هندسة تحليلية
في الرياضيات الكلاسيكية، الهندسة التحليلية وتدعى أيضاً الهندسة الإحداثية أو التنسيقية وسابقاً الهندسة الديكارتية، هي فرع المعرفة الرياضية الذي يدرس الهندسة باستعمال نظام الإحداثيات ومبادئ الجبر والتحليل الرياضي. تستعمل الهندسة التحليلية بشكل واسع في الفيزياء والهندسة التطبيقية كما تمثل الأساس الذي بُني عليه باقي مجالات الهندسة كالهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والهندسة المتقطعة والهندسة الحاسوبية.
تهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة التقليدية، غير أنها تتيح طرقاً أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دوراً مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل، وتهتم أيضا بدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. عادة تستخدم جمل إحداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أعداد هي الإحداثيات ثم يتم إيجاد المعادلة الجبرية التي تصف الدائرة أوالقطع الناقص أوالقطع المكافيء أو غيرها.
في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.
عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637.
كان بيير دي فيرما أيضا من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.
في الهندسة التحليلية، يزود المستوى بنظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجا إحداثيات يعبر عنها بأعداد حقيقية. أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س،ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): formula_1. حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستخدم الإحداثي الثالث (ع) أو formula_2 ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س،ص،ع) أو بالإنجليزية: formula_3.
في الهندسة التحليلية، أي معادلةتمثل مجموعة جزئية من المستوى تسمى مجموعة الحل لهذه المعادلة. فالمعادلة formula_4 تمثل مجموعة كل النقط في مستوى formula_5 التي تكون قيمة إحداثي formula_6 لها تساوي قيمة إحداثي formula_7. وهذه النقط تكون خط، وتسمى الصيغة formula_8 بأنها معادلة هذا الخط. وبصورة عامة فإن المعادلات الخطية تمثل خطوطا، والمعادلة التربيعية تمثل قطعا مخروطيا بينما المعادلات ذات الدرجات الأعلى تمثل منحنيات أكثر تعقيدا. فالمعادلة formula_9 تمثل دائرة نصف قطرها formula_10.
وفي العادة فإن المعادلة الواحدة يمثلها منحنى في المستوى. ولكن لهذه القاعدة بعض الاستثناءات، فمثلا المعادلة: formula_11 تمثل كل المستوى، بينما المعادلة formula_12 فتمثل نقطة واحدة هي formula_13.
في الفراغ الثلاثي نجد أن المعادلة عادة ما تمثل سطح، ويكون المنحنى هو تقاطع سطحين معا.
لتكن formula_14 قطعة مستقيمة حيث formula_15 و formula_16 معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين formula_17 و formula_18هي :
وفي الشكل المجاور تكون المسافة formula_20 بين النقطتين formula_21 و formula_22 تعطى بالقانون:
تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية.
مثال الشكل الجبري للدائرة هي : formula_24 حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.
يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور formula_25 والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور formula_26، ويحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س،ص) أو بالإنجليزية formula_1.
ويسمي formula_6 الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد formula_7 الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب formula_1.
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :
إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :
formula_42
ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.
المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:
م= (y2-y1)/(x2-x1) حيث x1 لا تساوي x2.
م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.
المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.