TCVN4551:2009

Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4551:2009 về Thống kê ứng dụng - Phân tích phương sai TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4551 : 2009 THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI Applied statistics - Analysis of variances Lời nói đầu TCVN 4551 : 2009 thay thế cho TCVN 4551-1988; TCVN 4551 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN /T C 69 Ứ ng dụng các phương pháp thống k ê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố. THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI Applied statistics - Analysis of variances 1. Phạm vi áp dụng Tiêu chu ẩ n này quy định các mô hình và phương pháp phân tích phương sai một nhân tố và hai nhân tố, các phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và kết luận thống kê về sự thuần nhất của sản phẩm nhằm phân loại các sản ph ẩ m không thuần nhất. 2. Khái niệm chung 2.1. Phân tích phương sai là một tập hợp các phương pháp thống kê nhằm kiểm nghiệm gi ả thuyết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình của một đại lượng nào đó trên cơ sở so sánh các giá trị trung b ì nh của nó trong k mẫu ngẫu nhiên độc lập rút từ k tổng thể. 2.2. Đặc trưng cơ bản của phân tích phương sai là: k tổng thể chịu tác động bởi nhân tố A , ở tổng thể thứ j ( j = 1, 2, ... k ) A nhận giá trị không đổi A j . 2.2.1. Giá trị A j được gọi là mức của nhân tố A và thường l à giá trị định t í nh. Số mức khác nhau của nh â n tố A là hữu hạn. Hai tổng thể khác nhau ứng với hai mức khác nhau của nhân tố A . 2.2.2. Nhân tố A có thể là đơn (một chiều) hay bội (nhiều chiều) dưới dạng tổ hợp của một số nhân tố đơn, tức là A = B x C x ... x G . Tùy theo số chiều của nhân tố mà ta có phân tích phương sai một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố... Hai nhân tố A và B là c ó tương tác (ký hiệu A x B ) nếu như trong bố trí thí nghiệm có mọi tổ hợp có thể có của các mức của hai nhân tố. Tiêu chuẩn này chỉ đề cập đến mô hình phân t í ch phương sai một nhân tố hay hai nhân tố có tương tác. 2.3. Đại lượng Y đo được trong các mẫu rút từ các tổng thể là bi ế n ngẫu nhiên một chiều, các giá trị quan trắc về đại lượng Y được đo với cùng một độ chính xác. 2.4. Các số liệu đ ể tiến hành phân tích phương sai được biểu diễn dưới dạng Bảng 1. Bảng 1 Mức của nh â n t ố A 1 A 2 ... A i … A k Giá trị của Y trong k mẫu Y 11 Y 21 Y i 1 Y k 1 Y 12 Y 22 Y i 2 Y k 2 Y 1 j Y 2 j Y ij Y kj trong đó: k là số các tổng thể; n 1 , n 2 ,... n k là các c ỡ mẫu tương ứng rút từ tổng thể thứ 1, 2,... k , Y ij là giá trị đo được thứ j của Y trong mẫu rút từ tổng thể thứ i . 2.5. Các giá trị Y i 1 , Y i 2 , ... trong mỗi một cột ứng với một mẫu và l à độc lập với nhau ( i = 1, 2 , …., k ). 2.6. Các phương pháp xử lý số liệu trong Bảng 1 phụ thuộc vào phân bố của Y . 2.6.1. Các phương pháp phân tích phương sai tham số (xem Điều 3) đòi hỏi giả thuyết Y có phân bố chuẩn. 2.6.2. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số (xem Điều 4) không đòi hỏi giả thuyết Y i 1 , Y i 2 , ... có phân bố chuẩn. 2.7. Giả thuyết “không" H 0 phải kiểm nghiệm trong phân t í ch phương sai có dạng sau: H 0 : E(Y 1 ) = E (Y 2 ) = … = E (Y k ) (1) Giả thuyết này có nghĩa là các mức A j của nhân tố A không c ó ảnh hưởng g ì đến các giá trị trung b ì nh trong các tổng thể riêng biệt, nói khác đi các giá trị trung b ì nh đó bằng nhau. H 1 là đối thuyết của H 0 nếu H 1 đúng th ì nhân tố A có ảnh hưởng đến Y . Khi bác bỏ H 0 , phải tiến hành thêm phân tích phụ nhằm phát hiện ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá tr ị của Y . 2.8. Phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết H 0 c ò n phụ thuộc vào sự bằng nhau của các phương sai. Trước khi kiểm nghiệm H 0 , phải kiểm nghiệm giả thuyết phụ H 0 ' về sự b ằ ng nhau của phương sai: H 0 ': D ( Y 1 ) = D (Y 2 ) = ... = D ( Y k ) (2) Đối thuyết: H 1 ' : |D(Y i ) - D (Y j )| > 0 2.9. Sơ đồ chung phân tích phương sai và v í dụ minh họa được cho trong Phụ lục A và Phụ lục B tương ứng. 3. Phương pháp phân tích phương sai tham số 3.1. Phân tích phương sai một nhân tố 3.1.1. Mô hình phân tích ph ương sai một nhân tố Nhân tố A có k mức A 1 , A 2 , … A k tương ứng với k tổng thể. Mô h ì nh có dạng sau: Y ij = m + a i + e ij (3) trong đó: m là giá trị trung bình chung của Y ; a i là hiệu quả của mức A i đối với Y ; e ij là sai số ngẫu nhiên ứng với giá trị quan trắc; Y ij với i = 1 … k ; j = 1…. n i . 3.1.1.1. Điều kiện áp dụng của mô h ì nh: các e ij là độc lập, có phân bố chuẩn với trung b ì nh bằng 0. 3.1.1.2. Phát biểu giả thuyết: Giả thuyết có dạng: H 0 : a 1 = a 2 = … = a k = 0 (4) tức là các mức của A không c ó ảnh hưởng đến các giá tr ị trung b ì nh của Y . Đối thuyết: H 1 : không phải tất cả các a 1 , a 2 , ... , a k bằng 0 (5) tức l à các mức của nhân tố A c ó ả nh hưởng đến các trung b ì nh của Y . 3.1.2. Các bước tiến hành khi phân tích ph ương sai một nhân tố 3.1.2.1. Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các ph ươ ng sai 3.1.2.1.1. Dùng quy tắc Bartlett nếu k > 2 1) Tính các giá trị i = 1, 2, …, k (6) 2) Đặt (7) 3) Tính các giá trị (8) (9) 4) Tính thống kê (10) trong đó (11) 5) Chọn mức ý nghĩa a (thường lấy a = 0,05 hay a = 0,01). Sau đó xác định phân v ị c ủa phân bố c 2 với k - 1 bậc tự do. 6) So sánh giá trị c 2 tính được với giá trị tra bảng. Nếu: chuyển sang 3.1.2.2.1 chuyển sang 3.1.2.2.2 3.1.2.1.2. Nếu k = 2, dùng quy t ắ c Fisher để so sánh hai phương sai. Nếu hai phương sai bằng nhau, có thể dùng quy tắc S tudent để so sánh hai giá tr ị trung bình. 3.1.2.2. Kiểm nghiệm các giả thuyết H 0 3.1.2.2.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau Sau khi đã khẳng định giả thuyết H 0 ' về sự bằng nhau của các phương sai, việc kiểm nghiệm giả thuyết H 0 được tiến hành như sau: 1) Tính tổng và trung bình ứng với từng tổng thể: với i = 1, 2, …, k (12) Sau đó tính tổng chung và trung b ì nh chung: Y .. = Y 1. + Y 2. +…+ Y k. (13) 2) Tính các tổng b ì nh phương sau: Tính tổng bình phương giữa các mức: (14) Tổng b ì nh phương dư (sai số): SS dư = (15) Tổng bình phương chung: (16) Đ ể kiểm tra, có th ể dùng hệ thức sau: SS dư = SS - SS A 3) Các kết quả được viết dưới dạng bảng phân tích phương sai sau: Bảng 2 Nguồn biến động Tổng bình ph ươ n g Bậc tự do Trung bình b ì nh ph ươn g Tỷ số F Nhân tố SS A n 1 = k - 1 Sai số SS dư n 2 = n - k Tổng chung SS n - 1 - - 4) Chọn mức ý nghĩa a và xác định phân v ị F 1 - a ( n 1 , n 2 ) của phân bố F với n 1 và n 2 bậc tự do theo Bảng 5. 5) So sánh giá tr ị F tính được nhờ Bảng 2 với giá trị tra bảng F 1 - a ( n 1 , n 2 ). Nếu F ≤ F 1 - a ( n 1 , n 2 ) th ì chấp nhận H 0 . Nếu F > F 1 - a ( n 1 , n 2 ) thì bác bỏ H 0 . Điều này có nghĩa là nhân tố A thực dư có ảnh hưởng đến Y . Tiếp tục dùng các phương pháp so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những tổng th ể thuần nhất. 3.1.2.2.2. Trường hợp các phương sai không bằng nhau: Phương pháp W elch Nếu các phương sai không bằng nhau, giả thuyết H 0 được kiểm nghiệm như sau: 1) Tính: với i, j = 1, 2, … k (18) với i = 1, 2, … k (19) và các đại lượng trung gian sau: (20) (21) (22) 2) Tính thống kê Welch: (23) 3) T í nh biểu thức: (24) 4) Đặt: F = , n 1 = k-1, n 1 = [ ¦ ] - 1 (25) trong đó: [ ¦ ] là phần nguyên của ¦ . 5) Với F , n 1 , và n 2 tính được, thực hiện tiếp các bước 4 và 5 của trường hợp các phương sai bằng nhau (3.1.2.2.1). 3.2. Ph â n tích ph ươ ng sai hai nhân tố 3.2.1. Cách trình bày s ố li ệ u Nhân tố A x B là bội (xem 2.2.2) gồm hai nhân tố đơn A và B . A c ó k mức là A 1 , A 2 ,... A k B c ó m mức là B 1 , B 2 , ... B m n giá tr ị của Y ứng với mức ( A i , B j ) được ký hiệu là Y ij 1 , Y i j 2 , .... Y ijn . Các giá trị của Y để tiến hành phân tích phương sai được trình bày trong Bảng 3. Bảng 3 Các mức của nhân tố A Các mức của nhân tố B B 1 B 2 ... B m A 1 Y 111 , Y 112 , Y 11n Y 121 , Y 122 , Y 12n ... Y 1 m 1 , Y 1 m 2 , Y 1 mn A 2 Y 211 , Y 212 , Y 21 n Y 221 , Y 222 , Y 22 n ... Y 2 m 1 , Y 2 m 2 , Y 2 mn ... ... ... ... ... A k Y k 11 , Y k 12 , Y k 1 n Y k 21 , Y k 22 , Y k 2 n … Y km 1 , Y km 2 , Y kmn 3.2.2. Mọi ô của B ả ng 3 được giả thuyết cùng có một số quan trắc đo được với cùng độ chính xác. 3.2.3. Mô hình phân tích ph ươ ng sa i hai nh â n t ố 3.2.3.1. Mô h ì nh có dạng sau: Y ij ℓ = m + a 1 + b j + ( a b ) ij + e ij ℓ (26) với i = 1, 2,... k ; j = 1, 2,... m ; ℓ = 1, 2,... n trong đó: m - trung b ì nh chung của đại l ượ ng Y a i - hiệu quả của mức A i của nhân tố A đối với các giá trị của Y b i - hiệu quả của mức B j của nhân tố B đ ố i với các giá trị của Y ( a b ) ij - hiệu qu ả hỗn hợp của mức ( A i , B j ) đối với các giá trị của Y e ij ℓ - sai số ngẫu nhiên của quan sát Y ij ℓ 3.2.3.2. Các điều kiện áp dụng 1) Các e ij ℓ là độc lập, có phân b ố chu ẩ n với trung bình 0 và phương sai như nhau. 2) Các nhân tố A và B có thể có hiệu quả âm hoặc dương đối với Y nhưng phải thỏa mãn hệ thức: =0 với mọi i với mọi j 3.2.3.3. Phát biểu giả thuyết Các giả thuyết được xem xét theo thứ tự sau: 1) Kiểm nghiệm sự tương tác giữa các nhân tố A và B H 0,A x B : ( a b ) ij = 0 với mọi i = 1, 2,.... k và j = 1, 2 ….., m H 1, AxB : không phải mọi ( a b ) ij = 0 2) Nếu gi ả thuyết H 0,AxB đúng tức là không có sự tương tác giữa A và B , cần kiểm nghiệm a) Ảnh h ưở ng của nhân tố A đến các giá trị của Y . Cụ thể: H 0, A : a 1 = a 2 = ... = a k = 0 tức là các mức của A không ảnh hưởng đến các giá trị của Y . H 1, A : không phải t ấ t cả các a 1 , a 2 , ... , a k b ằ ng 0 b) Ảnh hưởng của nhân tố B đến các giá trị của Y : H 0,B : b 1 = b 2 = … = b m = 0 tức là các mức của B không ảnh hưởng đến các giá trị trung b ì nh của Y . H 1, B : không phải tất cả các b 1 , b 2 , .... , b k đ ề u bằng 0 3.2.4. Các bước tiến hành khi phân tích ph ương sai hai nhân tố 3.2.4.1. Ki ể m nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai của Y ứng với mọi tổng thể nhờ quy tắc Bartlett - Đánh số lại các mẫu trong Bảng 3 bằng ch ỉ số i = 1, 2,... K = k x m theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống. - Bên trong từng mẫu, đánh số các quan sát theo hai ch ỉ số Y ij , trong đó j = 1, 2,... n . - Á p dụng quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) cho các mẫu vừa được thành lập, trong đó n i = n với mọi i = 1 , 2, ... K . - Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai được ch ấ p nhận th ì chuyển sang 3.2 .4 .2. - Nếu bác bỏ giả thuyết trên thì chuyển sang 3.2.4.3. 3.2.4.2. Kiểm nghiệm điều kiện ứng dụng 1) Tính các tổng: với mọi i = 1, 2 …, k ; j = 1, 2 …., m (27) với mọi i = 1, 2 …, k (28) với mọi j = 1, 2, …, m (29) Tổng chung (30) 2) Tính các tổng bình phương: N = kmn (31) (32) (33) (34) SS dư = (35) (36) 3) Tính các trung bình bình phương MS dư = SS dư (37) 4) Tính các tỷ số F: (38) 5) Viết các đại lượng vừa tính thành bảng phân tích phương sai hai nhân t ố như sau: Bảng 4 Nguồn bi ế n động Tổng b ì nh ph ươ n g Bậc t ự do Trung b ì nh b ì nh ph ươn g T ỷ số F Nh â n tố A SS A k - 1 MS A F A Nhân tố B SS B m - 1 MS B F B Tương tác A x B SS AXB (k - 1)(m - 1) MS AXB F AXB Sai số SS dư N - km MS dư - Tổng cộng SS N - 1 - - 3.2.4.2.1. Kiểm nghiệm gi ả thuyết H 0,AXB 1) Chọn mức ý nghĩa a . Đặt n 1 = ( k - 1)( m - 1), n 2 = N - km và tra Bảng 5 để t ì m phân vị F 1- a ( n 1 , n 2 ) . 2) So sánh tỷ số F A X B tính được với giá trị F 1 - a ( n 1 , n 2 ) - Nếu F AxB <> F 1 - a ( n 1 , n 2 ) thì chấp nhận giả thuyết H 0,AxB , sau đó k iểm định giả thuyết H 0 ,A và H 0,B (xem 3.2 .4 .2.2 và 3.2.4.2.3). - Nếu F AxB > F 1 - a ( n 1 , n 2 ) th ì bác bỏ H 0,AxB và kết luận là các tổ hợp của nhân tố AxB có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình. với i = 1, 2, …, k; j = 1, 2, …, m Tiếp đó chuyển sang so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những nhóm tổng thể thu ầ n nhất. 3.2.4.2.2. Kiểm nghiệm giả thuyết H 0,A 1) Đặt n 1 = k - 1 , n 2 = N - km và xác định phân vị F 1- a ( n 1 , n 2 ) theo Bảng 5 với mức ý nghĩa a . 2) So sánh trị số F A tính được với giá trị tra bảng F 1- a ( n 1 , n 2 ) - Nếu F A ≤ F 1- a ( n 1 , n 2 ) : chấp nhận giả thuyết H 0,A theo 3.2.3.3.2. - Nếu F A > F 1- a ( n 1 , n 2 ) : bác bỏ H 0,A và suy ra kết luận các mức của nhân tố A là có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình. với i = 1, 2, … k Để tách các mẫu thuần nhất theo Y , ta phải thực hiện so sánh đồng thời (3.3). 3.2.4.2.3. Kiểm nghiệm giả thuyết H 0, B 1) Đặt n 1 = m - 1, n 2 = N - km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F 1- a ( n 1 , n 2 ) ứng với mức ý nghĩa a . 2) So sánh F B tính được với giá trị tra bảng F 1- a ( n 1 , n 2 ) - Nếu F B ≤ F 1- a ( n 1 , n 2 ) ta chấp nhận H 0,B nhờ 3.2.3.3.3. - Nếu F B > F 1- a ( n 1 , n 2 ) ta bác bỏ H 0 ,B và kết luận các mức của nhân tố B có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình. với j = 1, 2, … m Để phát hiện các mẫu thuần nhất theo Y cần phải thực hiện phép so sánh đồng thời (3.3). 3.2.4.3. Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai b ị bác bỏ, phân t í ch phương sai hai nhân tố được chuyển thành phép phân tích phương sai một nhân tố với các phương sai không bằng nhau (3.1.2.2.2) với số mức K = kmn . 3.3. So sánh đồng thời 3.3.1. Trường h ợ p các ph ươ ng sai bằng nhau Phương pháp S tudent - Newman - Keuls Cần thực hiện các bước như sau: 1) Sắp xếp các trung b ì nh mẫu , theo thứ tự tăng dần và đánh số lại các tổng thể theo chỉ số của dãy mới thu được: Ở đây: cho trường hợp phân tích một nhân tố ( ℓ = 1, 2 , …, k ); cho trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác ( ℓ = 1, 2 , …, K = k x m ); cho tr ườ ng hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A ( ℓ = 1, 2 , …, K = k ); cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B ( ℓ = 1, 2 , …., K = m ). 2) Tính đại lượng: (39) trong đó: (40) với n ℓ l à số quan sát trong nhóm thứ ℓ Ở đây: n ℓ = n i trong trường hợp phân tích một nhân tố; n ℓ = n trong trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác; n ℓ = n x m trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A ; n ℓ = k x n trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B . 3) Với mức ý nghĩa a (thường a = 0,1; a = 0,05; a = 0,01), tra Bảng 6 để t ì m R ( a , n 3 , n 4 ) phân vị trên của phân bố của độ rộng đã được S tudent hóa trong đó n 3 = 2, 3 , …, k; n 4 là số bậc tự do của tổng các b ì nh phương dư. Đặt M = K 4) Tính giá trị của thống kê: (41) với i = 1, 2 , …., M - 1. 5) So sánh giá trị SR(M,i) với giá trị tới hạn R ( a , M - i + 1, n 4 ) với i = 1, 2 , …, M - 1. Giả sử: I M = max {i, SR(M,i) ≥ R( a , M - i + 1, n 4 )} (42) tức I M là chỉ số i lớn nh ấ t sao cho thống kê SR(M,i) vượt qua phân v ị R ( a , M - i + 1 , n 4 ). Các tổng thể còn lại với các ch ỉ số lớn hơn I M cho ta: SR(M ,i ) <> R ( a , M - i + 1, n 4 ) (43) i = I M + 1 , I M + 2 , …, M Từ đ ó suy ra tr ê n các tổng thể với các ch ỉ số I M + 1, I M + 2 , …, M giá trị trung b ì nh của Y không khác nhau. 6) Sau khi tách các tổng thể thuần nh ấ t I M + 1, I M + 2 , …, M thành một nhóm, đặt M = I M và tiếp tục t ì m các nhóm tổng thể thuần nhất bằng cách lặp lại bước 4 và 5 của 3.3.1 cho những tổng thể còn lại 1, 2, ... I M cho đến khi phát hiện đầy đủ tất cả các nhóm thuần nhất. CH Ú TH Í CH: Quy tắc này được thực hiện với các nhóm tổng th ể thu ầ n nh ấ t và rời nhau. 3.3.2. Trường hợp phương sai không bằng nhau Quy tắc Dunnett so sánh các cặp trung b ì nh có thể có: 1) Chọn mức ý nghĩa a ( a = 0,10; a = 0,05 hay a = 0,01). Tra Bảng 6 với i = 1, 2 …, k để t ì m phân vị trên R ( a, k, n i - 1). 2) Với mọi cặp i j , tính: (44) trong đó , được tính b ằ ng công thức (19). 3) Xác định các gi ớ i hạn: ; đó là giới hạn tin cậy của hiệu a i - a j . 4) Nếu g i j < 0="" và=""> > 0 th ì kết luận nhóm có chỉ số i không khác nhóm có chỉ số j . Xét tiếp cặp chỉ số mới ( i, j ) và lặp lại mọi thủ tục nh ư đối với cặp ( i, j ). CHÚ TH Í CH: Quy tắc tr ê n được thực hiện với các nhóm tổng th ể thuần nh ấ t và rời nhau. 4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số 4.1. Phạm vi ứng dụng Nếu giả thuy ế t phân bố chu ẩ n của Y không được thỏa mãn (xem 2.6) thì phải dùng các phương pháp của mục này. Mô h ì nh được giả thuyết là một nhân tố. Với mô h ì nh nhiều nhân tố c ầ n được đưa v ề mô h ì nh một nhân tố như đã chỉ ra trong 3.2.2.2. Các s ố liệu cũng được biểu diễn d ướ i dạng Bảng 1. Mọi ký hiệu vẫn được giữ nguy ê n. 4.2. Mô hình một nhân tố Như trong 3.1.1 4.2.1. Điều ki ệ n áp dụng Mọi e ij là độc lập và được l ấ y ra từ cùng một tổng thể. 4.2.2. Phát biểu giả thuyết Như trong 3.1.1.2. 4.2.3. Các b ướ c tiến hành 4.2.3.1. Kiểm tra sự b ằ ng nhau giữa các phương sai của đại lượng Y theo mọi mẫu nhờ quy tắc Brown - Forsythe 1) Sắ p x ế p các quan sát Y i1 , Y i2 , …, theo thứ tự tăng: (46) Tính trung vị mẫu: nếu n i chẵn (47a) nếu n i lẻ (47b) 2) Tính giá trị tuyệt đối của các hiệu số: với mọi i = 1, …, k; j = 1, …, n i (48) 3) Tính các trung b ì nh: i = 1, 2, …, k (49) (50) trong đó: 4) Tính giá trị của thống kê Brovvn - Forsythe: (51) 5) Đặt n 1 = k - 1, n 2 = N - k . Với mức ý nghĩa a , tra bảng để t ì m điểm phân vị F 1- a ( n 1 , n 2 ) của phân bố F . 6) So sánh giá trị W 0 vừa tính với F 1- a ( n 1 , n 2 ). - Nếu W 0 ≤ F 1- a ( n 1 , n 2 ) ta chấp nhận giả thuyết về tính thuần nhất của e ij và chuyển sang 4.2.3.2. - Nếu W 0 > F 1- a ( n 1 , n 2 ) ta kết luận điều kiện áp dụng của 4.2.1 không được thỏa m ã n. 4.2.3 .2. Quy tắc Kruskal - Wallis để kiểm nghiệm giả thuyết cơ bản 1) Sắp xếp tất cả quan sát (Bảng 1) theo thứ tự tăng dần: Y (1) ≤ Y (2) ≤ … ≤ Y (N) (52) Nếu có hai (hay nhiều) quan sát có giá trị trùng nhau th ì gán cho chúng cùng một hạng bằng tổng các chỉ số đó chia cho các quan sát trùng nhau. Ví dụ nếu Y (7 ) = Y (8) = Y (9) th ì chúng đều được gán hạng 2) Ký hiệu r i j là hạng của quan sát Y ij trong cách sắp x ế p hạng tr ê n. 3) Vớ i i = 1, 2 , … , k , đặt: ; (53) 4) Tính thống kê: (54a) nếu các quan sát không trùng nhau, hoặc thống kê: (54b) nếu có các quan sát trùng nhau. trong đó: g - số nhóm các quan sát trùng nhau; t j - số các hạng giống nhau trong nhóm thứ j . 5) Chọn mức ý nghĩa a ( a = 0,1; 0,05 hay 0,01) - Nếu k = 3 (có 3 tổng thể cần so sánh) và với cỡ mẫu nhỏ (mỗi một trong các số n 1 , n 2 , n 3 không vượt quá 5). Ta dùng Bảng 7 để xác định phân v ị h a , k ( n 1 , n 2 , n 3 ). Đặt h 2 = h a , k ( n 1 , n 2 , n 3 ) và chuyển sang 6). CH Ú TH Í CH: Bảng 7 cho các giá tr ị tới hạn h a , n ( n 1 , n 2 , n 3 ) cho tr ườ ng hợp n 1 ≤ n 2 ≤ n 3 . N ế u thứ tự này không được thực hiện, cần phải đánh số lại các mẫu sao cho n 1 ≤ n 2 ≤ n 3 . Việc đánh số lại các mẫu không ảnh h ưở ng đ ế n h . - Nếu c ỡ m ẫ u lớn, tra phân vị của phân bố c 2 với k - 1 bậc tự do. Đặt 6) So sánh giá trị tính được h (hay h' ) với giá trị tới hạn h a . - Nếu h ≤ h a . chấp nhận giả thuyết H 0 về sự không sai khác giữa các tổng th ể . - Nếu h > h a : bác bỏ H 0 và suy ra kết luận các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các giá trị trung b ì nh của Y . 4.3. So sánh đồng thời Các bước cụ thể như sau: - Sắp xếp các giá trị R i theo thứ tự tăng dần: R (1) ≤ R (2) ≤ … ≤ R (k) (55) và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự hạng của chúng. - Nếu mọi cỡ mẫu b ằ ng nhau, tức là n 1 = n 2 = ... = n k = n thì chuyển sang 4.3.1. Tr ườ ng hợp ngược lại chuyển sang 4.3.2. 4.3.1. Trường hợp các cỡ mẫu bằng nhau 4.3.1.1. Quy tắc Kruskal - Wallis (khi c ỡ mẫu nhỏ) 1) Chọn mức ý nghĩa a . Với k, n và a , tra Bảng 8 để tìm giá trị tới hạn y ( a , k, n ). Đặt M = k . 2) So sánh hiệu số R (M) - R ( i ) ( i = 1, 2 , …, M - 1) với giá trị tới hạn y ( a , k, n ). Giả sử: I M = max { i : R (M) - R (i) ≥ y ( a , k, n )} (56) I M bằng ch ỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp sau đó thực hiện b ấ t đẳng thức: i = 1, 2, …, M - I M (57) Từ đó suy ra rằng: Các tổng thể với các chỉ số I M + 1, I M + 2, ... , M là không khác nhau và các giá trị của các mức của A không c ó ảnh hưởng g ì đến giá trị trung bình của Y . 3) Sau khi tách nhóm các tổng thể thuần nhất I M + 1, I M + 2 , …, M , ti ế p tục so sánh các hiệu , i = 1, 2, …, I M - 1 với giá trị tới hạn y ( a , k, n ). Đặt M = I M và chuyển sang thuật toán ở 2) cho đến khi phát hiện đầy đủ mọi nhóm các tổng thể thuần nh ấ t. 4.3.1.2. Quy tắc tiệm cận (trường hợp các mẫu lớn) Nếu c ỡ mẫu vượt ra khỏi giới hạn của Bảng 8 thì phải dùng phương pháp tiệm cận. 1) Với mức ý nghĩa a đã chọn và với số nhóm k , cần tính q a ( k ) nhờ Bảng 9. 2) Xác định giá tr ị tới hạn: (58) 3) Tiếp tục các bước 2 và 3 giống như trường hợp 4.3.1.1. 4.3.2. Tr ườ ng h ợ p c ỡ mẫu không bằng nhau Các bước tiến hành - Tính hạng trung b ì nh - Sắp xếp các hạng trung b ì nh R i. theo thứ tự tăng dần: R (1.) ≤ R (2.) ≤ … ≤ R (k.) (59) và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự đã sắp xếp của hạng trung b ì nh. 4.3.2.1. Trường hợp c ỡ mẫu nhỏ: 1) Cho trước mức ý nghĩa a , k và các cỡ m ẫ u ( n 1 , n 2 , n 3 ) tra Bảng 7 đ ể t ì m phân vị h a , k ( n 1 , n 2 , n 3 ). 2) Chọn M = k và tính giá trị tới hạn (60) với mọi i = 1, 2 , …, M . 3) So sánh hiệu số R (M.) - R (i.) v ớ i các giá trị tới hạn Y M,i với mọi i = 1, 2 , …, M - 1. Giả sử: I M = max {i: R (M.) - R (i.) ≥ Y M,i } (61) I M là chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp đó bắt đầu thực hiện các bất đẳng thức ngược: (i = 1, 2, …, M - I M ) (62) Từ đó suy ra, các tổng thể với các ch ỉ số I M + 1, I M + 2 , …, M là không khác nhau theo Y . 4) Sau khi tách nhóm những tổng thể không khác nhau với các chỉ số I M+1 , I M+2 , ... , M , đặt M = l M rồi tiếp tục các bước 2) và 3) của điều này cho các tổng thể còn lại cho đến khi tách được hoàn toàn các nhóm gồm tổng thể thuần nhất theo Y . 4.3.2.2. Trường hợp các mẫu lớn Đối với những trường hợp không gặp trong Bảng 7 và các n i > 5, cần dùng những phương pháp tiệm cận. 1) Với mức ý nghĩa a đ ã chọn, t í nh Dùng Bảng 10 để tra phân vị U p của phân bố chuẩn. Đặt M = k . 2) Tính giá tr ị tới hạn: (63) với mọi i = 1, 2, …, M. 3) Tiếp tục các bước 3 và 4 của trường hợp 4.3.2.1. Sau khi tách các nhóm tổng thể không khác biệt, việc so sánh tiếp theo được đưa vào giá tr ị tới hạn cho bởi công thức (63) (xem các ch ú thích trong 3.3.1 và 3.3.2). Bảng 5 - Phân v ị của phân bố F P { F > F 1 - a ( n 1 , n 2 )} = a 1) a = 0,05; 1 - a = 0,95 n 2 n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 2 18,5 19,0 19,2 19,2 1,93 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 3 10 , 1 9,55 9 , 28 9 , 12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6 , 26 6 , 16 6,09 6,04 6,00 5 , 96 5 6,61 5 , 79 5,41 5 , 19 5,05 4,95 4,88 4,82 4 , 77 4,74 6 5,99 5 , 14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 7 5 , 59 4,74 4,35 4 , 12 3,97 3 , 87 3,79 3,73 3 , 68 3,64 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3 , 35 9 5 , 12 4 , 26 3,86 3,63 3,48 3 , 37 3,29 3 , 23 3 , 18 3,14 10 4,96 4 , 10 3,71 3,48 3 , 33 3 , 22 3,14 3 , 07 3,02 2,98 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2 , 85 12 4,75 3,89 3 , 49 3,26 3,11 3 , 00 2,91 2,85 2,80 2,75 13 4,67 3,81 3 , 41 3 , 18 3,03 2,92 2,83 2 , 77 2 , 71 2,67 14 4,60 3 , 74 3,34 3 , 11 2 , 96 2 , 85 2,76 2,70 2,65 2 , 60 15 4,54 3,68 3 , 29 3,06 2 , 90 2 , 79 2 , 71 2,64 2,59 2,54 16 4,49 3 , 63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2 , 59 2,54 2,49 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2 , 81 2,70 2,61 2 , 55 2,49 2,45 18 4,41 3 , 55 3,16 293 2 , 77 2 , 66 2,58 2 , 51 2 , 46 2,41 19 4,38 3 , 52 313 2,90 2 , 74 2 , 63 2,54 2,48 2 , 42 2 , 38 20 4,35 3 , 49 310 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2 , 39 2 , 35 21 4,32 3 , 47 3,07 2,84 2,68 2 , 57 2,49 2 , 42 2,37 2 , 32 22 4,30 3,44 3 , 05 2 , 82 2,66 2 , 55 2,46 2,40 2,34 2 , 30 23 4 , 28 3,42 3 , 03 2 , 80 2,64 2,53 2,46 2 , 37 2 , 32 2 , 27 24 4,26 3 , 40 3,01 2,78 2,62 2 , 51 2,42 2 , 36 2 , 30 2,25 25 4,24 3 , 39 2,99 2,76 2 , 60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 26 4,23 3 , 37 2,98 2 , 74 2,59 2 , 47 2,39 2 , 32 2 , 27 2 , 22 27 4 , 21 3 , 35 2,96 2 , 73 2 , 57 2,46 2 , 37 2 , 31 2 , 25 2 , 20 28 4,20 3 , 34 2,95 2 , 71 2,56 2,45 2 , 36 2,29 2 , 24 2 , 19 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2 , 35 2,28 2,22 2,18 30 4,17 3 , 32 2 , 92 2,69 2 , 53 2 , 42 2 , 33 2 , 27 2 , 21 2 , 16 34 4 , 13 3,28 2 , 88 2 , 65 2,49 2 , 38 2,29 2 , 23 2 , 17 2 , 12 40 4,08 3 , 23 2,84 2 , 61 2 , 45 2 , 34 2,25 2,18 2,12 2,08 50 4 , 03 3 , 18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 70 3,98 3,13 2,74 2 , 50 2 , 35 2,23 2 , 14 2,07 2,02 1 , 97 100 3,94 3 , 09 2 , 70 2,46 2 , 31 2 , 19 2,10 2 , 03 1 , 97 1,93 200 3,89 3 , 04 2,65 2 , 42 2 , 26 2,14 2 , 06 1 , 98 1,93 1 , 88 500 3,86 3,01 2,62 2,39 2 , 23 2,12 2,03 1,96 1,90 1,85 ¥ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 Bảng 5 (tiếp theo) 1) a = 0,05; 1 - a = 0,95 n 2 n 1 12 14 16 18 20 24 30 40 60 100 ¥ 1 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 2 19,4 19,4 19,4 19 , 4 19,4 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 19,5 3 8 , 74 8 , 71 8,69 8,67 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,53 4 5,91 5 , 87 5,84 5,82 5,80 5,77 5 , 75 5,72 5 , 69 5,66 5,63 5 4,68 4 , 64 4,60 4,58 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,41 4 , 37 6 4 , 00 3,96 3,92 3 , 90 3 , 87 3,84 3 , 81 3,77 3,74 3 , 71 3,67 7 3 , 57 3 , 53 3 , 49 3 , 47 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3 , 27 3 , 23 8 3,28 3 , 24 3,20 3 , 17 3,15 3,12 3 , 08 3 , 04 3 , 01 2,97 2,93 9 3 , 07 3,03 2 , 99 2,96 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,76 2 , 71 10 2,91 2,86 2 , 83 2,80 2 , 77 2 , 74 2 , 70 2 , 66 2,62 2,59 2,54 11 2 , 79 2 , 74 2,70 2 , 67 2 , 65 2,61 2 , 57 2,53 2,49 2,46 2,40 12 2,69 2,64 2,60 2 , 57 2,54 2 , 51 2,47 2 , 43 2,38 2 , 35 2,30 13 2 , 60 2,55 2 , 51 2,48 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2 , 26 2,21 14 2 , 53 2,43 2 , 44 2 , 41 2 , 39 2 , 35 2 , 31 2 , 27 2 , 22 2,19 2 , 13 15 2,48 2,42 2,38 2 , 35 2,33 2 , 29 2,25 2 , 20 2,16 2,12 2,07 16 2,42 2 , 37 2 , 33 2,30 2,28 2,24 2 , 19 2 , 15 2 , 11 2 , 07 2,01 17 2 , 38 2 , 33 2 , 29 2 , 26 2,23 2 , 19 2,15 2 , 10 2,06 20,2 1,96 18 2,34 2,29 2 , 25 2 , 22 2,19 2,15 2,11 2 , 06 2 , 02 1,98 1,92 19 2 , 31 2,26 2 , 21 2,18 2,16 2 , 11 2,07 2 , 03 1,98 1,94 1,88 20 2 , 28 2,22 2 , 18 2,15 2 , 12 2,08 2 , 04 1,99 1 , 95 1 , 91 1,84 21 2 , 25 2,20 2,16 2,12 2,10 2,05 2 , 01 1,96 1,92 1,88 1,81 22 2,23 2 , 17 2,13 2,10 2,07 2 , 03 1,98 1,94 1,89 1 , 85 1 , 78 23 2,20 2,15 2 , 11 2 , 07 2,05 2 , 00 1,96 1 , 91 1,86 1,82 1 , 76 24 2 , 18 2,13 2,09 2,05 2 , 03 1 , 98 1,94 1,89 1,84 1,80 1 , 73 25 2,16 2,11 2,07 2 , 04 2 , 01 1 , 96 1 , 92 1 , 87 1 , 82 1 , 78 1 , 71 26 2 , 15 2,09 2 , 05 2,02 1,99 1,95 1,90 1,85 1 , 80 1 , 76 1,69 27 2 , 13 2 , 08 2,04 2 , 00 1,97 1 , 93 1,88 1,84 1,79 1,74 1,67 28 2 , 12 1,06 2 , 02 1,99 1,96 1,91 1 , 87 1,82 1 , 77 1 , 73 1,65 29 2,10 2 , 05 2,01 1,97 1 , 94 1,90 1,85 1 , 81 1 , 75 1,71 1,64 30 2 , 09 2,04 1,99 1,96 1 , 93 1,89 1 , 84 1,79 1 , 74 1,70 1,62 34 2,05 1,99 1,95 1,92 1 , 89 1,84 1 , 80 1 , 75 1 , 69 1,65 1 , 57 40 2,00 1,95 1,90 1 , 87 1,84 1,79 1 , 74 1,69 1,34 1 , 59 1,51 50 1,95 1 , 89 1,85 1,81 1 , 78 1,74 1,69 1,63 1,58 1,52 1,44 70 1,89 1,84 1 , 79 1 , 75 1 , 72 1,67 1,62 1 , 57 1 , 50 1,45 1,35 100 1,85 1,79 1 , 75 1 , 71 1,68 1 , 63 1 , 57 1 , 52 1 , 45 1 , 39 1,28 200 1 , 80 1,74 1 , 69 1,66 1,62 1,57 1 , 52 1,46 1,39 1 , 32 1 , 19 500 1 , 77 1 , 71 1,66 1,62 1,59 1,54 1 , 48 1,42 1 , 34 1 , 28 1 , 11 ¥ 1 , 75 1,69 1,64 1,60 1,57 1 , 52 1,46 1,39 1,32 1 , 24 1,00 Bảng 5 (tiếp theo) 2) a = 0,01; 1 - a = 0,99 n 2 n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4050 5000 5400 5630 5730 5830 5930 7980 6020 6060 2 98,5 99 , 0 99 , 2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 3 34,1 30,8 29 , 5 28,7 28,2 27,9 27 , 7 27,5 27,3 27,2 4 21,2 18,0 16 , 7 16,0 15,5 15,2 15,0 14,8 14,7 14,5 5 16 , 3 13 , 3 12 , 1 11 , 4 11 , 0 10,7 10,5 10 , 3 10,2 10 1 6 13 , 7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7 12 , 2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6 , 62 8 11 , 3 8 , 65 7 , 59 7,01 6,63 6,37 6,18 6 , 03 5 , 91 5,81 9 10,6 8 , 02 6 , 99 6,42 6,06 5 , 80 5 , 61 5 , 47 5 , 35 5 , 26 10 10 , 0 7,56 6 , 55 5,99 5,64 5 , 39 5,20 5 , 06 4,94 4 , 85 11 9,65 7 , 21 6,22 5,67 5 , 32 5,07 4 , 89 4,30 4 , 63 4,54 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 13 9,07 6 , 70 5,74 5,21 4 , 86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 14 8 , 86 6,51 5 , 56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4 , 03 3 , 94 15 8,68 6 , 36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 16 8,53 6,23 5,29 4 , 77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3 , 69 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3 , 93 3 , 79 3 , 68 3 , 59 18 8 , 29 6 , 01 5 , 09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3 , 51 19 8,18 5,93 5 , 01 450 4,17 3,94 3,77 3,63 3 , 52 3,43 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3 , 87 3,70 3,56 3 , 46 3 , 37 21 8,02 5,78 4,87 437 4,04 3,81 3,64 3 , 51 3,40 3 , 31 22 7,95 5 , 72 4,82 4,31 3 , 99 3,76 3,59 3,45 3 , 35 3 , 26 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3 , 94 3,71 3,54 3 , 41 3 , 30 3 , 21 24 7,82 5 , 61 4 , 72 4 , 22 3 , 90 3,67 3,50 3 , 36 3,26 3 , 17 25 7 , 77 5 , 57 4,68 4,18 3,86 3,63 3 , 46 3 , 32 3 , 22 3 , 13 26 7,72 5 , 53 4,46 4,14 3,82 3,59 3 , 42 3,29 3 , 18 3,09 27 7, 68 5 , 49 4 , 60 4,11 3,78 3 , 56 3 , 39 3,26 3 , 15 3,06 28 7 , 64 5,45 4,57 4 , 07 3 , 75 3 , 53 3 , 36 3 , 23 3,12 3 , 03 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3 , 33 3,20 3 , 09 3 , 00 30 7,56 5 , 39 4,51 4 , 02 3,70 3 , 47 3 , 30 3 , 17 3 , 07 2,98 34 7 , 44 5,29 4,42 3 , 93 3 , 61 3,39 3 , 22 3,09 2,98 2 , 89 40 7 , 31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3 , 12 2,99 2,89 2,80 50 7 , 17 5 , 06 4,20 3 , 72 3,41 3,19 3 , 02 2,89 2,79 2 , 70 70 7,01 4 , 92 4,08 3 , 60 3,29 3,07 2,91 2,78 2 , 67 2 , 59 100 6,90 4,82 3 , 98 3 , 51 3 , 21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 200 6,76 4 , 71 3 , 88 3 , 41 3 , 11 2 , 89 2 , 73 2,60 2 , 50 2 , 41 500 6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2 , 55 2 , 44 2 , 36 ¥ 6,63 4,61 3 , 78 3,32 3 , 02 2,80 2,64 2,52 2,41 2,32 Bảng 5 (kết thúc) 2) a = 0,01; 1 - a = 0,99 n 2 n 1 12 14 16 18 20 24 30 40 60 100 ¥ 1 6110 6140 6170 6190 6210 6230 6260 6290 6310 6330 6370 2 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 99,5 3 27,1 26,9 26 , 8 26 , 8 26 , 7 26 , 6 26 , 5 26,4 26 , 3 26 , 2 26,1 4 14,4 14 , 2 14,2 14 , 1 14,0 13,9 13,8 13,7 13,7 13,6 13,5 5 9,89 9,77 9,68 9,61 9 , 55 9 , 47 9 , 38 9,22 9,20 9,13 9,02 6 7 , 72 7,60 7,52 7 , 45 7,40 7,31 7 , 23 7 , 14 7,06 6 , 99 6,88 7 6,47 6 , 36 6 , 27 6 , 21 6,16 6,07 5 , 99 5,91 5 , 82 5 , 75 5,65 8 5,67 5,56 5,48 5,41 5,36 5 , 28 5,20 5 , 12 5 , 03 4,96 4,86 9 5,11 5,00 4,92 4 , 86 4,81 4,73 4,65 4 , 57 4,48 4,42 4 , 31 10 4 , 71 4,60 4,55 4,46 4,41 4,33 4 , 25 4 , 17 4,08 4,01 3,91 11 4,40 4,29 4,21 4,15 4,10 4,02 3 , 94 3,86 3,78 3,71 3,60 12 4,16 4,05 3 , 97 3 , 91 3 , 86 3,78 3 , 70 3 , 62 3,54 3,47 3,36 13 3,96 3,86 3 , 78 3 , 72 3 , 66 3 , 59 3 , 51 3,43 3 , 34 3,27 3,17 14 3,80 3,70 3,62 3,56 3 , 51 3 , 43 3,35 3 , 27 3 , 18 3,11 3,00 15 3,67 3,56 3,49 3 , 42 3 , 37 3,29 3 , 21 3 , 13 3,05 2,98 2,87 16 3,55 3 , 45 3 , 37 3,31 3,26 3,18 3 , 10 3,02 2 , 93 2 , 86 2,75 17 3,46 3 , 35 3 , 27 3 , 21 3,16 3,08 3 , 00 2 , 92 2 , 83 2,76 2 , 65 18 3,37 3,27 3,19 3 , 13 3 , 08 3 , 00 2 , 92 2,84 2,75 2,68 2,57 19 3 , 30 3,19 3,12 3,05 3,00 2,92 2 , 84 2 , 67 2,67 2,60 2,49 20 3,23 3 , 13 3,05 2,99 2,94 2 , 86 2,78 2,69 2 , 61 2,54 2 , 42 21 3,17 3,07 2 , 99 2 , 93 2 , 88 2,80 2,72 2 , 64 2 , 55 2,48 2 , 36 22 3 , 12 3,02 2,94 2,88 2 , 83 2 , 75 2,67 2,58 2,50 2,42 2 , 31 23 3 , 07 2,97 2,89 2,83 2,78 2,70 2 , 62 2,54 2,45 2 , 37 2 , 26 24 3,03 2,93 2,85 2,79 2 , 74 2,66 2 , 58 2 , 49 2,40 2 , 33 2 , 21 25 2 , 99 2,89 2 , 81 2 , 75 2,70 2,62 2,54 2 , 45 2,36 2,29 2,17 26 2,96 2,86 2,78 2 , 72 2,66 2,58 2,50 2 , 42 2 , 33 2 , 25 2 , 13 27 2 , 93 2,82 2,75 2 , 68 2,63 2 , 55 2,47 2 , 38 2,29 2,22 2,10 28 2,90 2,79 2 , 72 2 , 65 2,60 2,52 2,44 2 , 35 2,26 2,19 2,06 29 2 , 87 2 , 77 2,69 2 , 63 2,57 2 , 49 2,41 2,33 2 , 23 2,16 2,03 30 2,84 2 , 74 2 , 66 2,60 2 , 55 2,47 2 , 39 2 , 30 2,21 2,13 2,01 34 2,76 2 , 66 2,58 2 , 51 2,46 2,38 2,30 2 , 21 2 , 12 2,04 1,91 40 2,66 2,56 2 , 48 2,42 2,37 2,29 2 , 20 2,11 2 , 02 1,94 1 , 80 50 2,56 2,46 2 , 38 2 , 32 2,27 2,18 2 , 10 2,01 1,91 1,82 1,68 70 2,45 2,35 2 , 27 2,20 2 , 15 2 , 07 1 , 98 1,89 1,78 1,70 1,54 100 2 , 37 2,26 2 , 19 2 , 12 2 , 07 1 , 98 1 , 89 1 , 80 1 , 69 1 , 60 1,43 200 2,27 2 , 17 2,09 2 , 02 1 , 97 1,89 1,79 1,69 1,58 1,48 1,28 500 2 , 22 2 , 12 2,04 1 , 97 1 , 92 1,83 1 , 74 1,63 1 , 52 1 , 41 1,16 ¥ 2 , 18 2,08 2,00 1,93 1,88 1,79 1,70 1,59 1 , 47 1,36 1,00 Bảng 6 - Phân vị của phân bố độ rộng đ ược S tudent hóa R ( a , n 3 , n 4 ); P { SR ≥ R ( a , n 3 , n 4 )} = a 1) a = 0,10 n 4 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6,93 13,44 16,36 18,49 20,15 21,51 22,64 24,62 25,49 2 4,13 5,73 6,77 7,54 8,14 8,63 9,05 9,41 10,72 3 3,33 4,47 4,20 5,74 6,16 6 , 51 6,81 7,06 7,29 4 3,01 3,98 4,50 5,03 5,39 5,68 5 , 93 6 , 14 6,33 5 2,85 3,72 4,26 4,66 4,93 5,24 5,46 5,65 5 , 82 6 2,76 3,56 4,07 4,44 4 , 73 4 , 97 5,17 5,34 5,50 7 2,68 3,45 3,93 4 , 28 4,55 4,78 4,97 5,14 5,28 8 2,63 3,37 3 , 83 4 , 17 4,43 4 , 65 4,83 4,99 5 , 13 9 2 , 59 3,32 3 , 76 4,08 4,34 4,54 4 , 72 4,87 5,01 10 2,56 3,27 3,70 4 , 02 4,26 4,47 4,64 4,78 4,91 11 2,54 3,23 3,66 3,95 4,20 4,40 4,57 4,71 4,84 12 2,52 3,20 3,62 3,92 4,16 4,35 4,51 4,65 4,78 13 2,50 3,18 3,59 3,83 4 , 12 4,30 4,46 4,60 4,72 14 2 , 49 3,16 3,56 3,85 4 , 08 4,27 4,42 4,56 4,68 15 2,48 3 , 14 3,54 3,83 4,05 4,23 4,39 4,52 4 , 64 16 2 , 47 3 , 12 3,52 3,80 4,03 4 , 21 4,36 4,49 4,61 17 2,46 3,11 3,50 3,78 4,00 4,18 4,33 4,46 4,58 18 2 , 45 3,10 3,49 3 , 77 3,98 4,16 4,31 4,44 4,55 19 2,45 3 , 09 3 , 47 3 , 75 3,97 4,14 4,29 4,42 4,53 20 2,44 3,08 3,46 3 , 74 3,95 4,12 4 , 27 4,40 4,51 24 2,42 3,05 3,42 3,69 3,90 4,07 4 , 21 4,34 4,44 30 2,40 3,02 3.39 3,65 3,85 4,02 4,16 4,28 4,38 40 2,38 2,99 3,35 3,60 3,80 3,96 4,10 4 , 21 4,32 60 2,36 2,96 3 , 31 3 , 58 3,75 3,91 4,04 4,16 4,25 120 2,34 2 , 93 3,28 3,52 3,71 3,86 3,99 4,10 4 , 19 ¥ 2,33 2,90 3 , 24 3,48 3,66 3,81 3,93 4,04 4,13 Bảng 6 (tiếp theo) 1) a = 0,10 n 4 n 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 25,24 25,92 26,54 27,10 27,62 28,10 28,54 28,96 29,35 29,71 2 10,01 10,26 10,49 10,70 10 , 80 11,07 11,24 11,39 11,54 11,68 3 7,49 7 , 67 7,83 7,98 8,12 8,25 8,37 8,48 8,58 8,68 4 6,49 6,65 6,78 6,91 7 , 02 7,13 7,23 7,33 7,41 7,50 5 5,97 6,10 6,22 6,34 6,44 6,54 6,63 6,71 6,79 6,86 6 5,64 5,76 5,87 5,98 6,07 6,16 6,25 6,32 6,40 6,47 7 5,41 5,53 5,64 5 , 74 5,83 5,91 5,99 6,06 6,13 6,19 8 5,25 5,36 5,46 5,56 5,64 5 , 72 5,80 5,87 5,93 6,00 9 5,13 5 , 23 5,33 5,42 5,51 5,58 5,66 5 , 72 5,79 5,85 10 5,03 5,13 5,23 5,32 5,40 5,47 5,54 5,61 5,67 5,73 11 4,95 5,05 5,15 5,23 5,31 5,38 5,45 5,51 5,57 5,63 12 4,89 4,99 5,08 5,16 5,24 5 , 31 5,37 5 , 44 5,49 5,55 13 4,83 4,93 5,02 5,10 5,18 5,25 5,31 5,37 5,43 5,48 14 4,79 4,88 4,97 5,05 5,12 5,19 5,26 5,32 5,37 5,43 15 4,75 4,84 4,93 5,01 5,08 5,15 5,21 5 , 27 5,32 5,38 16 4,71 4,81 4,89 4,97 5,04 5,11 5,17 5 , 23 5,28 5,33 17 4,68 4 , 77 4,86 4,93 5,01 5,07 5,13 5,19 5,24 5,30 18 4,65 4,75 4,83 4,90 4,98 5,04 5,10 5,16 5,21 5,26 19 4,63 4 , 72 4,80 4,88 4,95 5,01 5,07 5,13 5,18 5,23 20 4,61 4,70 4,78 4,85 4,92 4,99 5,05 5,10 5,16 5,20 24 4,54 4,63 4,71 4,78 4,85 4,91 4,97 5,02 5,07 5,12 30 4,47 4,56 4,64 4,71 4,77 4,83 4,89 4,94 4,99 5,03 40 4,41 4,48 4,56 4,63 4,69 4 , 76 4,81 4,86 4,90 4,95 60 4,34 4,42 4,49 4,58 4,62 4,67 4,73 4,78 4,82 4,86 120 4,28 4,35 4,42 4,48 4,54 4,60 4,65 4,89 4,74 4,78 ¥ 4,21 4 , 28 4,35 4,41 4,47 4,52 4,57 4 , 61 4,65 4,69 Bảng 6 (tiếp theo) 2) a = 0,05 n 4 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 17,97 26,98 32 , 82 37,08 40,41 43,12 45,40 47,36 49,07 2 6,08 8,33 9,80 10,88 11,74 12,44 13,03 13,54 13,99 3 4,50 5,91 6,82 7,50 8 , 04 8,48 8,85 9,18 9,40 4 3,93 5,04 5,76 6,29 6,71 7,05 7 , 35 7,60 8,83 5 3,64 4,60 5,22 5,67 6,03 6,33 6,58 6,80 7,99 6 3,46 4,34 4,90 5,30 5,63 5,90 6,12 6,32 6,49 7 3,34 4,16 4,68 5,06 5,36 5,61 5,82 5 , 00 6,19 8 3,26 4,04 4,53 4,89 5,17 5,40 5 , 60 5,77 6,92 9 3,20 3,95 4,41 4 , 76 5 , 02 5,24 5,43 5,59 5,74 10 3,15 3,88 4,33 4,65 4,91 5,12 5,30 5,46 5,60 11 3,11 3,82 4,26 4,57 4,82 5,03 5,20 5,35 5,49 12 3,08 3,77 4,20 4,51 4,75 4,95 5 , 12 5,27 5,39 13 3,06 3,73 4,15 4,45 4,64 4,88 5,05 5,19 5,32 14 3,03 3,70 4 , 11 4,41 4,64 4,83 4,99 5,13 5,25 15 3,01 3,67 4,08 4,37 4,59 4,78 4,94 5,08 5,20 16 3,00 3,65 4,05 4,33 4,56 4,74 4,90 5,03 5,15 17 2,98 3,63 4,02 4,30 4,52 4,70 4,86 4,99 5,11 18 2,97 3,61 4,00 4,28 4,49 4,67 4,82 4,96 5,07 19 2,96 3,59 3,98 4,25 4,47 4,65 4,79 4,92 5,04 20 2,95 3,58 3,95 4 , 23 4,45 4,62 4 , 77 4,90 5,01 24 2,92 3,53 3,90 4,17 4 , 37 4,54 4,68 4,81 4,92 30 2,89 3,49 3,85 4,10 4,30 4,46 4,60 4,72 4,82 40 2,86 3,44 3,79 4,04 4,23 4,39 4,52 4,63 4,73 60 2,83 3,40 3,74 3,98 4,16 4 , 31 4,44 4,55 4,65 120 2,80 3,36 3 , 68 3,92 4,10 4,24 4,36 4,47 4 , 56 ¥ 2 , 77 3,31 3,63 3,86 4,03 4 , 17 4,29 4,39 4,47 Bảng 6 (tiếp theo) 2) a = 0,05 n 4 n 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 50,59 51,96 53,20 54,33 55,36 56,32 57,22 58,04 58,83 59,58 2 14,39 14,75 16,08 15,38 15,65 15,91 16,14 16,37 16,57 16,77 3 9,72 9,95 10,15 10,35 10,52 10,69 10,84 10,98 11,11 11,24 4 8,03 8,21 8,37 8 , 32 8,66 8 , 79 8,91 9,03 9,13 9,23 5 7,17 7,32 7,47 7,60 7 , 72 7 , 83 7,93 8,03 8,12 8,21 6 6,65 6,79 6,92 7,03 7,14 7 , 24 7,34 7,43 7 , 51 7,59 7 6,30 6,43 6,55 6,66 6,76 6,85 6,94 7,02 7,10 7,17 8 6,05 6,18 6 , 29 6,39 6,48 6,57 6,65 6,73 6,80 6,87 9 5,87 5,98 6,09 6,19 6,28 6,36 6,44 6,51 6,58 6,64 10 5 , 72 5,83 5,93 6 , 03 6 , 11 6,19 6,27 6,34 6,40 6,47 11 5,61 5,71 5,81 5,90 5,98 6,06 6,13 6 , 20 6,27 6,33 12 5,51 5,61 5 , 71 5,80 5,88 5,96 6,02 6 , 09 6,15 6,21 13 5,43 5,53 5,63 5,71 5,79 5,86 5,93 5,99 6,05 6,11 14 5,36 5,46 5,55 5,64 5 , 71 5,79 5,85 5,91 5,97 5,03 15 5,31 5,40 5 , 49 5,57 5,65 5 , 72 5,78 5 , 85 5,90 5,96 16 5,26 5,36 5,44 5,52 5,59 5,66 5,73 5,79 5,84 5,90 17 5,21 5,31 5,39 5,47 5,54 5,61 5,67 5,73 5,79 5,84 18 5 , 17 5,27 5,35 5,43 5,50 5,57 5,63 5,69 5,74 5,79 19 5,14 5,23 5,31 5,39 5,46 5,53 5,59 5 , 65 5,70 5,75 20 5,11 5,20 5,28 5,36 5,43 5,49 5,55 5,61 5,66 5 , 71 24 5,01 5,10 5,18 5 , 25 5,32 5,38 5,44 5,49 5,55 5,59 30 4,92 5,00 5,08 5,15 5,21 5 , 27 5,33 5 , 38 5,43 5,47 40 4,82 4,90 4,98 5,04 5,11 5,16 5,22 5,27 5,31 5,36 60 4,73 4,81 4,88 4,94 5,00 5,06 5 , 11 5,15 5,20 5,24 120 4 , 64 4,71 4,78 4,84 4,90 4 , 95 5,00 5,04 5,09 5,13 ¥ 4,55 4,62 4,68 4,74 4,80 4,86 4,89 4,93 4,97 5,01 Bảng 6 (tiếp theo) 3) a = 0,01 n 4 n 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 90,03 135,0 164,3 185,6 202,2 215,8 227,2 237,0 245,6 2 14,04 19,02 22,29 24,72 26,63 28,20 29,53 30,68 31,69 3 8,26 10,62 12,17 13,33 14,24 15,00 15,64 16,20 16,69 4 6,51 8,12 9 , 17 9,96 10,58 11,10 11,55 11,93 12,27 5 5,70 6,98 7,80 8,42 8,91 9,32 9,67 9,97 10,24 6 5,24 6 , 33 7,03 7,56 7,97 8,32 8,61 8,87 9,10 7 4 , 95 5,92 6,54 7 , 01 7 , 37 7,68 7,94 8,17 8,37 8 4,75 5,64 6,20 6,62 6,96 7,24 7 , 47 7,68 8,86 9 4,60 5,43 5,96 6,35 6,66 6,91 7,13 7,33 7,49 10 4,48 5,27 5,77 6,14 6,43 6,67 6,87 7,05 7 , 21 11 4,39 5,15 5,62 5,97 6,25 6,48 6,67 6,84 7,99 12 4,32 5,05 5,50 5,84 6,10 6,32 6,51 6,67 6,81 13 4,26 4,96 5,40 5,73 5,98 6,19 6,37 6,53 6,67 14 4,21 4,89 5,32 5,63 5,88 6,08 6,26 6,41 6,54 15 4,17 4,84 5,25 5,56 5,80 5,99 6,16 6,31 6,44 16 4,13 4,79 5,19 5,49 5,72 5,92 6,08 6,22 6.35 17 4,10 4,74 5,14 5,43 5,66 5,85 6,01 6,15 6,27 18 4,07 4,70 5,09 5,38 5,60 5,79 5,94 6,08 6,20 19 4,05 4,67 5,05 5,33 5,55 5,73 5,89 6,02 6,14 20 4,02 4,64 5,02 5,29 5,51 5,69 5,84 5,97 6,09 24 3,96 4,55 4,91 5,17 5.37 5,54 5,69 5,81 5,92 30 3,89 4,45 4,80 5,05 5,24 5,40 5,54 5 , 65 5,76 40 3,82 4 , 37 4,70 4,93 5,11 5,26 5,39 5,50 5,60 60 3,76 4,28 4,59 4,82 4,99 5,13 5,25 5,36 5,45 120 3,70 4,20 4,50 4 , 71 4,87 5,01 5,12 5,21 5,30 ¥ 3,64 4,12 4,40 4,60 4,76 4,88 4,99 5,08 5,16 Bảng 6 (kết thúc) 3) a = 0,01 n 4 n 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 253,2 260,0 266,2 271,8 277,0 281,8 286,3 290,4 291,3 298,0 2 32,59 33,40 34,13 34,81 35,43 36,00 36 , 53 37,03 37,50 37,95 3 17,13 17,53 17,89 18,22 18,52 18,81 19,07 19,32 19,55 19,75 4 12,57 12,84 13,09 13,32 13 , 53 13,73 13,91 14 , 08 14,24 14 , 40 5 10,48 10,70 10,89 11,08 11,24 11,40 11,55 11,68 11,81 11,93 6 9,30 9,48 9,65 9,81 9,95 10,08 10,21 10,32 10,43 10,54 7 8 , 55 8,71 8,86 9,00 9,12 9,24 9,36 9,48 9,55 9,65 8 8,03 8,18 8,31 8,44 8,55 8 , 66 8,76 8,85 8,94 9,03 9 7,65 7,78 7 , 91 8,03 8,13 8,23 8,33 8,41 8,49 8,57 10 7,36 7,49 7,60 7 , 71 7,81 7,91 7,99 8,08 8,15 8,23 11 7,13 7 , 25 7,36 7,46 7,56 7,65 7,73 7,81 7,88 7,95 12 6,94 7,06 7 , 17 7,26 7,36 7,44 7,52 7,59 7,66 7,73 13 6,79 6,90 7 , 01 7,10 7,19 7,27 7,325 7 , 42 7,48 7,55 14 6,66 6,77 6,87 6,96 7,05 7,13 7,20 7 , 27 7,33 7,39 15 6,55 6,66 6,76 6,84 6,93 7,00 7 , 07 7,14 7,20 7,26 16 6,46 6,56 6,66 6,74 6,82 6,90 6,97 7,03 7,09 7,15 17 6,38 6,48 6,57 6,66 6,73 6,81 6,87 6,94 7,00 7,05 18 6,31 6,41 6,50 6,58 6,65 6,73 6,79 6,85 6,91 6,97 19 6,25 6,34 6,43 6,51 6,58 6,65 6,72 6,78 6,84 6 , 89 20 6,19 6,28 6 , 37 6,45 6,52 6,59 6,63 6 , 71 6 , 77 6 , 82 24 6,02 6,11 6,19 6,26 6,33 6,39 6,45 6,51 6,54 6,61 30 5,85 5 , 93 6,01 6,08 6 , 14 6,20 6,26 6 , 31 6 , 38 6 , 41 40 5,69 5,76 5 , 83 5,90 5,96 6,02 6,07 6,12 6,16 6,21 60 5,53 5,60 5,67 5,73 5,78 5,84 5,89 5,93 5,97 6,01 120 5,37 5,44 5 , 50 5,58 5,61 5 , 66 5,71 5,75 5,79 5 , 83 ¥ 5,23 5,29 5,35 5,40 5,45 5,49 5,54 5,57 5,61 5,65 Bảng 7 - Phân v ị của phân bố Kruskal - W allis với 3 mẫu có c ỡ không quá 5 (K = 3 ) P { h ≤ h a ,k ( n 1 , n 2 , n 3 )} = 1 - a n 1 n 2 n 3 a n 1 n 2 n 3 a 0,10 0,05 0,01 0,10 0,05 0,01 2 2 4,57 - - 5 3 1 4,01 4,96 - 3 2 2 4,50 4,71 - 5 3 2 4,65 5,25 6,82 3 3 2 4,55 5,36 - 5 3 3 4,53 5,34 6,98 3 3 3 4,62 5,60 7,20 5 4 1 3,98 4,98 6,95 4 2 2 4,37 5 , 33 - 5 4 2 4,54 5,27 7 , 11 4 3 2 4,51 5,44 6,44 5 4 3 4,54 5,63 7,44 4 3 3 4,70 5,72 6,74 5 4 4 4,61 5,61 7,76 4 4 1 4,16 4,96 6,66 5 5 1 4,10 5,12 7,30 4 4 2 4,55 5,45 7,03 5 5 2 4,50 5,33 7,33 4 4 3 4,54 5,59 7,14 5 5 3 4,54 5,70 7,57 4 4 4 4,65 5,69 7,65 5 5 4 4,52 5,66 7,82 5 2 2 4,37 5,16 6,53 5 5 5 4,56 5,78 7,98 Bảng 8 - Phân v ị của phân bố tổng hạng Kruskal - W allis 2 3 4 5 6 K y(a, K, 2) a y(a, K, 3) a y(a, K, 4) a y(a, K, 5) a y(a, K, 6) a 3 8 .067 15 .064 24 .045 33 .048 43 .049 16 .029 25 .031 35 .031 51 0.11 17 .011 27 .011 39 .009 4 12 .029 22 .043 34 .049 23 .023 36 .026 24 .012 38 .012 5 15 .048 28 .060 44 .056 16 .016 30 .023 46 .033 32 .007 50 .010 6 19 .030 35 .055 20 .010 37 .024 39 .009 7 22 .056 42 .054 23 .021 44 .026 24 .007 46 .012 8 26 .041 49 .055 28 .005 51 .029 54 . 010 9 29 .063 30 .031 31 .012 10 33 .050 34 .025 35 .009 11 37 .040 38 .020 39 .008 12 40 .062 41 .020 43 .006 13 44 .052 45 .028 46 .014 14 48 .044 49 .024 50 .012 15 52 .038 54 .010 Bảng 9 - Phân v ị của phân bố độ rộng của K biến ng ẫ u nhiên độc lập có phân bố chuẩn N ( 0,1) K 0,0001 0,0005 0,001 0,005 0,01 0,025 0,05 0,10 0,20 2 5,502 4,923 4,654 3,970 3,643 3,170 2 , 772 2,326 1,812 3 5,864 5,316 5,063 4,424 4,120 3,682 3,314 2,902 2,424 4 6,083 5,553 5,309 4,694 4,403 3,984 3,633 3,240 2 , 784 5 6,240 5,722 5,484 4,886 4,603 4,197 3 , 858 3 , 478 3,037 6 6,362 5,853 5,619 5,033 4,757 4,361 4,030 3,661 3,232 7 6,461 5,960 5,730 5,154 4,885 4,494 4,170 3,808 3,289 8 6,546 6,050 5,823 5,255 4,987 4,605 4,286 3,931 3 , 520 9 6,618 6,127 5,903 5,341 5,078 4,700 4,387 4,037 3,632 10 6,682 6,196 5,973 5,418 5,157 4,784 4,474 4,129 3,730 11 6,739 6,257 6,036 5,485 5 , 227 4,858 4,552 4,211 3,817 12 6,791 6,311 6,092 5,546 5,290 4,925 4,622 4,285 3,895 13 6,837 6,361 6,144 5,602 5,348 4,985 4,685 4,351 3,966 14 6,880 6,407 6,191 5,652 5,400 5,041 4,743 4,412 4,030 15 6,920 6,449 6,234 5,699 5,448 5.092 4,796 4,468 4,089 16 6,957 6,488 6,274 5,742 5,493 5,139 4,845 4,519 4,144 17 6,991 6,525 6,312 5,783 5,535 5,183 4,891 4,568 4,195 18 7,023 6,559 6 , 347 5,840 5,574 5,224 4,934 4,612 4,242 19 7,054 6,591 6 , 380 5,856 5,611 5,262 4,974 4,654 4,287 20 7,082 6,621 6,411 5,889 5,645 5,299 5,012 4,694 4,329 22 7,135 6,677 6,469 5,951 5,709 5,365 5,081 4,767 4,405 24 7,183 6 , 727 6,520 6,006 5,766 5,425 5,144 4,832 4,475 26 7,226 6,773 6,568 6,057 5,818 5,480 5,201 4,892 4,475 28 7,266 6,816 6,611 6 , 103 5,866 5,530 5,253 4,947 4,595 30 7,303 6,855 6,651 6,146 5,911 5,577 5,301 4,997 4,648 32 7 , 337 6 , 891 6,689 6,186 5,952 5,620 5,246 5 , 004 4,697 34 7,370 6,925 6,723 6,223 5,990 5,660 5,388 5,087 4,743 36 7,400 6,957 6,756 6,258 6,026 5,698 5,427 5,128 4,786 38 7,428 6 , 987 6,787 6,291 6,060 5,733 5,463 5,166 4,826 40 7,455 7 , 015 6,818 6,322 6,092 5,766 5,498 5,202 4,864 50 7,571 7,137 6,941 6,454 6,228 5,909 5,646 5,357 5,026 60 7,664 7 , 235 7,041 6,561 6,338 6 , 023 5,764 5,480 5,155 70 7 , 741 7,317 7,124 6,649 6 , 429 6 , 118 5,863 5,582 5,262 80 7,808 7,387 7,196 6,725 6,507 6 , 199 5 , 947 5,669 5,353 90 7,866 7,448 7,259 6,792 6,575 6,270 6 , 020 5,745 5,433 100 7,918 7 , 502 7,314 6,850 6,636 6,333 6,085 5 , 812 5 , 503 Bảng 10 - Phân v ị của phân bố chuẩn N (0,1) P { N (0, 1 ) ≤ U p ) = 1 - p p U p p U p p U p 0 , 10 1,281 55 0,009 2,365 62 0,000 05 3,890 59 0,095 1,310 58 0,008 2,408 92 0,000 01 4,264 89 0,090 1,340 76 0,007 2,457 26 0,000 005 4,417 17 0,085 1,372 20 0 , 006 2,512 14 0,000 001 4,753 42 0,080 1,405 07 0,005 2,575 83 0,000 000 5 4,891 64 0,075 1,439 53 0 , 004 2,652 07 0,000 000 1 5,199 34 0,070 1,475 79 0,003 2,747 78 0,000 000 05 5,326 72 0,065 1,514 10 0,002 2,878 16 0,000 000 01 5,612 00 0,060 1,554 77 0,001 3,090 23 0 , 000 000 005 5,730 73 0,055 1,598 19 0,000 000 001 5,997 81 0,050 1,644 85 0,000 9 3,121 39 0,045 1,695 40 0,000 8 3,155 91 0,040 1,750 69 0,000 7 3,194 65 0,035 1,811 91 0,000 6 3,238 88 0 , 030 1,880 79 0,000 5 3,290 53 0,025 1,959 96 0,000 4 3,352 79 0,020 2,053 75 0,000 3 3,431 61 0,015 2,170 09 0,000 2 3,540 08 0,010 2,326 35 0,000 1 3,719 02 Phụ lục A (quy định) Sơ đồ chung của phân tích phương sai Thứ t ự Bài toán Ph ư ơng pháp Cách giải quy ế t A.1 Biểu diễn các số li ệ u để xử lý bằng các phương pháp phân tích phương sai (PTPS) Viết các mẫu dưới dạng Bảng 1 hay Bảng 3 Nếu PTPS một nhân tố chuyển sang A.2, hai nhân tố chuyển sang A.4 A.2 Mô h ì nh một nhân tố A.2.1 Kiểm nghiệm tính chuẩn của phân bố của các số liệu Dùng các quy tắc thống kê hay dùng đồ thị Nếu phân bố l à chuẩn chuyển sang A.3, nếu không chuyển sang A.5 A.3 PTPS tham số A.3.1 Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai Quy tắc Bartlett Xem 3.1.2.1.1 nếu k > 2 hoặc xem 3.1.2.1.2 nếu k = 2 Nếu các phương sai là bằng nhau thì chuyển sang A.3.2, nếu không thì chuyển sang A.3.3 A.3.2 Kiểm nghiệm gi ả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình Dùng quy t ắ c W elch (3.1.2.2) cho trường hợp các phương sai bằng nhau a) Nếu ch ấ p nhận giả thuyết, các giá trị trung b ì nh là như nhau với mọi tổng thể, kết thúc PTPS b) Nếu bác bỏ giả thuyết, chuyển sang A.3.4.1 A.3.3 Giống 3.2 Quy tắc trong 3.1.2.2.2 để kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai a) Giống như A.3.2 a) kết thúc PTPS b) Nếu bác bỏ giả thuyết chuyển sang A.3.4.2 A.3.4 So sánh đồng thời A.3.4.1 Các phương sai bằng nhau Quy tắc S tudent - Newman - Keuls (3.3.1) Tách ra những nhóm tổng thể không khác nhau về giá trị trung bình, kết thúc PTPS A.3.4.2 Các phương sai không bằng nhau Quy tắc Dunnett Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS A.4 Mô hình 2 nhân tố A.4.1 Kiểm tra sự bằng nhau của số quan sát trong các mẫu a) Nếu bằng nhau, chuyển sang A.4.2 b) Nếu không b ằ ng nhau, phát biểu lại bài toán theo từ ngữ của phương pháp PTPS một nhân tố rồi chuyển sang A.2 A.4.2 Kiểm tra t í nh chuẩn của số liệu Giống A.2.1 a) Nếu được thực hiện, chuyển sang A.4.3 b) Nếu không, phát biểu bài toán theo phương pháp PTPS một nhân tố và chuyển sang A.5 A.4.3 Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai Quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) a) Nếu thực hiện, chuyển sang A.4.4 b) Nếu không, phát bi ể u bài toán thành mô h ì nh một nhân tố, rồi chuyển sang A.3.3 A.4.4 Kiểm nghiệm giả thuyết về sự tương tác giữa hai nhân tố Quy tắc trong 3.2 .4 .2 a) Nếu giả thuyết được xác nhận, phát biểu thành mô h ì nh một nhân tố rồi chuyển sang A.3.4 b) Ngược lại, kết luận giống A.3.2, phát biểu thành hai mô hình PTPS một nhân tố và chuyển sang A.4.5 A.4.5 Kiểm nghiệm giả thuyết về ảnh hưởng của các mức của từng nhân tố đến đại lượng cần nghiên cứu Dùng các quy tắc trong 3.2 .4 .3 và 3.2 .4 .4 a) Nếu giả thuyết được xác nhận, chuyển sang A.3.4.1 b) Ngược lại, kết luận l à các tổng thể không khác nhau một cách có ý nghĩa, kết thúc PTPS A.5 PTPS phi tham số (chỉ xét mô hình một nhân tố) A.5.1 Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai Quy tắc Bro w n - Forsythe (4.2.3.1) a) Nếu các phương sai bằng nhau, chuyển sang A.5.2 b) Nếu không, không xử lý nữa, kết thúc PTPS A.5.2 Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình của đại lượng nghiên cứu Quy tắc Kruskal - W allis (4.2.3.2) a) Giống như A.3.2 a), kết thúc PTPS b) Nếu giả thuyết không đúng, chuyển sang A.5.3 A.5.3 So sánh đồng thời Phương pháp K ru skal - W allis để so sánh đồng thời và cách xấp x ỉ nó (xem 4.3.1 và 4.3.2) Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS Phụ lục B (tham khảo) Các ví dụ B.1 Ví dụ 1 (Minh họa 3.1.2.1) Để th ử độ biến dạng của vật liệu tổng hợp do 3 nơi sản xuất, ở mỗi nơi người ta l ấ y một mẫu ngẫu nhiên và đo lực tới hạn biến dạng. Các kết quả đo được cho trong Bảng B.1. Với giả thuyết các lực tới hạn biến dạng có phân bố chuẩn, hãy kiểm nghiệm có sự sai khác có ý nghĩa giữa 3 nơi sản xuất theo chỉ tiêu trên hay không. Bảng B.1 - Lực tới hạn biến dạng tính bằng 10 5 N/m 2 Mẫu 1 Mẫu 2 Mẫu 3 10,2 12,2 9,2 8,2 10,6 10,5 8,9 9,9 9 , 2 8,0 13,0 8 , 7 8,3 8,1 9 , 0 8,0 10,8 11 , 5 Tổng 51,6 76,1 46,6 Trước hết, dùng quy tắc Bartlett để kiểm nghiệm các số liệu trong Bảng B.1 c ó thỏa mãn giả thuyết về sự bằng nhau của phương sai hay không? Lấy mức ý nghĩa a = 0,05. Từ Bảng B.1, tính tổng và các giá trị trung bình: ; n 1 = 6; ; n 2 = 7; ; n 3 = 5; T í nh các phương sai mẫu: Sau đó tính: Vì nên không đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết các phương sai là bằng nhau. B.2 Ví dụ 2 (Minh họa 3.1.2.1) Đ ể so sánh độ bền của các ống dẫn nước do 3 hãng sản xuất, ở mỗi hạng chọn ngẫu nhiên một số ống và đo áp suất tới hạn đủ làm g ã y ống. Các giá trị được cho trong Bảng B.2 và giả thuyết là chúng c ó phân bố chuẩn. Vấn đề đặt ra là giữa các sản phẩm của 3 hãng có sự khác biệt đáng k ể hay không. Bảng B.2 - Áp suất tới hạn M ẫ u 1 Mẫu 2 M ẫ u 3 6,993 620 13,029 93 21,362 76 6,998 000 14,028 77 23,899 47 6,922 900 13,671 90 27,936 14 6,972 105 15,406 15 27,311 53 7 , 002 345 17,306 43 23,908 01 6,652 691 18,316 31 27,157 76 7,025 300 15,406 15 18,789 11 7,068 393 14,916 13 24,689 78 7,029 745 13,671 90 18,681 27 7,045 260 15,406 15 21,044 89 Tổng 69,685 151,159 82 244,780 72 Từ Bảng B.2, trước hết ta tính tổng và các giá trị trung bình: ; n 1 = 10; ; n 2 = 10; ; n 3 = 10; Dùng công thức sau để tính các phương sai mẫu: ta được = 0,033 7; = 2,781 9; = 22,658 9. Sau đó, tính c 2 = 56,000 5. Với a = 0,05, ta có: Điều này chứng tỏ các phương sai là không bằng nhau. V ì vậy cần ứng dụng phương pháp phân tích phương sai trong trường hợp các phương sai là không bằng nhau. B.3 Ví dụ 3 (Minh họa 3.1.2.2.2) Ứ ng dụng phương pháp phân t í ch phương sai một nhân t ố với các số liệu ở Bảng B.2 (các phương sai kh ô ng bằng nhau). Mức ý nghĩa a = 0,05. Dùng một số kết quả đ ã tính trong ví dụ 2: n 1 = n 2 = n 3 = 10 Đặt , ta có: W 1 = 296,735 9 , W 2 = 3,594 7, W 3 = 0 , 441 3 Do đó: Theo công thức: tính được = 175,084 85. Hơn nữa: tức là: [ ¦ ] = 11. Với a = 0,05, n 1 = k - 1 = 2, n 2 = [ ¦ ] - 1 = 10, ta có F 0 , 9 5 (2 , 10) = 9,43. V ì W = 175,084 85 > 9,43 suy ra các trung b ì nh khác nhau một cách có ý nghĩa tức là giả thuyết H 0 bị bác bỏ. Để tách ra những nhóm thuần nhất về giá trị trung b ì nh cần ứng dụng quy tắc Dunnett (xem 3.3.2). Với a = 0,05, k = 3, n i = 10, ( i = 1, 2, 3) nhờ Bảng 6 ta tìm phân vị R (0,05; 3; 9) = 3,95 và nhờ công thức (44) ta tính: Theo công thức (45) ta tính được giới hạn của các khoảng tin cậy sau: Từ đó suy ra mọi cặp các trung b ì nh đều khác nhau. B.4 Ví dụ 4 (Minh họa 3.1.2.2) Một người sản xuất quan tâm đến giới hạn bền của loại sợi tổng hợp dùng để dệt vải may áo sơ mi nam. Giới hạn bền phụ thuộc vào t ỷ lệ % bông trong sợi với 5 mức sau: 15 %, 20 %, 25 %, 30 % và 35 %. Với mỗi mức, tiến hành 5 quan sát và ta có t ấ t cả quan sát xếp theo một thứ tự ngẫu nhiên. Bảng B.3 cho độ bền khi kéo sợi tổng hợp. Cho a = 0,01, n 1 = 4, n 2 = 20, tra được F 0 ,99 (4,20) = 4,43 V ì F = 14,76 > F 0 , 99 (4,20) = 4,43 nên bác bỏ giả thuyết H 0 : m 1 = m 2 = m 3 = m 4 = m 5 tức là tỷ lệ phần trăm của bông c ó ảnh hưởng rõ đến giới hạn bền của vải. Ta cần chuyển sang so sánh đồng thời các trung bình (ví dụ 5). B.5 Ví dụ 5 (Minh họa 3.3.1) Ứng dụng phương pháp so sánh đồng thời đối với các số liệu của ví dụ 4. Ta có: MS dư = 8,06; n = 5; n 4 = N - k = 25 - 5 = 20. X ếp các trung bình theo thứ tự tăng, ta có: ; ; ; ; Đánh số lại các tổng th ể theo thứ tự sau: 1 ® (1), 5 ® (2), 2 ® (3), 3 ® (4), 4 ® (5) Tính Từ Bảng 6 với n 4 = 20, n 3 = 2, 3, 4, 5 và a = 0,05 tra được các giá trị tới hạn: R (0,05; 2,20) = 3,49 R (0,05; 3,20) = 3,10 R (0,05; 4,20) = 2,87 R (0,05; 5,20) = 2,71 Tính các thống kê và so sánh chúng với các giá trị tới hạn tương ứng. SR (5,2) = 8,5 > 2,87 SR (5,3) = 4,88 > 3,10 SR (5,4) = 3,14 > 3,49 SR (4,1) = 6,14 > 2,87 SR (4,2) = 5,35 > 3,10 SR (4,3)= 1,73 > 3,49 SR (3,1) = 4,41 > 3,10 SR (2,1) = 0,78 > 3,49 Do đó, các mẫu có các chỉ số (5) và (4), (3) và (4), (1) và (2) là những nhóm không khác nhau. Từ đó có thể kết luận giới hạn bền khi kéo sợi tổng hợp với tỷ lệ bông 15 % và 35 % là như nhau, tương tự cho các nhóm có tỷ lệ 20 % và 25 % và các nhóm 25 % và 30 %. Các nhóm 30 % và 20 % nếu xét riêng không khác nhóm 25 %, nhưng chúng lại khác nhau, tức là xảy ra trường hợp các nhóm giao nhau. Tóm lại, ta có th ể chia các mức thành 3 nhóm không giao nhau như sau: 35 % và 15 %, 20 %, 25 % và 30 %. B.6 Ví dụ 6 (Minh họa 3.2 .4. 2) Phân tích phương sai hai nhân tố Giả sử vật liệu của bản cực và nhiệt độ dung d ị ch có ảnh hưởng đến cường độ dòng điện của ắcquy. Giả sử có 3 loại vật liệu và 3 chế độ nhiệt độ. Một số vấn đề được đặt ra như sau: Loại vật liệu có ảnh hưởng đến cường độ? Chế độ nhiệt độ có ảnh hưởng đến cường độ? Bảng B.3 A 1 = 15 % A 2 = 20 % A 3 = 25 % A 4 = 30 % A 5 = 35 % 1 7 12 14 19 7 2 7 17 18 25 10 3 15 12 18 22 11 4 11 18 19 19 15 5 9 18 19 23 11 y i 49 77 88 108 54 9,8 15,4 17 , 6 21,6 10,8 Ta có: y .. = 376 SS dư = Kiểm tra: SS dư = SS - SS A = 639,96 - 475,76 = 164,20 Bảng B.4 Nguồn biến động Tổng bình ph ươ ng Bậc tự do Trung b ì nh b ì nh ph ương Tỷ số F A 475,76 4 118,94 14,76 Sai số đo 164,20 20 8,06 - Chung 639,96 24 - - Giữa vật liệu và nhiệt độ có sự tương tác hay không? Thứ tự tiến hành 36 quan sát là ngẫu nhiên. Bảng B.5 đưa ra các giá tr ị của cường độ. Bảng B.5 Loại vật liệu Nhi ệ t độ, ° C Y i … 10 18 26 1 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 539 229 230 998 2 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 623 479 198 1 300 3 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 576 573 342 1 501 y .j . 1 738 1 291 770 y… = 3 799 Tính: SS dư = SS AxB = SS C - SS A - SS B - SS dư = 9 613,77 Các kết quả tính toán được lập thành Bảng B.6 B ả ng B.6 Nguồn biến động Tổng b ì nh ph ươn g Bậc tự do Trung b ì nh b ì nh ph ươ ng Tỷ số F A (kiểu vật liệu) 10 683,72 2 5 341,66 7,91 B (nhiệt độ) 39 118,72 2 19 558,36 28,97 A x B (tương tác) 9 613,77 4 2 403,44 3,56 Sai s ố 18 230,50 27 675,21 - Tổng chung 77 646,96 35 - - Kiểm nghiệm: H 0,A x B : ( a b ) ij = 0 với i = 1 , …, k ; j = 1, ... , m Với a = 0,05, n 1 = 4, n 2 = 27, tr a bảng ta có F 0,95 (4, 27) = 2,73. V ì F Ax B = 3,56 > F 0, 95 (4, 27) = 2,73 n ê n có th ể kết luận sự tương tác giữa vật liệu và nhiệt độ là có ý nghĩa. Với mọi k x m các trung b ì nh, ta có thể thực hiện việc so sánh đ ồ ng thời (3.3). B.7 Ví dụ 7 (Minh họa 4.2.3) Phân tích phương sai phi tham số Bảng B.7 cho các số liệu để đánh giá mức độ hiệu quả để bảo vệ niêm mạc trong mũi ở những người khỏe, người mắc bệnh cấp tính về hô hấp, người mắc bệnh nghề nghiệp về hô hấp. Các số liệu trong bảng bi ể u diễn thời gian để niêm mạc trong mũi có thể giải phóng một nửa số bụi rơi vào. Các số liệu kh ô ng tuân theo phân bố chuẩn. Ta cần xác định xem có sự sai khác có ý nghĩa giữa nhóm bệnh nhân về thời gian cho trong Bảng B.7. Đầu tiên dùng quy tắc Brown - Forsythe để kiểm tra sự bằng nhau của phương sai (xem 4.2.3.1). Ở đây: k = 3, n 1 = 5, n 2 = 4, n 3 = 5. Bảng B.7 2,9 3 , 8 2,8 3,0 2,7 3,4 2,5 4 , 0 3,7 2,6 2,4 2,2 3,2 2 , 0 1) Tính trung vị: ; ; 2) Tính Các Z i j 0 0,55 0 0,1 0,55 0,6 0,4 0 , 76 0,9 0,3 0,85 0,6 0,3 0,8 3) Tính Với a 3 = 0,05 và các bậc tự do n 1 = k - 1 = 2; n 2 = tra bảng F ta được F 0 , 9 5 (2, 11) = 3,98. V ì = 1,31 <> F 0 , 9 5 (2, 11) = 3,98 n ê n ta kết luận rằng các phương sai là bằng nhau và có thể dùng phép phân tích phương sai một nhân tố Kruskal - W allis (xem 4.2.3.2). Sắp xếp thứ tự các số liệu của Bảng B.7 và thay đổi giá trị của bảng bằng hạng của nó, ta được bảng sau: (8) (13) (7) (9) (6) (11) (4) (14) (12) (5) (3) (2) (10) (1) R 1 = 36 R 2 = 36 R 3 = 33 Theo công thức (54) ta được: Với mức ý nghĩa a = 0,1 và với n 1 = 5, n 2 = 4, n 3 = 5 tra bảng ta có: h 0,1; 3 (4, 5, 5) = 4,52 Vì h = 0,771 < 4,52="" suy="" ra="" sự="" sai="" khác="" giữa="" nhóm="" người="" về="" hiệu="" quả="" bảo="" vệ="" là="" không="" có="" ý=""> MỤC LỤC Lời nói đầu 1. Phạm vi áp dụng 2. Khái niệm chung 3. Phương pháp phân tích phương sai tham số 3.1. Phân t í ch phương sai một nhân tố 3.2. Phân t í ch phương sai hai nhân tố 3.3. So sánh đồng thời 4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số 4.1. Phạm vi ứng dụng 4.2. Mô hình một nhân tố 4.3. So sánh đồng thời Phụ lục A (quy định) Sơ đồ chung của phân tích phương sai Phụ lục B (tham khảo) Các ví dụ