E (عدد)
عدد formula_1 که به عدد اویلر هم معروف است، ثابت ریاضیاتی است که تقریباً برابر formula_2 بوده و می‌توان آن را به طرق متعددی به‌دست آورد (مشخص نمود، مشخصه‌سازی کرد). این عدد پایهٔ لگاریتم طبیعی است. این عدد برابر با حد formula_3 است وقتی formula_4 به سمت بی‌نهایت میل کند؛ عبارتی که در بحث بهره مرکب (و مباحث دیگر) نیز ظهور پیدا می‌کند. همچنین این عدد را می‌توان به صورت جمع سری بی‌نهایت زیر نیز محاسبه کرد: همچنین این عدد، عدد منحصربه‌فردی است که نمودار تابع formula_6 را در نقطه formula_7 برابر ۱ می‌کند.
تابع نمایی formula_8، تابع منحصربه‌فردی است با این خاصیت که برابر با مشتق خود بوده؛ به گونه‌ای که مقدار اولیهٔ آن formula_9 است (و لذا می‌توان formula_1 را به صورت formula_11 تعریف کرد). لگاریتم طبیعی، یا لگاریتم در پایه formula_1، وارون تابع نمایی طبیعی است. لگاریتم طبیعی عددی چون formula_13 را می‌توان به‌طور مستقیم توسط ناحیه زیر نمودار formula_14 بین formula_15 و formula_16 تعریف کرد. در این صورت formula_1 برابر با مقداری از formula_18 است که این مساحت را برابر ۱ می‌کند (تصویر را ببینید). از طرق متعدد دیگری نیز می‌توان این عدد را مشخص کرد.
برخی مواقع به formula_1، به یاد لئونارد اویلر، عدد اویلر (اشتباه نشود با formula_20، ثابت اویلر-ماسکرونی، که برخی مواقع به آن "ثابت اویلر" نیز گفته می‌شود)، یا به یاد جان نپر، ثابت نپر (Napier's Constant) نیز گفته می‌شود. با این حال، حرف e را که اویلر برای نمایش این ثابت انتخاب کرد، به افتخارش نگه داشتند. این ثابت توسط ریاضیدان سوئیسی، یاکوب برنولی (یا جیکوب برنولی)، طی مطالعه بهره مرکب کشف شد.
عدد formula_1، در کنار ۰، ۱، formula_22 و formula_23 اهمیت قابل توجهی در ریاضیات دارد. تمام پنج عدد مذکور، نقش‌های مهمی را در کل ریاضیات داشته و مکرر ظاهر می‌شوند. تمام این پنج عدد در یک فرمول، یعنی اتحاد اویلر ظاهر می‌گردند. عدد formula_1، همچون formula_22 یک عدد گنگ (یعنی نمی‌توان آن را به صورت نسبتی از دو عدد صحیح نمایش داد) و متعالی (یعنی نمی‌توان آن را به صورت ریشه ای از یک چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب گویا نوشت) است. عدد formula_1 تا پنجاه رقم در مبنای ده به صورت زیر است:
اولین اشاره به این عدد، در جدولی که در ضمیمهٔ مقالهٔ مربوط به لگاریتم جان نپر در سال ۱۶۱۸ انتشار یافته بود مشاهده می‌شود. با این حال، این مقاله توضیحی راجع به این عدد نمی‌داد بلکه تنها لیستی از لگاریتم‌های حساب شده در مبنای این عدد را نشان می‌داد. به نظر می‌رسد که این جدول توسط ویلیام اوترد تهیه شده‌است. اما «کشف» این عدد توسط ژاکوب برنولی به انجام رسید، کسی که تلاش می‌کرد مقدار عبارت زیر را محاسبه کند (که در حقیقت همان "e" است):
اولین استفاده شناخته شده از این عدد، که آن زمان با "b" نمایش داده می‌شد، در مکاتبات بین گوتفرید لایبنیتس و کریستیان هویگنس بین سال‌های ۱۶۹۰ تا ۱۶۹۱ مشاهده شده‌است. همچنین برای اولین بار اویلر بین سال‌های ۱۷۲۷ تا ۱۷۲۸ شروع به استفاده از "e" برای نمایش این عدد کرد و اولین استفاده از آن در مقاله، در مکانیک اویلر در سال ۱۷۳۶ مشاهده می‌شود. در حالی که سال‌های پس از آن نیز عده‌ای از ریاضی دانان از "c" برای نمایش این عدد استفاده می‌کردند، اما "e" بیشتر مرسوم بود. در نهایت نیز "e" به عنوان نماد استاندارد این عدد امروزه استفاده می‌شود.
در اینکه چرا عدد formula_1، با حرف "e" توسط اویلر نمایش داده شده‌است صحبت‌های بسیاری است. برخی formula_1 حرف اول کلمه "exponential" به معنای نمایی می‌دانند، برخی آن را ابتدای اسم اویلر می‌دانند. برخی نیز می‌گویند چون حروف c،b،a و d در ریاضیات تا آن زمان به کرات استفاده شده بود، اویلر حرف "e" را برای نمایش این عدد استفاده کرد. هر دلیلی داشت، به هر حال امروزه اغلب این عدد را با نام اویلر می‌شناسند.
لازم است ذکر شود که اویلر علاقه زیادی به استفاده از نمادهای ریاضی داشت و ریاضیات امروز علاوه بر عدد formula_1 در ارتباط با مواردی مانند formula_23 در بحث اعداد مختلط، formula_32 در بحث توابع و بسیاری دیگر نمادها مدیون ابداعات اویلر است.
برنولی هنگام مطالعه بر روی مسئله بهره مرکب توانست این عدد را کشف کند.
به عنوان مثال یک حساب را فرض کنید که در آن formula_33 باشد و بهرهٔ آن formula_34 در سال است. اگر بهره یک باره در پایان سال محاسبه و پرداخت شود، در پایان سال در حساب formula_35 خواهیم داشت. اما اگر بهره دو بار در سال یعنی شش ماه یک بار به اندازهٔ formula_36 محاسبه شود، مقدار حساب تا پایان سال دو بار در ۱٫۵ ضرب خواهد شد یعنی formula_37. اگر چهار بار این کار صورت گیرد، حساب در پایان سال برابر formula_38 می‌شود و اگر ماهانه محاسبه شود formula_39.
برنولی متوجه شد که این سری برای محاسبه در بازه‌های زمانی کوچک‌تر و بیشتر به یک عدد ثابت نزدیک می‌شود. محاسبهٔ هفتگی سود منجر به بدست آوردن formula_40 در پایان سال می‌شود، در حالی که محاسبهٔ روزانه آن با ۲ سنت افزایش به عدد formula_41 می‌رسد. با استفاده از "n" بازه برای محاسبهٔ سود formula_42 در هر بازه، مشاهده می‌گردد که با افزایش "n" به سمت اعداد بزرگتر مقدار مانده در حساب در پایان سال به عدد "e" نزدیک‌تر می‌شود، به طوری که اگر محاسبه و پرداخت سود به صورت پیوسته صورت گیرد به عددformula_43 خواهیم رسید. به‌طور کلی تر، حسابی با formula_33 و سود formula_45 با محاسبهٔ پیوستهٔ سود در یک سال به عدد formula_46 خواهد رسید.
عدد "e" در نظریه احتمالات، جایی که به نظر نمی‌رسد به‌طور واضح هیچ نرخ رشد نمایی وجود داشته باشد، نیز نقش بسزایی ایفا می‌کند. برای مثال فرض کنید که قمارباز در حال بازی با یک ماشین اسلات است. قمارباز یک از "n" شانس پیروزی دارد و این بازی را "n" بار انجام می‌دهد. داریم برای "n"های بزرگ (برای مثال چندین میلیون بازی) احتمال این که قمارباز در تمام بازی‌ها شکست بخورد برابر با formula_47 است.
این یک مثال از آزمایش برنولی است. هر بار که یک قمارباز بازی می‌کند یک در میلیون شانس پیروزی دارد. یک میلیون بار بازی کردن را می‌توان به وسیله توزیع دوجمله‌ای مدل‌سازی کرد. پیروزی در "k" بار از این یک میلیون بار برابر است با: در حالت خاصی که در آن "k" برابر صفر است، یعنی عدم پیروزی در تمامی بازی‌ها، داریم: این عدد بسیار به عدد formula_47 نزدیک است و حد آن نیز به این عدد نزدیک خواهد شد:
یکی دیگر از کاربردهای "e" توسط ژاکوب برنولی در کنار پیر ریموند دو مونتمورت این بار هنگام کار کردن بر روی مسئله پریش که به اسم مسئله تحویل کلاه نیز شناخته می‌شود، کشف شد. فرض کنید "n" نفر به یک مهمانی دعوت شده‌اند، هر نفر هنگام ورود کلاهش را به پیشخدمت می‌دهد و او نیز آن‌ها را در "n" جعبه که هر کدام به نام یکی از مهمان‌ها نام‌گذاری شده‌است، می‌گذارد. اما پیشخدمت هویت مهمان‌ها را نمی‌داند پس او هر کلاه را به صورت تصادفی در یکی از جعبه‌ها می‌گذارد. مسئله "دو مونتمورت" این است که احتمال اینکه هیچ‌کدام از کلاه‌ها داخل جعبهٔ خودشان قرار نگرفته باشند چقدر است. پاسخ این‌گونه‌است: با زیاد شدن تعداد مهمان‌ها و میل کردن "n" به سمت بی‌نهایت مقدار formula_53 به سمت formula_54 میل خواهد کرد. به علاوه، تعداد حالاتی که کلاه‌ها در جعبه‌های می‌توانند قرار بگیرند به طوری که هیچ کلاهی در سرجای خودش نباشد برابر formula_55 است با که باید به نزدیک‌ترین عدد صحیح گرد شود.
عدد "e" در بحث مجانب‌ها و روند صعودی توابع نیز نقش خاصی بازی می‌کند. برای مثال این عدد همراه با عدد پی در تقریب استرلینگ برای تابع فاکتوریل دیده می‌شود. نتیجهٔ مستقیم این معادله به حد زیر برای به دست آوردن عدد "e" منجر می‌شود.
انگیزهٔ اصلی کشف عدد "e"، بخصوص در ریاضیات، حل مشتق‌ها و انتگرال‌ها شامل توابع نمایی و لگاریتم بوده‌است. مشتق تابع عمومی نمایی formula_6 برابر است با حد عبارت زیر: حد قسمت راست از متغیر "x" مستقل است و فقط به مقدار "a" مرتبط است. وقتی که پایهٔ تابع نمایی برابر "e" باشد، مقدار این حد برابر یک می‌شود. پس "e" را به صورت نمادین توسط عبارت زیر تعریف می‌کنند: بنابراین تابع نمایی با پایهٔ "e" برای محاسبات حساب دیفرانسیل بسیار مناسب است. انتخاب "e" به جای اعداد دیگر، به عنوان پایهٔ تابع نمایی مشتق گرفتن از این تابع را ساده‌تر کرده‌است.
انگیزهٔ دیگر برای کشف "e" انتخاب آن برای مبنای لگاریتم طبیعی بوده‌است. مشتق تابع لگاریتم عمومی formula_61 برابر است با حد عبارت زیر: که در عبارت آخر تغییر متغیر formula_63 را داریم. آخرین حد در این محاسبه باز هم از "x" مستقل است و تنها به "a" بستگی دارد. به طوری که اگر "a" برابر "e" شود این حد نیز برابر با یک می‌شود. پس به صورت نمادین داریم: لگاریتم در این مبنای خاص (یعنی "e") را لگاریتم طبیعی می‌نامند و آن را با "ln" نمایش می‌دهند. این تابع هنگام مشتق گرفتن رفتار مناسبی دارد و حد موجود در مشتق این تابع یک می‌شود.
پس از طریق دو راه به نتیجهٔ "a"="e" خواهیم رسید. یک راه از طریق برابر بودن مشتق تابع نمایی formula_65 با خودش یعنی formula_65. راه دیگر از طریق برابری مشتق تابع لگاریتمی formula_61 با formula_68. در هر مورد، ما برای سادگی محاسبات عدد "e" را انتخاب می‌کنیم، با این حال هر دو راه ما را به یک "e" خواهند رساند.
روش‌های دیگری نیز برای تعریف "e" موجود است: یک از آن‌ها حد یک دنباله در بی‌نهایت، دیگری مجموع یک سری نامتناهی است. همچنین تعاریف مختلفی توسط انتگرال نیز برای این عدد موجود است. بعضی از این تعاریف شامل موارد زیر می‌شود:
۱. عدد "e"، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
۲. عدد "e"، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
تعاریف زیر را می‌توان از تعاریف اصلی اثبات کرد.
۳. عدد "e" حد یک دنباله در بی‌نهایت است: به صورت مشابه داریم:
۴. عدد "e" مجموع یک سری نامتناهی است: در این‌جا "!n" به معنای n فاکتوریل است.
۵. عدد "e"، یک عدد حقیقی مثبت یکتای است؛ به طوری که:
تابع نمایی formula_75 از این رو دارای اهمیت فراوان در ریاضیات است که مشتقش برابر خودش است.
همین‌طور برای انتگرال این تابع داریم:
ماکزیمم مطلق تابع در نقطهٔ formula_81 رخ می‌دهد. همچنین به صورت مشابه formula_82 نقطه‌ای است که در آن، تابع که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق می‌شود.
به صورت کلی‌تر برای تابع که برای xهای مثبت تعریف شده‌است، مینیمم مطلق در نقطهٔ formula_85 رخ خواهد داد.
تتریشن یا هایپر-۴ نامتناهی
بر اساس نظریه اویلر همگرا خواهد شد؛ اگر و فقط اگر formula_87 باشد (یا به‌طور تقریبی x بین ۰/۰۶۶ و ۱/۴۴۴۷ باشد).
عدد "e" یک عدد گنگ است. لئونارد اویلر این موضوع را به وسیلهٔ نامتناهی شدن بسط کسرهای متوالی ساده، نشان داد. به علاوه عدد "e" یک عدد متعالی است. این عدد، اولین عددی بود که با وجود این که با هدف ایجاد یک عدد متعالی ساخته نشده بود، متعالی بودنش اثبات شد (در مقایسه با عدد لیوویل). چارلز هرمیت این موضوع را در سال ۱۸۷۳ اثبات کرد.
تابع نمایی formula_75 از طریق بسط تیلور به صورت زیر درخواهد آمد:
به این علت که این سری حاوی خاصیت‌های مهمی برای تابع formula_75 است، مخصوصاً هنگامی که "x" مختلط باشد، از آن برای در فضای اعداد مختلط بسیار استفاده می‌شود. از این بسط و بسط تیلور توابع سینوس و کسینوس می‌توان معادله اویلر را بدست آورد:
که برای تمامی "x"های مختلط صحیح است، که در مورد خاص x" = π" برابر معادلهٔ مشخصهٔ اویلر می‌شود:
همچنین از آن می‌توان جواب چندگانهٔ لگاریتم زیر را بدست آورد:
به علاوه، از این معادلهٔ می‌توان بسط را بدست آورد:
که به معادله دی موآور معروف است.
معادلهٔ
نیز به ("Cis("x معروف است.
تابع
پاسخ عمومی تمامی معادلات دیفرانسیل خطی به صورت زیر است:
به طوری که با جای‌گذاری آن در معادله دیفرانسیل خواهیم داش:
که ریشه‌های آن، "s"هایی است که پاسخ‌های عمومی معادلهٔ دیفرانسیل اصلی را می‌سازد.
تعداد ارقام اعشار شناخته شدهٔ عدد "e" به صورت فزاینده‌ای در طول سده‌های اخیر رشد کرده‌است. این رشد مدیون بهبود کارایی کامپیوترها و همچنین بهبود الگوریتم‌های محاسبهٔ این ارقام بوده‌است.