معادلة حدودية
في الرياضيات، المعادلات الحدودية أو معادلات متعددات الحدود هي معادلات تأخذ الشكل التالي:
formula_1
حيث formula_2, معاملات المعادلة, والهدف هو إيجاد جميع قيم المجهول formula_3. ونقول أن كثير الحدود من الدرجة الأولى إذا كانت أعلى قوة ل formula_3 تظهر في المعادلة هي واحد. وهي من الدرجة الثانية إذا كانت أعلى قوة ل formula_3 هي اثنين وهكذا دواليك. إذن نقول أن كثيرة الحدود من الدرجة formula_6 إذا كانت أعلى قوة ل formula_3 هي formula_6. وتقول المبرهنة الأساسية في الجبر أن لكل معادلة حدودية من الدرجة formula_6 يوجد عدد formula_6 من الحلول (ذلك إذا إحتسبنا الحلول المكررة أي التي يجب أن نعدها مرتين). كما تجدر الإشارة إلى أن كل معادلة حدودية ذات معاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية إن كان لها حلول تنتمي إلى الأعداد المركبة فإن هذه الحلول تكون دائما مترافقة أي أنه يكون دائما هناك حل في شكل formula_11 وآخر في شكل formula_12. أما إذا كانت المعاملات عقدية فإن ذلك ليس صحيحا.
إذا اعتبرنا المعادلة التالية:
formula_13
فإن الحل هو formula_14 ولكن يتم اعتبار هذا الحل مكررا مرتين لأننا يمكن أن نكتب المعادلة بالشكل التالي:
formula_15
و لذلك نرى أنه لتكون المعادلة صحيحة يجب أن يكون القوس الأول يساوي صفرا أو الثاني يساوي صفرا وفي كل مرة يعينا ذلك حلا أي أن الحل formula_14 مكرر مرتين.
كذلك إذا اعتبرنا
formula_17
فإن الحل هو formula_18 ولكنه مكرر formula_6 مرة إلخ... بهذه الطريقة تتم حساب عدد الحلول. وعلى أساس ذلك يكون كما هو مذكور أعلاه لكل معادلة حدودية من الدرجة formula_6 عدد formula_6 من الحلول
= طرق حل معادلات كثيرة الحدود =
حل المعادلة: formula_22 هو formula_23 حيث formula_24
ونستطيع حل معادلات الدرجة الأولى بكل سهولة فمثلا:
لحلها نقوم أولا بالتخلص من الحد الثابت وذلك بإضافته معكوسه الجمعي إلى الطرفين، فيصبح لدينا
بعدها نضرب الطرفين في المعكوس الضربي لمعامل س (أو ببساطة قسمة كلا الطرفين على الرقم الموجود أمام س وهو (2)) وبهذا نحصل على س=2.5
لحل المعادلة: formula_25, نحسب المميز formula_26 المعرف ب: formula_27, ويكون للمعادلة حلان هما:تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ا س + ب س+ حـ س + د =0 ، formula_30 بدلالة معاملاتها formula_31 كما يلي:
طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.
هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة formula_33 وformula_34 حلول المعادلة: formula_35. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.
بالنسبة للمعادلة: formula_36 نحسب formula_37, ثم ندرس إشارته.
نضع
الحل الوحيد الحقيقي هو formula_40.
و حلان عقديان مترافقان:
حيث formula_43
يوجد عدد عقدي "u" الذي هو جذر مكعب ل formula_44.
المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة: formula_48,
نضع: formula_49
formula_50
نضع الآن:
formula_51
الآن نحصل على مجهولين بدل مجهول واحد, لكن نضع شرطا يمكن من التبسيط:
formula_52
تتحول هذه المعادلة إلى الشكل:
formula_53
شرط التبسيط يكون إذن:
formula_54
الذي يعطي من جهة:
formula_55
و من جهة أخرى:
formula_56
و عند رفع العددين إلى القوة 3, نحصل على:
formula_57
و نحصل أخيرا على نظمة معادلتين لمجهولين formula_58 وformula_59 الآتية :
formula_60
formula_57
formula_58 وformula_59
هما إذن عددين نعرف جمعهما وجذاءهما. هذين العددين هما جذرا المعادلة من الدرجة الثانية:
formula_64
نعتبر الصيغة العامة للمعادلة من الدرجة الرابعة:
formula_65
نقسم على formula_66 ونضع
formula_67
لنصل إلى معادلة على صيغة :
formula_68
معادلة تكتب:
formula_69
نضيف
formula_70
لطرفي المتساوية. فنحصل على:
formula_71
نلاحظ أن الطرف الأول يكتب على صيغة مربع:
formula_72
من هاته النتيجة الأخيرة, نقوم بالنشر :
formula_73
formula_74
formula_75 (*)
الهدف هو تحديد y بحيث يكتب الطرف الثاني أيضا على صيغة مربع.
الطرف الثاني معادلة من الدرجة الثانية formula_76. يكتب على شكل مربع. إذا كان المميز منعدما يعني:
formula_77
الشيء الذي يعطي, عن طريق النشر والتجميع معادلة من الدرجة الثالثة formula_78 الآتية :
formula_79
نستطيع حل هذه المعادلة باستعمال الطريقة الخاصة بمعادلات الدرجة الثالثة لإيجاد formula_80.
انظر إلى دالة خماسية وإلى مبرهنة آبل