質問: 江戸時代の数学者・吉田光由が著書『塵劫記』の中で初めて記した、日本の数の単位で最も大きい10の68乗を1とする単位は何?
回答: 無量大数

タイトル: 塵 (数)
日本の『塵劫記』(吉田光由 1627)では、沙(10 = 1⁄1億)の10(= 1⁄10)倍である 10(= 1⁄10億)とし、この値が広く知られている。これは通常の中国の算術書の値に一致する。

タイトル: 恒河沙
日本にも、平安時代には既に中国から非常に大きな数を表す概念として「恒河沙」という語が伝えられていたようであり、一例として、平安時代後期に成立した説話集である『今昔物語』に、数え切れないくらい多くの国の例えで「無量無辺不可思議那由他恒河沙の国土を過ぎ行きて」といった用例が見られる(おそらくは仏典に由来するもの)。数の単位としては、中国から『算法統宗』などの数学書を通して伝わったようであるが、それがいつ頃かはよくわからない。和書の中で、「恒河沙」を数の単位の一つとして正確に定義づけた上で他の用語とともに体系的に説明したのは、江戸時代に執筆され、当時ベストセラーとなった数学書である『塵劫記』が最初である。寛永4年(1627年)の初版では、載までを下数、極以上を万万進としたため、恒河沙は極(10)の万万倍で10となる。

タイトル: 埃 (数)
『塵劫記』(吉田光由 1627)は、塵(10 = 1⁄10億)の10(= 1⁄10)倍の 10(= 1⁄100億)とし、この値が広く知られている。なお、『塵劫記』に載っている小数は「埃」が最小である。国際単位系では0.1ナノまたは100ピコに相当する。中国ではオングストローム(Å = 10 m)を「埃 (拼音: āi アイ)」と呼ぶことがあるが、これはオングストロームの音訳「埃格斯特朗 (拼音: āigésītèlǎng)」または「埃格斯特勒母 (拼音: āigésītèlèmŭ)」の略であり、数の「埃」と直接の関係はない。

タイトル: 塵劫記
『塵劫記』(じんこうき)は江戸時代の算術書。明の程大位の『算法統宗(中国語版)』にヒントを得て、1627年(寛永4年)に吉田光由が執筆した。

タイトル: 那由他
和書の中で、「那由他」を数の単位の一つとして正確に定義づけた上で他の用語とともに体系的に説明したのは、江戸時代に執筆され、当時ベストセラーとなった数学書である『塵劫記』が最初である。寛永4年(1627年)の初版では、載までを下数、極以上を万万進としたため、那由他は阿僧祇(10)の万万倍で10となる。寛永8年版では載までを中数の万進に改めたため、那由他は阿僧祇(10)の万万倍で10となった。寛永11年版で万進に統一され、那由他は阿僧祇(10)の万倍の10となった。ただし、今日でも寛永8年版を根拠に那由他を10とする人もいる。もっとも、京以上の数については指数表記が用いられるのが普通であって実用ではまず用いられないので、極以降の値がどうなっていてもそれほど問題にはならない。那由他の位および前後の位の命数は以下のようになる。

タイトル: 極 (数)
極は、元の朱世傑による『算学啓蒙』において、それまであった載よりも上の位として恒河沙、阿僧祇などとともに登場した。このとき登場した単位は、極以外は仏教用語から取り入れられたものである。当時はすでに中数が使用されており、極は載 (10) の万万倍で 10 となる。漢字一字で表記される単位としては最大のものである。なお、大数には漢字二字で構成される単位は存在せず、この単位の上は「恒河沙」となり、以降は全て漢字三字以上の単位となる(少数には漢字二字で構成される単位がある)。日本では、『塵劫記』の寛永4年(1627年)の初版に初めて登場する。この版では、載までを下数、極以上を万万進としたため、極は載 (10) の十倍で 10 となる。寛永8年版では極までを中数の万進に改めたため、極は載 (10) の万倍で 10 となった。寛永11年版で極以上も万進に統一された。

タイトル: 無量大数
無量大数は、元の朱世傑による『算学啓蒙』において極以上の他の単位とともに初めて登場した無量数に由来する。無量数は仏教用語からとられたものである。当時はすでに中数が使用されており、無量数は不可思議(10)の万万倍で10となる。日本では、『塵劫記』の寛永8年の版で無量大数として初めて登場する。この版では、載までを万進、極以上を万万進としたため、無量大数は不可思議(10)の万万倍で10となる。寛永11年版で万進に統一され、無量大数は不可思議(10)の万倍の10となった。ただし、今日でも寛永8年版を根拠に無量大数を10とする人もいる。『塵劫記』では、版を重ねるごとに「無量」と「大数」の間にできた傷の間隔が広がり、後の版では「無量」と「大数」という別の数とされるようになった。この場合は、「無量」が10、「大数」が10ということになる。

タイトル: 不可思議 (数)
不可思議は、元の朱世傑による『算学啓蒙』において極以上の他の単位とともに初めて登場した。不可思議は仏教用語からとられたものである。当時はすでに中数が使用されており、不可思議は那由他 (10) の万万倍で 10 となる。日本では、『塵劫記』の寛永4年(1627年)の初版に初めて登場する。この版では、載までを下数、極以上を万万進としたため、不可思議は那由他 (10) の万万倍で 10 となる。寛永8年版では載までを中数の万進に改めたため、不可思議は那由他 (10) の万万倍で 10 となった。寛永11年版で万進に統一され、不可思議は那由他 (10) の万倍の 10 となった。ただし、今日でも寛永8年版を根拠に不可思議を10とする人もいる。もっとも、京以上の数については指数表記が用いられるのが普通であって実用ではまず用いられないので、極以降の値がどうなっていてもそれほど問題にはならない。

タイトル: 阿僧祇
数の単位としての初出は、元の朱世傑による数学書『算学啓蒙(中国語版)』であり、それまであった載よりも上の位として、極以上の他の単位とともに登場した。極以外は全て仏典からとられたものである。当時はすでに中数が使用されており、阿僧祇は恒河沙(10)の万万倍で10となる。和書の中で、「阿僧祇」を数の単位の一つとして正確に定義づけた上で他の用語とともに体系的に説明したのは、江戸時代に執筆され、当時ベストセラーとなった数学書である『塵劫記』が最初である。寛永4年(1627年)の初版では、載までを下数、極以上を万万進としたため、阿僧祇は恒河沙(10)の万万倍で10となる。寛永8年版では載までを中数の万進に改めたため、阿僧祇は恒河沙(10)の万万倍で10となった。寛永11年版で万進に統一され、阿僧祇は恒河沙(10)の万倍の10となった。ただし、今日でも寛永8年版を根拠に阿僧祇を10とする人もいる。

タイトル: 無量大数
無量大数(むりょうたいすう)は、漢字文化圏(漢字圏)における数の単位の一つ。漢字文化圏において名前がついている最大のものである。無量大数がいくつを示すかは時代や地域により異なり、また、現在でも人により解釈が分かれる。一般的には10を指すが、10とする人もいる。

タイトル: 塵劫記
命数法や単位、掛け算九九などの基礎的な知識のほか、面積、両替や利息計算などの実用的な計算、平方根・立方根の求め方など少し専門的なものを含めた。これ一冊で当時の日常生活に必要な算術全般をほぼ網羅できる内容であるが、学者ではない者にも理解しやすいように、等比数列をネズミが増える様子に例える(ねずみ算)など身近な話題をもとに解説しているのが特徴である。社会経済の発達に伴い、人々の生活にも基礎的な算術の素養が求められるようになってきた中で出版され、またこれに比肩するような類書がその後も出版されなかったことなどから、同書は版を重ね、江戸時代の算術書のベストセラーかつロングセラーとなった。内容を多少変えた異本が多数出版され、明治時代に至るまで実に400種類以上の『塵劫記』が出版された。同書はまた江戸時代の多くの学者に影響を与えた。

タイトル: 圭 (単位)
圭(けい)は、尺貫法の体積の単位である。撮(弗)の10分の1のことである。したがって、1圭は1勺の1000分の1となり、日本ではメートル法換算で約18.039μLとなる。中国では『孫子算経』、日本では『塵劫記』にみえる単位である。その下の単位は粟である。

タイトル: 密度
3世紀の『孫子算経』の密度表でも「黄金方寸而重一斤」と同じ値が用いられていて銅・鉛・鉄の密度も今日の値に近いが、白金(銀?)は銀とすれば値が1.5倍も大きく、単位の違いなのか誤記なのか、あるいは白金が銀ではない何かをさしていたかはわからない。。江戸時代には密度のことを「軽重」と呼んでいた。吉田光由の『塵劫記』の初版本(寛永八年:1627年)は、1595年の中国算書『算法統宗』の密度表を書き写した値が載っている。しかし中国書と日本は共に尺貫法を使っていたが、単位の大きさは違っていた。それなのに数値をそのまま引き写したので、その値は正しいものではなかった。たとえば銀の密度は正しい値の1.8倍も大きくなってしまった。吉田光由は密度そのものの物理的な関心が無かったことを示している。このような間違いの引き写しは江戸時代の他の和算書にも見られる。

タイトル: 埃 (数)
中国の『算学啓蒙』(朱世傑 1299)は、万万進に則っているので、埃は塵(万万進では 10 = 1⁄1京)の10(= 1⁄1億)倍の 10(= 1⁄1秭)とする。なおこの文献を『算学啓蒙』ではなく『算法統宗(中国語版)』(程大位 1592)とする資料があるが、誤りと思われる。

タイトル: 那由他
那由他は元は仏教用語で、サンスクリット語の「ナユタ」を音訳した、「極めて大きな数量」(新村出編 『広辞苑』第三版)の意味である。法華経の「化城喩品(けじょうゆほん)」や「如来寿量品(にょらいじゅりょうほん)」などに、「五百四十万億那由他劫、大通智勝仏の寿命は五百四十万億那由他劫」「百千万億那由他阿僧祇劫、百千万億那由他阿僧祇劫の時間」といったような用例が見られる。「万億那由他」「百千万億那由他」は上数の用法である。なお、『華厳経』の中では、後述のように現在一般的な命数法とは別の定義となっている。数の単位としての初出は、元の朱世傑による数学書『算学啓蒙(中国語版)』であり、それまであった載よりも上の位として、極以上の他の単位とともに登場した。極以外は全て仏典からとられたものである。当時はすでに中数が使用されており、那由他は阿僧祇(10)の万万倍で10となる。

タイトル: 命数法
日本でいう兆(10)は「万億」といい、京以上については、例えば 10 は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾と朝鮮半島では植民地時代に、日本の命数法(万進)が導入されていたので、兆は 10 であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、10を「triệu」(兆)、10を「tỷ」(秭)と呼ぶ。これは下数にあたる。『塵劫記』での命数は以下のようになっている。位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。以下の表に各方式での大数の命数法を示す。なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。3文字以上の単位は、インドから由来したものが多い。

タイトル: 塵 (数)
中国の『算学啓蒙』(朱世傑 1299)は、沙の10(= 1⁄1億)倍の 10(= 1⁄1京)とする。なおこの文献を『算学啓蒙』ではなく『算法統宗』(程大位 1592)とする資料があるが、誤りと思われる。

タイトル: 吉田光由
京都の豪商角倉家の一族。久庵と号す。角倉了以は外祖父にあたる。初の和算家・毛利重能に師事した。のち一族の角倉素庵のもとで中国の程大位による数学書『算法統宗(中国語版)』の研究を行い、それをもとに1627年(寛永4年)、著書『塵劫記』を出版した。同書は絵を多用し基礎から応用まで容易に学習出来るように書かれた数学入門の模範と評価された。また、兄と共に北嵯峨に角倉隧道を開いた。晩年には失明し、75歳で没した。

タイトル: 命数法
極以上の単位は基本的に中数(万進・万万進)のみで使われ、下数や上数で使われることはなかったが、ただ日本の『塵劫記』初版で極以下を下数としており、それによれば極は10ということになる。日本では、1627年(寛永4年)の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが、極以下が下数、恒河沙以上を万万進の中数(恒河沙=10、阿僧祇=10、那由他=10、不可思議=10)としていた。1631年(寛永8年)の版では極以下が万進(恒河沙以上は万万進のまま)に改められ、それとともに算学啓蒙・算法統宗にあった不可思議の上の無量数も無量大数という名称として組み込まれた。そして1634年(寛永11年)の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。読み方の例を以下に示す。アラビア数字が使われる場合は、英語のように3桁ごとにコンマが入れられる。

タイトル: 沙
沙(しゃ)は、10(1億分の1)であることを示す漢字文化圏における数の単位である。塵の10倍、繊の1/10に当たる。国際単位系では0.01マイクロまたは10ナノに相当する。漢字としては「小さい砂」を意味しており、北宋のものと言われる謝察微の『算経』に小数の名として見え、その後の算術書にも記されてはいるが、現実に使われることはほとんどない。

タイトル: 六乗数
整数の六乗数を列記すると以下の通り。ここには、西洋の命数法において重要な十進法の数10(100万)、100(1兆)、1000(100京)が含まれる。

タイトル: 正 (数)
正(せい)は漢字文化圏における数の単位の一つ。正がいくつを示すかは時代や地域により異なるが、現在一般的に行われている万進法では 10 を示す。

タイトル: 溝 (数)
『塵劫記』では2の119乗を計算する問題があり、答に「溝」が現れる。溝の位および前後の位の命数は以下のようになる。上数は数が非常に多いので、一部のみを表示している。

タイトル: 尺貫法
例えば、「3町」ではなく「3町歩」のように、また、2町4反歩、6反8畝歩のように言う。町よりも大きな面積については、一辺1里の正方形の面積を示す「方里」( = 1555.2町≒15.423 km)を用いる。体積・容積の単位(度量衡の「量」)は、升を基本の単位とする。升の大きさは時代や地域によって大きく異なる(詳細は升を参照のこと)が、升と他の単位との関係はほとんど古代から変わっていない。日本で升が現在の大きさになったのは江戸時代のことである。勺未満の単位に関しては、抄(才)・撮・圭・粟(いずれも単位ごとに10分の1となる)という単位が『塵劫記』などの書物に載っており、さらにその下には黍・秕といった単位が存在するが、これらは日本の旧計量法施行法では定義されていない。土砂などについては、6尺立方に相当する立坪(単に坪とも)が用いられる。また、1立方尺を才とも言う。

タイトル: 埃 (数)
埃(あい)は、小数を表す10番目の漢数字である。謝察微『算経』や程大位『算法統宗』では「塵」までを大きな字で示し、「埃」以下は小さく記すのみである。現実には使われない。塵の1/10、渺の10倍

タイトル: 尺貫法
江戸時代初期の慶長小判は京目一両を基準として量目が定められたが、後の貨幣改鋳により含有率や質量の劣る小判が発行されるようになり、質量単位と通貨単位との乖離はさらに拡大した。ちなみに、一番新しい五円硬貨は3.75g(一匁)である。漢数字としての小数を表す文字である「分」(ぶ)は、数値としては⁄10を表し、厘は⁄100を表し、毛は⁄1000を表す。例えば、長さの単位としては寸の⁄10が1分(ぶ)、質量の単位としては匁の⁄10が1分(ふん)となる。これらの分・厘・毛は、計量法施行法(昭和26年法律第208号)で定義されていた。なお、日本では⁄10を表す歩合として「割」があった。そこで「割」の⁄10を「分」、割の⁄100を「厘」とする用法が普及した。例えば、0.325を3割2分5厘と表現する。この用法のために、分が1/100を、厘が1/1000を意味すると誤解されることがある。

タイトル: 抄
抄(しょう)は、尺貫法の体積の単位である。勺の10分の1と定義される。したがって、1抄はメートル法換算で約1.8039ミリリットルとなる。中国では『孫子算経』、日本では『塵劫記』などの文献にみえる単位であるが、升と同音衝突のため日本では才という場合がある(ただし、才は同じく体積の単位で立法尺を表すため、薬種業等取り扱い単位量が比較的小さい業態のいくつかのみ抄を才と呼び代えていた)。抄以下の単位には、撮、圭、粟などの単位がある。

タイトル: 和算
江戸時代の古老が「太閤検地の頃は算木を使った」と回想しており、また『塵劫記』の開平計算が算木による方法に近いことから、江戸時代直前まで算木が優勢であったと思われる。そろばんの導入時期は不明であるが、毛利重能の『割算書』(1622年(元和8年))では珠算が解説されている。近年、和算の成立に、宣教師が伝えたヨーロッパ数学の影響が有るとする見解が有るが、その当否は、今後の数学史研究の課題である。江戸時代に日本の数学は大いに発展した。このきっかけになったのが1627年(寛永4年)、京都の吉田光由によって書かれた『塵劫記』である。明代の算術書『算法統宗(中国語版)』を模範としたもので、そろばんの使用法や測量法といった実用数学に加え、継子立て・ねずみ算といった数学遊戯が紹介されている。『塵劫記』はベストセラーとなり、初等数学の標準的教科書として江戸時代を通じて用いられた。

タイトル: 程大位
中国の明代は、昔の高等数学書が失われて数学が衰微していたという(理由として太祖洪武帝朱元璋による大商人・知識人そして書物への弾圧を挙げる説もある)。そんな中、幼少期から数学を好んで、壮年時には華中各地の数学者を訪ねたり、江南の旅では数学書を捜し求めたりしたという。その後、徽州府休寧県に定住。前述の「算法統宗(中国語版)」は、呉敬による「九章算法比類大全」(1450年)の強い影響を受けた書で、「九章算術」のスタイルで既存の中国数学を扱っており、独創性自体は少ないという指摘もある。しかし、当時ベストセラーになった。坊間刻本(民間刊行書)だけでも数十種にのぼると言われている。この書を当時ご朱印船貿易をしていた豪商の角倉一族が入手し、一族の和算家の吉田光由にわたった。光由は、数多くの絵を入れた算術の入門書「塵劫記」(1627年)を出版する際に参考にしたともいわれる。