توان (ریاضی)
توان یک عملیات ریاضی است که به صورت formula_1 نوشته می‌شود. این عملیات به صورت "formula_2 به توان formula_3" خوانده می‌شود و در آن formula_2 به‌عنوان پایه و formula_3 به عنوان توان، نِما یا قوه (کاربرد قدیمی) شناخته می‌شوند. هنگامی که formula_3 یک عدد صحیح مثبت باشد، عملیات توان معادل formula_3 بار ضرب formula_2 در خود است:
به این ترتیب formula_10 و برای هر دو عدد صحیح مثبت formula_11 و formula_3 می‌توان نوشت formula_13. همچنین با بسط تعریف عملیات به توان‌های صحیح غیرمثبت، formula_14 معادل formula_15 تعریف می‌شود و formula_16 (formula_3 مثبت و formula_2 غیر صفر) معادل formula_19 خواهد بود. به طور خاص formula_20 معادل formula_21 یا وارون ضربی formula_2 است.
با گسترش تعریف توان، می‌توان هر عدد حقیقی یا مختلط را به عنوان نما استفاده کرد. همچنین توان‌های صحیح را می‌توان به ساختارهای دیگر جبری (برای مثال ماتریس‌ها) اعمال کرد.
عملیات توان در بسیاری از علوم دیگر از جمله در اقتصاد، زیست‌شناسی، شیمی، فیزیک و علوم رایانه و بار کاربردهایی مانند بهره مرکب، رشد جمعیت، سینتیک شیمیایی، رفتار موجی و رمزنگاری کلید عمومی مورد استفاده قرار می‌گیرد.
مربع یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x² و در آن توان ایکس برابر دو است. مکعب یک عدد مثل x اشاره دارد به عددی مانند y که y=x³ و در آن توان ایکس برابر سه است.
اگررادیکال بافرجه۲باشد پس ازجذرکمک میگیریم یعنی ریشه گیری میکنیم
ساده‌ترین نوع توان، با نماهای [[صحیح]] [[مثبت]] است. نما بیانگر این است که پایه چند بار باید در خود ضرب شود. برای مثال سه به توان پنج = ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ = ۲۴۳. در اینجا ۳ پایه و ۵ نما است، و ۲۴۳ برابر است با ۳ به توان ۵. عدد ۳، پنج بار در خودش ضرب می‌شود چون نما برابر ۵ است.
به طور قراردادی، "a" = "a"×"a" را [[مربع]]، "a" = "a"×"a"×"a" را [[مکعب]] می‌نامیم. مثلا 3 «مربع سه» و 3 «مکعب سه» خوانده می‌شوند.
اولین توان را می‌توانیم به صورت "a" = ۱ و سایر توان‌ها را به صورت "a" = "a"·"a" بنویسیم. اگرشکل مکعبی یامستطیل به شمابدهد پس ازفرمول (یک ضلع×خودش)استفاده شود.به گونه ای که برای ضلع های برابرتوان۲درنظرمیگیریم
3 را می‌توان به صورت ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳ هم نوشت، عدد یک را می‌توان چندین بار در عبارت مورد نظر ضرب کرد، زیرا در عمل ضرب عدد یک تفاوتی در جواب ایجاد نمی‌کند و همان جواب گذشته را می‌دهد. با این تعریف، می‌توانیم آن را در توان صفر و یک هم استفاده کنیم:‌
"a" = "a""a" = 1
[[پرونده:ععد به توان صفر.gif|بندانگشتی|در این انمیشن کوتاه می بینید که چرا عدد به توان صفر برابر یک خواهد شد. به روند ارایه شده دقت بفرمایید.]]
اگر عددی غیرمنفی را به توان ۱- برسانیم، حاصل برابر [[معکوس]] آن عدد است.
"a" = 1/"a"
در نتیجه:
"a" = ("a") = 1/"a"
اگر صفر را به توان عددی منفی برسانیم، حاصل در مخرج صفر دارد و تعریف نشده‌است. توان منفی را می‌توان به صورت [[تقسیم]] مکرر پایه هم نشان داد. یعنی ۳ = ۱ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ ÷ ۳ = ۱/۲۴۳ = 3/ 1.
مهم‌ترین خاصیت توان با نماهای صحیح عبارتست از:
formula_23
که از آن می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت:
formula_24
formula_25
از آنجایی که جمع و ضرب خاصیت [[جابجایی]] دارند (برای مثال ۲+۳ = ۵ = ۳+۲ و ۲×۳ = ۶ = ۳×۲) توان دارای [[خاصیت جابجایی]] نیست: 2 = ۸ است در حالی که 3 = ۹. همچنین جمع و ضرب دارای خاصیت [[انجمنی]] هستند (برای مثال (۲+۳)+۴ = ۹ = ۲+(۳+۴) و (۲×۳)×۴ = ۲۴ = ۲×(۳×۴)) توان باز هم دارای این خاصیت نیست: 2 به توان چهار برابر است با 8 یا ۴۰۹۶، در حالی که ۲ به توان 3 برابر است با 2 یا ۲٬۴۱۷٬۸۵۱٬۶۳۹٬۲۲۹٬۲۵۸٬۳۴۹٬۴۱۲٬۳۵۲. البته اعداد ۲ و ۴ در توان خاصیت جابجایی دارند چون (۱۶=۲^۴=۴^۲)
در سیستم [[مبنای ده]]، محاسبه توان‌های ده بسیار راحت است: برای مثال 10 برابر است با یک میلیون، که با قرار دادن ۶ صفر در جلوی یک به دست می‌آید. توان با نمای ده بیشتر در [[علم فیزیک]] برای نشان دادن اعداد بسیار بزرگ یا بسیار کوچک به صورت [[نماد علمی]] کاربرد دارد؛ نمونه را، ۲۹۹۷۹۲۴۵۸ ([[سرعت نور]] با یکای متر بر ثانیه) را می‌توان به صورت ۲٫۹۹۷۹۲۴۵۸ × 10 نوشت و به صورت تخمینی به شکل ۲٫۹۹۸ × 10. [[پیشوند سیستم متریک|پیشوندهای سیستم متریک]] هم برای نشان دادن اعداد بزرگ و کوچک استفاده می‌شوند و اصل این‌ها هم بر توان ۱۰ استوار است. نمونه را پیشوند کیلو یعنی 10 = ۱۰۰۰، پس یک [[کیلومتر]] برابر ۱۰۰۰ [[متر]] است.
[[توان عدد دو|توان‌های عدد دو]] نقش بسیار مهمی در [[علم رایانه]] دارند چون در کامپیوتر مقادیر formula_26 را می‌توان برای یک متغیر هر عدد [[بیت (رایانه)|بیتی]] درنظر گرفت.
توان‌های منفی دو هم استفاده می‌شوند، و به دو توان اول [[نصف]] و [[ربع]] می‌گویند.
اگر توان صفر مثبت باشد، حاصل عبارت برابر خود صفر است:formula_27.
اگر توان صفر منفی باشد، حاصل عبارت formula_28 تعریف نشده‌است، زیرا [[تقسیم بر صفر]] وجود ندارد.
اگر توان یک عدد صفر باشد، حاصل عبارت برابر یک است:formula_29.
توان‌های منفیِ یک بیشتر در دنباله‌های تناوبی کاربرد دارد.
اگر نمای عددِ منفیِ یک، فرد باشد، حاصل آن برابر خودش است: formula_31
اگر نمای عددِ منفیِ یک، زوج باشد، حاصل آن برابر یک است: formula_32
توان‌های formula_33 در دنباله‌های با دورهٔ ۴ کاربرد دارند.
formula_35
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39.
و تقریباً داریم:
formula_40.
یک توان صحیح غیر صفر e برابر است با:
formula_41
"x" می‌تواند عددی مانند صفر، [[کسر]]، [[عدد مرکب]]، یا یک [[ماتریس مربع]] باشد.
به توان رساندن عددی حقیقی مثبت به توان یک عدد غیرصحیح را می‌توان به چند صورت به دست آورد:
[[پرونده:Root graphs.png|راست|بندانگشتی|300px|از بالا به پائین: "x", "x", "x", "x", "x", "x", "x".]] در یک توان، با معکوس کردن نما ریشه آن بدست می‌آید. اگر formula_42 [[عدد حقیقی]] مثبت و "n" عددی صحیح مثبتی باشد، داریم:
formula_43
و ریشه "n"ام formula_44 نامیده می‌شود:
formula_45
برای مثال: 8 = ۲. حالا می‌توانیم توان formula_46 را به صورت زیر تعریف کنیم:
aبه توان n/m مساوی است با ریشه ی a بافرجهm به توان
برای مثال: 8 = ۴.
توان‌های صحیح [[اعداد مرکب]] به صورت بازگستی تعریف می‌شود:
"z" = 1 "z" = "z·z" "z" = 1/"z" (برای "z" ≠ 0)
توان‌های مرکب عدد e به صورت زیر تعریف می‌شود:
formula_47
و توان مرکب یک عدد مرکب برابر است با:
"a" = e
اگر:
"a" = e توان‌های مبهم یک [[تابع مثلثاتی]] سینوس و کسینوس برابر است با:
formula_48 formula_49
مانند:
formula_50 formula_51 عدد حقیقی مثبت [[عدد پی|π]] وجود دارد که با استفاده از آن می‌توان معادله e = ۱ را به صورت "z" = ۲πi·"n" حل نمود.
هر عدد مرکب به شکل formula_52 را می‌توان به این صورت نوشت:
formula_53
برای یک مقدار حقیقی مثبت formula_54 و یک کمان formula_55 می‌توانیم از [[فرمول اویلر]] برای formula_56 استفاده کنیم:
formula_57
حال می‌توانیم یک بار دیگر از فرمول اویلر استفاده کنیم، در این صورت به جای [[عدد e|e]] می‌نویسیم: formula_58. در نتیجه داریم:
formula_59
حال اگر از formula_60 استفاده کنیم می‌توانیم بنویسیم:
formula_61
formula_62
این مقدار اصلی formula_63 اما می‌توانیم برای هر [[عدد صحیح]] "n" آن را به صورت formula_64 بنویسیم، که نتیجه به صورت زیر است:
formula_65 جدول "k"، "k" در سمت چپ و "n" در بالای جدول است.
2 حالت ممکن است برای ضرب اعداد توان دار رخ دهد:برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را جمع می‌کنیم:
formula_66
برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.
formula_67
2 حالت ممکن است برای تقسیم اعداد توان دار رخ دهد:
برای اینکار یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را کم می‌کنیم:
formula_68
برای اینکار یکی از توان‌ها را نوشته و پایه‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم.
formula_69
برای محاسبه جذر اعداد توان‌دار مثل formula_70 کافی است توان formula_71 را بر فرجه تقسیم کنیم.
formula_72
مبحث ضرب اعداد توان‌دار «سیده فاطمه موسوی نطنزی» [[رده:ریاضیات مقدماتی]] [[رده:عملیات دوتایی]] [[رده:نمایی‌ها]]