質問: これが存在する命題は「偽」となる、数学において、ある命題に当てはまらないことを示す例のことを何というでしょう?
回答: 反例

タイトル: 滑らかな無限小解析
このアプローチは排中律を拒否することによって従来の数学に用いられている古典論理から離れる。例えば NOT (a ≠ b) は a = b を含意しない。とくに、滑らかな無限小解析の理論においては、全ての無限小 ε に対し、NOT (ε ≠ 0) を証明することができるが、それにもかかわらず、全ての無限小がゼロに等しいということは偽であると証明される。次の基本定理によって、排中律は成り立ちえないことが分かる(再び滑らかな無限小解析の文脈の中で理解するものとする):この事実にもかかわらず、不連続関数 f(x) を f(x) = 1 (x = 0 のとき) かつ f(x) = 0 (x ≠ 0 のとき) とすることによって定義しようと試みることができる。もし排中律が成立するならば、この関数は全域で定義された不連続関数となる。

タイトル: グロタンディーク宇宙
例として、簡単な命題を証明する。同様に、グロタンディーク宇宙 U が以下のようなものを含むことが容易に証明される:

タイトル: パースの法則
パースの法則(パースのほうそく)は哲学者であり論理学者であるチャールズ・サンダース・パースにちなむ論理学における法則である。彼の最初の命題論理の公理化において、この法則を公理に採用した。この公理は、含意と呼ばれるただひとつの結合子を持つ体系における排中律であると考えることもできる。命題計算では、パースの法則は ((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間命題論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない。

タイトル: 数学パズル
他によくあらわれる数としては、フィボナッチ数・三角数・平方数などがある。「どんなディオファントス方程式についても可能な整数範囲での一般解法」は存在しないため、ディオファントス方程式に帰着するような数学パズルは未解決問題かもしれないし、効率的な解法が存在しない問題かもしれないし、解法が存在するか否かもわからないかもしれない、という場合もあるというのは数学パズルの複雑さの一面でもある。近年の問題では「和と積」や「3人の子供の年齢のパズル」のように、次で述べるような論理的な扱いと組み合わされたものもある。数ではなく、「数字」のパズルもある。数字の字形を変形させて......といったような手続きはもはや「数学パズル」とは言えないと言えなくもないが、広義の「計算」の一種ではあり、そういったパズルでも数理的に扱うことが可能な場合もある。

タイトル: 数論の有効な結果
A は、いわゆる暗黙の定数であるが、計算を目的とすれば定数として明示する必要が生じうる。ランダウの記号がよくこの話題の導入に使われる理由の一つは、 A が正確には何であるか、という問題が背後にあるからである。間接的な形の証明では、暗黙の定数を明示できるかが全くわからないものもある。

タイトル: オイラーの等式
この等式がベンジャミン・パース (19世紀の数学者、ハーバード大学教授) の講義で紹介されたあと、「全く逆説的なことだ、我々はそれを理解できないし、それがどんな意義を持っているかも分からない。だが我々はそれを証明したし、それゆえにそれが間違いのない真実であると知っている」(It is absolutely paradoxical; we cannot understand it, and we don't know what it means, but we have proved it, and therefore we know it must be the truth.) と付け加えた。

タイトル: 逆数学
逆数学は、フレームとなる言語と基本的な公理からはじめる。例えば、“すべての実数の有界な列は上限をもつ”という定理の研究には、実数と実数の列を定義する公理が必要となる。基本体系において証明できない定理からはじめて、定理を証明するのに必要な(基本体系よりも強い)公理を決定することを目標とする。定理 T {\displaystyle T\,} とそれを証明可能な場合の体系 S {\displaystyle S\,} との関係を示す2つの証明がある。1つ目は、 S {\displaystyle S\,} から T {\displaystyle T\,} が証明可能であることの証明である。このとき普通の数学の定理は体系 S {\displaystyle S\,} で成り立つ。

タイトル: ゲーデルの不完全性定理
ゲーデル以外の誰かがこれらの定理を発見するのは時間の問題だったとされており、ゲーデル自身もそう見ていた。数学上の「無矛盾性」と不完全性定理について、フランセーンは以下の通り解説している。フランセーンは『ゲーデルの定理:利用と誤用の不完全ガイド』において、ゲーデルの定理が広範に誤用されていることについて論じている。数学者・数理論理学者の田中一之によれば、ゲーデルの名や定理は「知的会話」に頻出している。フランセーンが述べたように、インターネットのどんなニュースグループでも、遅かれ早かれ誰かがゲーデルの定理を持ち出す。そういった一般的な引用における間違いを正すことが、フランセーンの著書の目的となっている。1931年にゲーデルが示したのは、「特定の形式体系 P {\displaystyle P} において決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」についての定理ではない。

タイトル: 不変量
不変量(ふへんりょう、invariant)とは、数学的対象を特徴付ける別種の数学的対象のことである。一般に、不変量は数や多項式など、不変量同士の同型性判定がもとの対象の同型性判定より簡単であるものをとる。良い不変量とは、簡単に計算でき、かつなるべく強い同型性判別能力をもつものである。

タイトル: 無限の猿定理
1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 × 1 100 = ( 1 100 ) 6 = 1 10000000000000000 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}\times {\frac {1}{100}}&=\left({\frac {1}{100}}\right)^{6}&={\frac {1}{10000000000000000}}\end{aligned}}} (1兆分の1)である (ここでは、タイプの一様性と独立性を仮定している)。

タイトル: 存在記号
例として、「ある自然数の平方が25である」を表す式を考える。最も素朴な方法として、次のように式を書いていく:これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和であるとは言えない。その代わりに以下のような文を書く:これは存在量化(existential quantification)を用いた、形式論理として妥当な単一の文である。この文は前者の書き方よりも正確である点に注意されたい。前者は「などなど」が全ての自然数を指し、それ以外を含まないことを汲み取れはするが、明確には述べられていない。そのため、形式的表現に変換できない。一方、後者の量化された文では、自然数について明確に言及しているため、解釈の誤りは通常の場合生じない。

タイトル: 病的な (数学)
病的な例はしばしばいくらかの好ましくないかまたは珍奇な特性をもつ。その特性はある理論の中では有意義を成り立たせるように説明するのが難しい。そのような病的な振る舞いはしばしば新しい理論とより一般的な結果をもたらす新しい研究を促す。たとえば、これらのいくつかの重要な歴史的な例は次のようである:これらが発見された時点では、それらの各々は極めて病的と考えられた;今日では、各々は現代の数学の理論の中では消化済みである。

タイトル: コルモゴロフ複雑性
殆どの文字列は、より「圧縮された」形では表現できないという意味で複雑である。しかしながら、文字列の長さがある閾値を超える場合、その文字列が複雑であることを形式的に証明することは出来ない、ということが言えてしまう。正確な定式化は以下の通り。まず、自然数を扱う特定の公理系 S を固定する。この公理系は次のことが出来る程度には強いものとする。即ち、S に含まれる式 FA を、文字列の複雑さに関する或る主張 A に関連付けることが出来る。この際、FAが S の公理から証明可能なら、これに対応する主張 A も真になるとする。この「定式化」に際しては、ゲーデル数化のような人工的な符号化を用いてもよいし、適用しようとする S をもっと明快に表現するような定式化を用いても良い。

タイトル: 「知」の欺瞞
ラカンのいうマイナス1の平方根は、名前こそ同じだが、「数学的なマイナス1の平方根とは同じものでもなく、直接の関係もなく、メタファーですら」ない。まして数学的なマイナス1の平方根は「勃起性の器官ではない」。しかし、代数学的な意味においてプロトニツキーは「すべての虚数および複素数は、定義上は無理数である」と述べているが、数学者たちは複素数を無理数とはみなさないソーカルとブリクモンの側に立っている。実際、有理数という概念は、ガウス整数とガウス有理数においては複素数の領域に拡張される。

タイトル: 誤謬
論理学において、「形式的誤謬」 (formal fallacy) あるいは「論理的誤謬」 (logical fallacy) とは、推論パターンが常にまたはほとんどの場合に間違っているものをいう。これは論証の構造そのものに瑕疵があるために、論証全体として妥当性がなくなることを意味する。一方、非形式的誤謬は形式的には妥当だが、前提が偽であるために全体として偽となるものをいう。誤謬という用語は、問題が形式にあるか否かに拘らず、問題のある論証全般を意味することが多い。演繹的主張に形式的誤謬があっても、その前提や結論が間違っているとは言えない。どちらも真であったとしても、結論と前提の論理的関係に問題があるため、論証全体としては誤謬とされる。演繹的でない主張であっても形式的誤謬が内在することはありうる。例えば、帰納的主張に確率や因果の原理を間違って適用することも形式的誤謬に数えられる。

タイトル: 命題論理
一般的にいえば、命題計算とは「文法的にきちんとした」統語的な表現(整式)の集合、その表現のいくつかからなる部分集合(公理の集合)、さらに加えて表現の空間上に二項関係を定義する変形規則の集合からなる形式的体系である。普通、それぞれの表現が数学の表現として具体的に解釈されるとき、表現の変形規則が一定の意味同等性を保つように与えられる。特に表現が論理体系そのものとして解釈されるときには「意味同等性」が論理的同等性のことを指すように変形規則が与えられる。この設定のもとでは変形規則によって与えられた表現から論理的に等価な表現を導くことができる。こういった変形規則による別の表現の導出について、特別な例として表現を単純化すること、与えられた表現が前もって区別された特別な表現(普通、論理学の公理だと解釈される)のうちどれかと等価かどうか決定すること、などが問題にされる。

タイトル: 検証と反証の非対称性
それは、どんな理論も誤ることがありうると前提する可謬主義を採用し(つまり理論群が全て真であることは最初から保証せず)、科学における命題というのは全て、あくまで反証されるまでの間 暫定的に棄却されていない状態にあるにすぎない(あるいは、次第に誤った理論を取り除いてゆく)とする方法である。こうして、検証と反証の非対称性という概念を用いつつ、反証主義を構築したのである。

タイトル: 回帰の誤謬
回帰の誤謬(かいきのごびゅう、英: Regression fallacy)は、誤謬の一種であり、存在しない原因に帰してしまうこと。自然の変動を考慮していないという問題がある。これは、前後即因果の誤謬の特殊例であることが多い。

タイトル: ペアノの公理
集合 N と定数 0 と関数 Sと命題Eに関する次の公理をペアノの公理という。このとき N の元を自然数といい、自然数 n に対して自然数 S(n) をその後者 (successor)という。第五公理は、数学的帰納法の原理である。これらの公理は互いに独立であり、いずれも残りから導くことはできない。ペアノの公理から 2 + 2 = 4 や 2 ⋅ 2 = 4 のような「定理」を証明するには 2 = S(S(0)) などの項を導入したり、加法 + や乗法 ⋅ の存在や性質を示したりする必要がある。たとえば Henle (1986, pp. 17, 18, 103, 104) を見よ。

タイトル: タルスキの定義不可能性定理
例えば、一階算術の真理述語は二階算術の中で定義することが可能である。しかしながら、この式は元々の語彙 L の真理述語しか定義できない。メタ言語の真理述語を定義するには、さらに高位のメタ言語を必要とする、といった具合になる。この定理を証明するために、背理法で進める。証明 — 示すべきことに反し、L-式 True(n) が存在して以下を満たすと仮定する:N で真である L-文のゲーデル数が n であるときかつそのときに限り True(n) が真である。このとき、True(n) を用いて新しい L-式 S(m) を次のように定義することができる:m が式 φ(x) (x は自由変数)のゲーデル数であって φ(m) が N において偽であるときかつそのときに限り S(m) が真である(すなわち、自身のゲーデル数を代入したときに偽になる式 φ(x) を考える)。

タイトル: つまらない (数学)
任意の集合の部分集合として空集合と全体集合(その集合自身のこと)が得られることから、数学的構造の部分構造として見る限りこれらはつまらない。 しかし視点を変えれば、空集合は命題論理の真偽に深くかかわったり、空関数などの道具立てにも頻繁に利用されたりと、多くの応用を持つ豊かな対象でもある。集合論における順序や代数構造などに対して、単元集合はそれらの対象に特有の公理を無条件に満たせることがよくある。これらは「○○の条件をみたすような構造は自明なものしか存在しない」といった形で命題の表記や証明に貢献する一方で、それ自身は丸括弧内に付した以上の内的な性質をもたないので、つまらない対象でもある。

タイトル: 選言肯定
しかし、命題論理における曖昧さを排除するために「あるいは」の意味を厳密に定めると、この論証は妥当ではなくなる。その場合、「あるいは」は排他的ではなく、両方が真の場合を許容する。この論証に暗黙の前提を明示することで妥当な論証にすることができる。

タイトル: 自己言及のパラドックス
プライアの試みは全く新たな命題論理の体系を必要とするか、あるいは「この文は真であり、かつこの文は偽である」の「かつ」は連言除去が適用されない特殊な論理積だと解釈する必要があるように思われる。つまりプライアの論を認めるには、少なくともこの新たな種類の「かつ」を扱えるように命題論理を拡張する必要がある。ソール・クリプキは、ある文が逆説的か否かは、経験的事実に依存すると主張した。鈴木氏が佐藤氏について次のことだけを言ったとする。そして、佐藤氏は鈴木氏について次の3つのことだけを言っているとする。鈴木氏が本当は浪費家だが、犯罪に対して寛大ではない場合、鈴木氏が佐藤氏について言っていることと佐藤氏の最後の文の間でパラドックスが生じる。クリプキはこれについて次のような解決策を提案した。ある文の真理値が最終的にこの世界で評価可能な事実と結びついているなら、その文は「根拠がある (grounded)」。