質問: 古代ギリシャの数学者の名前がついた「ヘロンの公式」とは、三角形の三辺の長さから三角形の何を求める公式?
回答: 面積

タイトル: ヘロンの公式
ヘロンの公式(ヘロンのこうしき、英: Heron's formula)とは、3辺の長さが a, b, c などと分かっている三角形の面積 S を求める公式のことである。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる。

タイトル: ヘロンの公式
この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。しかし、円に内接するn角形について面積をその辺の長さから求める代数的な公式は n ≥ 5 では存在しないことが知られている。

タイトル: ヘロンの三角形
幾何学においてヘロンの三角形(ヘロンのさんかくけい)とは、3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。

タイトル: ヘロンの公式
ヘロンの公式 ― 3辺の長さが a, b, c である三角形の面積 S はまた、以下のような s を用いない表記もある。

タイトル: ブラーマグプタの公式
ブラーマグプタの公式は、7世紀にインドの数学者ブラーマグプタがヘロンの公式の一般化として得た定理である。ヘロンの公式は三角形の3辺の長さから三角形の面積を求める公式であるが、ブラーマグプタの公式は四角形の 4辺の長さから四角形の面積を求める公式である。ただし、 3辺の長さが等しい三角形同士は合同になることから、三角形は 3辺の長ささえ分かれば形が確定し面積が決まるが、四角形の場合は辺の長さだけが決まってもその形を決めることはできず面積は決まらない。したがって、ブラーマグプタの公式では円に内接する四角形であるという条件を付けることで四角形の面積を確定することになる。しかしながら、ブラーマグプタ自身は円に内接するという条件を明示していないため、不正確な公式としてのみ記録に残っている。

タイトル: ヘロンの三角形
ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる。m, n, k は以下の条件を満たす整数である。上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。

タイトル: 三角形
平面図形である多角形には内部と外部があり、面積を考えることができる。中でも基本的である三角形の面積の求め方は、基本的なものだけでもいくつかが知られている。どの式で求めるかは、分かっている量(辺の長さや内角など)に応じて使い分ければよい。1つの辺、またはその延長線と直角に交わる直線をその辺に立てた垂線といい、垂線と、その辺またはその延長の交点を垂線の足または垂足という。1つの辺に立てた垂線が、それに対する頂点を通るとき、垂線の足とその頂点を結んだ線分をその三角形の高さという。高さは 3つの辺それぞれに対して定義できる。頂点 A の対辺 a に対する高さを ha とするとき、面積 S は3辺の長さを a, b, c とするとき、面積 S はとなるが、少し複雑なので、で求められる。これをヘロンの公式と呼ぶ。しかし、数値計算する上で、上記でない形式の方が計算しやすい場合もある。

タイトル: ヘロンの公式
ヘロンの公式の3次元版として、四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。3次元版ヘロンの公式 ― 6辺の長さが l 1 , l 2 , ⋯ , l 6 {\displaystyle l_{1},l_{2},\cdots ,l_{6}} である四面体の体積 V {\displaystyle V} は

タイトル: ヘロンの三角形
全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数(整数)なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。この三角形の面積の式は以下の通りである。この式を a ついて解くと以下のようになる。仮定より A {\displaystyle A} と b + d {\displaystyle b+d} が整数なので、a も有理数である。ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。上の式から下の式を引いて変形する。c, e, b + d は整数なので b - d も有理数となる。なので、b, d も有理数となる。

タイトル: ヘロンの三角形
n = 2x と変換すると、ペル方程式 x − 3y = 1 が得られる。この解は√3の連分数展開によって得られる。

タイトル: ヘロンの三角形
すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数(この場合は5)をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。

タイトル: リュイリエの公式
リュイリエの公式(リュイリエのこうしき、英語: L'Huilier's formula)は、単位球における任意の球面三角形の3辺 a, b, c の長さから球過量 E を求める公式。アドリアン=マリ・ルジャンドルが18世紀末に発表した著書『Eléments de géométrie』の中で「この非常にエレガントな式はサイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエによる」旨の言及をしていることから彼に帰せられる。

タイトル: ヘロンの公式
三角比、余弦定理、因数分解を用いた証明。△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。このとき△ABCの面積 S は、△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを h とする。この時△ABC の面積を S とすると h は、(±は鈍角三角形と鋭角三角形の場合分けを省くためである。)ピタゴラスの定理より、と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、この式を S について解いた正の方が解である。ピタゴラスの定理より、(5)の式を(6)の式に代入して、hを消すと、(7)の式を(5)の式に代入して、

タイトル: リュイリエの公式
この公式は単位球における球面三角形の球過量 E を求めるものであるが、球過量は任意の球における球面三角形の面積に直接的に関係することから、リュイリエの公式は平面三角形におけるヘロンの公式の球面三角形版に相当している。

タイトル: ニコロ・フォンタナ・タルタリア
タルタリアは、4つの頂点の間の距離を用いて三角錐の体積を表すタルタリアの公式を考案したことでも知られる。ここで d i j {\displaystyle d_{ij}} は頂点 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} との間の距離を表す。これは三角形におけるヘロンの公式を一般化したものである。

タイトル: パスカルの三角形
ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。イタリアでは、三次方程式の解法で知られるニコロ・フォンタナ・タルタリアにちなみ「タルタリアの三角形」と呼ばれる。なお、「タルタリアの三角形」にはブレーズ・パスカルは1655年に発表した『Traité du triangle arithmétique』の中でこの三角形について言及している。彼はこの中で今までに知られていた結果をまとめ、確率論の研究に利用している。パスカルより後の数学者では、アブラーム・ド・モアブルらが「算術の三角形」と呼んでいる。

タイトル: ヘロンの三角形
3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある(面積は 12)。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形(3辺の長さは c , e , b + d )の面積は A = 1 2 ( b + d ) a {\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a} となる。a が偶数であれば A は整数である。a が奇数の場合、b と d が共に偶数となる。b+d が偶数なので、A は整数となる。

タイトル: ヘロンの三角形
面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。(5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。

タイトル: 三角法
ヘレニズム時代のアレクサンドリアの数学者は、おそらくは上述のような精緻な観測記録を利用して、円における円周角とそれによって定義される弦の長さとの関係に関する体系的な研究を始めた。プトレマイオスによると、前2世紀、ニカイアのヒッパルコスが7・1/2°刻みの円周角と弦の長さの表を作成したという。ヒッパルコスは作成した数表を用いて、球面を平面にステレオ投影し、球面上の幾何学的な問題を解こうとしたとみられる。これに対して、1世紀のアレクサンドリアのメネラウスは、球面三角法を概念化した。2世紀のプトレマイオスはメネラウスの球面三角法の考え方を天文学に応用した。プトレマイオスは、大著『アルマゲスト』の第1巻11章に詳細な三角法に関する表(英語版)を示した。これは本質的にはヒッパルコスのものと同じく、円周角とその弦長の関係を示したものであるが、より正確であり、また、はるかに使いやすかった。

タイトル: アレクサンドリアのヘロン
アレクサンドリアのヘロン(ヘーローン・ホ・アレクサンドレウス、古希: Ἥρων ὁ Ἀλεξανδρεύς、英: Heron of Alexandria、紀元10年ごろ? - 70年ごろ?)は、古代ローマ属州エジプト(アエギュプトゥス)のアレクサンドリアで活動したギリシャ人工学者、数学者。より古代ギリシア語音に近い表記として、アレクサンドリアのヘーローンともする。一説にはクテシビオスの弟子(師弟関係ではなく、クテシビオスの著作からアイディアを得たとする説もある)。蒸気の圧力を利用したさまざまな仕掛けを考案した(ただし、蒸気機関の発明には至らなかった)。主な発明に、蒸気タービンや、蒸気を使って自動で開く扉などがある。数学では測量法の改良者として知られる。また、著書 Metrica においてヘロンの公式の証明を与えた。

タイトル: ハーコートの定理
ハーコートの定理(Harcourt's theorem)とは三角形の面積に関する定理である。この定理はアイルランドの教授のJ. Harcourtにちなんで命名された。

タイトル: ヘロンの三角形
辺の長さが整数である正三角形の面積は無理数となるので、全ての正三角形はヘロンの三角形ではない。3辺の長さが公差1の等差数列をなす「正三角形に近い」ヘロンの三角形は無限に存在する(オンライン整数列大辞典の数列 A003500)。以下に最初のいくつかを示す。中央の値 n は、前の n を4倍してもう1つ前の n を引いたものになっている(52 = 4 × 14 − 4, 194 = 4 × 52 − 14, etc.)。漸化式で表すと以下のようになる。この数列はリュカ数列の一種であり、 n = ( 2 + 3 ) t + ( 2 − 3 ) t {\displaystyle n=(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}} と表すこともできる。面積 = A, 内接円の半径 = yとおくと、となり、{n, y} の組は n − 12y = 4 を満たす。

タイトル: 三次方程式
古代バビロニアでは、数表を用いて三次方程式の解の近似値を得ていた。古代ギリシアでは、三大作図問題の一つとして知られる立方体倍積問題が、キオスのヒポクラテスによって、与えられた 2 つの数 p, q からとなる数 x, y を求めるという、比の問題に帰せられた。メナイクモスは、ヒポクラテスのアイデアから円錐曲線を思いつき、立方体倍積問題を円錐曲線による作図によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題はの形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の一つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の解の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、プラトンの束縛の下で作図できる曲線ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
α, β, γ が三角形の3つの角の大きさのとき、即ち α + β + γ = π を満たす場合、以下の式が成り立つ。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
正弦関数と余弦関数において、値が n / 2 {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {n}}/2} (ただし 0 ≤ n ≤ 4)の形になるものは、覚えやすい値である。一部の角に対する値は、黄金比 φ を用いて表すことができる。ユークリッドは原論13巻で、正五角形と同じ長さの辺を持つ正方形の面積は、同じ円に内接する正六角形と正十角形の辺の長さを持つ2つの正方形の和に等しいことを示した。これを三角関数を用いて書くと以下のようになる。

タイトル: リュイリエの公式
リュイリエの公式 ― 単位球において、3辺の長さが a, b, c である球面三角形の球過量 E は

タイトル: 三角法
古代インドの数学にメソポタミアやギリシアの影響は比較的少ないが、三角法に関しては例外で、用語や無理数の近似値の類似などの観点から、ギリシアに由来すると推測されている。しかしながら、古代インドに伝わったギリシア天文学及びそれに付随する三角法はヒッパルコスの時代までのものであり、メネラオスやプトレマイオスの球面三角法は伝わらなかった。5世紀の天文学者アーリヤバタが著した『アーリヤバティーヤ(英語版)』は、著者が確実に判明しているインド最古の天文学書である。同書は2行一連のサンスクリット語による韻文の形式で書かれ、単位円における円周角の半分と弦の半分(すわなち正弦)との関係についての言及がある。ギリシア数学的な円周角と弦長の関係に着目する視点から、円周角と正弦との関係に注目する視点へとパラダイムが転換した。

タイトル: 斜辺
斜辺(しゃへん、hypotenuse)とは、直角三角形において、直角に対する辺のことである。直角三角形の斜辺は三辺の中で最も長く、その長さはピタゴラスの定理により求めることができる。英語のhypotenuseという言葉は、ギリシア語で「下」という意味のhypo-と「延ばす」という意味のteinein、または「横」という意味のtenuseを組み合わせたὑποτείνουσα (hypoteinousa)という言葉に由来すると言われている。和算においては直角三角形のことを勾股弦、斜辺のことを弦(げん)という(略字の玄が用いられることもある)。

タイトル: モーリーの定理
モーリーの定理とは、三角形に関する幾何学の定理である。1899年にアメリカの数学者フランク・モーリー(英語版)によって証明された。

タイトル: 三角法
球面三角法とは、球面三角形の角と辺の関係を研究する学問である。球面三角形とは球面上の3つの大円の弧により区切られた図形である。大円とは球の中心を通る平面により球を切ったとき、球の切り口に表れる図形である。球面三角形の余弦定理や正弦定理は三角関数により定義される。歴史的に天文学や航海術に利用された。図2.2に示すような球面三角形における、ある角の余弦は、前記球面三角形の各辺により、次のように表せる。上記式と等価な下記式(球面三角法における余弦定理(英語版))は、球面三角法における基本的な公式であり、さまざまな公式が下記式から演繹される。

タイトル: 三角法
任意の三角形の3辺と3角の大きさ(三角形の主要素)を一般的に与えたとき、一部から残りを特定することが、三角法の本来の目的である。任意の三角形は3辺と3角の大きさという6つの要素のうち3つの要素が与えられた場合、他の諸量が決定する場合があるという性質があり、この性質を利用して三角形を特定することを「三角形を解く」(solving triangles)といい、その条件を「三角形の決定条件」という。三角形を解く際に計算を利用する場合、三角関数が現れる。三角形の辺の大きさが与えられている状態を(Sideの)S、角の大きさが与えられている状態を(Angleの)Aと表記することにすると、3辺と3角のうち3つが与えられている状態は、以下の6通りに表せる。