قضایای بنیادی اقتصاد رفاه
قضایای اصلی رفاه دو قضیه‌ای هستند که رابطهٔ بین تعادل اقتصادی و بهینگی پرتو را تبیین می‌کنند. قضیهٔ اول رفاه اثبات می‌کند که هر تعادل والراسی یک تخصیص بهینهٔ پرتوست. قضیهٔ دوم رفاه بیان می‌دارد که هر تخصیص بهینهٔ پرتو با بازتوزیع مواهب اولیه از طریق مکانیزم بازار قابل دست‌یابی‌ست. به دلیل رابطهٔ تنگاتنگ اقتصاد رفاه با نظریه‌های انتخاب اجتماعی برخی نظریهٔ امکان‌ناپذیری ارو را به عنوان قضیهٔ سوم رفاه در نظر می‌گیرند. این قضیه بیان می‌دارد که با رای‌گیری عمومی نمی‌توان سیستم ترجیحات ترتیبی جامعه را بین سه گزینه یا بیشتر تعیین کرد به‌طوری‌که ترجیحات سازگار و عقلایی باشند.
این قضیه نخستین بار توسط لرنر در مقالهٔ سال ۱۹۳۴ خود و سپس در کتابش در سال ۱۹۴۴ با نام «کنترل منابع اقتصادی» مطرح شد. بعدها اثبات‌های مشابهی در اسکار لانژ (۱۹۲) و کنت ارو (۱۹۵۱) ارائه شد ولی اثبات لرنر بیشتر مورد قبول عام یافت. قضیهٔ اول رفاه بیان می‌دارد که اگر فرض ضعیف اشباع ناپذیری موضعی ترجیحات برقرار باشد هر تعادل قیمتی همراه با انتقالات یا به‌طور خاص هر تعادل والراسی یک تخصیص بهینهٔ پرتوست. شرط اشباع ناپذیری موضعی ترجیحات تنها شرط لازم برای رسیدن به این نتیجه است. این قضیه بیان رسمی‌ای از مفهوم دست نامرئی بازار آدام اسمیت است. دو نکته در اینجا قابل ذکراند. اولاً، با وجود اینکه به نظر می‌رسد این قضیه فقط نیاز به یک فرض ضعیف دارد با این حال دو فرض قوی در آن مستتر است: یکی اینکه بازارها کامل اند و اطلاعات متقارن است و دیگر این‌که آحاد اقتصادی قیمت پذیرند. (حتی اگر این دوفرض هم برقرار باشند باز هم قضیهٔ اول رفاه در مدل‌های نسل‌های همپوش نقض می‌شود) ثانیاً، این قضیه در مورد مطلوبیت تعادل از دیدگاه بازتوزیعی صحبت نمی‌کند.
این قضیه در واقع معکوس قضیهٔ اول است. لانژ و تیلور (۱۹۳۸) و لرنر (۱۹۴۴) سعی کردند معکوس قضیهٔ اول را بیان کنند با این حال اثبات رسمی قضیهٔ دوم رفاه در مقالهٔ ارو (۱۹۵۱) انجام شد. این قضیه بیان می‌دارد که اگر تمام توابع تولید محدب باشند و تمام روابط ترجیحات محدب و اشباع ناپذیر موضعی باشند آنگاه هر تعادل بهینهٔ پرتو از طریق سازوکار بازار قابل دستیابی‌است اگر در موهبات اولیه بازتوزیع انجام شود. این بازتوزیع باید به صورت اخذ مالیات یک‌جا از یک عده و دادن سوبسید یکجا به عده‌ای دیگر باشد. این قضیه جایگاه و اهمیت سیاست را در اقتصاد پررنگ می‌کند در واقع سیاست‌مدار تصمیم می‌گیرد که از بین تمام تخصیص‌های بهینهٔ پرتو کدام مطلوبیت بیشتری دارد مثلاً می‌تواند تصمیم بگیرد که برابری کامل از نظر او بهینه است یا نابرابری بالا؛ سپس توزیع اولیهٔ ثروت را طوری تغییر دهد که سازوکار اقتصادی بازار به آن دست یابد.
بیان رسمی قضیه بدین شرح است:
"آگر ترجیحات اشباع‌ناپذیر موضعی باشند، و اگر(x*,y*,p)یک تعادل قیمتی بازاری باشد، آنگاه تخصیص (*x*,y) بهینهٔ پرتو است. به‌طور خاص هر تخصیص تعادلی والراسی بهینهٔ پرتو است." اثبات: فرض کنید formula_1 یک تعادل قیمتی والراسی باشد وبردار ثروت مربوط به آن formula_2 باشد از آنجایی که formula_3 حداکثرسازی مطلوبیت بیان برای در تعادل قیمتی بیان می‌دارد:
formula_4آنگاه formula_5
یعنی هر مقداری از x که مصرف‌کنندهٔ i آن را به formula_6 ترجیح دهدغیرقابل خرید است. اشباع ناپذیری موضعی مشخص می‌کند که:
formula_7 آنگاه formula_8
یعنی هرچیزی که حداقل به خوبی formula_6 باشد حداکثر روی قید بودجهٔ فرد قرار دارد.
حال فرض کنید تخصیص formula_10 به لحاظ بهینگی پرتو بر تخصیص formula_11 قالب باشد. یعنی formula_12 برای همهٔ iها و formula_13 بعضی از iها. در نتیجه formula_14 برای تمام iها وformula_15 برای بعضی iها؛ بنابراین
formula_16 به علاوه از آنجا که formula_17 حداکثرکنندهٔ سود بنگاه j ام در بردار قیمت p است داریم:
formula_18
در نتیجه
formula_19
اما در این صورت (x,y) قابل دست‌رسی نیست. در حقیقت formula_20 یعنی formula_21 که در تناقض با عبارت قبلی‌ست. در نتیجه تخصیص تعادلی formula_22 بهینهٔ پرتوست.
در اقتصادی با مشخصات formula_23 تخصیص formula_11 و بردار قیمت formula_25 یک شبه تعادل قیمتی بازاری را می‌سازد اگر توزیع ثروت formula_26 به صورت formula_27 وجود داشته باشد به‌طوری که:
(i)برای تمام j‌ها formula_17 سود را در formula_29 حداکثر می‌کند یعنی
formula_30 برای تمام formula_31
(ii) برای هر i اگر formula_13 آنگاه formula_33
formula_34
بیان رسمی قضیه بدین شرح است:
"اقتصادی با مشخصات formula_23را در نظر بگیرید و فرض کنید formula_29 محدب است و رابطهٔ ترجیحات formula_37 محدب و به‌طور موضعی اشباع ناپذیر باشد آنگاه برای هرتخصیص بهینهٔ پرتو formula_38 بردار قیمتformula_39 وجود داردبه‌طوری‌که formula_40 یک شبه تعادل قیمتی بازاری‌ست. "
برای هر i تابع formula_41 را به عنوان تابع تمام formula_42‌هایی که بر formula_43 ترجیح دارد تعریف می کنیم: formula_44 سپس تعریف می‌کنیم:
formula_45
formula_46
در نتیجه V مجموع تمام مصارفی‌ست که بین I نفر تقسیم می‌شود که هر کدام توسط مصرف‌کننده اش به formula_43 ترجیح دارد. تابع Y تابع کل تولیدات توابع تولید است.
گام ۱. تمام توابع formula_48 محدب‌اند.فرض کنید formula_49 و  formula_50 به ازای یک  formula_51 می خواهیم ثابت کنیم  formula_52 . از آنجایی که تابع ترجیحات کامل است بدون کاستن از کلیت می‌توان فرض کردformula_53 در نتیجه به دلیل محدب بودن ترجیحات داریم: formula_54 که با فرض تراگذری داریم formula_55.
گام۲. مجموعه‌های V و formula_56 محدب‌اند. جمع هر دو تابع محدب محدب است.
گام۳. formula_57 این نتیجه‌ای از بهینگی پرتو در formula_11 است. اگر برداری هم در V و هم در formula_56 باشد بدین معنی‌ست که با تکنولوژی و مواهب موجود می‌توان بردار تولیدی به دست آورد که به تمام مصرف کنندگان مقدار مصرفی‌ای برسد که آن را بر formula_43 ترجیح می دهند.
گام۴. بردار قیمت  formula_61 و r وجود دارد به‌طوری‌که formula_62 به ازای هر formula_63 و formula_64 به ازای هر formula_65 این مورد به راحتی توسط قضیهٔ ابر صفحهٔ جداکننده قابل اثبات است.
گام۵.اگربرای هرi formula_66  آنگاه formula_67.فرض کنید برای هرi formula_66 با فرض اشباع ناپذیری موضعی برای هر مصرف‌کنندهٔ i مرز مصرف  formula_69 به اندازهٔ کافی نزدیک به formula_42 وجود دارد به‌طوری‌که formula_71 وبنابراین formula_72.در نتیجه formula_73 و  formula_74 با گرفتن حد formula_75 نتیجه می‌دهد formula_67.
گام ۶.formula_77 از گام ۵ داریم  formula_78 به علاوه از آنجا که  formula_79 در نتیجه formula_80 بنابراین formula_81 و چون  formula_82 داریم formula_83
گام۷. برای هر j داریم formula_30 به ازای هر formula_31. برای هر بنگاه j داریم  formula_86 در نتیجه formula_87 در نتیجهformula_30
گام۸. به ازای هر i اگر formula_13 آنگاه formula_90. فرض کنید داریمformula_13 از گام ۵ و ۶ نتیجه می گیریم:
formula_92 در نتیجه formula_90
گام ۹. سطح ثروت formula_94 به ازای هر formula_95 بردار formula_1 را به عنوان یک شبه تعادل قیمتی بازاری پشتیبانی می‌کند.