معادله دیفرانسیل خطی
در ریاضیات، یک معادله دیفرانسیل خطی معادله دیفرانسیلی است که به صورت تساوی یک تابع دلخواه با یک چند جمله ای خطی (درجه یک) از تابع مجهول (formula_1) و مشتق‌های آن تعریف می‌شود. به عبارت ساده‌تر دیگر این معادلات را می‌توان به فرم زیر نمایش داد:
formula_2
که در آن formula_3 و formula_4ها توابعی دلخواه و مشتق پذیر برحسب formula_5 هستند (که برای کوتاهی به نوشتن formula_6 بسنده کردیم). این توابع لزواماً خطی نیستند. همچنین formula_7ها نیز مشتق‌های مرتبهٔ formula_8 تابع مجهول formula_9 نسبت به متغیّر formula_5 هستند.
فرم بیان‌شده یک معادله دیفرانسیل معمولی است. اگر تابع مجهول به چندین متغیر بستگی داشته باشد، مشتق‌های آن جزئی و معادله دیفرانسیل خطی یک معادله دیفرانسیل با مشتق‌های جزئی می‌شود. در این مقاله فقط معادلات دیفرانسیل معمولی مورد نظر است.
معادلهٔ همگن متناظر با یک معادله، معادله‌ای است مشابه معادلهٔ اصلی که formula_11 باشد: formula_12
اگر یک معادله دیفرانسیل خطی یا دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی به گونه ای باشد که معادلهٔ همگن متناظرش دارای ضرایب ثابت باشد، می‌توان جوابش را با انتگرال بیان کرد. این موضوع در مورد معادله دیفرانسیل خطی مرتبه یک با ضرایب دلخواه (غیر ثابت) نیز صدق می‌کند. در ادامه به تحلیل این دو گروه می‌پردازیم. به‌طور کلی جواب بقیهٔ معادلات دیفرانسیل خطی را نمی‌توان با با انتگرال بیان کرد.
جواب معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب چند جمله ای توابع هولونومیک نامیده می‌شوند. این توابع در روش‌های حل عددی این معادلات کاربرد بسیاری دارند. جمع، ضرب، مشتق و پاد مشتق این توابع نیز هولونومیک هستند. توابع خاص (از جمله توابع نمایی، لگاریتمی، مثلّثاتی و معکوسشان و توابع هذلولوی) و اکثر توابع معمول دیگر مانند تابع خطا، توابع بسل همگی توابع هولونومیک محسوب می‌شوند. نمایش آنها با تعریف معادله دیفرانسیل و شرایط اولیه امکان ساخت الگوریتمی (بر روی این توابع) برای بیشتر عملگرهای حساب از قبیل محاسبه پاد مشتق، حدها، بسط مجانبی و ارزیابی عددی با هرگونه دقت، با خطای معتبر را فراهم می‌کند.
"معادلهٔ دیفرانسیل" مرتبهٔ اوّل "خطّی" معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت فرم استاندارد زیر نمایش داد:
formula_13
یکی از فرم‌های کاربردی دیگر نمایش این معادلات به صورت زیر است:
formula_14
formula_15
اگر formula_16 به معنی بازهٔ بازِ دامنهٔ formula_17 باشد، معادلهٔ formula_13 در بازهٔ formula_19 جواب یکتا دارد.
در صورتی که formula_17 برابر صفر باشد، جواب معادله به سادگی به دست می‌آید: formula_21
در مواردی که formula_17 ناصفر باشد، از یک ترفند استفاده می‌کنیم. در این ترفند دو طرف معادله را در یک "عامل انتگرال‌ساز" (مثل formula_23) ضرب می‌کنیم تا در معادلهٔ جدید formula_17 برابر صفر شود.
می‌خواهیم با ضرب کردن تابع formula_23 به هر دو طرف تساوی ضریب formula_1 صفر شود تا بتوان جواب معادله را به دست آورد:
formula_27
برای این که چنین چیزی ممکن باشد باید «خط ۲ به ۳» در بالا درست باشد:
formula_28
طبق قاعدهٔ ضرب، "عامل انتگرال‌ساز" تنها وقتی در شرط بالا صدق می‌کند که formula_29:
formula_30
با کمک گرفتن از تساوی formula_29 می‌توان "عامل انتگرال‌ساز" را به دست آورد:
formula_32
عملگر (یا اپراتور) تبدیلی است که هر تابع را به تابعی دیگر نگاشت می‌کند. به عنوان مثال، "عملگر دیفرانسیلی پایهٔ" formula_33 تابعی مانند formula_34 را به مشتق آن تابع تبدیل می‌کند: formula_35
به همین ترتیب می‌توان "عملگر ساده دیفرانسیلی مرتبه" formula_36 را تعریف کرد: formula_37
کاربرد این اپراتورها در ساده و کوتاهتر کردن محاسبات ریاضی است. این مفهوم قابل تعمیم به توابع چندمتغیره و مشتقات جزئی است. طبق یک تعریف قراردادی، formula_38 است که formula_39 در این جا نماد اپراتور همانی است. همچنین وارون این اپراتور پادمشتق formula_34 را برمی‌گرداند: formula_41
اگر عملگری مانند formula_42 یک نگاشت خطی باشد، آن را یک "عملگر خطی" می‌نامیم. طبق قضایای مربوط به مشتق و انتگرال در حسابان، عملگر formula_43 (از هر مرتبه‌ای) خطی است. به عبارتی دیگر formula_44.
یک عملگر دیفرانسیل خطی مانند formula_42 ترکیبی خطی از عملگرهای اساسی دیفرانسیلی است با ضرایب formula_4 به صورت توابعی مشتق‌پذیر. در نتیجه، چنین عملگری یک نگاشت خطی خواهد بود. در حالت تک متغیره، یک "عملگر خطی از مرتبهٔ formula_47" فرمی بدین ترتیب را دارد.
formula_48
حال پس از تعریف این اپراتور می‌توان یک "معادلهٔ دیفرانسیل خطی formula_49" را به صورت ساده‌شدهٔ زیر نوشت:
formula_50
هستهٔ یک عملگر خطی مجموعه جواب‌های معادلهٔ همگن formula_51 است.
یک معادله دیفرانسیل در صورت داشتن فرم زیر یک "معادله دیفرانسیل خطی همگن" است :
"اصل برهم‌نهی" در معادلات دیفرانسیل همگن بیان می‌کند که اگر formula_53 و formula_54 دو جواب یک معادلهٔ همگن باشند، هرگونه ترکیب خطّی آنها (یعنی formula_55 به ازای اعداد حقیقی formula_56 دلخواه) نیز جواب آن معادله خواهد بود.
"مجموعه جواب اساسی" یک معادلهٔ همگن یکتا نیست.
هر مجموعه‌ای مانند formula_57 (با formula_47 عضو منحصر به فرد) را "مجموعه جواب اساسی" یک معادلهٔ همگن از مرتبهٔ formula_47 می‌نامیم اگر توابع عضو آن (formula_60ها) مستقل خطی باشند. هر معادلهٔ همگنی "مجموعه جواب اساسی" دارد.
اگر formula_61 "مجموعه جواب اساسی" باشد، به کمک "اصل برهم‌نهی" نتیجه می‌گیریم که جواب کلّی معادله به صورت formula_62 است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی formula_63). این مجموعه تمام جواب‌های ممکن معادله را پوشش می‌دهد.
در صورتی که formula_6 ها اعداد ثابت حقیقی (یا مختلط) باشند به آن "معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت" می‌گوییم.
حل این معادلات به صورت زیر است:
یکی از جواب‌های ممکن می‌تواند به فرم formula_65 باشد (formula_66 یک عدد مختلط است). با جایگذاری در معادله نتیجه می‌گیریم:
formula_67
از آن جایی که تابع نمایی همواره ناصفر است، نتیجه می‌گیریم که formula_68.
این معادله معادلهٔ مشخّصه نام دارد. فرض می‌کنیم که ریشه‌های این معادله formula_69 باشند.
در نتیجه formula_70 "مجموعه جواب اساسی معادله" را تشکیل می‌دهند. در صورت وجود ریشه‌های مضاعف (مثلاً formula_71) جواب‌های دیگر معادله (به جز formula_72) به صورت formula_73 و formula_74 خواهد بود. در حالت کلّی اگر formula_36 تا از ریشه‌های معادلهٔ مشخّصه برابر formula_76 باشند، formula_36 تا از جواب‌های معادلهٔ همگن به صورت formula_78 خواهند بود (formula_79).
با جایگذاری این جواب‌ها در معادله formula_80 به درستی آن‌ها پی می‌بریم. پس "جواب کلّی" معادله به صورت formula_81 است (به ازای تمام مقادیر اعداد حقیقی formula_63).
معادلهٔ اویلر نوعی از "معادلات خطی همگن" است که ضرایب آن به صورت formula_83 باشد. به عنوان مثال formula_84 یک معادلهٔ اویلر مرتبه دو است.
برای حل این معادلات کافی است از تغییر متغیّر formula_85 استفاده کرد تا آن را به یک "معادلهٔ همگن با ضرایب ثابت" تبدیل کرد. در مثال مذکور، معادله‌ٔ formula_86 به فرم جدید formula_87 تبدیل می‌شود.
یک "معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ دوم" "خطّی" همگن معادله‌ای است که بتوان آن را به فرم استاندارد formula_88 نمایش داد.
اگر formula_53 و formula_54 دو جواب معادلهٔ formula_88 باشند formula_92.
در این جا formula_93 تابع رونسکیَن است که (طبق تعریف) از رابطهٔ formula_94 به دست می‌آید.
در بعضی مواقع یکی از جواب‌های معادله (مثلاً formula_53) به سادگی به دست می‌آید ولی جواب دوم نامعلوم است.
در صورتی که یکی از جواب‌های معادله (مثلاً formula_53) را بدانیم، میتوان از شگرد "کاهش مرتبه" برای به دست آوردن "جواب کلّی" استفاده کرد. این روش را با یک مثال توضیح می‌دهیم:
در حالت کلّی (formula_88) پس از ساده‌سازی به معادله formula_98 می‌رسیم.
همچنین می‌توان از "فرمول آبل" نیز برای کاهش مرتبه استفاده کرد. برای این کار، تعریف رونسکین و فرمول آبل را مقابل هم قرار می‌‌دهیم. اگر formula_1 جواب کلّی معادلهٔ formula_100 و formula_101 جواب معادلهٔ همگن formula_51 باشد، با توجّه به خطّی بود formula_42 می‌دانیم formula_104. پس formula_105 نیز جواب کلّی معادلهٔ formula_100 است. در نتیجه formula_1 در درون خود formula_101 را نیز شامل می‌شود. به عبارتی دیگر:
formula_109
که formula_110 جواب formula_100 است. برای پیدا کردن جواب کلّی معادلهٔ formula_100 باید جواب معادلات formula_113 و formula_114 را پیدا و جمع کنیم.
به جواب formula_113 جواب مکمّل یا جواب عمومی می‌گویند.
به جواب formula_114 جواب خاص یا جواب خصوصی یا جواب ویژه می‌گویند.
با فرض این که formula_117 و formula_34 دو تابع دلخواه باشند، جواب مکمّل formula_100 و formula_120 یکسان خواهد بود ولی جواب خاصشان متفاوت. دلیل این نامگذاری نیز همین است.
می‌دانیم اگر ضرایب معادلهٔ همگن formula_113 ثابت باشند چطور آن را حل کنیم. در غیر این صورت پیدا کردن جواب بسیار سخت خواهد بود.
برای پیدا کردن جواب خاص، دو روش معمول «ضرایب نامعیّن» و «تغییر پارامتر» وجود دارد. استفاده از روش ضرایب نامعیّن معمولاً ساده‌تر است ولی فقط در موارد خاصی می‌توان از آن استفاده کرد.
این روش برای پیدا کردن "جواب خصوصی" formula_114 استفاده می‌شود. در این روش فرم کلّی جواب را داریم و فقط باید ضرایب را تشخیص دهیم:یک استثنا زمانی پیش می‌آید که فرم پیشنهادی formula_110 مشابه یکی از "جواب‌های عمومی" باشد (به عبارتی دیگر، عضو "هستهٔ formula_42" باشد). در این صورت فرم پیشنهادی را در formula_134 ضرب می‌کنیم.
در حالت کلّی‌تر اگر formula_135 یا formula_136 باشد، فرم formula_110 به صورت زیر خواهد بود:
formula_138
اگر formula_117 حاصل جمع (یا تفریق) موارد بالا باشد، (با توجّه به خطّی بودن formula_42) می‌توان formula_117 را تقسیم کرد.
در صورتی که formula_117 به فرم موارد بالا یا جمع (یا تفریق) آنها نباشد نمی‌توان از این روش استفاده کرد.
این روش برای پیدا کردن "جواب خصوصی" formula_114 استفاده می‌شود. در حالی که استفاده از "روش ضرایب نامعیّن" ساده‌تر بود، این روش کلّی‌تر است و در مورد formula_117 محدودیّتی ندارد. ایدهٔ کلّی این روش مشابه "کاهش مرتبه" است.
در صورتی که "جواب عمومی" را به فرم formula_145 به دست بیاوریم، "جواب کلّی" را به فرم formula_146 فرض می‌کنیم و سعی می‌کنیم تا formula_147 و formula_148 را پیدا کنیم.
همان طور که در ادامه نیز می‌بینیم، توابع formula_147 و formula_148 لزوماً یکتا نخواهند بود. البتّه "جواب کلّی" همیشه یکتا است. به عبارتی دیگر ممکن است formula_147 و formula_148 و همچنین formula_153 و formula_154 پیدا شوند که formula_155. توجّه داشته باشید که هدف ما پیدا کردن "جواب کلّی" معادله است و نیازی به پیدا کرد تمام formula_147 و formula_148های ممکن نداریم. به عبارتی دیگر تنها نیاز داریم یک formula_147 و formula_148 خاص پیدا کنیم که ما را به جواب برسانند.
در صورتی که "جواب کلّی" را به فرم formula_146 فرض کنیم، این formula_1 باید در معادلهٔ formula_100 صدق کند. پس برای پیدا کردن formula_147 و formula_148 از این معادله کمک می‌گیریم. در این جا یک معادله و دو مجهول داریم. همچنین طبق تعریف، formula_53 و formula_54 از یکدیگر مستقل اند. از این دو مورد نتیجه می‌گیریم که بی‌نهایت جواب متفاوت برای formula_147 و formula_148 وجود دارد.
همان طور که پیش‌تر به آن اشاره شد، ما تنها به یک formula_147 و formula_148 خاص نیاز داریم تا ما را به جواب برسانند. پیدا کردن تمام formula_147 و formula_148ها در حالت کلّی سخت تر است. پس می‌توانیم یک معادلهٔ دیگر از خودمان در بیاوریم تا کار خود را ساده‌تر کنیم:
formula_173
این معادله محاسبات ما را در ادامه ساده‌تر خواهد کرد. از formula_146 مقدار formula_175 را به دست می‌آوریم:
formula_176
حال از معادلهٔ ابداعی خودمان نتیجه می‌گیریم:
formula_177
و از این تساوی مقدار formula_178 را نیز به دست می‌آوریم:
formula_179
حال مقادیر formula_1 و formula_175 و formula_178 را در "فرم استاندارد" معادله formula_100 جایگذاری می‌کنیم:
formula_184
پس
formula_185
طبق تعریف "جواب عمومی"، دو عبارت داخل پرانتز برابر صفر هستند. در نتیجه به معادلهٔ زیر می‌رسیم:
formula_186
از این معادله و معادلهٔ ابداعی می‌‌توان formula_147 و formula_148 را به کمک قاعدهٔ کرامر به دست آورد:
formula_189
در نتیجه "جواب خصوصی" به صورت زیر به دست می‌آید:
formula_190
و "جواب کلّی" نیز به صورت زیر به دست می‌آید:
formula_191
به همین روش می‌توان این معادلات را در حالت کلّی (مرتبهٔ formula_47) حل کرد. جواب نهایی به این صورت به دست می‌آید:
formula_193
در این جا formula_194 و formula_195 نیز مشابه رونسکین به دست می‌آید با این تفاوت که به جای ستون formula_8 ام formula_197 قرار گیرد. برای پیدا کرد ساده‌تر مقدار formula_198 می‌توان از فرمول آبل نیز کمک گرفت: formula_199
سیستم معادلات دیفرانسیل خطی شامل چندین معادله دیفرانسیل خطی است که شامل چندین تابع مجهول است. به‌طور کلی، یک مطالعه را به سیستمهایی محدود می‌کند که تعداد توابع ناشناخته با تعداد معادلات برابر باشد.
formula_200
غیرممکن بودن حل توسط کوادراتور را می‌توان با قضیه آبل-رافینی به دست آورد، که بیان می‌کند معادله جبری درجه ۵ حداقل، به‌طور کلی توسط رادیکال‌ها قابل حل نیست. این قیاس به روشهای اثباتی گسترش می‌یابد و انگیزه ای برای تئوری گالوی دیفرانسیل فراهم می‌کند.
مشابه مورد جبری، این تئوری تصمیم می‌گیرد که چه معادلات را می‌توان با روش کوادراتور حل کرد. با این حال محاسبات لازم حتی با قدرتمندترین رایانه‌ها بسیار دشوار است. در حالت کلی پیچیدگی این معادلات ممکن است سبب شود آن هارا با روش‌های غیر صریح و تقریبی مانند مش بندی حل کنیم.
معادلات اویلر-کوچی نمونه‌هایی از معادلات از هر درجه، با ضرایب متغیر است که به روش صریح قابل حل است.
یک تابع هولونومیک، که "تابع محدود دی" نیز نامیده می‌شود "تابعی" است که از حل یک معادله دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب چند جمله ای به دست می‌آید.
اکثر توابعی که معمولاً در ریاضیات مورد توجه قرار می‌گیرند هولونومیک از نسبت توابع هولونومیک به‌شمار می‌آیند. در حقیقت، توابع هولونومیک شامل چند جمله ای، توابع جبری، لگاریتم، توابع نمایی، سینوسی، کسینوسی، توابع مثاثاتی، تاوابع هذلولوی، توابع معکوس مثلثاتی تابع وارون هذلولوی و بسیاری از تابع‌های ویژه مانند توابع بسل و توابع هایپرژومتریک است.