برنامه‌ریزی کسری
در ریاضیات بهینه‌سازی، برنامه‌ریزی کسری تعمیم یافته برنامه‌ریزی کسری-خطی است. تابع هدف در این مسئله به صورت نسبت دو تابع است که در حالت کلی خطی نیستند. بهینه‌سازی نسبت، معمولاً به بهینه‌سازی بازدهی یک سیستم مربوط می‌شود.
فرض کنید formula_1 توابع با مقدار حقیقی روی مجموعه formula_2 باشند. همچنین فرض کنید formula_3. آنگاه مسئله غیرخطی
به ازای formula_5 روی formula_6، یک برنامه‌ریزی کسری است.
در برخی از کاربردها تعداد نسبتهایی که در تابع هدف وجود دارد بیشتر از یک است که به صورت زیر بیان می‌گردد
formula_7
که formula_8 و formula_9 به ازای formula_10. این مساله با عنوان برنامه‌ریزی کسری تعمیم یافته یا برنامه‌ریزی کسری حداکثر-حداقل نیز شناخته می‌شود. حال اگر formula_11 , formula_12 افاین باشند و formula_13 یک چندوجهی محدب باشد آنگاه مساله مورد نظر یک برنامه‌ریزی کسری خطی خواهد بود و به فرم زیر نوشته می‌شود:
formula_14
که formula_15، formula_16، بالانویس T نشاندهنده ترانهاده است، formula_17 یک ماتریس formula_18 است و formula_19.
در تعمیم برنامه‌ریزی کسری خطی، مساله اخیر را برنامه‌ریزی کسری مقعر می نامند اگر که صورت کسر (تابع formula_12) بر روی formula_21 مقعر باشد و formula_11 و formula_23 روی مجموعه محدب formula_21 محدب باشند. همچنین اگر formula_11 افاین نباشد آنگاه formula_12 را نامنفی در نظر می‌گیرند. توجه شود که تابع هدف مساله برنامه‌ریزی کسری مقعر معمولاً یک تابع مقعر نیست. به‌طور کلی تمرکز در برنامه‌ریزی کسری بر روی تابع هدف است و ساختار نسبت آن تابع. ناحیه شدنی هم فرض می‌شود یک مجموعه محدب باشد یا یک چندوجهی محدب در نظر گرفته می‌شود.
بازدهی یک سیستم گاهی اوقات به صورت نسبت ترم‌های اقتصادی و تکنیکی مشخصه سازی می‌گردد. که نتیجتاً حداکثرسازی بازدهی منجر به یک برنامه‌ریزی کسری می‌شود. معمولاً توابع هدف زیر در بحث اقتصاد مورد نظر هستند: 1- حداکثر سازی تولید 2- حداکثر سازی سوددهی نسبت به سرمایه‌گذاری 3- حداکثر درآمد نسبت به ریسک 4- حداقل سازی هزینه نسبت به زمان 5- حداکثرسازی خروجی نسبت به ورودی کاربردهای غیر اقتصادی از جمله تئوری اطلاعات، ریاضی و فیزیک کاربردی هستند. تعدادی از مسائل علم مدیریت وجود دارد که به‌طور غیرمستقیم به یک مساله برنامه‌ریزی کسری تبدیل می‌شوند.
به‌طور معمول مسائل کسری یا به صورت برنامه‌ریزی کسری مقعر هستند یا به صورت برنامه‌ریزی کسری خطی. معمولاً استراتژی‌های حل این مسائل به صورت زیر هستند:
1) حل مسائل برنامه‌ریزی شبه مقعر formula_27:
برنامه‌ریزی‌های کسری مقعر (خطی) ویژگی‌های مشترکی با برنامه‌ریزی‌های مقعر (کسری) به شرح زیر دارند :
i) بیشینه محلی همان بیشینه عمومی است.
ii) مقدار بیشینه یکتا است اگر که یا صورت کسر اکیداً مقعر باشد یا مخرج کسر اکیداً محدب باشد.
iii) با فرض مشتق پذیر بودن برنامه‌ریزی خطی زیر می‌رسیم:
formula_45 یک پارامتر حقیقی است. مساله formula_46 گاهی اوقات راحتتر از مساله formula_27 به صورت عددی قابل پیگیری است. طبق Dinkelbach یک جواب بهینه برای formula_48 که formula_49 ریشه یکتا formula_50 است، حل مساله formula_27 نیز خواهد بود.
هر کدام از 4 روشی که تا به حال ذکر شدند ویژگی‌های خاص خود را دارند که برخی کاربردها و ویژگی‌های آن‌ها در مرجع با جزئیات مطرح شده‌اند.
5) روش‌های نقطه داخلی
علاوه بر روش‌های کلاسیک که در بالا ذکر شدند، تکنیک‌های جدیدی به وجود آمدند که از نوع نقطه داخلی هستند. اولین این روش‌ها توسط Anstreicher برای مسائل برنامه‌ریزی کسری خطی پیشنهاد شد. بعد از آن هم Ferund و Jarre یک روش نقطه داخلی برای برنامه‌ریزی‌های کسری مقعر پیشنهاد کردند.
جالب توجه است که برخی از این پنج استراتژی که مطرح شدند در ارتباط با مسائل مختلف برنامه‌ریزی کسری مقعر (خطی) که دارای ناحیه شدنی فشرده هستند می‌توانند عملکرد یکسانی داشته باشند. با این حال ممکن است یک استراتژی نسبت به استراتژی دیگر دارای بار محاسباتی بیشتری باشد.