تئوری تیر تیموشنکو
تئوری تیر تیموشنکو () در اویل قرن بیستم توسط دانشمند و مهندس روس استفن تیموشنکو که اصالتی اکراینی داشت ارائه شد. این مدل با در نظر گرفتن اثر همزمان تغییرشکل برشی و ممان پیچشی، به مدلی مناسب برای شرح رفتار تیرهای کوتاه، تیرهای مرکب ساندویچی و تیرهای تحت تأثیر تحریک‌کننده فرکانس بالا (در طول موج‌های نزدیک به ضخامت تیر) بدل شد. فرضیات تئوری تیر تیموشنکو:
همانطور که در تصویر مشاهده می‌کنید فرض عمود باقی ماندن صفحات عمود بر محور خنثی که در تئوری اویلر-برنولی وجود داشت در اینجا حذف شده‌است. در واقع در تیر تیموشنکو، تغییرشکل‌های برشی خود را به صورت تغییر در زاویه این صفحات نشان می‌دهند.
در معادله جواب در این روش علاوه بر وجود یک ترم درجه چهار، یک مشتق جزئی درجه دوم نیز وجود دارد (بر خلاف تئوری تیر اویلر-برنولی).
در حالت بارگذاری استاتیکی در تئوری تیر تیموشنکو و بدون در نظر گرفتن نیروهای محوری، فرض می‌شود که تغییر مکان از رابطه زیر بدست می‌آید:
اگر formula_2 مختصات یک نقطه بر روی تیر باشند formula_3 بردارهای تغییرمکان آن نقطه در راستای دستگاه مختصات فرضی است. formula_4 زاویه چرخش بردار عمود بر صفحه میانی تیر و formula_5 تغییرمکان این صفحه در راستای formula_6 است.
معادلات حاکم بر مسئله که از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی هستند از این قرار خواهند بود:
تئوری تیر تیموشنکو در حالت استاتیکی و در صورتی که طرف راست معادله فوق ناچیز در نظر گرفته شود با تئوری اویلر-برنولی برابر خواهد بود. این برابری تنها با وجود شرط زیر برقرار است: که در عبارت فوق: با ترکیب دو معادله فوق برای یک تیر همگن با سطح مقطع ثابت خواهیم داشت: لنگر خمشی formula_17 و نیروی برشی formula_18 تیر نیز برای یک تیر الاستیک خطی تیموشنکو با استفاده از معادلات زیر به جابه جایی formula_5 و چرخش تیر formula_4 مربوط خواهند شد:
دو معادلهٔ تغییر شکل در تیر تیموشنکو، توسط شرایط مرزی مسئله قابل حل خواهند شد. برای حل دقیق این معادلات به چهار شرط مرزی نیاز است. انواع شرایط مرزی قابل اعمال بر مسئله به صورت زیر خواهد بود:
همانطور که می‌دانید در یک تیر کنسول یک سر تیر دارای تکیه گاه گیردار بوده و انتهای دیگر تیر آزاد است. دستگاه مختصات را در سمت چپ تیر و در انتهای آزاد آن مستقر می‌کنیم. در این حالت جهت مثبت formula_30 به سمت راست و جهت مثبت formula_6 به سمت بالا اشاره می‌کند. فرض می‌کنیم که نیرو در جهت مثبت محورهای مختصات اعمال شده و گشتاور نیز به صورت ساعت گرد به تیر اعمال می‌گردد. همچنین فرض می‌کنیم که تنش‌های ناشی از formula_17 وقتی تار پایینی تیر تحت فشار باشد و formula_18 وقتی مقطع تیر به صورت پاد ساعت‌گرد تحت پیچش قرار می‌گیرد مثبت است. انتهای گیر دار تیر در formula_34 و انتهای آزاد آن در formula_35 قراردارد. اگر نیروی متمرکز formula_36 بر انتهای آزاد تیر و در راستای مثبت محور formula_6 اعمال گردد با رسم نمودار جسم آزاد تیر خواهیم داشت: و در نتیجه با توجه به روابط لنگر خمشی و نیروی برشی داریم: با انتگرال گیری از معادله اول و اعمال شرط مرزی formula_41 در formula_42 به عبارت زیر می‌رسیم: همچنین معادله دوم را نیز می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: که با انتگرال‌گیری و اعمال شرط مرزی formula_45 در formula_42 خواهیم داشت:
و در نهایت تنش محوری نیز از رابطه زیر بدست خواهد آمد:
در تئوری تیر تیموشنکو بدون در نظر گرفتن اثرات محوری، تغییر مکان تیر با توجه به زمان براساس رابطه زیر محاسبه می‌گردد: در این رابطه، formula_2 مختصات یک نقطه بر روی تیر، formula_3 بردارهای جابه جایی این نقطه در راستای محورهای مختصات، formula_4 زاویه چرخش صفحه عمود بر تار میانی تیر و formula_5 میزان جابه جایی تار میانی تیر در راستای formula_6 است. با توجه به فرضیات فوق، امکان توصیف ارتعاش در تئوری تیر تیموشنکو با استفاده از یک جفت معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی وجود خواهد داشت.
در معادلات فوق متغیرهای وابسته formula_57 بیانگر جابه جایی تیر و formula_58 بیانگر تغییرمکان زاویه‌ای تیر است. باید توجه داشت که بر خلاف تئوری تیر اویلر-برنولی، { نیاز به ترجمه دقیق: the angular deflection is another variable and not approximated by the slope of the deflection.} همچنین سایر متغیرها به صورت زیر تعریف می‌گردند:
که البته این مقادیر الزاماً ثابت نیستند. برای یک تیر الاستیک خطی ایزوتروپیک همگن با مقطع ثابت می‌توان با ترکیب دو معادله فوق، معادله زیر را بدست آورد:
برای مشاهدهٔ اثرات محوری در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.
برای مشاهدهٔ میرایی در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.
برای مشاهدهٔ ضریب در تئوری تیر تیموشنکو به نسخهٔ انگلیسی این مطلب مراجعه فرمایید و در صورت تمایل می‌توانید ترجمه خود از نسخهٔ انگلیسی را نیز در این قسمت اضافه کنید.