質問: 2、3、5、7、11のように、1とその数自身でしか割り切れない数を何というでしょう?
回答: 素数

タイトル: 自己数
自己素数(じこそすう、英: self prime)とは、素数でもある自己数である。 基数10におけるはじめのいくつかの自己素数は:基数12の場合(倒立した2(「ᘔ」)を10の意味で、倒立した3(「Ɛ」)を11の意味で使用):2006年10月、ルーク・ピーボディ(英語版)はメルセンヌ素数であって基数10における自己数でもある既知の最大のものとして2−1を示した。これは基数10における既知の最大の自己素数である。

タイトル: 自然数
自分自身と 1 以外の約数を持たない 1 より大きな (= 1 以外の)自然数を素数という。素数が無限に存在することの証明はエウクレイデスの『原論』に載っている。小さい方から列挙すると次の通りである。メルセンヌ数、フェルマー数も参照。差が 2 であるような素数の組のこと。例えば 3 と 5、41 と 43 などは双子素数である。小さい方から列挙すると次の通りである。(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), ...双子素数は無限にあるか、という「双子素数の予想」は未解決である。類似の概念に、三つ子素数、いとこ素数、セクシー素数などがある。完全数は自分自身を除く約数の和が自分自身と等しい自然数である。小さい方から列挙すると次の通りである。偶数の完全数はメルセンヌ数と深い関係がある。

タイトル: 橋をかけろ
「橋をかけろ」を解く上で最初の手がかりになるのは、8・辺上の6・角の4である。これらは、線が引ける方向すべてに2本ずつ線を引かないと数字の数だけ線が引けない。次に手がかりになるのは、7・辺上の5・角の3である。これらは、引ける方向に最低1本ずつの線が引ける。なぜなら、そうしないと数字の数だけ線が引けないからである。1つ以上の線が確定すると、それによって他の数字から引かれる線が確定したり、別の数字から線を延ばせる方向が制限されたりして新たな手がかりが発生する。すべての数字がひとつながりになるというルールから、すべての数字から線が引かれ、かつ、他の数字につながっていない「閉じた」グループが存在しないように線を引いていく必要がある。最も分かりやすい例としては、1同士の間に線が引かれることはない。

タイトル: 1200系
1200系(1200けい)とは、1200の数値を使用するないしは4桁の数値の内上1桁目が「1」、2桁目が「2」を使用する体系を持つものを指す。

タイトル: 偶数
偶数は英語の "even number" の訳である。"even" は「平な、均等な」という意味で、直訳すれば「平数」である。偶数の"偶"は「ペア、二個一組」(用例:配偶者)という意味で、「二個一組になる数」を意味する。ギリシャの哲学者フィロラオスは次のように言ったとされる。「数字には特別な二種類がある。奇 (odd) と偶 (even) である。そしてこれらの混合が第三の要素として even-odd を生じる」。「odd」には、残りの,余分の という意味もあり二等分の余りの意である。

タイトル: 1296
1296(千二百九十六、せんにひゃくきゅうじゅうろく)は、自然数また整数において、1295の次で1297の前の数である。

タイトル: 連分数
いま、a0 は整数、それ以外の an は正の整数であるような数列があるとき、数列 pn, qn を以下のように定める。pn とqn にユークリッドの互除法を適用すると、割り算の商として数列 a0, a1, ... , an−1 のn 個の整数が順番に現れる。上記の数列 pn, qn の定義は互除法の操作を逆にたどったものともいえる。また、pn, qn は整数であるから、ユークリッドの互除法の帰結より、pn と qn は互いに素である。つまり連分数 p n q n {\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}} は既約分数である。さらに |pn+1qn − pnqn+1| = 1 である。また、pn と pn+1 および、qn と qn+1 も互いに素である。

タイトル: 1−2+4−8+…
数学において、1 − 2 + 4 − 8 + ...は項が連続する2の冪で符号が交互に繰りかえす無限級数である。等比数列としては、初項 1 と公比 -2 で特徴付けられる。これは実数の級数として発散するので、普通の意味では和を持たない。もっと広く解釈すると、この級数は一般化された和 1/3 をもつ。

タイトル: キリル数字
11から19までは、1の位を先に書く。1,000 以上の数は、数字の前に千を表す記号(҂)を加える。例:さらに大きい数値は専用の記号で囲む。右の図を参照。

タイトル: タイ数字
01はnueng chut sun nueng (หนึ่งจุดศูนย์หนึ่ง)である。分数は分母と分子の間にnai (ใน, ~分の)を入れるか、[set] x suan y ([เศษ] x ส่วน y, 全体y分のx部分)と明確に表す。例えば、1⁄3はnueng nai sam (หนึ่งในสาม)か[set] nueng suan sam ([เศษ]หนึ่งส่วนสาม)と表される。単語 set (เศษ) は省略可能。単語khrueng (ครึ่ง)は「半分」という意味で使われる。単独で使用する場合は被修飾語の前に置かれるが、他の数字と一緒に使用するときは後に置かれる。

タイトル: ほとんど整数
ある数がほとんど整数(ほとんどせいすう、英: almost integer)であるとは、整数ではないが、整数に非常に近いことを意味する。どれほど近ければ十分であるのか明確な決まりはないが、一見して整数に近いとは分からないのに、近似値を計算すると驚くほど整数に近い数で、小数点以下の部分が「.000...」または「.999...」のように、0か9が数個連続する場合、このように表現される。例えば、「インドの魔術師」の異名をもつシュリニヴァーサ・ラマヌジャンはなど、整数に近い数の例をいくつか与えた。また、黄金比 φ = 1.618... の累乗、例えばは整数に近い。整数に近い数を与えることは、単なる趣味の範疇であることが多いが、意義深い数学的な理論が背景にあることも少なくはない。

タイトル: 121
121(百二十一、百廿一、ひゃくにじゅういち)は自然数、また整数において、120の次で122の前の数である。

タイトル: 位取り記数法
例えば十進法において 1/14 は 0.0714285 と表される。慣習的に、特に断りのない限り、位取り記数法で示された数は十進数と解釈される。異なる底を用いていることを示すため、以下のように底を併記することがある:または底を括弧で囲わず、あるいは数を括弧書きして、上記の記法において、底の数自体は十進法で表記される。例えば、10(2) は二進数であり、十進数 2 に等しい数を表す。また 100(16) 十六進数であり、十進数 256 に等しい数を表す。その他の記法として、コンピュータ・プログラミングにおいて、プログラミング言語によっては、定まった数を表す構文(リテラル)が用意されている。

タイトル: シローの定理
しかし G の位数は 30 しかないので、矛盾が生じた。よって位数 30 の単純群は存在しない。次に |G| = 42 = 2 · 3 · 7 の場合を考える。n7 は 6 を割り切り、n7 ≡ 1 (mod 7) であるため、n7 = 1 である。よってシロー7-部分群は G の正規部分群であり、G は単純群ではない。一方で、|G| = 60 = 2 · 3 · 5 の場合は、n3 = 10 と n5 = 6 となることがあり得る。実際に、巡回群でない最小の単純群は5個の元の交代群 A5である。位数は60であり、位数5の巡回置換を24個、位数3の巡回置換を20個持つ。

タイトル: 循環小数
最も素朴には、充分な桁数の小数表記を求め、その周期を見つける。同様に、有限小数の桁数も、素因数分解した時の大きい方の冪指数によって決まる。ただし、同じ数字の並びが現れてもより長い周期の一部かもしれない(たとえば 1212123/9999999 = 0.1212123 の循環節を 12 と求めてしまうかもしれない)ので、循環節の長さの上限を事前に知っておかなければならず、それだけの桁数まで求めて初めて、循環節を求められる。上限としては#一般の有理数にて挙げたものがあるほか、「分母 − 1」が使える。割り算を筆算で求めれば、余りに同じ数が現れた時点で、繰り返しに入ったことがわかる。例えば、十進法の 1/7 を小数表示する場合、次のような計算を行う。これ以降は同じ計算の繰り返しとなるので、1/7 = 0.142857 であることが分かる。

タイトル: 六進法
1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。0.5は「5/6」となり、「1/2」ではない。小数の位取りも、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。小数の数値も整数と同様になる。右に既約分数を表記する。を、それぞれ意味する。整数と小数の桁の移動も、(12)6 を例に挙げると:六進法の整数の除算では、100や1000など桁上がりの冪数も三分割が可能になり、10(六)の冪指数と同じ2の冪数と3の冪数で割り切れることになる。例えば、1000ならば2と3の両方で割り切れ、かつ2と3の冪指数が同じになる。十進法の整数の除算では、「四分割(2)は百(100)まで待たねばならない」上に、100は三分割も九分割(3)もできない。

タイトル: 三連続積数
三連続積数(さんれんぞくせきすう)とは、3つの自然数を連続して積算した数。三連単数ともいう。。

タイトル: 無理数
無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。α が代数的数、κ > 2 ならば、を満たす有理数 p/q は有限個しかない(トゥエ-ジーゲル-ロスの定理)。このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。2の平方根は代数的無理数であり、log2 3, e, π, e といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。

タイトル: 量子数
1粒子系のシュレーディンガー方程式はハミルトニアンの固有値問題に帰着し、その解としてエネルギー固有状態とエネルギー固有値の組が得られる。線形独立な解を添字により区別できるが、この添字の番号が量子数を与える。添字の付け方について、ポテンシャルに束縛された粒子のエネルギー固有値は離散的になり、また有限のエネルギーを持つ基底状態が存在するため、エネルギー固有値の小さい順に添字で番号付けることができる。エネルギー固有状態は次の4つの量子数で区別される。各量子数には次のような制限がある。すなわち方位量子数は 0 ≤ l < n の範囲の整数、磁気量子数は |ml| ≤ l の範囲の整数でなければならない。パウリの排他原理によれば「4つの量子数(n, l, ml, ms)で決まる一つの量子状態にはただ一つの電子しか入ることができない」。

タイトル: 118
118(百十八、一一八、ひゃくじゅうはち)は自然数、また整数において、117の次で119の前の数である。

タイトル: 不可思議 (数)
不可思議の位および前後の位の命数は以下のようになる。

タイトル: ゲーデル数
ゲーデル数(ゲーデルすう、英: Gödel number)は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化(英: Gödel numbering)と呼ぶ。ゲーデル数のアイデアを暗に使っている例としては、コンピュータにおけるエンコードが挙げられる。 コンピュータでは何でも0と1で表し、「apple」のような文字列も0と1による数字で表す。 ゲーデル数化とは、このように文字列に数字を対応させる事を指す。ゲーデル数化は、数式におけるシンボルに数を割り当てる符号化の一種でもあり、それによって生成された自然数の列が文字列を表現する。

タイトル: 各言語の数字の数え方
各言語の数字の数え方では、各言語の数詞について取り上げる。

タイトル: 三進法
三進法では0、1、2の計三つの数字を用い、三を10、四を11...と表記する。三で桁上がりするので、「3」の字が使えるN進法は四進法以降、「3」の字が使えて「1/3」が割り切れるN進法は六進法以降となる。桁の増加も、三進法では、三の冪数で桁が一つ増える。以下の表に、二進法(底が2)、三進法(底が3)、六進法(底が2×3)、十進法(底が2×5)での各表記法の差異を掲載する。※ 位数は十進表記。三進法で記した、加算及び乗算の表は次のようになる。三は二で割り切れない(= 奇数である)ため、三進法では 1/2 = 0.1111... となり、「1÷偶数」が全て割り切れない。三進法や五進法などの奇数進法は、1/2 が割り切れないため、そのどこかの桁で丸め(端数処理)を行おうとする時に、例えば六進法の 0.3 や十進法の 0.5 のような「二分すると同数」が起こらない、という特徴を持つ。

タイトル: 数学史
上で見たように、自然数 1、2、3、... に関する知識は現存するどんな文書よりも古い石板に残されている。メソポタミア、エジプト、インド、中国など最古の文明は、算術を知っていた。現代数学の様々な数体系の発展について可能な考察として、古い数で行われた演算に関する質問に答えるために新しい数が研究・調査されてきた、というものが挙げられる。有史以前にすでに「3を掛けられ、答えが1になる数は?」という問いにこたえるものとして、分数が用いられた。また、インドと中国、はるか遅くにドイツで、「大きな数を小さな数から引いたときの答えは?」という問いの答として負の数が開発された。ほかに挙げられる自然な質問は:「2の平方根はどんな種類の数か?」 ギリシア人はそれが分数でないことを知っており、この質問は連分数の理論の発展に動機を与えたともいえる。

タイトル: リュカ数
リュカ数(リュカすう、英: Lucas number)とは、フランスの数学者エドゥアール・リュカにちなんで名付けられた数であり、n 番目のリュカ数を Ln で表すとで定義される数列にある項のことである。つまり、初項(最初のリュカ数)を 2、次の項を 1 と定義し、それ以降の項は前の2つの項の和になっている数列のことである。

タイトル: 2の補数
「基数の補数」という概念があるが、それの2進法版である。2進数における「基数の補数」とは、ある数に足し合わせることで桁が一つ増え、最上位桁だけが値が「1」となり、それ以外はすべて「0」となるような数を指す。例えば、8桁の2進数「10010110」に対する2の補数は「1101010」である。それらを足し合わせると(次のように)ちょうど9桁の「100000000」となるからである。2の補数はCPU内部で負の整数を表現するためや、その加算器で減算をするために使われる。また固定長整数型や、固定小数点数でも使われる。なお「2の補数」というと基本的に、二進法における「基数の補数」を指している。

タイトル: 数の比較
数の比較では、数を比較できるよう、昇順に表にする。ここでは原則として正の実数のみを扱う。ここで扱う「数」には

タイトル: 代数的整数論
もし 3 が素元ならば、2 + √−5 あるいは 2 − √−5 を割り切るが、そうではない。3 で割り切れるすべての元は 3a + 3b√−5 の形だからである。同様に、2 + √−5 と 2 − √−5 は積 3 を割り切るが、いずれも 3 自身を割り切らないので、いずれも素元ではない。元 3, 2 + √-5, 2 - √-5 が同値にできるということに意味はないので、Z[√-5] において一意分解は成り立たない。定義を弱めて一意性を修正できた単元の状況とは異なり、この不成立を克服するには新しい観点が必要である。I が O のイデアルであるとき、必ず分解がある。ここで各 p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} は素イデアルであり、この表現は因子の順序の違いを除いて一意である。特に、これは I がただ1つの元で生成される主イデアルのときに正しい。

タイトル: 同種粒子
同種粒子は区別することができないため、それぞれの粒子に「位置」を割り振ることができない。なぜなら位置を割り振った時点で粒子が区別できてしまうからである。この性質を不可弁別性という。よって一般に粒子の位置の関数である波動関数を用いる方法は少し不自然なものになる。そこで占有数を用いた方法で同種多粒子系を表現する方法が一般に用いられる。この方法は数表示(占有数表示)の方法と呼ばれる。この方法では同種多粒子系を、「一粒子状態がいくつかあって、その一粒子状態にある同種粒子の個数(占有数)を数える」と考える。占有数という名前からわかるように、これは一粒子状態を「座席」のように扱い、その座席に座る同種粒子の個数を数えるという考えである。この方法は波動関数を用いる方法と同じ情報をもっている。なお「一粒子状態」とは言っているが、その状態の同種粒子の数は0または 1 とは限らない。

タイトル: 除法
除算は商 (英: quotient) と剰余 (英: remainder) の2つの数を与え、商と除数の積に剰余を足したものは元の被除数に等しい。剰余は余りとも呼ばれ、除算によって「割り切れない」部分を表す。剰余が0である場合、「被除数は除数を割り切れる」と表現され、このとき商と除数の積は被除数に等しい。剰余を具体的に決定する方法にはいくつかあるが、自然数の除法については、剰余は除数より小さくなるように取られる。たとえば、13 を 4 で割った余りは 1、商は3となる。これらの商および剰余を求める最も原始的な方法は、引けるだけ引き算を行うことである。つまり13を4で割る例では、13から4を1回ずつ引いていき(13 − 4 = 9, 9 − 4 = 5, 5 − 4 = 1 < 4)、引かれる数が4より小さくなるまで引き算を行ったら、その結果を剰余、引き算した回数を商とする。