توزیع توانی
یک توزیع توانی در علم آمار، نوعی رابطه تابعی بین دو کمیت است، که در این رابطه یک در یک کمیت، منجر به تغییر مرتبط متناسب در کمیت دیگر می‌شود؛ و این موضوع به سایز اولیه کمیت‌ها وابستگی ندارد: یک کمیت به صورت توانی از دیگری تغییر می‌کند. مثلاً مساحت یک مربع از دیدگاه طول ضلع آن را در نظر بگیرید، اگر طول دو برابر شود، مساحت در یک فاکتور چهار ضرب می‌شود.
یکی از ویژگی‌های توزیع توانی مسقل بودن از مقیاس است. اگر رابطه formula_1 را داشته باشیم و آرگومان (شناسه) x را توسط فاکتور ثابت c مقیاس دهی کنیم، تنها سبب یک مقیاس‌دهی متناسب برای خود تابع می‌شود، یعنی
formula_2
در اینجا علامت formula_3 نشان دهنده تناسب مستقیم است. یعنی مقیاس‌دهی با یک ثابت c، به سادگی رابطه توانی اصلی را در یک ثابت formula_4 ضرب می‌کند؛ بنابراین این موضوع به معنی آن است که هر توزیع توانی با یک نمای مقیاس مشخص، از طریق فاکتورهای ثابت، با هم معادل اند، زیرا هر کدام به سادگی یک ورژن مقیاس‌دهی‌شده از دیگری هستند. این رفتار همان چیزی است که موقعی که از هر دو x و formula_5 لگاریتم گرفته شود، یک «رابطه خطی» را می‌سازد: به خط مستقیم در نمودار log-log معمولاً «امضا» ی یک رابطه توانی می‌گویند. اگر با داده‌های واقعی کار کنیم، این مستقیم بودن لازم است، اما یک شرط کافی برای داده‌هایی که از رابطه توانی پیروی می‌کنند، نیست. در واقع راه‌های زیادی برای ایجاد داده‌های محدود وجود دارد، که از این رفتار امضایی تقلید می‌کنند، اما، در حد مجانبی‌شان، یک توانیی صحیح نیستند (مثلا موقعی فرایند ایجاد داده از توزیع لگاریتمی نرمال پیروی می‌کند). بنابراین تناسب و درستی‌سنجی دقیق مدل‌های توانی، یک زمینهٔ پژوهشی فعال در علم آمار است.
یک متغیر توانی formula_6، فقط وقتی یک میانگین خوش-تعریف روی formula_7 دارد که formula_8 باشد و فقط وقتی واریانس محدود دارد که formula_9 باشد. بیشتر توزیع‌های توانی در طبیعت، نماهایی دارند که میانگین آن‌ها خوش تعریف است، ولی واریانس آن‌ها خوش تعریف نیست، و این به معنی آن است که پتانسیل رفتار قوی سیاه را دارند. این موضوع در این آزمایش قابل مشاهده است: اتاقی را با تعدادی از دوستانتان در نظر بگیرید، و فرض کنید می خواهیم، درآمد ماهیانه میانگین در اتاق را تخمین بزنید. حال فرض کنید که پولدارترین فرد جهان با درآمد ماهیانه تقریباً ۱ بیلیون دلار آمریکا به اتاق وارد شود. در مورد درآمد میانگین در اتاق چه رخ می‌دهد؟ در اینجا درآمد بر اساس یک توزیع توانی که توزیع پارتو نامیده می‌شود، توزیع شده‌است (مثلا، در واقعیت هم ثروت شبکه ای آمریکایی‌ها براساس توزیع توانی با نمای ۲ توزیع شده‌است).
از یک جهت، این موضوع، استفاده از آماره‌های سنتی، که بر اساس واریانس و انحراف معیار اند، را اشتباه و غلط می‌سازد (مثلا تحلیل رگرسیون). از جهت دیگر، این موضوع مداخلات مؤثر از نظر مالی را ممکن می‌سازد. برای مثال، اگر دود خروجی خودروها بر اساس توانی بین خودروها توزیع شده باشد (خودروهای بسیار کمی در بیشتر آلودگی‌ها مشارکت دارند) کافی است تا آن خودروهای بسیار اندکی را از جاده حذف کنیم، تا به صورت قابل ملاحظه‌ای، کل دود، کاهش یابد.
در اینجا، میانگین وجود ندارد، اما، برای یک توزیع توانی "x" با نمای ، مقدار آن 2"x" می‌شود، که در آن "x" مقدار حداقلی است که برای آن توزیع برقرار است.
هم‌ارزی توزیع‌های توانی با یک نمای مقیاس خاص، می‌تواند ریشهٔ عمیق‌تری در فرایندهای پویایی داشته باشد که رابطه توانی را می‌سازند. برای مثال، در فیزیک، گذار فاز در سیستم‌های ترمودینامیک با پدیدار شدن توزیع‌های توانی با کمیت‌های معین، مرتبط است، که در آنها به «نما» آنها «» سیستم گفته می‌شود. سامانه‌های متنوع با «نمای بحرانی» مشابه-که موقعی که به سمت بحران می‌روند، رفتار مقیاسی مشابهی را نمایش می‌دهند. این موضوع را می‌توان از طریق نظریه گروه بازبهنجارش نمایش داد، که آن گروه، در پویایی اساسی مشابهی مشترک می‌باشند. برای مثال، رفتار آب و CO در نقاط جوش‌شان در یک کلاس جهانی قرار می‌گیرند، زیرا «نماهای بحرانی» مشابهی دارند. در عمل، تقریباً همه گذارهای فاز مادی، فقط توسط مجموعه کوچکی از «کلاس‌های جهانی» توصیف می‌شوند. مشاهدات مشابهی، اگرچه نه به صورت جامع، برای انواع مختلف انجام شده‌است، که در آن‌ها نقطه بحرانی سامانه نکته جذاب بوده‌است. به صورت صوری، به این «اشتراک پویایی»، جهانشمولی گفته می‌شود، و سامانه‌هایی که دقیقاً یک نمای بحرانی مشابه دارند، به یک تعلق دارند.
علاقه عملی به روابط توانی، به صورت جزئی از سازوکارهای راحتی که توسط آن «کلاس‌های عمومی» معین آن‌ها را ساخته می‌شود، نشات می‌گیرد. نشان دادن یک رابطه توانی در یک مجموعه داده، می‌تواند به وجود نوع خاصی از «سازوکار» اشاره کند که می‌تواند زیربنای پدیده طبیعی مورد سؤال باشد، و همچنین می‌تواند نشان دهنده یک رابطه عمیق با دیگر سامانه‌های ظاهراً غیر مرتبط باشد، جهانشمولی را در بالا ببینید. همگیر بودن روابط توانی در فیزیک به صورت جزئی به علت محدودیت‌های ابعادی رخ می‌دهد، در حالیکه در سامانه‌های پیچیده، توزیع‌های توانی معمولاً امضایی از فرایندهای تصادفی سلسله مراتبی یا خاص در نظر گرفته می‌شوند. تعدادی از مثال‌های قابل ذکر برای توانی این موارد هستند: قانون پارتو در توزیع ثروت، خود-مشابهتی ساختاری در برخال‌ها، و توزیع‌های توانی در سامانه‌های زیستی. پژوهش دربارهٔ ریشه روابط توانی، و تلاش برای مشاهده و راستی آزمایی آنها در جهان واقعی، یک موضوع فعال پژوهشی در خیلی از زمینه‌های علمی است، که شامل فیزیک، علوم رایانه، زبان‌شناسی، ژئوفیزیک، علوم اعصاب، جامعه‌شناسی، اقتصاد و غیره است.
با این حال، بیشتر علاقه معاصر به توزیع‌های توانی از مطالعه توزیع احتمال می‌آید: به نظر می‌رسد که توزیع انواع متفاوتی از کمیت‌ها از حالت توانی پیروی کنند، حداقل در دنباله بالایی شان (وقایع بزرگ). رفتار این وقایع بزرگ این کمیت‌ها را به مطالعه نظریه انحراف بزرگ (که به آن نظریه مقدار حدی گفته می‌شود) پیوند می‌دهد، این موضوع فرکانس وقایع بسیار نادر مثل سقوط بازار سهام و رخدادهای طبیعی بزرگ را درنظر می‌گیرد. این موضوع در اصل در مطالعه توزیع‌های آماری که در نام آنها «توانی» وجود دارد، حضور دارد.
در زمینه‌های عملی، یک تقریب از توانی formula_10 معمولاً یک عبارت انحراف formula_11 دارد، که می‌تواند نشان دهنده عدم قطعیت در مقادیر مشاهده شده باشد (احتمالا خطاهای اندازه‌گیری یا نمونه‌گیری) یا روش ساده ای برای مشاهداتی که از تابع توانی انحراف دارند فراهم می‌کند (احتمالا به دلایل تصادفی):
formula_12
از نظر ریاضیاتی، یک توزیع توانی محض نمی‌تواند یک توزیع احتمال باشد، ولی یک توزیع که تابع توان کوتاه شده‌است، ممکن است: formula_13 برای formula_13 که در آن نمای formula_15 (حرف یونانی آلفا و نه فاکتور مقیاس دهی formula_16 که در بالا استفاده شده‌است) از ۱ بزرگتر است (درغیر این صورت دنباله آن مساحت بینهایت دارد)، مقدار حداقل formula_17 هم نیاز است زیرا در غیر اینصورت موقعی که x به سمت ۰ میل می‌کند، توزیع مساحت بینهایت دارد، و ثابت C یک فاکتور مقیاس دهی است، که این فاکتور اطمینان حاصل می‌کند که مساحت کلی برابر ۱ است، این موضوع برای یک توزیع احتمال یک «نیازمندی» است. به صورت عمومی تر می‌توان از یک توزیع توانی مجانبی استفاده کرد- یعنی توانی که فقط در حد صحیح است؛ توزیع‌های احتمال توانی را در زیر برای جزئیات بیشتر ببینید. معمولا نما در بازه formula_18 می‌باشد، اگرچه این موضوع همیشه برقرار نیست.
به صورت آزادتر، یک توزیع احتمال توانی، نوعی توزیع است که تابع چگالی (یا تابع جرم در حالات گسسته)، برای مقادیر بزرگ x این فرم را دارد:
formula_19
که در آن formula_20، و formula_21 یک است، یعنی هر تابعی است که در این رابطه formula_22 برای هر فاکتور مثبت r برقرار است. این ویژگی formula_21 به صورت مستقیم از این نیازمندی که formula_24 به صورت مجانبی ثابت مقیاسی است، پیروی می‌کند؛ از این رو فرم formula_21 تنها کنترل‌کننده شکل و گستره محدود برای دنباله پایینی است. برای مثال، اگر formula_21 یک تابع ثابت باشد، آنوقت ما یک توانی داریم که برای تمام مقادیر formula_27 برقرار است. در خیلی از حالات، راحت‌تر است که یک حد پایین formula_28 را فرض کرد که از آن مقدار، قانون برقرار می‌شود. با ترکیب این دو حالت و این فرض که x یک متغیر پیوسته‌است، توانی فرم زیر را دارد
formula_29
در اینجا پیش-فاکتور formula_30 یک ثابت بهنجارسازی است. ما اکنون می‌توانیم ویژگی‌های مختلف این توزیع را در نظر بگیریم. برای مثال گشتاور آن به صورت زیر است
formula_31
که تنها برای formula_32 تعریف شده‌است. یعنی همه گشتاورهای formula_33 واگرا هستند: موقعی که formula_34 میانگین و همه گشتاورهای سطح بالاتر بینهایت می‌باشند؛ موقعی که formula_35 میانگین وجود دارد، اما واریانس و گشتاورهای سطح بالاتر بینهایت اند و غیره. برای نمونه‌های با سایز محدود، که از این توزیع بیرون کشیده شده‌اند، این رفتار به معنی آن است که برآوردگرهای (مثل میانگین و واریانس) برای گشتاورهای واگرا هیچ وقت همگرا نمی‌شوند - یعنی مادامیکه داده بیشتری جمع‌آوری می‌شود آنها شروع به رشد می‌کنند. به این نوع توزیع‌های احتمال توانی، توزیع‌های با نوع پارتو، توزیع‌های با دنباله پارتو، یا توزیع‌های دارای دنباله‌های به صورت منظم متغیر گفته می‌شود.
یک اصلاح، که در فرم عمومی بالا برآورده نمی‌شود و یک محل مقطع نمایی دارد، به این صورت است:
formula_36
در این توزیع، عبارت زوال formula_37 در نهایت، در مقادیر بسیار زیاد x، بر رفتار توانیی غلبه می‌کند. این توزیع مقیاس پذیر نیست و بنابراین، از نظر مجانبی، یک توانی نیست؛ با این حال در یک فضای محدود قبل از نقطه قطع، مقیاس پذیر است. (توجه کنید که حالت اصلی بالا نیز مجموعه‌ای از این خانواده است که در آن formula_38 می‌باشد). این توزیع جایگزین معمولی برای توزیع توانی مجانبی است، زیرا به صورت طبیعی اثرات سایز-محدود را در اختیار می‌گیرد.