Không gian tôpô tích

Trong tô pô và các ngành toán học liên quan, không gian tích là tích Descartes của một họ không gian tô pô được trang bị một tôpô gọi là tô pô tích. Tô pô này khác với các loại khác, điển hình là tô pô hộp. Tô pô hộp của một không gian tích trở thành tô pô tích khi nó xác định trên không gian hữu hạn. Tuy vậy, tô pô tích cho phép không gian tích thực hiện được phép tích đối với các nhân tử của nó.

==Định nghĩa==
Không gian "X" thỏa mãn

là tích Descartes của không gian tô pô formula_2, đánh số bởi formula_3, và phép chiếu formula_4": formula_5 → formula_2, tô pô tích trên formula_5 được định nghĩa là tô pô yếu nhất (hay tô pô có ít tập mở nhất) đối với mọi phép chiếu liên tục formula_4. Tô pô tích còn được gọi là tô pô Tychonoff.

- Trường hợp formula_5 và formula_10 là không gian tô pô, thì tô pô tích trên formula_11 là tô pô sinh bởi cơ sở formula_12 với formula_13 là một cơ sở của tô pô formula_5 và formula_15 là một cơ sở cho tô pô Y
Cho formula_16 được định nghĩa bởi formula_17
và cho formula_18 được định nghĩa bởi formula_19.
thì họ formula_20 với formula_21 mở trong formula_5 và formula_23 mở trong formula_10 là một cơ sở con của tô pô formula_11.

- Trường hợp tích vô hạn
formula_26 là một họ được đánh chỉ số các không gian tô pô, formula_27
Định nghĩa tô pô tích trên formula_5 là tô pô sinh bởi formula_29. formula_30 có một cơ sở là
formula_31 
Tô pô tích trên formula_32 có cơ sở là những tập có dạng formula_33 với formula_34 mở trong formula_2 cho mỗi formula_36 và formula_37 trừ ra hữu hạn giá trị formula_36.

- Tô pô hộp là tô pô trên formula_32 có cơ sở là những tập có dạng formula_33 với formula_34 mở trong formula_2 cho mỗi formula_36.

== Ví dụ ==
1. Tích Tôpô formula_44 là hình trụ đặc có bán kính đáy 1, chiều cao 1 như hình vẽ.
2. Tôpô trên formula_45 như là tích các không gian tô pô Euclid của formula_46 là tô pô Euclid.
3. Hình xuyến là một mặt đóng trong formula_47, nhưng cũng có thể định nghĩa nó là như tích tô pô formula_48 trong đó formula_49 là đường tròn (hoặc cung kín) trong formula_45. Theo cách này có thể coi hình xuyến là không gian tô pô con của formula_51. Tô pô của formula_49 là không gian tô pô con giống như tập con của formula_45.
4. Trong formula_54, cho dãy khoảng mở formula_55 trong formula_46, tập formula_57 là một tập mở cơ sở cho tô pô hộp, chú ý tập này không mở trong tô pô tích.
5. Tập formula_58 là một tập mở cơ sở của tô pô tích formula_59.

== Tính Chất ==
Không gian tích formula_5, cùng với phép chiếu chuẩn tắc, đặc trưng bởi tính chất phổ quát sau: 
- Tô pô tích là tô pô thô nhất trên formula_5 sao cho tất cả các ánh xạ chiếu formula_62 liên tục. Hay nói cách khác, tô pô tích là tô pô sinh bởi những ánh xạ chiếu.
- Nếu formula_10 là một không gian tô pô, và đối với mỗi formula_64, formula_65 là một ánh xạ liên tục, thì tồn tại một ánh xạ liên tục formula_66 sao cho mỗi formula_64 tuân theo biểu đồ giao hoán:

Nó thể hiện không gian tích là tích phạm trù của các không gian tô pô. Từ tính chất phổ quát trên, ánh xạ formula_68 là liên tục nếu và chỉ nếu formula_69 liên tục cho mọi formula_64. Trong nhiều trường hợp có thể dễ dàng kiểm tra rằng hàm formula_71 là liên tục. Tuy nhiên chứng minh formula_72 liên tục thì khó hơn; và cần đến giả thiết formula_4 liên tục.

Để thỏa mãn tính liên tục, phép chiếu chuẩn tắc formula_74 cần thêm tính chất là những ánh xạ mở. Điều này có nghĩa là bất kỳ tập con mở nào của không gian tích vẫn là mở khi thực hiện chiếu chúng vào formula_75. Điều ngược lại không đúng: nếu formula_76 là không gian con của không gian tích mà phép chiếu vào mọi formula_75 là mở, thì formula_76 không cần thiết là không gian mở trong formula_5.Các phép chiếu chuẩn tắc nói chung không phải là ánh xạ đóng (ví dụ formula_80, mà phép chiếu lên hai trục tọa độ là formula_81).

Tô pô tích còn gọi là "tô pô hội tụ theo từng điểm" bởi vì: một dãy số (hoặc lưới) trong "X" hội tụ nếu và chỉ nếu mọi phép chiếu của nó vào không gian formula_75 hội tụ. Đặc biệt, nếu xét không gian formula_83 của mọi hàm giá trị thực trên formula_5, sự hội tụ trong tô pô tích là giống với sự hội tụ theo điểm của hàm số.
- Ánh xạ vào không gian tích là liên tục khi và chỉ khi tất cả các ánh xạ thành phần là liên tục.
- Tích các tập con đóng bất kỳ formula_75 là tập đóng trong formula_5.

Một định lý quan trọng về tô pô tích là định lý Tychonoff: tích của một họ không gian compact bất kỳ là compact. Định lý này có thể chứng minh dễ dàng cho trường hợp hữu hạn, trong khi trường hợp tổng quát tương đương với tiên đề chọn.

== Liên quan đến khái niệm tôpô khác ==
- Tiên đề tách
- Tích của những không gian formula_87 thì formula_87
- Tích của những không gian formula_89 thì formula_89
- Tích của những không gian Hausdorff thì Hausdorff
- Tích của những không gian chính tắc thì chính tắc.
- Tích của những không gian chuẩn tắc thì không chắc là chuẩn tắc.
- Compắc
- Tích của những không gian compact thì compact (Định lý Tychonoff)
- Sự liên thông
- Tích của những không gian liên thông (Liên thông đường) thì liên thông (Liên thông đường)