Quy tắc tích phân Leibniz

Trong vi tích phân, quy tắc Leibniz cho đạo hàm dưới dấu tích phân, đặt tên theo nhà toán học Gottfried Leibniz, phát biểu rằng với một tích phân với dạng

với formula_2, đạo hàm của tích phân này có thể được viết là:

Chú ý rằng nếu formula_4 và formula_5 đều là hằng số thay vì là hàm số theo formula_6, ta có dạng đặc biệt của quy tắc Leibniz:

Ngoài ra, nếu formula_8 và formula_9, một trường hợp thường gặp (như trong chứng minh của công thức tích phân lặp của Cauchy), ta có:

Do đó, trong một số trường hợp, ta có thể hoán đổi dấu tích phân và đạo hàm riêng. Kết quả quan trọng này đặc biệt hữu ích trong việc lấy đạo hàm của phép biến đổi tích phân. Một ví dụ là hàm sinh mô men trong lý thuyết xác suất, một dạng của biến đổi Laplace, có thể được lấy đạo hàm để thu được mô men của một biến ngẫu nhiên.

== Dạng tổng quát ==
Đẳng thức trên là dạng tổng quát của công thức tích phân Leibniz và có thể được chứng minh bằng định lý cơ bản của giải tích. Thực chất, định lý cơ bản của giải tích (thứ nhất) là trường hợp đặc biệt của định lý trên khi là một hằng số, , và 

Nếu cả chặn trên và dưới đều là hằng số, thì đẳng thức trên trông giống như phương trình của một toán tử:

trong đó formula_13 là đạo hàm riêng của và formula_14 là toán tử tích phân của trên một khoảng cố định. Nó liên quan đến tính đối xứng của đạo hàm cấp hai, nhưng có cả tích phân lẫn đạo hàm. Trường hợp này cũng được gọi là quy tắc tích phân Leibniz.

Ba định lý dưới đây về việc đổi chỗ các phép toán giới hạn về cơ bản là tương đương với nhau:
- đổi chỗ đạo hàm và tích phân (đạo hàm dưới dấu tích phân; tức quy tắc tích phân Leibniz);
- đổi chỗ thứ tự của đạo hàm riêng;
- đổi chỗ thứ tự tích phân (tích phân dưới dấu tích phân; tức định lý Fubini).

== Trường hợp ba chiều, phụ thuộc thời gian ==
Quy tắc Leibniz cho một mặt hai chiều di chuyển trong không gian ba chiều là:

trong đó:

Tích phân hai lớp là tích phân mặt trên mặt , và tích phân đường là trên đường cong giới hạn 

== Nhiều chiều ==
Quy tắc tích phân Leibniz có thể được mở rộng cho trường hợp nhiều chiều. Trong trường hợp hai và ba chiều, công thức này được dùng trong động lực học chất lưu, còn được biết là định lý vận chuyển Reynolds:

trong đó formula_17 là một hàm scalar, và lần lượt là một vùng của và giới hạn của nó thay đổi theo thời gian, còn formula_18 là vận tốc Euler của đường bao quanh và là thành phần đơn vị của thành phần mặt.

Phát biểu tổng quát cho công thức tích phân Leibniz cần những khái niệm từ hình học vi phân, cụ thể là dạng vi phân, tích phân ngoài, tích chêm và tích trong. Quy tắc tích phân Leibniz trong chiều là

trong đó là miền lấy tích phân thay đổi theo thời gian, là một dạng , formula_20 là trường vectơ của vận tốc, formula_21 chỉ tích trong với formula_22, là đạo hàm ngoài của đối với biến vị trí và formula_23 là đạo hàm của đối với thời gian.

Tuy nhiên, tất cả các đẳng thức trên đều có thể được suy ra từ phảt biểu tổng quát sau về đạo hàm Lie:

Ở đây, đa tạp mà dạng vi phân formula_25 nằm trong bao gồm cả không gian và thời gian.

== Phát biểu lý thuyết độ đo ==
Gọi là một tập con mở của , và là một không gian độ đo. Giả sử thỏa mãn các điều kiện sau:

1. là một hàm khả tích Lebesgue của với mỗi
2. Với hầu hết , đạo hàm tồn tại với mỗi
3. Tồn tại một hàm khả tích sao cho với mọi và với hầu hết

Khi ấy theo định lý hội tụ trội, với mọi 

== Xem thêm ==
- Quy tắc dây chuyền
- Quy tắc Leibniz tổng quát, tổng quát quy tắc nhân
- Định lý vận chuyển Reynolds