قضیه آخر فرما
در نظریه اعداد، قضیه آخر فِرما (که برخی مواقع از آن به حدس فِرما هم یاد شده‌است، به‌خصوص در متون قدیمی تر) بیان می‌دارد که هیچ سه عدد صحیح مثبتی چون formula_1، formula_2 و formula_3 وجود ندارند چنان‌که در معادله formula_4 برای هر عدد صحیح صدق کنند. این که حالات بی‌نهایت جواب دارند، از زمان باستان شناخته شده بود.
این گزاره ابتدا توسط پیر دو فرما در ۱۶۳۷ در حاشیه کتاب "حساب" دیوفانتوس حدس زده شد؛ فرما اضافه کرد که اثباتی برای آن دارد، اما به دلیل بزرگ بودن بیش از حد در این حاشیه نمی‌گنجد. با این حال اوایل در مورد آن مشکوک بودند، چون انتشارش توسط پسرش و بدون موافقت پدر و بعد از مرگ او صورت گرفته بود. بعد از ۳۵۸ سال تلاش ریاضیدانان، اولین اثبات موفق در ۱۹۹۴ توسط اندرو وایلز منتشر شد و به‌طور رسمی در ۱۹۹۵ منتشر شد؛ این اثبات در اهدای جایزه آبل به وایلز در ۲۰۱۶ به عنوان «پیشرفت محیرالعقول» توصیف شد. همچنین در آن بخش اعظم قضیه مدولاریتی اثبات شده و رهیافت‌های سراسر نوینی را به سوی چندین مسئله دیگر و تکنیک‌های بالابری (لیفتینگ) مدولاریتی باز کرد.
این مسئله حل نشده انگیزه بخش توسعه نظریه جبری اعداد در قرن نوزدهم میلادی و اثبات قضیه مدولاریتی در قرن بیستم بود. این مسئله در میان معروف‌ترین قضایای تاریخ ریاضیات است و تا قبل از اثبات شدنش در "رکوردهای جهانی کتاب گینس" به عنوان «سخت‌ترین مسئله ریاضی» شناخته می‌شد، بخشی از این توصیف به دلیل اثبات‌های متعدد ناموفقی بوده که سعی در حل آن داشتند.
معادله فیثاغورثی formula_5 بی‌نهایت جواب صحیح مثبت برای formula_6 و formula_7 دارد. این جواب‌ها را سه تایی‌های فیثاغورثی گویند (کوچکترین آن‌ها ۳، ۴، ۵ است). در حدود ۱۶۳۷، فرما در حاشیه کتابش نوشت که معادله formula_8 برای formula_9های بزرگتر از ۲ هیچ جواب صحیح مثبتی ندارد. گرچه که او ادعا کرد که اثبات عمومی برای حدسش دارد، ولی جزئیاتی از آن بعد از مرگش باقی نگذاشت. این ادعا به عنوان "قضیه آخر فرما" شناخته می‌شود و برای سه و نیم قرن حل نشده باقی ماند. این ادعا در نهایت تبدیل به یکی از معروف‌ترین مسائل حل نشده ریاضیات شد. تلاش‌ها برای اثبات آن موجب پیشرفت‌های اساسی در نظریه جبری اعداد گشت و در طی زمان، قضیه آخر فرما به عنوان مسئله حل نشده ریاضیات معروف شد.
بررسی و اثبات حالت خاص formula_10 توسط خود فرما، کافی بود تا مشخص شود که اگر حدس او برای یک توان مثل formula_9 غلط باشد آنگاه برای یک formula_9 کوچکتر هم غلط خواهد بود، لذا تنها مقادیر اول formula_9 نیاز به بررسی بیشتر داشتند. در طی دو قرن بعد (۱۶۳۷–۱۸۳۹)، این حدس تنها برای اعداد اول ۳، ۵ و ۷ اثبات شد، اگرچه که سوفی ژرمن رهیافتی را ابداع و اثبات کرد که به کلاس عمده‌ای از اعداد اول مرتبط می‌شد، ارنست کومر رهیافت وی را توسعه داد تا شامل کل اعداد اول منظم شد، او اعداد اول غیر منظم را از تحلیل خود خارج کرد. دیگر ریاضیدانان براساس کارهای کومر و با استفاده از مطالعات محاسباتی پیشرفته با کمک رایانه‌ها، توانستند اثبات مورد نظر را به توان‌های تمام اعداد اول کوچکتر از ۴ میلیون بسط دهند، اما اثباتی برای تمام توان‌ها دست نیافتنی می‌نمود (یعنی ریاضیدانان عموماً اثبات حالت کلی را غیرممکن، بسیار سخت، یا بر اساس دانش موجود دست نیافتنی می‌شمردند).
حدود ۱۹۵۵، ریاضیدانان ژاپنی گورو شیمورا و یوتاکا تانیاما احتمال دادند که ارتباطی بین خم‌های بیضوی و فرم‌های مدولار، دو قلمرو کاملاً متفاوت ریاضیات، وجود داشته باشد. در آن زمان حدس این دو، به نام حدس تانیاما-شیمورا شناخته می‌شد (در نهایت به نام قضیه مدولاریتی شناخته شد)، این حدس خود هویتی مستقل داشت و ظاهراً هیچ ارتباطی هم با قضیه آخر فرما پیدا نمی‌کرد. حدس تانیاما-شیمورا به خودی خود طور گسترده مهم تلقی می‌شد اما (همچون قضیه آخر فرما) اثبات آن عمدتاً کاملاً دست نیافتنی می‌نمود.
در ۱۹۸۴، گرهارد فری متوجه یک ارتباط ظاهری بین این دو مسئله شد، مسائلی که پیش از آن غیر مرتبط و حل نشده بودند. فری به‌طور اجمالی نشان داد که می‌توان این ارتباط را اثبات نمود. اثبات کامل ارتباط نزدیک این دو مسئله در ۱۹۸۶ توسط کن ریبت، بر اساس اثباتی جزئی از ژان پیر سره انجام شده بود. او (ژان پیر سر) تمام قسمت‌ها به جز قسمتی که به نام «حدس اپسیلون» شناخته می‌شد را اثبات کرده بود (مقالات مربوط به "قضیه ریبت" و "خم فری" را ببینید). مقالات فری، سره و ریبت نشان دادند که اگر بتوان قضیه مدولاریتی را حداقل برای دسته نیمه-پایا از خم‌های بیضوی اثبات کرد، آنگاه به‌طور خودکار اثباتی برای قضیه آخر فرما نیز حاصل خواهد شد. این ارتباط بدین صورت توصیف گشت: هر راه حلی که با قضیه آخر فرما تناقض داشته باشد، می‌تواند با قضیه مدولاریتی هم دچار تناقض شود؛ بنابراین اگر قضیه مدولاریتی درست باشد، آنگاه طبق تعریف هیچ راه حلی که با قضیه آخر فرما در تناقض باشد وجود نخواهد داشت، لذا قضیه آخر فرما هم درست خواهد بود.
گرچه که هردو مسئله هولناک بودند و در آن زمان به‌طور گسترده اثباتشان به عنوان «کاملاً دست نیافتنی» تلقی می‌شد، این ارتباط اولین مسیری بود که توسط آن، قضیه آخر فرما می‌توانست توسعه یافته و برای تمام اعداد، نه فقط بخش خاصی از اعداد، اثبات شود. همچنین چیزی که در انتخاب یک موضوع تحقیقاتی برای محققان مهم بود، این حقیقت بود که برعکس قضیه آخر فرما، قضیه مدولاریتی یک حوزه فعال تحقیقاتی بود که همگان طالب اثباتی از آن بودند، نه فقط به خاطر جنبه تاریخی اش، لذا این نکته وقت گذاشتن روی قضیه مدولاریتی را برای محققان از نظر حرفه‌ای توجیه می‌نمود. با این حال، عقیده عموم این بود که چنین ارتباطی نشان دهندهٔ غیر عملی بودن اثبات حدس تانیاما-شیمورا نیز می‌باشد. یکی از صحبت‌هایی که اغلب شنیده می‌شد، چیزی بود شبیه صحبت ریاضیدانی به نام جان کوتس:«من خودم خیلی بد بین بودم که ارتباط زیبایی بین قضیه آخر فرما و حدس تانیاما-شیمورا عملاً منجر به چیزی شود، چون باید اعتراف کنم که فکر نمی‌کردم حدس تانیاما شیمورا برای اثبات دست یافتنی باشد. گرچه که این مسئله زیبا بود، اما به نظر می‌رسید که اثبات آن در عمل غیر ممکن باشد. باید اقرار کنم که احتمالاً فکر می‌کردم در طول زندگانی ام اثبات نمی‌شود.»زمانی که شنیده شد ریبت، درستی ارتباط فری را اثبات کرده، ریاضیدان انگلیسی اندرو وایلز که از زمان بچگی افسون قضیه آخر فرما بود و پشتوانه‌ای از کار با خم‌های بیضوی و زمینه‌های مرتبط داشت، تصمیم گرفت تا سعی بر اثبات حدس تانیاما-شیمورا به عنوان راهی برای اثبات قضیه آخر فرما کند. در ۱۹۹۳، بعد از شش سال کار مخفی بر روی مسئله، وایلز در اثبات آن به اندازه کافی موفق شد. مقاله وایلز از نظر اندازه و حیطه موضوعی وسیع بود. یک نقص در بخشی از مقاله اصلی او طی اولین داوری همتای مقاله اش، موجب شد اندرو وایلز یک سال دیگر با شاگرد قدیمی اش ریچارد تیلور برای حل آن تلاش کند. در نتیجه، اثبات نهایی در ۱۹۹۵ همراه با مقاله‌ای ضمیمهای منتشر شد، مقاله ضمیمه‌ای نشان می‌داد که گام‌های اصلاحی معتبر هستند. دستاورد وایلز به‌طور گسترده در رسانه‌های عمومی گزارش شد و در کتاب‌ها و برنامه‌های تلویزیونی معروف شد. بخش‌های باقیماندهٔ حدس تانیاما-شیمورا اکنون اثبات شده و به قضیه مدولاریتی معروف است که پس از مقاله وایلز توسط دیگر ریاضیدانان براساس کار وایلز بین سال‌های ۱۹۹۶ تا ۲۰۰۱ اثبات شد. از وایلز به خاطر اثباتش قدردانی شد و جوایز متعددی از جمله جایزه ۲۰۱۶ آبل را نصیبش کرد.
راه‌های مختلفی برای بیان قضیه آخر فرما وجود دارند که از نظر ریاضیاتی با مسئله اصلی معادلند.
به منظور بیانشان، ما از نمادهای ریاضیاتی استفاده می‌کنیم: فرض کنید formula_14 مجموعه اعداد طبیعی formula_15 باشد و formula_16 مجموعه اعداد صحیح formula_17 و formula_18 مجموعه اعداد گویای formula_19 باشد که formula_1 و formula_2 عضو formula_16 بوده به گونه‌ای که formula_23. در ادامه ما به حلی از formula_24 که در آن یکی از formula_6 یا formula_7 صفر باشند "حل بدیهی" می‌گوییم. یک حل که در آن تمام سه متغیر نا-صفر باشند را حل "نابدیهی" نامیم.
جهت مقایسه، ابتدا از فرمول اصلی شروع می‌کنیم.
معادل بودن این حکم هنگامی که formula_9 زوج باشد واضح است. اگر formula_9 فرد بود و تمام سه عدد formula_34 منفی بودند، آنگاه می‌توانیم formula_34 را با formula_36 برای بدست آوردن جوابی در formula_14 جایگزین کنیم. اگر دوتا از آن‌ها منفی باشند، این دوتا باید formula_38 یا formula_39 باشند، در این صورت اگر مثلاً formula_38 منفی بودند و formula_41 مثبت بود، آنگاه آن‌ها را به صورت formula_42 می‌نویسیم که منجر به جوابی در formula_14 می‌شود؛ در حالت دیگر به روش مشابه عمل می‌کنیم. حال اگر تنها یکی از آن‌ها منفی بود، باید عدد منفی یکی از formula_44 یا formula_41 باشد. اگر formula_44 منفی بود، و formula_41 و formula_7 مثبت بودند، آنگاه می‌توان معادله را به صورت formula_49 نوشت، که مجدداً منجر به حل آن در formula_14 می‌شود؛ اگر formula_41 منفی بود، طبق تقارن باز به همان نتیجه اخیر می‌رسیم.
به این علت که توان‌های formula_6 و formula_7 برابر (با formula_9) است، چنان‌که اگر جوابی در formula_18 داشته باشد، آنگاه آن جواب را می‌توان در مخرج مشترک مناسبی ضرب کرد تا جوابی در formula_16 بدست آید که در نتیجه جوابی در formula_14 خواهد بود.
جواب نابدیهی formula_64 برای formula_65 منجر به جواب نابدیهی formula_66 برای formula_65 خواهد شد. برعکس، جواب formula_66 برای formula_65 منجر به جواب نابدیهی formula_70 برای formula_24 خواهد شد.
فرمولبندی اخیر به‌طور خاص ثمر بخش و مفید است، چرا که مسئله اصلی رویه سه بعدی را به مسئله خم دو بعدی تقلیل می‌دهد. علاوه بر این، امکان آن را می‌دهد تا به جای حلقه formula_16 روی میدان formula_18 کار شود؛ میدان‌ها ساختار خاص تری نسبت به حلقه‌ها هستند و امکان تحلیل عمیق‌تر و بهتری را فراهم می‌آورند.
بررسی این خم بیضوی بر اساس قضیه ریبت (Ribet) نشان می‌دهد که این خم فرم پیمانه‌ای (مدولار) ندارد. با این حال، اثبات اندرو وایلز نشان می‌دهد که هر معادله به فرم formula_77 فرم پیمانه‌ای دارد؛ لذا هر جواب نابدیهی به معادله formula_75 (که در آن formula_76 یک عدد اول فرد است) منجر به تناقض می‌گردد، که به نوبه خود اثبات می‌کند که هیچ جواب نابدیهی وجود ندارد.
به بیان دیگر، هر جوابی که بتواند قضیه آخر فرما را دچار تناقض کند می‌تواند برای ایجاد تناقض در قضیه پیمانه‌ای (مدولاریتی) هم استفاده گردد. بنابر این اگر قضیه پیمانه‌ای درست بود، آنگاه می‌توان نتیجه گرفت که قضیه آخر فرما هم می‌تواند برقرار باشد. همان‌طور که توصیف شد، کشف این حکم معادل اخیر برای حل قضیه آخر فرما حیاتی بود، چرا که طریقی ایجاد می‌کرد که بوسیله آن می‌توانستند به مسئله با بررسی همه اعداد به صورت یک جا «حمله» کنند.
در زمان‌های باستانی، می‌دانستند که مثلثی با نسبت اضلاع formula_81 دارای زاویه قائمه است. این نکته در ترسیم و بعدها در هندسه به کار گرفته شد. همچنین آن را به عنوان مثالی از قاعده کلی می‌شناختند که بنابر آن قاعده، اگر در هر مثلثی، مربع دو ضلع آن را با هم جمع کنند (formula_82)، مقدار حاصل برابر با مجذور ضلع سوم شود (formula_83)، در آن صورت آن مثلث هم یک مثلث قائم الزاویه خواهد بود. اکنون به این قاعده قضیه فیثاغورث می‌گویند و اعداد سه‌گانه‌ای که در این شرایط صدق کند را سه تایی‌های فیثاغورثی گویند، هردوی این‌ها به افتخار فیثاغورث یونان باستان نامگذاری شده‌است. مثال‌هایی از سه تایی‌های فیثاغورثی شامل (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳) می‌باشد. بی‌نهایت از چنین سه تایی‌هایی وجود دارد، و روش‌هایی برای تولید چنین سه تایی‌هایی وجود دارند که توسط فرهنگ‌های مختلف مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، اولین کسانی که به مطالعه آن‌ها پرداخته‌اند بابلی‌ها بوده و سپس ریاضیدانان یونان باستان، چینی‌ها، و هندی‌ها به مطالعه‌شان پرداختند. از نظر ریاضیاتی، تعریف سه تایی‌های فیثاغورثی به صورت مجموعه اعداد صحیح (formula_74) می‌باشد که در معادله formula_85 صدق می‌کنند.
معادله فرما، formula_24 با جواب‌های صحیح مثبت، مثالی از یک معادله سیاله‌ای (یا دیوفانتینی) است، که به افتخار ریاضیدان قرن سوم میلادی از اسکندریه، دیوفانتوس، نامیده شده‌است. او کسی بود که این گونه معادلات را مطالعه کرده و روش‌هایی برای حل برخی از انواع معادلات سیاله‌ای (دیوفانتینی) توسعه داد. یک نمونه از چنین مسائلی یافتن دو عدد صحیح formula_44 و formula_41 است چنان‌که جمعشان، و جمع مربعاتشان به ترتیب برابر دو عدد داده شده formula_89 و formula_90 باشد:
اثر اصلی دیوفانوس، "Arithmetica" است، که تنها بخشی از آن باقی مانده‌است. حدس فرما از قضیه آخرش هنگام خواندن ویرایش جدیدی از "Arithmetica" به او الهام شد، نسخه‌ای که فرما از آن می‌خواند ترجمه‌ای به لاتین بود که در ۱۶۲۱ توسط کلاود باشت منتشر شده بود.
معادلات سیاله‌ای برای هزاران سال مطالعه شده‌اند. به عنوان مثال، حل معادله سیاله‌ای مربعی formula_5 توسط سه تایی‌های فیثاغورثی، ابتدا توسط بابلی‌ها (۱۸۰۰ قبل از میلاد) حل شد. حل معادلات سیاله‌ای خطی چون formula_94 را می‌توان با استفاده از الگوریتم اقلیدسی (قرن پنجم قبل از میلاد) بدست آورد. بسیاری از معادلات سیاله‌ای از نقطه نظر جبری فرمی شبیه به معادله قضیه آخر فرما دارند، چرا که آن‌ها هیچ جمله‌ای که از ضرب چند متغیر دیگر حاصل شده باشند را در خود نداشته، و بدین طریق ویژگی دو متغیر مختلف با هم ترکیب نمی‌شوند. به عنوان مثال، مشخص شده که بی‌نهایت عدد صحیح formula_95 و formula_7 وجود دارند چنان‌که formula_97 که در آن formula_98 و formula_9 اعداد طبیعی متباین اند.
مسئله II.8 از "Arithmetica" می‌پرسد که چگونه می‌توان یک عدد مربعی را به دو عدد مربعی دیگر جدا کرد؛ به بیان دیگر، برای یک عدد گویای داده شده چون formula_100، اعداد گویای formula_101 و formula_102 را چنان پیدا کنید که formula_103. دیوفانتوس نشان داد که چگونه می‌توان این مسئله از جمع مربعات را برای formula_104 حل کرد (جواب formula_105 و formula_106 است).
حدود ۱۶۳۷، فرما آخرین قضیه اش را در حاشیه نسخه‌ای که از "Arithmetica" داشت، کنار مسئله جمع مربعات دیوفانتوس نوشت: بعد از مرگ فرما در ۱۶۶۵، فرزندش کلمنت-ساموئل فرما ویرایش جدیدی از آن کتاب را همراه با توضیحات پدرش در ۱۶۷۰ ایجاد نمود. گرچه که یادداشت حاشیه کتاب در آن زمان قضیه نبود (یعنی حکم ریاضیاتی بود بدون این که اثباتی برای آن موجود باشد)، به مرور زمان آن یادداشت به "قضیه آخر فرما" شهرت یافت، چرا که آخرین قضیه از قضایای ادعایی فرما بود که اثبات نشده باقی ماند.
معلوم نیست که آیا فرما واقعاً برای تمام توان‌های formula_9 اثبات قابل قبولی یافته بود یا نه، اما به نظر نمی‌رسد که چنین اثباتی را یافته باشد. تنها یک اثبات مرتبط با آن توسط او باقی مانده، این اثبات مربوط به حالت formula_10 است که در ادامه بدان می‌پردازیم. در حالی که فرما حالت‌های formula_109 و formula_10 را به عنوان چالشی برای همتایان ریاضیدان خود چون مارین مرسن، بلیز پاسکال و جان والیس ارائه نمود، هیچ‌گاه حالت کلی را مطرح نکرد. به علاوه، در سی سال آخر زندگی اش، فرما هیچگاه مجدداً در مورد «اثبات واقعاً شگفت انگیز» ش از حالت کلی چیزی ننوشت و هیچ‌گاه آن را نیز منتشر نکرد. ون در پورتن معتقد است که چیزی که مهم است عدم وجود اثبات نیست، بلکه عدم چالش به معنای این است که فرما متوجه شده بود که اثباتی ندارد؛ او به نقل قول ویل اشاره می‌کند آنجا که او گفت فرما باید کمی خود را نسبت به ایده‌ای غیرقابل حصول فریب داده باشد.
فنونی که فرما ممکن است از آن در چنان «اثبات شگفت انگیزی» استفاده کرده باشد شناخته شده‌اند.
اثبات تیلور و وایلز بر اساس فنون قرن بیستمی بنا نهاده شده‌است. بر اساس دانش ریاضیات موجود در آن زمان، اثبات فرما باید در مقایسه با این فنون مدرن مقدماتی و ساده بوده باشد.
در حالی که حدس بزرگ هاروی فریدمن دلالت بر این دارد که هر قضیه قابل اثباتی (شامل آخرین قضیه فرما هم می‌شود) را می‌توان صرفاً با استفاده از 'حساب تابع مقدماتی' اثبات کرد، چنین اثباتی تنها از جنبه فنی ساده خواهد بود ولی ممکن است شامل میلیون‌ها مرحله باشد و لذا برای اثباتی که فرما پیدا کرده بود بیش از حد حجیم است.
تنها یک اثبات مرتبط با قضیه آخر از فرما باقی مانده‌است که در آن او از تکنیک نزول نامتناهی استفاده کرده تا نشان دهد مساحت یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع صحیح هیچگاه نمی‌تواند برابر مربع یک عدد صحیح باشد. اثبات او معادل این است که نشان دهیم معادله:
هیچ جواب اولیه‌ای (هیچ جواب دو به دو متباین) در اعداد صحیح ندارد. در مقابل، این قضیه آخر فرما را در حالت formula_10 اثبات می‌کند چرا که formula_113 را می‌توان به صورت formula_114 نوشت.
سپس این افراد اثبات‌های دیگری برای حالت formula_10 ارائه نمودند:
فرنیکل دو بسی (۱۶۷۶)، لئونارد اویلر (۱۷۳۸)، کاوسلر (۱۸۰۲)، پیتر بارلو (۱۸۱۱)، آدرین-ماری لژاندر (۱۸۳۰)، شوپیس (۱۸۲۵)، اولری ترکوئم (۱۸۴۶)، جوزف برتراند (۱۸۵۱)، ویکتور لبگ (۱۸۵۳، ۱۸۵۹، ۱۸۶۲)، تئوفیل پپین (۱۸۸۳)، تافلماخر (۱۸۹۳)، دیوید هیلبرت (۱۸۹۷)، بندز (۱۹۰۱)، گمبیولی (۱۹۰۱)، لیئوپولد کرونکر (۱۹۰۱)، بنگ (۱۹۰۵)، سومر (۱۹۰۷)، بوتاری (۱۹۰۸)، کارل ریشلیک (۱۹۱۰)، نوتژورن (۱۹۱۲)، رابرت کارمایکل (۱۹۱۳)، هانکوک (۱۹۳۱)، ورانسینو (۱۹۶۶)، گرنت و پرلا (۱۹۹۹)، باربارا (۲۰۰۷)، و دولان (۲۰۱۱).