Quaternion

Trong toán học, hệ quaternion mở rộng tiếp số phức. Các số quaternion được lần đầu mô tả bởi nhà toán học người Ireland William Rowan Hamilton trong 1843 và áp dụng cho cơ học trong không gian ba chiều. Đại số của quaternion thường được ký hiệu bằng (cho "Hamilton"), hoặc trong phông chữ bảng đen in đậm formula_1 Mặc dù phép nhân của quaternion không có tính giao hoán, nó đưa ra định nghĩa của thương của hai vectơ trong không gian ba chiều. Quaternion thường được biểu diễn dưới dạng

formula_2

trong đó các hệ số , , , đều là các số thực, và , được gọi là "vectơ cơ sở" hay "phần tử cơ sở".

Quaternion được sử dụng trong toán học thuần tuý, nhưng cũng có áp dụng thực tiễn trong toán học ứng dụng, đặc biệt là cho tính toán bao gồm quay trong không gian ba chiều, chẳng hạn như trong đồ hoạ máy tính 3D, thị giác máy tính, và phân tích kiến trúc tinh thể. Chúng được dùng bên cạnh các phương pháp quay khác, chẳng hạn như góc Euler và ma trận quay, hoặc thay các phương pháp đó, tuỳ thuộc vào cách ứng dụng.

Trong thuật ngữ hiện đại, các quaternion lập thành đại số chia định chuẩn và hợp thành trên tập số thực, do đó lập thành 1 vành và đồng thời cũng là vành chia và miền. Nó là trường hợp đặc biệt của đại số Clifford, xếp thuộc loại formula_3 Nó là đại số chia không giao hoán đầu tiên được phát hiện.

Theo định lý Frobenius, đại số formula_4 là một trong duy nhất hai vành chia hữu hạn số chiều có vành con chân chính đẳng cấu với các số thực; cái còn lại là của số phức. Các vành này đồng thời đều là đại số Euclidean Hurwitz, trong đó quaternion là đại số kết hợp lớn nhất và do đó là vành lớn nhất. Mở rộng tiếp các số quaternion sẽ ra các số octonion không kết hợp, các số này là đại số chia định chuẩn cuối cùng trên các số thực. Mở rộng thêm lần nữa ra các số sedenion, các số này có ước của không nên không thể lập thành đại số chia định chuẩn.

Các quaternion đơn vị có cấu trúc nhóm trên 3-cầu (mặt cầu trong không gian bốn chiều) đẳng cấu với nhóm Spin(3) và SU(2), nhóm phủ phổ quát của SO(3). Các phần tử cơ sở âm và dương cùng nhau lập thành nhóm quaternion 8 phần tử.

== Lịch sử ==
Quaternion được giới thiệu bởi Hamilton vào năm 1843. Những kết quả quan trọng đi trước công trình này bao định thức bốn số chính phương của Euler (1748) và phương pháp tham số hóa các phép quay chung bằng bốn tham số của Olinde Rodrigues' (1840), nhưng không tác giả nào trong đây đã xét tới các phép quay bốn tham số có thể lập thành thành một đại số. Carl Friedrich Gauss cũng đồng thời phát hiện ra quaternion trong 1819, nhưng công trình của ông phải mãi đến 1900 mới được xuất bản.

Hamilton đã biết rằng các số phức có thể được coi là các điểm trong một mặt phẳng, và ông lúc đó đang tìm cách định nghĩa tương tự cho không gian ba chiều. Các điểm trong không gian có thể được biểu diễn bằng tọa độ của chúng, tức một bộ ba số, và trong nhiều năm ông đã biết các để cách để cộng và trừ chúng. Tuy nhiên, cũng trong nhiều năm đó, ông cũng bị khựng lại trong vấn đề nhân và chia chúng. Ông không thể hình dung hay tưởng tượng ra cách nhân hai điểm trong một không gian (chỉ từ ba số). Quả thật, sau này Ferdinand Georg Frobenius đã chứng minh trong 1877 rằng để đại số chia trên các số thực vừa hữu hạn chiều vừa kết hợp, thì nó không thể ba chiều được, và chỉ có ba đại số chia như thế: formula_5 (số phức) và formula_4 (quaternion) với số chiều 1, 2, và 4 tương ứng.

Phát minh quan trọng với các số quaternion cuối cùng cũng đến vào ngày thứ hai, mùng 16 tháng 10 năm 1843 tại Dublin, khi Hamilton đang trên đường tới học viện Hoàng gia Irish để chủ trì tại một cuộc họp hội đồng. Khi ông đang đi trên đường kéo tàu trên kênh Hoàng gia với vợ, các khái niệm đằng sau quaternion bắt đầu hiện hình trong đầu ông, và khi câu trả lời xuất hiện trong đầu, Hamilton đã không thể ngăn bản thân khỏi khắc lại công thức nhân các quaternion,

formula_7

vào đá của cầu Brougham khi ông dừng trên đó. Mặc dù vết khắc đã phai mờ đi, vẫn có cuộc hành hương diễn ra hằng năm kể từ năm 1989 được gọi là Hamilton Walk cho các nhà khoa học và các nhà toán học đi từ đài quan sát Dunsink cho tới cầu kênh hoàng gia để tưởng nhớ tới phát hiện của Hamilton.

Trong ngày hôm sau, Hamilton viết một bức thư cho bạn và đồng thời là nhà toán học, John T. Graves, mô tả dòng tư tưởng dẫn tới phát hiện này. Bức thư này sau được xuất bản trong bức thư gửi đến "báo khoa học và tạp chí triết học London, Edinburgh, và Dublin"; Hamilton đã nói rằng:

Tạm dịch: "Và ngay khi đó, tôi nhận ra rằng chúng ta phải chấp nhận rằng, theo một cách nào đó, ta cần chiều thứ tư trong không gian để có thể tính toán với bộ ba số ... Một mạch điện đã đóng và từ đó một tia lửa đã được tóe ra".

Hamilton gọi bộ bốn số này cùng với quy tắc nhân là "quaternion", và ông dành hầu như toàn bộ phần còn lại của cuộc đời để nghiên cứu và dạy chúng. Phương pháp xử lý của Hamilton nghiêng về hình học nhiều hơn hướng tiếp cận hiện đại sử dụng các tính chất đại số. Ông thành lập trường của các "quaternionist", và ông cũng đã gắng sức dạy và truyền bá quaternion trong nhiều sách. Cuốn cuối cùng và dài nhất của ông, "Elements of Quaternions", dài 800 trang; nó được con trai ông biên tập và được xuất bản không lâu sau khi ông mất đi.

Sau khi Hamilton mất đi, nhà toán học vật lý người Scotland Peter Tait trở thành người đứng đầu. Tại thời điểm đó, quaternion trở thành chủ đề bắt buộc trong các bài thi ở Dublin. Các chủ đề trong vật lý và hình học mà ngày nay thường được diễn giải bằng vectơ (chẳng hạn như chuyển động học trong không gian hay phương trình Maxwell thì lúc đó được mô tả toàn bộ bằng các quaternion. Thậm chí còn có một hiệp hội các chuyên gia nghiên cứu, Hiệp hội Quaternion tập trung nghiên cứu các số quaternion và các hệ số siêu phức khác.

Kể từ giữa khoảng 1880s, quaternion bắt đầu được thay dần bằng giải tích vectơ, nhánh này được phát triển bởi Josiah Willard Gibbs, Oliver Heaviside, và Hermann von Helmholtz. Giải tích vectơ mô tả cùng một hiện tượng với các quaternion, do đó nó lấy một số ý tưởng và thuật ngữ từ các bài viết của quaternion sang. Tuy nhiên, giải tích vectơ đơn giản hơn khi nói về khái niệm hay ký hiệu và do đó, quaternion chỉ còn đóng vai trò nhỏ trong toán học và vật lý. Một hiệu ứng phụ trong sự chuyển đổi này là công trình của Hamilton trở nên khó hiểu cho nhiều người đọc đương đại. Định nghĩa ban đầu của Hamilton không quen thuộc với hiện tại và cách viết của ông dài và rất khó có thể theo.

May mắn thay, quaternion được hồi sinh lại kể từ cuối thế kỉ 20, chủ yếu do ứng dụng của nó trong mô tả quay không gian. Biểu diễn của phép quay bằng quaternion gọn hơn và dễ tính hơn biểu diễn của ma trận. Bên cạnh đó, không như góc Euler, nó không bị dính "khóa gimbal". Bởi lý do này, quaternion được sử dụng trong đồ họa máy tính, thị giác máy tính, robotics, lý thuyết điều khiển, xử lý tín hiệu, điều khiển phương hướng, vật lý, tin sinh học, động lực phân tử, mô phỏng máy tính, và cơ học quỹ đạo. Thí dụ chẳng hạn, thường thì các hệ thống điều khiển phương hướng của các phi thuyền sẽ sử dụng quaternion. Quaternion có ứng dụng khác với lý thuyết số bởi quan hệ của chúng với dạng toàn phương.

=== Quaternion trong vật lý ===
Bài viết năm 1984 của P.R. Girard "The quaternion group and modern physics" ("dịch: nhóm quaternion và vật lý hiện đại") thảo luận về một số vai trò của quaternion trong vật lý. Bài viết cho thấy một số nhóm hiệp phương sai trong vật lý, chẳng hạn như , nhóm Lorentz, lý thuyết tổng quát của nhóm tương đối, đại số Clifford và nhóm bảo giác, đều có thể liên hệ dễ dàng với nhóm quaternion trong đại số trừu tượng. Trong 1999, Girard cho thấy rằng cách các phương trình Einstein trong thuyết tương đối rộng có thể viết lại trong khuôn khổ của một đại số Clifford liên kết trực tiếp với các quaternion.

Phát hiện trong 1924 rằng trong cơ học lượng tử, spin của một electron và các hạt khác (được gọi là spinor) có thể mô tả bằng quaternion (dưới dạng ma trận spin Pauli nổi tiếng) làm tăng độ nổi bật của quaternion; quaternion giúp hiểu cách các phép quay các electron trong 360° có thể phân biệt với những cái trong 720° ("mẹo Plate"). , ứng dụng của nó vẫn chưa vượt qua nhóm quay.

== Định nghĩa ==
"Quaternion" là các con số được biểu diễn dưới dạng

formula_8

trong đó , , , , là các số thực, và , , , ký hiệu cho các vectơ đơn vị trên ba trục không gian. Trong thực tiễn, nếu như một trong , , , bằng 0 thì ta bỏ phần tử tương ứng với nó; nếu , , , đều bằng không, thì quaternion được gọi là "quaternion không", hay là 0; nếu một trong , , bằng với 1, thì có thể bỏ số 1 đó đi trong biểu diễn.

Hamilton mô tả quaternion formula_9 bao gồm hai phần đó là phần vô hướng và phần vectơ. Quaternion formula_10 được gọi là "phần vectơ" (đôi khi gọi là "phần ảo") của , và là "phần vô hướng" (đổi khi "phần thực") của . Quaternion mà bằng với phần thực của nó (nghĩa là phần vectơ của nó là vectơ không) được gọi là "quaternion vô hướng" hoặc "quaternion thực", và được xác định bằng số thực tương ứng. Tức là, các số thực được "nhúng" trong các quaternion. (Nói rõ hơn, nghĩa là trường các số thực đẳng cấu với một tập con của tập các quaternion. Trường các số phức đẳng cấu với ba tập con của tập các quaternion.) Quaternion mà bằng với phần vectơ thì được gọi là "quaternion vectơ ".

Tập các quaternion lập thành không gian vectơ 4 chiều trên các số thực, với formula_11 làm cơ sở, theo phép cộng từng phần

formula_12

và phép nhân vô hướng

formula_13

Phép nhân, hay còn gọi là "tích Hamilton", có thể định nghĩa trên các quaternion như sau:
- Quaternion thực là phần tử trung hòa (phần tử đơn vị).
- Các quaternion thực thì sẽ giao hoán với các quaternion khác, tức là cho mọi quaternion và cho mọi quaternion thực . Trong đại số trừu tượng, cái này tương ứng với việc nói rằng trường các quaternion thực là "tâm" của đại số quaternion.
- Phép nhân đầu tiên định nghĩa trước cho các phần tử cơ sở (xem mục dưới), rồi mở rộng cho tất cả quaternion bằng cách dùng tính chất phân phối và tính chất tâm của các quaternion thực. Tích Hamilton không giao hoán nhưng có tính kết hợp, và do vậy các quaternion lập thành đại số kết hợp trên các số thực.
- Bên cạnh đó, mỗi quaternion khác không đều có nghịch đảo tương ứng với tích Hamilton: formula_14
Do đó các số quaternion cũng lập thành đại số chia.

=== Nhân các phần tử cơ sở ===
Phép nhân của với các phần tử còn lại , và được định nghĩa dựa trên nội dung là phần tử trung hòa, nghĩa là

formula_15

Tích của các phần tử cơ sở khác là

formula_16

Kết hợp các luật này lại,

formula_17

=== Tâm ===
"Tâm" của vành không giao hoán là vành con của các phần tử thỏa mãn với mọi . Tâm của đại số quaternion là trường con của các quaternion thực. Thậm chí, nó còn là một phần của định nghĩa rằng các quaternion thuộc về tâm. Ngược lại, nếu thuộc về tâm, thì

formula_18

và . Tính toán tương tự với thay cho cho thấy . Do đó là quaternion "thực".

Các quaternion lập thành đại số chia. Điều này có nghĩa là chỉ có duy nhất tính không giao hoán của quaternion khiến cho chúng không thể lập thành một trường. Tính không giao hoán này có một số hệ quả, trong đó bao gồm phương trình đa thức trên các quaternion có thể có nhiều nghiệm phân biệt hơn số bậc trong đa thức. Ví dụ, phương trình có vô số nghiệm quaternion, là các quaternion thỏa mãn . Do đó "căn bậc hai của –1" lập thành mặt cầu đơn vị trong không gian ba chiều của các quaternion vectơ.

=== Tích Hamilton ===
Cho hai phần tử and , tích của chúng, được gọi là tích Hamilton () (), được xác định bởi tích các phần tử cơ sở và luật phân phối. Nhờ có luật phân phối mà ta có thể khai triển tích thành tổng của tích các phần tử cơ sở. Ta được kết quả sau:

formula_19

Sau đó, các phần tử cơ sở có thể nhân với nhau theo luật trên để thu được:

formula_20

Tích của hai quaternion quay sẽ tương ứng với phép quay theo sau bởi phép quay với 

=== Phần vô hướng và phần thực ===
Quaternion dưới dạng , trong đó phần tử là số thực và được gọi là phần tử vô hướng,còn quaternion dạng , trong đó , , và là số thực và có ít nhất một trong , , hoặc khác không, thì được gọi là quaternion vector. Nếu là quaternion tuỳ ý, thì được gọi là phần vô hướng và được gọi là phần vector của nó. Mặc dù mọi quaternion có thể xem là vector trong không gian vectơ bốn chiều, người ta thường hay xem phần vector là vectơ trong không gian ba chiều hơn. Với cách quy ước này, phần vector tương tự với phần tử của không gian vectơ ba chiều formula_21

Hamilton còn gọi quaternion vectơ là các quaternion phải và gọi các số thực (được coi là các quaternion có phần vectơ là vectơ không) là quaternion vô hướng.

Nếu một quaternion được chia thành phần vô hướng và phần vectơ:

formula_22

thì công thức cho phép cộng, phép nhân và nghịch đảo của phép nhân sẽ là

formula_23

trong đó "formula_24" và "formula_25" ký hiệu tương ứng tích vô hướng và tích có hướng.

== Liên hợp, chuẩn và nghịch đảo phép nhân ==
Liên hợp của quaternion giống với liên hợp của số phức và giống với chuyển vị (hay còn gọi là đảo chiều ) của các phần tử của đại số Clifford. Để định nghĩa, gọi formula_26 là quaternion. liên hợp của là quaternion formula_27. Nó được ký hiệu bằng , "q", formula_28, hay . Phép liên hợp là phép đối hợp, nghĩa là nó là nghịch đảo của chính nó, do đó liên hợp lại một quaternion đã được liên hợp sẽ ra quaternion gốc. Liên hợp của tích hai quaternion là tích của hai liên hợp theo "thứ tự ngược lại". Tức là nếu và là quaternion, thì , chứ không phải .
Liên hợp của quaternion trái ngược bên ngoài với các số phức ở chỗ các liên hợp của chúng đều có thể biểu diễn bằng phép nhân và cộng của quaternion:

formula_29

Phép liên hợp có thể dùng để lấy phần vô hướng và phần vectơ của quaternion. Phần vô hướng của là , còn phần vectơ của là .

Căn bậc hai của tích của một quaternion với liên hợp của chính nó được gọi là "chuẩn" và được ký hiệu là (Hamilton gọi giá trị này là "tensor" của "q", song điều này dẫn tới mâu thuẫn với định nghĩa đương đại của "tensor"). Trong các công thức, nó được biểu diễn như sau:

formula_30

Kết quả luôn là số thực không âm, và nó tương tự với chuẩn Euclid khi formula_4 được xét là không gian vectơformula_32. Nhân quaternion bằng một số thực thì cũng sẽ nhân lên giá trị tuyệt đối của số thực đó vào chuẩn. Nghĩa là, nếu thực, thì

formula_33

Đây là trường hợp đặc biệt của nội dung chuẩn có tính "nhân tính", tức là

formula_34

với mọi quaternion và . Tính nhân tính là hệ quả của công thức liên hợp của tích. Hoặc ta có thể chứng minh từ định thức.

formula_35

(trong đó là đơn vị ảo quen thuộc) và từ tính nhân tính của định thức của các ma trận vuông.

Chuẩn này cho phép ta định nghĩa khoảng cách giữa và là chuẩn của hiệu giữa chúng:

formula_36

Từ đây, formula_4 là không gian mêtric.
Phép cộng và phép nhân liên tục tương ứng với tô pô mêtric.
Cái này có thể lập luận từ cùng một bài chứng minh cho số thực formula_38 từ nội dung formula_4 là đại số định chuẩn.

=== Quaternion đơn vị ===
Quaternion đơn vị là quaternion có chuẩn 1. Chia quaternion khác không cho chuẩn không của nó sẽ ra quaternion đơn vị được gọi là "versor" của :

formula_40

Mỗi quaternion khác không đều có dạng phân tích cực duy nhất formula_41, trong khi "quaternion không" có thể lập thành từ bất kỳ quaternion đơn vị.

Sử dụng liên hợp và chuẩn giúp định nghĩa nghịch đảo của quaternion đơn vị. Tích của quaternion với nghịch đảo của nó phải bằng 1, và từ các nội dung trên sẽ suy ra rằng tích của formula_42 và formula_43 bằng 1 (theo cả hai hướng nhân). Do đó "nghịch đảo" của được định nghĩa là

formula_44

Bởi phép nhân không giao hoán, các giá trị hoặc   khác nhau (trừ khi và là bội của nhau hoặc một trong số chúng vô hướng): ký hiệu không xác định và do đó không nên dùng.

== Tính chất đại số ==
Tập hợp formula_4 của tất cả quaternion là không gian vectơ trên số thực với số chiều 4. Phép nhân các quaternion có tính kết hợp và phân phối trên phép cộng vectơ. Trừ khi là nhân với phần tử trong tập các phần tử vô hướng, phép nhân không có tính giao hoán . Do đó, tập các quaternion formula_4 là đại số kết hợp và không giao hoán trên số thực. Mặc dù formula_4 có chứa bản sao của số phức, nó không phải đại số kết hợp trên số phức.

Bởi có thể chia quaternion, chúng lập thành đại số chia. Cấu trúc tương tự với trường ngoại trừ tính không giao hoán của phép nhân. Đại số chia, kết hợp mà hữu hạn chiều trên số thực cực kỳ hiếm. Định lý Frobenius phát biểu chỉ có ba đại số như thế: formula_38, formula_49, và formula_4. Định nghĩa chuẩn khiến cho tập các quaternion lập đại số định chuẩn. Đại số định chuẩn trên số thực cũng rất hiếm, định lý Hurwitz nói rằng chỉ có đúng bốn: formula_38, formula_49, formula_4, và formula_54 (octonion). Các quaternion còn là ví dụ của đại số hợp thành và của đại số Banach unita.

Bởi tích của hai vectơ cơ sở hoặc ra giá trị âm hoặc ra giá trị dương của vectơ cơ sở còn lại, tập lập thành một nhóm dưới phép nhân. Nhóm không giao hoán này được gọi là nhóm quaternion và ký hiệu là . Vành nhóm thực của là vành formula_55 và cũng đồng thời là không gian vectơ 8 chiều trên formula_56 Nó có một vectơ cơ sở cho mỗi phần tử của formula_57 Các quaternion đẳng cấu với vành thương của formula_55 chia bởi ideal sinh bởi các phần tử , , , và . Ở đây phần tử đầu tiên trong mỗi hiệu là một trong các phần tử cơ sở , và , còn phần tử cơ sở thứ hai là một trong , và , chứ không phải nghịch đảo phép cộng của , và .

== Quaternion và hình học ba chiều ==
Phần vectơ của quaternion có thể xem là vectơ toạ độ trong formula_59 do đó các phép toán đại số với quaternion phản ánh hình học của formula_21 Các phép toán như phép nhân vô hướng và phép nhân có hướng có thể định nghĩa bằng quaternion, và do đó ta có thể áp dung chúng bất cứ khi nào xuất hiện vectơ không gian. Một ứng dụng hữu ích của quaternion đó là nội suy giữa các hướng của khung chính trong đồ hoạ máy tính.

Trong phần còn lại của mục này, , , và sẽ đồng thời ký hiệu ba vectơ cơ sở ảo của formula_4 và là cơ sở của formula_21 Thay bằng , bằng , và bằng sẽ đổi vectơ thành nghịch đảo phép cộng của nó, do đó nghịch đảo phép cộng của vectơ tương ứng với liên hợp của quaternion. Vì vậy, đôi khi liên hợp được gọi là "nghịch đảo không gian".

Cho hai quaternion và , tích vô hướng của chúng tương ứng với vectơ trong formula_63 là

formula_64

Nó cũng có thể biểu diễn như sau mà không phải phân tích ra

formula_65

Giá trị này bằng với phần vô hướng của . Lưu ý phần vectơ của chúng khác nhau.

Tích có hướng của và tương ứng với hướng xác định bởi , và là

formula_66

(Lưu ý hướng được dùng để xác định dấu.) Giá trị này bằng với phần vectơ của , và cũng bằng phần vectơ của . Nó có công thức sau

formula_67

Đối với giao hoán tử, , ta cũng có thể suy ra rằng

formula_68

Tổng quát, gọi và là quaternion và viết

formula_69

trong đó và là phần vô hướng, còn là là phần vectơ của và , thì ta có công thức

formula_70

Công thức cho thấy tính không giao hoán của phép nhân quaternion đến từ phép nhân phần vectơ của chúng. Nó cũng cho thấy hai quaternion giao hoán với nhau khi phần vectơ của chúng đối tuyến tính. Hamilton chứng minh rằng tích này tính ra toạ độ thứ ba của hình tam giác cầu từ hai đỉnh cho trước và độ dài góc tương ứng của chúng, và cũng đồng thời là đại số điểm trong hình học elliptic.

Quaternion đơn vị đồng nhất với phép quay trong formula_71 và được gọi là versor bởi Hamilton. Để hiểu rõ hơn, xem quaternion và phép quay không gian về mô hình hoá quay ba chiều sử dụng quaternion.

Xem Hanson (2005) cách hiển thị quaternion.

== Biểu diễn ma trận ==
Tương tự như số phức, quaternion có thể biểu diễn bằng ma trận. Có ít nhất hai cách biểu diễn các quaternion sao cho phép cộng và phép nhân của quaternion tương ứng với phép cộng và phép nhân của ma trận. Một trong số đó là dùng ma trận phức 2 × 2, và một cách khác là dùng ma trận thực 4 × 4.Trong mỗi cách, biểu diễn thu được là một trong họ các biểu diễn tuyến tính tương tự. Sử dụng đại số trừu tượng, đây là các đơn cấu từ formula_4 tới vành ma trận và , tương ứng.

Quaternion có thể biểu diễn thành ma trận phức 2 × 2 như sau

Cách biểu diễn này có các tính chất sau:
- Buộc hai trong , và bằng 0 sẽ ra số phức.Ví dụ, đặt sẽ ra biểu diễn ma trận chéo phức của số phức, còn nếu dùng thì sẽ ra biểu diễn ma trận thực.
- Chuẩn của quaternion (căn bậc hai của tích với liên hợp, giống với số phức) là căn bậc hai của định thức của ma trận tương ứng.
- Liên hợp của quaternion tương ứng với chuyển hợp của ma trận.
- Khi giới hạn, biểu diễn này ra đẳng cấu giữa nhóm các quaternion đơn vị với ảnh của chúng SU(2). Trong tô pô, tập các quaternion đơn vị lập 3-cầu, do đó không gian nền của SU(2) cũng là 3-cầu. Nhóm quan trọng cho mô tả spin trong vật lý lượng tử; xem ma trận Pauli.
- Có mối quan hệ mạnh mẽ giữa các quaternion đơn vị với các ma trận Pauli. Ta thu về tám ma trận quaternion đơn vị bằng cách xét , , và , đặt một trong số chúng bằng 0 và cái còn lại lấy 1 hoặc −1. Nhân bất kỳ hai trong ba ma trận Pauli sẽ luôn ra ma trận quaternion đơn vị, tất cả ngoại trừ -1. Ta thu −1 qua ; tức đẳng thức cuối làformula_74

Sử dung các ma trận thực 4 × 4, cũng cùng quaternion đó có thể viết như sau

formula_75

Tuy nhiên, biểu diễn của quaternion trong không độc nhất. Chẳng hạn, vẫn cùng quaternion trên, nó có thể biểu diễn thành

formula_76

Có 48 cách biểu diễn ma trận riêng biệt dưới dạng này trong đó một trong số các ma trận biểu diễn phần vô hướng còn ba ma trận còn lại đều phản đối xứng. Cụ thể hơn, có 48 tập các bộ bốn ma trận với ràng buộc đối xứng sao cho hàm gửi , và đến các ma trận trong bộ bốn là đồng cấu, tức là nó gửi tổng và tích của quaternion tới tổng và tích của ma trận. 
Trong cách biểu diễn này, liên hợp của quaternion tương ứng với chuyển vị của ma trận. Luỹ thừa bậc bốn của chuẩn của quaternion là định thức của ma trận tương ứng . Giống với biểu diễn phức 2 × 2 ở trên, có thể viết biểu diễn các số phức bằng cách ràng buộc hợp lý các giá trị; ví dụ, biểu diễn thành ma trận khối chéo với hai khối 2 × 2 bằng cách đặt .

Mỗi biểu diễn ma trận 4×4 của quaternion tương ứng với một bảng nhân của các quaternion đơn vị. Ví dụ chẳng hạn, biểu diễn thứ hai ở trên tương ứng với bảng nhân
đẳng cấu — qua formula_77 — với

Buộc bất kỳ bảng nhân phải để phần tử trung hoà ở hàng đầu và cột đầu và dấu của các đầu hàng phải trái với dấu của đầu cột, thì có 3 lựa chọn khả thi cho cột thứ hai (không quan tâm dấu), 2 lựa chọn khả thi cho cột thứ ba (không quan tâm dấu) và 1 lựa chọn khả thi (không quan tâm dấu) cho cột thứ tư; ta được sáu lựa chọn khả thi. Sau đó khi quan tâm dấu, mỗi cột có thể âm hoặc dương, có ba cột và vì vậy có 2=8 lựa chọn cho dấu mỗi cột. Nhân số lựa chọn phần tử với số lựa chọn dấu sẽ ra 48. Sau đó thay bằng , bằng , bằng , và bằng rồi bỏ các hàng đầu và cột đầu sẽ ra biểu diễn ma trận của .

== Định lý bốn số chính phương của Lagrange ==
Quaternion cũng được dùng trong một trong trong các bài chứng minh cho định lý bốn số chính phương của Lagrange trong lý thuyết số, định lý này phát biểu rằng mọi số nguyên không âm là tổng của bốn số chính phương. Bên cạnh việc định lý này rất là gọn, định lý còn có ứng dụng hữu ích trong các nhánh toán học ngoài lý thuyết số, chẳng hạn như trong lý thuyết thiết kế tổ hợp. Bài chứng minh dựa trên quaternion sử dụng các quaternion Hurwitz, các quaternion này là vành con của vành các quaternion có chứa thuật toán với thuật toán Euclid.

== Quaternion là cặp số phức ==
Quaternion có thể biểu diễn bằng cặp hai số phức. Từ góc nhìn này, các quaternion là kết quả của việc áp dụng xây dựng Cayley–Dickson đến số phức. Đây là dạng tổng quát của xây dựng số phức từ cặp hai số thực.

Gọi formula_78 là không gian vectơ hai chiều trên số phức. Chọn cơ sở bao gồm hai phần tử và . Một vectơ trong formula_78 có thể viết thành tổ hợp của các phần tử cơ sở và như sau

formula_80

Nếu ta định nghĩa và , thì ta có thể định nghĩa phép nhân vectơ sử dụng luật phân phối. Sử dụng làm ký hiệu viết tắt cho tích dẫn tới cùng luật cho phép nhân của quaternion. Do đó, vectơ trên của các số phức tương ứng với quaternion . Nếu ta viết phần tử của formula_78 là cặp được sắp và các quaternion là bộ bốn, thì tương ứng giữa chúng

formula_82

== Căn bậc hai ==
=== Căn bậc hai của −1 ===
Trong số phức, formula_83 có đúng hai số, và , cho ra −1 khi bình phương lên. Trong formula_4, có vô hạn giá trị cho căn bậc hai của -1: nghiệm quaternion cho căn bậc hai của −1 là mặt cầu đơn vị trong formula_21Để hiểu rõ, gọi là quaternion và là căn bậc hai của −1. Khi đó, xét , , , và , ta được

formula_86

Để thoả mãn ba phương trình cuối, hoặc hoặc , , và đều bằng 0. Lựa chọn sau bất khả thi bởi "a" là số thực và nếu chọn như thế thì sẽ suy ra Do đó, và Nói cách khác: quaternion có bình phương bằng −1 khi và chỉ khi nó là quaternion vectơ với chuẩn 1. Theo định nghĩa, mọi vectơ như thế lập thành mặt cầu đơn vị.

Chỉ có số quaternion thực và âm mới có vô hạn số căn bậc hai. Những giá trị còn lại chỉ có hai (hoặc một trong trường hợp của 0).

==== Khi là hợp của các mặt phẳng phức ====
Mỗi cặp đối cực của căn bậc hai của −1 tạo một bản sao phân biệt của số phức trong các quaternion. Nếu thì bản sao là ảnh của hàm số

formula_87

Đây là đơn cấu vành từ formula_49 đến formula_89 định nghĩa đẳng cấu trường từ formula_90 đến ảnh của nó. Ảnh của phép nhúng tương ứng với và − bằng nhau.

Mọi quaternion không thực sinh đại số con của các quaternion mà đẳng cấu với formula_83 và do đó là không gian con phẳng của formula_92 viết thành tổng của phần vô hướng và phần vectơ:

formula_93

Phân tích phần vectơ thành tích của chuẩn của nó với versor:

formula_94

(Cái này khác với formula_95.) Versor của phần vectơ , formula_96, là versor phải với –1 là bình phương của nó. Dễ kiểm chứng rằng
formula_97
định nghĩa đồng cấu đại số có tính đơn ánh của các đại số định chuẩn từ formula_49 đến các quaternion. Dưới đồng cấu này, là ảnh của số phức formula_99.

Bởi formula_4 là hợp của tất cả các ảnh của đồng cấu, ta có thể xem các quaternion là chùm các mặt phẳng giao nhau trên đường số thực. Mỗi mặt phẳng phức này chỉ chứa cặp hai điểm đối cực của mặt cầu của căn bậc hai của -1.

==== Vành con giao hoán ====
Mối quan hệ của các quaternion với nhau trong mặt phẳng phức của formula_4 có thể xác định và biểu diễn bằng các vành con giao hoán. Cụ thể, bởi hai quaternion và giao hoán (tức ) chỉ khi chúng nằm trong cùng mặt phẳng phức của formula_4, ý tưởng formula_4 là hợp của các mặt phức nảy sinh khi ta muốn tìm tất cả vành con giao hoán của vành quaternion.

=== Căn bậc hai của quaternion tuỳ ý ===
Bất kỳ quaternion formula_104 (biểu diễn dưới dạng cặp vô hướng và vectơ) có ít nhất một căn bậc hai formula_105 giải phương trình formula_106. Nhìn riêng biệt vào phần vô hướng và vectơ trong phương trình sẽ ra hai phương trình, sau khi giải chúng sẽ ra nghiệm

formula_107

trong đó formula_108 là chuẩn của formula_109 và formula_110 là chuẩn của formula_111. Đối với quaternion vô hướng formula_111, phương trình này cho đúng giá trị căn bậc hai nếu formula_113 được coi là vectơ đơn vị tuỳ ý.

Do đó, các quaternion không vô hướng và khác không hoặc các quaternion dương có chính xác hai căn bậc hai, trong khi 0 chỉ có một (0), còn quaternion vô hướng và âm thì có vô số căn bậc hai, và là các quaternion vectơ nằm trên formula_114,tức phần vô hướng bằng 0 còn phần vectơ thì nằm trên 2-cầu có bán kinh formula_115.

==Hàm với biến quaternion==
Giống hàm số với biến phức, các hàm với biến quaternion gợi ý đến mô hình vật lý hữu dụng. Chẳng hạn, mô tả gốc của Maxwell về từ trường và điện trường sử dụng hàm biến quaternion. Các ví dụ khác bao gồm mở rộng tập Mandelbrot và tập Julia sang không gian bốn chiều.

===Hàm mũ, hàm lôgarit và hàm luỹ thừa===
Cho quaternion,

formula_116

hàm mũ được tính như sau

formula_117

còn hàm lôgarit là

formula_118

Từ đây, ta có thể viết dạng cực (dạng lượng giác) của quaternion

formula_119

trong đó góc đến từ

formula_120

còn vectơ đơn vị formula_121 định nghĩa bởi:

formula_122

Bất kỳ quaternion đơn vị có thể biểu diễn dưới dạng cực như sau:

formula_123

Luỹ thừa của quaternion với bậc thực tuy ý là:

formula_124

===Chuẩn trắc địa===
Khoảng cách trắc địa giữa quaternion đơn vị và được định nghĩa là:

formula_125

và tương ứng với giá trị tuyệt đối của một nửa góc đối diện bởi và trên cung lớn của mặt -cầu.
Góc này cũng có thể tính từ tích vô hướng của quaternion mà không sử dụng lôgarit:

formula_126

==Nhóm quay ba chiều và nhóm quay bốn chiều==
Từ "liên hợp", ngoài nghĩa ở trên còn có nghĩa là biến đổi phần tử thành trong là quaternion khác không nào đó. Tất cả phần tử liên hợp với một phần tử cho trước (theo nghĩa của "liên hợp" trong đây) có cùng phần thực và cùng giá trị chuẩn của phần vectơ. (Do đó liên hợp ở trên là một trong họ các phần tử "liên hợp" dưới đây.) 

Do vậy, nhóm nhân tính của quaternion khác không tác động bằng liên hợp lên bản sao của formula_71 bao gồm các quaternion có phần thực bằng không. Liên hợp bởi quaternion đơn vị (quaternion có chuẩn 1) với phần thực là phép quay với góc , trục quay là hướng của phần vectơ. Các ưu điểm của phép quay bằng quaternion này là:

- Tránh khoá gimbal (gimbal lock), một vấn đề với các hệ thống như góc Euler.
- Nhanh hơn và gọn hơn khi tính với ma trận.
- Biểu diễn không kỳ dị (so sánh với góc Euler chẳng hạn).
- Cặp quaternion đơn vị có thể biểu diễn phép quay trong không gian bốn chiều (xem Quay trong không gian Euclid 4 chiều).

Tập các quaternion đơn vị (versor) lập thành 3-cầu và nhóm (nhóm Lie) dưới phép nhân, phủ hai lần nhóm formula_128 của các ma trận trực giao thực 3×3 với định thức 1 bởi "hai" quaternion đơn vị tương ứng với phép quay dưới tương ứng trên. Xem mẹo đĩa.

Ảnh của nhóm con các versor là nhóm điểm, và ngược lại, tạo ảnh của nhóm điểm là nhóm con các versor. Tạo ảnh của nhóm điểm hữu hạn được gọi cùng tên nhưng thêm hậu tố "nhị phân". Lấy ví dụ, tạo ảnh của nhóm icosahedral là nhóm icosahedral nhị phân.

Nhóm các versor đẳng cấu với , nhóm các ma trận unita 2×2  có định thức 1.

Gọi là tập các quaternion dưới dạng trong đó và hoặc đều là số nguyên hoặc đều là số bán nguyên. Tập này là vành (thậm chí còn là miền) và là lưới, được gọi là vành các quaternion Hurwitz . Có 24 quaternion đơn vị này và chúng đều là đỉnh của 24-cell đều (hình 24 đỉnh trong không gian 4 chiều) với dấu Schläfli 

== Đại số quaternion ==
Các quaternion có tổng quát hơn nữa thành đại số gọi là "đại số quaternion". Gọi là bất kỳ có đặc trưng khác 2, và và là các phần tử của ; đại số kết hợp, unita và bốn chiều có thể định nghĩa trên với cơ sở và , trong đó , và (nên ).

Đại số quaternion đẳng cấu với đại số các ma trận 2×2 trên .

== Quaternion là phần chẵn của ==
Tính hữu dụng của quaternion cho tính toán hình học có thể tổng quát cho các chiều khác bằng việc xác định quaternion là phần chẵn formula_129 của đại số Clifford formula_130 Đây là đại số đa vectơ kết hợp được xây từ các phần tử cơ sở nền tảng sử dụng quy tắc tính tích sau

formula_131
formula_132

Nếu các phần tử cơ sở này được dùng để biểu diễn vectơ trong không gian 3D, thì ta có thể nhận ra rằng "phản xạ" của vectơ trong mặt phẳng vuông góc với vectơ đơn vị có thể viết thành:

formula_133

Hai phản xạ sẽ tạo phép quay bởi góc gấp đối góc giữa hai mặt phẳng phản xạ, do đó

formula_134

tương ứng với quay 180° trong mặt phẳng chứa "σ" và "σ". Điều này rất tương tự với công thức quaternion tương ứng,

formula_135

Thật vậy, hai cấu trúc formula_129 và formula_4 đẳng cấu với nhau. Một ánh xạ dễ tìm đó là

formula_138

và dễ kiểm chứng lại nó bảo toàn các quan hệ của Hamilton

formula_139

==Đọc thêm==
===Sách và xuất bản===
- Hamilton, William Rowan (1853), ""Lectures on Quaternions"". Royal Irish Academy.
- Hamilton (1866) "Elements of Quaternions" University of Dublin Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
- Hamilton (1899) "Elements of Quaternions" volume I, (1901) volume II. Edited by Charles Jasper Joly; published by Longmans, Green & Co.
- Tait, Peter Guthrie (1873), ""An elementary treatise on quaternions"". 2d ed., Cambridge, [Eng.] : The University Press.
- Maxwell, James Clerk (1873), ""A Treatise on Electricity and Magnetism"". Clarendon Press, Oxford.
- Tait, Peter Guthrie (1886), """". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopædia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
- ("See section on quaternions.")
- Michael J. Crowe (1967), A History of Vector Analysis: "The Evolution of the Idea of a Vectorial System", University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
- (review).
- For molecules that can be regarded as classical rigid bodies molecular dynamics computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by

===Liên kết và chuyên khảo===
- Notices and materials related to Quaternion conference presentations
- Quaternions for Computer Graphics and Mechanics (Gernot Hoffman)
- 3D Raytraced Quaternion Julia Fractals
- Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
- David Erickson, Defence Research and Development Canada (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper.
- describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by .
- Part II (PDF; using Hamilton's terminology, which differs from the modern usage)
- two expository papers about continuous functional calculus and spectral theory in quanternionic Hilbert spaces useful in rigorous quaternionic quantum mechanics.
- Quaternions the Android app shows the quaternion corresponding to the orientation of the device.
- Rotating Objects Using Quaternions article speaking to the use of Quaternions for rotation in video games/computer graphics.

==Liên kết ngoài==
- Paulson, Lawrence C. Quaternions (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
- Quaternions – Visualisation