رویه دورانی
در فضای اقلیدسی رویه دورانی (یا سطح دَوَرانی)، رویه‌ای است که حاصل چرخاندن یک منحنی (موسوم به منحنی مولد) حول یک محور ثابت است. رویه‌های دورانی همواره تقارن چرخشی دارند.
رویه‌های دورانی را می‌توان با چرخاندن منحنی مولد formula_1 به دور محور ثابت formula_2 ساخت. هر نقطهٔ formula_3 از منحنی formula_1 معرف دایرهٔ formula_5 است که در صفحهٔ formula_6 عمود بر محور formula_2 قرار می‌گیرد. ازاین‌رو هر رویه دورانی شامل مجموعه‌ای است از دایره‌ها در صفحات موازی، که «دایره‌های موازی» نام دارند.
صفحات formula_8، که محور formula_2 را بر روی خود دارند، رویه formula_6 را در منحنی‌های همنهشت formula_11 (موسوم به «منحنی‌های نصف‌النهاری») قطع می‌کنند. صفحه‌های formula_6 (شامل دایرهٔ formula_5) و صفحه‌های formula_8 (شامل منحنی‌های نصف‌النهاری formula_11) برهم عمودند. ازاین‌رو هر منحنی نصف‌النهاری و دایرهٔ موازی با یکدیگر تشکیل زاویه قائمه می‌دهند. از مجموعهٔ منحنی‌های نصف‌النهاری و دایره‌های موازی روی رویه شبکه‌ای از منحنی‌های عمودبرهم تشکیل می‌شود.
صفحهٔ formula_16 مماس بر نقطهٔ formula_3 یک رویه دورانی را می‌توان با خط formula_18 مماس بر دایرهٔ formula_5 و خط formula_20 مماس بر منحنی نیم‌روزی formula_11 تعریف کرد. در هر نقطهٔ formula_3، خط قائم formula_23 بر خط مماس formula_18 عمود است، بنابراین formula_23 روی صفحهٔ نصف‌النهاری formula_8 است و محور formula_2 را در نقطهٔ مرکز کره‌ای قطع می‌کند که formula_3 روی رویه آن است. این کره و رویه دورانی در یکی از دایره‌های موازی مماسند.
از آنجا که منحنی‌های نصف‌النهاری بهتر از دیگر منحنی‌ها نشانگر شکل نهایی سطحند، بهتر است در ایجاد رویه‌های دورانی از این منحنی‌ها استفاده شود. منحنی‌های نصف‌النهاری نسبت به محور دوران متقارنند، هر کدام از بخش‌های تقارن «منحنی نیم‌نصف‌النهاری» نام دارد. برای ایجاد رویه دورانی منحنی نصف‌النهاری را باید ۳۶۰° و منحنی‌های نیم‌نصف‌النهاری را ۱۸۰° درجه چرخاند.
اگر منحنی‌های نصف‌النهاری و محور دوران همدیگر را با زاویه‌ای به‌غیر از زاویهٔ ۹۰° همدیگر را قطع کنند، یک نقطه منفرد روی دورانی تشکیل می‌شود.
اگر formula_29 فاصله نقطه‌ای روی رویه از محور ثابت باشد، معادلهٔ صریح رویه دورانی به شکل زیر نوشته می‌شود:
برای یافتن معادله پارامتری یک رویه دورانی، باید ماتریس دوران حول محور را بر منحنی مولد formula_1 اعمال کرد. فرض می‌شود محور ثابت محور formula_31-های مختصاتی باشد. معادلهٔ دوران حول محور formula_31-ها عبارت است از: با جایگزین کردن formula_33، formula_34، و formula_31 با پارامترهای متناظر در معادلهٔ پارامتریک منحنی مولد formula_1 (یعنی formula_37) نتیجهٔ زیر حاصل می‌شود: یا به عبارت دیگر: اگر زاویهٔ دوران formula_38 به همهٔ مقادیر بازهٔ formula_39 (در مقیاس رادیان، برابر دوران ۳۶۰ درجه) تخصیص یابد، نتیجه یک رویه دورانی کامل خواهد بود. با استفاده از منحنی نصف‌النهاری formula_40 (که روی صفحهٔ formula_41 قرار دارد) به‌عنوان منحنی مولد می‌توان این معادله را به شکل زیر ساده ساخت:
این معادله با عنوان «نمایش استاندارد رویه دورانی» شناخته می‌شود.
استوانه و مخروط با چرخاندن پاره‌خطی راست حول محور ثابتی که با آن در یک صفحه باشد ایجاد می‌شوند. اگر این پاره‌خط با محور موازی باشد حجم حاصل استوانه و اگر محور را در نقطهٔ formula_42 قطع کند حاصل مخروطی با راس formula_42 خواهد بود. اگر پاره‌خط مولد با محور ثابت تقاطع نداشته باشد، حاصل دوران بریده مخروطی خواهد بود.
کره و چنبره حجم‌هایی‌اند که با چرخاندن دایره حول یک محور ایجاد می‌شوند. با چرخاندن دایره به دور محوری که با آن در یک صفحه باشد چنبره به دست می‌آید. بسته به فاصلهٔ محور چرخش از مرکز دایره formula_44 سه گونهٔ متفاوت چنبره ایجاد می‌شود. اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره کوچکتر باشد formula_45 و محورْ دایره را در دو نقطه قطع کند حجم حاصل «چنبرهٔ دوکی»، اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره با شعاع دایره مساوی باشد formula_46 و محورْ دایره را در یک نقطه لمس کند حجم حاصل «چنبرهٔ شاخی»، و اگر فاصلهٔ محور از مرکز دایره از شعاع دایره بیشتر باشد formula_47 و محور با دایره تقاطع نداشته باشد حجم حاصل «چنبرهٔ حلقه‌ای» خواهد بود. چنبرهٔ حلقه‌ای در این میان ویژگی خاصی دارد و آن این است که علاوه بر دو خانوادهٔ دوایر نصف‌النهاری و دوایر موازی، دو خانوادهٔ از دوایر دیگر نیز در آن شکل می‌گیرد (یعنی هر نقطه روی رویه چنبرهٔ حلقه‌ای روی محیط چهار دایره روی رویه آن قرار دارد) که به موسومند.
اگر محور چرخش بر هر کدام از قطرهای دایره منطبق باشد formula_48 حاصل کره خواهد بود (کره را می‌توان حالت خاص چنبره دانست). با چرخاندن یک دایره به حول یک خط راست که با آن هم‌صفحه نباشد، یکی از دو حالت زیر اتفاق می‌افتد:
با چرخش یک هذلولی به دور قطر کوچکش، «هذلولی‌گون دورانی یکپارچه» و با چرخش آن حول محور بزرگش «هذلولی‌گون دورانی دوپارچه» ایجاد می‌شود.
با چرخاندن بیضی به دور هر یک از قطرهایش، سطحی حاصل می‌شود که به کره‌گون موسوم است. کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر بزرگش حاصل شود «کره‌گون کشیده» و کره‌گونی که از چرخش بیضی به دور قطر کوچکش حاصل شود «کره‌گون پَخ» نام دارد.
با چرخاندن سهمی به دور تنها قطرش، سطحی حاصل می‌شود که به سهمی‌گون بیضی‌وار موسوم است.
رویه‌های دورانی همواره دارای خاصیت تقارن چرخشی هستند، چرا که اصولا با چرخاندن یک منحنی دو‌بعدی به محوریت یک خط صاف ایجاد می‌شوند. «تقارن چرخشی»، که به «تقارن آزیموتی» یا «تقارن استوانه‌ای» هم موسوم است، به تقارن حول یک خط صاف گفته می‌شود.
جزء رویه رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد formula_49 به دور محور ثابت formula_34ها تولید می‌شود در محدودهٔ formula_51 تا formula_52 عبارت است از:
بنابراین مساحت این رویه برابر است با:
به همین شکل مساحت رویه دورانی‌ای که با چرخاندن منحنی مولد formula_53 به دور محور ثابت formula_33ها تولید می‌شود در محدودهٔ formula_55 تا formula_56 عبارت است از:
در جدول زیر مساحت رویه جانبی رویه‌های دورانی خاص به شکل ساده‌تر آمده است.
با در نظر داشتن معادله استاندارد پارامتری رویه‌های دورانی، اولین صورت اساسی رویه دورانی عبارت است از: هر گاه formula_57 و formula_58 مخالف صفر باشند، رویه منتظم است و دومین صورت اساسی آن عبارت است از: معادله بردار نرمال واحد بر رویه دورانی عبارت است از: معادله رویه دورانی را می‌توان با استفاده از اولین و دومین صورت اساسی به‌دست آورد: انحنای گاوسی و انحنای میانگین رویه دورانی عبارت است از: برای سهولت ساخت فیزیکی یا دیجیتال رویه‌های دورانی پیوسته نرم ابتدا رویه‌های به‌صورت گسسته ساخته می‌شوند. این کار با جایگزین کردن منحنی نصف‌النهاری با یک چندضلعی باز که تقریبی از آن باشد انجام می‌شود. هرچه تعداد رئوس این چندضلعی کمتر باشد، نرمی رویه حاصل کمتر خواهد بود. همچنین در مرحلهٔ بعد می‌توان مسیر چرخش (دایرهٔ عظمیه) را هم به‌صورت گسسته در‌آورد (آن را با یک چندضلعی بستهٔ منتظم محاط در دایره جایگزین کرد.) در این‌صورت حجم حاصل یک صفحهٔ چندوجهی خواهد بود.
به‌دلیل سادگی اصل تشکیل رویه‌های دورانی، از آن‌ها در هنر، طراحی، و معماری استفادهٔ گسترده‌ای می‌شود.
تنها است. هذلولی‌گون دورانی یکپارچه، استوانهٔ قائم، و مخروط قائم تنها رویه‌های دورانی‌ای هستند که تحت ردهٔ رویه‌های خط‌دار هم قرار می‌گیرند. استوانه قائم و مخروط قائم هم تنها رویه‌های دورانی هستند که محسوب می‌شوند.