دوال حسابية
الدوال الحسابية هي المواد الأساسية في دراسة النظرية الحسابية . الدوال الحسابية هي التماثلية الرسمية للفكرة البديهية للخوارزمية. . وهي تستخدم لمناقشة الحسابية دون الإشارة إلى أي نموذج ملموس من الحساب مثل آلات تورنغ أو آلات التسجيل. ورغم ذلك فإن أي تعريف يجب أن يكون له مرجعية لبعض النماذج المحددة من الحساب ولكن كل التعريفات الصحيحة تحقق نفس الدرجة من الوظائف. نماذج معينة من الحاسوبية التي تؤدي إلى مجموعة من الوظائف الحسابية هي دوال تورنغ الحسابية ودوال المايكرو المتكررة.
قبل التعريف الدقيق للدالة الحسابية، غالباً ما كان يستخدم علماء الرياضيات المصطلح غير الرسمي محسوب بشكل فعّال . لقد أصبح هذا المصطلح منذ ذلك الحين معرّف بالدوال الحسابية . لاحظ أن الحاسوبية الفعّآلة لهذه الدوال لا تدل على أنه يمكن حسابهم بطريقة فعّآلة (بمعنى: يتم حسابهم في قدر معقول من الوقت). في الحقيقة، بالنسبة لبعض الدوال المحسوبة بشكل فعّال فهي قد تظهر أن أي خوارزمية تقوم بحسابهم سوف لن تكون فعّآلة في إدراك أن الوقت المنصرم من الخوارزمية يزيد باطراد ( أو حتى باطراد مضاعف) مع مدة المدخلات. مجالات الحاسوبية العملية و التعقيد الحسابي تدرس الدوال التي قد تكون محسوبة بشكل فعّال.
طبقاً لفرضية تورنغ-الكنيسة ، فإن الدوال الحسابية هم بالضبط الدوال التي من الممكن أن يتم حسابها باستخدام أداة حساب ميكانيكية بفرض وجود كمية غير محدودة من الوقت ومساحة التخزين . بالمقابل، وتنص هذه الفرضية على أن أي دالة التي لها خوارزمية يمكن حسابها. لاحظ أن الخوارزمية في هذا المعنى تُفهم على أنها سلسلة متعاقبه من الخطوات التي يمكن لشخص لديه وقت غير محدود وإمداد غير منتهي من الأقلام والأوراق أن يتبعها . 
يمكن استخدام بديهية بلام لتعريف النظرية المجردة للتعقيد الحاسوبي على مجموعة من الدوال حسابية . في نظرية التعقيد الحاسوبي، مشكلة تحديد تعقيد الدالة المحسوبة يعرف بمشكلة الدالة.
يمكن تعريف طبقة الدوال الحسابية بكثير من النماذج المساوية، وتشمل:
على الرغم من أن هذه النماذج تستخدم تمثيلات مختلفة للدوال، ومدخلاتهم ومخرجاتهم، فإن الترجمات توجد بين أية نموذجين. في بقية هذه المقالة، تستخدم الدوال من الأرقام الطبيعية إلى الأرقام الطبيعية (كما في حالة المثال، دوال ماكرو المتكررة).
كل دالة حسابية د تأخذ رقم ثابت ومتناهي من الأرقام الطبيعية كوسيط . لأن الدوال تكون جزئية بشكل عام، فقد لا يكونوا معرفين لمُدخل معين، ثم تُعيد رقم طبيعي وحيد كمخرج ( هذا المخرج من الممكن تفسيره كقائمة الأرقام باستخدام دالة التزاوج) . تسمى هذه الدوال أيضاً الدوال المتكررة بشكل جزئي. في نظرية الحاسوبية، يؤخذ مجال الدالة ليصبح مجموعة كل المدخلات والتي تم تعريف الدالة لأجلها .
الدالة التي تعرف بالنسبة لكل الوسائط المتاحة تدعى مجموع. إذا كانت دالة حسابية هي مجموع، فهي تدعى دالة مجموع حسابية أو دالة مجموع متكررة.
الملحوظة د(س1...سط) ↓تدل على أن الدالة الجزئية د معرّفة في الوسائط س1...سط والملحوظة د(س1...سط) = ص تدل على أن د معرّفه في الوسائط س1...سط وأن القيمة العائدة هي ص. في حالة أن الدالة د غير معرفه للوسائط س1...سط يرمز لها بأن( س1...سط) ↑
الصفة الأساسية للدالة الحسابية هي أنه يجب أن يوجد إجراء متناهي (خواريزم) ليخبرنا كيف يمكننا حساب الدالة . نماذج الحساب المذكورة أعلاه تعطي تفسيرات مختلفة لما يكونه الإجراء وكيف يستخدم، ولكن هذه التفسيرات تشترك في الكثير من الخصائص . حقيقة أن هذه النماذج تعطي طبقات متساوية لمنبع الدوال الحسابية من حقيقة أن كل نموذج قادر على قراءة ومحاكاة إجراء ما لأي من النماذج الأخرى، مثل المحوّل البرمجي فهو قادر على قراءة التعليمات بلغة كومبيوتر واحدة ويقذف بالتعليمات في لغة أخرى.
إندرتون [1977] يعطي الخصائص التالية للإجراء لحساب دالة حسابية، وقد منحت صفات مشابهة عن طريق تورنغ [1936] روجرز [1967] وغيرهم.
ولذلك فإن كل دالة حسابية يجب أن يكون لديها برنامج متناهي والذي يصف بالكامل كيف سيتم حساب الدالة. من الممكن أن نحسب الدالة ببساطة باتباع التعليمات التالية، لي مطلوب التخمين أو التبصر.
وبشكل بديهي، فإن الإجراء يتقدم خطوة بخطوة، بقاعدة معينة من لتغطية ما تفعله في كل خطوة من الحساب. يمكن تنفيذ العديد من الخطوات قبل عودة قيمة الدالة .
وهكذا إذا وجدنا أي قيمة د( س) فيجب أن تكون هي القيمة الصحيحة، ليس من الضروري لموظف الحساب أن يميز النتائج الصحيحة من الغير صحيحة لأن الإجراء دائماً يكون صحيحاً عندما يأتي بنتيجة .
يستمر إندرتون بسرد توضيحات مختلفة لهذه المتطلبات للإجراء لدالة قابلة للحساب:
المجموعة "أ" من الأعداد الطبيعية تسمى حسابية (المرادف: حروف متشابهة، يمكن تقريره) إذا كانت هناك دالة مجموع حسابية د والتي هي لأي رقم طبيعي ر، د(ر)=خ1 ، إذا كانت ر في "أ" و د(ر) =0 إذا كانت ر غير موجوده في أ . 
تسمى مجموعة من الأرقام الطبيعية متعددة حسابياً (المرادف: متعددة بشكل متكرر، شبه حاسم) إذا كان هناك دالة حسابية د والتي بالنسبة لكل رقم ر ، د(ر) تعرف عندما وفقط عندما تكون ر في داخل المجموعة. وهكذا تكون المجموعة متعددة حسابياً عندما وفقط عندما تكون هي مجال بعض الدوال الحسابية . تستخدم كلمة متعددة لأن التالي مكافئ للمجموعة الفرعية الغير خالية ب من الأرقام الطبيعية :
إذا كانت مجموعة ب هي المدى للدالة د إذاً فإن الدالة يمكن رؤيتها تعدد من ب ، لأن القائمة د(0) ، د(1)، ... سوف تشمل كل عنصر من ب .
لأن كل علاقة منتهاه في الأرقام الطبيعية يمكن تعريفها بمجموعة مطابقة من السلاسل المتعاقبة من الأرقام الطبيعية، مفاهيم العلاقة الحسابية والعلاقة المتعددة حسابياً يمكن تعريفهم من المجموعات المتناظرة معها .
طبقاً للنظرية الحاسوبية في علوم الكومبيوتر ، من الشائع أن تراعي اللغات الرسمية. يعتبر الحرف مجموعة تعسفية . تعتبر كلمة في حرف سلسلة متناهيه من الرموز من الحروف، وقد يستخدم نفس الرمز أكثر من مرة. على سبيل المثال، الحروف الثنائية هي تماماً الكلملت بالحروف {0,1} . اللغة هي مجموعة ثانوية من مجموع كل الكلمات في حرف ثابت . على سبيل المثال، مجموع كل الحروف الثنائية والذي يحتوي بالضبط على ثلاثة حروف هي لغة فوق الحروف الثنائية.
أهم خصائص اللغة الرسمية هي مستوى الصعوبة المطلوب لنقرر ما إذا كانت كلمة معينة موجودة في اللغة . يجب تطوير بعض أنظمة التكويد أو الترميز لتسمح لدالة حسابية بأن تأخذ كلمة تعسفية في اللغة كمدخل ، وهذا في الغالب يعتبر روتيناً . تسمى اللغة حسابية (مرادف: متكررة ، حاسمه) إذا كان هناك دالة حسابية د والتي تكون لكل كلمة ت فوق الحرف ، د(ت)=1إذا كانت الكلمة موجودة في اللغة و د(ت)=0 إذا لم تكن الكلمة موجودة في اللغة . وهكذا، تحسب اللغة فقط في حالة أنه يوجد إجراء قادر على إخبارنا بشكل صحيح عن ما إذا كانت الكلمات التعسفية موجودة في اللغة .
تكون اللغة متعددة حسابياً (مرادف: متعددة بشكل متكرر، شبه حاسمة) إذا كانت توجد دالة حسابية د مثل هذه د(ت) تكون معرفة عندما وفقط عندما تكون الكلمة ت موجودة في اللغة . المصطلح متعددة له نفس علم الكلمة كما في مجموعة متعددة حسابياً من الأعداد الطبيعية.
الدوال التالية حسابية:
لو كانت د و ق حسابيتين، إذاً فهم : د + ق، د * ق ، إذا كانت د هي الأعداد الأحادية، أقصاها (د ، ق) أدناها (د، ق) ووسيط أعظم {ع>= د(س)} والمزيد من الإتحادات .
الأمثلة التالية توضح أن الدالة قد تكون حسابية من خلال أنها قد تكون غير معروفة أي خوارزمي هو المناسب لها .
ومع ذلك، نعلم أن الدالة د يجب أن تكون حسابية)
فيما يتناقض مع الحقيقة التي تقول أنه لا يوجد خوارزمية لحساب الترتيب الكامل، ترتيب∑، بمعنى: (ر) ∑ لجمع قيم (ر) . وبالتالي، فإن طباعة 0، 1، 4، 6، 13 هي خوارزمية عادية لحساب 0∑ ، 1∑، 3∑،4∑ ، وبالمثل لأي قيمة معطاة من ر، توجد خوارزمية عادية مثل هذه (رغم ذلك قد لا يعرف بوجودها أحد ولا يستخدمها أحد ) لحساب 0∑ ، 1∑، 3∑،...، (ر) ∑
فرضية تورنغ-تشرتش تنص على أن أي دالة يمكن حسابها من إجراء يحصل على الثلاثة خصائص المذكورة بالأعلى فهي دالة حسابية . لأن هذه الخصائص الثلاث ليسوا منصوص عليهم بشكل رسمي، فلا يمكننا إثبات فرضية تشرتش-تورنغ. الحقائق التالية غالباً ما تؤخذ كدليل على هذه الفرضية:
تستخدم فرضية تشرتش-تورنغ أحياناً في إثبات استيفاء أن دالة معينة قابلة للحساب عن طريق منحها وصف ملموس لإجراءات الحسابية .
كل دالة حسابية لها إجراءات متناهيه لتعطي تعليمات واضحة وصريحة عن كيفية حسابها . علاوة على ذلك، هذه الأجراءات يجب أن ترمز في الأبجدية المتناهية المستخدمة في النموذج الحاسوبي، لذلك فهناك فقط دوال عديدة قابلة للحسب . على سبيل المثال، قد تكون الدوال مرمزة باستخدام سلسلة من الأجزاء (الأبجدية={1،0} ∑).
الأرقام الحقيقية لا تعد لذلك فمعظم الأرقام الحقيقية ليست حسابية. انظر الأرقام الحسابية . مجموعة الدوال المنتهاه في الأعداد الطبيعية غير معدودة لذلك معظمها ليست حسابية . أمثلة ملموسة على هذه الدوال مثل بوزي بايفر، تعقيد كولموجوروف أو أي دالة تكون مخرجاتها أرقام غير حسابية مثل ثابت تشيتيني.
وبالمثل، معظم المجموعات الثانوية من الأرقام الطبيعية ليست حسابية . كانت مشكلة التوقف هي الأولى في إنشاءها . مشكلة إنستشيدانجز، المقترحة من دافيد هيلبرت، حيث سأل إذا ما كان هناك إجراء فعال لتحديد أي من البيانات الرياضية صحيحة (المرمزه كأرقام طبيعية). تورنغ والكنيسة أظهرت بشكل مستقل في الثلاثينات أن هذه المجموعة من الأعداد الطبيعية ليست حسابية . طبقاً لفرضية تورنغ-الكنيسة ، لا توجد إجراءات فعالة (باستخدام الخوارزميه) يمكنها عمل هذه الحسابات .
فكرة حاسوبية الدالة هذه يمكن أن تكون نسبية لمجموعة تعسفية من الأرقام الطبيعية "أ" 
الدالة د تعرف على أنها الحسابية في "أ" (ويساوي: أ" –الحسابي، أو نسبي بالنسبة إلى "أ") عندما ترضي التعريف الخاص بالدالة الحاسوبية مع المعدلات التي تسمح بالوصول إلى "أ" كأوراكل. طبقاً لمفهوم الدالة الحسابية يمكن إعطاء الدالة الحسابية النسبية تعريفات مساويه على العديد من النماذج المختلفة للحساب . وهذا عادةً ينفذ عن طريق إلحاق نموذج الحساب بعمليات أصلية إضافية والتي تسأل ما إذا كان عدد صحيح معين هو عنصر في "أ" . يمكننا أيضاً الحديث عن د وكونها حسابية في ت عن طريق تعريف ت برسمها البياني .
نظرية العلم الفوق راضي تدرس هذه المجموعات التي يمكن حسابها من عدد حسابي ترتيبي من إعادات قفز تورنغ من المجموعة الخالية. هذا يكافئ المجموعات المعرفة عن طريق كلاً من المعادلات العامة و الوجودية في اللغة من الأمر الثاني الحسابي ولبعض النماذج من الفوق كومبيوتر. لجعلها أكثر شمولية فإن نظريات العودة يتم تدريسها ، مثل نظرية التواتر الإلكتروني والتي أي مجموعة بها يمكن استخدامها كوسيط لدالة التواتر الإلكتروني.
على الرغم من أن فرضية الكنيسة- تورنغ ذكرت أن الدوال الحسابية تشمل كل الدوال مع الخوارزمي، فمن المحتمل أن نعتبر الطبقات الواسعة من الدوال والتي تريح المتطلبات التي يجب أن تحصلها الخوارزمية . إن مجال الفوق حاسوبية يدرس نماذج من الحساب والتي تتخطى حساب تورنغ الطبيعي. هذا لا يخرق فرضية الكنيسة –تورنغ حيث أنهم يسمحون بالعمليات التي ، إذا حدث أو لم يحدث تطبيقهم بجهاز فيزيائي، لا يمكن آدائوها بعمل البشر عن طريق قلم و ورقة.