質問: 数学で、xが2倍、3倍となるとき、yも2倍、3倍となるなら、xとyの関係は何と呼ばれる?
回答: 比例

タイトル: 相関
相関(そうかん 英:correlation)とは、一方が変化すれば他方も変化するように相互に関係しあうことであり、数学や物理学においては二つの変量や現象がある程度相互に規則的に関係を保って変化することをいう。因果性はあっても無くても構わない。広義には、統計的に何らかの関連性があることを言うが、実際には二変数における線形性相関の程度を指す。例えば「親の身長が高いほうが子供の身長も高い」「勉強時間が長いほうがテストの成績も上がる」などの傾向が身近な相関現象である。相関は、実践で活用できる予測的な関係性を示してくれるため実用性がある。例えば、電気事業者は電力需要と天候との相関関係に基づいて、過ごしやすい気温の日には電力を少なめに発電したりもする。この例では、猛暑や厳寒といった極端な天候は人々が大量に電気を使う原因となるため因果関係にあたる。

タイトル: 2の立方根
2 の立方根(にのりっぽうこん)は、立方(3乗)して 2 になる数である。すなわち、を満たす数 r のことである。 2 の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。

タイトル: 等式
このように、相等性は反射律、対称律、推移律を満たすため、相等性は同値関係の一種であり、また「相等性とは代入原理を満足する同値関係のことである」と言っても(冗長だが)定義と同じことである。等式は数学において最も基本的な同値関係を与えるものであると見ることができる。ここで、見かけ上異なるものが等しいものを表したり、表記の都合などから見かけ上同じに見えるものが別の対象を指し示したりすることがあるため、何かが等しいというためには各辺にどのような対象をとるか、対象が何者であるかということを明確にしなければならないということを意識する必要がある。場合によっては相等といわず、同値、同型、合同などと呼んで、等号の代わりにそれぞれ特有の記号を用いることもある。代入原理はもう少し一般に、対象 ai, bj が、

タイトル: 量
一般に同じ種類の量同士の間では和と差の演算が定義でき、結果は同じ種類の量になる。異なる種類の量同士の和や差には意味がない。同じ種類の量同士でも異なる種類の量同士でも積や商が定義できることがあり、その結果は演算した量のどちらとも異なる種類の量になる。例えば長さ同士の積は面積であり、長さの時間による商は速さである。このように異なる種類の量同士の間に特定の関係式が成り立つことがあるが、そのような関係式の解析は次元という概念を使うと簡単になることがある。量の次元とは、相異なる量の間の関係式から具体的数値を無視して量の種類とそのべき乗だけに着目した概念である。具体的には定数係数を無視した等式として、次元の関係式を表す。すなわち、量 q の次元を[ q ]と表せば、以下のようないくつかの次元の関係式が例示できる。

タイトル: 反対称性
反対称性(はんたいしょうせい)とは数学で、ある要素にある変換を施した結果が、元の要素に逆符号を付けたもの(実数でいえば絶対値が同じで正負が逆)と等しくなる、という性質をいう。対象分野によっては交代性(こうたいせい)または歪対称性(わいたいしょうせい)とも呼ばれる。このような要素を「その変換に対して反対称である」という。変換によって変化しない「対称性」に類似した性質であり、対称性・反対称性とも全くない「非対称性」とは異なる。反対称性の要素に変換を複数回施すと、元と同じになる。

タイトル: 関数 (数学)
二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則(x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する)が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列(特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い)を使って y = f (x) と書いて、x = a を代入したときに決まる関数の値を f (a) と表す。しかしここで、定数関数の例に示されるように、個々の y の値について対応する x の値が一つに決まるとは限らない事に注意しなければならない。この f (x) という表記法は18世紀の数学者オイラーによるものである。

タイトル: 切片 (数学)
特に一次関数においては、この a および b をそれぞれ x切片、y切片と呼ぶ。特に中学数学における一次関数y=ax+bにおいては、bがそのままy切片となるが、単に切片と略すことが多い。x切片が a、y切片が b の一次関数の方程式はこの方程式は、x = 0 のとき y = b、y = 0 のとき x = a であるから、定義を満足することが分かる。

タイトル: 圏同値
数学、とりわけ圏論において、圏同値(けんどうち、英: equivalence of categories)とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。

タイトル: 二変数関数
z=f(x,y)で、ただ1つのzが求まれば、二変数関数であると言える。例えば、f(x,y)=xy⇒f(2,3)=f(3,2)=6といった具合である。二変数関数のグラフは空間になる。縦がy、横がx、高さがz=f(x,y)とするのが慣例である。

タイトル: 二変数関数
二変数関数(にへんすうかんすう、Bivariate_function)とは、2つの数の組に対して、ただ1つの数が求まる関数をいう。x、y、zを変数とすると、z=f(x,y)となる。

タイトル: 相関
ただし一般には、相関があっても因果関係があるとは言い切れない(すなわち相関関係は因果関係を含意しない)。本質的に相関とは、2つ以上の変数が互いにどの程度関わり合っているかの尺度である。幾種類かの相関係数があり、多くの場合 ρ {\displaystyle \rho } または r {\displaystyle r} で表記される。統計学では、主に二変数の線形性相関に着目して関係性の強弱を係数で表しており、その最も一般的な尺度がピアソンの積率相関係数である(より堅牢なスピアマンの順位相関係数などは非線形相関にも対応する)。

タイトル: 相関係数
相関係数は、あくまでも確率変数の間にある線形な関係の尺度に過ぎない。また、確率変数間の因果関係を説明するものでもない。相関係数は順序尺度であり比尺度ではないので、例えば「相関係数が0.2と0.4であることから、後者は前者より2倍の相関がある」などと言うことはできない。しばしば、相関があるという表現が、あたかも因果関係を示しているかのように誤解あるいは誤用される。2つの変数(A,B)間に相関が見られる場合、偶然による相関を除けば、次の3つの可能性が想定される(相関と因果の違いに関する誤解・誤用において目立つのは、3番目の場合である)。因果的な効果の推定ににあたっては、単に相関を見るだけでは分からない。ジューディア・パールやドナルド・ルービンなどによってまとめられてきた統計的因果推論などに則った調査研究を実施する必要がある。

タイトル: 二次形式
数学における二次形式(にじけいしき、英: quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。例えば、変数が 2個の二次形式はの形である(x, y が変数)。二次形式は数学のいろいろな分野(数論、線型代数学、群論(直交群)、微分幾何学(リーマン計量)、微分位相幾何学(四次元多様体の交叉形式)、リー理論(キリング形式)など)で中心的な位置を占める概念である。

タイトル: 反比例
反比例(はんぴれい、英: inverse proportionality)とは、2つの量があってそれらの一方が他方の逆数に比例していることをいう。量 A, B について A ∝ B が成り立つとき、あるいは同じことだが、定数(比例定数)k を用いてが成り立つとき、「A は B に反比例する (inversely proportional)」と言う。反比例のことを逆比例(ぎゃくひれい)ともいう。A が B に反比例するとき、A と B を入れ替えても同様のことが成り立つので、「A と B は(互いに)反比例の関係にある」と言うこともある。またこのとき、入れ替えたあとの比例定数は入れ替える前のものと等しい;反比例の記号として ∝ を用いることがある; A ∝ B:= A ∝ B 。本項では数学の用語について主に説明し、それ以外は「その他」にまとめている。

タイトル: 偶奇性
数学における偶奇性(ぐうきせい、英: parity; パリティ)とは、ある対象を偶(ぐう、英: even)と奇(き、英: odd)の二属性のいずれか一方に排することである。しばしば、ふたつ(以上)の対象に対して、それらの偶奇性が一致しないことを以って、それらが相異なるということの理由付けとするというような議論に用いられる場合がある。同様の性質を示す概念に「正負」があるが、正負には(しばしば特異なものを表す)零(0)をあわせた三属性とする場合もある。

タイトル: 二項関係
定義から、グラフ G がまったく同じになるような関係があっても、始集合 X や終集合 Y が異なれば、それらは相異なる別の関係である。たとえば G = {(1,2), (1,3), (2,7)} を共有する三つの関係 (Z, Z, G), (R, N, G), (N, R, G) はそれぞれ異なる関係を表す。ただし、関係の定義に始集合 X や終集合 Y を考慮しない流儀も一般的である。この場合、二項関係とは X × Y の部分集合であるグラフ G そのものをいうのに相違ない。このような立場では、対の集合{(1,2), (1,3), (2,7)} は {1, 2} を含む任意の始集合から {2, 3, 7} を含む任意の終集合への関係を表す。この差異を、関係の特別な場合として写像の概念に適用する場合を考えよう。

タイトル: 双対問題
双対問題(そうついもんだい、英: dual problem)とは、数学において、最適化問題における主問題(英: primary problem)の補問題を指す。どちらか一方の解法が両方の問題の解法となる。

タイトル: 三次方程式
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数 p, q からとなる数 x, y を求めるという、比の問題に帰せられた。メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題はの形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。

タイトル: 0.999...
初等的な証明の中で 0.333... = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999... = 1 であることを容認できない生徒に受け入れさせるための、最も有効な手段であるかのように見える。しかしながら、第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める者も現れるし(後述も参照)、または単に不満を抱くだけの生徒もいる。これより簡潔で有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999... を含めてさらに進んだ数学の結果に驚いたとしても、なお直観的な想像に頼ってしまうことがある。例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333... = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算の理解に基づいて 0.999... < 1 であると主張した。別の生徒は、1/3 = 0.333.

タイトル: 互いに素
互いに素とは、数学の複数分野で使われる用語である。

タイトル: 複偶数
複偶数(ふくぐうすう、英: doubly even number)または全偶数(ぜんぐうすう)とは、2で割った数が偶数となる数である。4の倍数。複偶数でない偶数を単偶数(または半偶数)と呼ぶ。

タイトル: 相関関係と因果関係
相関関係と因果関係(そうかんかんけいといんがかんけい)では、相関関係と因果関係の関わりについて解説する。相関関係があるだけでは因果関係があるとは断定できず、因果関係の前提に過ぎない。「相関関係は因果関係を含意しない」は、科学や統計学で使われる語句で、2つの変数の相関が自動的に一方がもう一方の原因を意味するというわけではないことを強調したものである(もちろん、そのような関係がある場合を完全に否定するものではない)。全く逆の言葉である「相関関係は因果関係を証明する」は誤謬であり、同時に発生した2つの事象に因果関係を主張するものである。このような誤謬は虚偽の原因の誤謬と呼ばれる(ラテン語では「Cum hoc ergo propter hoc.」、直訳すると「それとともに、そしてそれ故に」)。前後即因果の誤謬は、2つの事象に順序関係があることが前提であり、「虚偽の原因の誤謬」の一種である。

タイトル: 相当算
方程式が未知数をxなどの文字に置き換えるのに対して、相当算は比の1と実際の数量との関係で考える。式で表すと「1」=bとなるようにする。これを求めるために、両辺が等しければ両辺の数を加減乗除してもその関係は変わらない(0の除法は不可)という性質を利用する。ごく簡潔な例で言うと、100gで250円の肉と150gで300円の肉の値段を比較する際に1グラムあたりの値段で比較するために一方の関係を100で、もう一方の関係を150で割るのと同じ方法である。

タイトル: 累乗数
m, n のいずれかを固定した場合には、Schinzel と Tijdeman の一般的な不定方程式 y = P(x) に関する結果から従い、x, y のいずれかを固定した場合には一般の線形循環数列に関する Shorey と Tijdeman の結果から従う。3, 7, 8, 15, ... など、1 を除く累乗数から 1 を引いた数の逆和は、1 になる。すなわち、である。これは、ゴールドバッハ・オイラーの定理と呼ばれている。

タイトル: 二次関数
次数が2の多項式によって定義される関数のことを x を独立変数とする二次関数という。特に b = c = 0 のときは、「二乗に比例する関数」とも言う。上記の標準形では、二次関数の頂点の座標は一般的に ( x , y ) = ( − b 2 a , − b 2 − 4 a c 4 a ) {\displaystyle (x,\,y)=\left(-{\frac {b}{2a}},\,-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)} となる。の形に表された二次関数を一般形(いっぱんけい、standard form)という。式変形によって一般形に変形できる関数も二次関数と呼ばれ、特にの形の二次関数を標準形(ひょうじゅんけい、vertex form)といいの形の二次関数を因数分解形(いんすうぶんかいけい、factored form)もしくは単に分解形という。

タイトル: 乗法定理
数学におけるガンマ函数関連の特殊函数の乗法定理(じょうほうていり、英: multiplication theorem)は、それぞれの函数が持つある種の恒等式を言う。特にガンマ函数の場合、明示的に値の積に関する等式が与えられるのでこの名がある。これら様々な関係式の根底には同じ原理が横たわっている。つまり一つの特殊函数に対する関係式は他の特殊函数の関係式から導き出すことがでるということであり、またそれは単に同じ等式の別の顔が現れたものと言うことである。

タイトル: 完全関係
完全関係(英: Total relation)とは、数学における二項関係の一種。集合 X における二項関係 R が「完全」であるとは、X に属する全ての a および b について、aRb かbRa が成り立つ(あるいは両方成り立つ)ことをいう。数学的に記述すると次のようになる。これには反射関係が含まれる点に注意されたい。例えば、「- 以下」という関係は実数の集合において完全関係である。なぜなら、任意の2つの実数を選んだとき、前者が後者以下となるか、後者が前者以下となるかのどちらかが必ず成り立つからである。一方、「- 未満」は完全関係ではない。同じ数を選んだとき、両者には「- 未満」という関係は(どちらの順序でも)成り立たないためである。順序関係については、詳しくは順序集合を参照されたい。「(A は B の)真部分集合である」という関係も完全関係ではない。

タイトル: ヤコビ恒等式
数学におけるヤコビ恒等式(ヤコビこうとうしき、英語: Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

タイトル: 三角形
ある2つの三角形について、以下の条件のうち1つでも満たしていれば、その2つの三角形は相似である。「三辺比相等」については、三角形の3辺の連比が等しいことを指す場合もある。よりこれらは同値である。ただし、日本の初等中等教育においては、3連比を導入していない段階では、この表現は避けられることがある。特に、正三角形、直角二等辺三角形は、3つの内角の組が一定であるから、それぞれが互いに相似である。