نظرية المجموعات
نظرية المجموعة هو فرع من علم المنطق الرياضي، تهتم بدراسة المجموعات والتي هي تجميع لكائنات رياضية مجردة والعمليات المطبقة عليها، وتشكل إحدى أهم ركائز الرياضيات الحديثة.
كانت بداية الاهتمام بهذا العلم والعمل على دراسته بالقرن التاسع عشر عندما بداه جورج كانتور وريتشارد ديدكايند. وعلى اثر اكتشاف تناقضات عديدة في نظرية المجموعات الأساسية اقتُرحت العديد من الانظمة البديهية لتجاوز هذه التناقضات ومن هذه كان نظام زيرملو-فرانكلن مع بديهية الاختيار افضلها على الإطلاق.
أحد أهم المصطلحات الاساسية في نظرية المجموعة هو التابعية، نقول أن الشيء formula_1 تابع (ينتمي) للمجموعة formula_2 ونرمز لذلك بـ formula_3 اذا كان أحد اعضاء المجموعة formula_2. وهذا المصطلح هو علاقة ثنائية وقد تكون بين المجموعات كذلك.
علاقة ثنائية اخرى بين المجموعات هي علاقة المجموعة الجزئية وهي مشتقة من علاقة التابعية: نقول أن formula_5 هي مجموعة جزئية للمجموعة formula_6 اذا كل عضو formula_7 تابع أيضا للمجموعة formula_8 اي: formula_9. نرمز لهذه العلاقة بالشكل التالي: formula_10 ونقول أيضا:A ضمن B. اذا تحقق أيضا أنَّ formula_11 حينها نقول ان المجموعة A مجموعة جزئية فعلية للمجموعة B. ونرمز لذلك بالشكل التالي: formula_12.و نقول أيضا:A ضمن B قطعا.
عملية اتحاد مجموعتين A وB يرمز لها بـ formula_13 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي لأي واحدة من المجموعتين A أو B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى formula_13 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A أو x ينتمي إلى B
بالرموز: formula_15
عملية تقاطع مجموعتين A وB يرمز لها بـ formula_20 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر المشتركة بين A وB.
أي أن عنصر x ينتمي إلى formula_20 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x ينتمي إلى B.
بالرموز: formula_22
مثال لمجموعة متممة: إذا كانت س
عملية الفرق بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ formula_27 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى A و لا تنتمي إلى B.
أي أن عنصر x ينتمي إلى formula_27 إذا وفقط إذا x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B
بالرموز: formula_29
أمثلة:
عملية الفرق المتماثل بين مجموعتين A وB يرمز لها بـ formula_35 ونتيجتها هي مجموعة جديدة تحوي العناصر التي تنتمي إلى مجموعة واحدة فقط.
أي أن عنصر x ينتمي إلى formula_35 إذا وفقط إذا(x ينتمي إلى A وأيضاً x لا ينتمي إلى B) أو (x ينتمي إلى B وأيضاً x لا ينتمي إلى A)
بالرموز: formula_37
المجموعة كما يدل اسمها تجمع عدة عناصر أو قد تكون فارغة. وقد تكون منتهية أي أن عدد عناصرها عدد صحيح طبيعي معلوم أو تكون غير منتهية. أو هي مجموعة الأشياء المعرفة جيدا لها صفة مميزة مشتركة بينها.
الجداء الديكارتي للمجموعتين A و- B , نرمز له كالتالي: formula_38 هي المجموعة كل الازواج المرتبة formula_39 بحيث أنَّ: formula_7 وformula_41.
مثلا الجداء الديكارتي بين المجموعة formula_42 و- formula_43 هو: formula_44
مجموعة القوة لمجموعة ما- A عبارة عن مجموعة كل المجموعات الجزئية ل-A, وعادة ما يُرمز لها ب- formula_45.
اي ان:- formula_46.
على سبيل المثال: المجموعة الخاية تنتمي لمجموعة القوة الخاصة باي مجموعة كانت (لأن formula_47 لكل مجموعة formula_2), كما ان كل مجموعة هي مجموعة جزئية لنفسها وعليه فهي تنتمي لمجموعة القوة الخاصة بها.
امثلة اخرى:تجتمع عمليتا الاتحاد و التقاطع على المجموعات مع بعض لتؤلف ما يعرف بجبر المجموعات .
بفرض ان formula_2 و formula_8 وformula_53 ثلاث مجموعات ما و المجموعة formula_54 هي المجموعة الشاملة نسبيا نجد ما يلي :
قانونا اللانمو :
قانونان التجميعيان :
القانونان التبديليان :
القانونان التوزيعيان :
قوانين المحايد و الماص :
قوانين الاتمام :
قانون الارتداد :
قانونا دومورغان :
العلاقات هي موضوع مهم ورائج في الرياضيات, وتشكل اداة مهمة في دراسة المجموعات وعناصرها.
وبشكل دقيق: علاقة- R من مجموعة- A إلى مجموعة- B هي مجموعة جزئية للجداء الديكارتي formula_74, واذا كان formula_75فنرمز formula_76 . وفي حال ان formula_77فنقول باختصار ان العلاقة هي على المجموعة A.
مثال: العلاقة > ("اصغر" المعهودة من الاعداد الحقيقية - من اليسار إلى اليمين: مثلا formula_78) على المجموعة formula_79هي formula_80, كما ان العلاقة formula_81على نفس المجموعة هي formula_82, بينما العلاقة < على نفس المجموعة هي formula_83.
هنالك انواع مميزة من العلاقات, سنذكر بعضا منها ادناه:
لتكن- R علاقة على مجموعة معينة- A. إذاً فنقول ان R هي:دالة formula_89من مجموعة formula_2الى مجموعة formula_8هي امر افتراضي يناسب لكل عضو في formula_2عضواً واحداً ووحيدأ من formula_8.
ولكن علينا تعريف الدالة بشكل رياضي دقيق, وهذا يقتضي ان نعرّف كلمة "يناسب" اعلاه. سنفعل هذا بمساعدة مفهموم "العلاقة" بالشكل الاتي: دالة formula_89 من المجموعة formula_2الى المجموعة formula_8هي علاقة احاديةُ القيمة من المجموعة formula_2الى المجموعة formula_8, حيث ان المقصود باحادية القيمة هو ان لكل عضو في formula_2يوجد عضو واحد ووحيد من formula_8يحقق formula_101, اي
formula_102 وايضاً formula_103.
اذا كانت formula_89دالةً من المجموعة formula_2الى المجموعة formula_8, فنكتب formula_107, ويُصطلَح عادة تسمية المجموعة formula_2بمجال formula_89وتسمية المجموعة formula_8بمدى formula_89, وعناصر formula_2بالمصادر وعناصر formula_8الذين لديهم مصادر بالصور.
اذا كان formula_114صورةَ formula_115تحت الدالة formula_89, اي formula_101, فغالبا ما يُشار إلى ذلك بالشكل التالي: formula_118.
في حال كان مفهموما ضمنا من هي الدالة التي نتحدث عنها فقد نسقط اسمها, مثلا بدل القول "مجال الدالة formula_89" نكتفي بالقول "المجال", وهكذا.لدالة ال 1-1 والعلى اهمية كبيرة في علم المجموعات, وهي تُدعى احيانا تكافؤاً بين مجموعتي المجال والمدى.