Phương trình Euler–Lagrange

Trong Phép tính biến phân và cơ học cổ điển, những phương trình Euler-Lagrange là một hệ thống những phương trình vi phân thường bậc 2, có nghiệm là những điểm uốn của cho trước. Những phương trình ấy được khám phá thập niên 1750 bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler và nhà toán học Ý Joseph-Louis Lagrange.

bởi vì một hàm số khả vi là điểm uốn tại điểm cực trị cục bộ của hàm ấy, phương trình Euler-Lagrange sẽ hữu ích cho giải những bài toán tối ưu mà theo đó, cho trước hàm số nào đó, ta tìm hàm số tối thiểu hoặc tối đa nó. Đây tương tự với trong vi tích phân, tuyên bố rằng tại bất cứ điểm nào thoả mãn một hàm số khả vi đạt một điểm cực trị cục bộ thì đạo hàm của nó sẽ bằng không. Trong cơ học Lagrange, tuân theo nguyên lý của Hamilton về tác dụng tối thiểu, tiến triển của một hệ vật lý sẽ được miêu tả bởi những nghiệm cho phương trình Euler cho hoạt động của hệ thống. Trong văn cảnh này, những phương trình Euler thường gọi tên là những phương trình Lagrange. Trong cơ học cổ điển, nó tương đương với các định luật chuyển động của Newton; đúng là, các phương trình Euler-Lagrange sẽ sản sinh ra cùng những phương trình giống như các định luật của Newton. Đây đặc biệt hữu ích khi phân tích những hệ thống có những vectơ lực đặc biệt phức tạp. Nó có lợi thế vì nó giữ nguyên hình thức trong bất cứ hệ thống toạ độ suy rộng nào, nó sẽ hợp hơn cho việc khái quát hoá. Trong , có một để tính những động lực của một trường.

== Lịch sử ==
phương trình Euler-Lagrange được phát triển thập niên 1750 bởi Euler và Lagrange liên quan đến những nghiên cứu của họ về vấn đề . Đây là vấn đề quyết định một đường cong mà trên đó một hạt có khối lượng sẽ rơi xuống một điểm cố định trong một khoảng thời gian cố định, độc lập với điểm bắt đầu.

Lagrange giải quyết vấn đề này năm 1755 và gửi nghiệm cho Euler. Cả hai đã phát triển thêm phương pháp của Lagrange và ứng dụng nó vào cơ học, đã dẫn đến hình thành cơ học Lagrange. Hai người trao đổi thư từ, sau rốt, đã dẫn đến phép tính biến phân là thuật ngữ được Euler đặt tên năm 1766

== Phát biểu ==
đặt (X, L) là một hệ thống cơ học có n bậc tự do. Tại đây, X là và L = L (t, q, v) Lagrange là một hàm số giá trị thực trơn thoả mãn q formula_1 X và v là một vectơ tốc độ n chiều (cho ai quen thuộc với hình học vi phân thì X là một đa tạp trơn, và L : R x TX -> R sao cho TX là của X)

đặt P (a, b, x ,x ) là tập hợp những trơn q : [a, b] -> X sao cho q(a) = x và q(b) = x . S : P (a, b, x, x) -> R được định nghĩa là

S [q] = formula_2

một đường q formula_1 P (a, b, x, x) là một điểm uốn của S khi và chỉ khi

formula_4(t, q(t), q'(t)) - formula_5formula_6(t, q(t), q'(t)) = 0, i = 1, ..., n

ở đây q'(t) là đạo hàm thời gian của q(t). Khi ta nói đến điểm uốn, ta ám chỉ rằng một điểm uốn của S đối với bất cứ rung động nhỏ nào trong q. Xem chứng minh dưới đây để thêm chi tiết cụ thể.Nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều

nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều là một trong những chứng minh kinh điển trong toán học. Nó dựa vào định lý căn bản của giải tích

ta muốn tìm một hàm số f thoả mãn những điều kiện giới hạn f(a) = A và f(b) = B và sẽ cực trị hoá hàm số:

J = formula_7

ta giả thiết rằng L khả vi liên tục hai lần. Một giả thiết lỏng lẻo hơn có thể được sử dụng, nhưng chứng minh sẽ trở nên khó khăn hơn.

nếu f cực trị hoá chủ thể hàm số đến những điều kiện giới hạn, thì bất cứ rung động nhỏ nào của f miễn là bảo toàn những giá trị giới hạn sẽ phải hoặc tăng J (nếu f là một hàm cực tiểu) hoặc giảm J (nếu f là một hàm cực đại)

đặt g(x) = f (x) + formula_8formula_9(x) là kết quả của một rung động formula_10(x) của f mà formula_8 là nhỏ và formula_9(x) là một hàm số khả vi thoả mãn formula_13 sau đó định nghĩa:

J = formula_14(x, g(x), g'(x))dx = formula_14 dx

với L = L(x, g(x), g'(x))

giờ, ta muốn tính đạo hàm toàn phần của J với cân nhắc đến formula_8

formula_17 = formula_18 formula_19 + formula_20 formula_21 + formula_22 formula_23 = formula_20 formula_21 + formula_22 formula_23 = formula_9(x) formula_21 + formula_9'(x) formula_23

với dữ kiện rằng x không phụ thuộc vào formula_8 tức là formula_33 

cho nên

formula_34 = formula_35 

khi formula_8 = 0 ta có formula_37 và formula_38 và formula_39 có một giá trị cực trị, sao cho

formula_40 = formula_41

bước tiếp theo là để sử dụng tích phân từng phần lên số hạng thứ hai của hàm lấy tích phân, sẽ được

formula_42 

sử dụng những điều kiện giới hạn formula_13 

formula_44

áp dụng định lý căn bản của giải tích ta sẽ được phương trình Euler-Lagrange

formula_45Nguồn gốc khác của phương trình Euler-Lagrange một chiều

cho một hàm số

formula_46

trên C([a, b]) với những điều kiện giới hạn y(a) = A và y(b) = B ta tiếp tục bằng cách ước lượng đường cong cực trị bởi một một có n đoạn thẳng và đạt đến giới hạn khi số lượng những đoạn thẳng tăng lớn tuỳ ý.

chia khoảng [a, b] thành n đoạn thẳng bằng nhau với những điểm cuối t = a, t, t, ... , t = b và đặt formula_47 

thay vì một hàm số trơn y(t), ta cân nhắc đường khấp khuỷu có những đỉnh (t, y), ... ,(t, y) với y = A và y = B. Theo đó, hàm số của ta trở thành một hàm số thực của n - 1 biến số 

formula_48

những cực trị của hàm số mới này sẽ được định nghĩa trên những điểm rời rạc t, ... , t tương ứng với những điểm mà

formula_49

ước lượng đạo hàm riêng này ta được

formula_50

chia phương trình trên cho formula_51 ta được

formula_52

và lấy giới hạn tại formula_53 -> 0 của vế tay phải của biểu thức này, ta được

formula_54

vế tay trái của biểu thức trên là đạo hàm formula_55 của hàm số J

một điều kiện cần thiết cho một đạo hàm có một cực trị trên hàm số nào đó là rằng đạo hàm của nó tại hàm số đó sẽ biến mất, đúng như miêu tả bởi biểu thức cuối cùng ở trên

== Ví dụ ==
một ví dụ tiêu chuẩn là tìm hàm số giá trị thực y(x) trên khoảng [a, b] sao cho y(a) = c và y(b) = d tại đó độ dài quãng đường dọc theo đường cong vẽ bởi y sẽ ngắn nhất có thể

formula_56

hàm lấy tích sẽ là 

formula_57

những đạo hàm riêng của L sẽ là

formula_58

formula_59

bằng cách thay thế những đạo hàm riêng này vào phương trình Euler-Lagrange, ta được

formula_60

formula_61

formula_62

formula_63

thế là, đạo hàm bậc nhất của hàm số trên là một hằng số, do đó đồ thị của nó là một đường thẳng

== Suy rộng ==
=== Hàm số duy nhất của biến số duy nhất với những đạo hàm bậc cao ===
những giá trị điểm uốn của hàm số

formula_64

formula_65

formula_66

formula_67

có thể lấy được từ phương trình Euler-Lagrange 

formula_68

dưới những điều kiện giới hạn cố định cho bản thân hàm số cũng như cho những đạo hàm từ bậc k-1 trở xuống (tức là cho tất cả f với formula_69)

những giá trị điểm cuối của đạo hàm bậc cao nhất f sẽ vẫn linh hoạt

=== Nhiều hàm số của biến số duy nhất với đạo hàm duy nhất ===
nếu vấn đề liên quan đến tìm nhiều hàm số formula_70 của một biến độc lập duy nhất (x) sẽ định nghĩa một cực trị của hàm số

formula_71

formula_72

thì những phương trình Euler-Lagrange tương ứng sẽ là 

formula_73

formula_74

=== Hàm số duy nhất của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất ===
một suy rộng đa chiều đã đến từ cân nhắc một hàm số trên n biến số. Nếu formula_75 là bề mặt nào đó, thì

formula_76

formula_77

đạt cực trị chỉ khi f thoả mãn phương trình đạo hàm riêng 

formula_78

khi n = 2 và hàm số formula_79 là , đây sẽ dẫn đến vấn đề bề mặt tối thiếu của 

=== Nhiều hàm số của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất ===
nếu có nhiều hàm số chưa biết cần được xác định và nhiều biến số, sao cho

formula_80

formula_81

hệ phương trình Euler-Lagrange sẽ là 

formula_82

formula_83

formula_84

=== Hàm số duy nhất của hai biến số với những đạo hàm bậc cao ===
nếu có một hàm số đơn chưa biết f cần được xác định, mà phụ thuộc vào hai biến số x và x và nếu hàm số phụ thuộc vào hàm số bậc cao của f lên đến bậc thứ n sao cho

formula_85

formula_86

formula_87

thì phương trình Euler-Lagrange sẽ là 

formula_88

có thể viết gọn lại thành

formula_89

với formula_90 là các chỉ số sẽ trải ra một số biến số, mà, ở đây chúng đi từ 1 đến 2. Ở đây, tóm lại những chỉ số formula_90 sẽ chỉ với formula_92 để tránh đếm cùng một đạo hàm riêng nhiều lần, lấy ví dụ formula_93 xuất hiện chỉ một lần trong phương trình trước đó

=== Nhiều hàm số của nhiều biến số với những đạo hàm bậc cao ===
nếu có p phương trình chưa biết f cần được xác định, mà phụ thuộc vào m biến số formula_94 và nếu hàm số phụ thuộc vào đạo hàm bậc cao của f lên đến bậc thứ n sao cho

formula_95

formula_96

formula_97

với formula_98 là các chỉ số trải ra một số biến số, sẽ đi từ 1 đến m. Sau đó, phương trình Euler-Lagrange sẽ là

formula_99

với tổng những formula_98 sẽ tránh đếm cùng đạo hàm formula_101 lại nhiều lần, giống như phần trên. Đây có thể viết gọn thành

formula_102

== Suy rộng ra những đa tạp ==
đặt M là một đa tạp trơn và đặt formula_103 biểu thị khoảng không gian của những formula_104 sau đó với những hàm số formula_105 của dạng thức

formula_106

với formula_107 là Lagrange, phát biểu formula_108 sẽ tương đương với phát biểu rằng: với tất cả formula_109 thì mỗi khung toạ độ formula_110 của một vùng lân cận của formula_111 ra được những phương trình M chiều

formula_112

== Xem thêm ==
- Cơ học Lagrange
- cơ học Hamilton
- cơ học giải tích
- đạo hàm

== Tham khảo ==
- những phương trình Lagrange (trong cơ học), bách khoa toàn thư toán học, hội toán học châu Âu 2001 [1994]
- Eric Wolfgang Weisstein, phương trình vi phân Euler-Lagrange và MathWorld
- phép tính biến phân trên trang PlanetMath
- Israel Gelfand (1963). "Calculus of Variations". Dover.
- Roubicek, T.: "Calculus of variations. Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists. (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN , pp. 551–588."