Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn formula_1.

== Danh sách các dấu hiệu hội tụ ==
=== Giới hạn của các số hạng ===
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là formula_2 thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.

==== Chứng minh ====
Đặt formula_3 Do chuỗi formula_1 hội tụ nên dãy formula_5 là dãy cơ bản. Theo đó với mỗi số thực formula_6 tồn tại số formula_7 sao cho với mọi formula_8 ta có formula_9 hay formula_10 Điều này chứng tỏ formula_11

=== Dấu hiệu tỉ số ===
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.

==== Chứng minh ====
Đặt formula_16 Nếu formula_13 thì theo định nghĩa giới hạn trên của dãy số tồn tại một số formula_18 dương sao cho formula_19 và số formula_20 sao cho formula_21 hay formula_22 với mọi formula_23 Từ đây ta truy toán được formula_24 với mọi formula_25 Khi đó

formula_26

Chuỗi formula_27 là chuỗi hình học với công sai formula_28 suy ra ta có đẳng thức formula_29 do đó

formula_30

Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại nếu formula_14 thì theo định nghĩa giới hạn dưới của dãy số ta tìm được số dương formula_32 sao cho formula_33 và tồn tại formula_34 sao cho formula_35 đồng thời formula_36 với mọi formula_37 Do formula_38 nên formula_39 khi formula_40, do đó formula_41 khi formula_40, do đó dãy formula_43 không hội tụ về formula_44 nên chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

=== Dấu hiệu căn ===
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc "n" hay tiêu chuẩn căn Cauchy.

Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi

sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.
====Chứng minh====
Nếu formula_48 thì tồn tại số formula_20 và formula_50 sao cho formula_51 hay formula_52 với mọi formula_53. Khi đó formula_54 nên suy ra được chuỗi hội tụ tuyệt đối. Ngược lại, nếu có vô hạn formula_55 sao cho formula_56 thì formula_57 với vô hạn formula_55, khi đó chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn giới hạn của các số hạng.

=== Tiêu chuẩn tích phân ===
Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho formula_59 là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho formula_60. Nếu tích phân vô địnhformula_61là hữu hạn thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi formula_62 hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.

==== Dấu hiệu p-chuỗi ====
Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số formula_63. Vậy thì chuỗi formula_64 hội tụ khi và chỉ khi formula_65.

Trường hợp formula_66 ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp formula_67 là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến formula_68. Tổng quát, với formula_69, chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với formula_70 tức là formula_71.

=== Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp ===
Nếu chuỗi formula_72 là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng formula_73 với "n" đủ lớn, thì chuỗi formula_1 cũng hội tụ tuyệt đối.

=== Tiêu chuẩn so sánh giới hạn ===
Nếu formula_75, (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn formula_76 tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì formula_1 phân kỳ khi và chỉ khi formula_72 phân kỳ.

Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

=== Tiêu chuẩn Cauchy nén ===
Cho formula_79 là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn formula_80 hội tụ khi và chỉ khi tổng formula_81 hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức formula_82 được thỏa mãn.

=== Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối ===
Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, những chuỗi như vậy gọi là chuỗi hội tụ có điều kiện. Đối với những chuỗi số thực hội tụ có điều kiện ta có thể sắp xếp lại các formula_83 sao cho ta được chuỗi mới formula_84 hội tụ về bất kỳ số thực nào hoặc phân kỳ, đây chính là định lý chuỗi Riemann. Do đó khi làm việc với các chuỗi ta không được sắp xếp lại các formula_83 nếu chưa xác định được chuỗi có hội tụ tuyệt đối không vì nó có thể tạo ra một chuỗi mới hội tụ hoặc phân kỳ.
==== Chứng minh ====
Đặt formula_86 và formula_87. Dãy formula_88 là dãy cơ bản nên với mỗi formula_6 tồn tại số nguyên dương formula_20 sao cho với mọi formula_91 ta có
formula_92
trong đó bất đẳng thức sau cùng đúng do bất đẳng thức tam giác. Điều này chứng tỏ dãy formula_93 cũng là dãy cơ bản nên chuỗi formula_94 hội tụ.

=== Dấu hiệu Abel ===
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

1. formula_95 là một chuỗi hội tụ,
2. formula_96 là một dãy đơn điệu, và
3. formula_96 bị chặn.

Vậy thì chuỗi formula_98 cũng hội tụ.

=== Dấu hiệu Dirichlet ===
Giả sử có dãy số thực formula_99 và dãy phức formula_100 thoả mãn

Khi đó chuỗi formula_106 hội tụ.
==== Chứng minh ====
Đặt formula_107 và formula_108. Theo khai triển Abel ta có
formula_109
Do dãy formula_110 bị chặn nên formula_111 khi formula_40. Theo định nghĩa của chuỗi ta có
formula_113
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
formula_114
Không mất tính tổng quát giả sử dãy formula_99 giảm ngặt, vì nếu không ta có thể thay formula_116 bởi formula_117. Lúc này formula_118 nên chuỗi formula_119 là chuỗi lồng nhau, khi đó ta dễ dàng có
formula_120
và điều này chứng tỏ rằng chuỗi formula_121 hội tụ tuyệt đối nên chuỗi formula_116 cũng hội tụ.
=== Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu ===
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn đối với dãy formula_99, đó là

- formula_124 và
- dãy formula_99 đơn điệu.

Vậy formula_126 và formula_127 là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.
Tiêu chuẩn này chỉ là một hệ quả của tiêu chuẩn Dirichlet ở trên, bởi vì ta có thể chọn
formula_128
Đối với các chứng minh khác, bạn đọc có thể xem tại đây.

=== Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel ===
Cho dãy formula_129.

Định nghĩa dãy

Nếu giới hạn

tồn tại thì có ba khả năng:

- nếu "L" > 1 thì chuỗi hội tụ
- nếu "L" < 1 thì chuỗi phân kỳ
- còn nếu "L" = 1 thì chưa thể kết luận.

Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σ là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu "b" > 1 và tồn tại một số tự nhiên "K" sao cho

với mọi "n" > "K" thì chuỗi Σ"a" hội tụ.

=== Dấu hiệu Bertrand ===
Cho { "a" } là một dãy số dương.

Định nghĩa

Nếu tồn tại giới hạn

thì có ba khả năng:

- nếu "L" > 1 thì chuỗi Σ"a" hội tụ
- nếu "L" < 1 thì chuỗi Σ"a" phân kỳ
- còn nếu "L" = 1 thì chưa thể kết luận.

=== Dấu hiệu Gauss ===
Cho { "a" } là một dãy số dương. Nếu formula_135 với một số β > 1, thì formula_136 hội tụ nếu và phân kỳ nếu .

=== Chú ý ===
Đối với một số loại chuỗi cụ thể thì có thể các dấu hiệu hội tụ chuyên biệt hơn, thí dụ đối với chuỗi Fourier có dấu hiệu Dini.

== Thí dụ ==
Xét chuỗi

formula_137

Theo tiêu chuẩn Cauchy nén, (*) hội tụ hữu hạn khi

cũng hội tụ hữu hạn. Bởi

(**) là một chuỗi hình học với công bội formula_140. (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là formula_141). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi formula_142.

== Sự hội tụ của tích ==
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho formula_143 là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn formula_144 hội tụ khi và chỉ khi chuỗi formula_1 hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn formula_146, thì formula_147 tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi formula_1 hội tụ.

Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.

== Xem thêm ==
- Quy tắc l'Hôpital
- Quy tắc shift

== Liên kết ngoài ==
- Flowchart for choosing convergence test