بهترین پاسخ
در نظریه بازی‌ها، بهترین پاسخ، استراتژی خالص یا مختلط است که منتج به بیشترین سود برای بازیکن، با ثابت در نظر گرفتن استراتژی سایر بازیکنان، شود. در یک بازی دو نفره، اگر formula_1 و formula_2 استراتژی‌های بازیکنان اول و دوم باشند، در این صورت formula_1 بهترین پاسخ به formula_2 است اگر و تنها اگر برای هر استراتژی formula_5از استراتژی‌های بازیکن نفر اول که formula_6داشته باشیم formula_7که در آن تابع formula_8تابع سود بازیکن اول است.
مفهوم بهترین پاسخ، در تعریف مفهوم تعادل نش نقش اساسی دارد. در حقیقت در یک بازی، یک استراتژی پروفایل، تعادل نش است اگر هر کدام از بازیکنان بهترین پاسخ (یا یکی از بهترین پاسخ‌ها) را نسبت به استراتژی دیگران بازی کنند.
از تابع بهترین پاسخ، که به عنوان تابع واکنش نیز شناخته می‌شود، در اثبات وجود تعادل نش استفاده می‌شود.
تابع بهترین پاسخ، یک تابع با برد استراتژی‌های بازیکن نیست، چون در یک تابع، به ازای هر آرگومان ورودی، یک خروجی یکتا تعیین می‌شود. در صورتی که ممکن است در بسیاری از نقاط تابع بهترین پاسخ، بیش از یک خروجی وجود داشته باشد. در حقیقت، تابع بهترین پاسخ، تابعی از استراتژی پروفایل‌های سایر بازیکنان به مجموعه استراتژی‌های بازیکن است. در صورتی که استراتژی سایر بازیکنان را formula_9بنامیم، formula_10نشان‌گر بهترین پاسخ بازیکن formula_11-ام به formula_9است. برای نمایش تابع بهترین پاسخ، برای تمامی بازی‌های بهنجار formula_13، می‌توان از یک خط در یک مربع واحد استفاده کرد. تصاویر ۱ تا ۳، تابع بهترین پاسخ را در بازی شکار گوزن نشان می‌دهند. خطوط نقطه‌چین در تصویر ۱، نشان‌گر بهینه‌ترین احتمال برای بازی گوزن توسط بازیکن formula_14 است، به عنوان تابعی از احتمال بازی گوزن توسط بازیکن formula_15. این خطوط در تصویر ۲، نشان‌گر بهینه‌ترین احتمال برای بازی گوزن توسط بازیکن formula_16 است که به عنوان تابعی از احتمال بازی گوزن توسط بازیکن formula_17 ترسیم شده‌است. در تصویر ۳، هر دو این خطوط در یک نمودار رسم شده‌اند و نقاط برخورد این خطوط، نقاطی است که در آن، هر دو بازیکن بهترین پاسخ را نسبت به استراتژی بازیکن مقابل بازی می‌کنند و در نتیجه، تعادل‌های نش این بازی هستند.
اگر در یک بازی، بازیکنی استراتژی غالب اکید داشته باشد، این استراتژی در مقابل همه استراتژی پروفایل‌های سایر بازیکنان بهترین پاسخ است. برای مثال، در بازی معمای زندانی، هر دو بازیکن استراتژی غالب اکید دارند، پس بهترین پاسخ هر بازیکن مستقل از بازی بازیکن دیگر، استراتژی غالب است. این گزاره هم‌چنین در مورد استراتژی غالب (نه غالب اکید) نیز صحیح است.
اگر در یک بازی، بازیکنی استراتژی مغلوب اکید داشته باشد، می‌توان ثابت کرد این استراتژی مغلوب اکید، هیچ هنگام بهترین پاسخ نخواهد بود. این گزاره، در مورد استراتژی مغلوب صحیح نیست. بازی دو نفره زیر را در نظر بگیرید (بازی ۱). در این بازی استراتژی formula_18 برای نفر اول استراتژی مغلوب است. در حالی که formula_18بهترین پاسخ برای استراتژی formula_18(که توسط نفر دوم بازی شود) است. اگر در یک بازی، formula_21بهترین پاسخ مختلط به استراتژی پروفایل سایر بازیکنان باشد، در این صورت هر استراتژی در ساپورت formula_21نیز بهترین پاسخ به آن استراتژی پروفایل سایر بازیکنان است.
در نظریه‌ی بازی‌های تکاملی، پویایی بهترین پاسخ، مجموعه‌ای از قوانین بروزرسانی استراتژی‌ها را نمایش می‌دهد که استراتژی بازیکنان در دور بعدی را با توجه به تابع بهترین پاسخ آن‌ها در مقابل زیر مجموعه‌ای از کل جمعیت مشخص می‌کند.
نکته مهم است که بازیکنان در دور بعد بازی، استراتژی‌ای را انتخاب می‌کنند که سود آن‌ها را در همان دور بعد بیشینه کند و اهمیتی به آیندهٔ بازی در دوردست و تأثیر استراتژی انتخابی در آینده نمی‌دهند. در این‌جا تعریف بازی پتانسیل لازم است. یک بازی را بازی پتانسیلی می‌نامیم اگر انگیزهٔ همهٔ بازیکنان از عوض کردن استراتژی خود را بتوان به شکل یک تابع کلی به نام تابع پتانسیل نمایش داد. در نظریهٔ بازی‌های پتانسیلی، پویایی بهترین پاسخ به روشی برای یافتن تعادل نش با محاسبهٔ بهترین پاسخ برای هر بازیکن برمی گردد.
قضیه: در هر بازی پتانسیلی محدود، پویایی بهترین پاسخ به تعادل نش همگرا خواهد شد.
برخی مدل‌ها از بهترین پاسخ تعدیل شده به جای بهترین پاسخ استفاده می‌کنند که این توابع همانند توابع بهترین پاسخ معمولی کار می‌کنند با این تفاوت که بازیکنان در آن از یک استراتژی خالص به استراتژی خالص دیگر پرش نمی‌کنند. در توابع بهترین پاسخ استاندارد، حتی اگر یک استراتژی به مقدار ناچیزی سود بیش‌تری از استراتژی دوم داشته باشد استراتژی اول با احتمال یک انتخاب می‌شود و استراتژی دوم انتخاب نمی‌شود؛ ولی در تابع بهترین پاسخ تعدیل شده، هرچه تفاوت سود ۲ تا استراتژی کمتر می‌شود به‌طور پیوسته درصد انتخاب ۲ استراتژی به‌طور پیوسته به ۵۰: ۵۰ میل می‌کند.
توابع زیادی هستند که بهترین پاسخ تعدیل شده را مدل می‌کنند، از جمله: formula_23
که formula_24سود حاصل از استراتژی formula_25 را نمایش می‌دهد و formula_26 پارامتری است که میزان انحراف مدل تعدیل شدهٔ بهترین پاسخ را از مدل استاندارد نمایش می‌دهد و هر چه formula_26بیش‌تر باشد به معنای این است که بازیکن با احتمال بیش‌تری اشتباه می‌کند.
استفاده از این مدل تعدیل شده فواید زیادی هم در تئوری و هم در عمل دارد. از لحاظ روان‌شناختی زمانی که افراد نسبت به دو استراتژی تقریباً بی‌تفاوت هستند، به صورت تصادفی یکی از آن‌ها را انتخاب می‌کنند. علاوه بر این، بازی همهٔ افراد به‌طور یکسان در همهٔ حالات مشخص می‌شود.
تصویر ۵، نمودارهای بهترین پاسخ را برای بازی جوجه نشان می‌دهد. در این بازی، هر کدام از دو بازیکن دو استراتژی خالص دارد و استراتژی‌های بازیکنان در این بازی، گسسته‌است. تصویر ۶، نمودار بهترین پاسخ هر دو بازیکن نسبت به هم را برای رقابت کورنو نشان می‌دهد. بر خلاف بازی جوجه، در این بازی، استراتژی‌های یک بازیکن پیوسته‌است. بازی استراتژیکی را در نظر بگیرید که در آن: حال تعادل نش چگونه است؟
برای محاسبهٔ تعادل نش باید تابع بهترین پاسخ را برای شرکت‌ها محاسبه کنیم. برای به دست آوردن بهترین پاسخ برای شرکت ۱ به ازای هر مقدار formula_29از شرکت ۲، formula_29را ثابت در نظر گرفته و معادلهٔ رو به رو را حل می‌کنیم: formula_34
مشتق عبارت بالا نسبت به formula_28برابر با formula_36 می‌شود. زمانی که مشتق صفر می‌شود، مقدار سود شرکت ۱ بیشینه می‌شود پس:
۰ =formula_36در نتیجه: formula_38بنابراین تابع بهترین پاسخ شرکت۱ برابر است با formula_39و به طریق مشابه تابع بهترین پاسخ شرکت۲ formula_40 و تعادل نش یک جفت formula_41 که formula_42 و formula_43.
با کم کردن ۲ تساوی از هم نتیجه می‌گیریم که formula_44و این یعنی بازی یک تعادل نش یکتا دارد و آن هم‌زمانی است که بودجهٔ در نظر گرفته شده توسط هر ۲ شرکت برای تبلیغات c باشد.