دالة تربيعية
في علم الجبر، يشير مصطلح الدالة التربيعيّة أو كثير الحدود التربيعيّ أو كثير الحدود من الدرجة الثانية أو ببساطة التربيعيّ إلى دالة كثير حدود بمتغير واحد أو أكثر، أعلى درجة فيه هي 2. على سبيل المثال، تحتوي الدالة التربيعيّة ذات المتغيرات الثلاثة "x" و "y" و "z" بشكل حصريّ على الحدود "x" و "y" و "z" و "xy" و "xz" و "yz" و "x" و "y" و "z" و ثابت:
بالإضافة إلى أحد المعاملات "a" أو "b" أو "c" أو "d" أو "e" أو "f" للحدود ذات الدرجة الثانية، و يجب أن يكون أحدها على الأقل لا يساوي الصفر.
يكون للدالةالتربيعيّة أحادية المتغير، يكون لها الشكل الآتي
في حالة المتغير الواحد، يكون الرسم البياني بشكل قطع مكافئ يكون محور تناظره موازٍ للمحور كما هو مُوضح في الشكل إلى اليسار.
أيضاً تُدعى الدالة التربيعيّة فيما لو ساوَت الصفر المعادلة التربيعيّة. و تكون حلول هذه المعادلة أحاديّة المتغير جُذُور الدالة التربيعيّة
أما في حالة الدالة ثنائية المتغيِّرات "x" و "y"، يكون للدالة الشكل الآتي
و يكون في هذه الحالة "a" أو "b" أو "c" على الأقل لا تساوي الصفر، و إن مُعادلة هذه الدالة، أي عندما تساوي هذه الدالة صفراً، فإن المعادلة ستعطي قطعاً مخروطيَّاً (دائرة أو قطع ناقص أو قطع مكافئ أو قطع زائد).
عموماً، يمكن أن يكون هناك عدد كبير من المتغيرات، و في هذه الحالة تُدعى السطوح الناتجة بالسطوح من الدرجة الثانية أو السطوح التربيعيّة، و لكن يجب أن تكون أعلى درجة هي الدرجة الثانية، كـ "x", "xy", "yz" إلخ.
يُطلَق على الدالة التربيعيّة اسم باللغة الإنجليزيّة، و تُشتقُّ من الكلمة اللاتينيّة "quadrātum" و التي تعني "". كما يُطلَق اسم مُربَّع أيضاً في الجبر على الرمز و ذلك لأن بسبب تشكُّل منطقة بشكل مربَّع بجانب X.
تكون عادةً معاملات كثيرات الحدود أرقام حقيقية أو عقديّة، و لكن في الواقع، يمكن تعريف كثير الحدود بأي حلقة.
عند استخدام مصطلح "كثير حدود من الدرجة الثانية"، يقصد الكتاب أحياناً "أن لكثير الحدود الدرجة 2 تماماً"، و أحياناً "أن لكثير الحدود الدرجة 2 على الأكثر". و إذا كانت الدرجة أقل من 2، قد يُدعى كثير الحدود حينها "حالة تدهور". و غالباً يتحدد المعنى المقصود من السياق.
أحياناً تُستخدم كلمة "المرتبة" بمعنى "درجة"، مثلاً كثير حدود من المرتبة الثانية.
يمكن أن يشتمل كثير الحدود التربيعيّ على متغيّر (متحوِّل) مفرد X (حالة المتغيّر الأحادي) أو عدة متغيرات كـ X و Y و Z (حالة متعددة المتغيِّرات).
قد يكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيّر واحد على الشكل الآتي 
حيث "x" هو المتغيِّر، و "a"و "b" و "c" تُمثِّل المعاملات. و في الجبر الأولي، غالباً ما تنشأ هكذا كثيرات حدود في شكل معادلة من الدرجة الثانية formula_5 و تُدعى حلول هذه المعادلة بجذور كثير الحدود من الدرجة الثانية (التربيعيّ)، و قد يكون من الممكن إيجادها من خلال تحليل كثير الحدود إلى عوامله الأوليّة أو إكمال المربع أو من خلال رسم بياني للدالة أو من خلال طريقة نيوتن أو من خلال استخدام الصيغة التربيعية. لكل كثير حدود تربيعيّ دالة تربيعيّة مرافقة يكون تمثيلها البيانيّ قطعاً مكافئاً.
قد يُكتب أي كثير حدود تربيعيّ بمتغيرين على الشكل الآتي
حيث "x" و "y" متغيِّرات، بينما "a" و "b" و "c" و "d" و "e" و "f" معاملات عدديّة. تُعتبر متحولات كهذه أساساً لدراسة لـلقطوع المخروطيّة، التي تتظاهر بتساوي التعبير عن الدالة "f" ("x", "y") إلى الصفر. و بشكل مشابه، فإن كثيرات الحدود بثلاثة متغيرات أو أكثر تتطابق مع السطوح التربيعيّة و السطوح الفائقة. في الجبر الخطيّ، يمكن تعميم فكرة كثيرات الحدود التربيعيّة (من الدرجة الثانية) على فكرة الشكل التربيعيّ على الفضاء المتجهيّ.
يمكن التعبير عن الدالة التربيعيّة وحيدة المتغير بثلاثة صيغ:
للمعامل القيمة ذاتها في الأشكال الثلاثة. و للتحويل من الشكل المعياري إلى الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله)، يحتاج المرء فقط للصيغة التربيعيّة لتحديد الجذرين و . و للتحويل من الشكل المعياريّ إلى الشكل المتجهيّ، يحتاج المرء إلى القيام بعملية تُدعى إكمال المربع. و للتحويل من الشكل المُفكَّك (المحلل إلى عوامله) إلى الشكل المعياريّ، يحتاج المرء إلى مضاعفة و/أو توسيعها و/أو نشر العوامل.
بغض النظر عن صيغة الدالة التربيعيّة، فإن الرسم البيانيّ للدالة التربيعيّة وحيدة المتغيّر formula_10 يُمثِّلُ قطعاً مكافئاً (كما هو واضح في الشكل إلى اليسار). و بالمقابل، فإن الرسم البياني للمعادلة التربيعيّة ثنائية المتغيرات formula_11.
يتحكَّم المعامل بدرجة انحناء الرسم البيانيّ، كلَّما ازدادت قيمة يصبح انحناء الرسم البيانيّ أكثر حدَّةً أي أكثر انغلاقاً.
يتحكَّم المعاملان و معاً بموقع محور التناظر للقطع المكافئ (أيضاً إحداثيات لذروة المنحني) و الذي
بينما يتحكَّم المعامل بنقطة تقاطع القطع المكافئ مع المحور .
تقابل ذروة القطع المكافئ نقطة انحراف القطع المكافئ، لذا قد تُدعى بنقطة الانحراف. و إذا كانت الدالة التربيعيّة في الشكل المتجهيّ، فإن إحداثيات الذروة هي . و يمكن باستخدام طريقة إكمال المربع، تحويل الشكل المعياريّ 
إلى الشكل
لذا تكون ذروة القطع المكافئ في الشكل المعياريّ 
و إذا كانت الدالة التربيعيّة بالشكل المتفكك (المتحلِّل إلى عوامله) 
فإن متوسط الجذرين 
هو إحداثية الموافقة لذروة القطع، و تكون إحداثيات الذروة 
كما أن الذروة أيضاً هي أكبر نقطة إذا كانت أو أصغر نقطة إذا كانت 
و إن الخط العمدي التالي 
و الذي يم من الذروة هو أيضاً "محور تناظر" القطع المكافئ.
باستخدام التفاضل و التكامل، يمكن الحصول على نقظة الذروة و التمي تمثِّل القيمة الكبرى أو الصغرى للدالة، و ذلك عبر إيجاد جذور الاشتقاق:
و بالتعويض في الدالة نجد
و بالتالي يمكن التعبير عن إحداثيات الذروة بالصيغة
إن جذور (أو أصفار) الدالة التربيعيّة أحاديّة المتغيّر و 
هي قيم التي تجعل .
و عندما تكون المعاملات و و أعداد حقيقية أو أعداد عُقديّة تكون حينها الجذور
لا يمكن للقيمة المطلقة لجذور كثير حدود تربيعيّ (من الدرجة الثانية) formula_27 أن تكون أكبر من formula_28 حيث formula_29 النسبة الذهبيّة و هي formula_30
يؤدي الجذر التربيعيّ لدالة تربيعية أحادية المتغيّر إلى واحدة من أربع مقاطع مخروطيّة غالباً على نحو أكيد إلى قطع ناقص أو إلى قطع زائد.
إذا كانت formula_31 فإن المعادلة formula_32 تصف قطعاً زائداً، كما يمكن رؤيته من خلال تربيع الجانبين. تتحدَّد اتجاهات محاور القطع الزائد بواسطة ترتيب النقطة الأدنى (قيمتها على محور ) من القطع المكافئ المقابل formula_33. إذا كان ترتيبها سالباً، فإن المحور الرئيسي للقطع الزائد (المار من ذروته) أفقيّ، بينما إذا كان ترتيبها موجباً سيكون المحور الرئيسي للقطع الزائد عموديَّاً.
إذا كانت formula_34 فإن المعادلة formula_32 تصف إما دائرة أو قطعاً ناقصاً أو لا تصف شيئاً على الإطلاق. إذا كان ترتيب النقطة الأكبر من القطع المكافئ المقابل formula_33 موجباً فإن الجذر التربيعيّ يصف قطعاً ناقصاً، و لكن إذا كان الترتيب سالباً فإنه يصف موضع فارغ من النقاط.
لتكرار دالة formula_37 يتم تطبيق الدالة مراراً و تكراراً، باستخدام المخرجات من أحد التكرارات كمُدخل في التكرار التالي.
لا يمكن للمرء أن يستنتج دائماً الشكل التحليليّ لـ formula_38 و الذي يعني أن "n" تكراراً لِـformula_39.(يمكن أن يمتد الخط العلوي حتى أرقام سالبة، مما يشير إلى تكرار عكس formula_39 إذا كان العكس موجوداً) و لكن هناك حالات يكون التعبير فيها بالشكل المغلق.
على سبيل المثال، للمعادلة التكرارايّة الآتية
و عندما يكون
حيث
و بالاستقراء نجد
يمكن الحصول عليه، حيث formula_46 يمكن حسابه بسهولة كـ
أخيراً لدينا
و هو الحل.
يمكن حل المتتالية اللوجستية
بالمعلمة 2
من أجل formula_59. و إذا formula_60 لأي قيمة من formula_61 ما عدا النقطة المثبتة غير المستقرة 0، المصطلح formula_62 يسعى إلى 0 كما تسعى "n" إلى اللانهاية، لذا فإن formula_54 تسعى إلى النقطة الثابتة المستقرةformula_64.
يشير مصطلح الدالة التربيعيّة ثنائية المتغيرات إلى كثير حدود من الدرجة الثانية من الشكل
حيث "A" و "B" و "C" و "D" و "E" معاملات ثابتة و "F" حدٌ ثابت.
تصف الدالة التربيعية ثنائية المتغيرات باعتبارها دالة سطحاً تربيعيَّاً (من الدرجة الثانية). و إن الإعداد formula_66 يُعادل الصفر و يصف تقاطع السطح مع المستوى formula_67، و هو موضع من النقاط مُعادل للقطع الناقص.
إذا كانت formula_68 فإن الدالة ليس لها قيم صغرى أو كبرى، و رسمها البيانيّ سطح مكافئ زائدي
إذا كانت formula_69 فإن للدالة قيمة صغرى إذا كان "A">0 و قيمة كبرى إذا كان "A"<0، و يكون الرسم البياني للدالة سطح مكافئ إهليلجيّ. في هذه الحالة تقع القيم الصغرى أو الكبرى عند formula_70 حيث:
و إذا كانت formula_73 و formula_74 لا يكون للدالة قيم صغرى أو كبرى، و يكون الرسم البيانيّ بشكل أسطوانة مكافئة.
إذا كانت formula_73 و formula_76 فإن الدالة تحقق قيم صغرى و كبرى عند حد أدنى إذا كانت "A">0 و أعلى إذا كانت "A"<0، و يكون رسمها البياني بشكل أسطوانة مكافئة