Định lý Sylow

Trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết nhóm hữu hạn, định lý Sylow là một nhóm các định lý được đặt tên theo nhà toán học Na Uy Ludwig Sylow vào năm 1872. Các định lý này đưa ra thông tin chi tiết về số nhóm con có cấp cố định được chứa trong một nhóm hữu hạn cho trước. Các định lý Sylow hình thành một phần cơ bản của lý thuyết nhóm hữu hạn và có ứng dụng rất quan trọng trong việc phân loại nhóm đơn hữu hạn.

Với một số nguyên tố "p", một "p"-nhóm con Sylow của một nhóm "G" là một "p"-nhóm con cực đại của "G", nói cách khác, một nhóm con của "G" là một "p"-nhóm (tức là cấp của mọi phần tử trong nhóm con này đều là một lũy thừa của "p"), và nó không phải là nhóm con thực sự của bất kì "p"-nhóm con nào khác của "G". Tập hợp tất cả các "p"-nhóm con Sylow với một số nguyên tố "p" cho trước đôi khi được ký hiệu là formula_1.

Các định lý Sylow khẳng định một phần ngược lại với định lý Lagrange. Định lý Lagrange phát biểu rằng nếu "H" là một nhóm con của nhóm hữu hạn "G" thì cấp của "|H|" là một ước của cấp của "|G|". Với một ước nguyên tố bất kì "p" của cấp của nhóm hữu hạn "G", tồn tại một "p"-nhóm con Sylow của "G". Cấp của "p"-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn "G" bằng formula_2, với "n" là cấp của "p" trong cấp của "G", và mỗi nhóm con bới cấp formula_2 đều là một "p"-nhóm con Sylow của "G".

== Các định lý Sylow ==
Các định lý sau đây được đưa ra và chứng minh đầu tiên bới Ludwig Sylow vào năm 1872, và được công bố trên tạp chí Mathematische Annalen.

Định lý 1: Với mọi ước nguyên tố "p" với cấp "n" của cấp của một nhóm hữu hạn "G", tồn tại một "p"-nhóm con Sylow của "G" với cấp formula_2.

Hệ quả sau của định lý 1 được chứng minh đầu tiên bởi Cauchy, còn được biết dưới tên định lý Cauchy.

Hệ quả: Cho một nhóm hữu hạn "G" và một số nguyên tố "p" chia hết cấp của "G", khi đó tồn tại một phần tử (và một nhóm con cyclic) có cấp "p" trong "G".

Định lý 2: Cho một nhóm hữu hạn "G" và một số nguyên tố "p", mọi "p"-nhóm con Sylow của "G" đều liên hợp với nhau, nói cách khác, nếu "H" và "K" là các "p"-nhóm con Sylow của "G" thì tồn tại một phần tử "g" của "G" sao cho formula_5.

Định lý 3: Cho "p" là một ước nguyên tố với cấp "n" của cấp của nhóm hữu hạn "G", khi đó cấp của "G" có thể được viết dưới dạng formula_6, với formula_7 và "p nguyên tố cùng nhau với m". Đặt formula_8 là số các "p"-nhóm con Sylow của "G". Khi đó ta có
- formula_8 chia hết "m" là chỉ số của "p"-nhóm con Sylow của "G".
- formula_10.
- formula_11, với "P" là một "p"-nhóm con Sylow bất kì của "G" và formula_12 là nhóm con chuẩn hóa của "P" trong "G".
=== Các hệ quả ===
Các định lý Sylow chỉ ra rằng với mỗi số nguyên tố "p", mọi "p"-nhóm con Sylow có cùng cấp là formula_2. Ngược lại, nếu một nhóm con có cấp formula_2 thì nó là "p"-nhóm con Sylow, và do đó đẳng cấu với mọi "p"-nhóm con Sylow khác. Theo điều kiện cực đại, nếu "H" là một "p"-nhóm con bất kì của "G" thì "H" là một nhóm con của một "p"-nhóm con Sylow nào đó.

Một hệ quả rất quan trọng của định lý 3 là điều kiện formula_10 tương đương với việc các "p"-nhóm con Sylow đều là nhóm con chuẩn tắc (tồn tại nhóm có nhóm con chuẩn tắc nhưng không có nhóm con Sylow, ví dụ như nhóm đối xứng formula_16).
=== Các định lý Sylow cho nhóm vô hạn ===
Có một sự tương tự của các định lý Sylow cho các nhóm vô hạn. Ta xác định một "p"-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn là một "p"-nhóm con cực đại và chứa mọi "p"-nhóm con khác của nhóm ban đầu trong nó. Nhóm con này tồn tại theo bổ đề Zorn.

Định lý: Nếu "K" là một "p"-nhóm con Sylow của nhóm vô hạn "G", và formula_17 hữu hạn, khi đó mọi "p"-nhóm con Sylow đều liên hợp với "K" và formula_10, trong đó formula_19 ký hiệu lớp liên hợp của "K".
== Các ví dụ ==
Một minh họa đơn giản cho các nhóm con Sylow và các định lý Sylow là nhóm dihedral formula_20 của đa giác đều formula_21 cạnh. Với formula_21 lẻ, 2 là lũy thừa cao nhất của 2 chia hết cấp của nhóm, và vì vậy, các nhóm con cấp 2 là nhóm con Sylow. Chúng là các nhóm con sinh bởi một phép đối xứng trục, có tất cả formula_21 nhóm như thế và chúng liên hợp với nhau bởi các phép quay.

Ngược lại, nếu formula_21 chẵn thì 4 chia hết cấp của nhóm, và các nhóm con trên không còn là nhóm con Sylow. Trên thực tế, chúng chia thành hai lớp liên hợp, tùy theo trục đối xứng đi qua hai đỉnh hoặc hai cạnh. Chúng được liên hệ với nhau bởi một phép tự đẳng cấu ngoài, có thể được biểu diễn bởi một phép quay góc formula_25.

== Ứng dụng ==
=== Nhóm cyclic ===
Tồn tại những số tự nhiên "n" sao cho mọi nhóm con với cấp "n" đều cyclic. Ta có thể chứng minh được rằng formula_26 là một số như thế bằng cách sử dụng các định lý Sylow: Giả sử "G" là một nhóm cấp formula_27 và formula_28 lần lượt là số các 3-nhóm con Sylow và 5-nhóm con Sylow. Ta có formula_29 và formula_30, suy ra formula_31 phải bằng 1, và do đó 3-nhóm con Sylow duy nhất này là nhóm con chuẩn tắc. Tương tự, ta cũng có duy nhất một 5-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Vì 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, giao của hai nhóm con Sylow này là tầm thường. Vì vậy, "G" phải là tích trực tiếp của hai nhóm con Sylow, cũng là hai nhóm con cyclic. Từ đó suy ra "G" phải là nhóm cyclic. Do đó, tồn tại duy nhất một nhóm cấp 15, là nhóm cyclic formula_32 (chính xác tới đẳng cấu).
=== Các nhóm với cấp nhỏ không phải là nhóm đơn ===
Trong mục này, ta sẽ khảo sát tính tồn tại của các nhóm đơn với cấp "nhỏ".

Nếu formula_33 là nhóm đơn và formula_34 thì formula_31 phải là ước của 10, và formula_36. Từ đó suy ra formula_37, vì formula_38 và nếu formula_39 thì formula_33 có nhóm con chuẩn tắc cấp 3 (là 3-nhóm con Sylow duy nhất của nó), vì vậy formula_33 không thể là nhóm đơn. Do đó, formula_33 có 10 nhóm con cấp 3 phân biệt, các nhóm con này đôi một có chung một phần tử duy nhất là formula_43 (phần tử đơn vị) và mỗi nhóm con chứa hai phần tử cấp 3. Suy ra formula_33 có ít nhất 20 phần tử cấp 3. Tương tự, ta có formula_45 và formula_33 chứa ít nhất formula_47 phần tử cấp 5. Như vậy thì tổng số phần tử cấp 3 và cấp 5 ít nhất là formula_48, điều này không thể xảy ra. Vì vậy không tồn tại nhóm đơn cấp 30.

Tiếp theo, ta xét nhóm formula_33 với cấp formula_50. Ta có formula_51 và formula_52. Do đó formula_53 và vì vậy, formula_33 không thể là nhóm đơn.

Mặt khác, xét nhóm formula_33 với formula_56, khi đó ta tìm được formula_37 và formula_45. Trên thực tế, nhóm đơn nhỏ nhất mà không phải là nhóm cyclic là formula_59, nhóm thay phiên trên 5 phần tử. Cấp của formula_59 bằng formula_61 và nó chứa 24 phép thế cấp 5 và 20 phép thế cấp 3.