پارادوکس برتراند (اقتصاد)
در اقتصاد و تجارت، پارادوکس برتراند -که به نام خالق آن، جوزف برتراند توصیف می‌شود- وضعیتی را نشان می‌دهد که در آن دو بازیکن (شرکت) به حالت تعادل نش می‌رسند، جایی که هر دو شرکت هزینه ای برابر با هزینهٔ نهایی درخواست می‌کنند (و در نتیجه به سود صفر می‌رسند).
فرض کنید دو شرکت، ۱ و ۲، یک کالای مشابه، هر یک با هزینه‌های نهایی و توزیع یکسان را به فروش می‌رسانند، به طوری که مشتریان محصول را تنها بر اساس قیمت انتخاب می‌کنند. شرکت ارائه‌دهندهٔ محصول با قیمت کمتر، کل بازار را به دست آورده و اگر قیمت را یکسان تعیین کنند، شرکت‌ها، بازار و سود را به اشتراک خواهند گذاشت. به این نتیجه رسیده می‌شود که تقاضا به‌طور بی‌کران کشش قیمتی تقاضا دارد. نه ۱ و نه ۲ قیمت بالاتری را نسبت به رقیب تعیین نمی‌کنند؛ زیرا این کار باعث می‌شود که کل بازار به رقیبشان برسد. پارادوکس این است که در مدل‌هایی مانند رقابت کورنو، افزایش تعداد شرکت‌ها با همگرایی قیمت‌ها به هزینه نهایی (و در واقع رسیدن به سود صفر) پیوند خورده‌است.
پارادوکس برتراند به ندرت در عمل ظاهر می‌شود، زیرا محصولات واقعی تقریباً همیشه در ویژگی‌ای به جز قیمت متفاوت هستند (حداقل نام تجاری)؛ شرکت‌ها محدودیت‌هایی در ظرفیت تولید و پخش کردن محصولاتشان دارند؛ و دو شرکت به ندرت هزینه‌های یکسانی دارند. همچنین موارد دیگر در ادامه آورده شده‌است.
پارادوکس برتراند اولین بار توسط ریاضی‌دان فرانسوی، جوزف برتراند، در سال ۱۸۸۳، پس از مدل کورنو در مورد نظریهٔ انحصار چندجانبه و بر مبنای ساخت‌وکار ارزان‌ترفروشی به عنوان جایگزین رقابت کمیتی مطرح شد. به‌طور خلاصه، شرکت‌ها در مدل رقابت کورنو دریافت‌کنندهٔ سود هستند. آن‌ها با پیش‌بینی رفتار شرکت‌های دیگر خروجی‌ای را انتخاب می‌کنند که سود خودشان را بیشنه کند.
پارادوکس برتراند با این فرض مطرح می‌شود که تنها دو شرکت در بازار وجود داشته، محصولات آن‌ها هم‌سان بوده و هر یک از شرکت‌ها توانایی تولید محصول برای تمام تقاضاها را دارا می‌باشد. همچنین نمودار هزینهٔ آن‌ها یکسان و خطی (نسبت به تعداد محصولات تولیدی) می‌باشد. در این بازی هر یک از قیمت خود را یک مرتبطه به‌طور هم‌زمان و مستقل انتخاب می‌کنند. دو شرکت در مورد قوانین اطلاعات کامل داشته و منطقی می‌باشند (هر یک به دنبال بیشینه کردن سود خود است). با توجه به شرایط گفته شده، مشتریان (که فرض می‌شود منطقی هستند) همواره محصول ارزان‌تر را برای خرید انتخاب کرده و در صورت هم‌قیمت بودن محصولات میزان خرید بین دو شرکت به‌طور برابر تقسیم می‌شود.
به عنوان یک مثال می‌توان به خرید بنزین اشاره کرد. رانندگان اتومبیل ممکن است قیمت‌های بنزین را در مسیر رسیدن به کار بدون پیاده شدن از اتومبیل بررسی کنند. اگر دو پمپ بنزین در یک مسیر وجود داشته باشند، از آن‌جا که بنزین محصولی هم‌سان است؛ راننده ارزان‌ترین را انتخاب می‌کند.
میزان تقاضا برای محصول دو شرکت، با توجه به قیمت‌های خود و شرکت رقیب بدین صورت با توجه به یک تابع formula_1 مشخص می‌شود (قیمت هر یک از شرکت‌ها با formula_2 نشان داده شده‌است:
با توجه به شرایط گفته شده، در هر لحظه (به جز لحظه‌ای که قیمت هر دو هزینهٔ نهایی باشد)، اگر هر یک از شرکت‌ها قیمتش را از شرکت دیگر پایین‌تر برد؛ آن‌گاه کل بازار و سود بیشتری را به دست خواهد آورد. از آنجا که هر دو شرکت این را می‌دانند، هر کدام تلاش می‌کنند تا قیمتشان را از رقیب خود پایین‌تر ببرند تا زمانی که محصول با سود صفر به فروش برسد (قیمت فروش برابر با هزینهٔ نهایی شود). نشان می‌دهیم که این تنها تعادل نش با استراتژی‌های خالص بازی می‌باشد.
فرض می‌کنیم که هزینهٔ نهایی شرکت‌ها به ازای یک محصول مقدار C می‌باشد. ابتدا ثابت می‌کنیم که نقطهٔ formula_11 (برای قیمت فروش) یک تعادل نش می‌باشد. برای این که یک استراتژی پروفایل تعادل نش باشد؛ می‌بایست هیچ‌یک از شرکت‌کننده‌ها انگیزه‌ای برای تغییر استراتژی خود نداشته باشد (با تغییر استراتژی خود سود نکند) و استراتژی‌اش بهترین پاسخ به استراتژی رقیب (در بازی‌های بیش از دونفره رقبا) باشد.
حال فرض می‌کنیم formula_12. در این شرایط سود هر دو شرکت برابر صفر می‌باشد. شرکت ۱ به دو طریق می‌تواند استراتژی خود را تغییر دهد:
با توجه به متقارن بودن بازی، استدلال‌های بالا برای شرکت ۲ نیز برقرار می‌باشند؛ بنابراین پروفایل استراتژی formula_11، یک تعادل نش خالص برای این بازی می‌باشد.
اکنون نشان می‌دهیم که هیچ تعادل خالص دیگری برای بازی وجود ندارد. چهار حالت کلی وجود داشته که هر یک را بررسی می‌کنیم. در هر حالت فرض می‌شود که از بین formula_2 و formula_20، یکی قیمت شرکت ۱ و دیگری قیمت شرکت ۲ باشد.
با توجه به این موارد، این بازی هیچ تعادل نش با استراتژی‌های خالص دیگری ندارد؛ بنابراین پروفایل استراتژی formula_11 تنها تعادل نش با استراتژی‌های خالص بازی می‌باشد.
البته تحقیقات اخیر نشان داده‌است که با توجه به اینکه سود انحصاری بی‌نهایت است، ممکن است یک تعادل نش با استراتژی‌های ترکیبی با سود اقتصادی مثبت وجود داشته باشد. در مورد حالتی با سود انحصاری محدود، نشان داده شده‌است که سود مثبت تحت شرایط رقابت قیمتی، در تعادل ترکیبی و حتی در حالت کلی‌تر در تعادل‌های همبسته غیرممکن می‌باشد.
از دلایلی که پارادوکس برتراند در عمل به‌طور مستقیم اعمال نمی‌شود می‌توان به موارد زیر اشاره کرد: