Lớp tương đương

Trong toán học, khi các phần tử của một tập hợp formula_1 có quan hệ tương đương với nhau với nhau, ta có thể tách tập formula_1 thành các lớp tương đương. Các lớp này được xây dựng sao cho hai phần tử formula_3 và formula_4 thuộc cùng một lớp tương đương khi và chỉ khi chúng tương đương với nhau.

Cụ thể hơn, cho tập formula_1 và quan hệ tương đương formula_6 trên formula_7 của phần tử formula_3 trong formula_7 ký hiệu bởi formula_10 là tập 
formula_11
các phần tử tương đương với formula_12 Ta có thể chứng minh từ định nghĩa lớp tương đương rằng các lớp tương đương tạo thành phân hoạch tập hợp của formula_13 Tập các lớp tương đương này được gọi là tập hợp thương hay không gian thương của formula_1 bởi formula_15 và ký hiệu bởi formula_16

Khi tập hợp formula_1 có một số cấu trúc đại số (ví dụ như đi kèm phép toán nhóm hay là một nhóm topo và quan hệ tương đương formula_6 tương thích với cấu trúc đó thì tập thương cũng sẽ giữ cấu trúc thêm vào từ tập mẹ. Các ví dụ bao gồm không gian thương trong đại số tuyến tính, nhóm thương, không gian đồng nhất, vành thương, monoid thương, và các phạm trù thương.

==Các ví dụ==
- Nếu formula_19 là tập tất cả các xe ô tô, and formula_6 là quan hệ "có cùng màu với", thì một trong những lớp tương đương sẽ chỉ bao gồm các xe màu hồng, và formula_21 có thể coi là tập của các màu xe.
- Gọi formula_19 là tập các hình chữ nhật trên mặt phẳng, và formula_6 là quan hệ tương đương "có cùng diện tích với", thì với mỗi số thực dương formula_24 sẽ có lớp tương đương bao gồm các hình chữ nhật có cùng diện tích formula_25
- Xét quan hệ đồng dư 2 trên tập các số nguyên, formula_26 sao cho formula_27 khi và chỉ khi hiệu formula_28 là số chẵn. Quan hệ này sinh ra hai lớp tương đương, một lớp chứa tất cả các số chẵn và lớp còn lại thì chứa tất cả các số lẻ.
- Xét formula_19 là tập các cặp số nguyên được sắp formula_30 với formula_4 khác không, và định nghĩa quan hệ tương đương formula_6 trên formula_19 sao cho formula_34 khi và chỉ khi formula_35 thì tập các lớp tương đương của cặp formula_30 có thể coi ngang với tập các số hữu tỷ formula_37 và quan hệ tương đương cùng với lớp tương đương có thể dùng để đưa ra định nghĩa cho tập các số hữu tỉ. Cách xây dựng này có thể tổng quát hóa cho bất cứ trường phân thức của bất kỳ miền nguyên nào.

==Định nghĩa và ký hiệu==
Quan hệ tương đương trên tập formula_19 là quan hệ hai ngôi formula_6 trên formula_19 thỏa mãn ba tính chất sau:
- formula_41 với mọi formula_42 (phản xạ),
- formula_43 thì formula_44 với mọi formula_45 (đối xứng),
- Nếu formula_43 và formula_47 thì formula_48 với mọi formula_49 (bắc cầu).

Lớp tương đương formula_3 thường được ký hiệu formula_51, formula_52, formula_53 hoặc formula_54 và được định nghĩa là tập formula_55 của các phần tử có quan hệ với formula_3 bởi formula_57.

Tập các lớp tương đương của formula_19 với quan hệ tương đương formula_59 được ký hiệu bởi formula_60 và được gọi là của formula_19 bởi formula_59. Phép toàn ánh formula_63 từ formula_19 tới formula_60 ánh xạ từng phần tử sang lớp tương đương của chính nó được gọi là phép chiếu chính tắc.

Mỗi phần tử của mỗi lớp tương đương đều là đặc trưng của lớp đó, và do đó có thể "đại diện" cho lớp đó. Khi một phần tử trong lớp được chọn, nó được gọi là đại diện của lớp đó. Phép chọn đại diện của mỗi lớp là một đơn ánh từ formula_66 sang . 

==Các tính chất==
Mỗi phần tử formula_67 thuộc formula_19 là phần tử của lớp tương đương formula_69 Bất cứ hai lớp tương đương formula_70 và formula_71 hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau. Do đó, tập các lớp tương đương của formula_19 tạo thành phân hoạch tập hợp của formula_19: mỗi phần tử thuộc formula_19 chỉ thuộc duy nhất một lớp tương đương. Ngược lại, mỗi phân hoạch của formula_19 đến từ quan hệ tương đương theo cách đó thì, formula_27 khi và chỉ khi formula_67 và formula_78 thuộc chung một tập phân hoạch.

Từ tính chất của quan hệ tương đương, ta có
formula_27 khi và chỉ khi formula_80

Nói cách khác, nếu formula_6 là quan hệ tương đương trên tập formula_82 formula_67 và formula_78 là hai phần tử thuộc formula_82 thì các phát biểu sau là tương đương:

- formula_27
- formula_87
- formula_88

==Biểu diễn đồ thị==
Đồ thị vô hướng có thể dùng với bất cứ quan hệ đối xứng trên tập formula_82 với các đỉnh là các phần tử thuộc formula_82 và mỗi hai đỉnh formula_91 và formula_92 được nối với nhau khi và chỉ khi formula_93 Đồ thị của quan hệ tương đương là đồ thị mà các thành phần liên thông là các clique.