مزایده اولین قیمت با پیشنهاد مهروموم شده
مزایدهٔ اوّلین-قیمت با پیشنهاد مهروموم شده نوعی مزایده است که به نام مزایدهٔ کورکورانه نیز معروف است. هر پیشنهاددهنده‌ای در این نوع مزایده هر پیشنهاددهنده مبلغی را به مزایده‌گذار پیشنهاد می‌کند که از باقی پیشنهاددهنده‌ها پنهان است. کسی که بالاترین قیمت را پیشنهاد کرده برنده می‌شود و قیمت پیشنهادی‌اش را پرداخت می‌کند.برای تحلیل استراتژیک بازی می‌توان این‌طور در نظر گرفت که هر بازیکن formula_1برای کالای تحت مزایده ارزش formula_2را قائل است. منفعت این بازیکن در صورتی که کالا را برنده شود formula_3است که formula_4ارزش واقعی کالا است. قیمتی که هر پیشنهاددهنده پیشنهاد می‌دهد، استراتژی او است.
فرض کنید مریم یک بازیکن است و برای کالا ارزش formula_5را قائل است و در صورتی که مریم بر اساس عقلانیت بازی کند: خواستهٔ مریم پیشنهاد کمترین میزان ممکن برای برنده شدن است، تا جایی که این میزان از formula_5کم‌تر باشد.
این بازی هیچ استراتژی اکیداً غالبی ندارد. بهترین استراتژی یک بازیکن بستگی به تصور او از پیشنهاد بازیکنان دیگر دارد.بازیکنان نه تنها از مقداری که بقیه پیشنهاد خواهند داد مطلع نیستند، بلکه از ارزش کالا برای آن‌ها نیز بی‌اطلاع اند. در این حالت بازی جاری یک بازی بیزی است؛ بازی‌ای که در آن بازیکنان از تابع منفعت بازیکنان دیگر بی‌اطلاع اند، ولی باورهایی دارند که بر پایهٔ توزیع‌های احتمال است.
برای این که پیدا کردن تعادل نش بیزی ساده و ممکن شود، در نظر می‌گیریم که ارزش‌گذاری پیشنهاددهنده‌ها متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان اند؛ یعنی یک توزیع مقدم وجود دارد که ارزش‌گذاری پیشنهاددهنده‌ها همه از آن آمده.
مکانیسم سازگار با انگیزه مکانیزمی است که در آن هر شخص حاضر کافی است مطابق رجحان حقیقی خودش بازی کند تا بهترین خروجی را دریافت کند.
از آن جایی که هیچ تعادل نش بیزی‌ای وجود ندارد که در آن پیشنهاددهنده‌ها ارزش واقعی کالا برای خود را بگویند، مزایدهٔ اوّلین-قیمت با پیشنهاد مهروموم شده حتی دربرداشت ضعیف از سازگار با انگیزه بیزی-نشهم سازگار با انگیزه نیست.
با این حال در صورتی که توابع توزیع مقدم بر ارزش‌گذاری‌ها را دانش عمومی تعیین کند، می‌توان نوعی از مزایدهٔ اوّلین-قیمت با پیشنهاد مهروموم شده داشت که سازگار با انگیزه-نش-بیزی است. قوانین این بازی به این صورت اند: این نوع از مزایده حالت تعادل بازیکنان را شبیه‌سازی می‌کند؛ به همین دلیل هر بازیکن در تعادل نش-بیزی ارزش واقعی را پیشنهاد می‌کند.
در این بازی سود (یا زیان) افرادی که بالاترین پیشنهاد را نداده‌اند formula_10است و برای کسی که بالاترین پیشنهاد را داده است برابر با میزان ارزش افزوده‌ای است که به دست آورده‌است. یعنی اگر ارزش جنس برای او برابر با formula_2 و پیشنهاد او برابر با formula_12باشد سود (زیان) او برابر با formula_13است.
فرض کنیم مجموعهٔ افراد برابر با formula_14باشد. اگر هر فرد مقدار پیشنهادی خود را برابر با ارزش خود قرار دهد، سود او در هر حالت formula_10می‌شود. اما با بررسی احتمالاتی معلوم می‌شود سود هر قیمت پیشنهادی از تابع زیر محاسبه می‌شود:
formula_16
حال فرض کنیم استراتژی افراد تابعی از ارزش آن‌هاست یعنی پیشنهاد آن‌ها توسط قیمت تعیین می‌شود و این تابع صعودی و مشتق‌پذیر است. (فرض صعودی بودن بسیار طبیعی است زیرا اگر ارزش افزایش پیدا کند فرد پیشنهاد خود را پایین نمی‌آورد). همچنین این تابع مشترک میان افراد است. نام این تابع را formula_17 می‌گذاریم. در این صورت تابع بالا برابر با تابع زیر است:
formula_18
حال فرض کنیم ارزش جنس برای هر فرد از توزیع احتمالاتی formula_19با تابع توزیع تجمعی formula_20باشد. پس مقادیر بالا برابر با:
formula_21
پس هر فرد سعی می‌کند تابع بالا را ماکسیمم کند. یعنی مشتقات پاره‌ای به نسبت formula_12 باید ۰ باشد.
formula_23
چون b صعودی و معکوس پذیر است و فرض کردیم که ارزش، پیشنهاد را تعیین می‌کند پس formula_24:
formula_25
پس باید معادلهٔ دیفرانسیل زیر را حل کنیم.
formula_26
حال با انتگرال گیری از طرفین و استفاده از انتگرال جز به جز داریم (توجه شود در فرمول پایین formula_27 دیگر متغیر نیست و ثابت است):
formula_28
مزایدهٔ هلندی، که در آن شخص مزایده‌گذار از قیمتی شروع می‌کند و آن را به مرور کم می‌کند تا شخصی حاضر شود با آن قیمت کالا را خریداری کند، از نظر رویهٔ اجرا با این مزایده متفاوت است، ولی از نظر استراتژی با یکدیگر یکسانند. در هر دو مزایده پیشنهاددهنده‌ها از پیشنهاد بقیه نامطلع اند و کالا به کسی که بیشترین قیمت را پیشنهاد دهد می‌رسد.
در این مزایده هر پیشنهادکننده می‌تواند فقط یک پیشنهاد کند و نمی‌تواند آن را تغییر دهد. از این نظر این مزایده با مزایدهٔ انگلیسی متفاوت است.
مزایدهٔ دیگری که شباهت زیادی از نظر رویهٔ اجرا به این مزایده دارد، مزایدهٔ دومین-قیمت یا مزایدهٔ ویکری است. در مزایدهٔ ویکری برنده کسی است که بیشترین قیمت را پیشنهاد کند، ولی قیمت پرداخت‌شده برابر است با دومین قیمت پیشنهادی. بنا بر این در این مزایده استراتژی اکیداً غالب وجود دارد و آن پیشنهاد کردن ارزش واقعی کالا است؛ بنابراین این مزایده یک طرز کار صادقانه است.
برخی مشخصه‌های این دو مزایده در جدول زیر با هم قیاس شده‌اند:
__بافهرست__