رویه خط‌دار
در فضای اقلیدسی رویه خط‌دار () رویه‌ای است که از هر نقطهٔ آن خطی می‌گذرد که کاملاً روی رویه آن قرار دارد؛ بنابراین رویه با خطوط مستقیمی به نام «خطوط جاری» یا «مولدهای مستقیم‌الخط» پوشیده می‌شود که یک خانوادهٔ یک پارامتری وابسته به یک پارامتر را تشکیل می‌دهند. رویه جانبی استوانه، هذلولی‌گون رویه مخروطی با هادی بیضوی، و پیچوار نمونه‌های رویه خط‌دارند.
رویه‌های خط دار را می‌توان با حرکت دادن یک خط مستقیم تولید کرد. بنابر این تعریف، این رویه‌ها شامل خانوادهای پیوسته از خط‌های مستقیم هستند که به "مولدها" موسومند.
از نظر هندسی رویه‌های خط‌دار تا بینهایت ادامه دارند، چرا خط‌های مستقیم تا بی‌نهایت ادامه دارند. برای سهولت بحث در این مدخل تنها به جای همهٔ خط مستقیم تنها بخشی از آن (یک پاره‌خط) به‌عنوان خط مولد استفاده شده‌است که بخشی منتهی و کراندار از رویه خط‌دار را تولید می‌کند. منحنی formula_1 منحنی هادی است و مطلوب است که یک نقطه روی خط مستقیم (یا پاره‌خط) formula_2 را در راستای این منحنی حرکت دهیم. یک نقطه به‌تنهایی نمی‌تواند موقعیت یک خط مستقیم را تعیین کند و برای این امر نیاز به جهت آن هم داریم که هنگام حرکت در راستای formula_1 به‌صورت پیوسته تغییر می‌کند.
گیریم formula_4 نمایش پارامتریک منحنی هادی formula_1 باشد و formula_6 معرف بردار تغییر جهت خط مستقیمی که در حرکت است. برای محاسبهٔ موقعیت نقطهٔ دلبخواهی formula_7 رو رویه خط‌دار تولید شده، بردارد formula_4 و formula_9 را با هم جمع می‌کنیم. بنابراین معادلهٔ پارامتریک رویه خط‌دار عبارت است از:
formula_10
اگر جهت formula_11 ثابت باشد، نتیجه استوانه است که حالت خاص رویه خط‌دار محسوب می‌شود.
اگر خط مستقیم formula_1 خط هادی و formula_2 مولدی باشد که با formula_1 زاویهٔ قائم بسازد و تنها بتوان به دور محور خط هادی formula_2 را چرخاند، رویه حاصل حالت خاصی از مخروط‌گون خواهد بود. با استفاده از محور formula_16-ها به عنوان خط هادی formula_1، معادلهٔ پارامتریک این خط را می‌توان formula_18 دانست. از آنجاکه مولد formula_2 بر محور formula_16-ها عمود است، مختصات بردارهای جهت formula_6 به صفر میل می‌کند. معادلهٔ پارامتریک این بردارها را می‌توان به شکل formula_22 نوشت. اینجا formula_23 و formula_24 توابع پارامتر ارزش (ارتفاع) formula_25 در راستای خط هادی هستند. بنابر این، معادلهٔ پارامتریک رویه خط‌دار تولیدشده عبارت است از:
formula_26 formula_27 formula_28
توابع formula_23 و formula_24 تغییر در جهت مولد و شکل نهایی مخروط‌گون را کنترل می‌کنند.
گیریم دایره formula_1 منحنی هادی باشد و پاره‌خط formula_2 به‌گونه‌ای حرکت داده‌شود که یکی از نقاط روی آن در راستای formula_1 حرکت کنند و همزمان formula_2 به‌شکل پیوسته به دور formula_1 بچرخد به‌شکلی که همواره بر آن عمود باشد. پاره‌خط وقتی به نقطهٔ شروع بازگردد نیم دور چرخیده است. بنابراین نقطهٔ پایان formula_2 نقطهٔ آغازش خواهد بود.
برای به‌دست آوردن معادلهٔ پارامتریک نوار موبیوس، ابتدا دایرهٔ هادی formula_1 را به‌شکل formula_38 تعریف می‌شود. چرخش مولد بر صفحهٔ نرمال دایره با زاویهٔ formula_39 خواهد بود. بنابراین با استفاده از مقدار formula_40، یک معادلهٔ پارامتری برای نوار موبیوس عبارت خواهد بود از: formula_41 formula_42 formula_43
می‌توان در این معادله عبارت formula_39 را با تابع formula_23 جایگزین کرد. شکل نهایی نوار موبیوس را این تابع مشخص می‌کند.
با وصل کردن نقاط متناظر روی دو منحنی فضایی formula_46 و formula_47 یک رویه خط‌دار تولید می‌شود. نقاط متناظر نقاطی هستند که پارامتر formula_25 یکسانی دارند. بستهٔ به نمایش پارامتری دو منحنی، با همان دو منحنی formula_46 و formula_47 می‌توان تعداد بیشماری رویه خط‌دار تولید کرد.
به دلیل آزادی تقریباً کامل در انتخاب منحنی‌های هادی و نمایش پارامتری آن‌ها، این روش گستردگی بسیاری در ایجاد اشکال مختلف دارد.
سهمی‌گون‌های هذلولی خواص استاتیکی مثبتی دارند که در ساخت پوسته‌هایی با دهانهٔ بزرگ و ضخامت کم به‌کار می‌آید و ازین رو عناصری رایج در طراحی معماری هستند.
برای تولید سهمی‌گون هذلولی، دو پاره‌خط مورب formula_51 و formula_52 و نمایش پارامتری برای نشان دادن نقاط متناظر formula_53 و formula_54 روی آن دو پاره‌خط در نظر گرفته می‌شود. آن‌گاه خط رویه‌ای formula_2 با وصل کردن نقاط formula_53 و formula_54 به همدیگر به‌دست می‌آید.
به‌صورت دستی، این کار را به‌راحتی و با تقسیم کردن formula_51 و formula_52 به نسبت‌های یکسان می‌توان انجام داد، یعنی formula_60. برای یافتن نمایشی پارامتری از رویه سهمی‌گون هذلولی، بردارهای موقعیت نقاط formula_53 و formula_54 محاسبه می‌شود و formula_63 و formula_64 به دست می‌آید. سپس نقطهٔ فرضی formula_7 روی خط رویه‌ای formula_24 که نقاط formula_53 و formula_54 را به هم وصل می‌کند محاسبه می‌شود:
formula_69
در نهایت این نمایش را می‌توان به شکل زیر گسترش داد:
formula_70
اگر مقدار پارامتری‌های formula_25 و formula_72 بین صفر و یک باشد، نقطهٔ روی رویه سهمی‌گون هذلولی به‌دست آمده در محدودهٔ متوازی‌الأضلاع formula_73 محصور خواهد بود. اگر مقداری بیشتر از یک یا کمتر از صفر به این پارامترها داده شود نقطه‌ای بیرون از این محدوده روی رویه بدست خواهد آمد.
نمایش پارامتری رویه سهمی‌گون هذلولی نسبت به هر دو پارامتر formula_25 و formula_72 خطی است. می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد:
formula_76
اگر formula_77 و formula_78 مکان بردارهای نقاط formula_79 و formula_80 باشند، می‌توان خانواده‌ای دیگر از خطوط مستقیم رویه‌ای (formula_81) بدست آورد که با تقسیم پاره‌خط‌های formula_82 و formula_83 به نسبت‌های یکسان تولید می‌شود.
همهٔ خط‌های رویه‌ای یک سهمی‌گون هذلولی که متعلق به یک خانواده باشند با یک «صفحهٔ هادی» موازی‌اند. به‌عبارت دقیق‌تر، هر صفحهٔ formula_84 که موازی دو خط رویه‌ای مجازی از یک خانواده باشد به مجموعه‌ای از صفحه‌های موازی تعلق دارد. هر سهمی‌گون هذلولی دو خانواده از این صفحه‌های هادی دارد که هر خانواده متناظر یک خانواده از خطوط رویه‌ای آنند.
سهمی‌گون هذلولی تنها یک صفحهٔ مماس دارد که به هر دو خانواده صفحه‌های هادی عمود باشد. نقطه‌ای که در آن این صفحه بر رویه سهمی‌گون هذلولی مماس است «رأس» (formula_72) آن نامیده می‌شود. خط نرمال بر رویه سهمی‌گون هذلولی در نقطهٔ formula_72 «محور» آن است.
سهمی‌گون هذلولی را به‌عنوان یک رویه انتقالی هم می‌توان ساخت. برای این کار به دو منحنی (سهمی) نیاز است که می‌توان آن‌ها را با تقاطع رویه با دو صفحه هادی متناظر بدست آورد.
صفحهٔ مماس بر هر نقطهٔ formula_53 از یک رویه خط‌دار در خود خط رویه‌ای formula_2 را (که از نقطهٔ formula_53 می‌گذرد) خواهد داشت. این صفحه در اغلب موارد تنها در نقطهٔ formula_53 بر رویه خط‌دار مماس است. در برخی موارد صفحه در سراسر خط formula_2 بر صفحه مماس است. این خطوط رویه‌ای formula_2 «خط مولد قوزکی» نامیده می‌شوند. در مخروط‌گون‌ها، خطوط مولد قوزکی روی صفحهٔ تقارن رویه قرار دارند.
رویه‌های خط‌داری که تنها حامل خطوط مولد قوزکی باشند نام دارند و سطوحی که اکثر خطوط رویه‌ای آن غیرقوزکی باشند به رویه‌های خط‌دار اریب موسومند. استوانه‌ها، مخروط‌ها، و رویه‌های خط‌داری که شامل مماس‌های منحنی‌های فضایی باشند از رویه‌های گسترش‌پذیرند.
سهمی‌گون‌های هذلولی و هذلولی‌گون‌های یک‌پارچه هر کدام دو خانواده از خط‌های رویه‌ای مستقیم را در خود دارند. هر کدام از این خانواده‌های خطوط رویه‌ای مشترکاً کجند ولی همهٔ خط‌های رویه‌ای خانوادهٔ دیگر را قطع می‌کنند. این رویه‌ها رویه‌های خط‌دار مضاعف خوانده می‌شوند. برای هر نقطهٔ formula_7 روی رویه خط‌دار مضاعف دو خط رویه‌ای formula_94 و formula_95 وجود دارد. این دو خط صفحهٔ مماس بر رویه در نقطهٔ formula_7 را تعریف می‌کنند. می‌توان ثابت کرد سهمی‌گون‌های هذلولی و هذلولی‌گون‌های یک‌پارچه تنها رویه‌های خط‌دار مضاعف هستند.