Giới hạn của một dãy

Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích.

Giới hạn có thể được định nghĩa trong bất kỳ không gian metric hay tôpô nào, nhưng thường được sử dụng trước tiên với số thực.

==Lịch sử==
Nhà triết học Hy Lap Zeno xứ Elea nổi tiếng với việc hình thành những nghịch lý về giới hạn.

Leucippus, Democritos, Antiphon, Eudoxus và Archimedes phát triển phương pháp vét cạn (method of exhaustion), dùng chuỗi vô hạn xấp xỉ để xác định một diện tích hay thể tích. Archimedes đã thành công trong việc tính tổng một dạng dãy số gọi là chuỗi hình học.

Newton sử dụng dãy số trong những công trình "Giải tích dãy vô hạn" ("Analysis with infinite series", viết năm 1669, lưu hành qua bản viết tay, xuất bản năm 1711), "Phương pháp thông lượng" ("Method of Fluxions", viết năm 1671, xuất bản bằng tiếng Anh năm 1736, bản gốc Latin xuất bản muộn hơn) và "Tractatus de Quadratura Curvarum" (viết năm 1693, xuất bản năm 1704 và là phụ lục cho "Optiks"). Trong những tác phẩm sau này, Newton nghiên cứu khai triển nhị thức của formula_1 rồi tuyến tính hóa bằng cách "lấy giới hạn" (cho formula_2).

Đến thế kỷ 18, các nhà toán học như Euler thành công trong việc tính tổng của một số chuỗi phân kỳ bằng cách dừng đúng lúc; họ không quan tâm liệu giới hạn có tồn tại hay không, miễn là nó tính được. Cuối thể kỷ 18, Lagrange trong "Théorie des fonctions analytiques" (1797) cho rằng sự thiếu tính chặt chẽ ngăn chặn sự phát triển của giải tích. Gauss trong quá trình nghiên cứu những dãy siêu hình học (1813) lần đầu tiên xem xét một cách chặt chẽ dưới những điều kiện nào thì một dãy số hội tụ đến một giới hạn.

Định nghĩa hiện đại của giới hạn (định nghĩa formula_3) được đưa ra bởi Bernard Bolzano ("Der binomische Lehrsatz", Prague năm 1816, ít được chú ý tại thời điểm đó) và Karl Weierstrass trong những năm 1870.

==Số thực==
Đối với số thực, một số formula_4 là giới hạn của một dãy số formula_5 nếu những số trong dãy trở nên gần một cách tùy ý với formula_4 và không phải số nào khác.

===Ví dụ===
- Nếu formula_7 với "c" là hằng số thì formula_8.
- Nếu formula_9 thì formula_10.
- Nếu formula_11 khi formula_12 chẵn, và formula_13 khi formula_12 lẻ thì formula_10. (Việc formula_16 khi formula_12 lẻ không ảnh hưởng gì)
- Với bất kì số thực nào, có thể xây dựng một dãy số hội tụ về số đó bằng cách lấy xấp xỉ thập phân. Ví dụ, dãy số formula_18 hội tụ về formula_19. Chú ý rằng biểu diễn thập phân formula_20 chính là "giới hạn" của, xác định bởi

- Tìm giới hạn của một dãy số không phải lúc nào cũng hiển nhiên. Hai ví dụ điển hình là formula_22 (giới hạn có giá trị là số e) và trung bình cộng-nhân. Định lý kẹp thường hữu ích trong những trường hợp này.

===Định nghĩa===
Ta gọi formula_23 là giới hạn của một dãy số formula_5 nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Nói cách khác, với mọi giá trị độ gần formula_29, các số hạng của dãy sẽ tiến gần đến giới hạn trong khoảng đó.

Dãy số formula_5 khi ấy được gọi là hội tụ về hoặc tiến tới giới hạn formula_23, viết là formula_32 hoặc formula_33.

Định nghĩa trên có thể biểu diễn bằng ký hiệu:

Nếu một dãy số có tồn tại giới hạn thì đó là dãy hội tụ; ngược lại nó là dãy phân kỳ.

===Tính chất===
Giới hạn của dãy số có những tính chất tương tự như những phép tính số học thông thường. Nếu formula_35 và formula_36 thì formula_37, formula_38 và, nếu formula_39 và tất cả formula_40 đều khác 0, formula_41.

Với mọi hàm số liên tục "f", nếu formula_32 thì formula_43. Thực ra, bất kỳ hàm số "f" nào có giá trị thực liên tục khi và chỉ khi nếu nó bảo toàn giới hạn của dãy số (điều này không nhất thiết đúng với những định nghĩa tổng quát hơn của tính liên tục).

Một số tính chất quan trọng của giới hạn cho dãy số thực như sau(với điều kiện, trong mỗi đẳng thức ở dưới, giới hạn ở vế phải tồn tại).

- Giới hạn của một dãy số là duy nhất.
- formula_44
- formula_45
- formula_46
- formula_47 với điều kiện formula_48
- formula_49
- Nếu formula_50 với mọi formula_51 thì formula_52
- (Định lý kẹp) Nếu formula_53 với mọi formula_51, và formula_55, thì formula_56.
- Nếu một dãy số bị chặn và đơn điệu thì nó hội tụ.
- Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó hội tụ.

Những tính chất trên được sử dụng rất nhiều để chứng minh giới hạn mà không cần sử dụng định nghĩa cồng kềnh trên. Chẳng hạn, một khi chứng minh được formula_57 ta dễ dàng chứng minh được formula_58, (formula_59), sử dụng những tính chất trên.

===Giới hạn vô cùng===
Một dãy số formula_5 được gọi là tiến tới vô cùng, viết là formula_61 hay formula_62 nếu, với mọi formula_63, tồn tại formula_26 sao cho với mọi formula_27 thì formula_66; tức là các số hạng của dãy dần lớn hơn bất kì formula_63 cố định nào. Tương tự, formula_68 nếu, với mọi formula_63, tồn tại formula_26 sao cho với mọi formula_27 thì formula_72. Nếu một dãy số tiến tới cộng hoặc trừ vô cùng thì nó phân kỳ (tuy nhiên, một chuỗi phân kỳ có thể không tiến tới cộng hay trừ vô cùng: ví dụ như dãy số formula_73).

==Không gian metric==
===Định nghĩa===
Một điểm formula_23 trong không gian metric formula_75 là giới hạn của dãy formula_5 nếu, với mọi formula_25, tồn tại formula_26 sao cho với mọi formula_27, formula_80. Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho số thực khi formula_81 và formula_82.

===Tính chất===
Với hàm số liên tục "f" bất kỳ, nếu formula_32 thì formula_43. Thực chất, hàm số "f" liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.

Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với formula_29 nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn formula_29.

==Không gian tôpô==
===Định nghĩa===
Một điểm formula_23 trong không gian tôpô formula_88 là giới hạn của dãy số ("x") nếu, với mọi lân cận formula_89 của formula_23, tồn tại formula_26 sao cho, với mọi formula_27, formula_93. Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu formula_75 là một không gian metric và formula_95 là tôpô tạo ra bởi formula_96.

Giới hạn của một dãy các điểm formula_97 trong không gian tôpô formula_98 là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là formula_99 trong không gian formula_100 với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là formula_98, và đối số formula_12 tiến tới formula_103, ở đây là một điểm giới hạn của formula_99.

===Tính chất===
Nếu formula_105 là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu formula_23 và formula_107 là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến formula_23 cũng phải hội tụ đến formula_107 và ngược lại.

==Dãy Cauchy==
Một dãy Cauchy là một dãy có các số hạng trở nên gần nhau một cách tùy ý, sau khi bỏ qua những số hạng đầu. Dãy Cauchy có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các dãy trong không gian metric, và cụ thể là trong giải tích thực. Một kết quả đặc biệt quan trong giải tích thực là "tiêu chuẩn Cauchy về tính hội tụ của dãy số": một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy. Kết quả này vẫn đúng trong những không gian metric đầy đủ khác.

==Định nghĩa cho số siêu thực==
Định nghĩa của giới hạn cho số siêu thực cụ thể hóa cảm nhận rằng với số thứ tự "rất lớn", số hạng tương ứng "rất gần" với giới hạn. Chính xác hơn, một dãy số thực formula_5 hội tụ về formula_4 nếu với mọi số siêu nguyên vô hạn "H", số hạng formula_112 gần vô hạn với formula_4, tức là hiệu formula_114 nhỏ vô cùng. Nói cách khác, formula_4 là phần chuẩn của formula_112:

Do đó, giới hạn có thể được định nghĩa bằng công thức

và giới hạn tồn tại khi và chỉ khi vế phải không phụ thuộc vào cách chọn một số "H" vô cùng.

==Xem thêm==
- Giới hạn của một hàm số
- Giới hạn của một lưới
- Định lý Bolzano–Weierstrass

==Tham khảo==
- Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Glasgow.
- Frank Morley và James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

==Liên kết ngoài==
- "Lịch sử giải tích", bao gồm cả giới hạn