Các định lý đẳng cấu

Trong toán học, cụ thể hơn là trong đại số trừu tượng, các định lý đẳng cấu (hay còn được biết với tên các định lý đẳng cấu của Noether) là các định lý mô tả các mối quan hệ giữa thương, đồng cấu và vật con. Các định lý này có các phiên bản dành cho nhóm, vành, không gian vectơ, môđun, đại số Lie, và nhiều cấu trúc đại số khác. Trong đại số phổ dụng, các định lý đẳng cấu được tổng quát hóa dưới các đại số và các phép tương đẳng.

== Lịch sử ==
Các định lý đẳng cấu được lần đầu viết thành công thức bởi Emmy Noether trong bài "Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern", bài viết được xuất bản năm 1927 trong tạo chí Mathematische Annalen. Các phiên bản ít tổng quát hơn có thể được tìm thấy trong công trình của Richard Dedekind và các bài viết trước của Noether.

Ba năm sau, B.L. van der Waerden xuất bản cuốn sách trứ danh "Moderne Algebra," cuốn sách này là sách đại số trừu tượng đầu tiên sử dụng hương tiếp cận nhóm-vành-trường cho chủ đề này. Van der Waerden ghi công các bài giảng của Noether trên lý thuyết nhóm và Emil Artin trên đại số, và chuyên đề được thực hiện bởi Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier, và chính van der Waerden tự ghi chính mình cho các ideal làm nguồn tham khảo chính.

== Nhóm ==
=== Lưu ý về số thứ tự và tên ===
Dưới đây bốn định lý được đánh dấu lần lượt là A, B, C và D. Chúng thường được đánh thứ tự "Định lý đẳng cấu thứ nhất", "Định lý đẳng cấu thứ hai...", v.v; Tuy nhiên, không có thống nhất giữa tên gọi của các định lý đẳng cấu và mỗi tác giả có thể có cách đặt tên khác nhau. Để minh chứng, dưới đây là ví dụ của các tên gọi cho các đẳng cấu nhóm. Để ý rằng các định lý này cũng có phần tương tự khi xét vành và môđun.

Thường thì trong sách ít cho thêm định lý D, hay còn được gọi là "định lý dàn", làm một trong các định lý đẳng cấu, nhưng khi cho thêm vào thì nó là cái cuối cùng.

=== Phát biểu các định lý ===
==== Định lý A (nhóm) ====
Đặt "G" và "H" là nhóm, và đặt "f" : "G" → "H" là đồng cấu nhóm. Khi đó:

1. Hạt nhân của "f" là nhóm con chuẩn tắc của "G",
2. Ảnh của "f" là nhóm con của "H", và
3. Ảnh của "f" đẳng cấu với nhóm thương "G" / ker("f").

Đặc biệt là, nếu "f" là toàn ánh thì "H" đẳng cấu với "G" / ker("f").

==== Định lý B (nhóm) ====
Đặt formula_1 là nhóm . Gọi formula_2 là nhóm con của formula_1, và formula_4 là nhóm con chuẩn tắc của formula_1. Khi đó các mệnh đề sau được thỏa mãn:

1. Tích formula_6 là nhóm con của formula_1,
2. Phần giao formula_8 là nhóm con chuẩn tắc của formula_2, và
3. Hai nhóm thương formula_10 và formula_11 đẳng cấu với nhau.

Song,thực ra formula_4 không cần thiết phải là nhóm con chuẩn tắc, chỉ cần formula_2 là nhóm con của nhóm chuẩn hóa của formula_4 trong formula_1 là được. Trong trường hợp này, giao formula_8 không phải nhóm con chuẩn tắc của formula_1, nhưng nó vẫn là nhóm con chuẩn tắc của formula_2.

Định lý này đôi khi được gọi là "định lý đẳng cấu", "định lý hình thoi" hoặc "định lý hình bình hành".

Một ứng dụng của định lý đẳng cấu thứ hai là dùng để xác định các nhóm tuyến tính xạ ảnh, ví dụ nhóm trên đường xạ ảnh phức bắt đầu bằng cách đặt formula_19, nhóm của các ma trận phức khả nghịch kích thước 2 × 2, formula_20, là nhóm con của các ma trận có định thức bằng 1, và formula_4 là nhóm con chuẩn tắc của các ma trận scalar formula_22, ta có formula_23, trong đó formula_24 là ma trận đơn vị, và formula_25. Khi đó, từ định lý đẳng cấu thứ hai ta được:

==== Định lý C (nhóm) ====
Gọi formula_1 là nhóm và formula_4 là nhóm con chuẩn tắc của formula_1.
Khi đó

1. Nếu formula_30 là nhóm con của formula_1 sao cho formula_32, thì formula_33 có nhóm con đẳng cấu với formula_34.
2. Mọi nhóm con của formula_33 có dạng formula_34 cho một số nhóm formula_30 của formula_1 sao cho formula_32.
3. Nếu formula_30 là nhóm con chuẩn tắc của formula_1 sao cho formula_32, thì formula_33 có nhóm con chuẩn tắc đẳng cấu với formula_34.
4. Mọi nhóm con chuẩn tắc của formula_33 có dạng formula_34 cho một số nhóm con chuẩn tắc formula_30 của formula_1 sao cho formula_32.
5. Nếu formula_30 là nhóm con chuẩn tắc của formula_1 sao cho formula_32, thf nhóm thương formula_53 đẳng cấu với formula_54.

==== Định lý D (nhóm) ====
Định lý tương ứng (hay còn được gọi là định lý dàn) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ ba hoặc thứ tư.

Bổ đề Zassenhaus (hay còn gọi là bổ đề con bướm) đôi khi được gọi là định lý đẳng cấu thứ tự.

== Vành ==
Phát biểu cho các vành cũng tương tự với nhóm, trong đó thay nhóm con chuẩn tắc bằng ideal.

=== Định lý A (vành) ===
Đặt "R" và "S" là vành và "φ" : "R" → "S" là đồng cấu vành. Khi đó:

1. Hạt nhân của "φ" là ideal của "R",
2. Ảnh của "φ" là vành con của "S", và
3. Ảnh của "φ" đẳng cấu với vành thương "R" / ker("φ").

Đặc biệt là, nếu "φ" là toàn ánh thì "S" đẳng cấu với "R" / ker("φ").

=== Định lý B (vành) ===
Đặt "R" là vành. Gọi "S" là vành con của "R", và gọi "I" là ideal của "R". Khi đó:

1. Tổng "S" + "I" = {"s" + "i" | "s" ∈ "S", "i" ∈ "I" } là vành con của "R",
2. Phần giao "S" ∩ "I" là ideal của "S", và
3. Hai vành thương ("S" + "I") / "I" và "S" / ("S" ∩ "I") đẳng cấu với nhau.

=== Định lý C (vành) ===
Đặt "R" là vành, và "I" là ideal của "R". Khi đó

1. Nếu formula_55 là vành con của formula_56 sao cho formula_57, thì formula_58 là vành con của formula_59.
2. Mọi vành con của formula_59 có dạng formula_58 cho một số vành con formula_55 của formula_56 sao cho formula_57.
3. Nếu formula_65 là ideal của formula_56 sao cho formula_67, thì formula_68 à ideal của formula_59.
4. Mọi ideal của formula_59 có dạng formula_68 cho một số ideal formula_65 của formula_56 sao cho formula_67.
5. Nếu formula_65 là ideal của formula_56 sao cho formula_67, thì vành thương formula_78 đẳng cấu với formula_79.

=== Định lý D (vành) ===
Gọi formula_24 là ideal của formula_56.Phép tương ứng formula_82 là ánh xạ bảo toàn phép chứa giữa tập các vành con formula_55 chứa formula_24 của formula_56 sang tập các vành con của formula_59. Hơn nữa, formula_55 (vành con chứa formula_24) là ideal của formula_56 khi và chỉ khi formula_58 là ideal của formula_59.

== Môđun ==
Phát biểu của các định lý dành cho các môđun đơn giản hơn vì ta luôn thu được môđun thương từ bất kỳ môđun con. Các định lý đẳng cấu cho không gian vectơ (môđun trên một trường) và nhóm giao hoán (môđun trên formula_92) là các trường hợp đặc biệt. Đối với các không gian vectơ hữu hạn số chiều, tất cả các định lý này đều có thể suy ra được từ định lý về hạng.

Dưới đây, từ "môđun" luôn có nghĩa ""R"-môđun" cho một số vành cố định "R".

=== Định lý A (môđun) ===
Đặt "M" và "N" là môđun và "φ" : "M" → "N" là đồng cấu môđun. Khi đó:

1. Hạt nhân của "φ" là môđun con của "M",
2. Ảnh của "φ" là môđun con của "N", và
3. Ảnh của "φ" đẳng cấu với môđun thương "M" / ker("φ").

Đặc biệt là, nếu "φ" là toàn ánh thì "N" đẳng cấu với "M" / ker("φ").

=== Định lý B (môđun) ===
Đặt "M" là môđun, và đặt "S" và "T" là môđun con của "M". Khi đó:

1. Tổng "S" + "T" = {"s" + "t" | "s" ∈ "S", "t" ∈ "T}" là môđun con của "M",
2. Phần giao "S" ∩ "T" là môđun con của "M", và
3. Môđun thương ("S" + "T") / "T" và "S" / ("S" ∩ "T") đẳng cấu với nhau.

=== Định lý C (môđun) ===
Đặt "M" là môđun, "T" là môđun con của "M".

1. Nếu formula_2 là môđun con của formula_94 sao cho formula_95, then formula_96 là môđun con của formula_97.
2. Mọi môđun con of formula_97 có dạng formula_96 cho một số môđun con formula_2 của formula_94 sao cho formula_95.
3. Nếu formula_2 là môđun con of formula_94 sao cho formula_95, thì môđun thương formula_106 đẳng cấu với formula_107.
=== Định lý D (môđun) ===
Đặt formula_94 là môđun, và formula_4 là môđun con của formula_94. Khi đó có song ánh giữa các môđun con của formula_94 có chứa formula_4 và các môđun con của formula_113. Phép tương ứng được cho bởi formula_114 với mọi formula_115. Phép tương ứng này giao hoán với quá trình lấy tổng và phần giao (tức là nó là đồng cấu dàn giữa dàn của các môđun con của formula_113 và dàn của các môđun con formula_94 có chứa formula_4).

== Đại số phổ dụng ==
Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.

Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số formula_55 là quan hệ tương đương formula_120 tạo đại số con của formula_121, đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần. Ta có thể biến tập của các lớp tương đương formula_122 thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi formula_123 là đại số con của formula_121. Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.

=== Định lý A (đại số phổ dụng) ===
Gọi formula_125 là đồng cấu đại số. Khi đó ảnh của formula_126 là đại số con của formula_127, quan hệ cho bởi formula_128 (tức hạt nhân của formula_126) tương đẳng trên formula_55, và hai đại số formula_122 và formula_132 đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm, formula_133 formula_134 formula_135, nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)

=== Định lý B (đại số phổ dụng) ===
Cho đại số formula_55, và đại số con formula_127 của formula_55, cùng với tương đẳng formula_123 trên formula_55, gọi formula_141 là vết của formula_123 trong formula_127 và formula_144 là họ các lớp tương đương giao với formula_127. Khi đó

1. formula_146 là tương đẳng trên formula_127,
2. formula_148 là đại số con của formula_122, và
3. Đại số formula_150 đẳng cấu với đại số formula_151.

=== Định lý C (đại số phổ dụng) ===
Choformula_55 là đại số và formula_153 là hai quan hệ tương đẳng trên formula_55 sao cho formula_155. Khi đó formula_156 tương đẳng trên formula_157, và formula_122 đẳng cấu vớiformula_159

=== Định lý D (đại số phổ dụng) ===
Cho formula_55 là đại số và đặt formula_161 là tập các tương đẳng trên formula_55. Tập
formula_161 là dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa.
Nếu formula_164 là tương đẳng và ta ký hiệu formula_165 là tập tất cả các tương đẳng chứa formula_123 (tức là formula_167 là bộ lọc chính của formula_161, hơn nữa nó còn là dàn con), khi đo
ánh xạ formula_169 là đẳng cấu dàn.

== Tham khảo ==
- Emmy Noether, "Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern", Mathematische Annalen 96 (1927) pp. 26–61
- Colin McLarty, "Emmy Noether's 'Set Theoretic' Topology: From Dedekind to the rise of functors". "The Architecture of Modern Mathematics: Essays in history and philosophy" (edited by Jeremy Gray and José Ferreirós), Oxford University Press (2006) pp. 211–35.
- Paul M. Cohn, "Universal algebra", Chapter II.3 p. 57