رقابت استاکلبرگ
رقابت استاکلبرگ یا مدل استاکلبرگ، یک بازی راهبردی در علم اقتصاد و یک رقابت ترتیبی و ناقص است. ناقص بودن رقابت یا بازار در اصطلاح اقتصادی اشاره به بازاری دارد که در آن عناصر و عوامل انحصاری کم و بیش حضور دارند. به بیان دیگر تولیدکنندگان و مصرف‌کنندگان تا حدودی می‌توانند بر قیمت‌ها در بازار اثر بگذارند. به این ترتیب رقابت‌کنندگان این بازی عناصر انحصاری دوگانه در بازار هستند و رقابت در محدودهٔ بازار تعریف می‌شود. این بازی دو بازیکن دارد که هر یک دارای امتیازهای اختصاصی‌اند. به این معنا که رقابت بر سر دستیابی به یک هدف مشترک نیست و بازیکنان بر سر بهبود وضعیت شخصی و افزایش سود خود با یکدیگر به رقابت می‌پردازند.
مدل استاکلبرگ به نام هنریک استاکلبرگ نامیده شده‌است. وی در سال ۱۹۳۴ مقالهٔ "ساختار و تعادل تجاری (ساختار و توازن بازار)" را در راستای شرح این مدل منتشر کرد. این مدل بر مبنایی متمایز از مدل‌های قبل از خود برای بازارهای منحصر به دو فروشنده، مانند دو مدل "کورنو" و "برتراند" به وجود آمده و انتشار این مقاله، نقطهٔ جهشی در ساختار بازار به ویژه در زمینهٔ تجزیه و تحلیل بازارهای انحصاری دوگانه به حساب می‌آید. بازار انحصاری دوگانه موقعیتی از بازار است که دو ارائه‌دهنده بر سر تولید یک کالا مشترک یا خدمات مشترک در رقابت هستند.
بازیکنان این بازی دو ارائه‌کننده در بازار هستند که کالا یا خدمات مشترکی را ارائه می‌دهند و در جامعه‌ای یکسان با تقاضای یکسان و ارزش یکسان از آن تولیدی قرار دارند؛ بنابراین با توجه به این که هر دو در شرایط یکسان به سر می‌برند، رقابت بر سر افزایش میزان تولیدی و سود شخصی هر ارائه‌دهنده برای خود می‌باشد. در اصطلاحات نظریهٔ بازی‌ها، بازیکنان این بازی را رهبر و دنباله‌رو می‌نامند که به ترتیب بازی می‌کنند. رهبر، تولیدکنندهٔ شناخته شده‌تر یا ارائه‌دهندهٔ کالا بهتری است که در جایگاه بالاتری نسبت به دنباله‌رو قرار دارد و به همین دلیل نوبت تصمیم‌گیری در ابتدا به او تعلق می‌گیرد و گاهی وی را رهبر بازار نیز می‌نامند. دنباله‌رو پس از مشاهده و بررسی تصمیم رهبر بازار، تصمیم خود را در رابطه با میزان تولیدی مشخص می‌کند. هر بازیکن که شانس برتری و رهبر شدن را داشته باشد، احتمال حضور وی در یک رقابت نیز وجود دارد.
در بازی فرض بر این است که رهبر همیشه متعهد است. برای مثال قدم اول تعهد، پایبندی وی بر تصمیم اولیه‌اش را پس از اعلام تصمیم تضمین می‌کند. به بیان دیگر رهبر بعد از اعلام تصمیم اولیه‌اش اجازه ندارد بازگردد و تصمیم خود را تغییر دهد و باید به حرکت خود پایبند باشد.
برای پیدا کردن تعادل نش زیربازی کامل در این بازی، از روش تحلیل عقبگرد استفاده می‌شود. تعادل کامل زیربازی، استراتژی پروفایلی است که با توجه به استراتژی دیگر بازیکنان، منجر به بهترین نتیجه برای هر بازیکن خواهد شد. البته وجود آن مستلزم آن است که هر بازیکن در هر زیربازی در یک تعادل نش شرکت داشته باشد.
در روش تحلیل عقبگرد، جهت حرکت در بازی مانند اجرای یک فیلم از انتها به ابتدای آن است. به‌طور خلاصه فرایند این نوع تحلیل به این صورت است که رهبر در ابتدا در نظر می‌گیرد که بهترین پاسخ فرد دنباله‌رو چه خواهد بود و تصمیم وی را مورد بررسی قرار می‌دهد. به عبارت دیگر رهبر بررسی می‌کند که به ازای هر حرکت و مقدار تولیدی خود، بهترین عملکرد متقابل دنباله‌رو چگونه خواهد بود. سپس رهبر با توجه به بهترین پاسخ‌های دنباله‌رو، استراتژی‌ای را انتخاب می‌کند که سود و تولیدی خود را بیشینه کند. دنباله‌رو نیز این طرز تفکر و تصمیم رهبر را دیده و بهترین استراتژی را برای خود پیش می‌گیرد.
به‌طور کلی، فرض کنید : formula_1 تابع قیمت در بازار باشد که تابع مجموع میزان تولیدی رقابت‌کنندگان است. در این عبارت اندیس ۱ نمایانگر بازیکن اول یعنی رهبر بازار و اندیس ۲ نمایانگر بازیکن دوم یعنی دنباله‌رو می‌باشد. همچنین فرض کنید هزینهٔ تولید برای شرکت‌کننده formula_2 معادل formula_3 است.
با توجه به این که مسیر حرکت تحلیل از انتها به ابتداست، اولین مرحله محاسبه مقادیر بهترین عملکرد دنباله‌رو در مقابل عملکردهای مختلف رهبر است.
سود بازیکن دوم یا همان دنباله‌رو برابر با درآمد حاصل منهای هزینهٔ تولید می‌باشد. درآمد وی را می‌توان با ضرب میزان تولیدی او در قیمت کالای عرضه شده در بازار به دست آورد؛ بنابراین تابع سود بازیکن دوم را می‌توان به صورت زیر نوشت:
formula_4
حال رهبر با توجه به این تابع باید بهترین پاسخ دنباله‌رو را محاسبه کند تا استراتژی مورد نظرش را انتخاب کند. در واقع فرض بر این است که رهبر می‌داند که دنباله‌رو تصمیم وی را تحت نظر دارد و دنباله‌رو به‌طور هوشمندانه بهترین عملکرد خود را در قبال عملکرد رهبر انجام خواهد داد تا بیشترین سود را به دست آورد. بر این اساس باید با در نظر گرفتن formula_5 در نقش یک عدد ثابت و تعیین شده، مقداری برای formula_6 تعیین کرد که تابع سود دنباله‌رو را بیشینه کند. به بیان دیگر در این گام هدف به دست آوردن تابعی برای سود دنباله‌رو بر حسب استراتژی‌های مختلف رهبر است. به این منظور می‌توان از تابع سود دنباله‌رو یعنی formula_7 نسبت به میزان تولیدی وی یعنی formula_6 مشتق گرفت:
formula_9
نقطهٔ بیشینهٔ محلی در تابع سود به ازای مقدار معین از formula_5، معادل بهترین پاسخ به ازای یک استراتژی مشخص از نفر مقابل است. در نتیجه با برابر قرار دادن تابع فوق با صفر می‌توان نقطهٔ بیشینهٔ محلی و در نتیجه بهترین پاسخ دنباله‌رو را محاسبه نمود.
در گام بعدی رهبر، با توجه به توابع به دست آمده و استدلال خود برای پیش‌بینی حرکت دنباله‌رو، بهترین استراتژی و عملکرد خود را مشخص می‌کند. سود رهبر برابر است با formula_11، به طوری که formula_12 نشان دهندهٔ حاصل مشتق برای بیشینه کردن تساوی بالا یا همان سود دنباله‌رو با توجه به میزان تولیدی رهبر است. این بار با توجه به این که پاسخ دنباله‌رو پیش‌بینی شده‌است، با در نظر گرفتن formula_12 در نقش یک عدد ثابت و معین، مقدار بیشینه سود رهبر را می‌توان به کمک مشتق‌گیری از تابع سود رهبر نسبت به میزان تولیدی وی به دست آورد:
formula_14
به‌طور مشابه می‌توان این عبارت را برابر با صفر قرار داد تا نقطه بیشینه محلی و سود بیشینه رهبر را محاسبه نمود. در ادامه نیز با مشخص شدن عملکرد رهبر، عملکرد دنباله‌رو که بهترین پاسخ به عملکرد رهبر است، به‌طور قطعی مشخص خواهد شد.
روش حل مسئله برای یک حالت ساده از توابع مورد نیاز به شرح زیر خواهد بود.
توابع formula_15 و formula_16 را به صورت زیر در نظر بگیرید:
formula_17
formula_18
به کمک تحلیل عقبگرد به روش مذکور مسئله حل خواهد شد. ابتدا باید بهترین پاسخ دنباله‌رو را نسبت به هر عملکرد رهبر محاسبه کرد. تابع سود دنباله‌رو به صورت زیر است:
formula_19
حال باید حداکثر سود دنباله‌رو نسبت به هر استراتژی رهبر محاسبه شود. به این منظور باید با ثابت در نظر گرفتن استراتژی رهبر حداکثر مقدار سود دنباله‌رو را با توجه به تابع سود وی محاسبه کرد. این مقدار با مشتق گرفتن از تابع سود دنباله‌رو نسبت به میزان تولیدی وی و برابر قرار دادن آن با صفر بدست می‌آید؛ بنابراین داریم:
formula_20
با توجه به این که formula_6 تنها متغیر این تساوی است، با قرار دادن مقدار بدست آمده برای آن از این تساوی و قرار دادن این مقدار به جای formula_6 در تابع سود دنباله‌رو مقدار بیشینهٔ سود وی بدست خواهد آمد.
formula_23
حال با مشخص شدن بهترین استراتژی دنباله‌رو بر حسب استراتژی رهبر و با در نظر گرفتن این که هر دو هوشمندانه بازی خواهند کرد، رهبر نیز می‌تواند استراتژی خود را به صورتی مشخص کند که بیشترین سود را داشته باشد. تمامی مراحل طی شده برای محاسبهٔ بیشینهٔ سود دنباله‌رو را با در نظر گرفتن استراتژی معین برای دنباله‌رو، برای به دست آوردن بیشینهٔ سود رهبر طی می‌کنیم. تابع سود رهبر به صورت زیر است:
formula_24
formula_25
با مشتق گرفتن از تابع سود رهبر و برابر قرار دادن آن با صفر، مقدار تولیدی مناسب وی برای داشتن سود بیشینه محاسبه خواهد شد:
formula_26
formula_27
در نتیجه مقدار formula_6 نیز به دست خواهد آمد:
formula_29
بنابراین تعداد کل کالای تولیدی و هزینهٔ تولید هر کالا به صورت زیر خواهد بود:
formula_30
formula_31
این بازی به بازی‌های استاکلبرگ formula_32 نفره نیز تعمیم داده شده که در آن‌ها افراد به ترتیب، میزان تولیدی خود را با توجه به میزان تولیدی تولیدکنندگان قبل از خود مشخص می‌کنند.