مستقل شرطی
در نظریه احتمال، استقلال شرطی شرایطی را توصیف می‌کند که در هنگام ارزیابی قطعیت یک فرضیه یک مشاهده بی‌ربط یا اضافی است. استقلال شرطی معمولاً بر حسب احتمال شرطی نوشته می‌شود، به عنوان یک مورد خاص که در آن احتمال رخداد یک رویداد با توجه به یک مشاهده غیر اطلاعاتی برابر با احتمال رخداد بدون آن مشاهده است. اگر formula_1 رخداد مورد نظر ما باشد و formula_2 و formula_3 مشاهدات باشند، استقلال شرطی را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
که formula_5 احتمال formula_1 پس از مشاهده formula_2 و formula_3 است. از آنجایی که احتمال رخداد formula_1 به شرط formula_3 همان احتمال formula_1 با توجه به هر دو مشاهده formula_2 و formula_3 است، این برابری بیانگر آن است که formula_2 هیچ کمکی به قطعیت formula_1 نمی‌کند. در این مورد، گفته می‌شود که formula_1 و formula_2 مشروط به C مستقل هستند، به صورت نمادین نوشته شده‌است: formula_18 .
مفهوم استقلال شرطی برای نظریه‌های استنتاج آماری مبتنی بر گراف ضروری است، زیرا یک رابطه ریاضی بین مجموعه‌ای از گزاره‌های شرطی و یک گرافوئید برقرار می‌کند.
اجازه دهید formula_1 ، formula_2 ، و formula_3 رویداد هایمان باشد. گفته می‌شود که A و B مشروط به C مستقل هستند اگر و تنها اگر formula_22 و:
این ویژگی اغلب نوشته می‌شود: formula_24 .
به‌طور معادل، استقلال شرطی ممکن است به صورت زیر بیان شود:
جایی که formula_26 احتمال مشترک formula_1 و formula_2 به شرط formula_3 است. این فرمول جایگزین بیان می‌کند که formula_1 به شرط C و formula_2 به شرط C رویدادهای مستقل هستند.
هر سلول میتواند در گروه رویداد های مختلفی قرار بگیرد که رنگ آن را مشخص میکنند. رویداد formula_40 ، formula_41 و formula_42 به ترتیب با نواحی سایه دار ، و نشان داده می‌شوند. همپوشانی بین رویدادها formula_40 و formula_41 سایه دار شده‌است.
احتمال این رویدادها نسبت ناحیه سایه دار هر کدام به کل مساحت است. در هر دو مثال formula_40 و formula_41 به شرط formula_42 مستقل داده شده‌اند زیرا:
اما به شرط formula_49 مستقل نیستند زیرا:
فرض کنید دو رویداد A و B این باشند که دو نفر به موقع برای شام به خانه برسند و سومین رویداد درنوردید شهر توسط یک طوفان برفی باشد. در حالی که هر دو فرد در صورت وقوع طوفان به احتمال کمتری به موقع برای شام به خانه می‌رسند، این دو رویداد (A و B) همچنان مستقل از یکدیگر خواهند بود؛ یعنی دانستن اینکه اولی دیر رسیده‌است به شما نمی‌گوید که آیا فرد دیگر دیر خواهد رسید یا نه. البته در اینجا فرض شده‌است آنها در محله‌های مختلف زندگی کنند، مسافت‌های مختلفی را طی کنند و از روش‌های مختلف حمل و نقل استفاده کنند و اگر بدانیم آنها در یک محله زندگی می‌کنند، از حمل و نقل یکسان استفاده می‌کنند و در یک مکان کار می‌کنند، آنگاه این دو رویداد به صورت شرطی مستقل نیستند.
استقلال شرطی به ماهیت رویداد سوم بستگی دارد. اگر دو تاس بیندازید، ممکن است فرض شود که دو تاس مستقل از یکدیگر رفتار می‌کنند. با نگاه کردن به نتایج یک تاس نمی‌توانید در مورد نتیجه دومی صحبت کنید. (یعنی دو تاس مستقل هستند) با این حال، اگر نتیجه اولین تاس ۳ باشد، و شخصی در مورد رویداد سوم به شما بگوید - که مجموع دو نتیجه زوج است - در این صورت این واحد اطلاعات اضافی گزینه‌های نتیجه دوم را به یک عدد فرد محدود می‌کند. به عبارت دیگر، دو رویداد می‌توانند مستقل باشند، اما به‌طور مشروط مستقل نیستند.
قد و دایره لغات وابسته هستند زیرا افراد بسیار کوچک معمولاً کودک هستند و به خاطر واژگان اولیه خود شناخته می‌شوند. اما دانستن اینکه دو نفر ۱۹ ساله هستند (یعنی مشروط به سن) دلیلی وجود ندارد که فکر کنیم دایره لغات یک نفر بزرگتر است اگر به ما گفته شود قد آنها بلندتر است.
یک سنسور ضد حریق را در نظر بگیرید که در صورت وجود دود در یک اتاق هشدار می‌دهد. حال رویداد A را هشدار دادن دستگاه، رویداد B را وجود آتش در اتاق و رویداد C را وجود دود در اتاق در نظر بگیرید. آیا رویداد A و B مستقل‌اند؟ خیر؛ زیرا در صورت دانستن رخداد هر کدام، احتمال رخ دادن دیگری افزایش پیدا می‌کند.
فرض کنید به ما گفته شود که رویداد C رخ داده‌است. حال آیا رویداد A و B مستقل‌اند؟ بله؛ زیرا در صورت دانستن رخداد هر کدام، احتمال رخ دادن دیگری تغییری نمی‌کند.
دو متغیر تصادفی formula_51 و formula_52 با توجه به سومین متغیر تصادفی گسسته formula_53 ، به صورت شرطی مستقل هستند اگر و تنها اگر آنها در توزیع احتمال شرطی خود به شرط formula_53 مستقل باشند. به این معنا که، formula_51 و formula_52 به شرط formula_53 مستقل هستند اگر و فقط اگر، با توجه به هر مقدار از formula_53 ، توزیع احتمال formula_51 برای همه مقادیر formula_52 و توزیع احتمال formula_52 برای همه مقادیر formula_51 باشند؛ یعنی:جایی که formula_63 تابع توزیع تجمعی formula_51 و formula_52 به شرط formula_53 است.
دو رویداد formula_67 و formula_2 با توجه به جبر σ formula_69 به صورت شرطی مستقل هستند اگر
جایی که formula_71 نشان دهنده انتظار مشروط تابع شاخص رویداد است formula_1 ، formula_73 ، با توجه به جبر سیگما formula_69 . به این معنا که،
دو متغیر تصادفی formula_51 و formula_52 با توجه به جبر σ یا formula_69 به صورت شرطی مستقل هستند اگر معادله بالا برای به ازای هر formula_67 که در formula_80 و formula_2 که در formula_82 صدق کند.
دو متغیر تصادفی formula_51 و formula_52 با توجه به یک متغیر تصادفی، مشروط به formula_85 مستقل هستند اگر آنها به شرط (W)σ مستقل باشند که (W)σ جبر σ تولید شده توسط W است؛ یعنی:
این خوانده می‌شود " formula_51 مستقل از formula_52 است به شرط formula_85 "؛ شرطی شدن برای کل رویداد به صورت زیر اعمال می‌شود: "(formula_51 مستقل از formula_52) به شرط formula_85 ".
اگر formula_85 مجموعه ای از مقادیر قابل شمارش را فرض شود، این معادل استقلال شرطی "X" و "Y" برای رویدادهای به شکل formula_96 است. استقلال شرطی بیش از دو رویداد یا بیش از دو متغیر تصادفی به‌طور مشابه تعریف می‌شود.
دو مثال زیر این را نشان می‌دهد formula_97 "نه دلالت دارد و نه به وسیله" formula_94 . اول، فرض کنید formula_85 با احتمال ۰٫۵ برار ۰ و در غیر این صورت ۱ است. زمانی که "W" = ۰ است formula_51 و formula_52 را دو رویداد مستقل فرض کنید که هر کدام دارای مقدار ۰ با احتمال ۰٫۹۹ و در غیر این صورت مقدار ۱ هستند. زمانی formula_102 ، formula_51 و formula_52 دوباره مستقل هستند، اما این بار مقدار ۱ را با احتمال ۰٫۹۹ می‌گیرند. پس formula_94 برقرار است. ولی formula_51 و formula_52 وابسته هستند، زیرا Pr("X" = 0) < Pr("X" = 0| "Y" = ۰). این به این دلیل است که Pr("X" = ۰) = ۰٫۵، اما اگر "Y" = ۰ پس به احتمال بسیار زیاد "W" = ۰ و بنابراین "X" = ۰ است و می‌رسیم به Pr("X" = 0| "Y" = ۰) > ۰٫۵.
برای مثال دوم، فرض کنید formula_97 ، هر کدام مقادیر ۰ و ۱ را با احتمال ۰٫۵ می‌گیرند. اجازه دهید formula_85 محصول formula_110 باشد. پس از آن زمانی که formula_111 ، Pr("X" = ۰) = ۲/۳، اما Pr("X" = 0| "Y" = ۰) = ۱/۲، بنابراین formula_94 نادرست است این نیز نمونه ای از Explaining Away است. با توجه به آموزش کوین مورفی formula_51 و formula_52 ارزش‌های «مغز» و «ورزشی» را در نظر بگیرید.
دو بردار تصادفی formula_115 و formula_116 با توجه به بردار تصادفی سوم formula_117 ، به صورت شرطی مستقل هستند اگر و فقط در صورتی که آنها در توزیع تجمعی مشروط به formula_118 خود مستقل باشند.
جایی که formula_119 ، formula_120 و formula_121 و توزیع‌های تجمعی مشروط به صورت زیر تعریف می‌شوند.
فرض کنید "p" نسبت رأی دهندگانی باشد که در رفراندوم پیش روی «آری» خواهند داد. در انجام یک نظرسنجی "، n" رای‌دهنده را به‌طور تصادفی از بین جمعیت انتخاب می‌شوند."X" میتواد ۰ یا ۱ باشد و نشان می‌دهد آیا رای‌دهنده iام رای «بله» می‌دهد یا نه.
در یک رویکرد بیزی به استنتاج آماری، یک توزیع احتمال را به "p" "اختصاص می‌دهیم، و احتمالات را به‌عنوان درجاتی از اعتقاد به این که p" در هر بازه‌ای است تفسیر کنیم. که یک احتمال به آن اختصاص داده شده‌است. در آن مدل، متغیرهای تصادفی "X" ، …، "X" "مستقل نیستند"، اما با توجه به مقدار "p" به صورت شرطی مستقل هستند. به‌طور خاص، اگر تعداد زیادی از "X"‌ها برابر با ۱ مشاهده شود، این به معنای احتمال شرطی بالا است، با توجه به آن مشاهده، که "p" نزدیک به ۱ است، و بنابراین احتمال شرطی بالا، با توجه به آن مشاهده، که "X" "بعدی" که باید مشاهده شود برابر با ۱ خواهد بود.
مجموعه ای از قواعد حاکم بر بیانیه‌های استقلال مشروط از تعریف اصلی مشتق شده‌است.
این قواعد توسط پرل و پاز "Axioms Graphoid " نامیده شدند زیرا در گراف‌ها وجود دارند، جایی که formula_123 به این معنا تفسیر می‌شود: "همه مسیرها از "X" تا "A" توسط مجموعه "B قطع می‌شوند" ".
اثبات
اثبات
اثبات
شرط دوم را می‌توان به همین ترتیب اثبات کرد.
اثبات
این خاصیت را می‌توان با توجه ثابت کرد formula_137 ، که هر برابری آن توسط formula_135 و formula_132 ، به ترتیب.
برای توزیع‌های احتمال کاملاً مثبت، موارد زیر نیز صادق است:
با فرض:
با استفاده از این برابری، همراه با قانون احتمال کل در formula_142 اعمال می‌شود:
از آنجا که formula_144 و formula_145 ، نتیجه می‌شود که formula_146 .
نکته فنی: از آنجایی که این مفاهیم برای هر فضای احتمالی صدق می‌کنند، اگر کسی یک جهان فرعی را با شرطی کردن همه چیز بر روی متغیر دیگری در نظر بگیرد، همچنان پابرجا خواهد بود. "ک". مثلاً، formula_147 همچنین به این معنی است که formula_148 .