هندسه جبری
هندسهٔ جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که به‌طور سنتی به مطالعهٔ صفرهای چندجمله‌ایهای چند متغیره می‌پردازد. هندسهٔ جبری مدرن بر اساس استفاده از تکنیک‌های جبر مجرد بنا شده که اساساً از جبر جابجایی استفاده می‌کند تا مسائل هندسی مربوط به این مجموعه صفرها (ریشه این چند جمله‌ای‌ها) را مطالعه کند.
اشیای بنیادی که در مطالعه هندسه جبری استفاده می‌شوند واریته‌های جبری‌اند که بیان هندسی حل دستگاهی از معادلات چند جمله‌ای‌اند. بیشترین واریته‌های جبری مطالعه شده خم‌های جبری صفحه‌اند که شامل خطوط، دایرهها، سهمیها، بیضیها، هذلولیها، خم‌های مکعبی مثل خم‌های بیضوی و خم‌های درجه چهار مثل ها و ها می‌باشند. یک نقطه از صفحه به خم بیضوی متعلق است اگر مختصات آن در یک معادلهٔ چند جمله‌ای داده‌شده صدق کند. سوالات بنیادی مربوط به مطالعهٔ نقاط خاصی مثل نقاط تکین، نقاط عطف و نقاط در بی‌نهایت می‌باشد. سوالات پیشرفته‌تر مرتبط می‌شوند به توپولوژی خم و معادلات بین خم‌های داده شده به‌وسیله معادلات مختلف.
هندسه جبری نقش محوری در ریاضیات مدرن ایفا کرده و پیوندهای مفهومی چندگانه‌ای با شاخه‌های گسترده‌ای از ریاضیات چون آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد دارد. در ابتدا مطالعهٔ دستگاه معادلات چند جمله‌ایهای چند متغیره موضوع هندسه جبری بود، آنجا که حل معادله از نظر خارج شده و فهمیدن خواص ذاتی جواب دستگاه معادلات اهمیت بیشتری پیدا می‌کند، آنجاست که هندسه جبری ظاهر می‌شود؛ چرا که در این مرحله دیگر یک جواب خاص اهمیت چندانی در مقابل آن خواص ندارد، این ما را به برخی قلمروها می‌کشاند که برخی از آن‌ها جزو عمیق‌ترین قلمروهای ریاضی هستند، چه از نظر مفهومی یا تکنیکی.
در قرن بیستم، هندسه جبری به چندین زیرمجموعه تقسیم‌بندی شدند:
بسیاری از پیشرفت‌های جریان اصلی هندسه جبری در قرن بیستم در چارچوب جبر مجرد، صورت گرفت، با افزایش تأکید بر روی خواص «ذاتی» واریته‌های جبری که وابسته به هیچ‌کدام از روش‌های متفاوت جاسازی آن واریته در فضای مختصاتی اطرافیش (ambient) وابسته نباشد؛ این هدف موازی با پیشرفت در شاخه‌هایی چون توپولوژی، هندسه دیفرانسیل و هندسه مختلط می‌باشد. یکی از دستاوردهای کلیدی این هندسه جبری مجرد، نظریه اسکیم گروتندیک است که اجازه استفاده از نظریه شیف‌ها برای مطالعهٔ واریته‌های جبری را داده به طوری که این نحوه استفاده، شباهت بسیاری به استفاده از آن در مطالعه منیفلدهای دیفرانسیل و تحلیلی دارد. این دستاورد با توسعهٔ مفهوم نقطه به‌وجود آمد؛ در هندسه جبری کلاسیک، یک نقطه از واریته آفین را از طریق قضیه صفرهای هیلبرت می‌توان شناسایی کرد، به‌وسیله یک ایده‌آل ماکسیمال حلقه مختصاتی، در حالی که نقطه متناظر با آن در اسکیم آفین، همگی ایده‌آل‌های اولی از این حلقه می‌باشند. این بدین معناست که یک نقطه از چنین اسکیمی می‌تواند یا یک نقطه عادی، یا یک زیرواریته باشد. همچنین این رویکرد موجب اتحاد زبان و ابزارهای هندسه جبری کلاسیک گشته که به‌طور عمده با نقاط مختلط، و نظریه جبری اعداد مرتبط می‌گردد. اثبات وایلز بر حدس فرما به نام قضیه آخر فرما که به مدت طولانی، حل‌ناشدنی باقی مانده بود، اثباتی بر قدرت این رویکرد می‌باشد.
برخی از ریشه‌های هندسه جبری به قبل از کارهای یونانیان هلنی قرن پنجم قبل از میلاد می. رسد. به عنوان مثال، مسئله تضعیف مکعب این بود که چگونه می‌توان پاره خطی به طول x ساخت به گونه‌ای که حجم مکعبی به ضلع x برابر مکعب مستطیلی به ابعاد "a""b" باشد که در آن "a" و "b" به ما داده شده‌اند. منایخموس (حدود ۳۵۰ قبل از میلاد) این مسئله را به صورت هندسی، با بررسی دو مخروط "ay" = "x" و "xy" = "ab" مورد بررسی قرار داد. اتفاق بعدی، در قرن سوم قبل از میلاد، مطالعهٔ نظام‌مند ارشمیدس و آپولونیوس بر روی مسائل مقاطع مخروطی بود که در آن از مفهوم مختصات استفاده شد. ریاضیدانان عرب قادر بودند برخی معادلات مکعبی را صرفاً با روش‌های خالص جبری حل کرده، سپس نتایج را به وسیله هندسه، تفسیر کنند. این کار توسط ابن هیثم نیز در قرن ۱۰ بعد از میلاد انجام شد. سپس ریاضی‌دان فارسی‌زبان، خیام (متولد ۱۰۴۸ پس از میلاد) روشی برای حل معادلات مکعبی با استفاده از تقاطع یک دایره و سهمی کشف کرد و به نظر می‌رسد که اولین شخصی بود که نظریه عمومی معادلات درجه سوم را درک کرده باشد. چند سال پس از عمر خیام، کتاب شرف‌الدین طوسی به عنوان "المعادلات" به عنوان «آغاز راه هندسه جبری» توصیف گشت.
چنین تکنیک‌هایی از کاربرد ساختارهای هندسه در مسائل جبری توسط برخی ریاضی‌دانان عصر رنسانس نیز چون جرلامو کاردانو و نیکلو تارتالیا نیز در مطالعاتشان بر روی معادلات مکعبی به کار گرفته شد. ریاضی‌دانان قرن شانزدهم و هفدهم، رهیافت هندسی برای ساخت مسائل را در مقابل روش‌های جبری ترجیح می‌دادند، به‌خصوص بلیز پاسکال که در مقابل استفاده از روش‌های جبری و تحلیلی در هندسه موضع می‌گرفت. ریاضیدانان فرانسوی چون فرانسوا ویت و سپس رنه دکارت و پیر دو فرما انقلابی در روش قراردادی تفکر در مورد ساخت مسائل از طریق هندسه تحلیلی به‌وجود آوردند. آن‌ها در آغاز، علاقه‌مند به خواص خم‌های جبری، مانند آن خم‌هایی که در معادلات سیاله‌ای (در مورد فرما) تعریف می‌شوند و همچنین به فرمول‌بندی جبری کارهای یونانیان در مقاطع مخروطی و درجه سه (در مورد دکارت) علاقه نشان می‌دادند.
در همین دوره بود که بلیز پاسکال و ژرارد دوسارگ به هندسه از رهیافت دیگری وارد شده و به توسعه مفاهیم هندسهٔ تصویری پرداختند. پاسکال و دزارگ نیز به مطالعه خم‌ها پرداختند؛ اما از دیدگاه صرفاً هندسی آن، یعنی مشابه روش یونانیان، ساخت (رسم) با خط‌کش و پرگار. در نهایت، هندسه تحلیلی دکارت و فرما ازین نبرد پیروز درآمد؛ چرا که برای ریاضی‌دانان قرن هجدهم ابزارهای کمی ملموس مورد نیاز آن‌ها را برای مطالعه مسائل فیزیکی با استفاده از حسابان نیوتون و لایبنیز فراهم نمود. با این حال، در پایان قرن هجدهم، اکثر جنبهٔ جبری هندسه تحلیلی (هندسه مختصاتی) توسط لاگرانژ و اویلر تحت عنوان حساب بی‌نهایت کوچک‌ها طبقه‌بندی شد.
دو رده تحقیقات هم‌زمان بر روی هندسه نااقلیدسی و انتگرال‌های آبلی در قرن نوزدهم موجب شدند تا ایده‌های جبری این دفعه به سوی هندسی خود بازگردند. اولین تلاش‌ها توسط ادموند لاگر و آرتور کیلی صورت گرفت که تلاش کردند تا خواص متری تعمیم‌یافتهٔ فضای تصویری را تعیین کنند. کیلی ایده فرم‌های چندجمله‌ای همگن را معرفی کرد، به‌ویژه فرم‌های درجه دو بر روی فضای تصویری. سپس فلیکس کلاین هندسهٔ تصویری (به همراه انواع دیگر هندسه) را از این نقطه نظر، مورد مطالعه قرار داد که اطلاعات هندسه روی یک فضا در تبدیل‌های آن فضا کدگذاری شده‌اند. در پایان قرن نوزدهم، هندسه‌دانان تصویری انواع عمومی‌تری از تبدیل‌ها را روی شکل‌های فضای تصویری مطالعه می‌کردند. به جای تبدیل‌های خطی تصویری که معمولاً به عنوان ایجاد کنندهٔ هندسه کلاینی بنیادی روی فضای تصویری در نظر گرفته می‌شدند، آن‌ها خود را درگیر تبدیلات دوسرگویا (birational)ی درجه بالاتر نیز کردند. این مفهوم تناسب ضعیف‌تر بعدها در قرن بیستم موجب شد که اعضای مکتب هندسه جبری ایتالیایی رویه‌های جبری را در حد یک‌ریختی دوسرگویا (birational isomorphism) طبقه‌بندی کنند.
پیشرفت‌های اوایل قرن نوزدهم، یعنی انتگرال‌های آبلی منجر شد که برنهارت ریمان رویه‌های ریمانی را توسعه دهد.
در همان دوره، جبری‌سازی هندسه جبری از طریق جبر جابجایی صورت گرفت. نتایج عمدهٔ این جهت‌گیری قضیهٔ پایه هیلبرت و قضیه صفرهای هیلبرت بود که پایه ارتباط بین هندسه جبری و جبر جابه‌جایی بوده، و همچنین برآیندهای (resultants) چند متغیره که پایه نظریهٔ حذف (elimination) می‌باشد. احتمالاً به دلیل حجم محاسباتی که برآیندهای چند متغیره طلب می‌کنند، نظریهٔ حذف در طی قرن بیستم به فراموشی سپرده شد تا این که توسط نظریهٔ تکینگی و هندسهٔ جبری محاسباتی مجدداً احیا گشت.
ون در واردن، اسکار زاریسکی و آندره ویل بنیان هندسه جبری را بر اساس جبر جابجایی معاصر بنا نهادند که شامل نظریه ارزیافت و نظریه ایده‌آل‌ها می‌شد. یکی از هدف‌هایشان ارائه چارچوبی محکم برای اثبات نتایج مکتب ایتالیایی هندسه جبری بود. به‌خصوص این که این مکتب به‌طور نظام‌مند از مفهوم نقطه جنریک استفاده کرد؛ در حالی که هیچ تعریف دقیقی برای آن ارائه ندادند؛ آن‌ها اولین تعریفی که برای این گونه نقاط ارائه دادند در طی دهه ۱۹۳۰ بود.
در دهه ۵۰ و ۶۰ میلادی، ژان پیر سر و الکساندر گروتندیک بنیان‌ها را مجدداً قالب‌بندی کردند و در این مسیر از نظریه شیف، استفاده کردند. سپس از حدود ۱۹۶۰ همراه با دستگاه ابزارهای پالوده شدهٔ تکنیک‌های هومولوژی، روی ایدهٔ اسکیمها کار شد که بیشتر این تلاش‌ها به رهبری گروتندیک بود. پس از یک دهه پیشرفت سریع، این شاخه در دهه ۱۹۷۰ پایدار گشت، و کاربردهای جدیدی ایجاد شد، هم در نظریه اعداد و هم در سوالات کلاسیک‌تری که در هندسه در مورد واریته‌های جبری، تکینگی‌ها، فضاهای مدولی، و فضاهای مدولی فرمال وجود داشت.
یک دسته مهم از واریته‌ها که به راحتی، مستقیماً از معادلاتی که آن‌ها را تعریف می‌کنند شناخته نمی‌شوند، واریته‌های آبلی هستند، که واریته‌های تصویری هستند که نقاطشان یک گروه آبلی تشکیل می‌دهند. مثال‌های نوعی اینگونه واریته‌های خم‌های بیضوی می‌باشند که برای خود نظریهٔ غنی ای دارند. این واریته‌ها در اثبات آخرین قضیه فرما نقش کلیدی داشته و همچنین در رمزنگاری با خم‌های بیضوی مورد استفاده قرار گرفته‌اند.
موازی با روند مجرد هندسه جبری که به دنبال احکام عمومی واریته هاست، روش‌های محاسباتی مؤثری برای واریته‌های ملموس نیز توسعه یافته‌اند که منجر به عصر جدیدی از هندسه جبری محاسباتی می‌گردد. یکی از روش‌های بنیادی این قلمرو نظریه پایه‌های گروبنر است که توسط برونو بوچبرگر در ۱۹۶۵ معرفی گشت. یکی دیگر از روش‌های پایه‌ای، به‌طور خاص به هندسه جبری حقیقی اختصاص دارد، این روش تجزیه جبری استوانه‌ای می‌باشد که توسط جورج ای. کالینز در ۱۹۷۳ معرفی شده‌است.
در هندسه جبری کلاسیک، علاقه اصلی بر روی اشیایی بود که به‌طور هم‌زمان مجموعه‌ای از چند جمله‌ای‌ها را ناپدید می‌کنند (صفر می‌کنند)، یعنی مجموعه نقاطی که هم‌زمان در یک یا تعداد بیشتری از معادلات چندجمله‌ای صدق می‌کنند. به عنوان مثال، کره دوبُعدی با شعاع ۱ در فضای اقلیدسی formula_1 را می‌توان به صورت مجموعه تمام نقاط ("x","y","z")ی تعریف کرد که در این معادله، صدق می‌کنند:
یک دایرهٔ «اریب» در formula_1 را می‌توان به صورت مجموعه نقاط ("x","y","z") تعریف کرد که در دو معادلهٔ چندجمله‌ای زیر، هم‌زمان، صدق می‌کنند:
مقاله اصلی: واریته‌های آفین
ابتدا با یک میدان formula_6 شروع می‌کنیم. در هندسه جبری کلاسیک، این میدان، همیشه میدان اعداد مختلط formula_7 بود؛ اما بسیاری از نتایج با فرض یک میدان جبره بستی چون formula_6 هم، معتبر باقی خواهند ماند. ما فضای آفین formula_9 بعدی روی formula_6 را در نظر گرفته و آن را با formula_11 نمایش می‌دهیم (یا صرفاً با formula_12، هنگامی که formula_6 در متن واضح باشد). هنگامی که دستگاه مختصات ثابت و مشخص باشد، می‌توان formula_12 را با formula_15 یکی گرفت. هدف کار نکردن با formula_15 این است که ساختار فضای برداری که formula_15 با خود حمل می‌کند «فراموش» شود.
یک تابع formula_18 را "چندجمله‌ای" (یا "منظم") گویند اگر آن را بتوان به صورت چندجمله‌ای نوشت، یعنی اگر وجود داشته باشد چندجمله‌ای چون formula_19 در formula_20 به گونه‌ای که برای هر نقطه formula_21 با مختصات formula_22 در formula_21 داشته باشیم formula_24.
هنگامی که یک دستگاه مختصات، انتخاب شد، توابع منظمِ روی n-فضای آفین را می‌توان با حلقه توابع چندجمله‌ای n متغیره روی formula_25 یکی گرفت؛ به همین دلیل، مجموعه توابع منظم روی formula_15 حلقه است و آن را با formula_27 نمایش می‌دهند.
یک چندجمله‌ای، در نقطه‌ای "ناپدید" می‌شود اگر که مقدارش در آن نقطه، صفر شود. فرض کنید formula_15 مجموعه تمام چندجمله‌ای‌های درون formula_27 باشد. مجموعه "ناپدیدشونده formula_30" (یا "مکان هندسی ناپدیدشونده" یا "مجموعه صفر") مجموعه formula_31 شامل تمام نقاط درون formula_32 است که هر چندجمله‌ای formula_30 بر روی آن، ناپدید می‌شوند؛ به‌طور نمادین:
برای مجموعه‌ای چون formula_30، زیرمجموعه formula_31 از formula_32 را "مجموعه جبری" می‌گویند. formula_38 مخفف کلمه "varietry" است (یک نوع خاص از مجموعه‌های جبری که در ادامه، تعریف شده‌است).
فرض کنید که مجموعه‌ای مثل formula_39 از formula_32 داده شده باشد، آیا می‌توان مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که آن را تولید کرده‌اند را یافت؟ اگر formula_39 زیرمجموعه دلخواهی از formula_32 باشد، formula_43 را به این صورت تعریف کنید: مجموعه تمام چندجمله‌ای‌هایی که مجموعه صفرشان شامل formula_39 باشد. formula_45 اول کلمه ایدئال است: اگر دو چندجمله‌ای formula_46 و formula_47 هر دو روی formula_39 ناپدید (صفر) شوند، آن‌گاه formula_49 هم روی formula_39 ناپدید می‌شود، و اگر formula_51 یک چندجمله‌ای دلخواه باشد، آن‌گاه formula_52 هم روی formula_39 ناپدید شده؛ به همین دلیل، formula_43 همیشه یک ایده‌آل از حلقه چندجمله‌ای‌های formula_27 است.
دو پرسش طبیعی، پیش می‌آید:
جواب سؤال اول با معرفی توپولوژی زاریسکی داده شد، یک توپولوژی روی formula_32 که مجموعه‌های بسته آن، همان مجموعه‌های جبری هستند که به‌طور مستقیم ساختار جبری formula_27 را انعکاس می‌دهند. آن‌گاه formula_63 اگر و تنها اگر formula_39 یک مجموعه جبری یا یک مجموعه بسته زاریسکی باشد. جواب سؤال دوم توسط قضیه صفرهای هیلبرت داده می‌شود. یکی از شکل‌های این قضیه می‌گوید که formula_65 رادیکال ایده‌آل‌های تولید شده توسط formula_30 است. به بیان مجردتر، یک ارتباط گالوایی، وجود دارد که منجر به ظهور دو عملگر بستار می‌گردد؛ آن‌ها را می‌توان شناسایی کرده و به‌طور طبیعی، نقش بنیادینی در این نظریه بازی می‌کنند؛ مثال مربوط در بحث مربوط به ارتباط گالوایی، تشریح شده‌است.
به دلایل مختلف، ممکن است همیشه نخواهیم با کل ایده‌آل مربوط به یک مجموعه جبری چون formula_39 کار کنیم. قضیه بنیادی هیلبرت می‌گوید که ایده‌آل‌های درون formula_27 همیشه متناهی، تولید شده‌اند.
یک مجموعه جبری را "تحویل‌ناپذیر" گویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع دو مجموعه جبری کوچک‌تر نوشت. هر مجموعه جبری به صورت اجتماع متناهی مجموعه‌های جبری تحویل‌ناپذیر بوده و این تجزیه یکتاست؛ لذا عناصر آن را "مؤلفه‌های تحویل‌ناپذیر" آن مجموعه جبری گویند. به یک مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر "واریته" هم می‌گویند. مشخص می‌شود که یک مجموعه جبری واریته (مجموعه جبری تحویل‌ناپذیر) است اگر و تنها اگر به صورت مجموعه ناپدیدکننده (صفر کننده) یک ایده‌آل اول از حلقه چندجمله‌ای باشد.
برخی از مؤلفان، تمایز مشخصی بین مجموعه‌های جبری و واریته‌ها برقرار نمی‌کنند و در صورت لزوم از اصطلاح "واریته تحویل‌ناپذیر" برای ایجاد چنین تمایزی استفاده می‌کنند.
مقاله اصلی: تابع منظم
درست همانگونه که توابع پیوسته نگاشت‌های طبیعی روی فضاهای توپولوژی و توابع هموار نگاشت‌های طبیعی روی منیفلدهای دیفرانسیل‌پذیر اند، دسته ای طبیعی از توابع روی یک مجموعه جبری نیز وجود دارند که به آن‌ها "توابع منظم" یا "توابع چندجمله ای" گویند. یک تابع منظم روی مجموعه ای جبری چون formula_38 در formula_32، تحدید توابع منظم روی formula_32 به مجموعه جبری formula_38 است. برای یک مجموعه جبری که روی میدان اعداد مختلط تعریف شده باشد، توابع منظم هموار و حتی تحلیلی اند.
ممکن است الزام توسعه پذیر بودن یک تابع منظم به کل فضای پیرامونی (ambient) به‌طور غیرطبیعی محدود کننده به نظر آید، اما این کار شباهت بسیاری به شرایط فضای توپولوژیکی نرمال دارد که در آن قضیه توسعه تیتز تضمین می‌کند که یک تابع پیوسته روی یک مجموعه بسته همیشه به فضای توپولوژیکی پیرامونی توسعه یابد.
توابع منظم روی formula_38، درست همانند توابع منظم روی فضای آفینی، تشکیل یک حلقه می‌دهند که با formula_74 نمایش داده می‌شود. این حلقه را "حلقه مختصاتی روی formula_38" می‌نامند.
از آنجا که توابع منظم روی formula_38 از توابع منظم روی formula_32 نشأت می‌گیرند، رابطه ای بین حلقه‌های مختصاتیشان وجود دارد. به‌خصوص، اگر یک تابع منظم روی V تحدید دو تابع formula_46 و formula_47 در formula_80 باشد، آنگاه formula_81 هم یک تابع چند جمله ای خواهد بود که روی formula_38 ناپدید شده و لذا به formula_83 تعلق خواهد داشت. ازین‌رو، formula_74 را می‌توان با formula_85 یکی گرفت.
هندسه جبری اکنون در آمار، نظریه کنترل، رباتیک، کدهای تصحیح-کننده خطا، فیلوژنتیک و مدل‌سازی هندسی. همچنین ارتباطاتی با نظریه ریسمان، نظریه بازی، تطابق گراف، سالیتون‌ها و برنامه‌ریزی صحیح.