質問: 数学で、xが2倍、3倍となるとき、yも2倍、3倍となるなら、xとyの関係は何と呼ばれる?
回答: 比例

タイトル: 二項関係
数学において、二項関係(にこうかんけい、英: binary relation)あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 A の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 A = A × A の部分集合を、集合 A 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 A, B に対して、A と B との間の二項関係とは、直積 A × B の部分集合のことをいう。二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 P と整数全体の成す集合 Z の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 p は、p の倍数である任意の整数 z に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 2 が関係を持つ整数には −4, 0, 6, 10 などが含まれるが 1 や 9 は含まれない。

タイトル: 二項関係
同様に素数 3 が関係する整数として 0, 6, 9 などが挙げられるが、4 や 13 はそうでない。二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。二項関係は n-項関係 R ⊆ A1 × ⋯ × An(各 j-番目の成分が関係の j-番目の始集合 Aj からとられているような n-組からなる集合)で n = 2 とした特別の場合である。ある種の公理的集合論では(集合の一般化としての)類の上の関係を考えることができる。

タイトル: 同値関係
数学において、同値関係(どうちかんけい、英: equivalence relation)とは二項関係であって反射的、対称的、推移的の3つの性質を満たすものをいう。そのことから、与えられた集合上の1つの同値関係はその集合を同値類に分割(類別)することが導かれる。同値関係にあることを表すのに用いられる記法は文献によってさまざまであるが、与えられた集合上の同値関係 R に関して2つの元 a, b が同値であることを "a ~ b" や "a ≡ b" で表すことが最もよく用いられる。R に関して同値であることを明示する場合には、"a ~R b" や "a ≡R b" あるいは "aRb" などと書かれる。

タイトル: 対称関係
対称関係(たいしょうかんけい、英: Symmetric relation)は、数学における二項関係の一種。集合 X における二項関係 R が「対称」であるとは、X に属する全ての a および b について、aRb が成り立つなら bRa も成り立つことをいう。数学的に記述すると次のようになる。対称関係と反対称関係(aRb かつ bRa ならば b = a)とは正確には反対の意味ではない。対称的かつ反対称的な関係もあるし(等号など)、対称的でも反対称的でもない関係もあり(約数)、対称的だが反対称的でない関係(合同式における合同関係)や対称的でないが反対称的な関係(≦や≧)もある。

タイトル: 双対
双対(そうつい、dual, duality)とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある(双対の双対はある意味で "元に戻る")。また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。並行して相対を「そうつい」と読む流儀もある。一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。

タイトル: 二項関係
二項関係 R は通常、任意の集合(または類)X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。

タイトル: 等式
等式(とうしき、英: equality)とは、二つの対象の等価性・相等関係を表す数式のことである。

タイトル: 三角数
三角数を2倍した数を矩形数(くけいすう)という。矩形数とは、縦と横で並ぶ点の個数を 1 だけ違う長方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。三角数と同様に四角数(しかくすう)も定義される。これは、正方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。これは平方数に等しい。

タイトル: 反射関係
反射関係(はんしゃかんけい、英: reflexive relation)は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと無反射性 (irreflexivity) のものがある(無反射性の事を非反射性とよぶ文献もある)。なお、ここでの(二項)関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。

タイトル: 逆関係
数学における二項関係の逆関係(ぎゃくかんけい、英: converse relation)は、関係(のグラフ)に属する順序対の成分を逆順にして得られる関係である。例えば、「~の子である」という関係の逆関係は「~の親である」という関係である。

タイトル: 比例
以下で、x と y が正比例し、比例係数は k であるとする。y が x の逆数に比例する、つまりのとき、y は x に反比例するという。このとき同時に、x は y に反比例するともいえる。y が x の自乗に比例する、つまりとき、y は x に自乗比例するという。y が x の指数関数に比例する、つまりとき、y は x に指数比例する、x は y に対数比例するという。ただし逆に、y はx に対数比例する、x は y に指数比例するということもある。

タイトル: 二個の平方数の和
 従って、対合 ( x , y , z ) ↦ ( x , z , y ) {\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)} によって対にならない元が存在する。 これは y = z {\displaystyle y=z} を意味し、ひいては x 2 + ( 2 y ) 2 = p {\displaystyle x^{2}+(2y)^{2}=p} を意味する。

タイトル: 強双対性
数学における強双対性(きょうそうついせい、英: strong duality)とは、主問題と双対問題の解が等しくあるような最適化の一概念である。相対する概念に弱双対性(主問題が双対問題よりも大きい最適値を持つ、すなわち双対性のギャップ(英語版)が正)がある。

タイトル: 写像
変数 x を用いて x ↦ f(x) のように写像を表すとき、f は、 A をわたる(または動く)変数 x の関数である、あるいは変数 x に従属するという。2つの写像 f : A→B、 g : A→B の相等関係について、次が成り立つ:f = g ⇔ ∀a∈A ( f(a) = g(a) )。集合論においては、集合 A, B の元の順序対からなる集合(すなわち二項関係)f がの二つをみたすとき、f を A から B への関数と呼び、f: A → B で表す。またこのとき、(x, y) ∈ f であることを f(x) = y と書く。この文脈では、f と f のグラフ {(x, y) | y = f(x)} を同一視し、関数と写像を同じ意味に用いる。 二つの写像 f と g の相等は、集合として同一であるということ、すなわち

タイトル: 倍
double、triple、quadruple は n 倍を表す倍数詞である。数学などでは主に n 個を組とする表現や n 個重なっている(n 重)という表現(例:二個重ねを指す場合は double)として使用されることが多い。triple 以 降は n 個を組や n 個が重なるとする場合、n -tuple(n の部分はラテン語を由来とする数を表す接頭辞)をつなげて一部形を変化させた表現となり、倍数詞でも n 倍を表すとき同様に表現できる。

タイトル: 比例
比例(ひれい、英: proportionality)とは、変数を用いて書かれる二つの量に対し一方が他方の定数倍であるような関係のことである。

タイトル: 倍
倍(ばい)は、数学上の概念であるが、その定義は東洋数学と西洋数学では異なっている。

タイトル: 逆数
逆数(ぎゃくすう、英: reciprocal)とは、ある数に掛け算した結果が 1 となる数である。すなわち、数 x の逆数 y とは次のような関係を満たす。通常、x の逆数は分数の記法を用いて 1/x のように表されるか、冪の記法を用いて x のように表される。1 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元(じょうほうぎゃくげん、英: multiplicative inverse)の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。上述の式から明らかなように、x と y の役割を入れ替えれば、x は y の逆数であると言える。従って、x の逆数が y であるとき y の逆数は x である。x が 0 である場合、任意の数との積は 0 になるため、(0 ≠ 1 であれば)0 に対する逆数は存在しない。また、任意の x について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。

タイトル: 三次関数
数学における三次関数(さんじかんすう、英: cubic function)とは、単に次数 3 の多項式函数との意味であって、しかし多くの場合にはより限定的な意味に解して、実(英語版)一変数(英語版)の実数値函数を考える。すなわち、実数体 R 上の多項式に対して、不定元への代入によって定められる函数という意味において、(a, b, c, d は実数の定数で a ≠ 0)なる形の三次多項式の定める函数 f: R → R である。

タイトル: 倍数
数学において、数 a の倍数(ばいすう、英:multiple)とは、a を整数倍した数、あるいはそれらの総称である。つまり、を指す。a ≠ 0 ならば、a の倍数は無数に存在する。a を整数に限ると、a の倍数とは「a で割り切れる整数」のことであり、a の約数(「a を割り切る整数」)と対比されることも多いが、倍数は a が整数でなくても定義できる。倍数の中で 0 以外は符号の違いだけの組が現れるので、と表すこともある。とくに a が正の整数で負の数を考えない、あるいは本質的でない場合は(正の)倍数としてだけを考えることも多い。整数全体からなる集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } を用いると、a の倍数は a Z {\displaystyle a\mathbb {Z} } である。

タイトル: 倍数性
倍数性とは、ゲノムを何セット持つかを示す概念である。ゲノム1セットに相当する染色体数を基本数といい、x(まれに b)で示す。倍数性は基本数の倍数で x, 2x, 3x, ... のように表され、それぞれ一倍性(半数性: monoploidy, haploidy)、二倍性 (diploidy)、三倍性 (triploidy)、... という。それらの倍数性の生物(倍数体)は、それぞれ一倍体(半数体)、二倍体、三倍体、... という。例えば、基本数が 9 (x = 9) の四倍性 (4x) の倍数体生物がいるとすると、その生物の体細胞 (2n) における染色体数は、「2n = 4x = 36」「2n = 36 の四倍体」などと示される。動物の場合、特殊なものを除いてほぼ全てが二倍体 (2x) であり、二倍体であることを強調したい場合でない限り、「2x =」という表現はされない。

タイトル: 関数 (数学)
また、媒介変数を導入して関係式を分解し、各変数を媒介変数の陽関数として表すことによって、陰関数を表すこともある。例えば、方程式 2x − 3y = 0 は、媒介変数 t を導入してと表すことができるが、これによって y と x の陰伏的な関数関係が表されていると考えるのである。

タイトル: 攻撃三倍の法則
攻撃三倍の法則(こうげきさんばいのほうそく)とは戦闘において有効な攻撃を行うためには相手の三倍の兵力が必要となる、とする考え方である。攻者が勝利すると言われる攻者と防者の兵力比率が三対一であるために、三対一の法則とも言う。

タイトル: 推移関係
推移関係(すいいかんけい、英: Transitive relation)は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
以下の式は加法定理などから容易に導くことができる。正弦関数と余弦関数の三倍角の公式は、元の関数の三次方程式で表すことができる。従って、三次方程式の解を求めることでそれらの三角関数の値を得ることができる。幾何学的には、三倍角の公式を経由し三角関数の値を求めることは角の三等分問題に相当する。この問題は、定規とコンパスを用いた解法が特別な角を除いて存在しないことが知られている。方程式 x − 3x + d/4 = 0(正弦関数ならば x = sinθ, d = sin(3θ) とする)の判別式は正なのでこの方程式は3つの実数解を持つ。加法定理から、正弦関数および余弦関数の以下の倍角公式が得られる。これらの式は16世紀のフランスの数学者フランソワ・ビエトによって示された。ここで (nk) は二項係数である。上記の和の最初の数項を明示すれば、以下の通りである。

タイトル: 2乗3乗の法則
2乗3乗の法則(にじょうさんじょうのほうそく)は、工学や生物学などにおいて言及される法則。相似な形状をした2つの物体について、代表長さの2乗に比例する面積に関する物理量と、3乗に比例する体積に関する量とを比較し、このときそれぞれの量の変化の割合も、おおむね2乗と3乗のオーダーとなることを法則と呼んでいる。比較対象となる物理量は、分野や文脈によって異なる。2乗3乗法則、2乗3乗則とも呼ばれ、漢数字で「二乗三乗」と書かれることもある。

タイトル: 対偶 (論理学)
通常の数学では古典論理を用いるため、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽および証明可能性は必ず一致する (すなわち真理値が等しい)。数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならばAでない」の証明は比較的易しい場合がある。両者の証明可能性は一致するので、対偶「BでないならばAでない」を示すことにより「AならばB」を証明できる。これを対偶論法とよぶ。同様に、「BならばAである」を示すことにより「AでないならばBでない」を証明することもできる。

タイトル: 対称式
において、x と y を入れ替えた式は、元の f(x,y) とは全く変わらない多項式である。このように、変数を入れ替えても変わらない多項式のことを対称式という。似たようなものに交代式がある。交代式はのように、変数を入れ替えると、もとの式と符号が変わるという性質を持つ式である。符号が変わるだけなので、偶数個の交代式の積や、交代式を 2 乗した式などは対称式となる。例えば任意の対称式は、基本対称式の多項式で書ける。例えばこういった対称式の概念は、 2 変数に留まらず、3 変数以上の多項式にも拡張される。例えばは、それぞれ、3 変数と 4 変数の対称式であり、どの 2 つの変数を入れ替えても、元の多項式と変わらない式である。

タイトル: 推移関係
例えば「AはBより大きい」「AはB以上である」「AはBと等しい」といった関係は推移関係である。例えば、a = b でかつ b = c であれば、a = c が成り立つ。一方、「AはBの母である」は推移関係ではない。アリスがブレンダの母で、ブレンダがクレアの母だった場合、アリスがクレアの母であるとは言えない。推移関係の例として以下のものがある。「AとBは等しくない」は非推移関係の例である(集合に少なくとも2つ以上の元がある場合)。

タイトル: 根と係数の関係
x についての二次式の根を x = α, β とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較すると初等数学において、因数定理や代数学の基本定理を習っていない場合、二次方程式の解の公式から解と係数の関係を導くという方法がとられることがある。x についての三次式の根を x = α, β, γ とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較するとが三次の場合として成り立つ。x についての四次式の根を x = α, β, γ, δ とする。因数定理よりであるから、展開して係数を比較するとが四次の場合として成り立つ。5次以上の多項式には根の公式は存在しない(アーベル-ルフィニの定理)が、同様に根と係数の関係が成り立つ。