قضیه اساسی حسابان
قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان)، همان‌طور که از نامش مشخص است، از مهم‌ترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است که رابطه‌ای میان انتگرال معین و نامعین به وجود می‌آورد و همچنین روشی برای محاسبهٔ دقیق انتگرال معین یک تابع ارائه می‌دهد.
این قضیه دارای دو بخش است. بخش اول را قضیهٔ اساسی اول حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان) می‌گویند که رابطه‌ای میان انتگرال معین و نامعین برقرار می‌کند و قضیهٔ دوم را قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌نامند که روشی برای محاسبهٔ انتگرال نامعین ارائه می‌دهد. البته در برخی منابع به قسمت اول قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال اطلاق می‌شود و قسمت دوم (قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال) را به عنوان نتیجه‌ای از قضیهٔ اول بیان می‌کنند. ما در اینجا از مورد اول پیروی می‌کنیم و هر یک را جداگانه بررسی می‌کنیم.
صورت ضعیف‌تری از قضیه و اثبات آن نخستین بار توسط جیمز جرجی (۱۶۷۵–۱۶۳۸) منتشر شد. سپس نسخهٔ جامع‌تری از قضیه توسط آیزاک بارو (۱۶۳۰–۱۶۷۷) اثبات شد. پس از او دانشجوی او ایزاک نیوتن (۱۷۲۷–۱۶۴۳) آن را تا حد یک نظریهٔ جامع ریاضی توسعه داد و همزمان با او گوتفرید لایبنیتس (۱۷۱۶–۱۶۴۶) با نظام‌مند کردن آن دانش برای مقادیر بسیار کوچک، آن را به صورت نظریه‌ای که امروز می‌شناسیم ارائه کرد.
همان‌طور که اشاره شد، این قضیه دارای دو بخش است که هر یک را جداگانه بیان و اثابت می‌کنیم.
فرض کنید f تابعی پیوسته در بازه بسته [a,b] باشد. در این صورت تابع (F(x برای هر x در این بازه که به صورت:
تعریف می‌شود یک پادمشتق f است، یعنی:
به این ترتیب رابطه‌ای بین انتگرال معین و نامعین یک تابع وجود دارد. هر پادمشتق یک تابع در هر نقطه به صورت یک انتگرال معین قابل بیان است.
برای اثبات قضیه نشان می‌دهیم که مشتق (F(x در بازه [a,b] برابر (f(x است. برای هر x متعلق به بازه
[a,b] داریم:
پس:
حال چون f در بازه [x,x+Δx] پیوسته‌است بنابر قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها، به ازای [c∈[x,x+Δx داریم:
با توجه به این مطالب (۱) را می‌توان به این صورت نوشت:
اما formula_8 و وقتی که formula_9 بنابر قضیه فشردگی، formula_10 پس عبارت فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
اما چون f تابعی پیوسته است پس formula_12 ولذا formula_2 و برهان کامل است.
به عنوان مثال اگر formula_14 آنگاه:
همچنین اگر u تابعی از x باشد و formula_16 و در این صورت:
و به‌طور کلی‌تر اگر u و v توابعی از x باشند و formula_18 در این صورت:
این قضیه را می‌توان نتیجه‌ای از قضیه اساسی اول دانست. اگر f تابعی پیوسته در بازه بسته [a,b] باشد و F یک پادمشتق f در این بازه باشد در این صورت:
وضوحاً این قضیه روشی سودمند برای محاسبه انتگرال معین یک تابع در یک بازه توصیه می‌کند که البته همواره کارساز نیست چون همواره برای همه توابع نمی‌توان یک پادمشتق پیدا کرد.
برای اثبات فرض می‌کنیم formula_21 در این صورت بنابر قضیه اول حساب دیفرانسیل و انتگرال (G(x یک پادمشتق fدر بازه [a,b] است پس formula_22 اما:
پس:
و برهان قضیه تمام است.
حال اثباتی دیگر از این قضیه ارائه می‌دهیم که از قضیه اساسی اول مستقل است و بر پایه انتگرال ریمان بنا شده‌است.
فرض کنید f تابعی پیوسته در بازه [a,b] باشد و F یک پادمشتق f در این بازه باشد. بازه [a,b] را به n زیربازه با نقاط افراز:
تقسیم می‌کنیم. در این صورت:
اگر برای هر i بین یک و n طول زیربازه n ام یعنی [x,x]را با formula_28 نشان دهیم، داریم:
اما پادمشتق f یعنی F در سراسر بازه [a,b] بخصوص در هر زیربازه این بازه پیوسته‌است (توجه داشته باشید دلیل این امر در خود تعریف پادمشتق نهفته‌است. پادمشتق در سراسر این بازه مشتق‌پذیر است و لذا پیوسته‌است) پس با به‌کارگیری قضیه مقدار میانگین برای توابع پیوسته در هر زیرباره [x,x] نقطه‌ای چون c در این بازه وجود دارد که:
پس از (۱) داریم:
حال نُرم دلتا formula_32 را به عنوان طول طویل‌ترین زیربازه در نظر می‌گیریم یعنی:
پس بنابر قضیه وجود انتگرال ریمان چون f پیوسته است، داریم:
پس: formula_35 و برهان کامل می‌شود.
به عنوان مثال می‌خواهیم formula_36 را محاسبه کنیم. می‌دانیم که formula_37 پس: