Giả nghịch đảo Moore–Penrose

Trong đại số tuyến tính, ma trận giả nghịch đảo của ma trận là một tổng quát hóa của ma trận nghịch đảo. Loại ma trận giả nghịch đảo phổ biến nhất là giả nghịch đảo Moore–Penrose, tìm ra một cách độc lập bởi E. H. Moore năm 1920, Arne Bjerhammar năm 1951 và Roger Penrose năm 1955. Trước đó, Fredholm đã định nghĩa khái niệm giả nghịch đảo của biến đổi tích phân năm 1903. Khi dùng cho ma trận, khái niệm giả nghịch đảo nếu không có chú thích thêm thường được dùng để chỉ giả nghịch đảo Moore–Penrose. Một tên gọi khác cho khái niệm này là ma trận nghịch đảo tổng quát.

==Ký hiệu==
Phần dưới của trang sử dụng các ký hiệu sau.
- formula_1 ký hiệu một trong các trường số thực hoặc số phức, ký hiệu là formula_2. Không gian vectơ của các ma trận formula_3 trên trường formula_1 được ký hiệu là formula_5.
- Với mọi formula_6, formula_7 và formula_8 ký hiệu ma trận chuyển vị và ma trận liên hợp của formula_9. Nếu formula_10, thì formula_11.
- Với mọi formula_6, formula_13 ký hiệu miền giá trị (không gian ảnh) của formula_9 (không gian sinh bởi các vectơ cột của formula_9) và formula_16 ký hiệu không gian nhân của formula_9.
- Với mọi số dương formula_18, formula_19 ký hiệu ma trận đơn vị formula_20.

==Định nghĩa==
Với formula_21, 
ma trận giả nghịch đảo Moore–Penrose (sau đây viết gọn là giả nghịch đảo) của formula_22 được định nghĩa là ma trận 
formula_23
thỏa mãn cả bốn tính chất sau:
1. formula_24       ( không nhất thiết là ma trận đơn vị nhưng phải ánh xạ mỗi cột của đến chính nó);
2. formula_25       ( là nghịch đảo yếu của nửa nhóm nhân);
3. formula_26       ( là một ma trận Hermite); và
4. formula_27       ( cũng là một ma trận Hermite).

==Tính chất==
===Tồn tại và duy nhất===
- Giả nghịch đảo Moore–Penrose tồn tại và là duy nhất: với mỗi ma trận formula_28, có đúng một ma trận formula_29 thỏa mãn bốn tính chất của định nghĩa.

===Tính chất cơ bản===
- Nếu formula_30 là ma trận thực, thì formula_29 cũng là ma trận thực.
- Nếu formula_30 khả nghịch, thì ma trận nghịch đảo và giả nghịch đảo là một: formula_33.
- Giả nghịch đảo của ma trận không là chuyển vị của nó.
- Giả nghịch đảo của giả nghịch đảo chính là ma trận ban đầu: formula_34.
- Phép lấy giả nghịch đảo giao hoán với phép chuyển vị, và liên hợp:
- Giả nghịch đảo của tích của một đại lượng vô hướng với là tích của nghịch đảo của đại lượng vô hướng đó với :

===Quy về trường hợp ma trận Hermite===
- formula_39.
- formula_40.

===Tích===
Nếu formula_41 và một trong các điều kiện sau được thỏa mãn,
- formula_28 có các cột trực chuẩn (nghĩa là formula_43) hoặc,
- formula_44 có các hàng trực chuẩn (nghĩa là formula_45) hoặc,
- formula_28 có các cột độc lập tuyến tính và formula_44 có các hàng độc lập tuyến tính,
thì formula_48.

===Các phép chiếu===
formula_49 và formula_50 là các phép chiếu vuông góc --- nghĩa là chúng đều là ma trận Hermite (formula_51, formula_52) và thỏa mãn formula_53 và formula_54). Chúng có các tính chất sau:
- formula_55 and formula_56
- formula_57 là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của formula_30
- formula_59 là phép chiếu vuông góc xuống không gian ảnh của formula_60
- formula_61 là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của formula_60.
- formula_63 là phép chiếu vuông góc xuống không gian nhân của formula_30.

===Không gian con===
- formula_65
- formula_66

==Liên kết ngoài==
- Pseudoinverse on PlanetMath
- Interactive program & tutorial of Moore-Penrose Pseudoinverse