D. R. Kaprekar

Dattatreya Ramchandra Kaprekar (; 17 tháng 1 năm 1905 4 tháng 7 năm 1986) là một nhà toán học giải trí người Ấn Độ, người đã mô tả một vài lớp số tự nhiên bao gồm các số Kaprekar, Harshad và khám phá ra hằng số Kaprekar. Mặc dù không được đào tạo chính thức sau đại học và làm nghề giáo viên, ông đã xuất bản rộng rãi và trở nên nổi tiếng trong các nhóm hội toán học giải trí.

== Giáo dục và công việc ==
Kaprekar hoàn thành chương trình giáo dục trung học ở Thane và học tại Cao đẳng Fergusson ở Pune. Năm 1927, ông giành Giải Toán học Wrangler R. P. Paranjpye cho một công trình toán học độc đáo.

Ông theo học Đại học Mumbai và nhận bằng cử nhân năm 1929. Trong suốt sự nghiệp của mình (1930–1962), ông là giáo viên tại một trường tiểu học công lập ở Devlali, Maharashtra, Ấn Độ. Ông cũng thường xuyên đạp xe đến nhiều nơi để dạy kèm cho các học sinh bằng những phương pháp độc đáo, ngồi bên bờ sông và "suy ngẫm về các định lý". Ông xuất bản rất nhiều công trình, viết về các chủ đề như số thập phân vô hạn tuần hoàn, ma trận kì ảo và số nguyên có tính chất đặc biệt. 

== Khám phá ==
Làm việc chủ yếu một mình, Kaprekar đã khám phá ra một số kết quả trong lý thuyết số và mô tả nhiều tính chất khác nhau của những con số. Ngoài hằng số Kaprekar và số Kaprekar được đặt theo tên ông, ông còn mô tả các số Devlali, số Harshad và số Demlo. Ông cũng xây dựng một số loại ma phươngiên quan đến ma phương Copernicus. Ban đầu, các ý tưởng của ông không được cộng đồng toán học Ấn Độ coi trọng và chủ yếu được công bố trên các tạp chí toán học cấp thấp hoặc được xuất bản riêng, nhưng rồi Kaprekar nổi tiếng quốc tế khi Martin Gardner viết về ông trong chuyên mục "Trò chơi toán học" cho tạp chí "Scientific American" vào tháng 3 năm 1975. Một mô tả về hằng số Kaprekar, mà không đề cập đến bản thân Kaprekar, xuất hiện trong cuốn sách thiếu nhi "The I Hate Mathematics Book", của Marilyn Burns, xuất bản năm 1975. Ngày nay, tên tuổi của ông rất nổi tiếng và nhiều nhà toán học khác đã theo đuổi việc nghiên cứu các tính chất mà ông khám phá ra.

=== Hằng số Kaprekar ===
Năm 1955, Kaprekar đã phát hiện ra một tính chất thú vị của số 6174, sau này được đặt tên là hằng số Kaprekar. Ông đã chứng minh rằng 6174 luôn là kết quả cuối cùng khi ta liên tục trừ đi các số lớn nhất và nhỏ nhất có thể tạo thành từ tập hợp bốn chữ số có ít nhất một đôi phân biệt. Ví dụ, bắt đầu từ 1234, ta có:

Lặp lại từ điểm này trở đi vẫn giữ nguyên số đó (7641 − 1467 = 6174). Phép toán hội tụ sau tối đa bảy lần lặp.

Một hằng số tương tự cho 3 chữ số là 495. Trong cơ số 10, một hằng số như vậy chỉ tồn tại đối với các số có 3 hoặc 4 chữ số. Đối với số lượng chữ số hoặc cơ số khác, quy trình Kaprekar được mô tả ở trên có thể kết thúc bằng nhiều hằng số khác nhau hoặc các chu kỳ lặp lại, tùy thuộc vào giá trị bắt đầu. Ví dụ, các số có 2 chữ số cuối cùng sẽ vào một vòng lặp:

Vòng lặp ở đây là 63, 27, 45, 9, 81 rồi quay lại 63.

Tuy nhiên, nếu trong ví dụ trên, số 9 không được coi là số có 2 chữ số (09), thì tất cả các số có 2 chữ số sẽ kết thúc tại 9. Khi hoán đổi vị trí của 2 chữ số rồi lấy hiệu, kết quả luôn là bội số của 9, vì vậy ta luôn nhận về vòng lặp trên tại một lúc nào đó. Đáng chú ý, cả 495 và 6174 đều là bội số của 9.

=== Số Kaprekar ===
Một lớp số khác mà Kaprekar mô tả là số Kaprekar. Số Kaprekar là một số nguyên dương với tính chất biểu diễn bình phương của nó có thể phân tách thành hai phần nguyên dương có tổng bằng số ban đầu (ví dụ như 45, vì 45 = 2025 và 20 + 25 = 45, tương tự với 9, 55, 99, v.v.). Tuy nhiên, lưu ý điều kiện là hai số này dương; ví dụ: 100 không phải là số Kaprekar mặc dù 100 = 10000 và 100 + 00 = 100. Phép toán này, tức lấy các chữ số bên phải của một số chính phương và cộng với số nguyên được tạo thành bởi các chữ số bên trái, được gọi là phép toán Kaprekar.

Một số ví dụ về số Kaprekar trong cơ số 10, ngoài các số 9, 99, 999, ..., là :

=== Số Devlali ===
Năm 1963, Kaprekar đã định nghĩa tính chất mà sau này gọi là số Devlali, là các số nguyên không thể được tạo ra bằng cách lấy tổng một số khác và các chữ số của chính nó. Ví dụ, 21 không phải là số Devlali, vì nó có thể được tạo ra từ 15: 15 + 1 + 5 = 21. Nhưng 20 là số Devlali, vì nó không thể được tạo ra từ bất kỳ số nguyên nào. Ông cũng đưa ra một bài kiểm tra để xác minh tính chất này với bất kỳ số nào. Tên gọi Devlali được đặt theo tên thị trấn nơi ông sinh sống. Đôi khi chúng cũng được gọi là "số Colombia".

=== Số harshad ===
Kaprekar cũng mô tả và đặt tên cho số harshad, nghĩa là "mang lại niềm vui" (tiếng Phạn: "harsha", niềm vui "+da" taddhita pratyaya, yếu tố sai khiến). Chúng được định nghĩa là số chia hết cho tổng các chữ số của chính chúng. Ví dụ, 12 chia hết cho 1 + 2 = 3, do đó 12 là một số harshad. Sau khi nhà toán học người Canada Ivan M. Niven giảng về đề tài này vào năm 1977, chúng được gọi là "số Niven". Nhiều nghiên cứu về số harshad đã được thực hiện, đồng thời phân bố, tần suất, v.v. của chúng cũng là vấn đề đáng quan tâm trong lý thuyết số ngày nay.

=== Số Demlo ===
Kaprekar cũng nghiên cứu số Demlo, đặt theo tên của một nhà ga xe lửa (nay gọi là Dombivili), nơi ông nảy ra ý tưởng nghiên cứu chúng. Những số nổi tiếng nhất trong số này là 1, 121, 12321, 1234321, ..., là bình phương của các số repunit 1, 11, 111,1111...

== Liên kết ngoài ==
- "Mysterious number 6174"
- 6174, video trên YouTube của Numberphile