質問: 線分を2つに分けたとき、見た目が最も美しい1:1.618になる比のことを何というでしょう?
回答: 黄金比

タイトル: 白銀比
n → ∞ のとき ( r s σ ) n {\displaystyle ({r_{\rm {s}}}^{\sigma })^{n}} は 0 に収束するから、 R ∪ { ∞ } ∖ Z {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}\setminus \mathbb {Z} } における ( r s ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}} は無限遠点を唯一の集積点として持ち、特に ( r s ) n {\displaystyle (r_{\rm {s}})^{n}} の小数部分は均等に分布していないことが分かる。一辺の長さが1の正八角形の対角線のうち、2番目に長い対角線の長さである。

タイトル: 標準参照法
A 430 = A 530 × 10 H L / 10 {\displaystyle A_{430}=A_{530}\times 10^{H_{L}/10}}古いEBC色の値とSRM値の間で変換を行うための変換式は時々文献に掲載されているが、それには不備があるので、もはや測定の基準として使うべきではない。

タイトル: 相似則
力学における相似則(そうじそく、英: law of similarity (similitude), similarity rule)とは、複数の、ある意味で相似な系における物理量の比が系の大きさによらないある一定値をとるという法則である。たとえば物理現象の基礎方程式が線形の場合、入力と出力は比例し、その比は一定になる。

タイトル: 楕円曲線
射影平面で考えると、すべての滑らかな三次曲線上の群構造を定義することができる。射影平面上、楕円曲線がヴァイエルシュトラスの標準形によりあらわされるとき、そのような三次曲線は斉次座標(英語版) [0 : 1 : 0] である無限遠点 O を持ち、群の単位元となる。曲線は x-軸で対称であるので、任意の点 Pが与えられると、−P はその反対側の点として取ることができる。−O は O とする。P と Q が曲線上の二点であれば、一意に第三の点 P + Q を次の方法で定義することができる。まず、P と Q を通る直線を引く。この直線は一般に第三の点 R で曲線と交わる。P + Q を R の反対の点である −R とする。この加法の定義は、ほとんどの場合はうまく働くが、いくつかの例外がある。一つ目の例外は、加算する点の片方が O であるときである。

タイトル: 分数
分数(ぶんすう、英: fraction)とは、2つの数の間の割り算の商を表す数の記法である。例えば a を b で割った商 a ÷ b は分数を用いて a/b と表せる。日常的には 9/16 のように正の整数の分数がよく使われるが、分数で表される数に制限はなく、例えば 1/√2 や π/2 のように無理数(より一般に実数)を含んだり、h/2πi のように虚数(より一般に複素数)を含んでもよい。また定数に限らず 1/r や x/√x + y のように変数を含んでもよい。

タイトル: 楕円
2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が一致したとき楕円はその点を中心とした円になる。そのため円は楕円の特殊な場合であると考えることもできる。楕円の内部に2焦点を通る直線を引くとき、これを長軸という。長軸の長さを長径という。長軸と楕円との交点では2焦点からの距離の差が最大となる。また、長軸の垂直二等分線を楕円の内部に引くとき、この線分を短軸という。短軸の長さを短径という。

タイトル: 代数曲線
可約多項式も許すならば、上限は d(d − 1)/2 であり、この値が達成されるのは多項式因子が一次式となるとき、すなわち曲線が d 本の直線の合併となるときである。既約曲線および既約多項式に対しては、特異点の数は高々 (d − 1)(d − 2)/2 である。これは種数を特異点の言葉で表す公式(後述)による。最大値は、種数 0 の曲線で全ての特異点が重複度 2 かつ接線が相異なるようなものによって達成される。特異点における接線の方程式は、その特異点における定義多項式のテイラー級数の次数最小の非零斉次成分によって与えられる。特異点を座標系の原点に取り直すとき、その特異点における接線の方程式は、従って定義多項式の次数最小の非零斉次成分で与えられ、この斉次成分の次数が特異点の重複度になる。

タイトル: 余弦定理
ただし 1本の垂線を引くので △ABC の 1つの内角と 90度の大小関係で場合分けする必要がある。△ABC において、γ が鋭角の場合、B から AC に下ろした垂線の足を H とすると、BH = a sin γ, CH = a cos γ, AH = |AC − CH| = |b − a cos γ| であり、△ABH に三平方の定理を使えばα が鋭角であるか鈍角であるかによって AC と CH の大小関係が入れ替わるが、どちらが大きくても2乗によってこの符号の違いは関係なくなる。ユークリッド原論第1巻命題47においてピタゴラスの定理が示され、第2巻の最初の方ではなどの二次式の関係が図形問題として述べられる。それらを背景として第二余弦定理とほぼ同等な命題が現れる。しかし三角関数がなかった時代のものなので、現代のように角度と辺の長さの関係として捉えられていたわけではない。

タイトル: アナスチグマート
アナスチグマート(独:Anastigmat )とは、レンズの収差補正状況を示す言葉の一つで、球面収差、コマ収差、像面湾曲、非点収差をすべて解消していることを言う。 英語読みではアナスティグマット。現代写真レンズのほとんど全てはこれに属する。

タイトル: 円周率
全てほぼ等しく(約0.0005%の違いに収まる)、最も多いのは 8 で、最も少ないのは 6 である。分母を整数と分数の和で表すことを続けていった表示を連分数という。「整数」を最大にしていくと、分子を全て 1 にできる:π は無理数であるから、円周率 π の連分数展開は有限項では終わらず無限項の連分数となる:上記の正則連分数展開(すべての分子が 1 である連分数)を途中で打ち切ると、π の良い有理数近似が得られる。その最初の4つは 3, 22/7, 333/106, 355/113 である。これらは古くからよく知られ使用されてきた近似値である。これらはそれぞれ分母が大きくないどの分数よりも π に近く、π の最良有理数近似である。さらに、π は超越数である(つまり代数的数でない)ことが知られている。

タイトル: 錯視
2つ合同な円を描き、片方には外に大きな同心円、もう片方には外に小さな同心円を描くと、元の円の大きさが異なって見える錯視。大きさが極端なほど錯視も顕著になる。応用として、図形の中から別の図形をくりぬくと、くりぬいた部分が大きく見える。円以外に、他の図形(正多角形など)でも発生する。まずは等間隔に3本の平行線を引き、それぞれA、B、Cとする。AとBの間には何本もの平行線を引き、BとCの間には何も引かない。すると、AとBの間隔の方が広く見える。図の線分ABと線分BCの距離は同じである。なお、最初に文献にて提示したのはオッペルであるが、後にクントが量的研究を行ったことから、今日では先駆者の2人の名を連ねてこう呼ぶのが一般的である。フレイザー錯視は、イギリスの心理学者ジェームス・フレイザーが1908年に発表した錯視。

タイトル: ルール30
ルール30の内部状態を左右逆にしたもの(鏡像)がルール86(01010110)、状態のビットを反転したものがルール135(10000111)、内部状態を左右逆にし、状態のビットも反転させたものがルール149(10010101)であるが、本質的にはルール30と同じである。

タイトル: B40
B列の派生で、B6(128×182)と縦は同じで、横は4/5である。言い換えると、B1(728×1030)を横にしたサイズ(1030×728)の、横は1/10、縦は1/4である。つまり、B1を原紙として10×4=40枚取れる。これが「B40」の名の由来である。ちなみに、B6は8×4=32枚取れる。文庫に使われるA6(105×148)と横がほぼ同じである。これは、B列がA列の1.5倍の面積、つまり縦横が√1.5=1.225≒5/4倍であることが理由である。

タイトル: 平面における直線の標準形
法線標準形 (normal form) と呼ばれる直線の標準形は、ドイツの数学者ルートヴィヒ・オットー・ヘッセに因んでヘッセ標準形 (Hesse standard form) とも呼ばれる。ここで α は直線の法線の傾斜角であり、p は法線の長さである。ここでいう法線 (normal) は直線と原点とを結ぶ最短の線分のことを指している(一般には法線は一般の曲線や曲面などに対して「直交する直線」の総称であるので注意)。ヘッセ標準形は標準形の式で各係数をで割ることによって得られる。

タイトル: 頂垂線 (三角形)
九点円の中心は垂心と外心を結ぶオイラー線の中点の位置にあり(したがって O H = 2 N H {\textstyle OH=2NH} )、重心と外心の間の距離は重心と垂心との距離の半分に等しい( 2 O G = G H {\textstyle 2OG=GH} )。垂心は内心 I との距離が、重心との距離より小さく( H I < H G {\textstyle HI<HG} )、また垂心は重心からの距離が内心よりも大きい( H G > I G {\textstyle HG>IG} )。三角形の三辺の長さ a, b, c, 内半径 r および 外半径 R を用いて、以下が成立する:

タイトル: 虚数
実数直線を拡張した複素数平面では、純虚数は、虚軸上の原点を除く部分の点である。虚数は、実数と純虚数の線型結合である。虚数全体は複素数平面から実軸を除いた部分である。虚数の導入により、cos θ + i sin θ を作用させることは、複素数平面上での、原点を中心とする θ 回転に相当する。i = −1 より、虚数単位 i は、複素数平面上では、実数単位 1 を原点中心に 90° 回転した位置にある。

タイトル: アポロニウスの問題
ニュートンはアポロニウスの問題を三辺測量(英語版)の問題として再定義した。すなわち、点 Z から3つの与えられた点 A, B, C までの距離の差が既知の値であるときに、これらの3つの点から点 Z の位置を特定する問題である。これらの4つの点(点 Z と点 A, B, C)は、解円の中心(点 Z)と3つの与円の中心(点 A, B, C)に対応している。上記のように2つの双曲線を求めるかわりに、ニュートンはそれらの準線を描いた。任意の双曲線に対して、点 Z から焦点 A の距離と点 Z からの準線 (directrix) の距離の比率は一定であり、これは離心率と呼ばれる。2つの準線は点 T で交差し、これらの2つの既知の距離の比率から、ニュートンは、点 T を通り、さらにその線上に点 Z が存在するような直線を描いた。

タイトル: バルール
実際に複数の色を並置すると、それぞれの色の明暗に応じて、一方が他方より前進ないし後退して見える。その程度は相互の明度差、面積、当該色それぞれの構成方法とその関係性などによって変化する。それ故例えば、明度のみによって判じることは出来ない。この視覚効果は、絵画の画面における形象の前後関係、遠近関係、位置感の指示・表現に応用できる。このとき、明暗と位置関係の対応、及び、位置関係の指示の程度をバルールと呼ぶ。そして、明暗と位置関係の対応・位置関係の指示が適切である場合に「バルールが合っている」、明暗と位置関係の指示・対応が不適切である場合に「バルールが狂っている」などと言い、造形要素の実効若しくは絵画自体の適切性や価値の判断に用いる。絵画造形の根幹であるとされる場合も多い。

タイトル: 音楽と数学
人間は音階を記述する際、音高それ自身の正確性よりも各音高間の関係もしくは比率(音程として知られる)に興味を持つことが多いため、特定の音高から見た比率を考察してすべての音階、音高を把握することが多い。この特定の音高は値1 (1/1で記述されることが多い)で記述することが多く、一般に音階の主音として機能する音符である。また、音程比較にはセントを用いることが多い。

タイトル: ジャロ・ウィンクラー距離
C と T は s1 にも s2 にも含まれているが、位置の差が3であり、 ⌊ 5 2 ⌋ − 1 = 1 {\displaystyle \lfloor {\tfrac {5}{2}}\rfloor -1=1} より大きいため「一致」する文字とはみなさない。また「一致」していないため位置は入れ替わっているが転置としても数えず t = 0である。したがってジャロ類似性は1/3 * (3/5 + 3/5 + 3/3) = 11/15 である。上記のように重みは全て 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} とされることが多いが、のように、異なる重みを与える場合もある。ジャロ・ウィンクラー類似性はプレフィックススケール p を用いる。これにより、文字列の先頭が一致する文字列により高い類似度を与える。

タイトル: 折れ線グラフ
しかしこのような「最良適合」は、以下の理由から必ずしもデータの傾向を理想的に表しているとは限らない。真の最良適合曲線は(データにおける誤差を適切に考慮した)適当な誤差最小化技法を使ってパラメータを決定した連続な数学的関数で表されるべきである。いずれにしても、最良適合曲線を描くことでデータの傾向が明らかとなる。さらにその曲線の勾配を測定するなどすれば、データからさらに多くの結論を導き出せる。

タイトル: 屈折計
プリズムとの屈折率差によって簡易に測定できることから、多くは臨界角法の屈折計を指すことが多い。 また、臨界角方式の屈折計の原型がエルンスト・アッベによって完成させられたことから、「アッベ屈折計」と称されることが一般的である。

タイトル: クラメールのパラドックス
例えば、2点を通る一次曲線(直線)は一意に定まり、5点を通る二次曲線は一意に定まる。そこで、一般に n 次曲線は何個の点を与えれば一意に定まるか、という問題が考えられる。少しの考察からは、矛盾する次のふたつの結論が得られる。例えば、任意の3次平面代数曲線を一意に決定するためには、前者に従えば9個の点で十分であるが、後者に従えば9個より多くの点を必要とする曲線が存在する。現代からすれば、これはパラドックスではなく、別の条件が必要となることが容易にわかる。数学史上においては、レオンハルト・オイラーによって解決された。

タイトル: ゲルシュゴリンの定理
の固有値を評価するためにゲルシュゴリンの定理を適用しよう。一行ごとに見て、対角成分 aii を円板の中心にとり、残りの成分は等式に放り込んで円板の半径を求めると、四つの円板後ろ二つの円板をより精緻にするために、列に関して同じように計算すれば D ( 2 , 1.2 ) {\displaystyle D(2,1.2)} と D ( − 11 , 2.2 ) {\displaystyle D(-11,2.2)} が得られることに注意。実際の固有値は 9.8218, 8.1478, 1.8995, -10.86 である。