متد جفت گروه وزن‌دار با میانگین حسابی
متد جفت گروه وزن‌دار با میانگین حسابی (به اختصار: مجگوم) یک متد ساده خوشه‌بندی سلسله مراتبی تجمعی (از پایین به بالا) می‌باشد که هدف آن، ایجاد یک درخت ریشه‌دار (که به آن دندروگرام می‌گویند) می‌باشد که ساختار موجود در یک ماتریس زوج‌فاصله را نشان می‌دهد. این متد را به رابرت آر. سوکال و چارلز دانکن میشنر نسبت می‌دهند.
متد جفت گروه وزن‌دار با میانگین حسابی، شبیه به نوع بی‌وزن آن، یعنی متد جفت گروه بدون وزن با میانگین حسابی است که به‌طور عمده بر مبنای توده کردن داده‌ها یا خوشه‌بندی سلسله مراتبی مخصوصاً برای ساخت درخت فیلوژنتیک در بیوانفورماتیک به کار می‌رود.
همان‌طور که در ابتدای کار ذکر شد، الگوریتم جفت گروه وزن‌دار با میانگین حسابی، با استفاده از یک درخت ریشه دار به نام دندوگرام، ساختار موجود در یک ماتریس زوج‌فاصله را نشان می‌دهد. اگر این ماتریس، یک ماتریس formula_1 باشد، این الگوریتم شامل formula_2 گام می‌باشد؛ در هر گام، نزدیک‌ترین دو خوشه، در اینجا فرض کنید formula_3 و formula_4 ، به یک خوشه سطح بالاتر ترکیب‌می‌شوند. سپس فاصلهٔ آن با یک خوشهٔ دیگر فرضی به نام formula_5، از طریق میانگین حسابی فاصلهٔ بین formula_3، formula_5 و formula_4، formula_5 حساب می‌شود:
formula_10
اگر فرض کنیم متد جفت گروه وزن‌دار با میانگین حسابی، روی یک ماتریس formula_1 کار می‌کند، در نتیجه شامل formula_2 گام می‌باشد که در مثال زیر، یک ماتریس ۴ * ۴ داده‌شده، بررسی می‌شود.
فرض کنید ۴ المان formula_13 داریم و ماتریس زیر به نام Dist (مخفف فاصله) که نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ بین هردو المان را نشان می‌دهد و همچنین formula_14 نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ بین ۲ گره در درخت دندوگرام باشد:
در این جدول، کوتاه‌ترین فاصله بین ۲ المان مختلف, متعلق بین formula_15 و formula_16 و برابر با ۱۵ می‌باشدformula_17.
حال فرض کنید گره‌ای که formula_15 و formula_16 را به‌هم متصل‌می‌کند، formula_20 نام دارد. در نتیجه به درخت دندوگرام، گره formula_20 را اضافه می‌کنیم که فاصله این گره با formula_15 و formula_16 از راه زیر محاسبه می‌شود: formula_24
با متصل کردن formula_15 و formula_16، تعداد سطر و ستون ماتریس اولیه یک واحد کاهش می‌یابد و همچنین مقادیر المان‌های ماتریس با تغییراتی مواجه می‌شود که در ذیل توضیح داده‌شده‌است:
formula_27
formula_28
که ماتریس بروزرسانی‌شده و ادامهٔ روند در قسمت بعدی مشخص شده‌است
در گام دوم، نتیجه حاصل از گام اول را ادامه می‌دهیم:
در این جدول، کوتاه‌ترین فاصله بین ۲ المان مختلف, متعلق بین formula_29 و formula_30 و برابر با ۲۳٫۵ می‌باشدformula_31 که در درخت دندوگرام، منظور از formula_29، گره formula_20 می‌باشد.
حال فرض کنید گره‌ای که formula_20 و formula_30 را به‌هم متصل‌می‌کند، formula_36 نام دارد. در نتیجه به درخت دندوگرام، گره formula_36 را اضافه می‌کنیم که فاصله این گره با formula_38، formula_16 و formula_30 از راه زیر محاسبه می‌شود: formula_41
و فاصلهٔ بین formula_20 و formula_36 برابر است با: formula_44
با متصل کردن formula_29 و formula_30 , تعداد سطر و ستون ماتریس اولیه یک واحد کاهش می‌یابد و همچنین مقادیر المان‌های ماتریس با تغییراتی مواجه می‌شود که در ذیل توضیح داده‌شده‌است: formula_47
در گام سوم، نتیجه حاصل از گام دوم را ادامه می‌دهیم:
در این جدول، کوتاه‌ترین فاصله بین ۲ المان مختلف, متعلق بین formula_48 و formula_49 و برابر با ۲۸٫۵ می‌باشدformula_50 که در درخت دندوگرام، منظور از formula_48، گره formula_36 می‌باشد.
حال فرض کنید گره‌ای که formula_36 و formula_49 را به‌هم متصل‌می‌کند، formula_55 نام دارد. در نتیجه به درخت دندوگرام، گره formula_55 را اضافه می‌کنیم که فاصله این گره با formula_38، formula_16، formula_30 و formula_60 از راه زیر محاسبه می‌شود: formula_61
و فاصلهٔ بین formula_36 و formula_55 برابر است با: formula_64
با متصل کردن formula_48 و formula_49 , تعداد سطر و ستون ماتریس اولیه یک واحد کاهش می‌یابد و تبدیل به یک ماتریس formula_67 می‌شود که دارای مقدار صفر است.
در شکل زیر، دندوگرام حاصل از مثال مطرح‌شده را مشاهده می‌کنید.