Xây dựng mêtric Schwarzschild

Mêtric Schwarzschild miêu tả không-thời gian dưới ảnh hưởng của một khối vật chất đối xứng cầu có khối lượng lớn và không quay.

== Quy ước và ký hiệu ==
Trong bài này ta làm việc trong một hệ tọa độ với các tọa độ formula_1 được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 4. Ta bắt đầu với mêtric ở dạng tổng quát nhất (10 thành phần độc lập, mỗi thành phần là một hàm trơn 4 biến). Nghiệm cần tìm được giả thiết có dạng đối xứng cầu, tính tĩnh và chân không, các giả thiết này có thể được phát biểu như sau:

1. Một không-thời gian đối xứng cầu là một không-thời gian bất biến dưới các phép quay và lấy ảnh phản chiếu.
2. Một không-thời gian tĩnh có tất cả các thành phần mêtric độc lập với tọa độ thời gian formula_2 (sao cho formula_3) và cấu trúc hình học của không-thời gian không đổi dưới phép đảo ngược thời gian formula_4.
3. Một nghiệm chân không thỏa mãn formula_5. Từ phương trình trường Einstein (với hằng số vũ trụ bằng không), ta suy ra formula_6 vì thực hiện phép co formula_7 cho thấy formula_8.
4. Kiểu dấu mêtric được sử dụng là (+,+,+,−).

== Chéo hóa mêtric ==
Chéo hóa mêtric là phép giản lược đầu tiên có thể thực hiện. Dưới phép chuyển đổi tọa độ, formula_9, tất cả các thành phần mêtric cần không đổi. Các thành phần mêtric formula_10 (formula_11) thay đổi dưới phép chuyển đổi này thành:

Tuy nhiên, do formula_14 (các thành phần mêtric không đổi), ta suy ra:

Tương tự, với các phép chuyển đổi tọa độ formula_17 và formula_18 lần lượt suy ra:

Từ các điều trên ta có

và vì vậy mêtric phải có dạng

trong đó bốn thành phần mêtric đều độc lập với tọa độ thời gian formula_2 (theo giả thiết tĩnh).

== Giản lược các thành phần ==
Trên mỗi siêu mặt với formula_2 không đổi, formula_28 không đổi và formula_29 không đổi (nói cách khác trên mỗi đường theo phương bán kính), formula_30 chỉ được phụ thuộc vào formula_31 (do tính đối xứng cầu). Theo đó formula_30 là một hàm số một biến:

Lập luận tương tự với formula_34 ta có:

Trên các siêu mặt với formula_2 không đổi và formula_31 không đổi, mêtric phải có dạng mặt cầu 3 chiều:

Chọn một trong số các siêu mặt này (chẳng hạn như siêu mặt với bán kính formula_39), các thành phần mêtric giới hạn ở siêu mặt này (ký hiệu bằng formula_40 và formula_41) phải không đổi dưới các phép quay qua formula_28 và formula_29 (do giả thiết đối xứng cầu). So sánh các dạng của mêtric trên siêu mặt này ta được:

từ đó suy ra:

Tuy nhiên điều này cần đúng trên mỗi siêu mặt; vì vậy,

Từ đó suy ra mêtric có dạng như sau:

với formula_50 và formula_51 là các hàm số chưa biết theo biến formula_31. Lưu ý rằng nếu formula_50 hoặc formula_51 bằng không tại một điểm nào đó, mêtric sẽ kỳ dị tại điểm đó.

== Tính các ký hiệu Christoffel ==
Từ mêtric trên, ta tìm được các ký hiệu Christoffel, trong đó các chỉ số là formula_55. Dấu formula_56 ký hiệu đạo hàm hoàn toàn của một hàm số.

== Áp dụng hệ phương trình trường để tìm "A"("r") và "B"("r") ==
Để tìm formula_50 và formula_51, ta áp dụng phương trình trường Einstein. Trong trường hợp này chúng có dạng:

Vì vậy:

trong đó dấu phẩy được sử dụng để ký hiệu sự đổi vị trí chỉ số được dùng để đạo hàm. Độ cong Ricci sẽ mang tính chéo:

trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo "r" của các hàm.

Chỉ có ba trong số các phương trình trường có nghiệm không tầm thường (phương trình thứ tư chỉ là formula_69 nhân với phương trình thứ ba) và sau khi rút gọn chúng lần lượt trở thành:

Trừ vế với vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai:

trong đó formula_74 là một hằng số thực khác không. Thay formula_75 vào phương trình thứ ba và biến đổi ta được:

có nghiệm tổng quát là:

vói hằng số thực khác không formula_78 nào đó. Vì vậy, mêtric cần tìm bây giờ sẽ có dạng:

Lưu ý rằng không-thời gian biểu diễn bởi mêtric trên có tính phẳng tiệm cận; khi formula_80, mêtric sẽ có xu hướng thu về mêtric Minkowski và đa tạp không-thời gian sẽ có cấu trúc tương tự không gian Minkowski.

== Dùng phép xấp xỉ trường yếu tìm "K" và "S" ==
Các đường trắc địa của mêtric (thu được khi formula_81 đạt cực trị) phải, với một giới hạn nào đó (chẳng hạn như tốc độ ánh sáng tiến về vô cực), nhất quán với các nguyên lý chuyển động Newton (chẳng hạn các nghiệm thu được bởi phương trình Lagrange). (Mêtric cũng phải thu về không gian Minkowski khi khối lượng nó biểu diễn bằng không.)

(trong đó formula_83 là động năng và formula_84 là thế năng trọng trường) Các hằng số formula_74 và formula_78 được quyết định hoàn toàn bởi phương pháp này hoặc các phương pháp tương tự; từ giới hạn trường yếu ta thu được:

trong đó formula_88 là hằng số hấp dẫn, formula_89 là khối lượng nguồn hấp dẫn và formula_90 là tốc độ ánh sáng. Vì

nên

Từ đó kết quả cuối cùng sẽ là:

Lưu ý rằng:

là định nghĩa của bán kính Schwarzschild với một khối vật chất với khối lượng formula_89, nên mêtric Schwarzschild cũng có thể viết dưới dạng:

từ đó cho thấy mêtric kỳ dị tại chân trời sự kiện (formula_99). Điểm kỳ dị này không có thật về mặt vật lý (điểm kỳ dị có thật nằm tại formula_100), có thể cho thấy bằng một phép chuyển đổi tọa độ được lựa chọn hợp lý (ví dụ như hệ tọa độ Kruskal–Szekeres).

== Đọc thêm ==
- Karl Schwarzschild
- Mêtric Kerr
- Mêtric Reissner–Nordström