質問: 「サモスの賢人」とも称された古代ギリシャの数学者の名がついた「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」という定理を何という?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: ピタゴラス
ピタゴラス(古代ギリシャ語: Πυθαγόρας, ラテン文字転写: Pȳthagórās、ラテン語: Pythagoras、英: Pythagoras、紀元前582年 - 紀元前496年)は、古代ギリシアの数学者、哲学者。「サモスの賢人」と呼ばれた。ピュタゴラスとも表記される。

タイトル: 数学の哲学
また同様の理由で、2は数ではなく、1対(つい)という基本概念であるとする議論が行われた。この理解は、「直線・辺・コンパス」という、たぶんに幾何学的なギリシアの視点に由来している。その視点とは、幾何学的問題において描かれたいくつかの線が最初に描いた任意の長さの線との比で測定されるのと同様に、数からなる線上に置かれたそれぞれの数は、任意の初めの「数」つまり1との比で測定される、というものである。これらの初期のギリシアの数の概念は、後になって、2の平方根が無理数であるという発見によって、打ち倒された。ピタゴラスの門人であるヒッパソスは、単位正方形の対角線は、その辺と通約不能であることを示した。換言すると、彼は、単位正方形の対角線とその辺の比を正確にあらわす(有理)数が存在しないことを証明した。これが原因となり、ギリシアの数学の哲学は再検討されることとなった。

タイトル: ピタゴラスの定理
直角三角形の斜辺の長さが c で、残りの2辺の長さが a と b であるとき、ピタゴラスの定理により次の等式が常に成り立つ。ここで a, b, c のいずれも正であるから、2辺の長さだけが既知のとき、残りの辺の長さはそれぞれ次のように計算できる。この定理の一般化は余弦定理であり、他の2辺の長さとその間の角度が与えられると、任意の三角形の任意の辺の長さを計算できる。他の辺の間の角度が直角の場合、余弦定理はピタゴラスの方程式に帰着する。

タイトル: ピタゴラスの定理
初等幾何学におけるピタゴラスの定理(ピタゴラスのていり、(英: Pythagorean theorem)は、直角三角形の3辺の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを a, b とすると、定理はが成り立つという等式の形で述べられる。三平方の定理(さんへいほうのていり)、勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。ピタゴラスの定理によって、直角三角形をなす3辺の内、2辺の長さを知ることができれば、残りの1辺の長さを知ることができる。例えば、直交座標系において原点と任意の点を結ぶ線分の長さは、ピタゴラスの定理に従って、その点の座標成分を2乗したものの総和の平方根として表すことができる。このことは2次元の座標系に限らず、3次元の系やより大きな次元の系についても成り立つ。この事実から、ピタゴラスの定理を用いて任意の2点の間の距離を測ることができる。

タイトル: ヘロンの公式
ヘロンの公式(ヘロンのこうしき、英: Heron's formula)とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる。

タイトル: 三次方程式
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数 p, q からとなる数 x, y を求めるという、比の問題に帰せられた。メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題はの形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。

タイトル: 図形数
紀元前6世紀頃のピタゴラス学派は、三角数や四角数を用いて、いくつかの数の性質を導いたとされる。例えば、正方形状に並んだ点から次に大きな正方形を作るにはL字形の「部品」を付加すればよいことから、最初の n 個の奇数の和が n 番目の四角数であることが分かる。現代的な記法ではということである。この性質を用いて、無数にピタゴラス数を得ることもピタゴラスは知っていた。また、三角数の2倍が矩形数であることから、1 から n までの和の公式このように、図を用いることによって、様々な数の性質が確かめられる。例えば、連続する三角数の和は四角数である。現代的な式ではと表せる。やや複雑な例として、プルタルコスが記してディオファントスが引用したところによると、三角数の8倍に1を加えれば四角数となる。すなわち、紀元前2世紀のヒュプシクレス(英語版)は、三角数や四角数を一般化した多角数を定義した。

タイトル: アポロニウスの定理
 | A B | = | A C | {\displaystyle |AB|=|AC|} の二等辺三角形ならば、中線 A D {\displaystyle AD} は B C {\displaystyle BC} と垂直となり、三角形 A D B {\displaystyle ADB} (または三角形 A D C {\displaystyle ADC} )におけるピタゴラスの定理と一致する。また、平行四辺形の対角線が互いに二分するという事実から、平行四辺形の法則とも同値である。この定理は古代ギリシャの数学者ペルガのアポロニウスにちなんで名付けられた。

タイトル: 中線定理
中線定理(ちゅうせんていり、英: parallelogram law)とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。

タイトル: 幾何学
人物としては、タレス、ピタゴラスなどが有名である。タレスは三角形の合同を間接測量に応用し、ピタゴラスらはこれらを証明により厳密に基礎づけた。彼らはそこで多くの定理を発見し、幅広くそして深く図形を研究したが、特に注記すべきなのは、彼らが証明という全く新しい手法を発見したことである。とくにピタゴラスは後のギリシャ数学者達に影響を与え、ユークリッドもその一人であった。自明な少数の原理(公理など)から厳密に演繹を積み重ねて当たり前とは思えない事柄を示していくやり方は、ユークリッドの手により『原論』において完成され、後の数学の手本となった。ユークリッドの手により証明をもとに体系化されたギリシャ数学は、曖昧さが残るエジプトやバビロニアのものより圧倒的に優位であったといえる。

タイトル: ピタゴラスの定理
このようにして導入される距離はユークリッド距離と呼ばれる。「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」など幾つかの逸話が伝えられているが、この定理はピタゴラスが発見したかどうか正確には判っていない。バビロニア数学のプリンプトン322や古代エジプトなどでもピタゴラス数については記述があるが、定理を発見していたかまでは定かではない。中国古代の数学書『九章算術』や『周髀算経』でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を勾股定理、商高定理等と呼び、日本の和算でも中国での名称を用いて鉤股弦の法(こうこげんのほう)等と呼んだ。

タイトル: 多角数定理
多角数定理(たかくすうていり、(英: polygonal number theorem)とは「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。特に m = 3 の場合を(ガウスの)三角数定理、m = 4 の場合を(ラグランジュの)四平方定理という。多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化された。三角数定理は1796年にガウスによって、四平方定理は1772年にラグランジュによってそれぞれ証明された。一般の多角数定理の証明は1813年にコーシーによって与えられている。

タイトル: メナイクモス
メナイクモス(ギリシア語: Μέναιχμος、前380年 - 前320年)はトラキアのケルソネソスのアロペコネソス(英語版)またはプロコネソスで生まれた古代ギリシアの数学者、幾何学者、哲学者である。彼は著名な哲学者プラトンとの友人関係、円錐断面の発見、そして放物線と双曲線を利用し、当時長い間未解決問題として著名だった立方体倍積問題を解決したことで知られている。

タイトル: 隣辺
隣辺(りんぺん、Cathetus、ギリシア語: Κάθετος)は、直角三角形において、直角に隣接する2つの辺をさす。即ち直角三角形の斜辺以外の辺である。「脚」等と呼ばれることもある。直角三角形の隣辺同士の長さの比は、三角法における正接と余接を定義する。2つの隣辺の長さが等しい直角三角形を直角二等辺三角形という。ピタゴラスの定理によると、隣辺の二乗同士の和は斜辺の二乗の値と等しくなる。

タイトル: ラウスの定理
幾何学におけるラウスの定理(ラウスのていり)とは、三角形とその内部に作られた三角形との比を決定する定理である。この定理はエドワード・ラウスが1896年に書いた Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples の82ページに登場する。

タイトル: ジョヴァンニ・ジェローラモ・サッケーリ
サッケーリはユークリッドの第5公準を他の4つの公準から証明するという古代からたくさんの数学者を苦しめてきた問題を、第5公準をそれと同値な命題「全ての三角形の内角の和は2直角に等しい」に置き換え(この置き換えは13世紀にアラビアの数学者ナシールッディーンにより示されていたもので、サッケーリはこのことを直角仮定と呼んだ)、これに対し、互いに背反する2つの命題「全ての三角形の内角の和は2直角よりも小さい」(鋭角仮定)、「全ての三角形の内角の和は2直角よりも大きい」(鈍角仮定)が共に矛盾を導くことを示し、直角仮定、したがって第5公準を証明するという手法(つまり背理法である)で解こうとした。

タイトル: カルノーの定理 (幾何学)
幾何学において“カルノーの定理”と呼ばれる定理としては、上記のほかに、シムソンの定理の一般的な場合として、任意の三角形の外接円上の点から、当該三角形の各辺へ同じ向きに同じ角をなす直線を引いたときの3辺との交点が一直線上にあることを主張する定理がある。

タイトル: ヒポクラテスの定理
直角三角形で、斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と等しい。つまり図では青と赤の面積が等しい。

タイトル: シュタイナー・レームスの定理
等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。

タイトル: 直角三角形
直角三角形の3本の辺では、常に斜辺が最も長くなる。斜辺 c と他の2辺 a, b との関係は、である(三平方の定理)。これを読み替えて、三角形の3辺の長さがこの式を満たさなければ、角Cは直角ではないことがわかる。 一方、これとは逆に、この式を成り立たせるような3辺をもつ三角形は、直角三角形であることがわかる(三平方の定理の逆)。同様に、直角三角形でない三角形の辺の長さが、この式を成り立たせることはない。

タイトル: 正弦定理
正弦定理(せいげんていり、英:law of sines)とは三角形の内角の正弦(サイン)とその対辺の長さの関係を示したものである。正弦法則ともいう。多くの場合、平面三角法における定理を指すが、球面三角法などでも類似の定理が知られており、同じように正弦定理と呼ばれている。

タイトル: ピタゴラス素数
二個の平方数の和である奇数は 4n + 1 の形をしているが、21 のように 4n + 1 の形をしていても二個の平方数の和に表せないものもある。フェルマーの示したところによると、2 および 4n + 1 の形をした素数は二個の平方数の和で表され、かつ二個の平方数の和で表される素数はそのようなものに限る。そして、二個の平方数の和で表す方法は、和の順序の入れ替えを区別しなければただ一通りである。ピタゴラスの定理によれば、二個の平方数の和で表した表現は、図形の話に翻訳される。すなわち、p がピタゴラス素数であって p = x + y であるならば、(x, y, √p) は直角三角形の3辺の長さになる。よって、奇素数 p がピタゴラス素数であるとは、直角を挟む2辺の長さが整数である直角三角形の斜辺の長さとして √p が現れることに他ならない。

タイトル: モーリーの定理
モーリーの定理とは、三角形に関する幾何学の定理である。1899年にアメリカの数学者フランク・モーリー(英語版)によって証明された。

タイトル: エウレカ
カール・フリードリヒ・ガウスは1796年の日記(英語版)にアルキメデスを真似て "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ" と書いている。これは、「全ての自然数は高々3個の三角数の和である」ことを発見したことを書いたものである。これは「ガウスのエウレカ定理」と呼ばれており、今日では多角数定理の特別な場合として知られている。

タイトル: ピトーの定理
幾何学におけるピトーの定理(ピトーのていり、英: Pitot theorem)は、円に外接する四角形(英語版)(内接円を持つ四角形)に関する定理である。ピトーの定理は、円に外接する四角形の向かい合う2組の対辺の長さの和が等しくなることを述べている。言い換えれば、四角形の2組の対辺の長さの和が半周長に等しくなる。定理の名称は、フランスの工学者であるアンリ・ピトーから名付けられた。

タイトル: アポロニウスの定理
幾何学におけるアポロニウスの定理(アポロニウスのていり)は、三角形の中線の長さと辺の長さに関係する定理である。「三角形の任意の二辺の平方和は第三辺の半分の平方の2倍と第三辺を二分する中線の2倍の和に等しい」という。すなわち、任意の三角形を A B C {\displaystyle ABC} として、中線を A D {\displaystyle AD} とするとこの定理はスチュワートの定理の特殊な場合である。

タイトル: 図形数
その後、スミュルナのテオン、ニコマコス、イアムブリコスらが多角数について論じた。2世紀頃のニコマコスは、その著書『算術入門』において、多角数は等差数列の和として定義されることを指摘したのみならず、種々の立体数についても述べている。具体的には、四面体数、四角錐数などの多角錐数、立方体数、切頂(英語版)多角錐数などである。それよりも前に、紀元前4世紀頃のオプスのフィリポやスピューシップスが四面体数について考察したと考えられるが、文献は残っていない。1544年、マイケル・シュティーフェル(英語版)は、三角数、四面体数に続く五胞体数などの、高次元版の図形数を定義した。近世ヨーロッパの数学者、バシェ(英語版)、フェルマー、オイラーらも多角数について論じている。初等的な性質のみならず、フェルマーが多角数定理を予想し、オイラーが五角数定理を示すなど、やや高度な数論にも図形数は現れる。

タイトル: 斜辺
斜辺(しゃへん、hypotenuse)とは、直角三角形において、直角に対する辺のことである。直角三角形の斜辺は三辺の中で最も長く、その長さはピタゴラスの定理により求めることができる。英語のhypotenuseという言葉は、ギリシア語で「下」という意味のhypo-と「延ばす」という意味のteinein、または「横」という意味のtenuseを組み合わせたὑποτείνουσα (hypoteinousa)という言葉に由来すると言われている。和算においては直角三角形のことを勾股弦、斜辺のことを弦(げん)という(略字の玄が用いられることもある)。

タイトル: ヒポクラテスの定理
直角三角形で斜辺を直径とする半円が内接していて他の2辺を直径とする半円は外接している。タレスの定理より直角三角形の各頂点は斜辺の半円の円周上にある。円の面積は半径の二乗に比例するので、ピタゴラスの定理より、斜辺の半円と、他の2辺の半円の和の面積は等しい。斜辺の半円と他の2辺の半円で重なる部分がある。この部分を引くと、三日月型と直角三角形が現れる。よって、斜辺でない方の2辺の半円と直角三角形の和と斜辺の半円の面積の差は、元の直角三角形の面積と同じだということがわかる。

タイトル: ガウス・ボネの定理
球面幾何学や双曲幾何学で前世紀の早い段階での多くの結果は、ガウス・ボンネの定理の特別な場合として含まれている。球面三角法(spherical trigonometry)や双曲三角法(hyperbolic trigonometry)では、三角形の面積は(三角形の)内角の和が 180°に対してどれだけ差異があるかに比例する。同じことではあるが、外側の角度が 360°に対してどのくらい差異があるかに(符号を逆にして)比例する。球面三角形の面積は、ジラルドの定理(Girard's theorem)により、増えた分に対して比例する - その量は 180°に対し内角の和が多くなった分であり、 360°に対して外角の減った分に等しい。双曲三角形の面積は、逆で、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト(Johann Heinrich Lambert)により確立されたように、内角の和が減った量に比例する。

タイトル: タレスの定理
古代ギリシャの哲学者、数学者タレスにちなんで名付けられた。 その前にもこの定理は発見されていたが、タレスが初めてピラミッドの高さを発見した事からこの名前が生まれた。 タレスの定理は円周角の定理の特例の1つでもある。 タレスの「幾何学の五定理」ともいわれ、以下の5つで構成される。

タイトル: ピトーの定理
この定理は、ある円の外部の点から2本の接線を引いたときに、その外部の点から接点までの長さが等しくなるという事実に基づいている。 円に外接する四角形とその内接円を考えると、四角形の周には4組の長さが等しい線分が含まれることになる。そのため、対辺の長さの和は、この4つの線分の長さの和と等しくなる。ピトーの定理は逆も真である。つまり、「2組の対辺の長さの和が等しい凸な四角形は内接円をもつ」 という命題も真である。