حدسية غولدباخ
حدسية غولدباخ هي حدسية حدسها عالم الرياضيات الألماني كريستيان غولدباخ عام 1742. هي واحدة من أقدم المعضلات غير المحلولة في نظرية الأعداد وفي الرياضيات ككل. وتنص على ما يلي:
عدد الطرق المختلفة التي يكتب بها عدد زوجي ما أكبر قطعا من 2 على شكل مجموع عددين أوليين يسمى عدد غولدباخ.
في السابع من يوليو، عام 1742، كتب عالم الرياضيات ذو الأصل الألماني غولدباخ رسالة إلى أويلر جاء فيها :
وبشكل واضح الحدسية الثانية يمكن اشتقاقها من الأولى وذلك لأنه يمكن كتابة كل عدد فردي بالشكل التالي: formula_1، وقد عبر أويلر عن إيمانه بصحة هذه الحدسية ولكنه لم يستطع أن يقدم برهانا، وقد تم فحص هاتين الحدسيتين على مر السنين بالطرق العددية مثال: شين موك كونج فحص الحدسية حتى العدد formula_2 وقد وصل كل من لايت وفوريس وهاموند وروي إلى formula_3 وفي عام 1998 وصل الحد إلى formula_4.
وفي الخطاب المشهور في اجتماع كونغرس الرياضيات الذي أقيم في باريس عام 1900، أعلن هيلبرت 23 مسألة غير محلولة والتي يجب أن يعمل عليها الرياضياتيون في القرن ال-20 وقد تم ذكر هذه المسألة من ضمن المسائل، وفي عام 1912 أعلن لاندو عن أربعة مسائل في نظرية الأعداد الأولية من ضمنها حدسية غولدباخ والتي لا يوجد لها حل وذلك ضمن خطابه في اجتماع كونغرس الرياضيات الخامس والذي عقد في كامبريج. في عام 1921 أعلن هاردي في خطابه أمام المجتمع الرياضياتي في كوبنهاغن أن المسألة ليست فقط من أصعب المسائل في نظرية الأعداد ولكن في كل الرياضيات.
وفي عشرينيات القرن العشرين حدث تقدم ملحوظ على المسألة حيث أن قبلها لم تكن هناك وسائل البتة لحل المسألة وقد تركز البحث على فحص الأعداد أوفي بعض الأحيان كتابة حدسيات جديدة مشتقة من الحدسية. وقد كانت الوسيلة الجديدة تسمى "طريقة الدائرة" وقد استخدمها الرياضياتيان هاردي وليتل-وود في عام 1923 أن كل عدد فردي كبير هو مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية وتقريبا كل عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين فرديين وتم ذلك بافتراض أن حدسية ريمان الموسعة صحيحة. وقد كان الرياضياتي النرويجي برون بواسطة وسيلة الغربال عام 1919 قد توصل إلى أن كل عدد زوجي كبير هو مجموع عددين بحيث أن كل منها يمكن تفكيكه ل-9 عوامل أولية على الأكثر، وفي 1930 نجح العالم الروسي لييف شنايرلمان بالتوصل إلى نظرية مهمة في نظرية الأعداد المتطرقة إلى المجاميع وهي : يوجد عدد c صحيح حيث كل عدد صحيح أكبر من 2 هو مجموع c أعداد أولية على الأكثر.
وفي عام 1937 نجح العالم الروسي فينوغرادوف في ازالة العلاقة مع نظرية ريمان الموسعة وذلك بواسطة "طريقة الدائرة" وأيضا بواسطة طريقته المبتكرة لتقريب المجموع الأسي على الاعداد الاولية (وهو formula_5) ونجح ببرهنة ما تم سابقا بواسطة ليتيل-وود وهاردي ولكن دون الحاجة لنظريات ريمان.
وبعد تطورات عديدة على "وسيلة الغربال" التي طورها برون نجح العالم الصيني تشين جن رن في عام 1966 نجح بالتوصل إلى أن كل عدد زوجي هو مجموع عدد أولي وعدد آخر لديه عاملان أوليان على الأكثر.
في عام 1995 نجح راميري ببرهنة نظرية اضعف من حدسية غولدباخ وهي تنص على أن كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع ستة اعداد اولية على الأكثر. وفي نفس العام نجح كانيكي بالتوصل لنظرية اقوى: اذا افترضنا نظرية ريمان حينها كل عدد زوجي يمكن كتابته بشكل مجموع خمسة اعداد اولية على الأكثر. ويمكن تقوية نظرية كانيكي للوصول حتى أربعة اعداد اولية بربطها مع مسألة فحص حسابية.
يمكن تعميم حدسية غولدباخ بشكل يسمح بدراسة مسألة أكثر شمولية بحيث هذه المسألة يمكن ان يتفرع منها مسائل اخرى هي أيضا مهمة:
مسألة 1: فلتكن formula_6 مجموعة جزئية ل- formula_7 وليكن formula_8 عدد صحيح، ما هي المجموعة: formula_9.
مسألة 2: فلتكن formula_10 مجموعة جزئية ل- formula_7، ما هي المجموعة: formula_12.
يمكن اشتقاق مسائل مهمة من هذه المسائل وهي كالتالي:طور العلمان هاردي وليتل-وود طريقة الدائرة للتعامل مع هذا النوع من المسائل وقد لاقت هذه الطريقة نجاحا باهرا حيث تم برهنة نظرية فينوجرادوف إذ انها تعتبر تقدم هائل نحو برهنة الحدسية وذلك للتقارب بينهما.
هاردي وليتل وود (1921) في الاصل استخدما الطريقة لحل مسألة كتابة الاعداد الصحيحة بشكل مجموع اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. لنفرض أن formula_19 عدد الطرق لكتابة n بواسطة d اعداد صحيحة مرفوعة بالقوة k. وهذه الطريقة هي لتقريب قيمة formula_19 عندما formula_21 و- k كبير جدا بالنسبة ل-d.
الفكرة العامة لهذه الطريقة هي كالتالي: ل- formula_22 عرف الدالة المنتجة التالية:
ولاحظ أن معامل formula_23 في الدالة formula_24 هو عدد طرق طرق كتابة formula_25 بشكل حاصل جمع formula_26 اعداد من المجموعة formula_6. ولكن من جهة اخرى هذا المعامل هو:
وبواسطة صيغة كوشي التكاملية:
حيث أن formula_28 منحنى طوله نهائي. والفكرة هي ايجاد طريقة بديلة لحساب التكامل وذلك لتقريب قيمة formula_29.وعندما يكون المنحنى دائري التكامل يمكن اختصاره لتكامل مجاميع أسية وهي الطريقة التي استخدمها فينوجرادوف عام 1929.
لقد تم فحص حدسية غولدباخ لايجاد مثال مضاد ولكن عبثا إذ أن ديسبوفيس(1855) فحص الحدسية لكل عدد اصغر من 10,000، وفي عام 1940 فحص بيبينغ الحدسية حتى العدد 100,000 بواسطة الحاسوب وعام 1964 بواسطة العالمين ستين وستين وصل الفحص حتى العدد formula_3 وفي الأعوام التي تلت نجح جرانفيل ولون ورايلي بالوصول إلى formula_31 وذلك كان عام 1989. وفي عام 1998 توصل ديشوليرس رايلي وساوتر بالوصول إلى formula_4 اما ريتشستاين وصل بفحصه حتى: formula_33.