تعادل کامل لغزش دست
تعادل کامل لغزش دست یک پالایشی از تعادل نش است که توسط راینهارد سیلتن ریاضی‌دان و اقتصاد دان برجسته آلمانی مطرح شد. تعادل کامل لغزش دست، تعادلی است که در آن برای کاربر (هرچند با احتمال ناچیز) این امکان را در نظر می‌گیرد که استراتژی‌های ناخواسته انتخاب کند. به عبارتی دیگر این احتمال برای بازکنان موجود است که استراتژی‌های ناخواسته داشته باشد.
در ابتدا به سراغ تعریف مجموعه استراتژی می‌رویم.
مجموعه استراتژی یک بازیکن تعیین می‌کند که برای این بازیکن، بازی کردن کدام استراتژی‌ها ممکن است. اگر برای یک بازیکن تعدادی استراتژی گسسته وجود داشته باشد، مجموعه استراتژی این بازیکن متناهی است. به عنوان نمونه در بازی سنگ، کاغذ، قیچی، هر بازیکن مجموعه استراتژی متناهی {سنگ، کاغذ، قیچی} را دارد. در غیر این صورت یک مجموعه استراتژی نامتناهی است. به عنوان مثال، در یک مزایده که میزان افزایش قیمت طبق یک قانون است، استراتژی‌ها گسسته هستند و مجموعه استراتژی نامتناهی است {۱۰ هزار تومان، ۲۰ هزار تومان، ۳۰ هزار تومان و…}. همچنین، بازی بریدن کیک دارای استراتژی‌های کراندار و پیوسته در مجموعه استراتژی‌ها است {بریدن هر جا بین ۰٪ تا ۱۰۰٪ از کیک}.
یک استراتژی خالص تعریف کاملی از این که یک بازیکن چگونه بازی خواهد کرد ارائه می‌دهد. این استراتژی حرکتی را که یک بازیکن برای هر موقعیتی که با آن روبه‌رو خواهد شد باید انجام دهد، تعریف می‌کند. مجموعه استراتژی یک بازیکن مجموعه‌ای است از استراتژی‌های خاصی که برای آن بازیکن ممکن است. یک استراتژی مختلط انتصاب یک احتمال به هر استراتژی خالص است. این استراتژی به یک بازیکن اجازه می‌دهد به صورت تصادفی یک استراتژی خالص را برگزیند. چون احتمال‌ها پیوسته هستند استراتژی‌های مختلط نامتناهی برای یک بازیکن وجود دارد، حتی اگر مجموعه استراتژی‌های آن متناهی باشد.
البته می‌توان یک استراتژی خالص را نوع خاصی از استراتژی مختلط دانست که در آن یک استراتژی خالص خاص با احتمال ۱ و بقیه استراتژی‌ها با احتمال ۰ انتخاب می‌شوند.
یک استراتژی کاملاً مختلط، استراتژی مختلطی است که در آن بازیکن یک احتمال اکیداً مثبت به هر استراتژی خالص می‌دهد. به عبارتی دقیق تر فرض کنید formula_1یک بازی متناهی است و formula_2یک استراتژی کاملاً مختلط است اگر برای هر formula_3 عدد formula_4.
به صورت بسیار خلاصه و مفهومی می‌توان گفت تعادل نش به حالت پایداری در یک بازی اطلاق می‌گردد که با فرض ثابت بودن راهبرد سایر بازیکنان، یک بازیکن با تغییر بازی خود نتواند به شرایط بهتری دست یابد. با استفاده از مفاهیم نظریه بازی‌ها می‌توان این موضوع را به صورت رسمی بیان و مدل کرد. مجموعه formula_5 را به عنوان بازی با formula_6 بازیکن در نظر بگیرید، که در آن formula_7 مجموعه استراتژی‌ها برای بازیکن formula_8 است، formula_9 مجموعه‌ای از فضای استراتژی آن است و formula_10 تابع بهره‌مندی آن استformula_11 را به عنوان فضای استراتژی همهٔ بازیکنان به جز بازیکنformula_3در نظر بگیرید. هر بازیکن به ازای هر formula_3 عضو مجموعه اعداد صحیح، استراتژی formula_14 را انتخاب کند، پروفایل استراتژی آن به صورت formula_15 و تابع بهره‌مندی آن به صورت formula_16 نتیجه داده می‌شود. قابل ذکر است که تابع بهره‌مندی به نمای استراتژی انتخابی وابسته است. به عنوان مثال، در استراتژی انتخاب شده توسط بازیکن i و همچنین استراتژی‌های انتخاب شده توسط تمام بازیکنان دیگر. نمای استراتژی formula_17 یک تعادل نش formula_18 است اگر هیچ انحراف یک سویی در استراتژی توسط هر بازیکن واحد با یکی دیگر از بازیکنان سودآور نمی‌باشد؛ که به این معنا خواهد بود که:
formula_19
در ابتدا یک بازی مبهم را تعریف می‌کنیم. بازی مبهم دقیقاً گونه ای بازی پایه است با این تفاوت که بازیکن تنها مجاز به استفاده از استراتژی کاملاً مخلوط است. همان‌طور که گفته شد استراتژی کاملاً مخلوط به استراتژی ای گفته می‌شود که هر استراتژی با احتمال ناصفر بازی شود. یک بازیکن گاهی مواقع استراتژی متفاوتی را از استراتژی‌های قابل پیش‌بینی انتخاب می‌کند که این دقیقاً همان مفهوم لغزش دست است. حال یک مجموعه استرتژی formula_20را در یک بازی پایه در نظر بگیرید. این مجموعه استراتژی را به عنوان تعادل کامل لغزش دست در نظر می‌گیریم اگر یک دنباله ای از بازی‌های مبهم که در بالا تعریف کردیم وجود داشته باشد که وابسته به بازی پایه هستند و مجموعه ای از تعادل‌های نش وجود داشته باشند که همگرا به formula_20هستند. به بیانی دقیق تر می‌توان گفت، یک استراتژی پروفایل formula_22را تعادل کامل لغزش دست می‌گوییم اگر دنباله ای از تمام استراتژی پروفایل formula_23همگرا به خود formula_22باشد به طوری که formula_25برای هر عدد formula_26برقرار باشد.
بازی زیر را در نظر بگیرید، در این بازی نفر اول دارای مجموعه استراتژی formula_27و نفر دوم دارای استراتژی‌های formula_28است. جدول زیر بیانگر شرایط بازی خواهد بود. برای راحتی کار فرض کنید استراتژی‌های formula_27همان بالا و پایین هستند و استراتژی formula_28همان چپ و راست هستند.
فرض کنید بازیکن۱ به صورت ترکیبی بازی می‌کند و به احتمال formula_31، formula_32را بازی می‌کند و به احتمال formula_33، formula_34را بازی می‌کند. توجه کنید در اینجا بنابر تعریف لزوماً formula_35. حال با توجه به استراتژی بازیکن دوم سود این بازیکن را حساب خواهیم کرد. برای این منظور حالت بندی می‌کنیم. فرض کنید بازیکن دوم formula_36را بازی کند در این صورت می‌دانیم که امید ریاضی سودش برابر خواهد شد با:
formula_37
حال حالت دیگر را در نظر بگیرید که بازیکن دوم formula_38را بازی کند. در این حالت سود امیدریاضی سود بازیکن دوم برابر خواهد شد با:
formula_39
به‌طور مشخص بازیکن دوم در زمانی که formula_36بازی کند سود بیشتری خواهد داشت و این موضوع به این علت است که:
formula_41
که می‌دانیم درست است. پس برای بازیکن دوم مناسب تر خواهد بود که وزن انتخاب formula_36 را بیشتر از formula_38قرار دهد. به طریق کاملاً مشابه اگر بازیکن اول بداند که وزن formula_36برای بازکن دوم بیشتر از formula_38است پس وزن کمی را برای انتخاب formula_34قرار می‌دهد. در این حالت می‌توان گفت که استراتژی formula_47یک استراتژی لغزش دست است.
همین استدلال را برای بازیکن اول نیز می‌توان تکرار کرد. برای این منظور داریم:
فرض کنید نفر دوم استراتژی ترکیبی را انتخاب کند که در آن به احتمال formula_31، formula_36را بازی می‌کند و به احتمال formula_33، formula_38را بازی می‌کند. پس می‌خواهیم همانند قبل سود نفر اول را با توجه به استراتژی که دارد بدست آوریم. برای این منظور فرض کنید بازیکن اول استراتژی formula_32(بالا) را انتخاب کرده باشد. پس در این حالت امید ریاضی سود بازیکن اول برابر خواهد بود با:
formula_53
و در صورتی که formula_34بازی کند امید ریاضی سودش برابر خواهد بود با:
formula_55
پس با توجه به این نکته که formula_35است پس انتخاب formula_32مناسب تر خواهد بود. پس به این علت که بازیکن اول علاقه دارد وزن formula_32را بیشتر کند و وزن formula_34 را کمتر به راحتی می‌توان دید که formula_60یک تعادل کامل لغزش دست نیست.
در این بخش می‌خواهیم با کمک یک بازی مبهم تعریف رسمی از تعادل کامل لغزش دست ارائه کنیم:
بازی مبهم یک گونه ای از بازی پایه است، به طوری که در آن هر بازیکن باید تمام استراتژی‌های ناخالص را با احتمال مثبت بازی کند. به عبارتی دیگر می‌توان گفت به یک بازی پایه ای مبهم می‌گوییم اگر تمام استراتژی‌های بازی شده توسط بازیکن‌ها به صورت مخلوط بوده و در هر استراتژی مخلوط بازی شده تمام استراتژی‌های خالص با احتمال ناصفر بازی شده باشند. اگر بخواهیم این بیانمان را با استفاده از ریاضی دقیق تر کنیم می‌توان نوشت که در این بازی‌ها اگر برای بازیکن دلخواه formula_32، بدانیم مجموعه استراتژی‌های خالص formula_62است و همچنین در استراتژی مخلوط formula_20که این بازیکن بازی کرده بدانیم که، formula_64به احتمال formula_65بازی شده‌است، آنگاه داریم formula_66.
در ابتدا می‌دانیم که یک بازی استراتژیک به شکل زیر خواهد بود:
formula_67
که در آن داریم که formula_68همچنین formula_69بیانگر مجموعه بازیکنان است و formula_70نشان دهنده مجموعه ای از استراتژی‌های ترکیبی مبتنی بر توزیع احتمالی استراتژی‌های خالص formula_71 است. formula_72نیز بیانگر اشتباهات احتمالی نفر formula_73است. برای هر بازیکن formula_68در نظر بگیرید که formula_75استراتژی خالص که formula_76بیانگر مجموعه ای از احتمال‌های بازی شده‌است داریم که formula_77و همچنین:
formula_78
پس در مورد مقدار استراتژی‌های مخلوط در بازی‌های مبهم داریم که:
که در آن می‌دانیم: formula_80. این بدان معناست که بازیکن formula_73ام هر یک از استراتژی‌های خالص خود را حداقل باید با احتمال formula_82بازی کند تا در بازی مبهم داشته باشیم:
که در آن می‌دانیم formula_68است، یک تعادل نش بازی مبهم formula_85 است و formula_86یک تعادل در بازی اصلی است. در این صورت می‌توان گفت تعریف رسمی مفهوم تعادل بازی لغزش دست به شکل زیر بیان می‌شود:
در ابتدا، بازی ای را در نظر بگیرید که جدول بازده آن به شکل روبرو باشد. در حالت بازی‌های معمول به وضوح مشخص است که در دو شرایط عادی (چپ، بالا) و (راست، پایین) تعادل نش هستند. حال به بررسی شرایط مسئله می‌پردازیم. اگر حتی احتمال ناچیزی مانند formula_22باشد که بازیکن دوم چپ بازی کند در این حالت بهترین پاسخ بازیکن اول برابر با بالا خواهد بود. حال در حالتی که بازی مبهم باشد بازیکن اول باید با احتمالی ناصفر پایین را نیز بازی کند! در این حالت باید کمترین میزان احتمال ممکن را در باید در نظر گرفت، پس می‌نویسیم که formula_89به طریق مشابه می‌توان تعریف کرد که formula_90. از طرفی دیگر با توجه به تعاریف بیان شدهformula_91یک تعادل خواهد بود. پس با توجه به استدلال‌های بالا می‌توان گفت:
formula_92
که این بدان معناست که اگر احتمال خطا را به صفر برسانیم آنگاه تعادل بازی مبهم به سمت یک تعادل بازی اصلی خواهد رفت. به این تعادل، تعادل کامل لغزش دست می‌گوییم. پس formula_91یک تعادل کامل لغزش دست است.
برای بازی‌های دو نفره می‌توان دید که مجموعه تعادل کامل لغزش دست با مجموعه تعادل‌هایی که تشکیل شده از دو استراتژی غیر مغلوب هستند، متمایز هستند. همان‌طور که در بالا دیدیم استراتژی formula_60یک تعادل کامل لغزش دست نیست اما مشخصا هیچ استراتژی دیگری نمی‌تواند آن را مغلوب کند.
هر تعادل کامل لغزش دست خود نیز یک تعادل نش است!
برای اثبات این قضیه فرض کنید formula_22یک تعادل لغزش دست است. formula_2حال در نظر بگرید formula_97. با توجه به تعریف خواهیم داشت formula_98برای تمام مقادیر formula_26. حال به راحتی می‌توان حکم را نشان داد. باید توجه کرد که این موضوع به این معناست که formula_100پس formula_101بهنرین پاسخ به formula_102 است. به عبارتی دیگر formula_103که حکم را نتیجه می‌دهد.
این قضیه بیان می‌کند که هر بازی متناهی حداقل یک استراتژی لغزش دست دارد. برای اثبات آن داریم:
فرض کنید formula_104تمام استراتژی‌های میکس (مخلوط) باشد. دنباله همگرا به صفر formula_105را در نظر بگیرید. تعریف می‌کنیم formula_106برای هر formula_107. formula_108را طوری در نظر می‌گیریم که مشتق شده از formula_109در زمانی که formula_110به جای formula_111قرار گرفته‌است. می‌دانیم که طبق قضیه تعادل نش برای این بازی (به عبارتی بهتر برای هر بازیformula_108) یک تعادل نش مانند formula_23وجود دارد. از آنجایی که می‌دانیم formula_114پیوسته‌است پس زیر دنباله همگرا از formula_23وجود دارد. بدون کم شدن از کلیت مسئله فرض می‌کنیم زیر دنباله، همان خود دنباله است و formula_22حدش است. در ادامه می‌خواهیم اثبات کنیم که برای formula_117، داریم : formula_118برای هر formula_119و هر formula_120.
برای هر formula_121 به طوری که formula_122می‌دانیم عدد طبیعی formula_123وجود دارد به طوری که formula_124برای هر formula_125. حال فرض کنید formula_117بیشترین مقدار در بین formula_123ها برای کل formula_121ها است. پس برای هر formula_121به طوری که formula_122 می‌دانیم که formula_131برای تمام formula_120ها برقرار است. پس حکم مسئله یا به عبارتی قضیه بالا اثبات شده‌است.