توالی k منظم
در ریاضیات و علوم نظری رایانه یک توالی Kمنظم یک دنباله نامحدود از اصطلاحات مشخص شده توسط ماشین حالات متناهی است. این توالی‌ها یک تعمیم از توالی‌های kاتوماتیک با حروف الفبایی با اندازه بی‌نهایت هستند.
اولین تحقیقات در این زمینه توسط برستل و روتنا در زمینه سری‌های منطقی انجام شدکه بسیار مربوط به توالی‌های k-منظم است. سپس توالی‌های k-اتوماتیک تعریف شدند. به یک توالی k-اتوماتیک گفته می‌شود، اگر جمله nام این دنباله توسط یک ماشین حالت متناهی با ورودی n در پایه k تولید شود. Allouche و Shallit اولین بار توالی k-regular را به عنوان یک تعمیم طبیعی از توالی‌های k-اتوماتیک تعریف می‌کنند. با مطالعه مقادیری که دری یک توالی k-منظم به دست می‌آید و مجموعه‌های مختلف توالی‌های k-منظم می‌توان مجموعه‌هایی با ویژگی‌های خاص را مشخص کرد که هر توالی k-regular که مقادیر آن در این مجموعه قرار می‌گیرد، لزوماً k اتوماتیک نیز هست. به‌طور خاص، می‌توان نشان داد که یک توالی منظم نامحدود باید بی‌نهایت مقادیر ترکیبی داشته باشد.
می‌گوییم{S(n)}|n>0}} توالی(R,k)-منظم است، اگر تعداد محدودی از توالی‌های (S(1)، S(2)، S(j وجود داشته باشد، که با مقادیر R، هر دنباله در k-هسته (S(n یک ترکیب R-خطی از (S(i است. k-توالی‌های منظم تعاریف ریاضی و غیر ریاضی مخنلفی دارند، که همه این تعاریف معادل یکدیگر هستند. این تعاریف بر مبنای خصوصیات مختلفی است که توالی‌های k-منظم دارند. بعضی از خصوصیات رایج این توالی‌ها به شرح زیر است: در هر یک از موارد زیر،'R را یک حلقه نوتری جابجایی پذیر و R را یک حلقه (ریاضی) حاوی'R فرض خواهیم کرد.
فرض کنید: "k" ≥ ۲. هسته k توالی (S(n مجموعه ای از زیرتوالی‌هایی است که: formula_1
به توالی (s(n، توالی R',k)-regular) (اغلب به اختصار "k-regular")گفته می‌شود اگر ("K" ("s" یک زیرماژول از یک 'R-ماژول متناهی تولید شده باشد.
توالی ("s"("n" یک توالی k-منظم است اگر عدد صحیحی مانند E وجود داشته باشد، که به ازای جمیع مقادیر "e"> "E" and 0 ≤ "r" ≤ "k" − ۱, بتوان هر زیرتوالی از s به فرم ("s"("k""n" + "r" را به عنوان یک ترکیب خطی از 'R به شکل formula_2, نوشت جایی که "c" یک عدد صحیح است و "f" ≤ "E", و ۰ ≤ "b" ≤ "k".
به صورت جایگزین، توالی ("s"("n" یک توالی k-منظم است اگر عدد "r" و زیرتوالی‌های ("s"("n"), … , "s"("n" وجود داشته باشند به طوری که برای هر ۱ ≤ "r" ≥ "i" و ۰ ≤ "k" − ۱ ≥ a", هر توالی ("s"("kn" + "a" در هسته k مربوط به ("K"("s" یک ترکیب خطی 'R از زیرتوالی‌ها ("s"("n" است.
فرض کنید"x", … , "x" مجموعه ای از k متغیر غیرقابل جایگزینی باشند و فرض کنید τ یک متغیر مپ باشد که تعدادی عدد طبیعی مانند n را به رشته "x" … "x", ارسال می‌کند و پیوند می‌دهد. به صورتی که نمایش پایه k برای رشتهٔ x به صورت "a"..."a". خواهد بود. سپس توالی ("s"("n" یک توالی k-منظم است اگر و تنها اگر سری توانی صوری formula_3 با منطق اعداد صحیح سازگار باشد.
تعریف سری توانی یک توالی k-regular منجر به کشف خصوصیات یک ماشین آتوماتا مشابه با ماشین ماتریس شوتزنبرگر خواهد شد.
دنبالهٔ ثو-مورس ((t(n) در حقیقت نقطه ثابت مورفیسم ۰۱ → ۰، ۰۱ → ۱ است. ثابت شده است که توالی ی ثو-مورس به ۲-خودکار است؛ بنابراین، این توالی ۲-منظم نیز هست و ۲-هسته آن یعنی:  formula_4 شامل زیرتوالی‌های formula_5 و formula_6 خواهد شد.
فرض کنید ("h"("n") = ν("n" + 1 یک ارزش گذاری ۲-ادیک از "n" + 1 باشد. توالی رولر (("h"("n") یک توالی ۲-منظم است و ۲-هسته ان یعنی: در فضای برداری دوبعدی ساخته شده توسط ("h"("n" و توالی ثابت formula_8 قرار می‌گیرد. این عناصر پایه ای منجر به رسیدن به روابط بازگشتی زیر خواهد شد. که در کنار شرایط اولیه "h"(0) = 0 and "h"(۱) = ۱، توالی را به صورت یکتا می‌یابند.
توالی مجموعه کانتور یا اعداد کانتور (("c"("n") از اعدادی تشکیل شده است که بسط ترنری آن‌ها شامل عدد یک نمی‌شود. بسیار ساده است که نشان دهیم: و بنابراین توالی اعداد کانتور ۲-منظم است.
یک کاربرد جالب از مفهوم k-منظم درحین مطالعه گسترده‌تر مبحث الگوریتم هادر تجزیه و تحلیل مرتب‌سازی ادغامی بافت شده است. باداشتن لیستی از n مقدار مختلف تعداد مقایسه‌هایی که توسط الگوریتم مرتب‌سازی ادغامی انجام می‌شود از روابط بازگشتی زیر به دست می‌آید. در نتیجه توالی تعریف شده توسط روابط بازگشتی برای مرتب‌سازی ادغامی، یعنی (T"("n" یک توالی ۲-منظم را تشکیل می‌دهد.
تعداد بیشتری مثال در دیگر کتاب‌ها موجود است که نام برخی از این کتاب‌ها در قسمت منابع آورده شده‌است.
توالی‌های k-منظم تعدادی ویژگی جالب دارند. فهرستی کوتاه از این ویژگی‌ها در زیر ارائه شده‌است.
در استقلال چندوجهی، جایی که "k", "l" ≥ ۲، اگر یک توالی هم k-منظم و هم l-منظم باشد، توالی از شرایط بازگشت خطی برخوردار خواهد شد. این مبحث یک تعمیم به نتایج گرفته شده توسط Cobahm مربوط به توالی‌هایی است که هم k-اتوماتیک و هم l-اتومانیک هستند.