Phép giao

Cho "A" và "B" là hai tập hợp. Giao của "A" và "B" là tập gồm những phần tử thuộc cả "A" và "B", ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của "A" và "B" được viết là ""A" ∩ "B"". Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp "A" và "B" là tập hợp tất cả các phần tử mà cả "A" và "B" có điểm chung.

formula_1

Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ "và" giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.

== Ký hiệu và ví dụ ==
Phép giao được ký hiệu bằng "formula_2"; Ví dụ chẳng hạn:

- formula_3
- formula_4
- formula_5
- formula_6

Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:

formula_7

tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.

==Định nghĩa==
Giao của hai tập hợp formula_8 và formula_9, ký hiệu bởi formula_10 là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp formula_8 và vừa thuộc tập hợp formula_12
Khi viết bằng ký hiệu:
formula_13

Nghĩa là, formula_14 là phần tử của giao formula_15 khi và chỉ khi formula_14 vừa là phần tử của formula_8 và vừa là phần tử của formula_12

Thêm ví dụ:
- Giao của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {2, 3}.
- Số 9 không nằm trong phần giao của tập các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số lẻ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...}, là bởi vì số 9 không phải là số nguyên tố.

===Tập hợp không giao nhau===
Ta nói tập hợp nếu tồn tại phần tử formula_14 vừa thuộc formula_8 vừa thuộc formula_9.

Ngược lại, ta nói tập hợp hay rời nhau nếu formula_8 không giao với formula_12 Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp formula_8 và formula_25 không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là formula_26

Ví dụ chẳng hạn, tập formula_27 và formula_28 không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.

== Tính chất đại số ==
Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập formula_29 và formula_30 ta có

formula_31Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành formula_32. Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập formula_8 và formula_9 ta có formula_35
Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp formula_8,
formula_37
Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập formula_8, formula_39. Tất cả tính chất này đều tương tự với phép hội.

Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập formula_29 và formula_30 ta có
formula_42
Trong vũ trụ formula_43 ta định nghĩa phần bù formula_44 của formula_8 là tập các phần tử thuộc formula_46 nhưng không thuộc formula_47 Sử dụng định nghĩa này, giao của formula_8 và formula_25 có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan:formula_50

==Giao của họ tập hợp==
===Giao của họ khác rỗng===
Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp .
Nếu formula_51 là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì formula_14 là phần tử của của formula_51 khi và chỉ khi với mọi phần tử formula_8 thuộc formula_55 formula_14 là phần tử thuộc formula_47
Viết bằng ký hiệu:
formula_58

Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "formula_59", trong khi một số sẽ viết "formula_60".
Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "formula_61", tức là giao của họ formula_62
Trong đó formula_63 là tập chỉ số khác rỗng và formula_64 là tập hợp với mọi formula_65

Khi tập chỉ số formula_63 là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành:
formula_67
giống với chuỗi.

Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "formula_68". 
===Giao của họ rỗng===
Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp formula_51 là tập hợp rỗng (formula_70). Lý do là bởi: Giao của họ formula_51 được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp)
formula_72
Nếu formula_51 rỗng, thì không có tập formula_8 nào thuộc formula_51, nên câu hỏi trở thành "phần tử formula_14 nào sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?". Câu trả lời có vẻ như là . Khi formula_51 rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),
, song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.

Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập formula_78 cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của formula_78 được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu formula_51 rỗng thì giao của nó sẽ là formula_81. Bởi formula_82 đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của formula_78 là toàn bộ của formula_84 Nói bằng công thức, formula_85Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.

== Thư mục ==
- Nguyễn Tiến Quang (2008), "Đại số đại cương", Nhà xuất bản giáo dục
- Hoàng Xuân Sính (1972), "Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám)", Nhà xuất bản giáo dục