رياضيات بحتة
الرياضيات الخالصة أو الرياضيات البحتة (بخلاف الرياضيات التطبيقية) تدرس مفاهيم رياضياتية مجردة بدون هدف التطبيق. اعتُرف بها نشاطًا رياضياً ابتداء من القرن الثامن عشر. توصف أحيانا بأنها "الرياضيات التأملية". وتتعارض مع الاتجاه نحو تلبية احتياجات الملاحة والفلك والفيزياء والهندسة وما إلى ذلك.
اليونانية القديمة الرياضيات من بين أقرب إلى التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. أفلاطون، ساعدت على خلق فجوة بين "الحساب"، وتسمى الآن عدد من الناحية النظرية، و"اللوجستية"، التي تسمى الآن الحساب. أفلاطون يعتبر السوقي ما يراه مناسبا لرجال الأعمال ورجال حرب "يجب أن نتعلم فن أرقام أو أنه لن نعرف كيف طائفة جنوده"، بينما الحساب المناسب للالفلاسفة "لانه قد تنشأ من البحر للتغيير وأمسك الحقيقي الراهن. إقليديس من الإسكندرية، وعندما سأله أحد تلامذته من استخدام ما هو دراسة الهندسة، وطلب مزيدا من الرقيق لإعطاء الطالب threepence" لأنه يجب الحصول على احتياجات تقديم ما يتعلم. عالم الرياضيات اليوناني Apollonius من Perga وسئل عن جدوى بعض النظريات له في الكتاب الرابع من "هندسة المخروطيات" التي أكدت بفخر، 
وهي جديرة بأن القبول لصالح المظاهرات أنفسهم، وبنفس الطريقة التي نقبل أشياء أخرى كثيرة في الرياضيات وهذا لا لسبب.
ولأن العديد من النتائج لا تنطبق على هذه العلوم أو الهندسة في عصره، Apollonius كذلك القول في التمهيد للكتاب الخامس "للهندسة المخروطيات" ان "هذا الموضوع هو واحد من تلك التي يبدو أنها تستحق الدراسة
الإغريق عادة أكثر مما كان مولعا الهندسة والرياضيات البحتة.
مصطلح نفسها الواردة في العنوان الكامل للرئيس Sadleirian تأسست (الأستاذية) في منتصف القرن التاسع عشر. فكرة وجود انضباط الرياضيات "البحتة" قد ظهرت في ذلك الوقت. لم يضع جيل غاوس تمييزا من هذا النوع، بين "النظرية والتطبيقية." في السنوات التالية، أدى التخصص والاحتراف (خاصة في مقاربة كارل ويرستراس للتحليل الرياضي) إلى جعل الصدع أكثر وضوحا.
في بداية القرن العشرين، تناول علماء الرياضيات طريقة البديهي، متأثرين في ذلك بشدة بديفيد هيلبرت. الصياغة المنطقية للرياضيات البحتة التي اقترحها برتراند راسل من حيث كمية هيكل الاقتراح ق يبدو أكثر وأكثر قبولا، وأجزاء كبيرة من الرياضيات، وبالتالي أصبح axiomatised البسيطة تخضع لمعايير برهان دقيق.
في واقع الأمر البديهي في وضع "دقيق" لا يضيف شيئا إلى فكرة "الاثبات." الرياضيات البحتة، وفقا لرأي مفاده أن ويمكن إرجاع ذلك إلى مجموعة بورباكي، هو ما ثبت. عالم الرياضيات البحتة وأصبحت مهنة معترف بها، إلى أن يتحقق من خلال التدريب.
تعتبر فكرة التعميم واحدا من أهم المفاهيم في الرياضيات البحتة ؛ فعادة ما تتجه نحو مزيد من التعميم. التعميم مظاهر عديدة مختلفة، مثل النظريات التي تثبت الأضعف في ظل الافتراضات، أو تحديد الهياكل الرياضية باستخدام عدد أقل من الافتراضات. ورغم أن التعميم في بعض الأحيان، أو السعي لقيمتها في ذاتها، فقد بعض المزايا، من بينها :
التعميم أثر على الحدس على حد سواء التي تعتمد على هذا الموضوع ومسألة تفضيل شخصي أو أسلوب التعلم. عمومية غالبا ما ينظر إليها على أنها عقبة أمام الحدس، على الرغم من أنه يمكن أن يعمل بالتأكيد على المساعدات إليها، وخصوصا عندما ينص على القياس المادية التي لديها بالفعل واحد جيد الحدس.
يعتبر برنامج ارلنغن مثالا رئيسيا للتعميم، توسيع المشاركة الهندسة لاستيعاب غير إقليدي هندستها وكذلك ميدان طوبولوجيا، وغير ذلك من أشكال الهندسة، وهندسة الرؤية حسب دراسة الفضاء مع مجموعة من التحولات. دراسة عدد المستندات، دعا الجبر في بداية الجامعية، ويشمل الجبر المجرد على مستوى أكثر تقدما، ودراسة وظيفة ثانية، دعا حساب التفاضل والتكامل على مستوى الكليات المبتدئ يصبح التحليل الرياضي والتحليل الوظيفي على مستوى أكثر تقدما. كل من هذه الفروع "أكثر" تجريدا الرياضيات العديد من التخصصات الفرعية، وهناك في الواقع الكثير من الصلات بين الرياضيات البحتة والتطبيقية والرياضيات والعلوم. يمكن إنكاره، على الرغم من ارتفاع حاد في التجريد وشوهد في منتصف القرن 20th.
في الممارسة العملية، إلا أن هذه التطورات أدت إلى تباين حاد من الفيزياء، لا سيما من عام 1950 إلى عام 1980. وانتقد في وقت لاحق من ذلك، على سبيل المثال عن طريق فلاديمير ارنولد، والكثير من هيلبرت، لا يكفي بوينكير. النقطة التي لا يبدو حتى الآن أن تسوى (بخلاف التأسيسية الجدل حول وضع النظرية)، وذلك في سلسلة من الناحية النظرية تسحب طريق واحد، في حين منفصلة الرياضيات تنسحب من أجل إثبات مركزية.
علماء الرياضيات دائما وجهات نظر مختلفة بشأن التمييز بين الرياضيات البحتة والتطبيقية. 
واحدة من أشهر) ولكن ربما يساء فهمه) أمثلة حديثة لهذه المناقشة يمكن أن توجد في هاردي غ / "عالم الرياضيات اعتذار."
ومن المعتقد على نطاق واسع أن هاردي نظر الرياضيات التطبيقية لتكون مملة وقبيحة. ورغم أنه صحيح أن هاردي المفضل الرياضيات البحتة، والتي غالبا ما مقارنة الرسم والشعر، وهاردي رأى الفرق بين الرياضيات البحتة والتطبيقية لتكون ببساطة : الرياضيات التطبيقية التي تسعى إلى التعبير عن الحقيقة "المادية" في إطار الرياضية، في حين أعرب عن حقائق الرياضيات البحتة التي كانت مستقلة عن العالم المادي. هاردي قدم منفصلة في الرياضيات التمييز بين ما أسماه "الحقيقي" الرياضيات "الذي دائمة القيمة الجمالية"، و"مملة والابتدائية من الرياضيات" التي والاستخدام العملي.
هاردي نظر بعض علماء الفيزياء، مثل اينشتاين وديراك، لتكون من "الحقيقي" علماء الرياضيات، ولكن في ذلك الوقت انه كان "الاعتذار" خطيا كما تعتبر النسبية العامة وميكانيكا الكم أن "عديم الفائدة"، والتي سمحت له لعقد ويرى أن "مملة" والرياضيات ومفيد. وعلاوة على ذلك، اعترف بأن هاردي وجيزة بين مثلما تطبيق المصفوفة النظرية ومجموعة الفيزياء النظرية ل- غير متوقعة قد حان الوقت الذي قد يأتي فيها بعض أنواع جميل، "الحقيقي" والرياضيات ويمكن أن تكون مفيدة أيضا.
تحليل تعنى خصائص الوظائف. انها تتعامل مع مفاهيم مثل الاستمرارية، والحدود، والتمايز والتكامل، مما يوفر الأساس لصرامة حساب infinitesimals عرضه Leibniz ونيوتن في القرن 17th. تحليل حقيقي للدراسات وظائف الأعداد الحقيقية، في حين أن تحليل مركب يشمل المفاهيم السالفة الذكر إلى وظائف بأعداد معقدة. التحليل الوظيفي هو فرع من التحليل والدراسات التي لا حصر الأبعاد ناقل مساحات والآراء وظائف نقطة في هذه الأماكن.
الجبر المجرد وينبغي عدم الخلط مع التلاعب الصيغ التي شملت في مرحلة التعليم الثانوي. انها الدراسات مجموعات مع ثنائي العمليات المحددة لها. مجموعات ثنائية ويمكن تصنيف العمليات وفقا لممتلكاتهم : على سبيل المثال، إذا كانت إحدى العمليات النقابي على مجموعة التي تحتوي على عنصر من عناصر الهوية والعكوس لكل عضو في المجموعة، وتشغيل مجموعة ويعتبر أن تكون جماعة. هياكل أخرى تشمل الحلقات، والحقول والمساحات ناقل.
الهندسة هي دراسة الاشكال والفضاء، ولا سيما مجموعات من التحولات التي تعمل على مساحات. على سبيل المثال، إسقاطي الهندسة حول مجموعة من التحولات التي إسقاطي على الفعل الحقيقي إسقاطي الطائرة، في حين عكسي هندسة تعنى مجموعة عكسي التحولات التي تعمل على توسيع نطاق مجمع الطائرة. وقد تم تمديد الهندسة لطوبولوجيا، الذي يتناول الأجسام المعروفة المساحات الطوبوغرافية وخرائط المستمر بينهما. طوبولوجيا يتعلق بالطريقة التي ترتبط الفضاء ويتجاهل قياسات دقيقة لمسافة أو زاوية.
نظرية العدد هي نظرية العدد الصحيح الإيجابي. لأنها تستند إلى افكار مثل القسمة والتطابق. عن نظرية الأساسي تنص على أن كل ايجابية integer قد فريدة رئيس توكيل. في بعض النواحي هو أيسر من الانضباط في الرياضيات البحتة لعامة الجمهور : على سبيل المثال فإن الظن Goldbach بسهولة وذكرت (ولكن لم يثبت أو دحضت). بطرق أخرى فإن أقل ما يمكن الوصول إليها من الانضباط، فعلى سبيل المثال، الحيل 'دليل على أن فرمات معادلة غير بديهي لا يحتاج إلى حلول للتفاهم تشكيلي تلقائي الأشكال، والتي وإن كانت متأصلة في الطبيعة لم نجد مكانا في الفيزياء أو عامة الجمهور الخطاب.