Hàm liên tục

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là "hàm gián đoạn". Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.

Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của formula_1 như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập formula_2 luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của formula_3. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

Một ví dụ đơn giản, hàm số thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian là không liên tục, vì nó sẽ "nhảy" mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.

==Lịch sử==
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của formula_1 như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập formula_2 luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của formula_3. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.

Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.

==Hàm số thực==
===Định nghĩa===
Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.

Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số theo biến được gọi là "liên tục tại điểm" trên trục số thực nếu giới hạn của khi tiến tới , bằng giá trị ; và hàm số được gọi là "liên tục" nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là "gián đoạn" tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các "điểm gián đoạn".

Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm "liên tục", cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:
- Hàm số liên tục tại mọi điểm trong tập xác định của nó. Theo nghĩa này, hàm số liên tục trên tập xác định là tất cả số thực , số nguyên bất kỳ.
- Tại giá trị biên của tập xác định, chỉ xét giới hạn một bên. Ví dụ, hàm số , với tập xác định là các số thực không âm, chỉ có giới hạn bên phải tại . Trong trường hợp này chỉ cần giới hạn một bên của hàm số bằng giá trị của hàm số, tức có thể coi là liên tục trên toàn bộ tập số thực không âm.
- Hàm số liên tục tại mọi số thực. Theo nghĩa này, hai hàm số nêu trên không liên tục, còn các hàm đa thức, hàm sin, cosin, và hàm mũ đều liên tục.

Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.

Đặt là hàm số định nghĩa trên một tập con của tập số thực . Tập con này là tập xác định của . Một số khả năng cho bao gồm:

Trong trường hợp là một khoảng mở, và không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị và không ảnh hưởng đến tính liên tục của trên .

====Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm====
Hàm formula_1 gọi là liên tục tại điểm formula_11 trên miền xác định nếu giới hạn của formula_3 khi formula_2 tiến dần về formula_11 tồn tại và bằng giá trị của formula_15. Ta viết:

formula_16

hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là formula_1 xác định tại formula_11, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng formula_15.

Hàm formula_1 là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.

====Định nghĩa theo giới hạn của dãy====
Cho dãy formula_21 bất kì trên miền xác định hội tụ về formula_11, thì tương ứng dãy formula_23 hội tụ về formula_15

====Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta====
Cho số thực bất kỳ formula_25, tồn tại số thực formula_26 sao cho với mọi formula_2 trong miền xác định của formula_1 với formula_29, giá trị của formula_3 thỏa

formula_31

Liên tục của formula_32 tại formula_11 là với mọi formula_25, tồn tại formula_26 sao cho với mọi formula_36

formula_37

===Ví dụ===
Hàm 
formula_38
liên tục trên miền xác định formula_39

===Phản ví dụ===
formula_40

Ví dụ về hàm không liên tục với formula_41, lấy với mọi formula_42, khi đó không tồn tại formula_43 sao cho formula_44 vì formula_45

===Tính chất===
====Định lý giá trị trung gian====
Cho formula_46 là liên tục, giả sử formula_47 nằm giũa formula_48 và formula_49. Khi đó tồn tại ít nhất một formula_50 sao cho formula_51.

Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m

====Định lý giá trị cực biên====
Cho khoảng formula_52 (khoảng đóng và bị chặn) và formula_53 là liên tục, khi đó formula_1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên formula_52, hay tồn tại formula_56 sao cho formula_57 với mọi formula_58.

====Định lý điểm cố định====
Cho formula_59 liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một formula_50 sao cho formula_61.

====Quan hệ với tính khả tích và khả vi====
Mọi hàm formula_62 khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.

Ví dụ hàm trị tuyệt đối

formula_63
là liên tục trên formula_64 nhưng không khả vi tại 0.

Đạo hàm formula_65 của hàm khả vi formula_3 không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm formula_67.

Xét tập các hàm

formula_68

Trong đó formula_69 là tập con mở trong formula_64 sao cho hàm formula_1 khả vi liên tục đến bậc formula_72.

Tập các hàm này là không gian formula_73.

Mọi hàm

formula_74

đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm formula_75

====Liên tục đều====
Giả sử formula_69 là tập con của formula_64 khi đó

formula_68

liên tục đều trên formula_69 nếu với mọi formula_80 cho trước tồn tại formula_81 chỉ phụ thuộc vào formula_82 sao cho formula_83, formula_84 thì

formula_85

Ví dụ như hàm formula_86 và formula_87
====Hội tụ của dãy hàm liên tục====
Cho dãy formula_88

các hàm liên tục sao cho

formula_89

tồn tại với mọi formula_36, khi đó hàm formula_3 là giới hạn từng điểm của hãy formula_92, hàm formula_1 không nhất thiết liên tục cho dù formula_94 là liên tục.

Tuy nhiên nếu formula_1 liên tục, khi đó dãy formula_92 hội tụ đều

====Hàm không liên tục mọi nơi====
Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định.
Hàm Dirichlet

Cho formula_11 và formula_98 là hai số thực(thường lấy formula_99 và formula_100), định nghĩa bởi

là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành

formula_102
Nếu formula_103 là tập con bất kì của không gian tô pô formula_104 sao cho cả formula_103 và phần bù của formula_103 trù mật trong formula_104 sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

==Liên tục trên không gian mêtric==
===Định nghĩa===
Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:

Cho formula_108 và formula_109 là 2 không gian mê tric.

Ánh xạ formula_110 liên tục tại formula_111 nếu

formula_112

hay với mọi formula_113 tâm tại formula_3 khi đó formula_115 tâm tại formula_2 sao cho

formula_117.
===Tính chất===
- Cho formula_118 là không gian mêtric, formula_119 là tập con của formula_104 thì formula_121 với formula_122 là liên tục.

===Liên tục Lipchitz===
Cho hai không gian mêtric formula_123 và formula_124 với formula_125 là mêtric trên formula_104 và formula_127 là mêtric trên formula_128.

formula_129 là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số formula_130 sao cho với mọi formula_131

formula_132
====Ví dụ====
Hàm formula_133 liên tục Lipchitz với formula_134.
===Liên tục Holder===
Cho hai không gian mêtric formula_123 và formula_124 với formula_125 là mêtric trên formula_104 và formula_127 là mêtric trên formula_128, với formula_141 là số thực.

formula_129 là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số formula_130 sao cho với mọi formula_131

formula_145

====Ví dụ====
formula_146 là liên tục Holder với formula_147, nhưng không liên tục Lipchitz.

===Liên tục Cauchy===
Cho formula_104 và formula_128 là hai không gian mêtric, formula_1 là hàm từ formula_104 vào formula_128.

Hàm formula_1 là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì formula_154 trong formula_104, dãy formula_156 là dãy Cauchy trong formula_128.

Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.
Nếu formula_104 là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên formula_104 là liên tục Cauchy.

====ví dụ====
Trên đường thẳng thực formula_64 liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.

Hàm formula_161 khi formula_162 và formula_163 khi formula_164 với mọi số hữu tỉ formula_2. Hàm này liên tục trên formula_166 nhưng không liên tục Cauchy

==Liên tục trong không gian tô pô==
Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.

===Định nghĩa ===
- Cho formula_104 và formula_128 là hai không gian tô pô. Ánh xạ formula_169 là liên tục tại điểm formula_2 trong formula_104 nếu mọi tập mở formula_172 trong formula_128 chứa formula_3 thì có tập mở formula_175 của formula_104 chứa formula_2 sao cho formula_178 chứa trong formula_172. Ta nói formula_1 liên tục trên formula_104 nếu nó liên tục tại mọi điểm trên formula_104.
- Lân cận của điểm formula_111 là tập con của formula_104 chứa tập mở chứa formula_2. Lân cận không cần phải mở.
- formula_1 liên tục tại formula_2 nếu mọi tập mở formula_172 chứa formula_3 thì tập formula_190 là lân cận của formula_2.

===Định lý===
- Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập mở là tập mở. Hay formula_169 liên tục khi và chỉ khi với mọi formula_172 mở trong formula_128 thì formula_190 mở trong formula_104.

===Một số tính chất và mệnh đề===
- Ánh xạ là liên tục nếu và chỉ nếu ảnh ngược của tập đóng là tập đóng.
- Cho formula_104 và formula_128 là hai không gian tô pô và formula_223 là cơ sở của tô pô trên formula_128. Khi đó formula_169 liên tục nếu và chỉ nếu formula_226 là mở trong formula_104 với mọi formula_228.
- Cho formula_64 với tô pô định chuẩn. Khi đó mọi hàm đa thức formula_230 với formula_231 là liên tục.
- Giả sử formula_169 là liên tục. Nếu dãy formula_233 trong formula_104 hội tụ về formula_2 khi đó dãy formula_156 trong formula_128 hội tụ về formula_3.
- Cho formula_169 và formula_240 liên tục. Khi đó hàm hợp formula_241 là liên tục.
- Cho formula_242 là hai không gian tô pô, formula_119 là không gian con của formula_104. Cho formula_129 liên tục. Khi đó formula_246 liên tục.

===Liên tục trong không gian tô pô liên thông===
- Cho formula_169 liên tục, nếu formula_104 liên thông thì formula_249 liên thông.
- Cho formula_169 liên tục, nếu formula_104 liên thông đường thì formula_249 liên thông đường.
- Cho formula_104 là không gian tô pô liên thông, và formula_254 liên tục. Nếu formula_255 và formula_256, khi đó formula_257. (Định lý giá trị trung bình mở rộng)
- Cho formula_258 liên tục, khi đó tồn tại formula_259 sao cho formula_260.

===Liên tục trong không gian tô pô compact===
- Cho formula_169 liên tục, nếu formula_104 compact thì formula_249 compact.
- Cho formula_104 compact và formula_254 là liên tục, khi đó formula_1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên formula_104, hay tồn tại formula_268 sao cho formula_269 với mọi formula_270.
- Cho formula_52 là khoảng đóng và bị chặn trong formula_64. Giả sử formula_74 là liên tục. Khi đó ảnh của formula_1 là khoảng đóng và bị chặn trong formula_64.

===Xem thêm===
==== Bổ đề dán (The Pasting Lemma)====
thì formula_283 liên tục trên formula_104.

====Liên tục trên không gian tích====
- Cho formula_317, formula_318 là tập chỉ số. Khi đó

formula_319 là liên tục khi và chỉ khi formula_317 liên tục với mọi formula_321 thuộc formula_322

- Ánh xạ chiếu formula_323 liên tục.
- Ánh xạ formula_324 liên tục khi và chỉ khi mỗi ánh xạ thành phần formula_325 liên tục.

===Mở rộng===
====Tô pô sinh bởi ánh xạ====
- Cho formula_328 là không gian tô pô, formula_128 là một tập, và formula_169 là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tô pô trên formula_128 sao cho formula_1 liên tục.

- Cho formula_104 là một tập, formula_341 là không gian tô pô, và formula_169 là ánh xạ. Chúng ta muốn tìm tôpô trên formula_104 sao cho formula_1 liên tục.

====Đồng phôi====
- Ánh xạ đi từ một không gian tôpô vào không gian tôpô khác được gọi là phép đồng phôi nếu nó là song ánh, liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục.
- Hai không gian gọi là đồng phôi, thường viết là formula_353, nếu có một phép đồng phôi từ không gian này vào không gian kia.

====Đồng luân====
- Định nghĩa: Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục formula_1 và formula_294 từ không gian tô pô formula_104 vào không gian tô pô formula_128 được định nghĩa là ánh xạ formula_358 từ tích của không gian formula_104 với đoạn đơn vị formula_360 vào formula_128 sao cho với mỗi formula_2 thuộc formula_104 ta có formula_364 và formula_365.
- Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của formula_366 như là "thời gian", khi đó formula_366 mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ formula_1 thành ánh xạ formula_294: tại thời điểm formula_370 ta có ánh xạ formula_1 và tại thời điểm formula_372 ta có ánh xạ formula_294.
- Đồng luân là một quan hệ tương đương trên tập các ánh xạ liên tục từ formula_104 vào formula_128. Quan hệ đồng luân này tương thích với phép hợp thành của 2 ánh xạ theo nghĩa nếu formula_376 là đồng luân và formula_377 là đồng luân, khi đó hợp thành của chúng formula_378 và formula_379:formula_380 là đồng luân

== Liên kết ngoài ==
- Colin Adam và Robert Franzosa Introduction to topology pure and applied
- Gregory L. Naber Topology, Geometry and Gauge fields: Foundations
- Topics in a Topology Coursel