مسئله زیبای خفته
مسئله زیبای خفته، مسئله ای در حوزه نظریه تصمیم‌گیری و احتمالات شرطی است. درطی این مسئله فردی به خواب می‌رود. سپس براساس نتیجه پرتاب یک سکه سالم، اگر شیر آمد یک بار و اگر خط آمد ۲ بار او را بیدار می‌کنند و سپس از او پرسیده می‌شود که احتمال شیر آمدن سکه چه قدر است.
این مسئله اولین بار بین سال‌های ۱۹۸۰ تا ۱۹۹۰ مطرح شده و نام مسئله زیبای خفته توسط رابرت استالنکر به آن داده شد.
در طی این مسئله آزمایشی روی یک فرد اجرا می‌شود و همه جزئیات آن به او گفته می‌شود. در طی این آزمایش فرد در روز ۱ شنبه به خواب می‌رود. سپس به تعداد ۱ یا ۲ بار او را بیدار کرده و با او مصاحبه می‌کنند. سپس خاطرات او از بیدار شدن در آن روز از حافظه اش پاک شده و دوباره به خواب می‌رود. تصمیمات لازم برای انجام آزمایش بر اساس پرتاب یک سکه سالم صورت می‌گیرد:
در هر ۲ صورت فرد در روز چهارشنبه بیدار شده و آزمایش به اتمام می‌رسد.
هر بار که فرد را بیدار کرده و با او مصاحبه می‌کنند، او هیچ اطلاعی از این که چه روزی از هفته است یا این که قبلاً با او مصاحبه شده یا نه ندارد.
در هر بار مصاحبه با این فرد از او پرسیده می‌شود که به نظر او احتمال شیر آمدن سکه چه قدر است.
تحلیل‌ها و پاسخ‌های مختلفی برای این مسئله وجود دارد.
یکی از پاسخ‌های احتمالی formula_1است. با توجه به سالم بودن سکه، مسلماً فرد قبل از این که به خواب برود احتمال formula_1 را به شیر آمدن سکه نسبت می‌دهد. حال هنگامی که فرد بیدار شده و با او مصاحبه می‌شود، هیچ اطلاعات جدیدی به دست نمی‌آورد، چرا که از قبل می‌دانست که تحت هر شرایطی حداقل یک بار بیدار شده و با او مصاحبه می‌شود. در نتیجه جواب او نباید با قبل تفاوتی داشته باشد و همچنان باید احتمال formula_1را به شیر آمدن سکه نسبت دهد.
یکی دیگر از پاسخ‌های مسئله formula_4است. استدلال لازم برای این جواب این است که تعداد مصاحبه‌ها با فرد زمانی که سکه خط بیاید ۲ برابر زمانی است که شیر بیاید. اثبات دقیق برای این جواب به این صورت است:
formula_5و formula_6به ترتیب احتمال بیدار بودن فرد در روز دوشنبه و سه شنبه و هم چنین formula_7 و formula_8به ترتیب احتمال شیر و خط آمدن سکه می‌باشند.
اگر سکه خط بیاید احتمال این که فرد در روز دوشنبه بیدار شده باشد با احتمال این که در روز سه شنبه بیدار شده باشد یکسان است. در نتیجه:
formula_9
پس با توجه به تعریف احتمال شرطی (formula_10) می‌توان نتیجه گرفت:
formula_11
همچنین از آنجایی که خط آمدن سکه تنها روی روز ۳ شنبه تأثیر می‌گذارد، می‌توان نتیجه گرفت:
formula_12
formula_13
و در نتیجه:
formula_14
پس از آن جایی که داریم formula_15، می‌توان به دست آورد:
formula_16
این به این معنی است که فرد پس از بیدار شدن باید احتمال formula_4را به شیر آمدن سکه نسبت دهد.
روشی دیگر برای بررسی این مسئله حالت بندی روی روز مصاحبه است، یعنی در نظر بگیریم در صورتی که فرد بداند در چه روزی قرار دارد پاسخ او چه تغییری می‌کند.
ابتدا فرض کنید فرد بداند که مصاحبه در روز ۲ شنبه در حال انجام است. در این صورت چون در هر ۲ حالت شیر و خط آمدن سکه حتماً در روز دوشنبه با فرد مصاحبه می‌شود، فرد باید یه شیر یا خط آمدن سکه احتمال یکسان نسبت دهد. پس اگر formula_5احتمال انجام مصاحبه در روز دوشنبه و formula_7احتمال شیر آمدن باشد، در این صورت:
formula_20
حال فرض کنید که فرد بداند که روز مصاحبه سه شنبه است. با توجه به این که اگر سکه شیر بیاید مصاحبه ای در روز سه شنبه انجام نمی‌شود، احتمال شیر آمدن سکه در این حالت صفر است. پس اگر formula_6احتمال انجام مصاحبه در روز سه شنبه باشد، در این صورت formula_22.
با توجه به قانون احتمال کل داریم:
formula_23
حال چون در هر صورت گاهی مصاحبه در روز سه شنبه صورت می‌گیرد، پس formula_24، در نتیجه:
formula_25
پس برای احتمال شیر آمدن سکه به دست می‌آید:
formula_26
این استدلال واضحاً نشان می‌دهد که پاسخ formula_1نمی‌تواند پاسخ درستی برای این مسئله باشد.
https://pdfs.semanticscholar.org/65e7/b194b466916928da615a18f1036084ad6d42.pdf
http://philsci-archive.pitt.edu/12728/
http://web.mit.edu/rog/www/papers/sleeping_beauty.pdf