Định lý Borsuk–Ulam

Trong toán học, định lý Borsuk-Ulam khẳng định rằng tất cả các hàm liên tục từ một hình cầu "n" chiều vào một không gian Euclid "n" chiều sẽ gửi ít nhất một cặp điểm đối cực đến cùng một điểm.

Tức là, nếu formula_1 là một ánh xạ liên tục thì tồn tại formula_2 sao cho: formula_3.

Trường hợp formula_4 có thể được minh họa bằng cách nói rằng luôn tồn tại một cặp điểm đối diện trên đường xích đạo của Trái đất có cùng nhiệt độ. Điều này cũng đúng với bất kỳ vòng tròn nào. Ngoài ra, ta cần giả định nhiệt độ thay đổi liên tục.

Trường hợp formula_5 thường được minh họa bằng cách nói rằng tại bất kỳ thời điểm nào, luôn có một cặp điểm đối cực trên bề mặt Trái đất với nhiệt độ và áp suất khí quyển bằng nhau. Tương tự, điều này cũng đúng với bất kỳ mặt cầu nào, và ta giả sử rằng nhiệt độ và áp suất không khí thay đổi liên tục.

== Phát biểu tương đương ==
Các phát biểu sau tương đương với định lý Borsuk-Ulam.

=== Hàm lẻ ===
Một hàm formula_6 được gọi là "lẻ" nếu với mọi formula_7: formula_8.

Định lý Borsuk–Ulam tương đương với phát biểu sau: Một hàm lẻ liên tục từ hình cầu n chiều vào không gian Euclid n chiều có ít nhất một không điểm.

Chứng minh:

- Nếu định lý Borsuk-Ulam là đúng, thì nó đúng cho các hàm lẻ, và với một hàm lẻ, formula_9 khi và chỉ khi formula_10. Do đó mọi hàm liên tục lẻ đều có ít nhất một không điểm.
- Với mọi hàm liên tục formula_11, hàm sau là liên tục và lẻ: formula_12. Nếu mọi hàm lẻ liên tục có không điểm thì formula_6 có không điểm, và do đó, formula_14. Do đó định lý Borsuk-Ulam là đúng.

=== Phép co ===
Xét một hàm formula_15 Ta gọi một hàm như vậy là một phép co. Định lý Borsuk–Ulam tương đương với khẳng định sau: không có phép co liên tục lẻ.

Chứng minh:

Nếu định lý đúng, thì mọi hàm lẻ liên tục từ formula_16 phải chứa 0 trong tạo ảnh của nó (xét phép nhúng tiêu chuẩn formula_17). Tuy nhiên, formula_18 vì vậy không thể có một hàm lẻ liên tục có tạo ảnh là formula_19.

Ngược lại, nếu định lý là không đúng, thì có một hàm lẻ liên tục formula_20 không có không điểm. Ta có thể xây dựng một hàm lẻ khác formula_21 bởi:

vì formula_6 không có không điểm. Do đó, ta có một phép co lẻ liên tục.

== Chứng minh định lý ==
=== Trường hợp 1 chiều ===
Trường hợp 1 chiều có thể dễ dàng được chứng minh thông qua định lý giá trị trung gian.

Đặt formula_6 là một hàm thực, liên tục, lẻ trên một vòng tròn; formula_6 cũng có thể được coi là một hàm thực, liên tục, lẻ và có chu kỳ bằng 1 trên đường thẳng thực. Chọn formula_7 tùy ý. Nếu formula_10 thì ta xong. Nếu không, không mất tính tổng quát, giả sử formula_28 Thế thì formula_29 Do đó, theo định lý giá trị trung gian, tồn tại một điểm formula_30 giữa formula_7 và formula_32 sao cho formula_33.

=== Trường hợp tổng quát - chứng minh tô pô đại số ===
Giả sử rằng formula_21 là một hàm liên tục lẻ với formula_35 (trường hợp formula_36 được xử lý ở trên, trường hợp formula_37 có thể được xử lý bằng lý thuyết phủ sơ cấp). Do hàm là lẻ, ta có một hàm liên tục cảm sinh formula_38 giữa các không gian xạ ảnh thực, tạo ra một đồng cấu cấu trên các nhóm cơ bản. Đồng cấu này là một đẳng cấu. Theo định lý Hurewicz, phép đồng cấu vành cảm sinh trên đối đồng điều với hệ số trong formula_39,

gửi formula_41 đến formula_42. Nhưng formula_43 và formula_44, mâu thuẫn.

=== Trường hợp tổng quát - chứng minh toán học tổ hợp ===
Định lý Borsuk – Ulam có thể được chứng minh bằng bổ đề Tucker trong toán học tổ hợp.

== Hệ quả ==
- Không có tập hợp con nào của formula_45 đồng phôi với formula_16
- Định lý bánh mì dăm bông: Cho mọi họ các tập hợp compact "A"..., "A" trong formula_45, ta luôn có thể tìm thấy một siêu phẳng chia mỗi tập thành hai tập con có độ đo bằng nhau.

== Liên kết ngoài ==
- Thảo luận trên Diễn đàn toán học về Định lý Borsuk-Ulam