مبادئ الرياضيات
مبادئ الرياضيات أو أصول الرياضيات (The Principia Mathematica) هو عبارة عن عمل مكون من ثلاثة مجلدات حول أسس الرياضيات كتبه كل من ألفريد نورث وايتهيد وبرتراند راسل، ونُشِرَ في الأعوام (1910 و 1912 و 1913)، وفي (1925-1927) أُصدِرَت طبعة ثانية مع مقدمة مهمة، وملحق A بدل *9 وملحقين آخرين B وC جديدين كليًا.
جاء مبادئ الرياضيات كمحاولة لتمثيل مجموعة من البديهيات وقواعد الاستنتاج في المنطق الرمزي، بحيث يمكن -من حيث المبدأ-إثبات جميع الحقائق الرياضية من خلالها، وعلى هذا النحو، فإنّ هذا المشروع الطموح ذو أهمية كبيرة في تاريخ الرياضيات والفلسفة كونه أحد أهم الأعمال المتجهة للاعتقاد بأن مثل هذا الطرح قد يكون قابلاً للتحقيق، ومع ذلك في عام 1931 أثبتت مبرهنات عدم الاكتمال لغودل بشكل قاطع أن هذه المحاولة وأي محاولة أخرى لن تتمكن من تحقيق هذا الهدف أبداً؛ فأي مجموعة من البديهيات والقواعد الاستنتاجية المقترحة لتغليف الرياضيات، إما أن يكون النظام فيها غير متناسق، أو أن يُوجَد بعض الحقائق الرياضية التي لا يمكن استنتاجها منها.
أحد أهم الإلهامات والدوافع لهذا العمل كان العمل السابق لجوتلوب فريجه حول المنطق الذي ساهم في تأسيس مفارقات راسل، حيث كان السعي في مبادئ الرياضيات لتجنب هذه المشكلة من خلال استبعاد إنشاء مجموعات عشوائية غير مقيدة، وهذا ما تحقق من خلال استبدال مفهوم المجموعة العامة بفكرة التسلسل الهرمي لمجموعات "الأنواع" المختلفة، وهي مجموعة من نوع معين لا تسمح إلا باحتواء مجموعات من الأنواع الأقل درجة، ومع ذلك فإنّ الرياضيات المعاصرة تتجنّب المفارقات مثل مفارقات راسل بطريقة أكثر عملية، مثل نظرية مجموعات زرملو-فرنكل.
لا ينبغي الخلط بين هذا العمل وبين كتاب راسل "مبادئ الرياضيات\الرياضة-1903"، ويُصَرَّح في مبادئ الرياضيات التالي: "إن العمل الحالي كان يقصد به أصلاً أن يكون مجلدًا ثانيًا لمبادئ الرياضيات-1903... لكن مع تقدُّمنا أصبح من الواضح بشكل متزايد أن الموضوع أكبر بكثير مما كنا نفترض، علاوةً على ذلك، بالنسبة للعديد من الأسئلة الأساسية التي تركت غامضة ومشكوك فيها في العمل السابق، وصلنا الآن إلى ما نعتقد أنه حلًا مرضٍ ".
دائمًا ما عُرِف مبادئ الرياضيات بتعقيده الطباعي، وكذلك هو مشهور باستخدامه عدة مئات من الصفحات لإثبات صحة القضية 1 + 1 = 2، وقد وضعته المكتبة الحديثة في المرتبة 23 من قائمة أفضل 100 كتاب غير خيالي باللغة الإنجليزية في القرن العشرين.
يغطي هذا العمل نظرية المجموعات، والأعداد الأصلية، والأعداد الترتيبية، والأعداد الحقيقية فقط، أي لم يتم تضمين نظريات أعمق من التحليل الحقيقي، ولكن في نهاية المجلد الثالث كان من الواضح للخبراء أنه يمكن من حيث المبدأ تطوير كمية كبيرة من الرياضيات المعروفة في هذه الشكلية المتبناة، كما كان من الواضح أيضًا كم سيكون مثل هذا التطوير طويلًا.
كان قد تم التخطيط لمجلد رابع حول أسس الهندسة الرياضية، لكن المؤلفين اعترفوا بالإرهاق الفكري عند اكتمال المجلد الثالث.
كما لوحظ في نقد النظرية التي كتبها كورت غودل، بأنه على عكس النظرية الشكلية"Formalist theory" فإن النظرية المنطقية "logicistic" التي يقدمها هذا العمل لا تملك "البيان الدقيق لبناء الشكلية"، ومن الملاحظ أيضًا أن هذه النظرية تقدم تفسيرات (بمفهوم نظرية النموذج) مباشرة تقريبًا فيما يتعلق بقيم الحقيقة لسلوك الرموز "⊢" (تأكيد الحقيقة)، "~" (لا منطقية، النفي)، و "V" (الفصل، أحدهما صحيح أو كلاهما).
قيم الحقيقة: يرسخ "مبادئ الرياضيات" مفاهيم "الحقيقة" و"الزيف" في مفهوم "القضايا الأولية"، والنظرية الشكلية (النقية) لن تقدم معنى الرموز التي تشكل "القضايا الأولية" - يمكن للرموز نفسها أن تكون عشوائية وغير مألوفة على الإطلاق، فالنظرية تحدد فقط كيف تتصرف الرموز بناء على قواعد النظرية، ولاحقًا بتعيين "القيم" سيحدد النموذج تفسيرًا لما تقوله الصيغ، وهكذا في رمز كلين الشكلي المبين أدناه، يوضع بين قوسين "تفسير" المعنى الشائع للرموز، وبشكل ضمني كيف يتم استخدامها في نهاية المطاف، وعلى سبيل المثال "¬ (ليس)"، لكن هذه ليست نظرية شكلية نقية.
تُقدَّم النظرية الشكلية التالية كنقيض للنظرية المنطقية لكتب مبادئ الرياضيات، وسيكون البناء المعاصر لنظام شكلي على النحو التالي:
تحتوي نظرية مبادئ الرياضيات على أوجه تشابه كبيرة واختلافات مشابهة مع النظرية الشكلية المعاصرة، يقول كلين(Stephen Cole Kleene)، إن "استنتاج الرياضيات من المنطق يُقَدَّم كبديهيات حدسية، كان المقصود بأن تُصدَّق البديهيات، أو على الأقل تُقبَل على أنها فرضيات معقولة حول العالم"، وفي الواقع على عكس النظرية الشكلية التي تتلاعب بالرموز وفقًا للقواعد يقدم مبادئ الرياضيات فكرة "قيم الحقيقة"، أي الحقيقة والزيف في المعنى الواقعي، و"تأكيد الحقيقة" كعناصر خامسة وسادسة في بنية النظرية (مبادئ الرياضيات 1962: 4–36):
يظهر التكافؤ المنطقي ثانيةً كتعريف: p ≡ q .=. ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p).
لاحظ مظهر الأقواس، هذا الاستخدام القواعدي غير مميز ويظهر بشكل متقطع؛ حيث تلعب الأقواس دورًا مهمًا في سلاسل الرموز، على سبيل المثال، نستخدم الرمز "(x)" أحيانًا عوضًا عن الرمز المعاصر "∀x".
بحسب "الأسس المنطقية للرياضيات " لرودولف كارناب: أراد راسل نظرية يمكن القول بشكل معقول أنها تستمد جميع الرياضيات من البديهيات المنطقية البحتة، ومع ذلك فإن "مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica" تطلبت بالإضافة إلى البديهيات الأساسية لنظرية النمط، ثلاث بديهيات أخرى بدا أنها غير صحيحة كمجرد مسائل منطقية، وهي بديهية اللانهائية، بديهية الاختيار، وبديهية الاختزال، وبما أن البديهيتين الأولى كانتا بديهيات وجودية، فقد صاغ راسل عبارات رياضية تعتمد عليها كشروط، ولكن في الاختزال كان من المطلوب التأكد من أن البيانات الصورية يمكنها حتى التعبير بشكل صحيح عن تحليل حقيقي، وبذلك البيانات المعتمدة عليها لا يمكن إعادة صياغتها كشروط، وقد جادل فرانك رامزي بأن تشعُّب راسل لنظرية الأنماط غير ضروري، وبذلك يمكن إزالة الاختزال ولكن هذه الحجج تبدو غير حاسمة.
بعيدًا عن وضع البديهيات كحقائق منطقية، يمكن للمرء أن يسأل الأسئلة التالية عن أي منظومة مثل "مبادئ الرياضيات-Principia Mathematica":
حساب القضايا كان في حد ذاته معروفًا باتساقه، ولكن هذا لم يكن في بديهيات "مبادئ الرياضيات" لنظرية المجموعات (مسألة هيلبرت الثانية)، وقد اشتبه راسل ووايتهيد بأن منظومة عملهم غير كامل.
في عام 1930، أوضحت نظرية الاكتمال لغودل أن منطق تنبؤ الرتبة الأولى نفسه كان كاملًا بشكلٍ أضعف بكثير- أي جملة غير قابلة للإثبات من مجموعة معينة من البديهيات يجب أن تكون خاطئة في بعض نماذج البديهيات، ومع ذلك هذا ليس الاكتمال المرغوب لمبادئ الرياضيات، فأي نظام معين من البديهيات قد يملك العديد من النماذج، في بعضها يكون بيان معين ما صحيحًا وفي بعض الحالات الأخرى يكون هذا البيان غير صحيح، وهكذا يبقى وضع البيان غير محسوم.
تلقي نظريات عدم الاكتمال لغودل ضوء غير متوقع على هاتين المسألتين المتصلتين.
أوضحت نظرية عدم اكتمال الأولى لغودل أنه لا يمكن لأي امتداد تكراري للمبادئ أن يكون متسقًا وكاملًا بنفس الوقت بالنسبة للبيانات الحسابية، وفقًا للنظرية: في كل نظام منطقي تكراري قوي بما فيه الكفاية (مثل Principia)، هناك بيان G يقرأ "البيان G لا يمكن إثباته"، ومثل هذا البيان نوع من الحالات المتناقضة (كاتش22)، إذا تم إثبات G فالعبارة خاطئة وبالتالي فإن النظام غير متناسق، وإذا كان G غير قابل للإثبات فالعبارة صحيحة وبالتالي النظام غير مكتمل.
تُظهِر نظرية عدم الاكتمال الثانية (1931) أنه لا يمكن استخدام أي نظام شكلي موسع للحساب الأساسي لإثبات اتساقه، وبالتالي لا يمكن أن يثبت بيان "لا توجد تناقضات في نظام المبادئ" في نظام المبادئ ما لم تكن هناك تناقضات في النظام (في هذه الحالة يمكن إثبات كل من الصحة والخطأ).
انتقد فيغنتشتاين المبادئ بمحاضراته حول أسس الرياضيات على أسس مختلفة:
ولكنه اعترف مع ذلك بأن المبادئ قد تجعل بعض الحسابات اليومية أوضح.
قدم غودل عام 1944 في "منهج راسل الرياضي- Russell's mathematical logic": "مناقشة نقدية لكن متعاطفة مع التنظيم المنطقي للأفكار".