Tập hợp liên thông

Tập hợp liên thông là tập hợp không thể biểu diễn dưới dạng hợp của hai tập hợp mở không rỗng rời nhau.

Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau, nói cách khác nó không chứa một tập con thực sự vừa đóng vừa mở.

Một không gian tôpô E gọi là liên thông đường (hay liên thông cung) nếu với mọi cặp hai điểm x, y trên E đều có thể xác lập một ánh xạ liên tục f từ đoạn thẳng đơn vị [0, 1] vào E sao cho f(0)=x, f(1)=y
==Liên thông==
===Định nghĩa không gian tô pô liên thông===
Không gian tôpô X được gọi là không liên thông nếu nó là hội của hai Tập mở rời nhau khác rỗng. Ngược lại là liên thông.

Nói cách khác một không gian tôpô gọi là không gian tô pô liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng hợp của 2 tập mở khác rỗng rời nhau, hoặc không chứa một tập con thực sự vừa là Tập đóng vừa là Tập mở.

- Định lý: "không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu nó không có tập con nào vừa đóng vừa mở trong X ngoại trừ tập rỗng và chính nó."
- Hệ quả: "Trong mọi không gian topo X, tập X và tập rỗng là 2 tập duy nhất vừa đóng vừa mở trong X."

- Định lý: "formula_5 là hai không gian topo, formula_6 là Ánh xạ liên tục, thì formula_7 là liên thông trong formula_8."
- Bổ đề: "formula_9 là hai tập con của không gian topo formula_10. Giả sử formula_11 là liên thông và formula_12. Hơn nữa giả sử rằng formula_13 là tách của formula_14 trong formula_10. Thì có formula_12 hoặc formula_17"
- Định lý: "Nếu formula_18 là họ tập con khác rỗng liên thông của không gian topo formula_10 sao cho formula_20 là khác rỗng, thì formula_21 cũng liên thông."
- Định lý: "Bao đóng của tập con liên thông là liên thông:"
- Định lý: "Cho formula_22 là họ các không gian liên thông. Thì không gian tích formula_23 là liên thông."
- Mệnh đề: "Một tập con của không gian topo được gọi là liên thông nếu nó liên thông dưới một không gian topo con của nó."

===Thành phần liên thông===
Những tập con liên thông lớn nhất của không gian topo khác rỗng được gọi là thành phần liên thông của không gian đó.

Hai điểm x, y trong không gian topo X gọi là thông nhau nếu nó cùng nằm trong 1 tập liên thông. Khi đó quan hệ "thông nhau" là 1 quan hệ tương đương trên X. Quan hệ này chia X thành các lớp rời nhau, mỗi lớp đó gọi là một thành phần liên thông trong X. Ký hiệu một thành phần liên thông chứa x là C(x).

- Định lý: "Thành phần liên thông thì liên thông."
- Định lý: "Mỗi thành phần liên thông của X là tập con đóng của X."
- Định lý: "Nếu hai không gian là đồng phôi thì có một song ánh giữa các tập hợp các thành phần liên thông của hai không gian đó."
- Định lý: "Cho formula_24 là Phép đồng phôi. Nếu C là thành phần liên thông của X thì f(C) là thành phần liên thông của Y.

==Liên thông đường==
===Khái quát ===
- Định lý: "Tích của các không gian liên thông đường là liên thông đường."
- Định lý: "Nếu X là không gian liên thông đường, thì nó là liên thông."
- Định lý: "Giả sử formula_24 là ánh xạ liên tục và X là liên thông đường. Thì formula_7 là không gian con liên thông đường của Y."

===Thành phần liên thông đường ===
- Định lý: "X là không gian topo, mỗi thành phần liên thông đường của X là liên thông đường."
- Định lý: "X là không gian topo, mỗi tập con liên thông đường của X là tập con của những thành phần liên thông đường của X."
- Định lý: "Nếu formula_32 là họ tập con khác rỗng liên thông đường của không gian topo formula_10 sao cho formula_34 là khác rỗng, thì formula_35 cũng liên thông đường."
- Định lý: "formula_24 là đồng phôi và C là thành phần liên thông đường của X, thì formula_37 là thành phần liên thông đường của Y."

==Liên thông địa phương ==
Định nghĩa: formula_10 là liên thông địa phương nếu và chỉ nếu với mọi formula_41 trong formula_10 và mọi Lân cận formula_43 của formula_41 thì có một lân cận liên thông formula_45 của formula_41 sao formula_47.

Định nghĩa: ("Liên thông địa phương yếu") Không gian formula_10 là liên thông địa phương yếu nếu mọi lân cận formula_43 của formula_41 có một không gian con liên thông của formula_10 chứa trong formula_43 và chứa formula_41.

==Liên thông đường địa phương==
Định nghĩa Tập X là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi formula_41 trong formula_10 và mọi lân cận formula_43 của formula_41 thì có một lân cận liên thông đường formula_45 của formula_41 sao cho formula_47.
- Định lý: Không gian topo formula_10 là liên thông đường địa phương nếu và chỉ nếu với mọi tập mở formula_43 trong formula_10, mà mỗi thành phần liên thông đường trong formula_43 là mở trong formula_10.
- Hệ quả Nếu formula_10 là liên thông đường địa phương thì mỗi thành phân liên thông của formula_10 là mở.
- Định lý: Mọi tập con mở của không gian liên thông đường địa phương thì liên thông đường địa phương.
Định nghĩa("Liên thông địa phương yếu") Không gian formula_10 là liên thông đường địa phương yếu tại formula_41 nếu với mọi lân cận formula_43 của formula_41 có một không gian con liên thông đường của formula_10 chứa trong formula_43 và chứa formula_41.
===Quan hệ giữa liên thông địa phương và liên thông đường địa phương===
- Mệnh đề: Liên thông đường địa phương thì liên thông địa phương, ngược lại không đúng.
- Mệnh đề: Liên thông và liên thông đường địa phương thì liên thông đường.

== Tham khảo ==
- Đoàn Quỳnh, 2000, "Hình học vi phân"
- Colin Adams, Robert Franzosa, "Introduction to toplogy"
- Huỳnh Quang Vũ, "Lecture notes on Topology"