دالة مستمرة
الدالة المستمرة أو الدالة المتصلة أو هي دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها. الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة) . بشكل بديهي، فإنّ دالة ما هي مستمرّة إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.
يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة في الطوبولوجيا. في هذه الصفحة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيم حقيقيّة.
على سبيل المثال، إذا كانت الدالّة formula_1 تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمن formula_2، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، فهنالك قول مأثور في الفيزياء الكلاسيكية يقضي بأنّ كل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر). وإذا فرضنا أنّ الدالة formula_3 تمثّل ارتفاع رصيد حساب في البنك في الزمن formula_2، فإنّ قيمة الدالة "تقفز" كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.
لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّل أعدادًا حقيقية إلى أعداد حقيقية، وأنّ نطاقها هو فاصل ما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوال formula_5 وformula_6. بالإمكان رسم دالة كهذه في نظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّة دالة مستمرة إذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون "ثغرات" أو "قفزات".
التعريف الأدق هو أنّ الدالة formula_7 هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة، formula_8، إذا تحقّقت الشروط التالية:
وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة على مجموعة جزئية من نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.
كثيرًا ما يستخدم التدوين formula_15 أو formula_16 للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاق formula_17. على هذا النمط، فينوّه التدوين formula_18 إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة والتي مشتقّاتها هي دوال مستمرّة، والتدوين formula_19 إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.
هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.
بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:
لننظر مجددًا إلى دالّة formula_7 بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد formula_8 هو أحد عناصر نطاق الدالّة formula_7. تكون الدالّة formula_7 هي دالة مستمرة في النقطة formula_8 إذا تحقّق أنّ: لكل formula_25، مهما كان صغيرًا، يوجد عدد formula_26، بحيث أنّ لكل formula_27 في نطاق الدالّة formula_7 الذي يحقّق formula_29، يتحقّق التالي بالنسبة لـformula_30:
وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات formula_32، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، formula_33، فإنّ استمراريّة الدالّة formula_34 في النقطة formula_35 تعني أنّه لكل formula_25، هنالك formula_37 يحقّق لكل formula_38:
إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار formula_40، مهما كان صغيرًا، لـformula_9، فبالإمكان إيجاد جوار formula_42 لـformula_8 بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.
أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.لنفرض دالّتين مستمرّتين، formula_7 وformula_69، إذًا:
خواص أخرى:
قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهّة واحدة فقط، أي من جهّة اليسار أو من جهّة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في نطاق الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهّة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة:
أي أنّ الشرط يتحقّق فقط لجميع النقاط في جوار formula_42 الذي يقع إلى يمين النقطة formula_8. وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:
وتكون الدالة مستمرّة إذا وفقط إذا كانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.