برهان رياضي
في الرياضيات، البرهان عبارة عن إثبات، يستند على بديهيات axiom معينة، لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحية منطقيا حكما في ظل هذه المجموعة من البدهيات. البرهان الرياضي إذا عبارة عن حجة argument أو تعليل منطقي، ليس تجريبيا. ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو عبارة رياضية يجب أن تبرهن على صحتها في جميع الظروف والحالات قبل أن يتم اعتبارها مبرهنة theorem رياضية. أما المقولة غير المبرهنة التي تلقى نوعا من الدعم التجريبي فتعرف بالحدسية conjecture. افتراضيا في جميع فروع الرياضيات، تكون البدهيات المفترضة هي بدهيات ZFC أي Zermelo–Fraenkel set theory (و هي نظرية مجموعات زيرميلو-فرينكل مع بدهيات الاختيار) ما لم يشار إلى بدهيات مختلفة. نظرية مجموعة زيرميلو-فرينكل تقوم بمشاكلة formalize (أي تجعله شكليا formal) الحدس الرياضي حول نظرية المجموعات، وفي نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات بوصف الجبر والتحليل الرياضي.
عندما يراد إثبات قضية رياضية يستحسن، في حال الإمكان، وضعها في صيغة اقتضاء ق ¬ ك، إن ذلك يتيح صياغة عكس هذه القضية بسهولة. يسمى العنصر الأيمن (المقدم) «ق» في الاقتضاء فرضاً، ويسمى العنصر الأيسر (التالي) «ك» طلباً. وعلى سبيل المثال تكتب المبرهنة: في كل متوازي أضلاع: ينصف كل من القطرين القطر الآخر، في صيغة اقتضاء كما يأتي: إذا كان الرباعي متوازي أضلاع، فإن قطريه ينصِّف كل منهما الآخر. فالفرض هو أن الرباعي متوازي الأضلاع، والطلب هو أن ينصف كل من قطريه القطر الآخر.
للبرهان الرياضي عدة طرق : البرهان المباشر، العكسي، البرهان بالتناقض، البرهان بالاختيار، البرهان بالاستقراء... إلخ.
مثلا البرهان المباشر
وتعتمد هذه الطريقة على الاقتناع بأن علاقة الاقتضاء متعدية
ونعني بذلك أنه إذا كان :مثال:البرهان
س = 3
تقتضي 4 س = 12
تقتضي 4س + 5 = 17
تقتضي 2 (4س + 5) = 34
تقتضي 2 (4س + 5) – 1 = 3
انواع البراهين وصورها انواع البراهين البرهان الجبري: وهو الذي يختص بحل المعادلات والمتباينات البرهان الهندسي: يختص بالمستقيمات والقطع المستقيمة والتوازي والزوايا البرهان الإحداثي: يختص بالمستوى وقوانين الهندسة التحليلية صور البراهين ذو عمودين: أي نكتب البرهان في عمودين، الأول العبارات والثاني المبررات. التسلسلي: مثل المخطط أو الخريطة، بحيث تدل الأسهم فيها على كل خطوة مستنتجة من الأخرى مع التبرير. البرهان الحر: ويكون مثل الفقرة أو القطعة ويتضمن العبارات والمبررات معاً. ملاحظة: قد نجد برهان هندسي ذو عمودين : أي نوعه هندسي وطريقة كتابته ذو عمودين ، او برهان جبري وعمودين : نوعه جبري وطريقة كتابته ذو عمودين ، او برهان هندسي حر ، او برهان تسلسلي هندسي وهكذا ...
https://www.salmimath.com/2015/03/Types-de-preuves.html
 ملاحظة: قد نجد برهان هندسي ذو عمودين : أي نوعه هندسي وطريقة كتابته ذو عمودين ،أو برهان جبري وعمودين : نوعه جبري وطريقة كتابته ذو عمودين .أو برهان هندسي حر ، أو برهان هندسي تسلسلي وهكذا..
طريقه حل الرهان الغير  مباشر
1)فرض أن النتيجة خاطئة
2)بين هذا الافتراض يودي إلى تناقص مع المعطيات أو مع حقيقة سابقه كتعريف أو مسلمه أو نظريه أو نتيجة
3)أشر إلى بسبب افتراض خطا حصلنا على عبارة غير صحيحة ولذلك يجب أن تكون النتيجة الأصلية  صحيحة
مثال ذلك: X<5
الافتراض :X>5
مثال كامل على حل البرهان الغير مباشر
المعطيات:2X+3<7
المطلوب :X<2
1)الافتراض :X>2 الافتراض صحيح
2)نعوض X>2=2X>2x2
2x>4
2x+3>4+3
2x+3>7
توصلنا إلى تعارض بسبب الفرضية الخاطئة
ملاحظه: إذا عوضنا أو ضربنا في عدد سالب تتغير اتجاه الإشارة إذا كانت اكبر   والعكس
ونتائج البرهان الغير مباشر دائما يكون في تعارض مع النتيجة الأصلية بسبب الفرضية الخاطئة  .
https://ien.edu.sa
اثبت انه اذا كان 5-(x+4) = 70 فان x=-18 اكتب تبريرا لكل خطوة ؟
5-(x+4 = 70 المعادلة الاصلية او المعطيات
5- . x + (-5( . 4 = 70 خاصية التوزيع
5-x - 20 = 70 بالتبسيط
5-x - 20 + 20 = 70 + 20 خاصية جمع المساواة
5- = 90 بالتبسيط
______ خاصية القسمة للمساواة
5- 5-
x= -18 بالتبسيط
مثال على البرهان الحر:
اذا كانتM نقطة منتصفXY ، اكتب برهانا حراً لإثبات أنXM=MY
الحل:
الخطوتان 1 و 2«