حالت خطی
حالت خطی در ریاضیات، (که با نام‌های تابعی خطی، ، یا کوبردار هم نامیده می‌شود) یک نگاشت خطی از یک فضای برداری به میدان نرده‌ای‌هایش (معمولا اعداد حقیقی یا اعداد مختلط) است.
اگر یک فضای برداری روی میدان باشد، مجموعه همه تابعی‌های خطی از به خودش یک فضای برداری با صورت جمع و ضرب نرده‌ای تعریف شده، روی است. این فضا را می‌نامند، همچنین موقعی که هم در نظر گرفته شود، آن را فضای دوگان جبری می‌نامند. این فضا را معمولاً توسط نمایش می‌دهند، یا وقتیکه میدان را می‌شناسیم، به صورت formula_1 نشان داده می‌شود؛ نمادگذاری‌های دیگری هم استفاده می‌شود مثل formula_2, یا formula_3 یا formula_4. وقتیکه بردارها توسط نمایش یابند (که این موضوع موقعی که پایه ثابت است رواج دارد)، آنوقت تابعی‌های خطی به صورت نمایش می‌یابند، و مقادیر آن‌ها در بردارهای خاص توسط ضرب ماتریسی (با بردار سطری در سمت چپ) به دست می‌آید.
«تابع صفر ثابت» که هر بردار را به صفر نگاشت می‌دهد، به صورت بدیهی یک تابعی خطی است. هر تابعی خطی دیگر (مثل موارد ذکر شده در زیر) پوشا است (یعنی، برد آن همه است).
فرض کنید که بردارها در فضای مختصات حقیقی formula_5 توسط بردارهای ستونی نمایش یابند formula_6
برای هر بردار سطری formula_7 یک تابعی خطی formula_8 وجود دارد که توسط formula_9 تعریف می‌شود و هر تابعی خطی را می‌توان به این حالت بیان نمود.
این را می‌توان هم به صورت ضرب ماتریسی و هم ضرب داخلی از بردار سطری formula_10 و بردار ستونی formula_11 تفسیر نمود: formula_12
اثر formula_13 از یک ماتریس مربعی formula_14 برابر مجموع همه عناصر در قطر اصلی آن است. ماتریس‌ها را می‌توان در نرده‌ای‌ها ضرب کرد همچنین دو ماتریس که ابعاد مشابهی دارند را می‌توان با هم جمع نمود؛ این عملیات یک فضای برداری از مجموعه همه ماتریس‌های formula_15 می‌سازد. اثر یک تابعی خطی در این فضا است زیرا formula_16 و formula_17 برای همه نرده‌ای‌های formula_18 و همه ماتریس‌های formula_15 formula_20 برقرار است.
تابعی‌های خطی اولین بار در آنالیز تابعی، یعنی مطالعه ، پدیدار شدند. یک مثال رایج از تابعی خطی انتگرال است: تبدیل خطی که توسط انتگرال ریمان تعریف شده‌است formula_21 یک تابعی خطی از فضای برداری formula_22 از توابع پیوسته روی بازه formula_23 به اعداد حقیقی است. خطی‌بودن formula_24 از حقیقت‌های استاندارد دربارهٔ انتگرال به دست می‌آید: formula_25
فرض کنید که formula_26 به فضای برداری توابع چندجمله‌ای مقدار-حقیقی از درجه formula_27 اشاره کند، که روی یک بازه formula_23 تعریف شده‌است. اگر formula_29 باشد آنوقت فرض کیند formula_30 یک تابعی ارزیابی باشد. formula_31 نگاشت formula_32 به این دلیل خطی است که formula_33 اگر formula_34 برابر formula_35 تا نقطه متمایز در formula_36 باشد، آنوقت تابعی ارزیابی formula_37 formula_38 یک پایه برای فضای دوگان formula_26 تشکیل می‌دهد ( این واقعیت آخری را به کمک اثبات کرده‌است).
یک تابع formula_40 که یک معادله خطی formula_41 با formula_42 دارد (مثلا، formula_43) روی formula_44 یک «تابعی خطی» ، زیرا نیست. با این‌حال، این آفین-خطی است.
در ابعاد متناهی، یک تابعی خطی توسط تجسم پیدا می‌کند، یعنی مجموعه بردارهایی که به یک مقدار معین نگاشت دارند. در سه بعد، مجموعه‌های هم‌مرحله از یک تابعی خطی یک خانواده از صفحه‌های دوبه‌دو موازی اند؛ در ابعاد بالاتر، آن‌ها ابرصفحه‌های موازی اند. این روش تجسم تابعی‌های خطی گاهی در متون نسبیت عام، مثل کتاب گرانش از معرفی شده‌است.
اگر formula_34 برابر formula_35 تا نقطه متمایز در باشد، آنوقت تابعی خطی formula_47 که در بالا تعریف شده‌است، یک پایه از فضای دوگان می‌سازد، که فضای چندجمله‌ای‌های درجه formula_27 است. تابعی انتگرال هم یک تابعی خطی روی است، و بنابراین می‌تواند به صورت یک ترکیب خطی از این عناصر پایه بیان شود. در نمادها، ضرایب formula_49 موجود است که برای آن formula_50 برای همه formula_51 برقرار است. این موضوع مبنای نظریه مربع‌سازی عددی است.
تابعی‌های خطی مخصوصاً در مکانیک کوانتمی مهم هستند. سامانه‌های مکانیکی کوانتمی توسط فضاهای هیلبرت نمایش می‌یابد، که برای فضاهای دوگان خودشان پادیکریخت اند. یک تعریف از سامانه مکانیکی کوانتمی را می‌توان توسط یک تابعی خطی شناسایی نمود. برای اطلاعات بیشار نشان‌گذاری برا-کت را ببنید.
در نظریه ، انواع معینی از توابع تعمیم‌یافته را توزیع می‌نامند، که توسط تابعی‌های خطی روی فضاهای توایع آزمایشی تحقق می‌یابد.
هر فرم دوخطی غیر-منحط روی یک فضای برداری متناهی-بعد یک یکریختی را معرفی می‌کند، به این شیوه که formula_52
که در آن حالت دوخطی روی به صورت formula_53 نمایش داده می‌شود (برای مثال، در فضای اقلیدسی، formula_54 برابر ضرب داخلی و است).
یکریختی معکوس برابر است، که در آن همان عنصر یکتای است به این‌صورت که formula_55 برای همه formula_56 برقرار است.
بردار تعریفی بالا را بردار دوگان برای formula_57 می‌نامند.
در یک فضای هیلبرت متناهی بعد، نتایج مشابهی توسط قضیه نمایش ریس برقرار است. یک نگاشت از به‌اش یعنی "V" برقرار است.
فرض کنید که فضای برداری یک پایه formula_58 داشته باشد که الزاماً متعامد نباشد. آنوقت formula_1 یک پایه به صورت formula_60 دارد که به آن گفته می‌شود، که توسط این ویژگی خاص تعریف می‌شود که formula_61
یا به صورت کوتاه‌تر formula_62
که در آن "δ" همان دلتای کرونکر است. در اینجا بالانویس تابعی‌های پایه معنی «نما» نمی‌دهد، بلکه برابر اندیس‌های است.
یک تابعی خطی formula_63 که به یک فضای دوگان formula_64 تعلق دارد را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی از تابعی‌های پایه بیان کرد، که در آن ضرایب («مولفه‌ها») به اینصورت هستند formula_65
آنوقت، با اعمال تابعی formula_63 به یک بردار پایه formula_67 به این نتیجه می‌رسیم formula_68
این موضوع به دلیل خطی‌بودن مضرب‌های نرده‌ای تابعی‌ها و خطی‌بودن نقطه‌به‌نقطه مجموع تابعی‌ها رخ می‌دهد. آنوقت formula_69 بنابراین هر مولفه یک تابعی خطی را می‌توان توسط اعمال تابعی به بردار پایه متناظر استخراج نمود.
وقتیکه فضای یک ضرب داخلی را حمل می‌کند، آنوقت نوشتن صریح یم فرمول برای پایه دوگان یک پایه معین امکان‌پذیر می‌شود. فرض کنید یک پایه formula_70 داشته باشد (که الزاماً متعامد نباشد). در سه بعد ()، پایه دوگان را می‌توان به صورت صریح به این شیوه نوشت formula_71 که برای formula_72 برقرار است که در آن "ε" نماد لوی-چیویتا است، و formula_73 همان ضرب داخلی (یا ضرب نقطه‌ای) روی است.
در ابعاد بالاتر، این موضوع به این شیوه تعمیم می‌یابد formula_74 که در آن formula_75 همان است.