منحنی موازی
منحنی‌های موازی (Parallel Curves)، پوشش یا لفافی از خانواده دایره‌های هم ارز هستند که حول یک منحنی تمرکز یافته‌اند. این اشیاء مفهوم خطوط موازی را تعمیم می‌دهند. همچنین می‌توان آن را به این صورت نیز تعریف نمود: منحنی که نقاطش در "فاصله نرمال ثابتی" از یک خم دلخواه قرار داشته باشند.
این دو تعریف کاملاً با هم معادل نیستند، چرا که تعریف اخیر هموار بودن را فرض کرده درحالی که تعریف اولی چنین فرضی را به کار نمی‌برد.
در طراحی به کمک رایانه (CAD)، اصطلاح منحنی آفست (Offset Curve) ترجیح داده می‌شود.
بر هر نقطه formula_1 بر هر منحنی پیوستهٔ formula_2 می‌توان یک خط مماس یکتای formula_3 و یک خط نرمال یکتای formula_4 رسم کرد. این خط نرمال بر منحنی عمود است و از آن برای اندازه‌گیری فاصله‌ها از منحنی استفاده می‌شود. روی هر خط نرمال formula_4، تنها دو نقطهٔ formula_6 و formula_7 هستند که فاصله‌شان از منحنی formula_2 برابر formula_9 است. این نقاط را می‌توان از تقاطع دایره‌ای به مرکزیت formula_1 و با شعاع formula_9 و خط نرمال formula_4 بدست آورد.
آفست منحنی پیوسته c با فاصلهٔ formula_9 به شکل ذیل تعریف می‌شود: بر روی هر خط نرمال، دو نقطه‌ای که از منحنی formula_2 فاصلهٔ formula_9 را داشته باشند مشخص می‌کنیم. مجموعهٔ همهٔ این نقاط آفست formula_16 است.
به‌سادگی می‌توان نشان داد که خط نرمال منحنی آفست formula_16 و منحنی اولیه یکی است، بنابراین خطوط مماس formula_16 و formula_2 با هم موازی‌اند. ازین رو منحنی‌های آفست منحنی موازی هم نامیده می‌شوند.
با تغییر دادن فاصلهٔ formula_9 می‌توان خانواده‌ای از منحنی‌های آفست بدست آورد. برای منحنی‌های محدب بسته، این آفست‌ها به دو دسته تقسیم می‌شوند که یک دسته داخل منحنی و یک دسته بیرون منحنی قرار دارند. برای منحنی‌های باز، دستکم دو روش برای تعریف منحنی آفست وجود دارد: یا آفست‌ها به شکل دو دستهٔ گسسته تولید می‌شوند یا می‌توان آنان را به هم پیوند داد به شکلی که انتهای هر کدام یک نیم‌دایره باشد.
اگر معادله پارامتری یک منحنی مسطح formula_21 باشد، معادلهٔ پارامتری منحنی آفست آن عبارت است از formula_22 که در آن formula_9 فاصلهٔ آفست و formula_24 بردار واحد منحنی نرمال است. برای به دست آوردن formula_24 منحنی formula_2 را ۹۰ درجه می‌چرخانیم و آن را بر طول خود تقسیم می‌کنیم:
formula_27
منحنی‌های آفست دایره به شعاع formula_28 و مرکز formula_29 در فاصلهٔ formula_9 دایره‌هایی خواهد بود به مرکز formula_29 و شعاع‌های formula_32 و formula_33. برای دایره همهٔ منحنی‌های آفست دایره‌هایی هم‌مرکز هستند. برای بیضی منحنی آفست formula_16 هنگامی که فاصلهٔ d به‌اندازهٔ کافی کوچک باشد بیضی خواهد بود، ولی پس از حدی منحنی آفست با خود تقاطع خواهد داشت و دیگر بیضی نیست.
چندضلعی‌ها از تعدادی پاره‌خط مستقیم و تعدادی رأس تشکیل شده‌اند. هر پاره‌خط تنها یک نرمال دارد و بنابر این آفست آن مشخصاً یک پاره‌خط است. ولی هر رأس تعداد بیشماری نرمال دارد و آفست آن بخشی از دایره خواهد بود. بنابر این آفست چندضلعی‌ها ترکیبی از پاره‌خط و بخش‌های دایره است.
مشابه منحنی‌های آفست، تعریف سطح آفست با اندازه‌گیری فاصله از سطح در راستای خط‌های نرمال انجام می‌شود. برای هر سطح پیوستهٔ formula_35، آفست formula_36 در فاصلهٔ formula_9 به شکل ذیل تعریف می‌شود: روی هر خط نرمال سطح، دو نقطه که از سطح formula_35 در فاصلهٔ formula_9 هستند را مشخص می‌کنیم و مجموعهٔ همهٔ این نقاط را formula_36 می‌نامیم. می‌توان نشان داد که خطوط نرمال سطح formula_35 و آفست آن formula_36 مشترک است.
صفحات مماس بر نقاط متناظر سطوح formula_35 و formula_36 موازی هستند و ازین رو سطح آفست سطح موازی نیز نامیده می‌شود.
اگر معادله پارامتری یک سطح مسطح formula_45 باشد، معادلهٔ پارامتری سطح آفست آن عبارت است از formula_46 که در آن formula_9 فاصلهٔ آفست و formula_48 بردار واحد خط نرمال است.
گیریم formula_49 استوانه‌ای دورانی با محور formula_50 و شعاع formula_28 باشد. آفست این سطح دو استوانهٔ دورانی formula_52 با شعاع‌های formula_32 و formula_33 است. این استوانه‌ها خطوط نرمال مشترکی دارند که بر محور مشترک همهٔ آن‌ها (formula_50) عمود است. به‌طور کلی آفست formula_36 سطح دورانی formula_35 خود سطحی دورانی با محوری مشترک با سطح اصلی است؛ بنابراین برای بدست آوردن سطح آفست می‌توان ابتدا منحنی مولد سطح اصلی را آفست کرد و سپس با چرخاندن منحنی آفست منحنی مولد (که منحنی مولد سطح آفست است) سطح آفست را بدست آورد.
سطوح آفست کره‌ای به مرکزیت formula_29 و شعاع formula_28 در فاصلهٔ formula_9 دو کرهٔ هم مرکز به شعاع‌های formula_61 است. کره حالت خاصی از سطحی دورانی به نام چنبره است. مثل کره، آفست چنبره هم چنبره‌هایی با محور و دایرهٔ مولد یکسان است.
سطح استوانه‌ای formula_49 با اکستروژن منحنی پیوسته و مسطح formula_2 (روی صفحهٔ formula_64) تولید می‌شود. قابل توجه است که هر مقطع عرضی سطح formula_49 که موازی با صفحهٔ formula_64 باشد یک کپی مشابه منحنی formula_2 است و همهٔ خطوط نرمال سطح formula_49 با صفحهٔ formula_64 موازی‌اند. برای به‌دست آوردن سطح آفست formula_52، ابتدا منحنی formula_16 در فاصلهٔ formula_9 را با آفست کردن formula_2 بدست می‌آوریم و سپس آن را اکسترود می‌کنیم. سطوح آفست سطوح استوانه‌ای خود سطوحی استوانه‌ای هستند.
سطح مخروطی C از اتصال منحنی c به نقطهٔ رأس v با استفاده از مجموعه‌ای از پاره‌خط‌های مستقیم (موسوم به مولدها) تولید می‌شود. از آنجا که C در نقطهٔ رأس v پیوسته نیست، سطح C در آن نقطهٔ خط نرمال یکتا ندارد (یا بینهایت خط نرمال دارد). ازین‌رو آفست در نقطهٔ رأس v بخشی از کرهٔ S است.
خط نرمال مولدهای سطح مخروطی خود مجموعه‌ای از پاره‌خط‌های مستقیم است که بر کره S را در راستای منحنی v_d مماس‌اند. به عبارت دیگر، این مولدها در یک نقطه به‌هم نمی‌رسند و ازین رو آفست سطوح مخروطی دیگر یک سطح مخروطی نیست.
سهمی‌گون هذلولی نوعی سطح خط‌دار است که دو نوع خط مولد را بر روی خود دارد. در نقاط مختلف روی این خط مولدها، جهت خط مماس بر سطح و در نتیجه جهت منحنی نرمال متغیر است، بنابراین آفست خطوط مولد سهمی‌گون هذلولی دیگر خط مستقیم نیستند و در نتیجه آفست سهمی‌گون هذلولی، سهمی‌گون هذلولی نیست.
سطح چندوجهی یک سطح گسسته است که از تعدادی وجه، ضلع، و رأس تشکیل شده‌است. هر وجه این سطوح یک خط نرمال یکتا دارد و ازین رو آفست آن مشخص است؛ ولی این امر برای اضلاع و رئوس صدق نمی‌کند.
هر نقطه روی ضلع چندوجهی تعداد بیشماری خط نرمال دارد و ازین رو آفست آن بخشی از یک استوانه است. همچنین هر رأس چهار وجهی هم تعداد بیشماری خط نرمال دارد و ازین رو آفست آن بخشی از یک کره است. در نتیجه آفست سطح چندوجهی ترکیبی از صفحات مسطح و بخش‌هایی از استوانه و کره است.
به‌سبب برخی نیازهای کاربردی، گاه تنها به بخشی از منحنی آفست نیاز است و لازم است بخش‌های اضافی را حذف کرد. به این عملکرد تریم (پیراستن) گفته می‌شود.
تریم می‌تواند به صورت محلی باشد یا سراسری. در تریم محلی بخش‌هایی از آفست که به‌خاطر تقاطع منحنی آفست با اصلی هم‌پوشان شده‌اند حذف می‌شوند. برای حذف همپوشی‌هایی که حاصل تقاطع آفست بخش‌های مختلف منحنی اصلی‌اند از تریم سراسری استفاده می‌شود.
تریم سطوح آفست عملکردی است دشوار، چرا که این سطوح می‌توانند پیچیدگی بسیاری داشته باشند. در برنامه‌های کامپیوتری، برای تریم کردن از محاسبات عددی استفاده می‌شود. ممکن است سیستم‌های CAD در محاسبهٔ تریم آفست سطوح ناموفق باشند که این به معنای پیچیده بودن آفست‌ها برای متدهای به‌کار رفته در سیستم است. آفست برخی از سطوح سطحی خاص است (مثلاً آفست سطوح استوانه‌ای خود سطوحی استوانه‌ای هستند). ازین امر می‌توان در ساده ساختن محاسبهٔ تریم آفست سطوح استفاده کرد.
در هنگام آفست کردن، برخی نرم‌افزارهای CAD به‌جای جایگزینی نقطهٔ P با قوسی دایره‌ای، آنرا به گوشه‌ای تیز تبدیل می‌کند و بدین شکل آفست P_d چندضلعی p خودش هم یک چندضلعی خواهد بود. در این‌صورت، باید توجه داشت که فاصلهٔ برخی از نقاط روی P_d از چندضلعی P از مقدار d بیشتر است.
برای رسم آفست گسسته چندضلعی P، به موازای هر ضلع آن و با فاصلهٔ‌ d خطوطی رسم می‌کنیم و آن‌‌ها را از محلی که همدیگر را قطع می‌کنند می‌بریم.
آفست گسستهٔ چندوجهی P خود یک چندوجهی است که آنرا با نماد P_d نشان می‌دهیم. فاصلهٔ برخی نقاط روی وجوه این چندوجهی از چندوجهی P از فاصلهٔ آفست d بیشتر است، ولی بااین وجود گاه چندوجهی بودن آفست یک چندوجهی از دقت آفست اهمیت بیشتری دارد. برای رسم P_b، آفست هر یک از وجوه را در فاصلهٔ d رسم می‌کنیم و آن‌ها را آنقدر ادامه می‌دهیم که همدیگر را قطع کنند، و سپس از محل تقاطع چندضلعی‌ها را می‌بریم.