ন্যূনতম পৃষ্ঠ
গণিতে, ন্যূনতম পৃষ্ঠ হলো একটি পৃষ্ঠ যে স্থানীয়ভাবে তার এলাকা নূন্যতম করে দেয়। এটি শূন্য গড় বক্রতার সমতুল্য (সংজ্ঞা নিচে দেখুন)।
"ন্যূনতম পৃষ্ঠ" শব্দটি ব্যবহার করা হয় কারণ এই পৃষ্ঠতল মূলত সেই পৃষ্ঠকে উত্থাপিত করে যা মোট পৃষ্ঠ এলাকা নূন্যতম করে। এলাকার গঠন- হ্রাসমান ন্যুনতম পৃষ্ঠ তৈরি করা যেতে পারে, সাবান জলে একটি তারের ফ্রেম ডুবিয়ে, তৈরি হয় সাবান ফিল্ম, যা নূন্যতম পৃষ্ঠ যার সীমানা তারের ফ্রেম। তবে শব্দটি আরও সাধারণ পৃষ্ঠতলের জন্য ব্যবহৃত হয় যা স্ব-ছেদ বা সীমাবদ্ধ নাও থাকতে পারে। একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার জন্য বিভিন্ন নূন্যতম পৃষ্ঠ থাকতে পারে যাদের আলাদা আলাদা অঞ্চল (উদাহরণস্বরূপ: ন্যূনতম পৃষ্ঠের পুনরাবৃত্তি): প্রমান সংজ্ঞা কেবল স্থানীয় সর্বোত্তম এর সাথে সম্পর্কিত, বিশ্বব্যাপী সর্বোত্তম এর সাথে নয় ।
নূন্যতম পৃষ্ঠ R এর বিভিন্ন সমতুল্য ভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়: তথ্যটি জ তারা সমতুল্য ভাবে স্পষ্ট করে কিভাবে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব গণিতের বিভিন্ন নিয়মের মধ্যে লুকিয়ে আছে, বিশেষত ডিফারেন্সিয়াল জিওমেট্রি, পরিবর্তনশীল সমাকলন, সম্ভাব্য তত্ত্ব, জটিলতা বিশ্লেষণ, গাণিতিক পদার্থবিদ্যা।
বিঃদ্রঃ এই বৈশিষ্ট্য আঞ্চলিক: সেখানে আরও পৃষ্ঠতল থাকতে পারে যেগুলো নূন্যতম এলাকা অনুরূপ বিশ্বব্যাপী পরিধির সাথে।
এই সংজ্ঞা টি দ্বিমাত্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠের উদাহরণ স্বরূপ যেমন জিওডেসিক্স।
ইয়ং―ল্যাপলাস সমীকরণ অনুসারে সাবান জল পর্দার বক্রতা দুই পাশের চাপের পার্থক্যের সমানুপাতিক: যদি এটা শূন্য হয়, পর্দার গড় বক্রতা শূন্য। চিহ্নিত যে, এই সংজ্ঞা অনুসারে গোলাকার বুদবুদ গুলি নূন্যতম পৃষ্ঠ নয়। যখন মোট এলাকা নূন্যতম করে অভ্যন্তরীণ আয়তন এর উপর বাধা সৃষ্টি করে, যাদের একটি ধনাত্মক চাপ থাকে।
এই সংজ্ঞা টির সরাসরি ইঙ্গিত হলো যে পৃষ্ঠের উপর সকল বিন্দু হলো জিন বিন্দু, সমান এবং বিপরীত মুখ্য বক্রতার সাথে।
১৭৬২ সালে এই সংজ্ঞার মধ্যে আংশিক অবকলন সমীকরণ খুঁজে পান ল্যাগরাঞ্জ এবং ১৭৭৬ সালে জেন ব্যাপ্টিস্ট মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে এটা অদৃশ্য গড় বক্রতাকে ইঙ্গিত করে।
এই সংজ্ঞাটি ন্যূনতম পৃষ্ঠকে হার্মনিক অপেক্ষক এবং সম্বাভ্য তত্ত্ব এর সাথে মিলিত করে।
এই সংজ্ঞাটির একটি সরাসরি ইঙ্গিত এবং সুরেলা অপেক্ষকের সর্বচ্চ নীতি হলো যে R এর মধ্যে কোনো সম্পুর্ন নিবিড় নূন্যতম পৃষ্ঠ নেই।
এই সংজ্ঞা অনুসারে গড় বক্রতা হলো গঠন কার্যের গমনপথের অর্ধেক, যা গাউস মাপের অমৌলিকের সাথে যুক্ত। যদি অভিক্ষিপ্ত গাউস মানচিত্র কসি―রিম্যান সমীকরণ মেনে চলে তাহলে গমনপথ অদৃশ্য হবে অথবা "M" এর প্রত্যেক বিন্দু নাভিসংক্রান্ত হবে, যে ক্ষেত্রে এটি গোলকের অংশ।
আঞ্চলিক নূন্যতম এলাকা এবং পরিবর্তন সংক্রান্ত সংজ্ঞাগুলি R এর চেয়ে অনান্য রিমান মানিফল্ড নূন্যতম পৃষ্ঠকে অনুমতি দেয়।
নুন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব ল্যাগরাঞ্জ এর দ্বারা শুরু হয়েছিল, যিনি ১৭৬২ সালে একটি প্রদত্ত বদ্ধ কনট্যুর জুড়ে বিস্তৃত অন্ততপক্ষে এলাকার "z" = "z"("x", "y") পৃষ্ঠের সন্ধানের বৈচিত্রগত সমস্যাটি বিবেচনা করেন। সমাধানটির জন্য তিনি ইউলার―ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণ এর উদ্ভাবন করেছিলেন
তিনি প্লেনের বাইরে কোন সমাধান খুঁজে পেতে সফল হননি। ১৭৭৬ সালে জিন ব্যাপটিস্ট মেরী মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে হেলিকইড এবং ক্যাটেনইড এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে, এবং অবকলন সমীকরণটি পৃষ্ঠের গড় বক্রতার দ্বিগুন, শেষ হয় শূন্য গড় বক্রতা পৃষ্ঠগুলি হলো হ্রাসমান এলাকা।
ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণকে বিস্তৃত করে
১৭৯৫ সালে গস্পর্ড মঞ্জ এবং লেজেন্দ্রে সমাধান পৃষ্ঠের বিবরণ সূত্র উদ্ভুত করেছিলেন। ১৮৩০ সালে যখন হেইনরিচ চা‌‌‌র্ক সফলভাবে এইগুলিকে ব্যাবহার করেন তার পৃষ্ঠ উদ্ভাবনের জন্য, পকৃতপক্ষে এইগুলিকে অব্যবহারযোগ্য হিসাবে গন্য কইরা হতো। ১৮৪২/৪৩ সালে ক্যাটালান প্রমান করেন যে শুধুমাত্র হেলিকইড হলো সরলরেখাঁকিত ক্ষুদ্র পৃষ্ঠ। 
অগ্রগতি সেই শতাব্দীর মাঝ পর্যন্ত সুন্দরভাবে বিলম্বিত ছিল, যখন জটিল পদ্ধতিতে ব্যরলিং সমস্যা সমাধান করা হয়েছিল। নূন্যতম পৃষ্ঠের "প্রথম স্বর্ণযুগ" সূত্রপাত হয়। ১৮৬৫ সালে সচবর্জ নিয়মিত চতুর্ভুজের জন্য প্লাটিউ সমস্যার সমাধান খুঁজে পান এবং ১৮৬৭ সালে সাধারণ চতুর্ভুজের জন্য (তার পর্যায়কালীন পৃষ্ঠ পরিবার নির্মাণের অনুমতি দেয়) জটিল পদ্ধতি ব্যবহার করে। বেইএরস্ত্রাস এবং এননেপের আরও কিছু দরকারি বিবরণ সূত্রের উন্নীত করেছিলেন, নূন্যতম পৃষ্ঠের সাথে দৃঢভাবে জটিলতা বিশ্লেষণ এবং হার্মোনিক অপেক্ষক। আরও গুরুত্বপূর্ণ অবদানগুলি এসেছিল বেল্টরামি, বননেট, দারবৌক্স, লিয়ে, রেইমান, সেরেট এবং উইনগার্টেন এর কাছে থেকে।
১৯২৫ এবং ১৯৫০ সালের মাঝখানে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব পুনরায় সক্রিয় হয়, এখন প্রধান উদ্দেশ্য ছিল ননপ্যারামেট্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠ। জেএসসি ডাগ্লাস এবং টিবর রাডো এর দ্বারা প্লাটিউ সমস্যার সম্পুর্ন সমাধান ছিল প্রধান ধারাবাহিকতার ধাপ। নির্দিষ্ট মোট বক্রতার সম্পূর্ণ নূন্যতম পৃষ্ঠের উপর বের্নস্টাইন সমস্যা এবং রবার্ট অস্সেরমান এর কার্য ছিলো গুরুত্বপূর্ণ।
আবার পুনরাবির্ভাব হয় ১৯৮০ সালে। এক কারণ হলো সিলসো কোস্টা দ্বারা ১৯৮২ সালে আবিষ্কৃত একটি আবিষ্কার যা এই ধারণাটি প্রত্যাখ্যান করে যে বিমান, ক্যাটেনইড এবং হেলিকোইডটি একেবারে সম্পূর্ণ সংমিশ্রিত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের R এর সীমিত টপোলজিক্যাল প্রকার। পুরানো পারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি নতুন কাজ অনুপ্রাণিত না শুধুমাত্র, কিন্তু "গ্রামীণ সমস্যা" সমাধান করার জন্য গবেষিত পৃষ্ঠাসমূহ এবং সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলির দৃশ্যমান করার জন্য কম্পিউটার গ্রাফিক্সের গুরুত্ব প্রদর্শন করা হয়েছে (যখন পৃষ্ঠ প্যাচ নির্ধারণে যৌথ পৃষ্ঠের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় যা একটি বৃহত্তর সমান্ত্রীয় পৃষ্ঠে একত্রিত হতে পারে, একটি এমবেডেড পৃষ্ঠ উৎপাদন কিছু নির্দিষ্ট পরামিতি সংখ্যাগতভাবে মিলিত হতে হবে)। আরেকটি কারণ হল, এইচ. কার্চারের যাচাইকরণ ছিল যে ১৯৭০ সালে অ্যালান সচেন দ্বারা পরীক্ষামূলকভাবে নিখুঁত পর্যায়ক্রমিক সংক্ষিপ্ত পরিমাপের বর্ণনা করা হয়। এই পৃষ্ঠ পরিবারগুলির একটি ধনী মেনাগেরিয়ে এবং পুরানো থেকে নতুন পৃষ্ঠ আহরণ পদ্ধতি নেতৃত্ব হয়েছে, উদাহরণস্বরূপ হ্যান্ডেল যুক্ত করে বা তাদের বিকৃত করে।
বর্তমানে ক্ষুদ্রতম উপরিভাগের তত্ত্ব অন্যান্য পরিবর্ধনশীল জ্যামিত্যগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সামানিফ্লডগুলিতে বৈচিত্রপূর্ণ, গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে সম্পর্কিত (যেমন ইতিবাচক ভর ধারণা, পেনরোজ অনুমান), এবং তিন-একাধিক জ্যামিতি (উদাহরণস্বরূপ স্মিথ অনুমান, পঁচানো কল্পনা, থার্স্টন জিওমেট্রিজেশন কনজেকচার।
ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের প্রাচীন উদাহরণগুলি হল:
ঊনবিংশ শতাব্দীর সোনার যুগের পৃষ্ঠতলগুলি:
আধুনিক পৃষ্ঠতলের অন্তর্ভুক্ত:
R এর তুলনায় অন্য ম্যানিফোল্ডগুলিতে ন্যুনতম পৃষ্ঠতলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যেমন হাইপারবোলিক স্পেস, হাই-ডাইমেনশনাল স্পেস বা রিমেম্যানিয়ান মানিফল্ডস।
ন্যূনতম পৃষ্ঠের সংজ্ঞাটিকে সাধারণকরণ/বর্ধিত করা যেতে পারে ধ্রুবক-গড়-ঘনত্বের উপর: পৃষ্ঠতল একটি ধ্রুবক গড় বক্রতার সঙ্গে, যা শূন্যের সমান প্রয়োজন নেই।
বিচ্ছিন্ন অবকলন জ্যামিতির মধ্যে অসংগত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের অধ্যয়ন করা হয়: ত্রিভুজগুলির সরলীকৃত কমপ্লেক্স যা তাদের আয়তক্ষেত্রের অবস্থানগুলির সামান্য পরিবর্তনগুলির নিচে, তাদের এলাকাকে ছোট করে। এই ধারাবাহিকতা প্রায়ই সংখ্যাগতভাবে আনুমানিক ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের জন্য ব্যবহৃত হয়, এমনকি কোনো জানা বদ্ধ সমীকরণ।
ব্রাউনিয়ান গতি নুন্যতম পৃষ্ঠে কমপ্লেক্সের বিভিন্ন উপাদানের সম্ভাব্য প্রমাণের দিকে পরিচালিত করে।
ন্যুনতম পৃষ্ঠতল তীব্র বৈজ্ঞানিক অধ্যয়নের একটি ক্ষেত্র হয়ে গেছে, বিশেষ করে আণবিক ইঞ্জিনিয়ারিং এবং উপকরণ বিজ্ঞান এলাকায়, জটিল সামগ্রীগুলির স্ব-সমাবেশে তাদের প্রত্যাশিত আবেদনের কারণে।
সাধারণ আপেক্ষিকতায় নুন্যতম পৃষ্ঠ একটি ভূমিকা পালন করে। আপাত দিগন্ত (প্রান্তিকভাবে বহিরাগত ফাঁকা পৃষ্ঠ) একটি সংক্ষিপ্ত হাইফার সারফেস, ব্ল্যাক হোলের তত্ত্বকে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের এবং প্লেটোর সমস্যার সাথে যুক্ত করা।
নুন্যতম পৃষ্ঠগুলি আধুনিক নকশাগণ দ্বারা ব্যাবহৃত জেনেরটিভ ডিজাইন টুলবক্স এর অংশ। আর্কিটেকচারে অনেক আগ্রহ আছে টনসিল কাঠামোর মধ্যে, যেগুলি নুন্যতম পৃষ্ঠের সাথে গভীরভাবে সম্পর্কযুক্ত। একটি বিখ্যাত উদাহরণ হল ফ্রেই অট্ট এর অলিম্পিয়াপার্ক ইন মুনিচ, সাবান সারফেস দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে।
শিল্প বিশ্বের মধ্যে, রবার্ট ইংমন (১৯২৭-), রবার্ট লংহুরস্ট (১৯৪৯-), এবং চার্লস ও পেরি (১৯২৯-২০১১) এর ভাস্কর্যের মধ্যে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ব্যাপকভাবে অনুসন্ধান করা হয়েছে।