Đồng luân

Trong tô pô, hai ánh xạ liên tục từ không gian tôpô này vào không gian tô pô khác được gọi là đồng luân với nhau (tiếng Hy Lạp ὁμός-"homos"-đồng nhất và τόπος-"topos"-vị trí) nếu ánh xạ này có thể biến đổi liên tục thành ánh xạ kia, một phép biến đổi như vậy gọi là một phép biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ. Ngoài ra đồng luân còn nói đến nhóm đồng luân và nhóm đối đồng luân, các bất biến quan trọng trong tô pô đại số.

==Định nghĩa==
- Một biến đổi đồng luân giữa hai ánh xạ liên tục formula_1 và formula_2 từ không gian tô pô formula_3 vào không gian tô pô formula_4 được định nghĩa là ánh xạ liên tục formula_5 từ tích của không gian formula_3 với đoạn đơn vị formula_7 vào formula_4 sao cho với mọi điểm formula_9 ta có formula_10 và formula_11.
- Nếu ta nghĩ tham số thứ hai của formula_12 như là thời gian, khi đó formula_12 mô tả một biến đổi liên tục ánh xạ formula_1 thành formula_2 ký hiệu formula_16. Tại thời điểm formula_17 ta có ánh xạ formula_1, tại thời điểm formula_19 ta có ánh xạ formula_2. Chúng ta cũng có thể nghĩ đến tham số thứ hai như điều khiển một thanh trượt cho quá trình chuyển đổi từ formula_1 để formula_2 như di chuyển thanh trượt formula_17 đến formula_19, và ngược lại.
- Một ký hiệu thay thế khác cho ký hiệu một phép đồng luân giữa hai hàm số liên tục formula_25 là một họ của các hàm số liên tục formula_26 cho formula_27 sao cho formula_28 và formula_29 và mỗi bản đồ formula_30 liên tục từ formula_31 đến formula_4. Hai cách viết này trùng nhau bằng cách thiết lập formula_33
- Ví dụ về phép biến đổi đồng luân của cốc cà phê thành hình xuyến (sử dụng phần mềm Sketchup file: Ly cà phê).

==Tính chất==
=== Ánh xạ hợp ===
Hàm số liên tục formula_1 và formula_2 được gọi là đồng luân khi và chỉ khi có một đồng luân formula_12 từ formula_1 đến formula_2 như mô tả ở trên. Mối quan hệ đồng luân này tương thích với ánh xạ thành phần theo nghĩa sau đây: Nếu formula_39 là đồng luân, và formula_40 là đồng luân, thì ánh xạ hợp của chúng formula_41 và formula_42 cũng đồng luân do tính chất ánh xạ hợp của hai hàm số liên tục thì liên tục.

=== Nhóm đồng luân ===
Quan hệ đồng luân giữa hai ánh xạ formula_43 là một quan hệ tương đương, do đó ta có thể xét tập hợp các lớp tương đương, ký hiệu là formula_44. Cố định formula_45 và formula_46 ảnh của biên formula_47, tập hợp này tạo thành một nhóm formula_48. Các nhóm này được gọi là các nhóm đồng luân. Khi formula_49, ta thu được nhóm cơ bản.

==Đồng luân đường==
- Nhắc lại về đường đi trong không gian formula_3 là ánh xạ liên tục formula_51 từ khoảng formula_52 trong tô pô Euclid vào formula_3. Điểm formula_54 được gọi là điểm đầu và điểm formula_55 được gọi là điểm kết thúc.
- Đặt formula_51 và formula_57 là hai đường từ formula_58 sang formula_59 trong formula_3. Một phép đồng luân từ formula_51 và formula_57 là họ các ánh xạ: formula_63, như vậy ánh xạ formula_64 là liên tục, formula_65, và với mọi điểm formula_66 đường formula_67 đi từ formula_68.
- Nếu có một phép đồng luân từ formula_69 chúng ta nói rằng formula_51 đồng luân với formula_57, thường ký hiệu là formula_51 ~ formula_57.
- Một vòng hay một đường đi đóng tại formula_74 là một đường mà điểm đầu và điểm cuối của nó là formula_58. Nói cách khác, nó là một ánh xạ liên tục formula_76 sao cho formula_77. Vòng bất biến là vòng mà formula_78 =formula_79 với mọi formula_80.
- Một không gian được gọi là đơn liên nếu nó liên thông đường và bất kì vòng nào đều đồng phôi với một vòng bất biến.
- Ví Dụ:
formula_81

=== Mệnh đề ===
1. Quan hệ đồng luân trên các tập của tất cả các đường từ formula_58 sang formula_85 là mối quan hệ tương đương.
2. 2. Nếu không gian formula_86 có sự biến dạng co rút lại thành không gian con formula_87 thì formula_88 là đồng luân với formula_89.
3. 3. Nếu formula_90 ~ formula_91 và formula_92 ~formula_93 thì formula_94 ~ formula_95. Thì chúng ta có thể định nghĩa formula_96.
4. 4. Nếu formula_79 là đường từ formula_98 sang formula_85 thì formula_100 là đồng luân chứa vòng tại formula_98.
5. 5. Đặt formula_102 là đường từ formula_103 sang formula_104 là nhóm cơ bản của formula_3 tại formula_106 thì ánh xạ:

==Đồng luân tương đương==
- Cho hai không gian formula_3 và formula_4 chúng ta nói rằng chúng tương đương đồng luân, hoặc của cùng một dạng đồng luân, nếu có tồn tại ánh xạ liên tục formula_111 và formula_112 sao cho formula_113 đồng luân với ánh xạ đồng nhất của formula_3 và formula_115 đồng luân với ánh xạ đồng nhất của formula_4. Các ánh xạ formula_1 và formula_2 được gọi là tương đương đồng luân trong trường hợp này. Mỗi đồng phôi là một tương đương đồng luân, nhưng điều ngược lại là không đúng. Ví dụ, formula_119 tương đương đồng luân với không gian đơn điểm: ta có thể chọn formula_120 là hàm hằng và formula_121 là hàm gửi đơn điểm đến gốc tọa độ. formula_122 và formula_123. Một đồng luân giữa formula_124 và formula_125 được cho bởi formula_126 với formula_80 và formula_128. Tuy nhiên, formula_119 không đồng phôi với không gian đơn điểm. (chúng thậm chí còn không có cùng lực lượng.)
- Ví dụ: Một đĩa rắn không phải là đồng phôi với một điểm duy nhất (vì không có song ánh giữa chúng), mặc dù các ổ đĩa và các điểm tương đương đồng luân (kể từ khi bạn có thể biến dạng đĩa dọc theo các đường xuyên tâm liên tục vào một điểm duy nhất).
- Trực giác mà nói, hai không gian formula_3 và formula_4 tương đương đồng luân nếu chúng có thể được chuyển đổi thành nhau bằng cách uốn cong, thu hẹp hay mở rộng. Ví dụ, một đĩa cứng hoặc một quả bóng rắn là tương đương đồng luân đến một điểm, và formula_132 là tương đương đồng luân với vòng tròn đơn vị formula_133. Một không gian tương đương đồng luân với một điểm được gọi là một không gian co rút.

== Biến thể ==
=== Đồng vị ===
Một phép đồng vị, là một phép đồng luân "H" sao cho với mọi "t", "H"("x","t") là một phép nhúng.

Ví dụ, hai ánh xạ gửi [−1,1] vào đường thẳng thực "f"("x") = −"x" và "g"("x") = "x không" đồng vị với nhau. Tuy nhiên chúng "có" đồng luân với nhau.

Các phép đồng vị là cấu xạ trong phạm trù các nút thắt.

==Xem thêm==
- Lý thuyết đồng đều
- Tô pô đại số