شاخص قدرت شپلی–شوبیک
شاخص قدرت شپلی–شوبیک در سال ۱۹۵۴ توسط لوید شپلی و مارتین شوبیک برای اندازه‌گیری قدرت بازیکنان در یک بازی رأی‌گیری فرمول‌بندی شد. این شاخص اغلب از نحوهٔ شگفت‌آورد توزیع قدرت پرده بر می‌آورد که در نگاه اول معلوم نیست.
مؤلفه‌های سیستم رأی‌گیری، از قبیل نهادهای قانونگذاری، مدیران اجرایی، سهامداران، افراد قانونگذار، و ... را می‌توان بازیکنان یک بازی n-نفره در نظر گرفت. بازیکنانی که ترجیحات یکسانی دارند ائتلاف تشکیل می‌دهند. هر ائتلافی که از قدرت لازم برای تصویب یک طرح یا انتخاب یک نامزد برخوردار باشد، برنده نامیده می‌شود و دیگران بازنده. شپلی و شوبیک، بر اساس مقدار شپلی به این نتیجه رسیدند که قدرت ائتلاف به‌سادگی متناسب با اندازه‌اش نیست.
قدرت یک ائتلاف (یا بازیکن) به اندازه قسمتی از دنباله‌های رأی‌دهی است که آن ائتلاف طبق آن دنباله رأی سرنوشت‌ساز را می‌دهد. رأی سرنوشت‌ساز اولین رأیی است که تکلیف تصویب یا عدم تصویب طرح را مشخص می‌کند.
شاخص قدرت را بین صفر تا یک نرمال‌سازی می‌کنند. قدرت صفر به این معناست که ائتلاف نمی‌تواند هیچ اثری بر نتیجهٔ بازی بگذارد، و قدرت یک به این معناست که ائتلاف نتیجهٔ بازی را با رأیش مشخص می‌کند. همچنین، مجموع قدرت همهٔ بازیکنان همیشه برابر یک است. فرض کنید نهادی متشکل از A و B و C و D که به ترتیب ۳ و ۲ و ۱ و ۱ رأی دارند بخواهد بر اساس قاعدهٔ اکثریت مطلق تصمیم‌گیری کند. برای به دست آوردن اکثریت مطلق کافی است ۴ رأی کسب شود. این اعضا می‌توانند به ۴!=۲۴ ترتیب رأی بدهند‌: در هر دنبالهٔ رأی‌دهی، رأی‌دهندهٔ کلیدی، آنی که مجموع آرا را برای اولین بار به ۴ یا بیشتر می‌رساند، پررنگ شده است. A در ۱۲ مورد از ۲۴ دنباله رأی‌دهندهٔ کلیدی است. در نتیجه، A شاخص قدرتی برابر یک‌دوم دارد. شاخص قدرت بقیه یک‌ششم است. جالب است که B قدرتی بیشتر از C یا D ندارد. وقتی در این نکته تأمل کنید که نتیجهٔ نهایی را رأی A مشخص می‌کند مگر اینکه سایر رأی‌دهندگان علیه A با یکدیگر متحد شوند، دریافت این واقعیت که B و C و D نقش یکسانی را ایفا می‌کنند، باورپذیرتر می‌شود. این واقعیت در شاخص‌های قدرت تبلور یافته است.
فرض کنید در نهادی دیگر متشکل از formula_1 عضو که مبنای تصمیم‌گیری در آن کسب اکثریت مطلق است، عضوی قوی formula_2 رأی دارد و هر یک از formula_3 عضو دیگر یک رأی. قدرت عضو قوی برابر formula_4 خواهد بود. با افزایش formula_2، قدرت عضو قوی به طرزی نامتناسب افزایش می‌یابد تا زمانی که حاصل کسر به نیم برسد و این فرد تقریبا همهٔ قدرت را در دست بگیرد. سهامداران بزرگ و کسانی که قصد تملک یک کسب‌وکار را می‌کنند از این پدیده استفاده می‌کنند.
این شاخص برای تحلیل رأی‌دهی در شورای اتحادیه اروپا به کار رفته است.
این شاخص برای تحلیل رأی‌دهی در شورای امنیت سازمان ملل به کار رفته است. شورای امنیت سازمان ملل ۱۵ عضو دارد که ۵ تایشان (آمریکا، روسیه، چین، بریتانیا، و فرانسه) دائمی هستند. برای تصویب یک قطعنامه، باید هر ۵ عضو دائم و ۴ عضو غیر دائم حامی آن باشند. این وضعیت مشابه نهادی است که پنج عضو دائم آن، هر کدام ۸ رأی داشته باشند و ده عضو غیردائم، هر کدام یک رأی. در مجموع ۵۰ رأی داده خواهد شد و کسب ۴۴ رأی برای تصویب یک قطعنامه لازم است. عضو غیردائم فقط در صورتی کلیدی خواهد بود که از لحاظ ترتیب رأی دهی در جایگاه نهم باشد و و هر پنج عضو دائم قبلاً رأی داده باشند. ترتیبی را فرض کنید که یک عضو غیردائم در جایگاه کلیدی قرار گرفته است. در این صورت سه عضو غیردائم و هر پنج عضو دائم پیش از او قرار گرفته باشند. بنابراین formula_6 حالت برای انتخاب این اعضا و 8! × formula_6 ترتیب متفاوت برای چینش اعضا قبل از عضو کلیدی وجود دارد. formula_8 ترتیب متفاوت نیز برای چینش اعضای بعدی هست. از آنجا که ۱۵ رأ‌دهنده به formula_9 ترتیب امکان چینش یافتن دارند، شاخص قدرت شپلی-شوبیک یک عضو غیردائم برابر formula_10 است‌. در نتیجه، شاخص قدرت یک عضو دائم برابر formula_11 است.