質問: これが存在する命題は「偽」となる、数学において、ある命題に当てはまらないことを示す例のことを何というでしょう?
回答: 反例

タイトル: 反例
反例(はんれい、英: counterexample)とは、ある主張について、それが成立しない例のことである。したがって、成立しない主張を指すものではない。つまり、論理式 x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a のことである。反例が存在する場合、x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、x P(x) は成り立たない。

タイトル: 例外
数学の四則演算の場合、任意の二つの数の間でどの演算もできるし、どの場合も答えは一つ求められる。しかし、0で除算することだけはこの例外である。この場合、例外は明らかにこの一つだけである。数学においては、命題(全称命題)にひとつの例外をあげることができれば、その命題は正しくないと判断する。その場合は例外とは言わず、反例という。その数があまりにも少なく、またそれを取り除いた範囲でのその命題の正しさが証明できるのであれば、例外をあらかじめ明記する形で命題を記述する方法もある。

タイトル: 数論の有効な結果
この問題の要点は、既知の数値的な証拠によって符号が変わらないことが示されたということである。リトルウッドの結果から、この数値的証拠が小さな数では有効であると保証されたが、ここでの「小さい」とは n が 1,000,000 までの場合を含んでいた。計算可能性の要求は、数論の結果を証明するための解析的整数論で使われる方法に反映されると同時に対比もされる。例えば、ランダウの記号の使用やそれが存在を暗示する定数に関して疑問が生ずる。「ランダウの記号はそのような定数が単に存在することを示すのか?もしくは、暗黙の定数の代わりに(例えば)1000 が使われるバージョンを再現できるか?」というものである。言い換えると、符号が変わる M > N が存在し、ある陽関数 G (例えばべき乗、対数、指数)に対してであることが既知とすると、これはある絶対定数 A に対して、単にであるだろうか、ということである。

タイトル: ゲーデルの不完全性定理
帰納的公理化可能な理論が自然数論を含むならば、当該理論における証明可能性が原始帰納的述語として表現できる。この証明可能性述語を用いて、「Gは証明できない」と同値となる証明不能命題G(ゲーデル文)が構成できる。ゲーデル文を構成するためには自然数論の式を自然数に変換するゲーデル数および自己言及で用いられる対角化の技法(を形式化したもの)が必要である。後者は対角化補題と呼ばれる。自然数を変数とする述語「xは...である」の対角化は、上記の述語のxに「xは...である」自身のゲーデル数を代入した命題である。その意味はとなる。ゲーデル文Gはと表される。「xで表される述語の対角化は証明できない」の対角化は、G自身と同値になる。さて、ゲーデル文Gが証明可能であれば、Σ1完全性により命題「Gは証明できる」もまた証明可能である。

タイトル: 関係代数 (数学)
次の表は、二項関係に関して通常扱われる性質のうちのどれくらいが,RA の演算を用いて簡潔な(不)等式で記述できるかを一覧にしたものである。以下不等式 A ≤ B は A ∨ B = B の略記である。この種の記述の最も完全に近いリストは Carnap の本の第 C章にある(記号がここで用いているものと若干異なるので注意)。Suppes の本の第 3.2節に少数の結果が挙げられているが、それらはここで使われているものと似た記号を用いてZFC上の定理として示されている。 どちらにしてもRAの枠組みでの(つまり等式を使った)定式化はなされていない。

タイトル: 形式主義 (数学)
いやむしろ、あなたがそれに与えた解釈は真の命題でなければならない。同値はすべての他の数学的記述に関して真であると見なされる。従って、形式主義は数学が無意味な象徴ゲームでしかないことを意味する必要はない。それは通常、ゲームに適用するルールの様々な解釈が存在することが望まれている。(構造主義をこの立場になぞらえる) しかし、数学者が仕事を継続し哲学者や科学者にそのような問題を残すことは、数学者が働くことを可能にする。多くの形式主義者らは、実際に、研究された公理体系は、科学への要求や数学以外の分野によって提案されると言うだろう。形式主義の偉大なる初期の発案者はダフィット・ヒルベルトであった。彼の計画は完全でかつ一貫性(consistent)のある数学の全ての公理化を目的としていた。(「一貫性、無矛盾性(consistent)」ここでは、システムに由来しうる矛盾がないことを意味する。

タイトル: 平行線公準
そのうちのいくつかは一見すると平行線とは関係ないように見える命題であり、またいくつかは平行線公準をユークリッドの他の公準から示したとする証明の中で、自明であるとして無意識に仮定されていた命題であった。以下はこれらの概要である。

タイトル: 反実在論
この言葉は、マイケル・ダメットが「実在論」という論文の中で、唯名論、概念実在論、観念論、現象主義などを含む古典的哲学議論を再検討する過程で導入したことによって広く知られるようになった。ダメットの手法の斬新さは、数理哲学の分野で直観主義とプラトン主義(プラトン的観念実在論)のどちらに立つべきかをめぐって行われた論争とこれらの議論を類比的に見たことにあった。直観主義者(数学的対象に関する反実在論者)たちによれば、数学的言明の真理性は我々がそれを証明できる能力に依存しており、プラトン主義者(実在論者)たちによれば、数学的言明の真理性は客観的実在との一致に依存している。それゆえ、直観主義者たちにとっては、「PまたはQ」という形の言明は、我々がPを証明できるかまたはQを証明できる場合にのみ、真となる。これは選言的性質(英: disjunction property)と呼ばれる。

タイトル: 数学的なジョーク
このような数学的ジョークは、単に遊興の道具としてのみ用いられるものではなく、時として数理的問題や暗号などの数理科学的考察への発展が期待される。 その導入となる対象は覆面算、文字を用いた数理パズルなどである。ここでは単純な覆面算の一例のみを示す。この覆面算の解は O = 0, M = 1, Y = 2, E = 5, N = 6, D = 7, R = 8, S = 9 である。連立一次方程式の伝統的な解法によらず、例えば 4桁と4桁の和で5桁となっていることから M=1 が演繹できるなど、論理的色彩が強いものが多い。

タイトル: ガウスの補題 (数論)
の置換であることも明らかである。

タイトル: 自己検証理論
この理論にはいかなる真の Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} 文を追加しても、なお無矛盾であるようにできる。

タイトル: 公理
同様に妥当性が問題になるタイプの公理に集合論の選択公理など無限を取り扱ったものがある。これは「無限個の(空でない)集合の列から一個ずつ元を選ぶことができる」という趣旨の公理である。選択公理は(集合論のそれ以外の公理が矛盾していない限り)矛盾を導かず(ゲーデル)、さらに選択公理の否定からも矛盾が導かれない(コーヘン)ことが知られている。選択公理を認めることで様々な強力な定理(帰納的順序集合における極大元の存在、ベクトル空間の基底の存在、代数的閉包の存在、従順群上の不変汎関数の存在など)が証明できる。いっぽうで選択公理を認めてしまうと一見直観に反していて逆理であるかのような定理(バナッハ・タルスキの逆理、非可測集合の存在)が成立してしまう。ほとんどの数学者は選択公理を認めた数学体系を研究しているが、おもに数学基礎論の研究において、選択公理を認めない数学の可能性を追求している数学者もいる。

タイトル: 超実数
実数でない量の非正式な概念は、2 つの文脈にそって歴史的に微積分学において現れる。1 つは dx のような無限小として、もう 1 つは広義積分の極限において使われる ∞ という記号として現れる。移行原理のひとつの例として「0 でないいかなる 数についても 2x ≠ x」という主張は実数にとって真であり、この主張は移行原理で求められる性質を持った文になっているから、超実数についても真である。超実数についてこれが真であるということは、∞ のような一般記号は超実数の体系に属するすべての無限大量に対して使用不能であることを意味する。無限大量は“大きさが”他の無限大量と異なっているし、無限小量も他の無限小量と異なる。同様にして、「0 での割り算は定義されない」という主張に移行原理が適用できるから、おいそれと1/0 = ∞ のように書くのも無効である。

タイトル: ヘンペルのカラス
宇宙には無限に「黒くないもの」があるとすれば、実際にヘンペルの論法を証明に用いることはできなくなる。「黒くないものはカラスでない」ことを証明するために「黒くないもの」を順に調べようとしても、その作業は永遠に終わらないからである。もし、カラスの存在が確かなものとして前提にでき、さらに「黒くないもの」の総数を有限であると仮定したとしても、「ヘンペルのカラス」が直観に反する理由は、「黒くないもの」の数が想像を絶して大きいことが挙げられる。ある命題について、それが真であることを確かめるには個々の事例を全て調べ尽くすことができればよい。命題の正しさの信頼度合は、調べた事例の全事例に対する比率に一致する(確証性の原理)。しかし「黒くないものはカラスではない」という命題の真偽を調べる場合、また「黒くないもの」の数は極めて大きいので、「黒くないもの」を全て調べることは事実上不可能である。

タイトル: 論証
いずれにしても、論証を形式化する利点は、証明理論のような妥当な数学的論証に関する理論を構築できる可能性にある。証明理論は数学全体の妥当な論証のクラスを調査し、健全な数学的論証の結論としてどのような文が出てくるのかをはっきりさせる。ゲーデルの不完全性定理は証明理論の成果であり、全ての真なる数学的文は形式化された健全な数学的論証から生み出されるという事実を明らかにした。実際には、全ての真なる数学的文が証明可能というわけではない。

タイトル: プリンキピア・マテマティカ
残された当時の関心は以下の2件であった。命題論理自体は無矛盾で完全であると知られていたが、同じことはプリンキピアの集合論の公理に関しては確立されていなかった。(ヒルベルトの第2問題を参照)ゲーデルの不完全性定理は、これら2つの関連する問題に予期せぬ光を投げかけた。ゲーデルの第1不完全性定理は、プリンキピアが無矛盾かつ完全であることはできないことを示した。定理によれば、プリンキピアのような、十分に強力な論理体系には、それぞれ本質的に「言明Gは証明不可能である」と読める言明Gが存在する。このような言明は、キャッチ22とよばれる種類であり、Gが証明可能であればそれは偽で、したがって体系は矛盾しており、Gが証明不可能であればそれは真で、したがって体系は不完全である。ゲーデルの第2不完全性定理は、基本算術を展開するどんな形式体系も、それを使って自己の無矛盾性を証明することはできない、と言う。

タイトル: 数学の哲学
形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。例えば、ユークリッド幾何学という「ゲーム」(つまり、「公理」という名のいくつかの記号列と、与えられた記号列から新しい記号列を生成する「推理規則」からなるものとみなすということ)において、ピタゴラスの定理が成立する(すなわち、ピタゴラスの定理に対応する記号列を生成できる)ということは証明可能である。形式主義によるなら、数学的真理とは、数とか集合とか三角形といったものについての真理ではない。実のところ、なにものかに「ついての」真理などでは全くない。別の種類の形式主義はしばしば演繹主義(英: deductivism)という名前で知られている。演繹主義によれば、ピタゴラスの定理は絶対的な真理ではなく、相対的な真理である。

タイトル: 符号 (数学)
数学における符号(ふごう、英: sign)は、任意の非零実数は正または負であるという性質に始まる。ふつうは0自身は符号を持たないが、ときに符号付き零(英語版)が意味を為す文脈もあり、また「0 の符号は 0 である」とすることが有効な場合もある。実数の符号の場合を敷衍して、数学や物理学などで「符号の変更」("change of sign") あるいは「符号反転」(negation) が、反数を対応付ける、あるいは−1-倍する操作として、実数以外の量に(それが正負零に分かれると限らないものでさえ)も用いられる。また、数学的対象が持つ正負の二項対立とよく似た側面、例えば置換の偶奇性などに対しても「符号」という言葉が用いられる。

タイトル: 超越数
最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別な人が既に証明しているものも多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。(1) 超越数となる定数の例(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例(3) 特殊関数の特殊値が超越数となる例(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例以下において、 { F n } n ≥ 0 {\displaystyle \scriptstyle \{F_{n}\}_{n\geq 0}} はフィボナッチ数列とする。

タイトル: パラドックス
パラドックス (paradox) とは、正しそうな前提と、妥当に思える推論から、受け入れがたい結論が得られる事を指す言葉である。逆説、背理、逆理とも言われる。

タイトル: カール・グスタフ・ヘンペル
仮説演繹法は、たとえば「すべてのカラスは黒い」という仮説をたてたなら、「次に観察するカラスも黒いはずだ」という予測が演繹でき、その予測が確かめられることで仮説がより確からしくなる、というプロセスをへる。ところで、「すべてのカラスは黒い」(A)という命題と「すべての黒くないものはカラスではない」(B)という命題は論理的に同値(対偶)である。この後者の命題(B)からは、「次に観察する黒くないものはカラスではないはずだ」という予測が演繹でき、その予測が確かめられることで仮説(B)はより確からしくなる。しかし、それならば、部屋の中にある黒くないものを観察するだけで仮説(B)がより確からしくなることになり、同時にそれと同値である前者の仮説(A)も確からしくなることになる。つまり、部屋の中に居ながらにして「すべてのカラスは黒い」という仮説を確かめることができてしまうことになるのである。

タイトル: 剰余演算
被除数の符号に剰余の結果が依存する場合、失敗を引き起こす場合がある。例えば、ある整数が奇数であるかどうかを調べたい場合、下記のC++での例のように、2 で除算した余りが 1 であるかどうかを確かめれば良いように見える。しかし、使用するプログラミング言語が、剰余の符号を被除数に依存させている場合、これは正しくない。なぜなら、n が負の奇数の場合、n % 2 は −1 となるので、この関数は false を返すからである。正しい実装のひとつは、0 でないかどうかをチェックすることである。剰余が 0 であれば符号を気にする必要はない。もちろん、どのような奇数も、剰余は 1 または −1 となるので、下記のような実装も可能である。

タイトル: 証明論
不完全性定理は、何らかの数学的真理を表現できる程度に強力な任意のω無矛盾な理論は、ゲーデルの定式化では Π 1 0 {\displaystyle \Pi _{1}^{0}} となるそれ自体の一貫性(無矛盾性)を証明できないことを示した。その後、さらに研究は進み、以下のような成果が得られている。

タイトル: 不動点
数学の異なる分野で、特定の条件を満たす写像が少なくとも一つの不動点を持つというような、不動点の存在を保証する定理がいくつか存在する。そのような不動点定理は、一般論において有益な視座を与えてくれる最も基本的な定性的な結果のひとつとして利用される。

タイトル: 確率の公理
事象が非可算の場合において、逆に確率が0でも事象が ∅ {\displaystyle \varnothing } とは限らない。1つ前の証明で、 P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle P(\varnothing )=0} は示されている。ただし、この結論は背理法で示される。は収束するから、 P ( ∅ ) =: a {\displaystyle P(\varnothing )=:a} とおくと、も収束する。 a > 0 {\displaystyle a>0} と仮定すると、右辺は発散し、矛盾するから、 a = P ( ∅ ) = 0 {\displaystyle a=P(\varnothing )=0} となる。

タイトル: 自明性 (数学)
n が 2 よりも大きいとき、方程式 a n + b n = c n {\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}} には非自明な整数解が存在しない。明らかに、方程式の解は存在する。例えば、 a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} は任意の n に対して解であるが、そのような解はすべて明らかであり興味がなく、したがって「自明」である。

タイトル: 公式
そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。数学の公式は、その物事を理解していなくても、変数に数値を入れて計算すれば必要な数値が得られる解決策であるため、比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「方程式」という言葉が用いられることも多い(ただし、方程式は単に未知数を含む等式という意味であり、すべてが解決しているわけではない。)。