معادلة من الدرجة الأولى
المعادلة من الدرجة الأولى هي كل معادلة يكون فيها أس الأعداد المجهولة هو 0 أو 1 فقط. على غرار مشاكل التناسبية، عموما يُعتبر هذا النوع من المعادلات بسيطا وسهلا نسبيا، لكن يمكن العثور على بعض الحالات المعقدة قليلا والتي تستلزم القيام بمجموعة من العمليات الجبرية.
هناك ما لا نهاية من المعادلات من الدرجة الأولى، وذلك نظرا لكون هناك ما لا نهاية من الأعداد ... من بين المعادلات من الدرجة الأولى:
لقد بدأ حل المعادلات من الدرجة الأولى مع خوارزميات بابليين ومصريين، ثم بعد ذلك تلتها طرق ، وبعد ذلك تم العثور على طريقة عن طريق العرب، لتأتي بعدها والتي تستعمل رموزا وأدوات واضحة.
يطبق هذا المبدأ عندما تكون هناك تناسبية في الظاهرة، حيث تكون هناك محاولة في تحديد المكان الخاطئ ومن ثم استنتاج الحل.
لقد تم استعمال مثل هذه الطرق منذ قدم الزمن، تحديدا في عصر البابليين:
«لدي حجر، لكنني لا أستطيع تقدير كتلته، وبعدما أضفت عليه سُبُعَ وزنه، قدرت الوزن الكلي فوجدت 1 ما-نا (وحدة الكتلة). ما هي الكتلة الأصلية للحجر؟»
في هذه الحالة، يمكن إعطاء قيمة اعتباطية لا غير (العدد الخاطئ) لوزن الصخرة، على سبيل المثال 7.
هذه القيمة لا تُعطى هكذا أو صدفة، بل تُحسب بالطريقة البسيطة المبينة أسفله:
"إذا كانت الصخرة تزن تقريبا 7 ما-نا (وحدة الكتلة)، فسُبُع 7 هو 1، يعني أن الصخرة انخفضت كتلتها ب 6 ما-نا، وبالتالي فهي أكبر ب 6 مرات من القيمة المبحوث عنها (1 ما-نا)".
وحتى تنخفض كتلة الصخرة لتصل تقريبا إلى 1 ما-نا، يجب منذ البداية أخد صخرة أكبر 6 مرات، وبالتالي فالحل هو 6/7 ما-نا.
قد تبدو هذه الطريقة صعبة، حيث كانت تُستعمل منذ زمن بعيد، أما طريقة حل مشكل الصخرة هذه فهو على الشكل التالي:
هذه الطريقة لا تعمل إلا مع بعض الأمثلة، فعلى سبيل المثال لو كان المجاهيل في طرف المتساوية والأعداد المعروفة في الطرف الآخر، من بين المعادلات المقترحة في المقدمة، فقط الأولى هي الصالحة في مثل هذه الحالات.
هذه هي معادلة هذا المشكل، في حالة ما افترضنا أن الحرف P هو وزن الصخرة:
p - p/7 = 1
يطبق مبدأ تحديد المكان الخاطئ المضاعف عندما لا تكون هناك تناسبية في الظاهرة. حيث ينبني على القيام بمحاولتين (إيجاد عددين خاطئين) ومن ثم استنتاح الحل الصحيح (أو الفرضية الصحيحة)، ومن الأفضل القيام باقتراح قوي (صحيح) وآخر ضعيف (نسبيا غير صحيح).
مثال: في قطيع من الأبقار، إذا ثم تغيير ثلث هذه المواشي ب 17 بقرة، فإن عدد الأبقار الإجمالي سيكون 41. كم هو عدد الأبقار الحقيقي؟
نأخد 24 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 16 فقط. ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 33 بقرة، وبالتالي هو أصغر ب 8 بقرات من القيمة التي نود الحصول عليها (41 بقرة).
نأخد 45 بقرة، بعد ذلك نحذف منها الثلث ليصبح عدد الأبقار 30 فقط، ثم نضيف 17 بقرة للقطيع فيكون الناتج هو 47 بقرة، وبالتالي هو أكبر ب 6 بقرات من العدد المرجو (41 بقرة)
إذن العدد الحقيقي للأبقار هو متوسط الفرضيتان مع أخطاء التقدير المرتكبة:
formula_1
هذه محاولة للشرح دون القيام بحسابات جبرية.
في هذه الإشكالية، ليست هناك تناسبية بين عدد البقرات في البداية وعدد البقرات عند الوصول (في النهاية)، ولكن هناك دوما تناسبية ما بين عدد الأبقار المضافة في البداية وعدد الأبقار المحصل عليها في النهاية:وبالتالي من الممكن بناء وتخطيط جدول التناسبية:
الطريقة الثلاثية تعطي الناتج التالي:
formula_2
مما يعني أن العدد الكلي للبقر هو:
formula_3
كما يمكن استعمال طرق هندية وصينية قادرة على تطبيق هذه الطريقة بدون الحاجة إلى الجبر، هذا بالإضافة إلى استعمال الكتابة الجبرية البسيطة لحل هذه المعادلة:
يتعلق الأمر بحل المعادلة من الدرجة الأولى التالية:
x - x/3 + 17 = 41
هذه المعادلة هي بكل تأكيد مساوية ل:
formula_4
يمكن تعميم كتابة المعادلات من الدرجة الأولى في المعادلة التالية:
formula_7
وبالتالي هناك 3 حالات رئيسية:
كما تكتب المعادلة من الدرجة الأولى على شكل formula_14
في هذه الحالة، فإن المعادلة تقبل حلا وحيدا وهو:
formula_15 
إذا وفقط إذا كان
formula_8
1) حجز كل كرسي في عرضٍ يبلغ 12 دولاراً، المجموعة دفعت 156 دولاراً. كم من شخص في المجموعة؟
المعادلة هي:
12x = 156
إذن هناك 13 شخصا في المجموعة.
2) حجز كل كرسي في هذا العرض يبلغ 12 دولاراً، المجموعة دفعت 206 دولاراً، كم من شخص في المجموعة؟
علما أن الحل سيكون في مجموعة الأعداد الحقيقية:
المعادلة هي 
12x = 206 
هذا العدد ليس حقيقياً، وبالتالي المعادلة لا تقبل أي حل.
3) نبحث عن حل المعادلة
(2x - 2 = 5x - (5 + x
في R.
المعادلات من شكل formula_17
أو formula_18
هي حالات معروفة خاصة بالتناسبية. فحل المعادلة الأولى هو formula_19
حيث أن "a" غير منعدم.
أما حل المعادلة الثانية فهو formula_20
بشرط أن يكون كل من "a" و "b" غير منعدم.