بازی آخرین پیشنهاد
بازی آخرین پیشنهاد یک مثال از بازی‌های دونفرهٔ نوبتی است که در نظریه بازی‌ها بررسی می‌شود. در این بازی به نفر اول میزانی پول داده می‌شود، او پیشنهاد می‌دهد این پول را چگونه بین خودش و نفر دوم تقسیم کنید. نفر دوم تصمیم می‌گیرد که این تقسیم‌بندی را قبول دارد یا نه. اگر قبول کند پول بینشان به نسبتی که نفر اول پیشنهاد داده تقسیم می‌شود. در غیر این صورت به هر دو هیچ پولی نمی‌رسد.
از اینجا به نفر اول «پیشنهاد دهنده» و به نفر دوم «بررسی کننده» می‌گوییم. فرم نوبتی بازی به این صورت تعریف می‌شود: در بازی نوبتی، اگر فرض کنیم کم‌ترین مقدار مثبتی مانند formula_4 وجود دارد که پول موجود کمتر از آن تقسیم نمی‌شود، بازی یک تعادل کامل زیربازی خواهد داشت. اگر پیشنهاد دهنده formula_5 را به عنوان پارامتر تقسیم انتخاب کند، نفر دوم بین مقدار مثبت formula_4 در حالت پذیرفتن و formula_7 در حالت رد کردن formula_4 را ترجیح می‌دهد، همان‌طور که در مثل فارسی داریم: «کاچی به از هیچی». با فرض گرفتن این رفتار بررسی کننده، پیشنهاد دهنده برای بیشینه کردن سود خودش پارامتر تقسیم را برابر formula_4 قرار می‌دهد. این شیوهٔ بازی کردن تعادل کامل زیربازی در این بازی است.
اگر بازی را هم‌زمان در نظر بگیریم، به این صورت که پیشنهاد دهنده پارامتر formula_3 را انتخاب می‌کند و بررسی‌کننده پارامتر formula_11 را انتخاب می‌کند و تنها در صورتی پیشنهاد را می‌پذیرد که formula_12 باشد. در این صورت هر وضعیت استراتژی که در آن formula_13 باشد یک تعادل است. همین‌طور اگر formula_14 باشد در هیچ حالتی به پیشنهاد دهنده پولی نمی‌رسد پس تمام انتخاب‌های formula_3 برای پیشنهاد دهنده یک نقطهٔ تعادل است.
هر چند اگر بازیکنان تماماً منطقی و با هدف بیشینه کردن سود خود بازی کنند، پیشنهاد دهنده باید بیشترین مقداری که می‌تواند را ذخیره کند و تنها مقدار مثبت کمی پول برای بررسی‌کننده در نظر بگیرد. اما اگر این بازی را در واقعیت انجام دهیم این رفتار را نمی‌بینیم. در واقع هم پیشنهاد دهنده تقسیم عادلانه‌تری پیشنهاد می‌کند و هم بررسی‌کننده بعضی پیشنهادهایی که مقدار مثبت ولی کمی برایش در نظر گرفته شده را نمی‌پذیرد. بررسی‌کننده با این کار به ناعادلانه بودن تقسیم اعتراض می‌کند.
اگر این آزمایش را در کشورهای مختلف انجام دهیم بسته به فرهنگ جامعه، نتایج مختلفی مشاهده می‌کنیم. به‌طور مثال در یک آزمایش مشاهده شده‌است بیشتر بازیکنان پیشنهاد دهنده بین ۴۰ تا ۵۰ درصد پول را به نفر دوم پیشنهاد می‌دهند و حدود نیمی از بازیکنان بررسی‌کننده پیشنهادهای کمتر از ۳۰ درصدی را رد می‌کنند.
این مشاهدات نشان می‌دهد که انسان‌ها با مفهومی به نام عدالت آشنایی دارند. احتمال درک عدالت در سایر حیوانات نیز وجود دارد. در تحقیقی که روی میمون‌ها انجام شد به تعدادی از آن‌ها آموخته شد که می‌توانند سنگریزه را با خیار معاوضه کنند. در این حالت اگر میمونی متوجه شود که هم نوعش با پرداخت سنگریزه میوه بهتری مثلاً انگور بدست می‌آورد، اعتصاب می‌کند و سنگریزه‌اش را با خیار معاوضه نمی‌کند هر چند که داشتن خیار از داشتن سنگریزه برایش سود بیشتری دارد.
تأکید غیرمنطقی انسان‌ها بر تقسیم منصفانه نشان می‌دهد که ترجیح انسان‌ها صرفاً به میزان سود شخصی‌شان وابسته نیست و برای تنبیه پیشنهاد دهندگانی که میزان کمی پول به آن‌ها می‌دهند، پیشنهاد را رد می‌کنند. یکی از توجیهات این رفتار می‌تواند این باشد که انسان‌ها احتمال می‌دهند که دوباره با هم برخورد کنند.
توجیه دیگر می‌تواند مربوط به مدل کردن سود هر کس باشد. برای مثال فرض کنید در بازی تقسیم ۱۰۰ دلار، میزان نارضایتی نفر دوم در صورتی که x دلار بگیرد که این میزان کمتر از ۵۰ دلار است، formula_16 باشد. در این صورت سود او از دریافت x دلار اگر formula_17 باشد برابر با formula_4 و در غیر این صورت برابر با formula_19 است. در این حالت منطقی است که نفر دوم پیشنهادهای بالای ۴۰ دلار را بپذیرد، زیر ۴۰ دلار را رد کند و پذیرفتن یا رد کردن ۴۰ دلار برایش تفاوتی نداشته باشد.
این بازی را در نظر بگیرید. فروشنده قصد دارد روی محصولش قیمت‌گذاری کند. فرض می‌کنیم ساخت محصول هزینه‌ای برای فروشنده نداشته باشد. یعنی اگر محصول را با قیمت formula_3 بفروشد formula_3 واحد سود می‌کند. از طرف دیگر خریدار برای محصول ارزشی برابر formula_22 در نظر دارد و تنها در صورتی محصول را می‌خرد که قیمت آن از formula_22 کمتر باشد که سود کند. formula_24 در صورتی که این بازی، بازی با اطلاعات کامل باشد، فروشنده می‌تواند با قرار دادن قیمت کمی کمتر از ارزش محصول، بیشترین سود را بکند. این بازی نوعی از بازی پیشنهاد آخر است که در بازار دیده می‌شود.
برای مدل کردن بازی فرض کنید مجموع آنچه قرار است تقسیم شود برابر با ۱ واحد است و هر بازیکن به احتمال یکسان در یکی از دو جایگاه پیشنهاد دهنده و یا بررسی‌کننده قرار می‌گیرد. استراتژی هر کس را برابر formula_25 قرار می‌دهیم که هر دو اعدادی در بازه [۰٬۱] هستند. formula_3 برابر با میزانی است که اگر بازیکن در جایگاه پیشنهاد دهنده قرار گیرد پیشنهاد می‌دهد و اگر در جایگاه بررسی‌کننده قرار گیرد هر میزان پیشنهاد کمتر از formula_11 را رد می‌کند.
حال اگر این مدل را ساده‌تر کنیم به بازی کوچک یا minigame می‌رسیم. در این حالت تنها دو پیشنهاد formula_28 و formula_29 (کم و زیاد) وجود دارد به طوری که formula_30. پس هر بازیکن تنها ۴ استراتژی formula_31، formula_32، formula_33و formula_34 دارد که به ترتیب با formula_35... formula_36 نمایش می‌دهیم. formula_35 استراتژی منطقی پیشنهاد میزان کمی پول و قبول هر میزانی پول می‌باشد که در حقیقت تنها تعادل کامل زیربازی می‌باشد. formula_38 مقدار زیادی پیشنهاد می‌دهد ولی با مقدار کم نیز موافقت می‌کند. formula_39 استراتژی عادلانه ایست که میزان زیادی پیشنهاد می‌کند و با میزان زیادی هم موافقت می‌نماید و formula_36 میزان کمی پیشنهاد می‌دهد و با میزان بالایی پول موافقت می‌کند.
در بررسی این بازی از دید نظریه تکاملی بازی‌ها، اگر در ابتدا با جمعیتی روبه‌رو باشیم که شامل افراد با ۴ استراتژی گفته شده‌است، در نهایت پس از مدتی که این جمعیت بازی را بین خود انجام می‌دهند تنها گونه‌ای که بقا پیدا می‌کند formula_35 است. در واقع در نهایت تمامی افراد جامعه formula_35 خواهند بود.