Nhóm con chuẩn tắc

Trong đại số, nhóm con chuẩn tắc (hay còn gọi là nhóm con bất biến hoặc nhóm con tự liên hợp) là nhóm con bất biến dưới mọi tác động liên hợp. Nói cách khác, nhóm con của nhóm  được gọi là chuẩn tắc trong  nếu và chỉ nếu  với mọi  thuộc ; tức là tập các lớp kề trái và các lớp kề phải trùng nhau. Ta có thể xây dựng nhóm thương từ một nhóm con chuẩn tắc cho trước. Một nhóm , không tầm thường, không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài nhóm con tầm thường và chính nó, được gọi là một nhóm đơn.

Évariste Galois là người đầu tiên nhận ra tầm quan trọng của sự tồn tại của nhóm con chuẩn tắc.

== Định nghĩa ==
Nhóm con formula_1 của nhóm formula_2 được gọi là nhóm con chuẩn tắc của formula_2 nếu nó không đổi dưới phép liên hợp; tức là liên hợp của một phần tử thuộc formula_1 bởi một phần tử của formula_2 luôn nằm trong formula_6 Ký hiệu thường dùng cho quan hệ này là formula_7

===Các điều kiện tương đương===
Cho bất kỳ nhóm con formula_1 của formula_9 các điều kiện sau đều tương đương với việc formula_1 là nhóm con chuẩn tắc của formula_11 Do đó có thể dùng tuỳ ý một trong số chúng để làm định nghĩa

- Ảnh của phép liên hợp của formula_1 bằng bất kỳ phần tử của formula_2 là tập con của formula_6
- Ảnh của phép liên hợp của formula_1 bằng bất kỳ phần tử của formula_2 bằng với formula_6
- Với mọi formula_18 lớp kề trái formula_19 và lớp kề phải formula_20 luôn bằng nhau.
- Tập hợp của lớp kề trái và tập của lớp kề phải formula_1 trong formula_2 bằng nhau.
- Tích của lớp kề trái của formula_1 tương ứng với formula_24 và một phần tử của lớp kề trái của formula_1 tương ứng với formula_26 là một phần tử của lớp kề trái của formula_1 tương ứng với formula_28: với mọi formula_29 nếu formula_30and formula_31 thì formula_32
- formula_1 là hợp của các lớp liên hợp của formula_11
- formula_1 được bảo toàn bởi các phép tự đẳng cấu trong của formula_11
- Có một số đồng cấu từ formula_37 có nhân là formula_6
- Có một số quan hệ tương đẳng trên formula_2 mà lớp tương đương của phần tử đơn vị là formula_1.
- Với mọi formula_41 và formula_42 giao hoán tử formula_43 luôn nằm trong formula_6

== Các ví dụ ==
Cho bất kỳ nhóm formula_9 nhóm tầm thường formula_46 chỉ bao gồm phần tử đơn vị của formula_2 luôn là nhóm con chuẩn tắc của formula_11 Tương tư, formula_2 chính nó cũng luôn là nhóm con chuẩn tắc của formula_11 (Nếu đây là hai nhóm con chuẩn tắc thì formula_2 được gọi là nhóm đơn.) Các tên khác cho nhóm con chuẩn tắc bao gồm tâm của nhóm (tập các phần tử giao hoán với các phần tử còn lại) và nhóm con giao hoán tử formula_52 Tổng quát hơn, bởi phép liên hợp là đẳng cấu nên bất kỳ nhóm con đặc trưng cũng là nhóm con chuẩn tắc.

Nếu formula_2 là nhóm giao hoán thì mọi nhóm con formula_1 của formula_2 là nhóm con chuẩn tắc, bởi vì formula_56 Nhóm không giao hoán nhưng mọi nhóm con của nó đều chuẩn tắc được gọi là nhóm Hamilton.

Một ví dụ cụ thể là với mỗi số nguyên formula_57 cho trước, nhóm các số nguyên formula_58 có các nhóm con chuẩn tắc formula_59 bao gồm các bội số của formula_57. Nhóm thương formula_61 là nhóm các lớp đồng dư theo mô-đun formula_57.

Một ví dụ cụ thể khác là nhóm con chuẩn tắc formula_63 của nhóm đối xứng formula_64 bao gồm phần tử và hai xích độ dài ba quy nhất. Cụ thể hơn, ta có thể kiểm tra rằng mọi lớp kề của formula_1 hoặc bằng với chính formula_1 hoặc bằng với formula_67 Mặt khác, nhóm formula_68 không chuẩn tắc trong formula_69 bởi formula_70 Ví dụ này minh hoạ việc bất kỳ nhóm con formula_71 có chỉ số bằng hai thì là nhóm con chuẩn tắc.

Nhóm thay phiên formula_72 là một nhóm đơn, tức là nó chỉ có hai nhóm con chuẩn tắc: formula_73 và chính formula_72. formula_72 là nhóm đơn không giao hoán có lực lượng nhỏ nhất. Các nhóm formula_76 với formula_77 là một số nguyên tố đều là các nhóm đơn giao hoán. Chúng không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài hai nhóm con chuẩn tắc tầm thường.

Trong nhóm lập phương Rubik, các nhóm con chứa các phép biến đổi hướng của các khối ở góc hoặc ở cạnh thì chuẩn tắc.

Nhóm tịnh tiến là nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid trong bất kỳ số chiều. Điều này có là thực hiện bất kỳ phép biến đổi hình học nào, rồi tịnh tiến một đoạn rồi biến đổi hình học ngược lại sẽ không khác gì một bước tịnh tiến. Ngược lại, nhóm của các phép quay quanh gốc toạ độ không phải nhóm con chuẩn tắc của nhóm Euclid khi số chiều lớn hơn hoặc bằng hai (bởi tịnh tiến, rồi quay quanh gốc toạ độ, rồi tịnh tiến về sẽ không giữ cố định gốc toạ độ và do đó không cùng giá trị với một phép quay quanh gốc toạ độ.

== Các tính chất ==
- Nếu formula_78 là nhóm con chuẩn tắc của formula_9 và formula_80 là nhóm con của formula_2 và chứa formula_82 thì formula_78 cũng là nhóm con chuẩn tắc của formula_84
- Nhóm con chuẩn tắc của một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm không nhất thiết cũng phải chuẩn tắc trong nhóm đó. Tức là tính chuẩn tắc không cần phải là quan hệ bắc cầu. Nhóm nhỏ nhất có hiện tượng này là nhóm nhị diện cấp 8. Song, nhóm con đặc trưng của nhóm con chuẩn tắc thì cũng chuẩn tắc. Nhóm có tính chuẩn tắc tuân theo quan hệ bắc cầu được gọi là T-nhóm.
- Hai nhóm formula_2 và formula_78 là nhóm con chuẩn tắc của tích trực tiếp của chúng formula_87
- Nếu nhóm formula_2 là tích nửa trực tiếp formula_89 thì formula_1 chuẩn tắc trong formula_9 còn formula_78 thì không nhất thiết phải chuẩn tắc trong formula_11
- Nếu formula_94 và formula_1 là nhóm con chuẩn tắc của nhóm cộng formula_2 sao cho formula_97 và formula_98, thì formula_99
- Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới các toàn ánh; nghĩa là nếu ánh xạ formula_37 là toàn cấu nhóm và formula_1 chuẩn tắc trong formula_9 thì ảnh formula_103 chuẩn tắc trong formula_104
- Tính chuẩn tắc được bảo toàn bằng cách lấy ảnh ngược; nghĩa là, nếu ánh xạ formula_37 là đồng cấu nhóm và formula_1 chuẩn tắc trong formula_82 thì ảnh ngược formula_108 chuẩn tắc trong formula_11
- Tính chuẩn tắc được bảo toàn dưới tích trực tiếp; nghĩa là nếu formula_110 và formula_111 thì formula_112
- Mọi nhóm con của chỉ số bằng hai đều là nhóm con chuẩn tắc. Tổng quát hơn là, các nhóm con formula_78 có chỉ số hữu hạn formula_57 trong formula_2 và chứa nhóm con formula_80 chuẩn tắc trong formula_2 và có chỉ số là ước của formula_118 được gọi là lõi chuẩn tắc . Cụ thể hơn, nếu formula_77 là ước nguyên tố nhỏ nhất của cấp của formula_9 thì mọi nhóm con có chỉ số formula_77 đều chuẩn tắc.
- Dựa trên việc nhóm con chuẩn tắc của formula_2 là nhân của đồng cấu nhóm được định nghĩa trên formula_2, ta có thể phân loại bên trong các đồng cấu nhóm được định nghĩa trong đó. Lấy ví dụ chẳng hạn, nhóm hữu hạn không tầm thường là nhóm đơn khi và chỉ khi nó đẳng cấu với tất cả ảnh đồng cấu không tầm thường của nó, nhóm hữu hạn được gọi là nhóm hoàn hảo khi và chỉ khi nó không có nhóm con chuẩn tắc có chỉ số là số nguyên tố, và không hoàn hảo khi và chỉ nhóm con dẫn xuất của nó không được phụ hợp bởi bất kỳ nhóm con chuẩn tắc thực sự nào

=== Dàn của nhóm con chuẩn tắc ===
Cho hai nhóm con chuẩn tắc formula_1 và formula_125 của formula_9 Khi đó giao formula_127 và tích formula_128 đều là nhóm con chuẩn tắc của formula_11 

Các nhóm con của formula_2 tạo thành một dàn dưới quan hệ chứa trong với phần tử nhỏ nhất, formula_131 và phần tử lớn nhất formula_11 Gặp của hai nhóm con chuẩn tắc formula_1 và formula_94 trong dàn này là giao của chúng và nối của hai nhóm con này là tích của chúng.

Dàn này đầy đủ và modula.

== Nhóm con chuẩn tắc, nhóm thương và đồng cấu ==
Nếu formula_1 là nhóm con chuẩn tắc thì ta có thể định nghĩa phép toán trên các lớp kề như sau: 
formula_136
Quan hệ này định nghĩa ánh xạ formula_137 Để chứng minh ánh xạ này được xác định, ta cần chứng minh lựa chọn các phần tử đại diện formula_138 không làm thay đổi kết quả. Để làm điều đó, xét các phần tử đại diện khác formula_139 Khi đó tồn tại formula_140 sao cho formula_141 Từ đây formula_142và ta cũng dùng thêm ý formula_1 là nhóm con , để do vậy tồn tại formula_144 sao cho formula_145 Điều này chứng minh phép toán được xác định.

Cùng với phép toán này, tập các lớp kề là nhóm được gọi nhóm thương và được ký hiệu bằng formula_146 Có đồng cấu tự nhiên, formula_147 cho bởi formula_148 Đồng cấu này ánh xạ formula_1 sang phần tử đơn vị của formula_150 là lớp kề formula_151 tức là, formula_152

Trong tổng quát, đồng cấu nhóm formula_153 gửi mỗi nhóm con của formula_2 thành nhóm con của formula_104 Bên cạnh đó, tiền ảnh của bất kỳ nhóm con của formula_78 là nhóm con của formula_11 Ta gọi tiền ảnh của nhóm tầm thường formula_46 trong formula_78 là hạt nhân (hay nhân) của đồng cấu nhóm và ký hiệu nó bởi formula_160 Hạt nhân luôn chuẩn tắc và ảnh của formula_161 luôn đẳng cấu với formula_162 (theo định lý đẳng cấu đầu tiên). Hơn nữa, tương xứng này còn là song ánh giữa tập của nhóm thương của formula_163 và tập các ảnh đồng cấu formula_2 (xê xích đẳng cấu). Cũng dễ nhận thấy rằng hạt nhân của ánh xạ thương, formula_147 chính là formula_1, và các nhóm con chuẩn tắc là hạt nhân của các ánh xạ có miền xác định formula_11

==Nhóm con chuẩn tắc và định lý Sylow==
Định lý Sylow thứ hai phát biểu rằng: Nếu formula_168 và formula_80 là hai p-nhóm con Sylow của nhóm formula_2, thì tồn tại formula_171 sao cho formula_172

Đây là hệ quả trực :
Gọi formula_2 là nhóm hữu hạn và formula_80 là p-nhóm con Sylow với formula_77 là số nguyên tố. Khi đó formula_80 chuẩn tắc trong formula_2 khi và chỉ khi formula_80 là p-nhóm con Sylow duy nhất của formula_2.

== Xem thêm ==
- Nhóm thương
- Lớp kề
- Nhóm hoàn hảo

== Thư mục ==
- C.D. Cantrell (2000), "Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers." Cambridge University Press
- Hoàng Xuân Sính (1972), "Đại số đại cương", Nhà xuất bản giáo dục
- Thomas Hungerford (2003). "Algebra". Graduate Texts in Mathematics. Springer
- Marc Hindry, "Cours d'algèbbre au magistère de Cachan"
- Nguyễn Tiến Quang, (2008), "Đại số đại cương", Nhà xuất bản giáo dục