Ánh xạ

Trong toán học, ánh xạ (Tiếng Anh: "mapping/" Tiếng Hán:映射) là một khái niệm chỉ quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mỗi phần tử của tập hợp đầu tiên (được gọi là tập nguồn) với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai (được gọi là tập đích). Tập nguồn và tập đích không nhất thiết phải là tập số thực hay tập con của tập số thực mà hoàn toàn có thể là tập hợp của các vector, hàm giải tích, biến ngẫu nhiên, ... Nói cách khác, một ánh xạ biểu hiện một quy tắc hay thao tác biến đổi toán học nhất định từ một phần tử trên một không gian (tập hợp) sang đúng một phần tử (thường được gọi là ảnh) trên không gian (tập hợp) thứ hai. Các ánh xạ có thể là toàn ánh, đơn ánh hoặc song ánh phụ thuộc vào tính chất của ảnh trên tập hợp thứ hai, và có thể được thể hiện bởi các toán tử, ký hiệu toán học hoặc các phép toán từ sơ cấp tới cao cấp. Chẳng hạn, phép biến đổi Laplace là một ánh xạ từ tập chứa các hàm trên miền thời gian sang tập chứa các hàm trên miền tần số phức thông qua một phép biến đổi bằng tích phân. Hay một ma trận thường được sử dụng để thể hiện một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian Euclide.

Khi hai tập hợp là hai tập số thực hoặc tập con của số thực, ánh xạ giữa hai tập này thường được gọi là "hàm số". Điều đó có nghĩa là hàm số được coi như một trường hợp đặc biệt của ánh xạ.

==Định nghĩa toán học==
Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu formula_1) là một quy tắc cho mỗi phần tử x formula_2 X tương ứng với một phần tử xác định y formula_2 Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu formula_4, nghĩa là formula_5.

Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.

Với mỗi formula_6, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ "f" bằng "y", được gọi là tạo ảnh của phần tử "y" qua "f", ký hiệu là formula_7. Ta cóformula_8.

Với mỗi tập con formula_9, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của formula_10 qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A). Ta cóformula_11.

Với mỗi tập con formula_12, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh formula_13 được gọi là tạo ảnh của tập B ký hiệu là formula_14. Ta cóformula_15.

Trong tương quan với khái niệm quan hệ, ta cũng có thể định nghĩa:

==Vài tính chất cơ bản==
- Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
- Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
- Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
- Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh

==Toàn ánh, đơn ánh và song ánh==
- Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X "lên" Y
- Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.

- Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).

==Một số ánh xạ đặc biệt==
- Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x formula_2 X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất formula_31 formula_2 Y.
- Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
- Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con formula_33 vào Y cho f(x)= x với mọi formula_18 (cũng được gọi là "đơn ánh chính tắc"). Khi đó ta ký hiệu f: X formula_35 Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu formula_36 là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con formula_37, f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con formula_37 bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.

==Các phép toán==
===Ánh xạ hợp===
Cho hai ánh xạ formula_36 và formula_40. Hợp của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là formula_41 là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức formula_42 (cũng được gọi là "tích ánh xạ" của f và g).

Một số tính chất của ánh xạ hợp

- Nếu formula_43 là đơn ánh thì f là đơn ánh.
- Nếu formula_43 là toàn ánh thì g là toàn ánh.
- Nếu formula_43 là song ánh thì f và g đều là song ánh.

=== Ánh xạ nghịch đảo ===
Cho ánh xạ formula_1là song ánh. Nếu tồn tại ánh xạ formula_47 sao cho

formula_48

formula_49

thì g được gọi là nghịch đảo, hay ánh xạ ngược, của f, ký hiệu là formula_50.

Ánh xạ f có nghịch đảo khi và chỉ khi f là song ánh.

=== Ánh xạ thu hẹp ===
Cho ánh xạ formula_1 và một tập con formula_52. Ánh xạ thu hẹp của formula_53 về formula_54 là một ánh xạ từ formula_54 vào formula_56, ký hiệu formula_57, xác định bởi đẳng thức formula_58. Ánh xạ thu hẹp là duy nhất.

=== Ánh xạ mở rộng ===
Cho ánh xạ formula_1 và một tập hợp formula_60 sao cho formula_61. Một ánh xạ mở rộng của formula_53 tới formula_60 là một ánh xạ formula_64 từ formula_60 vào formula_56 sao cho formula_67. Nói chung, với mỗi ánh xạ đã cho, có nhiều ánh xạ mở rộng khả dĩ.

==Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng Anh)==
- Ánh xạ xạ ảnh
- "Canonical map" Ánh xạ chính tắc
- "Classifying map" Ánh xạ phân loại
- Ánh xạ bảo giác: ánh xạ bảo toàn độ lớn của các góc, nghĩa là góc giữa các tiếp tuyến với hai đường cong bất kì (tại giao điểm của chúng) bằng góc giữa các tiếp tuyến với các ảnh của hai đường đó (tại giao điểm tương ứng). Một hàm song chỉnh hình là một ánh xạ bảo giác.
- Ánh xạ không đổi
- Ánh xạ tiếp lên
- Ánh xạ liên tục:
- Ánh xạ f từ x formula_2 X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f(x) đều tồn tại lân cận V của x trong X (V formula_69 X) sao cho f(V) formula_69 W được gọi là ánh xạ liên tục tại x lên Y
- Ánh xạ Y = f(X) được gọi là ánh xạ liên tục từ X vào Y nếu nó liên tục với mọi x formula_71 X
- Ánh xạ đồng phôi: f:X→Y là ánh xạ song ánh, liên tục và ánh xạ ngược formula_50 cũng liên tục. Khi đó X và Y được gọi là hai không gian, hai tập hợp đồng phôi hay tương đương tô pô
- "Contour map" Phương ánh các đường nằm ngang
- "Contraction mapping" ánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào chính nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì bị giảm đi qua ánh xạ đó. Người ta chứng minh rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co bao giờ cũng có một và chỉ một điểm bất động x, tức là F(x) = x
- "Equivariant map" Ánh xạ đẳng biến
- "Evaluation map" Ánh xạ định giá
- "Excission map" Ánh xạ cắt
- "Fibre map" Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không gian phân thớ
- "Identification map" Ánh xạ đồng nhất hoá
- "Inclusion map" Ánh xạ nhúng chìm
- "Interior map" Ánh xạ trong
- "Involutory map" Ánh xạ đối hợp
- "Light map" Ánh xạ chuẩn gián đoạn (khắp nơi có các điểm gián đoạn)
- "Lowering map" Ánh xạ hạ thấp
- "Regular map" Ánh xạ chính quy
- "Simplicial map" Ánh xạ đơn hình
- "Tensor map" Ánh xạ tenxơ
- "Affine mapping" Ánh xạ afin
- "Analytic mapping" Ánh xạ giải tích
- "Bicontinuous mapping" Ánh xạ song liên tục
- "Chain mapping" Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyền
- "Closed mapping" Ánh xạ đóng: f:X→Y được gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập A đóng formula_2 X đều có f(A) là tập đóng trong Y
- "Open mapping" Ánh xạ mở: f:X→Y được gọi là ánh xạ mở nếu với mọi tập A mở formula_2 X đều có f(A) là tập mở trong Y
- "Diferentiable mapping" Ánh xạ khả vi
- "Epimorphic mapping" Ánh xạ toàn hình
- "Homomorphous mapping" Ánh xạ đồng cấu
- "Homotopic mapping" Ánh xạ đồng luân
- Ánh xạ đẳng cự
- "Isotonic mapping" Ánh xạ bảo toàn thứ tự
- Ánh xạ tuyến tính
- "Meromorphic mapping" Ánh xạ phân hình
- "Monomorphic mapping" Ánh xạ đơn cấu
- "Monotone mapping" Ánh xạ đơn điệu
- "Non-alternating mapping" Ánh xạ không thay phiên
- "Norm-preserving mapping" Ánh xạ bảo toàn chuẩn
- "One-to-one mapping" Ánh xạ một-một, hai chiều, (song ánh)
- "Perturbation mapping" Ánh xạ lệch
- "Preclosed mapping" Ánh xạ tiền đóng
- "Pseudoconformal mapping" Ánh xạ giả bảo giác
- "Quasi-conformal mapping" Ánh xạ tựa bảo giác
- "Quasi-open mapping" Ánh xạ tựa mở
- "Rational mapping" Ánh xạ hữu tỷ
- "Sense-preserving mapping" Ánh xạ bảo toàn chiều
- "Slit mapping" Ánh xạ lên miền có lát cắt trong
- "Starlike mapping" Ánh xạ hình sao
- "Symplectic mapping" Ánh xạ đối ngẫu ximplectic
- "Topological mapping" Ánh xạ tô pô
- "Univalent mapping" Ánh xạ đơn diệp

==Xem thêm==
- Tập hợp
- Lý thuyết tập hợp
- Nhóm (đại số)
- Hàm số
- Ánh xạ xạ ảnh
- Tô pô

== Liên kết ngoài ==
- Hoàng Xuân Sính, "Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám)", 1972, Nhà xuất bản Giáo dục