نظرية الإجهادات متناهية الصغر
في ميكانيكا المتصل, نظرية الإجهادات متناهية الصغر, يطلق عليها أيضا نظرية التشوه الصغير, نظرية الإزاحة الصغرى, أو نظرية تدرج الإزاحة الصغرى, تتعامل مع "التشوهات لجسم متصل. بالنسبة للتشوه المتناهي في الصغر، تكون الإزاحات ووتدرجات الإزاحة صغيرة جدا مقارنة بالوحدة, أي, formula_1 وformula_2, سامحة لـ "الخطية الهندسية" لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد formula_3, وموتّر أويلر محدود الاجهاد formula_4, بعبارة أخرى الحدود الغير خطية أو حدود الرتبة الثانية لموتّر الاجهادالمحدود يمكن إهمالها. تكون موتّرات لاغرانج وأويلر محدودة الانفعال نفسها تقريبا ويمكن تقريبها بـموتّر اجهاد متناهي الصغر أو موتّر اجهاد كوشي, formula_5. على ذلك,
أو
تستخدم نظرية الاجهادات متناهية الصغر في تحليل تشوهات المواد التي تظهر سلوكا مرنا، مثل المواد الموجودة في تطبيقات الهندسة الميكانيكية والمدنية.
من أجل "تشوهات متناهية الصغر" لجسم المتصل, والتي تكون فيها الازاحة وتدرج الإزاحة صغيرة مقارنة بالوحدة، أي, formula_1 وformula_2, يكون من الممكن "الخطية الهندسية" لموتّر لاغرانج محدود الاجهاد formula_3, وموتّر أويلر محدود الاجهاد formula_4, مع إهمال الحدود الغير خطية، يكون لدينا
أو
و
أو
تقتضي هذه الخطية بأن الوصف اللاغرانجي والوصف الأويلري تكون نفسها تقريبا طالما هناك فرق بسيط في المادة والإحداثيات المكانية لنقطة مادة معطاة في المتصل. لهذا، تكون مركبات التدرج الإزاحي المادي والمكاني متساوية تقريبا وعليه
حيث formula_17 مركبات "الاجهاد متناهي الصغر" formula_18, تدعى أيضا "موتّر إجهاد كوشي", "موتّر اجهاد خطي", أو "موتّر إجهاد صغير".
أو باستعمال علامات أخرى:
أبعد من ذلك,
بأخذ تعبيري لاغرانج وأويلر محدودي الاجهاد بعين الاعتبار يصبح لدينا
باعتبار تشوه ثنائي البعد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بالأبعاد formula_24 × formula_25 (شكل 1), والتي تأخذ شكل المعين بعد التشوه يكون
في كل تدرج إزاحة صغير, formula_2, لدينا
يكون التشوه باتجاه العنصر المستطيل formula_29-معرفا بـ
وإذا علم أن formula_31, يصبح
بالمثل, الاجهاد العمودي باتجاه formula_33, وباتجاه formula_34 يصبح
يعرف الاجهاد القصي الهندسي, التغير في الزاوية بين الخوط المتعامدة للمادة, في هذه الحالة الخط formula_36 وformula_37, تعرف بالعلاقة
من الشكل الهندسي 1 لدينا
للدورانات الصغيرة, أي formula_40 وformula_41 وformula_42 لدينا
مرة أخرى، لتدرجات الإزاحة الصغيرة يكون لدينا
على ذلك
بالتبديل بين formula_29 وformula_33 وformula_48 وformula_49, يمكن اثبات أن formula_50
يمكن ملاحظة أن مركبات اجهاد القص الموترية لموتر الاجهاد متناهي الصغر يمكن التعبير عنها باستخدام التعريف الهندسي للاجهاد, formula_51, بالعلاقة
formula_52
من نظرية الاجهاد المحدود لدينا
وعليه لدينا من الاجهاد متناهي الصغر
بالقسمة على formula_55 يصبح
للتشوهات الصغيرة نفرض أن formula_57, يصبح الحد على الطرف الأيسر : formula_58.
وعليه
حيثformula_60, متجه الوحدة باتجاه formula_61, والجانب الأيسر من التعبير الاجهاد المتعامد formula_62 باتجاه formula_63. في الحالة الخاصة من formula_63 في اتجاه formula_65 أي formula_66, لدينا
بالمثل, formula_68 وformula_69 يمكن إيجاد formula_70 وformula_71 للإجهاد العمودي على التوالي. لذلك, تكون العناصر القطرية لموتر الاجهاد العمودي هي الاجهادات العمودية باتجاه الاحداثيات.
إن "التعرض" (التغير النسبي في الحجم) هو أثر الموتر:
في الواقع, إذا أخذنا مكعبا بعين الاعتبار بطول حافة "a", فإنه شبه مكعب بعد التشوه (لا تتغير الزوايا في الحجم) مع الابعاد formula_73 و"V" = "a", وعليه
عندما نأخذ التشوهات الصغيرة بعين الاعتبار,
هي لذلك الصيغة.
في حالة القص النقي, يمكن ملاحظة أنه لايوجد تغير في الحجم.
موتر الاجهاد متناهي الصغر formula_17, يمكن التعبير عنه مثل التعبير عنيموتر الاجهاد كمجموع من موترين اخرين:
حيثformula_80 متوسط الاجهاد المعطى بالعلاقة
يمكن الحصول على موتر محرف الاجهاد بطرح موتر متوسط الاجهاد من موتر الاجهاد متناهي الصغر:
بالنسبة لمركبات الاجهاد الموصوفة سابقا formula_17 تمثل معادلة موتر الاجهاد formula_84 نظاما من ست معادلات تفاضلية لإيجاد مركبات الازاحة الثلاث formula_85, بإعطاء نظاما مكتمل التحقيق. لذت, لايوجد حل بشكل عام لمركبات اختيارية من الاجهاد. لهذا السبب, يتم افتراض بعض القيود والتي تدعى "معادلات التوافق". بإضافة معادلات التوافق الثلاث، يتم إنقاص المعادلات المستقلة إلى ثلاثة, والتي تتلائم مع مركبات الازاحة المجهولة. اكتشفت هذه القيود من قبل ساينت- فينات، كما يطلق عليها "معادلات توافق ساينت-فينات".
تفيد دالة التوافق في التأكد من دالة ازاحة متصلة وحيدة القيمة formula_85. إذا كان الوسط المرن مرئيا على هيئة مكعبات متناهية الصغر في الحالة اللااجهادية, بعد اجهاد الوسط, قد لاينتج عن موتر اجهاد اختياري حالة تظل فيها المكعبات متسقة فيما بينها بدون تداخل.
بعلامة المعامل, يعبر عن معادلات التوافق
في مركبات الهندسة التطبيقية, الاجهاد والتوتر هي موترات ثلاثية الأبعاد ولكن ذات بنية منشورية مثل قضيب معدني طويل, يكون الطول أكبر بكثير من البعدين الاخرين. يكون التوتر المصاحب للطول, أي التوتر العمودي formula_88 وتوترات القص formula_89 وformula_90 (إذا كان الطول هو البعد الثالث) يتم مقارنتها بمادة أخرى قريبة وتكون أصغر بالمقارنة "بالتوترات المقطعية العرضية". يمكن مقاربة موتر الاجهاد حينئذ بالعلاقة:
حيث تشير المعاملات ذات الخطوط المضاعفة إلى موتر من الرتبة الثانية. تدعى حالة التوتر "توتر المستوى". يكون موتر الاجهاد المقابل هو:
حيث أن formula_93 الغير صفرية مطلوبة لإبقاء الثابت formula_94. يمكن إزالة هذا الحد مؤقتا من التحليل والإبقاء على حدود المستوى, إنقاص المسألة الثلاثية البعد بكفاءة إلى مسألة ثنائية البعد.
الاجهاد ضد أو عكس المستوى هو حالة مكانية أخرى من الاجهاد التي يمكن أن تحدث في جسم، مثلا في منطقة قريبة من الخلع. يعطى موتر الاجهاد لضد المستوى بالعلاقة