فرمول هاورسین
فرمول هاورسین فاصله دایره بزرگ بین دو نقطه روی یک کره را با توجه به طول و عرض جغرافیایی آن ها تعیین می‌کند. این فرمول در جهت‌یابی کاربر دارد که یک مورد خاص از یک فرمول کلی‌تر در مثلثات کروی، قانون هاورسین‌ها است که اضلاع و زوایای مثلث‌های کروی را به هم مرتبط می‌کند.
اولین جدول هاورسین‌ها به زبان انگلیسی توسط جیمز اندرو در سال ۱۸۰۵ منتشر شد، اما فلوریان کایوری استفاده قبلی را به خوزه د مندوزا و ریوس در سال ۱۸۰۱ نسبت می‌دهد. اصطلاح "هاورسین" در سال ۱۸۳۵ توسط جیمز اینمن ابداع شد.
فرض می‌کنیم زاویه مرکزی بین دو نقطه روی یک کره باشد:
جایی که
"فرمول هاورسین" به هاورسین (یعنی ) اجازه می‌دهد که مستقیماً از عرض جغرافیایی (نمایش داده شده با ) و طول جغرافیایی (نمایش ) دو نقطه محاسبه شود:
یا برای اجتناب از استفاده از کسینوس‌هایی که باعث کاهش وضوح در زوایای کوچک می‌شوند:
جایی که
در نهایت، تابع haversine که در بالا برای زاویه مرکزی و تفاوت در طول و عرض جغرافیایی اعمال می‌شود،
تابع hasrsine نصف ورسینوس از زاویه را محاسبه می‌کند.
برای حل فاصله ، آرک هاورسین (harsine معکوس) را به یا از تابع آرکسین (سینوس معکوس) استفاده کنید:
یا به‌طور واضح تر:
همان‌طور که در زیر توضیح داده شد، فرمول مشابهی را می‌توان با استفاده از کسینوس (که گاهی قانون کروی کسینوس نامیده می‌شود، که با قانون کسینوس‌ها برای هندسه صفحه اشتباه گرفته نمی‌شود) به جای هارسین نوشت، اما اگر این دو نقطه به هم نزدیک باشند (مثلاً یک کیلومتر روی زمین) ممکن است به می‌شود، که منجر به پاسخ نادرست است. از آنجایی که فرمول هارسین از سینوس استفاده می‌کند، از این مشکل جلوگیری می‌کند.
هر کدام از این فرمول‌ها زمانی که روی زمین اعمال می‌شود، فقط یک تقریب است چون زمین یک کره کامل نیست: شعاع زمین بین ۶۳۵۶٫۷۵۲ کیلومتر در قطب و ۶۳۷۸٫۱۳۷ کیلومتر در خط استوا متغیر است و مهمتر از آن، شعاع انحنای یک خط شمالی -جنوبی در سطح زمین در قطب (≈۶۳۹۹٫۵۹۴ کیلومتر) و در خط استوا (≈۶۳۳۵٫۴۳۹ کیلومتر) است که ۱٪ بیشتر است— بنابراین نمی‌توان فرمول هارسین و قانون کسینوس را بهتر از ۰٫۵٪ تضمین کرد. روش‌های دقیق‌تری که بیضی بودن زمین را در نظر می‌گیرند با فرمول‌های وینسنتی و فرمول‌های دیگر در مقالهٔ فاصله جغرافیایی ارائه شده‌است.
با توجه به یک کره واحد، یک «مثلث» روی سطح کره با دایره‌های بزرگی که سه نقطه , و روی کره به هم وصل می‌کنند، تعریف می‌شود. اگر طول این سه ضلع (از تا )، (از تا ) و (از به ) باشد و زاویه گوشه مقابل ضلع باشد، قانون هاورسین‌ها بیان می‌کند.
از آنجایی که این یک کره واحد است، طول‌های ، ، و به سادگی برابر با زوایایی هستند (بر حسب رادیان) که توسط آن اضلاع از مرکز کره متمایل می‌شوند (برای یک کره غیر واحد، هر یک از این طول کمان برابر است. به زاویه مرکزی آن ضرب در شعاع کره).
برای به دست آوردن فرمول هاورسین بخش قبل از این قانون، به سادگی حالت خاصی را در نظر می‌گیریم که در آن قطب شمال است، در حالی که و دو نقطه‌ای هستند که جدایی آنها با تعیین می‌شود. در این صورت، و هستند (یعنی هم عرض جغرافیایی)، جدایی طول جغرافیایی ، و فاصله مورد نظر است. توجه به این  ، فرمول هاورسین بلافاصله دنبال می‌شود.
برای استخراج قانون هاورسین‌ها، با قانون کروی کسینوس‌ها شروع می‌شود:
همان‌طور که در بالا ذکر شد، این فرمول یک روش نامطلوب برای حل زمانی است که کوچک است. برای به دست آوردن قانون هارسین‌ها، در بالا فرض می‌کنیم که است و است.
می‌توان فرمول را ثابت کرد:
با تبدیل نقاط داده شده توسط طول و عرض جغرافیایی آنها به مختصات دکارتی و سپس گرفتن ضرب نقطه آنها.
دو نکته را در نظر بگیرید formula_10 در کره واحد، داده شده توسط عرض جغرافیایی آنها formula_11 و طول جغرافیایی formula_12 :
این نمایش‌ها بسیار شبیه مختصات کروی هستند، با این حال عرض جغرافیایی به عنوان زاویه از استوا اندازه‌گیری می‌شود و نه قطب شمال. این نقاط در مختصات دکارتی نمایش زیر را دارند:
از اینجا می‌توانیم مستقیماً تلاش کنیم تا حاصل ضرب نقطه‌ای را محاسبه کنیم و ادامه دهیم، اما با توجه به واقعیت زیر، فرمول‌ها به‌طور قابل توجهی ساده‌تر می‌شوند: اگر کره را در امتداد محور z بچرخانیم، فاصله بین دو نقطه تغییر نخواهد کرد. این در واقع یک ثابت به formula_15 اضافه می‌کند. توجه داشته باشید که ملاحظات مشابه در مورد تبدیل عرض‌های جغرافیایی اعمال نمی‌شود - افزودن یک ثابت به عرض‌های جغرافیایی ممکن است فاصله بین نقاط را تغییر دهد. با انتخاب formula_16 به عنوان ثابت، و در نظر گرفتن formula_17 ، نقاط جدید می‌شوند:
در صورتی که formula_19 زاویه بین formula_20 و formula_21 را نشان دهد، اکنون داریم که: