میدان‌های تصادفی شرطی کاملا متصل در ناحیه‌بندی تصاویر
یکی از چالش برانگیزترین مسائل در زمینه بینایی کامپیوتر، بخش‌بندی و طبقه‌بندی تصاویر چند طبقه است. هدف این است که هر پیکسل تصویر را با یکی از چند طبقه هدف برچسب گذاری کنیم، در نتیجه به صورت همزمان شناسایی و بخش‌بندی کلاس‌ها را انجام می‌دهیم. یک روش معمول این است که این مشکل را به عنوان حداکثر یک احتمال پسین (به انگلیسی: maximum a posterior) استنتاج کنیم که در یک میدان تصادفی شرطی (به انگلیسی: Conditional Random Field) بر روی پیکسل یا لکه‌های تصویری تعریف می‌شود.
پتانسیل‌های CRF، شرایط هموارسازی را ایجاد می‌کند که توافقنامه برچسب را بین پیکسل‌های مشابه به حداکثر می‌رساند، و می‌تواند شرایط پیچیده‌تری را که روابط زمینه‌ای بین کلاس‌ها را مدل می‌کنند، ادغام کند.
مدل‌های CRF پایه از پتانسیل‌های تکی (به انگلیسی: unary) بر روی پیکسل‌های تصویر و پتانسیل دوگانه در مورد پیکسل‌های مجاور تصویر تشکیل شده‌اند.
توانایی ساختار CRF برای مدل‌سازی ارتباطات دوربرد در درون تصویر محدود است و به‌طور کلی موجب هموارسازی بیش از حد مرز اشیا می‌شود. به منظور بهبود دقت تقسیم‌بندی و برچسب زدن، محققان چارچوب بنیادی CRF پایه را برای ترکیب اتصال سلسله مراتبی و پتانسیل‌های مرتبه بالاتر در تمامی تصویر گسترش داده‌اند.
یک میدان تصادفی X را در نظر بگیرید که بر روی مجموعه‌ای از متغیرها {formula_1} تعریف می‌شود. دامنه هر متغیر مجموعه‌ای از برچسب‌های {formula_2} = L است. یک میدان تصادفی I را نیز در نظر بگیرید که در آن متغیرهای {formula_3} تعریف شده‌اند. در تنظیمات ما، I تصاویر ورودی است و X برچسب‌های مختلفی است که می‌توان به تصویر نسبت داد . formula_4بردار رنگ تصویر jام را مشخص می‌کند وformula_5برچسبی که به پیکسل‌های آن اختصاص داده می‌شود را مشخص می‌کند.
میدان‌های تصادفی شرطی کاملاً متصل (I,X) با استفاده از توزیع گییبز به صورت زیر نشان داده می‌شود:
formula_6
که در آن formula_7یک گراف روی X است و هر کلیک formula_8درون مجموعهٔ formula_9نشان‌دهندهٔ formula_10است.
انرژی گییبز برچسب formula_11برابر formula_12است.
برچسب گذاری ای که دارای بیشترین احتمال وقوع است برابر است با: formula_13
ما در ادامه به جای formula_14از formula_15استفاده می‌کنیم.
در مدل پیوند جفتی کاملاً متصل، formula_16 یک گراف کامل روی X و formula_17 مجموعه تمام ویژگی‌های تکی و جفتی آن است. انرژی گیبس مربوطه به صورت زیر است:
formula_18
که در آن i و j از ۱ تا N متغیر هستند. پتانسیل تکی،formula_19 به صورت مستقل برای هر پیکسل توسط یک طبقه‌بندی کننده که توزیع روی برچسب formula_20است محاسبه می‌شود. این پتانسیل‌ها برای بیان رابطه بین شکل، بافت، مکان، و رنگ استفاده می‌شوند.
از آنجایی که خروجی طبقه‌بندی کننده تکی برای هر پیکسل به‌طور مستقل از خروجی‌های طبقه‌بندی کننده‌ها برای پیکسل‌های دیگر تولید می‌شود، خروجی برچسب خورده به شدت نویزی است. از این رو ما رابطه پتانسیل بین پیکسل‌ها را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
formula_21که در آن هر formula_22یک کرنل گوسی برای رابطه formula_23است و رابطهٔ formula_24نشان‌دهندهٔ بردار ویژگی‌های دودویی است که ما برای آن تعریف کرده‌ایم؛ که این بردار ویژگی می‌تواند اختلاف رنگ دو پیکسل یا اختلاف مکانی آن دو باشد.
formula_25 تابع سازگاری با برچسب ساده μ توسط مدل Potts معرفی می‌شودو یک پنالتی را برای پیکسل‌های مرتبط با هم به برچسب‌های مختلف در نظر می‌گیرد.
الگوریتم ما براساس یک تقریب میدان میانگین از توزیع crf عمل می‌کند. این بخش یک الگوریتم انتقال پیام تکراری را برای استنباط تقریبی ارایه می‌دهد. مشاهده کلیدی ما این است که انتقال پیام در مدل ارائه‌شده می‌تواند با استفاده از فیلترینگ گاوسی در فضای ویژگی انجام شود. این امر ما را قادر می‌سازد که از تقریب‌های بسیار مؤثر برای فیلترینگ با ابعاد بالا استفاده کنیم، که پیچیدگی ارسال پیام را از درجه دو به خطی کاهش می‌دهد، که در نتیجه یک الگوریتم استنباطی تقریبی به دست می‌آید که خطی و با درجه تعداد متغیر N است.
به جای محاسبه توزیع دقیق (x)P, تقریب میدان میانگین یک توزیع Q(x) را محاسبه می‌کند که رابطه را به حداقل می‌رساند. این رابطه به صورت زیر تعریف می‌شود:
formula_26
از آنجایی که تمام توابع توزیع Q می‌تواند به صورت یک محصول حاشیه مستقل بیان شود داریم : formula_27
حداقل‌سازی رابطه بالا با فرض موجود بودن formula_28 و formula_29معادله هنگام‌سازی تکراری زیر را به ما می‌دهد:
formula_30که این الگوریتم به صورت جزئی در هر مرحله به صورت زیر عمل می‌کند:
هر بار تکرار الگوریتم بالا یک مرحله انتقال پیام، یک تبدیل سازگاری و یک به روزرسانی محلی را انجام می‌دهد. هم تغییر سازگاری و هم به روز رسانی محلی در زمان خطی انجام می‌شوند و بسیار کارآمد هستند. ستون فقرات محاسبات قسمت انتقال پیام است. برای هر متغیر این مرحله مستلزم ارزیابی مجموع تمام متغیرهای دیگر است. در نتیجه یک پیاده‌سازی ساده، پیچیدگی درجه‌دوم از تعداد متغیر N دارد. سپس، نشان می‌دهیم که چگونه فیلتر کردن ابعادی بالا می‌تواند برای کاهش هزینه محاسباتی ارسال پیام مورد استفاده قرار گیرد.
از دیدگاه پردازش سیگنال، مرحله عبور پیام می‌تواند با کانولوشن با یک هسته گاوسی formula_31 در فضای ویژگی بیان شود و رابطه آن به صورت زیر است:
formula_32
دلیل اینکه formula_33را از حاصل کم می‌کنیم به دلیل این است که کانولوشن روی همهٔ متغیر هاانجام می‌شود اما ما حاصل جمع را روی همهٔ عوامل غیر از خود formula_34می‌خواهیم. این کانولوشن یک فیلتر پایین گذر که اساساً باند محدود کننده است پیاده‌سازی می‌کند.
با استفاده از قضیه نمونه‌برداری این تابع را می‌توان از مجموعه‌ای از نمونه‌هایی که فاصله‌گذاری آن متناسب با انحراف استاندارد فیلتر است، بازسازی نمود.