تحليل الأخطاء في التحليل العددي
التّحليل العدديّ هو أحد فروع الرّياضيات الهامّة ، و هو الذي يربط بين الرياضيات التحليلية و الحاسب الآلي ، و يُستخدم عادةً في إيجاد حلول بعض المسائل و المشاكل التي لا يمكن حلّها بالرياضيات التحليلية ؛ حيث تكون النتيجة التي نحصل عليها تقريبية .
و بما أنّنا نحصل على نتيجةٍ تقريبيّة أو حلّ تقريبي ، فهذا يعني وجود نسبة خطأ علينا حسابه ، إلا أنّنا لو استطعنا إيجاد الخطأ لاستطعنا إيجاد الحلّ الفعليّ ( الحقيقي ) الأمر الذي يعني أن إيجاد الخطأ غير ممكن ، فنسعى بالتالي إلى إيجاد تقريب للخطأ أو حجم الخطأ ( القيمة التي لا يتجاوزها الخطأ ) .
إذًا تتلخّص مهمّة التحليل العددي في إيجاد الحل التقريبي لمسألة ما و تقويم الخط
إنّ معظم الأعداد التي نتعامل معها هي أعداد تقريبية ؛ لأنها غالبًا ما تمثّل أطوالًا و قياساتٍ أو قيمًا لمقاديرَ فيزيائيّة بنتيجة القياس ، و هي بحدّ ذاتها تقريبية . كذلك فإن الكثير من الأعداد الحقيقية لا يمكن التعبير عنها بعدد منتهٍ من الأرقام ، فمثلًا العددformula_1
يساوي "تقريبًا" 3.14159 ، كذلك هو الحال بالنسبة لـلعدد eو formula_2 مثلًا ؛ فإنّنا لا نستطيع كتابتها كأعداد مضبوطة .
إننا ـ كما أوردنا في السابق ـ يتحتّم علينا أن نستخدم التقريب لحل المسائل التي لا تحلّ في الرياضيات التّحليلية ، إلا أن هذا التقريب ستنتج عنه أخطاء ، أهمها التالي :
هو واحد من أهمّ مصادر الأخطاء و هو استعمال الأعداد المدوّرة بدلًا من المضبوطة .
قاعدة التدوير : إذا كان لدينا العدد formula_3، و أردنا الاكتفاء بـ (n-1) عدد على يمين الفاصلة ، أي أن العدد المدوّر يكون كما يلي :
يتم تحديده بالشكل الآتي :
إذا كانformula_6( أكبر من 5 أو يساوي )، فإنformula_7 إذا كانformula_6 (أصغر من 5) ، فإنformula_9.
على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبهما باستخدام التدوير لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0457 و 9033 على التوالي .
أما عن منشأ الخطأ العددي هنا فيكون بسبب الاكتفاء بعدد معين من المنازل العشريّة بعد الفاصلة في الحسابات .
إن آلات الحاسبة الإلكترونية لا تدور الأعداد غالبًا وإنما تقطعها .
قاعدة القطع : إذا كان لدينا العددformula_10 وأردنا الاكتفاء بــ(1-n) عدد على يمين الفاصلة ، فإن العدد المتقطع يكون كما يلي :
formula_11 على سبيل المثال العددان 0.045651 و 9033 بتقريبها باستخدام القطع لثلاث خانات عشرية ينتج العددان 0.0456 و9030 على التوالي .
ومنشأ الخطأ العددي هنا هو يكون من الاكتفاء بعدد معين من حدود المتسلسلة اللانهائية .
تلعب الأخطاء دورًا محوريًا في التحليل العددي وهي تبين مدى دقة وسرعة الطريقة المستخدمة لاحقًا. وفيما يلي أنواع الأخطاء وتأثيرها :
وهو الخطأ المطلق المرتكب في العدد المقربformula_12 هو القيمة المطلقة للفرق بينه وبين القيمة الفعليةX
formula_13
غالبًا مايكون العدد الفعلي x غير معلوم ، عندئذ لا يمكن تعيين الخطأ المطلق ، من أجل ذلك نلجأ إلى إيجاد حد أعلى لهذا الخطأ مثلformula_14 ويحقق المتباينة :
formula_15.
وهكذا نحصل على :
formula_16
أي أن العدد الفعلي يقع بين العددينformula_17 ,formula_18 , حيث القيمةformula_18 تمثل تقريب العدد x بالزيادة والقيمةformula_17 تمثل تقريبه بالنقصان .
لتكن x=3.257 و لتكن القيمة التقريبية لـx هي 3.26 بتعيين الخطأ المطلق :
formula_21
formula_22
الخطأ R النسبي المرتكب في عدد ما تقريبيformula_23 هو نسبة الخطأ المطلق لمرتكب بهذا العدد إلى القيمة المطلقة للعدد الفعلي x≠0) X) أي أن :
formula_24
وفي حالة عدم معرفة القيمة الفعلية X نلجأ إلى الحد الأعلى لهذا الخطأ أي أن :
ومنه : formula_27 
لذلك يمكن اعتبار: formula_28 
فيكون : formula_29 
الحد الأعلى للخطأ النسبي المرتكب في العدد المقربformula_23 وبما أن formula_31 فيمكن أن يكتبformula_32 
ويستفاد من الخطأ النسبي في حساب الدقة المعنوية (significant digits) حيث العلاقة التالية :
formula_33
حيث t أكبر عدد صحيح غير سالب نستطيع أن نوجد من خلاله أكبر فترة تقريب للخطأ الفعلي . 
ملاحظات عامّة :
نفرض أن دالة f في متغيرn:
أي أن :
formula_35
ونفرض أن الأخطاء المفردة في هذه المتغيرات هي على الترتيب :
formula_36
فيكون الخطأ الكلي في الدالة مع اهمال حدود الرتبة الثانية وما فوقها هو :
formula_37
إذا formula_38
وبالتالي يكون أقصى خطأ نسبي هو :
formula_39
أكبير خطأ نسبي في كل من الدالتين التاليتيين بدلالة المتغيراتformula_34
وأخطأهاformula_41
formula_42
formula_43
الحل :
formula_44
formula_45
يُلاحظ عمومًا أن الخطأ الفعلي في قيمة يكون أقل بكثير من الحد الأقصى للخطأ ؛ و ذلك لأن الأخطاء من الناحية العلمية تتجه لأن يلغي بعضها بعضًا (حيث بعضها موجب و البعض الآخر سالب) فمثلًا إذا أضيف 200,000 عدد , و قرب كل عدد إلى 4 أرقام عشرية , فإن الحد الأقصى للخطأ يساوي 
formula_46 أو يساوي 1 وهذه قيمة كبيرة , بينما الخطأ الكلي المتوقع يكون عادة في حدود 0,005.