Bó (toán học)

Trong toán học, bó là một khái niệm cho phép mô tả thông tin gắn với các tập mở của một không gian tô pô (thí dụ như các hàm liên tục xác định trên các tập mở). Với mỗi bó, ta có thể gán một không gian étalé chứa lượng thông tin tương đương.

== Định nghĩa ==
=== Tiền bó ===
Xét một không gian tôpô "X" và một phạm trù C. Thông thường C là phạm trù các tập hợp, phạm trù các nhóm, phạm trù các nhóm abelian hoặc phạm trù các vành giao hoán. Một tiền bó "F" trên "X" là một hàm tử với các giá trị trong C được cho bởi dữ liệu sau:

- Với mỗi tập mở "U" của "X", có một đối tượng "F"("U") trong C
- Đối với mỗi cặp tập mở "V" ⊆ "U", có một cấu xạ tương ứng formula_1 trong phạm trù C.

Cấu xạ res được gọi là cấu xạ thu hẹp. Nếu , thì thu hẹp của nó là thường được ký hiệu là "s"| giống như là sự thu hẹp của một hàm số. Các cấu xạ thu hẹp thỏa mãn:

- Với mỗi tập mở "U" của "X", cấu xạ thu hẹp res: "F"("U") → "F"("U") là cấu xạ đồng nhất trên "F"("U").
- Nếu chúng ta có ba tập mở "W" ⊆ "V" ⊆ "U", thì cấu xạ hợp
Ta ký hiệu tiền bó "F" trên "X" là formula_2.

=== Bó ===
Một bó là một tiền bó với các giá trị trong phạm trù tập hợp thỏa mãn hai tiên đề sau:

1. (Tính cục bộ) Nếu ("U") là một phủ mở của một tập mở "U" và nếu "s","t" ∈ "F"("U") sao cho "s"|= "t"| với mọi "U", thì "s" = "t."
2. (Tính kết dính) Nếu ("U") là một phủ mở của một tập mở "U" và nếu với mỗi "i," tồn tại một nhát cắt "s" ∈ "F"("U") sao cho với mỗi cặp "U", "U", thu hẹp của "s" và "s" bằng nhau trên phần giao: "s"| = "s"|, thì tồn tại một nhát cắt "s" ∈ "F"("U") sao cho "s"| = "s" với mọi "i".
Tiền bó dùng để định nghĩa bó cũng được gọi là tiền bó nền của bó đó.

=== Ví dụ ===
1. Trên một không gian tôpô formula_3, ta có bó không gian véc tơ các hàm liên tục formula_4. Với mọi tập mở formula_5, formula_6 là không gian véc tơ các hàm liên tục trên formula_7.
2. Trên một đa tạp vi phân formula_8, ta có bó không gian véc tơ các hàm trơn formula_9.
3. Trên một diện Riemann formula_10, ta có bó không gian véc tơ phức các hàm chỉnh hình formula_11.
4. Giả sử ta có một phân thớ véc tơ formula_12"." Thế thì các nhát cắt của formula_13 tạo thành một bó formula_14 trên formula_8. Ứng với mỗi tập mở formula_16 ta có không gian véc tơ formula_17, là không gian các nhát cắt của formula_13 trên formula_7.

=== Cấu xạ ===
Gọi "F" và "G" là hai bó trên "X" với hệ số trong phạm trù C. Một "cấu xạ" formula_20 là một phép gán một cấu xạ formula_21 với mỗi tập mở của sao cho giản đồ sau giao hoán

Coi một bó như một hàm tử, thế thì một cấu xạ giữa các bó cũng chính là một phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm tử tương ứng.

Với các cấu xạ được định nghĩa như trên, cùng với phép hợp tự nhiên, các bó tạo thành một phạm trù: phạm trù các bó.

Ta có thể chứng minh rằng một đơn cấu (đẳng cấu) bó thì cảm sinh các đơn cấu (đẳng cấu) trên mỗi tập mở formula_7 của formula_3.

Tuy nhiên điều này không còn đúng cho các toàn cấu.

Ví dụ, xét bó các hàm trơn formula_25 và bó các dạng vi phân bậc nhất formula_26 trên một đa tạp trơn formula_8. Phép vi phân formula_28 cho ta một toàn cấu bó. Thật vậy, xét một bó formula_29 và các cấu xạ formula_30 sao cho formula_31, tức là với mọi formula_7, formula_33. Xét một nhát cắt formula_34. Ta có formula_35 với formula_7 đủ nhỏ để formula_37 (một tập formula_7 như vậy tồn tại theo bổ đề Poincaré). Do tính kết dính, ta kết luận rằng formula_39. Suy ra formula_40, suy ra formula_41 là một toàn cấu bó. Tuy nhiên formula_42 không phải lúc nào cũng là một toàn ánh (nó là một toàn ánh khi và chỉ khi formula_43), ví dụ ta có thể chọn formula_44.

=== Phạm trù các bó trên một không gian tô pô ===
Các bó (với hệ số trong một phạm trù formula_45 nhất định) trên một không gian tô pô formula_3 cùng với các cấu xạ bó tạo thành phạm trù các formula_45-bó trên không gian tô pô formula_3.

== Thớ ==
Không gian thớ formula_49 của một bó formula_29 mô tả hành vi của bó formula_29 xung quanh một điểm "x" ∈ "X," tổng quát hóa khái niệm .

Thớ formula_49 được định nghĩa bởi

Cấu xạ tự nhiên formula_54 gửi nhát cắt formula_55 thuộc formula_56 tới mầm của nó tại x.

== Tính chất ==
=== Tính chất của định lý đồng nhất ===
Một tiền bó formula_2 được gọi là có tính chất của định lý đồng nhất nếu nó thỏa mãn tính chất sauGiả sử formula_58 là một miền con (i.e. một tập con mở liên thông) của formula_3, formula_60 và formula_61 là hai nhát cắt trong formula_62 và formula_63 là một điểm thuộc formula_64 sao cho formula_65. Thế thì formula_66.Nếu formula_3 là một không gian Hausdorff liên thông địa phương thì formula_68 thỏa mãn tính chất của định lý đồng nhất khi và chỉ khi không gian étalé tương ứng là một không gian Hausdorff.

Bó các hàm chỉnh hình, bó các hàm phân hình trên một mặt Riemann và bó các nhát cắt song song trên một phân thớ véc-tơ (được trang bị một liên kết) đều là các bó thỏa mãn tính chất của định lý đồng nhất.

== Xem thêm ==
- Không gian Étalé

== Tham khảo ==
- Nguyễn Mạnh Linh (2020), "Lý thuyết bó", Báo cáo xê-mi-na (có sẵn tại http://math.ac.vn/vi/hinh-hoc-dai-so/icalrepeat.detail/2020/06/25/4035/-/ly-thuyet-bo.html)
- Trần Minh Tiến (2020), "Thác triển giải tích", Báo cáo xê-mi-na (có sẵn tại http://math.ac.vn/vi/hinh-hoc-dai-so/icalrepeat.detail/2020/06/04/4046/-/thac-trien-giai-tich.html)