Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng formula_1 trong đó formula_2 là các hằng số và formula_3. Hệ số hoàn toàn có thể ở y. x và y lần lượt là các biến.

Tức là hàm số bậc hai chỉ cần đạt 2 điều kiện là có bậc cao nhất là 2 và hệ số của biến có bậc cao nhất khác 0.

Trường hợp có 2 biến x và y, hàm số có dạng

formula_4

khi đó nó cùng với hàm chuẩn mẫu tạo trên hệ trục tọa độ những hình cônic (parabol, elip, tròn hoặc hyperbol)

== Nguồn gốc tên ==
Từ "bậc hai" xuất phát từ tiếng Latin từ quadrātum (hình vuông). Một thuật ngữ như "x" được gọi là một hình vuông trong đại số bởi vì nó là diện tích của một hình vuông với cạnh "x" .

Nói chung, một tiền tố "quadr" chỉ ra số 4. Ví dụ là tứ giác và góc tọa độ. "Quadratum" là chữ Latin, nghĩa là vuông. Nó cùng họ với từ "quadrilateral" tức là tứ giác. 

== Thuật ngữ ==
=== Hệ số ===
Các hệ số của một đa thức thường được coi là số thực hoặc số phức. Riêng số phức có thể đề cập trong Giải tích phức và biểu diễn được trên hệ trục tọa độ.

=== Bậc của hàm ===
Thuật ngữ "đa thức bậc hai" đôi khi có nghĩa là "có bậc là 2", hoặc đôi khi là "có bậc cao nhất là 2". Nếu bậc nhỏ hơn 2, điều này có thể được gọi là "trường hợp suy biến".

Thông thường, nghĩa của thuật ngữ sẽ được xác định bởi ngữ cảnh.

=== Biến ===
Một đa thức bậc hai có có 1 biến duy nhất "x" (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều như biến "x" , "y" , và "z" (trường hợp đa biến). Trên thực tế, người ta thường quy một hàm nhiều biến về các hàm 2 biến để dễ xét.

==== Trường hợp một biến ====
Bất kỳ một đa thức bậc hai 1 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

Trong đó:

"x" là biến

"a", "b", "c" là các hệ số

Trong đại số cơ bản, đa thức như vậy thường phát sinh dưới dạng phương trình bậc hai. Các nghiệm cho phương trình này được gọi là gốc của đa thức bậc hai, và có thể được tìm thấy thông qua phân tích thành nhân tử, phần bù bình phương, đồ thị, phương pháp Newton, hoặc thông qua việc sử dụng công thức bậc hai. Mỗi đa thức bậc hai có một hàm bậc hai liên quan, có đồ thị là một hình parabol.

===== Biệt thức =====
Biệt thức thông thường formula_6

Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: formula_7. Khi đó formula_8

==== Trường hợp hai biến ====
Bất kỳ đa thức bậc hai 2 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:
Trong đó "x" và "y" là các biến và "a" , "b" , "c" , "d" , "e" , "f" là các hệ số. Các đa thức như vậy là cơ sở để nghiên cứu các hình conic, được biểu diễn bằng cách biểu diễn biểu thức cho f(x,y) với không. Tương tự như vậy, đa thức bậc hai với 3 hoặc nhiều hơn các biến tương ứng với mặt bậc hai và siêu mặt. Trong đại số tuyến tính, đa thức bậc hai có thể được khái quát thành khái niệm của dạng bậc hai trên không gian véc tơ.

== Các dạng của một hàm bậc hai đơn biến ==
Một hàm bậc hai đơn biến có thể được biểu diễn dưới 3 dạng: 
- Dạng chuẩn:  formula_10
- Dạng thừa số: formula_11 trong đó: "r" "r" là nghiệm của hàm số bậc 2.
- Dạng đỉnh: formula_12 trong đó: "h," "k" lần lượt là tọa độ" x" và "y" của các đỉnh tương ứng.
Hệ số "a" có cùng giá trị trong cả ba dạng. Để chuyển đổi dạng chuẩn về dạng thừa số, chỉ cần dùng công thức nghiệm bậc hai để xác định hai nghiệm "r" và "r" . Để chuyển đổi dạng thừa số về dạng đỉnh, chỉ cần sử dụng phần bù bình phương. Để chuyển đổi dạng thừa số (hoặc dạng đỉnh) về dạng chuẩn, chỉ cần nhân phân phối các thừa số.

== Các nghiệm của hàm đơn biến ==
=== Các nghiệm ===
Tương tự phương trình bậc hai, hàm số bậc hai mẫu chuẩn: formula_13 có 2 nghiệm

formula_14 (nghiệm thực)

hoặc

formula_15 (nghiệm phức)

với b = 2b' và Δ = 4Δ'

=== Độ lớn tối đa của các nghiệm ===
Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của nghiệm bậc 2 không lớn hơn formula_16 với formula_17 (tỉ lệ vàng)

== Đồ thị hàm số một biến ==
Giờ ta chỉ xét hàm số bậc hai mẫu chuẩn: formula_13 formula_19

Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn luôn là một đường parabol trên hệ trục tọa độ.

=== Đỉnh của đồ thị ===
Điểm đỉnh của một parabol là nơi mà nó quay. Do đó, nó còn được gọi là bước ngoặt .

Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, đỉnh là ("h","k") . Sử dụng phương pháp phần bù bình phương, người ta có thể biến dạng chuẩn sang dạng đỉnh ta có formula_20

vậy h là trục đối xứng của parabol

Nếu ở  dạng thừa số formula_21 ta lấy trung bình của 2 nghiệm tức là formula_22 do đó toạ độ đỉnh khi đó là formula_23

=== Đồ thị của hàm số bậc 2 dạng đơn thức ===
==== Hình dạng ====
Một dạng cơ bản của hàm số này được học trong chương trình SGK Toán lớp 9 có dạng: formula_24

Tập xác định: R

Đồ thị của hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có

Đỉnh: formula_25

Trục đối xứng: Oy

nếu a>0 thì đồ thị nằm ở trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Ta có thể chứng minh được điều này: vì a>0 và formula_26 nên y luôn không âm, hay parabol luôn nằm trên trục hoành.

nếu a<0 thì đồ thị nằm ở dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Lý luận như trên, ta có thể chứng minh được điều này.

==== Cách vẽ ====
Dựa trên một hàm số bất kì, ta có thể vẽ bằng các cách sau:

Cách 1: Giả sử ta có hàm formula_27, ta vẽ ít nhất 3 điểm x lấy giá trị dương để đường parabol chính xác hơn. Sau đó qua trục tung vẽ 3 điểm nhận giá trị x âm tương ứng.

Cách 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử đã biết điểm formula_28 khác gốc tọa độ thuộc parabol. Gọi P là hình chiếu M lên Ox, lần lượt chia đoạn OP, PM thành n phần bằng nhau và qua các điểm này kẻ những đường thẳng song song với Oy, nối chúng với O và đánh số thứ tự các đường thẳng và đoạn thẳng. Lấy giao điểm của các cặp đoạn thẳng có cùng đường thẳng và đoạn thẳng có cùng thứ tự. Nối chúng, ta thu được nửa parabol của hàm đã cho. Cuối cùng vẽ đối xứng nửa parabol này qua trục Oy.

Cách 3:Cách này chỉ dùng cho hàm formula_29

Trên vở có kẻ dòng như vở học sinh, ta lấy khoảng cách giữa mỗi dòng là 1 đơn vị độ dài và vẽ các đường tròn đồng tâm, rồi kẻ các đường thẳng song song cắt các đường tròn đó và đánh dấu các giao điểm thực tế có một tập hợp các giao điểm khác giao điểm giữa đường tròn và các đường thẳng, tập hợp các điểm đó chính là trục tung Oy. Đánh dấu xong ta xóa các đường tròn, các đường thẳng và các số đánh dấu đi. Nối chúng, ta được một Parabol.

=== Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn ===
==== Giới thiệu ====
Dạng mẫu chuẩn được dạy đầy đủ trong Đại số 10

Dạng: formula_13

Tập xác định: R, (formula_31)

Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương:

formula_13

formula_33

formula_34

khi đó nếu coi formula_35 và formula_36 thì ta có formula_37

Do đó ta có thể quy về hàm số bậc hai rút gọn.

Do đó formula_38 thuộc đồ thị của hàm số và như vậy, tương đương hàm số bậc 2 rút gọn ta có:

Nếu formula_39 formula_40 do đó formula_41 là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu formula_42 formula_40 do đó formula_41 là điểm cao nhất của đồ thị.

Như vậy điểm formula_45 đóng vai trò như điểm formula_25 trong parabol của đồ thị hàm formula_24

==== Đồ thị ====
Đồ thị của hàm mẫu chuẩn chỉ là kết quả của các phép biến hình hình học đồ thị của hàm số bậc hai thu gọn.

Đỉnh: I(formula_48) với formula_49=formula_50=formula_51và formula_52=f(formula_50)=f(formula_51)=formula_55=formula_56

Trục đối xứng: formula_57

Trục này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0.

Chứng minh: Ta chứng minh đồ thị hàm số này suy ra từ đồ thị hàm số rút gọn qua 3 bước:

Bước 1: Chứng minh đồ thị của hàm formula_58

Xét 2 hàm số formula_59

Tại cùng một điểm formula_60 ta có formula_61

Do đó nếu điểm formula_62 thuộc đồ thị của hàm formula_63 thì điểm sẽ thuộc đồ thị của hàm formula_64.

Bây giờ nếu ta dịch chuyển một điểm M song song trục tung một đoạn formula_65 đơn vị (lên trên nếu formula_66, xuống dưới nếu formula_67) thì ta được điểm N.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bước 2: Đồ thị của hàm số formula_68

Xét 2 hàm formula_69

với X tùy ý ta có formula_70

Tức là giá trị của hàm f(X) tại X bằng giá trị của hàm g(X) tại formula_71. Vậy với điểm formula_72 thuộc đồ thị của hàm số formula_24 thì điểm formula_74 thuộc đồ thị của hàm số formula_68.

Vậy nếu tịnh tiến M song song với trục hoành formula_76 đơn vị về bên trái nếu formula_77 và về bên phải nếu formula_78 thì được điểm N.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Bước 3:Đồ thị của hàm số formula_13

ta có biến đổi như phần Giới thiệu:formula_34

áp dụng các kết quả từ Bước 1,2 với formula_81 ta thấy đồ thị là sự di chuyển sang trái hoặc phải tịnh tiến song song với trục hoành một khoảng formula_82 và lên trên hoặc xuống dưới tịnh tiến song song với trục tung một khoảng formula_83.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

==== Cách vẽ ====
Bước 1:Xác định tọa độ đỉnh formula_38hoặc formula_85hoặc formula_86

Bước 2: Vẽ trục đối xứng formula_87(formula_87)

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung formula_89 và trục hoành nếu có, sau đó xác định một số điểm thuộc đồ thị

Bước 4: Vẽ parabol và chú ý dấu của hệ số a để biết parabol quay hướng nào.

=== Chiều biến thiên ===
Ta có bảng sau:

- Khi a>0
Hàm số nghịch biến trên formula_90 và đồng biến trên formula_91.

- Khi a<0

Hàm số nghịch biến trên formula_91 và đồng biến trên formula_90.

Tất cả các kiến thức về cách vẽ, bảng biến thiên, đồ thị và cấu trúc cũng như ứng dụng của hàm số bậc hai mẫu chuẩn và thu gọn đều có trong SGK Toán 9 tập 2 và SGK Đại số 10.

== Biến thể của hàm bậc hai (hai biến) ==
Ở trên ta gặp dạng mẫu chuẩn, nếu với 2 biến x,y ta có:

formula_94

Với A,B,C,D,E cố định và F biến thiên. Tại formula_95 thay đổi mô tả được tại đó giao điểm của mặt phẳng với một mặt phẳng z=0 khác. Nó có thể coi như một giao điểm khi cắt một mặt nón bằng một thiết diện.

=== Cực đại và cực tiểu của hàm ===
nếu formula_96 thì hàm không có giá trị cực đại hay cực tiểu mà như là một hình parabol hyperbolic

nếu formula_97 thì hàm có cực đại tại A<0 và cực tiểu tại A>0. và khi đó xảy ra tại (formula_98

nếu formula_99 và formula_100. Hàm cũng không có cực đại hay cực tiểu và nó giống một xilanh parabol.

nếu formula_99 và formula_100. Hàm cực đại và cực tiểu trên một đường có cực tiểu tại A>0 và cực đại tại A<0.

== Ứng dụng ==
=== Dấu của tam thức bậc hai ===
Tam thức bậc 2 với formula_103 là biểu thức có dạng formula_5 trong đó a,b,c là các hệ số và formula_105.

Như vậy hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai và ta có:

formula_106 thì formula_107 luôn cùng dấu với formula_108, formula_109

formula_110 thì formula_107 luôn cùng dấu với formula_108, trừ formula_113

formula_114 thì formula_107:

- Cùng dấu với formula_108 khi formula_117 hoặc formula_118
- Trái dấu với formula_108 khi formula_120

với formula_121là 2 nghiệm của formula_107

Cách xét dấu trên cũng đúng khi sử dụng biệt thức Δ'

=== Các bài toán có nội dung quy về phương trình bậc hai ===
Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

==== Cơ học ====
Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: formula_123

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: formula_124

công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều:formula_125

quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: formula_126(khi chỉ ở trên Trái Đất)formula_127

Gia tốc hướng tâm:formula_128

Lực hướng tâm:formula_129

Tầm ném xa: formula_130

Định luật vạn vật hấp dẫn:formula_131

Động năng của vật:formula_132

Thế năng đàn hồi:formula_133

Trong đó formula_134 là vận tốc tại thời điểm formula_135, à các tọa độ của vật, formula_136 là hằng số hấp dẫn, formula_137 là gia tốc trọng trường, formula_138 là vận tốc, formula_139 là thời gian, formula_140 là độ biến dạng của lò xo, formula_108 là gia tốc, formula_142 là tầm ném xa, formula_143 là động năng, formula_144 là lực, formula_145 là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh.formula_146 là tốc độ góc của chuyển động tròn đều.