سامانه لورنتس
سیستم لورنز یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی است که برای اولین بار توسط ادوارد لورنتس و الن فتر مورد بررسی قرار گرفت. برای داشتن راه حل‌های برای مقادیر خاص پارامتر و شرایط اولیه نظریه آشوب قابل توجه است. به شکل خاص، جاذب لورنتس مجموعه‌ای از راه حل‌های بی‌نظم سیستم لورنتس است. بر پایه مقالات منتشره در رسانه‌های مشهور، «اثر پروانه‌ای» از پیامدهای واقعی جاذب لورنتس ناشی می‌شود، یعنی در هر سیستم فیزیکی، در صورت عدم دانش کامل از شرایط اولیه (حتی تغییرات کوچک هوا به دلیل بال زدن پروانه)، عملاً توانایی ما در پیش‌بینی مسیر آینده آن همیشه شکست خواهد خورد. در این سیستم تأکید می‌شود که سیستم‌های فیزیکی می‌توانند کاملاً قطعی باشند و در عین حال حتی در غیاب اثرات کوانتومی نیز ذاتاً قابل پیش‌بینی نباشند. شکل جاذب لورنتس نیز در صورت ترسیم گرافیکی، ممکن است شبیه یک پروانه باشد.
در سال ۱۹۶۳، ادوارد لورنتس، با کمک الن فتر، یک مدل ریاضی ساده برای همرفت جوی ایجاد کرد. این مدل سیستمی از سه معادله دیفرانسیل معمولی تشکیل شده‌است که اکنون به عنوان معادلات لورنتس شناخته می‌شوند:
معادلات لورنتس نیز در مدل‌های ساده شده برای لیزر، مولد الکتریکی، ترموسیفون، موتور جریان مستقیم، مدار الکتریکی، واکنش‌های شیمیایی و اسمز مستقیم کاربرد دارد. این معادلات همچنین از معادلات مطرح در فضای فوریه برای چرخ آب مالکوس هستند. چرخ آب مالکوس حرکت آشفته‌ای را به نمایش می‌گذارد که در آن به جای چرخش در یک جهت با سرعت ثابت، چرخشی با سرعت متناوب، کندی، توقف، تغییر جهت‌ها و نوسان به جلو و عقب یا ترکیبی از چنین رفتاری را به روشی غیرقابل پیش‌بینی دارد.
از نظر فنی، سیستم لورنتس غیرخطی، غیر دوره ای، سه بعدی و قطعی است. معادلات لورنتس موضوع صدها مقاله تحقیقاتی و حداقل یک کتاب بوده‌است.
به شکل پیش‌فرض پارامترها formula_2 ، formula_3 ، و formula_4 مثبت هستند لورنتس از مقادیر formula_5 ، formula_6 و formula_7 استفاده کرد. این سیستم رفتارهای آشفته‌ای را برای این مقادیر (و نزدیک به آن) نشان می‌دهد.
اگر formula_8 پس فقط یک نقطه تعادل وجود دارد که در مبدأ است. این نقطه با عدم همرفت مطابقت دارد. همه معادلات زمانی درست است، که عدد یک جاذب جهانی است formula_8 .
انشعاب چنگال در formula_10 ، و برای formula_11 دو نقطه مهم اضافی در: formula_12 و formula_13 اینها مربوط به همرفت ثابت هستند. این جفت نقطه تعادل فقط در صورت ثبات است
فقط می‌تواند مثبت باشد formula_3 اگر formula_16 . در مقدار بحرانی، هر دو نقطه تعادل ثبات را از طریق انشعاب هاپ زیر بحرانی از دست می‌دهند.
هنگامی formula_17 ، formula_5 ، و formula_6 ، سیستم لورنتس دارای نتایج بی نظم است (اما همه نتایج هرج و مرج نیستند). تقریباً تمام نقاط اولیه به یک مجموعه ثابت تغییر می‌کنند.
تجزیه و تحلیل جاذب لورنتس دشوار است، اما عملکرد معادله دیفرانسیل بر روی جاذب توسط یک مدل هندسی نسبتاً ساده است. اثبات این که واقعاً چنین است چهاردهمین مشکل در لیست مسائل اسمیل است. این مشکل اولین مشکلی بود که توسط وارویک تاکر در سال ۲۰۰۲ حل شد.
برای سایر مقادیر formula_3 ، این سیستم مدارهای دورانی گره خورده را نمایش می‌دهد؛ مثلاً با formula_21 به یک گره توروس "تی"(۳٬۲) تبدیل می‌شود.
% Solve over time interval [0,100] with initial conditions [1,1,1] % "f" is set of differential equations % "a" is array containing x, y, and z variables % "t" is time variable
sigma = 10; beta = 8/3; rho = 28; f = @(t,a) [-sigma*a(1) + sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3) + a(1)*a(2)]; [t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]); % Runge-Kutta 4th/5th order ODE solver plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3)) روش استاندارد: tend = 50; eq = {x'[t] == σ (y[t] - x[t]), init = {x[0] == 10, y[0] == 10, z[0] == 10}; pars = {σ->10, ρ->28, β->8/3}; ParametricPlot3D[{xs[t], ys[t], zs[t]}, {t, 0, tend}] کمتر صریح: lorenz = NonlinearStateSpaceModel[, {x, y, z}, {σ, ρ, β}]; soln[t_] = StateResponse[{lorenz, {10, 10, 10}}, {10, 28, 8/3}, {t, 0, 50}]; ParametricPlot3D[soln[t], {t, 0, 50}] راه حل تعاملی به صورت پویا: eqs = { tmax = 50; sol = ParametricNDSolveValue[eqs, Function[t, {x[t], y[t], z[t]}], {t, 0, tmax}, {σ, ρ, β}]; Manipulate[