معادله ولاسوف
معادله ولاسوف، معادله‌ای دیفرانسیلی است که تحول زمانی تابع توزیع پلاسما را، شامل ذراتی باردار که در فواصل طولانی با هم اندرکنش دارند، نشان می‌دهد، مانند قانون کولن. این معادله نخستین بار توسط آناتولی ولاسوف در ۱۹۳۸ برای توصیف پلاسما پیشنهاد شد، که بعدها با بررسی‌های بیشتر توسط خود او کامل‌تر شد.
مشکلات روش انرژی جنبشی: در ابتدا ولاسوف استدلال کرد که اگر انرژی جنبشی بر اساس معادله بولتزمن را برای توصیف پلاسما با اندرکنش دوربرد کولنی به کار بریم با مشکل مواجه می‌شویم. برای مثال وقتی که دینامیک پلاسما با انرژی جنبشی بین برخورد دو ذره توصیف شود، مسائل زیر پیش می‌آیند: ولاسوف گمان می‌کرد که این مشکلات ناشی از پارامترهای دوربرد اندرکنش‌های کولنی هستند. او با حل معادله غیربرخوردی بولتزمن در مختصات تعمیم یافته شروع کرد:
۰=formula_1
با حل معادله ریفرانسیلی با مشتق پاره‌ای:
formula_2formula_3formula_4
و تعمیم آن به پلاسما، منجر به دستگاه معادلات زیر می‌شود. در این‌جا f تابع توزیع عمومی ذرات با تکانه p در مختصات r و زمان داده شده t است.
دستگاه معادلات ولاسوف-ماکسول (برحسب گوس)
ولاسوف به جای توضیح برهمکنش‌های ذرات باردار پلاسما بر پایه انرژی جنبشی برخوردی، از ترکیب میدان‌های ایجاد شده توسط ذرات باردار به همراه توابع توزیع الکترون‌ها formula_5و یون‌ها formula_6 استفاده کرد.
تابع توزیع formula_7 برای گونه‌های α، تعداد ذره‌های گونه‌های α که تکانه تقریبی P را در حوالی نقطه r در زمان t دارند، نشان می‌دهد. برای توصیف مولفه‌های باردار پلاسما به جای معادله بولتزمن، دستگاه معادلات ارائه می‌شود:
formula_8
formula_9
که در اینجا e بار الکترون، c سرعت نور، formula_10 جرم یون، ریاضی بیان‌گر میدان الکترومغناطیسی ایجاد شده در نقطهٔ r و و در لحظه t توسط کل ذرات پلاسماست. تفاوت اصلی این دستگاه معادلات با معادلات حاکم بر ذراتی که در میدان الکترومغناطیسی خارجی هستند در این است که به شکل پیچیده‌ای به تابع توزیع الکترون هاformula_5 و یون‌هاformula_6 بستگی دارد.
معادلات ولاسوف-پواسون: معادلات ولاسوف-پواسون تقریبی از معادلات ولاسوف-ماکسول در نبود میدان مغناطیسی و حالت غیرنسبیتی هستند:
formula_13
و معادله پواسون برای میدان الکتریکی مستقل:
formula_14
که در اینجا qα بار الکتریکی ذرات، mα جرم ذرات، formula_15 میدان الکتریکی مستقل، formula_16 پتانسیل الکتریکی مستقل و ρ چگالی بار الکتریکی است. معادلات ولاسوف-پواسون برای توضیح پدیده‌های مختلفی در پلاسما به خصوص جذب لانداو و توزیع در یک پلاسما دو لایه‌ای که غیرماکسولی هستند و در نتیجه از مدل سیالی پیروی نمی‌کنند، استفاده می‌شود.
معادلات تکانه: در توصیف سیالی پلاسما (مدل‌های پلاسما و مگنتوهیدرودینامیک را ببینید(MHD)) اگر توزیع سرعت را در نظر نگیریم، formula_17 را می‌توانیم جایگزین چگالی تعداد n، سرعت جریان u و فشار p کینم. این متغیرها فقط تابع مکان و زمان هستند، که بدین معنی است بخشی از اطلاعات نادیده گرفته می‌شوند. در نظریه چند سیالی، گونه‌های مختلف ذرات مانند سیال‌هایی متفاوت با فشارها، چگالی‌ها و سرعت‌های جریان مختلف در نظر گرفته می‌شوند که معادلات حاکم بر پلاسما معادلات لحظه ای یا سیالی نامیده می‌شوند. در زیر دو معادله ای که بیشترین استفاده را دارند، در سیستم SI آورده شده‌اند:
معادله پیوستگی چگونگی تغییر چگالی با زمان را توصیف می‌کند و با انتگرال‌گیری از معادله ولاسوف در کل فضای سرعت بدست می‌آید:
formula_18
پس از محاسبات، بدین شکل پایان می‌یابد:
formula_19
مرتبهٔ اول چگالی تعداد n، چگالی تکانه nu بدین شکل بدست می‌آیند:
formula_20
formula_21
معادلات تکانه: نرخ تغییر چگالی ذره با معادلات لورنتس داده می‌شود:
formula_22
با استفاده از این معادله و معادله ولاسوف، معادله تکانه برای هر سیال بدست می‌آید:
formula_23
که formula_24 فشار تانسوری است. مشتق کامل به این صورت است:
formula_25
که فشار تانسوری از حاصل ضرب جرم ذره در ماتریس کوواریانس سرعت تعریف می‌شود:
formula_26
تقریب یخ‌زذه همانند MHD، پلاسما را می‌توانیم مانند خطوط میدان مغناطیسی در نظر بگیریم، انگار که خطوط میدان مغناطیسی به پلاسما فریز شده‌اند. شرایط فریز شدن را با معادلات ولاسوف می‌توان بدست آورد. در اینجا T, L و V را به ترتیب به عنوان زمان، فاصله و سرعت در نظر می‌گیریم، که نشان دهنده بزرگی پارامترهای مختلف هستند و باعث تغییرات بزرگی در f می‌شوند. منظور از بزرگ این است:
formula_27
سپس می‌نویسیم:
formula_28
حالا معادله ولاسوف بدین شکل در می‌آید:
formula_29
تاکنون هیچ تقریبی نزده‌ایم. برای ادامه formula_30 که formula_31 فرکانس لارمور و R ژیرورادیوس است. با جدا کردن ωg بدست می‌آوریم:
formula_32
اگر formula_33 و formula_34، باشند، دو جملهٔ اول خیلی کمتر از formula_35 خواهند بود، بطوریکه formula_36 و formula_37 از آن‌جایی که آخرین جمله از مرتبه f است، می‌توانیم از دو جمله اول صرف نظر کرده و بنویسیم:
formula_38
که این معادله را می‌توانیم در دو راستای عمودی و موازی تجزیه کنیم:
formula_39
مرحله بعدی این است که بنویسیم formula_40، جایی که:
formula_41
در ادامه می‌بینیم که چرا این تقریب را به کار بردیم. با این جایگذاری‌ها:
formula_42
اگر مولفه موازی میدان الکتریکی کوچک باشد:
formula_43
این معادله نشان می‌دهد که توزیع ژیروتروپیک است. سرعت متوسط توزیع ژیروتروپیک صفر است، بنابراین formula_44 با سرعت متوسط u برابر است و داریم:
formula_45
به‌طور خلاصه دوره تناوب و شعاع لارمور باید خیلی کوچک‌تر از زمان‌ها و طول‌های معمولی که منجر به تغییرات بزرگ در تابع توزیع می‌شوند، باشند. شعاع لارمور معمولاً از جایگذاری V با سرعت حرارتی تخمین زده می‌شود. شرایط فریز شدن باید به صورت جداگانه برای هر گونه از ذرات بررسی شود، چون الکترون‌ها شعاع و دوره تناوب لارمور کوچک‌تری نسبت به یون‌ها دارند.