تابع هیون
تابع هیون، از توابع خاص در علم ریاضیات با نماد (Hℓ(a,q;α,β،γ,δ;z، تابعی هولومورفیک و پاسخ یک معادله دیفرانسیل معمولی خطیِ مرتبه دو با ضرایب غیرثابت به نام معادله هیون است که به افتخار ریاضیدان آلمانی، کارل هیون به این اسم نامیده می‌شود. معادله هیون، کلی‌ترین حالت معادله فوکسین خطی مرتبه دو، با داشتن چهار نقطه منفرد منظم است. حل این معادله تحت عنوان تابع هیون، از طریق تکنیک حل معادلات دیفرانسیل با کمک سری‌های توانی، بر پایه تئوری فوکس-فروبنیوس امکانپذیر است. گونه‌هایی از معادلات هیون، تحت عنوان معادلات کانفلوئنت هیون، با داشتن یک یا چند نقطه منفرد نامنظم وجود دارند که دارای ویژگی‌های ریاضی متعددی، من‌جمله ارتباطی تنگاتنگ با برخی از معادلات دیفرانسیلِ مولدِ پاره‌ای از توابع خاص هستند. در کل، معادله هیون، حالتی عمومی از معادلات دیفرانسیلی نظیر معادلات گاوس هایپرژئومتریک، کانفلوئنت هایپرژئومتریک، لامه، اینس، بسل، لِژندر و لگِر است که به همین علت تابع هیون روابط اثبات شده گوناگونی با بعضی از این توابع مانند توابع لامه و توابع هایپرژئومتریک پیدا کرده‌است. همچنین تابع هیون به صورت بسطی از توابعی مانند توابع هایپرژئومتریک و توابع ریمان پی قابل نمایش است. دسته‌ای خاص از پاسخهای معادله هیون مشهور به توابع هیون موجودند که در نقطه واحد دستگاه مختصات، تحلیلی هستند، همچنین دسته‌ای دیگر از پاسخهای این معادله تحت نام چندجمله‌ای‌های هیون در تمام نقاط منفرد منظم متناهی معادله هیون، دارای رفتاری تحلیلی‌اند. توابع و چندجمله ای‌های هیون، خواص متعددی دارند که می‌توان به وجود تعامد در آن‌ها اشاره کرد. معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای متعددی در علوم فیزیک و مهندسی، پس از اعمال روش جداسازی متغیرها منجر به بروز تابع هیون می‌شوند. تابع هیون، در دینامیک سیالات، فرایند تبدیل کریستالها، مکانیک کوانتوم، مطالعه بر سیاهچاله ها، و بسیاری از علوم دیگر کاربرد دارد. امروزه، نرم‌افزارهای ریاضی گوناگونی قادر به محاسبه تابع عمومی هیون و چندجمله ای‌ها و توابع هیون با دقت و سرعت بالایی هستند.  حالت کلی معادله هیون را می‌توان به صورت زیر نمایش داد.
formula_1 formula_2
معادله هیون را می‌توان یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی و از دسته معادلات فوکسین مرتبه دو با داشتن چهار نقطه تکینگی در نقاط formula_3 برشمرد. لازم به ذکر است که نقاطِ منفردِ منظمِ formula_3، به ترتیب جفت اکسپاننت هایی(پاسخهای معادله مشخصه) به شرح formula_5 و formula_6 و formula_7 و formula_8 دارند .  در معادله هیون، formula_9 ثابت تکینگی، formula_10 ٬ formula_11 ٬ formula_12 ٬ formula_13 و formula_14 ثابتهای اکسپاننت و q ثابتی کمکی است. هر هفت پارامتر مؤثر در معادله هیون،formula_15، مستقل نیستند و با هم ارتباطی جبری دارند. بدین منظور، حالتی کلی از یک معادله فوکسین مرتبه دو را با 1+N نقطه تکینگی در formula_16 و formula_17، به صورت زیر در نظر بگیرید.
formula_18
در این حالت، جفت پاسخهای معادله مشخصه متناظر با نقاط متناهیِ formula_19 برابر با formula_20 و جفت پاسخ معادله مشخصه متناظر با formula_17 برابر با formula_22 خواهد بود. مجموع جفت پاسخهای معادله مشخصه، باید در رابطه formula_23 صدق کنند. بنابراین، ثابت‌های formula_10 ٬ formula_11 ٬ formula_12 ٬ formula_13 و formula_14 می‌باید شرط formula_29 را برقرار سازند. با این توصیف، در معادله هیون، شش ثابت مستقل وجود دارد. از این رابطه در برخی از منابع تحت عنوان رابطه فوکس یا شرط فوکسین نام برده شده‌است. با انتخاب formula_30 حالت نرمال معادله هیون به صورت زیر نوشته می‌شود.
formula_31
در معادله بالا formula_32 می‌باشند. پارامترهای formula_33 از روابط زیر قابل محاسبه هستند.
با تغییر متغیر formula_34 می‌توان به حالتی مثلثاتی از معادله هیون دست پیدا کرد.
formula_35 با جایگذاری formula_36 و formula_37 معادله هیون بر اساس توابع ژاکوبی بیضوی به صورت زیر قابل نمایش است.
formula_38
پاسخ معادله هیون، با نماد formula_39 بر پایه یک سری توانی بر اساس تئوری فوکس-فروبنیوس، حول نقطه formula_40 با احتساب مقدار formula_41 در این نقطه و اکسپاننت formula_42 قابل نوشتن است. در صورتی که مقدار اکسپاننت دیگر٬formula_43٬ عدد صحیح مثبتی نباشد یا به عبارتی دیگر formula_44، پاسخ معادله هیون بر ناحیه formula_45 موجود و تحلیلی و به صورت سری توانی زیر است.
formula_46
ضرایب این سری توانی از رابطه‌ای بازگشتی با احتساب formula_47٬ formula_48٬ formula_49 و به شرح زیر به دست می آیند.
formula_50
formula_51
formula_52
در صورتی که مقدار اکسپاننت دوم،formula_43٬ مقدار صحیح مثبتی باشد، یا formula_54، پاسخ معادله هیون به صورت زیر است.
formula_55
پاسخ حول نقطه formula_56 با احتساب اکسپاننت formula_42 برابر با مقدار زیر است.
formula_58
همینطور پاسخ حول نقطه formula_56 با احتساب اکسپاننت formula_60 به صورت زیر نشان داده می‌شود.
formula_61
پاسخهای مربوطه معادله هیون، حول نقطه formula_62 با احتساب اکسپاننت‌های formula_42 و formula_64 به ترتیب به صورتهای زیر قابل محاسبه هستند.
formula_65
formula_66
همچنین در formula_67 با در نظر گرفتن اکسپاننت‌های formula_68 و formula_69 می‌توان به ترتیب جواب‌های معادله هیون را به مانند زیر نمایش داد.
formula_70
formula_71
به ازای دسته مقادیری از ثابت کمکی q، تابع هیون یا formula_72 در نقطه formula_56 و در نتیجه بر بازه formula_74 تحلیلی می‌شود. این مقادیر formula_75٬ formula_76 با استفاده از کسرهایی نامتناهی به صورت formula_77 و با جایگذاری formula_78٬ formula_48٬ formula_49 به دست می آیند. برای تأکید بر تفاوت این گروه از پاسخهای معادله هیون از نماد formula_81 استفاده می‌شود.
در حالتی عمومی تر به ازای هر formula_82 می‌توان دسته‌ای از مقادیر formula_75 پیدا کرد که تابع هیون، در نقاط formula_84 و formula_85 تحلیلی باشد. شیوه محاسبه formula_75 بستگی به مقادیر formula_84 و formula_85 دارد. به این گروه از تابع‌های هیون که در دو نقطه از چهار نقطه تکین در معادله دیفرانسیل هیون پاسخی تحلیلی دارند، "توابع هیون" می‌گویند که با نماد formula_89 نمایش داده می‌شوند.
چندجمله‌ای های هیون، چندجمله‌ای‌هایی از درجه n هستند که بر سه نقطه متناهی تکین معادله هیون formula_90، تحلیلی اند و با نماد formula_91
نتیجه معادله مذکور بر حسب توابع بسل، به صورت زیر قابل محاسبه است.
formula_92
در رابطه بالا formula_93٬formula_94٬formula_95 ترکیبهایی خطی از توابع بسل نوع اول و دوم و formula_96 و formula_97 ثابتهای جداسازی هستند، به‌طور مثال:
formula_98
با تغییر متغیرهایی بر اساس دستگاه مختصات کروی، می‌توان به صورتی دیگر از معادله کرنل رسید.
formula_99
formula_100
formula_101
formula_102
حل معادله بالا، بر اساس توابع ریمان پی به صورت زیر است.
formula_103
پارامترهای معادله بالا، از دسته روابط زیر به دست می آیند.
formula_104
formula_105
formula_106
formula_107
formula_108
formula_109
formula_110
ثابتهای formula_96 و formula_97 ثابتهای روش جداسازی متغیرها در حل معادله دیفرانسیل هستند.
فرض کنید formula_113 جواب معادله هیون باشد و بتوان آن را به صورت بسطی از توابع ریمان پی نشان داد.
formula_114
formula_115
formula_116
در این صورت می‌توان formula_19 را از روابط زیر به دست آورد.
formula_118
formula_119
به‌طوری‌که:
formula_120
formula_121
formula_122
در سه رابطه بالا، formula_123 و formula_124 میباید در عبارت formula_125 صدق کنند که بر این اساس، می‌توان به مقادیر گوناگونی از این دو پارامتر و در نتیجه بسطهای مختلفی بر اساس توابع هایپرژئومتریک رسید. مثلاً اگر:
formula_126
formula_127
شرط formula_125 برقرار می‌شود و می‌توان به بسطی بر اساس توابع هایپرژئومتریک دست یافت که در آن:
formula_129
در زیر مقادیری از formula_123 و formula_124 که در شرط formula_125 صادق هستند قرار داده شده‌اند.
formula_133 و formula_134
formula_135 و formula_136
formula_137 و formula_138
formula_139 و formula_140
formula_141 و formula_142
صورت کانفلوئنت معادله هیون به نوعی از معادلات هیون گفته می‌شود که حداقل یکی از نقاط منفرد منظم این معادله، تبدیل به یک نقطه منفرد نامنظم گردیده باشد. چهار حالت استندارد برای کانفلوئنت معادله هیون وجود دارد.
این معادله به شکل زیر نمایش داده می‌شود و حاوی دو نقطه منفرد نامنظم از درجه یک در formula_143 است.
formula_144
معادله بای کانفلوئنت هیون شامل نقطه منفرد منظم در formula_40 و نقطه منفرد نامنظم از درجه دو در formula_67 است.
\frac