Quan hệ phản xạ

Trong toán học, quan hệ hai ngôi "R" trên tập "X" có tính phản xạ nếu nó quan hệ mỗi phần tử của "X" tới chính phần tử đó. Nếu quan hệ có tính phản xạ thì ta gọi quan hệ đó là "quan hệ phản xạ".

Một ví dụ của quan hệ phản xạ là quan hệ "bằng với" trên tập các số, bởi mỗi số đều bằng với chính nó. Cùng với tính đối xứng và tính bắc cầu, 3 tính chất lập thành quan hệ tương đương

== Định nghĩa ==
Gọi formula_1 là quan hệ hai ngôi trên tập formula_2, theo định nghĩa tức là tập con của formula_3 
Cho bất kỳ formula_4 ký hiệu formula_5 nghĩa là formula_6 trong khi "không formula_5" nghĩa là formula_8

Quan hệ formula_1 được gọi là có tính nếu formula_10 với mọi formula_11 hoặc tương đương: nếu formula_12 trong đó formula_13 ký hiệu quan hệ đơn vị trên formula_14 

Lấy ví dụ, bao đóng phản xạ của quan hệ chặt chính tắc formula_28 trên các số thực formula_29 là quan hệ không chặt formula_30 trong khi rút gọn phản xạ của formula_30 là formula_32

=== Các định nghĩa gần với tính phản xạ ===
Có một số định nghĩa gần với tính phản xạ. 
Quan hệ formula_1 được gọi là có tính:

- :Nếu nó không quan hệ bất cứ phần tử nào với chính nó; nghĩa là không formula_10 với mọi formula_35 Quan hệ hoàn toàn không phản xạ khi và chỉ khi phần bù của nó trong formula_36 có tính phản xạ. Quan hệ không đối xứng thì cũng sẽ không phản xạ. Quan hệ bắc cầu và hoàn toàn không phản xạ thì sẽ không đối xứng.

- Bất cứ khi nào có formula_37 sao cho formula_38 thì formula_39

- Bất cứ khi nào có formula_37 sao cho formula_38 thì formula_42

- Nếu hai phần tử có quan hệ với nhau, thì mỗi phần tử trong cặp quan hệ đó có quan hệ với chính nó. Cụ thể hơn, nghĩa là bất cứ khi nào có formula_37 sao cho formula_38 thì formula_10 formula_42 Một định nghĩa tương đương khác là, quan hệ hai ngôi có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi nó vừa tựa phản xạ trái vừa tựa phản xạ phải. Một quan hệ formula_1 có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ formula_48 có tính tựa phản xạ trái hoặc phải.

- Phản xứng: Bất cứ khi nào formula_37 sao cho formula_50 thì formula_51

- Bất cứ khi nào formula_37 sao cho formula_38 thì formula_51 Quan hệ formula_1 có tính đối phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ của nó có tính phản đối xứng.

Quan hệ phản xạ trên tập khác rỗng formula_18 không thể hoàn toàn không phản xạ, không đối xứng (formula_1 được gọi là nếu formula_5 thì không formula_59), và không bắc cầu (formula_1 được gọi là nếu formula_61 thì không formula_62).

== Các ví dụ ==
Các ví dụ của quan hệ phản xạ bao gồm:
- "bằng với" (đẳng thức)
- "là tập con của" (bao hàm tập hợp)
- "là ước của" (Tính chia hết)
- "lớn hơn hoặc bằng với"
- "nhỏ hơn hoặc bằng với"
Các ví dụ của quan hệ không phản xạ bao gồm:
- "không bằng với"
- "nguyên tố cùng nhau" trên các số nguyên lớn hơn 1
- "là tập con thực sự của"
- "lớn hơn"
- "nhỏ hơn"

Nếu quan hệ không có tính phản xạ thì không nhất thiết nó hoàn toàn không phản xạ; ta có thể định nghĩa quan hệ sao cho một số phần tử có quan hệ với chính nó nhưng các phần tử khác thì không (nghĩa là không phải tất cả đều phải có tính phản xạ) . Lấy ví dụ, quan hệ hai ngôi "tích của formula_63 và formula_64 là số chẵn" có tính phản xạ trên tập các số chẵn, hoàn toàn không phản xạ trên tập các số lẻ, và không có tính phản xạ hay hoàn toàn không phản xạ trên tập các số tự nhiên.

== Số các quan hệ phản xạ ==
Số các quan hệ phản xạ trên tập có formula_65 phần tử là formula_66

== Logic triết học ==
Các tác giả trong logic triết học thường sử dụng thuật ngữ khác so với toán học. Quan hệ phản xạ trong toán học thì sẽ được gọi là phản xạ toàn phần trong logic triết học, còn quan hệ tựa phản xạ thì sẽ được gọi là quan hệ phản xạ.

== Tham khảo ==
- Levy, A. (1979) "Basic Set Theory", Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover.
- Lidl, R. and Pilz, G. (1998). "Applied abstract algebra", Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.
- Quine, W. V. (1951). "Mathematical Logic", Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press.
- Gunther Schmidt, 2010. "Relational Mathematics". Cambridge University Press, .