بعد بحرانی
بعد بحرانی با استفاده از تحلیل گروه بازبهنجارش برای گذار فاز در یک سامانه ترمودینامیکی، بُعدی است که؛ خصوصیات گذار فاز در دو طرف آن تغییر می‌یابد. این تعریف مختص گذار فاز پیوسته یا مرتبه دوم است. زیر بعد پایین بحرانی formula_1 هیچ گذار فاز پیوسته‌ای روی نمی‌دهد. این بعد یک حد پایین است. اما فراتر از بعد بالای بحرانی formula_2 گذار فاز روی می‌دهد؛ و نماهای بحرانی سامانه برابر با مقدار حاصل از نظریه میدان میانگین می‌شوند. و. گینزبرگ معیاری را ارائه داده‌است؛ که بر اساس آن می‌توان بعد بحرانی را برای برخی مدل‌ها بدست آورد. بعد به معنای نصف تعداد همسایه‌های یک عضو شبکه است. در اینجا بعد ۴اٌم به معنای زمان نیست. ابعاد بالاتر یعنی تعداد همسایه‌های بیشتر؛ و بعد بالای ۳ تنها روی گراف معنا دارد.
formula_3 مطابق برای سیستم‌های دارای تقارن پیوسته همانند مدل کلاسیک XY و مدل کلاسیک هایزنبرگ بعد پایین بحرانی برای گذار فازهای معمول نمی‌تواند کمتر از ۲ باشدformula_4. نوع دیگری از گذار فاز که گذار فاز توپولوژیک نامیده می‌شود، برای برخی از این سامانه‌ها رخ می‌دهند. (را برای مدل XY کلاسیک ببینید)
پایداری ترمودینامیکی برای یک فاز نظم یافته به انرژی و آنتروپی آن بستگی دارد. به‌طور کمّی با محاسبهٔ انرژی مرز یک جزیره و در نظر گرفتن افت و خیز انرژی آن با افزایش اندازه جزیره می‌توان بعد پایین بحرانی را برای یک سیستم خاص محاسبه کرد. به نظر می‌رسد فرمالیسم کلی و تحلیلی برای بدست آوردن بعد پایین بحرانی وجود ندارد.
یک سیستم یک بعدی را برهم کنش کوتاه برد در نظر بگیرید. ایجاد یک جزیره (domain wall) نیازمند مقدار ثابت انرژی formula_5 است. کسب این انرژی از سایر درجات آزادی سیستم منجر به کاهش آنتروپی به مقدار formula_6 می‌شود. این تغییر آنتروپی بایستی با آنتروپی حزیره نخست مقایسه شود. در سیستمی به طول formula_7 برای ایجاد مرزی جزیره‌ای به طول formula_8 تعداد formula_9 مسیر ممکن برای شکل‌گیری مرز جزیره وجود دارد؛ که منجر به افزایش formula_10 در آنتروپی می‌شود. برای طول و دمای غیر صفر مقادیر کافی افزایش آنتروپی غلبه می‌کند؛ بنابراین هیج گذار فازی در سیستم یک بعدی با برهم کنش کوتاه برد در formula_11 روی نمی‌دهد.
حد قوی‌تر formula_12 برای سیستم‌های برهمکنش کوتاه (همسایه اول) تقارن پیوسته که دارای هستند، اعمال می‌شود. در سیستمی با قیود نامبرده شده می‌گوید مقدار چشم داشتی پارامتر نظم در formula_13 برای formula_11 به صفر میل می‌کند؛ بنابراین هیچ گذار فاز از نوع معمول در این بعد و پایین‌تر از آن وجود ندارد.
برای سیستم‌هایی با بی نظمی درهم‌کشیده شده معیاری توسط Imry و Ma ارائه شده‌است. این معیار می‌تواند بعد پایین بحرانی برای مگنت‌هایی با میدان تصادفی ارائه دهد.
مدل آیزینگ (یا ایزینگ) شبکه‌ای از اسپین هاست؛ که فقط مقادیر +۱ یا -۱ را می‌گیریند. شبکه آیزینگ را به صورت آرایه‌های nبعدی می‌توان در نظر گرفت. در نبود میدان مغناطیسی خارجی، آیزینگ یک بعدی (آیزینگ خطی) با برهم کنش مثبت (formula_15) و کوتاه برد (همسایه اول) گذار فاز پیوسته ندارد؛ ولی آیزینگ دو بعدی (آیزینگ مربعی) در دمای formula_16 تقارن خود را می‌شکند، و دارای مغناطش غیر صفر می‌گردد؛ بنابراین بعد پایین بحرانی برای آیزینگ برابر formula_12 می‌باشد. نماهای بحرانی آیزینگ دو بعدی تشکیل یک کلاس جهانشمولی می‌دهند.
ابعاد بالاتر به معنای تعداد بیشتر همسایه است؛ بنابراین آیزینگ ۴ بعدی دارای ۸ همسایه است. مقادیر نماهای بحرانی برای آیزینگ ۴ بعدی برابر مقدار حاصل از نظریه میدان میانگین این مدل است؛ و در یک کلاس جهانشمولی قرار داند؛ بنابراین بعد بالای بحرانی برای آیزینگ با برهم کنش مثبت برابرformula_18 است. خطای لاندائو-گینزبرگ بعد بالای بحرانی را تعیین می‌کند:
formula_19
formula_20
لازم است خطای لاندائو-گینزبورگ که خطای نظریه است کوچک باشد، در دمای بحرانی formula_21 می‌شود؛ بنابراین formula_18
بعد بالای بحرانی برای مدل تراوش برابر ۶ می‌باشد.
ویکی‌پدیا انگلیسی: https://en.wikipedia.org/wiki/Critical_dimension