Ma trận xác định

Ma trận đối xứng formula_1 chỉ gồm các số thực là xác định dương nếu giá trị của formula_2 là một số thực dương với mọi véct-tơ cột formula_3 khác véc-tơ không và formula_4 là véc-tơ hàng chuyển vị của formula_3.

Tổng quát, một ma trận Hermitian, là ma trận phức bằng với ma trận chuyển vị liên hợp của chính nó), được cọi là xác định dương nếu giá trị của formula_6 là dương với mọi véct-tơ cột formula_7 khác véc-tơ không và formula_8 là véc-tơ hàng ma trận chuyển vị liên hợp của formula_7.

Ma trận nửa xác định dương được định nghĩa tương tự, ngoại trừ yêu cầu là formula_2 và formula_11 có thể dương hoặc "bằng không" (nghĩa là "không âm").
Các ma trận xác định âm và nửa xác định âm được định nghĩa tương tự. Một ma trận mà không nửa xác định âm và cũng không nửa xác định dương đôi khi được gọi là "không xác định".

Nếu ma trận formula_1 là xác định dương (nửa xác định dương) thì formula_13 xác định âm (nửa xác định âm).

==Liên hệ==
Hệ quả rút ra từ các định nghĩa là ma trận xác định dương khi và chỉ khi ma trận có dạng xác định dương bậc hai hoặc dạng Hermitian.

Ma trận xác định đương hoặc nửa xác định dương có thể nhận biết bằng nhiều dấu hiệu.
Điều này chứng tỏ tầm quan trọng của khái niệm này trong nhiều lĩnh vực toán học khác nhau.
Ma trận formula_1 xác định dương nếu và chỉ nếu một trong số những điều kiện sau thoả mãn.
- formula_1 ma trận tương đẳng với một ma trận đường chéo chỉ gồm các thực dương trên đường chéo.
- formula_1 đối xứng (ma trận Hermitian), và tất cả các giá trị riêng đều là số thực dương.
- formula_1 đối xứng (ma trận Hermitian), và tất cả các định thức con chính tắc (ma trận con cấp formula_18) đều dương.
- Tồn tại ma trận nghịch đảo formula_19 cùng với ma trận chuyển vị liên hợp formula_20 sao cho formula_21.
Ma trận là nửa xác định dương nếu nó thoả mãn các điều kiện tương tự nhưng thay "dưong" bằng "không âm", "ma trận nghịch đảo" thay bằng "ma trận".

Ma trận thực xác định dương và nửa xác định dương là nền tảng cho tối ưu lồi vì mỗi hàm đa biến mà đạo hàm được hai lần thì ma trận Hessian của nó (ma trận của các đạo hàm riêng bậc hai) là xác định dương tại điểm formula_22, thì hàm đó lồi trong lân cận của formula_22; Ngược lại, nếu hàm lồi trong lân cận quanh formula_22 thì ma trận Hessian là nửa xác định dương tại formula_22.

Tập các ma trận xác định dương là tập nón tập mở, trong khi tập các ma trận nửa xác định dương là tập nón tập đóng.

Một số tác giả sử dụng khái niệm tổng quát hơn khi xét cả những ma trận thực không đối xứng, hoặc ma trận phức không-Hermitian.

==Định nghĩa==
===Kí hiệu===
Ma trận Hermitan formula_1 nửa xác định dương còn được kí hiệu là formula_27.
Còn nếu nó xác định dương thì kí hiệu là formula_28.

==Ví dụ==
- Tất cả Ma trận đơn vị, chẳng hạn formula_29 xác định dương (như vậy cũng là nửa xác định dương). Trong trường hợp 2 chiều, với véc-tơ cột khác không bất kì
formula_30
- Ma trận đối xứng sau cũng là xác định dương
formula_31
- Với mọi ma trận khả nghịch thực formula_34 thì formula_35 là ma trận xác định dương. Điều này chứng minh như sau, với mọi véc-tơ thực khác không formula_36 thì:
formula_37

==Phân rã==
Cho ma trận Hermitan formula_1. formula_1 nửa xác định dương nếu nó có thể phân rã (phân tích) dưới dạng tích của một ma trận với chuyển vị liên hợp của chính nó
formula_40

Nếu formula_1 là ma trận thực và formula_19 cũng thực thì tích trên có thể viết thành
formula_43

===Tính duy nhất xét theo toán tử đơn vị===
Phân rã trên không duy nhất: nếu formula_21 với ma trận formula_19 kích thước formula_46; Khi đó với mọi ma trận đơn vị formula_47 kích thước formula_48, cụ thể là formula_49, thì formula_50 với formula_51.

Tuy vậy, đó là khác biệt duy nhất giữa hai phân rã, nghĩa là phân rã là duy nhất xét theo toán tử đơn vị.
Cụ thể, nếu formula_34 và formula_19 có kích thước lần lượt là formula_46 và formula_55 thoả mãn formula_56, thì tồn tại ma trận formula_47 trực giao chuẩn, nghĩa là formula_58 sao cho formula_59.

===Căn bậc hai===
Ma trận Hermitan formula_1 nửa xác định dương nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận nửa xác định dương formula_19 thoả mãn formula_62.
Ma trận formula_19 là duy nhất và được gọi là căn bậc hai "không âm" của formula_1 kí hiệu là formula_65.
Ma trận căn bậc hai vốn là Hermitan nên nó thoả mãn formula_66.

===Phân rã Cholesky===
Ma trận nửa xác định dương Hermitan formula_1 có thể biểu diễn dưới dạng formula_68, với formula_69 là ma trận tam giác dưới với đường chéo không âm.
Đây được gọi là phân rã Cholesky.
Nếu formula_1 xác định dương thì các phần tử trên đường chéo của formula_69 dương.
Ngược lại, nếu formula_69 là ma trận tam giác dưới với đường chéo không âm (dương) thì formula_73 nửa xác định dương (xác định dương).

Một dạng phân rã gần gũi với phân rã Cholesky là phân rã LDL formula_74 trong đó formula_69 là ma trận tam giác đơn vị dưới .

== Định thức bậc hai ==
Định thức thuần bậc hai formula_76 có thể xác định bằng ma trận formula_1 thực formula_78 như sau: formula_79 với mọi formula_80 Không mất tính tổng quát, có thể giả sử rằng ma trận formula_1 đối xứng do thay formula_1 bằng formula_83 thì kết quả không thay đổi, nghĩa là formula_84.

Ma trận đối xứng formula_1 xác định dương nếu và chỉ nếu định thức bậc hai của nó là hàm lồi nghiêm ngặt.

Chính vì vậy, các ma trận xác định dương đóng vai trò quan trọng trong các bài toán tối ưu.