حراج وی‌سی‌جی
در نظریهٔ حراج، ویکری–کلارک–گروز (وی‌سی‌جی) یک مدل از حراج‌های مهر و موم شده (بی اطلاع از قیمت دیگران) برای چندین کالا است. متقاضیان قیمت‌ها را طبق ارزش گذاری خود برای هر کالا می‌نویسند بدون این که از قیمت‌های دیگر افراد مناقصه خبری داشته باشند. بعد از آن سیستم حراجی کالاها را به صورتی که بهینهٔ اجتماعی باشد توزیع می‌کند. این شیوه باعث می‌شود هر کس به اندازه اثرات جانبی ای که روی بقیه افراد می‌گذارد پرداخت یا دریافت می‌کند. این بدین معنی است که فرد برنده باید مطلوبیتی را که در صورت نبودنش به وجود می‌آمد بپردازد. یعنی اگر نفر اول نبود نفر دوم برنده می‌شد و به میزان قیمتی که نوشته بود مطلوبیت کسب می‌کرد پس نفر اول باید هزینه این مطلوبیت از دست رفته را بپردازد. این مدل همچنین به مناقصه گران انگیز می‌دهد تا ارزش واقعی خود را به عنوان قیمت اعلام کنند و تضمین می‌کند که بهترین استراتژی برای مناقصه گران این است که برای هر کالا ارزش واقعی خود را به عنوان قیمت اعلام کنند. این مدل یک مدل تعمیم یافته از مزایده ویکری برای چندین کالا است.
این مدل حراج نامش را از ویلیام ویکری، ادوارد اچ. کلارکو تئودور گروز گرفته‌است. آن هم برای مقاله ای که با موفقیت این ایده را گسترش داد.
این مدل یک جالت خاص از مکانیزم وی‌سی‌جی است. در این مدل کالاها به طریقی بین افراد تقسیم می‌شود. اما مکانیزم VCG برای انتخاب هر خروجی دلخواه از بین حالات ممکن قابل استفاده است و جامعیت بیشتری دارد.یک حراجی را در نظر بگیرید که در آن دسته ای از محصولات یکسان در صف فروش هستند (مانند بلیط کنسرت). متقاضیان شرکت کننده در حراج با اعلام کردن قیمت خود برای دریافت N عدد کالا در حراج شرکت می‌کنند. هر فرد می‌تواند قیمت‌های متفاوتی را برای درخواست بیش از یک کالا اعلام کند چون مطلوبیتش(امید مقبولیت) می‌تواند با زیاد شدن آن کالا تغییر کند (مثلاً فردی دو بلیط می‌خواهد و برای بلیط اول حاضر است ۱۰۰ تومان بدهد اما برای بلیط دوم بیشتر از ۸۰ تومان نمی‌دهد). شرکت کنندگان نمی‌توانند قیمت بقیهٔ متقاضیات را ببینند چون این حراج مهر و موم شده‌است (تنها سامانهٔ حراجی به قیمت هی اعلام شده دسترسی دارد) زمانی که تمام قیمت‌ها اعلام شد، حراج بسته می‌شود.
بعد از آن تمام ترکیب‌های ممکن از این حراج در نظر گرفته می‌شود و آن ترکیب که در جمع قیمت‌ها بیشینه است را به عنوان راه حل نهایی انتخاب می‌کنیم اما با توجه به این که تعداد کالای برای فروش از تعداد کالای موجود بیشتر نشود. پس به افرادی که در این حراجی قیمت خوبی پیشنهاد داده‌اند و برنده شده‌اند به اندازه تعداد کالای مورد تقاضایشان کالا تعلق می‌گیرد. اما با آن که آن‌ها قمت ارزش واقعی خود را نوشته بودند اما همان قیمت را پرداخت نمی‌کنند. بلکه قیمتی که پرداخت می‌کنند ضرری است که به دیگران زده‌اند (که به اندازه قیمتی است که نفر قبلی پیشنهاد داده) منظور از ضرر زده شده این است که اگر فرد اول برنده نمی‌شد نفر دوم می‌برد و به اندازه قیمتش مطلوبیت کسب می‌کرد پس نفر اول به اندازه قیمت نفر دوم یه مطلوبیت او ضرر زده و باید پرداختش کند.
ضرر وارد شده به بقیه افراد (که میزان پرداختی افراد برنده شده حراج نیز هست) بدین صورت محاسبه می‌شود: میزان پرداختی نفر iام = (کل رفاه بهینه سایرین در صورت نبودن نفر iام) - (کل رفاه بهینه کنونی سایرین که نفر iام شرکت کرده‌است) مثلاً در صورتی که حراجی تنها یک برنده داشته باشد واضح است که کل رفاه سایرین در صورت شرکت نفر iام (که فرد بنده است) صفر می‌شود چون چیزی به آن‌ها نرسیده پس نفر iام باید به اندازه قیمت پیشنهادی نفر بعدی اش پرداخت کند. در پایان این حراج، مطلوبیت جامعه بیشینه می‌شود چون تمامی کالاها به افرادی که ارزش بیشتری برای آن قائل بودند رسیده‌است. البته در این صورت که فرض کنیم افراد معقول هستند(نظریه انتخاب عقلانی) و تبانی ای صورت نگرفته‌است. با این فرض می‌تواند مطمئن بود که هر فرد ارزش واقعی و حقیقی خود را گزارش می‌کند چون در این بازی گفتن حقیقت یک استراتژی غلبه است و افراد هیچ سودی از دروغ گزارش دادن خود نمی‌کنند. البته این نوع از حراج مطلوبیت و پول دریافتی فروشنده را بیشینه نمی‌کند از آن جا که هر فرد چیزی کمتر از آنچه توان پرداخت آن را داشت می‌پردازد پس اگر قصد بیشین کردن سود فروشنده است باید از استراتژی‌های دیگری استفاده شود.
در این روش افراد استراتژی غلبه خود را در صداقت در اعلام ارزش‌های خود می‌بینند. برای نشان دادن این مسئله کافی است در دو حالت «برنده» و «بازنده» انگیزه دروغ گفتن را بررسی کنیم در هر حالت فرد می‌تواند قیمت بیشتر یا کمتری را اعلام کند:
برای تمام کالاهای حراجی formula_1 و تمام مجموعه متقاضیان formula_2، اجازه دهید formula_3 مطلوبیت اجتماعی ای باشد که از VCG در یک ترکیب حراجی به دست می‌آید. مطلوبیت اجتماعی یعنی جمع ارزش‌هایی که افراد برنده به اجناسی که خواسته بودند نسبت داده‌اند. اگر کسی کالایی را به دست نیاورده باشد مطلوبیت کسب کرده از آن صفر است. برای متقاضی formula_4 و کالای formula_5، فرض می‌کنیم ارزش قیمت اعلام شده برای آن کالا formula_6 باشد. نشانهٔ formula_7 یعنی عناصری از A که جز عناصر B نیستند. متقاضی formula_4 که برای کالای formula_5 تقاضا کرده و برنده شده. به اسم formula_6، برنده می‌شود اما ملغ پرداختی formula_11خواهد بود که همان ضرر اجتماعی ای است که این متقاضی با برنده شدن خود به بقیه جامعه وارد کرده. در حقیقت، مجموعهٔ افراد بدون formula_4 مجموعه formula_13است. وقتی کالای formula_5 موجود بود جامعه می‌توانست مطلوبیت formula_15 را به دست آورد. پس برنده شدن این کالا به وسیلهٔ formula_4 مجموعهٔ کالاهای موجود را به formula_17 کوچک کرد. در هر صورت مطلوبیتی که اکنون قالب دست یابی است formula_18. است. تفریق این دو مقدار تفاوت سطح مطلوبیت‌ها و ضرری که این فرد با شرکت خود به مطلوبیت جامعه زده را نشان می‌دهد و این فرد به همین اندازه باید بپردازد. "فرد بنده که ارزش واقعی formula_19 را برای کالای formula_5، formula_21 اعلام کرده بود. مطلوبیتی که به دست می‌آورد به این اندازه استformula_22"
فرض کنید که دو سیب برای سه خریدار در صف فروش هستند.
اول، بیشینه مطلوبیت‌ها را حساب می‌کنیم: اگر سیب اول را به A و سیب دوم را به B بدهیم مطلوبیت ۵ + ۲ = ۷ تومان می‌شود اما اگر همین دو سیب را به C بدهیم مطلوبیت ۶ را به دست می‌آوردیم که کمتر از ۷ است. پس برنده این حراجی A و B می‌شوند. مطلوبیت هر فرد می‌شود: A با مطلوبیت ۵ و B با مطلوبیت ۲ و C با مطلوبیت ۰ چون هیچ چیزی نسیبش نشده. دقت کنید که این مسئله نوعی مسئلهٔ کوله پشتی است.
بعد، ما مبلغ پرداختی هر فرد را محاسبه می‌کنیم:
بعد از این حراج A یک تومان سود کرده (جای ۵ تومان تنها ۴ تومان پول داده) و B هم یک تومان سود کرده (جای ۲ تومان تنها ۱ تومان پول داده) و C هم هیچ فرقی برایش نداشته‌است.
فرض کنید که دو متقاضی داریم formula_23 وformula_24، دو کالا، formula_25 و formula_26، و هر متقاضی بتواند تنها یک کالا را صاحب شود. فرض کنید formula_27 ارزش متقاضی formula_4 برای کالای formula_5باشد. فرض کنید: formula_30، formula_31، formula_32، و formula_33 می‌تواند دید که هر دو متقاضی formula_23 و formula_24 کالای formula_25 را بیشتر می‌خواهند، در هر صورت با بیشینه کردن مطلوبیت اجتماعی داریم که کالای formula_25 به متقاضی formula_23 تعلق می‌گیرد (چون مطلوبیتش ۱۰ است) و کالای formula_26 به متقاضی formula_24 تعلق می‌گیرد (چون مطلوبیتش ۳ است). پس مطلوبیت نهایی ۱۰ + ۳ = ۱۳ می‌شود که بیشینه است.
اگر متقاضی formula_24 در این حراج نبود، متقاضی formula_23 باز هم کالای formula_25 را به دست می‌آورد و نفر formula_23 چیزی به دست نمی‌آورد. مطلوبیت فعلی formula_45 است و چون بود و نبود formula_24 تفاوتی ایجاد نمی‌کند. مقدار پرداختی این فرد formula_47 است.
اگر متقاضی formula_23 در این حراج نبود، کالای formula_25 به دست formula_24 می‌رسید و ارزش formula_51 را داشت. مطلوبیت فعلی بدون نفر اول ۳ است پس نفرformula_23مقدار formula_53 باید پرداخت کند.
در زیر اثبات این که بای هر فرد بهتر است ارزش واقعی خود را گزارش کند را می‌بینیم.
برای هر متقاضی formula_4 فرض کنید formula_55 ارزش حقیقی او برای کالای formula_56 باشد؛ و فرض کنید formula_4 کالای formula_56 را در صورت نوشتن مقدار حقیقی خود می‌برد. پس برای شبکهٔ مطلوبیت formula_59 داریم:
از آن جا که formula_61 مستقل از formula_55است. بیشینه کردن شبکهٔ مطلوبیت برابر است با بیشینه کردن formula_63 که تنها قیمت پیشنهادی خود او formula_55 در اختیارش است. اما اگر این قیمت را تغییر دهد در مطلوبیتش تغییری ایجاد نمی‌شود زیرا در محاسبه مطلوبیت، ارزش واقعی آن برایش محاسبه می‌شود نه ارزش تقلبی.