دائرة
الدَّائرَة هي شكلٌ مُغلقٌ بسيطٌ مُستوٍ في الهَندسِةِ الإقليدية. تُعرّف الدّائرة على أنّها المحل الهندسي لنقاط غير منتهية واقعة في المستوى من على بعد ثابت من نقطة ثابتة ما، هي مركز الدائرة. وبشكل مكافئ هي مُنحنىً ترسمه النّقطة المتحرّكة ذات مسافة ثّابتة مع نقطة ثابتة أخرى. تُسمّى المسافة من أي نقطة من على المحيط إلى المركز نصفَ قُطْرِ أو شعاعاً، وينتج عن قسمة محيط الدّائرة على قطرها عدداً حقيقيّاً يُعرف بالثّابت الرّياضي formula_1 (ط).
حاول المصريون القدماء والبابليّون سابقاً إيجاد مساحة الدائرة. وكانت الدّائرة محط اهتمام بالأخص عند الإغريقيّة القديمة، حيث حاول أرخميدس تحويل الدّائرة إلى مربع ذو المساحة ذاتها باستعمال فرجار ومسطرة فقط ولكنّه فشل في ذلك. أُطلق على عملية تحويل الدائرة إلى مربع اسم "تربيع الدائرة".
تعود تسمية الدائرة في اللغة العربية إلى الفعل «دار»، والدائرة هي ما أحاط بالشّيء وتعني أيضاً «الحلقة». وفي اللغة الإنجليزية يعود أصل تسمية الدائرة إلى الكلمة الإغريقية κίρκος/κύκλος (تُنطق: كيركوس/كوكلس) والتي هي تحريف من الكلمة الإغريقية الهومرية κρίκος (كريكوس)، والتي تعني «الطّوق» أو«الخاتم» مع تشابه أصول مرادفات الدّائرة في اللغة الإنجليزية.
عُرفت الدّائرة قبل بداية تسجيل التاريخ. لوحظت الدّوائر في الطبيعيّة، كالقمر، الشمس والنّباتات ذات الأزهار الدّائرية. الدّائرة كانت الأساس للعجلة، والتي ارتبطت مع ابتكارات أخرى كالتروس التي مكّنت من تطور الآلات الحديثة. في الرياضيات، دراسة الدائرة ساعدت في تطوير علوم الهندسة، والفلك، والتفاضل والتكامل. العلوم المُبكّرة، بالأخص علوم الهندسة، والتنجيم، والفلك ارتبطت بالأديان لمعظم علماء القرون الوسطى، والعديد منهم اعتقد بأن الدائرة -جوهريّاً- تحمل شيئاً «مُقدّساً» أو «كاملاً مثاليّاً».
علاوة على النّقطة والخط المستقيم، عُرفت الدائرة على أنها أقدم العناصر للهندسة ما قبل الأغريقية. في الألفية الثانية قبل الميلاد، عمل المصريّون القدماء على دراسة الهندسة. ووصلوا إلى تغطية موضوع مساحة الدائرة، عن طريق تربيع ثمانية أتساع طول قطرها، فحسبوا المساحة كالآتي:
formula_2
وعندها قد حسبوا مساحة الدّائرة بنسبة خطأ تُقدّر بزيادة 0.6% وُجد هذا التّقدير في بردية ريند الرّياضيّة، والّذي جاء بعد تقريب مساحة الدائرة إلى ثُماني غير منتظم.
استعمل البابليّون (1,900 حتى 1,600 ق.م) طريقة مُغايرة تماماً لحساب مساحة الدّائرة. خلافاً لما فعله المصريّون فقد حسبوا مُحيط الدّائرة، وقدّروه بأن طوله مساوٍ لثلاث أضعاف قطر الدّائرة. وقدّروا مساحة الدّائرة بإنها واحد من إثني عشر من مربع طول المحيط، والّتي هي:
formula_3
بنسبة خطأ -4.5%.
ارتبط البابليون بأضلاع الدائرة أيضاً، وكانوا قادرين على إيجاد طول وتر أو إيجاد المسافة العمودية المنصّفة بين الوتر والمحيط. وبهذه الطّريقة أنشأوا هندسة الأوتار، والّذي طوّرها بعدها هيبارخوس، ووضع بطليموس كلوديوس أساساتها في كتابه الفلكي "المجسطي".
يُعتبر طالس (546-624 ق.م.) فيلسوفاً مُهمّاً في فترته، كما كان مُهتّماً بالرّياضيات. وقد نقل العلوم الهندسية من مصر إلى الإغريق. الجملة المنسوبة إلى طالس تنص على أن الزوايا المحيطية لنصف الدائرة قائمة.
أول تعريف عُرف للدائرة يرجع إلى الفيلسوف الإغريقي أفلاطون (428/427-348/347 ق.م.)، والّذي صاغها في حواره "بارمنيدس:"لم يُعرف عن الرياضياتي الإغريقي أقليدس الإسكندرية (300 ق.م.) سوى القليل، ولكن كان أغلب عمله في مجال الهندسة مُعتبراً حتى الوقت الحاضر، ولا زالت تُنسب بعض المفاهيم والأفكار في الرّياضيات إليه كالفضاء الإقليدي، والهندسة الإقليدية أو القياسات الإقليدية. استخلص إقليدس مقترحات لمسلّمات رياضية، أطلقها في كتابه العناصر:كتاب العناصر لإقليدس كان أحد أنجح وأهم أعماله، وهو عبارة عن 13 فضلاً جمع فيها مقالات مُلخّصة نظّمت وجمعت أفكار وعلوم الحساب والهندسة في وقته. في الفصل الثالث من الكتاب جمع إقليدس جميع المفاهيم المُتعلّقة بالدّائرة ونظّمها فيه.
أثبت أرخميدس في دراساته ""كرسيمس"" أن مساحة الدائرة مُساوية لنصف المحيط مضروباً في نصف القطر. وبهذا المفهوم فقد حول مسألة تربيع الدائرة إلى سؤال "كيف تُنشئ المحيط من نصف قطر مُعطىً". وفي ورقته "قياس الدّائرة" حصر أرخميدس قيمة formula_1 عن طريق رسم مُضلّعات مُنتظمة تمس الدائرة من الخارج تارةً ومن الدّاخل تارةً أخرى وإيجادها بنسبة المُحيط إلى القطر: formula_5. ومن المتباينةformula_6 يُستخدم التّقدير الشّائع، والّذي لا زال يُستعمل حتى اليوم بأن formula_7. ومن العلاقتين يُمكن استنتاج أن مساحة الدائرة إلى مربع قطرها مُساوٍ تقريباً إلى formula_8. وكان أقليدس على علم بأن مساحة الدائرة تتناسب مع مربع قطرها. وهنا أعطى أرخميدس تقديراً جيّداً لهذا الثّابت النسبي.
وفي عمل آخر لأرخميدس ""على اللوالب"" يصف أرخميدس الإنشاء الّذي نُسب اسمه لاحقاً إليه بتسميته لولب أرخميدس. بهذا الإنشاء كان أرخميدس قادراً على تحويل محيط دائرة ما إلى خط مستقيم. وبهذه الطّريقة، فإنه يُمكن لمساحة الدائرة تحديدها بدقة. ومع ذلك فإنه لا يُمكن إنشاء اللولب باستعمال المسطرة والفرجار.
فصّل أبولونيوس البرغاوي (262-190ق.م) في قطاعه المخروطي "كونيكي" أن الإهليلج والدّائرة ما هما إلا جزئي قمع مخروطي قائم، والتّي لا زالت حتّى الآن تُعرّف على أنها كذلك في الهندسة الجبرية. رجعت رؤاه وراءً إلى سابقيه في هذا المجال إقليدس وأرسطيوس (حوالي سنة 330 ق.م.)، والذي كثّف الأطروحات والدّراسات حول القطوع المخروطية.
وفقاً لأبولونيوس، فإن مسألة أبولونيوس تطرح تساؤلاً حول كيفية إنشاء دائرة تمسّ ثلاث دوائر باستعمال الأدوات الإقليديّة: الفرجار والمسطرة فقط. مقارنةً بالعناصر الإقليديّة التّي وضعت أساسات الهندسة في العصور الوسطى، أعمال أبولونيوس كانت ملحوظة أكثر في العالم الإسلامي. في أوروبا الغربيّة، أصبحت كتبه أكثر أهمية في القرن السابع عشر الميلادي، عندما لاحظ يوهانز كيبلر أن الإهليلج هو المسار الحقيقي التي تتخذه الكواكب حول الشمس.
في تاريخ العلوم، الفترة بين 1400 ق.م. وَ 1630 ق.م. كان غالباً ما يُرمز لها بعصر النّهضة العلمية، بالرّغم من أن الفترة الزمنية لا تُصادف دوريات تاريخ الفنون. في هذه الفترة، كانت العناصر الإقليدية تجذب اهتمامات أكثر، حيث كانت بين أوائل الكتب المطبوعة والمنشورة في القرون اللاحقة في العديد من الطبعات المختلفة. في عام 1482 ق.م. أنتج إرهارد راتدولت أول نسخة مطبوعة من كتاب العناصر لإقليدس في البندقية. واحدة من أهم النسخ لكتاب عناصر إقليدس عدّلها جيسويت كريستوف كلافيوس، حيث جمع بين النّصوص الأصلية لإقليدس مع كتب أواخر XIV وَXV.
في عام 1882م، كان فيرديناند فون لينديمان قادراً على إثبات أن العدد formula_1 عدد حقيقي غير نسبيٍّ، وفقاً لمساهمات ليونهارد أويلر، الّذي وضع متطابقة أويلر، ويوهان هينريتش، وتشارلز هيرمايت فإنه لا توجد دالّة كثيرة حدود مع معاملات نسبيّة أحد حلولها formula_1. ومع ذلك فقد أُثبت في القرن السابع عشر الميلادي أن عدد الدائرة formula_1 يجب أن يكون حلّاً للدالة كثيرة الحدود بحيث تكون عملية تربيع الدائرة بالمسطرة والفرجار فقط، وبهذا فقط أُثبت أنه لا توجد طريقة كهذه.
بعض من الأحداث التّاريخية البارزة والهامّة في تاريخ الدائرة:يُمكن وصف الدائرة على أنها حالة خاصة من الإهليلج، وتكون حين تنطبق بؤرتا الإهليلج مع مركز الدائرة وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره. وتوصف أيضاً بأنّها الشكل الذي يحصر أكبر مساحة نسبةً إلى طول مُحيطه. وفقاً لتعريف الدّائرة والذي ينص على أنها مجموعة نقاط على مستوى تبعد البعد ذاته عن نقطة ثابتة ما، فيمكن إعادة صياغة التّعريف إلى أن الدائرة هي منحنىً مغلق أحادي البُعد. وكونها كذلك فهي تقسم المستوى إلى جزئين: داخل الدائرة وخارجها. في الاستعمال اليومي المتداول، قد يستعمل مصطلح «دائرة» للإشارة إلى محيط الدائرة، كما أنه قد يستعمل للإشارة إلى ما يوجد بداخل الدائرة؛ ولكن في الاستعمال التّقني الدّقيق، الدائرة هي المحيط فقط ويُسمّى ما داخلها قُرصاً. غالباً ما يُفرّق الرَّياضيُّونَ بين السطح الدائري المغلق أو القرص والسطح الدائري المفتوح (يُسمّى بالدائرة الداخلية) اعتماداً على وقوع خط الدائرة في الاعتبار من عدمه.
يُرمز للدائرة التي مركزها formula_13 ونصف قطرها formula_14 رياضيَّاً بالرموز: «formula_15» و«formula_16» أو يُكتَفى بذكر «الدائرة formula_13» للإشارة إليها. ويُرمز لها في الترميز العلمي العربي بحرف "د".
إذا وقع مركز الدائرة formula_13على المستوى formula_19 فإن الدائرة تُعرَّف رياضيَّاً باستخدام نظرية المجموعات:formula_20وتُقرأ: الدائرة التي مركزها formula_13 ونصف قطرها formula_14 هي مجموعة جميع النقاط formula_23التي تنتمي إلى المستوى formula_19، وتبعد المسافة formula_14 عن النقطة formula_13.
يرتبط الشّعاع مع القطر بالعلاقة formula_27 أو formula_28. القطر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين واقعتين على المحيط مروراً بالمركز. والقطر هو أطول قطعة مستقيمة بين أي نقطتين من على الدائرة ويُعتبر حالة خاصة من الوتر، القطر يقسم الدائرة إلى قسمين متطابقين.بما أن جميع الدّوائر مُتشابهة، فإن النّسبة بين محيط الدائرة وقطرها ثابت لجميع الدّوائر. وقد وجد العلماء ذلك عندما حاولوا اكتشاف قانون عام لإيجاد طول محيط الدائرة لوحظ أن النسبة بين محيط الدائرة على القطر ثابتة رغم اختلاف الدوائر وأطوال مُحيطاتها، وتُعرف النّسبة كذلك بناتج قسمة المحيط على القطر ويُرمز لها بالرّمز ط أو formula_1 (باي) باللاتينية. ويمكن القول أيضاً بأن محيط الدّائرة يكون مُساويّاً للثابت "ط" إذا وفقط إذا كان قطر دائرة مساوياً لوحدة طول واحدة. يُربط بين ثابت النّسبة "ط" وبين القطر والمُحيط بالمُعادلة التّالية، مع اختلاف بعض الصّيغ المُشتّقة أصلاً منها:
مثال1: دائرة قطرها 7 وحدات طول، يُمكن إيجاد مُحيطها بالعلاقة formula_32 وبأخذ التّقريب لقيمة ط formula_33 عندها، وبالتعويض: formula_34 ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 22 وحدة طول.
مثال2: دائرة نصف قطرها 17.5 وحدة طول، بالإمكان إيجاد مُحيطها بالعلاقة formula_35 وبأخذ التّقريب لقيمة ط formula_33 مُجددّاً فعندها، وبالتعويض: formula_37 ويظهر أن طول المُحيط -تقريباً- 110 وحدة طول.
مثال2: دائرة مُحيطها 157 وحدة طول، بالإمكان إيجاد نصف قطرها بالعلاقة formula_38 وفي هذه المرّة بأخذ التّقريب لقيمة ط formula_39 فعندها، وبالتعويض: formula_40 ويظهر أن طول نصف القطر-تقريباً- 25 وحدة طول.
تتناسب مساحة الدّائرة طرديّاً مع مُربّع نصف القطر أو مُربّع القطر بثابت تناسب formula_1، ومساحة الدائرة هي أكبر مساحة من بين الأشكال نسبةً إلى محيطها. وهذا يربط الدائرة بمعضلة في مجال حساب التغيرات وبالتحديد بمعضلة متباينة المحيط الثابت. يُرمز لمساحة الدّائرة بالعربية بالحرف م، وباللاتينيّة بالرّمز formula_42 (من اللاتينيّة: Area أي: مساحة).
النّهايات المُتتالية أساسية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. بتقسيم قرص الدّائرة إلى قطاعات وجمعها، يظهر لنا مستطيل طوله formula_43 وعرضه formula_14 وعلى هذا تكون مساحة الدّائرة مُكافئة لمساحة المُستطيل بالقانون:
مثال: مساحة دائرة طول نصف قطرها 10 وحدات طول تُساوي ط × نق ≈ 3.14 × 10 × 10 = 314 وحدة مُربّعة.
أي وتر في الدائرة يقسمها إلى جُزأين يُسمّى كلُّ منهما قطعةً. وأي نصفي قطرين في الدائرة يُحددان معاً جزءاً من الدّائرة يُسمّى قطاعاً.
يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها، وحيث أن القطاع يُمثّل نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية فبالإمكان التوصل إلى قيمة تلك النسبة عن طريق قسمة قياس الزاوية المركزية التي يحصرها على 360 وهي قياس الدائرة الكُلّية ومن ثمّ تُضرب النّسبة في مساحة الدائرة الأصلية حتى يُحصل على مساحة القطاع. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة الزاوية المركزية التي يحصرها إلى 360 في مساحة الدائرة الكُلّية.formula_46
تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات، وبطريقةٍ مُشابهة فإنه يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى 360 مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة 100%.
تُصنَّف الزوايا في الدائرة حسب موقع رأسها بالنسبة للدائرة:
وتُساوي نصف قياس القوس الذي تحصره.
إذا كانت formula_47نقطتين مختلفتين على دائرة formula_48فإنهما يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أصغر formula_49: وهو مجموعة النقاط الناتجة عن تقاطع الدائرة مع نقاط الزاوية المركزية formula_50 الداخلية، والقوس الأكبر formula_49وهو متمم القوس الأصغر للدائرة كاملةً، النقطتان formula_47هما طرفا كل من القوس formula_49والوتر formula_54وبالإمكان التعبير عن القوس بالتعبير: القوس formula_49 يواجه الوتر formula_54. لاحظ أنَّ إذا كانت formula_47نقطتين متقابلتين قطريَّاً، فإن كلاً من القوسين المقابلين لهما يُسمَّى نصف دائرة، وأن كل قطر يُحدد نصفين للدائرة.
يُعبِّرُ مصطلح «قياس القوس» إلى قياس الزاوية المركزية التي تحصر القوس، وباعتبار أن الدائرة قوساً مُتَّصِلَ الطَّرفَينِ فإن قياسها بالدرجات formula_58. من ذلك فإن قياس الأقواس الناتجة عن قطع زاوية مركزية لدائرتين متحدتي المركز لهما القياس نفسه؛ لاشتراكهما في قياس الزاوية المركزية. ويتطابق قوسان من دائرة واحدة إذا وفقط إذا كان لهما القياس نفسه.
إذا كان طول القوس يساوي formula_59، فإنَّ النسبة بين طول القوس إلى مُحيط الدَّائرة يُساوي نسبة قياس القوس إلى قياس الدَّائرة كاملةً.
formula_60
البرهان:
بفرض أن الوترين formula_61لهما الطول نفسه في الدائرة formula_48، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: formula_63. وعلى ذلك formula_64، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب.تُصنَّف المستقيمات بالنسبة لدائرةٍ ما حسب عدد نقاط تقاطعها معها:البرهان:
ليكن formula_54وتراً في الدائرة formula_48. من متباينة المثلث: formula_68لكن formula_69إذن formula_70وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون formula_71قطراً في الدائرة.هو مستقيم يمس الدائرة عند نقطة وحيدة. عند كون المسافة بين المركز والمستقيم مُساوية لنصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم نقطة تماس مشتركة واحدة ويُسمّى حينها مماسّاً للدائرة. مستقيم مماس لدائرة ما في نقطة P تنتمي إلى الدائرة هو مستقيم عمودي على قطر الدائرة ويمر من النقطة P. إذا كانت (, وكان مركز الدائرة هو (a, b)، وكان شعاعها هو r، فإن المستقيم المماس للدائرة هو مستقيم عمودي على المستقيم المار من النقطتين ("a", "b") و ("x", "y"). ولهذا السبب، تكتب معادلته الديكارتية على شكل
وبتعويض قيمة العددين x و y ب x" و y" على التوالي، يُحصل على المعادلة التالية:
أو
عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أصغر من نصف القطر، فإن للدائرة والخط المستقيم تقاطعان مُختلفان ويُسمّى حينها مُستقيماً قاطعاً للدائرة.
المستقيم المار هو مستقيم لا يمس ولا يقطع الدائرة في أي نقطة. عند كون المسافة بين المركز والمستقيم أقل من نصف القطر، فإنه لا يكون للدائرة والخط المستقيم أي نُقاط مشتركة. وفي هذه الحالة يُسمّى بالمستقيم المار أو المستقيم العابر.
خط القُوَّة أو المحور الأساسي هو المحل الهندسي لمجموعة النقاط في المُستوى التي لها نفس القوة بالنِّسبة لدائرتين مُتباعِدَتين.هُناك ثلاث حالات ممكنة لموقع نقطة ما بالنسبة إلى دائرة مُعطاة في المستوى نفسه تُصنّفُ حَسب بُعدِها من مركز الدائرة:
تُعرَّف نقاط الدائرة الداخلية على أنها مجموعة نقاط formula_75 في المستوى formula_19 بحيث formula_77 formula_78.
مجموعة النقاط الداخلية مجموعة محدبة.
البرهان:
لتكن formula_79ولتكن formula_80 من تعريف مجموعة النقاط الداخلية فإن formula_81، ولأن formula_75على القطعة المستقيمة formula_83فهذا يعني أن إحدى الزاويتين formula_84غير منفرجة. بفرض - دون فقد العموميَّة - أنَّ formula_85، بتطبيق متباينة المثلث في المثلث formula_86: formula_87إذن formula_88.
النقطة المحيطية هي أي نقطة تنتمي إلى formula_15كما سبق تعريفها.
تُعرَّف نقاط الدائرة الخارجية على أنها مجموعة نقاط formula_90 في المستوى formula_19 بحيث formula_92formula_93
وهما متماثلتان بالنسبة لمركز الدائرة. وتُعرَّف مجموعة أزواج النقاط التي تحقق ذلك رياضياً:formula_94
هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:formula_95
يكون الشكل الرُّباعي دائريَّاً إذا وفقط إذا تحقق أحد الشروط الآتية:
البرهان: لتكن formula_42، formula_97، formula_98 ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة. عندئذ، يكون المُنصّفان العموديّان للقطعتين formula_71 وَformula_100 غير متوازيين لانعدام استقامة النقاط؛ ولذا لتكن نقطة تقاطعهما هي formula_13، وبما أن formula_102 فإن الدائرة التي تمر بالنقاط الثلاث يكون مركزها formula_13.
لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلثلكل مثلث توجد 3 دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه.
المُضلَّع المُحيط بالدَّائرة هو مضلع تمس جميع أضلاعه دائرة وحيدة. وتُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرة الدَّاخليَّة للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ.في النظام الإحداثي الديكارتي، إذا كانت النقطة formula_104 هي مركزٌ لدائرة formula_105 نصف قطرها formula_14، والنُّقطة formula_107 مُتغيّرة على مُحيط الدائرة، فإن من تعريف الدائرة أن البُعد بين النقطتين formula_108 هو بُعدٌ ثابت مُساوٍ إلى formula_14، وبذلك تُستنتج مُعادلة تمثيل الدائرة في النظام الإحداثي بالشكل الآتي:
وهذه المعادلة تنبثق من مبرهنة فيثاغورس، عند تطبيقها بإنشاء ضلعي القائمة على الوتر formula_14. وعندها تُصبح المسافتان formula_112 وformula_113 هما طولا الضلعين الآخرين في المثلث قائم الزاوية.
في المُستوى الإحداثي، هناك ثلاث مواضع للدائرة بالنّسبة للمحاور الإحداثيَّة، وتُعتبر مُعادلة كلٌّ منها حالة خاصّة من مُعادلة تمثيل الدائرة في الإحداثيات الديكارتية الأصلية: 
بالإمكان أيضاً إيجاد مُعادلة الدائرة بمعلوميَّة إحداثيات طرفي قطر فيها. إذا كان formula_71 قطراً في الدائرة، وكانت إحداثيَّات النقطتين formula_47 هي formula_130 بحيث أنهما نقطتان معلومتان عليها. تُؤخذ نقطة ثالثة formula_131 على مُحيط الدائرة وبما أن formula_71 قُطر في الدائرة، فإن formula_133 وعليه فإن formula_134، ليكن ميل المستقيمين formula_135 هما على الترتيب، حيث:
. formula_136ولِكَوْن formula_134 فإن formula_138 وعليه تكون مُعادلة الدائرة بمعلومية طرفي قطر فيها تُصبح على الصورة:
formula_139
في النظام الإحداثي القطبي، المعادلة القطبية للدائرة التي نصف قطرها formula_14 ومركزها عن النقطة formula_141 يُمكن الحصول عليها باستخدام قانون جيب تمام الزاوية للمثلث formula_142، حيث أن النقطة formula_143 تُعبّر عن أي نقطة على الدائرة، على الصورة:
حيث أن formula_145 هي الإحداثية القطبية لنقطة ما من الدائرة و formula_146 هي الإحداثية القطبية لمركز الدائرة. حالة خاصّة من ذلك عند كون مركز الدائرة عند النقطة formula_147 فإن formula_148 وَ formula_149 وبالتالي تأخذ معادلة الدائرة في الصورة القطبية الصورة: formula_150.
وعند كون مركز الدائرة عند النقطة formula_151 تأخذ المعادلة الصورة: formula_152.
في المستوى العقدي، دائرة مركزها هو c ونصف قطرها هو r تمثل بالمعادلة formula_153. وقد تكتب هاته المعادلة بالشكل البارامتري التالي : formula_154.
الدائرة هي أكثر الأشكال تناظراً، أي خط مستقيم يمر بمركز الدائرة يحقق خاصية التناظر الانعكاسي وخاصية التناظر الدوراني. زمرة تماثل الدائرة هي زمرة متعامدة.
تربيع دائرة هي معضلة وضعها علماء الهندسة القدامى، تتمثل في إنشاء مربع مساحته تساوي مساحة دائرة معينة باستعمال عدد منته من الخطوات فقط بواسطة الفرجار والمسطرة.
في عام 1882، أُثبت أن هذه المهمة مستحيلة، نتيجة لمبرهنة ليندمان-ويرستراس التي تُبرهن على أن π عدد متسام بدلا من أن يكون مجرد عدد جبري غير جذري (عدد جبري هو عدد يكون جذرا لمتعددة حدود عواملها كلها أعداد كسرية).
تختص الدائرة في تعريفها أن تكون النقاط التي تبعد البعد نفسه عن المركز على أن تكون في المستوى نفسه أيضاً، وبهذا فإن النظير الثلاثي الأبعاد للدائرة هو الكرة، حيث أنها مجموعة النقاط التي تبعد البعد نفسه عن نقطة ثابتة في الفضاء. يتكون المقطع الجانبي للكرة من دوائر.