تابع (ریاضیات)
یک تابِع در ریاضیات یک رابطه دوتایی روی دو مجموعه است که هر عنصر در مجموعه اول را دقیقاً به یک عنصر در مجموعه دوم مرتبط می‌کند. مثال‌های معمول در این زمینه، توابعی از اعداد صحیح به اعداد صحیح یا از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است.
در اصل توابع ایده‌آل‌سازی این که چگونه یک متغیر بر متغیری دیگر وابسته است بودند. برای نمونه، موقعیت یک سیاره تابعی از زمان است. از لحاظ تاریخی، در پایان سده هفده میلادی این مفهوم توسط حسابان توضیح داده می‌شد و تا سده نوزدهم توابعی که در نظر گرفته می‌شدند دیفرانسیل‌پذیر بودند. مفهوم یک تابع در پایان سده ۱۹ از دیدگاه نظریه مجموعه‌ها رسمی شد و این امر دامنه کاربرد این مفهوم را تا حد زیادی افزایش داد.
تابع یک پروسه یا رابطه‌ای است که دسته‌ای از یک x در دامنه X را به یک y در دامنه Yها متصل می‌کند، که به آن هم‌دامنه تابع می‌گویند. معمولا آن را با حرف‌هایی مانند f، g یا h نشان می‌دهند.
اگر تابع‌مان f خوانده می‌شود، رابطه آن به شکل نشان داده می‌شود. در این رابطه، x شناسه تابع یا ورودی تابع است و y «خروجی» تابع است. نمادی که برای نشان دادن ورودی استفاده می‌شود یک متغیر از تابع است، برای نمونه f متغیر x است.
از توابع به‌طور گسترده‌ای در گونه‌های مختلف علم و بیشتر در ریاضیات استفاده می‌شود. گفته شده‌است که توابع «موضوعات اصلی تحقیق» در بیشتر رشته‌های ریاضیات است.
عمرخیام برای حل معادله درجه سوم از روش برخورد یک سهمی و یک دایره استفاده کرد که میتواند اولین برداشت ریاضیدان از مفهوم تابع محسوب شود
اولین بار شرف الدین طوسی ریاضیدان مسلمان قرن ۱۲ میلادی هنگامی که بدنبال یافتن امکان وجود ریشه های مثبت و حقیقی برای معادله درجه سوم میگشت این معادله را برابر با مقدار ثابت قرار داد و در مورد آن مقدار ثابت و ارتباط آن با ریشه های معادله بحث کرد که بدین ترتیب اولین دانشمندی شد که مفهوم تابع را وارد ریاضیات کرد
بعدها مفهوم تابع توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴ در اروپا مطرح شد که هدف آن توصیف کمیتی وابسته به یک منحنی در نقطه ای خاص بود. (مانند شیب منحنی یا مشتق) امروزه به توابعی که توسط گوتفرید لایبنیتس تعریف شدند، توابع مشتق‌پذیر می‌گوییم.
واژهٔ تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند "f"("x") = sin("x") + "x".
در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول‌بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به‌وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.
ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه ریاضی‌دانان با گسترش تعریف توابع، توانستند به مطالعهٔ توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنهٔ خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.
تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به‌طور مستقل هم‌زمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.
بر طبق این تعریف، تابع، حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویهٔ منحصربه‌فرد وجود دارد.
تابع‌ها در شاخه‌های گوناگون دانش کاربرد فراوان دارند. برای نمونه در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطهٔ بین چند متغیر را بیان کنیم، به ویژه هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است، از تابع بهره می‌بریم.
تابع در دانش‌های گوناگون بیشتر به عنوان عملگر است که کاری را بر روی داده‌های ورودی انجام می‌دهد. تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به‌طور گسترده‌تر در [منطق] است. تابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم لگاریتم پورممی می‌بینیم.
تابع را می‌توان به عنوان قاعده‌ای خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر formula_1 و formula_2 دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ formula_1 به مجموعهٔ formula_2 را می‌توان قاعده‌ای تعریف کرد که به هر عضو مجموعهٔ formula_1 مانند formula_6، دقیقاً یک عضو مجموعهٔ formula_2 را مانند formula_8 نسبت دهد. تابع formula_9 از مجموعهٔ formula_1 به مجموعهٔ formula_2 را با formula_12 نشان می‌دهیم.
برای نمونه تناظر شکل ۱ نمایش‌دهندهٔ یک تابع نمی‌باشد. چراکه عضو ۳ از مجموعه formula_13 به "دو عضو" (formula_14 و formula_15) از formula_16 متناظر شده‌است. اما شکل ۲ نشان دهنده یک تابع است. هر چند که دو عضو گوناگون از مجموعه formula_13 به یک عضو خاص از formula_16 نسبت داده شده‌اند.
تابع formula_9 به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوهٔ تناظر اعضای formula_1 به formula_2 نیست که به‌طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب formula_22 برای هر formula_23 مشخص می‌شود. پس تابع formula_9 را می‌توان به عنوان مجموعه‌ی همه این زوج‌های مرتب، یعنی مجموعهٔ همه زوج‌های مرتبی که مؤلفه اول آن‌ها عضو formula_1 بوده و مؤلفه دوم آن‌ها تصویر مؤلفه اول تحت تابع formula_9 در formula_16 است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع formula_28 دارای مؤلفهٔ اول یکسان نخواهند بود.
در این صورت در تابع formula_29 برای هر formula_23 گزارهٔ formula_31 را به صورت formula_32 نشان می‌دهیم.
یک تابع از مجموعه formula_13 به مجموعه formula_16، رابطه‌ای چون formula_9 از مجموعه formula_13 به مجموعه formula_16 است که دارای شرایط زیر باشد:
برای هر formula_41، یگانه عضو formula_49 در formula_16 که به ازای آن formula_45 را با formula_52 نشان می‌دهیم. در مورد تابع، این علامت‌گذاری، سایر علامت‌گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی‌تر استفاده می‌شوند چون formula_45 یا formula_54 را متروک ساخته‌است. از این پس اگر formula_9 یک تابع باشد، به جای formula_45 یا formula_54 می‌نویسیم formula_58. عضو formula_49 را "مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه formula_60" یا " تصویر formula_60 تحت formula_9" می‌گوییم و نیز formula_60 را "پیش نگاره" formula_49 می‌گوییم.
اگر formula_9 تابعی از مجموعه formula_13 به ("در" یا "به توی") مجموعه formula_16 باشد، این مطلب را به صورت سه تایی formula_68 یا به‌طور معمول تر با formula_69 نشان می‌دهیم.
برای مشخص کردن یک تابع باید "دامنه" و "ضابطه‌ی" آن را بشناسیم. منظور از "ضابطه یک تابع"formula_70، فرمول یا دستوری است که برطبق آن برای هر formula_41، مقدار تابع formula_9 در formula_60 یعنی formula_52 تعیین می‌شود. ضابطهٔ تابع را می‌توان به صورت یک گزارهٔ جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطهٔ بازگشتی مشخص کرد.
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه formula_13 به مجموعه formula_16 می‌نویسیم formula_69 و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.
در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود؛ مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن ،اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.
برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا "شناسهٔ" این تابع را باformula_78 نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار formula_9 به ورودی formula_60 نسبت می‌دهد را به جای formula_49 این‌بار با formula_52 نشان می‌دهیم و آن را "مقدار تابع formula_9 در formula_60" یا "تصویر formula_60 تحت formula_9" می‌گوییم. همچنین از این پس به قاعده‌ای که هر formula_60 را به formula_58 نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.
نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا formula_9 معرف خود تابع و گزاره formula_52 معرف ضابطه تابع است.اما همان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y "همدامنه" تابع f می‌گویند و آن را با codom"f" نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.
به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(2,b),(3,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است (می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مؤلفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است. (یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)
در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مؤلفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.
برای مشخص کردن تابع از روی نمودار باید هر خط موازی محور عرض‌ها، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
نکته: حتی اگر یک خط نمودار را در بیش از دو نقطه قطع کند، دیگر تابع نیست.
در شکل زیر نکته بالا را کاملاً درک خواهیم کرد. فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x. نقاط اشتراک نمودارتابع fوتابع g در دستگاه مختصات مقدار x رانشان می‌دهد که به ازای آن دو تابع برابر اندفرض کنیدیکی از نقاط مورد نظر نقطه ی(A(X,Y یاشد این نقطه محل برخورد نمودار دو تابع fوgاست ومحل برخورد نمودار تابعf و نمودار تابعhar که معکوس تابعf نسبت به تابع gاست بنا بر این دو تابع F,و g زمانی در نقطه‌ای مانند A برابر اند که نمودار تابع fونمودارتابع har در نقطهٔ A برابر باشند.
فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x), x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم؛ یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است "تحدید" تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f. همچنین تابع f را "توسیع" تابع g به مجموعه X می‌گوییم.
بنابراین مفاهیم "تحدید" و "توسیع" دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به‌طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به‌طوری‌که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g=f.
هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.
اگرformula_70 یک تابع و formula_1 زیرمجموعه‌ای از formula_13 باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر formula_1 تحت formula_9 می‌باشند؛ یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع formula_9 روی هر عضو مجموعه formula_1 حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را "تصویر" یا "نگاره" formula_1 تحت تابع formula_9 می‌گوییم و آن را با formula_101 نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:
بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای formula_58، formula_104 یا به بیان نمادین:
به عنوان مثال اگر formula_106 و formula_107 و formula_69 به صورت:
تعریف شود و زیرمجموعه formula_1 از X به صورت formula_111در نظر گرفته شود در این صورت:
حال چونformula_113 نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان formula_114 را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:
که عبارت است از مجموعه همه عناصری از formula_16 است که تصویر عضوی از formula_13 تحت formula_9 باشند که بنابه تعریف همان برد تابع formula_9 یعنی formula_120 است. به این ترتیب برد formula_9 را می‌توان تصویر formula_13 تحت تابع formula_9 تعریف کرد.
بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X,X,X... ,X افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X به صورت (f(x)=f(x تعریف کنیم که در آن f تابعی با دامنه X است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:
در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.
در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع formula_125 اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر formula_127 خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f,i∈I تابعی با دامنه A باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f برای هر i∈I را با دامنه formula_128 را به صورت برای هر x از دامنه به صورت
(f(x)=f(x اگر x∈A تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.
منظور از نمودار یک تابع formula_69 به تصویر کشیدن تناظری است که formula_9 بین دو مجموعه formula_13 و formula_16 ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع formula_69، دو منحنی بسته نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه formula_13 و formula_16 انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آن‌ها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو formula_41 و formula_137 یک پیکان از formula_60 به formula_137 به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e وformula_69 به صورت formula_141 تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.
این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع به ویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی (و به‌طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر formula_9 تابعی با دامنه اعداد حقیقی formula_143 باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم. روش کار به این صورت است که برای هر formula_144 زوج مرتب formula_145 که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع formula_9 حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع به ویژه توابع حقیقی، مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و… از روی نمودار آن‌ها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است.
همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به‌طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور formula_60ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.
اگر formula_13 و formula_16 دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از formula_13 به formula_16 را با Y نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:
عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:
از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگرformula_113 مجوعه‌ای formula_155-عضوی و formula_16 مجموعه‌ای formula_157-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه formula_13 به مجموعه formula_16 برابر است با m که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع formula_69 را تعریف کنیم هر عضو از formula_155 عضو مجموعهformula_113 چون formula_41، را می‌توان به formula_157 طریق به یک عضو از مجموعه formula_16 نسبت داد. پس بنابر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به m طریق ممکن خواهد بود.
عباراتی چون formula_166 یا formula_167 را در نظر بگیرید. هر یک از آن‌ها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آن‌ها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع به جای یک شناسه دو یا چند شناسه را بپذیرد و آن‌ها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت formula_168 توصیف کرد که در این صورت تابع زوج formula_169 را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از formula_143 نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع formula_9 را می‌توان به صورت سه تایی formula_172 نشان داد.
چندجمله‌ای به تابعی گفته می‌شود که متشکل از ضرایب و متغیر (متغیرها) است و فقط عملگرهای ضرب و جمع روی آن‌های اعمال شده باشد.
توابع مثلثاتی، تابع‌هایی هستند که زاویه را به نسبت طول اضلاع آن زاویه در یک مثلث قائم‌الزاویه مرتبط می‌کنند. توابع سینوس و کسینوس از جملهٔ مهم‌ترین این توابع به‌شمار می‌روند. توابع مثلثاتی اهمیت بسیاری در ریاضیات کاربردی دارند و به خاطر ماهیت تناوبیشان، می‌توانند بسیاری از پدیده‌های تکرارشونده را توصیف کنند.
تابع ƒ: A → B متناوب یا پریودیک نامیده می‌شود، اگر عدد ثابتی مانند "T" موجود باشد که برای هر x داشته باشیم formula_173. به "T" دوره تناوب یا پریود گفته می‌شود.
اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو، در دامنه دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، آن تابع را تابع همانی می‌نامند.
تابعی که هر مقدار در دامنه را به مقدار بدون علامت آن در برد نظیر کند، تابع قدر مطلق نامیده می‌شود. تابع قدر مطلق را با |f(x)=|x نمایش می‌دهند؛ که خواص مهمی دارد.
تابع ثابت تابعی است که برد آن تنها شامل یک عضو است؛ و برای هر ورودی همیشه مقدار ثابتی را می‌دهد.
تابع ƒ: A → B پوشا نامیده می‌شود اگر برای هر عضو y متعلق به "B"، حداقل یک عضو x از "A" موجود باشد که داشته باشیم۰