تصاعد هندسی
در ریاضیات، تصاعد هندسی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جمله اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک عدد ثابتِ مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت "قدر نسبت تصاعد" گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، ... یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را سری هندسی می‌نامند.
شکل کلی دنباله‌های هندسی به صورت زیر نوشته می‌شود:
بنابراین شکل کلی سری هندسی به صورت زیر خواهد بود:
در رابطه‌های بالا formula_3 جملهٔ اول دنباله و "r" ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد می‌باشد.
"n" امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت "r" و جملهٔ اول formula_3 به صورت زیر نوشته می‌شود:
همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی formula_6 می‌توان گفت:
رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است؛ چنانچه قدر نسبت تصاعد: در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.
برای تشخیص دنباله هندسی دو جمله متوالی از دنباله هندسی را به هم تقسیم کنیم.  اگر به مقدار ثابتی رسیدیم. دنباله ما هندسی هست.
مثال: آیا دنبال زیر هندسی است؟ جواب:
پس دنباله بالا هندسی است.
اگر سه جمله a , b , c ، سه جمله متوالی دنباله هندسی باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است:
formula_12
مثال: مقدار x را طوری تعیین کنید که دنباله زیر هندسی باشد.
formula_13
formula_14
formula_15
سری هندسی به "مجموع" جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.
اگر دو سوی تساوی را در formula_17 ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:
برای یک سری هندسی در صورتی که "r" ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:
اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند "m" شروع کنیم:
مشتق این رابطه نسبت به "r" باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:
برای نمونه:
یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج "r" را دارد را باید در formula_23: ضرب کرد:
آنگاه
و برای سری که توان‌های فرد "r" را دارد:
و
یک سری هندسی نامتناهی یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |"r"|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:
از آنجایی که:
آنگاه
برای سری که تنها توان‌های زوج formula_31 را دارد:
و برای توان‌های فرد:
در صورتی که مجموع از شمارشگر "k" = ۰ شروع نشود:
رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |"r"| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:
رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |"r"| کار می‌کند. همچنین برای۱> |"r"| می‌توان نوشت:
سری‌های نامتناهی مانند ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · · وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:
وارون سری بالا ۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · · خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:
رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق "r" کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط "r" کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:
چون:
که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:
که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.
ضرب یک تصاعد هندسی به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است)
اثبات: اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:
پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:
با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:
دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:
در نتیجهٔ این کار: اثبات شد.
چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟ در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:
formula_49
برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:
formula_50 در شکل زیر جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی نمایش داده شده.