Compact hóa

Trong toán học và lý thuyết topo, compact hóa (phiên âm: compắc hóa, tiếng Anh: "compactification") là một quá trình biến một không gian topo thông thường thành một không gian compact. Không gian compact hay tập compact có những tính chất hữu ích như:
- Tập compact thì đóng và bị chặn trong không gian mêtric.
- Với mọi dãy có dãy con hội tụ trong một tập compact của không gian mêtric.
- Các hàm liên tục trên không gian compact thì tồn tại giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Một phương pháp thông dụng để compact hóa một không gian topo là "compact hóa một điểm" (one-point compactification) với định lý Alexandroff và tính chất compact địa phương.

==Định nghĩa==
Một compact hóa của formula_1 là một không gian compact formula_2 sao cho formula_1 đồng phôi với một không gian con trù mật của formula_2.

Ví dụ:
- Tập compact hóa của tập formula_5 là formula_6.
- Tập compact hóa của tập formula_7 là formula_8.

==Compact hóa một điểm==
Trong một vài trường hợp nhất định, ta có thể compact hóa một không gian không compact bằng việc thêm vào đó một điểm. Khi đó, ta gọi đó là compact hóa một điểm.

Ví dụ:
- Một tập compact hóa một điểm của tập formula_9 là formula_10.
- Một tập compact hóa một điểm của tập formula_5 là formula_12

===Compact hóa một điểm Alexandroff===
Cho formula_1 là một không gian mà formula_14. Gọi formula_15, xác định một topo trên formula_15 như sau:

Một tập mở trong formula_15:
- là một tập con mở của formula_1,
- là formula_19, với formula_20 là một tập con đóng, compact của formula_1.

Với topo này, formula_15 là compact và chứa formula_1 như một không gian con. Nếu formula_1 không compact thì formula_1 trù mật trong formula_15 và formula_15 được gọi là compact hóa Alexandroff của formula_1.

Ví dụ:
- Compact hóa Alexandroff của formula_29 là formula_30.
- Compact hóa Alexandroff của formula_31 là formula_32 đường tròn tiếp xúc với nhau tại một điểm.

===Tính chất liên quan===
- formula_33 là không gian formula_34 nếu formula_1 là formula_34.
- formula_33 là không gian Hausdorff nếu formula_1 là Hausdorff và compact địa phương.
- Nếu formula_1 đồng phôi với formula_2 thì không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của formula_1 sẽ đồng phôi với không gian Hausdorff compact hóa Alexandroff của formula_2. (formula_43)

==Compact hóa Stone - Cech==
Như đã nói, với topo thông thường, compact hóa Alexandroff của formula_44 là formula_10. Tuy nhiên, với một hàm formula_46 cho bởi formula_47 (Topologist's sine curve) là một hàm bị chặn và liên tục trên formula_44 nhưng hoàn toàn không thể được mở rộng liên tục vào formula_10. Như vậy, với trường hợp này, compact hóa Alexandroff chưa bảo đảm tính liên tục của một hàm trên không gian compact hóa.
Khi đó, phương pháp compact hóa Stone-Čech sau đây sẽ giải quyết được vấn đề nêu trên.
Compact hóa Stone-Čech lần đầu xuất hiện trong một bài báo của Tychonoff (năm 1930) và sau đó được nói đến rõ ràng bởi Marshall Stone (năm 1937) và Eduard Čech (năm 1937).
===Định nghĩa===
Cho formula_1 là một không gian topo, ký hiệu formula_51 là tập các hàm liên tục bị chặn từ formula_1 vào formula_53. Xét hàm sau
formula_54
Nếu formula_1 là chính tắc đầy đủ thì formula_56 là một đồng phôi, nghĩa là formula_57 là một phép nhúng. Trong trường hợp này, vì formula_58 compact nên không gian con formula_59 là compact. Khi đó, formula_59 được gọi là compact hóa Stone - Cech của formula_1. Hơn nữa, nó là một không gian Hausdorff.

===Tính chất liên quan===
- Cho formula_2 là một không gian compact Hausdorff thì với mỗi hàm formula_63 liên tục, thì tồn tại duy nhất một hàm mở rộng liên tục formula_64 của formula_46 mà formula_66.
- formula_59 liên thông khi và chỉ khi formula_1 là liên thông.
- formula_1 mở trong formula_59 khi và chỉ khi formula_1 là một không gian compact địa phương.