質問: 数学で、AB-AC=Aというように、式を共通の因数でまとめることを何という?
回答: 因数分解

タイトル: 約数
そこで、「a が N の約数ならば、N/a も N の約数である」ことを使うと、半分程度の労力で済む。一般に、平方数のときに限り約数の個数は奇数になる。一般に、約数の個数を求めるとなると、素因数分解が効果を発揮する。素因数分解の可能性と一意性(特に一意性)は自明な定理ではない(これを算術の基本定理という)。しかし、これにより約数を式で表すことができる:

タイトル: 因数分解
数学における因数分解(いんすうぶんかい、英: factorization, factoring, decomposition; 分解、因子分解)は、与えられた数学的対象を同種の(しかし普通はより小さいあるいはより平易な)別の対象—それは因数(factor; 因子、乗法因子、乗因子)と呼ばれる—の積として書き表すことを言う。たとえば、15 という数は 3 × 5 という因数の積に分解され、多項式 x − 4 は (x − 2)(x + 2) という因数の積に分解される。因子への分解は、除法が自由にできる体系(可除環など)ではほとんどの場合に意味を為さない。例えば実数や複素数の体系において任意の x は y が零でない限り何であっても xy × (1/y) のように分解できることは明らかである(つまり、どの元もいくらでも分解できて、積としての表示を無数に持つ)。

タイトル: E進法
e 進法とは、記数法の底に自然対数の底(ネイピア数 e {\displaystyle e} )を使った記数法である。(実用的ではないが)ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

タイトル: 従属選択公理
数学において、従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; D C {\displaystyle {\mathsf {DC}}} と略される)とは、選択公理( A C {\displaystyle {\mathsf {AC}}} )の弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。

タイトル: 発散級数
総和法はふつうは級数の部分和の列に注目する。この部分和の列が収束しないとしても、この数列のもともとの項からどんどん大きな平均をとることにより、平均が収束するものがしばしば求められて、極限をとる代わりにこの平均を級数の和として評価に利用することができる。ゆえに、の評価のために s0 = a0 および sn+1 = sn + an+1 で定まる数列 s を合わせて考える。収束級数の場合には、数列 s はその極限値として a に収束する。総和法を、級数の部分和の列からなる集合から値の集合への写像とみることができる。数列の集合に値を割り当てる任意の総和法 A が与えられれば、対応する級数に同じ値を割り当てる級数総和法 (series-summation method) A に機械的に翻訳することができる。

タイトル: 八元数
八元数の乗法は可換でなく:が、弱い形の結合性を満たして交代代数になる。即ち、任意の二つの八元数が生成する部分多元環は結合的である。実際、O の任意の二元が生成する部分多元環は R, C, H のいずれかに同型であることが示せるが、これらは何れも結合的である。八元数は非結合的であるから、四元数のときのように行列表現をすることはできない。八元数の全体 O がもう一つ R, C, H と共有する重要な性質として、ノルムがを満足する(つまり乗法的である)ことが挙げられる。これにより、八元数の全体は非結合的ノルム多元体となることが従う。ケイリー・ディクソン構成を使って得られるより高次の代数(十六元数など)ではこの性質は成り立たない(それらの代数には零因子が存在する)。

タイトル: 判別式
数学において、多項式の判別式(はんべつしき、英: discriminant)とは、その多項式の根が重根を持つための条件を与える、元の多項式係数の多項式で、最小のもののことである。一般にdiscriminantの頭文字を取って、D で表記される。

タイトル: 輪 (数学)
数学における輪(りん、英: wheel)は、環に似た代数系で、除法が常に可能となる(特に零除算が意味を持つ)ようなものである。輪における除法は、通常の二項演算として理解することは諦めて、代わりに反転演算 • と似た(しかし必ずしも一致しない)単項演算 /• を施した元を掛ける操作として考えることになる。通常の如く a/b は a ⋅ /b = /b ⋅ a の略記であるものと理解するが、通常の算術における規則をと言った形で緩める。この意味において /x は x の乗法逆元 x とは一般には異なる。

タイトル: 確率の公理
P ( A c ) = P ( Ω ∖ A ) = 1 − P ( A ) {\displaystyle P\left(A^{c}\right)=P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}A , A c {\displaystyle A,A^{c}} は排反であり、 A ∪ A c = Ω {\displaystyle A\cup A^{c}=\Omega } である。よって、そして P ( A ∪ A c ) = P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1} (公理2に従う)単調性から即座に次が従う。

タイトル: 拡大行列
数学の線型代数学の分野における拡大行列(かくだいぎょうれつ、英: augmented matrix)とは、二つの与えられた行列の列を組み合わせることで得られる行列で、それら各行列に対し同じ行基本変形を施すことを目的として構成される。与えられた行列 A と B としてA = [ 1 3 2 2 0 1 5 2 2 ] , B = [ 4 3 1 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}}を考えるとき、その拡大行列 (A | B) は

タイトル: TQBF問題
それは各変数の使用とその量化子による束縛の間には高々1つの全称量化子しか存在しないような論理式への帰着であり、IP = PSPACEの証明で用いられた。 QBF formulas have a number of useful canonical forms. For example, it can be shown that there is a polynomial-time many-one reduction that will move all quantifiers to the front of the formula and make them alternate between universal and existential quantifiers.

タイトル: 捩れ部分群
任意のアーベル群 ( A , + ) {\displaystyle (A,+)\;} と任意の素数 p と任意の自然数 n に対してp^n の位数をもつ A の元全体の集合(この記号はよく使われる)は部分群であり p-冪捩れ部分群 (p-power torsion subgroup) と呼ばれる。A [ p n ] {\displaystyle A[p^{n}]} の全てのnに渡って和を取ったもの(この記号もよく使われる)も部分群を成し、Aのp-部分 (p-part) と呼ばれる。これはもちろんp-群である。捩れ部分群 Ator はAのp-部分のすべての素数 p を渡る直和に同型である。A が有限アーベル群のとき、 A [ p ∞ ] {\displaystyle A[p^{\infty }]} は唯一の A のシロー p-部分群と一致する。

タイトル: 多重根号
のような無限多重平方根は有理数を表す。根号の中にも x が実現されていることに気付けば方程式が得られるから、この有理数は求められる。つまり、この方程式を解いて x = 2 がわかる(両辺自乗して得られる二次方程式のもう一つの解 x = −1 は不適である。それは、規約により右辺が 2 + x の「正」の平方根を意味するから、左辺 x もまた正でなければならないことによる。)。同じやり方は、一般に n > 0 に対してを示すのにも通用する。後者の式は、有理数 x > 0 によってと表すことのできる任意の n に対して、x を値としてとる。ラマヌジャンは、雑誌『Journal of Indian Mathematical Society』にこの問題を提示した。これはより一般的な公式を記述することにより、解くことができる。これをF(x)と設定し、両項を2乗すると以下の式が得られる。

タイトル: 加法単位元
数学、とくに抽象代数学における加法単位元(かほうたんいげん、英: additive identity)は、加法を演算として備える集合において、ほかのどのような元 x に加えても x が変化しない特別の元である。最もよく馴染みのある加法単位元のひとつとしては初等数学で扱う数の 0 が挙げられるが、加法単位元の概念はもっと多くの、加法が定義される数学的構造(たとえば加法群や環)に対して定義されるものである。環などにおける加法単位元はしばしば零元と呼ばれる。

タイトル: 線型方程式
線型方程式(せんけいほうていしき、linear equation)とは、線型性を持つ写像(関数・作用素)の等式で表される方程式のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。線型方程式においては、その線型性から解の重ね合わせが成り立つなどいくつものよい性質が成り立つ。線型方程式(特に多変数の一次代数方程式)の研究から行列などの手法が整備され、線型代数学という一分野が形成された。線型代数学の整備により、多くの場合に線型方程式の係数を実数や複素数に限らず、四則演算が自由にできる(つまり体と呼ばれる代数的構造をもつ)集合からとったとして広く適用できる結果が知られている。以下、特に断らない場合は係数をとる集合 K を(可換な)体とする。多くの場合 K は、実数全体の成す集合 R または複素数全体の成す集合 C のことと思って差し支えない。

タイトル: シルベスター数列
シルベスター数は1のエジプト式分数表現、佐々木・アインシュタイン多様体、オンラインアルゴリズムの実装などに応用されている。

タイトル: 固有値分解
 A n {\displaystyle e^{A}\mathrel {:=} \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}A^{n}}の計算もまた、 A {\displaystyle A} の固有値分解が既知であれば容易になる。固有値分解 A = P Λ P − 1 {\textstyle A=P\Lambda P^{-1}} に対して冪計算が A n = P Λ n P − 1 {\displaystyle A^{n}=P\Lambda ^{n}P^{-1}} であることと、行列の指数関数の各種性質から、e A = e P Λ P − 1 = P e Λ P − 1 = P ( ∑ x = 0 ∞ 1 n !

タイトル: アルゴリズム的ランダムな無限列
相対的なランダムネスに関して重要な結果の一つが、van Lambalgenの定理である。これは列Cが列Aと列BからAの最初のビット、Bの最初のビット、Aの2番目のビットと交互に取って作られる列だとすると、Cがアルゴリズム的ランダムであるということとAがランダムでBがAから見てランダムであるということが同値であるという定理である。似た結論としてAとBがそれぞれランダムとすると、AがBから見てランダムであるということとBがAから見てランダムであることが同値になる。

タイトル: ユークリッドの補題
p を素数とし、2 つの整数 a, b の積 ab は p で割り切れるとする(このことは記号的に p ∣ {\displaystyle \mid } ab と表す。これの否定は p ∤ {\displaystyle \nmid } ab と表され、ab が p で割り切れないことを示す)。このとき p ∣ {\displaystyle \mid } a または p ∣ {\displaystyle \mid } b、あるいはその両方が成り立つ。同値な言明として以下のようなものがある。

タイトル: アメーバ (数学)
数学の一分野である複素解析において、アメーバ(英: amoeba)は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

タイトル: 有理関数
数学における有理関数(ゆうりかんすう、英: rational function)は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。

タイトル: アーベルの総和公式
調和級数 ∑ 1 ≤ n ≤ x 1 / n {\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}1/n} について、 a n = 1 ( n = 1 , 2 , ... ) , f ( t ) = 1 / t {\displaystyle a_{n}=1(n=1,2,\ldots ),f(t)=1/t} とおくと A ( x ) = ⌊ x ⌋ {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } よりが成り立つ。このことからとなる定数 γ が存在することがわかる。この定数 γ はオイラーの定数といわれる。

タイトル: アイバーソンの記法
アイバーソンの記法の計算規則と論理、集合演算の間には直接的な対応関係がある。いまA, Bを集合とし、 P ( k 1 , ... ) {\displaystyle P(k_{1},\dots )} を整数についての任意の性質とすると、以下が成り立つ。

タイトル: 数学的帰納法
これらの条件が満たされているという前提の下で、A1 = A すなわち A1 = ∅ が成り立つことを示せばよい。いま、A1 ≠ ∅ と仮定して矛盾を導く。背理法の仮定と整列集合の定義より、min A1 = a が存在する。この a について、最小元の定義より A(a)∩A1 = ∅ が成り立つので、(2) より a ∈ A1 もまた成り立つ。しかし、これは a ∈ A1 であることに反する。(証明終)

タイトル: 等比数列
等比数列(とうひすうれつ)または幾何数列(きかすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence)は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比(こうひ、英: common ratio)という。例えば初項が 4, 公比が 3 の等比数列の最初の数項を列挙すると 4, 12, 36, 108, ... となる。ある数列について、隣り合う項の比(この場合、12/4, 36/12, 108/36, ...)が常に等しいならその数列は等比数列である。等比数列 {an} について、(定義より公比は 0 でないため)公比 r は任意の n 番目の項とその次の項の比 r = an+1/an から得られる(特に r = 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある)。

タイトル: 普遍包絡代数
任意の結合代数 A ′ {\displaystyle A'} とリー代数準同型写像 i ′ : g → A ′ {\displaystyle i'\colon {\mathfrak {g}}\to A'} に対し、結合代数の準同型写像 f : A → A ′ {\displaystyle f\colon A\to A'} で、 f ∘ i = i ′ {\displaystyle f\circ i=i'} を満たすものが唯一つ存在する。このような ( A , i ) {\displaystyle (A,i)} は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を U ( g ) {\displaystyle U({\mathfrak {g}})} で表す:

タイトル: 変数 (数学)
通常は、変数を含む関係式を、このような任意定数の間の関係式とみなして差し支えないし、しばしばそのように解釈され、混同して議論をすすめることがある。「直線 y = ax + b 上の点を (x, y) と表す」などの言明は、このような解釈のもとで変数記号と任意の値の代入とが意識して混用される例となっている。数列などの添字(英: index)は媒介変数(英: parameter)と呼ばれる変数の仲間である。これらは主たる変数ではないという意味で助変数と呼ばれることもあるが、本質的な違いは無い。

タイトル: ヘンゼルの補題
 これは法7で3ではなく4に合同になるもので、実は最初に得られた平方根を-1倍したものになっている(これは 4 = −3 mod 7 であることと辻褄があっている)。元々のヘンゼルの補題は適用できないが一般化されたものなら適用できる例として f ( x ) = x 2 − 17 {\displaystyle f(x)=x^{2}-17} を考える。 a = 1 {\displaystyle a=1} とすると f ( a ) = − 16 {\displaystyle f(a)=-16} であり、また f ′ ( a ) = 2 {\displaystyle f'(a)=2} であるので、が成り立つ。これから、ある2進整数 b でを満たすものが一意に存在する。二番目の式は b ≡ 1 mod 4 を意味する。