فراغات حاصل الضرب القياسي وفراغات هيلبرت
يمكننا تعميم مفهومى "الضرب القياسى" و "التعامد" على الفراغات الاتجاهية سواء الحقيقية أو المركبة وهذا ما يقودنا إلى تزويد الفراغ الاتجاهى ببنية اضافية للحصول على فراغ حاصل الضرب القياسى و فراغ حاصل الضرب القياسى الكامل الذي يسمى ب "فراغ هيلبرت"
ليكن V فراغا اتجاهيا على المجال K (الحقيقى أو المركب) .لنفترض انه يقابل كل زوج من المتجهات u,v اللذان ينتموا للفراغ الاتجاهى V عدد حقيي formula_1 ينتمى للمجال K
يسمى هذا الراسم حاصل الضرب القياسى في V إذ حقق البديهيات التالية:
1-::formula_2 (موجب)
2- 0=formula_3 إذا كان وفقط إذا كان u=0 (محدد)
3-::formula_4 (متماثل إذا كان مجال الأساس 
حقيقيا)و(مرافق لنفسه إذا كان مجال الأساس مركبا)
4-::formula_5
ان الفراغ الاتجاهى المزود بحاصل الضرب القياسى يسمى فراغ حاصل الضرب القياسى
وكذلك فراغ حاصل الضرب القياسى الكامل وهو الذي فيه كل متتالية كوشية لها نهاية في هذا الفراغ يسمى 
بفراغ هيلبرت
واستنادا إلى البديهيات 3 و 4 نستنتج
وهذا يعنى ان حاصل الضرب القياسى شبه خطى في المركبة الثانية
إذا كان لدينا ⟨•,•⟩ حاصل ضرب قياسى على الفراغ الاتجاهى V , فنعرف أولا المعيار المرتبط بحاصل الضرب القياسى على أنه
ومن هنا فان فراغات حاصل الضرب القياسى تكون فراغات معيرة وكذلك فراغ هيلبرت يكون فراغ باناخى
ونعرف ثانيا المسافة بين نقطتين x,y في فراغ هيلبرت بمعرفة المعيار على أنها
ومن هنا فان فراغ حاصل الضرب القياسى يكون فراغ المسافة
ونشير إلى هذة الخاصية الأخيرة التي تتحقق نتيجة لعدم التساوى والتي تسمى متباينة كوشى- شفارتز وهي
ايا كان المتجهان x,y فان
حيث أن التساوى يتحقق إذا كان و فقط إذا كان x,y مرتبطين خطيا
1-الفراغ الاقليدى formula_10 هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى
لذلك فهو فراغ هيلبرت
2-الفراغ المركب formula_12 هو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى
لذلك فهو فراغ هيلبرت
3-الفراغ "ℓ" المؤلف من المتتابعات (اللانهائية من الاعداد المركبة) حيث أن هذه المتسلسلة
تقاربية
فهو فراغ كامل ومعرف عليه حاصل الضرب القياسى كالتالى
لذلك فهو فراغ هيلبرت
1-خصائص هندسية
يمكننا تعميم نظرية فيثاغورث على فراغات حاصل الضرب القياسى:
ليكن V فراغ حاصل الضرب القياسى. نقول عن المتجهين u,v انهما متعامدان إذا كان
"formula_1 = 0.ونرمز لها بالرمز
وعندما يصبح المتجهان متعامدان فان
حيث لاى عدد n من المتجهات المتعامدة نستنتج ان
يمكننا أيضا تعميم خاصية متوازى الأضلاع وهى ان مجموع مربعات اطوال الاقطار يساوى مجموع مربعات اطوال الأضلاع الاربعة حيث ان 
نستطيع القول بان الفراغات المعيرة تعرف حاصل الضرب القياسى حيث ان formula_20 اذا كان وفقط اذا كان خاصية متوازى الأضلاع صارت متحققة
على سبيل المثال الفراغ ℓ حيث p≠2 ليس فراغ حاصل ضرب قياسى لان المعيار المعرف عليه لا يحقق خاصية متوازى الأضلاع، حيث أن هذا الفراغ فراغ كامل وليس فراغ حاصل ضرب قياسى فانه ليس فراغ هيلبرت.
2-خصائص تحليلية
يقال عن متجهان في فراغات حاصل الضرب القياسى انهم متجهات عيارية متعامدة إذا كانوا متعامدان، وطول كل متجه يساوى الوحدة، ومجموعة المتجهات تشكل فئة عيارية متعامدة إذا كان كل متجهان معا متعامدان وطول كل متجه يساوى الوحدة،وهذة الفئات تشكل أساسا يسمى بالاساس العيارى المتعامد.
-كل فراغ حاصل ضرب قياسى ذو بعد منتهى له أساسات عيارية متعامدة والتي يمكن الحصول عليها من طريقة جرام-شميت التي تحول الأساس الاختيارى لفراغ حاصل الضرب القياسى إلى أساس عيارى متعامد.
توجد العديد من التطبيقات لفراغ هيلبرت في مجالى الرياضيات و الفيزياء
1-يستخدم فراغ هيلبرت في ميكانيكا الكم التي تهتم بدراسة الأجسام الصغيرة جدامثل الإلكترونات و البروتونات حيث تتحول المسافة وكمية الحركة و الطاقة في الميكانيكا الكلاسيكية إلى مؤثر في ميكانيكا الكم وهذا المؤثر معرف على فراغ هيلبرت
2-يستخدم في المعادلات التفاضلية لدراسة سلوك القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمعادلات التفاضلية
3-يستخدم فراغ هيلبرت في متسلسلات فوارير حيث يمكن تمثيل الدالة كتركيبات خطية من دوال مرتبطة بهذة المتسلسلات