質問: 古代ギリシャの数学者の名前がついた「ヘロンの公式」とは、三角形の三辺の長さから三角形の何を求める公式?
回答: 面積

タイトル: 三角法
直角三角形の3辺の長さの比は、測量や天文学の要請によって古代から研究されてきた。イエール大学のバビロニア・コレクション(英語版) No.7289(前2000年頃)には、正方形と2本の対角線が描かれていて、それぞれの長さが楔形文字により60進法で記されている。これに基づく2の平方根の近似値の精度は、10進法で小数点以下5桁まで、現代知られている近似値と一致するほど正確なものであった。前1800年から前1650年の間のある時期に作られた粘土板(コロンビア大学のプリムプトン・コレクション No.322)には、ピュタゴラスの三ツ組数が記されているとも解せる。メソポタミアにおいては新バビロニア時代に入ると、天文観測上の必要から角度を数値化するという概念も発展し、円の一周を360°に分割する度数法が始まった。バビロニアの天文観測の記録は紀元前1世紀まで続いた。

タイトル: 放物線の求積
これは古代ギリシア数学(英語版)における背理法の最も巧みな用法であり、彼の解法は17世紀に積分法の発展によってカヴァリエリの求積公式(英語版)に取って代わられるまで比類なきものとなった。

タイトル: 球面三角法
ジャン=バティスト・ジョゼフ・ドランブルによる。ガウスの公式と呼ばれることもある。

タイトル: パスカルの三角形
この三角形について確認できる最古の文献は、インドの数学者ピンガラ(英語版)の著作に対して10世紀にハラーユダ(英語版)が書いた注釈『ムリタサンジーヴァニー』である。ピンガラの原文は断片的にしか現存していないが、ハラーユダはピンガラの Meru-prastaara『須弥山の階段』という言葉をパスカルの三角形のことだと解釈している。ハラーユダは、三角形とフィボナッチ数との関係についても理解していた。中国では11世紀に数学者の賈憲(英語版)、13世紀に数学者の楊輝がこの三角形を研究しており、同国内ではこの三角形は「賈憲三角形」または「楊輝三角形」と呼ばれている。ペルシアでは、アル=カラジ(英語版)とウマル・ハイヤームが研究しており、イラン国内では「ハイヤームの三角形」と呼ばれる。

タイトル: 角の三等分問題
角の三等分問題(かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection)とは、古代ギリシャ数学(英語版)における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分(即ち 30° の角の作図)は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。

タイトル: 放物線の求積
『放物線の求積』(ほうぶつせんのきゅうせき、ギリシア語: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς)は、アルキメデスによって、紀元前3世紀にアレクサンドリアの知人ドシテオスに宛てて執筆された、幾何学に関する著書である。放物線に関する24の命題を含み、放物領域(放物線と直線で囲まれた領域)の面積が内接する三角形の 4/3 になることの2通りの証明を導いている。アルキメデスの著作の中ではもっとも著名なものの1つであり、特に取り尽くし法の独創的な利用と、第2章での等比級数によって知られている。アルキメデスは求める面積を、面積比が等比級数を成すような無限個の三角形に分割している。彼はそれから得られた等比級数の総和を計算し、その値が放物領域の面積だと証明している。

タイトル: バビロニア数学
バビロン第1王朝時代の粘土板には、現在で言うところのピタゴラスの定理を研究した記録がある。スーサで発見された粘土板には、ピタゴラスの定理を用いた最も古い例が見られる。また、イラクのテル・ハーマルで発見された紀元前2000年ほど前の粘土板からは、のちにエウクレイデスが触れた相似三角形について理解していたことがわかる。 また、円の面積を内接する正12角形と外接する正12角形とで近似した。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
三角関数の公式(さんかくかんすうのこうしき)は、角度に関わらず成り立つ三角関数の恒等式である。

タイトル: 図形数
紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法ではということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式このように、図を用いることによって、様々な数の性質が確かめられる。例えば、連続する三角数の和は四角数である。現代的な式ではと表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、紀元前2世紀のヒュプシクレス(英語版)は、三角数や四角数を一般化した多角数を定義した。

タイトル: マチンの公式
マチンの公式(Machin's formula) とは、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された逆三角関数を用いた円周率を計算するための公式である。

タイトル: オノの不等式
幾何学におけるオノの不等式(おののふとうしき)は、三角形の辺と面積に関する不等式である。1914年に T.オノはこの式が任意の三角形について成り立つと予想したが、1916年に Balitrand によって予想が誤りであることと鋭角三角形であればこの式が成り立つことが示された。

タイトル: 弦 (数学)
三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表(英語版)で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している(0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった)。弦函数 crd は幾何学的には(図のように)中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)(r は半径)となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。

タイトル: ブラーマグプタの公式
ブラーマグプタの公式(ブラーマグプタのこうしき、英: Brahmagupta's formula)とは、円に内接する四角形の四辺の長さからその四角形の面積を求める公式である。

タイトル: アポロニウスの定理
 | A B | = | A C | {\displaystyle |AB|=|AC|} の二等辺三角形ならば、中線 A D {\displaystyle AD} は B C {\displaystyle BC} と垂直となり、三角形 A D B {\displaystyle ADB} (または三角形 A D C {\displaystyle ADC} )におけるピタゴラスの定理と一致する。また、平行四辺形の対角線が互いに二分するという事実から、平行四辺形の法則とも同値である。この定理は古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられた。

タイトル: 中線定理
中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。

タイトル: 三角測量
今日では三角測量は、測量、航海、計量学、位置天文学、両眼視(英語版)、モデルロケット、兵器の照準といった多目的に使用されている。三角形を利用して距離を測定するのは古代に遡る。紀元前6世紀の古代ギリシアの哲学者タレスは、ピラミッドの影の長さを測り、また同時刻における自分自身の影の長さを測って、自分の身長との比から相似な三角形を使ってピラミッドの高さを測定していた。また崖の上から沖に見える船までの距離を、横方向にある既知の滝までの見通し水平距離を測り、これを崖全体の高さまで拡大することにより測定していた。こうした方法は古代エジプト人にも知られていた。これより1000年ほど古いリンド数学パピルスに出てくる問題57番では、傾きを距離と高さの比で定義しており、今日の勾配の逆数に当たる。傾きと角度は、後のアラブのアリダードの前身である、ギリシア人がディオプトラ(英語版)と呼ぶ測定棒で測った。

タイトル: エヴァンジェリスタ・トリチェリ
トリチェリは幾何学者としても有名であった。フェルマーはトリチェリに「三角形の各頂点からの距離の和が最小になる点(フェルマー点)を求めよ」という問題を出したことがあり、これはトリチェリの問題と呼ばれている。

タイトル: 三角法
三角法(さんかくほう)とは、三角形の角の大きさと辺の長さの間の関係の研究を基礎として、他の幾何学的図形の各要素の量的関係や、測量などへの応用を研究する数学の学問領域の一つである。様々な数学の分野の中でもきわめて古くから存在し、測量や天文学上の計算などの実用上の要求と密接に関連して生まれたものである(→歴史)。三角法と数表を用いることで、直接に測ることの難しい長さを良い精度で求めることができる(→応用分野)。三角法は平面三角法、球面三角法、その他の三角法に分けられる(→平面三角法、→球面三角法、→その他の三角法)。三角関数は歴史的には三角法から派生して生まれた関数である(→三角関数)。

タイトル: 三角測量
この器具を使って離れたところから距離を測定する方法についてのこの時代の詳細な説明は、アレクサンドリアのヘロンによる「ディオプトラ」にあり、これはアラブでは翻訳されて残ったが、ヨーロッパにおいては失われてしまった。中国では、裴秀が正確な地図作りの6原則の5番目として「直角と鋭角を測る」を挙げており、これは正確に距離を測るために必要なことであった。また劉徽は、到達することのできない場所までの高さを求める方法として、上述したような計算方法を示していた。ローマ時代の土地測量の専門家、agromensoresと呼ばれる人々には、三角測量が使われていなかったことは明らかである。しかしアラブのイブン・アル=サッファー(英語版)などによるアストロラーベに関する文献を通じて中世のスペインに導入された。

タイトル: 数え上げ幾何学
アポロニウスの問題は、数え上げ幾何学のもっとも早い段階の例の一つである。この問題は、3つの円、点、直線が与えられたときに、それらに接する円の数と構成を問うている問題である。一般に、3つの円が与えられたときには、問題の解は 8つあり、それらの解は 2 とみることができて、各々の接する条件は円の空間上の二次式の条件で与えられる。しかし、与えられた円が特別な位置にあると、解の数は 0 (答えがない)から 6 までの任意の整数の値をとりうる。ただし、アポロニウスの問題に 7 つの解が与えられる配置というものは存在しない。

タイトル: 幾何学
人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった。自明な少数の原理(公理など)から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論』において完成され、後の数学の手本となった。ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる。

タイトル: クテシビオス
アレクサンドリアのクテシビオス(クテースィビオス・ホ・アレクサンドレウス、古希: Κτησίβιος ὁ Ἀλεξανδρεύς、生没年不詳、少なくとも紀元前285年 - 紀元前222年にかけて活動)は、古代ギリシャの発明家、数学者。より古代ギリシア語音に近い表記として、クテーシビオスともする。古代ギリシャの科学者では、アルキメデスに次ぐ人物である。アレクサンドリアのヘロンの師とされる。

タイトル: 複素数
負の数の平方根について、いささかなりとも言及している最も古い文献は、数学者で発明家のアレクサンドリアのヘロンによる『測量術』(Stereometrica) である。そこで彼は、現実には不可能なピラミッドの錐台について考察しているものの、計算を誤り、不可能であることを見逃している。16世紀にイタリアの数学者カルダノやボンベリによって三次方程式の解の公式が考察され、特に相異なる 3 個の実数解を持つ場合に解の公式を用いると、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かった。当時は、まだ、負の数でさえあまり認められておらず、回避しようと努力したが、それは不可能なことであった。17世紀になりルネ・デカルトによって、虚 (imaginary) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。

タイトル: メナイクモス
メナイクモス(ギリシア語: Μέναιχμος、前380年 - 前320年)はトラキアのケルソネソスのアロペコネソス(英語版)またはプロコネソスで生まれた古代ギリシアの数学者、幾何学者、哲学者である。彼は著名な哲学者プラトンとの友人関係、円錐断面の発見、そして放物線と双曲線を利用し、当時長い間未解決問題として著名だった立方体倍積問題を解決したことで知られている。

タイトル: マルファッティの円
幾何学におけるマルファッティの円(マルファッティのえん)は、それぞれが三角形の2辺に接し互いに外接する3つの円の名称である。名前はこの円を(誤った予想と共に)初期に研究したジアン・フランチェスコ・マルファッティ(en)に由来する。マルファッティの問題という言葉は、「マルファッティの円を作図する」「三角形内で合計面積が最大となる3つの円を求める」という2通りの意味で使用される。

タイトル: 積分法
図形の面積や体積の求積法は、特殊なものに限れば古代からいくつも知られており、その起源は定かではないが、積分法の起源としては古代ギリシアの数学書ユークリッド原論にもある取り尽くし法(積尽法、窄出法、英: method of exhaustion、仏: méthode d’exhaustion、独: Exhaustionsmethode、拉: methodus exhaustionibus)などのいくつかの技法に求めることができるだろう。取り尽くし法はある領域の面積を無数の三角形で覆い尽くすことによって求めようとするものである。古代ギリシャでは、三角形を最も基本的な図形と捉えていたため、このような三角形による求積法が盛んであった。

タイトル: ペロンの公式
数学、特に解析的整数論におけるペロンの公式(ペロンのこうしき、英: Perron's formula)とは、オスカー・ペロン(英語版、ドイツ語版)による、逆メリン変換を用いて数論的関数の和を計算する公式である。

タイトル: 立方体倍積問題
立方体倍積問題(りっぽうたいばいせきもんだい)は、三大作図問題の1つである。古代エジプト人、ギリシア人、インド人にも知られていた。立方体倍積問題とは、一辺の長さがs、体積がV= sのある立方体に対し、体積が2V、つまり一辺の長さが s ⋅ 2 3 {\displaystyle s\cdot {\sqrt[{3}]{2}}} の立方体を与える問題である。この問題は、 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} ≈ 1.25992105が作図可能数ではないため、定規とコンパスだけでは作図が不可能であることが証明されている。

タイトル: 代数学
『原論』に代表される古代ギリシアにおける幾何学では、個別の問題を解くだけでなくより一般化した解法の枠組みを提供していたが、それが代数学へと発展するには中世アラビア数学がヨーロッパに紹介されるのを待つ必要があった。ヘレニズム期の数学者アレクサンドリアのヘロンとディオファントスやインドの数学者ブラーマグプタらはエジプトやバビロニアの伝統に則って数学を発展させ、ディオファントスの『算術』やブラーマグプタの『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』といった成果が生まれた。例えば、二次方程式の(ゼロや負の解を含む)完全な解法を初めて記したのがブラーマグプタの『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』である。その後、アラブ世界(イスラム世界)の数学者が代数学的手法をより高度なものへと洗練させていった。

タイトル: 球と円柱について
アルキメデスが球体の体積の公式を証明するのに用いた議論は、むしろその幾何学に関係しており、現代の多くの教科書にはアルキメデスの時代には存在しなかった極限の概念を用いたシンプルなものが載っている。アルキメデスは半円に内接する半分の多角形を用い、両方とも回転させて球内に錘台の集団を作り体積を決定した。これはアルキメデスがこの結果を導き出すために使用したオリジナルの方法ではなく、ギリシアの数学的伝統において利用できた最高の形式的な議論であるようである。オリジナルの方法はてこの巧妙な利用と関係していたかもしれない。20世紀に再発見されたパリンプセストには、『方法』含むアルキメデスの著作が多数含まれており、『方法』の中で天秤、重心、無限小スライスなどで体積を決定する方法を説明している。

タイトル: 直角三角形
また、素数が無限にあるということが肯定される以上は、直角三角形の三辺の整数比も無限にあるということになり、 当然、既知の三辺整数比の直角三角形のいずれとも相似とならない三辺整数比の直角三角形を無限に求め出せるということにもなる。