضایی بین‌المللی داری دوره تناوب ۹۱٬۷۴ دقیقه معادل با تقریباً ۵۵۰۴ ثانیه است، بنابراین نیم محور بزرگ مداری معادل با ۶۷۳۸ متر دارد. انرژی ویژه مداری formula_42 ۲۹٬۶− و انرژی پتانسیل formula_42 ۵۹٬۲− و انرژی جنبشی formula_42 ۲۹٬۶ است. برای مقایسه انرژی پتانسیل روی سطح formula_42 ۶۲٬۶− است که انرژی پتانسیل مازادی بالغ بر formula_42 ۳٬۴ را ایجاب می‌کند، کل انرژی مازاد formula_42 ۳۳ است. سرعت متوسط formula_48 ۷٬۷ است و تغییر سرعت خالص برای رسیدن به این سرعت حدود formula_48 ۸٬۱ است (تغییر سرعت واقعی به دلیل مقاومت جوی و مقاومت جاذبه به‌طور معمول بین ۱٬۵ تا ۲کیلومتر بر ثانیه بیشتر است).
در فاصله formula_50 ۱۰۰ از زمین (شعاع برابر با formula_50 ۶۴۷۱):
انرژی formula_42 ۳۰٬۸− است؛ انرژی پتانسیل formula_42 ۶۱٬۶− و انرژی جنبشی formula_42 ۳۰٬۸، در قیاس با انرژی پتانسیل روی سطح با مقدار formula_42 ۶۲٬۶−. انرژی مازاد پتانسیل هم formula_42 ۱٬۰ و بالاخره انرژی مازاد کل formula_42 ۳۱٬۸ است.
نرخ افزایش انرژی formula_58 ۴٬۸ به ازاء هر متر است؛ این نرخ مرتبط با نصف جاذبه محلی به بزرگی formula_59 ۹٬۵ می‌شود. سرعت formula_48 ۷٬۸ و تغییر سرعت خالص formula_48 ۸٬۰ است.
با اکتساب چرخش زمین برای آغاز از استوا مقدار تغییر سرعت چیزی حدود formula_48 ۰٬۴۶ کمتر (در صورت پرتاب یا حرکت به سمت شرق) یا بیشتر (پرتاب یا حرکت به غرب) است.
برای وویجر ۱، نسبت به خورشید با پارامتر گرانشی استاندارد: kms ۱۳۲٬۷۱۲٬۴۴۰٬۰۱۸ = formula_63
و شعاع r = ۱۷ میلیارد کیلومتر و سرعت v = ۱۷٬۱ km/s
سرعت فرا حدی هذلولوی در این مدار (سرعت فرضی در بی‌نهایت دور) در نتیجه به صورت زیر است:
فرض کنید: به این ترتیب آهنگ تغییر انرژی ویژه راکت formula_67 است که سهم انرژی جنبشی در آن formula_68 و سهم انرژی پتانسیل در آن formula_69 است.
تغییر انرژی ویژه راکت بازا واحد تغییر در تغییر سرعت معادل است با: که هم ارز است با حاصلضرب اندازهٔ بردار سرعت v وکسینوس زاویه‌ای که با جهت بردار شتاب a می‌سازد.
بنابراین هنگامی که سرعت و شتاب هم جهت باشند و اندازه یا مقدار سرعت نسبتاً بزرگ باشد بازده کار انجام گرفته برای تغییر سرعت به حداکثر می‌رسد. هنگامی که زاویه بین سرعت و شتاب باز باشد به عنوان مثال برای پرتاب یا برای انتقال به مدار بالاتر، این به معنی تأثیر کردن تغییرات در سرعت در کوتاهترین زمان و در نهایت ظرفیت ممکن است. با گذشتن از کنار یک جسم بین سیاره‌ای به معنی افزایش نیروی پیشران در نزدیکی آن است. در هنگام گذار تدریجی به یک مدار بالاتر به معنی افزایش نیروی پیشران در اطراف نقطهٔ حضیض مداریست.
هنگام اعمال تغییر سرعت یرای کاهش انرژی ویزه مداری بیشترین بازده مربوط به حالتی است که سرعت و شتاب در جهات مقابل هستند و البته مثل حالت قبل اندازه سرعت بزرگ باشد. هنگامی که زاویهٔ بین سرعت و شتاب تند باشد مانند فرود (روی یک جسم بین سیاره‌ای بدون پوشش اتمسفر) یا در انتقال به یک مدار دایره‌ای به دور یک جسم بین سیاره‌ای موقع ورود از بیرون، به معنی اعمال تغییر سرعت در بلندترین زمان ممکن است. در حال گذر از کنار یک سیاره به معنی اعمال نیروی پیشران در نزدیکی آن است؛ و هنگام گذار به مدار بیضی پایینتر، به معنی اعمال نیروی پیشران هر بار در نزدیکی نقطه حضیض مداریست.
هنگامی که سرعت و شتاب در یک جهت اند تغییر انرژی ویژه: