تحلل كيو آر
في الجبر الخطي، تحليل QR لمصفوفة هو طريقة التحليل أو الاحلال "QR" وتعرف أيضا بطريقة عوامل "QR" عبارة عن تحليل أو احلال المصفوفة "A" وادخالها في المعادلة : formula_1
من مصفوفة متعامدة "Q" ومصفوفة ثلاثية "R". كثيرا ماتستخدم طريقة التحليل "QR" لحل مسائل المربعات الخطية وايضا تعتبر من الأساسيات خاصة لخوارزميات معامل التحول الخطي.
في حالة ان المصفوفة "A" تحتوي على عدد"N" من الأعمدة الخطية , و العمود الأول "N" من "Q" يشكل أساسا التعامد لمدى المصفوفة A, بالتحديد أول عمود K من "Q" أساس التعامد لإحصاء أو مدى أول عمود "K" من المصفوفة "A" ما بين "1 ≤ k ≤ n".
في الحقيقة أن أي عمود"k" في المصفوفة "A" يعتمد فقط على الأعمدة "k" الأولى من المصفوفة "Q" وهو المسؤول عن التشكيل الثلاثي من "R"]].
الحلول الحسابية "QR" لحساب القيم لمعامل التحول الخطي, والتي تعتبر واحدة من 10 خوارزميات الأكثر أهمية في القرن 20. وقد اكتشف بشكل مستقل من قبل عالم الكمبيوتر البريطاني جون GF فرانسيس في 1959 ، وعالم الرياضيات السوفياتي فيرا في عام 1961.
أي تربيع للمصفوفة "A" يمكن أن يحلل كالاتي :
حيث أن "Q" عبارة عن مصفوفة متعامدة( أعمدتها هي متجهات متعامدة بمعني ان "Q""Q" = "I"))
و أيضا Rعبارة عن مصفوفة ثلاثية ( وتسمى أيضا المصفوفة الثلاثية اليمنى ).
هذا شامل المصفوفة المربعة "A" وايضا مصفوفة الوحدة "Q" من خلال(Q*Q = I).
في حالة أن "A" ليس لها معكوس بالتالي التحليل له حالة خاصة بحيث نحتاج بأن تكون عناصر القطر موجبة .
بشكل عام يمكننا ان نحلل المصفوفة المعقدة "m"×"n" "A" مع "m" ≥ "n" وايضا العملية "m"×"m" بمصفوفة الوحدة "Q" وايضا"m"×"n" بالمصفوفة الثلاثية العليا "R".
حيث "R" عبارة عن "n"×"n" المصفوفة الثلاثية العليا
"0"عبارة عن ("m" − "n")×"n" مصفوفة صفرية 
"Q" عبارة عن "m"×"n" 
, "Q" عبارة عن "m"×("m" − "n")
"Q" و "Q" تمتلك الأعمدة المتعامدة
في حالة ان المصفوفة "A" هوعبارة عن رتبة كاملة لقيمة ال "n" بالتالي بنحتاج إلى ان عناصر القطر تكون موجبة من ال "R" و "R"و"Q" مختلفه , لكن بصورة عامة"Q" ليست كذلك . و "R" يساوي العناصر الثلاثية من تحليل كوليسكي
بالقياس، يمكن أن نحدد قيم QL، RQ، وLQ التحليل، مع "L" كونها المصفوفة الثلاثية السفلى .
هناك عدة طرق لحساب تحليل QR ، مثل Gram–Schmidt process, Householder transformations, or Givens rotations. 
لكل طريقة عدد من المزايا والعيوب.
اباعتبار Gram–Schmidt وتطبيقها على أعمدة المصفوفه كاملة الرتبة formula_4, في الداخل formula_5 أو formula_6 في الحالات المعقدة
يعرف الإسقاط :
then:
بإعادة ترتيب المعادلات أعلاه حيث formula_9s على اليسار، وذلك باستخدام formula_10 كون هي متجهات الوحدة:
حيث أن formula_12. يمكن أن تكتب بشكل مصفوفة:
حيث :
نعتبر التحليل ل:
باستدعاء المصفوفة المتعامدة formula_16 has the property
نقوم بحساب formula_16 by means of Gram–Schmidt كالتالي:
نحصل على:
التحليل RQ يحول المصفوفة "A" إلى مصفوفة ثلاثية عليا "R" (المعروف أيضا باسم المصفوفة الثلاثية اليمنى) والمصفوفة المتعامدة"Q".
والفرق الوحيد بالنسبة التحليل QR هو ترتيب هذه المصفوفات.
تحليل ال QR هو the Gram–Schmidt متعامدة من الأعمدة ل "A", والتي تبدأ من العمود الأول.
تحليل ال QR هو the Gram–Schmidt متعامدة من الصفوف ل "A", والتي تبدأ من الصف الاخير.
Householder انعكاس ويسمى أيضا( التحويل الخطي) هو التحويل الذي يأخذ المتجهات ويعكسها حول المستوى أو المستوى الفائق. يمكننا استخدام هذه العملية لحساب تحليل"QR" من مصفوفة "m"-by-"n" مصفوفة formula_23 مع "m" ≥ "n".
"Q" يمكن استخدامها لتعكس المتجهات أحيانا بجميع الإحداثيات ولكن احداثي واحد ممكن يختفي.
باعتبار ان formula_24 ثابت الابعاد للاعمدة المتجهات ل formula_23 مثل formula_26 للمقياس "α".
لو الطريقة نفذت بااستخدام عدد فاصل عائم, وايضا "α" لابد ان تحصل على إشارة معاكسه كما "k"-th وتنسيق من formula_24 ,بينما formula_28 أن تكون محور التنسيق والتي بعدها كل الإدخالات 0 في مصفوفة ذات الشكل الثلاثي العلوي"A"'s، لتجنب فقدان أهمية المصفوفة .
في الحالات المعقدة وضع :
أو باعتبار ان formula_23 مركب أو معقد:
باعتبار ان 
حيث formula_38 هو تحويل مترافق (tranjugate) من formula_24
formula_16 مصفوفة "m"-by-"m" و : formula_41
وبهذا يمكن أن تستخدم تدريجيا لتحويل "m"-by-"n" مصفوفة "A" إلى النموذج الثلاثي العلوي. أولا، ضربنا "A" مع المصفوفة "Q" لنحصل عندما نختار أول عمود من المصفوفة x. هذه النتائج في المصفوفة "Q""A" مع الأصفار في العمود الأيسر (باستثناء الصف الأول).
هذا يمكن أن يتكرر ل "A"′(تم الحصول عليها من "Q""A" بحذف الصف الأول والعمود الأول)، مما أدى إلى مصفوفة "Q"′. لاحظ أن "Q"′ أصغر من "Q". لأن نريد حقا أن تعمل على "Q""A" بدلا من "A"′ نحن بحاجة إلى توسيعه ليشمل الجانب الأيسر العلوي، واستكمال في 1، أو بشكل عام:
بعد بمقدار formula_44 من التكرارات
في المصفوفة العلوية الثلاثية مثل 
formula_47 هي تحليل QR formula_23.
هذا الأسلوب لديه قدر أكبر من الاستقرار العددي من طريقة Gram–Schmidt أعلاه. ويبين الجدول التالي عدد العمليات في خطوة "k"-th ال من QR-التحليل ، على افتراض مصفوفة مربعة مع حجم "n".
تلخيص هذه الأرقام على مدى "n" − 1 الخطوات (لمصفوفة المربعة لحجم "n")، وصعوبة الخوارزميات (من حيث ضرب النقطة ) بواسطة :
لنحسب التحليل ل:
في البداية نوجد معكوس الصف الأول للمصفوفة "A", vector formula_51, to formula_52
الآن,
و
هنا,
لذلك
الآن لاحظ:
حصلنا تقريبا على مصفوف مثلثة. ونحتاج فقط لتصفير مدخل (3, 2) .
خذ (1, 1) [[مختصر(جبر خطي), وطبق العملية مرة أخرى
باستخدام نفس الطريقة اعلاه, نحصل على مصفوفة التحويل ل the Householder 
بعد القيام بعملية الجمع المباشر ل 1 للتأكد من ان الخطوة التالية تعمل بشكل مناسب.
الآن اوجدنا
Then
المصفوفة "Q" متعامده و "R" مصفوفة ثلاثية علويه, "A" = "QR" تتطلب تحليل QR.
عن طريق التحليل "QR" يمكن أن نحسب سلسلة التدوير للمعطيات. كل دورة تصفر عنصر في المصفوفة العمودية ، وتشكل مصفوفة ثلاثية علوية"R". 
في سلسلة من كل تدوير المعطيات تشكل "Q" مصفوفة متعامدة.
عمليا، لا يتم إجراء Givens rotations فعليا من خلال بناء مصفوفة كاملة والقيام بعملية ضرب المصفوفة. ويستخدم خطوات تدوير المعطيات بشكل مكافئ لمصفوفة الضرب، دون التعامل مع العناصر المتفرقة. تدوير المعطيات مفيد في الحالات التي تحتاج سوى عدد قليل نسبيا من العناصر القطرية لاجل ان تصبح اصفارا ، وبشكل متوازي مكافئة لتحويل ال Householder.
لنحسب التحليل ل:
أولا, نحتاج لتدوير المصفوفة لتصفير العنصر الشمالي الأسفل, formula_69. نكون المصفوفة باستخدام the Givens rotation نستدعي المصفوفة formula_70. بداية ندور المتجه formula_71, لنقطة على طول محور"X" . متجه بزاوية formula_72. نكون تعامد Givens rotation مصفوفة, formula_70:
نتيجة ال formula_76 الآن في صفر في formula_77 element.
بشكل مماثل المصفوفات المعطاه formula_79 و formula_80, التي تصفر العناصر حول القطرية formula_81 and formula_82, مكونة المصفوفة المثلثة formula_83. المصفوفة المتعامدة formula_84 تتكون من تسلسل كل المعطيات matrices formula_85. لذا نحصل على formula_86, و ال "QR" التحليل هو formula_47.
يمكن استخدام التحليل QR للعثور على القيمة المطلقة من المحددات لمصفوفة مربعة. افترض أن تحلل المصفوفة كما يلي formula_88 . لدينا
باعتبار أن "Q" احادية و formula_90
حيث formula_92 هي العناصر القطرية ل "R".
ولهذا، المحدد يساوي حاصل ضرب القيم الذاتية، لدينا
حيث formula_94 القيمة الذاتية ل formula_23.
يمكن تعميم الخصائص المذكورة أعلاه إلى غير المصفوفة المربعة المعقدة formula_23 عن طريق إدخال تعريف QR-التحليل المصفوفة المربعة المعقدة واستبدال القيم الذاتية مع قيم احادية.
لنفترض أن التحليل QR لمصفوفة غير المربعة "A":
باعتبار أن formula_98 مصفوفة صفرية , و formula_16 مصفوفة وحدة
من خصائص SVD ومحددا للمصفوفة، لدينا
حيث formula_101 القيمة الاحادية ل formula_23.
لاحظ أن القيم الاحادية ل formula_23وformula_83 متطابقة، على الرغم من القيم المعقدة الذاتية قد تكون مختلفة. ومع ذلك، إذا"A"مربعة، وفيما يلي صحيحا:
في النهاية، التحليل QR يمكن استخدامها بكفاءة لحساب حاصل ضرب القيم الذاتية أو القيم الاحادية من مصفوفة.
QR التحليل مع تحوير الأعمدة ينتج مصفوفة التباديل P
تمحور العمود مفيد عندما المصفوفة "A" تكون رتبتها ناقصة. فإنه يمكن أيضا تحسين الدقة الرقمية ."P"عادة ما يتم اختيارها بحيث عناصرالقطر من "R" لا تزيد: 
formula_107.
يمكن استخدامها للحصول على الرتبة الرقميه ل "A" بااقل الحسابات من تحليل القيمة الاحادية، تشكل أساس ما يسمى الكشف عن رتبة لوغاريتمات QR.
مقارنة بالمصفوفة المعكوسة، الحلول العكسية باستخدام التحليل QR هي أكثر استقرارا من الناحية العددية كما يتضح من انخفاض العددالشرطي.
Parker Geophysical Inverse))
لحل الغير محددات (formula_108) المسالة الخطية formula_109 حيث المصفوفة A لها أبعاد formula_110 ورتبةformula_111, أولا تحليل QR للمعكوس A: formula_112, حيث Q المصفوفة العمودية مثالformula_113 , و R يمتلك شكل خاص : formula_114.
حيث formula_115هو formula_116 مربع المصفوفة الثلاثية اليمنى ,والمصفوفة الصفرية تمتلك ابعاد formula_117.formula_117. بعد بعض العمليات الحسابية حل المسألة الخطية ممكن ان تظهر كالاتي 
formula_119
حيث ممكن ان نجد formula_120 بواسطة Gaussian elimination formula_121 بطريقة مباشرة مصفوفة مثلثية .
والطريقة الأخيرة يتمتع بقدر أكبر من الدقة وحساباته أقل.
لإيجاد الحل ل formula_122 للحساب (formula_123) بمسالة formula_124 بحيث نقلل المعيار norm formula_125, أولا تحليل QR ل A: formula_88. الحل يمكن أن يشرح كالاتي formula_127, , حيث formula_128 عبارة عن مصفوفة formula_110 تحتوي على أول عمود formula_130 يمثل أساسيات full formula_16 القاعده المتعامده وحيث أن formula_115 كما سبق.
ما يعادل حالة غير المحدد، يمكن أن نستخدم تبديل عكسي للسرعة وبدقة الحصول على formula_122 من دون معكوس 
formula_115. (formula_128 وformula_115 
غالبا ما تقدمها المكتبات الرقمية باعتبارها "الاقتصادي" التحليل QR).[[تصنيف:تفكيك المصفوفات]]
[[تصنيف:جبر خطي عددي]]