نظرية تيليجن
نظرية تيليجن هي واحدة من أهم النظريات المتعلقة بنظرية الشبكات، ويمكن اشتقاق معظم مبادئ و نظريات توزيع الطاقة في نظرية الشبكات من خلال هذه النظرية . وتم نشرها عام 1952 بواسطة برنارد تيليجن . أساسا , تعطي نظرية تيليجن علاقة مبسطة بين المقادير التى تتوافق مع قانونا كيرشوف لنظرية الدائرة الكهربائية .
تنطبق نظرية تيليجن على العديد من أنظمة الشبكات . والافتراضات الأساسية للأنظمة هي الحفاظ على تدفق كميات كبيرة ( قانون كيرشوف للتيار) وتوحيد الجهود عند عقد الشبكات ( قانون كيرشوف للجهود ) . وتوفر نظرية تيليجن أداة مفيدة لتحليل أنظمة الشبكات المعقدة بما تشمل الدوائر الكهربائية , الشبكات الأيضية , الحيوية , خط الأنابيب و شبكات العمليات الكيميائية .
باعتبار شبكة كيفية شكلها البياني (formula_1) يحتوي على (formula_2) فروع و (formula_3) عقد، في الشبكة الكهربائية تعتبر الفروع مكونات ثنائية الأطراف و العقد هي نقط التقاطع، وبافتراض أن لكل فرع من الرسم البياني فرق جهد (formula_4) وتيار فرع (formula_5) ل (formula_6)، وبافتراض أنه تم قياسهم مع مراعاة الاتجاهات الأصلية، إذا كان فرق جهد الفروع (formula_7) ترضي جميع القيود الخاصة بقانون كيرشوف للجهد و إذا كان تيارات الفروع (formula_8) ترضي جميع القيود الخاصة بقانون كيرشوف للتيار؛ فإن :
formula_9
نظرية تيليجن غالبا عامة، حيث أنها صالحة لأى شبكة تحتوي على أي عناصر خطية أو غير خطية فعالة أو غير فعالة متغيرة مع الزمن أو غير متغيرة مع الزمن، وتمتد العمومية عندما تكون (formula_4) و (formula_5) عمليات خطية لمجموع فروق الجهد و مجموع تيارات الفروع (على الترتيب) حيث أن العمليات الخطية لا تتأثر بقانونا كيرشوف للجهد والتيار، على سبيل المثال يمكن للعمليات الخطية أن تكون متوسط تحويل لابلاس، يمكن أخذ عينات لمجموعة التيارات عند زمن مختلف من مجموعة فروق الجهد حيث أن قانوني كيرشوف للجهود والتيارات حقيقيان في كل اللحظات الزمنية، امتداد آخر عندما تكون مجموعة فروق الجهود (formula_4) من شبكة واحدة ومجموعة التيارات (formula_5) من شبكة أخرى مختلفة، طالما أن للشبكتين نفس الطوبولوجيا (نفس مصفوفة الحدوث)، وتظل نظرية تيليجن صحيحة، هذا الامتداد يوصل إلى العديد من النظريات المتعلقة بالشبكات ثنائية الأطراف .
نحتاج أن نقدم تعريفات ضرورية للشبكة لتوفير دليل محكم .
نظرية الحدوث : حاصل ضرب (formula_14) في مصفوفة (formula_15) يسمى مصفوفة حدوث عقدة إلى فرع لعناصر المصفوفة (formula_16) وتكون
formula_17
يقدم المرجع أو العقدة المرجعية (formula_18) للتعبير عن البيئة ويتم توصيلها بكل العقد و الأطراف الديناميكية، ويتم إزالة حاصل ضرب (formula_19) في مصفوفة (formula_20)، حيث يحتوي الصف على العناصر (formula_21) للعقدة المرجعية (formula_22) ويطلق على ذلك مصفوفة الحدود القليلة .
قوانين التحويل ( قانون كيرشوف للتيار ) في شكل مصفوفة متجه :
formula_23
شرط تحويل الجهود ( قانون كيرشوف للجهد ) في شكل مصفوفة متجه :
formula_24
حيث (formula_25) هي الجهود المطلقة عند العقد بالنسبة للعقدة المرجعية (formula_22) .
باستخدام قانون كيرشوف للجهد :
formula_27
وبسبب (formula_28) بإستخدام قانون كيرشوف للتيار فإن :
formula_29
يتم تصميم الشبكات التناظرية للعديد من الأنظمة الفيزيائية المتنوعة، وأثبتت أهميتها في تحليل سلوكها الديناميكي، التطبيق التقليدي لنظرية الشبكات ونظرية تيليجن هو نظرية الدائرة الكهربائية، حيث تستخدم بشكل أساسي في تصميم المرشحات في تطبيقات معاجة الإشارة .
التطبيق الأحدث لنظرية تيليجن يكون في منطقة العمليات الكيميائية والحيوية، وتعمم فروض الدوائر الكهربائية ( قانونا كيرشوف ) للأنظمة الديناميكية التى تنصاع لقوانين الديناميكا الحرارية الغير معكوسة، و يمكن تحليل تصميم شبكات التفاعل ( أليات التفاعل و الشبكات الأيضية ) بإستخدام نظرية تيليجن.
تطبيق آخر من تطبيقات نظرية تيليجن هو تحديد الإستقرار والمثالية لأنظمة العمليات المعقدة مثل المحطات الكيميائية أو أنظمة إنتاج البترول . ويمكن تشكيل نظرية تيليجن لإجراء العمليات على الأنظمة باستخدام العقد الأطراف توصيلات التدفق و السماح للمصادر بإنتاج أو اتلاف الكميات الكلية .
صيغة نظرية تيليجن لإجراء العمليات على الأنظمة :
formula_30
حيث ( formula_31) هي رموز الإنتاج , (formula_32) هي توصيلات الأطراف , و (formula_33) هي رموز التخزين الديناميكية للمتغيرات الكلية .