تحليل العنصر الرئيسي
تحليل العنصر الرئيسي أو تحليل المركبات الرئيسية هي عملية رياضيّة تنتمي إلى شعبة تحليل البيانات، و التي تتمثل في تحويل عدد من المتغيرات المترابطة إلى عدد أقل من المتغيرات غير المترابطة. المتغيرات الناتجة عن عملية التحويل تسمى بالمركبات (أو المكونات أو المحاور) الرئيسية. القيمة المضافة للعملية هي تسهيل تأويل المعطيات المعقدة، عبر تمكين الباحث والإحصائي من تحقيق أمثل توافق بين التقليل من عدد المتغيرات الواصفة للمعطيات، و فقدان المعلومة الأصلية (التباين) الناتج عن اختزال الأبعاد الأصلية.
تم اختراع تحليل المركبات الرئيسية عام 1901 من قبل كارل بيرسون، منظر اختبار formula_1، محاولةً لتعميم مبادئ وروح نظرية عزم القصور الذاتي المستعملة في الميكانيك. حاول بيرسون، آنذاك، تعميم أعماله في مجالي الانحدار و الارتباط، ليس لتفسير متغير بآخر بل لوصف البيانات و تلخيصها.
في 1930، طور الاقتصادي و الإحصائي الأمريكي هارولد هوتلين الطريقة، في إطار تقعيد نظري شمل طرق التحليل العاملي Factorial analysis، التي انبثقت من طريقة تحليل المركبات الرئيسية. كان أكبر عائق أمام تبني الطريقة هو الكم الهائل من الحسابات المعقدة التي تستهلكها، و التي لم تكن إمكانيات الحساب الآلي المتوفرة في النصف الأول من القرن العشرين تسمح بها، خصوصا على مستوى تقطير المصفوفات و حساب المتجهات الذاتية لمصفوفة التغاير، و هي عمليات حاسمة في تحليل المركبات الرئيسية.
ابتداء من الستينات، و مع تطور الحساب الآلي، كبرت شعبية الطريقة و باقي طرق التحليل العاملي، في مجتمع الإحصائيين، بل و تم تبنيها من طرف مجالات معرفية متنوعة كالاقتصاد و علم الاجتماع و المعلوميات (المعالجة الرقمية، ضغط البيانات،...)
بصفة عامة، تستعمل الطريقة في الحالات التالية (لائحة غير حصرية):
نعتبر عينة إحصائية مكونة من formula_2 فردا، حسب قيمهم بالمتغيرات "X", …, "X".
تمثل العينة رياضياتيا عبر مصفوفة M ب K سطرا و N أعمدة:
لكل متغير X، نمثل القيم المحققة ب X, …, X.
نمثل المتوسط ب formula_4 و الانحراف المعياري ب σ.
إذا كانت القيم المتحققة الممثلة في المصفوفة M ذات احتمالات حدوث متساوية، فإن لكل عنصر formula_5 نفس الثقل formula_6 عند حساب خصائص العينة. أما إذا أردنا تمييز كل فرد بثقل معين (قي حالة العينات المعدلة أو المجمعة)، نطبق وزنا formula_7 على كل تحقق للمتغيرات. تمثل الأوزان (التي يساوي مجموعها 1) في مصفوفة قطرية D حجمها K:
في الحالة البديهية، التي تكون فيها الأوزان متساوية:
formula_9، بحيث formula_10 هي مصفوفة الوحدة.
كل سطر من المصفوفة، الذي يمثل الفرد i، نعتبره نقطة داخل فضاء تآلفي بعده N، بينما كل عمود من المصفوفة، يعتبر متجهة إحداثيات في فضاء متجهي بعده K.
هاتان المقاربتان هما عماد تحليل العنصر الرئيسي، لأن من خلالهما سيتم إيجاد أمثل فضاء (سهل الإدراك ذي بعدين أو ثلاثة) لوصف المعطيات و استنتاج خصائصها الإحصائية. هذه العملية تستلزم عمليات تحويل أولية، مبنية على معارف الجبر الخطي و مفاهيم الجداء القياسي و المعيار و المسافة الأقليديين.
نعتبر المتجهة formula_11 التي هي مركز ثقل عينة البيانات، و نشير إليها ب g.
formula_12 بحيث formula_13 هي متجهة داخل formula_14 كل إحداثياتها تساوي 1.
عملية التحويل تتمثل في تركيز العينات حول مركز ثقلها:
ثم اختزالها عبر الانحراف المعياري لكل متغير:
عملية التحويل هاته ضرورية إذا أراد الباحث تحييد تأثير العوامل التالية:
رغم ذلك، للعملية سلبية في حالة وجود متغير يلعب فقط دور ضجيج إحصائي؛ في هذه الحالة سيكون له نفس المكانة التفسيرية للمتغيرات الأخرى؛ مما يفرض على الباحث مواجهة و مقارنة نتائج تحليل العنصر الرئيسي بعملية تحويل بآخر بدونها، حتى تكون الدراسة أكثر موضوعية.
بعد تحويل المصفوفة formula_17 إلى formula_18 أو formula_19، يعطي جداؤهما مع منقولتيهما:
formula_21
formula_23
المصفوفتان الناتجتان هما مربعتان بعداهما N (عدد المتغيرات) و متماثلتان و حقيقيتان. و بالتالي فهما قطورتان (أو قابلتان للجدولة) في قاعدة متعامدة معيارية، حسب المبرهنة الطيفية لكارل فايغستراس.
في ما يلي، نعتبر مجموعة البيانات في شكلها المحول (المركز أو المركز المختزل، حسب سياق الدراسة). كل "X" يتم تعويضه ب formula_24 أو formula_25.
تستعمل المصفوفة formula_18 للإشارة إلى formula_18 أو formula_19، حسب التحويل المختار.
المبدأ الأساسي لتحليل العنصر الرئيسي هو إيجاد أمثل محور "u"، يكون توليفة خطية ل "X"، بحيث يكون تباين البيانات، حول هذا المحور قصويا.
بتعبير رياضي، الهدف يتحول إلى إيجاد متجهة "u"، يكون ناتج إسقاط العينة عليها ذا تباين قصوي. إسقاط عينة المتغيرات "X" على المتجهة "u" يكتب كما يلي:
تباين العينة المسقطة π("M") تساوي:
بحيث "C" هي مصفوفة مصفوفة التغاير.
حسب المبرهنة المشار إليها في فقرة حساب مصفوفات التغاير و الارتباط، "C" مصفوفة قابلة للتقطير، في قاعدة متعامدة "P". باعتبار formula_31 المصفوفة القطرية المشكلة من القيم الذاتية ل "C" تكتب العينة المسقطة:
القيم formula_33 للمصفوفة القطرية formula_34 تكون مرتبة تنازليا (من الأكبر إلى الأصغر).
المتجهة "v" التي وفقها تكون قيمة formula_35 قصوية هي المتجهة الذاتية ل "C" الموافقة للقيمة الذاتية formula_36.
و بذلك تكون 
و يستمر البحث عن محاور الإسقاط الأخرى، بنفس الطريقة، مع إضافة شرط إضافي: أن يكون كل محور مستنتج متعامدا على ما سبقه. المحاور المستنتجة، هي ما يصطلح عليه بالعناصر الرئيسية، و كل محور k يفسر جزءا من التباين الأصلي للعينة مقداره القيمة الذاتية λ.