عملية بواسون
في نظرية الاحتمال، عملية بواسون هي عملية متصلة عشوائیة تستخدم لنمذجة الأحداث العشوائیة التي تحدث في فترة زمنیة معینة كبیرة لحد ما مستقلة عن بعضها (كلمة الحدث المستخدمة هنا لا یقصد بها مفهوم الحدث المشاع استخدامه في نظرية الاحتمال). الأمثلة المحتملة على هذه الأحداث تشمل المكالمات الهاتفیة التي تصل إلى لوحة المفاتیح الهاتفیة أو طلبات صفحات الویب على الخادم. سمیت باسم عالم الریاضیات الفرنسي سيميون بواسون (1840–1781).
عملية بواسون هي مجموعة formula_1 من المتغيرات العشوائية حيث أن ("N"("t" هو عدد من الإحداث التي وقعت بعد الحدث "t" (يبدأ من الوقت "0"). العدد من الأحداث بین الوقت "a" و"b" ممكن أن تعطى كالآتي ("N"("b") − "N"("a" ولدیها توزیع بواسوني. التمثیل الواقعي للعملیة {("N"("t"} هي عبارة عن دالة الخط الزمني صحیحة، غیر سالبة وغیر متناقصة، ولكن لجعل الأمر أكثر شمولیة من السهولة عادة التفكیر في النقاط التي تمثل حصول الحدث في وقت زمني معین كنقطة على المستوى [0,∞) (حیث أن هذه النقاط تمثل قفزات في دالة الخط الزمني، بمعنى أن هذه النقاط تمثل حصول حدث ما).
عملیة بواسون هي عملیة متصلة الزمن وكنظیر لذلك هي عملیة فضاء متقطع الحالة كما في عملیة برونولي. عملیة بواسون تعرف بعملیات لایفا. كما أن عملیة بواسون تعتبر مثالاً على عملیات ماركوف المتصلة. وأیضا تمثل حدوث عملیة نقیة جدیدة، وهذا أبسط مثال على حدوث أو انتهاء العملیة. على حسب ما سبق ذكره باعتبارها تمثل نقطة عشوائیة في المستوى [0,∞)، وهي أیضا تعتبر نقطة على منتصف الخط المستقیم.
عملیة بواسون المتجانسة توصف بمعدل المعامل λ أیضا تعرف بالكثافة، حیث أن عدد الأحداث في الفترة formula_2 یتبع توزیع بواسون الذي یرتبط بالمعامل formula_3. وهذه العلاقة تعطى كالآتي:
formula_4
حیث أن ("N"("t" + τ) − "N"("t" یصف ویمثل عدد الأحداث في الفترة الزمنیة ["t", "t" + τ).
حیث أن عملیة بواسون تتصف بالمتغیر العشوائي بواسطة عددیة المعامل λ فإن عملیة بواسون المتجانسة تتصف بمعدل المعامل λ وهو العدد المتوقع من "الأحداث " أو "الوافدین " التي تحدث لك لوحدة من وحدات الزمن. ("N"("t" ھي نموذج من عملیة بواسون المتجانسة، وینبغي عدم الخلط بینها وبین الكثافة أو دالة التوزیع.
أیضاً تُعرف باللامتجانسة.
عموماً معدل المعامل قد یتغیر مع الوقت. في هذه الحالة دالة معدل العمومیة تعطى بـ (λ("t" العدد المتوقع من الإحداث بين الوقت "a" والوقت "b" هو
هكذا عدد الوصول في الفترة الزمنیة ["a", "b"] تعطى بـ ("N"("b") − "N"("a" یتبعها توزیع بواسون المرتبط بالمعامل λ
عملیة بواسون المتجانسة ممكن أن تنظر على أنها حالة خاصة متى كان λ("t") = λ معدل ثابت.
الاختلاف الأخر لعملیة بواسون تسمى علمیة بواسون المكانیة تقدم اعتماد مكاني على دالة المعدل وتعطى بـ formula_7 حيث formula_8 لبعض فضاء المتجه "V" (مثلاً R وR) لأي مجموعة formula_9 (مثل منطقة مكانية) مع مقياس محدود، عدد من الأحداث التي تحدث داخل هذه المنطقة ممكن أن تشكل على أنها عملیة بواسون المرتبطة بدالة المعدل (λ("t" وهذا:
formula_10
في حاله خاصة دالة المعدل العمومیة هي داله مفصولة عن الوقت والمكان ونحصل :
formula_11
لبعض الدالة formula_12. من غیر فقد للعمومیة تكون :
formula_13
ماعدا ذلك نحن قد نقیس formula_14 بشكل ملائم الآن formula_12 تمثل داله كثافة الاحتمال المكاني لهذه الأحداث العشوائیة في الحالات التالیة. أثر أخذ العینات لعملیة بواسون المكانیة تكافئ علمیة بواسون بدالة المعدل (λ("t" وترتبط مع كل حدث عشوائي موجه مأخوذ دالة كثافة الاحتمال formula_16 أي نتیجة مماثله ممكن أن ترى لحالة العمومیة(الغیر مفصولة).
بشكل عام, الشرطان الوحیدان اللاتي یجب أن توافرهما في العملیة العشوائیة لتكون عملیة بواسون هما كالتالي:
الذي یشیر ضمناً أن الوصولات لا تحدث بنفس الوقت (بالحقیقة هذا بیان أقوى ریاضیا.)
و على ما یبدو هذه الشروط الغیر تقییدیة تفرض في الحقیقة الكثیر من التركیب في عملیة بواسون. بشكل خاص, هذه الشروط تشیر ضمنیاً إلى أن الوقت بین الإحداث المتتالیة (أو بما یسمى بالفترات الزمنیة) هو عبارة عن متغیرات عشوائیة مستقلة. بالنسبة لعملیة بواسون المتجانسة هذه الفترات الزمنیة موزعة أسیاً مع المعامل λ. أیضا خاصیة فقدان الذاكرة تثبت بأن عدد الإحداث في فترة زمنیة واحده هو مستقل عن عدد الإحداث في فترة زمنیة أخرى بشرط أن كلتا الفترتان لا تتقاطعان. وهذه الخاصیة اللاحقة تعرف باسم خاصیة الزیادات المستقلة لعملیة بواسون.
لشرح خاصیة الموزع الأسي للفترات الزمنیة, لنفرض عملیة بواسون المتجانسة ("N"("t" مع معدل معامل λ. ولتكن "T" وقت وصول "k"th بحيث "k" = 1, 2, 3... بشكل واضح عدد الوصولات قبل الوقت الثابت "t" هو "k" إذا وإذا فقط كان وقت الانتظار حتى صول "k"th هو أكبر من" t" بالرموز، الحدث [ "N"("t") < "k" ] یحدث إذا وإذا فقط [ "T" > "t" ] حدث مسبقاً.
ولذلك احتمالات هذه الإحداث متساویة:
formula_18
بشكل خاص, لنفرض وقت الانتظار حتى الوصول الأول. بشكل أوضح، هذا الوقت أكبر من "t" إذا وإذا فقط كان عدد الوصولات قبل الوقت "t" هو صفر. جمع هذه الخاصیة اللاحقة مع التوزیع الاحتمالي أعلاه لعدد إحداث عملیة بواسون المتجانسة في فترة زمنیة ثابتة یعطى كالتالي:
formula_19
و لذلك وقت الانتظار حتى الوصول الأول formula_20 لدیه توزیع أسي, بالتالي لدیه فقدان ذاكرة. لذلك من الممكن لإي شخص إن یثبت وبنفس الطریقة أن هذه الفترات الزمنیة الأخرى formula_21 تشترك بنفس التوزیع. بالتالي هذه الفترات مستقلة ولدیها متغیرات عشوائیة متماثلة توزیعیاً مع معامل λ > 0، وقیمة متوقعة 1/λ. على سبيل المثال إذا كان متوسط المعدل للوصولات 5 لكل دقیقة إذا معدل الانتظار ما بین الفترات الزمنیة 5/1 بالدقيقة.