الجاوس التربيعي في الفترة العشوائية
قسم تحليل عددي
صيغ نيوتن كوتس إن إذا اشتقت بمكاملة توليد كثيرة الحدود يعتبر الخطأ في توليد كثيرة الحدود من الدرجة n يتضمن : ( n+1 )
إن اشتقاق الدالة موجود ومعرب لذا صيغة نيوتن كوتس مضبوطة ودقيقة عندما يكون التقريب التكاملي لأي كثيرة حدود من الدرجة أقل من أو تساوي n
تستعمل كل صيغ نيوتن كوتس قيم الدالة في النقاط المتباعدة بالتساوي هذا التقييد سهل عند الصيغ التي تجمع تشكيل القواعد المركبة ويمكن إن ينقص دقة التقريب بشكل ملحوظ
تم اشتقاق معادلات نيوتن كوتس من خلال دمج التعريف ومصطلح الخطأ في التعريف المتعدد من الدرجة n هو ( n+1 ) والواحد مشتقه من الدالة أثناء التقريب و لذلك فان صيغة نيوتن كوتس هو بالضبط عندما يتقارب جزء لا يتجزأ من أي متعدد الحدود لدرجه n≥1 وجميع صيغ نيوتن كوتس تستخدم قيم من الدالة في نقاط متباعدة بالتساوي
وهذا التقييم مناسب عند قيم الجمع بين الصيغ لتشكل مركبه ولكن تقلل بشكل كبير من دقة التقريب
و مثال على ذلك : تطبيقات على شبه المنحرف لتحديد التكاملات في الدوال
و جاوس التربيعي يختار النقاط الأقل مثل قيم formula_1 في الفترة [a,b] والمعاملات formula_2
وهي أختيرت لتقليل الخطأ المتوقع الحصول عليه في التقريب
formula_3
و لقياس هذه الدقة افترضنا إن أفضل اختيار من هذه القيم يودي لأكبر فئة من متعددة الحدود يعني الاختيار يعطي أكبر درجه من الدقة المعاملات formula_2 هي صيغتها في التقريب والقيم formula_1 هي التي تقع في الفترة [a,b] والفترة من التكامل , يعطينا N2 إذا كانت المعاملات متعددة الحدود و لتوضيح الأجزاء عين اختيار المعاملات المناسبة
مثلاً : نختار N=2 والفترة هي [1,-1] والآن نريد تحديدformula_6 من صيغ التكاملات :
formula_7
وتكون النتيجة دقيقه إذا كانت f(x) من الدرجة 3 أو اقل
formula_10
وهذا يبين إن الصيغة تعطي نتائج دقيقه عندما formula_11والآن نحتاج إلى formula_6
formula_13
formula_14
formula_15
ونتبين إن هذا النظام لديه حل formula_16
وهو يعطي هذه الصيغة :
formula_17
هذه الصيغة من الدرجة 3 أي أنها تنتج نتيجة دقيقه لكل متعدد الحدود من الدرجة 3 أو أقل
و علما إن P(x) متعدد الحدود من درجه أقل من n فان قليل متعدد الحدود هي :
formula_18
والجذور بسبب متعدد الحدود هي تميز تمدد في [-1,1] تناظر أو تماثل فيما يتعلق في الأصل وهي أهم من الاختيار الصحيح لتحديد المعاملات التي تعطينا العقد formula_1 هناك حاجة لإنتاج التكامل تقريبا صيغه إن يعطي نتائج دقيقه لأي متعدد الحدود من درجة أقل من 2n هي جذور درجة من عشر درجة متعدد الحدود وهذا هو الذي أنشأ النتيجة التالية :
افترض ان formula_1 هي جذور من عشر متعدد الحدود Pn(x) ولكل i=1,2,3…n وc1 تعرف بـ
formula_21
P(x) أي متعدد الحدود من درجة أقل من 2n فإن :
formula_22
مثال :
قربي formula_23 باستخدام جاوس التربيع عند n=3
الحل :
من خلال الجدول يعطينا :
formula_24
إذا من أجزاء يمكن استخدامها لإظهار ان القيمة الحقيقية للتكامل هي 1.9334241 لذلك الخطأ المطلق هو أقل من 3.2 × 10
والتكامل formula_25 خلال الفترة العشوائية [a,b] يمكن أن نحولها إلى التكامل خلال الفترة [1,1-] باستخدام تغيير المتغيرات :
formula_26
الجاوس التربيعي يسمح أن يطبق لأي فترة [a,b] لأن :
formula_27
مثال :
ادرس التكامل التالي :
(1)←.. formula_28
(A) قارن النتائج بين صيغه نيوتن كوتس المغلقة عند n=1 وصيغه نيوتن كوتس المفتوحة عند n=1 و جاوس الربيعي عند n=2
(B) قارن النتائج بين صيغه نيوتن كوتس المغلقة عند n=2 وصيغه نيوتن كوتس المفتوحة عند n=2 و جاوس التربيعي عند n=3
الحل :
(A) - أي صيغه في هذا الجزء يتطلب حلين لهذه الدالة formula_29
تقريب نيوتن كوتس هو :
مغلق n=1 ؛ 2/2 [f(1)+f(3)]=731.6054420
مفتوح n=1 ؛ (3(2⁄3))/2 [f(5/3)+f(7/3)]=188.7856682
تطبيق جاوس التربيعي لهذه المسالة يتطلب التكامل بحيث يجب تحويلها في هذه المسالة فترتها في التكامل هي [-1,1]
باستخدام المعادلة (1) تعطينا :
formula_30
نطبق عند n=2 : 
formula_31
(B) - أي صيغة في هذا الجزء يتطلب 3 حلول من دوال
نيوتن كوتس التقريبي هو :
مغلق n=2 ؛ 1/3 [f(1)+f(2)+f(3)]=333.2380940
مفتوح n=2 ؛ (4(1⁄2))/3 [2f(1,5)-f(2)+f(2.5)]=303.5912023
نطبق جاوس التربيعي عند n=3 وقد تم تحويلها
formula_32
إذا الجاوس التربيعي هو الأفضل في كل حال ..