質問: 数学で、aの2乗がbに等しいとき、aをbの「何」というでしょう?
回答: 平方根

タイトル: 圏同値
数学、とりわけ圏論において、圏同値(けんどうち、英: equivalence of categories)とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である; つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。

タイトル: 等濃
数学において二つの集合 A, B の濃度が等しいとは、それらの間の一対一対応(全単射)が存在すること、すなわち A から B への写像 f: A → B が存在して B の各元 y に対してちょうど一つづつの x ∈ A が f(x) = yを満たすときに言う。濃度が等しいことは、それら集合に属する元の数が同じであることと解釈することができる。このように集合の濃度が等しいとき、それら集合は同数 (equinumerous), 対等もしくは同等 (equipollent) あるいは等濃 (equipotent, equicardinality) であるなどと言う。「濃度が等しい」という関係は同値関係の三つの公理(反射律・対称律・推移律)を満足する。記号では二つの集合 A, B が等濃であることを

タイトル: 不等号
順序集合の二つの元は、等しいか、片方が他方より大きいか、等しくなく大小関係がないか、のいずれかである。 2つが等しい場合は等号(=)を使い、2つに大小関係がある場合にのみ不等号を使う。等しくなく、大小関係がない、あるいは問題としないときには否定等号(≠)を使う。否定等号は「不等」を表す記号ではあるが、大小関係がなくとも使える(例: 複素数)ので、大小を表す記号とは性質が異なり、不等号には含めないことがある。不等号は等号と同様に中置し、左辺と右辺の間の順序を表す。等号を含む等式と同様、不等号を含む式を不等式と呼ぶが、等号を含む条件式が方程式と呼ばれるのに対し、不等号を含む条件式も不等式と呼ばれる。

タイトル: 二個の平方数の和
 従って、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} によって対にならない元が存在する。 これは y = z {\displaystyle y=z} を意味し、ひいては x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} を意味する。

タイトル: 二次方程式の解の公式
ここで a の符号は正の場合と負の場合があるが、どちらでも次の等式が成り立つ:+b/2a を移項して解が得られる:このプラスマイナス記号 "±" は次の2つを示している。上以外の導出では、 a {\displaystyle a} の操作に多少の違いがある。一部の文献、特に古いものでは a x 2 − 2 b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}-2bx+c=0} や a x 2 + 2 b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2bx+c=0} といった異なる係数表示をしていることがある。この場合 b は一般的な表示の 1/2 である。日本の高校数学の教科書では、一次の係数が偶数の場合の解の公式として、

タイトル: 約数
すなわち、a, b ∈ R に対し、単項イデアル (a) = aR, (b) = bR が (a) ⊃ (b) を満たすとき、a は b の約元(あるいは約数、因子)であるといい、a | b と表す。このとき、b は a の倍元(または倍数)であるともいう。

タイトル: 冪乗
2乗した後に a を乗算するか否かは、指数 n を二進表記したときの各ビットが1であるか否かと一致する。コンピュータのアルゴリズムとして書くとこうなる。この方式では、4. における乗数が常に a なので、下位桁から計算する方式に比べて乗数の桁数が小さくなり、計算時間がかからない。これは特に、レジスタに入りきらないような巨大な自然数を扱う場合に顕著となる。ただし(RSA暗号のように)冪乗の剰余を計算する場合であって法の大きさが a と同程度ならば、この効果はない。また 4. における乗数が常に a なので、あらかじめ a が定数(2 や 10 など、またはディフィー・ヘルマン鍵共有の生成元 g など)であることがわかっている場合には、4. の乗算を最適化をすることができる。

タイトル: 不等号
「a < b」と「b > a」、「a ≦ b」と「b ≧ a」は、それぞれ全く同じ意味である。3辺の不等式 a < b < c は、同じ形の等式と同様に「a < b かつ b < c」を意味し、推移律により a < c も同時に表している。a < b < c = d ≦ e < ...... のように、4辺以上になったり「≤」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≥」「=」でも同様の表現ができる。ただし、「<」「≦」と「>」「≧」が混ざることは(推移律が成り立たず実用性が乏しいので)まれである。3辺の不等式は変数の含まれる区間を表すのによく使われる。

タイトル: 数字根
a × b ≡ c ( mod 9 ) {\displaystyle a\times b\equiv c{\pmod {9}}}もちろん、c は axb の数字根であり、(a,b) は共に J と {J/(9), X} の元である。

タイトル: 不等号
記号「≦」の初出は1734年ピエール・ブーゲの著書である。初等教育では <、> の「(等号を含まない)不等号」を先に導入するが、数学一般においては等号を含めた「≦」を先に定義する方が自然な場合が多く、「<」のほうが「a ≦ b かつ a ≠ b」として定義される。日本の初等教育・中等教育では「≦」「≧」と不等号の下に等号を書く場合が多い。欧米では不等号の下に一本線を書いた「≤」「≥」や不等号の下に平行な線を書いた「⩽」「⩾」と書く場合が多い。日本語の読みは文部科学省により「〜は〜以下」、「〜は〜以上」と指導されているが、「小なりイコール」および「大なりイコール」として参照されることも多い。プログラミングでは「LE (less than or equal to)」「GE (greater than or equal to)」と呼ぶこともある。

タイトル: 二進対数
二進対数 (にしんたいすう、英: binary logarithm)とは、2を底とする対数 log2 x のことである。これは、指数関数 x → 2 の逆関数でもある。

タイトル: 二元数
証明 — 実数体上二次元の単位的多元環を A とし、実数体上の基底 {1, u} をとれば、適当な実数 a, b を用いてとなる。平方完成を施してと書くことができるから、右辺が実数値であることに注意すれば、その値に従って以下の三分律が成り立つ:

タイトル: 等号
等号の「=」は国際的に認知された記号であるが、最初に使用したのは、ウェールズの数学者ロバート・レコードである。1557年、著書『知恵の砥石』において「...に等しい」という言葉を何度も使うことを避けるために2本の平行線を使った。2本の平行線ほど等しいものは存在しないという理由による。そのときの字形は現在よりもとても長いものであった。当時使用されていた等号としては「=」はメジャーではなく、「‖」や「æ」、「œ」が使用されていた。

タイトル: 強双対性
数学における強双対性(きょうそうついせい、英: strong duality)とは、主問題と双対問題の解が等しくあるような最適化の一概念である。相対する概念に弱双対性(主問題が双対問題よりも大きい最適値を持つ、すなわち双対性のギャップ(英語版)が正)がある。

タイトル: 同一性
集合論においては、二つの集合は、その内包ないしは定義が異なっていても、その外延が同一であれば同一である。このことは形式的には、外延性の公理により表される。主流の数学基礎論においては、公理的集合論を基礎とするため、二つの数学的対象が同一であるとは、厳密にいえば、集合として同一ということである。ただしこの条件は実際には厳しすぎるため、自然な対応が存在するような数学的対象の間では同一視が行われ、単に同型なだけではなく同一のものとして扱われる。同型写像#等式との関係も参照。

タイトル: 行列の乗法
数学において、行列の対から別の行列を作り出す二項演算としての行列の乗法(ぎょうれつのじょうほう)は、実数や複素数などの数が初等的な四則演算でいうところの乗法を持つことと対照的に、そのような「数の配列」の間の乗法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる。行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数(行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの)が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。例えば、ベクトルの場合と同様に、任意の行列に対してスカラーを掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ数を掛けるという方法で与えられる。

タイトル: 二進法
二進法(にしんほう)とは、二を底(てい、基(base)とも)として、底の冪の和で数を表現する方法である。英語でバイナリ (binary) というが、これはラテン語「binarius」に由来する語で、「binary」と「binarius」は本来「二個一組」「二つから成る」を意味する語である(用例:バイナリ空間分割)。

タイトル: 誤った数学的推論
aをbに極限まで近づけるということを、aをbとする、と間違えたことによる間違った証明もある。誤謬があったのは2,3である。0に極限まで近づけた数と0は同一ではない。

タイトル: 詭弁
故にXはZである」という形式の三段論法となるが、仮に「Xは必ずYかZのいずれかである」という前提が偽であるなら(言い換えると「XがYでもZでもないケースが存在する場合」)、このような推論は誤謬となり、「誤った二分法」と呼ぶ。Aの発言の場合、実際には「好きでも嫌いでもない」や「無関心」などの「好き」「嫌い」以外の状況も考えられるため、この大前提は偽である。Bが借金の返済が不可能な状態に陥っていても、自己破産が可能である場合、その選択肢を除外しているので、誤った二分法となる。なお、「XはYかZのいずれかである。然るに、XはYではない。故にXはZである」という推論において、非ZがY、Zが非Yと論理的に同値である場合、それは矛盾原理および排中原理に従った恒真命題となる(例「あらゆる自然数は素数か素数ではないかのいずれかである。2は「素数ではない」ではない。故に2は素数である」)。

タイトル: 二乗
仏教における二乗(にじょう)とは、以下の3つを指す。本項目では1番目について解説する。

タイトル: 二重平方数
算術における四乗数(しじょうすう、よんじょうすう、英: biquadratic number; 複平方数)あるいは二重平方数とは、通常、自然数の四乗(fourth power)すなわち「平方の平方」 (biquadratic)になっているような数 (forth power of n) を言う。図形数として、八胞体状に積み上げた点の数として表されるため、八胞体数(はちほうたいすう、英: tesseractic number)ともいえる。これは平方数を「四角数」、三乗数を「立方体数」(六面体数)と呼ぶことの延長である。最小の四乗数は 1 = 1 であり、四乗数は無数にある。小さい数から順に列記すると広義では有理数あるいはより一般の環での「数」の四乗を考える場合もあり、その際は四乗元と呼ぶ方が誤解が少ない。

タイトル: 写像
変数 x を用いて x ↦ f(x) のように写像を表すとき、f は、 A をわたる(または動く)変数 x の関数である、あるいは変数 x に従属するという。2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ:f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )。集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)f がの二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) | y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち

タイトル: 等式
等式は等号 = {\displaystyle =} によって、二つの対象 a , b {\displaystyle a,\,b} の間の二項関係として以下のように表す:このとき、左辺 a {\displaystyle a} と右辺 b {\displaystyle b} は等しいという。等式が成り立たないことを記号的に示す際、等号否定 ≠ {\displaystyle \neq } を用いて以下のように表す:このとき、左辺 a {\displaystyle a} と右辺 b {\displaystyle b} は等しくない、あるいは異なるという。通常、等号は以下の2つの公理によって定義される:さらに、代入原理と反射律から以下の性質が導かれる。

タイトル: ディオファントス近似
ディオファントス近似(ディオファントスきんじ、英: Diophantine approximation)とはある数(実数など)を別のより単純な構造を持つ数(有理数など)で近似する方法やその値、あるいはそれについて研究する数論の一分野である。アレクサンドリアのディオファントスに因む。最初の問題は、実数が有理数によってどのぐらいよく近似できるかを知ることであった。この問題のために、有理数 a/b が実数 α の「良い」近似であるとは、a/b と α の差の絶対値が、a/b を分母が小さい別の有理数に置き換えたときに小さくならないこととする。この問題は連分数によって18世紀に解かれた。与えられた数の「最もよい」近似が分かり、この分野の主要な問題は、上記の差のよい上界と下界の分母の関数としての表示を見つけることである。これらの上下界は近似される実数の性質に依存すると思われる。

タイトル: 指数 (初等整数論)
以下、g を整数 n を法とする原始根として任意に選んで固定しておく。また、a や b は n とは互いに素であるとする。

タイトル: ブラーマグプタの二平方恒等式
変数 a, b, c, d が有理数である場合、この恒等式は体 Q(i) におけるノルムは乗法的であるという主張から解釈される場合がある。このとき次の式を得る。a のノルムを N(a) で表すとしたがって、ブラーマグプタの二平方恒等式から次のことが導かれる。

タイトル: 積に対するヤングの不等式
数学における(積に対する)ヤングの不等式(ヤングのふとうしき、英: Young's inequality)は二つの数の積を評価する不等式である。名称は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング(英語版)に因む。ヤングの畳み込み不等式と混同すべきではない。ヤングの不等式はヘルダーの不等式の証明に利用できる。二つの項の積がヤングの不等式によりそれらの項の冪を適当にスケールしたものの和として評価できることから、ヤングの不等式は偏微分方程式論における非線形項を評価するのにも広く用いられる。

タイトル: 二人
二人(ににん、ふたり)は、数字の「2」(漢数字では「二」) と、助数詞の「人」を合わせた日本語の数詞。タイトルなどに用いられる場合、「恋人」を意味することが多い。

タイトル: 森田同値
代数学において、森田同値(もりたどうち、英: Morita equivalence)とは、環論的な多くの性質を保つ環の間の関係のことを言う。これはMorita (1958)において同値関係と双対性に関する記号を定義した森田紀一にちなんで名付けられた。

タイトル: 順序対
数学における順序対(じゅんじょつい、英: ordered pair)は、一口に言えば対象を「対」にしたものである。二つの対象 a, b の順序対をふつうは (a, b) で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち a = b でない限り (a, b) という対と (b, a) という対とが相異なる。順序対 (a, b) において、対象 a を第一成分 (first entry, first component), 対象 b を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二座標や、左射影・右射影ともいう。順序対のことを二つ組とか長さ 2 の列(計算機科学方面ではリスト)とも呼ぶ。あるいは、スカラー(数量)の順序対は二次元の(数)ベクトルである。

タイトル: 整域
a と b が整域 R の元であるとき、「a が b を割る(整除する)」あるいは「a が b の約元である」「b が a の倍元である」ということを、ax = b を満たす R の元 x が存在することを以って定義する。このとき、a | b と表す。乗法単位元を割るような元は R の単元と呼ぶ(これはちょうど R の可逆元の概念と一致する)。単元は他の全ての元を整除する。a が b を整除し、かつ b が a を整除するならば a と b は同伴 (associate) する、あるいは互いに同伴な元であるという。単元でないような元 q について、q が既約元であるとは、q が単元でない二つの元の積に表されることが無いときにいう。零元でも単元でもない元 p について、 p が素元であるとは、p が任意の積 ab を割るならば必ず p が a または b の約元となるときにいう。