تحويل ليجاندر
تحويل ليجاندر في الرياضيات و الفيزياء (بالإنجليزية:Legendre Transformation ) هو تحويل رياضي ينتسب إلى عالم الرياضيات أدريان ليجاندر يختص بتحويل التماس ويشكل طريقة حسابية هامة لتحويل المتغيرات في الدوال الرياضية . فهو يحول دالة من نوع formula_1 
إلى دالة formula_2
حيث ينشأ المتغير formula_3 من مشتقة الدالة 
formula_4 .
أي أن :
formula_5
وبالعكس:
formula_6
ويمكن كتابة معادلات قبل وبعد التحويل كالآتي:
الغرض من تحويل ليجاندر هو تغيير اعتماد دالة formula_8 على المتغير formula_9 
إلى اعتمادها على متغير آخر formula_10 حيث :
فعندما نصيغ الدالة formula_1 المعتمدة على 
formula_9
يصبح الدالة formula_2 أيضا معتمدة على المتغير formula_10 .
وعندما نقوم بمعلية التفاضل الكلي ل formula_18 نحصل على:
وبالمقارنة ب formula_20 و formula_21
نحصل على :
أي أن :
وبعد إجراء التكامل نحصل على:
وتسمى الدالة 
formula_2 دالة ليجاندر المحولة من الدالة formula_4 . ولا أهمية لإشارة الدالة 
formula_3
لذلك يمكننا كتابة
ويعتمد اختيار الإشارة على المعني الفيزيائي للدالة formula_3 .
سنوضح تحويل ليجاندر بواسطة الرسم المرسوم أعلاه : يمكن رسم المنحنى الأحمر عن طريق استبدال كل نقاطه بتحويلات ليجاندر التي تعطينا عددا كبيرا من المماسات التي تحيط وتمس المنحنى الأحمر. وهذا ما تقوم به تحيلات ليجاندر . فالدالة الناتجة formula_2 ترتب ميل الممسات formula_10
لكل نقطة بحسب تقاطع خط التماس مع المحور Y . إذاّ فتلك الممسات تصف المنحني وصفا كاملا - ولكن باستخدام إحداثية أخرى ، وهي formula_10 بدلا من formula_9.
يتغير اعتماد دالة formula_35 تعتمد على المتغير formula_9 إلى 
متغير آخر formula_10
عن طريق التفاضل الجزئي للدالة formula_4 بالنسبة إلى formula_9 كالآتي:
ويمثل فيها formula_41 الميل الهندسي في الاتجاه x من الدالة formula_35 .
ذلك نتحدث عن تحويل ليجااندر بأنه "تحويل مماسات " . وتسمى الدالة formula_43
"دالة ليجراند المحولة" .
ويمكننا استنباط دالة ليجراند المحولة كالآتي: يمكن كتابة الدالة formula_35 على الصورة :
وإذا عرّفنا 
formula_46, حصلنا على دالة ليجراند المحولة :
في أغلب أحوال توضع formula_48 ونحصل على :
بالنسبة إلى التعريف الأخير يكون الجزء formula_50 لنقطة المماس على 
formula_35
مع اتخاذ المستوي formula_52 هي دالة ليجراند المحولة . وتوصف الدالات في ذلك المستوي بأنها "مقطع المحور" .
أي ينشأ تبديل المتغيرات من خلال طرح حاصل ضرب الإحداثيات الأولية و الجديدة formula_53 
من الدالة الأصلية :
ويبدو ذلك واضحا عند مشاهدة إلى التفاضل الكلي لدالة ليجاندر المحولة :
يطبق تحويل ليجاندر في الفيزياء في مسائل الترموديناميكا الإحصائية ، مثل تحويل معادلات الانتقال بين الجهود الترموديناميكية تحت طروف معينة وكذلك عند الانتقال من دالة ليجاندر إلى ميكانيك هاميلتون أو إلى ميكانيك لاغرانج .
وفي علم الحركة الحرارية نستخدمها مع اختيار الإشارة السفلى ، أي بوضع 
(formula_56).
ويقوم تحويل ليجاندر - وكذلك تحويل نقاط الممسات بصفة عامة - بوظية هامة ي الميكانيكا و حساب التغيرات وفي نظرية المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى . وعند استخدام دالة ليجراندر المحولة في الميكانيكا نستخدم الإشارة العليا في المعادلة (formula_57) طبقا للمتفق عليه.
في الميكانيكا نستنبط معادلة هاميلتون من معادلة لاغرانج عن طريق استخدام تحويل ليجاندر:
وفي الترموديناميكا يمكننا عن طريق تحويل ليجاندر استنباط الجهد الترمويناميكي من المعادلات الأساسية للترموديناميكا. عندئذ يمكن الانتقال من الطاقة الداخلية "U" (وهي تعتمد على الإنتروبيا) "S" إلى طاقة هيلمهولتز "F" التي تعتمد على درجة الحرارة "T":
وهنا يختص تفاضل المعادلة 
"(U(S,V,N" بانسبة لإنتروبيا "S", حيث نضع كلا من "V" و "N" كثوابت .
بالمثل نستخدمها عند دراسة جهد ترموديناميكي و تحوله إلى جهد آخر ، مثلما يحدث عند الانتقال من الإنثالبي "H" إلى طاقة جيبس "G":
وبالمثل نستطيع الحصول على جهود ترموديناميكية أخرى أننا عن طريق تحويل ليجاندر نستطيع الانتقال إلى إحداثيات معممة والتي عن طريقها يمكننا استبدالها بالقوة الترموديناميكية المقترنة.
الدالة الأسية e
لها دالة تحويل ليجاندر 
 "x" ln "x" − "x"&nbsp
حيث أن مشتقاتها الأولى e و  ln "x" معكوسة بالنسبة لبعضها .
وهذا يبين أن ليس من الضروري أن يتفق الحيزين الرياضييين للدالتين مع بعضهما .
كذلك بالنسبة إلى الدالة التربيعية :
حيث "A" مصفوف متناظر غير متغير 
(مصفوف "n"-في-"n") ودالة تحويل ليجاندر له هي: