الفراغات المعيرة وفراغات بناخ
نجد في الرياضيات فكرة وهي إن طول القطعة المستقيمة في المستوى formula_1 ونقطتي النهاية لهذه القطعة مستقيمة هما (0,0) وأي زوج مرتب formula_2=(formula_3 , formula_4)
ففكرة إيجاد طول المتجه formula_2 فكرة بديهية ويمكن تعميمها لأى فراغ اتجاهى حقيقى formula_6 وهذه هي الخصائص لطول المتجه formula_2 ويرمز له بالرمز formula_8 :
1- أي متجه طوله موجب
2- المتجه الصفرى طوله صفر وأيضا إذا كان طول المتجه صفر فيكون هو المتجه الصفرى
3- ضرب متجه في قيمة قياسية يغير طوله بنفس مقدار القيمة المطلقة دون تغير اتجاه المتجه
حيث أن هذه القيمة القياسية إذا كانت تقع في الفترة formula_9 فإن طول المتجه formula_2 ينكمش وإذا كانت تاخذ أي قيمة تقع في الفترة formula_11 فإن طول المتجه formula_2 يتمدد
4- متباينة المثلث متحققه حيث أن طول أي ضلع في المثلث لا يزيد عن مجموع طولى الضلعين الآخرين
و بتجريد هذه الخصائص لأى فراغ اتجاهى نحصل على مفهوم المعيار ألا وهو كمية مجرده ، فمن الممكن أن تصف طول أو حجم أو مدى أي فراغ وبالتالى يكون المعيار مفهوم المسافة في الفراغ الخطى وهذا يتيح لنا معرفة تقارب متسلسلة لانهائية في هذا الفراغ ، وهذا نهتم به في حل عدد لانهائي من المعادلات الخطية ومن هنا كانت بداية التحليل الدالى عندما تعثر الجبر الخطى في حل تلك المعادلات اللانهائية وعلى سبيل المثال عند تحويل معادلة تكاملية إلى نظام من المعادلات الخطية اللانهائية فهنا يظهر لنا متسلسلات لانهائية وبالتالى نريد معرفه تقاربها ، حيث نشأت نظرية بواسطة إسهامات فوليترا (1940-1860)Volterra وفريدهولم (1927-1866 )Fredholm وهيلبرت (1943-1862)Hilbert في المعادلات التكاملية.
أول من تكلم على مفهوم المعيار هو عالم الرياضيات النمساوى هيلى ( E.Helly( 1884 - 1943 ولكنه لم يستخدم اسم المعيار ولا رمز المعيار formula_13 ، كان يعرفها كأى دالة ، وتحقق شروط المعيار ، وقد كتب مقالة في عام 1912 تكلم فيها عن حالة خاصة من نظرية هان - بناخ حيث أنه قام بتفسير نتائج لم يفسرها ريس (F. Riesz ( 1880 – 1956 من قبل وأيضا قام هيلى بعمل اثبات مختلف عن ريس لمد الداليات الخطية ولم يقم بنشر أي مقالات لمدة 9 سنوات بسبب الحرب العالمية الأولى وكان حينئذ سجين الحرب في روسيا ، وقام بعمل مقالة في عام 1921 ، وهذه المقالة تعتبر علامة بارزة في تاريخ التحليل الدالى حيث أنه بدل النظر إلى فراغ معين مثل formula_14 و"L" وformula_15 فهو أول من تعامل بصفة عامة مع "الفراغات المعيارية للمتتابعات" باستخدام الأساليب التي لا تعتمد على صفات خاصة للفراغ أي أن بواسطة هيلى في عام 1921 قام بتعميم نظرية نظام من المعادلات الخطية من الفراغ formula_15 إلى أي فراغ جزئي معيارى من formula_17 وهو فراغ كل المتتابعات من الأعداد المركبة وقد قام هيلى بتعريف مفهوم التحدب على الفراغات المعيرة وكان منيكوفسكى ( 1909-1864)Minkowski في عام 1911 ذكر مفهوم التحدب في هندسة الأعداد.
في عام 1920 عرف ما يسمى فراغ بناخ وطرحت فكرة فراغ بناخ من قبل بعض العلماء ، وعلى سبيل المثال وينر (1964 -1894)Norbert Wiener قدم المفاهيم ، ولكنه لم يؤسس النظريات والذي صاغ اسم فراغ بناخ هو فريشيه وأهمية اسهام بناخ انه طور منهجية نظرية التحليل الدالى حيث أنه كان يوجد نتائج معزولة تطورت فيما بعد لتتلاءم مع النظرية الجديدة .واتخذت خطوة أخرى في التجريد من قبل بناخ في عام 1932 عندما انتقل من فراغ الضرب القياسى إلى فراغ المعيار ، وأخذ بناخ الداليات الخطية لفريشيه ، وأوضح أن لديهم وضعا طبيعيا في فراغات المعيار ، وأثبت بناخ عددا من النتائج الأساسية في الفراغات الخطية المعيـرة ، وعديد من النظريات الهامة تسمى باسمه من بعده .
و هناك نظرية هان - بناخ بشأن تمديد الداليات الخطية المتصلة ونظرية بناخ - شتاينهاوس ونظرية بناخ للنقطة الثابتة.
المعيار(النظيم) : المعيار على فراغ اتجاهى x هي دالة,formula_18formula_19 formula_20: formula_13
, التي تحقق هذه الخواص :
لكل formula_2 , formula_23 تنتمى للفراغ الاتجاهى formula_20 ولكل formula_4 تنتمى للحقلformula_26 (formula_18 or formula_28)
1- formula_29 إذا كان formula_30 (المعيار موجب )
2- formula_31 إذا كان وفقط إذا كان formula_32 (المعيار محدد)
3- formula_33 (المعيار متجانس إيجابيا)
4- formula_34 (المعيار يحقق متباينة المثلث)
-الفراغ المعيارى هو الزوج (formula_13,formula_20) عندما يكون formula_20 فراغ اتجاهى معرف عليه معيار
-الفراغ الشبه معيارى هو الزوج (formula_38,formula_20) عندما تكون formula_20 فراغ اتجاهى وformula_38 شبة معيار على X
شبه معيارى هو الذي يحقق الشروط ( 1 )و( 3 )و( 4 )
-أي فراغ معيارى (formula_13,formula_20) يكون فراغ المسافة وهذا يتحقق من خواص المعيار مباشرة ودالة المسافة formula_44 وهي المسافة بين متجهينformula_2 , formula_23 تنتمى formula_20 ومعرف بهذه الصورة :
formula_48
ولكن ليس كل فراغ المسافة فراغ معيارى ويوجد نظرية مساعدة تبين ان دالة المسافة formula_44 على الفراغ الاتجاهى formula_20 الناتج بواسطة المعيار ولابد ان تحقق هذين الشرطين وهما :
أ) formula_51 (إزاحة ثابته)
ب) formula_52 ( التجانس )
وهذا يعنى أنه إذا لم يتحقق واحد من الشرطين يترتب على هذا أنه لا يمكننا تعريف معيار على هذا الفراغ الاتجاهى formula_20
و باستخدام دالة المسافة يمكننا تعريف اتصال دالة المعيار
-دالة المعيار formula_13 دالة متصلة وهذا ينتج من المتباينة التالية:
formula_55 
لكل formula_2 , formula_23 تنتمى للفراغ الاتجاهى formula_20
- ليكن الزوج (formula_13,formula_20) فراغ معيارى
التقارب - المتتابعة formula_61 في formula_20 تكون تقاربية ل formula_2 في formula_20 إذا كان لكل formula_65 يوجد formula_66 formula_67 formula_68 لكل formula_66 formula_67formula_71 
بحيث لكل formula_68 < formula_71 
formula_74
formula_75
formula_76
الكوشية - المتتابعة formula_61 في formula_20 تكون كوشية إذا كان لكل formula_65 يوجدformula_66 formula_67 formula_68 لكل 
formula_66 formula_67formula_71,formula_86 بحيث لكل
formula_68 < formula_71 ,formula_86
formula_74
formula_91
formula_76
-فراغ بناخ هو فراغ معيارى كامل وهذا يعنى ان كل متتابعة كوشية لها نهاية في هذا الفراغ.
formula_94 عندما
formula_95 = ("x", "x", ..., "x")
وبالتالي هذا الفراغ فراغ بناخى
formula_97
ولكن هذه المسافة لا يمكننا تعريف معيار عليه وهذا يتضح باستخدام النظرية المساعدة حيث أن الشرط (ب) لم يتحقق وبالتالي هذا الفراغ لم يكن فراغ بناخىformula_100
لكل formula_23 ,formula_2 formula_103 formula_20
وهذه المسافة المنفصلة لا يمكننا تعريف معيار عليه هذا يتضح باستخدام النظرية المساعدة حيث أن الشرط (ب) لم يتحقق وبالتالي، إذًا الفراغ لم يكن فراغ بناخى