質問: 「サモスの賢人」とも称された古代ギリシャの数学者の名がついた「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」という定理を何という?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: 数学史
これらの文書はすべてピタゴラス数について述べており、ピタゴラスの定理の内容は最も早く最も広まった数学の法則の一つであると見なせる。これらの例は、ピタゴラス数のうちのいくつかの振る舞いを調べたり、その法則性に注目しているに過ぎない。普遍性を仮定する定理(証明された真なる命題)という概念は、ギリシア文明以降で見られるようになる。

タイトル: 非ユークリッド幾何学
この著作はジョヴァンニ・ジローラモ・サッケーリに多くの影響を与えている。13世紀のイスラム世界を代表する学者であるナスィールッディーン・アル・ディーン・アル・トゥースィーの遺稿をまとめた『ユークリッド原論編述』は1294年に発表された。このなかで彼は、第5公準を「すべての三角形の内角の和は2直角に等しい」と読み替えているが、これもまたサッケリーニに影響を与え、サッケリーニは「直角仮定」と呼んだ。 『ユークリッド原論編述』は、バースのアデラードによってラテン語に翻訳され、さらにノヴァラのカンパナス(英語版)が注を施した版に基づいてエアハルト・ラトドルト(英語版)によって1482年にヴェネツィアにおいて始めて出版された。古代ギリシャ以降も、無数の「平行線公準の証明」が生まれたが、多くはプトレマイオスと同じ過ちを犯していた。しかし、その結果として無数の「平行線公準と同値な命題」が作られた。

タイトル: バビロニア数学
バビロン第1王朝時代の粘土板には、現在で言うところのピタゴラスの定理を研究した記録がある。スーサで発見された粘土板には、ピタゴラスの定理を用いた最も古い例が見られる。また、イラクのテル・ハーマルで発見された紀元前2000年ほど前の粘土板からは、のちにエウクレイデスが触れた相似三角形について理解していたことがわかる。 また、円の面積を内接する正12角形と外接する正12角形とで近似した。

タイトル: 直角三角形
直角三角形(ちょっかくさんかくけい、英: right triangle)は、三角形の一種である。三角形の3つの内角のうち、他のどの内角よりも小さくない角に注目したとき、その角が直角 (90°=π/2 rad) に等しい図形を指す。直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理(三平方の定理)と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角 と呼ぶ。それらの大きさの和は、直角に等しい。直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を 直角をはさむ2辺 または単に隣辺と言う。直角の頂点を直角頂と呼ぶ。直角頂は垂心に等しい。

タイトル: ナポレオンの定理
ナポレオンの定理(ナポレオンのていり)は、幾何学における定理の1つである。任意の三角形に対し各辺を1辺とする正三角形を描き、これら3つの正三角形の重心同士を結んだとき、この三角形は正三角形となる。この三角形をナポレオンの三角形という。3つの正三角形をもとの三角形の外側に描く場合(右の図)と内側に描く場合で2通りの三角形が考えられるが、いずれも正三角形となる。この2つの正三角形の面積の差は、もとの三角形の面積と等しくなる。ナポレオン三角形の重心は、もとの三角形の重心と一致する。この定理はナポレオンが発見したといわれているが、それを証明する資料は発見されていない。

タイトル: サモスのコノン
サモスのコノン(Conon of Samos、紀元前280年頃 - 紀元前220年頃)は、ギリシャの天文学者・数学者。イオニアのサモスに生まれ、プトレマイオス朝のアレキサンドリアで没したとされる。かみのけ座を作ったエピソードで知られる。

タイトル: 正接定理
三角法における正接定理(せいせつていり)とは、三角形の2つの角と2つの辺の関係を示した定理である。

タイトル: パップス
アレキサンドリアのパップス(Pappus of Alexandria)はアレキサンドリア生まれのエジプトの数学者。4世紀の前半に活躍した。彼はギリシャ数学を幅広く渉猟し、その技法を修得して8巻に及ぶ数学上の著作を残した。彼はその第七巻において、パップス=ギュルダンの定理と呼ばれる定理を証明しているが、これは後世の数学者に大きな影響を与えた。その他、射影幾何学におけるパップスの定理(パップスの六角形定理(英語版))など平面幾何学のいくつかの定理に彼の名前が残っている。三角形の中線定理がパップスの中線定理と知られているが、実はこれはアポロニウスの定理である。

タイトル: 外角定理
外角定理(がいかくていり)とは、三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しいということを示す、ユークリッド幾何学における定理。その形状から、「スリッパの法則」や「和式便器の法則」などと呼ばれることもある。

タイトル: 数学史
すなわち、繰り返した観測で経験則を証明した。ギリシア数学は、対照的に、演繹法を使用した。ギリシア人は、定義および原理から結論を得る論理を使用した 。ギリシア数学はタレス(紀元前624〜546年頃)とピタゴラス(紀元前582〜507年頃)が始めたと考えられる。影響範囲について異論はあるものの、彼らはエジプト、メソポタミア、および恐らくインドの知識に影響を受けた。伝説では、ピタゴラスはエジプトに旅行し、数学、幾何学、および天文学をエジプトの指導者から学んだと言われている。タレスは、幾何学を使用して、ピラミッドの高さや岸から船までの距離を計算する等の問題を解決した。ピタゴラスの定理について、ピタゴラス以前からその主張には長い歴史があるものの、定理に最初の証明を与えたのが彼であるとの名声をもつ。

タイトル: 放物線の求積
『放物線の求積』(ほうぶつせんのきゅうせき、ギリシア語: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)は、アルキメデスによって、紀元前3世紀にアレクサンドリアの知人ドシテオスに宛てて執筆された、幾何学に関する著書である。放物線に関する24の命題を含み、放物領域(放物線と直線で囲まれた領域)の面積が内接する三角形の 4/3 になることの2通りの証明を導いている。アルキメデスの著作の中ではもっとも著名なものの1つであり、特に取り尽くし法の独創的な利用と、第2章での等比級数によって知られている。アルキメデスは求める面積を、面積比が等比級数を成すような無限個の三角形に分割している。彼はそれから得られた等比級数の総和を計算し、その値が放物領域の面積だと証明している。

タイトル: ヒポクラテスの定理
ヒポクラテスの定理(ヒポクラテスのていり、英語: Hippocrates's theorem)とは、幾何学の定理である。ヒポクラテスの三日月(lune of Hippocrates)ともいう。数学者キオスのヒポクラテス(英語版)に因んで名づけられた。数学的に計算された正確な面積を持つ最初の曲線図である。

タイトル: オノの不等式
幾何学におけるオノの不等式(おののふとうしき)は、三角形の辺と面積に関する不等式である。1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

タイトル: トレミーの定理
トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる。トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):が成り立つという幾何学の定理のことである。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式:が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する。

タイトル: リュイリエの定理
リュイリエの定理(英: L'Huilier's theorem) とは、初等幾何学における三角形についての定理で、1809年にスイスの数学者サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによって提唱されたものである。

タイトル: アルキメデス・パリンプセスト
このパリンプセストは次の著作を含む。上記の著作の中で最も注目すべきは『方法』であり、このパリンプセストに唯一写しが残されている。アルキメデスは、他の著作の中で、古代ギリシアで現代の極限の方法に相当するエウドクソスの取り尽くし法を用いて、2つの面積や体積が同等であることを証明している。ギリシア人はいくつかの数は無理数であることを認識していたため、実数の概念は上界と下界を提供する2つの数列により近似された量Qであった。常にQより大きいUと常にQより小さいLを見つけ、この2つの数列が最終的に任意の事前に指定した量よりも接近した場合、QはUとLにより見つかった、もしくは「取り尽くされた」ことになる。アルキメデスは自身の定理を証明するために取り尽くし法を用いた。これは面積を計算したい図形を既知の面積の部分に近似して、その図形の面積の上限と下限を与えるというものであった。

タイトル: エヴァンジェリスタ・トリチェリ
トリチェリは幾何学者としても有名であった。フェルマーはトリチェリに「三角形の各頂点からの距離の和が最小になる点(フェルマー点)を求めよ」という問題を出したことがあり、これはトリチェリの問題と呼ばれている。

タイトル: 余弦定理
余弦定理(よげんていり、英: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。

タイトル: サービト・イブン・クッラ
数論の分野では、友愛数の組を求める数式の発見者とされる。サービトは『友愛数の定義についての書』という著者の中で、公式を説明した。代数問題を幾何的に解く価値に注目した最初期のアラビア数学者でもあり、『代数問題についての正しい幾何学解』という著書で、エウクレイデスの定理を用いて方程式に幾何学上の証明を与えた。また、パップスと同様に、ピタゴラスの定理を一般の三角形に拡張した。この他に球面三角法、エウクレイデスの平行線公準の証明、アルキメデスの放物線の求積法などを研究した。

タイトル: アルキメデス・パリンプセスト
2つの単位正方形を横に並べる、2つの単位正方形を上下に並べる、2の平方根の辺を持つ1つの正方形である。しかし、これらの詰め方で重要なのは、ソクラテスがプラトンのMenoで奴隷の少年に考えさせたように、直角二等辺三角形を作ることである。ソクラテスは回想による知識について主張しており、ここではパターン認識と記憶が解の数よりも適切であるように見える。コデックスの盤面は、ソクラテスの議論の拡張として7×7の正方形のグリッドで見つけることができ、これは、2の平方根の有利近似を与える横直径数の反復的構築を示唆している。パリンプセストの断片的状態は多くの疑問を残している。しかし、アルキメデスがコデックスの盤面よりもSuterの盤面を用いた場合、それは間違いなく謎に加えられるだろう。ただし、Netzが正しいのならば、これは古代ギリシアの組合せ数学の分野で最も洗練された著作であった可能性がある。

タイトル: ピタゴラスの定理
である。ゆえに、△ABC は ∠C = π/2 の直角三角形となる。である。ゆえに、ピタゴラスの定理の逆が証明された。

タイトル: アリスタルコス
アリスタルコス(希: Αρίσταρχος, 羅: Aristarchus、紀元前310年 - 紀元前230年頃)は、古代ギリシアの天文学者・数学者。ギリシャのサモス島に生まれた。同名の人物と区別するために、サモスのアリスタルコス(希: Αρίσταρχος ὁ Σάμιος, 羅: Aristarchus Samius, 英: Aristarchus of Samos)と呼ばれることも多い。宇宙の中心には地球ではなく太陽が位置しているという太陽中心説を最初に唱えた(このため彼は「古代のコペルニクス」と呼ばれることもある)。彼の天文学の学説は広く受け入れられることはなく、ずっとアリストテレスやプトレマイオスの説が支配的だったが、約2,000年後にコペルニクスが再び太陽中心説(地動説)を唱え、発展することとなった。

タイトル: 初等幾何学
作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測ってはならない。

タイトル: 直角三角形
また、素数が無限にあるということが肯定される以上は、直角三角形の三辺の整数比も無限にあるということになり、 当然、既知の三辺整数比の直角三角形のいずれとも相似とならない三辺整数比の直角三角形を無限に求め出せるということにもなる。

タイトル: 角の三等分問題
角の三等分問題(かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection)とは、古代ギリシャ数学(英語版)における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分(即ち 30° の角の作図)は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。

タイトル: ヘロンの公式
この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。しかし、円に内接するn角形について面積をその辺の長さから求める代数的な公式は n ≥ 5 では存在しないことが知られている。

タイトル: ボヤイの定理
ボヤイの定理(―のていり、Bolyai's theorem)またはボヤイ=ゲルヴィンの定理 (Bolyai–Gerwien theorem)は、1833年にボヤイ・ファルカシュによって示された『面積の等しい二つの多角形 A, B が存在した時、A を有限回分割し組みなおすことで、B と合同な図形を作ることが出来る』という定理である。この問題を三次元に拡張した予想がヒルベルトの23の問題の第3問題に挙げられていたが、1900年に否定的に解決された。

タイトル: パップスの面積定理
パップスの面積定理(パップスのめんせきていり、英語: Pappus's area theorem)とは、幾何学の定理である。パップスの定理ともいう。アレクサンドリアのパップスにちなんで命名されている。ピタゴラスの定理が拡張されたものである。

タイトル: 放物線の求積
これは古代ギリシア数学(英語版)における背理法の最も巧みな用法であり、彼の解法は17世紀に積分法の発展によってカヴァリエリの求積公式(英語版)に取って代わられるまで比類なきものとなった。

タイトル: パップスの定理
数学において「パップスの定理」と呼ばれる定理は複数のものが知られている。いずれもアレキサンドリアのパップスによって発見されたものである。

タイトル: 正接定理
正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 γ {\displaystyle \gamma } が与えられているときに他の辺と角の値を求めるために使用できる。

タイトル: 72の法則
誰が72の法則を見いだしたかは知られていない。文献上の初出は、イタリアの数学者で、「会計の父」とも呼ばれるルカ・パチョーリが1494年に出版した『スムマ』と呼ばれる数学書である。この書の原題は、Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità であり、日本語では、『算術・幾何・比及び比例全書』などと訳される。 この書に、次の問題が出ている。英語訳は、次のとおりである。一部ネット上ではこの法則がアインシュタインによって発見されたとする説が流布されているが、上述のとおり15世紀のイタリアで既に知られていた。

タイトル: 正接定理
図1 において以下の式が成り立つ。正接定理は正弦定理や余弦定理ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。球面上の三角形における正接定理は、13世紀にナスィールッディーン・トゥースィーが著書 Treatise on the Quadrilateral で言及している 。