Dãy số thực

Dãy số thực là một danh sách (hữu hạn hoặc vô hạn) liệt kê các số thực theo một thứ tự nào đó.
==Định nghĩa==
Theo quan điểm của lý thuyết tập hợp dãy số là một ánh xạ "a": formula_1, trong đó formula_2 là tập hợp số tự nhiên, hoặc tập con của tập số tự nhiên nhỏ hơn / lớn hơn một số tự nhiên "m" nào đó.
Khi đó thay cho "a"(n) ta dùng ký hiệu a.
Nếu X là hữu hạn ta có dãy hữu hạn:
Ngược lại nó được xem là vô hạn.
Đôi khi, dãy hữu hạn cũng có thể được xem là vô hạn với các phần tử từ thứ "m" trở đi là bằng nhau.

Khi bắt đầu từ phần tử formula_3 dãy thường được ký hiệu:

Người ta thường xét hơn các dãy bắt đầu từ phần tử formula_5.

Sau đây sẽ chủ yếu đề cập đến các dãy số thực vô hạn. Nhiều định nghĩa và kết quả dưới đây có thể mở rộng cho dãy các phần tử trong không gian metric hoặc không gian topo.

== Ý nghĩa thực tế==
Trong nhiều bài toán, dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ "x", "x"..."x". Tập hợp các số này "có thứ tự", nghĩa là có số đầu tiên ("x"), số thứ 2 ("x") và các số tiếp theo.

==Biên của dãy==
Cho dãy formula_6. Tập hợp các giá trị của dãy:
được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy formula_9, có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1.

== Dãy số thực đơn điệu==
===Định nghĩa===
Cho dãy số thực formula_10 với "x" là các số thực. Nó là
- Không tăng khi và chỉ khi formula_11 với mọi formula_12.
- Không giảm khi và chỉ khi formula_13 với mọi formula_12.

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy formula_15, ta có formula_16. Do 2 > 1 nên formula_17, hay formula_18. Suy ra formula_15 là dãy tăng.

===Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm===
Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào đạo hàm của hàm số tương ứng.

Ví dụ như cho dãy formula_20. Xét hàm số:
Lấy đạo hàm của nó, ta thu được: 
Đạo hàm này nhỏ hơn không khi "x" > e. Điều này xảy ra với mọi "n" > 2, nên dãy formula_24 là dãy giảm.

==Dãy số thực bị chặn==
Dãy formula_10 bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại "T" ở đó formula_26, với mọi formula_12. Số "T" được gọi là "giá trị chặn trên".

Ngược lại, dãy formula_10 bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại "D" ở đó formula_29, với mọi formula_12. Số "D" được gọi là "giá trị chặn dưới".

Nếu một dãy có cả hai tính chất trên thì dãy đó được gọi là "dãy bị chặn".

Ví dụ, dãy formula_31 bị chặn dưới bởi 3 vì nó luôn có giá trị dương lớn hơn hoặc bằng 3.

== Giới hạn của một dãy số thực ==
Khái niệm giới hạn của dãy số bắt nguồn từ việc khảo sát một số dãy số thực, có thể tiến ""rất gần"" một số nào đó. Chẳng hạn, xét dãy số thực:

Khi cho "n" tăng lên vô hạn thì phân số formula_34 trở nên nhỏ tuỳ ý, do đó số hạng thứ n của dãy formula_35 có thể tiến gần đến 1 với khoảng cách nhỏ tuỳ ý. Người ta diễn đạt điều đó bằng định nghĩa sau

Đinh nghĩa
Cho dãy số thực ("x") và một số thực "x". Khi đó nếu:
thì "x" được gọi là giới hạn của dãy ("x"). Khi đó ta cũng nói dãy (x) hội tụ.

Giới hạn của dãy thường được ký hiệu: 
Hoặc 

=== Các định lý cơ bản ===
1. Nếu dãy formula_41 có giới hạn hữu hạn thì nó bị chặn.
2. Dãy hội tụ chỉ có một giới hạn.
3. Nếu formula_42 và formula_43 thì formula_44.
4. Nếu formula_45 và formula_46 thì formula_47.
5. Dãy đơn điệu tăng (giảm) hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên (dưới).

=== Tính chất ===
Nếu các dãy (x) và (y) hội tụ và

thì 

và (nếu "L" khác 0)

==Vô cùng bé, vô cùng lớn==
- Nếu một dãy số có giới hạn là 0 thì nó được gọi là một vô cùng bé.
- Nếu:formula_57, formula_37, formula_59. thì dãy formula_60 được gọi là vô cùng lớn. Khi đó ta cũng viết:

==Xem thêm==
- Dãy Farey
- Dãy Thue-Morse
- Dãy Fibonacci
- Cấp số cộng
- Cấp số nhân
- Dãy (toán học)

==Liên kết ngoài==
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences