質問: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
回答: ポアンカレ予想

タイトル: 曲面の不正則数
 Serre (1956) では、h が正のときは、h がゼロとなりうることが示され、一方 Mumford (1961) では標数 2 のエンリケス曲面は h のときは h がゼロとなりうることが示された。Grothendieck (1961, p.23-24) は、すべての標数で q の h への関係が完全に記述された。(任意の点での)ピカールスキームの接空間の次元は、h に等しい。標数 0 の場合は、ピエール・カルティエ(Pierre Cartier)の結果は、有限型のすべての群スキーム(group scheme)は非特異であるので、それらの接空間の次元は群スキームの次元に一致することである。他方、正の標数の場合は、すべての点で群スキームは可約ではない(non-reduced)ので次元は接空間の次元よりも小さくなる。このことは、井草の例で起きたことと整合している。

タイトル: 低次元トポロジー
より詳しくは、K が 3次元多様体 M の中の結び目とし(最も良く使われる M は3-球面(英語版)である)、N を K の管状近傍(英語版)とすると、位相的に N はトーラス体(solid torus)である。そうして、結び目補空間とは N の補集合関連する主題として、組み紐理論がある。組み紐理論は、日常的な意味の組み紐およびそのある種の一般化を研究する抽象幾何学理論である。考え方としては、組み紐を群として体系化することであり、その群演算は「紐の集合上で、紐をひねって組むという操作を、ひねりを加えた順番に従って考える」ことを意味する。そのような群は明白に群の表示により陽に記述することができ、Emil Artin (1947) に示されている。この線での基本的な取り扱いは組み紐群の項を参照。ブレイド群はまた、より深い数学的な解釈(たとえば、配置空間(英語版)の基本群)も持つ。

タイトル: リーマン多様体
リーマン多様体の考え方は1828年にカール・フリードリヒ・ガウスが証明した『驚異の定理 (Theorema Egregium)』までさかのぼる。この定理は曲面の曲率(厳密にはガウス曲率)が、曲面が三次元空間にどのように埋め込まれるかに依存せず、単に角度や長さを定める計量テンソルにのみ依存するというものである。ガウスの弟子であったリーマンはガウスの定理を多様体と呼ばれる高次元空間に拡張した。この応用として、アルベルト・アインシュタインが相対性理論においてリーマン多様体の考え方を利用している。リーマン距離とは多様体上の各点に与えられた計量テンソルにより、点と点を結ぶ距離を多様化したものである。リーマン距離を用いると、角度や曲線の長さなどの幾何的性質が多様体上で定義可能である。

タイトル: 遅延ポテンシャル
補題 3 (ヘルムホルツ方程式のインパルス応答の球面座標変換) x-y-z空間上のスカラー値関数G(x,y,z)が、式(2-2-1)の球対称解である必要充分条件は、 G(x,y,z)が、以下の式(2-3-1)を充すことである。但し、kは、以下の式(2-3-2)で定まる定数とする。ラプラシアン( Δ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}} )に対し、球面座標変換を 施したものを、 ( Φ ∗ Δ ) {\displaystyle ({\Phi }^{*}\Delta )} と書くと、となる。従って、式(2-1-4)のDに対して球面座標変換を施したものを、Lと書くと、である。

タイトル: 有理曲面
代数幾何学で、有理曲面(rational surface)は射影平面に双有理同値な曲面、すなわち、次元が 2 の有理多様体のことを言う。有理曲面は、複素曲面のエンリケス・小平の分類の中の 10 個の曲面の最も単純なクラスで、最初に研究された曲面であった。

タイトル: 位相多様体
定義により、局所ユークリッド空間の任意の点は R の開部分集合に同相な近傍を持つ。そのような近傍はユークリッド的近傍 (Euclidean neighborhood) と呼ばれる。領域不変性定理(英語版) からユークリッド的近傍はつねに開集合であることが従う。R の「よい」開集合に同相なユークリッド的近傍を見つけることがつねに可能である。実際、空間 M が局所ユークリッド的であることと以下の同値な条件のいずれかが成り立つことは同値である。R の開球体に同相なユークリッド的近傍はユークリッド的球体 (Euclidean ball) と呼ばれる。ユークリッド的球体たちは局所ユークリッド空間の位相の基底をなす。

タイトル: クロネッカーの定理
たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。定理において、どのようにうまく(統一的に)P の多重化 mP が閉包を満たすかは、未解決である。1次元の場合、分布は等分布定理(英語版)(equidistribution theorem)により一様である。

タイトル: 群論
ガロア群は歴史的には群論の起源の一つではあるが、未だ類体論などの領域で新しい結果を与えるなどの実りある応用がされている。代数的位相幾何学(代数トポロジー)は、その研究の対象となるものにはっきりと群が付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。「不変量」というのは、空間がある種の変形を受けてもそれらが変化しないということを示すものである。例えば、基本群は、空間に本質的に異なる道がいくつあるかを「数える」ものである。(2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた)ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。たとえば、代数的位相幾何学では所定のホモトピー群を備えた空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間が用いられる。

タイトル: 子供のデッサン
複素数全体に ∞ と書かれる特別な点を付け加えたものは、リーマン球面と呼ばれる位相空間になる。任意の多項式、あるいはより一般に任意の有理関数 p(x)/q(x)(p と q は多項式)は、リーマン球面からそれ自身への写像を定義する。例として、次の有理関数を考えよう。リーマン球面のほとんどの点で、この写像は局所同相写像である。すなわち、ほとんどの点に対して、その点を中心とする小さな円板にこの写像を制限したものは、1対1の写像になっている。一方で、臨界点と呼ばれる点ではこの写像はもっと複雑であり、その点を中心とする円板からその像への k 対1の写像になっている。この数 k は臨界点の次数(degree)と呼ばれ、臨界点の像は臨界値(英語版)と呼ばれる。f の場合の臨界点と臨界値を次の表に示す。臨界点ではないが、臨界値に写像されるリーマン球面上の点も臨界点の列に含めている。

タイトル: メビウスの帯
数学的には、メビウスの帯は連結・コンパクトで向き付け不可能な種数1・境界成分数1の2次元多様体(曲面)であるといえる。向き付け不可能とは表と裏の区別をつけることができないということである(単側性ともいう)。例えばメビウスの帯のある部分に(裏側にもインクがにじむように、あるいは帯が透明な素材でできていると考えて)「あ」という文字を書き、それを帯に沿って1周させて元の位置に戻すと、文字が反転して鏡像になってしまう。一般に曲面が向き付け不可能であることは、その曲面にメビウスの帯が含まれていることと同値となる。メビウスの帯は境界(近傍がユークリッド半平面と同相な点の集合のことで、帯の端の部分)を持っているが、その個数は1つであり、2つの境界成分を持つひねりの無い通常の帯(アニュラス)とは異なる。

タイトル: リッチフロー
リッチフローは、1981年以来、集中的に研究されてきた。最近のリッチフロー発展は、どのように高次元リーマン多様体がリッチフローに従って発展するか、特に、どのタイプのパラメータ化された特異点が形成されるかという詳細な疑問へ集中している。たとえば、リッチフローの解のあるクラスは、ダンベル型特異点 (neckpinch singularities) は、ある特別な時間 t0 にフローが近づくに従い、ある位相的な性質(正のオイラー標数)を持つ発展している n次元のリーマン多様体を構成する。ある条件が揃う場合には、そのようなダンベル型はリッチソリトンと呼ばれる多様体を生み出す。

タイトル: ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
100万ドル賞であるナビエ-ストークス方程式の解の存在と滑らかさ問題には、2つの異なった設定がある。もともとの問題は、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の空間全体の中(の問題)であり、これには初期値と解の増大性の振る舞いに余剰な条件を必要とする。無限遠点での問題を度外視するために、ナビエ-ストークス方程式は周期的なフレームワークでの設定が可能であり、このことはもはや R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の空間全体ではなく、3次元トーラス T 3 = R 3 / Z 3 {\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}} の中での問題である。別々にわけて取り扱うことにする。

タイトル: シンプレクティック幾何学
( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} をシンプレクティック多様体とする。 H {\displaystyle H} 上の滑らかな関数の族 H = { H t } {\displaystyle H=\{H_{t}\}} で H t + 1 = H t {\displaystyle H_{t+1}=H_{t}} をとる。このとき、 H {\displaystyle H} に随伴するハミルトン力学系が考えられる。1960年代、アーノルドはこのハミルトン力学系の1周期解の個数評価に関して次の予想を提出した。Conjecture (Arnold) : 次の不等式が成立する:この予想はハミルトン系の周期解に関する予想であるが、シンプレクティック多様体上の不動点定理としても捉えることができる。

タイトル: ミラー対称性 (弦理論)
SYZ予想は、このアイデアをより複雑な6次元カラビ・ヤウ多様体の場合へ一般化した予想である。トーラスの場合のように、6次元カラビ・ヤウ多様体をより単純なピースへ分割することができ、この場合には3次元トーラス(英語版)が3次元球面によりパラメトライズされる。 T-双対はこの分解に現れるように、円から3次元トーラスへ拡張が可能で、SYZ予想はミラー対称性がこれらの3次元トーラスのT-双対の同時に適用さることと同値であることを言っている。 このようにして、SYZ予想はカラビ・ヤウ多様体の上にミラー対称性がどのように作用するかの幾何学的な素描を与えた。

タイトル: ヒルベルトの23の問題
ヒルベルトの23の問題(ヒルベルトの23のもんだい、英: Hilbert(’s) 23 problems)は、ドイツ人の数学者であるダフィット・ヒルベルトによりまとめられた、当時未解決だった23の数学問題である。ヒルベルト問題 (Hilbert(’s) problems) とも呼ばれる。

タイトル: K3曲面
マーク付き(点の付いた)の複素K3曲面の荒いモジュライ空間が存在し、複素次元 20 の非ハウスドルフ的な滑らかな空間となる。複素K3曲面に対しては、周期写像が存在し、トレリの定理(英語版)が成り立つ。M が K3曲面 S と H(S,R) のケーラー類のペアであれば、M は自然な方法で、60次元の実解析多様体となる。M から空間 KΩ への精密化された周期写像で、同型となるものが存在する。周期の空間は次のように明確に記述できる。

タイトル: 双球座標系
双球座標系(英語: bispherical coordinates)は3次元の直交座標系の一つで、2次元の双極座標系を、2つの焦点を結ぶ軸を中心に回転させたものである。そのため、双球座標系の2焦点は回転軸上の点として維持される。

タイトル: クレイン＝ミルマンの定理
数学の函数解析学の分野において、クレイン=ミルマンの定理(クレイン=ミルマンのていり、英: Krein–Milman theorem)とは、位相ベクトル空間内の凸集合に関するある命題である。この定理の容易に可視化できる特別な場合では、与えられた凸多角形に対し、その角の部分だけで全体の形を復元できるということが述べられている。しかしその多角形が凸でない場合には、角として与えられた点から多角形を描く方法が多く存在し得るため、この定理の内容は偽となる。正式には、 X {\displaystyle X} を(ハウスドルフと仮定される)局所凸位相ベクトル空間とし、 K {\displaystyle K} を X {\displaystyle X} のコンパクトな凸部分集合とするとき、 K {\displaystyle K} はその極点の閉凸包となることが、この定理では主張されている。

タイトル: 三次方程式
このような円錐曲線の研究は、アルキメデスやイブン・ハイサム等を経て、セルジューク朝期ペルシアのウマル・ハイヤームにより拡張され、様々な形をした三次方程式の解が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。三次方程式の代数的解法は、16世紀頃にボローニャ大学のシピオーネ・デル・フェッロによって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式はという形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、係数を正に限った形をしている。この方程式自体は特殊な形であるものの、一般の三次方程式はこの形に変形できるため、本質的には三次方程式はデル・フェロが解いたといっても過言ではない。また、この方程式の場合は係数の符号の制約から還元不能にはならない。デル・フェロは、この解法を公開せず、何人かの弟子に託して1526年に死んだ。

タイトル: 連結和
M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} を 2つの等しい次元の滑らかな向きつけられた多様体とし、 V {\displaystyle V} を滑らかな向きつけられた閉多様体で、閉部分多様体として M 1 {\displaystyle M_{1}} と M 2 {\displaystyle M_{2}} の双方へ埋め込まれているとする。さらに、法バンドル(英語版)(normal bundle)の同型で互いのファイバーで向き付けを保つものが存在すると仮定すると、写像 ψ {\displaystyle \psi } は向きつけを保つ微分同相写像を引き起こす。

タイトル: メネラウスの定理
証明法はさまざまあるが、ここでは代表的な方針を述べる。ABに平行にCから伸ばした線とDEFとの交点をKとする。相似からが成り立つ。左式のCKを右式に代入、もしくは逆に右式を左式に代入し、整理すれば定理が導かれる。ΔABCの各頂点から直線lに垂線をおろす。すると、3組の相似な直角三角形が現れるので、その相似比を考えればよい。直線ADと直線BEの交点をGとすると

タイトル: 有限型不変量
数学の結び目理論において有限型不変量(finite type invariant)とは、結び目または絡み目の不変量で特異結び目の不変量に拡張可能であり、かつ高い次数を持つ特異結び目では値として 0 をとるもののことを言う。結び目の多項式不変量や量子不変量の係数は全て有限型であり、結び目の不変量の中でも重要な位置を占める。1990年頃にヴィクトル・ヴァシリエフとミハイル・グサロフが独立に発見したのでヴァシリエフ(Vassiliev)不変量、時にヴァシリエフ-グサロフ(Vassiliev-Goussarov)不変量とも呼ばれる。

タイトル: 位相空間
他にも例えば多様体を定義する際には複数の距離空間(ユークリッド空間の開集合)を連続写像で「張り合わせる」(商空間)が、張り合わせに際して元の空間の距離構造を壊してしまうので、元の空間を距離空間とみなすより、位相空間とみなす方が自然である。位相空間の概念の代表的な応用分野に位相幾何学がある。これは曲面をはじめとした幾何学的な空間(主に有限次元の多様体や単体的複体)の位相空間としての性質を探る分野である。前述のようにゴム膜のように連続変形しても位相空間としての構造は変わらないので、球面と楕球は同じ空間であるが、トーラスは球面とは異なる位相空間である事が知られている。位相幾何学では、位相空間としての構造に着目して空間を分類したり、分類に必要な不変量(位相不変量)を定義したりする。位相空間の概念は代数学や解析学でも有益である。

タイトル: ポーランド空間
いかなる2つの不可算なポーランド空間の間にも、ボレル同型写像が存在する。すなわち、全単射でボレル構造を保つものが存在する。特に、不可算なポーランド空間の濃度は必ず連続体濃度となる。

タイトル: シンプレクティック同相写像
ウラジーミル・アーノルドの優れた予想であるアーノルド予想は、(M が閉多様体の場合に)M 上のハミルトンシンプレクティック同相写像 ƒ の固定点の極値の個数をモース理論に関連付ける予想である。さらに詳しくは、アーノルド予想は、ƒ は少なくとも M 上の滑らかな函数が持つべき臨界点(critical point)個数と同じ個数の極値を持つであろうという予想である。(少なくとも 2 という限られた有限個数の場合には、モース函数として、一般的に知られている。)アーノルドとアレクサンダー・ギベンタール(英語版)(Alexander Givental)の名前にちなんだアーノルド・ギベンタール予想(英語版) は、これから従うことが知られている。この予想は、ラグラジアン部分多様体に関する予想であり、多くの場合に、シンプレクティックなフレアーホモロジーを構成することで、証明されている。