ذره در جعبه
در مکانیک کوانتوم، مدل ذره در یک جعبه (همچنین به عنوان چاه پتانسیل بی‌پایان شناخته می‌شود) به توصیف یک ذره به حرکت در یک فضای کوچک احاطه شده توسط موانع غیرقابل نفوذ می‌پردازد. این مدل عمدتاً به عنوان یک مثال فرضی برای نشان دادن تفاوت بین سیستم‌های کلاسیک و کوانتومی استفاده می‌شود. در سیستم‌های کلاسیک برای مثال یک توپ به دام افتاده در داخل یک جعبه بزرگ ذره می‌تواند در هر سرعتی در درون جعبه حرکت کند و احتمال پیدا کردنش در هر نقطه برابر است. اما زمانی که چاه بسیار باریک (در مقیاس چند نانومتر) می‌شود، و اثرات کوانتومی مهم می‌شوند. ذره ممکن است تنها تعدادی سطح انرژی مثبت اشغال کند. به همین ترتیب نمی‌تواند هرگز انرژی صفر داشته باشد که به این معنی است که ذره هرگز نمی‌تواند «بنشیند». علاوه بر این، احتمال یافتن ذره نامساوی توزیع می‌شود که این توزیع احتمال بسته به انرژی ذره دارد. ذره ممکن است در موقعیت‌های خاص اصلاً پیدا نشود که به عنوان گره فضایی شناخته می‌شود
ذره در یک جعبه مدل یکی از معدود مسئله‌های مکانیک کوانتومی است که پاسخ تحلیل دارد. به خاطر سادگیش، این مدل اجازه می‌دهد تا اثرات کوانتومی بدون نیاز به ریاضی پیچیده درک شود. آن را به عنوان بیان ساده چگونگی کوانتش (گسستگی) در انرژی (تراز انرژی) می‌شناسند که در سیستم‌های کوانتومی پیچیده‌تر مانند اتم‌ها و مولکول‌ها مهم است. این یکی از اولین مسائل مکانیک کوانتومی که در مقطع کارشناسی فیزیک تدریس می‌شود و معمولاً به عنوان یک تقریب از سیستم‌های پیچیده‌تر کوانتومی نیز استفاده می‌شود.
ساده‌ترین شکل از مسئله ذره در یک جعبه مدل تک بعدی آن است. در اینجا ذرات ممکن است تنها حرکت به عقب و جلو در امتداد یک خط مستقیم با موانع غیرقابل نفوذ در انتهای جعبه داشته باشند. دیواره‌های یک بعدی جعبه به عنوان مناطق فضا با یک انرژی پتانسیل بی‌نهایت بزرگ شناخته می‌شوند. برعکس داخل جعبه انرژی پتانسیل ثابت و برابر صفر است. این بدان معنی است که نیرویی بر ذره در داخل جعبه وجود ندارد و می‌تواند در آن منطقه آزادانه حرکت کند. مدل انرژی پتانسیل به شکل زیر بیان می‌شود: که در آن "L" طول جعبه، "x" است محل مرکز جعبه و "x" موقعیت ذرات در داخل جعبه است. موارد ساده شامل جعبه در مرکز ("x = ۰ ") و جعبه منتقل شده‌است ("x = L/2 ").
در مکانیک کوانتم تابع موج، بنیادی‌ترین توصیف ذره است و بقیه اطلاعات ذره شامل موقعیت، تکانه و انرژی از تابع موج آن می‌تواند به دست آید.
تابع موج ذره formula_2 با حل معادله شرودینگر برای سیستم بدست می‌آید:
که در آن formula_4 ثابت کاهیده پلانک، formula_5، جرم ذره، formula_6 یکه موهومی و formula_7 زمان است.
درون جعبه نیروی بر ذره اعمال نمی‌شود و بنابرین با آن می‌توان به شکل یک ذره آزاد برخورد کرد:
که به رابطه پاشش برای ذره آزاد مشهور است. اندازه (یا دامنه) یک تابع موج در موقعیت خاص به احتمال یافتن ذره در آن موقعیت با رابطه formula_13 مرتبط است. برای همین تابع موج در خارج جعبه برابر صفر باشد تابع موج نمی‌تواند در نقاط بپرد (چون پیوستگی و مشتق‌پذیری را از دست می‌دهد). این شرایط فقط با این پاسخ از تابع موج ارضا می‌شود:
که
و
که در آن "n" یک عدد صحیح مثبت است (۱٬۲,۳٬۴...). برای یک جعبه منتقل شده ("x = L/2)", پاسخ ساده‌است. ساده‌ترین جواب، formula_17 یا formula_18 به پاسخ بدیهی معادله موج می‌رسد: formula_19, که بدین معنی است که ذره در سیستم وجود ندارد. مقادیر منفی formula_20 در نظر گرفته نمی‌شوند چون پاسخ آن با مقادیر مثبت formula_20 یکی است به جز علامت معادله که از نظر فیزیکی اهمیتی ندارد.این نشان می‌دهد که فقط مقادیر مثتب و گسسته "k" برای ذره مجاز هستند.
برای بدست آوردن ثابت formula_8 می‌توان از بهنجهارش تابع موجاستفاده کرد چرا که انتگرال احتمال یافتن ذره در کل جعبه برابر با یک است
بنابرین، "A" می‌تواند هر عدد مختلط با قدر مطلق √(2/L) باشد؛ هر دو پاسخ "A" به یک نتیجه فیزیکی منجر می‌شوند برای همین و به خاطر سادگی فقط، "A" = √(2/L) استفاده می‌شود.