هسته (نظریه بازی‌ها)
در نظریه بازی‌ها، منظور از هسته مجموعه‌ای از تمام تقسیم‌بندی‌هایی است که نمی‌توان آن را توسط یک زیرمجموعه (ائتلاف) از شرکت‌کننده‌ها بهبود داد. یک ائتلاف را می‌گوییم می‌توان روی یک تقسیم‌بندی بهبود داد اگر تمام افراد شرکت‌کننده در آن ائتلاف مقدار بیشتری نسبت به یک تقسیم‌بندی دیگر که دقیقاً مانند تقسیم‌بندی اول است به جز اینکه هر شرکت‌کننده در آن ائتلاف بخش متفاوتی از مقادیر را دریافت کند به‌طوری‌که قسمتی از کل مقادیر باشد که آن ائتلاف با شکل گرفتن می‌تواند بدست آورد.
یک تخصیص، دارای ویژگی هسته است؛ اگر ائتلافی (تخصیصی) وجود نداشته باشد که بتواند بر آن بهبود یابد. هسته مجموعه‌ای از تمام تخصیص‌های امکان‌پذیر با ویژگی هسته است.
یک ائتلاف، زیر مجموعه‌ای از مجموعه‌ای از بازیکنان است که استراتژی‌ها را هماهنگ می‌کنند و در مورد نحوهٔ تقسیم بازپرداخت کل در میان اعضا توافق می‌کنند. به‌طور کلی در یک بازی با N بازیکن 2 ائتلاف وجود دارد.
مفهوم هسته در نظریهٔ بازی دارای تاریخچهٔ طولانی است. ایدهٔ اولیهٔ هسته سال ۱۸۸۱ توسط فرانسیس یسیدرو اجورث در مباحث روند تجارت میان افراد اقتصادی در محیط‌ های تجاری غیر بازار مطرح شد.[۲] این فرایندهای تجاری بر اساس فرمول قرارداد تجاری مشترک بود. یک تخصیص کالاهای اقتصادی باید در برابر روندهای بازدارنده میان ائتلاف‌های چنین عوامل اقتصادی پایدار باشد. تخصیص‌هایی که این اصل ایمنی تجارت مجدد را برقرار می‌کنند، به عنوان تخصیص‌های تعادلی اجورث (Edgeworth) شناخته می‌شوند. مجموعه‌ای از تخصیص‌های تعادلی اجورث توسط خودش «منحنی قرارداد» یا «هستهٔ یک اقتصاد» نام‌گذاری شده‌اند.[۳] جان فون نویمان و اسکار مورگنشترن نیز هسته را یک ایدهٔ جالب می‌پنداشتند، ولی آن‌ها فقط با بازی‌های مجموع-صفر که در آن‌ها هسته همیشه خالی است، کار می‌کردند. تعریف امروزی هسته توسط گیلیس () سال ۱۹۹۶ معرفی شد.[۴] پس از توسعه نظریهٔ بازی، ایده بنیادی مسدود کردن توسط گیلیس، سال۱۹۵۳، در پایان‌نامه دکتری او مطرح شد. این ایده در ۱۹۵۹ با پیوند کارهای مرتبط گیلیس و اجورث، توسط مارتین شوبیک (Martin Shubik) توسعه یافت.[۳]
یک تقسیم‌بندی formula_4 مغلوب تقسیم‌بندی formula_5است اگر ائتلاف formula_6وجود داشته باشد به‌طوری‌که هر بازیکن در formula_6، formula_5را ترجیح دهد. به صورت رسمی: formula_9 برای تمام formula_10 و وجود داشته باشد formula_10که formula_12
و هچنین formula_6بتواند formula_5را وادار کند (با تهدید به ترک ائتلاف همگانی و تشکیل formula_6) به صورت رسمی : formula_16.[5]
وقتی که هسته وجود داشته باشد و خالی نباشد مجموعه‌ای از تقسیم‌بندی‌هایی است که مغلوب نشوند. یک تقسیم‌بندی formula_4عضو هسته است اگر:formula_23formula_25گروهی از n معدنچی را در نظر بگیرید که تعدادی قطعه طلا پیدا کردند. اگر هر دو معدنچی بتوانند یک قطعه طلا را حمل کنند پس سود هر ائتلاف S برابر:formula_27اگر تعداد معدنچی‌ها زوج و بیشتر از ۲ نفر باشند پس هسته شامل مجموعه‌ای می‌شود که هر معدنچی در آن ۱/۲ طلا به دست می‌آورد. اما اگر تعداد معدنچی‌ها فرد باشد هسته خالی می‌شود.
احمد و حسین هر دو دستکش می‌بافند. تمام دستکش‌ها یک اندازه هستند و هر دو دستکش که تشکیل یک جفت بدهند را می‌توان به ارزش ۵ تومان فروخت. اگر هر کس ۳ دستکش داشته باشد می‌خواهیم بدانیم چگونه درآمد حاصل از فروش را بین این دو نفر تقسیم کنیم؟
با توجه به اینکه آن‌ها روی هم ۳ جفت دستکش دارند پس روی هم ۱۵ تومان سود می‌کنند با توجه به اینکه هرکس به صورت جدا ۵ تومان سود می‌کند و حالت دیگری وجود ندارد پس هسته این بازی شامل (۷٫۵، ۷٫۵) می‌شود همچنین (۵، ۱۰) و یا (۹، ۶) هم شامل هسته می‌شوند.
برای این بازی فرض کنید که اندازه تمام کفش‌ها یکسان هستند و هر لنگهٔ چپ و راست کفش تشکیل یک جفت می‌دهند که ارزش آن ۱۰ تومان است. ۲۰۰۱ نفر بازیکن داریم که ۱۰۰۰ نفر آن‌ها لنگهٔ چپ کفش را دارند و ۱۰۰۱ دیگری لنگهٔ راست کفش را دارند. موضوع جالب این بازی هسته آن است:
هسته شامل یک مجموعه است که در آن بازیکنان که لنگهٔ چپ کفش (کمیاب) را دارند ۱۰ تومان و بازیکنان با لنگهٔ راست صفر تومان می‌گیرند هیچ تقسیم‌بندی دیگری هم نمی‌تواند این تقسیم‌بندی را مغلوب کند زیرا هیچ بازیکنی که لنگ چپ کفش را دارد زیر ۱۰ تومان را قبول نمی‌کند و هر تقسیم‌بندی که مقدار مثبتی به هر بازیکن با لنگهٔ راست بدهد باید کمتر از ۱۰۰۰۰ تومان به سایر بازیکنان بدهد که همان بازیکنان به‌طور جدا می‌توانند ۱۰۰۰۰ تومان بدست آورند. پس فقط یک تقسیم‌بندی در هسته وجود دارد.
تابع مشخصهٔ یک بازی سه نفرهٔ سود قابل انتقال که در آن رأی حداقل دو نفر برندهٔ ائتلاف را تعیین می‌کند، به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
۱=(v(S برای هر S حاوی حداقل دو عضو، v({i})=۰ برای همهٔ i ∈ N.
واضح است که ∅=(C(N,V می‌شود، زیرا هر توافقی از بازپرداخت‌های امکان‌پذیر که به ائتلاف بزرگ پیشنهاد شود، حداقل توسط یک ائتلاف مسدود می‌شود.[۹]
بازی‌های رأی‌گیری نشان‌دهنده یک کلاس ویژه‌ای از بازی‌های تعاملی هستند؛ که در آن رأی‌دهندگانی از ائتلاف‌ها وجود دارند، که این قدرت را دارند که نظر خود را بدون در نظر گرفتن سایر رأی‌دهندگان اعمال کنند؛ این در حالی است که سایر رأی‌دهندگان قدرت تأثیرگذاری بر نتیجه را ندارند. مفهومی که می‌تواند نتیجهٔ رأی‌گیری را مشخص کند، هسته می‌باشد.
اگرچه بازی‌های رأی‌گیری نوع خاصی از بازی‌های تعاملی هستند، در عین حال ممکن است در ساختار بسیار پیچیده باشند. علاوه بر این، وجود یک راه‌حل مانند هسته، به هیچ‌وجه در این بازی‌ها تضمین شده نیست. در بسیاری از بازی‌های رأی‌گیری هسته خالی است، «پارادوکس کندورسه یا رأی‌گیری» نمونه‌ای از بازی سه نفرهٔ ساده با این ویژگی است.[۱۰]
تعادل والراسین (Walrasian equilibria) یک اقتصاد مبادله‌ای در مدل عمومی تعادل، درون هسته یک بازی همکاری بین شرکت‌کننده‌ها می‌اقتد.