Phương trình đường thẳng

== Một số khái niệm ==
=== Vectơ chỉ phương của đường thẳng ===
Vectơ formula_1 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với formula_2, vectơ formula_3 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

=== Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ===
Vectơ formula_4 và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với formula_2, vectơ formula_6 cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

=== Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng ===
Trong mặt phẳng tọa độ formula_7, đường thẳng formula_8 có vectơ chỉ phương formula_9 thì có vectơ pháp tuyến là formula_10 hay formula_11. Ngược lại, đường thẳng formula_8 có vectơ pháp tuyến formula_13 thì có vectơ chỉ phương là formula_14 hay formula_15 

Trong không gian với hệ trục tọa độ formula_16, đường thẳng formula_8 có vectơ formula_18 và vectơ formula_19 là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa formula_20 với formula_21 hoặc giữa formula_21 với formula_20.

== Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng ==
=== Dạng tham số ===
Trong mặt phẳng tọa độ formula_7, cho đường thẳng formula_8 đi qua điểm formula_26 và nhận formula_27 làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của formula_8 làformula_29 với formula_30 được gọi là tham số. Với mỗi giá trị formula_31 ta được một điểm thuộc đường thẳng.

=== Dạng chính tắc ===
Nếu formula_32 và formula_33, từ phương trình tham số ta khử tham số formula_30, ta được phương trình chính tắc formula_35.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

=== Dạng tổng quát ===
Phương trình formula_36 với formula_37 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó formula_13 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

==== Các trường hợp đặc biệt ====
Đường thẳng formula_39 formula_40 vuông góc với trục formula_41 tại điểm formula_42.

Đường thẳng formula_43 formula_44 vuông góc với trục formula_45 tại điểm formula_46.

Đường thẳng formula_47 formula_48 đi qua gốc tọa độ formula_49.

=== Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn ===
Đường thẳng đi qua 2 điểm formula_50 (formula_51) và formula_52 (formula_53) thì có thể được viết dưới dạng phương trình formula_54.

=== Hệ số góc của đường thẳng ===
Cho đường thẳng formula_8 cắt trục formula_45 tại formula_57 và tia formula_58 là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục formula_45 mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia formula_58 hợp với tia formula_61 một góc formula_62. Đặt formula_63, khi đó formula_64 được gọi là hệ số góc của đường thẳng formula_8.

Đường thẳng có vecto chỉ phương formula_27 thì có hệ số góc formula_67.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến formula_13 thì có hệ số góc formula_69.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là formula_70.

=== Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng ===
Cho 2 đường thẳng: formula_71 formula_72 và formula_73 formula_36.

formula_71 cắt formula_73 formula_77 formula_78 khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình formula_79

formula_71 formula_81 formula_73formula_77 formula_84

formula_71 formula_86 formula_73formula_77formula_89

=== Góc giữa 2 đường thẳng ===
Cho đường thẳng formula_71 và formula_73 cắt nhau tại điểm formula_57. Gọi formula_93 là vectơ pháp tuyến của formula_71 và formula_95 là vectơ pháp tuyến của formula_73. Gọi formula_62 là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

formula_98

2 đường thẳng vuông góc thì formula_99.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì formula_100.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương. 

=== Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ===
Cho đường thẳng formula_73 formula_36 và formula_103, khoảng cách từ điểm formula_57 đến formula_73 được tính theo công thức formula_106

=== Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng ===
Cho đường thẳng formula_73 formula_36 và 2 điểm formula_109, formula_110 không nằm trên formula_73. Xét các biểu thức formula_112 và formula_113, khi đó formula_57 và formula_115 nằm cùng phía với formula_73 khi formula_117 và formula_118 cùng dấu, khác phía khi formula_117 và formula_118 trái dấu.

== Phương trình đường thẳng trong không gian ==
=== Dạng tham số ===
Trong không gian với hệ trục tọa độ formula_16, cho đường thẳng formula_8 đi qua điểm formula_123 và nhận formula_124 làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của formula_8 là formula_126 với formula_30 được gọi là tham số. Với mỗi giá trị formula_31 ta được một điểm thuộc đường thẳng. 

=== Dạng chính tắc ===
Nếu cả formula_129, formula_130, formula_131 đều khác formula_132, từ phương trình tham số ta khử tham số formula_30, ta được phương trình chính tắc: formula_134

=== Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng ===
Cho đường thẳng formula_73 có vectơ chỉ phương formula_124 và formula_137 có vectơ chỉ phương formula_138. Gọi formula_139 là một điểm nằm trên formula_73 và formula_141 là một điểm nằm trên formula_137. Ta có:

formula_143 formula_77 formula_145

formula_146 formula_77 formula_148 và formula_149

formula_73 cắt formula_137 formula_77 formula_153

formula_73 và formula_137 chéo nhau formula_77formula_157

=== Khoảng cách ===
==== Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ====
Cho đường thẳng formula_73 đi qua điểm formula_159 và có vectơ chỉ phương formula_160. Khoảng cách từ điểm formula_57 đến formula_73 là formula_163 

==== Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau ====
Cho 2 đường thẳng chéo nhau formula_73 và formula_137. Đường thẳng formula_73 có vectơ chỉ phương formula_124 và đường thẳng formula_137 có vectơ chỉ phương formula_138. Gọi formula_139 là một điểm nằm trên formula_73 và formula_141 là một điểm nằm trên formula_137. Khi đó khoảng cách giữa formula_73 và formula_137 là

formula_176

== Xem thêm ==
Đường thẳng

== Liên kết ngoài ==
1. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
2. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
3. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
4. Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao

__KHÔNG_MỤC_LỤC__