質問: 別名を「三平方の定理」という三角形に関する定理のことを、古代ギリシャの数学者の名にちなんで何の定理というでしょう?
回答: ピタゴラスの定理

タイトル: 合同算術
”)と言っているが、これらの数は今ではフェルマー数と呼ばれ、フェルマーの言っていたこれらが全て素数となるだろうという予想は偽であることが知られている。ルネ・デカルト (1596 - 1650) はそれらとは独立に研究を進め、素数の 8 を法とする剰余が 1 または 3 ならば、その素数は x + 2y の形に書けるということを示したこの手の問題については興味深い要素がふたつあった。フェルマー問題のいくつかは、続く18世紀に、大部分はオイラーの手で解かれていった。オイラーは二平方和問題の証明の過程で、いわゆるフェルマー数が常に素数となるわけではないことを示した。そういった成功とともに、オイラーはいくつかの誤りも犯しており、フェルマーの大定理の n = 3 の場合の証明に失敗している(彼の最初の証明は誤りである)。1782年には、新たな問題として平方剰余の相互法則が俎上に上がることになる。

タイトル: 回転行列
フェリックス・クラインによって考案されたケーリー・クラインのパラメータは、回転行列を4つの複素数 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } , γ {\displaystyle \gamma } , δ {\displaystyle \delta } (ただし β = γ ∗ {\displaystyle \beta =\gamma ^{*}} , δ = α ∗ {\displaystyle \delta =\alpha ^{*}} を満たすものとする)を用いてと表示するものである。

タイトル: テアイテトス (対話篇)
それは「平方根」(二乗根)についての議論で、「3・5・6・7・・・といった面積を持つ正方形」の「一辺の長さ」は、自然数には収まらないが、こうした例は無限に出すことができてしまうので、もっと端的な表現方法を考え、まず「4・9・16・・・といった自然数の2乗(平方)として表現できる数」を「正方形数(等辺数)」と名付け、次に「それ以外」(すなわち、先の3・5・6・7・・・)を「長方形数(不等辺数)」と名付けた上で、「長方形数(不等辺数)を面積とする正方形の一辺の長さ」として、それを表現することにしたと言う。また、同様のことは立方体(すなわち「立方根」(三乗根))についても言えると述べる。ソクラテスはテアイテトスを賞讃するが、テアイテトスはしかし、「知識」に関してはこのようにできそうもないと答える。

タイトル: ネウシス作図
ネウシス作図は、定規とコンパスによる作図では解決不能である作図問題を解決できる場合があるために重要視されてきた。主な例としては角の三等分問題、立方体倍積問題などがある。アルキメデス(287–212 BC)やパップス(290-350 AD)、ニュートン(1642-1726)といった数学者はよくネウシス作図を用いたとされているが、この作図法は現在ではあまり使われていない。A. Baragarは、ネウシス作図により構成可能な点により得られる体の拡大 Q = K 0 ⊂ K 1 ⊂ ⋯ ⊂ K n = K {\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{n}=K} の拡大次数が2,3,5,6のいずれかであることを2002年に示した。

タイトル: 算術 (書物)
ディオファントスが3世紀ごろに著したこの『算術』のギリシャ語版は13巻だったが、アレクサンドリアが戦禍にさらされるなどして6巻のみが現存するだけとなった。16世紀になって初めてラテン語訳がヨーロッパで刊行された。同書のラテン語訳をフランスの数学者フェルマーも読み、最終定理などを余白に書き込んだ。その書き込みを含めた同書が刊行され、フェルマーの着想が世に出ることになった。

タイトル: 2の平方根
通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスたちはこのような数を「アロゴン(Alogon,口にできない)」とよんで研究対象から除外し,そのことを教団外の人たちには秘密にしていたといわれている。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。

タイトル: 有理数
「有理数」という語は、英語: rational number の訳による。英: "rational" は「合理的な」「理に適う」「理性的な」の意である。対して、"rational" の語幹である 英: "ratio"(ギリシア語: λογος)は「比」を意味する。したがって「有比数」などと訳した方がよいのではという見解もあるが、明治の訳の際に英語を忠実に訳したため、現在の「有理数」となる。数学の各所で、有理数体 Q を基礎とする(すなわち、Q 上定義される)概念に、「有理-」という接頭辞を付けて名付けることがしばしば行われる。例えば、有理数でもある代数的整数を「有理整数」(これはつまり、初等代数学で扱われる通常の整数のことにほかならない)という。あるいは、成分が有理数である行列を「有理行列」と言ったり、有理数係数の多項式を「有理多項式」と呼んだりする(「有理数体上の多項式」とも言う)。

タイトル: ポアソン和公式
数学においてポアソン和公式(ポアソンわこうしき、英語: Poisson summation formula)とは、ある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。

タイトル: 多面体
穴の開いていない多面体、すなわち球面に位相同型な多面体については、頂点、辺、面の数についてが成り立つ。これをオイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)という。この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。たとえば穿孔多面体のような貫通した孔を g 個持つ多面体では次式(オイラー・ポアンカレの多面体公式)となる。

タイトル: 3つの立方数の和
3つの立方数の和(3つのりっぽうすうのわ、Sums of three cubes)は整数の立方数3つを合計したものである。任意のnに対して、条件を満たす解 x , y , z {\displaystyle x,y,z} の組を求める問題は、1950年代にルイス・モーデルによって考え出された。いくつかのnに対する解の探索には長い時間がかかっていたが、MITなどの研究グループにより短期間で求める手法が見出され、あるnに対する解となる組は無限に存在するはずだと推測されている。なお、nの値について、9を法として4, 5 に合同な値を除外する条件が付けられているのは、そのようなnが存在し得ないからである。このことは、 全ての立方数は9を法として0, 1, 8 のいずれかに合同となることより、簡単に確認できる。同様に、4つの立方数の和と問題を拡張した場合は、この除外条件は不要となる。

タイトル: ハーンの分解定理
数学におけるハーンの分解定理(ハーンのぶんかいていり、英: Hahn decomposition theorem)とは、オーストリアの数学者であるハンス・ハーンの名にちなむ定理で、可測空間 (X, Σ) およびその σ-代数 Σ 上で定義される符号付測度 μ が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 P および N が Σ 内に存在するということを述べたものである:このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (P′, N′) に対して、対称差 P Δ P′ および N Δ N′ は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、μ-零集合である。そのようなペア (P, N) は、符号付測度 μ のハーン分解(Hahn decomposition)と呼ばれる。

タイトル: 定理
文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、英: lemma)あるいは補助定理(ほじょていり、英: helping theorem)、系(けい、英: corollary)、命題(めいだい、英: proposition)などとも呼ばれることがある。一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。ある一定の条件(公理系)下で命題を述べ、それが「定理」であると論証する、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理学や工学においても使用される。

タイトル: 定理
※数学以外の分野から発祥した定理は、物理学発祥、工学発祥、経済学発祥として表記した。但し、数学者が証明した物理学の定理は物理学発祥とした。

タイトル: 三角関数
直角三角形において、1 つの鋭角の大きさが決まれば、三角形の内角の和は 180°であることから他の 1 つの鋭角の大きさも決まり、3 辺の比も決まる。ゆえに、角度に対して辺比(三角比)の値を与える関数を考えることができる。∠C を直角とする直角三角形 ABC において、それぞれの辺の長さを AB = h, BC = a, CA = b と表す(図を参照)。∠A = θ に対して三角形の辺の比 h : a : b が決まることから、という 6 つの値が定まる。それぞれ正弦(sine; サイン)、正割(secant; セカント)、正接(tangent; タンジェント)、余弦(cosine; コサイン)、余割(cosecant; コセカント)、余接(cotangent; コタンジェント)と呼び、まとめて三角比と呼ばれる。ただし cosec は長いので csc と略記することも多い。

タイトル: フルヴィッツの定理 (曖昧さ回避)
フルヴィッツの定理(フルヴィッツのていり)と呼ばれるアドルフ・フルヴィッツにちなんで名づけられたいくつかの定理がある。

タイトル: アポロニウスの定理
すなわち、 θ ′ {\displaystyle \theta ^{\prime }} は θ {\displaystyle \theta } の補角であり、 cos  θ ′ = − cos  θ {\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta } となる。このとき、余弦定理より、第一式と第三式の辺々を加えると以上より、定理が証明された。

タイトル: 半周長
三角形の半周長は、その中点三角形の周長に等しい。三角不等式より、半周長は最も長い辺より長いことがわかる。この節の中では半周長を s で表す。三角形の面積を S とする。三角形の面積は、内接円の半径 r と半周長の積に等しい。三角形の面積は、三辺の長さを a, b, c としたときヘロンの公式によって以下のように表すことができる。外接円の半径 R は、半周長と3辺の長さを用いて以下のように表すことができる。この式は正弦定理から導くことができる。余接定理(英語版)は、半分の角度の余接(コタンジェント)を半周長と3辺の長さと内接円の半径から求める定理である。角の二等分線の長さは以下の式で求めることができる。直角三角形において、斜辺に接する傍接円の半径は半周長に等しい。また、半周長は外接円の半径の2倍と内接円の半径の和に等しい。

タイトル: ケルビン・ストークスの定理
ケルビン・ストークスの定理(ケルビン・ストークスのていり、英: Kelvin–Stokes' theorem) は、3次元ベクトル場の2次元曲面上での面積分に関する定理であり、本定理は、与えられたベクトル場の回転を面積分したものと、前記面積分の積分領域の境界での線積分とを関連付ける。本定理は、一般化されたストークスの定理の特殊なケースの一つであり、3次元ベクトル場が、 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 上の一次微分形式と見なした場合に対応する(この場合外微分dがrotに対応する)。本定理は、回転定理ともいわれる。

タイトル: シピオーネ・デル・フェッロ
シピオーネの時代の数学者は、三次方程式は次の3つのうちいずれかの形に帰着できることを知っていた。つまり、 x 2 {\displaystyle x^{2}} の項は、適切な処理によって消去できた。また、当時は負の数は使われていなかったため、係数 m {\displaystyle m} と n {\displaystyle n} はともに正である。負の数を用いると、次のただ1つの式に帰着する。シピオーネがルカ・パチョーリの影響を受けていたのかははっきりしない。パチョーリは1501年から1502年までボローニャ大学で教え、シピオーネと数々の数学の議論をしたことは分かっている。

タイトル: 九点円
三角形上の6個の点(上述の点のうち辺上にあるもの)を通る円の存在をオイラーが1765年に証明していたともいわれる。九点円が三角形上の6個の点に加えて残りの3点を通ることは、フランスのジャン=ヴィクトル・ポンスレとシャルル・ブリアンション(英語版)によって1821年に証明された。その翌年の1822年に、ドイツのカール・フォイエルバッハが同じ円が三角形の内接円と傍接円に接することも含めてモノグラフで証明を発表した。さらにその後の1842年に、フランスのオルリー・テルケム(英語版)がフォイエルバッハの定理の解析的な証明を与え、この円を九点円(仏: le cercle des neuf points、英: nine point circle)と命名した。この円は六点円とも呼ばれていたが、現在六点円は三角形上の別の円を指す名称となっている。

タイトル: アレクサンドリアのディオファントス
アレクサンドリアのディオファントス(ギリシャ語: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ラテン文字転写: Dióphantos ho Alexandreús、英語: Diophantus of Alexandria、生没年不詳、推定生年 200年 - 214年、推定没年 284年 - 298年)は、ローマ帝国時代のエジプトの数学者。ディオファントス方程式やディオファントス近似は彼の名にちなむ。「代数学の父」と呼ばれることもある。

タイトル: オイラーの公式
この公式の名前は、18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年にを発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。1740年頃、オイラーは、コーツの公式を基に、指数関数と三角関数の級数展開を比較することによって、オイラーの公式を証明し、1748年に発表した。オイラーの公式を導入することにより、極形式の複素数は、より簡素な表記に変換することができる。すなわち、複素数の極形式 z = r(cos θ + i sin θ) は z = re に等しい。また、特に、θ = π のとき、が導かれる。この関係式はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。オイラーの公式により、余弦関数および正弦関数は、双曲線関数に変換することができる:

タイトル: 数学史
この書は中国や朝鮮では長い時期にわたって重要な数学の教科書の一つとして扱われた。この書の研究としては西暦3世紀に劉徽による論評と問題や解法の数学的考察が行われた。さらに、漢の天文学者、発明家である張衡(西暦78〜139年)の数学書には円周率の公式化があり、劉徽の計算と異なっていた。張衡は、球体の体積を求めるために円周率の公式を使用した。また、数学者で音楽理論家の京房(紀元前78〜37年)は、ピタゴラスコンマを用いて53の完全五度が31オクターヴにほぼ等しいことを述べた。これは後に、ドイツのニコラス・メルカトルが17世紀に53平均律を発見するまで、正確に計算されることはなかった。南北朝時代の祖沖之(5世紀)は、円周率の値を小数点以下第7位まで計算した。これは以後1,000年間、最も正確な値であった。