Hình chỏm cầu

Trong hình học không gian, hình chỏm cầu, hình vòm cầu, hay hình đới cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu, lúc này chiều cao của chỏm cầu bằng bán kính của hình cầu, và hình chỏm cầu thu về một "bán cầu".

==Thể tích và diện tích bề mặt==
Nếu bán kính của đáy chỏm cầu bằng formula_1, và chiều cao bằng formula_2, thì thể tích của hình chỏm cầu bằng

và diện tích phần mặt cong (hay vòm) của chỏm cầu bằng

hay 

formula_2 và formula_7 liên hệ với nhau tùy ý sao cho formula_8. Phần màu đỏ cũng được định nghĩa là chỏm cầu.

Các tham số formula_1, formula_2 và formula_7 không độc lập với nhau:

Thay thế chúng vào công thức diện tích ở trên thu được:

Đối với chỏm cầu nhỏ ở phía trên, formula_15, và chỏm cầu lớn ở dưới formula_16; và từ đó formula_17 thay vào công thức thể tích thu được:

=== Chứng minh công thức ===
Theo định lý Pythagoras: formula_19. Phá dấu ngoặc và sắp xếp lại:
"Thể tích" của hình chỏm cầu được tính bằng cách lấy tích phân thể tích hình giới hạn bởi đường cung xoay tròn quanh một trục formula_21: 

Tương tự "diện tích bề mặt" của vòm cầu (không kể đáy) tính bằng tích phân diện tích của mặt tròn xoay 

Và bao gồm cả đáy: formula_24.

Ngoài ra thể tích và diện tích của hình chỏm cầu cũng có thể tính theo góc formula_25:

== Áp dụng ==
=== Thể tích của hợp và giao hai hình cầu ===
Thể tích của hợp hai hình cầu cắt nhau với bán kính lần lượt formula_27 và formula_28 là

với

là tổng thể tích của hai hình cầu riêng rẽ, và

là tổng thể tích của hai chỏm cầu hình thành bởi đoạn giao giữa hai hình cầu. Nếu formula_32 là khoảng cách giữa hai tâm hình cầu, bằng cách loại bỏ các biến formula_33 và formula_34 thu được

=== Diện tích đường tròn bị chặn bởi các đường tròn vĩ độ ===
Diện tích của bề mặt bị chặn bởi hai đường tròn vĩ độ (hay mặt đới cầu) bằng hiệu số diện tích của hai chỏm cầu tương ứng với hai đường tròn này. Với hình cầu bán kính formula_7, và cho trước các vĩ độ formula_37 và formula_38, diện tích của mặt đới cầu bằng

Ví dụ, giả sử Trái Đất là một hình cầu có bán kính 6371 km, diện tích bề mặt của bắc cực (phía bắc của vòng Bắc Cực, tại vĩ độ 66,56° thời điểm tháng 8 năm 2016) là 2·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 21,04 triệu km², hay 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4,125% tổng diện tích bề mặt của Trái Đất.

== Tổng quát hóa ==
=== Tạo thành từ những hình khối khác ===
Vòm phỏng cầu (spheroidal dome) thu được bằng cách chia một hình phỏng cầu sao cho hình vòm thu được có tính chất đối xứng tròn (circular symmetry) (hay nó có một trục tròn xoay), ví dụ như hình vòm elipsoid nhận được từ ellipsoid.

=== Siêu chỏm cầu ===
Tổng quát hơn, thể tích formula_40-chiều của một siêu chỏm cầu với chiều cao formula_2 và bán kính formula_7 trong không gian Euclid formula_40-chiều cho bởi
với hàm gamma formula_45 cho bởi formula_46.

Công thức biểu diễn cho formula_47 có thể viết dưới dạng thể tích của khối cầu n chiều đơn vị formula_48 và hàm siêu hình học (hypergeometric function) formula_49 hoặc hàm beta chính quy hóa không đầy đủ (regularized incomplete beta function) formula_50 như sau

và công thức diện thích formula_52 có thể biểu diễn theo số hạng của diện tích khối cầu n chiều đơn vị formula_53 như
với formula_55.

Trước đó trong (1986, USSR Academ. Press) công thức sau đã được suy ra: 
formula_56, với 
formula_57,

formula_58.

Trường hợp số lẻ formula_59

formula_60.

==== Tiệm cận ====
Như được chứng minh trong bài báo rằng, nếu formula_61 và formula_62, thì formula_63 với formula_64 là tích phân của phân phối chuẩn.

Một cách tính định lượng hơn của biểu diễn trên, như nêu trong với giá trị chặnformula_65 được dẫn ra.
Đối với chỏm cầu rất lớn (nghĩa là khi formula_66 khi formula_67), giá trị chặn thu gọn thành formula_68.

== Xem thêm ==
- Hình viên phân (circular segment) — tương tự trong 2 chiều
- Góc khối
- Hình đới cầu (spherical segment)
- Hình quạt cầu (spherical sector)
- Hình chêm cầu (spherical wedge)
- Hình vòng đai cầu trụ (hình giới hạn bởi hình cầu và hình trụ), (spherical ring)

== Liên kết ngoài ==
- Derivation and some additional formulas.
- Online calculator for spherical cap volume and area .
- Summary of spherical formulas.