پارادوکس پروبستینگ
در تئوری آمار، پارادوکس پروبستینگ (Proebsting's paradox) در واقع این موضوع را بحث می کند که محک کلی (Kelly criterion) می تواند درست عمل نکند یا خیر. این موضوع بحث هایی را راجع به کاربرد محک کلی به خصوص در سرمایه گذاری به وجود می آورد. این پارادوکس، اولین بار توسط تاد پروبستینگ (Todd Proebsting) به وجود امد و توسط ادوارد ا تورپ (Edward O.Thorp) بررسی شد.
فرض کنید کسی یک شرط بندی به ما پیشنهاد داده است. در زمانی در آینده، یک سکه با احتمال formula_1 برای شیر انداخته خواهد شد که اگر شیر بیاید، ما میبریم و به ازای هر پولی که قرار داده ایم، علاوه بر خودش، formula_2 برابر آن را دریافت می کنیم و اگر باختیم، پولی که قرار داده ایم را می‌بازیم. چقدر پول شرط بندی کنیم؟
فرض کنید یک شرط بندی داریم که احتمال بردن و باختن برابر است و فرض کنید formula_2 برابر پولی که میگذاریم به همراه پولی که گذاشته ایم، اگر ببریم به ما داده خواهد شد و اگر ببازیم، همان پولی را که گذاشته ایم، از دست خواهیم داد. محک کلی میگوید که formula_4 برابر پول خود را در شرط بندی قرار دهیم:
formula_5
به عنوان مثال اگر formula_6 باشد، محک کلی به می گوید که 25 درصد پول خود را قرار دهیم و یا اگر formula_7 باشد، 40 درصد آنرا. در واقع اگر فرض کنید که formula_7 باشد و ما یک دلار قرار دهیم، علاوه بر یک دلار خود، در صورت بردن 5 دلار دیگر به ما داده خواهد شد.
حال فرض کنید می خواهیم شرط بندی کنیم که formula_6 باشد و قبل از معلوم شدن نتیجه نهایی، طرف مقابل به ما پیشنهاد گذاشتن پول بیشتر برای formula_7 دهد. دور اول طبق محک کلی ما 0.25 پول خود را قرار میدهیم (پول خود را formula_11 فرض کنید). در این صورت اگر ببریم پول ما formula_12 خواهد بود و اگر ببازیم formula_13. در واقع اگر formula_14 را یک متغیر تصادفی برنولی تعریف کنیم که به احتمال formula_1 یک باشد (این جا formula_1 برابر با 0.5 است و یک بودن متغیر، معادل برنده شدن ماست)، آنگاه پول ما در نهایت برابر است با formula_17.
حال فرض کنید برای دور دوم formula_4 برابر پول خود را قرار دهیم. بنابراین اگر ببریم، پول ما formula_19 خواهد بود و اگر ببازیم، پول ما درنهایت formula_20 خواهد بود.
حال برای این که متوسط پول ما در بیشترین حالت ممکن باشد، لازم است عبارت زیر ماکسیمم شود (پول ما ماکسیمم شود با این که لگاریتم آن ماکسیمم شود تفاوتی ندارد):
formula_21
حال چون میخواهیم این عبارت بر حسب formula_4 ماکسیمم شود، پس مشتق آن بر حسب همین متغیر باید صفر شود:
formula_23
پس داریم:
formula_24
formula_25
formula_26
پس در نهایت مقدار پولی که باید قرار دهیم، formula_27 برابر پول اولیه‌مان است. پارادوکسی که به نظر پروبستینگ آمد، این بود که این مقدار از 0.4 پول ما به عنوان محک کلی اگر از اول بدانیم که formula_7 است، بیشتر است. در واقع اگر از اول کار بدانیم که قرار است شرط بندی به formula_7 تغییر کند، این که 0.475 درصد پولمان را قرار دهیم (در مجموع)، بهتر از این است که از اول 0.4 پولمان را قرار دهیم.
او این مسئله را با ادوارد تورپ در میان گذاشت و او با بررسی محک کلی فهمید که محک کلی در موقعیت دیگری به گونه ی زیر عمل می کند: اگر بار اول formula_6 ، بار دوم formula_31 و بار سوم formula_32 و الی اخر، formula_2 برابر با توان های دو باشد (همه ی این پیشنهاد ها قبل از دیدن نتیجه نهایی و انداختن سکه داده می شود)، محک کلی برای هر مرحله اگر formula_34 باشد، عدد formula_35 را پیشنهاد میدهد. در این صورت چون جمع این اعداد برابر با یک است formula_36 ، پس به احتمال 50 درصد فرد کل سرمایه خود را از دست خواهد داد.
او بعد از بررسی بیشتر، فرمول زیر را پیشنهاد داد. اگر فرد برای formula_37 شرط ببندد و قبل از رسیدن به نتیجه نهایی، فرد مقابل پیشنهاد formula_38 را بدهد، فرد اول به مقدار زیر از پول خود قرار خواهد داد :
formula_39
کسر اول همان مقدار پیشنهاد شده ی محک کلی است اگر از اول بدانیم که formula_38 و کسر بعدی را زمانی جمع می کنیم که formula_41 باشد. در واقع اگر formula_4 با جمع کسر دوم بیشتر شود، این جمع را انجام می دهیم. (با کمی بررسی formula_4 در میابیم که مقدار آن همواره از یک کمتر است یعنی کل پول خود را شرط بندی نمی‌کنیم.)
در خیلی از شرط بندی ها احتمالات بردن و باختن و مقدار formula_2 ممکن است قبل از معلوم شدن نتیجه عوض شود. برای مثال در مسابقات، احتمال بردن کسی حتی قبل از خود برنامه عوض می شود، پس کسانی که در شرط بندی شرکت می کنند، formula_2 خود را تغییر خواهند داد. در این بین کسانی که شرط بندی را اداره می کنند روی این تمرکز می کنند که تغییرات احتمال ها چگونه است تا این که خروجی اصلی را پیش بینی کنند.
یا برای مثال قیمت یک سهام در طول روز مدام عوض می شود، بنابراین افراد روی احتمال تغییر سهام در زمان کم تمرکز می کنند تا نتایج قابل پیش بینی بلند مدت.
در واقع پارادوکسی وجود ندارد. محک کلی بهترین شرط بندی را پیشنهاد می کند، در صورتی که بدانیم احتمالات و formula_2 عوض نخواهد شد. مشخصا اگر کسی که شرط می بندد بداند که formula_2 ممکن است عوض شود، از روش دیگری استفاده خواهد کرد.