بتا اسکلت
در هندسۀ محاسباتی و نظریۀ گراف هندسی، بتا اسکلت یک گراف بدون جهت است که بر روی مجموعه‌ای از نقاط هندسۀ اقلیدسی تعریف می‌شود. دو نقطۀ p و q در صورتی توسط یک یال به یکدیگر متصل می‌شوند که همۀ زاویه‌های "prq" از آستانۀ تعیین شده توسط پارامتر عددی "β" کمتر باشد.
اگر "β" یک عدد حقیقی مثبت باشد، زاویۀ "θ" با استفاده از فرمول زیر بدست می‌آید:
برای هر دو نقطۀ "p" و "q" در صفحه، "R" را مجموعه‌ای از نقاط در نظر بگیرید به‌طوری‌که زاویۀ "prq" از "θ" بزرگتر باشد. در این صورت به ازای "β" ≥ 1 و "θ" ≤ π/2 مجموعۀ "R" به صورت اجتماع دو دایره با اندازۀ قطر "βd"("p","q") در خواهد آمد و به ازای "β" ≤ 1 و "θ" ≥ π/2 مجموعۀ "R" به صورت اشتراک دو دایره به قطر "d"("p","q")/"β" خواهد شد. در صورتی که "β" = 1 باشد هر دو فرمول بالا جواب "θ" = π/2 را خواهند داد و مجموعۀ "R" به صورت یک دایره به قطر "pq" خواهد شد.
اگر "S" یک مجموعۀ مجزا از نقاط در صفحۀ هندسۀ اقلیدسی باشد، بتا اسکلت آن یک گراف بدون جهت است که در آن دو نقطۀ "p" و "q" در صورتی با یال "pq" به یکدیگر متصل می‌شوند که "R" حاوی هیچ یک از نقاط مجموعۀ "S" نباشد. در حقیقت بتا اسکلت یک گراف ناحیه خالی می‌باشد که با ناحیه‌های "R" تعریف شده‌اند. هنگامی که مجموعۀ "S" شامل نقطۀ "r" باشد به‌طوری‌که زاویۀ "prq" بزرگتر از "θ" باشد، "pq" یال بتا اسکلت نخواهد بود؛ بتا اسکلت شامل آن جفت "pq"‌هایی می‌باشد که همچین نقطۀ "r" ای برای آن‌ها وجود نداشته باشد.
بعضی از نویسنده‌ها تعریف دیگری را بیان می‌کنند که در آن ناحیه‌های خالی "R" به ازای "β" > 1 اجتماع دو دایره نیستند بلکه عدسی می‌باشند (در این متن به آن‌ها هلال می‌گوییم )، یعنی اشتراک دو دایرۀ متناجس به قطر "βd"("p,q") هستند به‌طوری‌که پاره خط "pq" بر روی شعاع هر دو دایره قرار می‌گیرد و همچنین دو نقطۀ "p" و "q" روی مرز تقاطع دایره‌ها قرار خواهند گرفت. همانند تعریف مبتنی بر دایره، بتا اسکلت مبتنی بر هلال نیز، در صورتی دارای یال "pq" می‌باشد که ناحیۀ "R" از نقاط دیگر خالی باشد. با توجه به این تعریف، گراف همسایۀ مرتبط یک حالت خاص از بتا اسکلت با "β" = 2 می‌باشد. هر دو تعریف مبتنی بر دایره و مبتنی بر هلال به ازای "β" ≤ 1 یکسانند اما برای مقادیر بزرگ‌تر "β"، تعریف بتا اسکلت مبتنی بر دایره زیر گرافی از بتا اسکلت مبتنی بر هلال می‌باشد.
یک تفاوت مهم میان بتا اسکلت مبتنی بر دایره و هلال در این است که به ازای هر مجموعه نقاطی که روی یک خط قرار نداشته باشند، همیشه یک مقدار به اندازۀ کافی بزرگ برای "β" وجود دارد که بتا اسکلت مبتنی بر دایرۀ آن یک گراف تهی باشد. در مقابل اگر یک جفت نقاط "p" و "q" دارای این ویژگی باشند که برای همۀ نقاط "r" دیگر، یکی از دو زاویۀ "pqr" و "qpr" منفرجه شود، در آن صورت بدون توجه به این‌که "β" چقدر بزرگ باشد بتا اسکلت مبتنی بر هلال حتماً حاوی یال "pq" خواهد بود.
بتا اسکلت اولین بار توسط به عنوان یک گونۀ مستقل از مقیاس از شکل‌های آلفای مطرح شد. نام “بتا اسکلت” به این علت ایجاد شده‌است که بتا اسکلت از بعضی جهات شکل یک مجموعه نقاط را شرح می‌دهد به همان طریقی که اسکلت توپولوژی شکل ناحیه‌های دوبعدی را بیان می‌کند. انواع بسیار دیگری از گراف‌های بتا اسکلت وجود دارند که با ناحیه‌های خالی دیگر تعریف می‌شوند.
اگر β به صورت پیوسته از 0 تا ∞ تغییر کند، β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره دنباله‌ای از گراف‌ها را، از گراف کامل تا گراف تهی، تشکیل می‌دهند. حالت خاصّ β=1 گراف گابریل را نتیجه می‌دهد که شامل درخت پوشای کمینۀ اقلیدسی است. بنابراین، زمانی که β≤1، یک β-اسکلت شامل گراف گابریل و درخت پوشای کمینه هم هست.
برای هر β ثابت، می‌توان از یک ساختار فراکتال که نمایانگر نسخۀ مسطح برف‌دانۀ کخ باشد برای مشخص کردن دنباله‌ای از گروه نقطه‌ها که β-اسکلت‌های آن‌ها مسیرهایی به طول دلخواه در یک مربع واحد است، استفاده کرد. بنابراین، برخلاف مسئلۀ مرتبطِ مثلث‌بندی دیلانی، β-اسکلت‌ها پوشای هندسی نیستند.
یک الگوریتم بدیهی که برای هر سه‌تایی formula_2، formula_3 و formula_4 عضویت formula_4 را در محدودۀ formula_6 بررسی می‌کند، می‌تواند برای هر مجموعۀ formula_7تایی از نقاط، β-اسکلت را در زمان formula_8 بسازد.
به ازای β≥1، یک β-اسکلت (با هر یک از تعریف‌ها) زیرگرافی از گراف گابریل است که آن هم زیرگرافی از مثلث‌بندی دیلانی است. اگر formula_9 یکی از یال‌های مثلث‌بندی دیلانی باشد که به β-اسکلت تعلق ندارد، آن‌گاه نقطۀ formula_4، یکی از دو نقطه‌ای که در مثلث‌بندی دیلانی با formula_3 و formula_2 تشکیل مثلث می‌دهند، زاویۀ بزرگ formula_13 را درست می‌کند. در نتیجه، برای این مقادیر β، یک β-اسکلت مبتنی بر دایره با محاسبۀ مثلث‌بندی دیلانی و حذف کردن یال‌های اضافی با این آزمون برای یک مجموعۀ شامل formula_7 نقطه در زمان formula_15 ساخته می‌شود.
به ازای β<1 الگوریتم دیگری از ساختن β-اسکلت را در زمان formula_16 ممکن می‌سازد. کران بالای بهتری برای زمان اجرا در بدترین حالت ممکن نیست. زیرا برای هر مقدار ثابت β در محدودۀ ۰ تا ۱، در حالت کلی مجموعه‌هایی از نقاط وجود دارند که β-اسکلت آن‌ها یک گراف کامل است که تعداد یال‌هایش با توان دوم تعداد نقاط متناسب است. همچنین تمام طیف β (دنبالۀ β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره که از تغییر مقدار β به‌دست می‌آیند) در زمان مشابه (درجۀ دو) محاسبه می‌شود.
از β-اسکلت مبتنی بر دایره می‌توان در آنالیز تصویر برای بازسازی شکل یک شیء دو بعدی با داشتن مجموعه‌ای از نقاط نمونه روی مرز آن شیء استفاده کرد.(شکل محاسباتی بازی وصل کردن نقاط، که در آن ترتیب نقطه‌ها در صورت مسئله نیست و باید توسط یک الگوریتم به دست آید.) اگرچه برای این کار باید مقدار مناسبی برای پارامتر β اتخاذ شود، ثابت می‌شود به ازای β=1.7، در صورتی که نسبت تراکم نمونه‌ها به انحنای موضعی سطح به اندازۀ کافی زیاد باشد، β-اسکلت تمام مرز هر سطح صاف را بازسازی می‌کند و هیچ یال اضافی‌ای تولید نمی‌کند. البته در عمل، مقدار β=1.2 در یک سامانه اطلاعات جغرافیایی برای بازسازی نقشۀ خیابان‌ها از روی مجموعه‌ای از نقاط که روی خط میانی خیابان‌ها بودند مناسب‌تر بود. برای حالت‌های تعمیم‌یافتۀ روش β-اسکلت برای بازسازی سطوح در سه بعد، را ببینید.
از β-اسکلت‌های مبتنی بر دایره برای یافتن زیرگراف‌های مثلث‌بندی با وزن کمینه‌ی یک مجموعه از نقاط استفاده می‌شود: برای مقادیر به اندازۀ کافی بزرگ β، هر یال β-اسکلت به مثلث‌بندی با وزن کمینه تعلق دارد. اگر نقاط ورودی با این یال‌ها یک گراف همبند را تشکیل دهند، یال‌های باقی‌ماندۀ مثلث‌بندی با وزن کمینه با برنامه‌نویسی پویا در زمان چندجمله‌ای به دست می‌آیند. البته مسئلۀ مثلث‌بندی با وزن کمینه در حالت کلی ان‌پی-سخت است و یال‌های به دست آمده با این روش الزاماً یک گراف همبند درست نمی‌کنند.
علاوه بر این، β-اسکلت‌ها در یادگیری ماشین برای حلّ مسائل شناسایی هندسی و در شبکه‌های بی‌سیم ادهاک به عنوان یک سازوکار برای کنترل پیچیدگی ارتباط، با انتخاب یک زیرمجموعه از جفت ایستگاه‌های بی‌سیم که توانایی ارتباط با یک‌دیگر را دارند، کاربرد دارند.