فرایند وینر
فرایند وینر، یک فرایند تصادفی پیوسته در زمان در ریاضیات است که به افتخار نوربرت وینر نامگذاری شده‌است. این فرایند به اسم حرکت براونی استاندارد هم شناخته می‌شود، به خاطر کارهای رابرت براون. این یکی از بهترین فرایند هایLévy است. (فرایند تصادفی Càdlàg با خاصیت رشد مستقل مانا) و در ریاضیات محض و کاربردی، اقتصاد، مالیه ریاضی و فیزیک کاربردهای زیادی دارد.
فرایند وینر هم در ریاضیات محض و هم در ریاضبات کاربردی کاربرد دارد. کاربرد آن در ریاضیات محض برای بررسی زمان-پیوسته مدل مارتینگل (martingales) است که یک مدل برای بررسی این است که چقدر یک فرایند تصادفی می‌تواند پیچیده باشد است. در نتیجه نقش حیاتی درمحاسبات احتمالی و انتشار فرایندها و حتی نظریه پتانسیل دارد. این فرایند از Schramm–Loewner تکامل نتیجه می‌شود. در ریاضیات کاربردی، فرایند وینر برای نشان دادن تجمیع نویز سفید فرایند گوسی استفاده می‌شود بنابراین در مهندسی الکترونیک برای مدل کردن نویز از آن استفاده می‌شود (نویز Brownian را هم ببینید.) همچنین به عنوان ابزار خطا در تئوری فیلتر و نیروهای ناشناخته در تئوری کنترل کاربرد دارد.
فرایند وینردر سراسر علوم محاسباتی کاربردهای متنوعی دارد. در فیزیک از آن برای مطالعه حرکت براونی استفاده می‌شود همچنین در مطالعه دربارهٔ انتشار ذرات معلق در مایع و انواع دیگر انتشار به صورت فوکر–پلانک و معادلات انگوین کاربرد دارد. همچنین پایه‌های دقیقی برای توصیف فرمولبندی مسیر انتگرال در مکانیک کوانتومی به ما می‌دهد (با فرایند وینر و به وسیله فرمول فاینمن -کاک می‌توان یک راه حل برای معادله شرودینگر ارائه داد.) و برای مطالعه تورم ابدی در کیهان‌شناسی فیزیکی نیز کاربرد دارد. این فرایند نقش برجسته‌ای در تئوری ریاضی امور مالی به ویژه Black–Scholes به عنوان مدلی برای قیمت گذاری دارد.
فرایند وینر "W" با مشخصه زیر تعیین می‌شود: رشد مستقل داشته باشد به این معنی است که اگر ۰ ≤ "s" متغیر تصادفی مستقل باشند.
فرایند وینر همچنین می‌تواند به مشخصه‌ای تعیین شود به نام مشخصه Lévy که می‌گوید که فرایند وینر به صورت قریب به یقین پیوسته martingale با "W" = ۰ باشد و درجه دوم تنوع معادل wt,wt] = t] داشته باشد (که به این معنی است که "W"−"t" نیز martingale باشد.).
سومین مشخصه این است که فرایند وینر یک طیفی نمایندگی به صورت سری سینوسی با ضرایب مستقل به صورت متغیر تصادفی "N"(0, 1) باشد. این نمایش می‌تواند با استفاده از قضیه Karhunen–Loève بدست آید.
دیگر ویژگی فرایند وینر داشتن انتگرال معین (از صفر تا زمان t) با میانگین ۰ است و واریانس ۱ و همبستگی تابع ضربه به صورت فرایند گوسی سفید است.
فرایند وینر را می‌توان به عنوان حد پوسته پوسته شدن یک تصادفی پیاده‌روی یا هر فرایند تصادفی زمان-گسسته با خاصیت رشد مستقل مانا در نظر گرفت. این به عنوان قضیه Donsker شناخته می‌شود. مثل پیاده‌روی تصادفی، فرایند وینر هم در یک یا دو بعد تکرار شونده است (یعنی به صورت قریب به یقین برای هر مبدأ به یکی از همسایه‌ها می‌رسد) ولی در سه بعد و بالاتر تکرار شونده نیست. بر خلاف پیاده‌روی تصادفی مستقل از مقیاس نیست. یعنی
برای هر ثابت غیر صفر a یک فرایند وینر است. مقیاس وینر یک قاتوت احتمال در فضای توابع پیوسته g با g(0)=۰ بر اساس فرایند وینر است. انتگرال بر اساس مقیاس وینر انتگرال وینر نام دارد.
فرض کنید formula_2 متغیر تصادفی مستقل با توزیع یکسان با میانگین ۰ و واریانس ۱ باشد. برای هر "n "یک فرایند تصادفی زمان پیوسته در نظر بگیرید:
این یک تابع گام تصادفی است. چون که formula_4ها مستقل هستند، اختلاف formula_5ها مستقل از هم می‌شوند. با توجه به قضیه حد مرکزی برای nهای بزرگ formula_6 به توزیع formula_7 نزدیک می‌شود. این اتفاق باعث می‌شود که احتمال بدهیم با افزایش n formula_8, formula_5 تبدیل به فرایند وینر خواهد شد، و این احتمال درست است! اثبات این قضیه با تئوری Donsker بدست می‌آید.
چگالی احتمال تابع بدون شرط، با توزیع نرمال با میانگین ۰ و واریانس "t "در زمان ثابت "t": و واریانس آن، با توجه به فرمول اصلی محاسبه واریانس "t است ":
کوواریانس و همبستگی فرایند:
میانگین و واریانس به سادگی و با استفاده از تعریف توزیع نرمال بدست می‌آید. در نتیجه کوواریانس و همبستگی فرایند از تعریف و اینکه رشد در بازه‌های غیر مشترک مستقل هست بدست می‌آید، که ما تنها از ناهمبسته بودن آن‌ها استفاده می‌کنیم. فرض کنید که "t" سریهای فوریه داد. اگر formula_21ها متغیرهای گوسی مستقل با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند، آنگاه:
formula_22
و
formula_23
نشان دهنده حرکت براونی در فاصله
formula_24
یک حرکت براونی در فاصله formula_25 (ر.ک. Karhunen–Loève قضیه).
توزیع مشترک حداکثر نمونه
formula_26
که در آن "W":
formula_27
برای پیدا کردن توزیع بدن شرط −∞  0 فرایند formula_30 یک فرایند وینر دیگر است.
فرایند formula_31 در بازه۰ ≤ "t" ≤ ۱ همانند فرایند "W" در بازه ۰ ≤ "t" ≤ ۱ است.
فرایند formula_32 یک فایند وینر دیگر است.
اگر چند جمله‌ای "p"("x," "t") شرایط PDE را ارضا کند
formula_33
آنگاه فرایند تصادفی یک مارتینگیل است.
مثال: formula_34 یک مارتینگیل است که نشان می‌دهد که متغیر درجه دو W در بازه [0, "t"] برابر "t "است. این نتیجه می‌دهد که میانگین زمان اولین خروج "W" در بازه (−"c"با "c") برابر با "c"است.
به‌طور کلی برای هر چند جمله‌ای "p"("x", "t") فرایند تصادفی زیر یک مارتینگیل است
formula_35
که در آن "a "چند جمله‌ای زیر است:
formula_36
مثال: formula_37 formula_38 و فرایند
formula_39
یک مارتینگیل است که نشان می‌دهد که متغیر درجه دو مارتینگیل formula_34 [0, "t"] برابر است با
دربارهٔ توابع "p"("xa", "t") در حالت کلی (غیر از چندجمله‌ای) مارتینگیل محلی (local martingales) را ببینید.
مجموعه‌ای از تمام توابع "w" با این خواص کامل مقیاس وینر است. یک مسیر (تابع نمونه) از فرایند وینر، قریب به یقین تمام این خواص را دارد.
در مقایسه با ارزش واقعی مورد پیچیده به ارزش شرط است به‌طور کلی یک زمان-تغییر پیچیده-ارزش وینر روند. برای مثال شرط 2"X" + "iY" است (در اینجا "X"با "Y" مستقل هستند وینر فرایندهای مانند قبل).