نظریه آشوب
نظریه آشوب ، شاخه ای از ریاضیات است که بر روی مطالعه سامانه‌های پویای آشوبناک متمرکز است، سامانه‌هایی که حالات بی‌نظم و بدون ترتیبش ظاهراً تصادفی بوده اما در عمل تحت حاکمیت الگوها و قوانین قطعی پنهانیست که به شدت نسبت به شرایط اولیه حساسند. نظریه آشوب شاخه ای بین رشته ایست که بیان می‌دارد: در سامانه‌های پیچیده با وجود تصادفی بودن ظاهری، الگوها، درون-پیوستگی‌ها، حلقه‌های بازخوردی، تکرار، خودهمانندی، فراکتال‌ها، و خود-سازماندهی وجود دارد. اثر پروانه‌ای، اصل زیربنایی نظریه آشوب بوده و به توصیف این پدیده می‌پردازد که چگونه تغییرات کوچک در یک سامانه قطعی و غیرخطی می‌تواند منجر به اختلافات بزرگی در یکی از حالات بعدی شود (یعنی وابستگی حساس بر روی شرایط آغازین). استعاره‌ای از این رفتار، پروانه‌ای است که در تگزاس بال می‌زند قادر به ایجاد طوفانی در چین است.
تغییرات کوچکی در شرایط اولیه، همچون تغییرات ناشی از خطاهای اندازه‌گیری ناشی از گرد کردن اعداد در محاسبات، می‌تواند باعث واگرایی گسترده خروجی‌های چنین سامانه‌هایی شده به گونه ای که پیش‌بینی بلند مدت رفتارشان را در حالت کلی غیرممکن می‌سازد. با وجود اینکه سامانه‌ها قطعی هستند، ممکن است چنین اتفاقی روی دهد. قطعی بودن به این معناست که رفتار آینده اشان از سیر تکاملی منحصر بفردی تبعیت کرده و به‌طور کامل از طریق شرایط اولیه تعیین شده و هیچ نوع از عناصر تصادفی در تعیین آن دخیل نیست. به بیانی دیگر، طبیعت قطعی این سامانه‌ها، باعث پیش‌بینی پذیر شدنشان نیست. به این نوع رفتار آشوب قطعی یا صرفاً آشوب می‌گویند. این نظریه توسط ادوارد لورنتس به این صورت خلاصه شد:
رفتار آشوبناک در بسیاری از سامانه‌های طبیعی شامل این موارد وجود دارد: جریان سیال، بی‌نظمی‌های تپش قلب، آب و هوا و اقلیم. همچنین این پدیده به صورت خود-به-خودی در برخی از سامانه‌هایی با مؤلفه‌های مصنوعی نیز همچون بازار سهام و ترافیک جاده‌ها نیز رخ می‌دهد. این رفتار را می‌توان از طریق تحلیل مدل ریاضیاتی، با کمک فنون تحلیلی چون نمودارهای بازگشتی و نگاشت‌های پوانکاره مورد مطالعه قرار داد. نظریه آشوب در شاخه‌های متنوعی شامل این موارد کاربرد دارد: هواشناسی، انسان‌شناسی، جامعه‌شناسی، علوم محیطی، علوم رایانه، مهندسی، اقتصاد، بوم‌شناسی، مدیریت بحران همه‌گیری جهانی، و فلسفه. این نظریه پایه شاخه‌های علمی چون سامانه‌های پویای پیچیده، نظریه مرز آشوب و فرایندهای خودسامانی را پی ریزی کرد.
یک سیستم جوی ساده را در نظر بگیرید. تابع formula_1 برای تخمین دمای فردا از روی دمای امروز در دست است. اوربیت یک نقطهٔ تحت یک تابع از مجموعه اتفاقاتی است که در اثرِ تکرار تابع (دینامیک) برای آن نقطه می‌افتد. مثلاً، اُربیت نقطهٔ ۱ تحت این تابع این است که ۱ ابتدا ۳ و سپس ۵ و بعد ۷ و … می‌شود. مهم‌ترین گونه مدارها نقطه ثابت است که هرگز تحت اجرای تابع تغییر نمی‌کند، ولی تابع ما چنین نقطه‌ای ندارد. حال formula_2 را در نظر بگیرید. این تابع ما را به دنیای آشوب می‌برَد. به نظر می‌رسد مدارهای تمام نقاط به بی‌نهایت میل می‌کنند. باید اشاره شود که نقاط پایانی هر بازه‌ای روی این تابع ثابت‌اند. با اجرای تابع و ادامه دادن آن می‌بینیم که تمام نقاط داخل بازه به بی‌نهایت میل می‌کنند، ولی حدود بازه همچنان متناهی‌اند. این رفتار آشوب گونه است. مثلث سرپینسکی و پوست مار کخ دو فراکتال یا برخال معروف‌اند. در مورد پوست مار کخ جالب این است که ناحیهٔ متناهی دارد، ولی پارامترش نامتناهی است. می‌توان سطح خود تشابهی در فراکتال‌ها را با مفهوم جدیدی از بُعد اندازه‌گیری کرد که مبتنی بر تعداد کپی‌های مجموعه‌های خودمتشابه در فراکتال و میزان بزرگ‌نمایی هر مجموعه است. یعنی بُعد فراکتالیِ یک مجموعه از تقسیم لگاریتم تعداد کپی‌ها به لگاریتم بزرگنمایی به دست می‌آید. این مقدار برای مثلث سرپینسکی ۱٫۵۸۴ و برای پوست مار کخ ۱٫۲۶۱ است.
این نظریه گسترش خود را بیشتر مدیون کارهای هانری پوانکاره، ادوارد لورنتس، بنوا مندلبروت و مایکل فیگن‌باوم است. پوانکاره اولین کسی بود که اثبات کرد مسئله سه جرم (به عنوان مثال، خورشید، زمین، ماه) مسئلهٔ آشوبی و غیرقابل حل است. شاخهٔ دیگر از نظریهٔ آشوب که در مکانیک کوانتومی به کار می‌رود، آشوب کوانتومی نام دارد. گفته می‌شود که پیر لاپلاس و عمر خیام قبل از پوانکاره، به این مسئله و پدیده پی برده بودند.
اولین آزمایش واقعی در زمینهٔ آشوب را یک هواشناس به نام ادوارد لورنتس انجام داد. در سال ۱۹۶۰، وی روی یک مسئلهٔ پیش‌بینی وضع هوا کار می‌کرد؛ و روی کامپیوترش ۱۲ معادله برای پیش‌بینی وضع هوا در نظر گرفته بود. این معادله‌ها وضعِ هوا را پیش‌بینی نمی‌کرد، ولی این برنامهٔ کامپیوتری به‌طور نظری پیش‌بینی می‌کرد که هوا چگونه می‌تواند باشد. او می‌خواست دنبالهٔ مشخصی را دوباره ببیند. برای کاهش زمان، وی به جای شروع از اول، از وسط دنباله شروع کرد. او عددی را وارد کرد که دفعهٔ قبل از دنباله در دست داشت و کامپیوتر را برای پردازش رها نمود و رفت. وقتی یک ساعت بعد برگشت، دنباله به صورتی متفاوت از دفعهٔ قبل پیشرفت کرده بود. به جای حالت قبلی، الگوی جدید آن واگرا می‌شد و در آخر شکلی کاملاً به هم ریخته نسبت به اولی پیدا می‌کرد. بالاخره فهمید که مشکل کار کجاست. کامپیوتر تا ۶ رقم اعشار را در خود ذخیره می‌کرد و برای این‌که کاغذ کمتری مصرف کند، فقط تا ۳ رقم اعشار را برای خروجی در نظر گرفته بود. در الگوی اولیه، عدد به‌دست آمده در اصل۵۰۶۱۲۷/۰ بود، ولی برای حالت بعدی فقط ۵۰۶/۰ را وارد کرد. براساس تمام ایده‌های آن زمان، این دنباله باید شبیه یا خیلی نزدیک به حالت اولیه می‌شد. رقم‌های پنجم و ششم، که برای بعضی از روش‌ها غیرقابل اندازه‌گیری هستند، نمی‌توانند تأثیر زیادی روی خروجی داشته باشند. لورنز این باور را رد کرد. این اثر به عنوان اثر پروانه‌ای شناخته شد. مقدار تفاوت بین نقاط شروع دو نمودار آن‌قدر کم است، که به اندازهٔ بال زدن یک پروانه می‌تواند باشد؛ بال زدن یک پروانه تغییر بسیار اندکی در وضعیت اتمسفر ایجاد می‌کند. در طول یک دوره، اتمسفر از حالتی که باید می‌بود، عملاً دور می‌شود. به همین دلیل، در طول یک دوره، یک گردباد که قرار بود سواحل اندونزی را تخریب کند، هیچ وقت اتفاق نمی‌افتد یا ممکن است گردبادی رخ دهد که اصلاً قرار نبود اتفاق بیفتد. این پدیده به عنوانِ حساسیت بالا به شرایط اولیه نیز شناخته شده‌است.
کاربرد رایج اصطلاح «آشوب» به معنای «حالتی از بی‌نظمی» است. با این حال، در نظریه آشوب این اصطلاح تعریف دقیق‌تری دارد. گرچه که هیچ تعریف ریاضیاتی جهان‌شمولی از آشوب وجود ندارد، تعریفی که به‌طور رایج استفاده می‌شود را در ابتداء رابرت ال. دِوانی فرموله کرد، این تعریف می‌گوید: برای این که یک سامانه دینامیکی به عنوان آشوبناک رده‌بندی شود، باید یکی از سه خاصیت زیر را دارا باشد:
نشان داده شده که در برخی از موارد، دو خاصیت اخیر که در بالا ذکر شدند، در عمل موجب حساسیت نسبت به شرایط اولیه می‌گردند. در مسئله در مواردی که زمان گسسته باشد، برای تمام نگاشت‌های پیوسته روی فضاهای متری صحیح است. در چنین واردی، با این که خاصیت «حساسیت نسبت شرایط اولیه» اغلب در عمل خاصیت مهمی است، ولی نیاز نیست در تعریف قید گردد.
اگر توجه بر روی بازه‌ها محدود شود، خاصیت دومی دو خاصیت دیگر را نتیجه می‌دهد. تعریف کلی‌تر اما ضعیف‌تری از آشوب، تنها از دو خاصیت اول در فهرست فوق استفاده می‌کند.