تانسور
در ریاضیات، تانسور (Tensor) شیئی جبری است که رابطه چندخطی بین مجموعه‌ها و اشیاء جبری مربوط به یک فضای برداری را توصیف می‌نماید. اشیائی که تانسورها آن‌ها را به یکدیگر می‌نگارند شامل اسکالرها، بردارها و حتی خود تانسورها می‌شوند. انواع زیادی از تانسورها شامل این موارد وجود دارند: اسکالرها، بردارها (که جزو ساده‌ترین تانسورها می‌باشند)، بردارهای دوگان، نگاشت‌های چندخطی بین فضاهای برداری و حتی عملیاتی چون ضرب داخلی. تانسورها مستقل از هر پایه‌ای تعریف می‌شوند، گرچه که اغلب، مؤلفه‌های آن‌ها را برحسب پایهٔ مربوط به یک دستگاه مختصاتی به‌خصوصی نمایش می‌دهند.
تانسورها نقش مهمی را در فیزیک پیدا کرده‌اند، چرا که چهارچوب ریاضیاتی دقیقی را برای فرموله‌بندی و حل مسائل فیزیکی، در شاخه‌هایی چون این موارد را ارائه می‌نمایند: مکانیک (تنش، کشسانی، مکانیک سیالات، گشتاور لختی، ...)، الکترودینامیک (تانسور الکترومغناطیسی، تانسور ماکسول، گذردهی، پذیرفتاری مغناطیسی، ...)، نسبیت عام (تانسور تنش-انرژی، تانسور انحنا، ...) و سایر زمینه‌ها. در مواردی از کاربردهای تانسور، ممکن است نیاز باشد که تانسور یک نقطه از یک شیء با تانسورهای تعریف شده از نقاط دیگر همان شیء متفاوت باشند، چنین مواردی ما را به سوی مفهوم میدان تانسوری می‌کشاند. در برخی از زمینه‌ها، میدان‌های تانسوری چنان رایج اند که از آن‌ها صرفاً به «تانسور» یاد می‌شود.
تولیو لوی-چیویتا و گرگریو ریچی-کورباسترو تانسورها را در ۱۹۰۰ میلادی ترویج دادند و بدین طریق کارهای قبلی برنهارت ریمان و الوین برونو کریستوفل و سایرین را به عنوان بخشی از "حساب دیفرانسیل مطلق" ادامه دادند. این مفهوم امکان فرموله‌بندی دیگری برای هندسه دیفرانسیل ذاتی یک منیفلد به فرم تانسور انحنای ریمانی را فراهم ساخت.
گرچه که تعاریف مختلف تانسورها به ظاهر متفاوت اند اما همه آن‌ها یک شیء هندسی را توصیف می‌نمایند، اما با زبان‌های متفاوت و در سطوح متفاوتی از تجرید. به عنوان مثال، تانسورها برای کاربردهای یادگیری ماشین نیز تعریف شده و مورد بحث قرار می‌گیرند.
تانسور را می‌توان به صورت آرایه (معمولاً چندبعدی) نمایش داد. درست همانگونه که یک بردار در یک فضای "n"-بعدی به صورت آرایه یک بعدی با "n" مؤلفه و نسبت به پایه دلخواهی نمایش داده می‌شود، هر تانسور را نیز می‌توان برحسب یک پایه و با کمک آرایه‌ای چندبعدی نمایش داد. به عنوان مثال، یک عملگر خطی را برحسب یک پایه و به صورت آرایه‌ای formula_1 نمایش داده می‌شود. درایه‌های این آرایه چندبعدی را "مؤلفه‌های اسکالر" تانسور نامیده یا صرفاً به آن‌ها "مؤلفه‌ها" می‌گویند. به کمک اندیس‌ها، موقعیت این درایه‌ها را در آرایه با کمک بالانویس‌ها و پایین نویس‌ها در کنار نماد تانسور مشخص می‌کنند. به عنوان مثال، مؤلفه‌های تانسور مرتبه ۲ را می‌توان به صورت formula_2 که در آن formula_3 و formula_4 اندیس‌هایی اند که مقادیرشان را از ۱ تا "n" انتخاب می‌کنند. همچنین ممکن است تانسور مرتبه دو به صورت formula_5 باشد. بالانویس یا پایین‌نویس بودن اندیس‌های تانسور بستگی به خواص تبدیل تانسور داشته که در ادامه توضیح داده خواهد شد. ازین رو در حالی که هردوی formula_5 و formula_2 را می‌توان به صورت ماتریس‌های "n" در "n" بیان نمود، هردوی آن‌ها از طریق عمل بالا و پایین پریدن اندیس‌ها (index juggling) به یکدیگر تبدیل نمود. از آنجا که خواص تبدیلی این دو نوع تانسور از یکدیگر متفاوت اند، نمی‌توان آن‌ها را به طریق مناسب با یکدیگر جمع نمود. تعداد کل اندیس‌های لازم جهت تعیین هر مؤلفه تانسور به‌طور یکتا، برابر بعد آرایه بوده و به آن "مرتبه"، "درجه" یا "رتبه" تانسور گویند. با این حال اصطلاح «رتبه» معنای دیگری در متون مربوط به ماتریس‌ها و تانسورها دارد.
درست همانگونه که مؤلفه‌های بردار هنگام تغییر پایهٔ فضای برداری عوض می‌شوند، مؤلفه‌های یک تانسور نیز تحت چنین تبدیلاتی عوض می‌شوند. هر نوع تانسور مجهز به یک "قانون تبدیل" است که جزئیات چگونگی واکنش به تغییر پایه را نشان می‌دهد. مؤلفه‌های یک بردار به دو طریق مجزا قادرند به تغییرات پایه واکنش دهند (بردارهای هموردا و پادوردا)، به طوری که بردارهای واقع در پایه‌های جدید formula_8 را می‌توان برحسب پایه‌های قدیمی formula_9 به این صورت بیان نمود:
formula_10
در اینجا formula_11 درایه‌های ماتریس تغییر پایه اند و در راست‌ترین قسمت معادله، علامت جمع سیگما به دلیل استفاده از قرارداد جمع اینشتین برداشته شده‌است. در سرتاسر این مقاله از قرارداد اینشتین استفاده خواهد شد. مؤلفه‌های formula_12 از یک بردار ستونی چون formula_13، تحت معکوس ماتریس formula_14 تبدیل می‌شود:
formula_15
که علامت کلاه روی متغیر، مؤلفه‌های پایه جدید را نشان می‌دهد. به فرمول بالا قانون تبدیل "پادوردا" گفته می‌شود، چرا که مؤلفه‌های برداری نسبت به تغییر پایه به صورت "معکوس" تبدیل می‌شوند. در مقایسه با آن، مؤلفه‌های formula_16 از هم-بردار ستری چون formula_17 نیز توسط خود ماتریس formula_14 تبدیل می‌شوند:
formula_19
به این تبدیل، قانون تبدیل "هموردا" گفته می‌شود، چرا که مؤلفه‌های هموردا براساس "همان ماتریس" تغییر پایه تبدیل می‌گردند. مؤلفه‌های تبدیلات تانسوری کلی‌تر، براساس ترکیب تبدیلات هموردا و پادوردا تبدیل می‌شوند، به گونه‌ای که برای هر اندیس یک قانون تبدیل به کار می‌رود. اگر ماتریس تبدیل یک اندیس معکوس تبدیل پایه باشد، آنگاه به آن اندیس "پادوردا" گفته شده و اغلب با اندیس بالا (بالانویس) نمایانده می‌گردد. اگر ماتریس تبدیل یک اندیس، خودِ تبدیل پایه باشد، آنگاه به اندیس مورد نظر "هموردا" گفته شده و با اندیس پایین (پایین‌نویس) نشان داده می‌شود.
به عنوان مثالی ساده، ماتریس عملگر خطی نسبت به یک پایه، آرایه مستطیلی چون formula_20 است که تحت ماتریس تغییر پایه formula_21 به صورت formula_22 تبدیل می‌شود. برای درایه‌های منفرد ماتریس، این قانون تبدیل به این صورت است: formula_23، چنان‌که تانسور متناظر با یک ماتریس عملگر خطی، دارای یک اندیس هموردا و یک اندیس پادوردا، یعنی از نوع formula_24 می‌باشد.
ترکیب مؤلفه‌های هموردا و پادوردایی که اندیس‌های یکسانی دارند، امکان بیان ناورداهای هندسی را به ما می‌دهد. به عنوان مثال، این حقیقت که یک بردار در دستگاه‌های مختصاتی متفاوت شیء یکسانی است را می‌توان با استفاده از فرمول‌های تعریف شده در بالا به صورت معادلات زیر نوشت:
formula_25
که در آن formula_26 دلتای کرونکر است که مشابه با ماتریس همانی عمل کرده و اثرش تغییر نام اندیس‌ها است (در این مثال تبدیل formula_4 به formula_28). این مثال ویژگی‌های مختلف نمادگذاری مؤلفه‌ها را نشان می‌دهد: توانایی بازآرایی جملات (جابه‌جایی)، نیاز به استفاده از اندیس‌های متفاوت هنگام کار با اشیاء مختلف در یک عبارت، توانایی تغییر نام اندیس‌ها و طریقی که تانسورهای هموردا و پادوردا با هم ترکیب می‌شوند، به گونه‌ای که تمام نمونه‌های ماتریس تبدیل و معکوس‌هایشان همدیگر را خنثی کرده به گونه‌ای که می‌توان به‌طور آنی دید که عباراتی چون formula_29 از نظر هندسی در تمام دستگاه‌های مختصاتی یکسان اند.
به‌طور مشابه، یک عملگر خطی را می‌توان به صورت شیء هندسی دید که عملاً به هیچ پایه‌ای وابسته نیست: عملگر خطی صرفاً نگاشتی خطی است که یک بردار را به عنوان آرگومان ورودی پذیرفته و بردار دیگری را تولید می‌کند. قانون تبدیل مربوط به نحوه تغییر یافتن ماتریس مؤلفه‌های یک عملگر خطی برحسب پایه، با قانون تبدیل مربوط به یک بردار پادوردا سازگاری دارد، چنان‌که نمایش مختصاتی کنش عملگر خطی دلخواه بر روی یک بردار پادوردای دلخواه به صورت ضرب ماتریسی نمایش‌های مختصاتی متناظر با هر کدام است؛ یعنی مؤلفه‌های formula_30 به صورت formula_31 می‌باشند. این مؤلفه‌ها به صورت پادوردا تبدیل می‌یابند، چون:
formula_32
بنابراین قانون تبدیل برای تانسوری از مرتبه formula_33 که دارای formula_34 اندیس پادوردا و formula_35 اندیس هموردا است به این صورت داده می‌شود:
formula_36 formula_37 formula_38
در اینجا اندیس‌های پریم (پرایم) دار، نشان دهنده مؤلفه‌های مختصات جدید اند و اندیس‌های بدون پریم مؤلفه‌های مختصات قدیمی را نشان می‌دهند. به چنین تانسوری، تانسور از "نوع" formula_39 گفته می‌شود. اصطلاحات «مرتبه»، «نوع»، «والانس» و «درجه» را برخی مواقع جهت اشاره به یک مفهوم به کار می‌برند. در اینجا اصطلاح «مرتبه» یا «مرتبه کل» را جهت اشاره به بعد کلی آرایه (یا تعمیمش در سایر تعاریف) به کار می‌برند. formula_33 در مثال اخیر و به کار بردن اصطلاح «نوع» برای آن زوج مرتب، تعداد اندیس‌های هموردا و پادوردا را مشخص می‌کنند. تانسوری از نوع formula_39 را به اختصار formula_39-تانسور می‌نامندم.
این بحث انگیزه‌ای جهت تعریف صوری زیر ارائه می‌نماید:
[\mathbf{f}]
به هر پایه formula_43 از یک فضای "n"-بعدی است چنان‌که اگر تغییر پایه زیر را اعمال کنیم:
formula_44
آنگاه آرایه چندبعدی از قانون تبدیل زیر تبعیت خواهد کرد:
formula_45 formula_46 formula_47
تعریف تانسور به عنوان آرایه چندبعدی که در یک قانون تبدیل صدق می‌کند، به کارهای ریچی بر می‌گردد.
از نمایش‌های گروه خطی عام جهت تعریف معادلی از تانسورها استفاده می‌گردد. در این تعریف، از کنش گروه خطی عام بر روی مجموعه تمام پایه‌های مرتب از یک فضای برداری "n" بعدی استفاده می‌شود. اگر formula_48 پایه مرتب و formula_49 ماتریس formula_1 معکوس‌پذیری باشد، آنگاه این کنش به صورت زیر خواهد بود:
formula_51
فرض کنید formula_52 مجموعه تمام پایه‌های مرتب باشد. آنگاه formula_52 فضای همگن اصلی برای formula_54 خواهد بود. فرض کنید formula_55 یک فضای برداری و formula_56 نمایشی از formula_54 روی formula_55 باشد (یعنی همریختی گروهی formula_59). آنگاه تانسوری از نوع formula_56 نگاشت یکسان‌وردای (equivariant) formula_61 خواهد بود. در اینجا یکسان‌وردا بودن (equivariance) به معنای این است که داریم:
formula_62
که در آن formula_56 نمایش تانسوری از گروه خطی عام است. این تعریف منجر به همان تعریف رایجِ تانسورها به عنوان آرایه‌های چندبعدی می‌گردد. از این تعریف اغلب جهت توصیف تانسورهای روی منیفلدها استفاده شده و به راحتی برای سایر گروه‌ها نیز تعمیم پیدا می‌کند.