Nửa vành

Trong đại số trừu tượng, nửa vành là một cấu trúc đại số tương tự với vành nhưng không yêu cầu mỗi phần tử phải có nghịch đảo phép cộng.

Nửa vành nhiệt đới hiện đang được nghiên cứu mạnh bởi nó là cầu nối giữa các đa tạp đại số với các cấu trúc tuyến tính từng phần.

== Định nghĩa ==
Nửa vành là tập formula_1 đi kèm với hai phép toán hai ngôi formula_2 và formula_3 được gọi là phép cộng và phép nhân sao cho:

- formula_4 là monoid giao hoán với phần tử đơn vị formula_5:
- formula_6
- formula_7
- formula_8
- formula_9 là monoid với phần tử đơn vị formula_10:
- formula_11
- formula_12
- Phép nhân có tính phân phối trái và phải trên phép cộng:
- formula_13
- formula_14
- Nhân bởi số formula_5 formula_1:
- formula_17

Ký hiệu formula_18 thường bị ẩn bị; nghĩa là, formula_19 viết gọn lại thành formula_20 Ngoài ra thứ tự các phép toán vẫn giữ nguyên, nghĩa là phép formula_18 thực hiện trước phép formula_2; ví dụ như formula_23 là formula_24

So với vành, nửa vành chỉ bỏ đi yêu cầu giá trị nghịch đảo của phép cộng; nghĩa là nó chỉ cần monoid giao hoán chứ không cần nhóm giao hoán. Nếu phép nhân của nửa vành có tính giao hoán thì nó được gọi là nửa vành giao hoán.

== Lý thuyết ==
Ta có thể trực tiếp tổng quát hóa các lý thuyết đại số kết hợp trên vành giao hoán sang lý thuyết đại số trên nửa vành.

Một nửa vành mà mỗi phần tử lũy đẳng với phép cộng (nghĩa là formula_25 với mọi formula_26) được gọi là ., Nửa vành lũy đẳng mà cũng là vành thì là vành tầm thường (vành chỉ có 1 phần tử) Ngoài ra ta có thể định nghĩa thứ tự một phần formula_27 trên nửa vành lũy đẳng bằng cách đặt formula_28 khi formula_29 (hay tồn tại formula_30 sao cho formula_31). Giá trị tối tiểu thỏa mãn quan hệ này là formula_32 nghĩa là formula_33 với mọi formula_34 Phép cộng và phép nhân bảo toàn thứ tự như sau formula_28 thì formula_36; formula_37 và formula_38

=== Các ứng dụng ===
Nửa vành nhiệt đới formula_39 và formula_40 trên các số thực được dùng để đánh giá hiệu suất trên các hệ thống sự kiện rời rạc. Các số thực trở thành "chi phí" hoặc "thời gian đến"; Phép toán "max" tương ứng với thời gian đợi tất cả điều kiện tiên quyết của sự kiện được thỏa mãn (do đó thời gian tốn là cực đại) trong khi phép "min" tương ứng với cách chọn tối ưu ít chi phí nhất; phép + tương ứng với các tích lũy trên cùng 1 đường.

Thuật toán Floyd–Warshall tìm đường đi ngắn nhất có thể đổi thành bài tính trên đại số formula_40. Tương tự như vậy, thuật toán Viterbi tìm dãy trạng thái khả thi nhất đối với dãy quan sát trong mô hình Markov ẩn có thể đổi thành bài tính trên đại số formula_42 của xác suất. Các thuật toán quy hoạch động này dựa trên tính phân phối của nửa vành tương ứng để tính một số lượng lớn (có thể lũy thừa) số các phần tử thay vì phải chạy qua từng cái một.

== Các ví dụ ==
Theo định nghĩa thì mọi vành đều là nửa vành. Các ví dụ nửa vành nhưng không phải vành là tập các số tự nhiên formula_43 số (bao gồm 0) dưới phép cộng và phép nhân như thường.Số hữu tỉ không âm và số thực không âm cũng tạo thành nửa vành. Các nửa vành này đều giao hoán.

=== Các ví dụ chung ===
- Tập các ideal của 1 vành lập thành nửa vành lũy đẳng với phép nhân và cộng ideal
- Đại số Boolean là nửa vành, vành Boolean cũng là nửa vành (bởi vì nó là vành) nhưng nó không lũy đẳng dưới phép cộng. "nửa vành Boolean" được định nghĩa là một nửa vành đẳng cấu với nửa vành con của đại số Boolean.
- Mọi c-nửa vành cũng là nửa vành, trong đó phép cộng lũy đẳng và trên mọi tập hợp

==== Nửa vành của tập hợp ====
Một (của tập hợp) là tập không rỗng formula_44 các tập con của formula_45 sao cho
Từ điều kiện (2) và (3) cùng với formula_46 suy ra được formula_47 Các nửa vành này được dùng trong lý thuyết độ đo. Ví dụ như tập các khoảng thực nửa đóng nửa mở formula_48

Một trên formula_45 là nửa vành có các tập con của formula_45 làm phần tử.

== Tham khảo ==
- François Baccelli, Guy Cohen, Geert Jan Olsder, Jean-Pierre Quadrat, "Synchronization and Linearity (online version) ", Wiley, 1992,
- Golan, Jonathan S., "Semirings and their applications". Updated and expanded version of "The theory of semirings, with applications to mathematics and theoretical computer science" (Longman Sci. Tech., Harlow, 1992, . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1999. xii+381 pp.

== Đọc thêm ==
- Steven Dolan (2013) Fun with Semirings ,