質問: 「サモスの賢人」とも称された古代ギリシャの数学者の名がついた「直角三角形の斜辺の長さの2乗は、他の2辺の2乗の和に等しい」という定理を何という?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: パスカルの三角形
ハイヤームは、二項定理を含むいくつかの定理がこの三角形に含まれることを知っており、n 次の二項展開の係数を求める方法を知っていたと考えられる。イタリアでは、三次方程式の解法で知られるニコロ・フォンタナ・タルタリアにちなみ「タルタリアの三角形」と呼ばれる。なお、「タルタリアの三角形」にはブレーズ・パスカルは1655年に発表した『Traité du triangle arithmétique』の中でこの三角形について言及している。彼はこの中で今までに知られていた結果をまとめ、確率論の研究に利用している。パスカルより後の数学者では、アブラーム・ド・モアブルらが「算術の三角形」と呼んでいる。

タイトル: 合同算術
1621年、クロード=ガスパール・バシェ・ド・メジリアク (1581 - 1638) はディオファントスの本『算術』をラテン語に翻訳し、そこに書かれていた問題について当時の(特にフランスの)数学者が興味を持つこととなる。ピエール・ド・フェルマー (1607 - 1665) は多数の定理を残したが、中でも有名なものは大定理、二平方和定理、小定理の3つであろう。

タイトル: 球と円柱について
アルキメデスが球体の体積の公式を証明するのに用いた議論は、むしろその幾何学に関係しており、現代の多くの教科書にはアルキメデスの時代には存在しなかった極限の概念を用いたシンプルなものが載っている。アルキメデスは半円に内接する半分の多角形を用い、両方とも回転させて球内に錘台の集団を作り体積を決定した。これはアルキメデスがこの結果を導き出すために使用したオリジナルの方法ではなく、ギリシアの数学的伝統において利用できた最高の形式的な議論であるようである。オリジナルの方法はてこの巧妙な利用と関係していたかもしれない。20世紀に再発見されたパリンプセストには、『方法』含むアルキメデスの著作が多数含まれており、『方法』の中で天秤、重心、無限小スライスなどで体積を決定する方法を説明している。

タイトル: ヴィヴィアーニの定理
ヴィヴィアーニの定理(ヴィヴィアーニのていり、Viviani's theorem)は正三角形に関する幾何学の定理である。名前はイタリアの数学者ヴィンチェンツォ・ヴィヴィアーニに由来している。

タイトル: 余弦定理
△ABC において、a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA としたときが成り立つ。これらの式が成り立つという命題を余弦定理、あるいは第二余弦定理という。余弦定理は 1つの内角の大きさとそれをはさむ 2辺の長さが分かっていれば、対辺(残りの辺)の長さが決まるという定理である。このことは三角形の合同条件に対応している。逆に 3辺の長さが分かっていればのように余弦について解くことによって内角の大きさを知ることができる。第二余弦定理において、特に α = π/2 の場合は、cos α = 0 なので、ピタゴラスの定理などが導かれる。すなわち、第二余弦定理は、「一般の三角形に対するピタゴラスの定理」といえる。

タイトル: 直角二等辺三角形
したがって、この垂線の長さは、斜辺の長さの1⁄2となる。ピタゴラスの定理より、隣辺の1辺の長さと斜辺の長さの比は、 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} となることがわかる。隣辺の1辺の長さを x {\displaystyle {x}} とした場合、 x 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}} で面積を求めることができる。また、斜辺の長さのみが分かっている場合でも、斜辺の長さを y {\displaystyle {y}} とし、 y 2 4 {\displaystyle {\frac {y^{2}}{4}}} で面積を求めることができる。したがって、直角二等辺三角形の場合、任意の1辺の長さが分かれば、面積を求めることができる。また、底角は45°であるので、t = 45°として三角比に当てはめた場合、である。

タイトル: オイラーの四辺形定理
オイラーの四辺形定理(オイラーのしへんけいていり)は、凸四角形における辺と対角線の長さの関係を示す定理である。この定理は系として中線定理とピタゴラスの定理を含む。

タイトル: ファウルハーバーの公式
1乗和と2乗和については、アルキメデスの時代から知られていた。3乗和に関してが成り立つことは、歴史上たびたび再発見されている。1世紀の数学者ニコマコスは「n 番目の立方数は n 個の連続した奇数の和である」ことを証明なしに述べており、既知の結果「最初の m 個の奇数の和は m の平方に等しい」と合わせると、3乗和の公式を知っていたとも見なせる。西暦500年頃、アリヤバータは3乗和の公式を明示的に与えた。西暦1000年頃、アル=カラジ(英語版)は図形および数学的帰納法を用いて3乗和の公式を証明した。同じくイスラムの数学者イブン・アル・ハイサムは、4乗和の公式を与えたが、その方法を用いれば何乗和でも求めることができる。フェルマーは、求積法のために冪乗和が重要なことを認識し、一般的な公式およびその証明を得たと述べたが、詳細は明らかにしなかった。

タイトル: 芳賀定理
芳賀定理(はがていり)もしくは芳賀の定理(はがのていり)とは、芳賀和夫が発案した、本来正方形のある辺の二等分点に対辺の端点を折り合わせると、その端点も最初の二等分線も含まない辺に三等分点が得られるという定理のことである。現在、これは芳賀の第1定理と呼ばれ、第3定理まである。芳賀の第2定理とは、正方形のある二等分点と、対辺の端点を結ぶ直線で正方形を折ると、移動した頂点と、最初の二等分点を結ぶ直線は、最初の二等分点も先の端点も含まない辺上に三等分点を描く、という定理のことである。また、この時の折り目の線分と正方形の対角線分の交点を通る、正方形の各辺に対して垂直な直線は、各辺上に三等分点を描く、ということも内包している。

タイトル: 円積問題
キオスのヒポクラテス(英語版)は円積問題に取り組む過程で、いくつかの三日月形(2つの円弧で囲まれた領域)の正方形化を達成している。ソフィストのアンティポンは、円に内接する正多角形に注目した。多角形は正方形化できるので、円の内接多角形の辺の数を倍々に増やして円を正多角形で埋めつくせば円と同じ面積の正方形を求められると彼は主張した。それに対する懐疑的な見方は当時から存在し、ロドスのエウデモスは、"magnitudes cannot be divided up without limit, so the area of the circle will never be used up." (「数量というものは無限分割不可能なのであり、故にその円の面積は決して尽くされはしないのだ」)と反論した。円積問題はアリストパネスの喜劇『鳥』の中にまで登場している。

タイトル: 三角法
レティクスはのちの1400ページを越える三角関数表も作成した。三角関数を直角三角形の辺の長さの比として捉える三角比の概念化もレティクスの業績に帰せられている。レティクスの三角関数表をさらに改善したバルトロマイウス・ピティスクス(英語版)は、1595年に『三角法、あるいは、三角形の解法に関する小論と証明』(Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus)を著し、現在、西洋の諸語で三角法を意味する言葉(例えば、英: trigonometry、露: Тригонометрияなど)の直接の語源となるラテン語の言葉、Trigonometriaを造語した。17世紀に入ると、パリでシャルル9世やアンリ4世に仕えた弁護士のヴィエトがレギオモンタヌスやレティクスの著作に基づいて三角法を研究した。

タイトル: ニュートンの定理
ニュートンの定理 (ニュートンのていり、英語: Newton's theorem) とは、四角形に関する幾何学の定理である。

タイトル: 定規とコンパスによる作図
正三角形と正五角形、この2つの正多角形の頂点の数の最小公倍数の値と同じ数の頂点を持つ正十五角形、正方形、およびこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能である事は古代ギリシアの数学者エウクレイデス(ユークリッド)が著した『原論』に記されており、よく知られていた。長い間それ以上のことは判明しなかったが、ガウスが1796年3月30日に、正十七角形が作図可能であることを発見した。同時に正五十一角形、正八十五角形、正二百五十五角形、及び17もしくはこれらの頂点の数に2の冪を乗じた数の頂点を持つ正多角形が作図可能であることも発見されたことになる。ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわちの形であることを示した。

タイトル: ハーコートの定理
ハーコートの定理(Harcourt's theorem)とは三角形の面積に関する定理である。この定理はアイルランドの教授のJ. Harcourtにちなんで命名された。

タイトル: シムソンの定理
幾何学におけるシムソンの定理とは三角形ABCの外接円上の点Pから三角形の各辺BC, CA, ABにおろした垂線の足L, N, Mがすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレスである。

タイトル: 多角数定理
k 番目の m 角数とは、次の公式で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数が k 番目の m 角数になっている。これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, ... のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, ... に他ならない。1番目の m 角数は 1 であり、2番目の m 角数は m である。

タイトル: アポロニウスの問題
なお、同手法は1881年にジョン・ケーシィ(英語版)によっても改良されている。ファン・ルーメンの手法は、アポロニウスの問題を解決することには成功したのだが、この手法には欠点がある。定規とコンパスのみを使って問題を解くことこそが、古典的ユークリッド幾何学において真に賛美されるものなのである。角の三等分問題のように、コンパスと定規だけでは解けない問題もたくさんある。しかしながら、そのようなコンパスと定規だけでは解けない問題は、双曲線、楕円、放物線(円錐曲線)のような、交差する曲線(intersecting curve)を使うことで解決できる場合がしばしばあるのである。例えば、立方体倍積問題(与えられた立方体の2倍の体積を持つ立方体を作図する問題)は、コンパスと定規だけでは作図することができないが、メナイクモスは、2つの放物線の交点を用いることで、立方体倍積問題が解決可能であることを示した。

タイトル: 二項定理
1544年にミハエル・シュティーフェル(英語版)は「二項係数」("binomial coefficient") の語を導入して、「パスカルの三角形」を通じて (1 + a) を (1 + a) で表すためにそれらをどのように使うのかを示した。ブレーズ・パスカルは、今日彼の名を冠して呼ばれる三角形を論文(英語版) Traité du triangle arithmétique (1653) において包括的に研究したが、これら数の規則性はルネッサンス後期ヨーロッパの数学者たち(例えばシュティーフェル、タルタリア、シモン・ステヴィンなど)には既に知られていた。アイザック・ニュートンは任意の有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている。

タイトル: 無理数
無理数の発見は古代ギリシャにまでさかのぼる。ピタゴラス教団は数を長さとして現れるものに限って議論し、すべての数は有理数で表されるとし、これは教団の教義として信奉された。しかし、ピタゴラスの定理からも示されるように2の平方根が無理数であることも自明であったが、教義に反するため受け入れられず、このことは今日から見れば自ずから制約を課せられていたと見なせる。無理数の発見を公言したヒッパソスは、教団から追放され殺害されたとする伝説が残る。しかし、プラトンが現れると、彼の著書『テアイテトス』の中で平方数でない数の平方根が有理数でないことを論じ、さらに同じ論法が立方根にも適用できると述べている。これらの数学的な蓄積を受けて、エウクレイデスは『原論』の中で統一した形で実数論を展開している。円周が円の直径の3倍より少し大きいことは古来知られていた。

タイトル: 三角形
1つの内角が直角である三角形を直角三角形と呼ぶ。直角三角形の頂点のうち、内角が直角である頂点を直角頂と呼ぶ(図4)。直角三角形の直角以外の内角 2つは 90度未満となり、これらを直角三角形の鋭角と呼ぶ。それらの和は直角に等しい。直角三角形の直角の対辺を斜辺という。斜辺は、直角三角形の 3つの辺の中で最も長い辺である。斜辺でない 2辺を、直角をはさむ 2辺と呼ぶ。直角をはさむ 2辺 a,b と、斜辺 c の間には、次の関係が成り立つ(ピタゴラスの定理)。逆に、△ABC の 3辺 a,b,c が上の等式を満たすならば、△ABC は辺 c を斜辺とする直角三角形となる(ピタゴラスの定理の逆)。二等辺三角形において、長さの等しい 2つの辺を等辺といい、残りの 1つの辺を二等辺三角形の底辺と呼ぶ。2つの等辺のなす角を頂角といい、残りの 2つの内角を底角という。

タイトル: 円周の測定
命題1では、ある円と直角を作る辺がその円の半径および円周と等しい直角三角形は面積が等しいことが述べられている。円周が c、半径が r の円は2つの隣辺が c と r である直角三角形と面積が等しい。この命題は取り尽くし法により証明されている。命題2は次のように述べられている。円の面積はその直径を一辺とする正方形の面積に対して11が14に対する比をなる。この命題は命題3の結果に依存しているため、アルキメデスにより置かれたものではない。命題3は次のように述べられている。円周の直径に対する比は 310/71 より大きく 31/7 より小さい。これは今日数学定数 π と呼んでいるものの近似である。アルキメデスは2つの相似な正96角形で円を内接・外接することにより、π の値の範囲を見出した。

タイトル: 三角法
古代インドの数学にメソポタミアやギリシアの影響は比較的少ないが、三角法に関しては例外で、用語や無理数の近似値の類似などの観点から、ギリシアに由来すると推測されている。しかしながら、古代インドに伝わったギリシア天文学及びそれに付随する三角法はヒッパルコスの時代までのものであり、メネラオスやプトレマイオスの球面三角法は伝わらなかった。5世紀の天文学者アーリヤバタが著した『アーリヤバティーヤ(英語版)』は、著者が確実に判明しているインド最古の天文学書である。同書は2行一連のサンスクリット語による韻文の形式で書かれ、単位円における円周角の半分と弦の半分(すわなち正弦)との関係についての言及がある。ギリシア数学的な円周角と弦長の関係に着目する視点から、円周角と正弦との関係に注目する視点へとパラダイムが転換した。

タイトル: ピタゴラス数
ただし、自然数でない辺を持つ直角三角形は、ピタゴラス三角形を形成しない。たとえば、三辺がそれぞれ1,1,√2の三角形は直角三角形であるが、 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は整数ではないので、 ( 1 , 1 , 2 ) {\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})} はピタゴラス数ではない。ピタゴラス数は古くから知られている。最も古い既知の記録は、紀元前1800年頃のバビロニアの粘土板であるプリンプトン322からのもので、六十進法で書かれている。 1900年の初期にエドガージェームズバンクスによって発見され、1922年にジョージアーサープリンプトンに10ドルで売却された。整数解を探す場合、方程式a + b = cはディオファントス方程式である。したがって、ピタゴラス数は、非線形ディオファントス方程式の最も古い既知の解の1つである。

タイトル: 平行線公準
彼は今日ランベルトの四角形と呼ばれる、3つの直角を持つ図形を使い(これは言うなればサッケーリの四角形の性質を半分だけ持っている)研究を行った。彼はサッケーリやハイヤームのように鈍角の場合についてはすぐに排除し、鋭角仮定のもとで多くの定理を導いた。サッケーリとは異なり、彼は鋭角仮定のもとで矛盾が生じたと感じることはなかった。彼は三角形の面積が減少するに連れて三角形の内角の和が増加するという非ユークリッド幾何の結果を証明し、このことで半径が虚数の球面上の幾何という考えに思いを巡らせることとなったが、しかし彼はこれ以上のこの考えを追求しなかった。ハイヤームやサッケーリが平行線公準を証明するために鋭角仮定や鈍角仮定といった別の可能性が誤りであるということを証明しようと試みたのに対し、19世紀に数学者たちはこれら別の可能性をむしろ発展させ、最終的に論理的に矛盾のない幾何学を発見した。

タイトル: ユタ・ティーポット
また、ジム・ブリンは、制作に携わった数学教育用ビデオシリーズ "Project Mathematics!" の中の一作(1988年制作の "The Theorem of Pythagoras")で、ピタゴラスの定理をユニークな方法で説明した。直角三角形のそれぞれの辺に2Dのティーポットを置いたとき、斜辺のティーポットの面積は他の二辺のティーポットの面積を足し合わせたものに等しいというのである。