Không gian thương (tô pô)

Trong tô pô và các ngành liên quan của toán học, không gian thương (quotient topology) của một không gian tô pô theo một quan hệ tương đương (hai ngôi) là một không gian tô pô mới, được xây dựng bằng cách gán tô pô thương cho tập hợp thương tương ứng, tức là tô pô mịn nhất sao cho các phép chiếu chuẩn tắc trở thành liên tục. Nói cách khác, một tập hợp trong không gian thương là mở khi và chỉ khi tạo ảnh của nó là mở trong không gian ban đầu.

Nói một cách trực quan, các điểm tương đương với nhau trong quan hệ tương đương sẽ được dính lại thành một điểm trong không gian thương. Ví dụ, nếu ta coi hai điểm đối xứng trên mặt cầu là tương đương với nhau, ta sẽ thu được một không gian thương là mặt phẳng xạ ảnh.

== Định nghĩa ==
Cho formula_1 là một không gian tô pô, và formula_2 là một quan hệ tương đương trên formula_3 formula_4nhắc lại, một quan hệ toán học 2 ngôi formula_2 trên một tập formula_3 là một tập con của formula_7, nghĩa là

formula_2 formula_9formula_10. Tập hợp thương formula_11 là tập hợp gồm tất cả các lớp tương đương trên formula_3 theo quan hệ formula_2 . Thông thường, lớp tương đương của một phần tử formula_14 được ký hiệu là formula_15, hoặc formula_16, hoặc formula_17, nghĩa là: 

- Không gian thương formula_20 được trang bị tô pô thương:
là tô pô mà các tập mở là các tập formula_22 thỏa mãn tập formula_23 là mở trong formula_1.

- Một cách tương đương, các tập mở của không gian thương formula_25 là các tập formula_22 sao cho dưới toàn ánh

nghịch ảnh formula_29 là mở trong formula_1.

- Tô pô thương là tô pô cuối (final topology) của tập hợp thương theo ánh xạ formula_31.

== Ánh xạ thương (quotient map) ==
- Một ánh xạ formula_32 được gọi là ánh xạ thương (identification map) nếu nó toàn ánh và formula_33.

Một cách tương đương, formula_34 là ánh xạ thương formula_35 formula_34 toàn ánh và formula_37 đươc trang bị tô pô cuối cùng theo formula_34.

- Cho formula_1 là một không gian tô pô với quan hệ tương đương formula_2 . Khi đó ánh xạ chính tắc (canonical map) formula_41 là một ánh xạ thương.

== Ví dụ ==
- Phép dán (gluing). Các nhà tô pô học thường nói về việc dán các điểm lại với nhau. Cho không gian tô pô formula_1, dán 2 điểm formula_43 trong formula_3 có nghĩa là ta xét không gian thương thu được từ quan hệ tương đương formula_45 hoặc formula_46 hoặc formula_47.
- Xét hình vuông đơn vị với quan hệ tương đương formula_2 sinh bởi điều kiện tất cả các điểm biên đều tương đương, do đó ta lập được 1 lớp tương đương gồm tất cả điểm biên của formula_49. Khi đó formula_50, với formula_51 là một mặt cầu bất kỳ.

- Không gian mở rộng (adjunction space). Tổng quát, cho không gian tô pôformula_1 và không gian con formula_53 với formula_54. Ta có thể gộp tất cả phần tử của formula_55 thành một lớp tương đương và tất cả các phần tử của formula_56 thành một lớp tương đương., nghĩa là

Khi đó, ta nhận được không gian thương được kí hiệu là formula_59. Mặt cầu 2 chiều đồng phôi với một hình tròn đóng, với biên được xác định bởi đúng một điểm: formula_60.

- Xét không gian formula_61 với tô pô Euclide, với quan hệ tương đương formula_62. Khi đó formula_63 đồng phôi với đường tròn đơn vị formula_64 qua phép đồng phôi formula_65.
- Tổng quát hóa của ví dụ trước: cho formula_66 là một nhóm tô pô tác động liên tục lên không gian tô pô formula_67. Xét quan hệ tương đương trong formula_68 bởi formula_69, với formula_70 là quỹ đạo của formula_71 bởi tác động liên tục của formula_72 lên tập hợp tất cả nhóm con của formula_72. Khi đó formula_37 được gọi là không gian quỹ đạo (orbit space), kí hiệu là formula_75. Trong ví dụ trước, formula_76 tác động tịnh tiến lên formula_61. Không gian quỹ đạo formula_78 đồng phôi với formula_64.

Ghi chú: formula_78 là một khái niệm vẫn còn mơ hồ. Nếu hiểu theo nghĩa formula_81 là một nhóm với phép cộng tác động lên formula_61 thì không gian thương đồng phôi với đường tròn. Nếu hiểu theo nghĩa formula_81 là một không gian con của formula_61 thì không gian thương đồng phôi với vô hạn đếm được cánh hoa giao nhau tại 1 điểm.

== Tính chất ==
- Cho formula_85 là một không gian thương của formula_86. Ánh xạ thương formula_87, là đặc trưng trong các toàn ánh do tính chất sau:
cho không gian tô pô formula_88 và formula_89, khi đó formula_34 liên tục formula_35formula_92 liên tục.

- Không gian thương formula_37 cùng với ánh xạ thương formula_94 được đặc trưng bởi tính phổ dụng (universal property) : nếu ánh xạformula_95 là liên tục và thỏa mãn formula_96, thì khi đó formula_97 formula_98 formula_99 sao cho formula_100. Ta nói formula_101 "là một ánh xạ hạn chế thương." Do đó, các ánh xạ liên tục được xác định trên formula_37 chính là các ánh xạ được sinh bởi các ánh xạ liên tục được xác định trên formula_3 theo quan hệ tương đương (theo nghĩa là chúng gửi các phần tử tương đương vào cùng một tạo ảnh). Tiêu chí này được sử dụng nhiều khi nghiên cứu không gian thương.
- Cho toàn ánh liên tục formula_94. Ta có thể đặt câu hỏi với điều kiện nào thì formula_105 là một ánh xạ thương ? Điều kiện đủ là formula_105 là ánh xạ mở (điều này tương đương với formula_105 là ánh xạ đóng). Lưu ý rằng đây là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (nhắc lại: cho 2 mệnh đề P và Q, nếu P đúng formula_108 Q đúng thì P là điều kiện đủ của Q và Q là điều kiện cần của P) Ta có thể dễ dàng xây dựng các ví dụ về ánh xạ thương mà không phải là ánh xạ mở. Đối với các nhóm tô pô, ánh xạ thương là ánh xạ mở.

== Tương quan với các khái niệm tô pô khác ==
Sự tách (separation)

- Nói chung, hệ tiên đề tách là không đúng đối với các không gian thương. Không gian thương formula_37 không nhất thiết kế thừa các tính chất tách của formula_3, và formula_37 có thể có những tính chất tách mà formula_3 không có.
- formula_37 là không gian formula_114 formula_35 mọi lớp tương đương là đóng trong formula_3.
- Nếu ánh xạ thương là ánh xạ mở, thì formula_37 là Hausdorff formula_35 formula_2 là một tập con đóng trong không gian tích formula_120 với formula_121 là tô pô tích (nhác lại, một quan hệ toán học 2 ngôi formula_2 trên một tập formula_3 là một tập con của formula_7, nghĩa là formula_2 formula_9).

Tính liên thông (connectedness)

- Nếu một không gian là liên thông (hoặc liên thông đường) thì mọi không gian thương của nó cũng liên thông (hoặc liên thông đường)
- Nếu một không gian là đơn liên (hoặc co rót được-contractible space) thì không gian thương của nó không nhất thiết có các tính chất đó.

Tính compact

- Nếu một không gian là compact thì mọi không gian thương của nó cũng compact.
- Nếu một không gian là compact địa phương thì không gian thương của nó không nhất thiết compact địa phương.

Số chiều (Dimension)

- Số chiều tô pô của một không gian thương có thể lớn hơn hoặc bé hơn số chiều của không gian ban đầu. Đường cong phủ không gian cho ta các ví dụ như vậy.

== Liên kết ngoài ==
- Không gian thương tại omarine