تكامل بالتعويض
التكامل بالتعويض أو التكامل بتغيير المتغير أحد الطرق المستعملة في علم التفاضل والتكامل لحساب الاشتقاق العكسي.
لتكن الفترة formula_1 وformula_2 دالة قابلة للتفاضل. ولنفرض أن formula_3. حينئذ
باستخدام التعويض formula_5 ينتج formula_6 وبالتالي formula_7, وهو التعويض المطلوب لـformula_8.
تستخدم هذه الصيغة لنقل التكامل إلى شكل آخر بحيث يكون سهل الحساب ويمكن أن تستخدم من اليمين لليسار والعكس.
يمكن اشتقاق التكامل بالتعويض من النظرية الأساسية للتكامل. لتكن "ƒ" و"g " دالتين تحققان الفرض السابق hypothesis that "ƒ" متصلة على الفترة "I" وformula_9 متصلة على الفترة المغلقة ["a","b"]. وبالتالي تكون الدالة formula_10 متصلة أيضا على ["a","b"]. وعليه فإن التكاملات
و
موجودان بالفعل, وبقي أن نثبت أنهما متساويان.
بما أن "ƒ" متصلة, فإن لها مشتق عكسي "F". الدالة formula_13 بالتالي تكون معرفة. بما أن "F" و"g" are قابلتان للتفاضل, تعطينا قاعدة السلسلة
وبتطبيق النظرية الأساسية للتكامل مرتين تحصل على
وهي قاعدة التعويض.
لنعتبر التكامل
باستخدام التعويض "u" == "x" + 1, نحصل على "du" == 2"x" "dx" و
تم التعويض هنا من اليمين لليسار. من المهم التنويه أنه لما كانت النهاية الأسفل "x" == 0 تم ابدالها بـ "u" = 0 + 1 = 1, والنهاية الأعلى "x" = 2 ابدلت بـ "u" = 2 + 1 == 5, وبإعادة التعويض إلى اصله "x" لم يكن ضروريا.
لإبجاد التكامل
يتوجب استعمال الصيغة من اليسار إلى اليمين:
التعويض "x" == sin("u"), "dx" == cos("u") "du" مفيد لأن formula_19 :
التكامل الناتج يمكن حسابه بواسطة التكامل بالتجزئة أو صيغة مضاعفات الزاوية متبوعة بتعويض مناسب أو أكثر.
لاحظ أيضا أن التكامل السابق ماهو إلا حساب لمساحة ربع الدائرة والذي كان بالإمكان إيجادة بقسمة مساحة الدائرة على 4 (و باعتبار نصف قطرها= 1 يصبح الناتج باي\4).
يمكن إيجاد المشتق العكسي بواسطة التكامل بالتعويض وذلك بدراسة العلاقة بين "x" و"u", "dx" و"du" وبالمفاضلة والتعويض.
يمكن استخدام الطريقة التالية لحل المثال السابق:
حيث "C" ثابت اختياري ثابت التكامل.
يمكن استخدام التعويض مع الدوال ذات المتغيرات المتعددة.
هنا التعويض ("v"...,"v") = "φ"("u", ..., "u" ) متداخلة وقابلة للتفاضل باستمرار, وتحويل التفاضلات
حيث det(D"φ")("u", ..., "u" ) يرمز إلى محدد مصفوفة جاكوبي محتويا على التفاضلات الجزئيةلـ "φ" . تعبر هذه الصيغة عن الحقيقة القائلة أن القيمة المطلقةلمحدد متجهات معطاة يساوي حجم متوازي السطوحالممدود.
وبتعبير أدق, تغيير صيغة المتغيرات تنص علية النظرية التالية:
نظرية. لتكن "U", "V"  مجموعات مفتوحة في R and "φ" : "U" → "V"  an متداخلة دالة قابلة للتفاضل ولها مشتقات جزئية مستمرة, الجاكوبيان الذي لايحوي صفر لكل"x" في "U". حينئذ لأي قيمة حقيقية, تدعم دمج تابع مستمر "f", مع دعم مرتبط في "φ"("U"),
يمكن اضعاف شروط النظرية بعدة طرق. أولا شرط استمرارية اشتقاق φ يمكن ابداله بالافتراض الاضعف φ تكون قابلة للاشتقاق فقط ولها انعكاس مستمر هذا مضمون إذا كانت φ قابلة للاشتقاق باستمرار نظرية دالة المعكوس. بالمثل, الشرط Det(Dφ)≠0 يمكن عزله بتطبيق نظرية سارد. الكثير من الإصدارات العامة لهذه النتيجة لا زالت.
يمكن استخدام التعويض للاجابة على السؤال المهم في الاحتمالات: إذا علم أن متغير عشوائي formula_24 له كثافة احتمالية formula_25 ومتغير عشوائي آخر formula_26 له صلة بـ formula_27 بالمعادلة formula_28, فماهي كثافة الاحتمالية formula_26?
من السهولة بمكان الاجابة على السؤال السابق بالاجابة أولا بشكل طفيف على سؤال آخر: ماهو احتمال ان تأخذ formula_26 قيمة في مجموعة فرعية معينة formula_31? لنرمز لهذه الاحتمالية بـ formula_32. بالطلع, إذا كانت formula_26 لها كثافة احتماليةformula_34 فستصبح الاجابة
ولكن هذا لا يفيد لاننا لا نعلم "p"; فهي ما نبحث عنه من الوهلة الأولى. يمكننا التقدم خطوة بالنظر للمسألة في المتغير formula_27. formula_26 تأخذ قيمة في "S" كلما أخذت "X" قيمة في formula_38, وعليه
وبالتغيير من "x" إلى "y" نحصل على
وبدمج هذه مع المعادلة الأولى تصبح
وبالتالي
في الحالة التي يكون formula_27 وformula_26 معتمدا على متغيرات غير مترابطة, أي formula_45, وformula_28, formula_34 يمكن إيجادها بالتعويض في متغيرات متعددة سبق نقاشها. وتكون النتيجة