Hệ tọa độ Descartes

Một Hệ tọa độ Descartes (tiếng Anh: Cartesian coordinate system) xác định vị trí của một điểm ("point") trên một mặt phẳng ("plane") cho trước bằng một cặp số tọa độ ("x", "y"). Trong đó, "x" và "y" là 2 giá trị được xác định bởi 2 đường thẳng có hướng vuông góc với nhau (cùng đơn vị đo). 2 đường thẳng đó gọi là trục tọa độ ("coordinate axis") (hoặc đơn giản là "trục"); trục nằm ngang gọi là trục hoành, trục đứng gọi là trục tung; điểm giao nhau của 2 đường gọi là gốc tọa độ (origin) và nó có giá trị là (0, 0).

Hệ tọa độ này là ý tưởng của nhà toán học và triết học người Pháp René Descartes thể hiện vào năm 1637 trong hai bài viết của ông. Trong phần hai của bài Phương pháp luận (Descartes) (tiếng Pháp: "Discours de la méthode", tựa "Pour bien conduire sa raison, et chercher la vérité dans les sciences"), ông đã giới thiệu ý tưởng mới về việc xác định vị trí của một điểm hay vật thể trên một bề mặt bằng cách dùng hai trục giao nhau để đo. Còn trong bài La Géométrie, ông phát triển sâu hơn khái niệm trên.

Descartes là người đã có công hợp nhất đại số và hình học Euclide. Công trình này của ông có ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành hình học giải tích, tích phân, và khoa học bản đồ.

Ngoài ra, ý tưởng về hệ tọa độ có thể được mở rộng ra không gian ba chiều ("three-dimensional space") bằng cách sử dụng 3 tọa độ Descartes (nói cách khác là thêm một trục tọa độ vào một hệ tọa độ Descartes). Một cách tổng quát, một hệ tọa độ n-chiều có thể được xây dựng bằng cách sử dụng n tọa độ Descartes (tương đương với n-trục).

==Hệ tọa độ trên mặt phẳng (2 chiều)==
Là 2 trục vuông góc x'Ox và y'Oy mà trên đó đã chọn 2 vectơ đơn vị formula_1, formula_2 sao cho độ dài của 2 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ 
=== Tọa độ vectơ ===
Nếu formula_3 thì cặp số (x;y) được gọi là tọa độ của vectơ formula_4. x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của formula_4.

Ký hiệu formula_6

=== Tọa độ điểm ===
Mỗi điểm M được xác định bởi một cặp số M(x,y), được gọi là tọa độ điểm M, x được gọi là hoành độ và y được gọi là tung độ của điểm M

Tính chất:

- formula_7
- formula_8
- Tọa độ của một điểm chính là tọa độ của vectơ có điểm cuối là điểm đó và điểm đầu là O. Ta có formula_9

=== Tìm tọa độ của vectơ biết tọa độ điểm đầu và cuối ===
Cho 2 điểm formula_10 và formula_11, khi đó ta có formula_12

=== Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm ===
Cho formula_13, khi đó formula_14 là độ dài của vectơ formula_4

Cho 2 điểm formula_10 và formula_11, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là formula_18

=== Góc giữa 2 vectơ ===
Cho formula_13 và formula_20. Gọi formula_21 là góc giữa 2 vectơ formula_4 và formula_23. Khi đó formula_24

=== Một số biểu thức tọa độ ===
Cho formula_13 ta có formula_26

Cho formula_13 và formula_20 ta có

- formula_29
- formula_30
- formula_31
- formula_4 và formula_23 cùng phương formula_34 formula_35

Cho đoạn thẳng AB có formula_10 và formula_11, Khi đó formula_38 là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho formula_39 có formula_10, formula_11 và formula_42, khi đó formula_43 là tọa độ trọng tâm của formula_39

== Hệ tọa độ trong không gian (3 chiều) ==
Là 3 trục vuông góc nhau từng đôi một x'Ox, y'Oy, z'Oz mà trên đó đã chọn 3 vectơ đơn vị formula_45, formula_46, formula_47 sao cho độ dài của 3 vectơ này bằng nhau

Trục x'Ox (hay trục Ox) gọi là trục hoành.

Trục y'Oy (hay trục Oy) gọi là trục tung.

Trục z'Oz (hay trục Oz) gọi là trục cao.

Điểm O được gọi là gốc tọa độ

3 trục tọa độ nói trên vuông góc với nhau tạo thành 3 mặt phẳng tọa độ là Oxy, Oyz và Ozx vuộng góc với nhau từng đôi một 
=== Tọa độ của điểm ===
Trong không gian, mỗi điểm M được xác định bởi bộ số M(x,y,z). và ngược lại, bộ số đó được gọi là tọa độ của điểm M, x được gọi là hoành độ, y được gọi là tung độ và z được gọi là cao độ của điểm M.

Tính chất

- formula_48
- formula_49
- formula_50
- formula_51
- formula_52
- formula_53

=== Tọa độ của vectơ ===
Trong không gian, cho vectơ formula_54, khi đó bộ số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ formula_4.

Ký hiệu: formula_56

=== Liên hệ giữa tọa độ vectơ và tọa độ điểm ===
Cho 2 điểm formula_57 và formula_58, khi đó ta có formula_59

Cho điểm formula_60, khi đó ta có formula_61 và ngược lại

=== Độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm ===
Cho formula_62, khi đó formula_63 là độ dài của vectơ formula_4

Cho 2 điểm formula_57 và formula_58, khi đó độ dài đoạn thẳng AB hay khoảng cách giữa A và B là formula_67

=== Góc giữa 2 vectơ ===
Cho formula_62 và formula_69. Gọi formula_21 là góc giữa 2 vectơ formula_4 và formula_23. Khi đó

formula_73

formula_74

=== Một số biểu thức tọa độ ===
Cho formula_62 ta có formula_76

Cho formula_62 và formula_69 ta có

- formula_79
- formula_80
- formula_81
- formula_82

Cho đoạn thẳng AB có formula_57 và formula_58, Khi đó formula_85 là tọa độ trung điểm đoạn thẳng AB

Cho formula_39 có formula_57, formula_58 và formula_89, khi đó formula_90 là tọa độ trọng tâm của formula_39

==Tham khảo==
1. Sách giáo khoa Toán 7 tập 1
2. Sách giáo khoa Hình học lớp 10
3. Sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao
4. Sách giáo khoa Hình học lớp 12
5. Sách giáo khoa Hình học lớp 12 nâng cao
==Đọc thêm==
- Không gian nhiều chiều
- Hình học phi Euclide
- Không-thời gian
- Hệ tọa độ cực
- Hình học Euclid

==Liên kết ngoài==
- Đại số vectơ và phương pháp tọa độ