روش سفتی مستقیم
به عنوان یکی از روش‌های تحلیل سازه، روش سفتی مستقیم ، که با عنوان روش سفتی ماتریسی (به انگلیسی: Matrix stiffness method) نیز شناخته می‌شود، برای آنالیز رایانه ای سازه‌های پیچیده از جمله سازه‌های نامعین استاتیکی است. این یک روش "ماتریسی" است که از روابط سفتی اعضا برای محاسبه نیروها و جابجایی عضوها در سازه‌ها استفاده می‌کند. روش سفتی مستقیم متداول‌ترین اجرای روش المان محدود(FEM) است. در استفاده از این روش، سیستم باید به عنوان مجموعه ای از عناصر ساده‌تر و ایدئال که در گره‌ها به هم متصل شده‌اند، مدل شود. خصوصیات سفتی مواد این المان‌ها، از طریق محاسبات ماتریسی، یک معادله ماتریسی را نتیجه می‌دهد که بر رفتار کل سازهٔ ایدئال حاکم است. جابجایی‌ها و نیروهای مجهول سازه از حل این معادله بدست می‌آید. روش سفتی مستقیم اساس و پایهٔ اکثر نرم‌افزارهای منبع آزاد و تجاری المان محدود را تشکیل می‌دهد.
روش سفتی مستقیم از حوزه هوافضا سرچشمه گرفته‌است. محققان رویکردهای مختلفی را برای تحلیل فریم‌های پیچیده هواپیما مورد بررسی قرار دادند. این رویکردها شامل تئوری الاستیسیته، اصول انرژی در مکانیک ساختاری، روش انعطاف‌پذیری و روش سفتی ماتریسی بود. از طریق تحلیل این متدها، روش سفتی مستقیم به عنوان روشی کارآمد که به‌طور ایدئال برای اجرای کامپیوتر مناسب است، بدست آمد.
بین سال‌های ۱۹۳۴ و ۱۹۳۸، AR Collar و W.J. Duncan اولین مقالات را با نمایندگی و اصطلاحات مربوط به سیستم‌های ماتریسی منتشر کردند که امروزه مورد استفاده قرار می‌گیرند. تحقیقات هواکشسانی تا جنگ جهانی دوم ادامه یافت، اما محدودیت‌های انتشار از ۱۹۳۸ تا ۱۹۴۷ ردیابی این آثار را دشوار کرده‌است. دومین موفقیت بزرگ در تحلیل ماتریسی سازه‌ها در سال ۱۹۵۴ و ۱۹۵۵ رخ داد که پروفسور جان H. Argyris مفهوم مونتاژ (سرهم‌بندی) المان‌های عنصری یک سازه را به یک سیستم معادلات تبدیل کرد. سرانجام، در ۶ نوامبر ۱۹۵۹، MJ Turner، رئیس واحد دینامیک سازهٔ Boeing، مقاله ای را منتشر کرد که در آن روش سفتی مستقیم را به عنوان یک الگوی کارآمد برای پیاده‌سازی رایانه‌ای نشان می‌دهد. .
رابطهٔ رایج برای سفتی یک عضو فرم کلی زیر را دارد:
که در آن
اگر formula_4 بیانگر تغییر شکل اعضا باشد، به جای جابجایی مطلق، آنگاه formula_2 بیانگر نیروهای مستقل اعضا می‌باشد، و در این حالت رابطهٔ (۱) به رابطه‌ای برای به دست آوردن "ماتریس انعطاف‌پذیری عضو"، که در روش انعطاف‌پذیری استفاده می‌شود، تبدیل شود.
برای یک سیستم که از تعداد زیادی عضو تشکیل شده که در نقاطی به نام گره به یکدیگر متصل شده‌اند. روابط سفتی اعضا از جمله معادله (۱) با استفاده از نکات زیر می‌تواند جمع شود:
که در آن:
ماتریس سفتی سیستم K، ماتریسی مربعی است زیرا بردارهای R و r اندازه یکسان دارند. علاوه بر این، این ماتریس متقارن (سیمتریک) است زیرا formula_3 متقارن است. هنگامی که قیدهای کمکی در معادله (۲) اعمال شود، جابجایی گره‌ها از حل دستگاه معادلات خطی (۲)، به صورت نمادین یافت می‌شود:
در ادامه، نیروهای مشخصه اعضا ممکن است از معادله (۱) یافت شود؛ که در آن formula_4 را با درنظر گرفتن مطابقت می‌توان از r یافت.
معمول است که معادلات (۱) را به شکلی نوشت که در آن formula_4 و formula_5 به ترتیب، جابجایی‌ها و نیروهای اعضا مطابق با r و R هستند. در چنین موردی ، formula_13 و formula_16 را می‌توان از جمع کردن مستقیم ماتریس اعضا (formula_3 و formula_5) بدست آورد. این روش به عنوان روش سفتی مستقیم شناخته می‌شود.
مزایا و معایب روش سفتی ماتریسی در مقاله روش انعطاف‌پذیری مقایسه و مورد بحث واقع شده.
اولین گام دراستفاده از روش سختی مستقیم، شناسایی المان‌های مجزایی است که سازه را تشکیل می‌دهند.
بعد از اینکه المان‌ها معین شدند، سازه در گره‌ها از هم جدا می‌شود، گره‌ها نقاطی هستند که در آن نقاط المان‌های مختلف به یکدیگر متصل می‌شوند.
سپس هر المان به صورت جداگانه تحلیل می‌شود تا معادلات سفتی عضو را توسعه دهد. نیروها و جابجایی‌ها از طریق ماتریس سفتی المان به هم وابسته هستند که این ماتریس به هندسه و خصوصیات هر المان بستگی دارد.
یک المان خرپا فقط می‌تواند نیروها را به‌طور فشاری یا کششی منتقل کند. این بدان معنی است که در دو بعد، هر گره دارای دو درجه آزادی (DOF) است: جابجایی افقی و عمودی. معادله حاصل شامل یک ماتریس سفتی چهار در چهار است.
formula_27
یک المان قاب علاوه بر نیروی کششی و فشاری، قادر به مقاومت در برابر ممان‌های خمشی هم می‌باشد. در نتیجه سه درجه آزادی دارد: جابه جایی افقی و عمودی و چرخش صفحه‌ای. در این مورد ماتریس سفتی، ماتریسی ۶ در ۶ است.
formula_28
المان‌های دیگر مانند صفحه‌ها و پوسته‌ها نیز می‌توانند در روش سفتی مستقیم گنجانیده شوند و معادلات مشابهی باید ایجاد شوند.
پس از بسط روابط فردی سفتی هر المان، آنها باید در سازه اصلی مونتاژ شوند. اولین قدم در این فرایند تبدیل کردن روابط سفتی المان‌ها به یک سیستم جهانی برای کل سازه است. در مورد یک المان خرپا، شکل جهانی روش سفتی بستگی به زاویه این المان با توجه به سیستم مختصات جهانی دارد (این سیستم معمولاً سیستم مختصات دکارتی است).
formula_29 "(برای یک عنصر خرپا با زاویه β)" معادل ، formula_30
که در آن formula_31 و formula_32 کسینوس‌های عنصر خرپا در جهت ایکس و وای هستند (یعنی آنها اجزای یک بردار واحد هستند که با عضو هماهنگ هستند). این فرم چگونگی تعمیم سفتی عنصر به خرپاهای فضایی ۳ بعدی را با ساده کردن الگویی که در این فرمول مشهود است نشان می‌دهد.
پس از ایجاد ماتریس سفتی عنصر در سیستم مختصات جهانی، آنها باید در یک ماتریس سختی «مستر» یا «جهانی» ادغام شوند. در هنگام ادغام این ماتریس‌ها دو قانون وجود دارد که باید رعایت شود: مطابقت جابجایی‌ها و تعادل نیرو در هر گره. این قوانین با اتصال جابجایی گره المان به جابجایی‌های گره جهانی رعایت می‌شوند.
بردارهای جابجایی جهانی و بردار نیروی جهانی، هر کدام به ازای هر درجه آزادی در سازه دارای یک ورودی هستند. ماتریس‌های سفتی المان با تقویت یا گسترش هر ماتریس در سازگاری با بردارهای جابجایی و بارگذاری جهانی ادغام می‌شوند.
formula_33 "(برای عنصر (۱) ساختار فوق)"
سرانجام، ماتریس سفتی جهانی با اضافه کردن ماتریس‌های فردی بسط یافته هر المان به یکدیگر ساخته می‌شود.
هنگامی که ماتریس سفتی کلی، بردار جابجایی و بردار نیرو ساخته شد، سیستم می‌تواند با یک معادله ماتریسی بیان شود.
برای هر درجه از آزادی در سازه، یا جابجایی یا نیرو معلوم است.
پس از درج مقدار معلوم برای هر درجه از آزادی، معادله سفتی مستر، کامل و آماده ارزیابی است. چندین روش مختلف برای ارزیابی یک معادله ماتریسی در دسترس است که شامل محدودیت در تجزیه Cholesky و ارزیابی نیروی خالص سیستم معادلات نیست. اگر یک سازه به درستی مهار نشود، اعمال یک نیرو باعث می‌شود که آن به صورت صلب حرکت کند و قیود اضافی باید اضافه شود.
روشی که در این بخش شرح داده شد، نگاهی کلی بر روش سفتی مستقیم است. برای اطلاعات بیشتر در مورد فرایند و همچنین فرضیات در مورد خواص مادهٔ دخیل در فرایند باید از منابع اضافی استفاده شود.
روش سفتی مستقیم به‌طور اختصاصی برای پیاده‌سازی مؤثر و آسان نرم‌افزارهای رایانه ای برای ارزیابی سازه‌های پیچیده که شامل تعداد زیادی عضو است، ساخته شده‌است. امروزه، تقریباً هر حل‌کنندهٔ المان محدود موجود بر اساس روش سفتی مستقیم است. در حالی که هر برنامه از یک فرایند یکسان استفاده می‌کند، بسیاری از آنها برای کاهش زمان محاسبه و کاهش حافظه مورد نیاز اصلاح شده‌اند. برای دستیابی به این هدف، میانبرهایی ایجاد شده‌است.
یکی از بزرگترین حوزه‌ها برای استفاده از روش سفتی مستقیم حوزهٔ تحلیل ساختاری است که این روش در نرم‌افزار مدل‌سازی گنجانیده شده‌است. این نرم‌افزار به کاربران اجازه می‌دهد تا یک سازه را مدلسازی کنند و پس از تعریف کاربر از خواص مواد عناصر، این برنامه به‌طور خودکار روابط عناصر و سختی جهانی را ایجاد می‌کند. هنگامی که شرایط بارگیری مختلفی اعمال می‌شود، نرم‌افزار ساختار را ارزیابی می‌کند و برای کاربر خیزها را نمایش می‌دهد.