عدد متسام
في الرياضيات، عدد متسام هو كل عدد حقيقي أو عقدي لا يكون حلا لأية معادلة حدودية:
formula_1
حيث formula_2 وتكون المعاملات formula_3 أعدادا صحيحة (وبالتالي جذرية)، وأن يكون على الأقل أحد تلك المعاملات غير منعدم. إذن يكون العدد متساميا إذا وفقط إذا لم يكن جبريا.
لا يمكن أن تكون الأعداد المتسامية أعدادا جذرية. ومع ذلك، ليست كل الأعداد اللاجذرية متسامية: جذر مربع العدد 2 هو عدد لاجذري، ولكنه حل للمعادلة formula_4.
مجموعة الأعداد المتسامية هي مجموعة غير قابلة للعد. والبرهان بسيط: بما أننا نستطيع عد الحدوديات ذات معاملات صحيحة، وبما أن كل حدودية تقبل عددا منتهيا من الحلول، فإن مجموعة الأعداد الجبرية هي مجموعة قابلة للعد.
في حين، ينص برهان القطر لكانتور على أن مجموعة الأعداد الحقيقية (وبالتالي حتى العقدية) هي مجموعة غير قابلة للعد. وبالتالي مجموعة الأعداد المتسامية هي أيضا مجموعة غير قابلة للعد. بتعبير آخر، الأعداد الجبرية أقل بكثير من الأعداد المتسامية. ولكن عددا قليلا فقط من فئات الأعداد المتسامية معروف، ويبقى من الصعب البرهان على أن عددا ما هو عدد متسام.
نتائج: لتكن A مجموعة الأعداد الجبرية الحقيقية، إذن:
A جسم جزئي من formula_5. وبشكل خاص، المجموعة A مستقرة بالنسبة للجمع والضرب.
A هي مجموعة قابلة للعد، مما يدل على أن A مختلفة عن المجموعة formula_5. (الأعداد المتسامية موجودة).
من المرجح أن يكون لايبنتز أول شخص خمن وجود أعداد لا تحقق معادلات حدودية بمعاملات جذرية. وأتت التسمية "متسام" في البحث الذي نشره سنة 1682 والذي برهن فيه على أن formula_7 ليست دالة جبرية ل formula_8.
أما أول برهان على وجود أعداد متسامية فقد كتبه جوزيف ليوفيل سنة 1844، والذي تضمن بعض الأمثلة، مثل عدد ليوفيل:
حيث يكون العدد النوني بعد الفاصلة 1 إذا كان n عامليا (أحد الأعداد 1، 2، 6، 24، 120، 720،...) ويكون 0 في الحالات الأخرى. ويمكن تقريب هذا العدد بشكل خاص بأعداد جذرية. برهن ليوفيل على أن الأعداد التي تحقق هذه الخاصية (والتي تعرف باسم أعداد ليوفيل) هي أعداد متسامية.
تظنن يوهان هنريك لامبرت، في مقاله الذي برهن فيه أن العدد formula_9 ليس جذريا، أن العددين formula_10 وformula_9 هما عددان متساميان. وقد برهن تشارلز هيرمت، سنة 1873، على أن العدد formula_10 هو عدد غير متسام. ليكون بذلك أول عدد برهن على أنه متسام دون أن ينشئ كذلك. وفي سنة 1874، وضع جورج كانتور البرهان المذكور أعلاه والذي يقود إلى أن مجموعة الأعداد المتسامية غير قابلة للعد.
في سنة 1882، نشر فيردينوند فون ليندمان برهانا على أن العدد formula_9 هو عدد متسام. برهن في البداية على أن العدد formula_14 مرفوع إلى أية قوة هو عدد متسام، وبما أن formula_15 جبري، فإن formula_16 وبالتالي formula_9 متساميان. عمم كارل ويرستراس هذه المقاربة في مبرهنة ليندمان-وايرستراس. وبمعرفة أن العدد formula_9 متسام، أمكن البرهان على استحالة عدة إنشاءات هندسية بالبركار والمسطرة، وهذا يشمل الإنشاء الأكثر شهرة, وهو تربيع الدائرة.
في سنة 1900، طرح ديفيد هيلبرت سؤالا مهما بخصوص الأعداد المتسامية، يعرف باسم مسألة هيلبرت السابعة: « إذا كان a عددا جبريا غير منعدم ويخالف 1، وكان b عددا جبريا لاجذريا، فهل سيكون العدد formula_19 متساميا بالضرورة؟ ». وكان الجواب نعم، سنة 1934 بمبرهنة جيلفوند شنايدر. يستطاع بسهولة الحصول على أعداد متسامية بفضل تلك المبرهنة، مثلا: formula_20، وformula_21.
توسع آلان بيكر في هذا المجال في الستينيات.
حيث formula_42 هو الجزء الصحيح للعدد formula_43. مثلا: من أجل formula_44 يساوي هذا العدد:
كل دالة جبرية غير ثابتة لمتغير عددي تعطي قيما متسامية إذا طبقنا عليها عددا متساميا. مثلا: بمعرفة أن العدد formula_9 متسام، نستنتج مباشرة أن formula_47، formula_48، formula_49 وformula_50 هي أعداد متسامية كذلك.
في المقابل، يمكن لدالة جبرية لعدة متغيرات أن تعطي قيمة جبرية إذا طبقنا عليها أعدادا متسامية، عندما لا تكون تلك الأعداد مستقلة جبريا.
مثلا، العددان formula_9 وformula_52 متساميان، ولكن formula_53 ليس متساميا. لا نعرف طبيعة formula_54، ولكن نحن متأكدون من أن أحد العددين formula_54 وformula_56 متسام بالضرورة. بشكل عام: من أجل عددين متسامين a و b، فسيكون على الأقل أحد العددين ab و a+b متساميا. للتأكد من ذلك، نعتبر الحدودية formula_57. إذا كان ab و a+b جبريين معا، فستكون هذه الحدودية بمعاملات جبرية، وبما أن الأعداد الجبرية تكون جسما جبريا مغلقا، فهذا يستلزم أن a و b حلي المعادلة عددان جبريان، وهذا تناقض. وبالتالي أحد العددين ab و a+b على الأقل متسام.
من بين الأعداد التي لا نعرف ما إذا كانت متسامية أم لا:
جميع أعداد ليوفيل هي أعداد متسامية، ولكن ليست جميع الأعداد المتسامية هي أعداد ليوفيل. يجب على حدود كل عدد لليوفيل، عند تفكيكه إلى كسور مستمرة، ألا تكون قابلة للحصر. إذن باستعمال برهان التعداد، يمكن أن نبين وجود أعداد متسامية أخرى غير أعداد ليوفيل. باستعمال التفكيك إلى كسور مستمرة للعدد e سنجد أنه ليس عددا لليوفيل. برهن كرت مالر سنة 1953 أن العدد e ليس عددا لليوفيل. وتظنن كذلك أن جميع الكسور المستمرة والتي حدودها محصورة وليست دورية ابتداء من رتبة معينة، هي أعداد متسامية.
ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:
نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة formula_67 التي تحقق المعادلة:
بحيث يكون كلا العددان formula_69 وformula_70 مخالفين للصفر.
نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.
نضرب طرفي المعادلة بـ formula_71، في حين سنستعمل الترميز التالي formula_72 كاختصار للتكامل:
سنصل إلى المعادلة:
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:
حيث
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :formula_78 هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد formula_79 ليس كذلك.
والسبب في أن formula_78 عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.
ولكي نبرهن على أن:
نشير أولا إلى أن formula_83 هو جداء الدوال formula_84 وformula_85. وباستعمال المحد العلوي لـ formula_86 وformula_87 على المجال formula_88 وبما أن:
وهذا كاف لإكمال البرهان.
يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.