質問: 江戸時代の数学者・吉田光由が著書『塵劫記』の中で初めて記した、日本の数の単位で最も大きい10の68乗を1とする単位は何?
回答: 無量大数

タイトル: 塵劫記
後に和算の大家となった関孝和や儒学者の貝原益軒なども、若いころ『塵劫記』で独習していた。また学者のみならず、懇切丁寧な説明と非常に多い挿絵のおかげで、民衆にも広く愛された。以上のように讃美する向きもあるが、実際のところ、円周率として全く何の典拠・計算法の説明も無く単に「3.16」という値を掲載し、和算の数学的進歩(特に「円理」)にもかかわらず前述のように本書はそのまま再版され続けたことなど、むしろ当時の「数学者(和算家)」と「民衆(の算術)」の乖離を示している。書名の『塵劫記』は天竜寺の長老玄光がつけたものであり、蓋し塵劫来事糸毫不隔の句に基づく。法華経の「塵点劫」(この世の土を細かく砕いて粉にしたものを千の国を通るたびに一粒ずつ落としていき、その砂がなくなるまでに通る国の数のことで、数えきれないくらい大きな数のたとえ。

タイトル: 十進法
他のN進数から十進数に変換する場合は、「十進数→他のN進数」の場合と同じく、整数はそのまま十進数に変換し、小数部分は十の累乗数を他のN進数に換算した値を掛けると求められる。(例)六進数 122.3224(十進冪指数で 2 ÷ 6)以上から、122.3224(6) ≒ 50.5679(10) となる。(例)二十進数 2B.62(長さ、質量、倍率など)以上から、2B.62(20) = 51.305(10) となる。

タイトル: 漢数字
釐は厘に、毫は毛に、絲は糸になった。江戸時代、歩合の基本単位は 1/10 を表す割であった。現代人が 1/100 を表すパーセントを使うのに近い。この時、3.26 寸を「三寸二分六厘」というように、3.26 割を「三割二分六厘」といった。慣用句の五分五分および九分九厘は、それぞれ 0.5 対 0.5 および 0.99 という意味である。1902年に設置された国語調査委員会により学術的に基礎調査された報告書に以下がある。

タイトル: 二十進法
二十進法(にじっしんほう、英: vigesimal)は、20 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 分 (数)
数の単位としての分(ぶ、ぶん)は、主として尺貫法において、十分の一を表す分量単位である。割と共に使われることに起因して、分が1/100を表す単位であるとの誤解が多い(#百分の一を意味するとの誤解)。そもそも「分」は、「八」+「刀」の会意であり、刀で左右に(八)に切りわける意味を表す漢字である。分は小数の分量単位としては最大のものである。

タイトル: 瞬息
瞬息(しゅんそく)は、10(1京分の1)であることを示す漢字文化圏における数の単位である。須臾の1/10、弾指の10倍に当たる。国際単位系では0.1フェムトまたは100アトに相当する。朱世傑『算学啓蒙』(値が異なる)や程大位『算法統宗』に見えるが、現実には使われない。なお、瞬息という言葉には、「瞬間にする息のように短いもの」という意味がある。

タイトル: 積算基準
第8冊(算数度量)、第9冊(諸積)には江戸初期に流行した吉田光由の『塵劫記』等からの直接の引用があり、建築積算技術には数学的知識が結びついていたといえる。これらは今日の数量積算にも通じる内容ともいえ、直角や多角形に関する数学的知識は屋根勾配の把握に役立ったのであろうし、面積や体積や度量衡に関するそれは設計や資材の取引に不可欠な知識であったとみられる。また、大工がその製作に直接関わった升の大きさの記述なども当然の如く含んでいる。1700年代の初頭にかけて、幕府は入札制度に改良を加え現代に近いものとするが、改革によりマイナス面も出てきており、その頃の新井白石の武家諸法度には「入札は一見公平に見えるが、そうではない。談合と賄賂がある」と書かれている。

タイトル: 一進法
一進法(いっしんほう)とは数の表現方法の1つで、1を底とする非標準的な記数法である。その名に反し、N 進法で N を 1 にしたものとは異なるが、後述のように両者に関係はある。

タイトル: ローマ数字
数字の上部分に「 ̄」・左右に「|」をそれぞれつけて10万倍を表すこともあった(上と左右の線をくっつけて表記することも多い)。たとえば10(X)を10万倍した数=1000000 (100万) は、「X」と表記する。その後、他の文明との接触により変わった表記法が現れた。1世紀、プリニウスは著書『博物誌』で83000を「LXXXIII.M」と表記した。83.1000 (83の1000倍) という書き方である。同じ文書中に、XCII.M (92000)、VM (5000) という表記もある。この乗算則はしばらく使われたようである。1299年に作成された『王フィリップ4世の財宝帳簿』では、5316を「VmIIIcXVI」と表した。漢数字の書き方によく似ている。ただしこれらの乗算則は現在は使われない。1000を超える数の表記法に混乱があるのは一般人は巨大な数を扱う機会がなかったためと考えられる。

タイトル: 砂粒を数えるもの
これを億まで数えることにより、P から P × 10 までの数を「第2期第1級の数」と呼び、以下同様にして「第2期第億級の数」まで考えると、その最後の数は P である。P から P までの数は総称して「第2期の数」と呼んだ。以下同様にして、「第億期の数」まで考えた。その最後の数はである。これは、1 の後に 0 が8京個並んだ数であり、古代においてテトレーションレベルに接近するほどの巨大な数を想定した数少ない例となっている。以上のように、アルキメデスの数の体系は万を基本としており、英語などの千進法ではなく、現代のギリシア語、中国語、日本語の万進法と共通点がある。アルキメデスはまた、後で行う 10 の冪乗の計算のために、指数法則に相当する事実に言及している。

タイトル: 日本のメートル法化
日本のメートル法化(にっぽんのメートルほうか)は、1885年のメートル条約加盟と1891年の度量衡法公布により始まり、(旧)計量法により1959年(昭和34年)に完全実施された。従来の尺貫法に基づく単位も一部で慣例的に使われることがある。

タイトル: 2の平方根
バビロニアの粘土板 YBC 7289(紀元前2000 - 1650年頃)に、2 の平方根の近似が六十進法で 4 桁の精度で与えられている。これは十進法では 6 桁の近似精度である。古い時代のうちで精度の高い近似としてほかに、古代インドの数学者によるものが知られており、シュルバ・スートラ(紀元前800 - 200年頃)では、2 の平方根が「基準の長さ (= 1) からその三分の一だけ増やし、さらにこの三分の一のそのまた四分の一から、この四分の一の三十四分の一だけ取り去ったものを加える 」として与えられている。これはつまり、を与えていることになる。無理数はピタゴラス教団のメタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。

タイトル: 兆
「兆」は古く『書経』に見えているが、「兆民」や「億兆」という語で天下の多くの人々を意味する用法があるだけで、具体的な数としては現れない。後の注釈では具体的な数が割り当てられ、億の上の位とされたが、十億とされたり、万億とされたり、万万億とされたりした。10倍ごとに位取りの名称を定める下数で「兆」は 10、上数では兆は億 (10) の億倍で 10 を指し、中数の万万進では上数と同じく 10、万進では億の万倍で 10 となった。日本では江戸時代に万進に統一されたので 10 となり、 となり、かつて日本統治下にあった台湾・韓国でも 10 となった。中国では、万進と万万進が統一されることなく近代化が始まってしまったため、あまり使われていなかった「兆」以上の単位については混乱が生じた。中華人民共和国では10 のことは「万億(万亿)」という。

タイトル: 貫
貫(かん)は、尺貫法における質量の単位、また江戸時代以前の通貨の単位である。質量単位の貫は、1000匁に当たり、明治時代に正確に 1貫 = 3.75 kg と定義された。江戸時代の一貫は分銅および定位貨幣の実測によれば平均して3.736 kgで年代を通じてほぼ一定であったが、江戸時代後期(19世紀以降)にやや増加して3.75 kgを超えたという。通貨単位の貫は、1000文、100疋に相当する。これらを区別するため、質量単位の方を貫目(かんめ、一貫分の目方の略)、通貨単位の方を貫文(かんもん)という場合もある。貫は現代日本では、計量法上の「非法定計量単位」であり、取引・証明に使用することは禁止されている(計量法第8条第1項、罰則は第173条(50万円以下の罰金))。貫の1000分の1である匁は、平仮名表記の「もんめ」として「真珠の質量の計量」に限定して使用することができる。

タイトル: 礒村吉徳
礒村 吉徳(いそむら よしのり、? - 1711年2月11日(宝永7年12月24日))は、江戸時代初期に活躍した数学者。文蔵、喜兵衛とも名乗った。号は泥竜、琢鳴である。1660年頃に書かれた『算法闕疑抄』の作者で知られている。また、本来ならば代数を使用しなければ解けない問題でさえ、そろばんで解いたことからそろばんの名人でもあった。

タイトル: 中国の数学
彼は劉徽の円周率演算式(96角形)を使ってそれを1万2288角形に適用し、小数点以下7桁までの正確な円周率の値(3.1415926<π<3.1415927)を得た。これは以後900年にわたって利用可能な最も正確なπの近似値となった。彼はまた自分の天文学と数学の仕事においてこの無理数を分数で近似化するために何承天の調日法を使って、円周率の近似値となる良い分数の密率 355 113 {\displaystyle {\tfrac {355}{113}}} を得た。三上義夫は、1585年にオランダの数学者Adrian Anthoniszoomがそれを再発見するまで、ギリシャ人もヒンズー教徒もアラブ人もこの近似分数について知らず、「それゆえ中国人はヨーロッパよりも丸一千年以上早く、全ての小数値の中で最も精緻なものを持っていた」と述べている。

タイトル: 十六進法
十六進法(じゅうろくしんほう、 英: hexadecimal)とは、16を底(てい)とし、底およびその冪(べき)を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 分 (数)
どの単位の1⁄10になるかは、その基準となる単位(「基準単位」)によって決まっており、以下のとおりである。以上のように固定されているので、「分」は単に小数の1⁄10を意味するだけでなく、様々な計量単位として使われる。したがって、一分が0.1寸なのか、0.1文なのか、0.1匁なのか、0.1度なのか、それとも0.1割なのかは同時に用いられる基準単位によって決まる。実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」、「二匁四分六厘」、「三十六度五分」、「三割二分六厘」のように複名数となる。現代的な表現が「2.34寸」のような単名数であるのとは異なる。以下、「分」がよく使われる個別の単位について述べる。なお、現在の日本の計量法では、計量単位としての分は、特殊の計量の場合であっても、取引・証明における使用は一切禁止されている。長さの単位としての「分」は、寸の1⁄10 である。寸が約30.

タイトル: プラクティカル数
数論において、プラクティカル数 (practical number; 実際数) もしくはパナリズミック数 (panarithmic number; 汎数的数) とは約数の和でその数より小さな正の整数すべてが表せる自然数である。例えば、12は約数1,2,3,4,6を持ち、1から11までの整数は、1,2,3,4,6の和として表せるため、12はプラクティカル数である。(5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1, 11 = 6 + 3 + 2)プラクティカル数の数列はオンライン整数列大辞典の数列 A005153に記載されており、1202年、フィボナッチは算盤の書で、エジプト式分数として有理数を表す問題にプラクティカル数を用いた。

タイトル: 元禄文化
こうしたなかにあって、佐瀬与次右衛門『会津農書』は地域限定の農書であることをみずから断っているが、別編として、農業技術の要点をおぼえやすい和歌1,700首で表現した『歌農書』をともない、領内の人々への啓蒙を図っていることが注目される。数学では、検地や築城・灌漑治水・新田開発などの土木工事、商工業をはじめとする経済活動がさかんになるなかで、測量や商売取引などの必要から和算が発達した。日常の計算機として中国から算盤(そろばん)が輸入され、国内で改良が加えられてひろく普及した。毛利重能は元和8年(1622年)に『割算書』を著し、角倉了以の一族に生まれた吉田光由は中国の数学書を入手し、これを参考にして珠算をもとにした和算書『塵劫記』を寛永4年(1627年)に刊行した。『塵劫記』は多くの人に読まれ、寺子屋の教材ともなり、300種にのぼる異本がつくられたといわれている。

タイトル: 物理定数
00015)×10 という意味である(不確かさを参照)。また、光速度などの定義値とされているものは、SI基本単位の定義定数やその値を元に定まるものなので不確かさは無い。

タイトル: 逡巡
逡巡(しゅんじゅん)は、10(100兆分の1)であることを示す漢字文化圏における数の単位である。模糊の1/10、須臾の10倍に当たる。国際単位系では0.01ピコまたは10フェムトに相当する。朱世傑『算学啓蒙』(値が異なる)や程大位『算法統宗』に見えるが、現実には使われない。なお、逡巡という言葉には、「ためらい」などの意味がある。

タイトル: 自然数
 も処理の中で使われることから、自然数というよりは整数の範疇である。19世紀のドイツの数学者レオポルト・クロネッカーが「整数は神の作ったものだが、他は人間の作ったものである」という言葉を残し、正の整数が自然な数と考えた頃から、自然数という用語が定着したとされる。

タイトル: 極 (数)
極(ごく)は漢字文化圏における数の単位の一つ。極がいくつを示すかは時代や地域により異なる。現在日本で一般的に行われている万進法では 10 を指す。

タイトル: 自己記述数
基数10において、6210001000は以下の理由で自己記述数である。

タイトル: 十進化時間
十進数に慣れている人々にとっては、「1年は12か月」「1日は24時間」で4の倍数や6の倍数が端数になり易く、3分割が難しい上に、4分割も2桁が必要になり、「520秒は何分か」「1時47分から5時24分までは何分あるか」といった時間の計算は難しい。そこで、10の冪乗で単位を設定すれば、時間の計算が易しくなる。例えば1分を十進数の100秒とすれば、520秒が5.2分(5分20秒)であることはすぐに判る。

タイトル: 漢数字
漢数字は小数の位があり、先進的であった。十進小数は算木で容易に表せる。しかし大数の位と比べると、成立したのは遅かった。秦は中国統一後、度量衡の単位も以下のように統一した。その後、度の分、量の合、衡の銖のそれぞれ下位に以下の単位が加わった。これらは小数に近い考えだが、度量衡それぞれで異なる小単位があった。劉徽は、『九章算術』の注釈において、75 平方寸を開平し、8.660254 寸と求め、これを「八寸六分六釐二秒五忽、五分忽之二」と書いている。絲は秒になっている。唐後期に、衡の兩の下位に以下の単位が加わった。これにより、整数部に度量衡の単位を付け、小数部は分、釐、毫、絲、忽を使うようになり、汎用的な小数になった。15.92 寸は「一尺五寸九分二釐」、15.92 錢は「一兩五錢九分二釐」であり、0.92 を表す「九分二釐」は共通である。後に日本ではいくつかの単位は使う字が変わった。

タイトル: 計量法に基づく計量単位一覧
計量法に基づく計量単位一覧(けいりょうほうにもとづく けいりょうたんい いちらん)は、日本の計量法体系で定める物象の状態の量と法定計量単位の一覧である。

タイトル: 十三進法
十三進法(じゅうさんしんほう、tridecimal)は、13 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 廣田虎之助
廣田 虎之助(ひろた とらのすけ、1866年10月30日(慶応2年9月22日) - 1918年(大正7年)2月6日)は、日本の数学者、教育者。小学校での実験的研究成果をもとに、小学生に計算方法を教える教育法として聚楽式算術教授法を提唱した。現場教師の研究の自由を主張し、日本における実験的な教育研究の先駆者の一人である。

タイトル: 十進化
これは後にSI接頭語として、2021年現在までに20種類が制定されている。中国では紀元前から1丈=10尺=100寸、1斗=10升=100合といった十進化度の高い単位系が使われていた。1尺の長さは時代によって変化したが、お互いの10の冪の関係は変わらなかった。籌算を解説する複数の数学書が書かれ、そのなかで現代の十進小数のように用いられた。この単位系は東アジアに広く伝わり、日本では尺貫法の元になった。時間の単位である分、時、日、月などは十進化されていない。フランス革命時に十進化時間、十進化暦が制定されたがいずれも普及しなかった。

タイトル: 劫
同じ『法華経』寿量品にも同様の説明があるが、五百千万億那由多阿僧祇の三千大千世界を粉にして五百千万億那由多阿僧祇の国土をすぎて捨てていき、捨て初めから捨て終わりまでの一切の土地を抹して出来た粉を「一塵一劫」と換算した長時の昔に釈尊が成道していた、と述べている。これらは劫を説明したものではないが、前者を三千塵点劫、後者を五百塵点劫と呼ぶ。算術書『塵劫記』の書名はこの話に由来する。

タイトル: 二十四進法
二十四進法(にじゅうよんしんほう)とは、24 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: アルキメデス
ジェーロ王(英語版)(ヒエロン2世の息子)を始めそのような数は無限と言える膨大なものとしか捉えられない中、アルキメデスはミリアド(英語版)(希: μυριάς)という古代ギリシアで10,000を表す単位を元に大数単位を設定し、最終的に宇宙を埋める砂の数は 10(1000那由他)を超えないと結論づけた。また、ゼロの対極にある無限集合の概念に、到達していたらしいという新しい資料が発見されている。