مثلث سرعت
مثلث سرعتها مثلثی فرضی در مطالعه و بررسی توربوماشینها در مکانیک سیالات است که اضلاع سازنده آن در هر نقطه از سیال عبوری از توربوماشین، از سه بردار سرعت محیطی چرخ توربوماشین، بردار سرعت نسبی بین ذره سیال و چرخ توربوماشین و بردار سرعت مطلق ذره سیال در نقطه مورد بررسی تشکیل شده‌است. با استفاده از مثلث سرعتها می‌توان معادلات اصلی مکانیک سیالات مانند معادله پیوستگی سیال، معادله مقدار حرکت خطی و لنگر زاویه ای سیال و همینطور قوانین ترمودینامیکی مانند قانون قانون اول و دوم ترمودینامیک را در عبور سیال از چرخ توربوماشین در حین تبادل انرژی و قدرت بین سیال و چرخ بر اساس مؤلفه‌های سرعت سیال و سرعت محیطی چرخ در ورودی و خروجی چرخ توربوماشین، بیان نمود.
المانی از سیال را در لحظه t و در نقطه p به فاصله R از محور دوران و داخل چرخ توربوماشین در نظر بگیرید. سرعت این المان در دستگاه نسبی متصل به چرخ،formula_1و امتداد آن مماس بر خط جریان مربوطه میباشد. در این لحظه، چرخ با سرعت زاویه ای ω دوران نموده و نقطه p از آن دارای سرعت محیطی formula_2 خواهد بود به طوریکه formula_3 . بنابراین سرعت مطلق المان سیال formula_4 ، از جمع بردارهای سرعت محیطی formula_2 و سرعت نسبی formula_1 به دست می آید :
formula_7
سه بردار formula_2 و formula_1 و formula_10 تشکیل مثلثی میدهند که آن را مثلث سرعتها در نقطه p و در لحظه t مینامند. اگر جریان در چرخ دائمی باشد، مثلث سرعتها در نقطه p بستگی به زمان ندارد و ثابت خواهد بود. به‌طور قراردادی، زاویه بین بردارهای formula_2 و formula_10 را با α و زاویه بین formula_1 و جهت مخالف formula_2 را با β نشان میدهند. در رسم مثلث سرعتها سرعت محیطی چرخ توربوماشین، formula_2 ، به عنوان قاعده مثلث انتخاب میشود .
در روابط معمولاً تصاویر سرعتهای مطلق ونسبی در امتداد سرعت محیطی و امتداد عمود بر آن مورد استفاده قرار می‌گیرند. مؤلفه سرعتها در امتداد formula_16 با اندیس u و مؤلفه‌های عمود بر formula_16 در حالت کلی با اندیس m نشان داده می‌شوند:
formula_18
formula_19
formula_20
formula_21
مؤلفه‌های formula_22 و formula_23 که ارتفاع مثلث سرعتهاست، عمود بر سطح جریان بوده و با دبی حجمی جریان سیال عبوری متناسب است. مؤلفه نصف النهاری سرعت، formula_22 ، در توربوماشینهای شعاعی با اندیس r و در توربوماشینهای محوری با اندیس a نشان داده میشود.
معادله پیوستگی برای جریان دائمی سیال به صورت زیر است:
formula_25
با توجه به اینکه زاویه بین بردارهای formula_10 و formula_27 متمم زاویه α است می‌توان نوشت:
formula_28
فرض کنید که مشخصات جریان سیال در هر مقطع از توربوماشین یکنواخت باشد(فرض جریان یک بعدی در توربوماشینها)، در این صورت، با استفاده از سرعتهای متوسط بین دو مقطع ورودی و خروجی توربوماشین (با اندیسهای ١ و ٢) می‌توان نوشت:
formula_29
و یا :
formula_30
که در روابط بالا، formula_31 و formula_32 ارتفاع مثلث سرعت (با قاعده formula_33) در ورودی توربوماشین و formula_34 و formula_35 ارتفاع مثلث سرعت در خروجی ٢ توربوماشین است.
معادله مقدار حرکت خطی برای جریان دائمی سیال به صورت زیر بیان میگردد:
formula_36
با نمایش سطح ورودی به formula_37 و سطح خروجی به formula_38 می‌توان نوشت:
formula_39
در صورت یک بعدی بودن جریان رابطه بالا به صورت زیر نیز ظاهر میشود:
formula_40
در رابطه بالا، بردار formula_41، بردار سرعت مطلق سیال در مثلث سرعتهاست.
معادله مقدار لنگر زاویه ای برای جریان دائمی به صورت زیر بیان میشود:
formula_42
M، گشتاور متبادله بین چرخ و سیال است. با تقسیم انتگرال سطحِ بالا بر روی دوسطح ورودی چرخ توربوماشین (١) و خروجی چرخ توربوماشین (٢)، خواهیم داشت:
formula_43
معادله بالا به معادله اصلی اولر در توربوماشینها شهرت دارد. با استفاده از معادله اولر، و با توجه به اینکه formula_44، قدرت تبادل شده بین چرخ و سیال(formula_45)، به صورت زیر بیان میگردد:
formula_46
با فرض یک بعدی بودن جریان در چرخ توربوماشین و با تعریف انرژی بر واحد جرم سیال عبوری به صورت formula_47 می‌توان نوشت:
formula_48
با توجه به رابطه بالا می‌توان نتیجه گرفت که کل تبادل انرژی بین چرخ توربوماشین و سیال عامل در توربوماشینها ناشی از اختلاف کمیت formula_49 در ورود و خروج از چرخ توربوماشین است. با کمک گرفتن از مثلث سرعتها و استفاده از قانون کسینوس‌ها در مثلث، می‌توان معادله اولر را به شرح زیر ساده سازی کرد:
formula_50