Đường thẳng Euler

Trong hình học, đường thẳng Euler (tiếng Anh: "Euler line)", được đặt tên theo nhà toán học Leonhard Euler là một đường thẳng được xác định từ bất kỳ tam giác nào không đều. Đường thẳng này đi qua các điểm quan trọng trong tam giác như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm của đường tròn chín điểm.

Đường thẳng Euler trong tam giác cũng giúp người ta định nghĩa đường thẳng Euler cho các hình khác, ví dụ như tứ giác hay tứ diện.

== Đường thẳng Euler trong tam giác ==
=== Tính thẳng hàng ===
Năm 1765, Euler đã chứng mình rằng trong tam giác, các điểm như trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, và tâm đường tròn chín điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Trong tam giác đều, bốn điểm này trùng nhau, nhưng trong các trường hợp còn lại thì không, và chỉ cần hai điểm trong số bốn điểm có thể xác định được đường thẳng Euler.

Các điểm đặc biệt đáng chú ý khác nằm trên đường thẳng Euler bao gồm điểm de Longchamps, điểm Schiffler, và điểm Exeter. Tuy nhiên tâm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp chỉ thuộc đường thẳng Euler trong trường hợp tam giác cân.

=== Chứng minh ===
==== Chứng minh sử dụng vecto ====
Trong chứng minh này, tam giác ABC được xét tới có tâm đường tròn ngoại tiếp formula_1, trọng tâm formula_2 và trực tâm formula_3. Chứng minh này dựa trên tính chất của vecto, khi trước hết điểm formula_2 thỏa mãn đẳng thức

Tiếp đó, dựa theo bài toán tam giác của Sylvester, hai điểm formula_1 và formula_3 cùng nhau thỏa mãn đẳng thức

Sử dụng tính chất phép cộng các vecto, ta có

Kết hợp các đẳng thức trên vế theo vế, ta thu được

Từ đó, ta suy ra formula_11, dẫn tới việc ba điểm formula_1, formula_2 và formula_3 (theo thứ tự trên) thẳng hàng.

==== Chứng minh sử dụng hình học thuần túy ====
"Tóm tắt đề bài: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn" formula_15 "có trực tâm" formula_3 "và trọng tâm" formula_2". Chứng minh formula_3", formula_2, formula_1 thẳng hàng và formula_21Chứng minh:

- Lấy formula_22 làm trung điểm formula_23, kẻ đường kính formula_24 của đường tròn formula_15.
- Do formula_3 là trực tâm tam giác ABC, ta có formula_27 vuông góc với formula_28. Do formula_24 là đường kính của formula_15, suy ra formula_31 vuông góc với formula_28. Hai đường thẳng formula_27 và formula_31 cùng vuông góc với formula_28, từ đó ta thu được formula_36, kéo theo đó tứ giác formula_37 là một hình bình hành.
- Do formula_22 là trung điểm formula_23, nên theo tính chất của hình bình hành, formula_22 đồng thời là trung điểm formula_41. Ta thấy formula_1 là trung điểm formula_24, formula_22 là trung điểm formula_41, từ đó formula_46 là đường trung bình của tam giác formula_47.
- Xét tứ giác formula_48, ta thấy formula_49, formula_50, nên theo định lý Thales, ba điểm formula_1, formula_2, "formula_3" thẳng hàng và formula_21.

== Biểu diễn ==
Cho formula_55 là tên của ba đỉnh tam giác bất kỳ, và cho formula_56 điểm bất kỳ có tọa độ tam tuyến; hệ thức của đường thẳng Euler là:

Một cách hữu hiệu khác để biểu diễn cho đường thẳng Euler là dùng tham số formula_58. Bắt đầu với tâm đường tròn ngoại tiếp (với tọa độ là formula_59) và trực tâm (với tọa độ là formula_60, bất cứ điểm này trên đường thẳng Euler có thể được biểu diễn dưới một hệ thức như sau

úng mới một giá trị "t"' nhất định"."

Ví dụ:

- Trọng tâm = formula_62
- Tâm đường tròn chín điểm = formula_63
- Điểm de Longchamps = formula_64
- Điểm vô cực Euler = formula_65
==Đường thẳng Euler đồng quy==
- Tam giác formula_66 với hai điểm Fermat formula_67 and formula_68. Khi đó đường thẳng Euler tạo bởi 10 tam giác tạo bởi các đỉnh formula_69 sẽ đồng quy tại trọng tâm tam giác formula_66.
- Định lý Thebault IV: Cho tam giác formula_66 với các đường cao formula_72. Các đường thẳng Euler của các tam giác formula_73 sẽ đồng quy trên đường tròn Euler của tam giác formula_66 tại một điểm formula_75 thoả mãn moả một trong các khoảng cách formula_76 bằng tổng 2 khoảng cách còn lại. Điểm đồng quy này được biết đến là Tâm Jerabek, ký hiệu formula_77, là tâm của Hyperbol Jerabek.
- Định lý Schiffler: Cho tam giác formula_66 với formula_79 tâm đường tròn nội tiếp bốn đường thẳng Euler của bốn tam giác formula_80 và formula_66 đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là "điểm Schiffler (ký hiệu" formula_82")" của tam giác formula_66.
- Điểm đánh số formula_84 trong bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác là điểm đồng quy của 12 đường thẳng Euler, điểm này gọi là "điểm Đào 12 đường thẳng Euler đồng quy".
- Cho tam giác formula_66 không đều. Tập hợp các điểm formula_75 thỏa mãn đường thẳng Euler các tam giác formula_87 đồng quy là đường cong bậc ba Neuberg. Đặc biệt khi tam giác đều, tập hợp các điểm thỏa mãn tính chất này là toàn mặt phẳng.
==Đường thẳng Euler trong đa giác==
Trong tứ giác lồi, đường thẳng Euler tồn tại và nối các điểm quasi-trực tâm, trọng tâm, quasi-tâm đường tròn ngoại tiếp và quasi-tâm đường tròn chín điểm.

==Xem thêm==
- Reprinted in "Opera Omnia", ser. I, vol. XXVI, pp. 139–157, Societas Scientiarum Naturalium Helveticae, Lausanne, 1953, .

== Liên kết ngoài ==
- Altitudes and the Euler Line and Euler Line and 9-Point Circle at cut-the-knot
- Triangle centers on the Euler line, by Clark Kimberling.
- An interactive applet showing several triangle centers that lies on the Euler line.
- "Euler Line" by Eric Rowland, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
- Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.