إكمال المربع
إكمال المربع هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل
إلى الشكل
ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على "x". والجزء داخل القوسين يكون على صورة ("x" + constant) ، بمعنى أن:
تحولت إلى
بقيم معينة لكلا من "h" و "k".
استخدامات طريقة إكمال المربع:
ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.
يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين
مثال:
ففي أي مربع كامل العدد "p" يكون دائما هو نصف معامل "x" ، ويكون الحد الثابت هو مربع "p" أي يساوي "p".
في كثيرة الحدود التربيعية التالية:
نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .
بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:
وهذا ما يسمى إكمال المربع.
لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل "x" يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:
يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين
وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب
حيث "k" هو ثابت. وهذه العملية تسمى إكمال المربع. ومثالا لذلك:
لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل "x" لا يساوي 1) على الصورة:
يمكن أن نقوم باتخاذ "a" معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.
مثال:
ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة
يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:
حيث:
formula_18حيث:
formula_20حيث:
ويجب أن تكون المصفوفة formula_23 متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).
أما لو كانت المصفوفة formula_23 غير متماثلة فإن صيغة حساب formula_25 و formula_26 يتم تغييرها إلى الصورة العامة:
و
رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى "xy".
فالدالة التربيعية على صورة:
الأرقام "h" و "k" تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل "h" الإحداثي "x" لمحور التماثل، بينما تمثل "k" القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت "a" العددان المرافقان لهما على الترتيب، و "c" هو عدد حقيقي.
باستخدام القاعدة
يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة
والتي يتضح أنها كمية حقيقة
مثال آخر المعادلة التالية:
حيث "a" و "b" و "c" و "x" و "y" هي أعداد حقيقية، و "a" > 0 و "b" > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض
إذن
وبالتالي
لإكمال المربع للمعادلة
حيث أن "x" تمثل مساحة مربع طول ضلعه "x"،
و"bx" تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما "b" و "x"،
وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.
إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع "x" ) و(المستطيل "bx" ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحدformula_60 الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية إكمال المربع
كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث "v" إلى المعادلة
لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2"uv") أو ("2uv-") إلى المعادلة
لنحصل على مربع على الصورة:
أو
إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب formula_65 مع مقلوبه formula_66 يمكننا استخدام هذه الطريقة:
واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.
عند تحليل المعادلة التالية
نجد أنها على صورة
وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة
فنحصل على
وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:
السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير "x".