دالة
في الرياضيات، الدالة (ج. دوال) أو التابع أو الاقتران هو كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق (أو المجال) formula_1 عنصرا واحدا وواحدا فقط من مجموعة تدعى المستقر (أو المجال المقابل) formula_2. أو باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية
formula_3
ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية:
فاذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل formula_10، فإن المستقر أو (النطاق المرافق) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة formula_11.
المدى: هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f.
ويجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.
غالبا ما نخصص لفظ دالة للتطبيقات التي يكون مستقرها formula_12 (الدوال العددية)، أو formula_13 (الدوال العقدية). في حين نسمي تطبيقا كل ما يحقق التعريف أعلاه.
الاقتران هو علاقة يرتبط بها كل عنصر من عناصر المجال بعنصر واحد فقط من عناصر المدى.
مثال1:
لنأخذ الدالة:
formula_14
أي أن formula_15
بأخد formula_16 نجد formula_17، هنا بالتعريف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف formula_18.
عندئذ نجد أن العنصرformula_16 من المنطلق يرتبط بالعنصر formula_20 من المستقر فقط. العنصر formula_21 من المنطلق (أو المجال)formula_1 يرتبط بالعنصر formula_20 فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر formula_20 من المستقر أن يرتبط بعنصرين formula_16 وformula_21 من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية.
بالمقابل
formula_27
ليست دالة، لأنها تربط أي مدخل formula_10 بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد formula_29 قد يحتمل قيمتين هما formula_30 وformula_31. لهذا، إذا أردنا أن نجعل الجذر التربيعي دالة فيجب أن نحدد أي جذر نختار، السالب أم الموجب. التعريف
formula_32،
يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هو الجذر التربيعي الموجب.
formula_33
إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل formula_34 (تسمى النطاق أو المنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل formula_35 (تسمى النطاق المرافق أو المستقر)، هو اقتران من المجموعة formula_34 إلى المجموعة formula_35، والمقصود رياضيا بالاقتران هو (دالة أو تابع أو تطبيق)، وللاقتران أو الدالة ثلاث مكونات: نطاق(منطلق)، ونطاق مرافق (مستقر)، وقاعدة تربط أي عنصر من عناصر النطاق (منطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر النطاق المرافق (المستقر).
والمجموعة الجزئية من النطاق المرافق التي تتكون من جميع صور عناصر النطاق تسمى مجال الدالة أو (مدى الاقتران). أي أن مجال الدالة أو مدى الاقتران هو مجموعة جزئية من النطاق المرافق للاقتران.
فمثلا: formula_38.
وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (اقتران مركب)، والدالة التحليلية (اقتران تحليلي)، والدالة الثابتة (اقتران ثابت)، والدالة المستمرة (اقتران متصل)، والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)، والدالة الضمنية (اقتران ضمني)، والدالة الأسية (اقتران أسي)، والدالة الزوجية (اقتران زوجي)، والدالة الصريحة (اقتران صريح)، والدالة المتطابقة (اقتران محايد)، والدالة الفردية (اقتران فردي)، والدالة العكسية (اقتران عكسي)، والدالة الشاملة (اقتران شامل).
مدى الدالة
مدى الدالة هو مجموعة القيم المحتمل خروجها كناتج للدالة بعد التعويض بالقيم الخاصة بمجال الدالة فمثلا f(x)=y=4x+1 فان هذه الدالة تتكون من مجال يمثل كل قيم x الممكنة اما مدى الدالة فهو يمثل كل قيم y المحتمل خروجها كناتج للتعويض في هذه الدالة
صاغ مصطلح «function» بالإنكليزية العالم غوتفريد لايبنتز في عام 1649 لوصف كميات تتعلق بالمنحنيات كالميل عند نقطة معينة من المنحني.
تم استخدام المصطلح بعدها من قبل عالم الرياضيات ليونهارد أويلر في منتصف القرن الثامن عشر لوصف التعابير والصيغ الرياضية التي تتضمن عدة وسائط رياضية.