Không gian mêtric

Trong toán học, không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa.

Không gian mêtric gần gũi nhất với cách hiểu trực quan của con người là không gian Không gian Euclide 3 chiều. Khái niệm "mêtric" trong thực tế là sự tổng quát hóa của mêtric Euclide phát sinh từ 4 thuộc tính được biết đến lâu đời của khoảng cách Euclide. Không gian metric Euclide định nghĩa khoảng cách giữa 2 điểm bằng chiều dài theo đoạn thẳng nối chúng với nhau. Một không gian mêtric khác trong hình học Elíp và hình học hyperbolic, có khoảng cách trên quả cầu được đo bằng góc của một mêtric, và mô hình hyperboloid của hình học hyperbolic được dùng bởi thuyết tương đối hẹp với một không gian mêtric vận tốc.

==Sơ lược về không gian metric==
===Định nghĩa không gian metric===
Cho "E" là một tập hợp khác rỗng. Một ánh xạ formula_1 thỏa mãn:
1. "d"("x", "y") ≥ 0, với mọi "x","y" formula_2 "E" ("tính phân biệt dương")
2. "d"("x", "y") = 0 khi và chỉ khi "x" = "y"
3. "d"("x", "y") = "d"("y", "x"), với mọi "x","y" formula_2 "E" ("tính đối xứng")
4. "d"("x", "z") ≤ "d"("x", "y") + "d"("y", "z"), với mọi "x","y","z" formula_2 "E" ("bất đẳng thức tam giác")

Khi đó "d" được gọi là "khoảng cách" hay một "metric" trên "E" và cặp "(E,d)" được gọi là một "không gian mêtric". Không gian metric "(E,d)" thường được viết là "E" với "d" được hiểu ngầm khi không bị nhầm lẫn.

====Metric trên không gian hàm từ tập "A" bất kỳ vào không gian metric "(X,d)"====
Xác định bởi formula_14.

Trong đó formula_15.

====Metric trên không gian các hàm liên tục từ [a,b] vào R====
Xác định bởi formula_16.

Trong đó formula_17 liên tục.

===Quả cầu mở, quả cầu đóng===
Cho formula_18là không gian metric và formula_19 và "r>0", theo định nghĩa:

- formula_20 là quả cầu mở tâm a, bán kính r trong không gian metric "(X,d)".
- formula_21 là quả cầu đóng tâm a, bán kính r trong không gian metric "(X,d)".

Xét các bổ đề sau:
====Bổ đề====
Cho "(X,d)" là không gian metric, nếu formula_22 thì formula_23 sẽ có tồn tại formula_24 sao cho:

Chứng minh:

====Ví dụ về tập mở theo các metric trong R====
Cho formula_33 và các metric sau:

Khi đó các quả cầu mở tương ứng với các metric trên trong formula_39 lần lượt là: formula_40 như hình vẽ:

===Topo sinh bởi metric===
====Định lý ====
Cho "(X,d)" là không gian metric, họ các quả cầu mở formula_41 là cơ sở của topo trên X.

Chứng minh:

====Định nghĩa ====
Lấy "(X,d)" là không gian metric, topo sinh bởi cơ sở các quả cầu mở formula_41 được gọi là topo sinh bởi metric (còn gọi là topo metric).

====Định lý ====
Cho "(X,d)" là không gian metric, một tập formula_59 là mở trong topo sinh bởi metric "d" nếu và chỉ nếu với mỗi formula_60 tồn tại formula_61 sao cho formula_62.

===Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 tập===
Cho "X,Y" là hai không gian metric và formula_63, "A" là tập con trong "X".

===Khoảng cách Hausdorff===
Cho "X,Y" là hai không gian metric và formula_63, "A" và "B" lần lượt là các tập con trong "X,Y".
Hay còn có thể viết rút gọn là:
Khoảng cách này cũng là một metric và được gọi là metric Hausdorff.

===Không gian metric tích===
Không gian metric tích là không gian tích của tất cả các không gian metric, cụ thể: 
Cho formula_75.
Đặt formula_76 và formula_77 thì
Ví dụ
Cho formula_79 là các không gian metric, định nghĩa metric tích trên formula_80 như sau:
Kiểm tra được formula_82 là metric trên formula_80

==Một số ứng dụng của metric==
===Trong lý thuyết thông tin: sự sai lệch các đoạn mã và ký tự===
Với lượng thông tin khổng lồ được truyền qua điện thoại, Internet hay từ vệ tinh ngoài không gian đến Trái Đất... Điều này cực kỳ quan trọng nếu đảm bảo sự nguyên vẹn của thông tin khi nhận được.

====Khoảng cách Hamming====
Khoảng cách Hamming là cái tên được đặt theo tên của Richard Hamming, người giới thiệu lý thuyết này trong tài liệu có tính cơ sở của ông về mã phát hiện lỗi và sửa lỗi (error-detecting and error-correcting codes). Nó được sử dụng trong kỹ thuật viễn thông để tính số lượng các bit trong một từ nhị phân (binary word) bị đổi ngược, như một hình thức để ước tính số lỗi xảy ra trong quá trình truyền thông, và vì thế, đôi khi, nó còn được gọi là khoảng cách tín hiệu (signal distance). Việc phân tích trọng lượng Hamming của các bit còn được sử dụng trong một số ngành, bao gồm lý thuyết tin học, lý thuyết mã hóa, và mật mã học. Tuy vậy, khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng không chỉ bị thay thế đi, mà còn bị ảnh hưởng bởi dữ liệu bị chèn thêm vào, hoặc bị xóa đi, phương pháp đo đạc phức tạp hơn.

Trong lý thuyết thông tin, khi một thông tin được chuyển đi, ví dụ như khi gửi 1 tin nhắn, giả sử nó được mã hóa dưới dạng nhị phân gồm hữu hạn các dãy ký tự 0,1. n phần tử như vậy được gọi là 1 từ có chiều dài n. 
Mỗi từ có chiều dài n như vậy có thể xem như một vector có chiều dài n gồm toàn bộ các ký tự chỉ chứa những số 0 và 1. Tập tất cả các ký tự như vậy được viết là formula_84. Do đó formula_85 là tích của n cặp formula_86.

Định nghĩa một metric giữa 2 từ trên tập này là số các vị trí mà tại đó chúng khác nhau.

Metric này được gọi là khoảng cách Hamming.

Ký hiệu là formula_87

Ví dụ: Cho 2 đoạn mã nhị phân

formula_88 và

formula_89.

=== Đối với trình tự DNA (DNA Sequence) và trong khoa học máy tính ===
Như đã trình bày ở mục trên: "khi so sánh các dãy ký tự có chiều dài khác nhau, hay các dãy ký tự có xu hướng thay thế, mất, chèn... phức tạp hơn, như khoảng cách Levenshtein (Levenshtein distance) là một phương pháp có tác dụng và thích hợp hơn."

Ngoài ra, trong các thuật toán của bộ môn khoa học máy tính, khái niệm khoảng cách Levenshtein thể hiện khoảng cách khác biệt giữa 2 chuỗi ký tự. Khoảng cách này được đặt theo tên Vladimir Levenshtein, người đã đề ra khái niệm này vào năm 1965. Nó được sử dụng trong việc tính toán sự giống và khác nhau giữa 2 chuỗi, như chương trình kiểm tra lỗi chính tả của winword spellchecker.

==== Khoảng cách Levenshtein ====
Khoảng cách Levenshtein giữa dãy "x" và "y" xác định bởi:
formula_92

Trong đó:

Ví dụ

Tính khoảng cách Levenshtein giữa 2 dãy DNA sau:

"X= AGTTCGAATCC, Y=AGCTCAGGAATC "

Với "X= AGTTCGAATCC"

Do đó, số tối thiểu các phép chèn, xoá đi và thay thế để biến đổi "X" thành "Y" hay khoảng cách Levenshtein giữa "X" và "Y" là:

== Một số tính chất, định nghĩa khác của không gian metric==
===Một số định nghĩa liên quan===
====Định nghĩa ====
Cho formula_99 là 2 metric trên "X". 2 metric này gọi là tương đương nếu tồn tại formula_100 sao cho 
====Định nghĩa ====
Cho formula_107 là không gian metric, một tập con formula_108 gọi là chặn theo "d" nếu tồn tại formula_109 sao cho formula_110;formula_111 formula_112.

Nếu bản thân "X" bị chặn theo "d" thì nói "d" là metric bị chặn.

====Định nghĩa ====
Cho formula_107 là không gian metric, một song ánh formula_114 được gọi là đẳng cấu đẳng cự (isometry) nếu formula_115, formula_116 formula_117

Nếu formula_118 là một isometry thì có thể nói các không gian metric "X,Y" là đẳng cự (isometric).

====Định nghĩa ====
Cho formula_119 là không gian topo, "X" là không gian mêtric hóa được (metrizable) nếu tồn tại một metric "d" trên "X" mà nó sinh ra topo trên "X".

Ví dụ: 
Xét topo Euclid trên đường tròn formula_120 như một không gian con thừa hưởng topo Euclid trên mặt phẳng formula_121.

Topo này metric hóa được do:

Một cơ sở trên formula_122 có được bằng cách giao các quả cầu mở trong formula_121 với formula_124.

Xét metric trên formula_124 được xác định bằng cách đặt formula_126 (tính theo radian) là góc không âm nhỏ nhất sao cho đường tròn điểm "p" và "q" trùng nhau.

Với metric này, các quả cầu mở sẽ là những khoảng mở trên đường tròn nên cơ sở của các quả cầu mở cho topo trên formula_124 sinh ra bởi formula_128 có cùng cơ sở như topo Euclid trên formula_124.

=== Các định lý ===
==== Định lý====
Chứng minh:

====Định lý 3.2.4====
Nếu formula_107 là không gian topo metric hóa và "Y" đồng phôi với "X" thì "Y" cũng metric hóa được.

====Định lý 3.2.5====
Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ. Hay:

Cho formula_189 là không gian metric, ta nói formula_143 compact nếu và chỉ nếu mọi dãy formula_191 đều có dãy con formula_192 của formula_193 hội tụ trong formula_143.
Hơn nữa, nếu formula_195 là tập con compact trong formula_196 với formula_197 là không gian metric Euclide với topo Euclide thì formula_198 đóng và bị chặn.

==Tham khảo==
- Huỳnh Quang Vũ (2012). "Lecture notes on Topology". Ho Chi Minh city University of Science.
- Colin Adams, Robert Franzosa (ngày 28 tháng 6 năm 2007), Introduction to Topology: Pure and Applied.
- Victor Bryant, "Metric Spaces: Iteration and Application", Cambridge University Press, 1985, ISBN 0-521-31897-1.
- Dmitri Burago, Yu D Burago, Sergei Ivanov, "A Course in Metric Geometry", American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2129-6.
- Athanase Papadopoulos, "Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature", European Mathematical Society, 2004, ISBN 978-3-03719-010-4.
- Mícheál Ó Searcóid, "Metric Spaces", Springer Undergraduate Mathematics Series, 2006, ISBN 1-84628-369-8.
- Lawvere, F. William, "Metric spaces, generalized logic, and closed categories", Rend. Sem. Mat. Fis. Milano 43 (1973), 135—166 (1974); (Italian summary)

==Liên kết ngoài==
- Far and near — several examples of distance functions tại cut-the-knot