TCVN4552:2009

Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4552:2009 về Thống kê ứng dụng - Ước lượng, khoảng tin cậy và kiểm nghiệm giả thuyết đối với các tham số của phân bố chuẩn TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4552 : 2009 THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – ƯỚC LƯỢNG, KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM NGHIỆM GIẢ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ CHUẨN Applied statistics – Estimation, confidence interval and testing of hypothesis for parameters of normal distribution Lời nói đầu TCVN 4552 : 2009 thay thế cho TCVN 4552-1988; TCVN 4552 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố. THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – ƯỚC LƯỢNG, KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM NGHIỆM GIẢ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ CHUẨN Applied statistics – Estimation, confidence interval and testing of hypothesis for parameters of normal distribution 1. Phạm vi áp dụng Tiêu chuẩn này quy định các phương pháp ước lượng xác định khoảng tin cậy và kiểm nghiệm giả thuyết liên quan tới trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của tổng thể có phân bố chuẩn. Các phương pháp trong tiêu chuẩn này được áp dụng nếu các cá thể của mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên và độc lập từ tổng thể; trường hợp liên quan tới hai tổng thể (so sánh hai trung bình, hai phương sai) đòi hỏi thêm các mẫu phải độc lập. 2. Thuật ngữ và định nghĩa Tiêu chuẩn này sử dụng các thuật ngữ và định nghĩa trong TCVN 8244 (ISO 3534), Thống kê học – Từ vựng và ký hiệu. 3. Ước lượng trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn 3.1. Ước lượng trung bình 3.1.1. Ước lượng không chệch của trung bình tổng thể m là giá trị trung bình mẫu tính theo công thức: (3-1) trong đó: n là số các giá trị quan trắc, x i là giá trị quan trắc được trên cá thể thứ i ( i = 1,2, ... , n ). 3.1.2. Khi n lớn ( n ≥ 50) có thể đơn giản hóa việc tính bằng cách phân giá trị quan trắc vào k khoảng có độ rộng bằng nhau. Ký hiệu n i và z i lần lượt là số các giá trị quan trắc và điểm giữa của khoảng i ( i = 1, 2, ..., k ). Khi đó trung bình mẫu được tính như sau: (3-2) Để tránh mắc phải sai số lớn đồng thời hạn chế được khối lượng tính toán khi xấp xỉ theo công thức (3-2), chọn k thỏa mãn 7 ≤ k ≤ 20. 3.1.3 . Nếu các giá trị quan trắc lớn, có thể giảm nhẹ việc tính toán bằng cách chọn hợp lý một số a gần m làm gốc tọa độ mới. Khi đó thay cho công thức (3-1) sử dụng công thức sau: (3-3) 3.1.4. Phương pháp phân khoảng mô tả trong 3.1.2 và phương pháp đổi gốc tọa độ mô tả trong 3.1.3 có thể sử dụng kết hợp nếu thấy hợp lý. Trong trường hợp này chọn a là điểm giữa của một khoảng nào đó. Gọi h là độ rộng chung của các khoảng, khi đó trung bình mẫu được tính theo công thức: (3-4) trong đó (3-5) và (3-6) 3.2. Ước lượng phương sai và độ lệch chuẩn 3.2.1. Ước lượng không chệch của phương sai tổng thể s 2 là phương sai mẫu s 2 tính theo công thức: (3-7) trong đó được tính như trong 3.1. để tính s 2 một cách dễ dàng hơn, sử dụng công thức: (3-8) 3.2.2. Khi n lớn, cũng có thể giảm bớt khối lượng tính toán s 2 nhờ phương pháp phân khoảng như mô tả trong 3.1.2. Khi đó: (3-9) Ở đây cũng đòi hỏi 7 ≤ k ≤ 20. 3.2.3. Nếu các giá trị quan trắc lớn cũng có thể giảm nhẹ việc tính s 2 bằng phương pháp đổi gốc tọa độ như đã mô tả trong 3.1.3, khi đó thay cho (3-7), sử dụng công thức: (3-10) 3.2.4. Nếu sử dụng kết hợp cả hai phương pháp phân khoảng và đổi gốc tọa độ thì s 2 được tính theo công thức: (3-11) trong đó (3-12) và các giá trị u i , ( i = 1, 2, ..., k ) được tính theo công thức (3-6). 3.2.5. Độ lệch chuẩn tổng thể s được ước lượng bằng độ lệch chuẩn mẫu s tính theo công thức: s = + (3-13) trong đó s 2 là phương sai mẫu và được tính như trong 3.2.1 và 3.2.3. Muốn có ước lượng không chệch của s , sử dụng công thức: = M (v) s (3-14) trong đó M ( v ) là hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào v và được cho trong Bảng B.1 với v = n – 1. 4. Xác định khoảng tin cậy trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn 4.1. Xác định khoảng tin cậy trung bình khi đã biết phương sai Trong trường hợp đã biết phương sai tổng thể s 2 , để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của trung bình tổng thể m, trước hết tính trung bình mẫu như trong 3.1 và độ lệch chuẩn tổng thể s : 4.1.1. Giới hạn dưới m D của khoảng tin cậy một phía dạng ( m D , + ¥ ) với mức tin cậy 1 – a được xác định bởi các công thức: (4-1) trong đó u 1- a là (1 – a ) phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị u 1- a / được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.1.2. Giới hạn trên m T của khoảng tin cậy một phía dạng (– ¥ , m T ) với mức tin cậy 1 – a được xác định bởi các công thức sau: (4-2) trong đó u 1- a là (1 – a ) phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị u 1- a / được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.1.3. Giới hạn dưới m D và giới hạn trên m T của khoảng tin cậy hai phía ( m D , m T ) với mức tin cậy 1 – a được xác định bởi các công thức sau: (4-3) (4-4) trong đó là phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị / cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.2. Khoảng tin cậy của trung bình khi chưa biết phương sai Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể, để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của trung bình tổng thể, trước hết tính trung bình mẫu như trong 3.1 và độ lệch chuẩn s như trong 3.2. 4.2.1. Giới hạn dưới m D của khoảng tin cậy một phía dạng ( m D , + ¥ ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức: (4-5) trong đó t 1- a ( v ) là (1 – a ) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị t 1- a ( v ) / cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.2.2. Giới hạn trên m T của khoảng tin cậy một phía dạng (– ¥ , m T ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức: (4-6) trong đó t 1- a ( v ) là (1 – a ) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị t 1- a ( v ) / cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.2.3. Giới hạn dưới m D và giới hạn trên m T của khoảng tin cậy hai phía ( m D , m T ), với mức tin cậy 1– a được xác định bởi các công thức: (4-7) (4-8) trong đó (v) là - phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị (v) / cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.3. Khoảng tin cậy của phương sai và độ lệch chuẩn tổng thể Để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của phương sai tổng thể s 2 , trước hết tính: – Trung bình mẫu như trong 3.1. – Tính tổng các bình phương độ lệch của mỗi giá trị quan trắc x i so với trung bình mẫu : 4.3.1. Giới hạn dưới của khoảng tin cậy một phía dạng ( , + ¥ ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức: (4-9) trong đó là (1 – a ) – phân vị của phân bố c 2 với v = n – 1 bậc tự do và được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.3.2. Giới hạn trên của khoảng tin cậy một phía dạng (– ¥ , ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức: (4-10) trong đó là a – phân vị của phân bố c 2 với v = n – 1 bậc tự do và được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.3.3. Giới hạn dưới và giới hạn trên của khoảng tin cậy hai phía dạng ( , ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức sau: (4-11) (4-12) trong đó ( v ) và ( v ) lần lượt là – phân vị và - phân vị của phân bố c 2 với v = n – 1 bậc tự do. Các giá trị ( v ) và được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 4.3.4. Các giới hạn của khoảng tin cậy một phía và hai phía của độ lệch chuẩn tổng thể s bằng căn bậc hai giới hạn của khoảng tin cậy tương ứng của phương sai tổng thể s 2 xác định như trong các mục từ 4.3.1 đến 4.3.3. 5. Kiểm nghiệm giả thuyết về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn 5.1. So sánh trung bình tổng thể m với một giá trị m o cho trước 5.1.1. Trường hợp đã biết phương sai tổng thể s 2 5.1.1.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m ≥ m o So với đối thuyết H 1 : m <> m o với mức ý nghĩa a như sau: – Xác định trung bình mẫu như trong 3.1. – Tính giá trị biểu thức: trong đó u 1- a là (1 - a ) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị u 1- a / được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.1.1.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m ≤ m o So với đối thuyết H 1 : m > m o và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định trung bình mẫu . – Tính giá trị biểu thức: trong đó u 1- a là (1 - a ) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị u 1- a / n được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.1.1.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m = m o So với đối thuyết H 1 : m ¹ m o và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định trung bình mẫu . – Tính giá trị các biểu thức: trong đó là – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.1.2. Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể 5.1.2.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m ≥ m o So với đối thuyết H 1 : m <> m o với mức ý nghĩa a là như sau: – Xác định trung bình mẫu như trong 3.1. – Xác định độ lệch chuẩn mẫu s như trong 3.2. – Tính giá trị biểu thức: trong đó t 1- a ( v ) là giá trị (1 - a ) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n - 1. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị được cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.1.2.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m ≤ m o So với đối thuyết H 1 : m > m o với mức ý nghĩa a như sau: – Xác định trung bình mẫu . – Xác định độ lệch chuẩn mẫu s . – Tính giá trị biểu thức: trong đó t 1- a ( v ) là giá trị (1 - a ) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n - 1. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị được cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.1.2.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết H o : m = m o So với đối thuyết H 1 : m ¹ m o với mức ý nghĩa a như sau: – Xác định trung bình mẫu . – Xác định độ lệch chuẩn mẫu s . – Tính giá trị biểu thức: trong đó là – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n - 1. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2. So sánh hai trung bình của hai tổng thể Ký hiệu: n i – cỡ mẫu lấy từ tổng thể thứ i , ( i = 1, 2); m i – trung bình của tổng thể thứ i , ( i = 1, 2); s i – độ lệch chuẩn của tổng thể thứ i , ( i = 1, 2); x ij – giá trị quan trắc thứ j trên mẫu lấy từ tổng thể thứ i , ( i = 1, 2; j = 1, 2, ..., n i ). 5.2.1. Trường hợp đã biết hai phương sai của hai tổng thể 5.2.1.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 với đối thuyết: H 1 : m 1 m 2 và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu và : – Tính đại lượng: – Tính giá trị biểu thức - u 1- a s d trong đó: u 1- a là (1 - a ) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu - - u 1- a x s d , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị u 1- a cho trong dòng 1 Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2.1.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu , và đại lượng s d như trong điều kiện 5.2.1.1. – Tính giá trị biểu thức: = u 1- a s d , trong đó: u 1- a là (1- a ) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu > - u 1- a x s d , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị u 1- a cho trong dòng 1 Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2.1.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu , và đại lượng s d như trong 5.2.1.1. – Tính giá trị các biểu thức: trong đó: là – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong dòng 1 Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2.2. Trường hợp hai phương sai của hai tổng thể chưa biết nhưng có thể giả thuyết là bằng nhau 5.2.2.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 <> m 2 và mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu và i = 1, 2; – Tính đại lượng: – Tính giá trị biểu thức: trong đó: t 1- a ( v ) là giá trị (1 - a ) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n 1 + n 2 - 2. Nếu - t 1- a ( v ) s d , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị t 1- a ( v ) cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2.2.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 với mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu và và đại lượng s d như trong 5.2.2.1. – Tính giá trị biểu thức: + t 1- a ( v ) s d trong đó: t 1- a ( v ) là (1 - a ) – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n 1 + n 2 - 2. Nếu > - t 1- a ( v ) s d , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị t 1- a ( v ) cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.2.2.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 với mức ý nghĩa a như sau: – Xác định hai trung bình mẫu và và đại lượng s d như trong 5.2.2.1. – Tính giá trị biểu thức: trong đó: ( v ) – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n 1 + n 2 - 2 Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.3. So sánh phương sai tổng thể s 2 (hay độ lệch chuẩn tổng thể s ) với giá trị ( s ) đã cho 5.3.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : s 2 ≥ (hay s ≥ s o ) so với đối thuyết: H 1 : s 2 <> (hay s <> s o ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính trung bình mẫu như trong 3.1. – Tính đại lượng: – Xác định giá trị ( v ) là a - phân vị của phân bố c 2 ( v ) với bậc tự do v = n -1. Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị ( v ) cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.3.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : s 2 ≤ (hay s ≤ s o ) so với đối thuyết: H 1 : s 2 > (hay s > s o ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính trung bình mẫu và đại lượng: như trong 5.3.1. – Xác định giá trị ( v ) là (1 - a ) - phân vị của phân bố c 2 ( v ) với bậc tự do v = n -1. Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị ( v ) cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.3.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : s 2 = (hay s = s o ) so với đối thuyết: H 1 : s 2 ¹ (hay s ¹ s o ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính trung bình mẫu và đại lượng: như trong 5.3.1. – Xác định giá trị ( v ) và ( v ) là - phân vị và của phân bố c 2 ( v ) với v = n -1 bậc tự do. Nếu hoặc thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị ( v ) và ( v ) cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.4. So sánh hai phương sai hay hai độ lệch chuẩn của tổng thể Sử dụng các ký hiệu như trong 5.2. 5.4.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : (hay s 1 ≥ s 2 ) so với đối thuyết: H o : (hay s 1 <> s 2 ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính phương sai của mỗi mẫu: , ( i = 1, 2) – Tính đại lượng: 1/ F 1- a ( v 2 , v 1 ) trong đó F 1- a ( v 2 , v 1 ) là (1 – a ) – phân vị của phân bố F ( v 2 , v 1 ) với v 2 = n 2 -1 và v 1 = n 1 -1 bậc tự do. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.4.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : (hay s 1 ≤ s 2 ) so với đối thuyết: H o : (hay s 1 > s 2 ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính phương sai của mỗi mẫu như trong 5.4.1. - Xác định giá trị F 1- a ( v 1 , v 2 ) là (1 – a ) – phân vị của phân bố F ( v 2 , v 1 ) với v 1 = n 1 -1 và v 2 = n 2 -1 bậc tự do. Nếu thì bác bỏ giả thuyết H o . Giá trị cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 5.4.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết: H o : (hay s 1 = s 2 ) so với đối thuyết: H o : (hay s 1 ¹ s 2 ) với mức ý nghĩa a như sau: – Tính hai phương sai của hai mẫu như trong 5.4.1: Xác định giá trị ( v 2 , v 1 ) là – phân vị của phân bố F ( v 2 , v 1 ) với v 1 = n 1 -1 và v 2 = n 2 -1 bậc tự do. Xác định giá trị ( v 1 , v 2 ) là – phân vị của phân bố F ( v 1 , v 2 ) với v 2 = n 2 -1 và v 1 = n 2 -1 bậc tự do. Nếu hoặc thì bác bỏ giả thuyết H o . Các giá trị và cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01. 6. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu trong kiểm nghiệm giả thuyết Khi áp dụng một quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết nào đó mô tả trong điều 5, đã chọn trước mức ý nghĩa a , tức là đã ấn định trước giá trị cực đại của xác suất mắc sai lầm loại một. Vấn đề có ý nghĩa thực tiễn là cần biết thông tin về xác suất mắc sai lầm loại hai. Sai lầm loại hai phụ thuộc vào mức ý nghĩa đã chọn, đối thuyết cụ thể nào đúng khi giả thuyết H o sai, cỡ mẫu và vào thể loại của quy tắc (một phía hay hai phía). đối thuyết cụ thể là một giá trị cụ thể thuộc miền đối thuyết. Đường đặc trưng của một phép kiểm nghiệm giả thuyết là đồ thị biểu diễn sai lầm loại hai theo tham số biểu thị đối thuyết cụ thể. Nó cho phép giải các bài toán sau: a) Với mức ý nghĩa a , đối thuyết cụ thể và cỡ mẫu đã cho, cần xác định sai lầm loại hai b (và do đó cả hiệu lực 1 – b ) của phép kiểm nghiệm. b) Với mức ý nghĩa a , đối thuyết cụ thể và sai lầm loại hai b đã cho, cần xác định cỡ mẫu phải lấy. Điều 6 này quy định việc sử dụng các tập đường đặc trưng của phép kiểm nghiệm giả thuyết trình bày trong điều 5 với các mức ý nghĩa a = 0,05 và a = 0,01 (là hai mức ý nghĩa phổ dụng), để giải hai bài toán a) và b) nói trên. Nguyên tắc chung ở đây là: – Xác định giá trị tham số biểu thị đối thuyết cụ thể. – Tra tập đường đặc trưng thích hợp để xác định sai lầm loại hai hay cỡ mẫu cần lấy. 6.1. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh trung bình với một giá trị đã cho 6.1.1 Trường hợp đã biết phương sai tổng thể 6.1.1.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b 6.1.1.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≥ m o với đối thuyết: H 1 : m <> m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ . 6.1.1.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≤ m o với đối thuyết: H 1 : m > m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ . 6.1.1.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m = m o với đối thuyết: H 1 : m <> m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.1 nếu a = 0,05, – tập 4.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ . 6.1.1.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n 6.1.1.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≥ m o với đối thuyết: H 1 : m <> m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho. 6.1.1.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≤ m o với đối thuyết: H 1 : m > m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho. 6.1.1.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m = m o với đối thuyết: H 1 : m ¹ m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.2 nếu a = 0,05, – tập 4.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho. 6.1.2. Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể Thay phương sai tổng thể bằng giá trị s *2 ước lượng bằng kinh nghiệm hoặc dựa vào các giá trị mẫu. 6.1.2.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b 6.1.2.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≥ m o với đối thuyết: H 1 : m <> m o thì đối thuyết cụ thể (ứng với giá trị cụ thể m trong miền đối thuyết) được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1. 6.1.2.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≤ m o với đối thuyết: H 1 : m > m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1. 6.1.2.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m = m o với đối thuyết: H 1 : m ¹ m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.1 nếu a = 0,05, – tập 4.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1. 6.1.2.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n 6.1.2.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≥ m o với đối thuyết: H 1 : m <> m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b cho trước. 6.1.2.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m ≤ m o với đối thuyết: H 1 : m > m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b cho trước. 6.1.2.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m = m o với đối thuyết: H 1 : m ¹ m o thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.2 nếu a = 0,05, – tập 4.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho 6.2. Xác định sai lầm và cỡ mẫu khi so sánh hai trung bình Sử dụng các ký hiệu như trong 5.2. 6.2.1. Trường hợp đã biết hai phương sai Gọi s d là độ lệch chuẩn của hiệu hai trung bình hai mẫu: 6.2.1.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b 6.2.1.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 <> m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ 6.2.1.1.2 Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ 6.2.1.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.1 nếu a = 0,05, – tập 4.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥ 6.2.1.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n 1 và n 2 6.2.1.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 <> m 2 thì cỡ mẫu kinh tế nhất (tức n 1 + n 2 cực tiểu) được tính như sau: trong đó l là hoành độ của điểm có tung độ b trên đường v = ¥ thuộc tập 1.1 khi a = 0,05 và thuộc tập 2.1 khi a = 0,01. Trường hợp s 1 = s 2 = s dẫn đến n 1 = n 2 = n , và n có thể được xác định một cách thích hợp hơn như sau: Xác định đối thuyết cụ thể bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tra tập đường: – 1.2 nếu a = 0,05, – 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho. 6.2.1.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 thì cỡ mẫu kinh tế nhất n 1 và n 2 cũng được tính như trong 6.2.1.2.1: Nếu s 1 = s 2 = s dẫn đến n 1 = n 2 = n , và n chung cũng được xác định như trong 6.2.1.2.1 nhưng với giá trị tham số l tính theo công thức: 6.2.1.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 thì cỡ mẫu kinh tế nhất n 1 và n 2 cũng được tính như trong 6.2.1.2.1: Nếu s 1 = s 2 = s dẫn đến n 1 = n 2 = n , cỡ mẫu chung n được xác định như sau: – Xác định đối thuyết cụ thể bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: – Tra tập đường: + 3.2 nếu a = 0,05, + 4.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho. 6.2.2. Trường hợp chưa biết hai phương sai nhưng có thể giả thuyết chúng bằng nhau Thay phương sai chung của hai tổng thể bằng giá trị s * ước lượng nhờ kinh nghiệm hoặc dựa vào các giá trị mẫu. Đặt 6.2.2.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b 6.2.2.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 với đối thuyết: H 1 : m 1 <> m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n 1 + n 2 – 2. 6.2.2.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.1 nếu a = 0,05, – tập 2.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n 1 + n 2 – 2. 6.2.2.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.1 nếu a = 0,05, – tập 4.1 nếu a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n 1 + n 2 – 2. 6.2.2.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n chung của hai mẫu 6.2.2.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≥ m 2 với đối thuyết: H 1 : m 1 <> m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho. 6.2.2.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 ≤ m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 > m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 1.2 nếu a = 0,05, – tập 2.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho. 6.2.2.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: H o : m 1 = m 2 so với đối thuyết: H 1 : m 1 ¹ m 2 đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 <> l <> ¥ ) tính theo công thức: Tập đường cần tra là: – tập 3.2 nếu a = 0,05, – tập 4.2 nếu a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho. 6.3. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh phương sai hay độ lệch chuẩn với giá trị đã cho 6.3.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai Đối với cả ba trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết: i) H o : s 2 ≥ ( s ≥ s o ), với đối thuyết H 1 : s 2 <> ( s <> s o ) ii) H o : s 2 ≤ ( s ≤ s o ), với đối thuyết H 1 : s 2 <> ( s > s o ). iii) H o : s 2 = ( s = s o ), với đối thuyết H 1 : s 2 ¹ ( s ¹ s o ), đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số: Ta có: 0 <> l < 1="" trong="" trường="" hợp=""> 1 <> l <> ¥ trong trường hợp ii) 0 <> l <> ¥ trong trường hợp iii) Tập đường cần tra là: – tập 5.1 nếu là trường hợp i) và a = 0,05; – tập 6.1 nếu là trường hợp i) và a = 0,01; – tập 7.1 nếu là trường hợp ii) và a = 0,05; – tập 8.1 nếu là trường hợp ii) và a = 0,01; – tập 9.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05; – tập 10.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường (n). 6.3.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu Đối với cả ba trường hợp kiểm nghiệm, đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng giá trị tham số như trong 6.3.1. Tập đường cần tra là: – tập 5.2 nếu là trường hợp i) và a = 0,05; – tập 6.2 nếu là trường hợp i) và a = 0,01; – tập 7.2 nếu là trường hợp ii) và a = 0,05; – tập 8.2 nếu là trường hợp ii) và a = 0,01; – tập 9.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05; – tập 10.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho. 6.4. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh hai phương sai hay hai độ lệch chuẩn Các ký hiệu như trong 5.2. Các tập đường đặc trưng chỉ được cho trong trường hợp hai mẫu có cỡ bằng nhau. Các trường hợp kiểm nghiệm: i) H o : ≥ ( s 1 ≥ s 2 ), với đối thuyết H 1 : <> ( s 1 <> s 2 ) ii) H o : ≤ ( s 1 ≤ s 2 ), với đối thuyết H 1 : <> ( s 1 > s o ) iii) H o : ≤ ( s 1 ≤ s o ), với đối thuyết H 1 : ¹ ( s 1 ¹ s o ) Một cách tương ứng, đối thuyết cụ thể trong mỗi trường hợp được biểu thị bằng tham số l , tính theo công thức: i/ l = s 2 / s 1 nếu (1 <> l <> ¥ ) ii/ l = s 1 / s 2 nếu (1 <> l <> ¥ ) iii/ l = s 1 / s 2 nếu s 1 <> s 2 l = s 1 / s 2 nếu s 1 > s 2 (1 <> l <> ¥ ) 6.4.1. Giải bài toán a): Cho trước n 1 = n 2 = n , xác định sai lầm loại hai b Tra tập đường: – 11.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,05, – 12.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01, – 13.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05, – 14.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01. b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ( n ). 6.4.1. Giải bài toán b): Cho trước b , xác định cỡ mẫu chung n Tra tập đường: – 11.2 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,05, – 12.2 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01, – 13.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05, – 14.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01. n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho. PHỤ LỤC A (tham khảo) Các ví dụ A.1. Ví dụ 1 (cho 3.1.1) Biết rằng kết quả đo của một dụng cụ là không chứa sai số hệ thống và có phân bố chuẩn. Sử dụng dụng cụ đo đó người ta đo tám lần độc lập nhau cùng một đại lượng và thu được các kết quả sau: 369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 Cần ước lượng đại lượng được đo. Giải: Đại lượng đem đo có thể được ước lượng bằng trung bình mẫu gồm 8 giá trị đo được. Theo công thức (3.1) trung bình mẫu đó bằng: = (369 + 378 + 315 + 420 + 385 + 401 + 372 + 383) = 377, 87 A.2. Ví dụ 2 (cho 3.1.2) Các kết quả đo độ bền của các sợi chỉ được cho trong bảng dưới đây (tính theo gam): Độ bền của sợi 120 – 140 140 – 160 160 – 170 180 – 200 200 – 220 220 – 240 240 – 260 260 – 280 Tần số 1 4 10 14 12 6 2 1 Cần ước lượng trung bình độ bền, biết rằng độ bền của các sợi chỉ có phân bố chuẩn. Giải: Có thể áp dụng phương pháp ước lượng như trong 3.1.2. Số khoảng được phân k = 8 Tần số của các khoảng lần lượt bằng: 1, 4, 10, 14, 12, 6, 2, 1. Điểm giữa của các khoảng lần lượt bằng: 130, 150, 170, 190, 210, 230, 250, 270. Cỡ mẫu: n = 1 + 4 + 10 + 14 + 12 + 6 + 2 + 1 = 50 Vậy theo công thức (3.2) trung bình độ bền được ước lượng bởi: (1 x 130 + 4 x 150 + 10 x 170 + 14 x 190 + 12 x 210 + 6 x 230 + 2 x 250 + 1 x 270) = 195,2 (gam) A.3. Ví dụ 3 (cho 3.1.3) Xét lại ví dụ 1. Khi ước lượng đại lượng đem đo, để giảm nhẹ tính toán có thể sử dụng phương pháp nêu trong 3.1.3. Chọn a = 377, có = 377 + [369 - 377) + (378 - 377) + (315 - 377) + (420 - 377) + (385 - 377) + (401 - 377) + (372 - 377) + (383 - 377)] = 377 + (- 8 + 1 - 62 + 43 + 8 + 24 - 5 + 6) = 377,875 A.4. Ví dụ 4 (cho 3.1.4) Xét lại ví dụ 2. Khi ước lượng độ bền trung bình ta có thể sử dụng phương pháp nêu trong 4.1.4. Ở đây h = 20, chọn a = 190, có được: Do đó theo công thức (3.4) độ bền trung bình được ước lượng bởi: (gam) A.5. Ví dụ 5 (cho 3.2.1 và 3.2.5) Với nội dung cho trong ví dụ 1, cần đánh giá sai số bình phương trung bình (tức phương sai) và sai số chuẩn (tức độ lệch chuẩn) của các giá trị đo. Giải: Sai số bình phương trung bình (tức phương sai) của các giá trị đo đạc được ước lượng bằng phương sai mẫu tính theo công thức (3.7): s 2 = x [369 - 377,87) 2 + (378 - 377,87) 2 + (315 - 377,87) 2 + (420 - 377,87) 2 + (385 - 377,87) 2 + (401 - 377,87) 2 + (372 - 377,87) 2 + (383 - 377,87) 2 ] = 921,86 Sai số chuẩn (tức độ lệch chuẩn) được ước lượng bằng: Muốn thu được ước lượng không chệch, sử dụng ước lượng: = M (7) x s = 30,36 x 1,036 = 31,453 (giá trị M (7) = 1,036 tra từ Bảng B.1, Phụ lục B). A.6. Ví dụ 6 (cho 3.2.4) Xét lại ví dụ 4. Cần ước lượng phương sai của độ bền các sợi chỉ. Giải: Có thể áp dụng phương pháp nêu trong 3.2.4. 1 x (-3) 2 + 4 x (-2) 2 + 10 x (-1) 2 + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2 2 + 2 x 3 2 + 1 x 4 2 = 105 [1x(-3) + 4 x (-2) + 10 x (-1) + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 + 1 x4] 2 = 3,38 Vậy s 2 = 20 x 2,07 - 4,14 A.7. Ví dụ 7 (cho 4.1) Biết rằng thời gian để sản xuất xong một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn s = 1,7 s. Trên cơ sở 100 lần thực nghiệm, người ta lại thấy rằng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy đó là = 5,5 s. Hãy xác định: a) Khoảng tin cậy một phía ( m D , ¥ ), b) Khoảng tin cậy một phía (- ¥ , m T ), c) Khoảng tin cậy hai phía ( m D , m T ), của trung bình thời gian sản xuất một chi tiết máy với mức tin cậy 1 a = 0,99. Giải: Tra Bảng B.2 ta được: Vậy: a) m D = 5,5 – 0,231 x 1,7 = 5,107 Khoảng tin cậy một phía ( m D , ¥ ) với mức tin cậy 0,99 là (5,107 s; ¥ ). b) m T = 5,5 + 0,231 x 1,7 = 5,893 Khoảng tin cậy một phía ( ¥ , m T ) với mức tin cậy 0,99 là (- ¥ ; 5,893 s). c) m D = 5,5 – 0,256 x 1,7 = 5,065 m T = 5,5 + 0,256 x 1,7 = 5,935 Khoảng tin cậy hai phía ( m D , m T ) là (5,065 s; 5,935 s). A.8. Ví dụ 8 (cho 4.2.1) Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía ( m D , ¥ ) với mức tin cậy 1 - a = 0,95 của trung bình các số đo. Giải: Ở đây n = 8; x = 377,87; s = 30,36. Tra Bảng B.4 được , vậy giới hạn tin cậy dưới khoảng tin cậy một phía ( m D , ¥ ) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 - a = 0,95 bằng: m D = 377,87 – 0,67 x 30,36 = 357,53 Khoảng tin cậy cần xác định là (357,53; ¥ ). A.9. Ví dụ 9 (cho 4.2.2) Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía (- ¥ , m T ) của trung bình các số đo với mức tin cậy 0,95. Giải: Tra Bảng B.4 được và do đó: m T = 377,87 + 0,67 x 30,36 = 398,21 Khoảng tin cậy cần xác định là (- ¥ ; 398,21). A.10. Ví dụ 10 (cho 4.2.3) Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy hai phía ( m D , m T ) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 - a = 0,95. Giải: Tra Bảng B.4 được: Các giới hạn dưới và trên của khoảng tin cậy cần xác định là: m D = 377,870 – 0,836 x 30,36 = 352,49 m T = 377,870 + 0,836 x 30,36 = 403,25 Khoảng tin cậy cần tìm là (352,49; 403,25). A.11. Ví dụ 11 (cho 4.3) Xét lại ví dụ 1. Cần xác định: a) Khoảng tin cậy một phía ( ), b) Khoảng tin cậy một phía c) Khoảng tin cậy hai phía của sai số bình phương trung bình (phương sai) của số đo với mức tin cậy 0,95. Giải: (369 - 377,87) 2 + (378 - 377,87) 2 + (315 - 377,87) 2 + (420 - 377,87) 2 + (385 - 377,87) 2 + (401 - 377,87) 2 + (372 - 377,87) 2 + (383 - 377,87) 2 = 6 453,020 Tra Bảng B.5, Phụ lục B được: (7) = 14,067; (7) = 2,167; (7) = 16,013; (7) = 1,690; vậy: a) Khoảng tin cậy một phía ( , ¥ ) cần xác định là (458,735; ¥ ). b) Khoảng tin cậy một phía cần xác định là (- ¥ ; 2 977,859). c) Khoảng tin cậy hai phía cần xác định là ( 402,986; 3 818,355). A.12. Ví dụ 12 (cho 5.1.1) Biết rằng chiều dài của những đoạn ống do một máy cắt ống tự động cắt ra là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai s 2 = 22. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết độ dài trung bình bằng 1 200 mm với a = 0,01 dựa vào tập các số liệu đo được trên một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 16 đoạn ống sau đây: 1 193, 1 198, 1 203, 1 191, 1 195, 1 196, 1 199, 1 191, 1 201, 1 196, 1 193, 1 198, 1 204, 1 196, 1 198, 1 200 (đơn vị là milimet). Giải: Ở đây n = 16, m o = 1 200, Với a = 0,01 tra Bảng B.2 được: Do đó: Vì nên giả thuyết nói rằng chiều dài trung bình của các đoạn ống đã cắt bằng 1 200 mm không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,01. A.13. Ví dụ 13 (cho 5.1.2) Xét lại ví dụ 12, nhưng giả sử chưa biết giá trị s 2 . Giải: Ước lượng độ lệch chuẩn mẫu Với a = 0,01 tra Bảng B.4 được: Do đó: Vì giả thuyết nói rằng chiều dài trung bình của các đoạn ống đã cắt bằng 1 200 mm không bị bác bỏ (tức được chấp nhận) ở mức ý nghĩa a = 0,01. A.14. Ví dụ 14 (cho 5.2.1) Người ta cần kiểm tra xem một phương pháp sản xuất mới có nâng cao được chất lượng bê tông không, biết rằng độ bền của bê tông (tính bằng kg/cm 2 ) sản xuất theo hai phương pháp mới và cũ là những đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai lần lượt là = 46 và = 30,4. Để làm việc đó, người ta lấy 20 phần nguyên liệu như nhau, chia ngẫu nhiên 20 phần đó ra làm hai nhóm, mỗi nhóm 10 phần; sau đó áp dụng mỗi phương pháp cho một nhóm, sản xuất ra 10 – 10 khối bê tông giống nhau về hình dạng. Gọi x 1 và x 2 lần lượt là độ bền của bê tông sản xuất theo phương pháp mới và cũ. Thử nghiệm độ bền của các khối bê tông đúc được theo hai phương pháp trong hai nhóm nguyên liệu, người ta đã thu được các số liệu sau đây: X 1 x 2 305 317 308 300 314 316 312 309 306 300 301 303 288 294 293 298 302 295 Giải: Áp dụng quy tắc nêu trong 5.2.1.1 với a = 0,05. = 310; = 297 Tra dòng 1 Bảng B.2 được: u 1- a = 1,645 Do đó u 1- a s d = 4,547 Vì = 310 > 292,453 = - u 1- a x s d giả thuyết nói rằng độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp mới không nhỏ hơn độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp cũ được chấp nhận ở mức ý nghĩa a = 0,05. A.15. Ví dụ 15 (cho 5.2.2) Để so sánh độ chính xác của hai dụng cụ đo, người ta dùng mỗi dụng cụ để đo 10 lần cùng một đại lượng. Biết rằng sai số đo đạc của hai dụng cụ đều là những biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn có phương sai bằng nhau, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất là không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai ở mức ý nghĩa a = 0,05. Các sai số xác định được trong mỗi lần đo của hai dụng cụ là như sau: x 1 x 2 2,297 2,582 1,949 2,362 2,040 2,133 1,855 1,986 1,642 2,915 2,286 2,327 2,388 3,172 3,158 2,750 2,222 2,367 2,247 2,512 Sử dụng quy tắc nêu trong 5.2.2.1 = 2,176; = 2,543 S ( x 1 j - ) 2 = 1,251; S ( x 2 j - ) 2 = 1,177 Tra Bảng B.3 với 1 - a = 0,95, v = 18 được: t 1- a ( v ) = 1,734 Do đó: t 1- a ( v ) s d = 0,284 Vì = 2,176 < 2,259=""> - t 1- a ( v ) s d nên giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05. A.16. Ví dụ 16 (cho 5.3) Với số liệu cho trong cột x 1 ví dụ 14, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng phương sai của sai số đo đạc bằng dụng cụ đo thứ nhất không lớn hơn = 0,090 với mức ý nghĩa a được chọn bằng 0,05. Giải Tính tỷ số: Tra Bảng B.5 được: Vì nên giả thuyết nêu ra không bị bác bỏ, các số liệu mẫu không mâu thuẫn với giả thuyết đó ở mức ý nghĩa a = 0,05. A.17. Ví dụ 17 (cho 5.4) Với số liệu cho trong ví dụ 14, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng phương sai của sai số đo đạc bởi hai dụng cụ đo là bằng nhau: , ở mức ý nghĩa a = 0,05. Giải: Ở đây v 1 = v 2 = 9 Từ đó có Tra Bảng B.6 và áp dụng phép nội suy, thu được Từ đó có Vì nên ta không bác bỏ giả thuyết đã nêu trên cơ sở số liệu mẫu ở mức ý nghĩa a = 0,05. A.18. Ví dụ 18 (cho 6.1.1.1) Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 12. Cần xác định xác suất mắc sai lầm loại hai b , tức xác suất chấp nhận giả thuyết m = 1 200 khi trên thực tế m = 1 195. Giải: Giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195 bằng: Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, ứng với l = 6,667 trên đường v = 15 thu được b = 0,000 8. A.19. Ví dụ 19 (cho 6.1.1.2) Tiếp tục ví dụ 18. Giả sử có thể chấp nhận sai lầm loại hai b = 0,01 (lớn hơn giá trị 0,000 8 đã xác định trong ví dụ 18), khi đó có thể giảm cỡ mẫu cần lấy n xuống bao nhiêu? Giải: Xác định giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195: Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, trên đường gián đoạn ứng với b = 0,01 điểm có hoành độ l = 1,667 cho tung độ bằng 9. Vậy có thể giảm cỡ mẫu cần lấy xuống n = 9. A.20. Ví dụ 20 (cho 6.1.2.1) Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 13. Cần xác định sai lầm loại hai, khi trên thực tế m = 1 195 mm. Giải: Ước lượng độ lệch tiêu chuẩn dựa trên các giá trị mẫu: s = 4,382 Cận trên khoảng tin cậy một phía của phương sai tổng thể s 2 với mức tin cậy 1 - a = 0,99 bằng Do đó rất ít khả năng s sẽ lớn hơn Tra tập đường 4.1 Phụ lục C với v = 15 và thu được b = 0,59. Vậy sai lầm loại hai sẽ nhỏ hơn 0,59. A.21. Ví dụ 21 (cho 6.1.2.2) Xét lại ví dụ 13 và ví dụ 20. Cần xác định cỡ mẫu phải chọn n sao cho khi áp dụng quy tắc kiểm nghiệm thì sai lầm loại hai b phải chịu không lớn hơn 0,05. Giải: Tra tập đường 4.2 Phụ lục C với và b = 0,05 thu được n = 44. A.22. Ví dụ 22 (cho 6.2.1.1) Xét vấn đề kiểm nghiệm đã nêu trong ví dụ 14. Cần xác định sai lầm loại hai b , khi trên thực tế m 2 – m 1 = 6. Giải: Tính được s d = 2,746 Tra tập đường 1.1 Phụ lục C với đường v = ¥ cho b = 0,28. A.23. Ví dụ 23 (cho 6.2.1.2) Tiếp tục ví dụ 22. Cần xác định các cỡ mẫu lớn hơn để sai lầm loại hai giảm xuống 0,10. Giải: Tra tập đường 1.1 Phụ lục C. Trên đường v = ¥ điểm có tung độ b = 0,10 sẽ có hoành độ l = 2,88. Vậy A.24. Ví dụ 24 (cho 6.2.2.1) Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 15. Cần xác định sai lầm loại hai b , khi trên thực tế m 2 – m 1 = 0,300. Giải: = 2,176; = 2, 543; = 0,140; = 0,131; Hai phương sai mẫu sai khác không đáng kể, có thể chấp nhận Ước lượng phương sai chung s 2 của x 1 và x 2 bằng Cận trên khoảng tin cậy một phía của s 2 với mức tin cậy 1 - a = 0,95 là Vậy rất ít khả năng s lớn hơn . Suy ra cận dưới của tham số l xác định đối thuyết cụ thể m 2 – m 1 = 0,300 bằng: Với v = 18, l D = 1,318, tập đường 1.1 Phụ lục C cho b = 0,65. Vậy cận trên của sai lầm loại hai xấp xỉ bằng 0,65. A.25. Ví dụ 25 (cho 6.2.2.2) Tiếp tục ví dụ 24. Cần xác định các cỡ mẫu chung lớn hơn để sai lầm loại hai b không lớn hơn 0,20. Giải: Tra tập đường 1.2 Phụ lục C. Với và b = 0,20 thu được n = 38. A.26. Ví dụ 26 (cho 6.3.1) Xét tiếp ví dụ 16. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế s = 0,20. Giải: Tập đường cần tra là tập 7.1 Phụ lục C với đường v = 9 cho b = 0,08. A.27. Ví dụ 27 (cho 6.3.2) Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết nêu trong ví dụ 16 và 26, cần xác định cỡ mẫu n để sai lầm loại hai phải chịu giảm xuống 0,05 khi trên thực tế s = 0,20. Giải: Tra tập đường 7.2 Phụ lục C với b = 0,05 và . Có n = 11. A.28. Ví dụ 28 (cho 6.4.1) Xét tiếp vấn đề kiểm nghiệm nêu trong ví dụ 17. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế: Giải: Tập đường cần tra là tập 13.1. Với và n = 10 thu được b = 0,65. A.29. Ví dụ 29 (cho 6.4.2) Tiếp tục ví dụ 28. Cần xác định cỡ mẫu chung n = n 1 = n 2 sao cho b giảm xuống 0,10. Giải: Tập đường cần tra là tập 13.2 Phụ lục C. Với b = 0,10 và l = 1,5 thu được n = 54. PHỤ LỤC B (quy định) Các bảng số Bảng B.1 – Hệ số M (v) v M (v) v M (v) v M (v) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,253 1,128 1,085 1,064 1,051 1,042 1,036 1,032 1,028 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1,025 1,023 1,021 1,019 1,018 1,017 1,016 1,015 1,014 19 20 25 30 35 40 45 50 60 1,013 1,013 1,010 1,008 1,007 1,006 1,006 1,005 1,004 Bảng B.2 – Các giá trị của tỉ số U 1-α / n Trường hợp hai phía Trường hợp một phía 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 41 51 61 71 81 91 101 201 501 1,960 1,386 1,132 0,980 0,877 0,800 0,741 0,693 0,653 0,620 0,591 0,566 0,544 0,524 0,506 0,490 0,475 0,462 0,450 0,438 0,428 0,418 0,409 0,400 0,392 0,384 0,377 0,370 0,364 0,358 0,352 0,306 0,274 0,251 0,233 0,218 0,205 0,195 0,138 0,088 0 2,576 1,821 1,487 1,288 1,152 1,052 0,974 0,911 0,859 0,815 0,777 0,744 0,714 0,688 0,665 0,644 0,625 0,607 0,591 0,576 0,562 0,549 0,537 0,526 0,515 0,505 0,496 0,487 0,478 0,470 0,463 0,402 0,361 0,330 0,306 0,286 0,270 0,256 0,182 0,115 0 1,645 1,163 0,950 0,822 0,736 0,672 0,622 0,582 0,548 0,520 0,496 0,475 0,456 0,440 0,425 0,411 0,399 0,388 0,377 0,368 0,359 0,351 0,343 0,336 0,329 0,323 0,317 0,311 0,305 0,300 0,295 0,257 0,230 0,211 0,195 0,183 0,172 0,164 0,116 0,073 0 2,326 1,645 1,343 1,163 1,040 0,950 0,879 0,822 0,775 0,735 0,701 0,671 0,645 0,622 0,601 0,582 0,564 0,548 0,534 0,520 0,508 0,496 0,485 0,475 0,465 0,456 0,448 0,440 0,432 0,425 0,418 0,363 0,326 0,298 0,276 0,258 0,244 0,231 0,164 0,104 0 Bảng B.3 – Phân vị của phân bố t (phân bố Student) v Trường hợp hai phía Trường hợp một phía t 0,975 t 0,995 t 0,95 t 0,99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,288 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960 63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576 6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645 31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326 Bảng B.4 – Các giá trị của tỷ số t 1-α ( v )/ với v = n -1 V = n - 1 Trường hợp hai phía Trường hợp một phía 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 200 500 - 8,985 2,434 1,591 1,242 1,049 0,925 0,836 0,769 0,715 0,672 0,635 0,604 0,577 0,554 0,533 0,514 0,497 0,482 0,468 0,455 0,443 0,432 0,422 0,413 0,404 0,396 0,388 0,380 0,373 0,367 0,316 0,281 0,256 0,237 0,221 0,208 0,197 0,139 0,088 0 45,013 5,730 2,920 2,059 1,646 1,401 1,237 1,118 1,028 0,956 0,897 0,847 0,805 0,769 0,737 0,708 0,683 0,660 0,640 0,621 0,604 0,588 0,573 0,559 0,547 0,535 0,524 0,513 0,503 0,494 0,422 0,375 0,341 0,314 0,293 0,276 0,261 0,183 0,116 0 4,465 1,686 1,177 0,953 0,823 0,734 0,670 0,620 0,580 0,546 0,518 0,494 0,473 0,455 0,438 0,423 0,410 0,398 0,387 0,376 0,367 0,358 0,350 0,342 0,335 0,328 0,322 0,316 0,310 0,305 0,263 0,235 0,214 0,198 0,185 0,174 0,165 0,117 0,074 0 22,501 4,021 2,270 1,676 1,374 1,188 1,060 0,966 0,892 0,833 0,785 0,744 0,708 0,678 0,651 0,626 0,605 0,586 0,568 0,552 0,537 0,523 0,510 0,498 0,487 0,477 0,467 0,458 0,449 0,441 0,378 0,337 0,306 0,283 0,264 0,248 0,235 0,165 0,104 0 Bảng B.5 – Phân vị của nhân tố c 2 (v) v Trường hợp hai phía Trường hợp một phía 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 5,023 7,378 9,348 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,647 41,923 43,194 44,461 45,722 46,979 0,000 039 3 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,719 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,559 46,928 48,290 49,645 50,993 52,336 53,672 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,661 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 3,841 5,991 7,815 9,488 11,071 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 34,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,173 36,415 37,653 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 0,000 2 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,646 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,879 13,565 14,257 14,954 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 38,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 Bảng B.6 – Phân vị của phân bố F Giá trị của F 1- a (1, 2), a = 0,05 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,48 3,26 3,06 2,87 2,78 2,69 2,61 2,53 2,45 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,33 3,11 2,90 2,71 2,62 2,53 2,45 2,37 2,29 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,22 3,00 2,79 2,60 2,51 2,42 2,34 2,25 2,17 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,14 2,91 2,71 2,51 2,42 2,33 2,25 2,17 2,09 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,07 2,85 2,64 2,45 2,36 2,27 2,18 2,10 2,02 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 2,98 2,75 2,54 2,35 2,25 2,16 2,08 1,99 1,91 5,91 4,68 4,00 3,57 3,28 2,91 2,69 2,48 2,28 2,18 2,09 2,00 1,92 1,83 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 2,85 2,62 2,40 2,20 2,11 2,01 1,92 1,84 1,75 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,77 2,54 2,33 2,12 2,03 1,93 1,84 1,75 1,66 5,77 4,53 3,84 3,41 3,12 2,74 2,51 2,29 2,08 1,98 1,89 1,79 1,70 1,61 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,70 2,47 2,25 2,04 1,94 1,84 1,74 1,65 1,55 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,66 2,43 2,20 1,99 1,89 1,79 1,69 1,59 1,50 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01 2,62 2,38 2,16 1,95 1,84 1,74 1,64 1,53 1,43 5,66 4,40 3,70 3,27 2,97 2,58 2,34 2,11 1,90 1,79 1,68 1,58 1,47 1,35 Giá trị của F 1- a (1, 2), a = 0,025 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 9,60 7,39 6,23 5,52 5,05 4,47 4,12 3,80 3,51 3,38 3,25 3,13 3,01 2,89 9,36 7,15 5,99 5,29 4,82 4,24 3,89 3,58 3,29 3,15 3,03 2,90 2,79 2,67 9,20 6,98 5,82 5,12 4,65 4,07 3,73 3,41 3,13 2,99 2,87 2,74 2,63 2,52 9,07 6,85 5,70 4,99 4,53 3,95 3,61 3,29 3,01 2,87 2,75 2,62 2,51 2,39 8,98 6,76 5,60 4,90 4,43 3,85 3,51 3,20 2,91 2,78 2,65 2,53 2,41 2,30 8,84 6,62 5,46 4,76 4,30 3,72 3,37 3,06 2,77 2,64 2,51 2,39 2,27 2,16 8,75 6,52 5,37 4,67 4,20 3,62 3,28 2,96 2,68 2,54 2,41 2,29 2,17 2,05 8,66 6,43 5,27 4,57 4,10 3,52 3,18 2,86 2,57 2,44 2,31 2,18 2,06 1,94 8,56 6,33 5,17 4,47 4,00 3,42 3,07 2,76 2,46 2,33 2,20 2,07 1,94 1,82 8,51 6,28 5,12 4,42 3,95 3,37 3,02 2,70 2,41 2,27 2,14 2,01 1,88 1,76 8,46 6,23 5,07 4,36 3,89 3,31 2,96 2,64 2,35 2,21 2,07 1,94 1,82 1,69 8,41 6,18 5,01 4,31 3,84 3,26 2,91 2,59 2,29 2,15 2,01 1,88 1,74 1,61 8,36 6,12 4,96 4,25 3,78 3,20 2,85 2,52 2,22 2,08 1,94 1,80 1,67 1,53 8,31 6,07 4,90 4,20 3,73 3,14 2,79 2,46 2,16 2,01 1,87 1,72 1,58 1,43 Bảng B.6 (kết thúc) Giá trị của F 1- a (1, 2), a = 0,01 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 5,99 5,41 4,89 4,43 4,22 4,02 3,83 3,65 3,48 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 5,64 5,06 4,56 4,10 3,90 3,70 3,51 3,34 3,17 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,39 4,82 4,32 3,87 3,67 3,47 3,29 3,12 2,96 15,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,06 4,50 4,00 3,56 3,36 3,17 2,90 2,82 2,66 14,98 10,46 8,26 6,99 6,18 5,20 4,64 4,14 3,70 3,50 3,30 3,12 2,95 2,79 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 4,85 4,30 3,80 3,37 3,17 2,98 2,80 2,63 2,47 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 4,71 4,16 3,67 3,23 3,03 2,84 2,66 2,50 2,34 14,20 9,72 7,56 6,31 5,52 4,56 4,01 3,52 3,09 2,89 2,70 2,52 2,35 2,19 14,02 9,55 7,40 6,16 5,36 4,41 3,86 3,37 2,94 2,74 2,55 2,37 2,20 2,03 13,93 9,47 7,31 6,07 5,28 4,33 3,78 3,29 2,86 2,66 2,47 2,29 2,12 1,95 13,84 9,38 7,23 5,99 5,20 4,25 3,70 3,21 2,78 2,58 2,39 2,20 2,03 1,86 13,75 9,29 7,14 5,91 5,12 4,17 3,62 3,13 2,69 2,49 2,30 2,11 1,94 1,76 13,65 9,20 7,06 5,82 5,03 4,08 3,54 3,05 2,61 2,40 2,21 2,02 1,84 1,66 13,56 9,11 6,97 5,74 4,95 4,00 3,45 2,96 2,52 2,31 2,11 1,92 1,73 1,53 Giá trị của F 1- a (1, 2), a = 0,005 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 4 5 6 7 8 10 12 15 20 24 30 40 60 120 23,15 15,56 12,03 10,05 8,81 7,34 6,52 5,80 5,17 4,89 4,62 4,37 4,14 3,92 22,46 14,94 11,46 9,52 8,30 6,87 6,07 5,37 4,76 4,49 4,29 3,99 3,76 3,55 21,97 14.51 11,07 9,16 7,95 6,54 5,76 5,07 4,47 4,20 3,95 3,71 3,49 3,28 21,62 14,20 10,79 8,89 7,69 6,30 5,52 4,85 4,26 3,99 3,74 3,51 3,29 3,09 21,25 13,96 10,57 8,68 7,50 6,12 5,35 4,67 4,09 3,83 3,58 3,35 3,13 2,93 20,97 13,62 10,25 8,38 7,21 5,85 5,09 4,42 3,85 3,59 3,34 3,12 2,90 2,71 20,70 13,38 10,03 8,18 7,01 5,66 4,91 4,25 3,68 3,42 3,18 2,95 2,74 2,54 20,44 13,15 9,81 7,97 6,81 5,47 4,72 4,07 3,50 3,25 3,01 2,78 2,57 2,37 20,17 12,90 9,59 7,75 6,61 5,27 4,53 3,88 3,32 3,06 2,82 2,60 2,39 2,19 20,03 12,78 9,47 7,65 6,50 5,17 4,43 3,79 3,22 2,97 2,73 2,50 2,29 2,09 19,89 12,66 9,36 7,53 6,40 5,07 4,33 3,69 3,12 2,87 2,63 2,40 2,19 1,98 19,75 12,53 9,24 7,42 6,29 4,97 4,23 3,58 3,02 2,77 2,52 2,30 2,08 1,87 19,61 12,40 9,12 7,31 6,18 4,86 4,12 3,48 2,92 2,66 2,42 2,18 1,96 1,75 19,47 12,27 9,00 7,19 6,06 4,75 4,01 3,37 2,81 2,55 2,30 2,06 1,83 1,61 PHỤ LỤC C (quy định) Các tập đường Tập 9.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05) Tập 10.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,01) Tập 1.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,05) a) Kiểm nghiệm m ≤ m o hoặc m ≥ m o – Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với b) Kiểm nghiệm m 1 ≤ m 2 hoặc m 1 ≥ m 2 – Nếu s 1 = s 1 = s biết, dùng các đường nét đứt, với – Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với – Nếu s 1 = s 1 = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với n 1 = n 2 = n (kích thước chung của hai mẫu). Tập 2.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,01) a) Kiểm nghiệm m ≤ m o hoặc m ≥ m o – Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với b) Kiểm nghiệm m 1 ≤ m 2 hoặc m 1 ≥ m 2 – Nếu s 1 = s 1 = s biết, dùng các đường nét đứt, với – Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với – Nếu s 1 = s 1 = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với n 1 = n 2 = n (kích thước chung của hai mẫu). Tập 3.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I  = 0,05) a) Kiểm nghiệm m = m o – Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với b) Kiểm nghiệm m 1 = m 2 – Nếu s 1 = s 1 = s biết, dùng các đường nét đứt, với – Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với – Nếu s 1 = s 1 = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với n 1 = n 2 = n (kích thước chung của hai mẫu). Tập 4.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,01) a) Kiểm nghiệm m = m o – Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với b) Kiểm nghiệm m 1 = m 2 – Nếu s 1 = s 1 = s biết, dùng các đường nét đứt, với – Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với – Nếu s 1 = s 1 = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với n 1 = n 2 = n (kích thước chung của hai mẫu). Tập 9.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05) Kiểm nghiệm l = s / s o Tập 10.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,01) Kiểm nghiệm l = s / s o Tập 12.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các phương sai (sai lầm loại I a = 0,01) PHỤ LỤC D (tham khảo) So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp Một trong những điều kiện áp dụng các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh hai trung bình đã nêu trong 6.2 là hai tập quan trắc ( x 1i ) và ( x 2i ) trên hai mẫu phải độc lập. Trong thực hành nhiều khi điều kiện đó không thỏa mãn, chẳng hạn trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp. Hai quan trắc x 1i và x 2i về một đặc trưng hay thuộc tính nào đó gọi là được ghép thành cặp nếu chúng được thực hiện: – trên cùng một cá thể thứ i lấy ra từ tổng thể nhưng trong những điều kiện khác nhau (ví dụ hai kết quả của hai phương pháp thử nghiệm trên cùng một sản phẩm); hoặc – trên hai cá thể được coi là như nhau về mọi khía cạnh trừ một khía cạnh có thể có sự khác nhau mang tính hệ thống, mà sự khác nhau đó là đối tượng của việc nghiên cứu (ví dụ khi so sánh năng suất gieo trồng bằng hai loại hạt trên những lô đất cạnh nhau, trong những điều kiện như nhau). Rõ ràng các quan trắc được ghép thành cặp là không độc lập, vì mỗi quan trắc x1i của dãy thứ nhất được ghép với một quan trắc x 2i của dãy thứ hai. Nếu quan trắc x 1i và x 2i được tiến hành trên cùng một cá thể thứ i , khi đó chúng có thể tương tác, kết quả thu được có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện. Ký hiệu: n = cỡ mẫu chung; d i = x 1 i – x 2 i , hiệu giữa hai giá trị quan trắc được ghép thành cặp thứ i ( i = 1, 2 ..., n ); = trung bình mẫu của các d i ; d = trung bình tổng thể của các d i ; d o = giá trị cho trước. Phụ lục này trình bày các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh trung bình d với d o . Khi d o = 0, các vấn đề so sánh ở đây chính là các vấn đề so sánh đã nêu trong 5.2. Các quy tắc có thể được áp dụng một cách hiệu quả, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn: – Dãy các hiệu d i = x 1 i – x 2 i ( i = 1, 2 ..., n ) có thể được xem như dãy các quan trắc độc lập. – Phân bố của các d i là chuẩn hay xấp xỉ chuẩn. Trong trường hợp tính chuẩn bị vi phạm, các quy tắc vẫn còn hiệu lực nếu cỡ mẫu đủ lớn. Độ lệch càng xa so với phân bố chuẩn, đòi hỏi cỡ mẫu càng lớn. Cỡ mẫu khoảng 100 là đủ cho phần lớn các ứng dụng. D.1. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết H o : d ≥ d o so với đối thuyết: H 1 : d <> o với mức ý nghĩa a như sau: – Ước lượng trung bình d bằng tính theo công thức: – Ước lượng độ lệch chuẩn của các hiệu d i bằng: – Tính đại lượng: trong đó t 1- a (v) là (1 – a ) – phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do. – Nếu <> d o – A 1 thì giả thuyết H o bị bác bỏ. Giá trị cho trong Bảng B.4 với a = 0,05 và a = 0,01. D.2. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết H o : d ≤ d o so với đối thuyết: H 1 : d > d o với mức ý nghĩa a như sau: – Thực hiện các tính toán như trong D.1; – Nếu > d o + A 1 thì H o bị bác bỏ. D.3. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết H o : d = d o so với đối thuyết: H 1 : d ¹ d o với mức ý nghĩa a như sau: – Tính và s d như trong D.1; – Tính đại lượng: trong đó là – phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do. – Nếu thì H o bị bác bỏ. Giá trị cho trong Bảng B.4 với a = 0,05 và a = 0,01. VÍ DỤ: Bảng số liệu dưới đây bao gồm chiều cao (tính bằng mét) của mười hai cây đo bằng hai phương pháp: phương pháp hình học áp dụng khi cây còn đứng và phương pháp đo bình thường áp dụng khi cây đã được hạ xuống. Cây đứng Cây đã hạ Hiệu d i 20,4 25,4 25,6 25,6 26,6 28,6 28,7 29,0 29,8 30,5 30,9 31,1 21,7 26,3 26,8 28,1 26,2 27,3 29,5 32,0 30,9 32,3 32,3 31,7 – 1,3 – 0,9 – 1,2 – 2,5 0,4 1,3 – 0,8 – 3,0 – 1,1 – 1,8 – 1,4 – 0,6 = 27,68 = 28,76 = −1,08 Giả thuyết rằng các d i có phân bố chuẩn. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng về trung bình chiều cao đo được theo hai phương pháp là bằng nhau, tức là hãy kiểm nghiệm giả thuyết: Ho : d = 0 so với đối thuyết: H 1 : d ¹ 0 ở mức ý nghĩa a = 0,05. Giải: = −1,08; Tra bảng B.4 với a = 0,05, n = 12, v = n – 1 =11 thu được = 0,635 Từ đó Vì nên giả thuyết H o bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05. THƯ MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ISO 2602 : 1980, Statistical interpretation of test results – Estimation of the mean – Confidence interval (Giải thích thống kê các kết quả kiểm nghiệm – Ước lượng trung bình – Khoảng tin cậy) [2] ISO 2854 : 1976, Statistical interpretation of data – Techniques of estimation and tests relating to means and variances (Giải thích thống kê dữ liệu – Kỹ thuật ước lượng và kiểm nghiệm liên quan đến trung bình và phương sai) [3] ISO 3301 : 1975, Statistical interpretation of data – Comparison of two means in the case of paired observations (Giải thích thống kê dữ liệu – So sánh hai trung bình trong trường hợp quan sát hai phía) [4] ISO 3494 : 1976, Statistical interpretation of data – Power of tests relating to means and variances (Giải thích thống kê dữ liệu – Năng lực kiểm nghiệm liên quan đến các trung bình và phương sai) MỤC LỤC Lời nói đầu 1. Phạm vi áp dụng 2. Thuật ngữ và định nghĩa 3. Ước lượng trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn 4. Xác định khoảng tin cậy trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn 5. Kiểm nghiệm giả thuyết về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn 6. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu trong kiểm nghiệm giả thuyết Phụ lục A (tham khảo) Các ví dụ Phụ lục B (quy định) Các bảng số Phụ lục C (quy định) Các tập đường Phụ lục D (tham khảo) So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp