TCVN8244-1:2010

Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 8244-1:2010 (ISO 3534-1:2006) về Thống kê học - Từ vựng - Phần 1: Thuật ngữ chung về thống kê và thuật ngữ dùng trong xác suất TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 8244-1:2010 ISO 3534-1:2006 THỐNG KÊ HỌC - TỪ VỰNG - PHẦN 1: THUẬT NGỮ CHUNG VỀ THỐNG KÊ VÀ THUẬT NGỮ DÙNG TRONG XÁC SUẤT Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: General statistical terms and terms used in probability Mục lục Lời nói đầu L ờ i giới thiệu Phạm vi áp dụng 1 Thuật ngữ chung về thống kê 2 Thuật ngữ dùng trong xác suất Phụ lục A (tham khảo) Các ký hiệu Phụ lục B (tham khảo) Sơ đồ khái niệm về thống kê Phụ lục C (tham khảo) Sơ đồ khái niệm về xác suất Phụ lục D (tham khảo) Phương pháp luận sử dụng trong việc xây dựng từ vựng Thư mục tài liệu tham khảo Chỉ mục theo bảng chữ cái Lời nói đầu TCVN 8244-1:2010 hoàn toàn tương đương với ISO 3534-1:2006; TCVN 8244-1:2010 do Ban kỹ thuật Tiêu chuẩn Quốc gia TCVN/TC 69 Ứ ng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố. Bộ TCVN 8244 gồm các phần dưới đây có tên chung “Thống kê học - Từ vựng và ký hiệu”: - TCVN 8244-1:2010 (ISO 3534-1:2006), Phần 1: Thuật ngữ chung về thống kê và thuật ngữ dùng trong xác suất - TCVN 8244-2:2010 (ISO 3534-2:2006), Phần 2: Thống kê ứng dụng Bộ ISO 3534 còn có phần dưới đây có tên chung “Statistics - Vocabulary and symbols”: - Part 3: Design of experiments L ờ i giới thiệu Tiêu chuẩn này v à TCVN 8244-2 tương thích nhau. Hai tiêu chuẩn có chung mục đích l à giới hạn mức độ toán học tương ứng đến mức tối thiểu cần thiết để có được những định nghĩa cô đọng và chính xác. Các thuật ngữ trong Phần 1 sử dụng trong xác suất và thống kê là các thuật ngữ cơ bản, do vậy được trình bày ở mức độ toán học tương đối phức tạp. Thực tế là người sử dụng TCVN 8244-2 (ISO 3534-2) hoặc các tiêu chuẩn khác về thống kê ứng dụng của TC 69 thường có thể tham khảo tiêu chuẩn này đối với định nghĩa của các thuật ngữ nh ấ t định, nhiều thuật ngữ được mô tả theo cách ít thiên về kỹ thuật hơn trong nội dung chú thích và được minh họa bằng các ví dụ. Mặc dù cách mô tả này không thay thế cho các định nghĩa chính thức nhưng chúng có thể cung c ấ p định nghĩa cho các khái niệm thực tế, cho người không có chuyên môn, do đó phục vụ cho nhu cầu của nhiều người sử dụng các tiêu chuẩn thuật ngữ này. Nhằm hỗ trợ thêm cho người sử dụng các tiêu chuẩn như TCVN 8244-2 (ISO 3534-2) hoặc TCVN 6910 (ISO 5725), các chú thích và ví dụ được đưa ra làm cho tiêu chuẩn này dễ tiếp cận hơn. Tập hợp các thuật ngữ về xác suất và thống kê được định nghĩa đầy đủ và hoàn chỉnh rất cần thiết cho việc xây dựng và sử dụng hiệu quả các tiêu chuẩn về thống kê. Các định nghĩa được nêu ở đây phải đủ chính xác và phức tạp về mặt toán học nhằm giúp người xây dựng các tiêu chuẩn về thống kê không bị nhầm lẫn. Việc giải thích chi tiết hơn các khái niệm, ngữ cảnh và lĩnh vực ứng dụng có thể tìm trong các sách hướng dẫn về xác suất, thống kê. Các sơ đồ khái niệm được đưa ra trong phụ lục tham khảo cho từng nhóm thuật ngữ: 1) thuật ngữ chung về thống kê (trong Phụ lục B) và 2) thuật ngữ dùng trong xác suất (trong Phụ lục C). Có sáu sơ đồ khái niệm đối với các thuật ngữ chung về thống kê và bốn sơ đồ cho các thuật ngữ liên quan đến xác suất. Một số thuật ngữ xuất hiện trong nhiều sơ đồ để cho thấy mối liên kết giữa tập hợp khái niệm này với tập hợp khái niệm khác. Phụ lục D đưa ra giới thiệu tóm tắt về các sơ đồ khái niệm và giải thích chúng. Các sơ đồ này là công cụ hướng dẫn trong tiêu chuẩn vì chúng hỗ trợ việc mô tả các mối quan hệ giữa các thuật ngữ khác nhau. Các sơ đồ này cũng rất hữu ích cho việc chuyển dịch tiêu chuẩn sang các ngôn ngữ khác. Như một chú thích chung cho phần lớn nội dung tiêu chuẩn, nếu không có quy định nào khác, các định nghĩa đều liên quan đến trường hợp một chiều (một biến). Điều này được nêu ở đây nhằm tránh việc đề cập lại nhiều lần về phạm vi một chiều cho hầu hết các định nghĩa. THỐNG KÊ HỌC - TỪ VỰNG VÀ KÝ HIỆU - PHẦN 1: THUẬT NGỮ CHUNG VỀ THỐNG KÊ VÀ THUẬT NGỮ DÙNG TRONG XÁC SUẤT Statistics - Vocabulary and symbols - Part 1: General statistical terms and terms used in probability Phạm vi áp dụng Tiêu chuẩn này quy định các thuật ngữ chung về thống kê và thuật ngữ dùng trong xác suất được sử dụng để soạn thảo các tiêu chuẩn khác. Ngoài ra, tiêu chuẩn này còn quy định các ký hiệu cho một số thuật ngữ . Các thuật ngữ được phân loại thành: a) thuật ngữ chung về thống kê (điều 1); b) thuật ngữ dùng trong xác suất (điều 2). Phụ lục A đưa ra danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt khuyến nghị sử dụng trong tiêu chuẩn này. Các điều mục trong tiêu chuẩn này được sắp xếp phù hợp với các sơ đồ khái niệm trong Phụ lục B và C . 1 Thuật ngữ chung về thống kê 1.1 Tổng thể Toàn bộ cá thể được xem xét. CHÚ THÍCH 1: Một tổng thể có thể là thực và hữu hạn, thực và vô hạn hoặc hoàn toàn là giả thuyết. Đôi khi, thuật ngữ “tổng thể hữu hạn” được sử dụng, đặc biệt là trong lấy mẫu điều tra. Tương tự, thuật ngữ “tổng thể vô hạn” được sử dụng trong trường hợp lấy mẫu từ một tập không đếm được. Trong điều 2, tổng thể được xem xét như không gian mẫu theo ngữ cảnh xác suất (2.1). CHÚ THÍCH 2: Tổng thể giả thuyết cho phép tưởng tượng tính chất của dữ liệu theo nhiều giả định. Do đó, tổng thể giả thuyết r ấ t hữu ích ở giai đoạn thiết kế trong các điều tra thống k ê , đặc biệt đ ể xác định cỡ mẫu phù hợp. Tổng thể giả thuyết có thể có số lượng hữu hạn hoặc vô hạn. Khái niệm này đặc biệt hữu í ch trong thống kê suy luận để hỗ trợ việc đánh giá độ mạnh của bằng chứng trong điều tra thống kê. CHÚ THÍCH 3: Hoàn cảnh nghiên cứu có thể chỉ ra bản chất của tổng thể. Ví dụ, nếu ba ngôi làng được chọn để điều tra nhân khẩu học hoặc sức khỏe, khi đó tổng thể bao gồm các cư dân của ba ngôi làng cụ thể này. Một cách khác, nếu ba ngôi làng này được chọn ngẫu nhiên trong số tất cả các làng trong một khu vực cụ thể, khi đó tổng thể sẽ gồm tất cả các cư dân trong khu vực đó. 1.2 Đơn vị mẫu một trong các phần riêng lẻ hợp thành tổng thể (1.1). CHÚ THÍCH: Tùy từng trường hợp, phần quan tâm nhỏ nhất có thể là một cá thể, một hộ gia đình, một khu trường học, một đơn vị hành chính, v.v... 1.3 Mẫu Tập hợp con của tổng thể (1.1) gồm một hoặc nhiều đơn vị mẫu (1.2) CHÚ THÍCH 1: Đơn vị mẫu có thể là các cá thể, các trị số hoặc thậm chí là các thực thể trừu tượng tùy thuộc vào tổng thể nghiên cứu. CHÚ THÍCH 2: Định nghĩa về mẫu trong TCVN 8244- 2 (ISO 3534-2) có ví dụ về khuôn khổ lấy mẫu thiết yếu trong việc lấy mẫu ngẫu nhiên từ một tổng thể hữu hạn. 1.4 Giá trị quan trắc Giá trị thu được của một tính chất gắn với một đơn vị của mẫu (1.3). CHÚ THÍCH 1: Các từ đồng nghĩa là “t hể hiện”; “dữ liệu”. CHÚ THÍCH 2: Định nghĩa này không quy định nguồn gốc hay cách thức thu được giá trị này. Giá trị có thể biểu diễn một thể hiện của biến ngẫu nhiên (2.10). Ngoài ra giá trị có thể là một trong số nhiều giá trị sẽ được phân tích thống kê sau đ ó . Mặc dù kết luận đúng đòi hỏi một số cơ sở thống kê vững chắc nhưng không loại trừ việc dùng các tính toán bằng số hoặc đồ thị bằng hình các giá trị quan trắc. Ch ỉ khi có các vấn đề như xác định xác suất quan trắc một tập hợp giá trị cụ thể thì bộ máy thống kê trở nên thích đáng và thiết yếu. Giai đoạn phân tích sơ bộ các giá trị quan trắc thư ờ ng được coi là một phần của phân tích dữ liệu. 1.5 Thống kê mô tả Việc mô tả các giá trị quan trắc (1.4) bằng đồ thị, trị số hoặc mô tả tóm tắt khác. V Í DỤ 1: Tóm tắt bằng số bao gồm trung bình (1.15), độ rộng (1.10). độ lệch chuẩn mẫu (1.17), v.v... V Í DỤ 2: Ví dụ về tóm tắt bằng đồ thị bao gồm biểu đồ hộp, biểu đồ, đồ thị Q-Q, đồ thị phân vị chuẩn, đám mây điểm, đám mây điểm nhiều chiều và biểu đồ phân bố. 1.6 Mẫu ngẫu nhiên Mẫu (1.3) được chọn bằng phương pháp chọn ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 1: Định nghĩa này rộng hơn định nghĩa trong TCVN 8244-2 (ISO 3534-2) để áp dụng được với tổng thể vô hạn. CHÚ THÍCH 2: Khi một mẫu gồm n đơn vị mẫu được chọn từ không gian mẫu (2.1) hữu hạn, mỗi tổ hợp của n đơn vị mẫu có xác suất (2.5) lấy mẫu cụ thể. Đối với phương án lấy mẫu điều tra, xác suất riêng cho từng tổ hợp có thể được tính trước. CHÚ THÍCH 3: Đối với việc lấy mẫu điều tra từ một không gian mẫu hữu hạn, một mẫu ngẫu nhiên có thể được chọn bằng các phương án lấy mẫu khác nhau như lấy mẫu ngẫu nhiên phân tầng, lấy mẫu ngẫu nhiên hệ thống, lấy mẫu theo nhóm, lấy mẫu với xác suất lấy mẫu tỷ lệ với cỡ biến phụ trợ và nhiều khả năng khác. CHÚ THÍCH 4: Định nghĩa này nói chung đề cập đến giá trị quan trắc (1.4) thực tế. Các giá trị quan trắc này được coi là thể hiện của các biến ngẫu nhiên (2.10), trong đó mỗi giá trị quan trắc tương ứng với một biến ngẫu nhiên. Khi hàm ước lượng (1.12), thống kê kiểm nghiệm cho các kiểm nghiệm thống kê (1.48) hoặc khoảng tin cậy (1.28) được suy ra từ mẫu ngẫu nhiên, thì định nghĩa này nói đến các biến ngẫu nhiên phát sinh từ các thực thể trừu tượng chứ không phải giá trị quan trắc thực tế của các bi ế n ngẫu nhiên này. CHÚ THÍCH 5: Mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể vô hạn thường được tạo ra bởi việc lấy lặp lại từ không gian mẫu, dẫn đến một mẫu có các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố khi áp dụng giải thích về định nghĩa này đề cập trong Chú thích 4. 1.7 Mẫu ngẫu nhiên đơn giản mẫu ngẫu nhiên (1.6) của <tổng thể hữu hạn> sao cho mỗi tập hợp con với cỡ mẫu đã cho xác suất lấy như nhau. CHÚ THÍCH: Định nghĩa này phù hợp với định nghĩa nêu trong TCVN 8244-2 (ISO 3534-2), mặc dù cách diễn đạt hơi khác nhau. 1.8 Thống kê Hàm số hoàn toàn xác định của các biến ngẫu nhiên (2.10) CHÚ THÍCH 1: Thống kê là hàm số của các biến ngẫu nhiên trong một mẫu ngẫu nhiên (1.6) theo nghĩa nêu trong Chú thích 4 của 1.6. CHÚ THÍCH 2: Theo Chú thích 1, nếu { X 1 , X 2 , … X n } là mẫu ngẫu nhiên lấy từ phân bố chuẩn (2.50) với trung bình (2.35) μ chưa biết và độ lệch chuẩn (2.37) σ chưa biết, khi đó (X 1 + X 2 + ... + X n )/ n là một thống kê, trung b ì nh mẫu (1.15), trong đó [( X 1 + X 2 + ... + X n ) / n } - μ không phải là thống kê vì nó có giá trị của tham số (2.9) μ chưa biết. CHÚ THÍCH 3: Định nghĩa được nêu ở đây là định nghĩa kỹ thuật, tương ứng với cách xử lý trong thống kế toán học. 1.9 Thống kê thứ tự Thống kê (1.8) xác định bởi thứ tự của nó trong một sắp xếp không giảm của các biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ: Cho các giá trị quan trắc của một mẫu là 9, 13, 7, 6, 13, 7, 19, 6, 10, và 7. Giá trị quan trắc của các thống kê thứ tự là 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 13, 13, 19. Các giá trị này tạo thành thể hiện của X (1) đến X (10) . CHÚ THÍCH 1: Cho giá trị quan trắc (1.4) của một mẫu ngẫu nhiên (1.6) là { x 1 , x 2 ….,x n } và khi sắp xếp theo thứ tự không giảm được ấn định là x (1) ≤ … ≤ x ( k ) ≤ …… ≤ x ( n ) . Khi đó, (x (1 ) …, x (k ) ,... , x ( n ) ) là giá trị quan trắc của thống kê thứ tự ( X (1 ) …, X (k ) ,... , X ( n ) ) và x (k) là giá trị quan trắc của thống kê thứ tự thứ k . CHÚ THÍCH 2: Thực tế là việc có được các thống kê thứ tự của một tập hợp dữ liệu cũng ch í nh là sắp xếp các dữ liệu như mô tả trong Chú thích 1 ở trên. Khi đó, ki ể u sắp xếp của tập hợp dữ liệu cũng có thể dùng để thu được thống kê tổng hợp hữu ích như nêu trong một số định nghĩa ti ế p theo. CHÚ THÍCH 3: Thống kê thứ tự liên quan đến các giá trị mẫu xác định b ở i vị trí của chúng sau khi sắp xếp theo thứ tự không giảm. Như trong v í dụ, có thể dễ d à ng hiểu việc sắp xếp các giá trị mẫu (thể hiện của biến ngẫu nhiên) hơn là việc sắp xếp của các biến ngẫu nhi ê n không được quan trắc. Tuy nhiên, ta có thể hiểu về biến ngẫu nhiên từ mẫu ngẫu nhiên (1.6) được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Ví dụ, có thể nghiên c ứ u giá trị lớn nhất trong số n biến ngẫu nhiên trước khi nhận giá trị của nó. CHÚ THÍCH 4: Mỗi thống kê thứ tự riêng l à một thống kê, là hàm số xác định hoàn toàn của một biến ngẫu nhiên. Hàm số này đ ơ n giản là hàm phân định vị trí hoặc thứ tự trong tập hợp các biến ngẫu nhiên đã được sắp xếp. CHÚ THÍCH 5 : Các giá trị trùng lặp gây ra một vấn đề tiềm ẩn, đặc biệt đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc và các thể hiện có khả năng tách biệt thấp. Từ “không giảm” được sử dụng tốt hơn từ “t ăng” như một cách tiếp cận tế nhị vấn đề này. C ần nhấn mạnh rằng các giá trị trùng lặp được duy trì và không được gộp vào như một giá trị duy nhất. Trong ví dụ ở trên, hai thể hiện của 6 và 6 là giá trị trùng lặp. CHÚ THÍCH 6: Thứ tự được xác định theo trục của đường thẳng thực và không theo giá trị tuyệt đối của các biến ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 7 : Tập hợp đầy đủ của thống kê thứ tự gồm một biến ngẫu nhiên n chiều, trong đó n là số quan trắc trong mẫu đó. CHÚ THÍCH 8: Các thành phần của thống kê thứ tự cũng được coi như thống kê thứ tự nhưng với một chỉ số cho biết vị trí của nó trong chuỗi giá trị mẫu đã được s ắ p x ế p. CHÚ THÍCH 9: Giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, và đối với cỡ mẫu số lẻ, trung vị mẫu (1.13), là trường hợp đặc biệt của thống kê thứ tự. Ví dụ, đối với cỡ m ẫ u 11, X ( 1) là nhỏ nhất, X (11) là lớn nhất và X ( 6 ) , là trung vị mẫu. 1.10 Độ rộng mẫu Thống kê thứ tự lớn nhất (1.9) trừ đi thống kê thứ tự nhỏ nhất. VÍ DỤ: Tiếp tục với ví dụ ở 1.9, độ rộng mẫu quan trắc là 19 - 6 = 13. CHÚ THÍCH: Trong kiểm soát thống kê quá trình, độ rộng mẫu thường được dùng để theo dõi độ phân tán theo thời gian của quá trình, đặc biệt khi cỡ mẫu tương đối nhỏ. 1.11 Tâm độ rộng trung bình (1.15) của thống kê thứ tự (1.9) nhỏ nhất và lớn nhất VÍ DỤ: Tâm độ rộng quan trắc của các giá trị trong ví dụ ở 1.9 là (6+19)/2 = 12,5. CHÚ THÍCH: Tâm độ rộng cho phép đánh giá nhanh và đơn giản điểm giữa của các tập hợp dữ liệu nhỏ. 1.12 Hàm ước lượng thống kê (1.8) dùng trong phép ước lượng (1.36) tham số 0 . CHÚ THÍCH 1: Hàm ước lượng có thể là trung bình mẫu (1.15) để ước lượng trung bình của tổng thể (2.35), biểu thị bằng μ . Đối với phân bố (2.11) như phân bố chuẩn (2.50), hàm ước lượng “tự nhiên” của trung bình tổng thể μ là trung bình mẫu. CHÚ THÍCH 2: Để ước lượng tính chất của tổng thể [ ví dụ mốt (2.27) đối với một phân bố đơn biến (2.16)], một ước lượng thích hợp có thể là hàm của (các) ước lượng của (các) tham số của phân bố hoặc có thể là hàm phức hợp của mẫu ngẫu nhiên (1.6). CHÚ THÍCH 3: Thuật ngữ “hàm ước lượng” được dùng ở đây với nghĩa rộng. Nó bao gồm các ước lượng điểm đối với tham số, cũng như ước lượng khoảng có thể dùng đ ể dự đoán (đ ô i khi được gọi là hàm dự đoán). Hàm ước lượng cũng có th ể bao gồm các hàm như ước lượng nhân và thống kê với mục đích đặc biệt khác. Thông tin thêm được nêu trong chú thích của 1.36. 1.13 Trung vị mẫu Thống kê thứ tự thứ [( n +1 )/2] (1.9), nếu cỡ mẫu (xem TCVN 8244-2 (ISO 3534-2), 1.2.26) n là số lẻ; tổng của thống kê thứ tự thứ ( n /2) và ( n /2) + 1] chia cho 2, nếu cỡ mẫu n là chẵn. VÍ D Ụ : Tiếp theo ví dụ của 1.9, giá trị của 8 là th ể hiện trung vị mẫu. Trong trường hợp này (ngay cả cỡ mẫu bằng 10), giá trị thứ 5 và thứ 6 là 7 và 9, trung bình là 8. Trên thực tế, điều này được ghi là “trung vị mẫu là 8”, mặc dù nói một cách chặt chẽ th ì trung vị mẫu được định nghĩa là biến ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 1: Đối với mẫu ngẫu nhiên (1.6) có cỡ mẫu n , trong đó biến ngẫu nhiên (2.10) được sắp xếp theo thứ tự không giảm từ 1 đến n, trung vị mẫu là biến ngẫu nhiên thứ (n+1)/2 nếu cỡ mẫu là lẻ. Nếu cỡ mẫu n là chẵn th ì trung vị mẫu là trung bình của biến ngẫu nhiên thứ ( n /2) và ( n +1)/2. CHÚ THÍCH 2: V ề lí thuyết thì dường như không thể sắp xếp các bi ế n ngẫu nhi ê n chưa được quan trắc. Tuy nhiên, có thể thiết lập cấu trúc của các thống kê thứ tự biết rõ sao cho có thể tiến hành phân tích dựa trên quan trắc. Trong thực tế, khi thu được các giá trị quan trắc và thông qua việc sắp xếp các giá trị, ta sẽ có được thể hiện của các thống kê thứ tự. Sau đó, các thể hiện này có thể được giải thích từ cấu trúc của thống kê thứ tự từ mẫu ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 3: Trung vị mẫu cung cấp hàm ước lượng điểm giữa của phân bố, mỗi phía chứa một nửa mẫu. CHÚ THÍCH 4: Trên thực tế, trung vị mẫu có ích trong việc đưa ra ước lượng không nhạy với các giá trị cực trị trong tập dữ liệu. Ví dụ, trung vị thu nhập và trung vị giá nhà ở thường được báo cáo là giá trị tóm tắt. 1.14 Mômen mẫu bậc k E(X k ) Tổng các biến ngẫu nhiên (2.10) lũy thừa k trong mẫu ngẫu nhiên (1.6) chia cho số quan trắc trong mẫu (1.3). CHÚ THÍCH 1: Đối với mẫu ngẫu nhiên cỡ n , nghĩa l à { X 1 , X 2 , …, X n }, mômen mẫu bậc k , E ( X k ) , là CHÚ THÍCH 2: Ngoài ra, khái niệm này có thể được mô tả như là mômen mẫu bậc k so với điểm không. CHÚ THÍCH 3: Mômen mẫu bậc 1 được đề cập trong định nghĩa tiếp theo là trung bình mẫu (1.15). CHÚ THÍCH 4: Mặc dù định nghĩa này được đưa ra cho k b ấ t kỳ, thường dùng trong các trường hợp thực tế k = 1 [ trung bình mẫu (1.15)], k = 2 [kèm theo phư ơ ng sai mẫu (1.16) và độ lệch chuẩn mẫu (1.17)], k = 3 [liên quan đến hệ số bất đối xứng của mẫu (1.20)] và k = 4 [l iên quan đến hệ số nhọn của mẫu (1.21)]. CHÚ THÍCH 5: “ E ” trong E(X k ) lấy từ “giá t rị kỳ vọng” hoặc “kỳ vọng” của biến ngẫu nhiên X . 1.15 trung bình mẫu trung bình trung bình số học tổng các biến ngẫu nhiên (2.10) trong mẫu ngẫu nhiên (1.6) chia cho số các số hạng trong tổng đó. V Í DỤ: Tiếp theo v í dụ ở 1.9, thể hiện của trung bình mẫu là 9,7 v ì tổng các giá trị quan trắc là 97 và cỡ mẫu là 10. CHÚ THÍCH 1: Coi như một thống kê, trung bình mẫu là hàm của các biến ngẫu nhiên từ mẫu ngẫu nhiên theo nghĩa nêu trong Chú thích 3 của 1.8. Ta phải phân biệt hàm ước lượng này với trị số của trung bình mẫu tính được từ các giá trị quan trắc (1.4) trong mẫu ngẫu nhiên đó. CHÚ THÍCH 2: Trung bình mẫu được coi là thống kê thư ờ ng được sử dụng như ước lượng cho trung bình của tổng thể (2.35). Từ đ ồ ng nghĩa thường dùng là trung bình số học. CHÚ THÍCH 3: Đối với mẫu ngẫu nhiên cỡ n , nghĩa là { X 1 …, X 2 ,.... X n }, trung bình mẫu là: CHÚ THÍCH 4: Trung bình mẫu có thể coi là mômen mẫu bậc 1. CHÚ THÍCH 5: Đối với cỡ mẫu 2, trung bình mẫu, trung vị mẫu (1.13) và tâm độ rộng (1.11) là như nhau. 1.16 Phương sai mẫu S 2 Tổng bình phương các độ lệch của các biến ngẫu nhiên (2.10) trong mẫu ngẫu nhiên (1.6) so với trung bình mẫu (1.15) của chúng chia cho số các số hạng trong tổng đó trừ đi một. VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ số ở 1.9, phương sai mẫu được tính là 17,57. Tổng các bình phương của trung bình mẫu quan trắc là 158,10 và cỡ mẫu là 10 trừ đi 1 còn 9, cho mẫu số thích hợp. CHÚ THÍCH 1: Coi như một thống kê (1.8), phương sai mẫu S 2 là hàm số của các biến ngẫu nhiên từ một mẫu ngẫu nhiên. Ta phải phân biệt hàm ước lượng (1.12) với trị số c ủ a phương sai mẫu tính được từ các giá trị quan trắc (1.4) trong mẫu ngẫu nhiên. Trị số này được gọ i là phương sai mẫu th ự c nghiệm hoặc phương sai mẫu quan trắc và thường được ký hiệu là s 2 . CHÚ THÍCH 2: Đối với mẫu ngẫu nhiên cỡ n , nghĩa l à { X 1 , X 2 …, X n } có trung bình mẫu thì phương sai mẫu là: CHÚ THÍCH 3: Phương sai mẫu là một thống kê “gần như” trung bình bình phương độ lệch của các biến ngẫu nhiên (2.10) so với trung bình mẫu của chúng (ch ỉ “gần như” vì trong mẫu số n - 1 được sử dụng thay cho n ). Việc sử dụng n - 1 cung cấp ước lượng không chệch (1.34) của phương sai (2.36) tổng thể. CHÚ THÍCH 4: Đại lượng n - 1 được gọi là bậc tự do (2.54). CHÚ THÍCH 5: Phương sai mẫu có thể coi là mômen mẫu bậc hai của biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa (1.19). 1.17 độ lệch chuẩn mẫu S C ă n bậc hai không âm của phương sai mẫu (1.16). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ số ở 1.9, độ lệch chuẩn mẫu quan trắc là 4,192 vì phương sai mẫu quan trắc là 17,57. CHÚ THÍCH 1: Trên thực tế, độ lệch chuẩn mẫu được dùng để ước lượng độ lệch chuẩn (2.37). Ở đây cũng cần nhấn mạnh rằng S cũng là biến ngẫu nhiên (2.10) chứ không phải là th ể hiện của mẫu ng ẫ u nhiên (1.6). CHÚ THÍCH 2: Độ lệch chuẩn mẫu là thước đo độ phân tán của phân bố (2.11). 1.18 Hệ số biến động mẫu Độ lệch chuẩn mẫu (1.17) chia cho trung bình mẫu (1.15). CH Ú TH Í CH: Như với hệ số biến động (2.38), việc sử dụng thống kê này được giới hạn ở các tổng thể có giá trị dương. Hệ số biến động thư ờ ng được l ấ y theo phần trăm. 1.19 Biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa Biến ngẫu nhiên (2.10) trừ đi trung bình mẫu (1.15) chia cho độ lệch chuẩn mẫu (1.17). VÍ DỤ: Đối với ví dụ ở 1.9, trung bình mẫu quan trắc là 9,7 và độ lệch chuẩn mẫu quan trắc là 4,192. Do đó, bi ế n ngẫu nhiên chuẩn hóa quan trắc (lấy đến hai chữ số thập phân) là: -0,17; 0,79; -0,64; -0,88; 0,79; -0,64; 2,22; -0,88; 0,07; -0,62. CHÚ THÍCH 1: Biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa được phân biệt v ớ i biến ngẫu nhiên chuẩn hóa (2.33) lí thuyết tương ứng. Mục đích của việc chuẩn hóa là đ ể chuyển đổi thành các biến ngẫu nhiên có trung bình “không” và độ lệch chuẩn đơn vị, để dễ dàng giải thích và so sánh. CHÚ THÍCH 2: Giá trị quan trắc chuẩn hóa có trung bình quan trắc bằng không và độ lệch chuẩn quan trắc bằng 1. 1.20 Hệ số bất đối xứng của mẫu Trung bình số học của lũy thừa bậc ba của biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa (1.19) từ mẫu ngẫu nhiên (1.6). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ ở 1.9. hệ số bất đối xứng của mẫu quan trắc được tính bằng 0,971 88. Với cỡ mẫu 10 trong ví dụ n à y, hệ số bất đối xứng của mẫu biến động lớn, do đó phải sử dụng một cách thận trọng. Sử dụng công thức thay thế trong Chú thích 1, tính được giá trị là 1,349 83. CHÚ THÍCH 1: C ô ng thức tương ứng với định nghĩa là Một số bộ chương trình thống kê sử dụng công thức dưới đây cho hệ số bất đối xứng của mẫu để hiệu chỉnh độ chệch (1.33): trong đó Đối với cỡ mẫu lớn, sự khác biệt giữa hai ước lượng này là không đáng kể. Tỷ số giữa ước lượng không chệch và ước lượng chệch là 1,389 đối với n = 10, 1,031 đối với n = 100 and 1,003 đối với n = 1 000. CHÚ THÍCH 2: Hệ số bất đối xứng đề cập tới sự không đối xứng. Giá trị của thống kê này gần với “không” gợi ý là ph â n bố đang xét là gần đối xứng, trong khi các giá trị khác không tương ứng với phân bố khi có các giá trị cực trị quá xa về một phía của tâm ph â n bố. Dữ liệu bất đố i xứng cũng được phản ánh trong các giá trị của trung bình mẫu (1.15) và trung vị mẫu (1.13) là không giống nhau. Dữ liệu bất đối xứng dương (bất đối xứng phải) chỉ ra khả n ă ng có một vài quan trắc cực trị, lớn. Tương tự , dữ liệu bất đối xứng âm (bất đối xứng trái) ch ỉ ra khả năng có một vài quan trắc cực trị, nhỏ. CHÚ THÍCH 3: Hệ số bất đối xứng của mẫu có thể coi là mômen mẫu bậc ba của biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa (1.19). 1.21 hệ số nhọn của mẫu trung bình số học của lũy thừa bậc bốn của biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn hóa (1.19) từ mẫu ngẫu nhiên (1.6). VÍ DỤ : Tiếp theo ví dụ ở 1.9, hệ số nhọn của mẫu quan trắc được tính bằng 2,674 19. Với cỡ mẫu 10 trong ví dụ này, hệ số nhọn của mẫu biến động lớn, do đ ó phải sử dụng một cách thận trọng. Sử dụng công thức thay thế trong Chú thích 1, tính được giá trị là 1,349 83. Các bộ chương trình thống kê sử dụng nhiều cách điều chỉnh khác nhau khi tính toán hệ số nhọn của mẫu (xem Chú thích 2 của 2.40). Sử dụng công thức thay thế cho trong Chú thích 1, giá trị t í nh được là 0,436 05. Hai giá trị 2,674 19 và 0,436 05 không thể so sánh trực tiếp. Muốn so sánh, lấy 2,674 19-3 (liên hệ với hệ số nhọn của phân bố chuẩn là 3) được -0,325 81, lúc này có thể so sánh thích hợp với 0,436 05. CHÚ THÍCH 1: C ô ng thức tương ứng với định nghĩa là Một số bộ chương trình thống kê sử dụng công thức dưới đ â y cho hệ số nhọn của mẫu để hiệu chỉnh độ chệch (1.33) và để chỉ thị độ lệch so với hệ số nhọn của phân bố chuẩn (bằng 3): trong đó Số hạng thứ hai trong biểu thức xấp x ỉ 3 đối với cỡ mẫu n lớn. Đôi khi hệ số nhọn được lấy theo giá trị xác định ở 2.40 trừ đi 3 để nhấn mạnh việc so sánh với phân bố chuẩn. Rõ ràng là người thực hiện cần nhận thức được các điều chỉnh, nếu có, khi tính toán bộ chương trình thống kê. CHÚ THÍCH 2: Hệ số nhọn đề cập đến tính chất nặng đuôi của một phân bố (một mốt). Đối với phân bố chuẩn (2.50), hệ số nhọn mẫu xấp xỉ bằng 3, tùy thuộc vào độ biến động mẫu. Trên thực tế, hệ số nhọn của phân bố chuẩn cung cấp một mốc hoặc giá trị cơ sở. Những phân bố (2.11) có hệ số nhọn nhỏ hơn 3 c ó đuôi nhẹ hơn so với phân bố chuẩn, những phân bố có hệ số nhọn lớn hơn 3 có đuôi nặng hơn phân bố chuẩn. CHÚ THÍCH 3: Đối v ớ i các giá trị quan trắc được của hệ số nhọn lớn hơn 3 rất nhiều, có khả năng phân bố đang xét có đuôi nặng hơn nhiều so với phân bố chuẩn. Một khả năng khác có thể tìm ra sự có mặt của những giá trị bất thường có thể có. CHÚ THÍCH 4: Hệ số nhọn của mẫu có thể coi là mômen mẫu thứ tư của biến ngẫu nhiên của mẫu chuẩn. 1.22 Hiệp phương sai mẫu S XY Tổng các tích độ lệch của cặp biến ngẫu nhiên (2.10) trong một mẫu ngẫu nhiên (1.6) so với các trung bình mẫu (1.15) chia cho số các số hạng trong tổng đó trừ đi một. V Í DỤ 1: Xét minh họa bằng số dưới đây, sử dụng 10 bộ ba giá trị quan trắc. Đối với v í dụ này, chỉ xét x và y Bảng 1 - Kết quả dùng cho ví dụ 1 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 38 41 24 60 41 51 58 50 65 33 y 73 74 43 107 65 73 99 72 100 48 z 34 31 40 28 35 28 32 27 27 31 Trung bình mẫu quan trắc đối với X l à 46,1 và đối với Y là 75,4. Hiệp phương sai mẫu bằng [(38 - 46,1) x (73 - 75,4) + (41 - 46,1) x (74 - 75,4) + ... + (33 - 46,1) x (48 - 75,4) ] /9 = 257,178 VÍ DỤ 2: Trong bảng của ví dụ trên, chỉ xét y và z . Trung bình mẫu quan trắc đối với Z là 31,3. Hiệp phương sai mẫu bằng [(73 - 75,4) x (34 - 31,3) + (74 - 75,4) x (74 - 31,3) + ... + (48 - 75,4) x (31 - 31,3)]/9 = -54,356 CHÚ THÍCH 1: Coi như một thống kê (1.8), hiệp phương sai mẫu là hàm số của các cặp biến ngẫu nhiên [( X 1 , Y 1 ), ( X 2 , Y 2 ) …, ( X n , Y n ) ] từ mẫu ngẫu nhiên cỡ n theo nghĩa nêu trong Chú thích 3 của 1.6. Ước lượ n g (1.12) này cần được phân biệt với trị số của hiệp phương sai mẫu tính được từ các cặp giá trị đơn vị mẫu (1.2) quan trắc [( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ..., ( x n , y n )] trong mẫu ngẫu nhiên. Trị số này được gọi là hiệp phương sai mẫu thực nghiệm hoặc hiệp phương sai mẫu quan trắc. CHÚ THÍCH 2: Hiệp phương sai mẫu S XY được cho bằng: CHÚ THÍCH 3: Việc sử dụng mẫu số bằng n - 1 cung cấp ước lượng không chệch (1.34) của hiệp phương sai tổng thể (2.43). CHÚ THÍCH 4: Ví dụ trong Bảng 1 gồm có ba biến trong khi định nghĩa đề cập đến các cặp biến. Trên thực tế, thường gặp phải những tình huống có nhiều biến. 1.23 Hệ số tương quan mẫu r xy Hiệp phương sai mẫu (1.22) chia cho tích các độ lệch chuẩn mẫu (1.17) tương ứng. VÍ DỤ 1: Tiếp theo Ví dụ 1 của 1.22, độ lệch chuẩn quan trắc là 12,945 đối với X và 21,329 đối với Y . Do đó, hệ số tương quan của mẫu quan trắc (với X và Y ) được cho bằng: 257,118/(12,948 x 21,329) = 0,931 2 VÍ DỤ 2: Tiếp theo Ví d ụ 2 của 1.22, độ lệch chuẩn quan trắc là 21,329 đối với Y và 4,165 đối với Z . Do đó, hệ số tương quan của mẫu quan trắc (với Y và Z ) được cho bằng: -54,356/(21,329 x 4,165) = -0,612 CHÚ THÍCH 1: Hệ số tương quan mẫu đ ược tính theo công thức: Biểu thức này tương đương với tỷ số giữa hiệp phương sai mẫu với căn bậc hai của tích các độ lệch chuẩn. Đôi khi, kí hiệu r xy được dùng để chỉ hệ số tương quan mẫu. Hệ số tương quan mẫu quan trắc dựa trên ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), …, ( x n , y n ). CHÚ THÍCH 2: Hệ số tương quan mẫu quan trắc có thể lấy giá trị trong phạm vi [-1,1], với các giá trị gần 1 chỉ ra mối tương quan dương mạnh và các giá trị gần -1 chỉ ra mối tương quan â m mạnh. Các giá trị gần 1 hoặc -1 chỉ ra các điểm gần như nằm trên một đường thẳng. 1.24 Sai số tiêu chuẩn độ lệch chuẩn (2.37) của hàm ước lượng (1.12) VÍ DỤ: Nếu trung bình mẫu (1.15) là ước lượng của trung bình (2.35) tổng thể và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên (2.10) là σ , th ì sai số tiêu chuẩn của trung bình mẫu là trong đó n là số quan trắc trong mẫu. Ước lượng của sai số tiêu chuẩn là trong đó S là độ lệch chuẩn mẫu (1.17). CHÚ THÍCH 1: Trong thực tế, sai số ti ê u chuẩn cung cấp ước lượng tự nhiên của độ lệch chuẩn của một hàm ước lượng. CHÚ THÍCH 2: Không có thuật ngữ phụ (nhận biết được) về sai số “phi tiêu chuẩn”. Sai số tiêu chuẩn có thể coi như từ viết tắt của “độ lệch chuẩn của ước lượng”. Trên thực tế, sai số tiêu chuẩn thường có ý đề cập đến độ lệch chuẩn của trung bình mẫu. Ký hiệu của sai số tiêu chuẩn của trung bình mẫu là . 1.25 Ước lượng khoảng Khoảng giới hạn bởi thống kê (1.8) giới hạn trên và thống kê giới hạn dưới. CHÚ THÍCH 1: Một trong các điểm cuối có thể là + ∞ , - ∞ hoặc giới hạn tự nhiên của giá trị tham số . Ví dụ, 0 là giới hạn dưới của ước lượng khoảng của phương sai (2.36) tổng thể. Trong trường hợp như vậy, khoảng thường được đề cập là khoảng một ph í a. CHÚ THÍCH 2: Ước lượng khoảng có thể được cho cùng với ước lượng (1.36) tham số (2.9). Ước lượng khoảng được giả định là ch ứ a tham số theo tỷ lệ cơ hội đã định, trong điều kiện lấy mẫu lặp lại hoặc theo nghĩa xác suất nhất định khác. CHÚ THÍCH 3: Ba loại ước lượng khoảng thông thường là khoảng tin cậy (1.28) đối với (các) tham số, khoảng dự đoán (1.30) đối với các quan trắc tương lai và khoảng dung sai thống kê (1.26) về tỷ lệ của phân bố (2.11) chứa trong đ ó . 1.26 Khoảng dung sai thống kê Khoảng xác định từ mẫu ngẫu nhiên (1.6) sao cho với mức tin cậy quy định rằng khoảng này có thể ph ủ ít nh ấ t một tỷ lệ quy định của tổng thể (1.1) được lấy mẫu. CHÚ THÍCH: Mức tin cậy trong trường hợp n à y là tỷ lệ của khoảng thiết lập theo cách này trong một thời gian dài ít nhất sẽ chứa tỷ lệ quy định của t ổ ng th ể được lấy mẫu. 1.27 Giới hạn dung sai thống kê Thống kê (1.8) biểu diễn đầu mút của khoảng dung sai thống kê (1.26) CHÚ THÍCH: Khoảng dung sai thống kê có thể là - một phía (có một trong hai giới hạn cố định ở giới hạn tự nhiên của biến ngẫu nhiên), trong đó có thể có giới hạn dung sai thống kê trên hoặc dưới, hoặc - hai phía, trong đó có cả hai giới hạn dung sai thống kê. Giới hạn tự nhiên của biến ngẫu nhiên có thể cung cấp giới hạn cho giới hạn một phía. 1.28 Khoảng tin cậy Ước lượng khoảng (1.25) ( T 0 , T 1 ) đối với tham số (2.9) 0 có các thống kê (1.8) T 0 và T 1 là giới hạn khoảng và đảm bảo là P [ T 0 < θ < T 1 ] ≥ 1 - α CHÚ THÍCH 1: Độ tin cậy phản á nh tỷ lệ các trường hợp khoảng tin cậy chứa giá trị tham số thực trong một loạt dải các mẫu ngẫu nhiên (1.6) lặp lại trong các điều kiện giống nhau. Khoảng tin cậy không phản ánh xác suất (2.5) để khoảng quan trắc chứa giá trị thực của tham số (hoặc chứa hoặc không chứa). CHÚ THÍCH 2: Kèm theo khoảng tin c ậ y là đặc trưng hiệu năng 100(1 - α ) %, trong đó α thường là một số rất nh ỏ . Đặc trưng hiệu năng, còn gọi là hệ s ố tin cậy hoặc mức tin cậy, thường bằng 95 % hoặc 99 %. Bất đẳng thức P [ T 0 < θ < T 1 ] ≥ 1 - α đúng với giá trị θ cụ thể bất kỳ nhưng chưa biết của tổng thể. 1.29 Khoảng tin cậy một phía Khoảng tin cậy (1.28) có một trong hai đầu mút cố định ở +∞, -∞ , hoặc giới hạn cố định tự nhiên. CHÚ THÍCH 1: Định nghĩa 1.28 áp dụng với T 0 đặt ở -∞ hoặc T 1 đặt ở +∞. Khoảng tin cậy một phía phát sinh trong trường hợp quan tâm tập trung vào một phía. Ví dụ, trong kiểm tra âm lượng về an toàn liên quan đến điện thoại di động, giới hạn tin cậy trên cần được quan tâm cho biết giới hạn trên đối với âm lượng tạo ra trong các điều kiện an toàn giả định. Đối với phép thử kết cấu cơ kh í , giới hạn tin cậy dưới về lực tại đ ó thiết bị hỏng cần quan tâm. CHÚ THÍCH 2: Một ví dụ khác về khoảng tin cậy một ph í a là trường hợp tham số có một giới hạn tự nhiên là “không”. Đối với phân b ố Poisson (2.47) liên quan đến xử lí khiếu nại của khách hàng thì “không” là giới hạn dưới. Trong một ví dụ khác, khoảng tin cậy đối với độ tin cậy của linh kiện điện t ử là (0,98, 1), trong đó 1 là giới hạn trên tự nhiên. 1.30 Khoảng dự đoán Dãy giá trị của một biến, tạo ra từ một mẫu ngẫu nhiên (1.6) các giá trị t ừ một tổng thể liên tục, sao cho có thể đảm b ả o với mức tin cậy cho trước rằng, trong một mẫu ngẫu nhiên khác lấy từ ch í nh tổng thể (1.1) đó, không có í t hơn số lượng giá trị cho trước rơi vào khoảng đó. CHÚ THÍCH: Thông thường, quan tâm tập trung vào một quan tr ắ c đơn phát sinh từ t ì nh huống tương tự như các quan trắc là cơ sở của khoảng dự đoán. Một huống thực tế khác là phân tích hồi quy, trong đó khoảng dự đoán được thiết lập cho một dãy các giá trị độc lập. 1.31 Ước lượng Giá trị quan trắc (1.4) của một hàm ước lượng (1.12). CHÚ THÍCH: Ước lượng muốn nói đến trị số thu được từ các giá trị quan tr ắ c. Đối với phép ước lượng (1.36) của một tham số (2.9) từ phân bố xác suất (2.11) giả thuyết, hàm ước lượng đề cập đến thống kê (1.8) dùng để ước lượng tham số và ước lượng đề cập đến kết quả sử dụng các giá trị quan trắc. Đôi khi, t í nh từ “điểm” được đặt sau từ ước lượng để nhấn mạnh rằng một giá trị đơn được tạo ra hơn là một khoảng các giá trị. Tương tự, tính từ khoảng được đặt sau từ ước lượng trong trường hợp thực hiện phép ước lượng khoảng. 1.32 Sai số của phép ước lượng Ư ớc lượng (1.31) trừ đi tham số (2.9) hoặc tính chất của tổng thể dự định đ ể ước lượng. CHÚ THÍCH 1: Tính chất của tổng thể có thể là hàm số của tham số hoặc các tham số hoặc đại lượng khác liên quan đến phân bố xác suất (2.11). CHÚ THÍCH 2: Sai số ước lượng có thể do lấy mẫu, độ không đảm bảo đo, làm tròn số hoặc các nguyên nhân khác. Trong thực tế, sai số ước lượng thể hiện sự quan tâm ở mức thấp nhất của người thực hiện. Việc xác định th à nh phần chính gây sai số ước lượng mới là yếu tố quan trọng trong nỗ lực cải tiến chất lượng. 1.33 Độ chệch Kỳ vọng (2.12) của sai số của phép ước lượng (1.32) CHÚ THÍCH 1: Định nghĩa này khác với TCVN 8244-2 (ISO 3534-2) (3.3.2) và TCVN 6165 (VIM) (5.25 và 5.28). Ở đây độ chệch được sử dụng theo nghĩa tổng qu á t như nêu trong Chú thích 1 của 1.34. CHÚ THÍCH 2: Sự có mặt của độ chệch có thể dẫn dến những hậu quả đáng tiếc trong thực tế. Ví dụ, việc ước lượng sai độ bền của vật liệu có thể dẫn đến hỏng thiết bị. Trong lấy mẫu điều tra, độ chệch có thể dẫn đến những quyết định sai của cuộc thăm dò ch í nh trị. 1.34 Ước lượng không chệch Ước lượng (1.12) có độ chệch (1.33) bằng không VÍ DỤ 1: Đối với mẫu ngẫu nhiên (1.6) có n biến ngẫu nhiên (2.10) độc lập, mỗ i biến có cùng phân bố chuẩn (2.50) có trung bình (2.35) μ và độ lệch chuẩn (2.37) σ , thì trung bình mẫu (1.15) và phương sai mẫu (1.16) S 2 là các ước lượng không chệch đối với trung bình μ và phương sai (2.36) σ 2 , tương ứng. VÍ DỤ 2: Như đề cập trong Chú thích 1 của 1.37 ước lượng hợp lý cực đại (1.35) của phương sai σ 2 sử dụng mẫu số n thay cho n - 1 và do đó là ước lượng chệch. Trong các ứng dụng, độ lệch chuẩn mẫu (1.17) được sử dụng nhiều nhưng điều quan trọng là lưu ý rằng căn bậc hai của phương sai mẫu sử dụng n -1 là một ước lượng chệch của độ lệch chuẩn (2.37) của tổng thể. V Í DỤ 3: Đối với mẫu ngẫu nhiên có n cặp biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi cặp có cùng phân bố chuẩn hai chiều (2.65) có hiệp phương sa i (2.43) bằng ρσ XY , thì hiệp phương sai mẫu (1.22) là một ước lượng không chệch đối với hiệp phương sai của tổng thể. Ước lượng hợp lý cực đại dùng n thay cho n - 1 trong mẫu s ố và do đó là ước lượng chệch. CHÚ THÍCH: Ước lượng không chệch được mong muốn theo nghĩa về trung bình, chúng cho giá trị chính xác. Chắc chắn là ước lượng không chệch cung c ấ p điểm bắt đầu hữu ích trong việc tìm kiếm ước lượng “tối ưu” các tham số của tổng thể. Định nghĩa nêu ở đây là định nghĩa có tính ch ấ t thống kê. Trong ứng dụng h à ng ngày, người thực hiện cố gắng tr á nh tạo ra độ chệch cho nghiên cứu bằng cách, ví dụ, đảm bảo rằng mẫu ngẫu nhiên là đại diện của tổng thể quan tâm. 1.35 Ước lượng hợp lý cực đại Ước lượng (1.12) ấn định giá trị của tham số (2.9) tại đó hàm hợp lý (1.38) đạt được hoặc tới gần giá trị lớn nhất của n ó . CHÚ THÍCH 1: Ư ớ c lượng hợp lý cực đại là phương pháp tốt để thu được tham số ước lượng khi phân bố (2.11) đã được quy định [v í dụ, phân bố chuẩn (2.50), phân b ố gamma (2.56), phân bố W eibull (2.63), v.v...]. Các hàm ước lượng này có tính chát thống kê mong muốn (ví dụ, phép biến đổi đơn điệu) và trong nhiều trường hợp cung cấp phương pháp chọn phép ước lượng. Trong các trường hợp hàm ước lượng hợp lý cực đại là chệch, đôi khi có sự hiệu chính đơn giản độ chệch (1.33). Như đề cập trong ví dụ 2 của 1.34, ước lượng hợp lý cực đại đối với phương sai (2.36) của phân bố chuẩn là ước lượng chệch nhưng có thể hiệu chỉnh bằng cách sử dụng n - 1 thay cho n . Phạm vi độ chệch trong những trường hợp như vậy giảm khi cỡ mẫu tăng. CHÚ THÍCH 2: Từ viết tắt MLE thưởng được sử dụng cho cả hàm ước lượng hợp lý cực đại và phép ước lượng hợp lý cực đại với ngữ cảnh chỉ ra sự lựa chọn thích hợp. 1.36 Phép ước lượng Quy trình thu được đại diện thống kê của tổng thể (1.1) từ mẫu ngẫu nhiên (1.6) lấy từ tổng thể này. CHÚ THÍCH 1: Đặc biệt, quy trình này liên quan đến tiến trình từ một hàm ước lượng (1.12) đến một ước lượng cụ thể (1.31) c ấ u thành phép ước lượng. CHÚ THÍCH 2: Phép ước lượng được hiểu theo nghĩa rộng hơn để bao gồm cả ước lượng điểm, ước lượng khoảng hoặc ước lượng tính ch ấ t của tổng thể. CHÚ THÍCH 3. Thông thường, đại diện thống kê đề cập đến phép ước lượng một tham số (2.9) hoặc các tham số hoặc hàm của tham số từ một mô hình giả định. Tổng qu á t hơn, đại diện của tổng thể có thể ít cụ thể hơn, ví dụ như các thống kê liên quan đến tác động của các thảm họa tự nhiên (chết, bị thương, m ấ t tài s ả n và t ổ n thất về nông nghiệp - t ấ t cả những điều mà nhà quản lý tình trạng kh ẩ n c ấ p mong muốn ước lượng). CHÚ THÍCH 4: Việc xem xét thống kê mô tả (1.5) có thể gợi ý rằng mô hình giả định cung c ấ p đại diện không đầy đ ủ các dữ liệu, như được chỉ ra nhờ thước đo sự phù hợp của mô hình đó đối với các dữ liệu. Trong trường hợp như vậy, cần xem xét các mô hình khác và quá trình ước lượng được tiếp tục. 1.37 Phép ước lượng hợp lý cực đại Phép ước lượng (1.36) dựa trên hàm ước lượng hợp lý cực đại (1.35) CHÚ THÍCH 1: Đối với ph â n bố chuẩn (2.50), trung bình mẫu (1.15) là hàm ước lượng hợp lý cực đại (1.35) của tham số (2.9) μ trong khi phươ n g sai mẫu (1.16), sử dụng mẫu số n thay cho là n -1, cung cấp hàm ước lượng hợp lý cực đại σ 2 . Mẫu s ố n - 1 thường được dùng vì giá trị này cung cấp ước lượng không chệch (1.34). CHÚ THÍCH 2: Phép ước lượng hợp lý cực đại đôi khi được dùng để mô tả dẫn xuất của hàm ước lượng (1.12) từ hàm hợp lý. CHÚ THÍCH 3: Mặc dù trong một số trường hợp, cho ra biểu thức dạng hi ề n việc sử dụng phép ước lượng hợp lý cực đại tường minh, nhưng vẫn có các trường h ợ p khác, trong đó hàm ước lượng hợp lý cực đại đòi hỏi việc giải lặp đối với một tập hợp các phương trình. CHÚ THÍCH 4: Từ viết tắt MLE thường được sử dụng cho cả h àm ước lượng hợp lý cực đại và phép ước lượng hợp lý cực đại theo ngữ cảnh ch ỉ ra sự lựa chọn thích hợp. 1.38 Hàm hợp lý Hàm mật độ xác suất (2.26) đánh giá tại các giá trị quan trắc (1.4) và được coi là hàm số của các tham số (2.9) của họ phân bố (2.8) đ ó . VÍ D Ụ 1: Xét trường hợp mười cá thể được chọn ngẫu nhiên từ một tổng thể (1.1) rất lớn và 3 trong số đó c ó đặc trưng riêng. Từ mẫu này, ước lượng (1.31) trực giác của tỷ lệ tổng thể có đặc trưng là 0,3 (3 trong số 10). Trong mô hình phân bố nhị phân (2.46), hàm xác suất (hàm khối lượng xác su ấ t như hàm của p với n cố định tại 10 và x tại 3) đạt giá trị lớn nhất tại p = 0,3, vì vậy thống nhất với trực giác. [ Điều này có thể xác nhận thêm bằng cách vẽ hàm khối lượng xác suất của phân bố nhị phân (2.46) 120 p 3 (1 - p ) 7 theo p ).] VÍ DỤ 2: Đối với phân bố chuẩn (2.50) đã biết độ lệch chuẩn (2.37), nói chung có thể chứng tỏ rằng hàm xác suất có giá trị lớn nhất tại μ bằng trung bình mẫu. 1.39 Hàm hợp lý biên duyên Hàm xác suất (1.38) như hàm của một tham số (2.9) duy nhất với tất cả các tham số khác được đặt để hàm đó đạt cực đại 1.40 Giả thuyết H Nhận định về tổng thể (1.1). CHÚ THÍCH: Thông thường, nhận định về tổng thể liên quan đến một hoặc nhiều tham số (2.9) trong một họ phân bố (2.8) hoặc về họ phân bố đó. 1.41 Giả thuyết không H 0 Giả thuyết (1.40) cần được kiểm nghiệm bằng các phép kiểm nghiệm thống kê (1.48). VÍ DỤ 1: Trong một mẫu ngẫu nhiên (1.6) các biến ngẫu nhiên (2.10) độc lập có cùng phân bố chuẩn (2.50) với trung bình (2.35) và độ lệch chuẩn (2.37) chưa biết, giả thuyết không đối với trung bình μ có thể là trung bình này nhỏ hơn hoặc bằng giá trị μ 0 đã cho và điều này thường được viết theo cách sau: H 0 : μ ≤ μ 0 . VÍ DỤ 2: Giả thuyết không có thể là mô hình thống kê đối với một tổng thể (1.1) l à phân bố chuẩn. Đối với loại gi ả thuyết không này, trung bình và độ lệch chuẩn không được cho trước. VÍ DỤ 3: Giả thuyết không có thể là mô h ì nh thống kê đối với tổng thể gồm phân bố đối xứng. Đối với loại giả thuyết không này, dạng phân bố không được cho trước. CHÚ THÍCH 1: Rõ ràng là giả thuyết không có thể bao gồm một tập con từ một tập hợp các phân bố xác suất có thể. CHÚ THÍCH 2: Định nghĩa này không nên coi là tách biệt với đối giả thuyết (1.42) và phép kiểm nghiệm thống kê (1.48), vì việc áp dụng đúng kiểm nghiệm giả thuyết đòi hỏi tất cả các thành phần này. CHÚ THÍCH 3: Trong thực tế, ta không bao giờ chứng minh giả thuyết không nhưng việc đánh giá trong t ì nh huống đặt ra có thể không thỏa đáng để bác bỏ gi ả thuyết không. Động cơ ban đầu của việc tiến hành kiểm nghiệm giả thuyết bắt nguồn từ mong muốn rằng kết luận sẽ nghiêng về đối giả thuyết cụ thể liên quan đến vấn đề được xét. CHÚ THÍCH 4: Việc không bác bỏ giả thuyết không không phải là “ch ứ ng minh” về hiệu lực của n ó mà có thể ch ỉ ra rằng không có đủ bằng chứng để phản bác. Hoặc giả thuyết không (hoặc gần giống) thực tế là đúng hoặc cỡ mẫu không đ ủ để phát hiện sự khác biệt so với giả thuyết. CHÚ THÍCH 5: Trong nhiều tình huống, quan tâm ban đầu tập trung vào giả thuyết không nhưng khả năng sai khác cũng có thể được quan tâm. Sự xem xét thích hợp cỡ mẫu và hiệu lực trong việc phát hiện sai lệch hoặc thay đổi cụ thể có thể dẫn đến việc thiết lập một quy trình kiểm nghiệm để đánh giá một cách thích hợp giả thuyết không. CHÚ THÍCH 6: Việc chấp nhận đối giả thuyết trái ngược với việc không bác bỏ giả thuyết không là một kết quả tích cực ở chỗ nó hỗ trợ mối quan tâm phỏng đo á n. Việc bác bỏ giả thuyết không, ủng hộ đối giả thuyết là kết quả rõ ràng hơn kết quả như “không bác bỏ giả thuyết không tại thời điểm này”. CHÚ THÍCH 7: Giả thuyết không là cơ sở để thiết lập thống kê kiểm nghiệm (1.52) tương ứng dùng để đánh giá giả thuyết không. CHÚ THÍCH 8: Giả thuyết không thường được biểu thị là H 0 . CHÚ THÍCH 9: Nếu có thể, tập con nhận biết giả thuyết không cần được chọn sao cho nhận định không phù hợp với phỏng đoán cần nghiên cứu. Xem chú thích 2 của 1.48 và ví dụ trong 1.49. 1.42 Đối giả thuyết H A , H 1 Nhận định chọn một tập hợp hoặc một tập con tất cả các phân bố xác suất (2.11) có thể chấp nhận được không nằm trong giả thuyết không (1.41). VÍ DỤ 1: Đối giả thuyết của giả thuyết không nêu trong ví dụ 1 của 1.41 là trung bình (2.35) lớn hơn giá trị quy định, được viết theo cách sau: H A : μ > μ 0 . VÍ DỤ 2: Đối giả thuyết của giả thuyết không nêu trong ví dụ 2 của 1.41 là mô hình thống kê của tổng thể không phải là phân bố chuẩn (2.50). VÍ DỤ 3: Đối giả thuyết của giả thuyết không nêu trong ví dụ 3 của 1.41 l à mô hình thống kê của tổng thể gồm một phân bố không đối xứng. Đối với đối giả thuyết này, dạng không đối xứng cụ thể không được quy định. CHÚ THÍCH 1: Đối giả thuyết là phần bù của giả thuyết không. CHÚ THÍCH 2: Đối giả thuyết có thể được biểu thị bằng H 1 hoặc H A m à không có sự ưu tiên rõ ràng miễn là cách k í hiệu tương đương với kí hiệu của giả thuyết không. CHÚ THÍCH 3: Đối giả thuyết là nhận định trái ngược với giả thuyết không. Thống kê kiểm nghiệm (1.52) tương ứng được dùng để quyết định giữa giả thuyết không và đối giả thuyết. CHÚ THÍCH 4: Không nên tách biệt đối giả thuyết với giả thuyết không cũng như phép kiểm nghiệm thống kê (1.48). CHÚ THÍCH 5: Việc chấp nhận đối giả thuyết trái với việc không bác bỏ giả thuyết không là một kết quả tích cực ở chỗ nó hỗ trợ mối quan tâm phỏng đo á n. 1.43 Giả thuyết đơn Giả thuyết (1.40) quy định một phân bố duy nhất trong một họ phân bố (2.8). CHÚ THÍCH 1: Giả thuyết đơn l à giả thuyết không (1.41) hoặc đối giả thuyết (1.42) trong đó tập con được chọn chỉ gồm một phân bố xác su ấ t (2.11) duy nhất. CHÚ THÍCH 2: Trong một mẫu ngẫu nhiên (1.6) các biến ngẫu nhiên (2.10) độc lập có cùng phân bố chuẩn (2.50) với trung bình (2.35) chưa biết và độ lệch chuẩn (2.37) σ đã biết, giả thuyết đơn đối với trung bình μ là trung bình bằng giá trị μ 0 đã cho và điều này thường được viết như sau: H 0 : μ = μ 0 . CHÚ THÍCH 3: Giả thuyết đơn quy định được hoàn toàn phân bố xác suất (2.11). 1.44 Giả thuyết hợp Giả thuyết (1.40) quy định nhiều hơn một phân bố (2.11) trong một họ phân bố (2.8). VÍ DỤ 1: Giả thuyết không (1.41) và đối giả thuyết (1.42) nêu trong ví dụ ở 1.41 và 1.42 đều là ví dụ của giả thuyết hợp. VÍ DỤ 2: Trong 1.48, giả thuyết không trong Trường hợp 3 của Ví dụ 3 là một giả thuyết đơn. Giả thuyết không trong Ví dụ 4 cũng là một giả thuyết đơn. Các giả thuyết khác trong 1.48 là giả thuyết hợp. CHÚ THÍCH: Giả thuyết hợp là một giả thuyết không hoặc đối giả thuyết trong đó tập con được chọn gồm nhiều phân bố xác suất. 1.45 Mức ý nghĩa α xác suất (2.5) lớn nhất <của phép kiểm nghiệm thống kê> bác bỏ giả thuyết không (1.41) trong khi trên thực tế giả thuyết không là đúng. CHÚ THÍCH: Nếu giả thuyết không là một giả thuyết đơn (1.43), thì xác suất bác bỏ giả thuyết không khi nó đúng sẽ là một giá trị duy nhất. 1.46 Sai lầm loại I Bác bỏ giả thuyết không (1.41) trong khi trên thực tế giả thuyết không là đúng. CHÚ THÍCH 1: Trong thực tế, sai lầm loại I là một quyết định sai. Do đó , ta mong muốn duy trì xác suất (2.5) đưa ra quyết định sai như vậy càng nhỏ càng tốt. Để đạt được x á c suất bằng không sai lầm loại I, ta có thể không bao giờ bác bỏ giả thuyết không. Nói cách khác là không quan tâm đến bằng chứng khi đưa ra quyết định. CHÚ THÍCH 2: Có khả năng trong một số tình huống (ví dụ, phép kiểm nghiệm tham số nhị phân p ), mức ý nghĩa quy định trước 0,05 là không thể đạt được do sự rời rạc của các kết quả. 1.47 Sai lầm loại II Việc không bác b ỏ giả thuyết không (1.41) trong khi trên thực tế giả thuyết không không đúng. CHÚ THÍCH: Trong th ự c tế, sai lầm loại II là một quyết định sai. Do đó, ta mong muốn duy trì xác suất (2.5) đưa ra quyết định sai như vậy càng nhỏ càng tốt. Sai lầm loại II thường xảy ra trong trường hợp cỡ mẫu không đủ để phát hiện ra sự sai lệch so với giả thuyết không. 1.48 Phép kiểm nghiệm thống kê Kiểm nghiệm mức ý nghĩa Quy trình quyết định xem liệu có bác bỏ giả thuyết không (1.41) và chấp nhận đối giả thuyết (1.42) hay không. VÍ DỤ 1: N ế u một biến ngẫu nhiên liên tục (2.29) thực tế có thể lấy giá trị từ -∞ đến +∞ và có nghi ngờ rằng phân bố xác suất th ự c không phải là phân bố chuẩn (2.50), thì các giả thuyết sẽ được lặp như dưới đây. - Phạm v i của trường hợp này là t ấ t cả các phân bố xác su ấ t liên tục (2.23), có thể lấy gi á trị từ -∞ đến +∞. - Phỏng đoán là phân bố xác suất thực không phải là phân bố chuẩn. - Giả thuyết không là phân bố xác suất là phân bố chuẩn. - Đối giả thuyết là phân bố xác suất không phải là phân bố chuẩn. VÍ DỤ 2: Nếu biến ngẫu nhiên tuân thủ phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn (2.37) đã biết và nghi ngờ rằng giá trị kỳ vọng μ sai lệch so với giá trị μ 0 đã cho, khi đó các giả thuyết sẽ được lập theo Trường hợp 3 trong v í dụ tiếp theo. VÍ DỤ 3: Ví dụ này xem xét ba khả năng trong phép kiểm nghiệm thống kê. Trường hợp 1. Phỏng đoán rằng trung bình quá trình cao hơn trung bình mục tiêu của μ 0 . Phỏng đoán này dẫn đến các giả thuyết sau: Giả thuyết không: H 0 : μ ≤ μ 0 Đối giả thuyết: H 1 : μ > μ 0 Trường hợp 2. Phỏng đoán rằng trung bình quá trình thấp hơn trung bình mục tiêu của μ 0 . Phỏng đoán này dẫn đến các giả thuyết sau: Giả thuyết không: H 0 : μ ≥ μ 0 Đối giả thuyết: H 1 : μ < μ 0 Trường hợp 3. Phỏng đoán rằng trung bình quá trình không bằng trung bình quá trình nhưng không quy định hướng. Phỏng đoán này dẫn đến các giả thuyết sau: Giả thuyết không: H 0 : μ = μ 0 Đối giả thuyết: H 1 : μ ≠ μ 0 Trong cả ba trường hợp, việc thiết lập các giả thuyết đều bắt nguồn từ phỏng đoán liên quan đến đối giả thuyết và sự sai lệch của đối giả thuyết so với điều kiện cơ sở. VÍ DỤ 4: Ví dụ này xét trong phạm vi tất c ả các tỷ lệ khuyết tật trong hai lô 1 và 2, p 1 và p 2 nhận các giá trị từ không đến một . Ta có thể nghi ngờ rằng hai lô là khác nhau và do đó phỏng đoán r ằ ng tỷ lệ khuyết tật trong hai lô là khác nhau. Phỏng đoán này dẫn đến các giả thuyết sau: Giả thuyết không: H 0 : p 1 = p 2 Đối giả thuyết: H 1 : p 1 ≠ p 2 CHÚ THÍCH 1: Phép kiểm nghiệm thống kê là một quy trình, đúng trong những điều kiện quy định, đ ể quyết định việc ph â n bố xác suất thực tuân theo giả thuyết không hay đối giả thuyết, dựa vào các quan trắc trên mẫu. CHÚ THÍCH 2: Trước khi tiến hành phép kiểm nghiệm thống kê, tập hợp các phân bố xác suất được xác định trước trên cơ sở th ô ng tin có sẵn. Tiếp đó, các phân bố xác suất, có thể đúng trên cơ sở phỏng đoán cần nghiên cứu, được nhận biết để thiết lập đối giả thuyết. Sau cùng, lập nên giả thuyết không để bổ sung cho đối giả thuyết. Trong nhiều trường hợp, tập hợp có thể của các phân bố xác suất v à từ đó giả thuyết không và đối giả thuyết cũng có thể được xác định bằng cách tham chiếu các tập hợp giá trị của các tham số liên quan. CHÚ THÍCH 3: Vì quyết định dựa trên cơ sở các quan trắc mẫu nên có thể dẫn đến sa i lầm loại I (1.46), bác bỏ giả thuyết không trong khi giả thuyết không là đúng, hoặc sai l ầ m loại II (1.47), không bác bỏ giả thuyết không ủng hộ đối giả thuyết trong khi đối giả thuyết l à đúng. CHÚ THÍCH 4: Trường hợp 1 và 2 trong ví dụ 3 ở trên là ví dụ về phép kiểm nghiệm một phía . Trường hợp 3 là ví dụ về phép kiểm nghiệm hai phía . Trong cả ba trường hợp, lựa chọn một ph í a hay hai phía được xác định bằng việc xem xét vùng tham số μ tương ứng với đối giả thuyết. Tổng qu á t hơn, phép kiểm nghiệm một phía và hai phía có thể bị chi phối bởi vùng bác b ỏ giả thuyết không ứng với thống kê kiểm nghiệm đã chọn. Nghĩa là, thống kê kiểm nghiệm có một vùng tới hạn thuận cho đối giả thuyết, nhưng nó có thể không liên quan trực tiếp đến mô tả đơn giản không gian tham số như trong các trường hợp 1, 2 và 3. CHÚ THÍCH 5: C ần thận trọng đối với việc đưa ra các giả định cơ bản hoặc việc ứng dụng sai phép kiểm nghiệm thống kê. Phép kiểm nghiệm thống kê dẫn đến những kết luận ổn đ ị nh ngay cả trong trường hợp quy định sai của các giả định cơ bản được gọi l à ổn định. Phép kiểm nghiệm t một mẫu đối với trung bình là một ví dụ về phép kiểm nghiệm được coi là rất ổn định ở các phân bố không chuẩn. Phép kiểm nghiệm Bartlett đối với tính thuần nhất của các phương sai là một ví dụ về quy trình không ổn định, có kh ả n ă ng dẫn đến việc bác bỏ quá mức sự bằng nhau của các phương sai trong các trường hợp ph â n bổ trong đó các phương sai trên thực tế là như nhau. 1.49 p-giá trị xác suất (2.5) quan trắc thấy giá trị thống kê kiểm nghiệm (1.52) được quan trắc hoặc giá trị khác bất kỳ ít nhất là không thuận cho giả thuyết không (1.41). VÍ DỤ: Xét ví dụ số ban đầu nêu trong 1.9. Giả sử để minh họa rằng các giá tr ị này là giá trị quan trắc từ quá trình mà thông thường mong muốn có trung bình là 12,5, từ kinh nghiệm trước đó, người kỹ sư cùng với quá trình cảm thấy rằng quá trình này thấp hơn giá trị mong muốn trên. Một nghiên cứu được thực hiện và một mẫu ngẫu nhiên cỡ mẫu 10 được chọn với các kết quả số ở 1.9. Các giả thuyết thích hợp là: Giả thuyết không: H 0 : μ ≥ 12,5 Đối giả thuyết: H 0 : μ < 12,5 Trung bình mẫu là 9,7 theo hướng của ph ỏng đoán nhưng có đủ cách xa 12,5 đ ể hỗ trợ phỏng đoán hay không? Đối với ví dụ này thống kê kiểm nghiệm (1.52) là -1,976 4 với p -giá trị tương ứng 0,040. Điều này có nghĩa là có ít hơn bốn cơ hội trong một trăm quan trắc giá trị thống kê kiểm nghiệm là -1,976 4 hoặc thấp hơn, nếu trong thực tế trung bình thực của quá trình là 12,5. Nếu mức ý nghĩa quy định trước ban đầu là 0,05, thì thông thường ta sẽ bác bỏ giả thuyết không và chấp nhận đối giả thuyết. Giả sử khác là vấn đề được trình bày hơi khác đôi chút. Hình dung là vấn đ ề liên quan là quá trình chệch khỏi mục tiêu 12,5 nhưng hướng không được xác định. Điều này dẫn đến các giả thuyết sau: Giả thuyết không: H 0 : μ ≈ 12,5 Đối giả thuyết: H 1 : μ ≠ 12,5 Cho dữ liệu tương tự thu thập từ mẫu ngẫu nhiên, thống kê ki ể m nghiệm cũng bằng -1,976 4. Đối với đối giả thuyết này, vấn đề quan tâm là “xác suất gặp phải giá trị cực trị như vậy hoặc vượt quá giá trị đ ó là bao nhiêu?”. Trong trư ờ ng hợp này, có hai vùng liên quan, các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng -1,9764 hoặc các giá trị lớn hơn hoặc bằng 1,9764. Xác suất của thống kê kiểm nghiệm I xuất hiện trong một trong hai vùng này là 0,080 (bằng hai lần giá trị một phía). Có tám cơ hội trong một trăm quan trắc giá trị thống kê kiểm nghiệm đạt cực tr ị này hoặc lớn hơn. V ì vậy, giả thuyết không không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa 0,05. CHÚ THÍCH 1: Nếu p-giá trị, ví dụ, trở thành 0,029, thì theo giả thuyết không, sẽ có ít hơn ba cơ hội trên một trăm lần xuất hiện cực trị của thống kê kiểm nghiệm hoặc vượt quá cực trị. Dựa v à o thông tin này, ta có thể buộc phải bác bỏ giả thuyết không v ì đ ó là một p -giá trị tương đối nhỏ. Chính thức hơn thì nếu mức ý nghĩa được đặt là 0,05, thì rõ ràng p-giá trị là 0,029 nhỏ hơn 0,05 dẫn đến việc bác bỏ giả thuyết không. CHÚ THÍCH 2: Thuật ngữ p-giá trị đôi khi được gọi là xác suất ý nghĩa mà không nên nhầm với mức ý nghĩa (1.45) là một hằng số quy định trong một ứng dụng. 1.50 Hiệu lực của phép kiểm nghiệm Một trừ đi xác suất (2.5) mắc sai lầm loại II (1.47). CHÚ THÍCH 1: Hiệu lực của phép kiểm nghiệm đối với một giá trị quy định của một tham số (2.9) chưa biết trong một họ phân bố (2.8) bằng xác suất bác bỏ giả thuyết không (1.41) đối với giá trị tham số đó. CHÚ THÍCH 2: Trong hầu hết các trường hợp th ự c tế , việc tăng cỡ mẫu sẽ làm tăng hiệu lực của phép kiểm nghiệm. Nói cách khác là xác suất bác bỏ giả thuyết không khi đối giả thuyết (1.42) là đúng sẽ tăng khi cỡ mẫu tăng, từ đ ó làm giảm xác suất sai lầm loại II. CHÚ THÍCH 3: Các trường hợp kiểm nghiệm thường mong muốn khi cỡ mẫu trở nên cực lớn, thậm chí sai lệch nhỏ so với giả thuyết không phải được phát hiện, dẫn tới bác bỏ giả thuyết không. Nói cách khác, hiệu lực của phép kiểm nghiệm cần đạt đến 1 đối với từng đối giả thuyết của giả thuyết không khi cỡ mẫu lớn đến vô cùng. Phép ki ể m nghiệm như vậy gọi là nh ấ t quán. Khi so sánh hai phép kiểm nghiệm về hiệu lực, phép kiểm nghiệm có hiệu lực cao hơn có vẻ có hiệu quả hơn với điều kiện các mức ý nghĩa giống nhau cũng như các giả thuyết không và đối giả thuyết. Có các mô tả toán học chính thức hơn cho c ả tính nhất quán và hiệu quả không thuộc phạm vi của tiêu chuẩn này. (Tham khảo các s á ch thống kê hoặc sách toán thống kê.) 1.51 Đường hiệu lực Tập hợp các giá trị hiệu lực của phép kiểm nghiệm (1.50) là hàm số của tham số (2.9) tổng thể từ một họ phân bố (2.8). CHÚ THÍCH: Hàm hiệu lực bằng một trừ đi đường hiệu quả. 1.52 Thống kê kiểm nghiệm Thống kê (1.8) sử dụng cùng với phép kiểm nghiệm thống kê (1.48) CHÚ THÍCH: Thống kê kiểm nghiệm được dùng đ ể đánh giá phân bố xác suất (2.11) được xét có phù hợp với giả thuyết không (1.41) hoặc đối giả thuyết (1.42) hay không. 1.53 Thống kê mô tả đồ thị Thống kê mô tả (1.5) dưới dạng hình ảnh. CHÚ THÍCH: Mục đích của thống kê mô tả thường là đ ể giảm số lượng lớn các giá trị xuống còn một số ít dễ sử dụng hoặc biểu diễn giá trị theo cách dễ hình dung. Ví dụ về tổng hợp đồ họa bao gồm biểu đồ hộp , biểu đồ xác suất, biểu đồ Q-Q, biểu đồ ph â n vị chuẩn, đám mây điểm, đám mây điểm nhiều chiều và biểu đ ồ phân bố (1.61). 1.54 Thống kê mô tả dạng số Thống kê mô tả (1.5) dưới dạng số. CHÚ THÍCH: Thống kê mô tả bằng số bao gồm trung bình (1.15), độ rộng mẫu (1.10), độ lệch chuẩn mẫu (1.17), độ rộng giữa các tứ phân vị,... 1.55 Các lớp CHÚ THÍCH: Các lớp được giả định là đầy đủ và loại trừ lẫn nhau. Đường thẳng thực là tất c ả các s ố thực nằm trong khoảng từ -∞ đến +∞. 1.55.1 Lớp <đặc trưng định t í nh> Tập hợp con các c á thể lấy từ mẫu (1.3). 1.55.2 Lớp <đặc trưng thứ tự> Tập hợp một hoặc nhiều loại được sắp xếp theo một thang thứ tự. 1.55.3 Lớp <đặc trưng định l ượng> Khoảng của đường thẳng thực. 1.56 Giới hạn lớp Biên giới lớp <đặc trưng định lượng> Giá trị xác định cận trên và cận dưới của lớp (1.55). CHÚ THÍCH: Định nghĩa này đề cập đến giới hạn lớp kèm theo đặc trưng định lượng. 1.57 Điểm giữa lớp <đặc trưng định lượng> Trung bình (1.15) giữa giới hạn lớp (1.56) trên và dưới. 1.58 Độ rộng lớp <đặc trưng định lượng> Giới hạn trên của lớp trừ đi giới hạn dưới của lớp (1.55). 1.59 Tần số Số lần xuất hiện hoặc giá trị quan trắc (1.4) trong một lớp (1.55) quy định 1.60 Phân bố tần số Mối quan hệ theo thực nghiệm giữa các lớp (1.55) và số lần xuất hiện của chúng hoặc giá trị quan trắc (1.4). 1.61 Biểu đồ phân bố Cách biểu diễn phân bố tần số (1.60) bằng đồ thị gồm các hình chữ nhật liền nhau, mỗi hình có độ rộng bằng với độ rộng lớp (1.58) và diện tích tỷ lệ với tần số lớp. CHÚ THÍCH: C ần chú ý đối với trường hợp dữ liệu trong các lớp có độ rộng lớp không bằng nhau. 1.62 Biểu đồ cột Cách biểu diễn phân bố tần số (1.60) của một tính chất định danh bằng đ ồ thị gồm một tập hợp các hình chữ nhật có độ rộng bằng nhau và chiều cao tỷ lệ với tần số (1.59). CHÚ THÍCH 1: Các hình chữ nhật đôi khi được vẽ bằng h ì nh ảnh ba chiều để tạo t í nh th ẩ m mỹ, mặc d ù việc này không cung cấp thêm thông tin và không phải là cách biểu diễn được khuyến nghị. Đối với bi ể u đồ cột, các hình chữ nhật không nhất thiết phải liền nhau. CHÚ THÍCH 2: Sự phân biệt giữa biểu đồ phân bố và bi ể u đồ cột ngày càng trở nên mờ nhạt do phần mềm sẵn có không phải lúc nào cũng tuân thủ các định nghĩa nêu ở đây. 1.63 Tần số tích lũy Tần số (1.59) cộng dồn đối với các lớp tính đến và bao gồm cả giới hạn quy định. CHÚ THÍCH: Định nghĩa này ch ỉ áp dụng cho các giới hạn quy định tương ứng với các giới hạn lớp (1.56). 1.64 Tần số tương đối (tần suất) Tần số (1.59) chia cho tổng số l ầ n xuất hiện hoặc giá trị quan trắc (1.4). 1.65 Tần số tương đối tích lũy (tần suất tích lũy) Tần số tích lũy (1.63) chia cho tổng số lần xuất hiện hoặc giá trị quan trắc (1.4). 2 Thuật ngữ dùng trong xác suất 2.1 Không gian mẫu Ω Tập hợp tất cả các kết quả có thể có. V Í DỤ 1: Xét thời gian pin do người tiêu dùng mua sử dụng được. Nếu pin không c ó điện khi sử dụng lần đ ầ u thì th ờ i gian sử dụng bằng 0. Nếu pin hoạt động trong một khoảng thời gian thì thời gian sử dụng bằng một số giờ. Do đó, không gian mẫu gồm các kết quả {pin hỏng ngay lần đầu} và {pin hỏng sau x giờ, trong đó x l ớ n hơn 0}. Ví dụ này sẽ được sử dụng trong toàn bộ điều này. Cụ thể, th ả o luận mở rộng của ví dụ này được nêu trong 2.68. VÍ DỤ 2: Một hộp gồm 10 điện trở được ghi nhãn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Nếu hai điện trở được lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại từ bộ điện trở này, thì không gian mẫu gồm 45 kết quả sau: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1,6), (1, 7), (1, 8), (1 , 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), ( 2, 6), (2, 7), (2, 8), ( 2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (3, 9), (3, 10), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8), (4, 9), (4, 10), (5, 6), (5, 7), (5, 8), (5, 9) , (5, 10), (6, 7), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (7, 8), (7, 9), (7, 10), (8, 9), (8, 10), (9, 10). Biến cố (1, 2) được coi là giống với (2, 1), vậy thứ tự lấy mẫu điện trở không quan trọng. Nếu thứ tự là quan trọng th ì (1, 2) được coi là khác với (2 , 1), khi đó có tổng số 90 kết quả trong không gian mẫu. VÍ DỤ 3: Nếu trong ví dụ trước, việc lấy mẫu được thực hiện có hoàn lại thì cần thêm vào các biến cố (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9) và (10, 10). Trong trường hợp thứ tự không quan trọng, trong không gian mẫu sẽ có 55 kết quả. Trư ờ ng hợp thứ tự là quan trọng, trong không gian mẫu có 100 kết quả. CHÚ THÍCH 1: Các kết quả có thể phát sinh từ thực nghiệm thực tế hoặc thực nghiệm giả thuyết ho à n toàn. T ậ p hợp này có thể là danh sách rõ ràng, một tập hợp đếm được ví dụ như các số nguyên dương, {1, 2, 3, ...}, hoặc đường thẳng thực. CHÚ THÍCH 2: Không gian mẫu là thành phần đầu tiên của không gian xác suất (2.68). 2.2 Biến cố A Tập con của k hông gian mẫu (2.1) VÍ DỤ 1: Tiếp theo v í dụ 1 của 2.1, dưới đây là các ví dụ về biến cố {0}, (0, 2), { 5,7 } , [ 7, +∞), ứng với pin hỏng ngay từ đầu, pin ban đầu hoạt động nhưng chưa đến hai giờ làm việc th ì hỏng, pin h ỏ ng ở chính xác là 5,7 h, và sau 7 h pin vẫn không hỏng. {0} và {5,7} mỗi tập chứa một giá trị; (0, 2) là khoảng mở của đường thẳng thực; [ 7, +∞) l à kho ả ng vô hạn đóng bên trái của đường thẳng thực. V Í DỤ 2: Tiếp theo ví dụ 1 của 2.1, lưu ý đến việc chọn mà không hoàn lại và không ghi lại thứ tự chọn. Một biến cố có thể xảy ra là 4 định nghĩa bởi { ít nh ấ t một trong các điện trở 1 hoặc 2 nằm trong mẫu}. Biến cố n à y chứa 17 kết quả (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1 , 10) , (2, 3), (2 , 4), (2, 5), (2, 6) , (2, 7), (2, 8), (2, 9) và (2, 10). Một biến cố khác là B {không có điện trở nào trong số 8, 9 hoặc 10 nằm trong mẫu } . Biến cố này ch ứ a 21 kết quả (1, 2), (1,3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6,7). VÍ DỤ 3: Tiếp tục với ví dụ 2, phần giao nhau giữa biến cố A và B (nghĩa là một trong các điện trở 1 và 2 n ằ m trong mẫu nhưng không có điện trở nào trong số 8, 9 và 10), chứa 11 kết quả sau: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1 , 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2 , 5) , (2, 6), (2 , 7). Hợp hai biến cố A và B chứa 27 kết quả sau: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8) , (1, 9), (1, 10), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (2, 9), (2, 10), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7) và (6, 7). Số kết quả trong hợp của hai biến cố A và B (nghĩa là ít nhất một trong hai điện trở 1 và 2 hoặc không có điện trở nào trong số 8, 9 và 10 nằm trong mẫu) là 27 đúng bằng 17 + 21 - 11, là số kết quả trong A cộng số kết quả trong B trừ đi số k ế t quả trong phần giao nhau của hai biến c ố . CHÚ THÍCH: Cho trước biến cố và kết quả của thực nghiệm, biến cố được gọi là xảy ra nếu kết quả thuộc về biến cố đó. Các biến cố thực tế sẽ thuộc về sigma đại số của các biến cố (2.69), thành phần thứ hai của không gian xác suất (2.68). Các biến cố tự nhiên xảy ra trong trường hợp trò chơi may rủi (bài poke, rulet, ...) xác định số kết quả thuộc về biến cố xác định c á c số chênh để cá cược. 2.3 Biến cố bù A C Không gian mẫu (2.1) loại đi biến cố (2.2) đã cho. VÍ DỤ 1: Tiếp tục với pin ở ví dụ 1 của 2.1, phần bù của biến cố {0} là biến cố (0, +∞) tương đương với phần bù của biến cố ban đầu pin hoạt động. Tương tự, biến cố [0,3) ứng với các trường hợp pin ban đầu không hoạt động hoặc hoạt động trong khoảng ít hơn ba giờ. Phần bù của biến cố này là [3, ∞) ứng với trường hợp pin làm việc ở 3 h và thời gian làm việc lớn hơn giá trị này. VÍ DỤ 2: Tiếp tục với ví dụ 2 của 2.2. Có thể dễ dàng tìm ra số kết quả trong biến cố B bằng cách xem xét biến cố bù cho B = {mẫu chứa ít nhất một trong các điện tr ở 8, 9 hoặc 10 } . Biến cố này chứa 7 + 8 + 9 = 24 kết quả (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8), (6, 8), (7, 8) , (1, 9), (2, 9), (3, 9), (4, 9), (5, 9), (6, 9), (7, 9), (8, 9) , (1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10), (5, 10), (6, 10), (7, 10) , (8, 10), (9, 10). V ì toàn bộ không gian mẫu chứa 45 kết quả nên biến cố B chứa 45 - 24 = 21 kết quả [đó là: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) , (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 6), (5, 7), (6, 7)]. CHÚ THÍCH 1: Biến cố bù là phần bù của biến cố trong không gian mẫu. CHÚ THÍCH 2: Biến cố bù cũng là một biến cố. CHÚ THÍCH 3: Đối với bi ế n cố A, biến cố bù cho A thường được kí hiệu là A c . CHÚ THÍCH 4: Trong nhiều trường hợp , có thể dễ dàng tính toán xác suất của phần bù của một biến cố h ơ n là tính xác suất của biến cố đó. Ví dụ, biến cố xác định bởi “ít nhất một khuyết tật xuất hiện trong mẫu gồm 10 cá thể được chọn ngẫu nhiên từ tổng thể gồm 1 000 cá thể, với giả định một phần trăm khuyết tật” có một lượng lớn các kết quả được liệt kê. Phần bù của biến cố này (không phát hiện thấy khuyết tật) dễ xử l í hơn nhiều. 2.4 Biến cố độc lập Cặp biến cố (2.2) sao cho xác suất (2.5) của phần giao nhau giữa hai biến cố đó l à tích của các xác suất riêng lẻ. VÍ DỤ 1: Xét trường hợp trò tung hai xúc xắc, một đỏ và một trắng có được 36 kết quả, mỗi kết quả có xác suất 1/36. D i được định nghĩa là bi ế n cố trong đó tổng số chấm trên hai xúc xắc là i . W được định nghĩa là xúc xắc trắng có một chấm. Biến cố D 7 và W độc lập nhau, trong khi biến cố D i và W lại không độc lập với i = 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Các biến cố không độc lập được gọi l à biến cố phụ thuộc. V Í DỤ 2: Các biến cố độc lập và phụ thuộc xảy ra tự nhiên trong các ứng dụng. Trong trư ờ ng hợp các biến cố hoặc tình huống là phụ thuộc thì việc biết kết quả của biến cố liên quan r ấ t có ích. Ví dụ, một người chuẩn bị thực hiện một cuộc phẫu thuật tim sẽ có khả năng thành c ô ng rất khác nhau, nếu đó là trường hợp người này có tiền sử hút thuốc hoặc yếu tố rủi ro khác. V ì vậy, hút thuốc và chết do tiến triển bệnh là phụ thuộc. Ngược lại, cái chết có thể độc lập với ngày của tuần mà người này sinh ra. Trong ngữ c ả nh độ tin cậy thì các thành phần có nguyên nhân hỏng chung th ì không có thời gian làm việc đến khi hỏng độc lập. Các thanh nhiên liệu trong lò phản ứng có xác suất thấp xảy ra vỡ nhưng đưa ra rằng một thanh nhiên liệu bị gãy thì xác suất gãy thanh liền kề về cơ bản có thể tăng lên. VÍ DỤ 3: Tiếp theo ví dụ 2 của 2.2, giả định rằng việc lấy mẫu được thực hiện bằng cách lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản, sao cho tất cả các kết quả có cùng xác suất 1/45. Khi đó P(A) = 17/45 = 0,377 8, P ( B) = 21/45 = 0,4667 và P ( A và B ) = 11/45 = 0,244 4. Tuy nhiên, tích P(A) x P(B) = (17/45) x (21/45) = 0,176 3, khác với 0,244 4, do đó biến cố A và B là không độc lập. CHÚ THÍCH: Định nghĩa này được nêu trong ngữ cảnh hai biến cố nhưng có thể mở rộng thêm. Đối với biến cố A và B , điều kiện độc lập P(A Ո B ) = P (A) P(B). Đối với ba biến cố A , B và C độc lập, điều kiện là: P(A Ո B Ո C) = P (A) P (B) P (C) P(A Ո B) = P (A) P (B) P ( A Ո C) = P(A) P(C) và P ( B Ո C) = P (B) P (C) Nói chung, đối với nhiều hơn hai biến cố, A 1 , A 2 , .... A n là độc lập nếu xác suất phần giao nhau của tập con các biến cố cho trước bất kỳ bằng tích xác suất các biến cố riêng lẻ, điều kiện này duy trì cho từng và mọi tập con. Có thể đặt ra ví dụ trong đó mỗi cặp biến cố là độc lập nhưng ba biến cố lại không độc lập (nghĩa là theo cặp chứ không hoàn toàn độc lập). 2.5 Xác suất của biến cố A P(A) S ố thực thuộc khoảng đóng [0, 1] được ấn định cho một biến cố (2.2). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ 2 của 2.1, có thể tìm được xác suất của một biến cố bằng cách cộng các xác suất của tất cả các kết quả cấu thành biến cố đó. Nếu tất cả 45 kết quả có cùng một xác suất thì mỗi kết quả sẽ c ó x á c su ấ t là 1/45. Xác suất của biến cố có thể t ì m được bằng cách đếm số kết quả rồi chia cho 45. CHÚ THÍCH 1: Độ đo xác suất (2.70) g á n các số thực cho mọi biến cố trong không gian mẫu. Việc gán bởi độ đo xác suất một biến cố đơn lẻ cung cấp xác suất của biến cố đó. Nói cách khác, độ đo xác suất lập ra tập hợp hoàn chỉnh các giá trị ấn định cho tất cả các biến cố, trong khi xác suất đại diện cho một ấn định cụ thể cho một biến cố riêng l ẻ . CHÚ THÍCH 2: Định nghĩa này đề cập đến xác suất như là xác suất của một biến cố cụ thể. Xác suất có thể liên quan đến tần suất xuất hiện trong một thời gian dài hoặc mức độ tin tư ở ng vào khả năng xuất hiện biến cố. Thông thường, xác suất của biến cố A được biểu thị bằng P(A). Ký hiệu (A) sử dụng chữ được dùng trong trường hợp có nhu cầu xem xét rõ ràng s ự chính thống của không gian xác suất (2.68). 2.6 Xác suất có điều kiện P(A\B) Xác suất (2.5) của phần giao nhau giữa biến cố A và B chia cho xác suất của B . V Í DỤ 1: Tiếp theo v í dụ 1 của 2.1, xét biến cố (2.2) A xác định là { pin hoạt động trong ít nhất là ba giờ } , là [3, ∞). Biến cố B được xác định là { pin hoạt động ngay từ đầu } , là (0, ∞). Xác suất có điều kiện của A cho trước B tính đến việc xử lý trường hợp pin hoạt động từ ban đ ầ u. VÍ DỤ 2: Tiếp theo ví dụ 2 của 2.1, nếu là lựa chọn không hoàn lại, xác suất chọn điện trở 2 trong lần lấy mẫu thứ hai là bằng không nếu biết trước nó đã được chọn trong lần lấy mẫu thứ nhất. Nếu các xác suất đối với mọi điện trở được chọn là bằng nhau thì xác suất chọn điện trở 2 trong lần lấy mẫu thứ hai bằng 0,111 1 nếu biết trước nó không được chọn trong lần lấy mẫu thứ nhất. VÍ DỤ 3: Tiếp tục với ví dụ 2 của 2.1, nếu là lựa chọn c ó hoàn lại và các xác suất bằng nhau đối với t ấ t cả các điện trở được chọn trong mỗi lần lấy mẫu thì xác suất chọn điện trở 2 trong lần lấy thứ hai sẽ là 0,1 hoặc là điện trở 2 đã được chọn trong lần đầu hoặc là không được chọn trong lần đầu. Vì vậy các kết quả của lần lấy mẫu thứ nhất và thứ hai là các biến cố độc lập. CHÚ THÍCH 1: Xác suất của biến cố B cần phải lớn hơn không. CHÚ THÍCH 2: “ A cho trước B ” có thể nêu đầy đủ hơn là “biến cố A cho trước biến cố B đã xảy ra”. Vạch thẳng đứng trong ký hiệu đối với xác suất có điều kiện đọc là “cho trước”. CHÚ THÍCH 3: Nếu xác suất có điều kiện của biến cố A cho trước biến cố B xảy ra bằng xác suất xảy ra biến cố A , thì khi đó biến cố A và B là độc lập. Nói cách khác, việc biết được sự xuất hiện của B kh ô ng ảnh hưởng đến xác suất của A . 2.7 Hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X F(x) Hàm số của x cho biết xác suất (2.5) của biến cố (2.2) (-∞, x ]. CHÚ THÍCH 1: Khoảng (-∞, x ] là tập hợp t ấ t cả các giá trị nhỏ hơn và bao gồm cả x . CHÚ THÍCH 2: H à m phân bố mô tả to à n bộ phân bố xác suất (2.11) của biến ngẫu nhiên (2.10). Phân loại phân bố cũng như phân loại biến ngẫu nhiên thành các lớp rời rạc hoặc liên tục đều dựa trên phân loại hàm phân bố. CHÚ THÍCH 3: Vì biến ngẫu nhiên lấy giá trị là các số thực hoặc bộ có thứ tự của k số thực, hàm ý trong định nghĩa này l à x cũng là một số thực hoặc bộ có thứ tự của k số thực. Hàm phân bố đối với phân bố nhiều chiều (2.17) cho biết xác suất (2.5) m à mỗi biến ng ẫ u nhiên đơn của phân bố nhiều chiều nhỏ hơn hoặc bằng giá trị quy định, v ề ký hiệu, hàm phân bố nhiều chiều được cho bởi F(x 1 , x 2 , …, x n ) = P [ X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , …, X n ≤ x n ] . Hàm phân bố cũng là hàm không giảm. Trường hợp một chiều, hàm phân bố được cho b ở i F(x) = P [X ≤ x], đưa ra xác suất của biến cố là biến ngẫu nhiên X lấy các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng x . CH Ú THÍCH 4: Thông thường, hàm phân bố được chia thành: hàm phân bố rời rạc (2.22) và hàm phân bố liên tục (2.23) nhưng cũng có các khả năng khác. Trở lại ví dụ về pin ở 2.1, hàm phân bố có thể như sau: Từ quy định về hàm phân bố này, tuổi thọ của pin là không âm. Có 10 % cơ hội pin không hoạt động ngay từ lần đầu. Nếu trên thực tế ban đầu pin không hoạt động thì tuổi thọ của pin có phân bố mũ (2.58) với tuổi thọ trung bình là 1 h. CHÚ THÍCH 5: Chữ viết tắt cdf (hàm phân bố tích lũy) thư ờ ng đ ược dùng cho hàm phân bố. 2.8 Họ phân bố Tập hợp các phân bố xác suất (2.11). CHÚ THÍCH 1: T ậ p hợp các ph â n b ố xác suất thường được xác định bởi tham số (2.9) của phân bố xác suất. CHÚ THÍCH 2: Trung bình (2.35) và/hoặc phương sai (2.36) của phân bố xác suất thường được dùng như chỉ số của họ phân bố hoặc bộ phận của chỉ số trong trường hợp cần nhiều hơn hai tham số để xác định họ phân bố. Trong các trường hợp khác, trung bình và phương sai không nh ấ t thiết phải là các tham số rõ ràng trong họ phân bố mà đúng hơn là hàm của các tham số. 2.9 Tham số Chỉ số của họ phân bố (2.8). CHÚ THÍCH 1: Tham số có thể là một chiều hoặc nhiều chiều. CHÚ THÍCH 2: Tham số đôi khi được gọi là tham số định vị, đặc biệt nếu tham số tương ứng trực tiếp với trung bình của họ phân bố. Một số tham số được mô tả như tham số thang đo, đặc biệt nếu chúng chính là hoặc tỷ lệ với độ lệch chuẩn (2.37) của phân bố. Các tham số không phải l à tham số định vị cũng không phải là tham số thang đo thường được gọi là tham số định dạng. 2.10 Biến ngẫu nhiên Hàm xác định trên không gian mẫu (2.1) trong đó các giá trị của hàm này là bộ có thứ tự của k số thực. VÍ DỤ: Tiếp theo v í dụ về pin trong 2.1, không gian mẫu gồm các biến cố được mô tả bằng lời (pin h ỏ ng ngay lần đầu tiên, ban đầu pin hoạt động nhưng sau đó hỏng ở x giờ). Các biến cố như vậy khó giải quyết bằng toán học, do đó phải kèm theo mỗi biến cố thời gian tại đó pin h ỏ ng (cho bằng số thực). Nếu biến ngẫu nhiên lấy giá trị 0, thì ta có thể thấy rằng k ế t quả này tương ứng với sự cố xảy ra ngay từ đầu. Đối với giá trị của biến ngẫu nhiên lớn hơn không, có thể hiểu là ban đầu pin hoạt động và sau đó hỏng ở giá trị cụ thể này. Biểu diễn của biến ngẫu nhiên cho phép trả lời câu hỏi: “xác suất pin có tuổi thọ vượt quá thời gian bảo hành của nó, nghĩa là 6 h, là bao nhiêu?”. CHÚ THÍCH 1: Ví dụ về bộ k có thứ tự là ( x 1 , x 2 , .... x k ). Nói cách khác, bộ có thứ tự k là vectơ k chiều (vectơ hàng hoặc cột). CHÚ THÍCH 2: Thông thường, biến ngẫu nhiên có số chiều biểu thị bằng k . Nếu k = 1 thì biến ngẫu nhiên được gọi là một chiều hoặc một biến. Đối với k > 1, biến ngẫu nhiên được gọi l à nhiều chiều. Trên thực tế, khi số chiều là một số cho trước, k , biến ngẫu nhiên được gọi là k chiều. CHÚ THÍCH 3: Biến ngẫu nhiên một chiều là hàm giá trị thực xác định theo không gian mẫu (2.1) là bộ phận của không gian xác suất (2.68). CHÚ THÍCH 4: Biến ngẫu nhiên c ó giá trị thực được cho như các cặp thứ tự được gọi là hai chiều. Định 1 nghĩa này mở rộng khái niệm cặp thứ tự sang bộ k có thứ tự. CHÚ THÍCH 5: Thành phần thứ j của biến ngẫu nhiên k - chiều là biến ngẫu nhiên tương ứng với thành phần thứ j duy nhất của bộ k . Thành phần thứ j của biến ngẫu nhiên k chiều tương ứng với không gian xác suất trong đó biến cố (2.2) ch ỉ được xác định về giá trị của thành phần được xét. 2.11 Phân bố xác suất Phân bố Độ đ o xác suất (2.70) được xác định bởi một bi ế n ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ về pin ở 2.1, phân bố tuổi thọ của pin mô tả hoàn toàn các xác suất xuất hiện các giá trị cụ thể. Không biết chắc thời gian hỏng của pin sẽ là bao nhiêu cũng như không biết (trước thử nghiệm) việc pin có hoạt động ngay từ ban đầu hay không. Phân bố xác suất mô tả hoàn toàn tính chất xác suất của một kết quả không chắc chắn. Trong Chú thích 2 của 2.7, đưa ra một khả năng biểu diễn phân bố xác suất, gọi là hàm phân bố. CHÚ THÍCH 1: Có nhiều cách biểu diễn toán học tương đương cho phân bố bao gồm hàm phân bố (2.7), hàm mật độ xác suất (2.27), nếu có, và h à m đặc trưng. Với các mức độ khó khác nhau, các cách biểu diễn này cho phép xác định xác suất tại đó biến ngẫu nhiên lấy giá trị trong vùng đã cho. CHÚ THÍCH 2: Vì biến ngẫu nhiên là hàm số từ các tập hợp con của không gian mẫu lên đường thẳng thực nên, chẳng hạn, xác suất của biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực bất kỳ là 1. Đối với ví dụ về pin, P [ X ≥ 0] = 1. Trong nhiều trường hợp, nếu xử lý trực tiếp biến ngẫu nhiên và một trong các cách thể hiện của nó sẽ dễ dàng hơn nhiều so với việc liên hệ đến độ đo xác suất. Tuy nhiên, kh i chuyển đổi từ cách thể hiện này sang cách thể hiện khác, độ đo xác suất đảm bảo được tính nhất quán. CHÚ THÍCH 3: Biến ngẫu nhiên có một thành phần được gọi là phân bố xác suất một chiều hoặc đơn biến. Nếu biến ngẫu nhiên có hai thành phần, thì đó là ph â n bố xác suất hai chiều hoặc hai biến, còn nếu có nhiều hơn hai thành phần thì ta nói rằng biến ngẫu nhiên có phân bố xác suất nhiều chiều hoặc đa biến. 2.12 Kỳ vọng Tích phân của hàm của biến ngẫu nhiên (2.10) theo độ đo xác suất (2.70) lấy trên toàn bộ không gian mẫu (2.1). CHÚ THÍCH 1: Kỳ vọng của hàm g của biến ngẫu nhiên X được biểu thị bằng E [ g ( X )] và được tính bằng: trong đó F ( x) là hàm phân bố tương ứng. CHÚ THÍCH 2: “ E ” trong E [ g ( X ) ] lấy từ “giá trị k ỳ vọng” hoặc “kỳ vọng” của biến ngẫu nhiên X. E có thể được coi như một toán tử hoặc hàm số chiếu biến ngẫu nhiên lên đường thẳng thực theo công thức trên. CHÚ THÍCH 3: Có hai tích phân được cho đối với E [ g ( X ) ]. Tích phân đầu tiên lấy trên không gian mẫu chỉ có nghĩa về khá i niệm chứ không dùng trong thực tiễn. Tích phân thứ hai mô tả việc tính toán không gian R k , được quan tâm nhiều hơn trong thực tiễn. CHÚ THÍCH 4: Trong nhiều trường hợp, tích phân nói trên rút gọn về dạng nhận biết đ ược từ phép tính. Các ví dụ được cho trong chú thích của moment bậc r (2.34) trong đó g(x) = x r , trung bình (2.35) trong đó g(x) = x và phương sai (2.36) trong đ ó g ( x) = [ x - E(X) ] 2 . CHÚ THÍCH 5: Định nghĩa này không giới hạn ở tích phân một chiều như các ví dụ và chú thích trước. Đối với trường hợp số chiều lớn hơn, xem 2.43. CHÚ THÍCH 6: Đối với biến ngẫu nhiên rờ i rạc (2.28), tích phân thứ hai trong chú thích 1 được thay bằng ký hiệu tổng. Các ví dụ được cho trong 2.35. 2.13 p-phân vị p - fractile X p , x p Giá trị của x bằng cận dưới của t ấ t cả các x sao cho hàm phân bố (2.7) F(x) lớn hơn hoặc bằng p , đối với 0 < p < 1. VÍ DỤ 1: Xét ph â n bố nhị thức (2.46) có hàm khối lượng xác suất cho trong Bảng 2. Tập hợp các giá trị này ứng với phân bố nhị thức có tham số n = 6 và p = 0 ,3. Đối với trường hợp này, một số p -phân vị được chọn là: x 0,1 = 0 x 0,25 = 1 x 0,5 = 2 x 0,75 = 3 x 0,90 = 3 x 0,95 = 4 x 0,99 = 5 x 0,999 = 5 Tính rời rạc của phân bố nhị thức dẫn đến các giá trị tích phân của các p -phân vị. Bảng 2 - Ví dụ về phân bố nhị thức X P[X = x] P[X ≤ x ] P[X > x ] 0 0,117 649 0,117 649 0,882 351 1 0,302 526 0,420 175 0,579 825 2 0,324 135 0,744 310 0,255 690 3 0,185 220 0,929 530 0,070 470 4 0,059 535 0,989 065 0,010 935 5 0,010 206 0,999 271 0,000 729 6 0,000 729 1,000 000 0,000 000 VÍ DỤ 2: Xét một phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51) có các giá trị được chọn t ừ hàm phân bố cho trong Bảng 3. Một số p -ph â n vị được chọn là: Bảng 3 - Ví dụ về phân bố chuẩn chuẩn hóa p x sao cho P [ X ≤ x ] = p 0,1 -1,282 0 , 25 -0,674 0,5 0,000 0,75 0,674 0,841 344 75 1,000 0 , 9 1,282 0 , 95 1,645 0,975 1,960 0,99 2 , 326 0,995 2,576 0,999 3,090 Vi phân bố của X l à liên tục nên tiêu đề của cột thứ hai cũng có thể là: x sao cho P [ X<x ] = p . CHÚ THÍCH 1: Đối với phân bố liên tục (2.23), nếu p là 0,5 thì 0,5-phân vị ứ ng với trung vị (2.14). Đối với p bằng 0,25, 0,25-phân vị được coi là tứ phân vị dưới. Đối với phân bố liên tục, 25 % của phân bố thấp hơn 0,25 phân vị trong khi 75 % là cao hơn 0,25 phân vị. Đối với p bằng 0,75, 0,75-phân vị được coi là tứ phân vị trên. CHÚ THÍCH 2: Nói chung, 100 p % phân bố là thấp hơn p -phân vị; 100(1 - p ) % phân bố cao hơn p -phân vị. Việc xác định trung vị gặp khó kh ă n đối với các phân bố rời rạc v ì có thể phải thảo luận v ì còn có nhiều giá tr ị thỏa mãn định nghĩa. CHÚ THÍCH 3: Nếu F liên tục và tăng ngặt th ì p -phân vị là lời giải cho F ( x) = p . Trong trường hợp này, từ “cận dưới” trong định nghĩa có thể thay bằng “tối thiểu”. CHÚ THÍCH 4: N ế u hàm phân bố là hằng số và bằng p trong một khoảng th ì tất c ả các giá trị trong khoảng đó là p -phân vị đố i với F . CHÚ THÍCH 5: p -phân vị được xác định cho các phân bố một chiều (2.16). 2.14 Trung vị 0,5- phân vị (2.13). VÍ DỤ: Đối với ví dụ về pin ở chú thích 4 trong 2.7, trung vị là 0,587 8, là lời giải cho x trong 0,1 + 0,9[1-exp(- x ) ] = 0,5. CHÚ THÍCH 1: Trung vị là một trong các p - phân vị (2.13) được á p dụng phổ biến nhất trong ứng dụng thực tế. Trung vị của một phân bố một chiều (2.16) liên tục là giá trị sao cho một nửa của tổng thể (1.1) lớn h ơn hoặc bằng trung vị và một nửa của tổng thể nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. CHÚ THÍCH 2: Trung vị được xác định cho các phân bố một chiều (2.16) 2.15 Tứ phân vị 0,25- phân vị (2.13) hoặc 0,75- phân vị . VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ về pin ở 2.14, có thể thấy rằng 0,25-ph â n vị là 0,182 3 và 0,75-phân vị là 1,280 9. CHÚ THÍCH 1: 0,25 phân vị cũng được coi là tứ phân vị dưới , trong khi 0,75 phân vị cũng được gọi là tứ phân vị trên . CHÚ THÍCH 2: Tứ phân vị được x á c định cho các phân bố một chiều (2.16). 2.16 Phân bố xác suất đơn biến Phân bố một chiều Phân bố xác suất (2.11) của một biến ngẫu nhiên (2.10). CHÚ THÍCH: Phân bố xác suất đơn biến là một chiều. Phân bố nhị thức (2.46), Poisson (2.47), phân bố chu ẩ n (2.50), phân bố gamma (2.56), phân bố t (2.53), phân bố W eibu ll (2.63) và phân bố beta (2.59) là ví dụ của phân bố xác suất một chiều. 2.17 Phân bố xác suất đa biến Phân bố nhiều chiều Phân bố xác suất (2.11) của hai hay nhiều biến ngẫu nhiên (2.10). CHÚ THÍCH 1: Vì trường hợp phân bố một chiều phổ biến hơn nên khi không có quy định nào khác thì thường giả định là phân bố một chiều. CHÚ THÍCH 2: Phân bố nhiều chiều đ ô i khi được gọi là phân bố đồng thời. CHÚ THÍCH 3: Phân bố đa thức (2.45), phân bố chuẩn hai chiều (2.65) và phân bố chuẩn đa biến (2.64) là các ví dụ của phân bố xác suất đa biến được đề cập trong tiêu chuẩn này. 2.18 Phân bố xác suất biên duyên Phân bố biên duyên Phân b ố xác suất (2.11) của một tập hợp con thực sự, không rỗng gồm các thành phần của một biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ 1: Đối với một phân bố có ba biến ngẫu nhiên X , Y và Z , sẽ có ba phân bố biên duyên với hai biến ngẫu nhiên, đó là ( X , Y ), ( X, Z ) và ( Y, Z ) và ba phân bố biên duyên có một biến ngẫu nhiên là X , Y và Z . VÍ DỤ 2: Đối với phân bố chuẩn hai chiều (2.65) của cặp biến ( X, Y ), phân bố của từng biến X và Y xét riêng rẽ là các phân bố biên duyên và đều là phân bố chuẩn (2.50). VÍ DỤ 3: Đối với phân bố đa thức (2.45), phân bố của ( X 1 , X 2 ) là phân bố biên duyên k > 3. Phân bố của X 1 , X 2 , …, X k , ri ê ng rẽ cũng là các phân bố biên duyên. Các phân bố biên duyên này đều là phân bố nhị thức (2.46). CHÚ THÍCH 1: Đối với phân bố đồng thời k chiều, một ví dụ về phân bố biên duyên bao gồm phân bố xác suất của một tập con gồm k 1 < k biến ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 2: Cho một phân bố xác suất nhiều chiều (2.17) liên tục (2.23) biểu diễn bởi hàm mật độ xác suất (2.26), hàm mật độ xác suất của phân bố xác suất biên duyên đ ược xác định bằng tích phân hàm mật độ xác suất trong phạm vi các biến không được xét trong phân bố biên duyên. CHÚ THÍCH 3: Cho một phân bố xác suất nhiều chiều rời rạc (2.22) biểu diễn bởi hàm khối lượng xác suất (2.24), hàm khối lượng xác suất của phân bố xác suất biên duyên được xác định bằng tổng hàm khối lượng xác suất trong phạm vi các biến không được xét trong phân bố biên duyên. 2.19 Phân bố xác suất có điều kiện Phân bố có điều kiện Phân bố xác suất (2.11) giới hạn trong tập con không rỗng của không gian mẫu (2.1) và điều chỉnh để có xác suất của toàn bộ không gian mẫu giới hạn. VÍ DỤ 1: Trong ví dụ pin ở 2.7, chú thích 4, phân bố có điều kiện của tuổi thọ pin dựa vào hàm pin ban đầu là hàm mũ (2.58). VÍ DỤ 2: Đối với phân bố chuẩn hai chiều (2.65), phân bố xác suất có điều kiện của Y cho trước X = x phản ánh tác động đến Y khi biết X . VÍ DỤ 3: Xét biến ngẫu nhiên X mô tả phân bố của phí tổn bảo hiểm hàng năm ở Florida do các biến cố bão đ ược công b ố . Phân bố này có xác suất khác không là phí tổn hàng năm bằng không do khả năng không có bão tác động đến Florida trong một năm cho trước. Phân bố có điều kiện của phí tổn trong những năm thực tế xảy ra sự việc có thể là mối quan tâm. CHÚ THÍCH 1: Như một v í dụ về phân bố có hai biến ngẫu nhiên X và Y , có các phân bố có điều kiện đối với X và phân bố có điều kiện đối với Y . Phân bố của X lấy điều kiện thông qua Y = y được biểu thị là “phân bố có điều kiện của X cho trước Y = y , trong khi phân bố của Y lấy điều kiện X = x được biểu thị “phân bố có điều kiện của Y cho trước X = x ”. CHÚ THÍCH 2: Phân bố xác suất biên duyên (2.18) có thể coi như phân bố không điều kiện. CHÚ THÍCH 3: Ví dụ 1 ở trên minh họa trường hợp phân b ố một chiều được điều chỉnh thông qua điều kiện đ ể có được phân bố một chiều khác, mà trong trường hợp này là phân bố khác. Ngược lại, đối với phân bố hàm mũ, phân bố có điều kiện mà sự cố sẽ xảy ra trong gi ờ tiếp theo, biết rằng không có sự cố nào xảy ra trong vòng 10 h đầu tiên, là hàm mũ có cùng tham số. CHÚ THÍCH 4: Phân bố có điều kiện có thể phát sinh đối với các phân bố rời rạc nhất định trong đ ó không th ể có các kết quả cụ th ể . Ví dụ, phân bố Poisson có thể dùng như một mô hình đối với số bệnh nhân ung thư trong một tổng thể gồm các bệnh nhân nhiễm bệnh nếu lấy điều kiện là dương tính hoàn to à n (bệnh nhân u bướu không được định nghĩa là nhiễm bệnh). CHÚ THÍCH 5: Phân bố có điều kiện phát sinh trong ngữ c ả nh giới hạn không gian mẫu về một tập con cụ thể. Đối với ( X , Y ) có phân bố chuẩn hai chiều (2.65), có thể quan tâm xét phân bố có điều kiện của ( X , Y ) cho trước kết quả phải xuất hiện trong hình vuông đơn vị [0, 1] x [ 0, 1]. Một khả năng khác là phân bố có điều kiện của ( X , Y ) cho trước X 2 + Y 2 ≤ r. Trường hợp này tương ứng với trường hợp trong đó ví dụ một bộ phận đáp ứng dung sai và ta có thể quan đến thêm các t í nh ch ấ t dựa vào việc đạt được tính năng này. 2.20 Đường hồi quy Tập hợp các giá trị của kỳ vọng (2.12) của xác suất phân bố có điều kiện (2.19) của một biến ngẫu nhiên (2.10) Y cho trước biến ngẫu nhiên X = x . CHÚ THÍCH: Ở đây, đường hồi quy được xác định trong ngữ cảnh ( X , Y ) có phân bố hai chiều (xem chú thích 1 của 2.17). Do đ ó , đây là một khái niệm khác với phân tích hồi quy, trong đó Y liên quan đến tập hợp các giá trị độc lập xác định trước. 2.21 Mặt hồi quy Tập hợp các giá trị của kỳ vọng (2.12) của phân bố xác suất có điều kiện (2.19) của một biến ngẫu nhiên (2.10) Y cho trước các biến ngẫu nhiên X 1 = x 1 và X 2 = x 2 . CHÚ THÍCH: Ở đây, như trong 2.20, mặt hồi quy được xác định trong ngữ cảnh ( Y, X 1 , X 2 ) là một phân bố nhiều chiều (2.17). Như với đường hồi quy, mặt hồi quy liên quan đến khái niệm khác với trong phân tích hồi quy và phương pháp luận về mặt đáp ứng. 2.22 Phân bố xác suất rời rạc Phân bố rời rạc Phân bố xác suất (2.11) trong đó không gian mẫu Ω (2.1) l à hữu hạn hoặc vô hạn đếm được. VÍ DỤ: Ví dụ về phân bố rời rạc trong tiêu chuẩn này l à phân bố đa thức (2.45), nhị thức (2.46) , Po i sson (2.47), siêu hình học (2.48) và nhị thức âm (2.49). CHÚ THÍCH 1: “Rời rạc” có nghĩa là không gian mẫu c ó thể được cho trong một danh mục hữu hạn hoặc bắt đầu của danh mục vô hạn trong đó có thứ tự rõ ràng, ví dụ như số khuyết tật là 0, 1, 2, ... Ngo à i ra, phân bố nhị thức tương ứng với không gian mẫu hữu hạn {0, 1, 2 , …, n } trong khi phân bố Poisson tương ứng với không gian mẫu vô hạn đếm được {0, 1, 2, …} CHÚ THÍCH 2: Các trường hợp có dữ liệu định tính trong lấy mẫu chấp nhận thuộc về phân bố rời rạc. CHÚ THÍCH 3: Hàm phân bố (2.7) của phân bố rời rạc có giá trị rời rạc. 2.23 Phân bố xác suất liên tục Phân bố liên tục Phân bố xác suất (2.11) trong đ ó hàm phân bố (2.7) đánh giá tại x có thể biểu thị như tích phân của hàm không âm từ -∞ đến x. VÍ DỤ: Trường hợp có ph â n bố liên tục xuất hiện trong hầu hết các trường hợp liên quan đến các bi ế n kiểu dữ liệu trong các ứng dụng công nghiệp. CHÚ THÍCH 1: Ví dụ về phân bố liên tục l à phân bố chuẩn (2.50), phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51), t (2.53), F (2.55), gamma (2.56), khi bình phương (2.57), hàm mũ (2.58), beta (2.59), đều (2.60), cực trị loại I (2.61), cực trị loại II (2.62), cực trị loại III (2.63) và loga chuẩn (2.52). CHÚ THÍCH 2: Hàm không âm đề cập trong định nghĩa là hàm mật độ xác suất (2.26). Đây là hạn chế quá chặt chẽ để nhấn mạnh rằng hàm phân bố c ó thể khác biệt ở mọi nơi. Tuy nhiên, đối với các xem xét thực tế, nhiều phân bố liên tục được sử dụng phổ biến có t í nh ch ấ t là đạo hàm của hàm phân bố cung cấp hàm mật độ xác suất tương ứng. CHÚ THÍCH 3. Trường hợp dữ liệu định lượng trong các ứng dụng lấy mẫu chấp nhận tương ứng với phân bố xác suất liên tục. 2.24 Hàm khối lượng xác suất hàm <phân bố rời rạc> cho biết xác suất (2.5) để biến ngẫu nhiên (2.10) bằng một giá trị cho trước. VÍ DỤ 1: Hàm khối lượng xác suất m ô tả biến ngẫu nhiên X bằ n g số lượng mặt ng ử a xuất hiện khi tung ba đồng xu là: P ( X =0) = 1/ 8 P ( X = 1) = 3 / 8 P ( X = 2) = 3/8 P ( X = 3) = 1/8 VÍ DỤ 2: Nhiều hàm khối lượng xác suất được đưa ra trong việc xác định ph â n b ố rời rạc (2.22) thư ờ ng gặp trong các ứ ng dụng. Các v í dụ về phân bố rời rạc một chiều bao gồm: phân bố nhị thức (2.46), Poisson (2.47), siêu hình học (2.48) và phân bố nhị thức âm (2.49). Ví dụ về phân bố rời rạc nhiều chiều là phân bố đa thức (2.45). CHÚ THÍCH 1: Hàm khối lượng xác suất có thể được cho là P(X = x i ) = p i , trong đó X là biến ngẫu nhiên, x i là giá trị cho trước và p i là xác suất tương ứng. CHÚ THÍCH 2: Hàm khối lượng xác suất được đưa vào trong p -phân vị ví dụ 1 của 2.13 bằng cách sử dụng phân bố nhị thức (2.46). 2.25 Mốt của hàm khối lượng xác suất (Các) giá trị ở đó hàm khối lượng xác suất (2.24) đạt cực đại địa phương. VÍ DỤ: Phân bố nhị thức (2.46) với n = 6 và p = 1/3 là phân bố một mốt c ó m ố t tại 3. CHÚ THÍCH: Phân bố r ờ i rạc (2.22) là một mốt nếu hàm khối lượng xác suất của nó ch ỉ có một mốt, hai mốt nếu hàm khối lượng xác suất có hai mốt và nhiều mốt nếu hàm khối lượng xác suất có nhiều hơn hai mốt 2.26 Hàm mật độ xác suất f(x) Hàm không âm khi lấy tích phân từ -∞ đến x cho giá trị của hàm phân bố (2.7) tại x của phân bố liên tục (2.23). VÍ DỤ 1: Nhiều hàm mật độ xác suất được cho trong việc xác định phân bố xác suất thường gặp trong thực tế. Các ví dụ bao gồm phân bố chuẩn (2.50), chuẩn chuẩn hóa (2.51), t (2.53), F (2.55), gamma (2.56), khi bình phương (2.57), phân bố mũ (2.58), beta (2.59), phân bố đều (2.60), phân bố chuẩn nhiều chiều (2.64) và phân bố chuẩn hai chiều (2.65). VÍ DỤ 2: Đối với hàm phân bố xác định bởi F(x) = 3 x 2 - 2 x 3 trong đó 0 ≤ x ≤ 1, hàm mật độ xác suất tương ứng sẽ là f ( x) = 6 x (1 - x ) trong đó 0 ≤ x ≤ 1. VÍ DỤ 3: Tiếp theo ví dụ về pin ở 2.1, không có hàm mật độ xác suất đi kèm với hàm phân bố quy định, do xác suất dương của kết quả không. Tuy nhiên, phân bố có điều kiện cho rằng pin hoạt động lúc đầu có f( x) = exp(- x ) đối với x > 0 là hàm mật độ xác suất, tương ứng với phân bố mũ. CHÚ THÍCH 1: Nếu hàm phân bố F là khả vi liên tục thì hàm mật độ xác suất là f(x) = dF(x)/dx tại điểm x nơi có đạo hàm. CHÚ THÍCH 2: Đồ thị của f(x) theo x đưa ra các mô tả như đối xứng, đỉnh, đuôi nặng, một mốt, hai mốt, v.v... Đ ồ thị thích hợp của f ( x) nằm trên biểu đồ phân bố cung cấp đánh giá bằng mắt về sự phù hợp giữa phân bố thích hợp và dữ liệu. CHÚ THÍCH 3: Chữ viết tắt thông dụng của hàm mật độ xác suất là pdf. 2.27 Mode của hàm mật độ xác suất (Các) giá trị tại đó hàm mật độ xác suất (2.26) đạt cực đại địa phương. CHÚ THÍCH: Phân bố liên tục (2.23) là một mode nếu h à m mật độ xác suất của nó chỉ có một mode, hai mode nếu hàm mật độ xác suất có hai mode và nhiều mode nếu hàm mật độ xác suất có nhiều hơn hai mode. CHÚ THÍCH 2: Phân bố tại đ ó c á c mode tạo thành một tập hợp liên tục cũng được gọi là một mode. 2.28 Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên (2.10) có phân bố rời rạc (2.22). CHÚ THÍCH: Biến ngẫu nhiên rời rạc được xem xét trong tiêu chuẩn này bao gồm bi ế n ngẫu nhiên phân bố nhị thức (2.46), Poisson (2.47), siêu h ì nh học (2.48) và đa thức (2.45). 2.29 Biến ngẫu nhiên liên tục Biến ngẫu nhiên (2.10) có phân bố liên tục (2.23). CHÚ THÍCH: Biến ngẫu nhiên liên tục được đề cập trong tiêu chuẩn này bao gồm biến ngẫu nhiên ph â n bố chuẩn (2.50), phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51), phân bố t (2.53), phân bố F (2.55), gamma (2.56), khi bình phương (2.57), mũ (2.58), beta (2.59), phân bố đều (2.60), cực trị loại I (2.61), cực trị loại II (2.62), cực trị loại III (2.63), loga chuẩn (2.52) , chuẩn nhiều chiều (2.64) và chuẩn hai chiều I (2.65). 2.30 Phân bố xác suất quy tâm Phân bố xác suất (2.11) của biến ngẫu nhiên quy tâm (2.31). 2.31 Biến ngẫu nhiên quy tâm Biến ngẫu nhiên (2.10) có được bằng cách lấy một biến ngẫu nhiên trừ đi giá trị trung bình (2.35) của nó. CHÚ THÍCH 1: Biến ngẫu nhiên quy tâm có trung bình bằng không. CHÚ THÍCH 2: Thuật ngữ này chỉ áp dụng với các biến ngẫu nhiên có trung bình. Ví dụ, không có trung b ì nh của phân bố t (2.53) một bậc tự do. CHÚ THÍCH 3: Nếu biến ngẫu nhiên X có trung bình (2.35) bằng μ th ì biến ngẫu nhiên tương ứng sẽ là X - μ , có trung bình bằng không. 2.32 Phân bố xác suất chuẩn hóa Phân bố xác suất (2.11) của biến ngẫu nhiên chuẩn hóa (2.33). 2.33 Biến ngẫu nhiên chuẩn hóa Biến ngẫu nhiên quy tâm (2.31) có độ lệch chuẩn (2.37) bằng 1. CHÚ THÍCH 1: Biến ngẫu nhiên (2.10) được tự động chuẩn hóa nếu trung bình của nó bằng kh ô ng và độ lệch chuẩn bằng 1. Phân bố đều (2.60) trong khoảng (-3 0 . 5 , 3 0 . 5 ) có trung bình là không và độ lệch chuẩn b ằ ng 1. Phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51) đương nhiên là được chuẩn hóa. CHÚ THÍCH 2: Nếu phân bố (2.11) của biến ngẫu nhiên X có trung bình (2.35) μ và độ lệch chuẩn σ , th ì biến ngẫu nhiên chuẩn hóa tương ứng sẽ là ( X - μ ) / σ . 2.34 Momen bậc r Momen thứ r Kỳ vọng (2.12) của lũy thừa r của một biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ: Xét một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất (2.26) f ( x) = exp(- x ) đối với x > 0. Sử dụng công thức tích phân từng phần, có thể chứng tỏ rằng E(X) = 1, E ( X 2 ) = 2, E ( X 3 ) = 6 và E ( X 4 ) = 24, hoặc n ó i chung, E ( X r ) = r. Đây là ví dụ của phân bố mũ (2.58). CHÚ THÍCH 1: Trong trường hợp rời rạc một chiều, công thức tương ứng: đối với số hữu hạn n kết quả và đối với s ố kết quả vô hạn đếm được. Trong trường hợp liên tục một chiều, công thức tương ứng: CHÚ THÍCH 2: Nếu biến ngẫu nhiên có k chiều thì lũy thừa r được hiểu là áp dụng cho thành phần. CHÚ THÍCH 3: Momen được nêu ở đây sử dụng biến ngẫu nhiên X nâng l ê n một lũy thừa. Một cách tổng qu á t hơn, ta có thể xét momen bậc r của X - μ hoặc ( X - μ ) / σ . 2.35 Trung bình 2.35.1 Trung bình Mômen bậc r = 1 μ Mômen <phân bố liên tục> bậc r trong đó r bằng 1, tính như tích phân của tích giữa x và hàm mật độ xác suất (2.26), f( x), lấy trên đường thẳng thực. VÍ DỤ 1: Xét biến ngẫu nhiên liên tục (2.29) X có hàm mật độ xác suất f ( x ) = 6 x (1 - x ), trong đ ó 0 ≤ x ≤ 1. Trung bình của X l à. VÍ DỤ 2: Tiếp theo ví dụ pin từ 2.1 và 2.7, trung bình l à 0,9 vì với xác suất 0,1 trung bình của phần rời rạc của phân bố là 0 và với xác suất 0,9 trung bình của phần liên tục của phân bố là 1. Phân bố này là phân bố hỗn hợp liên tục và rời rạc. CHÚ THÍCH 1 : Trung bình của phân bố liên tục (2.23) đ ược biểu thị bằng E(X) và được tính là: CHÚ THÍCH 2: Trung bình không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên (2.10). Ví dụ, nếu X được xác định bằng hàm mật độ xác suất f (x) = [π(1 + x 2 )] -1 , tích phân tương ứng với E(X) là phân kỳ. 2.35.2 Trung bình μ t ổ ng <phân bố rời rạ c> tích của x i và hàm khối lượng xác suất (2.24) p ( x i ). VÍ DỤ 1. Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X (2.28) đại diện cho số mặt ngửa xuất hiện khi tung ba đồng xu. Hàm khối lượng xác suất là P ( X = 0)= 1/8 P ( X = 1) = 3/8 P ( X =2) = 3 / 8 P ( X = 3) = 1/8 Vì vậy, trung bình của X là 0(1/8) + 1(3/8) + 2(3/8 ) + 3(1/8) = 12/8 = 1,5 V Í DỤ 2: Xem ví dụ 2 trong 2.35.1. CHÚ THÍCH: Trung bình của phân bố rời rạc (2.22) biểu thị bằng E(X) và được tính là: đối với số lượng hữu hạn các kết quả, và đối với số lượng kết quả vô hạn đếm được. 2.36 Phương sai V Môment bậc r (2.34) trong đ ó r bằng 2 theo phân bố xác suất quy tâm (2.30) của biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ 1: Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc (2.28) trong ví dụ của 2.24 phương sai là VÍ DỤ 2: Đối với biến ngẫu nhiên liên tục (2.29) trong ví dụ 1 của 2.26, phương sai là V Í DỤ 3: Đối với ví dụ pin ở 2.1, có thể xác định phương sai bằng cách nhận thức rằng phương sai của X là E ( X 2 ) - [ E ( X ) ] 2 . Từ ví dụ 3 của 2.35, E ( X ) = 0 ,9. Lập luận tương tự, có thể chứng tỏ E ( X 2 ) bằng 1,8. Do đó, phương sai của X là 1,8 - (0,9) 2 bằng 0,99. CHÚ THÍCH: Phương sai có thể xác định tương đương như kỳ vọng (2.12) của bình phương biến ngẫu nhiên trừ đi trung bình (2.35) của nó. Phương sai của biến ngẫu nhiên X được ký hiệu bằng V ( X ) = E {[ X - E ( X ) ] 2 } . 2.37 Độ lệch chuẩn σ Căn bậc hai dương của phương sai (2.36) VÍ DỤ: Đối với ví dụ về pin của 2.1 và 2.7, độ lệch chuẩn là 0,995. 2.38 Hệ số biến động CV <biến ngẫu nhiên dương> độ lệch chuẩn (2.37) chia cho trung bình (2.35). VÍ DỤ: Đối với ví dụ về pin của 2.1 và 2.7, hệ số biến động là 0,99/0,995 bằng 0,994 97. CHÚ THÍCH 1: Hệ số biến động thường được tính bằng phần trăm. CHÚ THÍCH 2: Thuật ngữ “độ lệch chuẩn tương đối” trước đây không giống với thuật ngữ hệ số biến động. 2.39 Hệ số bất đối xứng γ 1 Mômen bậc 3 (2.34) trong phân bố xác suất chuẩn hóa (2.32) của một biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ pin của 2.1 và 2.7 có phân bố hỗn hợp liên tục-rời rạc, sử dụng các kết quả từ ví dụ ở 2.34, ta có E ( X ) = 0,1(0) + 0,9(1) = 0,9 E ( X 2 )= 0,1 (0 2 ) + 0,9(2) = 1,8 E ( X 3 )= 0,1(0) + 0,9(6) = 5,4 E ( X 4 ) = 0,1(0) + 0,9(24) = 21,6 Để tính hệ số bất đối xứng, lưu ý là E {[ X - E ( X )] 3 } = E ( X 3 ) - 3 E ( X ) E ( X 2 ) + 2 [ E ( X )] 3 và từ 2.37 có độ lệch chuẩn là 0,995. Do đó, hệ số bất đối xứng là [5,4 - 3(0,9)(1,8) + 2(0,9) 3 ]/ ( 0,995) 3 hoặc 1,998. CHÚ THÍCH 1: Một định nghĩa tương đương dựa trên kỳ vọng (2.12) bậc ba của ( X - μ ) / σ , là E [(( X - μ ) 3 / σ 3 ]. CHÚ THÍCH 2: Hệ số bất đ ố i xứng là thước đo tính đối xứng của phân bố (2.11) và đôi khi được ký hiệu bằng √β 1 . Đối với các phân bố đối xứng , hệ số bất đối xứng bằng 0 (với điều kiện tồn tại mômen thích hợp trong định nghĩa). Ví dụ về phân bố có độ bất đối xứng bằng không bao gồm phân bố chuẩn (2.50), phân bố beta (2.59) với điều kiện α = β và phân bố t (2.53) với điều kiện có các mômen. 2.40 Hệ số nhọn β 2 Mômen bậc 4 (2.34) trong phân bố xác suất chuẩn hóa (2.32) của một biến ngẫu nhiên (2.10). VÍ DỤ: Tiếp theo ví dụ về pin của 2.1 và 2.7, đ ể tính hệ số nhọn, lưu ý r ằ ng E{[X-E(X)] 4 } = E(X 4 ) - 4 E(X) E(X 3 ) + 6 [E(X) ] 2 E ( X 2 )- 3 [E(X )] 4 Do đó, hệ số nhọn bằng [21,6 - 4(0,9)(5,4) + 6(0,9) 2 (2) - 3(0, 9 ) 4 ] / (0,995) 4 hoặc 8,94. CHÚ THÍCH 1: Một định nghĩa tương đương dựa trên kỳ vọng (2.12) bậc bốn của (X - μ) /σ , gọi là E [{ X-μ ) 4 / σ 4 ]. CHÚ THÍCH 2: Hệ số nhọn là thước đo độ lớn phần đuôi của phân bố (2.11). Đối với phân bố đều (2.60), hệ số nhọn là 1,8; đối với phân bố chuẩn (2.50), hệ số nhọn là 3; đối với phân bố mũ (2.58), hệ số nhọn là 9. CHÚ THÍCH 3: C ần chú ý khi xem xét các giá trị nhọn được công bố, vì một số người thực hiện trừ đi 3 (hệ số nhọn của ph â n bố chuẩn) từ giá trị được t í nh theo định nghĩa. 2.41 Mômen hỗn hợp bậc r và s Trung bình (2.35) của tích lũy thừa bậc r của một biến ngẫu nhiên (2.10) và bậc s của một biến ngẫu nhiên khác lấy theo phân bố xác suất (2.11) đồng thời của chúng. 2.42 Mômen hỗn hợp quy tâm bậc r và s Trung bình (2.35) tích lũy thừa bậc r của biến ngẫu nhiên quy tâm (2.31) và bậc s của một bi ế n ngẫu nhiên quy tâm khác trong phân bố xác suất (2.11) đồng thời của chúng. 2.43 Hiệp phương sai σ XY Trung bình (2.35) của tích hai biến ngẫu nhiên quy tâm (2.31) lấy theo phân bố xác suất (2.11) đồng thời của chúng. CHÚ THÍCH 1: Hiệp phương sai là mômen trung tâm hỗn hợp bậc 1 và 1 (2.42) đối với hai biến ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 2: Về ký hiệu, hiệp phương sai là E[(X-μ X )(Y-μ Y )]. trong đ ó E(X) = μ X and E(Y) = μ Y . 2.44 Hệ số tương quan Trung bình (2.35) của tích hai biến ngẫu nhiên chuẩn h ó a (2.33) lấy theo phân bố xác suất (2.11) đồng thời của chúng. CHÚ THÍCH: Hệ số tương quan đôi khi được gọi tắt đơn giản là tương quan. Tuy nhiên, việc sử dụng này lại chồng chéo với cách giải thích về tương quan như sự liên kết giữa hai biến. 2.45 Phân bố đa thức Phân bố rời rạc (2.22) có hàm kh ố i lượng xác suất (2.24) P(X 1 = x 1 , X 2 = x 2 ,… X k = x k ) = trong đó x 1 , x 2 , ... , x k là các số nguyên dương sao cho x 1 + x 2 + … + x k = n với các tham số p i > 0 đối với tất c ả i = 1, 2 , …, k với p 1 + p 2 + … + p k = 1 k số nguyên lớn hơn hoặc bằng 2 CHÚ THÍCH: Phân bố đa thức cho biết xác suất để trong n phép thử độc lập có được một tổ hợp cho trước về số lần xuất hiện các biến cố trong đó k kiểu biến cố loại trừ nhau, giả định rằng xác suất xuất hiện của mỗi loại biến cố là như nhau trong tất cả các phép thử. 2.46 Phân bố nhị thức Phân bố rời rạc (2.22) có hàm khối lượng xác suất (2.24) trong đó x = 0, 1, 2 , …, n và với các tham số n = 1, 2 , …, và 0 < p < 1. VÍ DỤ: H à m khối lượng x á c suất mô tả trong ví dụ 1 của 2.24 có thể thấy là tương ứng với phân bố nhị thức với các tham số xác định n = 3 và p = 0,5. CHÚ THÍCH 1: Phân bố nhị thức là một trường hợp đặc biệt của phân bố đa thức (2.45) với k = 2. CHÚ THÍCH 2: Phân bố nhị thức cho xác suất về số lần một trong số hai kết quả xảy ra trong n phép thử độc lập, trong đó mỗi phép th ử có cùng hai biến cố (2.2) loại trừ nhau và xác suất (2.5) của mỗi biến cố là như nhau đối với các phép thử. CHÚ THÍCH 3: Trung bình (2.35) của phân bố nhị thức bằng np . Phương sai (2.36) của phân bố nhị thức bằng np (1 - p ). CHÚ THÍCH 4: Hàm khối lượng xác suất nhị thức cũng có thể biểu thị bằng cách sử dụng hệ số nhị thức cho bởi 2.47 Phân bố Poisson Phân bố rời rạc (2.22) có hàm khối lượng xác suất (2.24) trong đó x = 0, 1, 2,... và tham số λ > 0. CHÚ THÍCH 1: Giới hạn của phân bố nhị thức (2.46) khi n tiến đến ∞ và p tiến đ ến không sao np tiến đến λ là phân bố Poisson với tham số λ . CHÚ THÍCH 2: Trung bình (2.35) và phương sai (2.36) của phân bố Poisson đ ề u bằng λ . CHÚ THÍCH 3: Hàm khối lượng xác suất (2.24) của phân bố Poisson cho xác suất về số lần xuất hiện một t í nh ch ấ t của một quá trình trong một khoảng thời gian bằng độ dài đơn vị đáp ứng các điều kiện nhất định, ví dụ cường độ xuất hiện phụ thuộc v à o thời gian. 2.48 Phân bố siêu hình học Phân bố rời rạc (2.22) c ó hàm kh ố i lượng xác suất (2.24) trong đó max (0, M - N ) ≤ x ≤ min ( M, n ) có tham số là số nguyên N = 1, 2, ... M = 0, 1, 2 , …, N -1 N = 1 , 2 , …, N CHÚ THÍCH 1: Phân bố (2.11) siêu hình học xuất hiện khi số cá thể được đánh dấu trong một mẫu ngẫu nhiên đơn giản (1.7) cỡ n , được lấy m à không hoàn lại, từ một tổng thể (hoặc l ô ) cỡ N chứa chính xác M c á thể đánh dấu. CHÚ THÍCH 2: Việc hiểu về phân bố siêu hình học sẽ dễ dàng hơn khi tham khảo Bảng 4. Bảng 4 - Ví dụ về phân bố siêu hình học Tập hợp tham chiếu Cá th ể đánh dấu hoặc không đánh d ấ u Cá thể đánh d ấ u Cá thể không đánh d ấ u T ổ ng thể N M N - M Các cá thể trong mẫu n x N - x Các cá thể ngoài mẫu N - n M - x N - n - M + x CHÚ THÍCH 3: Trong những điều kiện nh ấ t định (ví dụ n tương đối nhỏ so với N ), thì phân bố siêu h ì nh học có thể x ấ p xỉ bằng phân bố nhị thức n và p = M / N . CHÚ THÍCH 4: Trung bình (2.35) của phân bố siêu hình học bằng (nM)/N . Phương sai (2.36) của phân bố siêu hình học bằng 2.49 Phân bố nhị thức âm Phân bố rời rạc (2.22) có hàm khối lượng xác suất (2.24) trong đó x = 0, 1, 2 , …, n , với tham số c > 0 và tham số p thỏa mãn 0 < p < 1. CHÚ THÍCH 1: Nếu c = 1, phân bố nhị thức âm được coi là phân bố hình học và mô tả xác suất (2.5) biến cố (2.2) có xác suất là p , sẽ xuất hiện lần đầu tiên trong phép thử thứ ( x + 1). CHÚ THÍCH 2: Hàm khối lượng xác suất cũng có thể viết theo cách tương đương như sau: Thuật ngữ “phân bố nhị thức âm” xuất phát từ cách viết hàm khối lượng xác suất này. CHÚ THÍCH 3: Dạng hàm khối lượng xác suất nêu trong định nghĩa này thường được gọi là “phân bố Pascal” với điều kiện c là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1. Trong trường hợp đó , hàm khối lượng xác suất mô tả xác suất lần xuất hiện thứ c của biến cố (2.2), có xác suất (2.5) là p , xuất hiện trong lần thử ( c + x ) . CHÚ THÍCH 4: Trung bình (2.35) của phân b ố nhị thức âm là ( cp )l ( 1 - p ). Phươ n g sai (2.36) của nhị thức âm là ( cp ) /( 1 - p ) 2 . 2.50 Phân bố chuẩn Phân bố Gaussian Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó -∞ < x < ∞ và có tham số -∞ < μ < ∞ và σ > 0. CHÚ THÍCH 1: Phân bố chuẩn là một trong các phân bố xác suất (2.11) được sử dụng rộng rãi nhất trong thống kê ứng dụng. Do dạng của hàm mật độ, nó thường được gọi là đường “hình chuông”. Bên cạnh việc sử dụng như một mô hình dùng cho các hiện tượng ngẫu nhiên, phân bố này còn như phân bố trung bình (1.15) giới hạn. Như một phân bố tham chiếu trong thống kê, phân bố này được sử dụng rộng rãi đ ể đánh giá t í nh b ấ t thường của các kết quả thực nghi ệ m. CHÚ THÍCH 2: Tham số đ ị nh vị μ l à trung bình (2.35) và tham số thang đo σ l à độ lệch chuẩn (2.37) của phân bố chuẩn. 2.51 Phân bố chuẩn chuẩn hóa Phân bố Gaussian chuẩn hóa Phân bố chuẩn (2.50) có μ = 0 và σ = 1. CHÚ THÍCH: Hàm m ậ t độ xác suất (2.26) của phân bố chuẩn chuẩn hóa là trong đó -∞ < x < ∞ . Các bảng phân bố chuẩn có hàm mật độ xác suất này, đưa ra làm ví dụ, vùng phủ f đối với các giá trị trong khoảng (-∞, ∞). 2.52 Phân bố lôga chuẩn Ph â n b ố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26). trong đ ó x > 0 và với các tham số -∞ < μ < ∞ và σ > 0. CHÚ THÍCH 1: Nếu Y có phân bố chuẩn (2.50) với trung bình (2.35) μ và độ lệch chuẩn (2.37) σ , thì phép biến đổi cho bởi X = exp( Y ) có hàm mật độ xác suất nêu trong định nghĩa. Nếu X có phân bố lôga chu ẩ n có hàm mật độ xác suất như nêu trong định nghĩa thì ln( X ) có phân bố chuẩn với trung bình μ và độ lệch chuẩn σ . CHÚ THÍCH 2: Trung bình của phân bố lôga chuẩn là exp[ μ + ( σ 2 ) / 2] và phương sai là exp(2 μ + σ 2 ) x [exp ( σ 2 ) - 1]. Điều này chỉ ra rằng trung bình và phương sai của phân bố lôga chuẩn là hàm số của tham số μ và σ 2 . CHÚ THÍCH 3: Phân bố lôga chuẩn và phân bố W eibull (2.63) được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng liên quan tới độ tin cậy. 2.53 Phân bố t Phân bố S tudent Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó -∞ < t < ∞ và với tham số v , là số nguyên dương. CHÚ THÍCH 1: Phân bố t được sử dụng rộng rãi trong thực tế để đánh giá trung bình mẫu (1.15) trong trường hợp chung khi độ lệch chuẩn của tổng thể được ước lượng từ dữ liệu. Thống kê mẫu t có thể so sánh với phân bố t có n - 1 bậc tự do đ ể đánh giá trung bình quy định như mô tả của trung bình tổng thể thực. CHÚ THÍCH 2: Phân bố t phát sinh như phân bố thương số của hai biến ngẫu nhiên (2.10) độc lập, trong đó tử số có phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51) và mẫu số được phân bố theo căn bậc hai dương của phân bố khi bình phương (2.57) sau khi chia cho số bậc tự do của nó. Tham số v được gọi là bậc tự do (2.54). CHÚ THÍCH 3: Hàm gamma được định nghĩa trong 2.56. 2.54 Bậc tự do v Số các số hạng trong một tổng trừ đi số các ràng buộc đối với các số hạng của tổng đó. CHÚ THÍCH: Khái niệm này đã gặp trước đây trong ngữ cảnh sử dụng n 1 trong mẫu số của hàm ước lượng (1.12) của phương sai mẫu (1.16). S ố bậc tự do được dùng để hiệu chỉnh các tham số. Thuật ngữ bậc tự do cũng được sử dụng rộng r ã i trong ISO 3534-3 trong đó bình phương trung bình được cho như tổng các bình phương chia cho số bậc tự do thích hợp. 2.55 Phân bố F Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó x > 0 v 1 và v 2 l à số nguyên dương Γ là hàm gamma xác định trong 2.56. CHÚ THÍCH 1: Phân bố F l à phân bố tham chiếu hữu ích để đánh giá tỉ s ố của các phương sai (2.36) độc lập. CHÚ THÍCH 2: Hàm F phát sinh khi phân bố là thương số của hai biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có một phân bố khi bình phương (2.57), chia cho bậc tự do (2.54) của nó. Tham số v 1 bậc tự do ở tử số còn v 2 là bậc tự do mẫu số của phân bố F . 2.56 Phân bố gamma Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó x > 0 và các tham số α > 0, β > 0. CHÚ THÍCH 1: Phân bố gamma được sử dụng trong các ứng dụng liên quan tới độ t i n cậy đối với mô hình thời gian tính đến khi h ỏ ng. Phân bố n à y bao gồm phân bố mũ (2.58) như trường hợp đặc biệt cũng như các trường hợp khác với tỷ lệ hỏng tăng theo tuổi đời. CHÚ THÍCH 2: Phân bố gamma được xác định bởi Đối với các giá trị nguyên của α , Γ( α ) =( α - 1)! CHÚ THÍCH 3: Trung bình (2.35) của phân bố gamma là αβ . Phương sai (2.36) của ph â n b ố gamma là αβ 2 . 2.57 Phân bố khi-bình phương Phân bố x 2 Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26). trong đó x > 0 và với v > 0. CHÚ THÍCH 1: Đối với dữ liệu phát sinh từ phân bố chuẩn (2.50) có độ lệch chuẩn (2.37) σ đã biết, thống kê nS 2 / σ 2 có phân bố khi-bình phương với n - 1 bậc tự d o. Kết quả này là cơ sở đ ể thu được khoảng tin cậy đối với σ 2 . Lĩnh vực ứ ng dụng khác của phân bố khi bình phương là như phân bố tham chiếu đối với sự phù hợp của phép kiểm nghiệm. CHÚ THÍCH 2: Phân bố này là một trường hợp đặc biệt của phân bố gamma (2.56) với các tham số α = v / 2 và β = 2. Tham số v được gọi là bậc tự do (2.54). CHÚ THÍCH 3: Trung bình (2.35) của ph â n bố khi bình phương là v . Phương sai (2.36) của phân bố khi bình phương là 2 v . 2.58 Phân bố mũ Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26). f(x) = β -1 e -x/β trong đó x > 0 và tham số β > 0. CHÚ THÍCH 1: Phân bố mũ cung cấp cơ s ở cho các ứng dụng liên quan đến độ tin cậy, tương ứng với trường hợp “không bị lão hóa” hoặc tính chất không có nhớ. CHÚ THÍCH 2: Phân bố mũ là một trường hợp đ ặ c biệt của phân bố gamma (2.56) với α = 1 hoặc tương đương phân bố khi bình phương (2.57) với v = 2. CHÚ THÍCH 3: Trung bình (2.35) của phân bố mũ là β . Phương sai (2.36) của phân bố mũ là β 2 . 2.59 Phân bố beta Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26). trong đó 0 ≤ x ≤ 1 và với tham số α, β > 0. CHÚ THÍCH: Phân bố beta rất linh hoạt, có hàm mật độ xác suất có nhi ề u hình dạng khác nhau “đơn thức, dạng chữ “j ” dạng chữ “u”). Phân bố n à y có thể sử dụng như một mô hình của độ không đảm bảo đi kèm với một tỷ lệ. Ví dụ, trong ứng dụng bảo hiểm bão, tỷ lệ hư hỏng mong muốn đối với một loại kết cấu với tốc độ gió cho trước c ó thể là 0,40, mặc dù không phải g i a đ ì nh nào g ặ p phải trường gió này cũng là do cùng loại hư hại. Phân bố beta có trung bình 0,40 có thể dùng cho m ô h ì nh thiệt hại không giống nhau theo loại kết c ấ u này. 2.60 Phân bố đều Phân bố hình chữ nhật Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó a ≤ x ≤ b. CHÚ THÍCH 1: Phân bố đều với a = 0 và b = 1 là phân bố cơ bản đối với bộ tạo số ngẫu nhiên điển hình. CHÚ THÍCH 2: Trung bình (2.35) của phân bố đều là ( a+b ) / 2. Phương sai (2.36) của phân bố đều là ( b - a ) 2 /12. CHÚ THÍCH 3: Phân bố đều là trường hợp đặc biệt của phân bố beta với α = 1 và β = 1. 2.61 Phân bố cực trị loại I Phân bố Gumbel Phân bố liên tục (2.23) có hàm phân bố (2.7) trong đó -∞ < x < ∞ với các tham số -∞ < α < ∞, b > 0. CHÚ THÍCH: Phân bố cực trị đưa ra phân bố tham chiếu thích hợp cho các thống kê thứ tự (1.9) cực trị X (1) và X (n). Ba phân bố giới hạn có thể khi n có xu hướng tiến đến ∞ được đưa ra bởi ba loại phân bố cực trị nêu trong 2.61, 2.62 và 2.63. 2.62 Phân bố cực trị loại II Phân bố Fréchet Phân b ố liên tục (2.23) có hàm phân b ố (2.7). trong đó x > a và các tham số -∞ < a < ∞, b > 0, b > 0 , k > 0. 2.63 Phân bố cực trị loại III Phân bố W eibull Phân bố liên tục (2.23) có hàm phân bố (2.7) trong đó x > a với các tham số -∞ < a < ∞, b > 0, k > 0 CHÚ THÍCH 1: Ngoài việc dùng làm một trong ba phân bố giới hạn của thống kê thứ tự cực tr ị , phân bố W eibull chiếm vị trí quan trọng trong các ứng dụng khác nhau, đặc biệt trong nghiên cứu độ tin cậy và kỹ thuật. Phân bố W eibull đã chứng tỏ cung cấp tính phù hợp về thực nghiệm cho nhiều loại tập dữ liệu khác nhau. CHÚ THÍCH 2: Tham số a l à tham số định vị theo nghĩa là giá trị nhỏ nhất có thể có được trong phân bố W eibull. Tham số b là tham số thang đo [liên quan đến độ lệch chuẩn (2.37) của phân bố W eibull]. Tham số k là tham số định dạng. CHÚ THÍCH 3: Đối với k = 1, phân bố W eibull có dạng phân bố hàm mũ. Nâng lên phân bố mũ với a = 0 và tham số b lên lũy thừa 1/ k tạo thành phân bố W eibull theo định nghĩa. Một trường hợp đặc biệt khác của phân bố Weibull là phân bố Rayleigh (với a = 0 và k = 2). 2.64 Phân bố chuẩn nhiều chiều Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó - ∞ < x i < ∞ đối với mỗi i ; μ là vectơ tham số n chiều; Σ là ma trận xác định dương, đối xứng n x n tham số; và chữ đậm ch ỉ thị véctơ n chiều. CHÚ THÍCH: Mỗi phân bố biên duyên (2.18) của phân bố nhiều chiều trong điều này có phân bố chuẩn. Tuy nhiên, có nhiều phân bố nhiều chiều có phân bố biên duyên khác dạng phân bố nêu trong điều này. 2.65 Phân bố chuẩn hai chiều Phân bố liên tục (2.23) có hàm mật độ xác suất (2.26) trong đó -∞ < x < ∞, -∞ < y < ∞ -∞ < μ x < ∞ -∞ < μ y < ∞ σ x > 0 σ y > 0 | ρ | < 1 CHÚ THÍCH: Theo ký hiệu gợi ý, đối với ( X,Y ) có hàm mật độ xác suất (2.26) nêu trên. E ( X) = μ x , E(Y) = μ y , V(X) = , V(Y) = , và ρ là hệ số tương quan (2.44) giữa X và Y . 2.66 Phân bố chuẩn chuẩn hóa hai chiều Phân bố chuẩn hai chiều (2.65) có các th à nh phần phân bố chuẩn chuẩn hóa (2.51). 2.67 Phân bố mẫu Phân bố của một thống kê. CHÚ THÍCH: Minh họa về phân bố mẫu cụ thể được n ê u trong chú thích 1 của 2.53, chú thích 1 của 2.55 và chú thích 1 của 2.57. 2.68 Không gian xác suất Không gian mẫu (2.1), và sigma đại s ố của biến cố (2.69), và độ đo xác suất (2.70). VÍ DỤ 1: Một trường hợp đặc biệt, không gian mẫu có thể chứa tất cả 105 cá thể sản xuất trong một ngày quy định tại một nhà máy. Sigma đại số của biến cố gồm tất cả những tập con có thể. Các biến cố này bao gồm {không có c á thể nào } , {cá thể 1 } , {cá thể 2), ... {cá thể 105 } , {cá th ể 1 và cá thể 2}, .... {tất cả 105 cá th ể} . Một thước đo xác suất có thể được xác định là số cá thể trong một biến cố chia cho tổng số cá thể được sản xuất. Ví dụ, biến cố {cá thể 4, cá thể 27, cá thể 92} có độ đo xác suất là 3/105. VÍ DỤ 2: Xét ví dụ thứ hai đối với tu ổ i thọ của pin , nếu pin đến tay khách hàng và không hoạt động thì tuổi thọ là 0 h. Nếu pin hoạt động thi tuổi thọ tuân theo một phân bố xác suất (2.11) nhất định, ví dụ như phân bố mũ (2.58). Khi đó, thời gian tồn tại bị chi phối bởi x á c suất pha trộn giữa rời rạc (tỷ lệ pin không hoạt động từ ban đầu) và liên tục (thời gian sống thực). Để đơn giản cho ví dụ này, giả định rằng tuổi thọ của pin tương đối ngắn so với thời gian nghiên cứu và thời gian tồn tại được đo liên tục. Tất nhiên, trên thực tế có thể bị ngắt theo dõi thời gian tồn tại b ê n phải hoặc bên trái (ví dụ, thời gian hỏng được biết có thể xảy ra ít nhất là 5 h hoặc từ 3 đến 3,5 h), trong đó các ưu đi ể m của kết cấu này có thể phát huy. Không gian mẫu gồm một n ử a đường th ẳ ng thực (các số thực lớn hơn hoặc bằng không). Sigma đại số của biến cố gồm tất cả các khoảng của dạng [0, x ) và tập {0} . Ngoài ra, sigma đại số bao gồm tất cả các hợp đ ế m được và giao đếm được của các tập này. Độ đo xác suất xác định đối với từng tập hợp, thành phần của nó đ ại diện cho pin không hoạt động và pin có thời gian t ồ n tại dương. Chi tiết về việc tính toán thời gian hỏng được đề cập trong toàn bộ điều này ở những chỗ thích hợp. 2.69 Sigma đại số của biến cố σ đại s ố sigma trường σ trường tập hợp các biến cố (2.2) có tính ch ấ t: a) thuộc ; b) Nếu một biến cố thuộc , thì biến cố bù (2.3) cũng thuộc ; c) Nếu {A 1 } là tập hợp biến cố bất kỳ trong , thì hợp và giao của biến cố cũng thuộc . VÍ DỤ 1: Nếu không gian mẫu là tập hợp các số nguyên thì sigma đại số của biến cố có thể được chọn là tập hợp tất cả các tập con của các số nguyên đ ó . VÍ DỤ 2: N ế u không gian mẫu là tập hợp các số thực th ì sigma đại số của biến cố có thể được chọn bao gồm các tập hợp ứng với các khoảng trên đường thẳng thực và tất cả các hợp vô hạn và đếm được cũng như giao của các khoảng này. Có thể mở rộng v í dụ này ra số chiều lớn hơn bằng cách xét “khoảng” k chiều. Cụ thể, với hai chiều, tập hợp các khoảng có thể bao gồm các vùng xác định bởi { ( x,y ): x < s, y < t } đối với tất cả các giá trị thực của s và t . CHÚ THÍCH 1: Sigma đại số là tập hợp bao gồm phần tử là các tập hợp. Tập hợp các kết quả Ω có thể có là phần t ử của sigma đại số của biến cố, như chỉ ra trong tính chất a). CHÚ THÍCH 2: T í nh chất c) liên quan đến tập hợp các phép tính trên các tập con (có thể là hữu hạn đếm được) của sigma đại s ố của biến cố. Ký hiệu được cho chỉ ra rằng tất cả các hợp đếm được và giao đếm được của các tập hợp này cũng thuộc sigma đại số của biến cố. CHÚ THÍCH 3: Tính chất c) bao hàm cả tính khép kín (các tập hợp thuộc sigma đại số của biến cố) theo hợp hữu hạn hoặc giao hữu hạn. Hạn định sigma được dùng để nhấn mạnh rằng A khép k í n trong các hợp hoặc giao vô hạn đếm được. 2.70 Độ đo xác suất H à m không âm xác định trên sigma đại số của biến cố (2.69) sao cho a) ( Ω ) = 1, trong đó Ω biểu thị không gian mẫu (2.1), b) trong đ ó { A i } là dãy các biến cố (2.2) tách rời nhau đôi một. VÍ DỤ: Tiếp theo v í dụ về pin ở 2.1, xét biến cố pin hoạt động ít hơn một giờ. Biến cố này gồm cặp các biến cố tách rời { không hoạt động } và { hoạt động ít hơn một giờ nhưng hoạt động từ đầu } . Tương ứng, có thể biểu thị các biến cố { 0 } và (0,1). Độ đo xác suất của {0} là tỷ lệ pin không hoạt động ngay từ lần đầu. Độ đo xác suất của tập hợp (0, 1) phụ thuộc vào xác suất phân bố liên tục cụ thể [ví dụ, ph â n bố mũ (2.58)] chi phối phân bố hỏng. CHÚ THÍCH 1: Độ đo xác suất ấn định một giá trị từ [0, 1] đối với mỗi biến cố trong sigma đại số của biến cố. Giá trị 0 ứng với biến cố không th ể xảy ra, trong khi giá trị 1 biểu diễn khả năng chắc chắn xảy ra. Cụ thể, độ đo xác suất của tập trống bằng không và độ đo xác suất ấn định cho không gian mẫu là 1. CHÚ THÍCH 2: T í nh chất b) chỉ ra rằng nếu dãy các biến cố không có phần chung khi xét theo cặp th ì độ đo xác suất của hợp các biến cố đó là tổng các độ đo xác suất đ ơ n lẻ. Để ch ỉ rõ thêm cho tính chất b), nếu số biến cố là vô hạn đếm được thì điều này vẫn đúng. CHÚ THÍCH 3: Ba thành phần của xác suất có liên hệ thông qua các b i ến ngẫu nhiên. Xác suất (2.5) của các biến cố trong tập ảnh của biến ngẫu nhiên (2.10) tính được từ xác suất của biến cố trong không gian mẫu. Biến cố trong tập ảnh của biến ngẫu nhiên được ấn định xác suất của biến cố trong không gian mẫu chiếu lên nó bằng biến ngẫu nhiên. CHÚ THÍCH 4: Tập ảnh của bi ế n ngẫu nhiên là tập số thực hoặc bộ n số thực. (Chú ý tập ảnh là tập hợp mà biến ngẫu nhiên chiếu l ê n đó.) Phụ lục A (tham khảo) Ký hiệu Ký hiệu Symbol(s) Thuật ngữ Tiếng việt Vietnamese te r m Thuật ngữ tiếng Anh English term Số điều T erm No. A biến cố event 2 . 2 A C bi ế n cố bù complementary event 2.3 sigma đại số của biến cố, σ đại số, sigma trư ờ ng σ -trường sigma algebra of events, σ algebra, sigma field σ -field 2.69 α mức ý nghĩa signi f icance level 1.45 α , λ , μ , β , σ , ρ , γ , p, N, M, c, v , a, b, k tham số parameter β 2 hệ số nhọn coefficient of kurtosis 2.40 E (X k ) mômen mẫu bậc k sample moment of order k 1.14 E[g (X )] kỳ vọng của hàm g của biến ngẫu nhiên X expectation of the function g of a random variable X 2.12 F(x) hàm phân bố distribution f unction 2.7 f( x) hàm mật độ xác suất probability density f unction 2.26 γ 1 hệ số bất đ ố i xứng coe ff icient of skewness 2.39 H giả thuyết hypothesis 1.40 H 0 giả thuyết không null hypothesis 1.41 H A , H 1 đối giả thuyết alte rn ative hypothesis 1.42 k số chiều dimension k, r, s bậc của mômen order of a moment 1.14, 2.34, 2.41, 2.42 μ trung bình mean 2.35 v bậc tự do degrees of f reedom 2.54 n cỡ mẫu sample size & không gian mẫu sample space 2.1 không gian xác suất probability space 2.68 P(A) xác suất của biến cố A probability of an event A 2.5 P( A\B) xác suất có điều kiện của A cho trước B conditional probability of A given B 2.6 độ đo xác suất probability measure 2.70 r x y hệ số tương quan mẫu sample correlation coefficient 1.23 s giá trị quan trắc của độ lệch chuẩn mẫu observed value of a samplestandard deviation S độ lệch chuẩn mẫu sample s tandard deviation 1.17 S 2 phương sai mẫu sample variance 1.16 S XY hiệp phương sai mẫu sample covariance 1.22 σ độ lệch chuẩn s tandard deviation 2.37 σ 2 phương sai variance 2.36 σ XY hiệp phương sai covariance 2.43 sai số tiêu chuẩn s tandard error 1.24 sai số tiêu chuẩn của trung bình mẫu s tandard error of the sample mean θ tham số của phân bố parameter o f a distribution hàm ước lượng estimator 1.12 V(X) phương sai của biến ngẫu nhiên X variance of a random variable X 2.36 X (i) thống kê thứ tự i i th order statistic 1.9 x, y, z giá trị quan tr ắ c observed value 1.4 X, Y, Z , T biến ngẫu nhiên random variable 2.10 X p x p p ph â n vị p -quant i le 2.13 trung bình, trung bình mẫu average, sample mean 1.15 Phụ lục B (tham khảo) Sơ đồ khái niệm thống kê Phụ lục C (tham khảo) Sơ đồ khái niệm xác suất Annex C (informative) P robability concept d i agrams Phụ lục D (tham khảo) Phương pháp luận sử dụng khi xây dựng từ vựng D.1 Giới thiệu Ứ ng dụng phổ biến của bộ tiêu chuẩn này đòi h ỏ i phải sử dụng bộ từ vựng chặt chẽ và hài hòa sao cho những người sử dụng các tiêu chuẩn thống kê ứng dụng hiểu được một cách dễ dàng. Các khái niệm đều có liên quan đến nhau và việc phân tích mối quan hệ giữa các khái niệm trong lĩnh vực thống kê ứng dụng cũng như sắp xếp chúng theo các sơ đồ khái niệm là điều tiên quyết đối với một bộ từ vựng chặt chẽ. Phân tích này được sử dụng khi xây dựng tiêu chuẩn này. Vì sơ đồ khái niệm sử dụng trong quá trình xây dựng từ vựng có thể hữu ích cho việc tham khảo nên các sơ đồ đã được nhắc lại trong D.4. D.2 Nội dung mục từ vựng và quy tắc thay th ế Khái niệm là đơn vị chuy ể n đ ổ i giữa các ngôn ngữ (bao gồm cả những khác biệt trong một ngôn ngữ, ví dụ như tiếng Anh Mỹ và tiếng Anh Anh). Đối với mỗi ngôn ngữ, thuật ngữ thích hợp nhất cho tính rõ ràng phổ dụng của khái niệm ở ngôn ngữ đó, nghĩa là không phải một bản dịch, sẽ lựa được chọn. Định nghĩa hình thành bởi việc m ô tả chỉ những đặc trưng thiết yếu để nhận biết khái niệm. Thông tin liên quan đến khái niệm cũng quan trọng nhưng không cần thiết cho việc mô tả khái niệm được đặt trong một hoặc nhiều chú thích kèm theo định nghĩa. Khi thuật ngữ được thay bằng định nghĩa của nó, có thay đổi nhỏ về cú pháp, sẽ không thay đổi nghĩa văn bản. Sự thay thế như vậy tạo ra một phương pháp đơn gi ả n để kiểm tra tính chính xác của định nghĩa. Tuy nhiên, khi định nghĩa phức tạp theo hướng bao hàm nhiều thuật ngữ, tốt nhất là thực hiện việc thay thế cho một hoặc nhiều nhất là hai định nghĩa. Việc thay thế hoàn toàn tất cả các thuật ngữ sẽ làm cho việc đạt được cú pháp tr ở nên kh ó khăn và sẽ không có ích trong việc truyền tải nghĩa. D.3 M ố i quan hệ của khái niệm và việc thể hiện chúng bằng sơ đồ B.3.1 Khái qu á t Trong thuật ngữ học, ở chừng mực có thể, mối quan hệ giữa các khái niệm được dựa trên thông tin thứ bậc về đặc trưng của loại sao cho mô tả ngắn gọn nhất khái niệm b ằ ng cách gọi tên loại của nó và mô tả đặc trưng ph â n biệt nó với các khái niệm mẹ hoặc anh em. Có ba dạng quan hệ khái niệm chính được nêu trong phụ lục này: chung (D.3.2), bộ phận (D.3.3) và liên kết (D.3.4). D.3.2 Mối quan hệ chung Các khái niệm phụ trong hệ thống thứ bậc kế thừa tất cả các đặc trưng của khái niệm ch í nh và bao gồm mô tả về các đặc trưng này để phân biệt chúng với các khái niệm gốc (mẹ) và ngang bằng (anh em), ví dụ quan hệ giữa xuân, hè, thu và đông với mùa. Mối quan hệ chung được mô tả bằng một sơ đồ quạt hoặc cây không có mũi tên (xem Hình D.1). D .3.3 Mối quan hệ bộ phận Các kh á i niệm phụ trong một hệ thống thứ bậc tạo thành các bộ phận cấu thành của khái niệm ch í nh, ví dụ xuân, hạ, thu và đông có thể được xác định là bộ phận của khái niệm năm. Khi so sánh, sẽ không thích hợp nếu định nghĩa thời tiết nắng (một đặc trưng của mùa hè) là bộ phận của năm. Mối quan hệ thành phần được mô tả bằng hình c á i cào, không có mũi tên (xem Hình D.2). Các bộ phận số ít được mô tả bằng một đường thẳng, các bộ phận số nhiều được mô tả bằng hai đường thẳng. D.3.4 Mối quan hệ liên kết Mối quan hệ liên kết không thể đưa ra mô tả ngắn gọn như trong mối quan hệ chung và quan hệ bộ phận nhưng nó rất hữu ích cho việc xác định bản chất mối quan hệ giữa các khái niệm trong một hệ thống khái niệm, ví dụ: nguyên nhân và kết quả, hoạt động và vị tr í , hoạt động và kết quả, công cụ và chức năng, vật liệu và sản ph ẩ m. Mối quan hệ liên kết được mô tả bằng đường thẳng có mũi tên ở hai đầu (xem hình D.3). D.4 Sơ đồ khái niệm Các hình từ B.1 đến B.5 th ể hiện sơ đồ khái niệm là cơ sở của các định nghĩa trong điều 1 của tiêu chuẩn này. Hình B.6 là sơ đồ khái niệm bổ sung chỉ ra mối quan hệ giữa các thuật ngữ nhất định trước đó được đề cập trong các hình từ B.1 đến B.5. Các hình từ C.1 đến C.4 thể hiện sơ đồ khái niệm là cơ sở của các định nghĩa trong điều 2 của tiêu chuẩn này. Có nhiều thuật ngữ xuất hiện trong nhiều sơ đồ khái niệm được đưa ra, cung cấp mối liên kết giữa các sơ đồ. Điều này được chỉ ra như sau: Hình B.1 Khái niệm cơ bản về tổng th ể và mẫu: thống kê mô tả (1.5) Hình B.5 mẫu ngẫu nhiên đơn giản (1.7) Hình B.2 hàm ước lượng (1.12) Hình B .3 thống kê kiểm nghiệm (1.52) Hình B.4 biến ngẫu nhiên (2.10) Hình C.1, C.2 hàm phân bố (2.7) Hình C.1 Hình B.2 Khái niệm liên quan đến mômen mẫu: mẫu ngẫu nhiên đơn giản (1.7) Hình B.1 H ì nh B.3 Khái niệm ước lượng: hàm ước lượng (1.12) Hình B.1 tham số (2.9) Hình C.1 họ phân bố (2.8) Hình B.4, C.1 hàm m ậ t độ xác suất (2.26) Hình C.3 hàm khối lượng xác suất (2.24) Hình C.3 Hình B.4 Khái niệm liên quan đến phép kiểm nghiệm thống kê: thống kê kiểm nghiệm (1.52) Hình B.1 hàm mật độ xác suất (2.26) Hình B.3, C.3 hàm khối lượng xác suất (2.24) Hình B.3, C.3 họ phân bố (2.8) Hình B.3, C.1 H ì nh B.5 Khái niệm liên quan đến lớp và phân bố thực nghiệm: thống kê mô tả (1.5 ) Hình B.1 Hình B.6 Sơ đồ khái niệm suy luận thống kê: t ổ ng th ể (1.1) Hình B.1 mẫu (1.3) Hình B.1 giá trị quan trắc (1.4) Hình B.1, B.5 phép ước lượng (1.36) Hình B.3 kiểm nghiệm thống kê (1.48) Hình B.4 tham số (2.9) Hình B.3, C.1 biến ngẫu nhiên (2.10) Hình B.1, C.1, C.2 Hình C.1 Khái niệm cơ b ả n dùng trong xác suất: biến ngẫu nhiên (2.10) Hình B.1, C.2 phân bố xác suất (2.11) Hình C.2, C.3 họ phân bố (2.8) Hình B.3, B.4 hàm phân bố (2.7) Hình B.1 tham số (2.9) Hình B.3 Hình C.2 Khái niệm mômen: biến ngẫu nhiên (2.10) H ì nh B.1, C.1 phân bố xác suất (2.11) Hình C.1, C.3 Hình C.3 Khái niệm phân bố xác suất: phân bố xác suất (2.11) Hình C.1, C.2 hàm kh ố i lượng xác suất (2.24) Hình B.3, B.4 phân bố liên tục (2.23) H ì nh C.4 phân bố một chiều (2.16) H ì nh C.4 phân bố nhiều chiều (2.17) H ì nh C.4 Hình C.4 Khái niệm liên quan đến phân bố liên tục: phân bố một chiều (2.16) H ì nh C.3 phân bố nhiều chiều (2.17) Hình C.3 phân bố liên tục (2.23) Hình C.3 Ch ú thích cuối của Hình C.4, các phân bố dưới đây là ví dụ của phân bố một chiều: phân bố chuẩn, phân bố t , phân bố F , phân bố chuẩn chuẩn hóa, phân bố gamma, beta, khi-bình phương, mũ, đều, cực trị loại I, cực trị loại II và cực trị loại III. Các phân bố dưới đây là ví dụ của phân bố nhiều chiều: phân bố chuẩn đa biến, phân bố chuẩn hai biến và phân bố chuẩn chuẩn hóa hai biến. Việc đưa thêm phân bố đơn biến (2.16) và phân bố đa biến (2.17) vào sơ đồ khái niệm có thể làm cho hình trở nên rắc rối quá mức. Thư mục tài liệu tham khảo [1] TCVN 6398-11:199 , Đại lượng và đơn vị - Phần 11: Dấu và ký hiệu toán học dùng trong khoa học vật lý và công nghệ [2] TCVN 8244-1, Thống kê học - Từ vựng và ký hiệu - Phần 2: Thống kê ứng dụng [3] TCVN 6910 (t ấ t cả các phần), Độ ch í nh xác (độ đúng và độ chụm) của phương pháp đo và kết quả đo [4 ] TCVN 6165, Từ vựng quốc tế về đo lường học - Khái niệm, thuật ngữ chung và cơ bản (VIM) Chỉ mục theo b ả ng chữ cái phân bố X 2 2.57 σ- đại số 2.69 σ- trường 2.69 B bậc tự do 2.54 biến cố bù 2.3 biến cố độc lập 2.4 biến cố 2.2 biên giới lớp 1.56 biến ngẫu nhiên chuẩn hóa 2.33 biến ngẫu nhiên liên tục 2.29 biến ngẫu nhiên mẫu chuẩn hóa 1.19 biến ngẫu nhiên quy tâm 2.31 biến ngẫu nhiên rời rạc 2.28 biến ngẫu nhiên 2.10 biểu đồ cột 1.62 biểu đồ phân bố 1.61 Đ điểm giữa lớp 1.57 độ chệch 1.33 độ đo xác suất 2.70 độ lệch chuẩn 2.37 độ lệch chuẩn mẫu 1.17 độ rộng lớp 1.58 độ rộng mẫu 1.10 đối giả thuyết 1.42 đơn vị mẫu 1.2 đường hiệu lực 1.51 đường hồi quy 2.20 G giả thuyết đơn 1.43 giả thuyết hợp 1.44 giả thuyết không 1.41 giả thuyết 1.40 giá trị quan trắc 1.4 giới hạn dung sai thống kê 1.27 giới hạn lớp 1.56 H hàm hợp lý 1.38 hàm hợp lý biên duyên 1.39 hàm khái lượng xác suất 2.24 hàm mật độ xác suất 2.26 hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X 2.7 phương sai mẫu 1.16 phương sai 2.36 p - phân vị 2.13 S sai lầm loại I 1.46 sai lầm loại II 1.47 sai số của phép ước lượng 1.32 sai số tiêu chuẩn 1.24 sigma đại số của biến cố 2.69 sigma trường 2.69 T tâm độ rộng 1.11 tần số 1.59 tần số tích lũy 1.63 tần số tích lũy tương đối 1.65 tần số tương đối 1.64 tham số 2.9 thống kê kiểm nghiệm 1.52 thống kê mô tả 1.5 thống kê mô tả dạng số 1.54 thống kê mô tả đồ thị 1.53 thống kê thứ tự 1.9 thống kê 1.8 tổng thể 1.1 trung bình 1.15, 2.35.1, 2.35.2 trung bình mẫu 1.15 trung bình số học 1.15 trung bình 1.15 trung vị 2.14 trung vị mẫu 1.13 hàm ước lượng 1.12 hàm ước lượng hợp lý cực đại 1.35 hệ số bất đối xứng 2.39 hệ số bất đối xứng mẫu 1.20 hệ số biến động 2.38 hệ số biến động mẫu 1.18 hệ số nhọn 2.40 hệ số nhọn mẫu 1.21 hệ số tương quan 2.44 hệ số tương quan mẫu 1.23 hiệp phương sai 2.43 hiệp phương sai mẫu 1.22 hiệu lực của phép kiểm nghiệm 1.50 họ phân b ố 2.8 K khoảng dự đoán 1.30 khoảng dung sai thống kê 1.26 khoảng tin cậy một phía 1.29 khoảng tin cậy 1.28 không gian mẫu 2.1 không gian xác suất 2.68 kiểm nghiệm mức ý nghĩa 1.48 kiểm nghiệm thống kê 1.48 kỳ vọng 2.12 L lớp 1.55 lớp 1.55.1, 1.55.2, 1.55.3 M mặt hồi quy 2.21 mẫu ngẫu nhiên đơn giản 1.7 mẫu ngẫu nhiên 1.6 mẫu 1.3 mômen bậc r 2.34 mômen bậc r = 1 2.35.1 mômen hỗn hợp bậc r và s 2.41 mômen hỗn hợp quy tâm bậc r và s 2.42 mômen mẫu bậc k 1.14 mômen thứ r 2.34 mốt của hàm khối lượng xác suất 2.25 mốt của hàm mật độ xác suất 2.27 mức ý nghĩa 1.45 Ư ước lượng 1.31 ước lượng khoảng 1.25 ước lượng không chệch 1.34 X xác suất có điều kiện 2.6 xác suất của biến cố A 2.5 P p -giá trị 1.49 phân bố 2.11 phân bố beta 2.59 phân bố biên duyên 2.18 phân bố chuẩn 2.50 phân bố chuẩn chuẩn hóa hai chiều 2.66 phân bố chuẩn chuẩn hóa 2.51 phân bố chuẩn đa biến 2.64 phân bố chuẩn hai biến 2.65 phân bố có điều kiện 2.19 phân bố I cực trị loại I 2.61 phân bố cực trị loại II 2.62 phân bố cực trị loại III 2.63 phân bố đa thức 2.45 phân bố đều 2.60 phân bố F 2.55 phân bố Fréchet 2.62 phân bố gamma 2.56 phân bố Gausslan 2.50 phân bố Gaussian chuẩn hóa 2.51 phân bố Gumbel 2.61 phân bố hình chữ nhật 2.60 phân bố khi-bình phương 2.57 phân bố liên tục 2.23 phân bố lôga chuẩn 2.52 phân bố mẫu 2.67 phân bố một chiều 2.16 phân bố mũ 2.58 phân bố nhị thức âm 2.49 phân bố nhị thức 2.46 phân bố nhiều chiều 2.17 phân bố Poisson 2.47 phân bố rời rạc 2.22 phân bố siêu hình học 2.48 phân bố S tudent 2.53 phân bố t 2.53 phân bố tần số 1.60 phân bố Weibull 2.63 phân bố xác suất biên duyên 2.18 phân bố xác suất chuẩn hóa 2.32 phân bố xác suất có điều kiện 2.19 phân bố xác suất đa biến 2.17 phân bố xác suất đơn biến 2.16 phân bố xác suất liên tục 2.23 phân bố xác suất quy tâm 2.30 phân bố xác suất rời rạc 2.22 phân bố xác suất 2.11 phân vị 2.15 phép ước lượng 1.36 phép ước lượng hợp lý cực đại 1.37