الانحدار متعدد الحدود
الانحدار متعدد الحدود أو كثير الحدود هو نوع من الانحدار الخطي حيث تعتمد العلاقة بين المتغير "x" والمتغير "y" على عدد "n"th درجة متعدد الحدود. والانحدار متعدد الحدود يمثل علاقة غير خطية بين المتغير "x" و متوسط المتغير "y" المقابل, ويرمز ب E("y" | "x"). ويستخدم لوصف الظاهرة غير الخطية مثل معدل نمو الأنسجة, توزيع نظائر الكربون في رواسب البحيرات, و تطور الأمراض الوبائية. بالرغم من أن الانحدار متعدد الحدود يمثل علاقة غير خطية للبيانات، ولتقدير المشكلة الإحصائية الخطية، بمعنى إن دالة الانحدار الخطية في المتغيرات غير المعلومة التي تقدر وتحسب من البيانات .لذلك فإن الانحدار متعدد الحدود يعتبر نوع خاص من الانحدار الخطي المتعدد. ونتائج توسع متعدد الحدود للمتنبئات الأساسية تعرف بمميزات التفاعل. حيث تستخدم تلك المميزات أيضا في اعداد التصنيفات.
الانحدار متعدد الحدود تمثل نماذجه باستخدام طريقه اقل فرق مربع للقيم للقيم.تلك الطريقه تقلل من التباين لمميزات التفاعل المشاركه من المعاملات، في ظل ظروف نظرية جاوس-ماركوف.تم نشر طريقه أقل فرق مربع للقيم بواسطه ليجندر عام 1805 و جاوس عام 1809.وظهر أول تصميم لتجربه الانحدار متعدد الحدود في البحث العلمي لجيرموني عام 1815. في القرن العشرين,الانحدار متعدد الحدود كان له دورهام في تحليل الانحدار مع مزيد من التركيز علي التصميم و الاستنتاج. وفي الفتره الأخيره,تم استكمال نماذج متعدده الحدود عن طريق وسائل أخري,مع نماذج غير متعدد الحدود لها مميزات لبعض أنواع المشاكل.
هدف تحليل الانحدار هو عرض القيمه المتوقعه للمتغير Y بدلاله المتغيرات الغير معتمده X.في الانحدار الخطي البسيط,النموذج
هوالمستخدم,حيث ƹ خطأ عشوائي غير ملموس حقيقيا مع متوسط الصفر مشروطا برقم مفرد المتغير X.في هذا النموذج,لكل وحده زياده لقيمه المتغير X,القيمه المتوقعه للمتغير Y تزيد ب a1 وحده.في العديد من الحالات، مثل وجود علاقة خطية قد لا تصمد. علي سبيل المثال, اذا كنا نصمم العائد من التركيب الكيميائي من حيث درجه الحراره التي يحدث بها التركيب.قد نجد أن العائد يحسن من خلال زياده المبالغ المخصصه لكل وحده زياده في درجه الحراره.في هذه الحاله,نحن نقترح نموذجا من الدرجة الثانية من النموذج
في هذا النموذج,عندما تزداد درجه الحراره من X الي X+1 وحده,العائد المتوقع يتغير بمعدل a1 + 2a2x.حقيقه ان تغيير العائد يعتمد علي المتغير X هي من تجعل العلاقه غير خطيه(هذا لا يجب الخلط بينه و بين القول أن هذا الانحدار غير خطي,بل علي العكس,مازالت حاله من الانحدار الخطي). في العموم,يمكن تصميم القيمه المتوقعه للمتغير Y كمتعددالحدود من الدرجه n,محققا نموذج الانحدار متعدد الحدود العام.
للتوضيح,كل النماذج خطيه من حيث نظريه الاستنتاج حيث أن داله الانحدار خطيه بدلاله المعاملات الغير معلومه ao, a1 لذلك,لتحليل أقل فرق مربع للقيم, المشاكل الحسابية والاستنتاجيه من الانحدار متعدد الحدود يمكن التعامل معه بشكل كامل باستخدام طريقه الانحدار المتعدد. يتم ذلك عن طريق علاج x,x2 باعتبارها متغيرات مستقلة متميزة في نموذج الانحدار المتعدد.
نموذج الانحدار متعدد الحدود
يمكن التعبير عنها بشكل مصفوفة من حيث مصفوفة تصميم formula_5, متجه الاستجابة formula_6 ,ومتجه المعلمة formula_7 , ومتجهformula_8 من الاخطاء عشوائية.الصف "i"thمن formula_9 و formula_6 يحتوي علي قيم X,Y للحصول على نموذج بيانات "i"th. ثم يمكن أن تكون مكتوبة في النموذج كنظام المعادلات الخطية.
وعند استخدام تدوين المصفوفة النقية كما هو مكتوب
تقدير المتجه لمعاملات الانحدار متعدد الحدود (باستخدام تقدير المربعات الصغرى) هو
هذا هو الحل الوحيد لمربعات الصغيرة حيث ان formula_5 لديها أعمدة خطيا مستقلة.حيث ان formula_5 هي مصفوفة Vandermonde و هذا يضمن لعقد المقدمة التي على الأقل "m" + 1 من "x" ان تكون مميزة ( بشرط ان "m" توزيعها بشكل موحد على الفاصل الزمني (0, 1). على الرغم من أن العلاقة يمكن أن تخفض باستخدام كثيرات الحدود المتعامدة، فهو عموما أكثر غنى بالمعلومات للنظر في وظيفة الانحدار المجهزة ككل. ثم يمكن استخدام النقطة الحكيمة أو نطاقات الثقة  في وقت واحد لتوفير شعور من عدم اليقين في تقدير دالة الانحدار.
الانحدار متعدد الحدود هو أحد الأمثلة على تحليل الانحدار باستخدام دالات أساسية لنموذج علاقة وظيفية بين كميتين. وبشكل أكثر تحديدا فإنه يستبدل formula_16 في الانحدار الخطي مع أساس متعدد الحدودformula_17 علي سبيل المثال formula_18. و من عيوب قواعد تعدد الحدود أن المهام الأساسية "غير محلية " مما يعني أن قيمة المجهزة "y" عند قيمة معينة "x" = "x" تعتمد بقوة على قيم البيانات مع "x" أبعد ما تكون عن "x" 
في الإحصاءات الحديثة , تستخدم دالات تعدد الحدود جنبا إلى جنب مع دالات أساسية جديدة مثل منحنيات، وظائف القاعدة الشعاعية،والمويجات. وتوفر هذه العوائل من الدالات كل على حدة تناسب أكثر شحيح جداً للعديد من أنواع البيانات
الهدف من الانحدار متعدد الحدود هو في تصميم نموذج لعلاقة غير خطية بين المتغيرات المستقلة وغير المستقلة (من الناحية الفنية، بين المتغير المستقل والمتوسط الشرطي للمتغير التابع). هذا مماثل للهدف المتمثل في النهج الغير حدودي الانحدار ، الذي يهدف إلى التقاط علاقات الانحدار الغير خطية. ولذلك يمكن أن تكون النهج الغير حدودي الانحدار مثل التجانس بدائل مفيدة لانحدار متعدد الحدود . تستخدم بعض هذه الأساليب استخدام النموذج المحلي من الانحدار متعدد الحدود الكلاسيكية 
و من مميزات الانحدار متعدد الحدود التقليدية أنه يمكن استخدام إطار استنتاجي الانحدار المتعدد (وهذا حاصل أيضا عند استخدام العوائل الأخرى من الدالات كل على حدة مثل المنحنيات).
والبديل الأخير هو استخدام نماذج kernelized مثل دعم متجه الانحدار  مع نواة متعدد الحدود
مايكروسوفت اكسل يستخدم الانحدار متعدد الحدود عند توصيل خط اتجاه لنقاط البيانات على رسم مبعثر XY.