فیلتر ذره‌ای
فیلتر ذره ای یک برآوردگر بهینه می‌باشد که در دسته برآوردگرهای بیزی می‌گنجد. اساس این روش برپایه به‌کارگیری از ذراتی است که در طی روندی الگوریتمی، برآوردی از توزیع پسین بدست داده، به کمک این برآورد می‌توان دست به تخمین پارامتر موردنظر زد. از آنجا که برآورد براساس توزیع پسین انجام می‌گیرد، فیلتر ذره ای از روش‌های بیزی شمرده می‌شود.
فرض کنید یک آزمایش تصادفی را به صورت مستقل از هم formula_1 بار انجام دهیم و پیشامد formula_2 را در طول این آزمایش مدنظر قرار دهیم. پس در این آزمایش تعداد دفعاتی که پیشامد formula_2 رخ می‌دهد را شمرده و باformula_4 نشان می‌دهیم. در نتیجه احتمال رخداد پیشامد formula_2 به صورت زیر بدست خواهد آمد.
formula_6 این رابطه بیان می‌کند که چنانچه آزمایش را با تعداد دفعات نامحدود و به صورت کاملاً مستقل از هم انجام دهیم، آنگاه می‌توان احتمال رخداد پیشامدی مانند formula_2 را با شمردن تعداد رویداد آن پیشامد و تقسیم کردن بر تعداد دفعات کل بدست آورد. اما در جهان واقع به دلیل اینکه تعداد دفعات آزمایش محدود است و وابستگی‌هایی بین آزمایش‌ها وجود دارد می‌توان احتمال رخداد پیشامدformula_2 را به‌صورت زیر تقریب زد.
formula_9 به این تقریب، تقریب مونت کارلو (Monte-Carlo) گفته می‌شود. اینک با توجه به اینکه تعداد رویدادهای پیشامد مورد نظر برای formula_1‌های محدود یک متغیر تصادفی است، تقریب احتمال رخداد پیشامد formula_2 (رابطه بالا) نیز یک متغیر تصادفی خواهد بود. اما برای آنکه برآورد به روش مونت‌کارلو کیفیت مناسبی داشته باشد باید دارای ویژگی‌های زیر باشد:
ویژگی اول: برآورد برپایه مونت‌کارلو باید نااریب باشد، یعنی اگر با انجام آزمایش‌های متعدد مقدارهای برآورد متفاوتی بدست‌آوردیم باید میانگین این مقادیر دقیقاً برابر با مقدار مورد برآورد باشد؛ یعنی اگر به دفعات با به‌کارگیری از روش مونت کارلو، احتمال رخداد پیشامد formula_2 را برآورد کردیم و مجموعه‌ای از برآوردها (تخمین‌ها) بدست آوردیم، میانگین این برآوردها باید برابر با مقدار واقعی احتمال رخداد باشد.
ویژگی دوم: برآورد برپایه مونت‌کارلو باید سازگار (Consistent) باشد، یعنی واریانس مقادیر مختلف از مجموعه برآوردها بر پایه روش مونت‌کارلو با افزایش تعداد دفعات آزمایش به سمت صفر بگراید.
در نتیجه خطای برآورد نااریب و سازگار دارای میانگین آماری صفر بوده و واریانس آن با افزایش تعداد تکرر آزمایش به سمت صفر می‌گراید. به عنوان یک مثال کاربردی از روش برآورد مونت‌کارلو می‌توان به برآورد مساحت اشاره‌کرد. فرض کنید برآورد مساحت یک ناحیه برای ما مطلوب است و این ناحیه مورد برآورد در یک ناحیه مشخص دیگری پَروسته (محصور) شده باشد که مساحت آن دانسته‌است؛ بنابراین بر طبق روش مونت‌کارلو یک آزمایش تصادفی که جزئیات آن بیان می‌شود را انجام می‌دهیم؛ ریختن ذره‌هایی به صورت کاملاً مستقل و تصادفی همگی در درون ناحیه‌ای که مساحت آن را می‌دانیم؛ بنابراین آزمایش انجام شد. اینک پیشامد برآورد شده formula_2 را به‌صورت تعداد ذره‌های که در درون ناحیه‌ای که می‌خواستیم تخمین بزنیم می‌افتند تعریف می‌کنیم. اکنون تعداد ذره‌هایی را که در درون ناحیه با مساحت نامعلوم می‌افتد با formula_4 و تعداد ذره‌هایی را که در درون ناحیه با مساحت معلوم می‌افتد با formula_1 نشان می‌دهیم. شکل زیر یک مثال از ناحیه‌ای که مساحتش را می‌خواهیم برآورد کنیم و ناحیه با مساحت معلوم را نشان می‌دهد. اگر مساحت ناحیه معلوم را با formula_16 و مساحت ناحیه برآورد شده را با formula_17 نشان دهیم، آنگاه نسبت مساحت ناحیه نامعلوم به کل مساحت ناحیه معلوم بر طبق این آزمایش تقریباً برابر است با:
formula_18 اینک با توجه به اینکه مقدار formula_16 معلوم است، مساحت ناحیه برآورد شده به صورت تقریبی از رابطه زیر بدست می‌آید. formula_20 برای اینکه برآورد به صورت نااریب باشد لازم است ذره‌هایی که در درون ناحیه با مساحت معلوم قرار می‌گیرند دارای توزیع یکنواخت روی آن ناحیه باشند.
اما روش مونت‌کارلو به اینجا محدود نمی‌شود، فرض کنید ذره‌های formula_21 به یک طریقی و به‌طور مستقل از هم و تصادفی از توزیع احتمال formula_22 بیرون کشیده شده باشند. اینک برپایه روش مونت‌کارلو تابع توزیع formula_22 به کمک ذره‌های بیرون کشیده شده به صورت زیر تقریب زده می‌شود. formula_24 که در آن formula_25 تابع دلتای دیراک و formula_26 تعداد ذره‌ها است. در نتیجه مقدار متوسط هر تابع دلخواه formula_27 را می‌توان به صورت زیر تقریب زد.رابطه اخیر بیان می‌دارد که برای محاسبه امید ریاضی هر تابع دلخواه formula_27 کافیست formula_26 ذره از تابع توزیع formula_22 نمونه داشت و مقدار آنها تحت تابعیت formula_27 را محاسبه کرد. در صورتی‌که formula_32 وجود داشته باشد بر طبق قانون ضعیف اعداد بزرگ برای هر کمیت کوچک اپسیلون رابطه زیر را می‌توان نوشت. formula_33 بر طبق این رابطه هرچه formula_26 بزرگتر شود احتمال اینکه برآورد متوسط تابع formula_27 از مقدر واقعی آن یعنی formula_32 دور شود کمتر است. از طرف دیگر این برآورد یک برآورد نااریب است چراکه داریم:
formula_37
همچنین این برآورد یک برآورد سازگار است، برای فهم آن نیز داریم: formula_38 که در بدست آوردن رابطه اخیر، معادله زیر و با توجه به i.i.d. بودن ذره‌های بیرون کشیده شده بکار برده شد.
formula_39
اینک با توجه به اینکه بسیاری از کمیت‌ها و پارامترهایی را که می‌خواهیم برآورد کنیم می‌توان به صورت امید ریاضی نوشت و امید ریاضی را نیز می‌توان به کمک روش بیان شده مونت‌کارلو برآورد کرد، گستره کاربرد روش مونت‌کارلو روشن می‌شود. برای مثال فرض کنید بخواهیم کمیت formula_40 را برپایه تخمین MMSE و با در نظر گرفتن کمیت مشاهده شدهformula_41 تخمین بزنیم. بر طبق مرجع می‌دانیم که این برآورد به رابطه زیر می‌انجامد.
formula_42
بنابراین باید تابع formula_43 را بر روی توزیع formula_44 متوسط بگیریم. بدین منظور کافیست ذره‌های مستقل و تصادفی formula_45 را از توزیع formula_44 بیرون کشیده و طبق برآورد مونت‌کارلو در رابطه زیر قرار دهیم.
formula_47
در ادامه پیرامون نمونه‌برداری بااهمیت به عنوان شاخه‌ای از برآورد مونت‌کارلو بحث می‌کنیم.
نمونه‌برداری بااهمیت (Importance Sampling) به عنوان شاخه‌ای از تخمین برپایه مونت‌کارلو اولین بار توسط مارشال معرفی شد. ایده اصلی آن بر پایه نمونه‌برداری از توزیع احتمال تنها در نواحی پراهمیت است. اینکه در این روش به‌جای نمونه‌برداری از همه نواحی توزیع احتمال تنها از نواحی پراهمیت یا مدنظر، نمونه‌برداری انجام می‌گیرد به دلیل کاهش حجم محاسبات یا سهولت در نمونه‌برداری می‌تواند باشد. این روش به‌ویژه برای فضاهایی با بعد بالا که معمولاً هم داده‌ها تنک بوده و ناحیه مطلوب کوچکتر از کل فضای داده‌است بسیار کاراست. ایده روش نمونه‌برداری بااهمیت، گزینش یک توزیع پیشنهادی formula_48 به‌جای استفاده از توزیع احتمال اصلی formula_49 است. همانگونه که گفته شد دلیل این جایگزینی به دلیل عدم لزوم یا سختی در نمونه‌برداری از توزیع احتمال formula_49 است.
formula_51
در نتیجه نمونه‌برداری بااهمیت مونت‌کارلو به استفاده از formula_1 ذره مستقل و تصادفی بیرون کشیده شده از formula_48 تلقی می‌شود تا مقدار متوسط تابع formula_54 را بگونه زیر تخمین بزند.
formula_55
که در آن formula_56 وزن بااهمیت (Importance Weight) گفته شده و به گونه زیر بدست می‌آید.
formula_57
درحقیقت دلیل تقریب زدن متوسط تابع formula_54 بر طبق روابط بالا در این است که توزیع formula_48 (و نه formula_49) را برپایه تخمین مونت‌کارلو به گونه زیر می‌توان تقریب زد.
formula_61
که این‌بار ذره‌های formula_21 به‌طور مستقل از هم و تصادفی از توزیع چگالی احتمال formula_48 بیرون کشیده شده‌اند. سپس بر طبق رابطه [?] تخمین متوسط formula_54 بگونه زیر بدست می‌آید.
(f(x))=\hat{f}_N\\با مقایسه تخمین مونت‌کارلو از رابطه و تخمین با نمونه‌های با اهمیت از رابطه فهمیده می‌شود که تخمین برپایه نمونه‌برداری بااهمیت مونت کارلو به کمک ذره‌های بیرون کشیده شده از توزیع دست یافتنی formula_48 و نیز وزن‌های بااهمیت مرتبط با آن formula_66 انجام می‌گیرد؛ بنابراین به طریقی نمونه‌برداری از توزیع formula_49 با نمونه‌برداری از توزیع قابل حصول formula_48 جایگزین شده‌است. در استفاده‌های عملی از این روش مانند فیلتر ذره‌ای که پیرامون آن در همین فصل توضیح داده می‌شود از وزن‌های نرمالیزه (Normalized importance weights) شده استفاده می‌شود. تعریف وزن‌های بااهمیت نرمالیزه از رابطه زیر بدست می‌آید.
formula_69
در این صورت تخمین متوسط تابع formula_54 را به گونه زیر می‌توان نوشت [?].
formula_71
با توجه به رابطه [?] به راحتی می‌توان فهمید که این تخمین‌گر نیز نااریب است چراکه داریم:
formula_72
واریانس این تخمین نیز به کمک روابط زیر محاسبه می‌شود [?].
formula_73
در بدست آوردن رابطه اخیر از i.i.d. بودن ذره‌های بیرون کشیده شده از توزیع formula_48 استفاده شد، یعنی:
formula_75
با توجه به رابطه [?] مشخص می‌شود که واریانس این تخمین متفاوت از رابطه [?] مربوط به تخمین مونت‌کارلو بدست می‌آید، اما این واریانس در صورت برقراری یکی از دو شرط زیر می‌تواند کوچک شود [?].
بنابراین نمونه‌برداری با اهمیت از دو جهت می‌تواند حائز اهمیت باشد، یکی اینکه نمونه‌برداری از توزیع formula_48 می‌تواند به مراتب راحت‌تر و کم محاسبه‌تر از نمونه‌برداری از توزیع formula_49 باشد و دیگر اینکه این نوع نمونه‌برداری می‌تواند حتی واریانس تخمین را کمتر از واریانس تخمین مونت‌کارلو کند.
اما گزینش توزیع formula_48 خود یک مسئله بسیار حیاتی در این مقوله است، انتخاب نادرست این توزیع موجب افزایش واریانس تخمین‌گر شده باعث می‌شود هزینه زیادی در قبال راحت‌تر بودن نمونه‌برداری از آن در قبال توزیع formula_49 بپردازیم. در حقیقت اگر formula_48 مناسب برگزیده نشود توزیع وزن‌ها بسیار ناهمگون و پراکنده خواهد شد و در نتیجه بسیاری از وزن‌ها به دلیل توزیع خاصشان بی‌استفاده می‌شوند. همچنین در این حالت تخمین برای فضاهای بزرگ تنها توسط تعداد کمی از ذره‌ها با وزن‌های بزرگ تعیین‌کننده می‌شود. بنابر آنچه گفته شد، گزینش توزیع پیشنهادی formula_48 باید بر طبق بندهای زیر باشد [?]:
با این همه در برخی تجربه‌های عملی نشان داده شده‌است که formula_48 یک شرط دیگر باید داشته باشد، و آن اینکه باسرعت کمتری نسبت به formula_49 به سمت صفر بگراید تا حساسیتی کمتر نسبت به داده‌های پرت (Outlier) داشته باشد یا به عبارتی دیگر این توزیع باید دمبی (tail) بزرگ داشته باشد، یک معیار برای سنجش میزان دمب یک توزیع، تابع رتبه (score) است که رابطه آن در زیر آمده‌است.
formula_98
نشان داده می‌شود که اگر formula_99 شرط محدود بودن را داشته باشد آنگاه توزیع formula_49 دارای دمبی بزرگ خواهد بود، در غیر این صورت خیر. اما محدود بودن برای تابع مزبور بدین معنی است که به ازای هر formula_87 حقیقی‌ای وجود داشته باشد کمیت‌های حقیقی formula_102 و formula_103 که داشته باشیم:
formula_104
همانگونه که در بخش پیشین بحث شد، گزینش توزیع پیشنهادی در بازدهی و کارایی تخمین برپایه نمونه‌برداری بااهمیت بسیار مهم و حیاتی است؛ بنابراین شیوه گزینش یک توزیع مناسب کلید بهره‌بری از یک تخمین‌گر موفق شمرده می‌شود. با این حال در اغلب موارد یافتن یک توزیع متناسب به‌ویژه در مواردی که با فضاهایی با بعد بالا سروکار داریم کار سختی است [?]. از این رو یک راه مقابله با این مشکل ساختن توزیع پیشنهادی به صورت تناوبی و پی‌درپی است که این ایده اصلی روش نمونه‌برداری با اهمیت تناوبی (Sequential Importance Sampling) یا به اختصار SIS محسوب می‌شود. برای این منظور بایسته‌است که توزیع پیشنهادی formula_105 به نحوی برگزیده شود تا خاصیت زیر را داشته باشد [?].
formula_106
برپایه این انتخاب، نمونه‌برداری بااهمیت به صورت تناوبی قابل حصول است. برای نشان دادن این مطلب طبق قانون تلسکوپی (Telescope law) در احتمالات برای توزیع formula_22 می‌توان نوشت.
formula_108
نیز برای توزیع پیشنهادی formula_105 طبق خاصیتی که برای آن مقرر شد داریم:
formula_110
در نتیجه وزن‌های بااهمیت را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد.
formula_111
که در این صورت این وزن‌ها به‌صورت بازگشتی طبق رابطه زیر می‌توانند محاسبه شوند.
formula_112
از جمله مزیت‌های این روش در این است که این وزن‌ها در طول زمان به‌صورت تناوبی محاسبه می‌شوند و بازدهی آن در حین الگوریتم افزوده می‌شود، اما عیب مهم آن در این است که واریانس وزن‌ها ممکن است بزرگ باشد که موجب کاهش دقت در تخمین می‌شوند. به عبارت دیگر در مرجع [?] نشان داده شده‌است که واریانس وزن‌های بااهمیت در طول زمان افزوده شده و پس از چند تکرر (iteration) از الگوریتم تعداد بسیاری از وزن‌ها مقداری نزدیک به صفر و تنها اندکی از وزن‌ها ناصفر خواهند بود. این پدیده که به مشکل تباهیدگی وزن‌ها (Weight degeneracy problem) موسوم است از معایب مهم نمونه‌برداری تناوبی شمرده می‌شود چرا که موجب هدررفت زمان محاسبات در بروزکردن وزن‌ها از روی وزن‌های پیشین خود می‌شود. راه حل مقابله با این مشکل استفاده از متدهای بازنمونه‌برداری است؛ بنابراین بازنمونه‌برداری به عنوان یکی از گام‌های اصلی در الگوریتم SIS شمرده می‌شود که هدف از آن حذف ذره‌هایی با وزن‌های کوچک و تقویت ذره‌های با وزن بزرگ است. یا به عبارت دیگر این فرایند موجب تشدید ذره‌های با احتمال بالا و تضعیف ذره‌های با احتمال کوچک می‌شود. همراهی روش SIS با فرایند بازنمونه‌برداری به فرایند Sequential Importance Resampling موسوم است. شکل زیر فرایند بازنمونه‌برداری را به صورت نمادین نمایش می‌دهد. در این شکل گوی‌ها معرف ذره‌ها و ابعاد آن وزن متناظر با آن را نشان می‌دهد، گوی‌های پررنگ در ابعاد مختلف هستند، گوی بزرگ بدین معنی است که وزن ذره متناظر با آن بزرگ است یا به عبارتی احتمال آن ذره بالاست، از طرف دیگر گوی کوچک به معنی اینست که وزن ذره متناظر با آن کوچک است یا به عبارتی احتمال رخداد آن ذره کم است. گوی‌های کم‌رنگ نیز پس از فرایند بازنمونه‌برداری حاصل شده‌اند. در این شکل تشدید ذره‌ها با وزن‌های بالا و تضعیف ذره‌ها با وزن‌های کم توسط فرایند بازنمونه‌برداری به خوبی نشان داده شده‌است؛ بنابراین بر طبق مطالب گفته شده الگوریتم SIR را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد[?].
بنابراین این گام نقشی اساسی در الگوریتم نمونه‌برداری بااهمیت ایفا می‌کند [?] چراکه از طرفی با پدیده پراکندگی ناموزون وزن‌ها که موجب اتلاف محاسباتی می‌شود مقابله کرده و از تباهیدگی وزن‌ها جلوگیری می‌کند و از طرف دیگر هنگامیکه وزن‌ها مورب (Skewed) باشند موجب گزینش وزن‌های بااهمیت‌تر می‌شود. برای همین چه بسا این گام خود موجب تغییراتی در واریانس نمونه‌ها شده و لزوماً تخمین را بهبود ندهد. برای همین این گام با ملاحظاتی انجام می‌شود که خود موجب پیدایش الگوریتم‌های مختلف برای بازنمونه‌برداری شده‌است. نکته قابل تأمل در میان این الگوریتم‌ها در این است که اگر معیار، واریانس ذره‌های تولیدی باشد روش بازنمونه‌برداری‌ای که به روش سیستماتیک (systematic) موسوم است، واریانس کمتری را ایجاد کرده و از این لحاظ ارجح است [?]. در زیر به‌صورت خلاصه این روش بیان شد.
برای درک بهتر نحوه عملکرد فرایند بازنمونه‌برداری سیستماتیک خواننده را به مرجع [?] ارجاع می‌دهیم.
تا اینجا با اساس و پیشنیازهای لازم برای بیان جزئیات الگوریتم فیلتر ذره‌ای آشنا شدیم و نیز ذکر شد که این فیلتر براساس الگوریتم SIR استوار است. شاید ذکر این نکته نیز برای شروع معرفی فیلتر ذره‌ای مناسب باشد که این فیلتر با تقریب زدن چگالی پسین به‌صورت تناوبی و براساس تخمین بیزین عمل می‌کند [?]. در حقیقت چون نمونه‌برداری مستقیم از چگالی پسین عملی نیست باید به دنبال راهکاری بود که این چگالی را تخمین زد، فیلتر ذره‌ای گزیری برای رفع این مشکل است. اینک توضیح این فیلتر را با تخمین چگالی پسین به کمک ذره‌های بیرون کشیده شده از آن آغاز می‌کنیم [?]. همانگونه که بیان شد بر طبق تخمین مونت‌کارلو چگالی پسین را برپایه formula_1 ذره بیرون کشیده شده از آن به‌صورت زیر می‌توان تقریب زد.
formula_124
که در آن formula_125 ذره‌های مستقل از هم و به‌صورت تصادفی بیرون کشیده شده از چگالی پسین است. بر پایه این تخمین امید ریاضی هر تابع دلخواه formula_126 را به‌صورت زیر می‌توان تقریب زد.
formula_127
با این حال نمونه‌برداری از چگالی مزبور تنها حالتی خاص و غیرپیچیده در تخمین مونت‌کارلو است، در حالت کلی چگالی پسین دیگری در استخراج فیلتر ذره‌ای بکارگرفته می‌شود که چگالی کامل‌تری در روش فیلترکردن بیزین محسوب شده، به دلیل استفاده از اطلاعات افزون‌تر عملکرد بهتری خواهد داشت. این چگالی برابر formula_128 بوده که در آن formula_129 مجموعه بردارهای حالت از ابتدا تا لحظه formula_130است.
formula_131
اما به دلیل اینکه نمونه‌برداری مستقیم از این چگالی قابل عملی نیست بر طبق روش نمونه‌برداری بااهمیت از یک توزیع پیشنهادی formula_132 بهره گرفته می‌شود؛ بنابراین تخمین تابع دلخواهformula_126 با این توزیع پیشنهادی به صورت زیر بدست می‌آید.
formula_134
اینک چون مخرج رابطه اخیر مقداری ثابت است آن را می‌توان به داخل اپراتور متوسط‌گیری صورت برد، در نتیجه می‌توان نوشت:
formula_135
همان‌طور که پیشتر گفته شد، کمیت formula_136، وزن بااهمیت نامیده شده بر طبق رابطه زیر بدست می‌آید.
formula_137
همچنین کمیت نرمالیزه شده وزن‌های بااهمیت با formula_138 نشان داده شد که از رابطه زیر بدست می‌آید.
formula_139
پس به عبارتی چگالی پسین formula_128 بر پایه تخمین نمونه‌برداری بااهمیت مونت‌کارلو از رابطه زیر تخمین زده می‌شود.
formula_141
که در آن ذره‌های formula_142 به‌جای آنکه از چگالی نامعلوم و غیرقابل عملی formula_128 نمونه‌برداری شده باشند از تویع پیشنهادی formula_144 بیرون کشیده شده‌اند. وزن‌های نرمالیزه شده آن یعنی formula_145 نیز طبق رابطه زیر بدست می‌آیند.
formula_146
پیرامون شرایط حیاتی انتخاب توزیع پیشنهادی در بخش [?] بحث شد، یکی از این شروط این بود که آن را بتوان به صورت زیر تجزیه کرد.
formula_147
در نتیجه با کمک گرفتن از این تجزیه و با درنظر گرفتن دو شرط اساسی \eqref{ASUM1} و \eqref{ASUM2} وزن‌های با اهمیت را به صورت تناوبی می‌توان محاسبه کرد، برای نشان دادن این مطلب توجه کنید که:
formula_148
اینک با درنظر داشتن این نکته که با داشتن بردار حالت در لحظه formula_149 و پیش از آن اطلاعات افزون‌تری در احتمال رخداد formula_150 بدست نمی‌دهند، داریم:
formula_151
از طرف دیگر به دلیل علیت می‌دانیم بردار حالت در زمان formula_130 تأثیری در احتمال رخداد بردار مشاهده در لحظه formula_149 ندارد. پس می‌توان نوشت:
formula_154
بنابراین در مجموع رابطه زیر را به‌صورتی که درپی می‌آید می‌توان ادامه داد.
formula_155
بنابراین وزن‌های متناظر با ذره‌های نمونه‌برداری شده از توزیع پیشنهادی به صورت تناوبی زیر قابل دستیابی هستند.
formula_156
که در آن formula_157 مجموعه ذره‌های نمونه برداری شده از آغاز تا لحظه حاضر است، یعنی:
formula_158
بنابراین فیلتر ذره‌ای برپایه نمونه‌برداری تناوبی مونت‌کارلو عمل کرده و به کمک ذره‌های بیرون کشیده شده از توزیع پیشنهادی و وزن‌های متناظر با آن که به صورت تناوبی از وزن‌های ماقبل خود بدست می‌آیند تخمینی از بردار حالت ارائه می‌دهد. شاید تکرار این نکته مفید باشد که طبق رابطه SIS وزن‌های بااهمیت در هر لحظه به کمک ذره‌های نمونه برداشته شده از توزیع پیشنهادی و ارزیابی احتمال درستنمایی و چگالی گذار که بر طبق فضای حالت دانسته هستند بدست می‌آیند؛ بنابراین تخمین MMSE به کمک این ذره‌ها و وزن‌های متناظر با آن به طریق زیر محاسبه می‌شوند.
formula_159
در نهایت یادآوری این نکته حائز اهمیت است که واریانس وزن‌ها در طول الگوریتم رو به فزونی می‌گذارد، بگونه‌ای که مقدار بیشتر وزن‌ها به سمت صفر گراییده، مقدار تعداد اندکی از آنها بزرگ می‌شود، و درنهایت موجب تباه شدن وزن‌ها می‌شود که لازم می‌دارد از متدهای بازنمونه‌برداری که در بخش [?] پیرامون آن بحث شد استفاده شود. بنابر مطالب گفته شده الگوریتم فیلتر ذرهای در جدول زیر خلاصه شد.
نکته دیگری که باید گفته شود مربوط به گام آغازین الگوریتم است. در این لحظه ذره‌ها از روی چگالی formula_160 نمونه‌برداری می‌شوند که این چگالی احتمال با در نظر گرفتن تحرک جسم در لحظه اولیه تقریب زده می‌شود. تا اینجا درمورد نحوه انتخاب توزیع پیشنهادی نکاتی بیان شد، اما گزینه‌هایی مطرح نشد. بر طبق مرجع [?] انتخابی بهینه از دید کمینه شدن واریانس وزن‌های بااهمیت طبق گزینه زیر است.
formula_161
اما همان‌طور هم که در مرجع [?] مذکور بیان شده‌است نمونه‌برداری از این توزیع غیرعملی است. گزینه دیگر \cite{transition} استفاده از چگالی گذار است، یعنی:
formula_162
با این انتخاب در هر iteration وزن‌های بااهمیت بر طبق رابطه [?] به صورت زیر بروز می‌شوند.
formula_163
بدین معنی که تنها دانستن احتمال درستنمایی در بروزکردن وزن‌ها کفایت می‌کند. روش دیگر تقریب زدن توزیع پیشنهادی با یک توزیع گاوسی است. انتخاب برای توزیع formula_164 می‌بایست حول احتمال رخداد بردار حالت در لحظه formula_130 به شرط در اختیار داشتن کل مجموعه بردارهای مشاهدات تا لحظه formula_130 و کل مجموعه بردارهای حالت تا لحظه formula_149 باشد. به عبارت دیگر باید دید چنانچه بردار مشاهدات و بردار حالت بترتیب تا لحظه formula_130 و formula_149 در دسترس باشند، بردار حالت در لحظه formula_130 چه توزیعی خواهد داشت آن توزیع را برای توزیع پیشنهادی برگزید. بنابر آنچه گفته شد می‌توان این توزیع را جداگانه به کمک فیلتر کالمن و با فرض گاوسی بودن این توزیع بدست آورد [?]. یعنی با انتشار Propagate ذره‌ها از لحظه پیشین به لحظه کنونی و به یاری معادلات کالمن این توزیع را تخمین زد. در زیر نحوه بدست آوردن میانگین و کواریانس این توزیع توضیح داده می‌شود. نخست از روی ذره‌های کنونی و به کمک ماتریس گذار، ذره‌های پیش‌بینی طبق فرایند پیش‌بینی کالمن (Kalman filter prediction procedure) زیر بدست آورده می‌شوند.
formula_171
پس از آن ماتریس MSE پیش‌بینی کمینه(minimum prediction MSE matrix) به کمک کواریانس نویز پروسس محاسبه می‌شود.
formula_172
که در آن همان‌طور که گفته شد formula_173 ماتریس کواریانس نویز پروسس بوده از رابطه زیر حساب می‌شود.
formula_174
گین کالمن (Kalman gain) بر پایه معادله زیر و به یاری ماتریس کواریانس نویز اندازه‌گیری بدست می‌آید.
formula_175
سرانجام میانگین و ماتریس کواریانس توزیع پیشنهادی بترتیب به کمک ماتریس MMSE و فرایند تصحیح فیلتر کالمن طبق روابط زیر تعیین می‌شوند.
formula_176
به عبارت دیگر انتخاب توزیع پیشنهادی به صورت زیر خواهد بود، که در آن میانگین این توزیع برابر بردار حالت اصلاح شده بوده و ماتریس کواریانس آن همان ماتریس MMSE است.
formula_177
بنابراین گام نمونه‌برداری بااهمیت از الگوریتم فیلترذره‌ای در جدول زیر خلاصه شد.
به الگوریتم فیلتر ذره‌ای که توزیع پیشنهادی آن توسط فیلتر کالمن تخمین زده شود، فیلتر ذره‌ای کالمن (Kalman Particle Filter) یا به اختصار KPF می‌گویند.