تفاضل وتكامل كسري
Fractional calculus is a branch of تحليل رياضي that studies the possibility of taking عدد حقيقي powers or عدد مركب powers of the differentiation operator
and the integration operator "J". (Usually "J" is used instead of "I" to avoid confusion with other "I"-like glyphs and identities.)
In this context the term "powers" refers to iterative application or composition, in the same sense that "f"("x") = "f"("f"("x")). For example, one may ask the question of meaningfully interpreting
as a جذر تربيعي of the differentiation operator (an operator half iterate), i.e., an expression for some operator that when applied "twice" to a function will have the same effect as differentiation. More generally, one can look at the question of defining
for real-number values of "a" in such a way that when "a" takes an عدد صحيح value "n", the usual power of "n"-fold differentiation is recovered for "n" > 0, and the −"n"th power of "J" when "n" < 0.
The motivation behind this extension to the differential operator is that the نصف زمرة of powers "D" will form a "continuous" semigroup with parameter "a", inside which the original "discrete" semigroup of "D" for integer "n" can be recovered as a subgroup. Continuous semigroups are prevalent in mathematics, and have an interesting theory. Notice here that "fraction" is then a misnomer for the exponent "a", since it need not be rational; the use of the term "fractional calculus" is merely conventional.
Fractional differential equations are a generalization of معادلة تفاضليةs through the application of fractional calculus.
An important point is that the fractional derivative at a point "x" is a "local property" only when "a" is an integer; in non-integer cases we cannot say that the fractional derivative at "x" of a function "f" depends only on values of "f" very near "x", in the way that integer-power derivatives certainly do. Therefore it is expected that the theory involves some sort of مسألة القيمة الحديةs, involving information on the function further out. To use a metaphor, the fractional derivative requires some الرؤية المحيطية.
As far as the existence of such a theory is concerned, the foundations of the subject were laid by جوزيف ليوفيل in a paper from 1832. The fractional derivative of a function to order "a" is often now defined by means of the تحويل فورييه or Mellin integral transforms.
A fairly natural question to ask is whether there exists an operator "H", or half-derivative, such that
It turns out that there is such an operator, and indeed for any "a" > 0, there exists an operator "P" such that
or to put it another way, the definition of "dy"/"dx" can be extended to all real values of "n".
التفاضل و التكامل الكسري (Fractional Calculus )
يعتبر البعض هذا العلم جزءا من التحليل الرياضي و يتعامل مع تطبيقات التكامل و الاشتقاق في حالة الرتب الاختيارية، و هذا المجال يهتم بتعميم المشتقة لاقتران (دالة) ما لأي مشتقة ذات رتبة غير صحيحة، فمثلا: نحن في العادة نتعامل مع المشتقة الأولى و الثانية ... أما هذا المجال (التفاضل الكسري) فيفيدنا في ايجاد المشتقة رقم نصف أو 0.3 أو 0.7 ...الخ.
البداية:
بدات أصول هذا الاتجاه في القرن الـ17 حينما وضع نيوتن و لايبنز أساسات التفاضل و التكامل، فقد وضع لايبنز الرمز الشهير (d^n y/dx^n ) ليدل على المشتقة النونية للاقتران(الدالة) f ، فأرسل لاينز رسالة إلى لوبيتال يخبره بهذا الرمز الجديد لكن لوبيتال رد على الرسالة بسؤال محير: " ماذا لو كانت n=1/2 ؟" الرسالة كتبت عام 1695 و تعد اليوم أول ظهور للمشتقة الكسرية.
بدأ العالم الرياضي "ليوفيل" بالتقصي و البحث في الموضوع و اصدر سلسلة ابحاث في الفترة 1832-1837 ، حيث عرف أول عامل(operator ) للتكامل الكسري(fractional integration )، و بعد أن ولج "ريمان" هذا الموضوع و طور عليه ظهر ما يعرف اليوم بتعريف "ريمان-ليوفيل" (Riemann-Liouville fractional operator ) تبع ذلك اهتمام غير مسبوق و تطوير كبير لهذا المجال.