انتگرال‌گیری کانتور
در آنالیز مختلط، روش انتگرال‌گیری روی مسیر، روشی است برای محاسبهٔ انتگرال‌های خاص با مقدار حقیقی روی بازه‌های حقیقی که با استفاده از متغیرهای حقیقی به سادگی محاسبه نمی‌شوند. روش‌های آنالیز مختلط زیر به کمک انتگرال‌های مسیر، وسیله‌ای به دست می‌دهند برای محاسبهٔ این نوع انتگرال‌های حقیقی-مقدار روی صفحه مختلط.
این روش‌ها شامل موارد زیر است می‌توان از یکی از روش‌های بالا یا ترکیبی از آن‌ها برای یافتن این انتگرال‌ها استفاده کرد.
روش‌های مستقیم شامل محاسبهٔ انتگرال به وسیلهٔ روش‌هایی شبیه به روش‌های محاسبهٔ انتگرال‌های خطی چند متغیره می‌شود. ما برای این کار از روش‌های زیر استفاده خواهیم کرد:
یک نتیجهٔ اولیه در آنالیز مختلط این است که انتگرال "z" روی مسیر "C" که دایرهٔ واحد (یا هر منحنی جردان دور) باشد، ۲πi است. اجازه دهید انتگرال زیر را محاسبه کنیم برای محاسبهٔ این انتگرال از دایرهٔ واحد "z"|=۱| به عنوان مسیر استفاده می‌کنیم، که می‌توان آن را به شکل γ("t") = "e" با "t" ∈ [۰, ۲π] پارامتری کرد. توجه داشته باشید که γ'("t") = i"e". اکنون با جایگزینی z به جای این داریم: که مقدار انتگرال است.
معمولاً از قضایای انتگرال‌گیری برای محاسبهٔ یک انتگرال مسیر استفاده می‌شود، بدین معنی که انتگرال‌های حقیقی مقدار هم‌زمان با محاسبهٔ انتگرال مسیر محاسبه می‌شوند. قضایای انتگرال‌گیری مانند فرمول انتگرال‌گیری کوشی یا قضیهٔ مانده معمولاً به روش‌های زیر مورد استفاده قرار می‌گیرند: توصیف می‌کند. است، و سپس ثابت کنیم که I به سمت صفر میل می‌کند، آنگاه انتگرال R به سمت انتگرال روی R+I میل می‌کند.
انتگرال زیر را در نظر بگیرید
برای محاسبهٔ این انتگرال، به تابع مختلط زیر توجه می‌کنیم
که روی i و −i نقطهٔ تکین دارد. با این حال، ما می‌خواهیم یک مسیر انتخاب کنیم که انتگرال حقیقی مقدار را احاطه کند، بنا بر این یک نیم دایره مانند شکل بالا انتخاب می‌کنیم، و آن را گسترش می‌دهیم تا تمام محور حقیقی را در بر بگیرد ("a" به سمت بی‌نهایت میل می‌کند). این مسیر را C می‌نامیم.
مشاهده کنید که
از آنجایی که تنها نقطهٔ تکین در مسیر روی i است، می‌توانیم بنویسیم
و بنا بر این
می‌توان نشان داد که اگر t>0 آنگاه
بنا بر این اگر t>0 آنگاه
بحثی مشابه با کمانی که دور −"i" (به جای "i") می‌گردد نشان می‌دهد که اگر t<0 آنگاه
و نهایتاً داریم
با جایگزینی‌های خاصی می‌توان انتگرال‌هایی رل که توابع مثلثاتی دارند، به انتگرال توابع معمولی روی یک متغیر مختلط تبدیل کرد و روش‌های بالا را برای محاسبهٔ انتگرال به کار برد.
به عنوان مثال انتگرال زیر را در نظر بگیرید
باید دنبال جایگزینی "z" = "e"بگردیم. اکنون به یاد بیاورید که
و
اگر C را دایرهٔ واحد در نظر بگیریم، با جایگذاری خواهیم داشت:
سپس از فرمول انتگرال کوشی استفاده می‌کنیم. با فاکتورگیری مخرج:
پس نقاط تکینی که باید در نظر گرفته شوند روی 3I و −3I هستند. اکنون می‌توانیم انتگرال را کاهش دهیم:
که در آن "C" یک دایرهٔ کوچک دور 3I، و "C" یک دایرهٔ کوچک دور −3"i" است. اکنون می‌توانیم از فرمول استفاده کنیم:
انتگرال زیر را در نظر بگیرید
می‌توانیم با فرموله کردن انتگرال مختلط شروع کنیم
دوباره می‌توانیم برای بدست آوردن مانده مربوطه، از فرمول انتگرال‌گیری کوشی یا قضیهٔ مانده‌استفاده کنیم. با این حال، نکتهٔ مهم این است که "z"="e"، بنا بر این "z" یک برش شاخه‌ای دارد. این بر روی انتخاب مسیر تأثیر می‌گذارد. به‌طور معمول برش شاخه‌ای لگاریتم به صورت محور حقیقی منفی تعریف می‌شود، با این حال، این محاسبه انتگرال را پیچیده‌تر می‌کند، بنا بر این ما آن را به صورت محور حقیقی مثبت تعریف می‌کنیم. سپس از مسیر ی استفاده می‌کنیم که به آن سوراخ کلید گفته می‌شود، و از یک دایرهٔ کوچک دور مبدأ با شعاع ε، متصل به یک پاره خط موازی و نزدیک به محور حقیقی مثبت، و در ادامه، یک دایرهٔ تقریباً کامل که به یک پاره خط دیگر موازی و نزدیک به محور حقیقی مثبت ولی زیر آن متصل است، و در جهت منفی به دایرهٔ کوچک بازمی‌گردد، تشکیل شده‌است. اگر γ دایرهٔ کوچک به شعاع ε، و Γ دایرهٔ بزرگ به شعاع "r" باشد، آنگاه
از آنجایی که "z"="e"، در اروشاد مسیر زیر برش شاخه‌ای، در رابطه با Γ به ۲π رسیدیم، بنا بر این
می‌خواهیم انتگرال زیر را محاسبه کنیم
که احتیاج به مطالعهٔ دقیق روی تابع زیر دارد طوری formula_40 را می‌سازیم که یک برش شاخه‌ای روی formula_41 داشته باشد، که در شکل با رنگ قرمز مشخص شده‌است. برای این کار، دو شاخه از لگاریتم انتخاب می‌کنیم و قرار می‌دهیم و
بنا بر این برش formula_44 برابر است با formula_45و برش formula_46 برابر است با formula_47. بسیار ساده است که ببینیم که برش ضرب این دو formula_41 است، چرا که formula_40 روی formula_50 پیوسته‌است. این بدین خاطر است که وقتی formula_51 و ما از بالا به برش نزدیک می‌شویم، formula_40 مقدار زیر را دارد When we approach from below, formula_40 has the value ولی formula_56، و روی برش پیوستگی داریم. این در شکل مشهود است، جایی که دو دایرهٔ سیاه مقدار مربوطهٔ مبحث لگاریتم روی formula_44 و formula_46 علامت‌گذاری شده‌اند. از مسیر ی که در شکل با رنگ سبز نشان داده شده‌استفاده خواهیم کرد. برای این کار، باید مقدار formula_40 را روی خطوط بالا و پایین برش محاسبه کنیم. قرار دهید formula_60 که formula_61. روی پاره خط بالایی، formula_40 مقدار زیر را دارد و روی پاره خط پایینی
چنین بر می‌آید که انتگرال روی پاره خط بالایی برابر است با −"iI" و روی پاره خط پایینی برابر است با "I". اگر بتوانیم نشان دهیم انتگرال روی دو دایرهٔ سبز، در حد از بین می‌رود، آنگاه به وسیلهٔ قضیهٔ کوشی مانده مقدار "I" را هم خواهیم داشت. شعاع دایره‌های سبز را formula_66 قرار دهید، که formula_67 و formula_68، و نامساوی ML را اعمال کنید. برای دایرهٔ formula_69 در سمت چپ، در می‌یابیم که متشابها برای دایرهٔ formula_71 در سمت راست داریم
اکنون با استفاده از قضیهٔ کوشی redsidue داریم
با استفاده از شاخهٔ لگاریتم از محاسبات قبل، به وضوح داریم در شکل، قطب با رنگ آبی مشخص شده‌است. مقدار بالاها شکل زیر ساده می‌شود از فرمول زیر برای مانده در بی‌نهایت استفاده می‌کنیم
با جایگذاری داریم و که از این حقیقت استفاده کرده‌ایم که برای دومین شاخهٔ لگاریتم،formula_79. سپس با به کار بردن بسط دو جمله‌ای داریم نتیجه بدین صورت است
نهایتاً مقدار "I" به صورت زیر به دست می‌آید که برابر است با