تاس‌های ناگذرا
به مجموعه‌ای از تاس‌ها ناگذرا می‌گوییم اگر شامل سه تاس، A, B و C باشد، به صورتی که عدد تاس A به احتمال بیش از نیم، بیشتر از عدد B بوده و عدد تاس B نیز به احتمال بیش از نیم، بیشتر از C باشد، با این حال نتوان نتیجه گرفت که عدد تاس A به احتمال بیشتر از نیم از تاس C بزرگ‌تر است.
به عبارت دیگر، اگر رابطهٔ "“ در یک آزمایش، تاس X با احتمال بیشتر از نیم عددی بزرگ‌تر از تاس Y دارد “" را R بنامیم، مجموعه‌ای از تاس‌ها ناگذرا است اگر رابطهٔ R بر روی زوج مرتب‌هایی از تاس‌های مجموعه دارای خاصیت تراگذری نباشد. نام این مجموعه از تاس‌ها نیز از همین تعریف گرفته شده‌است.
با استفاده از چنین مجموعه‌هایی از تاس‌ها، می‌توان بازی‌هایی اختراع کرد که نتیجهٔ آن‌ها به‌طور متوسط به نفع یکی از بازیکنان باشد.
این تاس‌ها در دستهٔ جامع قرار می‌گیرند که مطالعات بسیاری حول آن انجام می‌گیرد. به عنوان مثال یکی از معروف‌ترین مسائل در ناگذرایی، است که اولین بار توسط مطرح شد. مسئله برای جامعه‌ای با سه انتخاب A و B و C است که افراد در این جامعه A را به B, B را به C و C را به A ترجیح می‌دهند.
ثابت شده‌است که اگر احتمال برد تاس A از B را با p، احتمال برد B از C را با q و احتمال برد C از A را با r نمایش دهیم خواهیم داشت:‌ formula_1و برای q, p و r برابر در حالت بیشینه هر کدام formula_2هستند. اما ثابت می‌شود که این حالت ممکن نیست. بنابراین نمی‌توان به طور دقیق از تاس‌های ناگذرا برای مدل‌سازی مسئله انتخابات استفاده کرد.
فرض کنید یک بازی با قواعد زیر تعریف شده‌است:
اگر این بازی با مجموعه‌ای از تاس‌های گذرا انجام شود، بازی یا عادلانه است یا به نفع اولین بازیکن، زیرا می‌تواند تاسی را انتخاب کند که بیشتر از نیمی از مواقع ببرد.
اما اکنون مجموعه تاس‌های زیر را در نظر بگیرید:
در این مجموعه از تاس‌ها، احتمال برد A از B، برابر با احتمال برد B از C، برابر با احتمال برد C از A و برابر با formula_3 است؛ بنابراین این مجموعه تاس‌ها ناگذرا هستند. در این صورت بازی به نفع نفر دوم خواهد بود، زیرا که می‌تواند تاسی را انتخاب کند که به احتمال formula_3 تاس اول را شکست دهد.
تمام پیشامدهای ممکن از این بازی در جدول‌های زیر آمده‌اند: فرض کنید شما و دوستی بازی شرح داده شده را با سه تاس زیر انجام می‌دهید. پس از چند شکست، دوستتان مشکوک می‌شود بنابراین شما استراتژی بازی را برای او توضیح می‌دهید. اکنون می‌توانید به دوست خود شانس دیگری دهید و ابتدا شما تاسی را انتخاب نمایید. با این حساب دوست شما می‌تواند تاسی را انتخاب کند که با احتمال بیشتر از نیم از شما می‌برد. اما در این دور از بازی هر شخص دوبار تاس می‌ریزد و مجموع مقایسه می‌شوند. انتظار می‌رود دوست شما شانس بیشتری در برنده شدن داشته باشد درحالی که چنین نیست! با دوبار تاس ریختن زنجیره برعکس می‌شود و این گونه همچنان شما برنده خواهید بود. احتمالات برنده شدن به شرح زیر هستند:
formula_5
formula_6
formula_7
ایدهٔ تاس‌های ناگذرا از اوایل دهه ۷۰ میلادی مطرح بوده‌است. یکی از مجموعه تاس‌های ناگذرا معروف، تاس‌های افرون هستند که توسط دانشمند آماری بردلی افرون مطرح شده‌اند. این مجموعه شامل چهار تاس به صورت زیر می‌باشد:
برای هر زوج متوالی میان تاس‌های بالا احتمال برد را محاسبه می‌کنیم: پس به صورت خلاصه داریم:
اکنون با فرض این که تاس دوم به صورت تصادفی انتخاب می‌شود، احتمال برد هر تاس و درنتیجه بهترین انتخاب ممکن را بررسی می‌کنیم: بنابراین بهترین شانس برنده شدن برای تاس C با احتمال ۰٫۵۱۸۵ می‌باشد.
انواعی از تاس‌های ناگذرا پیشنهاد شده‌اند که می‌توانند همزمان با بیش از یک حریف رقابت کنند.
در این بازی، اگر نفرات اول و دوم هر کدام تاسی انتخاب کنند، شخص سوم با توجه به خصوصیت تاس‌ها همچنان می‌تواند تاسی بردارد که شانس بیشتر در برنده شدن داشته باشد.
پازل ساز هلندی مجموعه‌ای از هفت تاس ناگذرا، با مقادیر ۱ تا ۲۱ پیشنهاد داده‌است. این تاس‌ها هرکدام با احتمال formula_3 تاسی دیگر را به صورت ناگذرا شکست می‌دهند. اگر تاس‌ها عادی بودند احتمال شکست دادن همزمان هر دو رقیب چیزی حدود ۲۵٪ می‌شد. اما احتمال شکست دادن هر دو رقیب با تاس‌های اسکار حدود ۳۹٪ است. مسئله یافتن حالت بیشینه برای احتمال برد تاس‌ها همچنان قابل بحث است و راه حلی به جز جستجوی فراگیر تا برای آن ارائه نشده است.
دکتر جیمز گریم مجموعه‌ای از ۵ تاس به شرح زیر را ارائه کرده‌است: فرض کنید رابطهٔ " تاس A تاس B را شکست می‌دهد " با A->B نشان دهیم. در این مجموعه، اگر یک بار تاس بریزیم: هرچند اگر دو بار تاس بریزیم زنجیره اول تغییری نمی‌کند اما زنجیره دوم معکوس می‌شود (A -> D -> B -> E -> C -> A). بنابراین مستقل از این که دو رقیب دیگر چه تاسی انتخاب می‌کنند، نفر سوم می‌تواند تاسی بردارد که هر دو را شکست دهد. تنها باید پس از انتخاب تاس مشخص کند که یک بار تاس ریخته می‌شود یا دو بار.
وارن بافت از علاقه‌مندان به تاس‌های ناگذرا است. بافت یک بار تلاش کرد تا در یک بازی با تاس با استفاده از تاس‌های ناگذرای افرون، از بیل گیتس ببرد. بافت پیشنهاد داده بود که گیتس اول تاس خود را انتخاب کند. این پیشنهاد فوراً موجب کنجکاوی گیتس شد بنابراین خواست تا تاس‌ها را بررسی کند، پس از آن اصرار کرد تا بافت اول انتخاب کند. شاید اگر بافت با مجموعه‌ای دارای خاصیت وارونگی بازی را ترتیب می‌داد، می‌توانست گیتز را شکست دهد، زیرا کافی بود تک مرحله‌ای یا دو مرحله‌ای بودن بازی را پس از انتخاب تاس‌ها اعلام نماید.