質問: 数学で、AB-AC=Aというように、式を共通の因数でまとめることを何という?
回答: 因数分解

タイトル: 部分代数系
普遍代数学における代数(英語版) A の部分代数(ぶぶんだいすう、英: subalgebra)とは、A の部分集合 S で、A の代数演算を S に制限するとき、S 自身が A と同じ型の代数の構造を持つものを言う。代数的構造が(普遍代数学で扱う場合がふつうそうであるように)等式律として記述された公理で与えられるとき、S が部分代数であることを確認するには、その各演算の全てについて閉じているかを見ればよいということになる。文献によっては各演算が部分写像で与えられる代数を考えることもあるが、この場合の部分代数の定義については幾つか流儀がある。

タイトル: コーシー＝シュワルツの不等式
数学におけるコーシー=シュワルツの不等式(コーシーシュワルツのふとうしき、英: Cauchy–Schwarz inequality)、シュワルツの不等式、シュヴァルツの不等式あるいはコーシー=ブニャコフスキー=シュワルツの不等式 (Cauchy–Bunyakovski–Schwarz inequality) とは、内積空間における二つのベクトルの間の内積がとりうる値をそれぞれのベクトルのノルムによって評価する不等式である。線型代数学や関数解析学における有限次元および無限次元のベクトルに対するさまざまな内積や、確率論における分散や共分散に適用されるなど、様々な異なる状況で現れる有用な不等式である。

タイトル: ペロンの公式
ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式(もしくは証明のスケッチに現れた等式)は数論的な和に関してよく用いられる。

タイトル: 分類定理
数学において,分類定理(ぶんるいていり,英: classification theorem)は「与えられた種類の対象を同値の違いを除いて決定せよ」という分類問題に答える.それは重複しない数え上げを与える:各対象はちょうど1つの類に同値である.分類に関連するいくつかの問題は以下である.以下に述べるように数学において多くの分類定理が存在する.

タイトル: バラエティ (普遍代数学)
任意の理論 T {\displaystyle T} が構成する代数のクラスを T {\displaystyle T} の代数のバラエティを呼ぶ。ただし、最終的にこの代数のクラスよりも重要になるのは代数が構成する圏とそれらの間の同型である。理論 T {\displaystyle T} の2つの代数 A {\displaystyle A} と B {\displaystyle B} が与えられた時、準同型とは関数 f : A → B {\displaystyle f:A\to B} であって f ( o A ( a 1 , ... , a n ) ) = o B ( f ( a 1 ) , ...

タイトル: ファレイ数列
オイラーの関数はまさにその引数以下でその数と互いに素な数の個数を表すものであるから、 |Fn| と |Fn−1| (n > 1) の関係は、となることになり、初項 |F1| = 2 から最初の式が従う。

タイトル: 普遍性
全ての C における X について、関手 V : C → D が得られ、これは U への右随伴になっている。(つまり U は V の左随伴である。)実際、このような方法で全ての随伴関手の対を普遍的構成から得られる。F と G を単位(unit)η と余単位(co-unit)ε (定義は随伴関手の記事を参考のこと)によって構成される随伴関手の対とする。このとき、任意の対象 C と D への普遍射が得られる。普遍的構成は随伴関手の対より更に一般的である。普遍的構成は最適化問題のようなもので、この問題が C 中の全ての対象 (同様に、D の全ての対象)について解を持つとき、かつそのときのみ随伴関手の対が得られる。

タイトル: 群論の用語
群 (G, •) は集合 G で三つの公理を満たす G 上の(つまり G において閉じた)二項演算 "•" を組にしたものである。群の三公理とは群の簡単な例としては整数全体の集合 Z に加法を考えたもの、0 でない有理数全体の成す集合 Q に乗法を考えたものが挙げられる。後者はもっと一般に任意の 環 R について、その単元の全体 R は乗法群を成す。群の定義および更なる例については群の項に譲る。しかし群には上に挙げたものよりももっと一般の構造が含まれる。群論とは、問題とする群の演算や元が具体的にどのような姿をしているかということに依存しない、群についての抽象的な言明を与えることを目的とするものである。この用語集では群論において広く用いられる基本的な概念についての短い説明を提供する。群論の話題についての一般の記述は群論の項を参照されたい。また、群論の話題一覧 等も参照のこと。

タイトル: 自然数
自然数の代わりに前者を正整数、後者を非負整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数(例えば 3 や 18)を指して自然数ということもある。

タイトル: 再帰データ型
で、ListA <: ListB であるかの判定をするにあたり、X は ListA の内側で再帰的に使っている ListA を指し、Y は ListB の内側で再帰的に使っている ListB を指すので、X <: Y であるという仮定を置いて、残りの value の部分が Integer <: Object なので、ListA <: ListB であると判定する方法である。再帰型同士しか比較しなく、再帰型を内部で利用している場合はそれを展開したりしないので、部分型付けの判定が有限時間で終わることが分かる。Amber 規則で出来ることは、概ね名前的型システムに近い。書籍『型システム入門』の「21.11 同型再帰型の部分型付け」で解説されている。同値再帰規則では、再帰型 μ α . T {\displaystyle \mu \alpha .T} とその展開結果の T [ μ α .

タイトル: ホモロジー (数学)
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。ホモロジーの名は「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来する。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱える。

タイトル: 公約数
公約数(こうやくすう、common divisor, common factor)とは、2 つ以上の自然数について、そのいずれの約数にもなることができる整数のことである。

タイトル: チョウラ＝セルバーグの公式
対数形式でのチョウラ=セルバーグの公式は、クロネッカーの極限公式による次のような和の評価のことを言う。ここで χ は D を法とする平方剰余記号で、−D はある複素二次体の判別式である。和は 0 < r < D について取られ、通例に従い r と D が共通因子を持つなら χ(r) = 0 となる。関数 η はデデキントのイータ関数で、h は類数(class number)、w は単位元の根の数である。このような公式の起源は、虚数乗法の理論、特にCM-タイプのアーベル多様体の周期の理論に見られる。その後、多くの研究と一般化がなされている。特に、P進ガンマ関数を含む p進数に対するチョウラ=セルバーグの公式として、グロス=コブリッツの公式が挙げられる。チョウラ=セルバーグの公式は、イータ関数の値の有限の積を与えるものである。

タイトル: ブロッホ＝ドミニシスの定理
A を生成演算子aα、または消滅演算子aα、もしくはそれらを虚時間で相互作用表示したものとする。ここで、相互作用表示において、非摂動系の自由ハミルトニアンはのように2次形式で表されているとする。また平均値 ⟨ ⋅ ⟩ 0 {\displaystyle \langle \cdot \rangle _{0}} は e − β ( H 0 − μ N ) {\displaystyle e^{-\beta (H_{0}-\mu N)}} による非摂動系でのグランドカノニカル分布の熱平均を表すものとする。このとき、この熱平均で定義されるn点相関関数は、nが偶数である場合のみゼロにならず、が成り立つ。ここで現れる2点相関関数は縮約(contraction)と呼ばれる。

タイトル: 共線
それゆえ、この行列式が零かどうかを見ることは、三角形 ABC の面積が零かどうかを見ることと同じであり、零となるときにこれら頂点は共線となる。あるいは同じことだが、三点以上の相異なる点からなる集合が共線となるための必要十分条件は、その点集合に属する任意の三点 A, B, C をとって(必要ならば名前を付け替えて)d(AC) が d(AB) と d(BC) のどちらと比べても小さくないようにしたとき、三角不等式 d(AC) ≤ d(AB) + d(BC) において等号が成立することである。

タイトル: アラン・ベイカー
また、類数が 1, 2 である虚二次体の決定の際にも使用される等、数論の様々なところで応用されている。

タイトル: 1+2+4+8+…
は−1にsummable (E)といい、-1はその級数の(E) sumである(この定義はゴッドフレイ・ハロルド・ハーディによって、レオンハルト・オイラーの『オイラーの無限級数和』を参考にしてなされた)。殆ど同一の解法(そのうち一つがオイラー自身によって作られた物)は、全ての係数が1の冪級数であると見なす物である。即ち、の冪級数にy = 2を代入した物である。もちろん、これらの2つの級数はy = 2xの置換で関連している。(E) summationを1 + 2 + 4 + 8 + ...の収束値として割り当てる事は、一般的な方法が完全に正規(totally regular)の物ではない事を意味する。しかし、この事は総和法として、安定性と線型性を含んだ望ましい性質を持っている。これらの2つの公理は、実際に総和を −1に収束させる。

タイトル: アレフ数
א0 はすべての自然数からなる集合の濃度であり、無限基数である。すべての有限順序数からなる集合は、ω あるいは ω0 と呼ばれ、濃度 א0 をもつ。集合の濃度が א0 であることは、可算無限である—すなわち自然数全体の成す集合との間に全単射(一対一対応)がある—ことと同値である。そのような集合の例は無限順序数 ω, ω + 1, ω⋅2, ω, ω および ε0(イプシロン数も参照)は可算無限集合からとれる。例えば、すべての正の奇数のあとにすべての正の偶数を並べた(順序数 ω⋅2 をもつ)列は正の整数全体の(濃度 א0 の)集合の整列である。可算選択公理を仮定すれば、א0 は他のどんな無限基数よりも小さい。

タイトル: オイラーの分割恒等式
例えば、自然数 8 を互いに異なる自然数に分割する方法と奇数の自然数に分割する方法の個数は等しく 6 である。自然数 n をこのように分割する方法の個数を Q(n) で表すと、

タイトル: アスキースキーム
アスキースキーム(あすきーすきーむ、英: Askey scheme)は数学における手法であって、直交多項式を超幾何級数、及びq-超幾何級数よって体系づける。

タイトル: 数学の統一理論
殆どの場合、研究の下にある数学的対象は(非標準的にではあるが)集合として、より厳密に言えば加法演算のような付加的な構造を備えた集合として、定義される。現在では、集合論は数学的な話題を展開するための「共通語」としての役割を果たしている。

タイトル: 二項定理
が主張を満たすことは明らか。以下 n は 1 以上の整数として n に関する帰納法で示す。帰納法の仮定により、が成り立つから、分配法則によってとなり、パスカルの法則(英語版)を用いてを得る。これは所期の式である。二項係数 (nk) が n-元集合から得られる k-元部分集合の総数であるという組合せ論的性質を用いてより直観的な証明ができる。展開すべき式をと書く。x および y をそれぞれ j 個および k 個選んで掛け合わせれば xy の形の項を生じるが、ここで y を選ばないときには x を選ぶしかないから j = n – k である。最終的に k 個の y を選ぶ方法は (nk) 通りであるから、n 個の (x + y) を掛け合わせたときの単項式 xy の係数は (nk) である。