Cây hậu tố

Trong khoa học máy tính, một cây hậu tố là một cấu trúc dữ liệu để biểu diễn các hậu tố của một xâu ký tự sao cho có thể thực hiện nhanh chóng nhiều thao tác trên xâu.

Cây hậu tố của xâu formula_1 là một cây có cạnh được gắn nhãn là các xâu ký tự và mỗi hậu tố của formula_1 tương ứng với chuỗi thu được bằng cách ghép tất cả các nhãn của một đường từ gốc đến lá. Do đó nó là cây cơ số (cụ thể hơn, nó là cây Patricia) của các hậu tố của formula_1.

Việc xây dựng cây hậu tố của xâu formula_1 sử dụng thời gian và bộ nhớ tuyến tính với độ dài của formula_1. Sau khi đã xây dựng xong cây, có thể thực hiện nhanh chóng nhiều thao tác, chẳng hạn như tìm xâu con trong formula_1, tìm xâu con với một số lượng lỗi cố định, tìm biểu thức chính quy v.v... Cây hậu tố cũng là một trong những lời giải tuyến tính đầu tiên của bài toán tìm xâu con chung dài nhất. Tuy làm tăng tốc độ các thao tác nhưng việc lưu trữ cây hậu tố thường đòi hỏi nhiều bộ nhớ hơn chỉ lưu trữ xâu ký tự.

==Lịch sử==
Khái niệm này được đưa ra dưới tên gọi "cây vị trí (position tree)" bởi Weiner năm 1973, mà Donald Knuth sau đó gọi là "Thuật toán của năm 1973". Thuật toán được đơn giản hóa bởi McCreight năm 1976
, và bởi Ukkonen năm 1995. Ukkonen đưa ra thuật toán trực tuyến đầu tiên cho việc xây dựng cây hậu tố, nay gọi là thuật toán Ukkonen, với thời gian chạy nhanh ngang với thuật toán nhanh nhất khi đó. Các thuật toán này có thời gian chạy tuyến tính khi kích thước bảng chữ cái là hằng số, và có thời gian chạy xấu nhất là formula_7 trong trường hợp tổng quát.

Năm 1997, Martin Farach đưa ra thuật toán xây dựng cây hậu tố đầu tiên chạy trong thời gian tuyến tính cho mọi bảng chữ cái. Cụ thể hơn, đây là thuật toán thời gian tuyến tính đầu tiên cho xâu ký tự có bảng chữ cái kích thước đa thức. Thuật toán Farach nay đã trở thành thành phần cơ bản cho các thuật toán mới cho việc xây dựng cây hậu tố cũng như mảng hậu tố, trong bộ nhớ ngoài, nén, v.v...

==Định nghĩa==
Cây hậu tố cho xâu formula_1 độ dài formula_9 là cây sao cho ( trang 90):
- các đường từ gốc tới lá có tương ứng 1-1 với các hậu tố của formula_1,
- các cạnh đều có nhãn là các xâu khác rỗng,
- mọi nút trong (ngoại trừ nút gốc) đều có ít nhất hai con.

Do cây thỏa mãn tính chất trên có thể không tồn tại, ta chèn thêm vào cuối formula_1 một ký tự đặc biệt không xuất hiện trong formula_1(thường ký hiệu là codice_1). Điều này đảm bảo không có hậu tố nào là tiền tố của một hậu tố khác, và có do đó cây có đúng formula_9 nút lá, ứng với formula_9 hậu tố của formula_1. Do mọi nút trong khác gốc đều có hơn một con, cây có không quá "n" −  1 nút như vậy, và tổng cộng không quá "n" + ("n" − 1) + 1 = 2"n" nút ("n" lá, "n" − 1 nút trong khác gốc, 1 gốc).

Liên kết hậu tố là một yếu tố quan trọng của các thuật toán đầu tiên nhưng các thuật toán về sau dựa trên thuật toán Farach không sử dụng chúng. Trong cây hậu tố đầy đủ, mọi nút trong đều có một liên kết hậu tố tới một nút trong khác. Nếu đường từ gốc tới một nút ứng với xâu formula_16, trong đó formula_17 là một ký tự và formula_18 là một xâu (có thể rỗng), thì nó có liên kết hậu tố tới nút có đường từ gốc tới nó ứng với xâu formula_18. Chẳng hạn trong ví dụ trên, liên kết hậu tố của codice_2 trỏ tới nút codice_3. Liên kết hậu tố cũng được sử dụng bởi nhiều thuật toán trên cây.

==Cây hậu tố tổng quát==
Cây hậu tố tổng quát là cây hậu tố cho một tập hợp các xâu thay vì chỉ một xâu. Nó biểu diễn tất cả các hậu tố của tất cả các xâu trong tập hợp. Mỗi xâu phải dùng một ký tự kết thúc riêng biệt.

==Chức năng==
Có thể xây dựng cây hậu tố cho xâu formula_1 độ dài formula_9 trong thời gian formula_22, nếu bảng chữ cái có kích thước đa thức (và do đó cũng đúng khi bảng chữ cái có kích thước hằng số).
Với bảng chữ cái lớn hơn, đa số thời gian chạy là cho việc sắp xếp các chữ cái để đưa chúng về kích thước formula_23; trong trường hợp tổng quát, việc này tốn thời gian formula_7.
Các kết quả dưới đây là cho trường hợp kích thước bảng chữ cái là hằng số.

Giả sử đã có cây hậu tố cho xâu formula_1 độ dài formula_9, hoặc đã có cây hậu tố tổng quát cho tập hợp các xâu formula_27 với tổng độ dài formula_28. Ta có thể:

- Tìm kiếm xâu con:
- Kiểm tra xem xâu formula_29 độ dài formula_30 có phải xâu con hay không trong thời gian formula_31 ( trang 92).
- Tìm lần xuất hiện đầu tiên của một trong các mẫu formula_32 với tổng độ dài formula_30 trong thời gian formula_31.
- Tìm tất cả formula_35 lần xuất hiện của các mẫu formula_32 với tổng độ dài formula_30 trong thời gian formula_38 ( trang 123).

- Tìm kiếm biểu thức chính quy "P" trong thời gian kì vọng dưới tuyến tính theo formula_9 ().
- Tìm cho mọi hậu tố của mẫu formula_29, độ dài chuỗi giống nhau dài nhất giữa tiền tố của formula_41 và các xâu con của formula_42 trong thời gian formula_43 ( trang 132).
- Xác định tính chất của xâu:
- Tìm xâu con chung dài nhất của xâu formula_44 và formula_45 trong thời gian formula_46 ( trang 125).
- Tìm tất cả formula_35 cặp tối đại trong thời gian formula_48 ( trang 144).
- Tìm mọi phân tích Lempel–Ziv trong thời gian formula_22 ( trang 166).
- Tìm xâu con lặp lại dài nhất trong thời gian formula_22.
- Tìm xâu con lặp lại nhiều lần nhất với chiều dài ít nhất một số cho trước trong thời gian formula_22.
- Tìm xâu ngắn nhất dùng bảng chữ cái formula_52 mà không xuất hiện trong formula_42, trong thời gian formula_54, nếu có formula_35 xâu như vậy.
- Tìm xâu con ngắn nhất chỉ xuất hiện đúng một lần trong thời gian formula_22.
- Tìm, với mỗi formula_57, xâu con ngắn nhất của formula_44 không xuất hiện ở chỗ nào khác trong formula_42 trong thời gian formula_22.
Có thể xây dựng một cấu trúc dữ liệu hỗ trợ cho cây hậu tố trong thời gian formula_22 để tìm tổ tiên chung thấp nhất của các nút trong thời gian hằng số( chương 8). Khi đó có thể:
- Tìm tiền tố chung dài nhất của hai hậu tố formula_62 và formula_63 trong thời gian formula_64 ( trang 196).
- Tìm mẫu "P" độ dài "m" với không quá "k" lỗi sai trong thời gian formula_65, trong đó "z" là số lần xuất hiện ( trang 200).
- Tìm tất cả formula_35 xâu đối xứng tối đại trong formula_22( trang 198), hoặc thời gian formula_68 nếu cho phép bỏ qua formula_69 ký tự, hoặc formula_70 nếu cho phép formula_71 lỗi sai ( trang 201).
- Tìm tất cả formula_35 xâu lặp lại hai lần liên tiếp nhau trong thời gian formula_73, và nếu cho phép "k" lỗi sai thì thời gian là formula_74 ( trang 204).
- Tìm xâu con chung dài nhất của ít nhất formula_71 xâu trong formula_42 với formula_77 trong thời gian formula_22 ( trang 205).
- Tìm xâu con đối xứng dài nhất của một xâu cho trước (bằng cây hậu tố của xâu cho trước và xâu ngược lại) trong thời gian tuyến tính ( trang 197–199).

== Ứng dụng ==
Cây hậu tố được sử dụng rộng rãi để giải quyết các bài toán về xâu ký tự trong soạn thảo văn bản, tìm kiếm văn bản, tin sinh học, và nhiều lĩnh vực ứng dụng khác. Các ứng dụng chính bao gồm:
- Tìm kiếm xâu ký tự, trong thời gian "O(m)", trong đó "m" là độ dài mẫu cần tìm (với thời gian "O(n)" để xây dựng cây hậu tố trước khi tìm)
- Tìm kiếm xâu con lặp lại dài nhất
- Tìm kiếm xâu con chung dài nhất
- Tìm xâu con đối xứng dài nhất

Cây hậu tố thường được sử dụng trong các ứng dụng tin sinh học, tìm kiếm mẫu trong dãy DNA hoặc protein (có thể được xem là các xâu ký tự dài). Khả năng tìm kiếm cho phép có lỗi sai là một điểm mạnh của cấu trúc dữ liệu này. Cây hậu tố cũng được sử dụng trong nén dữ liệu; có thể dùng nó để tìm dữ liệu lặp lại cũng như trong giai đoạn sắp xếp của biến đổi Burrows–Wheeler. Một biến thể của thuật toán nén LZW sử dụng cây hậu tố (LZSS). Cây hậu tố được sử dụng trong phân nhóm cây hậu tố, một thuật toán phân nhóm dữ liệu dùng cho công cụ tìm kiếm (đưa ra đầu tiên bởi ).

==Phương thức lập trình==
Nếu mỗi nút và cạnh có thể được biểu diễn trong bộ nhớ formula_64, thì có thể lưu trữ cả cây trong bộ nhớ formula_22. Tổng độ dài các xâu trên các cạnh của cây là formula_81, nhưng có thể lưu mỗi cạnh bằng vị trí bắt đầu và kết thúc của một xâu con của "S", nên tổng bộ nhớ cần dùng là formula_22. Trường hợp xấu nhất của bộ nhớ cần dùng cho cây hậu tố là khi dữ liệu vào là một từ fibonacci, đòi hỏi formula_83 nút.

Một lựa chọn quan trọng khi lập trình cây hậu tố là biểu diễn liên kết giữa nút cha và con trong cây. Cách đơn giản nhất là sử dụng danh sách liên kết gọi là danh sách chị em. Mỗi nút có một con trỏ trỏ tới nút con đầu tiên, và một con trỏ thứ hai trỏ tới nút kế tiếp trong danh sách chị em của nút đó. Cũng có thể sử dụng bảng băm, mảng đã sắp hoặc chưa sắp (sử dụng kĩ thuật gấp đôi mảng), hoặc cây nhị phân cân bằng. Mỗi lựa chọn cho một thời gian chạy khác nhau. Ta quan tâm tới:
- Chi phí tìm cạnh tới nút con có nhãn bắt đầu bằng một ký tự cho trước.
- Chi phí chèn thêm một nút con.
- Chi phí duyệt tất cả các nút con (chia trung bình cho mỗi nút con).

Đặt formula_84 là kích thước bảng chữ cái. Khi đó các chi phí là như sau:

Ghi chú là chi phí chèn là chi phí trừ dần (do gấp đôi mảng) và chi phí của bảng băm là khi sử dụng băm hoàn hảo.

Lượng thông tin cần lưu cho mỗi cạnh và nút của cây hậu tố là rất tốn kém, tiêu tốn khoảng 10 đến 20 lần lượng bộ nhớ cần thiết để lưu xâu ký tự ban đầu. Mảng hậu tố giảm tỉ lệ này xuống còn 4 và các nhà nghiên cứu vẫn đang tìm cấu trúc dữ liệu mới để giảm tỉ lệ này xuống nhỏ hơn nữa.

==Xây dựng trên bộ nhớ ngoài==
Bộ nhớ cây hậu tố đòi hỏi nhanh chóng vượt quá dung lượng bộ nhớ trong của máy tính thông thường khi độ dài các xâu đạt đến cỡ gigabyte. Khi đó, cần sử dụng các thuật toán cho bộ nhớ ngoài để xây dựng cây.

Có nhiều kết quả lý thuyết cho việc xây dựng cây hậu tố trong bộ nhớ ngoài. Thuật toán của Farach-Colton et al.

là tối ưu về mặt lý thuyết, với độ phức tạp I/O bằng với sắp xếp.
Tuy nhiên, như đánh giá trong 
thuật toán này là quá phức tạp nên vẫn chưa được sử dụng trong thực tế.

Mặt khác, đã có những nghiên cứu thực tế cho việc xây dựng cây hậu tố trên đĩa với tốc độ (một vài) GB/giờ.
Các phương pháp tốt nhất hiện nay là TDD,
TRELLIS
DiGeST,
và
BST

TDD và TRELLIS chạy được cho tới kích thước của bộ gen người – khoảng 3 GB – tạo ra cây hậu tố kích thước khoảng vài chục gigabyte. Tuy nhiên các phương pháp này chưa thể chạy được cho các dữ liệu lớn hơn 3GB. DiGeST chạy nhanh hơn hẳn trong trường hợp này và xử lý xong dữ liệu 6GB trong 6 giờ. Có thể tìm mã nguồn và tài liệu của DiGeST ở 
Tất cả các phương pháp này là cho việc xây dựng cây hậu tố khi kích thước cây vượt quá kích thước bộ nhớ trong nhưng dữ liệu vào vẫn nằm ở bộ nhớ trong.
Phương pháp mới nhất, BST, có thể xử lý được dữ liệu vượt ngoài kích thước bộ nhớ trong. ERA là một phương pháp xây dựng cây hậu tố song song mới nhanh hơn hẳn các phương pháp cũ. ERA có thể xử lý bộ gen người trong 19 phút trên một máy tính để bàn 8 nhân với 16GB RAM. Trên một cụm gồm 16 máy tính Linux (mỗi máy 4GB RAM), ERA có thể xử lý bộ gen người trong 9 phút.

==Xem thêm==
- Mảng hậu tố
- Cây hậu tố tổng quát

== Liên kết ngoài ==
- Cây hậu tố bởi Sartaj Sahni
- Cây hậu tố bởi Lloyd Allison
- Định nghĩa cây hậu tố tại NIST
- suffix_tree Thuật toán cây hậu tố viết bằng ngôn ngữ ANSI C
- libstree, một thư viện cây hậu tố viết bằng ngôn ngữ C
- Tree::Suffix, giao diện Perl cho libstree
- Strmat một thư viện cây hậu tố viết bằng C (dùng mảng thay vì danh sách liên kết)
- SuffixTree giao diện Python cho Strmat
- Universal Data Compression Based on the Burrows-Wheeler Transformation: Theory and Practice, ứng dụng của cây hậu tố cho BWT
- Theory and Practice of Succinct Data Structures, thuật toán cây hậu tố viết bằng ngôn ngữ C++
- Practical Algorithm Template Library, một thư viện cây hậu tố viết bằng C++ bởi Roman S. Klyujkov
- Thuật toán cây hậu tố viết bằng Java