هزینه هرج‌ومرج
مفهوم هزینهٔ هرج‌ومرج (Price of Anarchy یا PoA)، از مباحث اقتصاد و نظریهٔ بازی است که در آن، میزان کاهش بازدهی سیستم به دلیل خودخواهی بازیکنان بررسی می‌شود. این مفهوم در سیستم‌های گوناگون با تعریف‌های متفاوتی از بازدهی کاربرد دارد. به عنوان مثال سیستم حمل‌ونقل شهری را، که بازدهی می‌تواند رسیدن در زمان کمتر تعریف شود، بررسی کنیم. در این سیستم، یک سری بازیکن می‌خواهند از یک مبدأ به یک مقصد بروند. دو حالت وجود دارد؛ حالت اول اینکه مدیریت مرکزی وجود داشته باشد و بازیکنان با توجه به فرمان مدیریت مرکزی جهت‌های حرکت خود را انتخاب کنند (فرض می‌شود بازیکن‌ها کاملاً به فرمان‌ها گوش می‌دهند) و حالت دوم اینکه مدیریت مرکزی وجود نداشته باشد و بازیکنان به‌صورت خودخواهانه تصمیم‌های خود را بگیرند، یعنی هر بازیکن تنها بازدهی خود را در نظر بگیرد. هزینهٔ هرج‌ومرج نمایشی برای اندازه‌گیری کاهش بازدهی سیستم در حالت دوم نسبت به حالت اول است.
سیستم‌هایی که در آن‌ها به بررسی هزینهٔ هرج‌ومرج پرداخته می‌شود معمولاً به صورت یک بازی مدل می‌شوند. در یک بازی، با توجه به اینکه هر بازیکن چه استراتژی‌ای را انتخاب می‌کند، هر بازیکن میزانی سود (یا ضرر) می‌کند. بازدهی در این مدل، تابعی از سود (یا ضرر) بازیکنان با توجه به استراتژی‌های انتخاب شده‌است. یعنی کارایی آن به صورت تابعی از نتیجهٔ برهم کنش رفتار عامل‌های مختلف آن مدل می‌شود. مثلاً تعریف کارایی در سیستم حمل‌ونقل برابر معکوس ازدحام، در شبکه برابر بیشترین تأخیر (Maximum Delay) و در بازارهای حراجی (Auction) برابر سود اجتماعی تعریف می‌شود.
برای مدل کردن رفتار خودخواهانهٔ بازیکنان، می‌توان از مفاهیم تعادل در بازی‌ها استفاده کرد که یکی از پرکاربردترین تعادل‌ها، تعادل نش است. حال با توجه به اینکه از کدام نوع تعادل نش استفاده شود، نوع‌های مختلف هزینهٔ هرج‌ومرج بدست می‌آید؛ مثلاً اگر از تعادل نش خالص استفاده شود، هزینهٔ هرج‌ومرج خالص بدست می‌آید یا اگر از تعادل نش ترکیبی استفاده شود، هزینهٔ هرج‌ومرج ترکیبی بدست می‌آید و یا برای بازی‌های با اطلاعات ناقص، هزینهٔ هرج‌ومرج بیز-نش بدست می‌آید.
تعریف قیمت هرج‌ومرج ابتدا توسط کوتسوپیاس (Koutsoupias) و پاپادیمیتریو (Papadimitriou) بیان شد، در حالی که اندازه‌گیری ناکارامدی تعادل نش از دیدگاه سود اجتماعی، ایده‌ای قدیمی تر است. مفهوم قیمت هرج‌ومرج به شکل امروزی خود، به گونهٔ معادل با ضریب تقریب (Approx-ratio) در بحث الگوریتم‌های تقریبی، یا به تعبیر دیگر به صورت معادل با نسبت رقابت (Competitive-ratio) در الگوریتم‌های آنلاین تعریف شده‌است.
هزینهٔ هرج‌ومرج را می‌خواهیم در بازی formula_1 بررسی کنیم که formula_2 مجموعهٔ بازیکنان است، formula_3، در واقع formula_4 مجموعهٔ استراتژی پروفایل‌ها است (formula_5، مجموعهٔ استراتژی‌های بازیکن formula_6ام است) و formula_7 مجموعهٔ formula_8ها است که هر formula_8 یک تابع است که formula_10 . در واقع formula_8 تابعی است که سود نفر formula_6ام را در هر استراتژی پروفایل بدست می‌آورد. تابع بازدهی را نیز، به صورت formula_13 تعریف می‌کنیم، که برای هر استراتژی پروفایل، یک عدد به نشان میزان بازدهی ارائه می‌دهد. حال برای formula_14، می‌توان تابع‌های بهینهٔ اجتماعی در بازی‌ها را در نظر گرفت، به عنوان مثال می‌توان formula_15 (مجموع سود تمام بازیکنان در یک استراتژی پروفایل)، یا تابع formula_16 (کمترین مقدار سود بازیکنان در یک استراتژی پروفایل) و یا هر تابعی که مقدار مطلوبی را حداکثر می‌کند را در نظر گرفت. اگر در این مدل بازی، عددها به‌جای سود بازیکنان، هزینهٔ بازیکنان تعریف شده‌باشند، در این صورت به‌جای تابع formula_14، تابع formula_18 را تعریف می‌کنیم که هرچه مقدار کمتری داشته‌باشد، نشاندهندهٔ بازده بیشتری است.
اگر مجموعهٔ formula_19 را مجموعه‌ای از استراتژی پروفایل‌هایی بگیریم که در آن‌ها تعادل داریم (در واقع formula_20)، در این صورت هزینهٔ هرج‌ومرج (formula_21) نسبت بازده در بهترین حالت از میان استراتژی پروفایل‌ها، به بدترین بازده در میان استراتژی‌های تعادل (یا همان بازده بدترین تعادل) است: formula_22 در صورتی که به‌جای تابع formula_14، تابع formula_24 داشته باشیم، در این صورت formula_21 به صورت زیر تعریف می‌شود: formula_26‍ یکی دیگر از مفاهیم مرتبط با هزینهٔ هرج‌ومرج، هزینهٔ پایداری (Price of Stability یا formula_27) است که تعریف آن نسبت بازده در بهترین حالت از میان استراتژی پروفایل‌ها، به بهترین بازده در میان استراتژی‌های تعادل (یا همان بازده بهترین تعادل) است: formula_28 مفهوم formula_27 به این دلیل مهم است که بهترین تعادل نش به‌طور طبیعی مفهوم پایداری را در خود دارد و زمانی که بازی در بهترین تعادل نش از لحاظ بازده باشد، احتمال اینکه بازیکنی استراتژی خود را تغییر دهد کم است.
اگر به‌جای formula_14، تابع formula_24 تعریف شده باشد، formula_27 به شکل زیر تعریف می‌شود: formula_33 با توجه به این تعریف‌ها، بدیهی است که formula_34 و تخمین زده‌می‌شود که از دست دادن بازده به دلیل محدودیت‌های نظریهٔ بازی، مقداری میان formula_27 و formula_21 است.
در زیر به بررسی formula_21 و formula_27 دریک مثال می‌پردازیم.
مثلاً بازی‌ای را در نظر بگیرید که جدول هزینه‌های آن به‌شکل زیر باشد: در این بازی، دو متهم همکار در یک جرم، زندانی شده‌اند و آن‌ها را به‌طور هم‌زمان و جدا از هم بازجویی می‌کنند. اگر هردو سکوت کنند و اعتراف نکنند، هر یک ۱ سال حبس می‌گیرند. اگر هر دو اعتراف کنند، هر یک ۵ سال حبس می‌گیرند و اگر یکی اعتراف کند و دیگری سکوت کند، متهمی که سکوت کرده ۱۰ سال حبس می‌گیرد و متهم دیگر آزاد می‌شود. این بازی به معمای زندانی معروف است. در این مثال تابع Cost را به شکل formula_39 تعریف می‌کنیم. حال تنها تعادل نش در این بازی، زمانی است که هر دو بازیکن، اعتراف کنند (زیرا اگر هر بازیکن استراتژی خود را عوض کند، سودی کمتر از حالت کنونی‌اش می‌گیرد). این درحالی است که formula_24 زمانی که هر دو بازیکن همکاری کنند کمترین حالت است. پس:
اگر هردو بازیکن سکوت کنند: formula_41
اگر هردو بازیکن اعتراف کنند: formula_42
پس با توجه به این مقادیر، formula_43 است و چون این بازی تنها یک تعادل نش دارد، پس formula_27 نیز مقدارش برابر formula_21 می‌شود.
شکلی از مفهوم هزینهٔ هرج‌ومرج در شبکه‌های ترافیک تعریف می‌شود که در تحلیل‌های شبکه‌ها از جمله شبکهٔ ترافیک حمل‌ونقل کاربرد زیادی دارد. مدل کردن این شبکه‌ها عموماً به شکل شبکه‌های چند جریانه (Multicommodity network) صورت می‌گیرد.
یک شبکهٔ چند جریانه با یک ۳ تای formula_46معرفی می‌شود. formula_47 از گردایه‌ای از سفرها (Commodity) تشکیل شده‌است. هر سفر یک دوتایی formula_48از رأس‌های گراف است، که formula_49مبدا و formula_50مقصد آن است. به ازای سفر formula_6ام، formula_52مجموعهٔ تمامی مسیرها در formula_47است که با formula_49شروع و با formula_50بایان می‌یابند، و formula_56.
یک جریان (Flow) در شبکه، تشکیل شده از یک بردار formula_57 با بعد formula_58، به گونه‌ای که برای هر سفر مانند formula_48و به ازای هر مسیر متناظر با این سفر مانند formula_60, formula_61درایه‌ای از formula_57را که متناظر با میزان جریان در مسیر formula_63است نشان می‌دهد. از طرفی هر جریان formula_57، میزانی از جریان را روی یال دلخواه formula_65از formula_47القا می‌کند که آن را با formula_67نشان می‌دهیم. در این چارچوب، خواهیم داشت: formula_68.
یک شبکهٔ خودخواهانه، یک ۳تایی formula_69تلقی می‌شود که formula_47، گراف در تناظر با شبکهٔ چند جریانهٔ formula_2 است. اگر تعداد سفرهای متناظر با formula_2 را formula_73 بگیریم، آنگاه formula_74 یک بردار با بعد formula_73 است که درایهٔ formula_76ام آن میزان ترافیک مورد نیاز برای سفر از راس formula_49 به راس formula_50 در شبکه است. بنابراین جریان formula_57 را برای این شبکه مجاز گوییم، اگر به ازای تمام مسیرهای بین formula_49 تا formula_50، جمع جریانشان برابر با میزان مورد نیاز formula_82 شود، یعنی: formula_83 .
از طرفی، هر یال از formula_47 دارای میزانی سربار است. مثلاً سربار می‌تواند میزان تأخیر عبور یک بستهٔ ترافیکی یا یک وسیلهٔ نقلیه از یال مورد نظر باشد. سربار یال formula_65 را با formula_86 نشان می‌دهیم که در تناظر با بردار formula_87 است. برای این که قدرت مدل کردن ازدحام در شبکه را داشته باشیم، formula_86 عموماً به صورت تابعی غیرنزولی از میزان جریان عبوری از یال مورد نظر تعریف می‌شود. برای مسیری از گراف که متناظر با یکی از سفرها باشد، یعنی برای formula_89، و نیز برای جریان formula_57،formula_91 برابر میزان سربار در طول این مسیر، یعنی برابر formula_92 تعریف می‌شود.
شکل معادلی از تعادل نش در مدل کردن شبکه‌های ترافیکی به صورت بازی، توسط "جان گلن واردراپ (John Glen Wardrop)" تعریف شده‌است، که به تعادل واردراپ (به انگلیسی: Wardrop Equilibrium) شهرت یافته‌است. مشابه با مفهوم کلیدی در تعریف تعادل نش، موسوم به اینکه بازیکنی انگیزه تخطی نداشته‌باشد، جریانی در شبکهٔ خودخواهانهٔ formula_69 تعادل واردراپ است، اگر به ازای هر formula_94، و به ازای هر دو مسیر formula_95، به گونه‌ای که formula_96، داشته باشیم formula_97. بنابراین، تمامی مسیرهایی از formula_49 به formula_50 که جریان مثبت دارند، همگی الزاماً هزینه (سربار) یکسان دارند.
همان‌گونه که بیان شد، تعادل واردراپ، صورت‌بندی دیگری از مفهوم تعادل نش است، به همین دلیل به آن اصطلاح جریان نش (Nash flows) نیز اختصاص داده شده‌است. "هری (Haurie)" "و مارکوت (Marcotte)" صورت‌بندی دقیقی از تناظر دو مفهوم تعادل واردراپ و تعادل نش برای بازی‌های متناهی و فرم نرمال ارائه کردند.
شاید بتوان گفت پایه‌ای‌ترین قضیه در این باب، قضیه وجود تعادل واردراپ در شبکهٔ خودخواهانه دلخواه است. بکمن، مک گور و وینستن صورت‌بندی مناسبی از این قضیه ارائه کردند، به این صورت که اولاً به ازای هر شبکه خودخواهانهٔ دلخواه formula_100، حداقل یک تعادل واردراپ داریم، ثانیاً اگر formula_101 دو تعادل واردراپ باشند، آنگاه به ازای هر یال دلخواه formula_65خواهیم داشت: .formula_103
راه حل اثبات این حقیقت از ایده‌ای بسیار کلیدی در حل مسایل جستجو در ریاضیات استفاده می‌کند، که به ایدهٔ وریشنال‌ (Variational) معروف است، به این صورت عمل می‌کند که برای بررسی وجود و یافتن جواب ایده‌آل یک مساله در فضای جستجو، تابعی به اعضای آن فضا نسبت می‌دهد، به گونه‌ای که جواب ایده‌آل میزان تابع را کمینه (یا بیشنیه) کند. به این ترتیب، تحلیل جواب ایده‌آل به یک مسالهٔ بهینه‌سازی تقلیل پیدا می‌کند. استفاده از این ایده در نظریهٔ بازی، منجر به تعریف مفهوم مهمی تحت عنوان شده‌است. در این قشر از بازی‌ها، خروجی‌ها به گونه‌ای تعریف شده‌است که می‌توان تابع پتانسیل formula_104 را تعریف کرد، به‌گونه‌ای که مقدار کمینهٔ آن در تعادل نش اتفاق بیفتد. در راه حلی که بکمن، مک گور و وینستن ارائه دادند، تابع پتاسیل به‌صورت مقابل تعریف شد: formula_105.
نکته‌ای که منجر به مناسب بودن تابع معرفی‌شده، به عنوان یک تابع پتانسیل می‌گردد، این حقیقت است که اگر formula_57 یک تعادل واردراپ و formula_107 یک جریان دلخواه در شبکه باشد، رابطهٔ مقابل را داریم: formula_108 ، که طبق formula_97 به راحتی نتیجه می‌شود. اما با در نظر گرفتن یک دوگانه شماری ساده، روابط زیر را خواهیم داشت: .formula_110، formula_111 بنابراین نامساوی formula_112را داریم. در ادامه، طبق خاصیت انتگرال، به راحتی خواهیم داشت: formula_113. بنابراین همان‌گونه که انتظار داشتیم، تابع پتانسیل معرفی شده مقدار کمینه خود را در تعادل واردراپ اتخاذ می‌کند. اما دقت کنید که فضای همهٔ جریان‌ها یک مجموعه "فشرده (Compact)" است و می‌دانیم طبق ، طبق پیوستگی، formula_104 حتماً میزان کمینهٔ خود را روی همهٔ جریان‌ها اتخاذ می‌کند، که مستقیماً وجود حداقل یک تعادل واردراپ را نتیجه می‌دهد.
بکمن، مک گور و وینستن علاوه بر اثبات وجود تعادل واردراپ، در مقالهٔ خود نشان دادند که اگر formula_115دو تعادل واردراپ باشند، آن‌گاه به ازای هر یال دلخواه formula_65خواهیم داشت:
formula_117].
برای جریان formula_57، هزینهٔ اجتماعی formula_119 به‌طور طبیعی به صورت زیر تعریف می‌شود:  .formula_120 تابع formula_119، پیوسته از دامنه‌ای فشرده است. پس طبق قضیه مقدار بحرانی مقدار مینیمم خود را اتخاذ خواهد کرد. فرض کنید که این مینیمم در جریان formula_122اتخاذ گردد. formula_57را نیز تعادل واردراپ بگیرید. توجه کنید که می‌دانستیم برای تمامی تعادل‌های واردراپ، میزان formula_119 یکسان خواهد بود.
هزینهٔ هرج‌ومرج formula_125 در این شبکه به صورت مقابل تعریف می‌شود: formula_126. همچنین اگر formula_127 گردایه‌ای از شبکه‌های خودخواهانه باشد، به طریق مشابه هزینهٔ هرج‌ومرج formula_128به صورت بیشینهٔ هزینهٔ هرج‌ومرج بین اعضای formula_127تعریف می‌شود: formula_130.
یکی از اساسی‌ترین هدف‌ها که تیوریسین‌های نظریهٔ بازی در مقولهٔ شبکه‌های خودخواهانه دنبال می‌کنند، دادن کران‌هایی تئوری برای هزینهٔ هرج‌ومرج، برحسب خانواده‌های متفاوت از توابع سربار روی یال‌ها است. به‌طور کلی، عامل‌ها در شبکه‌های خودخواهانه مسیری را انتخاب می‌کنند که به‌طور خودخواهانه سربار سفرشان را کمینه کند، که در نتیجهٔ آن رفتار جمعیتی آن‌ها در نقطهٔ تعادل واردراپ رخ می‌دهد. نکته اینجاست که تعادل واردراپ در جریانی رخ می‌داد که تابع پتانسیل را کمینه کند، در حالیکه دلخواه مدیر شبکه این است که سود اجتماعی بیشینه شود، یا به عبارتی دیگر هزینهٔ اجتماعی (formula_131) کمینه شود، که فاصلهٔ آن‌ها همان هزینهٔ هرج‌ومرج است. بنابراین که هر قدر که تابع پتانسیل شبکه formula_132 به تابع هزینهٔ اجتماعی formula_133 به اصطلاح "شبیه‌تر" باشد، احتمالاً هزینهٔ هرج‌ومرج کمتری خواهیم داشت. در ادامه تلاش‌هایی را، که برای دادن کران‌های اطمینان در مورد هزینهٔ هرج‌ومرج در این گونه شبکه‌ها شده‌است، بررسی می‌کنیم.
معمولاً برای تابع سربار یال‌ها، یک خانواده پارامتری formula_134 در نظر می‌گیرند، که توابع سربار یال‌ها از آن انتخاب می‌شوند، سپس برای این خانواده پارامتری خاص، کران هزینهٔ هرج‌ومرج معرفی می‌کنند. کران پیگو برای خانواده formula_134 به صورت زیر تعریف می‌شود:  .formula_136 با اینکه ممکن است عبارت کران پیگو سخت به نظر برسد، اما این در حالی است که برای خانواده‌های خاص از توابع سربار، پیگو باند مقدار قابل محاسبه‌ای خواهد داشت. مثلاً اگر formula_134 خانواده توابع خطی با ضرایب نامنفی باشد، خواهیم داشت: formula_138. این کران حتی زمانی که formula_134 خانواده توابع مقعر باشد هم برقرار است.
همچنین اگر formula_134 خانوادهٔ چند جمله‌ای‌های با ضرایب نامنفی و درجه حداکثر p باشد، آن‌گاه:
formula_141 .
برای اثبات درستی کران پیگو، فرض کنید formula_142 یک تابع هزینه باشد. طبق تعریف ضریب پیگو، برای هر formula_143 خواهیم داشت: .formula_144  اگر قرار دهید formula_145 خواهیم داشت:
formula_146
که نامساوی آخر در بخش بازی‌های پتانسیلی ثابت شد. بنابراین: formula_147. یعنی هزینهٔ اجتماعی تعادل واردراپ، حداکثر به اندازهٔ ضریب پیگو نسبت به هزینهٔ اجتماعی بهینه، افزایش پیدا کرده‌است: formula_148.
یک شبکهٔ خودخواهانه را در نظر بگیرید. به نظر می‌رسد که اضافه کردن یک یال بین دو راس، امکان جابه جایی ترافیک را در مسیرهای مختلف ارتقا دهد. به نحوی منطقی به نظر می‌رسد که با اضافه شدن این یال، سربار جابه جایی ترافیک در شبکه اگر کم نشود، زیاد هم نشود و بنابراین هزینهٔ هرج‌ومرج نیز زیاد نشود. اما این درست نیست. در حقیقت شبکه‌های بسیاری هستند که با اضافه کردن یال‌های به خصوصی در آن‌ها، نه تنها هزینهٔ هرج‌ومرج کاهش نمی‌یابد، بلکه افزایش پیدا می‌کند. این رخ داد به پارادوکس براوس (به انگلیسی: Braess' Paradox) معروف است.  مثلاً شکل مقابل، ۲ مسیر از formula_149 به formula_150 نشان می‌دهد که زمان طی خیابان formula_149 تا formula_152 و همچنین خیابان formula_153 تا formula_150، برابر تعداد رانندگان تقسیم بر ۱۰۰ دقیقه است و زمان طی خیابان formula_152 تا formula_150 و همچنین خیابان formula_149 تا formula_153، مستقل از تعداد رانندگانی که این مسیر را انتخاب می‌کنند، برابر ۴۵ دقیقه است. فرض کنیم ۴۰۰۰ راننده می‌خواهند از formula_149 به formula_150 بروند و در ابتدا، مسیری میان formula_152 و formula_153 وجود ندارد.
اگر یکی از مسیرهای formula_163 یا formula_164 کوتاه‌تر از مسیر دیگر باشد، به صورت خالص، همهٔ رانندگان مسیر کوتاه‌تر را انتخاب می‌کردند. اما در این مثال این دو مسیر هم‌اندازه و در نتیجه تعادل نش ترکیبی دارد. با فرض اینکه formula_152 راننده از مسیر بالا می‌روند، زمانی که طول می‌کشد به مقصد برسند برابر formula_166 دقیقه است و با فرض اینکه formula_153 راننده از مسیر پایین می‌روند، زمان رسیدن آن‌ها به مقصد نیز formula_168 است. با توجه به اینکه ۴۰۰۰ راننده وجود دارد و formula_169، formula_170 باشد، یک تعادل برای این بازی است و زمان رسیدن تمام رانندگان، برابر formula_171 دقیقه خواهد شد. اگر در این بازی، formula_24 را مجموع زمانی که رانندگان در مسیر هستند در نظر بگیریم، می‌بینیم که formula_21 برابر ۱ است، زیرا تعادل نش همان استراتژی پروفایلی است که در آن تابع هزینه کمترین مقدار می‌شود.
حال به هدف افزایش بازدهی، فرض کنیم خیابان formula_174 را ایجاد کنیم که زمان طی آن برابر ۰ دقیقه باشد. در این صورت فرض کنیم در حالت تعادل قبلی که formula_170 بود، راننده‌ای مسیر formula_176 را انتخاب کند. در این صورت زمان رسیدن او به مقصد برابر formula_177 دقیقه خواهد شد که نسبت به ۶۵ دقیقه، ۲۵ دقیقه بهتر است. پس با این وجود، به‌زودی تمام ۴۰۰۰ راننده این مسیر را انتخاب می‌کنند و هرچه رانندگان بیشتری این مسیر را انتخاب کنند، زمان بیشتری طول می‌کشد که به مقصد برسند. وقتی تعداد افرادی که از formula_176 می‌روند به ۲۵۰۰ برسد (۱۵۰۰ نفر هنوز در مسیر formula_164 باقی بمانند)، زمانی که طول می‌کشد هر یک از این ۲۵۰۰ نفر به مقصد برسند برابر formula_180 دقیقه خواهد بود که در تعادل ابتدایی نیز همین مقدار بود. اما برای ۱۵۰۰ نفر موجود در مسیر formula_164، این زمان به formula_182 دقیقه می‌رسد که ۲۰ دقیقه بیشتر از این زمان در تعادل اول است. پس به ناچار این ۱۵۰۰ راننده هم باید مسیر خود را به formula_176 عوض کنند که زودتر برسند. زمانی که تمام راننگان این مسیر را انتخاب کنند، زمان رسیدن هر راننده از formula_149 به formula_150 برابر formula_186 دقیقه خواهد شد و در تعادل خواهد بود (زیرا اگر راننده‌ای مسیر خود را به formula_164 تغییر دهد، زمان رسیدنش به مقصد formula_182 دقیقه خواهد شد که بدتر است، پس مسیر خود را عوض نمی‌کند). در این مثال دیدیم که با اضافه کردن یک خیابان، استراتژی پروفایل تعادل نش عوض شد اما بازدهی مثلاً در حالتی که هیچ راننده‌ای از خیابان formula_174 عبور نکند و نصف-نصف از بالا و پایین عبور کنند بیشتر است. پس formula_21 مقداری بزرگ‌تر از یک می‌گیرد. در نتیببجه در این مثال، اضافه کردن یک خیابان کوتاه به هدف کم کردن ترافیک و افزایش بازدهی، نتیجهٔ عکس می‌دهد.
مثال‌هایی از این پارادوکس براوس در شهرهای مختلف دیده‌شده‌است. مثلاً در شهر سئول در کرهٔ جنوبی، با برداشتن یکی از اتوبان‌ها به عنوان بخشی از پروژهٔ بهبودسازی چئونگ چئون، ترافیک در سراسر شهر روان‌تر و بهتر شد. مثال دیگر شهر اشتوگارت واقع در کشور آلمان است که بعد از سرمایه‌گذاری در شبکهٔ راهی شهر در سال ۱۹۶۹، ترافیک بهبود نیافت؛ اما با بسته شدن بعضی خیابان‌های تازه ساخته‌شده، ترافیک بهبود یافت.
حتی این پارادوکس در استراتژی تیم‌های ورزشی دیده می‌شود. مثلاً در بسکتبال، تیم را می‌توان به عنوان یک شبکهٔ راه برای انداختن توپ در سبد دید که هر استراتژی استفاده شده در تیم، یک بازده متناظر خود دارد. همچنین در این مدل بهترین بازیکن به‌عنوان راه میانبر است که به دلیل استفادهٔ بیش از اندازه از او، باعث کاهش بازدهی تیم می‌شود. راه پیشنهاد شده برای حداکثر بازدهی می‌تواند این باشد که بهترین بازیکن نیز حدوداً اندازهٔ بازیکنان دیگر توپ را شوت کند.
مثال‌های ساده‌ای وجود دارد که در آن‌ها هزینهٔ هرج‌ومرج می‌تواند به شدت زیاد شود. به‌طور کلی پارادوکس براوس به خصوص در شبکه‌های بزرگ می‌تواند خطرناک شود ، و هزینهٔ هرج‌ومرج را به شدت افزایش دهد. بنابراین از دید فنی نمی‌توان برای شبکهٔ دلخواه، کران بالای کلی‌ای در مورد هزینهٔ هرج‌ومرج آن داد. در واقع مثال‌های نقض نسبتاً ساده‌ای در شبکه‌های خودخواهانه با یک سفر می‌توان ساخت، که در آن‌ها هزینهٔ هرج‌ومرج به بی‌نهایت میل کند. راه حل کلی‌ای که برای کران‌دار کردن هزینهٔ هرج‌ومرج وجود دارد، اضافه کردن محدودیت‌های جدید به مساله است. این محدودیت‌ها می‌تواند در دو بعد الگوریتمی، و یا محدود کردن توابع سربار یال‌ها به خانواده‌های مشخص صورت پذیرد. برای نمونه می‌توان شبکه را به گونه‌ای دست کاری کرد، یعنی برخی از یال‌ها را حذف و در صورت امکان، برخی از یال‌ها را اضافه کنیم، به گونه‌ای که هزینهٔ هرج‌ومرج کاهش پیدا کند. امروزه، این راه حل به‌طور ویژه در مورد مدیریت ترافیک شهری مورد استفاده است.
راه حل دیگری که برای کنترل هزینهٔ هرج‌ومرج استفاده می‌شود، این است که بخشی از ترافیک به صورت مرکزی مدیریت شود، سپس عامل‌های خودخواه متعاقباً نسبت به ازدحام موجود در شبکه، مسیر خودخواهانهٔ خود را انتخاب کنند. کاراکوستاس (Karakostas) نشان داد که پیش گرفتن چنین استراتژی‌هایی می‌تواند به طرز چشم‌گیری ضریب هرج‌ومرج را در شبکه کاهش دهد.
قیمت‌گذاری روی یال‌ها، استراتژی دیگری است که در این باب می‌تواند پیش گرفته شود، به نحوی که هزینهٔ یک مسیر، برای هر یک از عوامل تغییر کند، و در نتیجهٔ آن، برخی از آن‌ها مسیر خود را تغییر دهند. اگر قیمت‌گذاری هوشمندانه باشد، این تغییر مسیرها می‌تواند و جهت سود اجتماعی ایجاد شود، که در نتیجهٔ آن هزینهٔ هرج‌ومرج کاهش یابد.
ریچارد کول (Richard Cole)، یوگنی دودیس (Yevgeniy Dodis) و تیم رافگاردن (Tim Roughgarden) در مقاله‌ای کارا بودن روش قیمت‌گذاری را در این راستا نشان دادند.