質問: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: 三個の平方数の和
この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られているものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。自然数 N {\displaystyle N} が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、 n ≥ 0 , k ≥ 0 , a ∈ { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } {\displaystyle n\geq 0,k\geq 0,a\in \{1,2,3,5,6\}} により、 N = 4 n ( 8 k + a ) {\displaystyle N=4^{n}(8k+a)} と表されることである。

タイトル: 幾何学
以下では様々な幾何学の発展とその概要を、歴史にのっとって時系列順に述べることとする。幾何学(ジオメトリー)の語源は「土地測量」であり、起源は古代エジプトにまで遡ることができる。古代ギリシャの歴史家ヘロドトスの記録では、エジプトでは毎年春になるとナイル川が氾濫し、エジプトの砂漠に農耕を可能にする河土を運んでくるが、去年の畑の境界線はすべて流れてしまう。そのため、印をつけた縄でまっ平らになった土地を元どおり区割りする「縄張り師」と呼ばれた測量専門家集団が現れ、土地測量術が発達した。現在、ピタゴラスの定理として知られている数学定理が、古代エジプトではすでに5000年前に経験則として知られ、縄張り師たちは3:4:5の比率で印をつけた縄を張って、畑の角の直角を取ったという。幾何学が大きな進歩を遂げた最初は、他の数学の分野と同じように古代ギリシアにおいてであった。

タイトル: ピタゴラスの定理
(1) の式はピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity) と呼ばれている。(1) の時点ですでに単位円上において本定理の成立が明らかである。なぜならば、本定理の逆は本定理を用いずに証明可能であるし、単位円上の任意の点の座標は (cosθ, sinθ) で表せるからである。前提とした △ABC について、∠A = θ とおけば(2), (3) より(1), (4) より正弦および余弦関数を微分すれば(1), (2) および微分公式よりここで C は定数である。θ = 0 を代入すると sin 0 = 0, cos 0 = 1 であるので、C = 1 が得られる。よってが得られる。 ここで、前提とした △ABC について考え、∠A = θ とおいて、(3) および、三角関数と直角三角形の関係を考慮すれば

タイトル: ピタゴラスの定理
大正方形の面積は (a + b), 小正方形の面積は c, 直角三角形4個の面積の合計はである。これらを代入すると、△ABC の面積 S はである。また △ABC の内接円の半径を r とするとであり、これを半径 r について解くととなる。一方、三角形の面積 S を内接円の半径 r を用いて表すととなる。(3) に (1), (2) を代入すると三角関数と指数関数は冪級数によって定義されているものとする。(指数法則やオイラーの公式の証明に本定理が使用されない定義であればよい。)まず sin θ + cos θ = 1 が任意の複素数 θ に対して成り立つことを(3通りの方法で)示す。もしくは、オイラーの公式から三角関数の半角の公式を導出する。

タイトル: ハルモス代数
数理論理学におけるハルモス代数(ハルモスだいすう、英: Halmos algebra)あるいは多進代数(たしんだいすう、英: Polyadic algebra) はポール・ハルモスの導入した代数的構造で、ブール代数が命題論理を記述するというのと同様の意味において、一階述語論理を形式化するものである。(リンデンバウム–タルスキ代数(英語版)の項を参照。)同じように一階論理を記述する他の代数として、(一階論理が等号付きの場合)アルフレッド・タルスキの円筒代数(英語版) およびウィリアム・ローヴェアの函手的意味論(圏論的アプローチ)などを挙げることができる。

タイトル: ヒレ–吉田の定理
数学の関数解析学の分野におけるヒレ–吉田の定理(ヒレ–よしだのていり、英: Hille–Yosida theorem)とは、バナッハ空間上の線形作用素からなる強連続1パラメータ半群の生成素を特徴づける定理である。しばしば特別な場合として縮小半群のために適用され、また、一般的な場合としてフェラー-宮寺-フィリップスの定理(ウィリアム・フェラー(英語版)、宮寺功、ラルフ・フィリップスの名にちなむ)と呼ばれる定理が存在する。縮小半群の場合は、マルコフ過程の理論において広く研究されている。その他の場面では、この定理と関係の深いルーマー–フィリップスの定理が、「与えられた作用素が強連続な縮小半群を生成するかどうか」を見極める上で有用となる。ヒレ-吉田の定理は数学者のエイナー・ヒレ(英語版)と吉田耕作の名にちなみ、1948年前後の彼らの研究によってそれぞれ独立に発見された。

タイトル: メネラウスの定理
証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似からが成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。直線ADと直線BEの交点をGとすると

タイトル: バリンスキーの定理
しかし三次元の場合については二十世紀初頭に、三次元多面体のグラフは3-連結平面グラフであるというシュタイニッツの定理(英語版)として結果が得られていた。

タイトル: 関数 (数学)
一方、『代微積拾級』には「凡此變數中函彼變數則此爲彼之函數」とあり、これは変数を包む、含む式という意味で定義されていると解釈できる。また変数に天、地などの文字を用いて「天 = 函(地)」という表記もある。片野善一郎によれば、「函」の字義はつつむ、つつみこむであるから、「天 = 函(地)」という表現は「天は地を函む」ようにみえ、従属変数(の表現)に独立変数が容れられているという意味であるという。なお、現代の初等教育の場においてはしばしば関数をブラックボックスのたとえで説明することがある。この説明では、「函」を「はこ」と読むことと関連付けて説明されることもあるが、「函数」の語の初出は1859年なのに対し、「ブラックボックス」の語の初出は1945年ごろとされることに注意を要する。

タイトル: 三角関数の公式の一覧
加法定理に(θ±φ)を代入することにより、積和公式を導くことができる。これを変形すると和積公式になる。シャルル・エルミートは、複素関数に関する以下の式を示した。複素数 a1, ..., an は、どの2つをとってもその差がπの整数倍にならないものとする。と置く(A1,1 のときこの値は1とする)と、以下の式が成り立つ。自明でない単純な例として、n = 2 のときの例をあげる。

タイトル: 積分法
しかしたとえば、放物線(古くは抛物線とも)がある弦によって切り取られる面積を計算するような場合でさえ、いくらやっても三角形で覆い尽くすことはできないため、実際にはほとんどの領域で無限和の計算をすることになる。この困難に対してアルキメデスは、今で言うε-δ論法によりこの問題を回避したようである。1635年にカヴァリエリの原理が発表され、後にエヴァンジェリスタ・トリチェリ、ピエール・ド・フェルマーが同原理の考えを用い、回転体や多項式で表される図形の求積を行った。17世紀後半になってライプニッツとニュートンらにより微分法が発見されると、極めて技巧的な手段に頼っていた求積法は、原始関数と微分積分法の基本公式による一般的な方法で解かれることになる。

タイトル: 三角多項式
三角多項式は、実数直線上で定義され 2π の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」こと (Rudin 1987, Thm 4.25) が挙げられる(これはストーン–ヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である)。より具体的に書けば、「任意の連続函数 ƒ および実数 ε > 0 に対して、適当な三角多項式 T が存在して全ての z に対して |ƒ(z) − T(z)| < ε とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「ƒ のフーリエ級数の部分和の算術平均は ƒ に一様に収束する」から、これに基づいて ƒ の近似三角多項式 T を求める具体的な方法が得られる。

タイトル: 幾何学
とくにアポロニウスは初歩的な座標の概念をも導入し、二点からの距離の和・差・積・商が一定である曲線の集合を研究した。彼の円錐曲線の理論は、カッシーニの卵形線は17世紀に入ってから開拓されたものの他の分野のほぼ全てはアポロニウスの手によって研究された。ヨーロッパでは長く、「幾何学的精神」という言葉が厳密さを重んじる数学の王道ともいうべきあり方とされた。「幾何学的精神」という用語はパスカルによって導入された哲学用語であり、ユークリッド幾何学に見られるように、少数の公理形から全てを演繹するような合理的精神をさし、逆に全体から個々の原理を一挙に把握するという意味の「繊細の精神」の対義語として与えられた。

タイトル: 平方剰余
フェルマー、オイラー、ラグランジュ、ルジャンドルを始めとする17〜18世紀の数論者たちはそれぞれ平方剰余についての定理を確立し、予想を打ち立てたが、最初の体系的な扱いはガウスのDisquisitiones ArithmeticaeのIV節(1801)である。Article 95では、「平方剰余」と「平方非剰余」という用語を導入し、文脈から明らかであれば、形容詞「平方」を削除できると述べている。与えられた n に対して、 n を法とする平方剰余のリストは単に 0, 1, ..., n − 1 を二乗するだけで得られる。 a ≡ (n − a) (mod n) であるので、 n を法とする平方数のリストは n/2 に対して対称であり、リストアップは n/2 まで続ければ十分である。 これは下の表で確認できる。

タイトル: 三角測量
スネルは、平面における公式をどのように地球の丸みに対応させて修正するかの方法を計算した。彼はまた、三角形の内側にある点の位置を、その地点において三角形の辺がなす角度から計算する後方交会法を示した。これは、コンパスを使わなければならない頂点の方位を求める方法よりも正確に測定することができる。これにより、まず1次の大規模三角網を最初に測量し、その後2次的な地点を1次網の中で決定していくという考えが生まれた。ただし、スネルの使用した測量器は極めて単純なもので腕木の両端に糸を張って見通しをつけただけのものであったため結果はあまり正確ではなかった。スネルの測定した子午線は正確ではなかったが、彼の創案した測量の方法が優れた方法であることがわかると各国で三角測量が行われるようになった。

タイトル: 中国の数学
『九章算術』の問題では、球の表面積など円や球に関連した問題を計算する際に、円周率を3に等しいとしている。円周率が3であると計算するための明示公式はテキストに出てこないが、この数値は『九章算術』のほか同時代に作成された『考工記』の問題でも共に使用されている。歴史家は、円周率の数値が円周と円の直径の間の(およそ)3:1という関係を用いて計算されたと考えている。幾人かの漢代の数学者はこの数値を改善しようと試みており、例えば劉キンは円周率を3.154と推定したと考えられている。彼がこの推定値をどのように計算したかについての明確な方法や記録はない。加法、減法、乗法、除法といった基本的な四則演算は、漢朝以前に存在していた。『九章算術』は当然ながらこれらの基本演算を扱い、単にそれらを実行するよう読者に指示している。

タイトル: 取り尽くし法
エウクレイデスは『原論』第12巻で取り尽くし法を用いて以下の6個の命題を証明している。

タイトル: 三角錐
面積の等しい三角形と四角形は、適当に多角形に有限回分割することによって合同にすることができるが、三角錐と四角錐は、たとえ体積が等しくとも多面体に分割して合同にすることは無理である。これは、ボヤイの定理が 3 次元空間では一般に成立しないことを示す。こうして 3 次元空間に於けるボヤイの定理(それはヒルベルトの第三の問題でもあった)が否定的に解かれた。ただし、分割の仕方を多面体に限らなければ体積が等しくなくても有界な図形は合同にすることができる(バナッハ=タルスキーのパラドックス)。

タイトル: 正弦定理
球面上の三角形 ABC において、弧 BC, CA, AB の長さを球の半径で割ったものをそれぞれ a, b, c とすると、が成り立つ。これを球面三角法における正弦定理と呼ぶ。

タイトル: コルモゴロフの三級数定理
確率論におけるコルモゴロフの三級数定理(コルモゴロフのさんきゅうすうていり、英: Kolmogorov's Three-Series Theorem)は、確率変数の無限級数が概収束するかどうかの判定条件を確率分布に関連した3つの級数の収束性に基づいて述べるものである。名称はアンドレイ・コルモゴロフにちなむ。コルモゴロフの三級数定理をクロネッカーの補題(英語版)と組み合わせると、大数の強法則の比較的易しい証明が得られる。

タイトル: 多項係数
二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形(単体)が対応し、パスカルの r-単体と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数(ドイツ語版)に対するパスカルの三角錐(英語版)と呼ばれる。

タイトル: ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ
解析力学の研究では、ラグランジュはそれまでの幾何学的方法を排除して、ダランベールの原理、仮想速度の原理を基礎として、純粋な解析学の構築を行った。エネルギー保存則からは、最小作用の原理を導出した。また数論に関する業績もある。全ての自然数が高々四つの平方数の和によって表されるという定理はラグランジュの四平方定理と呼ばれる(1770年)。また、ウィルソンの定理の証明のうちの一つを発見した(1773年)。さらに彼は、五次以上の方程式がベキ根によっては解けないことについても研究し、根の置換など群論の先駆けとなるような研究も行っている。この問題は後にアーベルによって証明された。(もっともラグランジュ自身は解けるための条件を示したのであり、可解という可能性は捨てていなかった)

タイトル: ラングレーの問題
a, b, c, d, e がいずれも10°の倍数となる問題群については、日本でも初等幾何による証明を網羅した研究例が存在する。海外では、1970年代末にイギリスの J. F. Rigby が、一部の問題群を除いた全ての整角四角形問題(整角三角形の問題も含む)の初等幾何による証明を体系的に示した例がある。Rigbyが初等幾何で証明できなかった問題群については、2015年10月までに全て初等幾何による解法が出揃った。三角形の内部に1点をとり、その点と三角形の各頂点を線分で結んだ図形のうち、三角形の3辺を含む6つの線分のなす角度が全て整数となるものを整角三角形という。また、右図の整角三角形において、角度 a, b, c, d が与えられて角度 e を求める(または角度 e がその値となることを証明する)ような問題を整角三角形問題と呼ぶこともある。

タイトル: フェルマーの最終定理
17世紀、フランスの裁判官ピエール・ド・フェルマー(1607年 - 1665年)は、古代ギリシアの数学者ディオファントスの著作『算術』を読み、本文中の記述に関連した着想を得ると、それを余白に書き残しておくという習慣を持っていた。それらは数学的な定理あるいは予想であったが、限られた余白への書き込みであるため、また充分な余白がある場合にも、フェルマーはその証明をしばしば省略した(たとえば、フェルマーの小定理として知られる書き込みを実際に証明したのは、ゴットフリート・ライプニッツである)。48か所に及ぶこれらの書き込みが知られるようになったのは、フェルマーの没後の1670年に彼の息子サミュエルによってフェルマーの書き込み入りの『算術』が刊行されてからである。第2巻第8問「平方数を2つの平方数の和に表せ」の欄外余白に、フェルマーはとラテン語で書き残した。

タイトル: ワイエルシュトラスの定理
カール・ワイエルシュトラスに因んで名づけられている定理がいくつかある。そのうちのいくつかは:

タイトル: 二次形式
特定の二次形式の研究(特に、与えられた整数が整係数二次形式の値として得られるかといったような問題)は何世紀も遡れるものである。そういったものの一つに「どのような整数が整数 x, y の平方和 x + y の形に表されるか」というフェルマーの二平方和定理がある。この問題は、ピタゴラス数を求める問題に関係しており、こちらは紀元前2千年紀には既に存在していた問題である。628年にインドの数学者ブラーマグプタの著した『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』には、その他の多くの問題とともに、x − ny = c の形の方程式の研究が含まれている。ブラーマグプタは特に、今日ではペル方程式と呼ばれる x − ny = 1 の形の方程式を考え、多くの解法を得ている。ヨーロッパでは、この問題にブラウンカー、 オイラー、ラグランジュらが取り組んだ。

タイトル: ペアノの存在定理
数学の、特に常微分方程式の研究分野におけるペアノの存在定理(ぺあののそんざいていり、英語: Peano existence theorem)あるいはコーシー・ペアノの定理とは、ジュゼッペ・ペアノとオーギュスタン=ルイ・コーシーの名にちなむ、特定の初期値問題の解の存在を保証するある基本定理のことを言う。