تعادل درآمد
تعادل درآمد قضیه‌ای در نظریه حراج است که بیان می‌کند هر مزایده برای یک شیء، بین n نفر که نسبت به ریسک‌پذیری خنثی هستند (یعنی به ریسک کردن یا ریسک نکردن تمایل ندارند)، به این صورت برقرار کنیم که هر یک از n نفر یک قیمت مستقل از بقیه در ذهن خود در نظر بگیرد که از یک توزیع اکیداً صعودی مشترک بین n نفر، بدست آمده باشد. به ازای هر سازوکار با شرایط زیر، متوسط میزان درآمد یکسان خواهد بود. توجه کنید در این قضیه، فرض بر این است که پیشنهاددهنده‌ها یکسان هستند و دو پیشنهاددهنده که پیشنهاد یکسانی می‌دهند، هزینه یکسانی باید پرداخت کنند.
برای اثبات این قضیه، و استفاده از آن، از این توابع استفاده خواهد شد.
با توجه به تعاریف، خواهیم داشت: formula_8
اگر پیشنهاددهنده i-ام که در حالت تعادل، ارزش formula_1را پیشنهاد می‌دهد، استراتژی دیگر با ارزش formula_10 را دنبال کند، خواهیم داشت:
formula_11 ≤ formula_12
از آن‌جایی که ارزش formula_1 نباید مشابه formula_14 باشد، بنابراین:
formula_15 ≤ formula_12
هم‌چنین formula_14نباید مشابه formula_1 باشد، بنابراین:
formula_19 ≤ formula_20
از ترکیب دو عبارت بالا نتیجه می‌شود که:
formula_21 ≤ formula_22 ≤ formula_23
با در نظر گرفتن حد dv→0 داریم:
formula_24 با انتگرال گرفتن به دست می‌آوریم:
formula_25 که نتیجه می‌دهد اگر مقدار formula_26 را بدانیم می‌توانیم سود آن شخص را برای هرارزش formula_1 محاسبه کنیم.
طبق شرط دومی که قضیه برای مزایده در نظر گرفته بود، سود هر نفر در حالتی که کمترین پیشنهاد ممکن را بدهد، برابر با 0 خواهد بود و در نتیجه، formula_28
پس تابع سود هر نفر، مستقل از نحوه برگزاری مزایده است و تنها به توزیع احتمال مقدارهای پیشنهادی او بستگی دارد. در نتیجه، هر مزایده با شرایط ذکر شده در صورت قضیه، میانگین مقدار سود و پرداخت یکسانی را به ازای پیشنهاد دادن formula_1برای نفر i-ام به همراه خواهد داشت.
از آن جایی که این موضوع برای تمام پیشنهاددهنده‌ها برقرار است، می‌توان نتیجه گرفت هر دو مکانیزم با شرایط ذکر شده، درآمد یکسانی به فروشنده می‌دهد.
از آنجایی که می‌دانیم درآمد حاصل از حراجی در هر حالتی که حراجی استاندارد باشد یکسان خواهد بود، این مقدار را در حراج اول قیمت بین دو فرد محاسبه می‌کنیم.
در این حالت، طبق رابطه‌ای که در قسمت قبل بدست آمد، می‌دانیم:formula_30توجه کنید که در یک حراج بین دو نفر، احتمال برنده شدن یکی از افراد، به اندازه مبلغ پیشنهادی او (v) است زیرا مبلغ پیشنهادی فرد دیگر باید از بین 0 تا v به‌طور یکنواخت انتخاب شود.
متوسط سود هر فرد برابر است با:formula_31در نتیجه، سود برگزارکننده حراجی برابر خواهد بود با:formula_32در نتیجه، سود برگزارکننده حراجی در هر حراجی استاندارد، به‌طور متوسط formula_33خواهد بود. [1]
سه دلیل اصلی وجود دارد برای این‌که انواع مختلف حراج‌ها به درآمد یکسان برای فروشنده منجر نشود:
یک حراج استاندارد است که در آن، پیشنهاددهنده با ارزش بیش‌تر برنده می‌شود و ارزش پیشنهادی فردی که دوم شده‌است را پرداخت می‌کند.
در حراج اول قیمت, پیشنهاددهنده با بالاترین پیشنهاد، برنده می‌شود و پیشنهاد خود را می‌پردازد. یک تعادل نش برای این حالت، حالتی است که همه پیشنهاددهندگان از تابع پیشنهاد formula_34 استفاده کنند.
حراج‌های استاندارد زیاد دیگری وجود دارد. نمونه‌های آن به شرح زیر است :
همهٔ پیشنهاددهنده‌ها پیشنهاد خود را بیان می‌کنند، پیشنهاد بالاتر برنده می‌شود اما همهٔ پیشنهاددهندگان، پیشنهاد خود را پرداخت می‌کنند.
بالاترین پیشنهاد برنده می‌شود اما همه پیشنهاددهندگان میانگین اولین و دومین پیشنهاد بالا را پرداخت می‌کنند.
اگر formula_35 پیشنهاد پیشنهاددهنده با ارزش formula_5در حالت تعادل باشد، داریم:formula_37formula_38
با استفاده از این می‌توانیم تعادل formula_35 را در حراج‌های مختلف حل کنیم:
در حراج اول قیمت, پیشنهاد خود را پرداخت می‌کنید اگر برنده شوید، در نتیجه:formula_40در نتیجه داریم:formula_41
در حراج با پرداخت کامل، در هر دو صورت برنده یا بازنده شدن هر پیشنهاددهنده، پیشنهاد خود را پرداخت می‌کند، در نتیجه داریم:
formula_42
از این قضیه می‌توانیم نتیجه بگیریم که هر حراجی که یک شی در آن وجود دارد و بدون هیچ شرطی شی به پیشنهاددهنده‌ای داده می‌شود که بالاترین پیشنهاد را بدهد، برگزارکننده حراج، درآمد مورد انتظار یکسانی دارد. بنابراین برای این که بتوانیم درآمد حراج را افزایش دهیم باید تابع خروجی را تغییر دهیم. برای این کار می‌توانیم یک قیمت رزرو را برای شی مشخص کنیم چون در این حالت، شیء مورد حراج، همیشه به کسی که بالاترین پیشنهاد را داده تعلق نمی‌گیرد، تابع خروجی تغییر می‌کند. با انتخاب قیمت رزو مناسب، حراج‌کننده می‌تواند درآمد مورد انتظار بالاتری دریافت کند.