Dấu hiệu Abel

Trong toán học, dấu hiệu Abel, hay còn gọi là tiêu chuẩn Abel là một phương pháp kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi vô hạn. Phép kiểm tra này được đặt tên theo nhà toán học người Na Uy, Niels Henrik Abel. Có hai phiên bản khác nhau đôi chút của phép thử Abel, một phiên bản cho các chuỗi số thực và phiên bản còn lại cho chuỗi lũy thừa trong giải tích phức. Dấu hiệu hội tụ đều Abel là một tiêu chuẩn cho sự hội tụ đều của một chuỗi hàm phụ thuộc tham số.

== Dấu hiệu Abel trong giải tích thực ==
Giả sử rằng có hai dãy số thực formula_1 và formula_2 thoả mãn

1. Chuỗi formula_3 hội tụ.
2. Dãy formula_4 đơn điệu và bị chặn.
Khi đó chuỗi formula_5 cũng hội tụ.<br>
Thật vậy, đặt formula_6. Khi đó theo khai triển Abel ta có
formula_7
Dãy formula_4 hội tụ theo định lý đơn điệu hội tụ và formula_9 hội tụ theo giả thiết. Do đó formula_10 khi formula_11. Theo định nghĩa của chuỗi ta có
formula_12
Ta chỉ cần chứng minh chuỗi formula_13 hội tụ tuyệt đối là đủ. Thật vậy, đặt chuỗi này là formula_14, ta kiểm tra được
formula_15
mà dãy formula_9 hội tụ nên nó bị chặn bởi số formula_17 nào đó. Khi đó formula_18, mà chuỗi sau cùng là chuỗi lồng nhau vì dãy formula_4 đơn điệu mà dãy này cũng hội tụ nên chuỗi sau cùng cũng hội tụ. Theo đó theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi formula_14 hội tụ tuyệt đối, ta có điều phải chứng minh.

== Dấu hiệu Abel trong giải tích phức ==
Một dấu hiệu hội tụ có liên quan, cũng gọi là dấu hiệu Abel có thể được sử dụng để thiết lập sự hội tụ của một chuỗi lũy thừa trên biên của đường tròn hội tụ của nó. Cụ thể, dấu hiệu Abel khẳng định rằng nếu một dãy "số thực dương" formula_21 đơn điệu giảm (hay ít nhất là với mọi "n" lớn hơn một số tự nhiên "m", ta có formula_22) và

thì chuỗi lũy thừa

hội tụ ở mọi nơi trên đường tròn đơn vị đóng, ngoại trừ "z" = 1. Dấu hiệu Abel không áp dụng khi "z" = 1, vì thế sự hội tụ ở điểm đó phải được xét riêng. Chú ý rằng dấu hiệu Abel ngụ ý riêng rằng bán kính hội tụ ít nhất bằng 1. Nó cũng có thể được áp dụng với một chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ "R" ≠ 1 bởi một phép đổi biến đơn giản "ζ" = "z"/"R". Chú ý rằng dấu hiệu Abel là một tổng quát hóa của tiêu chuẩn Leibniz khi cho "z" = −1.

Chứng minh dấu hiệu Abel phức: Giả sử rằng "z" là một điểm trên đường tròn đơn vị và "z" ≠ 1. Với mỗi formula_25, ta định nghĩa dãy hàm

Nhân dãy hàm số này với (1 − "z"), ta có được

Số hạng đầu tiên là hằng số, số hạng thứ hai hội tụ đếu đến 0 (vì theo giả thiết formula_21 hội tụ đến 0). Ta chỉ còn cần chứng tỏ rằng số hạng chuỗi hội tụ, bằng cách cho thấy nó hội tụ tuyệt đối: formula_29, trong đó tổng cuối là một tổng rút hội tụ. Giá trị tuyệt đối được bỏ đi vì dãy formula_21 đơn điệu giảm theo giả thiết.

Vì thế, dãy hàm formula_31 hội tụ (và còn hội tụ đều) trên đĩa đơn vị đóng. Nếu formula_32, ta có thể chia cho (1 − "z") để có kết quả cần chứng minh.

== Dấu hiệu hội tụ đều Abel ==
Dấu hiệu hội tụ đều Abel là một tiêu chuẩn để xét sự hội tụ đều của một chuỗi hàm hay một tích phân suy rộng hàm phụ thuộc tham số. Nó có liên quan đến dấu hiệu Abel cho sự hội tụ của một chuỗi số thực thông thường, và chứng minh cũng dựa vào thủ thuật lấy tổng từng phần.

Dấu hiệu là như sau. Cho {"g"} là một dãy các hàm số liên tục, bị chặn đều trên một tập "E" sao cho "g"("x") ≤ "g"("x") với mọi "x" ∈ "E" và mọi số nguyên dương "n", và cho {"f"} là một dãy các hàm giá trị thực sao cho chuỗi hàm số Σ"f"("x") hội tụ đều trên "E". Vậy thì chuỗi Σ"f"("x")"g"("x") cũng hội tụ đều trên "E".

== Tham khảo ==
- Gino Moretti, "Functions of a Complex Variable", Prentice-Hall, Inc., 1964

== Liên kết ngoài ==
- Proof (for real series) at PlanetMath.org