Gia tốc góc

Gia tốc góc (kí hiệu formula_1 (alpha) hay formula_2 (gamma)) là biến thiên của vận tốc góc của vật theo thời gian.

Gia tốc góc có thứ nguyên góc trên thời gian bình phương, được đo bởi đơn vị SI là radian trên giây bình phương (formula_3). Trong hai chiều, gia tốc góc là đại lượng giả vô hướng với dấu được lấy là dương nếu tốc độ góc "tăng ngược chiều kim đồng hồ" hoặc "giảm cùng chiều kim đồng hồ", và ngược lại, âm nếu "giảm ngược chiều kim đồng hồ" hoặc "tăng cùng chiều kim đồng hồ". Trong ba chiều, gia tốc góc là một giả vector.

Gia tốc góc là khái niệm mở rộng của gia tốc trong chuyển động thẳng sang chuyển động tròn, là đạo hàm bậc nhất của vận tốc góc và là đạo hàm bậc hai của góc theo thời gian.

== Định nghĩa ==
Một vật đang quay với vận tốc góc thay đổi thì có một gia tốc góc. Gia tốc góc trung bình formula_4 của vật quay được xác định bởi:

trong đó formula_6 là biến thiên vận tốc góc trong khoảng thời gian formula_7.

Gia tốc góc tức thời formula_1 là giới hạn của đại lượng trên khi formula_7 tiến tới không:

Công thức trên đúng đối với mọi điểm trên vật cần xét.

== Gia tốc góc quỹ đạo của chất điểm ==
=== Chất điểm trong không gian hai chiều ===
Trong hai chiều, gia tốc góc quỹ đạo là tốc độ mà vận tốc góc quỹ đạo hai chiều theo tâm quỹ đạo của chất điểm thay đổi. Vận tốc góc tức thời của một chất điểm được xác định bởi:

với formula_12 là khoảng cách tới tâm và formula_13 là thành phần tiếp tuyến (với vector vị trí) của vận tốc tức thời, theo quy ước coi là dương đối với chuyển động quay ngược chiều kim đồng hồ và âm đối với chuyển động quay cùng chiều kim đồng hồ.

Do đó, gia tốc góc tức thời formula_14 của chất điểm được xác định bởi:

Khai triển vế phải theo quy tắc tích từ giải tích vi phân, ta có:

Trong trường hợp đặc biệt chất điểm chuyển động tròn quanh tâm, formula_17 trở thành gia tốc tiếp tuyến formula_18, còn formula_19.

Trong hai chiều, gia tốc góc là một số với dấu dương/âm được dùng để định phương hướng, chứ không chỉ ra hướng cụ thể. Như đã nêu trên, dấu được lấy là dương nếu tốc độ góc "tăng ngược chiều kim đồng hồ" hoặc "giảm cùng chiều kim đồng hồ", và ngược lại, âm nếu "giảm ngược chiều kim đồng hồ" hoặc "tăng cùng chiều kim đồng hồ". Do đó, gia tốc góc có thể được coi là một đại lượng giả vô hướng, một đại lượng số đổi dấu khi đảo ngược đối xứng, chẳng hạn như đảo ngược một trục hoặc hoán đổi hai trục.

=== Chất điểm trong không gian ba chiều ===
Trong ba chiều, gia tốc góc quỹ đạo là tốc độ mà vận tốc góc ba chiều thay đổi theo thời gian. Vận tốc góc tức thời formula_21 được xác định bởi:

với formula_23 là vector vị trí chất điểm, formula_12 là khoảng cách tới tâm, và formula_25 là vận tốc.

Do đó, gia tốc góc quỹ đạo là formula_26 được xác định bởi:

Khai triển vế phải, thu được:

do formula_29.

Nếu khoảng cách từ chất điểm tới tâm formula_12 không thay đổi theo thời gian (trong đó bao gồm trường hợp nhỏ chuyển động tròn), hạng tử thứ hai biến mất và công thức trên trở thành:

Có thể khôi phục được gia tốc tiếp tuyến trong trường hợp đặc biệt này:

Thực tế, "vector" gia tốc góc là một giả vector do có ba thành phần có thể biến đổi theo phép biến đổi quay giống như tọa độ Cartesian của một điểm, nhưng không biến đổi như tọa độ Cartesian dưới phép phản xạ.

=== Quan hệ với moment của lực ===
Tổng moment của lực lên một chất điểm được xác định bởi giả vector:

với formula_34 là tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm.

Moment của lực là tương tự quay của lực, làm thay đổi trong trạng thái quay của một hệ thống, giống như lực làm thay đổi trạng thái dịch chuyển của một hệ. Giống như lực tác dụng lên một chất điểm liên kết với gia tốc theo biểu thức formula_35 (Định luật II Newton), cũng có thể viết một biểu thức liên hệ giữa moment của lực với gia tốc góc, tuy có phần phức tạp hơn.

Trước hết, thay thế formula_35 vào biểu thức moment của lực, có:

Nhắc lại công thức giả vector vận tốc góc ở trên cho không gian ba chiều:

suy ra:

Trong trường hợp đặc biệt mà khoảng cách r từ chất điểm tới tâm không đổi, khi đó formula_40, hạng tử thứ hai biến mất và phương trình đơn giản hóa thành:
có thể coi là tương tự quay đối với formula_35, với formula_43 (moment quán tính của chất điểm) đóng vai trò như khối lượng m trong Định luật II Newton. Tuy nhiên, biểu thức chỉ áp dụng được cho một quỹ đạo nằm trong một vỏ cầu xung quanh gốc tọa độ.

== Xem thêm ==
- Gia tốc
- Vận tốc góc