質問: 「サモスの賢人」とも称された古代ギリシャの数学者の名がついた「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」という定理を何という?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: 三角法
ヘレニズム時代のアレクサンドリアの数学者は、おそらくは上述のような精緻な観測記録を利用して、円における円周角とそれによって定義される弦の長さとの関係に関する体系的な研究を始めた。プトレマイオスによると、前2世紀、ニカイアのヒッパルコスが7・1/2°刻みの円周角と弦の長さの表を作成したという。ヒッパルコスは作成した数表を用いて、球面を平面にステレオ投影し、球面上の幾何学的な問題を解こうとしたとみられる。これに対して、1世紀のアレクサンドリアのメネラウスは、球面三角法を概念化した。2世紀のプトレマイオスはメネラウスの球面三角法の考え方を天文学に応用した。プトレマイオスは、大著『アルマゲスト』の第1巻11章に詳細な三角法に関する表(英語版)を示した。これは本質的にはヒッパルコスのものと同じく、円周角とその弦長の関係を示したものであるが、より正確であり、また、はるかに使いやすかった。

タイトル: タレス
タレスは「半円に内接する角は直角である」という定理を証明した最初の人物とされる(この定理はタレスの定理と呼ばれる)。タレスの定理自身はいわゆる円周角の定理の特別な場合である。タレスの「幾何学の五定理」ともいわれ、以下の5つで構成される:

タイトル: 角の三等分問題
例えば、60° の三等分(即ち 20° の角の作図)の不可能性は複素数を使うことにより比較的単純に示すことができる。定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、(目盛りなしの)定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく疑似数学(英語版)的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。

タイトル: 立方体倍積問題
メナイクモスは、機械的手段でこの問題を解いたが、プラトンから、純粋に数学的な方法で解決していないと非難された (Plut., Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef)。これが、紀元前350年代の『シシュポス』の中で、この問題が未解決問題として引用された原因かもしれない。この問題の解決の模索の大きな進歩は、キオスのヒポクラテス(英語版)が、この問題は、ある線分と2倍の長さの別の線分の2つの比例中項を求める問題と等価であると発見したことだった。近代風に言うと、長さaと2aの与えられた線分において、立方体の複製は次を満たす長さrとsの線分を見つけることと等価である。

タイトル: 三角測量
今日では三角測量は、測量、航海、計量学、位置天文学、両眼視(英語版)、モデルロケット、兵器の照準といった多目的に使用されている。三角形を利用して距離を測定するのは古代に遡る。紀元前6世紀の古代ギリシアの哲学者タレスは、ピラミッドの影の長さを測り、また同時刻における自分自身の影の長さを測って、自分の身長との比から相似な三角形を使ってピラミッドの高さを測定していた。また崖の上から沖に見える船までの距離を、横方向にある既知の滝までの見通し水平距離を測り、これを崖全体の高さまで拡大することにより測定していた。こうした方法は古代エジプト人にも知られていた。これより1000年ほど古いリンド数学パピルスに出てくる問題57番では、傾きを距離と高さの比で定義しており、今日の勾配の逆数に当たる。傾きと角度は、後のアラブのアリダードの前身である、ギリシア人がディオプトラ(英語版)と呼ぶ測定棒で測った。

タイトル: コスモス (宇宙観)
古代ギリシャのピタゴラスは、宇宙を指すのに「kosmos コスモス」という語を用いた最初の哲学者だと言われている。この背景を説明すると、古代ギリシャでは「コスモス」という言葉は、調和がとれていたり秩序がある状態を表現する言葉であり、庭園・社会の法・人の心などが調和がとれている状態を「kata kosmon(コスモスに合致している)」と表現した。同学派の人々は、数を信仰しており、存在者のすべてがハルモニアやシンメトリアといった数的で美的な秩序を根源としていると考えゆえに、この世界はコスモスなのだ、と考えてそう呼んだ。このように見なすことにより同学派の人々は、一見すると不規則な点も多い天文現象の背後にひそむ数的な秩序を説明することを追及することになった。その延長上にプロラオスやエウドクソスらによる宇宙論がある。

タイトル: デカルトの円定理
互いに接する円の問題に対する関心は古く、紀元前三世紀のギリシャ人であるペルガのアポロニウスが多くの論述を残している。1643年、ルネ・デカルトはプファルツ公女エリーザベトへの手紙の中でこの問題を詳細に研究し、後述する式(1)と本質的に同じ結果を得た。フレデリック・ソディが1936年に式(1)を再発見し Nature に発表したため、この問題で扱われる4つの円はソディの円(英: Soddy circles)と呼ばれる。フレデリック・ソディはこの問題を球へと拡張し、さらにソロルド・ゴセは任意の次元へと拡張した。

タイトル: アルキメデス
1408)の間にあるという結果を得た。また彼は、円の面積は半径でつくる正方形に円周率を乗じた値に等しいことを証明した。『球と円柱について』では、任意の2つの実数について、一方の実数を何度か足し合わせる(ある自然数を掛ける)と、必ずもうひとつの実数を上回ることを示し、これは実数におけるアルキメデスの性質と呼ばれる。『円周の測定』にてアルキメデスは3の平方根を⁄153(約1.7320261)と⁄780(約1.7320512)の間と導いた。実際の3の平方根は約1.7320508であり、これは非常に正確な見積もりだったが、アルキメデスはこの結果を導く方法を記していない。ジョン・ウォリスは、アルキメデスは結論だけを示し、後世に対して方法をそこから引き出させようとしたのではと考察している。球の体積は無限小・積分を用いることで公式を発見した。

タイトル: オイラーの定理 (平面幾何学)
三角形におけるオイラーの定理(オイラーのていり)とは、三角形の内接円と外接円の半径と内心と外心の距離の関係を表した定理である。レオンハルト・オイラーは、1765年にこの関係について述べているが、William Chapple は同じ関係式を1745年に発表している。このため、Chappleの定理・Chapple-オイラーの定理などとも呼ばれる。

タイトル: 丸山良寛の定理
初等幾何学および和算における丸山良寛の定理(まるやまりょうかんのていり)は、円に内接する四角形(共円四角形)の中にできる特定の三角形の内心が長方形を描くことを述べる。名称は、藤田嘉言編『続神壁算法』において出羽国の鶴岡山王神社に丸山良玄の門人・丸山鉄五郎良寛の名で奉納された算額として紹介されていることに由来する。ヨーロッパへは三上義夫が(中国人数学者より伝え聞いたとする任意の共円多角形に対する一般化された形で)定理を紹介したため、Japanese theorem(日本(人)の定理)の名で知られる。