نموذج الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك
نموذج الانحدار الذاتي والمتوسط المتحرك ، اختصارا (آرما ARMA)، أو نموذج بوكس جينكنز، هو طريقة للتحليل الإحصائي، تستعمل في نمذجة و وصف و استشراف المتسلسلات الزمنية. تتمثل نمذجة آرما، في كتابة العملية التصادفية المستقرة للمتسلسلة المدروسة على شكل مجموع متعددتي حدود: نموذج ذاتي الانحدار (AR) و نموذج المتوسط المتحرك (MA). النموذج العام للطريقة، تم تقعيده نظريا، في 1951، في أطروحة الإحصائي النيوزلندي بيتر ويتل "إختبار الفرضيات في تحليل المتسلسلات الزمنية"، قبل أن تعمم في 1971، في كتاب للإحصائيين جورج بوكس و غويليم جينكنز.
يشار لنموذج آرما ب formula_1، بحيث p درجة الجزء الذاتي الانحدار و q درجة جزء المتوسط المتحرك.
إشارة formula_2 ترمز إلى نموذج ذاتي الانحدار من الدرجة p و يكتب على الشكل التالي:
بحيث:
هناك إكراهات إضافية تطبق على الوسائط، لضمان استقرار العملية التصادفية، فعلى سبيل المثال، في حالة النموذج formula_7، إذا كانت |"φ"| أكبر من 1، فالعملية لا تكون مستقرة.
في النموذج الذاتي الانحدار، يتم اعتبار المتغير formula_8 كدالة لقيمه السابقة.
إشارة formula_9 ترمز إلى نموذج المتوسطات المتحركة من الدرجة q و يكتب على الشكل التالي:
بحيث:
نموذج المتوسط المتحرك يمكن اعتباره مرشحا رقميا ذا استجابة نبضية، أو كدالة لقيم الأخطاء العشوائية السابقة.
إشارة formula_1 ترمز إلى نموذج ب p حدا ذاتي الانحدار و q حدا للمتوسطات المتحركة، و يكتب:
النموذج العام لطريقة آرما، الذي نظر له بيتر ويتل في 1951، اعتمد على تقنيات التحليل الرياضي (متسلسلة لورنت و تحليل فورييه) و الاستدلال الإحصائي. إضافة جورج بوكس و غويليم جينكنز، لسنة 1971، تمثلت في استنباطهما لمنهج تكراري (منهج بوكس جينكنز) لحساب و استنتاج وسائط و درجتي النموذج. أثبت منهجهما نجاعة في تحليل متعددات الحدود من الدرجات الدنيا، أي لقيم p و q، أقل من 3.
يفترض نموذج آرما بأن المتغيرات formula_6 هي مستقلة و متشابهة التوزيع، أي بأنها مستقلة فيما بينها و تتبع نفس التوزيع، الذي يفترضه النموذج طبيعيا:
formula_18 أي بمتوسط منعدم و بتباين يساوي σ
رغم أن هذه الفرضيات (خصوصا استقلال و تشابه توزيع متغيرات الخطأ) حاسمة في تحديد النموذج، إلا أن بعض التطبيقات الحسابية، لا تعتبر تمحيصها حاسما في استعمال نموذج آرما.
في الأدبيات الإحصائية المرتبطة بالمتسلسلات الزمنية، عادة ما يستخدم عامل التأخر L (و أحيانا B)، و ذلك لتبسيط القراءة، عبر وضع القارئ في اللحظة t المدروسة. الإضافة الأخرى لطريقة الكتابة هاته، هي محاكاتها لطريقة ترميز متعددات الحدود، و تمكن من الاستفادة من تقنيات التحليل الرياضي المرتبطة بها.
حسب هذا الترميز، فإن النموذج formula_2 يكتب:
و النموذج formula_9 يصبح:
أما النموذج formula_1 فيكتب:
أو
أو
بعض الإحصائيين، بما فيهم بوكس و جينكنز، يفضلون ترميز معاملات الجزء الذاتي الانحدار بنفس مظهر جزء المتوسطات المتحركة، و تصبح كتابة النموذج، وفق ذلك كما يلي:
بعد تحديد الدرجتين p و q، يمكن تحديد وسائط النموذج باستعمال طريقة المربعات الدنيا: بالبحث عن قيم المعاملات و الوسائط التي تنقص ما أمكن من قيمة مجموع مربعات البقايا.
يوصى عادة، باختيار أصغر القيم الممكنة ل p و q، و ذلك تبعا لمبدأ التقتير في الاستدلال الإحصائي. عمليا، يمكن استنتاج قيم درجتي نموذج آرما عبر رسم دالة الارتباط الذاتي الجزئي لاستنتاج p و دالة الارتباط الذاتي لاستنتاج الدرجة q. بعد تثبيت اختيار درجتي النموذج، تمكن الدالتان المشار إليهما من استنتاج معلومات إضافية حول البقايا و الأخطاء الإحصائية للنموذج.
من الطرق المستعملة لتقرير اختيار درجتي النموذج، ينصح بروكويل و ديفيس، بحساب معيار أكايكي للمعلومة، لمجموعة من أزواج (p,q)، و اختيار الزوج الذي يحقق أضعف قيمة للمعيار. معيار أكايكي مستلهم من نفس مبدأ التقتير، و يرجح كفة النماذج ذوات الدرجات الدنيا، التي تحافظ على قيمة مثلى لدالة الإمكان.
بنية نموذج آرما مناسبة لدراسة المتسلسلات الزمنية التي لا تتطور فقط حسب اتجاهها العام (و الذي يفسره الجزء AR من النموذج)، و لكن تحت تأثير صدمات خارجية صعبة الإدراك (الجزء MA من النموذج). مثلا، متسلسلات الأسواق المالية، تتأثر باتجاهها العام و أيضا بارتدادات متوسطها، الناتج عن تدخلات الفاعلين في الأسواق، إضافة إلى تأثير ظهور معلومات خارجية (ماكرواقتصادية مثلا) توجه السوق و تشكل صدمة إضافية للمتسلسلة.
آرما نموذج عام، يمكنه أن يتخذ أشكالا بديلة، وفق تغيير هذه الفرضية أو تلك. في ما يلي لائحة بامتدادات النموذج الأكثر شيوعا: