روش FEE
در ریاضی، روش FEE روشی سریع برای حمع بندی سری‌های است که به یک فرم خاص هستند. در سال ۱۹۹۰ این روش توسط Ekaterina A. Karatsuba و FEE نامیده شد - ارزیابی فوری E-function - زیرا محاسبات سریع Siegel را انجام می‌دهد. formula_1 توابع ممکن است، مخصوصاً از formula_2.
سیگل گروهی از توابع را که «مانند تابع‌های نمایی» هستند، «تابع E» نامید. از جمله این توابع می‌توان به توابع خاص مثل تابع فوق هندسی، استوانه، توابع کروی و … اشاره کرد.
قضیه مقابل را با استفاده از FEE می‌توان اثبات نمود:
قضیه: فرض می‌کنیم که اگر formula_3 یک تابع استعلایی مقدماتی باشد، یعنی تابع نمایی باشد یا یک تابع مثلثاتی، یا یک تابع جبری ابتدایی، یا برهم نهی آنها، یا معکوس آنها، یا برهم نهی معکوس‌ها. و بعد داریم:
در فرمول فوق: پیچیدگی محاسبه (bit) تابع formula_5 است formula_6 باn رقم دقت، پیچیدگی ضرب دو formula_7 است اعداد صحیح n رقمی
الگوریتم‌های که اساس آنها مبتنی بر روش FEE هستند روشی برای محاسبه فوری هر تابع ابتدایی ماورایی برای هر مقدار آرگومان، ثوابت کلاسیک e. formula_8 اویلرر formula_9 کاتالان و آپری، توابع ماورایی بالاتر مثل تابع گامای اویلر و مشتقات آن، توابع ابر هندسی، توابع کروی، توابع استوانه ای و برخی از تابع‌های دیگر برای مقادیر جبری آرگومان و پارامترها، تابع زتای ریمان برای مقدارهای صحیح آرگومان و تابع زتای هورویتز برای آرگومان عدد صحیح و مقدارهای جبری پارامتر، و به شکل مشابهی انتگرال‌های ویژه ای نظیر انتگرال احتمال، انتگرال فرنل، تابع نمای انتگرال، و برخی از انتگرال‌های دیگر برای مقدارهای جبری استدلال با حد بالای پیچیدگی که به حد بهینه نزدیک است شامل می‌شوند، پس داریم:
الان، تنها هزینه ایجاد می‌کند به محاسبه فوری مقدارهای توابع از گروهی از توابع برتر بالاتر، برخی انتگرال خاص از فیزیک و ریاضی از جمله ثابت کلاسیک به عنوان ثابت اویلرو ثابت کاتالان است و ثابت Apery کوتاه است. امکان موازی سازی الگوریتم‌ها بر اساس FEE است مزیت اضافی روش FEE.
می‌توان از فرمول اویلر به صورت زیر برای سنجش فوری و سریع ثابت formula_8 استفاده نمود formula_12 و مطابق بخش پایین می‌توان از FEE برای محاسبه محموع جملات تیلور استفاده کرد.
و برای
می‌توان از سایر تقریب‌ها برای حساب کردن formula_19 توسط FEE نیز استفاده کرد با این حال درتمام حالات برای پیچیدگی داریم:
برای حساب کردن گامای ثابت اویلر با n رقم دقت، باید با دو سری FEE جمع شوند. پس داریم:
برای بررسی فوری و سریع ثابت formula_24 برای سایر تقریب‌ها امکان اعمال FEE وجود دارد.
می‌توان دو سری زیر را با استفاده از FEE سریع حساب کرد پس داریم:
فرض می‌کنیم که formula_27 اعدادی صحیح هستند
و formula_29 ثابت هستند و formula_30 عددی جبری است و برای پیچیدگی ارزیابی آن داریم:
برای ارزیابی ثابت formula_33 گرفتن formula_34 ، شرایط سری تیلور برای formula_35
ما در اینجا m را طوری انتخاب می‌کنیم که نیاز آن به باقی مانده formula_37 به طوریکه نابرابری مقابل را داشته باشیم formula_38 برطرف می‌شود. برای مثال زمانی که formula_39 ، ما formula_40 را به طوری در نظر می‌گیریم که عدد طبیعی formula_41 توسط نامساوی‌ها مشخص می‌گردد و داریم:
جمع را محاسبه می‌کنیم
و در k مرحله فرایند زیر داریم:
مرحله ۱. ترکیب در formula_44 مجموع‌ها را به صورت دوتایی از داخل پرانتز عامل مشترک «بدیهی» را انجام می‌دهیم و حساب می‌کنیم پس داریم:
ما مقداری‌های صحیح عبارت‌های داخل پرانتز را حساب می‌کنیم، یعنی داریم:
پس، در مرحله اول مجموع formula_44 در است
در اولین قدم formula_50 اعداد صحیح فرم
حساب می‌گردند. بعد از آن به روشی مانند آن عمل می‌نماییم: در هر مرحله مجموع جمع را به صورت جفت و متوالی ترکیب می‌کنیم formula_44، فاکتور مشترک «بدیهی» را از براکت‌ها خارج می‌نماییم و فقط مقدارهای صحیح عبارات داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم. فرض کنید که اولی formula_53 مراحل این فرایند تکمیل شده‌است.
و غیره.
قسمت آخر. عددی صحیح را حساب می‌نماییم formula_59 ما با استفاده از الگوریتم فوری که پیش تر بررسی شد، حساب می‌نماییم formula_60 و تقسیمی از عدد صحیح انجام دهید formula_61 توسط عدد صحیح formula_60 با دقت تا formula_63 ارقام نتیجه به دست آمده حاصل جمع است پیچیدگی همه محاسبات تا n رقم برابر formula_64 است یا ثابت formula_33.