لوغارتم طبيعي
اللوغاريتم الطبيعي أو اللوغاريتم النبيري هي دالة لوغاريتمية للأساس "e". وهي الدالة الاصلية للدالة formula_1 على formula_2 وتنعدم في 1. يُرمز لهذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) أو ln 
بصفة عامة.
ويسمى هذا اللوغاريتم باللوغاريتم النيبيري تكريماً لعالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابيير الذي هو في الأصل من أول الجداول اللوغاريتمية في الرياضيات. هذه تفعل هذا لم يكن للجداول اللوغاريتمات népériens9. في تاريخ ولادة في عام اللوغاريتمات الطبيعية 1647، عندما تعمل غريغوري سانت فنسنت على التربيع من القطع الزائد ويدل على أن وظيفة الناتجة تفي الملكية اللوغاريتمات وظائف (تجهيز المنتج في القصير)، ولكن لا يرى اتصال مع اللوغاريتمات التي اخترعها نابيير، ومن تلميذه ألفونس أنطوان دي Sarasa والتي سوف توضح في 164910. يتم استدعاء الدالة LN أيضا اللوغاريتم القطعي وظيفة وقت معين اكتشافه لان المنطقة تحت hyperbole11. يظهر اللوغاريتم الطبيعي المدى لأول مرة في مذكرة لنيكولاس مركاتور عام 1668، عندما يضع صاحب سلسلة من Mercator12. سلسلة أعماله التي تديرها نيوتن (الطريقة من الجريان وسلسلة لا نهاية لها، 1671)، فقط ما يكفي لحساب قيم لوغاريتم القديس غريغوريوس Vincent13. يظهر حساب اللوغاريتمات أخرى معقدة جدا. أصبح لوغاريتم غريغوري سانت فنسنت الأكثر اللوغاريتم "بسيط" وأكثر طبيعية.
يشير الرمزان و بشكل لا لبس فيه إلى اللوغارتم الطبيعيّ لِـ"x". و قد يُفهم من الرمز دون أي ذكر صريح لأي أساس أنه لوغارتم طبيعيّ لِـ"x". يشيع هذا الفهم بين الأوساط العلميّة و في الرياضيات بالإضافة إلى بعض لغات البرمجة. يُمكن استخدم الرمز في بعض السياقات الأخرى للإشارة إلى اللوغارتم ذو الأساس 10.
تاريخياً، أُدخلت الرموز "" و "" إلى الاستخدام منذ ثلاثينيات القرن الثامن عشر 1730s على الأقل، و بقيت حتى أربعينيات القرن التاسع عشر 1840s على الأقل، أما الرمز "log." أو "log"، فمنذ تسعينيات القرن الثامن عشر 1790s على الأقل. أخيراً، في القرن العشرين سُجِلَت الرموز "Log" and "logh".
تنتج الدالة formula_3 و ذلك من أجل "n" ∈ ℤ تسلسل ثنائي لانهائيّ من النقاط يُمثّل قطعاً زائداً. عندما تُوصَل نقطتان متجاورتان إلى النقطة (0,0) بواسطة أشعة القطع الزائد، حينها يتشكَّل قطاع من هذا القطع الزائد، يكون لهذا القطاع منطقة وحدة "unit area". و بالتالي فإن المنطقة الكليّة الموجودة داخل القطع الزائد و خطوط مُقارباته منطقةٌ لانهائيّة، بما يتفق مع تباعد المتسلسلة المتناسقة. يتفق قياس المنطقة مع قياس القوس في كلا الدائرة و القطع الزائد الأيمن: ففي دائرة نصف قطرها √2 يكون لقوس القطاع الدائريّ زاوية تساوي منطقة القطاع. و بالمثل، تُقاس زاوية القطع الزائد للقوس القطع الزائديّ بالمنطقة الموافقة من قطاع القطع الزائد ذو المعادلة "xy" = 1.
يعود الفضل إلى ليونارد يولر الذي عرَّف بأهمية عدد يولر e=2.71828... كأساس للدالة الأسيّة و اللوغارتم الطبيعيّ. حيث أنه قدَّم لفكرة الدالة المتسامية لتصنيف الدوال المثلثيّة و الأسيّة في كتاب "مقدمة في تحليل اللانهاية" (1748). يتطلَّب تقدير مساحة القطع الزائد اللوغارتم الطبيعيّ، لذا كان يحول نقص التعبير عن تربيع القطع الزائد دون حساب التكامل، حتى وصفه جريجوري دي سانت-فينست (1647) بميزة لوغارتميّة: إن توافق تسلسل حسابيّ من المناطق مع التسلسل الهندسيّ للمُقاربات. قادت توضيحات نيكولاس مركاتور و كريستيان هوغنس إلى مقدمة يولر التي فصَّلت الدوال الدائريّة من حيث السلسلة اللانهائيّة.
إن صلة الوصل بين المنطقة و أقواس الدائرة و دوال القطع الزائد تُظهر "طبيعيّة" اللوغارتم.
رسمياً، في حالة "a" يُمكن تعريف اللوغارتم الطبيعيّ بأنه المنطقة تحت القطع الزائد 1/"x". هذا هو التكامل
هذه الدالة لوغارتم لأن توافق المبدأ الأساسيّ للوغارتم:
يُمكن توضيح ذلك من خلال تقسيم التكامل الذي يُعرِّف ln("ab") إلى جزأين و من ثُمّ المكاملة بالتعويض في الجزء الثاني، وفق الآتي:
في المصطلحات الأوليّة، هذا مجرد تحجيم بواسطة 1/"a" في الاتجاه الأفقيّ و بواسطة "a" في الاتجاه العموديّ. لا تتغير المنطقة تحت هذا التحوّل، و لكن يتم إعادة تشكيل المنطقة بين "a" و "ab". لأن الدالة "a"/("ax") تُساوي الدالة 1/"x"، تكون المنطقة الناتجة بالضبط ln("b").
يُعرَّف العدد "e" بأنه عدد حقيقيّ فريد "a" حيث ln("a") = 1.
بدلاً من ذلك، إذا عُرِّفت الدالة الأسيّة أولاً، قل باستخدام سلسلة لانهائيّة، قد يُعرَّف اللوغارتم الطبيعيّ بالدالة العكسيّة مثلاً ln هي كالدالة الآتية exp(ln("x")) = "x". و بما أن مجال الدالة الأسيّة متزايد بحدّة، فإن ذلك مُحدَّد بشكل جيّد لجميع قيم "x" الإيجابيّة.
نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على formula_2 وقابلة للاشتقاق على هذا المجال و:
formula_8
و منه الدالة ln متصلة على formula_2و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على formula_2
لتكن f دالة معرفة ب formula_11 حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :
formula_12
و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن وبصفة عامة :
من هذه الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :
في حين لا توجد كسور مستمرة بسيطة مُتاحة، فإن العديد من الكسور المستمرة المُعمَّمة هي، بما في ذلك:
فهذه الكسور المستمرة، و بشكل محدد الأخير، هذه الكسور تتقارب للقيم القريبة من الواحد. على أي حال، يمكن حساب اللوغارتمات الطبيعيّة لمعظم الأرقام الأكبر ببساطة عبر إضافة هذه الأرقام الأصغر بشكل متكرر، مع تقارب سريع مماثل.
على سبيل المثال بما أن 2 = 1.25 × 1.024 يمكن حساب اللوغارتم الطبيعيّ لِـ2 بالشكل الآتي:
علاوةً على ذلك، بما أن 10 = 1.25 × 1.024 فإن اللوغارتم الطبيعيّ لِـ10 يمكن حسابه و بطريقة مُشابهة لما سبق، وفق الآتي:
يعرف كالآتي:
Ln(xi)=ln(|x|)+i*Pi