جبر بولياني
الجبر البولياني هو أحد مواضيع الرياضيات والرياضيات المنطقيّة والرياضيات المُتقطّعة، ويُعتَبر فرعاً من فروع الجبر حيثُ يعمل بمُتغيّرين اثنين هما "الصح" أو "الخطأ" ويُرمز لهما بالعددين 1 و 0 بعكس الجبر الإبتدائي الذي قد يكون المُتغيّر فيه أي عددٍ كان. وفي حين أن العمليّات الرئيسيّة في الجبر هي الجمع والضرب، تكون العمليّات في الجبر البولياني هي "الأتصال conjunction" وتُقرأ على أنّها "واو العطف" "( وَ and)" ويُرمز لها بالرمز ∧؛ والعمليّة الثانية هي "الانفصال disjunction" وتُقرأ على أنّها "حرف التخيير (أو or)" ويُرمز لها بالرمز ∨؛ وثالث العمليّات الرئيسيّة هي "النفي negation" "(ليس not)" ويُرمز لها بالرمز ¬. وبهذا، تكون العلاقات في الجبر البولياني مُشابِهة للعلاقات العددية المستخدمة في الجبر المعتاد.
يُنسَب الجبر البولياني للعالِم الرياضي البريطاني جورج بول الذي ابتكرها وقدّمها في كتابِه الأوّل تحليل الرياضيات المنطقيّة ("The Mathematical Analysis of Logic") عام 1847، وشرحها أكثر ووضع أُسسها في كتابِه استقراء قوانين التفكير ("An Investigation of the Laws of Thought") عام 1854. وأول من اقتَرح مُصطلح "الجبر البولياني" على هذا النوع من الجبر هو الرياضي الأمريكي هنري م. شيفر عام 1913.
لم يَكن للجبر البولياني ذلك القدر من الأهميّة كاليوم حينما وضع جورج بول أُسسه، ولكن مع مجيء عصر الحواسيباتّضَح أن تشغيل الحاسوب وبرمجته يمكن أن يتم باتّباع الطريقة البوليانية، حيث أن الحاسوب يستخدم 0 و1 في عمليّاته وتفاهماته. وبذلك ساعَد الجبر البولياني على تطوير الإلكترونيات الرقمية، كما أنّه يُستَخدم في نظريّة المجموعات والإحصاء.
العبارات في الجَبر الإبتدائي تَدُل قيمَتُها على أرقام، أما في الجبر البولياني فإن قيمَة العبارة الجبرية هي إما "صح" أو "خطأ" ويُطلَق عليها اسم قيمة الحقيقة، ويُمكن تمثيل هذه القيَم بالبت -نظام ثُنائي- وهو 0 و 1. هَذان العددان لا يتصرّفان كالأعداد الصحيحة، فمثلاً عند جَمع 1+1 في الجَبر الابتدائي فإن الناتِج هو 2، أما في الجَبر البولياني يكون الناتِج 1. يتعامَل الجبر البولياني كذلك مع الدوالووالمصفوفاتالتي تكون قيمتُها في المجموعة: {0,1}.
ثلاثة عمليّات رئيسيّة في الجبر البولياني، هي:
تختلف قيمة الحقيقة بين العَدددين باختلاف العمليّات بينَهما، ويُمكن الاعتبار أنّ عمليّة الاتصال ∧ هي عمليّة ضرب والانفصال ∨ عمليّة جمع. ونستطيع التعبير عن العمليّات إمّا جبريّاً، أو من خلال جدول الحقيقة. وجدول الحقيقة التالي يُلخّص العلاقة بين المُتغيّرات في العمليّات الأساسيّة:
إن العمليّات المذكورة أعلاه هي العمليّات الأساسيّة في الجبر البولياني، هذا يعني أنّنا نستطيع إشتقاق عمليّات أُخرى مبنيّة على هذه العمليّات الأساسيّة. والعمليّات الثلاث المُشتقّة هي:
ويمكن تمثيل هذه العمليّات عبر جدول الحقيقة التالي:
القانون في الجبر البولياني هو عبارة عن متطابقة بين حدين بوليانيين، ويعرف الحد البولياني على أنه تعبير منطقي يتألف من متغيرات بوليانية والثوابت 0 و1، وعمليات الجبر البولياني (مثل الاتصال ∧، والانفصال ∨، والنفي ¬). ومثل الجبر العادي، فإن هناك 3 قوانين أساسية تحكم التعبيرات البوليانية: الإبدال والدمج والتوزيع.
يعرف قانون الإبدال لعملية الانفصال كما يلي:
formula_4
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الانفصال (أو) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الجمع في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للجمع "Commutative law of addition".
يعرف قانون الإبدال لعملية الاتصال كما يلي:
formula_5
حيث A وB هما متغيران منطقيان، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أن ترتيب المتغيرات في عملية الاتصال (و) لا يؤثر في ناتج العملية. وهذا يماثل عملية الضرب في الجبر والتي تخضع أيضاً لقانون الإبدال، ولذلك يسمى هذا القانون بقانون الإبدال للضرب "Commutative law of multiplication".
يعرف قانون الدمج لعملية الانفصال كما يلي:
formula_6
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∨ هي عملية الانفصال (أو).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (أو) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الجمع في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للجمع "Associative law of addition".
يعرف قانون الدمج لعملية الاتصال كما يلي:
formula_7
حيث A وB وC هم متغيرات منطقية، والعملية ∧ هي عملية الاتصال (و).
ومعنى القانون هو أنه عندما نقوم بتطبيق العملية (و) على أكثر من متغيرين، فإن الناتج لا يتأثر بترتيب تطبيق العملية على المتغيرات. فمثلا يمكن تطبيق العملية أولاً على B وC، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع A. أو بشكل أخر، يمكن تطبيق العملية أولاً على A وB، ثم أخذ الناتج وتطبيق العملية عليه مع C. وفي كلتا الحالتين يكون الناتجان متساويين. وهذا يماثل قانون الدمج لعملية الضرب في الجبر العادي، ولذلك يسمى القانون بقانون الدمج للضرب "Associative law of multiplication".
يعرف قانون التوزيع لعمية الاتصال (و) على عملية الانفصال (أو) كما يلي:
formula_8
وهو يشابه قانون توزيع الضرب على الجمع في الجبر:
formula_9
ولذلك يسمى القانون في الجبر البولياني بقانون توزيع الضرب على الجمع "Distributive law of multiplication over addition".
يعرف قانون التوزيع لعمية الانفصال (أو) على عملية الاتصال (و) كما يلي:
formula_10
وهذا القانون ليس له قانون مماثل في الجبر العادي. ويمكن إثبات هذا القانون بطريقتين:
formula_13
بعد ذلك يمكن توزيع formula_14 على formula_11 وتوزيع formula_16 على formula_11 باستخدام قانون توزيع الاتصال على الانفصال ثانيةً:
formula_18
ونلاحظ أن قيمة formula_19 مكافئة لـ formula_14 (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة formula_14 مساوية للصفر، فإن قيمة formula_19 تكون صفرا. وعندما تكون قيمتها مساوية للواحد، فإن قيمة القوس تساوي الواحد. وبالتالي يمكن استبدال formula_19 بالمتغير formula_14 مباشرة.
formula_25
نلاحظ أيضاً أن قيمة formula_26 مكافئة لـ formula_14 (انظر أدناه). فعندما تكون قيمة formula_14 مساوية للصفر، فإن التعبير كله يكون مساوياً للصفر. وعندما تكون قيمة formula_14 مساوية للواحد، فإن التعبير كله يكون مساويا للواحد بغض النظر عن قيمتي formula_30 وformula_16. وبهذا يمكن استبدال formula_26 بالمتغير formula_14 مباشرة:
formula_34
فيما يلي قائمة بالقواعد الأساسية في الجبر البولياني وعددهم اثنا عشر قاعدة قابلة للإثبات باستخدام جداول الحقيقة. ويمكن استخدامهم في تبسيط وحل مسائل الجبر البولياني.
formula_35
formula_36
formula_37
formula_38
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
formula_44
formula_45
formula_46
وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل ضرب (اتصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل جمع (انفصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:
formula_47
وتنص النظرية على أن المتمم لحاصل جمع (انفصال) مجموعة من المتغيرات يكافئ حاصل ضرب (اتصال) المتممات لتلك المتغيرات. والتمثيل الرياضي للنظرية:
formula_48