متتابعات مطردة
المتتابعات المطردة Monotone Sequences
نفترض (x = (xn متتابعة من مجموعة الأعداد الحقيقية.
نقول عن x أنها تزايدية increasing إذا حققت المتباينة
... 1
(...,1,1/2,1/3) , (...,1,1/2,1/2,1/2)
(...,b,b,b...,b) إذا كانت 1 > o < b
(...,3+,2-,1+) , (...,1+,-1-,1+)
(...,7,6,2,1,2,3,4) , (...,2,0,1,1/2,1/3).
المتتابعة المطردة من الأعداد الحقيقية تقاربية إذا وفقط إذا كانت محدودة بالإضافة لوجود ملاحظتين:
إذا كان (X=(x متتابعة تزايدية محدودة , إذاً :
إذا كان (Y=(y متتابعة تناقصية محدودة , إذاً :
من نظرية (2.2.3) فإن المتتابعة التقاربية يجب أن تكون محدودة.
وعلى العكس نفرض أن X متتابعة مطردة محدودة ، أيضاً X إما تزايدية أو تناقصية :
(أ) نتعامل أولاً مع الحالة الأولى حيث (X=(xn متتابعة تزايدية و محدودة .
في حال أن X محدودة ، يوجد عدد حقيقي M بحيث أن x ≤ M بالنسبة لكل n ϵ N .
وفقاً لخاصية التمام (6.3.2) لـ :
ونحن سوف نبرهن أن (x* = lim⁡(xn
إذا كان ε>0 معطى و x- ε ليست حد علوي من المجموعة { xn : n ϵ N } و بالتالي يوجد x بحيث أن x- ε < x تحقق أن X متتابعة تزايدية ، يعني أن x ≤ x كلما n ≥ K .
كذلك x-ε < x ≤ x ≤ x< x+ ε بالنسبة لكل n ≥ K .
ولذلك لدينا : x- x│ < ε │ بالنسبة لكل n ≥ K .
بما أن ε >0 عشوائي ، نستنتج أن (xn) تقاربية لــ x .
(ب) إذا كان Y=(yn) متتابعة تناقصية محدودة , فمن الواضح أن (X := -Y =(-y متتابعة تزايدية محدودة .
الآن lim X = -limY وأيضاً في تمرين (4.4.2)
نظرية الإطراد التقاربي تبرهن وجود نهاية من المتتابعة المطردة المحدودة .
أيضاً يعطينا وسيلة لحساب نهاية المتتابعة المقدمة ، و يمكننا تقييم أصغر حد علوي (supremum) في الحالة (أ) ، أو أكبر حد سفلي (infimum) في الحالة (ب) .
أحياناً من الصعب تقييم أصغر حد علوي أو أكبر حد سفلي ، لكن بمجرد أن نعرف أنه موجود غالباً ما يكون من الممكن تقييم النهاية عن طريق وسائل أخرى .
Lim(1/√n )=0
من الممكن التعامل مع هذه المتتابعة بإستخدام نظرية (10.2.3) سنستخدم نظرية رتيبة التقارب.
بوضوح الصفر هو الأدنى للمجموعة{ l/n ϵ N } وليس من الصعب تبين أن الصفر هو أكبر حد سفلي من المجموعة{ l/n ϵ N } 
إذا Lim(1/√n )=0
من ناحيه آخرى نحن نعلم ان ( l/x = l/√n ) محدودة ومتناقصة ونعلم أنها تتقارب إلى عدد حقيقي x
وبما أن ( l/x = l/√n ) تتقارب إلى x يترتب من نظرية (3.2.3) أن X × X = 1/n تتقارب 
إلى x ومن ثم x = 0 من حيث x = 0
ب)نفرض أن h = 1+1/2+1/3+...+1/n
إذا h = h/(n+1) > h
ونحن نرى أن (h) متتابعة تزايدية .
وبإستخدام رتيبة التقارب نظرية (2.3.3)
محاولات لاستخدام الحسابات العددية المباشرة للتوصل إلى التخمين بشأن المحدودية ممكن من المتتابعة (h) يؤدي إلى نتيجه غير حاسمه .
وتشغيل الكمبيوتر يكشف عن القيم التقريبيه h≈ 11.4 من n = 50,000 و h ≈ 12.1 من n = 100,000 .
مثل هذه الحقائق العددية قد يؤدي المراقب العادي أن نستنتج أن المتتابعة محدوده إلا أن المتتابعة هي في الواقع متباينة انشئت من قبل
H = 1+1/2+(1/3+1/4)+...+(1/2+1+...+1/2)
1+1/2+(1/4+1/4)+...+(1/2+...+1/2) >
= 1+1/2+1/2+...+1/2
= 1+n/2
إذا (h) غير محدودة نظرية (2.2.3) تعني أنها تباعدية .
(أ) نفرض أن (Y=(y يمكن تعريفها من قِبل (y≔1 , y≔14(2y+3 بالنسبة لـ n ≥1
ونحن سوف نبرهن أن lim Y= 32
بالحساب المباشر يظهر أن y= 54 و بالتالي لدينا :
y1 < y2 <2
و تبين لنا من خلال الإستقراء الرياضي (induction) أن y <2 بالنسبة لكل n ϵ N , و هذا صحيح بالنسبة لـ n=1,2
إذاً y <2 يُحمل لبعض k ϵ N , إذاً :
yk+1= 14(2yk+3)< 14(4+3)= 74 <2
و هكذا yk+1 <2 ,
إذاً : y <2 بالنسبة لكل n ϵ N .
و تبين لنا الآن من الإستقراء الرياضي أن y 0 يكون تعسفياً ونحدد (s := 12(s+as) لكل n ϵ N ,ويتبين لنا أن المتتابعة (Sn) تتقارب لـ a .
تبين لنا s ≥a لكل n ≥ 2 ,منذ S تعتبر معادله من الدرجة الثانية
s-2s+1s+a=0 هذه المعادله لها جذر حقيقي .وبالتالي بالتمايز 4s+12-4a يجب أن يكون غير سالب, وهذا هو sn+12 ≥a لكلn ≥ 1 .
ونرى أن (S) يتناقص في نهاية المطاف, نلاحظ أن n ≥ 2 لدينا :
s-s= s-12(s+as)= 12 . (s-a)s ≥0
من هنا s ≤ s لكل n ≥ 2 , ومن هذا تعني نظرية المتتابعة المطردة (s:= lim(S
موجود .
بالإضافة إلى نظرية (3.2.3) الحد s يعوض بالعلاقة : (s= 12(s+as
حيث أنها تتبع s = a/s أو s=a حيث s= a.
لغرض الحساب , غالبا ما يكون من المهم أن يكون هناك تقدير لمدى سرعة المتتابعة (S) تتقارب لـ a . وعلى هذا النحو , لدينا a ≤ sn لكل n ≥ 2 , حيث أنها تتبع asn ≤ a ≤sn وبالتالي لدينا :
0 ≤ s-a ≤ s-as=(s-a)s
لكل n ≥ 2 .
باستخدام هذا التباين يمكننا حساب a لأي درجة مطلوبة.
نستنتج من خلال هذا القسم مقدمة تسلسل التي يتقاطع إلى أحد الأرقام الأكثر أهمية "متسام" في الرياضيات، والثانية من حيث الأهمية فقط لــ
لتكن e := (1+1/n) لكل n ϵ N .
ولنعرض الآن أن المتتابعة (E=(e محدوده وتزايديه ؛ وبالتالي فمن التقارب.
الحد من هذه التتابع هو المشهور عدد اويلرe ,الذي قيمته التقريبية 2.718281828459045 التي تؤخذ على أنها قاعدة لوغاريتم "الطبيعية".
إذا ما طبقنا نظرية ذات الحدين، لدينا :
e=(1+1/n)=1+n/1.1/n+n(n-1)/2!.1/n+n(n-1)(n-2)/3!.1/n+...+n(n-1)...2.1/n!.1/n
إذا كان لنا أن تقسيم صلاحيات n في المصطلحات في بسط للمعاملات 
ذات الحدين، نحصل على :
(e=1+1+1/2!(1-1/n)+1/3!(1-1/n)(1-2/n)+………+1/n!(1-1/n)(1-2/n)………(1-n-1/n
لاحظ أن التعبير عن e يحتوي على n+1 الشروط , في حين انه لــ e يحتوي على n+2 الشروط ,
بالإضافة , كل فصل يظهر في e أقل من أو مساوي للفترة المقابلة في e و e لديه فترة موجبة أكثر . ولذلك لدينا :
>...>e1 < e2 ≥ ذلك أن E فترة تتزايد.
لإظهار أن شروط E ومحدودة, نلاحظ انه إذا p = 1,2,…n ثم 1>(l-p/n) بالإضافة !2p-1 ≤ p وهكذا 1/2p! ≤ 1/2p-1
من ثم في حال n ˃ 1 ,إذاً لدينا
1-e<1+1+1/2+1/22+...+1/2n>
نستنتج من نظرية الإطراد التقاربي أن المتتابعة E تقترب إلى العدد الحقيقي الذي هو بين 2 و 3. نحدد عدد e ليكون الحد من هذه المتتابعة.
من خلال تعديل تقديراتنا يمكن أن نجد تقريبية أقرب عقلانية لــe ,ولكن لا يمكننا تقييم ذلك بالضبط , منذ أن e هو عدد غير عقلاني. ومع ذلك، فمن الممكن لحساب e لأكبر عدد من المنازل العشرية كما تريد. ينبغي للقارى استخدام الآلة الحاسبة (أو الكمبيوتر) لتقييم e القيم الكبيرة لـn .