تكامل متعدد
التكامل المتعدد هو أحد أنواع التكامل المحدد الموسع ليشمل الدوال المعرفة في أكثر من متغير مثل formula_1 أوformula_2
كما هو الحال في التكامل المحدد لدالة موجبة في متغير واحد الذي يمثل مساحة المنطقة الواقعة بين منحنى الدالة والمحور السيني، كذلك فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة في متغيرين يمثل حجم المنطقة الفاصلة بين السطح المعرف بالدالة (في النظام الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث formula_3 والمستوى المحتوي لمجاله. (لاحظ أن نفس الحجم يمكن التوصل إليه باستخدام التكامل الثلاثي - تكامل دالة في ثلاث متغيرات- للدالة الثابتة "formula_4" فوق المنطقة المذكورة سابقا بين السطح والمستوى). إذا كان هناك عدد أكبر من المتغيرات فان التكامل المتعدد سيؤدي إلى احجام ضخمة من الدوال المتعددة الأبعاد.
التكامل المتعدد لدالة formula_5 المعرفة في formula_6 متغير: formula_7 على مجال formula_8 يتم في الغالب تمثيله بتداخل عدة إشارات تكامل بالترتيب متعاكس في الحساب(الإشارة إلى أقصى اليسار تحسب آخراً التي تسبقها لليمين تحسب قبلها وهكذا)يتم إجراءها على الدالة وتعريفات المكاملات بترتيب مناسب (التعريف في أقصى اليمين يحسب آخراً وهكذا). مجال هذا التكامل يتم تمثيله إما رمزيا لكل مكامل على إشارة تكامل، أو غالبا يتم اختصاره بمتغير في أقصى يمين الإشارة التكاملية:
formula_9
وبما أنه من المستحيل حساب المشتق العكسي لدالة في أكثر من متغير، فإن التكامل المتعدد الغير محدد لا وجود له. لذلك فإن كل التكاملات المتعددة هي تكاملات محددة.
افترض ان formula_6 عدد صحيح أكبر من 1. افترض مستطيلا نصف مفتوح في formula_6 بعداً(من الآن فصاعداً سنسميه ببساطة مستطيلا). بالنسبة للمستوى: formula_12, والتكامل المتعدد هو مجرد تكامل ثنائي.
formula_13
قم بتقسيم كل فترة formula_14 إلى عدد من الفترات الجزئية غير المتداخلة بحيث تكون كل منها مغلقة عند النهاية اليسرى ومفتوحة عند النهاية اليمنى. بالكتابة، يرمز لكل فترة جزيئة بالرمزformula_15 .عائلة المستطيلات الجرئية الناتجة ذات الصيغة:
formula_16
هي جزئية من formula_17 بمعنى أن المستطيلات الجزئية formula_18 هي مستطيلات غير متداخلة واتحادها يعطينا formula_17.
بعد أي من المستطيلات الجزئية formula_18 هو-من التعريف- الطول الأكبر من الفترات التي حعلتنا نتحصل على formula_18، وكذلك فإن بعد اي مجموعة معطاة جزئية من formula_17 معرف كأكبر بعد من أبعاد المستطيلات الجزئية في تلك المجموعة الجزئية.
افترض أن formula_23 هي دالة معرفة على المستطيل formula_17. اعتبر التجزيئ التالي
formula_25
من formula_17 المعرفة آنفاً. حيث formula_27 هي عدد صحيح موجب. مجموع ريمان هنا هو المجموع بالصورة:
formula_28
حيث، لكل formula_29 فان النقطة formula_30 تقع في النفطة formula_31 هو ناتج الأطوال من الفترات التي ناتجها الكارتيزي هو formula_32
في هذه الحالة تسمى دالة formula_5 متكاملة ريمان إذا كانت النهاية
formula_34
معرفة أو موجودة. حيث ان النهاية تحسب لكل جزئيات formula_17 ذات البعد formula_36. إذا امكن تكاملformula_5 بريمان فان formula_38 تسمى تكامل ريمان ل formula_5 على formula_17 ويكتب:
formula_41
تكامل ريمان لدالة معرفة حول مجموعة ذات formula_6 بعدا يمكن تعريفها بتوسيع تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح قيمه تساوي الصفر خارج مجال الدالة الأصلية. إذن فان تكامل الدالة الأصلية على المجال الأصلي هي تكامل الدالة الموسعة على مجالها المستطيل، إذا وُجد.
ما يلي تكامل ريمان في formula_6 بعداً سوف يسمى تكاملا متعددا
التكامل المتعدد له العديد من الخصائص المشابة لخصائص تكامل الدوال في متغير واحد(الخطية، التجميع، الاطرادية، الخ). بالإضافة لذلك ،وكما في المتغير الواحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لايجاد متوسط الدالة على مجموعة معطاة. أي انه لأي مجموعة معطاة ودالة قابلة للتكامل formula_5 على formula_8، القيمة المتوسطة لـ formula_5 على مجالها يعطى بـ:
formula_47
حيث "formula_48" هو مقياس formula_8
في حالة ""، فإن تكامل :
formula_50
هو تكامل ثنائي ل formula_5 على formula_17. وإذا كانت "" فان تكامل:
يكون تكامل ثلاثي ل formula_5 على formula_17.
لاحظ انه بالتحويل يكون هناك إشارتي تكامل للتكامل الثنائي وثلاث إشارات للتكامل الثلاثي، وهذا يعتبر مجرد تسهيل كتابي يكون عملي عندما نحسب التكامل المتعدد كتكامل متتابع iterated integral (كما سنبين لاحقاً في هذا المقال)
حل المشكلات باستخدام التكامل المتعدد غالباً ما يتم عن طريق إيجاد طريقة لاختزال التكامل المتعدد ليصبح في هيئة سلسلة من التكاملات في متغير واحد تحل كل منها بصورة مباشرة.
أحياناً يمكن الحصول على نتيجة التكامل بدون حاجة للتعديل
في حالة الدالة الثابتة فإن النتيجة مباشرة، ببساطة نقوم بضرب المقياس بالدالة الثابتة formula_56 . إذا كانت formula_57 وكانت متداخلة مع منطقة جزئية من R فإن الناتج هو مساحة المنطقة، في حين يكون الناتج هو حجم المنطقة في حالة R
لنكامل formula_5على "D" بالنسبة ل "x" أولا:
إذا وُجد في المجال تماثلٌ حول واحد من المحاور على الأقل، وكانت الدالة لها زوجية parity واحدة على الأقل بالنسبة لمتغير معين. في هذه الحالة تكون قيمة التكامل صفرا (مجموع القيم المتساوية والمتضادة صفر).
من الكافي –في الدوال على R – ان يكون المتغير التابع فردي مع محور التماثل.
و"T" = "x" + "y" ≤ 1 مساحة التكامل (قرص ذو نصف قطر 1 يتركز عند نقطة أصل المحور شاملاً المحيط).
مستخدما خاصية الخطية يمكن تفكيك التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
خد الدالة ("f"("x", "y", "z") = "x" exp("y" + "z"
ومنطقة التكامل هي كرة ذات نصف قطر 2 متركزة في نقطة أصل المحور "T" = "x" + "y" + "z" ≤ 4.
الكرة متماثلة حول جميع المحاور الثلاثة، لكن يكفي ان نكاملها باعتبار محور "x" فقط لنجد أن التكامل يساوي صفرا؛ ذلك لأن الدالة فردية بالنسبة لذلك المتغير "x".
صيغ الاختزال تعتمد على مبدأ المجال البسيط للتمكين من تفكيك التكامل المتعدد إلى عدة تكاملات في متغير واحد(وهي نفس عملية حسبان الاشتقاق الجزئي).
اذا كان "D" مجال مقيس عمودي على محور "x" وformula_63هي دالة مستمرة؛ فإن (α("x" و(β("x" (بالتعريف في الفترة ["a", "b"]) هما دالتين اللتين تحددان "D". إذن:
اذا كان "D" مجال مقيس عمودي على محور "y" وformula_63هي دالة مستمرة؛ فإن(α("y" و(β("y" (بالتعريف في الفترة ["a", "b"]) هما دالتين اللتين تحددان "D". إذن:
اعتبر أن المنطقة formula_67(انظر الشكل المقابل). احسب:
formula_68
امتداد هذه الصيغ إلى التكاملات الثلاثية مشابه نوعاً ما:
"T" هو مجال عمودي على المستوى "xy" باعتبار الدوال (α ("x","y" و(β("x","y"، إذن:
حدود التكامل غير سهلة التغيير عادة، (بدون normality أو مع صيغ معقدة للمكاملة)، نقوم بـ"تغيير المتغيرات" لنعيد صياغة التكامل في منطقة أسهل في التعامل، والتي يمكن وصفها بصيغ مماثلة. لعمل ذلك يجب جعل الدالة تتماشى مع الإحداثيات الجديدة.
المحتوية على الاشتقاقات الجزئية من التحويل والمتعلقة بالمتغير الجديد (على سبيل المثال التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).
توجد ثلاثة أنواع من تغيير المتغيرات (واحد في R واثنان في R)؛ لكن البديل المناسب يمكن إيجاده باستخدام نفس المبدأ بصورة أكثر عمومية.
في R إذا كان المجال له تماثل دائري وتوفرت في الدالة مواصفات "معينة" يمكننا حينها التحويل إلى احداثيات قطبية(انظر للمثال المقابل) مما يعني أن النقاط المبدئية("P(x,y" في النظام الديكارتي تتحول إلى النقاط التي تمثلها في النظام القطبي مما يسمح بتغيير صورة المجال وتبسيط العملية.
المحددة الجاكوبية لهذا التحويل هي:
والتي تم التحصل عليها بادخال المشتقات الجزئية ل("x" == ρ cos(φ و("y" == ρ sin(φ في العمود الأول باعتبار ρ، وفي العمود الثاني باعتبار φ، لذا فإن التفاضلات "dx dy" في هذا التحويل تصبح ρ "d"ρ "d"φ.
ما ان تحول الدالة وتقيم المجال يصبح من الممكن أن تعرف الصيغة لتغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية
لاحظ أن φ صالحة في الفترة [0, 2π] بينما ρ والتي تمثل مقياس الطول لابد أن تكون موجبة القيمة.
الدالة هي "ƒ"("x", "y") = "x" والمجال هو نفس مجال المثال (2-د).
في R التكامل على مجالات ذات قواعد دائرية يمكن ان يتم عن طريق التمرير في الإحداثيات الأسطوانية؛ تحويل الدالة يتم من خلال العلاقة التالية:
يمكن تحويل المجال بيانياً لأن الاختلاف الوحيد يكون في شكل القاعدة، بينما الارتفاع يتبع شكل منطقة البداية.
مثال(3-أ):
ولأن العنصر "z" لا يتغير خلال التحويل فإن المشتقات "dx dy dz" تتفاوت كما في التمرير في الإحداثيات القطبية؛ لذلك يصبحون "ρ dρ dφ dz".
أخيراً من الممكن تطبيق الصيغة النهائية للإحداثيات الأسطوانية:
هذه الطريقة سهلة ومناسبة للمجالات الأسطوانية والمخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها افراد فترة "z"، وحتى تحوبل القاعدة الدائرية والدالة.
مثال(3-ب):
بعض المجالات في R لها تماثل دائري، لذلك فمن الممكن تحديد احداثيات كل نقاط منطقة التكامل بزاويتين ومسافة واحدة لذلك نستخدم "التمرير في إحداثيات كروية "، ويتم تحويل الدالة بالعلاقة:
لاحظ أن النقاط الموجودة على محور "x" لا تمتلك مواصفات دقيقة في الإحداثيات الكروية، لذلك فقد تتراوح "formula_101" بين 0 وπ.
من الواضح ان أفضل مجال تكاملي لهذا التمرير هو الكرة.
مثال (4-أ):
خذ المجال formula_102 (دائرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على المنطقة: formula_103
محددة الجاكوبي لهذا التحويل هي التالية:
مثال (4-ب):
مثال (4-جـ):
لنفترض أننا نرغب في مكاملة دالة في عدة متغيرات "f" خلال منطقة "A" :
لهذه الحالة نكون التكامل الثنائي
يتوجه النظر إلى التكامل الداخلي أولاً والذي نكامله باعتبار "x"، يجب اجراء هذا التكامل قبل مكاملة الدالة بالنسبة ل"y". لاحظ أننا في البدء نعتبر "y" ثابتاً حيث أنها ليست متغير التكامل.
بعد ذلك نكامل بالنسبة ل "y"
حجم متوازي المستطيلات ذو الأضلاع 4×6×5 نتحصل عليه بطريقتين:بفضل الطرق المفصلة أعلاه يمكن تبيين قيمة الحجم لبعض الأجسام:في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، نقوم باستعمال التكامل المعتل الثنائي أو التكامل المعتل الثلاثي.
حسب نظرية فوبيني Fubini's theorm :
هذا يعني أنه إذا كان التكامل محدد مطلقاً فان نفس النتيجة التي نحصل عليها بالتكامل المتعدد يمكن الحصول عليها بالتكامل المتتابع،
يحدث ذلك تحديدا عندما تكون |(f(x,y| دالة محددة، و"A" و"B" مجموعتان محددتان.
إذا لم يكن التكامل متقارب مطلقاً يجب العناية وعدم خلط مبادئ التكامل المتعدد والتكامل المتتابع، خاصة أن كلاهما يكتب بنفس الرموز. الرمز:
يعني في بعض الحالات تكاملاً متتابعاً وليس تكاملاً ثنائياً حقيقياً. التكامل الخارجي في التكامل المتتابع
هو تكامل باعتبار "x" لدالة "x" التالية
من ناحية أخرى، التكامل الثنائي يعرف باعتبار المساحة في المستوى "xy". إذا وُجد تكامل ثنائي فانه يكون مساوياً لكل من التكاملين المتتابعين على حدا (إما ""dy dx"" أو""dx dy"") ويتم حسابه عادة بحساب أحد التكاملين المتتابعين. ولكن أحياناً يوجد التكاملين المتتابعين إذا وفقط إذا لم يكن هناك تكامل ثنائي، ويكونان في هذه الجالة ذوي قيم متغايرة عن بعضهما كما في المثال:
وهو اعادة ترتيب افتراضي للتكامل المتقارب شرطياً. نكتب
الذي يمكن استعماله للتأكد من أننا حسبنا التكامل المتعدد وليس المتتابع
تستخدم هذه التكاملات في العديد من التطبيقات الفيزيائية
في الميكانيكا، يحسب عزم القصور الذاتي كتكامل حجم (تكامل ثلاثي) للكثافة الموزونة مع مربع المسافة من المحور:
في الكهرومغناطيسية، يمكن كتابة معادلات ماكسويل في صورة تكامل ثلاثي لحساب المجالات الكهربية والمغناطيسية الكلية
فس المثال التالي حصلنا على المجال الكهربي بتوزيع للشحنات تم الحصول عليه عن طريق تكامل ثلاثي لدالة متجهة