I-đê-an

Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

== Định nghĩa ==
Đối với một vành tùy ý formula_1, ký hiệu cho formula_2 là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con formula_3 được gọi là i-đê-an trái nếu:

1. formula_4 là một nhóm con của formula_5
2. Với mọi formula_6 và formula_7, tích formula_8 thuộc formula_3.

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

== Ví dụ ==
- Trong vành "R", chính tập hợp "R" tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính formula_10, được gọi là i-đê-an đơn vị.
- Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).
- Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên formula_11; nó thường được ký hiệu là formula_12. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên formula_13 được ký hiệu là formula_14.
- Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho "x" + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
- Tập hợp các ma trận formula_15 với hàng dưới cùng bằng formula_16 là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
- Vành formula_17 các hàm liên tục "f" từ formula_18 vào formula_18 chứa i-đê-an các hàm số "f" sao cho "f"(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

== Tính chất ==
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

- I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực "I" được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa "I": i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an formula_20. Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
- I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an formula_20 và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an formula_20 (và chính nó).
- I-đê-an nguyên tố.
- I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
- I-đê-an sơ cấp.
- I-đê-an chính
- I-đê-an hữu hạn sinh.
- I-đê-an nguyên thủy.
- I-đê-an bất khả quy.
- I-đê-an chính quy.
- I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
- I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành formula_23 được trang bị một cấu trúc formula_23-mô-đun tự nhiên.

== Phép toán i-đê-an ==
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

== Ví dụ ==
Trong formula_11 ta có

Đặt formula_29 và formula_30. Thế thì,

- formula_31 và formula_32
- formula_33
- formula_34
- formula_35 trong khi formula_36

== Xem thêm ==
- Số học mô-đun
- Định lý đẳng cấu Noether
- Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
- Lý thuyết i-đê-an
- I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
- Định chuẩn i-đê-an
- Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
- Bó i-đê-an

== Tham khảo ==
- Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., "Introduction to Commutative Algebra", 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge (2005), "Undergraduate Algebra" (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3