الاستكمال الرياضي بفروق نيوتن
اكتشف طريقة الاستكمال العالم الهندي القديم "آرياباتا" حينما كان يقيس أطوال الأقواس المناظرة للزوايا في الدائرة حيث وصل الي الاستكمال من الدرجه الثانية .
ويعتبر الاستكمال الرياضي الموضوع الأبرز في التحليل العددي ، إذ يشكل قلب ونواة التحليل العددي الكلاسيكي. وذلك لسبيبن رئيسيين، السبب الأول يعود لحاجتنا المستمرة في البحث عن قيمة لدالة من بيانات مجدولة أثناء معظم المسائل الحسابية، أما في تلك المسائل والنقاشات الغير مجدولة فلكي نجد قيمة للدالة عند واحدة أو أكثر من النقاط الغير مدرجة في جدول البيانات ،فلابد لنا من أن نستكمل تلك الدالة ونستخدم طرق الاستكمال. والأكثر من ذلك أن الحاجة للاستكمال تكمن في كون أن البيانات المجدولة التي تُعطى إلينا في معظم المسائل تكون لها من الدقة العالية الشيء الكثير، حتى وإن كانت بيانات محدودة. لذلك قدم التحليل العددي الكلاسيكي مجموعة متطورة جدا من الطرق المختلفة للاستكمال الرياضي. أما بالنسبة للسبب الثاني لأهمية الاستكمال الرياضي فيعود لكون أن معظم الطرق العددية الكلاسيكية في شتى القطاعات قد تم استناتجها واشتقاقها من طرق الاستكمال()، فتلك الطرق العددية المستخدمة في الاشتقاقات، تكاملات المعادلات التفاضلية العادية، المعادلات التربيعية، وغيرها من قطاعات التحليل العددي الكلاسيكي قد طُورت واشتُـقّـت مباشرةً انطلاقًا من طرق الاستكمال الرياضي. بالرغم من أن الطرق المستخدمة في التحليل العددي الحديث لا تعتمد ذاك الاعتماد الكبير على طرق الاستكمال؛ لوجود طرق أخرى اشتُقت منها إلا أن هذا لا يتعارض مع الدور الكبير والفائدة الجمة للاستكمال وطرق الاستكمال.
ونظرًا لأهمية طرق الاستكمال باستخدام الفروق في الكثير من المسائل والتطبيقات الحسابية، خصصنا هذا الموضوع لمناقشة إحدى أهم هذه الطرق، ألا وهي الاستكمال بفروق نيوتن الأمامية والخلفية.
نفترض أن لدينا دالة formula_1 معرفة وقابلة للاشتقاق ، لها قيم معينة عند مجموعة محددة من النقاط، حيث أن هذه المجموعة من النقاط تسمى بالنقاط المجدولة (tabular points) التي يتم الاعتماد عليها كثيرًا أثناء الاستكمال. الآن الهدف من الاستكمال يكمن في الحصول على قيمة تقريبة للدالة عند واحدة أو أكثر من النقاط الأخرى الغير مدرجة في الجدول، بحيث أن هذا التقريب سيحد من الخطأ الناتج بين القيمة الفعلية والصحيحة للدالة عند النقطة والقيمة التقريبية لها بعد الاستكمال. وصلتنا الرياضية التالية هي الحصول على تقريب للدالة formula_1 من خلال اعتبار أن النقاط و القيم المجدولة المعطاة تمثل الدالة formula_3 التي تعطي قيمًا متساوية مع قيم الدالة formula_1 ( وكذلك بالنسبة لقيم مشتقتها إن وجدت ).
والعلاقة العامة أكثر للاستكمال هي: 
الهدف هو تحديد formula_7 بحيث أن 
تكون مستقلة عن الدالة formula_1 . و بصورة عامة، لأي نقطة غير مجدولة formula_10 نحن نسعى بطرق الاستكمال إلى تحديد formula_7 بحيث أن (3) تتحقق، ولإيجاد تمثيل لـ formula_12 بحيث يمكننا تقدير الخطأ أو على الأقل حده للقيم formula_13
تُعطى صيغة نيوتن الأمامية بالعلاقة التالية:
حيث أن هذه الصيغة تم توليدها كغيرها من الصيغ باستخدام ما يعرف بمخطط لوزيينغ (The lozenge diagram)،حيث عمليات التوليد هذه من المخطط تؤكد أن أي صيغة للفروق تحوي n من الحدود،هي مكافئة جبريًا لصيغة لاجرانج على الفترات المتساوية. وسنقدم برهانًا يوضح كيف أن صيغة نيوتن الأمامية تحقق هذه النتيجة. 
كما أن برهان النتيجة السابقة يتطلب توضيح أن:
نريد أن نثبت أن العلاقة (4) تكافئ جبريًا صيغة لاجرانج الاستكمالية على الفترات المتساوية للنقاط formula_15 .
من كون formula_16 كثيرة حدود من الدرجة n في m، فيكفي إثبات أن formula_17 في العلاقة (4) تساوي formula_18 
ومن ثم فإن formula_19 ستكون كثيرة حدود وحيدة من الدرجة n، والمارة بال n+1 نقطة للدالة formula_20.
باستخدام (4) والعلاقة formula_21
نجد أن
formula_22
عوامل formula_24 في formula_17 تُعطى بالعلاقة:
لكل formula_27 فإن هذا المعامل مساوي للصفر؛ من كون formula_28 عندما formula_29. عندما formula_30 فإن الحد الغير صفري الوحيد في (6) لكل formula_31 يساوي 1. وعندما formula_32
ومن ثم نجد أن الطرف الأيمن من العلاقة (5) ما هو إلا formula_20 ،وبذلك يتم البرهان.
باستخدام مخطط لوزيينغ (Lozenge diagram) يمكن توليد العديد من صيغ الاستكمال، ومنها صيغة نيوتن الخلفية.
في مخطط لوزيينغ بالابتداء من formula_34 والتحرك على طول المستقيمات سالبة الميل و باتجاه اليمين، نتوصل إلى أن :
حيث هذه العلاقة تكافئ صيغة لاجرانج (Lagrangian formula) باستخدام النقاط formula_36 .
تعتبر الرياضيات من أكثر العلوم صلة بالتطبيقات العملية الحياتية، لذلك فإنه ليس من الغريب أن يكون للاستكمال والاستكمال بطريقة نيوتن النصيب الكبير من هذه التطبيقات. 
من أهم القطاعات التي يستخدم فيها الاستكمال بكثرة، نذكر منها ما يلي:
مثال(1): فيما يلي جدول يحوي بيانات لدرجة الحرارة و الضغط لغاز . باستخدام صيغة نيوتن أوجد ضغط الغاز عند درجة حرارة 142°م.
الحل:
نلاحظ أن 142°م تقترب من بداية الجدول لذلك نستخدم صيغة نيوتن الأمامية.
لدينا : formula_37 بالتالي : formula_38
لدينا صيغة نيوتن: 
formula_40
formula_41
إذن ضغط الغاز عندما تبلغ درجة حرارته 142 م° هو 3.899 باسكال.
__________________________________________________
مثال(2):
استخدم صيغة نيوتن للاستكمال في إيجاد عدد الطلاب الذين حصلوا على علامات ليست أكثر من 45 من خلال البيانات التالية :
الحل:
بالتالي فإن: formula_42
وباستخدام صيغة نيوتن الأمامية نجد أن:
formula_43
formula_44
إذن عدد الطلاب الذين حصلوا على علامات ليست أكثر من 45 هو 48 طالب.