عدد مركب
العدد المركب أو العدد العقدي هو أي عدد يُكتب على الصورة formula_1 حيث formula_2 و formula_3 عددان حقيقيان و formula_4 عدد خيالي مربعه يساوي 1- (أي أن formula_5) ويسمى وحدة تخيلية. ويسمي العدد الحقيقي formula_2 بالجزء الحقيقي، والعدد الحقيقي formula_3 بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد مركب، فيه 3 هو الجزء الحقيقي و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون "formula_3" (أي الجزء التخيلي) مساوياً ل 0، فإن قيمة العدد المركب تساوي قيمة الجزء الحقيقي "formula_2" فقط ، ويسمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا. وعندما يكون "formula_2" (أي الجزء الحقيقي) مساويا ل 0، يكون العدد تخيليـًا صرفـًا.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد المركبة كالجمع والطرح والضرب والقسمة بطريقة تماثل الأعداد الحقيقية مع بعض الاختلافات خاصةً في عملية القسمة. ولكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
عندما وجد الرياضيون أن المعادلة (formula_11) مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من وضع حل لها. لذلك تمّ إيجاد عدد جديد هو العدد التخيلي i. وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد 1-. 
وهنا يكمن التعقيد. فمن المعلوم أنه ليس للعدد 1- جذر تربيعي، ولكن هذا في الأعداد الحقيقية. فكما أنه لا وجود للعدد 5- في الأعداد الطبيعية ولكنه موجود في الأعداد الصحيحة (والحال نفسه بالنسبة للعدد formula_4) فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تخضع للمنطق الرياضي ولا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات.
تمنح الأعداد العقدية حلولا لبعض الأنواع من المعادلات التي لا تقبل أية حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية : المعادلة
لا تقبل أي حل حقيقي لأن مربع عدد حقيقي إما يساوي الصفر أو هو موجب. الأعداد المركبة تمنح حلاً لهذه المعضلة. الفكرة هي تمديد الأعداد الحقيقية بالوحدة التخيلية i حيث formula_5, مما يمكن من إيجاد حل للمعادلة السابقة. في هذه المعادلة الحل هو . هكذا، ليس فقط تصبح جميع المعادلات التربيعية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة، بل أيضا، تصبح جميع المعادلات الحدودية ذات المتغير الواحد قابلة للحلحلة باستعمال الأعداد العقدية.
عدد مركب هو عدد يُكتب على الشكل التالي :
حيث a و b عددان حقيقيان و i هي "الوحدة التخيلية", وتحقق "i" = −1. على سبيل المثال، formula_16 هو عدد عقدي. عادة، يُشار إلى العدد العقدي formula_17 ب a وإلى العدد العقدي formula_18 ب formula_19. بالإضافة إلى ذلك، عندما يكون الجزء التخيلي سالبا، يكتب العدد العقدي على شكل formula_20 حيث b موجب بدلا من formula_21. على سبيل المثال، يُكتب formula_22 بدلا من formula_23.
رمز مجموعة الأعداد العقدية هو formula_24 أو formula_25.
العدد الحقيقي a الذي يظهر في تعريف العدد العقدي z = a+ bi يسمى "الجزء الحقيقي" ل z، بينما يسمى b "الجزء التخيلي" ل z. هكذا، "الجزء التخيلي" لعدد عقدي ما، هو عدد حقيقي (لا يتضمن الوحدة التخيلية) : الجزء التخيلي ل z هو b وليس bi. يُرمز للجزء الحقيقي ب (Re(z أو (ℜ(z, ويُرمز إلى الجزء التخيلي ب (Im(z أو (ℑ(z. على سبيل المثال،,
أحيانـًا, يُكتب العدد المركب z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، وذلك باستخدام الرمز "j" بدلا من "i"، لأن "i" هو رمز التيار الكهربي)
يمكن أن يُنظر إلى عدد عقدي على أنه نقطة أو متجه ينطلق من أصل المَعلم في نظام إحداثيات ديكارتي ثنائي الأبعاد يسمى المستوى العقدي أو رسم أرغند البياني, المسمى هكذا نسبة إلى جون روبرت أرغند. عادة ما يُرسم الجزء الحقيقي لعدد عقدي على المحور الأفقي بينما يُرسم جزؤه التخيلي على المحور العمودي.
يرجع أول ظهور للأعداد المركبة إلى عام 1545 حينما نشر عالم الرياضيات الإيطالي جيرولامو كاردانو حلحلة للمعادلات من الدرجة الثالثة.
ولكنه فهمه لهذه الأعداد كان بدائيا. فيما بعد عمل عالم الرياضيات رافائيل بومبيلي في هذا المجال.
نفس العمليات والقواعد الحسابية في الأعداد الحقيقة formula_28 يمكن تطبيقها على الأعداد المركبة. باستعمال تجميعية الجمع وتوزيعية الضرب نحصل على ما يلي:
مرافق العدد المركب formula_29 هو العدد المركب formula_30. يُرمز لمرافق العدد المركب formula_31 بالرمز formula_32. هندسيا، formula_32 هو انعكاس formula_31 حول محور الأعداد الحقيقية. هكذا محاولة الحصول على مرافق مرافق عدد مركب ما تعطي العدد ذاته : formula_35.
يمكن أن يستخلص الجزءان الحقيقي والتخيلي انطلاقا من مرافق عدد مركب ما، كما تبين المعادلتان التاليتان :
بالإضافة إلى ذلك، فإن عددا مركبا ما حقيقيٌ إذا وفقط إذا كان مساويا لمرافقه.
البحث عن المرافق يتوزع على العمليات الحسابية الاعتيادية كما تبين المعادلات التالية:
مقلوب عدد مركب ما مختلف عن الصفر formula_41، هو :
لاحظ أن ناتج عملية القسمة السابقة نحصل عليه بضرب كلا من 
البسط والمقام في العدد المرافق للمقام.
الجذر التربيعي لحاصل ضرب عدد مركب في مرافقه يسمى معيار العدد المركب.
تتم عملية الجمع كما يلي:
formula_43
وكذلك عملية الطرح كما يلي:
formula_44
يلاحظ أن الجزء الحقيقي للناتج هو محصلة الجزئين الحقيقيين للعددين، وبالمثل الجزء التخيلي للناتج هو محصلة الجزئين التخيليين للعددين.
تتم عملية الضرب كما يلي:
formula_45
تتم عملية القسمة كما يلي:
بضرب البسط والمقام بمرافق المقام.
formula_46
انظر أيضا الجذر التربيعي للأعداد السالبة وللأعداد العقدية
الجذران التربيعيان للعدد العقدي a + bi (مع "b" ≠ 0) هما formula_47 حيث :
و
حيث sgn هي دالة الإشارة.
إذا كان z عددا مركبا، و a و b عددين حقيقيين، و i هو الوحدة التخيلية، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:
الشكل الجبري للأعداد المركبة هو formula_51 لذا فكل عدد مركب هو زوج مرتب formula_52 في محور الأعداد، وكل زوج كهذا يمكن حساب إحداثياته بواسطة الزاوية المتكونة من التقاء محور formula_53 مع الخط المستقيم الخارج من نقطة الأصل ويمر في الزوج formula_54, وأيضا بواسطة طول الخط المحصور بين formula_55 و- formula_56. هذه الإمكانية تسمح بصياغة العدد المركب بالشكل التالي : 
حيث:
يكتب العدد على شكل 
حيث:
ليكن أعدادا مركبة (تسمى معاملات). للمعادلة
حل واحد على الأقل z، إذا افتُرض أنه على الأقل أحد الأعداد ذات الدرجات الأعلى، غير مساو للصفر. هذا هو نص المبرهنة الأساسية في الجبر. لهذا السبب، يُقال عن المجموعة C أنها حقل مغلق جبريا. هذه الخاصية ليست متوفرة في حقل الأعداد الجذرية Q (ليس لمتعددة الحدود من جذر كسري بما أن حلها هو  و هو عدد غير كسري). مجموعة الأعداد الحقيقية R لا تمتلك هي أيضا هذه الخاصية (ليس لمتعددة الحدود من جذر حقيقي عندما يكون a موجبا قطعا).
انظر إلى مبرهنة ليوفيل وإلى طوبولوجيا وإلى نظرية غالوا وإلى مصفوفة مربعة وإلى القيم الذاتية والمتجهات الذاتية.
دراسة الدوال اللائي متغيراتها أعداد مركبة، تسمى التحليل العقدي، وله تطبيقات هائلة في الرياضيات التطبيقية كما في باقي فروع الرياضيات. عادة، البراهين الأكثر بساطة في التحليل الحقيقي وحتى في نظرية الأعداد تستعمل تقنيات مستمدة من التحليل العقدي (انظر مبرهنة الأعداد الأولية على سبيل المثال).
يقال عن دالة "f" : C → C أنها دالة تامة الشكل إذا حققت معادلات كوشي-ريمان. على سبيل المثال، كل تحويل خطي C → C يكتب على الشكل :
حيث a و b عددان عقديان. يكون هذا التحويل كامل الشكل إذا وفقط إذا كان b مساويا للصفر.
المستوى formula_65 منسوب لمعلم متعامد، متجانس (ممنظم) formula_66، التطبيق الذي يربط كل عدد مركب formula_67 جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالنقطة "M" التي زوج احداثياتها 
formula_68 من formula_65، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب formula_70 يسمى 'لحق' النقطة "M" ويرمز له بالرمز formula_71
التطبيق الذي يربط كل عدد مركب جزؤه الحقيقي a وجزؤه التخيلي b بالمتجهة formula_72 من formula_73 التي أفصولها a وأرتوبها b، هو تطبيق تقابلي والعدد المركب formula_70 يسمى 'لحق' المتجهة formula_72.
نظرية التحكم
انظر إلى جريان الموائع.
تستعمل الأعداد المركبة في معالجة الإشارة.
عد من الكسيريات يرسم في المستوى العقدي. على سبيل المثال مجموعة ماندلبرو ومجموعات جوليا.
انظر إلى مبرهنة ماردن وإلى دالة تكعيبية.
لكل معادلة حدودية غير ثابتة وذات معاملات مركبة، كما سبق ذكر ذلك، حل في C. هذه المسألة تبقى صحيحة حتى إذا كانت هؤلاء المعاملات أعدادا كسرية. جذور هذه المعادلات تسمى أعداد جبرية. تشكل الأعداد الجبرية موضوع دراسة أساسي في النظرية الجبرية للأعداد.
انظر إلى حقل (رياضيات) وإلى حقل الأعداد الجبرية وإلى جذور الوحدة (تحليل عقدي) وإلى تساعي (مضلع) وإلى إنشاءات الفرجار والمسطرة وإلى عدد طبيعي غاوسي وإلى مبرهنة فيرما حول مجموع مربعين.
تدرس نظرية الأعداد التحليلية الأعداد الطبيعية والجذرية, مستغلة كونها قابلة للتمثيل على شكل أعداد عقدية. على سبيل المثال، ترتبط دالة زيتا لريمان بتوزيع الأعداد الأولية.
أول إشارة سريعة إلى الجذور المربعة للأعداد السالبة قد تعود إلى أعمال عالم الرياضيات الإغريقي هيرو السكندري, الذي عاش في القرن الأول بعد الميلاد.
انظر إلى جيرولامو كاردانو وإلى المبرهنة الأساسية في الجبر.