تربیع دایره
تربیع دایره مسئله‌ای است که توسط هندسه‌دانان باستانی مورد مناقشه قرار گرفته‌است. این مسأله عبارت است از ساختن مربعی با مساحت یک دایره داده شده در تعداد متناهی مرحله با استفاده از خط‌کش و پرگار . دشواری مسئله این سؤال را مطرح می‌کند که آیا اصول هندسه اقلیدسی که وجود این خطوط و دایره‌ها را اثبات‌کند می تواند وجود چنین مربعی را اثبات‌کند.
در سال 1882، قضیه لیدمان-وایرشتراس ثابت‌کرد که پی ( ) یک عدد متعالی است نه یک عدد جبری نامنظم یعنی ثابت می کند که پی ( ) ریشه یک چند جمله ای باضرایب گویا نیست. با استفاده از این قضیه ثابت می شود که تربیع دایره نیز غیرممکن است. برای دهه‌ها می‌دانستند که اگر یک عدد متعالی باشد، این کار(تربیع دایره) غیرممکن خواهد بود، اما متعالی بودن تا سال 1882 ثابت نشد. اگرچه، تربیع تقریبی با هر دقت داده شده ای، در تعداد محدودی از مراحل ممکن است، زیرا اعداد گویا بسیاری نزدیک به موجود هستند.
گاهی اوقات از عبارت "تربیع دایره" به عنوان استعاره‌ای برای تلاش برای انجام کاری غیرممکن استفاده می شود(خصوصاً در زبان انگلیسی).
اصطلاح "مربع‌سازی دایره گاهی اوقات به معنای همان مربع کردن دایره" استفاده می شود، اما ممکن است به روش‌های تقریبی یا عددی برای یافتن مساحت یک دایره نیز اشاره داشته باشد.
روش‌هایی برای تقریب مساحت یک دایره معین با یک مربع، که می‌توان آن را به‌عنوان مسئله‌ای اولیه برای تربیع دایره در نظر گرفت، قبلاً برای ریاضیدانان بابلی مطرح بود. پاپیروس رایند مصری( مورخ 1800قبل‌ازمیلاد) مساحت یک دایره را عنوان می کند:  که قطر دایره است. در اصطلاح مدرن، معادل تقریب به (تقریباً 3.1605)، عددی است که در پاپیروس قدیمی‌تر، پاپیروس مسکو ،ظاهر شده و برای تقریب حجم استفاده می‌شده‌است (یعنی هکات(واحد حجم) ). ریاضیدانان هندی نیز روشی تقریبی پیدا کردند که البته در "شولبا سوتراه" "ثبت شده‌است". ارشمیدس اثبات کرد فرمول مساحت یک دایره که در آن شعاع دایره است و مقدار را بین (تقریباً 3.1429) و (تقریباً 3.1408) درنظر گرفت. برای اطلاعات بیشتر در مورد تاریخچه، تقریب عددی مقدار را ببینید.
اولین یونانی شناخته شده که با این مسئله دست‌وپنجه نرم کرد آناکساگوراس بود که در زندان روی آن کار می کرد. بقراط خیوسی خطوط مشخصی را مربع کرد، به این امید که به راه حلی برسد(برای اطلاعات بیشتر مقاله هلال بقراط را ببینید). آنتیفون سوفسطایی معتقد بود که نوشتن چندضلعی های منتظم در یک دایره و دو برابر کردن تعداد ضلع ها در نهایت مساحت دایره را پر می کند و از آنجایی که یک چند ضلعی را می توان تربیع کرد، به این معنی است که دایره را نیز می توان تربیع کرد. حتی در آن زمان نیز افراد شکاکی وجود داشتند ،من‌جمله اودموس رودسی، استدلال می کردند که اندازه‌ها را نمی توان بدون محدودیت تقسیم کرد، بنابراین مساحت دایره هرگز پر نمی شود. این مشکل حتی در نمایشنامه "پرندگان" آریستوفان نیز ذکر شد.
اعتقاد بر این است که اونوپیدس اولین یونانی بود که به یک راه‌حل روی صفحه رسید (یعنی فقط با استفاده از پرگاروخط‌کش). جیمز گرگوری"، سال 1667 در مقاله Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura" (تربیع واقعی دایره و هذلولی) اثبات ناممکن بودن آن را انجام داد. اگرچه اثبات او دارای اشکال بود، اما این اولین مقاله ای بود که سعی در حل مسئله با استفاده از ویژگی‌های جبری عدد داشت . تنها در سال 1882 بود که فردیناند فون لیندمان با برهان صحیح غیرممکن بودن آن را ثابت کرد. چارلز لوتویج داجسون، ریاضی‌دان، منطق‌دان و نویسنده عصر ویکتوریایی، که بیشتر با نام مستعار لوئیس کارول می‌شد ، نیز به رد کردن نظریه‌های غیرمنطقی تربیع دایره ابراز علاقه کرد. داجسون سال 1855، در یکی از یادداشت‌های روزانه‌اش، کتاب‌هایی را فهرست کرد که امیدوار بود بنویسد، از جمله کتابی به نام «حقایق ساده برای تربیع‌ها دایره». در مقدمه کتب «نظریه جدید موازی‌ها»، داجسون تلاشی را برای نشان دادن خطاهای منطقی به چند روش تربیع دایره را بازگو کرد و بیان کرد:اولین مورد از این دو رویاپردازی‌های گمراه، من را پر از جاه طلبی کرد تا شاهکاری را انجام دهم که هرگز نشنیده بودم که توسط انسان انجام شده باشد، یعنی متقاعد کردن انجام تربیع دایره از خطای خود! مقداری که دوست من برای Pi انتخاب کرد 3.2 بود: خطای عظیم، من را با این ایده وسوسه کرد که می توان به راحتی نشان داد که یک خطا است. متأسفانه بعد از چندین نامه‌نگاری قبل از اینکه کاری کنم متقاعد شدم که هیچ شانسی ندارم.تمسخر تربیع دایره‌ در "کتاب بودجه پارادوکس‌ها"ی آگوستوس دمورگان که پس از مرگ توسط بیوه‌اش در سال 1872 منتشر شد، ظاهر می‌شود. او که در اصل این اثر را به‌عنوان مجموعه‌ای از مقالات در "آتنئوم" منتشر کرده بود،که در زمان مرگش آن را برای انتشار ویرایش می‌کرد. تربیع دایره‌ که در قرن نوزدهم بسیار رایج بود، امروزه ندرتاً کسی از آن لذت می‌برد و اعتقاد بر این است که کار دمورگان به این امر کمک کرده است.
دو مشکل کلاسیک دیگر دوران باستان، که به دلیل غیرممکن بودن مشهور بودند، تضعیف مکعب و تثلیث زاویه بود. مانند تربیع دایره، این‌ها را نیز نمی توان با روش های پرگاروخط‌کش حل کرد. با این حال، بر خلاف تربیع دایره، آنها را می توان با روش‌ها کمی قدرتمندتر مانند اوریگامی حل کرد ، همانطور که در هندسه تا‌کردن کاغذ توضیح داده شده است.
حل مسئله تربیع دایره توسط پرگاروخط‌کش مستلزم ترسیم جذر عدد است. اگر جذر قابل ترسیم باشد ، از ساختارهای استاندارد می‌توان نتیجه گرفت که نیز قابل ساخت است. در سال 1837، پیر ونزل نشان داد که طول هایی که می توان با پرگاروخط‌کش ساخت باید حل معادلات چندجمله ای خاص با ضرایب گویا باشد. بنابراین، طول های قابل‌رسم باید اعداد جبری باشند. اگر مشکل تربیع دایره را بتوان تنها با استفاده از پرگاروخط‌کش حل کرد، آنگاه باید یک عدد جبری باشد. یوهان هاینریش لمبرت در سال 1761 حدس زد که عدد جبری نیست، یعنی یک عدد متعالی است ، او این کار را در همان مقاله ای انجام داد که در آن گنگ بودن آن را ثابت کرد، حتی قبل از اینکه وجود کلی اعداد متعالی ثابت شود. در سال 1882 ، فردیناند فون لیندمان متعالی بودن را ثابت کرد و غیرممکن بودن ترسیم‌ آن‌ را را نشان داد.
متعالی بود نتیجه می‌دهد که امکان دقیق تدویر مربع و تربیع دایره وجود ندارد.
البته می‌توان مربعی با مساحت دلخواه نزدیک به دایره ترسیم‌کرد. اگر یک عدد گویا به عنوان تقریبی از داده شود، بسته به مقادیر انتخاب شده، تربیع دایره ممکن می‌شود. با این حال، این فقط یک تقریب است و محدودیت های قوانین باستانی برای حل مشکل را ارضاء نمی‌کند. چندین ریاضیدان الگوریتم‌های قابل اجرا بر اساس تقریب‌های مختلف را نشان داده‌اند.
با نادیده‌گرفتن بعضی از قواعد که منجر به معرفی یک ابزار جدید می‌شود ،یا انجام نامتناهی عملیات‌ با پرگاروخط‌کش یا تغییر اصول‌موضوعه، رفتن در دنیای هندسه های غیر اقلیدسی، تربیع دایره ممکن می شود. به عنوان مثال، تربیع هیپیاس ، مانند مارپیچ ارشمیدسی ، ابزاری را برای تربیع دایره و همچنین تثلیث زاویه فراهم می کند. اگر چه تربیع دایره را نمی توان در فضای اقلیدسی انجام داد، اما گاهی اوقات می توان در هندسه هذلولی تحت تعاریف مناسب این کار را کرد. از آنجایی که هیچ مربعی در صفحه هذلولی وجود ندارد، باید نقش آنها را توسط "چهارضلعی های منتظم" ، یعنی چهارضلعی هایی که همه اضلاع و زوایای آن همگن هستند (اما این زوایا به شدت کوچکتر از زوایای قائم هستند) ایفا نمود. در صفحه هذلولی، بی نهایت جفت دایره های قابل‌ساخت و چهارضلعی منتظم قابل‌ساخت با مساحت مساوی وجود دارد که در نتیجه، تربیع‌ دایره ممکن می‌شود. در این هندسه، هیچ روشی برای شروع با یک چهارضلعی منتظم و ساختن دایره با مساحت مساوی وجود ندارد. همچنین هیچ روشی برای شروع با یک دایره و ساختن یک چهارضلعی منتظم با مساحت مساوی وجود ندارد (حتی زمانی که دایره شعاع کمی داشته باشد به طوری که یک چهارضلعی منتظم مساحت مساوی وجود دارد).
اگرچه تربیع دایره با دقت کامل با استفاده از خط‌کش‌وپرگار یک مسأله غیرممکن است ولی می توان تقریبی برای تربیع دایره ،با ساخت طول هایی نزدیک به ، که قابل ترسیم باشد ارائه نمود. برای تبدیل هر تقریب معینی از ، فقط حداقل دانش هندسه ابتدایی لازم است تا با استفاده از خط‌کش‌وپرگار، تربیع دایره را رسم کرد. اما مراحل ترسیم تقریبی در مقایسه با دقتی که به دست می آورند، بسیار طولانی هستند. پس از اینکه حل نشدن مسأله به‌طور دقیق ثابت شد، برخی از ریاضیدانان تلاش خود را برای یافتن تقریب‌هایی برای تربیع دایره به کار بردند، که به طور تقریبی و غیررسمی به عنوان ترسیم‌هایی که در میان سایر ترسیم‌های قابل تصوری که دقت مشابهی ارائه می دهند، بسیار ساده هستند.
یکی از اولین ترسیم‌ها تقریبی در تاریخ تقریب کوچانسکی است که تا ۴ رقم اعشار به میل می‌کند. در زمان کشف این‌ترسیم بسیار شهودی بود(1685).
در سال 1849 یک ترسیم زیبا و ساده توسط ژاکوب د گلدر (1765-1848) در "آرشیو گرونرت" منتشر شد. این ترسیم 64 سال زودتر از ترسیم قابل مقایسه، که توسط رامانوجان نشان داده‌شده‌بود، ارائه شد. این ترسیم بر اساس تقریب زیر است:
این مقدار تا شش رقم اعشار دقیق است و از قرن پنجم در چین به عنوان کسر تسو چونگچی و در اروپا از قرن هفدهم شناخته شده است.
گلدر ضلع مربع را نساخته است. برای او کافی بود که مقدار زیر را بیابد:
تصویر مقابل - که در زیر توضیح داده شده است - ترسیم ژاکوب د گلدر را ادامه می دهد.
دو خط مرکزی عمود بر یکدیگر از یک دایره با شعاع = 1 رسم کنید و نقاط تقاطع A و B را بگذارید. پاره خط = formula_4 را ثابت کرده و E را به A وصل کنید. روی پاره‌خط و از A نقطه F را به گونه‌ای تعیین کنید که خط = formula_5شود. راموازی با رسم کنید و E را به G وصل کنید. را موازی با بکشید، آنگاه =formula_6 . سپس ۴ پاره‌خط را به‌گونه‌ای رسم که = و = . سپس را در L نصف کنید و از قضیه تالس حول L از A استفاده کنید که نقطه تقاطع M را به دست می‌آورد. پاره خط جذر و در نتیجه طول ضلع است. formula_7 اندازه ضلع مربع جستجو شده تقریباً با همان مساحت می‌باشد.
مثال هایی برای نشان دادن خطاها:یکی از ترسیم‌ها تقریبی مدرن، ترسیم‌ ارنت ویلیام هابسون در سال 1913 است. این ترسیم نسبتا دقیق که در ترسیم بر مقدار تقریبی ...3.14164079 متکی بوده است که دقیقاً تا سه رقم اعشار را برآورد کرده است (یعنی آن را از حدود متفاوت است).
هابسون در ترسیم خود به اشاره ای نمی کند. تصویر سمت راست ترسیم هابسون را با ادامه نشان می دهد.
ریاضی‌دان هندی سرینیواسا رامانوجان در سال 1913، کارل اولدز در سال 1963، مارتین گاردنر در سال 1966 و بنجامین بولد در سال 1982 همگی ترسیم‌ها هندسی برای عدد زیر ارائه کردند:
که تا شش رقم اعشار برابر است  .
در سال 1914، رامانوجان ترسیم با خط‌کش‌وپرگار را ارائه داد که معادلاً با در نظر گرفتن مقدار تقریبی بود.
دادن هشت رقم اعشار . او ترسیم خود را تا زمان ساخت قسمت پاره‌خط OS به صورت زیر ارائه داده است:
در این تربیع، رامانوجان طول ضلع مربع را نسازد، فقط کافی بود پاره‌خط را نشان دهد. در ادامه ترسیم، از پاره‌خط همراه با پاره‌خط برای نشان دادن میانگین تناسبات (پاره‌خط قرمز ) استفاده شده‌است.
ادامه ترسیم تا طول ضلع مورد نظر a مربع:
مثال هایی برای نشان دادن خطاها:
پیدا کردن مساحت زیر یک منحنی، به عنوان مسأله انتگرال در حساب دیفرانسیل و انتگرال شناخته شده، یا به اسم مسأله مربع‌سازی در آنالیز عددی ، وقبلا از آن(مسأله انتگرال) به عنوان "تربیع"، پیش از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال، یاد می‌شد. از آنجایی که تکنیک‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال ناشناخته بودند، معمولاً فرض بر این بود که تربیع باید از طریق ساختارهای هندسی، یعنی توسط خط‌کش‌وپرگار، انجام شود. به عنوان مثال، نیوتن در سال 1676 به اولدنبورگ نوشت: "من معتقدم که لایب‌نیتس از قضیه ای که در ابتدای حرف من صفحه 4 است برای تربیع خطوط منحنی هندسی بدش نخواهد آمد." (تاکید شده است). پس از آنکه نیوتن و لایب‌نیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کردند، هنوز از مسئله انتگرال به عنوان تربیع منحنی یاد می‌کردند.
اثبات ریاضی مبنی بر غیرممکن بودن مربعات دایره تنها با استفاده از خط‌کش‌وپرگار، مانعی برای بسیاری از افرادی که سال ها روی این مسئله سرمایه‌گذاری کرده‌اند، نبوده است. تربیع دایره به ادعای نوابیغ معروف است( "همچنین به" شبه ریاضیات مراجعه کنید.). فیلسوف انگلیسی توماس هابز در سنین پیری خود را متقاعد کرد که در تربیع دایره موفق بوده است، ادعایی که توسط جان والیس به عنوان بخشی از مناقشه هابز و والیس رد شد .
در طول قرن 18 و 19، به نظر می رسد این تصور که مسئله تربیع دایره به‌نحوی با مشکل طول جغرافیایی مرتبط است، در میان تربیع‌کنندگان دایره احتمالی رایج شده است. آگوستوس دمورگان با استفاده از کلمه "سیکلومتر" برای تربیع‌کنندگان دایره در سال 1872 نوشت:مونتوکلا به زبان فرانسوی می‌گوید که سه مفهوم را در میان سیکلومترها رایج می‌یابد: 1. اینکه پاداش بزرگی برای موفقیت آن ارائه‌شده‌است. 2. اینکه مشکل طول جغرافیایی به حل آن بستگی دارد. 3.راه حل پایان بزرگ و شیء هندسه است. همین سه مفهوم در میان یک طبقه در انگلستان به یک اندازه رایج است. هیچ جایزه ای از سوی دولت هیچ کشوری ارائه نشده است.اگرچه از سال 1714 تا 1828، دولت بریتانیا در واقع از یک جایزه 20000 پوندی برای یافتن راه حلی برای مسئله طول جغرافیایی حمایت کرد، اما دلیل ایجاد ارتباط آن مسأله با تربیع دایره مشخص نیست. به ویژه از آنجایی که دو روش غیر هندسی ( روش نجومی فواصل قمری و کرونومتر مکانیکی) در اواخر دهه 1760 کشف شد، هیئت طول جغرافیایی پیشنهادهای زیادی دریافت کرد، از جمله: تعیین طول جغرافیایی با "تربیع کردن دایره"، با این حال هیئت مدیره "هیچ توجهی" به آن نکرد. دمورگان ادامه می دهد که "مسئله طول جغرافیایی به هیچ وجه به راه حل کامل تربیع دایره بستگی ندارد؛ تقریب های موجود دقت بسیار بیشتری از آنچه که می خواستیم به ما داده اند." دمورگان در کتاب خود همچنین به دریافت نامه‌های تهدیدآمیز زیادی از سوی دایره‌بازان احتمالی اشاره می‌کند که او را به تلاش برای «فریب دادن آنها برای نرسیدن به جایزه‌شان» متهم می‌کنند.
حتی پس از اینکه عدم امکان حل مسأله اثبات شد، در سال 1894، ریاضیدان آماتور ادوین جی گودوین ادعا کرد که روشی برای تربیع دایره ایجاد کرده است. تکنیکی که او توسعه داد، دایره را دقیقاً تربیع نمی‌کند، و یک مساحت نادرست از دایره را ارائه می‌کند که اساساً پی را برابر با 3.2 بازتعریف خواهدکرد. گودوین سپس لایحه ایندیانا پی را در مجلس قانونگذاری ایالت ایندیانا پیشنهاد کرد که به ایالت اجازه می داد از روش او در آموزش استفاده کند بدون اینکه حق امتیازی به او بپردازدند. این لایحه بدون هیچ اعتراضی در مجلس ایالتی تصویب شد، اما این لایحه در سنا مطرح شد و هرگز در سنا به رای گذاشته نشد، زیرا مطبوعات روشش را مسخره کردند.
کارل تئودور هایزل، نابغه ریاضی نیز در کتاب خود در سال 1934 ادعا کرد که دایره را تربیع کرده است، "ببین! مسأله بزرگ، حل نشده باقی نمانده است: دایره تربیع‌شده فراتر از رد کردن" پل هالموس از این کتاب به عنوان "کتاب کلاسیک نوابیغ" یاد کرد.
در سال 1851، جان پارکر کتابی به نام "Quadrature of the Circle منتشر" کرد که در آن ادعا کرد دایره را تربیع کرده است. روش او در واقع تقریبی از تا شش رقم است.
مسأله تربیع دایره توسط شاعرانی مانند دانته و الکساندر پوپ با معانی استعاری‌ای متنوع ذکر شده است. استفاده ادبی آن حداقل به سال 414 قبل از میلاد برمی گردد، زمانی که نمایشنامه "پرندگان" اثر آریستوفان برای اولین بار اجرا شد. در آن، شخصیت متون آتن از تربیع دایره برای نشان دادن ماهیت متناقض شهر اتوپیایی خود یاد می کند.
"بهشت" دانته، canto XXXIII، سطرهای 133-135، حاوی نظم‌های زیر است: As the geometer his mind applies To square the circle, nor for all his wit Finds the right formula, howe'er he triesمعنی شعر این است: به جای استفاده از هندسه، از ذهنش استفاده می‌کند تا دایره را تربیع کند و این به خاطر هوشش نیست که می‌خواهد فرمول صحیح پیدا کند اگرچه تلاش می‌کند.
برای دانته، تربیع دایره را کاری فراتر از ادراک انسانی را نشان می دهد و آن را با ناتوانی خود در درک بهشت مقایسه می کند.
در سال 1742، زمانی که الکساندر پوپ چهارمین کتاب خود، "دانسیاد"، را منتشر کرد، تلاش‌هایش برای تربیع دایره‌ به عنوان "وحشی و بی‌ثمر" تلقی می‌شد: Mad Mathesis alone was unconfined, Too mad for mere material chains to bind, Now to pure space lifts her ecstatic stare, Now, running round the circle, finds it square.معنی: مد مثیس تنها، نا‌آگاه بود و بسیار دیوانه تا مواد زنجیرها را به هم پیوند دهد. اکنون دنیای سره حالت نئشگی‌اش را بلند کرد و اکنون او دور دایره می‌دود و تربیع دایره را پیدا می‌کند.
به طور مشابه، در یک نمایش اپرا طنز از گیلبرت و سالیوان به‌نام "پرنسس آیدا" دارای آهنگی است که به صورت طنز اهداف غیرممکن دانشگاه زنان را که توسط شخصیت اصلی اداره می شود، مانند یافتن حرکت دائمی فهرست کرده‌است. یکی از این اهداف، دایره‌ای بود که آن‌ها(مدیران دانشگاه زنان) در یک روز آفتابی مربع‌اش خواهند کرد.
سستینا شکلی شاعرانه است که برای اولین بار در قرن دوازدهم توسط آرنو دانیل استفاده شد. گفته می‌شود که دایره را با استفاده از مربع سطور (شش بند از شش سطر) که با طرح دایره‌ای از شش کلمه تکرار شده، تربیع می‌کند. می‌نویسد که این شکل معنای نمادینی را نشان می‌دهد که در آن دایره به معنای بهشت و مربع نشان دهنده زمین است. استعاره مشابهی از «تربیع دایره»،در داستان کوتاهی در 1908 توسط هنری ، در مورد یک خصومت خانوادگی طولانی‌مدت استفاده شد. در عنوان این داستان، دایره نشان دهنده جهان طبیعی است، در حالی که مربع نشان دهنده شهر، جهان انسان، است.
در آثار دیگر، تربیع کنندگان دایره، افرادی مانند لئوپولد بلوم در رمان "اولیس" اثر جیمز جویس یا وکیل پاراوانت در رمان "کوه جادوی" اثر توماس مان، متوهمان یا رویاپردازان غیردنیایی دیده می‌شوند که از محال بودن ریاضی آن(تربیع دایره) بی‌اطلاع هستند و برای نتیجه(تربیع دایره) خود نقشه‌های بزرگی می‌کشند ولی هرگز نقشه‌هایشان عملی نمی‌شود.