معادلة موجية
المعادلة الموجية في الفيزياء هي معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية تصف بشكل عام حركة الأمواج سواء كانت امواجا صوتية أو ضوئية أو مائية . تدرس الفيزياء انتشار تلك الموجات . ينشأ الصوت من موجات صوتية ، وينشأ الضوء من موجات كهرومغناطيسية وتدرس موجات الموائع في ديناميكا الموائع.
وتاريخيا فكان الصوت هو أول ما درسه العلماء في اهتزاز الأوتار في مختلف الآلات الموسيقية . واهتم بتلك الدراسا العلماء "جين دي لامبرت" و "ليونهارد أويلار " و "دانيل بيرنولي" و جوزيف لاغرانج .
تكتب المعادلة الموجية على الصورة:
لدالة حقيقية أو دالة مركبة formula_2 تعتمد على المكان والزمن ، مثل تلك الدالة (النبضة) قد يكون مثلا التغير في مطال المجال الكهربائي أو مطال المجال المغناطيسي لموجة ضوئية.
تسمى هذه المعادلة "معادلة دي لامبرت" . وإذا استخدمنا formula_3 للزمن في المعادلة الموجية الضوئية (حيث c سرعة الضوء في الفراغ ) ، فإن 
formula_4 سوف تختفي من المعادلة ، حيث أنها تعتبر إذن مساوية للواحد ( 
formula_5 ).
وحل تلك المعادلة ينتج موجة. ونظرا لكون معاملات الدالة الموجية لا تعتمد على المكان ولا تعتمد على الزمن فإن انتشار الموجات أيضا لا يتغير من مكان إلى مكان أو مع الزمن . الموجات المتأخرة أو الموجات المنزاحة هي أيضا موجات ولكنها تكون منزاحة الطور.
كما توجد "معادلة موجية غير متجانسة " وهي تتكون من معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة :
يمكن صياغة المعادلة الموجية المتجانسة في بعد واحد كالآتي:
هذه الموجة تنتشر في بعد واحد وهو المحور السيني x ، والحل العام لهذه المعادلة هو:
وهي تتكون من دالتين 
formula_9 و formula_10 قابلتين للتفاضل مرتين . وفيها يشكل الجمع الأول موجة منتشرة بالسرعة c إلى اليسار ويشكل الجمع الثاني موجة منتشرة بنقس السرعة إلى اليمين . ويمكن كتابة تلك الدالتين formula_11 و formula_12 كدالات جيبية خطية :
أو كدالات أسية مركبة :
ويعتمد التردد : 
على القيمة المطلقة للعدد الموجي formula_17 .
يحتوي المطال المركب formula_18 على طور الموجة formula_19 .
نفترض الحدود المبدئية للحل العام للدالة الموجية 
formula_20 باختيار قيم الدالة عند الزمن = 0 :
والقيمة المبدئية للمشتقة بالنسبة للزمن :
ينتج عن تلك الحدود المبدئية الآتي:
وبإجراء التكامل على المعادلة الثانية:
وبحل المعادلة نحصل على :
ويصبح حل المعادلة الموجية عند الحدود المبديئة المختارة هو :
يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد (للمكان) باعتبارها مجموعة خطية لموجات مستوية:
تنتشر تلك الموجة المستوية بالسرعة 
"c" في الاتجاه formula_30.
ويكون حلها العام على الصورة :
وهي تحتوي هنا على الشق الحقيقي Re ، ولكن هذا الحل العام لم يأخذ القيم المبدئية في الحسبان التي تؤثر على النتيجة النهائية .
يمكن حل المعادلة الموجية في ثلاثة ابعاد عن طريق افتراض متوسط للقيم المبدئية. فبافتراض أن الدالة formula_32 و مشتقتها بالنسبة للزمن كانتا formula_33 و formula_34 عند formula_35 ، نحصل على:
ويكون حل العادلة الموجية هو المجموعة الخطية متوسطات (بافتراض أن formula_37 للتبسيط):
وفيها تعني :
القيمة المتوسطة للدالة formula_40 وقد حـُسب المتوسط لسطح كرة حول النقطة formula_41 بنصف القطر formula_42 . ويصبح :
وكما يتضح أن حل العادلة يعتمد على القيم المبدئية المختارة / وهو يعتمد عند الزمن 
formula_44 عند المكان formula_41 على القيمة المبيدئية فقط للمكان formula_46 والتي نصل بها إلى formula_41 خلال الفترة الزمنية formula_48 بسرعة الضوء formula_37 .
يهتز مصدر نقطي بتردد معين "f" و طور موجة = 0 عند الزمن "t" = 0 حيث المسافة بين قمتين 2"a" (طول موجة). وتنتشر من تلك النقطة موجة كروية . سيتغير طور الوجة المنتشرة بالقيمة "kr" حيث "r" هي المسافة المقطوعة بعيدا عن المصدر . ويقل مطال الموجة طبقا لـ 1/"r" حيث أن الطاقة ستنخفض طبقا لـعلاقة "r".
وبذلك يبلغ مطال الموجة الكروية 
عند المسافة "r" :
formula_50