質問: 2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形といいますが、3つの辺の長さが等しい三角形を何というでしょう?
回答: 正三角形

タイトル: 三角形
三角形は、その辺や角の大きさにより、いくつかの方法で分類することができる。三角形の内角の和は 180度なので、三角形の内角で 90度以上のものは高々1個である。三角形の内角は、すべて鋭角であるか、直角1個と鋭角2個であるか、鈍角1個と鋭角2個、のいずれかである。三角形を内角の大きさで分類するとき、内角が全て鋭角である三角形を鋭角三角形(図2)、1つの内角が直角である三角形を直角三角形(図4)、1つの内角が鈍角である三角形を鈍角三角形(図3)という。また、三角形を辺の長さで分類するとき、3つの辺の長さがすべて異なる三角形を不等辺三角形(図2)という。2つの辺の長さが等しい三角形を二等辺三角形(図5)という。二等辺三角形のうち、直角三角形の直角をはさむ 2つの辺が等しいものを直角二等辺三角形(図6)という。二等辺三角形のうち、3つの辺の長さがすべて等しい三角形を正三角形(図7)という。

タイトル: 三角形
頂角の対辺が底辺であり、底辺の両端の角が底角である。また、二等辺三角形で頂点と言った場合、特に底辺の対頂点を指す。△ABC が b = c の二等辺三角形であれば、底角 ∠B = ∠C であり(二等辺三角形の底角の性質)、逆に、△ABC の 2角が ∠B = ∠C であれば、b = c の二等辺三角形となる(二等辺三角形の成立条件)。二等辺三角形は線対称な図形であり、頂角の二等分線、底辺の垂直二等分線、頂点から底辺に引いた中線はすべて対称軸上に乗る。二等辺三角形のうち、頂角が直角であるものを直角二等辺三角形という。直角二等辺三角形においては、直角をはさむ 2辺を等辺、底辺を斜辺と呼ぶこともできる。2つの鋭角ないし底角の大きさは、それぞれ 45度となる(図6)。二等辺三角形のうち、等辺と底辺の長さが等しいものを正三角形という。(図7)正三角形の内角は全て等しく 60度となる。

タイトル: 三角形
逆に、ある内角が 60度である二等辺三角形は正三角形である。正三角形は正多角形の一種である。正多角形とは、全ての辺が等しく、全ての内角が等しい多角形と定義されるが、正三角形に限って3辺が等しいことのみで定義される。正三角形には、対称軸が 3本ある。正三角形の重心、外心、内心、垂心、フェルマー点は、全て一致する。

タイトル: 正三角形
正三角形(せいさんかくけい、英: equilateral triangle)は、正多角形である三角形である。つまり、3本の辺の長さが全て等しい三角形である。3つの内角の大きさが全て等しい三角形と定義してもよい。1つの内角は 60°(π/3 rad)である。また一つの内角が60°である二等辺三角形は正三角形となる。

タイトル: カルノーの定理 (幾何学)
任意の三角形 ABC において、外接円の中心 D と3辺との符号付き距離の和は、外接円の半径 R と内接円の半径 r の和に等しい。すなわち、右図において、が成立することを主張するものである。ただし、三角形の各辺への垂線 DX (X = F, G, H) が当該三角形の外側に完全に出てしまう場合に限り、符号付き距離の符号を負にとるものとする。

タイトル: 人間ピラミッド
以上のピラミッドは立体的には三角形の壁を垂直に立てた平面的形状であり、二次元ピラミッドと呼ばれる。ピラミッドが高くなると土木工学で「クリープ」と呼ばれる自重による構造物の変形が起こる。人間ピラミッドは自身の重みで横向きに広がり、力が分散するために崩れてしまう。四段ピラミッドからこの現象が現れ始め、それ以上では顕著になる。五段あるいはそれ以上のピラミッドでは、三段目と四段目に大きな横向きの力がかかる。そのため、構成員はピラミッドの中心にむかって体重を寄せ、崩壊を防ぐ。二次元ピラミッドには、このような力学的な限界がある。三次元ピラミッドの基本形はエジプトのピラミッドに類似したの立体形状であり、二次元ピラミッドの高度限界を突破することができる。各構成員は基本的に同じ姿勢をとるため、習得が比較的容易であり、7段以上の高い人間ピラミッドを作ることができるが、非常に多数の構成員を必要とする。

タイトル: 大二重変形二重斜方十二面体
一様多面体の条件をほとんど満たしているが、 4つの面が重なる辺があるので普通は一様多面体には数えない。

タイトル: パスカルの三角形
パスカルの三角形は二次元以外に拡張が可能であり、一般に「パスカルの単体」と呼ばれる。0次のものはただ一つの1である。これは0の0乗を表す。1次のものは無数の1が並ぶ。これはただ一つの項 x を何乗しても係数は1で変わらないことを示す。3次のものは三項展開における係数を三角錐状に並べたもので「パスカルのピラミッド(英語版)」「パスカルの四面体」「パスカルの三角錐」と呼ばれる(ただし、エジプトのギザの大ピラミッドは五面体で四角錐である)。パスカルの三角錐の頂点は1であり、それより下の段にはその上方に位置する三つの数の和を配置する。頂点から下る三本の辺にはそれぞれ無数の1が並ぶ。三つの側面はいずれもパスカルの三角形である。n 段目には x + y + z を n − 1 乗して展開した係数が三角形状に並ぶ。

タイトル: 斜方二十面体
斜方二十面体(しゃほうにじゅうめんたい、Rhombicosahedron)とは、一様多面体の一種である。斜方十二・十二面体の正五角形、正5/2角形を削った図形である。

タイトル: ペンローズの三角形
ペンローズの三角形から似たようなものを構築可能で、他の正多角形からペンロースの正多角形を作ることができる。しかし、角が増えるに従って単に反っているかねじれているように見えてくる。

タイトル: 三百六十角形
正三百六十角形においては、中心角と外角は1°で、内角は179°となる。一辺の長さが a の正三百六十角形の面積 S はsin  1 ∘ {\displaystyle \sin {1^{\circ }}} を平方根と立方根で表すと、cos  ( 2 π / 360 ) {\displaystyle \cos(2\pi /360)} を平方根と立方根で表すと、正三百六十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。正三百六十角形は折紙により作図可能である。

タイトル: 長方形
つまり、 A = x y {\displaystyle A=xy} である。例えば、長さが5、幅が4の長方形の面積は、5×4=20となる。2番目の図を参照。微積分学では、リーマン積分はリーマン和の長方形の幅を極限まで小さくしたときの極限値として定義される。2つの連続する自然数の積になるような数を長方形数または矩形数という。長方形のうち、口語で長四角(ながしかく)といえば正方形を除いた長方形を指すことが多い。

タイトル: パスカルの三角形
パスカルの三角形(パスカルのさんかくけい、英: Pascal's triangle)は、二項展開における係数を三角形状に並べたものである。ブレーズ・パスカル(1623年 - 1662年)の名前がついているが、実際にはパスカルより何世紀も前の数学者たちも研究していた。この三角形の作り方は単純なルールに基づいている。まず最上段に 1 を配置する。それより下の段は両端には 1 を、それ以外の位置には右上の数と左上の数の和を配置する。例えば、5段目の左から2番目には、左上の 1 と右上の 3 の合計である 4 が入る。このようにして数を並べると、上から n 段目、左から k 番目の数は、二項係数( n − 1 k − 1 ) = n − 1 C k − 1 {\displaystyle {n-1 \choose k-1}={}_{n-1}\mathrm {C} _{k-1}}に等しい。

タイトル: 混線内接円
混線内接円(こんせんないせつえん、英: mixtilinear incircle)とは、ある三角形の二辺に接し、かつその外接円に内接する円のことである。三角形の頂点 A {\displaystyle A} を含む二辺に接する混線内接円は A {\displaystyle A} 混線内接円と呼ぶ。すべての三角形は、各頂点に一意に対応する三つの混線内接円を持つ。

タイトル: ピアポント素数
これ以外の 3 ≤ N ≤ 21 である正 N 角形はどれもコンパス、定規、角の三等分器で作図することができる。

タイトル: 二百五十六角形
正二百五十六角形においては、中心角と外角は1.40625°で、内角は178.59375°となる。一辺の長さが a の正二百五十六角形の面積 S はcos  ( 2 π / 256 ) {\displaystyle \cos(2\pi /256)} は有理数と平方根の組み合わせのみで表せる。正二百五十六角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。

タイトル: 双三角錐
正三角柱の双対とは、アルキメデスの正三角柱(底面と側面がともに正多角形の正三角柱)の双対となる多面体である。 カタランの立体と同様、二面角が等しいという性質を持つ。

タイトル: 三方四面体
三方四面体(さんぽうしめんたい、英: triakis tetrahedron)とは、カタランの立体の一種で、切頂四面体の双対である。正四面体の各面の中心を持ち上げ、3つの二等辺三角形に分けたような形をしている。

タイトル: ヒルベルトの第3問題
多面体が切断されるとき、いくつかの辺も2つに切断され(これらはデーン不変量に対し辺長に比例した寄与をしていなければいけない)、もし切断面がある辺を含むなら、対応する面の角は2つに分割される。切断によって通常は新しい辺や角が生まれるが、これらのデーン不変量への寄与はちょうど打ち消し合うよう定義をしなくてはならない。ある面が2つの面に分かれるとき、新たに生じる二面角の和は必ず π に等しいことから、π の整数倍の加減による寄与がトータルでゼロになるように不変量を定義することにする。以上全ての要請は、D(P) を実数体 R と 剰余加群 R/(Qπ) のテンソル積として定義することで実現できる。このテンソル空間では、第2成分が π の有理数倍である元はゼロである。

タイトル: 直角台形
台形の一種で、2つの隣接する直角を持つ。4つの内角で構成され、そのうちの2つは必ず90度である。(右図)辺aに垂直な線dは、aに平行なすべての線にも垂直であるため、台形に少なくとも1つの直角がある場合、常に少なくとも2つの直角がある。直角台形が、3つの直角を持つことは不可能で、3つ目の角が90°の場合4つ目の角も90°になり、長方形になる。

タイトル: 多項係数
二項係数に対するパスカルの三角形の類似対応物として、r-変数の多項係数にも幾何学的な図形(単体)が対応し、パスカルの r-単体と呼ばれる。r = 3 のときは特に、三項係数(ドイツ語版)に対するパスカルの三角錐(英語版)と呼ばれる。

タイトル: 球面三角法
球面三角法(きゅうめんさんかくほう、英: spherical trigonometry)とは、いくつかの大円で囲まれた球面上の図形(球面多角形、とくに球面三角形)の辺や角の三角関数間の関係を扱う球面幾何学の一分野である。 球面上に2点A,Bがあるとき、この2点と球の中心を通る平面で切断したときの断面に現れる円が大円であり、このときの大円上の弧ABを球面多角形においては辺と呼ぶ。 通常、球の半径は1とするので、辺の長さはその辺を含む大円における中心角の弧度法表示と一致する。 平面三角法では6つの要素のうち3つの要素が決定されれば、残りの3つの要素を求めることができる。球面三角法でも同様に、3つの要素が分かれば残りの3つの要素を求めることができる。球面三角法は、主に天文学や航海術で利用されてきた。

タイトル: 平行四辺形
 例えは上記と同じく正四面体の交わる2つの面からなる四角形で、 その対角もぞれぞれ等しいが、やはり平行四辺形ではない。上記の2つとは違って、空間中でも平行四辺形になる。 上記の例えでは対角線はねじれ位置にあり、交わらないため、 この条件を満たす四角形は必ず平面四角形になるので、平行四辺形になる。

タイトル: ルーローの四面体
2次元では、ルーローの三角形以外に、任意の奇数角形に対するルーローの多角形が存在する。しかし3次元では、ルーローの多面体はルーローの四面体のみである。これは、頂点と面とが相対する正多面体が正四面体のみだからである。

タイトル: 距離推移グラフ
これら三つの族は全て、任意に高い次数を持つ。

タイトル: 菱形三十面体
菱形三十面体(りょうけいさんじゅうめんたい、英: rhombic triacontahedron)とは、カタランの立体の一種で、二十・十二面体の双対多面体である。また、ゾーン多面体、等面菱形多面体の一種でもある。正十二面体または正二十面体の各面の中心を持ち上げ、隣り合う三角形同士が同一平面上となるようにした形にもなっている。全ての目が同じ条件であるため、三十面のサイコロには最もよく使われている。一部の菱形10枚を抜くことにより菱形二十面体が生成される。

タイトル: 逆三角関数
逆三角関数は直角三角形の残りの 2 つの角度を決定しようとするときに三角形の辺の長さが知られているときに有用である。例えば sin の直角三角形による定義を思い出すとが従う。しばしば、斜辺 (hypotenuse) は未知であり arcsin や arccos を使う前にピタゴラスの定理を使って計算される必要がある:a + b = h, ただし h は 斜辺の長さである。アークタンジェントはこの状況で重宝する、なぜなら斜辺の長さは必要ないからだ。例えば、7 メートル行くと 3 メートル下がる屋根を考えよう。この屋根は水平線と角度 θ をなす。このとき θ は次のように計算できる:atan2 関数は 2 つの引数を取り、与えられた y と x に対して y/x のアークタンジェントを計算する関数だが、その返り値は (−π, π] の範囲に定める。

タイトル: 四角面三冠三角柱形分子構造
化学において、四角面三冠三角柱形分子構造(しかくめんさんかんさんかくちゅうけいぶんしこうぞう、英: tricapped trigonal prismatic molecular geometry)は、中心原子の周りに9つの原子または原子のグループまたは配位子が三側錐三角柱(三角柱の各側面に四角錐が張り付いた形状)の各頂点に配置された化合物の形状を説明する。同じ9配位の四角錐反柱形分子構造と非常に似ており、ある分子が示す具体的な幾何配置に関して論争がある。

タイトル: パップスの面積定理
定理は三角形の2辺に任意の平行四辺形が外接しているとき、その2平行四辺形の和と等しい面積を持つ平行四辺形を残りの辺に作る方法を述べる。△ABCで、三角形の辺ABとACに外接する2つの任意の平行四辺形をABDEとACFGとする。 直線DEと直線FGの交点をHとする。線分DE上に点U、線分FG上に点Vを、AH//BU//CVとなるようにとり、点Uを点Bに対して点対称移動した点をL、点Vを点Cに対して点対称移動した点をMとすると、面積Aで、A A B D E + A A C F G = A B C M L {\displaystyle A_{ABDE}+A_{ACFG}=A_{BCML}}

タイトル: 三角不等式
ノルム空間 V に対して、ノルムを定義する性質の一つが三角不等式である。つまり、二つのベクトルの和(英語版)のノルムは、その二つのベクトルそれぞれの長さの和で抑えられる。これを劣加法性と呼ぶこともある。ノルムとして振る舞うことが期待される任意の函数はこの要件を満足しなければならないノルム空間がユークリッド空間あるいはより一般の狭義凸空間ならば、‖ x + y ‖ = ‖ x ‖ + ‖ y ‖ となるための必要十分条件は、三点 x, y, x + y の成す三角形が退化していること、すなわち x, y が同一半直線上にあることである。式で書けば、x = 0 または y = 0 または x = αy (∃α > 0 となる。この性質は狭義凸ノルム空間(例えば lp-空間 (1 < p < ∞) など)を特徴付ける。しかしこれが成立しないノルム空間も存在する。

タイトル: 矢 (幾何学)
以下の等式において、s は矢の長さ(円弧の深さ)、r は円の半径、l は円弧の両端点を結ぶ弦の長さの半分とする。l と r−s は r を斜辺とする直角三角形の直角を挟む二辺の長さであるから、三平方の定理によりを得る。これを各変数について解けばを得る。 矢の長さは正矢(英語版)函数 versin を用いても計算できる。中心角 Δ = 2θ の見込む弧について、単位円上では矢の長さが正矢の値に一致するから、

タイトル: ルーローの四面体
ルーローの三角形は幅が同じ2次元の定幅図形のうちで面積最小という性質が確認されているが、3次元においてマイスナーの四面体が同様か否かは未解決である(Bonnesen – Fenchel Conjecture ,1934)。

タイトル: 双五角錐
正五角柱の双対とは、アルキメデスの正五角柱(底面と側面がともに正多角形の正五角柱)の双対となる多面体である。 カタランの立体と同様、二面角が等しいという性質を持つ。

タイトル: 頂垂線 (三角形)
初等幾何学における三角形の頂垂線(ちょうすいせん、英: altitude)または単に垂線は、その三角形のひとつの頂点からその対辺(この場合、その頂点に対する「底辺」と呼ぶ)を含む直線へ垂直に引いた線分を言う。この対辺を含む直線のことを、その頂点または頂垂線に対する「延長された底辺」(extended base) あるいは「底辺の延長(線)」と呼ぶ。(頂)垂線と底辺(の延長線)との交点は、(頂)垂線の足 (foot) と言う。頂垂線の「長さ」(しばしばこれを「高さ」("the altitude") と呼ぶ)は、頂点と底辺(の延長線)との間の距離(すなわち、頂点とそこから引いた頂垂線の足との間の距離)を言う。頂点から頂垂線をその足まで描くことを、頂点から「垂線を降ろす」(dropping the altitude) と言い、それは直交射影の特別の場合である。