معادلات دیفرانسیل تاخیری
در ریاضیات معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری، به معادلهٔ دیفرانسیلی اطلاق می‌شود که در آن مشتقات تابع مجهول در یک زمان مشخص، برحسب تابع و مشتقات آن در زمان‌ها و مکان‌های پیشین خود داده می‌شود. سیستم‌های با معادلات دیفرانسیل تاخیری را عموماً سیستم‌های زمان-تاخیری می‌گویند.
یک معادلهٔ دیفرانسیل تاخیریِ معمولی، به صورت کلی به فرم زیر نوشته می‌شود.
formula_1
که در این معادله شرط اولیه، توسط یک تابع تاریخچهٔ آغازین مشخص می‌شود. این تابع تاریخچهٔ آغازین به شکل زیر است.
formula_2
در این حالت به ازای هر formula_3 و formula_4، formula_5ها و formula_6ها را تاخیرهای زمانی می‌نامند. علاوه بر این اگر معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری دارای تاخیرهای formula_6باشد، آنگاه آن معادلهٔ دیفرانسیل را یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری خنثی می‌نامیم. یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری همانند یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی یا یک معادلهٔ دیفرانسیل جزئی می‌تواند بدون پاسخ یا دارای بی‌نهایت پاسخ باشد. برای یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری تنها زمانی پاسخ منحصر به فرد موجود است، که شرایط اولیهٔ مناسب در کنار آن الحاق شود.
در این حالت تاخیرهای زمانی به صورت یک عدد ثابت نمایان می‌شود. در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری بدون شرط آغازین به شکل کلی زیر است:
formula_8
و شرط آغازین عبارت است از:
formula_9
در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به صورت زیر است.
formula_10
و شرط آغازین عبارت است از:
formula_9
در این حالت، معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری به صورت زیر است.
formula_12
و شرط آغازین عبارت است از:
formula_9 معادلات دیفرانسیل تاخیری عموماً گام به گام و توسط روشی که به روش گام‌ها معروف است، حل می‌شوند. برای مثال یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری با تأخیر ثابت را در نظر بگیرید. formula_14
با شرایط اولیهٔ formula_15، آنگاه جواب در بازهٔ formula_16 تابع formula_17 است که یک پاسخ مسئلهٔ مقداراولیهٔ غیرهمگن زیر است.
formula_18
که formula_19. این روش برای بازه‌های مختلف تکرار می‌شود و پاسخ نهایی معادله بر بازهٔ مورد نظر به دست می‌آید.
معادلهٔ formula_20 با formula_21 درنظر بگیرید. در این حالت مسئلهٔ مقداراولیه می‌تواند به شکل زیر حل شود.
formula_22
برای مثال اگر formula_23 که شرط آغازین آن formula_24 است. به‌طور مشابه برای بازهٔ formula_25 انتگرال می‌گیریم و تابع پاسخ را پیدا می‌کنیم.
formula_26
که در این حالت
formula_27 یکی دیگر از راه‌های حل یک معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری، تبدیل آن به دستگاهی از معادلات دیفرانسیل معمولی است. معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری با تأخیر پیوستهٔ زیر را در نظر بگیرید.
formula_28
با معرفی formula_29 به دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی زیر می‌رسیم. formula_30
formula_31
معادلهٔ
formula_32
با دستگاه زیر معادل است.
formula_33 formula_34 formula_35
که در این دستگاهformula_36 و formula_37 است.
به‌طور مشابه با معادلات دیفرانسیل معمولی، معادلات دیفرانسیل تاخیری نیز می‌توانند با روش معادلهٔ مشخصه تحلیل شوند. معادلهٔ مشخصهٔ متناظر با معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری خطی با تاخیرهای گسستهٔ زیر  formula_38
برابر است با:
formula_39
formula_40 ریشهٔ معادلهٔ مشخصه است که به آن ریشه یا مقدار ویژه می‌گویند. برخلاف معادلهٔ دیفرانسیل معمولی در این حالت معادلهٔ مشخصه تعداد زیادی مقدار ویژه دارد که این مقادیر ویژه یک طیف تشکیل می‌دهند. معادلهٔ مشخصهٔ یک معادله دیفرانسیل تأخیری به علت وجود تابع نمایی یک معادلهٔ غیرخطی است که نمی‌توان آن را از روش‌های معمولِ تحلیلی حل کرد؛ بنابراین برای حل این معادلات از روش‌های عددی و نرم‌افزارها کمک می‌گیریم. معادلهٔ دیفرانسیل تأخیری زیر را در نظر بگیرید.
formula_41
معادلهٔ مشخصهٔ این معادله برابر است با:
formula_42
که این معادله ریشهٔ حقیقی ندارد و برای حل آن در صفحهٔ مختلط از روش‌های عددی و نرم‌افزار کمک می‌گیریم.