Phép tính biến phân

Phép tính biến phân là một ngành giải tích toán học sử dụng "variations (không tìm được thuật ngữ tiếng Việt tương đương, có thể là "số gia của hàm số", hoặc đơn giản là "biến phân"; cần chuyên gia thuật ngữ toán học tiếng Việt xem xét)", là những thay đổi nhỏ của hàm và phiếm hàm, để tìm cực đại và cực tiểu của các phiếm hàm (i.e. các ánh xạ từ một tập hợp các hàm vào số thực). Các phiếm hàm thường được biểu thị dưới dạng các tích phân xác định liên quan đến các hàm và các đạo hàm tương ứng. Các hàm tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa các phiếm hàm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương trình Euler-Lagrange.

Một ví dụ đơn giản là bài toán tìm đường cong có độ dài ngắn nhất nối hai điểm. Nếu không có điều kiện ràng buộc, đáp án là một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Tuy nhiên, nếu đường cong bị ép nằm trên một bề mặt nào đó trong không gian, thì đáp án ít rõ ràng hơn và có thể có nhiều đáp án đúng. Các đường cong như vậy được gọi là các đường trắc địa.

Một vấn đề liên quan là nguyên tắc Fermat: ánh sáng đi theo đường có độ dài quang học ngắn nhất nối hai điểm, trong đó độ dài quang phụ thuộc vào vật liệu môi trường.

Một khái niệm tương ứng trong cơ học là nguyên tắc tác dụng tối thiểu.

== Cực trị ==
Phép tính biến phân quan tâm đến cực đại hoặc cực tiểu (gọi chung là cực trị) của các phiếm hàm. Một phiếm hàm ánh xạ các hàm đến các vô hướng, vì vậy các phiếm hàm được mô tả là "hàm của các hàm". Các phiếm hàm có cực trị đối với các phần tử của một không gian hàm đã cho được xác định trên một miền nhất định. Phiếm hàm được cho là có cực trị tại hàm nếu có cùng dấu cho tất cả cả các hàm trong một lân cận nhỏ của Hàm được gọi là một hàm cực trị hay điểm cực trị. 

Cực trị được gọi là cực đại cục bộ (hoặc cực đại yếu) nếu tại mọi điểm trong một vùng lân cận nhỏ tùy ý của và cực tiểu cục bộ (hoặc cực tiểu yếu) nếu . Một cực đại (cực tiểu) mạnh là một giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của phiếm hàm trên toàn bộ không gian hàm.

Các thuật ngữ cực trị yếu và cực trị mạnh cũng được sử dụng để mô tả việc các đạo hàm bậc nhất của hàm cực trị có liên tục hay không.

== Phương trình Euler Lagrange ==
Xét phiếm hàm

với

Phương trình Euler-Lagrange ứng với phiếm hàm này là

=== Thí dụ ===
Để minh họa, xét bài toán tìm hàm cực trị ứng với đường cong nối hai điểm và Độ dài cung của đường cong được cho bởi

với

Áp dụng phương trình Euler-Lagrange

với

ta thu được các nghiệm

== Đồng nhất thức Beltrami ==
Trong các bài toán vật lý, ta có thể gặp trường hợp formula_13, có nghĩa là phiếm hàm là một hàm của formula_14 và formula_15 nhưng không phải là một hàm tường minh của formula_16. Trong trường hợp đó, phương trình Lagrange Euler có thể được đơn giản hóa thành đồng nhất thức Beltrami 

với formula_18 là một hằng số. Vế trái là biến đổi Legendre của formula_19 đối với formula_15.

== Tham khảo ==
- Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". "SIAM Review" 59(4) (2017), 703–766.
- Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, .
- Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
- Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
- Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
- Dacorogna, Bernard: "Introduction" "Introduction to the Calculus of Variations", 3rd edition. 2014, World Scientific Publishing, .
- Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
- Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
- Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
- Gelfand, I. M., Fomin S. V.: Calculus of Variations, Dover Books on Mathematics, 2000.
- Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, and
- Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
- Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
- Logan, J. David: Applied Mathematics, 3rd edition. Wiley-Interscience, 2006
- Nguyễn Thị Thúy Nhi, "Phép tính biến phân và ứng dụng vật lý", Luận văn tốt nghiệp, 2014
- Roubicek, T.: "Calculus of variations". Chap.17 in: "Mathematical Tools for Physicists". (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, , pp. 551–588.
- Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
- Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974 (reprint of 1952 ed.).

== Liên kết ngoài ==
- Variational calculus. "Encyclopedia of Mathematics".
- calculus of variations. "PlanetMath".
- Calculus of Variations. "MathWorld".
- Calculus of variations. Example problems.
- Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
- Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.