Tô pô compact-mở

Trong toán học, tô pô compact-mở (compact-open topology) là một tô pô được định nghĩa bởi tập hợp các ánh xạ liên tục giữa 2 không gian tô pô. Tô pô compact-mở là một trong những tô pô thông dụng nhất trong các không gian hàm, và được ứng dụng trong lý thuyết đồng luân và giải tích hàm. Nó được giới thiệu bởi Ralph Fox năm 1945.

Nếu tập hợp đích của các hàm đang xét có cấu trúc đều hoặc cấu trúc metric, thì tô pô compact-mở chính là "tô pô của sự hội tụ đều trên các tập compact". Nghĩa là, một dãy hàm hội tụ trong không gian tô pô compact-mở khi nó hội tụ đều trên mọi tập con compact của tập hợp nguồn.

== Định nghĩa ==
Cho formula_1 là 2 không gian tô pô. Đặt formula_2 hoặc formula_3 là tập hợp gồm tất cả các hàm liên tục từ formula_4 vào formula_5.

Cho formula_6 là một tập con compact của formula_7, cho formula_8 là một tập con mở của formula_9. Đặt formula_10, và formula_11.

Khi đó, tô pô compact-mở của tập formula_12 là tô pô sinh bởi họ formula_13, nghĩa là:

trong đó, formula_16là tô pô compact-mở của formula_12, với cơ sở formula_18 là họ gồm tất cả các giao hữu hạn của các phần tử trong formula_13.

== Tính chất ==
- Nếu formula_20 là không gian tô pô một điểm và formula_5 là một không gian tô pô, thì ta có thể xác định formula_22. Theo cách này, tô pô compact-mở là trùng với tô pô của formula_5.

Tổng quát hơn, nếu formula_4 là một không gian rời rạc gồm formula_25 điểm, thì formula_2 có thể được xác định bởi formula_25 phiên bản của formula_5, và tô pô compact-mở trùng với tô pô tích.

- Nếu formula_5 là không gian formula_30 Hausdorff, chính tắc hay Tychonoff, thì tô pô compact-mở có hệ tiên đề tách tương ứng.
- Nếu formula_4 Hausdorff và formula_13 là một tiền cơ sở của formula_5, thì họ formula_34 là một tiền cơ sở cho tô pô compact-mở của formula_2.
- Nếu formula_5 là không gian metric hay tổng quát hơn là một không gian đều, thì tô pô compact-mở trùng với tô pô hội tụ compact (topology of compact convergence). Nói cách khác, Nếu formula_5 là không gian metric, thì một dãy hàm formula_38 hội tụ về formula_39 trong tô pô compact-mở formula_40 hội tụ đều về formula_39 trong formula_42

Nếu formula_4 compact và formula_5 là không gian đều, thì tô pô compact-mở tương đương với tô pô hội tụ đều (topology of uniform convergence).

- Nếu formula_45 là các không gian tô pô, với formula_5 compact Hausdorff địa phương (Locally compact Hausdorff space), hay thậm chí là compact tiền chính tắc địa phương (locally compact preregular), thì ánh xạ hợp nối

là liên tục, với formula_49 đều được trang bị tô pô compact-mở, và formula_50 được trang bị tô pô tích.

- Nếu formula_5 compact Hausdorff địa phương hoặc tiền chính tắc, thì ánh xạ định lượng (evaluation map)

là liên tục. Có thể xem đây là một trường hợp đặc biệt của các tính chất trên, với formula_4 là không gian 1 điểm.

- Nếu formula_7 là không gian tô pô compact và formula_56 là không gian metric, thì tô pô compact-mở của formula_2 là khả metric, nghĩa là tô pô này có thể sinh ra metric, và metric đó là

== Ứng dụng ==
Tô pô compact-mở có thể được dùng để compact hóa các tập hợp sau:

- formula_59
- formula_60
- formula_61

Ngoài ra, còn có sự tương đương đồng luân giữa các không gian formula_62. Đối với những không gian này, formula_2 rất hữu ích trong lý thuyết đồng luân bởi vì nó có thể được sử dụng để tạo thành một không gian tôpô và mô hình cho kiểu đồng luân của tập hợp gồm tất cả lớp đồng luân của các ánh xạ:
Điều này là bởi formula_65 là tập gồm các thành phần đường của formula_2, nghĩa là có một đẳng cấu giữa 2 tập
với formula_68 là một tương đương đồng luân.

== Hàm khả vi Fréchet ==
Cho formula_4 và formula_5 là 2 không gian Banach xác định trên cùng một trường và formula_71. Đặt formula_72. Khi đó, tô pô compact-mở là tô pô gốc được sinh bởi nửa chuẩn 
trong đó, formula_74formula_75.