نظریه ارگودیک
در ریاضیات، به یک تبدیل اندازه‌نگهدار "T" در فضای احتمال، ارگودیک گفته می‌شود اگر تمام مجموعه‌های اندازه‌پذیر ثابت تحت "T" دارای اندازه‌های ۰ یا ۱ باشند. یک عبارت قدیمی‌تر برای این خاصیت تراگذری متریک بوده‌است. نظریهٔ ارگادیک و مطالعات تبدیلات ارگادیک، در کنار تلاش‌های صورت گرفته برای اثبات فرضیه ارگادیک از فیزیک آماری به وجود آمده‌است.
نظریه ارگودیک مربوط به شاخه‌ای از علم ریاضیات است که سیستم‌های پویا با یک معیار ثابت ومسائل مربوط به آن‌ها را بررسی می‌کند. این نظریه در ابتدا توسط مسائل مربوط به فیزیک آماری توسعه یافت. یک جنبه اصلی نظریه ارگودیک مربوط به رفتار سیستم‌های پویا در بلند مدت است. اولین نتایجی که در این زمینه به دست آمد مربوط به نظریه بازگشتی Poincaré است. تئوری که ادعا دارد اغلب نقاط در هر زیر مجموعه‌ای از فضای حالت سرانجام دوباره به مجموعه بازمی‌یابد. بیشتر اطلاعات دقیق از طریق نظریات متنوع ارگودیک فراهم شده‌است. این نظریات بیان می‌کنند که تحت شرایط خاص میانگین زمانی یک تابع در طول مسیرهایی که تقریباً در همه جا وجود دارند و مر بوط به میانگین فضایی است. از مهم‌ترین مثال‌های مربوط به نظریه ارگودیک به Birkhoff و von Neumann برای انواع خاصی از سیستم‌های ارگودیک، میانگین زمانی تقریباً برای تمام نقاط ابتدایی یکی است: از لحاظ آماری می‌توان گفت سیستمی که شامل یک روند بلند مدت است حالات ابتدایی اش را فراموش می‌کند. مسئله مربوط به اندازه‌گیری در طبقه‌بندی کردن سیستم‌ها بخش مهمی از نظریه ارگودیک است. نقش برجسته نظریه ارگودیک وکاربرد آن در فرایندهای تصادفی از طریق مفاهیم متنوعی از واحد اندازه‌گیری ترمودینامیک در سیستم‌های پویا ارائه می‌شود. مفاهیم ergodicity و فرضیات ارگودیک از مفاهیم اصلی کاربردی نظریه ارگودیک هستند. ایده تحت بررسی این است که در سیستم‌های خاص میانگین زمانی به‌طور متوسط در طول تمام فضا یکسان است. کاربرد نظریه ارگودیک در دیگر شاخه‌های علوم ریاضی معمولاً سیستم‌هایی با ویژگی‌های خاص ایجاد کرده‌است.
"متوسط زمان" تابع خوش‌رفتار "f" را در نظر بگیرید. این به عنوان متوسط بر روی تناوب "T" با شروع از نقطهٔ آغاز "x" تعریف می‌شود.
همچنین "متوسط فضایی" یا "متوسط فازی" "f"، که به صورت تعریف می‌شود که در آن μ اندازهٔ فضای احتمال است.
در کل متوسط زمانی و متوسط فضایی ممکن است با هم متفاوت باشند، اما اگر انتقال ما ارگادیک و اندازه‌نگهدار باشد، آنگاه تقریباً در همه‌جا میانگین زمانی برابر میانگین فضا خواهد بود. این منجر به قضیهٔ ارگادیک است.
کلمه ارگودیک از کلمه یونانی έργον and όδος مشتق شده‌است. Boltzmann زمانی که روی یک مسئله در زمینه مکانیزم‌های آماری کار می‌کرد این کلمه را انتخاب کرد.
فرض کنید که formula_3 یک فضای احتمال وformula_4 یک تبدیل قابل اندازه‌گیری است در این صورت می‌گوییم "T"نسبت بهformula_5 ارگودیک است (یا به‌طور جایگزین formula_5 نسبت به "T" ارگودیک است) اگر یکی از تعریف‌های معادل زیر برقرار باشد:فرض کنیم که formula_19 یک تبدیل قابل اندازه‌گیری روی فضای اندازه‌گیریformula_20 است. پس میانگین زمانی formula_5 یک تابع "f" انتگرال پذیر است یعنی: formula_22. میانگین زمانی به عنوان میانگینی در طول تکرارهایی از"T" که از تعدادی نقطه ابتدایی "x" شروع شده است: حالت قوی نظریه ارگودیک که محدود به تعریفی از میانگین زمانی "f" می‌باشد وتقریبا برای هر "x" وتابع حدی انتگرال پذیر formula_26 وجود دارد:formula_33
با ادغام اولین به آخرین ادعا وبا فرض اینکه formula_24 محدود وغیر صفر است داریم:
قضیه Birkhoff–Khinchin می‌گوید با فرض اینکه formula_36 قابل اندازه‌گیری باشد formula_37 وformula_38 یک نگاشت حفظ‌کننده اندازه‌گیری باشد سپس داشته باشیم:
به‌طوری‌که formula_40 میانگین شرطی formula_41 جبری داده شده formula_42 از مجموعه نا متغیرformula_38 است. نتیجه فرعی این است که اگر formula_38 به صورت ارگودیک باشد در این صورتformula_42 یک formula_42 جبری بدیهی است بنابراین:
صورت دیگر قضیه ارگودیک مر بوط به حد متوسط قضیه ارگودیک است که توسط Neumann von ارائه شد ه و در فضای Hilbert برقرار است. فرض کنید که formula_48 یک اپراتورواحد روی فضای Hilbert یعنی formula_49 باشد یا به‌طور کلی تر یک اپراتور خطی هم اندازه باشد. این بدان معنی است که لازم نیست اپراتور خطی رابطه formula_50 for all formula_51 را برقرار کند یا به‌طور معادل formula_52 را ارضاء کند و اما لازم نیست که formula_53 باشد. فرض کنید که formula_54 یک تصویر متعامد روی formula_55 باشد در این صورت برای هر formula_51 داریم: به عبارت دیگر توالی میانگین‌ها نسبت به "P" در توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. این قضیه خاص مواردی است که که در آن فضای Hilbert یعنی "H" شامل "L" تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و"U" به صورت"L" تابع روی فضای اندازه‌گیری است برای یک اپراتور و"U" به صورت:formula_59 است که طوری‌که "T" یک حفظ‌کننده اندازه‌گیری درونی "X" است. اگر چه در عمل نماینده‌ای از یک مرحله زمانی در یک سیستم پویای گسسته است. صورت دیگر قضیه حد متوسط ارگودیک این است که فرض کنیم "U" یک گروه یک پارامتری اکیداً پیوسته از اپراتور واحد روی "H" باشد در این صورت اپراتور به صورت زیر است:
که همچنان که "T" → ∞ آن نیز به توپولوژی اپراتور قوی همگرا می‌شود. در حقیقت این نتایج به مواردی از پیوستگی اکید نیم گروه یک پارامتری از اپراتورهای متمایل به فضای باز تابنده تعمیم داده می‌شود. تذ کر: قضیه حد متوسط ارگودیک را می‌توان از طریق ملاحظه مواردی که تعدادی مجموعه با طول واحد به عنوان تبدیلات واحد روی صفحه چند جزئی هستند در نظر گرفت. اگر ما یک تعداد ترکیب منفرد از طول واحد را برگزینیم (چیزی که به عنوان formula_48 آن را در نظر می‌گیریم) مشهود است که این ترکیب با توانی که دارد دایره را سیر می‌کند. از آنجایی که دایره پیرامون ۰ متقارن است منطقی است که متوسط توان formula_48 نیز به صفر همگرا خواهد بود. همچنین ۰ تنها نقطه ثابت formula_48 است وبنابراین تصویر آن روی فضایی از نقاط ثابت باید به صورت یک اپراتور صفر باشد که مطبق با حدی است که قبلاً ذکر کردیم.
فرض کنید که formula_20 به عنوان فضای احتمالی بالا با تبدیل حفظ کننوه اندازه‌گیری "T" باشد وفرض کنید که formula_66. میانگین شرطی نسبت به مجموع جبری σ، formula_67 از "T" مجموعه نا متغیر یک تصویرگر خطیformula_68 با اندازه ۱ از فضای Banach formula_69 به زیر فضای بسته formula_69 است؛ که بعداً ممکن است به عنوان فضایی از همه Tهای نا متغیر توابع formula_64 روی "X" طبقه‌بندی شود. همچنین میانگین‌های ارگودیک به عنوان اپراتورهای خطی روی formula_69 دارای یک اپراتور با اندازه واحد است. به عنوان یک تنیجه‌گیری ساده از قضیه Birkhoff–Khinchin همگرایی به تصویر گر formula_68 در توپولوژی اپراتور قوی formula_64 است اگر formula_75 و در توپولوژی اپراتور ضعیف است اگر formula_76 باشد.
اغلب این درست است که داشته باشیم: formula_77 درformula_64 مسلط شده‌است. به هر حال اگر formula_79 باشد ممکن است میانگین‌های ارگودیک از formula_80 مسلط نشده باشد.
سرانجام اگر فرض شود که "f" در طبقه Zygmund است یعنی formula_81 انتگرال پذیر باشد در این صورت حد متوسط ارگودیک حتی در formula_80 تسلط یافته‌است.
فرض کنید که formula_20 یک فضای اندازه‌گیری باشد به‌طوری‌که formula_24 محدود وغیر صفر است. مدت زمانی که در یک مجموعه قابل اندازه‌گیری "A" سپری می‌شود زمان اقامت نامیده می‌شود. یکی از نتیجه‌هایی که بلافاصله از قضیه ارگودیک به دست می‌آید این است که در یک سیستم اندازه نسبی "A" معادل با متوسط زمان اقامت است: برای تمام "x"ها به جز برای یک مجموعه با اندازه صفر به‌طوری‌که formula_86 شاخص تابعی از "A" است. فرض کنید که زمان‌های پیش آمد از یک مجموعه قابل اندازه‌گیری "A" به عنوان مجموعه‌ای از "k"، "k"، "k"،... ، از زمان‌های "k" به‌طوری‌که "T"("x") که در "A" وجود دارد به تر تیب افزایشی دسته‌بندی شده باشند. تناوب میان زمان‌های رخداد متوالی "R" = "k" − "k" زمان‌های بازگشتی نامیده می‌شود. یکی از نتایج دیگری که از قضیه ارگودیک گرفته می‌شود این است که متوسط زمان بازگشت از "A" به‌طور معکوس متناسب است با اندازه "A". فرض می‌کنیم که که نقطه ابتدایی "x" در "A" است بنابر این: "k" = ۰.
در یک زنجیر ه Markov یک عبارت formula_88 به صورت ارگودیک است اگر نا دوره‌ای وبر گردنده مثبت باشد. اگر تمام عبارات در زنجیره Markov به صورت ارگودیک باشند در این صورت زنجیره ارگودیک است.
متعقابا اینکه ergodicity یک سیستم پویا یک ویژگی خاص تحویل نا پذیر است وابسته به مفهوم نمایش غیرقابل تقلیل جبری وعدد اول در ریاضیات است. یک تبدیل حفظ‌کننده اندازه‌گیری یا جریانی روی فضای ergodicity مطابق با یک تجزیه متعارف به اجزای ارگودیک آن است یعنی به هر کدام از اجزایی که ارگودیک هستند.