Chuỗi điều hòa

Trong toán học, chuỗi điều hòa là chuỗi vô hạn nghịch đảo của các số nguyên dương:

formula_1

Chuỗi này được biết là phân kỳ, với formula_2 là tổng formula_3 số hạng đầu hay tổng riêng thứ formula_3:

formula_5

Khi càng thêm nhiều số hạng thì tổng riêng của chuỗi sẽ tăng tiến không giới hạn, đây là đặc điểm thú vị bởi nếu nhìn vào các số hạng thì chúng ngày càng nhỏ dần đến 0, gợi suy nghĩ rằng chuỗi hội tụ. Tuy nhiên đó chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ, bởi nếu chuỗi không tiến đến một giá trị hữu hạn khi không ngừng tiếp nhận thêm số hạng, nó sẽ phân kỳ. Tính phân kỳ của chuỗi điều hòa được Nicole Oresme chứng minh vào thế kỷ 14 bằng một kiểu phép thử rút gọn Cauchy cho trường hợp đặc biệt. Cách chứng minh phổ biến khác là so sánh tổng với một tích phân suy rộng.

Chuỗi điều hòa có dạng tổng quát là hàm zeta Riemann, đạt được khi formula_6:

formula_7

== Chứng minh sự phân kỳ ==
Có nhiều cách để chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ, dưới đây là hai phương pháp phổ biến nhất.

=== Thử so sánh ===
Chứng minh sau là của Nicole Oresme có từ khoảng năm 1350. Gọi formula_2 là tổng formula_3 số hạng đầu, để ý thấy:

formula_10

Cứ tiếp tục như vậy ta thấy rằng formula_11. Vì vế phải của bất đẳng thức này tiến đến vô cùng, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Cách trình bày khác dễ hiểu hơn:

formula_12

Chuỗi được đem so sánh phân kỳ, và vì mỗi số hạng của chuỗi điều hòa đều lớn hơn hoặc bằng số hạng tương ứng của chuỗi này, do đó chuỗi điều hòa cũng phân kỳ.

=== Thử tích phân ===
Có thể chứng minh chuỗi điều hòa phân kỳ bằng cách so sánh tổng của nó với một tích phân suy rộng. Cụ thể, xét dãy hình chữ nhật ở hình bên, mỗi hình có chiều rộng 1 đơn vị và chiều cao 1/"n" đơn vị. Nếu chuỗi điều hòa hội tụ thì tổng của nó sẽ là tổng diện tích các hình chữ nhật. Đường cong y = 1/"x" hoàn toàn nằm dưới biên trên của các hình chữ nhật nên diện tích dưới đường cong (phạm vi x từ một đến vô cùng) sẽ nhỏ hơn diện tích dãy hình chữ nhật. Ta có diện tích dưới đường cong được tính bằng:

formula_13

Vì tích phân này không hội tụ, do đó chuỗi điều hòa phân kỳ. Đây là phép thử hội tụ bằng tích phân; hàm lấy tích phân thỏa mãn điều kiện dương, liên tục, đơn điệu giảm dần.

== Tổng riêng và số điều hòa ==
Cộng formula_3 số hạng đầu của chuỗi điều hòa cho ra tổng riêng, được gọi số điều hòa và ký hiệu là formula_15:

formula_16

Các số điều hòa đầu tiên là 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, ... Số điều hòa có tử số lẻ, mẫu số chẵn và không bao giờ là số nguyên ngoại trừ formula_17. Giá trị của formula_15 xấp xỉ formula_19, hay formula_20 hội tụ về hằng số Euler–Mascheroni formula_21. Giới hạn cho formula_15:

formula_23

Ví dụ với formula_24, hai biên (được làm tròn) là 5,18238 và 5,19239. Vận dụng tính lồi của formula_25, khoảng biên có thể được thắt chặt hơn:

formula_26

Chênh lệch giữa cận trên và dưới giờ là formula_27, cặp biên cho formula_24 là 5,187361 và 5,187386. Phép xấp xỉ sau cho kết quả chính xác hơn nhiều:

formula_29 với formula_30

nó cho formula_24 đến 8 chữ số thập phân = 5,18737752.

Chuỗi điều hòa phân kỳ rất chậm với tốc độ có thể so sánh với . Sau 2,5×10 số hạng, tổng riêng vẫn nhỏ hơn 20. Để tổng lớn hơn 100 cần khoảng 1,5×10 số hạng.

Ví dụ một số đồng nhất thức chứa formula_15:

<math>\sum_{n=1}^\infty\frac