انتگرال لبگ
در ریاضیات، انتگرال یک تابع نامنفی تک متغیره را می‌توان در ساده‌ترین حالت، مساحت بین نمودار تابع و محور ایکس‌ها در نظر گرفت. انتگرال لبگ مفهوم انتگرال‌گیری را به دسته بزرگتری از توابع گسترش می‌دهد. همچنین این نوع انتگرال‌گیری دامنه ای که این توابع بر روی آن‌ها انتگرال‌گیری می‌شوند را نیز گسترش می‌دهند.در روش انتگرال گیری ریمان،بازه های انتگرال پذیری به تعدادی متناهی زیر بازه تقسیم می شد در روش لبگ به مجموعه های کلی تری به نام مجموعه های اندازه پذیر تقسیم می شوند.
خیلی قبل تر از قرن بیستم، ریاضیدانان می‌دانستند که برای توابع نا منفی که نمودار آن به اندازه کافی هموار باشد، مثل توابع پیوسته بر روی بازه‌های کراندار بسته، مساحت زیر نمودار را می‌توان با کمک روش‌های تقریب زدن با چند ضلعی‌ها حساب کرد. با این حال همچنان که توجهات بیشتری به سمت توابع نامنظم تر جلب شد (به عنوان مثال توابعی که از فرایند حد گیری در نظریه احتمال آنالیز ریاضی به‌وجود می‌آیند)، بیش از پیش مشخص شد که برای تعریف انتگرال‌گیری از چنین توابعی، نیاز به تکنیک‌های تقریب محتاطانه تری وجود دارد. همچنین ممکن است بخواهیم بر روی فضاهایی کلی تر از خط حقیقی انتگرال‌گیری کنیم. انتگرال لبگ تجریدهای لازم برای این کار مهم را فراهم می‌آورد.
انتگرال لبگ نقش مهمی را در نظریه احتمالات، آنالیز حقیقی، و بسیاری دیگر از زمینه‌های علوم ریاضی بازی می‌کند. این انتگرال به افتخار هنری لبگ (۱۸۷۵–۱۹۴۱) نامگذاری شده که آن را در ۱۹۰۴ معرفی کرد.
اصطلاح "انتگرال‌گیری لبگ" می‌تواند هم به معنی نظریه کلی انتگرال‌گیری توابع با توجه به یک اندازه کلی معرفی شده توسط لبگ باشد، یا در حالت خاص تر همان انتگرال‌گیری توابع روی بخشی از اعداد حقیقی با توجه به اندازه لبگ.
انتگرال یک تابع مثبت مانند formula_1 بین کران های formula_2 و formula_3 را می‌توان به عنوان مساحت زیر نمودار formula_1 تفسیر کرد. فهم این مطلب برای توابع ساده ای چون چند جمله ای‌ها راحت است، اما در مورد توابع نامتعارف تر چطور؟ در کل، برای چه دسته از توابعی «مساحت زیر نمودار» معنا دارد؟ جواب این سؤال اهمیت نظری و عملی بالایی دارد.
ریاضیدانان در قرن نوزدهم میلادی تلاش کردند تا حساب انتگرالی را به عنوان بخشی از حرکت عمومی به سمت دقت و استحکام ریاضیاتی (Rigor) بر روی بنیان های مستحکمی بنا کنند. انتگرال ریمانی که توسط برنهارد ریمان (۱۸۲۶-۱۸۶۶) پیشنهاد شد، یک تلاش موفقیت آمیز گسترده در جهت ارائه چنین بنیانی بود. تعریف ریمان با ساخت دنباله ای از مساحت‌ها شروع می کند که به راحتی قابل محاسبه اند و جمعشان به انتگرال تابع داده شده همگرا می باشد. این تعریف ازین لحاظ موفق است که برای بسیاری از مسائل از قبل حل شده جواب مورد انتظار را ایجاد کرده و نتایج مفیدی را برای بسیاری از مسائل دیگر ارائه می کند.
با این حال، انتگرال ریمانی به خوبی با دنباله توابع برهمکنش ندارد و تحلیل چنین دنباله هایی را دچار مشکل می کند. این نکته به عنوان مثال در مطالعه سری فوریه، تبدیل فوریه و دیگر موضوعات اهمیت دارد. انتگرال لبگ قادر است تا توصیف کند چه زمان و چگونه امکان حد گیری زیر نماد انتگرال گیری ممکن است (این حد گیری از طریق قضایای قدرتمند همگرایی یکنواخت و همگرایی تسلطی انجام می شود).
در حالی که انتگرال ریمانی مساحت زیر نمودار را از طریق مستطیل های عمودی محاسبه می کند، تعریف لبگ ورقه های افقی را در نظر می گیرد که لزوماً مستطیل نیستند و انعطاف بیشتری دارند. به همین دلیل تعریف لبگ امکان محاسبه انتگرال را برای دسته گسترده تری از توابع فراهم می آورد. به عنوان مثال، تابع دیریکله که برای اعداد گنگ ۰ و برای اعداد گویا ۱ است، دارای انتگرال لبگ است اما انتگرال ریمان ندارد. به علاوه، انتگرال لبگ این تابع صفر است که با شهود هم مطابقت دارد، چرا که شهود به ما می گوید هنگامی که عددی از اعداد حقیقی را انتخاب می کنیم احتمال گویا بودنش صفر است.
لبگ رهیافت خود به انتگرال گیری را در نامه ای به پاول مونتل اینگونه بیان می دارد:
دیدگاه مورد نظر او این است که باید بتوان مقادیر تابع را آزادانه بازآرایی کرد، در حالی که مقدار انتگرال هم حفظ شده و تغییری نکند. فرایند بازآرایی قادر به تبدیل یک تابع آسیب‌شناختی (پاتولوژیکال، غیر عادی) به تابعیست که از نقطه نظر انتگرال گیری به میزان کافی "خوب" بوده و ازین رو امکان می دهد که بدین طریق بتوانیم از توابع آسیب‌شناختی بهتر انتگرال گیری کنیم.
برای این که به رهیافت های مختلف انتگرال گیری شهود پیدا کنیم، اجازه دهید تا تصور کنیم که می خواهیم حجم یک کوه (بالاتر از سطح دریا) را بدست آوریم. فولند تفاوت بین رهیافت انتگرال گیری ریمانی و لبگ را اینگونه بیان می دارد: "برای محاسبه انتگرال ریمانی formula_9، دامنه formula_10 به زیر بازه هایی افراز می شود"، در حالی که در انتگرال لبگ، "در عمل برد formula_9 افراز می شود."
برای تعریف انتگرال لبگ، نیازمند به مفهوم صوری اندازه هستیم، که می توان گفت به طور کلی و نادقیق به هر مجموعه formula_8 از اعداد حقیقی، عدد نامنفی formula_13 را که نشان دهنده "اندازه" formula_8 است را نسبت می دهد. این مفهوم "اندازه" باید با مفهوم رایج طول یک بازه یا اجتماع مجزای بازه ها سازگاری داشته باشد. فرض کنید که formula_15 یک تابع حقیقی مقدار نا-منفی باشد. با استفاده از فلسفه‌ی "افراز در برد formula_9"، انتگرال formula_9 باید برابر با جمع formula_18 روی مساحت مقدماتی مشمول در نوار افقی باریک بین formula_19 و formula_20 باشد.
این مساحت مقدماتی همان مقدار زیر است:
فرض کنید:
آنگاه انتگرال لبگ formula_9 به این صورت تعریف خواهد شد:
که در آن انتگرال سمت راست یک انتگرال ریمانی ناسره معمولیست. توجه کنید که formula_25 یک تابع نا-منفی نزولیست و لذا یک انتگرال ریمانی ناسره خوش تعریف دارد که مقدار آن در بازه formula_26 قرار می گیرد. برای دسته مناسبی از توابع (توابع اندازه پذیر)، این منجر به تعریف انتگرال لبگ می شود.
یک تابع اندازه پذیر formula_9 (که لزوماً مثبت نیست) لبگ انتگرال پذیر است اگر مساحت بین نمودار formula_9 و محور formula_29 متناهی باشد:
در این حالت، همانند حالت ریمانی، انتگرال برابر تفاضل بین مساحت بالای محور formula_29 و مساحت زیر محور formula_29 خواهد بود:
که در آن formula_34 تجزیه formula_9 به تفاضل دو تابع نامنفی است که به صورت زیر می باشند:
این قضیه بیان می‌کند، اگر سری صعودی از توابع اندازه‌پذیر موجود باشد، آنگاه انتگرال حد این توابع برابر با حد انتگرال تابعی است که به وسیله‌ی سری صعودی تقریب زده شده است.