質問: 辺の数と対角線の数が同じである唯一の多角形は何角形でしょう?
回答: 五角形

タイトル: 多角形
初等幾何学における多辺形(たへんけい、英: polylateral)または多角形(たかっけい、英: polygon; [ˈpɒlɪɡɒn])は、閉折れ線(英語版)あるいは閉曲線を成す、線分の閉じた有限鎖で囲まれた平面図形を言う。多角形を構成するこれら線分をその多角形の辺 (edge, side) と呼び、それらの二つの辺が交わる点をその多角形の頂点 (vertex, corner) と呼ぶ。n 個の辺を持つ多角形は n-角形 (n-gon) あるいは n-辺形 (n-lateral) と呼ぶ。例えば三角形は三辺形である。多角形は、より一般の任意次元における超多面体の二次元の例になっている。多角形に関する基本的な幾何学的概念は特定の目的に応じて様々な方法で適応されてきた。

タイトル: 多角形
多角形は第一義的にその辺の数で分類できる。n 個の辺を持つ多角形は n-角形あるいは n-辺形と呼ぶ。多角形をその凸性あるいは凹性によって特徴付けることができる:

タイトル: 多角形
数学においてはしばしば有界な閉折れ線や自己交叉を持たない単純多角形に限って問題にするため、そのようなもののみ多角形と呼ぶこともある。他方、多角形の境界が自分自身と交わることを許す流儀もあり、その場合星型多角形やその他の自己交叉多角形(英語版)が形作られる。その他の多角形の一般化については後述。多角形 (polygon) の語は、「多い」を意味する希: πολύς (ラテン転写: polús) と「角」(カド)を意味する希: γωνία (ラテン転写: gōnía, cōnía) に由来する。二つの相隣る (adjacent) 辺とそれらの交点としての頂点の成す幾何学的対象が角(カク、平面角)で、その大きさを測る数値(測度)を角度(角の測度)と呼ぶ。

タイトル: 九角形
九角形(きゅうかくけい、きゅうかっけい、英:nonagon、enneagon)は、多角形の一つで、9本の辺と9個の頂点を持つ図形である。内角の和は1260°、対角線の本数は27本である。

タイトル: 十六角形
十六角形(じゅうろくかくけい、じゅうろっかっけい、hexadecagon)は、多角形の一つで、16本の辺と16個の頂点を持つ図形である。内角の和は2520°、対角線の本数は104本である。

タイトル: 三十二角形
三十二角形(さんじゅうにかくけい、さんじゅうにかっけい、triacontadigon)は、多角形の一つで、32本の辺と32個の頂点を持つ図形である。内角の和は5400°、対角線の本数は464本である。

タイトル: 七十八角形
七十八角形(ななじゅうはちかくけい、ななじゅうはちかっけい、heptacontaoctagon)は、多角形の一つで、78本の辺と78個の頂点を持つ図形である。内角の和は13680°、対角線の本数は2925本である。

タイトル: 十四角形
十四角形(じゅうよんかくけい、じゅうよんかっけい、tetradecagon)は、多角形の一つで、14本の辺と14個の頂点を持つ図形である。内角の和は2160°、対角線の本数は77本である。

タイトル: 七百二十角形
七百二十角形(ななひゃくにじゅうかくけい、ななひゃくにじゅうかっけい)は、多角形の一つで、720本の辺と720個の頂点を持つ図形である。内角の和は129240°、対角線の本数は258120本である。

タイトル: 七十二角形
七十二角形(ななじゅうにかくけい、ななじゅうにかっけい、heptacontadigon)は、多角形の一つで、72本の辺と72個の頂点を持つ図形である。内角の和は12600°、対角線の本数は2484本である。

タイトル: 十七角形
十七角形(じゅうしちかくけい、じゅうななかっけい、heptadecagon)は、多角形の一つで、17本の辺と17個の頂点を持つ図形である。内角の和は2700°、対角線の本数は119本である。

タイトル: 九十七角形
九十七角形(きゅうじゅうしちかくけい、きゅうじゅうななかっけい、enneacontaheptagon)は、多角形の一つで、97本の辺と97個の頂点を持つ図形である。内角の和は17100°、対角線の本数は4559本である。

タイトル: 四十一角形
四十一角形(よんじゅういちかくけい、よんじゅういちかっけい、tetracontahenagon)は、多角形の一つで、41本の辺と41個の頂点を持つ図形である。内角の和は7020°、対角線の本数は779本である。

タイトル: 三百角形
三百角形(さんびゃくかくけい、さんびゃくかっけい、trihectagon)は、多角形の一つで、300本の辺と300個の頂点を持つ図形である。内角の和は53640°、対角線の本数は44550本である。

タイトル: 百二十角形
百二十角形(ひゃくにじゅうかくけい、ひゃくにじゅうかっけい、hecatonicosagon)は、多角形の一つで、120本の辺と120個の頂点を持つ図形である。内角の和は21240°、対角線の本数は7020本である。

タイトル: 六百角形
六百角形(ろっぴゃくかくけい、ろっぴゃくかっけい、hexahectogone)は、多角形の一つで、600本の辺と600個の頂点を持つ図形である。内角の和は107640°、対角線の本数は179100本である。

タイトル: 十一角形
十一角形(じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、hendecagon)は、多角形の一つで、11本の辺と11個の頂点を持つ図形である。内角の和は1620°、対角線の本数は44本である。

タイトル: 対角線
対角線(たいかくせん、英: diagonal)は、多角形上の異なる2つの頂点同士を結ぶ線分のうち辺を除く線分のことである。三角形以外の多角形は全て2本以上の対角線を持つ。ある多角形の全ての内角が180度未満であるならば全ての対角線はその多角形の内部に存在し、その逆もまた成り立つ。n≧4の自然数の時、n角形の対角線の本数 d n {\displaystyle d_{n}} は異なるn個の頂点から2点を選ぶ組み合わせから隣り合った2つの頂点同士を結ぶ線(つまり辺)の本数nを引くことで次のように計算できる。正五角形の5本全ての対角線をつなげると五芒星になる。これは5本の線分を用いて辺を共有しない5つの三角形を作る方法としても知られる。正六角形の9本の対角線のうち短い6本を組み合わせた図形はダビデの星の形として有名な六芒星になる。

タイトル: 五十六角形
五十六角形(ごじゅうろくかくけい、ごじゅうろっかっけい、pentacontahexagon)は、多角形の一つで、56本の辺と56個の頂点を持つ図形である。内角の和は9720°、対角線の本数は1484本である。

タイトル: 六十角形
六十角形(ろくじゅうかくけい、ろくじゅうかっけい、hexacontagon)は、多角形の一つで、60本の辺と60個の頂点を持つ図形である。内角の和は10440°、対角線の本数は1710本である。

タイトル: 三十五角形
三十五角形(さんじゅうごかくけい、さんじゅうごかっけい、triacontapentagon)は、多角形の一つで、35本の辺と35個の頂点を持つ図形である。内角の和は5940°、対角線の本数は560本である。

タイトル: 五十二角形
五十二角形(ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon)は、多角形の一つで、52本の辺と52個の頂点を持つ図形である。内角の和は9000°、対角線の本数は1274本である。

タイトル: 三十九角形
三十九角形(さんじゅうきゅうかくけい、さんじゅうきゅうかっけい、triacontaenneagon)は、多角形の一つで、39本の辺と39個の頂点を持つ図形である。内角の和は6660°、対角線の本数は702本である。

タイトル: 二角形
幾何学における二角形(にかくけい、にかっけい、英: digon)とは、2つの頂点とその間を結ぶ2つの辺とからなる多角形のことである。2点間を結ぶ辺が一意に定まるユークリッド幾何のような体系における二角形の実現を考えることは困難であるが、曲面上の幾何などいくつかの体系においては二角形を実現することができる。また、一般的な多面体の枠組みにおける退化した面を表しているとも考えられる。

タイトル: 四十四角形
四十四角形(よんじゅうよんかくけい、よんじゅうよんかっけい、tetracontatetragon)は、多角形の一つで、44本の辺と44個の頂点を持つ図形である。内角の和は7560°、対角線の本数は902本である。

タイトル: 四十五角形
四十五角形(よんじゅうごかくけい、よんじゅうごかっけい、tetracontapentagon)は、多角形の一つで、45本の辺と45個の頂点を持つ図形である。内角の和は7740°、対角線の本数は945本である。

タイトル: 五十七角形
五十七角形(ごじゅうしちかくけい、ごじゅうしちかっけい、pentacontaheptagon)は、多角形の一つで、57本の辺と57個の頂点を持つ図形である。内角の和は9900°、対角線の本数は1539本である。

タイトル: 五角形
五等辺五角形は5つ辺が同じ長さの五角形である。しかし、五角形の5つの内角は値の0~180度の範囲を取ることができるため、複数の五角形の集まりを形成することが可能である。また、正五角形も5つの辺全てが等しいため五等辺五角形と言える。共円五角形は、外接円と呼ばれる円が、すべての5つの頂点を通過している五角形である。正五角形は、共円五角形の一つである。共円五角形の面積は、規則的であるかどうかに関係なく、係数が五角形の辺の関数である七次方程式の根の1つの平方根の4分の1として表すことができる。有理数の辺と有理数の面積を持つ循環五角形が存在する。これは、ロビンスの五角形(英語版)と呼ばれている。ロビンスの五角形の対角線はすべて有理数またはすべて無理数でなければならないことが証明されており、すべての対角線は有理数でなければならないと推測される。直角五角形は直角の角を持つ五角形である。

タイトル: 六十四角形
六十四角形(ろくじゅうよんかくけい、ろくじゅうよんかっけい、hexacontatetragon)は、多角形の一つで、64本の辺と64個の頂点を持つ図形である。内角の和は11160°、対角線の本数は1952本である。

タイトル: 四十二角形
四十二角形(よんじゅうにかくけい、よんじゅうにかっけい、tetracontadigon)は、多角形の一つで、42本の辺と42個の頂点を持つ図形である。内角の和は7200°、対角線の本数は819本である。

タイトル: 四十七角形
四十七角形(よんじゅうしちかくけい、よんじゅうななかっけい、tetracontaheptagon)は、多角形の一つで、47本の辺と47個の頂点を持つ図形である。内角の和は8100°、対角線の本数は1034本である。

タイトル: 四十六角形
四十六角形(よんじゅうろくかくけい、よんじゅうろっかっけい、tetracontahexagon)は、多角形の一つで、46本の辺と46個の頂点を持つ図形である。内角の和は7920°、対角線の本数は989本である。

タイトル: 三百六十角形
三百六十角形(さんびゃくろくじゅうかくけい、さんびゃくろくじゅうかっけい、triacosiahexecontagon)は、多角形の一つで、360本の辺と360個の頂点を持つ図形である。内角の和は64440°、対角線の本数は64260本である。

タイトル: 十三角形
十三角形(じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon)は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

タイトル: 多角数
多角数(たかくすう、英: polygonal number)とは、正多角形の形に点を並べたときにそこに含まれる点の総数にあたる自然数である。多角形数ともいう。

タイトル: 七十三角形
七十三角形(ななじゅうさんかくけい、ななじゅうさんかっけい、heptacontatrigon)は、多角形の一つで、73本の辺と73個の頂点を持つ図形である。内角の和は12780°、対角線の本数は2555本である。

タイトル: 六角形
六角形(ろっかくけい、ろっかっけい、英: hexagon)は、6つの辺と頂点を持つ多角形の総称である。

タイトル: 五角形
五角形(ごかくけい、ごかっけい、英: pentagon)は、5つの頂点と辺を持つ多角形の総称。

タイトル: 単純多角形
単純多角形(たんじゅんたかっけい、英:Simple_polygon)は、幾何学にて、幾何学自体と交差せず、穴のない多角形。直線で交差しない線分または「辺」がペアで結合されて 1 つの閉じたパスを形成するフラットな形状のものをいう。

タイトル: 六十三角形
六十三角形(ろくじゅうさんかくけい、ろくじゅうさんかっけい、hexacontatrigon)は、多角形の一つで、63本の辺と63個の頂点を持つ図形である。内角の和は10980°、対角線の本数は1890本である。

タイトル: 三十六角形
三十六角形(さんじゅうろくかくけい、さんじゅうろっかっけい、triacontahexagon)は、多角形の一つで、36本の辺と36個の頂点を持つ図形である。内角の和は6120°、対角線の本数は594本である。