مغالطه دادستان
مغالطهٔ دادستان یک نوع مغالطه است که به علت در نظر نگرفتن اثرات احتمالات شرطی روی می‌دهد. در این مغالطه نرخ شیوع یک پدیده، با احتمال شرطی رخ‌دادن آن برای یک نمونهٔ معین یکسان پنداشته می‌شود یا احتمال به دست آمدن مدارک موجود به شرط بی‌گناهی متهم، با احتمال بی‌گناهی به شرط داشتن مدارک موجود اشتباه می‌شود. بر خلاف نام‌گذاری آن، این مغالطه تنها مربوط به دادستان‌ها یا امور قضایی نیست.
این مغالطه به شیوه‌های مختلفی قابل بیان است که یک مثال آن به صورت زیر است:نتیجه‌گیری فوق اشتباه است زیرا اگر مثلاً جمعیت مشکوک احتمالی را ۴ میلیون نفر در نظر بگیریم، آنگاه انتظار می‌رود ۴ نفر در این میان دارای دی‌ان‌ای هم‌خوان با دی‌ان‌ای صحنهٔ جنایت باشند که احتمال مجرم بودن هر کدام را ۲۵٪ یا ۱ به ۴ خواهد کرد که فاصلهٔ بسیاری با آنچه در مغالطهٔ دادستان آمده (یک‌میلیون به یک) دارد. از این رو نمی‌توان احتمال هم‌خوانی داشتن یک متهم تصادفی را با احتمال مجرم بودن آن متهم یکسان در نظر گرفت.
قربانی مغالطه ممکن است به اشتباه فرض کرده باشد که احتمال مثبت‌بودن آزمایش به شرط بی‌گناهی متهم، با احتمال مجرم‌بودن متهم به شرط مثبت‌شدن نتیجهٔ آزمایش، مکمل یکدیگر هستند. در حالی که از نظر ریاضی formula_1 ممکن است همواره برقرار نباشد.
در مغالطه‌ی توسل به کم‌یابی ، توضیح یک پیشامد مشاهده‌شده بعید در نظر گرفته می‌شود زیرا احتمال پیشین آن کم است. مورد زیر را در نظر بگیرید:
یک برنده‌ی بخت‌آزمایی، بر اساس غیرمحتمل بودن برد در آن، به تقلب متهم شده‌است. در دادگاه، دادستان احتمال (بسیار کم) بردن بخت‌آزمایی به شرط تقلب نکردن را حساب می‌کند و استدلال می‌کند که این احتمال، برابر با شانس بی‌گناه بودن متهم است.
ایراد منطقی این استدلال این است که دادستان در در نظر گرفتن تعداد زیاد افرادی که در بخت‌آزمایی شرکت می‌کنند، ناموفق بوده‌است. با این‌که احتمال برد هر فرد به تنهایی تا حدی پایین است، اما احتمال بردن هر فرد در بخت‌آزمایی با داشتن تعداد افرادی که در آن شرکت کرده‌اند، بسیار بالا است.
در یک سناریوی دیگر، یک نمونه‌ی دی‌ان‌ای صحنه‌ی جرم با یک بانک اطلاعاتی از ۲۰۰۰۰ نفر مقایسه می‌شود. یکی از داده‌ها با نمونه مطابقت دارد؛ آن فرد متهم شناخته می‌شود و در دادگاهش شهادت داده می‌شود که احتمال این‌که دو دی‌ان‌ای به صورت اتفاقی با هم مطابقت داشته باشند، تنها یک در ده‌هزار است. این به این معنا نیست که احتمال بی‌گناه بودن فرد یک در ده‌هزار است. از آن‌جایی که ۲۰۰۰۰ نفر مورد آزمایش قرار گرفته‌اند، در واقع ۲۰۰۰۰ شانس برای مطابقت اتفاقی وجود داشته‌است.
حتی اگر هیچ‌کدام از افراد موجود در بانک اطلاعاتی مجرم نباشد، احتمال پیدا شدن اتفاقی مطابقت بین نمونه‌ی دی‌ان‌ای و یک فرد بی‌گناه بیش‌تر از احتمال پیدا نشدن آن است. شانس پیدا شدن حداقل یک نمونه‌ی مطابق از بین داده‌ها برابر است با:
formula_2
پس این مدرک به تنهایی، نتیجه‌ی یک سوء استفاده‌ی ضعیف از داده است. اگر دی‌ان‌ای مجرم در بین داده‌های بانک اطلاعاتی قرار داشت، آن‌گاه دی‌ان‌ای او و احتمالاً یک یا چند فرد دیگر مطابق شناخته می‌شد؛ در هر صورت، چشم‌پوشی از تعداد داده‌های بررسی شده هنگام سنجیدن شواهد یک مغالطه به حساب می‌آید.
سالی کلارک یک وکیل بریتانیایی بود که به اشتباه به قتل دو پسرش محکوم شد. فرزند اول او تنها چند هفته پس از تولد در سال ۱۹۹۶ به طور ناگهانی درگذشت. پس از این‌که فرزند دوم او نیز به همین شکل درگذشت،‌ سالی کلارک در سال ۱۹۹۸ به اتهام قتل دو فرزندش محاکمه شد. یک متخصص اطفال در دادگاه سالی کلارک مدرک آماری اشتباه ارائه کرد. او بیان کرد که احتمال این‌که دو فرزند از یک خانواده‌ی متمول دچار سندروم مرگ ناگهانی نوزاد شوند، یک به روی formula_3میلیون است. او این احتمال را از مربع کسر formula_4به دست آورده بود که براورد او از احتمال مرگ یک نوزاد بر اثر این سندروم در شرایط مشابه بود.
جامعه‌ی آماری سلطنتی بعدها با انتشار یک بیانیه‌ی عمومی نگرانی خود را از استفاده‌ی نادرست از آمار در دادگاه‌ها ابراز کرد و استدلال کرد که این ادعا هیچ پایه‌ی آماری نداشته‌است.
گناه‌کار یا بی‌گناه بودن یک فرد را می‌توان به صورت ریاضی به فرم یک دسته‌بندی دوتایی نشان داد. اگر formula_5شواهد مشاهده‌شده باشد، و formula_6کوتاه شده‌ی «متهم بی‌گناه است» باشد، آن‌گاه احتمالات شرطی زیر را در نظر بگیرید:طبق شواهد قانونی، formula_7کوچک است. دادستان به اشتباه برداشت می‌کند که formula_8 نیز نسبتاً کوچک است. در واقع، formula_8و formula_7 تا حدی متفاوت هستند. طبق قضیه‌ی بیز:
formula_13
که در آن:formula_16formula_18
دادستان مدعی شانس ناچیز بی‌گناهی ، با داشتن شواهد، است؛ یعنی formula_19، یا این‌که:
formula_20
یکی در نظر گرفتن formula_7و formula_8 توسط دادستان، در جایی که formula_23باعث یک خطای فنی می‌شود. این خطا می‌تواند بی‌ضرر باشد اگر formula_8 هم‌چنان ناچیز باشد؛ ولی در غیر این صورت، می‌تواند گمراه‌کننده باشد.
شکل ۱ یک جمعیت مورد توجه از formula_25مرد ۵۰ ساله را نشان می‌دهد که همگی دارای کلسترول و فشار خون یکسان هستند. برای formula_26درصد از این افراد(که با خانه‌ی راه‌راه نشان داده‌ شده‌اند) در ده سال آینده خطر ابتلا به سکته‌ی قلبی وجود دارد. یک چهارم از این افراد مصرف‌کننده‌ی سیگار هستند(که با formula_27 خانه‌ی خاکستری نشان داده شده‌اند). حدوداً formula_28افراد سیگاری زمینه‌ی ابتلا به سکته‌ی قلبی در ده سال آینده را دارند. یعنی formula_29افراد مصرف‌کننده‌ی سیگار به سکته‌ی قلبی دچار می‌شوند( خانه‌های خاکستری و راه‌راه).
تعداد افراد مصرف‌کننده‌ی سیگار که به سکته دچار می‌شوند مشخصاً با تعداد افرادی که به سکته‌ی قلبی دچار می‌شوند و مصرف‌کننده‌ی سیگار هستند برابر است. ولی آیا درصد افراد مصرف‌کننده‌ی سیگاری که به سکته‌ی قلبی مبتلا می‌شوند با درصد افراد مشکوک به ابتلا به سکته‌ی قلبی که سیگار می‌کشند برابر است؟ با توجه به شکل ۱، جواب به طور واضح منفی است. احتمال این‌که شما یک مصرف کننده‌ی سیگار باشید با داشتن این‌که شما مشکوک به ابتلا به سکته‌ی قلبی هستید، یا به عبارت دیگر formula_30، با formula_31یکی نیست. در این مثال:
formula_32 و formula_33
این دو عدد با هم یکی نیستند و فرض کردن این‌که این دو احتمال در واقع یکی هستند،‌ همان مغالطه‌ی دادستان است. به صورت بصری، کسری از خانه‌های خاکستری که راه‌راه هستند، با کسری از خانه‌های راه‌راه که خاکستری هستند یکی نیست.