質問: 算数の授業では「確からしさ」と呼ばれる、ある事象が起きると期待される度合いのことを何というでしょう?
回答: 確率

タイトル: 正確度と精度
しかし、情報源がこの記法に従っていない場合、そのデータを使用することで精度の誤りが発生する。別の観点から考えると、8 という値が測定の結果得られたということは、'1' の精度であることを示し(その測定機器の測定値は 1 以上の部分だけ利用できる)、値が 8.0 なら(数学的には 8 と同じだが)小数点以下第一位も測定され、その値がゼロであったことを示す(その測定機器の測定値は小数点以下第一位まで利用できる)。後者のほうが精度が高いといえる。この場合、正確度は関係ない(本当の値はどちらの場合も 9.5 かもしれない)。従って、正確度は測定の正確さを表すが、精度は測定値の差異の有意性を表すといえる。精度は誤差の絶対的な大きさだけでなく、測定量の大きさ自身にも関係するため、相対誤差という考え方がしばしば用いられる。

タイトル: リュカ擬素数
リュカ擬素数(en:Lucas_pseudoprime)は、任意の素数と非常に少数の合成数が通過する特定のテストに合格する合成数である。

タイトル: 命題
数学書で「定理」「命題」「補題」「系」と見出しを付けて書かれた文は、正しいことが証明された(あるいはその数学書でこれから正しいことが証明される)命題である。

タイトル: 計算力
また、「現実の現象をモデル化する」という部分まで含めた例解、演習について、計算の例は、寺田寅彦の随筆の中に多く見られ 、ファインマン物理学等の海外の教科書や、朝永振一郎の「量子力学」などの国内の教科書等一部には、このような計算の訓練も行えるよう配慮されている。このように、「オーダーエスティメーションの能力を高めることそのものの指南書は、存在しないか、極めて僅少である」ものの、部分的にであれば、すでにある本の中でかなりの基礎が培える。

タイトル: 誤差
詳細な議論は避けるが、ほとんどの場合、平均値に統計的な意味があるくらい十分に多くの対象について測定したならば、偶然誤差の影響も十分に小さくなるが、母集団が小さかった場合など誤差が無視できるだけの測定数と統計的に意味のある測定数が異なる場合もある。このような場合には測定誤差による影響を別に考慮する必要がある。上記のように測定値から誤差を無くすことは不可能である。したがってわれわれが知り得るのは常に誤差付の値でしかない。しかしながら測定すべき量には測定方法とは無関係なある定まった値があると考えるのが合理的である。この値のことを誤差理論において 真の値または真値 と呼んでいる。真値が未知であるとする立場では、真値の代わりに測定によって得られた最確値を真値と考える。最確値としては同じ測定を複数回だけしたときの平均値を用いることが多い。

タイトル: 数学典故
 中学入試のニュートン算には、「牛が草を食べる問題」から、 「窓口に並ぶ客をさばく問題」「泉から水を汲みだす問題」などがある。ニュートン算は広義の「追いつき旅人算」ともみられるが、 「旅人算」自身初めは難しいと思われがちなので、 別々に教えて,ある程度それぞれを理解したころ合いを見計らって、 関連付けた方が分かりやすいという人もいる。「追いつき旅人算」は位置を移動する2つの者(物)の隔たりの推移に関する問題と言えるが、ニュートン算は移動以外のものの「広義の追いつき旅人算」と言える。小学生には難解といわれる追いつき旅人算,ニュートン算だが,「速さのたしひき」がコツで,いったんここを通過できると機械的に解けるようになる。だが,水道方式で鳴る,数学者で数学教育学者の東京工業大学名誉教授遠山啓博士は速さなど内包量(度・率など割合の量)のたしひきは教えるべきではないと主張なさっておられた。

タイトル: 命題論理
個々に挙げられた規則の重要な性質は健全性と完全性である。直感的には、これらの規則は正しくしかも他に必要な規則はないということである。これは以下のようにして形式化される。真理値の割り当てを、命題変数に対して真( ⊤ {\displaystyle \top } )または偽( ⊥ {\displaystyle \bot } )の値を対応させる関数だと考えることにする。形式的でない言い方をすれば、真理値の割り当てとは、特定の叙述が真になり他は偽になるような「おきうる事態」(またはありうる世界)についての説明だと理解できる。その「事態」においてそれぞれの式が正しくなるのはどんなときかを定めることで式の意味論が定式化できる。真理値の割り当て A {\displaystyle A} がどんなときに特定の整式を充足するか、ということを以下の規則によって定める。

タイトル: 経験的関係
経験式(けいけんしき、empirical equation)とは経験的関係を単純な(一つまたは幾つかの)数式で表したものである。実験式とも言うことがある。

タイトル: 教師あり学習
分類問題であればこれを分類器、回帰問題であればこれを回帰曲線などと称する。

タイトル: P進数
p 進数同士の足し算、引き算、掛け算は、p 進表記の有理数における通常のアルゴリズムを自然に無限桁に拡張することで得られ、割り算は掛け算の逆演算として定義される。実数の場合とは異なり、p 進数においては、別途負の数を導入せずとも加法の逆元が存在する。たとえば2進数で 1 と ...1111 を足すと 0 になるため、1 の加法逆元 −1 は ...1111 に等しい。また、p 進数においては有限桁の小数範囲で必ず逆数が存在する。たとえば、実数の世界においては、2進表記で 11 の逆数は 0.010101... であるのに対し、2進数の世界においては 11 の逆数は ...010101011 である。p は素数である必要があり、さもなくば2つの 0 でない p 進数の積が 0 になってしまうことや、逆数が存在しないことがある。

タイトル: ランダム効果モデル
m {\displaystyle m} 個の大きな小学校を無作為に選び、各学校で同学年の n {\displaystyle n} 人の生徒を無作為に選び、標準的な適性検査を行った場合を考える。 i {\displaystyle i} 番目の学校の j {\displaystyle j} 番目の生徒の得点を Y i , j {\displaystyle Y_{i,j}} とすると、次のようにモデル化できる。ここで、 μ {\displaystyle \mu } は母集団全体の平均テストスコア。 このモデルでは、 U i {\displaystyle U_{i}} は学校固有のランダム効果である。 これは、学校 i {\displaystyle i} の平均スコアと全国の平均スコアの差に相当する。

タイトル: 畳み込み級数
差分法のテクニックは便利だが、落とし穴もある。とするのは正しくない、個々の項が 0 に収斂でもしない限り、項を括りなおすのは有効ではないからである(グランディ級数の項を見よ)。こういった間違いを避けるには、まず N 項までの和を求めておいてから、そのあと N を無限大に飛ばした極限を計算する。といった具合である。

タイトル: 妥当性
ある論証が、前提が全て真であれば結論も必ず真となるような形になっている時、その論証を妥当(だとう、英: Validity)であるという。より厳密に表現すると、『全ての前提が真である』ことと『結論が偽である』ことが決して両立しない論証を妥当であるという。論証が妥当であるか否かはその形によってのみ決まり、個々の文の真理値は問わない。論証の妥当性は結論が真であることを保証しない(妥当な論証でも前提に偽があれば結論も偽になりうる)し、妥当でない論証(「不当; invalid」と表現することがある)の結論が偽とも限らない。妥当であり、かつ全ての前提が真である論証を健全な論証という。妥当性および健全性の定義により、健全な論証の結論は常に真である。

タイトル: 聚楽式算術教授法
なぜなら数を横に見るときは大数であっても、筆算の加法で縦に見ればきわめて容易になる」と述べている。聚楽式では、小学校1,2年では加減乗除の計算問題(形式算・規則算)を主に教える。その上で小学校3年以降は文章問題(実質算・実用算)を主に教えるという教材配列をとっている。当時も現在も算数教科書では計算問題をした後にすぐに計算問題に関係した文章問題を出すという教材配列を取っているが、廣田はこうしたやり方は「まったく子供の頭の働く方法を無視したやり方である」と批判している。聚楽式ではそうした教材配列を全面的に改革したものとなっている。理屈というものは最初から明瞭確実に分かるものではない。根気強く機械的に反復練習するしていれば次第次第に了解されるものである。機械的に教授したのがあとで理解の基礎となる。機械的注入を鬼か蛇のように思って頭から排除するのは児童の心理を無視したものである。

タイトル: 0.999...
上記の、実数をそれぞれの小数展開に帰着させる方法は、フレッド・リッチマン (Fred Richman) によって雑誌 Mathematics Magazine に投稿された "Is 0.999... = 1?" という解説論文による説明である。この論文は大学の数学教師とその生徒向けに書かれている。リッチマンは、有理数の任意の稠密な部分集合における切断を考えても同様な結果をもたらすことを指摘している。その中で彼は、分母が 10 の冪である分数全体の成す稠密部分集合を用いて、0.999... = 1 の証明をより直接的に与えている。また、x < 1 となる x は切断を有するが、x ≤ 1 となる x は切断をもたないことも指摘し、「これは 0.999... と 1 が異なってしまうことを排除するものである。......実数の伝統的な定義の中に、等式 0.999...

タイトル: パラダイム
しかし、未訓練の素人が、いくら理論とルールを教え込まれても、それが“実験室でどのような見え方をするのか”が分からなければ、何に着目すればよいのかすら分からず、つまりは実態的な作業としての研究に取り組みようがない。実験機器の計器の針の位置が針の物理的な位置以上の意味を持つことを理解し得ないならば、霧箱の中を走る「斜線」が宙に浮かぶ不思議な直線にしか見えないならば、研究作業は不可能である。理論やルール等々がいくら単なる知識として学習されても、それをいわば“適用する”仕方が分からなければ、実際の研究過程においては役には立たないのだ。全く具体的かつ個別的な、一つ一つの実験や観測の場において、何に対して反応し、何に着目すればよいのかを学生が習得するのは、学生が「例題を解く」過程において、問題を解くことそれ自体ではなく、問題を解くことを通じて類似的関係を「発見」することに習熟するからである。

タイトル: 代数的サイクルの標準予想
標準予想は未解決のままであり、その応用は結果の条件付き証明(英語版)(conditional proof)を与えるだけでしかない。ヴェィユ予想を含む非常にまれな場合には、条件なしでそのような結果を証明することのできる別の方法が見つかっている。固定したヴェイユコホモロジー理論 H (の存在)を、標準予想の古典的定式化は意味している。予想の全体は「代数的」なコホモロジー類を扱っていて、滑らかな射影多様体のコホモロジー上の射が、サイクル類写像を通して積 X × X 上の有理係数の代数的サイクルである。このことがヴェイユコホモロジーの構造の一部となっている。予想 A は予想 B と同値である(Grothendieck (1969), p. 196 を参照)ので、本記事でリストアップしない。

タイトル: 計算可能数
数学において、計算可能数は実数であって、有限かつ停止するアルゴリズムによって望んだいかなる精度でも計算可能なもののことである。再帰的な数、実効的な数、計算可能実数、再帰的実数などとしても知られる。同値な定義はμ再帰関数、チューリングマシン、ラムダ計算などを用いたアルゴリズムの形式的表現によっても得られる。計算可能数は実閉体をなし、全てではないが多くの数学的な目的において実数の代わりに用いることができる。

タイトル: 数値解析
例えば非線形現象を線形近似することなどがこれに相当する。これは数値解析というより、元の問題が属する科学分野の問題ではあるが、基礎方程式が誤っている(実現象のモデルとして不適切である)場合には上述の誤差を減らしても解が実現象を正しく表すとは限らないため、解の誤差評価をする際には必ず検討しなければならないことである。この検証過程では定式化や仮説における誤り、モデルの適用限界などに対する考察が必要になる。誤差が発生すると、計算を通じてそれが伝播していく。実際、電卓やコンピュータでの(浮動小数点数の)加算は正確ではなく、反復計算をすると計算はさらに不正確になっていく。このような誤差の研究から数値的安定性の概念が生まれた。あるアルゴリズムが数値的に安定であるとは、誤差が発生・伝播したときに計算が進むにつれてその誤差があまり大きくならないことを意味する。これは問題が良条件の場合のみ可能である。

タイトル: 濃度算
濃度算(のうどざん)は算数の文章題の一種。「塩水算」とも言う。水溶液の濃度を元に溶媒・溶質の質量を求める問題、二つの異なる濃度の溶液を指定された量で混ぜ合わせた時にできる溶液の濃度を求める問題、用意された溶液から指定された濃度の溶液を作るにはどんな割合で二つを混ぜればよいかを求める問題、などとバリエーションは多い。水溶液の部分は、ジュースや合金などに置換可能(いずれにしろ濃度に関係あるもので出題される)。中学入試では、理科よりも算数の分野で頻出する。ここでは水溶液と書いているが、その中でも特に食塩水で出題される場合が多い。この類の問題に関しては、後述するように面積図や天秤を使った解法もある。

タイトル: 数値予報
客観解析により初期時刻の格子点値が得られたとしても、必然的にわずかな誤差が含まれる。このため、前述のように数値予報の結果はカオス理論的な変化を示す。これは、1963年に気象学者ローレンツが発見した挙動に他ならない。 この初期値の誤差を評価するために、誤差の範囲でいくつかの初期モデルを作成し、それぞれについて数値予報を行い、誤差の影響を評価しながら天気を予測する手法が後述のアンサンブル予報である。現在の計算能力では、例えば全球モデルによる数値予報では、3日先までの予報がある程度信頼できる範囲と言われている。

タイトル: ゴールドバッハの予想
予想 (ハーディ・リトルウッド予想の一部) ― 任意の固定された c ≥ 2 に対し、十分大きな整数 n を c 個の素数の和 n = p1 + ... + pc (p1 ≤ ... ≤ pc) として表現する方法の数は、次に漸近的に等しい。ただし式中の積は素数全体 p に渡って行い、γc,p(n) は合同式 n = q1 + ... + qc mod p (q1, ...,qc ≠ 0 mod p) の解の個数を表す。この予想は c ≥ 3 において正しいことがヴィノグラードフ(英語版)により厳密に証明されているが、c = 2 の場合は未だ証明されていない。c = 2 のとき上式は、n が奇数のとき 0 、n が偶数のときと単純化される。ただし Π2 はハーディ・リトルウッドの双子素数定数

タイトル: かけ算の順序問題
このように、かけ算の順序で「読み取り」が正しくできているか判定するという考え方は不合理であり、説得力をもたない。一見正解と異なる解答を挙げて討議させれば、なぜ誤りかを知ることや、正しい考え方をいろいろ知ることができ、教育の1つの手段になるので、かけ算の順序が異なっていても正解の可能性があるテストは、すぐに不正解にして終わらせるべきではないという主張である。この主張では、正解かどうかは討議の後で明らかになるのだが、討議に入るまでの採点方法や、正しく理解しているかどうかを調べる目的のテストの扱いについては言及されていない(テストは点を取ることが目的ではないことは言及されている) 。しかし、解答に書かれたかけ算の順序が異なるかどうかだけで、かけ算の理解が正しいかどうかを調べることができないことは示されている。

タイトル: 認定評価
クラスの他の生徒の出来次第に関係なく、本人の出来で成績が評価されるものであるが、評価基準が、教師によって公開されていないという難点がある。つまり、基準は教師が認めたかどうかによるというわけである。「充分な学習がなされたものと認定されたか」ということである。教師は、決して悪意があって公開していないのではなく、どういうことを学ばなくてはならないかは、充分に教えてあるのだが、それをどの程度、理解し、自分のものにしているか、その深さが評価の対象になる場合、それは計測、測定できるようなものではないため、小テストや評価テストの点数としての換算が困難なため、こうした認定という仕方になる。こうした評価がなされるのは、道徳や音楽での表現力、生活態度など、学校の教科外で茶道、華道、舞踊などの伝統的な芸事、スポーツのプレイの技術などがある。

タイトル: 一年生の夢
また、"freshman exponentiation"という用語も、1998年Fraleighによって用いられている。数学以外の文脈では、"freshman's dream"という言葉自体は19世紀から用いられている。また、(x + y) の拡張が二項定理から得られることから、「一年生の夢」の等式は"child's binomial theorem や、"schoolboy binomial theorem"としても知られる。