Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa ("ε", "δ") của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như formula_1, formula_2, các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:

1. Một ánh xạ "f" là liên tục theo nghĩa tô pô"."
2. Với mọi điểm "x" trong "X", và với mọi dãy trong "X" hội tụ tới "x", tạo ảnh của dãy này bởi "f" hội tụ tới "f"("x"). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).

Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

==Sự hội tụ của một hàm số==
Giả sử formula_3 là hàm số thực, formula_4 là hằng số. Ký hiệu formula_5 có nghĩa là formula_6 tiến gần đến formula_7 khi formula_8 tiến gần về formula_4. Có thể đọc là "Giới hạn của hàm formula_3 khi formula_8 tiến gần đến formula_4 là formula_7 ".

Lưu ý: Hàm formula_6 có thể không cần xác định tại formula_4

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo formula_16 như sau:

Hàm số formula_3 hội tụ về formula_7 nếu formula_19, formula_20 sao cho formula_21
===Ví dụ===
Cho formula_22

Thì formula_23 không xác định, khi cho formula_8 tiến gần về 1 thì formula_6 tiến gần về 2:

Do đó, formula_6 có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi formula_8 gần đến 1.

Mặt khác, formula_28

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi formula_29 với mọi số thực formula_30.

Vì formula_31 liên tục theo formula_8 tại 1 nên có thể thay formula_33 để được formula_34.

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét 

- formula_36 = 1.9900
- formula_37 = 1.9990
- formula_38= 1.99990

Khi formula_8 thật sự lớn, giá trị của formula_6 tiến về 2. Trong trường hợp này, giới hạn của formula_6 khi formula_8 tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

==Sự hội tụ của một dãy==
Trong không gian tôpô formula_44, dãy formula_45 hội tụ về formula_8 nếu với mỗi lân cận mở formula_47 của formula_8 thì có một số nguyên dương formula_49 sao cho formula_50. Khi đó formula_8 là điểm giới hạn của dãy formula_45 và viết 
formula_53 
===Ví dụ===
- Nếu formula_54 với formula_4 là hằng số thì formula_56.
- Nếu formula_57 thì formula_58.
- Nếu formula_57 khi formula_60 chẵn và formula_61 khi formula_60 lẻ thì formula_58.
===Tính chất===
- Nếu formula_64 và formula_65 thì formula_66, formula_67.
- Giới hạn của một dãy là duy nhất
- formula_68
- formula_69
- formula_70
- formula_71 với formula_72
- formula_73
- Nếu formula_74 với mọi formula_60 lớn hơn formula_49 thì formula_77

==Sự hội tụ của một lưới==
Lưới formula_78 được gọi là hội tụ về formula_79 (formula_80 là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận formula_81 của formula_8 tồn tại một chỉ số formula_83 (formula_84 là tập có hướng) sao cho formula_85 thì formula_86. Điểm formula_8 được gọi là điểm giới hạn của lưới formula_88 và thường viết formula_89.
=== Tập có hướng ===
Tập có hướng là một tập có thứ tự formula_90 sao cho: Với 2 phần tử formula_91, luôn có phần tử formula_92 lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử formula_93. Ký hiệu: formula_94, formula_95 và formula_96

===Lưới ===
Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian formula_44 (với tập chỉ số là tập có hướng formula_90) là một ánh xạ formula_99. Ta viết formula_100 và ký hiệu lưới formula_101. Ký hiệu formula_88 cũng thường được sử dụng.
===Ví dụ===
- Tập số tự nhiên formula_103 với quan hệ thứ tự formula_104 là một tập có hướng.
- Cho formula_44 là một không gian tôpô và formula_79. Lấy formula_90 là họ các lân cận mở của formula_8. Định nghĩa trên tập formula_90: formula_110. Lúc đó formula_90 trở thành tập có có hướng.
- Những lưới có tập chỉ số formula_112 với thứ tự thông thường là một dãy.
- Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số formula_113 với thứ tự thông thường là sự hội tụ của dãy.
- Lấy formula_114 với tôpô formula_115. Lưới formula_116 hội tụ về formula_117 và formula_118. Lưới formula_119 hội tụ về formula_120.
==Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpô==
- Điểm formula_79 được gọi là điểm giới hạn của tập con formula_122 formula_123 có một lưới trong formula_124 hội tụ về formula_8.
- Cho formula_126 là hai không gian tôpô. Ánh xạformula_127 liên tục tại formula_8 formula_123 Nếu một lưới formula_60 hội tụ về formula_8 thì lưới formula_132 hội tụ về formula_6.
- Nếu formula_44 là không gian Hausdorff thì mọi lưới trong formula_44 có nhiều nhất một điểm giới hạn.
- Không gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.
==Đọc thêm==
- Dãy Cauchy
- Không gian Banach
- Không gian compact
- Không gian mêtric
- Lưới (toán học)