دالة أسية
الدالة الأسية هي كل دالة تُكتب على الشكل formula_1 حيث formula_2 و formula_3 عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان formula_4 فإن الدالة formula_5 تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان formula_6 فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.
مثال آخر للدالة الأسية :
أي أن الدالة الأسية بصفة عامة :
X=y
تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا formula_10 حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة formula_10 لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم "هـ" بدلا عن e.
التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.
من خواص الدالة الأسية :
الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول formula_5 إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع :
حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.
يمكن تحويل الدالة الأسية formula_14 إلى أي أساس آخر formula_15 :
وتنطبق القوانين التالية عليها :
وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة formula_23 وformula_24 وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة formula_25.
من أهم الدوال الأسية المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي formula_26 واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز " ln" ، ويسمى "اللوغاريتم الطبيعي".
الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين :
أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.
يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة.على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:
أقل شيوعا يمكن تعريف e كحل للمعادلة التالية:
هي أيضا تساوي النهاية التالية:
تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية :
وعندما نختار لها الشرط :
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون 
formula_34 ينتج :
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة :
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر ، حيث يأتي العدد "e" في حساب التفاضل بطريقة "طبيعية" من نفسه.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث formula_38 حيث formula_39 ثابتة حقيقية تحدد بالإعتماد على الشروط البدئية
مثال:
قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N_0 الكلي عند البداية (عند t=0).
وتعتمد :formula_41 على نوع الذرات الموجودة في العينة ، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.
هناك الحالة الخاصة عندما يكون الأساس هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي "هـ" بدلا عن المعترف به عالميا e)
وتكتب باللغة الإنجليزية:
حيث n هو الأُس للأساس الثابت الطبيعي الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828
وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.
أو بالتفصيل :
x=e
من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:
وذلك لجميع 
formula_45 وجميع formula_25 الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل :تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل : اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)
وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x=e حيث n=t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب ، أي x=e.
ليكن formula_3 عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث formula_6
المجموع الأول
formula_49
نهاية هذا المجموع
formula_50
المجموع الثاني
formula_51
نهاية هذا المجموع
formula_52
تزايد الميكروبات : ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين ، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.
أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات :
N=2
N=8
فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات ، صغنا المعادلة كالآتي:
N=2
N=64
أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.
التزايد السكاني :
يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟
نكتب المعادلة الآتي:
N=4. e
أو :
والنتيجة :
مثال 3 :
تكوّن النجوم : تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة ؟.
N=1. e
N=1. e
باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.
مثال 4:
تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي :
حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض formula_54.