پارادوکس آسانسور
پارادوکس آسانسور، پارادوکسی است که اولین بار توسط ماروین استرن و جورج گامو، فیزیک‌دانانی که دفترشان در یک ساختمان 7 طبقه بود، مورد توجه قرار گرفت. گامو که دفترش در طبقه 2 قرار داشت، متوجه‌شد که اولین آسانسوری که در آن طبقه می‌ایستد از هر 6 بار توقف تقریباً در 5 توقف، به طرف پایین می‌رود مانند آنکه آسانسور در سقف ساخته‌شده و سپس جهت حرکت آن به طرف پایین قرار داده‌شده‌است. برای استرن که دفترش در طبقه 6 قرار داشت، این وضعیت عکس بود. تلاش‌های مکرری برای یافتن دلیل این پدیده شد؛ تحلیل‌های اولیه ساده بودند اما با تحلیل بیشتر جزئیات، مسئله پیچیده‌تر از آن بود که در ابتدا تصور می‌شد.
کنوث برای توضیح مسئله، فرض‌های زیر را در نظر گرفت: بنابراین زمانی که کلید در هر طبقه فشرده می‌شود، می‌توانیم قرارداد کنیم که هر آسانسور در نقطه‌ای تصادفی از چرخه‌اش است.
برای حالتی که یک آسانسور داریم، محاسبه احتمال آنکه آسانسور در حال حرکت به پایین، در طبقه‌ای مفروض بایستد، آسان است. فرض کنیم ساختمان دارای formula_1طبقه و formula_2متغیر تصادفی برنولی آن باشد که آسانسور در هنگام رسیدن به طبقه m در حال حرکت به سمت بالا باشد، در این صورت داریم: formula_3 اگر تعداد آسانسورها بیشتر باشد، این احتمال‌ها دیگر درست نخواهندبود. در واقع، هنگامی که تعداد آسانسورها به بی‌نهایت می‌کند، احتمال آنکه آسانسور در هر طبقه‌ای در حال حرکت به سمت بالا یا پایین باشد، دقیقاً برابر است، با این‌حال احتمال برای هر آسانسور همان formula_4 در حالت حرکت رو به بالا و formula_5 در حالت حرکت رو به پایین باقی می‌ماند و همهٔ آسانسورها با احتمال برابری اولین آسانسور هستند که به طبقه formula_6می‌رسند.
محاسبهٔ احتمال برای ۲ یا چند آسانسور پیچیده‌تر است. کنوث در این‌باره می‌گوید: «اینکه کدام آسانسور زودتر برسد تاحدودی بستگی به جهت حرکت آن دارد. مثلاً اگر در طبقه دوم باشیم و آسانسوری از طبقات بالا به سمت پایین و آسانسور دیگری از طبقه پایین به سمت بالا در حرکت باشند، به احتمال زیادی آسانسوری که از پایین می‌آید، زودتر می‌رسد با فرض اینکه بقیه شرایط یکسان باشند.» کنوث شرایط گامو به صورت زیر تحلیل می‌کند:
بخشی از مسیر حرکت یک آسانسور را به این صورت در نظر بگیرید که از طبقه چهارم شروع به حرکت به سمت پایین کرده، به طبقه اول می‌رود، جهت حرکتش تغییر می‌کند و به سمت طبقه دوم حرکت می‌کند. این بخش از حرکت آسانسور،formula_7 کل مسیر حرکت آسانسور است. در نصف اول این بخش، آسانسور در طبقه دوم با جهت حرکت به سمت پایین و در در نصف دیگر در طبقه دوم با جهت حرکت به سمت بالا می‌ایستد. به این نوع حرکت، حرکت بی‌طرفانه می‌گوییم. فرض‌کنیم تعداد آسانسورها برابر k باشد، کنوث دو حالت را در نظر گرفت:
۱. هیچ آسانسوری در حرکت بی‌طرفانه نباشد. احتمال این حالت برابر formula_8 است.
۲. حداقل یک آسانسور در حرکت بی‌طرفانه باشد. احتمال این حالت برابر formula_9 است. چون آسانسوری که در حرکت بی‌طرفانه باشد الزاماً زودتر به طبقه دوم می‌رسد، می‌توانیم هر آسانسوری را که در حرکت بی‌طرفانه است، در نظر نگیریم. در این‌صورت آسانسور با احتمال به سمت پایین در حرکت خواهدبود.
با در نظر گرفتن دو حالت بالا، احتمال آنکه اولین آسانسوری که به طبقه 2 می‌رسد، به طرف پایین حرکت کند برابر formula_10 است. در ساختمان 7 طبقه اگر 2 آسانسور داشته باشیم، احتمال آنکه آسانسوری که در طبقه 2 می‌ایستد در حال حرکت به پایین باشد برابر formula_11 می‌شود که کمی از formula_12کمتر است، بنابراین احتمال آنکه آسانسور به طرف بالا حرکت کند، بیش‌تر شده‌است. اگر تعداد آسانسورها 7 باشد، این احتمال برابر formula_13 خواهدشد که چندان از formula_14 بیشتر نیست.
کنوث احتمال آنکه اولین آسانسوری که در طبقه formula_6با جهت حرکت پایین می‌ایستد، برای یک ساختمان formula_1طبقه با formula_17آسانسور محاسبه کرده‌است. این احتمال برابر formula_18 است؛ که با میل کردن formula_1به بی‌نهایت، به formula_14میل می‌کند.