ليونهارت أويلر
ليونهارد أويلر (بالألمانية: Leonhard Euler ، باللاتينية: "Leonhardus Eulerus") (ولِد في 15 أبريل عام 1707 في بازل في سويسرا وتوفي في 18 سبتمبر عام 1783 في سانت بطرسبرغ بالإمبراطورية الروسية)، هو رياضياتي وفيزيائي وعالم فلك ومنطق ومهندس سويسري، يعد أويلر أحد أبرز الرياضياتيين في القرن الثامن عشر ويعد أحد أعظم الرياضياتيين في تاريخ البشرية لاكتشافاته المؤثّرة في التحليل الرياضي ونظرية المخططات، فضلًا عن إسهاماته الريادية في عدة فروع رياضية أخرى مثل الطوبولوجيا ونظرية الأعداد التحليلية. كما يعود له الفضل في إدخال كثير من المصطلحات والترميز الرياضي ولا سيما في مجال التحليل الرياضي مثل مفهوم الدالة الرياضية. كما اشتهر بعمله في مجالات الميكانيكا وديناميكا الموائع والبصريات وعلم الفلك ونظرية الموسيقى. ويعتبر أويلر على نطاقٍ واسع أكثر الرياضياتيين غزارةً في الإنتاج على الإطلاق، حيث ألف ما يتراوح ما بين الستين إلى الثمانين مجلداً وهو أكثر من أي شخص آخر في مجاله. قضى أويلر معظم حياته البالغة في مدينة سانت بطرسبرغ الروسية وفي برلين التي كانت حينها عاصمة بروسيا.
تذكر مقولة منسوبة إلى الرباضياتي بيير سيمون لابلاس حول الأثر الذي تركه أويلر على الرياضيات بقوله .
وُلد في الخامس عشر من أبريل عام 1707 في بازل لباول أويلر. و كان أبوه قسا. أما أمه مارجاريت بروكر فهي ابنة قس آخر. كان لديه أختان صغيرتان، الأولى تدعى آنا ماريا والثانية تدعى ماريا مجدلينا. بعد فترة قصيرة من ولادته انتقلت عائلة أويلر من بلدة بازل إلى بلدة ريهن بها أمضى ليونهارد معظم طفولته. كان الوالد باول أويلر صديقا لعائلة برنولي - يوهان بيرنولي، الذي اعتُبر حينها من أعظم الرياضياتيين في أوروبا، ولاحقًا كان له تأثير عظيم على الابن ليونهارد أويلر. تلقّن أويلر تعليمه الابتدائي في بازل حيث أرسله أهله إلى جدته، أم أمه. عندما بلغ الثالثة عشر من عمره, التحق بجامعة بازل. وفي سنة 1723 تلقى لقب الماستر في الفلسفة بعد كتابته لمقال قارن فيه فلسفة دكارت بفلسفة نيوتن. في هذه الفترة، تلقى أويلر دروسا من قبل يوهان برنولي الذي أعجب بالموهبة الخارقة لدى طالبه ليونهارد. و في هذه الفترة أيضًا, درس أويلر علم اللاهوت واليونانية والعبرية بعد أن حثه أبوه على ذلك من أجل أن يصبح قسًا. ولكن يوهان برنولي استطاع إقناع والده أن ليونهارد ولد ليصبح رياضياتيا عظيما. في سنة 1726، أتم أولر مقالته عن انتشار الصوت بعنوان "De Sono". في هذه الفترة حاول ليونهارد (دون جدوى) التقدم والحصول على منصب في جامعة بازل.
تدهور بصر أويلر عبر مساره المهني في الرياضيات حيث أصيب عام 1735 بحمى كادت أن تؤدي بحياته، وبعد ذلك بثلاث سنوات، صار شبه أعمى بعينه اليمنى.
وكان أويلر من الرياضيين النشيطين جدًا حيث أن له أكثر من 886 إصدارا. ويرجع العديد من الرموز المستعملة اليوم في الرياضيات إليه كما يعتبره البعض مؤسس علم التحليل الرياضي. في سنة 1748 قام بنشر كتاب بعنوان Introductio in analysin infinitorum اكتسى في مفهوم الدالة صيغة محورية.
قدم أويلر وعمم الكثير من التعبيرات الرياضية من خلال كتبه العديدة. و قدم مفهوم الدالة وكان أول من كتب (f(x والتي تعنى أن دالة f مطبقة على المتغير x. وقد قدم تعبيرا جديدا للدوال المثلثية، وأيضا يسمى العدد الطبيعي (هـ) أو ما يسمى بالإنجليزية (e) بعدد أويلر. وهذا العدد هو الأساس للوغاريتم الطبيعى وأيضا أول من عبر عن المجموع بالحرف الاغريقي (∑) والعدد (i) لتمثيل العدد التخيلى (ت) والذي يساوي جذر سالب الواحد الصحيح. كما استخدم الحرف الاغريقى π للتعبير عن النسبة بين محيط الدائرة وقطرها وقد قام بتعميمه على الرغم من أن أصلها لا يرجع إلى أويلر، بل أن .
في القرن الثامن عشر كان تطوير التفاضل والتكامل على رأس البحوث الرياضية. و كان بيرنولي صديق عائلة أويلر, مسؤولا عن كثير من التقدم في هذا المجال. وتقديرا لجهوده جعل أويلر دراسة التفاضل والتكامل موضع اهتماماته الرئيسية , وإن كانت بعض إثباتات أويلر غير مقبولة بقياسات الرياضيات وخصوصا اعتماده على مبدأ عمومية الجبر.
و قد أدت أفكاره إلى تطورات عظيمة حيث اشتهر نتيجة استعماله المكثف للمتسلسلات الأسية والتي هي عبارة عن مجموع عدد لا نهائى من الحدود لتمثيل دالة معينة ما. مثل :
قام نيوتن و لايبنز باختراع الأساليب غير المباشرة لمعرفة المتسلسلة الأسية لدالة ما في ما بين عامي 1670 و 1680 م. وقد مكنه استخدام المتسلسة الأسية في حل الكثير من مشاكل بازل المشهورة "Basel Problem" في عام 1735 م. وقدم إثباتاً أكثر تفصيلا في عام 1741 م.
عرض أويلر استخدام الدوال الأسية واللوغاريتمات في التحاليل الرياضية. كما اكتشف طرقا للتعبير عن الدوال اللوغاريتمية المختلفة باستخدام المتسلسلات الأسية. و نجح في تعريف اللوغاريتم للأعداد السالبة والمركبة, مما وسع مجال التطبيقات الرياضية للوغاريتميات. وقد عرف الدالة الأسية الطبيعية للأعداد المركبة واكتشف علاقتها بالدوال المثلثية وحيث تتحق علاقة أويلر لأي عدد حقيقي Θ.
formula_2
حيث x هي الزاوية.
الحالة الخاصة لهذه الصيغة هي المتطابقة الرياضية المعروفة باسم متطابقة أويلر،
formula_3
وتحدث عندما x=π.
تسمى هاته المتطابقة بمتطابقة أويلر وهي أكثر العلاقات بروزا في الرياضيات, كما نعتها ريتشارد فينمان. والتي تستخدم في التعبير عن الجمع والضرب والمتطابقات , وقد استخدمت مفردة للتعبير عن بعض الثوابت المهمة مثل (صفر, ه, ت , ط)
و قد صوت قارؤو مجلة الذكاء الرياضى بأنها أجمل العلاقات الرياضية على الإطلاق. و مجملاً, يرجع الفضل إلى أويلر في ثلاث من أهم خمس علاقات في هذا المجال.
أدت علاقة أويلر مباشرة إلى صيغة دي موافر. بالأضافة إلى ذلك, وضع أويلر نظرية الدوال المتسامية العليا وقدم دالة غاما , وعرض طرقا جديدة لحل المعادلة التربيعية, و وجد طرقا لحساب التكامل والنهايات للدوال المركبة واخترع التكاملات المتغيرة والتي أدت إلى معادلة أويلر لاغرانج.
أسس أويلر طرقا تحليلية لحل مشاكل نظرية الأعداد. وبهذا قد جمع فرعين مختلفين وجعلهما فرعا واحدا جديدا هو نظرية المتسلسلات الهندسية العليا والمتسلسلات والدوال المثلثية العليا ونظرية التحليل للكسور المستمرة. وكمثال, فقد أثبت لا نهائية الأعداد الأولية باستخدام تباعد سلسلة المتوافق و قد استخدم طرقا تحليلية لمعرفة توزيع الأعداد الأولية. عمل أويلر في هذا المجال أدى إلى تطوير نظرية الأعداد الأولية.
يرجع اهتمام أويلر بنظرية الأعداد إلى تأثير أعمال صديقه كريستيان غولدباخ. و قد كانت معظم بدايات عمله في هذا المجال قائمة على أعمال بيير دي فيرما. وقد طور أويلر بعض أفكار بيير دي فيرما و أثبت خطأ بعض من حدسياته.
ربط أويلر دراسة توزيع الأعداد الأولية بأفكار في التحليل. في هذا الاتجاه برهن على تباعد مجموع مقلوبات الأعداد الأولية. كما اكتشف العلاقة بين دالة زيتا لريمان والأعداد الأولية. يعرف ذلك ببرهان صيغة جداء أويلر بالنسبة لدالة زيتا لريمان.
برهن أويلر على متطابقات نيوتن وعلى مبرهنة فيرما الصغرى وعلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين كما ساهم بشكل متميز في مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج. اخترع أيضا الدالة المعروفة باسم مؤشر أويلر (φ(n، (عدد الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر من n والأولية معه). باستعمال خصائص هاته الدالة، عمم مبرهنة فيرما الصغرى لِما يعرف حاليا بمبرهنة أويلر. ساهم بشكل أساسي في نظرية الأعداد المثالية اللائي أبهرن علماء الرياضيات منذ أقليدس.
في عام 1772، برهن أويلر على أن العدد 2 − 1 = 2,147,483,647 هو عدد أولي لميرسين. يُعتقد أن هذا العدد بقي حتى عام 1867 أكبر عدد أولي معروف.
برهن أويلر أنه في أي مثلث, النقط التسع التالية تنتمي إلى نفس الدائرة :
تسمى هذه الدائرة بدائرة أويلر.
في عام 1736، حل أويلر المعضلة المعروفة باسم جسور كونيغسبرغ السبعة. في مدينة كونيغسبرغ في بروسيا، الواقعة على نهر بريغوليا، كان يوجد جزيرتان كبيرتان، ترتبطان ببعضهما وباليابسة بواسطة سبعة جسور. تتمثل المعضلة في الإجابة على السؤال التالي : هل من الممكن إيجاد طريق يمر بالجسور السبعة، مرة واحدة، لا أقل ولا أكثر، بكل جسر، ثم الرجوع بعد ذلك إلى نقطة الانطلاق ؟. الجواب على هذا السؤال هو النفي لأن هذا المخطط لا يحتوي على أي دارة أويلرية. يعتبر هذا الحل أول مبرهنة في نظرية المخططات، وبالتحديد في نظرية المخططات المستوية.
انظر إلى مميزة أويلر.
انظر إلى عدد بيرنولي وإلى متسلسلة فورييه وإلى مخطط فن وإلى عدد أويلر وإلى الثابتتين e و π وإلى طريقة أويلر وإلى صيغة أويلر-ماكلورين.
ثابتة أويلر-ماسكيروني
ساهم أويلر في تطوير معادلة شعاع أويلر-بيرنولي.
أويلر معروف أيضا في مجال الهندسة الإنشائية حيث أعطى علاقة حساب القوة الحدية للعناصر التي تتعرض للتحنيب بسبب قوى الضغط.
formula_5
F : القوى الحديّة (للقوة الناظمية في العمود).
E : معامل المرونة (معامل يونغ).
I : عزم عطالة المقطع العرضي للعمود.
L : طول العمود.
K : معامل الطول الفعّال ، ويتعلق بشروط استناد العمود من الطرفين:
العمود متمفصل من الطرفين (يسمح بالدوران)، K = 1.0.
العمود موثوق الطرفين، K = 0.50.
العمود متمفصل من طرف وموثوق من الطرف الآخر K = 0.699
العمود موثوق من طرف وحر من الطرف الآخر K = 2.0.
ويكون الجداء KL هو الطّول الفعّال للعمود.
أويلر هو أول من استعمل المنحنيات المغلقة للتعبير عن المنطق ...
انظر إلى الرسم البياني لأويلر.
وضعت صورة أويلر في الأوراق المالية السويسرية من فئة عشر فرنكات، كما وضعت في طوابع بريدية سويسرية وألمانية وروسية تكريما له.