Compact

Trong toán học, đặc biệt là tô pô, một tập là tập compact khi và chỉ khi tập đó chứa mọi điểm giới hạn của nó, là tổng quát khái niệm tập đóng và bị chặn của không gian Euclid. Lấy ví dụ, khoảng mở formula_1 không phải một tập compact bởi nó không chứa hai điểm giới hạn là 0 và 1, trong khi đoạn đóng formula_2 là tập compact. Theo đó, tập số hữu tỉ formula_3 không compact do có vô số "khoảng trống" là các số vô tỉ, đường thẳng thực formula_4 cũng không compact do không chứa hai điểm là formula_5 và formula_6.

==Giới thiệu==
Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con formula_7 của formula_4 với tô pô Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong formula_7 thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập 
thì formula_11 sẽ là một điểm tụ của formula_12. Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta formula_13 là không gian compact (không gian formula_13 là con của formula_4 với topo Euclide) khi và chỉ khi formula_13 đóng và bị chặn trong formula_4. Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và formula_4 là không compact.

Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:

- Không gian con của không gian Euclide là compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
- Trong không gian metric, khái niệm compact dãy trùng với khái niệm compact tổng quát.

Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian formula_19 được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của formula_20, ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.

==Định nghĩa==
Xét formula_21 là một tập hợp con của một không gian tô-pô formula_20. formula_21 được gọi là một tập con compact của formula_20 nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu formula_25 và với formula_26 là các tập con mở của formula_20, thì tồn tại một tập con hữu hạn formula_28 sao cho formula_29 (nghĩa là với mọi phủ mở của formula_21, có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn, formula_21 là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".

Một không gian tô-pô formula_20 được gọi là compact nếu tập con tầm thường formula_33 là một tập con compact.
===Không gian con compact===
Cho formula_12 là không gian con của không gian tô pô formula_20. Cho formula_36 là tập chỉ số của một phủ mở của formula_12. Với mỗi formula_38 là chỉ số của một tập mở của formula_12, thì ta có formula_40 mở trong formula_20 sao cho formula_42. Vì vậy, ta có họ các tập mở formula_43 của formula_20 mà có hội chứa formula_12. Nói cách khác, nếu có một họ formula_36 các tập mở trong formula_20 có hội chứa formula_12, thì họ formula_49 là một phủ mở của formula_12. Do đó, formula_12 là không gian con compact của formula_20 nếu cho họ formula_53 là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa formula_12, thì tồn tại formula_28 và formula_56 sao cho formula_57 có hội chứa formula_12. Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con formula_12 của formula_20 là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của formula_12 hoặc họ các tập mở trong formula_20 có hội chứa formula_12.

Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.

==Những ví dụ==
===Topo tổng quát===
- Không gian topo formula_20 với formula_20 hữu hạn là không gian compact, vì nó chỉ có hữu hạn tập mở. Tổng quát hơn, nếu topo formula_66 có hữu hạn phần tử thì formula_20 là không gian compact (topo hiển nhiên là một ví dụ).
- Không gian topo formula_20 với tô pô phần bù hữu hạn là không gian compact.

===Giải tích và Đại số===
- Khoảng đóng formula_7 dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ định lý Heine - Borel. Khoảng mở formula_70 thì không compact vì ta có họ phủ mở
là phủ formula_70 nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.

- formula_4 với topo Euclide là không compact vì ta có họ phủ mở formula_74 phủ formula_4 nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn. Ta cũng có thể kết luận điều này vì formula_4 đồng phôi với formula_70 với topo Euclide nhưng formula_70 không compact, dẫn đến formula_4 không compact.
- Tập Cantor là compact dưới topo Euclide.
- Cho formula_13 là tập hợp các hàm số formula_81 thỏa điều kiện Lipschitz: tồn tại formula_82 sao cho formula_83 thì
Ta có formula_13 là không gian metric với metric định bởi 

==Ý nghĩa==
Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.

Trong tiếng Anh, "compact" có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.

Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact", "tập cơm nén" (quá thuần Việt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ "compact", đôi khi phiên âm thành "com-pắc".

==Các định lý==
Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:
- Ảnh liên tục của một không gian compact là compact.
- Tập con đóng của không gian compact là compact.
- Cho formula_87 là song ánh liên tục. Nếu formula_20 là compact và formula_21 là Hausdorff, thì formula_90 là đồng phôi.
- Không gian con compact của không gian Hausdorff là đóng.
- Định lý giá trị cực trị: một hàm trị thực liên tục trên một không gian compact có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.
- Hội hữu hạn những tập compact là compact.
- Định lý Tychonoff: tích của một họ các không gian compact là compact.

===Đặc trưng của tính compact===
Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.

===Không gian Euclide===
Với tập con formula_12 của không gian Euclide formula_92, những tính chất sau là tương đương:

1. formula_12 là compact.

2. Mỗi dãy trong formula_12 có dãy con hội tụ.

3. formula_12 là đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).

===Không gian metric===
- Cho phủ mở của không gian metric compact, thì có một số formula_96 sao cho quả cầu bán kinh formula_96 chứa trong một thành phần của phủ mở. (số Lebesgue)
- Một không gian metric là compact nếu và chỉ nếu mỗi dãy có dãy con hội tụ.

==Tham khảo==
- Walter, Rudin (1964), "Principles of Mathematical Analysis," ISBN 10: 0070542317.