تصمیم‌پذیری (منطق)
در علم منطق، یک مسئله تصمیم‌گیری درست/نادرست موقعی تصمیم‌پذیر است که ««»» برای به‌دست‌آوردن جواب صحیح برای آن موجود باشد. سامانه‌های منطقی مثل منطق گزاره‌ای موقعی تصمیم‌پذیر هستند که عضویت در مجموعه فرمول (یا قضیه) منطقی معتبر را بتوان به صورت کارآمد تعیین نمود. یک نظریه (مجموعه جمله‌های تحت پیامد منطقی) در یک سامانه ثابت موقعی تصمیم‌پذیر است که روش کارآمدی برای تعیین آنکه آیا فرمول‌های اختیاری در نظریه موجودند، موجود باشد. بسیاری از مسائل مهم، تصمیم‌ناپذیر اند، یعنی اثبات شده‌است که هیچ روش کارآمدی برای تعیین عضویت (بازگشت جواب درست بعد از بررسی همه موارد، که این موارد محدود هستند ولی احتمالاً خیلی بزرگ‌اند) برای آن‌ها بتواند موجود باشد.
تصمیم‌پذیری در منطق، ناظر بر مسئله ای است که پاسخ به آن یکی از دو حالت درست و غلط یا یکی از دو حالت بله و خیر باشد. در صورتی که جواب یک مسئلهٔ تصمیم‌گیری با یک راه مؤثر داده شود، آن مسئله تصمیم‌پذیر است. در یک راه حل مؤثر پاسخ درست به مسئله با طی گام‌های متناهی داده می‌شود. بسیاری از مسائل مهم تصمیم‌ناپذیر‌اند. هر نظریه یا سیستم منطقی تصمیم‌پذیر را می‌توان به صورت یک راه مؤثر یا یک تابع محاسبه‌کردنی توصیف کرد که بنا بر تز چرچ‐تورینگ این دو توصیف با هم معادل هستند.
سالیان طولانی ریاضی‌دانان در پی حل سوالاتی بودند که اکنون می‌دانیم حل شدنی نیستند. دانش در مورد تصمیم‌پذیری می‌تواند از چنین تلاش‌های بیهوده جلوگیری کند.
یک سیستم منطقی راهی است که در آن به صورت خودکار و با قواعد بازگشتی فهرستی از تمام صحیح‌های منطقی بخشی از منطق به دست می‌آید؛ به این صورت که یک دسته اصول و یک دسته قواعد استنباط با معیارهای صوری شناسایی می‌شوند و بعد از آن قضیه‌ها می‌توانند بر اساس اصول و قواعد استنباط به دست بیایند.
یک سیستم منطقی در صورتی تصمیم‌پذیر است که بتوان برای هر فرمولی به این مسئلهٔ تصمیم‌پذیری با یک راه حل مؤثر پاسخ داد، که آیا آن فرمول می‌تواند جزو قضیههای آن سیستم باشد یا خیر.
یک نظریه مجموعه‌ای از فرمول‌ها است. این مجموعه تحت استلزام منطقی بسته‌است. اگر راه مؤثری برای پاسخ به این مسئله که یک فرمول عضو یک نظریه هست یا نه وجود داشته باشد، آن نظریه تصمیم‌پذیر است.
می‌توان مسائل مختلف را با زبان‌ها مدل کرد و پاسخ بله یا خبر به یک سؤال را معادل عضویت یا عدم عضویت ورودی در زبان در نظر گرفت. در نظریهٔ زبان‌ها یک زبان در صورتی تصمیم‌پذیر است که بتوان ماشین تورینگی ساخت که آن را تصمیم بگیرد؛ به این معنا که ماشین تورینگی وجود داشته باشد که به ازای یک رشتهٔ ورودی، عضویت یا عدم عضویت آن در آن زبان را تعیین کند. چنین ماشین تورینگی به ازای هر ورودی‌ای متوقف می‌شود.
برخی نظریه‌های تصمیم‌پذیر عبارتند از:
عموماً برای ثابت کردن تصمیم‌ناپذیری نظریه‌ها از روش تفسیرپذیری استفاده می‌شود. اگر نظریهٔ اساساً تصمیم‌ناپذیر formula_1در نظریهٔ استوار formula_2 تفسیرپذیر باشد، آن گاه formula_2 نیز اساساً تصمیم‌ناپذیر است. این مفهوم به مفهوم کاهش چند-یک در نظریهٔ رایانش‌پذیری نزدیک است.
برخی نظریه‌های تصمیم‌ناپذیر عبارتند از:
یک زبان به مجموعه‌ای از رشتهها اطلاق می‌شود. در تعریف هر کدام از زبان‌های زیر علامت formula_4در کنار یک شیء نشانگر نمایش آن شیء به صورت یک رشته‌است که می‌تواند مطابق هر قراردادی باشد. عموماً تصمیم ناپذیری زبان‌ها و مسائل متفاوت به این صورت اثبات می‌شود که نشان داده می‌شود در صورتی که آن‌ها تصمیم گرفته شوند مسائلی که می‌دانیم تصمیم پذیر نیستند (مثلاً مسائل بالا) تصمیم گرفته می‌شوند.
نظریه‌ها و سیستم‌های صوری مشخصه‌ای ضعیف‌تر از تصمیم‌پذیری هم دارند که نیم‌تصمیم‌پذیری است. در صورتی که برای یک نظریه راه مؤثری وجود داشته بشد که همواره به‌طور صحیح مشخص کند که آیا یک فرمول عضو یک نظریه هست یا نه، امّا امکان این باشد که در صورت عضو نبودن فرمول در نظریه پاسخی ندهد، آن نظریه نیم‌تصمیم‌پذیر است. هر نظریه در صورتی تصمیم‌پذیر است که خودش و مکملش نیم‌تصمیم‌پذیر باشند و برعکس؛ بنابراین اگر نظریه‌ای تصمیم‌ناپذیر باشد خود یا متممش نیم تصمیم پذیر نیستند.
نیم‌تصمیم‌پذیری را می‌توان مشابه با تشخیص‌پذیری در نظریهٔ ماشین‌ها دانست. هر زبان تشخیص‌پذیر در این تشبیه مانند یک نظریهٔ نیم‌تصمیم‌پذیر است؛ برای این زبان ماشین تورینگی وجود دارد که به ازای رشته‌های عضو زبان به حالت قبول می‌رود، اما این ماشین به ازای رشته‌هایی که عضو زبان نیستند الزاماً متوقف نمی‌شود. در صورتی که یک زبان و مکمل آن تشخیص‌پذیر باشند آن زبان تصمیم‌پذیر است و برعکس؛ بنابراین به ازای هر زبان تصمیم‌ناپذیر خود آن زبان یا مکمل آن تشخیص ناپذیر است.
__بافهرست__