تحويل فورييه المتقطع
تحويل فورييه المتقطع هي عملية تحويل تمكننا تحويل إشارة متقطعة في فضاء الزمن إلى إشارة في فضاء الترددات وهي شبيهة ومستقاة من تحويل فوريي الذي يقوم بتحويل إشارة (يمكن فهم الإشارة على أنها دالة رياضية)من فضاء الزمن time domain (أي أن المتغير هو الزمن) إلى فضاء الترددات Frequency domain (المتغير هو التردد). إذن نظريا يكون لدينا دالة متصلة نقوم بتحويلها عن طريق تحويل فوريي أو تحويل فوريي العكسي لكن في الواقع كثيرا ما تعترضنا مشاكل لا يكون لدينا فيها دالة متصلة بل مجموعة قياسات أي أنه عوض أن تكون لدينا دالة متصلة تكون لدينا مجموعة نقاط هي عبارة على قيمة الدالة في أزمنة معينة.
مثلا: الاهتزاز الميكانيكي المتأتي من محرك سيارة عادة ما يكون متغير على حسب سرعة السيارة وعند تصميم السيارة نريد الحصول على أقل قدر من الاهتزاز لأنه يسبب على المدى البعيد تلفا ميكانيكيا للسيارة. لذلك يتم قياس هذا الاهتزاز وبذلك نتحصل على مجموعة نقاط هي عبارة عن قيمة الاهتزازات عند أزمنة معينة ثم يتم تحويلها بتحويل فوريي لكن تحويل فوريي المتقطع ونحصل على صيغة يمكننا فيها رؤية الذبذبات المتواجدة في القياس الذي قمنا به وتصميم آلات (هي نظريا مرشحات) للحد من هذه الذبذبات أو الاهتزازات.
قبل ذكر الصيغة الرياضية لتحويل فوريي المتقطع نورد الصيغة المتصلة لتحويل فوريي وهي كالآتي:
formula_1
ودعنا هنا لا نقيم وزنا كبيرا للمعامل:
formula_2
حيث أنه حسب استعمال التحويل يتم إلصاقه بتحويل فوريي أو التحويل المعاكس أو قسمته على كليهما. ولنأخذ بعين الاعتبار الآن أن الإشارة التي نحولها ليس لها وجود إلا عند نقاط زمنية معينة formula_3 حيث T هو زمن الاستعيان مثلا. أي أنه لدينا عوض (f(t
الدالة (f(kT
أي المتغير هو k وليس t وأنه لدينا عدد n من القياسات حيث أن
formula_4.
كما أننا نعلم من الرياضيات الرقمية أن المقابل المنقطع لعملية التكامل هو عملية الجمع. هذه الاعتبارات تفضي بنا إلى الصيغة التالية لتحويل فوريي المتقطع:
formula_5
أو بصيغة معدلة بعض الشيء:
formula_6
بما أن التحويل يجعل للمجموعة formula_7 مقابلها المجموعة
formula_8
فإن كلاهما يحتوي على نفس العدد من العناصر ألا وهو n. ونرى أنه لحساب القيمة
formula_9
نحتاج أو نستعمل كل قيم
formula_10.
و كما يوجد تحويل فوري المتقطع فإنه يوجد تحويل فوري المتقطع العكسي (الذي يقوم بتحويل الإشارة من فضاء الترددات إلى فضاء الزمن) وصيغتها الرياضية كالآتي:
formula_11
و قبل أن نواصل دراسة تحويل فوريي المتقطع دعنا نطلع على بعض ميزات الحل العقدي للمعادلة:
formula_12
و التي تسمى الجذر الأني (نسبة ل n) الأحادي. حيث أننا سنحتاج إلى هذه الميزات في سياق استنتاجنا للخوارزمية أو الطريقة التي تتم بها عملية تحويل فوريي المتقطعة (في الحواسيب مثلا).
و يمكن بالاعتماد على ما كتبناه أعلاه إذا رمزنا للجذر الأني الأحادي الأولي ب
formula_13
إرجاع حساب تحويل فوريي المتقطع إلى عملية ضرب مصفوفية حيث يضرب الشعاع الذي يحتوي على قيم الإشارة الزمنية بالمصفوفة ليعطينا شعاعا هو عبارة عن الإشارة في مجال الترددات وهو ما تعبر عنه المعادلة التالية: (المعادلة)
مما يجعل درجة التعقيد تساوي formula_14 أي أن الجهد اللازم (عدد عمليات الضرب) أو الوقت مناظر ل formula_15 وهو وقت كبير مما يجعل تطبيق الخوارزمية في مجالات الوقت الحقيقي real time (أي المجالات التي نحتاج فيها إلى سرعة في الخوارزمية) محدودة وأحد الحلول هو القيام بعملية فوريي متكررة على عدد n صغير من القياسات إلا أن ذلك لا يمثل الحل الأمثل فقد تم ابتكار خوارزمية تجعل الجهد مناظرا ل formula_16 وهي خوارزمية أو طريقة تحويل فوريي السريع والتي تعتمد على فكرة أن الجذر الأني الأحادي هو جذر عقدي وعلى هذا الأساس فإن الجذور (أي مكونات المصفوفة) تظهر دائما عقدية مصرفة (conjugated Complex) لذلك يكفي حساب نصف مكونات المصفوفة واستنتاج بقية المكونات.يستعمل تحويل فوريي المتقطع في عديد الميادين المدنية والعسكرية إذ تعتبر مع شبيهاتها من أهم خوارزميات معالجة الإشارة ومن الاستعمالات: