গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক
দুই বা তার অধিক সংখ্যার গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) হলো সেই বৃহত্তম সংখ্যা যাকে দিয়ে ওই সংখ্যাগুলোকে নিঃশেষে ভাগ করা যায়। ইংরেজি ভাষায় গ.সা.গু. কে বলা হয় "Greatest Common Divisor" বা (GCD)। কোন ভগ্নাংশকে তার ক্ষুদ্রতম পদে প্রকাশ করার জন্য গ.সা.গু. প্রয়োজন হয়, উদাহরণ: ৪৮ এবং ৭২ এর গ.সা.গু. হলো ২৪, তাহলে:
মানে ৪৮/৭২ এর ক্ষুদ্রতম রূপ হলো ২/৩। দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. যদি ১ হয় তাহলে তাদের কে সহমৌলিক সংখ্যা (coprime) বলে, যেমন: ৯ এবং ২৮ এর গ.সা.গু. ১, তাই তারা সহমৌলিক।৫ এর গুননীয় গুলো লিখ
গ.সা.গু. মানে যেহেতু সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক, তাই যেসব সংখ্যার গ.সা.গু. বের করতে হবে তাদের মৌলিক উৎপাদক (Prime factor) গুলো জানা থাকলে, সে সব মৌলিক উৎপাদক গুলো মধ্যে যেগুলো সব গুলো সংখ্যার জন্য সাধারণ (common) সেগুলোকে নিয়ে গুন করলে ওই সংখ্যা গুলোর সবচেয়ে বড় সাধারণ উৎপাদক বা গ.সা.গু. পাওয়া যায়। উদাহরণ: ৪৮ এবং ১৮০ এর মৌলিক উৎপাদক গুলো হলো,
এখানে ৪৮ এবং ১৮০ এর জন্য দুটি ২ এবং একটি ৩ সাধারণ মৌলিক উৎপাদক, তাহলে ৪৮ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু হলো ২×২×৩ = ১২।
নিচে ভেনচিত্রের মাধ্যমে উদাহরণটিকে আরো সুস্পষ্ট করে দেখানো হলো:
যদি সংখ্যাগুলোর কোন মৌলিক সাধারণ উৎপাদক না থাকে তবে তাদের গ.সা.গু. ১।
গ.সা.গু. নির্ণয়ের জন্য মৌলিক উৎপাদক পদ্ধতির চেয়ে অনেক বেশি কার্যকর পদ্ধতি হলো গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিডের লিপিবদ্ধ করা ভাগ প্রক্রিয়ার এ পদ্ধতিটি। এটিকে ইউক্লিডের অ্যালগরিদম বলা হয়। এই অ্যালগরিদম বা প্রক্রিয়াটি এই পর্যবেক্ষণ থেকে এসেছে যে, দুটি সংখ্যা (a, b) (যেখানে a>b) এর গ.সা.গু. আর ((a-b), b) এর গ.সা.গু. একি হয়। যদি সংখ্যা গুলো যথাক্রমে ১৪৩ এবং ৭৭ হয় তাহলে, গসাগু(১৪৩, ৭৭) = গসাগু(৭৭, (১৪৩-৭৭)) = ১১। অর্থাৎ দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. সংখ্যা দুটির পরমদূরত্বকেও নিঃশেষে ভাগ করে এবং সংখ্যা দুটির পরমদূরত্ব ও তাদের ক্ষুদ্রতম সংখ্যার গ.সা.গু. মূল সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. এর সমান। 
যদি এ পর্যবেক্ষণ সঠিক হয় তাহলে এই প্রক্রিয়াটি কিছু সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা হলে, মানে বড় সংখ্যাটি থেকে ছোট সংখ্যাটি বিয়োগ করে বিয়োগফল এবং ছোট সংখ্যাটি নিয়ে আবার একি কাজ করা হলে এক সময় বিয়োগফল এবং ছোট সংখ্যাটি সমান হয়ে যাবে, আর আমরা বুঝতে পারি দুটি সংখ্যা সমান হলে তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক হবে ওই সংখ্যাটিই। তাহলে অবশেষে আমরা মূল সংখ্যা দুটি এবং এই প্রক্রিয়ায় মধ্যবর্তী যতগুলো সংখ্যার জোড়া এসেছে তাদের সবার গ.সা.গু. পেয়ে যাবো। যেহেতু বারবার বিয়োগ করা মানে ভাগ করা তাই বিয়োগ না করে ছোট সংখ্যাটি দিয়ে বড় সংখ্যাটিকে ভাগ করে ভাগশেষ এবং ছোট সংখ্যাটি নিয়ে পুরো প্রক্রিয়াটিকে আরো দ্রুত শেষ করা সম্ভব। নিচে ভাগের মাধ্যমে ৩৬৩ এবং ১৪৩ এর গ.সা.গু নির্ণয়ের ধাপ গুলো দেখানো হলো:
উপরের ছবিতে ভাগশেষ গুলোকে ইংরেজি r এবং ভাগফল গুলোকে q দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে।
বিধিসন্মত ভাবে ইউক্লিডের অ্যালগরিদমকে নিচের মতো করে বর্ণনা করা যায়:
এটাকে আবার এই ভাবেও লেখা যায়:
ইউক্লিডের অ্যালগরিদমকে দুটি পর্যায়ক্রমিক যুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করা সম্ভব।formula_5 যে a এবং b এর গুণনীয়ক তা দেখানোর জন্য প্রথমে দেখানো হয় formula_5 তার আগের ভাগশেষ formula_16 এর গুণনীয়ক।
যেহেতু formula_17
সেহতু formula_5 অবশ্যই formula_16 এর গুণনীয়ক, অর্থাৎ formula_20
একি ভাবে বলা যায় formula_5 অবশ্যই formula_22 এরও গুণনীয়ক কারণ, formula_23 এভাবে দেখানো যায় formula_5 সব গুলো formula_25 (x যেকোন ধনাত্মক সংখ্যা) এরই গুণনীয়ক। যেহেতু a এবং b কে formula_25 হিসেবে বলা করা যায় সেহেতু প্রমাণিত হলো formula_5 a এবং b দুটি সংখ্যাকেই নিঃশেষে ভাগ করে, অর্থাৎ formula_5 a এবং b এর একটি সাধারণ গুণনীয়ক, আর তাই formula_29 হতে হবে
ধরা যাক a এবং b এর এটি সাধারণ গুননীয়ক হলো c সেক্ষেত্রে formula_31এবং formula_32(যেখানে d, e যেকোন সংখ্যা)।
তাহলে বলা যায়, c প্রথম ভাগশেষ formula_33 কে নিঃশেষে ভাগ করে কারণ, formula_34
একি ভাবে দেখানো যায় c সব formula_25 কেই নিঃশেষে ভাগ করে, যেমন formula_36
তাই প্রমাণিত হয়, c formula_5 কে নিঃশেষে ভাগ করে। যেহেতু formula_38 হতে পারে সেহেতু বলা যায় formula_6, formula_5 এর গুণনীয়ক। এর মানে formula_41 হতে হবে।
এই দুই সর্তকে যদি এক সাথে সত্যি হতে হয় তাহলে নিশ্চিত ভাবে বলা যায়, formula_42। অর্থাৎ ভাগ প্রক্রিয়ার সত্যতা প্রমাণিত হলো।