توزیع نرمال چند متغیره
در نظریه احتمال و آمار، توزیع نرمال چند متغیره، توزیع گاوسی چند متغیره، یا توزیع نرمال توأم یک تعمیم از توزیع نرمال یک بعدی (تک متغیره) به ابعاد بالاتر است. یک تعریف این است که اگر هر ترکیب خطی از k عضو یک بردار، توزیع نرمال تک متغیره داشته باشد، به یک بردار تصادفی "k" متغیره گفته می‌شود که به‌طور نرمال توزیع شده‌است. اهمیت آن عمدتاً از قضیه حد مرکزی چند متغیره ناشی می‌شود. برای توصیف هر مجموعه ای از متغیرهای تصادفی با ارزش حقیقی که احتمالاً همبسته اند و هر کدام حول مقداری متوسط جمع می‌شوند، اغلب از توزیع نرمال چندمتغییره استفاده می‌شود.
توزیع نرمال چند متغیره یک بردار تصادفی "k بعدی به صورت" formula_1 را می‌توان با نماد زیر نوشت:
یا برای اینکه با صراحت نشان دهیم X از بعد k است،
با بردار میانگین "k" بعدی
و ماتریس کوواریانس formula_5
به طوری که formula_7 معکوس ماتریس کوواریانس را ماتریس دقت می‌نامند که به صورت formula_8 نمایش داده می‌شود.
یک بردار تصادفی حقیقی به صورت formula_1، بردار تصادفی نرمال استاندارد نامیده می‌شود اگر تمام اعضای formula_10 مستقل و هر کدام یک متغیر تصادفی با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند که به‌طور نرمال توزیع شده‌اند یعنی formula_11 برای همه formula_12ها.
یک بردار تصادفی حقیقی به صورت formula_1، بردار تصادفی نرمال متمرکز نامیده می‌شود اگر ماترسformula_14 با ابعاد formula_15 وجود داشته باشد به طوری که formula_16 توزیع مشابهی با formula_17 داشته و formula_18 یک بردار تصادفی نرمال استاندار formula_19 متغیره باشد.
یک بردار تصادفی حقیقی به صورتformula_1، بردار تصادفی معمولی نامیده می‌شود اگر بردار تصادفی نرمال استاندارد formula_18 با بعد formula_19 ، بردار formula_23 با بعد formula_24 و ماتریس formula_14 با ابعاد formula_15 وجود داشته باشد، به طوری که formula_27 .
به نمادگذاری ریاضی:در اینجا formula_28، ماتریس کوواریانس است.
در حالت انحطاط که در آن ماتریس کوواریانس منفرد است، توزیع مربوطه فاقد چگالی است. برای جزئیات بیشتر به بخش زیر مراجعه کنید. این مورد مکرراً در آمار به وجود می‌آید. برای مثال، در توزیع بردار باقیمانده در رگرسیون حداقل مربعات معمولی. formula_29ها به‌طور کلی مستقل "نیستند." آنها را می‌توان به عنوان نتیجه اعمال ماتریس formula_14 به مجموعه ای از متغیرهای گاوسی مستقل formula_18 مشاهده کرد.
تعاریف زیر معادل تعریف فوق می‌باشد. یک بردار تصادفی به فرم formula_32 اگر یکی از شرایط معادل زیر را برآورده کند، دارای توزیع نرمال چند متغیره است.
توزیع نرمال کروی را می‌توان به عنوان توزیع منحصربفردی توصیف کرد که در آن اجزا در هر سیستم مختصات متعامد مستقل هستند.
هنگامی که ماتریس کوواریانس متقارن formula_37، مثبت قطعی باشد به توزیع نرمال چند متغیره «غیر انحطاط» گفته می‌شود. در این حالت توزیع دارای تابع چگالی احتمال به صورت زیر است |cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}جایی که formula_42 یک بردار ستونی "k بعدی حقیقی است و" formula_43 دترمینان ماتریس formula_37، همچنین به عنوان واریانس تعمیم یافته شناخته می‌شود. اگر formula_37 یک ماتریس formula_46 باشد، معادله بالا به معادله متناظر در توزیع نرمال تک متغیره تقلیل می‌یابد.
نسخه متقارن دایره ای توزیع نرمال مختلط شکی با کمی تفاوت دارد.
در هر مکان هندسی، مکان نقاط در "فضای k" -بعدی که هر کدام مقدار خاصی از چگالی را می‌دهند، یک بیضی یا تعمیم ابعاد بالاتر آن را می‌دهد. از این رو نرمال چند متغیره یک مورد خاص از توزیع‌های بیضوی است.
کمیت formula_47 به عنوان فاصله ماهالانوبیس شناخته می‌شود که نشان دهنده فاصله نقطه آزمایشی formula_42 از میانگین formula_49 است. توجه داشته باشید که در صورتی که formula_50 ، توزیع به یک توزیع نرمال تک متغیره کاهش می‌یابد و فاصله ماهالانوبیس به قدر مطلق نمره استاندارد کاهش می‌یابد.
در حالت غیر منفرد ۲ بعدی (formula_51)، تابع چگالی احتمال یک بردار formula_52 به صورت زیر است:
به طوریکه که formula_54 همبستگی بین formula_55 و formula_56 و formula_57 و formula_58 . در این مورد،
در حالت دو متغیره، اولین شرط معادل برای بازسازی چند متغیره نرمال بودن را می‌توان کمتر محدود کرد، زیرا نشان دادن اینکه تعداد شمارایی از ترکیبات خطی متمایز formula_55 و formula_56 نرمال هستند، برای نتیجه‌گیری این که بردار formula_52 دو متغیره نرمال است کافی است.
جایگاه‌های دو متغیره ایزو چگالی رسم شده در formula_63 صفحه بیضی‌هایی هستند که محورهای اصلی آنها با بردارهای ویژه ماتریس کوواریانس formula_37 ساخته می‌شوند. (نیمه قطر اصلی و فرعی بیضی برابر است با ریشه مربع مقادیر ویژه مرتب شده).
هر چه قدر مطلق پارامتر همبستگی formula_54 افزایش بیابد، این نقطه‌ها به سمت خط زیر فشرده می‌شوند:
این به این دلیل است که این عبارت، با formula_67 (که در آن sgn تابع علامت است) با formula_54 ، بهترین پیش‌بینی بی طرفانه خطی از formula_56 با مقادیر داده شده از formula_55 است.
اگر ماتریس کوواریانس formula_37 رتبه کامل نباشد، پس توزیع نرمال چند متغیره منحط است و چگالی ندارد. به‌طور دقیق تر، توزیع مذکور با توجه به اندازه لبگ "k" "بعدی" (که معیار معمولی در دوره‌های احتمال در سطح حساب دیفرانسیل و انتگرال است) چگالی ندارد. گفته می‌شود که فقط بردارهای تصادفی که توزیع آنها نسبت به یک اندازه‌گیری کاملاً پیوسته‌است، چگالی دارند (با توجه به آن اندازه). برای صحبت در مورد چگالی اما ساده‌تر است که از پرداختن به عوارض تئوری اندازه‌گیری اجتناب کنیم و به زیر مجموعه ای از formula_72 از مختصات formula_73 به طوری که ماتریس کوواریانس برای این زیر مجموعه مثبت معین است توجه کنیم. سپس سایر مختصات را می‌توان به عنوان تبدیل افاینی از این مختصات انتخابی در نظر گرفت.
برای صحبت معنادار در مورد چگالی‌ها در موارد منفرد، باید یک معیار پایه متفاوت را انتخاب کنیم. با استفاده از قضیه فروپاشی می‌توانیم محدودیتی از اندازه‌گیری Lebesgue را به مقداری تعریف کنیم که زیرفضای متناظر با formula_74 که به ابعاد formula_72 از توزیع گاوسی پشتیبانی کند، یعنی formula_76 . با توجه به این معیار، توزیع دارای چگالی موتیف زیر است:
به طوریکه که formula_78 وارون تعمیم یافته‌است و det* شبه دترمینان است.
مفهوم تابع توزیع تجمعی در بعد ۱ را می‌توان به دو صورت به حالت چند بعدی، بر اساس مناطق مستطیلی و بیضی شکل گسترش داد.
راه اول این است که تابع توزیع تجمیعی formula_79 از یک بردار تصادفی formula_17 را به عنوان احتمالی که همه اجزای formula_17 کمتر یا مساوی با مقادیر مربوطه در بردار هستند formula_73 تعریف کنیم:
اگرچه هیچ فرم بسته‌ای برای آن وجود ندارد formula_79 ، تعدادی الگوریتم وجود دارد که آن را به صورت عددی تخمین می‌زنند.
راه دیگر این است که تابع توزیع تجمیعی formula_85 را به عنوان احتمال قرار گرفتن نمونه در داخل بیضی که با فاصله ماهالانوبیس formula_86 از تعمیم مستقیم انحراف معیار گاوسی قرار دارد تعریف کنیم.