Phần bù (lý thuyết tập hợp)

Trong lý thuyết tập hợp, phần bù hay bù của tập hợp (toán học) thường được ký hiệu là (hoặc ), là tập hợp các phần tử không nằm trong .

Khi tất cả các tập đều nằm trong một vũ trụ (tập vũ trụ là tập tất cả các tập hợp đang cần xét), thì phần bù tuyệt đối của là tập tất cả các phần tử thuộc nhưng không nằm trong .

Phần bù tương đối của tương ứng với tập hợp còn được gọi là hiệu tập hợp giữa với , đượ ký hiệu là formula_1 và là tập các phần tử thuộc nhưng không thuộc về .

== Phần bù tuyệt đối ==
=== Định nghĩa ===
Nếu là một tập hợp, thì phần bù tuyệt đối của (hay nói gọn đi là bù của ) là tập tất cả phần tử không thuộc (tập này nằm trong một tập lớn hơn đã được định nghĩa trước). Nói cách khác, gọi là tập đang chứa tất cả các phần tử đang cần phải xét (nếu như không cần xác định thì có nghĩa nó đã được định nghĩa trước ngay từ đầu), khi đó phần bù tuyệt đối của là phần bù tương đối của trong :
formula_2

Nói rõ hơn:
formula_3

Phần bù tuyệt đối của thường được ký hiệu bởi Các cách ký hiệu khác bao gồm formula_4 formula_5

=== Các ví dụ ===
- Giả sử rằng tập vũ trụ là tập tất cả các số nguyên. Nếu là tập các số lẻ thì bù của là tập các số chẵn. Nếu là tập hợp các bội của 3, thì bù của là tập các số đồng dư với 1 hoặc 2 môđun 3 (nói đơn giản hơn là các số không chia hết cho 3).
- Giả sử rằng tập vũ trụ là bộ bài chuẩn 52 lá, nếu tập hợp là tập các lá bích, thì bù của là hợp của tập lá cơ, tập lá rô và tập lá chuồn. Nếu tập là hợp của tập lá chuồn và rô thì bủ của là hợp của tập lá cơ và bích.

=== Tính chất ===
Gọi và là hai tập hợp nằm trong vũ trụ . Sau đây là hai tính chất quan trọng của phần bù tuyệt đối:

Luật De Morgan:
- formula_6
- formula_7

Luật bù:
- formula_8
- formula_9
- formula_10
- formula_11
- formula_12
- (có thể chứng minh bằng phản chứng).

Phép chập hay phần bù kép:
- formula_13

Quan hệ giữa bù tương đối và bù tuyệt đối:
- formula_14
- formula_15

Quan hệ của hiệu tập hợp:
- formula_16

Hai luật bù đầu tiên ở trên chỉ ra rằng nếu tập không rỗng là tập con thực sự của , thì là phân hoạch của .

== Phần bù tương đối ==
=== Định nghĩa ===
Nếu và là hai tập hợp, thì phần bù tương đối của trong , hay còn gọi là hiệu tập hợp của với , là tập tất cả các phần tử thuộc nhưng không thuộc .

Phần bù tương đối của trong được ký hiệu là formula_17 theo tiêu chuẩn ISO 31-11. Đôi khi cũng được ký hiệu là formula_18 song ký hiệu này không rõ ràng trong một số ngữ cảnh (ví dụ chẳng hạn, các phép tập hợp của Minkowski trong giải tích hàm). Chẳng hạn như, nó có thể coi là tập tất cả các phần tử formula_19 trong đó thuộc về và thuộc về .

Dưới ký hiệu toán học:
formula_20

=== Các ví dụ ===
- formula_21
- formula_22
- Nếu formula_23 là tập các số thực và formula_24 là tập các số hữu tỉ thì formula_25 là tập các số vô tỉ

=== Tính chất ===
Đặt , , và là các tập hợp. Các định thức sau chỉ ra các tính chất quan trọng của phần bù tương đối:

== Quan hệ bù ==
Quan hệ hai ngôi formula_40 được định nghĩa là tập con của tích tập hợp formula_41 Quan hệ bù formula_42 là bù của quan hệ formula_40 trong formula_41 Bù của quan hệ formula_40 được viết ngắn gọn như sau
formula_46
Trong lý thuyết, formula_40 được xem là ma trận logic trong đó các hàng biểu diễn các phần tử thuộc formula_48 còn cột biểu diễn các phần tử thuộc formula_49 Khi formula_50 đúng, thì giá trị của formula_50 bằng với 1 trong ô hàng formula_52 cột formula_53 trong ma trận lôgic. Ma trận lôgic của quan hệ bù của formula_40 được xây bằng cách đổi các số 1 sang 0 và các số 0 về số 1 trong ma trận lôgic của formula_40

Quan hệ bù cùng với hợp quan hệ,quan hệ ngược và đại số tập hợp là các phép toán sơ cấp của vi tích phân quan hệ.

== Ký hiệu trong LaTeX ==
Trong ngôn ngữ soạn thảo tài liệu LaTeX, lệnh codice_1 thường được dùng để hiển thị ký hiệu hiệu tập hợp, ký hiệu này gần giống với dấu gạch chéo ngược . Khi được hiển thị, lệnh codice_1 giống ý hệt codice_3, chỉ ngoại trừ việc nó có nhiều khoảng cách đằng trước và đằng sau dấu gạch chéo, na ná chuỗi lệnh LaTeX codice_4. Phiên bản khác codice_5 có trong gói amssymb. Ký hiệu formula_56 (ngược với formula_57) lấy từ lệnh codice_6. (Nó tương với ký hiệu Unicode ∁.)

== Trong ngôn ngữ lập trình ==
Một số ngôn ngữ lập trình đã cài đặt sẵn một số cấu trúc dữ liệu như tập hợp. Thường thì cấu trúc đó có hoạt động giống với tập hữu hạn, tức là nó chỉ có hữu hạn số phần tử không được sắp theo thứ tự nào cả. Trong một số trường hợp, các phần tử trong tập không nhất thiết phải phân biệt, tức là cấu trúc lúc này mô tả đa tập hợp ("multiset") thay vì tập hợp thông thường. Các ngôn ngữ này thường có toán tử hoặc hàm viết sẵn cho phần bù và hiệu tập hợp.

Các toán tử này có thể áp dụng cho cả các cấu trúc dữ liệu không phải tập hợp trong toán học, ví dụ danh sách liên kết hoặc mảng. Do đó một vài ngôn ngữ lập trình có sẵn hàm codice_7 kể cả khi đầu vào của nó không nhất thiết phải là tập hợp.