質問: ロシアのグレゴリー・ペレルマンによって解決された、「単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である」というミレニアム懸賞問題のひとつは何?
回答: ポアンカレ予想

タイトル: グリゴリー・ペレルマン
グリゴリー・ヤコヴレヴィチ・ペレルマンまたはペレリマン(ロシア語: Григо́рий Я́ковлевич Перельма́н [ɡrjɪˈɡorjɪj ˈjakəvljɪvjɪtɕ pjɪrjɪljˈman] ( 音声ファイル), Grigori Yakovlevich Perelman, 1966年6月13日 – )は、ロシア出身の数学者。ロシア系ユダヤ人。ミレニアム懸賞問題の一つであるポアンカレ予想を、多くの数学者が位相幾何学(トポロジー)の観点から挑戦する中、微分幾何学や物理学的アプローチで解決したことで知られる。

タイトル: ポアンカレ予想
ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。ポアンカレ予想は現在では「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S に同相である」と表現される。すなわち、境界を持たない連結かつコンパクトな3次元多様体は、任意のループを1点に収縮できるならば、3次元球面 S と同相であるというものである。ポアンカレ自身、デーン、ホワイトヘッド、古関健一、コリン・ルーケ (Colin Rourke)、イアン・スチュアート、ビング、などの数学者達がこの問題に挑戦した。初めに1932年ヘルベルト・ザイフェルトがザイフェルトファイバー空間の場合の証明をした。パパキリアコプロスは同値の予想を作ったがその度にマスキットなどに反証された。そしてロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは2002年から2003年にかけてこれを証明したとする一連の論文をプレプリントサーバarXivに投稿した。

タイトル: ポアンカレ予想
(3次元)ポアンカレ予想(ポアンカレよそう、Poincaré conjecture)とは、数学の位相幾何学(トポロジー)における定理の一つである。3次元球面の特徴づけを与えるものであり、定理の主張は単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S に同相であるというものである。現在まで7つのミレニアム懸賞問題のうち唯一解決されている問題である。ポアンカレ予想は各次元で3種類(位相、PL,微分)があり、かなり解けているが 「4次元微分ポアンカレ予想」「4次元PLポアンカレ予想」「高次元微分ポアンカレ予想の残り少し」は未解決である。 これらは非常に重要な問題である。

タイトル: 空間充填曲線
1890年、ペアノは今ではペアノ曲線と呼ばれる、単位正方形のすべての点を通る連続曲線を発見した。彼の目的は単位区間から単位正方形の上への連続写像を構成することであった。ペアノは、単位区間内の無限個の点は単位正方形のような任意の有限次元多様体の無限個の点と同じ濃度であるという、ゲオルク・カントールによる以前の反直観的結果に動機づけられた。ペアノが解いた問題はそのような写像が連続にできるかどうか、すなわち空間を埋める曲線があるかどうかであった。ペアノの解は単位区間と単位正方形の間の連続な1対1対応ではなく、実際そのような対応は存在しない(下記参照)。曲線に「厚さ」と1次元性の漠然とした概念を関連付けることが一般的であった。すべての通常遭遇する曲線は区分的に微分可能(つまり区分的に連続微分を持つ)であったが、そのような曲線は単位正方形全体を埋められない。

タイトル: トレミーの不等式
3次元空間の点に対するこの不等式の証明は、任意の非平面四辺形に対して四辺形が平面になるまで対角線の周りで点の1つを回転させ、他の対角線の長さを伸ばし、他の5つの距離を一定に保つことが可能であることを観察することにより、平面の場合に縮小することができる。3よりも高い次元の空間では、任意の4点が3次元部分空間に存在し、同じ3次元の証明を使うことができる。

タイトル: モンストラス・ムーンシャイン
モンスター群は、1970年代に数学者であるジャン=ピエール・セール(Jean-Pierre Serre)やアンリュー・オッグ(英語版)(Andrew Ogg)やジョン・G・トンプソン(John G. Thompson)により研究され、彼らは SL2(R) の部分群による双曲平面(英語版)の商として研究した。特に、SL(2,R) の中のモジュラ群 Γ0(p) の正規化因子 Γ0(p) を研究した。彼らは、リーマン面を双曲面を Γ0(p) で割った商とみることにより、(リーマン面の)種数がゼロとなることと、p が 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71 のいづれかであることと同値であることを発見した。

タイトル: ヒルベルトスキーム
ヒルベルトスキームは、スキーム上の 0-次元の部分スキームの穴のあいたヒルベルトスキーム(punctual Hilbert scheme)と呼ばれることがある。非公式には、このことは、いくつかの点が重なるときに非常に間違った理解を生み出すのであるが、スキームの上の点の有限個の集合のようなものを想定することができる。任意の0-次元スキームを関連する 0-サイクルと取ることにより、点の被約なヒルベルトスキームからサイクルの周多様体へのヒルベルト・周の射(Hilbert-Chow morphism)が存在する。(Fogarty 1968, 1969, 1973).M 上の n 個の点のヒルベルトスキーム M は、M の n-重対称積への自然な射を持っている。この射は最大 2 次元の M に対して双有理であり、最大 3 次元の M に対して、大きな n に対して双有理ではない。

タイトル: アレクサンダーの角付き球面
アレクサンダーの構成の各々の段階での角の数を増やすことで他の角付き球面を作り出すようアレクサンダーの構成を一般化できる。または高次元での類似の構成を考えることもできる。このような「野生的な」球面の構成にたいして他の実体上異なった構成が存在する。アレクサンダーによって同じく発見された、他の事例は、アントワーヌの角付き球面(英語版)である。それはカントール集合の3次元球面への病的な埋め込みである、アントワーヌのネックレス(英語版)に基づく。

タイトル: メタボール
メタボール (metaball) は、コンピュータグラフィックス用語で、複数のオブジェクト同士が接近し、融合し、1つのオブジェクトとなる過程を描く、n 次元の有機的なオブジェクトを表す言葉である。数学的には、陰関数曲面の一種。メタボールをレンダリングするための技術は、ジム・ブリンによって 1980 年代初期に発明された。ブリンはblobと称したが、独立に大阪大学の大村皓一らによりこの技術は開発され、大阪大のグループがメタボールと称した。メタボールは、それぞれ、n 次元の関数(つまり、3 次元なら f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} ;。3 次元メタボールが最もよく使われる)として定義される。さらに、ソリッド・ボリュームを定義するためにしきい値が選択される。

タイトル: 菱形継承問題
ここで「正方形」は長方形であると同時に菱形でもある、という形で菱形継承があらわれる(なお、ここでいう図形の菱形は、英: rhombus であり「ダイヤモンド」ではなく、日本語の偶然である)。またストリームなどでも、「読み出しストリーム」「書き込みストリーム」の両方を継承した「読み書きストリーム」といった形であらわれる。

タイトル: アポロニウスの問題
円反転はリーマン球面上のメビウス変換全体の部分集合に対応している。平面上のアポロニウスの問題はステレオ投影の逆写像によって球面上の問題に翻訳できる。よって、平面上のアポロニウスの問題の解法は球面上の対応部分にも直接関連するのである。以下で解説するよく知られている平面上の問題に対する反転的解法に加えて、その他の反転的解法も適用可能である。アポロニウスの問題に対する解は一般には対で生じる、つまり各解円に対して共役な解円が存在する(図 6)。一方の解円は、他方の解円の内側に存在する与円に外接する。逆もまた同様である。例えば、図 6においては、一方の解円(左上のピンクの円)は2つの与円(黒い円)を内包しているが、3番目の円には外接する。これとは対照的に、共役解(右下のピンクの円)はこの3番目の与円を内包するが、他のふたつには外接する。このふたつの共役な解円は、次の議論において反転に関連している。

タイトル: メビウス変換
もっと一般に n > 2 なる次元を持つ空間においても、メビウス変換をn-次元超球面からそれ自身への向きを保つ全単射共形変換として定義することができる(そのような変換はその領域における共形変換のもっとも一般な形のものである)。共形写像に関するリウヴィルの定理(英語版)に従えば、メビウス変換は平行移動、相似変換、直交変換、反転の合成として表すことができる。

タイトル: ミラー対称性 (弦理論)
1991年頃には、数え上げ幾何学の古典的な問題の大半が解かれ、数え上げ幾何学への興味は下火になり始めていた。数学者マーク・グロス(英語版)(Mark Gross)によれば、「古い問題が解かれるとともに、人々はシューベルトの数を現代のテクニックを使いチェックするほうへ戻りはしたものの、非常に古めかしいものでした。」 しかしながら、この分野は1991年5月にふたたび活発化し始めた。そのとき物理学者であったフィリップ・キャンデラス(英語版)(Philip Candelas)、ゼニア・デ・ラ・オッサ(Xenia de la Ossa)、ポール・グリーン(Paul Green)とリンダ・パークス(Linda Parks)は、ミラー対称性をクインティックスリーフォールドに含まれる3次曲線の数を数えることに使うことができるかもしれないことを示した。

タイトル: 桂田芳枝
桂田 芳枝(かつらだ よしえ、1911年〈明治44年〉9月3日 - 1980年〈昭和55年〉5月10日)は、日本の数学者。数学の分野で日本初の女性博士号取得者であり、北海道大学(旧北海道帝国大学)で最初の女性教授、女性名誉教授である。日本国外でも、スイスの数学者であるハインツ・ホップ(英語版)との共同研究「リーマン空間の閉曲面の合同定理」で、高い評価を受けた。

タイトル: 微分同相写像
トーラス S × S = R/Z の場合には、写像類群は単にモジュラー群 SL(2, Z) であり分類は楕円型、放物型、双曲型行列の言葉の古典的なものに帰着する。サーストンは写像類群はタイヒミュラー空間(英語版)のコンパクト化上に自然に作用することを観察することによって彼の分類を達成した; この大きくされた空間は閉球に同相であるから、ブラウアーの不動点定理が適用可能になる。M が向き付けられた滑らかな閉多様体であれば、スメイルによって、向きを保つ微分同相写像の群の単位元成分(英語版)は単純であることが予想された。これはまず Michel Herman によって円の積に対して証明されていた; サーストンによって完全に一般的に証明された。

タイトル: リーマン・ロッホの定理
リーマン面 X とは、局所的には複素数の集合 C の開部分集合と同相である位相空間を言う;加えて、これらの開集合の間に正則な変換写像があることが要請される。正則性条件により C 上の正則関数や有理型関数を扱う複素解析学の考え方や方法を曲面 X へ移すことが可能となる。コンパクトなリーマン面を閉リーマン面という。閉リーマン面の種数 g とは、くだけた言い方をするとハンドル(把手)の数のことである。例えば右の図に示した閉リーマン面の種数は 3 である。より正確には、種数は1次ベッチ数の半分として、つまり、複素係数1次特異ホモロジー群 H1(X, C) の C-次元の半分として定義される。種数は閉リーマン面を同相の違いを除いて分類(英語版)する。すなわち、閉リーマン面が同相であること(ただし微分同相である必要はない)と、種数が等しいこととは同値である。

タイトル: 位相多様体
これはちょうど、多様体がある有限次元ユークリッド空間に埋め込めることを保証するための条件である。任意の多様体に対して、第二可算であること、リンデレフであること、σコンパクトであることはみな同値である。任意の第二可算多様体はパラコンパクトであるが、逆は成り立たない。しかしながら、逆はほぼ正しい。パラコンパクト多様体が第二可算であることと可算個の連結成分を持つことは同値である。特に、連結多様体がパラコンパクトであることと第二可算であることは同値である。任意の第二可算多様体は可分かつパラコンパクトである。さらに、多様体が可分かつパラコンパクトならば、第二可算でもある。任意のコンパクト多様体は第二可算かつパラコンパクトである。領域不変性定理(英語版) により、空でない n 次元多様体は n ≠ m に対して m 次元多様体ではありえない。空でない n 次元多様体の次元は n である。

タイトル: 接続行列
結合構造(英語版)(Incidence structure)Cの「接続行列」はp × q行列B(またはその転置)である。ここで、pおよびqはそれぞれ「点」および「線」の数であり、点piおよびLjが接続しているならばBi,j = 1、それ以外は0となる。この場合、接続行列はこの構造のレフィグラフ(英語版)のbiadjacency行列でもある。全てのレフィグラフに対してハイパーグラフが存在し、その逆もまた同様であるため、結合構造の接続行列はハイパーグラフを記述する。重要な例は有限幾何である。例えば、有限平面において、Xは点の集合、Yは線の集合である。高次元の有限幾何において、Xは点の集合、Yは空間全体の次元よりも1つ小さな部分空間(超平面)の集合かもしれない。

タイトル: スコーレム問題
スコーレム問題とは、定数係数回帰数列(constant-recursive sequence)に 0 が含まれるかを判定する数学上の問題である。この問題は、整数、有理数、代数的数など、さまざまな種類の数に対して定式化される。この問題を解くアルゴリズムが存在するかは未解決である。線形回帰関係は、各項をそれ以前の項の線形結合として定義し、例えば、フィボナッチ数は、以下の漸化式と初期値 F(0) = 0、F(1) =1で定義される。スコーレム問題は1933年に数列上の 0 についてのスコーレム・マーラー・レッヒ定理を証明したトアルフ・スコーレムにちなんで名付けられた。この定理は、数列に 0 が含まれる場合、非常に多くの例外を除いて、0 は規則的に繰り返されるという定理である。

タイトル: プリズマン類
アステラン (asterane) は2つのn角形の底面がメチレン基で架橋された分子である。このため、各側面はシクロブタンではなくシクロヘキサンとなっている。ポリプリズマン類 (polyprismanes) は複数のプリズマン類を積み重ねた形状の分子である。中間層(各プリズマンの接合部)に位置するn角形を構成する炭素には水素が結合していない。nを増大させてゆくと、幾つかのシクロブタン環をanti位で結合させ凹多角形の底面を持つ分子を考えることが可能になり、これらはプリズマン類における幾何異性体となる。星型の底面を持つドデカ[12]プリズマンの2つの異性体(ヘルベタン (helvetane)、イスラエラン (israelane) と命名されている)に対して計算化学的研究が行われている これらの分子は元々、エイプリルフールのジョークとして提案されたものだった。

タイトル: 平坦性問題
この問題は平坦性問題と呼ばれ、1960年代から1970年代にかけて、地平線問題と並ぶビッグバン理論の未解決問題とされてきた。この問題は1980年代初めに提唱されたインフレーション宇宙の仮説によって解決される。インフレーション宇宙論では、宇宙が生まれた直後に宇宙のサイズが指数関数的に膨張する。よって、元々の宇宙が平坦でないどんな曲率を持っていたとしてもこのようなインフレーションの過程によって極端に引き伸ばされて平坦化され、宇宙の密度は自然に臨界密度にほぼ一致する値をとることになる。

タイトル: エンジェル・プロブレム
三次元の場合に、天使が常に北の方角に進み、悪魔はみっつの平面上でしかプレイしないと制限を置くとしたとき、悪魔に必勝法があるのかわかっていない。

タイトル: 正多胞体
これはある空間充填形からいくつかの面を取り除いたような形をしており、頂点では面がジグザグにつながれている。3種類ある。それ以外の次元にねじれ正多胞体が存在するかどうかはわかっていない。また双曲空間上にも空間充填形が存在し、これも(n+1)次元の正多胞体の一種といえる。3次元では無限、4次元では13、五次元では11、6次元では5種がそれぞれ存在し、それ以上の次元には存在しない。正多胞体を簡潔に表すためシュレーフリ記号が用いられる。

タイトル: フォトニック結晶
1887年にレイリーは電磁波の伝播特性を研究し、膜に垂直に伝わる光にバンドギャップが存在することを発見した。この原理を応用した多層膜(ブラッグミラー)のような1次元の周期構造体が、最も単純なフォトニック結晶である。1次元周期構造は引き続き熱心に研究され、分布帰還 (DFB) レーザーの反射構造としても応用されている。2次元・3次元へと拡張したもの(多次元周期構造)には長年の研究の積み重ねがある。1987年にヤブロノビッチの論文によって、3次元周期のフォトニック結晶でフルバンドギャップの概念の提唱とその実現可能性の検討がなされ、それがきっかけとなって3次元周期構造の理論的・実験的な研究が世界規模で盛んになった(ある光波長で3次元空間または2次元平面内のすべての方向・すべての偏光状態が禁制帯に入ることがあり、それをフルバンドギャップと言う)。

タイトル: スフェロマック型
球形に近いプラズマ配位で自分自身の中に流れる電流によって閉じ込め磁場が出来てプラズマが閉じ込められる。宇宙空間に自然に存在する事も考えられる。逆転磁場配位型との相違点はスフェロマック型はトロイダル磁場コイルを有する点である。1970年にノーベル物理学賞を授与されたハンス・アルヴェーンによって1943年に原型が考案されていた。アルヴェーン波により、プラズマ内の電流で磁場が生成する。1980年代に盛んに研究が進められ、日本国内では日本大学でNUCTEが作られ、実験されたが、やがて各国の磁場閉じ込め式の研究の主流がトカマク型に集束して、予算が集中的に充当された結果、トカマク型以外の磁場閉じ込め式の予算が圧迫され、研究は下火になった。