Các định nghĩa toán học

Toán học không có định nghĩa được chấp nhận chung. Các trường phái tư tưởng khác nhau, đặc biệt là trong triết học, đã đưa ra các định nghĩa hoàn toàn khác nhau. Tất cả đều gây tranh cãi.

== Khảo sát các định nghĩa hàng đầu ==
=== Định nghĩa sớm ===
Aristotle định nghĩa toán học là:

Định nghĩa của Auguste Comte đã cố gắng giải thích vai trò của toán học trong việc điều phối hiện tượng trong tất cả các lĩnh vực khác: Khoa học về đo lường gián tiếp. "Tính gián tiếp" trong định nghĩa của Comte đề cập đến việc xác định các đại lượng không thể đo lường trực tiếp, như khoảng cách đến các hành tinh hoặc kích thước của các nguyên tử, bằng các mối quan hệ của chúng với các đại lượng có thể đo trực tiếp.

=== Trừu tượng hơn và các trường phái triết học cạnh tranh ===
Các loại định nghĩa trước đây, đã có từ thời Aristotle, đã bị quên lãng vào thế kỷ 19 khi các trường phái toán học mới được phát triển, không có mối liên hệ rõ ràng nào với phép đo hoặc thế giới vật lý, như lý thuyết nhóm, hình học chiếu và hình học phi Euclide. Khi các nhà toán học theo đuổi sự nghiêm ngặt hơn và nền tảng trừu tượng hơn, một số định nghĩa được đề xuất hoàn toàn về mặt logic: Toán học là môn khoa học rút ra kết luận cần thiết. Tất cả toán học là logic tượng trưng. Peirce không nghĩ rằng toán học giống như logic, vì ông nghĩ toán học chỉ đưa ra những khẳng định giả thuyết, không phải là phân loại. Mặt khác, định nghĩa của Russell thể hiện triết lý logic của toán học mà không cần bảo lưu. Các triết lý cạnh tranh của toán học đưa ra các định nghĩa khác nhau.

Đối lập với đặc tính suy diễn hoàn toàn của logic, chủ nghĩa trực giác nhấn mạnh việc xây dựng các ý tưởng trong tâm trí. Đây là một định nghĩa trực giác: Toán học là hoạt động tinh thần bao gồm thực hiện, lần lượt là những công trình tinh thần mang tính quy nạp và hiệu quả. có nghĩa là bằng cách kết hợp các ý tưởng cơ bản, người ta đạt được một kết quả xác định.

Chủ nghĩa hình thức phủ nhận cả ý nghĩa vật lý và tinh thần đối với toán học, làm cho các biểu tượng và quy tắc trở thành đối tượng nghiên cứu. Một định nghĩa chính thức: Toán học là sự thao túng các ký hiệu vô nghĩa của ngôn ngữ bậc nhất theo các quy tắc cú pháp rõ ràng. Vẫn còn các cách tiếp cận khác nhấn mạnh mô hình, trật tự hoặc cấu trúc. Ví dụ: Toán học là sự phân loại và nghiên cứu tất cả các mẫu có thể. Tuy nhiên, một cách tiếp cận khác làm cho trừu tượng hóa tiêu chí xác định: Toán học là một lĩnh vực nghiên cứu trên phạm vi rộng, trong đó các tính chất và tương tác của các đối tượng lý tưởng hóa được kiểm tra. 

=== Định nghĩa trong công việc tham khảo chung ===
Hầu hết các tác phẩm tham khảo đương đại định nghĩa toán học bằng cách tóm tắt các chủ đề và phương pháp chính của nó:

== Định nghĩa vui tươi, ẩn dụ và thơ mộng ==
Bertrand Russell đã viết định nghĩa nổi tiếng này, mô tả cách thức tất cả các thuật ngữ trong toán học cuối cùng được định nghĩa bằng cách tham chiếu đến các thuật ngữ không xác định: 
Chủ đề mà chúng ta không bao giờ biết những gì chúng ta đang nói, cũng như những gì chúng ta đang nói là đúng. 

Nhiều nỗ lực khác để mô tả toán học đã dẫn đến văn xuôi hài hước hoặc thơ ca: 

== Xem thêm ==
- Triết học toán học
- Nền tảng của toán học