مبرهنة فيرما الأخيرة
في نظرية الأعداد، تنص مبرهنة فيرما الأخيرة على أنه لا توجد أعداد صحيحة طبيعية x و y و z حيث:
حيث n أكبر قطعا من 2.
حُدست هذه الحدسية لأول مرة من طرف بيير دي فيرما عام 1637، كما اشتهر، على هامش نسخة من كتاب للحسابيات، حيث زعم أن له برهانا أكبر من أن يسعه ذلك الهامش.
لم ينشر لهذه الحدسية برهان صحيح حتى عام 1995 على يد أندرو وايلز، رغم جهود عدد غير منته من علماء الرياضيات خلال 358 سنة مرت على حدسها. هذه المعضلة المستعصية على الحلحلة حثت على تطور نظرية الأعداد الجبرية خلال القرن التاسع عشر كما أدت إلى البرهان على مبرهنة النمطية خلال القرن العشرين.
تعد واحدة من أكثر المبرهنات شهرة في تاريخ الرياضيات، و كانت قبل برهان وايلز عليها عام 1995، مسجلة في موسوعة غينيس للأرقام القياسية تحت عنوان: أصعب معضلة في الرياضيات.
لم يترك فيرما أي برهان لهذه الحدسية بالنسبة لأي عدد n، ولكنه برهن على الحالة الخاصة n = 4. هذه الخطوة اختصرت المعضلة في البرهان على المبرهنة بالنسبة لقيم أولية للأس n. خلال القرنين التاليين (1637-1839)، بُرهن على الحدسية بالنسبة للأعداد الأولية 3 و5 و 7 فقط، رغم أن صوفي جرمين برهنت على حالة خاصة بالنسبة لجميع الأعداد الأولية الأصغر من المائة. في منتصف القرن التاسع عشر، برهن إرنشت كومر على المبرهنة بالنسبة للأعداد الأولية النظامية. اعتمادا على عمل كومر وباستعمال دراسات حاسوبية معقدة، استطاع علماء رياضيات آخرون البرهان على الحدسية بالنسبة لجميع القيم الأولية للأس إلى حدود أربعة ملايين.
جاء البرهان على الحدسية بالنسبة لجميع قيم n في نهاية القرن العشرين. في عام 1984، اقترح جيرار فراي المقاربة التي تتمثل في البرهان على الحدسية من خلال البرهان على مبرهنة النمطية بالنسبة للمنحنيات الإهليلجية. اعتمادا على أعمال كين ريبيت، نجح أندرو وايلز في البرهان من مبرهنة النمطية لما يكفي للبرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة. استعان في ذلك بريتشارد تايلور. تحدثت الصحافة الشعبية ووسائل الإعلام المختلفة بشكل واسع عن إنجاز وايلز.
الثلاثية الفيتاغورسية (المسماة هكذا نسبة إلى فيثاغورس) هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة a و b و c، تحقق حالة خاصة من معادلة فيرما (n = 2)
من الأمثلة على الثلاثيات الفيثاغورسية (3،4،5) و (5،12،13). هناك عدد غير منته من هاته الثلاثيات، كما دُرست طرق توليدهن في العديد من الثقافات، ابتداء بعلماء الرياضيات البابليين وبعد ذلك الإغريقيين و الصينيين و الهنديين.
معادلة فيرما "x" + "y" = "z" بأعداد صحيحة موجبة حلولا هي مثال على المعادلات الديوفانتية.
تنص المبرهنة على ما يلي:
من المستحيل فصل مكعب إلى مكعبين، و لا عدد مرفوع إلى القوة الرابعة إلى عددين مرفوعين كل منهما إلى القوة الرابعة. و عموماً لا يمكن لأي عدد مرفوع إلى قوة أعلى من القوة الثانية أن يكون مجموع عددين لهما نفس القوة. و لا توجد أعداد صحيحة طبيعية y ،x و z بحيث formula_1 مع n أكبر قطعا من 2.
في بداية القرن التاسع عشر، طورت صوفي جرمين مجموعة من المقاربات من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة بالنسبة لجميع قيم الأس.
انظر غابرييل لامي.
في عشرينيات القرن العشرين، وضع لويس مورديل حدسية تنص على أن معادلة فيرما تقبل على الأكثر عددا منتهيا من الحلول الطبيعية الأولية وغير البديهية عندما يكون الأس n أكبر قطعا من 2. بُرهن على هذه الحدسية عام 1983 من طرف عالم الرياضيات غيرد فالتينغز، وحاليا، تعرف باسم مبرهنة فالتينغز.
في النصف الثاني من القرن العشرين، استعملت طرق حسابية من أجل تمديد مقاربة كومر (نسبة إلى إرنشت كومر) للأعداد الأولية غير المنتظمة.
الاستراتيجية النهائية والناجحة في البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة، تمثلت في البرهان على مبرهنة النمطية. وصفت هذه الاستراتيجية في البداية من طرف جيرار فراي، وكان ذلك عام 1984. أشار فراي إلى أنه إذا كان لمعادلة فيرما حلا (a، b، c) بالنسبة لأس p، فإن المنحنى الإهليلجي المقابل
سيمتلك خصائص غير معهودة تمنعه من أن يكون نمطيا. هذا يتعارض مع مبرهنة النمطية التي تنص على أن جميع المنحنيات الإهليلجية هي نمطية.
وصل برهان ريبيت على حدسية إيبسيلون في عام 1986 إلى أحد الهدفين اللذان حددتهما استراتيجية فراي من أجل البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة.
التقنيات الرياضية المستعملة من طرف فيرما في برهانه العجيب ليست معروفة. برهان مفصل واحد فقط لفيرما قاوم النسيان، والذي ينص على عدم وجود أعداد أولية فيما بينها (x, y, z) حيث تتحقق المعادلة "x" − "y" = "z".
برهان وايلز وتايلور اعتمد على تقنيات رياضية طورت في القرن العشرين. وقد تكون هذه التقنيات صعبة المنال حتى بالنسبة لعلماء الرياضيات الذين عملوا على مبرهنة فيرما والذين عاشوا قرنا من الزمان من قبل.
الحدسية الكبرى لهارفي فريدمان تعني أنه من الممكن البرهان على مبرهنة فيرما الأخيرة باستعمال الحسابيات الابتدائية.
في عام 1816، وفي عام 1850 أيضا، اقترحت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة مالية لمن يعطي حلحلة عامة لمعادلة فيرما الأخيرة. في عام 1875، منحت الأكاديمية ثلاثة آلاف فرنكا وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه في هذا المجال رغم أنه لم يطلب ذلك. منحت أيضا جائزة مالية أيضا عام 1883 من طرف أكاديمية بروكسل.