مدل میدان فاز
مدل میدان فاز یک مدل ریاضی برای حل مسائل سطحی است. این روش عمدتاً در دینامیک انجماد به کار میرود. در سایر موارد مانند بی ثباتی Saffman – Taylor ، مکانیک شکستگی ، تردی هیدروژنی ، و پویایی وزیکول نیز کاربرد دارد.
این روش برای تکامل یک میدان کمکی (میدان فاز) که نقش یک پارامتر ترتیبی را دارد، با یک معادله دیفرانسیل جزئی شرایط مرزی را در رابط جایگزین می کند. این میدان فازی در هر یک از مراحل دو مقدار متمایز، (به عنوان مثال 1+ و − 1) با تغییر بین هر دو مقدار در ناحیه اطراف رابط را می گیرد، و سپس با عرض محدود منتشر می کند. یک مکان گسسته از رابط ممکن است به عنوان مجموعه ای از تمام نقاطی باشد که میدان فاز مقدار مشخصی می گیرد (به عنوان مثال 0).
مدل میدان فاز معمولاً به گونه ای ساخته می شود که در حد عرض رابط کوچک (اصطلاحاً حد محدود رابط ) پویایی سطحی، صحیح بازیابی شود. این روش اجازه می دهد تا با ادغام مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل جزئی برای کل سیستم ، مسئله را حل کند. بنابراین از رفتار واضح شرایط مرزی در رابط جلوگیری می کند.
مدلهای میدان فاز برای اولین بار توسط Fix و Langer معرفی و در انجماد و سایر حوزه ها با سهم فزاینده ای به کار گرفته شدند.
مدلهای میدان فاز معمولاً به منظور تولید یک پویایی سطحی داده شده، ساخته می شوند. به عنوان مثال، در مسائل انجماد، پویایی رو به رو شده، عمدتاً با یک معادله نفوذ برای غلظت یا دما و برخی از شرایط مرزی در رابط (یک شرایط تعادل محدود به آن محل و یک قانون پایستگی) ، که مدل محدود رابط را تشکیل می دهد، داده می شود.
تعدادی از فرمول بندی های مدل میدان فاز، بر اساس پارامتر نظم (میدان فاز) و یک میدان انتشار (فرمول های متغیر) به صورت تابع انرژی آزاد ترمودینامیکی ارائه شده اند. سپس معادلات مدل با استفاده از روابط کلی فیزیک آماری بدست می آید. چنین تابعی با توجه به ملاحظات فیزیکی ساخته شده است، اما شامل یک پارامتر یا ترکیبی از پارامترهای مربوط به عرض رابط است. پارامترهای مدل با مطالعه حد مدل با این فرض که عرض به صفر میل میکند، انتخاب می شوند. به این ترتیب می توان این حد را با حد محدود رابط مدل مورد نظر شناسایی کرد.
سایر فرمول بندی ها با نوشتن مستقیم معادلات میدان فاز ، بدون مراجعه به هرگونه عملکرد ترمودینامیکی (فرمول های ثابت) شروع می شوند. در این حالت تنها مرجع مدل حد محدود رابط است. به این معنا که باید هنگام انجام محدودیت عرض کوچک، رابط مدل میدان فاز بازیابی شود.
معادلات میدان فاز در اصل وقتی پهنای رابط کم است در مقایسه با کوچکترین مقیاس طول مسئله، پویایی سطحی را تولید می کنند. در انجماد این مقیاس طول مویرگ formula_1 است، که یک مقیاس میکروسکوپی است. از نظر محاسباتی ادغام معادلات دیفرانسیل جزئی با حل چنین مقیاس کوچکی ممنوع است. با این حال ، کارما و راپل محدودیت نازک رابطرا ارائه دادند ، که باعث تعادل این شرایط می شود و راه را برای شبیه سازی های عملی کمی با مدل های میدان فاز هموار کرده است. با افزایش قدرت رایانه ها و پیشرفت نظری در مدل سازی میدان فاز ، مدل های میدان فاز به ابزاری مفید برای شبیه سازی عددی مسائل سطحی تبدیل شده اند.
اگر میدان فاز یک بیان صریح برای انرژی آزاد سیستم داشته باشد ،با استدلال های فیزیکی میتوان مدل ساخت. یک مثال ساده برای مسائل جامد سازی در زیر آمده است:
که در آن formula_3 میدان فاز است ، formula_4 ، formula_5 آنتالپی محلی در واحد حجم است ، formula_6 یک عملکرد چند جمله ای خاص از formula_3 است، و formula_8 (جایی که formula_9 گرمای نهان ، formula_10 دمای ذوب ، و formula_11 گرمای خاص است). اصطلاح formula_12 مربوط به انرژی سطحی است. کارکرد formula_13 معمولاً به عنوان یک توصیف می شود که چگالی انرژی آزاد قسمت عمده هر فاز را نشان می دهد و خود مربوط به دو حداقل تابع formula_13است. ثابت های formula_15 و formula_16 به ترتیب دارای ابعاد انرژی در واحد طول و انرژی در واحد حجم هستند. سپس عرض رابط توسط formula_17 محاسبه میشود. مدل میدان فاز را می توان از روابط متغیر زیر بدست آورد:
که در آن "D" ضریب انتشار برای متغیر formula_5 و formula_21 و formula_22 اصطلاحات تصادفی برای نوسانات حرارتی حساب می شوند (و خصوصیات آماری آنها را می توان از قضیه افت‌وخیز-هدررفت بدست آورد). معادله اول معادله ای برای تکامل میدان فاز می دهد، در حالی که معادله دوم معادله نفوذی است که معمولاً برای دما یا غلظت (در مورد آلیاژها) بازنویسی می شود. معادلات با مقیاس گذاری فضای formula_23 و زمان formula_24 :
که در آن formula_27 عرض رابط بدون بعد است ، formula_28 ، و formula_29 ، formula_30 بدون بعد هستند.
انتخاب عملکرد انرژی آزاد formula_13 ، می تواند تأثیر قابل توجهی در رفتار فیزیکی رابط داشته باشد و باید با دقت انتخاب شود. عملکرد چاه دوگانه تقریب معادلات واندروالس در حالت نزدیک به نقطه بحرانی را نشان می دهد و از نظر تاریخی برای سادگی اجرای آن زمانی که مدل میدان فاز فقط برای اهداف ردیابی رابط استفاده می شود، به کار گرفته شده است. اما این امر منجر به پدیده انقباض خودبخودی قطره به صورت مکرر شده است. به موجب آن قابلیت بالای اختلاط فاز که توسط یک معادله حالت نزدیک به نقطه بحرانی پیش بینی شده است، امکان نفوذ قابل توجه مراحل را فراهم می کند و در نهایت می تواند منجر به ناپدید شدن کامل قطره ای شود که شعاع آن زیر برخی از مقادیر بحرانی است.به حداقل رساندن اتلاف پیوسته ی مشاهده شده در حین یک شبیه سازی نیاز به محدودیت در پارامتر تحرک دارد. در نتیجه، تعادل کم بین لکه های سطحی ناشی از همرفت، بازسازی سطحی به دلیل کمترین میزان انرژی آزاد (به عنوان مثال انتشار مبتنی بر تحرک) و نفوذ فاز، به تحرک بستگی دارند. یک بررسی اخیر از توابع چگالی انرژی جایگزین برای برنامه های ردیابی رابط ، فرم اصلاح شده ای از عملکرد دو مانع را ارائه داده است که از پدیده کوچک شدن خود به خود و محدودیت های تحرک جلوگیری می کند ،این روش با نتایج مقایسه ای برای تعدادی از شبیه سازی های معیار با استفاده از عملکرد چاه دوگانه و حد محدود رابط در روش حجم مایعات.
اجرای پیشنهادی دارای پیچیدگی محاسباتی است که فقط کمی بیشتر از عملکرد چاه دوگانه است و ممکن است برای برنامه های ردیابی رابط مدل میدان فاز که در آن مدت زمان / ماهیت پدیده های شبیه سازی شده نگرانی های پیوستگی فاز را ایجاد می کند، مفید باشد.( قطرات کوچک، شبیه سازی های گسترده ، چندین رابط و غیره ).
یک مدل میدان فاز می تواند ساخته شود تا به طور هدفمند یک پویایی سطحی داده شده را همانطور که توسط یک مدل حد محدود رابط نشان داده شده است،تولید کند. در چنین حالتی باید حد محدود رابط (یعنی محدوده ای که عرض رابط به صفر می رسد) مجموعه معادلات پیشنهادی میدان فاز اجرا شود.این حد معمولاً با گسترش تقریبی قسمتهای مدل از نظر پهنای رابط formula_32 گرفته می شود. این گسترش ها هم در ناحیه سطحی (گسترش داخلی) و هم به صورت حجمی (گسترش بیرونی) انجام می شوند و پس از آن به ترتیب بصورت تقریبی همسان می شوند. در نتیجه یک معادله دیفرانسیل جزئی برای میدان انتشار و یک سری شرایط مرزی در رابط ارائه می شود که باید با مدل حد محدود رابط مطابقت داشته باشد، و با مقایسه آنها، مقادیر پارامترهای مدل میدان فاز فراهم می شوند.
از آنجا که چنین گسترش هایی در مدل های مرحله فاز اولیه انجام می شود که فقط در مرتبه پایین تر formula_32 انجام می شود، مدلهای اخیر به منظور لغو اثرات اشتباه نامطلوب یا گنجاندن فیزیک جدید در مدل ، از تقریب های نظم مرتبه بالاتر (محدوده رابط نازک) استفاده می کنند. به عنوان مثال، این روش مجاز به لغو اثرات جنبشی ، برای حل مواردی با نفوذ نابرابر در فازها ، برای مدل سازی بی ثباتی Saffman – Taylor و جریانهای دو فاز Navier-Stokes ، شامل نوسانات در مدل و غیره است.
در مدلهای میدان چند فاز، ریزساختار با مجموعه پارامترهای ترتیب توصیف می شود، که هر یک از آنها مربوط به یک فاز خاص یا جهت گیری کریستالوگرافی است. این مدل بیشتر برای تبدیل فاز حالت جامد که در آن دانه های متعدد تکامل می یابد (به عنوان مثال رشد دانه ، تبلور مجدد یا تبدیل درجه یک مانند آستنیت به فریت در آلیاژهای آهنی) مورد استفاده قرار می گیرد. مدلهای میدان چند فاز علاوه بر امکان توصیف چندین دانه در یک ریزساختار، امکان بررسی چندین مرحله ترمودینامیکی را فراهم می کند، به عنوان مثال در رتبه آلیاژهای فنی.
بسیاری از نتایج برای مدلهای فاز پیوسته دارای شباهت هایی با نمودارهای گسسته هستند، فقط محاسبات را با دیفرانسیل در نمودارها جایگزین می کنند.