Nhóm nhân các số nguyên modulo n

Trong toán học, nhóm nhân các số nguyên modulo "n" là một nhóm với phép nhân là phép toán nhóm và các phần tử là các đơn vị đơn vị trong một vành

với số nguyên formula_2. Các đơn vị là các số nguyên khả nghịch theo modulo "n". Trong trường hợp này, nó thường được biểu diễn bởi các lớp đồng dư của các số nguyên nguyên tố cùng nhau với "n". Nó thường được ký hiệu

hoặc

Cấp của nhóm này cho bởi phi hàm Euler. Nếu "n" là số nguyên tố, cấp của nhóm là "n" − 1. CHẳng hạn, khi "n" bằng 5 nhóm nhân formula_5 gồm 4 phần tử {1, 2, 3, 4}, và là nhóm với phép nhân modulo 5.

Nhóm này có nhiều ứng dụng trong lý thuyết số và mật mã học. Đặc biệt là việc tìm kích thước của nhóm có thể giúp kiểm tra tính nguyên tố của số "n": formula_6 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu kích thước của nhóm là formula_7.

== Các nhóm nhân cyclic ==
Một nhóm nhân là nhóm cyclic nếu và chỉ nếu formula_8, formula_9, formula_10, hoặc formula_11 với số nguyên tố lẻ formula_12 và formula_13 nào đó. Một nhóm cyclic luôn có một tập hợp sinh gồm một phần tử; mộ phần tử sinh của nhóm nhân modulo "n" được gọi là một căn nguyên thủy của "n".

Chẳng hạn, formula_14 chứa 6 phần tư {1, 2, 4, 5, 7, 8} và là một đẳng cấu của nhóm cyclic formula_15. Nó được sinh bởi một trong hai phân tử 2 hoặc 5, do đó 2 và 5 là căn nguyên thủy của 9. formula_16 gồm 4 phần tử {1, 3, 7, 9} và đẳng cấu với nhóm formula_17. Nó được sinh bởi một trong các phần tử 3 hoặc 7, do đó 3 và 7 là các căn nguyên thủy của 10.

== Cấu trúc của các nhóm nhân lũy thừa 2 ==
Các nhóm nhân modulo 2 và 4 có bậc 2 và đẳng cấu với formula_18.

Với tất cả các lũy thừa khác của 2, bốn phần tử {1, formula_19, formula_20, "n"-1} là phân biệt và tạo thành một nhóm con của nhóm nhân các phần tử thỏa mãn "x"=1 mod "n". Đó là nhóm xoắn (torsion), là đẳng cấu với nhóm Klein bốn formula_21, không là cyclic. Điều này chứng tỏ nhóm nhân với "n" = 2, "k">2 không là formula_22.

Mặt khác, nó chứng tỏ rằng phần tử 3 trong nhóm nhân với "n" = 2, "k">2 có bậc 2, và do đó sinh ra một nhóm con cyclicđẳng cấu với formula_23. Cấu trúc của nhóm nhân với "n" = 2, "k">2 phải là formula_24.

Giá trị nhỏ nhất của những "n" như vậy là 8, khi đó formula_25 chứa 4 phần tử {1, 3, 5, 7} và đẳng cấu với formula_21 - chúng ta có thể thấy điều này vì 1, 3, 5, và 7 đều đồng dư với 1 modulo 8. Cúng như vậy formula_27 là đẳng cấu với formula_28; các phần tử {1, 7, 9, 15} tạo thành một nhõm con đẳng cấu với formula_21; và các lũy thừa của 3 tạo thành nhóm conform {1, 3, 9, 11} đẳng cấu với formula_17.

== Cấu trúc của nhóm nhân với "n" tổng quát ==
Khi đã biết cấu trúc của các nhóm nhân với các lũy thừa của số nghuyên tố, ta có thể tìm được cấu trúc của nhóm nhân với "n" tổng quát khi dùng Định lý [[số dư]] Trung Quốc - nhóm nhân modulo "n" là tích trực tiếp của các nhóm nhân theo mỗi lũy thừa cực đại của các ước nguyên tố của "n".

Chẳng hạn, formula_31 là đẳng cấu với formula_32, tích này lại đẳng cấu với formula_33 - mà ta có thể xác minh rằng các bình phương của 8 phần tử {1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} là đồng dư với 1 mod 24.

Bảng sau cho cấu trúc của các nhóm nhân modulo "n" đầu tiên.

== Tham khảo ==
- Eric W. Weisstein, "Modulo Multiplication Group" tại MathWorld.