نظرية الأعداد
نظرية الأعداد هي فرع من الرياضيات البحتة يهتم بخصائص الأعداد بشكل عام، و بالأعداد الصحيحة بشكل خاص. يدرس العاملون في نظرية الأعداد الأعداد الأولية وخصائص الكائنات المنبثقة عن الأعداد الصحيحة، الأعداد الجذرية مثالا، أو التعميمات للأعداد الصحيحة كما هو الحال بالنسبة للأعداد الصحيحة الجبرية.
قد يُنظر إلى الأعداد الصحيحة لذاتها وقد ينظر إليها حلولا لمعادلات ما (هندسة ديوفانتية).
وتتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين. بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية.
من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة. فهي تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، تدرس نظرية الأعداد قابلية القسمة والأوليّة والتحليل إلى جداء عوامل أولية. كما تدرس خواص التجزئة وما قارب ذلك. ويوجد فروع أخرى نذكر منها نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء والأعداد المتسامية ونظرية التحليل في التوسيعات الجبرية وغير هذا، ونظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية) حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية مثلا، انظر دالة زيتا.
كانت تسمى نظرية الأعداد فيما قبل بالحسابيات. مع بداية القرن العشرين، حل مصطلح "نظرية الأعداد" محل مصطلح "الحسابيات". فصار هذا الأخير يستعمل من طرف عامة الناس للدلالة على العمليات الابتدائية في الحساب من جمع وطرح وضرب وقسمة. ولكنه بقي لكلمة حسابيات معان أخرى في المنطق الرياضي كما هو بالنسبة لحسابيات بيانو، وفي علوم الحاسوب كما في حسابيات النقطة العائمة.
يُعرف القليل عن ديوفانتوس الإسكندري. قد يكون قد عاش في خلال القرن الثالث الميلادي، أي حوالي خمسة قرون بعد أقليدس. ستة أجزاء من بين ثلاثة عشر جزءا قاومن الزمان من كتابه أريثميتيكا. يضاف إلى ذلك أربعة أجزاء حُفظن في ترجمتها العربية. الكتاب هو مجموعة من المعضلات المتمثلة في ايجاد حلول جذرية لنظام من المعادلات الحدودية، عادة ما تكون على الشكل formula_1 أو formula_2. حاليا، نتحدث عن معادلات ديوفانتية كلما تعلق الأمر بمعادلات حدودية حيث الهدف هو ايجاد حلول جذرية.
انظر إلى أريابهاتا وإلى براهماغوبتا.
كان لعلماء الرياضيات المسلمين، منذ القرن التاسع الميلادي، اهتمام واضح بنظرية الأعداد. أول هؤلاء العلماء هو ثابت بن قرة، حيث كان له الفضل في إيجاد طريقة لإيجاد الأعداد الصديقة (عددان هما صديقان إذا ساوى مجموع قواسم الواحد منهما، العدد الآخر).
في القرن العاشر، وجد ابن طاهر البغدادي طريقة مختلفة بعض الشيء عن طريقة ثابت بن قرة.
في القرن العاشر، يبدو أن ابن الهيثم كان أول من حاول تصنيف الأعداد المثالية الزوجية على شكل (formula_3 حيث
formula_4 هو عدد أولي.
و لقد كان ابن الهيثم أيضا أول من أعلن مبرهنة ويلسون و التي يكون بموجبها عدد ما p أوليا إذا و فقط إذا كان formula_5 مضاعفا لذلك العدد p.
تعتبر معضلة توزيع الأعداد الأولية من المعضلات الأكثر ترددا و الأكثر جلبا للاهتمام. كان لكارل فريدرش غاوس حدسية في هذا المجال ولم يكن عمره يتجاوز المراهقة. تنص هاته الحدسية على إعطاء دالة تقريبية من عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.
و قد جاء دركليه عام 1837 بمبرهنته المعروفة بمبرهنة دركليه.
بيير دي فيرما (1601-1665) لم ينشر نهائيا كتاباته. بشكل خاص، تكاد أعماله في نظرية الأعداد أن تكون كلها في رسائل أرسلها إلى علماء رياضيات آخرين، أو على شكل هوامش. لم يكتب تقريبا أي برهان في نظرية الأعداد، ولم يكن له نموذج معين في هذا المجال. استعمل بشكل مكثف الاستقراء الرياضي كما كان أول من استعمل طريقة البرهان بالنزول غير المنتهي.
من بين أولى اهتمامات فيرما، جاءت الأعداد المثالية (التي ظهرت في كتاب العناصر العاشر لأقليدس)، كما اهتم أيضا بالأعداد الصديقة. أدى به ذلك إلى إلى العمل على قواسم الأعداد الصحيحة اللائي كن منذ البداية موضوع مراسلاته (عام 1636 فما بعد). نتيجة لذلك، ما زال فيرما يذكر ويدرس من طرف علماء الرياضيات الحاليين. درس بشكل دقيق طبعة باشي لكتاب ديوفانتوس. في حدود عام 1643، تحولت اهتماماته بشكل كبير إلى معضلات ديوفانتوس وإلى مجاميع المربعات (معضلة درسها ديوفانتوس أيضا).
تتضم إنجازات فيرما في الحسابيات ما يلي:
أعمال أويلر في نظرية الأعداد تتضمن ما يلي:
في بداية القرن التاسع عشر، عرف تاريخ الرياضيات التطورات التالية:
في هذا المجال، تدرس الأعداد دون اللجوء لتقنيات آتية من فروع أخرى للرياضيات. مسألة قابلية القسمة وخوارزمية إقليدس تمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر و تفكيك الأعداد إلى أعداد أولية والبحث عن الأعداد المثالية والتقريب تنتمي لهذا المجال.
النتائج هي مبرهنة فيرما الصغرى ومبرهنة أويلر, ثم مبرهنة الباقي الصيني وقانون الانعكاس الرباعي. خاصيات الدوال الجذائية مثل دالة موبيوس ودالة أويلر تمت دراستها ; وأيضا المتتاليات مثل عاملي وأعداد فيبوشى.
مسائل عديدة في نظرية الأعداد يمكن أن يعبر عنها من داخل نظرية الأعداد الأساسية، ولكنها في حقيقة الأمر معقدة وتحتاج إلى دراسات عميقة ومقاربات جديدة، تقع خارج نطاق نظرية الأعداد الأساسية. فيما يلي بعض من الأمثلة :تمت البرهنة على أن نظرية المعادلات الديوفانتية "غير محددة" (انظر المسألة العاشرة ضمن مسائل هيلبرت).
تستعمل أدوات الحساب والتحليل العقدي لدراسة مسائل حول الأعداد الطبيعية. مبرهنة الأعداد الأولية وفرضية ريمان هي بعض الأمثلة. معضلة ويرينغ (المتمثلة في تمثيل عد طبيعي ما على شكل مربعات أو مكعبات أو ما شابه ذلك) وحدسية التوأمين الأولية(إيجاد أزواج من الأعداد الأولية يكون الفرق بينهما مساويا ل 2) وحدسية غولدباخ (كتابة الأعداد الزوجية على شكل مجموع عددين أوليين) كلها مسائل تُدرس بطرق تحليلية.
البراهين على أن العديد من الثابتات في الرياضيات أعداد متسامية مثل π وe تدخل أيضا في مجال نظرية الأعداد التحليلية.
تم معالجتها بواسطة طرق تحليلية. الدليل على كون أعداد مثل عدد π وعدد أويلر هي أعداد لا يمكنها أن تكون حلولا لأي معادلة جبرية تم تصنيفها في هذا الإطار أي تحليل الأعداد.
في حين النتائج الخاصة بالأعداد التي ليس حلا لأي معادلة جبرية, تبدو خارج دراسة الأعداد الطبيعية.
تدرس نظرية الأعداد الجبرية الخصائص الجبرية والكائنات الجبرية ذات الأهمية في نظرية الأعداد. على هذا الأساس، نظريتا الأعداد التحليلية والجبرية قد تلتقيان وهما تلتقيان فعلا: الأولى تهتم بالطرق المستعملة بينما تهتم الثانية بالكائنات المدروسة.
في هذا الحقل، مفهوم الأعداد تم إضافة مصطلح الأعداد الجبرية، التي هي جذور المعادلات الحدودية ذات معاملات نسبية. كما نجد مفهوما مقاربا وهو الأعداد الطبيعية الجبرية.
تم التعامل مع عدة مواضيع باستعمال الموافقة بترديد، مما أدى لظهور المبرهنة الجبرية للأعداد.
المعضلة الأساسية في الهندسة الديوفانتية هي تحديد متى يكون لمعادلة ديوفانتية ما حلولا. وإذا كان لها حلولا، فكم ؟ تكمن المقاربة المتبعة في اعتبار حلول معادلة ما كائنات هندسية.
على سبيل المثال، معادلة ذات متغيرين اثنين تحدد منحنى في المستوى. وبشكل أعم، معادلة ما أو نظام معادلات بمتغيرين اثنين أو أكثر تحدد منحنى أو سطحا أو كائنا ما في فضاء متعدد الأبعاد. في الهندسة الديوفانتية، قد يطرح المرء السؤال التالي: هل من نقطة جذرية (نقطة جميع إحداثياتها جذرية) تقع في المنحنى أو السطح ؟ وهل هناك من "نقطة كاملة" (نقطة جميع إحداثياتها أعداد صحيحة) تنتمي إلى هذا المنحنى أو السطح ؟
يمكن تسميتها هندسة الأعداد، تتضمن جميع أشكال الهندسة. نجد في هذا المجال مبرهنة مينكوفسكي الخاصة بشبكة النقط في شكل محدب. الهندسة الجبرية والجسم الإهليلجي، يتم أيضا استعمالها في هذا المجال من دراسة الأعداد. ومبرهنة فيرما الأخيرة والشهيرة تم البرهنة على صحتها اعتمادا على هذه التقنيات.
ما هو احتمال أن يكون عدد طبيعي ما، محصور بين الواحد والمليون أوليا ؟ هذا السؤال هو شكل آخر للسؤال "ما عدد الأعداد الأولية المحصورة بين الواحد والمليون ؟".
انظر إلى حدسية كرامر.
تدخل نظرية الأعداد في الكثير من التطبيقات العلمية في العصر الحديث مما أدى بهذه انظري الخروج من النظرة السائدة عنها كونها كانت تمثل الجانب النظري فقط فاليوم وبعد اكتشاف الحاسوب والحاجة الماسة لسرية نقل المعلومات بغض النظر عن كونها سياسية أو عسكرية أو علمية ظهر الاحتياج الكبير لنظرية الأعداد في تكوين الشفرات المعقدة لضمان سرية المعلومات وخاصة برزت هنا أهمية الأعداد الأولية في هذا المجال بوضوح كبير.
حيث برز الان العلم المشتق من تحليل وتركيب الاعداد الأولية ( علم التعمية ) والمختص بتشفير المعلومات والصور والبيانات الرقمية بأنواعها.