برنهارت ریمان
گئورگ فردریش برنهارد ریمان (۱۷ سپتامبر ۱۸۲۶ – ۲۰ ژوئیه ۱۸۶۶) ریاضی‌دان آلمانی بود که کارهایش در زمینهٔ آنالیز و هندسه دیفرانسیل پایهٔ ریاضی نظریه نسبیت عام شد. ریمان یکی از تأثیرگذارترین ریاضی‌دانان قرن نوزدهم میلادی بود و اگرچه آثار کمی منتشر کرد، اثری شگرف بر ریاضیات قرن بیستم گذاشت و نام او در جای‌جای نظریات و اصطلاحات ریاضی دیده‌می‌شود.
پدر برنهارت ریمان، فردریش برنهارت ریمان، یک کشیش بود که در میان‌سالی با شارلوت ابل (Charlotte Ebell) ازدواج کرد. او شش فرزند، دو پسر و چهار دختر، داشت که برنهارت دومین بود. فردریش تا ده سالگی برنهارت، خود به او درس می‌داد. همچنین معلمی از مدرسهٔ محلی در آموزش برنهارت به او کمک می‌کرد.
برنهارت در سال ۱۸۴۰ مستقیماً وارد کلاس سوم دبیرستان (Lyceum) در هانوفر شد. تا زمانی که در دبیرستان تحصیل می‌کرد با مادر بزرگش زندگی می‌کرد تا اینکه مادربزرگش در سال ۱۸۴۲ درگذشت و وی به عنوان دانش‌آموز سال آخر به لونِبورگ (Lüneburg) منتقل شد. به نظر می‌رسید برنهارت دانش‌آموز خوب و نه ممتاز و در موضوعات کلاسیک مانند زبان عبری و الهیات سخت‌کوش بوده‌است. او علاقه ویژه‌ای به ریاضیات نشان داد و سرپرست دبیرستان به او اجازه داد که متون ریاضی را در کتابخانه وی مطالعه کند. در فرصتی مناسب او کتاب لُژاندر (Legendre) را که دربارهٔ تئوری اعداد بود به برنهارت قرض داد و او این کتاب ۹۰۰ صفحه‌ای را در شش روز خواند.
ریمان در بهار سال ۱۸۴۶ در دانشگاه گوتینگن (Göttingen) ثبت نام کرد. پدرش او را به تحصیل الهیات تشویق کرد و بنابراین او وارد دانشکدهٔ الهیات شد. با این حال او در برخی از کلاس‌های ریاضیات حضور یافت و از پدرش درخواست کرد که آیا می‌تواند برای خواندن ریاضیات به دانشکدهٔ فلسفه برود. ریمان همیشه رابطهٔ نزدیکی با خانواده‌اش داشت و هرگز بدون اجازهٔ پدرش تغییر رشته نمی‌داد. پدرش با درخواست او موافقت کرد و این برای ریمان بسیار عالی بود. ریمان دوره‌هایی را در ریاضیات از موریتس اشترن (Moritz Stern) و گاوس (Gauss) فرا گرفت.
به نظر می‌رسد برنهارت جایگاه مناسبی در گوتینگن برای مطالعهٔ ریاضیات دارد، اما در آن زمان دانشگاه گوتینگن جایگاه نسبتاً پایینی در ریاضیات داشت. با این که گاوس استاد ریمان بود اما تنها دورهٔ مقدماتی را به او یاد داد و در این مدت به نبوغ ریمان در ریاضیات پی نبرد. با این حال مطمئناً اشترن پی برده‌بود که دانش‌آموز ممتازی دارد زیرا که بعدها در وصف ریمان چنین گفت؛
«تاکنون همچون قناری نغمه سروده‌است.»
ریمان در بهار ۱۸۴۷ از گوتینگن به دانشگاه برلین (Berlin University) رفت تا زیر نظر اساتیدی چون اشتاینر (Steiner)، یاکوبی (Jacobi)، دیریکله (Dirichlet) و آیزنشتاین (Eisenstein) تحصیل کند که یک فرصت مهم برای ریمان به‌شمار می‌رفت. اگر چه او بیشتر از آیزنشتاین یاد گرفت و استفاده از متغیرهای مختلط در تابع بیضوی را مورد بحث قرار داد اما دیریکله تأثیرگذارترین شخص بر او در این زمان بود. کلاین (Klein) دراین‌باره گفته؛ «ریمان با یک همفکری درونی قوی به دیریکله وابسته بود. دیریکله دوست داشت که همه چیز را با یک زمینه شهودی برای خود مشخص سازد. در کنار این تحلیل‌های منطقی و دقیق سؤالات اساسی می‌پرسید و تا حد ممکن از محاسبات طولانی خودداری می‌کرد. ریمان با این رفتارش موافق بود و آن را پذیرفته بود و مطابق با روش‌های دیریکله فعالیت می‌کرد.»
کار ریمان همواره بر اساس استنباط شهودی بود که حس می‌شد دقت لازم برای نتیجه‌گیری بی‌چون‌وچرا را ندارد. با وجود این نظریات عالی در کارهایش بسیار واضح‌تراست چون کارهایش خیلی با محاسبات طولانی پر نشده‌است. زمانی که در دانشگاه برلین بود تئوری کلی متغیرهای مختلط را بررسی کرد که اساس بعضی از کارهای بسیار مهمش را تشکیل می‌داد.
ریمان در سال ۱۸۴۹ به گوتینگن برگشت و پایان‌نامهٔ دکتری او که گاوس را متعجب ساخت در سال ۱۸۵۱ ارائه کرد. با این حال گاوس تنها شخص تأثیرگذار بر ریمان نبود. وبر (Weber) در مدتی که ریمان در برلین بود، از لایپزیگ (Leipzig) به استادی فیزیک در گوتینگن برگشته بود و ریمان به مدت هجده ماه همکارش بود. همچنین لیسینگ (Listing) در سال ۱۸۴۹ به عنوان استاد فیزیک در گوتینگن برگزیده شده بود. ریمان از وبر و لیسینگ پیش‌زمینهٔ قوی از فیزیک نظری و از لیسینگ ایدههای مهمی در توپولوژی به دست آورد که در تحقیقات جدیدش مؤثر بود.
رسالهٔ ریمان، نظریهٔ متغییرهای مختلط را و به ویژه آنچه امروزه ما آن را رویهٔ ریمان می‌نامیم؛ بررسی می‌کند.این رساله روش‌های توپولوژیکی را در نظریهٔ متغییرهای مختلط معرفی می‌کند. این اثر بر اساس نظریه متغیرهای مختلط کوشی (Cauchy) که سال‌ها روی آن کار شده بود، و همچنین بر اساس ایده‌های نقطه‌ای انشعاب پویسوکس (Puiseux) شکل گرفت. با این وجود رسالهٔ ریمان اساساً قسمت اصلی کاری است که ویژگی‌های هندسی تابع تحلیلی، نگاشت همدیس و هم‌بندی سطوح را بررسی می‌کند. ریمان در اثبات بعضی از نتایج رساله‌اش از یک اصل متغیر استفاده کرد که او بعدها آن را اصل دیریکله نامید، چرا که آن از درس دیریکله در برلین آموخته بود. اصل دیریکله توسط دیریکله به وجود نیامده است، چرا که اگر این گونه بود می‌بایست از گاوس و گرین (Green) و تامسون (Thomson) هم یاد می‌شد. رسالهٔ ریمان که یکی از چشم‌گیرترین کارهایی است که در یک رسالهٔ دکتری پیدا می‌شود، در دسامبر ۱۸۵۱ بررسی شد. گاوس در گزارشش در مورد این رساله، ریمان را اینگونه توصیف می‌کند؛ «ریمان دارای ابتکار بسیار عالی است.»
به توصیهٔ گاوس، ریمان برای پستی در گوتینگن انتخاب شد و او بر روی Habilitation (در دانشگاه‌های آلمان یک شرط برای درجهٔ فوق‌دکتری است که نیازمند ارائه پایان‌نامه و دفاع است) کار می‌کرد. او سی ماه برای دفاع از Habilitation اش که در مورد قابلیت نمایش توابع بوسیلهٔ سری مثلثات بود صرف کرد. وی شرایطی برای انتگرال‌پذیری توابع ارائه کرد که ما هم‌اکنون آن را به عنوان شرایط انتگرال‌پذیری ریمان می‌شناسیم. او در قسمت دوم بحثش مشکلاتی را بررسی می‌کند که آن‌ها را این‌گونه توصیف می‌کند:
«همان گونه که نوشته‌های قبلی نشان می‌دهد که اگر تابعی دارای چنین و چنان ویژگی باشد، پس آن می‌تواند بوسیلهٔ سری فوریه نمایش داده شود، ما عکس این مسئله را مطرح می‌کنیم؛ اگر تابعی بتواند به‌وسیلهٔ سری مثلثاتی نمایش داده‌شود، در مورد رفتار آن چه می‌توان گفت؟»
ریمان برای تکمیل Habilitation خود مجبور بود که سخنرانی ارائه کند. او سه سخنرانی، دو سخنرانی در مورد الکتریسیته و یکی در مورد هندسه مهیا کرد. گاوس مجبور بود که یکی از آن سه را برای ارائه دادن ریمان انتخاب کند و گاوس بر خلاف انتظار ریمان، سخنرانی در مورد هندسه را انتخاب کرد. این سخنرانی ریمان (که در مورد نظریه‌هایی که بر اساس هندسه بنا شده بود) که در دهم ژوئن 1854 ایراد شد، به شاهکار ریاضیات مبدل شد.
سخنرانی ریمان دو بخش داشت.در بخش اول، اینکه چگونه فضای n- بعدی را تعریف کنیم را مطرح می‌کند و آن‌را با تعریفی از آن‌چه ما فضای ریمان می‌نامیم، خاتمه می‌دهد. فرُویدنتال (Freudenthal) می‌نویسد؛
«فضای ریمان کوتاه‌ترین خطوط را که امروزه ژئودزیک‌ها (geodesic) نامیده می‌شوند، داراست که شبیه خطوط راست معمولی هستند. در حقیقت در نخستین تقریب در یک دستگاه مختصات ژئودزیکی، چنانچه متریک، اقلیدسی باشد همانند یک منحنی سطح، در بالاترین مرتبهٔ جملات خود شبیه صفحهٔ مماس خود دیده می‌شود. زندگی‌کردن در سطح، امکان پی‌بردن به انحنای جهان را مطرح می‌کند و آن را در هر نقطه به عنوان ناقض قضیهٔ فیثاغورس، محاسبه می‌کند»
در حقیقت نکتهٔ مهم این بخش از سخنرانی ریمان، تعریف تانسور انحنا (curvature tensor) بود. ریمان در قسمت دوم سخنرانی‌اش سؤال عمیقی در رابطه با هندسه در جهانی که در آن زندگی می‌کنیم، مطرح می‌سازد. او می‌پرسد که ابعاد فضای واقعی چیست و فضای واقعی را چه هندسه‌ای توصیف می‌کند. این سخنرانی بسیار فراتر از مسائل روزگارش بود تا توسط دانشمندان آن زمان قدردانی شود. مونسترسکی (Monastyrsky) دراین باره می‌نویسد؛
«در میان حضار، تنها گاوس بود که می‌توانست عمق افکار ریمان را تحسین کند.»
این سخنرانی همهٔ انتظارات او را برآورد و او را به شدت شگفت‌زده کرد. با برگشت به دانشکده، او با نهایت تحسین و اشتیاقی نادر با ویلهلم وبر (Wilhelm Weber) در مورد عمق افکاری که ریمان ارائه کرده بود صحبت می‌کرد.
آن موضوع تا شصت سال بعد از آن به‌طور کامل فهمیده نشد. فرودنتال می‌نویسد؛
«نظریهٔ نسبیت عام به طور عالی کارش را توجیه کرد. با پیشرفت ریاضی و با توجه به گفته‌های ریمان، اینیشتین (Einstein) ساختاری مناسب برای نظریات فیزیکی‌اش پیدا کرد، کیهان شناسی او و فرضیهٔ پیدایش جهان و جان‌مایهٔ گفته‌های ریمان چیزی بود که فیزیک به آن نیاز داشت، ساختاری متریک که داده‌ها مشخص می‌کنند.»
این کار ریمان او را به عنوان یک سخنران معرفی کرد. بنابراین در خیلی قبل، در سپتامبر، او گزارشی در مورد « قوانین توزیع الکتریسته ساکن» در جلسهٔ فیزیک‌دانان و محققان علمی انجمن گوتینگن خواند. ریمان در نامه‌ای به پدرش، در لابه‌لای دیگر چیزها، یادآوری می‌کند که «صحبتی که در جلسه علمی کردم برای سخنرانی‌ام مفید بود». در اکتبر بنا شد که روی سخنرانی‌اش در مورد معادله دیفرانسیل جزئی کار کند. نامه‌های ریمان به پدر عزیزش، پر از یادآوری سختی‌هایی بود که با آن‌ها مواجه شده‌بود. اگر چه تنها هشت دانشجو در سخنرانی او حضور داشتند اما او کاملاً خوشحال بود. به تدریج بر خجالت ذاتی‌اش غلبه کرد و رابطه نزدیکی با حضارش برقرار کرد.
جایگاه گاوس در گوتینگن کاملاً توسط دیریکله در سال ۱۸۵۵ پر شده بود. در این زمان تلاش شد که ریمان جایگاهی اختصاصی یابد ولی نشد. دو سال بعد او به سمت استادی (Professur) منصوب شد و در همین سال یعنی ۱۸۵۷ یکی دیگر از شاهکارهایش منتشر شد. مقالهٔ نظریهٔ توابع آبلی که نتیجهٔ سال‌ها تلاش او بود، شامل دوره سخنرانی‌هایی می‌شد که در سال‌های ۸۶-۱۸۵۵ به سه نفر ارائه می‌داد. یکی از آن سه نفر دِدِکیند (Dedekind) بود که بعد از مرگ زودهنگام ریمان، با انتشار آثارش زیبایی‌های کارش را آشکار کرد.
مقالهٔ توابع آبلی ریمان تا پایان‌نامهٔ دکترایش ادامه یافت و تا آن زمان، ایدهٔ سطوح ریمان و ویژگی‌های توپولوژیکی شان بیشتر توسعه یافت. او تابع چند مقداری را به عنوان تابع تک مقداری روی یک رویهٔ ویژهٔ ریمان امتحان کرد و مسائل اصلی انعکاس را که تا قبلاً برای انتگرالهای بیضوی توسط آبل و یاکوبی حل شده‌بود، حل کرد. بنابراین ریمان تنها ریاضی‌دانی نبود که روی چنین ایده‌هایی کار می‌کرد. کلاین (Klein) می‌نویسد؛
«هنگامی که وایرشتراس (Weierstrass) در سال ۱۸۵۷، اولین تفسیر از توابع اصلی آبلی را در فرهنگستان برلین (Berlin Academy) ارائه کرد، مقالهٔ ریمان در همان موضوع در شماره‌های ۵۴ از مجلهٔ کِرِل (Crelle's Journal) دیده می‌شد. این مقاله به طور غیرمنتظره، آن قدر مفاهیم جدید داشت که وایراشتراس مقاله‌اش را پس گرفت و دیگر آن را منتشر نکرد.»
اصل دیریکله (Dirichlet Principle) که ریمان از آن در رسالهٔ دکترایش استفاده کرده بود دوباره در مقالهٔ سال ۱۸۵۷ استفاده شد. با این وجود وایراشتراس نشان داد که در اصل دیریکله مشکلی وجود دارد. کلاین دراین‌باره می‌نویسد؛
«بسیاری از ریاضی‌دانان نظر ریمان را نپذیرفتند. ریمان نظریات کاملاً متفاوتی داشت. او درستی نقد وایراشتراس را کاملاً پذیرفته بود اما او همان‌گونه که روزی وایراشتراس به من گفت، می‌گفت؛ تنها وسیلهٔ مناسبی که در دست بود اصل دیریکله بود و نظریه‌های او هنوز درست هستند.»
ما در انتهای این مطلب بیان خواهیم کرد که چگونه مشکل اصل دیریکله در کار ریمان حل شد.
بِتّی (Betti) و کازوراتی (Casorati) و بریوسکی (Brioschi) در سال ۱۸۵۸ از گوتینگن دیدن کردند و ریمان با آن‌ها در مورد ایده‌های توپولوژیاش بحث کرد. این ملاقات به ریمان خرسندی ویژه‌ای بخشید و بتی از تماس‌هایش با ریمان بسیار بهره‌مند شد. این ارتباط وقتی ریمان، بتی را در سال ۱۸۶۳ در ایتالیا ملاقات کرد تجدید شد. از بتی دو نوشته که در آن‌ها ایده‌های توپولوژیکی که از ریمان آموخته‌بود، چاپ شده‌است.
دیریکله در سال ۱۸۵۹ درگذشت و ریمان برای استادی ریاضیات در گوتینگن انتخاب شد. چند روز بعد او برای فرهنگستان علوم برلین برگزیده شد. او از طرف سه تن از ریاضی‌دانان برلین پیشنهاد شده بود؛ کومر (Kummer) و بُرشارت (Borchardt) و وایراشتراس. در پیشنهاد آن‌ها می‌خوانید؛
«ریمان تا قبل از ظهور آخرین کار مهمش، نظریهٔ توابع آبلی، در بین ریاضی‌دانان شناخته‌شده نبود. این موضوع تا حدی لزوم بررسی دقیق‌تر و بیشتر کارهایش را به عنوان دلیلی برای پیشنهاد ما توجیه می‌کند. ما وظیفه خود می‌دانیم که توجه فرهنگستان را به دانشکدهٔ خودمان جلب کنیم که ما او را نه به عنوان یک جوان باهوش که امید زیادی به اوست، بلکه به عنوان یک محقق کاملاً رشدیافته و مستقل در زمینهٔ علمی‌مان می‌دانیم، که طرح‌هایش به‌طور خارق‌العاده‌ای پیشرفت کرده است.»
این عضو تازه‌انتخاب‌شدهٔ فرهنگستان برلین مجبور بود که گزارشی از جدیدترین تحقیقاتش ارائه کند و ریمان گزارشی دربارهٔ «تعداد اعداد اول کمتر از عدد تعیین‌شده» را ارائه کرد که یکی دیگر از کارهای عظیمش است که با روش‌های بسیار مهم، تغییردهندهٔ مسیر تحقیقات ریاضیات شد. ریمان در آن، تابع زتا را بررسی می‌کند که تا آن زمان توسط اویلر (Euler) مورد توجه قرار گرفته بود؛
در اینجا مجموع روی همهٔ اعداد طبیعی n است در حالی که حاصل‌ضرب روی همهٔ اعداد اول است. ریمان یک سؤال بسیار متفاوت را با آنچه اویلر مورد بررسی قرار داده بود بررسی کرد، چون او به تابع زتا، به جای یک تابع حقیقی به عنوان یک تابع مختلط نگاه می‌کرد. ریشه‌های، جز برای تعدادی استثناء بدیهی، همواره بین ۰ و ۱ قرار می‌گیرند. در مقاله بیان می‌کند که تابع زتا بی‌نهایت ریشهٔ غیربدیهی دارد که به نظر می‌رسد همگی دارای قسمت حقیقی باشند. این همان فرض مشهور ریمان است که امروزه به عنوان یکی از سؤالات حل نشدهٔ ریاضیات باقی مانده‌است.
ریمان نمایش همگرایی سری‌های تابع زتا را بررسی کرد و متوجه یک معادلهٔ تابعی برای تابع زتا شد. هدف اصلی مقالی‌اش این بود که تخمینی از شمار اعداد اول کوچکتر از یک عدد دلخواه ارائه دهد. بسیاری از نتایجی که ریمان بدست آورده بود توسط آدامار (Hadamard) و پوسَن (de la Vallee Poussin) اثبات شد.
ریمان در ژوئن ۱۸۶۲ با دوستِ خواهرش، الیزه کوخ (Elise Koch) ازدواج کرد. آن‌ها یک دختر داشتند. ریمان در پاییز سال ازدواجشان به سرماخوردگی سختی مبتلا شد که به سل منجر شد. او در تمام زندگی‌اش از سلامت کامل برخوردار نبود و در حقیقت مشکلات اصلی سلامتی که داشت بیشتر به گذشته برمی‌گشت تا این سرماخوردگی اخیر. در واقع مادرش در ۲۰ سالگی در گذشت و برادر و سه خواهرش همگی در جوانی درگذشتند. ریمان با رفتن به مناطق گرم‌تر ایتالیا تلاش کرد با بیماری‌اش بجنگد.
زمستان ۶۳-۱۸۶۲ در سیسیل (Sicily) سپری شد و سپس به مسافرت در سراسر ایتالیا پرداخت که اوقاتش را با بتی و دیگر ریاضی‌دانانی که در گوتینگن ملاقات کرده بود سپری کرد. او در ژوئن ۱۸۶۳ به گوتینگن بازگشت اما خیلی زود شرایط سلامتی‌اش وخیم تر شد و دوباره بی‌اشتالیا برگشت. از آگوست ۱۸۶۴ تا اکتبر ۱۸۶۵ در شمال ایتالیا به سر می‌برد و در زمستان ۶۶-۱۸۶۵ به گوتینگن برگشت و در شانزدهم ژوئن ۱۸۶۶ به سلاسِکا (Selasca) در سواحل دریاچهٔ ماجّوُره (Lago Maggiore) برگشت.
ددکیند دربارهٔ ریمان این چنین می‌نویسد؛
«بنیه‌اش به سرعت تحلیل رفت و او، خودش می‌دانست که مرگش نزدیک است. اما با این وجود روز قبل از مرگش، در حال استراحت زیر یک درخت انجیر و در حالی که روح و روانش سرشار از شادی در آن طبیعت بی‌نظیر بود، روی آخرین کارش که متأسفانه ناتمام ماند کار می‌کرد.»
اکنون به نقد وایراشتراس در مورد استفاده ریمان از اصل دیریکله می‌پردازیم؛
وایراشتراس نشان داده بود که مینیمم کردن تابع بوسیلهٔ اصل دیریکله محرز و قطعی نیست. این نقد باعث شد که مردم به روش‌های ریمان شک کنند. فرودنتال می‌نویسد؛
«همه از مطالب ریمان استفاده می‌کردند ولی روش‌های او به کلی نادیده گرفته‌شد.»
نتایج ریمان در باقی‌ماندهٔ قرن، تأثیر شگرفی گذاشت اما تأثیر شیوهٔ تفکر او اندک بود.
وایراشتراس با وجود پی بردن به مشکلی که در اصل دیریکله وجود داشت به شدت به نتایج ریمان اعتقاد داشت. او از شاگردش هرمان شوارتس (Hermann Schwarz) خواست تا دیگر اثبات‌هایی برای قضیه‌های وجودی ریمان بیابد که در آن اصل دیریکله استفاده نشده باشد.
او قصد داشت که این کار را در طی سال‌های ۷۰-۱۸۶۹ انجام دهد. با این وجود کلاین شیفتهٔ تخمین‌های هندسی ریمان بود و در سال ۱۸۹۲ کتابی نوشت که در آن ترجمه‌اش از کار ریمان را آورده‌است. فرودنتال در مورد این کتاب می‌نویسد؛
«کتاب بسیار زیبایی است و جالب است بدانید که این کتاب چگونه بدست آمد. احتمالاً بسیاری دقت‌نداشتن آن را توهین تلقی کنند؛ کلاین چنان در فکر ریمان بود که نمی‌توانست مردمی که در مورد اخیر، او را باور نداشتند متقاعد سازد.»
هیلبرت (Hilbert) در سال ۱۹۰۱ با ارائه شکل صحیحی از اصل دیریکله، که برای دقیق‌تر کردن اثبات‌های ریمان لازم بود، تخمین‌های ریمان را بهبود بخشید. تحقیق برای دقیق‌کردن اثبات، اتلاف وقت نبوده‌است چرا که ایده‌های جبری بسیار مهم زیادی توسط کلبش (Clebsch)، گوردان (Gordan)، بریل (Brill) و مکس نوتر (Max Noether) در حالی که می‌کوشیدند نتایج ریمان را اثبات کنند، کشف شدند.
وی با وجود ابتلا به بیماری سل و تحمل سال‌ها رنج و کسالت، لحظه‌ای از تلاش و علم‌آموزی غافل نبود. ریمان در سن ۳۹ سالگی و در اوج بلوغ فکری درگذشت.