Đường thẳng Simson

Trong hình học, định lý về đường thẳng Simson được phát biểu như sau:

Cho tam giác formula_1 và một điểm formula_2 nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Khi đó, các hình chiếu của điểm formula_2 trên các cạnh của tam giác thẳng hàng. Đường thẳng đi qua các hình chiếu đó được gọi là "Đường thẳng Simson"' của điểm formula_2 đối với tam giác formula_1.
Đường thẳng này được đặt theo tên của nhà toán học Robert Simson. Tuy nhiên, khái niệm này được xuất bản lần đầu bởi William Wallace.

Đường thẳng Simson của một điểm chính là tam giác bàn đạp của nó nhưng trong trường hợp tam giác đó suy biến thành đường thẳng.

==Tính chất==
Cho tam giác formula_1 nội tiếp đường tròn formula_7.

Xét tính chất các đường thẳng Simson của các điểm trên formula_7.

- Đường thẳng Simson của đỉnh formula_9 của tam giác là đường cao hạ từ đỉnh đó, và đường thẳng Simson của điểm formula_10 đối xứng với đỉnh formula_9 qua tâm formula_12 là cạnh formula_13 của tam giác.
- Nếu formula_2 và formula_15 là các điểm thuộc formula_7, thì các góc giữa hai đường thẳng Simson của formula_2 và formula_15 bằng nửa số đo cung formula_19. Trong trường hợp đặc biệt, nếu formula_2 và formula_15 đối xứng nhau qua tâm formula_12, thì các đường thẳng Simson của chúng vuông góc với nhau tại một điểm nằm trên đường tròn chín điểm.
- Nếu gọi formula_23 là trực tâm của tam giác formula_1, thì đường thẳng Simson của formula_2 đi qua trung điểm của đoạn formula_26 (trung điểm này nằm trên đường tròn chín điểm).
- Nếu hai tam giác cùng nột tiếp formula_7, thì góc giữa hai đường thẳng Simson lines của một điểm formula_2 trên formula_7 đối với hai tam giác đó không phụ thuộc vào vị trí của formula_2 trên formula_7.
- Đường thẳng Simson luôn tiếp xúc với tam giác cong Steiner.

==Mở rộng==
===Mở rộng 1===
"Cho điểm formula_2 trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác formula_1, và một đường thẳng formula_34 đi qua tâm đường tròn đó. Ba đường thẳng formula_35 cắt đường thẳng formula_34 tại ba điểm phân biệt formula_37. Khi đó hình chiếu của ba điểm formula_37 tương ứng trên ba cạnh formula_39 sẽ thẳng hàng." Đã có bốn chứng minh cho mở rộng trên.

===Mở rộng 2 ===
"Cho điểm" formula_2 "trong mặt phẳng và đường conic, ba đường thẳng phân biệt qua" formula_2". Đường thẳng thứ nhất cắt conic tại các điểm" formula_9"," formula_10". Định nghĩa các điểm" formula_44"," formula_45 "và" formula_46"," formula_47 "tương tự. Gọi" formula_48 "điểm trong mặt phẳng, gọi" formula_49"," formula_50"," formula_51 "là ba điểm giao bởi ba đường thẳng" formula_52"," formula_53"," formula_54 "với ba cạnh tam giác" formula_13"," formula_56"," formula_57 "của tam giác" formula_1 "khi đó bốn điểm" formula_2"," formula_49"," formula_50"," formula_51 "thẳng hàng khi nếu và chỉ nếu" formula_48 "nằm trên đường conic."
Chúng ta có thể xem chi tiết hơn về mở rộng này tại định lý Đào (conic)

Mở rộng 3

Mở rộng này của Lazare Carnot một nhà toán học người Pháp.

"Gọi D là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A, B, C lần lượt là các điểm trên ba cạnh BC, CA, AB khi đó góc hợp bởi các đường thẳng DA, DB0, DC0 lần lượt với ba cạnh BC, CA, AB bằng nhau thì A, B, C thẳng hàng ".

==Xem thêm==
- Tam giác bàn đạp
- Robert Simson
- Định lý Sondat
- Định lý Đào (Conic)
- Định lý Carnot
- Định lý Đào (mở rộng đường thẳng Simson)

==Liên kết ngoài==
- Simson Line
- F. M. Jackson and
- A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches