質問: 江戸時代の数学者・吉田光由が著書『塵劫記』の中で初めて記した、日本の数の単位で最も大きい10の68乗を1とする単位は何?
回答: 無量大数

タイトル: 巨大な素数の一覧
2018年12月時点で素数であることが確認されている最大の数は 2 − 1 で表される数で、十進法表示では 24,862,048 桁の数である。この素数は2018年に GIMPS により発見された。この素数を印字すると※ 上記は先頭と末尾それぞれ120桁のみの表示でしかない。

タイトル: 粟 (単位)
粟(ぞく)は、日本の尺貫法および中国における歴史上の体積の単位である。「粟」の漢字はアワを意味する。日本の尺貫法では『塵劫記』により圭の10分の1と定義され、したがって1粟は1勺の1万分の1、メートル法に換算して約1.8039μLとなる。一方、中国の『孫子算経』では圭の6分の1となっている。

タイトル: じょ
当初は、10倍ごとに位取りの名称を定める「下数」が行われていたので、「秭」は 10 となる。「秭」は『詩経』周頌に見え、経典に使用例のある最大の数である。ベトナム語で、10(現在ベトナム以外の漢字文化圏で行われる万進でいうところの「十億」)のことを「tỷ」というが、これは「秭」の漢字音であり、下数に当たる。後に行われた「上数」では、秭は垓 (10) の垓倍で 10 を指した。「中数」の万万進では垓 (10) の億倍で 10、万進では垓 (10) の万倍で 10 となる。しかし下数以外で「秭」はほとんど使われることがない。10 のような巨大な数をどのように表現するかは中華人民共和国で議論がある(垓を参照)が、科学的目的には指数表記を用いるので問題はない。日本では江戸時代に万進に統一されたので 10 となり、かつて日本統治下にあった台湾・韓国でも秭は 10 となった。

タイトル: 渺
渺(びょう)は、10(1000億分の1)であることを示す漢字文化圏における数の単位である。埃の1/10、漠の10倍に当たる。国際単位系では0.01ナノまたは10ピコに相当する。謝察微『算経』や程大位『算法統宗』では「塵」までを大きな字で示し、「埃」以下は小さく記すのみである。現実には使われない。謝察微『算経』では「渺」までが載っている。『塵劫記』には見えない。なお、渺という字は、「水面などが限りなく広がり、遥かに霞んでいる」という意味を持つ。

タイトル: 清浄 (数)
清浄(せいじょう)は、10(10垓分の1)であることを示す漢字文化圏における数の単位である。「清」(せい)と「浄」(じょう)の2つに分ける場合もある。虚空の1/10に当たる。現実には使われない。朱世傑『算学啓蒙』、程大位『算法統宗』、『御製数理精蘊』などの載せる最小の数の単位である。メートル法のSI接頭語ではゼプト (z) に相当するが、現在の中国では音訳して「仄(zè)」(中国)または「介(jiè)」(台湾)と呼ぶ。

タイトル: 階乗素数
2022年1月現在49個の階乗素数が知られており、その中で最大のものは 308084! + 1 である。十進法表示したときの桁数は144万9771桁にも及ぶ。

タイトル: 塵劫記
その根拠として「『新篇塵劫記』の出版された寛永18年(1641年)に東大寺大仏殿は存在しないが、方広寺大仏殿は存在していること」「作者の吉田光由は京都在住であること」「江戸時代に単に大仏と言えば、少なくとも京都では方広寺大仏を指していたこと」を挙げている(補注:林は指摘していないが、『新篇塵劫記』の大仏殿の挿し絵には唐破風が描かれているが、鎌倉時代再建の東大寺2代目大仏殿に唐破風はないとするのが通説であるので、挿し絵からも東大寺大仏殿ではないことが分かる)。大仏殿の寸法が記載されていないことについては、当時方広寺大仏殿は日本一の高さ・規模を誇っていた著名な建造物であり、都名所図会などの出版物に方広寺大仏殿の主要寸法も記載されていたので、それらから容易に寸法を知ることができたためでないかとしている。

タイトル: 十八進法
十八進法(じゅうはちしんほう、Octodecimal)とは、18 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 穣
穣(じょう)は漢字文化圏における数の単位の一つ。穣がいくつを示すかは時代や地域により異なるが、現在一般的に行われている万進法では10(10の28乗)を示す。

タイトル: グーゴル
万進では最大に書き表せるのが千無量大数( 10 )であるため1グーゴルに相当する数を表せないが、万万進なら1グーゴル=1万恒河沙とすることができる。

タイトル: 載
後漢の徐岳の著と伝えられる『数術記遺』や北周の甄鸞『五経算術』には、載までの位の命数法が記載されており、また「下数」「中数(万万進)」「上数」の3つの位取り方法を記している。載は、下数では 10、上数では 10 4 × 2 10 = 10 4096 {\displaystyle 10^{4\times 2^{10}}=10^{4096}} 、中数の万万進では 10、万進では 10 となる。元の朱世傑による『算学啓蒙』で載を超える極以上の位が加えられた。日本で初めて命数を体系的に説明した『塵劫記』の1627年の初版では、載までを下数としていた。よって載は 10 となる。その後、1631年(寛永8年)版で載以下を万進とし、載は 10 となった。

タイトル: 密度
1640年の今村知商『因帰算歌』には『塵劫記』の密度表を訂正した数値が載せられている。今村知商は『塵劫記』の密度表を5/6倍して、単位を換算しようとした。この結果金の密度は正しい値に近づいたが、鉄・鉛・銅の密度は『塵劫記』よりも悪くなってしまった。1660年代には和算書の密度表は著しく多様化した。同じ純物質の密度の値が異なれば、当然そのどれが一番真の値に近いかが問題になってくる。1684年には『増補算法闕擬抄』が同一の物質の密度について複数の数値をあげて、読者の疑問を喚起した。貞享四年(1687年)には『改算記綱目』が金の密度測定法を取り上げた。その中の「金重或問」で答として「金小判の一立方寸あたりの重さを測定するには、まず目盛りが施されている器物に金小判を何十両か多く入れ、その上から水をいっぱいに入れる。

タイトル: 1 E18
数の指数表記で、1E18とは、1,000,000,000,000,000,000(百京、10の18乗)のこと。10 - 10 (100京 - 10垓)の数のリスト

タイトル: 10の冪
10の冪(じゅうのべき)または10の累乗数(じゅうのるいじょうすう)とは、適当な整数 n を選べば、10 の n 乗 (10) の形に表せる数の総称である。

タイトル: 十進法
十進法(じっしんほう、じゅっしんほう、英: decimal system)とは、10 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 撮
撮(さつ、cuō)は、中国及び日本の伝統的な体積の単位であり、現代中国では勺の1/10、日本では勺の1/100である。市制ではちょうど1cmにあたる。文字通りには「ひとつまみ」という意味である。歴史的に「撮」の量はさまざまであった。たとえば『漢書』律暦志とその注によると、「勺」はキビ1200粒を入れる容積で、「撮」はキビ256粒を入れる容積であった。また、『孫子算経』では「撮」は「勺」の1/100である。日本では、『塵劫記』の値を用いているが、これも『孫子算経』に同じである。すなわち、1抄(1才)の10分の1(別名:弗(ふつ))となり、メートル法換算で約0.18039ミリリットルとなるが、日本の旧計量法施行法では「勺」未満の単位は定義されていない。これを更に10分の1にすると圭となる。

タイトル: 兆
日本などの1兆 (10) は、英語圏のShort scaleでは Trillion 、Long scaleでは Billion と呼ぶ。千進の英語圏Short scale、万進の漢字圏、百万進のLong scaleで単位があがる数である。これは他に𥝱(秭)、澗、極、那由他(指数が12の倍数となる10の累乗数)が該当する。

タイトル: 永
永(えい)とは、日本における永楽通宝(永楽銭)の略称。もしくは、永楽通宝から派生した貨幣の計算単位。江戸時代には1両の1000分の1を意味していた。

タイトル: 十一進法
十一進法(じゅういちしんほう、undecimal)は、11 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 塵劫記
従来『新篇塵劫記』の「大仏の堂」の問題は、京都の方広寺大仏殿(1798年に落雷で焼失)が江戸時代に存在していたことが世間一般にあまり知られていなかったことから、「大仏の堂」は、当時滅失していた東大寺大仏殿(鎌倉時代再建の2代目)を指し、「577,500石」を導きだす計算式が記載されていないのは、作者の吉田光由が考えた問題ではなく、東大寺大仏殿が存在した頃に作られた問題で、古くからの伝承をそのまま記載したためであろうとされてきた。しかし数学者の林隆夫は「大仏の堂」は方広寺大仏殿を指し、東大寺大仏殿ではないとした 。

タイトル: 福田理軒
1878年から1879年にかけては算数の初歩から分かり易く説明し、1886年には文部省の小学校指定教科書となった『明治小学塵劫記』を著す。また、同年には日本で最初に数学史の本としてまとめ上げた書物である『算法玉手箱』を著した。理軒はその後、大阪に戻ったが、帰阪した理由及び生活は不明である。その他の著書として『規尺便覧』、『順天堂算譜』が挙げられる。

タイトル: ねずみ算
ねずみ算(ねずみざん)は和算の一つで、「ある期間に、ネズミがどれだけ増えるか」ということを計算する問題である。初出は吉田光由が著した『塵劫記』とされている。ねずみ算の結果は膨大な数となるため、「急激に数が増えること」を「ねずみ算式に増える」と表現することがある。なお、ネズミ講の語源はねずみ算からきている。文部科学省が定める学習指導要領には、ねずみ算としての指導要領は盛り込まれていない。

タイトル: 1/10
1/10(10分の1、じゅうぶんのいち)は、有理数のうち0と1の間にある数であり、10の逆数である。

タイトル: 遺題継承
遺題継承の起源は江戸時代の和算家である吉田光由であり、光由の著書『塵劫記』(1641年(寛永18年)版)の巻末に答えのない12の問題を提示し「実力ありと思うものは、これを解いてみよ」との記載があったのが最初である。なお、『塵劫記』に掲載されてある光由の遺題の解答を初めて公開したのは和算家の榎並和澄である。後の学者に対する出題を当時は「好み」「遺題」と呼び、遺題を解こうとする学者が研究してその答えを自分の著書に載せる。その後は自分も新たな問題を作成し、自身の著書に掲載して後世に受け継がれていった。初期は算数を用いれば解ける問題ばかりであったが、受け継がれていくに連れて遺題が難しくなり、高次方程式の問題に対して算木を用いる代数(天元術)の研究が、沢口一之らによって始まる。沢口はこの方法で対応できない、未知数が多数ある高次方程式の遺題を提示。

タイトル: 兆
兆(ちょう)は漢字文化圏における数の単位の一つ。兆がいくつを示すかは時代や地域により異なる。現在、日本・台湾・韓国・香港では 10 = 1000000000000 を示す。

タイトル: 六十進法
六十進法(ろくじっしんほう)とは、60 を底(てい)とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

タイトル: 匁
江戸時代では両の1/10に相当する分量単位であったが、1891年(明治24年)の度量衡法により貫の1/1000の分量単位と規定され、メートル法に準じて正確に3.75 gとされた。現行の計量法でもこの換算値が維持されているが、単位名称「もんめ」は「真珠の質量の計量」にのみ限定して使用することができ、それ以外の商取引における使用は禁止されている。日本でも明治時代以前は銭(戔、せん)と呼ばれ、中国語圏では現在も銭(中国語: 錢/钱 拼音: qián チエン)と呼ぶ。また、いくつかの国ではまた別の呼び名をする。それらの単位についてもあわせて解説する。10匁・10銭は両(りょう)に、160匁・160銭(例外あり)は斤(きん)に、1000匁は貫(かん)に等しい。

タイトル: 吉田光由
吉田 光由(よしだ みつよし、慶長3年〈1598年〉 - 寛文12年11月21日〈1673年1月8日〉)は、江戸時代前期の和算家である。

タイトル: 実数
紀元前1000年頃のエジプトで帯分数がすでに使われており、紀元前600年頃のインド「シュルバ・スートラ」(サンスクリット語で「コードの規則」)では無理数の使用や円周率の近似値として 3.16 が与えられている。数の体系としての実数をとらえる試みは古代ギリシャにおける「大きさの理論」にさかのぼることができる。この「大きさ」とは大小比較や加法、自然数倍ができるようなものとして定式化される。幾何学における線分の長さなどがこの大きさの理論を適用できる概念になるが、こうして考えられた量が自然数(あるいは整数)の比である有理数だけではとらえきれないという紀元前500年頃のピタゴラス学派による発見は大きな意義をもっていた。6世紀にはインドの数学者によって負数の概念が発明されており、ほどなくして中国の数学者たちも独立にその概念を発明した。

タイトル: 自然数
しかし、0 を表す文字がなかったため、例えば 10203 は 0 を空白にして "1 2 3" と正しく表記できるが、10200 は "1 2" となって 102 と区別できない欠点があった。オルメカとマヤの文明では紀元前1世紀までには、数字を離して 0 の桁を表す方法が独立に用いられていた。抽象的な概念としての数の体系的な最初の研究は、古代ギリシアにおいてなされ、数論が高度にまで発達した。古代ギリシアの数学者エウクレイデスが編纂した『原論』の第7巻の冒頭で数の定義がなされている。これは定規とコンパスによる作図で数を定義したものと解釈できる。すなわち、任意に与えた線分の長さを単位として 1 を定義する。そして、その線分を延長した直線上で単位を半径とする長さをコンパスで測り、その直線上でその単位を半径とする円との交点を作図し、その円の直径を 2 と定義する。

タイトル: 自然数
自然数は「ものを数える言葉」を起源とし、1 から始まる正の数であったと推定されている。文明が起こり、数字が考え出されたとき、ローマ数字、ギリシア数字、エジプト数字、バビロニア数字、マヤ数字、漢数字、等のどれもが1から始まる正の数字であった。つまり、「物がある」という概念を量的に表そうとしたのが数であり、「物がない」という概念は「無い」という言葉で充分だった。最初の大きな進歩は、数を表すための記数法の発明であり、これで大きな数を記録することが出来るようになった。古代エジプト人は 1 から百万までの 10 の累乗それぞれに異なるヒエログリフを割り当てる記数法を用いていた。バビロニアでは、数字を離して表記することでその桁が 0 であることを示す六十進法の位取り記数法に似た方法が開発された。

タイトル: 塵 (数)
塵(じん)は、小数を表す9番目の漢数字である。北宋のものと言われる謝察微の『算経』に小数の名として見え、その後の算術書にも記されてはいるが、現実に使われることはほとんどない。沙の1/10、埃の10倍に当たる。この値は、英語の billionth、SI接頭語のナノ (n) と等しいが、現在の中国では「ナノ」には音訳の「納(nà)」を用いる。

タイトル: 命数法
中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。中国の算術書である後漢の徐岳『数術記遺(中国語版)』や北周の甄鸞『五経算術(中国語版)』に、大数の単位が記されているが、当時は載までであり、また𥝱は本来は秭であり、それが日本の『塵劫記』で字形が変化したものである。これらの文献によると、万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である。当初は万(10)を区切りとして十万(10)、百万(10)、千万(10)まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億(10)、兆(10)、と名付けていた。これを下数(かすう)と呼ぶ。漢代あたりから、上数(じょうすう)が文献に記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億(10)であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆(10)、兆兆が京(10)となる。

タイトル: 数秘術
東洋占星術では風水や姓名判断を用いて占う。風水では8が最大吉数であり、他には15・24・31・32・52が最大吉数である。世界規模では168・358が最大吉数とされている。「8」は無限大「∞」を意味し、最高の吉数とされている(ただし五行思想を重視した姓名判断などにおける判断では五行についての考慮も必要)。八卦は古代中国から伝わる易経における8つの基本図像であり、九星では中央を除いた方位の合計は8方位となる。日本でも八百万の神・八咫鏡・八咫烏など8は重要な数字とされている習わしが存在する。168は東洋占星術だけではなく世界規模で大吉数とされている。358については以下の事例が挙げられる。ここでは西洋の事例や583・835などの別配置の事例についても記述する。西洋占星術においては、数秘術の創始者は一般的にピタゴラスの定理で有名なピタゴラスと言われている。

タイトル: 不可思議 (数)
不可思議(ふかしぎ)は漢字文化圏における数の単位のひとつでもある。単位の場合は「不思議」とは略さず「不可思議」と長い形で用いる。不可思議が具体的にいくつを示すかという問いは、時代や地域により異なっており、また、現在でも人により解釈が分かれる。一般的には 10 を指すと考えられているが、10 とする人もいる。語源は名のとおり、思ったり、議論したりすることが不可なほど大きい数字、という関係から名づけられた。

タイトル: 命数法
実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。その後、千万の次を億とし、十億(10)、百億(10)と続けていく方法が考案された。これを中数(ちゅうすう)という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万(10)倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億(10)、万億(10)、十万億(10)と続き、億の万万倍を兆(10)、兆の万万倍を京(10)とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆(10)とする万進(まんしん、万進法(まんしんほう))に移行した。元の朱世傑による算学啓蒙で初めて、極以上の単位(そのうち恒河沙以上は仏教に由来する名称)が加わったが、当時不可思議の上は無量大数ではなく無量数であり、明の程大位による算法統宗でも同様であった。