Phép đồng phôi

Trong toán học và đặc biệt là topo, một phép đồng phôi (nghĩa là "có cùng hình dạng", được đặt tên bởi Henri Poincare), hay đẳng cấu topo, ánh xạ đồng liên tục (tiếng Anh: "bicontinuous function") là một song ánh và ánh xạ liên tục giữa hai không gian topo, sao cho ánh xạ ngược cũng liên tục. Các đồng phôi là đẳng cấu của phạm trù không gian topo - nghĩa là các đồng phôi là các ánh xạ bảo toàn được cấu trúc topo của một không gian. Hai không gian qua một phép đồng phôi cũng được gọi là đồng phôi với nhau.

Một cách nôm na, các không gian topo cơ bản là các đối tượng hình học, và một phép đồng phôi biến đối tượng này thành một đối tượng khác, ví dụ hình vuông và hình tròn thì đồng phôi với nhau, nhưng một mặt cầu và hình xuyến thì không.

==Định nghĩa ==
Một ánh xạ formula_1 giữa hai không gian tô pô formula_2 được gọi là một phép đồng phôi nếu thỏa mãn các tính chất sau:
- f là một song ánh
- f là ánh xạ liên tục
- ánh xạ ngược formula_3 là liên tục

Nếu tồn tại một ánh xạ f thỏa mãn các tính chất trên thì formula_4 được gọi là đồng phôi với nhau.

Một phép tự đồng phôi là một phép đồng phôi từ một không gian tô pô vào chính nó. Phép đồng phôi hình thành nên một quan hệ tương đương trên lớp các không gian tô pô, lớp tương đương này còn được gọi là những lớp đồng phôi.

Điều kiện thứ ba (formula_3 là liên tục) là không thể bỏ được, với phản ví dụ formula_6 (đường tròn đơn vị trong ), cho bởi công thức formula_7 Ánh xạ này là song ánh, liên tục nhưng không phải đồng phôi (do S^1 compact nhưng [0,2\pi) thì không), do ánh xạ ngược formula_3 không liên tục tại điểm formula_9, dù formula_3 biến formula_9 thành formula_12, nhưng bất cứ lân cận nào của điểm này đều gần với formula_13, mà formula_13 không nằm trong lân cận ban đầu.

Hợp thành của hai đồng phôi là một đồng phôi, từ đó tập tất cả các tự đồng phôi formula_15 lập thành một nhóm, gọi là nhóm đồng phôi của X, kí hiệu formula_16 

==Ví dụ==
- Khoảng mở formula_17 đồng phôi với đường thẳng thực với mọi formula_18, thông qua phép đồng phôi formula_19.
- Hình tròn đơn vị và hình vuông đơn vị trong là đồng phôi, qua phép đồng phôi trong hệ tọa độ cực formula_20
- đồ thị của hàm khả vi đồng phôi với tập xác định của chính nó.
- Nếu formula_21 là nhóm topo, phép nghịch đảo formula_22 là một đồng phôi.
===Các phản ví dụ===
- Với , và không đồng phôi.
- Đường thẳng thực trong không gian Euclide không đồng phôi với đường tròn đơn vị, do đường tròn đơn vị thì compact nhưng đường thẳng thực thì không. Tương tự, đoạn formula_23 và khoảng formula_24 không đồng phôi với nhau.

==Tính chất==
Hai không giao topo đồng phôi với nhau thì có cùng tính chất topo với nhau.
Cho ánh xạ formula_25. Với formula_26 là phép đồng phôi giữa formula_27 và formula_28. Nếu
- formula_27 là không gian topo compact thì formula_28 cũng là không gian topo compact và ngược lại.
- formula_27 là không gian topo liên thông thì formula_28 cũng là không gian topo liên thông và ngược lại.
- formula_27 là không gian topo Hausdorff thì formula_28 cũng là không gian topo Hausdorff và ngược lại.
- Cho nên không gian R với tô pô chuẩn thì không đồng phôi với không gian R với tô pô phần bù hữu hạn, vì không gian R với tô pô chuẩn là không gian Hausdorff, còn không gian R với tô pô phần bù hữu hạn thì không.

==Các khái niệm khác==
- Phép nhúng
của formula_27 trong formula_28 là một ánh xạ: formula_25 sao cho formula_26 là phép đồng phôi giữa formula_27 và không gian con formula_40 của formula_28.
- Cho formula_27 là không gian topo.Nếu formula_43 là một phép nhúng thì ảnh của formula_26 là một cung trong formula_27.Nếu formula_46 là một phép nhúng thì ảnh của formula_26 là một đường cong đơn kín đơn giản trong formula_27.
- Ví dụ: những nốt thắt dây là phép nhúng của một vòng tròn vào không gian 3 chiều.

== Thư mục ==
- Colin, Adams, Introduce to Topology: Pure and Applied
- Huỳnh Quang Vũ, 2012, Lecture notes on Topology
- Manetti, Marco, 2014, Topology"," ISBN 978-3-319-16958-3
- L. E. J. Brouwer, 1911, "Beweis der invarianz des n-dimensionalen gebiets", Mathematische Annalen, 71 (1911): 305–313