質問: 辺の数と対角線の数が同じである唯一の多角形は何角形でしょう?
回答: 五角形

タイトル: 二百角形
二百角形(にひゃくかくけい、にひゃくかっけい、dihectagon)は、多角形の一つで、200本の辺と200個の頂点を持つ図形である。内角の和は13540°、対角線の本数は19700本である。

タイトル: 二十九角形
二十九角形(にじゅうきゅうかくけい、にじゅうきゅうかっけい、icosienneagon)は、多角形の一つで、29本の辺と29個の頂点を持つ図形である。内角の和は4860°、対角線の本数は377本である。

タイトル: 正多角形
正多角形(せいたかっけい、せいたかくけい、regular polygon)とは、全ての辺の長さが等しく、全ての内角の大きさが等しい多角形である。なお、この記事では n は n ∈ R {\displaystyle n\in \mathbb {R} } を満たす数とする。正多角形は線対称の図形であり、正 n 角形に対称軸は n 本ある。また、正偶数角形は点対称の図形でもある。辺の数が同じ正多角形どうしは全て互いに相似である。

タイトル: 二十二角形
二十二角形(にじゅうにかくけい、にじゅうにかっけい、icosidigon)は、多角形の一つで、22本の辺と22個の頂点を持つ図形である。内角の和は3600°、対角線の本数は209本である。

タイトル: 百角形
百角形(ひゃくかくけい、ひゃくかっけい、hectogon)は、多角形の一つで、100本の辺と100個の頂点を持つ図形である。内角の和は17640°、対角線の本数は4850本である。

タイトル: 正多角形
正多角形のすべての頂点は一つの円周上にある。つまり正多角形は円に内接する。最も角の数が少ないのは正三角形である。三角形では、すべての辺の長さが等しいもの、またはすべての角の大きさが等しいは必ず正三角形になる。しかし他の多角形では辺の長さがすべて等しく、なおかつ角の大きさがすべて等しいものでなければ正多角形とはならない。例えば四角形では辺の長さがすべて等しいものは菱形、角の大きさがすべて等しいものは長方形であって必ずしも正四角形(正方形)にはならない。菱形でありなおかつ長方形でもある四角形が正方形である。度数法における正 n 角形の一つの内角の大きさは正 n 角形の面積は一辺を a とするとこの式は、正 n 角形の外心から、各頂点に向けて、線分を引き、n 個の二等辺三角形に分割することで容易に証明できる。

タイトル: 二十八角形
二十八角形(にじゅうはちかくけい、にじゅうはちかっけい、icosioctagon)は、多角形の一つで、28本の辺と28個の頂点を持つ図形である。内角の和は4680°、対角線の本数は350本である。

タイトル: 二十一角形
二十一角形(にじゅういちかくけい、にじゅういちかっけい、icosihenagon)は、多角形の一つで、21本の辺と21個の頂点を持つ図形である。内角の和は3420°、対角線の本数は189本である。

タイトル: 八十四角形
八十四角形(はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontatetragon)は、多角形の一つで、84本の辺と84個の頂点を持つ図形である。内角の和は14760°、対角線の本数は3402本である。

タイトル: 二十五角形
二十五角形(にじゅうごかくけい、にじゅうごかっけい、icosipentagon)は、多角形の一つで、25本の辺と25個の頂点を持つ図形である。内角の和は4140°、対角線の本数は275本である。

タイトル: 二百四十角形
二百四十角形(にひゃくよんじゅうかくけい、にひゃくよんじゅうかっけい、dihectatetracontagon)は、多角形の一つで、240本の辺と240個の頂点を持つ図形である。内角の和は42840°、対角線の本数は28440本である。

タイトル: 百万角形
百万角形(ひゃくまんかくけい、megagon)は、多角形の一つで、1,000,000本の辺と1,000,000個の頂点を持つ図形である。内角の和は179,999,640°、対角線の本数は499,998,500,000本である。

タイトル: 零角形
零角形(〇角形、ぜろかくけい、ぜろかっけい、英: zerogon)は多角形の一つで、0本の辺と頂点を持つ図形である。内角の和は0°、対角線の本数は0本である。

タイトル: 十八角形
十八角形(じゅうはちかくけい、じゅうはちかっけい、octadecagon、octakaidecagon)は、多角形の一つで、18本の辺と18個の頂点を持つ図形である。内角の和は2880°で、対角線の本数は135本である。

タイトル: 百二角形
百二角形(ひゃくにかくけい、ひゃくにかっけい、hectadigon)は、多角形の一つで、102本の辺と102個の頂点を持つ図形である。内角の和は18000°、対角線の本数は5049本である。

タイトル: 八十一角形
八十一角形(はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontahenagon)は、多角形の一つで、81本の辺と81個の頂点を持つ図形である。内角の和は14220°、対角線の本数は3240本である。

タイトル: 二十四角形
二十四角形(にじゅうよんかくけい、にじゅうよんかっけい、icositetragon)は、多角形の一つで、24本の辺と24個の頂点を持つ図形である。内角の和は3960°、対角線の本数は252本である。

タイトル: 二十三角形
二十三角形(にじゅうさんかくけい、にじゅうさんかっけい、icositrigon)は、多角形の一つで、23本の辺と23個の頂点を持つ図形である。内角の和は3780°、対角線の本数は230本である。

タイトル: 五十一角形
五十一角形(ごじゅういちかくけい、ごじゅういちかっけい、pentacontahenagon)は、多角形の一つで、51本の辺と51個の頂点を持つ図形である。内角の和は8820°、対角線の本数は1224本である。

タイトル: 三十一角形
三十一角形(さんじゅういちかくけい、さんじゅういちかっけい、triacontahenagon)は、多角形の一つで、31本の辺と31個の頂点を持つ図形である。内角の和は5220°、対角線の本数は434本である。

タイトル: 百八十角形
百八十角形(ひゃくはちじゅうかくけい、ひゃくはちじゅうかっけい)は、多角形の一つで、180本の辺と180個の頂点を持つ図形である。内角の和は32040°、対角線の本数は15930本である。

タイトル: 五十角形
五十角形(ごじゅうかくけい、ごじゅうかっけい、pentacontagon)は、多角形の一つで、50本の辺と50個の頂点を持つ図形である。内角の和は8640°、対角線の本数は1175本である。

タイトル: 二百五十五角形
二百五十五角形(にひゃくごじゅうごかくけい、にひゃくごじゅうごかっけい)は、多角形の一つで、255本の辺と255個の頂点を持つ図形である。内角の和は45540°、対角線の本数は32130本である。

タイトル: 二十角形
二十角形(にじゅうかくけい、にじっかっけい、Icosagon)は、多角形の一つで、20辺の辺と20個の頂点を持つ図形である。内角の和は3240°、対角線の本数は170本である。

タイトル: 二百五十六角形
二百五十六角形(にひゃくごじゅうろくかくけい、にひゃくごじゅうろっかっけい)は、多角形の一つで、256本の辺と256個の頂点を持つ図形である。内角の和は45720°、対角線の本数は32384本である。

タイトル: 百二十八角形
百二十八角形(ひゃくにじゅうはちかくけい、ひゃくにじゅうはちかっけい、hecatonicosioctagon)は、多角形の一つで、128本の辺と128個の頂点を持つ図形である。内角の和は22680°、対角線の本数は8000本である。

タイトル: 二百五十七角形
二百五十七角形(にひゃくごじゅうしちかくけい、にひゃくごじゅうななかっけい)は、多角形の一つで、257本の辺と257個の頂点を持つ図形である。内角の和は45900°、対角線の本数は32639本である。

タイトル: 二十七角形
二十七角形(にじゅうしちかくけい、にじゅうななかっけい、icosiheptagon)は、多角形の一つで、27本の辺と27個の頂点を持つ図形である。内角の和は4500°、対角線の本数は324本である。

タイトル: 八十角形
八十角形(はちじゅうかくけい、はちじゅうかっけい、octacontagon)は、多角形の一つで、80本の辺と80個の頂点を持つ図形である。内角の和は14040°、対角線の本数は3080本である。

タイトル: 五百角形
五百角形(ごひゃくかくけい、ごひゃくかっけい、pentahectogone)は、多角形の一つで、500本の辺と500個の頂点を持つ図形である。内角の和は89640°、対角線の本数は124250本である。

タイトル: 千角形
千角形(せんかくけい、せんかっけい、chiliagon)は、多角形の一つで、1000本の辺と1000個の頂点を持つ図形である。内角の和は179640°、対角線の本数は498500本である。

タイトル: 百八角形
百八角形(ひゃくはちかくけい、ひゃくはちかっけい、hectaoctagon)は、多角形の一つで、108本の辺と108個の頂点を持つ図形である。内角の和は19080°、対角線の本数は5670本である。

タイトル: 百九角形
百九角形(ひゃくきゅうかくけい、ひゃくきゅうかっけい、hectaenneagon)は、多角形の一つで、109本の辺と109個の頂点を持つ図形である。内角の和は19080°、対角線の本数は5777本である。

タイトル: 十角形
十角形(じっかくけい、じっかっけい、英: decagon)は、多角形の一つで、10本の辺と頂点を持つ図形である。内角の和は1440°、対角線の本数は35本である。

タイトル: 四百角形
四百角形(よんひゃくかくけい、よんひゃくかっけい、tétrahectogone)は、多角形の一つで、400本の辺と400個の頂点を持つ図形である。内角の和は71640°、対角線の本数は79400本である。

タイトル: 外接円
共円奇数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、それが正多角形となることである。共円偶数角形の全ての角の角度が等しくなるための必要十分条件は、辺の長さが交互に等しい(つまり、各辺に対しそれに隣接する二つの辺同士の長さが互いに等しい)ことである。辺の長さと面積がすべて有理数となるような共円五角形はロビンスの五角形(英語版)と呼ばれ、知られているすべての場合で対角線もすべて長さが有理数である。偶数 n に対する任意の共円 n-角形について、その角を交互に二つの組に分けるとき、それぞれの組に属する角の和をとればそれらは互いに等しい(「奇数番目の角の和」=「偶数番目の角の和」)。このことは n = 4 の場合から数学的帰納法で証明することができる。

タイトル: 三十角形
三十角形(さんじゅうかくけい、さんじゅうかっけい、triacontagon)は、多角形の一つで、30本の辺と30個の頂点を持つ図形である。内角の和は5040°、対角線の本数は405本である。

タイトル: 十五角形
十五角形(じゅうごかくけい、pentadecagon)は、多角形の一つで、15本の辺と頂点を持つ図形である。内角の和は2340°、対角線の本数は90本である。

タイトル: 円外接多角形
多角形の辺数 n が奇数ならば、任意に与えられた辺長の組 a1, ..., an に対して、上記の判定法により、そのような辺長を持つ接多角形がただ一つ存在する。しかし n が偶数の場合には、そのような接多角形は無数 (infinitude) に存在する。例えば、すべての辺が同じ長さを持つ四辺形の場合、任意の角度の鋭角を持つ菱形が作れて、内接円に接する。

タイトル: 二十六角形
二十六角形(にじゅうろくかくけい、にじゅうろっかっけい、icosihexagon)は、多角形の一つで、26本の辺と26個の頂点を持つ図形である。内角の和は4320°、対角線の本数は299本である。

タイトル: 十二角形
十二角形(じゅうにかくけい、じゅうにかっけい、dodecagon)は、多角形の一つで、12本の辺と12個の頂点を持つ図形である。内角の和は1800°、対角線の本数は54本である。

タイトル: 三十四角形
三十四角形(さんじゅうよんかくけい、さんじゅうよんかっけい、triacontatetragon)は、多角形の一つで、34本の辺と34個の頂点を持つ図形である。内角の和は5760°、対角線の本数は527本である。

タイトル: 四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形
四十二億九千四百九十六万七千二百九十五角形(4,294,967,295かくけい、よんじゅうにおくきゅうせんよんひゃくきゅうじゅうろくまんななせんにひゃくきゅうじゅうごかっけい)は、多角形の一つで、4294967295本の辺と4294967295個の頂点を持つ図形である。内角の和は773094112740°、対角線の本数は9223372026117357570本である。特筆すべきは、正4294967295角形は定規とコンパスによる作図が可能、ということである。作図可能な正多角形は無数に存在するが、正多角形の作図法は正奇数角形の場合に帰着されるのであり、正4294967295角形は作図可能な正奇数角形のうちでおそらく辺の個数が最大のものである。実際、正 n 角形が作図可能であるような奇数 n は、以下の31個のみが知られており、これで全てだろうと予想されている。

タイトル: 正多角形
もっとも角が少ないのは正二角形である。二角形は必ず正二角形になる。この幾何学上の正三角形は、内角の和は180°より大きく、ユークリッド幾何学上のルーローの三角形と同じ図形である。

タイトル: 四十八角形
四十八角形(よんじゅうはちかくけい、よんじゅうはちかっけい、tetracontaoctagon)は、多角形の一つで、48本の辺と48個の頂点を持つ図形である。内角の和は8280°、対角線の本数は1080本である。

タイトル: 九十角形
九十角形(きゅうじゅうかくけい、きゅうじゅうかっけい、enneacontagon)は、多角形の一つで、90本の辺と90個の頂点を持つ図形である。内角の和は15840°、対角線の本数は3915本である。

タイトル: 七十角形
七十角形(ななじゅうかくけい、ななじゅうかっけい、heptacontagon)は、多角形の一つで、70本の辺と70個の頂点を持つ図形である。内角の和は12240°、対角線の本数は2345本である。

タイトル: 五十四角形
五十四角形(ごじゅうよんかくけい、ごじゅうよんかっけい、pentacontatetragon)は、多角形の一つで、54本の辺と54個の頂点を持つ図形である。内角の和は9360°、対角線の本数は1377本である。

タイトル: 十九角形
十九角形(じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、Enneadecagon、enneakaidecagon や nonadecagon とも)は、多角形の一つで、19本の辺と19個の頂点を持つ図形である。内角の和は3060°で、対角線の本数は152本である。

タイトル: 一角形
一角形 (いちかくけい、いっかっけい、henagon, monogon ) は多角形の一つで、1本の辺と1個の頂点を持つ図形である。シュレーフリ記号では{1}と表される。一角形は1つの辺と1つの内角しかもたないため、定義より全ての一角形は正一角形になる。ユークリッド幾何学では、辺の長さが無限大に発散してしまうため、存在しえないと考えられるが、球面幾何学では、辺を大圏コース上に設定することで、有限の一角形を描くことができる。2つの一角形は球面上で二面角を構成するが、これはシュレーフリ記号では{1,2}と表される。

タイトル: 四十九角形
四十九角形(よんじゅうきゅうかくけい、よんじゅうきゅうかっけい、tetracontaenneagon)は、多角形の一つで、49本の辺と49個の頂点を持つ図形である。内角の和は8460°、対角線の本数は1127本である。

タイトル: 正多角形
もっとも角が少ないのは正三角形であり、内角の和は180°より小さい。

タイトル: 八十五角形
八十五角形(はちじゅうごかくけい、はちじゅうごかっけい、octacontapentagon)は、多角形の一つで、85本の辺と85個の頂点を持つ図形である。内角の和は14940°、対角線の本数は3485本である。

タイトル: 万角形
万角形(まんかくけい、まんかっけい、myriagon)は、多角形の一つで、10000本の辺と10000個の頂点を持つ図形である。内角の和は1799640°、対角線の本数は49985000本である。

タイトル: 百四十四角形
百四十四角形(ひゃくよんじゅうよんかくけい、ひゃくよんじゅうよんかっけい、hecatotetracontatetragon)は、多角形の一つで、144本の辺と144個の頂点を持つ図形である。内角の和は25560°、対角線の本数は10152本である。

タイトル: 三十八角形
三十八角形(さんじゅうはちかくけい、さんじゅうはちかっけい、triacontaoctagon)は、多角形の一つで、38本の辺と38個の頂点を持つ図形である。内角の和は6480°、対角線の本数は665本である。

タイトル: 六十八角形
六十八角形(ろくじゅうはちかくけい、ろくじゅうはちかっけい、hexacontaoctagon)は、多角形の一つで、68本の辺と68個の頂点を持つ図形である。内角の和は11880°、対角線の本数は2210本である。

タイトル: 四十角形
四十角形(よんじゅうかくけい、よんじゅうかっけい、tetracontagon)は、多角形の一つで、40本の辺と40個の頂点を持つ図形である。内角の和は6840°、対角線の本数は740本である。

タイトル: 五角形
五角形は1つ、2つまたは3つの直角を持つことが可能であり、通常五角形は4つや5つの直角はは持つことができない。しかし、双曲幾何学においてはすべての内角が直角の五角形を描くことができる。五角形の2つの直角と3つの直角には、2つの種類があり、直角は、連続する場合と連続しない場合がある。正五角形には直角は無いため、直角五角形ではない。5つの角の大きさが全て等しい五角形。等角五角形の1つの角の大きさは108°になる。すべての凸五角形において、対角線の平方の合計は、辺の平方の合計の3倍未満である。五角形の角度の少なくとも1つが180°を超える場合、凹五角形になる。