دنباله
در ریاضیات، یک دنباله یک گردآوری شمارا از اشیاء است که در آن تکرار مجاز و ترتیب مهم است.
مشابه یک مجموعه، دنباله شامل چند عضو (یا جمله) است. تعداد اعضای یک دنباله (شاید نامتناهی) «طول دنباله» نامیده می‌شود. برخلاف یک مجموعه، در یک دنباله، عناصر مشابه می‌توانند چندین بار در محل‌های مختلف یک دنباله پدیدار شوند و ترتیب آن‌ها اهمیت دارد.
به عنوان مثال، formula_1 یک دنباله است که به ترتیب از ۵ و ۳ و ۳ و ۸ تشکیل شده و با formula_2 یا formula_3 یکسان نیست.
به مکانی که یک عضو در یک دنباله قرار دارد «اندیس»ِ آن عضو می‌گویند، به عنوان مثال ۸، چهارمین عضو دنبالهٔ فوق است پس اندیس آن، ۴ است. اندیس اوّلین عضو دنباله را معمولاً ۱ تعریف می‌کنند. n-اُمین عضو یک دنباله مانند formula_4 را به صورت formula_5 نمایش می‌دهند.
به دنباله‌ای به‌طول formula_6، یک n-تایی مرتّب نیز گفته می‌شود.
در نظریهٔ تحلیلی اعداد، به دنباله‌ای که اعضای آن حقیقی یا مختلط باشند تابع حسابی یا دنبالهٔ حقیقی می‌گویند. در علوم رایانه، رشته دنباله‌ای از نویسه‌ها است.
در بیشتر منابع، اندیس‌های دنباله باید شامل تمام اعداد طبیعی باشند (دنباله نامتناهی باشد) یا این که می‌توانند اعداد طبیعی کوچکتر از formula_6 باشد (دنباله متناهی باشد)؛ امّا در بعضی موارد (بر اساس نیاز) این تعریف تعمیم داده می‌شود. به این صورت که اندیس‌ها می‌توانند هر بازه‌ای از اعداد صحیح باشد.
در نظریّهٔ مجموعه‌ها، دنباله به صورت تابعی تعریف می‌شود که دامنهٔ آن اعداد طبیعی باشد: formula_8
برای نمایش دنباله‌ها از formula_9 استفاده می‌شود. برای دنباله‌های متناهی از پرانتز نیز استفاده می‌شود. مثال:
formula_2
formula_11
formula_12
معمولاً برای جلوگیری از کژتابی، جملهٔ عمومی نیز نوشته می‌شود:
formula_13
formula_14
در بسیاری از منابع، به جای formula_9 از formula_16 استفاده می‌شود امّا در این مقاله برای اشتباه نشدن با مجموعه‌ها، از این نمادها استفاده نشده. در بعضی منابع نیز از استفاده از نمادها پرهیز شده است.
به ضابطهٔ یک دنباله مانند formula_17، «جملهٔ عمومی» آن می‌گویند. مثال:
formula_18
formula_19
formula_20
گاهی (با این که این نمایش معمولاً برای دنباله‌های نامتناهی استفاده می‌شود)، حدود اندیس‌ها را نیز مشخّص می‌کنند:
formula_21
در این روش، مقدار هر جمله از دنباله وابسته به جملات قبلی آن است. مثل دنبالهٔ فیبوناچی:
formula_22 بعضی مواقع می‌توان دنبالهٔ بازگشتی را ساده کرد و نمایش جمله‌ٔ عمومی آن را پیدا کرد. به عنوان مثال دنبالهٔ
formula_23
را می‌توان به صورت formula_19 ساده کرد.
تابع آکرمن مثالی ست از مواقعی که نمی‌توان دنباله را ساده کرد: formula_25 دنباله‌ها نیز مانند بقیهٔ توابع می‌توانند به صورت نموداری نمایش داده شوند. مثال:
از آن جایی که دنباله نوعی تابع است، تعریف یکنوایی توابع در این مورد نیز همان است.
این قضیه بیان می‌دارد که یک دنباله صعودی ست اگر و تنها اگر هر جملهٔ آن از جملهٔ قبلی بزرگتر باشد:
formula_26
و نزولی نیز به صورت مشابه:
formula_27
شرط اکیداً صعودی و اکیداً نزولی نیز به شکل مشابه.
یک دنباله «از بالا کران‌دار» است اگر کران بالا داشته باشد؛ به طور دقیق‌تر formula_28
همچنین یک دنباله «از پایین کران‌دار» است اگر formula_29
در نهایت، یک دنباله «کران‌دار» است اگر از بالا و پایین کران‌دار باشد. به عبارتی دیگر: formula_30
در این نوع از دنباله‌ها، اختلاف هر جمله با جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.
در این نوع از دنباله‌ها، نسبت هر جمله به جملهٔ پیشین مقداری ثابت است.
دنبالهٔ چند‌جمله‌ای دنباله‌ای ست که هر جملهٔ آن ضریب تابعی چند‌جمله‌ای باشد. مثال:
دنبالهٔ formula_31 دنبالهٔ چندجمله‌ای formula_32 است.
برای یک دنباله مانند formula_17، دنبالهٔ مجموع جزئی متناظر با آن به صورت زیر تعریف می‌شود:
formula_34
عنصر nـُم سری فوق را «جمع جزئی»ِ n عضو اوّل دنباله می‌گویند.
حد مجموع جزئی در بی‌نهایت همان سری دنباله است مفهوم جمع جزئی شباهت بسیاری با انتگرال دارد. در واقع، انتگرالِ یک تابع به کمک حد این جمع تعریف می‌شود.
از آنجا که دنباله یک تابع گسسته می‌باشد، باید حد آن در بی‌نهایت را اختصاصاً تعریف کرد.
اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را «همگرا» می‌گوییم و به اصطلاح، دنباله به آن مقدار میل می‌کند.
به عنوان مثال دنبالهٔ formula_35 به صفر میل می‌کند: formula_36در غیر این صورت دنباله را «واگرا» می‌گوییم. یک دنبالهٔ واگرا می‌تواند به ∞ یا -∞ میل کند یا به هیچ مقداری میل نکند.
به عنوان مثال دنبالهٔ formula_37 به هیچ مقداری میل نمی‌کند: formula_38
و دنبالهٔ formula_39 به ∞ میل می‌کند: formula_40
گاهی حد دنباله‌ای مانند formula_17 را به صورت formula_42 (با حروف بزرگ) نمایش می‌دهند:
formula_43
با وجود این که کلمات «سری» و «دنباله» عموماً مترادف یکدیگر هستند، در ریاضیات مفاهیم متفاوتی دارند.
سری متناظر با یک دنباله به صورت formula_44 نمایش داده می‌شود و یافتن مقدار سری از اهمّیّت بالایی برخوردار است.
جمع اعضای یک دنبالهٔ واگرا تعریف نشده است. به عبارت دقیق‌تر، سری واگرا ست.
از معروف‌ترین مثال‌های این حالت می‌توان به سری گرندی:
formula_45
و این سری اشاره کرد:
formula_46
جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا نیز ممکن است تعریف نشده باشد.
سری همساز از مثال‌های معروف این حالت است:
formula_47
همچنین جمع اعضای یک دنبالهٔ همگرا می‌تواند همگرا باشد.
این سری از مثال‌های معروف این حالت است:
formula_48