Cấp (lý thuyết nhóm)

Trong lý thuyết nhóm, thuật ngữ cấp (tiếng Anh: "order") có hai ý nghĩa, cả hai ý nghĩa này đều liên hệ mật thiết với nhau:
- cấp của một nhóm "G" chính là số phần tử của "G";
- cấp của phần tử "a" trong nhóm "G" là số nguyên dương "m" nhỏ nhất thỏa mãn formula_1, trong đó "e" là phần tử đơn vị của nhóm "G", formula_2 là tích (với phép toán trang bị cho nhóm "G") của "m" phần tử "a".

Ký hiệu cấp của nhóm "G" là "ord(G)" hoặc "|G|"; cấp của phần tử "a" được ký hiệu là "ord(a)" hoặc "|a|".

Cấp của nhóm và của phần tử có thể hữu hạn hoặc vô hạn ∞. Ví dụ tập hợp các số nguyên "Z" cùng với phép toán cộng + lập thành một nhóm có cấp bằng ∞ (vì "Z" có vô số phần tử).

== Ví dụ ==
Bảng sau là bảng nhân cho các phần tử của nhóm đối xứng formula_3:

Nhóm formula_3 có 6 phần tử, nên cấp của nó bằng 6:

Cấp của các phần tử trong nhóm formula_3:
- phần tử đơn vị "e" có cấp bằng 1;
- các phần tử "s", "t", "w" bình phương lên bằng "e": formula_7, nên chúng có cấp bằng 2;
- các phần tử "u" và "v" có cấp bằng 3; điều này có thể giải thích như sau: formula_8 nên formula_9, tương tự cho v..

== Cấp và cấu trúc của nhóm ==
Cấp của nhóm và cấp của phần tử trong nhóm nói lên rất nhiều điều về cấu trúc của chính nhóm đó.

Nếu cấp của nhóm "G" bằng 1 thì nó là nhóm tầm thường.

Nếu cấp của phần tử "a" bằng 1: formula_10 thì "a" chính là phần tử đơn vị của nhóm.

Nếu mọi phần tử "a" (khác phần tử đơn vị) của nhóm "G" đều bằng nghịch đảo của chính các phần tử đó (formula_11) thì chúng đều có cấp bằng 2: formula_12 và nhóm "G" là nhóm Abel, vì:
Điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ nhóm cộng các số nguyên modulo formula_14 là nhóm Abel, nhưng không phải mọi phần tử của nó đều có cấp bằng 2, ví dụ phần tử 2 có cấp bằng 3: formula_15.

Một phần tử formula_16 có cấp bằng formula_17 cũng được gọi là một phần tử lũy đẳng.

=== Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp ===
Mối liên hệ giữa hai khái niệm của cấp được giải thích như sau:

=== Định lý Lagrange ===
Định lý Lagrange: Nếu "H" là nhóm con của "G", và "G" có hữu hạn phần tử, thì "H" cũng hữu hạn và có cấp là ước số của cấp của "G":

Từ định lý trên có thể suy ra, cấp của "G" chia hết cho cấp của mọi phần từ "a" thuộc "G". Như đã xét trong ví dụ về nhóm formula_3, ord(formula_3)=6 chia hết cho 2 là cấp của "s","t","w" và 3 là cấp của "u","v".

=== Các tính chất của cấp của phần tử ===
Phần tử "a" và nghịch đảo của nó formula_25 có cùng cấp:

Nếu số nguyên "k" thỏa mãn: formula_27 thì cấp của "a" là ước của "k". Nhận xét này được áp dụng rất nhiều trong số học sơ cấp.

Nếu "a" có cấp hữu hạn thì mọi lũy thừa nguyên của "a" cũng có cấp hữu hạn. Cấp của phần tử formula_28 được tính như sau:
Ví dụ:
- Trong nhóm cộng các số nguyên modulo 5 formula_30, "a"=2 có cấp bằng 5 (vì formula_31), nếu lấy "k"=2 thì formula_32 sẽ có cấp bằng 2:

=== Định lý Cauchy (định lý Côsi) ===
Định lý Cauchy: phát biểu rằng:

==Đồng cấu nhóm và cấp ==
Cho 2 nhóm "G" và "H", nếu "f": "G" → "H" là một đồng cấu, "a" là một phần tử thuộc "G", cấp của "a" là hữu hạn. Khi đó formula_34 là ước của formula_35.

Ví dụ:
- Từ nhận xét trên, ta suy ra không tồn tại đồng cấu nhóm "h": S → Z, vì mọi phần tử khác 0 trong nhóm Z đều có cấp bằng 5 và 5 không phải là ước của 1,2,3 là cấp của các phần tử trong S.