質問: 古代ギリシャの数学者の名前がついた「ヘロンの公式」とは、三角形の三辺の長さから三角形の何を求める公式?
回答: 面積

タイトル: エジプト数学
エジプト数学の幾何学は、円の面積の近似値、角錐台の体積を求める公式、半球の表面積を求める方式などの業績を残した。角錐についての公式は、ピラミッドの建設に用いられている。モスクワ・パピルスには、切頭体の体積を求める最古の例の1つがある。

タイトル: 円積問題
キオスのヒポクラテス(英語版)は円積問題に取り組む過程で、いくつかの三日月形(2つの円弧で囲まれた領域)の正方形化を達成している。ソフィストのアンティポンは、円に内接する正多角形に注目した。多角形は正方形化できるので、円の内接多角形の辺の数を倍々に増やして円を正多角形で埋めつくせば円と同じ面積の正方形を求められると彼は主張した。それに対する懐疑的な見方は当時から存在し、ロドスのエウデモスは、"magnitudes cannot be divided up without limit, so the area of the circle will never be used up." (「数量というものは無限分割不可能なのであり、故にその円の面積は決して尽くされはしないのだ」)と反論した。円積問題はアリストパネスの喜劇『鳥』の中にまで登場している。

タイトル: 数学史
ピティスクス (Bartholomaeus Pitiscus) がこの語を、1595年に出版した『三角法』(Trigonometria) で最初に使用した。レギオモンタヌスの正弦および余弦の表は1533年に出版された。

タイトル: ピタゴラスの定理
直角三角形の斜辺の長さが c で、残りの2辺の長さが a と b であるとき、ピタゴラスの定理により次の等式が常に成り立つ。ここで a, b, c のいずれも正であるから、2辺の長さだけが既知のとき、残りの辺の長さはそれぞれ次のように計算できる。この定理の一般化は余弦定理であり、他の2辺の長さとその間の角度が与えられると、任意の三角形の任意の辺の長さを計算できる。他の辺の間の角度が直角の場合、余弦定理はピタゴラスの方程式に帰着する。

タイトル: ヒポクラテスの定理
ヒポクラテスの定理(ヒポクラテスのていり、英語: Hippocrates's theorem)とは、幾何学の定理である。ヒポクラテスの三日月(lune of Hippocrates)ともいう。数学者キオスのヒポクラテス(英語版)に因んで名づけられた。数学的に計算された正確な面積を持つ最初の曲線図である。

タイトル: ペントミノ
8×8 の正方形の中央に 2×2 の穴がある形は1958年にデイナ・スコットにより解が65個であることが求められている。

タイトル: 数学の哲学
また同様の理由で、2は数ではなく、1対(つい)という基本概念であるとする議論が行われた。この理解は、「直線・辺・コンパス」という、たぶんに幾何学的なギリシアの視点に由来している。その視点とは、幾何学的問題において描かれたいくつかの線が最初に描いた任意の長さの線との比で測定されるのと同様に、数からなる線上に置かれたそれぞれの数は、任意の初めの「数」つまり1との比で測定される、というものである。これらの初期のギリシアの数の概念は、後になって、2の平方根が無理数であるという発見によって、打ち倒された。ピタゴラスの門人であるヒッパソスは、単位正方形の対角線は、その辺と通約不能であることを示した。換言すると、彼は、単位正方形の対角線とその辺の比を正確にあらわす(有理)数が存在しないことを証明した。これが原因となり、ギリシアの数学の哲学は再検討されることとなった。

タイトル: 正弦定理
正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

タイトル: ナポレオンの問題
上に示したナポレオンの問題は、中心が未知の円が与えられたとき、コンパスのみを用いて四つの等しい弧に分割するという真のナポレオンの問題よりも簡単である。 以下では、真のナポレオンの問題の解とその略証を記す。

タイトル: 方法 (アルキメデスの著書)
三角形の質量中心は、アルキメデスにより次の方法で簡単に求めることができる。中線が三角形のいずれかの頂点から反対側の辺Eに引かれる場合、三角形は支点とみなされる中点で釣り合う。その理由は、三角形がEに平行な無限小の線分に分割される場合、各線分は中線の反対側で等しい長さを持ち、対称性により均衡する。この議論は無限小である線の代わりに小さな長方形を使う取り尽くし法により簡単に厳密なものにすることができ、これはアルキメデスが『平面の釣合について』で行っている。したがって、三角形の質量中心は中線上の交点にあるはずである。問題の三角形の場合、1つの中線はy = x/2で、2番目の中線はy = 1 − xである。

タイトル: 立方体倍積問題
メナイクモスは、機械的手段でこの問題を解いたが、プラトンから、純粋に数学的な方法で解決していないと非難された (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)。これが、紀元前350年代の『シシュポス』の中で、この問題が未解決問題として引用された原因かもしれない。この問題の解決の模索の大きな進歩は、キオスのヒポクラテス(英語版)が、この問題は、ある線分と2倍の長さの別の線分の2つの比例中項を求める問題と等価であると発見したことだった。近代風に言うと、長さaと2aの与えられた線分において、立方体の複製は次を満たす長さrとsの線分を見つけることと等価である。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。方程式 x − 3x + d/4 = 0(正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする)の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。ここで (nk) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。

タイトル: リュイリエの定理
リュイリエの定理(英: L'Huilier's theorem) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年にスイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。

タイトル: シピオーネ・デル・フェッロ
シピオーネ・デル・フェッロ(Scipione del Ferro、1465年2月6日 - 1526年11月5日)はイタリアの数学者で、三次方程式の解法を考案したことで知られる。

タイトル: 余弦定理
ユークリッド原論の第2巻命題12では、△ABC を γ が鈍角の鈍角三角形としたときが成り立つことと、命題13で鋭角三角形の場合が示されている。ユークリッド原論では余弦関数は使われていないが、辺の長さを用いて余弦定理と本質的に同じ命題が示されている。イスラム世界では 10世紀に活躍した天文学者であり数学者のアル・バッターニーは、これらの結果を球面幾何学にまで広げ星の間の距離を測定した。15世紀には、アル・カーシーが精密な三角関数表を作成し、余弦定理を三角測量に使いやすい形にした。このためフランスでは余弦定理のことを アル・カーシーの定理 (Théorème d'Al-Kashi) と呼ぶ。西洋での余弦定理は16世紀にフランソワ・ビエタによって独自に発見されたことで有名になり、19世紀初頭から現代のような数式で書かれるようになった。

タイトル: 二次方程式の解の公式
二次方程式に解を与える最初期の方法は幾何学的であった。バビロニアの楔形文字で書かれた文字板には二次方程式を解くことに単純化可能な問題が含まれていた。エジプト中王国の時代(紀元前2050年 - 紀元前1650年)にまで遡る、エジプトのベルリンパピルス(英語版)には二項の二次方程式の解が含まれていた。古代ギリシアの数学者ユークリッド(およそ紀元前300年)は原論という自身の著作の中で二次方程式を解くのに幾何学的方法を使った。原論は非常に大きな影響を与えた数学の学術文献である。およそ紀元前200年の中国の九章算術には二次方程式に対する解法が登場する。古代ギリシアの数学者ディオファントス(およそ紀元前250年)は、自身の著作算術において二次方程式を解いたが、彼の手法はユークリッドの幾何学的手法と比較してより代数学的であったとされる。

タイトル: 角の三等分問題
例えば、60° の三等分(即ち 20° の角の作図)の不可能性は複素数を使うことにより比較的単純に示すことができる。定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、(目盛りなしの)定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく疑似数学(英語版)的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。

タイトル: 藤村の三角形問題
が上界になる(床関数は、k(k − 2) が1番目の場合3の倍数であり、3番目の場合3で割って2余ることに注意して取り扱うことができる。Clément と Bader が改善を行ったのは2番目の場合のみである)。k0(>3)本の直線の場合に完全な解が分かったとすると、それ以外の全ての ki についても、完全な解となる三角形の個数を求めることができる。ここでであり、D. Forge と J. L. Ramirez Alfonsin による手続きに従う。例えば、k0 = 5 からは k = 5,9,17,33,65,... のときに作れる最大の三角形の個数が求められる。

タイトル: エミール・ルモワーヌ
彼の論文では、ヘレニズム時代にペルガのアポロニウスが提起したアポロニウスの問題の例について論じられた。これは、与えられた3つの直線に接する円を作図する方法を問う問題であった。この問題は、1816年にジョゼフ・ディアス・ジェルゴンヌが単純度400の作図で解決したが、ルモワーヌの提案する解法の単純度は154だった。現在では、1936年のフレデリック・ソディによるものや2001年のデヴィッド・エプスタインによるもの等、より単純な解法の存在が知られている。1894年、ルモワーヌは、現在「ルモワーヌの予想(英語版)」として知られる予想を提案した。これは、3より大きい全ての奇数は、pとqを素数として、2p + qの形で表せるというものである。

タイトル: マチンの公式
マチンの公式に類似した式は比較的探しやすいため、非常に多くの形の式が見つかっている。この節では、その中のほんの一部を紹介する。複素数を用いたマチンの公式の証明と同様の計算を用いるなどして、計算機を用いて公式を探索していくことも可能である。オイラーによる公式(1748年)ヤコブ・ハーマン (Jacob Hermann,1678 - 1733) による式ハットン(Charles Hutton,1737 - 1823)による式(1776年)ガウスによる公式(1863年)ストーマー (Fredrik Carl Mulertz Stormer, 1874-1957) による公式 (1896年)高野喜久雄による公式(1982年)シムソン(Robert Simson;1687生, 1768没; 初等幾何学のシムソン線の発見者)による公式

タイトル: ピタゴラスの定理
このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が伝えられているが、この定理はピタゴラスが発見したかどうか正確には判っていない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。

タイトル: 円積問題
与えられた円に対し、それに近い面積の正方形を近似的に求める方法はバビロニアの数学者にも既に知られていた。紀元前1800年頃のエジプトのリンド数学パピルスには、直径が d {\displaystyle d} の円の面積は 8 2 9 2 d 2 {\displaystyle {\frac {8^{2}}{9^{2}}}d^{2}} 、即ち 64 81 d 2 {\displaystyle {\frac {64}{81}}d^{2}} だと記載されている。シュルバ・スートラにはインドの数学者による近似の手法(精度は劣るが)が記録されている。また、インドの数学者たちは与えられた正方形に対して、それに近い面積の円を近似的に作図する方法も与えている。古代ギリシアで円の正方形化に最初に取り組んだのは、イオニア学派のアナクサゴラスだとされている。

タイトル: ライプニッツの調和三角形
ライプニッツの調和三角形(ライプニッツのちょうわさんかっけい、英: Leibniz harmonic triangle)とは、有理数をある一定の規則で三角形状に並べたものである。ゴットフリート・ライプニッツが、級数の和に関連して研究した。パスカルの三角形に類似した性質をいくつか有する。

タイトル: 数学史
ここから、現在1分が60秒、1時間が60分、および円が360度 (60 × 6) の用法が由来している。60には多くの約数があるという事実により、バビロニア数学の進歩が促進された。また、エジプト、ギリシア、ローマ数学と異なり、バビロニア数学は正しい位取り記数法を持ち、左の列に書かれる数字が、十進法より大きな値を示す、しかしながら、小数点に相当するものが欠けているため、数字によって実際に表されている数値はしばしば文脈から推論しなければならなかった。エジプト数学は、エジプト語で書かれた数学を示す。ヘレニズム時代から、エジプト人学者の記述言語としてギリシア語はエジプト語に代わり、この時点からエジプト数学はギリシアおよびバビロニア数学と融合しヘレニズム数学となった。 エジプトでの数学研究は後に、イスラム帝国のもとイスラム数学の一部として続き、アラビア語がエジプト人学者の記述言語となった。

タイトル: 定規とコンパスによる作図
ギリシアの三大作図問題:ギリシア時代の数学者たちによって次の3つの作図が定規とコンパスによって可能か、という問いが立てられた現在ではこれらは全て定規とコンパスのみでは作図できないことが証明されている。1837年にヴァンツェルは、角の三等分問題と立方体倍積問題は三次方程式を解かなくてはならないことを示した。非自明な三次方程式の根によって生成される体は拡大次数が 3 になってしまい、そのような数を座標にする点は作図できない。倍積問題はある線分を2の3乗根(無理数)倍に伸ばす方法の導出、円積問題は、方程式 x = πr の解を求めることと同値である(π は円周率)。1882年に、リンデマンにより π が超越数であることが証明され、作図が不可能であることが示された。

タイトル: 藤村の三角形問題
藤村の三角形問題(ふじむらのさんかっけいもんだい、英: Kobon triangle problem)は離散幾何学の未解決問題で、藤村幸三郎により初めて述べられた。この問題は、平面上に k 本の直線を引くときに重なり合わずに作ることのできる三角形の最大数 N(k) を求めるものである。ユークリッド平面ではなく射影平面で考え、三角形はその3辺以外の直線と交わらないこと、という条件を課す変種もある。

タイトル: ネウシス作図
ネウシス作図は、ギリシアの数学者によって古くから使われてきた作図法である。

タイトル: 三角法
その他の三角法としては、非ユークリッド空間における双曲平面上において展開される双曲三角法(hyperbolic trigonometry)や、fractional trigonometry などがある。双曲平面上においても直線、長さ、角に相当する概念がある。双曲幾何学においても、三角関数と双曲線関数によって余弦定理や正弦定理が記述される。双曲幾何学においては、上述の球面三角法における基本的な公式に対応する公式が基本公式となり、他はすべてこれから導出される。

タイトル: フェルマー点
フェルマー点(フェルマーてん、トリチェリ点・等角中心とも呼ばれる)は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。

タイトル: ヘロンの公式
ただし、四面体の頂点を O, A, B, C とすると、 l 1 = | OA | {\displaystyle l_{1}=|{\text{OA}}|} , l 2 = | OB | {\displaystyle l_{2}=|{\text{OB}}|} , l 3 = | OC | {\displaystyle l_{3}=|{\text{OC}}|} , l 4 = | AB | {\displaystyle l_{4}=|{\text{AB}}|} , l 5 = | BC | {\displaystyle l_{5}=|{\text{BC}}|} , l 6 = | CA | {\displaystyle l_{6}=|{\text{CA}}|} .