Thuật toán Berlekamp–Massey

Thuật toán Berlekamp–Massey là một thuật toán tìm bộ ghi dịch hồi tiếp tuyến tính (LFSR) ngắn nhất sinh ra một dãy nhị phân cho trước. Thuật toán cũng tìm ra đa thức nhỏ nhất của một quan hệ truy toán tuyến tính trên một trường bất kì.

Elwyn Berlekamp phát minh ra thuật toán này để giải mã mã Bose–Chaudhuri–Hocquenghem (BCH). James Massey phát hiện ra ứng dụng của nó cho bộ ghi dịch hồi tiếp tuyến tính và đơn giản hóa thuật toán. Massey gọi thuật toán là Thuật toán Tổng hợp LFSR (Thuật toán Lặp Berlekamp) , nhưng ngày nay nó được gọi là thuật toán Berlekamp–Massey.

==Mô tả thuật toán==
Thuật toán Berlekamp–Massey là một phương pháp giải hệ các phương trình tuyến tính mô tả trong thuật toán giải mã Peterson cho mã Reed–Solomon, có thể tóm tắt như sau:

Dưới đây, C(x) là một trường hợp nhất định của Λ(x). Đa thức định vị lỗi C(x) cho "L" lỗi được định nghĩa là:

hay viết ngược lại:

Mục tiêu của thuật toán là tìm bậc "L" nhỏ nhất và đa thức C(x) sao cho:

với mọi giá trị hội chứng S đã cho, "n" = "L" to ("N"-1).

Thuật toán hoạt động như sau. Khởi tạo C(x) bằng 1, "L" là giả định số lượng lỗi hiện tại, khởi tạo bằng 0. "N" là số giá trị hội chứng. "n" là biến lặp chính và là chỉ số của giá trị hội chứng từ 0 đến ("N"-1). B(x) lưu giá trị cũ cuối cùng của C(x) mỗi lần "L" thay đổi, và được khởi tạo bằng 1. "b" lưu giá trị cũ cuối cùng của độ sai lệch "d" (giải thích ở dưới) mỗi lần "L" thay đổi, và được khởi tạo bằng 1. "m" là số lần lặp từ lần cuối "L", B(x), và "b" thay đổi và được khởi tạo bằng 1.

Trong mỗi lần lặp, thuật toán tính một giá trị sai lệch "d". Ở lần lặp thứ "k" giá trị đó là:

Nếu "d" bằng 0, thuật toán giả sử rằng C(x) và L hiện tại vẫn đúng, tăng "m", và tiếp tục.

Nếu "d" khác 0, thuật toán thay đổi C(x) sao cho khi tính lại thì "d" bằng 0:

Thừa số x "dịch" B(x) đi "m" vị trí nên nó nhận giá trị ứng với "b". Nếu lần cuối cùng L thay đổi là ở lần lặp thứ "j", thì "m = k - j", và giá trị sai lệch tính lại sẽ là:

Vì vậy, giá trị sai lệch mới là:

Thuật toán cũng tăng giá trị "L" (số lỗi) nếu cần. Nếu "L" đúng bằng số lỗi thì trong quá trình lặp, tất cả các giá trị sai lệch sẽ trở thành 0 trước khi "n" lớn hơn hoặc bằng (2 "L"). Nếu giả thiết này không đúng, thuật toán tăng L và cập nhật giá trị B(x), b, tăng L, và khởi tạo lại m = 1. Công thức L = (n + 1 - L) giới hạn giá trị L nhỏ hơn hoặc bằng số giá trị hội chứng đã cho, và cũng giải quyết trường hợp tăng L nhiều hơn 1.

==Thuật toán cho trường nhị phân==
Dưới đây là thuật toán Berlekamp–Massey cho trường hợp đặc biệt phổ biến là trường hữu hạn F và GF(2). Các phần tử của trường là 0 và 1. Trong trường này, các toán tử + và − là tương đương và trở thành toán tử hoặc loại trừ XOR. Toán tử nhân * trở thành toán tử lôgic AND. Phép chia trở thành toán tử đồng nhất (nghĩa là phép chia chỉ được định nghĩa cho giá trị 1, và x/1 = x).

1. Đặt formula_9 là các bit dữ liệu vào (các giá trị hội chứng).
2. Khởi tạo hai mảng formula_10 và formula_11 độ dài formula_12 bằng không, ngoại trừ formula_13
3. Gán formula_14.
4. Lặp formula_15 với bước tăng 1 chừng nào formula_16:
- Đặt formula_17 bằng formula_18.
- Nếu formula_19, thì formula_11 hiện tại đã thỏa mãn mọi điều kiện từ formula_21 đến formula_22.
- Nếu không:
-  Gán formula_23 bằng formula_11.
-  Gán formula_25 cho tới formula_26 (trong đó formula_27 là toán tử hoặc loại trừ).
-  Nếu formula_28, gán formula_29, gán formula_30, và gán formula_31; nếu không, giữ nguyên giá trị của formula_32, formula_33 và formula_10.

Sau khi thuật toán thực hiện xong, formula_32 là chiều dài của LFSR ngắn nhất sinh ra dữ liệu vào, và ta có formula_36 với mọi formula_37.

==Mã Java cho trường hợp trường nhị phân==
Mã ví dụ dưới đây là cho trường hợp trường nhị phân.

==Thuật toán Berlekamp–Massey cho trường bất kì==
Thuật toán dưới đây là từ .
==Xem thêm==
- Thuật toán Reeds–Sloane, mở rộng ra dãy các số nguyên mod "n"
- Thuật toán Berlekamp–Welch
- NLFSR, bộ ghi dịch hồi tiếp phi tuyến

==Liên kết ngoài==
- Thuật toán Berlekamp–Massey ở PlanetMath.
- Thư viện lập trình cho trường hợp GF(2) trong Mathematica.
- Applet mô tả thuật toán Berlekamp–Massey.
- Máy tính trực tuyến Berlekamp-Massey cho GF(2) .