دائرة مقاومة ومكثف
دائرة مقاومة ومكثف، بالإنجليزية Resistor-capacitor circuit أو (RC Circuit) أو (RC Filter) هي دائرة كهربية تحتوي على مقاومات ومكثفات وتعمل بالتيار المتردد. أبسط أنواع تلك الدوائر تحتوي على مقاومة واحدة ومكثف واحد. تستعمل كثيرا في الدوائر الكهربائية والإلكترونيات كمرشح. وتبين الصورة ثلاثة مقاومات مختلفة، وتدل مجموعة الحلقات الملونة المرسومة عليها على قيمتها بالأوم.
توجد أساسا ثلاثة أنواع من الأجزاء التي تعمل كامنة وخطية في الدوائر الكهربية: المقاومة (R) والمكثف (C) والمستحث (L). ويمكن أن توصل هذه المكونات في تشكيلات: دائرة مقاومة ومكثف RC circuitو دائرة مقاومة ومستحث RL circuit ودائرة مستحث ومكثف LC circuit أو دائرة مقاومة ومستحث ومكثف RLC circuit. وتتبوء تلك الأنواع من الدوائر الكهربية مركزا مهما في الإلكترونيات التناظرية analog electronics. وهي تعمل على الأخص كمرشحات كامنة. هذه المقالة تتعلق بنوع دائرة المقاومة ومكثف. تعتمد تلك المقالة على معرفة سابقة بالخواص المركبة لمكونات تلك الدوائر، ومعرفة بالتيار الكهربائي المتردد وتمثيل الإشارات.
تزيد المقاومة المكافئة لمكثف بزيادة الشحنة الكهربية المخزونة فيه. فإذا وصل المكثف بمصدر جهد متردد alternating current، فإن شحنة المكثف تتأرجح بنفس تردد جهد المصدر المتردد. وكلما زاد تردد الجهد كلما تجمعت شحنة أصغر على المكثف بسبب قصر زمن الطور، وبذلك تقل المقاومة المكافئة للمكثف. وهذا ما يفسر العلاقة العكسية بين المقاومة المكافئة للمكثف وتردد جهد المصدر.
المقاومة والمسماة الممانعة المركبة "Z" بالأوم لمكثف ذو سعة "C" فاراد تساوي:
ويكون التردد الزاوي "s" عددا مركبا:
حيث :
باعتبار الدائرة موزع للجهد، نجد أن الجهد عبر المكثف يساوي:
كما نجد الجهد عبر المقاومة:
ويكون التيار متساويا عبر الدائرة كلها حيث أنها موصّلة على التوالي:
تمثل استجابة الدائرة للجهد الموصل بها في هيئة إشارة كهربية، استجابة المكثف والمقاومة.
استجابة المكثف للإشارة:
ويُعطى ستجابة المقاومة للإشارة الكهربية:
حيث تسمى "δ"("t") دالة دلتا لديراك.
الثابت الزمني formula_12 يحدد سرعة انهيار شحنة المكثف أو سرعة شحنه ويمكن التحكم في تلك السرعة بتغيير قيمة المقاومة أو سعة المكثف أو كلاهما معا.
نفترض أن جهد الإشارة الداخلة:
formula_13 عند الزمن formula_14
أي أن Vin تتغير بتغير التردد الزاوي s (أنظر أعلاه)،
وتكون:
وبتحليل تلك العلاقات نحصل على:
تساعدنا تلك المعادلات على حساب الجهد عبر المكثف والمقاومة في وقت زيادة شحنة المكثف. وعند تفريغ المكثف ينعكس تغير المعادلات مع الزمن t. ويمكننا حساب الشحنة وتغيرها مع الزمن C=Q/V كما يمكننا حساب التيار وتغيره مع الزمن V=IR طبقا لقانون أوم.
يميل جهد المكثف لاتخاذ القيمة "V" بمرور الزمن، بينما يتجه جهد المقاومة نحو الصفر كما يبين المنحنيان. ويمكننا فهم ذلك أن المكثف تكتمل شحنته رويدا رويدا حتى تكتمل شحنته، عندئذ يقف التيار وتصبح الدائر مفتوحة.
تبين تلك المعادلات أن دائرة المقاومة ومكثف تتميز بثابت زمني يرمز لهformula_21 وهو الوقت الذي يزيد فيه الجهد عبر المكثف أوينخفض عبر المقاومة بنسبة formula_22 من قيمته النهائية. أي أن formula_23 هو الوقت اللازم لكي تصل formula_24 إلى القيمة formula_25، وجهد المقاومة formula_26 لكي يصل إلى القيمة formula_27.
ومعدل تغير الشحنة هو نسبة formula_28 إلى formula_23. وعلى ذلك عند تغير formula_30 إلى formula_31 يكون الجهد قد تغير بنسبة 63.2 % من قيمته النهائية formula_30. أي أن المكثف يكون قد وصل إلى 63.2 % من شحنته بعد زمن formula_23 ويصل إلى 99.3 % من شحنته النهائية بعد formula_34. وعندما تُغلق الدائرة ويكون المكثف مشحونا تماما ينخفض الجهد عبر C طبقا للدالة الأسية e بالأس "t" من formula_35 إلى 0. وتتفرغ شحنة C إلى 36.8 % (=1/e) بعد مرور formula_23 وتقترب من التفريغ بنسبة 0.7 % بعد زمن formula_34.
نلاحظ أن شدة التيار في تتغير في الدائرة formula_38 مثلما يتغير الجهد عبر المقاومة R وطبقا لقانون أوم.
كما يمكن الحصول على تلك النتائج عن طريق حل المعدلات التفاضلية التي تنطبق على الدائرة:
كما أن:
تُحل المعادلة الأولى باستخدام معامل تكامل ويتبعه حل المعادلة الثانية بسهولة. وتكون الحلول هي نفسها التي وصلنا لها هنا.