Ideal nguyên tố

Trong đại số, ideal nguyên tố là tập con của vành thỏa mãn nhiều tính chất giống như là các số nguyên tố trong vành các số nguyên. 

== Ideal nguyên tố trong các vành giao hoán ==
=== Định nghĩa ===
Một ideal formula_1 của một vành giao hoán formula_2 được gọi là ideal nguyên tố nếu nó có hai tính chất sau:

- Nếu formula_3 và formula_4 là hai phần tử của formula_2 sao cho tích formula_6 là phần tử của formula_1, thì formula_3 là phẩn tử của formula_1 hoặc formula_4 là phần tử của formula_1.
- formula_1 không phải là toàn bộ vành formula_2
Định nghĩa này là sự tổng quát của tính chất của số nguyên tố (hay được biết tới là bổ đề Euclid) rằng, với số nguyên tố là uớc số của tích (với và là hai số nguyên) thì hoặc là ước của , hoặc là ước của . Từ đó, số nguyên là số nguyên tố khi và chỉ khi formula_14 là số nguyên tố. 

Tập tất cả các ideal nguyên tố của vành formula_2 được gọi là spectrum và kí hiệu là .

=== Ví dụ và phản ví dụ ===
- Với formula_16 tập hợp các số chẵn là một ideal nguyên tố, được ký hiệu là formula_17.
- Trên miền nguyên, ideal chính sinh bởi phần tử nguyên tố là một ideal nguyên tố. Nói rộng hơn, một ideal chính là ideal nguyên tố khi và chỉ khi phần tử sinh là nguyên tố. Trong vành nhân tử hóa duy nhất, một ideal nguyên tố khác không đều chứa một phần tử nguyên tố.
- Trong một vành formula_2, một ideal tối đại là một ideal formula_19 tối đại theo quan hệ bao hàm trong tập hợp tất cả các ideal thực sự của formula_2, tức là formula_19 được chứa trong chính xác hai ideal của formula_2: formula_19 và formula_2. Một ideal tối đại thì là nguyên tố, nhưng chiều ngược lại nhìn chung không đúng.
- Nếu formula_25 là một đa tạp trơn, formula_26 là vành các hàm thực trơn trên formula_25 và formula_28 là một điểm của formula_25 thì tập hợp tất cả các hàm trơn formula_30 với formula_31 tạo thành một ideal tối đại, và do đó nguyên tố, của formula_2.
- Lấy formula_33 là vành đa thức hai biến hệ số phức, khi này ideal sinh bởi đa thức elliptic formula_34 là một ideal nguyên tố.
- Trong vành đa thức hệ số nguyên formula_35, ideal formula_36 không phải là ideal nguyên tố, do đa thức formula_37 thuộc ideal này nhưng không có nhân tử bậc nhất nào thuộc ideal nói trên.

=== Tính chất ===
- Một ideal formula_1 của một vành formula_2 (có đơn vị) là nguyên tố khi và chỉ khi vành thương formula_40 là một miền nguyên. Nói riêng, một vành giao hoán là một miền nguyên khi và chỉ khi formula_41 là một ideal nguyên tố.
- Trong vành giao hoán formula_2 có ít nhất hai phần tử, nếu mọi ideal thật sự của formula_2 đều nguyên tố thì formula_2 là một trường.
- Bằng hệ quả của định lý Krull hoặc bổ đề Zorn, do mọi vành đều tồn tại ít nhất một ideal cực đại, nên mọi vành formula_2 đều tồn tại ít nhất một ideal nguyên tố.
- Nghịch ảnh của một ideal nguyên tố qua một đồng cấu vành là ideal nguyên tố. Tuy nhiên, nghịch ảnh của ideal cực đại thì chưa chắc cực đại.
- Tổng của hai ideal nguyên tố không nhất thiết là nguyên tố. Ví dụ, vành formula_46 có các ideal nguyên tố formula_47 và formula_48. Tổng của chúng là formula_49 không phải là nguyên tốt: formula_50 nhưng hai thừa số của nó lại không nằm trong formula_51.
- Ideal nguyên tố không giống với số nguyên tố ở điểm, có những ideal mặc dù không thể phân tích thành giao của một số các ideal con nhưng không phải là ideal nguyên tố. Ví dụ, ideal formula_52 trong vành đa thức hai biến hệ số hữu tỉ formula_53 dù không thể phân tích được, nhưng không là ideal nguyên tố.

== Ideal nguyên tố trong các vành không giao hoán ==
Các ideal hai phía nguyên tố trong một vành không giao hoán có thể được định nghĩa như sau: một ideal (hai phía) formula_1 của một vành formula_2 (không nhất thiết giao hoán) được gọi là một ideal nguyên tố nếu formula_56 và với mọi ideal (hai phía) formula_57, ta có: formula_58.

== Thư mục ==
- Goodearl, K. R., Warfield, R. B., 2004, "An Introduction to noncommutative Noetherian rings"
- Kaplansky, Irving, 1970, "Commutative rings"
- Lam, T. Y., 2001, "A first course in non commutative rings"
- Lang, Serge, 2002, "Algebra"