質問: 算数の授業では「確からしさ」と呼ばれる、ある事象が起きると期待される度合いのことを何というでしょう?
回答: 確率

タイトル: 確率
確率(かくりつ、英: probability)とは、偶然起こる現象に対する頻度(起こりやすさの指標)のことである。確率の定義は、統計的確率、数学的確率・理論的確率・古典的確率(意味はどれも同じ)、公理的確率の3つがある。どのような現象でも確率をもつとはいえない。数学的にも、確率をもたない集合(非可測集合)や、解釈により確率の数値が異なる問題(ベルトランの逆説など)がある。理論・結果に基づいたこれらの「客観確率」に対し、個人または特定の集団にしか真偽を判断できない「主観確率」が提唱されている。(客観)確率の導入は、確率分布を通して、サービスの信頼度などといった、推定・検定に応用されている。

タイトル: モルプランク定数
したがって NAh の値と不確かさは、c, R∞, α, A(e) の測定値と不確かさから決まる。物理定数の標準不確かさ (standard uncertainty) は、その物理定数の実験値がどれくらい正確なのかを表す量である。同じ物理定数であれば、標準不確かさが小さいほど、正確な実験値と考えてよい。違う物理定数の値の正確さを比較するときは、相対標準不確かさを使う。例えば下の表の NA の列と h の列の値を比べると、1973年版以降は相対標準不確かさが(ほぼ)同じ値なので、NA と h の実験値が同程度に正確であることが分かる。また、同じ年の NAh の相対標準不確かさと比べると、NAh が NA や h よりも正確な物理定数であることが読み取れる。NA と h の相対標準不確かさが一致しているのは偶然ではなく、NAh の相対標準不確かさがこれらよりも桁違いに小さいからである。

タイトル: リスク
経済学においては一般的に、リスクは「ある事象の変動に関する不確実性」を指し、リスク判断に結果は組み込まれない。例えば、高層ビルの屋上の端に立つのは危険であるが、まだ転落するか無事であるかは分からない。この状態はかなり不確実でリスクが高い。しかし、転落すればほぼ確実に命がないため、転落と同時にリスクが低下することになる。リスクの概念は、経済学の中でも金融理論においてよく用いられる。投資において、将来の収益が必ずしも確実といえない投資手段があるためである。投資におけるリスクは、分散投資を行うことによって低減させることが可能である。株式投資を例に取ると、単一銘柄に投資を行っている場合、その企業の持つ固有リスクのために、期待される収益を得るに当たっての不確実性が高い。しかし、投資先を分散することによって企業固有のリスクを和らげることができる。

タイトル: 研究
高等学校向けの理科の検定教科書の課題研究の項や、各大学の学生実験の指導書等、研究の初心者あるいはそれ未満のレベルの人を対象とした人向けの教育課程では研究の過程として「『(1)→(2)→(3)→(4)→(5)→(6)→(1)』のループを何度か繰り返したあと、(7)に至る」などといった極めてオーソドックスな流れを解説している。ただし、理科の検定教科書間でも記述に若干の違いがあり、執筆者の個性が伺われる。ただし、どの教科書においても概ね「要素」としてあげているものは上の(1)~(7)で尽きている。問題は、一部の要素が結合されていたり、省略されていたり、より細分化されていたり、ループさせる/させないの違いだけである。

タイトル: 不思議の環
 Normally, one cannot merely look at what a mathematical conjecture says and simply appeal to the content of that statement on its own to deduce whether the statement is true or false. (pp. 169-170)公理から「上」に向かって几帳面に歩を進めるという昔ながらの方法を取らなくても、式の意味を知っているだけで、それを導き出す努力をしなくても、その式の真偽を推測することができるのである。これは特別なことではなく、驚くべきことである。通常、人は数学的な推論が述べていることを単に見て、その推論が真か偽かを推論するために、その推論の内容だけに訴えることはできない。

タイトル: 0.999...
十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。0.999... と 1 の等価性は、実数の体系(これは解析学では最も一般的に用いられる体系である)に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈の下で式 0.999... の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999..." に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。算数・数学教育において、0.999... = 1 という関係(または類似の関係)が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法(この場合、0.999...)があることや、0.999...

タイトル: かけ算の順序問題
文部省は1951年, 小学校学習指導要領算数科編(試案)昭和26年(1951)改訂版において「一冊5円のノートを,6冊買ったら,いくら支払えばよいでしょう。」という問題を解くときには,「5円×6」として,その結果を求めるのが普通である。ところが,この問題を,「ノートを6冊買いました。どれも1冊5円でした。ぜんぶでいくら支払ったらよいでしょう。」とすると,「6×5=30(円)」として結果を求めるこどもがでてくるであろう。こどもが,このような誤った解決をするのは,かけ算の意味をひととおり理解しているにしても,その理解が形式的になっていることを示しているといえる。

タイトル: 無限算術級数
数学における無限算術級数(むげんさんじゅつきゅうすう、英: infinite arithmetic series)は、その項が算術数列を成す無限級数を言う。1 + 1 + 1 + 1 + · · · や 1 + 2 + 3 + 4 + · · · はその例であるが、無限算術級数の一般形はと書ける。a = b = 0 のときは級数の和も 0 であるが、a, b のどちらかが非零ならば、級数は発散して通常の意味では和を持たない。

タイトル: 近似アルゴリズム
近似アルゴリズムの中でも、そのアルゴリズムの出力する解の目的関数値と最適解の目的関数値の比(近似度)がある範囲内に収まることが保証されているもののことを特に、精度保証付き近似アルゴリズムと呼ぶ。そのような保証のないアルゴリズムは発見的手法(ヒューリスティクス)と呼ばれる。前者と後者を区別し、前者のみを近似アルゴリズムと呼ぶ場合もある。近似アルゴリズムは、主に多項式時間で厳密に解くことが難しいNP困難問題に対して考えられるが、多項式時間で計算可能な問題に対しても、より早い計算時間で解を求めるという目的で用いられることもある。アルゴリズム理論の分野においては近年の中心的話題のひとつで、さまざまな問題に対する近似アルゴリズムが考案されている。また、可能な近似度の下界値を示す近似不可能性に関する結果も多く得られており、PCP定理などが有名。

タイトル: 有効数字
 もし距離の方も不確かさを含むのであれば、速さの不確かさは更に大きくなる。たとえば不確かさが 0.5 m の場合、合成した相対不確かさは ( 0.5 m / 100 m ) 2 + ( 0.005 s / 11.71 s ) 2 = 5.0 × 10 − 3 {\displaystyle {\sqrt {(0.5~\mathrm {m} /100~\mathrm {m} )^{2}+(0.005~\mathrm {s} /11.71~\mathrm {s} )^{2}}}=5.0\times 10^{-3}} となり、不確かさを含めた速さは 8.54(4) m/s となる。もし答えの精度が重要でないならば、正確に分かっていない桁も続けて 8.5397 m/s のように記すのが安全である。しかし、有効数字のルールを厳格に適用すれば、8.

タイトル: ヒヤリ・ハット
ヒヤリ・ハットとは、重大な災害や事故には至らないものの、直結してもおかしくない一歩手前の事例の認知をいう。文字通り、「突発的な事象やミスにヒヤリとしたり、ハッとしたりするもの」である。

タイトル: 条件収束
数学において、級数あるいは積分が条件収束(じょうけんしゅうそく)するとは、収束するが絶対収束しないことをいう。

タイトル: かけ算の順序問題
●●●●●● ●●●●●● 2×6 または6×2 ●●●● ●●●● ●●●● 3×4 または4×3第4学年の長方形の面積の公式では、「(長方形の面積)=(縦)×(横)(もしくは(横)×(縦))」とある。学習指導要領は「教育課程の標準」「各教科で教える内容」を定めたものであり、例示として片方の順序を示しているところはあっても、その片方の順序でのみ式を書くことを要請する文は存在せず、他方の順序を不正解とすることもない。学習指導要領・学習指導要領解説に基づき教材や授業、テストとして具体化されていく中で、特定の順序が選択される。そのとき、逆の順序に書かれた式を正解とするか不正解とするかは様々である。

タイトル: 有意
2010年代初頭に入ると科学は「再現性の危機」に苦しんでいて、研究者も助成機関も出版社も、学術文献は信頼できない結果にまみれているのではないかと不安を募らせている。2017年に72人の著名な研究者が、新たな発見をしたと主張する際の証拠の統計的基準の低さが再現性の危機の一因になっているとする論文を発表した。新発見の統計的有意性を評価するために、科学者が好んで用いる有意水準 α {\displaystyle \alpha } の値は0.05から0.005に引き下げるべきであると、統計学の大家たちは主張する。その一方、イリノイ工科大学の計算機科学者Shlomo Argamonは「実験する方法が多数ある限り、どんなに小さい有意水準 α {\displaystyle \alpha } の値を用いてもその中に一つの実験方法が偶然に有意になる可能性が極めて高い」と新しい方法論的な基準を求める。

タイトル: いかにして問題をとくか
『いかにして問題をとくか』は、数学の問題を解く方法としては、以下の手順を推奨している。この手法が失敗した場合について、ポリアはこうアドバイスしている。「問題を理解する」は明白であるとして、よく無視され、多くの数学の授業でさえ言及されない。それでも、生徒は問題を完全にあるいは部分的にでも理解していないという理由だけで、問題を解く努力に悩まされることがよくある。この見落としを改善するために、ポリアは教師に、状況に応じて、次のような適切な質問を各生徒にすることで、前進させる方法を教えた 。教師は、各生徒が建設的な何かで答えられるようになるまで、各生徒が自分のレベルで理解しているかどうかを確認するために、リストを上下に移動して適切な難易度の質問を選択し、各生徒を前進させる。ポリアは、問題を解決するための多くの合理的な方法があると述べている。

タイトル: かけ算の順序問題
」このような問題文になっていると子どもたちは必ず式を間違えますよね。「5 × 4」と書きます。今まで文の中に出てきた順番に数を使って式を書くだけで、ずっと丸をもらえていた子たちは、必ずこういう問題で引っかかります。 ところが、この前2年生の子に聞いてびっくりしたことなのですが、「そろそろ式は反対に書かなきゃいけないころだ」と言うんです(笑)。「何で?」と聞くと、「プリントは、後の方になるとそういうふうにしないとバツになることが多い」と言うのです。そういえばそうですよね。まとめのテストの文章題の終わりは、必ず式が逆になる場合の問題が多いのです。まあ、統計的にみる力は素晴らしいものがあるかもしれませんが(笑)、それではやはり意味がありません。と述べ、文章題の内容を正しく絵に描ければ読み取りができていると判断できるが、それだけでは不十分で「かけ算の正しい順序」をまもらないのは間違いであるとした。

タイトル: 端数処理
端数処理(はすうしょり)とは、与えられた数値を一定の丸め幅の整数倍の数値に置き換えることである。平たく、丸め(まるめ)ともいう。常用的には、十進法で10の累乗(...100、10、1、0.1、0.01...)が丸め幅とされることが多いが、そうでない丸め幅をもつ処理は存在する。十進法以外のN進法について同様の概念を考えることもできる。

タイトル: 級数
例えば、「0.999... = 1」における左辺はという級数の値という意味である。an = 9 × 10 で定まる無限数列 {an} の部分和の列を考えれば常に sN < 1 であって、1 という値がこの数列の項としては現れない。素朴な意味で 0.999... ≠ 1 とか 0.999... < 1 であると主張する人々の議論は、しばしばこのような数列として 0.999... を捉えているものと解釈することができる。同様にそのような捉え方では、数列 {1 − sN} はであるから、0 が続いた後に必ず 1 が現れるはずだ(から等しくは無い)ということになる。しかしこれらの数列の極限はと定まるので、級数 0.999... の値は 1 なのである。

タイトル: 文章題
文章題(ぶんしょうだい)は、文章の形式になっている問題のこと。特に初等教育の算数で扱う応用問題を指す場合が多い。

タイトル: 安全率
注意すべきなのは、設計時に設定される安全率とは、強度の不確実性、負荷の不確実性が存在するために設定されるものである。したがって、安全率が大きいということは予測の不確実性が大きいということを意味するのであり、必ずしも安全性が高いことを意味するものではない。実際の安全率の値はさまざまで、1よりわずかに大きい値から、数百にまでいたる。なお、1をあまり超えない場合、「安全率1.1」の代わりに「安全率0.1」のように言うことがあるが、正しい用法ではない。マージン (margin) は、安全率の同義語として使われることがあるが、本来は、安全率から1を引いた余裕部分を意味する。直接的に人命に関わるような部材は安全率も大きめに取られており、例えばエレベーターのかごを吊るすロープなどは安全率を10以上とすることが建築基準法によって定められている。

タイトル: 健全性
健全性(けんぜんせい、英: Soundness)は、論証が次の属性を持つことと同値である。論理体系における証明(例えば自然演繹)が健全(sound)であるとは、妥当な論理式(あるいは恒真式)のみを証明することを意味する。すなわち、論理体系が健全であるとは、 X 1 , ... , X n ⊢ Y {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\vdash Y} が X 1 , ... , X n ⊨ Y {\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}\models Y} を含意することをいう。

タイトル: 不確かさ (測定)
その結果、1993年、ISO など 7 つの国際機関の共著による「計測における不確かさの表現ガイド」(英: GUM; Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)が刊行され、この中で「不確かさ(英: uncertainty)」という言葉が用いられた。GUMにおける「不確かさ」の定義は「測定の結果に附随した、合理的に測定量に結び付けられ得る値のばらつきを特徴づけるパラメータ 」である。すなわち、「誤差」が「真値」からの測定値のずれを示すものであるのに対し、「真値の標準偏差」は、測定値からどの程度のばらつきの範囲内に「真値」があるかを示すものである。不確かさ解析での「不確かさ」の計算は、誤差解析でのこの「真値の標準偏差」に相当する。

タイトル: 天下り
「神(学術的事実)が地上(科学者)に降り立つ」「権威(科学者)が民間(学習者)に一方的に授ける」というイメージの類推から、数学や物理学の議論で、一見すると議論とは無関係な数式や概念・結論を説明なしで突然に導入することを、「天下り的」「天下り式」と呼ぶことがある。

タイトル: 不確かさ (測定)
このように不確かさの値は計量行政に依存している。このため、トレーサビリティ制度の運用に不合理が起きないように、国家標準器には各国の測定技術の最高性能が求められる。このように測定値の不確かさは、関連する制度として計量トレーサビリティ制度などの計量行政や、国家標準器の維持管理を伴っており、相互に意味付けをしている。国家標準器の測定値の不確かさの値は、国ごとで異なるのが一般である。たとえば、ある物理量の国家標準器の測定値の不確かさが、日本とアメリカとフランスとドイツとで、異なっている場合もありうる。もし、このように国ごとで国家標準器の不確かさの大きさが異なっていても、それは各国の国家標準器の性能の優劣を意味しない。

タイトル: ダネットの検定
42、両側検定では t = 2.88である。片側検定の場合、「許容量」はA=(2.42)(3.56)=9であり、実験者は以下のように結論できる。上記の3つの結論が統合された記述は95%の信頼係数を持つ。すなわち、長期的には、このような統合された記述の95%が実際に正しい。これらの差に対する上方限界は類似したやり方で得ることができる。両側限界では、許容量はA=(2.94)(3.56)=11であり、実験者は以下のように結論できる。これら3つの記述に対する統合された信頼係数は95%を超える。