جسيم في صندوق
جسيم في صندوق أو بئر جهدي لا نهائي في ميكانيكا الكم (بالإنجليزية: particle in a box أو infinite potential well) هي مسألة تصف جسيم يتحرك في حيز ضيق يحيطه حائط غير نفاذ. ويستخدم هذا النموذج لبيان الفرق بين الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم التي تنطبق على الأنظمة الكمومية. تنجح ميكانيكا الكم في وصف الأنظمة الكمومية، أي الأنظمة الصغيرة جدا في حجم الذرات والجسيمات الأولية حيث تبدأ الظواهر الكمومية في الظهور، في حين تفشل الميكانيكا التقليدية في وصفها حيث تنطبق الميكانيكا الكلاسيكية على الأجسام الكبيرة.
في الأنظمة التقليدية مثل كرة منحصرة في صندوق فيمكن للكرة التحرك داخل الصندوق بأي سرعة ويكون احتمال وجودها في أي نقطة داخل الصندوق متساوية. ولكن عندما يصغر الصندوق في حيز عدة نانومترات تصبح التآثيرات الكمومية مهمة وتملي نفسها على كيفية سلوك الجسيمات. ويبدأ الجسيم لاتخاذ مستويات طاقات موجبة معينه في الصندوق.
في نفس الوقت فإنه من المستحيل أن تكون طاقة الجسيم صفرا، بمعنى أن الجسيم لا يمكن أن يوجد في حالة سكون تام. وعلاوة على ذلك فإن الجسيم يمكنه التواجد في أماكن في الصندوق ولا يتواجد في نقط أخرى ويعتمد ذلك على مستوى طاقته (أو سرعته). أي تكون بعض المواضع داخل الصندوق لا يمكن وجود الجسيم فيها تسمى "عقد مكانية "spatial nodes.
يتكون النظام من نموذج بئر أحادي الأبعاد ويوجد به جسيم حر الحركة، مثل جزيئ غاز محصور بين جهدين كبيرين يمكنه التحرك بينهما. وفي الشكل يمثل الجهدان الكبيران بحائطين، أحدهما على مسافة formula_1 من المحور السيني والآخر عند المسافة formula_2 والحائطان متوازيان.
ويمثل هذا التمثيل نموذج مبسط "صندوق جهدي".
ونفترض عدم وجود قوي داخل الصندوق تؤثر على الجسيم (مثل قوة الجاذبية أو مجال كهرومغناطيسي)، وأن عرض الصندوق formula_3. وبما أن الجهد خارج الصندوق كبير لا نهائي فإنه ليس في استطاعة الجسيم مغادرة الصندوق. وبناء على ذلك سيتحرك الجسيم في الصندوق بسرعة منتظمة formula_4 وينعكس على الجدران بدون فقد في طاقتة. فإذا قمنا بتمثيل السرعة بمتجه للسرعة بحيث يكون قيمتها المطلقة ثابتة.
تصف فيزياء الكم الجسيم بدالة موجية بسيطة، ويترتب على ذلك أن الجسيم يتخذ داخل الصندوق أوضاعا بحيث يكون عرض الصندوق formula_3 مساويا لمضاعفات نصف طول موجتها حيث أن انعكاس الموجة على نفسها يتم على الجدارين مكونة موجة ساكنة. فإذا كانت
L ليست مساوية لعدد صحيح من نصف طول الموجة فإن الموجة تمحو نفسها وتتلاشى بسبب التداخل الهدام. وتلك هي إحدى نتائج ميكانيكا الكم، التي تصف حركة الجسيم داخل صندوق : الجسيم داخل صندوق يتخذ مستويات طاقة معينة فقط، تعتمد على عدد كم رئيسي formula_6.
والخاصية الثانية الهامة لنظرية الكم تخص باحتمال وجود الجسيم في نقطة معينة في الصندوق. واحتمال وجود الجسيم في الصندوق يقدر ب 1، وخارج الصندوق صفر 0، حيث أن الجسيم لا يمكن أن يخرج من الصندوق. ومع ذلك فإن احتمال وجود الجسيم في مكان ما داخل الصندوق مختلفة، وتعتمد على حالة الجسيم (سرعته).
والأغرب من ذلك لنظرية الكم، أنه يوجد احتمال نفاذ الجسيم إلى خارج البئر الجهدي طبقا لظاهرة النفق الكمومي حيث يكون جهد البئر محدودا وليس نهائيا.نظرا لأن جسيم داخل صندوق جهدي لا بد وأن يتخد حالات محددة معتمدة على العدد الصحيح formula_6 فإنه يتخذ فقط كمات طاقة محددة منفصلة معتمدة على formula_6. وينطبق ذلك أيضا في حالة أن يكون جهد الصندوق محدودا وليس لانهائيا، وتترتب عليه خواص خاصة بتركيب الذرة. وعلى أساس معالجة المسألة السابق فيمكن صياغة طاقة formula_9 الجسيم بالاعتماد على العدد formula_6 :
formula_11 حيث formula_12
و
فإذا أثير الجسيم - مثلما يحدث للإلكترون عند إثارته في الذرة عن طريق امتصاصه لطاقة من الخارج - فإن الإلكترون يقفز من مستوى الطاقة الموجود فيه إلى مستوى طاقة أعلى، فيما يسمى قفزة كمومية. وعندما يقفز الإلكترون من مستوى طاقة عالي إلى مستوى طاقة منخفض فإنه يطلق الطاقة الزائدة في شكل فوتون.
يمكن استخلاص النتائج الآتية من المعادلة السابقة، والتي تصف خواص الجسيم المحصور في صندوق جهدي :وتنطبق تلك النتائج أيضا على آبار جهدية (صناديق جهدية) أخرى.
يمكن كتابة معامل هاميلتون formula_20 لمسألة الطاقة الكلية لجسيم يتحرك في نظام أحادي المقاييس (الاتجاه formula_21 فقط) حيث يعتبر المعامل موضع الجسيم (بصرف النظر عن تغير الزمن) :
تعطي هذه المعادلة الطاقة الكلية لجسيم محجوز في صندوق جهدي له طاقة وضع تعتمد على (V(x وطاقة حركية تعتمد على كتلته وسرعته.
معادلة شرودنجر في حالة formula_23 مع تمثيل الجسيم بدالة موجية (formula_24 تعتمد على المكان formula_21 والزمن formula_26 (اقرأ ازدواجية موجة-جسيم):
نعوض عن الدالة الموجية للجسيم :
في معادلة شرودنجر مع اهمال الزمن (حالة سكون)، فنحصل على:
أي أن طاقة الجسيم الكلية تسوي طاقته الحركية حيث أن طاقة الوضع مساوية للصفر.
سنقوم في التالي بحل معادلة شرودنجر التي لا تعتمد على الزمن (حلول القيم الذاتية لمعامل هاميلتون ومسألة تفسير الطيف).
تعادل معادلة شرودنجر الساكنة (تهمل الزمن) في الصندوق معادلة جسيم حر، وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:
وباختيار الدالة الموجية
formula_31 داخل الصندوق، نحصل على:
ويمكن كتابة هذه المعادلة بمساعدة الدوال الأسية المركبة :
وبالتعويض بهذا في معادلة شرودنجر واجراء التفاضل بالنسبة للمكان، يكون :
بذلك نحصل على طاقة الجسيم formula_9 واعتمادها على العدد الموجي
formula_37:
خارج الصندوق يجب أن تكون الدالة الموجية للجسيم مساوية للصفر حيث أن جهد الصندوق كبير لانهائي، أي أن:
ونظرا لوجوب أن تكون الدالة الموجية مستمرة في كل مكان، فلا بد من اختيار شروط للدالة الموجية داخل الصندوق، وهو أن تكون مساوية للصفر عند الجدارين ( formula_41 =0) :
تنتج من الشرط الأول الدالة الموجية داخل الصندوق :
ولكي تكون المعادلة قابلة للحل فلا بد من وضع formula_45، وبذلك نبسط الدالة الموجية إلى الصيغة:
بواسطة الشرط الثاني نحصل على الدالة الموجية داخل الصندوق :
ولكي يمكن حل تلك المعادلة فلا بد أن تكون formula_48 عددا مضاعفا ل formula_49 (حيث أن الحل بوضع المطال formula_50 يعني عدم وجود الموجة على الإطلاق)، وبهذا يصبح:
وبناء على ذلك فلا بد أن تتخذ قيمة العدد الموجي formula_37 قيم ذاتية منفصلة descrete values.
بمساعدة الشرط الثاني نحصل على أن تكون
formula_54
عددا صحيحا.
عندما تكون formula_55 تصبح الدالة الموجية formula_56 مساوية للصفر في كل مكان ولا يمكن توحيد الدالة، وعلى ذلك فيكون الحل formula_55 غير مسموح به.
وبالنسبة للقيم السالبة
formula_58
تكون الدالة الموجية للجسيم هي نفسها كما في حالة
formula_6 الموجبة ماعدا اختلافهما في الإشارة، أي أن :
ولا تؤدي الدوال الموجية ذات أعداد formula_61 صحيحة سالبة إلى وجود مستويات للطاقة جديدة. لذلك نقتصر على الحلول التي تعطي formula_62.
وكما رأينا فإن الطاقة formula_9 تعتمد على العدد الموجي formula_37، وبالتعويض عنه نحصل على :
ونظرا لأن formula_6 تتخذ أعدادا صحيحة فقط، فينطبق ذلك أيضا على الطاقة التي تتخذ هي الأخرى قيما محددة. أي أن طاقة الجسيم تكون كمومية، وبالتالي تكون مستويات الطاقة منفصلة.