Dãy Cauchy

Trong toán học, dãy Cauchy (; ), được đặt tên theo nhà toán học Augustin-Louis Cauchy, là dãy mà các phần tử tiến đến gần nhau tùy ý khi dãy tiếp tục. Chính xác hơn, cho bất cứ khoảng cách nhỏ nào, hầu như tất cả các phần tử trong dãy ngoại trừ hữu hạn một số phần tử ra có khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn khoảng cách đã cho.

Điều kiện phần tử đứng sau gần tùy ý với phần tử "ngay trước đó" không phải điều kiện đủ. Ví dụ chẳng hạn, trong dãy căn bậc hai của các số tự nhiên:
formula_1
hai phần tử liên tiếp đó gần với nhau:
formula_2
Tuy nhiên, khi chỉ số lớn, các phần tử formula_3 có thể lớn tùy ý. Do đó với bất kỳ chỉ số và khoảng cách , tồn tại chỉ số đủ lớn sao cho formula_4 (Thật ra chỉ cần formula_5 là đủ.) Bởi vậy, bất kể dãy chạy tới đâu, các phần tử còn lại không bao giờ tiến gần đến nhau; do đó dãy này không phải dãy Cauchy.

Một ứng dụng của dãy Cauchy nằm trong không gian mêtric đầy đủ (không gian mà các dãy Cauchy trong đó hội tụ đến một giá trị nào đó), điều kiện cho hội tụ chỉ dựa trên các phần tử trong dãy, ngược lại với định nghĩa hội tụ dùng cả giá trị hội tụ và các phần tử trong dãy. Ta thường lợi dụng tính chất này cho các thuật toán trong lý thuyết và áp dụng.

Dạng tổng quát của các dãy Cauchy trong không gian đều tồn tại dưới dạng bộ lọc Cauchy và mạng Cauchy.

==Trong số thực==
Dãy
formula_6
của các số thực được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số thực dương formula_7 tồn tại số nguyên dương "N" sao cho với mọi số tự nhiên formula_8
formula_9
trong đó thanh dọc đứng ký hiệu cho giá trị tuyệt đối. Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa cho dãy các số hữu tỉ hoặc dãy các số phức. Cauchy đưa ra điều kiện hiệu formula_10 phải nhỏ vô cùng với mọi cặp số tự nhiên "m", "n".

Với mọi số thực "r", dãy biểu diễn bị cắt của "r" tạo thành dãy Cauchy. Ví dụ, khi formula_11 dãy số được viết như sau: (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). Phần tử thứ "m" và phần tử thứ "n" chỉ cách nhau tối đa formula_12 trong đó "m" < "n", và khi "m" lớn, giá trị này càng nhỏ hơn bất kỳ giá trị formula_13 cho trước

===Mô đun hội tụ Cauchy===
Nếu formula_14 là dãy số trong tập formula_15 thì "mô đun hội tụ Cauchy" cho dãy số là hàm formula_16 từ tập các số tự nhiên tới chính nó, sao cho với mọi số tự nhiên formula_17 và số tự nhiên formula_18 formula_19

Các dãy đi cùng với mô đun hội tụ Cauchy là dãy Cauchy. Sự tồn tại mô đun hội tụ Cauchy được suy ra từ tính xếp thứ tự tốt của các số tự nhiên (gọi formula_20 là số formula_21 nhỏ nhất trong định nghĩa của dãy Cauchy, đặt formula_22 là formula_23). SỰ tồn tại của mô đun cũng suy ra được từ nguyên lý chọn phụ thuộc,nguyên lý này là dạng yếu hơn của tiên đề chọn, thậm chí ta có thể suy ra từ điều kiện còn yếu hơn được gọi là AC. "Dãy Cauchy chính quy" là các dãy đi với mô đun cho trước hội tụ (thường thì formula_24 hoặc formula_25).

==Trong không gian mêtric==
Bởi định nghĩa của dãy Cauchy chỉ bao gồm duy nhất khái niệm mêtric, dễ tổng quát định nghĩa này sang cho bất cứ không gian mêtric "X". 
Để làm vậy, giá trị tuyệt đối formula_26 được thay bằng khoảng cách formula_27 (trong đó "d" được gọi là mêtric) giữa formula_28 và formula_29

Nói chính xác, cho không gian mêtric formula_30 dãy
formula_6
là dãy Cauchy, nếu với số thực dương formula_32 tồn tại số nguyên dương formula_21 sao cho với mọi số tự nhiên formula_8 khoảng cách
formula_35

Nhìn qua, việc các phần tử trong dãy càng tiến đến gần nhau khi các giá trị formula_36 tăng dần có vẻ gợi ý rằng dãy này có giới hạn nằm trong không gian formula_37
Song, giá trị giới hạn chưa chắc đã nằm trong "X": tính chất của không gian mà tất cả các dãy Cauchy trong đó đều hội tụ được gọi là "tính đầy đủ".

==Tính đầy đủ==
Không gian mêtric ("X", "d") mà mọi dãy Cauchy trong không gian hội tụ đến một giá trị nằm trong "X" được gọi là không gian mêtric đầy đủ.

===Các ví dụ===
Không gian các số thực đầy đủ dưới mêtric của giá trị tuyệt đối, và một trong những cách tiêu chuẩn để xây số thực bao gồm dãy Cauchy của các số hữu tỉ.

Một loại ví dụ khác là không gian "X" có mêtric rời rạc (trong không gian đó, bất cứ hai phần tử nào khác nhau thì đều có khoảng cách bằng 1).

===Ví dụ không phải: số hữu tỉ===
Không gian của các số hữu tỉ formula_38 không đầy đủ (cho mêtric định nghĩa):
Có các dãy số hữu tỉ hội tụ (trong formula_39) đến các giá trị vô tỉ; nghĩa là các dãy Cauchy này không hội tụ đến giá trị thuộc formula_40 Hơn nữa, nếu "x" là số vô tỉ, thì dãy số ("x"), với phần tử thứ "n" là biểu diễn "n" chữ số của "x", là dãy Cauchy có giới hạn là số vô tỉ "x". Ngoài ra còn có các ví dụ khác về dãy các số hữu tỉ hội tụ về số vô tỉ:

- Dãy số định nghĩa bởi formula_41 bao gồm các số hữu tỉ (1, 3/2, 17/12...) là dãy các số hữu tỉ nhưng giá trị hội tụ của nó là căn bậc hai của hai, để chứng minh xem phương pháp Babylonian cho tính căn bậc hai.
- Dãy formula_42 của các phân số của các số Fibonacci liên tiếp nếu có hội tụ thì dãy phải hội tụ đến giá trị formula_43 thỏa mãn formula_44 mà không có số hữu tỉ nào thỏa mãn được. Nếu ta coi đây là dãy các số thực thì dãy này hội tụ đến giá trị formula_45 hay còn gọi là tỷ lệ vàng, giá trị này là số vô tỉ.
- Các giá trị của hàm mũ , hàm sin và cosin, exp("x"), sin("x"), cos("x"), được biết là số vô tỉ cho mọi số hữu tỉ formula_46 nhưng mỗi hàm có thể định nghĩa là giới hạn của một dãy Cauchy hữu tỉ, sử dụng chuỗi Maclaurin chẳng hạn.

===Ví dụ không phải: khoảng mở===
Khoảng mở formula_47 trong tập các số thực cùng với mêtric tầm thường của formula_39 không phải là không gian đầy đủ: dãy số formula_49 nằm trong đó là dãy Cauchy (cho bất cứ cận formula_50 tất cả các phần tử formula_51 thỏa mãn formula_52 đều nằm trong khoảng formula_53), tuy nhiên giá trị giới hạn của dãy không nằm trong formula_37 — 'giới hạn' của nó, số 0, không nằm trong không gian formula_55

===Các tính chất khác===
- Tất cả các dãy hội tụ (có giới hạn "s") là dãy Cauchy, bởi cho bất kỳ số thực dương formula_56 , khi vượt qua một điểm cố định nào đó, mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách formula_57 của "s", do đó bất cứ hai phần tử trong dãy đều cách nhau tối đa formula_58.
- Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy formula_51 bị chặn (bởi cho một số "N", tất cả các phần tử từ phần tử thứ "N" trở đi đều cách nhau 1, và nếu "M" là khoảng cách lớn nhất giữa formula_60 và bất cứ các phần tử nào cho tới phần tử thứ "N", thì không có cặp phần tử nào trong dãy có khoảng cách lớn hơn formula_61 đến formula_60).
- Trong bất cứ không gian mêtric nào, dãy Cauchy nào có dãy con của nó hội tụ đến "s" thì chính nó cũng hội tụ đến giới hạn "s", bởi: cho bất cứ số thực "r" > 0, khi qua một số điểm cố định nào đó trong dãy gốc, mọi phần tử trong dãy con đều nằm trong khoảng cách "r"/2 của "s", và bất cứ hai phần tử trong dãy gốc đều nằm trong khoảng cách "r"/2 của nhau, do đó mọi phần tử trong dãy đều nằm trong khoảng cách "r" của "s".

Hai tính chất cuối, cùng với định lý Bolzano–Weierstrass, đưa ra bài chứng minh cho tính đầy đủ của số thực, có liên hệ gần với định lý Bolzano–Weierstrass và định lý Heine–Borel. Mọi dãy Cauchy đều bị chặn, do đó theo định lý Bolzano–Weierstrass trong dãy sẽ có dãy con hội tụ, từ đó suy ra dãy đó cũng sẽ hội tụ. Cách chứng minh này có bao gồm việc sử dụng tiên đề cận trên nhỏ nhất. Một hướng giải khác được nhắc ở trên là các số thực bằng hoàn thiện không gian các số hữu tỉ.

Nếu formula_63 là ánh xạ liên tục đều giữa không gian mêtric "M" và "N" và ("x") là dãy Cauchy trong "M", thì formula_64 là dãy Cauchy trong "N". Nếu formula_65 và formula_66 là dãy Cauchy trong số hữu tỉ, số thực hoặc số phức, thì tổng formula_67 và tích formula_68 cũng là dãy Cauchy.