بازسازی برش‌نگاری
بازسازی برش‌نگاری یا بازسازی توموگرافی یکی از انواع روش‌های حل معکوس چند‌بعدی است که در آن مسئله برآورد یک سیستم معین با استفاده از تعداد محدودی از پروجکشن‌ها می‌باشد. پایه‌های ریاضی برای تصویربرداری توموگرافی توسط یوهان رادون مطرح شد. یکی از نمونه‌های کاربردی قابل توجه، بازسازی توموگرافی کامپیوتری (CT) است که در آن تصاویر مقطعی بیماران به روش غیر تهاجمی به دست می‌آیند. در پیشرفت‌های اخیر، تبدیل رادون و معکوس آن برای کارهای مربوط به جابجایی جسم واقع گرایانه مورد نیاز برای آزمایش و ارزیابی استفاده از توموگرافی کامپیوتری در امنیت فرودگاه‌ها، استفاده شده‌است.
این مقاله به‌طور کلی به روش‌های بازسازی برای انواع توموگرافی اشاره می‌کند، اما برخی از اصطلاحات و توصیف‌های فیزیکی به‌طور مستقیم به بازسازی توموگرافی کامپیوتری اشعه ایکس، اشاره می‌کنند.
پروجکشن یک شی که از فرایند اندازه‌گیری توموگرافی در یک زاویه معین formula_1 ایجاد شده، از مجموعه‌ای از انتگرال خط ساخته می‌شود (به شکل ۱توجه کنید). مجموعه ای شامل تعداد زیادی از چنین پروجکشن‌هایی تحت زوایای مختلف که در دو بعد (2D) سازماندهی شده‌اند، سینوگرام نامیده می‌شود (به شکل ۳ نگاه کنید). درتوموگرافی کامپیوتری اشعه ایکس، انتگرال خط، نشان دهنده میزان کلی تضعیف پرتو اشعه ایکس می‌باشد که وقتی اشعه در مسیر مستقیم از داخل شیء حرکت می‌کند، گویی این انتگرال در حال تشکیل شدن است. همان‌طور که در بالا ذکر شد، تصویر حاصل یک مدل دوبعدی (یا سه‌بعدی) از ضریب تضعیف است. هدف ما به تصویر کشیدن formula_2 است. ساده‌ترین و آسان‌ترین روش برای تجسم روش اسکن، سیستم پروجکشن‌های موازی است، که در اسکنرهای اولیه استفاده شد. برای این بحث، ما فرض می‌کنیم که داده‌ها از یک سری اشعه موازی، در طول یک پروجکشن در زاویه formula_1 جمع‌آوری شده‌اند. این روند برای زوایای مختلف تکرار شده‌است. تضعیف به صورن نمایی در بافت اتفاق می‌افتد:
که در آن formula_2 ضریب تضعیف به عنوان تابعی از مکان است؛ بنابراین، تضعیف کلی formula_6یک پرتو در یک موقعیت، در پروچکشن ای با زاویه formula_1، توسط انتگرال خط زیر به دست می‌آید:
formula_8
با استفاده از سیستم مختصات نشان داده شده در شکل یک، مقدار formula_9که نقطه formula_10روی آن تصویر می‌شود، از رابطه زیر به دست می‌آید:
formula_11
بنابراین معادله بالا را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:
که در آن formula_10 نشان دهنده formula_2است. این تابع به عنوان تبدیل رادون (یا "سینوگرام") از شی دوبعدی شناخته می‌شود.
تبدیل فوریه پروجکشن را می‌توان به صورت زیر نوشت:
formula_15که در آن formula_16
formula_17 نشان دهنده یک مقطع از تبدیل فوریه دوبعدی formula_10 در زاویه formula_1است. با استفاده از معکوس تبدیل فوریه، فرمول معکوس تبدیل رادون می‌تواند به راحتی مشتق شود.
formula_20
که در آن formula_21 مشتق از تبدیل هیلبرت formula_22 است.
در تئوری معکوس تبدیل رادون، تصویر اصلی را تولید می‌کند. قضیه پروجکشن مقطعی به ما می‌گوید که اگر ما تعداد بی‌نهایت از پروجکشن‌های یک بعدی جسم داشته باشیم که در بی‌نهایت زاویه گرفته شده‌اند، می‌توانیم شیء اصلی یعنی همان formula_10را به‌طور کامل بازسازی کنیم. با این حال، در عمل تنها تعداد محدودی پروجکشن در دسترس خواهد بود.
با فرض اینکه formula_10 دارای قطر مؤثر formula_25است و حد تفکیک مورد نظر formula_26 است، تعداد پروجکشن مورد نیاز برای بازسازی تصویر از رابطه زیر به دست می‌آید: formula_27
الگوریتم‌های بازسازی عملی برای تکمیل روند بازسازی یک جسم سه‌بعدی از پروجکشن‌های آن ساخته شده‌است. این الگوریتم‌ها عمدتاً بر اساس ریاضیات تبدیل رادون، دانش آماری فرایندجمع آوری داده و هندسه سیستم تصویربرداری داده طراحی شده‌اند.
بازسازی را می‌توان با استفاده از درون یابی انجام داد. فرض کنید formula_28 پروجکشن از formula_10‌در زوایای که به‌طور مساوی فاصله داده می‌شوند و هر کدام سرعت نمونه برداری یکسان دارند، تولید شده‌است. تبدیل فوریه گسسته در هر پروجکشن، نمونه‌برداری را در حوزه فرکانس انجام خواهد داد. ترکیب همه پروجکشن‌های نمونه‌برداری شده در فرکانس، یک خط قطبی در حوزه فرکانس ایجاد می‌کند. خط قطبی نامتراکم خواهد بود بنابرین برای پر کردن نقاط ناشناخته تبدیل فوریه دوبعدی از درون‌یابی استفاده می‌شود و سپس بازسازی می‌تواند از طریق معکوس تبدیل فوریه دیجیتال انجام شود. عملکرد بازسازی ممکن است با طراحی روش‌هایی برای تغییر نامتراکمی خط قطبی و تسهیل اثرگذاری درون‌یابی، بهبود یابند. به عنوان مثال، یک مربع مورب متحدالمرکز در حوزه فرکانس را می‌توان با تغییر زاویه بین هر پروجکشن به صورت زیر بدست آورد:
formula_30که formula_31بالاترین فرکانس مورد بررسی است.
مربع مورب متحدالمرکز، کارایی محاسباتی را بهبود می‌بخشد با اینکه تمام موقعیت‌های درون یابی روی شبکه تبدیل فوربه گسسته مستطیلی شکل می‌گیرد. علاوه بر این، خطای درون یابی را نیز کاهش می‌دهد. با این حال، الگوریتم تبدیل فوریه مشکل بزرگ تولید خروجی نویزی را دارد.
در عمل بازسازی تصویر توموگرافیک، اغلب از یک نسخه پایدار و گسسته سازی شده تبدیل رادون معکوس استفاده می‌شود، که به عنوان الگوریتم عقبگرد پروجکشن شناخته می‌شود.
در یک سیستم نمونه‌گیری شده گسسته، تبدیل رادون معکوس، مانند زیر است:
formula_32
formula_33
که formula_34 فاصله زاویه ای بین پروجکشن‌ها و formula_35 کرنل رادون با پاسخ فرکانس formula_36است. نام عقبگرد پروجکشن از این واقعیت سرچشمه گرفته‌است که پروجکشن‌های یک بعدی باید توسط کرنل یک بعدی رادون فیلتر شوند تا بتوان سیگنال دوبعدی را به دست آورد. فیلتر استفاده شده حاوی بهره مقدار ثابت (gain DC) نیست، بنابراین افزودن یک مقدار ثابت (DC) ممکن است مطلوب باشد. بازسازی با استفاده از روش عقبگرد پروجکشن، باعث وضوح بیشتری نسبت به روش درون یابی که در بالا توضیح داده شده‌است، می‌شود. با این حال، باعث ایجاد نویز بیشتر نیز می‌شود، زیرا فیلتر مستعد به افزایش محتوای فرکانس بالا است.
الگوریتم تکراری از لحاظ محاسبات پیچیده‌است اما اجازه می‌دهد اطلاعات "پیشین" در مورد سیستم به حساب بیایند. formula_28تعداد پروجکشن‌ها و formula_38اپراتور تحریف برای formula_39امین پروجکشن گرفته شده در یک زاویه formula_40است و formula_41مجموعه ای از پارامترها برای بهینه‌سازی تبدیل تکرارها هستند.
formula_42
formula_43
یک خانواده جایگزین از الگوریتم‌های بازسازی توموگرافی بازگشتی عبارتند از: تکنیک بازسازی جبری و حداقل تفاضل مجانبی.
استفاده از یک پرتو پنکه ای هم راستا سازی نشده رایج است زیرا به دست آوردن یک پرتو تابش هم راستا سازی شده دشوار است. پرتوهای پنکه ای، مجموعه ای از انتگرال‌های خط را تولید می‌کنند که مانند پروجکشن‌ها به صورت موازی با یکدیگر نیستند. سیستم پرتو پنکه ای نیاز به محدوده زاویه۳۶۰ درجه ای دارد که موجب محدودیت مکانیکی می‌شود، اما اجازه می‌دهد تا سرعت جمع‌آوری سیگنال سریع تر باشد که این امر در موارد خاص برای مثال در زمینه پزشکی مفید است. روند عقبگرد پروجکشن یک روش دو مرحله ای مشابه را طی می‌کند که با استفاده از محاسبه جمع وزن دار شده عقبگرد پروجکشن‌های گرفته شده از پروجکشن‌های فیلتر شده، بازسازی را انجام می‌دهد.
برای بازسازی توموگرافی انعطاف‌پذیر، جعبه ابزارهای منبع بازمانند TomoPy, ODL یا جعبه ابزار ASTRA. در دسترس هستند. TomoPy یک جعبه ابزار منبع باز پایتون برای انجام پردازش داده‌های توموگرافی و امور بازسازی تصویر در منبع پیشرفته فوتون در آزمایشگاه ملی Argonne است. جعبه ابزار TomoPy به‌طور خاصی طراحی شده‌است که برای استفاده آسان است. TomoPy همچنین شامل چندین الگوریتم بازسازی است که می‌تواند در ایستگاه‌های کاری چند هسته‌ای و با امکانات محاسباتی در مقیاس بزرگ اجرا شود. جعبه ابزار ASTRA یک جعبه ابزار MATLAB از پایه‌های پردازنده گرافیکی با عمکرد خوب برای توموگرافی دوبعدی و سه‌بعدی است که ازسال ۲۰۰۹–۲۰۱۴ توسط آزمایشگاه iMinds-Vision Lab University of Antwerp ساخته شده و از سال ۲۰۱۴ به‌طور مشترک توسط iMinds-VisionLab, UAntwerpen و CWI, Amsterdam پیشرفت داده شده‌است. این جعبه ابزار از پرتوهای موازی، پنکه ای و مخروطی با موقعیت منبع/ آشکارساز بسیار قابل انعطاف پشتیبانی می‌کند. تعداد زیادی از الگوریتم‌های بازسازی از طریق مجموعه ابزارTomoPyو ASTRA در دسترس هستند، از جمله این‌ها می‌توان بهFBP, Gridrec, ART , SIRT, SART, BART, CGLS, PML, MLEM و OSEM اشاره کرد. به تازگی، جعبه ابزار ASTRA با TomoPy ادغام شده‌است. با ترکیب جعبه ابزار ASTRA با TomoPy، روش بازسازی مبتنی بر GPU به راحتی در دسترس کاربران قرار گرفت و کاربران جعبه ابزار ASTRA می‌توانند به راحتی داده‌ها را بخوانند و از قابلیت‌های دیگر TomoPy برای فیلتر کردن داده‌ها و تصحیح اعوجاج‌ها استفاده کنند.
در تصاویر آمده در این قسمت، روند کامل برای یک توموگرافی ساده از جسم و بازسازی توموگرافی بر اساس روش‌های تکراری آمده‌است.