فرایند تولد-مرگ
فرایند تولد مرگ (زاد مرگ) صورت خاصی از فرایند مارکف زمان گسسته است که در آن تغییر حالت‌ها تنها از دو نوع است: اسم مدل از کاربردهای معمول می‌آید٬مانند زمانی که استفاده از این مدل‌ها برای نشان دادن سایز فعلی جمعیت و مدلی از مرگ و تولد به معنای واقعی به کار می‌رود. فرایندهای زاد و مرگ کاربردهای زیادی در آمارنگاری مردم٬تئوری صف٬مهندسی کارائی٬علم امراض مسری یا در زیست‌شناسی دارد. این روش می‌تواند در کاربرد هائی نظیر مطالعهٔ تکامل باکتری ها٬تعداد مردم با وجود یک بیماری در جمعیت٬یا تعداد مشتری‌ها در یک صف سوپرمارکت استفاده شود.
هنگامی که تولد رخ می‌دهد فرایند از حالت "n" به "n" + 1 می‌رود. هنگامی که مرگ رخ می‌دهد فرایند از حالت "n" به حالت "n" − 1 می‌رود. این فرایند را می‌توان با نرخ تولدformula_1و نرخ مرگformula_2مشخص نمود.
یک فرایند زاد-مرگ را یک فرایند تولد خالص می‌نامیم اگر در آن برای همهٔ formula_3 داشته باشیم formula_4.
یک فرایند زاد-مرگ را یک فرایند مرگ خالص می‌نامیم اگر در آن برای همهٔ formula_3 داشته باشیم formula_6.
فرایند پواسون (همگن) حالتی خاصی از فرایند زاد-مرگ خالص است که برای آن داشته باشیم formula_7.
مدل M/M/1 و مدل "M/M/c" که هر دو در تئوری صف استفاده شده‌اند، فرایند تولد مرگی هستند که برای توصیف مشتریان در صف نامحدود استفاده می‌شوند.
در تئوری صف فرایند تولد مرگ یکی از اساسی‌ترین مثال‌های مدل صف بندی "M/M/C/K/formula_8/FIFO/(در علامت‌گذاری کامل kandell) است. این یک صف با ورود پواسون است که از یک جمعیت بینهایت که از C سرویس‌رسان با زمان سرویس توزیع نمائی با K مکان استفاده می‌کند. به رغم فرض جمعیت نامحدود، این مدل یک مدل خوب برای سیستم‌های مخابراتی متنوع است.
M/M/1 یک صف سرویس‌رسانی منفرد از اندازه بافر بی‌نهایت است. در محیط غیر تصادفی، فرایند تولد مرگ در مدل صف بندی تمایل دارد که با میانگین بلند مدت باشد٬بنابراین نرخ میانگین ورودها به صورت formula_9 و متوسط زمان سرویس دهی به صورت formula_10 می‌باشد. فرایند تولد و مرگ یک صف M/M/1 است زمانی که داشته باشیم:
معادلهٔ تفاضلی برای این احتمال که سیستم در حالت "k و" در زمان "t" باشند به صورت زیر بیان می‌شود.
M/M/c چندین صف با C سرور و بافر نامحدود است. این حالت با M/M/1 تنها در زمان سرویس متفاوت است که اکنون به صورت زیر محاسبه خواهد شد.
و با
M/M/1/K یک صف سرور سرویس‌رسانی منفرد با بافری از اندازی K است. این صف در مخابرات و همچنین زیست‌شناسی هنگامی که محدودیتی بر روی ظرفیت داریم استفاده می‌شود. در مخابرات ما دوباره از پارامترهایی که از صف M/M/1 بدست می‌آیند٬به صورت استفاده می‌کنیم.
در زیست‌شناسی به خصوص در مبحث رشد باکتری‌ها زمانی که جمعیت صفر است هیچ توانایی برای رشد نیست بنابراین داریم
علاوه بر این اگر ظرفیت نشان دهندهٔ محدودیت باشد مثلاً در جایی که جمعیت از جمعیت زیاد بمیرند داریم:
معادلات دیفرانسیل برای احتمال این که سیستم در حالت "k" در زمان "t" باشد به صورت زیر است:
یک صف گفته می‌شود که در تعادل است٬اگر حد formula_25 وجود داشته باشد. برای این مورد formula_26 باید صفر باشد.
اگر صف M/M/1 را فرض بگیریم٬پاسخ حالت دائم (تعادل) به صورت زیر است: اگر برای همه formula_29 داشته باشیم:formula_30 و formula_31 (حالت همگن) این فرض می‌تواند به معادله زیر بیانجامد.
در یک زمان کوچک formula_33 تنها سه نوع از انتقال امکان‌پذیر است: یک مرگ یا یک تولد یا نه مرگ و نه تولد. اگر نرخ وقوع (در واحد زمان) تولد formula_9 باشد برای مرگ formula_35 باشد. سپس احتمالات جابجائی به ترتیب formula_36, formula_37و formula_38 می‌باشد. برای یک فرایند جمعیت «تولد» انتقال به سمت افزایش جمعیت به مقدار ۱ است در حالی که «مرگ» انتقال به سمت کاهش اندازهٔ جمعیت به مقدار ۱ است.