質問: n角形のものに引ける数はn/2で求められる、隣り合わない2つの頂点を結んだ線のことを何線という?
回答: 対角線

タイトル: 対角線
対角線(たいかくせん、英: diagonal)は、多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分のうち辺を除く線分のことである。三角形以外の多角形は全て2本以上の対角線を持つ。ある多角形の全ての内角が180度未満であるならば全ての対角線はその多角形の内部に存在し、その逆もまた成り立つ。n≧4の自然数の時、n角形の対角線の本数 d n {\displaystyle d_{n}} は異なるn個の頂点から2点を選ぶ組み合わせから隣り合った2つの頂点同士を結ぶ線(つまり辺)の本数nを引くことで次のように計算できる。正五角形の5本全ての対角線をつなげると五芒星になる。これは5本の線分を用いて辺を共有しない5つの三角形を作る方法としても知られる。正六角形の9本の対角線のうち短い6本を組み合わせた図形はダビデの星の形として有名な六芒星になる。

タイトル: 二等分線
角の二等分線は一つの角を等しい角度に二つに分ける。角の二等分線はただ一つしか存在せず、また、角の二等分線上の点から角を構成する直線への距離は同じになる。二等分したい角を中心に二辺と交わる円弧を描いた後は、二辺との二つの交点から線分の垂直二等分線と同じようにして求めることができる。(図2.)

タイトル: 二角形
幾何学における二角形(にかくけい、にかっけい、英: digon)とは、2つの頂点とその間を結ぶ2つの辺とからなる多角形のことである。2点間を結ぶ辺が一意に定まるユークリッド幾何のような体系における二角形の実現を考えることは困難であるが、曲面上の幾何などいくつかの体系においては二角形を実現することができる。また、一般的な多面体の枠組みにおける退化した面を表しているとも考えられる。

タイトル: ニュートン線
幾何学において、ニュートン線(ニュートンせん)とは、四角形の対角線の中点を結んだ直線のことである。

タイトル: 線分
通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。また、端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

タイトル: 頂点
頂点(ちょうてん、vertex)とは、角の端にある点のことである。多角形では2本の辺が接しているか交わっている点、多面体では3本以上の辺が共有している点のことをいう。直観的には図形の周上にある点のうち周辺のどの点よりも突出していて"尖った点"のことを頂点という。一般にn角形には頂点はn個あり、辺の本数に等しい。座標平面上にある図形ではその頂点を含む範囲で連続であっても微分不可能である。また曲線が極大値や極小値をとる点のことを頂点ということもある。

タイトル: 二等分線
二等分線(にとうぶんせん)とは、2次元の幾何学において、線分や角度を二等分する直線のことである。

タイトル: 円に内接する四角形
内接四角形の頂点が隣り合う順に A, B, C, D であり、各辺の長さを a ≔ AB, b ≔ BC, c ≔ CD, d ≔ DA とするとき、対角線の長さ p ≔ AC, q ≔ BD は辺の長さを用いてと表せる。よって、トレミーの定理も示せる。同じ設定のもと、トレミーの第二定理に従えばである。 対角線の長さの和に関して不等式が成り立つ。ここで等号が成り立つための必要十分条件が、二つの対角線の長さが一致することであるということを、相加相乗平均の関係式を用いて示せる。さらに任意の凸四角形が二つの対角線によって四つの三角形に分割されるが、内接四角形においてそれら四つの三角形の向かい合う対は互いに相似になる。二つの対角線 AC, BD の中点をそれぞれ M, N とすればが成り立つ。ここに点 E, F は向かい合う辺を延長したときにできる交点とする。

タイトル: 中点連結定理
三角形の底辺を除く2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分「中点連結」は、底辺と平行であり、長さは底辺の半分に等しい。また、相似比が1:2の相似な三角形ができる。

タイトル: シュタイナー・レームスの定理
等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。

タイトル: 二十二角形
二十二角形(にじゅうにかくけい、にじゅうにかっけい、icosidigon)は、多角形の一つで、22本の辺と22個の頂点を持つ図形である。内角の和は3600°、対角線の本数は209本である。

タイトル: 多角数
0 番目の多角数は全て、形式的に 0 とみなすことができる。n 番目の p 角数を Pp,n とすると上の図からとなり、したがって Pp,n は等差数列の和この式から、2 番目の p 角数は p であり、3 番目の p 角数は 3(p − 1) であることなどが分かる。なおここで、形式的に「二角数」(p = 2) を考えると、となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、矩形に並べられることができないことからである。

タイトル: 中線
幾何学において三角形の中線(ちゅうせん)とは、三角形の頂点と対辺の中点を結んだ直線である。1つの三角形に中線は3本存在する。3本の中線はその三角形の重心で交わる。重心は中線を2:1の比に分ける。中線は、三角形を等しい面積に分割する。中線以外の三角形を同じ面積に分ける直線は重心を通らない。

タイトル: 星型正多角形
星型正多角形は「n と m は同じ数で割り切れない」「n > 2m」の場合のみ可能であるが、一様多面体の頂点形状をあらわすときには、ある面がほかの面と逆に交差するものはその面を n/(n - m) と表すことがある(たとえば二重三角十二・十二面体の星型五角形:[5, 5/3, 5, 5/3, 5, 5/3] など)。

タイトル: 角度
より広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。角が現れる基本的な図形としては、たとえば三角形や四角形のような多角形(たかくけい、英: polygon)がある。特に三角形は平面図形における最も基本的な図形であり、すべての多角形は三角形の組み合わせによって表現することができる。また、他にも単純な性質を多く持っているため、様々な場面で応用される。有名なものは余弦定理(よげんていり、英: law of cosines)や、三角形の辺の比を通じて定義される三角関数(さんかくかんすう、英: trigonometric function)などがある。

タイトル: ラングレーの問題
整角三角形は、平面上の4点のうち2つずつを結んだ6本の直線同士のなす角度が全て整数であるという意味において、整角四角形に準ずるものとみなされる。

タイトル: 図形の合同
二つの多角形が合同であるためには、それらの辺の数が(従って頂点の数も)等しくなければならない。n-辺形が互いに合同となるための必要十分条件は、それらが持つ n 個の辺と n 個の角を「辺-角-辺-角-...」のように順番に辿る(場合によっては一方を時計回りに、他方を反時計回りに辿ることを許すこともある)とき、それらの数値が数列として一致することである。多角形の合同は、以下のように視覚的に述べることができる:この各ステップの何れかの部分で完遂できないことがあるならば、それらの図形は合同でないことになる。

タイトル: 零角形
ポリゴンの定義によると、零角形は辺も頂点も内角も対角線も存在しない幾何学的形状を指すが、一部の研究では零角形を無辺図または、頂点のない数学的実体と定義し、また零角形を円、または他の頂点のない閉鎖曲線と定義し、一部の図論の研究は揃えを三角形とみなすこともある。近多角形において零角形は頂点を表す。

タイトル: 三角形
三角形の 3つの辺のうちの一つを底辺としたとき、その対頂点から底辺またはその延長に下ろした垂線が、三角形によって切り取られる線分(線分の長さ)を、三角形の高さという。底辺をどの辺と見るかによって、三角形には 3つの高さがある。三角形の高さは、底辺と対頂点の距離に等しい。底辺の中点と、対頂点を結ぶ線分を、三角形の中線という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3本の中線がある。三角形の中線は、三角形の面積を二等分する。底辺を除く 2辺それぞれの中点を結ぶ線分を、三角形の中点連結という。底辺をどの辺と見るかによって、1つの三角形には 3つの中点連結がある。三角形の中点連結は、底辺と平行で、長さは底辺の半分に等しい(中点連結定理)。

タイトル: 外接円
共円奇数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、それが正多角形となることである。共円偶数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、辺の長さが交互に等しい(つまり、各辺に対しそれに隣接する二つの辺同士の長さが互いに等しい)ことである。辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。偶数 n に対する任意の共円 n-角形について、その角を交互に二つの組に分けるとき、それぞれの組に属する角の和をとればそれらは互いに等しい(「奇数番目の角の和」=「偶数番目の角の和」)。このことは n = 4 の場合から数学的帰納法で証明することができる。

タイトル: 辺
辺(へん、英:side(二次元図形)、edge(三次元図形、ただし円柱の辺の様に線分でないものはこう呼ばれない))は、特定の“図形”の中で 1 次元の“部分”となっている、両端に頂点と呼ばれる特別の点を 0 次元の“部分”として含むような線分である。

タイトル: 正多角形
正多角形のすべての頂点は一つの円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。最も角の数が少ないのは正三角形である。三角形では、すべての辺の長さが等しいもの、またはすべての角の大きさが等しいは必ず正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さがすべて等しく、なおかつ角の大きさがすべて等しいものでなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であって必ずしも正四角形(正方形)にはならない。菱形でありなおかつ長方形でもある四角形が正方形である。度数法における正 n 角形の一つの内角の大きさは正 n 角形の面積は一辺を a とするとこの式は、正 n 角形の外心から、各頂点に向けて、線分を引き、n 個の二等辺三角形に分割することで容易に証明できる。

タイトル: 二百角形
二百角形(にひゃくかくけい、にひゃくかっけい、dihectagon)は、多角形の一つで、200本の辺と200個の頂点を持つ図形である。内角の和は13540°、対角線の本数は19700本である。

タイトル: 辺心距離
正多角形の辺心距離の計算方法はいくつも知られている。一辺の長さ s の正 n-角形の辺心距離 a および外半径 R は公式で求められる。あるいはでも辺心距離は求まる。正多角形の一辺の長さ s は辺の数 n と周長 p によって s = p⁄n と表されるから、上記の公式を p と n を使った式に直すこともできる。

タイトル: 座標法
n個の頂点 (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn) から成る自己交差を持たない多角形の面積はただし x0=xn,y0=yn,xn+1=x1,yn+1=y1とする。頂点の順序付けが反時計回りである場合、総和の結果は正であり、絶対値を省略することが出来る。時計回りである場合、総和の結果は負となる。この式はグリーンの定理の特別な場合とみなすことが出来る。a≦t≦bで媒介変数表示された単一閉曲線(x(t),y(t))で囲まれる領域の面積は

タイトル: 正多角形
これはつまり、「正∞角形を円とする」ということである。このような見方をする場合も増えている。正偶数角形(正 2n 角形)の n 組の対辺はすべて平行であるが、正奇数角形ではどの2辺も平行にはならない。※多角形は n 角形とする 三角形の内角の和180°をもとにし式を立てると 180× n 角形 となるがそうすると四角形の内角の和が720°となってしまうので次のように変える 180×( n 角形-2) とすることで内角の和を求められる。一辺の長さが a の正 n 角形の、任意の点から m 番目に近い点までの距離は、この時、m が 1 であれば、辺の長さ、m が 2 であれば、一番短い対角線の長さを表す。角の数が素数 p のものを正p角形と呼ぶ。

タイトル: 頂垂線 (三角形)
高さは三角形の面積の計算にも用いることができる: 三角形の面積は、底辺の長さと頂垂線の長さの積の半分に等しい。したがって、三角形の最長の頂垂線は最短辺に垂直である。また、頂垂線と各辺は三角函数を通じて関係している。二等辺三角形(二つの合同な辺を持つ三角形)において、合同でない辺を底辺として持つ頂垂線は、その辺の中点を足に持つ。また合同でない辺を底辺とする頂垂線は、その頂角の二等分線である。頂垂線またはその長さを表すのにしばしば文字 h(height に由来) が用いられ、対応する頂点を表す記号をしばしば添字として付けてどの頂点からの垂線なのかを表す。直角三角形において、直角を持つ頂点から斜辺 c へ引いた垂線によって斜辺を二つの線分(それぞれ長さ p および q)に分割する。この頂垂線の長さを hc と書けば、なる関係が成り立つ(幾何平均定理(英語版))。

タイトル: 正多角形
正多角形(せいたかっけい、せいたかくけい、regular polygon)とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では n は n ∈ R {\displaystyle n\in \mathbb {R} } を満たす数とする。正多角形は線対称の図形であり、正 n 角形に対称軸は n 本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。

タイトル: 線分
幾何学における線分(せんぶん、英: Line segment)とは、2つの点を通る直線の部分であって、それら2点を含んで間に挟まる全ての点からなるものである。

タイトル: ヴァン・オーベルの定理
任意の四角形の各辺に外接する正方形で、対向する正方形の重心を結んだ2線分は、長さが等しく、直交する。

タイトル: 斜辺
図の直角三角形 ABC において、斜辺の長さ c は直角を挟む二辺の長さ a, b から定まり、平方根を用いると

タイトル: 定和
mから始まる数字で作った場合の定和は 9 n 4 − 18 n 3 + 6 ( m + 2 ) n 2 − 3 ( 2 m + 1 ) n + 2 m 2 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {9n^{4}-18n^{3}+6(m+2)n^{2}-3(2m+1)n+2m}{2(2n-1)}}} となる。一般的な星陣の定和は頂点の数をn としたとき 4n+2 となる。それ以外の形状の場合は「(重複を含めた数の総和)÷(線の数)」で求められる。

タイトル: 頂垂線 (三角形)
鋭角三角形および直角三角形に対しては、すべての頂垂線の足は三角形の(延長線上でない)辺上に載っている。(一つの鈍角を含む)鈍角三角形においては、鈍角を持つ頂点からの垂線は対辺の内部に足を降ろすが、残りの鋭角を持つ二頂点からの垂線はそれぞれの対辺の延長線上(すなわち三角形の外)に足を降ろす。

タイトル: 周長
多角形の周長は、各辺の長さの総和に等しい。特に、一辺が a の正 n 角形の周長は na である。周長の等しい2つの正 n 角形は、互いに合同である。

タイトル: 円外接多角形
多角形の辺数 n が奇数ならば、任意に与えられた辺長の組 a1, ..., an に対して、上記の判定法により、そのような辺長を持つ接多角形がただ一つ存在する。しかし n が偶数の場合には、そのような接多角形は無数 (infinitude) に存在する。例えば、すべての辺が同じ長さを持つ四辺形の場合、任意の角度の鋭角を持つ菱形が作れて、内接円に接する。

タイトル: 平行四辺形
であるが、この4種の線分長には次の関係式が成り立つ。(中線定理)

タイトル: ニュートン線
対向する辺の中点を結んだ2直線の交点は、ニュートン線上にある。

タイトル: 二等分線
線分の二等分線は、その線分の中点を通る。特に、対象の線分と垂直に交差する場合、その二等分線を垂直二等分線という。垂直二等分線上の各点は、対象の線分の両端からの距離が同じであるという特徴を有する。そのため、ボロノイ図における領域の境界線は、各々の母点の二等分線の一部になっている。垂直二等分線は、定規とコンパスにより作図することができる。線分の両端を中心とする同一半径の円弧を描き、各々の円弧の交点と線分を結ぶ。円弧上の交点と線分の各端点によって作成される三角形が合同になることから、円弧上の交点を結ぶ直線が垂直二等分線になる。(図1.)ブラーマグプタの定理によると、円に内接する四角形の対角線が直角に交差する場合、対角線の交点から四角形の一辺に垂線を引いて作られる直線は、その四角形の対辺を二等分する。

タイトル: 角度
1つの定まった値の角度を伴う角とは、平面 α 上の 1 点 O とそれから出る2つの半直線とそれらにより平面 α が分割されて生じる2つの領域の一方 α1 からなる図形と定義できる。ただし後述のように、この定義は数学における主要な定義とは微妙に異なる。2つの半直線が共有する端点 O を角の頂点、ある角の頂点から出る2つの半直線を角の辺という。頂点 O から出る2つの半直線のなす領域 α1 上の、頂点との距離が r 以下の点のみを含む領域を取り出すと、この領域は頂点 O を中心とする半径 r の扇形となる。この扇形の大きさは有限であり、相似な図形の性質から、扇形の弧の長さは半径 r に比例することが知られている。