جبر
الجَبْر هو فرع من علم الرياضيات وجاء اسم الجبر من كتاب عالم الرياضيات والفلكي والرحالة محمد بن موسى الخورازمي (الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة) الذي قدم العمليات الجبرية التي تنظم إيجاد حلول للمعادلات الخطية والتربيعية. والكلمة (الجبر) مأخوذة من اللغة العربية، ومعنى علم الجبر في قاموس المعاني: (فَرْعٌ مِنَ الرِّيَاضِيَّاتِ يَقُومُ عَلَى إِحْلاَلِ الرُّمُوزِ مَحَلَّ الأَعْدَادِ المجْهُولَةِ أَوِ الْمَعْلُومَةِ ).
ويشكل علم الجبر أحد الفروع الثلاثة الأساسية في الرياضيات إضافة إلى الهندسة الرياضية والتحليل الرياضي ونظرية الأعداد والتباديل والتوافيق. ويهتم هذا العلم بدراسة البنى الجبرية والتماثلات بينها، والعلاقات والكميات.
والجبر هو مفهوم أوسع وأشمل من الحساب أو الجبر الابتدائي. فهو لا يتعامل مع الأرقام فحسب، بل يصوغ التعاملات مع الرموز والمتغيرات والفئات كذلك. ويصوغ الجبر البدهيات والعلاقات التي بواسطتها يمكن تمثيل أي ظاهرة في الكون. ولذا يعتبر من الأساسيات المنظمة لطرق البرهان.
يوجد لذالك الوصف نفس الاختلاف:مصطلح "علم الجبر" أحياناً يستخدم للدلالة على عمليات وأساليب جبرية بينما الهيكل أو البنية الأساسية لها لا تتعلق بعلم الجبر. على سبيل المثال، الجبر هو سلسلة لا نهائية من الممكن أن تدل على سلسلة من الأساليب الحاسوبية دون استخدام مفاهيم لا نهائية من الجمع، الحدود والتقارب. الصفة "جبري" عادة تعني ما يتعلق بالجبر، كما في الهيكل الجبري . ولأسباب تاريخية، قد تعني أيضاً العلاقة بجذور معادلات متعددة الحدود، كما في العدد جبري، والإمتداد جبري أو التعبير جبري
إن أهم ما يُعرف به علم الجبر هو تشابه عملياته الحسابية بالعمليات الحسابية البسيطة، إلا أن الفرق أنه يتضمن متغيرات رياضية غير معروفة القيمة. هذه المتغيرات تمثّل أرقامًا لم تُعرف بعد (مجهولة) أو أرقامًا غير محددة (متغير أو مُعامل)، مما يسمح للفرد أن يُثبت صحة هذه الخصائص بغض النظر عن الأرقام محل النظر. مثلًا في هذه المعادلة التربيعية التالية:
"أ س + ب س + ج = 0"
"أ وَ ب وَ ج" مجاهيل وَ "س" مُعامل. وحل هذه المعادلة يتطلب حساب المجاهيل والتعبير عن قيمة المُعامل حساب علاقته بالمجاهيل، وبهذا يتم إعطاء حل للمعادلة المعينة بعد القيام بعمليةٍ حسابية بسيطة.
كما تطور علم الجبر فقد توسع إلى اشياء أخرى غير عددية ، مثل المتجهات والمصفوفات أو متعددة الحدود. ثم تم تلخيص الخصائص الهيكلية لهذه الاشياء غير العددية لتحديد الهياكل الجبرية مثل المجموعات، ودوائر والحقول والجبر.
قبل القرن السادس عشر، تم تقسيم الرياضيات إلى قسمين فرعيين فقط هما الحساب والهندسة. على الرغم من بعض الأساليب التي وضعت في وقت قبل ذلك بكثير، ويمكن النظر لها في الوقت الحاضر كالجبر فان ظهور الجبر بعد ذلك بوقت قصير، وحساب التفاضل والتكامل كحقول فرعية صغيرة للرياضيات يعود فقط للقرن 16 أو 17. من النصف الثاني من القرن 19 على، ظهرت العديد من المجالات الجديدة للرياضيات، وبعضها شملت علم الجبر، إما كليا أو جزئيا.
ويتبع ذلك أن الجبر بدلا من أن يكون فرعا من فروع الرياضيات، أصبح هذه الأيام مجموعة من فروع طرق المشاركة الشائعة. وهذا يُرى بشكل واضح في تصنيف مواضيع الرياضيات حيث ولا واحد من مناطق المستويات الأولى (مدخلات الأعداد الثنائية) تسمى الجبر. في الحقيقة الجبر على وجه التقريب, هو اتحاد أقسام 08-أنظمة الجبر العامة و12- نظرية الحقول ومتعددات الحدود و 13- الجبر التبادلي و 15-الجبر الخطي والمتعدد الخطي ؛نظرية المصفوفات و 16-الحلقات الترابطية والجبر و 17-الحلقات الغير ترابطية والجبر و18- نظرية التصنيف الجبر التماثلي و19-نظرية كاي و20- نظرية المجموعة. بعض مناطق المستوى الأول ربما تعتبر أنها تنتمي إلى الجبر بشكل جزئي مثل 11-نظرية الأعداد (بشكل عام لنظرية العدد الجبري) و 14-الهندسة الجبرية.
الجبر الابتدائي هو جزء من الجبر الذي عادة يدرس في الصفوف الأولية للرياضيات.الجبر المجرد هو اسم يعطى عادة لدراسة مؤسسي الجبر أنفسهم.
بداية الجبر كمجال من الرياضيات قد تكون بدايتها في نهاية القرن السادس عشر، مع عمل فرانسوا فييت . ومع ذلك يمكن اعتبار بعض الأعمال في وقت سابق بانها الجبر وتعتبر عهد ما قبل التاريخ من علم الجبر.
يمكن تتبع جذور علم الجبر إلى قدماء البابليين ، الذين طوروا نظاماً حسابياً متقدماً كان قادراً على القيام بعمليات حسابية بطريقة [[خوارزمية]]. فطور البابليون الصيغ لحساب الحلول لمسائل تُحل عادةً اليوم باستخدام [[معادلة خطية|المعادلات الخطية]] و[[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]] والمعادلات الخطية غير المحددة. وعلى النقيض من ذلك، فإن معظم [[الحساب عند قدماء المصريين|المصريين]] في ذلك العصر، وكذلك بالرياضيات اليونانية و[[رياضيات صينية|الصينية]] في [[الألفية الأولى ق م|الألفية الأولى قبل الميلاد]]، تحل عادةً مثل هذه المعادلات بالطرق الهندسية، مثل تلك التي وصفت في [[بردية ريند الرياضية]] و[[أصول أقليدس]] والفصول التسعة في الفن الرياضي. وفر العمل الهندسي لليونانيين، متميزاً بالعناصر، إطاراً لتعميم الصيغ ما وراء حل مسائل معينة إلى أنظمة أكثر عمومية من صياغة وحل المعادلات، وعلى الرغم من أن هذا لم يلاحظ حتى تطورت [[الرياضيات عند المسلمين في العصور الإسلامية|الرياضيات في العصور الوسطى من الإسلام]].
خضعت الرياضيات الإغريقية لتغير جذري في عصر [[أفلاطون]]. أنشأ [[اليونان القديمة|الإغريق]] الجبر الهندسي حيث مثلت المصطلحات من جوانب الأشكال الهندسية ، وكما جرت العادة بالخطوط التي كانت تحتوي على حروف مرتبطة بها. [[ديوفانتوس الإسكندري]](القرن الثالث ميلادي)، يسمى أحيانا "والد الجبر" ، كان عالم رياضيات إغريقيا [[الأسكندرية|إسكندريا]] ومؤلف سلسلة من الكتب تسمى ارثميتكا .تبحث كتبه في حل [[معادلة جبرية|المعادلات الجبرية]].
تأتي كلمة الجبر من اللغة العربية (الجبر بمعنى الترميم أو الإستعادة) وكما تأتي الكثير من أساليبها من الرياضيات العربية/ الإسلامية. أثرت التقاليد التي نوقشت في أعلاه بشكل مباشر على [[محمد بن موسى الخوارزمي]] (عام 780-850). لاحقا، ألف [[كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة]]، الذي أنشأ علم الجبر كتخصص رياضيات مستقل عن [[هندسة رياضية|الهندسة]] وعلم الحساب.
أكمل عالما الرياضيات [[عصر هلنستي|الهيلينستيان]] [[هيرو السكندري]] و[[ديوفانتوس الإسكندري|ديوفانتس]] مثلهم مثل العلماء [[رياضيات هندية|الهنود في الرياضيات]] ك[[براهماغوبتا]] تعاليم المصريين والبابليين على الرغم من اعتبار كتابي أرثمتكا لديفانتوس والسيدهانتالبراهماغوبتا بمستوى أعلى . فعلى سبيل المثال, تم وصف حل أول مسألة حسابية كاملة (مشتملة الصفر والقيمة السالبة) إلى المعادلات التربيعية من قبل براهماغوبتا في كتابه [[سيندهانتا]]. لاحقاً, طور الرياضيون العرب والمسلمون طرق جبر تصل مستويات عليا من الدقة والإتقان. وعلى الرغم من أن ديفانتوس والبابليون استخدموا معظم الطرق الخاصة في حل المعادلات، كان لمساهمة الخوارزمي السبق الأساسي بذلك. فلقد حل الخوارزمي المعادلات الخطية والتربيعية بدون الحاجة لرمزية الجبر والأعداد السالبة أوالصفر, ومن ثم قام بتمييز العديد من [[معادلة تربيعية|المعادلات التربيعية]].
عُرف عالم الرياضيات [[يونانيون|الاغريقي]] [[ديوفانتوس الإسكندري|ديوفانتوس]] تاريخياً بلقب " والد الجبر"، ولكن برزت في الآونة الأخيرة نقاشات كثيرة حول ما إذا كان الخوارزمي (مؤسس علم الجبر) يستحق هذا اللقب بدلا عن ديوفانتوس. حيث يشير مؤيدي ديوفانتوس إلى حقيقة أن علم الجبر المبتكر من قبل الخوارزمي أكثر بدائية مقارنة بالموجود في "أريثميتيكا"، وأن "أريثميتيكا" يتبع منهجية الاختصار بينما الجبر بلاغي تماماً. في حين يشير مؤيدي الخوارزمي إلى حقيقة أنه أدخل منهجية "التبسيط" و"الموازنة" (نقل التعابير السالبة إلى الجانب الآخر من المعادلة، أو بعبارة أخرى، حذف التعابير المتشابهة من كلا أطراف المعادلة) وهي المنهجية المعبر عنها في الأصل بكلمة "الجبر"، كما أنه أعطى شرحاً مفصلاً عن حل المعادلات التربيعية، مدعماً بالبراهين الهندسية، بينما عامل علم الجبر كعلم مستقل بذاته. كما أن "جبر" الخوارزمي ليس معني "بسلسلة من [[مشكلة|المسائل]] الرياضية التي يجب حلها، بل بعرضٍ يبدأ بتعابير بدائية، تعطي تركيباتهم جميع النماذج المحتملة للمعادلات، التي، من الان فصاعداً، ستشكل بوضوح موضوع الدراسة الحقيقي". درس الخوارزمي أيضاً المعادلة لذاتها و"بشكل عام، لم يكتف ببساطة وجود المعادلة في سياق حل المسألة، بل باستخدامها خصيصاً لتعريف فئة من المسائل اللانهائية.
نسب الفضل لعالم الرياضيات الفارسي [[عمر الخيام]] في تحديد أسس [[هندسة جبرية|الهندسة الجبرية]] وإيجاد الحل الهندسي العام [[دالة تكعيبية|للمعادلة التكعيبية]]. كما أوجد عالم رياضيات فارسي آخر يدعى [[شرف الدين الطوسي]] مجموعة من الحلول الجبرية والعددية لحالات مختلفة من المعادلات التكعيبية، بالإضافة إلى أنه طور مفهوم [[دالة (رياضيات)|الدوال]]. علماء الرياضايات الهنديان مهافيرا و بهاسكارا الثاني، والفارسي [[الكرخي]]
، والصيني تشو شي جيه، قاموا بإيجاد حلول لحالات مختلفة من معادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة و[[دالة خماسية|الخامسة]]، والمعادلات كثيرة الحدود باستخدام الطرق العددية. في القرن الثالث عشر، اعتبر حل المعادلة التكعيبية من قبل [[ليوناردو فيبوناتشي]] بداية النهضة في علم الجبر في أوروبا، في حين أخذ العالم الإسلامي في التراجع لصالح العالم الاوربي الذي نهض في مجال تطوير علم الجبر.
يمثل عمل [[فرانسوا فييت]] في نهايات القرن السادس عشر بداية القواعد الكلاسيكية لعلم الجبر. في عام 1637م نشر [[رينيه ديكارت]] كتاب علم الهندسة مخترعا بذلك [[هندسة تحليلية|الهندسة التحليلية]] وقدم المناهج الجبرية الحديثة. كان الحل الجبري العام لمعادلات التكعيب ومعادلات الدرجة الرابعة الذي تم وضعها في منتصف القرن السادس عشر، حدث رئيسي آخر في تطور علم الجبر. وُضِعت فكرة [[محدد (مصفوفات)|المحددات]] من قبل عالم الرياضيات الياباني كوا سيكي في القرن السابع عشر الميلادي, تبع ذلك بشكل مستقل عالم الرياضيات [[غوتفريد لايبنتس]] بعد عشر سنوات, وذلك بهدف حل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات. عمل [[غابرييل كرامر|غابرييل كرامرخلال]] القرن الثامن عشر على المصفوفات و المحددات. قام العالم [[جوزيف لوي لاغرانج]] بدراسة التباديل في منشورته المكونة من 1770 صفحة باسم "تأملات حول الحلول الجبرية للمعادلات" المكرسة لحلول المعادلات الجبرية, والتي قدم من خلالها معادلات لاجرانج . كان [[باولو روفيني]] أول شخص يضع نظرية [[زمرة تبديلات|زمر التباديل]]، و مثل اسلافه كانت نظريته أيضا في سياق حل المعادلات الجبرية.
تم تطوير علم [[جبر تجريدي|الجبر المجرد]] في القرن التاسع عشر الميلادي, مستمداً من الرغبة في حل المعادلات, مركزاً في البداية على مايسمى حالياً ب[[نظرية غالوا]] وعلى المسائل [[عدد قابل للإنشاء|الإنشائية]]. [19]للجبر الحديث جذور عميقة من العمل والدراسة تصل للقرن التاسع عشر الميلادي, مثل أعمال ريتشارد ديدكايند Richard Dedekind و ليوبلد كرونكر. كما يرتبط بفروع الرياضيات الأخرى مثل نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية. كان جورج بيكوك هو من أسس التفكير البديهي في علم الحساب والجبر. اكتشف [[أوغست دو مورغان]] جبر العلاقات في كتابه منهج النظام المقترح للمنطق, ووضع [[جوزيه غيبس]] جبر المتجهات في وسط ثلاثي الأبعاد, كما طور [[آرثر كيلي]] جبر المصفوفات (وهو جبر غير تبادلي).
مجالات الرياضيات:العديد من البنى الرياضياتية تسمى "بالجبر" :يشمل الجبر التجريدي أو الجبر على حقل العديد من الأنواع:"المقال الرئيسي: [[جبر ابتدائي|الجبر الابتدائي]]"
[[ملف:Algebraic equation notation.svg|thumb|مجموعة عبارات جبرية:
1- القوة (الأس).
2- معامل.
3- المدى.
4- المشغل.
5- الحد الثابت.
x y c - المتغيرات / الثوابت.]]
الجبر الابتدائي هو أبسط شكل من الجبر. يتم تدريسها للطلاب الذين يفترض ألا يكون لديهم علم بال[[رياضيات]] أكثر من المبادئ الأساسية لعلم الحساب. تحدث في علم الحساب و[[عدد|الأرقام]] فقط وعملياتهم الحسابية (: مثل +، -، ×، ÷). في الجبر، وغالبا ما تدل الأرقام عن طريق [[متغير (رياضيات)|الرموز]] (: مثل A، N، X، Y أو Z). وهذا مفيد للأسباب التالية:
[[ملف:Polynomialdeg3.svg|thumb|[[مبيان دالة|الرسم البياني]] لوظبفة متعددة الحدود من الدرجة الثالثة..]]
"المقال الرئيسي: [[متعددة الحدود|كثيرات الحدود]]"
كثيرات الحدود هي [[تركيب جبري]] (عبارة رياضية) يتكون من مجموع عدد نهائي من [[حد (رياضيات)|الحدود الجبرية]] (الأطراف) الغير صفرية، كل من هذه الحدود يتألف من حاصل ضرب عدد ثابت و عدد نهائي من المتغيرات المرفوعة لأس عدد صحيح. على سبيل المثال س + 2س - 3 هي متعدد- الحدود في المتغير الوحيد س. يمكن اعادة كتابة كثيرات الحدود باستخدام الخواص التبادلية و الترابطية والتوزيعية لعمليتي الجمع والضرب. على سبيل المثال، (س -1 ) (س + 3) تعبر عن كثيرة حدود, ولكن إذا تحدثنا بشكل دقيق فهي ليست كثيرة الحدود. دالة كثيرات الحدود هي دالة يتم تعريفها بواسطة كثيرة الحدود, أو على نحو مكافئ, من خلال التركيب الجبري لكثيرة الحدود. المثالان السابقان يعبران عن نفس دالة كثيرة الحدود.
هنالك اثنان من المشاكل المهمة و المتعلقة بالجبر, وهي: 1) تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل اولية، أي التعبير عن كثيرة حدود معينة كناتج ضرب كثيرات حدود أخرى لا يمكن تحليلها إلى عوامل أولية أبسط, 2) حساب القاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود. المثال المذكور أعلاه لكثيرة الحدود يمكن تحليلها إلى عوامل أولية كالتالي: (س - 1) (س + 3). فئة من المشاكل ذات الصلة هي العثور على عبارات جبرية [[جذر دالة|لجذور كثيرات الحدود]] في متغير واحد.
"انظر أيضا: [[تعليم الرياضيات]]"
اقترح تدريس الجبر الابتدائي للطلاب ابتداء من عمر الحادية عشر، على الرغم من أنه في السنوات الأخيرة من الشائع أن تبدأ الدروس العامة للجبر في الولايات المتحدة في مستوى الصف الثامن (≈ 13 عاما ±).
منذ عام 1997 بدأت [[جامعة فيرجينيا للتقنية]] وبعض الجامعات الأخرى في استخدام نموذج مخصص في تدريس الجبر والذي يجمع بين النتائج وردود الفعل الفورية من برامج الحاسوب المتخصصة مع تعليم (واحد لواحد) ومجموعات دراسية مصغرة، الأمر الذي خفض التكاليف وزاد معدل إنجازات الطلاب.
"المقالات الرئيسية: [[جبر تجريدي|الحبر المجرد]] و [[بنية جبرية|الهيكلة الجبرية]]"
الجبر المجرد يستمد المبادئ المشابهة في الجبر الابتدائي والجبر [[حسابيات|الحسابي]] [[عدد|للارقام]] لمفاهيم أكثر عموماً. هنا قائمة من المفاهيم الاساسية المدرجة في الجبر المجرد.
[[مجموعة (رياضيات)|المجموعات]]: بدلاً من مجرد التعامل مع انواع مختلفة من الأرقام، الجبر المجرد يتعامل مع مفاهيم أكثر عموميةً من المجموعات: مجموعة من كل المكونات (تسمى [[عنصر (رياضيات)|العناصر]]) المحددة بخاصية معينة للمجموعة. كافة المجموعات من الانواع المتشابهة من ارقام هي مجموعة. أمثلة أخرى على مجموعات كمجموعة [[مصفوفة (رياضيات)|المصفوفات]] المعكوسة (2*2)، كافة المجموعات [[متعددة الحدود]] من الدرجة الثانية ( ax+bx+c), المجموعة المكونة من عوامل ثنائية [[متجه|الأبعاد]] في المستوى, ومختلف [[زمرة منتهية|المجموعات المحدودة]] مثل [[زمرة دائرية|المجموعات الدورية]]، وهي من مجموعة [[حسابيات نمطية|الاعداد الصحيحة النمطية ن]] . [[نظرية المجموعات]] هي فرع من المنطق وليست فرعا من الجبر فعليا.
[[عملية ثنائية|العمليات الثنائية]]: يستخرج مفهوم [[جمع (رياضيات)|الجمع]] (+) لإعطاء عملية ثنائية، يقال عنها ∗. لا معنى لمفهوم العملية الثنائية دون المجموعة التي يتم بها تعريف العملية للعنصرين أ و ب في المجموعة س. أ ∗ ب تعتبر عنصر آخر في المجموعة: تدعى هذه الحالة الإغلاق. يمكن أن تكون كلا من عملية [[جمع (رياضيات)|الجمع]] (+) وال[[طرح]] (-) وال[[ضرب]] (×) و[[قسمة (رياضيات)|القسمة]] (÷) عمليات ثنائية عندما تعرف في مجموعات مختلفة كما في جمع وضرب المصفوفات ، المتجهات ومتعددة الحدود.
[[عنصر محايد|العناصر المحايدة]]: تستخرج الأرقام صفر وواحد لإعطاء مفهوم العنصر المحايد للعملية. الصفر هو العنصر المحايد لعملية الجمع والواحد هو العنصر المحايد لعملية الضرب. لعملية ثنائية عامة ∗ العنصر المحايد يجب أن يحقق المعادلة التالية: أ ∗ ي = أ . و ي ∗ أ = أ. وهذا ينطبق أيضا على الجمع كما في المثال التالي: أ + 0 و 0 + أ = أ وفي حالة الضرب أ × 1 = أ، و 1 × أ = أ. ليس لكل المجموعات وتركيبات العملية عنصر محايد: على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية الموجبة (3،2،1، ...) ليس لها عنصر محايد للجمع.
[[عنصر معاكس|العناصر العكسية]]: الأرقام السالبة تنشأ التزاماً لمفهوم العناصر العكسية. ففي حالة الجمع، يكون معكوس العدد (أ)، (-أ). أما في حالة الضرب فيُكتب المعكوس (أ). العنصر المعكوس على الناحيتين العامة أ يحقق الخاصية التالية: أ×أ = 1 و أ×أ = 1.
[[عملية تجميعية|العملية التجميعية]]: يحتوي جمع الأعداد الصحيحة على خاصية تسمى الخاصية التجميعية. بمعنى تجميع الأرقام داخل اقواس لتجمع لا تؤثر على حاصل الجمع. على سبيل المثال: (2+3)+4 = 2+(3+4) . بشكل عام يصبح القانون (أ × ب)×ج = أ×(ب×ج). يشترك في هذه الخاصية معظم العمليات الثنائية ، ماعدا الطرح اوالقسمة أو ضرب ال[[أوكتونيون]].
[[عملية تبديلية|العملية التبديلية]]: كلا من جمع وضرب الأعداد الحقيقة يعتبر عملية تبديلية. بمعنى ترتيب الأرقام في العملية لايؤثر على النتيجة. على سبيل المثال، 2+3 = 3+2 . بشكل عام هذا يصبح القانون: أ×ب = ب× أ. هذه الخاصية لاتنطبق لجميع العمليات الثنائية. على سبيل المثال، [[ضرب المصفوفات]] و [[كواتيرنيون|الضرب المركب المتعدد]] كلهما عمليات غير تبادلية.
"المقال الرئيسي: [[زمرة (رياضيات)]]"
"انظر أيضا: [[نظرية الزمر]]"
تجميع المفاهيم العلوية تعطي واحدة من أهم القواعد في الرياضيات وهي:[[زمرة (رياضيات)|المجموعة]]. وتعرف المجموعة بأنها مجموعة ( ع ) مزودة ب[[عملية ثنائية]] واحدة (أ)، يمكن تعريفها بأي طريقة مختارة، ولكن مع الخصائص والشروط التالية:و إذا هي [[عملية تبادلية|مجموعة تبادلية]] تطبيق عملية على عضوين أ و ب ينتمون للمجموعة س فإن أ×ب = ب×أ ويطلق على المجموعة في هذه الحالة بأنها [[زمرة أبيلية]] .
على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الصحيحة في إطار عملية الجمع هي مجموعة. في هذه المجموعة، العنصر المحايد هو الصفر ومعكوس أي عنصر أ لهو نقيض العنصر -أ. إذاً، تم استيفاء شرط الترابطيات، وذلك لأن لأي أعداد صحيحة أ، ب، ج، (أ+ب)+ج = أ+(ب + ج)
الأرقام غير صفرية النسبية تشيل مجموعة تحت عملية الضرب. العنصر المحايد هو 1، حيث أن 1×أ = أ×1 لأي عدد نسبي. القيمة العكسية [[عدد كسري|للعدد النسبي]] 1/أ هي حيث أن أ×1/أ = 1
لا تشكل الأعداد الصحيحة تحت عملية الضرب مجموعة. لان مقلوب العدد الصحيح لايكون عدد صحيح. على سبيل المثال ، العدد الصحيح هو 4 لكن مقلوب العدد 4 يكون 1\4 وهو ليس عدد صحيح.
تدرس نظرية المجموعات في [[نظرية الزمر]]. يعد [[تصنيف الزمر المنتهية البسيطة]] النتيجة الرئيسية في هذه النظرية، نشر معظمها بين عامي 1955 و 1983، والتي بدورها تقسم [[مجموعة منتهية|المجموعات المنتهية]] [[زمرة بسيطة|البسيطة]] إلى ما يقارب من 30 نوع أساسي.
تعد [[نصف زمرة|انصاف المجموعات]] المجموعات و [[شبه زمرة|اشباه المجموعات]] وال[[مونويد]] هياكل جبرية مماثلة للمجموعات ، ولكنهم أكثر عمومية. ويشتملون على مجموعة وعملية ثنائية مغلقة، ولكنهم لا يحققون الشروط الأخرى بالضرورة. تحتوي نصف المجموعة على عملية ثنائية ترابطية. ولكن قد لايكون لها عنصر محايد. تعد المونويد نصف مجموعة تحتوي على عنصر محايد ولكن قد لايكون لها معكوس لكل عنصر. تحقق شبه المجموعة المتطلب الدال على امكانية أي عنصر للتحول إلى أي عنصر آخر إما من خلال ضرب اليسار أو ضرب اليمين، ولكن في أي حالة العملية الثنائية قد لاتكون ترابطية.
تعد كل المجموعات [[مونويد]] ، وتعد كل المونويد [[شبه زمرة|انصاف مجموعات]].
"المقالات الرئيسية: [[حلقة (رياضيات)]] و [[حقل رياضي]]"
"راجع أيضا: [[نظرية الحلقات]] و [[حقل رياضي]]"
تمتلك المجموعات عملية ثنائية واحدة فقط. لشرح كامل عن سلوك الأنواع المختلفة من الأرقام والهياكل الرياضية بعاملين التي تحتاج إلى دراسة. وتعد اهمها الحلقات و[[حقل رياضي|الحقول الرياضية]].
تملك[[حقلة (رياضيات)|الحلقة الرياضية]] عاملين ثنائين (+) و (×)، مع الاخذ بالإعتبار بان × توزيعي أكثر من +. وفقا للعامل الأول (+) يشكل مجموعة تبادلية. و وفقا للعامل الثاني (×) يكون تجميعي ، ولكنه لا يحتاج إلى عنصر محايد أو معكوس ، لذالك القسمة غير مطلوبة. يكتب العنصر المحايد الجمعي (+) 0 و المعكوس الجمعي من أ يكتب -أ.
[[توزيعية|التوزيع]] ( يعمم قانون توزيع الأرقام, و يحدد الترتيب الذي ينبغي ان يُطبق على العوامل (تسمى الأولية). للأعداد الصحيحة (أ + ب) × جـ =أ × جـ + ب × جـ أيضا جـ × ( أ + ب) = جـ × أ + جـ × ب , و يسمى ذلك بتوزيع عملية الضرب × على الجمع +.
الاعداد الصحيحة عبارة مثال لحلقة . للأعداد الصحيحة خصائص اضافية تجعلها من مجال لا يتجزأ.
[[حقل رياضي|الحقل]] عبارة عن حلقة مع خاصية اضافية حيث جميع العناصر - عدا الصفر - تشكل الزمرة التبادلية -أو الابيلية- تحت ×. يتم كتابة المضاعف (×) كـ 1 و معكوس المضاعف يكتب أ .
الاعداد المنطقية, الاعداد الحقيقية و الاعداد المركبة هي امثلة لحقول.
ولا تزال كثيرات الحدود تلعب دور في الجبر عندما تــُــناقــَـش المساواة formula_1 أي المعادلات كثيرة الحدود ، وهي صنف من المعادلات الجبرية . ومعظم المشاكل التي تـُـناقـَـش من المعادلات الجبرية في الحاضر ما بقت تكون بسيطة ؛ بل تـُـناقش بأسلوب الجبر التجريدي ؛ ومن ضمنها معادلات ديوفانطس وغير تلك .
من وجهة نظر الجبر الشامل، الجبر أو الجبر التجريدي هو مجموعة formula_2 مزودة بجموعة من العمليات على formula_2. نقول أن هناك عملية نونية (من الرتبة نون) معرفة على formula_2 تمثل [[دالة رياضية]] تأخذ formula_5 عنصر من المجموعة formula_2 وتعطي كنتيجة عنصرا وحيدا من formula_2.
لذلك فإن العملية اللاشيئية حيث formula_8 يمكن أن تمثل عنصرا وحيدا من formula_2 أو ما يدعى بالثابت غالبا يرمز له بحرف مثل formula_10.
بالمقابل العملية الأحادية (حيث formula_11) ببساطة عبارة عن دالة من formula_2 إلى formula_2 يمثل غالبا برمز يوضع أمام مدخل العملية كأن نقول formula_14. أما العملية الثنائية تمثل برمز يكتب بين مدخلي العملية: formula_15.
العمليات من رتب أعلى غالبا ما تمثل بشكل رمز دالة والمدخلات توجد ضمن قوسين: formula_16 أو formula_17.
يعمد بعض الرياضيين أيضا إلى تعريف عمليات [[لامنتهية]] (حيث formula_18) مثل formula_19، التي تسمح بدراسة نظرية جبرية [[مشبك كامل|للمشابك الكاملة]].
يمكن أن ننظر للجبر الشامل على أنه فرع خاص من [[نظرية النموذج]] نتعامل فيها مع البنى التي تملك عمليات فقط (أي دون [[علاقة (رياضيات)|علاقات]])،يتم فيها الحديث عن بنى تستخدم معادلات فقط.
تستخدم كلمة الجبر مع أنواع عديدة من البنى الجبرية :
[[تصنيف:جبر]]