Định lý Viète

Trong toán học, định lý Viète hay hệ thức Viète (tiếng Pháp: "Relations de Viète") do nhà toán học Pháp François Viète tìm ra, nêu lên mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức (trong trường số phức) và các hệ số của nó.

== Phát biểu tổng quát ==
Xét đa thức có bậc "n" bất kì
formula_1 
(với các hệ số có thể thực hoặc phức, ). Bằng định lý cơ bản của đại số, ta luôn biết rằng phương trình này có đủ "n" nghiệm (không nhất thiết phân biệt) . Định lý Vìete cho ta mối liên hệ giữa các nghiệm đó như sau: 
(r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_1 r_n) + (r_2r_3 + r_2r_4+\cdots + r_2r_n)+\cdots + r_{n-1}r_n = \dfrac{a_{n-2}}{a_{n}} \\[1ex]
r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \dfrac{a_0}{a_n}.
Một cách tổng quát hơn, định lý Vìete có thể được biểu diễn dưới dạng 
formula_2
với .

Các số hạng ở vế phải định lý này là các đa thức đối xứng cơ bản của các nghiệm.

Hệ phương trình Vìete có thể được giải bằng phương pháp Newton và phương pháp Durand-Kerner.

== Tổng quát trên vành ==
Định lý Vìete thường được áp dụng cho các đa thức có hệ số trên một miền nguyên , bởi khi đó thương formula_3 nằm trong trường các thương của chính (thậm chí là ở trong nếu như formula_4 khả nghịch trong ), khi này các nghiệm formula_5 nằm trong trường đóng đại số mở rộng của nó.

Đối với các đa thức trên vành giao hoán mà không phải miền nguyên, định lý Vìete chỉ đúng khi formula_4 không phải là ước của không và đa thức ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng formula_7. Một phản ví dụ cho tình huống định lý Vìete không đúng là ở vành thặng dư modulo 8, phương trình bậc hai formula_8 có tới bốn nghiệm là 1, 3, 5 và 7.

== Ví dụ ==
Hai ví dụ nổi tiếng nhất của định lý Vìete chính là mối quan hệ của các nghiệm phương trình bậc hai và bậc ba như sau: 

Hai nghiệm formula_9 của phương trình bậc hai formula_10 luôn thỏa mãn 
formula_11

hay phương trình bậc ba formula_12 có ba nghiệm formula_13 thỏa mãn 
formula_14

== Chứng minh ==
=== Chứng minh trực tiếp ===
Nhờ định lý Bézout, khi phương trình đa thức bậc "n" có đủ "n" nghiệm formula_15 trên một miền nguyên, khi này đa thức đó có thể được biểu diễn dưới dạng 
formula_16
Từ đây, một cách chứng minh rất trực tiếp và tự nhiên của định lý Vìete là nhân khai triển toàn bộ vế phải, sau đó đồng nhất thức để có được điều cần chứng minh. 

=== Chứng minh bằng quy nạp ===
Một cách chứng minh khác của định lý Vìete là sử dụng quy nạp như được trình bày dưới đây. 
==== Giả thuyết quy nạp ====
Cách chứng minh trực tiếp cho ta giả thuyết quy nạp như sau: Cho formula_17 là đa thức bậc "n" với "n" nghiệm phức formula_18 và các hệ số phức formula_19 với formula_20. Giả thuyết quy nạp là 
formula_21
==== Bước cơ sở formula_22 ====
Giả sử phương trình bậc hai có các hệ số bậc thấp dần lần lượt là formula_23 và hai nghiệm formula_24. Bằng định lý Bézout ta có ngay 
formula_25
Tiến hành nhân biểu thức ở vế phải cho ta ngay điều cần chứng minh: 
formula_26
==== Bước quy nạp ====
Khi này, giả sử giả thuyết quy nạp vẫn đúng với formula_27, ta cần chứng minh nó đúng với formula_28, tức là đúng với đa thức formula_29
Ta biến đổi tương đương đa thức trở thành 
formula_30, hay
formula_31
Thực hiện phép chia và để đơn giản, ta sẽ viết lại đa thức dưới một bộ hệ số formula_32 là 
formula_33
Sử dụng giả thuyết quy nạp, ta có ngay 
formula_34
Nhân khai triển vế phải cho ta điều cần chứng minh. 
formula_35
== Lịch sử ==
Định lý này được tìm ra bởi nhà toán học người Pháp François Viète vào thế kỷ thứ 16 trong trường hợp các nghiệm đều dương. 
Theo quan điểm của nhà toán học người Anh Charles Hutton, trường hợp tổng quát như ngày nay lần đầu tiên được biết đến bởi nhà toán học người Pháp Albert Girard vào thế kỷ thứ 17: 
...(Girad là) người đầu tiên tìm được mối quan hệ tổng quát giữa các hệ số của đa thức với tổng và tích của các nghiệm. Anh ta là người đầu tiên phát hiện ra quy luật của tổng các nghiệm của một phương trình bất kì.

==Xem thêm==
- Phương trình bậc hai và phương trình bậc ba