قانون امید ریاضی کل
در نظریه احتمالات قضیه‌ای وجود دارد که با نام‌های قانون کل امید ریاضی، قانون امید ریاضی کل (به انگلیسی: Law of total expectation)، قانون برج یا قانون آدام شناخته می‌شود. این قانون بیان می‌کند که اگر formula_1 متغیری تصادفی باشد که امید ریاضی آن formula_2 تعریف شده باشد، و formula_3 یک متغیر تصادفی دلخواه روی همان فضای نمونه باشد، آنگاه formula_4؛
به این معنی که امید ریاضیِ امید ریاضی formula_1 به شرط formula_3، با امید ریاضی formula_1 برابر است.
می‌دانیم که formula_8 تابعی از متغیر تصادفی formula_3 است که مقدارش در formula_10 برابر با formula_11 می‌باشد. توجه کنید که formula_8 خود نیز یک متغیر تصادفی است.
یک خاصیت بی‌نهایت مهم از امید ریاضی شرطی این است که برای تمام متغیرهای تصادفی formula_1 و formula_3 داریم
formula_4.
اگر formula_3 یک متغیر تصادفی گسسته باشد، آنگاه معادله بیان می‌کند که
formula_17
درحالیکه اگر formula_3 پیوسته با چگالی formula_19 باشند، آنگاه معادله بیان می‌کند که
formula_20.
یک راه برای درک معادله تعبیری به شرح زیر است:
برای محاسبه formula_21، می‌توانیم متوسط وزن دار شده مقدار امید ریاضی شرطی formula_1 به شرط formula_10را اختیار کنیم، بطوریکه که هر جمله formula_11را توسط احتمال پیشامدی که روی آن شرط گذاشته شده است، وزن‌دار نماییم. این یک نتیجه بی‌نهایت مفید است که ما را قادر می‌سازد تا امیدهای ریاضی را با شرطی کردن روی برخی از مقادیر تصادفی مناسب محاسبه کنیم.
با این فرض که هر دو متغیر تصادفی formula_1 و formula_3 گسسته باشند و روی فضای نمونه یکسانی تعریف شده باشند داریم
بنابر این معادلهٔ زیر برقرار است:
که به صورت دقیق‌تر یعنی:
در حالتی که formula_1 و formula_3 متغیرهای تصادفی پیوسته با تابع چگالی احتمال توامformula_33 هستند، قضیه را ثابت می‌کنیم.
formula_34
فرض کنیم دو کارخانه لامپ‌های مورد نیاز بازار را تأمین می‌کنند. طول عمر لامپ‌های کارخانه formula_1به‌طور متوسط ۵۰۰۰ ساعت است، درحالیکه طول عمر متوسط لامپ‌های کارخانه formula_3، 4000 ساعت است. می‌دانیم که ۶۰ درصد از همه لامپ‌های موجود را کارخانه formula_1تأمین می‌کند. امید ریاضی طول عمر یک لامپ خریده شده چقدر است؟
formula_38
که:
بنابراین طول عمر مورد انتظار هر لامپ خریداری شده ۴۶۰۰ ساعت است.
۱- یک معدنچی در معدنی که ۳ درب دارد گیر افتاده است. درب اول او را به تونلی هدایت می‌کند که پس از طی مسیری ۲ ساعته، او را به خارج از معدن می‌رساند. درب دوم او را به تونلی می‌برد که پس از ۳ ساعت وی به همان نقطه اول باز می‌گردد. درب سوم هم مانند درب دوم است ولی ۵ ساعت طول می‌کشد تا معدنچی به نقطه اولش بازگردد. با فرض این که به دلیل تاریکی معدنچی نمی‌تواند درب‌ها را از هم تشخیص بدهد و هر بار با احتمال مساوی یکی از درب‌ها را انتخاب کند، امید ریاضی مدت زمانی که طول می‌کشد تا او از معدن خارج شود چند است؟
مدت زمان مد نظر را با متغیر تصادفی formula_1 نمایش می‌دهیم. سپس متغیر formula_3 را برابر دربی که معدنچی به تصادف انتخاب می‌کند در نظر می‌گیریم. در نتیجه در زمانی که معدنچی شروع به حرکت می‌کند، داریم:
formula_41
فردی روی یک عدد طبیعی تصادفی بین 0 تا formula_42قرار دارد و در هرگام با احتمال یک قدم به سمت راست یا چپ بر میدارد و زمانی که به یکی از دو انتهای بازه(0 یا formula_42) برسد کار خود را تمام می‌کند. می‌خواهیم متوسط زمانی که طول می‌کشد تا فرد به یکی از دو انتها برسد را حساب کنیم.
formula_44 را به عنوان زمان رسیدن به یکی از دو انتها در نظر بگیرید. مشخصا این یک کمیت تصادفی است و بنابراین امید ریاضی روی آن تعریف می‌شود. فرض میکنیم فرد در ابتدا روی عدد باشد و زمان رسیدن به یکی از دو انتها را با formula_45 نشان می‌دهیم. اگر این متغیر را روی جهت حرکت(به سمت راست یا چپ) شرطی کنیم، طبق ویژگی formula_46داریم:
formula_47
وقتی به سمت راست یا چپ حرکت میکنیم در واقع یک قدم برداشته‌ایم و در یک جایگاه جدید قرار داریم. پس متوسط رسیدن به انتها از این جایگاه جدید هرچه باشد، با یک قدمی که برداشته‌ایم جمع خواهد یعنی
formula_51
همچنین احتمال حرکت به سمت راست یا چپ برابر formula_52 است. از این پس formula_53 قرار می‌دهیم.
formula_54
جواب از حل رابطه بازگشتی بالا بدست می آید.