چگالی طیفی
طیف توان formula_1 برای یک سری زمانی formula_2 توصیف کننده توزیع توان به مولفه‌های فرکانسی تشکیل دهنده سیگنال است. بر اساس آنالیز فوریه، هر سیگنال فیزیکی را می‌توان به تعدادی از فرکانس‌های گسسته، یا طیفی از فرکانس‌ها در یک محدوده پیوسته تجزیه کرد. میانگین آماری یک سیگنال معین یا نوعی از سیگنال (شامل نویز) وقتیکه از دیدگاه محتوای فرکانس آن تحلیل می‌شوند، طیف آن سیگنال نامیده می‌شوند.
وقتیکه انرژی سیگنال در حول و حوش یک بازه زمانی محدود متمرکز شود، مخصوصاً اگر کل انرژی آن محدود باشد، می‌توان چگالی طیفی انرژی آن را محاسبه کرد. چیزی که معمول‌تر است، چگالی طیفی توان (یا به صورت ساده‌تر طیف توان) است که به سیگنال‌های موجود در "کل" زمان، یا به یک دوره زمانی به اندازه کافی بزرگ (مخصوصا در رابطه با مدت زمان اندازه‌گیری) که این آخری هم می‌تواند به صورت مشابه روی یک بازه زمانی نامحدود باشد، اعمال می‌شود. چگالی طیف توان (PSD) آنوقت به توزیع انرژی طیفی که «در هر واحد زمان» یافت می‌شود، ارجاع دارد، زیرا انرژی کلی چنین سیگنالی در تمام زمان معمولاً بینهایت است. مجموع‌یابی یا انتگرال‌گیری مولفه‌های طیفی منجر به توان کلی (برای یک فرایند فیزیکی) یا واریانس (در یک فرایند آماری) می‌شود، این مشابه آن‌چیزی است که از انتگرال‌گیری formula_3 روی دامنه زمانی به دست می‌آید، که این موضوع توسط اجبار می‌شود.
طیف یک فرایند فیزیکی formula_2 معمولاً شامل اطلاعات اساسی دربارهٔ طبیعت formula_5 است. یک مثال آن، زیروبمی و رنگ برای یک وسیله موسیقی است به صورت فوری توسط تحلیل طیفی معین می‌شود. مثال دیگر رنگ یک منبع نوری است که توسط طیف موج الکترومغناطیسی برای فیلد الکتریکی formula_6 موقعی که در فرکانس بسیار بالا نوسان می‌کند، تعیین می‌شود. برای به دست آوردن یک فرم طیفی از سری زمانی، مثل موارد بالا، باید از تبدیل فوریه، و تعمیم‌های مبتنی بر تحلیل فوریه استفاده کرد. در بسیاری از حالات، دامنه زمانی در عمل اعمال نمی‌گردد، مثل موقعی که از یک استفاده می‌کنیم تا به یک طیف نوری در یک طیف‌سنج برسیم، یا موقعی که یک صدا از طریق تأثیرگذاری روی گیرنده‌های صوتی در گوش درونی درک می‌شود، که در این‌جا هر گیرنده به یک فرکانس خاص حساس است.
با این حال این مقاله روی وضعیت‌هایی تمرکز می‌کند که سری زمانی‌شان را می‌دانیم (حداقل در مفهوم آماری) یا سری زمانی به صورت مستقیم اندازه‌گیری شده‌است (مثلا توسط میکروفن و توسط رایانه نمونه‌برداری شده). طیف توانی در پردازش سیگنال آماری مهم است، همچنین در مطالعه آماری فرایندهای تصادفی، و نیز در خیلی از رشته‌های دیگر در فیزیک و مهندسی هم اهمیت دارد. معمولاً این فرایند، تابعی از زمان است، اما می‌توان داده را در زمینه فضایی نیز بررسی کرد که این توسط فرکانس فضایی تجزیه می‌شود.
هر سیگنالی را که بتوان به صورت متغیری نمایش داد که در زمان تغییر می‌کند، یک طیف فرکانسی متناظر دارد. این موضوع شامل موجودیت‌های آشنایی مثل نور قابل مشاهده (که به صورت رنگ درک می‌شود)، نت موسیقی (که به صورت زیروبمی درک می‌شود)، رادیو/تلویزیون (که توسط فرکانس شان، یا گاهی توسط طول‌موج تعیین می‌شود) و حتی چرخش منظم زمین می‌شود. موقعی که این سیگنال‌ها به حالت یک طیف فرکانسی دیده شوند، جنبه‌های معینی از سیگنال دریافتی یا فرایندهای زیرین تولیدکننده آن‌ها آشکار می‌شود. در بعضی از حالات طیف فرکانسی دارای یک قله مجزا است که با یک مولفه موج سینوسی متناظر است. و بعلاوه ممکن است قله‌هایی متناظر با هارمونیک‌های یک قله اصلی وجود داشته باشد، که نشان‌دهنده یک سیگنال تناوبی است که یک سینوسی ساده نیست. یا یک طیف پیوسته می‌تواند بازه‌های فرکانسی باریک را نشان دهد که متناظر با تشدید (رزونانس) به صورت قوی افزایش می‌یابد، یا بازه‌های فرکانسی شامل توان تقریباً صفر باشند که توسط یک فیلتر شکافی تولید شده‌اند.
در فیزیک، سیگنال می‌تواند یک موج باشد، مثل یک موج الکترومغناطیسی، یک موج صوتی یا اینکه ارتعاش یک مکانیزم باشد. چگالی طیف توانی (PSD) برای سیگنال، توصیف‌کننده توان موجود در سیگنال به صورت تابعی از فرکانس در واحد فرکانس است. چگالی طیف توانی معمولاً به صورت وات به ازای هرتز (W/Hz) بیان می‌شود.
موقعی که یک سیگنال مثلا از دیدگاه ولتاژ، تعریف شده‌است، هیچ توان یکتایی مرتبط با دامنه بیان شده وجود ندارد. در این حالت، «توان» به سادگی از دیدگاه مربع سیگنال حساب می‌شود، همان‌طور که این با توان واقعی تحویل شده توسط آن سیگنال به یک امپدانس معین متناسب است. از این رو می‌توان از واحدهای V Hz برای PSD استفاده کنیم و از V s Hz برای ESD (چگالی طیف انرژی energy spectral density) استفاده کنیم، اگرچه هیچ «توان» یا «انرژی» واقعی تعیین نشده‌است.
بعضی اوقات به یک چگالی طیفی دامنه (ASD) (amplitude spectral density) برخورد می‌کنیم، که جذر دوم PSD است؛ ASD برای سیگنال ولتاژ واحد V Hz دارد. این موضوع موقعی مفید است که بیشتر شکل طیف ثابت است، زیرا آنوقت تغییرات در ASD با تغییرات در خود مرحله ولتاژ سیگنال متناسب است. اما از نظر ریاضیاتی استفاده از PSD ترجیح دارد، زیرا تنها در آن حالت مساحت زیر منحنی از لحاظ توان واقعی تحت همه فرکانس‌ها یا تحت پهنای‌باند معین معنی‌دار است.
در حالت معمول، واحد PSD همان نسبت واحدهای واریانس در واحد فرکانس است؛ از این رو، مثلا، سری‌های مقادیر جابجایی (در متر) روی زمان (در ثانیه) دارای PSD در واحد m/Hz خواهد بود. برای تحلیل ارتعاش تصادفی، به صورت مکرر از واحدهای "g" Hz برای شتاب PSD استفاده می‌شود. در اینجا "g" نشان‌دهنده نیروی گرانش است.
از نظر ریاضیاتی، نیازی به انتساب ابعاد فیزیکی به سیگنال یا متغیر مستقل نیست. و در بحثی که در ادامه می‌آید، معنی "x(t)" نامعین می‌ماند، اما فرض می‌شود که متغیر مستقل، زمان است.
چگالی طیف انرژی توصیف کننده روشی است که انرژی یک سیگنال یا یک سری زمانی در طول فرکانس توزیع می‌شود. در اینجا، اصطلاح انرژی در مفهوم عمومی‌اش در پردازش سیگنال استفاده شده‌است؛ یعنی، انرژی formula_7 از یک سیگنال formula_2 به این صورت است:
چگالی طیف انرژی برای موارد گذرا بسیار مناسب است-یعنی، سیگنال‌های شبیه پالس، که در آن موقع انرژی کلی محدودی دارد. چه محدود باشد یا نباشد، ، (یا قضیه پلانچرل) به ما یک عبارت جایگزین برای انرژی سیگنال می‌دهد:
که در آن:
مقدار تبدیل فوریه formula_2 در فرکانس formula_13 (به هرتز) است. این قضیه در حالت‌های زمان-گسسته نیز درست است. به این دلیل که انتگرال سمت راست همان انرژی سیگنال است، عبارت‌زیرانتگرال formula_14 را می‌توان به صورت یک تابع چگالی تفسیر کرد، که توصیف‌کننده انرژی موجود در سیگنال در فرکانس formula_13 است. از این رو، چگالی طیفی انرژی برای formula_2 به این صورت تعریف می‌شود:
تابع formula_17 و خودهمبستگی برای formula_2 یک زوج تبدیل فوریه می‌سازند، این نتیجه‌گیری به نام قضیه وینر-خینشین شناخته می‌شود ( را ببیند).
به عنوان یک مثال فیزیکی از اینکه چگونه می‌توان چگالی طیف انرژی یک سیگنال را اندازه‌گرفت، فرض کنید که formula_19 نمایش دهنده پتانسیل (در ولت) از یک پالس الکتریکی باشد که در طول یک خط انتقال انتشار با امپدانس Z منتشر شده‌است، و فرض کنید که این خط توسط یک مقاومت متناظر خاتمه می‌یابد (از این رو همه انرژی پالس به مقاومت تحویل داده می‌شود، و هیچ انرژی بازگشت نمی‌کند). از طریق قانون اهم، توان تحویل شده به مقاومت در زمان formula_20 برابر formula_21 است، از این رو انرژی کلی از طریق انتگرال‌گیری formula_21 نسبت به زمان روی مدت پالس به دست می‌آید. برای یافتن مقدار چگالی طیفی انرژی formula_17 در فرکانس formula_13، می‌توان بین خط انتقال و مقاومت یک فیلتر میان‌گذر قرار داد، که فقط محدوده باریکی از فرکانس‌ها (به آن بگوییم formula_25) نزدیک فرکانس مورد علاقه را از خود عبور می‌دهد، و سپس کل انرژی formula_26 را که از میان مقاومت از بین می‌رود را باید اندازه‌گیری کنیم. مقدار چگالی طیف انرژی در formula_13 آنوقت به مقدار formula_28 تخمین زده می‌شود. در این مثال، به این دلیل که توان formula_21 دارای واحد V Ω است، انرژی formula_26 واحد V s Ω = J دارد، و از این رو تخمین formula_31 از چگالی طیف انرژی واحد J Hz را دارد که نیاز داشتیم. در بیشتر حالات، می‌توان گام تقسیم بر formula_32 را فراموش کرد و از این رو چگالی طیف انرژی در عوض واحد V Hz را خواهد داشت.
این تعریف به روش مستقیم به سیگنال گسسته با تعداد قابل شمارش نامتناهی مقایر formula_33 تعمیم می‌یابد، مثل یک سیگنال که در زمان‌های گسسته formula_34 نمونه‌گیری شده‌است:
در اینجا formula_36 همان تبدیل فوریه زمان-گسسته برای formula_37 است. بازه نمونه‌گیری formula_38 برای نگهداری واحدهای فیزیکی صحیح، و نیز برای اطمینان از اینکه ما در حد formula_39 حالت پیوسته را بازیابی می‌کنیم، نیاز است. اما در علوم ریاضیات این بازه معمولاً به ۱ تنظیم می‌شود، که نتایج را با هزینه تعمیم آن، ساده‌سازی می‌کند. ( را ببیند).
تعریف بالا برای چگالی طیف انرژی، برای حالت گذرا (سیگنال‌های مشابه پالس) مناسب است، که در آن انرژی در حول یک پنجره زمانی متمرکز شده‌است؛ در آنصورت تبدیل‌های فوریه برای سیگنال‌ها معمولاً وجود دارد. برای سیگنال‌های پیوسته روی همه زمان، به صورت جایگزین باید "چگالی طیفی توان" (PSD) را تعریف کرد، که این تعریف برای فرایندهای مانا وجود دارد؛ این موضوع توصیف می‌کند که چگونه توان یک سیگنال یا سری زمانی روی فرکانس توزیع شده‌است، مثل مثال ساده‌ای که در قبل داشتیم. در اینجا، توان می‌تواند توان فیزیکی واقعی باشد، یا به صورت معمول‌تر، برای سادگی با سیگنال‌های انتزاعی، به سادگی توسط مقدار مجذور سیگنال شناسایی شود. برای مثال، آماردانان واریانس یک تابع را روی زمان (یا روی متغیر مستقل دیگر) formula_2 مطالعه می‌کنند، و به کمک قیاس با سیگنال‌های الکتریکی (از میان دیگر فرایندهای فیزیکی)، معمول است که به آن "طیف توانی" بگوییم، حتی وقتیکه هیچ توان فیزیکی درگیر نیست. اگر کسی بخواهد یک منبع ولتاژ فیزیکی را که از formula_2 پیروی می‌کند بسازد، و آن را به پایانه‌های یک مقاومت ۱ اهمی اعمال کند، آنوقت توان آنی هدر رفته در آن مقاومت به اندازه formula_42 وات است.
توان میانگین formula_43 از یک سیگنال formula_2 در تمام زمان از این رو توسط این میانگین زمانی به دست می‌آید، که در آن دوره formula_45 در یک زمان اختیاری formula_46 مرکزدهی شده‌است:
با این حال، به خاطر تعامل با ریاضیاتی که در ادامه می‌آید، ساده‌تر است که با حدود زمانی موجود در خود سیگنال به جای حدود زمانی موجود در مرزهای انتگرال سروکار داشته باشیم. از این رو، ما یک نمایش جایگزین برای توان میانگین داریم که در آن formula_48 و formula_49 در یک دوره اختیاری یک و در بقیه محل‌ها صفر اند.
به صورت واضح، در حالاتی که عبارت بالا برای P غیرصفر است (حتی وقتیکه T به صورت بدون مرز افزایش می‌یابد) خود انتگرال هم باید بدون مرز افزایش بیابد. این همان دلیلی است که ما نمی‌توانیم از خود چگالی طیف انرژی استفاده کنیم، زیرا انتگرال را در این حالات واگرا "می‌کند".
در تحلیل محتوای فرکانس سیگنال formula_2، ممکن است بخواهیم تبدیل فوریه معمول formula_52 را محاسبه کنیم؛ با این حال، برای بسیاری از سیگنال‌های مورد علاقه تبدیل فوریه به صورت صوری موجود نیست. صرفنظر از این موضوع، به ما می‌گوید که ما می‌توانیم توان میانگین را به این صورت بازنویسی کنیم:
آنوقت چگالی طیف توان به صورت ساده به صورت زیرانتگرال بالا تعریف می‌شود.
از اینجا ما می‌توانیم formula_54 را به صورت تبدیل فوریه از هم‌گشت زمانی formula_55 و formula_56 ببنیم:
اکنون، ما همگشت زمانی بالا را بر دوره formula_58 تقسیم می‌کنیم، و سپس حد formula_59 را می‌گیریم، این تبدیل به تابع خودهمبستگی برای سیگنال فاقد-پنجره formula_60 می‌شود، که توسط formula_61 نشان داده می‌شود، با این شرط که formula_2 ارگادیک باشد، که این موضوع در بیشتر، اما نه همه، حالات عملی درست است.
از اینجا، ما می‌بینیم که دوباره با فرض ارگادیک بودن formula_2، «چگالی طیفی توان» به صورت «تبدیل فوریه تابع خودهمبستگی» به دست می‌آید (قضیه وینر-خینشین).
بیشتر نویسنده‌ها از این معادله برای "تعریف" واقعی چگالی طیفی توان استفاده می‌کنند.
توان سیگنال در یک باند فرکانسی معین formula_65 که در آن، formula_66 توسط انتگرال‌گیری روی فرکانس محاسبه می‌شود. به این دلیل که formula_67، یک مقدار برابر از توان را می‌توان به باندهای فرکانسی مثبت و منفی منتسب کرد، که به دلیل فاکتور ۲ در حالتی که در ادامه است محسوب می‌شود (چنین فاکتورهای بدیهی بستگی به رسوم استفاده شده دارند):
به صورت معمول‌تر، فنون مشابهی را می‌توان برای تخمین چگالی طیفی در زمان-متغیر استفاده کرد. در این حالت، بازه زمانی formula_45 محدود است به جای آنکه به سمت بی‌نهایت میل کند. این منجر به پوشش و رزلوشن طیفی کمتری می‌شود زیرا فرکانس‌های کمتر از formula_70 نمونه برداری نمی‌شوند، و منجر به فرکانس‌هایی می‌شوند که یک ضرب عدد صحیح از formula_70 مستقل نیستند. فقط به کمک چنین سری زمانی منفردی، طیف توانی تخمین‌زده‌شده بسیار «نویزدار» خواهد بود؛ با این حال، این موضوع اگر بتوانیم مقدار انتظاری را (در معادله بالا) ارزیابی کنیم، این خطاها تسکین می‌یابد، که در این حالت باید از تعداد بزرگی (یا تعداد بی‌نهایتی) از طیف‌های با زمان-اندک متناظر با آنسامبل آماری که از تحقق‌های formula_2 که روی پنجره زمانی معین، ارزیابی شده‌اند، استفاده کرد.
درست مثل چگالی طیفی انرژی، تعریف چگالی طیفی توانی را نیز می‌توان به متغیرهای زمان گسسته formula_33 تعمیم داد. مثل قبل، ما یک پنجره formula_74 را با سیگنال نمونه‌برداری شده در زمان‌های گسسته formula_75 برای دوره اندازه‌گیری کلی formula_76 در نظر می‌گیریم.
توجه کنید که یک تخمین منفرد از PSD از طریق یک تعداد محدود نمونه‌برداری قابل دستیابی است. مثل قبل، PSD واقعی موقعی به دست می‌آید که formula_78 (و از این رو formula_58) به سمت بی‌نهایت میل کند، و مقدار انتظاری به صورت صوری اعمال شود. در یک کاربرد جهان واقعی، می‌توان معمولاً PSD های محدود اندازه‌گیری شده را روی چندین سعی میانگین‌گیری می‌کنیم، تا به یک تخمین دقیق تر از PSD نظری از فرایند فیزیکی زیربنای اندازه‌گیری‌های منفرد برسیم. به این PSD محاسبه‌شده گاهی دوره‌سنج (periodogram) گفته می‌شود. این موقعی به PSD درست همگرا می‌شود که تعداد تخمین‌ها و همچنین بازه زمانی میانگین formula_58 به سمت بی‌نهایت میل کند (Brown & Hwang).
اگر دو سیگنال هر دو چگالی طیفی توانی را داشته باشند، آنوقت را به صورت مشابه می‌توان محاسبه کرد؛ همان‌طور که PSD با خودهمبستگی مرتبط است، چگالی طیف-میانی هم با میان-همبستگی مرتبط است.
بعضی از ویژگی‌های PSD شامل:
اگر دو سیگنال formula_2 و formula_87 داده شده باشد، که هرکدام دارای چگالی طیف توان formula_1 و formula_89 باشند، می‌توان یک "میان چگالی طبف توان" ("CPSD") یا "میان چگالی طیف" ("CSD") تعریف کرد. برای شروع، بیایید توان میانگین برای چنین سیگنال ترکیبی را در نظر بگیریم.
به کمک نمادگذاری و روش‌های مشابهی با روش‌هایی که برای استخراج چگالی طیف توان استفاده می‌شوند، ما از قضیه پارساول بهره می‌گیریم و این را به دست می‌آوریم:
که در آن، دوباره، مشارکت‌های formula_92 و formula_93 را از قبل می‌دانستیم. توجه کنید که formula_94، از این رو مشارکت کامل توان میانی، به صورت کلی، تشکیل دهنده دوبرابر قسمت حقیقی از هر CPSD منفرد است. دوباره مثل قبل، از اینجا ما این ضرب‌ها را به صورت تبدیل فوریه برای همگشت زمانی بازسازی می‌کنیم، که وقتیکه به دوره تقسیم شود، و حد formula_95 آن گرفته شود، تبدیل به تبدیل فوریه برای یک تابع میان-همبستگی می‌شود.
که در آن formula_98 برابر میان-همبستگی برای formula_2 با formula_87 و formula_101 برابر میان-همبستگی برای formula_87 با formula_2 است. از این دیدگاه، PSD را می‌توان نوع خاصی از CSD برای formula_104 دید. برای حالتی که formula_2 و formula_87 برابر سیگنال‌های ولتاژ و جریان هستند؛ چگالی طیفی دامنه مرتبط فقط یکی از CPSD‌ها است که با یک فاکتور دو مقیاس‌دهی شده‌است.
برای سیگنال‌های گسسته "x" و "y" ارتباط بین میان-چگالی طیف و میان-همبستگی به این صورت است:
هدف از تخمین چگالی طیف همان تخمین چگالی طیفی برای یک سیگنال تصادفی از ترتیبی از نمونه‌های زمانی است. بسته به آنکه چه چیزی را دربارهٔ سیگنال می‌دانیم، فنون تخمین می‌تواند شامل دیدگاه‌های پارامتری یا بدون-پارامتر باشد، و همچنین می‌تواند بر اساس تحلیل دامنه-زمان یا دامنه-فرکانس باشد. برای مثال، یک فن پارامتری معمول شامل متناسب‌سازی مشاهدات با یک مدل خودهمبسته است. یک فن بدون-پارامتر معمول است.
چگالی طیفی معمولاً توسط روش‌های تبدیل فوریه (مثل ) تخمین زده می‌شود، اما از دیگر فنون مثل روش نیز می‌توان استفاده کرد.مفهوم و استفاده از طیف توانی یک سیگنال در مهندسی برق بنیادین و اساسی است، مخصوصاً در سامانه‌های ارتباطی الکترونیکی مثل ارتباطات رادیویی، رادارها، و سامانه‌های مرتبط، بعلاوه فن‌آوری سنجش از دور پالس منفعل هم طیف توان کاربرد دارد. از ابزار الکترونیکی که تحلیل‌گر طیف نام دارند برای مشاهده و اندازه‌گیری طیف توانی سیگنال‌ها استفاده می‌شود.
تحلیل‌گر طیف اندازه تبدیل فوریه زمان-کوتاه (STFT) را برای یک سیگنال ورودی اندازه‌گیری می‌کند. اگر سیگنالی که می‌خواهیم آن را تحلیل کنیم را یک فرایند مانا در نظر بگیریم، آنوقت STFT یک تخمین بخوبی صاف از چگالی طیف توان آن است.
نوسانات نخستین، یعنی تغییرات چگالی در جهان نخستین، توسط یک «طیف توان» کمی‌سازی می‌شوند، که توان تغییرات را به صورت تابعی از مقیاس فضایی به دست می‌دهد.