Nhóm con

Trong lý thuyết nhóm, một tập con của một nhóm có thể là một nhóm hoặc không.
Trong trường hợp nó là một nhóm, nó được gọi là nhóm con của G.

== Định nghĩa ==
Cho một nhóm "G" với phép toán hai ngôi *, và tập con "H" của "G". "H" được gọi là nhóm con của "G" nếu chính "H" là một nhóm với phép toán * của "G".

== Các điều kiện tương đương ==
Cho tập con "H" của nhóm "G". Các mệnh đề sau là tương đương:
1. "H" là nhóm con của "G";
2. Với mọi "a", "b" formula_1 "H" ta có formula_2 và formula_3;
3. Với mọi "a", "b" formula_1 "H" ta có formula_5;

== Các nhóm con đặc biệt ==
- Cho "G" là một nhóm với phép toán * và phần tử đơn vị 1.
1. Chính "G" là một nhóm con của "G"
2. Tập con gồm một phần tử đơn vị {"1"} của "G" là một nhóm con của "G" (gọi là nhóm con tầm thường).
3. Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của "G" là một nhóm con của "G".
4. Nếu a formula_1 "G" thì tập H các phần tử là luỹ thừa của phần tử a

=== Nhóm con sinh bởi một tập con ===
- Cho A là tập con của "G". Nhóm con nhỏ nhất "H" của "G" chứa "A" được gọi là nhóm con sinh bởi "A". Nếu "H"="G" ta nói "A" là tập sinh của "G".
- Nếu nhóm "G" sinh bởi một tập con có một phần tử {"a"} thì "G" được gọi là nhóm "cyclic", phần tử "a" được gọi là phần tử sinh của "G"
Các nhóm cyclic hữu hạn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết mật mã.

==== Các ví dụ ====
- Xét tập các số nguyên formula_8 như một nhóm với phép cộng.
1. Nhóm con sinh bởi tập hợp gồm một số nguyên "k" là {x.k | x formula_9 }
2. Nhóm con sinh bởi tập m số nguyên formula_10
là tập formula_11
- Xét nhóm cộng theo modulo 6 các số tự nhiên nhỏ hơn 6.
Ta có các nhóm con sinh bởi các phần tử 2,3 là:
- Xét tập các số tự nhiên nhỏ hơn 12 và nguyên tố với 12:

1. Nhóm con { 1} sinh bởi phần tử 1
2. Nhóm con { 1, 5} sinh bởi phần tử 5
3. Nhóm con { 1, 7} sinh bởi phần tử 7
4. Nhóm con { 1, 11} sinh bởi phần tử 11
5. Các nhóm con chứa nhiều hơn một phần tử khác 1 đều trùng với chính formula_17

=== Nhóm con chuẩn tắc ===
Cho "H" là một nhóm con của "G".

Ký hiệu "xH" là tập con của "G" gồm các phần tử dạng "x.h" trong đó "x" formula_1 "G" và "h" formula_1 "H". "xH" được gọi là lớp trái của "H".

Tương tự Ký hiệu "Hx" là tập con của "G" gồm các phần tử dạng "h.x" trong đó "x" formula_1 "G" và "h" formula_1 "H". "Hx" được gọi là lớp phải của "H".

Định lý
1. Các lớp "xH", "x" formula_1 "G" tạo thành một phân hoạch của tập "G";
2. Các lớp "Hx", "x" formula_1 "G" tạo thành một phân hoạch của tập "G";
3. "Hx"="xH" với mọi "x"formula_1"G" khi và chỉ khi formula_27 với mọi "x"formula_1"G" và mọi "h" formula_1 "H".
Định nghĩa

Nhóm con "H" của "G" được gọi là nhóm con chuẩn tắc của "G" nếu "Hx"="xH" với mọi "x"formula_1"G", hay tương đương formula_27 với mọi "x"formula_1"G" và mọi "h" formula_1 "H".

==== Ví dụ ====
1. Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc.
2. Xét nhóm các phép thế S của ba số tự nhiên dương đầu tiên 1, 2, 3. S gồm 6 phép thế sau:

Ta có bảng nhân của formula_34 

Có thể kiểm tra 
1. Nhóm con của formula_34 sinh bởi formula_36 gồm e, formula_37;
2. Nhóm con của formula_34 sinh bởi formula_39 gồm e, formula_40;
3. Nhóm con của formula_34 sinh bởi formula_42 gồm e, formula_42;
4. Nhóm con của formula_34 sinh bởi formula_45 gồm e, formula_45;
5. Nhóm con của formula_34 sinh bởi formula_48 gồm e, formula_48

== Xem thêm ==
- Nhóm
- Lý thuyết nhóm