واریته جبری
واریته جبری ، اشیای مرکزی مورد مطالعه در هندسه جبری می‌باشند. به طور سنتی، یک واریته جبری به صورت مجموعه جواب‌های دستگاه معادلات چندجمله‌ای‌ها بر روی اعداد حقیقی یا مختلط تعریف می‌شوند. تعاریف مدرن این مفهوم را به چندین طریق گسترش می‌دهند، در حالی که سعی بر حفظ جنبه شهودی هندسی پشت تعریف اصلی را دارند.
قراردادهایی که در ارتباط با تعریف یک واریته جبری وجود دارد با هم کمی تفاوت دارند. به عنوان مثال، برخی از تعاریف نیازمند این هستند که یک واریته تحویل‌ناپذیر باشد؛ یعنی اجتماعی از دو مجموعهٔ کوچک‌تر بسته در توپولوژی زاریسکی نباشند. تحت این تعریف، واریته‌های جبری تحویل‌ناپذیر را مجموعه‌های جبری نیز گویند. قراردادهای دیگر، نیازی به مفهوم تحویل‌ناپذیری ندارند.
قضیه بنیادی جبر ارتباطی بین جبر و هندسه را برقرار می‌سازد، بدین طریق که: چندجمله‌ای تکین (یک شیء جبری، چندجمله‌ای که ضریب بزرگ‌ترین توان آن یک باشد) تک متغیره با ضرایب مختلط توسط مجموعه ریشه‌هایش (شیئی هندسی) تعیین می‌گردد. قضیه صفرهای هیلبرت با تعمیم این نتیجه، تناظری بنیادین بین ایده‌آل‌های حلقه‌های چندجمله‌ای و مجموعه‌های جبری برقرار می‌سازد. با استفاده از قضیه صفرهای هیلبرت و نتایج مرتبط، ریاضی‌دانان تناظری قوی بین سؤالات مربوط مجموعه‌های جبری و سؤالات مربوط به نظریه حلقه‌ها برقرار کرده‌اند.
بسیاری از واریته‌های جبری منیفلد هستند؛ ممکن است واریته‌‎های جبری نقاط تکین داشته باشند، در حالی که منیفلدها نمی‌توانند نقطه تکین داشته باشند. واریته‌های جبری را می توان با کمک ابعادشان شناسایی نمود. واریته‌های جبری از بعد یک را خم‌های جبری نامیده و واریته‌های جبری از بعد دو را رویه‌های جبری می‌نامند.
"واریته آفین" بر روی یک میدان بسته جبری، از نظر مفهومی راحت‌ترین نوع واریته‌ای است که می‌توان تعریف نمود. همچنین واریته‌های تصویری و شبه‌تصویری را می‌توان به شکل مشابهی تعریف نمود. کلی‌ترین تعریف یک واریته با به‌هم‌چسباندن تکه واریته‌های شبه‌تصویری به‌دست می‌آید. ساخت واریته‌های جدید به این شکل بدیهی و واضح نیست؛ اما ناگاتا مثالی از چنین واریته‌های جدیدی را در دهه ۱۹۵۰ میلادی ارائه نمود.
مقاله اصلی: واریته آفین
برای یک میدان جبری بسته مثل formula_1 و عددی طبیعی مثل formula_2، formula_3 را یک n-فضای آفین بر روی formula_1 در نظر بگیرید. چندجمله‌ای‌های formula_5 در حلقه formula_6 را می‌توان به صورت توابع K-مقداری روی formula_3 دید که مقادیرش را از نقاط formula_3 بر می‌گیرد؛ یعنی هر formula_9 نقطه ای از formula_1 انتخاب می کند. برای هر مجموعه formula_11 از چندجمله‌ای‌هایی در formula_6، مکان صفرهای آن یعنی formula_13 را مجموعه نقاطی از formula_3 تعریف می‌کنیم که توابع داخل مجموعهٔ formula_11 هم‌زمان بر روی آن، صفر شوند، به عبارتی دیگر:
زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 را مجموعه جبری آفینی گویند؛ اگر برای یک مجموعه مثل formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری آفینی ناتُهی چون formula_17 را تحویل ناپذیر ویند اگر نتوان آن را به صورت اجتماع سره‌ای از دو زیرمجموعه جبری نوشت. یک مجموعه جبری آفینی را واریته آفینی گویند. (بسیاری از مؤلفین از عبارت "واریته آفینی" برای اشاره به هر مجموعه جبری آفینی استفاده می‌کنند، چه آن مجموعه، تحویل ناپذیر باشد یا خیر)) بر روی واریته‌های آفینی می‌توان توپولوژی طبیعی، تعریف کرد، به گونه‌ای مجموعه‌های بستهٔ آن، همان مجموعه‌های جبری آفینی باشد. این توپولوژی را توپولوژی زاریسکی گویند. اگر زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_3 داده شده باشد، formula_24 را به صورت ایده‌آلی از تمام توابع چندجمله‌ای تعریف می‌کنیم که روی مجموعه formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند:
برای هر مجموعه جبری چون formula_17، حلقه مختصاتی یا حلقه ساختاری از formula_17، خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای توسط این ایده‌آل است.
مقالات اصلی: واریته تصویری و واریته شبه‌تصویری فرض کنید formula_29 میدانی جبری بسته باشد و formula_30 n-فضای تصویری روی formula_29 باشد. formula_5 را چندجمله‌ای همگن از درجه formula_33 عضو formula_34 در نظر می‌گیریم. formula_5 نمی‌تواند روی نقاط formula_30 در مختصات همگن خوش تعریف باشد؛ چرا که formula_5 همگن است، یعنی formula_38، ولی پرسیدن اینکه آیا formula_5 در نقطه‌ای چون formula_40 صفر می‌شود معنی‌دار است. برای هر مجموعه از چندجمله‌ای‌های همگن چون formula_11 مکان هندسی صفرهای formula_11 را به صورت نقاطی از formula_30 تعریف می‌کنیم که توابع formula_11 روی آن، ناپدید (صفر) می‌شوند:
زیرمجموعه‌ای چون formula_17 از formula_30 را مجموعه جبری تصویری گویند اگر برای یک formula_11 داشته باشیم formula_20. یک مجموعه جبری تصویری تحویل‌ناپذیری را واریته تصویری گویند.
با اعلام بسته بودن تمام مجموعه‌های جبری، واریته‌های تصویری هم مجهز به توپولوژی زاریسکی می‌شوند.
با معلوم بودن formula_17 از formula_30، فرض کنید formula_24 ایده‌آل تولید شده، توسط تمام چندجمله‌ای‌های همگنی باشد که روی formula_17 ناپدید (صفر) می‌شوند. برای هر مجموعه جبری تصویری چون formula_17، حلقه مختصاتی formula_17 خارج قسمت حلقه چندجمله‌ای بر روی این ایده‌آل است.
یک واریته شبه‌تصویری، یک زیرمجموعهٔ باز زاریسکی است. توجه کنید که هر واریته آفین شبه‌تصویری است؛ همچنین، متمم یک مجموعه جبری در یک واریته آفین هم، یک واریته شبه‌تصویری است؛ در بستر واریته‌های آفینی، چنین واریته‌های شبه‌تصویری را اغلب نه یک واریته، بلکه یک مجموعه ساخت‌پذیر گویند.