لوغاريتم
في الرياضيات، الأسيس أو اللوغاريتم هي الدالة العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف لوغاريتم عدد ما بالنسبة لأساس ما، بأنه الأس المرفوع على الأساس والذي سينتج ذلك العدد. فعلى سبيل المثال فلوغاريتم 1000 بالنسبة للأساس 10 هو 3 لأن . وبالتعميم يمكن أن نقول بأنه إذا كان "x" = "b" فإن لوغاريتم "x" بالنسبة للأساس "b" هو "y" يعبر عن ذلك رياضياً بالعلاقة:
وبالرجوع إلى المثال يصبح:
يعرف اللوغاريتم العشري بأنه لوغاريتم عدد ما بالنسبة للأساس 10 والذي يستخدم بشكل كبير في حساب التطبيقات العلمية والهندسية، الأسس أو اللوغاريتم هي العملية العكسية للدوال الأسية ويُعرَّف اللوغاريتم الطبيعي بأنه لوغاريتم عدد بالنسبة لأساس هو العدد النيبيري ("e") والذي له تطبيقات كثيرة في الحسابات الهندسية والعلمية وفي الرياضيات البحتة وخاصة في التفاضل والتكامل. في حين يعرف اللوغاريتم الثنائي لعدد ما بأنه لوغاريتمه بالنسبة للأساس 2 ويستخدم بشكل كبير في علم الحاسوب والدارات المنطقية.
كان اللوغارتم معروفا لدى العرب نسبة إلى العالم الخوارزمي، ولقد أدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير كوسيلة لتبسيط الحسابات، ليعتمد عليها بعد ذلك الملاحين والعلماء والمهندسين والفلكيين وغيرهم لإنجاز حساباتهم بسهولة أكبر، مستخدمين المساطر الحاسبة والجداول اللوغاريتمية، وتعود كلمة اللوغارتم إلى العالم العربي الخوارزمي حيث يرد أسمه في اللغة الإنجليزية بكلمة Algorism وalgorithm واللتان تنبعان من كلمة "Algoritmi"، الشكل اللاتيني لاسمه الخوارزمي. كما استفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال عمليات الضرب لإيجاد لوغاريتم جداء عددين بخاصية الجمع وفق الخاصية:
قام ليونهارت أويلر في القرن الثامن عشر بربط مفهوم اللوغاريتمات بمفهوم التابع الأسي ليتوسع مفهوم اللوغاريتمات ويرتبط بالتوابع.
كما يستفاد من المقياس اللوغاريتمي من التقليل من التمثيل البياني لمجالات واسعة من الكميات إلى مقياس أصغر. فعلى سبيل المثال الديسيبل هو وحدة لوغاريتمية لقياس ضغظ الصوت و نسبة الفولط. كما يستخدم الأس الهيدروجيني (وهو مقياس لوغاريتمي) في الكيمياء لتحديد حمضية محلول ما وذلك من خلال العلاقة التالية[Ph=log[H3O
لقد اتت فكرة اللوغاريتم على أنها العملية العكسية للرفع، وهي رفع رقم لأس، على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي:
وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي : لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي:
log 8 = 3.
يمكننا القول أن ناتج رفع رقم ما "b" إلى الأس 3 هو حاصل ضرب الرقم "b" بنفسه ثلاث مرات، وبالتعميم فإن ناتج رفع الرقم "b" إلى الأس "n" هو حاصل ضرب "b" بنفسه "n" مرة أي:
يعرف لوغاريتم عدد ما "x" بالنسبة للأساس "b" بأنه الأس الذي يجب أن يرفع له "b" لينتج عنه "x" أو يمكننا القول بأن لوغاريتم "x" بالنسبة للأساس "b" هو الأس "y" في المعادلة:
وتكتب العبارة (لوغاريتم "x" بالنسبة للأساس "b") رياضياً بالشكل:
وناتج هذه المعادلة هو الأس y
ولتعريف اللوغاريتم يجب أن يكون الأساس عدد حقيقي موجب لايساوي الصفر وx عدد موجب.
من السهل حساب اللوغاريتم في بعض الحالات، مثل "log10(1,000) = 3". لكن بالعموم يمكن حساب اللوغاريتم باستخدام متسلسلة القوى أو باستخدام الهندسة الحسابية بالوسائل التقريبية أو من خلال ايجاده تقريبياً من خلال الجداول اللوغاريتمية. كما تستخدم طريقة نيوتن-رافسون التكرارية في حساب اللوغاريتم لأن استخدام هذه الطريقة تمكن من ايجاد التابع العكسي والتابع الأسي بشكل فعال. وتستخدم طريقة منزلة بمنزلة لحساب اللوغاريتمات إذا كانت العملية المتاحة فقط هي إضافة وتحويل منزلة. بالإضافة إلى استخدام طريقة حساب اللوغاريتم ثنائي لـ lb("x") والتي تقوم على الاستدعاء الذاتي لمربع x وتكرار العملية والاستفادة من ذلك.
من أجل formula_8 ، عندها يمكن كتابة العلاقة:
formula_11
بإستعمال تحويلات أولير على متسلسة تايلور نحصل علة المتفاوتة التالية :
من أجل كل عدد حقيقي formula_12
formula_13
formula_14 حيث formula_15 ومنه فإن formula_16
الدالة الأصلية للوغاريتم الطبيعي formula_17حيث formula_18 عدد حقيقي
إن من بين أهم خصائص دالة اللوغاريتم الطبيعي هي خاصية تحويل الجداء إلى مجموع.
نشر عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نايبير أول بحث وجدول للوغاريتمات عام 1614م. وقد اكتشف السويسري جوبست برجي اللوغاريتمات على نحو مستقل في نفس الوقت تقريبا. وفي أوائل القرن السابع عشر، قدم الإنجليزي هنري برجز للرقم الأساسي 10، وبدأ في وضع جدول به 14 خانة للوغاريتمات العشرية، ثم أكمل الهولندي أدريان فلاك العمل الذي بدأه برجز. وحوالي عام 1622م، وضع الإنجليزي إدموند جنتر، تصورًا لفكرة كتابة الأعداد على مستطيلات رفيعة وفقًا للوغاريتم الخاص بكلٍ منها، وضربها وقسمتها عن طريق انزلاق مستطيل على الآخر. وتمثل هذه الفكرة أساس المسطرة المنزلقة. استمر استخدام جداول برجز - فلاك حتى تم وضع جداول لوغاريتمات عادية بها 20 خانة في بريطانيا في الفترة من 1924 و حتى 1949م .
أدى استخدام الحواسيب والحاسبات الإلكترونية إلى إلغاء الحاجة إلى استخدام اللوغاريتمات في العمليات الحسابية. ومع ذلك، فإن اللوغاريتمات لها أهميتها في الأغراض النظرية .تقسم اللوغاريتمات إلى خمس أقسام- بحسب أنواعها -:
لوغاريتم هي كلمة إنجليزية أُخذت من اسم العالم العربي الخوارزمي.
أما الأسس فهي كلمة ذات أصل عربي وهي متناسقة مع الأس والذي يعني وضع الأساس. فالتعبير س4 يعني س تُبنى وتُرفع 4 مرات أي تضرب 4 مرات في نفسها.