تابع لجستیک
یک تابع لُجستیک یا منحنی لُجستیک، یک منحنی معمول Sشکل (منحنی سیگموئید) با معادله زیر است:
که در آن
برای مقادیر x در دامنه اعداد حقیقی، از formula_6 تا formula_7، منحنی S نشان‌داده شده در چپ به دست می‌آید، که در آن گراف formula_8 موقعی که formula_3 به formula_7 نزدیک می‌شود، به formula_4 نزدیک می‌شود، و موقعی که formula_3 به formula_6 نزدیک می‌شود، به صفر نزدیک می‌شود.
تابع لُجستیک کاربردهایی در زمینه‌های مختلف دارد که شامل زیست‌شناسی (مخصوصا بوم‌شناسی)، زیست‌شناسی ریاضیاتی، شیمی، جمعیت‌شناسی، علم اقتصاد، علوم زمین، روان‌شناسی ریاضی، احتمالات، جامعه‌شناسی، علوم سیاسی، زبان‌شناسی، آمار، و شبکه‌های عصبی مصنوعی است. ، نوعی تعمیم برای تابع لُجستیک است.
تابع لُجستیک استاندارد همان تابع لُجستیک با پارامترهای formula_14، formula_15، formula_16، که منجر به زیر می‌شود: در عمل به دلیل طبیعت تابع نمایی formula_18، معمولاً فقط کافی است تا تابع لُجستیک استاندارد را برای formula_3 روی محدوده کوچکی از اعداد حقیقی، مثل محدوده موجود در [−۶, +۶] محاسبه کنیم، زیرا این تابع بسیار سریع به مقادیر نزدیک به اشباع یعنی ۰ و ۱ همگرا می‌شود.
تابع لُجستیک این ویژگی متقارن را دارد:
بنابراین formula_21 یک تابع فرد است.
تابع لُجستیک یک آفست و تابع تانژانت هذلولوی مقیاس‌دهی شده‌است: یا این موضوع از زیر به دست آمده‌است:
مشتق تابع لُجستیک استاندارد به سادگی محاسبه می‌شود. به این مشتق «» می‌گویند:
به صورت برعکس، پاد مشتق را می‌توان با formula_27 محاسبه کرد، زیرا formula_28، از این رو (با حذف )
در شبکه‌های عصبی مصنوعی، به آن، تابع سافت‌پلاس می‌گویند و (با مقیاس‌دهی) یک تقریب صاف از تابع شیب است، همان‌طور که تابع لُجستیک (با مقیاس‌دهی) یک تقریب صاف از تابع پله‌ای هویساید است.
تابع لُجستیک استاندارد راه‌حل معادله دیفرانسیل معمولی غیرخطی مرتبه-اول ساده زیر:
با شرط حدی formula_31 است. این معادله نسخه پیوسته است. توجه کنید که تابع لُجستیک وارون همان راه‌حل برای یک معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه-اول ساده است.
رفتار کیفی این تابع به صورت ساده به صورت خط فازی قابل فهم است: موقعی که تابع ۱ است، مشتق ۰ است، موقعی که تابع formula_8 بین ۰ و ۱ است، مشتق مثبت است، و موقعی که formula_8 بالای ۱ یا پایین ۰ است، مشتق منفی است (اگرچه جمعیت منفی معمولاً با یک مدل فیزیکی متناظر نیست). این موضوع منجر به یک تعادل غیرپایدار در نقطه ۰ و تعادل پایدار در نقطه ۱ می‌شود، و از این رو برای هر مقدار تابع بزرگتر از ۰ و کمتر از ۱، به سمت ۱ رشد می‌کند.
معادله لُجستیک نوع خاصی از است، و راه‌حل زیر را دارد:
با انتخاب ثابت انتگرال‌گیری formula_35 یک تعریف مشهور دیگر برای منحنی لُجستیک به دست می‌آید:
به صورت کمی‌تر، همان‌طور که از راه‌حل تحلیلی قابل مشاهده است، منحنی لُجستیک یک رشد نمایی ابتدایی برای آرگومان منفی نشان می‌دهد، که به یک رشد خطی با شیب ۱/۴ برای آرگومان نزدیک به ۰ می‌رسد، و سپس با یک شکاف تنزلی نمایی به ۱ نزدیک می‌شود.
تابع لُجستیک وارون تابع لوجیت طبیعی است، و از این رو از آن می‌توان استفاده کرد تا «لگاریتم بخت» را به «احتمال» تبدیل نمود. در نمادگذاری ریاضیاتی، تابع لُجستیک را گاهی به صورت "expit" می‌نویسند، که این موضوع، شکلی مشابه "logit" دارد. تبدیل از نسبت لاگ-درست‌نمایی دو جایگزین نیز شکل منحنی لُجستیک را به خود می‌گیرد.
معادله دیفرانسیل به دست آمده در بالا نوع خاصی از معادله دیفرانسیل عمومی است که فقط تابع سیگمویید را برای formula_37 مدل‌سازی می‌کند. در بسیاری از کاربردهای مدل‌سازی، شکل عمومی‌تر: ممکن است پسندیده‌تر باشد. حل آن همان سیگموید منتقل شده و مقیاس‌دهی شده formula_39 است.
رابطه تانژانت-هایپربولیک منجر به شکل دیگری از مشتق تابع لُجستیک می‌شود:
که این موضوع تابع لُجستیک را به «» پیوند می‌دهد.
جمع تابع لُجستیک و معکوس آن حول محول عمودی، یعنی formula_41 به این صورت است:
از این رو تابع لُجستیک حول نقطه (۰, ۱/۲) به صورت چرخشی متقارن است.
آقای لینک یک گسترش برای نظریه آقای والد برای تحلیل ترتیبی برای تجمع فاقدتوزیع برای متغیرهای تصادفی، تا موقعی که به یک حد منفی یا مثبت اول برابر شود یا بالاتر شود، ساخت. لینک احتمال اولین حد مثبت برابر یا بیشتر را به صورت formula_43 به دست آورد که همان تابع لُجستیک است. این اولین اثباتی بود که تابع لُجستیک می‌توانست به عنوان مبنای یک فرایند تصادفی داشته باشد. لینک مثال‌هایی از یک سده از نتایج تجربی «لُجستیک»، و رابطه تازه به دست آمده بین این احتمال و زمان جذب در حدود را ایجاد کرد.
توابع لُجستیک در چندین نقش در آمار استفاده شده‌است. برای مثال آن‌ها تابع توزیع تجمعی برای هستند، و از آن‌ها به صورت ساده در مدل‌سازی شانس یک بازیکن شطرنج که باید حریف خود را در سامانه نرخ‌دهی الو شکست دهد، استفاده می‌شوند. مثال‌های خصوصی‌تر در ادامه می‌آید.
از توابع لُجستیک در رگرسیون لجستیک استفاده می‌شود تا این موضوع که چقدر احتمال formula_44 از یک رخداد ممکن است از یک یا بیشتر متغیر توضیح‌دهنده تأثیر بپذیرد را مدل‌سازی کنند، یک مثال آن برای مدل زیر است:
که در آن formula_3 متغیر توضیح‌دهنده است، formula_47 و formula_48 پارامتر مدل برای متناسب شدن هستند، و formula_8 همان تابع لُجستیک استاندارد است.
به صورت معمول از رگرسیون لجستیک و دیگر در یادگیری ماشین استفاده می‌شود. یک تعمیم از تابع لجستیک به چندین ورودی، تابع فعال‌سازی سافت‌مکس است، که در از آن استفاده می‌شود.
کاربرد دیگر تابع لجستیک در مدل رش است، که در از آن استفاده می‌شود. بخصوص، مدل رش یک مبنا برای تخمین احتمال حداکثری برای محل اشیا یا افراد در یک ، بر اساس گردآوردی از داده طبقه‌ای می‌سازد، برای مثال توانایی افراد در یک پوستار مبتنی بر پاسخ‌ها قرار دارد، که به صورت درست یا نادرست طبقه‌بندی شده‌اند.
معمولاً از توابع لُجستیک در شبکه‌های عصبی برای معرفی غیرخطی‌بودن در مدل یا برای گیرانداختن سیگنال‌ها به داخل یک محدوده معین استفاده می‌شود. یک یک ترکیب خطی از سیگنال‌های ورودی‌اش را محاسبه می‌کند، و تابع لُجستیک محدود به عنوان به جواب اعمال می‌شود؛ این مدل را می‌توان به عنوان نوع «صاف‌شده» عصب آستانه کلاسیک دانست.
یک گزینه معمول برای توابع فعال‌سازی یا «کوبیدن یا له‌کردن» که از آن برای اتصال به مقادیر بزرگ و برای محدود نگهداشتن پاسخ شبکه عصبی استفاده می‌شود، به صورت زیر است:
که یک تابع لجستیک است.
این موضوع منجر به پیاده‌سازی‌های ساده شبکه‌های عصبی مصنوعی با می‌شود. متخصصان احتیاط می‌کنند که توابع سیگموییدی که حول مبدأ پادمتقارن هستند (مثل تانژانت هذلولوی) موقعی که شبکه را با پس‌انتشار آموزش می‌دهیم منجر به همگرایی سریع‌تر می‌شوند.
تابع لُجستیک خودش مشتق تابع فعال‌سازی پیشنهادی دیگری، به نام سافت‌پلاس است.
در زبان‌شناسی، از تابع لُجستیک برای مدل‌سازی دگرگونی زبانی استفاده می‌شود: یک نوآوری که در محدوده اول است، با گسترش سریع‌تری در زمان شروع می‌شود، و سپس با قبول‌شدن جهانی آن، گسترش آن آهسته‌تر می‌شود.