مسألة كثير حدود وكثير حدود غير قطعي
إن العلاقة بين مسائل التعقيد كثيرة الحدود وكثير حدود غير قطعي هي مسألة غير محلولة في المعلوماتية النظرية. وهي تعتبر من أهم المسائل في هذا الحقل وقد عرض معهد كلاي للرياضيات جائزة مقدارها مليون دولار أمريكي لأول برهان صحيح لهذه المسألة.
جوهر المسألة في أنه إذا كان من الممكن التأكد من الجواب الصحيح لمسألة ما بعد الحصول عليه في الزمن الخطي فهل من الممكن أيضا حساب هذه الأجوبة ذاتها بسرعة؟
خذ على سبيل المثال مسألة مجموع المجموعات الجزئية، وهو مثال على مسألة من السهل التحقق من صحة جوابها، لكن عملية حساب الجواب نفسه يعتبر (هذا الأمر غير مبرهن بعد) من الأمور الصعبة. على سبيل المثال هل يوجد مجموعة جزئية من المجموعة التالية {2−, 3−, 15, 14, 7, 10−} يكون مجموع عناصرها مساويا للصفر؟ الجواب بكل بساطة هو نعم، لأن المجموعة الجزئية {2−, 3−,10−, 15} مجموعها صفر وهو أمر من الممكن التحقق منه بكل بساطة بجمع العناصر. لكن إن عملية إيجاد كل مجموعة جزئية من المجموعة الأساسية يكون مجموع جميع عناصرها ينتهي إلى الصفر يأخذ وقتا طويلا.
المسالة P ضد NP هي تحديد اذا ما كل مسألة يمكن تقريرها بواسطة خوارزمية غير قطعية يمكن أيضا حلها بواسطة خوارزمية قطعية . حتى نستطيع تعريف المسالة بشكل دقيق يجب علينا تحديد نموذج حاسوبي . النموذج الاساسي للحاسوب في نظرية الحاسوبية هي الة تورنغ والتي عرفها آلان تورنغ عام 1936 بالرغم من ان هذا النموذج ظهر قبل الحاسوب الذي نعرفه الان ولكن هذا النموذج مقبول على انه النموذج الاساسي لهدف تعريف المصطلح دالة قابلة للحساب .
تقديم آلة تيورنج كان أحد أهم الخطوات في جعل الحاسوب نموذجا رياضيا والأهم من هذا بات الان بقدرتنا على اعطاء تعريف دقيق للقسم او الصنف P والصنف NP , ولكن تنقص بعد التعريفات المهمة منها تعريف لغة آلة تيورنج بشكل غير رسمي هي كل المُدخلات التي آلة تيورنج تعطي جواب "نعم" , بشكل دقيق نعرفها كالتالي : فلتكن M آلة تيورنج , ولنفرض أنَّ formula_1 هي ابجدية الآلة , حينها نعرف لغة الآلة كالتالي: formula_2 .
امر اخر مهم جدا هو نجاعة الخوارزمية , وفي هذه الحالة النجاعة هي كمية الوقت التي تستخدمها الخوارزمية حتى الوصول لنتيجة , وبشكل دقيق : فلتكن formula_3 دالة من الاعداد الطبيعية إلى الاعداد الطبيعية (لعلنا نسميها دالة الوقت) , حينها نرمز ل- formula_4 هي مجموعة كل المسائل التي يوجد آلة تيورنج حتمية تحلها خلال formula_5 وقت اي عدد خطوات الحساب التي تلزم الآلة للوصول لجواب , نستطيع أيضا بشكل مشابه تعريف formula_6 ولكن النموذج هو آلة تيورنج غير حتمية .
من التعريفين السابقين صيغة المسألة بشكل دقيق ستكون كالتالي : نعرف P لتكون formula_7 , ونعرف NP ليكون formula_8 , والسؤال هو هل هاتين المجموعتين مساويتان ؟
بما ان السؤال هو تساوي مجموعتين علينا ان نعرف اذا ما P تحوي NP وايضا هل NP تحوي P , أحد هذين الاحتواءين سهل ان نبرهن انه يتحقق وهو أنَّ P تحوي NP , بشكل غير رسمي : لان كل آلة حتمية هي آلة غير حتمية ولكن لا تستخدم قدرتها على ان تكون غير حتمية . المسألة الصعبة والتي للان لا برهان لها هو الاحتواء الاخر , لذا فان المسألة هي هل NP تحوي المجموعة P ?لنفرض ان المجموعة الاولى هي{1،2،3،4}وفيها الرقم 2هو محتوا فيها ولكن 2لايحتوي الا 1،2 وبالتالي :NPلا يساوي P
من خلال البحث عن اسلوب او طريقة لحل المسألة ظهرت انواع مسائل من نوع اخر , وهذه المسائل كان لها صفتين :
اما الصفة الاولى فقد نبعت من كون مجال بحث المسألة "كبير جدا" وكذلك لان لا أحد نجح بالاتيان بخوارزمية لحلها , مثلا مسألة الاكتفاء : معطى صيغة بوليانية ونريد ان نعرف هل قابلة للاكتفاء , الطريقة الوحيدة هي كتابة كل التعويضات الممكنة للمتغيرات وفحصها هل تكفي الصيغة ام لا , هذه الخوارزمية من أفضل الخوارزميات لهذه المسألة للان ولكن هذه الخوارزمية تعبر على كل مجال البحث وهذا يعني انها ستعبر على formula_9 , هذه الدالة الأُسية عندما يكون n=80 حينها لو انك عشت من أول خلق الكون ليومنا ما انتهت من البحث !
اما الصفة الثانية فهي تحتاج إلى تعريف الاختصار والذي هو : فلتكن A , B مسألتان اختصار المسألة A للمسألة B هو دالة f حيث انها تحقق التالي : formula_10 . اي ان الدالة f تحول مُدخلات المسألة A إلى مُدخل ملائم للدالة B . الاختصار كما عرفناه لا ينفع لانه لا يحقق النجاعة الكافية حيث ان الدالة f يمكن ان تكون غير قابلة للحساب , ولكن نحدد الدالة f لتكون قابلة للحساب بل ويمكن حسابها بوقت كثير الحدود .
مصطلح الاختصار فتح باباً لتكون لتعريف متى المسائل مطابقة (مع فارق وقت حدودي) , لذا فاننا نعرف المسائل NP كاملة لتكون كل المسائل التي تتبع NP ويمكن اختصار كل المسائل في NP لهذه المسألة , من الوهلة الاولى لا يبدو ان هذه المسائل موجودة وذلك لقوتها الهائلة وذلك لان حلها يعني ان تكون قادرا على حل كثير من المسائل , ولكن المفاجأة انه يوجد مسائل كهذه وهي شائعة وكثيرة ولها كثير من التطبيقات العملية تنبسط على كل مجالات علم الحاسوب تقريبا , ولكن هل يمكن ان نحل هذه المسائل بنجاعة ؟ لا نعرف , وذلك لان هذا السؤال مساوي ومكافئ للسؤال هل NP=P . وبالتحديد يمكن حلها بنجاعة فقط اذا P=NP .
بعض الامثلة لهذه المسائل من ضمنها مسألة الاكتفاء , هل يوجد في مخطط معطى مسار هاميلتوني ؟ وكثير من الاسئلة واسعة الاستخدام .
هناك حالتين :