دالة زائدية
الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية أو الدائرية.
تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:
كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط formula_1 دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط formula_2 تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
الدوال المثلثية هي:
حيث formula_9 وحدة تخيلية معرفة بأنها formula_10.
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف, formula_11 تعني formula_12, ليس formula_13; وبالمثل للداول الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.
وعليه:
يمكن ملاحظة أن formula_20 وformula_21 هي دوال زوجية، والأخريات هي دوال فردية.
الجيب الزائدي جيب التمام الزائدي يحقق المتطابقة:
وهي مشابهة لمتطابقة فيثاغورث.
الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية هي مسألة القيمة الحدية:
في التعابير السابقة, يدعى 'C" بثابت التكامل.
من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:
حيث
نقطة على القطع الزائد, "x y" = 1 بـ "x" > 1 تحدد مثلث زائدي, وفيه يكون الجانب المجاور للزاوية الزائدية مصحوبا بـcosh بينما العكس مع sinh. لكن بما أن النقطة (1,1) على هذا القطع الزائد هي على مسافة 2√ من نقطة الأصل, ويكون ثابت التعامد ضروريا لتعريف cosh و sinh بدلالة أطوال المثلث الزائدي.
وكما تعبر النقاط formula_63 عن دائرة الوحدة, فإن النقاط formula_64 تعبر عن formula_65 وهذا بناء على القاعدة المثبتة:
والخاصية cosh "t >= 1" لجميع قيم "t".
الدوال الزائديه هي دوال دورية ذات دور مركب formula_67 (formula_68 للظل الزائدي وظل التمام الزائدي.
المتغير البارامتري "t" ليس زاوية دائرية, ولكنه زاوية زائدية والتي توضح ضعف المساحة بي المحور السيني والقطع الزائدي والخط المستقيم الواصل بين نقطة الأصل والنقطة formula_2 على القطع الزائد.
الدالة cosh "x" هي دالة زوجية, متماثلة حول المحور "y".
الدالة sinh "x" is an دالة فردية, أي أن -sinh "x" = sinh -"x", و sinh 0 = 0.
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة اوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام, وبتغيير
sine إلىsinh و cosine إلى cosh, وتبديل الإشارة في كل حد يحوي مضروب من 2, 6, 10, 14... sinh's. وينتج هذا على سبيل المثال نظريات الجمع.
صيغة مضاعف الزاوية
وصيغة نصف الزاوية
يعطى اشتقاق sinh "x" بدلالة cosh "x" واشتقاق cosh "x" هو sinh "x"; وهذا مشابه للدوال المثلثية ولوأن الإشارة تختلف. أي أن، مشتق cos "x" هو −sin "x".
تعطي دالة غودرماني علاقة مباشرة بين الدوال المثلثية والزائدية دون اللجوء إلى الأعداد المركبة.
رسم الدالة a*cosh "x"/a هو منحنى سلسلي, المنحنى الناتج من سلسلة منتظمة مرنة معلقة بشكل حر بتأثير الجاذبية.
من تعريف الجيب الزائدي والتمام, يمكن اشتقاق المتطابقات التالية:
و
وهي تعابير مشابهة لتعابير الجيب وجيب التمام في المثلثات, بناء على صيغة ايولر كمجموع للأسات المركبة.
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh "z" و cosh "z" هي إذن هولومورفية.
وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
وعليه:
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية, إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل, كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.