تجزيء (إحصاء)
في الإحصاء وفي نظرية الاحتمال، يطلق اسم نقاط التجزيء أو نقاط التكسير (بالانكليزية: Quantiles) على النقاط التي تقسّم مجال توزع احتمالي ما إلى اجزاء ذات احتمالية متساوية أو التي تقسم العينة الإحصائية إلى مجموعات متساوية بالحجم. دائما ما يكون عدد نقاط التجزيء أقل من عدد المجموعات الناتجة بواحد. على سبيل المثال، الرُبيعات وهي حالة خاصة من نقاط التجزيء، هي ثلاث نقاط تجزيء تقسم مجموعة عددية ما أو توزع احتمالي ما إلى أربع مجموعات متساوية (انظر الشكل الجانبي).
يطلق على نقاط التجزيء المميزة أسماء خاصة مثل الرُبيعات التي سبق ذكرها والمَئينات (التي تقسم المجموعة لمئة قسم) والعُشيرات (التي تقسم المجموعة لعشرة أجزاء). تجدر الإشارة إلى أن المجموعات الجزئية الناتجة عن نقاط التجزيء تسمى أسماء مختلفة عن أسماء نقاط التجزيء لتمييزها عن بعضها. على سبيل المثال المجموعات الجزئية الناتجة عن الربيعات تسمى أرباعا وعن العشيرات أعشارا وهكذا.
بشكل أعم، يطلق مصطلح نقاط تجزيء formula_1 (بالانكليزية Quantiles-formula_1) على نقاط التجزيء التي تقسم مجموعة عددية ما إلى مجموعات متساوية الحجم (تقريبا) عددها formula_1. يكون عدد نقاط التجزيء دائما هو formula_4.
في بعض الحالات قد لا تكون قيمة نقطة التجزيء قيمة وحيدة كما في حالة الوسيط لمجموعة مكونة من عدد زوجي من العناصر.
إذا علمنا دالة التوزيع التراكمي لمتحول ما فيمكن ايجاد نقاط تجزيء formula_1 لهذا التوزيع بتطبيق دالة التجزيء (وهي مقلوب دالة التوزيع التراكمي) على القيم
formula_6كما في حساب الخصائص الاحصائية المختلفة (كالانحراف المعياري) فإن طريقة حساب قيمة نقاط التجزيء تختلف بين حسابها لمجتمع إحصائي وحسابها لعينة احصائية.
في حالة الحساب لمجتمع مكون من قيم متقطعة أو من مجتمع مكون من قيم مستمرة فإن نقطة التجزيء رقم formula_21 هي قيمة عنصر المجتمع الذي تتقاطع عنده دالة التوزيع التراكمي للمجتمع مع المستقيم formula_22. في صيغة أخرى يمكننا أن نقول عن formula_23 أنه نقطة التجزيء رقم formula_21 للمتحول formula_25 إذا تحقق:
formula_26 أو بصيغة أخرى formula_27
و
formula_28 أو بصيغة أخرى formula_29
لنفترض مجتمع إحصائي منتهي مكون من formula_30 عنصرا متساووا الاحتمال ومعنونين بأرقام formula_31 من الأصغر إلى الأكبر، يمكن معرفة نقطة التجزيء رقم formula_21من نقاط التجزي-formula_1 لهذا المجتمع من خلال معرفة عنوانه formula_34 بتطبيق المعادلة formula_35. اذا كان formula_34 عددا غير طبيعي يتم تقريب الناتج إلى العدد الطبيعي الأعلى للحصول على عنوان صحيح (أي أحد العناوين formula_37) يكون العنوان الناتج عندها هو عنوان نقطة التجزيء رقم formula_21 من نقاط التجزيء-formula_1.
أمافي حال كان formula_34 عدد طبيعيا فيمكن اتخاذ قيمة نقطة التجزيء رقم k أيا من الاعداد الواقعة بين العدد ذو العنوان formula_34 و العدد ذو العنوان الذي يليه . لكن جرى العرف على اعتماد متوسط العددين ذوي العنوان formula_34 والعنوان formula_43 كقيمة لنقطة التجزيء رقم k في هذه الحالة.
إذا كان لدينا عنية مأخوذة من مجتمع إحصائي ما غير معلوم فإن التوزيع التراكمي للمجتمع ودالة التجزيء لن تكونا معروفتين. وبالتالي فإننا لايمكننا سوى تقدير قيم نقاط التجزيء في هذه الحالة. يوجد عدة طرق للقيام بذلك... تحتوي لغات البرمجة ماثماتيكا و ماتلاب و R و جنو أوكتف على تسع طرق حساب نقاط التجزيء. يحتوي SAS على خمس طرق، SciPy و قيقب على ثمانية، EViews على ست دوال متعددة التعريف، STATA يحتوي على طريقتين, وإكسل واحدة. يدعم Mathematica تطبيق طرق غير قياسية.
بشكل عام كل الطرق تحسب formula_44، وهو تقدير لقيمة نقطة التجزيء رقم k من نقط التجزيء-q حيث أنformula_45، لعينة ذات الحجم formula_30 بحساب العنوان formula_47 ذو القيمة عددية "الحقيقية". اذا وجدنا أن formula_47 هو عدد طبيعي يكون عندها عنصر العينة formula_30 ذو العنوان formula_47 ولنسمه formula_51 (بفرض ترتيب عناصر العينة من الأصغر للأكبر) يكون هذا العنصر هو "تقديرنا" لقيمة نقطة التجزيء رقم formula_21 للمجتمع. أما في حال كان formula_47 عددا غير طبيعي فيتم استخدام التقريب أو الاستيفاء لتقدير قيمة نقطة التجزيء رقم formula_21.