معیار کلی
معیار کِلی، استراتژی کِلی، فرمول کِلی، یا شرط کِلی فرمولی است در نظریهٔ احتمالات و انتخاب سرمایه‌گذاری میان‌مدت، که برای تعیین کردن اندازهٔ بهینهٔ شرط‌ها جهت بیشینه ساختن لگاریتم ثروت استفاده می‌شود. در اکثر سناریوهای شرط‌بندی، و بعضی سناریوهای سرمایه‌گذاری با ساده‌سازی مفروضات، استراتژی کِلی در بلندمدت از هر استراتژی اساساً متفاوتی بهتر عمل می‌کند. (منظور از بلندمدت، هر بازهٔ زمانی است که در آن تعداد شرط‌بندی‌های موفق به روی تعداد کل شرط‌بندی‌ها، برابر با احتمال آن است که هر شرط‌بندی داده‌شده موفق خواهد شد)
معیار کِلی برای شرط‌بندی روی یک مقدار از پیش تعیین‌شدهٔ دارایی‌ها است و می‌تواند برخلاف غریزه باشد. در یک مطالعه، به هر شرکت‌کننده ۲۵ دلار داده و از آن‌ها خواسته‌شد که روی یک سکه که در ۶۰ درصد مواقع شیر می‌آید، شرط‌بندی کنند. شرکت‌کننده‌ها ۳۰ دقیقه زمان داشتند؛ بنابراین، می‌توانستند حدوداً ۳۰۰ بار شرط‌بندی کنند؛ و جوایز تا محدودهٔ ۲۵۰ دلار بود. رفتار شرکت‌کننده‌ها از حالت بهینه بسیار دور بود. «به طرز قابل توجهی، ۲۸ درصد از شرکت‌کنندگان ورشکست شدند؛ و میانگین پرداخت‌ها تنها ۹۱ دلار بود. تنها ۲۱ درصد از شرکت‌کنندگان به بیشینهٔ جوایز رسیدند. ۱۸ نفر از ۶۱ شرکت‌کننده همهٔ دارایی خود را روی یک پرتاب سرمایه‌گذاری کردند، در حالی که دو سوم شرکت‌کنندگان در مواقعی از آزمایش، روی خط شرط‌بندی کردند.» با اسفاده از معیار کِلی و بر اساس شانس‌های آزمایش، بهترین رویکرد این است که ۲۰ درصد از دارایی را روی هر پرتاب شرط‌بندی کنیم؛ در صورت باخت، میزان شرط‌بندی را کاهش و در صورت برد، آن را افزایش دهیم.
جان کِلی، کسی که در آزمایشگاه بِل شرکت AT&T کار می‌کرد، در اصل معیار کِلی را برای کمک کردن به AT&T در مسائلی راجع‌به اختلالات سیگنال‌های تلفن از راه دور ابداع کرد. کمی بعد از آن‌که روش کِلی تحت عنوان «یک تفسیر جدید از نرخ اطلاعات» منتشر شد، جامعهٔ شرط‌بندی از آن مطلع شد و پتانسیل آن را برای ایجاد یک سیستم شرط‌بندی بهینه درک کرد. این سیستم به قماربازان امکان این را می‌داد که سرمایهٔ بانکی خود را در طول زمان بیشینه کنند. امروزه، خیلی از مردم از آن به عنوان یک سیستم مدیریت مالی کُلی در نه تنها شرط‌بندی، بلکه سرمایه‌گذاری استفاده می‌کنند.
برای شرط‌بندی‌های ساده با دو خروجی، که یکی شامل از دست‌دادن کل مبلغ شرط‌بندی و دیگری شامل بردن مبلغ شرط‌بندی ضرب‌در شانس برآورده‌شدن است، شرط کِلی برابر است با:
formula_1
که در آن:
برای مثال، هنگامی که یک شرط‌بندی به احتمال ۶۰٪ شانس برد دارد (formula_9)، و قمارباز شانس ۱ به ۱ برای برد دریافت می‌کند (formula_10)، بنابراین قمارباز باید ۲۰٪ از سرمایه‌س بانکی خود را در هر شانس شرط‌بندی کند(formula_11)، برای این‌که نرخ رشد سرمایهٔ بانکی خود را در بلندمدت بیشینه کند.
اگر formula_2صفر باشد (برای مثال، اگر formula_13)، معیار کِلی پیش‌نهاد می‌کند که قمارباز روی هیچ مبلغی شرط نبندد.
اگر formula_2منفی باشد، معیار کِلی پیش‌نهاد می‌دهد که قمارباز روی طرف دیگر شرط ببندد.
صورت کسر اول امید ریاضی برد از یک شرط‌بندی ۱ دلاری است، از آن‌جایی که شما یا با احتمال formula_6، formula_3دلار برنده می‌شوید یا با احتمال formula_7، ۱ دلار شرط‌بندی خود را از دست می‌دهید؛ بنابراین formula_2برابر است با امید ریاضی برد به روی میزان سود خالص حاصل از برد.
برای شرط‌بندی‌های برابر (formula_10)، فرمول اولیه به صورت زیر ساده می‌شود:
formula_20
از آن‌جایی که formula_21، این عبارت حتی به صورت زیر ساده‌تر می‌شود:
formula_22
یک مسئلهٔ کلی‌تر مربوط به تصمیمات سرمایه‌گذاری به صورت زیر است:
در این حالت، معیار کِلی فرمول نسبتاً ساده‌ای دارد:
formula_30
توجه کنید که این فرمول برای formula_31، به حالت خاص بالا (formula_20) تبدیل می‌شود.
به وضوح، برای این‌که بتوانیم تصمیم بگیریم که حداقل مقدار کمی سرمایه‌گذاری کنیم (formula_33)، باید داشته‌باشیم:
formula_34
که مشخصاً چیزی نیست جز این‌که مقدار سود مورد نظر شما باید از مقدار ضرر مورد نظرتان بیش‌تر باشد تا هرگونه سرمایه‌گذاری معنی داشته‌باشد.
نتیجهٔ کلی روشن می‌کند که چرا استفاده‌کردن از اهرم مالی، کسر بهینه از سرمایه برای سرمایه‌گذاری را کاهش می‌دهد؛ مانند حالتی که در آن formula_35. به‌طور مشخص، هر چه‌قدر هم که احتمال موفقیت(formula_6) زیاد باشد، اگر formula_37به اندازهٔ کافی بزرگ باشد، کسر بهینهٔ سرمایه‌گذاری صفر می‌شود؛ بنابراین، استفاده از اختلاف سرمایهٔ بیش از اندازه استراتژی سرمایه‌گذاری مناسبی نیست، هرچه‌قدر هم که شما سرمایه‌گذار خوبی باشید.
معیار کِلی، امید ریاضیلگاریتم دارایی را بیشینه می‌کند. ما با formula_24واحد سرمایه شروع می‌کنیم و کسر formula_2روی یک خروجی که با احتمال formula_6رخ می‌دهد و به ما formula_3واحد سود می‌دهد، شرط‌بندی می‌کنیم. احتمال بردن برابر با formula_6است؛ و در صورت برد، دارایی با formula_43برابر می‌شود. احتمال باختن برابر با formula_8است؛ و در صورت باخت، دارایی با formula_45برابر می‌شود؛ بنابراین، امید ریاضی لگاریتم دارایی(formula_46) برابر است با:
formula_47
برای پیدا کردن formula_2که امید ریاضی برای آن بیشینه باشد، از معادلهٔ بالا مشتق می‌گیریم و حاصل را برابر صفر قرار می‌دهیم:
formula_49
از مرتب کردن معادلهٔ بالا، معیار کِلی به دست می‌آید:
formula_50
برای اثبات کامل و دقیق، به مقاله‌ی اصلی کلی مراجعه کنید.
معیار کِلی بر پایهٔ ریاضیات خالص بنا شده‌است؛ با این حال، عده‌ای از مردم می‌خواهند بدانند آیا سیستمی که در اصل برای تلفن‌ها ابداع شده در عمل در بازار بورس یا عرصهٔ شرط‌بندی مؤثر عمل می‌کند؟
با نشان دادن رشد شبیه‌سازی شدهٔ یک حساب تجاری بر مبنای ریاضیات خالص، یک نمودار سهام می‌تواند تأثیر این سیستم را اثبات کند. به عبارت دیگر، دو متغیر باید درست وارد شوند و باید فرض شود که سرمایه‌گذار قادر است این عملکرد را حفظ کند. به مثال زیر توجه کنید:
تصویر فوق فعالیت ۵۰ حساب تجاری شبیه‌سازی شده را به وسیلهٔ یک منحنی صوری نشان می‌دهد. میانگین مقدار برنده‌شده با میانگین مقدار از دست‌داده برابر است؛ با این حال، مردم قادر بودند که در ۶۰ درصد مواقع برنده شوند. معیار کِلی سپس به آن‌ها پیشنهاد می‌کند که ۱۹ درصد از کل دارایی خود را به هر سهم اختصاص دهند (حدود ۵ سهم در اختیار آن‌ها قرار می‌دهد). نتیجهٔ بازگشت سرمایه در بلندمدت برای همهٔ سرمایه‌گذاران مثبت بوده‌است (گرچه در کوتاه‌مدت بازه‌هایی مشاهده می‌شود که سرمایه در آن‌ها افت کرده‌است). بیش‌ترین نرخ بازگشت سرمایه ۱۴۰ درصد در طول ۴۵۳ واحد زمانی بوده‌است (از ۱۰۰ شروع شده و تا ۲۴۰ بالا رفته‌است). هر واحد زمانی نشان‌دهندهٔ مدت زمان بین معاملات یا خروجی‌های سیستم تجاری است.
برخی از ویژگی‌های منفی معیار کِلی به شرح زیر است:
formula_54