قضیه تالس
قضیهٔ تالس یکی از قضایای مهم در هندسه مقدماتی است که می‌گوید: اگر دو خط راستِ موازی با یکدیگر ، دو خط متقاطع را قطع کنند، آنگاه بر روی آن دو خط متقاطع پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌شود.
هزار و سیصد سال قبل از تولد تالس مصریان باستان قضیهٔ تالس را می‌دانستند؛ درواقع در راه حل مسئلهٔ شماره ۵۳ پاپیروس رایند از معادل قضیهٔ تالس استفاده می‌شود.
با توجه به منابع تاریخی یونان باستان، تالس ریاضی‌دان یونانی با استفاده از این قضیه توانست ارتفاع هرم خئوپس را به دست آورد.
قضیهٔ دوم مقالهٔ ششم اصول اقلیدس به اثبات قضیهٔ تالس و عکس آن می‌پردازد. "اگر خط راستی موازی با یکی از اضلاع مثلث رسم شود، دو ضلع دیگر را به یک نسبت می‌برد."(قضیه ۲ مقالهٔ ششم)
"فرض می‌کنیم DE موازی با BC یکی از اضلاع مثلث ABC رسم شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم نسبت BD به AD مثل نسبت CE است به AE.
E را به B و D را به C وصل می‌کنیم؛ بنابراین مساحت مثلث BDE با مساحت مثلث CDE مساوی است. زیرا هر دو دارای یک قاعدهٔ DE هستند و رأسهای آنها بر خط راست BC، موازی با قاعدهٔ DE قرار دارد؛"formula_1"از آن جایی که نسبت‌های کمیت‌های متساوی به یک کمیت با هم مساوی اند پس نسبت مساحت مثلث BDE به مثلث ADE مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلث ADE. از طرفی نسبت مساحت مثلث BDE به مساحت مثلث ADE، مثل نسبت BD است به DA؛ زیرا دارای یک ارتفاع اند که از E بر AB عمود می‌شود و نسبت آنها به یکدیگر مثل نسبت قاعده‌های آنهاست. به‌طور مشابه نسبت مساحت مثلث CDE به مساحت مثلث ADE مثل نسبت CE است به EA. بنابراین نسبت BD به DA نیز مثل نسبت CE است به EA."
formula_2
"اگر خطی دو ضلع مثلثی را در دو نقطه قطع کند و با ضلع سوم آن موازی باشد، مثلثی پدید می‌آید که اندازهٔ ضلع‌های آن با اندازهٔ مثلث اصلی متناسب است."
یعنی:
formula_3
با استفاده از ترکیب نسبت در صورت در عبارت formula_4 ، عبارت formula_5 اثبات می‌شود:
formula_6
از نقطهٔ E پاره خطی موازی با AB رسم می‌کنیم EF با BA موازی است پس طبق تعمیم اول قضیهٔ تالس نسبت CE به EA برابر نسبت CF است به FB با استفاده از ترکیب در صورت ثابت می‌شود که نسبت AC به AE برابر نسبت BC به BF است، از طرفی می‌دانیم چهار ضلعی BDEF متوازی الاضلاع است پس پاره خط DE با پاره خط BF برابر است. پس می‌توان نتیجه گرفت نسبت AC به AE برابر BC به BF است.
formula_7
"اگر ضلع‌های مثلثی به یک نسبت بریده شده باشند، خط راست واصل بین نقطه‌های بریدگی با ضلع سوم موازی است."
باز فرض می‌کنیم در مثلث ABC ضلعهای AB و AC به یک نسبت قطع شده‌اند، به طوری که نسبت BD به DA مثل نسبت CE به EA است؛ و فرض می‌کنیم D به E وصل شده‌است. می‌خواهیم اثبات کنیم DE با BC موازی است. در همان شکل، چون نسبت BD به DA مثل نسبت CE است به EA اما نسبت BD به DA، مثل نسبت مساحت مثلث BDE است به مثلث ADE، و، نسبت CE به EA، مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلث ADE، بنابراین، نسبت مساحت مثلث BDE به مثلث ADE هم، مثل نسبت مساحت مثلث CDE است به مثلثADE. لذا نسبت مساحت‌های هر یک از مثلثهای BDE و CDE به ADE، یکی هستند، بنابراین مساحت مثلث BDE با مثلث CDE مساوی است؛ و قاعده هر دو آنها DE است. اما مثلت‌های متساوی که یک قاعده داشته باشند رأس‌های آن‌ها نیز بر خط راستی موازی با قاعده قرار دارند؛ بنابراین DE با BC موازی است.
برای اثبات ابتدا فرض کنیم:formula_8
بنابراین:formula_9
formula_10formula_11
ولی formula_12 و formula_13 بردارهایی در راستا و جهت‌های مختلف اند، پس مجموع آنها نمی‌تواند صفر شود مگر آنکه: formula_14
و در نتیجه formula_15 و از آنجا حکم ثابت می‌شود.
"صفحه‌های موازی، روی دو خط که آن‌ها را قطع می‌کنند، پاره خط‌های متناسب ایجاد می‌کنند."
با فرض آن که صفحه Q بین دو صفحه P و R قرار دارد، خط 'AC را رسم می‌کنیم. این خط صفحه Q را در نقطه ای مانند M قطع می‌کند. صفحه شامل دو خط متقاطع AC و 'AC را T و صفحه گذرنده از دو خط متقاطع 'AC و 'A'C را S می‌نامیم، داریم: صفحه T دو صفحه موازی Q و R را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'BM||CC، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت:
formula_16
همچنین صفحه S دو صفحه موازی P و Q را قطع کرده‌است، بنابراین فصل مشترک‌ها موازی هستند یعنی 'B'M||AA، در نتیجه در مثلث 'ACC با توجه به قضیه تالس می‌توان نوشت:
formula_17
اکنون با توجه به دو رابطهٔ بالا داریم:
formula_18
البته باید توجه داشت که عکس قضیهٔ تالس در فضا لزوماً برقرار نیست.
قضیهٔ تالس رابطهٔ تنگاتنگی با مفهوم تشابه دارد. در واقع قضایای مثلث‌های متشابه به کمک قضیهٔ تالس اثبات می‌شوند. مثلاً با منطبق کردن گوشه‌های دو مثلث که زوایای یکسانی دارن، می‌توان با توجه به موازی بودن دو ضلع پس از انطباق و استفاده از قضیهٔ تالس، متناسب بودن اضلاع دو مثلث را اثبات کرد.
در یک فضای برداری نُرمیده، با کمک اصول موضوعهٔ ضرب اسکالر (مشخصاً formula_19 و formula_20)
می‌توان قضیهٔ تالس را به دست آورد.
formula_21
توضیح زیر استفاده از قضیهٔ تالس برای تعیین ارتفاع هرم خئوپس را شرح می‌دهد. البته این کار اصلی تالس -که ازبین رفته‌است- را بازگو نمی‌کند.
ابتدا تالس طول ضلع قاعدهٔ هرم و میله را اندازه‌گیری می‌کند. سپس همان موقع طول سایه ی میله و سایه ی هرم را اندازه‌گیری می‌کند؛ و داده‌های زیر به دست می‌آید:
با کمک داده‌های بالا می‌توان اطلاعات زیر را به دست آورد:formula_22 حالا با دانستن B , A و c می‌توان از قضیه تالس استفاده کرد. و مقدار D همان ارتفاع هرم می‌باشد.
سه مسئلهٔ معروف در هندسه مقدماتی وجود دارد که یونانیان باستان در بحث ترسیم با پرگار و ستاره آن را مطرح کردند.
دو هزار سال بعد در قرن نوزدهم میلادی با استفاده از جبر مجرد غیرممکن بودن این ترسیم‌ها با پرگار و ستاره مشخص شد. برای بررسی ساختارهای ترسیم پذیر اطمینان یافتن از این موضوع مهم است که با دوخط داده شده خط دیگری می‌توان رسم کرد که مقدار آن برابر حاصل ضرب دو خط اولیه باشد (ترسیم حاصل ضرب دو خط) و همین‌طور نشان دادن اینکه برای هر پاره خط به طول formula_24 پاره خط دیگری می‌توان ترسیم کرد که اندازهٔ آن formula_25 باشد (ترسیم معکوس یک پاره خط). با استفاده از قضیهٔ تالس می‌توان نشان داد که هر دو ساخت ممکن است.