Độc lập đại số

Trong đại số trừu tượng, tập hợp con formula_1 của một trường formula_2 được gọi là độc lập đại số trên trường con formula_3 nếu các phần tử của formula_1 không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức phi tầm thường nào với hệ số thuộc formula_3.

Đặc biệt, tập hợp một phần tử formula_6 độc lập đại số trên formula_3 khi và chỉ khi formula_8 là phần tử siêu việt trên formula_3. Tổng quát, mọi phần tử của một tập hợp formula_1 độc lập đại số trên formula_3 phải là phần tử siêu việt trên formula_3 cũng như mọi mở rộng trường trên formula_3 được tạo sinh bởi các phần tử còn lại của formula_1.

== Ví dụ ==
Hai số thực formula_15 và formula_16 là số siêu việt do chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức phi tầm thường nào với các hệ số đều là số hữu tỉ. Vì vậy, hai tập hợp formula_17 và formula_18 độc lập đại số trên trường số hữu tỉ.

Tuy nhiên, tập hợp formula_19 không độc lập đại số trên trường số hữu tỉ formula_20 vì đa thức phi tầm thường
có giá trị bằng 0 khi formula_22 và formula_23.

== Tính độc lập đại số của một số hằng số đã biết ==
Dù và đều là số siêu việt nhưng không rõ tập hợp formula_24 có độc lập đại số trên formula_20 hay không. Thậm chí, việc số formula_26 có phải là số vô tỉ hay không cũng chưa có lời giải. Vào năm 1996, Nesterenko đã chứng minh:

- Các số formula_27, formula_28 và formula_29 (với formula_30 là hàm gamma) độc lập đại số trên formula_20.
- Các số formula_27, formula_33 và formula_34 độc lập đại số trên formula_20.
- Hai số formula_27 và formula_37 độc lập đại số trên formula_20 với mọi số nguyên dương formula_39.

== Các kết quả và vấn đề mở ==
Định lý Lindemann–Weierstrass thường được áp dụng để chứng tỏ có một số tập hợp độc lập đại số trên formula_20. Định lý phát biểu rằng nếu formula_41 là các số đại số độc lập tuyến tính trên formula_20 thì formula_43 độc lập đại số trên formula_20.

Giả thuyết Schanuel nếu được chứng minh thành công sẽ thiết lập tính chất độc lập đại số của nhiều số, trong đó có và :

== Matroid đại số ==
Cho một mở rộng trường formula_51 phi đại số, ta có thể áp dụng bổ đề Zorn để chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một tập con độc lập đại số lớn nhất của formula_2 trên formula_3. Ngoài ra, mọi tập con độc lập đại số lớn nhất đều có lực lượng bằng nhau và lực lượng đó chính là bậc siêu việt của mở rộng trường.

Với mọi tập hợp hữu hạn formula_1 chứa những phần tử thuộc formula_2, các tập con độc lập đại số của formula_1 cùng thỏa mãn những tiên đề xác định các tập hợp độc lập của một matroid. Trong matroid này, hạng của một tập hợp là bậc siêu việt của tập đó và flat được tạo sinh bởi một tập hợp formula_57 là giao giữa formula_2 với trường formula_59. Một matroid có thể tạo sinh được theo cách này được gọi là "matroid đại số". Hiện không có mô tả đặc trưng tốt nào về matroid đại số được biết đến, nhưng người ta cũng đã biết có một số matroid nhất định là phi đại số, trong đó matroid Vámos là bé nhất.

Nhiều matroid hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận trên một trường formula_3 mà trong đó các phần tử matroid tương ứng với các cột của ma trận. Một tập hợp phần tử khi đó được gọi là độc lập nếu tập hợp các cột tương ứng là độc lập tuyến tính. Mọi matroid có biểu diễn tuyến tính dạng này cũng có thể được biểu diễn dưới dạng matroid đại số bằng cách chọn một biến vô định cho mỗi dòng của ma trận và lấy các hệ số ma trận bên trong mỗi cột để gán một tổ hợp tuyến tính các phần tử siêu việt này cho mỗi phần tử matroid. Điều ngược lại là sai: không phải mọi matroid đại số đều có biểu diễn tuyến tính.

== Xem thêm ==
- Độc lập tuyến tính
- Số siêu việt
- Định lý Lindemann–Weierstrass
- Giả thuyết Schanuel