موجات متنقلة دوريا
في  تعتبر الموجات المتنقلة دوريًا نوع من والتي تتحرك ثابتة.  وبناء علي ذلك فهي تعتبر نوع خاص من الزمكانية (وهي في ).
تلعب الموجات المتحركة الدورية دورًا أساسيًا في الكثير من المعادلات الرياضية, ومنها  ، و ، و. وتستخدم من هذه الأنواع على نطاق واسع و و ، والعديد من الأمثلة في الظواهر التي تشبه الموجات المتحركة الدورية تم العثور عليها .
يتم تطوير النظرية الرياضية للموجات المتحركة الدورية بشكل كامل ، ولكن هذه الحلول تحدث أيضًا في عدد من الأنواع الأخرى من النظام الرياضي ، بما في ذلك المعادلات التكاملية ، معادلات التكاملية ، شبكات الخريطة المزدوجة والأوتومات الخلوية
وفضلاً عن كونها مهمة في حد ذاتها ، فإن الموجات الدورية تكون كبيرة مثل المكافئ وأنماط الأهداف في الفضاء ثنائي الأبعاد ، وموجات التمرير في
تم دراسة الموجات المتحركة الدورية لأول مرة في سبعينيات القرن العشرين. كانت ورقة بحثية أولية رئيسية لـ () و (لو هوارد) التي أثبتت عدة نتائج أساسية على الموجات المتحركة الدورية في معادلات . تبع ذلك نشاط بحث مهم خلال السبعينيات وأوائل الثمانينيات. ثم كانت هناك فترة من الخمول ، قبل أن يتم تجديد الاهتمام بالموجات المتنقلة الدورية من خلال العمل الرياضي على توليدها ، ومن خلال اكتشافها في علم البيئة ، في مجموعات البيانات الزمكانية على المجموعات الدورية. منذ منتصف العقد الأول من القرن الحالي ، استفاد البحث في موجات السفر الدورية من الطرق الحسابية الجديدة لدراسة وثباتها المطلق.
يعتمد وجود الموجات المتحركة الدورية عادة على قيم في معادلة رياضية. إذا كان هناك حل موجة متنقلة دورية ، فهناك عادة عائلة من هذه الحلول ، مع سرعات موجة مختلفة. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، تحدث الموجات الدورية عادة لنطاق مستمر من سرعات الموجة.
السؤال المهم هو ما إذا كانت الموجة المتنقلة الدورية أم كحل من النظام الرياضي الأصلي. بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، من المعتاد أن تنقسم العائلة الموجية إلى أجزاء مستقرة وغير مستقرة. بالنسبة إلى الموجات المتحركة الدورية غير المستقرة ، فإن السؤال الفرعي المهم هو ما إذا كانت غير مستقرة بشكل مطلق أو غير مستقر ، وهذا يعني وجود أو عدم وجود أنماط خطية متنامية ثابتة. تم حل هذه المشكلة فقط لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية.
هناك عدد من آليات توليد الموجات المتنقلة بشكل دوري أصبحت الآن راسخة. وتشمل هذه:في جميع هذه الحالات ، السؤال الرئيسي هو الذي يتم اختيار عضو من عائلة الموجات المتنقلة دوريًا. بالنسبة لمعظم الأنظمة الرياضية ، تظل هذه مشكلة مفتوحة.
من الشائع أنه بالنسبة لبعض قيم المتغيرات ، تكون الموجات الدورية الناتجة عن آلية توليد موجة غير مستقرة. في مثل هذه الحالات يتطور الحل عادة إلى زمكانية. وبالتالي فإن الحل ينطوي على الانتقال الزمكاني إلى الفوضى عبر الموجة المتنقلة الدورية.
هناك نظامان رياضيان خاصان يعملان كنماذج أولية للموجات المتحركة الدورية ، والتي كانت أساسية لتطوير الفهم الرياضي والنظرية. هذه هي فئة "lambda-omega" من معادلات التفاعل-الانتشار
("r"=("u"+"v")) 
and the complex equation.
(A قيمة تخيلية). لاحظ أن هذه الأنظمة هي نفسها إذا كانت λ (r) = 1-r2 و ω (r) = - c r2 و b = 0. يمكن تبسيط كلا النظامين عن طريق إعادة كتابة المعادلات من حيث الاتساع (r أو | A |) والطور (arctan (v / u) أو arg A). بمجرد إعادة كتابة المعادلات بهذه الطريقة ، من السهل أن ترى أن الحلول ذات الاتساع المستمر هي موجات دورية ، مع كون الطور دالة خطية للزمان والزمان. لذلك u و v ، أو Re (A) و Im (A) ، هي من المكان والزمان.
هذه الحلول الدقيقة للعائلات الموجة المتنقلة دورية تمكن قدر كبير من مزيد من الدراسة التحليلية. يمكن العثور على الظروف الدقيقة لاستقرار الموجات المتنقلة الدورية ، ويمكن تقليل شرط الاستقرار المطلق إلى حل متعدد الحدود البسيط. كما تم الحصول على حلول دقيقة لمشكلة الاختيار للموجات الناتجة عن الغزوات وبشروط حدود صفر (ديريتشيلت). في الحالة الأخيرة ، بالنسبة إلى معادلة Ginzburg-Landau المعقدة ، فإن الحل الشامل هو ثقب Nozaki-Bekki الثابت.
كثير من العمل على الموجات المتحركة دوريًا في معادلة التخيلية لـ غينزبرغ-لانداو في الأدب الفيزيائي ، حيث تعرف عادة باسم .
بالنسبة لمعظم المعادلات الرياضية ، فإن لحلول الموجات المتنقلة الدورية غير ممكن ، وبالتالي من الضروري إجراء . بالنسبة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، تشير إلى x و t (أحادية البعد) الفضاء والمتغيرات الزمنية ، على التوالي. ثم موجات السفر الدورية هي وظائف متغير موجة السفر z = x-c t. إن استبدال نموذج الحل هذا في المعادلات التفاضلية الجزئية يعطي نظامًا من المعروفة باسم معادلات الموجة المتنقلة. موجات السفر الدورية تقابل دورات الحد من هذه المعادلات ، وهذا يوفر الأساس للحسابات العددية. النهج الحسابي القياسي هو الاستمرارية العددية لمعادلات الموجات المتنقلة. يقوم المرء أولاً بمواصلة حالة ثابتة لتحديد . هذه هي نقطة البداية لفرع (عائلة) من حلول الموجات المتنقلة الدورية ، والتي يمكن للمرء أن يتبعها عن طريق الاستمرار العددي. في بعض الحالات (غير الاعتيادية) كلتا نقطتي النهاية لفرع (عائلة) من حلول الموجة المتنقلة الدورية هي حلول homoclinic ، وفي هذه الحالة يجب على المرء أن يستخدم نقطة بداية خارجية ، مثل الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية.
يمكن أيضا حساب استقرار موجة السفر الدورية عدديا ، عن طريق حساب . ويصبح هذا أسهل من خلال حقيقة أن طيف حلول موجة السفر الدورية للمعادلات التفاضلية الجزئية يتكون بالكامل من . وتشمل الطرق العددية الممكنة طريقة هيل والاستمرار العددي للطيف. وتتمثل إحدى مزايا الأسلوب الأخير في إمكانية تمديده لحساب الحدود في حيز المعلمات بين موجات مستقرة وغير مستقرة
البرنامج: تم تصميم حزمة البرمجيات المجانية والمفتوحة المصدر Wavetrain http://www.ma.hw.ac.uk/wavetrain للدراسة العددية لموجات السفر الدورية. وباستخدام ، تستطيع Wavetrain حساب شكل وثبات حلول الموجات المتنقلة الدورية للمعادلات التفاضلية الجزئية ، ومناطق مساحة المعلمة التي توجد بها الموجات والتي تكون فيها مستقرة.
أمثلة من الظواهر التي تشبه الموجات المتنقلة دوريًا التي تم العثور عليها تجريبيا تشمل ما يلي: