سد پتانسیل محدود
در مکانیک کوانتومی، سد پتانسیل محدود یک مسئله یک‌بعدی استاندارد برای نشان دادن وجود تونل‌زنی کوانتمی و بازتاب کوانتمی است. مسئله متشکل از حل یک بعدی مستقل از زمان معادله شرودینگر برای یک ذره در مواجهه با یک سد پتانسیل است که معمولاً فرض گرفته می‌شود که ذره آزاد از سمت چپ به سد برخورد می‌کند.
اگر چه به‌طور کلاسیک یک ذره به عنوان یک نقطه در برخورد با سد پتانسیل منعکس خواهد شد، در مکانیک کوانتم، یک ذره در واقع با رفتار موجی، با احتمال غیر صفر در می‌تواند در مانع نفوذ کند و از آن بگذرد. احتمال این که ذرات از مانع عبور کنند با ضریب انتقال بیان می‌شود در حالی که احتمال انعکاس آنها با توجه به ضریب بازتاب است. معادله شرودینگر اجازه محاسبه این ضرایب را می‌دهد.
معادله مستقل از زمان شرودینگر برای تابع موج formula_1 این است: که در آن formula_3 هامیلتونین است، formula_4 ضریب کاهیده پلانک، formula_5 جرم، formula_6 انرژی ذره و سد پتانسیل با ارتفاع formula_8 و عرض formula_9 است. formula_10
که یک تابع پله‌ای هویساید است.
این سد بین formula_12 و formula_13. قرار دارد. سد را می‌توان به هر موقعیت دلخواه formula_14 بدون تغییر نتایج منتقل کرد. بخش اول در هامیلتونی، formula_15، انرژی جنبشی است.
این سد فضا را به سه بخش (formula_16) تقسیم می‌کند. در هر یک از این قطعات پتانسیل ثابت است که به این معنی که ذرات شبه‌آزاد هستند و حل معادله شرودینگر می‌تواند به عنوان یک برهم نهی از حل‌های معادله موج نوشته شود. (ر.ک. ذره آزاد). اگر formula_17
که در آن عدد موج وابسته به انرژی از طریق زیر بدست می‌آید
شاخص formula_23/formula_24 در ضرایب formula_25 و formula_26 نشان دهنده جهت بردار سرعت است. توجه داشته باشید که اگر انرژی از ذرات کمتر از ارتفاع سد باشد، formula_27 موهومی می‌شود و تابع موج به صورت نمایی در سد کوچک می‌شود. با این حال، نماد r/l را حتی اگر امواج انتشار نیابند نگاه می‌داریم. در اینجا ما فرض کرده‌ایم formula_28. حالت formula_29 پایین‌تر توضیح داده شده‌است.
ضرایب formula_30 از شرایط مرزی تابع موج در formula_12 و formula_13. بدست می‌آیند. تابع موج و مشتقاتش باید در همه جا پیوسته باشند.
قرار دادن توابع موج با شرایط مرزی زیر این شرایط را روی ضرایب اعمال می‌کند.
اگر این انرژی برابر ارتفاع سد باشد، جواب معادله شرودینگر در منطقه سد نمایی نخواهد بود و بلکه به شکل خطی نمایش داده می‌شود: حل کامل معادله شرودینگر به همان شکل بالا و با در نظر گرفتن شرایط مرزی و پیوستگی تابع موج و مشتقات آنها در formula_12 و formula_13 بدست می‌آید که نتایج را در زیر را بر روی ضرایب اعمال می‌کند:
در این مرحله بهتر است برای یادگیری وضعیت کلاسیک را با حالت کوانتمی مقایسه کرد. در هر دو مورد ذرات خارج از محدود سد عنوان یک ذره آزاد رفتار می‌کنند. یک ذره کلاسیک با انرژی formula_6 بزرگتر از ارتفاع سد formula_49 "همیشه" از مانع عبور خواهد و ذره کلاسیک با formula_50 در برخورد با سد "همیشه" منعکس می‌شود.
برای مطالعه مورد کوانتومی مورد زیر را در نظر بگیرید: یک ذره سد از سمت چپ (formula_51) به سد برخورد می‌کند. ممکن است منعکس شود (formula_52) یا منتقل می‌شود (formula_53).
برای پیدا کردن دامنه انعکاس و انتقال برای برخورد از سمت چپ، ما در معادلات formula_54 (ذره ورودی), formula_55 (انعکاس), formula_56=۰ (بدون ذره ورودی از سمت راست) formula_57 (انتقال) قرار می‌دهیم. پس از آن ضرایب formula_58 از معادله حذف می‌شود و formula_23 و formula_60 قابل حل خواهند بود.
نتیجه این است: با توجه به تقارن آینه‌ای مدل، دامنه برای بروز از سمت راست و چپ یکی است. توجه داشته باشید که این عبارات برای هر انرژی formula_63 صادق است.