پارادوکس پاراندو
پارادوکس پاراندو یک پارادوکس در نظریه بازی هاست که به این صورت تعریف میشود:
""بازی هایی وجود دارند که احتمال باخت در هریک از آن ها به تنهایی بیشتر از احتمال برد باشد؛ اما می توان یک استراتژی برای انجام دادن آن دو به صورت تناوبی پیدا کرد که احتمال برد در نهایت بیشتر از احتمال باخت باشد.""
خوان پاراندو این پدیده را در اصل از یک سیستم فیزیکی با عنوان "چرخ دنده ی براون" الهام گرفته است و توجه بسیاری از محققین را در حوزه های مختلف،از زیست شناسی گرفته تا اقتصاد به خود جلب کرده است.فرض کنید با ۱۰۰ دلار به عنوان سرمایه ی اولیه بازی را شروع می کنید.اگر فقط بازی A را انجام دهید،به طور واضح بعد از ۱۰۰ مرحله تمام سرمایه ی خود را از دست خواهید داد و می بازید. به طور مشابه،اگر فقط بازی B را انجام دهید، باز هم طی ۱۰۰ مرحله می بازید. اما حال فرض کنید بازی ها را به صورت تناوبی انجام دهید. اگر در مرحله اول بازی B و در ادامه بازی A را انجام دهید و این روند را تکرار کنید،در هر دو مرحله،یک دلار در بازی A از دست داده و ۳ دلار از بازی B به دست می آورید. یعنی در مجموع ۲ دلار از هر دو مرحله کسب کرده اید. بنابراین با وجود این که اگر هر بازی به تنهایی انجام شود منجر به باخت می شود،بازی کردن آن ها به این ترتیب خاص شرایط را تغییر می دهد. چون نتیجه ی بازی B تحت تاثیر بازی A است و ترتیب بازی میتواند درنهایت شرایط یک برد را فراهم کند.
دو بازی A و B را به این صورت تصور کنید:
در شرایطی که formula_6 ، هردوی این بازی ها عادلانه هستند، به این معنا که میزان سرمایه ی نهایی پس از تعداد زیادی بازی، ثابت می ماند.
اما اگر formula_7 هر دوی این بازی ها تمایل به باحت دارند. یعنی مقدار X(t) با افزایش t کاهش می یابد. هارمر و ابوت ثابت کرده اند که به ازای formula_8 و M=3 این بازی حتماً منجر به باخت می شود. در حقیقت، بازی B از زنجیره ی مارکوف پیروی میکند و بررسی ماتریس تغییر حالت آن برای M=3 نشان می دهد که احتمال استفاده از سکه ی بدشانس ۰.۳۸۳ و احتمال استفاده از سکه خوش شانس ۰.۶۱۶ است. بنابراین در نتیجه ی نهایی،احتمال باخت بیشتر خواهد بود:
formula_9
اما به طرز شگفت انگیزی، اگر بازیکن به صورت تصادفی در هر مرحله یکی از دو بازی A یا B را انتخاب کند، و یا بر طبق یک توالی از پیش تعیین شده مثل ABBABB بازی ها را انجام دهد،X(t) یک تابع صعودی بر حسب t خواهد بود!
یک راه برای توجیه این تناقض ظاهری توجه به این مسیله است که در بازی B احتمال برد یا باخت به سرمایه بازیکن بستگی دارد. بنابراین دو بازی از هم مستقل نیستند،که اگر بودند،انجام آن ها با هر توالی منجر به باخت می شد. نقش موثر M در این جا مشخص می شود. M نوعی وابستگی بین A و B ایجاد می کند؛ به گونه ای که برای بازیکن، بیشتر محتمل است که به شرایطی از بازی B وارد شود که امید ریاضی مثبت داشته باشد و به این ترتیب باخت حاصل از بازی A را تا جبران کند.
وجود عامل M در بازی B، در صورت اصلی پارادوکس پاراندو کاملاً طبیعی است. اما برای برخی از کاربردهای آن در زیست شناسی،بیوفیزیک،‌فرگشت و اقتصاد چندان مناسب نیست.
به همین دلیل،بازی های پارادوکسی جدیدی به صورت مستقل از سرمایه ی بازیکن طراحی شده اند. پاراندو، هارمر و ابوت یک نمونه از چنین بازی هایی را ایجاد کرده اند؛ در این نسخه جدید،بازی A مشابه حالت قبل باقی می ماند و بازی C که به تاریخچه ی برد و باخت بازیکن بستگی دارد معرفی می شود:
بازی C با چهار سکه انجام می شود. زمانی که احتمال ها را به صورت زیر تنظیم کنیم و formula_10یک عدد مثبت کوچک باشد این پارادوکس مجدداً ظاهر می شود. A و C به تنهایی بازی هایی هستند که منجر به باخت می شوند اما دنباله هایی تصادفی یا تناوبی از آن دو منجر به برد می شود:
formula_11
formula_12
formula_13
Brownian motion and gambling:from ratchets to paradoxical games; J. M. R. Parrondo, L. Dinis, 2014