زیرفضای خطی
یک زیرفضای خطی در ریاضیات و بخصوص در جبر خطی، که به آن زیرفضای برداری هم گفته می‌شود، یک فضای برداری است که زیرمجموعه‌ای از یک فضای برداری بزرگتر است. وقتیکه زمینه برای تمایز آن از دیگر انواع زیرفضا کافی باشد، معمولاً به یک زیرفضای خطی به سادگی "زیرفضا" گفته می‌شود.
اگر "V" یک فضای برداری روی یک میدان "K" باشد و اگر "W" یک زیرمجموعه از "V" باشد، آنوقت "W" در صورتی یک زیرفضای خطی از "V" است اگر تحت عملیات "V"، زیرمجموعه "W" یک فضای برداری روی "K" باشد. به صورت هم‌ارز، یک زیرمجموعه غیرتهی "W" موقعی یک زیرفضای "V" است که اگر عنصر "W" باشند و عنصر "K" باشند، این منجر به آن شود که در "W" باشد.
به عنوان یک نتیجه، همه فضاهای برداری مجهز به حداقل دو (احتمالا متفاوت) زیرفضای خطی است: شامل فقط و خود کل فضای برداری. به این‌ها زیرفضاهای بدیهی فضای برداری گفته می‌شود.
فرض کنید که میدان "K" برابر مجموعه R از اعداد حقیقی باشد، و فرض کنید که فضای برداری "V" یک R باشد.
"اثبات:"
دوباره فرض کنید R یک میدان باشد، اما اکنون فرض کنید که فضای برداری "V" برابر صفحه دکارتی R باشد. فرض کنید که "W" برابر مجموعه نقاط ("x", "y") از R باشد به اینصورت که "x" = "y" باشد. آنوقت "W" یک زیرفضای R است.
"اثبات:"
در کل، هر زیرمجموعه از فضای مختصات حقیقی R که توسط یک سامانه معادلات خطی همگن تعریف شده‌است منجر به یک زیرفضا خواهد شد. (معادلهٔ مثال I برابر "z" = ۰ بود و معادله در مثال II برابر "x" = "y" بود) به صورت هندسی، این زیرفضاها برابر نقاط، خطوط، صفحات و فضاهایی هستند که از نقطه ۰ رد می‌شوند.
دوباره فرض کنید که میدان برابر R باشد، اما اکنون فرض کنید فضای برداری "V" برابر مجموعه R از همه توابع از R به R باشد. فرض کنید C(R) یک زیرمجموعه شامل توابع پیوسته باشد. آنوقت C(R) یک زیرفضای R خواهد بود.
"اثبات:"
میدان و فضای برداری را مثل قبل در نظر بگیرید، اما اکنون مجموعه Diff(R) از همه توابع دیفرانسیل‌پذیر را در نظر بگیرید. یک گونه استدلال مشابه قبل نشان می‌دهد که این هم یک زیرفضا است.
در آنالیز تابعی مثال‌هایی که این موضوع را تعمیم می‌دهد، مکرر است.
از تعریف فضاهای برداری، به این نتیجه می‌رسیم که زیرفضاها غیرتهی هستند، و تحت جمع و ضرب نرده‌ای بسته اند. به صورت هم‌ارز، زیرفضاها را می‌توان توسط خاصیت بسته‌بودن تحت ترکیب‌های خطی معین نمود؛ یعنی، یک مجموعه غیرتهی "W" اگر و تنها اگر یک زیرفضا است که هر ترکیب خطی از تعداد متناهی عنصر "W" هم به "W" متعلق باشد. تعریف هم‌ارز بیان می‌کند که معادل آن است که ترکیب‌های خطی از دو عنصر را در یک لحظه درنظر بگیریم.
در یک فضای برداری توپولوژیکی "X"، نیازی نیست که یک زیرفضای "W" به صورت توپولوژیکی بسته باشد، بلکه یک زیرفضای متناهی-بعد همیشه بسته‌است. موضوع مشابهی برای زیرفضاهای متناهی درست است. (یعنی زیرفضاهایی که توسط تعداد متناهی پیوسته تعیین شده‌اند).
توصیف‌های زیرفضاها شامل مجموعه راه‌حل برای یک سامانه معادلات خطی همگن است، زیرمجموعه فضای اقلیدسی که توسط یک سامانه از معادلات پارامتری خطی همگن توصیف می‌شود؛ پوشش از یک گردآوردی از بردارها، و فضای تهی، و از یک ماتریس. از نظر هندسی (مخصوصا تحت میدان اعداد حقیقی و زیرمیدان‌هایش)، یک زیرفضا یک در یک "n"-فضا است که از مبدأ عبور می‌کند.
یک توصیف طبیعی از یک ۱-فضا برابر از یک بردار غیر-صفر v به همه مقادیر نرده‌ای ممکن است. ۱-زیرفضاهایی که توسط دو بردار تعیین می‌شود در صورتی برابرند که اگر و تنها اگر یک بردار از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد: این ایده توسط پوشش خطی به ابعاد بالاتر تعمیم می‌یابد، اما ملاک تساوی "k"-فضاها که توسط مجموعه‌های "k" بردار تعیین می‌شود خیلی ساده نیست.
توصیف دوگان توسط ارائه می‌شود (که معمولاً به صورت معادلات خطی پیاده‌سازی می‌شود). یک تابعی خطی غیر-صفر F زیرفضای هسته خود F = ۰ را از کوبعد ۱ تعیین می‌کند. زیرفضاهای کوبعد ۱ که توسط دو تابعی خطی تعیین شده‌اند، برابرند، اگر و تنها اگر یک تابعی از دیگری توسط ضرب نرده‌ای قابل دستیابی باشد (در ): این به کوبعدهای بالاتر توسط یک سامانه معادلات تعمیم می‌یابد.