TCVN4553:2009

Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4553:2009 về Thống kê ứng dụng - Ước lượng và khoảng tin cậy đối với tham số của phân bố Poisson TIÊU CHUẨN QUỐC GIA TCVN 4553 : 2009 THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - ƯỚC LƯỢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI VỚI THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ POISSON Applied statistics - Estimation and con f idence o f intervals for parameters of Poisson distribution Lời nói đầu TCVN 4553 : 2009 thay thế cho TCVN 4553-1988; TCVN 4553 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứ ng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố. THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - ƯỚC LƯỢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY ĐỐI VỚI THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ POISSON Applied statistics - Estimation and con f idence o f intervals for parameters of Poisson distribution 1. Phạm vi áp dụng Tiêu chuẩn này quy định các quy tắc xác định các ước lượng và khoảng tin cậy cho tham số của phân bố Poisson dựa vào mẫu ngẫu nhi ê n đơn giản rút ra từ tổng th ể có ph â n bố Poisson. 2. Thuật ngữ và định nghĩa Tiêu chuẩn này sử dụng các thuật ngữ và định nghĩa trong TCVN 8244-2 (ISO 3534-2), Thống k ê học - Thuật ngữ và ký hiệu - Thống kê ứng dụng . 3. Quy định chung 3.1. Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X tuân theo phân bố Poisson với tham số l > 0 nếu: (1) trong đó: x = 0,1,2...; e là cơ số lôgarit tự nhiên; l > 0 là tham số của ph â n bố. Kỳ vọng E (X) và phương sai D (X) của đại lượng này b ằ ng: B (X) = D (X) = l (2) 3.2. Phân bố Poisson có thể m ô tả phân bố của số các biến cố (Ví dụ: số lần hỏng máy, số phế ph ẩ m trong quá trình sản xuất tự động...) trong các khoảng thời gian có độ dài nhất định hay ph â n bố số các phần t ử (V í dụ: số các hạt, số các khuyết tật của vật liệu, số vi khuẩn) trong mặt phẳng có diện t í ch cho trước, phần không gian có thể tích cho trước hoặc một tập hợp nào đó cho trước. 4. Ước lượng điểm của tham số  Cho mẫu ngẫu nhiên đơn giản X 1 , X 2 , ..., X n , của đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo phân bố Poisson (1). Ước lượng điểm của tham số l : (3) trong đó: (4) (5) n là cỡ mẫu Ước lượng (3) là ước lượng không chệch có phương sai bé nhất của l . Phương sai của bằng: (6) 5. Khoảng tin cậy của tham số  5.1. Khoảng tin cậy một phía bên phải [ l d <> l ] (7) với mức tin cậy 1 - a cho trước: P l [ l d <> l ] ≥ 1 - a (8) được xác định bởi: (9) với (10) trong đó ( k ) là p - phân vị của phân bố c 2 với k bậc tự do. Tương tự khoảng tin cậy một phía b ê n trái: [ l <> l t ] (11) với mức tin cậy 1 - a cho trước: P l [ l <> l t ] ≥ 1 - a (12) được xác định bởi: (13) với (14) Bảng 1 và Bảng 2 ghi các giá trị của r d và r i ứng với các giá trị của 1 - a và T đã biết. 5.2. Khoảng tin cậy hai phía của l (15) với mức tin cậy 1 - a * cho trước: (16) được xác định bởi: (17) (18) với (19) (20) 5.3. Nếu trong khoảng tin cậy hai phía: (21) coi như giới hạn khoảng tin cậy một phía với mức tin cậy 1 - a coi như giới hạn khoảng tin cậy một phía với mức tin cậy 1 - a thì khoảng tin cậy hai phía (21) có mức tin cậy là: 1 - a * = 1 - 2 a (22) Các hệ số và của các giới hạn tin cậy , trong các khoảng tin cậy hai ph í a ở 5.2 và 5.3 được xác định trong các Bảng 1 và Bảng 2 tương ứng với các giá trị 1 - a * = 1 - 2 a và T đã biết. 5.4. Nếu đặt đối với các trường hợp 5.1 và 5.2. Còn l t và vẫn được xác định như cũ. 5.5. Trường hợp T > 100 Các giá trị r d và r t đối với khoảng tin cậy một phía với mức tin cậy 1 - a được tính gần đúng theo công thức: (23) (24) Các giá trị và đối với khoảng tin cậy hai phía có mức tin cậy 1 - a được xác định gần đúng theo các công thức: (25) (26) với U p là các p -phân vị của các phân bố chuẩn N (0, 1). Các trị số của các U p được xác định trong Bảng 3. Bảng 1 - Giá trị hệ số r d ứng với mức tin cậy một phía b ê n phải 1 - a và mức tin cậy hai phía 1 - a * T 1 - a * 0,800 0 0,900 0 0,950 0 0,980 0 0,990 0 0,995 0 0,998 0 1 - a 0,900 0 0,950 0 0,975 0 0,990 0 0,995 0 0,997 5 0,999 0 1 0,105 0,051 0,025 0,010 0,005 0,002 5 0,001 0 2 0,532 0,355 0,242 0,149 0,103 0,072 5 0,045 4 3 1,020 0,818 0,619 0,436 0 , 338 0,263 5 0,191 0 4 1,745 1,366 1,090 0,823 0,672 0,552 0 0,429 0 5 2,433 1,970 1,623 1,279 1,078 0,913 5 0,739 6 3,152 2,613 2,202 1,785 1,537 1,337 1,11 7 3,895 3,285 2,814 2,330 2,037 1,791 1,52 8 4,656 3,981 3,454 2,906 2,571 2,287 1,97 9 5,432 4,695 4,115 3,507 3,132 2,812 2,45 10 6,221 5,425 4,795 4,130 3,717 3,362 2,96 11 7,021 6,169 5,491 4,771 4,321 3,923 3,43 12 7,829 6,924 6,201 5,428 4,943 4,522 4,04 13 8,646 7,690 6,922 6,099 5,580 5,128 4,61 14 9,470 8,464 7,654 6,782 6,231 5,748 5,20 15 10,300 9,246 8,395 7,477 6,893 6,382 5,79 16 11,135 10,036 9,145 8,181 7,567 7,628 6,41 17 11,976 10,832 9,903 8,895 8,251 7,684 7,03 18 12,822 11,634 10,688 9,616 8,943 8,350 7,66 19 13,671 12,442 11,439 10,346 9,644 9,025 8,31 20 14,525 13,255 12,217 11,082 10,353 9,708 8,958 21 15,383 14,072 12,999 11,825 11,069 10,349 9,620 22 16,244 14,894 13,787 12,574 11,792 11,098 10 , 290 23 17,108 15,719 14,580 13,329 12,521 11,804 10,964 24 17,975 16,549 15,377 14,089 13,255 12,514 11,650 25 18,844 17,382 16,179 14,853 13,995 13,232 12,337 26 19,717 18,219 16,984 15,623 14,741 13,953 13,032 27 20,592 19,058 17,793 16,397 15,491 14,668 13,734 28 21,469 19,901 18,606 17,175 16,245 15,415 14,440 29 22,348 20,746 19,422 17,957 17,004 16,153 15,152 30 23 , 229 21 , 594 20,241 18 , 742 17,767 16,985 15 , 870 31 24,113 22,445 21,063 19,532 18,534 17,642 16,590 32 24,998 23,297 21,088 20,423 19,305 18,392 17,317 33 25,885 24 , 153 22,716 21,120 20,079 19,146 18,046 34 26,774 25,010 23,546 21,919 20,857 19,904 18,780 35 27,664 25,870 24,379 22,721 21,638 20,666 19,518 36 28,556 26,731 25,214 23 , 526 22,422 21,431 20,260 37 29,450 27 , 595 26 , 051 24,433 23,208 22,199 21,005 38 30,345 28,460 26,891 25,143 23,998 22,970 21,753 39 31,241 29,327 27,733 25 , 955 24,791 23,744 22,505 40 32,139 30,196 28,577 26,770 25,586 24,521 23,260 41 33,038 31,066 29,422 27,587 26,334 25,301 24,018 42 33,938 31,938 30,270 28,406 27,184 26,083 24,779 43 34,839 32,812 31,119 29,228 27,986 26,868 25,542 44 35,742 33,687 31,970 30,052 28 , 791 27,656 26,308 45 36,646 34,563 32,823 30,878 29,598 28,446 27,087 46 37,550 36,441 33,678 31,705 30 , 407 29,238 27,850 47 38,456 36,320 34,534 32,534 31,218 30,033 28,623 48 39,363 37,200 35,391 33,365 32,032 30,830 29,400 49 40,270 38,082 36,250 34,198 32,847 31,628 30,178 50 41,179 38,965 37,111 35,032 33,664 32,428 30,560 51 42,089 39 , 849 37 , 973 35,869 34,483 33,231 31,742 52 42,999 40,739 38,836 36,707 35,303 34,036 32,527 53 43,910 41,620 39,701 37,546 36,125 34,842 33,315 54 44,823 42 , 507 40 , 566 38,387 36,949 35 , 651 34 , 103 55 45,736 43,396 41 , 434 39,229 37,775 36,461 34 , 894 56 46,649 44,285 42 , 302 40,073 38,602 37,272 35 , 687 57 47,564 45,176 43,171 40,918 39,431 38,086 36,482 58 48,479 46,067 44,042 41 , 765 40,261 38,901 37,279 59 49,335 46,959 44,914 42,613 41,093 39,718 38,078 60 50,312 47,852 45,786 43,462 41,926 40,503 38,877 61 51,229 48,746 46,660 44,312 42,760 41,356 39.679 62 52 , 147 49,641 47,535 45,164 42,596 42,181 40,482 63 53,066 50,537 48,411 46,016 43,433 42,991 41,287 64 53,985 50,634 49,288 46,870 44,272 43,829 42,095 65 54,906 52,331 50,166 47,728 45,111 44,647 42,902 66 55,826 53,229 51,044 48,582 46,952 45,435 43,664 67 56,747 54,128 51,924 49,439 46,794 46,309 44,522 68 57,669 55,028 52,805 50,257 47,637 47,125 45,334 69 58,592 55,928 53,686 51,157 48,482 47,948 46,148 70 59,515 56,830 54,568 52,017 50,327 48,830 46,963 72 61,362 58,634 56,336 53,741 52,022 50,451 48,596 74 63,212 60,441 58,106 55,469 53,720 52,135 50,232 76 65,064 62,251 59,879 57,200 55,423 53,769 51,831 78 66,917 64,063 61,656 58,935 57,129 55,495 53,528 80 68,773 65,878 63,435 60,673 58,840 57,167 55,186 82 70,630 67,696 65,217 62,414 60,553 58,851 56,820 84 72,469 69,514 67,002 64,159 62,271 60,548 58,487 86 74,350 71,336 68,789 65,906 63,991 62,272 60,193 88 76,212 73,159 70 , 579 67,657 65,715 63,910 61,786 90 78,076 74,984 72,371 69,410 67,442 65,657 63,507 92 79,942 76,812 74,165 71,166 69,172 67,418 65,243 94 81,809 78,641 75,962 72,925 70,905 69,069 66,860 96 83,677 80,472 77,760 74,686 72,641 70,051 68,551 98 85,577 82,305 79,561 76,450 74,379 72,488 70,222 100 87,418 84,139 81,364 78,216 76,120 74,227 71,933 Bảng 2 - Giá trị hệ số r t ứng với mức tin cậy một phía b ê n trái 1 - a và mức tin cậy hai phía 1 - a * T 1 - a * 0,800 0 0,900 0 0,950 0 0,980 0 0,990 0 0,995 0 0,998 0 1 - a 0,900 0 0,950 0 0,975 0 0,990 0 0,995 0 0,997 5 0,999 0 0 2,303 2,996 3,689 4,605 5,298 5,991 6,468 1 3,890 4,744 5,572 6,638 7 , 430 8,212 9,233 2 5,322 6 , 296 7,225 8,406 9 , 274 10,145 11,230 3 6,681 7,754 8,767 10,045 10,977 11,887 13,062 4 7 , 994 9 , 154 10,242 11,605 12,594 13,556 14,794 5 9,275 10,513 11,668 13,108 14,150 15,199 16 , 454 6 10,532 11,842 13,059 14,571 15,660 16,713 18,062 7 11,771 13 , 148 14,423 16,000 17,134 18,228 19,626 8 12,995 14,435 15,763 17,403 18,578 19,711 21,156 9 14,206 15 , 705 17,085 18 , 783 19,998 21,168 22,657 10 15,407 16 , 362 18,350 20,145 21,398 22,602 24,134 11 16,598 18,208 19,682 21,490 22,779 24,017 25,590 12 17,782 19,443 20,962 22,821 24,145 25,415 27,026 13 18,958 20,669 22,230 24,139 25,497 26,797 28,446 14 20,128 21,886 23,490 25,446 26,836 28,166 29,851 15 21,292 23,097 24,740 26,743 28,164 29,523 31,243 16 22,452 24,801 25,983 28,030 29,482 30,869 32,623 17 23,606 25,499 27,219 29,310 30,791 32,262 33 , 992 18 24,756 26,692 28,448 30,581 32,091 33,515 35,351 19 25,903 27,879 29 , 671 31,845 33,383 34,865 36,701 20 27,045 29,062 30,888 33,103 34,668 36,253 38,042 21 28,184 30,240 32,101 34,355 35 , 946 37,397 39,385 22 29,320 31,415 33,308 35,601 37,218 38,695 40,700 23 30,453 32,585 34,511 36,841 38,484 40,151 42 , 018 24 31,584 33,752 35,710 38,077 39,745 41,342 43,330 25 32,711 34,916 36,905 39,308 41,000 42,499 44,636 26 33,836 36,077 38,096 40,534 42,251 43,893 45,936 27 34,959 37,234 39,284 41,757 43,497 45,237 47,230 28 36,080 38,389 40,468 42,975 44,738 46,306 48,520 29 37,199 39,541 41,649 44,390 45,976 47 , 423 49,803 30 38,315 40 , 691 42 , 827 45,401 47,209 48,653 51,085 31 39,430 41,838 44,002 46,608 48,439 49,763 52,360 32 40,543 42,982 45,174 47,813 49,665 51,220 53,630 33 41,654 44,125 46,344 49,014 50 , 888 52,517 54,900 34 42,764 45 , 266 47,512 50,213 52,107 53 , 683 56,160 35 43,872 46,404 48,677 51,408 53,324 55,141 57,420 36 44,978 47,541 49,839 52,601 54,537 56,641 58 , 675 37 46,083 48,675 51,000 53,791 55,748 57,483 59,930 38 47 , 187 49,808 52,158 54,979 56,955 58,884 61,175 39 48,289 50,940 53,314 56,164 58,161 60,081 62,430 40 49,390 52,069 54,469 57,347 59,363 61,292 63,660 41 50,490 53,197 55,621 58,528 60,563 62,596 64,900 42 51,589 54,324 56,772 59,707 61,961 63,747 66,140 43 52,686 55,449 57,921 60,884 62,956 65,075 67,375 44 53,783 56,573 59,068 62,058 64,149 66,029 68,605 45 54,878 57,695 60 , 214 63,231 65,341 67,331 69,835 46 55,972 58,816 61 , 358 64,402 66,530 68,585 71,060 47 57,065 59,935 62,500 65,571 67,717 69,449 72,285 48 58,158 61,054 63,641 66,738 68,902 70,956 73,505 49 59 , 249 62,171 64,781 67,903 70,085 72,039 74,725 50 60,339 63,287 65,919 69,067 71,266 73,368 75 , 940 51 61 , 429 64,402 67,056 70,230 72,446 74,533 77,155 52 62,518 65,516 68,191 71,390 73,624 75,834 78,490 53 63,606 66 , 628 69,325 72,549 74,800 76 , 916 79,577 54 64,693 67,740 70,458 73,707 75,974 77,992 80,656 55 65,780 68,851 71,590 74,863 77,147 78,998 81,660 56 66 , 864 69,960 72,721 76,018 78,319 80,472 84,187 57 67,949 71,069 73,850 77,172 79,489 81,443 84,149 58 69,033 72,177 74,978 78,324 80,657 82,818 85,567 59 70,116 73,284 76,106 79,475 81,824 84,081 86,858 60 71,199 74,390 77,232 80,625 82,990 85,238 88,031 61 72,281 75,495 78,357 81,773 84,154 86,391 89,198 62 73,362 76,599 79,481 82,920 85,317 87,617 90,448 63 74,443 77,702 80,604 84,067 86,479 88,740 91,582 64 75,523 78,805 81,727 85,512 87,639 89,994 92,819 65 76,602 79,907 82,848 86,355 88,798 91,199 94,045 66 77,681 81,008 83,968 87,498 89,956 92,261 95,155 67 78,759 82 , 108 85,088 88,640 91 , 113 93,452 96,366 68 79,836 83,208 86,206 89,781 92,269 94,631 97,562 69 80,913 81,306 87,324 90,920 93,423 95,726 98,666 70 81,990 85,405 88,441 92,059 94,577 96,981 99,948 72 84,141 87,599 90,672 94,333 96,881 99,293 102 , 291 74 86,291 89,790 92,900 96,604 99,180 101,586 104,612 76 88,438 91,979 95,125 98,871 101,476 103,954 107,018 78 90,583 94,166 97,348 101,135 103,767 106,306 109,406 80 92,727 96,350 99,567 103,395 106,056 108,440 111,549 82 94,869 98,532 101,784 105,652 108,340 110,894 114,052 84 97,009 100,712 103,998 107,906 110,621 113,229 116,421 86 99,147 102,889 106,209 110,157 112,899 116,498 116,716 88 101,284 105,065 108,418 112,405 115,174 117,737 120,978 90 103,419 107,239 110,625 114,650 117,445 119,960 123,221 92 105,553 109,410 112,830 116,893 119,714 122,284 125,579 94 107,686 111,580 115,032 119,133 121,980 124,623 127,952 96 109,817 113,848 117,232 121,371 124,243 126,929 130,290 98 111,946 115,915 119,431 123,606 126,503 129,225 132,616 100 114,075 118,079 121,627 125,839 128,761 131,654 135,091 Bảng 3 - Giá trị hệ số U p p 0 , 800 0 0,900 0 0,950 0 0,975 0 0,990 0 0,995 0 0,997 5 0,999 0 U p 0,842 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 Phụ lục A (tham khảo) Chỉ dẫn các ký hiệu TT Tên gọi Ký hiệu Số hiệu công thức dùng k ý hiệu lần đầu 1 Đại lượng ngẫu nhiên có phân bố Poisson X (1) 2 Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên E (X) (2) 3 Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên D (X) (2) 4 Cỡ mẫu n (3) 5 Trung bình mẫu (4) 6 Tổng giá trị mẫu T (5) 7 Tham số của phân bố Poisson l (1) 8 Tỷ lệ phế phẩm p Ví dụ 5 9 Ước lượng điểm của tham số (3) 10 Giới hạn của khoảng tin cậy một phía bên phải l d (7) 11 Giới hạn của khoảng tin cậy một phía b ê n trái l t (11) 12 Giới hạn của khoảng tin cậy hai phía , (15) 13 Mức tin cậy của khoảng tin cậy một phía 1 - a (8) và (12) 14 Mức tin cậy của khoảng tin cậy hai phía 1 - a * (16) 15 p -phân vị của phân bố chuẩn U (0, 1) U p 16 p -phân vị của phân bố với k bậc tự do (k) Phụ lục B (quy định) Giá trị của các giới hạn tin cậy Khoảng tin cậy Giới hạn tin cậy T = 0 1 ≤ T ≤ 100 T > 100 Khoảng tin cậy một phía Bên phải l d = 0 Bên trái Khoảng tin cậy hai phía dưới trên Ở đây các khoảng tin cậy một phía và hai phía đều có mức tin cậy 1 - a U p là p -phân vị của phân bố chuẩn U (0, 1); là p -phân vị của phân bố c 2 với k bậc tự do. Phụ lục C (tham khảo) Các ví dụ C.1 Ví dụ 1 Trong quá trình sản xuất các tấm kính, số khuyết tật (các bọt) trong tấm kính là đại lượng ngẫu nhiên. Phân tích 25 tấm kính giống nhau người ta thấy số bọt trong các tấm kính lần lượt là: 0; 2; 0; 0; 1; 0; 4; 0; 0; 1; 0; 2; 0; 0; 0; 0; 3; 0; 0; 1; 0; 0; 3; 0; 1. Giả sử số khuyết tật trên tuân theo phân bố Poisson. Hãy ước lượng số khuyết tật trung bình trong mỗi tấm k í nh. Theo công thức (3), (4), (5) ta có: C.2 Ví dụ 2 Từ số liệu trong ví dụ 1 hãy xác định khoảng tin cậy phía bên phải ( l d l ) của l với mức tin cậy 1 - a = 0,95 Theo công thức (9), từ Bảng 1 với t = 17 ta c ó : r d = 10,832 Vậy: và l > 0,433. C.3 Ví dụ 3 Trong quá trình sử dụng máy 100 giờ có một lần máy bị hỏng . C ần xác định khoảng tin cậy phía bên trái của số lần máy dừng trung b ì nh với mức độ tin cậy 1 - a = 0,9. Giả sử rằng số lần m á y hỏng trong 100 giờ là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo luật Poisson với tham số l . Theo công thức (12) và Bảng 2 với t = 1; 1 - a = 0,9; n = 1, ta có: r t = 3,890 Vậy: l t = 3,890 l <> C.4 V í dụ 4 Trên hai mặt không giao nhau cùng rộng 10 mm 2 ta tìm được 1 038 hạt. Hãy xác định số lượng hạt trung b ì nh trên diện t í ch 10 mm 2 . Đồng thời xác định khoảng tin cậy phía bên trái của đại lượng đó với 1 - a = 0,99, giả sử số lượng hạt trên diện tích 10 mm 2 tuân theo phân bố Poisson với tham số l . Theo (3) ta có: Đẻ xác định r t ở đây T = 1 038 > 100, áp dụng công thức (24). Vậy l <> C.5 Ví dụ 5 Từ một lô sản phẩm lấy hú họa 50 cái trong đó thấy 2 phế phẩm. Hãy xác định tỷ lệ phế phẩm p và tìm khoảng tin cậy hai phía của p với mức tin cậy 1 - a * = 0,95. Trong trường hợp tổng quát từ một lô có N sản ph ẩ m trong đó có M phế ph ẩ m, nếu lấy ngẫu nhiên m s ả n phẩm thì số phế phẩm T l ấy ra được tuân theo phân bố siêu hình học. Nếu N > 30 ; m <> N , p = 0,1 th ì T có thể coi như có phân bố Poisson với tham số l = mp . Để tìm được ước lượng và khoảng tin cậy của p có thể căn cứ vào l . Ở đây coi số phế phẩm trong mẫu tuân theo phân bố Poisson với tham số l = mp ( m = 50). Ước lượng điểm của p là ( T là số phế phẩm) V ậ y: ở đây ứng với 1 - a * = 0,95, T = 2 theo Bảng 1 và Bảng 2 có: ở đây (n = 1) Vậy và: 0,004 8 <> p < 0,144=""> MỤ C LỤC Lời nói đầu 1 Phạm vi áp dụng 2 Thuật ngữ và định nghĩa 3 Quy định chung 4 Ước lượng điểm của tham số l 5 Khoảng tin cậy của tham số l Phụ lục A (tham khảo) Ch ỉ dẫn các ký hiệu Phụ lục B (quy định) Giá trị của các giới hạn tin cậy Phụ lục C (tham khảo) Các ví dụ